Propulsión de cohetes Ahora tratamos el caso en el que la masa de un objeto cambia. Analizamos el movimiento de un cohete, que cambia su velocidad (y, por ende, su momento) al expulsar los gases del combustible quemado, lo que hace que se acelere en la dirección opuesta a la velocidad del combustible expulsado (vea la ). Específicamente: Un cohete con todo el combustible en el espacio profundo tiene una masa total m 0 (esta masa incluye la masa inicial del combustible). En algún momento, el cohete tiene una velocidad v → y masa m ; esta masa es una combinación de la masa del cohete vacío y la masa del combustible restante no quemado que contiene. (Nos referimos a m como la "masa instantánea" y v → como "velocidad instantánea"). El cohete acelera al quemar el combustible que lleva y expulsar los gases quemados de escape. Si la tasa de combustión del combustible es constante, y la velocidad a la que se expulsa el escape también es constante, ¿cuál es el cambio de velocidad del cohete como resultado de la quema de todo su combustible? El transbordador espacial tenía varias piezas reutilizables. Los propulsores de combustible sólido situados a ambos lados se recuperaban y reabastecían de combustible después de cada vuelo, y todo el orbitador volvía a la Tierra para ser utilizado en vuelos posteriores. El gran tanque de combustible líquido se gastó. El transbordador espacial era un complejo conjunto de tecnologías, que empleaba tanto combustible sólido como líquido, y fue pionero en el uso de baldosas de cerámica como escudos térmicos de reentrada. Como resultado, permitía realizar varios lanzamientos en lugar de cohetes de un solo uso (créditos: modificación de un trabajo de la NASA). Análisis físico A continuación, se describe lo que ocurre, para que se haga una idea de la física implicada. Cuando los motores de los cohetes funcionan, expulsan continuamente gases quemados de combustible, que tienen masa y velocidad, y por ende, cierto momento. Por conservación del momento, el momento del cohete cambia en esta misma cantidad (con el signo contrario). Supondremos que el combustible quemado se expulsa a una tasa constante, lo que significa que la tasa de cambio del momento del cohete también es constante. Con la , esto representa una fuerza constante sobre el cohete. Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, la masa del cohete (que incluye la masa del combustible restante) disminuye continuamente. Así, aunque la fuerza sobre el cohete es constante, la aceleración resultante no lo es; aumenta continuamente. Entonces, el cambio total de la velocidad del cohete dependerá de la cantidad de masa de combustible que se queme, y esa dependencia no es lineal. El problema hace que cambien la masa y la velocidad del cohete; también cambia la masa total de los gases expulsados. Si definimos nuestro sistema como el cohete + el combustible, entonces se trata de un sistema cerrado (ya que el cohete está en el espacio profundo, no hay fuerzas externas que actúen sobre este sistema); como resultado, el momento se conserva para este sistema. Así, podemos aplicar la conservación del momento para responder la pregunta ( ). El cohete acelera hacia la derecha debido a la expulsión de parte de su masa de combustible hacia la izquierda. La conservación del momento nos permite determinar el cambio de velocidad resultante. La masa m es la masa total instantánea del cohete (es decir, la masa del cuerpo del cohete más la masa del combustible en ese momento) (créditos: modificación del trabajo de la NASA / Bill Ingalls). En el mismo momento en que la masa total instantánea del cohete es m (es decir, m es la masa del cuerpo del cohete más la masa del combustible en ese momento), definimos que la velocidad instantánea del cohete como v → = v i ^ (en la dirección de la x +); esta velocidad se mide en relación con un sistema de referencia inercial (la Tierra, por ejemplo). Así, el momento inicial del sistema es p → i = m v i ^ . Los motores del cohete queman combustible a un ritmo constante y expulsan los gases de escape en la dirección de la - x . Durante un intervalo infinitesimal dt , los motores expulsan una masa infinitesimal (positiva) de gas d m g a la velocidad u → = - u i ^ ; observe que, aunque la velocidad del cohete v i ^ se mide con respecto a la Tierra, la velocidad de los gases de escape se mide con respecto al cohete (en movimiento). Por lo tanto, medido con respecto a la Tierra, el gas de escape tiene una velocidad ( v - u ) i ^ . A consecuencia de la expulsión del gas combustible, la masa del cohete disminuye en d m g , y su velocidad aumenta en d v i ^ . Por lo tanto, si se incluye tanto el cambio para el cohete como el cambio para el gas de escape, el momento final del sistema es p → f = p → cohete + p → gas = ( m - d m g ) ( v + d v ) i ^ + d m g ( v - u ) i ^ . Como todos los vectores están en la dirección de la x , dejamos de lado la notación vectorial. Aplicando la conservación del momento, obtenemos p i = p f m v = ( m - d m g ) ( v + d v ) + d m g ( v - u ) m v = m v + m d v - d m g v - d m g d v + d m g v - d m g u m d v = d m g d v + d m g u . Ahora, d m g y dv son muy pequeños cada uno; por lo tanto, su producto d m g d v es muy, muy pequeño, mucho menor que los otros dos términos de esta expresión. Por lo tanto, ignoramos este término y obtenemos: m d v = d m g u . Nuestro siguiente paso es recordar que, dado que d m g representa un aumento en la masa de los gases expulsados, también deberá representar una disminución en la masa del cohete: d m g = - d m . Sustituyendo esto, tenemos m d v = - d m u o d v = - u d m m . Integrando desde la masa inicial m 0 hasta la masa final m del cohete obtenemos el resultado que buscamos: ∫ v i v d v = - u ∫ m 0 m 1 m d m v - v i = u ln ( m 0 m ) y así, nuestra respuesta final es Δ v = u ln ( m 0 m ) . Este resultado se denomina ecuación del cohete . Fue derivado originalmente por el físico soviético Konstantin Tsiolkovsky en 1897. Nos da el cambio de velocidad que obtiene el cohete al quemar una masa de combustible que disminuye la masa total del cohete de m 0 hasta m. Como se esperaba, la relación entre Δ v y el cambio de masa del cohete es no lineal. Propulsión de cohetes En los problemas de cohetes, las preguntas más comunes son calcular el cambio de velocidad debido a la quema de alguna cantidad de combustible durante algún tiempo o determinar la aceleración que resulta de la quema de combustible. Para determinar el cambio de velocidad, utilice la ecuación del cohete en la . Para determinar la aceleración, calcule la fuerza mediante el teorema del momento-impulso; utilice la ecuación del cohete para determinar el cambio de velocidad. Empuje en una nave espacial Una nave espacial se mueve en el espacio sin gravedad en una trayectoria recta cuando su piloto decide acelerar hacia adelante. Enciende los propulsores, y el combustible quemado es expulsado a una tasa constante de 2,0 × 10 2 kg/s , a una rapidez (relativa al cohete) de 2,5 × 10 2 m/s . La masa inicial de la nave y su combustible no quemado es 2,0 × 10 4 kg , y los propulsores están encendidos durante 30 s. ¿Cuál es el empuje (la fuerza aplicada al cohete por el combustible expulsado) sobre la nave espacial? ¿Cuál es la aceleración de la nave en función del tiempo? ¿Cuáles son las aceleraciones de la nave en t = 0, 15, 30 y 35 s? Estrategia La fuerza sobre la nave es igual a la tasa de cambio del momento del combustible. Conociendo la fuerza de la parte (a), podemos utilizar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración consiguiente. La clave aquí es que, aunque la fuerza aplicada a la nave es constante (el combustible se expulsa a una tasa constante), la masa de la nave no lo es; por lo tanto, la aceleración causada por la fuerza no será constante. Por lo tanto, esperamos obtener una función a ( t ). Utilizaremos la función que obtenemos en la parte (b), y solo sustituiremos los números dados. Importante: Esperamos que la aceleración sea mayor a medida que pasa el tiempo, ya que la masa que se acelera disminuye continuamente (el combustible se expulsa del cohete). Solución El momento del gas combustible expulsado es p = m g v . La velocidad de eyección v = 2,5 × 10 2 m/s es constante, y por ende, la fuerza es F = d p d t = v d m g d t = - v d m d t . Ahora, d m g d t es la tasa de cambio de la masa del combustible; el problema dice que es 2,0 × 10 2 kg/s . Sustituyendo, obtenemos F = v d m g d t = ( 2,5 × 10 2 m s ) ( 2,0 × 10 2 kg s ) = 5 × 10 4 N. Anteriormente, definimos m como la masa combinada del cohete vacío más la cantidad de combustible no quemado que contenía: m = m R + m g . De la segunda ley de Newton, a = F m = F m R + m g . La fuerza es constante y la masa vacía del cohete m R es constante, pero la masa de combustible m g está disminuyendo a una tasa uniforme; en concreto: m g = m g ( t ) = m g 0 - ( d m g d t ) t . Esto nos da a ( t ) = F m g i - ( d m g d t ) t = F M - ( d m g d t ) t . Observe que, como era de esperar, la aceleración es una función del tiempo. Sustituyendo los números dados: a ( t ) = 5 × 10 4 N 2,0 × 10 4 kg - ( 2,0 × 10 2 kg s ) t . En t = 0 s : a ( 0 s ) = 5 × 10 4 N 2,0 × 10 4 kg - ( 2,0 × 10 2 kg s ) ( 0 s ) = 2,5 m s 2 . En t = 15 s , a ( 15 s ) = 2,9 m/s 2 . En t = 30 s , a ( 30 s ) = 3,6 m/s 2 . La aceleración va en aumento, como esperábamos. Importancia Observe que la aceleración no es constante, por lo que las magnitudes dinámicas deberán calcularse mediante integrales o (más fácilmente) mediante la conservación de la energía total. ¿Cuál es la diferencia física (o la relación) entre d m d t y d m g d t en este ejemplo? La notación m g representa la masa del combustible y m la masa del cohete más la masa inicial del combustible. Observe que m g cambia con el tiempo, por lo que la escribimos como m g ( t ) . Utilizando m R como la masa del cohete sin combustible, la masa total del cohete más el combustible es m = m R + m g ( t ) . La diferenciación con respecto al tiempo da como resultado d m d t = d m R d t + d m g ( t ) d t = d m g ( t ) d t donde utilizamos d m R d t = 0 porque la masa del cohete no cambia. Así, la tasa de cambio de la masa del cohete es la misma que la del combustible. Cohete en un campo gravitacional Analicemos ahora el cambio de velocidad del cohete durante la fase de lanzamiento, desde la superficie de la Tierra. Para mantener las matemáticas manejables, restringiremos nuestra atención a las distancias para las cuales la aceleración causada por la gravedad puede tratarse como una g constante. El análisis es similar, salvo que ahora hay una fuerza externa de F → = - m g j ^ actuando en nuestro sistema. Esta fuerza aplica un impulso d J → = F → d t = - m g d t j ^ , que es igual al cambio de momento. Esto nos da d p → = d J → p → f - p → i = - m g d t j ^ [ ( m - d m g ) ( v + d v ) + d m g ( v - u ) - m v ] j ^ = - m g d t j ^ y así m d v - d m g u = - m g d t donde hemos vuelto a ignorar el término d m g d v y eliminado la notación vectorial. A continuación, sustituimos d m g con - d m : m d v + d m u = - m g d t m d v = - d m u - m g d t . Dividiendo entre m obtenemos d v = - u d m m - g d t e integrando, tenemos Δ v = u ln ( m 0 m ) - g Δ t . Como es lógico, la velocidad del cohete se ve afectada por la aceleración (constante) de la gravedad. Recuerde que Δ t es el tiempo de combustión del combustible. Ahora bien, en ausencia de gravedad, la implica que es indiferente el tiempo que se tarda en quemar toda la masa de combustible; el cambio de velocidad no depende de Δ t . Sin embargo, en presencia de la gravedad, importa mucho. El término - g Δ t en la nos indica que, cuanto mayor sea el tiempo de combustión, menor será el cambio de velocidad del cohete. Esta es la razón por la que el lanzamiento de un cohete es tan espectacular en el primer momento del despegue: Es esencial quemar el combustible lo más rápido posible, para obtener la mayor cantidad de Δ v como sea posible. Resumen Un cohete es un ejemplo de conservación del momento en el que la masa del sistema no es constante, ya que el cohete expulsa combustible para proporcionar empuje. La ecuación del cohete nos da el cambio de velocidad que obtiene el cohete al quemar una masa de combustible y que disminuye la masa total del cohete. Ecuaciones clave Definición de momento p → = m v → Impulso J → ≡ ∫ t i t f F → ( t ) d t o J → = F → ave Δ t Teorema del momento-impulso J → = Δ p → Fuerza media a partir del momento F → = Δ p → Δ t Fuerza instantánea a partir del momento (segunda ley de Newton) F → ( t ) = d p → d t Conservación del momento d p → 1 d t + d p → 2 d t = 0 o p → 1 + p → 2 = constante Conservación generalizada del momento ∑ j = 1 N p → j = constante Conservación del momento en dos dimensiones p f , x = p 1,i , x + p 2,i , x p f , y = p 1,i , y + p 2,i , y Fuerzas externas F → ext = ∑ j = 1 N d p → j d t Segunda ley de Newton para un objeto extendido F → = d p → CM d t Aceleración del centro de masa a → CM = d 2 d t 2 ( 1 M ∑ j = 1 N m j r → j ) = 1 M ∑ j = 1 N m j a → j Posición del centro de masa para un sistema de partículas r → CM ≡ 1 M ∑ j = 1 N m j r → j Velocidad del centro de masa v → CM = d d t ( 1 M ∑ j = 1 N m j r → j ) = 1 M ∑ j = 1 N m j v → j Posición del centro de masa de un objeto continuo r → CM ≡ 1 M ∫ r → d m Ecuación del cohete Δ v = u ln ( m i m ) Preguntas conceptuales Es posible que la velocidad de un cohete sea mayor que la velocidad de escape de los gases que expulsa. En ese caso, la velocidad y el momento del gas están en la misma dirección que la del cohete. ¿Cómo puede el cohete seguir obteniendo empuje al expulsar los gases? Sí, la rapidez del cohete puede superar la de los gases que expulsa. El empuje del cohete no depende de las velocidades relativas de los gases y del cohete, simplemente depende de la conservación del momento. Problemas (a) Un calamar de 5,00 kg inicialmente en reposo expulsa 0,250 kg de fluido con una velocidad de 10,0 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del calamar si la eyección se realiza en 0,100 s y existe una fuerza de fricción de 5,00 N que se opone al movimiento del calamar? (b) ¿Cuánta energía se pierde por el trabajo realizado contra la fricción? (a) 0,413 m/s, (b) aproximadamente 0,2 J Un cohete despega de la Tierra y alcanza una rapidez de 100 m/s en 10,0 s. Si la rapidez de escape es de 1.500 m/s y la masa de combustible quemada es de 100 kg, ¿cuál era la masa inicial del cohete? Repita el problema anterior, pero para un cohete que despega de una estación espacial, donde no hay más gravedad que la despreciable, debido a la estación espacial. 1.551 kg ¿Cuánto combustible se necesitaría para que un cohete de 1.000 kg (esta es su masa sin combustible) despegara de la Tierra y alcanzara 1.000 m/s en 30 s? La velocidad de escape es de 1.000 m/s. ¿Qué velocidad de escape es necesaria para acelerar un cohete en el espacio profundo de 800 m/s a 1.000 m/s en 5,0 s si la masa total del cohete es de 1.200 kg y solo le quedan 50 kg de combustible? 4,9 km/s Resultados poco razonables Se ha informado de que los calamares saltan desde el océano y recorren 30,0 m (medidos horizontalmente) antes de volver a entrar en el agua. (a) Calcule la velocidad inicial del calamar si sale del agua con un ángulo de 20,0º, suponiendo que la sustentación del aire es insignificante y la resistencia del aire también. (b) El calamar se propulsa chorreando agua. ¿Qué fracción de su masa tendría que expulsar para alcanzar la velocidad encontrada en la parte anterior? El agua se expulsa a 12,0 m/s; se ignoran la fuerza gravitacional y la fricción. (c) ¿Qué es lo que no es razonable en los resultados? (d) ¿Qué premisa no es razonable, o qué premisas son incongruentes? Problemas adicionales Dos canoeros de 70 kg reman en una sola canoa de 50 kg. Su remo mueve la canoa a 1,2 m/s con respecto al agua, y el río en el que están fluye a 4 m/s con respecto a la tierra. ¿Cuál es su momento con respecto a la tierra? ¿Qué tiene una magnitud mayor de momento: un elefante de 3.000 kg que se mueve a 40 km/h o un guepardo de 60 kg que se mueve a 112 km/h? El elefante tiene un mayor momento. Una conductora aplica los frenos y reduce la velocidad de su auto en un 20 % sin cambiar la dirección en la que se mueve el auto. ¿En cuánto cambia el momento del auto? Su amigo afirma que el momento es la masa multiplicada por la velocidad, por lo que las cosas con más masa tienen más momento. ¿Está de acuerdo? Explique. Las respuestas pueden variar. La primera cláusula es verdadera, pero la segunda cláusula no es verdadera en general porque la velocidad de un objeto con una masa pequeña puede ser lo suficientemente grande como para que el momento del objeto sea mayor que el de un objeto de mayor masa con una velocidad menor. Es más probable que se rompa un vaso en un suelo de cemento que si se deja caer desde la misma altura en césped. Explíquelo en términos de impulso. Su auto deportivo de 1.500 kg acelera de 0 a 30 m/s en 10 s. ¿Qué fuerza media se ejerce sobre este durante esta aceleración? 4,5 × 10 3 N Una pelota de masa m se deja caer. ¿Cuál es la fórmula del impulso ejercido sobre la pelota desde el instante en que se deja caer hasta un tiempo arbitrario τ más tarde? Ignore la resistencia del aire. Repita el problema anterior, pero incluya una fuerza de arrastre debida al aire de f arrastre = - b v → . J → = ∫ 0 τ [ m g → - m g → ( 1 - e - b t / m ) ] d t = m 2 b g → ( e - b τ / m - 1 ) Un huevo de 5,0 g cae desde un mostrador de 90 cm de altura al suelo y se rompe. ¿Qué impulso ejerce el suelo sobre el huevo? Un auto choca contra un gran árbol que no se mueve. El auto pasa de 30 m/s a 0 en 1,3 m. (a) ¿Qué impulso aplica el cinturón de seguridad al conductor, suponiendo que sigue el mismo movimiento que el auto? (b) ¿Cuál es la fuerza media aplicada sobre el conductor por el cinturón de seguridad? a. - ( 2,1 × 10 3 kg · m/s ) i ^ , b. - ( 24 × 10 3 N ) i ^ Dos jugadores de hockey se acercan de frente; cada uno se desplaza a la misma rapidez v i . Chocan y se enredan, caen y se alejan a una rapidez v i / 5 . ¿Cuál es la relación de sus masas? Va en su bicicleta de 10 kg a 15 m/s y un insecto de 5,0 g choca y salpica en su casco. El insecto volaba inicialmente a 2,0 m/s en la misma dirección que usted. Si su masa es de 60 kg, (a) ¿cuál es el momento inicial suyo más el de su bicicleta? (b) ¿cuál es el momento inicial del insecto? (c) ¿cuál es su cambio de velocidad debido a la colisión con el insecto? (d) ¿cuál habría sido el cambio de velocidad si el insecto viajara en sentido contrario? a. ( 1,1 × 10 3 kg · m/s ) i ^ , b. ( 0,010 kg · m/s ) i ^ , c. - ( 0,00093 m/s ) i ^ , d. - ( 0,0012 m/s ) i ^ Una carga de grava se vierte directamente en un vagón de carga de 30.000 kg que circula a 2,2 m/s en un tramo recto de ferrocarril. Si la rapidez del vagón tras recibir la grava es de 1,5 m/s, ¿qué masa de grava ha recibido? Dos carros en una pista recta chocan de frente. El primer carro se desplaza a 3,6 m/s en la dirección de la x positiva y el segundo se mueve a 2,4 m/s en la dirección opuesta. Tras la colisión, el segundo carro sigue moviéndose en su dirección inicial a 0,24 m/s. Si la masa del segundo carro es 5,0 veces la del primero, ¿cuál es la velocidad final del primer carro? - ( 7,2 m/s ) i ^ Un astronauta de 100 kg se encuentra separado de su nave espacial por 10 m y se aleja de ella a 0,1 m/s. Para volver a la nave espacial, lanza una bolsa de herramientas de 10 kg lejos de la nave a 5,0 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en volver a la nave espacial? Derive las ecuaciones que dan la rapidez final de dos objetos que colisionan elásticamente, donde la masa de los objetos es m 1 y m 2 y la rapidez inicial es v 1,i y v 2,i = 0 (es decir, el segundo objeto está inmóvil inicialmente). v 1,f = v 1,i m 1 - m 2 m 1 + m 2 , v 2,f = v 1,i 2 m 1 m 1 + m 2 Repita el problema anterior en el caso en que la rapidez inicial del segundo objeto sea distinta a cero. Un niño baja en trineo por una colina y choca a 5,6 m/s con un trineo inmóvil, idéntico al suyo. El niño es lanzado hacia delante a la misma rapidez; atrás deja los dos trineos que se traban juntos y se deslizan hacia delante más lentamente. ¿Cuál es la rapidez de los dos trineos después de esta colisión? 2,8 m/s Para el problema anterior, calcule la rapidez final de cada trineo para el caso de una colisión elástica. Un jugador de fútbol de 90 kg salta verticalmente en el aire para atrapar un balón de fútbol de 0,50 kg que se lanza esencialmente en horizontal hacia él a 17 m/s. ¿Cuál es su velocidad horizontal después de atrapar el balón? 0,094 m/s Tres paracaidistas caen en picada hacia la tierra. Al principio se agarran el uno al otro, pero luego se separan. Dos paracaidistas de 70 y 80 kg de masa adquieren velocidades horizontales de 1,2 m/s al norte y 1,4 m/s al sureste, respectivamente. ¿Cuál es la velocidad horizontal del tercer paracaidista, cuya masa es de 55 kg? Dos bolas de billar están en reposo y se tocan en una mesa de billar. La bola blanca se desplaza a 3,8 m/s a lo largo de la línea de simetría entre estas bolas y las golpea simultáneamente. Si la colisión es elástica, ¿cuál es la velocidad de las tres bolas después de la colisión? la velocidad final de la bola blanca es - ( 0,76 m/s ) i ^ , la velocidad final de las otras dos bolas es de 2,6 m/s a ±30° con respecto a la velocidad inicial de la bola blanca Una bola de billar que viaja a ( 2,2 m/s ) i ^ - ( 0,4 m/s ) j ^ choca contra una pared que está alineada en la dirección j ^ . Suponiendo que la colisión es elástica, ¿cuál es la velocidad final de la bola? Dos bolas de billar idénticas colisionan. La primera viaja inicialmente a ( 2,2 m/s ) i ^ - ( 0,4 m/s ) j ^ y la segunda a - ( 1,4 m/s ) i ^ + ( 2,4 m/s ) j ^ . Supongamos que colisionan cuando el centro de la bola 1 está en el origen y el centro de la bola 2 está en el punto ( 2 R , 0 ) donde R es el radio de las bolas. ¿Cuál es la velocidad final de cada bola? bola 1: - ( 1,4 m/s ) i ^ - ( 0,4 m/s ) j ^ , bola 2: ( 2,2 m/s ) i ^ + ( 2,4 m/s ) j ^ Repita el problema anterior si las bolas chocan cuando el centro de la bola 1 está en el origen y el centro de la bola 2 está en el punto ( 0 , 2 R ) . Repita el problema anterior si las bolas chocan cuando el centro de la bola 1 está en el origen y el centro de la bola 2 está en el punto ( 3 R / 2 , R / 2 ) bola 1: ( 1,4 m/s ) i ^ - ( 1,7 m/s ) j ^ , bola 2: - ( 2,8 m/s ) i ^ + ( 0,012 m/s ) j ^ ¿Dónde está el centro de masa de un alambre semicircular de radio R que está centrado en el origen, comienza y termina en el eje de la x , y se encuentra en el plano x , y ? ¿Dónde está el centro de masa de una rebanada de pizza cortada en ocho trozos iguales? Supongamos que el origen está en el vértice de la rebanada y midamos los ángulos con respecto a un borde de la rebanada. El radio de la pizza es R . ( r , θ ) = ( 2 R / 3 , π / 8 ) Si el 1 % de la masa de la Tierra se transfiriera a la Luna, ¿a qué distancia se desplazaría el centro de masa del sistema Tierra-Luna-población? La masa de la Tierra es 5,97 × 10 24 kg y la de la Luna es 7,34 × 10 22 kg . El radio de la órbita de la Luna es de aproximadamente 3,84 × 10 5 m . Su amigo se pregunta cómo un cohete sigue subiendo al cielo una vez que está lo suficientemente alto sobre la superficie de la Tierra como para que sus gases expulsados ya no empujen sobre la superficie. ¿Cómo responde usted? Las respuestas pueden variar. Los gases que empujan sobre la superficie de la Tierra no impulsan el cohete, sino la conservación del momento. El momento del gas que se expulsa por la parte trasera del cohete deberá compensarse con un aumento del momento hacia delante del cohete. Para aumentar la aceleración de un cohete, ¿hay que lanzar piedras por la ventanilla delantera del cohete o por la trasera? Desafío Una persona de 65 kg salta desde la ventana del primer piso de un edificio en llamas y aterriza casi verticalmente en el suelo, a una velocidad horizontal de 3 m/s y vertical de −9 m/s . Al impactar con el suelo, es llevado al reposo en poco tiempo. La fuerza que experimentan sus pies depende de si mantiene las rodillas rígidas o las dobla. Encuentre la fuerza en sus pies en cada caso. Primero halle el impulso en la persona por el impacto en el suelo. Calcule tanto su magnitud como su dirección. Halle la fuerza media sobre los pies si la persona mantiene la pierna rígida y recta y su centro de masa desciende únicamente 1 cm verticalmente y 1 cm horizontalmente durante el impacto. Halle la fuerza media sobre los pies si la persona dobla las piernas durante el impacto de forma que su centro de masa descienda 50 cm en vertical y 5 cm en horizontal durante el impacto. Compare los resultados de las partes (b) y (c), y saque conclusiones sobre cuál forma es mejor. Tendrá que calcular el tiempo que dura el impacto con suposiciones razonables sobre la desaceleración. Aunque la fuerza no es constante durante el impacto, es aceptable trabajar con una fuerza media constante para este problema. a. 617 N · s , 108°; b. F x = 2,91 × 10 4 N , F y = 2,6 × 10 5 N ; c. F x = 5.850 N , F y = 5.265 N Dos proyectiles de masa m 1 y m 2 se disparan a la misma rapidez, pero en direcciones opuestas desde dos lugares de lanzamiento separados por una distancia D . Ambos alcanzan el mismo punto en su punto más alto y golpean allí. Como resultado del impacto, se pegan y se mueven como un solo cuerpo después. Halle el lugar en el que aterrizarán. Dos objetos idénticos (como las bolas de billar) tienen una colisión unidimensional en la que uno está inicialmente inmóvil. Después de la colisión, el objeto que se mueve queda inmóvil y el otro se mueve con la misma rapidez que tenía el otro originalmente. Demuestre que, tanto el momento como la energía cinética se conservan. La conservación del momento exige m 1 v 1,i + m 2 v 2,i = m 1 v 1,f + m 2 v 2,f . Se nos da que m 1 = m 2 , v 1,i = v 2,f , y v 2,i = v 1,f = 0 . Al combinar estas ecuaciones con la ecuación dada por la conservación del momento se obtiene v 1,i = v 1,i , lo cual es cierto, por lo que se cumple la conservación del momento. La conservación de la energía exige 1 2 m 1 v 1,i 2 + 1 2 m 2 v 2,i 2 = 1 2 m 1 v 1,f 2 + 1 2 m 2 v 2,f 2 . De nuevo, al combinar esta ecuación con las condiciones dadas anteriormente, se obtiene v 1,i = v 1,i , por lo que se cumple la conservación de la energía. Una rampa de masa M reposa en una superficie horizontal. Se coloca un pequeño carro de masa m en la parte superior de la rampa y se suelta. ¿Cuál es la velocidad de la rampa y del carro con respecto al suelo en el instante en que el carro sale de la rampa? Halle el centro de masa de la estructura dada en la figura siguiente. Supongamos un grosor uniforme de 20 cm, y una densidad uniforme de 1 g/cm 3 . Supongamos que el origen está en la línea central y en el suelo, entonces ( x CM , y CM ) = ( 0.86 cm ) ecuación del cohete derivada por el físico soviético Konstantin Tsiolkovsky en 1897, nos da el cambio de velocidad que el cohete obtiene al quemar una masa de combustible que disminuye la masa total del cohete de m i hasta m

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Introducción Parque eólico de Brazos, en el oeste de Texas. En 2012, los parques eólicos de los EE. UU. generaban 60 gigavatios de potencia, capacidad suficiente para abastecer de energía a 15 millones de hogares durante un año (créditos: modificación del trabajo del Departamento de Energía de los EE. UU.). En los capítulos anteriores, hemos descrito el movimiento (cinemática) y cómo cambiar el movimiento (dinámica). Igualmente, hemos definido conceptos importantes como la energía para objetos que se consideran masas puntuales. Las masas puntuales, por definición, no tienen forma y, por ende, solo pueden experimentar un movimiento traslacional. Sin embargo, sabemos por la vida cotidiana que el movimiento rotacional también es muy importante y que muchos objetos que se mueven tienen tanto traslación como rotación. Los aerogeneradores de la imagen de apertura de nuestro capítulo son un excelente ejemplo de cómo el movimiento rotacional influye en nuestra vida cotidiana, ya que el mercado de las fuentes de energía limpia sigue creciendo. En este capítulo comenzamos a tratar el movimiento rotacional, empezando por la rotación en un eje fijo. La rotación de eje fijo describe la rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido ; es decir, un objeto que no se deforma al moverse. Mostraremos cómo aplicar todas las ideas que hemos desarrollado hasta ahora sobre el movimiento de traslación a un objeto que gira alrededor de un eje fijo. En el próximo capítulo, ampliaremos estas ideas a movimientos rotacionales más complejos, incluso objetos que rotan y se trasladan, y objetos que carecen de un eje de rotación fijo.

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Variables rotacionales Hasta ahora en este texto, hemos estudiado principalmente el movimiento de traslación, incluso las variables que lo describen: desplazamiento, velocidad y aceleración. Ahora ampliamos nuestra descripción del movimiento a la rotación, específicamente, el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo. Veremos que el movimiento de rotación se describe mediante un conjunto de variables relacionadas, parecidas a las que utilizamos en el movimiento de traslación. Velocidad angular El movimiento circular uniforme (ya comentado en Movimiento en dos y tres dimensiones ) es un movimiento en círculo a rapidez constante. Aunque este es el caso más simple de movimiento rotacional, es muy útil para muchas situaciones, y lo utilizamos aquí para introducir las variables rotacionales. En la , mostramos una partícula que se mueve en círculo. El sistema de coordenadas es fijo y sirve como marco de referencia para definir la posición de la partícula. Su vector de posición desde el origen del círculo hasta la partícula barre el ángulo θ , que aumenta en sentido contrario de las agujas del reloj a medida que la partícula se desplaza por su trayectoria circular. El ángulo θ se denomina la posición angular de la partícula. A medida que la partícula se mueve en su trayectoria circular, también traza un arco de longitud s . Una partícula sigue una trayectoria circular. Al moverse en sentido contrario a las agujas del reloj, barre un ángulo positivo θ con respecto al eje de la x y traza un arco de longitud s . El ángulo se relaciona con el radio del círculo y la longitud del arco mediante θ = s r . El ángulo θ , la posición angular de la partícula a lo largo de su trayectoria, tiene unidades de radianes (rad). Hay 2 π radianes en 360 ° . Observe que la medida del radián es un cociente de medidas de longitud, y por tanto es una cantidad adimensional. A medida que la partícula se mueve a lo largo de su trayectoria circular, su posición angular cambia y sufre desplazamientos angulares Δ θ . Podemos asignar vectores a las cantidades en la . El ángulo θ → es un vector fuera de la página en la . El vector de posición angular r → y la longitud del arco s → ambos se encuentran en el plano de la página. Estos tres vectores están relacionados entre sí por s → = θ → × r → . Es decir, la longitud del arco es el producto cruz del vector de ángulo y el vector de posición, como se muestra en la . El vector de ángulo apunta a lo largo del eje de la z y el vector de posición y el vector de longitud de arco se encuentran en el plano xy . Vemos que s → = θ → × r → . Los tres vectores son perpendiculares entre sí. La magnitud de la velocidad angular , denotada por ω , es la tasa de cambio en el tiempo del ángulo θ mientras la partícula se desplaza en su trayectoria circular. La velocidad angular instantánea se define como el límite en el que Δ t → 0 en la velocidad angular media ω – = Δ θ Δ t : ω = lim Δ t → 0 Δ θ Δ t = d θ d t , donde θ es el ángulo de rotación ( ). Las unidades de la velocidad angular son radianes por segundo (rad/s). La velocidad angular también recibe el nombre de tasa de rotación en radianes por segundo. En muchas situaciones, se nos da la tasa de rotación en revoluciones/s o ciclos/s. Para hallar la velocidad angular, debemos multiplicar las revoluciones/s por 2 π , dado que hay 2 π radianes en una revolución completa. Dado que la dirección de un ángulo positivo en un círculo es contraria a las agujas del reloj, tomamos las rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj como positivas y las rotaciones en el sentido de las agujas del reloj como negativas. Vemos cómo la velocidad angular está relacionada con la rapidez tangencial de la partícula al diferenciar la con respecto al tiempo. Reescribimos la como s = r θ . Al tomar la derivada con respecto al tiempo y observar que el radio r es una constante, tenemos d s d t = d d t ( r θ ) = θ d r d t + r d θ d t = r d θ d t donde θ d r d t = 0 . Aquí d s d t es solo la rapidez tangencial v t de la partícula en la . Así, al utilizar la , llegamos a v t = r ω . Es decir, la rapidez tangencial de la partícula es su velocidad angular por el radio del círculo. En la , vemos que la rapidez tangencial de la partícula aumenta con su distancia al eje de rotación para una velocidad angular constante. Este efecto se muestra en la . Dos partículas se colocan a diferentes radios en un disco en rotación a una velocidad angular constante. Al rotar el disco, la rapidez tangencial aumenta linealmente con el radio desde el eje de rotación. En la , vemos que v 1 = r 1 ω 1 y v 2 = r 2 ω 2 . Sin embargo, el disco tiene una velocidad angular constante, por lo que ω 1 = ω 2 . Esto implica que v 1 r 1 = v 2 r 2 o v 2 = ( r 2 r 1 ) v 1 . Así, dado que r 2 > r 1 , v 2 > v 1 . Dos partículas en un disco en rotación tienen distinta rapidez tangencial, dependiendo de su distancia al eje de rotación. Hasta ahora, hemos hablado de la magnitud de la velocidad angular ω = d θ / d t , que es una cantidad escalar: el cambio de posición angular con respecto al tiempo. El vector ω → es el vector asociado a la velocidad angular y apunta a lo largo del eje de rotación. Esto es útil porque, cuando un cuerpo rígido está en rotación, queremos saber tanto el eje de rotación como la dirección en la que el cuerpo está en rotación alrededor del eje, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. La velocidad angular ω → nos brinda esta información. La velocidad angular ω → tiene una dirección determinada por la llamada regla de la mano derecha. La regla de la mano derecha es tal que si los dedos de su mano derecha se enrollan en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje de la x (la dirección en la que θ aumenta) hacia el eje de la y , su pulgar apunta en la dirección del eje de la z positiva ( ). La velocidad angular ω → que apunta a lo largo del eje de la z positiva corresponde, por tanto, a una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que la velocidad angular ω → que apunta al eje de la z negativa corresponde a una rotación en el sentido de las agujas del reloj. Para la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en el sistema indicado de coordenadas, la velocidad angular apunta en la dirección de la z positiva por la regla de la mano derecha. De forma similar a la , se puede establecer una relación de producto cruz con el vector de la velocidad tangencial, como se indica en la . Por lo tanto, tenemos v → = ω → × r → . Es decir, la velocidad tangencial es el producto cruz de la velocidad angular y el vector de posición, como se muestra en la . De la parte (a) de esta figura, vemos que, con la velocidad angular en la dirección de la z positiva, la rotación en el plano xy es en sentido contrario a las agujas del reloj. En la parte (b), la velocidad angular está en la dirección de la z negativa, lo que da una rotación en el sentido de las agujas del reloj en el plano xy . Los vectores mostrados son la velocidad angular, la posición y la velocidad tangencial. (a) La velocidad angular apunta en la dirección de la z positiva, lo que produce una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano xy . (b) La velocidad angular apunta en la dirección de la z negativa, lo que genera una rotación en el sentido de las agujas del reloj. Rotación de un volante de inercia Un volante de inercia rota de forma que barre un ángulo a la tasa de θ = ω t = ( 45,0 rad / s) t radianes. El volante rota en sentido contrario a las agujas del reloj, visto en el plano de la página. (a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante de inercia? (b) ¿En qué sentido es la velocidad angular? (c) ¿Cuántos radianes rota el volante de inercia en 30 s? (d) ¿Cuál es la rapidez tangencial de un punto del volante de inercia a 10 cm del eje de rotación? Estrategia La forma funcional de la posición angular del volante de inercia se da en el problema como θ ( t ) = ω t , por lo que, al tomar la derivada con respecto al tiempo, hallaremos la velocidad angular. Utilizamos la regla de la mano derecha para calcular la velocidad angular. Para hallar el desplazamiento angular del volante de inercia durante 30 s, buscamos el desplazamiento angular Δ θ , donde el cambio de posición angular está entre 0 y 30 s. Para hallar la rapidez tangencial de un punto a una distancia del eje de rotación, multiplicamos su distancia por la velocidad angular del volante de inercia. Solución ω = d θ d t = 45 rad / s . Vemos que la velocidad angular es una constante. Por la regla de la mano derecha, doblamos los dedos en el sentido de la rotación, que es en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano de la página, y el pulgar apunta en la dirección de la velocidad angular, que está fuera de la página. Δ θ = θ ( 30 s ) - θ ( 0 s ) = 45,0 ( 30,0 s ) - 45,0 ( 0 s ) = 1350,0 rad . v t = r ω = ( 0,1 m ) ( 45,0 rad / s ) = 4,5 m/s . Importancia En 30 s, el volante de inercia ha rotado un buen número de revoluciones, unas 215 si dividimos el desplazamiento angular entre 2 π . Un volante de inercia enorme puede servir para almacenar energía de este modo, si las pérdidas por fricción son mínimas. En investigaciones recientes se ha considerado la posibilidad de utilizar rodamientos superconductores sobre los que se apoya el volante de inercia, con una pérdida de energía cero debido a la fricción. Aceleración angular Acabamos de hablar de la velocidad angular en relación con un movimiento circular uniforme. Sin embargo, no todos los movimientos son uniformes. Imagínese a un patinador sobre hielo girando con los brazos extendidos: cuando mete los brazos, su velocidad angular aumenta. Alternativamente, piense que el disco duro de una computadora desacelera hasta el punto de detenerse a medida que disminuye la velocidad angular. Exploraremos estas situaciones más adelante, aunque ya percibimos la necesidad de definir una aceleración angular para describir situaciones en las que ω cambia. Cuanto más rápido sea el cambio en ω , mayor será la aceleración angular. Definimos la aceleración angular instantánea α como la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo: α = lim Δ t → 0 Δ ω Δ t = d ω d t = d 2 θ d t 2 , donde hemos tomado el límite de la aceleración angular media, α – = Δ ω Δ t como Δ t → 0 . Las unidades de la aceleración angular son (rad/s)/s, o rad/s 2 . De la misma manera que definimos el vector asociado a la velocidad angular ω → , podemos definir α → , el vector asociado a la aceleración angular ( ). Si la velocidad angular es a lo largo del eje de la z positiva, como en la , y d ω d t es positiva, entonces la aceleración angular α → es positiva y apunta a lo largo del eje de la + z - . Del mismo modo, si la velocidad angular ω → está a lo largo del eje de la z positiva y d ω d t es negativa, entonces la aceleración angular es negativa y apunta a lo largo del eje de la + z - . La rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj tanto en (a) como en (b) con la velocidad angular en la misma dirección. (a) La aceleración angular está en la misma dirección que la velocidad angular, lo que aumenta la tasa de rotación. (b) La aceleración angular está en la dirección opuesta a la velocidad angular, lo que disminuye la tasa de rotación. Podemos expresar el vector de aceleración tangencial como un producto cruz de la aceleración angular y el vector de posición. Esta expresión se halla al tomar la derivada de tiempo de v → = ω → × r → y se deja como ejercicio: a → = α → × r → . La relación vectorial para la aceleración angular y la aceleración tangencial se muestra en la . (a) La aceleración angular es en la dirección de la z positiva y produce una aceleración tangencial en sentido contrario a las agujas del reloj. (b) La aceleración angular es en la dirección de la z negativa y produce una aceleración tangencial en el sentido de las agujas del reloj. Podemos relacionar la aceleración tangencial de un punto de un cuerpo en rotación a una distancia del eje de rotación de la misma manera que relacionamos la rapidez tangencial con la velocidad angular. Si diferenciamos la con respecto al tiempo, observando que el radio r es constante, obtenemos a t = r α . Así, la aceleración tangencial a t es el radio por la aceleración angular. La y la son importantes para el análisis del movimiento rodadura (vea Momento angular ). Apliquemos estas ideas al análisis de algunos escenarios sencillos de rotación de eje fijo. Antes de hacerlo, presentamos una estrategia de resolución de problemas que puede aplicarse a la cinemática rotacional: la descripción del movimiento rotacional. Cinemática rotacional Examine la situación para determinar que se trata de cinemática rotacional (movimiento rotacional). Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identifique las incógnitas). Un esquema de la situación es útil. Haga una lista completa de lo que se da o puede deducirse del problema tal y como está planteado (identifique los aspectos conocidos). Resuelva la ecuación o ecuaciones apropiadas para la cantidad a determinar (la incógnita). Puede ser útil pensar en términos de un análogo traslacional, porque a estas alturas ya está familiarizado con las ecuaciones del movimiento traslacional. Sustituya los valores conocidos junto con sus unidades en la ecuación correspondiente y obtenga soluciones numéricas completas con unidades. Utilice unidades de radianes para los ángulos. Compruebe si su respuesta es razonable: ¿Tiene sentido su respuesta? Apliquemos ahora esta estrategia de resolución de problemas a algunos ejemplos concretos. Una rueda de bicicleta que gira Una mecánica de bicicletas monta una bicicleta en el soporte de reparación y hace girar la rueda trasera desde el reposo hasta una velocidad angular final de 250 rpm en 5,00 s. (a) Calcule la aceleración angular media en rad/s 2 . (b) Si ahora pisa el freno, lo que provoca una aceleración angular de -87,3 rad/s 2 , ¿cuánto tiempo tarda la rueda en detenerse? Estrategia La aceleración angular media puede hallarse directamente a partir de su definición α – = Δ ω Δ t porque la velocidad angular final y el tiempo están dados. Vemos que Δ ω = ω final - ω inicial = 250 rev/min y Δ t es 5,00 s. Para la parte (b), conocemos la aceleración angular y la velocidad angular inicial. Podemos hallar el tiempo de parada al utilizar la definición de aceleración angular media y resolver para Δ t , lo que arroja Δ t = Δ ω α . Solución Al introducir la información conocida en la definición de aceleración angular, obtenemos α – = Δ ω Δ t = 250 rpm 5,00 s . Dado que Δ ω está en revoluciones por minuto (rpm) y queremos las unidades estándar de rad/s 2 para la aceleración angular, necesitamos convertir de rpm a rad/s: Δ ω = 250 rev min · 2 π rad rev · 1 min 60 s = 26,2 rad s . Al introducir esta cantidad en la expresión para α , obtenemos α = Δ ω Δ t = 26,2 rad/s 5,00 s = 5,24 rad/s 2 . Aquí la velocidad angular disminuye de 26,2 rad/s (250 rpm) a cero, por lo que Δ ω es -26,2 rad/s, y α es de -87,3 rad/s 2 . Así, Δ t = -26,2 rad/s -87,3 rad/s 2 = 0,300 s . Importancia Observe que la aceleración angular a medida que la mecánica hace girar la rueda es pequeña y positiva; se necesitan 5 s para producir una velocidad angular apreciable. Cuando pisa el freno, la aceleración angular es grande y negativa. La velocidad angular pasa rápidamente a cero. Las aspas del ventilador de un motor de reacción turbofán (mostradas a continuación) aceleran desde el reposo hasta una tasa de rotación de 40,0 rev/s en 20 s. El aumento de la velocidad angular del ventilador es constante en el tiempo. (El motor turbofán GE90-110B1 montado en un Boeing 777, como se muestra, es actualmente el mayor motor turbofán del mundo, capaz de alcanzar un empuje de 330 a 510 kN). (a) ¿Cuál es la aceleración angular media? (b) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en cualquier momento durante los primeros 20 s? (créditos: "Bubinator"/ Wikimedia Commons). a. 40,0 rev / s = 2 π ( 40,0 ) rad / s , α – = Δ ω Δ t = 2 π ( 40,0 ) - 0 rad/s 20,0 s = 2 π ( 2,0 ) = 4,0 π rad/ s 2 ; b. Dado que la velocidad angular aumenta linealmente, tiene que haber aceleración constante a lo largo del tiempo indicado. Por lo tanto, la aceleración angular instantánea en cualquier momento es la solución de 4,0 π rad/ s 2 . Aerogenerador Un aerogenerador ( ) en un parque eólico se apaga para su mantenimiento. Tarda 30 s en pasar de su velocidad angular de funcionamiento a una parada completa, en la que la función de velocidad angular es ω ( t ) = [ ( t s −1 −30,0 ) 2 / 100,0 ] rad / s . Si el aerogenerador rota en sentido contrario a las agujas del reloj, de cara a la página, (a) ¿cuáles son las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración angular? (b) ¿Cuál es la aceleración angular media? (c) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en t = 0,0 , 15,0 , 30,0 s ? Aerogenerador que rota en sentido contrario a las agujas del reloj, visto de frente. Estrategia Se nos da el sentido rotacional del aerogenerador, que está en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano de la página. Utilizando la regla de la mano derecha ( ), podemos establecer las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración angular. Calculamos las velocidades angulares inicial y final para obtener la aceleración angular media. Establecemos el signo de la aceleración angular a partir de los resultados de (a). Tenemos la forma funcional de la velocidad angular, así que podemos hallar la forma funcional de la función de aceleración angular al tomar su derivada con respecto al tiempo. Solución Dado que el aerogenerador rota en sentido contrario a las agujas del reloj, la velocidad angular ω → apunta hacia afuera de la página. Sin embargo, dado que la velocidad angular disminuye, la aceleración angular α → apunta hacia la página, en el sentido contrario a la velocidad angular. La velocidad angular inicial de la turbina, suponiendo que t = 0 , es ω = 9,0 rad / s . La velocidad angular final es cero, por lo que la aceleración angular media es α – = Δ ω Δ t = ω - ω 0 t - t 0 = 0 - 9,0 rad/s 30,0 - 0 s = −0,3 rad / s 2 . Al tomar la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo se obtiene α = d ω d t = ( t - 30,0 ) / 50,0 rad / s 2 α ( 0,0 s ) = -0,6 rad / s 2 , α ( 15,0 s ) = −0,3 rad / s 2 , y α ( 30,0 s ) = 0 rad/s . Importancia A partir de los cálculos de (a) y (b) comprobamos que la aceleración angular α y la aceleración angular media α – son negativas. El aerogenerador tiene una aceleración angular en sentido contrario a su velocidad angular. Ahora tenemos un vocabulario básico para hablar sobre la cinemática rotacional de eje fijo y las relaciones entre las variables rotacionales. En la siguiente sección se analizan más definiciones y conexiones. Resumen La posición angular θ de un cuerpo en rotación es el ángulo que ha rotado el cuerpo en un sistema de coordenadas fijo, que sirve como marco de referencia. La velocidad angular de un cuerpo en rotación alrededor de un eje fijo se define como ω ( rad / s ) , la tasa rotacional del cuerpo en radianes por segundo. La velocidad angular instantánea de un cuerpo en rotación ω = lim Δ t → 0 Δ ω Δ t = d θ d t es la derivada con respecto al tiempo de la posición angular θ , calculada al tomar el límite Δ t → 0 en la velocidad angular media ω – = Δ θ Δ t . La velocidad angular relaciona v t con la rapidez tangencial de un punto del cuerpo en rotación mediante la relación v t = r ω , donde r es el radio al punto y v t es la rapidez tangencial en el punto dado. La velocidad angular ω → se calcula al utilizar la regla de la mano derecha. Si los dedos se doblan en el sentido de rotación alrededor de un eje fijo, el pulgar apunta en la dirección de ω → (vea la ). Si la velocidad angular del sistema no es constante, entonces el sistema tiene una aceleración angular. La aceleración angular media en un intervalo de tiempo determinado es la variación de la velocidad angular en ese intervalo, α – = Δ ω Δ t . La aceleración angular instantánea es la derivada de tiempo de la velocidad angular, α = lim Δ t → 0 Δ ω Δ t = d ω d t . La aceleración angular α → se calcula al localizar la velocidad angular. Si la tasa de rotación de un cuerpo en rotación disminuye, la aceleración angular es en sentido contrario a ω → . Si la tasa de rotación se incrementa, la aceleración angular es en la misma dirección que ω → . La aceleración tangencial de un punto a un radio del eje de rotación es la aceleración angular por el radio al punto. Preguntas conceptuales Hay un reloj montado en la pared. Al mirarlo, ¿cuál es la dirección del vector de velocidad angular del segundero? El segundero rota en el sentido de las agujas del reloj, por lo que, según la regla de la mano derecha, el vector de velocidad angular es hacia la pared. ¿Cuál es el valor de la aceleración angular del segundero del reloj de pared? Un bate de béisbol se balancea. ¿Tienen todos los puntos del bate la misma velocidad angular? ¿La misma rapidez tangencial? Tienen la misma velocidad angular. Los puntos más alejados del bate tienen mayor rapidez tangencial. Las aspas de una batidora en una encimera rotan en el sentido de las agujas del reloj, vistas desde arriba. Si la batidora se pone a una velocidad mayor, ¿en qué sentido se produce la aceleración angular de las aspas? Problemas Calcule la velocidad angular de la Tierra. Una estrella del atletismo corre una carrera de 400 metros en una pista circular de 400 metros en 45 s. ¿Cuál es su velocidad angular suponiendo una rapidez constante? ω = 2 π rad 45,0 s = 0,14 rad/s Una rueda rota a una tasa constante de 2,0 × 10 3 rev / min . (a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por segundo? (b) ¿Con qué ángulo gira en 10 s? Exprese la solución en radianes y grados. Una partícula se desplaza 3,0 m a lo largo de un círculo de radio 1,5 m. (a) ¿Con qué ángulo rota? (b) Si la partícula realiza este recorrido en 1,0 s a rapidez constante, ¿cuál es su velocidad angular? (c) ¿Cuál es su aceleración? a. θ = s r = 3,0 m 1,5 m = 2,0 rad ; b. ω = 2,0 rad 1,0 s = 2,0 rad/s ; c. v 2 r = ( 3,0 m/s ) 2 1,5 m = 6,0 m / s 2 . Un disco compacto rota a 500 rev/min. Si el diámetro del disco es de 120 mm, (a) ¿cuál es la rapidez tangencial de un punto situado en el borde del disco? (b) ¿en un punto situado a medio camino al centro del disco? Resultados poco razonables. La hélice de un avión gira a 10 rev/s cuando el piloto apaga el motor. La hélice reduce su velocidad angular a una constante de 2,0 rad / s 2 durante un periodo de 40 s. ¿Cuál es la tasa de rotación de la hélice en 40 s? ¿Es una situación razonable? La hélice solo necesita Δ t = Δ ω α = 0 rad/s - 10,0 ( 2 π ) rad/s −2,0 rad / s 2 = 31,4 s para llegar al reposo, cuando la hélice está a 0 rad/s, comenzaría a rotar en sentido contrario. Esto sería imposible debido a la magnitud de las fuerzas que intervienen para que la hélice se detenga y comience la rotación en sentido contrario. Un giroscopio desacelera desde una tasa inicial de 32,0 rad/s a una tasa de 0,700 rad/s 2 . ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al reposo? En el despegue, las hélices de un UAV (aeronave no tripulada) aumentan su velocidad angular durante 3,0 s desde el reposo a una tasa de ω = ( 25,0 t ) rad / s donde t se mide en segundos. (a) ¿Cuál es la velocidad angular instantánea de las hélices en t = 2,0 s ? (b) ¿Cuál es la aceleración angular? a. ω = 25,0 ( 2,0 s ) = 50,0 rad/s ; b. α = d ω d t = 25,0 rad/s 2 La posición angular de una varilla varía a 20,0 t 2 radianes desde el tiempo t = 0 . La varilla tiene dos cuentas, como se muestra en la siguiente figura: una a 10 cm del eje de rotación y la otra a 20 cm del eje de rotación. (a) ¿Cuál es la velocidad angular instantánea de la varilla en t = 5 s ? (b) ¿Cuál es la aceleración angular de la varilla? (c) ¿Cuál es la rapidez tangencial de las cuentas en t = 5 s ? d) ¿Cuál es la aceleración tangencial de las cuentas en t = 5 s ? (e) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de las cuentas en t = 5 s ? aceleración angular tasa de tiempo del cambio de la velocidad angular posición angular ángulo que ha rotado un cuerpo en un sistema fijo de coordenadas velocidad angular tasa de tiempo del cambio de la posición angular aceleración angular instantánea derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo velocidad angular instantánea derivada de la posición angular con respecto al tiempo

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Rotación con aceleración angular constante En la sección anterior, hemos definido las variables rotacionales de desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular. En esta sección, trabajamos con estas definiciones para derivar relaciones entre estas variables y utilizar estas relaciones para analizar el movimiento rotacional en un cuerpo rígido en torno a un eje fijo bajo una aceleración angular constante. Este análisis constituye la base de la cinemática rotacional. Si la aceleración angular es constante, las ecuaciones de la cinemática rotacional se simplifican, de forma similar a las ecuaciones de la cinemática lineal que se analizan en Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones . Podemos entonces utilizar este conjunto simplificado de ecuaciones para describir muchas aplicaciones en física e ingeniería, donde la aceleración angular del sistema es constante. La cinemática rotacional es también un prerrequisito para el estudio de la dinámica rotacional más adelante en este capítulo. Cinemática del movimiento rotacional Con nuestra intuición podemos empezar a ver cómo las cantidades rotacionales θ , ω , α , y t están relacionadas entre sí. Por ejemplo, hemos visto en la sección anterior que, si un volante de inercia tiene una aceleración angular en la misma dirección que su vector de velocidad angular, su velocidad angular aumenta con el tiempo, al igual que desplazamiento angular. Por el contrario, si la aceleración angular es opuesta al vector de velocidad angular, su velocidad angular disminuye con el tiempo. Podemos describir estas situaciones físicas y muchas otras con un conjunto coherente de ecuaciones cinemáticas rotacionales bajo una aceleración angular constante. El método para investigar el movimiento rotacional de esta manera se llama cinemática del movimiento rotacional . Para empezar, observamos que, si el sistema rota bajo una aceleración constante, entonces la velocidad angular media sigue una relación simple porque la velocidad angular aumenta linealmente con el tiempo. La velocidad angular media es justo la mitad de la suma de los valores inicial y final: ω – = ω 0 + ω f 2 . A partir de la definición de la velocidad angular media, hallaremos una ecuación que relacione la posición angular, la velocidad angular media y el tiempo: ω – = Δ θ Δ t . Resolviendo para θ , tenemos θ f = θ 0 + ω – t , donde hemos supuesto que t 0 = 0 . Esta ecuación puede ser muy útil si conocemos la velocidad angular media del sistema. Entonces podríamos encontrar el desplazamiento angular en un tiempo determinado. A continuación, hallamos una ecuación que relaciona ω , α , y t . Para determinar esta ecuación, partimos de la definición de aceleración angular: α = d ω d t . Reorganizamos esto para obtener α d t = d ω y luego integramos ambos lados de esta ecuación desde los valores iniciales hasta los finales, es decir, desde t 0 a t y ω 0 a ω f . En el movimiento rotacional uniforme, la aceleración angular es constante, por lo que puede extraerse de la integral, para dar lugar a dos integrales definidas: α ∫ t 0 t d t ′ = ∫ ω 0 ω f d ω . Estableciendo t 0 = 0 , tenemos α t = ω f - ω 0 . Reorganizamos esto para obtener ω f = ω 0 + α t , donde ω 0 es la velocidad angular inicial. La es la contraparte rotacional de la ecuación cinemática lineal v f = v 0 + a t . Con la , hallaremos la velocidad angular de un objeto en cualquier tiempo t dada la velocidad angular inicial y la aceleración angular. Hagamos ahora un tratamiento similar a partir de la ecuación ω = d θ d t . La reordenamos para obtener ω d t = d θ e integramos de nuevo ambos lados de los valores iniciales a los finales; se observa que la aceleración angular es constante y no depende del tiempo. Sin embargo, esta vez, la velocidad angular no es constante (en general), por lo que sustituimos en lo que derivamos anteriormente: ∫ t 0 t f ( ω 0 + α t ′ ) d t ′ = ∫ θ 0 θ f d θ ; ∫ t 0 t ω 0 d t + ∫ t 0 t α t d t = ∫ θ 0 θ f d θ = [ ω 0 t ′ + α ( ( t ′ ) 2 2 ) ] t 0 t = ω 0 t + α ( t 2 2 ) = θ f - θ 0 , donde hemos supuesto que t 0 = 0 . Ahora reordenamos para obtener θ f = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 . La es la contraparte rotacional de la ecuación de la cinemática lineal que se encuentra en Movimiento a lo largo de una línea recta para la posición como función del tiempo. Esta ecuación nos da la posición angular de un cuerpo rígido en rotación en cualquier tiempo t dadas las condiciones iniciales (posición angular inicial y velocidad angular inicial) y la aceleración angular. Hallaremos una ecuación que sea independiente del tiempo al resolver para t en la y sustituir en la . La se convierte en θ f = θ 0 + ω 0 ( ω f - ω 0 α ) + 1 2 α ( ω f - ω 0 α ) 2 = θ 0 + ω 0 ω f α - ω 0 2 α + 1 2 ω f 2 α - ω 0 ω f α + 1 2 ω 0 2 α = θ 0 + 1 2 ω f 2 α - 1 2 ω 0 2 α , θ f - θ 0 = ω f 2 - ω 0 2 2 α o ω f 2 = ω 0 2 + 2 α ( Δ θ ) . La a la describen la rotación en el eje fijo para una aceleración constante y se resumen en la . Ecuaciones cinemáticas Desplazamiento angular a partir de la velocidad angular media θ f = θ 0 + ω – t Velocidad angular a partir de la aceleración angular ω f = ω 0 + α t Desplazamiento angular a partir de la velocidad angular y la aceleración angular θ f = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 Velocidad angular a partir del desplazamiento angular y la aceleración angular ω f 2 = ω 0 2 + 2 α ( Δ θ ) Aplicar las ecuaciones del movimiento rotacional Ahora aplicaremos las relaciones cinemáticas clave para el movimiento rotacional a algunos ejemplos sencillos para tener una idea de cómo se pueden aplicar las ecuaciones a situaciones cotidianas. Calcular la aceleración de un carrete de pesca Un pescador de alta mar engancha un gran pez que se aleja nadando del barco, tirando del sedal de su carrete de pesca. Todo el sistema está inicialmente en reposo, y el sedal se desenrolla del carrete en un radio de 4,50 cm desde su eje de rotación. El carrete recibe una aceleración angular de 110 rad/s 2 durante 2,00 s ( ). (a) ¿Cuál es la velocidad angular final del carrete después de 2 s? (b) ¿Cuántas revoluciones da el carrete? El sedal que sale de un carrete en rotación se mueve linealmente. Estrategia Identifique los aspectos conocidos y compárelos con las ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante. Busque la ecuación adecuada que pueda resolverse para la incógnita; utilice los aspectos conocidos en la descripción del problema. Solución Se nos da α y t y queremos determinar ω . La ecuación más sencilla de utilizar es ω f = ω 0 + α t , dado que se conocen todos los términos, además de la variable desconocida que buscamos. Se nos da que ω 0 = 0 (parte del reposo), por lo que ω f = 0 + ( 110 rad/s 2 ) ( 2,00 s ) = 220 rad/s . Se nos pide que calculemos el número de revoluciones. Dado que 1 rev = 2 π rad , hallaremos el número de revoluciones al calcular θ en radianes. Se nos da α y t , y sabemos que ω 0 es cero, por lo que podemos obtener θ utilizando θ f = θ i + ω i t + 1 2 α t 2 = 0 + 0 + ( 0,500 ) ( 110 rad/s 2 ) ( 2,00 s ) 2 = 220 rad . Al convertir los radianes en revoluciones obtenemos Número de rev = ( 220 rad ) 1 rev 2 π rad = 35,0 rev . Importancia Este ejemplo ilustra que las relaciones entre las magnitudes rotacionales son muy análogas a las de las magnitudes lineales. Las respuestas a las preguntas son realistas. Tras desenrollarlo durante dos segundos, se comprueba que el carrete gira a 220 rad/s, es decir, a 2.100 rpm. (No es de extrañar que los carretes a veces emitan sonidos agudos). En el ejemplo anterior, hemos considerado un carrete de pesca con una aceleración angular positiva. Consideremos ahora lo que ocurre con una aceleración angular negativa. Calcular la duración cuando el carrete de pesca desacelera y se detiene Ahora el pescador aplica un freno al carrete en rotación, hasta lograr una aceleración angular de −300 rad/s 2 . ¿Cuánto tiempo tarda el carrete en detenerse? Estrategia Se nos pide que calculemos el tiempo t que tarda en detenerse el carrete. Las condiciones iniciales y finales son diferentes a las del problema anterior, que implicaba el mismo carrete de pesca. Ahora vemos que la velocidad angular inicial es ω 0 = 220 rad / s y la velocidad angular final ω es cero. La aceleración angular viene dada por α = −300 rad/s 2 . Al examinar las ecuaciones disponibles, vemos que todas las cantidades menos t son conocidas en ω f = ω 0 + α t , lo que facilita el empleo de esta ecuación. Solución La ecuación establece ω f = ω 0 + α t . Resolvemos la ecuación algebraicamente para t y luego sustituimos los valores conocidos como es habitual, para producir t = ω f - ω 0 α = 0 - 220,0 rad/s -300,0 rad/s 2 = 0,733 s . Importancia Hay que tener cuidado con los signos que indican las direcciones de las distintas cantidades. También observe que el tiempo para detener el carrete es muy breve porque la aceleración es bastante grande. Las líneas de pesca a veces se rompen debido a las aceleraciones que se producen, y los pescadores suelen dejar que el pez nade durante un tiempo antes de aplicar los frenos en el carrete. Un pez cansado es más lento y requiere una menor aceleración. Una centrifugadora utilizada en la extracción de ADN gira a una velocidad máxima de 7.000 rpm, para generar una "fuerza g" sobre la muestra que es 6.000 veces la fuerza de la gravedad. Si la centrifugadora tarda 10 segundos en llegar al reposo desde la máxima tasa de giro: (a) ¿Cuál es la aceleración angular de la centrifugadora? (b) ¿Cuál es el desplazamiento angular de la centrifugadora durante este tiempo? a. Utilizando la , tenemos 7.000 rpm = 7000,0 ( 2 π rad ) 60,0 s = 733,0 rad / s , α = ω - ω 0 t = 733,0 rad / s 10,0 s = 73,3 rad / s 2 ; b. Utilizando la , tenemos ω 2 = ω 0 2 + 2 α Δ θ ⇒ Δ θ = ω 2 - ω 0 2 2 α = 0 - ( 733,0 rad / s ) 2 2 ( 73,3 rad / s 2 ) = 3665,2 rad Aceleración angular de una hélice La muestra un gráfico de la velocidad angular de una hélice de un avión como función del tiempo. Su velocidad angular comienza en 30 rad/s y desciende linealmente hasta 0 rad/s en el transcurso de 5 segundos. (a) Calcule la aceleración angular del objeto y verifique el resultado utilizando las ecuaciones cinemáticas. (b) Calcule el ángulo por el que la hélice está en rotación durante esos 5 segundos y verifique su resultado por medio de las ecuaciones cinemáticas. Gráfico de la velocidad angular de una hélice en función del tiempo. Estrategia Dado que la velocidad angular varía linealmente con el tiempo, sabemos que la aceleración angular es constante y no depende de la variable tiempo. La aceleración angular es la pendiente del gráfico de la velocidad angular en función del tiempo, α = d ω d t . Para calcular la pendiente, leemos directamente de la , y vemos que ω 0 = 30 rad/s en t = 0 s y ω f = 0 rad/s en t = 5 s . A continuación, podemos verificar el resultado utilizando ω = ω 0 + α t . Utilizamos la ecuación ω = d θ d t ; ya que la derivada tiempo del ángulo es la velocidad angular, hallaremos el desplazamiento angular al integrar la velocidad angular, lo que a partir de la figura significa tomar el área bajo el gráfico de la velocidad angular. En otras palabras: ∫ θ 0 θ f d θ = θ f - θ 0 = ∫ t 0 t f ω ( t ) d t . A continuación, utilizamos las ecuaciones cinemáticas en la aceleración constante para verificar el resultado. Solución Al calcular la pendiente, obtenemos α = ω - ω 0 t - t 0 = ( 0 - 30,0 ) rad/s ( 5,0 - 0 ) s = −6,0 rad/s 2 . Vemos que esto es exactamente la con un pequeño reordenamiento de los términos. Hallaremos el área bajo la curva al calcular el área del triángulo rectángulo, como se muestra en la . El área bajo la curva es el área del triángulo rectángulo. Δ θ = área ( triángulo ) ; Δ θ = 1 2 ( 30 rad/s ) ( 5 s ) = 75 rad . Verificamos la solución mediante la : θ f = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 . Estableciendo θ 0 = 0 , tenemos θ 0 = ( 30,0 rad / s ) ( 5,0 s ) + 1 2 ( −6,0 rad / s 2 ) ( 5,0 rad / s ) 2 = 150,0 - 75,0 = 75,0 rad . Esto verifica la solución derivada de calcular el área bajo la curva. Importancia Vemos en la parte (b) que hay enfoques alternativos para analizar la rotación del eje fijo con aceleración constante. Comenzamos con un enfoque gráfico y verificamos la solución por medio de las ecuaciones cinemáticas rotacionales. Dado que α = d ω d t , podríamos realizar el mismo análisis gráfico sobre una curva de aceleración angular en función del tiempo. El área bajo la curva α en función del t nos da el cambio de velocidad angular. Ya que la aceleración angular es constante en esta sección, se trata de un ejercicio sencillo. Resumen La cinemática del movimiento rotacional describe las relaciones entre el ángulo de rotación (posición angular), la velocidad angular, la aceleración angular y el tiempo. En una aceleración angular constante, la velocidad angular varía linealmente. Por lo tanto, la velocidad angular media es la 1/2 de la velocidad angular inicial más la final en un tiempo determinado: ω – = ω 0 + ω f 2 . Utilizamos un análisis gráfico para hallar soluciones a la rotación de eje fijo con aceleración angular constante. A partir de la relación ω = d θ d t , hallamos que el área bajo la curva de velocidad angular en función del tiempo da el desplazamiento angular, θ f - θ 0 = Δ θ = ∫ t 0 t ω ( t ) d t . Los resultados del análisis gráfico se verificaron mediante las ecuaciones cinemáticas para una aceleración angular constante. Del mismo modo, dado que α = d ω d t , el área bajo un gráfico de aceleración angular en función del tiempo da el cambio en la velocidad angular ω f - ω 0 = Δ ω = ∫ t 0 t α ( t ) d t . Preguntas conceptuales Si un cuerpo rígido tiene una aceleración angular constante, ¿cuál es la forma funcional de la velocidad angular en términos de la variable tiempo? línea recta, lineal en la variable tiempo Si un cuerpo rígido tiene una aceleración angular constante, ¿cuál es la forma funcional de la posición angular? Si la aceleración angular de un cuerpo rígido es cero, ¿cuál es la forma funcional de la velocidad angular? constante Una cuerda de sujeción sin masa con una masa atada a ambos extremos rota en torno a un eje fijo por el centro. ¿Puede la aceleración total de la combinación cuerda de sujeción/masa ser cero si la velocidad angular es constante? Problemas Una rueda tiene una aceleración angular constante de 5,0 rad / s 2 . Partiendo del reposo, gira 300 rad. (a) ¿Cuál es su velocidad angular final? (b) ¿Cuánto tiempo transcurre mientras gira los 300 radianes? a. ω = 54,8 rad / s ; b. t = 11,0 s Durante un intervalo de tiempo de 6,0 s, un volante de inercia con una aceleración angular constante gira 500 radianes que adquieren una velocidad angular de 100 rad/s. (a) ¿Cuál es la velocidad angular al comienzo de los 6,0 s? (b) ¿Cuál es la aceleración angular del volante de inercia? La velocidad angular de un cuerpo rígido en rotación aumenta de 500 a 1.500 rev/min en 120 s. (a) ¿Cuál es la aceleración angular del cuerpo? (b) ¿Con qué ángulo gira en estos 120 s? a. 0,87 rad / s 2 ; b. θ = 12.600 rad Un volante de inercia pasa de 600 a 400 rev/min mientras rota a 40 revoluciones. (a) ¿Cuál es la aceleración angular del volante de inercia? (b) ¿Cuánto tiempo transcurre durante las 40 revoluciones? Una rueda de 1,0 m de radio rota a una aceleración angular de 4,0 rad / s 2 . (a) Si la velocidad angular inicial de la rueda es de 2,0 rad/s, ¿cuál es su velocidad angular después de 10 s? (b) ¿Con qué ángulo rota en el intervalo de 10 s? (c) ¿Cuáles son la velocidad tangencial y la aceleración de un punto del borde de la rueda al final del intervalo de 10 s? a. ω = 42,0 rad / s ; b. θ = 220 rad ; c. v t = 42 m / s a t = 4,0 m / s 2 Una rueda vertical de 50 cm de diámetro parte del reposo y rota a una aceleración angular constante de 5,0 rad / s 2 en torno a un eje fijo que pasa por su centro en el sentido contrario de las agujas del reloj. (a) ¿Dónde está el punto que se encuentra inicialmente en la parte inferior de la rueda en t = 10 s? (b) ¿Cuál es la aceleración lineal del punto en este instante? Un disco circular de radio de 10 cm tiene una aceleración angular constante de 1,0 rad / s 2 ; en t = 0 su velocidad angular es de 2,0 rad/s. (a) Determine la velocidad angular del disco en t = 5,0 s . (b) ¿Cuál es el ángulo que ha rotado durante este tiempo? (c) ¿Cuál es la aceleración tangencial de un punto del disco en t = 5,0 s ? a. ω = 7,0 rad / s ; b. θ = 22,5 rad ; c. a t = 0,1 m / s A continuación se muestra la velocidad angular en función del tiempo de un ventilador en un aerodeslizador. (a) ¿Cuál es el ángulo por el que rotan las aspas del ventilador en los primeros 8 segundos? (b) Verifique su resultado con las ecuaciones cinemáticas. Una varilla de 20 cm de longitud tiene dos cuentas sujetas en sus extremos. La varilla con cuentas comienza a rotar desde el reposo. Si las cuentas deben tener una rapidez tangencial de 20 m/s en 7 s, ¿cuál es la aceleración angular de la varilla para conseguirlo? α = 28,6 rad / s 2 . cinemática del movimiento rotacional describe las relaciones entre el ángulo de rotación, la velocidad angular, la aceleración angular y el tiempo

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Relacionar cantidades angulares y traslacionales En esta sección, relacionamos cada una de las variables rotacionales con las variables traslacionales definidas en Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones . Esto completará nuestra capacidad para describir las rotaciones de los cuerpos rígidos. Variables angulares frente a variables lineales En Variables rotacionales , introducimos las variables angulares. Si comparamos las definiciones rotacionales con las definiciones de las variables cinemáticas lineales de Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones , encontramos que hay un mapeo de las variables lineales a las rotacionales. La posición lineal, la velocidad y la aceleración tienen sus contrapartes rotacionales, como podemos ver cuando las escribimos una al lado de la otra: Lineal Rotacional Posición x θ Velocidad v = d x d t ω = d θ d t Aceleración a = d v d t α = d ω d t Comparemos las variables lineales y rotacionales individualmente. La variable lineal de posición tiene unidades físicas de metros, mientras que la variable de posición angular tiene unidades adimensionales de radianes, como puede observarse en la definición de θ = s r , que es la relación de dos longitudes. La velocidad lineal tiene unidades de m/s, y su contraparte, la velocidad angular, tiene unidades de rad/s. En Variables rotacionales , vimos en el caso del movimiento circular que la rapidez lineal tangencial de una partícula a un radio r del eje de rotación está relacionada con la velocidad angular por la relación v t = r ω . Esto también podría aplicarse a los puntos de un cuerpo rígido que rota en torno a un eje fijo. En este caso, solo consideramos el movimiento circular. En el movimiento circular, tanto uniforme como no uniforme, existe una aceleración centrípeta ( Movimiento en dos y tres dimensiones ). El vector de aceleración centrípeta apunta hacia el interior de la partícula que ejecuta el movimiento circular hacia el eje de rotación. La derivación de la magnitud de la aceleración centrípeta se da en Movimiento en dos y tres dimensiones . A partir de esa derivación, la magnitud de la aceleración centrípeta resultó ser a c = v t 2 r , donde r es el radio del círculo. Así, en el movimiento circular uniforme, cuando la velocidad angular es constante y la aceleración angular es cero, tenemos una aceleración lineal, es decir, una aceleración centrípeta, ya que la rapidez tangencial en la es una constante. Si existe un movimiento circular no uniforme, el sistema en rotación tiene una aceleración angular, y tenemos tanto una aceleración centrípeta lineal que está cambiando (porque v t está cambiando) así como una aceleración tangencial lineal. Estas relaciones se indican en la , donde presentamos las aceleraciones centrípeta y tangencial para el movimiento circular uniforme y no uniforme. (a) Movimiento circular uniforme: la aceleración centrípeta a c tiene su vector hacia el interior del eje de rotación. No hay aceleración tangencial. (b) Movimiento circular no uniforme: la aceleración angular produce una aceleración centrípeta hacia el interior que va cambiando de magnitud, más una aceleración tangencial a t . La aceleración centrípeta se debe al cambio en la dirección de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración tangencial se debe a cualquier cambio en la magnitud de la velocidad tangencial. Los vectores de aceleración tangencial y centrípeta a → t y a → c son siempre perpendiculares entre sí, como se aprecia en la . Para completar esta descripción, podemos asignar un vector de aceleración lineal total a un punto de un cuerpo rígido en rotación o a una partícula que ejecuta un movimiento circular a un radio r desde un eje fijo. El vector de aceleración lineal total a → es la suma vectorial de las aceleraciones centrípeta y tangencial, a → = a → c + a → t . El vector de aceleración lineal total en el caso del movimiento circular no uniforme apunta a un ángulo entre los vectores de aceleración centrípeta y tangencial, como se muestra en la . Dado que a → c ⊥ a → t , la magnitud de la aceleración lineal total es | a → | = a c 2 + a t 2 . Observe que, si la aceleración angular es cero, la aceleración lineal total es igual a la aceleración centrípeta. Una partícula ejecuta un movimiento circular y tiene una aceleración angular. La aceleración lineal total de la partícula es la suma vectorial de los vectores de aceleración centrípeta y de aceleración tangencial. El vector de aceleración lineal total forma un ángulo entre la aceleración centrípeta y la tangencial. Relaciones entre el movimiento rotacional y traslacional Podemos observar dos relaciones entre el movimiento rotacional y el traslacional. En general, las ecuaciones cinemáticas lineales tienen sus contrapartes rotacionales. La enumera las cuatro ecuaciones cinemáticas lineales y su contraparte rotacional. Los dos conjuntos de ecuaciones se parecen entre sí, pero describen dos situaciones físicas diferentes, es decir, la rotación y la traslación. Ecuaciones cinemáticas rotacionales y traslacionales Rotacional Traslacional θ f = θ 0 + ω – t x = x 0 + v – t ω f = ω 0 + α t v f = v 0 + a t θ f = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 x f = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ω f 2 = ω 0 2 + 2 α ( Δ θ ) v f 2 = v 0 2 + 2 a ( Δ x ) La segunda correspondencia tiene que ver con la relación de las variables lineales y rotacionales en el caso especial del movimiento circular. Esto se muestra en la , donde en la tercera columna, hemos enumerado la ecuación de conexión que relaciona la variable lineal con la variable rotacional. Las variables rotacionales de velocidad angular y aceleración tienen subíndices que indican su definición en el movimiento circular. Cantidades rotacionales y traslacionales: movimiento circular Rotacional Traslacional Relación ( r = radio ) θ s θ = s r ω v t ω = v t r α a t α = a t r a c a c = v t 2 r Aceleración lineal de una centrífuga Una centrífuga tiene un radio de 20 cm y acelera desde una tasa de rotación máxima de 10.000 rpm hasta el reposo en 30 segundos bajo una aceleración angular constante. Rota en el sentido contrario de las agujas del reloj. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración total de un punto en la punta de la centrífuga en t = 29,0 s? ¿Cuál es la dirección del vector de aceleración total? Estrategia Con la información dada, podemos calcular la aceleración angular, lo que nos permitirá calcular la aceleración tangencial. Hallaremos la aceleración centrípeta en t = 0 al calcular la rapidez tangencial en este momento. Con las magnitudes de las aceleraciones, podemos calcular la aceleración lineal total. A partir de la descripción de la rotación en el problema, podemos hacer un esquema de la dirección del vector de aceleración total. Solución La aceleración angular es α = ω - ω 0 t = 0 - ( 1,0 × 10 4 ) 2 π / 60,0 s ( rad / s ) 30,0 s = −34,9 rad / s 2 . Por lo tanto, la aceleración tangencial es a t = r α = 0,2 m ( −34,9 rad / s 2 ) = −7,0 m / s 2 . La velocidad angular en t = 29,0 s es ω = ω 0 + α t = 1,0 × 10 4 ( 2 π 60,0 s ) + ( −34,9 rad / s 2 ) ( 29,0 s ) = 1047,2 rad / s - 1012,71 = 35,1 rad / s . Así, la rapidez tangencial en t = 29,0 s es v t = r ω = 0,2 m ( 35,1 rad / s ) = 7,0 m / s . Ahora podemos calcular la aceleración centrípeta en t = 29,0 s : a c = v 2 r = ( 7,0 m / s ) 2 0,2 m = 245,0 m / s 2 . Ya que los dos vectores de aceleración son perpendiculares entre sí, la magnitud de la aceleración lineal total es | a → | = a c 2 + a t 2 = ( 245,0 ) 2 + ( −7,0 ) 2 = 245,1 m / s 2 . Dado que la centrífuga tiene una aceleración angular negativa, desacelera. El vector de aceleración total es el que se muestra en la . El ángulo con respecto al vector de aceleración centrípeta es θ = tan −1 −7,0 245,0 = −1,6 ° . El signo negativo significa que el vector de aceleración total está inclinado en el sentido de las agujas del reloj. Los vectores de aceleración centrípeta, tangencial y total. La centrífuga desacelera, por lo que la aceleración tangencial es en el sentido de las agujas del reloj, opuesto al sentido de la rotación (en el sentido contrario de las agujas del reloj). Importancia En la , vemos que el vector de aceleración tangencial es opuesto a la dirección de rotación. La magnitud de la aceleración tangencial es mucho menor que la aceleración centrípeta, por lo que el vector de aceleración lineal total formará un ángulo muy pequeño con respecto al vector de aceleración centrípeta. Un niño salta en un carrusel de 5 m de radio que está en reposo. Comienza a acelerar a una tasa constante hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 20 segundos. ¿Cuál es la distancia recorrida por el niño? La aceleración angular es α = ( 5,0 - 0 ) rad / s 20,0 s = 0,25 rad / s 2 . Por lo tanto, el ángulo total que atraviesa el niño es Δ θ = ω 2 - ω 0 2 2 α = ( 5,0 ) 2 - 0 2 ( 0,25 ) = 50 rad . Así, calculamos s = r θ = 5,0 m ( 50,0 rad ) = 250,0 m . Dé un vistazo a esta simulación de PhET para cambiar los parámetros de un disco en rotación (el ángulo inicial, la velocidad angular y la aceleración angular), y colocar insectos a diferentes distancias radiales del eje. Luego, la simulación le permite explorar la relación entre el movimiento circular y la posición xy , la velocidad y la aceleración de los insectos mediante vectores o gráficos. Resumen Las ecuaciones cinemáticas lineales tienen sus contrapartes rotacionales de tal manera que existe un mapeo de x → θ , v → ω , a → α . Un sistema que experimenta un movimiento circular uniforme tiene una velocidad angular constante, pero los puntos situados a una distancia r del eje de rotación tienen una aceleración centrípeta lineal. Un sistema que experimenta un movimiento circular no uniforme tiene una aceleración angular y, por lo tanto, tiene una aceleración lineal centrípeta y una aceleración lineal tangencial en un punto a una distancia r del eje de rotación. La aceleración lineal total es la suma vectorial del vector de aceleración centrípeta y del vector de aceleración tangencial. Ya que los vectores de aceleración centrípeta y tangencial son perpendiculares entre sí para el movimiento circular, la magnitud de la aceleración lineal total es | a → | = a c 2 + a t 2 . Preguntas conceptuales Explique por qué la aceleración centrípeta cambia la dirección de la velocidad en el movimiento circular, pero no su magnitud. El vector de aceleración centrípeta es perpendicular al vector de velocidad. En el movimiento circular, la aceleración tangencial puede cambiar la magnitud de la velocidad, pero no su dirección. Razone su respuesta. Supongamos que un trozo de comida está en el borde de un plato en rotación de un horno microondas. ¿Experimenta una aceleración tangencial distinta de cero, una aceleración centrípeta o ambas cuando: (a) el plato empieza a girar más rápido? (b) ¿el plato gira a velocidad angular constante? (c) ¿el plato se detiene? a. ambas; b. aceleración centrípeta distinta de cero; c. ambas Problemas En su punto álgido, un tornado tiene 60,0 m de diámetro y vientos de 500 km/h. ¿Cuál es su velocidad angular en revoluciones por segundo? Un hombre se encuentra en un carrusel que gira a 2,5 rad/s. Si el coeficiente de fricción estática entre los zapatos del hombre y el carrusel es μ S = 0,5 , ¿a qué distancia del eje de rotación puede permanecer sin deslizarse? r = 0,78 m Una ultracentrífuga acelera desde el reposo hasta las 100.000 rpm en 2,00 min. (a) ¿Cuál es la aceleración angular media en rad/s 2 ? (b) ¿Cuál es la aceleración tangencial de un punto situado a 9,50 cm del eje de rotación? (c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en m/s 2 y múltiplos de g de este punto a las máximas rpm? d) ¿Cuál es la distancia total recorrida durante la aceleración por un punto situado a 9,5 cm del eje de rotación de la ultracentrifugadora? Un aerogenerador rota en el sentido contrario de las agujas del reloj a 0,5 rev/s y se detiene en 10 s. Sus álabes tienen una longitud de 20 m. (a) ¿Cuál es la aceleración angular del aerogenerador? (b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la punta de los álabes en t = 0 s? c) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la aceleración lineal total de la punta de los álabes en t = 0 s? a. α = -0,314 rad / s 2 , b. a c = 197,4 m / s 2 ; c. a = a c 2 + a t 2 = 197,4 2 + ( −6,28 ) 2 = 197,5 m / s 2 θ = tan −1 −6,28 197,4 = −1,8 ° en el sentido de las agujas del reloj a partir del vector de aceleración centrípeta. ¿Cuál es (a) la velocidad angular y (b) la velocidad lineal de un punto de la superficie terrestre en la latitud 30 ° N. Supongamos que el radio de la Tierra es de 6.309 km. (c) ¿A qué latitud su velocidad lineal sería de 10 m/s? Un niño con una masa de 40 kg está sentado en el borde de un carrusel a una distancia de 3,0 m de su eje de rotación. El carrusel acelera desde el reposo hasta 0,4 rev/s en 10 s. Si el coeficiente de fricción estática entre el niño y la superficie del carrusel es de 0,6, ¿se cae el niño antes de 5 s? m a = 40,0 kg ( 5,1 m / s 2 ) = 204,0 N La fuerza de fricción máxima es μ S N = 0,6 ( 40,0 kg ) ( 9,8 m / s 2 ) = 235,2 N por lo que el niño no se cae todavía. Una rueda de bicicleta con un radio de 0,3 m rota desde el reposo hasta las 3 rev/s en 5 s. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del vector de aceleración total en el borde de la rueda a 1,0 s? La velocidad angular de un volante de inercia de radio 1,0 m varía según ω ( t ) = 2,0 t . Grafique a c ( t ) y a t ( t ) de t = 0 a 3,0 s para r = 1,0 m . Analice estos resultados para explicar cuándo a c ≫ a t y cuándo a c ≪ a t para un punto del volante de inercia en un radio de 1,0 m. v t = r ω = 1,0 ( 2,0 t ) m/s a c = v t 2 r = ( 2,0 t ) 2 1,0 m = 4,0 t 2 m / s 2 a t ( t ) = r α ( t ) = r d ω d t = 1,0 m ( 2,0 ) = 2,0 m / s 2 . Graficando ambas aceleraciones se obtiene La aceleración tangencial es constante, mientras que la aceleración centrípeta depende del tiempo, y aumenta con el tiempo hasta valores mucho mayores que la aceleración tangencial después de t = 1s. Para tiempos inferiores a 0,7 s y próximos a cero, la aceleración centrípeta es mucho menor que la tangencial. aceleración lineal total suma vectorial del vector de aceleración centrípeta y del vector de aceleración tangencial

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