Tipos de colisiones Aunque el momento se conserva en todas las interacciones, no todas las interacciones (colisiones o explosiones) son iguales. Entre las posibilidades se encuentran: Un solo objeto puede estallar en varios objetos (explosiones). Varios objetos pueden colisionar y pegarse, para formar un solo objeto (inelástico). Varios objetos pueden colisionar y rebotar entre sí, para quedar como varios objetos (elásticos). Si rebotan el uno contra el otro, pueden retroceder a la misma rapidez con la que se acercaban antes de la colisión, o pueden alejarse más lentamente. Por lo tanto, es útil categorizar los diferentes tipos de interacciones, según el movimiento de los objetos que interactúan antes y después de la interacción. Explosiones La primera posibilidad es que un solo objeto se rompa en dos o más pedazos. Un ejemplo de ello es un petardo, o un arco y una flecha, o un cohete que se eleva en el aire hacia el espacio. Estos pueden ser difíciles de analizar si el número de fragmentos después de la colisión es superior a tres o cuatro; sin embargo, el momento total del sistema antes y después de la explosión es idéntico. Observe que, si el objeto está inicialmente inmóvil, entonces el sistema (que es solo el objeto) no tiene momento ni energía cinética. Después de la explosión, el momento neto de todas las piezas del objeto debe sumar cero (ya que el momento de este sistema cerrado no puede cambiar). Sin embargo, el sistema tendrá una gran cantidad de energía cinética después de la explosión, aunque no tenía ninguna antes. Así, vemos que, aunque el momento del sistema se conserva en una explosión, la energía cinética del sistema definitivamente no lo hace: aumenta. Esta interacción, un objeto que se convierte en muchos, con un aumento de la energía cinética del sistema, se denomina explosión . ¿De dónde proviene la energía? ¿Sigue siendo válida la conservación de la energía? Sí; alguna forma de energía potencial se convierte en energía cinética. En el caso de la pólvora que arde y empuja una bala, la energía potencial química se convierte en energía cinética de la bala, y del arma que recula. En el caso de un arco y una flecha, es la energía potencial elástica en la cuerda del arco. Inelástica La segunda posibilidad es la inversa: que dos o más objetos colisionen entre sí y se peguen, para formar (tras la colisión) un único objeto compuesto. La masa total de este objeto compuesto es la suma de las masas de los objetos originales, y el nuevo objeto único se desplaza a una velocidad dictada por la conservación del momento. Sin embargo, resulta de nuevo que, aunque el momento total del sistema de objetos permanezca constante, la energía cinética no lo hace; esta vez, sin embargo, la energía cinética disminuye. Este tipo de colisión se denomina inelástica . Cualquier colisión en la que los objetos se peguen entre sí dará lugar a la máxima pérdida de energía cinética (es decir, K f será un mínimo). Una colisión de este tipo se denomina perfectamente inelástica . En el caso extremo, varios objetos colisionan, se pegan y permanecen inmóviles después de la colisión. Dado que los objetos están todos inmóviles después de la colisión, la energía cinética final también es cero; por lo tanto, la pérdida de energía cinética es máxima. Si 0 < K f < K i , la colisión es inelástica. Si K f es la energía más baja, o la energía que pierden ambos objetos es la mayor, la colisión es perfectamente inelástica (los objetos se pegan). Si K f = K i , la colisión es elástica. Elástica El caso extremo del otro lado es si dos o más objetos se acercan, colisionan y rebotan entre sí, y luego se alejan el uno del otro a la misma rapidez relativa a la que se acercaron. En este caso, la energía cinética total del sistema se conserva. Dicha interacción se denomina elástica . En cualquier interacción de un sistema cerrado de objetos, el momento total del sistema se conserva ( p → f = p → i ) pero la energía cinética puede que no: Si 0 < K f < K i , la colisión es inelástica. Si K f = 0 , la colisión es perfectamente inelástica. Si K f = K i , la colisión es elástica. Si K f > K i , la interacción es una explosión. La cuestión de todo esto es que, al analizar una colisión o una explosión, se puede utilizar tanto el momento como la energía cinética. Colisiones Un sistema cerrado siempre conserva el momento; también podría conservar la energía cinética, pero muy a menudo no lo hace. Los problemas de energía-momento confinados a un plano (como el nuestro) suelen tener dos incógnitas. En general, este enfoque funciona bien: Defina un sistema cerrado. Escriba la expresión de la conservación del momento. Si la energía cinética se conserva, escriba la expresión de la conservación de la energía cinética; si no, escriba la expresión del cambio de energía cinética. Ahora tiene dos ecuaciones en dos incógnitas, que resuelve por métodos estándar. Formación de un deuterón Un protón (masa 1,67 × 10 −27 kg ) colisiona con un neutrón (con esencialmente la misma masa que el protón) para formar una partícula que recibe el nombre de deuterón . ¿Cuál es la velocidad del deuterón si se forma a partir de un protón que se mueve con velocidad 7,0 × 10 6 m/s hacia la izquierda y un neutrón que se mueve a velocidad 4,0 × 10 6 m/s hacia la derecha? Estrategia Defina el sistema como las dos partículas. Se trata de una colisión, por lo que primero debemos identificar de qué tipo es. Ya que se nos dice que las dos partículas forman una sola tras la colisión, esto significa que la colisión es perfectamente inelástica. Así, la energía cinética no se conserva, pero el momento sí. Por lo tanto, utilizamos la conservación del momento para determinar la velocidad final del sistema. Solución Trate las dos partículas como si tuvieran masas idénticas M . Utilice los subíndices p, n y d para protón, neutrón y deuterón, respectivamente. Este es un problema unidimensional, por lo que tenemos M v p - M v n = 2 M v d . Las masas se dividen: v p - v n = 2 v d 7,0 × 10 6 m/s - 4,0 × 10 6 m/s = 2 v d v d = 1,5 × 10 6 m/s. Así, la velocidad es v → d = ( 1,5 × 10 6 m/s ) i ^ . Importancia Así es como funcionan esencialmente los colisionadores de partículas como el Gran Colisionador de Hadrones: Aceleran las partículas hasta una rapidez muy elevada (grandes momentos), pero en direcciones opuestas. Esto maximiza la creación de las llamadas "partículas hijas". Hockey sobre hielo 2 (Esta es la variación de un ejemplo anterior). Dos discos de hockey sobre hielo de diferentes masas se encuentran en una pista de hockey plana y horizontal. El disco rojo tiene una masa de 15 gramos y está inmóvil; el disco azul tiene una masa de 12 gramos y se mueve a 2,5 m/s hacia la izquierda. Colisiona con el disco rojo inmóvil ( ). Si la colisión es perfectamente elástica, ¿cuáles son las velocidades finales de los dos discos? Dos discos de hockey diferentes colisionando. El diagrama superior muestra los discos en el instante anterior a la colisión, y el diagrama inferior muestra los discos en el instante posterior a la colisión. La fuerza externa neta es cero. Estrategia Nos dicen que tenemos dos objetos que colisionan, nos indican sus masas y velocidades iniciales, y nos piden ambas velocidades finales. La conservación del momento parece ser una buena estrategia; defina el sistema como los dos discos. No hay fricción, por lo que tenemos ningún sistema cerrado. Tenemos dos incógnitas (las dos velocidades finales), pero solo una ecuación. El comentario de que la colisión es perfectamente elástica es la pista sugiere que la energía cinética también se conserva en esta colisión. Eso nos da nuestra segunda ecuación. El momento inicial y la energía cinética inicial del sistema residen enteramente y solo en el segundo disco (el azul); la colisión transfiere parte de este momento y energía al primer disco. Solución La conservación del momento, en este caso, se lee p i = p f m 2 v 2,i = m 1 v 1,f + m 2 v 2,f . La conservación de la energía cinética se lee K i = K f 1 2 m 2 v 2,i 2 = 1 2 m 1 v 1,f 2 + 1 2 m 2 v 2,f 2 . Ahí están nuestras dos ecuaciones en dos incógnitas. El álgebra es tediosa, pero no es terriblemente difícil; sin duda hay que trabajar en ella. La solución es v 1,f = ( m 1 - m 2 ) v 1,i + 2 m 2 v 2,i m 1 + m 2 v 2 f = ( m 2 - m 1 ) v 2,i + 2 m 1 v 1,i m 1 + m 2 . Al sustituir los números dados, obtenemos v 1,f = 2,22 m s v 2,f = -0,28 m s . Importancia Observe que, después de la colisión, el disco azul se mueve hacia la derecha; su dirección de movimiento se ha invertido. El disco rojo se mueve ahora hacia la izquierda. Hay una segunda solución al sistema de ecuaciones resuelto en este ejemplo (porque la ecuación de la energía es cuadrática): v 1,f = −2,5 m/s , v 2,f = 0 . Esta solución es inaceptable desde el punto de vista físico; ¿qué tiene de malo? Esta solución representa el caso en el que no se produce ninguna interacción: el primer disco no alcanza al segundo y continúa con una velocidad de 2,5 m/s hacia la izquierda. Este caso no ofrece ninguna perspectiva física significativa. Thor contra Iron Man La película de 2012 Los Vengadores tiene una escena en la que Iron Man y Thor luchan. Al principio de la pelea, Thor lanza su martillo a Iron Man; lo golpea y lo lanza ligeramente al aire y contra un pequeño árbol, que se rompe. En el video, Iron Man está parado cuando el martillo lo golpea. La distancia entre Thor y Iron Man es de aproximadamente 10 m, y el martillo tarda aproximadamente 1 s en llegar a Iron Man después de que Thor lo suelta. El árbol está a unos 2 m detrás de Iron Man, que golpea en unos 0,75 s. Además, según el, la trayectoria de Iron Man hacia el árbol es muy cercana a la horizontal. Asumiendo que la masa total de Iron Man es de 200 kg: Calcule la masa del martillo de Thor Calcule cuánta energía cinética se perdió en esta colisión. Estrategia Tras la colisión, el martillo de Thor está en contacto con Iron Man todo el tiempo, por lo que se trata de una colisión perfectamente inelástica. Así, con la elección correcta del sistema cerrado, esperamos que el momento se conserve, pero no la energía cinética. Utilizamos los números dados para estimar el momento inicial, la energía cinética inicial y la energía cinética final. Ya que se trata de un problema unidimensional, podemos pasar directamente a la forma escalar de las ecuaciones. Solución En primer lugar, planteamos la conservación del momento. Para ello, necesitamos un sistema cerrado. La elección aquí es el sistema (martillo + Iron Man), desde el momento de la colisión hasta el momento justo antes de que Iron Man y el martillo golpeen el árbol. Supongamos: M H = masa del martillo M I = masa de Iron Man v H = velocidad del martillo antes de golpear a Iron Man v = velocidad combinada de Iron Man + martillo después de la colisión De nuevo, la velocidad inicial de Iron Man era cero. La conservación del momento aquí se lee: M H v H = ( M H + M I ) v . Se nos pide que calculemos la masa del martillo, por lo que tenemos M H v H = M H v + M I v M H ( v H - v ) = M I v M H = M I v v H - v = ( 200 kg ) ( 2 m 0,75 s ) 10 m s - ( 2 m 0,75 s ) = 73 kg. Teniendo en cuenta las incertidumbres de nuestras estimaciones, esto debería expresarse con una sola cifra significativa; por lo tanto, M H = 7 × 10 1 kg . La energía cinética inicial del sistema, al igual que el momento inicial, está toda en el martillo: K i = 1 2 M H v H 2 = 1 2 ( 70 kg ) ( 10 m/s ) 2 = 3.500 J. Después de la colisión, K f = 1 2 ( M H + M I ) v 2 = 1 2 ( 70 kg + 200 kg ) ( 2,67 m/s ) 2 = 960 J. Así, hubo una pérdida de 3.500 J - 960 J = 2.540 J . Importancia Por otras escenas de la película, Thor aparentemente puede controlar la velocidad del martillo con su mente. Es posible, por lo tanto, que mentalmente haga que el martillo mantenga su velocidad inicial de 10 m/s mientras Iron Man es conducido hacia atrás, hacia el árbol. De ser así, esto representaría una fuerza externa en nuestro sistema, por lo que no estaría cerrado. Sin embargo, el control mental de Thor sobre su martillo está fuera del alcance de este libro. Analizar un accidente de tráfico En un semáforo, un camión grande (3.000 kg) choca con un auto pequeño (1.200 kg) inmóvil. El camión se detiene instantáneamente; el auto se desliza en línea recta y se detiene tras deslizarse 10 metros. El coeficiente de fricción, medido entre los neumáticos del auto y la carretera, era de 0,62. ¿Qué tan rápido se movía el camión al momento del impacto? Estrategia Al principio pareciera que no tenemos suficiente información para resolver este problema. Aunque conocemos la rapidez inicial del auto, no conocemos la rapidez del camión (de hecho, eso es lo que se nos pide que calculemos), por lo que no conocemos el momento inicial del sistema. Del mismo modo, conocemos la rapidez final del camión, pero no la del auto inmediatamente después del impacto. El hecho de que el auto acabara deslizándose hasta una rapidez de cero no ayuda con el momento final, ya que una fuerza de fricción externa lo provocó. Tampoco podemos calcular el impulso, ya que no conocemos el tiempo de colisión, como tampoco el tiempo que el auto se deslizó antes de detenerse. Una estrategia útil es imponer una restricción al análisis. Supongamos que definimos un sistema formado solo por el camión y el auto. El momento de este sistema no se conserva, debido a la fricción entre el auto y la carretera. Sin embargo, si pudiéramos determinar la rapidez del auto en el instante posterior al impacto, antes de que la fricción tuviera algún efecto medible en el auto, entonces podríamos considerar que el momento del sistema se conserva, con esa restricción. ¿Podemos hallar la rapidez final del auto? Sí; invocamos el teorema de trabajo-energía cinética. Solución Primero, defina algunas variables. Supongamos que: M c y M T sean las masas del auto y del camión, respectivamente v T,i y v T,f sean las velocidades del camión antes y después de la colisión, respectivamente v c,i y v c,f Z sean las velocidades del auto antes y después de la colisión, respectivamente K i y K f sean las energías cinéticas del auto inmediatamente después de la colisión, y después de que el auto haya dejado de deslizarse (así que K f = 0 ). d sea la distancia que el auto se desliza después de la colisión antes de detenerse. Ya que en realidad queremos la rapidez inicial del camión, y dado que el camión no forma parte del cálculo de trabajo-energía, empecemos con la conservación del momento. Para el sistema auto + camión, la conservación del momento se lee p i = p f M c v c,i + M T v T,i = M c v c,f + M T v T,f . Ya que la velocidad inicial del auto era cero, al igual que la velocidad final del camión, esto se simplifica a v T,i = M c M T v c,f . Así que ahora necesitamos la rapidez del auto inmediatamente después del impacto. Recordemos que W = Δ K donde Δ K = K f - K i = 0 - 1 2 M c v c,f 2 . También, W = F → · d → = F d cos θ . El trabajo se realiza a lo largo de la distancia que el auto se desliza, que hemos llamado d . Igualando: F d cos θ = - 1 2 M c v c,f 2 . La fricción es la fuerza sobre el auto que realiza el trabajo para detener el deslizamiento. Con una carretera nivelada, la fuerza de fricción es F = μ k M c g . Dado que el ángulo entre las direcciones del vector de fuerza de fricción y el desplazamiento d es 180 ° , y cos ( 180 ° ) = -1 , tenemos - ( μ k M c g ) d = - 1 2 M c v c,f 2 (Observe que la masa del auto se divide; evidentemente, la masa del auto no importa). Si se resuelve la rapidez del auto inmediatamente después de la colisión, se obtiene v c,f = 2 μ k g d . Al sustituir los números dados: v c,f = 2 ( 0,62 ) ( 9,81 m s 2 ) ( 10 m ) = 11,0 m/s . . Ahora podemos calcular la rapidez inicial del camión: v T,i = ( 1.200 kg 3.000 kg ) ( 11,0 m s ) = 4,4 m/s . Importancia Este es un ejemplo del tipo de análisis que realizan los investigadores de los grandes accidentes de tráfico. Del análisis y el cálculo precisos del momento y de la energía dependen muchas consecuencias jurídicas y financieras. Supongamos que no hubo fricción (la colisión se produjo sobre el hielo); eso haría que μ k sea cero, y por lo tanto v c,f = 2 μ k g d = 0 , lo cual es obviamente erróneo. ¿Cuál es el error en esta conclusión? Si la fricción que actúa sobre el auto es cero, entonces seguirá deslizándose indefinidamente ( d → ∞ ), por lo que no podemos utilizar el teorema de trabajo-energía cinética como se hace en el ejemplo. Así, no pudimos resolver el problema a partir de la información proporcionada. Colisiones subatómicas y momento La conservación del momento es crucial para nuestra comprensión de las partículas atómicas y subatómicas porque gran parte de lo que sabemos sobre estas partículas procede de experimentos de colisión. A principios del siglo XX, la estructura del átomo suscitó un gran interés y debate. Se sabía que los átomos contienen dos tipos de partículas con carga eléctrica: electrones con carga negativa y protones con carga positiva. (Se sospechaba la existencia de una partícula eléctricamente neutra, pero esto no se confirmaría sino hasta 1932). La pregunta era, ¿cómo estaban dispuestas estas partículas en el átomo? ¿Estaban distribuidas uniformemente por el volumen del átomo (como propuso J.J. Thomson), o dispuestas en las esquinas de polígonos regulares (que era el modelo de Gilbert Lewis), o anillos de carga negativa que rodean el núcleo cargado positivamente, más bien como los anillos planetarios que rodean Saturno (como sugirió Hantaro Nagaoka), o algo más? El físico neozelandés Ernest Rutherford , junto con el físico alemán Hans Geiger y el físico británico Ernest Marsden , realizaron el crucial experimento en 1909. Bombardearon una fina lámina de oro con un haz de partículas alfa de alta energía (es decir, de alta rapidez) (el núcleo de un átomo de helio). Las partículas alfa colisionaron con los átomos de oro y sus velocidades posteriores se detectaron y analizaron, mediante el empleo de la conservación del momento y la conservación de la energía. Si las cargas de los átomos de oro estuvieran distribuidas uniformemente (según Thomson), entonces las partículas alfa deberían colisionar con ellas y casi todas serían desviadas a través de muchos ángulos, todos pequeños; el modelo de Nagaoka arrojaría un resultado similar. Si los átomos estuvieran dispuestos como polígonos regulares (Lewis), las partículas alfa se desviarían en un número relativamente pequeño de ángulos. Lo que realmente ocurrió es que casi ninguna de las partículas alfa fue desviada. Las que lo fueron, se desviaron en grandes ángulos, algunos cerca de 180 ° , esas partículas alfa invirtieron completamente su dirección ( ). Ninguno de los modelos atómicos existentes podría explicar esto. Con el tiempo, Rutherford desarrolló un modelo del átomo que se acercaba mucho más a lo que tenemos ahora, de nuevo, utilizando la conservación del momento y la energía como punto de partida. Los modelos de Thomson y Rutherford del átomo. El modelo de Thomson predijo que casi todas las partículas alfa incidentes se dispersarían y en ángulos pequeños. Rutherford y Geiger descubrieron que casi ninguna de las partículas alfa se dispersaba, aunque las pocas que se desviaban lo hacían con ángulos muy grandes. Los resultados de los experimentos de Rutherford no concuerdan con el modelo de Thomson. Rutherford utilizó la conservación del momento y la energía para desarrollar un nuevo y mejor modelo del átomo: el modelo nuclear. Resumen La colisión elástica es aquella que conserva la energía cinética. La colisión inelástica no conserva la energía cinética. El momento se conserva, independientemente de que la energía cinética se conserve o no. El análisis de los cambios de energía cinética y la conservación del momento permiten calcular las velocidades finales en términos de velocidades y masas iniciales en colisiones unidimensionales de dos cuerpos. Preguntas conceptuales Dos objetos de igual masa se mueven con velocidades iguales y opuestas cuando colisionan. ¿Puede perderse toda la energía cinética en la colisión? Sí, toda la energía cinética puede perderse si las dos masas entran en reposo debido a la colisión (es decir, se pegan). Describa un sistema en el que el momento se conserva, pero la energía mecánica no. Ahora, lo contrario: Describa un sistema en el que la energía cinética se conserva, pero el momento no. Problemas Una bola de boliche de 5,50 kg, que se mueve a 9,00 m/s, colisiona con un pin de 0,850 kg, que se dispersa en un ángulo de 15,8° respecto a la dirección inicial de la bola de bolos y con una rapidez de 15,0 m/s. Calcule la velocidad final (magnitud y dirección) de la bola de bolos. ¿Es elástica la colisión? a. 6,80 m/s, 5,33°; b. sí (calcule la relación entre las energías cinéticas inicial y final) Ernest Rutherford (primer neozelandés galardonado con el Premio Nobel de Química) demostró, mediante la dispersión de núcleos de helio-4 desde núcleos de oro-197, que los núcleos eran muy pequeños y densos. La energía del núcleo de helio entrante era 8,00 × 10 −13 J , y las masas de los núcleos de helio y oro eran 6,68 × 10 −27 kg y 3,29 × 10 −25 kg , respectivamente (observe que su cociente de masas es de 4 a 197). a. Si un núcleo de helio se dispersa en un ángulo de 120 ° durante una colisión elástica con un núcleo de oro, calcule la rapidez final del núcleo de helio y la velocidad final (magnitud y dirección) del núcleo de oro. b. ¿Cuál es la energía cinética final del núcleo de helio? Un jugador de hockey sobre hielo de 90,0 kg golpea un disco de 0,150 kg, lo que da al disco una velocidad de 45,0 m/s. Si ambos están inicialmente en reposo y si el hielo no tiene fricción, ¿qué distancia retrocede el jugador en el tiempo que tarda el disco en llegar a la portería situada a 15,0 m? 2,5 cm Un petardo de 100 g se lanza verticalmente al aire y estalla en dos pedazos en el pico de su trayectoria. Si un pedazo de 72 g se proyecta horizontalmente hacia la izquierda a 20 m/s, ¿cuál es la rapidez y la dirección del otro pedazo? En una colisión elástica, un auto de choque de 400 kg choca directamente por detrás con un segundo auto de choque idéntico que se desplaza en la misma dirección. La rapidez inicial del auto de choques de adelante es de 5,60 m/s y la del auto que lo sigue es de 6,00 m/s. Suponiendo que la masa de los conductores es mucho, mucho menor que la de los autos de choque, ¿cuál es su rapidez final? la rapidez del auto de choque de adelante es de 6,00 m/s y la del auto de choque que lo sigue es de 5,60 m/s Repita el problema anterior si la masa del auto de choque de adelante es un 30,0 % mayor que la del auto de choque que lo sigue. Una partícula alfa ( 4 He) sufre una colisión elástica con un núcleo inmóvil de uranio( 235 U). ¿Qué porcentaje de la energía cinética de la partícula alfa se transfiere al núcleo de uranio? Suponga que la colisión es unidimensional. 6,6 % Está de pie en una superficie helada muy resbaladiza y lanza un balón de fútbol de 1 kg en horizontal a una rapidez de 6,7 m/s. ¿Cuál es su velocidad cuando suelta el balón? Suponga que su masa es de 65 kg. Una niña de 35 kg baja una colina en un trineo relativamente sin masa y luego se desplaza por la sección plana de la parte inferior, donde una segunda niña de 35 kg salta sobre el trineo cuando éste pasa a su lado. Si la rapidez del trineo es de 3,5 m/s antes de que la segunda niña se suba, ¿cuál es su rapidez después de que ella se sube? 1,8 m/s Un niño baja en trineo por una colina y llega a un lago cubierto de hielo sin fricción a 10,0 m/s. En el centro del lago hay una roca de 1.000 kg. Cuando el trineo choca con la roca, es impulsado hacia atrás desde la roca. La colisión es una colisión elástica. Si la masa del niño es de 40,0 kg y la del trineo es de 2,50 kg, ¿cuál es la rapidez del trineo y de la roca tras la colisión? elástica colisión que conserva la energía cinética explosión un solo objeto se rompe en varios objetos; la energía cinética no se conserva en las explosiones inelástica colisión que no conserva la energía cinética perfectamente inelástica colisión tras la cual todos los objetos están inmóviles, la energía cinética final es cero, y la pérdida de energía cinética es máxima

Ciencia


Colisiones en varias dimensiones Es mucho más común que las colisiones se produzcan en dos dimensiones; es decir, el ángulo entre los vectores de la velocidad inicial no es ni cero ni 180 ° . Veamos qué complicaciones surgen de esto. La primera idea que necesitamos es que el momento es un vector. Como todos los vectores, puede expresarse como una suma de componentes perpendiculares (normalmente, aunque no siempre, un componente x y un componente y , y, si es necesario, un componente z ). Así, cuando escribimos el enunciado de la conservación del momento para un problema, nuestros vectores de momento pueden expresarse, y normalmente se expresarán, en forma de componentes. La segunda idea que necesitamos proviene del hecho de que el momento está relacionado con la fuerza: F → = d p → d t . Expresando tanto la fuerza como el momento en forma de componentes, F x = d p x d t , F y = d p y d t , F z = d p z d t . Recuerde que estas ecuaciones son simplemente la segunda ley de Newton, en forma vectorial y en forma de componentes. Sabemos que la segunda ley de Newton se cumple en cada dirección, independientemente de las demás. Por lo tanto, se deduce (a través de la tercera ley de Newton) que la conservación del momento también es cierta en cada dirección de forma independiente. Estas dos ideas motivan la solución de problemas bidimensionales. Escribimos la expresión de la conservación del momento dos veces: una en la dirección de la x y otra en la dirección de la y . p f , x = p 1,i , x + p 2,i , x p f , y = p 1,i , y + p 2,i , y Este procedimiento se muestra gráficamente en la . (a) Para los problemas bidimensionales de momento, descomponga los vectores de momento inicial en sus componentes x y y . (b) Sume los componentes x y y por separado. De este modo se obtienen los componentes x y y del momento final, que se muestran como vectores rojos discontinuos. (c) Sumando estos componentes se obtiene el momento final. Resolvemos cada una de estas dos ecuaciones componentes de forma independiente para obtener los componentes x y y del vector de velocidad deseado: v f , x = m 1 v 1,i , x + m 2 v 2,i , x m v f , y = m 1 v 1,i , y + m 2 v 2,i , y m . (Aquí, m representa la masa total del sistema). Finalmente, combine estos componentes mediante el teorema de Pitágoras, v f = | v → f | = v f , x 2 + v f , y 2 . Conservación del momento en dos dimensiones El método para resolver un problema bidimensional (o incluso tridimensional) de conservación del momento es generalmente el mismo que el método para resolver un problema unidimensional, excepto que hay que conservar el momento en ambas (o en las tres) dimensiones simultáneamente: Identifique un sistema cerrado. Escriba la ecuación que representa la conservación del momento en la dirección de la x , y resuélvala para la cantidad deseada. Si está calculando una cantidad vectorial (velocidad, normalmente), esto le dará el componente x del vector. Escriba la ecuación que representa la conservación del momento en la dirección de la y , y resuelva. Esto le dará el componente y de su cantidad vectorial. Suponiendo que está calculando una cantidad vectorial, utilice el teorema de Pitágoras para calcular su magnitud, utilizando los resultados de los pasos 3 y 4. Colisión de tráfico Un auto pequeño de 1.200 kg de masa que viaja hacia el este a 60 km/h colisiona en una intersección con un camión de 3.000 kg de masa que viaja hacia el norte a 40 km/h ( ). Los dos vehículos se enganchan. ¿Cuál es la velocidad de los restos combinados del accidente? Un camión grande que circula hacia el norte está a punto de colisionar con un auto pequeño que circula hacia el este. El vector de momento final tiene componentes x y y . Estrategia En primer lugar, necesitamos un sistema cerrado. El sistema natural a elegir es el (auto + camión), pero este sistema no es cerrado; la fricción de la carretera actúa sobre ambos vehículos. Evitamos este problema al restringir la pregunta para calcular la velocidad en el instante justo después de la colisión, de modo que la fricción no haya tenido aún ningún efecto sobre el sistema. Con esta restricción, el momento se conserva para este sistema. Dado que hay dos direcciones involucradas, hacemos la conservación del momento dos veces: una en la dirección de la x y otra en la dirección de la y . Solución Antes de la colisión el momento total es p → = m c v → c + m T v → T . Después de la colisión, los restos del accidente tienen momento p → = ( m c + m T ) v → w . En vista de que el sistema es cerrado, el momento debe conservarse, por lo que tenemos m c v → c + m T v → T = ( m c + m T ) v → w . Hay que tener cuidado; los dos momentos iniciales no son paralelos. Hay que sumar vectorialmente ( ). Suma gráfica de vectores de momento. Observe que, aunque la velocidad del auto es mayor que la del camión, su momento es menor. Si definimos que la dirección de la x + apunta hacia el este y la dirección de la + y apunta hacia el norte, como en la figura, entonces (convenientemente), p → c = p c i ^ = m c v c i ^ p → T = p T j ^ = m T v T j ^ . Por lo tanto, en la dirección de la x : m c v c = ( m c + m T ) v w , x v w , x = ( m c m c + m T ) v c y en la dirección de la y : m T v T = ( m c + m T ) v w , y v w , y = ( m T m c + m T ) v T . Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene | v → w | = [ ( m c m c + m t ) v c ] 2 + [ ( m t m c + m t ) v t ] 2 = [ ( 1.200 kg 4.200 kg ) ( 16,67 m s ) ] 2 + [ ( 3.000 kg 4.200 kg ) ( 11,1 m s ) ] 2 = ( 4,76 m s ) 2 + ( 7,93 m s ) 2 = 9,25 m s ≈ 33,3 km h . En cuanto a su dirección, al utilizar el ángulo que se muestra en la figura, θ = tan −1 ( v w , x v w , y ) = tan −1 ( 7,93 m/s 4,76 m/s ) = 59 ° . Este ángulo está al este del norte, o 31 ° en el sentido contrario de las agujas del reloj desde la dirección de la x +. Importancia En la práctica, los investigadores de accidentes suelen trabajar en la "dirección opuesta": miden la distancia de las marcas de derrape en la carretera (lo que da la distancia de frenado) y utilizan el teorema de trabajo-energía junto con la conservación del momento para determinar la rapidez y dirección de los autos antes de la colisión. Hemos visto ese análisis en una sección anterior. Supongamos que las velocidades iniciales no son perpendiculares entre sí. ¿Cómo cambiaría esto tanto el resultado físico como el análisis matemático de la colisión? Si las velocidades iniciales no estuvieran en ángulo recto, habría que expresar una o ambas velocidades en forma de componentes. El análisis matemático del problema sería algo más complicado, pero el resultado físico no cambiaría. Explosión de tanque de buceo Un tanque de buceo común es un cilindro de aluminio que pesa 31,7 libras vacío ( ). Cuando está lleno de aire comprimido, la presión interna está entre 2.500 y 3.000 libras por pulgada cuadrada (pounds per square inch, psi). Supongamos que un tanque de este tipo, que ha estado inmóvil, estalla de repente en tres pedazos. El primer pedazo, que pesa 10 libras, sale disparado horizontalmente a 235 millas por hora; el segundo pedazo (7 libras) sale disparado a 172 millas por hora, también en el plano horizontal, pero a un ángulo de 19 ° con respecto al primer pedazo. ¿Cuál es la masa y la velocidad inicial del tercer pedazo? (Haga todo el trabajo y exprese su respuesta final en unidades del SI). Un tanque de buceo estalla en tres pedazos. Estrategia Para utilizar la conservación del momento, necesitamos un sistema cerrado. Si definimos el sistema como el tanque de buceo, este no es un sistema cerrado, ya que la gravedad es una fuerza externa. Sin embargo, el problema pide solo la velocidad inicial del tercer pedazo, por lo que podemos descartar el efecto de la gravedad y considerar el tanque por sí mismo como un sistema cerrado. Observe que, para este sistema, el vector de momento inicial es cero. Elegimos un sistema de coordenadas en el que todo el movimiento se produce en el plano xy . Luego, escribimos las ecuaciones de conservación del momento en cada dirección, para obtener los componentes x y y del momento del tercer pedazo, de los que obtenemos su magnitud (mediante el teorema de Pitágoras) y su dirección. Finalmente, al dividir este momento entre la masa del tercer pedazo, obtenemos la velocidad. Solución En primer lugar, salgamos de todas las conversiones a unidades del SI: 31,7 lb × 1 kg 2,2 lb → 14,4 kg 10 lb → 4,5 kg 235 millas hora × 1 hora 3.600 s × 1.609 m milla = 105 m s 7 lb → 3,2 kg 172 milla hora = 77 m s m 3 = 14,4 kg - ( 4,5 kg + 3,2 kg ) = 6,7 kg. Ahora aplicamos la conservación del momento en cada dirección. dirección de la x : p f, x = p 0, x p 1, x + p 2, x + p 3, x = 0 m 1 v 1, x + m 2 v 2, x + p 3, x = 0 p 3, x = - m 1 v 1, x - m 2 v 2, x dirección de la y : p f, y = p 0, y p 1, y + p 2, y + p 3, y = 0 m 1 v 1, y + m 2 v 2, y + p 3, y = 0 p 3, y = - m 1 v 1, y - m 2 v 2, y A partir de nuestro sistema elegido de coordenadas, escribimos los componentes x como p 3 , x = - m 1 v 1 - m 2 v 2 cos θ = - ( 4,5 kg ) ( 105 m s ) - ( 3,2 kg ) ( 77 m s ) cos ( 19 ° ) = −705 kg · m s . Para la dirección de la y , tenemos p 3 y = 0 - m 2 v 2 sen θ = - ( 3,2 kg ) ( 77 m s ) sen ( 19 ° ) = −80,2 kg · m s . Esto da la magnitud de p 3 : p 3 = p 3, x 2 + p 3, y 2 = ( −705 kg · m s ) 2 + ( −80,2 kg · m s ) = 710 kg · m s . Por lo tanto, la velocidad del tercer pedazo es v 3 = p 3 m 3 = 710 kg · m s 6,7 kg = 106 m s . La dirección de su vector de velocidad es la misma que la de su vector de momento: ϕ = tan −1 ( p 3, y p 3, x ) = tan −1 ( 80,2 kg · m s 705 kg · m s ) = 6,49 ° . Dado que ϕ está por debajo del eje de la - x , el ángulo real es 183,5 ° desde la dirección de la x +. Importancia Las enormes velocidades aquí son típicas; la explosión de un tanque de cualquier gas comprimido puede atravesar fácilmente la pared de una casa y causar lesiones importantes o la muerte. Afortunadamente, este tipo de explosiones son extremadamente raras, en términos porcentuales. Observe que en el análisis y la solución se ha descartado la masa del aire en el tanque. ¿Cómo cambiaría el método de solución si se incluyera el aire? ¿Qué diferencia cree que habría en la respuesta final? El volumen de un tanque de buceo es de unos 11 L. Suponiendo que el aire es un gas ideal, el número de moléculas de gas en el tanque es P V = N R T N = P V R T = ( 2.500 psi ) ( 0,011 m 3 ) ( 8,31 J/mol · K ) ( 300 K ) ( 6894,8 Pa 1 psi ) = 7,59 × 10 1 mol La masa molecular media del aire es de 29 g/mol, por lo que la masa de aire contenida en el tanque es de unos 2,2 kg. Esto es unas 10 veces menos que la masa del tanque, por lo que es seguro descartarlo. Además, la fuerza inicial de la presión del aire es aproximadamente proporcional a la superficie de cada pedazo, que a su vez es proporcional a la masa de cada pedazo (suponiendo un grosor uniforme). Así, la aceleración inicial de cada pedazo cambiaría muy poco si consideramos explícitamente el aire. Resumen El enfoque de las colisiones bidimensionales consiste en elegir un sistema de coordenadas conveniente y dividir el movimiento en componentes a lo largo de ejes perpendiculares. El momento se conserva en ambas direcciones de forma simultánea e independiente. El teorema de Pitágoras da la magnitud del vector de momento mediante el empleo de los componentes x y y , calculados con la conservación del momento en cada dirección. Preguntas conceptuales El momento de un sistema puede conservarse en una dirección y no conservarse en otra. ¿Cuál es el ángulo entre las direcciones? Dé un ejemplo. El ángulo entre las direcciones debe ser de 90°. Cualquier sistema que tenga una fuerza externa neta de cero en una dirección y una fuerza externa neta diferente de cero en una dirección perpendicular satisfará estas condiciones. Problemas Un halcón de 0,90 kg se sumerge a 28,0 m/s en un ángulo de caída de 35 ° . Atrapa una paloma de 0,325 kg por detrás en pleno vuelo. ¿Cuál es su velocidad combinada después del impacto si la velocidad inicial de la paloma era de 7,00 m/s dirigida horizontalmente? Observe que v ^ 1, i es un vector unitario que apunta en la dirección en la que el halcón vuela inicialmente. (créditos: "halcón", modificación del trabajo de "Servicio de Pesca y Vida Silvestre de los EE. UU. [U.S. Fish and Wildlife Service, USFWS] región Mountain-Prairie"/Flickr; "paloma", modificación del trabajo de Jacob Spinks). 22,1 m/s a 32,2 ° por debajo de la horizontal Una bola de billar, marcada como 1, que se mueve horizontalmente, golpea a otra bola de billar, marcada como 2, que está en reposo. Antes del impacto, la bola 1 se movía a una rapidez de 3,00 m/s, y después del impacto se mueve a 0,50 m/s a 50° de la dirección original. Si las dos bolas tienen masas iguales de 300 g, ¿cuál es la velocidad de la bola 2 después del impacto? Un proyectil de masa 2,0 kg se dispara al aire con un ángulo de 40,0 ° al horizonte a una rapidez de 50,0 m/s. En el punto más alto de su vuelo, el proyectil se rompe en tres partes de masa 1,0 kg, 0,7 kg y 0,3 kg. La parte de 1,0 kg cae en línea recta después de la ruptura con una rapidez inicial de 10,0 m/s, el pedazo de 0,7 kg se mueve en la dirección original hacia adelante, y el pedazo de 0,3 kg va en línea recta hacia arriba. Calcule la rapidez de los pedazos de 0,3 kg y 0,7 kg inmediatamente después de la ruptura. ¿A qué altura del punto de ruptura llega el pedazo de 0,3 kg antes de entrar en reposo? ¿Dónde aterriza el pedazo de 0,7 kg en relación con el lugar desde donde salió disparado? a. 33 m/s y 110 m/s; b. 57 m; c. 480 m Dos asteroides colisionan y se pegan. El primer asteroide tiene una masa de 15 × 10 3 kg y se desplaza inicialmente a 770 m/s. El segundo asteroide tiene una masa de 20 × 10 3 kg y se desplaza a 1.020 m/s. Sus velocidades iniciales formaban un ángulo de 20° entre sí. ¿Cuál es la rapidez final y la dirección con respecto a la velocidad del primer asteroide? Un cohete de 200 kg en el espacio profundo se mueve a una velocidad de ( 121 m/s ) i ^ + ( 38,0 m/s ) j ^ . De repente, estalla en tres pedazos; el primero (78 kg) se desplaza a - ( 321 m/s ) i ^ + ( 228 m/s ) j ^ y el segundo (56 kg) se desplaza a ( 16,0 m/s ) i ^ - ( 88,0 m/s ) j ^ . Calcule la velocidad del tercer pedazo. ( 732 m/s ) i ^ + ( -79,6 m/s ) j ^ Un protón que viaja a 3,0 × 10 6 m/s se dispersa elásticamente desde una partícula alfa inicialmente estacionaria y se desvía en un ángulo de 85° con respecto a su velocidad inicial. Dado que la partícula alfa tiene cuatro veces la masa del protón, ¿qué porcentaje de su energía cinética inicial conserva el protón tras la colisión? Tres ciervos de 70 kg están de pie sobre una roca plana de 200 kg que está en un estanque cubierto de hielo. Se produce un disparo y los ciervos se dispersan; el ciervo A corre a ( 15 m/s ) i ^ + ( 5,0 m/s ) j ^ , el ciervo B corre a ( −12 m/s ) i ^ + ( 8,0 m/s ) j ^ , y el ciervo C corre a ( 1,2 m/s ) i ^ - ( 18,0 m/s ) j ^ . ¿Cuál es la velocidad de la roca sobre la que estaban parados? - ( 0,21 m/s ) i ^ + ( 0,25 m/s ) j ^ Una familia está patinando. El padre (75 kg) patina a 8,2 m/s y colisiona y se pega a la madre (50 kg), que se movía inicialmente a 3,3 m/s y a 45° respecto a la velocidad del padre. La pareja choca entonces con su hija (30 kg), que estaba inmóvil, y los tres se deslizan juntos. ¿Cuál es su velocidad final? Un átomo de oxígeno (masa 16 u) que se mueve a 733 m/s a 15,0° con respecto a la dirección i ^ colisiona y se pega a una molécula de oxígeno (masa 32 u) que se mueve a 528 m/s a 128° con respecto a la dirección i ^ . Los dos se pegan para formar el ozono. ¿Cuál es la velocidad final de la molécula de ozono? 341 m/s a 86,8° con respecto al eje i ^ . Dos autos de la misma masa se acercan a una intersección perpendicular de cuatro vías con mucho hielo. El auto A viaja hacia el norte a 30 m/s y el auto B viaja hacia el este. Colisionan y se pegan, para llegar a 28° al norte del este. ¿Cuál era la velocidad inicial del auto B?

Ciencia


Centro de masa Hasta ahora hemos eludido un asunto importante: cuando decimos que un objeto se mueve (más correctamente, se acelera) de una manera que obedece a la segunda ley de Newton, hemos pasado por alto el hecho de que todos los objetos están hechos realmente de muchas partículas constituyentes. Un auto tiene un motor, un volante, asientos, pasajeros; un balón de fútbol es cuero y goma con aire adentro; un ladrillo está hecho de átomos. Hay muchos tipos diferentes de partículas y, por lo general, no están distribuidas uniformemente en el objeto. ¿Cómo incluimos estos hechos en nuestros cálculos? Además, un objeto extendido puede cambiar de forma mientras se mueve, como un globo de agua o un gato que cae ( ). Esto implica que las partículas constituyentes aplican fuerzas internas entre sí, además de la fuerza externa que actúa en el objeto como un todo. Queremos ser capaces de manejar esto también. Mientras el gato cae, su cuerpo realiza complicados movimientos para poder caer de pie, pero un punto del sistema se mueve con la simple aceleración uniforme de la gravedad. El problema que tenemos ante nosotros, por tanto, es determinar qué parte de un objeto extendido obedece a la segunda ley de Newton cuando se aplica una fuerza externa y determinar cómo el movimiento del objeto en su conjunto se ve afectado por las fuerzas internas y externas. Está advertido: Para tratar correctamente esta nueva situación, debemos ser rigurosos y completamente generales. No haremos ninguna suposición sobre la naturaleza del objeto, ni de las partículas que lo componen, ni de las fuerzas internas o externas. Por lo tanto, los argumentos serán complejos. Fuerzas internas y externas Supongamos que tenemos un objeto extendido de masa M , formado por N partículas que interactúan. Vamos a marcar sus masas como m j , donde j = 1 , 2 , 3 , … , N . Observe que M = ∑ j = 1 N m j . Si aplicamos alguna fuerza externa neta F → ext sobre el objeto, cada partícula experimenta alguna "parte" o alguna fracción de esa fuerza externa. Supongamos que: f → j ext = la fracción de la fuerza externa que determinada partícula j experimenta. Observe que estas fracciones de la fuerza total no son necesariamente iguales; de hecho, prácticamente nunca lo son. ( Pueden serlo, pero normalmente no lo son). Por lo tanto, en general, f → 1 ext ≠ f → 2 ext ≠ ⋯ ≠ f → N ext . Luego, suponemos que cada una de las partículas que componen nuestro objeto puede interactuar (aplicar fuerzas sobre) todas las demás partículas del objeto. No trataremos de adivinar qué tipo de fuerzas son. Sin embargo, en vista de que estas fuerzas son el resultado de partículas del objeto que actúan sobre otras partículas del mismo objeto, nos referimos a ellas como fuerzas internas f → j int ; así: f → j int = la fuerza interna neta que determinada partícula j experimenta de todas las demás partículas que componen el objeto. Ahora, la fuerza neta , interna más externa, sobre la partícula j determinada es la suma vectorial de estas: f → j = f → j int + f → j ext . donde de nuevo, esto es para todas las N partículas; j = 1 , 2 , 3 , … , N . Como resultado de esta fuerza fraccional, el momento de cada partícula cambia: f → j = d p → j d t f → j int + f → j ext = d p → j d t . La fuerza neta F → sobre el objeto es la suma vectorial de estas fuerzas: F → neta = ∑ j = 1 N ( f → j i n t + f → j e x t ) = ∑ j = 1 N f → j i n t + ∑ j = 1 N f → j e x t . Esta fuerza neta cambia el momento del objeto como un todo, y el cambio neto del momento del objeto deberá ser la suma vectorial todos y cada uno de los cambios del momento de todas las partículas: F → neta = ∑ j = 1 N d p → j d t . Combinando la y la da ∑ j = 1 N f → j int + ∑ j = 1 N f → j ext = ∑ j = 1 N d p → j d t . Pensemos ahora en estas sumatorias. En primer lugar, considere el término de fuerzas internas; recuerde que cada f → j int es la fuerza que ejercen las demás partículas del objeto sobre la partícula j determinada. Sin embargo, según la tercera ley de Newton, por cada una de estas fuerzas deberá haber otra que tenga la misma magnitud, pero de signo contrario (que apunte en la dirección opuesta). Estas fuerzas no se cancelan; sin embargo, no es eso lo que estamos haciendo en la sumatoria. Más bien, simplemente estamos sumando matemáticamente todos los vectores de fuerza internos. Es decir, en general, las fuerzas internas para cualquier parte individual del objeto no se cancelarán, pero cuando se suman todas las fuerzas internas, estas deben cancelarse por pares. Se deduce, por lo tanto, que la suma de todas las fuerzas internas deberá ser cero: ∑ j = 1 N f → j int = 0 . (Este argumento es sutil, pero crucial; tómese el tiempo suficiente para entenderlo completamente). En relación con las fuerzas externas, esta suma es simplemente la fuerza externa total que se aplicó a todo el objeto: ∑ j = 1 N f → j ext = F → ext . Como resultado, F → ext = ∑ j = 1 N d p → j d t . Este es un resultado importante. La nos dice que el cambio total del momento de todo el objeto (todas las N partículas) se debe solo a las fuerzas externas; las fuerzas internas no cambian el momento del objeto en su conjunto. Por eso no puede levantarse a sí mismo por los aires al pararse en una cesta y halar las asas. Para el sistema de usted + cesta, su fuerza de tracción hacia arriba es una fuerza interna. Fuerza y momento Recuerde que nuestro objetivo real es determinar la ecuación de movimiento para todo el objeto (todo el sistema de partículas). Para ello, definamos: p → CM = el momento total del sistema de N partículas (la razón del subíndice quedará clara en breve) Entonces tenemos p → CM ≡ ∑ j = 1 N p → j , y, por lo tanto, la puede escribirse simplemente como F → = d p → CM d t . Dado que este cambio de momento lo causa únicamente la fuerza externa neta, hemos suprimido el subíndice "ext". Esta es la segunda ley de Newton, pero ahora para todo el objeto extendido. Si esto le parece un poco anticlimático, recuerde lo que se esconde en su interior: p → CM es la suma vectorial del momento de (en principio) cientos de miles de miles de millones de partículas ( 6,02 × 10 23 ) , todo ello causado por una simple fuerza externa neta, que se puede calcular. Centro de masa Nuestra siguiente tarea es determinar qué parte del objeto extendido, si es que hay alguna, obedece a la . Es tentador dar el siguiente paso; ¿significa algo la siguiente ecuación? F → = M a → Si significa algo (¿aceleración de qué, exactamente?), entonces podríamos escribir M a → = d p → CM d t y, por lo tanto, M a → = ∑ j = 1 N d p → j d t = d d t ∑ j = 1 N p → j . lo que se deduce porque la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. Ahora, p → j es el momento de la partícula j determinada. Definiendo las posiciones de las partículas constituyentes (en relación con algún sistema de coordenadas) como r → j = ( x j , y j , z j ) , así, tenemos p → j = m j v → j = m j d r → j d t . Sustituyendo de nuevo, obtenemos M a → = d d t ∑ j = 1 N m j d r → j d t = d 2 d t 2 ∑ j = 1 N m j r → j . Dividiendo ambos lados por M (la masa total del objeto extendido) nos da a → = d 2 d t 2 ( 1 M ∑ j = 1 N m j r → j ) . Así, el punto del objeto que traza la trayectoria dictada por la fuerza aplicada en la está dentro del paréntesis en la . Si observamos este cálculo, veremos que (dentro del paréntesis) estamos calculando el producto de la masa de cada partícula por su posición, sumando todas las N y dividiendo esta suma entre la masa total de partículas que hemos sumado. Esto recuerda una media; si nos inspiramos en ella, la interpretaremos (vagamente) como la posición media ponderada de la masa del objeto extendido. En realidad, recibe el nombre de centro de masa del objeto. Observe que la posición del centro de masa tiene unidades de metros; eso apunta a una definición: r → CM ≡ 1 M ∑ j = 1 N m j r → j . Así, el punto que obedece a la (y por tanto también a la ) es el centro de masa del objeto, que se encuentra en el vector de posición r → CM . Quizás le sorprenda saber que no es necesario que haya una masa real en el centro de masa de un objeto. Por ejemplo, una esfera de acero hueca con un vacío en su interior es esféricamente simétrica (lo que significa que su masa se distribuye uniformemente alrededor del centro de la esfera); toda la masa de la esfera está fuera en su superficie, sin masa en su interior. No obstante, se puede demostrar que el centro de masa de la esfera está en su centro geométrico, lo que parece razonable. Así, no hay masa en la posición del centro de masa de la esfera. (Otro ejemplo es una dona). El procedimiento para encontrar el centro de masa se ilustra en la . Hallar el centro de masa de un sistema de tres partículas diferentes. (a) Se crean vectores de posición para cada objeto. (b) Los vectores de posición se multiplican por la masa del objeto correspondiente. (c) Se suman los vectores escalados de la parte (b). (d) El vector final se divide entre la masa total. Este vector apunta al centro de masa del sistema. Observe que, en el centro de masa de este sistema, no hay ninguna masa. Dado que r → j = x j i ^ + y j j ^ + z j k ^ , se deduce que: r CM, x = 1 M ∑ j = 1 N m j x j r CM , y = 1 M ∑ j = 1 N m j y j r CM , z = 1 M ∑ j = 1 N m j z j y, por lo tanto, r → CM = r CM, x i ^ + r CM, y j ^ + r CM, z k ^ r CM = | r → CM | = ( r CM, x 2 + r CM, y 2 + r CM, z 2 ) 1 / 2 . Por lo tanto, puede calcular los componentes del vector del centro de masa individualmente. Por último, para completar la cinemática, la velocidad instantánea del centro de masa se calcula exactamente como se pueda presumir: v → CM = d d t ( 1 M ∑ j = 1 N m j r → j ) = 1 M ∑ j = 1 N m j v → j y este, al igual que la posición, tiene componentes x , y y z . Para calcular el centro de masa en situaciones reales, recomendamos el siguiente procedimiento: Calcular del centro de masa El centro de masa de un objeto es un vector de posición. Así, para calcularlo, siga estos pasos: Defina su sistema de coordenadas. Normalmente, el origen se sitúa en la ubicación de una de las partículas. Sin embargo, esto no es necesario. Determine las coordenadas de la x , la y , la z de cada partícula que compone el objeto. Determine la masa de cada partícula y súmela para obtener la masa total del objeto. Observe que la masa del objeto en el origen deberá incluirse en la masa total. Calcule los componentes x , y , y z del vector de centro de masa, utilizando la , la , y la . Si es necesario, utilice el teorema de Pitágoras para determinar su magnitud. Aquí hay dos ejemplos que le darán una idea de lo que es el centro de masa. Centro de masa del sistema Tierra-Luna Utilizando los datos del anexo del texto, determine a qué distancia está el centro de masa del sistema Tierra-Luna del centro de la Tierra. Compare esta distancia con el radio de la Tierra y comenta el resultado. Ignore los demás objetos del sistema solar. Estrategia Obtenemos las masas y la distancia de separación de la Tierra y la Luna, imponemos un sistema de coordenadas y utilizamos la con solo N = 2 objetos. Utilizamos un subíndice "e" para referirnos a la Tierra, y un subíndice "m" para referirnos a la Luna. Solución Defina el origen del sistema de coordenadas como el centro de la Tierra. Luego, con solo dos objetos, la se convierte en R = m e r e + m m r m m e + m m . A partir del Apéndice D , m e = 5,97 × 10 24 kg m m = 7,36 × 10 22 kg r m = 3,82 × 10 8 m . Definimos el centro de la Tierra como el origen, por lo que r e = 0 m . Insertando esto en la ecuación de R se obtiene R = ( 5,97 × 10 24 kg ) ( 0 m ) + ( 7,36 × 10 22 kg ) ( 3,82 × 10 8 m ) 5,97 × 10 24 kg + 7,36 × 10 22 kg = 4,64 × 10 6 m. Importancia El radio de la Tierra es 6,37 × 10 6 m , por lo que el centro de masa del sistema Tierra-Luna es (6,37 - 4,64) × 10 6 m = 1,73 × 10 6 m = 1.730 km (aproximadamente 1080 millas) por debajo de la superficie de la Tierra. Se muestra la ubicación del centro de masa (no a escala). Supongamos que incluimos el sol en el sistema. ¿Dónde se situaría aproximadamente el centro de masa del sistema Tierra-Luna-Sol? (Siéntase libre de calcularlo realmente). El radio medio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es 1,496 × 10 9 m . Tomando el Sol como origen, y al observar que la masa del Sol es aproximadamente la misma que las masas del Sol, la Tierra y la Luna combinadas, el centro de masa del sistema Tierra + Luna y el Sol es R CM = m Sol R Sol + m em R em m Sol = ( 1,989 × 10 30 kg ) ( 0 ) + ( 5,97 × 10 24 kg + 7,36 × 10 22 kg ) ( 1,496 × 10 9 m ) 1,989 × 10 30 kg = 4,6 km Así, el centro de masa del sistema Sol, Tierra, Luna está a 4,6 km del centro del Sol. Centro de masa de un cristal de sal La muestra un solo cristal de cloruro de sodio (sal de mesa común). Los iones sodio y cloruro forman una sola unidad, NaCl. Cuando varias unidades de NaCl se agrupan, forman una red cúbica. El cubo más pequeño posible (llamado celda unitaria ) está formado por cuatro iones de sodio y cuatro de cloruro, alternados. La longitud de una arista de este cubo (es decir, la longitud de enlace) es 2,36 × 10 −10 m . Halle la ubicación del centro de masa de la celda unitaria. Especifíquelo por sus coordenadas ( r CM, x , r CM, y , r CM, z ) , o por r CM y dos ángulos. Dibujo de un cristal de cloruro de sodio (NaCl). Estrategia Podemos buscar todas las masas de iones. Si imponemos un sistema de coordenadas a la celda unitaria, esto nos dará las posiciones de los iones. Podemos entonces aplicar la , la y la (junto con el teorema de Pitágoras). Solución Defina el origen en la ubicación del ion de cloruro en la parte inferior izquierda de la celda unitaria. La muestra el sistema de coordenadas. Una sola celda unitaria de un cristal de NaCl. Hay ocho iones en este cristal, por lo que N = 8: r → CM = 1 M ∑ j = 1 8 m j r → j . La masa de cada uno de los iones de cloruro es 35,453 u × 1,660 × 10 −27 kg u = 5,885 × 10 −26 kg por lo que tenemos m 1 = m 3 = m 6 = m 8 = 5,885 × 10 −26 kg . Para los iones de sodio, m 2 = m 4 = m 5 = m 7 = 3,816 × 10 −26 kg . Por lo tanto, la masa total de la celda unitaria es M = ( 4 ) ( 5,885 × 10 −26 kg ) + ( 4 ) ( 3,816 × 10 −26 kg ) = 3,880 × 10 −25 kg . A partir de la geometría, las ubicaciones son r → 1 = 0 r → 2 = ( 2,36 × 10 −10 m ) i ^ r → 3 = r 3 x i ^ + r 3 y j ^ = ( 2,36 × 10 −10 m ) i ^ + ( 2,36 × 10 −10 m ) j ^ r → 4 = ( 2,36 × 10 −10 m ) j ^ r → 5 = ( 2,36 × 10 −10 m ) k → r → 6 = r 6 x i ^ + r 6 z k ^ = ( 2,36 × 10 −10 m ) i ^ + ( 2,36 × 10 −10 m ) k ^ r → 7 = r 7 x i ^ + r 7 y j ^ + r 7 z k ^ = ( 2,36 × 10 −10 m ) i ^ + ( 2,36 × 10 −10 m ) j ^ + ( 2,36 × 10 −10 m ) k ^ r → 8 = r 8 y j ^ + r 8 z k ^ = ( 2,36 × 10 −10 m ) j ^ + ( 2,36 × 10 −10 m ) k ^ . Sustituyendo: | r → CM, x | = r CM, x 2 + r CM, y 2 + r CM, z 2 = 1 M ∑ j = 1 8 m j ( r x ) j = 1 M ( m 1 r 1 x + m 2 r 2 x + m 3 r 3 x + m 4 r 4 x + m 5 r 5 x + m 6 r 6 x + m 7 r 7 x + m 8 r 8 x ) = 1 3,8804 × 10 −25 kg [ ( 5,885 × 10 −26 kg ) ( 0 m ) + ( 3,816 × 10 −26 kg ) ( 2,36 × 10 −10 m ) + ( 5,885 × 10 −26 kg ) ( 2,36 × 10 −10 m ) + ( 3,816 × 10 −26 kg ) ( 2,36 × 10 −10 m ) + 0 + 0 + ( 3,816 × 10 −26 kg ) ( 2,36 × 10 −10 m ) + 0 ] = 1,18 × 10 −10 m. Cálculos semejantes dan como resultado r CM, y = r CM, z = 1,18 × 10 −10 m (se podría argumentar que esto debe ser cierto, por simetría, aunque es una buena idea comprobarlo). Importancia Si bien se trata de un buen ejercicio para determinar el centro de masa dado un ion de cloruro en el origen, en realidad el origen podría elegirse en cualquier ubicación. Por lo tanto, no hay ninguna aplicación significativa del centro de masa de una celda unitaria más allá de un ejercicio. Suponga que tiene un cristal de sal macroscópico (es decir, un cristal lo suficientemente grande como para ser visible a simple vista). Está formado por un gran número de celdas unitarias. ¿Está el centro de masa de este cristal necesariamente en el centro geométrico del mismo? A escala macroscópica, el tamaño de una celda unitaria es despreciable y se puede considerar que la masa del cristal se distribuye homogéneamente por todo el cristal. Así, r → CM = 1 M ∑ j = 1 N m j r → j = 1 M ∑ j = 1 N m r → j = m M ∑ j = 1 N r → j = N m M ∑ j = 1 N r → j N donde sumamos sobre el número N de celdas unitarias en el cristal y m es la masa de una celda unitaria. Como Nm = M , podemos escribir r → CM = m M ∑ j = 1 N r → j = N m M ∑ j = 1 N r → j N = 1 N ∑ j = 1 N r → j . Esta es la definición del centro geométrico del cristal, por lo que el centro de masa está en el mismo punto que el centro geométrico. De estos ejemplos se desprenden dos conceptos cruciales: Como en todos los problemas, deberá definir el sistema de coordenadas y el origen. En relación con los cálculos del centro de masa, a menudo tiene sentido elegir que el origen esté situado en una de las masas del sistema. Esa elección define automáticamente que su distancia en la sea cero. Sin embargo, deberá incluir la masa del objeto en su origen en su cálculo de M , la masa total en la . En el ejemplo del sistema Tierra-Luna, esto significa incluir la masa de la Tierra. Si no lo hubiera hecho, habría acabado con el centro de masa del sistema en el centro de la Luna, lo cual es claramente erróneo. En el segundo ejemplo (el cristal de sal), observe que no hay masa alguna en el lugar del centro de masa. Este es un ejemplo de lo que dijimos anteriormente, que no tiene que haber ninguna masa real en el centro de masa de un objeto. Centro de masa de objetos continuos Si el objeto en cuestión tiene su masa distribuida uniformemente en el espacio, y no como una colección de partículas separadas, entonces m j → d m , y la sumatoria se convierte en una integral: r → CM = 1 M ∫ r → d m . En este contexto, r es una dimensión característica del objeto (el radio de una esfera, la longitud de una varilla larga). Para generar un integrando que pueda calcularse realmente, es necesario expresar el elemento de masa diferencial dm como una función de la densidad de masa del objeto continuo, y la dimensión r . Un ejemplo lo aclarará. CM de un aro delgado uniforme Encuentre el centro de masa de un aro (o anillo) delgado uniforme de masa M y radio r . Estrategia En primer lugar, la simetría del aro sugiere que el centro de masa debería estar en su centro geométrico. Si definimos nuestro sistema de coordenadas de forma que el origen se encuentre en el centro del aro, la integral debería evaluarse a cero. Sustituimos dm por una expresión que implica la densidad del aro y el radio del mismo. Entonces tenemos una expresión que podemos integrar realmente. Como el aro se describe como "delgado", lo tratamos como un objeto unidimensional, ignorando el grosor del aro. Por lo tanto, su densidad se expresa como el número de kilogramos de material por metro. Dicha densidad se denomina densidad lineal de masa y recibe el símbolo λ ; esta es la letra griega "lambda", que equivale a la letra inglesa "l" (de "lineal"). Dado que el aro se describe como uniforme, esto significa que la densidad lineal de masa λ es constante. Así, para obtener nuestra expresión para el elemento de masa diferencial dm , multiplicamos λ por una longitud diferencial del aro, sustituimos e integramos (con límites adecuados para la integral definida). Solución En primer lugar, definiremos nuestro sistema de coordenadas y las variables pertinentes ( ). Hallar el centro de masa de un aro uniforme. Expresamos las coordenadas de un trozo diferencial del aro, y luego integramos alrededor del aro. El centro de masa se calcula con la : r → CM = 1 M ∫ a b r → d m . Tenemos que determinar los límites de integración a y b . Expresando r → en forma de componentes obtenemos r → CM = 1 M ∫ a b [ ( r cos θ ) i ^ + ( r sen θ ) j ^ ] d m . En el diagrama, resaltamos un trozo del aro que tiene una longitud diferencial ds ; por tanto, tiene una masa diferencial d m = λ d s . Sustituyendo: r → CM = 1 M ∫ a b [ ( r cos θ ) i ^ + ( r sen θ ) j ^ ] λ d s . Sin embargo, la longitud de arco ds subtiende un ángulo diferencial d θ , por lo que tenemos d s = r d θ y, por lo tanto, r → CM = 1 M ∫ a b [ ( r cos θ ) i ^ + ( r sen θ ) j ^ ] λ r d θ . Un paso más: Dado que λ es la densidad lineal de masa, se calcula al dividir la masa total entre la longitud del aro: λ = M 2 π r lo que nos da r → CM = 1 M ∫ a b [ ( r cos θ ) i ^ + ( r sen θ ) j ^ ] ( M 2 π r ) r d θ = 1 2 π ∫ a b [ ( r cos θ ) i ^ + ( r sen θ ) j ^ ] d θ . Observe que la variable de integración es ahora el ángulo θ . Esto nos dice que los límites de integración (alrededor del aro circular) son θ = 0 a θ = 2 π , así que a = 0 y b = 2 π . Además, por comodidad, separamos la integral en los componentes x y y de r → CM . La expresión integral final es r → CM = r CM, x i ^ + r CM, y j ^ = [ 1 2 π ∫ 0 2 π ( r cos θ ) d θ ] i ^ + [ 1 2 π ∫ 0 2 π ( r sen θ ) d θ ] j ^ = 0 i ^ + 0 j ^ = 0 → como se esperaba. Centro de masa y conservación del momento ¿Cómo se relaciona todo esto con la conservación del momento? Suponga que tiene N objetos con masas m 1 , m 2 , m 3 , ... m N y velocidades iniciales v → 1 , v → 2 , v → 3 , ... , v → N . El centro de masa de los objetos es r → CM = 1 M ∑ j = 1 N m j r → j . Su velocidad es v → CM = d r → CM d t = 1 M ∑ j = 1 N m j d r → j d t y, por lo tanto, el momento inicial del centro de masa es [ M d r → CM d t ] i = ∑ j = 1 N m j d r → j , i d t M v → CM,i = ∑ j = 1 N m j v → j , i . Después de que estas masas se muevan e interactúen entre sí, el momento del centro de masa es M v → CM,f = ∑ j = 1 N m j v → j , f . No obstante, la conservación del momento nos indica que el lado derecho de ambas ecuaciones deberá ser igual, lo que se expresa como M v → CM,f = M v → CM,i . Este resultado implica que la conservación del momento se expresa en términos del centro de masa del sistema. Observe que, cuando un objeto se mueve por el espacio sin ninguna fuerza externa neta que actúe sobre este, una sola partícula del objeto puede acelerar en varias direcciones, con diversas magnitudes, dependiendo de la fuerza interna neta que actúe sobre ese objeto en cualquier momento. (Recuerde que solo desaparece la suma vectorial de todas las fuerzas internas, no la fuerza interna sobre una sola partícula). Así, el momento de dicha partícula no será constante, sino que el momento de todo el objeto extendido lo será, de acuerdo con la . La implica otro resultado importante: como M representa la masa de todo el sistema de partículas, es necesariamente constante. (Si no lo es, no tenemos un sistema cerrado, por lo que no podemos esperar que el momento del sistema se conserve). Como resultado, la implica que, para un sistema cerrado, v → CM,f = v → CM,i . Es decir, en ausencia de una fuerza externa , la velocidad del centro de masa nunca cambia . Podría encoger los hombros y señalar: "Bueno, sí, eso es solo la primera ley de". No obstante, recuerde que la primera ley de Newton analiza la velocidad constante de una partícula, mientras que la se aplica al centro de masa de una (posiblemente vasta) colección de partículas que interactúan, ¡y que puede que no haya ninguna partícula en absoluto en el centro de masa! Por lo tanto, este es un resultado realmente notable. Espectáculo de fuegos artificiales Cuando un cohete de fuegos artificiales explota, miles de fragmentos brillantes vuelan hacia afuera en todas las direcciones, y caen a la Tierra en un elegante y bello espectáculo ( ). Describa lo que ocurre, en términos de conservación del momento y del centro de masa. Estos fuegos artificiales que estallan son un claro ejemplo de la conservación del momento y del movimiento del centro de masa. La imagen muestra una simetría radial en torno a los puntos centrales de las explosiones; esto sugiere la idea de centro de masa. También podemos apreciar el movimiento parabólico de las partículas incandescentes, lo que nos hace pensar en el movimiento de proyectil. Solución Inicialmente, el cohete pirotécnico se lanza y vuela más o menos recto hacia arriba; tal es la causa de la estela blanca más o menos recta que se eleva en el cielo por debajo de la explosión en la parte superior derecha de la imagen (la explosión amarilla). Esta estela no es parabólica porque el proyectil explosivo, durante su fase de lanzamiento, es en realidad un cohete; el impulso que le aplica la eyección del combustible ardiendo aplica una fuerza sobre el proyectil durante el intervalo de subida. (Este es un fenómeno que estudiaremos en la siguiente sección). El proyectil tiene múltiples fuerzas sobre este; por lo tanto, no está en caída libre antes de la explosión. En el momento de la explosión, los miles de fragmentos incandescentes vuelan hacia el exterior, siguiendo un patrón radialmente simétrico. La simetría de la explosión es el resultado de que todas las fuerzas internas sumen cero ( ∑ j f → j int = 0 ) ; por cada fuerza interna, hay otra de igual magnitud y de sentido contrario. Sin embargo, como aprendimos anteriormente, estas fuerzas internas no pueden cambiar el momento del centro de masa del proyectil (ahora explotado). Dado que la fuerza del cohete ha desaparecido, el centro de masa del proyectil es ahora un proyectil (la única fuerza sobre este es la gravedad), por lo que su trayectoria se vuelve parabólica. Las dos explosiones rojas de la izquierda muestran la trayectoria de sus centros de masa en un momento ligeramente más largo después de la explosión en comparación con la explosión amarilla de la parte superior derecha. De hecho, si se observan detenidamente las tres explosiones, se puede ver que las estelas brillantes no son realmente simétricas radialmente, sino que son algo más densas en un lado que en el otro. En concreto, la explosión amarilla y la explosión central inferior son ligeramente más densas en su lado derecho, y la explosión superior izquierda es más densa en su lado izquierdo. Esto se debe al momento de sus centros de masa; las diferentes densidades de las estelas se deben al momento que tenía cada pieza del proyectil en el momento de su explosión. El fragmento de la explosión de la parte superior izquierda de la imagen tenía un momento que apuntaba hacia arriba y hacia la izquierda; el momento del fragmento del medio apuntaba hacia arriba y ligeramente hacia la derecha, y la explosión del lado derecho apuntaba claramente hacia arriba y hacia la derecha (como lo demuestra la estela blanca de los gases de escape del cohete visible debajo de la explosión amarilla). Por último, cada fragmento es un proyectil en sí mismo, que traza miles de parábolas brillantes. Importancia En el análisis, aseveramos: "...el centro de masa del proyectil es ahora un proyectil (la única fuerza sobre este es la gravedad)...". Esto no es del todo exacto, ya que puede no haber ninguna masa en el centro de masa; en cuyo caso, no podría haber ninguna fuerza actuando sobre ella. En realidad, esto no es más que una abreviatura verbal para describir el hecho de que las fuerzas gravitacionales sobre todas las partículas actúan de manera tal que el centro de masa cambia de posición exactamente como si toda la masa del proyectil estuviera siempre situada en la posición del centro de masa. ¿Cómo cambiaría el espectáculo de fuegos artificiales en el espacio profundo, lejos de cualquier fuente de gravedad? Las explosiones serían esencialmente esféricamente simétricas, porque la gravedad no actuaría para distorsionar las trayectorias de los proyectiles en expansión. A veces se oye a alguien describir una explosión diciendo algo así como: "Los fragmentos del objeto explotado se mueven siempre de forma que el centro de masa sigue moviéndose en su trayectoria original". Esto hace que parezca que el proceso es algo mágico: ¿cómo puede ser que, en cada explosión, siempre parezca que los fragmentos se mueven de la manera correcta para que el movimiento del centro de masa no cambie? Dicho así, sería difícil creer que ninguna explosión hace algo diferente. La explicación de esta coincidencia aparentemente sorprendente es: Definimos el centro de masa con precisión, así que esto es exactamente lo que obtendríamos. Recordemos que primero definimos el momento del sistema: p → CM = ∑ j = 1 N d p → j d t . Entonces concluimos que la fuerza externa neta sobre el sistema (si la hay) cambió este momento: F → = d p → CM d t y luego (y aquí está el punto) definimos una aceleración que obedezca a la segunda ley de Newton. Es decir, exigimos que seamos capaces de escribir a → = F → M lo cual requiere que a → = d 2 d t 2 ( 1 M ∑ j = 1 N m j r → j ) . donde la cantidad dentro del paréntesis es el centro de masa de nuestro sistema. Por lo tanto, no es sorprendente que el centro de masa obedezca a la segunda ley de Newton; lo definimos para que así fuera. Resumen Un objeto extendido (formado por muchos objetos) tiene un vector de posición definido, que recibe el nombre de centro de masa. El centro de masa puede considerarse, de forma imprecisa, como la ubicación media de la masa total del objeto. El centro de masa de un objeto traza la trayectoria dictada por la segunda ley de Newton, debido a la fuerza externa neta. Las fuerzas internas de un objeto extendido no pueden alterar el momento del objeto extendido en su conjunto. Preguntas conceptuales Supongamos que un proyectil de fuegos artificiales estalla y se rompe en tres grandes trozos para los que la resistencia del aire es despreciable. ¿Cómo afecta la explosión al movimiento del centro de masa? ¿Cómo se vería afectado si las piezas experimentaran una resistencia del aire significativamente mayor que el proyectil intacto? Problemas Se colocan tres masas puntuales en los ángulos de un triángulo como se muestra en la siguiente figura. Encuentre el centro de masa del sistema de tres masas. Con el origen definido en la posición de la masa de 150 g, x CM = -1,23 cm y y CM = 0,69 cm Dos partículas de masas m 1 y m 2 separadas por una distancia horizontal D se sueltan desde la misma altura h al mismo tiempo. Halle la posición vertical del centro de masa de estas dos partículas en un momento anterior a que las dos partículas choquen contra el suelo. Supongamos que no hay resistencia del aire. Dos partículas de masas m 1 y m 2 separadas por una distancia horizontal D se sueltan desde la misma altura h en distintos tiempos. La partícula 1 comienza en t = 0 , y la partícula 2 se suelta en t = T . Halle la posición vertical del centro de masa en un momento anterior al impacto de la primera partícula contra el suelo. Supongamos que no hay resistencia del aire. y CM = { h 2 - 1 4 g t 2 , t < T h - 1 2 g t 2 - 1 4 g T 2 + 1 2 g t T , t ≥ T Dos partículas de masas m 1 y m 2 se mueven uniformemente en diferentes círculos de radios R 1 y R 2 en torno al origen en el plano x , y . Las coordenadas de la x y la y del centro de masa y de la partícula 1 se dan como sigue (donde la longitud está en metros y t en segundos): x 1 ( t ) = 4 cos ( 2 t ) , y 1 ( t ) = 4 sen ( 2 t ) y: x CM ( t ) = 3 cos ( 2 t ) , y CM ( t ) = 3 sen ( 2 t ) . Calcule el radio del círculo en el que se mueve la partícula 1. Halle las coordenadas de la x y la y de la partícula 2 y el radio del círculo en el que se desplaza esta partícula. Dos partículas de masas m 1 y m 2 se mueven uniformemente en diferentes círculos de radios R 1 y R 2 alrededor del origen en el plano x , y . Se dan las coordenadas de las dos partículas en metros como sigue ( z = 0 para ambas). Aquí t está en segundos: x 1 ( t ) = 4 cos ( 2 t ) y 1 ( t ) = 4 sen ( 2 t ) x 2 ( t ) = 2 cos ( 3 t - π 2 ) y 2 ( t ) = 2 sen ( 3 t - π 2 ) Calcule el radio de los círculos de movimiento de ambas partículas. Halle las coordenadas de la x y la y del centro de masa. Decida si el centro de masa se mueve en un círculo al trazar su trayectoria. a. R 1 = 4 m , R 2 = 2 m ; b. X CM = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , Y CM = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 ; c. sí, con R = 1 m 1 + m 2 16 m 1 2 + 4 m 2 2 Calcule el centro de masa de una varilla de un metro de largo, hecha de 50 cm de hierro (densidad 8 g cm 3 ) y 50 cm de aluminio (densidad 2,7 g cm 3 ). Calcule el centro de masa de una varilla de longitud L cuya densidad de masa cambia de un extremo a otro de forma cuadrática. Es decir, si la varilla está dispuesta a lo largo del eje de la x con un extremo en el origen y el otro en x = L , la densidad viene dada por ρ ( x ) = ρ 0 + ( ρ 1 - ρ 0 ) ( x L ) 2 , donde ρ 0 y ρ 1 son valores constantes. x c m = 3 4 L ( ρ 1 + ρ 0 ρ 1 + 2 ρ 0 ) Calcule el centro de masa de un bloque rectangular de longitud a y anchura b que tiene una densidad no uniforme tal que cuando el rectángulo se coloca en el plano x , y con una esquina en el origen y el bloque puesto en el primer cuadrante con las dos aristas a lo largo de los ejes de la x y la y , la densidad viene dada por ρ ( x , y ) = ρ 0 x , donde ρ 0 es una constante. Calcule el centro de masa de un material rectangular de longitud a y anchura b formado por un material de densidad no uniforme. La densidad es tal que cuando el rectángulo se sitúa en el plano xy , la densidad viene dada por ρ ( x , y ) = ρ 0 x y . ( 2 a 3 , 2 b 3 ) Un cubo de lado a se recorta de otro cubo de lado b como se muestra en la figura siguiente. Halle la ubicación del centro de masa de la estructura. ( Pista: Piense en la parte que falta como una masa negativa superpuesta a una masa positiva). Calcule el centro de masa de un cono de densidad uniforme que tiene un radio R en la base, altura h y masa M . Suponga que el origen está en el centro de la base del cono y tenga la + z pasando por el vértice del cono. ( x CM , y CM , z CM ) = ( 0.0 , h / 4 ) Calcule el centro de masa de un alambre delgado de masa m y longitud L doblado en forma semicircular. Suponga que el origen está en el centro del semicírculo y haga que el alambre se arquee desde el eje de la x +, cruce el eje de la + y y termine en el eje de la - x . Calcule el centro de masa de una placa semicircular delgada uniforme de radio R . Suponga que el origen está en el centro del semicírculo, el arco de la placa va del eje de la x + al eje de la -x, y el eje de la z es perpendicular a la placa. ( x CM , y CM , z CM ) = ( 0 , 4 R / ( 3 π ) , 0 ) Calcule el centro de masa de una esfera de masa M y radio R y de un cilindro de masa m , radio r y altura h dispuestos como se muestra a continuación. Exprese sus respuestas en un sistema de coordenadas que tenga el origen en el centro del cilindro. centro de masa posición media ponderada de la masa fuerza externa fuerza aplicada a un objeto extendido que cambia el momento del objeto extendido en su conjunto fuerza interna fuerza que ejercen entre sí las partículas simples que componen un objeto extendido. Las fuerzas internas pueden ser de atracción o de repulsión densidad lineal de masa λ , expresada como el número de kilogramos de material por metro

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