Velocidad del sonido El sonido, como todas las ondas, se desplaza a cierta velocidad y tiene las propiedades de frecuencia y longitud de onda. Puede observar una prueba directa de la velocidad del sonido cuando vea un espectáculo de fuegos artificiales ( ). Verá el destello de una explosión mucho antes de oír su sonido y, posiblemente, sentirá la onda de presión, lo que implica tanto que el sonido se desplaza a una velocidad finita como que es mucho más lento que la luz. Cuando explota un proyectil de fuegos artificiales percibimos la energía luminosa antes que la sonora porque el sonido se desplaza más lentamente que la luz. La diferencia entre la velocidad de la luz y la del sonido también puede experimentarse durante una tormenta eléctrica. El destello de la luz se ve, a menudo, antes de escuchar el estruendo del trueno. Es posible que haya oído que si cuenta el número de segundos entre el destello y el sonido, puedes estimar la distancia a la fuente. Cada cinco segundos se convierte en una milla aproximadamente. La velocidad de cualquier onda está relacionada con su frecuencia y longitud de onda mediante v = f λ , donde v es la velocidad de la onda, f es su frecuencia y λ es su longitud de onda. De la sección Ondas recordamos que la longitud de onda es la longitud de la onda medida entre puntos idénticos consecutivos. Por ejemplo, para una onda acuática superficial o una onda sinusoidal en una cuerda, la longitud de onda se puede medir entre cualesquiera dos puntos secuenciales convenientes con la misma altura y pendiente, como entre dos crestas secuenciales o dos depresiones secuenciales. Del mismo modo, la longitud de onda de una onda sonora es la distancia entre partes secuenciales idénticas de una onda, por ejemplo, entre compresiones secuenciales ( ). La frecuencia es la misma que la de la fuente y es el número de ondas que pasan por un punto por unidad de tiempo. Una onda sonora emana de una fuente, como un diapasón, que vibra a una frecuencia f . Se propaga a una velocidad v y tiene una longitud de onda λ . Velocidad del sonido en varios medios En la se muestra que la velocidad del sonido varía mucho en distintos medios. La velocidad del sonido en un medio depende de la rapidez con la que la energía vibratoria se puede transferir a través del medio. Por esto, la derivación de la velocidad del sonido en un medio depende del medio y de su estado. En general, la ecuación de la velocidad de una onda mecánica en un medio depende de la raíz cuadrada de la fuerza restauradora, o de las propiedades elásticas , dividida entre la propiedad inercial , v = propiedad elástica propiedad inercial . Además, las ondas sonoras satisfacen la ecuación de onda derivada de la sección Ondas , ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Recuerde de la sección Ondas que velocidad de una onda en una cuerda es igual a v = F T μ , donde la fuerza restauradora es la tensión en la cuerda F T y la densidad lineal μ es la propiedad inercial. En un fluido, la velocidad del sonido depende del módulo de compresibilidad y de la densidad, v = B ρ . La velocidad del sonido en un sólido depende del módulo de Young del medio y de la densidad, v = Y ρ . En un gas ideal (vea el capítulo La teoría cinética de los gases ) la ecuación de la velocidad del sonido es v = γ R T K M , donde γ es el índice adiabático, R = 8,31 J/mol · K es la constante universal de los gases ideales, T K es la temperatura absoluta en kelvin y M es la masa molar. En general, cuanto más rígido (o menos comprimible) sea el medio, más rápida será la velocidad del sonido. Esta observación es análoga al hecho de que la frecuencia del movimiento armónico simple es directamente proporcional a la rigidez del objeto oscilante, medida por k , la constante del resorte. Cuanto mayor sea la densidad de un medio, más lenta será la velocidad del sonido. Esta observación es análoga al hecho de que la frecuencia de un movimiento armónico simple es inversamente proporcional a m , la masa del objeto que oscila. La velocidad del sonido en el aire es baja, ya que el aire es fácilmente comprimible. Como los líquidos y los sólidos son relativamente rígidos y muy difíciles de comprimir, la velocidad del sonido en estos medios suele ser mayor que en los gases. Velocidad del sonido en varios medios Medio v (m/s) Gases a 0 ° C Aire 331 Dióxido de carbono 259 Oxígeno 316 Helio 965 Hidrógeno 1.290 Líquidos a 2 0 ° C Etanol 1.160 Mercurio 1.450 Agua dulce 1.480 Agua de mar 1.540 Tejido humano 1.540 Sólidos (longitudinales o de compresibilidad) Caucho vulcanizado 54 Polietileno 920 Mármol 3.810 Vidrio, Pyrex 5.640 Plomo 1.960 Aluminio 5.120 Acero 5.960 Dado que la velocidad del sonido depende de la densidad del material, y la densidad depende de la temperatura, existe una relación entre la temperatura en un medio determinado y la velocidad del sonido en el medio. Para el aire a nivel del mar, la velocidad del sonido viene dada por v = 331 m s 1 + T C 273 ° C = 331 m s T K 273 K donde la temperatura en la primera ecuación (denotada como T C ) está en grados Celsius y la temperatura en la segunda ecuación (denotada como T K ) está en kelvin. La velocidad del sonido en los gases está relacionada con la rapidez media de las partículas del gas, v rms = 3 k B T m , donde k B es la constante de Boltzmann ( 1,38 × 10 −23 J/K ) y m es la masa de cada partícula (idéntica) en el gas. Note que v se refiere a la velocidad de propagación coherente de una alteración (la onda), mientras que v rms describe las velocidades de las partículas en direcciones aleatorias. Por tanto, es razonable que la velocidad del sonido en el aire y otros gases dependa de la raíz cuadrada de la temperatura. Aunque no es insignificante, no es una dependencia fuerte. En 0 °C , la velocidad del sonido es de 331 m/s, mientras que en 20,0 °C , es de 343 m/s, menos de un 4 % de aumento. La muestra cómo un murciélago utiliza la velocidad del sonido para percibir distancias. Un murciélago utiliza los ecos de sonido para orientarse y atrapar a sus presas. El tiempo de retorno del eco es directamente proporcional a la distancia. Derivación de la velocidad del sonido en el aire Como ya se ha dicho, la velocidad del sonido en un medio depende del medio y de su estado. La derivación de la ecuación de la velocidad del sonido en el aire parte de la ecuación de tasa de flujo de masa y de la ecuación de continuidad analizadas en la sección Mecánica de fluidos . Considere el flujo de un fluido a través de un tubo con área de sección transversal A ( ). La masa en un pequeño volumen de longitud x del tubo es igual a la densidad por el volumen, o m = ρ V = ρ A x . La tasa de flujo de masa es d m d t = d d t ( ρ V ) = d d t ( ρ A x ) = ρ A d x d t = ρ A v . La ecuación de continuidad de la sección Mecánica de fluidos establece que la tasa de flujo de masa que entra en un volumen tiene que ser igual a la tasa de flujo de masa que sale del volumen, ρ entra A entra v entra = ρ sale A sale v sale . La masa de un fluido en un volumen es igual a la densidad por el volumen, m = ρ V = ρ A x . La tasa de flujo de masa es la derivada temporal de la masa. Considere ahora una onda sonora que se mueve a través de una parcela de aire. Una parcela de aire es un pequeño volumen de aire con fronteras imaginarias ( ). La densidad, la temperatura y la velocidad en un lado del volumen del fluido están dadas como ρ , T , v , y en el otro lado están ρ + d ρ , T + d T , v + d v . Una onda sonora se mueve a través de un volumen de fluido. La densidad, la temperatura y la velocidad del fluido cambian de un lado a otro. La ecuación de continuidad establece que la tasa de flujo de masa que entra en el volumen es igual a la tasa de flujo de masa que sale del volumen, por lo que ρ A v = ( ρ + d ρ ) A ( v + d v ) . Esta ecuación se puede simplificar, al notar que el área se cancela y considerar que la multiplicación de dos infinitesimales es aproximadamente igual a cero: d ρ ( d v ) ≈ 0 , ρ v = ( ρ + d ρ ) ( v + d v ) ρ v = ρ v + ρ ( d v ) + ( d ρ ) v + ( d ρ ) ( d v ) 0 = ρ ( d v ) + ( d ρ ) v ρ d v = – v d ρ . La fuerza neta sobre el volumen de fluido ( ) es igual a la suma de las fuerzas sobre el lado izquierdo y el lado derecho: F neto = p d y d z – ( p + d p ) d y d z = p d y d z – p d y d z – d p d y d z = – d p d y d z m a = – d p d y d z . Una onda sonora se mueve a través de un volumen de fluido. La fuerza en cada lado se puede calcular mediante la presión por el área. La aceleración es la fuerza dividida entre la masa, y la masa es igual a la densidad por el volumen, m = ρ V = ρ d x d y d z . Tenemos m a = – d p d y d z a = – d p d y d z m = – d p d y d z ρ d x d y d z = – d p ( ρ d x ) d v d t = – d p ( ρ d x ) d v = – d p ( ρ d x ) d t = – d p ρ 1 v ρ v d v = – d p . A partir de la ecuación de continuidad ρ d v = – v d ρ , obtenemos ρ v d v = – d p ( – v d ρ ) v = – d p v = d p d ρ . Considere una onda sonora que se mueve en el aire. Durante el proceso de compresión y expansión del gas, no se añade ni se elimina calor del sistema. Un proceso en el que no se añade ni se elimina calor del sistema se conoce como sistema adiabático. Los procesos adiabáticos se tratan con detalle en el capítulo La primera ley de termodinámica , pero por ahora basta con decir que para un proceso adiabático, p V γ = constante, donde p es la presión, V es el volumen y gamma ( γ ) es una constante que depende del gas. Para el aire, γ = 1,40 . La densidad es igual al número de moles por la masa molar dividida entre el volumen, por lo que el volumen es igual a V = n M ρ . El número de moles y la masa molar son constantes y se pueden absorber en la constante p ( 1 ρ ) γ = constante . Tomando el logaritmo natural de ambos lados se obtiene ln p – γ ln ρ = constante . Al diferenciar con respecto a la densidad, la ecuación se convierte en ln p – γ ln ρ = constante d d ρ ( ln p – γ ln ρ ) = d d ρ ( constante ) 1 p d p d ρ – γ ρ = 0 d p d ρ = γ p ρ . Si el aire puede considerarse un gas ideal, podemos utilizar la ley de los gases ideales: p V = n R T = m M R T p = m V R T M = ρ R T M . Aquí M es la masa molar del aire: d p d ρ = γ p ρ = γ ( ρ R T M ) ρ = γ R T M . Como la velocidad del sonido es igual a v = d p d ρ , la velocidad es igual a v = γ R T M . Observe que la velocidad es más rápida a temperaturas más altas y más lenta para gases más pesados. Para el aire, γ = 1,4 , M = 0,02897 kg mol , y R = 8,31 J mol · K . Si la temperatura es T C = 20 ° C ( T = 293 K ) , la velocidad del sonido es v = 343 m/s . La ecuación de la velocidad del sonido en el aire v = γ R T M se puede simplificar para obtener la ecuación de la velocidad del sonido en el aire como una función de temperatura absoluta: v = γ R T M = γ R T M ( 273 K 273 K ) = ( 273 K ) γ R M T 273 K ≈ 331 m s T 273 K . Una de las propiedades más importantes del sonido es que su velocidad es casi independiente de la frecuencia. Esta independencia es definitivamente cierta al aire libre para sonidos en el rango audible. Si esta independencia no fuera cierta, sin duda lo notaría en la música interpretada por una banda de música en un estadio de fútbol, por ejemplo. Suponga que los sonidos de alta frecuencia se desplazan más rápido; entonces, cuanto más lejos esté de la banda, el sonido de los instrumentos de tono grave irá más retrasado que el de los de tono agudo. Pero la música de todos los instrumentos llega en cadencia independiente de la distancia, por lo que todas las frecuencias deben desplazarse casi a la misma velocidad. Recuerde que v = f λ . En un medio determinado en condiciones fijas, v es constante, por lo que existe una relación entre f y λ ; cuanto mayor sea la frecuencia, menor será la longitud de onda ( ). Como se desplazan a la misma velocidad en un medio determinado, los sonidos de baja frecuencia deben tener una mayor longitud de onda que los de alta frecuencia. Aquí, los sonidos de menor frecuencia son emitidos por el altavoz grande, llamado woofer , mientras que los sonidos de mayor frecuencia son emitidos por el altavoz pequeño, llamado altavoz de alta frecuencia ( tweeter ) (créditos: modificación de un trabajo de Jane Whitney). Calcular longitudes de onda Calcule las longitudes de onda de los sonidos en los extremos del rango audible, 20 y 20.000 Hz, en aire a 30,0 °C (suponga que los valores de frecuencia tienen una precisión de dos cifras significativas). Estrategia Para calcular la longitud de onda a partir de la frecuencia, podemos usar v = f λ . Solución Identifique aspectos conocidos. El valor de v viene dado por v = ( 331 m/s ) T 273 K . Convierta la temperatura en kelvin y luego introduzca la temperatura en la ecuación v = ( 331 m/s ) 303 K 273 K = 348,7 m/s . Resuelva la relación entre la velocidad y la longitud de onda para λ : λ = v f . Introduzca la velocidad y la frecuencia mínima para obtener la longitud de onda máxima: λ máx. =  348,7 m/s 20 Hz = 17 m . Introduzca la velocidad y la frecuencia máxima para obtener la longitud de onda mínima: λ min = 348,7 m/s 20.000 Hz = 0,017 m = 1,7 cm . Importancia Porque el producto de f multiplicado por λ es igual a una constante, cuanto menor sea f , mayor será λ , y viceversa. La velocidad del sonido puede cambiar cuando el sonido se desplaza de un medio a otro, pero la frecuencia suele ser la misma. Esto es similar a la frecuencia de una onda en una cuerda que es igual a la frecuencia de la fuerza que oscila la cuerda. Si v cambia y f permanece igual, entonces la longitud de onda λ debe cambiar. Es decir, porque v = f λ , cuanto mayor sea la velocidad de un sonido, mayor será su longitud de onda para una frecuencia determinada. Imagine que observa la explosión de dos proyectiles de fuegos artificiales. Oye la explosión de uno tan pronto como lo ve. Sin embargo, puede ver el otro proyectil durante varios milisegundos antes de oír la explosión. Explique por qué es así. Tanto el sonido como la luz se desplazan a velocidades definidas, y la velocidad del sonido es más lenta que la de la luz. El primer proyectil está probablemente muy cerca, por lo que la diferencia de velocidad no es perceptible. El segundo proyectil está más lejos, por lo que la luz llega a sus ojos notablemente antes que la onda sonora a los oídos. Aunque las ondas sonoras en un fluido son longitudinales, en un sólido se desplazan tanto como ondas longitudinales como transversales. Las ondas sísmicas , que son esencialmente ondas sonoras en la corteza terrestre producidas por terremotos, son un ejemplo interesante de cómo la velocidad del sonido depende de la rigidez del medio. Los terremotos producen ondas longitudinales y transversales, y estas se desplazan a diferentes velocidades. El módulo de compresibilidad del granito es mayor que su módulo de corte. Por ello, la rapidez de ondas longitudinales o de presión (ondas P) en terremotos en granito es significativamente mayor que la rapidez de ondas transversales o de corte (ondas S). Ambos tipos de ondas sísmicas se desplazan más lentamente en materiales menos rígidos, como los sedimentos. Las ondas P tienen una velocidad de 4 a 7 km/s, y las ondas S oscilan entre 2 y 5 km/s, siendo ambas más rápidas en materiales más rígidos. La onda P se adelanta progresivamente a la onda S a medida que se desplazan por la corteza terrestre. El tiempo entre las ondas P y S se utiliza habitualmente para determinar la distancia a su fuente, el epicentro del terremoto. Como las ondas S no atraviesan el núcleo líquido, se producen dos regiones de sombra ( ). Los terremotos producen tanto ondas longitudinales (ondas P) como transversales (ondas S), y estas se desplazan a diferentes velocidades. Ambas ondas se desplazan a diferentes velocidades en las distintas regiones de la Tierra, pero en general, las ondas P se desplazan más rápido que las S. El núcleo líquido no puede soportar las ondas S, lo que produce regiones de sombra. A medida que las ondas sonoras se alejan de un altavoz, o del epicentro de un terremoto, su potencia por unidad de área disminuye. Por eso el sonido es muy fuerte cerca de un altavoz y se vuelve menos fuerte a medida que se aleja de él. Esto también explica por qué puede haber una cantidad extrema de daños en el epicentro de un terremoto pero solo se sienten los temblores en áreas alejadas del epicentro. La potencia por unidad de área se conoce como intensidad, y en la siguiente sección estudiaremos cómo la intensidad depende de la distancia de la fuente. Resumen La velocidad del sonido depende del medio y de su estado. En un fluido, debido a la ausencia de fuerzas de corte, las ondas sonoras son longitudinales. Un sólido puede soportar ondas sonoras tanto longitudinales como transversales. En el aire, la velocidad del sonido está relacionada con la temperatura del aire T mediante v = 331 m s T K 273 K = 331 m s 1 + T C 273 ° C . v es el mismo para todas las frecuencias y longitudes de onda del sonido en el aire. Preguntas conceptuales ¿En qué se diferencian las vibraciones de sonido de los átomos del movimiento térmico? Cuando el sonido pasa de un medio a otro en el que su velocidad de propagación es diferente, ¿cambia su frecuencia o su longitud de onda? Explique brevemente su respuesta. La frecuencia no cambia cuando la onda sonora pasa de un medio a otro. Como la velocidad cambia y la frecuencia no, la longitud de onda debe cambiar. Esto es similar a la fuerza impulsora de un oscilador armónico o una onda en la cuerda. Un truco de fiesta muy popular es inhalar helio y hablar con una voz aguda y divertida. Explique este fenómeno. Es posible que haya utilizado un telémetro sónico en el laboratorio para medir la distancia de un objeto mediante un chasquido de un transductor de sonido. ¿Cuál es el principio utilizado en este dispositivo? El transductor envía una onda sonora que se refleja en el objeto en cuestión y mide el tiempo que tarda la onda sonora en volver. Dado que la velocidad del sonido es constante, la distancia al objeto se puede hallar al multiplicar la velocidad del sonido por la mitad del intervalo de tiempo medido. El telémetro sónico del que se habla en la pregunta anterior debe calibrarse a menudo. Durante la calibración, el software pregunta por la temperatura ambiente. ¿Por qué supone que se requiere la temperatura ambiente? Problemas Cuando se le clava una lanza, una soprano de ópera suelta un chillido de 1.200 Hz. ¿Cuál es su longitud de onda si la velocidad del sonido es de 345 m/s? ¿Qué frecuencia de sonido tiene una longitud de onda de 0,10 m cuando la velocidad del sonido es de 340 m/s? f = 3.400 Hz Calcule la velocidad del sonido un día en que una frecuencia de 1.500 Hz tiene una longitud de onda de 0,221 m. (a) ¿Cuál es la velocidad del sonido en un medio en el que una frecuencia de 100 kHz produce una longitud de onda de 5,96 cm? (b) ¿De qué sustancia de la es probable que se trate? a. v = 5,96 × 10 3 m/s ; b. acero (a partir del valor en la ) Demuestre que la velocidad del sonido en un aire de 20,0 ° C es 343 m/s , como se afirma en el texto. La temperatura del aire en el desierto del Sahara puede alcanzar 56,0 ° C (alrededor de 134 ° F ). ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire a esa temperatura? v = 363 m s Los delfines emiten sonidos en el aire y en el agua. ¿Cuál es la relación entre la longitud de onda de un sonido en el aire y su longitud de onda en el agua de mar? Suponga que la temperatura del aire es 20,0 ° C . El eco de un sonar regresa a un submarino 1,20 s después de ser emitido. ¿Cuál es la distancia al objeto que crea el eco? (Suponga que el submarino está en el océano, no en agua dulce) Δ x = 924 m (a) Si el sonar de un submarino puede medir los tiempos de los ecos con una precisión de 0,0100 s, ¿cuál es la menor diferencia de distancias que puede detectar? (Suponga que el submarino está en el océano, no en agua dulce). (b) Analice los límites que esta resolución temporal impone a la capacidad del sistema del sonar para detectar el tamaño y la forma del objeto que crea el eco. Las ondas sonoras ultrasónicas se utilizan a menudo en métodos de pruebas no destructivas. Por ejemplo, este método se puede usar para identificar fallos estructurales en vigas de acero en forma de I que se utilizan en la construcción. Considere una viga en forma de I de acero de 10,00 metros de longitud con la sección transversal que se muestra a continuación. El peso de la viga I es de 3.846,50 N. ¿Cuál sería la velocidad del sonido a través de la viga en forma de I? ( Y acero = 200 GPa , β acero = 159 GPa ) . V = 0,05 m 3 m = 392,5 kg ρ = 7.850 kg/m 3 v = 5047,54 m/s Un físico que asiste a un espectáculo de fuegos artificiales calcula el tiempo que transcurre entre la visión de una explosión y la audición de su sonido, y descubre que es de 0,400 s. (a) ¿A qué distancia está la explosión si la temperatura del aire es 24,0 ° C y si obviara el tiempo que tarda la luz en llegar al físico? (b) Calcule la distancia a la explosión teniendo en cuenta la velocidad de la luz. Tome en cuenta que esta distancia es insignificante. Durante una celebración del 4 de julio, un fuego artificial M80 explota en el suelo, y produce un destello brillante y un fuerte estallido. La temperatura del aire nocturno es T F = 90,00 ° F . Dos observadores ven el destello y oyen el estallido. El primer observador nota que el tiempo transcurrido entre el destello y el estallido es de 1,00 segundo. El segundo observador anota que la diferencia es de 3,00 segundos. La línea de visión entre los dos observadores se encuentra en un ángulo recto como se muestra a continuación. ¿Cuál es la distancia Δ x entre los dos observadores? T C = 35 ° C, v = 351,58 m/s Δ x 1 = 35,16 m, Δ x 2 = 52,74 m Δ x = 63,39 m La densidad de una muestra de agua es ρ = 998,00 kg/m 3 y el módulo de compresibilidad es β = 2,15 GPa . ¿Cuál es la velocidad del sonido a través de la muestra? Suponga que un murciélago utiliza los ecos de sonido para localizar a su presa, un insecto, a 3,00 m de distancia (Vea la ). (a) Calcule los tiempos del eco para temperaturas de 5,00 ° C y 35,0 ° C . (b) ¿Qué porcentaje de incertidumbre provoca esto para el murciélago a la hora de localizar el insecto? (c) Analice la importancia de esta incertidumbre y si podría causarle dificultades al murciélago (en la práctica, el murciélago sigue utilizando el sonido mientras se acerca, lo que elimina la mayor parte de las dificultades impuestas por este y otros efectos como el movimiento de la presa). a. t 5,00 ° C = 0,0180 s , t 35,0 ° C = 0,0171 s ; b. % de incertidumbre = 5,00 % ; c. Esta incertidumbre podría causarle, definitivamente, dificultades al murciélago si no siguiera utilizando el sonido mientras se acerca a su presa. Un 5 % de incertidumbre podría ser la diferencia entre atrapar a la presa por el cuello o por el pecho, lo que significa que podría fallar al agarrar a su presa.

Ciencia


Intensidad del sonido En un bosque tranquilo, a veces, se puede oír cómo cae una hoja al suelo. Pero cuando un automovilista que pasa tiene su equipo de música a todo volumen, usted no podrá escuchar lo que dice la persona que está a su lado en su automóvil ( ). Todos estamos muy familiarizados con el volumen de los sonidos y somos conscientes de que el volumen está relacionado con la forma en que la fuente vibra energéticamente. La exposición a altos niveles de ruido es peligrosa para la audición, por lo que es importante que las personas que trabajan en entornos industriales utilicen protección auditiva. La cantidad física relevante es la intensidad del sonido, un concepto que es válido para todos los sonidos, estén o no en el rango audible. El ruido en las carreteras abarrotadas, como esta en Delhi, hace que sea difícil oír a los demás a menos que griten (créditos: “Lingaraj, G. J.”/Flickr). En la sección Ondas definimos la intensidad como la potencia por unidad de área transportada por una onda. La potencia es la tasa a la que la energía se transfiere por la onda. En forma de ecuación, la intensidad I es I = P A , donde P es la potencia que atraviesa un área A . La unidad del SI para I es W/m 2 . Si suponemos que la onda sonora es esférica, y que no se pierde energía en los procesos térmicos, la energía de la onda sonora se propaga en un área mayor a medida que aumenta la distancia, por lo que la intensidad disminuye. El área de una esfera es A = 4 π r 2 . A medida que la onda se propaga desde r 1 a r 2 , la energía también se propaga en un más amplia: P 1 = P 2 I 1 4 π r 1 2 = I 2 4 π r 2 2 ; I 2 = I 1 ( r 1 r 2 ) 2 . La intensidad disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente. En una relación inversa al cuadrado, como la intensidad, cuando usted duplica la distancia, la intensidad disminuye a una cuarta parte, I 2 = I 1 ( r 1 r 2 ) 2 = I 1 ( r 1 2 r 1 ) 2 = 1 4 I 1 . Generalmente, cuando se considera la intensidad de una onda sonora se toma la intensidad como el valor promediado en el tiempo de la potencia, denotado por 〈 P 〉 , dividido entre el área, I = 〈 P 〉 A . La intensidad de una onda sonora es proporcional al cambio de presión al cuadrado e inversamente proporcional a la densidad y a la velocidad. Considere una parcela de un medio inicialmente sin alteraciones y luego influenciado por una onda sonora en el tiempo t , como se muestra en la . Una parcela de un medio sin alteraciones con un volumen V = A Δ x se muestra en azul. Una onda sonora se mueve a través del medio en el tiempo t , y la parcela se desplaza y se expande, como se muestra en las líneas punteadas. El cambio de volumen es Δ V = A Δ s = A ( s 2 – s 1 ) , donde s 1 es el desplazamiento del borde dominante de la parcela y s 2 es el desplazamiento del borde rezagado de la parcela. En la figura, s 2 > s 1 y la parcela se expande, pero puede expandirse o comprimirse ( s 2 < s 1 ) , según cuál parte de la onda sonora (compresión o rarefacción) se esté desplazando a través de la parcela. A medida que la onda sonora se mueve a través de la parcela, esta se desplaza y puede expandirse o contraerse. Si s 2 > s 1 , el volumen ha aumentado y la presión disminuye. Si s 2 < s 1 , el volumen ha disminuido y la presión aumenta. El cambio de volumen es Δ V = A Δ s = A ( s 2 – s 1 ) = A ( s ( x + Δ x , t ) – s ( x , t ) ) . El cambio fraccionario del volumen es el cambio de volumen dividido entre el volumen original: d V V = lim Δ x → 0 A [ s ( x + Δ x , t ) – s ( x , t ) ] A Δ x = ∂ s ( x , t ) ∂ x . El cambio fraccionario de volumen está relacionado con la fluctuación de la presión por el módulo de compresibilidad β = – Δ p ( x , t ) d V / V . Recuerde que el signo menos es necesario porque el volumen está inversamente relacionado con la presión (usamos la p minúscula para la presión para distinguirla de la potencia, denotada por P ). Por lo tanto, el cambio de presión es Δ p ( x , t ) = – β d V V = – β ∂ s ( x , t ) ∂ x . Si la onda sonora es sinusoidal, entonces el desplazamiento como se muestra en la es s ( x , t ) = s máx. cos ( k x ∓ ω t + ϕ ) y la presión se calcula con Δ p ( x , t ) = – β d V V = – β ∂ s ( x , t ) ∂ x = β k s máx. sen ( k x – ω t + ϕ ) = Δ p máx. sen ( k x – ω t + ϕ ) . La intensidad de la onda sonora es la potencia por unidad de área, y la potencia es la fuerza por la velocidad, I = P A = F v A = p v . Aquí, la velocidad es la velocidad de las oscilaciones del medio, y no la velocidad de la onda sonora. La velocidad del medio es la tasa de tiempo del cambio en el desplazamiento: v ( x , t ) = ∂ ∂ y s ( x , t ) = ∂ ∂ y ( s máx. cos ( k x – ω t + ϕ ) ) = s máx. ω sen ( k x – ω t + ϕ ) . Así, la intensidad se convierte en I = Δ p ( x , t ) v ( x , t ) = β k s máx. sen ( k x – ω t + ϕ ) [ s máx. ω sen ( k x – ω t + ϕ ) ] = β k ω s máx. 2 sen 2 ( k x – ω t + ϕ ) . Para hallar la intensidad promediada en el tiempo durante un periodo T = 2 π ω para una posición x , integramos sobre el periodo, I = β k ω s máx. 2 2 . Al usar Δ p máx. = β k s máx. , v = β ρ , y v = ω k , obtenemos I = β k ω s máx. 2 2 = β 2 k 2 ω s máx. 2 2 β k = ω ( Δ p máx. ) 2 2 ( ρ v 2 ) k = v ( Δ p máx. ) 2 2 ( ρ v 2 ) = ( Δ p máx. ) 2 2 ρ v . Es decir, la intensidad de una onda sonora está relacionada con su amplitud al cuadrado por I = ( Δ p máx. ) 2 2 ρ v . Aquí, Δ p máx. es la variación de presión o la amplitud de presión en unidades de pascales (Pa) o N/m 2 . La energía (como energía cinética 1 2 m v 2 ) de un elemento oscilante de aire debido a una onda sonora en desplazamiento es proporcional a su amplitud al cuadrado. En esta ecuación, ρ es la densidad del material en el que se desplaza la onda sonora, en unidades de kg/m 3 , y v es la velocidad del sonido en el medio, en unidades de m/s. La variación de la presión es proporcional a la amplitud de la oscilación, por lo que I varía como ( Δ p ) 2 . Esta relación es coherente con el hecho de que la onda sonora la produce alguna vibración; cuanto mayor es su amplitud de presión, más se comprime el aire en el sonido que crea. Audición humana y niveles de intensidad del sonido Como ya se ha dicho en este capítulo, la audición es la percepción del sonido. El mecanismo de la audición implica una física interesante. La onda sonora que incide en nuestro oído es una onda de presión. El oído es un transductor que convierte las ondas sonoras en impulsos nerviosos eléctricos de una manera mucho más sofisticada que un micrófono, pero análoga a este. La muestra la anatomía del oído. Anatomía del oído humano. El oído externo, o canal auditivo, lleva el sonido hasta la cavidad timpánica, el tímpano protegido. La columna de aire del canal auditivo resuena y es parcialmente responsable de la sensibilidad del oído a los sonidos en el rango entre 2.000 y 5.000 Hz. El oído medio convierte el sonido en vibraciones mecánicas y aplica estas vibraciones a la cóclea. Mire este video para conocer con más detalle el funcionamiento del oído humano. El rango de intensidades que el oído humano puede escuchar será según la frecuencia del sonido, pero, en general, el rango es bastante amplio. La intensidad mínima del umbral que se puede escuchar es I 0 = 10 −12 W/m 2 . El dolor se experimenta con intensidades de I dolor = 1 W/m 2 . Las mediciones de la intensidad del sonido (en unidades de W/m 2 ) son muy engorrosas debido a este gran rango de valores. Por este motivo, así como por otros, se propuso el concepto de nivel de intensidad del sonido. El nivel de intensidad del sonido β de un sonido, medido en decibeles , con una intensidad I en vatios por metro cuadrado, se define como β ( dB ) = 10 log 10 ( I I 0 ) , donde I 0 = 10 −12 W/m 2 es una intensidad de referencia, que corresponde a la intensidad umbral del sonido que una persona con audición normal puede percibir a una frecuencia de 1,00 kHz. Es más común considerar los niveles de intensidad del sonido en dB que en W/m 2 . La forma en que el oído humano percibe el sonido se puede describir con mayor precisión mediante el logaritmo de la intensidad que directamente por la intensidad. Porque β se define en términos de relación, es una cantidad sin unidad, lo que indica el nivel del sonido en relación con un estándar fijo ( 10 −12 W/m 2 ). Las unidades de decibeles (dB) se utilizan para indicar que esta relación se multiplica por 10 en su definición. El bel, en el que se basa el decibelio, lleva el nombre de Alexander Graham Bell , el inventor del teléfono. El nivel de decibeles de un sonido que tiene la intensidad umbral de 10 −12 W/m 2 es β = 0 dB, porque log 10 1 = 0 . La ofrece niveles en decibeles e intensidades en vatios por metro cuadrado para algunos sonidos conocidos. El oído es sensible a algo tan pequeño como una trillonésima parte de un vatio por metro cuadrado, lo que resulta aún más impresionante si tiene en cuenta que el área del tímpano es únicamente de, aproximadamente, 1 cm 2 , por lo que solo 10 −16 W cae sobre ella en el umbral de la audición. Las moléculas de aire en una onda sonora de esta intensidad vibran a una distancia inferior a un diámetro molecular, y las presiones manométricas involucradas son inferiores a 10 −9 atm . Niveles de intensidad del sonido e intensidades Nivel de intensidad del sonido β (dB) Intensidad (I) ( W/m 2 ) Ejemplo/efecto 0 1 × 10 – 12 Umbral de audición a 1.000 Hz 10 1 × 10 – 11 Crujido de hojas 20 1 × 10 – 10 Susurro a 1 m de distancia 30 1 × 10 – 9 Hogar tranquilo 40 1 × 10 – 8 Hogar regular 50 1 × 10 – 7 Oficina regular, música suave 60 1 × 10 – 6 Conversación normal 70 1 × 10 – 5 Oficina ruidosa, tráfico congestionado 80 1 × 10 – 4 Radio con volumen alto, conferencia en un aula 90 1 × 10 – 3 Dentro de un camión pesado; daños por exposición prolongada 100 1 × 10 – 2 Fábrica ruidosa, sirena a 30 m; daños por exposición de 8 h al día 110 1 × 10 – 1 Daños por una exposición de 30 minutos al día 120 1 Concierto de rock ruidoso; trituradora neumática a 2 m; umbral del dolor 140 1 × 10 2 Avión a reacción a 30 m; dolor intenso, daños en segundos 160 1 × 10 4 Estallido de los tímpanos [1] Varias agencias gubernamentales y asociaciones profesionales relacionadas con la salud recomiendan que no se superen los 85 dB para exposiciones diarias de 8 horas sin protección auditiva. Una observación que se puede comprobar fácilmente al examinar la o mediante la es que cada factor de 10 en la intensidad corresponde a 10 dB. Por ejemplo, un sonido de 90 dB comparado con uno de 60 dB es 30 dB mayor, o tres factores de 10 (es decir, 10 3 veces) como intenso. Otro ejemplo es que si un sonido es 10 7 tan intenso como otro, es 70 dB más alto ( ). Relación de intensidades y diferencias correspondientes en los niveles de intensidad del sonido I 2 / I 1 β 2 – β 1 2,0 3,0 dB 5,0 7,0 dB 10,0 10,0 dB 100,0 20,0 dB 1.000,0 30,0 dB Cálculo de niveles de intensidad del sonido Calcule el nivel de intensidad del sonido en decibeles para una onda sonora que se desplaza en el aire a 0 °C y con una amplitud de presión de 0,656 Pa. Estrategia Nos dan Δ p , por lo que podemos calcular I mediante la ecuación I = ( Δ p ) 2 2 ρ v w . Al usar I , podemos calcular β directamente de su definición en β ( d B ) = 10 log 10 ( I I 0 ) . Solución Identifique aspectos conocidos: El sonido se desplaza a 331 m/s en el aire a 0 °C . El aire tiene una densidad de 1,29 kg/m 3 en presión atmosférica y 0 °C . Introduzca estos valores y la amplitud de la presión en I = ( Δ p ) 2 2 ρ v . I = ( Δ p ) 2 2 ρ v = ( 0,656 Pa ) 2 2 ( 1,29 kg/m 3 ) ( 331 m/s ) = 5,04 × 10 −4 W/m 2 . Introduzca el valor de I y el valor conocido de I 0 en β ( dB ) = 10 log 10 ( I / I 0 ) . Calcule para hallar el nivel de intensidad del sonido en decibeles: 10 log 10 ( 5,04 × 10 8 ) = 10 ( 8,70 ) dB = 87 dB . Importancia Este sonido de 87 dB tiene una intensidad cinco veces mayor que un sonido de 80 dB. Así, un factor de cinco en la intensidad corresponde a una diferencia de 7 dB en el nivel de intensidad del sonido. Este valor es cierto para cualquier intensidad que difiera en un factor de cinco. Cambiar niveles de intensidad de un sonido Demuestre que si un sonido es dos veces más intenso que otro, tiene un nivel de sonido de unos 3 dB más alto. Estrategia Nos dan que la relación de dos intensidades es de 2 a 1 y luego nos piden que hallemos la diferencia de sus niveles de sonido en decibeles. Podemos resolver este problema mediante las propiedades de los logaritmos. Solución Identifique aspectos conocidos: La relación de las dos intensidades es de 2 a 1, o lo que es lo mismo, I 2 I 1 = 2,00 . Queremos demostrar que la diferencia de niveles de sonido es de unos 3 dB. Es decir, queremos demostrar: β 2 – β 1 = 3 dB. Tenga en cuenta que log 10 b – log 10 a = log 10 ( b a ) . Use la definición de β para obtener β 2 – β 1 = 10 log 10 ( I 2 I 1 ) = 10 log 10 2,00 = 10 ( 0,301 ) dB . Así, β 2 – β 1 = 3,01 dB . Importancia Esto significa que los dos niveles de intensidad del sonido difieren en 3,01 dB, es decir, unos 3 dB, según lo anunciado. Observe que, debido a que solamente dan la relación I 2 / I 1 (y no las intensidades reales), este resultado es cierto para cualquier intensidad que difiera en un factor de dos. Por ejemplo, un sonido de 56,0 dB es dos veces más intenso que uno de 53,0 dB, un sonido de 97,0 dB es la mitad de intenso que uno de 100 dB y así sucesivamente. Identifique los sonidos más comunes a los niveles de 10 dB, 50 dB y 100 dB. 10 dB: crujido de hojas; 50 dB: oficina regular; 100 dB: fábrica ruidosa También se utiliza otra escala de decibeles, denominada nivel de presión del sonido , que se basa en la relación entre la amplitud de la presión y una presión de referencia. Esta escala se utiliza sobre todo en aplicaciones en las que el sonido se desplaza por el agua. Queda fuera del alcance de este texto tratar esta escala porque no se utiliza habitualmente para los sonidos en el aire, pero es importante señalar que se pueden encontrar niveles de decibeles muy diferentes cuando se citan los niveles de presión del sonido. Audición y tono El oído humano tiene un alcance y una sensibilidad enormes. Puede darnos una gran cantidad de información sencilla, como el tono, el volumen y la dirección. La percepción de la frecuencia se llama tono . Normalmente, los seres humanos tienen un tono relativo excelente y pueden discriminar entre dos sonidos si sus frecuencias difieren en un 0,3 % o más. Por ejemplo, 500,0 y 501,5 Hz son notablemente diferentes. Las notas musicales son sonidos de una frecuencia determinada que pueden ser producidos por la mayoría de los instrumentos y que en la música occidental tienen nombres particulares, como la sostenido, do o mi bemol. La percepción de la intensidad se denomina volumen . A una frecuencia determinada, es posible discernir diferencias de 1 dB, aproximadamente, y un cambio de 3 dB se nota fácilmente. Pero el volumen no está relacionado únicamente con la intensidad. La frecuencia tiene un efecto importante en el volumen de un sonido. Los sonidos cercanos a los extremos de alta y baja frecuencia del rango de audición parecen aún menos fuertes, ya que el oído es menos sensible en esas frecuencias. Cuando un violín toca el do medio, no se puede confundir con un piano que toca la misma nota. Esto se debe a que cada instrumento produce un conjunto distintivo de frecuencias e intensidades. A nuestra percepción de estas combinaciones de frecuencias e intensidades la llamamos calidad del tono o, más comúnmente, timbre del sonido. El timbre es la forma de la onda que surge de las numerosas reflexiones, resonancias y superposiciones de un instrumento. Para expresar el volumen numéricamente se utiliza una unidad llamada fonio . Los fonios se diferencian de los decibeles porque el fonio es una unidad de percepción del volumen, mientras que el decibelio es una unidad de intensidad física. La muestra la relación de volumen e intensidad (o nivel de intensidad) y frecuencia para personas con audición normal. Las líneas curvas representan igualdad de volumen. Cada curva está identificada con su volumen en fonios. Cualquier sonido a lo largo de una curva determinada se percibe como igualmente fuerte por la persona promedio. Las curvas se determinaron haciendo que un gran número de personas compararan el volumen de los sonidos a diferentes frecuencias y niveles de intensidad del sonido. A una frecuencia de 1,000 Hz, los fonios se consideran numéricamente iguales a los decibeles. Relación entre volumen en fonios y nivel de intensidad (en decibeles) e intensidad (en vatios por metro cuadrado) para personas con audición normal. Las líneas curvas representan igualdad de volumen: todos los sonidos de una curva determinada se perciben con el mismo volumen. Los fonios y los decibeles se definen igual a 1.000 Hz. Medición del volumen (a) ¿Cuál es el volumen en fonios de un sonido de 100 Hz que tiene un nivel de intensidad de 80 dB? (b) ¿Cuál es el nivel de intensidad en decibeles de un sonido de 4.000 Hz que tiene un volumen de 70 fonios? (c) ¿A qué nivel de intensidad un sonido de 8.000 Hz tendrá el mismo volumen que un sonido de 200 Hz a 60 dB? Estrategia Para resolver este ejemplo hay que consultar el gráfico de la . Para calcular el volumen de un determinado sonido, debe conocer su frecuencia y su nivel de intensidad, localizar ese punto en la cuadrícula y, seguidamente, interpolar entre las curvas de volumen para obtener el volumen en fonios. Una vez localizado ese punto, se puede determinar el nivel de intensidad a partir del eje vertical. Solución Identifique aspectos conocidos: la cuadrícula del gráfico que relaciona fonios y decibeles es un trazado del nivel de intensidad versus la frecuencia, ambas cantidades físicas: 100 Hz a 80 dB se encuentra a medio camino entre las curvas marcadas con 70 y 80 fonios. Calcule el volumen: 75 fonios. Identifique aspectos conocidos: los valores indicados son de 4.000 Hz a 70 fonios. Siga la curva de los 70 fonios hasta llegar a los 4.000 Hz. En ese punto, está por debajo de la línea de 70 dB, a unos 67 dB. Calcule el nivel de intensidad: 67 dB. Localice el punto para un sonido de 200 Hz y 60 dB. Calcule el volumen: este punto se encuentra ligeramente por encima de la curva de 50 fonios, por lo que su volumen es de 51 fonios. El nivel de los 51 fonios se encuentra a 8.000 Hz: 63 dB. Importancia Estas respuestas, como toda la información extraída de la , tienen incertidumbres de varios fonios o varios decibeles, en parte debido a dificultades de interpolación, pero sobre todo relacionadas con imprecisiones en las curvas de igual volumen. Describa cómo se relaciona la amplitud con el volumen de un sonido. La amplitud es directamente proporcional a la experiencia del volumen. A medida que aumenta la amplitud, aumenta el volumen. En esta sección hemos hablado de las características del sonido y de cómo oímos, pero ¿cómo se producen los sonidos que oímos? Las fuentes de sonido más interesantes son los instrumentos musicales y la voz humana, y hablaremos sobre ellas. Pero antes de entender cómo los instrumentos musicales producen sonido, debemos revisar los mecanismos básicos que los sustentan. Las teorías que sustentan los mecanismos utilizados por los instrumentos musicales incluyen interferencia, superposición y ondas estacionarias, de lo que hablaremos en la siguiente sección. Resumen La intensidad I = P / A es la misma para una onda sonora que se definió para todas las ondas, donde P es la potencia que atraviesa el área A . La unidad SI para I es vatios por metro cuadrado. La intensidad de una onda sonora también está relacionada con la amplitud de la presión Δ p : I = ( Δ p ) 2 2 ρ v , donde ρ es la densidad del medio en el que se desplaza la onda sonora y v w es la rapidez de sonido en el medio. El nivel de intensidad del sonido en unidades de decibeles (dB) es β ( dB ) = 10 log 10 ( I I 0 ) , donde I 0 = 10 −12 W/m 2 es el umbral de intensidad de la audición. La percepción de la frecuencia es el tono. La percepción de la intensidad es el volumen y el volumen tiene unidades de fonios. Preguntas conceptuales Seis miembros de un equipo de natación sincronizada llevan tapones en los oídos para protegerse de la presión del agua en las profundidades, pero aun así pueden escuchar la música y ejecutar las combinaciones en el agua perfectamente. Un día, les pidieron que salieran de la piscina para que el equipo de buceo pudiera practicar algunas inmersiones y trataron de practicar en una colchoneta, pero parecían tener mucha más dificultad. ¿A qué se debe esto? Los tapones para los oídos reducen la intensidad del sonido tanto en el agua como en la superficie, pero investigadores de la Armada descubrieron que el sonido bajo el agua se escucha a través de las vibraciones del mastoideo, que es el hueso que está detrás de la oreja. Una comunidad está preocupada por un plan para llevar el servicio de tren al centro de la ciudad desde las afueras. El nivel de intensidad del sonido actual, a pesar de que el astillero ferroviario está a unas cuadras de distancia, es de 70 dB en el centro. El alcalde asegura que solo habrá una diferencia de 30 dB de sonido en el centro de la ciudad. ¿Los habitantes de la ciudad se deben preocupar? ¿Por qué? Problemas ¿Cuál es la intensidad en vatios por metro cuadrado de un sonido de 85,0 dB? La etiqueta de advertencia de un cortacésped indica que produce un ruido de 91,0 dB. ¿Cuánto es esto en vatios por metro cuadrado? 1,26 × 10 – 3 W/m 2 Una onda sonora que se desplaza en el aire tiene una amplitud de presión de 0,5 Pa. ¿Cuál es la intensidad de la onda? ¿A qué nivel de intensidad corresponde el sonido del problema anterior? 85 dB ¿Qué nivel de intensidad del sonido en dB se produce por auriculares que crean una intensidad de 4,00 × 10 −2 W/m 2 ? ¿Cuál es el nivel de decibeles de un sonido que es dos veces más intenso que un sonido de 90,0 dB? b) ¿Cuál es el nivel de decibeles de un sonido que es una quinta parte más intenso que un sonido de 90,0 dB? a. 93 dB; b. 83 dB ¿Cuál es la intensidad de un sonido que tiene un nivel 7,00 dB inferior a un sonido de 4,00 × 10 −9 W/m 2 ? (b) ¿Cuál es la intensidad de un sonido que es 3,00 dB mayor que un sonido de 4,00 × 10 −9 W/m 2 ? Las personas con buena audición pueden percibir sonidos tan bajos como –8,00 dB a una frecuencia de 3.000 Hz. ¿Cuál es la intensidad de este sonido en vatios por metro cuadrado? 1,58 × 10 – 13 W/m 2 Si una mosca grande a 3,0 m de distancia de usted hace un ruido de 40,0 dB, ¿cuál es el nivel de ruido de 1.000 moscas a esa distancia, suponiendo que las interferencias tienen un efecto insignificante? Diez automóviles en círculo en una competencia de radiofónicos producen un nivel de intensidad del sonido de 120 dB en el centro del círculo. ¿Cuál es el nivel de intensidad del sonido promedio producido allí por cada equipo de música, suponiendo que se puedan ignorar los efectos de la interferencia? Una disminución de un factor de 10 en la intensidad corresponde a una reducción de 10 dB en el nivel de sonido: 120 dB – 10 dB = 110 dB . La amplitud de una onda sonora se mide en términos de su presión manométrica máxima. ¿En qué factor aumenta la amplitud de una onda sonora si el nivel de intensidad del sonido aumenta en 40,0 dB? Si un nivel de intensidad del sonido de 0 dB a 1.000 Hz corresponde a una presión manométrica máxima (amplitud de sonido) de 10 −9 atm , ¿cuál es la presión manométrica máxima en un sonido de 60 dB? ¿Cuál es la presión manométrica máxima en un sonido de 120 dB? Sabemos que 60 dB corresponden a un factor de 10 6 aumento de la intensidad. Por lo tanto, I ∝ X 2 ⇒ I 2 I 1 = ( X 2 X 1 ) 2 , por lo que X 2 = 10 – 6 atm . 120 dB corresponden a un factor de 10 12 de aumento ⇒ 10 – 9 atm ( 10 12 ) 1/2 = 10 – 3 atm . Una exposición de 8 horas a un nivel de intensidad del sonido de 90,0 dB puede provocar daños auditivos. ¿Qué energía en julios cae sobre un tímpano de 0,800 cm de diámetro tan expuesto? El sonido se transmite más eficazmente en un estetoscopio por contacto directo que a través del aire, y se intensifica aún más al concentrarse en el área más pequeña del tímpano. Es razonable suponer que el sonido se transmite en un estetoscopio con una eficacia 100 veces superior a la de la transmisión a través del aire. Entonces, ¿cuál es la ganancia en decibeles producida por un estetoscopio que tiene un área de captación de sonido de 15,0 cm 2 y concentra el sonido en dos tímpanos con un área total de 0,900 cm 2 con una eficiencia de 40,0 % ? 28,2 dB Los altavoces pueden producir sonidos intensos con un aporte de energía sorprendentemente pequeño a pesar de su baja eficiencia. Calcule la potencia necesaria para producir un nivel de intensidad del sonido de 90,0 dB para un altavoz de 12,0 cm de diámetro con un rendimiento de 1,00 % (este valor es el nivel de intensidad del sonido justo en el altavoz). El factor de 10 –12 en el rango de intensidades a las que puede responder el oído, desde el umbral hasta el que causa daños tras una breve exposición, es realmente notable. Si pudiera medir distancias en el mismo rango con un solo instrumento y la menor distancia que pudiera medir fuera de 1 mm, ¿cuál sería la mayor? 1 × 10 6 km ¿Cuáles son las frecuencias más cercanas a 500 Hz que una persona promedio puede distinguir claramente como diferentes en frecuencia de 500 Hz? Los sonidos no están presentes simultáneamente. ¿Puede saber que su compañero de vivienda ha subido el sonido del televisor si su nivel de intensidad del sonido promedio pasa de 70 a 73 dB? 73 dB – 70 dB = 3 dB ; Este cambio en el nivel de sonido se nota fácilmente. Si una mujer necesita una ampliación de 5,0 × 10 5 veces la intensidad del umbral para poder oír en todas las frecuencias, ¿cuál es su pérdida auditiva global en dB? Tenga en cuenta que una amplificación menor es adecuada para sonidos más intensos para evitar que los niveles superiores a 90 dB dañen aún más su audición. Una persona tiene un umbral de audición 10 dB por encima de lo normal a 100 Hz y 50 dB por encima de lo normal a 4.000 Hz. ¿Cuánto más intenso debe ser un tono de 100 Hz que uno de 4.000 Hz si ambos son apenas audibles para esta persona? 2,5; El tono de 100 Hz debe ser 2,5 veces más intenso que el sonido de 4.000 Hz para que sea audible por esta persona. volumen percepción de la intensidad del sonido notas unidad básica de música con nombres específicos combinados para generar melodías fonio unidad numérica de volumen tono percepción de la frecuencia de un sonido nivel de intensidad del sonido cantidad sin unidades que le indica el nivel del sonido en relación con un estándar fijo nivel de presión del sonido relación entre la amplitud de la presión y una presión de referencia timbre número e intensidad relativa de múltiples frecuencias de sonido transductor dispositivo que convierte la energía de una señal en forma de energía medible, por ejemplo, un micrófono convierte ondas sonoras en una señal eléctrica

Ciencia


Modos normales de una onda sonora estacionaria La interferencia es el sello distintivo de las ondas, todas las cuales presentan una interferencia constructiva y una destructiva exactamente análogas a la que se observa en las ondas acuáticas. De hecho, una forma de demostrar que algo “es una onda” es observar efectos de interferencia. Como el sonido es una onda, es de esperar que presente interferencias. Interferencia de las ondas sonoras En la sección Ondas hablamos de la interferencia de funciones de onda que solo difieren en un deslizamiento de fase. Hallamos que la función de onda resultante de la superposición de y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) y y 2 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) es y ( x , t ) = [ 2 A cos ( ϕ 2 ) ] sen ( k x – ω t + ϕ 2 ) . Una forma de que dos ondas idénticas que inicialmente están en fase se desfasen entre sí es que las ondas recorran distancias diferentes; es decir, que tengan longitudes del trayecto diferentes. Las ondas sonoras constituyen un excelente ejemplo de deslizamiento de fase debido a una diferencia de trayectoria. Como hemos comentado, las ondas sonoras se pueden modelar básicamente como ondas longitudinales, en las que las moléculas del medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio, o como ondas de presión. Cuando las ondas salen de los altavoces, lo hacen en forma de ondas esféricas ( ). Las ondas interfieren; la inferencia constructiva se produce por la combinación de dos crestas o dos depresiones, como se muestra. La interferencia destructiva se produce por la combinación de una depresión y una cresta. Cuando las ondas sonoras son producidas por un altavoz, se desplazan a la velocidad del sonido y se mueven hacia fuera como ondas esféricas. En este caso, dos altavoces producen el mismo tono constante (frecuencia). El resultado son puntos de alta intensidad de sonido (resaltados), que resultan de la superposición de dos crestas (compresión) o dos depresiones (rarefacción). La interferencia destructiva se genera por la superposición de una cresta y una depresión. Los puntos donde hay interferencia constructiva en la figura se producen porque las dos ondas están en fase en esos puntos. Los puntos de interferencia destructiva ( ) son el resultado de que las dos ondas estén desfasadas. Dos altavoces accionados por un solo generador de señales. Las ondas sonoras producidas por los altavoces están en fase y son de una sola frecuencia. Las ondas sonoras interfieren entre sí. Cuando dos crestas o dos depresiones coinciden se produce una interferencia constructiva, marcada con los puntos rojos y azules. Cuando una depresión y una cresta coinciden se produce una interferencia destructiva, marcada con puntos negros. La diferencia de fase se debe a las longitudes del trayecto recorridas por cada una de las ondas. Dos ondas idénticas recorren dos longitudes del trayecto diferentes hasta un punto P . (a) La diferencia en las longitudes del trayecto es de una longitud de onda, lo que genera una interferencia constructiva total y una amplitud resultante igual al doble de la amplitud original. (b) La diferencia en las longitudes del trayecto es menor que una longitud de onda, pero mayor que media longitud de onda, lo que ocasiona una amplitud mayor que cero y menor que el doble de la amplitud original. (c) La diferencia en las longitudes del trayecto es de media longitud de onda, lo que genera una interferencia destructiva total y una amplitud resultante de cero. La diferencia de fase en cada punto se debe a las diferentes longitudes del trayecto recorridas por cada onda. Cuando la diferencia de longitudes del trayecto es un múltiplo entero de una longitud de onda, Δ r = | r 2 – r 1 | = n λ , donde n = 0 , 1 , 2 , 3 ,…, las ondas están en fase y hay interferencia constructiva. Cuando la diferencia de longitudes del trayecto es un múltiplo impar de media longitud de onda, Δ r = | r 2 – r 1 | = n λ 2 , donde n = 1 , 3 , 5 ,…, las ondas están 180 ° ( π rad ) fuera de fase y el resultado es una interferencia destructiva. Estos puntos se pueden localizar con un medidor de intensidad del sonido. Interferencia de las ondas sonoras Dos altavoces tienen una separación de 5,00 m y son accionados por un generador de señales a una frecuencia desconocida. Un estudiante con un medidor de sonido recorre 6,00 m y baja 2,00 m y halla la primera intensidad mínima, como se muestra a continuación. ¿Cuál es la frecuencia suministrada por el generador de señales? Suponga que la rapidez de onda del sonido es v = 343,00 m/s . Estrategia La velocidad de la onda es igual a v = λ T = λ f . La frecuencia es entonces f = v λ . Una intensidad mínima indica una interferencia destructiva, y el primer punto de este tipo se produce cuando hay una diferencia de trayectoria de Δ r = λ / 2 , lo cual se puede calcular a partir de la geometría. Solución Calcule la longitud del trayecto hasta el punto mínimo desde cada altavoz r 1 = ( 6,00 m ) 2 + ( 2,00 m ) 2 = 6,32 m, r 2 = ( 6,00 m ) 2 + ( 3,00 m ) 2 = 6,71 m Use la diferencia en la longitud del trayecto para calcular la longitud de onda. Δ r = | r 2 – r 1 | = | 6,71 m – 6,32 m | = 0,39 m λ = 2 Δ r = 2 ( 0,39 m ) = 0,78 m Calcule la frecuencia. f = v λ = 343,00 m/s 0,78 m = 439,74 Hz Importancia Si el punto P fuera un punto de máxima intensidad, entonces la longitud del trayecto sería un múltiplo entero de la longitud de onda. Si camina alrededor de dos altavoces que reproducen música, ¿cómo no se percata de los lugares donde la música está muy alta o muy baja, es decir, donde hay interferencias constructivas y destructivas? En el ejemplo, los dos altavoces producían sonido a una sola frecuencia. La música tiene varias frecuencias y longitudes de onda. El concepto de deslizamiento de fase debido a una diferencia en la longitud del trayecto es muy importante. Este concepto lo volverá a usar en las secciones Interferencia y Fotones y ondas de materia , en las cuales se analiza cómo Thomas Young puso en práctica este método en su famoso experimento de la doble rendija para demostrar que la luz tiene propiedades ondulatorias. Reducción de ruido mediante interferencia destructiva La muestra un uso inteligente de la interferencia de sonido para anular el ruido. Se han propuesto aplicaciones a mayor escala de reducción de ruido activa por interferencia destructiva para compartimentos enteros de pasajeros en aviones comerciales. Para obtener interferencia destructiva, se hace un análisis electrónico rápido y se introduce un segundo sonido 180 ° fuera de fase con el sonido original, con sus máximos y mínimos exactamente invertidos con respecto al ruido entrante. Las ondas sonoras en los fluidos son ondas de presión y son coherentes con el principio de Pascal; es decir, las presiones de dos fuentes diferentes se suman y restan como números simples. Por lo tanto, las presiones manométricas positivas y negativas se suman a una presión mucho menor, lo que produce un sonido de menor intensidad. Aunque la interferencia destructiva por completo solo es posible en las condiciones más sencillas, es posible reducir los niveles de ruido en 30 dB o más a través de esta técnica. Los auriculares diseñados para anular el ruido con interferencia destructiva crean una onda sonora exactamente opuesta al sonido entrante. Estos auriculares pueden ser más eficaces que la simple atenuación pasiva utilizada en la mayoría de las protecciones auditivas. Tales auriculares se usaron en el vuelo sin escalas alrededor del mundo de la aeronave Voyager , que batió el récord mundial en 1986, para proteger los oídos de los pilotos del ruido del motor. Describa en qué se diferencian los auriculares con cancelación de ruido de los estándar que se usan para bloquear sonidos exteriores. Los auriculares regulares solo bloquean las ondas sonoras con una barrera física. Los auriculares con cancelación de ruido utilizan interferencia destructiva para reducir el volumen de sonidos exteriores. ¿Dónde más podemos observar interferencias de sonido? Todas las resonancias de sonido, como las de los instrumentos musicales, se deben a interferencias constructivas y destructivas. Solo las frecuencias de resonancia interfieren constructivamente para formar ondas estacionarias, mientras que otras interfieren destructivamente y están ausentes. Resonancia en un tubo cerrado en un extremo Como ya comentamos en la sección Ondas , las ondas estacionarias están formadas por dos ondas que se mueven en direcciones opuestas. Cuando dos ondas sinusoidales idénticas se mueven en direcciones opuestas, las ondas se pueden modelar como y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y y 2 ( x , t ) = A sen ( k x + ω t ) . Cuando estas dos ondas interfieren, la onda resultante es una onda estacionaria: y R ( x , t ) = [ 2 A sen ( k x ) ] cos ( ω t ) . La resonancia se puede producir debido a las condiciones de frontera impuestas a una onda. En la sección Ondas , demostramos que la resonancia se podía producir en una cuerda en tensión que tenía condiciones de frontera simétricas, concretamente, un nodo en cada extremo. Definimos un nodo como un punto fijo en el que la cuerda no se ha movido. Descubrimos que las condiciones de frontera simétricas hacían que algunas frecuencias resonaran y produjeran ondas estacionarias, mientras que otras frecuencias interferían destructivamente. Las ondas sonoras pueden resonar en un tubo hueco, y las frecuencias de las ondas sonoras que resuenan dependen de las condiciones de frontera. Suponga que tenemos un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro. Si sostenemos un diapasón vibrante cerca del extremo abierto del tubo, una onda sonora incidente se desplaza a través del tubo y se refleja en el extremo cerrado. El sonido reflejado tiene la misma frecuencia y la misma longitud de onda que la onda sonora incidente, pero se desplaza en dirección opuesta. En el extremo cerrado del tubo, las moléculas de aire tienen muy poca libertad para oscilar y se produce un nodo. En el extremo abierto, las moléculas son libres de moverse y, a la frecuencia adecuada, se produce un antinodo. A diferencia de las condiciones de frontera simétricas para las ondas estacionarias en la cuerda, las condiciones de frontera para un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro son antisimétricas: un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto. Si el diapasón tiene la frecuencia adecuada, la columna de aire del tubo resuena con fuerza, pero en la mayoría de las frecuencias vibra muy poco. Esta observación solo significa que la columna de aire tiene ciertas frecuencias naturales únicamente. Considere la frecuencia más baja que hará que el tubo resuene y produzca un sonido fuerte. Habrá un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto, como se muestra en la . Resonancia de aire en un tubo cerrado en un extremo causada por un diapasón que vibra a la frecuencia más baja que puede producir resonancia (la frecuencia fundamental). Existe un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto. La onda estacionaria formada en el tubo tiene un antinodo en el extremo abierto y un nodo en el extremo cerrado. La distancia de un nodo a un antinodo es un cuarto de la longitud de onda, y esta es igual a la longitud del tubo; por lo tanto, λ 1 = 4 L . Esta misma resonancia la puede producir una vibración introducida en o cerca del extremo cerrado del tubo ( ). Lo mejor es considerar que se trata de una vibración natural de la columna de aire, independientemente de cómo se introduzca. La misma onda estacionaria se crea en el tubo mediante una vibración introducida cerca de su extremo cerrado. Dado que los desplazamientos máximos de aire son posibles en el extremo abierto y ninguno en el cerrado, pueden resonar en el tubo otras longitudes de onda más cortas, como la que se muestra en la . Aquí la onda estacionaria tiene tres cuartas partes de su longitud de onda en el tubo, o 3 4 λ 3 = L , por lo que λ 3 = 4 3 L . Continuando con este proceso, se obtiene toda una serie de sonidos de menor longitud de onda y mayor frecuencia que resuenan en el tubo. Utilizamos términos específicos para las resonancias de cualquier sistema. La frecuencia de resonancia más baja se llama fundamental , mientras que todas las frecuencias de resonancia más altas se llaman sobretonos . Las frecuencias de resonancia que son múltiplos integrales de la fundamental se denominan colectivamente armónicos . La fundamental es el primer armónico, el segundo armónico es el doble de la frecuencia del primer armónico y así sucesivamente. Es posible que algunos de estos armónicos no existan para un escenario determinado. La muestra la fundamental y los tres primeros sobretonos (o los armónicos primero, tercero, quinto y séptimo) en un tubo cerrado en un extremo. Otra resonancia para un tubo cerrado en un extremo. Esta onda estacionaria tiene el máximo desplazamiento de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado. La longitud de onda es más corta, con tres cuartos λ ′ igualando la longitud del tubo, por lo que λ ′ = 4 L / 3 . Esta vibración de mayor frecuencia es el primer sobretono. La fundamental y los tres sobretonos más bajos de un tubo cerrado en un extremo. Todos tienen desplazamientos máximos de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado. La relación para las longitudes de onda resonantes de un tubo cerrado en un extremo es λ n = 4 n L n = 1 , 3 , 5 , .. . Ahora, busquemos un patrón en las frecuencias de resonancia para un tubo simple que está cerrado en un extremo. La fundamental tiene λ = 4 L , y la frecuencia se relaciona con la longitud de onda y la velocidad del sonido según v = f λ . Si se resuelve f en esta ecuación se obtiene f = v λ = v 4 L , donde v es la velocidad del sonido en el aire. Del mismo modo, el primer sobretono tiene λ = 4 L / 3 (vea la ), por lo que f 3 = 3 v 4 L = 3 f 1 . Porque f 3 = 3 f 1 , llamamos al primer sobretono el tercer armónico. Siguiendo este proceso, vemos un patrón que puede generalizarse en una expresión única. Las frecuencias de resonancia de un tubo cerrado en un extremo son f n = n v 4 L , n = 1 , 3 , 5 , ... , donde f 1 es la fundamental, f 3 es el primer sobretono y así sucesivamente. Es interesante que las frecuencias de resonancia dependan de la velocidad del sonido y, por tanto, de la temperatura. Esta relación supone un problema notable para los órganos de las antiguas catedrales sin calefacción, y es también lo que justifica que los músicos suelen poner sus instrumentos de viento a temperatura ambiente antes de tocarlos. Resonancia en un tubo abierto en ambos extremos Otra fuente de ondas estacionarias es un tubo abierto en ambos extremos. En este caso, las condiciones de frontera son simétricas: un antinodo en cada extremo. Las resonancias de los tubos abiertos en ambos extremos se pueden analizar de forma muy similar a las de los tubos cerrados en un extremo. Las columnas de aire en tubos abiertos en ambos extremos tienen desplazamientos máximos de aire en ambos extremos ( ). Las ondas estacionarias se forman como se muestra. Las frecuencias de resonancia de un tubo abierto en ambos extremos, incluso la fundamental y los tres primeros sobretonos. En todos los casos, los desplazamientos máximos de aire se producen en ambos extremos del tubo, lo que le confiere frecuencias naturales diferentes a las de un tubo cerrado en un extremo. La relación para las longitudes de onda resonantes de un tubo abierto en ambos extremos es λ n = 2 n L , n = 1 , 2 , 3 ,... . Basándonos en el hecho de que un tubo abierto en ambos extremos tiene desplazamientos máximos de aire en ambos extremos, y al usar la como guía podemos ver que las frecuencias de resonancia de un tubo abierto en ambos extremos son f n = n v 2 L , n = 1 , 2 , 3... , donde f 1 es la fundamental, f 2 es el primer sobretono, f 3 es el segundo sobretono y así sucesivamente. Observe que un tubo abierto en ambos extremos tiene una frecuencia fundamental doble de la que tendría si estuviera cerrado en un extremo. También tiene un espectro de sobretonos diferente al de un tubo cerrado en un extremo. Observe que un tubo abierto en ambos extremos tiene condiciones de frontera simétricas, similares a las de la cuerda fijada en ambos extremos de la que hablamos en la sección Ondas . Las relaciones para las longitudes de onda y las frecuencias de un instrumento de cuerda son las mismas que se dan en la y la . La velocidad de la onda en la cuerda (de la sección Ondas ) es v = F T μ . El aire que rodea la cuerda vibra a la misma frecuencia que esta, lo que produce un sonido de la misma frecuencia. La onda sonora se mueve a la velocidad del sonido y la longitud de onda se puede calcular mediante v = λ f . ¿Cómo es posible utilizar el nodo y el antinodo de una onda estacionaria para determinar la longitud de un tubo cerrado en un extremo? Cuando el tubo resuena a su frecuencia natural, el nodo de la onda se sitúa en el extremo cerrado del tubo y el antinodo en el extremo abierto. La longitud del tubo es igual a un cuarto de la longitud de onda de esta onda. Así, si conocemos la longitud de onda de la onda, podemos determinar la longitud del tubo. En este video podrá visualizar ondas sonoras. Observe dos instrumentos musicales que no puede identificar. Uno reproduce sonidos agudos y el otro sonidos graves. ¿Cómo podría determinar cuál es cuál sin escuchar el sonido que emiten? Compare sus tamaños. Los instrumentos de tono agudo suelen ser más pequeños que los de tono grave porque generan una longitud de onda menor. Resumen El sonido no deseado se puede reducir mediante interferencia destructiva. El sonido tiene las mismas propiedades de interferencia y resonancia definidas para todas las ondas. En las columnas de aire, la resonancia de frecuencia más baja se denomina fundamental, mientras que todas las frecuencias de resonancia más altas se denominan sobretonos. En conjunto, se denominan armónicos. Preguntas conceptuales Le dan dos instrumentos de viento de idéntica longitud. Uno de ellos está abierto en ambos extremos, mientras que el otro está cerrado en un extremo. ¿Cuál es capaz de producir la frecuencia más baja? La longitud de onda fundamental de un tubo abierto por cada extremo es de 2 L , mientras que la longitud de onda de un tubo abierto en un extremo y cerrado por otro es de 4 L . El tubo abierto en un extremo tiene la frecuencia fundamental más baja, suponiendo que la velocidad del sonido es la misma en ambos tubos. ¿Cuál es la diferencia entre un sobretono y un armónico? ¿Todos los armónicos son sobretonos? ¿Todos los sobretonos son armónicos? Dos columnas idénticas abiertas en ambos extremos se encuentran en habitaciones separadas. En la habitación A , la temperatura es T = 20 ° C y en la habitación B , la temperatura es T = 25 ° C . En el extremo de cada tubo se conecta un altavoz que hace que los tubos resuenen a la frecuencia fundamental. ¿La frecuencia es la misma para ambos tubos? ¿Cuál es la frecuencia más alta? La longitud de onda en cada uno es el doble de la longitud del tubo. La frecuencia depende de la longitud de onda y de la rapidez de las ondas sonoras. La frecuencia en la habitación B es mayor porque la velocidad del sonido es mayor donde la temperatura es más alta. Problemas (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de un tubo de 0,672 m de longitud abierto en ambos extremos un día en que la velocidad del sonido es de 344 m/s? (b) ¿Cuál es la frecuencia de su segundo armónico? ¿Cuál es la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamental de 176 Hz y un primer sobretono de 352 Hz si la velocidad del sonido es de 343 m/s? 0,974 m El canal auditivo resuena como un tubo cerrado en un extremo. Si la longitud de los canales auditivos oscila entre 1,80 y 2,60 cm en una población promedio, ¿cuál es el rango de frecuencias fundamentales de resonancia? Tome la temperatura del aire para que sea 37,0 ° C, que es lo mismo que la temperatura corporal. Calcule el primer sobretono en un canal auditivo, que resuena como un tubo de 2,40 cm de longitud cerrado en un extremo, tomando como temperatura del aire 37,0 ° C . ¿El oído es especialmente sensible a esa frecuencia? (Las resonancias del canal auditivo se complican por su forma no uniforme, lo cual ignoraremos). 11,0 kHz; El oído no es especialmente sensible a esta frecuencia, por lo que no oímos sobretonos debido al canal auditivo. Una aproximación burda a la producción de la voz es considerar que los conductos respiratorios y la boca son un tubo resonante cerrado en un extremo. (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental si el tubo tiene una longitud de 0,240 m, considerando que la temperatura del aire es 37,0 ° C ? (b) ¿En qué se convertiría esta frecuencia si la persona sustituyera el aire por helio? Suponga la misma dependencia de la temperatura para el helio que para el aire. Un tubo de 4,0 m de longitud abierto en un extremo y cerrado en el otro se encuentra en una habitación donde la temperatura es T = 22 ° C . Se coloca un altavoz capaz de producir frecuencias variables en el extremo abierto y se utiliza para hacer resonar el tubo. (a) ¿Cuál es la longitud de onda y la frecuencia de la frecuencia fundamental? (b) ¿Cuál es la frecuencia y la longitud de onda del primer sobretono? a. v = 344,08 m/s, λ 1 = 16,00 m, f 1 = 21,51 Hz; b. λ 3 = 5,33 m, f 3 = 64,56 Hz Un tubo de 4,0 m de longitud abierto en ambos extremos se coloca en una habitación donde la temperatura es T = 25 ° C . Se coloca un altavoz capaz de producir frecuencias variables en el extremo abierto y se utiliza para hacer resonar el tubo. (a) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia fundamental? (b) ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de onda del primer sobretono? Una cuerda de guitarra de nailon se fija entre dos postes de laboratorio con 2,00 m de separación. La cuerda tiene una densidad lineal de masa de μ = 7,20 g/m y se coloca con una tensión de 160,00 N. La cuerda se coloca junto a un tubo abierto en ambos extremos de longitud L . La cuerda se puntea y el tubo resuena en el modo n = 3 . La velocidad del sonido es de 343 m/s. ¿Cuál es la longitud del tubo? v cuerda = 149,07 m/s, λ 3 = 1,33 m, f 3 = 112,08 Hz λ 1 = v f 1 , L = 1,53 m Se golpea un diapasón de 512 Hz y se coloca junto a un tubo con un pistón móvil, lo que crea un tubo de longitud variable. El pistón se desliza por el tubo y la resonancia se alcanza cuando el pistón está a 115,50 cm del extremo abierto. La siguiente resonancia se alcanza cuando el pistón está a 82,50 cm del extremo abierto. (a) ¿Cuál es la velocidad del sonido en el tubo? (b) ¿A qué distancia del extremo abierto el pistón provocará el siguiente modo de resonancia? En un laboratorio de física se les pide a los estudiantes que calculen la longitud de una columna de aire en un tubo cerrado en un extremo que tiene una frecuencia fundamental de 256 Hz. Sostienen el tubo verticalmente y lo llenan de agua hasta arriba, luego el agua baja mientras se hace sonar un diapasón de 256 Hz y escuchan la primera resonancia. (a) ¿Cuál es la temperatura del aire si la resonancia se produce para una longitud de 0,336 m? (b) ¿A qué longitud observarán la segunda resonancia (primer sobretono)? a. 22,0 °C ; b. 1,01 m fundamental la resonancia de frecuencia más baja armónicos el término utilizado para referirse colectivamente a la fundamental y a sus sobretonos sobretonos todas las frecuencias de resonancia más altas que la fundamental

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Fuentes de sonido musical Algunos instrumentos musicales, como los de viento de madera, los metales y los órganos de tubos, se pueden modelar como tubos con condiciones de frontera simétricas , es decir, abiertos en ambos extremos o cerrados en ambos extremos ( ). Otros instrumentos se pueden modelar como tubos con condiciones de frontera antisimétricas , como un tubo con un extremo abierto y el otro cerrado ( ). Algunos instrumentos musicales se pueden modelar como un tubo abierto en ambos extremos. Algunos instrumentos musicales se pueden modelar como un tubo cerrado en un extremo. Las frecuencias de resonancia son producidas por ondas longitudinales que se desplazan por los tubos e interfieren con las ondas reflejadas que se desplazan en la dirección opuesta. Un órgano de tubos se fabrica con varios tubos de longitudes fijas para producir diferentes frecuencias. Las ondas son el resultado del aire comprimido que se expande en los tubos. Incluso en tubos abiertos se produce cierta reflexión debido a las limitaciones de los lados de los tubos y a la presión atmosférica fuera del tubo abierto. Los antinodos no se producen en la apertura del tubo, sino que dependen de su radio. Las ondas no se expanden del todo hasta que están fuera del extremo abierto de un tubo, y para un tubo de paredes finas hay que añadir una corrección en el extremo . Esta corrección en el extremo es 0,6 veces el radio del tubo, aproximadamente, y se debe añadir a su longitud. Los intérpretes de instrumentos como la flauta o el oboe varían la longitud del tubo abriendo y cerrando los agujeros de los dedos. En un trombón, usted cambia la longitud del tubo mediante un tubo deslizante. Las cornetas tienen una longitud fija y solo pueden producir un rango limitado de frecuencias. La fundamental y los sobretonos pueden estar presentes simultáneamente en una variedad de combinaciones. Por ejemplo, el do medio de una trompeta suena de forma distinta al do medio de un clarinete, aunque ambos instrumentos son versiones modificadas de un tubo cerrado en un extremo. La frecuencia fundamental es la misma (y suele ser la más intensa), pero los sobretonos y su mezcla de intensidades son diferentes y están sujetos al matiz del músico. Esta mezcla es la que confiere a los distintos instrumentos musicales (y a las voces humanas) sus características distintivas, ya sean columnas de aire, cuerdas, cajas de resonancia o parches de batería. De hecho, gran parte de nuestra forma de hablar viene determinada por el modelado de la cavidad formada por la garganta y la boca y la colocación de la lengua para ajustar la fundamental y la combinación de sobretonos. Por ejemplo, se puede hacer que las cavidades resonantes simples resuenen con el sonido de las vocales ( ). Cuando los niños pasan por la pubertad la laringe crece y la forma de la cavidad resonante cambia, lo que genera la diferencia de frecuencias predominantes en el habla entre hombres y mujeres. La garganta y la boca forman una columna de aire cerrada en un extremo que resuena en respuesta a las vibraciones en la laringe. El espectro de sobretonos y sus intensidades varían con la forma de la boca y la posición de la lengua para formar diferentes sonidos. La laringe puede sustituirse por un vibrador mecánico, y el habla comprensible sigue siendo posible. Las variaciones en las formas básicas hacen que se reconozcan las diferentes voces. Calcular la longitud de un tubo con una fundamental de 128 Hz (a) ¿Qué longitud debe tener un tubo cerrado en un extremo un día en el que la temperatura del aire es 22,0 °C si su frecuencia fundamental debe ser de 128 Hz (do por debajo del do medio)? (b) ¿Cuál es la frecuencia de su cuarto sobretono? Estrategia La longitud L se puede hallar a partir de la relación f n = n v 4 L , pero primero tenemos que hallar la velocidad del sonido v . Solución Identifique aspectos conocidos: la frecuencia fundamental es de 128 Hz y la temperatura del aire es de 22,0 °C . Use f n = n v 4 L para calcular la frecuencia fundamental ( n = 1 ), f 1 = v 4 L . Resuelva esta ecuación para la longitud, L = v 4 f 1 . Calcule la velocidad del sonido mediante v = ( 331 m/s ) T 273 K , v = ( 331 m/s ) 295 K 273 K = 344 m/s . Introduzca los valores de la velocidad del sonido y la frecuencia en la expresión de L . L = v 4 f 1 = 344 m/s 4 ( 128 Hz ) = 0,672 m Identifique aspectos conocidos: el primer sobretono tiene n = 3 , el segundo sobretono tiene n = 5 , el tercer sobretono tiene n = 7 y el cuarto sobretono tiene n = 9 . Introduzca el valor del cuarto sobretono en f n = n v 4 L , f 9 = 9 v 4 L = 9 f 1 = 1,15 kHz . Importancia Muchos instrumentos de viento son tubos modificados que tienen agujeros para los dedos, válvulas y otros dispositivos para cambiar la longitud de la columna de aire resonante y, por lo tanto, la frecuencia de la nota tocada. Las bocinas que producen frecuencias muy bajas requieren tubos tan largos que se enrollan en bucles. Un ejemplo es la tuba. El hecho de que se produzca un sobretono en un tubo simple o en un instrumento musical depende de cómo se estimule su vibración y de los detalles de su forma. El trombón, por ejemplo, no produce su frecuencia fundamental y solo hace sobretonos. Si tiene dos tubos con la misma frecuencia fundamental, pero uno está abierto en ambos extremos y el otro está cerrado en uno de ellos, sonarían diferente al tocarlos porque tienen sobretonos diferentes. El do medio, por ejemplo, sonaría más rico tocado en un tubo abierto, ya que tiene múltiplos pares de la fundamental además de impares. Un tubo cerrado solo tiene múltiplos impares. Resonancia La resonancia se produce en muchos sistemas diferentes como cuerdas, columnas de aire y átomos. Como ya hemos comentado en capítulos anteriores, la resonancia es la oscilación impulsada o forzada de un sistema a su frecuencia natural. En la resonancia, la energía se transfiere rápidamente al sistema oscilante y la amplitud de sus oscilaciones crece hasta que el sistema ya no se puede describir por la ley de Hooke. Un ejemplo de ello es el sonido distorsionado que se produce intencionadamente en ciertos tipos de música rock. Los instrumentos de viento utilizan la resonancia de las columnas de aire para amplificar los tonos producidos por los labios o las lengüetas que vibran. Otros instrumentos también utilizan la resonancia del aire de forma inteligente para amplificar el sonido. La muestra un violín y una guitarra, ambos con cajas de resonancia pero con formas diferentes, lo que genera estructuras de sobretono distintas. La cuerda que vibra crea un sonido que resuena en la caja de resonancia, amplifica enormemente el sonido y crea sobretonos que dan al instrumento su timbre característico. Cuanto más compleja sea la forma de la caja de resonancia, mayor será su capacidad para resonar en un amplio rango de frecuencias. La marimba, como la que se muestra en la , utiliza macetas de barro o vasijas en forma de calabaza debajo de los listones de madera para amplificar sus tonos. La resonancia de la maceta se puede ajustar al añadir agua. Los instrumentos de cuerda como (a) los violines y (b) las guitarras utilizan la resonancia en sus cajas de resonancia para amplificar y enriquecer el sonido creado por sus cuerdas vibrantes. El puente y los soportes acoplan las vibraciones de las cuerdas a las cajas de resonancia y al aire de su interior (créditos: a, modificación del trabajo de Feliciano Guimarães; b, modificación del trabajo de Steve Snodgrass). Esta marimba utiliza vasijas en forma de calabaza como cámara de resonancia para amplificar su sonido (créditos: “Eventos de APC”/Flickr). Hemos hecho hincapié en las aplicaciones del sonido en nuestros análisis sobre resonancia y ondas estacionarias, pero estas ideas se aplican a cualquier sistema que tenga características ondulatorias. Las cuerdas que vibran, por ejemplo, son realmente resonantes y tienen fundamentales y sobretonos similares a los de las columnas de aire. Más sutiles son las resonancias en los átomos debido al carácter ondulatorio de sus electrones. Sus orbitales pueden verse como ondas estacionarias, que tienen una fundamental (estado fundamental) y sobretonos (estados excitados). Es fascinante que las características de las ondas se apliquen a un rango tan amplio de sistemas físicos. Resumen Algunos instrumentos musicales se pueden modelar como tubos que tienen condiciones de frontera simétricas: abiertos en ambos extremos o cerrados en ambos extremos. Otros instrumentos musicales se pueden modelar como tubos que tienen condiciones de frontera antisimétricas: cerrados en un extremo y abiertos en el otro. Algunos instrumentos, como el órgano de tubos, tienen varios tubos con diferentes longitudes. Los instrumentos como la flauta varían la longitud del tubo cerrando los agujeros a lo largo de este. El trombón varía la longitud del tubo mediante una barra deslizante. Los instrumentos de cuerda producen sonido mediante una cuerda que vibra con nodos en cada extremo. El aire que rodea la cuerda oscila a su frecuencia. La relación de las frecuencias para la cuerda es la misma que para las condiciones de frontera simétricas del tubo, y la longitud del tubo se sustituye por la longitud de la cuerda y la velocidad por v = F T μ . Preguntas conceptuales ¿Cómo es posible que una guitarra sin amplificar produzca sonidos mucho más intensos que los de una cuerda pulsada y tensada por un simple palo? Considere tres tubos de la misma longitud ( L ). El tubo A está abierto en ambos extremos, el tubo B está cerrado en ambos extremos y el tubo C tiene un extremo abierto y otro cerrado. Si la velocidad del sonido es la misma en cada uno de los tres tubos, ¿en cuál de ellos se podría producir la frecuencia fundamental más baja? ¿En cuál de los tubos se podría producir la frecuencia fundamental más alta? Cuando resuena a la frecuencia fundamental, la longitud de onda para el tubo C es de 4 L , y para los tubos A y B es de 2 L . La frecuencia es igual a f = v / λ . El tubo C tiene la frecuencia más baja y los tubos A y B tienen la misma frecuencia, la cual es superior a la del tubo C . El tubo A tiene una longitud L y está abierto en ambos extremos. El tubo B tiene una longitud L /2 y tiene un extremo abierto y el otro cerrado. Suponga que la velocidad del sonido es la misma en ambos tubos. ¿Cuáles de los armónicos de cada tubo serían iguales? Se ata una cuerda entre dos postes de laboratorio a una distancia L . La tensión en la cuerda y la densidad lineal de masa es tal que la velocidad de una onda en la cuerda es v = 343 m/s . Un tubo con condiciones de frontera simétricas tiene una longitud L y la velocidad del sonido en el tubo es v = 343 m/s . ¿Qué se puede decir de las frecuencias de los armónicos en la cuerda y el tubo? ¿Y si la velocidad en la cuerda fuera v = 686 m/s ? Como las condiciones de frontera son ambas simétricas, las frecuencias son f n = n v 2 L . Como la velocidad es la misma en cada uno, las frecuencias son las mismas. Si la rapidez de onda se duplicara en la cuerda, las frecuencias en la cuerda serían el doble de las frecuencias en el tubo. Problemas Si un instrumento de viento, como una tuba, tiene una frecuencia fundamental de 32,0 Hz, ¿cuáles son sus tres primeros sobretonos? Está cerrado en un extremo (los sobretonos de una tuba real son más complejos que los de este ejemplo, debido a que es un tubo cónico). ¿Cuáles son los tres primeros sobretonos de un fagot que tiene una frecuencia fundamental de 90,0 Hz? Está abierto en ambos extremos (los sobretonos de un fagot real son más complejos que los de este ejemplo, ya que su doble lengüeta hace que actúe más como un tubo cerrado en un extremo). primer armónico = 180 Hz; segundo sobretono = 270 Hz; tercer sobretono = 360 Hz ¿Qué longitud debe tener una flauta para lograr una frecuencia fundamental de 262 Hz (esta frecuencia corresponde al do medio de la escala cromática de temperamento uniforme) un día en el que la temperatura del aire es 20,0 ° C ? Está abierto en ambos extremos ¿Qué longitud debería tener un oboe para producir una frecuencia fundamental de 110 Hz un día en el que la velocidad del sonido es de 343 m/s? Está abierto en ambos extremos 1,56 m (a) Halle la longitud de un tubo de órgano cerrado en un extremo que produce una frecuencia fundamental de 256 Hz cuando la temperatura del aire es 18,0 ° C . (b) ¿Cuál es su frecuencia fundamental a 25,0 ° C ? Un tubo de órgano ( L = 3,00 m ) está cerrado en ambos extremos. Calcule las longitudes de onda y las frecuencias de los tres primeros modos de resonancia. Suponga que la velocidad del sonido es v = 343,00 m/s . El tubo tiene condiciones de frontera simétricas; λ n = 2 n L , f n = n v 2 L , n = 1 , 2 , 3 λ 1 = 6,00 m , λ 2 = 3,00 m , λ 3 = 2,00 m f 1 = 57,17 Hz , f 2 = 114,33 Hz , f 3 = 171,50 Hz Un tubo de órgano ( L = 3,00 m ) está cerrado en un extremo. Calcule las longitudes de onda y las frecuencias de los tres primeros modos de resonancia. Suponga que la velocidad del sonido es v = 343,00 m/s . Una cuerda que oscila en el modo n = 6 produce una onda sonora de una frecuencia de 2,00 kHz. La densidad lineal de masa de la cuerda es μ = 0,0065 kg/m y la longitud de la cuerda es de 1,50 m. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? λ 6 = 0,5 m v = 1.000 m/s F T = 6.500 N Considere el sonido creado por la resonancia del tubo que se muestra a continuación. La temperatura del aire es T C = 30,00 ° C . ¿Cuáles son la longitud de onda, la rapidez de onda y la frecuencia del sonido producido? Un estudiante sujeta un poste de laboratorio de 80,00 cm a un cuarto de la longitud de su extremo. El poste de laboratorio es de aluminio. El estudiante golpea el poste del laboratorio con un martillo. El poste resuena a la frecuencia más baja posible. ¿Cuál es esa frecuencia? f = 6,40 kHz Una cuerda del violín tiene una longitud de 24,00 cm y una masa de 0,860 g. La frecuencia fundamental de la cuerda es de 1,00 kHz. (a) ¿Cuál es la velocidad de la onda en la cuerda? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda? ¿En qué fracción cambiarán las frecuencias producidas por un instrumento de viento cuando la temperatura del aire pasa de 10,0 ° C a 30,0 ° C ? Es decir, calcule la relación de las frecuencias a esas temperaturas. 1,03 o 3 %

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Batimientos El estudio de la música ofrece muchos ejemplos de la superposición de ondas y de las interferencias constructivas y destructivas que se producen. Muy pocos ejemplos de música interpretada consisten en que una sola fuente reproduzca una sola frecuencia durante un periodo prolongado. Probablemente estará de acuerdo en que una sola frecuencia de sonido durante un periodo prolongado puede resultar aburrida hasta el punto de irritar, similar al zumbido no deseado de un motor de avión o a un ventilador ruidoso. La música es agradable e interesante gracias a la mezcla de las frecuencias cambiantes de varios instrumentos y voces. Un fenómeno interesante que se produce debido a la interferencia constructiva y la destructiva de dos o más frecuencias de sonido es el fenómeno de batimientos . Si dos sonidos difieren en frecuencia, las ondas sonoras se pueden modelar como y 1 = A cos ( k 1 x – 2 π f 1 t ) y y 2 = A cos ( k 2 x – 2 π f 2 t ) . Al usar la identidad trigonométrica cos u + cos v = 2 cos ( u + v 2 ) cos ( u – v 2 ) y considerar el punto en el espacio como x = 0,0 m, hallamos que el sonido resultante en un punto del espacio, a partir de la superposición de las dos ondas sonoras, es igual a la : y ( t ) = 2 A cos ( 2 π f a v g t ) cos ( 2 π ( | f 2 – f 1 | 2 ) t ) , donde la frecuencia de batimiento es f bat = | f 2 – f 1 | . Batimientos producidos por las interferencias constructiva y destructiva de dos ondas sonoras que difieren en frecuencia. Los afinadores de pianos pueden utilizar estos batimientos para afinar un piano. Se golpea un diapasón y se toca una nota en el piano. A medida que el afinador del piano afina la cuerda, los batimientos tienen una frecuencia más baja a medida que la frecuencia de la nota tocada se acerca a la frecuencia del diapasón. Calcular la frecuencia de batimiento entre dos diapasones ¿Cuál es la frecuencia de batimiento producida cuando se golpean simultáneamente un diapasón de una frecuencia de 256 Hz y otro de una frecuencia de 512 Hz? Estrategia La frecuencia de batimiento es la diferencia de las dos frecuencias. Solución Usamos f bat = | f 2 – f 1 | : | f 2 – f 1 | = ( 512 – 256 ) Hz = 256 Hz . Importancia La frecuencia de batimiento es el valor absoluto de la diferencia entre las dos frecuencias. Una frecuencia negativa no tendría sentido. ¿Qué pasaría si interactuaran más de dos frecuencias? Considere tres frecuencias. Una forma fácil de entender este evento es utilizar un gráfico, como se muestra a continuación. Parece que se producen batimientos, pero con un patrón de interferencia más complejo. El estudio de la superposición de varias ondas tiene muchas aplicaciones interesantes más allá del estudio del sonido. En capítulos posteriores hablaremos de las propiedades ondulatorias de las partículas. Las partículas se pueden modelar como un “paquete de ondas” que se genera de la superposición de varias ondas, donde la partícula se mueve a la “velocidad de grupo” del paquete de ondas. Resumen Cuando dos ondas sonoras que difieren en frecuencia interfieren, se crean batimientos con una frecuencia de batimiento que es igual al valor absoluto de la diferencia de las frecuencias. Preguntas conceptuales Dos altavoces están conectados a un generador de señal de frecuencia variable. El altavoz A produce una onda sonora de frecuencia constante de 1,00 kHz, y el altavoz B produce un tono de 1,10 kHz. La frecuencia de batimiento es de 0,10 kHz. Si se duplica la frecuencia de cada altavoz, ¿cuál es la frecuencia de batimiento producida? La etiqueta de un diapasón se borró y usted necesita saber su frecuencia. Por su tamaño, sospecha que está en torno a los 250 Hz. Usted encuentra un diapasón de 250 Hz y otro de 270 Hz. Al golpear el diapasón de 250 Hz y el diapasón de frecuencia desconocida se produce una frecuencia de batimiento de 5 Hz. Cuando se golpea el desconocido con el diapasón de 270 Hz, la frecuencia de batimiento es de 15 Hz. ¿Cuál es la frecuencia desconocida? ¿Podría haber deducido la frecuencia solamente con el diapasón de 250 Hz? La frecuencia del diapasón desconocido es de 255 Hz. No, si solo se utiliza el diapasón de 250 Hz, la escucha de la frecuencia de batimiento solo podría limitar las posibles frecuencias a 245 Hz o 255 Hz. Refiriéndonos a la pregunta anterior, si solo tuviera el diapasón de 250 Hz, ¿podría proponer una solución al problema de hallar la frecuencia desconocida? Un automóvil “vistoso” construido al gusto del dueño tiene dos bocinas de latón que se supone que producen la misma frecuencia, pero que en realidad emiten 263,8 y 264,5 Hz. ¿Qué frecuencia de batimiento se produce? La frecuencia de batimiento es de 0,7 Hz. Problemas ¿Qué frecuencias de batimiento hay (a) si se tocan juntas las notas musicales la y do (frecuencias de 220 y 264 Hz); (b) si se tocan juntas re y fa (frecuencias de 297 y 352 Hz); (c) si se tocan juntas las cuatro? ¿Qué frecuencias de batimiento se generan si un martillo de piano golpea tres cuerdas que emiten frecuencias de 127,8, 128,1 y 128,3 Hz? f B = | f 1 – f 2 | | 128,3 Hz – 128,1 Hz | = 0,2 Hz; | 128,3 Hz – 127,8 Hz | = 0,5 Hz; | 128,1 Hz – 127,8 Hz | = 0,3 Hz Un afinador de pianos oye un batimiento cada 2,00 s cuando escucha un diapasón de 264,0 Hz y una sola cuerda de piano. ¿Cuáles son las dos frecuencias posibles de la cuerda? Dos cuerdas idénticas, de longitudes idénticas de 2,00 m y densidad lineal de masa de μ = 0,0065 kg/m se fijan en ambos extremos. La cuerda A está sometida a una tensión de 120,00 N. La cuerda B está sometida a una tensión de 130,00 N. Cada una de ellas se puntea y produce un sonido en el modo n = 10 . ¿Cuál es la frecuencia de batimiento? v A = 135,87 m/s, v B = 141,42 m/s, λ A = λ B = 0,40 m Δ f = 15,00 Hz Un afinador de pianos utiliza un diapasón de 512 Hz para afinar un piano. Golpea el diapasón y toca una tecla del piano y escucha una frecuencia de batimiento de 5 Hz. Aprieta la cuerda del piano y repite el procedimiento. De nuevo escucha una frecuencia de batimiento de 5 Hz. ¿Qué ha pasado? Una cuerda con una densidad lineal de masa de μ = 0,0062 kg/m se estira entre dos postes con 1,30 m de separación. La tensión de la cuerda es de 150,00 N. La cuerda oscila y produce una onda sonora. Se golpea un diapasón de 1.024 Hz y la frecuencia de batimiento entre las dos fuentes es de 52,83 Hz. ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de onda posibles de la onda en la cuerda? v = 155,54 m/s, f cuerda = 971,17 Hz, n = 16,23 f cuerda = 1076,83 Hz, n = 18,00 La frecuencia es de 1.076,83 Hz y la longitud de onda es de 0,14 m. Un automóvil tiene dos bocinas, una que emite una frecuencia de 199 Hz y otra que emite una frecuencia de 203 Hz. ¿Qué frecuencia de batimiento producen? El martillo del do medio de un piano golpea dos cuerdas y produce batimientos de 1,50 Hz. Una de las cuerdas está afinada a 260,00 Hz. ¿Qué frecuencias podría tener la otra cuerda? f 2 = f 1 ± f B = 260,00 Hz ± 1,50 Hz, por lo que f 2 = 261,50 Hz o f 2 = 258,50 Hz Se golpean simultáneamente dos diapasones con frecuencias de 460 y 464 Hz. ¿Qué frecuencia promedio escuchará y cuál será la frecuencia de batimiento? Los dos motores a reacción de un avión producen una frecuencia de sonido promedio de 4.100 Hz con una frecuencia de batimiento de 0,500 Hz. ¿Cuáles son sus frecuencias individuales? f ace = f 1 + f 2 2 ; f B = f 1 – f 2 ( asume f 1 > f 2 ) f ace = ( f B + f 2 ) + f 2 2 ⇒ f 2 = 4099,750 Hz f 1 = 4100,250 Hz Tres teclas adyacentes de un piano (fa, fa sostenido y sol) se golpean simultáneamente, lo que produce frecuencias de 349, 370 y 392 Hz. ¿Qué frecuencias de batimiento produce esta combinación discordante? frecuencia de batimiento frecuencia de batimientos producidos por ondas sonoras que difieren en frecuencia batimientos interferencias constructiva y destructiva de dos o más frecuencias de sonido

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