Introducción Un tren de levitación magnética (Magnetic Levitation, maglev) de la serie L0 de JR Central realiza una prueba en la pista de pruebas de Yamanashi. El movimiento del tren de maglev puede describirse mediante la cinemática, que es el tema de este capítulo (créditos: modificación del trabajo de "Maryland GovPics"/Flickr). Nuestro universo está lleno de objetos en movimiento. Desde las estrellas, los planetas y las galaxias, el movimiento de las personas y de los animales, hasta la escala microscópica de los átomos y las moléculas, todo en nuestro universo está en movimiento. Podemos describir el movimiento con la ayuda de las dos disciplinas de la cinemática y la dinámica. Estudiamos la dinámica, que se ocupa de las causas del movimiento, en las Leyes del movimiento de Newton . Sin embargo, hay mucho que aprender sobre el movimiento sin referirse a lo que lo causa, y esto es el estudio de la cinemática. La cinemática consiste en describir el movimiento mediante propiedades como la posición, el tiempo, la velocidad y la aceleración. El tratamiento completo de la cinemática considera el movimiento en dos y tres dimensiones. Por ahora, hablamos del movimiento en una dimensión, lo que nos proporciona las herramientas necesarias para estudiar el movimiento multidimensional. Un buen ejemplo de un objeto que experimenta un movimiento unidimensional es el tren de maglev (levitación magnética), representado al principio de este capítulo. Cuando viaja, por ejemplo, de Tokio a Kioto, se encuentra en diferentes posiciones a lo largo de la vía en varios momentos de su viaje; por ende, tiene desplazamientos o cambios de posición. También tiene una variedad de velocidades a lo largo de su trayectoria y sufre aceleraciones (cambios de velocidad). Con los conocimientos aprendidos en este capítulo podemos calcular estas cantidades y la velocidad media. Todas estas magnitudes pueden describirse mediante la cinemática, sin conocer la masa del tren ni las fuerzas que intervienen.

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Posición, desplazamiento y velocidad media Cuando está en movimiento, las preguntas básicas que debe hacerse son: ¿dónde está? ¿A dónde va? ¿Qué tan rápido llega? Las respuestas a estas preguntas requieren que especifique su posición, su desplazamiento y su velocidad media, los términos que definimos en esta sección. Posición Para describir el movimiento de un objeto, primero hay que poder describir su posición ( x ): dónde se encuentra en un momento determinado . Más concretamente, necesitamos especificar su posición respecto a un marco de referencia conveniente. Un marco de referencia es un conjunto arbitrario de ejes a partir del cual se describen la posición y el movimiento de un objeto. La Tierra se utiliza a menudo como marco de referencia, y con frecuencia describimos la posición de un objeto en relación con los objetos estacionarios de la Tierra. Por ejemplo, el lanzamiento de un cohete podría describirse en términos de la posición del cohete con respecto a la Tierra en su conjunto, mientras que la posición de una ciclista podría describirse en términos de dónde se encuentra en relación con los edificios por los que pasa en la . En otros casos, utilizamos marcos de referencia que no son estacionarios, sino que están en movimiento respecto a la Tierra. Para describir la posición de una persona en un avión, por ejemplo, utilizamos el avión, no la Tierra, como marco de referencia. Para describir la posición de un objeto que experimenta un movimiento unidimensional, solemos utilizar la variable x . Más adelante en el capítulo, durante el análisis de la caída libre, utilizamos la variable y . Estos ciclistas en Vietnam pueden describirse por sus posiciones con respecto a los edificios o al canal. Sus movimientos pueden describirse mediante sus cambios de posición, o desplazamientos, en un marco de referencia (créditos: modificación de un trabajo de Suzan Black). Desplazamiento Si un objeto se mueve con respecto a un marco de referencia, por ejemplo, si una profesora se desplaza hacia la derecha con respecto a una pizarra como en la , la posición del objeto cambia. Este cambio de posición se denomina desplazamiento . La palabra desplazamiento implica que un objeto se ha movido o ha sido desplazado. Si bien la posición es el valor numérico de la x a lo largo de una línea recta en la que puede estar situado un objeto, el desplazamiento da el cambio de posición a lo largo de esta línea. Dado que el desplazamiento indica la dirección, es un vector y puede ser positivo o negativo, dependiendo de la elección de la dirección positiva. Además, en un análisis de movimiento puede haber muchos desplazamientos. Si la derecha es positiva y un objeto se desplaza 2 m a la derecha y luego 4 m a la izquierda, los desplazamientos individuales son 2 m y −4 m, respectivamente. La profesora se pasea a la izquierda y a la derecha mientras da una conferencia. Su posición respecto a la Tierra viene dada por la x . El desplazamiento de +2,0 m de la profesora con respecto a la Tierra está representado por una flecha que apunta a la derecha. Desplazamiento Desplazamiento Δ x es el cambio de posición de un objeto: Δ x = x f − x 0 , donde Δ x es el desplazamiento, x f es la posición final, y x 0 es la posición inicial. Utilizamos la letra griega mayúscula delta (Δ) con el significado de "cambio en" cualquier cantidad que le siga; así, Δ x significa cambio de posición (posición final menos posición inicial). Siempre resolvemos el desplazamiento restando la posición inicial x 0 de la posición final x f . Hay que tener en cuenta que la unidad del SI para el desplazamiento es el metro, pero a veces utilizamos kilómetros u otras unidades de longitud. Asimismo, que cuando en un problema se utilicen unidades distintas a los metros, es posible que tenga que convertirlas a metros para completar el cálculo (vea el Apéndice B ). Los objetos en movimiento también pueden tener una serie de desplazamientos. En el ejemplo anterior de la profesora que se paseaba, los desplazamientos individuales son de 2 m y −4 m, lo que supone un desplazamiento total de -2 m. Definimos el desplazamiento total Δ x Total , como la suma de los desplazamientos individuales , y lo expresamos matemáticamente con la ecuación Δ x Total = ∑ Δ x i , donde Δ x i son cada uno de los desplazamientos. En el ejemplo anterior, Δ x 1 = x 1 − x 0 = 2 − 0 = 2 m. De la misma manera, Δ x 2 = x 2 − x 1 = −2 − ( 2 ) = −4 m Por lo tanto, Δ x Total = Δ x 1 + Δ x 2 = 2 − 4 = −2 m . El desplazamiento total es de 2 - 4 = -2 m hacia la izquierda, es decir, en dirección negativa. También es útil para calcular la magnitud del desplazamiento, o su tamaño. La magnitud del desplazamiento siempre es positiva. Es el valor absoluto del desplazamiento, porque el desplazamiento es un vector y no puede tener un valor negativo de magnitud. En nuestro ejemplo, la magnitud del desplazamiento total es de 2 m, mientras que las magnitudes de cada uno de los desplazamientos son de 2 m y 4 m. La magnitud del desplazamiento total no debe confundirse con la distancia recorrida. La distancia recorrida x Total , es la longitud total del camino recorrido entre dos posiciones. En el problema anterior, la distancia recorrida es la suma de las magnitudes de cada uno de los desplazamientos: x Total = | Δ x 1 | + | Δ x 2 | = 2 + 4 = 6 m . Velocidad media Para calcular las demás magnitudes físicas de la cinemática debemos introducir la variable de tiempo. La variable de tiempo nos permite no solo indicar dónde está el objeto (su posición) durante su movimiento, sino también a qué velocidad se mueve. La velocidad a la que se mueve un objeto viene dada por la tasa en la que cambia la posición con el tiempo. Para cada posición x i , asignamos un tiempo determinado t i . Si los detalles del movimiento en cada instante no son importantes, la tasa suele expresarse como la velocidad media v – . Esta cantidad vectorial es simplemente el desplazamiento total entre dos puntos, dividido entre el tiempo que tarda en viajar entre ellos. El tiempo que tarda en viajar entre dos puntos se denomina tiempo transcurrido Δ t . Velocidad media Si x 1 y x 2 son las posiciones de un objeto en los tiempos t 1 y t 2 , respectivamente, entonces Velocidad media = v – = Desplazamiento entre dos puntos Tiempo transcurrido entre dos puntos v – = Δ x Δ t = x 2 − x 1 t 2 − t 1 . Es importante señalar que la velocidad media es un vector y puede ser negativa, dependiendo de las posiciones x 1 y x 2 . Entrega de volantes Jill sale de su casa para entregar volantes para su venta de garaje; viaja hacia el este a lo largo de la calle bordeada de casas. A 0,5 km y 9 minutos después se queda sin volantes y tiene que volver sobre sus pasos hasta su casa para conseguir más. Esto le toma 9 minutos más. Tras recoger más volantes, vuelve a emprender el mismo camino al continuar por donde lo dejó, y termina a 1,0 km de su casa. En esta tercera etapa de su viaje tarda 15 minutos. En ese momento regresa hacia su casa, en dirección al oeste. Después de 1,75 km y 25 minutos se detiene a descansar. ¿Cuál es el desplazamiento total de Jill hasta el punto en que se detiene a descansar? ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento final? ¿Cuál es la velocidad media durante todo su viaje? ¿Cuál es la distancia total recorrida? Haga un gráfico de la posición en función del tiempo. Se muestra un esquema de los movimientos de Jill en la . Línea del tiempo de los movimientos de Jill. Estrategia El problema contiene datos sobre los distintos tramos del viaje de Jill, por lo que valdría la pena hacer una tabla con las cantidades físicas. En el enunciado del problema se nos da la posición y el tiempo para poder calcular los desplazamientos y el tiempo transcurrido. Consideramos que el este es la dirección positiva. A partir de esta información podemos encontrar el desplazamiento total y la velocidad media. La casa de Jill es el punto de partida x 0 . En la siguiente tabla se indican la hora y la posición de Jill en las dos primeras columnas, y los desplazamientos se calculan en la tercera columna. Tiempo t i (min) Posición x i (km) Desplazamiento Δ x i (km) t 0 = 0 x 0 = 0 Δ x 0 = 0 t 1 = 9 x 1 = 0,5 Δ x 1 = x 1 − x 0 = 0,5 t 2 = 18 x 2 = 0 Δ x 2 = x 2 − x 1 = −0,5 t 3 = 33 x 3 = 1,0 Δ x 3 = x 3 − x 2 = 1,0 t 4 = 58 x 4 = −0,75 Δ x 4 = x 4 − x 3 = −1,75 Solución De la tabla anterior, el desplazamiento total es ∑ Δ x i = 0,5 − 0,5 + 1,0 − 1,75 km = −0,75 km . La magnitud del desplazamiento total es | −0,75 | km = 0,75 km . Velocidad media = Desplazamiento total Tiempo transcurrido = v – = −0,75 km 58 min = -0,013 km/min La distancia total recorrida (suma de las magnitudes de cada uno de los desplazamientos) es x Total = ∑ | Δ x i | = 0,5 + 0,5 + 1,0 + 1,75 km = 3,75 km . Podemos graficar la posición de Jill en función del tiempo como una herramienta útil para ver el movimiento; el gráfico se muestra en la . Este gráfico representa la posición de Jill en función del tiempo. La velocidad media es la pendiente de una línea que une los puntos inicial y final. Importancia El desplazamiento total de Jill es de -0,75 km, lo que significa que al final de su viaje termina 0,75 km al oeste de su casa. La velocidad media significa que si alguien caminara hacia el oeste a 0,013 km/min comenzando a la misma hora que Jill salió de su casa, ambos llegarían al punto de parada final al mismo tiempo. Hay que tener en cuenta que si Jill terminara su viaje en su casa, su desplazamiento total sería cero, así como su velocidad media. La distancia total recorrida durante los 58 minutos de tiempo transcurrido de su viaje es de 3,75 km. Un ciclista recorre 3 km hacia el oeste y luego da la vuelta y recorre 2 km hacia el este. (a) ¿Cuál es su desplazamiento? (b) ¿Cuál es la distancia recorrida? (c) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento? (a) El desplazamiento del ciclista es Δ x = x f − x 0 = −1 km . (El desplazamiento es negativo porque tomamos el este como positivo y el oeste como negativo). (b) La distancia recorrida es de 3 km + 2 km = 5 km. (c) La magnitud del desplazamiento es de 1 km. Resumen La cinemática es la descripción del movimiento sin considerar sus causas. En este capítulo, se limita al movimiento ectilíneo, llamado movimiento unidimensional. El desplazamiento es el cambio de posición de un objeto. La unidad del SI para el desplazamiento es el metro. El desplazamiento tiene tanto dirección como magnitud. La distancia recorrida es la longitud total del camino recorrido entre dos posiciones. El tiempo se mide en términos de cambio. El tiempo entre dos puntos de posición x 1 y x 2 es Δ t = t 2 − t 1 . El tiempo transcurrido de un evento es Δ t = t f − t 0 , donde t f es el tiempo final y t 0 es el tiempo inicial. El tiempo inicial se toma como cero. La velocidad media v – se define como el desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido. Si x 1 , t 1 y x 2 , t 2 son dos puntos temporales de posición, la velocidad media entre estos puntos es v – = Δ x Δ t = x 2 − x 1 t 2 − t 1 . Preguntas conceptuales Dé un ejemplo en el que haya distinciones claras entre la distancia recorrida, el desplazamiento y la magnitud del desplazamiento. Identifique específicamente cada cantidad en su ejemplo. Conduce su auto hasta la ciudad y vuelve a pasar por su casa para ir a la de un amigo. ¿En qué circunstancias la distancia recorrida equivale a la magnitud del desplazamiento? ¿Cuál es el único caso en el que la magnitud del desplazamiento y la distancia son exactamente iguales? Las bacterias se mueven de un lado a otro utilizando sus flagelos (estructuras que parecen pequeñas colas). Se han observado valores de rapidez de hasta 50 μm/s (50 × 10 -6 m/s). La distancia total recorrida por una bacteria es grande para su tamaño, mientras que su desplazamiento es pequeño. ¿Por qué? Si las bacterias se mueven de un lado a otro, los desplazamientos se anulan entre sí y el desplazamiento final es pequeño. Dé un ejemplo de un dispositivo utilizado para medir el tiempo e identifique qué cambio en ese dispositivo indica un cambio en el tiempo. ¿El cuentakilómetros de un auto mide la distancia recorrida o el desplazamiento? La distancia recorrida Durante un intervalo de tiempo determinado, la velocidad media de un objeto es cero. ¿Qué puede concluir sobre su desplazamiento en el intervalo de tiempo? Problemas Consideremos un sistema de coordenadas en el que el eje de la x positiva se dirige verticalmente hacia arriba. ¿Cuáles son las posiciones de una partícula (a) 5,0 m directamente por encima del origen y (b) 2,0 m por debajo del origen? Un auto se encuentra a 2,0 km al oeste de un semáforo en t = 0 y 5,0 km al este del semáforo en t = 6,0 min. Supongamos que el origen del sistema de coordenadas es el semáforo y la dirección de la x positiva es hacia el este. (a) ¿Cuáles son los vectores de posición del auto en estos dos momentos? (b) ¿Cuál es el desplazamiento del auto entre 0 min y 6,0 min? a. x → 1 = ( −2,0 m ) i ^ , x → 2 = ( 5,0 m ) i ^ ; b. 7,0 m al este El tren maglev de Shanghái conecta Longyang Road con el aeropuerto internacional de Pudong, a una distancia de 30 km. El trayecto dura un promedio de 8 minutos. ¿Cuál es la velocidad media del tren maglev? La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje de la x viene dada por x ( t ) = 4,0 − 2,0 t m. (a) ¿En qué momento la partícula cruza el origen? (b) ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre t = 3,0 s y t = 6,0 s ? a. t = 2,0 s; b. x ( 6,0 ) − x ( 3,0 ) = −8,0 − ( −2,0 ) = −6,0 m Un ciclista recorre 8,0 km hacia el este durante 20 minutos, luego gira y se dirige al oeste durante 8 minutos y 3,2 km. Finalmente, recorre 16 km hacia el este, lo que le lleva 40 minutos. (a) ¿Cuál es el desplazamiento final del ciclista? (b) ¿Cuál es su velocidad media? El 15 de febrero de 2013, un meteorito superbólido (más brillante que el Sol) entró en la atmósfera terrestre sobre Cheliábinsk (Rusia) y estalló a 23,5 km de altura. Los testigos pudieron sentir el intenso calor de la bola de fuego, y la onda expansiva de la explosión hizo volar las ventanas de los edificios. La onda expansiva tardó aproximadamente 2 minutos y 30 segundos en alcanzar el nivel del suelo. La onda expansiva se desplazó a 10° sobre el horizonte. a) ¿Cuál fue la velocidad media de la onda expansiva? b) Compárela con la velocidad del sonido, que es de 343 m/s a nivel del mar. a. 150,0 s, v – = 156,7 m/s ; b. El 163 % de la velocidad del sonido a nivel del mar o aproximadamente Mach 2. velocidad media el desplazamiento dividido entre el tiempo en que se produce el desplazamiento a una aceleración constante desplazamiento el cambio de posición de un objeto distancia recorrida la longitud total del camino recorrido entre dos posiciones tiempo transcurrido la diferencia entre el tiempo final y el tiempo inicial cinemática la descripción del movimiento mediante propiedades como la posición, el tiempo, la velocidad y la aceleración posición la ubicación de un objeto en un momento determinado desplazamiento total la suma de cada uno de los desplazamientos durante un tiempo determinado

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Velocidad y rapidez instantáneas Ahora hemos visto cómo calcular la velocidad media entre dos posiciones. Sin embargo, dado que los objetos en el mundo real se mueven continuamente a través del espacio y el tiempo, nos gustaría encontrar la velocidad de un objeto en cualquier punto. Podemos encontrar la velocidad del objeto en cualquier punto de su trayectoria mediante algunos principios fundamentales del cálculo. Esta sección nos permite comprender mejor la física del movimiento y nos servirá en capítulos posteriores. Velocidad instantánea La cantidad que nos indica qué tan rápido se mueve un objeto en cualquier punto de su trayectoria es la velocidad instantánea , normalmente llamada simplemente velocidad . Es la velocidad media entre dos puntos de la trayectoria en el límite en que el tiempo (y, por ende, el desplazamiento) entre ambos puntos se aproxima a cero. Para ilustrar esta idea matemáticamente, necesitamos expresar la posición de la x como una función continua de t denotada por x (t ). La expresión para la velocidad media entre dos puntos con esta notación es v – = x ( t 2 ) − x ( t 1 ) t 2 − t 1 . Para encontrar la velocidad instantánea en cualquier posición, suponemos que t 1 = t y t 2 = t + Δ t . Tras incorporar estas expresiones en la ecuación de la velocidad media y tomar el límite como Δ t → 0 , encontramos la expresión para la velocidad instantánea: v ( t ) = lim Δ t → 0 x ( t + Δ t ) − x ( t ) Δ t = d x ( t ) d t . Velocidad instantánea La velocidad instantánea de un objeto es el límite de la velocidad media a medida que el tiempo transcurrido se acerca a cero, o la derivada de x con respecto a t : v ( t ) = d d t x ( t ) . Al igual que la velocidad media, la velocidad instantánea es un vector con dimensión de longitud por tiempo. La velocidad instantánea en un momento determinado t 0 es la tasa de cambio de la función de posición, que es la pendiente de la función de posición x ( t ) en t 0 . La muestra cómo la velocidad media v – = Δ x Δ t entre dos tiempos se aproxima a la velocidad instantánea en t 0 . La velocidad instantánea se muestra en el tiempo t 0 , que resulta estar en el máximo de la función de posición. La pendiente del gráfico de posición es cero en este punto; por ende, la velocidad instantánea es cero. Para otros tiempos, t 1 , t 2 , y así sucesivamente, la velocidad instantánea no es cero porque la pendiente del gráfico de posición sería positiva o negativa. Si la función de posición tuviera un mínimo, la pendiente del gráfico de posición también sería cero, lo que daría una velocidad instantánea de cero también allí. Así, los ceros de la función de velocidad dan el mínimo y el máximo de la función de posición. En un gráfico de posición en función del tiempo, la velocidad instantánea es la pendiente de la línea tangente en un punto determinado. Las velocidades medias v – = Δ x Δ t = x f − x i t f − t i entre tiempos Δ t = t 6 − t 1 , Δ t = t 5 − t 2 , y Δ t = t 4 − t 3 se muestran. Cuando Δ t → 0 , la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea en t = t 0 . Encontrar la velocidad a partir de un gráfico de posición en función del tiempo Dado el gráfico de posición en función del tiempo de la , halle el gráfico de velocidad en función del tiempo. El objeto comienza en la dirección positiva, se detiene brevemente y luego invierte la dirección, para dirigirse de nuevo hacia el origen. Observe que el objeto llega al reposo instantáneamente, lo que requeriría una fuerza infinita. Así, el gráfico es una aproximación al movimiento en el mundo real. (El concepto de fuerza se trata en las Leyes de movimiento de Newton ). Estrategia El gráfico contiene tres líneas rectas durante tres intervalos. Encontramos la velocidad durante cada intervalo al tomar la pendiente de la línea con la cuadrícula. Solución Intervalo de 0 s a 0,5 s: v – = Δ x Δ t = 0,5 m − 0,0 m 0,5 s − 0,0 s = 1,0 m/s Intervalo de 0,5 s a 1,0 s: v – = Δ x Δ t = 0,5 m − 0,5 m 1,0 s − 0,5 s = 0,0 m/s Intervalo de 1,0 s a 2,0 s: v – = Δ x Δ t = 0,0 m − 0,5 m 2,0 s − 1,0 s = −0,5 m/s El gráfico de estos valores de velocidad en función del tiempo se muestra en la . La velocidad es positiva durante la primera parte del recorrido, cero cuando el objeto se detiene y negativa cuando el objeto invierte su dirección. Importancia Durante el intervalo de 0 s a 0,5 s, la posición del objeto se aleja del origen y la curva de la posición en función del tiempo tiene una pendiente positiva. En cualquier punto de la curva durante este intervalo, podemos encontrar la velocidad instantánea al tomar su pendiente, que es de +1 m/s, como se muestra en la . En el intervalo posterior, de 0,5 s a 1,0 s, la posición no cambia y vemos que la pendiente es cero. De 1,0 s a 2,0 s, el objeto retrocede hacia el origen y la pendiente es de -0,5 m/s. El objeto ha invertido su dirección y tiene una velocidad negativa. Rapidez En el lenguaje cotidiano, la mayoría de la gente utiliza indistintamente los términos rapidez y velocidad . Sin embargo, en física no tienen el mismo significado y son conceptos distintos. Una diferencia importante es que la rapidez no tiene dirección; es decir, la rapidez es un escalar. Podemos calcular la rapidez media al hallar la distancia total recorrida dividida entre el tiempo transcurrido: Rapidez media = s – = Distancia total Tiempo transcurrido . La rapidez media no es necesariamente la misma que la magnitud de la velocidad media, que se encuentra al dividir la magnitud del desplazamiento total entre el tiempo transcurrido. Por ejemplo, si un viaje comienza y termina en el mismo lugar, el desplazamiento total es cero y, por tanto, la velocidad media es cero. Sin embargo, la rapidez media no es cero, porque la distancia total recorrida es mayor que cero. Si hacemos un viaje por carretera de 300 km y tenemos que llegar a nuestro destino a una hora determinada, entonces nos interesaría conocer nuestra rapidez media. Sin embargo, podemos calcular la rapidez instantánea a partir de la magnitud de la velocidad instantánea: Rapidez instantánea = | v ( t ) | . Si una partícula se mueve a lo largo del eje de la x a +7,0 m/s y otra partícula se mueve a lo largo del mismo eje a -7,0 m/s, tienen velocidades diferentes, pero ambas tienen la misma rapidez de 7,0 m/s. En la siguiente tabla se muestran algunos valores de rapidez típicos. Rapidez de diversos objetos Rapidez m/s mi/h Deriva continental 10 −7 2 × 10 −7 Caminata rápida 1,7 3,9 Ciclista 4,4 10 Corredor de velocidad 12,2 27 Límite de velocidad en zonas rurales 24,6 56 Récord oficial de velocidad en tierra 341,1 763 Velocidad del sonido a nivel del mar 343 768 Transbordador espacial en reentrada 7.800 17.500 Velocidad de escape de la Tierra* 11.200 25.000 Rapidez orbital de la Tierra alrededor del Sol 29.783 66.623 Velocidad de la luz en el vacío 299.792.458 670.616.629 *La velocidad de escape es la velocidad a la que debe lanzarse un objeto para que supere la gravedad terrestre y no sea arrastrado hacia la Tierra. Calcular la velocidad instantánea Al calcular la velocidad instantánea, necesitamos especificar la forma explícita de la función de posición x ( t ) . Si cada término de la ecuación x ( t ) tiene la forma de A t n donde A es una constante y n es un número entero, esto se puede diferenciar con la regla de la potencia para que sea: d ( A t n ) d t = A n t n − 1 . Observe que, si hay más términos que se suman, esta regla de la potencia de la diferenciación puede hacerse varias veces y la solución es la suma de esos términos. El siguiente ejemplo ilustra el empleo de la . Velocidad instantánea en función de la velocidad media La posición de una partícula viene dada por x ( t ) = 3,0 t + 0,5 t 3 m . Utilizando la y la , halle la velocidad instantánea en t = 2,0 s. Calcule la velocidad media entre 1,0 s y 3,0 s. Estrategia La da la velocidad instantánea de la partícula como la derivada de la función de posición. Al observar la forma de la función de posición dada, vemos que es un polinomio en t . Por lo tanto, podemos utilizar la , la regla de la potencia del cálculo, para encontrar la solución. Utilizamos la para calcular la velocidad media de la partícula. Solución v ( t ) = d x ( t ) d t = 3,0 + 1,5 t 2 m/s . Sustituyendo t = 2,0 s en esta ecuación se obtiene v ( 2,0 s ) = [ 3,0 + 1,5 ( 2,0 ) 2 ] m/s = 9,0 m/s . Para determinar la velocidad media de la partícula entre 1,0 s y 3,0 s, calculamos los valores de la x (1,0 s) y la x (3,0 s): x ( 1,0 s ) = [ ( 3,0 ) ( 1,0 ) + 0,5 ( 1,0 ) 3 ] m = 3,5 m x ( 3,0 s ) = [ ( 3,0 ) ( 3,0 ) + 0,5 ( 3,0 ) 3 ] m = 22,5 m. Entonces la velocidad media es v – = x ( 3,0 s ) − x ( 1,0 s ) t ( 3,0 s ) − t ( 1,0 s ) = 22,5 − 3,5 m 3,0 − 1,0 s = 9,5 m/s . Importancia En el límite de que el intervalo utilizado para calcular v − llega a cero, el valor obtenido para v − converge al valor de v. Velocidad instantánea en función de la rapidez Consideremos el movimiento de una partícula en la que la posición es x ( t ) = 3,0 t − 3 t 2 m . ¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 0,25 s, t = 0,50 s y t = 1,0 s? ¿Cuál es la rapidez de la partícula en esos momentos? Estrategia La velocidad instantánea es la derivada de la función de posición y la rapidez es la magnitud de la velocidad instantánea. Utilizamos la y la para resolver la velocidad instantánea. Solución v ( t ) = d x ( t ) d t = 3,0 − 6,0 t m/s v ( 0,25 s ) = 1,50 m/s, v ( 0,5 s ) = 0 m/s, v ( 1,0 s ) = −3,0 m/s Rapidez = | v ( t ) | = 1,50 m/s , 0,0 m/s, y 3,0 m/s Importancia La velocidad de la partícula nos brinda información sobre la dirección, lo cual indica que la partícula se mueve hacia la izquierda (oeste) o hacia la derecha (este). La rapidez da la magnitud de la velocidad. Al graficar la posición, la velocidad y la rapidez como funciones del tiempo, podemos entender estos conceptos visualmente en la . En (a), el gráfico muestra que la partícula se mueve en dirección positiva hasta t = 0,5 s, cuando invierte su dirección. La inversión de la dirección también puede verse en (b) a los 0,5 s, donde la velocidad es cero y luego se vuelve negativa. A 1,0 s vuelve al origen donde comenzó. La velocidad de la partícula a 1,0 s en (b) es negativa, porque está viajando en la dirección negativa. Sin embargo, en (c), su rapidez es positiva y permanece así durante todo el recorrido. También podemos interpretar la velocidad como la pendiente del gráfico de posición en función del tiempo. La pendiente de la x (t ) es decreciente hacia cero, para convertirse en cero a los 0,5 s y pasar a ser cada vez más negativa a partir de ese momento. Este análisis de comparación de los gráficos de posición, velocidad y rapidez sirve para detectar errores en los cálculos. Los gráficos deben ser coherentes entre sí y contribuir a interpretar los cálculos. (a) Posición: x (t ) en función del tiempo. (b) Velocidad: v (t ) en función del tiempo. La pendiente del gráfico de posición es la velocidad. La comparación aproximada de las pendientes de las líneas tangentes en (a) a 0,25 s, 0,5 s y 1,0 s con los valores de la velocidad en los tiempos correspondientes indica que son los mismos valores. (c) Rapidez: | v ( t ) | en función del tiempo. La rapidez es siempre un número positivo. La posición de un objeto como función del tiempo es x ( t ) = −3 t 2 m . (a) ¿Cuál es la velocidad del objeto como función del tiempo? (b) ¿La velocidad es siempre positiva? (c) ¿Cuáles son la velocidad y la rapidez en t = 1,0 s? (a) Tomando la derivada de x (t ) se obtiene v ( t ) = -6 t m/s. (b) No, porque el tiempo nunca puede ser negativo. (c) La velocidad es v (1,0 s) = -6 m/s y la rapidez es | v ( 1,0 s ) | = 6 m/s . Resumen La velocidad instantánea es una función continua del tiempo y da la velocidad en cualquier momento durante el movimiento de una partícula. Podemos calcular la velocidad instantánea en un momento determinado al tomar la derivada de la función de posición, lo que nos da la forma funcional de la velocidad instantánea v (t ). La velocidad instantánea es un vector y puede ser negativa. La rapidez instantánea se encuentra al tomar el valor absoluto de la velocidad instantánea, y siempre es positiva. La rapidez media es la distancia total recorrida, dividida entre el tiempo transcurrido. La pendiente de un gráfico de posición en función del tiempo en un momento determinado da la velocidad instantánea en ese momento. Preguntas conceptuales Existe una distinción entre la rapidez media y la magnitud de la velocidad media. Dé un ejemplo que ilustre la diferencia entre estas dos cantidades. La rapidez media es la distancia total recorrida, dividida entre el tiempo transcurrido. Si va a dar un paseo a pie, entre salir y volver a su casa, su rapidez media es un número positivo. Dado que la velocidad media = desplazamiento/tiempo transcurrido, su velocidad media es cero. ¿El velocímetro de un auto mide la velocidad o la rapidez? Si divide la distancia total recorrida en un viaje en auto (determinada por el cuentakilómetros) entre el tiempo transcurrido del recorrido, ¿está calculando la rapidez media o la magnitud de la velocidad media? ¿En qué circunstancias son iguales estas dos cantidades? Rapidez media. Son iguales si el auto no invierte la dirección. ¿Cómo se relacionan la velocidad instantánea y la rapidez instantánea? ¿En qué se diferencian? Problemas Una marmota corre 20 m hacia la derecha en 5 s, luego gira y corre 10 m hacia la izquierda en 3 s. (a) ¿Cuál es la velocidad media de la marmota? (b) ¿Cuál es su rapidez media? Trace un esquema del gráfico de velocidad en función del tiempo a partir del siguiente gráfico de posición en función del tiempo. Trace un esquema del gráfico de velocidad en función del tiempo a partir del siguiente gráfico de posición en función del tiempo. Dado el siguiente gráfico de velocidad en función del tiempo, haga un esquema del gráfico de posición en función del tiempo. Un objeto tiene una función de posición x (t ) = 5 t m. (a) ¿Cuál es la velocidad en función del tiempo? (b) Grafique la función de posición y la función de velocidad. Una partícula se mueve a lo largo del eje de la x según x ( t ) = 10 t − 2 t 2 m . (a) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 2 s y t = 3 s? (b) ¿Cuál es la rapidez instantánea en esos momentos? (c) ¿Cuál es la velocidad media entre t = 2 s y t = 3 s? a. v ( t ) = ( 10 − 4 t ) m/s ; v (2 s) = 2 m/s, v (3 s) = -2 m/s; b. | v ( 2 s ) | = 2 m/s , | v ( 3 s ) | = 2 m/s ; (c) v – = 0 m/s Resultados poco razonables. Una partícula se mueve a lo largo del eje de la x según x ( t ) = 3 t 3 + 5 t  . ¿En qué momento la velocidad de la partícula es igual a cero? ¿Esto es razonable? velocidad instantánea la velocidad en un instante o momento específico rapidez instantánea el valor absoluto de la velocidad instantánea rapidez media la distancia total recorrida, dividida entre el tiempo transcurrido

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Aceleración media e instantánea La importancia de comprender la aceleración abarca tanto nuestra experiencia cotidiana como los vastos alcances del espacio exterior y el diminuto mundo de la física subatómica. En la conversación cotidiana, acelerar significa aumentar la rapidez, pisar el pedal del freno disminuye la velocidad del vehículo. Estamos familiarizados con la aceleración de nuestro auto, por ejemplo. Cuanto mayor sea la aceleración, mayor será el cambio de velocidad en un momento determinado. La aceleración está muy presente en la física experimental. En los experimentos con aceleradores de partículas lineales, por ejemplo, las partículas subatómicas se aceleran a velocidades muy altas en experimentos de colisión, que nos brindan información sobre la estructura del mundo subatómico, así como sobre el origen del universo. En el espacio, los rayos cósmicos son partículas subatómicas que se han acelerado hasta alcanzar energías muy elevadas en las supernovas (estrellas masivas que explotan) y los núcleos galácticos activos. Es importante entender los procesos que aceleran los rayos cósmicos, ya que estos rayos contienen una radiación muy penetrante que puede dañar los componentes electrónicos de las naves espaciales, por ejemplo. Aceleración media La definición formal de aceleración concuerda con estas nociones que acabamos de describir, pero es más inclusiva. Aceleración media La aceleración media es la tasa a la que cambia la velocidad: a – = Δ v Δ t = v f − v 0 t f − t 0 , donde a − es la aceleración media , v es la velocidad y t es el tiempo. (La barra sobre la a significa aceleración media ). Dado que la aceleración es la velocidad en metros por segundo dividida entre el tiempo en segundos, las unidades del SI para la aceleración suelen abreviarse como m/s 2 , es decir, metros por segundo al cuadrado o metros por segundo por segundo. Esto significa literalmente cuántos metros por segundo cambia la velocidad cada segundo. Recordemos que la velocidad es un vector, tiene tanto magnitud como dirección, lo que significa que un cambio en la velocidad puede ser un cambio en la magnitud (o rapidez), pero también puede ser un cambio en la dirección. Por ejemplo, si una corredora que se desplaza a 10 km/h hacia el este se detiene lentamente, invierte la dirección y continúa su carrera a 10 km/h hacia el oeste, su velocidad cambia como resultado del cambio de dirección, aunque la magnitud de la velocidad es la misma en ambas direcciones. Por lo tanto, la aceleración se produce cuando la velocidad cambia de magnitud (un aumento o disminución de la rapidez) o de dirección, o ambas cosas. La aceleración como vector La aceleración es un vector en la misma dirección que el cambio de velocidad, Δ v . Dado que la velocidad es un vector, puede cambiar de magnitud o de dirección, o ambas. La aceleración es, por lo tanto, un cambio de rapidez o de dirección, o ambos. Tenga en cuenta que, aunque la aceleración se produzca en la dirección del cambio de velocidad, no siempre se produce en la dirección del movimiento. Cuando un objeto se ralentiza, su aceleración es opuesta a la dirección de su movimiento. Aunque esto se denomina comúnmente desaceleración como en la , decimos que el tren acelera en una dirección opuesta a su dirección de movimiento. Un tren subterráneo en Sao Paulo, Brasil, desacelera al llegar a una estación. Acelera en una dirección opuesta a la de su movimiento (créditos: modificación del trabajo de Yusuke Kawasaki). El término desaceleración puede causar confusión en nuestro análisis porque no es un vector y no apunta a una dirección específica con respecto a un sistema de coordenadas, motivo por el cual no lo utilizamos. La aceleración es un vector, por lo que debemos elegir el signo apropiado en nuestro sistema de coordenadas elegido. En el caso del tren en la , la aceleración es en sentido negativo en el sistema de coordenadas elegido , por lo que decimos que el tren sufre una aceleración negativa. Si un objeto en movimiento tiene una velocidad en la dirección positiva con respecto a un origen elegido y adquiere una aceleración negativa constante, el objeto acaba por detenerse e invertir su dirección. Si esperamos lo suficiente, el objeto pasa por el origen, y va en dirección contraria. Esto se ilustra en la . Un objeto en movimiento con un vector de velocidad hacia el este bajo una aceleración negativa se detiene e invierte su dirección. Pasa por el origen, y va en dirección contraria, después de un tiempo suficiente. Calcular la aceleración media: un caballo de carreras sale de la compuerta Un caballo de carreras al salir de la compuerta acelera desde el reposo hasta una velocidad de 15,0 m/s hacia el oeste en 1,80 s. ¿Cuál es su aceleración media? Caballos de carreras que aceleran al salir de la compuerta (créditos: modificación de la obra de Jon Sullivan). Estrategia Primero, dibujamos un esquema y asignamos un sistema de coordenadas al problema como en la . Este es un problema sencillo, pero siempre ayuda visualizarlo. Observe que asignamos el este como positivo y el oeste como negativo. Por lo tanto, en este caso, tenemos una velocidad negativa. Identifique el sistema de coordenadas, la información dada y lo que quiere determinar. Podemos resolver este problema identificando Δ v y Δ t a partir de la información dada, y luego calcular la aceleración media directamente a partir de la ecuación a – = Δ v Δ t = v f − v 0 t f − t 0 . Solución En primer lugar, identifique los valores conocidos: v 0 = 0 , v f = −15,0 m/s (el signo negativo indica la dirección hacia el oeste), Δ t = 1,80 s. En segundo lugar, calcule el cambio de velocidad. Dado que el caballo pasa de cero a -15,0 m/s, su cambio de velocidad es igual a su velocidad final: Δ v = v f − v 0 = v f = −15,0 m/s . Por último, sustituya los valores conocidos ( Δ v y Δ t ) y resuelva la incógnita a – : a – = Δ v Δ t = −15,0 m/s 1,80 s = -8,33 m/s 2 . Importancia El signo negativo indica que la aceleración es hacia el oeste. Una aceleración de 8,33 m/s 2 hacia el oeste significa que el caballo aumenta su velocidad en 8,33 m/s hacia el oeste cada segundo; es decir, 8,33 metros por segundo por segundo, que escribimos como 8,33 m/s 2 . Se trata realmente de una aceleración media, porque el paseo no es suave. Más adelante veremos que una aceleración de esta magnitud requeriría que el jinete se aferrara con una fuerza casi igual a su peso. Los protones en una aceleración lineal se aceleran desde el reposo hasta 2,0 × 10 7 m/s en 10 -4 s. ¿Cuál es la aceleración media de los protones? Al incorporar los valores conocidos, tenemos a – = Δ v Δ t = 2,0 × 10 7 m/s − 0 10 −4 s − 0 = 2,0 × 10 11 m/s 2 . Aceleración instantánea La aceleración instantánea a , o aceleración en un instante específico , se obtiene con el mismo proceso que se mencionó para la velocidad instantánea. Es decir, calculamos la aceleración media entre dos puntos de tiempo separados por Δ t y suponemos que Δ t se acerca a cero. El resultado es la derivada de la función de velocidad v ( t ), que es la aceleración instantánea y se expresa matemáticamente como a ( t ) = d d t v ( t ) . Así, al igual que la velocidad es la derivada de la función de posición, la aceleración instantánea es la derivada de la función de velocidad. Podemos mostrarlo gráficamente de la misma manera que la velocidad instantánea. En la , la aceleración instantánea en el tiempo t 0 es la pendiente de la línea tangente a al gráfico de velocidad en función del tiempo en el tiempo t 0 . Vemos que la aceleración media a – = Δ v Δ t se acerca a la aceleración instantánea como Δ t se acerca a cero. También en la parte (a) de la figura, vemos que la velocidad tiene un máximo cuando su pendiente es cero. Este tiempo corresponde al cero de la función de aceleración. En la parte (b), se muestra la aceleración instantánea en la velocidad mínima, que también es cero, ya que la pendiente de la curva también es cero. Así, para una función de velocidad dada, los ceros de la función de aceleración dan el mínimo o el máximo de la velocidad. En un gráfico de velocidad en función del tiempo, la aceleración instantánea es la pendiente de la línea tangente. (a) Se muestra la aceleración media a – = Δ v Δ t = v f − v i t f − t i entre los tiempos Δ t = t 6 − t 1 , Δ t = t 5 − t 2 y Δ t = t 4 − t 3 . Cuando Δ t → 0 , la aceleración media se aproxima a la aceleración instantánea en el tiempo t 0 . En la vista (a), se muestra la aceleración instantánea para el punto de la curva de velocidad en la velocidad máxima. En este punto, la aceleración instantánea es la pendiente de la línea tangente, que es cero. En cualquier otro momento, la pendiente de la línea tangente, y, por tanto, la aceleración instantánea, no sería cero. (b) Igual que en (a), pero se muestra para la aceleración instantánea en la velocidad mínima. Para ilustrar este concepto, veamos dos ejemplos. En primer lugar, se muestra un ejemplo sencillo con la (b), el gráfico de velocidad en función del tiempo del , para encontrar la aceleración gráficamente. Este gráfico se representa en la (a), que es una línea recta. El gráfico correspondiente de la aceleración en función del tiempo se encuentra a partir de la pendiente de la velocidad y se muestra en la (b). En este ejemplo, la función de velocidad es una línea recta con una pendiente constante, por lo que la aceleración es una constante. En el siguiente ejemplo, la función de velocidad tiene una dependencia funcional más complicada al tiempo. (a, b) El gráfico de velocidad en función del tiempo es lineal y tiene una pendiente negativa constante (a) que es igual a la aceleración, mostrada en (b). Si conocemos la forma funcional de la velocidad, v ( t ), podemos calcular la aceleración instantánea a ( t ) en cualquier punto temporal del movimiento utilizando la . Calcular la aceleración instantánea Una partícula está en movimiento y se acelera. La forma funcional de la velocidad es v ( t ) = 20 t − 5 t 2 m/s . Halle la forma funcional de la aceleración. Halle la velocidad instantánea en t = 1, 2, 3 y 5 s. Halle la aceleración instantánea en t = 1, 2, 3 y 5 s. Interprete los resultados de (c) en términos de las direcciones de los vectores aceleración y velocidad. Estrategia Encontramos la forma funcional de la aceleración al tomar la derivada de la función de velocidad. A continuación, calculamos los valores de la velocidad y la aceleración instantáneas a partir de las funciones dadas para cada una de ellas. Para la parte (d), tenemos que comparar las direcciones de la velocidad y la aceleración en cada momento. Solución a ( t ) = d v ( t ) d t = 20 − 10 t m/s 2 v ( 1 s ) = 15 m/s , v ( 2 s ) = 20 m/s , v ( 3 s ) = 15 m/s , v ( 5 s ) = −25 m/s a ( 1 s ) = 10 m/s 2 , a ( 2 s ) = 0 m/s 2 , a ( 3 s ) = −10 m/s 2 , a ( 5 s ) = −30 m/s 2 En t = 1 s, la velocidad v ( 1 s) = 15 m/s es positiva y la aceleración también, de allí que, tanto la velocidad como la aceleración están en la misma dirección. La partícula se mueve más rápido. En t = 2 s, la velocidad ha aumentado a v ( 2 s) = 20 m/s , donde es su máximo, lo que corresponde al momento en que la aceleración es cero. Vemos que la velocidad máxima se produce cuando la pendiente de la función de velocidad es cero, que es justo el cero de la función de aceleración. En t = 3 s, la velocidad es v ( 3 s) = 15 m/s y la aceleración es negativa. Se ha reducido la velocidad de la partícula y el vector de aceleración es negativo. La partícula se ralentiza. En t = 5 s, la velocidad es v ( 5 s) = −25 m/s y la aceleración es cada vez más negativa. Entre los tiempos t = 3 s y t = 5 s la velocidad de la partícula ha disminuido a cero y luego se ha vuelto negativa, lo que invierte su dirección. La partícula vuelve a acelerar, pero en sentido contrario. Podemos ver estos resultados gráficamente en la . (a) Velocidad en función del tiempo. Las líneas tangentes se indican en los tiempos 1, 2 y 3 s. Las pendientes de las líneas tangentes son las aceleraciones. En t = 3 s, la velocidad es positiva. En t = 5 s, la velocidad es negativa, lo que indica que la dirección de la partícula se ha invertido. (b) Aceleración en función del tiempo. Comparando los valores de las aceleraciones dadas por los puntos negros con las correspondientes pendientes de las líneas tangentes (pendientes de las líneas que pasan por los puntos negros) en (a), vemos que son idénticas. Importancia Al hacer un análisis tanto numérico como gráfico de la velocidad y la aceleración de la partícula, podemos aprender mucho sobre su movimiento. El análisis numérico complementa el análisis gráfico para ofrecer una visión total del movimiento. El cero de la función de aceleración corresponde al máximo de la velocidad en este ejemplo. También en este ejemplo, la aceleración aumenta cuando es positiva y en la misma dirección que la velocidad. A medida que la aceleración se inclina a cero, hasta el punto de ser negativa, la velocidad alcanza un máximo, tras el cual comienza a disminuir. Si esperamos lo suficiente, la velocidad también se vuelve negativa, lo que indica inversión de la dirección. Un ejemplo del mundo real de este tipo de movimiento es un auto con una velocidad en aumento, hasta llegar a un máximo, tras lo cual empieza a desacelerar, se detiene y luego invierte la dirección. Un avión aterriza en una pista rumbo al este. Describa su aceleración. Si tomamos el este como positivo, entonces el avión tiene una aceleración negativa porque está acelerando hacia el oeste. También desacelera; su aceleración es en sentido contrario a su velocidad. Cómo sentir la aceleración Probablemente esté acostumbrado a experimentar la aceleración cuando entra en un elevador o pisa el acelerador de su auto. Sin embargo, la aceleración se produce en muchos otros objetos de nuestro universo con los que no tenemos contacto directo. La presenta la aceleración de varios objetos. Podemos ver que las aceleraciones pasan por muchos órdenes de magnitud. Valores típicos de aceleración Aceleración Valor (m/s 2 ) Tren de alta velocidad 0,25 Elevador 2 Guepardo 5 Objeto en caída libre, sin resistencia del aire, cerca de la superficie de la Tierra 9,8 Máximo del transbordador espacial durante el lanzamiento 29 Pico del paracaidista durante la apertura normal del paracaídas 59 Avión F16 al salir de una caída en picada 79 Eyección del asiento del avión 147 Misil Sprint 982 Pico de aceleración del trineo de cohetes más rápido 1.540 Pulga saltarina 3.200 Bola de béisbol al ser golpeada por un bate 30.000 Cierre de las mandíbulas de una hormiga de mandíbula trampa 1.000.000 Protón en el Gran Colisionador de Hadrones 1,9 × 10 9 (créditos: Wikipedia: Órdenes de magnitud (aceleración)) En esta tabla, vemos que las aceleraciones típicas varían mucho con los diferentes objetos y no tienen nada que ver ni con el tamaño del objeto ni con su masa. La aceleración también puede variar mucho durante el movimiento de un objeto. Un auto de carreras tiene una gran aceleración justo después del arranque, pero luego disminuye a medida que alcanza una velocidad constante. Su aceleración media puede ser muy distinta a su aceleración instantánea en un momento determinado de su movimiento. La compara gráficamente la aceleración media con la aceleración instantánea para dos movimientos muy diferentes. Gráficos de la aceleración instantánea en función del tiempo para dos movimientos unidimensionales diferentes. (a) La aceleración apenas varía y es siempre en la misma dirección, ya que es positiva. La media a lo largo del intervalo es casi igual a la aceleración en un momento dado. (b) La aceleración varía mucho, tal vez representando un paquete en la cinta transportadora de una oficina de correos que acelera hacia delante y hacia atrás, a medida que avanza. Es necesario considerar intervalos de tiempo pequeños (como de 0 a 1,0 s) con una aceleración constante o casi constante en tal situación. Aprenda sobre los gráficos de posición, velocidad y aceleración. Mueva al hombrecito de un lado a otro con el ratón y trace su movimiento. Establezca la posición, la velocidad o la aceleración y deje que la simulación mueva al hombre por usted. Visite este enlace para utilizar la simulación del hombre en movimiento. Resumen La aceleración es la tasa en la que cambia la velocidad. La aceleración es un vector: tiene tanto una magnitud como una dirección. La unidad del SI para la aceleración es el metro por segundo al cuadrado. La aceleración puede causarla un cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad, o en ambas. La aceleración instantánea a ( t ) es una función continua del tiempo y produce la aceleración en cualquier momento específico durante el movimiento. Se calcula a partir de la derivada de la función de velocidad. La aceleración instantánea es la pendiente del gráfico de la velocidad en función del tiempo. La aceleración negativa (a veces llamada desaceleración) es la aceleración en la dirección negativa en el sistema de coordenadas elegido. Preguntas conceptuales ¿Es posible que la rapidez sea constante mientras la aceleración no sea cero? No, en una dimensión la rapidez constante requiere una aceleración cero. ¿Es posible que la velocidad sea constante mientras la aceleración no sea cero? Explique. Dé un ejemplo en el que la velocidad sea cero y la aceleración no. Se lanza una pelota al aire y su velocidad es cero en el vértice del lanzamiento, pero la aceleración no es cero. Si un tren subterráneo se desplaza hacia la izquierda (tiene una velocidad negativa) y luego se detiene, ¿cuál es la dirección de su aceleración? ¿La aceleración es positiva o negativa? Los signos más y menos se utilizan en el movimiento unidimensional para indicar la dirección. ¿Cuál es el signo de una aceleración que reduce la magnitud de una velocidad negativa? ¿De una velocidad positiva? Más, menos Un guepardo puede acelerar desde el reposo hasta una rapidez de 30,0 m/s en 7,00 s. ¿Cuál es su aceleración? a = 4,29 m/s 2 El Dr. John Paul Stapp fue un oficial de las Fuerzas Aéreas de los EE. UU. que estudió los efectos de la aceleración extrema en el cuerpo humano. El 10 de diciembre de 1954, Stapp se montó en un trineo cohete, aceleró desde el reposo hasta una velocidad máxima de 282 m/s (1.015 km/h) en 5,00 s y regresó al reposo de forma brusca en solo 1,40 s. Calcule su (a) aceleración en su dirección de movimiento y (b) aceleración opuesta a su dirección de movimiento. Exprese cada una en múltiplos de g (9,80 m/s 2 ) tomando su relación con la aceleración de la gravedad. Haga un esquema del gráfico de la aceleración en función del tiempo a partir del siguiente gráfico de velocidad en función del tiempo. Una persona sale con su auto del garaje con una aceleración de 1,40 m/s 2 . (a) ¿Cuánto tarda en alcanzar una rapidez de 2,00 m/s? (b) Si frena hasta detenerse en 0,800 s, ¿cuál es su aceleración? Supongamos que un misil balístico intercontinental pasa del reposo a una rapidez suborbital de 6,50 km/s en 60,0 s (la rapidez y el tiempo reales son clasificados). ¿Cuál es su aceleración media en metros por segundo y en múltiplos de g (9,80 m/s 2 )? a = 11,1 g Un avión, que parte del reposo, se desplaza por la pista con aceleración constante durante 18 s y luego despega a una rapidez de 60 m/s. ¿Cuál es la aceleración media del avión? aceleración media la tasa del cambio de la velocidad; el cambio de la velocidad en el tiempo aceleración instantánea aceleración en un momento determinado

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Movimiento con aceleración constante Puede suponer que, cuanto mayor sea la aceleración de, por ejemplo, un auto que se aleja de una señal de pare, mayor será el desplazamiento del auto en un tiempo determinado. Sin embargo, no hemos desarrollado ninguna ecuación específica que relacione la aceleración y el desplazamiento. En esta sección, veremos algunas ecuaciones convenientes para las relaciones cinemáticas, empezando por las definiciones de desplazamiento, velocidad y aceleración. En primer lugar, investigamos un único objeto en movimiento, denominado movimiento de un solo cuerpo. Luego, investigamos el movimiento de dos objetos, denominado problemas de persecución de dos cuerpos . Notación En primer lugar, hagamos algunas simplificaciones en la notación. Tomar el tiempo inicial como cero, como si el tiempo se midiera con un cronómetro, es una gran simplificación. Como el tiempo transcurrido es Δ t = t f − t 0 , al tomar t 0 = 0 significa que Δ t = t f , el tiempo final del cronómetro. Cuando el tiempo inicial se toma como cero, utilizamos el subíndice 0 para denotar los valores iniciales de posición y velocidad. Es decir, x 0 es la posición inicial y v 0 es la velocidad inicial . No ponemos subíndices en los valores finales. O sea, t es el tiempo final , x es la posición final y v es la velocidad final . Esto da una expresión más simple para el tiempo transcurrido, Δ t = t . También simplifica la expresión para el desplazamiento x , que ahora es Δ x = x − x 0 . Además, simplifica la expresión para el cambio en la velocidad, que ahora es Δ v = v − v 0 . En resumen, utilizando la notación simplificada, con el tiempo inicial tomado como cero, Δ t = t Δ x = x − x 0 Δ v = v − v 0 , donde el subíndice 0 denota un valor inicial y la ausencia de subíndice denota un valor final en cualquier movimiento que se considere. Ahora hacemos la importante suposición de que la aceleración es constante . Esta suposición nos permite evitar el uso del cálculo para encontrar la aceleración instantánea. Como la aceleración es constante, las aceleraciones media e instantánea son iguales, es decir, a – = a = constante . Por lo tanto, podemos utilizar el símbolo a para la aceleración en todos los tiempos. Suponer que la aceleración es constante no limita seriamente las situaciones que podemos estudiar ni degrada la exactitud de nuestro tratamiento. Por un lado, la aceleración es constante en un gran número de situaciones. Además, en muchas otras situaciones podemos describir el movimiento con exactitud suponiendo una aceleración constante igual a la aceleración media de ese movimiento. Por último, para los movimientos en los que la aceleración cambia drásticamente, como un auto que acelera hasta alcanzar la velocidad máxima y luego frena hasta detenerse, el movimiento puede considerarse en partes separadas, cada una de las cuales tiene su propia aceleración constante. Desplazamiento y posición a partir de la velocidad Para obtener nuestras dos primeras ecuaciones, empezamos con la definición de velocidad media: v – = Δ x Δ t . Sustituir la notación simplificada por Δ x y Δ t produce v – = x − x 0 t . Al resolver la x obtenemos x = x 0 + v – t , donde la velocidad media es v – = v 0 + v 2 . La ecuación v – = v 0 + v 2 refleja el hecho de que, cuando la aceleración es constante, v – es solo el simple promedio de las velocidades inicial y final. La ilustra este concepto gráficamente. En la parte (a) de la figura, la aceleración es constante y la velocidad aumenta a una tasa constante. La velocidad media durante el intervalo de 1 hora entre 40 km/h y 80 km/h es de 60 km/h: v – = v 0 + v 2 = 40 km/h + 80 km/h 2 = 60 km/h . En la parte (b), la aceleración no es constante. Durante el intervalo de 1 hora, la velocidad está más cerca de 80 km/h que de 40 km/h. Por lo tanto, la velocidad media es mayor que en la parte (a). (a) Gráfico de velocidad en función del tiempo con aceleración constante que muestra las velocidades inicial y final v 0 y v . La velocidad media es 1 2 ( v 0 + v ) = 60 km / h . (b) Gráfico de velocidad en función del tiempo con una aceleración que cambia con el tiempo. La velocidad media no viene dada por 1 2 ( v 0 + v ) , pero es superior a 60 km/h. Resolución de la velocidad final a partir de la aceleración y el tiempo Podemos derivar otra ecuación útil al manipular la definición de aceleración: a = Δ v Δ t . Sustituir la notación simplificada por Δ v y Δ t nos da a = v − v 0 t ( constante a ) . Si se resuelve v , se obtiene v = v 0 + a t ( constante a ) . Calcular la velocidad final Un avión aterriza a una velocidad inicial de 70,0 m/s y luego desacelera a 1,50 m/s 2 durante 40,0 s. ¿Cuál es su velocidad final? Estrategia En primer lugar, identificamos los valores conocidos: v 0 = 70 m/s, a = −1,50 m/s 2 , t = 40 s . En segundo lugar, identificamos la incógnita; en este caso, es la velocidad final v f . Por último, determinamos qué ecuación utilizar. Para ello, averiguamos qué ecuación cinemática nos da la incógnita en función de los valores conocidos. Calculamos la velocidad final mediante el empleo de la , v = v 0 + a t . Solución Sustituya los valores conocidos y resuelva: v = v 0 + a t = 70,0 m/s + ( −1,50 m/ s 2 ) ( 40,0 s ) = 10,0 m/s. La es un esquema que muestra los vectores de aceleración y velocidad. El avión aterriza con una velocidad inicial de 70,0 m/s y reduce su velocidad hasta una velocidad final de 10,0 m/s antes de dirigirse a la terminal. Observe que la aceleración es negativa porque su dirección es opuesta a la velocidad, que es positiva. Importancia La velocidad final es mucho menor que la inicial, como se desea al frenar, pero sigue siendo positiva (ver la figura). Con los motores a reacción, el empuje inverso puede mantenerse el tiempo suficiente para detener el avión y empezar a moverlo hacia atrás, lo que se indica con una velocidad final negativa, pero no es el caso aquí. Además de ser útil en la resolución de problemas, la ecuación v = v 0 + a t nos permite conocer las relaciones entre la velocidad, la aceleración y el tiempo. Podemos ver, por ejemplo, que la velocidad final depende de la magnitud de la aceleración y de su duración; si la aceleración es cero, entonces la velocidad final es igual a la velocidad inicial ( v = v 0 ), como era de esperar (en otras palabras, la velocidad es constante); si a es negativa, la velocidad final es menor que la inicial. Todas estas observaciones se ajustan a nuestra intuición. Hay que tener en cuenta que siempre es útil examinar las ecuaciones básicas a tenor de nuestra intuición y experiencia para comprobar que efectivamente describen la naturaleza con exactitud. Resolución de la posición final a partir de la aceleración constante Podemos combinar las ecuaciones anteriores para encontrar una tercera ecuación que nos permita calcular la posición final de un objeto que experimenta una aceleración constante. Comenzamos con v = v 0 + a t . Sumando v 0 a cada lado de esta ecuación y dividiendo entre 2 se obtiene v 0 + v 2 = v 0 + 1 2 a t . Dado que v 0 + v 2 = v – para una aceleración constante, tenemos v – = v 0 + 1 2 a t . Ahora sustituimos esta expresión por v – en la ecuación del desplazamiento, x = x 0 + v – t , que produce x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ( constante a ) . Calcular el desplazamiento de un objeto en aceleración Los dragsters pueden alcanzar una aceleración media de 26,0 m/s 2 . Supongamos que un dragster acelera desde el reposo a esta tasa durante 5,56 s como en la . ¿Qué distancia recorre en este tiempo? El piloto de Top Fuel del ejército estadounidense, Tony "The Sarge" (el sargento) Schumacher, comienza la carrera con el calentamiento de neumáticos controlado (créditos: teniente coronel William Thurmond. Foto cortesía del Ejército de los EE. UU.). Estrategia En primer lugar, dibujemos un esquema como la . Se nos pide que encontremos el desplazamiento, que es x si tomamos x 0 como cero. (Piense en x 0 como la línea de salida de una carrera. Puede estar en cualquier lugar, pero lo llamamos cero y medimos todas las demás posiciones en relación con él). Podemos utilizar la ecuación x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 cuando identificamos v 0 , a , y t del enunciado del problema. Esquema de un dragster en aceleración. Solución En primer lugar, tenemos que identificar los valores conocidos. Partir del reposo significa que v 0 = 0 , a se da como 26,0 m/s 2 y t se da como 5,56 s. En segundo lugar, sustituimos los valores conocidos en la ecuación para resolver la incógnita: x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 . Dado que la posición y la velocidad iniciales son ambas cero, esta ecuación se simplifica a x = 1 2 a t 2 . Al sustituir los valores identificados de a y t obtenemos x = 1 2 ( 26,0 m/s 2 ) ( 5,56 s ) 2 = 402 m . Importancia Si convertimos 402 m a millas, encontramos que la distancia recorrida es muy cercana a un cuarto de milla, la distancia estándar para las carreras de aceleración. Por lo tanto, nuestra respuesta es razonable. Este es un desplazamiento impresionante para cubrir en solo 5,56 s, pero los dragsters de primera categoría pueden hacer un cuarto de milla incluso en menos tiempo. Si al dragster se le diera una velocidad inicial, esto añadiría otro término a la ecuación de la distancia. Si se utiliza la misma aceleración y tiempo en la ecuación, la distancia recorrida sería mucho mayor. ¿Qué más podemos aprender examinando la ecuación x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ? Podemos ver las siguientes relaciones: El desplazamiento depende del cuadrado del tiempo transcurrido cuando la aceleración no es cero. En el , el dragster cubre solo una cuarta parte de la distancia total en la primera mitad del tiempo transcurrido. Si la aceleración es cero, la velocidad inicial es igual a la velocidad media ( v 0 = v – ) y x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 se convierte en x = x 0 + v 0 t . Resolución de la velocidad final a partir de la distancia y la aceleración Se puede obtener una cuarta ecuación útil a partir de otra manipulación algebraica de las ecuaciones anteriores. Si resolvemos v = v 0 + a t para t , obtenemos t = v − v 0 a . Al sustituir esto y v – = v 0 + v 2 en x = x 0 + v – t , obtenemos v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) ( constante a ) . Calcular la velocidad final Calcule la velocidad final del dragster en el sin utilizar información sobre el tiempo. Estrategia La ecuación v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) es ideal para esta tarea porque relaciona las velocidades, la aceleración y el desplazamiento, y no requiere información sobre el tiempo. Solución En primer lugar, identificamos los valores conocidos. Sabemos que v 0 = 0, ya que el dragster parte del reposo. También sabemos que x - x 0 = 402 m (esta era la respuesta en el ). La aceleración media viene dada por a = 26,0 m/s 2 . En segundo lugar, sustituimos los valores conocidos en la ecuación v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) y resolvemos v : v 2 = 0 + 2 ( 26,0 m/s 2 ) ( 402 m ) . Por lo tanto, v 2 = 2,09 × 10 4 m 2 /s 2 v = 2,09 × 10 4 m 2 /s 2 = 145 m/s . Importancia Una velocidad de 145 m/s equivale a unos 522 km/h, o a unas 324 mi/h, pero incluso esta rapidez vertiginosa se queda corta para el récord del cuarto de milla. Además, tenga en cuenta que una raíz cuadrada tiene dos valores; tomamos el valor positivo para indicar una velocidad en la misma dirección que la aceleración. El examen de la ecuación v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) aportaría más información sobre las relaciones generales entre las cantidades físicas: La velocidad final depende de cuán grande es la aceleración y la distancia sobre la que actúa. Para una aceleración fija, un auto que va el doble de rápido no se detiene simplemente en el doble de distancia. La distancia para detenerse es mayor. (Por eso tenemos zonas de velocidad reducida cerca de los colegios). Cómo juntar las ecuaciones En los siguientes ejemplos, seguimos explorando el movimiento unidimensional, pero en situaciones que requieren una manipulación ligeramente más algebraica. Los ejemplos también permiten conocer las técnicas de resolución de problemas. La nota que sigue se proporciona para facilitar la referencia a las ecuaciones necesarias. Tenga en cuenta que estas ecuaciones no son independientes. En muchas situaciones tenemos dos incógnitas y necesitamos dos ecuaciones del conjunto para resolver las incógnitas. Necesitamos tantas ecuaciones como incógnitas para resolver una situación determinada. Resumen de las ecuaciones cinemáticas (constante a ) x = x 0 + v – t v – = v 0 + v 2 v = v 0 + a t x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) Antes de mencionar los ejemplos, analicemos las ecuaciones con más atención para ver el comportamiento de la aceleración en valores extremos. Al reordenar la , tenemos a = v − v 0 t . De ello se deduce que, para un tiempo finito, si la diferencia entre las velocidades inicial y final es pequeña, la aceleración es pequeña, y se aproxima a cero en el límite en que las velocidades inicial y final son iguales. Por el contrario, en el límite t → 0 para una diferencia finita entre las velocidades inicial y final, la aceleración se vuelve infinita. Del mismo modo, al reordenar la , podemos expresar la aceleración en términos de velocidad y desplazamiento: a = v 2 − v 0 2 2 ( x − x 0 ) . Por lo tanto, para una diferencia finita entre las velocidades inicial y final la aceleración se hace infinita en el límite en que el desplazamiento se aproxima a cero. La aceleración se aproxima a cero en el límite en que la diferencia entre la velocidad inicial y final se aproxima a cero para un desplazamiento finito. ¿Hasta dónde llega un auto? En el hormigón seco, un auto puede desacelerar a una tasa de 7,00 m/s 2 , mientras que en el hormigón húmedo solo puede desacelerar a 5,00 m/s 2 . Calcule las distancias necesarias para detener un auto que se desplaza a 30,0 m/s (unos 110 km/h) sobre (a) hormigón seco y (b) hormigón húmedo. (c) Repita ambos cálculos y halle el desplazamiento desde el punto en que el conductor ve que un semáforo se pone en rojo, teniendo en cuenta su tiempo de reacción de 0,500 s para poner el pie en el freno. Estrategia En primer lugar, tenemos que dibujar un esquema como en la . Para determinar cuáles ecuaciones son las mejores para utilizar, tenemos que enumerar todos los valores conocidos e identificar exactamente lo que tenemos que resolver. Esquema de ejemplo para visualizar la desaceleración y la distancia de frenado de un auto. Solución En primer lugar, tenemos que identificar los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que v 0 = 30,0 m/s, v = 0, y a = -7,00 m/s 2 ( a es negativa porque está en dirección opuesta a la velocidad). Tomamos x 0 como cero. Buscamos desplazamientos Δ x , o x - x 0 . En segundo lugar, identificamos la ecuación que nos permitirá resolver el problema. La mejor ecuación a utilizar es v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) . Esta ecuación es la mejor porque incluye solo una incógnita, x . Conocemos los valores de todas las demás variables de esta ecuación. (Otras ecuaciones nos permitirían resolver x , pero requieren que conozcamos el tiempo de parada, t , que no conocemos. Podríamos utilizarlas, pero implicaría cálculos adicionales). En tercer lugar, reordenamos la ecuación para resolver x : x − x 0 = v 2 − v 0 2 2 a y sustituir los valores conocidos: x − 0 = 0 2 − ( 30,0 m/s ) 2 2 ( -7,00 m/s 2 ) . Por lo tanto, x = 64,3 m en hormigón seco . Esta parte puede resolverse exactamente de la misma manera que (a). La única diferencia es que la aceleración es de -5,00 m/s 2 . El resultado es x húmedo = 90,0 m en el hormigón húmedo. Cuando el conductor reacciona, la distancia de parada es la misma que en (a) y (b) para el hormigón seco y húmedo. Por lo tanto, para responder a esta pregunta, tenemos que calcular la distancia que recorre el auto durante el tiempo de reacción, y luego sumarlo al tiempo de parada. Es razonable suponer que la velocidad se mantiene constante durante el tiempo de reacción del conductor. Para ello, una vez más, identificamos los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que v – = 30,0 m/s , t reacción = 0,500 s y a reacción = 0 . Tomamos x 0-reacción como cero. Buscamos x reacción . En segundo lugar, como antes, identificamos la mejor ecuación a utilizar. En este caso, x = x 0 + v – t funciona bien porque la única incógnita es x , que es lo que queremos resolver. En tercer lugar, sustituimos los valores conocidos para resolver la ecuación: x = 0 + ( 3 0,0 m/s ) ( 0,500 s ) = 15 ,0 m . Esto significa que el auto se desplaza 15,0 m mientras el conductor reacciona, lo que hace que los desplazamientos totales en los dos casos de hormigón seco y húmedo sean 15,0 m mayores que si reacciona instantáneamente. Por último, sumamos el desplazamiento durante el tiempo de reacción al desplazamiento en el momento del frenado ( ), x frenado + x reacción = x total , y encontramos que (a) es de 64,3 m + 15,0 m = 79,3 m en seco y (b) es de 90,0 m + 15,0 m = 105 m en húmedo. La distancia necesaria para detener un auto varía mucho, dependiendo de las condiciones de la carretera y del tiempo de reacción del conductor. Aquí se muestran las distancias de frenado para el pavimento seco y húmedo, tal y como se ha calculado en este ejemplo, para un auto que viaja inicialmente a 30,0 m/s. También se muestran las distancias totales recorridas desde el punto en que el conductor ve por primera vez el semáforo en rojo, suponiendo un tiempo de reacción de 0,500 s. Importancia Los desplazamientos encontrados en este ejemplo parecen razonables para detener un auto que se mueve rápidamente. Debería tardar más detener un auto en pavimento húmedo que en seco. Es interesante que el tiempo de reacción aumente significativamente los desplazamientos, pero lo más importante es el enfoque general de la resolución de problemas. Identificamos los valores conocidos y las cantidades a determinar, y luego encontramos una ecuación adecuada. Si hay más de una incógnita, necesitamos tantas ecuaciones independientes como incógnitas a resolver. A menudo hay más de una forma de resolver un problema. Las distintas partes de este ejemplo pueden, de hecho, resolverse por otros métodos, pero las soluciones presentadas aquí son las más breves. Calcular el tiempo Supongamos que un auto se incorpora al tráfico de la autopista en una rampa de 200 m de longitud. Si su velocidad inicial es de 10,0 m/s y acelera a 2,00 m/s 2 , ¿cuánto tiempo tarda el auto en recorrer los 200 m de la rampa? (Esta información podría ser útil para un ingeniero de tráfico). Estrategia En primer lugar, trazamos un esquema como en la . Se nos pide que resolvamos el tiempo t . Como antes, identificamos las cantidades conocidas para elegir una relación física conveniente (es decir, una ecuación con una incógnita, t ). Esquema de un auto que acelera en una rampa de autopista. Solución Una vez más, identificamos los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que x 0 = 0 , v 0 = 10 m/s , a = 2,00 m/ s 2 , y x = 200 m. Tenemos que resolver t . La ecuación x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 funciona mejor porque la única incógnita en la ecuación es la variable t , para la que necesitamos resolver. A partir de esta idea, vemos que, cuando introducimos los valores conocidos en la ecuación, obtenemos una ecuación cuadrática. Tenemos que reordenar la ecuación para resolver la variable t , y luego sustituir los valores conocidos en la ecuación: 200 m = 0 m + ( 10,0 m/s ) t + 1 2 ( 2,00 m/s 2 ) t 2 . Ahora, simplificamos la ecuación. Las unidades de metros se cancelan porque están en cada término. Podemos conseguir que las unidades de los segundos se cancelen tomando t = t s, donde t es la magnitud del tiempo y s es la unidad. Al hacerlo, nos deja 200 = 10 t + t 2 . Luego, utilizamos la fórmula cuadrática para resolver t , t 2 + 10 t − 200 = 0 t = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , que arroja dos soluciones: t = 10,0 y t = -20,0. Un valor negativo para el tiempo es poco razonable, ya que significaría que el evento ocurrió 20 s antes de que comenzara el movimiento. Podemos descartar esa solución. Por lo tanto, t = 10,0 s . Importancia Siempre que una ecuación contiene una incógnita al cuadrado, hay dos soluciones. En algunos problemas, ambas soluciones tienen sentido; en otros, solo una solución es razonable. La respuesta de 10,0 s parece razonable para una rampa de acceso a una autopista típica. Un cohete acelera a una tasa de 20 m/s 2 durante el lanzamiento. ¿Cuánto tarda el cohete en alcanzar una velocidad de 400 m/s? Para responder esto, elija una ecuación que nos permita resolver el tiempo t , dados solo a , v 0 , y v : v = v 0 + a t . Reordene para resolver t : t = v − v 0 a = 400 m/s − 0 m/s 20 m/s 2 = 20 s . Aceleración de una nave espacial Una nave espacial ha dejado la órbita de la Tierra y se dirige a la Luna. Acelera a 20 m/s 2 durante 2 min y recorre una distancia de 1.000 km. ¿Cuál es la velocidad inicial y final de la nave espacial? Estrategia Se nos pide que encontremos la velocidad inicial y final de la nave espacial. Observando las ecuaciones cinemáticas, vemos que una ecuación no dará la respuesta. Debemos utilizar una ecuación cinemática para resolver una de las velocidades y sustituirla en otra ecuación cinemática para obtener la segunda velocidad. Así, resolvemos simultáneamente dos de las ecuaciones cinemáticas. Solución Primero resolvemos v 0 utilizando x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 : x − x 0 = v 0 t + 1 2 a t 2 1,0 × 10 6 m = v 0 ( 120,0 s ) + 1 2 ( 20,0 m/s 2 ) ( 120,0 s ) 2 v 0 = 7133,3 m/s . Luego sustituimos v 0 en v = v 0 + a t para resolver la velocidad final: v = v 0 + a t = 7133,3 m/s + ( 20,0 m/s 2 ) ( 120,0 s ) = 9533,3 m/s. Importancia Hay seis variables de desplazamiento, tiempo, velocidad y aceleración, que describen el movimiento en una dimensión. Las condiciones iniciales de un problema determinado pueden ser muchas combinaciones de estas variables. Debido a esta diversidad, las soluciones pueden no ser tan fáciles como simples sustituciones en una de las ecuaciones. Este ejemplo ilustra que las soluciones a la cinemática requerirían la resolución de dos ecuaciones cinemáticas simultáneas. Una vez establecidos los fundamentos de la cinemática, podemos pasar a muchos otros ejemplos y aplicaciones interesantes. En el proceso de desarrollo de la cinemática, también hemos vislumbrado un enfoque general para la resolución de problemas que produce tanto respuestas correctas como conocimientos sobre las relaciones físicas. El siguiente nivel de complejidad en nuestros problemas de cinemática implica el movimiento de dos cuerpos interrelacionados, denominados problemas de persecución de dos cuerpos . Problemas de persecución de dos cuerpos Hasta ahora hemos visto ejemplos de movimiento en los que interviene un solo cuerpo. Incluso para el problema con dos autos y las distancias de parada en carreteras húmedas y secas, dividimos este problema en dos problemas separados para encontrar las respuestas. En un problema de persecución de dos cuerpos , los movimientos de los objetos están acoplados, es decir, la incógnita que buscamos depende del movimiento de ambos objetos. Para resolver estos problemas escribimos las ecuaciones de movimiento de cada objeto y las resolvemos simultáneamente para encontrar la incógnita. Esto se ilustra en la . Un escenario de persecución de dos cuerpos donde el auto 2 tiene una velocidad constante y el auto 1 está detrás con una aceleración constante. El auto 1 alcanza al auto 2 en un momento posterior. El tiempo y la distancia necesarios para que el auto 1 alcance al auto 2 dependen de la distancia inicial a la que se encuentra el auto 1 con respecto al auto 2, así como de las velocidades de ambos autos y de la aceleración del auto 1. Para encontrar estas incógnitas hay que resolver las ecuaciones cinemáticas que describen el movimiento de ambos autos. Considere el siguiente ejemplo. Un guepardo atrapa a una gacela Un guepardo espera escondido detrás de un arbusto. El guepardo ve pasar a una gacela a 10 m/s. En el momento en que la gacela pasa por delante del guepardo, este acelera desde el reposo a 4 m/s 2 para atrapar a la gacela. (a) ¿Cuánto tarda el guepardo en atrapar a la gacela? (b) ¿Cuál es el desplazamiento de la gacela y del guepardo? Estrategia Para resolver este problema utilizamos el conjunto de ecuaciones de la aceleración constante. Como hay dos objetos en movimiento, tenemos ecuaciones de movimiento separadas que describen cada animal. Sin embargo, lo que une las ecuaciones es un parámetro común que tiene el mismo valor para cada animal. Si analizamos el problema en detalle, está claro que el parámetro común a cada animal es su posición x en un tiempo posterior t . Dado que ambos comienzan en x 0 = 0 , sus desplazamientos son los mismos en un tiempo posterior t , cuando el guepardo alcanza a la gacela. Si elegimos la ecuación de movimiento que resuelve el desplazamiento para cada animal, podemos entonces establecer las ecuaciones iguales entre sí y resolver la incógnita, que es el tiempo. Solución Ecuación para la gacela: la gacela tiene una velocidad constante, que es su velocidad media, ya que no está acelerando. Por lo tanto, utilizamos la con x 0 = 0 : x = x 0 + v – t = v – t . Ecuación para el guepardo: el guepardo acelera desde el reposo, así que usamos la con x 0 = 0 y v 0 = 0 : x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 = 1 2 a t 2 . Ahora tenemos una ecuación de movimiento para cada animal con un parámetro común, que puede eliminarse para encontrar la solución. En este caso, resolvemos t : x = v – t = 1 2 a t 2 t = 2 v – a . La gacela tiene una velocidad constante de 10 m/s, que es su velocidad media. La aceleración del guepardo es de 4 m/s 2 . Al evaluar t , el tiempo que tarda el guepardo en alcanzar a la gacela, tenemos t = 2 v – a = 2 ( 10 ) 4 = 5 s . Para obtener el desplazamiento, utilizamos la ecuación de movimiento del guepardo o de la gacela, ya que ambas deberían dar la misma respuesta. Desplazamiento del guepardo: x = 1 2 a t 2 = 1 2 ( 4 ) ( 5 ) 2 = 50 m . Desplazamiento de la gacela: x = v – t = 10 ( 5 ) = 50 m . Vemos que ambos desplazamientos son iguales, como se esperaba. Importancia Es importante analizar el movimiento de cada objeto y utilizar las ecuaciones cinemáticas apropiadas para describir el movimiento individual. También es importante tener una buena perspectiva visual del problema de persecución de dos cuerpos para ver el parámetro común que une el movimiento de ambos objetos. Una bicicleta tiene una velocidad constante de 10 m/s. Una persona parte del reposo y comienza a correr para alcanzar a la bicicleta en 30 s cuando esta se encuentra en la misma posición que la persona. ¿Cuál es la aceleración de la persona? a = 2 3 m/s 2 . Resumen Al analizar el movimiento unidimensional con aceleración constante, identifique las cantidades conocidas y elija las ecuaciones adecuadas para resolver las incógnitas. Para resolver las incógnitas se necesitan una o dos de las ecuaciones cinemáticas, dependiendo de las cantidades conocidas y desconocidas. Los problemas de persecución de dos cuerpos siempre requieren la resolución simultánea de dos ecuaciones para las incógnitas. Preguntas conceptuales Al analizar el movimiento de un solo objeto, ¿cuál es el número necesario de variables físicas conocidas que se necesitan para resolver las cantidades desconocidas con las ecuaciones cinemáticas? Enuncie dos escenarios de la cinemática de un solo objeto donde tres cantidades conocidas requieren dos ecuaciones cinemáticas para resolver las incógnitas. Si la aceleración, el tiempo y el desplazamiento son los valores conocidos, y las velocidades inicial y final son las incógnitas, entonces hay que resolver simultáneamente dos ecuaciones cinemáticas. Además, si la velocidad final, el tiempo y el desplazamiento son valores conocidos, hay que resolver dos ecuaciones cinemáticas para la velocidad y la aceleración iniciales. Problemas Una partícula se mueve en línea recta a una velocidad constante de 30 m/s. ¿Cuál es su desplazamiento entre t = 0 y t = 5,0 s? 150 m Una partícula se mueve en línea recta con una velocidad inicial de 0 m/s y una aceleración constante de 30 m/s 2 . Si x = 0 en t = 0 , ¿cuál es la posición de la partícula en t = 5 s? Una partícula se mueve en línea recta con una velocidad inicial de 30 m/s y una aceleración constante de 30 m/s 2 . (a) ¿Cuál es su desplazamiento en t = 5 s? (b) ¿Cuál es su velocidad en ese mismo momento? a. 525 m; b. v = 180 m/s (a) Haga un esquema del gráfico de la velocidad en función del tiempo correspondiente al gráfico del desplazamiento en función del tiempo que se da en la siguiente figura. (b) Identifique el tiempo o los tiempos ( t a , t b , t c , etc.) en los que la velocidad instantánea tiene el mayor valor positivo. (c) ¿En qué tiempos es cero? (d) ¿En qué tiempos es negativa? (a) Haga un gráfico de la aceleración en función del tiempo correspondiente al gráfico de la velocidad en función del tiempo que se da en la siguiente figura. (b) Identifique el tiempo o los tiempos ( t a , t b , t c , etc.) en los que la aceleración tiene el mayor valor positivo. (c) ¿En qué tiempos es cero? (d) ¿En qué tiempos es negativa? a. b. La aceleración tiene el mayor valor positivo en t a c. La aceleración es cero en t e y t h d. La aceleración es negativa en t i , t j , t k , t l Una partícula tiene una aceleración constante de 6,0 m/s 2 . (a) Si su velocidad inicial es de 2,0 m/s, ¿en qué tiempo su desplazamiento es de 5,0 m? (b) ¿Cuál es su velocidad en ese tiempo? En t = 10 s, una partícula se mueve de izquierda a derecha con una rapidez de 5,0 m/s. En t = 20 s, la partícula se mueve de derecha a izquierda con una rapidez de 8,0 m/s. Suponiendo que la aceleración de la partícula sea constante, determine (a) su aceleración, (b) su velocidad inicial y (c) el instante en que su velocidad es cero. a. a = -1,3 m/s 2 ; b. v 0 = 18 m/s ; c. t = 13,8 s Una pelota bien lanzada se atrapa con un guante bien acolchado. Si la aceleración de la pelota es 2,10 × 10 4 m/s 2 , y 1,85 ms ( 1 ms = 10 −3 s ) transcurre desde que la pelota toca por primera vez el guante hasta que se detiene, ¿cuál es la velocidad inicial de la pelota? Una bala en una pistola se acelera desde la recámara hasta el final del cañón a una tasa media de 6,20 × 10 5 m/s 2 en 8,10 × 10 − 4 s . ¿Cuál es su velocidad de salida (es decir, su velocidad final)? v = 502,20 m/s a) Un tren ligero de cercanías acelera a una tasa de 1,35 m/s 2 . ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar su velocidad máxima de 80,0 km/h, partiendo del reposo? b) El mismo tren desacelera, por lo general, a una tasa de 1,65 m/s 2 . ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse desde su velocidad máxima? (c) En caso de emergencias, el tren puede desacelerar más rápidamente, hasta detenerse desde 80,0 km/h en 8,30 s. ¿Cuál es su aceleración de emergencia en metros por segundo al cuadrado? Al entrar en una autopista, un auto acelera desde el reposo a una tasa de 2,40 m/s 2 durante 12,0 s. (a) Trace un esquema de la situación. (b) Enumere los valores conocidos de este problema. (c) ¿Qué distancia recorre el auto en esos 12,0 s? Para resolver esta parte, primero identifique la incógnita y luego indique cómo ha elegido la ecuación adecuada para resolverla. Después de elegir la ecuación, muestre sus pasos para resolver la incógnita, compruebe sus unidades y discuta si la respuesta es razonable. (d) ¿Cuál es la velocidad final del auto? Resuelva esta incógnita de la misma manera que en (c), mostrando todos los pasos explícitamente. a. b. Valores conocidos: a = 2,40 m/s 2 , t = 12,0 s, v 0 = 0 m/s y x 0 = 0 m ; c. x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 = 1 2 a t 2 = 2,40 m/ s 2 ( 12,0 s ) 2 = 172,80 m , la respuesta parece razonable para aproximadamente 172,8 m; d. v = 28,8 m/s Resultados poco razonables. Al final de una carrera, una corredora desacelera desde una velocidad de 9,00 m/s a una tasa de 2,00 m/s 2 . (a) ¿Qué distancia recorre en los siguientes 5,00 s? (b) ¿Cuál es su velocidad final? (c) Evalúe el resultado. ¿Tiene sentido? La sangre se acelera desde el reposo hasta 30,0 cm/s en una distancia de 1,80 cm por el ventrículo izquierdo del corazón. (a) Trace un esquema de la situación. (b) Enumere los valores conocidos de este problema. (c) ¿Cuánto tiempo tarda la aceleración? Para resolver esta parte, primero identifique la incógnita y luego explique cómo eligió la ecuación apropiada para resolverla. Después de elegir la ecuación, muestre sus pasos para resolver la incógnita, mediante la comprobación de sus unidades. (d) ¿Es razonable la respuesta cuando se compara con el tiempo de un latido? a. b. Valores conocidos: v = 30,0 cm / s, x = 1,80 cm ; c. a = 250 cm/ s 2 , t = 0,12 s ; d. sí Durante un tiro de golpe, un jugador de hockey acelera el disco desde una velocidad de 8,00 m/s hasta 40,0 m/s en la misma dirección. Si este tiro necesita 3,33 × 10 − 2 s , ¿cuál es la distancia sobre la que acelera el disco? Una potente motocicleta puede acelerar desde el reposo hasta 26,8 m/s (100 km/h) en solo 3,90 s. (a) ¿Cuál es su aceleración media? (b) Suponiendo una aceleración constante, ¿qué distancia recorre en ese tiempo? a. 6,87 m/s 2 ; b x = 52,26 m Los trenes de carga solo pueden producir una aceleración relativamente pequeña. (a) ¿Cuál es la velocidad final de un tren de carga que acelera a una tasa de 0,0500 m/s 2 durante 8,00 min, que parte de una velocidad inicial de 4,00 m/s? (b) Si el tren puede frenar a una tasa de 0,550 m/s 2 , ¿cuánto tiempo tardará en detenerse a partir de esta velocidad? (c) ¿Qué distancia recorrerá en cada caso? Un proyectil de fuegos artificiales acelera desde el reposo hasta una velocidad de 65,0 m/s en una distancia de 0,250 m. (a) Calcule la aceleración. (b) ¿Cuánto tiempo duró la aceleración? a. a = 8.450 m/ s 2 ; b. t = 0,0077 s Un cisne en un lago se eleva y bate las alas, y corre sobre el agua. (a) Si el cisne debe alcanzar una velocidad de 6,00 m/s para despegar y acelera desde el reposo a una tasa media de 0,35 m/s 2 , ¿qué distancia recorrerá antes de volar? b) ¿Cuánto tiempo tarda? El cerebro de un pájaro carpintero está especialmente protegido de las grandes aceleraciones gracias a algunas uniones tendinosas en el interior del cráneo. Mientras picotea en un árbol, la cabeza del pájaro carpintero se detiene desde una velocidad inicial de 0,600 m/s en una distancia de solo 2,00 mm. (a) Calcule la aceleración en metros por segundo al cuadrado y en múltiplos de g , donde g = 9,80 m/s 2 . (b) Calcule el tiempo de parada. (c) Los tendones que protegen el cerebro se estiran, lo que hace que su distancia de parada sea de 4,50 mm (mayor que la de la cabeza y, por tanto, menor que la aceleración del cerebro). ¿Cuál es la aceleración del cerebro, expresada en múltiplos de g ? a. a = 9,18 g ; b. t = 6,67 × 10 −3 s ; c. a = − 40,0 m/s 2 a = 4,08 g Un incauto jugador de fútbol choca con un poste de portería acolchado mientras corre a una velocidad de 7,50 m/s y se detiene por completo tras comprimir el acolchado y su cuerpo 0,350 m. (a) ¿Cuál es su aceleración? (b) ¿Cuánto dura la colisión? Lanzan un paquete de ayuda desde un avión de carga y aterriza en el bosque. Si suponemos que la rapidez del paquete de ayuda en el impacto es de 54 m/s (123 mph), ¿cuál es su aceleración? Supongamos que los árboles y la nieve lo detienen a una distancia de 3,0 m. Valores conocidos: x = 3 m, v = 0 m/s, v 0 = 54 m/s . Queremos encontrar a , así que podemos usar esta ecuación a = − 486 m/s 2 . Un tren expreso pasa por una estación. Entra con una velocidad inicial de 22,0 m/s y desacelera a una tasa de 0,150 m/s 2 a medida que pasa. La estación mide 210,0 m de longitud. (a) ¿A qué velocidad va cuando la parte delantera del tren sale de la estación? (b) ¿A cuánto tiempo está la parte delantera del tren en la estación? (c) Si el tren mide 130 m de longitud, ¿cuál es la velocidad del extremo del tren al salir? (d) ¿Cuándo sale el extremo del tren de la estación? Resultados poco razonables. Los dragsters pueden alcanzar una rapidez máxima de 145,0 m/s en solo 4,45 s. (a) Calcule la aceleración media de este dragster. (b) Calcule la velocidad final de este dragster partiendo del reposo y acelerando a la tasa encontrada en (a) durante 402,0 m (un cuarto de milla) sin utilizar ninguna información sobre el tiempo. (c) ¿Por qué la velocidad final es mayor que la utilizada para encontrar la aceleración media? ( Pista : Considere si la suposición de aceleración constante es válida para un dragster. En caso contrario, explique si la aceleración sería mayor al principio o al final de la carrera y qué efecto tendría eso en la velocidad final). a. a = 32,58 m/ s 2 ; b. v = 161,85 m/s ; c. v > v máx , porque la suposición de una aceleración constante no es válida para un dragster. Un dragster cambia de marcha y tendría una mayor aceleración en la primera marcha que en la segunda, que en la tercera, y así sucesivamente. La aceleración sería mayor al principio, por lo que no aceleraría a 32,6 m/s 2 durante los últimos metros, pero sustancialmente menos, y la velocidad final sería inferior a 162 m/s . problema de persecución de dos cuerpos un problema de cinemática en el que las incógnitas se calculan al resolver simultáneamente las ecuaciones cinemáticas de dos objetos en movimiento.

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