Leyes del movimiento planetario de Kepler Usando los datos precisos recogidos por Tycho Brahe, Johannes Kepler analizó cuidadosamente las posiciones en el cielo de todos los planetas conocidos y de la Luna, y trazó sus posiciones a intervalos regulares de tiempo. A partir de este análisis formuló tres leyes, las cuales abordamos en esta sección. Primera ley de Kepler La opinión predominante en la época de Kepler era que todas las órbitas planetarias eran circulares. Los datos de Marte presentaron el mayor desafío a este punto de vista y eso finalmente animó a Kepler a abandonar la idea popular. La primera ley de Kepler establece que cada planeta se mueve a lo largo de una elipse, con el Sol situado en un foco de esta. Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos tales que la suma de la distancia de cada punto a dos focos es una constante. La muestra una elipse y describe una forma sencilla de crearla. a) Una elipse es una curva en la que la suma de las distancias de un punto de la curva a dos focos ( f 1 y f 2 ) es una constante. A partir de esta definición, se puede ver que una elipse se puede crear de la siguiente manera. Coloque un alfiler en cada foco y, a continuación, coloque un lazo de cuerda alrededor de un lápiz y de los alfileres. Manteniendo la cuerda tensa, mueva el lápiz en un circuito completo. Si los dos focos ocupan el mismo lugar, el resultado es un círculo, un caso especial de elipse. (b) Para una órbita elíptica, si m ≪ M , entonces m sigue una trayectoria elíptica con M en un foco. Más exactamente, tanto m como M se mueven en su propia elipse alrededor del centro de masa común. Para las órbitas elípticas, el punto de mayor aproximación de un planeta al Sol se denomina perihelio . Está etiquetado como punto A en la . El punto más lejano es el afelio y está etiquetado como punto B en la figura. Para la órbita de la Luna alrededor de la Tierra, esos puntos se llaman perigeo y apogeo, respectivamente. Una elipse tiene varias formas matemáticas, pero todas son un caso específico de la ecuación más general para secciones cónicas. Hay cuatro secciones cónicas diferentes, todas ellas dadas por la ecuación α r = 1 + e cos θ . Las variables r y θ se muestran en la en el caso de una elipse. Las constantes α y e están determinadas por la energía total y el momento angular del satélite en un punto dado. La constante e se llama excentricidad. Los valores de α y e determinan cuál de las cuatro secciones cónicas representa la trayectoria del satélite. Como antes, la distancia entre el planeta y el Sol es r , y el ángulo medido desde el eje x , que está a lo largo del eje mayor de la elipse, es θ . Uno de los verdaderos triunfos de la ley de la gravitación universal de Newton, con la fuerza es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado, es que cuando se combina con su segunda ley, la solución para la trayectoria de cualquier satélite es una sección cónica. Cada camino que toma m es una de las cuatro secciones cónicas: un círculo o una elipse para órbitas limitadas o cerradas, o una parábola o una hipérbola para órbitas no limitadas o abiertas. Estas secciones cónicas se muestran en la . Todo movimiento causado por una fuerza cuadrada inversa es una de las cuatro secciones cónicas y está determinado por la energía y la dirección del cuerpo en movimiento. Si la energía total es negativa, entonces 0 ≤ e < 1 , y la representa un límite o una órbita cerrada de una elipse o un círculo, donde e = 0 [puede ver en la que para e = 0 , r = α , y por tanto el radio es constante]. Para las elipses, la excentricidad está relacionada con lo oblonga que se presente la elipse. Un círculo tiene una excentricidad cero, mientras que una elipse muy larga y dibujada tiene una excentricidad cercana a uno. Si la energía total es exactamente cero, entonces e = 1 y la trayectoria es una parábola. Recordemos que un satélite con energía total cero tiene exactamente la velocidad de escape (la parábola se forma solamente cortando el cono paralelo a la línea tangente a lo largo de la superficie). Por último, si la energía total es positiva, entonces e > 1 y la trayectoria es una hipérbola. Estas dos últimas trayectorias representan órbitas no limitadas, donde m pasa por M una y solo una vez. Esta situación se ha observado en varios cometas que se acercan al Sol y luego se alejan para no volver jamás. Nos hemos limitado al caso en el que la masa más pequeña (el planeta) orbita alrededor de una masa mucho más grande y, por tanto, estacionaria (el Sol), pero la se aplica también a dos masas cualesquiera que interactúen gravitatoriamente. Cada masa traza exactamente la misma forma de sección cónica que la otra. Esa forma está determinada por la energía total y el momento angular del sistema, con el centro de masa del sistema situado en el foco. La relación de las dimensiones de las dos trayectorias es la inversa de la relación de sus masas. Puede ver una animación de dos objetos que interactúan en la página My Solar System (Mi sistema solar) en Phet . Elija la opción predeterminada Sun and Planet (Sol y planeta). También puede ver los problemas más complicados de varios cuerpos. Puede que la trayectoria real de la Luna le resulte bastante sorprendente, aunque obedece a las sencillas leyes del movimiento de Newton. Transferencias orbitales La gente ha imaginado viajar a los otros planetas de nuestro sistema solar desde que se descubrieron. Pero ¿cuál es la mejor manera de hacerlo? El método más eficaz fue descubierto en 1925 por Walter Hohmann, quien se inspiró en una popular novela de ciencia ficción de la época. El método se llama ahora transferencia de Hohmann . Para el caso de viajar entre dos órbitas circulares, la transferencia se realiza a lo largo de una elipse de “transferencia” que intercepta perfectamente esas órbitas en el afelio y el perihelio de la elipse. La muestra el caso de un viaje desde la órbita de la Tierra a la de Marte. Como se mostró antes, el Sol está en el foco de la elipse. Para cualquier elipse, el semieje mayor se define como la mitad de la suma del perihelio y el afelio. En la , el semieje mayor es la distancia desde el origen a cualquier lado de la elipse a lo largo del eje x , o sea, justo la mitad del eje más largo (llamado eje mayor). Por lo tanto, para viajar desde una órbita circular de radio r 1 hasta otra órbita circular de radio r 2 , el afelio de la elipse de transferencia será igual al valor de la órbita mayor, mientras que el perihelio será la órbita menor. Por lo tanto, el semieje mayor, denominado a , viene dado por a = 1 2 ( r 1 + r 2 ) . La elipse de transferencia tiene su perihelio en la órbita de la Tierra y su afelio en la órbita de Marte. Tomemos el caso de viajar de la Tierra a Marte. Por el momento, ignoramos los planetas y suponemos que estamos solos en la órbita de la Tierra y deseamos trasladarnos a la órbita de Marte. A partir de la , la expresión de la energía total, podemos ver que la energía total para una nave espacial en la órbita mayor (Marte) es mayor (menos negativa) que la de la órbita menor (Tierra). Para pasar a la elipse de transferencia desde la órbita de la Tierra, necesitaremos aumentar nuestra energía cinética, es decir, necesitamos un impulso de velocidad. El método más eficaz es una aceleración muy rápida a lo largo de la trayectoria orbital circular, que es también a lo largo de la trayectoria de la elipse en ese punto (de hecho, la aceleración debe ser instantánea, de manera que las órbitas circular y elíptica sean congruentes durante la aceleración. En la práctica, la aceleración finita es lo suficientemente corta como para que la diferencia no sea una consideración significativa). Una vez que haya llegado a la órbita de Marte, necesitará otro impulso de velocidad para entrar en esa órbita, o se quedará en la órbita elíptica y simplemente caerá de nuevo al perihelio donde empezó. Para el viaje de vuelta, simplemente se invierte el proceso con un retroceso en cada punto de transferencia. Para realizar el movimiento hacia la elipse de transferencia y luego hacia fuera, necesitamos conocer la velocidad de cada órbita circular y las velocidades de la órbita de transferencia en el perihelio y el afelio. El aumento de velocidad necesario es simplemente la diferencia entre la velocidad de la órbita circular y la velocidad de la órbita elíptica en cada punto. Podemos encontrar las velocidades orbitales circulares a partir de la . Para determinar las velocidades de la elipse, afirmamos sin pruebas (ya que está fuera del alcance de este curso) que la energía total para una órbita elíptica es E = − G m M S 2 a donde M S es la masa del Sol y a es el semieje mayor. Sorprendentemente, esto es lo mismo que la para órbitas circulares, pero con el valor del semieje mayor que sustituye al radio orbital. Como conocemos la energía potencial a partir de la , podemos encontrar la energía cinética y, por tanto, la velocidad necesaria para cada punto de la elipse. Dejamos como problema de desafío encontrar esas velocidades de transferencia para un viaje de la Tierra a Marte. Terminamos este debate con algunos detalles importantes. En primer lugar, no hemos tenido en cuenta la energía potencial gravitacional de la Tierra y Marte ni la mecánica de aterrizaje en Marte. En la práctica, eso debe formar parte de los cálculos. En segundo lugar, el momento lo es todo. No se quiere llegar a la órbita de Marte para descubrir que no está allí. Debemos salir de la Tierra en el momento exacto para que Marte esté en el afelio de nuestra elipse de transferencia justo cuando lleguemos. Esa oportunidad se presenta cada 2 años. Y el regreso también requiere una sincronización correcta. ¡El viaje total duraría algo menos de 3 años! Hay otras opciones que permiten un tránsito más rápido, como un sobrevuelo de Venus asistido por la gravedad. Pero estas otras opciones tienen un costo adicional en energía y peligro para los astronautas. Visite este sitio para obtener más detalles sobre la planificación de un viaje a Marte. Segunda ley de Kepler La segunda ley de Kepler establece que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, el área dividida entre el tiempo, llamada velocidad areolar, es constante. Considere la . El tiempo que tarda un planeta en desplazarse de la posición A a la B , barriendo el área A 1 , es exactamente el tiempo que se tarda en pasar de la posición C a la D , barriendo el área A 2 , y pasar de E a F , barriendo el área A 3 . Estas áreas son las mismas: A 1 = A 2 = A 3 . Las regiones sombreadas mostradas tienen áreas iguales y representan el mismo intervalo de tiempo. Al comparar las áreas en la figura y la distancia recorrida a lo largo de la elipse en cada caso, podemos ver que para que las áreas sean iguales, el planeta debe acelerar a medida que se acerca al Sol y frenar a medida que se aleja. Este comportamiento es completamente coherente con nuestra ecuación de conservación, la . Pero mostraremos que la segunda ley de Kepler es en realidad una consecuencia de la conservación del momento angular, que se mantiene para cualquier sistema con fuerzas radiales solamente. Recuerde la definición de momento angular en la sección Momento angular , L → = r → × p → . Para el caso del movimiento orbital, L → es el momento angular del planeta alrededor del Sol, r → es el vector de posición del planeta medido desde el Sol, y p → = m v → es el momento lineal instantáneo en cualquier punto de la órbita. Como el planeta se mueve a lo largo de la elipse, p → es siempre tangente a la elipse. Podemos resolver el momento lineal en dos componentes: un componente radial p → rad a lo largo de la línea hacia el Sol, y un componente p → perp perpendicular a r → . El producto cruz para el momento angular puede escribirse entonces como L → = r → × p → = r → × ( p → rad + p → perp ) = r → × p → rad + r → × p → perp . El primer término de la derecha es cero porque r → es paralelo a p → rad , y en segundo término r → es perpendicular a p → perp , entonces la magnitud del producto cruz se reduce a L = r p perp = r m v perp . Obsérvese que el momento angular no depende de p rad . Dado que la fuerza gravitacional es solo en la dirección radial, únicamente puede cambiar p rad y no p perp ; por lo tanto, el momento angular debe permanecer constante. Ahora considere la . Una pequeña área triangular Δ A es barrida a tiempo Δ t . La velocidad es a lo largo de la trayectoria y hace un ángulo θ con la dirección radial. Por lo tanto, la velocidad perpendicular viene dada por v perp = v sen θ . El planeta se mueve una distancia Δ s = v Δ t sen θ proyectada a lo largo de la dirección perpendicular a r . Como el área de un triángulo es la mitad de la base (r ) por la altura ( Δ s ) , para un pequeño desplazamiento, el área viene dada por Δ A = 1 2 r Δ s . Al sustituir por Δ s , multiplicar por m en el numerador y el denominador y reordenar, obtenemos Δ A = 1 2 r Δ s = 1 2 r ( v Δ t sen θ ) = 1 2 m r ( m v sen θ Δ t ) = 1 2 m r ( m v perp Δ t ) = L 2 m Δ t . El elemento de área Δ A barrido a tiempo Δ t cuando el planeta se mueve a través del ángulo Δ ϕ . El ángulo entre la dirección radial y v → es θ . La velocidad areolar es simplemente la tasa de cambio del área con el tiempo, por lo que tenemos velocidad areolar = Δ A Δ t = L 2 m . Como el momento angular es constante, la velocidad areolar también debe ser constante. Esta es exactamente la segunda ley de Kepler. Al igual que la primera ley de Kepler, Newton demostró que era una consecuencia natural de su ley de la gravitación. Puede ver una versión animada de la , y muchas otras animaciones interesantes también, en el sitio de la Escuela de Física (Universidad de Nueva Gales del Sur). Tercera ley de Kepler La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. En la sección Órbitas de satélites y energía derivamos la tercera ley de Kepler para el caso especial de una órbita circular. La nos da el periodo de una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra: T = 2 π r 3 G M E . Para una elipse, recuerde que el semieje mayor es la mitad de la suma del perihelio y el afelio. Para una órbita circular, el semieje mayor ( a ) es el mismo que el radio de la órbita. De hecho, la nos da la tercera ley de Kepler si simplemente sustituimos r por a y elevamos al cuadrado ambos lados. T 2 = 4 π 2 G M a 3 Hemos cambiado la masa de la Tierra por la más general M , ya que esta ecuación se aplica a los satélites que orbitan cualquier masa grande. Órbita del cometa Halley Determine el semieje mayor de la órbita del cometa Halley , dado que llega al perihelio cada 75,3 años. Si el perihelio está a 0,586 UA, ¿cuál es el afelio? Estrategia Se nos da el periodo, por lo que podemos reordenar la , y resolver el semieje mayor. Dado que conocemos el valor del perihelio, podemos usar la definición del semieje mayor, dada anteriormente en esta sección, para encontrar el afelio. Observamos que 1 unidad astronómica (UA) es el radio medio de la órbita de la Tierra y se define como 1 UA = 1,50 × 10 11 m . Solución Al reordenar la e insertar los valores del periodo del cometa Halley y la masa del Sol, tenemos a = ( G M 4 π 2 T 2 ) 1 / 3 = ( ( 6,67 × 10 −11 N · m 2 /kg 2 ) ( 2,00 × 10 30 kg ) 4 π 2 ( 75,3 año × 365 días/año × 24 h/día × 3.600 s/h ) 2 ) 1 / 3 . El resultado es un valor de 2,67 × 10 12 m o 17,8 UA para el semieje mayor. El semieje mayor es la mitad de la suma del afelio y del perihelio, por lo que tenemos a = 1 2 ( afelio + perihelio ) afelio = 2 a − perihelio . Al sustituir los valores encontrados para el semieje mayor y el valor dado para el perihelio, encontramos que el valor del afelio es de 35,0 UA. Importancia Edmond Halley , contemporáneo de Newton, fue el primero en sospechar que tres cometas, registrados en 1531, 1607 y 1682, eran en realidad el mismo cometa. Antes de que Tycho Brahe hiciera mediciones de cometas, se creía que se trataba de acontecimientos puntuales, tal vez perturbaciones de la atmósfera, y que no se veían afectados por el Sol. Halley usó la nueva mecánica de Newton para predecir el regreso de su cometa homónimo en 1758. La órbita casi circular de Saturno tiene un radio medio de unas 9,5 UA y un periodo de 30 años, mientras que la de Urano es de unas 19 UA y tiene un periodo de 84 años. ¿Es esto coherente con nuestros resultados para el cometa Halley? El semieje mayor de la órbita altamente elíptica del cometa Halley es de 17,8 UA y es la media del perihelio y del afelio. Se encuentra entre los radios orbitales de 9,5 UA y 19 UA de Saturno y Urano, respectivamente. El radio de una órbita circular es el mismo que el semieje mayor, y dado que el periodo aumenta con el incremento del semieje mayor, es esperable que el periodo de Halley esté entre los periodos de Saturno y Urano. Resumen Todo movimiento orbital sigue la trayectoria de una sección cónica. Las órbitas limitadas o cerradas son un círculo o una elipse; las órbitas no limitadas o abiertas son una parábola o una hipérbola. La velocidad areolar de cualquier órbita es constante, un reflejo de la conservación del momento angular. El cuadrado del periodo de una órbita elíptica es proporcional al cubo del semieje mayor de dicha órbita. Cuestiones conceptuales ¿Las leyes de Kepler son puramente descriptivas o contienen información causal? En el siguiente diagrama de un satélite en órbita elíptica alrededor de una masa mucho mayor, se indica dónde es mayor y dónde menor su velocidad. ¿Qué ley de conservación dicta este comportamiento? Indique las direcciones de la fuerza, la aceleración y la velocidad en estos puntos. Dibuje los vectores de estas mismas tres magnitudes en los dos puntos de intersección del eje y (a lo largo del semieje menor) y a partir de ahí determine si la velocidad es creciente decreciente, o está en un máximo/mínimo. La velocidad es mayor cuando el satélite está más cerca de la gran masa y menor cuando está más lejos, en la periapsis y la apoapsis, respectivamente. Es la conservación del momento angular la que rige esta relación. Pero también se puede deducir de la conservación de la energía que la energía cinética debe ser mayor donde la energía potencial gravitacional es menor (más negativa). La fuerza, y por tanto la aceleración, se dirige siempre hacia M en el diagrama, y la velocidad es siempre tangente a la trayectoria en todos los puntos. El vector de aceleración tiene un componente tangencial a lo largo de la dirección de la velocidad en el lugar superior del eje y ; por lo tanto, el satélite está acelerando. Todo lo contrario ocurre en la posición inferior. Problemas Calcule la masa del Sol a partir de los datos de la órbita media de la Tierra y compare el valor obtenido con el valor comúnmente indicado del Sol de 1,989 × 10 30 kg . 1,98 × 10 30 kg ; los valores coinciden con un margen del 0,05 %. Io orbita alrededor de Júpiter con un radio medio de 421.700 km y un periodo de 1,769 días. Según estos datos, ¿cuál es la masa de Júpiter? El radio orbital “medio” que se indica para objetos astronómicos que orbitan alrededor del Sol no suele ser una media integrada, sino que se calcula de forma que dé el periodo correcto cuando se aplica a la ecuación para órbitas circulares. Teniendo en cuenta esto, ¿cuál es el radio orbital medio en términos de afelio y perihelio? Compare la y la para ver que solo se diferencian en que el radio circular, r , se sustituye por el semieje mayor, a . Por lo tanto, el radio medio es la mitad de la suma del afelio y del perihelio, lo mismo que el semieje mayor. El perihelio del cometa Halley está a 0,586 UA y el afelio a 17,8 UA. Dado que su velocidad en el perihelio es de 55 km/s, ¿cuál es la velocidad en el afelio ( 1 UA = 1,496 × 10 11 m )? (Pista: Puede usar la conservación de la energía o del momento angular, pero esta última es mucho más fácil). El perihelio del cometa Lagerkvist está a 2,61 UA y tiene un periodo de 7,36 años. Demuestre que el afelio de este cometa es de 4,95 UA. El semieje mayor, 3,78 UA, se obtiene a partir de la ecuación del periodo. Es la mitad de la suma del afelio y del perihelio, lo que da una distancia del afelio de 4,95 UA. ¿Cuál es la relación entre la velocidad en el perihelio y en el afelio del cometa Lagerkvist del problema anterior? Eros tiene una órbita elíptica alrededor del Sol, con una distancia de perihelio de 1,13 UA y de afelio de 1,78 UA. ¿Cuál es el periodo de su órbita? 1,75 años afelio punto más alejado del Sol de un cuerpo en órbita; el término correspondiente para el punto más alejado de la Luna respecto a la Tierra es el apogeo primera ley de Kepler ley que establece que cada planeta se mueve a lo largo de una elipse, con el Sol situado en un foco de la elipse segunda ley de Kepler ley que establece que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, lo que significa que tiene una velocidad areolar constante tercera ley de Kepler ley que establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita perihelio punto de máxima aproximación al Sol de un cuerpo en órbita; el término correspondiente para la máxima aproximación de la Luna a la Tierra es el perigeo

Ciencia


Fuerzas de marea El origen de las mareas oceánicas de la Tierra ha sido objeto de continua investigación durante más de 2000 años. Pero el trabajo de Newton se considera el inicio de la verdadera comprensión del fenómeno. Las mareas oceánicas son el resultado de las fuerzas gravitacionales de las mareas. Estas mismas fuerzas de marea están presentes en cualquier cuerpo astronómico. Son responsables del calor interno que crea la actividad volcánica en Io, una de las lunas de Júpiter, y de la ruptura de estrellas que se acercan demasiado a los agujeros negros. Mareas lunares Si usted vive en la orilla de un océano en casi todo el mundo, puede observar la subida y bajada del nivel del mar unas dos veces al día. Esto se debe a la combinación de la rotación de la Tierra sobre su eje y la atracción gravitatoria de la Luna y el Sol. Consideremos primero el efecto de la Luna. En la , estamos mirando "hacia abajo" en el Polo Norte de la Tierra. Un lado de la Tierra está más cerca de la Luna que el otro, por una distancia igual al diámetro de la Tierra. Por lo tanto, la fuerza gravitatoria es mayor en el lado cercano que en el lejano. La magnitud en el centro de la Tierra está entre estos valores. Por eso aparece una protuberancia de marea a ambos lados de la Tierra. La fuerza de marea estira la Tierra a lo largo de la línea entre la Tierra y la Luna. Es la diferencia entre la fuerza gravitatoria del lado lejano y del lado cercano la que crea el abultamiento de marea a ambos lados del planeta. Las variaciones de las mareas de los océanos son del orden de unos pocos metros, por lo que este diagrama está muy exagerado. La fuerza neta sobre la Tierra hace que ésta orbite alrededor del centro de masa Tierra-Luna, situado a unos 1600 km por debajo de la superficie terrestre a lo largo de la línea entre la Tierra y la Luna. La fuerza de marea puede considerarse como la diferencia entre la fuerza en el centro de la Tierra y la de cualquier otro lugar. En la , esta diferencia se muestra a nivel del mar, donde observamos las mareas oceánicas. (Nótese que el cambio en el nivel del mar causado por estas fuerzas de marea se mide a partir del nivel del mar de referencia. Ya hemos visto que la Tierra se abomba muchos kilómetros en el ecuador debido a su rotación. Esto define el nivel del mar de referencia y aquí sólo consideramos la protuberancia de la marea, mucho más pequeña, medida a partir de ese nivel del mar de referencia). La fuerza de marea es la diferencia entre la fuerza gravitatoria en el centro y la de otros lugares. En esta figura, las fuerzas de marea se muestran en la superficie del océano. Estas fuerzas disminuirían a cero al acercarse al centro de la Tierra. ¿Por qué la subida y la bajada de las mareas se producen dos veces al día? Mire de nuevo a la . Si la Tierra no girara y la Luna estuviera fija, los bultos permanecerían en el mismo lugar de la Tierra. En relación con la Luna, las protuberancias permanecen fijas a lo largo de la línea que une la Tierra y la Luna. Pero la Tierra gira (en la dirección indicada por la flecha azul) aproximadamente cada 24 horas. En 6 horas, los lugares cercanos y lejanos de la Tierra se desplazan hacia donde se producen las mareas bajas, y 6 horas más tarde, esos lugares vuelven a la posición de las mareas altas. Dado que la Luna también orbita la Tierra aproximadamente cada 28 días, y en la misma dirección en que gira la Tierra, el tiempo entre las mareas altas (y bajas) es en realidad de unas 12,5 horas. El calendario real de las mareas se complica por numerosos factores, el más importante de los cuales es otro cuerpo astronómico: el Sol. El efecto del sol en las mareas Además de las fuerzas de marea de la Luna sobre los océanos de la Tierra, el Sol también ejerce una fuerza de marea. La atracción gravitatoria del Sol sobre cualquier objeto de la Tierra es casi 200 veces superior a la de la Luna. Sin embargo, como mostraremos más adelante en un ejemplo, el efecto de las mareas del Sol es menor que el de la Luna, pero es un efecto importante. Dependiendo de las posiciones de la Luna y el Sol con respecto a la Tierra, el efecto neto de las mareas puede verse amplificado o atenuado. La ilustra las posiciones relativas del Sol y de la Luna que crean las mayores mareas, llamadas mareas viva s (o mareas saltantes). Durante las mareas vivas, la Tierra, la Luna y el Sol están alineados y los efectos de las mareas se suman. (Recordemos que las fuerzas de marea causan abultamientos en ambos lados). La (c) muestra las posiciones relativas para las mareas más pequeñas, llamadas mareas muerta s . Los extremos de las mareas altas y bajas se ven afectados. Las mareas de primavera se producen durante la luna nueva o llena, y las mareas muertas se producen en la media luna. Puede ver una o dos animaciones de las mareas en movimiento. (a y b) Las mareas vivas se producen cuando el Sol y la Luna están alineados, mientras que (c) las mareas muertas se producen cuando el Sol y la Luna forman un triángulo rectángulo con la Tierra. (La figura no está dibujada a escala) La magnitud de las mareas Con datos precisos de las posiciones de la Luna y el Sol, se puede predecir con exactitud la hora de las mareas máximas y mínimas en la mayoría de los lugares de nuestro planeta. Visite este sitio para generar predicciones de mareas de hasta 2 años en el pasado o en el futuro, en más de 3000 lugares de los Estados Unidos. Sin embargo, la magnitud de las mareas es mucho más complicada. Los ángulos relativos de la Tierra y la Luna determinan las mareas vivas y muertas, pero las magnitudes de estas mareas también se ven afectadas por las distancias a la Tierra. Las fuerzas de marea son mayores cuando las distancias son menores. Tanto la órbita de la Luna alrededor de la Tierra como la órbita de la Tierra alrededor del Sol son elípticas, por lo que una marea viva es excepcionalmente grande si se produce cuando la Luna está en el perigeo y la Tierra en el perihelio. Por el contrario, es relativamente pequeño si se produce cuando la Luna está en el apogeo y la Tierra en el afelio. Las mayores causas de la variación de las mareas son la topografía de la costa local y la batimetría (el perfil de la profundidad) del fondo del océano. La gama de mareas debida a estos efectos es asombrosa. Aunque las mareas oceánicas son mucho más pequeñas que un metro en muchos lugares del mundo, las mareas de la bahía de Fundy ( ), en la costa este de Canadá, pueden llegar a ser de 16,3 metros. Barcos en la bahía de Fundy con marea alta y baja. El cambio del nivel del mar, que se produce dos veces al día, supone un verdadero reto para el amarre seguro de las embarcaciones (créditos: modificación de trabajos de Dylan Kereluk). Comparación de las fuerzas de marea Comparar la fuerza gravitatoria de la Luna sobre una masa de 1,0 kg situada en el lado cercano y otra en el lado lejano de la Tierra. Repita la operación para el Sol y luego compare los resultados para confirmar que las fuerzas de marea de la Luna son aproximadamente el doble que las del Sol. Estrategia Usamos la ley de la gravitación de Newton dada por la . Necesitamos las masas de la Luna y del Sol y sus distancias a la Tierra, así como el radio de la Tierra. Usamos los datos astronómicos del Apéndice D . Solución Al sustituir la masa de la Luna y la distancia media de la Tierra a la Luna, tenemos F 12 = G m 1 m 2 r 2 = ( 6,67 × 10 −11 N · m 2 /kg 2 ) ( 1,0 kg ) ( 7,35 × 10 22 kg ) ( 3,84 × 10 8 ± 6,37 × 10 6 m ) 2 . En el denominador, usamos el signo menos para el lado cercano y el signo más para el lado lejano. Los resultados son F cerca de = 3,44 × 10 −5 N y F lejos = 3,22 × 10 −5 N. La fuerza gravitatoria de la Luna es casi un 7 % mayor en el lado cercano de la Tierra que en el lado lejano, pero ambas fuerzas son mucho menores que la de la propia Tierra sobre la masa de 1,0 kg. Sin embargo, esta pequeña diferencia crea las mareas. Ahora repetimos el problema, pero sustituyendo la masa del Sol y la distancia media entre la Tierra y el Sol. Los resultados son F cerca de = 5,89975 × 10 −3 N y F lejos = 5,89874 × 10 −3 N. Tenemos que mantener seis dígitos significativos ya que queremos comparar la diferencia entre ellos con la diferencia para la Luna. (Aunque no podemos justificar el valor absoluto con esta exactitud, ya que todos los valores del cálculo son iguales excepto las distancias, la precisión en la diferencia sigue siendo válida con tres dígitos) La diferencia entre las fuerzas cercanas y lejanas sobre una masa de 1,0 kg debidas a la Luna es F cerca de = 3,44 × 10 −5 N − 3,22 × 10 −5 N = 0,22 × 10 −5 N, mientras que la diferencia para el Sol es F cerca de − F lejos = 5,89975 × 10 −3 N − 5,89874 × 10 −3 N = 0,101 × 10 −5 N. Nótese que un enfoque más adecuado es escribir la diferencia de las dos fuerzas con la diferencia entre las distancias cercana y lejana expresada explícitamente. Con un poco de álgebra podemos demostrar que F marea = G M m r 1 2 − G M m r 2 2 = G M m ( ( r 2 − r 1 ) ( r 2 + r 1 ) r 1 2 r 2 2 ) , donde r 1 y r 2 son iguales hasta tres dígitos significativos, pero su diferencia ( r 2 − r 1 ) , igual al diámetro de la Tierra, también se conoce con tres dígitos significativos. Los resultados del cálculo son los mismos. Este enfoque sería necesario si el número de dígitos significativos necesarios supera el disponible en su calculadora u ordenador. Importancia Obsérvese que las fuerzas ejercidas por el Sol son casi 200 veces mayores que las ejercidas por la Luna. Pero la diferencia de esas fuerzas para el Sol es la mitad que para la Luna. Esta es la naturaleza de las fuerzas de marea. La Luna tiene un mayor efecto de marea porque el cambio fraccionario en la distancia del lado cercano al lado lejano es mucho mayor para la Luna que para el Sol. La Tierra ejerce una fuerza de marea sobre la Luna. ¿Es mayor, igual o menor que la de la Luna en la Tierra? Tenga cuidado en su respuesta, ya que las fuerzas de marea surgen de la diferencia de fuerzas gravitatorias entre un lado y otro. Observe los cálculos que realizamos para la fuerza de marea en la Tierra y considere los valores que cambiarían significativamente para la Luna. El diámetro de la Luna es una cuarta parte del de la Tierra. Las fuerzas de marea en la Luna no son fáciles de detectar, ya que no hay líquido en la superficie. Considere la última ecuación anterior. Los valores de r 1 y r 2 se mantienen casi iguales, pero el diámetro de la Luna, ( r 2 − r 1 ) , es una cuarta parte de la de la Tierra. Por lo tanto, las fuerzas de marea en la Luna son aproximadamente una cuarta parte de las de la Tierra. Otros efectos de la marea Las fuerzas de marea existen entre dos cuerpos cualesquiera. El efecto estira los cuerpos a lo largo de la línea entre sus centros. Aunque el efecto de las mareas en los mares de la Tierra es observable a diario, las consecuencias a largo plazo no pueden observarse tan fácilmente. Una de las consecuencias es la disipación de la energía de rotación debido a la fricción durante la flexión de los propios cuerpos. La velocidad de rotación de la Tierra disminuye a medida que las fuerzas de marea transfieren la energía de rotación en calor. El otro efecto, relacionado con esta disipación y la conservación del momento angular, se denomina "bloqueo" o sincronización de mareas. Ya le ha ocurrido a la mayoría de las lunas de nuestro sistema solar, incluida la Luna de la Tierra. La Luna mantiene una cara hacia la Tierra: su velocidad de rotación se ha acoplado a la velocidad orbital alrededor de la Tierra. El mismo proceso le está ocurriendo a la Tierra, y finalmente mantendrá una cara hacia la Luna. Si eso ocurre, ya no veríamos las mareas, ya que la protuberancia de las mareas permanecería en el mismo lugar de la Tierra, y la mitad del planeta no vería nunca la Luna. Sin embargo, este cierre tardará muchos miles de millones de años, quizás no antes de que nuestro Sol expire. Uno de los ejemplos más dramáticos de los efectos de las mareas se encuentra en Io , una de las lunas de Júpiter. En 1979, la nave espacial Voyager envió espectaculares imágenes de la actividad volcánica de Io. Es el único otro cuerpo astronómico de nuestro sistema solar en el que hemos encontrado tal actividad. La muestra una imagen más reciente de Io tomada por la nave New Horizons en su camino hacia Plutón, mientras usa una ayuda gravitatoria de Júpiter. En Io se puede observar evidencia dramática de fuerzas de marea. La erupción que se ve en azul se debe al calor interno creado por las fuerzas de marea ejercidas sobre Io por Júpiter (créditos: modificación de trabajo de NASA, Jet Propulsion Laboratory [JPL] y la Universidad de Arizona). Para algunas estrellas, el efecto de las fuerzas de marea puede ser catastrófico. Las fuerzas de marea en sistemas binarios muy cercanos pueden ser lo suficientemente fuertes como para arrancar la materia de una estrella a la otra, una vez que las fuerzas de marea superan las fuerzas de autogravedad cohesivas que mantienen a las estrellas unidas. Este efecto puede observarse en estrellas normales que orbitan alrededor de estrellas compactas cercanas, como las estrellas de neutrones o los agujeros negros. La muestra una representación artística de este proceso. A medida que la materia cae en la estrella compacta, forma un disco de acreción que se sobrecalienta e irradia en el espectro de rayos X. Las fuerzas de marea de un objeto compacto pueden arrancar la materia de una estrella en órbita. Además del disco de acreción que orbita alrededor del objeto compacto, a menudo se expulsa material a lo largo de chorros relativistas como se muestra (créditos: modificación de trabajo del Observatorio Europeo Austral [European Southern Observatory], L. Calçada y M. Kornmesser). La producción de energía de estos sistemas binarios puede superar la producción típica de miles de estrellas. Otro ejemplo podría ser un cuásar. Los cuásares son objetos muy distantes e inmensamente brillantes, que a menudo superan la producción de energía de galaxias enteras. El consenso general entre los astrónomos es que se trata, de hecho, de agujeros negros masivos que producen energía radiante al caer en ellos la materia arrancada por las mareas de las estrellas cercanas. Resumen Las mareas de la Tierra están causadas por la diferencia de fuerzas gravitatorias de la Luna y el Sol en los distintos lados de la Tierra. Las mareas de primavera o de otoño (altas) se producen cuando la Tierra, la Luna y el Sol están alineados, y las mareas de otoño o (bajas) cuando forman un triángulo rectángulo. Las fuerzas de marea pueden crear un calentamiento interno, cambios en el movimiento orbital e incluso la destrucción de los cuerpos en órbita. Cuestiones conceptuales Cuando un objeto cae en un agujero negro, las fuerzas de marea aumentan. ¿Estas fuerzas de marea desgarrarán siempre el objeto al acercarse al radio de Schwarzschild? ¿Cómo afecta la masa del agujero negro y el tamaño del objeto a tu respuesta? Problemas (a) ¿Cuál es la diferencia entre las fuerzas sobre una masa de 1,0 kg en el lado cercano de Io y el lado lejano debido a Júpiter? Io tiene un radio medio de 1.821 km y un radio orbital medio en torno a Júpiter de 421.700 km. (b) Compare esta diferencia con la calculada para la Tierra debido a la Luna calculada en el . Las fuerzas de marea son la causa de la actividad volcánica de Io. Si el Sol se colapsara en un agujero negro, el punto de no retorno para un investigador estaría aproximadamente a 3 km de la singularidad del centro. ¿Podría el investigador sobrevivir a la visita incluso a 300 km del centro? Responda a esto encontrando la diferencia en la atracción gravitatoria que los agujeros negros ejercen sobre una masa de 1,0 kg en la cabeza y en los pies del investigador. 19.800 N; es evidente que no se puede sobrevivir Considere la en Fuerzas de marea . Este diagrama representa las fuerzas de marea para las mareas vivas. Dibuje un diagrama similar para las mareas muertas. (Pista: Para simplificar, imaginemos que el Sol y la Luna contribuyen por igual. Su diagrama sería la suma vectorial de dos campos de fuerza (como en la ), reducida por un factor de dos, y superpuesta en ángulos rectos). marea muerta marea baja creada cuando la Luna y el Sol forman un triángulo rectángulo con la Tierra marea viva marea alta creada cuando la Luna, el Sol y la Tierra están a lo largo de una línea fuerza de marea diferencia entre la fuerza gravitatoria en el centro de un cuerpo y la de cualquier otro lugar del cuerpo; la fuerza de marea estira el cuerpo

Ciencia


La teoría de la gravedad de Einstein La ley de la gravitación universal de Newton predice con exactitud gran parte de lo que vemos en nuestro sistema solar. De hecho, solo se han necesitado las leyes de Newton para enviar con precisión cada vehículo espacial en su viaje. Las trayectorias de los asteroides que cruzan la Tierra, y de la mayoría de los demás objetos celestes, se pueden determinar con precisión solamente con las leyes de Newton. Sin embargo, muchos fenómenos han mostrado una discrepancia con respecto a lo que predicen las leyes de Newton, lo que incluye la órbita de Mercurio y el efecto que la gravedad tiene sobre la luz. En esta sección examinamos una forma diferente de concebir la gravitación. Una revolución en perspectiva En 1905, Albert Einstein publicó su teoría de la relatividad especial. Esta teoría se analiza con gran detalle en Relatividad , por lo que aquí solo diremos unas palabras. En esta teoría, ningún movimiento puede superar la velocidad de la luz: es el límite de velocidad del universo. Este simple hecho se ha verificado en innumerables experimentos. Sin embargo, tiene consecuencias increíbles: el espacio y el tiempo ya no son absolutos. Dos personas que se mueven una respecto a la otra no se ponen de acuerdo sobre la longitud de los objetos o el paso del tiempo. Casi toda la mecánica que aprendió en los capítulos anteriores, aunque es notablemente precisa incluso para velocidades de muchos miles de kilómetros por segundo, comienza a fallar cuando se acerca a la velocidad de la luz. Este límite de velocidad del universo era también un desafío a la suposición inherente a la ley de la gravitación de Newton de que la gravedad es una fuerza de acción a distancia . Es decir, sin contacto físico, cualquier cambio en la posición de una masa se comunica instantáneamente a todas las demás. Esta suposición no proviene de ningún primer principio, ya que la teoría de Newton simplemente no aborda la cuestión (lo mismo se creía de las fuerzas electromagnéticas, también. Es justo decir que la mayoría de los científicos no se sentían completamente cómodos con el concepto de acción a distancia). Un segundo supuesto aparece también en ley de la gravitación de Newton ( ). Se supone que las masas son exactamente las mismas que las que se usan en la segunda ley de Newton, F → = m a → . Hemos hecho esa suposición en muchas de nuestras derivaciones en este capítulo. Una vez más, no hay ningún principio subyacente que lo obligue, pero los resultados experimentales son coherentes con esta suposición. En la posterior teoría de la relatividad general de Einstein (1916), se abordaron ambos asuntos. Su teoría era una teoría de geometría espacio-tiempo y de cómo la masa (y la aceleración) distorsionan e interactúan con ese espacio-tiempo. No era una teoría de las fuerzas gravitacionales. Las matemáticas de la teoría general están fuera del alcance de este texto, pero podemos ver algunos principios subyacentes y sus consecuencias. El principio de equivalencia Einstein llegó a su teoría general en parte preguntándose por qué alguien que estaba en caída libre no sentía su peso. De hecho, es habitual hablar de los astronautas que orbitan la Tierra como si no tuvieran peso, a pesar de que la gravedad terrestre sigue siendo bastante fuerte allí. En la teoría general de Einstein no hay diferencia entre la caída libre e ingravidez. Esto se denomina principio de equivalencia . El corolario igualmente sorprendente de esto es que no hay diferencia entre un campo gravitacional uniforme y una aceleración uniforme en ausencia de gravedad. Centrémonos en esta última afirmación. Aunque un campo gravitacional perfectamente uniforme no es factible, podemos aproximarnos a él muy bien. Dentro de un laboratorio de tamaño razonable en la Tierra, el campo gravitacional g → es esencialmente uniforme. El corolario dice que cualquier experimento físico realizado allí tiene los mismos resultados que los realizados en un laboratorio acelerando a a → = g → en el espacio profundo, bien lejos de todas las demás masas. La ilustra el concepto. Según el principio de equivalencia, los resultados de todos los experimentos realizados en un laboratorio en un campo gravitacional uniforme son idénticos a los resultados de los mismos experimentos realizados en un laboratorio con aceleración uniforme. ¿Cómo estas dos situaciones aparentemente tan diferentes pueden ser iguales? La respuesta es que la gravitación no es una fuerza entre dos objetos, sino que es el resultado de la respuesta de cada objeto al efecto que el otro tiene en el espacio-tiempo que lo rodea. Un campo gravitacional uniforme y una aceleración uniforme tienen exactamente el mismo efecto en el espacio-tiempo. Una teoría geométrica de la gravedad La geometría euclidiana supone un espacio “plano” en el que, entre los atributos más conocidos, una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, la suma de los ángulos de todos los triángulos debe ser 180 grados y las líneas paralelas nunca se cruzan. La geometría no euclidiana no se investigó seriamente hasta el siglo XIX, por lo que no es de extrañar que el espacio euclidiano se asuma inherentemente en todas las leyes de Newton. La teoría general de la relatividad pone en tela de juicio esta suposición tan arraigada. Solo el espacio vacío es plano. La presencia de masa —o energía, ya que la relatividad no distingue entre ambas— distorsiona o curva el espacio y el tiempo, o espacio-tiempo, a su alrededor. El movimiento de cualquier otra masa es simplemente una respuesta a este espacio-tiempo curvado. La es una representación bidimensional de una masa más pequeña orbitando en respuesta al espacio distorsionado creado por la presencia de una masa más grande. En una imagen más precisa pero confusa, también veríamos el espacio distorsionado por la masa en órbita, y ambas masas estarían en movimiento en respuesta a la distorsión total del espacio. Tenga en cuenta que la figura es una representación para ayudar a visualizar el concepto. Son distorsiones en nuestro espacio y tiempo tridimensionales. No los vemos como lo haríamos con un hoyuelo en una pelota. Solo vemos la distorsión mediante cuidadosas mediciones del movimiento de los objetos y de la luz al desplazarse por el espacio. Una masa más pequeña orbitando en el espacio-tiempo distorsionado de una masa más grande. De hecho, toda masa o energía distorsiona el espacio-tiempo. Para campos gravitacionales débiles, los resultados de la relatividad general no difieren significativamente de la ley de la gravitación de Newton. Pero para campos gravitacionales intensos, los resultados divergen, y se ha demostrado que la relatividad general predice los resultados correctos. Incluso en el campo gravitacional relativamente débil de nuestro Sol, a la distancia de la órbita de Mercurio, podemos observar el efecto. Desde mediados del siglo XIX, se ha medido cuidadosamente la órbita elíptica de Mercurio. Sin embargo, aunque es elíptica, su movimiento se complica porque la posición del perihelio de la elipse avanza lentamente. La mayor parte del avance se debe a la atracción gravitacional de otros planetas, pero una pequeña parte de ese avance no podría explicarse por la ley de Newton. En un momento dado, incluso se buscó un planeta “compañero” que explicara la discrepancia. Pero la relatividad general predice correctamente las mediciones. Desde entonces muchas mediciones, como la deflexión de la luz de objetos lejanos por el Sol, han verificado que la relatividad general predice correctamente las observaciones. Cerramos este debate con un comentario final. A menudo nos hemos referido a las distorsiones del espacio-tiempo o a las distorsiones tanto del espacio como del tiempo. Tanto en la relatividad especial como en la general, la dimensión del tiempo está en pie de igualdad con cada una de las dimensiones espaciales (difieren en su lugar en ambas teorías solo por un factor de escala que en el fondo no tiene importancia). Cerca de una masa muy grande, no solo se “estira” el espacio cercano, sino que el tiempo se dilata o se “ralentiza”. En la siguiente sección se analizan estos efectos con más detalle. Agujeros negros La teoría de la gravitación de Einstein se expresa en una ecuación tensorial de apariencia engañosa (los tensores son una generalización de los escalares y vectores), la cual expresa cómo una masa determina la curvatura del espacio-tiempo a su alrededor. Las soluciones a esa ecuación arrojan una de las predicciones más fascinantes: el agujero negro . La predicción es que si un objeto es lo suficientemente denso, colapsará sobre sí mismo y quedará rodeado por un horizonte de sucesos del que nada puede escapar. El nombre de “agujero negro”, acuñado por el astrónomo John Wheeler en 1969, hace referencia al hecho de que la luz no puede escapar de un objeto así. Karl Schwarzschild fue el primero en observar este fenómeno en 1916, pero en aquella época se consideraba sobre todo una curiosidad matemática. Sorprendentemente, la idea de un cuerpo masivo del que la luz no puede escapar se remonta a finales del siglo XVIII. Independientemente, John Michell y Pierre-Simon Laplace usaron la ley de la gravitación de Newton para demostrar que la luz que abandona la superficie de una estrella con suficiente masa no puede escapar. Su trabajo se basó en el hecho de que la velocidad de la luz había sido medida por Ole Rømer en 1676. Observó discrepancias en los datos sobre el periodo orbital de la luna Io en torno a Júpiter. Rømer se dio cuenta de que la diferencia surgía de las posiciones relativas de la Tierra y Júpiter en diferentes momentos y que podía encontrar la velocidad de la luz a partir de esa diferencia. Tanto Michell como Laplace se dieron cuenta de que, dado que la luz tenía una velocidad finita, podía haber una estrella lo suficientemente masiva como para que la velocidad de escape de su superficie pudiera superar esa velocidad. Por lo tanto, la luz siempre volvería a la estrella. Curiosamente, los observadores que se encuentran lo suficientemente lejos de las estrellas más grandes no podrían verlas, pero sí podrían ver una estrella más pequeña desde la misma distancia. Recordemos que en Energía potencial gravitacional y energía total , encontramos que la velocidad de escape, dada por la , es independiente de la masa del objeto que escapa. Aunque la naturaleza de la luz no se comprendía del todo en aquella época, la masa de la luz, si es que la tenía, no era relevante. Por lo tanto, la debería ser válida para la luz. Al sustituir c , la velocidad de la luz, por la velocidad de escape, tenemos v esc = c = 2 G M R . Por lo tanto, solo necesitamos valores para R y M tales que la velocidad de escape supere a c , y entonces la luz no podrá escapar. Michell planteó que si una estrella tuviera la densidad de nuestro Sol y un radio que se extendiera más allá de la órbita de Marte, la luz no podría escapar de su superficie. También conjeturó que todavía podríamos detectar una estrella así por el efecto gravitacional que tendría sobre los objetos que la rodean. Se trata de una conclusión perspicaz, ya que es precisamente así como deducimos la existencia de tales objetos en la actualidad. Aunque todavía no hemos visitado un agujero negro, y puede que nunca lo hagamos, la evidencia circunstancial de que existen es tan convincente que pocos astrónomos dudan de su existencia. Antes de examinar parte de esa evidencia, volvamos a centrar nuestra atención en la solución de Schwarzschild a la ecuación tensorial de la relatividad general. En esa solución surge un radio crítico, ahora llamado radio de Schwarzschild ( R S ) . Para cualquier masa M , si esa masa se comprimiera hasta el punto de que su radio fuera menor que el radio de Schwarzschild, entonces colapsaría hasta convertirse en una singularidad, y cualquier cosa que pasara dentro de ese radio no podría escapar. Una vez dentro R S , la flecha del tiempo lleva todas las cosas a la singularidad (en un sentido matemático amplio, una singularidad es cuando el valor de una función llega al infinito. En este caso, se trata de un punto en el espacio de volumen cero con una masa finita. Por lo tanto, la densidad de masa y la energía gravitacional se vuelven infinitas). El radio de Schwarzschild viene dado por R S = 2 G M c 2 . Si mira nuestra ecuación de la velocidad de escape con v esc = c , observará que da precisamente este resultado. Pero eso no es más que un accidente fortuito causado por varias suposiciones incorrectas. Una de estas suposiciones es el uso de la expresión clásica incorrecta para la energía cinética de la luz. ¿Qué densidad debe tener un objeto para convertirse en un agujero negro? Calcular el radio de Schwarzschild Calcule el radio de Schwarzschild para el Sol y la Tierra. Compare la densidad del núcleo de un átomo con la densidad necesaria para comprimir uniformemente la masa de la Tierra hasta su radio de Schwarzschild. La densidad de un núcleo es de, aproximadamente, 2,3 × 10 17 kg/m 3 . Estrategia Usamos la para este cálculo. Solo necesitamos las masas de la Tierra y del Sol, que obtenemos de los datos astronómicos que figuran en el Apéndice D . Solución Al sustituir la masa del Sol, tenemos R S = 2 G M c 2 = 2 ( 6,67 × 10 −11 N · m 2 /kg 2 ) ( 1,99 × 10 30 kg ) ( 3,0 × 10 8 m/s ) 2 = 2,95 × 10 3 m. Se trata de un diámetro de solo unos 6 km. Si usamos la masa de la Tierra, obtenemos R S = 8,85 × 10 −3 m . ¡Se trata de un diámetro de menos de 2 cm! Si empaquetamos la masa de la Tierra en una esfera con el radio R S = 8,85 × 10 −3 m , obtenemos una densidad de ρ = masa volumen = 5,97 × 10 24 kg ( 4 3 π ) ( 8,85 × 10 −3 m ) 3 = 2,06 × 10 30 kg/m 3 . Importancia Una estrella de neutrones es el objeto más compacto que se conoce, aparte de un agujero negro. La estrella de neutrones está compuesta por neutrones con la densidad de un núcleo atómico y, como muchos agujeros negros, se cree que es el remanente de una supernova: una estrella que explota al final de su vida. Para crear un agujero negro desde la Tierra, tendríamos que comprimirla hasta una densidad trece órdenes de magnitud mayor que la de una estrella de neutrones. Este proceso requeriría una fuerza inimaginable. No se conoce ningún mecanismo que pueda hacer que un objeto del tamaño de la Tierra se convierta en un agujero negro. En el caso del Sol, usted debería poder demostrar que tendría que estar comprimido a una densidad solo unas 80 veces superior a la de un núcleo (Nota: Una vez que la masa se comprime dentro de su radio de Schwarzschild, la relatividad general dicta que colapsará hasta convertirse en una singularidad. Estos cálculos solo muestran la densidad que debemos alcanzar para iniciar ese colapso). Compruebe su comprensión Considere la densidad necesaria para que la Tierra sea un agujero negro en comparación con la necesaria para el Sol. ¿Qué conclusión puede sacar de esta comparación sobre lo que se necesitaría para crear un agujero negro? ¿Espera que el universo tenga muchos agujeros negros con poca masa? Dada la increíble densidad necesaria para forzar que un cuerpo del tamaño de la Tierra se convierta en un agujero negro, no esperamos ver agujeros negros tan pequeños. Incluso un cuerpo con la masa de nuestro Sol tendría que estar comprimido por un factor de más de 80 que el de una estrella de neutrones. Se cree que las estrellas de este tamaño no pueden convertirse en agujeros negros. Sin embargo, en el caso de las estrellas con unas pocas masas solares, se cree que el colapso gravitacional al final de la vida de una estrella podría formar un agujero negro. Como veremos más adelante, ahora se cree que los agujeros negros son comunes en el centro de las galaxias. Estos agujeros negros galácticos suelen contener la masa de muchos millones de estrellas. El horizonte de sucesos El radio de Schwarzschild también se denomina horizonte de sucesos de un agujero negro. Hemos observado que tanto el espacio como el tiempo se estiran cerca de objetos masivos, como los agujeros negros. La ilustra ese efecto sobre el espacio. La distorsión causada por nuestro Sol es en realidad bastante pequeña, y el diagrama está exagerado para más claridad. Consideremos la estrella de neutrones, descrita en el . Aunque la distorsión del espacio-tiempo en la superficie de una estrella de neutrones es muy alta, el radio sigue siendo mayor que su radio de Schwarzschild. Hay objetos que podrían seguir escapando de su superficie. Sin embargo, si una estrella de neutrones gana masa adicional, acabaría colapsando, encogiéndose más allá del radio de Schwarzschild. Una vez que eso ocurra, toda la masa sería empujada, inevitablemente, a una singularidad. En el diagrama, el espacio se estira hasta el infinito. El tiempo también se estira hasta el infinito. A medida que los objetos caen hacia el horizonte de sucesos, los vemos acercarse cada vez más lentamente, pero sin llegar nunca al horizonte de sucesos. Como observadores externos, nunca vemos objetos que atraviesen el horizonte de sucesos: efectivamente el tiempo se detiene. Visite este sitio para ver un ejemplo animado de estas distorsiones espaciales. La distorsión del espacio se hace más notable alrededor de masas cada vez más grandes. Una vez que la densidad de masa alcanza un nivel crítico se forma un agujero negro, y el tejido del espacio-tiempo se desgarra. La curvatura del espacio es mayor en la superficie de cada uno de los tres primeros objetos mostrados y es finita. La curvatura disminuye entonces (no se muestra) hasta llegar a cero a medida que se desplaza hacia el centro del objeto. Pero el agujero negro es diferente. La curvatura se vuelve infinita: La superficie ha colapsado hasta una singularidad, y el cono se extiende hasta el infinito (Nota: Estos diagramas no están a ninguna escala) (créditos: modificación de trabajo de la NASA). La evidencia de los agujeros negros No fue hasta la década de los años 60 del siglo XX, cuando se descubrió la primera estrella de neutrones, y se renovó el interés por la existencia de los agujeros negros. La evidencia para agujeros negros se basa en varios tipos de observaciones, como análisis de la radiación de binarias de rayos X, lentes gravitacionales de la luz de las galaxias lejanas y el movimiento de objetos visibles alrededor de compañeros invisibles. Nos centraremos en estas observaciones posteriores en relación con lo que hemos aprendido en este capítulo. Aunque la luz no puede escapar de un agujero negro para que la veamos, sí podemos ver el efecto gravitacional del agujero negro sobre masas circundantes. La evidencia más cercana de un agujero negro, y quizás más dramática, está en el centro de nuestra galaxia Vía Láctea. El Grupo del Centro Galáctico de la Universidad de California en Los Ángeles (UCLA), con el uso de datos obtenidos por los telescopios W. M. Keck, ha determinado las órbitas de varias estrellas cercanas al centro de nuestra galaxia. Algunos de esos datos se muestran en la . Se destacan las órbitas de dos estrellas. A partir de las mediciones de los periodos y tamaños de sus órbitas, se estima que orbitan alrededor de una masa de 4 millones de masas solares aproximadamente. Nótese que la masa debe residir en la región creada por la intersección de las elipses de las estrellas. La región en la que debe residir esa masa encajaría dentro de la órbita de Mercurio y, sin embargo, no se ve nada allí en el espectro visible. Trayectorias de las estrellas que orbitan alrededor de una masa en el centro de nuestra galaxia Vía Láctea. A partir de su movimiento, se estima que en el centro reside un agujero negro de unos 4 millones de masas solares (créditos: modificación de trabajo del Grupo del Centro Galáctico de la UCLA, equipo láser del Observatorio W. M. Keck). La física de la creación y evolución estelar está bien establecida. La última fuente de energía que hace brillar las estrellas es la energía autogravitacional que desencadena la fusión. El comportamiento general es que cuanto más masiva es una estrella, más brilla y más corta es su vida. La inferencia lógica es que una masa que es 4 millones de veces la masa de nuestro Sol, confinada en una región muy pequeña y que no se puede ver, no tiene otra interpretación viable que la de un agujero negro. Las observaciones extragalácticas sugieren fuertemente que los agujeros negros son comunes en el centro de las galaxias. Visite la página principal del Grupo del Centro Galáctico de la UCLA para obtener información sobre binarias de rayos X y lentes gravitacionales. Visite esta página para observar una visualización tridimensional de las estrellas que orbitan cerca del centro de nuestra galaxia, donde la animación se encuentra cerca de la parte inferior de la página. Materia oscura Las estrellas que orbitan cerca del mismo corazón de nuestra galaxia proporcionan una fuerte evidencia de la existencia de un agujero negro allí, pero las órbitas de las estrellas alejadas del centro sugieren otro fenómeno intrigante que también se observa indirectamente. Recordemos que en Gravitación cerca de la superficie terrestre podemos considerar que la masa de objetos esféricos se encuentra en un punto del centro para calcular sus efectos gravitacionales sobre otras masas. Del mismo modo, podemos tratar la masa total que se encuentra dentro de la órbita de cualquier estrella de nuestra galaxia como si estuviera situada en el centro del disco de la Vía Láctea. Podemos estimar esa masa a partir del recuento de las estrellas visibles e incluir en nuestra estimación la masa del agujero negro del centro también. Pero cuando lo hacemos, descubrimos que la rapidez orbital de las estrellas es demasiado rápida para ser causada por esa cantidad de materia. La muestra las velocidades orbitales de las estrellas en función de su distancia al centro de la Vía Láctea. La línea azul representa las velocidades que esperaríamos a partir de nuestras estimaciones de la masa, mientras que la curva verde es la que obtenemos de mediciones directas. Al parecer, hay una gran cantidad de materia que no vemos, que se calcula que es unas cinco veces mayor que la que vemos, por lo que se le ha denominado materia oscura . Además, el perfil de velocidad no sigue lo que esperamos de la distribución observada de estrellas visibles. No solo la estimación de la masa total es incongruente con los datos, sino que la distribución esperada también lo es. Y este fenómeno no se limita a nuestra galaxia, sino que parece ser una característica de todas las galaxias. De hecho, el problema se observó por primera vez en la década de los años 30 del siglo XX, cuando se midió que galaxias dentro de cúmulos orbitaban alrededor del centro de masa de esos cúmulos más rápido de lo que deberían según las estimaciones de masa visibles. La curva azul muestra la velocidad orbital esperada de las estrellas de la Vía Láctea en función de las estrellas visibles que podemos ver. La curva verde muestra que las velocidades reales son más altas, lo que sugiere que hay materia adicional que no se ve (créditos: modificación de trabajo de Matthew Newby). Hay dos ideas predominantes sobre lo que podría ser esta materia: WIMP y MACHO. WIMP significa partículas masivas de interacción débil (interacting massive particles, WIMP). Estas partículas (los neutrinos son un ejemplo) interactúan muy débilmente con la materia ordinaria y, por tanto, son muy difíciles de detectar directamente. MACHO significa objetos compactos masivos del halo (massive compact halo objects, MACHO), los cuales se componen de materia bariónica ordinaria, como neutrones y protones. Ambas ideas tienen aspectos no resueltos, y se necesitará mucha más investigación para resolver el misterio. Resumen Según la teoría de la relatividad general, la gravedad es el resultado de las distorsiones del espacio-tiempo creadas por masa y energía. El principio de equivalencia establece que tanto la masa como la aceleración distorsionan el espacio-tiempo y son indistinguibles en circunstancias comparables. Los agujeros negros, consecuencia del colapso gravitacional, son singularidades con un horizonte de sucesos proporcional a su masa. La evidencia de la existencia de agujeros negros sigue siendo circunstancial, pero la cantidad de esa evidencia es abrumadora. Ecuaciones clave Ley de la gravitación de Newton F → 12 = G m 1 m 2 r 2 r ^ 12 Aceleración debido a gravedad en la superficie de la Tierra g = G M E r 2 Energía potencial gravitacional más allá de la Tierra U = − G M E m r Conservación de energía 1 2 m v 1 2 − G M m r 1 = 1 2 m v 2 2 − G M m r 2 Velocidad de escape v esc = 2 G M R Rapidez orbital v órbita = GM E r Periodo orbital Τ = 2 π r 3 GM E Energía en órbita circular E = K + U = − G m M E 2 r Secciones cónicas α r = 1 + e cos θ Tercera ley de Kepler Τ 2 = 4 π 2 G M a 3 Radio de Schwarzschild R S = 2 G M c 2 Cuestiones conceptuales El principio de equivalencia establece que todos los experimentos realizados en un laboratorio en un campo gravitacional uniforme no pueden distinguirse de los realizados en un laboratorio que no está en un campo gravitacional, sino que se acelera uniformemente. Para este último caso, considere lo que ocurre con un rayo láser a cierta altura disparado perfectamente en horizontal hacia el suelo, a través del laboratorio en aceleración (vea esto desde un marco no acelerado fuera del laboratorio). En relación con la altura del láser, ¿dónde impactará el rayo láser en la pared más lejana? ¿Qué dice esto sobre el efecto de un campo gravitacional en la luz? ¿El hecho de que la luz no tenga masa supone alguna diferencia en el argumento? El rayo láser llegará a la pared más lejana a una altura inferior a la que salió, ya que el suelo está acelerando hacia arriba. En relación con el laboratorio, el rayo láser “cae”. Por lo tanto, es de esperar que esto ocurra en un campo gravitacional. La masa de la luz, o incluso de un objeto con masa, no es relevante. Cuando una persona se acerca al radio de Schwarzschild de un agujero negro, los observadores externos ven que todos los procesos de esa persona (sus relojes, su ritmo cardíaco, etc.) se ralentizan y se detienen al llegar al radio de Schwarzschild (la persona que cae en el agujero negro no ve afectados sus propios procesos). Pero la velocidad de la luz es la misma en todas partes para todos los observadores. ¿Qué dice esto sobre el espacio al acercarse al agujero negro? Problemas ¿Cuál es el radio de Schwarzschild para el agujero negro del centro de nuestra galaxia si tiene la masa de 4 millones de masas solares? 1,19 × 10 7 km ¿Cuál sería el radio de Schwarzschild, en años luz, si nuestra galaxia Vía Láctea de 100.000 millones de estrellas colapsara en un agujero negro? Compare esto con nuestra distancia al centro, unos 13.000 años luz. Problemas adicionales Una estrella de neutrones es una estrella fría y colapsada con densidad nuclear. Una determinada estrella de neutrones tiene una masa dos veces superior a la de nuestro Sol y un radio de 12,0 km. (a) ¿Cuál sería el peso de un astronauta de 100 kg al pisar su superficie? (b) ¿Qué nos dice esto sobre el aterrizaje en una estrella de neutrones? a. 1,85 × 10 14 N ; b. ¡No lo haga! (a) ¿A qué distancia del centro de la Tierra la fuerza gravitacional neta de la Tierra y de la Luna sobre un objeto sería cero? (b) Si se igualan las magnitudes de las fuerzas se obtendrán dos respuestas de la cuadrática. ¿Entiende por qué hay dos posiciones, pero solo una en la que la fuerza neta es cero? ¿A qué distancia del centro del Sol la fuerza gravitacional neta de la Tierra y del Sol sobre una nave espacial sería cero? 1,49 × 10 8 km Calcule los valores de g en la superficie de la Tierra para los siguientes cambios en las propiedades de la Tierra: (a) su masa se duplica y su radio se reduce a la mitad; (b) su densidad de masa se duplica y su radio no cambia; (c) su densidad de masa se reduce a la mitad y su masa no cambia. Suponga que puede comunicarse con los habitantes de un planeta de otro sistema solar. Le dicen que en su planeta, cuyo diámetro y masa son 5,0 × 10 3 km y 3,6 × 10 23 kg , respectivamente, el récord de salto de altura es de 2,0 m. Teniendo en cuenta que este récord se acerca a los 2,4 m en la Tierra, ¿qué conclusión sacaría sobre la capacidad de salto de sus amigos extraterrestres? El valor de g para este planeta es de 3,8 m/s 2 , que es una cuarta parte del de la Tierra aproximadamente. Así que son débiles saltadores de altura. (a) Suponga que su peso medido en el ecuador es la mitad de su peso medido en el polo en un planeta cuya masa y diámetro son iguales a los de la Tierra. ¿Cuál es el periodo de rotación del planeta?; (b) ¿habría que tener en cuenta la forma de este planeta? Un cuerpo de masa de 100 kg se pesa en el polo norte y en el ecuador con una balanza de resorte. ¿Cuál es la lectura de la balanza en estos dos puntos? Supongamos que g = 9,83 m/s 2 en el poste. En el polo norte, 983 N; en el ecuador, 980 N. Encuentre la velocidad necesaria para escapar del sistema solar partiendo de la superficie de la Tierra. Suponga que no hay otros cuerpos implicados y no tome en cuenta que la Tierra se mueve en su órbita [Pista: La no corresponde. Use la e incluya la energía potencial tanto de la Tierra como del Sol]. Considere el problema anterior e incluya el hecho de que la Tierra tiene una rapidez orbital alrededor del Sol de 29,8 km/s. (a) ¿Qué velocidad respecto a la Tierra sería necesaria y en qué dirección debería salir de la Tierra? (b) ¿Cuál será la forma de la trayectoria? a. La velocidad de escape sigue siendo de 43,6 km/s. Al hacer un lanzamiento desde la Tierra en dirección a la velocidad tangencial de la Tierra, se necesita 43,4 − 29,8 = 13,8 km/s respecto a la Tierra. b. La energía total es cero y la trayectoria es una parábola. Se observa un cometa a 1,50 UA del Sol con una velocidad de 24,3 km/s. ¿Este cometa está en una órbita ligada o no ligada? Un asteroide tiene una velocidad de 15,5 km/s cuando se encuentra a 2,00 UA del Sol. En su máxima aproximación, se encuentra a 0,400 UA del Sol. ¿Cuál es su velocidad en ese punto? 61,5 km/s Los desechos espaciales dejados por antiguos satélites y sus lanzadores se están convirtiendo en un peligro para otros satélites. (a) Calcule la velocidad de un satélite en una órbita a 900 km sobre la superficie de la Tierra. (b) Suponga que un remache suelto está en una órbita del mismo radio que interseca la órbita del satélite en un ángulo de 90 ° . ¿Cuál es la velocidad del remache con respecto al satélite justo antes de chocar con él? (c) Si su masa es de 0,500 g, y llega a reposar dentro del satélite, ¿cuánta energía en julios genera la colisión? (Supongamos que la velocidad del satélite no cambia apreciablemente porque su masa es mucho mayor que la del remache). Un satélite de masa de 1.000 kg está en órbita circular alrededor de la Tierra. El radio de la órbita del satélite es igual a dos veces el radio de la Tierra. (a) ¿A qué distancia está el satélite? (b) Encuentre las energías cinética, potencial y total del satélite. a. 1,3 × 10 7 m ; b. 1,56 × 10 1 0 J ; − 3,12 × 10 1 0 J ; -1,56 × 10 1 0 J Después de que Ceres fuera ascendido a planeta enano, ahora reconocemos que el mayor asteroide conocido es Vesta, con una masa de 2,67 × 10 20 kg y un diámetro que oscila entre 578 km y 458 km. Suponga que Vesta es esférica con un radio de 520 km y encuentre la velocidad de escape aproximada de su superficie. (a) Dado el asteroide Vesta que tiene un diámetro de 520 km y una masa de 2,67 × 10 20 kg , ¿cuál sería el periodo orbital de una sonda espacial en una órbita circular de 10,0 km desde su superficie? (b) ¿Por qué este cálculo es marginalmente útil en el mejor de los casos? a. 6,24 × 10 3 s o 1,8 horas aproximadamente. Para ello se usó el diámetro medio de 520 km. b. Está claro que Vesta no es muy esférica, por lo que tendría que estar por encima de la dimensión más grande, casi 580 km. Y lo que es más importante, la naturaleza no esférica perturbaría la órbita muy rápidamente, por lo que este cálculo no sería muy preciso ni siquiera para una órbita. ¿Cuál es la velocidad orbital de nuestro sistema solar en torno al centro de la Vía Láctea? Supongamos que la masa dentro de una esfera de radio igual a nuestra distancia del centro es de unos 100.000 millones de masas solares. Nuestra distancia al centro es de 27.000 años luz. (a) Usando la información del problema anterior, ¿qué velocidad necesita para escapar de la galaxia Vía Láctea desde nuestra posición actual? (b) ¿Necesitaría acelerar una nave espacial a esta velocidad respecto a la Tierra? a. 323 km/s; b. No, solo se necesita la diferencia entre la rapidez orbital del sistema solar y la velocidad de escape, por lo que alrededor de 323 − 228 = 95 km/s . Las órbitas circulares en la para secciones cónicas deben tener excentricidad cero. A partir de esto, y usando la segunda ley de Newton aplicada a la aceleración centrípeta, demuestre que el valor de α en la viene dada por α = L 2 G M m 2 donde L es el momento angular del cuerpo en órbita. El valor de α es constante y viene dado por esta expresión independientemente del tipo de órbita. Demuestre que para una excentricidad igual a uno en la para secciones cónicas, la trayectoria es una parábola. Hágalo sustituyendo las coordenadas cartesianas, x y y , por las coordenadas polares, r y θ , y muestre que tiene la forma general de una parábola, x = a y 2 + b y + c . Configurando e = 1 , tenemos α r = 1 + cos θ → α = r + r cos θ = r + x ; por lo tanto, r 2 = x 2 + y 2 = ( α − x ) 2 . Ampliar y recoger para mostrar x = 1 −2 α y 2 + α 2 . Usando la técnica mostrada en la sección Órbitas de satélites y energía , demuestre que dos masas m 1 y m 2 en órbitas circulares alrededor de su centro de masa común tendrán una energía total E = K + E = K 1 + K 2 − G m 1 m 2 r = − G m 1 m 2 2 r . Hemos mostrado la energía cinética de ambas masas de forma explícita (Pista: Las masas orbitan a radios r 1 y r 2 , respectivamente, donde r = r 1 + r 2 . Asegúrese de no confundir el radio necesario para la aceleración centrípeta con el de la fuerza gravitacional). Dada la distancia del perihelio, p , y la distancia del afelio, q , para una órbita elíptica, demuestre que la velocidad en el perihelio, v p , viene dada por v p = 2 G M Sol ( q + p ) q p . (Pista: Use la conservación del momento angular para relacionar v p y v q , y luego sustituya en la ecuación de conservación de la energía). Sustituya directamente en la ecuación de la energía usando p v p = q v q de la conservación del momento angular, y resuelva para v p . El cometa P/1999 R1 tiene un perihelio de 0,0570 UA y un afelio de 4,99 UA. Usando los resultados del problema anterior, encuentre su velocidad en el afelio. (Pista: La expresión es para el perihelio. Use la simetría para reescribir la expresión del afelio). Problemas de desafíos Se excava un túnel a través del centro de un planeta perfectamente esférico y sin aire de radio R . Usando la expresión para g derivada en Gravitación cerca de la superficie terrestre para una densidad uniforme, demuestre que una partícula de masa m lanzada en el túnel ejecutará un movimiento armónico simple. Deduzca el periodo de oscilación de m y demuestre que tiene el mismo periodo que una órbita en la superficie. g = 4 3 G ρ π r → F = m g = [ 4 3 G m ρ π ] r , y de F = m d 2 r d t 2 , obtenemos d 2 r d t 2 = [ 4 3 G ρ π ] r donde el primer término es ω 2 . Entonces T = 2 π ω = 2 π 3 4 G ρ π y si sustituimos ρ = M 4 / 3 π R 3 , obtenemos la misma expresión que para el periodo de la órbita R . Siguiendo la técnica empleada en la sección Gravitación cerca de la superficie terrestre , halle el valor de g como una función de radio r desde el centro de un planeta de cáscara esférica de densidad constante ρ con radios interiores y exteriores R en y R fuera . Encuentre g para ambos R en < r < R fuera y para r < R en . Suponga que el interior de la cáscara se mantiene sin aire y describa el viaje dentro del planeta de la cáscara esférica. Demuestre que la velocidad areolar para una órbita circular de radio r alrededor de una masa M es Δ A Δ t = 1 2 G M r . ¿Su expresión da el valor correcto de la velocidad areolar de la Tierra alrededor del Sol? Usando la masa del Sol y el radio orbital de la Tierra, la ecuación da 2,24 × 10 15 m 2 /s . El valor de π R ES 2 / ( 1 año ) da el mismo valor. Demuestre que el periodo de la órbita para dos masas, m 1 y m 2 , en órbitas circulares de radios r 1 y r 2 , respectivamente, alrededor de su centro de masa común, viene dado por T = 2 π r 3 G ( m 1 + m 2 ) donde r = r 1 + r 2 . (Pista: Las masas orbitan a radios r 1 y r 2 , respectivamente, donde r = r 1 + r 2 . Use la expresión del centro de masa para relacionar los dos radios y observe que las dos masas deben tener momentos iguales pero opuestos. Comience con la relación del periodo con la circunferencia y la velocidad de la órbita para una de las masas. Use el resultado del problema anterior usando los momentos en las expresiones de la energía cinética). Demuestre que para pequeños cambios en la altura h , tales que h < < R E , la se reduce a la expresión Δ U = m g h . Δ U = U f − U i = − G M E m r f + G M E m r i = G M E m ( r f − r i r f r i ) donde h = r f − r i . Si h < < R E , entonces r f r i ≈ R E 2 , y al sustituirlo, tenemos Δ U = G M E m ( h R E 2 ) = m ( G M E R E 2 ) h donde reconocemos la expresión con el paréntesis como la definición de g . Usando la , dibuje cuidadosamente un diagrama de cuerpo libre para el caso de un péndulo simple colgado en la latitud lambda, y etiquete todas las fuerzas que actúan sobre la masa puntual, m . Establezca las ecuaciones de movimiento para el equilibrio, fije una coordenada en la dirección de la aceleración centrípeta (hacia P en el diagrama) y la otra perpendicular a ella. Demuestre que el ángulo de deflexión ε , definido como el ángulo entre la cuerda del péndulo y la dirección radial hacia el centro de la Tierra, viene dado por la expresión siguiente. ¿Cuál es el ángulo de deflexión a 45 grados de latitud? Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta. tan ( λ + ε ) = g ( g − ω 2 R E ) tan λ , donde ω es la velocidad angular de la Tierra. (a) Demuestre que la fuerza de marea sobre un pequeño objeto de masa m , definida como la diferencia de la fuerza gravitacional que se ejercería sobre m a una distancia en el lado cercano y en el lejano del objeto, debido a la gravitación a una distancia R de M , viene dada por F marea = 2 G M m R 3 Δ r donde Δ r es la distancia entre el lado cercano y el lejano y Δ r < < R . (b) Suponga que está cayendo de pie en el agujero negro del centro de nuestra galaxia. Tiene una masa de 4 millones de masas solares. ¿Cuál sería la diferencia entre la fuerza en la cabeza y en los pies en el radio de Schwarzschild (horizonte de sucesos)? Suponga que los pies y la cabeza tienen cada uno una masa de 5,0 kg y están a 2,0 m de distancia. ¿Sobreviviría al atravesar el horizonte de sucesos? a. Encuentre la diferencia de fuerza, F marea = = 2 G M m R 3 Δ r ; b. Para el caso dado, usando el radio de Schwarzschild de un problema anterior, tenemos una fuerza de marea de 9,5 × 10 −3 N . ¡Esto ni siquiera se notará! Encuentre las velocidades de transferencia de Hohmann, Δ v ElipseTierra y Δ v ElipseMarte , necesario para un viaje a Marte. Use la para encontrar las velocidades orbitales circulares de la Tierra y Marte. Usando la y la energía total de la elipse (con semieje mayor a ), dado por E = − G m M s 2 a , encuentre las velocidades en la Tierra (perihelio) y en Marte (afelio) necesarias para estar en la elipse de transferencia. La diferencia, Δ v , en cada punto es el aumento de velocidad o la velocidad de transferencia necesaria. fuerza de acción a distancia tipo de fuerza ejercida sin contacto físico agujero negro una masa que se vuelve tan densa, que colapsa sobre sí misma, creando una singularidad en el centro rodeada por un horizonte de sucesos horizonte de sucesos ubicación del radio de Schwarzschild, y es el lugar cercano a un agujero negro del que ningún objeto, ni siquiera la luz, puede escapar estrella de neutrones objeto más compacto conocido, fuera de un agujero negro geometría no euclidiana geometría de espacio curvo que describe las relaciones entre ángulos y líneas en la superficie de una esfera, un hiperboloide, etc. principio de equivalencia parte de la teoría general de la relatividad, afirma que no hay diferencia entre caída libre e ingravidez, o un campo gravitacional uniforme y una aceleración uniforme radio de Schwarzschild radio crítico ( R S ) de tal manera que si una masa se comprimiera hasta el punto de que su radio fuera menor que el radio de Schwarzschild, entonces la masa colapsaría hasta convertirse en una singularidad, y cualquier cosa que pasara dentro de ese radio no podría escapar espacio-tiempo el concepto de espacio-tiempo es que el tiempo es esencialmente otra coordenada que se trata del mismo modo que cualquier coordenada espacial individual; en las ecuaciones que representan tanto la relatividad especial como la general, el tiempo aparece en el mismo contexto que las coordenadas espaciales teoría de la relatividad general Teoría de Einstein para gravitación y marcos de referencia acelerados; en esta teoría, la gravitación es el resultado de la masa y la energía que distorsionan el espacio-tiempo a su alrededor; también se suele denominar teoría de la gravedad de Einstein

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Introducción Este mapa de presión (izquierda) y la foto de satélite (derecha) se usaron para modelar la trayectoria y el impacto del huracán Arthur en su recorrido por la costa este de los Estados Unidos en julio de 2014. Los modelos informáticos usan ecuaciones de fuerza y energía para predecir patrones meteorológicos en desarrollo. Los científicos integran numéricamente estas ecuaciones dependientes del tiempo, junto con los presupuestos energéticos de la energía solar de ondas larga y corta, para modelar cambios en la atmósfera. El mapa de presión de la izquierda se creó con el modelo de investigación y pronóstico meteorológico diseñado en el Centro Nacional de Investigación Atmosférica. Los colores representan la altura de la superficie de presión de 850 mbar (crédito de la izquierda: modificación del trabajo realizado por el Centro Nacional de Investigación Atmosférica; crédito de la derecha: modificación de trabajo del Laboratorio de Investigación Naval [Naval Research Laboratory, NRL] de la División de Meteorología Marina de Monterey, Oficina Nacional de Administración Oceánica y Atmosférica). Imagínese caminando por una playa de la costa oriental de los Estados Unidos. El aire huele a sal marina y el sol calienta el cuerpo. De repente, aparece una alerta en su teléfono móvil. Una depresión tropical se ha convertido en huracán. La presión atmosférica ha caído casi un 15 % por debajo de la media. Como consecuencia, los meteorólogos esperan lluvias torrenciales, vientos de más de 100 mph y millones de dólares en daños. Mientras se prepara para evacuar, se pregunta: ¿Cómo un descenso tan pequeño de la presión puede provocar un cambio tan intenso en las condiciones meteorológicas? La presión es un fenómeno físico que es responsable de mucho más que las condiciones meteorológicas. Los cambios de presión hacen que los oídos “se destapen” durante el despegue en un avión. Los cambios de presión también pueden hacer que los buceadores sufran un trastorno, a veces mortal, conocido como “síndrome de descompresión”, que se produce cuando el nitrógeno disuelto en el agua del cuerpo a profundidades extremas vuelve a un estado gaseoso en el cuerpo cuando el buceador sale a la superficie. La presión está en el centro del fenómeno llamado flotabilidad, que hace que los globos de aire caliente se eleven y los barcos floten. Antes de poder comprender plenamente el papel que desempeña la presión en estos fenómenos, debemos hablar de los estados de la materia y del concepto de densidad.

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