Estimaciones y cálculos de Fermi En muchas ocasiones, los físicos, otros científicos e ingenieros necesitan hacer estimaciones de una cantidad determinada. Otros términos que se emplean a veces son estimaciones a partir de conjeturas , aproximaciones de orden de magnitud , cálculos de servilleta o cálculos de Fermi . (El físico Enrico Fermi, mencionado anteriormente, era famoso por su capacidad para estimar diversos tipos de datos con una precisión sorprendente). ¿Cabrá ese equipo en la parte trasera del auto o tendremos que alquilar un camión? ¿Cuánto tiempo durará esta descarga? ¿Qué tanta corriente habrá en este circuito cuando se encienda? ¿Cuántas casas podría alimentar realmente una central eléctrica propuesta si se construye? Tenga en cuenta que estimar no significa adivinar un número o una fórmula al azar. Mejor dicho, la estimación significa utilizar la experiencia previa y el razonamiento físico sólido para llegar a una idea aproximada del valor de una cantidad. Dado que el proceso para determinar una aproximación fiable implica la identificación de principios físicos correctos y una conjetura apropiada acerca de las variables pertinentes, la estimación es muy útil para desarrollar la intuición física. Las estimaciones también nos permiten realizar "comprobaciones de cordura" en los cálculos o las propuestas políticas, ya que nos ayudan a descartar determinados escenarios o cifras poco realistas. Nos permiten desafiar a los demás (y a nosotros mismos) en nuestros esfuerzos por aprender verdades sobre el mundo. Muchas estimaciones se basan en fórmulas en las que las cantidades de entrada solo se conocen con una precisión limitada. A medida que desarrolle sus habilidades para resolver problemas de física (que se aplican a una amplia variedad de campos), también desarrollará sus habilidades para estimar. Estas habilidades se desarrollan pensando de forma más cuantitativa y estando dispuesto a asumir riesgos. Como con cualquier habilidad, la experiencia ayuda. También ayuda la familiaridad con las dimensiones (vea la ) y las unidades (vea la y la ), así como las escalas de las cantidades base (vea la ). Para progresar en la estimación, es necesario tener algunas ideas definidas sobre cómo pueden estar relacionadas las variables. Las siguientes estrategias sirven para practicar el arte de la estimación: Obtener grandes longitudes a partir de longitudes más pequeñas. Al estimar las longitudes, recuerde que cualquier cosa puede ser una regla. Así, imagine que divide una cosa grande en cosas más pequeñas, estime la longitud de una de las cosas más pequeñas y multiplique para obtener la longitud de la cosa grande. Por ejemplo, para estimar la altura de un edificio, primero cuente cuántos pisos tiene. Luego, estime el tamaño de un solo piso; imagine cuántas personas tendrían que subirse a los hombros de otras para alcanzar el techo. Por último, estime la altura de una persona. El producto de estas tres estimaciones es su estimación de la altura del edificio. Resulta útil haber memorizado algunas escalas pertinentes de longitud para el tipo de problemas que estará resolviendo. Por ejemplo, conocer algunas de las escalas de longitud en la sería práctico. A veces también ayuda hacer esto a la inversa, es decir, para estimar la longitud de una cosa pequeña, imagine un montón de ellas formando una cosa más grande. Por ejemplo, para estimar el grosor de una hoja de papel, calcule el grosor de una pila de papel y luego divídala entre el número de páginas de la pila. Estas mismas estrategias de dividir las cosas grandes en cosas más pequeñas o de sumar las cosas más pequeñas para dar una cosa más grande pueden utilizarse a veces para estimar otras cantidades físicas, como las masas y los tiempos. Obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes. Cuando se trate de un área o un volumen de un objeto complejo, introduzca un modelo sencillo del objeto, como una esfera o una caja. A continuación, estime primero las dimensiones lineales (como el radio de la esfera o la longitud, ancho y altura de la caja) y utilice sus estimaciones para obtener el volumen o el área a partir de fórmulas geométricas estándar. Si tiene una estimación del área o del volumen de un objeto, también puede hacer lo contrario, es decir, utilizar fórmulas geométricas estándar para obtener una estimación de sus dimensiones lineales. Obtener masas a partir de volúmenes y densidades. Al estimar las masas de los objetos, serviría primero estimar su volumen y luego estimar su masa a partir de una estimación aproximada de su densidad media (recordemos que la densidad tiene la dimensión de la masa sobre longitud al cubo, por lo que la masa es densidad por volumen). Para ello, conviene recordar que la densidad del aire es de aproximadamente 1 kg/m 3 , la del agua es de 10 3 kg/m 3 y los sólidos más densos de la vida cotidiana alcanzan un máximo de 10 4 kg/m 3 . Preguntarse si un objeto flota o se hunde en el aire o en el agua le da una estimación aproximada de su densidad. También se puede hacer a la inversa; si tiene una estimación de la masa de un objeto y su densidad, puede utilizar esto para obtener una estimación de su volumen. Si todo lo demás falla, limítelo. En cuanto a las cantidades físicas para las que no tiene mucha intuición, a veces lo mejor que puede hacer es pensar algo así: debe ser más grande que esto y más pequeño que aquello. Por ejemplo, supongamos que hay que calcular la masa de un alce. Tal vez tenga mucha experiencia con los alces y conozca de memoria su masa media. Si es así, genial. Pero para la mayoría de la gente, lo mejor que pueden hacer es pensar algo así: debe ser mayor que una persona (del orden de 10 2 kg) y menor que un auto (del orden de 10 3 kg). Si necesita un solo número para un cálculo posterior, puede tomar la media geométrica del límite superior y del inferior, es decir, los multiplica y luego saca la raíz cuadrada. Para el ejemplo de la masa del alce, esto sería ( 10 2 × 10 3 ) 0,5 = 10 2,5 = 10 0,5 × 10 2 ≈ 3 × 10 2 kg . Cuanto más estrechos sean los límites, mejor. Además, no hay reglas inquebrantables cuando se trata de la estimación. Si cree que el valor de la cantidad puede estar más cerca del límite superior que del inferior, puede aumentar su estimación de la media geométrica en un orden o dos de magnitud. Una cifra significativa está bien. No es necesario ir más allá de una cifra significativa (significant figure, sig. fig.) cuando se hacen cálculos para obtener una estimación. En la mayoría de los casos, el orden de magnitud es suficiente. La meta es solo obtener una cifra aproximada, así que mantenga la aritmética lo más sencilla posible. Pregúntese: ¿tiene esto algún sentido? Por último, compruebe si su respuesta es razonable. ¿Cómo se compara con los valores de otras cantidades con las mismas dimensiones que ya conoce o que puede buscar fácilmente? Si obtiene alguna respuesta descabellada (por ejemplo, si estima que la masa del océano Atlántico es mayor que la masa de la Tierra, o que algún lapso es mayor que la edad del universo), compruebe primero si sus unidades son correctas. A continuación, compruebe si hay errores aritméticos. Luego, replantee la lógica que ha utilizado para llegar a su respuesta. Si todo está bien, es posible que acabe por demostrar que alguna nueva idea ingeniosa es realmente falsa. Masa de los océanos de la Tierra Estime la masa total de los océanos de la Tierra. Estrategia Sabemos que la densidad del agua es de unos 10 3 kg/m 3 , así que partimos del consejo de "obtener masas a partir de densidades y volúmenes". Por lo tanto, necesitamos estimar el volumen de los océanos del planeta. Siguiendo el consejo de "obtener áreas y volúmenes a partir de las longitudes", podemos estimar el volumen de los océanos como área de superficie por profundidad media, o V = AD . Conocemos el diámetro de la Tierra por la y sabemos que la mayor parte de la superficie terrestre está cubierta de agua, por lo que podemos estimar que la superficie de los océanos es aproximadamente igual a la superficie del planeta. Siguiendo el consejo de "obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes" de nuevo, podemos aproximar la Tierra como una esfera y utilizar la fórmula del área de superficie de una esfera de diámetro d, es decir, A = π d 2 , para estimar el área de superficie de los océanos. Ahora solo tenemos que calcular la profundidad media de los océanos. Para ello, utilizamos el consejo: "Si todo lo demás falla, limítelo". Resulta que sabemos que los puntos más profundos del océano están en torno a los 10 km y que no es raro que el océano tenga más de 1 km de profundidad, así que tomamos la profundidad media alrededor de ( 10 3 × 10 4 ) 0,5 ≈ 3 × 10 3 m. Ahora solo hay que unirlo todo, atendiendo al consejo de que "una ‘cifra significativa’ está bien". Solución Estimamos que la superficie de la Tierra (y por lo tanto la superficie de los océanos de la Tierra) es aproximadamente A = π d 2 = π ( 10 7 m ) 2 ≈ 3 × 10 14 m 2 . A continuación, con nuestra estimación de profundidad media de D = 3 × 10 3 m, que se obtuvo por limitación, estimamos que el volumen de los océanos de la Tierra es V = A D = ( 3 × 10 14 m 2 ) ( 3 × 10 3 m ) = 9 × 10 17 m 3 . Por último, estimamos que la masa de los océanos del mundo es M = ρ V = ( 10 3 kg/m 3 ) ( 9 × 10 17 m 3 ) = 9 × 10 20 kg . Así, estimamos que el orden de magnitud de la masa de los océanos del planeta es de 10 21 kg. Importancia Para verificar nuestra respuesta de la mejor manera posible, primero tenemos que responder la pregunta: ¿tiene esto algún sentido? En la , vemos que la masa de la atmósfera terrestre es del orden de 10 19 kg y la masa de la Tierra es del orden de 10 25 kg. Resulta tranquilizador que nuestra estimación de 10 21 kg para la masa de los océanos de la Tierra se sitúe entre estos dos valores. Así que, sí, parece tener sentido. Resulta que hicimos una búsqueda en la web de "masa de los océanos" y los primeros resultados decían todos 1,4 × 10 21 kg, que es el mismo orden de magnitud que nuestra estimación. Ahora, en lugar de tener que confiar ciegamente en quién publicó por primera vez esa cifra en un sitio web (al fin y al cabo, la mayoría de los demás sitios probablemente se limitaron a copiarla), podemos tener un poco más de confianza en dicha cifra. La dice que la masa de la atmósfera es de 10 19 kg. Suponiendo que la densidad de la atmósfera es de 1 kg/m 3 , estime la altura de la atmósfera terrestre. ¿Cree que su respuesta es una subestimación o una sobreestimación? Explique por qué. 3 × 10 4 m o 30 km. Probablemente sea una subestimación porque la densidad de la atmósfera disminuye con la altitud. (De hecho, 30 km ni siquiera nos sacan de la estratosfera). ¿Cuántos afinadores de piano hay en Nueva York? ¿Cuántas hojas tiene ese árbol? Si está estudiando la fotosíntesis o está pensando en escribir una aplicación para teléfonos inteligentes destinada a los afinadores de pianos, las respuestas a estas preguntas pueden ser de gran interés para usted. Si no, probablemente no le importen las respuestas. Sin embargo, estos son exactamente los tipos de problemas de estimación que la gente de varias industrias tecnológicas ha estado pidiendo a los empleados potenciales para evaluar sus habilidades de razonamiento cuantitativo. Si la construcción de la intuición física y la evaluación de las afirmaciones cuantitativas no parecen razones suficientes para que practique los problemas de estimación, ¿qué le parece el hecho de que ser bueno en ellos podría conseguirle un trabajo bien remunerado? Para practicar la estimación de longitudes, áreas y volúmenes relativos, consulte esta simulación de PhET , titulada "Estimación". Resumen Una estimación es una conjetura aproximada del valor de una cantidad física basada en la experiencia previa y en un razonamiento físico sólido. Algunas estrategias que pueden ayudar a la hora de hacer una estimación son las siguientes: Obtener grandes longitudes a partir de longitudes más pequeñas. Obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes. Obtener masas a partir de volúmenes y densidades. Si todo lo demás falla, limítelo. Una “cifra significativa" está bien. Pregúntese: ¿tiene esto algún sentido? Problemas Suponiendo que el cuerpo humano está formado principalmente por agua, estime el volumen de una persona. Suponiendo que el cuerpo humano está formado principalmente por agua, estime el número de moléculas que contiene. (Tenga en cuenta que el agua tiene una masa molecular de 18 g/mol y que hay aproximadamente 10 24 átomos en un mol). 10 28 átomos Estime la masa del aire en un aula. Estime el número de moléculas que componen la Tierra, suponiendo una masa molecular media de 30 g/mol. (Tenga en cuenta que están en el orden de 10 24 objetos por mol). 10 51 moléculas Estime el área de superficie de una persona. Aproximadamente, ¿cuántos sistemas solares harían falta para embaldosar el disco de la Vía Láctea? 10 16 sistemas solares (a) Estime la densidad de la Luna. (b) Estime el diámetro de la Luna. (c) Dado que la Luna subtiende en un ángulo de aproximadamente medio grado en el cielo, estime su distancia a la Tierra. La densidad media del Sol es del orden de 10 3 kg/m 3 . (a) Estime el diámetro del Sol. (b) Dado que el Sol subtiende en un ángulo de aproximadamente medio grado en el cielo, estime su distancia a la Tierra. a. Volumen = 10 27 m 3 , el diámetro es de 10 9 m.; b. 10 11 m Estime la masa de un virus. Una operación en coma flotante es una única operación aritmética como la suma, la resta, la multiplicación o la división. (a) Estime el número máximo de operaciones en coma flotante que un ser humano podría realizar en toda su vida. (b) ¿Cuánto tiempo tardaría una supercomputadora en realizar esa cantidad de operaciones en coma flotante? a. Una estimación razonable podría ser una operación por segundo para un total de 10 9 en toda la vida; b. unos (10 9 )(10 -17 s) = 10 -8 s, o unos 10 nanosegundos (ns) estimación utilizar la experiencia previa y el razonamiento físico sólido para llegar a una idea aproximada del valor de una cantidad; a veces se denomina "aproximación del orden de magnitud", "estimación a partir de conjetura", "cálculo de servilleta" o "cálculo de Fermi"

Ciencia


Cifras significativas La muestra dos instrumentos utilizados para medir la masa de un objeto. La báscula digital ha sustituido en su mayor parte a la báscula de doble plato en los laboratorios de física, ya que proporciona mediciones más exactas y precisas. Pero, ¿qué entendemos exactamente por exacto y preciso ? ¿No son lo mismo? En esta sección examinamos en detalle el proceso de realización y notificación de una medición. (a) Se utiliza una balanza mecánica de doble plato para comparar diferentes masas. Normalmente se coloca un objeto de masa desconocida en un plato y objetos de masa conocida en el otro plato. Cuando la barra que une los dos platos es horizontal, entonces las masas en ambos platos son iguales. Las "masas conocidas" suelen ser cilindros metálicos de masa estándar, como 1 g, 10 g y 100 g. (b) Muchas básculas mecánicas, como las de doble plato, han sido sustituidas por balanzas digitales, que miden la masa de un objeto con mayor precisión. La báscula mecánica puede leer solamente la masa de un objeto hasta la décima de gramo más cercana. Sin embargo, muchas básculas digitales pueden medir la masa de un objeto hasta la milésima de gramo más cercana (créditos: a. modificación del trabajo de Serge Melki; b. modificación del trabajo de Karel Jakubec). Exactitud y precisión de una medida La ciencia se basa en la observación y la experimentación, es decir, en las mediciones. La exactitud es la proximidad de una medición al valor de referencia aceptado para esa medición. Por ejemplo, digamos que queremos medir la longitud de un papel de impresora estándar. El embalaje en el que compramos el papel indica que tiene una longitud de 11,0 in. A continuación, medimos la longitud del papel tres veces y obtenemos las siguientes medidas: 11,1 in, 11,2 in y 10,9 in. Estas mediciones son bastante exactas porque se acercan mucho al valor de referencia de 11,0 in. Por el contrario, si hubiéramos obtenido una medida de 12 in, nuestra medición no sería muy exacta. Observe que el concepto de exactitud requiere que se dé un valor de referencia aceptado. La precisión de las mediciones se refiere a la concordancia entre mediciones repetidas e independientes (que se repiten en las mismas condiciones). Consideremos el ejemplo de las medidas del papel. La precisión de las mediciones se refiere a la dispersión de los valores medidos. Una forma de analizar la precisión de las mediciones es determinar el rango, o la diferencia, entre los valores medidos más bajos y los más altos. En este caso, el valor más bajo fue de 10,9 in y el más alto de 11,2 in. Así, los valores medidos se desviaron entre sí, como máximo, en 0,3 in. Estas mediciones eran relativamente precisas porque no variaban demasiado en valor. Sin embargo, si los valores medidos hubieran sido 10,9 in, 11,1 in y 11,9 in, las mediciones no serían muy precisas porque habría una variación significativa de una medición a otra. Observe que el concepto de precisión depende únicamente de las mediciones reales adquiridas y no depende de un valor de referencia aceptado. Las mediciones del ejemplo del papel son exactas y precisas, pero en algunos casos, las mediciones son exactas, pero no precisas, o son precisas, pero no exactas. Consideremos un ejemplo de un GPS que intenta localizar la posición de un restaurante en una ciudad. Piense en la ubicación del restaurante como si existiera en el centro de una diana y piense en cada intento del GPS por localizar el restaurante como un punto negro. En la (a), vemos que las mediciones del GPS están muy separadas entre sí, pero todas están relativamente cerca de la ubicación real del restaurante en el centro del objetivo. Esto indica un sistema de medición de baja precisión y alta exactitud. Sin embargo, en la (b), las mediciones del GPS se concentran bastante cerca unas de otras, pero están lejos de la ubicación del objetivo. Esto indica un sistema de medición de alta precisión y baja exactitud. Un GPS intenta localizar un restaurante en el centro de la diana. Los puntos negros representan cada uno de los intentos por localizar el restaurante. (a) Los puntos están bastante separados entre sí, lo que indica una baja precisión, pero están bastante cerca de la ubicación real del restaurante, lo que indica una alta exactitud. (b) Los puntos están concentrados bastante cerca entre sí, lo que indica una alta precisión, pero están bastante lejos de la ubicación real del restaurante, lo que indica una baja exactitud (créditos a y b: modificación de obras de "DarkEvil"/Wikimedia Commons). Exactitud, precisión, incertidumbre y discrepancia La precisión de un sistema de medición se relaciona con la incertidumbre en las mediciones, mientras que la exactitud se relaciona con la discrepancia con respecto al valor de referencia aceptado. La incertidumbre es una medida cuantitativa de la desviación de los valores medidos. Hay muchos métodos diferentes para calcular la incertidumbre, cada uno de los cuales es apropiado para diferentes situaciones. Algunos ejemplos son tomar el rango (es decir, el mayor menos el menor) o encontrar la desviación estándar de las medidas. La discrepancia (o "error de medición") es la diferencia entre el valor medido y un determinado valor estándar o previsto. Si las mediciones no son muy precisas, la incertidumbre de los valores es alta. Si las mediciones no son muy exactas, la discrepancia de los valores es alta. Recordemos nuestro ejemplo de la medición de la longitud del papel; obtuvimos mediciones de 11,1, 11,2 y 10,9 pulgadas, y el valor aceptado fue de 11,0 pulgadas. Podríamos promediar las tres mediciones para concluir que nuestro mejor cálculo es de 11,1 pulgadas; en este caso, nuestra discrepancia es de 11,1 - 11,0 = 0,1 pulgadas, lo que proporciona una medida cuantitativa de la exactitud. Podríamos calcular la incertidumbre de nuestra mejor estimación con la mitad del rango de nuestros valores medidos: 0,15 pulgadas. Entonces diríamos que la longitud del papel es de 11,1 pulgadas más o menos 0,15 pulgadas. La incertidumbre en una medición, A , que se indica como δA (leer como "delta A "), por lo que el resultado de la medición se registraría como A ± δA . Volviendo a nuestro ejemplo del papel, la longitud medida del papel podría expresarse como 11,1 ± 0,15 pulgadas. Dado que la discrepancia de 0,1 pulgadas es menor que la incertidumbre de 0,15 pulgadas, podríamos decir que el valor medido coincide con el valor de referencia aceptado dentro de la incertidumbre experimental. Algunos factores que contribuyen a la incertidumbre en una medición son los siguientes: Limitaciones del dispositivo de medición. La habilidad de la persona que realiza la medición. Irregularidades en el objeto que se mide. Cualquier otro factor que afecte el resultado (depende mucho de la situación). En nuestro ejemplo, los factores que contribuyen a la incertidumbre podrían ser que la división más pequeña de la regla sea de 1/16 pulgadas, que la persona que utiliza la regla tenga problemas de visión, que la regla esté desgastada en un extremo o que un lado del papel sea ligeramente más largo que el otro. En cualquier caso, deberá calcularse la incertidumbre de una medición para cuantificar su precisión. Si se conoce un valor de referencia, tiene sentido calcular también la discrepancia para cuantificar su exactitud. Porcentaje de incertidumbre Otro método de expresar la incertidumbre es como porcentaje del valor medido. Si una medición A se expresa con una incertidumbre δA , el porcentaje de incertidumbre se define como Porcentaje de incertidumbre = δ A A × 100 % . Calcular el porcentaje de incertidumbre: una bolsa de manzanas Una tienda de comestibles vende bolsas de 5 lb de manzanas. Supongamos que compramos cuatro bolsas durante el transcurso de un mes y las pesamos cada vez. Obtenemos las siguientes medidas: Peso de la semana 1: 4,8 lb Peso de la semana 2: 5,3 lb Peso de la semana 3: 4,9 lb Peso de la semana 4: 5,4 lb A continuación, determinamos que el peso medio de la bolsa de 5 libras de manzanas es de 5,1 ± 0,3 lb al utilizar la mitad del rango. ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre del peso de la bolsa? Estrategia En primer lugar, observe que el valor promedio del peso de la bolsa, A , es de 5,1 lb. La incertidumbre en este valor, δ A , es 0,3 lb. Podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el porcentaje de incertidumbre del peso: Porcentaje de incertidumbre = δ A A × 100 % . Solución Sustituya los valores en la ecuación: Porcentaje de incertidumbre = δ A A × 100 % = 0,3 lb 5,1 lb × 100 % = 5,9 % ≈ 6 % . Importancia Podemos concluir que el peso promedio de una bolsa de manzanas de esta tienda es de 5,1 libras ± 6 %. Observe que el porcentaje de incertidumbre es adimensional porque las unidades de peso en δ A = 0,2 lb anularon las de A = 5,1 lb cuando tomamos la proporción. Un entrenador de atletismo de preparatoria acaba de comprar un nuevo cronómetro. El manual del cronómetro indica que tiene una incertidumbre de ±0,05 s. Los corredores del equipo del entrenador de atletismo realizan regularmente carreras de 100 metros en 11,49 s a 15,01 s. En el último encuentro de atletismo de la escuela, el primer clasificado llegó a 12,04 s y el segundo a 12,07 s. ¿Acaso servirá el nuevo cronómetro del entrenador para cronometrar al equipo de corredores? ¿Por qué sí por qué no? No, el nuevo cronómetro del entrenador no servirá. La incertidumbre del cronómetro es demasiado grande para diferenciar los tiempos de las carreras de forma eficaz. Incertidumbre en los cálculos La incertidumbre existe en cualquier cosa calculada a partir de cantidades medidas. Por ejemplo, el área de un suelo calculada a partir de las mediciones de su longitud y anchura tiene una incertidumbre porque la longitud y la anchura tienen incertidumbres. ¿Cuán grande es la incertidumbre en algo que se calcula por multiplicación o división? Si las mediciones que entran en el cálculo tienen poca incertidumbre (unos cuantos porcentajes o menos), se puede utilizar el método de suma de porcentajes para la multiplicación o la división. Este método establece que el porcentaje de incertidumbre de una cantidad calculada por multiplicación o división es la suma de las incertidumbres porcentuales de los elementos utilizados para realizar el cálculo . Por ejemplo, si un suelo tiene una longitud de 4,00 m y una anchura de 3,00 m, con incertidumbre del 2 % y el 1 %, respectivamente, entonces el área del suelo es de 12,0 m 2 y tiene una incertidumbre del 3 %. (Expresado en forma de área es de 0,36 m 2 [ 12,0 m 2 × 0,03 ], que redondeamos a 0,4 m 2 ya que el área del suelo viene dada a una décima de metro cuadrado). Precisión de las herramientas de medición y cifras significativas Un factor importante en la precisión de las mediciones es la precisión de la herramienta de medición. En general, una herramienta de medición precisa es aquella que mide valores en incrementos muy pequeños. Por ejemplo, una regla estándar mide la longitud con una precisión de un milímetro, mientras que un calibre mide la longitud con una precisión de 0,01 mm. El calibre es una herramienta de medición más precisa porque mide diferencias de longitud extremadamente pequeñas. Cuanto más precisa sea la herramienta de medición, más precisas serán las medidas. Cuando expresamos valores medidos, solo podemos enumerar tantos dígitos como hayamos medido inicialmente con nuestra herramienta de medición. Por ejemplo, si utilizamos una regla estándar para medir la longitud de un palo, podemos medirla como 36,7 cm. No podemos expresar este valor como 36,71 cm porque nuestra herramienta de medición no es lo suficientemente precisa para medir una centésima de centímetro. Hay que tener en cuenta que el último dígito de un valor medido ha sido estimado de alguna manera por la persona que realiza la medición. Por ejemplo, la persona que mide la longitud de un palo con una regla se da cuenta de que la longitud del palo parece estar entre 36,6 cm y 36,7 cm, y debe estimar el valor del último dígito. Utilizando el método de las cifras significativas , por regla, el último dígito anotado en una medición es el primer dígito con cierta incertidumbre . Para determinar el número de dígitos significativos de un valor, comience con el primer valor medido a la izquierda y cuente el número de dígitos hasta el último dígito escrito a la derecha. Por ejemplo, el valor medido 36,7 cm tiene tres dígitos, o tres cifras significativas. Las cifras significativas indican la precisión de la herramienta de medición utilizada para medir un valor. Ceros En el recuento de cifras significativas se tienen en cuenta especialmente los ceros. Los ceros de 0,053 no son significativos, porque son marcadores de posición que localizan el punto decimal. Hay dos cifras significativas en 0,053. Los ceros de 10,053 no son marcadores de posición; son significativos. Este número tiene cinco cifras significativas. Los ceros de 1300 pueden ser significativos o no, dependiendo del estilo de escritura de los números. Pueden significar que se conoce el número hasta el último dígito o pueden ser marcadores de posición. Así que 1300 puede tener dos, tres o cuatro cifras significativas. Para evitar esta ambigüedad, debemos escribir 1300 en notación científica como 1,3 × 10 3 , 1,30 × 10 3 , o 1,300 × 10 3 , dependiendo de si tiene dos, tres o cuatro cifras significativas. Los ceros son significativos, excepto cuando sirven solo como marcadores de posición . Cifras significativas en los cálculos Cuando se combinan mediciones con diferentes grados de precisión, el número de dígitos significativos en la respuesta final no puede ser mayor que el número de dígitos significativos en el valor medido menos preciso . Hay dos reglas diferentes, una para la multiplicación y la división y otra para la suma y la resta. Para la multiplicación y la división, el resultado debería tener el mismo número de cifras significativas que la cantidad con el menor número de cifras significativas que entra en el cálculo . Por ejemplo, el área de un círculo puede calcularse a partir de su radio mediante A = πr 2 . Veamos cuántas cifras significativas tiene el área si el radio tiene solo dos, es decir, r = 1,2 m. Utilizando una calculadora con una salida de ocho dígitos, calcularíamos A = π r 2 = ( 3,1415927 … ) × ( 1,2 m ) 2 = 4,5238934 m 2 . No obstante, dado que el radio tiene solamente dos cifras significativas, limita la cantidad calculada a dos cifras significativas, o sea A = 4,5 m 2 , aunque π es apropiado hasta al menos ocho dígitos. En las sumas y restas, la respuesta no puede contener más decimales que la medida menos precisa. Supongamos que compramos 7,56 kg de papas en una tienda de comestibles, pesados con una báscula con precisión de 0,01 kg, y luego dejamos 6,052 kg de papas en su laboratorio, pesados con una báscula con precisión de 0,001 kg. Luego, vamos a casa y añadimos 13,7 kg de papas, pesados con una báscula de baño con precisión de 0,1 kg. ¿Cuántos kilogramos de papas tenemos ahora y cuántas cifras significativas corresponden a la respuesta? La masa se encuentra por simple suma y resta: 7,56 kg − 6,052 kg + 13,7 kg 15,208 kg = 15,2 kg . A continuación, identificamos la medida menos precisa: 13,7 kg. Esta medida se expresa con 0,1 decimales, por lo que nuestra respuesta final también debe expresarse con 0,1 decimales. Por lo tanto, la respuesta se redondea a la décima, lo que nos da 15,2 kg. Cifras significativas en este texto En este texto, se supone que la mayoría de los números tienen tres cifras significativas. Además, en todos los ejemplos trabajados se utilizan números de cifras significativas coherentes. Una respuesta dada a tres dígitos se basa en una entrada apropiada de al menos tres dígitos, por ejemplo. Si la entrada tiene menos cifras significativas, la respuesta también tendrá menos cifras significativas. También se procura que el número de cifras significativas sea razonable para la situación planteada. En algunos temas, sobre todo en óptica, se necesitan números más precisos y utilizamos más de tres cifras significativas. Por último, si un número es exacto , como el dos de la fórmula de la circunferencia de un círculo, C = 2π r , no afecta el número de cifras significativas de un cálculo. Asimismo, los factores de conversión como 100 cm/1 m se consideran exactos y no afectan el número de cifras significativas de un cálculo. Resumen La exactitud de un valor medido se refiere a la proximidad de una medición a un valor de referencia aceptado. La discrepancia en una medición es la cantidad en la que el resultado de la medición difiere de este valor. La precisión de los valores medidos se refiere a la concordancia entre las mediciones repetidas. La incertidumbre de una medición es una cuantificación de esto. La precisión de una herramienta de medición se relaciona con el tamaño de sus incrementos de medición. Cuanto más pequeño sea el incremento de medición, más precisa será la herramienta. Las cifras significativas expresan la precisión de una herramienta de medición. Al multiplicar o dividir valores medidos, la respuesta final puede contener únicamente tantas cifras significativas como el valor con el menor número de cifras significativas. Al sumar o restar valores medidos, la respuesta final no puede contener más decimales que el valor menos preciso. Ecuaciones clave Porcentaje de incertidumbre Porcentaje de incertidumbre = δ A A × 100 % Preguntas conceptuales (a) ¿Cuál es la relación entre la precisión y la incertidumbre de una medición? (b) ¿Cuál es la relación entre la exactitud y la discrepancia de una medición? a. La incertidumbre es una medida cuantitativa de la precisión. b. La discrepancia es una medida cuantitativa de la exactitud. Problemas Considere la ecuación 4000/400 = 10,0. Suponiendo que el número de cifras significativas de la respuesta es correcto, ¿qué puede decir sobre el número de cifras significativas de 4000 y 400? Supongamos que la báscula de baño indica que su masa es de 65 kg con una incertidumbre del 3 %. ¿Cuál es la incertidumbre de su masa (en kilogramos)? 2 kg Una cinta métrica de buena calidad puede tener un error de 0,50 cm en una distancia de 20 m. ¿Cuál es su porcentaje de incertidumbre? La frecuencia del pulso de un bebé se mide en 130 ± 5 latidos/min. ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre en esta medición? 4 % (a) Supongamos que una persona tiene una frecuencia cardíaca media de 72,0 latidos/min. ¿Cuántos latidos tiene en 2,0 años? (b) ¿En 2,00 años? (c) ¿En 2.000 años? Una lata contiene 375 mL de refresco. ¿Cuánto queda después de extraer 308 mL? 67 mL Indique cuántas cifras significativas son adecuadas en los resultados de los siguientes cálculos: (a) ( 106,7 ) ( 98,2 ) / ( 46,210 ) ( 1,01 ) ; (b) ( 18,7 ) 2 ; (c) ( 1,60 × 10 −19 ) ( 3.712 ) (a) ¿Cuántas cifras significativas tienen los números 99 y 100.? (b) Si la incertidumbre de cada número es 1, ¿cuál es el porcentaje de incertidumbre de cada uno? (c) ¿Cuál es una forma más significativa de expresar la exactitud de estos dos números: las cifras significativas o los porcentajes de incertidumbre? a. El número 99 tiene 2 cifras significativas; el 100. tiene 3 cifras significativas. b. 1,00 %; c. porcentajes de incertidumbre (a) Si su velocímetro tiene una incertidumbre de 2,0 km/h a una rapidez de 90 km/h, ¿cuál es el porcentaje de incertidumbre? (b) Si tiene el mismo porcentaje de incertidumbre cuando marca 60 km/h, ¿cuál es el rango de los valores de rapidez al que podría ir? (a) La presión arterial de una persona se mide como 120 ± 2 mm Hg . ¿Cuál es su porcentaje de incertidumbre? (b) Suponiendo el mismo porcentaje de incertidumbre, ¿cuál es la incertidumbre en una medición de la presión arterial de 80 mm Hg? a. 2 %; b. 1 mm Hg Una persona mide su frecuencia cardíaca contando el número de latidos en 30 s. Si se cuentan 40 ± 1 latidos en 30,0 ± 0,5 s, ¿cuál es la frecuencia cardíaca y su incertidumbre en latidos por minuto? ¿Cuál es el área de un círculo de 3,102 cm de diámetro? 7,557 cm 2 Determine el número de cifras significativas de las siguientes medidas: (a) 0,0009, (b) 15.450,0, (c) 6×10 3 , (d) 87,990 y (e) 30,42. Realice los siguientes cálculos y exprese su respuesta con el número correcto de dígitos significativos. (a) Una mujer tiene dos bolsas que pesan 13,5 lb y una bolsa con un peso de 10,2 lb. ¿Cuál es el peso total de las bolsas? (b) La fuerza F sobre un objeto es igual a su masa m multiplicada por su aceleración a . Si un vagón de mercancía con una masa de 55 kg acelera a una tasa de 0,0255 m/s 2 , ¿cuál es la fuerza sobre el vagón? (La unidad de fuerza se llama newton y se expresa con el símbolo N). a. 37,2 lb; como el número de bolsas es un valor exacto, no se considera en las cifras significativas; b. 1,4 N; como el valor 55 kg solo tiene dos cifras significativas, el valor final también debe contener dos cifras significativas exactitud el grado de concordancia de un valor medido con un valor de referencia aceptado para esa medición discrepancia la diferencia entre el valor medido y un determinado valor estándar o esperado método de suma de porcentajes el porcentaje de incertidumbre de una cantidad calculada por multiplicación o división es la suma de los porcentajes de incertidumbre de los elementos utilizados para realizar el cálculo porcentaje de incertidumbre la proporción entre la incertidumbre de una medición y el valor medido, expresada en porcentaje precisión el grado de concordancia de las mediciones repetidas cifras significativas se utilizan para expresar la precisión de una herramienta de medición utilizada para medir un valor incertidumbre medida cuantitativa de la desviación de los valores medidos

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Resolver problemas de física Las habilidades de resolución de problemas son esenciales para su éxito en física (créditos: "scui3asteveo"/Flickr). Las habilidades de resolución de problemas son claramente esenciales para el éxito en un curso cuantitativo de física. Lo que es más importante, la capacidad de aplicar amplios principios físicos, normalmente representados por ecuaciones, a situaciones concretas es una forma muy poderosa de conocimiento. Es mucho más potente que memorizar una lista de hechos. La capacidad de análisis y de resolución de problemas puede aplicarse a nuevas situaciones, mientras que una lista de hechos no puede ser lo suficientemente larga como para contener todas las circunstancias posibles. Esta capacidad de análisis es útil tanto para resolver los problemas de este texto como para aplicar la física en la vida cotidiana. Como probablemente sepa, se necesita cierta dosis de creatividad y perspicacia para resolver los problemas. Ningún procedimiento rígido funciona siempre. La creatividad y la perspicacia crecen con la experiencia. Con la práctica, los fundamentos de la resolución de problemas se vuelven casi automáticos. Una forma de practicar es resolver los ejemplos del texto mientras se lee. Otra es trabajar tantos problemas de final de sección como sea posible, empezando por los más fáciles para ganar confianza y luego progresando hacia los más difíciles. Después de involucrarse en la física, la verá a su alrededor, y podrá empezar a aplicarla a situaciones que encuentre fuera del aula, tal y como se hace en muchas de las aplicaciones de este texto. Aunque no existe un método sencillo paso a paso que funcione para todos los problemas, el siguiente proceso de tres etapas facilita la resolución de problemas y le da más sentido. Las tres etapas son estrategia, solución e importancia. Este proceso se utiliza en ejemplos a lo largo del libro. A continuación, examinaremos cada una de las etapas del proceso. Estrategia La estrategia es la etapa inicial de la resolución de un problema. La idea es averiguar exactamente cuál es el problema y luego desarrollar una estrategia para resolverlo. Algunos consejos generales para esta etapa son los siguientes: Examine la situación para determinar qué principios físicos están implicados . A menudo ayuda dibujar un simple esquema al principio. Generalmente, hay que decidir qué dirección es positiva y anotarla en el esquema. Cuando se han identificado los principios físicos, es mucho más fácil encontrar y aplicar las ecuaciones que los representan. Aunque encontrar la ecuación correcta es esencial, hay que tener en cuenta que las ecuaciones representan principios físicos, leyes de la naturaleza y relaciones entre cantidades físicas. Sin una comprensión conceptual de un problema, una solución numérica no tiene sentido. Haga una lista de lo que se da o puede deducirse del problema tal y como está planteado (identifique los "valores conocidos") . Muchos problemas se plantean de forma muy sucinta y requieren cierta inspección para determinar lo que se conoce. Dibujar un esquema también sirve en este punto. Identificar formalmente los valores conocidos es de especial importancia en la aplicación de la física a situaciones del mundo real. Por ejemplo, la palabra detenido significa que la velocidad es cero en ese instante. Además, a menudo podemos tomar el tiempo y la posición iniciales como cero mediante la elección adecuada del sistema de coordenadas. Identificar exactamente lo que hay que determinar en el problema (identificar las incógnitas) . Especialmente en los problemas complejos, no siempre es obvio lo que hay que encontrar o en qué secuencia. Hacer una lista sirve para identificar las incógnitas. Determine qué principios físicos le sirven para resolver el problema . Dado que los principios físicos tienden a expresarse en forma de ecuaciones matemáticas, una lista de valores conocidos e incógnitas serviría en este caso. Lo más fácil es encontrar ecuaciones que contengan solo una incógnita, es decir, que se conozcan todas las demás variables, para poder resolver la incógnita fácilmente. Si la ecuación contiene más de una incógnita, se necesitan más ecuaciones para resolver el problema. En algunos problemas, hay que determinar varias incógnitas para llegar a la más necesaria. En este tipo de problemas es especialmente importante tener en cuenta los principios físicos para no extraviarse en un mar de ecuaciones. Es posible que tenga que utilizar dos (o más) ecuaciones diferentes para obtener la respuesta final. Solución La etapa de la solución es cuando se hacen los cálculos. Sustituya los valores conocidos (junto con sus unidades) en la ecuación correspondiente y obtenga soluciones numéricas completas con unidades . Es decir, efectuar el álgebra, el cálculo, la geometría o la aritmética necesarios para encontrar la incógnita a partir de los valores conocidos, y llevar las unidades a través de los cálculos. Este paso es claramente importante porque produce la respuesta numérica, junto con sus unidades. Sin embargo, hay que tener en cuenta que esta etapa es solo un tercio del proceso general de resolución de problemas. Importancia Después de haber hecho los cálculos en la fase de resolución del problema, es tentador pensar que ya ha terminado. Pero recuerde siempre que la física no es matemática. Mejor dicho, con la física utilizamos las matemáticas para entender la naturaleza. Por lo tanto, después de obtener una respuesta numérica, siempre hay que evaluar su significado: Compruebe sus unidades. Si las unidades de la respuesta son incorrectas, entonces se ha cometido un error y debe volver a los pasos anteriores para encontrarlo. Una forma de encontrar el error es comprobar la coherencia dimensional de todas las ecuaciones que ha derivado. Sin embargo, se advierte que las unidades correctas no garantizan que la parte numérica de la respuesta sea también correcta. Compruebe si la respuesta es razonable. ¿Tiene sentido? Este paso es extremadamente importante: la meta de la física es describir la naturaleza con precisión. Para determinar si la respuesta es razonable, compruebe tanto su magnitud como su signo, además de sus unidades. La magnitud debería ser coherente con una estimación aproximada de lo que debería ser. También debería compararse razonablemente con las magnitudes de otras cantidades del mismo tipo. El signo indica la dirección y debería ser coherente con sus expectativas. Su discernimiento mejorará a medida que resuelva más problemas de física, y le será posible discernir mejor sobre si la respuesta a un problema describe adecuadamente la naturaleza. Este paso devuelve el problema a su significado conceptual. Si es capaz de discernir si la respuesta es razonable, tiene un conocimiento más profundo de la física que el de ser capaz de resolver un problema de forma mecánica. Compruebe si la respuesta le dice algo interesante. ¿Qué significa? Esta es la otra cara de la pregunta: ¿Tiene sentido? En última instancia, la física consiste en comprender la naturaleza, y resolvemos problemas de física para aprender algo sobre el funcionamiento de la naturaleza. Por lo tanto, suponiendo que la respuesta tenga sentido, siempre debe tomarse un momento para ver si le dice algo sobre el mundo que le resulte interesante. Aunque la respuesta a este problema en particular no le interese mucho, ¿qué hay del método que utilizó para resolverlo? ¿Podría adaptarse el método para responder a una pregunta que sí le parezca interesante? En muchos sentidos, en la respuesta a preguntas como estas es donde la ciencia progresa. Resumen Las tres etapas del proceso de resolución de problemas de física que se utilizan en este libro son las siguientes: Estrategia : determine qué principios físicos están implicados y desarrolle una estrategia para utilizarlos para resolver el problema. Solución : haga los cálculos necesarios para obtener una solución numérica completa con unidades. Importancia : compruebe que la solución tiene sentido (unidades correctas, magnitud y signo razonables) y evalúe su importancia. Preguntas conceptuales ¿Qué información necesita para elegir qué ecuación o ecuaciones utilizar para resolver un problema? ¿Qué hay que hacer después de obtener una respuesta numérica al resolver un problema? Compruebe que tenga sentido y evalúe su significado. Problemas adicionales Consideremos la ecuación y = mt +b , donde la dimensión de y es la longitud y la dimensión de t es el tiempo, y m y b son constantes. ¿Cuáles son las dimensiones y unidades del SI de (a) m y (b) b ? Considere la ecuación s = s 0 + v 0 t + a 0 t 2 / 2 + j 0 t 3 / 6 + S 0 t 4 / 24 + c t 5 / 120 , donde s es longitud y t es tiempo. ¿Cuáles son las dimensiones y las unidades del SI de (a) s 0 , (b) v 0 , (c) a 0 , (d) j 0 , (e) S 0 , y (f) c ? a. [ s 0 ] = L y las unidades son metros (m); b. [ v 0 ] = LT −1 y las unidades son metros por segundo (m/s); c. [ a 0 ] = LT −2 y las unidades son metros por segundo al cuadrado (m/s 2 ); d. [ j 0 ] = LT −3 y las unidades son metros por segundo al cubo (m/s 3 ); e. [ S 0 ] = LT −4 y las unidades son m/s 4 ; f. [ c ] = LT −5 y las unidades son m/s 5 . (a) El velocímetro de un auto tiene una incertidumbre del 5 %. ¿Cuál es el rango de rapidez posible cuando marca 90 km/h? (b) Convierta este rango a millas por hora. Tenga en cuenta que 1 km = 0,6214 mi. Un corredor de maratón completa un recorrido de 42,188 km en 2 h, 30 min y 12 s. Hay una incertidumbre de 25 m en la distancia recorrida y una incertidumbre de 1 s en el tiempo transcurrido. (a) Calcule el porcentaje de incertidumbre en la distancia. (b) Calcule el porcentaje de incertidumbre en el tiempo transcurrido. (c) ¿Cuál es la rapidez media en metros por segundo? (d) ¿Cuál es la incertidumbre en la rapidez media? a. 0,059 %; b. 0,01 %; c. 4,681 m/s; d. 0,07 %, 0,003 m/s Los lados de una pequeña caja rectangular se miden como 1,80 ± 0,1 cm, 2,05 ± 0,02 cm y 3,1 ± 0,1 cm de longitud. Calcule su volumen e incertidumbre en centímetros cúbicos. Cuando no se usaba el sistema métrico decimal en el Reino Unido, se utilizaba una unidad de masa llamada libra-masa (lbm), donde 1 lbm = 0,4539 kg. (a) Si hay una incertidumbre de 0,0001 kg en la unidad libra-masa, ¿cuál es su porcentaje de incertidumbre? (b) Con base en esa incertidumbre porcentual, ¿qué masa en libra-masa tiene una incertidumbre de 1 kg cuando se convierte a kilogramos? a. 0,02 %; b. 1×10 4 lbm La longitud y la anchura de una habitación rectangular se miden como 3,955 ± 0,005 m y 3,050 ± 0,005 m. Calcule el área de la habitación y su incertidumbre en metros cuadrados. Un motor de automóvil mueve un pistón de sección circular de 7,500 ± 0,002 cm de diámetro una distancia de 3,250 ± 0,001 cm para comprimir el gas en el cilindro. (a) ¿En qué cantidad disminuye el volumen del gas en centímetros cúbicos? (b) Halle la incertidumbre en este volumen. a. 143,6 cm 3 ; b. 0,1 cm 3 o 0,084 Problemas de desafío La primera bomba atómica se detonó el 16 de julio de 1945 en el sitio de pruebas de Trinity, a unas 200 mi al sur de Los Álamos. En 1947, el gobierno estadounidense desclasificó un rollo de película de la explosión. A partir del mismo, el físico británico G. I. Taylor pudo determinar la tasa a la que crecía el radio de la bola de fuego de la explosión. Gracias al análisis dimensional, pudo deducir la cantidad de energía liberada en la explosión, que era un secreto muy bien guardado en aquella época. Por ello, Taylor no publicó sus resultados sino hasta 1950. Este problema le reta a recrear este famoso cálculo. (a) Con su aguda perspicacia desarrollada a partir de años de experiencia, Taylor decidió que el radio r de la bola de fuego debía depender solo del tiempo transcurrido desde la explosión, t , de la densidad del aire, ρ , y de la energía de la explosión inicial, E . Así, conjeturó que r = k E a ρ b t c para alguna constante adimensional k y algunos exponentes desconocidos a , b y c . Dado que [E] = ML 2 T -2 , determine los valores de los exponentes necesarios para que esta ecuación sea dimensionalmente coherente. ( Pista : Observe que la ecuación implica que k = r E − a ρ − b t − c y que [ k ] = 1 ). (b) Tras analizar los datos de los explosivos convencionales de alta energía, Taylor encontró que la fórmula que derivó parecía ser válida siempre que la constante k tuviera el valor de 1,03. A partir del rollo de película, pudo determinar muchos valores de r y los correspondientes valores de t . Por ejemplo, descubrió que tras 25,0 ms, la bola de fuego tenía un radio de 130,0 m. Utilice estos valores, junto con una densidad media del aire de 1,25 kg/m 3 , para calcular la liberación de energía inicial de la detonación de Trinity en julios (J). ( Pista : Para obtener la energía en julios, hay que comprobar que todos los números que se sustituyen se expresen en términos de unidades básicas del SI). (c) La energía liberada en las grandes explosiones se cita a menudo en unidades de "toneladas de TNT" (abreviado "t TNT"), donde 1 t TNT es aproximadamente 4,2 gigajulios (GJ). Convierta su respuesta de (b) a kilotones de TNT (es decir, kt TNT). Compare su respuesta con el cálculo rápido de 10 kt de TNT, que realizó el físico Enrico Fermi poco después de presenciar la explosión desde una distancia supuestamente segura. (Según se dice, Fermi realizó su cálculo dejando caer algunos trozos de papel triturados justo antes de que los restos de la onda expansiva le golpearan y miró para ver hasta dónde la onda los arrastraba). El propósito de este problema es demostrar que todo el concepto de coherencia dimensional se resume con el viejo dicho "no se pueden sumar manzanas y naranjas". Si ha estudiado las expansiones de las series de potencias en un curso de cálculo, sabe que las funciones matemáticas estándar, como las funciones trigonométricas, los logaritmos y las funciones exponenciales, pueden expresarse como sumas infinitas de la forma ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ⋯ , donde a n son constantes adimensionales para todo n = 0 , 1 , 2 , ⋯ y x es el argumento de la función. (Si aún no ha estudiado las series de potencias en cálculo, confíe en nosotros). Utilice este hecho para explicar por qué el requisito de que todos los términos de una ecuación tengan las mismas dimensiones es suficiente como definición de coherencia dimensional. Es decir, en realidad implica que los argumentos de las funciones matemáticas estándar deben ser adimensionales, por lo que no es realmente necesario hacer de esta última condición un requisito aparte de la definición de coherencia dimensional, como hemos hecho en esta sección. Como cada término de la serie de potencias implica el argumento elevado a una potencia diferente, la única manera de que cada término de la serie de potencias tenga la misma dimensión es que el argumento sea adimensional. Para ver esto explícitamente, supongamos que [x] = L a M b T c . Entonces, [x n ] = [x] n = L an M bn T cn . Si queremos que [x] = [x n ], entonces an = a, bn = b, y cn = c para todo n. La única manera de que esto ocurra es si a = b = c = 0.

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Introducción El poste indicador da información sobre las distancias y direcciones a las ciudades o a otros lugares en relación con la ubicación del poste. La distancia es una cantidad escalar. Para llegar a la ciudad no basta con conocer la distancia, sino que también hay que saber la dirección desde el poste indicador hasta la ciudad. La dirección, junto con la distancia, es una cantidad vectorial comúnmente llamada vector de desplazamiento. Por lo tanto, el poste indicador da información sobre los vectores de desplazamiento desde el poste hasta las ciudades (créditos: modificación de la obra de "studio tdes"/Flickr, thedailyenglishshow.com). Los vectores son esenciales para la física y la ingeniería. Muchas magnitudes físicas fundamentales son vectores, como el desplazamiento, la velocidad, la fuerza y los campos vectoriales eléctricos y magnéticos. Los productos escalares de los vectores definen otras magnitudes físicas escalares fundamentales, como la energía. Los productos vectoriales de los vectores definen otras magnitudes físicas vectoriales fundamentales, como el torque y el momento angular. En otras palabras, los vectores son un componente de la física del mismo modo que las frases son un componente de la literatura. En la física introductoria, los vectores son cantidades euclidianas, que tienen representaciones geométricas como flechas en una dimensión (en una línea), en dos dimensiones (en un plano) o en tres dimensiones (en el espacio). Se pueden sumar, restar o multiplicar. En este capítulo, exploramos elementos del álgebra vectorial para aplicaciones en mecánica y en electricidad y magnetismo. Las operaciones vectoriales también tienen numerosas generalizaciones en otras ramas de la física.

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Escalares y vectores Muchas magnitudes físicas conocidas pueden especificarse completamente con un solo número y la unidad apropiada. Por ejemplo, "un periodo de clase dura 50 min" o "el tanque de gasolina de mi auto tiene capacidad de 65 L" o "la distancia entre dos postes es de 100 m". La cantidad física que puede especificarse completamente de esta manera se denomina cantidad escalar . Escalar es sinónimo de "número". El tiempo, la masa, la distancia, la longitud, el volumen, la temperatura y la energía son ejemplos de cantidades escalares . Las cantidades escalares que tienen las mismas unidades físicas pueden sumarse o restarse según las reglas habituales del álgebra de los números. Por ejemplo, una clase que termina 10 min antes de los 50 min dura 50 min − 10 min = 40 min . Del mismo modo, una porción de 60 calorías (cal) de maíz seguida de una porción de 200 calorías de donas da 60 cal + 200 cal = 260 cal de energía. Cuando multiplicamos una cantidad escalar por un número, obtenemos la misma cantidad escalar, pero con un valor mayor (o menor). Por ejemplo, si el desayuno de ayer tenía 200 cal de energía y el de hoy tiene cuatro veces más energía que ayer, entonces el desayuno de hoy tiene 4 ( 200 cal ) = 800 cal de energía. Dos cantidades escalares también pueden multiplicarse o dividirse entre sí para formar una cantidad escalar derivada. Por ejemplo, si un tren recorre una distancia de 100 km en 1,0 h, su rapidez es de 100,0 km/1,0 h = 27,8 m/s, donde la rapidez es una cantidad escalar derivada que se obtiene al dividir la distancia entre el tiempo. Sin embargo, muchas cantidades físicas no pueden describirse completamente con un solo número de unidades físicas. Por ejemplo, cuando los guardacostas estadounidenses envían un barco o un helicóptero para una misión de rescate, el equipo de rescate debe conocer, no solo la distancia a la que se encuentra la señal de socorro, sino también la dirección de la que procede esta para poder llegar a su origen lo antes posible. Las cantidades físicas que se especifican completamente con un número de unidades (magnitud) y una dirección se llaman cantidades vectoriales . Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son el desplazamiento, la velocidad, la posición, la fuerza y el torque. En el lenguaje matemático, las cantidades físicas vectoriales se representan mediante objetos matemáticos, denominados vectores ( ). Podemos sumar o restar dos vectores, y podemos multiplicar un vector por un escalar o por otro vector, pero no podemos dividir por un vector. La operación de división por un vector no está definida. Dibujamos un vector desde el punto inicial u origen ("cola" de un vector) hasta el punto extremo o terminal ("cabeza" de un vector), marcado por una punta de flecha. La magnitud es la longitud de un vector y es siempre una cantidad escalar positiva (créditos de la foto: modificación del trabajo de Cate Sevilla). Examinemos el álgebra vectorial con un método gráfico para conocer los términos básicos y desarrollar una comprensión cualitativa. En la práctica, sin embargo, cuando se trata de resolver problemas de física, utilizamos métodos analíticos, que veremos en la siguiente sección. Los métodos analíticos son más sencillos desde el punto de vista computacional y más precisos que los métodos gráficos. A partir de ahora, para distinguir entre una cantidad vectorial y una escalar, adoptamos la convención común de que una letra en negritas con una flecha encima denota un vector, y una letra sin flecha denota un escalar. Por ejemplo, una distancia de 2,0 km, que es una cantidad escalar, se denota por d = 2,0 km, mientras que un desplazamiento de 2,0 km en alguna dirección, que es una cantidad vectorial, se denota por d → . Supongamos que le dice a un amigo con el que está de acampada que ha descubierto un estupendo agujero para pescar a 6 km de su carpa. Es poco probable que su amigo encuentre el agujero con facilidad, a menos que también le comunique la dirección en la que se encuentre con respecto a su campamento. Puede decir, por ejemplo, "camine unos 6 km al noreste de mi carpa". El concepto clave aquí es que hay que dar no uno, sino dos datos: la distancia o magnitud (6 km) y la dirección (noreste). Desplazamiento es un término general que se utiliza para describir un cambio de posición , por ejemplo, durante un viaje desde la carpa hasta el agujero de pesca. El desplazamiento es un ejemplo de cantidad vectorial. Si se camina desde la carpa (lugar A ) hasta el agujero (lugar B ), como se muestra en la , el vector D → , que representa su desplazamiento , se dibuja como la flecha que se origina en el punto A y termina en el punto B . La punta de la flecha marca el final del vector. La dirección del vector de desplazamiento D → es la dirección de la flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud D del vector D → . Aquí, D = 6 km. Como la magnitud de un vector es su longitud, que es un número positivo, la magnitud también se indica al colocar la notación de valor absoluto alrededor del símbolo que denota el vector; por lo tanto, podemos escribir de forma equivalente que D ≡ | D → | . Para resolver un problema vectorial gráficamente, necesitamos dibujar el vector D → a escala. Por ejemplo, si suponemos que 1 unidad de distancia (1 km) está representada en el dibujo por un segmento de línea de longitud u = 2 cm, entonces el desplazamiento total en este ejemplo está representado por un vector de longitud d = 6 u = 6 ( 2 cm ) = 12 cm , como se muestra en la . Observe que aquí, para evitar confusiones, utilizamos D = 6 km para denotar la magnitud del desplazamiento real y d = 12 cm para denotar la longitud de su representación en el dibujo. El vector de desplazamiento desde el punto A (la posición inicial en el campamento) hasta el punto B (la posición final en el agujero de pesca) se indica con una flecha con origen en el punto A y final en el punto B . El desplazamiento es el mismo para cualquiera de los caminos reales (curvas discontinuas) que se pueden tomar entre los puntos A y B . Un desplazamiento D → de magnitud 6 km se dibuja a escala como un vector de longitud 12 cm cuando la longitud de 2 cm representa 1 unidad de desplazamiento (que en este caso es 1 km). Supongamos que su amigo camina desde el campamento en A hasta el estanque de pesca en B y luego regresa: desde el estanque de pesca en B hasta el campamento en A . La magnitud del vector de desplazamiento D → A B de A a B es igual a la magnitud del vector de desplazamiento D → B A de B a A (es igual a 6 km en ambos casos), por lo que podemos escribir D A B = D B A . Sin embargo, el vector D → A B no es igual al vector D → B A porque estos dos vectores tienen direcciones diferentes: D → A B ≠ D → B A . En la , el vector D → B A se representaría mediante un vector con origen en el punto B y final en el punto A , lo cual indica que el vector D → B A apunta al suroeste, que es exactamente 180 ° opuesto a la dirección del vector D → A B . Diremos que el vector D → B A es antiparalelo al vector D → A B y escribimos D → A B = − D → B A , donde el signo menos indica la dirección antiparalela. Se dice que dos vectores que tienen direcciones idénticas son vectores paralelos , es decir, que son paralelos entre sí. Dos vectores paralelos A → y B → son iguales, indicado por A → = B → , si y solo si tienen magnitudes iguales | A → | = | B → | . Se dice que dos vectores con direcciones perpendiculares entre sí son vectores ortogonales . Estas relaciones entre vectores se ilustran en la . Diversas relaciones entre dos vectores A → y B → . (a) A → ≠ B → porque A ≠ B . (b) A → ≠ B → porque no son paralelos y A ≠ B . (c) A → ≠ − A → porque tienen direcciones diferentes (aunque | A → | = | − A → | = A ) . (d) A → = B → porque son paralelos y tienen magnitud idéntica A = B. (e) A → ≠ B → porque tienen direcciones diferentes (no son paralelos); aquí, sus direcciones difieren en 90 ° , lo que significa que son ortogonales. Dos lanchas a motor llamadas Alice y Bob se desplazan por un lago. Dada la información sobre sus vectores de velocidad en cada una de las siguientes situaciones, indique si sus vectores de velocidad son iguales o no. (a) Alice se desplaza hacia el norte a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el oeste a 6 nudos. (b) Alice se desplaza hacia el oeste a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el oeste a 3 nudos. (c) Alice se desplaza hacia el noreste a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el sur a 3 nudos. (d) Alice se desplaza hacia el noreste a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el suroeste a 6 nudos. (e) Alice se desplaza hacia el noreste a 2 nudos y Bob se acerca a la costa hacia el noreste a 2 nudos. a. no son iguales porque son ortogonales; b. no son iguales porque tienen magnitudes diferentes; c. no son iguales porque tienen magnitudes y direcciones diferentes; d. no son iguales porque son antiparalelos; e. son iguales. Álgebra de vectores en una dimensión Los vectores pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros. Podemos ilustrar estos conceptos vectoriales con un ejemplo de excursión de pesca, que se ve en la . Vectores de desplazamiento para una excursión de pesca. (a) Parada para descansar en el punto C mientras se camina desde el campamento (punto A ) hasta el estanque (punto B ). (b) Regreso para recoger la caja de anzuelos que se cayó (punto D ). (c) Finaliza en el estanque de pesca. Supongamos que su amigo parte del punto A (el campamento) y camina en dirección al punto B (el estanque de pesca), pero, por el camino, se detiene a descansar en algún punto C situado a tres cuartas partes de la distancia entre A y B , partiendo del punto A ( (a)). ¿Cuál es su vector de desplazamiento D → A C cuando llega al punto C ? Sabemos que si camina hasta B , su vector de desplazamiento con respecto a A es D → A B , que tiene una magnitud D A B = 6 km y una dirección al noreste. Si camina solo una fracción de 0,75 de la distancia total, y mantiene la dirección noreste, en el punto C debe estar a 0,75 D A B = 4,5 km lejos del campamento en A . Así, su vector de desplazamiento en el punto de reposo C tiene magnitud D A C = 4,5 km = 0,75 D A B y es paralelo al vector de desplazamiento D → A B . Todo esto se puede resumir en la siguiente ecuación vectorial : D → A C = 0,75 D → A B . En una ecuación vectorial, ambos lados de la ecuación son vectores. La ecuación anterior es un ejemplo de vector multiplicado por un escalar positivo (número) α = 0,75 . El resultado, D → A C , de tal multiplicación es un nuevo vector con una dirección paralela a la dirección del vector original D → A B . En general, cuando un vector A → se multiplica por un escalar positivo α , el resultado es un nuevo vector B → que es paralelo a A → : B → = α A → . La magnitud | B → | de este nuevo vector se obtiene al multiplicar la magnitud | A → | del vector original, expresada por la ecuación escalar : B = | α | A . En una ecuación escalar, ambos lados de la ecuación son números. La es una ecuación escalar porque las magnitudes de los vectores son cantidades escalares (y números positivos). Si el escalar α es negativo en la ecuación vectorial de la , entonces la magnitud | B → | del nuevo vector sigue siendo dada por la , pero la dirección del nuevo vector B → es antiparalela a la dirección de A → . Estos principios se ilustran en la (a) con dos ejemplos en los que la longitud del vector A → es de 1,5 unidades. Cuando α = 2 , el nuevo vector B → = 2 A → tiene longitud B = 2 A = 3,0 unidades (el doble de largo que el vector original) y es paralelo al vector original. Cuando α = −2 , el nuevo vector C → = −2 A → tiene longitud C = | − 2 | A = 3,0 unidades (dos veces más largo que el vector original) y es antiparalelo al vector original. Álgebra de vectores en una dimensión. (a) Multiplicación por un escalar. (b) Suma de dos vectores ( R → se llama la resultante de los vectores A → y B → ) . (c) Sustracción de dos vectores ( D → es la diferencia de vectores A → y B → ) . Supongamos ahora que su compañero de pesca parte del punto A (el campamento), y camina en dirección al punto B (el agujero de pesca), pero se da cuenta de que ha perdido su caja de anzuelos cuando se ha parado a descansar en el punto C (situado a tres cuartas partes de la distancia entre A y B , al partir del punto A ). Entonces, da la vuelta y vuelve sobre sus pasos en dirección al campamento y encuentra la caja tirada en el camino en un punto D a solo 1,2 km del punto C (vea la (b)). ¿Cuál es su vector de desplazamiento D → A D cuando encuentra la caja en el punto D ? ¿Cuál es su vector de desplazamiento D → D B desde el punto D hasta el agujero? Ya hemos establecido que en el punto de reposo C su vector de desplazamiento es D → A C = 0,75 D → A B . Partiendo del punto C , camina hacia el suroeste (hacia el campamento), lo que significa que su nuevo vector de desplazamiento D → C D del punto C al punto D es antiparalelo a D → A B . Su magnitud | D → C D | es D C D = 1,2 km = 0,2 D A B , por lo que su segundo vector de desplazamiento es D → C D = −0,2 D → A B . Su desplazamiento total D → A D con respecto al campamento es la suma vectorial de los dos vectores de desplazamiento: vector D → A C (desde el campamento hasta el punto de descanso) y el vector D → C D (desde el punto de descanso hasta el punto donde encuentra su caja): D → A D = D → A C + D → C D . La suma vectorial de dos (o más) vectores se denomina vector resultante o, para abreviar, la resultante . Cuando se conocen los vectores del lado derecho de la , podemos encontrar la resultante D → A D de la siguiente forma: D → A D = D → A C + D → C D = 0,75 D → A B − 0,2 D → A B = ( 0,75 − 0,2 ) D → A B = 0,55 D → A B . Cuando su amigo llega finalmente al estanque en B , su vector de desplazamiento D → A B desde el punto A es la suma vectorial de su vector de desplazamiento D → A D del punto A al punto D y su vector de desplazamiento D → D B desde el punto D hasta el agujero de pesca: D → A B = D → A D + D → D B (vea la (c)). Esto significa que su vector de desplazamiento D → D B es la diferencia de dos vectores : D → D B = D → A B − D → A D = D → A B + ( − D → A D ) . Observe que una diferencia de dos vectores no es más que la suma vectorial de dos vectores porque el segundo término de la es el vector − D → A D (que es antiparalelo a D → A D ) . Cuando sustituimos la en la , obtenemos el segundo vector de desplazamiento: D → D B = D → A B − D → A D = D → A B − 0,55 D → A B = ( 1,0 − 0,55 ) D → A B = 0,45 D → A B . Este resultado significa que su amigo caminó D D B = 0,45 D A B = 0,45 ( 6,0 km ) = 2,7 km desde el punto donde encuentra su caja de anzuelos hasta el agujero de pesca. Cuando los vectores A → y B → se encuentran a lo largo de una línea (es decir, en una dimensión), como en el ejemplo del campamento, su resultante R → = A → + B → y su diferencia D → = A → − B → ambas se encuentran en la misma dirección. Podemos ilustrar la suma o la resta de vectores dibujando los vectores correspondientes a escala en una dimensión, como se muestra en la . Para ilustrar la resultante cuando A → y B → son dos vectores paralelos, los dibujamos a lo largo de una línea al colocar el origen de un vector en el extremo del otro vector en forma de cabeza a cola (vea la (b)). La magnitud de esta resultante es la suma de sus magnitudes: R = A + B . La dirección de la resultante es paralela a ambos vectores. Cuando el vector A → es antiparalelo al vector B → , los dibujamos a lo largo de una línea, ya sea de cabeza a cabeza ( (c)) o de cola a cola. La magnitud de la diferencia de vectores, entonces, es el valor absoluto D = | A − B | de la diferencia de sus magnitudes. La dirección de la diferencia de vectores D → es paralela a la dirección del vector más largo. En general, en una dimensión, así como en dimensiones superiores, como en un plano o en el espacio, podemos sumar cualquier número de vectores y podemos hacerlo en cualquier orden porque la suma de vectores es conmutativa , A → + B → = B → + A → , y asociativa , ( A → + B → ) + C → = A → + ( B → + C → ) . Además, la multiplicación por un escalar es distributiva : α 1 A → + α 2 A → = ( α 1 + α 2 ) A → . Utilizamos la propiedad distributiva en la y la . Al sumar muchos vectores en una dimensión, es conveniente utilizar el concepto de vector unitario . Un vector unitario, que se denota con un símbolo de letra con acento circunflejo, como u ^ , tiene una magnitud de uno y no tiene ninguna unidad física de modo que | u ^ | ≡ u = 1 . La única función de un vector unitario es especificar la dirección. Por ejemplo, en lugar de decir que el vector D → A B tiene una magnitud de 6,0 km y una dirección de noreste, podemos introducir un vector unitario u ^ que apunta al noreste y decir de forma resumida que D → A B = ( 6,0 km ) u ^ . Entonces la dirección suroeste viene dada simplemente por el vector unitario − u ^ . De este modo, el desplazamiento de 6,0 km en dirección suroeste se expresa mediante el vector D → B A = ( −6,0 km ) u ^ . Una mariquita caminante Una larga regla para medir se apoya en la pared de un laboratorio de física con su extremo de 200 cm en el suelo. Una mariquita se posa en la marca de 100 cm y se arrastra aleatoriamente por la regla. Primero camina 15 cm hacia el suelo, luego camina 56 cm hacia la pared, y después vuelve a caminar 3 cm hacia el suelo. A continuación, tras una breve parada, continúa 25 cm hacia el suelo y luego, de nuevo, se arrastra 19 cm hacia la pared antes de detenerse por completo ( ). Halle el vector de su desplazamiento total y su posición final de reposo en la regla. Estrategia Si elegimos la dirección a lo largo de la regla hacia el suelo como la dirección del vector unitario u ^ , entonces la dirección hacia el suelo es + u ^ y la dirección hacia la pared es − u ^ . La mariquita realiza un total de cinco desplazamientos: D → 1 = ( 15 cm ) ( + u ^ ) , D → 2 = ( 56 cm ) ( − u ^ ) , D → 3 = ( 3 cm ) ( + u ^ ) , D → 4 = ( 25 cm ) ( + u ^ ) , y D → 5 = ( 19 cm ) ( − u ^ ) . El desplazamiento total D → es la resultante de todos sus vectores de desplazamiento. Cinco desplazamientos de la mariquita. Observe que en este dibujo esquemático, las magnitudes de los desplazamientos no están dibujadas a escala (créditos de "mariquita": modificación de la obra de "Persian Poet Gal"/Wikimedia Commons). Solución La resultante de todos los vectores de desplazamiento es D → = D → 1 + D → 2 + D → 3 + D → 4 + D → 5 = ( 15 cm ) ( + u ^ ) + ( 56 cm ) ( − u ^ ) + ( 3 cm ) ( + u ^ ) + ( 25 cm ) ( + u ^ ) + ( 19 cm ) ( − u ^ ) = ( 15 − 56 + 3 + 25 − 19 ) cm u ^ = −32 cm u ^ . En este cálculo, utilizamos la ley distributiva dada por la . El resultado es que el vector de desplazamiento total apunta lejos de la marca de 100 cm (lugar de aterrizaje inicial) hacia el extremo de la regla para medir que toca la pared. El extremo que toca la pared está marcado 0 cm, por lo que la posición final de la mariquita está en la marca (100 - 32)cm = 68 cm. Un buceador de cuevas entra en un largo túnel submarino. Cuando su desplazamiento con respecto al punto de entrada es de 20 m, se le cae accidentalmente la cámara, pero no se da cuenta de que no la tiene hasta que se adentra unos 6 m en el túnel. Vuelve a nadar 10 m pero no encuentra la cámara, así que decide terminar la inmersión. ¿A qué distancia está del punto de entrada? Tomando la dirección positiva de salida del túnel, ¿cuál es su vector de desplazamiento con respecto al punto de entrada? 16 m; D → = −16 m u ^ Álgebra de vectores en dos dimensiones Cuando los vectores se encuentran en un plano, es decir, cuando están en dos dimensiones, pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros de acuerdo con las leyes generales expresadas por la , la , la y la . Sin embargo, la regla de adición de dos vectores en un plano se complica más que la regla de adición de vectores en una dimensión. Tenemos que utilizar las leyes de la geometría para construir vectores resultantes, seguidos de la trigonometría para encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores. Este enfoque geométrico se utiliza habitualmente en la navegación ( ). En este apartado, necesitamos tener a mano dos reglas, una escuadra, un transportador, un lápiz y una goma de borrar para dibujar vectores a escala mediante construcciones geométricas. En la navegación, las leyes de la geometría se utilizan para dibujar los desplazamientos resultantes en los mapas náuticos. Para una construcción geométrica de la suma de dos vectores en un plano, seguimos la regla del paralelogramo . Supongamos que dos vectores A → y B → están en las posiciones arbitrarias indicadas en la . Traslade cualquiera de ellos en paralelo al inicio del otro vector, de forma que, luego de la traslación, ambos vectores tengan su origen en el mismo punto. Ahora, al final del vector A → dibujamos una línea paralela al vector B → y al final del vector B → dibujamos una línea paralela al vector A → (las líneas discontinuas en la ). De este modo, obtenemos un paralelogramo. Desde el origen de los dos vectores dibujamos una diagonal que es la resultante R → de los dos vectores: R → = A → + B → ( (a)). La otra diagonal de este paralelogramo es la diferencia de los dos vectores D → = A → − B → , como se muestra en la (b). Observe que el final de la diferencia de vectores se sitúa al final del vector A → . La regla del paralelogramo para la suma de dos vectores. Realice la traslación paralela de cada vector a un punto en el que coincidan sus orígenes (marcados por el punto) y construya un paralelogramo con dos lados sobre los vectores y los otros dos lados (indicados con líneas discontinuas) paralelos a los vectores. (a) Dibuje el vector resultante R → a lo largo de la diagonal del paralelogramo, desde el punto común hasta la esquina opuesta. La longitud R del vector resultante no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores. (b) Dibuje la diferencia de vectores D → = A → − B → a lo largo de la diagonal que conecta los extremos de los vectores. Sitúe el origen del vector D → al final del vector B → y el final (cabeza de flecha) del vector D → al final del vector A → . La longitud D de la diferencia de vectores no es igual a la diferencia de magnitudes de los dos vectores. De la regla del paralelogramo se deduce que ni la magnitud del vector resultante ni la magnitud de la diferencia de vectores pueden expresarse como una simple suma o diferencia de las magnitudes A y B , porque la longitud de una diagonal no puede expresarse como una simple suma de las longitudes de los lados. Cuando se utiliza una construcción geométrica para encontrar las magnitudes | R → | y | D → | , tenemos que utilizar las leyes de la trigonometría para los triángulos, lo que puede llevar a un álgebra complicada. Hay dos maneras de evitar esta complejidad algebraica. Una forma es utilizar el método de los componentes, que examinamos en la siguiente sección. La otra forma es dibujar los vectores a escala, como se hace en la navegación, y leer las longitudes y ángulos aproximados de los vectores (direcciones) a partir de los gráficos. En esta sección examinamos el segundo enfoque. Si necesitamos sumar tres o más vectores, repetimos la regla del paralelogramo para los pares de vectores hasta encontrar la resultante de todas las resultantes. Para tres vectores, por ejemplo, primero encontramos la resultante del vector 1 y el vector 2, y luego encontramos la resultante de esta resultante y el vector 3. El orden en el que seleccionemos los pares de vectores no importa porque la operación de suma de vectores es conmutativa y asociativa (vea la y la ). Antes de enunciar una regla general que derive de las aplicaciones repetidas de la regla del paralelogramo, veamos el siguiente ejemplo. Suponga que planea un viaje de vacaciones en Florida. Saliendo de Tallahassee, la capital del estado, planea visitar a su tío Joe en Jacksonville, ver a su primo Vinny en Daytona Beach, realizar una parada para divertirse un poco en Orlando, ver un espectáculo de circo en Tampa y visitar la Universidad de Florida en Gainesville. Su ruta se puede representar por cinco vectores de desplazamiento A → , B → , C → , D → y E → , que se indican con los vectores rojos en la . ¿Cuál es su desplazamiento total al llegar a Gainesville? El desplazamiento total es la suma vectorial de los cinco vectores de desplazamiento, que se puede encontrar con la regla del paralelogramo cuatro veces. Alternativamente, recordemos que el vector de desplazamiento tiene su comienzo en la posición inicial (Tallahassee) y su final en la posición final (Gainesville), por lo que el vector de desplazamiento total puede dibujarse directamente como una flecha que conecta Tallahassee con Gainesville (vea el vector verde en la ). Cuando usamos la regla del paralelogramo cuatro veces, la resultante R → que obtenemos es exactamente este vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville: R → = A → + B → + C → + D → + E → . Cuando utilizamos la regla del paralelogramo cuatro veces, obtenemos el vector resultante R → = A → + B → + C → + D → + E → , que es el vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville. El dibujo del vector resultante de muchos vectores puede generalizarse con la siguiente construcción geométrica de cola a cabeza . Supongamos que queremos dibujar el vector resultante R → de cuatro vectores A → , B → , C → y D → ( (a)). Seleccionamos cualquiera de los vectores como primer vector y hacemos una traslación paralela de un segundo vector a una posición en la que el origen ("cola") del segundo vector coincide con el final ("cabeza") del primer vector. Luego, seleccionamos un tercer vector y realizamos una traslación paralela del tercer vector a una posición en la que el origen del tercer vector coincida con el final del segundo vector. Repetimos este procedimiento hasta que todos los vectores estén en una disposición de cabeza a cola como la que se muestra en la . Dibujamos el vector resultante R → conectando el origen ("cola") del primer vector con el final ("cabeza") del último vector. El final del vector resultante está en el final del último vector. Como la suma de vectores es asociativa y conmutativa, obtenemos el mismo vector resultante, independientemente del vector que elijamos como primero, segundo, tercero o cuarto en esta construcción. Método de cola a cabeza para dibujar el vector resultante R → = A → + B → + C → + D → . (a) Cuatro vectores de diferentes magnitudes y direcciones. (b) Los vectores de (a) se trasladan a nuevas posiciones en las que el origen ("cola") de un vector está en el extremo ("cabeza") de otro vector. El vector resultante se dibuja desde el origen ("cola") del primer vector hasta el final ("cabeza") del último vector en esta disposición. Construcción geométrica de la resultante Los tres vectores de desplazamiento A → , B → y C → en la se especifican por sus magnitudes A = 10,0, B = 7,0 y C = 8,0, respectivamente, y por sus respectivos ángulos direccionales con la dirección horizontal α = 35 ° , β = −110 ° y γ = 30 ° . Las unidades físicas de las magnitudes son los centímetros. Elija una escala conveniente y utilice una regla y un transportador para encontrar las siguientes sumas vectoriales: (a) R → = A → + B → , (b) D → = A → − B → , y (c) S → = A → − 3 B → + C → . Vectores utilizados en el y en el apartado Compruebe lo aprendido, que aparece a continuación. Estrategia En la construcción geométrica, encontrar un vector significa encontrar su magnitud y su ángulo direccional con la dirección horizontal. La estrategia consiste en dibujar a escala los vectores que aparecen en el lado derecho de la ecuación y construir el vector resultante. Luego, utilice una regla y un transportador para leer la magnitud de la resultante y el ángulo direccional. Para las partes (a) y (b) utilizamos la regla del paralelogramo. Para (c) utilizamos el método de cola a cabeza. Solución Para las partes (a) y (b), unimos el origen del vector B → al origen del vector A → , como se muestra en la , y construimos un paralelogramo. La diagonal más corta de este paralelogramo es la suma A → + B → . La mayor de las diagonales es la diferencia A → − B → . Utilizamos una regla para medir las longitudes de las diagonales y un transportador para medir los ángulos con la horizontal. Para la resultante R → , obtenemos R = 5,8 cm y θ R ≈ 0 ° . Para la diferencia D → , obtenemos D = 16,2 cm y θ D = 49,3 ° , que se muestran en la . Utilizamos la regla del paralelogramo para resolver (a) (encontrar la resultante, en rojo) y (b) (encontrar la diferencia, en azul). Para (c), podemos empezar con el vector −3 B → y dibujar los vectores restantes de cola a cabeza como se muestra en la . En la suma de vectores, el orden en el que dibujamos los vectores no es importante, pero dibujar los vectores a escala sí es muy importante. A continuación, dibujamos el vector S → desde el origen del primer vector hasta el final del último vector y colocamos la punta de la flecha al final de S → . Utilizamos una regla para medir la longitud de S → , y encontramos que su magnitud es S = 36,9 cm. Usamos un transportador y encontramos que su ángulo direccional es θ S = 52,9 ° . Esta solución se muestra en la . Utilizando el método de cola a cabeza para resolver (c) (encontrar el vector S → , en verde). Utilizando los tres vectores de desplazamiento A → , B → y F → en la , elija una escala conveniente y utilice una regla y un transportador para encontrar el vector G → dado por la ecuación vectorial G → = A → + 2 B → − F → . G = 28,2 cm, θ G = 291 ° Observe la suma de vectores en un plano consultando esta calculadora de vectores y participando en la simulación Phet a continuación. Resumen La cantidad vectorial es cualquier cantidad que tiene magnitud y dirección, como el desplazamiento o la velocidad. Las cantidades vectoriales se representan mediante objetos matemáticos llamados vectores. Geométricamente, los vectores se representan mediante flechas, con el extremo marcado por una punta de flecha. La longitud del vector es su magnitud, que es un escalar positivo. En un plano, la dirección de un vector viene dada por el ángulo que forma el vector con una dirección de referencia, a menudo un ángulo con la horizontal. El ángulo direccional de un vector es un escalar. Dos vectores son iguales si y solo si tienen las mismas magnitudes y direcciones. Los vectores paralelos tienen los mismos ángulos direccionales, aunque pueden tener diferentes magnitudes. Los vectores antiparalelos tienen ángulos direccionales que difieren en 180 ° . Los vectores ortogonales tienen ángulos direccionales que difieren en 90 ° . Cuando un vector se multiplica por un escalar, el resultado es otro vector de longitud diferente a la del vector original. La multiplicación por un escalar positivo no cambia la dirección original; solo afecta la magnitud. La multiplicación por un escalar negativo invierte el sentido original. El vector resultante es antiparalelo al vector original. La multiplicación por un escalar es distributiva. Los vectores pueden dividirse entre escalares distintos a cero, pero no pueden dividirse entre vectores. Dos o más vectores pueden sumarse para formar otro vector. La suma vectorial se denomina vector resultante. Podemos sumar vectores a vectores o escalares a escalares, pero no podemos sumar escalares a vectores. La suma de vectores es conmutativa y asociativa. Para construir geométricamente un vector resultante de dos vectores en un plano, utilizamos la regla del paralelogramo. Para construir geométricamente un vector resultante de muchos vectores en un plano, utilizamos el método de la cola a la cabeza. Preguntas conceptuales El pronóstico meteorológico indica que la temperatura será −5 ° C al día siguiente. ¿Es la temperatura un vector o una cantidad escalar? Explique. escalar ¿Cuál de los siguientes es un vector: la altura de una persona, la altitud del monte Everest, la velocidad de una mosca, la edad de la Tierra, el punto de ebullición del agua, el costo de un libro, la población de la Tierra o la aceleración de la gravedad? Dé un ejemplo concreto de un vector; indique su magnitud, unidades y dirección. las respuestas pueden variar ¿Qué tienen en común los vectores y los escalares? ¿En qué se diferencian? Supongamos que suma dos vectores A → y B → . ¿Qué dirección relativa entre ellos produce la resultante de mayor magnitud? ¿Cuál es la magnitud máxima? ¿Qué dirección relativa entre ellos produce la resultante de menor magnitud? ¿Cuál es la magnitud mínima? paralelo, suma de magnitudes, antiparalelo, cero ¿Es posible sumar una cantidad escalar a una cantidad vectorial? ¿Es posible que dos vectores de distinta magnitud sumen cero? ¿Es posible que tres vectores de diferentes magnitudes sumen cero? Explique. no, sí ¿El cuentakilómetros de un automóvil indica una cantidad escalar o vectorial? Cuando un corredor de 10.000 metros que compite en una pista de 400 metros cruza la línea de meta, ¿cuál es el desplazamiento neto del corredor? ¿Este desplazamiento puede ser cero? Explique. cero, sí Un vector tiene magnitud cero. ¿Es necesario especificar su dirección? Explique. ¿Puede la magnitud de un vector ser negativa? no ¿Puede la magnitud del desplazamiento de una partícula ser mayor que la distancia recorrida? Si dos vectores son iguales, ¿qué puede decir de sus componentes? ¿Qué puede decir sobre sus magnitudes? ¿Qué puede decir de sus direcciones? iguales, iguales, las mismas Si tres vectores suman cero, ¿qué condición geométrica cumplen? Problemas Un buceador realiza un lento descenso a las profundidades del océano. Su posición vertical con respecto a un barco en la superficie cambia varias veces. Hace la primera parada a 9,0 m del barco, pero tiene un problema para igualar la presión, por lo que asciende 3,0 m y luego sigue descendiendo otros 12,0 m hasta la segunda parada. Desde allí, asciende 4 m y luego desciende 18,0 m, vuelve a ascender 7 m y desciende de nuevo 24,0 m, donde hace una parada, a la espera de su compañero. Asumiendo la dirección positiva arriba hacia la superficie, exprese su vector de desplazamiento vertical neto en términos del vector unitario. ¿Cuál es su distancia al barco? h → = -49 m u ^ , 49 m En un juego de tira y afloja en un campus, 15 estudiantes halan de una cuerda por ambos extremos en un esfuerzo por desplazar el nudo central hacia un lado u otro. Dos estudiantes halan con una fuerza de 196 N cada uno hacia la derecha, cuatro halan con una fuerza de 98 N cada uno hacia la izquierda, cinco halan con una fuerza de 62 N cada uno hacia la izquierda, tres halan con una fuerza de 150 N cada uno hacia la derecha y un estudiante hala con una fuerza de 250 N hacia la izquierda. Suponiendo la dirección positiva hacia la derecha, exprese la tracción neta sobre el nudo en términos del vector unitario. ¿Qué tamaño tiene la tracción neta en el nudo? ¿En qué dirección? Supongamos que camina 18,0 m en línea recta hacia el oeste y luego 25,0 m en línea recta hacia el norte. ¿A qué distancia se encuentra de su punto de partida y cuál es la dirección de la brújula de una línea que conecta su punto de partida con su posición final? Utilice un método gráfico. 30,8 m, 35,7 ° al oeste del norte Para los vectores dados en la siguiente figura, utilice un método gráfico para encontrar las siguientes resultantes: (a) A → + B → , (b) C → + B → , (c) D → + F → , (d) A → − B → , (e) D → − F → , (f) A → + 2 F → , (g) C → − 2 D → + 3 F → ; y (h) A → − 4 D → + 2 F → . Un repartidor parte de la oficina de correos, conduce 40 km hacia el norte, luego 20 km hacia el oeste, después 60 km hacia el noreste y finalmente 50 km hacia el norte para realizar una parada y almorzar. Utilice un método gráfico para encontrar su vector de desplazamiento neto. 134 km, 80 ° Un perro aventurero se aleja de su casa, corre tres cuadras hacia el este, dos hacia el norte, una hacia el este, una hacia el norte y dos hacia el oeste. Suponiendo que cada cuadra es de unos 100 m, ¿a qué distancia de casa y en qué dirección está el perro? Utilice un método gráfico. En un intento por escapar de una isla desierta, un náufrago construye una balsa y zarpa al mar. El viento cambia mucho durante el día y lo arrastra en las siguientes direcciones: 2,50 km y 45,0 ° al norte del oeste, luego 4,70 km y 60,0 ° al sur del este, luego 1,30 km y 25,0 ° al sur del oeste, luego 5,10 km en línea recta hacia el este, luego 1,70 km y 5,00 ° al este del norte, luego 7,20 km y 55,0 ° al sur del oeste, y finalmente 2,80 km y 10,0 ° al norte del este. Utilice un método gráfico para encontrar la posición final del náufrago con respecto a la isla. 7,34 km, 63,5 ° al sur del este Una avioneta vuela 40,0 km en dirección de 60 ° al norte del este y luego vuela 30,0 km en dirección de 15 ° al norte del este. Utilice un método gráfico para encontrar la distancia total que recorre la avioneta desde el punto de partida y la dirección del recorrido hasta la posición final. Un trampero recorre una distancia en línea recta de 5,0 km desde su cabaña hasta el lago, como se muestra en la siguiente figura. Utilice un método gráfico (la regla del paralelogramo) para determinar el desplazamiento del trampero directamente hacia el este y el desplazamiento directamente hacia el norte que suman su vector de desplazamiento resultante. Si el trampero caminara solo en dirección este y norte, en zigzag hasta el lago, ¿cuántos kilómetros tendría que recorrer para llegar al lago? 3,8 km al este, 3,2 km al norte, 7,0 km Una topógrafa mide la distancia a través de un río que fluye en línea recta hacia el norte por el siguiente método. Partiendo directamente de un árbol en la orilla opuesta, la topógrafa camina 100 m a lo largo del río para establecer un punto de partida. Entonces mira hacia el árbol y lee que el ángulo desde el punto de partida hasta el árbol es 35 ° . ¿Cuál es el ancho del río? Un peatón camina 6,0 km hacia el este y luego 13,0 km hacia el norte. Utilice un método gráfico para encontrar el desplazamiento resultante del peatón y la dirección geográfica. 14,3 km, 65 ° Las magnitudes de dos vectores de desplazamiento son A = 20 m y B = 6 m. ¿Cuáles son los valores mayores y menores de la magnitud de la resultante R → = A → + B → ? vectores antiparalelos dos vectores con direcciones que difieren en 180 ° asociativa los términos pueden agruparse de cualquier manera conmutativa las operaciones pueden realizarse en cualquier orden diferencia de dos vectores suma vectorial del primer vector con el vector antiparalelo al segundo desplazamiento cambio de posición distributiva la multiplicación se puede distribuir entre los términos de la suma magnitud longitud de un vector vectores ortogonales dos vectores con direcciones que difieren exactamente en 90 ° , sinónimo de vectores perpendiculares regla del paralelogramo construcción geométrica de la suma vectorial en un plano vectores paralelos dos vectores con ángulos direccionales exactamente iguales vector resultante suma vectorial de dos (o más) vectores escalar un número, sinónimo de cantidad escalar en física ecuación escalar ecuación en la que los lados izquierdo y derecho son números cantidad escalar cantidad que puede especificarse completamente por un solo número con una unidad física apropiada construcción geométrica de cola a cabeza construcción geométrica para dibujar el vector resultante de muchos vectores vector unitario vector de una magnitud unitaria que especifica la dirección; no tiene unidad física vector objeto matemático con magnitud y dirección ecuación vectorial ecuación en la que los lados izquierdo y derecho son vectores cantidad vectorial cantidad física descrita por un vector matemático, es decir, donde se especifica tanto su magnitud como su dirección; sinónimo de vector en física suma vectorial resultante de la combinación de dos (o más) vectores

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