Energía almacenada en un condensador La mayoría de nosotros hemos visto dramatizaciones del personal médico que utiliza un desfibrilador para pasar una corriente eléctrica por el corazón de un paciente y conseguir que lata con normalidad. A menudo con detalles realistas, la persona que aplica la descarga indica a otra que "esta vez sean 400 julios" La energía suministrada por el desfibrilador se almacena en un condensador y puede ajustarse a la situación. A menudo se emplean unidades de julios del SI. Menos dramático es el uso de condensadores en la microelectrónica para suministrar energía cuando se cargan las baterías ( ). Los condensadores también se utilizan para suministrar energía a las lámparas de flash de las cámaras. Los condensadores de la placa de circuito impreso de un dispositivo electrónico siguen una convención de etiquetado que identifica a cada uno con un código que empieza por la letra "C": Windell Oskay) La energía U C almacenada en un condensador es energía potencial electrostática y, por tanto, está relacionada con la carga Q y el voltaje V entre las placas del condensador. Un condensador cargado almacena energía en el campo eléctrico entre sus placas. A medida que el condensador se carga, el campo eléctrico se acumula. Cuando un condensador cargado se desconecta de una batería, su energía permanece en el campo en el espacio entre sus placas. Para comprender cómo se puede expresar esta energía (en términos de Q y V ), consideremos un condensador cargado, vacío y de placas paralelas; es decir, un condensador sin dieléctrico pero con el vacío entre sus placas. El espacio entre sus placas tiene un volumen Ad , y está lleno de un campo electrostático uniforme E . La energía total U C del condensador está contenido en este espacio. La densidad energética u E en este espacio es simplemente U C dividido por el volumen Ad . Si conocemos la densidad de energía, la energía se puede calcular como U C = u E ( A d ) . Aprenderemos en Ondas electromagnéticas (después de completar el estudio de las ecuaciones de Maxwell) que la densidad de energía u E en una región del espacio libre ocupada por un campo eléctrico E depende solo de la magnitud del campo y es u E = 1 2 ε 0 E 2 . Si multiplicamos la densidad de energía por el volumen entre las placas, obtenemos la cantidad de energía almacenada entre las placas de un condensador de placas paralelas U C = u E ( A d ) = 1 2 ε 0 E 2 A d = 1 2 ε 0 V 2 d 2 A d = 1 2 V 2 ε 0 A d = 1 2 V 2 C . En esta derivación, utilizamos el hecho de que el campo eléctrico entre las placas es uniforme, por lo que E = V / d y C = ε 0 A / d . Porque C = Q / V , podemos expresar este resultado en otras formas equivalentes: U C = 1 2 V 2 C = 1 2 Q 2 C = 1 2 Q V . La expresión en la para la energía almacenada en un condensador de placas paralelas es generalmente válida para todos los tipos de condensadores. Para ver esto, considere cualquier condensador sin carga (no necesariamente del tipo de placas paralelas). En algún momento, lo conectamos a través de una batería, dándole una diferencia de potencial V = q / C entre sus placas. Inicialmente, la carga en las placas es Q = 0 . A medida que el condensador se carga, la carga se va acumulando en sus placas y, al cabo de un tiempo, alcanza el valor Q . Para desplazar una carga infinitesimal dq de la placa negativa a la positiva (de un potencial más bajo a uno más alto), la cantidad de trabajo dW que debe realizarse sobre dq es d W = V d q = q C d q . Este trabajo se convierte en la energía almacenada en el campo eléctrico del condensador. Para cargar el condensador hasta una carga Q , el trabajo total requerido es W = ∫ 0 W ( Q ) d W = ∫ 0 Q q C d q = 1 2 Q 2 C . Como no se ha especificado la geometría del condensador, esta ecuación es válida para cualquier tipo de condensador. El trabajo total W necesario para cargar un condensador es la energía potencial eléctrica U C almacenado en él, o U C = W . Cuando la carga se expresa en culombios, el potencial se expresa en voltios y la capacitancia se expresa en faradios, esta relación da la energía en julios. Sabiendo que la energía almacenada en un condensador es U C = Q 2 / ( 2 C ) , ahora podemos calcular la densidad de energía u E almacenado en el vacío entre las placas de un condensador de placas paralelas cargado. Solo tenemos que dividir U C por el volumen Ad del espacio entre sus placas y tener en cuenta que para un condensador de placas paralelas, tenemos E = σ / ε 0 y C = ε 0 A / d . Por lo tanto, obtenemos u E = U C A d = 1 2 Q 2 C 1 A d = 1 2 Q 2 ε 0 A / d 1 A d = 1 2 1 ε 0 ( Q A ) 2 = σ 2 2 ε 0 = ( E ε 0 ) 2 2 ε 0 = ε 0 2 E 2 . Vemos que esta expresión para la densidad de energía almacenada en un condensador de placas paralelas está de acuerdo con la relación general expresada en la . Podríamos repetir este cálculo para un condensador esférico o un condensador cilíndrico —o para otros condensadores— y en todos los casos, terminaríamos con la relación general dada por la . Energía almacenada en un condensador Calcule la energía almacenada en la red de condensadores en la (a) cuando los condensadores están totalmente cargados y cuando las capacitancias son C 1 = 12,0 μ F , C 2 = 2,0 μ F , y C 3 = 4,0 μ F, respectivamente. Estrategia Utilizamos la para calcular la energía U 1 , U 2 y U 3 almacenados en los condensadores 1, 2 y 3, respectivamente. La energía total es la suma de todas estas energías. Solución Identificamos C 1 = 12,0 μ F y V 1 = 4,0 V , C 2 = 2,0 μ F y V 2 = 8,0 V , C 3 = 4,0 μ F y V 3 = 8,0 V . Las energías almacenadas en estos condensadores son U 1 = 1 2 C 1 V 1 2 = 1 2 ( 12,0 μ F ) ( 4,0 V ) 2 = 96 μ J, U 2 = 1 2 C 2 V 2 2 = 1 2 ( 2,0 μ F ) ( 8,0 V ) 2 = 64 μ J, U 3 = 1 2 C 3 V 3 2 = 1 2 ( 4,0 μ F ) ( 8,0 V ) 2 = 130 μ J . La energía total almacenada en esta red es U C = U 1 + U 2 + U 3 = 96 μ J + 64 μ J + 130 μ J = 0,29 mJ . Importancia Podemos verificar este resultado calculando la energía almacenada en el 4 0,0- μ F condensador, que resulta ser equivalente a toda la red. El voltaje a través de la red es de 12,0 V. La energía total obtenida de este modo coincide con nuestro resultado anterior, U C = 1 2 C V 2 = 1 2 ( 4,0 μ F ) ( 12,0 V ) 2 = 0,29 mJ . La diferencia de potencial a través de un condensador de 5,0 pF es de 0,40 V. (a) ¿Cuál es la energía almacenada en este condensador? (b) La diferencia de potencial aumenta ahora a 1,20 V. ¿En qué factor se incrementa la energía almacenada? a 4,0 × 10 −13 J ; b. 9 veces En una emergencia cardíaca un dispositivo electrónico portátil conocido como desfibrilador externo automático (automated external defibrillator, AED) puede salvar vidas. Un desfibrilador ( ) suministra una gran carga en una ráfaga corta, o una descarga, al corazón de una persona para corregir un ritmo cardíaco anormal (una arritmia). Un infarto puede surgir por la aparición de latidos rápidos e irregulares del corazón, llamados fibrilación cardíaca o ventricular. La aplicación de una gran descarga de energía eléctrica puede poner fin a la arritmia y permitir que el marcapasos natural del cuerpo retome su ritmo normal. Hoy en día, es habitual que las ambulancias lleven AED. Los AED también se encuentran en muchos lugares públicos. Están diseñadas para que las utilicen los profanos. El dispositivo diagnostica automáticamente el ritmo cardíaco del paciente y luego aplica la descarga con la energía y la forma de onda adecuadas. La RCP (reanimación cardiopulmonar) se recomienda en muchos casos antes de utilizar un desfibrilador. Los desfibriladores externos automáticos se encuentran en muchos lugares públicos. Estas unidades portátiles proporcionan instrucciones verbales para su uso en los importantes primeros minutos para una persona que sufre un ataque cardíaco (créditos: Owain Davies). Capacitancia de un desfibrilador cardíaco Un desfibrilador cardíaco suministra 4,00 × 10 2 J de energía descargando un condensador inicialmente a 1,00 × 10 4 V . ¿Cuál es su capacitancia? Estrategia Se nos da U C y V , y se nos pide que encontremos la capacitancia C . Resolvemos la para C y sustituimos. Solución Resolviendo esta expresión para C e introduciendo los valores dados se obtiene C = 2 U C V 2 = 2 4,00 × 10 2 J ( 1,00 × 10 4 V ) 2 = 8,00 μ F . Resumen Los condensadores se utilizan para suministrar energía a diversos dispositivos, como desfibriladores, microelectrónica, como calculadoras, y lámparas de flash. La energía almacenada en un condensador es el trabajo necesario para cargar el condensador, comenzando sin carga en sus placas. La energía se almacena en el campo eléctrico en el espacio entre las placas del condensador. Depende de la cantidad de carga eléctrica en las placas y de la diferencia de potencial entre ellas. La energía almacenada en una red de condensadores es la suma de las energías almacenadas en los condensadores individuales de la red. Puede calcularse como la energía almacenada en el condensador equivalente de la red. Preguntas conceptuales Si quieres almacenar una gran cantidad de energía en una batería de condensadores, ¿conectarías los condensadores en serie o en paralelo? Explique. Problemas ¿Cuánta energía se almacena en un 8,00 - μ F condensador cuyas placas están a una diferencia de potencial de 6,00 V? Un condensador tiene una carga de 2,5 μ C cuando se conecta a una batería de 6,0 V. ¿Cuánta energía se almacena en este condensador? 7,5 μ J ¿Cuánta energía se almacena en el campo eléctrico de una esfera metálica de radio 2,0 m que se mantiene a un potencial de 10,0 V? (a) ¿Cuál es la energía almacenada en el 10,0 - μ F condensador de un desfibrilador cardíaco cargado a 9,00 × 10 3 V ? (b) Calcule la cantidad de carga almacenada. a. 405 J; b. 90,0 mC En la cirugía a corazón abierto, una cantidad mucho menor de energía desfibrilará el corazón. (a) ¿Qué voltaje se aplica al 8,00 - μ F condensador de un desfibrilador cardíaco que almacena 40,0 J de energía? (b) Calcule la cantidad de carga almacenada. Un resistor de 165 - μ F condensador se utiliza junto con un motor de corriente continua (direct current, dc). ¿Cuánta energía se almacena en él cuando se aplican 119 V? 1,17 J Suponga que tiene una batería de 9,00 V, una 2,00 - μ F condensador, y un 7,40 - μ F condensador. (a) Calcule la carga y la energía almacenada si los condensadores están conectados a la batería en serie. (b) Haga lo mismo para una conexión en paralelo. Un físico inquieto se preocupa de que los dos estantes metálicos de una librería con marco de madera puedan obtener un alto voltaje si se cargan con electricidad estática, quizás producida por la fricción. (a) ¿Cuál es la capacitancia de los estantes vacíos si tienen área 1,00 × 10 2 m 2 y están separadas 0,200 m? (b) ¿Cuál es el voltaje entre ellas si se colocan cargas opuestas de magnitud 2,00 nC? (c) Para demostrar que este voltaje supone un pequeño peligro, calcule la energía almacenada. (d) Las estanterías reales tienen una superficie 100 veces menor que estas hipotéticas estanterías con una conexión al mismo voltaje. ¿Están justificados sus temores? a. 4,43 × 10 − 9 F ; b. 0,453 V; c 4,53 × 10 − 10 J ; d. no Un condensador de placas paralelas está formado por dos placas cuadradas de 25 cm de lado y separadas 1,0 mm. El condensador está conectado a una batería de 50,0 V. Con la batería aún conectada, se separan las placas hasta una separación de 2,00 mm. ¿Cuáles son las energías almacenadas en el condensador antes y después de separar las placas? ¿Por qué disminuye la energía a pesar de que se realiza trabajo al separar las placas? Supongamos que la capacitancia de un condensador variable puede cambiarse manualmente de 100 pF a 800 pF girando un dial, conectado a un conjunto de placas por un eje, de 0 ° a 180 ° . Con el dial puesto en 180 ° (correspondiente a C = 800 pF ), el condensador se conecta a una fuente de 500 V. Después de la carga, el condensador se desconecta de la fuente, y el dial se gira a 0 ° . Si la fricción es despreciable, ¿cuánto trabajo se requiere para girar el dial de 180 ° a 0 ° ? 0,7 mJ densidad energética energía almacenada en un condensador dividida entre el volumen entre las placas

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Condensador con dieléctrico Como ya hemos comentado, un material aislante colocado entre las placas de un condensador se llama dieléctrico. La inserción de un dieléctrico entre las placas de un condensador afecta su capacitancia. Para ver por qué, consideremos un experimento descrito en la . Inicialmente, un condensador con capacitancia C 0 cuando hay aire entre sus placas es cargado por una batería hasta el voltaje V 0 . Cuando el condensador está completamente cargado, la batería se desconecta. Un cargo Q 0 entonces reside en las placas, y la diferencia de potencial entre las placas se mide para ser V 0 . Ahora, supongamos que insertamos un dieléctrico que llena totalmente el espacio entre las placas. Si controlamos el voltaje, hallamos que la lectura del voltímetro ha bajado a un menor valor V . Escribimos este nuevo valor de voltaje como una fracción del voltaje original V 0 , con un número positivo κ , κ > 1 : V = 1 κ V 0 . La constante κ en esta ecuación se llama la constante dieléctrica del material entre las placas, y su valor es característico para el material. En la siguiente sección se explica detalladamente por qué el dieléctrico reduce el voltaje. Los distintos materiales tienen diferentes constantes dieléctricas (en la siguiente sección se ofrece una tabla de valores para materiales típicos). Una vez que la batería se desconecta, no hay camino para que la carga fluya hacia la batería desde las placas del condensador. Por lo tanto, la inserción del dieléctrico no tiene ningún efecto sobre la carga en la placa, que permanece en un valor de Q 0 . Por lo tanto, hallamos que la capacitancia del condensador con dieléctrico es C = Q 0 V = Q 0 V 0 / κ = κ Q 0 V 0 = κ C 0 . Esta ecuación nos dice que la capacitancia C 0 de un condensador vacío se puede aumentar en un factor de κ cuando introducimos un material dieléctrico para llenar completamente el espacio entre sus placas . Tenga en cuenta que la también se puede utilizar para un condensador vacío configurando κ = 1 . En otras palabras, podemos decir que la constante dieléctrica del vacío es 1, que es un valor de referencia. (a) Cuando está completamente cargado, un condensador de vacío tiene un voltaje V 0 y carga Q 0 (las cargas permanecen en las superficies interiores de las placas; el esquema indica el signo de la carga en cada placa). (b) En el paso 1, la batería está desconectada. A continuación, en el paso 2, se introduce un dieléctrico (que es eléctricamente neutro) en el condensador cargado. Cuando se mide ahora el voltaje a través del condensador se comprueba que el valor del voltaje ha disminuido a V = V 0 / κ . El esquema indica el signo de la carga inducida que ahora está presente en las superficies del material dieléctrico entre las placas. El principio expresado por la se utiliza ampliamente en la industria de la construcción ( ). Las placas metálicas de un localizador electrónico actúan como un condensador. Coloque un detector de vigas con su lado plano en la pared y muévalo continuamente en dirección horizontal. Cuando el buscador se desplaza sobre un poste de madera, la capacitancia de sus placas cambia, porque la madera tiene una constante dieléctrica diferente a la de una pared de yeso. Este cambio desencadena una señal en un circuito, y así se detecta el perno. Se utiliza un localizador electrónico de montantes para detectar los montantes de madera que hay detrás de los paneles de yeso. (Crédito superior: modificación del trabajo de Jane Whitney) La energía eléctrica almacenada por un condensador también se ve afectada por la presencia de un dieléctrico. Cuando la energía almacenada en un condensador vacío es U 0 , la energía U almacenada en un condensador con dieléctrico es menor en un factor de κ , U = 1 2 Q 2 C = 1 2 Q 0 2 κ C 0 = 1 κ U 0 . Al acercar una muestra de material dieléctrico a un condensador vacío cargado, la muestra reacciona al campo eléctrico de las cargas en las placas del condensador. Tal y como aprendimos en Cargas y campos eléctricos sobre la electrostática, existirán las cargas inducidas en la superficie de la muestra; sin embargo, no son cargas libres como en un conductor, porque un aislante perfecto no tiene cargas en movimiento libre. Estas cargas inducidas en la superficie dieléctrica son de signo contrario a las cargas libres de las placas del condensador, por lo que son atraídas por las cargas libres de las placas. En consecuencia, el dieléctrico es "arrastrado" hacia el hueco, y el trabajo para polarizar el material dieléctrico entre las placas se realiza a expensas de la energía eléctrica almacenada, que se reduce, de acuerdo con . Inserción de un dieléctrico en un condensador aislado Se carga un condensador vacío de 20,0 pF hasta una diferencia de potencial de 40,0 V. A continuación, se desconecta la batería de carga y se introduce un trozo de Teflon™ con una constante dieléctrica de 2,1 para rellenar completamente el espacio entre las placas del condensador (vea la ). ¿Cuáles son los valores de (a) la capacitancia, (b) la carga de la placa, (c) la diferencia de potencial entre las placas y (d) la energía almacenada en el condensador con y sin dieléctrico? Estrategia Identificamos la capacitancia original C 0 = 20,0 pF y la diferencia de potencial original V 0 = 40,0 V entre las placas. Combinamos la con otras relaciones que implican capacitancia y sustitución. Solución La capacitancia aumenta hasta C = κ C 0 = 2,1 ( 20,0 pF ) = 42,0 pF . Sin dieléctrico, la carga en las placas es Q 0 = C 0 V 0 = ( 20,0 pF ) ( 40,0 V ) = 0,8 nC . Como la batería se desconecta antes de introducir el dieléctrico, la carga de la placa no se ve afectada por el dieléctrico y se mantiene en 0,8 nC. Con el dieléctrico, la diferencia de potencial se convierte en V = 1 κ V 0 = 1 2,1 40,0 V = 19,0 V . La energía almacenada sin el dieléctrico es U 0 = 1 2 C 0 V 0 2 = 1 2 ( 20,0 pF ) ( 40,0 V ) 2 = 16,0 nJ . Con el dieléctrico insertado, utilizamos la para hallar que la energía almacenada disminuye a U = 1 κ U 0 = 1 2,1 16,0 nJ = 7,6 nJ . Importancia Observe que el efecto de un dieléctrico sobre la capacitancia de un condensador es un aumento drástico de su capacitancia. Este efecto es mucho más profundo que un simple cambio en la geometría de un condensador. Cuando se introduce un dieléctrico en un condensador aislado y cargado, la energía almacenada disminuye hasta el 33% de su valor original. (a) ¿Cuál es la constante dieléctrica? (b) ¿Cómo cambia la capacitancia? a. 3.0; b C = 3,0 C 0 Resumen La capacitancia de un condensador vacío se incrementa en un factor de κ cuando el espacio entre sus placas está completamente relleno por un dieléctrico con constante dieléctrica κ . Cada material dieléctrico tiene su constante dieléctrica específica. La energía almacenada en un condensador aislado vacío disminuye en un factor de κ cuando el espacio entre sus placas está completamente lleno de un dieléctrico con constante dieléctrica κ . Preguntas conceptuales Analice lo que ocurriría si en el hueco entre las placas del condensador se insertara una losa conductora en vez de un dieléctrico. las respuestas pueden variar Analice cómo cambia la energía almacenada en un condensador vacío, pero cargado, cuando se inserta un dieléctrico si (a) el condensador se aísla para que su carga no cambie; (b) el condensador permanece conectado a una batería para que la diferencia de potencial entre sus placas no cambie. Problemas Demuestre que para un material dieléctrico dado, la energía máxima que puede almacenar un condensador de placas paralelas es directamente proporcional al volumen de dieléctrico. Un condensador lleno de aire está formado por dos placas planas paralelas separadas 1,0 mm. La superficie interior de cada placa es 8,0 cm 2 . (a) ¿Cuál es la capacitancia de este conjunto de placas? (b) Si la región entre las placas se rellena con un material cuya constante dieléctrica es 6,0, ¿cuál es la nueva capacitancia? a. 7.1 pF; b. 42 pF Un condensador está formado por dos esferas concéntricas, una de radio 5,00 cm y otra de radio 8,00 cm. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este conjunto de conductores? (b) Si la región entre los conductores se rellena con un material cuya constante dieléctrica es 6,00, ¿cuál es la capacitancia del sistema? Un condensador de placas paralelas tiene una carga de magnitud 9,00 μ C en cada placa y la capacitancia 3,00 μ F cuando hay aire entre las placas. Las placas están separadas por 2,00 mm. Con la carga en las placas mantenida constante, un dieléctrico con κ = 5 se inserta entre las placas, llenando completamente el volumen entre las placas. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del condensador, antes y después de insertar el dieléctrico? (b) ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto medio entre las placas antes y después de insertar el dieléctrico? a. antes de 3,00 V; después de 0,600 V; b. antes de 1500 V/m; después de 300 V/m Algunas paredes celulares del cuerpo humano tienen una capa de carga negativa en la superficie interior. Supongamos que las densidades de carga superficial son ± 0,5 0 × 1 0 −3 C / m 2 , la pared celular es 5. 0 × 1 0 −9 m de espesor, y el material de la pared celular tiene una constante dieléctrica de κ = 5,4 . (a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en la pared entre dos capas de carga. (b) Calcule la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula. ¿Cuál está a mayor potencial? (c) Una célula típica del cuerpo humano tiene un volumen 10 −16 m 3 . Estime la energía total del campo eléctrico almacenada en la pared de una célula de este tamaño, suponiendo que la célula es esférica. ( Pista : Calcule el volumen de la pared celular). Un condensador de placas paralelas con solo aire entre sus placas se carga conectando el condensador a una batería. A continuación, el condensador se desconecta de la batería, sin que la carga salga de las placas. (a) Un voltímetro marca 45,0 V cuando se coloca a través del condensador. Cuando se introduce un dieléctrico entre las placas, llenando completamente el espacio, el voltímetro marca 11,5 V. ¿Cuál es la constante dieléctrica del material? (b) ¿Qué marcará el voltímetro si ahora se retira el dieléctrico para que llene solo un tercio del espacio entre las placas? a. 3.91; b. 22.8 V constante dieléctrica factor por el que aumenta la capacitancia cuando se inserta un dieléctrico entre las placas de un condensador

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Modelo molecular de un dieléctrico Podemos entender el efecto de un dieléctrico en la capacitancia eléctrica al observar su comportamiento a nivel molecular. Como vimos en capítulos anteriores, en general, todas las moléculas pueden clasificarse como polares o no polares . Hay una separación neta de cargas positivas y negativas en una molécula polar aislada, mientras que no hay separación de cargas en una molécula no polar aislada ( ). En otras palabras, las moléculas polares tienen momentos dipolares eléctricos permanentes y las moléculas no polares, no. Por ejemplo, una molécula de agua es polar y una molécula de oxígeno es no polar. Las moléculas no polares pueden convertirse en polares en presencia de un campo eléctrico externo, lo que se denomina polarización inducida . El concepto de polarización: en un átomo o molécula no polarizada, una nube de electrones con carga negativa se distribuye uniformemente alrededor de los centros con carga positiva, mientras que un átomo o molécula polarizada tiene un exceso de carga negativa en un lado, de modo que el otro lado tiene un exceso de carga positiva. Sin embargo, todo el sistema sigue siendo eléctricamente neutro. La polarización de la carga puede deberse a un campo eléctrico externo. Algunas moléculas y átomos están permanentemente polarizados (dipolos eléctricos) incluso en ausencia de un campo eléctrico externo (moléculas y átomos polares). Consideremos primero un dieléctrico compuesto por moléculas polares. En ausencia de cualquier campo eléctrico externo, los dipolos eléctricos se orientan aleatoriamente, como se ilustra en la (a). Sin embargo, si el dieléctrico se coloca en un campo eléctrico externo E → 0 , las moléculas polares se alinean con el campo externo, como se muestra en la parte (b) de la figura. Las cargas opuestas de los dipolos adyacentes dentro del volumen del dieléctrico se neutralizan mutuamente, por lo que no hay carga neta dentro del dieléctrico (véanse los círculos discontinuos en la parte (b)). Sin embargo, este no es el caso muy cerca de las superficies superior e inferior que bordean el dieléctrico (la región delimitada por los rectángulos punteados en la parte (b)), donde la alineación sí produce una carga neta. Dado que el campo eléctrico externo simplemente alinea los dipolos, el dieléctrico en su conjunto es neutro, y las cargas superficiales inducidas en sus caras opuestas son iguales y opuestas. Estas cargas superficiales inducidas + Q i y − Q i producen un campo eléctrico adicional E → i (un campo eléctrico inducido ), que se opone al campo externo E → 0 , como se ilustra en la parte (c). Un dieléctrico con moléculas polares: (a) en ausencia de un campo eléctrico externo; (b) en presencia de un campo eléctrico externo E → 0 . Las líneas discontinuas indican las regiones inmediatamente adyacentes a las placas del condensador. (c) El campo eléctrico inducido E → i dentro del dieléctrico producido por la carga superficial inducida Q i del dieléctrico. Observe que, en realidad, las moléculas individuales no están perfectamente alineadas con un campo externo debido a las fluctuaciones térmicas; sin embargo, la alineación regular es a lo largo de las líneas de campo, como se muestra. El mismo efecto se produce cuando las moléculas de un dieléctrico no son polares. En este caso, una molécula no polar adquiere un momento dipolar inducido eléctrico porque el campo externo E → 0 provoca una separación entre sus cargas positivas y negativas. Los dipolos inducidos de las moléculas no polares se alinean con E → 0 del mismo modo que se alinean los dipolos permanentes de las moléculas polares (mostrado en la parte (b)). Por lo tanto, el campo eléctrico dentro del dieléctrico se debilita independientemente de que sus moléculas sean polares o no polares. Por lo tanto, cuando la región entre las placas paralelas de un condensador cargado, como el que se muestra en la (a), se llena con un dieléctrico, dentro del dieléctrico hay un campo eléctrico E → 0 gracias a la carga libre Q 0 en las placas del condensador y un campo eléctrico E → i debido a la carga inducida Q i en las superficies del dieléctrico. Su suma vectorial da el campo eléctrico neto E → dentro del dieléctrico entre las placas del condensador (mostrado en la parte (b) de la figura): E → = E → 0 + E → i . Este campo neto puede considerarse como el campo producido por una carga efectiva Q 0 − Q i en el condensador. Campo eléctrico: (a) en un condensador vacío, el campo eléctrico E → 0 . (b) En un condensador relleno de dieléctrico, el campo eléctrico E → . En la mayoría de los dieléctricos, el campo eléctrico neto E → es proporcional al campo E → 0 producido por la carga libre. En términos de estos dos campos eléctricos, la constante dieléctrica κ del material se define como κ = E 0 E . Dado que E → 0 y E → i apuntan en direcciones opuestas, la magnitud E es menor que la magnitud E 0 y, por lo tanto, κ > 1 . Al Combinar la con la , y al reordenar los términos, se obtiene la siguiente expresión para el campo eléctrico inducido en un dieléctrico: E → i = ( 1 κ − 1 ) E → 0 . Cuando la magnitud de un campo eléctrico externo es demasiado grande, las moléculas del material dieléctrico comienzan a ionizarse. Una molécula o un átomo se ionizan cuando uno o más electrones se desprenden de ellos y se convierten en electrones libres, que ya no están unidos a la estructura molecular o atómica. Cuando esto sucede, el material puede conducir, permitiendo así que la carga se mueva a través del dieléctrico de una placa del condensador a la otra. Este fenómeno se denomina ruptura dieléctrica (la muestra patrones típicos de trayectorias aleatorias de descarga eléctrica durante la ruptura dieléctrica). El valor crítico, E c , del campo eléctrico al que se ionizan las moléculas de un aislante se denomina resistencia dieléctrica del material. La resistencia dieléctrica impone un límite al voltaje que puede aplicarse para una determinada separación de placas en un condensador. Por ejemplo, la resistencia dieléctrica del aire es E c = 3,0 MV/m , por lo que para un condensador lleno de aire con una separación de placas de d = 1,00 mm , el límite de la diferencia de potencial que puede aplicarse con seguridad a través de sus placas sin provocar una ruptura dieléctrica es V = E c d = ( 3,0 × 10 6 V/m ) ( 1,00 × 10 −3 m ) = 3,0 kV . Sin embargo, este límite se convierte en 60,0 kV cuando el mismo condensador se llena de Teflon™, cuya resistencia dieléctrica es de aproximadamente 60,0 MV/m . Debido a este límite impuesto por la resistencia dieléctrica, la cantidad de carga que puede almacenar un condensador lleno de aire es solo Q 0 = κ aire C 0 ( 3,0 kV) y la carga almacenada en el mismo condensador relleno de Teflon™ puede ser de hasta Q = κ teflón C 0 ( 60,0 kV ) = κ teflón Q 0 κ aire ( 3,0 kV ) ( 60,0 kV ) = 20 κ teflón κ aire Q 0 = 20 2,1 1,00059 Q 0 ≅ 42 Q 0 , que es unas 42 veces mayor que la carga almacenada en un condensador lleno de aire. Los valores típicos de las constantes dieléctricas y las resistencias dieléctricas de varios materiales se indican en la . Observe que la constante dieléctrica κ es exactamente 1,0 para el vacío (el espacio vacío sirve como condición de referencia) y muy cercano a 1,0 para el aire en condiciones normales (presión normal a temperatura ambiente). Estos dos valores son tan cercanos que, de hecho, las propiedades de un condensador lleno de aire son esencialmente las mismas que las de un condensador vacío. Valores representativos de las constantes dieléctricas y las resistencias dieléctricas de varios materiales a temperatura ambiente Material Constante dieléctrica κ Resistencia dieléctrica E c [ × 10 6 V / m ] Vacío 1 ∞ Aire seco (1 atm) 1,00059 3,0 Teflon™ 2,1 60 a 173 Parafina 2,3 11 Aceite de silicona 2,5 10 a 15 Poliestireno 2,56 19,7 Nylon 3,4 14 Papel 3,7 16 Cuarzo fundido 3,78 8 Vidrio 4 a 6 9,8 a 13,8 Hormigón 4,5 – Baquelita 4,9 24 Diamante 5,5 2.000 Vidrio Pyrex 5,6 14 Mica 6,0 118 Goma de neopreno 6,7 15,7 a 26,7 Agua 80 − Ácido sulfúrico 84 a 100 − Dióxido de titanio 86 a 173 – Titanato de estroncio 310 8 Titanato de bario De 1.200 a 10.000 – Titanato de calcio y cobre > 250.000 – No todas las sustancias de la tabla son buenos aislantes, a pesar de sus elevadas constantes dieléctricas. El agua, por ejemplo, está formada por moléculas polares y tiene una gran constante dieléctrica de aproximadamente 80. Es más probable que en una molécula de agua los electrones se encuentren alrededor del núcleo de oxígeno que alrededor de los núcleos de hidrógeno. Esto hace que el extremo de oxígeno de la molécula sea ligeramente negativo y deja el extremo de hidrógenos ligeramente positivo, lo que hace que la molécula se alinee fácilmente a lo largo de un campo eléctrico externo y, por lo tanto, el agua tiene una gran constante dieléctrica. Sin embargo, la naturaleza polar de las moléculas de agua también hace que esta sea un buen disolvente para muchas sustancias, lo que produce efectos indeseables, porque cualquier concentración de iones libres en el agua conduce la electricidad. Campo eléctrico y carga superficial inducida Supongamos que la distancia entre las placas del condensador en el es de 2,0 mm y el área de cada placa es 4,5 × 10 −3 m 2 . Determine: (a) el campo eléctrico entre las placas antes y después de insertar el Teflon™, y (b) la carga superficial inducida en las superficies de Teflon™. Estrategia En la parte (a), sabemos que el voltaje en el condensador vacío es V 0 = 40 V , por lo que para calcular los campos eléctricos utilizamos la relación V = E d y la . En la parte (b), al conocer la magnitud del campo eléctrico, utilizamos la expresión para la magnitud del campo eléctrico cerca de una placa cargada E = σ / ε 0 , donde σ es una densidad de carga superficial uniforme causada por la carga superficial. Utilizamos el valor de la carga libre Q 0 = 8,0 × 10 −10 C obtenido en el . Solución El campo eléctrico E 0 entre las placas de un condensador vacío es E 0 = V 0 d = 40 V 2,0 × 10 −3 m = 2,0 × 10 4 V/m . El campo eléctrico E con el Teflon™ colocado es E = 1 κ E 0 = 1 2,1 2,0 × 10 4 V/m = 9,5 × 10 3 V/m . La carga efectiva del condensador es la diferencia entre la carga libre Q 0 y la carga inducida Q i . El campo eléctrico en el Teflon™ es causado por esta carga efectiva. Por lo tanto, E = 1 ε 0 σ = 1 ε 0 Q 0 − Q i A . Invertimos esta ecuación para obtener Q i , lo que da como resultado Q i = Q 0 − ε 0 A E = 8,0 × 10 −10 C − ( 8,85 × 10 −12 C 2 N · m 2 ) ( 4,5 × 10 −3 m 2 ) ( 9,5 × 10 3 V m ) = 4,2 × 10 −10 C = 0,42 nC . Inserción de un dieléctrico en un condensador conectado a una batería Cuando una batería de voltaje V 0 se conecta a través de un condensador vacío de capacitancia C 0 , la carga en sus placas es Q 0 , y el campo eléctrico entre sus placas es E 0 . Un dieléctrico de constante dieléctrica κ se inserta entre las placas mientras la batería permanece en su lugar , como se muestra en la . (a) Calcule la capacitancia C , el voltaje V a través del condensador y el campo eléctrico E entre las placas después de insertar el dieléctrico. (b) Obtenga una expresión para la carga libre Q en las placas del condensador lleno y la carga inducida Q i en la superficie dieléctrica en términos de la carga original de la placa Q 0 . Se inserta un dieléctrico en el condensador cargado mientras este permanece conectado a la batería. Estrategia Identificamos los valores conocidos V 0 , C 0 , E 0 , κ y Q 0 . Nuestra tarea es expresar los valores desconocidos en términos de estos valores conocidos. Solución (a) La capacitancia del condensador lleno es C = κ C 0 . Como la batería siempre está conectada a las placas del condensador, la diferencia de potencial entre ellas no cambia; por lo tanto, V = V 0 . Por ello, el campo eléctrico en el condensador lleno es el mismo que el campo en el condensador vacío, por lo que podemos obtener directamente que E = V d = V 0 d = E 0 . (b) Para el condensador lleno, la carga libre en las placas es Q = C V = ( κ C 0 ) V 0 = κ ( C 0 V 0 ) = κ Q 0 . El campo eléctrico E en el condensador lleno se debe a la carga efectiva Q − Q i ( (b)). Dado que E = E 0 , tenemos Q − Q i ε 0 A = Q 0 ε 0 A . Resolviendo esta ecuación para Q i , obtenemos para la carga inducida Q i = Q − Q 0 = κ Q 0 − Q 0 = ( κ − 1 ) Q 0 . Importancia Observe que para materiales con constantes dieléctricas superiores a 2 (vea la ), la carga inducida en la superficie del dieléctrico es mayor que la carga en las placas de un condensador de vacío. Lo contrario ocurre con los gases, como el aire, cuya constante dieléctrica es inferior a 2. Siguiendo con el , demuestre que cuando la batería se conecta a través de las placas la energía almacenada en el condensador lleno de dieléctrico es U = κ U 0 (mayor que la energía U 0 de un condensador vacío mantenido al mismo voltaje). Compare este resultado con el resultado U = U 0 / κ encontrado anteriormente para un condensador aislado y cargado. Repita los cálculos del para el caso en el que la batería permanece conectada mientras el dieléctrico se coloca en el condensador. a. C 0 = 20 pF , C = 42 pF ; b. Q 0 = 0,8 nC , Q = 1,7 nC ; c. V 0 = V = 40 V ; d. U 0 = 16 nJ , U = 34 nJ Resumen Cuando se introduce un dieléctrico entre las placas de un condensador, se induce una carga superficial igual y opuesta en las dos caras del dieléctrico. La carga superficial inducida produce un campo eléctrico inducido que se opone al campo de la carga libre en las placas del condensador. La constante dieléctrica de un material es la relación entre el campo eléctrico en el vacío y el campo eléctrico neto en el material. Un condensador lleno de dieléctrico tiene una capacitancia mayor que un condensador vacío. La resistencia dieléctrica de un aislante representa un valor crítico de campo eléctrico a partir del cual las moléculas de un material aislante comienzan a ionizarse. Cuando esto ocurre, el material puede conducir y se observa la ruptura dieléctrica. Ecuaciones clave Capacitancia C = Q V Capacitancia de un condensador de placas paralelas C = ε 0 A d Capacitancia de un condensador esférico de vacío C = 4 π ε 0 R 1 R 2 R 2 − R 1 Capacitancia de un condensador cilíndrico de vacío C = 2 π ε 0 l dentro ( R 2 / R 1 ) Capacitancia de una combinación en serie 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + ⋯ Capacitancia de una combinación en paralelo C P = C 1 + C 2 + C 3 + ⋯ Densidad de energía u E = 1 2 ε 0 E 2 Energía almacenada en un condensador U C = 1 2 V 2 C = 1 2 Q 2 C = 1 2 Q V Capacitancia de un condensador con dieléctrico C = κ C 0 Energía almacenada en un condensador aislado con dieléctrico U = 1 κ U 0 Constante dieléctrica κ = E 0 E Campo eléctrico inducido en un dieléctrico E → i = ( 1 κ − 1 ) E → 0 Preguntas conceptuales Distinga entre resistencia dieléctrica y constante dieléctrica. La resistencia dieléctrica es un valor crítico de un campo eléctrico por encima del cual empieza a conducir un aislante; la constante dieléctrica es la relación entre el campo eléctrico en el vacío y el campo eléctrico neto en un material. El agua es un buen solvente porque tiene una elevada constante dieléctrica. Explique. El agua tiene una elevada constante dieléctrica. Explique por qué no se utiliza entonces como material dieléctrico en los condensadores. El agua es un buen solvente. Explique por qué las moléculas de un material dieléctrico experimentan fuerzas netas sobre ellas en un campo eléctrico no uniforme pero no en un campo uniforme. Explique por qué la constante dieléctrica de una sustancia que contiene dipolos eléctricos moleculares permanentes disminuye al aumentar la temperatura. Cuando la energía del movimiento térmico es grande (alta temperatura), un campo eléctrico también debe ser grande para mantener los dipolos eléctricos alineados con él. Razone por qué un material dieléctrico aumenta la capacitancia en comparación con lo que sería con aire entre las placas de un condensador. ¿Cómo es que un material dieléctrico también permite aplicar un mayor voltaje a un condensador? (Por lo tanto, el dieléctrico aumenta C y permite un mayor V ). Explique cómo el carácter polar de las moléculas de agua ayuda a explicar la constante dieléctrica relativamente grande del agua. las respuestas pueden variar Cuando el aire esté húmedo se producirán chispas entre las placas de un condensador lleno de aire a un voltaje menor que cuando esté seco. Discuta por qué, teniendo en cuenta el carácter polar de las moléculas de agua. Problemas Dos placas planas que contienen cargas iguales y opuestas están separadas por un material de 4,0 mm de espesor con una constante dieléctrica de 5,0. Si el campo eléctrico en el dieléctrico es de 1,5 MV/m, ¿cuáles son (a) la densidad de carga en las placas del condensador y (b) la densidad de carga inducida en las superficies del dieléctrico? Para un condensador de placas paralelas relleno de Teflon™, el área de la placa es 50,0 cm 2 y la separación entre las placas es de 0,50 mm. Si el condensador está conectado a una batería de 200 V, calcule (a) la carga libre en las placas del condensador, (b) el campo eléctrico en el dieléctrico y (c) la carga inducida en las superficies del dieléctrico. a. 37 nC; b. 0,4 MV/m; c. 19 nC Calcule la capacitancia de un condensador de placas paralelas con una superficie de 5,00 m 2 y separados por 0,100 mm de Teflon™. (a) ¿Cuál es la capacitancia de un condensador de placas paralelas con placas de área 1,50 m 2 que están separadas por 0,0200 mm de goma de neopreno? (b) ¿Qué carga mantiene cuando se le aplican 9,00 V? a. 4,4 μ F ; b. 4,0 × 10 -5 C Dos placas paralelas tienen cargas iguales y opuestas. Cuando se evacua el espacio entre las placas, el campo eléctrico es E = 3,20 × 10 5 V / m . Cuando el espacio está lleno de dieléctrico, el campo eléctrico es E = 2,50 × 10 5 V / m . (a) ¿Cuál es la densidad de carga superficial en cada superficie del dieléctrico? (b) ¿Cuál es la constante dieléctrica? El dieléctrico que se utilizará en un condensador de placas paralelas tiene una constante dieléctrica de 3,60 y una resistencia dieléctrica de 1,60 × 10 7 V / m . El condensador debe tener una capacitancia de 1,25 nF y debe ser capaz de soportar una diferencia de potencial máxima de 5,5 kV. ¿Cuál es la superficie mínima que pueden tener las placas del condensador? 0,0135 m 2 Cuando se conecta un condensador de aire de 360 nF a una fuente de energía, la energía almacenada en el condensador es 18,5 μ J . Mientras el condensador está conectado a la fuente de energía, se inserta una placa de dieléctrico que rellena completamente el espacio entre las placas. Esto aumenta la energía almacenada en 23,2 μ J . (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del condensador? (b) ¿Cuál es la constante dieléctrica de la losa? Un condensador de placas paralelas tiene placas cuadradas de 8,00 cm de lado y 3,80 mm de separación. El espacio entre las placas se rellena completamente con dos placas cuadradas de dieléctrico, cada una de 8,00 cm de lado y 1,90 mm de grosor. Una placa es de vidrio Pyrex y la otra de poliestireno. Si la diferencia de potencial entre las placas es de 86,0 V, calcule cuánta energía eléctrica puede almacenarse en este condensador. 0,185 μ J Problemas adicionales Un condensador está formado por dos placas planas paralelas colocadas a 0,40 mm de distancia. Cuando una carga de 0,020 μ C se coloca en las placas la diferencia de potencial entre ellas es de 250 V. (a) ¿Cuál es la capacitancia de las placas? (b) ¿Cuál es el área de cada placa? (c) ¿Cuál es la carga de las placas cuando la diferencia de potencial entre ellas es de 500 V? (d) ¿Qué diferencia de potencial máxima puede aplicarse entre las placas para que la magnitud de los campos eléctricos entre las placas no supere los 3,0 MV/m? Un condensador de placas paralelas lleno de aire (vacío) está formado por dos placas cuadradas de 25 cm de lado y separadas 1,0 mm. El condensador se conecta a una batería de 50 V y se carga completamente. A continuación, se desconecta de la batería y se separan sus placas hasta alcanzar una separación de 2,00 mm. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este nuevo condensador? (b) ¿Cuál es la carga de cada placa? (c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? a. 0,277 nF; b. 27,7 nC; c. 50 kV/m Supongamos que la capacitancia de un condensador variable puede cambiarse manualmente de 100 a 800 pF girando un dial conectado a un conjunto de placas mediante un eje, de 0 ° a 180 ° . Con el dial puesto en 180 ° (correspondiente a C = 800 pF ), el condensador se conecta a una fuente de 500 V. Después de la carga, el condensador se desconecta de la fuente, y el dial se gira a 0 ° . (a) ¿Cuál es la carga del condensador? (b) ¿Cuál es el voltaje a través del condensador cuando el dial se pone en 0 ° ? La Tierra puede considerarse como un condensador esférico con dos placas, donde la placa negativa es la superficie de la Tierra y la placa positiva es el fondo de la ionósfera, que se encuentra a una altura de aproximadamente 70 km. La diferencia de potencial entre la superficie de la Tierra y la ionósfera es de unos 350.000 V. (a) Calcule la capacitancia de este sistema. (b) Calcule la carga total de este condensador. (c) Calcule la energía almacenada en este sistema. a. 0,065 F; b. 23.000 C; c. 4,0 GJ Un condensador de 4,00 - μ F y un condensador de 6,00 - μ F están conectados en paralelo a través de una línea de energía de 600 V. (a) Calcule la carga en cada condensador y el voltaje a través de cada uno. (b) Los condensadores cargados se desconectan de la línea y entre sí. A continuación, se vuelven a conectar entre sí con terminales de signo distinto. Calcule la carga final de cada condensador y el voltaje a través de cada uno. Tres condensadores con capacitancias de 8,40, 8,40 y 4,20 μ F , respectivamente, están conectados en serie a través de una diferencia de potencial de 36,0 V. (a) ¿Cuál es la carga en el condensador de 4,20 - μ F ? (b) Los condensadores se desconectan de la diferencia de potencial sin permitir que se descarguen. A continuación, se vuelven a conectar en paralelo con las placas cargadas positivamente conectadas entre sí. ¿Cuál es el voltaje en cada condensador de la combinación en paralelo? a. 75,6 μ C ; b. 10,8 V Un condensador de placas paralelas con capacitancias 5,0 μ F se carga con una batería de 12,0 V, tras lo cual se desconecta la batería. Determine el trabajo mínimo necesario para aumentar la separación entre las placas en un factor de 3. (a) ¿Cuánta energía se almacena en los campos eléctricos de los condensadores (en total) que se muestran a continuación? (b) ¿Esta energía es igual al trabajo realizado por la fuente de 400 V al cargar los condensadores? a. 0,13 J; b. no, debido al calentamiento resistivo en los cables de conexión que siempre está presente, pero el esquema del circuito no indica resistores Tres condensadores con capacitancias de 8,4, 8,4 y 4,2 μ F están conectados en serie a través de una diferencia de potencial de 36,0 V. (a) ¿Cuál es la energía total almacenada en los tres condensadores? (b) Los condensadores se desconectan de la diferencia de potencial sin permitir que se descarguen. A continuación, se vuelven a conectar en paralelo con las placas cargadas positivamente conectadas entre sí. ¿Cuál es la energía total almacenada ahora en los condensadores? (a) Un condensador de 8,00 - μ F está conectado en paralelo a otro condensador, lo que produce una capacitancia total de 5,00 μ F . ¿Cuál es la capacitancia del segundo condensador? (b) ¿Qué no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposiciones no son razonables o son incoherentes? a. −3,00 μ F ; b. No se puede tener una capacidad negativa C 2 . c. La suposición de que se conectaron en paralelo, en vez de en serie, es incorrecta. Una conexión en paralelo siempre produce una mayor capacitancia, mientras que aquí se asumió una menor. Esto solo puede ocurrir si los condensadores están conectados en serie. (a) En un día determinado, toma 9,60 × 10 3 J de energía eléctrica para arrancar el motor de un camión. Calcule la capacitancia de un condensador que pudiera almacenar esa cantidad de energía a 12,0 V. (b) ¿Qué no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposiciones son responsables? (a) Un determinado condensador de placas paralelas tiene placas de área 4,00 m 2 , separados por 0,0100 mm de nylon, y almacena 0,170 C de carga. ¿Cuál es el voltaje aplicado? (b) ¿Qué es lo que no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposiciones son responsables o incoherentes? a. 14,2 kV; b. El voltaje es excesivamente grande, más de 100 veces el voltaje de ruptura del nylon. c. La supuesta carga es excesivamente grande y no puede almacenarse en un condensador de estas dimensiones. Un bromista aplica 450 V a un condensador de 80,0 - μ F y luego lo lanza a una víctima desprevenida. El dedo de la víctima se quema por la descarga del condensador a través de 0,200 g de piel. Haga una estimación, ¿cuál es el aumento de temperatura de la piel? ¿Es razonable suponer que no se ha producido ningún cambio de fase termodinámico? Problemas de desafíos Un condensador esférico está formado por dos esferas conductoras concéntricas separadas por el vacío. La esfera interior tiene un radio de 12,5 cm y la exterior de 14,8 cm. Se aplica una diferencia de potencial de 120 V al condensador. (a) ¿Cuál es la capacitancia del condensador? (b) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en r = 12,6 cm , justo fuera de la esfera interior? (c) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en r = 14,7 cm , justo dentro de la esfera exterior? (d) Para un condensador de placas paralelas el campo eléctrico es uniforme en la región entre las placas, excepto cerca de sus bordes. ¿Esto también es cierto para un condensador esférico? a. 89,6 pF; b. 6,09 kV/m; c. 4,47 kV/m; d. no En la red de condensadores que se muestra a continuación están todos descargados cuando se aplica un potencial de 300 V entre los puntos A y B con el interruptor S abierto. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V E − V D ? (b) ¿Cuál es el potencial en el punto E después de cerrar el interruptor? (c) ¿Cuánta carga fluye a través del interruptor después de cerrarlo? Los flashes electrónicos para cámaras contienen un condensador para almacenar la energía utilizada para producir el flash. En una de estas unidades el destello dura 1/675 fracciones de segundo con una potencia lumínica media de 270 kW. (a) Si la conversión de energía eléctrica en luz es eficiente en un 95 % (porque el resto de la energía se destina a energía térmica), ¿cuánta energía debe almacenarse en el condensador para un destello? (b) El condensador tiene una diferencia de potencial entre sus placas de 125 V cuando la energía almacenada es igual al valor almacenado en la parte (a). ¿Cuál es la capacitancia? a. 421 J; b. 53,9 mF Un condensador esférico está formado por dos capas conductoras esféricas concéntricas separadas por el vacío. La esfera interior tiene un radio de 12,5 cm y la exterior de 14,8 cm. Se aplica una diferencia de potencial de 120 V al condensador. (a) ¿Cuál es la densidad de energía a r = 12,6 cm , justo fuera de la esfera interior? (b) ¿Cuál es la densidad de energía en r = 14,7 cm , justo dentro de la esfera exterior? (c) Para el condensador de placas paralelas la densidad de energía es uniforme en la región entre las placas, excepto cerca de sus bordes. ¿Esto también es cierto para el condensador esférico? Una placa de metal de grosor t está sujeta entre dos placas de condensador por medio de clavijas de plástico, como se muestra a continuación. El efecto de las clavijas en la capacitancia es insignificante. El área de cada placa del condensador y el área de las superficies superior e inferior de la placa insertada son todas A . ¿Cuál es la capacitancia de este sistema? C = ε 0 A / ( d 1 + d 2 ) Un condensador de placas paralelas está lleno de dos dieléctricos, como se muestra a continuación. Cuando el área de las placas es A y la separación entre ellas es d , demuestre que la capacitancia está dada por C = ε 0 A d κ 1 + κ 2 2 . Un condensador de placas paralelas está lleno de dos dieléctricos, como se muestra a continuación. Demuestre que la capacitancia viene dada por C = 2 ε 0 A d κ 1 κ 2 κ 1 + κ 2 . prueba Un condensador tiene placas paralelas de área 12 cm 2 separados por 2,0 mm. El espacio entre las placas está relleno de poliestireno. (a) Calcule el voltaje máximo admisible a través del condensador para evitar la ruptura dieléctrica. (b) Cuando el voltaje es igual al valor hallado en la parte (a), calcule la densidad de carga superficial en la superficie del dieléctrico. ruptura dieléctrica fenómeno que se produce cuando un aislante se convierte en conductor en un campo eléctrico intenso resistencia dieléctrica intensidad crítica del campo eléctrico por encima de la cual las moléculas del aislante comienzan a romperse y el aislante empieza a conducir momento dipolar inducido eléctrico momento dipolar que puede adquirir una molécula no polar cuando se coloca en un campo eléctrico campo eléctrico inducido campo eléctrico en el dieléctrico debido a la presencia de cargas inducidas cargas superficiales inducidas cargas que se producen en una superficie dieléctrica debido a su polarización

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Introducción La resonancia magnética (IRM) utiliza imanes superconductores y produce imágenes de alta resolución sin el peligro de la radiación. La imagen de la izquierda muestra la separación de las vértebras a lo largo de una columna vertebral humana, con el círculo indicando dónde las vértebras están demasiado cerca debido a una rotura discal. A la derecha hay una imagen del instrumento de IRM, el cual rodea al paciente por todos los lados. Se necesita una gran cantidad de corriente eléctrica para hacer funcionar los electroimanes (crédito a la derecha: modificación del trabajo de "digital cat"/Flickr). En este capítulo estudiamos la corriente eléctrica a través de un material, donde la corriente eléctrica es la velocidad de flujo de la carga. También examinamos una característica de los materiales conocida como la resistencia. La resistencia es una medida de cuánto impide un material el flujo de carga, y se demostrará que la resistencia depende de la temperatura. En general, un buen conductor, como el cobre, el oro o la plata, tiene una resistencia muy baja. Algunos materiales, llamados superconductores, tienen una resistencia cero a temperaturas muy bajas. Para el funcionamiento de los electroimanes se necesitan corrientes elevadas. Con los superconductores se pueden fabricar electroimanes 10 veces más potentes que los electroimanes convencionales. Estos imanes superconductores se emplean en la construcción de dispositivos de resonancia magnética (IRM) que permiten obtener imágenes de alta resolución del cuerpo humano. La imagen que abre el capítulo muestra una IRM de las vértebras de un sujeto humano así como el dispositivo de IRM. Los imanes superconductores tienen muchos otros usos. Por ejemplo, en el Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider, LHC) se utilizan imanes superconductores para curvar la trayectoria de los protones en el anillo.

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Corriente eléctrica Hasta ahora, hemos considerado principalmente las cargas estáticas. Cuando las cargas se movían, se aceleraban en respuesta a un campo eléctrico creado por una diferencia de voltaje. Las cargas perdieron energía potencial y ganaron energía cinética al atravesar una diferencia de potencial en la que el campo eléctrico hizo trabajo sobre la carga. Aunque las cargas no necesitan un material para fluir, la mayor parte de este capítulo trata de entender el movimiento de las cargas a través de un material. La velocidad a la que las cargas pasan por un lugar —es decir, la cantidad de carga por unidad de tiempo— se conoce como corriente eléctrica . Cuando las cargas fluyen a través de un medio, la corriente depende del voltaje aplicado, del material por el que fluyen las cargas y del estado del material. Resulta especialmente interesante el movimiento de las cargas en un cable conductor. En los capítulos anteriores, las cargas se aceleraban debido a la fuerza proporcionada por un campo eléctrico, perdiendo energía potencial y ganando energía cinética. En este capítulo se discute la situación de la fuerza proporcionada por un campo eléctrico en un conductor, donde las cargas pierden energía cinética hacia el material alcanzando una velocidad constante, conocida como " velocidad de deriva " Esto es análogo a un objeto que cae a través de la atmósfera y pierde energía cinética con el aire, alcanzando una velocidad terminal constante. Si alguna vez ha asistido a un curso de primeros auxilios o de seguridad, habrá oído que, en caso de descarga eléctrica, es la corriente, y no el voltaje, el factor importante sobre la gravedad de la descarga y la cantidad de daños en el cuerpo humano. La corriente se mide en unidades denominadas amperios; es posible que se haya dado cuenta de que los disyuntores de su casa y los fusibles de su automóvil están clasificados en amperios (amp). Pero, ¿qué es el amperio y qué mide? Definición de la corriente y el amperio La corriente eléctrica se define como la velocidad a la que fluye la carga. Cuando hay una gran corriente presente, como la que se utiliza para hacer funcionar un frigorífico, una gran cantidad de carga se mueve a través del cable en una pequeña cantidad de tiempo. Si la corriente es pequeña, como la que se utiliza para hacer funcionar una calculadora de mano, una pequeña cantidad de carga se mueve a través del circuito durante un largo periodo. Corriente eléctrica La corriente eléctrica media I es la velocidad a la que fluye la carga, I media = Δ Q Δ t , donde Δ Q es la cantidad de carga neta que pasa a través de un área transversal determinada en el tiempo Δ t ( ). La unidad del SI para la corriente es el amperio (A), llamado así por el físico francés André-Marie Ampère (1775-1836). Dado que I = Δ Q Δ t , vemos que un amperio se define como un culombio de carga que pasa por un área determinada por segundo: 1 A ≡ 1 C s . La corriente eléctrica instantánea, o simplemente la corriente eléctrica , es la derivada temporal de la carga que fluye y se calcula tomando el límite de la corriente eléctrica media como Δ t → 0 : I = lim Δ t → 0 Δ Q Δ t = d Q d t . La mayoría de los aparatos eléctricos están clasificados en amperios (o amperios) necesarios para su correcto funcionamiento, al igual que los fusibles y los disyuntores. La velocidad de flujo de la carga es la corriente. Un amperio es el flujo de un culombio de carga a través de un área en un segundo. Una corriente de un amperio resultaría de 6,25 × 10 18 electrones que fluyen a través del área A cada segundo. Cálculo de la corriente media El propósito principal de una batería en un automóvil o camión es hacer funcionar el motor de arranque eléctrico, que arranca el motor. La operación de arranque del vehículo requiere que la batería suministre una gran corriente. Una vez que el motor se pone en marcha, un dispositivo llamado alternador se encarga de suministrar la energía eléctrica necesaria para el funcionamiento del vehículo y para cargar la batería. (a) ¿Cuál es la corriente media implicada cuando la batería de un camión pone en movimiento 720 C de carga en 4,00 s al arrancar un motor? (b) ¿Cuánto tiempo tarda 1,00 C de carga en salir de la batería? Estrategia Podemos utilizar la definición de la corriente media en la ecuación I = Δ Q Δ t para calcular la corriente media en la parte (a), ya que la carga y el tiempo están dados. Para la parte (b), una vez que conocemos la corriente media, podemos su definición I = Δ Q Δ t para calcular el tiempo necesario para que fluya 1,00 C de carga de la batería. Solución a. Introduciendo los valores dados de carga y tiempo en la definición de corriente se obtiene I = Δ Q Δ t = 720 C 4,00 s = 180 C/s = 180 A . b. Resolver la relación I = Δ Q Δ t para el tiempo Δ t e introduciendo los valores conocidos de carga y corriente se obtiene Δ t = Δ Q I = 1,00 C 180 C/s = 5,56 × 10 −3 s = 5,56 ms . Importancia a. Este gran valor de la corriente ilustra el hecho de que se mueve una gran carga en un tiempo reducido. Las corrientes en estos "motores de arranque" son bastante grandes para vencer la inercia del motor. b. Una corriente elevada requiere poco tiempo para suministrar una gran cantidad de carga. Esta gran corriente es necesaria para suministrar la gran cantidad de energía necesaria para arrancar el motor. Cálculo de las corrientes instantáneas Considere una carga que se mueve a través de una sección transversal de un cable donde la carga se modela como Q ( t ) = Q M ( 1 − e − t / τ ) . Aquí, Q M es la carga después de un largo periodo, cuando el tiempo se acerca al infinito, con unidades de culombios, y τ es una constante de tiempo con unidades de segundos (vea la ). ¿Cuál es la corriente que pasa por el cable? Un gráfico de la carga que se mueve a través de una sección transversal de un cable en el tiempo. Estrategia La corriente que atraviesa la sección transversal se puede calcular a partir de I = d Q d t . Observe en la figura que la carga aumenta hasta Q M y la derivada disminuye, acercándose a cero, a medida que aumenta el tiempo ( ). Solución La derivada se puede calcular utilizando d d x e u = e u d u d x . I = d Q d t = d d t [ Q M ( 1 − e − t / τ ) ] = Q M τ e − t / τ . Un gráfico de la corriente que circula por el cable a lo largo del tiempo. Importancia La corriente que atraviesa el cable en cuestión disminuye exponencialmente, como se muestra en la . En capítulos posteriores se demostrará que aparece una corriente dependiente del tiempo cuando un condensador se carga o descarga a través de un resistor. Recordemos que un condensador es un dispositivo que almacena carga. Aprenderá sobre el resistor en Modelo de conducción en metales . Las calculadoras portátiles suelen utilizar pequeñas células solares para suministrar la energía necesaria para realizar los cálculos necesarios para completar su próximo examen de física. La corriente necesaria para hacer funcionar la calculadora puede ser tan pequeña como 0,30 mA. ¿Cuánto tiempo tardaría en fluir 1,00 C de carga desde las células solares? ¿Se pueden usar células solares, en vez de baterías, para arrancar los motores de combustión interna tradicionales que se utilizan actualmente en la mayoría de los automóviles y camiones? El tiempo para que fluya 1,00 C de carga sería Δ t = Δ Q I = 1,00 C 0,300 × 10 −3 C/s = 3,33 × 10 3 s , algo menos de una hora. Esto es bastante diferente de los 5,55 ms de la batería del camión. La calculadora necesita una cantidad muy pequeña de energía para funcionar, a diferencia del motor de arranque del camión. Hay varias razones por las que los vehículos utilizan baterías y no células solares. Aparte del hecho evidente de que no siempre se dispone de una fuente de luz para hacer funcionar las células solares de un automóvil o un camión, la gran cantidad de corriente necesaria para arrancar el motor no puede ser suministrada fácilmente por las células solares actuales. Es posible que se utilicen células solares para cargar las baterías. La carga de la batería requiere una pequeña cantidad de energía si se compara con la que se necesita para hacer funcionar el motor y los demás accesorios, como la calefacción y el aire acondicionado. Los automóviles actuales que funcionan con energía solar lo hacen con paneles solares, que pueden alimentar un motor eléctrico en vez de un motor de combustión interna. Los disyuntores de una casa están clasificados en amperios, normalmente en un rango de 10 amperios a 30 amperios, y se utilizan para proteger a los residentes de daños y a sus electrodomésticos de daños debidos a grandes corrientes. Un único disyuntor de 15 amperios puede utilizarse para proteger varios enchufes en el salón, mientras que un único disyuntor de 20 amperios puede utilizarse para proteger el frigorífico de la cocina. ¿Qué puede deducir de esto sobre la corriente utilizada por los distintos aparatos? La corriente total que necesitan todos los aparatos del salón (unas cuantas lámparas, un televisor y su computadora portátil) consumen menos corriente y requieren menos energía que el refrigerador. Corriente en un circuito En los párrafos anteriores, definimos la corriente como la carga que fluye a través de un área transversal por unidad de tiempo. Para que la carga fluya a través de un aparato, como el faro que se muestra en , debe haber un camino completo (o circuito ) desde el terminal positivo al negativo. Considere un circuito simple de una batería de automóvil, un interruptor, una lámpara de faro y cables que proporcionan una ruta de corriente entre los componentes. Para que la lámpara se encienda, debe haber un camino completo para el flujo de corriente. En otras palabras, una carga debe ser capaz de salir del terminal positivo de la batería, viajar a través del componente y volver al terminal negativo de la batería. El interruptor está ahí para controlar el circuito. La parte (a) de la figura muestra el circuito simple de una batería de automóvil, un interruptor, una vía conductora y una lámpara de faro. También se muestra el esquema del circuito [parte (b)]. Un esquema es una representación gráfica de un circuito y es muy útil para visualizar las principales características de un circuito. Los esquemas utilizan símbolos normalizados para representar los componentes de un circuito y líneas sólidas para representar los cables que conectan los componentes. La batería se muestra como una serie de líneas largas y cortas, que representan la histórica pila voltaica. La lámpara se muestra como un círculo con un bucle en su interior, que representa el filamento de una bombilla incandescente. El interruptor se muestra como dos puntos con una barra conductora para conectar los dos puntos y los cables que conectan los componentes se muestran como líneas sólidas. El esquema de la parte (c) muestra el sentido del flujo de corriente cuando el interruptor está cerrado. (a) Un circuito eléctrico simple de un faro (lámpara), una batería y un interruptor. Cuando el interruptor está cerrado, se suministra un camino ininterrumpido para que la corriente fluya a través de los cables conductores que conectan una carga a los terminales de una batería. (b) En este esquema, la batería está representada por líneas paralelas, que se asemejan a las placas en el diseño original de una batería. Las líneas más largas indican el terminal positivo. Los cables conductores se muestran como líneas sólidas. El interruptor se muestra, en la posición abierta, como dos terminales con una línea que representa una barra conductora que puede hacer contacto entre los dos terminales. La lámpara está representada por un círculo que engloba un filamento, como se vería en una bombilla incandescente. (c) Cuando el interruptor está cerrado, el circuito está completo y la corriente fluye desde el terminal positivo al negativo de la batería. Cuando el interruptor está cerrado en la (c) hay un camino completo para que las cargas fluyan: desde el terminal positivo de la batería, a través del interruptor, luego a través del faro y de vuelta al terminal negativo de la batería. Tenga en cuenta que la dirección del flujo de corriente es de positivo a negativo. El sentido de la corriente convencional se representa siempre en la dirección en que fluiría la carga positiva, desde el terminal positivo al negativo. La corriente convencional fluye del terminal positivo al negativo, pero dependiendo de la situación real, pueden moverse cargas positivas, negativas o ambas. En los cables metálicos, por ejemplo, la corriente es transportada por los electrones, es decir, las cargas negativas se mueven. En las soluciones iónicas, como el agua salada, se mueven tanto las cargas positivas como las negativas. Esto también ocurre en las células nerviosas. Un generador Van de Graaff, utilizado para la investigación nuclear, puede producir una corriente de cargas positivas puras, como los protones. En el acelerador Tevatron del Fermilab, antes de su cierre en 2011, se hicieron colisionar haces de protones y antiprotones que viajaban en direcciones opuestas. Los protones son positivos y, por lo tanto, su corriente va en la misma dirección en la que se desplazan. Los antiprotones están cargados de negatividad y, por tanto, su corriente va en la dirección opuesta a la que viajan las partículas reales. En la se puede ver más de cerca la corriente que circula por un cable. La figura ilustra el movimiento de las partículas cargadas que componen una corriente. El hecho de que la corriente convencional se tome en la dirección en que fluiría la carga positiva se remonta al científico y estadista estadounidense Benjamin Franklin en el siglo XVIII. Al no tener conocimiento de las partículas que componen el átomo (a saber, el protón, el electrón y el neutrón), Franklin creía que la corriente eléctrica fluía desde un material que tenía más "fluido eléctrico" y hacia un material que tenía menos de este "fluido eléctrico" Acuñó el término positivo para el material que tenía más de este fluido eléctrico y negativo para el que carecía de él. Supuso que la corriente fluiría desde el material con más fluido eléctrico —el material positivo— hacia el material negativo, que tiene menos fluido eléctrico. Franklin llamó a esta dirección de la corriente un flujo de corriente positiva. Esto era un pensamiento bastante avanzado para un hombre que no sabía nada del átomo. La corriente I es la velocidad a la que la carga se mueve a través de un área A , como la sección transversal de un cable. La corriente convencional se define para moverse en la dirección del campo eléctrico. (a) Las cargas positivas se mueven en la dirección del campo eléctrico, que es la misma dirección que la corriente convencional. (b) Las cargas negativas se mueven en la dirección opuesta al campo eléctrico. La corriente convencional va en la dirección opuesta al movimiento de la carga negativa. El flujo de electrones se denomina a veces flujo electrónico. Ahora sabemos que un material es positivo si tiene un mayor número de protones que de electrones, y es negativo si tiene un mayor número de electrones que de protones. En un metal conductor, el flujo de corriente se debe principalmente a los electrones que fluyen desde el material negativo hacia el material positivo, pero por razones históricas, consideramos el flujo de corriente positivo y se muestra que la corriente fluye desde el terminal positivo de la batería hacia el terminal negativo. Es importante darse cuenta de que un campo eléctrico está presente en los conductores y es responsable de producir la corriente ( ). En los capítulos anteriores, hemos considerado el caso eléctrico estático, en el que las cargas de un conductor se redistribuyen rápidamente en su superficie para anular el campo eléctrico externo y restablecer el equilibrio. En el caso de un circuito eléctrico, una fuente externa de potencial eléctrico, como una batería, impide que las cargas alcancen el equilibrio. La energía necesaria para mover la carga es suministrada por el potencial eléctrico de la batería. Aunque el campo eléctrico es responsable del movimiento de las cargas en el conductor, el trabajo realizado sobre las cargas por el campo eléctrico no aumenta la energía cinética de las cargas. Mostraremos que el campo eléctrico es el responsable de mantener las cargas eléctricas en movimiento a una "velocidad de deriva" Resumen La corriente eléctrica media I media es la velocidad a la que fluye la carga, dada por I media = Δ Q Δ t , donde Δ Q es la cantidad de carga que atraviesa un área en el tiempo Δ t . La corriente eléctrica instantánea, o simplemente la corriente I , es la velocidad a la que fluye la carga. Tomando el límite a medida que el cambio en el tiempo se aproxima a cero, tenemos I = d Q d t , donde d Q d t es la derivada temporal de la carga. La dirección de la corriente convencional se toma como la dirección en la que se mueve la carga positiva. En un circuito simple de corriente continua (dc), será del terminal positivo de la batería al terminal negativo. La unidad del SI para la corriente es el amperio, o simplemente el amperio (A), donde 1 A = 1 C/s . La corriente consiste en el flujo de cargas libres, como electrones, protones e iones. Preguntas conceptuales ¿Puede un cable transportar una corriente y seguir siendo neutro, es decir, tener una carga total de cero? Explique. Si un cable transporta una corriente, las cargas entran en el cable desde el terminal positivo de la fuente de voltaje y salen por el terminal negativo, por lo que la carga total permanece cero mientras la corriente fluye por él. Las baterías de los automóviles se clasifican en amperios-hora ( A · h ) . ¿A qué magnitud física corresponden los amperios-hora (voltaje, corriente, carga, energía, potencia, ...)? Cuando se trabaja con circuitos eléctricos de alta potencia, se aconseja que, siempre que sea posible, se trabaje "con una mano" o "con una mano en el bolsillo" ¿Por qué es una sugerencia sensata? El uso de una mano reducirá la posibilidad de "completar el circuito" y de que la corriente recorra su cuerpo, especialmente la corriente que recorre su corazón. Problemas Un generador Van de Graaff es uno de los aceleradores de partículas originales y puede utilizarse para acelerar partículas cargadas como protones o electrones. Es posible que haya visto que se utiliza para poner los pelos de punta o producir grandes chispas. Una de las aplicaciones del generador Van de Graaff es crear rayos X bombardeando un objetivo de metal duro con el haz. Considera un haz de protones a 1,00 keV y una corriente de 5,00 mA producida por el generador. (a) ¿Cuál es la velocidad de los protones? (b) ¿Cuántos protones se producen cada segundo? a. v = 4,38 × 10 5 m s ; b. Δ q = 5,00 × 10 −3 C , número de protones = 3,13 × 10 16 Un tubo de rayos catódicos (cathode ray tube, CRT) es un dispositivo que produce un haz concentrado de electrones en el vacío. Los electrones chocan con una pantalla de vidrio recubierta de fósforo en el extremo del tubo, que produce un punto de luz brillante. La posición del punto luminoso en la pantalla puede ajustarse desviando los electrones con campos eléctricos, campos magnéticos o ambos. Aunque el tubo CRT era habitual en televisores, pantallas de computadora y osciloscopios, los aparatos más recientes utilizan una pantalla de cristal líquido (LCD) o de plasma. Aun así, es posible que se encuentre con un CRT en su estudio de la ciencia. Consideremos un CRT con una corriente media del haz de electrones de 25,00 μ A . ¿Cuántos electrones golpean la pantalla cada minuto? ¿Cuántos electrones pasan por un punto de un cable en 3,00 s si hay una corriente constante de I = 4,00 A ? I = Δ Q Δ t , Δ Q = 12,00 C nº de electrones = 7,5 × 10 19 Un conductor transporta una corriente que disminuye exponencialmente con el tiempo. La corriente se modela como I = I 0 e − t / τ , donde I 0 = 3,00 A es la corriente en el momento t = 0,00 s y τ = 0,50 s es la constante de tiempo. Cuánta carga fluye por el conductor entre t = 0,00 s y t = 3 τ ? La cantidad de carga que atraviesa un conductor se modela como Q = 4,00 C s 4 t 4 − 1,00 C s t + 6,00 mC . Cuál es la corriente en el momento t = 3,00 s ? I ( t ) = 0,016 C s 4 t 3 − 0,001 C s I ( 3,00 s ) = 0,431 A La corriente que atraviesa un conductor se modela como I ( t ) = I m sen ( 2 π [ 60 Hz ] t ) . Escriba una ecuación para la carga como una función de tiempo. La carga de un condensador en un circuito se modela como Q ( t ) = Q máx. cos ( ω t + ϕ ) . ¿Cuál es la corriente que atraviesa el circuito en función del tiempo? I ( t ) = − I máx. sen ( ω t + ϕ ) amperios (amp) Unidad del SI para la corriente 1 A = 1 C/s circuito camino completo que recorre una corriente eléctrica corriente convencional corriente que fluye por un circuito desde el terminal positivo de una batería a través del circuito hasta el terminal negativo de la batería corriente eléctrica velocidad a la que fluye la carga, I = d Q d t esquema representación gráfica de un circuito utilizando símbolos normalizados para los componentes y líneas sólidas para el cable que conecta los componentes

Ciencia


Modelo de conducción en metales Cuando los electrones se mueven a través de un cable conductor, no se mueven a una velocidad constante, es decir, los electrones no se mueven en línea recta a una velocidad constante. Más bien, interactúan y colisionan con los átomos y otros electrones libres del conductor. Así, los electrones se mueven en zigzag y se desplazan por el cable. También debemos tener en cuenta que, aunque sea conveniente hablar de la dirección de la corriente, esta es una cantidad escalar. Cuando se habla de la velocidad de las cargas en una corriente, es más apropiado hablar de la densidad de corriente. Volveremos sobre esta idea al final de esta sección. Velocidad de deriva Las señales eléctricas se mueven muy rápidamente. Las conversaciones telefónicas transportadas por corrientes en los cables cubren grandes distancias sin retrasos apreciables. Las luces se encienden en cuanto el interruptor de la luz se coloca en la posición "on". La mayoría de las señales eléctricas transportadas por las corrientes viajan a velocidades del orden de 10 8 m/s , una fracción significativa de la velocidad de la luz. Curiosamente, las cargas individuales que componen la corriente se mueven mucho más despacio por término medio, normalmente a velocidades del orden de 10 −4 m/s . ¿Cómo conciliamos estas dos velocidades y qué nos dice esto sobre los conductores estándar? La gran velocidad de las señales eléctricas se debe a que la fuerza entre las cargas actúa rápidamente a distancia. Así, cuando una carga libre es forzada a entrar en un cable, como en la , la carga entrante empuja a otras cargas por delante de ella debido a la fuerza de repulsión entre cargas similares. Estas cargas en movimiento empujan a las cargas más adelante. La densidad de carga en un sistema no puede aumentar fácilmente, por lo que la señal se transmite rápidamente. La onda de choque eléctrica resultante se desplaza por el sistema casi a la velocidad de la luz. Para ser precisos, esta señal de movimiento rápido, u onda de choque, es un cambio que se propaga rápidamente en el campo eléctrico. Cuando las partículas cargadas son forzadas a entrar en este volumen de un conductor, un número igual es forzado a salir rápidamente. La repulsión entre cargas similares dificulta el aumento del número de cargas en un volumen. Así, cuando una carga entra, otra sale casi inmediatamente, llevando la señal rápidamente hacia adelante. Los buenos conductores tienen un gran número de cargas libres. En los metales, las cargas libres son electrones libres (de hecho, los buenos conductores eléctricos suelen ser también buenos conductores del calor, porque un gran número de electrones libres pueden transportar energía térmica además de la corriente eléctrica). La muestra cómo se mueven los electrones libres a través de un conductor ordinario. La distancia que puede recorrer un electrón individual entre colisiones con átomos u otros electrones es bastante pequeña. Así, las trayectorias de los electrones parecen casi aleatorias, como el movimiento de los átomos en un gas. Pero hay un campo eléctrico en el conductor que hace que los electrones se desvíen en la dirección indicada (opuesta al campo, ya que son negativos). La velocidad de deriva v → d es la velocidad media de las cargas libres. La velocidad de deriva es bastante pequeña, ya que hay muchas cargas libres. Si tenemos una estimación de la densidad de electrones libres en un conductor, podemos calcular la velocidad de deriva para una corriente determinada. Cuanto mayor sea la densidad, menor será la velocidad necesaria para una corriente determinada. Los electrones libres que se mueven en un conductor hacen muchas colisiones con otros electrones y otras partículas. Se muestra una trayectoria típica de un electrón. La velocidad media de las cargas libres se denomina velocidad de deriva v → d y para los electrones, está en la dirección opuesta al campo eléctrico. Las colisiones normalmente transfieren energía al conductor, lo que requiere un suministro constante de energía para mantener una corriente constante. Las colisiones de electrones libres transfieren energía a los átomos del conductor. El campo eléctrico realiza un trabajo al mover los electrones a través de una distancia, pero ese trabajo no aumenta la energía cinética (ni la velocidad) de los electrones. El trabajo se transfiere a los átomos del conductor, aumentando a menudo la temperatura. Por lo tanto, se requiere una entrada de energía continua para mantener el flujo de la corriente. (Una excepción son los superconductores, por razones que analizaremos en un capítulo posterior. Los superconductores pueden tener una corriente constante sin un suministro continuo de energía, lo que supone un gran ahorro energético) Para un conductor que no es superconductor, el suministro de energía puede ser útil, como en un filamento de bombilla incandescente ( ). El suministro de energía es necesario para aumentar la temperatura del filamento de tungsteno, para que este brille. La lámpara incandescente tiene un diseño sencillo. Se coloca un filamento de tungsteno en una envoltura de vidrio parcialmente evacuada. Un extremo del filamento está unido a la base del tornillo, que está hecha de un material conductor. El segundo extremo del filamento está unido a un segundo contacto en la base de la bombilla. Los dos contactos están separados por un material aislante. La corriente fluye a través del filamento, y la temperatura del filamento se vuelve lo suficientemente grande como para hacer que el filamento brille y produzca luz. Sin embargo, estas bombillas no son muy eficientes desde el punto de vista energético, como demuestra el calor que desprende la bombilla. En el año 2012, Estados Unidos, junto con muchos otros países, comenzó a eliminar gradualmente las lámparas incandescentes en favor de lámparas energéticamente más eficientes, como las lámparas de diodos emisores de luz (light-emitting diode, LED) y las luces fluorescentes compactas (compact fluorescent lights, CFL) (créditos a la derecha: modificación del trabajo de Serge Saint). Podemos obtener una expresión para la relación entre la corriente y la velocidad de deriva considerando el número de cargas libres en un segmento de cable, como se ilustra en . El número de cargas libres por unidad de volumen, o la densidad numérica de cargas libres, recibe el símbolo n donde n = número de cargos volumen . El valor de n depende del material. El segmento sombreado tiene un volumen A v d d t , de modo que el número de cargas libres en el volumen es n A v d d t . La carga dQ en este segmento es por tanto q n A v d d t , donde q es la cantidad de carga de cada portador (la magnitud de la carga de los electrones es q = 1,60 × 10 −19 C ). La corriente es la carga movida por unidad de tiempo; así, si todas las cargas originales se mueven fuera de este segmento en el tiempo dt , la corriente es I = d Q d t = q n A v d . Reordenando los términos se obtiene v d = I n q A donde v d es la velocidad de deriva, n es la densidad de carga libre, A es el área de la sección transversal del cable, e I es la corriente que atraviesa el cable. Los portadores de la corriente tienen cada uno una carga q y se mueven con una velocidad de deriva de magnitud v d . Todas las cargas en el volumen sombreado de este cable se desplazan en un tiempo dt , teniendo una velocidad de deriva de magnitud v d . Tenga en cuenta que la simple velocidad de deriva no es toda la historia. La velocidad de un electrón es a veces mucho mayor que su velocidad de deriva. Además, no todos los electrones de un conductor pueden moverse libremente, y los que se mueven pueden hacerlo algo más rápido o más lento que la velocidad de deriva. ¿Qué entendemos por electrones libres? Los átomos de un conductor metálico están empaquetados en forma de estructura reticular. Algunos electrones están lo suficientemente lejos de los núcleos atómicos como para no experimentar la atracción de los núcleos con tanta fuerza como los electrones internos. Estos son los electrones libres. No están ligados a un solo átomo, sino que pueden moverse libremente entre los átomos en un "mar" de electrones. Cuando se aplica un campo eléctrico, estos electrones libres responden acelerando. Al moverse, chocan con los átomos de la red y con otros electrones, generando energía térmica, y el conductor se calienta. En un aislante, la organización de los átomos y la estructura no permiten esos electrones libres. Como sabe, la energía eléctrica suele llegar a los equipos y aparatos a través de cables redondos de un material conductor (cobre, aluminio, plata u oro) trenzados o sólidos. El diámetro del cable determina la capacidad de transporte de corriente: a mayor diámetro, mayor capacidad de transporte de corriente. Aunque la capacidad de transporte de corriente viene determinada por el diámetro, el cable no suele caracterizarse directamente por el diámetro. En cambio, el cable se suele vender en una unidad conocida como "calibre" Los alambres se fabrican haciendo pasar el material por unas formas circulares llamadas "matrices de trefilado" Para fabricar alambres más finos, los fabricantes pasan los alambres por múltiples matrices de diámetro sucesivamente más fino. Históricamente, el calibre del alambre estaba relacionado con el número de procesos de trefilado necesarios para su fabricación. Por esta razón, cuanto mayor sea el calibre, menor será el diámetro. En Estados Unidos se desarrolló el calibre de alambre estadounidense (American Wire Gauge, AWG) para estandarizar el sistema. El cableado doméstico suele ser de calibre 10 (2,588 mm de diámetro) a 14 (1,628 mm de diámetro). Un dispositivo utilizado para medir el calibre del cable se muestra en la . Dispositivo para medir el calibre de los cables eléctricos. Como puede ver, los números de mayor calibre indican cables más finos (créditos: Joseph J. Trout). Cálculo de la velocidad de deriva en un cable común Calcule la velocidad de deriva de los electrones en un cable de cobre de 2,053 mm de diámetro (calibre 12) que transporta una corriente de 20,0 A, dado que hay un electrón libre por átomo de cobre (el cableado doméstico suele contener cables de cobre de calibre 12, y la corriente máxima permitida en estos cables suele ser de 20,0 A). La densidad del cobre es 8,80 × 10 3 kg/m 3 y la masa atómica del cobre es de 63,54 g/mol. Estrategia Podemos calcular la velocidad de deriva mediante la ecuación I = n q A v d . La corriente es I = 20,00 A y q = 1,60 × 10 −19 C es la carga de un electrón. Podemos calcular el área de una sección transversal del cable mediante la fórmula A = π r 2 , donde r es la mitad del diámetro. El diámetro dado es de 2,053 mm, por lo que r es de 1,0265 mm. Nos dan la densidad del cobre, 8,80 × 10 3 kg/m 3 , y la masa atómica del cobre es 63,54 g/mol . Podemos utilizar estas dos cantidades junto con el número de Avogadro, 6,02 × 10 23 átomos/mol , para determinar n , el número de electrones libres por metro cúbico. Solución En primer lugar, calculamos la densidad de electrones libres en el cobre. Hay un electrón libre por cada átomo de cobre. Por lo tanto, el número de electrones libres es el mismo que el número de átomos de cobre por m 3 . Ahora podemos calcular n de la siguiente manera: n = 1 e − átomo × 6,02 × 10 23 átomos mol × 1 mol 63,54 g × 1.000 g kg × 8,80 × 10 3 kg 1 m 3 = 8,34 × 10 28 e − / m 3 . El área de la sección transversal del cable es A = π r 2 = π ( 2,05 × 10 −3 m 2 ) 2 = 3,30 × 10 −6 m 2 . Reorganización de I = n q A v d para aislar la velocidad de deriva da v d = I n q A = 20,00 A ( 8,34 × 10 28 / m 3 ) ( −1,60 × 10 −19 C)( 3,30 × 10 −6 m 2 ) = -4,54 × 10 −4 m/s . Importancia El signo menos indica que las cargas negativas se mueven en la dirección opuesta a la corriente convencional. El pequeño valor de la velocidad de deriva (del orden de 10 −4 m/s ) confirma que la señal se mueve en el orden de 10 12 veces más rápido (aproximadamente 10 8 m/s ) que los cargos que lo llevan. En el se calculó la velocidad de deriva para un cable de cobre de 2,053 mm de diámetro (calibre 12) que transportaba una corriente de 20 amperios. ¿Cambiaría la velocidad de deriva para un cable de 1,628 mm de diámetro (calibre 14) que transportara la misma corriente de 20 amperios? El diámetro del cable de calibre 14 es menor que el del cable de calibre 12. Como la velocidad de deriva es inversamente proporcional al área de la sección transversal, la velocidad de deriva en el cable de calibre 14 es mayor que la velocidad de deriva en el cable de calibre 12 que lleva la misma corriente. El número de electrones por metro cúbico permanecerá constante. Densidad de la corriente Aunque a menudo es conveniente añadir un signo negativo o positivo para indicar la dirección general del movimiento de las cargas, la corriente es una cantidad escalar, I = d Q d t . A menudo es necesario analizar los detalles del movimiento de la carga en vez del movimiento general de las cargas. En estos casos, es necesario hablar de la densidad de corriente, J → , una cantidad vectorial. La densidad de corriente es el flujo de carga a través de un área infinitesimal, dividido por el área. La densidad de corriente debe tener en cuenta la magnitud local y la dirección del flujo de carga, que varía de un punto a otro. La unidad de densidad de corriente es el amperio por metro cuadrado, y la dirección se define como la dirección del flujo neto de cargas positivas a través del área. La relación entre la corriente y la densidad de corriente puede verse en la . El flujo de corriente diferencial a través de la zona d A → se calcula como d I = J → · d A → = J d A cos θ , donde θ es el ángulo entre el área y la densidad de corriente. La corriente total que pasa por el área d A → se puede calcular integrando sobre la zona, I = ∬ área J → · d A → . Considera la magnitud de la densidad de corriente, que es la corriente dividida entre el área: J = I A = n | q | A v d A = n | q | v d . Así, la densidad de corriente es J → = n q v → d . Si q es positivo, v → d está en la misma dirección que el campo eléctrico E → . Si q es negativo, v → d está en la dirección opuesta a E → . En cualquier caso, la dirección de la densidad de corriente J → está en la dirección del campo eléctrico E → . La densidad de corriente J → se define como la corriente que pasa por un área transversal infinitesimal dividida entre el área. La dirección de la densidad de corriente es la dirección del flujo neto de cargas positivas y la magnitud es igual a la corriente dividida entre el área infinitesimal. Cálculo de la densidad de corriente en un cable La corriente suministrada a una lámpara con una bombilla de 100 W es de 0,87 amperios. La lámpara está cableada con un alambre de cobre de 2,588 mm de diámetro (calibre 10). Calcule la magnitud de la densidad de corriente. Estrategia La densidad de corriente es aquella que se mueve a través de un área transversal infinitesimal dividida entre el área. Podemos calcular la magnitud de la densidad de corriente utilizando J = I A . La corriente es de 0,87 A. El área de la sección transversal puede calcularse como A = 5,26 mm 2 . Solución Calcule la densidad de corriente utilizando la corriente dada I = 0,87 A y la zona, que se encuentra A = 5,26 mm 2 . J = I A = 0,87 A 5,26 × 10 −6 m 2 = 1,65 × 10 5 A m 2 . Importancia La densidad de corriente en un cable conductor depende de la corriente que atraviesa el cable conductor y del área de la sección transversal de este. Para una corriente determinada, a medida que aumenta el diámetro del cable, la densidad de carga disminuye. La densidad de corriente es proporcional a la corriente e inversamente proporcional al área. Si la densidad de corriente en un cable conductor aumenta, ¿qué ocurriría con la velocidad de deriva de las cargas en el cable? La densidad de corriente en un cable conductor aumenta debido a un incremento de la corriente. La velocidad de deriva es inversamente proporcional a la corriente ( v d = I n q A ) , por lo que la velocidad de deriva disminuiría. ¿Qué importancia tiene la densidad de corriente? La densidad de corriente es proporcional a la corriente, y la corriente es el número de cargas que pasan por un área de sección transversal por segundo. Las cargas se mueven a través del conductor, aceleradas por la fuerza eléctrica proporcionada por el campo eléctrico. El campo eléctrico se crea cuando se aplica una voltaje a través del conductor. En la sección sobre Ley de Ohm utilizaremos esta relación entre la densidad de corriente y el campo eléctrico para examinar la relación entre la corriente que atraviesa un conductor y el voltaje aplicada. Resumen La corriente que atraviesa un conductor depende principalmente del movimiento de los electrones libres. Cuando se aplica un campo eléctrico a un conductor, los electrones libres de un conductor no se mueven a través de él a una velocidad y dirección constantes, sino que el movimiento es casi aleatorio debido a las colisiones con los átomos y otros electrones libres. Aunque los electrones se mueven de forma casi aleatoria, cuando se aplica un campo eléctrico al conductor, la velocidad global de los electrones puede definirse en términos de velocidad de deriva. La densidad de corriente es una cantidad vectorial definida como la corriente que atraviesa un área infinitesimal dividida entre el área. La corriente se puede calcular a partir de la densidad de corriente, I = ∬ área J → · d A → . Una bombilla incandescente es un filamento de alambre encerrado en una bombilla de vidrio parcialmente evacuada. La corriente pasa por el filamento, donde la energía eléctrica se convierte en luz y calor. Preguntas conceptuales Las bombillas incandescentes están siendo sustituidas por bombillas LED y CFL más eficientes. ¿Hay alguna prueba evidente de que las bombillas incandescentes no sean tan eficientes energéticamente? ¿Se convierte la energía en algo más que en luz visible? Se afirmó que el movimiento de un electrón parece casi aleatorio cuando se aplica un campo eléctrico al conductor. ¿Qué hace que el movimiento sea casi aleatorio y lo diferencia del movimiento aleatorio de las moléculas en un gas? Aunque los electrones chocan con los átomos y otros electrones del cable, viajan desde el terminal negativo al positivo, por lo que derivan en una dirección. Las moléculas de gas viajan en direcciones completamente aleatorias. Los circuitos eléctricos se explican a veces utilizando un modelo conceptual de agua que fluye por una tubería. En este modelo conceptual, la fuente de voltaje se representa como una bomba que bombea agua a través de tuberías y estas conectan los componentes del circuito. ¿Es un modelo conceptual de agua fluyendo por una tubería una representación adecuada del circuito? ¿En qué se parecen los electrones y los cables a las moléculas de agua y las tuberías? ¿En qué se diferencian? Una bombilla incandescente está parcialmente evacuada. ¿Por qué crees que es así? En los primeros años de las bombillas, estas están parcialmente evacuadas para reducir la cantidad de calor conducido a través del aire a la envoltura de vidrio. La disipación del calor enfriaría el filamento, aumentando la cantidad de energía necesaria para producir luz del filamento. También protege el vidrio del calor producido por el filamento caliente. Si el vidrio se calienta, se expande, y al enfriarse, se pone en contacto. Esta dilatación y contracción puede hacer que el vidrio se vuelva frágil y se agriete, reduciendo la vida útil de las bombillas. En la actualidad, muchas bombillas están parcialmente llenas de un gas inerte. También es útil eliminar el oxígeno para reducir la posibilidad de que el filamento se queme. Cuando los filamentos originales se sustituyeron por filamentos de tungsteno más eficientes, los átomos del tungsteno se evaporaban del filamento a tan altas temperaturas. Los átomos chocan con los átomos del gas inerte y vuelven a caer en el filamento. Problemas Un cable de aluminio de 1,628 mm de diámetro (calibre 14) transporta una corriente de 3,00 amperios. (a) ¿Cuál es el valor absoluto de la densidad de carga en el cable? (b) ¿Cuál es la velocidad de deriva de los electrones? (c) ¿Cuál sería la velocidad de deriva si se utilizara el mismo calibre de cobre en vez de aluminio? La densidad del cobre es 8,96 g/cm 3 y la densidad del aluminio es 2,70 g/cm 3 . La masa molar del aluminio es de 26,98 g/mol y la del cobre de 63,5 g/mol. Supongamos que cada átomo de metal aporta un electrón libre. La corriente de un haz de electrones tiene una corriente medida de I = 50,00 μ A con un radio de 1,00 mm. ¿Cuál es la magnitud de la densidad de corriente del rayo? | J | = 15,92 A/m 2 Un acelerador de protones de alta energía produce un haz de protones con un radio de r = 0,90 mm . La corriente del rayo es I = 9,00 μ A y es constante. La densidad de carga del haz es n = 6,00 × 10 11 protones por metro cúbico. (a) ¿Cuál es la densidad de corriente del haz? (b) ¿Cuál es la velocidad de deriva del haz? (c) ¿Cuánto tiempo tarda en 1,00 × 10 10 protones que emite el acelerador? Consideremos un cable de sección circular con un radio de R = 3,00 mm . La magnitud de la densidad de corriente se modela como J = c r 2 = 5,00 × 10 6 A m 4 r 2 . ¿Cuál es la corriente que atraviesa la sección interior del cable desde el centro hasta r = 0,5 R ? I = 3,98 × 10 –5 A Un cable cilíndrico tiene una densidad de corriente desde el centro de la sección transversal del cable como J ( r ) = C r 2 donde r está en metros, J está en amperios por metro cuadrado, y C = 10 3 A/m 4 . Esta densidad de corriente se prolonga hasta el final del cable con un radio de 1,0 mm. Calcule la corriente en el exterior de este cable. La corriente suministrada a una unidad de aire acondicionado es de 4,00 amperios. El aire acondicionado está cableado con un cable de calibre 10 (diámetro 2,588 mm). La densidad de carga es n = 8,48 × 10 28 electrones m 3 . Calcule la magnitud de (a) la densidad de corriente y (b) la velocidad de deriva. a. | J | = 7,60 × 10 5 A m 2 ; b. v d = 5,60 × 10 −5 m s densidad de corriente flujo de carga a través de un área transversal dividido por el área velocidad de deriva velocidad de una carga que se desplaza de forma casi aleatoria a través de un conductor, experimentando múltiples colisiones, promediada a lo largo de un conductor, cuya magnitud es la longitud del conductor recorrida dividida entre el tiempo que tardan las cargas en recorrer dicha longitud

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