Campo magnético debido a un cable recto delgado ¿Cuánta corriente se necesita para producir un campo magnético significativo, quizás tan fuerte como el campo de la Tierra? Los topógrafos le dirán que las líneas eléctricas aéreas crean campos magnéticos que interfieren con sus lecturas de la brújula. De hecho, cuando Oersted descubrió en 1820 que una corriente en un cable afectaba a la aguja de brújula, no se trataba de corrientes extremadamente grandes. ¿Cómo afecta la forma de los cables que portan la corriente a la forma del campo magnético creado? En el capítulo 28 observamos que un bucle de corriente creaba un campo magnético similar al de una barra magnética, pero ¿qué ocurre con un cable recto? Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para responder a todas estas preguntas, lo que incluye la determinación del campo magnético de un cable largo y recto. La muestra una sección de un cable recto de longitud infinita que porta una corriente I . ¿Cuál es el campo magnético en un punto P , situado a una distancia R del cable? Sección de un cable delgado y recto que transporta la corriente. La variable independiente θ tiene los límites θ 1 y θ 2 . Empecemos por considerar el campo magnético debido al elemento de corriente I d x → situado en la posición x . Al utilizar la regla 1 de la mano derecha del capítulo anterior, d x → × r ^ apunta fuera de la página para cualquier elemento a lo largo del cable. En el punto P , por tanto, los campos magnéticos debidos a todos los elementos de la corriente tienen la misma dirección. Esto significa que podemos calcular el campo neto allí evaluando la suma escalar de las contribuciones de los elementos. Con | d x → × r ^ | = ( d x ) ( 1 ) sen θ , obtenemos de la ley de Biot-Savart B = μ 0 4 π ∫ cable I sen θ d x r 2 . El cable es simétrico respecto al punto O , por lo que podemos establecer los límites de la integración de cero a infinito y duplicar la respuesta, en lugar de integrar de infinito negativo a infinito positivo. Basándonos en la imagen y la geometría, podemos escribir expresiones para r y sen θ en términos de x y R , a saber: r = x 2 + R 2 sen θ = R x 2 + R 2 . Al sustituir estas expresiones en la , la integración del campo magnético se convierte en B = μ o I 2 π ∫ 0 ∞ R d x ( x 2 + R 2 ) 3 / 2 . Al evaluar la integral se obtiene B = μ o I 2 π R [ x ( x 2 + R 2 ) 1 / 2 ] 0 ∞ . Al sustituir los límites obtenemos la solución B = μ o I 2 π R . Las líneas de campo magnético del cable infinito son circulares y centradas en el cable ( ), y son idénticas en todos los planos perpendiculares este. Dado que el campo disminuye con la distancia al cable, el espaciado de las líneas de campo debe aumentar de forma correspondiente con la distancia. La dirección de este campo magnético puede encontrarse con una segunda forma de la regla de la mano derecha (ilustrada en ). Si se sujeta el cable con la mano derecha de forma que el pulgar apunte a lo largo de la corriente, entonces los dedos envuelven el cable en el mismo sentido que B → . Algunas líneas de campo magnético de un cable infinito. La dirección de B → se puede calcular con una forma de la regla de la mano derecha. La dirección de las líneas de campo se puede observar de manera experimental colocando varias agujas de brújula pequeñas en un círculo cerca del cable, como se ilustra en la . Cuando no hay corriente en el cable, las agujas se alinean con el campo magnético de la Tierra. Sin embargo, cuando se envía una gran corriente a través del cable, las agujas de brújula apuntan todas tangentes al círculo. Las limaduras de hierro espolvoreadas sobre una superficie horizontal también delinean las líneas de campo, como se muestra en la . La forma de las líneas de campo magnético de un cable largo puede verse utilizando (a) pequeñas agujas de brújula y (b) limaduras de hierro. Cálculo del campo magnético debido a tres cables Tres cables se sitúan en las esquinas de un cuadrado, todos llevan corrientes de 2 amperios a la página como se muestra en la . Calcule la magnitud del campo magnético en la otra esquina del cuadrado, el punto P , si la longitud de cada lado del cuadrado es de 1 cm. Tres cables tienen corriente que fluye hacia la página. El campo magnético se determina en la cuarta esquina del cuadrado. Estrategia Se calcula el campo magnético debido a cada cable en el punto deseado. La distancia diagonal se calcula mediante el teorema de Pitágoras. A continuación, se determina la dirección de la contribución de cada campo magnético dibujando un círculo centrado en el punto del cable y hacia el punto deseado. La dirección de la contribución del campo magnético de ese cable es tangencial a la curva. Por último, trabajando con estos vectores, se calcula la resultante. Solución Los cables 1 y 3 tienen la misma magnitud de contribución del campo magnético en el punto P : B 1 = B 3 = μ o I 2 π R = ( 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 2 A ) 2 π ( 0,01 m ) = 4 × 10 −5 T . El cable 2 tiene una distancia mayor y una contribución del campo magnético en el punto P de: B 2 = μ o I 2 π R = ( 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 2 A ) 2 π ( 0,01414 m ) = 3 × 10 −5 T . Se muestran los vectores de cada una de estas contribuciones de campo magnético. El campo magnético en la dirección x tiene contribuciones del cable 3 y de la componente x del cable 2: B neta x = −4 × 10 −5 T − 2,83 × 10 −5 T cos ( 45 ° ) = −6 × 10 −5 T . La componente y es igualmente las contribuciones del cable 1 y la componente y del cable 2: B neta y = −4 × 10 −5 T − 2,83 × 10 −5 T sen ( 45 ° ) = −6 × 10 −5 T . Por lo tanto, el campo magnético neto es la resultante de estas dos componentes: B neta = B neta x 2 + B neta y 2 B neta = ( −6 × 10 −5 T ) 2 + ( −6 × 10 −5 T ) 2 B neta = 8 × 10 −5 T . Importancia La geometría de este problema hace que las contribuciones del campo magnético en las direcciones x y y tengan la misma magnitud. Esto no es necesariamente el caso si las corrientes fueran de valores diferentes o si los cables estuvieran situados en posiciones diferentes. Independientemente de los resultados numéricos, al trabajar con las componentes de los vectores se obtendrá el campo magnético resultante en el punto necesario. Al utilizar el , al mantener las corrientes iguales en los cables 1 y 3, ¿cuál debería ser la corriente en el cable 2 para contrarrestar los campos magnéticos de los cables 1 y 3 de manera que no haya un campo magnético neto en el punto P? 4 amperios saliendo de la página Resumen La intensidad del campo magnético creado por la corriente en un cable recto largo viene dada por B = μ 0 I 2 π R (cable recto largo) donde I es la corriente, R es la distancia más corta del cable y la constante μ 0 = 4 π × 10 −7 T ⋅ m/s es la permeabilidad del espacio libre. La dirección del campo magnético creado por un cable recto largo viene dada por la regla de la mano derecha 2 (right hand rule-2, RHR-2): Apunte el pulgar de la mano derecha en la dirección de la corriente, y los dedos se curvan en la dirección de los bucles de campo magnético creados por ella. Preguntas conceptuales ¿Cómo orientaría dos cables largos, rectos y conductores de corriente para que no haya una fuerza magnética neta entre ellos? ( Pista : ¿Qué orientación llevaría a que un cable no experimentara un campo magnético procedente del otro?). Hay que asegurarse de que las corrientes fluyan perpendiculares entre sí. Problemas La corriente típica de un rayo es 10 4 A. Estime el campo magnético a 1 m del rayo. La magnitud del campo magnético a 50 cm de un cable largo, fino y recto es 8,0 μT . ¿Cuál es la corriente que pasa por el cable largo? 20 A Una línea de transmisión tendida a 7,0 m por encima del suelo porta una corriente de 500 A. ¿Cuál es el campo magnético en el suelo directamente debajo del cable? Compare su respuesta con el campo magnético de la Tierra. Un cable largo, recto y horizontal porta una corriente de izquierda a derecha de 20 A. Si el cable se coloca en un campo magnético uniforme de magnitud 4,0 × 10 −5 T que se dirige verticalmente hacia abajo, ¿cuál es la magnitud resultante del campo magnético a 20 cm por encima del cable? ¿20 cm por debajo del cable? Ambas respuestas tienen la magnitud del campo magnético de 4,5 × 10 −5 T . Los dos cables largos y paralelos que se muestran en la figura adjunta portan corrientes en la misma dirección. Si I 1 = 10 A y I 2 = 20 A , ¿cuál es el campo magnético en el punto P? La figura adjunta muestra dos cables largos, rectos y horizontales que están paralelos y a una distancia 2 a de separación. Si ambos cables llevan la corriente I en el mismo sentido, (a) ¿cuál es el campo magnético en P 1 ? (b) ¿ P 2 ? En P1, el campo magnético neto es cero. En P2, B = 3 μ o I 8 π a hacia la página. Repita los cálculos del problema anterior con el sentido de la corriente en el cable inferior invertido. Considere el área entre los cables del problema anterior. ¿A qué distancia del cable superior el campo magnético neto es mínimo? Supongamos que las corrientes son iguales y fluyen en direcciones opuestas. El campo magnético es mínimo a la distancia a del cable superior, o a la mitad de los cables.

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Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas Es de esperar que dos cables conductores de corriente generen fuerzas importantes entre ellos, ya que las corrientes ordinarias producen campos magnéticos y estos campos ejercen fuerzas importantes sobre las corrientes ordinarias. Pero no se puede esperar que la fuerza entre los cables se utilice para definir el amperio. También podría sorprenderle saber que esta fuerza tiene algo que ver con la razón por la que los grandes disyuntores se queman cuando intentan interrumpir grandes corrientes. La fuerza entre dos conductores largos, rectos y paralelos, separados por una distancia r , puede hallarse aplicando lo que hemos desarrollado en los apartados anteriores. La muestra los cables, sus corrientes, el campo creado por un cable y la consecuente fuerza que experimenta el otro cable por el campo creado. Consideremos el campo producido por el cable 1 y la fuerza que ejerce sobre el cable 2 (llamémoslo fuerza F 2 ). El campo debido a I 1 a una distancia r es B 1 = μ 0 I 1 2 π r (a) El campo magnético producido por un conductor recto largo es perpendicular a un conductor paralelo, como indica la segunda regla de la mano derecha (right hand rule-2, RHR)-2. (b) Una vista desde arriba de los dos cables mostrados en (a), con una línea de campo magnético mostrada para el cable 1. La RHR-1 muestra que la fuerza entre los conductores paralelos es atractiva cuando las corrientes están en la misma dirección. Un análisis similar muestra que la fuerza es repulsiva entre corrientes en direcciones opuestas. Este campo es uniforme desde el cable 1 y perpendicular a él, por lo que la fuerza F 2 que ejerce sobre una longitud l del cable 2 viene dada por F = I l B sen θ con sen θ = 1 : F 2 = I 2 l B 1 . Las fuerzas sobre los cables son de igual magnitud, por lo que simplemente escribimos F para la magnitud de F 2 . (Observe que F → 1 = − F → 2 . ). Como los cables son muy largos, es conveniente pensar en términos de F/l , la fuerza por unidad de longitud. Al sustituir la expresión de B 1 en la y al reordenar los términos se obtiene F l = μ 0 I 1 I 2 2 π r . La relación F/l es la fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas I 1 y I 2 separadas por una distancia r . La fuerza es atractiva si las corrientes están en la misma dirección y repulsiva si están en direcciones opuestas. Esta fuerza es responsable del efecto pellizco en los arcos eléctricos y otros plasmas. La fuerza existe tanto si las corrientes están en los cables como si no. Solo es evidente si la densidad de carga global es cero; de lo contrario, la repulsión de Coulomb supera la atracción magnética. En un arco eléctrico, en el que las cargas se mueven en paralelo, una fuerza de atracción comprime las corrientes en un tubo más pequeño. En los grandes disyuntores, como los que se utilizan en los sistemas de distribución de potencia de los vecindarios, el efecto pellizco puede concentrar un arco entre las placas de un interruptor que intenta interrumpir una gran corriente, quemar agujeros e incluso incendiar el equipo. Otro ejemplo del efecto pellizco se encuentra en el plasma solar, donde los chorros de material ionizado, como las erupciones solares, son moldeados por fuerzas magnéticas. La definición del amperio se basa en la fuerza entre los cables conductores de corriente. Observe que para cables largos y paralelos, separados por 1 metro y con 1 amperio cada uno, la fuerza por metro es F l = ( 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 1 A ) 2 ( 2 π ) ( 1 m ) = 2 × 10 −7 N/m . Dado que μ 0 es exactamente 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A por definición, y porque 1 T = 1 N/ ( A ⋅ m ) , la fuerza por metro es exactamente 2 × 10 −7 N/m . Esta es la base de la definición del amperio. Los cables de longitud infinita son poco prácticos, por lo que en la práctica, una balanza de corriente se construye con bobinas de cable separadas por unos pocos centímetros. La fuerza se mide para determinar la corriente. Esto también nos proporciona un método para medir el culombio . Medimos la carga que fluye para una corriente de un amperio en un segundo. Eso es, 1 C = 1 A ⋅ s . Tanto para el amperio como para el culombio, el método de medición de la fuerza entre conductores es el más preciso en la práctica. Cálculo de fuerzas en los cables Dos cables, ambos con corriente fuera de la página, tienen una corriente de magnitud 5,0 mA. El primer cable está situado en (0,0 cm, 3,0 cm) mientras que el otro cable está situado a (4,0 cm, 0,0 cm) como se muestra en la . ¿Cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud del primer cable sobre el segundo y del segundo cable sobre el primero? Dos cables portadores de corriente en lugares determinados con corrientes fuera de la página. Estrategia Cada cable produce un campo magnético que siente el otro cable. La distancia a lo largo de la hipotenusa del triángulo entre los cables es la distancia radial utilizada en el cálculo para determinar la fuerza por unidad de longitud. Como ambos cables tienen corrientes que fluyen en la misma dirección, la dirección de la fuerza es hacia el otro. Solución La distancia entre los cables resulta de calcular la hipotenusa de un triángulo: r = ( 3,0 cm ) 2 + ( 4,0 cm ) 2 = 5,0 cm . La fuerza por unidad de longitud puede calcularse entonces utilizando las corrientes conocidas en los cables: F l = ( 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 5 × 10 −3 A ) 2 ( 2 π ) ( 5 × 10 −2 m) = 1 × 10 −10 N/m . La fuerza del primer cable tira del segundo. El ángulo entre el radio y el eje x es θ = tan −1 ( 3 cm 4 cm ) = 36,9 ° . El vector unitario para ello se calcula mediante – cos ( 36,9 ∘ ) i ^ + sen ( 36,9 ∘ ) j ^ = –0,8 i ^ + 0,6 j ^ . Por lo tanto, la fuerza por unidad de longitud del cable uno sobre el cable 2 es F → l = ( 1 × 10 −10 N/m) × ( –0,8 i ^ + 0,6 j ^ ) = ( –8 × 10 −11 i ^ + 6 × 10 −11 j ^ ) N/m . La fuerza por unidad de longitud del cable 2 sobre el cable 1 es el negativo de la respuesta anterior: F → l = ( 8 × 10 −11 i ^ – 6 × 10 −11 j ^ ) N/m . Importancia Estos cables producían campos magnéticos de igual magnitud pero de direcciones opuestas en los lugares donde se encontraban. Tanto si los campos son idénticos como si no, las fuerzas que ejercen los cables entre sí son siempre de igual magnitud y de sentido contrario (tercera ley de Newton). Dos cables, ambos portando corriente fuera de la página, tienen una corriente de magnitud 2,0 mA y 3,0 mA, respectivamente. El primer cable está situado a (0,0 cm, 5,0 cm) mientras que el otro cable está situado a (12,0 cm, 0,0 cm). ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética por unidad de longitud del primer cable sobre el segundo y del segundo cable sobre el primero? Ambos tienen una fuerza por unidad de longitud de 9,23 × 10 −12 N/m Resumen La fuerza entre dos corrientes paralelas I 1 y I 2 , separadas por una distancia r , tiene una magnitud por unidad de longitud dada por F l = μ 0 I 1 I 2 2 π r . La fuerza es atractiva si las corrientes están en la misma dirección y repulsiva si están en direcciones opuestas. Preguntas conceptuales Compare y contraste el campo eléctrico de una línea infinita de carga y el campo magnético de una línea infinita de corriente. Es B → constante en magnitud para los puntos que se encuentran en una línea de campo magnético? Una línea de campo magnético indica la dirección del campo magnético en cualquier punto del espacio. La densidad de las líneas de campo magnético indica la intensidad del campo magnético. Problemas Dos cables largos y rectos están paralelos y separados 25 cm. (a) Si cada cable lleva una corriente de 50 A en la misma dirección, ¿cuál es la fuerza magnética por metro ejercida sobre cada uno? (b) ¿La fuerza tira de los cables para juntarlos o los separa? (c) ¿Qué ocurre si las corrientes fluyen en direcciones opuestas? Dos cables largos y rectos están paralelos y separados 10 cm. Uno porta una corriente de 2,0 A, el otro una corriente de 5,0 A. (a) Si las dos corrientes fluyen en direcciones opuestas, ¿cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza por unidad de longitud de un cable sobre el otro? (b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza por unidad de longitud si las corrientes fluyen en la misma dirección? a. F / l = 8 × 10 −6 N/m lejos del otro cable; b. F / l = 8 × 10 −6 N/m hacia el otro cable Dos cables largos y paralelos están colgados por cuerdas de 5,0 cm de longitud, como se muestra en la figura adjunta. Cada cable tiene una masa por unidad de longitud de 30 g/m, y llevan la misma corriente en direcciones opuestas. ¿Cuál es la corriente si las cuerdas cuelgan a 6,0 ° con respecto a la vertical? Un circuito con corriente I tiene dos largas secciones de cable en paralelo que portan la corriente en direcciones opuestas. Halle el campo magnético en un punto P cerca de estos cables que está a una distancia a de un cable y b del otro cable como se muestra en la figura. B = μ o I 2 π a 2 b ( ( a 2 + b 2 ) i ^ + b ( a 2 – b 2 ) j ^ ) El cable infinito y recto que se muestra en la figura adjunta porta una corriente I 1 . El bucle rectangular, cuyos lados largos son paralelos al cable, porta una corriente I 2 . ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza sobre el bucle rectangular debida al campo magnético del cable?

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Campo magnético de un bucle de corriente El bucle circular de la tiene un radio R , porta una corriente I y se encuentra en el plano xz . ¿Cuál es el campo magnético debido a la corriente en un punto arbitrario P a lo largo del eje del bucle? Determinación del campo magnético en el punto P a lo largo del eje de un bucle de cable conductor de corriente. Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético debido a una corriente. Primero consideramos segmentos arbitrarios en lados opuestos del bucle para mostrar de manera cualitativa por los resultados vectoriales que la dirección del campo magnético neto es a lo largo del eje central del bucle. A partir de ahí, podemos utilizar la ley de Biot-Savart para derivar la expresión del campo magnético. Supongamos que P una distancia y del centro del bucle. A partir de la regla de la mano derecha, el campo magnético d B → en P , producido por el elemento de corriente I d l → , se dirige a un ángulo θ por encima del eje y como se muestra. Dado que d l → es paralelo a lo largo del eje x y r ^ está en el plano yz , los dos vectores son perpendiculares, por lo que tenemos d B = μ 0 4 π I d l sen π /2 r 2 = μ 0 4 π I d l y 2 + R 2 donde hemos utilizado r 2 = y 2 + R 2 . Consideremos ahora el campo magnético d B → ′ debido al elemento de corriente I d l → ′ , que está justo enfrente de I d l → en el bucle. La magnitud de d B → ′ también está dada por la , pero está dirigida a un ángulo θ por debajo del eje y . Las componentes de d B → y d B → ′ perpendiculares al eje y se anulan, por lo que al calcular el campo magnético neto solo hay que considerar las componentes a lo largo del eje y . Las componentes perpendiculares al eje del bucle suman cero por pares. Por lo tanto, en el punto P : B → = j ^ ∫ bucle d B cos θ = j ^ μ 0 I 4 π ∫ bucle cos θ d l y 2 + R 2 . Para todos los elementos d l → en el cable, y , R y cos θ son constantes y están relacionadas por cos θ = R y 2 + R 2 . Ahora de la , el campo magnético en P es B → = j ^ μ 0 I R 4 π ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 ∫ bucle d l = μ 0 I R 2 2 ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 j ^ donde hemos utilizado ∫ bucle d l = 2 π R . Como se ha comentado en el capítulo anterior, el bucle de corriente cerrado es un dipolo magnético de momento μ → = I A n ^ . Para este ejemplo, A = π R 2 y n ^ = j ^ , por lo que el campo magnético en P también puede escribirse como B → = μ 0 μ j ^ 2 π ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 . Al establecer y = 0 en la , obtenemos el campo magnético en el centro del bucle: B → = μ 0 I 2 R j ^ . Esta ecuación se convierte en B = μ 0 n I / ( 2 R ) para una bobina plana de n bucles por longitud. También puede expresarse como B → = μ 0 μ → 2 π R 3 . Si consideramos y ≫ R en la , la expresión se reduce a una conocida como el campo magnético de un dipolo: B → = μ 0 μ → 2 π y 3 . El cálculo del campo magnético debido al bucle de corriente circular en puntos fuera del eje requiere unas matemáticas bastante complejas, así que nos limitaremos a ver los resultados. Las líneas del campo magnético tienen la forma que se muestra en la . Observe que una línea de campo sigue el eje del bucle. Esta es la línea de campo que acabamos de calcular. Además, muy cerca del cable, las líneas de campo son casi circulares, como las líneas de un cable largo y recto. Esquema de las líneas de campo magnético de un bucle de corriente circular. Campo magnético entre dos bucles Dos bucles de cable llevan la misma corriente de 10 mA, pero fluyen en direcciones opuestas como se ve en la . Se mide un bucle para tener un radio de R = 50 cm mientras que el otro bucle tiene un radio de 2 R = 100 cm . La distancia del primer bucle al punto donde se mide el campo magnético es de 0,25 m, y la distancia de ese punto al segundo bucle es de 0,75 m. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético neto en el punto P ? Dos bucles de diferente radio tienen la misma corriente pero fluyen en direcciones opuestas. El campo magnético en el punto P se mide como cero. Estrategia El campo magnético en el punto P se ha determinado en la . Como las corrientes fluyen en direcciones opuestas, el campo magnético neto es la diferencia entre los dos campos generados por las bobinas. Al utilizar las cantidades dadas en el problema, se calcula entonces el campo magnético neto. Solución Al resolver el campo magnético neto mediante la y las cantidades dadas en el problema se obtiene B = μ 0 I R 1 2 2 ( y 1 2 + R 1 2 ) 3 / 2 − μ 0 I R 2 2 2 ( y 2 2 + R 2 2 ) 3 / 2 B = ( 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 0,010 A ) ( 0,5 m ) 2 2 ( ( 0,25 m ) 2 + ( 0,5 m ) 2 ) 3 / 2 − ( 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 0,010 A ) ( 1,0 m ) 2 2 ( ( 0,75 m ) 2 + ( 1,0 m ) 2 ) 3 / 2 B = 5,77 × 10 −9 T a la derecha . Importancia Las bobinas de Helmholtz suelen tener bucles con radios iguales con la corriente fluyendo en la misma dirección para tener un fuerte campo uniforme en el punto medio entre los bucles. Una aplicación similar de la distribución del campo magnético creada por las bobinas de Helmholtz se encuentra en una botella magnética que puede atrapar temporalmente partículas cargadas. Consulte Fuerzas y campos magnéticos para conocer una discusión al respecto. Al utilizar el , ¿a qué distancia debería mover la primera bobina para tener un campo magnético cero medible en el punto P ? 0,608 metros Resumen La intensidad del campo magnético en el centro de un bucle circular viene dada por B = μ 0 I 2 R (en el centro del bucle) , donde R es el radio del bucle. La segunda regla de mano derecha (right hand rule-2, RHR-2) da la dirección del campo sobre el bucle. Preguntas conceptuales ¿El campo magnético de un bucle de corriente es uniforme? ¿Qué ocurre con la longitud de un resorte suspendido cuando una corriente pasa por él? El resorte se reduce en longitud ya que cada bobina tiene un campo magnético producido por el polo norte junto al polo sur de la siguiente bobina. Dos cables circulares concéntricos de distinto diámetro conducen las corrientes en la misma dirección. Describa la fuerza sobre el cable interior. Problemas Cuando la corriente que atraviesa un bucle circular es de 6,0 A, el campo magnético en su centro es 2,0 × 10 −4 T . ¿Cuál es el radio del bucle? 0,019 m ¿Cuántas vueltas debe dar una bobina circular plana de 20 cm de radio para producir un campo magnético de magnitud 4,0 × 10 −5 T en el centro de la bobina cuando la corriente que la atraviesa es de 0,85 A? Un bucle plano y circular tiene 20 vueltas. El radio del bucle es de 10,0 cm y la corriente que atraviesa el cable es de 0,50 A. Determine la magnitud del campo magnético en el centro del bucle. N × 6,28 × 10 −5 T Un bucle circular de radio R porta una corriente I . ¿A qué distancia del eje del bucle el campo magnético es la mitad de su valor en el centro del bucle? Dos bobinas circulares planas, cada una de ellas con un radio R y enrolladas con N vueltas, están montadas a lo largo del mismo eje de manera que son paralelas a una distancia d . ¿Cuál es el campo magnético en el punto medio del eje común si una corriente I circula en el mismo sentido por cada bobina? B = μ o I R 2 ( ( d 2 ) 2 + R 2 ) 3 / 2 Para las bobinas del problema anterior, ¿cuál es el campo magnético en el centro de cualquiera de ellas?

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Ley de Ampère Una propiedad fundamental de un campo magnético estático es que, a diferencia de un campo electrostático, no es conservador. Un campo conservador es aquel que realiza la misma cantidad de trabajo sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos diferentes, sin importar la trayectoria elegida. Los campos magnéticos no tienen esa propiedad. En cambio, existe una relación entre el campo magnético y su fuente, la corriente eléctrica. Se expresa en términos de la integral de línea de B → y se conoce como la ley de Ampère. Esta ley también puede derivarse directamente de la ley de Biot-Savart. Consideramos ahora esa derivación para el caso especial de un cable lineal infinito. La muestra un plano arbitrario perpendicular a un cable lineal infinito cuya corriente I se dirige fuera de la página. Las líneas de campo magnético son círculos dirigidos en sentido contrario a las agujas del reloj y centrados en el cable. Para empezar, consideremos ∮ B → · d l → sobre las trayectorias cerradas M y N . Observe que una trayectoria ( M ) encierra el cable, mientras que la otra ( N ) no. Como las líneas de campo son circulares, B → · d l → es el producto de B y la proyección de dl sobre el círculo que pasa por d l → . Si el radio de este círculo particular es r , la proyección es r d θ , y B → · d l → = B r d θ . La corriente I de un cable lineal largo se dirige hacia fuera de la página. La integral ∮ d θ es igual a 2 π y 0, respectivamente, para los trayectos M y N . Con B → dado por la , ∮ B → · d l → = ∮ ( μ 0 I 2 π r ) r d θ = μ 0 I 2 π ∮ d θ . Para la trayectoria M , que circula alrededor del cable, ∮ M d θ = 2 π y ∮ M B → · d l → = μ 0 I . La trayectoria N , por el contrario, circula por el positivo (en sentido contrario a las agujas del reloj) y el negativo (en sentido de las agujas del reloj) d θ (vea la ), y como está cerrado, ∮ N d θ = 0. Así, para la trayectoria N , ∮ N B → · d l → = 0 . La extensión de este resultado al caso general es la ley de Ampère. Ley de Ampère Sobre una trayectoria cerrada arbitraria, ∮ B → · d l → = μ 0 I donde I es la corriente total que pasa por cualquier superficie abierta S cuyo perímetro es la trayectoria de integración. Solo hay que tener en cuenta las corrientes dentro de la trayectoria de integración. Para determinar si una corriente específica I es positiva o negativa, curve los dedos de su mano derecha en la dirección de la trayectoria de integración, como se muestra en la . Si I pasa por S en la misma dirección que su pulgar extendido, I es positivo; si I pasa por S en la dirección opuesta a su pulgar extendido, es negativo. Ley de Ampère Para calcular el campo magnético creado a partir de la corriente en el/los cable(s), utilice los siguientes pasos: Identifique la simetría de la corriente en el o los cables. Si no hay simetría, utilice la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético. Determine la dirección del campo magnético creado por el o los cables por la regla de la mano derecha 2. Elija un bucle de trayectoria en el que el campo magnético sea constante o cero. Calcule la corriente dentro del bucle. Calcule la integral de línea ∮ B → · d l → alrededor del bucle cerrado. Iguale ∮ B → · d l → con μ 0 I enc y resuelva para B → . Uso de la ley de Ampère para calcular el campo magnético debido a un cable Utilice la ley de Ampère para calcular el campo magnético debido a una corriente constante I en un cable lineal infinito y delgado como se muestra en la . Las posibles componentes del campo magnético B debidas a una corriente I , que se dirige fuera de la página. La componente radial es cero porque el ángulo entre el campo magnético y la trayectoria es un ángulo recto. Estrategia Considere un plano arbitrario perpendicular al cable, con la corriente dirigida fuera de la página. Las posibles componentes del campo magnético en este plano, B r y B θ , se muestran en puntos arbitrarios de un círculo de radio r centrado en el cable. Dado que el campo es cilíndricamente simétrico, ni B r ni B θ varían con la posición en este círculo. También por simetría, las líneas radiales, si existen, deben dirigirse todas hacia dentro o todas hacia fuera del cable. Esto significa, sin embargo, que debe haber un flujo magnético neto a través de un cilindro arbitrario concéntrico con el cable. La componente radial del campo magnético debe ser cero porque B → r ⋅ d l → = 0. Por lo tanto, podemos aplicar la ley de Ampère a la trayectoria circular como se muestra. Solución Por esta trayectoria, B → es constante y paralela a d l → , así que ∮ B → · d l → = B θ ∮ d l = B θ ( 2 π r ) . Así, la ley de Ampère se reduce a B θ ( 2 π r ) = μ 0 I . Por último, dado que B θ es el único componente de B → , podemos eliminar el subíndice y escribir B = μ 0 I 2 π r . Esto coincide con el cálculo de Biot-Savart anterior. Importancia La ley de Ampère funciona bien si se tiene una trayectoria a integrar sobre la cual B → · d l → tiene resultados que son fáciles de simplificar. Para el cable infinito, esto funciona fácilmente con una trayectoria que es circular alrededor del cable para que el campo magnético se excluya de la integración. Si la dependencia de la trayectoria parece complicada, siempre se puede volver a la ley de Biot-Savart y utilizarla para calcular el campo magnético. Cálculo del campo magnético de un cable grueso con la ley de Ampère El radio del cable lineal y largo de la es a , y el cable lleva una corriente I 0 que se distribuye uniformemente en su sección transversal. Calcule el campo magnético tanto dentro como fuera del cable. (a) Un modelo de un cable conductor de corriente de radio a y corriente I 0 . (b) Una sección transversal del mismo cable que muestra el radio a y el bucle de Ampère de radio r . Estrategia Este problema tiene la misma geometría que el , pero la corriente encerrada cambia a medida que movemos la trayectoria de integración desde el exterior del alambre hasta su interior, donde no captura toda la corriente encerrada (ver ). Solución Para cualquier trayectoria circular de radio r que esté centrada en el cable, ∮ B → · d l → = ∮ B d l = B ∮ d l = B ( 2 π r ) . A partir de la ley de Ampère, esto es igual a la corriente total que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria de integración. Consideremos primero una trayectoria circular que está dentro del cable ( r ≤ a ) como la mostrada en la parte (a) de la . Necesitamos la corriente I que pasa por la zona delimitada por la trayectoria. Es igual a la densidad de corriente J por el área encerrada. Dado que la corriente es uniforme, la densidad de corriente dentro de la trayectoria es igual a la densidad de corriente en todo el cable, que es I 0 / π a 2 . Por lo tanto, la corriente I que pasa por la zona delimitada por la trayectoria es I = π r 2 π a 2 I 0 = r 2 a 2 I 0 . Podemos considerar esta relación porque la densidad de corriente J es constante sobre el área del cable. Por lo tanto, la densidad de corriente de una parte del cable es igual a la densidad de corriente en toda la zona. Al utilizar la ley de Ampère, obtenemos B ( 2 π r ) = μ 0 ( r 2 a 2 ) I 0 , y el campo magnético dentro del cable es B = μ 0 I 0 2 π r a 2 ( r ≤ a ) . Fuera del cable, la situación es idéntica a la del cable fino infinito del ejemplo anterior; es decir, B = μ 0 I 0 2 π r ( r ≥ a ) . La variación de B con r se muestra en la . Variación del campo magnético producido por una corriente I 0 en un cable lineal y largo de radio a . Importancia Los resultados muestran que, a medida que aumenta la distancia radial dentro del alambre grueso, el campo magnético aumenta desde cero hasta un valor familiar del campo magnético de un cable fino. Fuera del cable, el campo disminuye independientemente de si se trata de un cable grueso o fino. Este resultado es similar a cómo se comporta la ley de Gauss para las cargas eléctricas dentro de una distribución uniforme de la carga, excepto que esta ley para las cargas eléctricas tiene una distribución uniforme del volumen de la carga, mientras que la ley de Ampère tiene aquí una distribución uniforme del área de la corriente. Además, la caída fuera del cable grueso es similar a cómo cae un campo eléctrico fuera de una distribución de carga lineal, ya que los dos casos tienen la misma geometría y ninguno de ellos depende de la configuración de cargas o corrientes una vez que el bucle está fuera de la distribución. Uso de la Ley de Ampère con trayectorias arbitrarias Utilice la ley de Ampère para evaluar ∮ B → · d l → para las configuraciones y trayectorias actuales en la . Configuraciones y trayectorias de corriente para el . Estrategia La ley de Ampère establece que ∮ B → · d l → = μ 0 I donde I es la corriente total que pasa por el bucle cerrado. La forma más rápida de evaluar la integral es calcular μ 0 I encontrando la corriente neta a través del bucle. Las corrientes positivas fluyen con el pulgar de la mano derecha si los dedos se envuelven en la dirección del bucle. Esto nos indicará el signo de la respuesta. Solución (a) La corriente que baja por el bucle es igual a la que sale de él, por lo que la corriente neta es cero. Así, ∮ B → · d l → = 0. (b) La única corriente a considerar en este problema es 2A porque es la única corriente dentro del bucle. La regla de la mano derecha nos indica que la corriente que baja por el bucle es en sentido positivo. Por lo tanto, la respuesta es ∮ B → · d l → = μ 0 ( 2 A ) = 2,51 × 10 −6 T ⋅ m . (c) La regla de la mano derecha nos indica que la corriente que baja por el bucle es en sentido positivo. Hay 7A + 5A = 12A de corriente hacia abajo y -3 A hacia arriba. Por lo tanto, la corriente total es de 9 A y ∮ B → · d l → = μ 0 ( 9 A ) = 1,13 × 10 –5 T ⋅ m . Importancia Si todas las corrientes se envolvieran de forma que la misma corriente entrara y saliera del bucle, la corriente neta sería cero y no habría campo magnético. Por eso los cables están muy cerca unos de otros en un cable eléctrico. Las corrientes que fluyen hacia un dispositivo y que se alejan de él en un cable son iguales al flujo de corriente total cero a través de un bucle de Ampère alrededor de estos cables. Por lo tanto, no puede haber campos magnéticos parásitos en los cables que portan corriente. Considere el uso de la ley de Ampère para calcular los campos magnéticos de un cable lineal finito y de un bucle circular. ¿Por qué no es útil para estos cálculos? En estos casos las integrales alrededor del bucle de Ampère son muy difíciles porque no hay simetría, por lo que este método no sería útil. Resumen El campo magnético creado por la corriente que sigue una trayectoria cualquiera es la suma (o integral) de los campos debidos a los segmentos a lo largo de la trayectoria (magnitud y dirección como para un cable lineal), lo que da lugar a una relación general entre la corriente y el campo conocida como ley de Ampère. La ley de Ampère puede utilizarse para determinar el campo magnético de un cable delgado o de uno grueso mediante una trayectoria de integración geométricamente conveniente. Los resultados son coherentes con la ley de Biot-Savart. Preguntas conceptuales ¿La ley de Ampère es válida para todas las trayectorias cerradas? ¿Por qué no suele ser útil para calcular un campo magnético? La ley de Ampère es válida para todas las trayectorias cerradas, pero no es útil para calcular los campos cuando el campo magnético producido carece de simetría que pueda aprovecharse mediante una elección adecuada de la trayectoria. Problemas Una corriente I circula por el bucle rectangular que se muestra en la figura adjunta. Evalúe ∮ B → · d l → para las trayectorias A , B , C y D . a. μ 0 I ; b. 0; c. μ 0 I ; d. 0 Evalúe ∮ B → · d l → para cada uno de los casos que se muestran en la figura adjunta. La bobina cuya sección transversal se muestra en la figura adjunta porta una corriente I y tiene N vueltas uniformemente espaciadas distribuidas a lo largo de la longitud l. Evalúe ∮ B → · d l → para las trayectorias indicadas. a. 3 μ 0 I ; b. 0; c. 7 μ 0 I ; d. −2 μ 0 I Un cable superconductor de 0,25 cm de diámetro porta una corriente de 1.000 A. ¿Cuál es el campo magnético en el exterior del cable? Un cable lineal y largo de radio R porta una corriente I que se distribuye uniformemente por la sección transversal del cable. ¿A qué distancia del eje del cable la magnitud del campo magnético es máxima? en el radio R La figura adjunta muestra una sección transversal de un conductor cilíndrico largo y hueco de radio interior r 1 = 3,0 cm y radio exterior r 2 = 5,0 cm . En la página fluye una corriente de 50 A distribuida uniformemente sobre la sección transversal. Calcule el campo magnético en r = 2,0 cm , r = 4,0 cm , y r = 6,0 cm . Un conductor cilíndrico, largo y sólido, de radio 3,0 cm, porta una corriente de 50 A distribuida uniformemente en su sección transversal. Grafique el campo magnético en función de la distancia radial r desde el centro del conductor. En la figura adjunta se muestra una porción de un cable coaxial largo y cilíndrico. Una corriente I fluye por el conductor central y esta corriente se devuelve en el conductor exterior. Determine el campo magnético en las regiones (a) r ≤ r 1 , (b) r 2 ≥ r ≥ r 1 , (c) r 3 ≥ r ≥ r 2 , y (d) r ≥ r 3 . Supongamos que la corriente se distribuye uniformemente en las secciones transversales de las dos partes del cable. ley de Ampère ley física que establece que la integral de línea del campo magnético alrededor de una corriente eléctrica es proporcional a la corriente

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Solenoides y toroides Dos de los dispositivos electromagnéticos más comunes y útiles son los llamados solenoides y toroides. De una forma u otra, forman parte de numerosos instrumentos, tanto grandes como pequeños. En esta sección examinamos el campo magnético típico de estos dispositivos. Solenoides Un cable largo enrollado en forma de bobina helicoidal se conoce como solenoide . Los solenoides se utilizan habitualmente en la investigación experimental que requiere campos magnéticos. Un solenoide es generalmente fácil de enrollar, y cerca de su centro, su campo magnético es bastante uniforme y directamente proporcional a la corriente en el cable. La muestra un solenoide formado por N vueltas de alambre fuertemente enrolladas sobre una longitud L . Por el alambre del solenoide circula una corriente I . El número de vueltas por unidad de longitud es N / L ; por tanto, el número de vueltas en una longitud infinitesimal dy son ( N / L ) dy vueltas. Esto produce una corriente d I = N I L d y . Primero calculamos el campo magnético en el punto P de la . Este punto se encuentra en el eje central del solenoide. Básicamente, estamos cortando el solenoide en rebanadas finas que tienen un grosor dy y tratando cada una de ellas como un bucle de corriente. Por lo tanto, dI es la corriente que atraviesa cada rodaja. El campo magnético d B → debido a la corriente dI en dy se puede calcular con la ayuda de la y la : d B → = μ 0 R 2 d I 2 ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 j ^ = ( μ 0 I R 2 N 2 L j ^ ) d y ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 donde utilizamos la para sustituir a dI . El campo resultante en P se encuentra integrando d B → a lo largo de toda la longitud del solenoide. Es más fácil evaluar esta integral al cambiar la variable independiente de y a θ . De la inspección de la , tenemos: sen θ = y y 2 + R 2 . (a) Un solenoide es un alambre largo enrollado en forma de hélice. (b) El campo magnético en el punto P del eje del solenoide es el campo neto debido a todos los bucles de corriente. Al tomar la diferencial de ambos lados de esta ecuación, obtenemos cos θ d θ = [ − y 2 ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 + 1 y 2 + R 2 ] d y = R 2 d y ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 . Cuando esto se sustituye en la ecuación de d B → , tenemos B → = μ 0 I N 2 L j ^ ∫ θ 1 θ 2 cos θ d θ = μ 0 I N 2 L ( sen θ 2 − sen θ 1 ) j ^ , que es el campo magnético a lo largo del eje central de un solenoide finito. De especial interés es el solenoide infinitamente largo, para el que L → ∞ . Desde un punto de vista práctico, el solenoide infinito es aquel cuya longitud es mucho mayor que su radio ( L ≫ R ) . En este caso, θ 1 = − π 2 y θ 2 = π 2 . Entonces de la , el campo magnético a lo largo del eje central de un solenoide infinito es B → = μ 0 I N 2 L j ^ [ sen ( π / 2 ) − sen ( − π / 2 ) ] = μ 0 I N L j ^ o B → = μ 0 n I j ^ , donde n es el número de vueltas por unidad de longitud. Puede calcular la dirección de B → con una regla de la mano derecha: Envuelva los dedos en la dirección de la corriente y el pulgar apunta a lo largo del campo magnético en el interior del solenoide. Ahora utilizamos estas propiedades, junto con la ley de Ampère, para calcular la magnitud del campo magnético en cualquier lugar dentro del solenoide infinito. Consideremos la trayectoria cerrada de la . A lo largo del segmento 1, B → es uniforme y paralelo a la trayectoria. A lo largo de los segmentos 2 y 4, B → es perpendicular a una parte de la trayectoria y se desvanece en el resto. Por lo tanto, los segmentos 2 y 4 no contribuyen a la integral de línea en la ley de Ampère. A lo largo del segmento 3, B → = 0 porque el campo magnético es cero fuera del solenoide. Si se considera un bucle de la ley de Ampère fuera del solenoide, la corriente fluye en direcciones opuestas en diferentes segmentos de cable. Por lo tanto, no hay corriente encerrada ni campo magnético según la ley de Ampère. Por lo tanto, no hay contribución a la integral de la línea del segmento 3. Como resultado, hallamos ∮ B → · d l → = ∫ 1 B → · d l → = B l . La vía de integración utilizada en la ley de Ampère para evaluar el campo magnético de un solenoide infinito. El solenoide tiene n vueltas por unidad de longitud, por lo que la corriente que pasa por la superficie encerrada por la trayectoria es nlI . Por lo tanto, a partir de la ley de Ampère, B l = μ 0 n l I y B = μ 0 n I dentro del solenoide. Esto coincide con lo que hemos encontrado antes para B en el eje central del solenoide. Aquí, sin embargo, la ubicación del segmento 1 es arbitraria, por lo que hemos encontrado que esta ecuación da el campo magnético en cualquier lugar dentro del solenoide infinito. Fuera del solenoide, se puede dibujar un bucle de la ley de Ampère alrededor de todo él. Esto encerraría la corriente que fluye en ambas direcciones. Por lo tanto, la corriente neta dentro del bucle es cero. Según la ley de Ampère, si la corriente neta es cero, el campo magnético debe ser cero. Por lo tanto, para lugares fuera del radio del solenoide, el campo magnético es cero. Cuando un paciente se somete a una imagen de resonancia magnética (IRM), la persona se acuesta en una mesa que se mueve hacia el centro de un gran solenoide que puede generar campos magnéticos muy grandes. El solenoide es capaz de producir estos altos campos a partir de altas corrientes que fluyen a través de los cables superconductores. El gran campo magnético se utiliza para cambiar el giro de los protones en el cuerpo del paciente. El tiempo que tardan los espines en alinearse o relajarse (volver a la orientación original) es una marca de los diferentes tejidos que pueden analizarse para ver si sus estructuras son normales ( ). En una máquina de IRM el solenoide cilíndrico que rodea al paciente genera un gran campo magnético (créditos: Liz West) Campo magnético dentro de un solenoide Un solenoide tiene 300 vueltas enrolladas alrededor de un cilindro de 1,20 cm de diámetro y 14,0 cm de longitud. Si la corriente que atraviesa las bobinas es de 0,410 A, ¿cuál es la magnitud del campo magnético en el interior y cerca del centro del solenoide? Estrategia Nos dan el número de vueltas y la longitud del solenoide para que podamos calcular el número de vueltas por unidad de longitud. Por lo tanto, el campo magnético dentro y cerca del centro del solenoide viene dado por la . Fuera del solenoide, el campo magnético es cero. Solución El número de vueltas por unidad de longitud es n = 300 vueltas 0,140 m = 2,14 × 10 3 vueltas/m . El campo magnético producido en el interior del solenoide es B = μ 0 n I = ( 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 2,14 × 10 3 vueltas/m ) ( 0,410 A ) B = 1,10 × 10 −3 T . Importancia Esta solución solo es válida si la longitud del solenoide es razonablemente grande en comparación con su diámetro. Este ejemplo es un caso en el que esto es válido. ¿Cuál es la relación entre el campo magnético producido al utilizar una fórmula finita sobre la aproximación infinita para un ángulo θ de (a) 85 ° ? (b) ¿ 89 ° ? El solenoide tiene 1.000 vueltas en 50 cm con una corriente de 1,0 A que fluye a través de las bobinas a. 1,00382; b. 1,00015 Toroides Un toroide es una bobina en forma de rosquilla estrechamente enrollada con un alambre continuo, como se ilustra en la parte (a) de la . Si el toroide tiene N bobinados y la corriente en el cable es I , ¿cuál es el campo magnético dentro y fuera del toroide? (a) Un toroide es una bobina bobinada en un objeto con forma de rosquilla. (b) Un toroide poco bobinado no tiene simetría cilíndrica. (c) En un toroide muy bobinado la simetría cilíndrica es una muy buena aproximación. (d) Varias trayectorias de integración para la ley de Ampère. Comenzamos asumiendo una simetría cilíndrica alrededor del eje OO '. En realidad, esta suposición no es precisamente correcta, pues como muestra la parte (b) de la , la vista de la bobina toroidal varía de un punto a otro (por ejemplo, P 1 , P 2 , y P 3 ) en una trayectoria circular centrada en OO '. Sin embargo, si el toroide está fuertemente bobinado, todos los puntos del círculo se vuelven esencialmente equivalentes (parte [c] de la ), y la simetría cilíndrica es una aproximación precisa. Con esta simetría, el campo magnético debe ser tangente y de magnitud constante a lo largo de cualquier trayectoria circular centrada en OO '. Esto nos permite escribir para cada una de las trayectorias D 1 , D 2 , y D 3 que se muestra en la parte (d) de la , ∮ B → · d l → = B ( 2 π r ) . La ley de Ampère relaciona esta integral con la corriente neta que atraviesa cualquier superficie delimitada por la trayectoria de integración. En el caso de una trayectoria externa al toroide, o bien no pasa corriente a través de la superficie envolvente (trayectoria D 1 ) o la corriente que pasa por la superficie en una dirección se equilibra exactamente con la corriente que pasa por ella en la dirección opuesta ( trayectoria D 3 ) . En cualquier caso, no hay corriente neta que pase por la superficie, por lo que ∮ B ( 2 π r ) = 0 y B = 0 (fuera del toroide) . Las vueltas de un toroide forman una hélice, en vez de bucles circulares. Como resultado, hay un pequeño campo externo a la bobina; sin embargo, la derivación anterior se mantiene si las bobinas fueran circulares. Para una trayectoria circular dentro del toroide (trayectoria D 2 ), la corriente en el cable corta la superficie N veces, lo que resulta en una corriente neta NI a través de la superficie. Ahora calculamos con la ley de Ampère, B ( 2 π r ) = μ 0 N I y B = μ 0 N I 2 π r (dentro del toroide) . El campo magnético está dirigido en el sentido contrario a las agujas del reloj para los bobinados mostrados. Cuando se invierte la corriente en las bobinas, la dirección del campo magnético también se invierte. El campo magnético en el interior de un toroide no es uniforme, ya que varía inversamente con la distancia r del eje OO '. Sin embargo, si el radio central R (el radio a medio camino entre los radios interior y exterior del toroide) es mucho mayor que el diámetro de la sección transversal de las bobinas r , la variación es bastante pequeña, y la magnitud del campo magnético puede calcularse mediante la donde r = R . Resumen La intensidad del campo magnético dentro de un solenoide es B = μ 0 n I (dentro de un solenoide) donde n es el número de bucles por unidad de longitud del solenoide. El campo interior es muy uniforme en magnitud y dirección. La intensidad del campo magnético dentro de un toroide es B = μ o N I 2 π r (dentro del toroide) donde N es el número de bobinas. El campo dentro de un toroide no es uniforme y varía con la distancia como 1/ r . Preguntas conceptuales ¿El campo magnético dentro de un toroide es completamente uniforme? ¿Casi uniforme? Explique por qué B → = 0 dentro de un tubo de cobre largo y hueco que porta una corriente eléctrica paralela al eje. ¿Está B → = 0 fuera de la tubería? Si no hay corriente dentro del bucle, no hay campo magnético (consulte la ley de Ampère). Fuera de la tubería, puede haber una corriente encerrada a través de la tubería de cobre, por lo que el campo magnético puede no ser cero fuera de esta. Problemas Un solenoide se embobina con 2.000 vueltas por metro. Cuando la corriente es de 5,2 A, ¿cuál es el campo magnético dentro del solenoide? B = 1,3 × 10 −2 T Un solenoide tiene 12 vueltas por centímetro. ¿Qué corriente producirá un campo magnético de 2,0 × 10 −2 T dentro del solenoide? Si una corriente es de 2,0 A, ¿cuántas vueltas por centímetro debe bobinar un solenoide para producir un campo magnético de 2,0 × 10 −3 T dentro de él? aproximadamente ocho vueltas por cm Un solenoide mide 40 cm de largo, tiene un diámetro de 3,0 cm y está bobinado con 500 vueltas. Si la corriente que pasa por los bobinados es de 4,0 A, ¿cuál es el campo magnético en un punto del eje del solenoide que está (a) en el centro del solenoide; (b) a 10,0 cm de un extremo del solenoide; y (c) a 5,0 cm de un extremo del solenoide? (d) Compare estas respuestas con el caso del solenoide infinito. Determine el campo magnético en el eje central en la apertura de un solenoide seminfinito. (Es decir, tomar la apertura para estar en x = 0 y el otro extremo para estar en x = ∞ . ) B = 1 2 μ 0 n I ¿Por cuánto es la aproximación B = μ 0 n I errónea en el centro de un solenoide que mide 15,0 cm de largo, tiene un diámetro de 4,0 cm, está envuelto con n vueltas por metro y lleva una corriente I ? Un solenoide de 25 vueltas por centímetro porta una corriente I . Un electrón se mueve dentro del solenoide en un círculo que tiene un radio de 2,0 cm y es perpendicular al eje del solenoide. Si la velocidad del electrón es 2,0 × 10 5 m/s , ¿cuánto es I ? 0,0181 A Un toroide tiene 250 vueltas de alambre y transporta una corriente de 20 A. Sus radios interior y exterior son de 8,0 y 9,0 cm. ¿Cuáles son los valores de su campo magnético en r = 8,1 , 8,5 , y 8,9 cm? Un toroide de sección cuadrada de 3,0 cm × 3,0 cm tiene un radio interior de 25,0 cm. Está bobinado con 500 vueltas de cable y porta una corriente de 2,0 A. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético en el centro de la sección transversal cuadrada? 0,0008 T solenoide alambre fino bobinado en una bobina que produce un campo magnético cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de él toroide bobina en forma de rosquilla estrechamente bobinada que es un alambre continuo

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El magnetismo en la materia ¿Por qué algunos materiales son magnéticos y otros no? ¿Y por qué ciertas sustancias se magnetizan con un campo, mientras que otras no se ven afectadas? Para responder a estas preguntas, necesitamos comprender el magnetismo a nivel microscópico. Dentro de un átomo, cada electrón viaja en una órbita y gira sobre un eje interno. Ambos tipos de movimiento producen bucles de corriente y, por tanto, dipolos magnéticos. Para un átomo concreto, el momento dipolar magnético neto es la suma vectorial de los momentos dipolares magnéticos. Se indican valores de μ para varios tipos de átomos en la . Observe que algunos átomos tienen un momento dipolar neto cero y que las magnitudes de los momentos no evanescentes suelen ser 10 −23 A · m 2 . Momentos magnéticos de algunos átomos Átomo Momento magnético ( 10 −24 A · m 2 ) H 9,27 He 0 Li 9,27 O 13,9 Na 9,27 S 13,9 Un puñado de materia tiene aproximadamente 10 26 átomos e iones, cada uno con su momento dipolar magnético. Si no hay un campo magnético externo, los dipolos magnéticos se orientan de forma aleatoria: tantos apuntan hacia arriba como hacia abajo, tantos apuntan al este como al oeste, etc. En consecuencia, el momento dipolar magnético neto de la muestra es cero. Sin embargo, si la muestra se coloca en un campo magnético, estos dipolos tienden a alinearse con el campo (vea la ), y esta alineación determina cómo responde la muestra al campo. En función de esta respuesta, se dice que un material es paramagnético, ferromagnético o diamagnético. En un material paramagnético , solo una pequeña fracción (aproximadamente un tercio) de los dipolos magnéticos están alineados con el campo aplicado. Dado que cada dipolo produce su propio campo magnético, esta alineación aporta uno adicional, que aumenta el campo aplicado. Cuando un material ferromagnético se coloca en un campo magnético, sus dipolos magnéticos también se alinean; además, se bloquean entre sí de modo que se produce una magnetización permanente, incluso cuando el campo se apaga o se invierte. Esta magnetización permanente se produce en los materiales ferromagnéticos pero no en los paramagnéticos. Los materiales diamagnéticos están compuestos por átomos que no tienen un momento dipolar magnético neto. Sin embargo, cuando un material diamagnético se coloca en un campo magnético, un momento dipolar magnético se dirige de forma opuesta al campo aplicado y, por lo tanto, produce un campo magnético que se opone al campo aplicado. A continuación, examinamos con más detalle cada tipo de material. Materiales paramagnéticos Para simplificar, suponemos que nuestra muestra es una pieza larga y cilíndrica que llena completamente el interior de un solenoide largo y bien enrollado. Cuando no hay corriente en el solenoide, los dipolos magnéticos de la muestra están orientados al azar y no producen ningún campo magnético neto. Con una corriente de solenoide, el campo magnético debido al solenoide ejerce un torque sobre los dipolos que tiende a alinearlos con el campo. En competencia con el torque de alineación están las colisiones térmicas que tienden a aleatorizar las orientaciones de los dipolos. La importancia relativa de estos dos procesos en competencia puede estimarse al comparar las energías implicadas. De la , la diferencia de energía entre un dipolo magnético alineado con y contra un campo magnético es U B = 2 μ B . Si μ = 9,3 × 10 −24 A · m 2 (el valor del hidrógeno atómico) y B = 1,0 T, entonces U B = 1,9 × 10 −23 J . A una temperatura ambiente de 27 °C , la energía térmica por átomo es U T ≈ k T = ( 1,38 × 10 −23 J/K ) ( 300 K ) = 4,1 × 10 −21 J , que es unas 220 veces mayor que U B . Está claro que los intercambios de energía en las colisiones térmicas pueden interferir seriamente en la alineación de los dipolos magnéticos. Como resultado, solo una pequeña fracción de los dipolos está alineada en cualquier instante. Los cuatro bocetos de la proporcionan un modelo sencillo de este proceso de alineación. En la parte (a), antes de que se aplique el campo del solenoide (no mostrado) que contiene la muestra paramagnética, los dipolos magnéticos están orientados al azar y no hay ningún momento dipolar magnético neto asociado al material. Con la introducción del campo, se produce una alineación parcial de los dipolos, como se representa en la parte (b). La componente del momento dipolar magnético neto que es perpendicular al campo, desaparece. Podemos entonces representar la muestra mediante la parte (c), que muestra una colección de dipolos magnéticos completamente alineados con el campo. Al tratar estos dipolos como bucles de corriente, podemos imaginar la alineación de los dipolos como equivalente a una corriente alrededor de la superficie del material, como en la parte (d). Esta corriente superficial ficticia produce su propio campo magnético, que aumenta el campo del solenoide. El proceso de alineación en un material paramagnético que rellena un solenoide (no se muestra). (a) Sin un campo aplicado, los dipolos magnéticos se orientan al azar. (b) Con un campo, se produce una alineación parcial. (c) Una representación equivalente de la parte (b). (d) Las corrientes internas se cancelan, dejando una corriente superficial efectiva que produce un campo magnético similar al de un solenoide finito. Podemos expresar el campo magnético total B → en el material como B → = B → 0 + B → m , donde B → 0 es el campo debido a la corriente I 0 en el solenoide y B → m es el campo debido a la corriente superficial I m alrededor de la muestra. Ahora B → m suele ser proporcional a B → 0 , un hecho que expresamos mediante B → m = χ B → 0 , donde χ es una cantidad sin dimensiones llamada susceptibilidad magnética . Se indican valores de χ para algunos materiales paramagnéticos en la . Como la alineación de los dipolos magnéticos es tan débil, χ es muy pequeño para los materiales paramagnéticos. Al combinar la y la , obtenemos: B → = B → 0 + χ B → 0 = ( 1 + χ ) B → 0 . Para una muestra dentro de un solenoide infinito, esto se convierte en B = ( 1 + χ ) μ 0 n I . Esta expresión nos dice que la inserción de un material paramagnético en un solenoide aumenta el campo en un factor de ( 1 + χ ) . Sin embargo, como χ es tan pequeño, el campo no se mejora mucho. La cantidad μ = ( 1 + χ ) μ 0 . se denomina permeabilidad magnética de un material. En términos de μ , la puede escribirse como B = μ n I para el solenoide lleno. Susceptibilidades magnéticas Materiales paramagnéticos χ Materiales diamagnéticos χ Aluminio 2,2 × 10 −5 Bismuto -1,7 × 10 −5 Calcio 1,4 × 10 −5 Carbono (diamante) −2,2 × 10 −5 Cromo 3,1 × 10 −4 Cobre -9,7 × 10 −6 Magnesio 1,2 × 10 −5 Plomo −1,8 × 10 −5 Gas oxígeno (1 atm) 1,8 × 10 −6 Mercurio −2,8 × 10 −5 Oxígeno líquido (90 K) 3,5 × 10 −3 Gas hidrógeno (1 atm) −2,2 × 10 −9 Tungsteno 6,8 × 10 −5 Gas nitrógeno (1 atm) −6,7 × 10 −9 Aire (1 atm) 3,6 × 10 −7 Agua -9,1 × 10 −6 *Nota: A menos que se especifique lo contrario, los valores indicados se refieren a la temperatura ambiente. Materiales diamagnéticos Un campo magnético siempre induce un dipolo magnético en un átomo. Este dipolo inducido apunta de forma opuesta al campo aplicado, por lo que su campo magnético también se dirige de forma opuesta al campo aplicado. En los materiales paramagnéticos y ferromagnéticos, los dipolos magnéticos permanentes de los átomos, que son mucho más fuertes, ocultan el dipolo magnético inducido. Sin embargo, en los materiales diamagnéticos, cuyos átomos no tienen momentos dipolares magnéticos permanentes, el efecto del dipolo inducido es observable. Ahora podemos describir los efectos magnéticos de los materiales diamagnéticos con el mismo modelo desarrollado para los materiales paramagnéticos. Sin embargo, en este caso la corriente superficial ficticia fluye en sentido contrario a la corriente del solenoide, y la susceptibilidad magnética χ es negativa. Los valores de χ para algunos materiales diamagnéticos también se indican en la . El agua es un material comúnmente diamagnético. Los animales están compuestos principalmente por agua. Se han realizado experimentos con ranas y ratones en campos magnéticos divergentes. Las moléculas de agua son repelidas por el campo magnético aplicado contra la gravedad hasta que el animal alcanza el equilibrio. El resultado es que el animal es levitado por el campo magnético. Materiales ferromagnéticos Los imanes comunes están hechos de un material ferromagnético como el hierro o una de sus aleaciones. Los experimentos revelan que un material ferromagnético está formado por pequeñas regiones conocidas como dominios magnéticos . Sus volúmenes suelen oscilar entre 10 −12 a 10 −8 m 3 , y contienen alrededor de 10 17 a 10 21 átomos. Dentro de un dominio, los dipolos magnéticos se alinean rígidamente en la misma dirección mediante el acoplamiento entre los átomos. Este acoplamiento, que se debe a efectos mecánicos cuánticos, es tan fuerte que ni siquiera la agitación térmica a temperatura ambiente puede romperlo. El resultado es que cada dominio tiene un momento dipolar neto. Algunos materiales tienen un acoplamiento más débil y son ferromagnéticos solo a bajas temperaturas. Si los dominios de una muestra ferromagnética están orientados aleatoriamente, como se muestra en la , la muestra no tiene un momento dipolar magnético neto y se dice que está desmagnetizada. Supongamos que llenamos el volumen de un solenoide con una muestra ferromagnética no magnetizada. Cuando el campo magnético B → 0 del solenoide se enciende, los momentos dipolares de los dominios giran de manera que se alinean un poco con el campo, como se representa en la . Además, los dominios alineados tienden a aumentar de tamaño a costa de los no alineados. El efecto neto de estos dos procesos es la creación de un momento dipolar magnético neto para el ferromagneto que se dirige a lo largo del campo magnético aplicado. Este momento dipolar magnético neto es mucho mayor que el de una muestra paramagnética, y los dominios, con su gran número de átomos, no se desalinean por la agitación térmica. En consecuencia, el campo debido a la alineación de los dominios es bastante grande. (a) Los dominios se orientan aleatoriamente en una muestra ferromagnética no magnetizada, como el hierro. Las flechas representan las orientaciones de los dipolos magnéticos dentro de los dominios. (b) En un campo magnético aplicado, los dominios se alinean un poco con el campo. (c) Los dominios de un solo cristal de níquel. Las líneas blancas muestran los límites de los dominios. Estas líneas se producen por el polvo de óxido de hierro espolvoreado sobre el cristal. Además del hierro, solo cuatro elementos contienen los dominios magnéticos necesarios para mostrar un comportamiento ferromagnético: el cobalto, el níquel, el gadolinio y el disprosio. Muchas aleaciones de estos elementos son también ferromagnéticas. Los materiales ferromagnéticos pueden describirse usando la hasta la , las ecuaciones paramagnéticas. Sin embargo, el valor de χ para el material ferromagnético suele ser del orden de 10 3 a 10 4 , y también depende de la historia del campo magnético al que ha estado sometido el material. Un gráfico típico de B (el campo total en el material) versus B 0 (el campo aplicado) para una pieza de hierro inicialmente no magnetizada se muestra en la . Algunos números de muestra son (1) para B 0 = 1,0 × 10 −4 T , B = 0,60 T , y χ = ( 0,60 1,0 × 10 −4 ) − 1 ≈ 6,0 × 10 3 ; (2) para B 0 = 6,0 × 10 −4 T , B = 1,5 T , y χ = ( 1,5 6,0 × 10 −4 ) − 1 ≈ 2,5 × 10 3 . (a) El campo magnético B en el hierro recocido en función del campo aplicado B 0 . Cuando B 0 se varía en un rango de valores positivos y negativos, se halla que B se comporta como se muestra en la . Observe que el mismo B 0 (correspondiente a la misma corriente en el solenoide) pueden producir diferentes valores de B en el material. El campo magnético B producido en un material ferromagnético por un campo aplicado B 0 depende de la historia magnética del material. Este efecto se denomina histéresis , y la curva de la se llama bucle de histéresis. Observe que B no desaparece cuando B 0 = 0 (es decir, cuando la corriente en el solenoide está apagada). El hierro permanece magnetizado, lo que significa que se ha convertido en un imán permanente. Un bucle de histéresis típico de un ferromagneto. Cuando el material se magnetiza por primera vez, sigue una curva de 0 a a . Cuando B 0 se invierte, toma la trayectoria indicada de a hasta b . Si B 0 se invierte de nuevo, el material sigue la curva de b hasta a . Al igual que la muestra paramagnética de la , la alineación parcial de los dominios en un ferromagneto equivale a una corriente que fluye alrededor de la superficie. Por lo tanto, una barra magnética puede imaginarse como un solenoide fuertemente bobinado con una gran corriente circulando por sus bobinas (la corriente superficial). Puede ver en la que este modelo se ajusta bastante bien. Los campos de la barra magnética y del solenoide finito son sorprendentemente similares. La figura también muestra cómo se identifican los polos de la barra magnética. Para formar bucles cerrados, las líneas de campo fuera del imán salen del polo norte (N) y entran en el polo sur (S), mientras que dentro del imán, salen de S y entran en N. Comparación de los campos magnéticos de un solenoide finito y una barra magnética. Los materiales ferromagnéticos se encuentran en los discos duros de las computadoras y en los dispositivos de almacenamiento permanente de datos ( ). Un material utilizado en las unidades de disco duro se llama válvula de espín, que tiene capas alternas de metales ferromagnéticos (se alinean con el campo magnético externo) y antiferromagnéticos (cada átomo se alinea de forma opuesta al siguiente). Se observó que se descubrió un cambio significativo en la resistencia en función de si un campo magnético aplicado estaba sobre la válvula de espín o no. Este gran cambio en la resistencia crea una forma rápida y consistente de registrar o leer información mediante una corriente aplicada. El interior de un disco duro. El disco plateado contiene la información, mientras que el fino lápiz óptico situado en la parte superior del disco lee y escribe información en este. Núcleo de hierro en una bobina Una bobina larga está fuertemente bobinada alrededor de un cilindro de hierro cuya curva de magnetización se muestra en la . (a) Si n = 20 vueltas por centímetro, ¿cuál es el campo aplicado B 0 cuando I 0 = 0,20 A ? (b) ¿Cuál es el campo magnético neto para esta misma corriente? (c) ¿Cuál es la susceptibilidad magnética en este caso? Estrategia (a) Se calcula el campo magnético de un solenoide utilizando la . (b) Se lee la gráfica para determinar el campo magnético neto para esta misma corriente. (c) Se calcula la susceptibilidad magnética utilizando la . Solución El campo aplicado B 0 de la bobina es B 0 = μ 0 n I 0 = ( 4 π × 10 −7 T · m/A ) ( 2.000 / m ) ( 0,20 A ) B 0 = 5,0 × 10 −4 T . De la inspección de la curva de magnetización de la , vemos que, para este valor de B 0 , B = 1,4 T . Observe que el campo interno de los átomos alineados es mucho mayor que el campo aplicado externamente. Se calcula que la susceptibilidad magnética es χ = B B 0 − 1 = 1,4 T 5,0 × 10 −4 T −1 = 2,8 × 10 3 . Importancia Los materiales ferromagnéticos tienen susceptibilidades en el rango de 10 3 que se compara bien con nuestros resultados aquí. Los materiales paramagnéticos tienen susceptibilidades fraccionarias, por lo que su campo aplicado de la bobina es mucho mayor que el campo magnético generado por el material. Repita los cálculos del ejemplo anterior para I 0 = 0,040 A . a. 1,0 × 10 −4 T ; b. 0,60 T; c. 6,0 × 10 3 Resumen Los materiales se clasifican como paramagnéticos, diamagnéticos o ferromagnéticos, según su comportamiento ante un campo magnético aplicado. Los materiales paramagnéticos tienen una alineación parcial de sus dipolos magnéticos con un campo magnético aplicado. Se trata de una susceptibilidad magnética positiva. Solo queda una corriente superficial que crea un campo magnético similar al de un solenoide. Los materiales diamagnéticos presentan dipolos inducidos opuestos a un campo magnético aplicado. Se trata de una susceptibilidad magnética negativa. Los materiales ferromagnéticos tienen grupos de dipolos, llamados dominios, que se alinean con el campo magnético aplicado. Sin embargo, cuando se retira el campo, el material ferromagnético permanece magnetizado, a diferencia de los materiales paramagnéticos. Este efecto de magnetización del material versus el campo aplicado se denomina histéresis. Ecuaciones clave Permeabilidad del espacio libre μ 0 = 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A Contribución al campo magnético de un elemento de corriente d B = μ 0 4 π I d l sen θ r 2 Ley Biot-Savart B → = μ 0 4 π ∫ cable I d l → × r ^ r 2 Campo magnético debido a un cable lineal y largo B = μ 0 I 2 π R Fuerza entre dos corrientes paralelas F l = μ 0 I 1 I 2 2 π r Campo magnético de un bucle de corriente B = μ 0 I 2 R (en el centro del bucle) Ley de Ampère ∮ B → · d l → = μ 0 I Intensidad del campo magnético dentro de un solenoide B = μ 0 n I Intensidad del campo magnético dentro de un toroide B = μ o N I 2 π r Permeabilidad magnética μ = ( 1 + χ ) μ 0 Campo magnético de un solenoide lleno de material paramagnético B = μ n I Preguntas conceptuales Un material diamagnético se acerca a un imán permanente. ¿Qué ocurre con el material? Si corta una barra magnética en dos trozos, ¿acabará teniendo un imán con un polo norte aislado y otro imán con un polo sur aislado? Explique su respuesta. La barra magnética se convertirá entonces en dos imanes, cada uno con sus propios polos norte y sur. No hay monopolos magnéticos ni imanes unipolares. Problemas El campo magnético en el núcleo de un solenoide lleno de aire es de 1,50 T. ¿En cuánto disminuirá este campo magnético si se bombea el aire fuera del núcleo mientras la corriente se mantiene constante? Un solenoide tiene un núcleo ferromagnético, n = 1.000 vueltas por metro, e I = 5,0 A. Si B en el interior del solenoide es 2,0 T, ¿cuál es χ para el material del núcleo? 317,31 Una corriente de 20 A circula por un solenoide de 2.000 vueltas por metro. ¿Cuál es el campo magnético dentro del solenoide si su núcleo está (a) en el vacío y (b) lleno de oxígeno líquido a 90 K? El momento dipolar magnético del átomo de hierro es de aproximadamente 2,1 × 10 −23 A · m 2 . (a) Calcule el momento dipolar magnético máximo de un dominio formado por 10 19 átomos de hierro. (b) ¿Qué corriente tendría que fluir a través de un único bucle circular de alambre de 1,0 cm de diámetro para producir este momento dipolar magnético? 2,1 × 10 −4 A · m 2 2,7 A Supongamos que desea producir un campo magnético de 1,2 T en un toroide con núcleo de hierro para el que χ = 4,0 × 10 3 . El toroide tiene un radio medio de 15 cm y está bobinado con 500 vueltas. ¿Qué corriente se necesita? Una corriente de 1,5 A circula por las bobinas de un gran toroide delgado de 200 vueltas por metro y un radio de 1 metro. Si el toroide está lleno de hierro para el que χ = 3,0 × 10 3 , ¿cuál es el campo magnético en su interior? 0,18 T Un solenoide con núcleo de hierro tiene 25 cm de longitud y está envuelto con 100 vueltas de cable. Cuando la corriente que atraviesa el solenoide es de 10 A, el campo magnético en su interior es de 2,0 T. Para esta corriente, ¿cuál es la permeabilidad del hierro? Si se apaga la corriente y se restablece a 10 A, ¿el campo magnético volverá necesariamente a 2,0 T? Problemas adicionales Tres cables lineales, largos y paralelos, todos de 20 A, se colocan como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el punto P ? B = 1,4 × 10 −4 T Una corriente I circula alrededor de un cable doblado en forma de cuadrado de lado a . ¿Cuál es el campo magnético en el punto P que está a una distancia z por encima del centro del cuadrado (ver la figura adjunta)? La figura adjunta muestra un cable lineal y largo que porta una corriente de 10 A. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre un electrón en el instante en que se encuentra a 20 cm del cable, viajando en paralelo a este con una velocidad de 2,0 × 10 5 m/s? Describa cualitativamente el movimiento posterior del electrón. 3,2 × 10 −19 N en un arco que se aleja del cable La corriente fluye a lo largo de una lámina delgada e infinita como se muestra en la figura adjunta. La corriente por unidad de longitud a lo largo de la lámina es J en amperios por metro. (a) Utilice la ley de Biot-Savart para demostrar que B = μ 0 J / 2 a cada lado de la lámina. ¿Cuál es la dirección de B → en cada lado? (b) Utilice ahora la ley de Ampère para calcular el campo. (a) Utilice el resultado del problema anterior para calcular el campo magnético entre, por encima y por debajo del par de láminas infinitas que se muestran en la figura adjunta. (b) Repita sus cálculos si se invierte el sentido de la corriente en la lámina inferior. a. por encima y por debajo B = μ 0 j , en el centro B = 0 ; b. arriba y abajo B = 0 , en el centro B = μ 0 j A menudo suponemos que el campo magnético es uniforme en una región y cero en el resto. Demuestre que en realidad es imposible que un campo magnético descienda bruscamente a cero, como se ilustra en la figura adjunta. ( Pista : Aplique la ley de Ampère sobre la trayectoria indicada). ¿Cómo se relaciona el cambio fraccionario en la intensidad del campo magnético a través de la cara del toroide con el cambio fraccionario en la distancia radial desde el eje del toroide? d B B = − d r r Demuestre que la expresión para el campo magnético de un toroide se reduce a la del campo de un solenoide infinito en el límite en que el radio central llega a infinito. Un toroide con un radio interior de 20 cm y un radio exterior de 22 cm está fuertemente bobinado con una capa de alambre que tiene un diámetro de 0,25 mm. (a) ¿Cuántas vueltas tiene el toroide? (b) Si la corriente que pasa por el bobinado del toroide es de 2,0 A, ¿cuál es la intensidad del campo magnético en el centro del toroide? a. 5026 vueltas; b. 0,00957 T Un elemento de cable tiene d l → , I d l → = J A d l = J d v , donde A y dv son el área de la sección transversal y el volumen del elemento, respectivamente. Utilice esto, la ley de Biot-Savart, y J = n e v para demostrar que el campo magnético de una carga puntual q en movimiento viene dado por B → = μ 0 4 π q v × r ^ r 2 Un campo magnético razonablemente uniforme en una región limitada del espacio puede producirse con la bobina de Helmholtz, que consiste en dos bobinas paralelas centradas en el mismo eje. Las bobinas están conectadas de forma que portan la misma corriente I . Cada bobina tiene N vueltas y un radio R , que es también la distancia entre las bobinas. (a) Calcule el campo magnético en cualquier punto del eje z mostrado en la figura adjunta. (b) Demuestre que dB / dz y d 2 B d z 2 son ambos cero en z = 0. (Estas derivadas evanescentes demuestran que el campo magnético solo varía ligeramente cerca de z = 0) B 1 ( x ) = μ 0 I R 2 2 ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 Una carga de 4,0 μC se distribuye uniformemente alrededor de un fino anillo de material aislante. El anillo tiene un radio de 0,20 m y gira a 2,0 × 10 4 revoluciones por minuto alrededor del eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del anillo. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del anillo? Un disco delgado no conductor de radio R es libre de girar alrededor del eje que pasa por su centro y es perpendicular a la cara del disco. Este está cargado uniformemente con una carga total q . Si el disco gira a una velocidad angular constante ω , ¿cuál es el campo magnético en su centro? B = μ 0 σ ω 2 R Considere el disco del problema anterior. Calcule el campo magnético en un punto de su eje central que esté a una distancia y por encima del disco. Consideremos el campo magnético axial B y = μ 0 I R 2 / 2 ( y 2 + R 2 ) 3 / 2 del bucle de corriente circular que se muestra a continuación. (a) Evalúe ∫ − a a B y d y . Demuestre también que lím. a → ∞ ∫ − a a B y d y = μ 0 I . (b) ¿Puede deducir este límite sin evaluar la integral? ( Pista: Vea la figura adjunta). derivación La densidad de corriente en el cable largo y cilíndrico mostrado en la figura adjunta varía con la distancia r desde el centro del cable según J = c r , donde c es una constante. (a) ¿Cuál es la corriente que atraviesa el cable? (b) ¿Cuál es el campo magnético producido por esta corriente para r ≤ R ? ¿Para r ≥ R ? Un conductor lineal, largo y cilíndrico contiene una cavidad cilíndrica cuyo eje está desplazado por a del eje del conductor, como se muestra en la figura adjunta. La densidad de corriente en el conductor viene dada por J → = J 0 k ^ , donde J 0 es una constante y k ^ es a lo largo del eje del conductor. Calcule el campo magnético en un punto arbitrario P de la cavidad superponiendo el campo de un conductor cilíndrico sólido de radio R 1 y la densidad de corriente J → en el campo de un conductor cilíndrico sólido de radio R 2 y la densidad de corriente − J → . A continuación, utilice el hecho de que los vectores unitarios acimutales adecuados pueden expresarse como θ ^ 1 = k ^ × r ^ 1 y θ ^ 2 = k ^ × r ^ 2 para demostrar que en todo el interior de la cavidad el campo magnético viene dado por la constante B → = 1 2 μ 0 J 0 k × a , donde a = r 1 − r 2 y r 1 = r 1 r ^ 1 es la posición de P respecto al centro del conductor y r 2 = r 2 r ^ 2 es la posición de P respecto al centro de la cavidad. derivación Entre los dos extremos de un imán en forma de herradura el campo es uniforme como se muestra en el diagrama. A medida que se avanza hacia los bordes exteriores, el campo se curva. Demuestre, por la ley de Ampère, que el campo debe curvarse y por lo tanto el campo se debilita debido a estas curvas. Demuestre que el campo magnético de un cable delgado y el de un bucle de corriente son cero si se encuentran a una distancia infinita. A medida que la distancia radial llega al infinito, los campos magnéticos de cada una de estas fórmulas llegan a cero. Se elige un bucle de Ampère como se muestra en las líneas discontinuas para un campo magnético constante paralelo como se muestra en las flechas sólidas. Calcule B → · d l → para cada lado del bucle y, a continuación, halle completo ∮ B → · d l → . ¿Se le ocurre algún bucle de Ampère que facilite el problema? ¿Coinciden esos resultados con estos? Un cable cilíndrico muy largo y grueso de radio R porta una densidad de corriente J que varía a través de su sección transversal. La magnitud de la densidad de corriente en un punto a una distancia r del centro del cable viene dada por J = J 0 r R , donde J 0 es una constante. Halle el campo magnético (a) en un punto fuera del cable y (b) en un punto dentro del cable. Escriba su respuesta en términos de la corriente neta I que pasa por el cable. a. B = μ 0 I 2 π r ; b. B = μ 0 J 0 r 2 3 R Un cable cilíndrico muy largo de radio a tiene un agujero circular de radio b en él a una distancia d del centro. El cable lleva una corriente uniforme de magnitud I a través de él. La dirección de la corriente en la figura está fuera del papel. Halle el campo magnético (a) en un punto del borde del agujero más cercano al centro del cable grueso, (b) en un punto arbitrario dentro del agujero, y (c) en un punto arbitrario fuera del cable. ( Pista: Piense en el agujero como una suma de dos cables que llevan la corriente en direcciones opuestas). Campo magnético dentro de un toroide. Consideremos un toro de sección rectangular con radio interior a y radio exterior b . N vueltas de un alambre delgado aislado se bobinan uniformemente en el toro, firmemente alrededor de este, y se conectan a una batería que produce una corriente constante I en el alambre. Supongamos que la corriente en las superficies superior e inferior de la figura es radial, y la corriente en las superficies del radio interior y exterior es vertical. Halle el campo magnético en el interior del toro en función de la distancia radial r al eje. B ( r ) = μ 0 N I / 2 π r Dos largos tubos coaxiales de cobre, cada uno de ellos de longitud L , están conectados a una batería de voltaje V . El tubo interior tiene radio interior a y radio exterior b , y el tubo exterior tiene radio interior c y radio exterior d . A continuación, los tubos se desconectan de la batería y se giran en la misma dirección a una velocidad angular de ω radianes por segundo alrededor de su eje común. Halle el campo magnético (a) en un punto dentro del espacio encerrado por el tubo interior r < a , y (b) en un punto entre los tubos b < r < c , y (c) en un punto fuera de los tubos r > d . ( Pista: Piense en los tubos de cobre como un condensador y calcule la densidad de carga en función del voltaje aplicado, Q = V C , C = 2 π ε 0 L ln ( c / b ) .) Problemas de desafíos La figura adjunta muestra una lámina plana e infinitamente larga de anchura a que lleva una corriente I uniformemente distribuida a través de ella. Halle el campo magnético en el punto P, que está en el plano de la lámina y a una distancia x de un borde. Pruebe su resultado para el límite a → 0 . B = μ 0 I 2 π a ln x + a x . Una corriente hipotética que fluye en la dirección z crea el campo B → = C [ ( x / y 2 ) i ^ + ( 1 / y ) j ^ ] en la región rectangular del plano xy que se muestra en la figura adjunta. Utilice la ley de Ampère para calcular la corriente que atraviesa el rectángulo. Un disco circular de goma dura no conductora de radio R está pintado con una densidad de carga superficial uniforme σ . Se gira alrededor de su eje con velocidad angular ω . (a) Halle el campo magnético producido en un punto del eje a una distancia h metros del centro del disco. (b) Calcule el valor numérico de la magnitud del campo magnético cuando σ = 1 C/m 2 , R = 20 cm , h = 2 cm , y ω = 400 rad/seg , y compárelo con la magnitud del campo magnético de la Tierra, que es de aproximadamente 1/2 Gauss. a. B = μ 0 σ ω 2 [ 2 h 2 + R 2 R 2 + h 2 −2 h ] ; b. B = 4,09 × 10 −5 T , 82 % del campo magnético de la Tierra materiales diamagnéticos sus dipolos magnéticos se alinean de forma opuesta a un campo magnético aplicado; cuando se retira el campo, el material se desimanta materiales ferromagnéticos contienen grupos de dipolos, llamados dominios, que se alinean con el campo magnético aplicado; cuando este campo se retira, el material sigue magnetizado histéresis propiedad de los ferromagnetos que se observa cuando se examina el campo magnético de un material versus el campo magnético aplicado; se crea un bucle resultante de barrer el campo aplicado hacia delante y hacia atrás susceptibilidad magnética relación del campo magnético en el material sobre el campo aplicado en ese momento; las susceptibilidades positivas son paramagnéticas o ferromagnéticas (alineadas con el campo) y las negativas son diamagnéticas (alineadas en sentido contrario al campo) dominios magnéticos grupos de dipolos magnéticos alineados en la misma dirección y acoplados mecánicamente materiales paramagnéticos sus dipolos magnéticos se alinean parcialmente en la misma dirección que el campo magnético aplicado; cuando este campo se retira, el material se desimanta

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Introducción La banda negra que se encuentra en el reverso de las tarjetas de crédito y los permisos de conducir es una capa muy fina de material magnético con información almacenada. La lectura y escritura de la información de la tarjeta de crédito se realiza con un movimiento de barrido. La razón física por la que esto es necesario se denomina inducción electromagnética y se analiza en este capítulo (créditos: modificación del trabajo de Jane Whitney). Hemos estado considerando los campos eléctricos creados por distribuciones de carga fijas y los campos magnéticos producidos por corrientes constantes, pero los fenómenos electromagnéticos no se limitan a estas situaciones estacionarias. La mayoría de las aplicaciones interesantes del electromagnetismo son, de hecho, dependientes del tiempo. Para investigar algunas de estas aplicaciones, ahora eliminamos la suposición de independencia del tiempo que hemos estado haciendo y permitimos que los campos varíen con el tiempo. En este capítulo y en los siguientes, verá una maravillosa simetría en el comportamiento exhibido por los campos eléctricos y magnéticos que varían en el tiempo. Matemáticamente, esta simetría se expresa mediante un término adicional en la ley de Ampère y por otra ecuación clave del electromagnetismo llamada ley de Faraday. También discutimos sobre cómo el movimiento de un cable a través de un campo magnético produce emf o voltaje. Por último, se describen las aplicaciones de estos principios, como el lector de tarjetas mostrado anteriormente.

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Ley de Faraday Los primeros experimentos productivos sobre los efectos de los campos magnéticos que varían en el tiempo fueron realizados por Michael Faraday en 1831. Uno de sus primeros experimentos está representado en la . Se una emf cuando el campo magnético de la bobina se modifica al empujar una barra magnética dentro o fuera de la bobina. Las emf de signos opuestos se producen por el movimiento en direcciones opuestas, y las direcciones de las emf también se invierten al invertir los polos. Se producen los mismos resultados si se mueve la bobina en lugar del imán: lo importante es el movimiento relativo. Cuanto más rápido es el movimiento, mayor es la emf, y no hay emf cuando el imán está inmóvil respecto a la bobina. El movimiento de un imán con respecto a una bobina produce emf como se muestra (a-d). Las mismas emf se producen si la bobina se mueve con respecto al imán. Esta emf de corta duración solo está presente durante el movimiento. Cuanto mayor es la velocidad, mayor es la magnitud de la emf, y esta es cero cuando no hay movimiento, como se muestra en (e). Faraday también descubrió que se puede producir un efecto similar utilizando dos circuitos: una corriente cambiante en un circuito induce una corriente en un segundo circuito cercano. Por ejemplo, cuando el interruptor está cerrado en el circuito 1 de la (a), la aguja del amperímetro del circuito 2 se desvía momentáneamente, indicando que se ha inducido un pico de corriente de corta duración en ese circuito. La aguja del amperímetro vuelve rápidamente a su posición original, donde permanece. Sin embargo, si ahora se abre repentinamente el interruptor del circuito 1, se observa en el circuito 2 otro pico de corriente de corta duración en sentido contrario al anterior. (a) Al cerrar el interruptor del circuito 1 se produce un pico de corriente de corta duración en el circuito 2. (b) Si el interruptor permanece cerrado, no se observa corriente en el circuito 2. (c) Al abrir de nuevo el interruptor se produce una corriente de corta duración en el circuito 2, pero en sentido contrario al anterior. Faraday se dio cuenta de que en ambos experimentos, una corriente fluía en el circuito que contenía el amperímetro solo cuando el campo magnético en la región ocupada por ese circuito estaba cambiando . Al mover el imán de la figura, cambiaba la intensidad de su campo magnético en el bucle; y al conectar o desconectar la corriente en el circuito 1, cambiaba la intensidad de su campo magnético en el circuito 2. Faraday pudo finalmente interpretar estos y todos los demás experimentos con campos magnéticos que varían con el tiempo en términos de la siguiente ley: Ley de Faraday La emf ε inducida es el cambio negativo en el flujo magnético Φ m por unidad de tiempo. Cualquier cambio en el campo magnético o en la orientación del área de la bobina con respecto al campo magnético induce un voltaje (emf). El flujo magnético es una medida de la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesa una superficie determinada, como se ve en la . Esta definición es similar al flujo eléctrico estudiado anteriormente. Esto significa que si tenemos Φ m = ∫ S B → · n ^ d A , entonces la emf inducida o el voltaje generado por un conductor o bobina que se mueve en un campo magnético es ε = − d d t ∫ S B → · n ^ d A = − d Φ m d t . El signo negativo describe la dirección en la que la emf inducida conduce la corriente alrededor de un circuito. Sin embargo, esa dirección se determina más fácilmente con una regla conocida como ley de Lenz, de la que hablaremos en breve. El flujo magnético es la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesan una superficie A definida por el vector de área unitaria n ^ . Si el ángulo entre el área unitaria n ^ y el vector del campo magnético B → son paralelos o antiparalelos, como se muestra en el diagrama, el flujo magnético es el mayor valor posible dados los valores de área y campo magnético. La parte (a) de la representa un circuito y una superficie arbitraria S a la que limita. Observe que S es una superficie abierta . Se puede demostrar que cualquier superficie abierta delimitada por el circuito en cuestión puede utilizarse para evaluar Φ m . Por ejemplo, Φ m es el mismo para las distintas superficies S 1 , S 2 , … de la parte (b) de la figura. (a) Un circuito que delimita una superficie abierta arbitraria S . El área plana delimitada por el circuito no forma parte de S . (b) Tres superficies abiertas arbitrarias delimitadas por el mismo circuito. El valor de Φ m es el mismo para todas estas superficies. La unidad del SI para el flujo magnético es el weber (Wb), 1 Wb = 1 T · m 2 . En ocasiones, la unidad de campo magnético se expresa en webers por metro cuadrado ( Wb/m 2 ) en lugar de teslas, basándose en esta definición. En muchas aplicaciones prácticas, el circuito de interés consiste en un número N de vueltas apretadas (ver ). Cada vuelta experimenta el mismo flujo magnético. Por lo tanto, el flujo magnético neto a través de los circuitos es N veces el flujo a través de una vuelta, y la ley de Faraday se escribe como ε = − d d t ( N Φ m ) = − N d Φ m d t . Una bobina cuadrada en un campo magnético cambiante La bobina cuadrada de la tiene lados l = 0,25 m de largo y se bobina firmemente con N = 200 vueltas de cable. La resistencia de la bobina es R = 5,0 Ω . La bobina se encuentra en un campo magnético espacialmente uniforme que se dirige perpendicularmente a la cara de la bobina y cuya magnitud disminuye a una velocidad d B / d t = -0,040 T / s . (a) ¿Cuál es la magnitud de la emf inducida en la bobina? (b) ¿Cuál es la magnitud de la corriente que circula por la bobina? Una bobina cuadrada con N vueltas de alambre con campo magnético uniforme B → dirigido hacia abajo, perpendicular a la bobina. Estrategia El vector de área, o dirección n ^ , es perpendicular al área que cubre el bucle. Elegiremos que esto apunte hacia abajo para que B → sea paralelo a n ^ y que el flujo se convierta en la multiplicación del campo magnético por el área. El área del bucle no cambia en el tiempo, por lo que se puede eliminar de la derivada temporal, dejando el campo magnético como la única cantidad que varía en el tiempo. Por último, podemos aplicar la ley de Ohm una vez conocida la emf inducida para calcular la corriente en el bucle. Solución El flujo a través de una vuelta es Φ m = B A = B l 2 , por lo que podemos calcular la magnitud de la emf a partir de la ley de Faraday. El signo de la emf se discutirá en la siguiente sección, en la ley de Lenz: | ε | = | − N d Φ m d t | = N l 2 d B d t = ( 200 ) ( 0,25 m ) 2 ( 0,040 T/s ) = 0,50 V . La magnitud de la corriente inducida en la bobina es I = ε R = 0,50 V 5,0 Ω = 0,10 A . Importancia Si el área del bucle cambiara en el tiempo, no podríamos sacarlo de la derivada temporal. Como el bucle es una trayectoria cerrada, el resultado de esta corriente sería un pequeño calentamiento de los cables hasta que el campo magnético deje de cambiar. Esto puede aumentar ligeramente el área del bucle al calentarse los cables. Una bobina estrechamente enrollada tiene un radio de 4,0 cm, 50 vueltas y una resistencia total de 40 Ω . ¿A qué velocidad debe cambiar un campo magnético perpendicular a la cara de la bobina para producir un calentamiento Joule en la bobina a una velocidad de 2,0 mW? 1,1 T/s Resumen El flujo magnético a través de un área cerrada se define como la cantidad de líneas de campo que atraviesan una superficie A definida por el vector de área unitaria. Las unidades del flujo magnético son los webers, donde 1 Wb = 1 T · m 2 . La emf inducida en un bucle cerrado debido a un cambio en el flujo magnético a través del bucle se conoce como la ley de Faraday. Si no hay cambio en el flujo magnético, no se crea ninguna emf inducida. Preguntas conceptuales Una bobina estacionaria se encuentra en un campo magnético que cambia con el tiempo. ¿La emf inducida en la bobina depende de los valores reales del campo magnético? La emf depende de la velocidad de cambio del campo magnético. En los experimentos de Faraday, ¿cuál sería la ventaja de utilizar bobinas con muchas vueltas? Un anillo de cobre y un anillo de madera de las mismas dimensiones se colocan en campos magnéticos para que haya el mismo cambio de flujo magnético a través de ellos. Compare los campos eléctricos inducidos y las corrientes en los anillos. Ambos tienen los mismos campos eléctricos inducidos; sin embargo, el anillo de cobre tiene una emf inducida mucho mayor porque conduce la electricidad mejor que el anillo de madera. Analice los factores que determinan la emf inducida en un bucle cerrado de cable. (a) ¿La emf inducida en un circuito depende de su resistencia? (b) ¿La corriente inducida depende de la resistencia del circuito? a. no; b. sí ¿Cómo afectaría a la emf el cambio del radio del bucle D que se muestra a continuación, suponiendo que C y D están mucho más juntos en comparación con sus radios? ¿Puede haber una emf inducida en un circuito en un instante en el que el flujo magnético que atraviesa el circuito es cero? Mientras el flujo magnético cambie de positivo a negativo o de negativo a positivo, puede haber una emf inducida. ¿La emf inducida siempre actúa para disminuir el flujo magnético a través de un circuito? ¿Cómo colocaría un bucle plano de cable en un campo magnético cambiante para que no haya emf inducida en el bucle? Coloque el bucle de manera que las líneas de campo sean perpendiculares al vector área o paralelas a la superficie. La normal al plano de un bucle conductor de una vuelta está dirigida con un ángulo θ a un campo magnético espacialmente uniforme B → . Tiene un área fija y una orientación relativa al campo magnético. Demuestre que la emf inducida en el bucle viene dada por ε = ( d B / d t ) ( A cos θ ) , donde A es el área del bucle. Problemas Una bobina de 50 vueltas tiene un diámetro de 15 cm. La bobina se coloca en un campo magnético espacialmente uniforme de magnitud 0,50 T de manera que la cara de la bobina y el campo magnético sean perpendiculares. Halle la magnitud de la emf inducida en la bobina si el campo magnético se reduce a cero uniformemente en (a) 0,10 s, (b) 1,0 s y (c) 60 s. Repita sus cálculos del tiempo del problema anterior de 0,1 s con el plano de la bobina haciendo un ángulo de (a) 30 ° , (b) 60 ° , y (c) 90 ° con el campo magnético. a. 3,8 V; b. 2,2 V; c. 0 V Se hace un bucle cuadrado cuyos lados miden 6,0 cm de longitud con alambre de cobre de radio 1,0 mm. Si un campo magnético perpendicular al bucle cambia a una velocidad de 5,0 mT/s, ¿cuál es la corriente en el bucle? El campo magnético a través de un bucle circular de radio 10,0 cm varía con el tiempo como se muestra a continuación. El campo es perpendicular al bucle. Trace la magnitud de la emf inducida en el bucle en función del tiempo. B = 1,5 t , 0 ≤ t < 2,0 ms , B = 3,0 mT , 2,0 ms ≤ t ≤ 5,0 ms , B = −3,0 t + 18 mT , 5,0 ms < t ≤ 6,0 ms , ε = − d Φ m d t = − d ( B A ) d t = − A d B d t , ε = − π ( 0,100 m ) 2 ( 1,5 T/s ) = -47 mV ( 0 ≤ t < 2,0 ms ) , ε = π ( 0,100 m ) 2 ( 0 ) = 0 ( 2,0 ms ≤ t ≤ 5,0 ms ) , ε = − π ( 0,100 m ) 2 ( −3,0 T/s ) = 94 mV ( 5,0 ms < t < 6,0 ms ) . La figura adjunta muestra una bobina rectangular de una vuelta que tiene una resistencia de 2,0 Ω . El campo magnético en todos los puntos del interior de la bobina varía según B = B 0 e − α t , donde B 0 = 0,25 T y α = 200 Hz . ¿Cuál es la corriente inducida en la bobina en (a) t = 0,001 s , (b) 0,002 s, (c) 2,0 s? ¿Cómo cambiarían las respuestas al problema anterior si la bobina estuviera formada por 20 bucles muy juntos? Cada respuesta es 20 veces las respuestas dadas anteriormente. Un solenoide largo con n = 10 vueltas por centímetro tiene una sección transversal de 5,0 cm 2 y lleva una corriente de 0,25 A. Una bobina de cinco vueltas rodea el solenoide. Cuando la corriente que pasa por el solenoide se apaga, disminuye a cero en 0,050 s. ¿Cuál es la emf media inducida en la bobina? Un bucle de alambre rectangular con longitud a y anchura b se encuentra en el plano xy , como se muestra a continuación. Dentro del bucle existe un campo magnético dependiente del tiempo dado por B → ( t ) = C ( ( x cos ω t ) i ^ + ( y sen ω t ) k ^ ) , con B → ( t ) en tesla. Determine la emf inducida en el bucle en función del tiempo. n ^ = k ^ , d Φ m = C y sen ( ω t ) d x d y , Φ m = C a b 2 sen ( ω t ) 2 , ε = − C a b 2 ω cos ( ω t ) 2 . El campo magnético perpendicular a un bucle de alambre de 10,0 cm de diámetro disminuye de 0,50 T a cero. El cable es de cobre y tiene un diámetro de 2,0 mm y una longitud de 1,0 cm. ¿Cuánta carga se mueve a través del cable mientras el campo cambia? ley de Faraday se crea una emf inducida en un bucle cerrado debido a un cambio en el flujo magnético a través del bucle emf inducida voltaje de corta duración generado por un conductor o una bobina que se mueve en un campo magnético flujo magnético medición de la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesan un área determinada

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