Circuitos en serie RLC con ac El circuito de ac que se muestra en la , llamado circuito en serie RLC , es una combinación en serie de un resistor, un condensador y un inductor conectados a través de una fuente de ac. Produce una emf de v ( t ) = V 0 sen ω t . (a) Un circuito en serie RLC . (b) Una comparación del voltaje de salida del generador y la corriente. El valor de la diferencia de fase ϕ depende de los valores de R , C y L . Como los elementos están en serie, la misma corriente fluye a través de cada elemento en todos los momentos. La fase relativa entre la corriente y la emf no es evidente cuando los tres elementos están presentes. En consecuencia, representamos la corriente mediante la expresión general i ( t ) = I 0 sen ( ω t − ϕ ) , donde I 0 es la amplitud de la corriente y ϕ es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado. El ángulo de fase es, por tanto, la cantidad en la que el voltaje y la corriente están desfasados entre sí en un circuito. Nuestra tarea es hallar I 0 y ϕ . Un diagrama fasorial que incluya i ( t ) , v R ( t ) , v C ( t ) , y v L ( t ) es útil para analizar el circuito. Como se muestra en la , el fasor que representa v R ( t ) apunta en la misma dirección que el fasor para i ( t ) ; su amplitud es V R = I 0 R . El v C ( t ) fasor se retrasa el fasor i (t ) en π / 2 rad y tiene la amplitud V C = I 0 X C . El fasor de v L ( t ) conduce el fasor i (t ) por π / 2 rad y tiene la amplitud V L = I 0 X L . El diagrama fasorial del circuito en serie RLC de la . En cualquier instante, el voltaje a través de la combinación RLC es v R ( t ) + v L ( t ) + v C ( t ) = v ( t ) , la emf de la fuente. Dado que un componente de una suma de vectores es la suma de los componentes de los vectores individuales, por ejemplo, ( A + B ) y = A y + B y - la proyección de la suma vectorial de los fasores sobre el eje vertical es la suma de las proyecciones verticales de los fasores individuales. Por lo tanto, si sumamos vectorialmente los fasores que representan v R ( t ) , v L ( t ) , y v C ( t ) y luego hallamos la proyección de la resultante sobre el eje vertical, obtenemos v R ( t ) + v L ( t ) + v C ( t ) = v ( t ) = V 0 sen ω t . La suma vectorial de los fasores se muestra en la . El fasor resultante tiene una amplitud V 0 y se dirige a un ángulo ϕ con respecto al fasor v R ( t ) , o i (t ). La proyección de este fasor resultante sobre el eje vertical es v ( t ) = V 0 sen ω t . Podemos determinar fácilmente las cantidades desconocidas I 0 y ϕ a partir de la geometría del diagrama fasorial. Para el ángulo de fase, ϕ = tan −1 V L − V C V R = tan −1 I 0 X L − I 0 X C I 0 R , y tras la cancelación de I 0 , esto se convierte en ϕ = tan −1 X L − X C R . Además, a partir del teorema de Pitágoras, V 0 = V R 2 + ( V L − V C ) 2 = ( I 0 R ) 2 + ( I 0 X L − I 0 X C ) 2 = I 0 R 2 + ( X L − X C ) 2 . La resultante de los fasores para v L ( t ) , v C ( t ) , y v R ( t ) es igual al fasor para v ( t ) = V 0 sen ω t . El fasor i (t ) (que no se muestra) está alineado con el fasor v R ( t ) . La amplitud de la corriente es, por tanto, la versión ac de la ley de Ohm: I 0 = V 0 R 2 + ( X L − X C ) 2 = V 0 Z , donde Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 se conoce como la impedancia del circuito. Su unidad es el ohmio, y es el análogo ac a la resistencia en un circuito dc, que mide el efecto combinado de la resistencia, la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva ( ). Los condensadores de potencia se utilizan para equilibrar la impedancia de la inductancia efectiva en las líneas de transmisión. El circuito RLC es análogo a la rueda de un automóvil que circula por una carretera ondulada ( ). Los baches regularmente espaciados en la carretera hacen subir y bajar la rueda; del mismo modo que una fuente de voltaje aumenta y disminuye. El amortiguador actúa como la resistencia del circuito RLC , amortiguando y limitando la amplitud de la oscilación. La energía dentro del sistema de ruedas va y viene entre la energía cinética y la potencial almacenada en el resorte del automóvil, de forma análoga al cambio entre una corriente máxima, con energía almacenada en un inductor, y la ausencia de corriente, con energía almacenada en el campo eléctrico de un condensador. La amplitud del movimiento de la rueda es máxima si los baches de la carretera se producen a la frecuencia de resonancia, lo cual describimos con más detalle en la sección Resonancia en un circuito de ac . En un automóvil, el amortiguador amortigua el movimiento y disipa la energía. Esto es muy parecido a la resistencia en un circuito RLC . La masa y el resorte determinan la frecuencia de resonancia. Circuitos de ac Para analizar un circuito de ac que contiene resistores, condensadores e inductores es útil pensar en la reactancia de cada dispositivo y calcular la reactancia equivalente utilizando las reglas que usamos en el pasado para la resistencia equivalente. Los fasores son un gran método para determinar si la emf del circuito tiene fase positiva o negativa (es decir, adelanta o retrasa otros valores). A veces se utiliza el recurso mnemotécnico de "ELI el hombre ICE" para recordar que la emf (E) conduce la corriente (I) en un inductor (L) y la corriente (I) conduce la emf (E) en un condensador (C). Utilice los siguientes pasos para determinar la emf del circuito mediante fasores: Dibuje los fasores del voltaje a través de cada dispositivo: resistor, condensador e inductor, incluido el ángulo de fase en el circuito. Si hay un condensador y un inductor, calcule el voltaje neto de estos dos fasores, ya que son antiparalelos. Calcule el fasor equivalente a partir del fasor del paso 2 y el fasor del resistor utilizando trigonometría o componentes de los fasores. El fasor equivalente encontrado es la emf del circuito. Un circuito en serie RLC La salida de un generador de ac conectado a una combinación en serie RLC tiene una frecuencia de 200 Hz y una amplitud de 0,100 V. Si R = 4,00 Ω , L = 3,00 × 10 −3 H, y C = 8,00 × 10 −4 F, ¿cuáles son (a) la reactancia capacitiva, (b) la reactancia inductiva, (c) la impedancia, (d) la amplitud de la corriente y (e) la diferencia de fase entre la corriente y la emf del generador? Estrategia Las reactancias y la impedancia en (a)-(c) se encuentran mediante sustituciones en la , la y la , respectivamente. La amplitud de la corriente se calcula a partir del voltaje de pico y la impedancia. El desfase entre la corriente y la emf se calcula mediante la tangente inversa de la diferencia entre las reactancias dividida entre la resistencia. Solución A partir de la , la reactancia capacitiva es X C = 1 ω C = 1 2 π ( 200 Hz ) ( 8,00 × 10 −4 F ) = 0,995 Ω . A partir de la , la reactancia inductiva es X L = ω L = 2 π ( 200 Hz ) ( 3,00 × 10 −3 H ) = 3,77 Ω . Sustituyendo los valores de R , X C y X L en la , obtenemos para la impedancia Z = ( 4,00 Ω ) 2 + ( 3,77 Ω − 0,995 Ω ) 2 = 4,87 Ω . La amplitud de la corriente es I 0 = V 0 Z = 0,100 V 4,87 Ω = 2,05 × 10 −2 A . A partir de la , la diferencia de fase entre la corriente y la emf es ϕ = tan −1 X L − X C R = tan −1 2,77 Ω 4,00 Ω = 0,607 rad . Importancia El ángulo de fase es positivo porque la reactancia del inductor es mayor que la del condensador. Calcule los voltajes a través del resistor, del condensador y del inductor en el circuito de la utilizando v ( t ) = V 0 sen ω t como la salida del generador de ac. v R = ( V 0 R / Z ) sen ( ω t − ϕ ) ; v C = ( V 0 X C / Z ) sen ( ω t − ϕ + π / 2 ) = − ( V 0 X C / Z ) cos ( ω t − ϕ ) ; v L = ( V 0 X L / Z ) sen ( ω t − ϕ – π / 2 ) = ( V 0 X L / Z ) cos ( ω t − ϕ ) Resumen Un circuito en serie RLC es una combinación en serie de resistor, condensador e inductor a través de una fuente de ac. La misma corriente fluye a través de cada elemento de un circuito en serie RLC en todos los puntos del tiempo. La contrapartida de la resistencia en un circuito de corriente continua es la impedancia, que mide el efecto combinado de resistores, condensadores e inductores. La corriente máxima está definida por la versión en ac de la ley de Ohm. La impedancia tiene unidades de ohmios y se encuentra utilizando la resistencia, la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva. Preguntas conceptuales En un circuito RLC en serie, ¿puede el voltaje medido a través del condensador ser mayor que el voltaje de la fuente? Responda a la misma pregunta para el voltaje a través del inductor. sí para ambos Problemas ¿Cuál es la impedancia de una combinación en serie de un resistor de 50 -Ω , un condensador de 5,0 - μ F y un 10 - μ F condensador a una frecuencia de 2,0 kHz? Una resistor y un condensador están conectados en serie a través de un generador de ac. La emf del generador viene dada por v ( t ) = V 0 cos ω t , donde V 0 = 120 V, ω = 120 π rad/s , R = 400 Ω y C = 4,0 μ F . (a) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (b) ¿Cuál es la amplitud de la corriente a través del resistor? (c) Escriba una expresión para la corriente a través del resistor. (d) Escriba expresiones que representen los voltajes a través del resistor y a través del condensador. a 770 Ω ; b. 0,16 A; c I = ( 0,16 A ) cos ( 120 π t – 0,33 π ) ; d v R = 62 cos ( 120 π t ) ; v C = 103 cos ( 120 π t − π / 2 ) Un resistor y un inductor están conectados en serie a través de un generador de ac. La emf del generador viene dada por v ( t ) = V 0 cos ω t , donde V 0 = 120 V y ω = 120 π rad/s; también, R = 400 Ω y L = 1,5 H . (a) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (b) ¿Cuál es la amplitud de la corriente a través del resistor? (c) Escriba una expresión para la corriente a través del resistor. (d) Escriba expresiones que representen los voltajes a través del resistor y a través del inductor. En un circuito en serie RLC , la amplitud del voltaje y la frecuencia de la fuente son 100 V y 500 Hz, respectivamente, un R = 500 Ω , L = 0,20 H, y C = 2,0 μ F . (a) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (b) ¿Cuál es la amplitud de la corriente de la fuente? (c) Si la emf de la fuente viene dada por v ( t ) = ( 100 V ) sen 1.000 π t , ¿cómo varía la corriente con el tiempo? (d) Repita los cálculos con C cambiado a 0,20 μ F . a 690 Ω ; b. 0,15 A; c I = ( 0,15 A ) sen ( 1.000 π t − 0,753 ) ; d 1.100 Ω , 0,092 A, I = ( 0,092 A ) sen ( 1.000 π t + 1,09 ) Un circuito en serie RLC con R = 600 Ω , L = 30 mH, y C = 0,050 μ F es accionado por una fuente de ac cuya frecuencia y amplitud de voltaje son 500 Hz y 50 V, respectivamente. (a) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (b) ¿Cuál es la amplitud de la corriente en el circuito? (c) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la emf de la fuente y la corriente? Para el circuito que se muestra a continuación, ¿cuáles son (a) la impedancia total y (b) el ángulo de fase entre la corriente y la emf? (c) Escriba una expresión para i ( t ) . a 5,7 Ω ; b 29 ° ; c I  = ( 30. A ) cos ( 120 π t + 0,51 ) impedancia análogo en ac a la resistencia en un circuito de dc, que mide el efecto combinado de la resistencia, la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva ángulo de fase cantidad en la que el voltaje y la corriente están desfasados entre sí en un circuito

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Potencia en un circuito de ac Un elemento del circuito disipa o produce energía según P = I V , donde I es la corriente que atraviesa el elemento y V es el voltaje a través de él. Como la corriente y el voltaje dependen del tiempo en un circuito de ac, la potencia instantánea p ( t ) = i ( t ) v ( t ) también depende del tiempo. En la se muestra un gráfico de p ( t ) para varios elementos del circuito. Para un resistor, i (t ) y v (t ) están en fase y, por tanto, tienen siempre el mismo signo (vea la ). Para un condensador o un inductor, los signos relativos de i (t ) y v (t ) varían a lo largo de un ciclo debido a sus diferencias de fase (vea la y la ). En consecuencia, p (t ) es positivo en algunos momentos y negativo en otros, lo que indica que los elementos capacitivos e inductivos producen energía en algunos instantes y la absorben en otros. Gráfico de la potencia instantánea para varios elementos del circuito. (a) Para el resistor, P ave = I 0 V 0 / 2 , mientras que para (b) el condensador y (c) el inductor, P ave = 0 . (d) Para la fuente, P ave = I 0 V 0 ( cos ϕ ) / 2 , que puede ser positiva, negativa o cero, según ϕ . Como la potencia instantánea varía tanto en magnitud como en signo a lo largo de un ciclo, rara vez tiene importancia práctica. Lo que nos preocupa casi siempre es la potencia promediada a lo largo del tiempo, a la que nos referimos como potencia media . Se define por la media temporal de la potencia instantánea durante un ciclo: P ave = 1 T ∫ 0 T p ( t ) d t , donde T = 2 π / ω es el periodo de las oscilaciones. Con las sustituciones v ( t ) = V 0 sen ω t y i ( t ) = I 0 sen ( ω t − ϕ ) , esta integral se convierte en P ave = I 0 V 0 T ∫ 0 T sen ( ω t − ϕ ) sen ω t d t . Utilizando la relación trigonométrica sen ( A − B ) = sen A cos B − sen B cos A , obtenemos P ave = I 0 V 0 cos ϕ T ∫ 0 T sen 2 ω t d t − I 0 V 0 sen ϕ T ∫ 0 T sen ω t cos ω t d t . La evaluación de estas dos integrales da como resultado 1 T ∫ 0 T sen 2 ω t d t = 1 2 y 1 T ∫ 0 T sen ω t cos ω t d t = 0 . Por lo tanto, la potencia media asociada a un elemento del circuito viene dada por P ave = 1 2 I 0 V 0 cos ϕ . En aplicaciones de ingeniería, cos ϕ se conoce como el factor de potencia , que es la cantidad en la que la potencia entregada en el circuito es inferior a la máxima teórica del circuito debido a que voltaje y la corriente están desfasadas. Para un resistor, ϕ = 0 , por lo que la potencia media disipada es P ave = 1 2 I 0 V 0 . Una comparación de p (t ) y P ave se muestra en la (d). Para hacer P ave = ( 1 / 2 ) I 0 V 0 se parece a su homólogo de corriente continua, utilizamos los valores rms I rms y V rms de la corriente y el voltaje. Por definición, se trata de I rms = i ave 2 y V rms = v ave 2 , donde i ave 2 = 1 T ∫ 0 T i 2 ( t ) d t y v ave 2 = 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t . Con i ( t ) = I 0 sen ( ω t − ϕ ) y v ( t ) = V 0 sen ω t , obtenemos I rms = 1 2 I 0 y V rms = 1 2 V 0 . Podemos entonces escribir para la potencia media disipada por un resistor, P ave = 1 2 I 0 V 0 = I rms V rms = I rms 2 R . Esta ecuación subraya incluso más por qué se elige el valor cuadrático medio (rms) en la discusión en vez de los valores máximos. Ambas ecuaciones para la potencia media son correctas para la , pero los valores rms en la fórmula dan una representación más limpia, por lo que el factor extra de 1/2 no es necesario. Los voltajes y corrientes alternas suelen describirse en términos de sus valores cuadráticos medios. Por ejemplo, los 110 V de una toma de corriente doméstica son un valor cuadrático medio. La amplitud de esta fuente es 110 2 V = 156 V . Dado que la mayoría de los medidores de ac están calibrados en términos de valores cuadráticos medios, un típico voltímetro de ac colocado en una toma de corriente doméstica leerá 110 V. Para un condensador y un inductor, ϕ = π / 2 y − π / 2 rad, respectivamente. Dado que cos π / 2 = cos ( − π / 2 ) = 0 , hallamos en la que la potencia media disipada por cualquiera de estos elementos es P ave = 0 . Los condensadores e inductores absorben energía del circuito durante un semiciclo y la descargan de nuevo al circuito durante el otro semiciclo. Este comportamiento se ilustra en los gráficos de la , (b) y (c), que muestran que p( t) oscila sinusoidalmente alrededor de cero. El ángulo de fase de un generador de ac puede tener cualquier valor. Si cos ϕ > 0 , el generador produce energía; si cos ϕ < 0 , absorbe la energía. En términos de valores cuadráticos medios, la potencia media de un generador de ac se escribe como P ave = I rms V rms cos ϕ . Para el generador en un circuito RLC , tan ϕ = X L − X C R y cos ϕ = R R 2 + ( X L − X C ) 2 = R Z . Por lo tanto, la potencia media del generador es P ave = I rms V rms cos ϕ = V rms Z V rms R Z = V rms 2 R Z 2 . Esto también puede escribirse como P ave = I rms 2 R , lo que indica que la potencia producida por el generador se disipa en el resistor. Como podemos ver, la ley de Ohm para el valor eficaz de la ac se obtiene dividiendo el voltaje rms entre la impedancia. Potencia de un generador Un generador de ac cuya emf viene dada por v ( t ) = ( 4,00 V ) sen [ ( 1,00 × 10 4 rad / s ) t ] se conecta a un circuito RLC para el que L = 2,00 × 10 −3 H , C = 4,00 × 10 −6 F , y R = 5,00 Ω . (a) ¿Cuál es voltaje rms en el generador? (b) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (c) ¿Cuál es la potencia media de salida del generador? Estrategia El voltaje rms es la amplitud del voltaje por 1 / 2 . La impedancia del circuito implica la resistencia y las reactancias del condensador y del inductor. La potencia media se calcula mediante la , o más concretamente, la última parte de la ecuación, ya que tenemos la impedancia del circuito Z , el voltaje rms V rms , y la resistencia R . Solución Dado que V 0 = 4,00 V, el voltaje rms en el generador es V rms = 1 2 ( 4,00 V ) = 2,83 V . La impedancia del circuito es Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 = { ( 5,00 Ω ) 2 + [ ( 1,00 × 10 4 rad/s ) ( 2,00 × 10 −3 H ) − 1 ( 1,00 × 10 4 rad/s ) ( 4,00 × 10 −6 F ) ] 2 } 1 / 2 = 7,07 Ω . A partir de la , la potencia media transferida al circuito es P ave = V rms 2 R Z 2 = ( 2,83 V ) 2 ( 5,00 Ω ) ( 7,07 Ω ) 2 = 0,801 W . Importancia Si la resistencia es mucho mayor que la reactancia del condensador o del inductor, la potencia media es una ecuación del circuito de corriente continua de P = V 2 / R , donde V sustituye al voltaje rms Un voltímetro de ac conectado a los terminales de un generador de ac de 45 Hz marca 7,07 V. Escriba una expresión para la emf del generador. v ( t ) = ( 10,0 V ) sen 90 π t Demuestre que los voltaje rms a través de un resistor, un condensador y un inductor en un circuito de ac en el que la corriente rms es I rms vienen dadas por I rms R , I rms X C , y I rms X L , respectivamente. Determine estos valores para los componentes del circuito RLC de . 2,00 V; 10,01 V; 8,01 V Resumen La potencia media de ac se obtiene multiplicando los valores rms de la corriente y el voltaje. La ley de Ohm para la ac eficaz se obtiene dividiendo el voltaje rms entre la impedancia. En un circuito de ac, existe un ángulo de fase entre el voltaje de la fuente y la corriente, que se puede calcular dividiendo la resistencia entre la impedancia. La potencia media entregada a un circuito RLC se ve afectada por el ángulo de fase. El factor de potencia oscila entre -1 y 1. Preguntas conceptuales ¿Para qué valor del ángulo de fase ϕ entre el voltaje de salida de una fuente de ac y la corriente es la potencia media de salida de la fuente un máximo? Discuta las diferencias entre la potencia media y la potencia instantánea. La potencia instantánea es la potencia en un instante determinado. La potencia media es la potencia promediada en un ciclo o número de ciclos. La ac media suministrada a un circuito es cero. A pesar de ello, se disipa energía en el circuito. Explique. ¿La potencia instantánea de una fuente de ac puede ser alguna vez negativa? ¿La potencia media puede ser negativa? La potencia instantánea puede ser negativa, pero la potencia de salida no puede ser negativa. La potencia nominal de un resistor utilizada en circuitos de ac se refiere a la potencia media máxima disipada en el resistor. ¿Cómo se compara esto con la máxima potencia instantánea disipada en el resistor? Problemas La emf de una fuente de ac viene dada por v ( t ) = V 0 sen ω t , donde V 0 = 100 V y ω = 200 π rad/s . Calcule la potencia media de la fuente si se conecta a través de (a) un condensador de 20 - μ F , (b) un inductor de 20 mH y (c) un resistor de 50 - Ω . El cálculo de las corrientes rms para una fuente de ac viene dado por v ( t ) = V 0 sen ω t , donde V 0 = 100 V y ω = 200 π rad/s cuando se conecta a través de (a) un condensador de 20 - μ F , (b) un inductor de 20 mH y (c) un resistor de 50 - Ω . a. 0,89 A; b. 5,6A; c. 1,4 A Un inductor de 40 mH está conectado a una fuente de ac de 60 Hz cuya amplitud de voltaje es de 50 V. Si se coloca un voltímetro de ac a través del inductor, ¿qué lectura da? Para un circuito en serie RLC , la amplitud del voltaje y la frecuencia de la fuente son 100 V y 500 Hz, respectivamente R = 500 Ω ; y L = 0,20 H . Calcule la potencia media disipada en el resistor para los siguientes valores de capacitancia: (a) C = 2,0 μ F y (b) C = 0,20 μ F . a. 5,3 W; b. 2,1 W Una fuente de ac de amplitud de voltaje 10 V suministra energía eléctrica a razón de 0,80 W cuando su corriente de salida es de 2,5 A. ¿Cuál es el ángulo de fase ϕ entre la emf y la corriente? Un circuito en serie RLC tiene una impedancia de 60 Ω y un factor de potencia de 0,50, con el voltaje retrasado respecto a la corriente. (a) ¿Debería colocarse un condensador o un inductor en serie con los elementos para elevar el factor de potencia del circuito? (b) ¿Cuál es el valor de la reactancia a través del inductor que elevará el factor de potencia a la unidad? a. inductor; b X L = 52 Ω potencia media media temporal de la potencia instantánea durante un ciclo factor de potencia cantidad en la que la potencia suministrada en el circuito es inferior a la máxima teórica del circuito debido a que el voltaje y la corriente están desfasados

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Resonancia en un circuito de ac En el circuito en serie RLC de la , la amplitud de la corriente es, según la : I 0 = V 0 R 2 + ( ω L − 1 / ω C ) 2 . Si podemos variar la frecuencia del generador de ac manteniendo constante la amplitud de su voltaje de salida, la corriente cambia en consecuencia. Un gráfico de I 0 en función de ω se muestra en la . En la frecuencia de resonancia de un circuito RLC , ω 0 = 1 / L C , la amplitud de la corriente está en su valor máximo. En Oscilaciones encontramos un gráfico similar en el que la amplitud de un oscilador armónico amortiguado se trazaba frente a la frecuencia angular de una fuerza motriz sinusoidal (vea Oscilaciones forzadas ). Esta similitud no es solo una coincidencia, como se ha demostrado anteriormente con la aplicación de la regla de las tensiones de Kirchhoff al circuito de la . Esto da como resultado L d i d t + i R + q C = V 0 sen ω t , o L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = V 0 sen ω t , donde hemos sustituido dq (t)/ dt por i (t). Una comparación de la y de Oscilaciones y Oscilaciones amortiguadas para el movimiento armónico amortiguado demuestra claramente que el circuito en serie RLC controlado es el análogo eléctrico del oscilador armónico amortiguado controlado. La frecuencia de resonancia f 0 del circuito RLC es la frecuencia a la que la amplitud de la corriente es máxima y el circuito oscilaría si no fuera alimentado por una fuente de voltaje. Por inspección, esto corresponde a la frecuencia angular ω 0 = 2 π f 0 en la que la impedancia Z en la es un mínimo, o cuando ω 0 L = 1 ω 0 C y ω 0 = 1 L C . Esta es la frecuencia angular de resonancia del circuito. Sustituyendo ω 0 en la , la y la , hallamos que en la resonancia, ϕ = tan −1 ( 0 ) = 0 , I 0 = V 0 / R , y Z = R . Por lo tanto, en resonancia, un circuito RLC es puramente resistivo, con la emf y la corriente aplicadas en fase. ¿Qué ocurre con la potencia en resonancia? La nos dice cómo varía la potencia media transferida desde un generador de ac a la combinación RLC con la frecuencia. Además, P ave alcanza un máximo cuando Z , que depende de la frecuencia, es un mínimo, es decir, cuando X L = X C y Z = R . Así, en resonancia, la potencia media de salida de la fuente en un circuito en serie RLC es máxima. Usando la , este máximo es V rms 2 / R . La es un gráfico típico de P ave en función a ω en la región de máxima potencia. El ancho de banda Δ ω del pico de resonancia se define como el rango de frecuencias angulares ω sobre la cual la potencia media P ave es mayor que la mitad del valor máximo de P ave . La agudeza del pico se describe mediante una cantidad sin dimensiones conocida como el factor de calidad Q del circuito. Por definición, Q = ω 0 Δ ω , donde ω 0 es la frecuencia angular de resonancia. Un Q alto indica un pico de resonancia agudo. Podemos dar Q en términos de los parámetros del circuito como Q = ω 0 L R . Al igual que la corriente, la potencia media transferida desde un generador de ac a un circuito RLC alcanza su máximo en la frecuencia de resonancia. Los circuitos resonantes se utilizan habitualmente para pasar o rechazar rangos de frecuencia seleccionados. Esto se hace ajustando el valor de uno de los elementos y, por tanto, "sintonizando" el circuito a una frecuencia de resonancia determinada. Por ejemplo, en las radios, el receptor se sintoniza con la emisora deseada ajustando la frecuencia de resonancia de sus circuitos para que coincida con la frecuencia de la emisora. Si el circuito de sintonía tiene un Q alto, tendrá un ancho de banda pequeño, por lo que las señales de otras emisoras a frecuencias incluso ligeramente diferentes de la frecuencia de resonancia encuentran una alta impedancia y no pasan por el circuito. Los teléfonos móviles funcionan de forma similar, comunicándose con señales de alrededor de 1 GHz que se sintonizan mediante un circuito inductor-condensador. Una de las aplicaciones más comunes de los condensadores es su uso en circuitos de sincronización de ac, basados en la obtención de una frecuencia de resonancia. Un detector de metales también utiliza un desplazamiento de la frecuencia de resonancia en la detección de metales ( ). Cuando un detector de metales se acerca a un trozo de metal, la autoinducción de una de sus bobinas cambia. Esto provoca un cambio en la frecuencia de resonancia de un circuito que contiene la bobina. Ese desplazamiento es detectado por los circuitos y transmitido al buceador por medio de los auriculares (créditos: modificación del trabajo de Eric Lippmann, de la Marina de EE. UU.). Resonancia en un circuito RLC en serie (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia de un circuito que utiliza los valores de voltaje y LRC conectados en serie del ? (b) Si el generador de ac se ajusta a esta frecuencia sin cambiar la amplitud del voltaje de salida, ¿cuál es la amplitud de la corriente? Estrategia La frecuencia de resonancia de un circuito RLC se calcula a partir de la , que proviene de un equilibrio entre las reactancias del condensador y del inductor. Como el circuito está en resonancia, la impedancia es igual al resistor. A continuación, la corriente de pico se calcula mediante la división del voltaje entre la resistencia. Solución La frecuencia de resonancia se calcula con la : f 0 = 1 2 π 1 L C = 1 2 π 1 ( 3,00 × 10 −3 H ) ( 8,00 × 10 −4 F ) = 1,03 × 10 2 Hz . En resonancia, la impedancia del circuito es puramente resistiva, y la amplitud de la corriente es I 0 = 0,100 V 4,00 Ω = 2,50 × 10 −2 A . Importancia Si el circuito no estuviera ajustado a la frecuencia de resonancia, necesitaríamos la impedancia de todo el circuito para calcular la corriente. Transferencia de potencia en un circuito en serie RLC en resonancia (a) ¿Cuál es la frecuencia angular de resonancia de un circuito RLC con R = 0,200 Ω , L = 4,00 × 10 −3 H, y C = 2,00 × 10 −6 F? (b) Si una fuente de ac de amplitud constante 4,00 V se ajusta a esta frecuencia, ¿cuál es la potencia media transferida al circuito? (c) Determine Q y el ancho de banda de este circuito. Estrategia La frecuencia angular de resonancia se calcula a partir de la . La potencia media se calcula a partir del voltaje rms y la resistencia del circuito. El factor de calidad se calcula a partir de la y conociendo la frecuencia de resonancia. El ancho de banda se calcula a partir de la y conociendo el factor de calidad. Solución La frecuencia angular de resonancia es ω 0 = 1 L C = 1 ( 4,00 × 10 −3 H ) ( 2,00 × 10 −6 F ) = 1,12 × 10 4 rad/s . A esta frecuencia, la potencia media transferida al circuito es máxima. Es P ave = V rms 2 R = [ ( 1 / 2 ) ( 4,00 V ) ] 2 0,200 Ω = 40,0 W . El factor de calidad del circuito es Q = ω 0 L R = ( 1,12 × 10 4 rad/s ) ( 4,00 × 10 −3 H ) 0,200 Ω = 224 . Entonces calculamos para el ancho de banda Δ ω = ω 0 Q = 1,12 × 10 4 rad/s 224 = 50,0 rad/s . Importancia Si se desea un ancho de banda más estrecho, una resistencia más baja o una inductancia más alta ayudarían. Sin embargo, una resistencia más baja aumenta la potencia transferida al circuito, lo que puede no ser deseable, dependiendo de la potencia máxima que se pueda transferir. En el circuito de la , L = 2,0 × 10 −3 H, C = 5,0 × 10 −4 F, y R = 40 Ω . (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia? (b) ¿Cuál es la impedancia del circuito en la resonancia? (c) Si la amplitud del voltaje es de 10 V, ¿cuál es i (t ) en la resonancia? (d) La frecuencia del generador de ac se cambia ahora a 200 Hz. Calcule el desfase entre la corriente y la emf del generador. a. 160 Hz; b 40 Ω ; c ( 0,25 A ) sen 10 3 t ; d. 0,023 rad ¿Qué ocurre con la frecuencia de resonancia de un circuito en serie RLC cuando las siguientes cantidades se incrementan en un factor de 4: (a) la capacitancia, (b) la autoinducción y (c) la resistencia? a. reducido a la mitad; b. reducido a la mitad; c. igual La frecuencia angular de resonancia de un circuito en serie RLC es 4,0 × 10 2 rad/s . Una fuente de ac que funciona a esta frecuencia transfiere una potencia media de 2,0 × 10 −2 W al circuito La resistencia del circuito es 0,50 Ω . Escriba una expresión para la emf de la fuente. v ( t ) = ( 0,14 V ) sen ( 4,0 × 10 2 t ) Resumen En la frecuencia de resonancia, la reactancia inductiva es igual a la capacitiva. El gráfico de potencia media en función de la frecuencia angular de un circuito RLC tiene un pico situado en la frecuencia de resonancia; la agudeza o ancho del pico se conoce como ancho de banda. El ancho de banda está relacionado con una cantidad sin dimensiones llamada factor de calidad. Un valor alto del factor de calidad es un pico agudo o estrecho. Problemas (a) Calcule la frecuencia angular de resonancia de un circuito en serie RLC para el que R = 20 Ω , L = 7 5 mH y C = 4,0 μ F . (b) Si se cambia R por 300 Ω , ¿qué ocurre con la frecuencia angular de resonancia? La frecuencia de resonancia de un circuito RLC en serie es 2,0 × 10 3 Hz . Si la autoinducción en el circuito es de 5,0 mH, ¿cuál es la capacitancia en el circuito? 1,3 × 10 −6 F (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia de un circuito en serie RLC con R = 20 Ω , L = 2,0 mH y C = 4,0 μ F ? (b) ¿Cuál es la impedancia del circuito en resonancia? Para un circuito en serie RLC , R = 100 Ω , L = 150 mH y C = 0,25 μ F . (a) Si se conecta al circuito una fuente de ac de frecuencia variable, ¿a qué frecuencia se disipa la máxima potencia en el resistor? (b) ¿Cuál es el factor de calidad del circuito? a. 820 Hz; b. 7,8 Una fuente de ac de amplitud de voltaje de 100 V y frecuencia variable f acciona un circuito en serie RLC con R = 10 Ω , L = 2,0 mH y C = 25 μ F . (a) Trace la corriente a través del resistor en función de la frecuencia f . (b) Utilice el gráfico para determinar la frecuencia de resonancia del circuito. (a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia de un resistor, un condensador y un inductor conectados en serie si R = 100 Ω, L = 2,0 H y C = 5,0 μ F ? (b) Si esta combinación se conecta a una fuente de 100 V que funciona a la frecuencia de resonancia, ¿cuál es la potencia de salida de la fuente? (c) ¿Cuál es el Q del circuito? (d) ¿Cuál es el ancho de banda del circuito? a. 50 Hz; b. 50 W; c. 6,32; d. 50 rad/s Supongamos que una bobina tiene una autoinducción de 20,0 H y una resistencia de 200 Ω . ¿Qué (a) capacitancia y (b) resistencia deben conectarse en serie con la bobina para producir un circuito que tenga una frecuencia de resonancia de 100 Hz y un Q de 10? Un generador de ac se conecta a un dispositivo cuyos circuitos internos no se conocen. Solo conocemos la corriente y el voltaje fuera del aparato, como se muestra a continuación. Basándose en la información dada, ¿qué puede deducir sobre la naturaleza eléctrica del dispositivo y su uso de potencia? La reactancia del condensador es mayor que la reactancia del inductor, porque la corriente lidera el voltaje. El consumo de energía es de 30 W. ancho de banda gama de frecuencias angulares en las que la potencia media es superior a la mitad del valor máximo de la potencia media factor de calidad cantidad sin dimensiones que describe la agudeza del pico del ancho de banda; un factor de calidad alto es un pico de resonancia agudo o estrecho frecuencia de resonancia frecuencia a la que la amplitud de la corriente es máxima y el circuito oscilaría si no fuera conducido por una fuente de voltaje

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Transformadores Aunque la potencia eléctrica en ac se produce a voltajes relativamente bajos, se envía a través de líneas de transmisión a voltajes muy altos (hasta 500 kV). La misma potencia puede transmitirse a diferentes voltajes porque la potencia es el producto I rms V rms . (Para simplificar, ignoramos el factor de fase cos ϕ . ) Por lo tanto, una necesidad de potencia concreta puede satisfacerse con un voltaje bajo y una corriente alta o con un voltaje alto y una corriente baja. La ventaja de la elección de alto voltaje/corriente baja es que resulta en una menor I rms 2 R pérdidas óhmicas en las líneas de transmisión, que pueden ser importantes en líneas de muchos kilómetros de longitud ( ). El voltaje rms de una central eléctrica debe reducirse de 12 kV a 240 V para que pueda utilizarse con seguridad en una vivienda. Una línea de transmisión de alto voltaje permite transmitir una corriente baja a través de una subestación a largas distancias. Normalmente, las fuerzas electromotrices alternas producidas en las centrales eléctricas se "elevan" a voltajes muy altos antes de ser transmitidas por las líneas eléctricas; luego, se deben "reducir" a valores relativamente seguros (110 o 220 V rms) antes de se puedan utilizar en los hogares. El dispositivo que transforma los voltajes de un valor a otro mediante inducción es el transformador ( ). Los transformadores se utilizan para reducir los altos voltajes de las líneas de transmisión a los 110 y 220 V que se utilizan en los hogares (créditos: modificación del trabajo de “Fortyseven”/Flickr). Como se muestra en la , un transformador consta básicamente de dos bobinas separadas, o bobinados, que envuelven un núcleo de hierro blando. El bobinado primario tiene N P bucles, o vueltas, y se conecta a un voltaje alterno v P ( t ) . El bobinado secundario tiene N S vueltas y se conecta a un resistor de carga R S . Suponemos el caso ideal en el que todas las líneas de campo magnético están confinadas en el núcleo, de modo que el mismo flujo magnético atraviesa cada una de las vueltas de los bobinados primario y secundario. También desestimamos las pérdidas de energía por histéresis magnética, por calentamiento óhmico en los bobinados y por calentamiento óhmico de las corrientes de Foucault inducidas en el núcleo. Un buen transformador puede tener pérdidas tan bajas como el 1 % de la potencia transmitida, así que no es una mala suposición. Un transformador elevador (más vueltas en el bobinado secundario que en el primario). Los dos bobinados están enrollados en un núcleo de hierro blando. Para analizar el circuito del transformador, primero consideramos el bobinado primario. El voltaje de entrada v P ( t ) es igual a la diferencia de potencial inducida a través del bobinado primario. Según la ley de Faraday, la diferencia de potencial inducida es − N P ( d Φ / d t ) , donde Φ es el flujo que atraviesa las vueltas del bobinado primario. Así, v P ( t ) = − N P d Φ d t . Del mismo modo, el voltaje de salida v S ( t ) entregado al resistor de carga debe ser igual a la diferencia de potencial inducida a través del bobinado secundario. Dado que el transformador es ideal, el flujo que atraviesa las vueltas del bobinado secundario también es Φ , y v S ( t ) = − N S d Φ d t . Combinando las dos últimas ecuaciones, tenemos v S ( t ) = N S N P v P ( t ) . Por lo tanto, con los valores adecuados para N S y N P , el voltaje de entrada v P ( t ) puede ser “elevado" ( N S > N P ) o “reducido" ( N S < N P ) a v S ( t ) , el voltaje de salida. Esto se suele abreviar como la ecuación del transformador , V S V P = N S N P , que muestra que la relación entre los voltajes del secundario y el primario en un transformador es igual a la relación del número de vueltas en sus bobinados. Para un transformador elevador , que aumenta el voltaje y disminuye la corriente, esta relación es mayor que uno; para un transformador reductor , que disminuye el voltaje y aumenta la corriente, esta relación es menor que uno. A partir de la ley de conservación de la energía, la potencia introducida en cualquier instante por v P ( t ) al bobinado primario debe ser igual a la potencia disipada en el resistor del circuito secundario; así, i P ( t ) v P ( t ) = i S ( t ) v S ( t ) . Cuando se combina con la , se obtiene i S ( t ) = N P N S i P ( t ) . Si el voltaje aumenta, la corriente disminuye, y viceversa. Por último, podemos utilizar i S ( t ) = v S ( t ) / R S , junto con la y la , para obtener v P ( t ) = i P [ ( N P N S ) 2 R S ] , que nos dice que el voltaje de entrada v P ( t ) "ve" no una resistencia R S sino una resistencia R P = ( N P N S ) 2 R S . Nuestro análisis se ha basado en valores instantáneos de voltaje y corriente. Sin embargo, las ecuaciones resultantes no se limitan a los valores instantáneos, sino que también son válidas para los valores máximos y rms. Un transformador reductor Un transformador situado en un poste de la compañía eléctrica reduce el voltaje rms de 12 kV a 240 V. (a) ¿Cuál es la relación entre el número de vueltas del secundario y el número de vueltas del primario? (b) Si la corriente de entrada al transformador es de 2,0 A, ¿cuál es la corriente de salida? (c) Determine la pérdida de potencia en la línea de transmisión. Estrategia El número de vueltas relacionado con los voltajes se encuentran en la . La corriente de salida se calcula mediante la . Solución Utilizando la con valores rms V P y V S , tenemos N S N P = 240 V 12 × 10 3 V = 1 50 , por lo que el bobinado primario tiene 50 veces el número de vueltas del bobinado secundario. A partir de la , la corriente rms de salida I S se calcula utilizando la ecuación del transformador con la corriente I S = N P N S I P tal que I S = N P N S I P = ( 50 ) ( 2,0 A ) = 100 A . La pérdida de potencia en la línea de transmisión se calcula con la ecuación P pérdida = I P 2 R = ( 2,0 A ) 2 ( 6000 Ω ) = 24,000 W . Si no hubiera un transformador, la energía tendría que enviarse a 240 V para que funcionara para estas casas, y la pérdida de energía sería P pérdida = I S 2 R = ( 100 A ) 2 ( 200 Ω ) = 2 × 10 6 W . Por lo tanto, cuando hay que transmitir potencia, queremos evitar la pérdida de la misma. Así, las líneas se envían con voltajes altos y corrientes bajas y se ajustan con un transformador antes de enviar la energía a los hogares. Importancia Esta aplicación de un transformador reductor permite que una vivienda que utiliza tomas de corriente de 240 V disponga de 100 A para su uso. Esto puede alimentar muchos dispositivos en el hogar. Un transformador reduce el voltaje de la línea de 110 a 9,0 V para poder suministrar una corriente de 0,50 A a un timbre. (a) ¿Cuál es la relación del número de vueltas en los bobinados primario y secundario? (b) ¿Cuál es la corriente en el bobinado primario? (c) ¿Cuál es la resistencia que se ve en la fuente de 110 V? a. 12:1; b. 0,042 A; c 2,6 × 10 3 Ω Resumen Las centrales eléctricas transmiten altos voltajes a bajas corrientes para conseguir menores pérdidas óhmicas en sus muchos kilómetros de líneas de transmisión. Los transformadores utilizan la inducción para transformar los voltajes de un valor a otro. En un transformador, los voltajes en las bobinas primarias y secundarias, o bobinados, están relacionadas por la ecuación del transformador. Las corrientes en los bobinados primario y secundario están relacionadas por el número de bucles primarias y secundarias, o vueltas, en los bobinados del transformador. Un transformador elevador aumenta el voltaje y disminuye la corriente, mientras que un transformador reductor disminuye el voltaje y aumenta la corriente. Ecuaciones clave Voltaje alterno v = V 0 sen ω t Corriente alterna i = I 0 sen ω t reactancia capacitiva V 0 I 0 = 1 ω C = X C voltaje rms V rms = V 0 2 corriente rms I rms = I 0 2 reactancia inductiva V 0 I 0 = ω L = X L Ángulo de fase de un circuito en serie RLC ϕ = tan −1 X L − X C R Versión AC de la ley de Ohm I 0 = V 0 Z Impedancia de un circuito en serie RLC Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 Potencia media asociada a un elemento del circuito P ave = 1 2 I 0 V 0 cos ϕ Potencia media disipada por un resistor P ave = 1 2 I 0 V 0 = I rms V rms = I rms 2 R Frecuencia angular de resonancia de un circuito ω 0 = 1 L C Factor de calidad de un circuito Q = ω 0 Δ ω Factor de calidad de un circuito en función de los parámetros del mismo Q = ω 0 L R Ecuación del transformador con voltaje V S V P = N S N P Ecuación del transformador con corriente I S = N P N S I P Preguntas conceptuales ¿Por qué las líneas de transmisión funcionan con voltajes muy altos mientras que los circuitos domésticos funcionan con voltajes bastante pequeños? Las pérdidas térmicas son menores si las líneas de transmisión funcionan con corrientes bajas y voltajes altos. ¿Cómo se puede distinguir el bobinado primario del secundario en un transformador elevador? Las baterías de algunos aparatos electrónicos se cargan mediante un adaptador conectado a una toma de corriente. Especule sobre la finalidad del adaptador. El adaptador tiene un transformador reductor para tener un voltaje más bajo y posiblemente una corriente más alta a la que el dispositivo puede funcionar. ¿Funcionará un transformador si la entrada es un voltaje continuo? ¿Por qué las bobinas primarias y secundarias de un transformador están enrolladas en el mismo bucle cerrado de hierro? para que cada bobina pueda experimentar el mismo flujo magnético cambiante Problemas Un transformador elevador está diseñado para que la salida de su bobinado secundario sea de 2.000 V (rms) cuando el bobinado primario está conectado a un voltaje de línea de 110 V (rms). (a) Si el bobinado primario tiene 100 vueltas, ¿cuántas vueltas tiene el bobinado secundario? (b) Si un resistor conectado a través del bobinado secundario consume una corriente rms de 0,75 A, ¿cuál es la corriente en el bobinado primario? Se utiliza un transformador elevador conectado a una línea de 110 V para alimentar un tubo de descarga de gas hidrógeno con 5,0 kV (rms). El tubo disipa 75 W de potencia. (a) ¿Cuál es la relación entre el número de vueltas del bobinado secundario y el número de vueltas del bobinado primario? (b) ¿Cuáles son las corrientes rms en los bobinados primario y secundario? (c) ¿Cuál es la resistencia efectiva vista por la fuente de 110 V? a. 45:1; b. 0,68 A, 0,015 A; c 160 Ω Una fuente de ac entrega 5,0 mW de potencia con una corriente rms de 2,0 mA cuando se conecta a la bobina primaria de un transformador. El voltaje rms a través de la bobina secundaria es de 20 V. (a) ¿Cuál es el voltaje a través de la bobina primaria y la corriente a través de la bobina secundaria? (b) ¿Cuál es la relación de vueltas del secundario al primario para el transformador? Un transformador se utiliza para reducir los 110 V de una toma de corriente a 9,0 V para una radio. (a) Si el bobinado primario tiene 500 vueltas, ¿cuántas vueltas tiene el bobinado secundario? (b) Si la radio funciona con una corriente de 500 mA, ¿cuál es la corriente que pasa por el bobinado primario? a. 41 vueltas; b. 40,9 mA Se utiliza un transformador para alimentar una maqueta de 12 V con energía de un enchufe de pared de 110 V. El tren funciona a 50 W de potencia. (a) ¿Cuál es la corriente rms en la bobina secundaria del transformador? (b) ¿Cuál es la corriente rms en la bobina primaria? (c) ¿Cuál es la relación entre el número de vueltas del primario y del secundario? (d) ¿Cuál es la resistencia del tren? (e) ¿Cuál es la resistencia que ve la fuente de 110 V? Problemas adicionales La emf de una fuente de ac viene dada por v ( t ) = V 0 sen ω t , donde V 0 = 100 V y ω = 200 π rad/s . Calcule una expresión que represente la corriente de salida de la fuente si se conecta a través de (a) un condensador de 20 - μ F , (b) un inductor de 20 mH y (c) un resistor de 50 - Ω . a. i ( t ) = ( 1,26 A ) sen ( 200 π t + π / 2 ) ; b i ( t ) = ( 7,96 A ) sen ( 200 π t − π / 2 ) ; c i ( t ) = ( 2 A ) sen ( 200 π t ) Un condensador de 700 pF está conectado a una fuente de ac con una amplitud de voltaje de 160 V y una frecuencia de 20 kHz. (a) Determine la reactancia capacitiva del condensador y la amplitud de la corriente de salida de la fuente. (b) Si la frecuencia se cambia a 60 Hz manteniendo la amplitud de voltaje en 160 V, ¿cuáles son la reactancia capacitiva y la amplitud de la corriente? Un inductor de 20 mH está conectado a través de una fuente de ac con una frecuencia variable y una amplitud de voltaje constante de 9,0 V. (a) Determine la reactancia del circuito y la corriente máxima que pasa por el inductor cuando la frecuencia se fija en 20 kHz. (b) Haga los mismos cálculos para una frecuencia de 60 Hz. a. 2,5 × 10 3 Ω , 3,6 × 10 −3 A ; b 7,5 Ω , 1,2 A Un condensador de 30 - μ F está conectado a través de una fuente de ac de 60 Hz cuya amplitud de voltaje es de 50 V. (a) ¿Cuál es la carga máxima en el condensador? (b) ¿Cuál es la corriente máxima en el condensador? (c) ¿Cuál es la relación de fase entre la carga del condensador y la corriente en el circuito? Un inductor de 7,0 mH está conectado a una fuente de ac de 60 Hz cuya amplitud de voltaje es de 50 V. (a) ¿Cuál es la corriente máxima que pasa por el inductor? (b) ¿Cuál es la relación de fase entre la corriente que pasa y la diferencia de potencial a través del inductor? a. 19 A; b. los cables del inductor por 90 ° ¿Cuál es la impedancia de un circuito RLC en serie a la frecuencia de resonancia? ¿Cuál es la resistencia R en el circuito que se muestra a continuación si la amplitud de la ac que pasa por el inductor es de 4,24 A? 11,7 Ω Una fuente de ac con una amplitud de voltaje de 100 V y una frecuencia de 1,0 kHz acciona un circuito en serie RLC con R = 20 Ω , L = 4,0 mH , y C = 50 μ F . (a) Determine la corriente rms a través del circuito. (b) ¿Cuáles son los voltajes rms a través de los tres elementos? (c) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la emf y la corriente? (d) ¿Cuál es la potencia de salida de la fuente? (e) ¿Cuál es la potencia disipada en el resistor? En un circuito en serie RLC , R = 200 Ω , L = 1,0 H , C = 50 μ F, V 0 = 120 V , y f = 50 Hz . ¿Cuál es la potencia de la fuente? 14 W Un generador de una central eléctrica produce 100 A a 15 kV (rms). Se utiliza un transformador para elevar el voltaje de la línea de transmisión a 150 kV (rms). (a) ¿Cuál es la corriente rms en la línea de transmisión? (b) Si la resistencia por unidad de longitud de la línea es 8,6 × 10 −8 Ω /m, ¿cuál es la pérdida de potencia por metro en la línea? (c) ¿Cuál sería la pérdida de potencia por metro si el voltaje de la línea fuera de 15 kV (rms)? Consideremos una central eléctrica situada a 25 km de una ciudad que suministra 50 MW de energía a la misma. Las líneas de transmisión están hechas de cables de aluminio con un área de la sección transversal. 7 cm 2 Calcule la pérdida de potencia en las líneas de transmisión si se transmite a (a) 200 kV (rms) y (b) 120 V (rms). a. 5,9 × 10 4 W ; b 1,64 × 10 11 W Las carteles de neón requieren 12 kV para su funcionamiento. Se utilizará un transformador para cambiar el voltaje de 220 V (rms) ac a 12 kV (rms) ac. ¿Cuál debe ser la relación entre las vueltas del bobinado secundario y las vueltas del primario? (b) ¿Cuál es la máxima corriente rms que pueden consumir las lámparas de neón si el fusible del bobinado primario se funde a 0,5 A? (c) ¿Qué potencia utiliza el cartel de neón cuando consume la máxima corriente permitida por el fusible del bobinado primario? Problemas de desafío La electricidad de 335 kV de ac procedente de una línea de transmisión de energía se introduce en el bobinado primario de un transformador. La relación entre el número de vueltas del bobinado secundario y el número del bobinado primario es N s / N p = 1.000 . (a) ¿Qué voltaje se induce en el bobinado secundario? (b) ¿Qué no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposición o premisa es responsable? a. 335 MV; b. el resultado es demasiado alto, muy por encima del voltaje de ruptura del aire en distancias razonables; c. el voltaje de entrada es demasiado alto Un condensador de 1,5 -k Ω el resistor y un inductor de 30 mH están conectados en serie, como se muestra a continuación, a través de una fuente de alimentación de ac de 120 V (rms) que oscila a una frecuencia de 60 Hz. (a) Calcule la corriente en el circuito. (b) Calcule las caídas de voltaje en el resistor y el inductor. (c) Calcule la impedancia del circuito. (d) Calcule la potencia disipada en al resistor. (e) Calcule la potencia disipada en el inductor. (f) Calcule la potencia producida por la fuente. Un resistor de 20 - Ω , un condensador de 50 - μ F y un inductor de 30 mH están conectados en serie con una fuente de ac de amplitud 10 V y frecuencia 125 Hz. (a) ¿Cuál es la impedancia del circuito? (b) ¿Cuál es la amplitud de la corriente en el circuito? (c) ¿Cuál es la constante de fase de la corriente? ¿Está adelantando o retrasando el voltaje de la fuente? (d) Escriba las caídas de voltaje en el resistor, el condensador y el inductor y el voltaje de la fuente en función del tiempo. (e) ¿Cuál es el factor de potencia del circuito? (f) ¿Cuánta energía utiliza el resistor en 2,5 s? a. 20 Ω ; b. 0,5 A; c 5,4 ° , con retraso; d V R = ( 9,96 V ) cos ( 250 π t + 5,4 ° ) , V C = ( 12,7 V ) cos ( 250 π t + 5,4 ° − 90 ° ) , V L = ( 11,8 V ) cos ( 250 π t + 5,4 ° + 90 ° ) , V fuente = ( 10,0  V ) cos ( 250 π t ) ; e. 0,995; f. 6,25 J Un resistor de 200 - Ω , un condensador de 150 - μ F y un inductor de 2,5 H están conectados en serie con una fuente de ac de 10 V de amplitud y frecuencia angular variable ω . (a) ¿Cuál es el valor de la frecuencia de resonancia ω R ? (b) ¿Cuál es la amplitud de la corriente si ω = ω R ? (c) ¿Cuál es la constante de fase de la corriente cuando ω = ω R ? ¿Está adelantando o retrasando el voltaje de la fuente, o está en fase? (d) Escriba una ecuación para la caída de voltaje a través del resistor como una función de tiempo cuando ω = ω R . (e) ¿Cuál es el factor de potencia del circuito cuando ω = ω R ? (f) ¿Cuánta energía consume el resistor en 2,5 s cuando ω = ω R ? Calcule las reactancias de los siguientes condensadores e inductores en circuitos de ac con las frecuencias dadas en cada caso: (a) inductor de 2 mH con una frecuencia de 60 Hz del circuito de ac; (b) inductor de 2 mH con una frecuencia de 600 Hz del circuito de ac; (c) inductor de 20 mH con una frecuencia de 6 Hz del circuito de ac; (d) inductor de 20 mH con una frecuencia de 60 Hz del circuito de ac; (e) condensador de 2 mF con una frecuencia de 60 Hz del circuito de ac; y (f) condensador de 2 mF con una frecuencia de 600 Hz del circuito de ac. a. 0,75 Ω ; b 7,5 Ω ; c 0,75 Ω ; d 7,5 Ω ; e 1,3 Ω ; f 0,13 Ω La impedancia de salida de un amplificador de audio tiene una impedancia de 500 Ω y tiene un desajuste con una baja impedancia 8 - Ω altavoz. Se le pide que inserte un transformador adecuado para igualar las impedancias. ¿Qué relación de transformación va a utilizar y por qué? Utilice el circuito simplificado que se muestra a continuación. Demuestre que la unidad del SI para la reactancia capacitiva es el ohmio. Demuestre que la unidad del SI para la reactancia inductiva es también el ohmio. Las unidades como se escriben para la reactancia inductiva en la son rad s H . Los radianes pueden ignorarse en el análisis de las unidades. El henrio puede definirse como H = V · s A = Ω · s . Si se combinan, se obtiene una unidad de Ω para la reactancia. Una bobina con una autoinducción de 16 mH y una resistencia de 6,0 Ω está conectada a una fuente de ac cuya frecuencia puede variar. ¿Cuál es la frecuencia del voltaje aplicado que permitirá que la bobina conduzca una corriente por 45 ° ? Un circuito en serie RLC está formado por un resistor de 50 - Ω , un condensador de 200 - μ F y un inductor de 120 mH cuya bobina tiene una resistencia de 20 Ω . La fuente del circuito tiene una emf rms de 240 V a una frecuencia de 60 Hz. Calcule los voltaje rms en (a) el resistor, (b) el condensador y (c) el inductor. a. 156 V; b. 42 V; c. 154 V Un circuito en serie RLC está formado por un resistor de 10 - Ω , un condensador 8,0 - μ F y un inductor de 50 mH. Una fuente de 110 V (rms) de frecuencia variable se conecta a través de la combinación. ¿Cuál es la potencia de la fuente cuando su frecuencia se ajusta a la mitad de la frecuencia de resonancia del circuito? A continuación se muestran dos circuitos que actúan como filtros de paso alto rudimentarios. El voltaje de entrada a los circuitos es v entrada , y el voltaje de salida es v salida . (a) Demuestre que para el circuito de condensadores, v salida v entrada = 1 1 + 1 / ω 2 R 2 C 2 , y para el circuito inductor, v salida v entrada = ω L R 2 + ω 2 L 2 . (b) Demuestre que para frecuencias altas, v salida ≈ v entrada , pero para las frecuencias bajas, v salida ≈ 0 . a. v salida v entrada = 1 1 + 1 / ω 2 R 2 C 2 y v salida v entrada = ω L R 2 + ω 2 L 2 ; b v salida ≈ v entrada y v salida ≈ 0 Los dos circuitos que se muestran a continuación actúan como filtros de paso bajo rudimentarios. El voltaje de entrada a los circuitos es v entrada , y el voltaje de salida es v salida . (a) Demuestre que para el circuito de condensadores, v salida v entrada = 1 1 + ω 2 R 2 C 2 , y para el circuito inductor, v salida v entrada = R R 2 + ω 2 L 2 . (b) Demuestre que para frecuencias bajas, v salida ≈ v entrada , pero para las frecuencias altas, v salida ≈ 0 . transformador reductor transformador que disminuye el voltaje y aumenta la corriente transformador elevador transformador que aumenta el voltaje y disminuye la corriente transformador dispositivo que transforma voltaje de un valor a otro mediante inducción ecuación del transformador la ecuación que muestra que la relación entre los voltajes del secundario y el primario en un transformador es igual a la relación del número de vueltas en sus bobinados

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Introducción La presión de la luz solar predicha por las ecuaciones de Maxwell ayudó a producir la cola del cometa McNaught (créditos: modificación del trabajo de Sebastian Deiries-Observatorio Europeo Austral (European Southern Observatory, ESO). Nuestra visión de los objetos en el cielo por la noche, el cálido resplandor del sol, el escozor de las quemaduras solares, nuestras conversaciones por teléfono móvil y los rayos X que revelan un hueso roto: todo ello nos llega a través de las ondas electromagnéticas. Sería difícil exagerar la importancia práctica de las ondas electromagnéticas, por su papel en la visión, por sus innumerables aplicaciones tecnológicas y por su capacidad de transportar la energía del Sol a través del espacio para mantener la vida y casi todas sus actividades en la Tierra. La teoría predijo el fenómeno general de las ondas electromagnéticas antes de que nadie se diera cuenta de que la luz es una forma de onda electromagnética. A mediados del siglo XIX, James Clerk Maxwell formuló una única teoría que combinaba todos los efectos eléctricos y magnéticos conocidos en aquella época. Las ecuaciones de Maxwell, que resumen esta teoría, predijeron la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz. Su teoría también predijo cómo se comportan estas ondas y cómo transportan energía y momento. Las colas de los cometas, como la del cometa McNaught en la , constituyen un ejemplo espectacular. La energía transportada por la luz del Sol calienta el cometa y lo hace liberar polvo y gas. El momento que lleva la luz ejerce una fuerza débil que da forma de cola al polvo como la que se ve aquí. El flujo de partículas emitido por el Sol, llamado viento solar, suele producir una segunda cola adicional, como se describe en detalle en este capítulo. En este capítulo explicamos la teoría de Maxwell y mostramos cómo conduce a su predicción de ondas electromagnéticas. Utilizamos su teoría para examinar qué son las ondas electromagnéticas, cómo se producen y cómo transportan energía y momento. Concluimos resumiendo algunas de las muchas aplicaciones prácticas de las ondas electromagnéticas.

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Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas James Clerk Maxwell (1831-1879) fue uno de los principales contribuyentes a la física del siglo XIX ( ). Aunque murió joven, hizo importantes contribuciones al desarrollo de la teoría cinética de los gases, a la comprensión de la visión del color y a la naturaleza de los anillos de Saturno. Probablemente sea más conocido por haber combinado los conocimientos existentes sobre las leyes de la electricidad y el magnetismo con ideas propias en una teoría electromagnética completa y global, representada por las ecuaciones de Maxwell . James Clerk Maxwell, físico del siglo XIX, desarrolló una teoría que explicaba la relación entre la electricidad y el magnetismo y predijo correctamente que la luz visible está formada por ondas electromagnéticas. Corrección de Maxwell a las leyes de la electricidad y el magnetismo Las cuatro leyes básicas de la electricidad y el magnetismo se habían descubierto experimentalmente gracias a los trabajos de físicos como Oersted, Coulomb, Gauss y Faraday. Maxwell descubrió inconsistencias lógicas en estos resultados anteriores e identificó el carácter incompleto de la ley de Ampère como su causa. Recordemos que según la ley de Ampère, la integral del campo magnético alrededor de un bucle cerrado C es proporcional a la corriente I que pasa por cualquier superficie cuyo límite sea el propio bucle C : ∮ C B → · d s → = μ 0 I . Hay infinitas superficies que se pueden unir a cualquier bucle, y la ley de Ampère que aparece en la es independiente de la elección de la superficie. Considere el montaje en la . Una fuente de emf se conecta bruscamente a través de un condensador de placas paralelas de manera que se desarrolla una corriente I dependiente del tiempo en el cable. Supongamos que aplicamos la ley de Ampère al bucle C mostrado en un momento anterior a la carga completa del condensador, de forma que I ≠ 0 . La superficie S 1 da un valor diferente de cero para la corriente encerrada I , mientras que la superficie S 2 da cero para la corriente encerrada porque no pasa ninguna corriente a través de ella: ∮ C B → · d s → = { μ 0 I si la superficie S 1 se utiliza 0 si la superficie S 2 se utiliza . Está claro que la ley de Ampère en su forma habitual no funciona aquí. Esto no es sorprendente, ya que la ley de Ampère aplicada en capítulos anteriores requería una corriente constante, mientras que la corriente en este experimento cambia con el tiempo y no es constante en absoluto. Las corrientes a través de la superficie S 1 y superficie S 2 son desiguales, a pesar de tener el mismo bucle límite C . ¿Cómo se puede modificar la ley de Ampère para que funcione en todas las situaciones? Maxwell sugirió incluir una contribución adicional, llamada corriente de desplazamiento I d , a la corriente real I , ∮ C B → · d s → = μ 0 ( I + I d ) donde la corriente de desplazamiento se define como I d = ε 0 d Φ E d t . Aquí ε 0 es la permitividad del espacio libre y Φ E es el flujo eléctrico, definido como Φ E = ∬ Superficie S E → · d A → . La corriente de desplazamiento es análoga a una corriente real en la ley de Ampère, entrando en la ley de Ampère de la misma manera. Sin embargo, se produce por un campo eléctrico cambiante. Contabilice un campo eléctrico cambiante que produce un campo magnético, al igual que una corriente real, pero la corriente de desplazamiento puede producir un campo magnético incluso cuando no hay corriente real. Cuando se incluye este término extra, la ecuación de la ley de Ampère modificada se convierte en ∮ C B → · d s → = μ 0 I + ε 0 μ 0 d Φ E d t y es independiente de la superficie S a través de la cual se mide la corriente I . Ahora podemos examinar esta versión modificada de la ley de Ampère para confirmar que se mantiene independientemente de si la superficie S 1 o se elige la superficie S 2 en la . El campo eléctrico E → correspondiente al flujo Φ E en la está entre las placas del condensador. Por lo tanto, el E → campo y la corriente de desplazamiento a través de la superficie S 1 son ambos cero, y la toma la forma ∮ C B → · d s → = μ 0 I . Ahora debemos demostrar que para la superficie S 2 , por la que no circula ninguna corriente real, la corriente de desplazamiento conduce al mismo valor μ 0 I para el lado derecho de la ecuación de la ley de Ampère. Para la superficie S 2 , la ecuación se convierte en ∮ C B → · d s → = μ 0 d d t [ ε 0 ∬ Superficie S 2 E → · d A → ] . La ley de Gauss para la carga eléctrica requiere una superficie cerrada y no puede aplicarse normalmente a una superficie como S 1 sola o la S 2 sola. Pero las dos superficies S 1 y S 2 forman una superficie cerrada en la y pueden utilizarse en la ley de Gauss. Como el campo eléctrico es cero en S 1 , la contribución de flujo a través de la S 1 es cero. Esto nos da ∯ Superficie S 1 + S 2 E → · d A → = ∬ Superficie S 1 E → · d A → + ∬ Superficie S 2 E → · d A → = 0 + ∬ Superficie S 2 E → · d A → = ∬ Superficie S 2 E → · d A → . Por lo tanto, podemos sustituir la integral sobre la S 2 en la con la superficie gaussiana encerrada S 1 + S 2 y aplicar la ley de Gauss para obtener ∮ S 1 B → · d s → = μ 0 d Q in d t = μ 0 I . Así, la ecuación de la ley de Ampère modificada es la misma utilizando la superficie S 2 , donde el lado derecho resulta de la corriente de desplazamiento, al igual que para la superficie S 1 , donde la contribución proviene del flujo real de carga eléctrica. Corriente de desplazamiento en un condensador de carga Un condensador de placas paralelas con una capacitancia C cuyas placas tienen un área A y una distancia de separación d está conectado a un resistor R y a una batería de voltaje V . La corriente comienza a fluir en t = 0 . (a) Calcule la corriente de desplazamiento entre las placas del condensador en el tiempo t . (b) A partir de las propiedades del condensador, calcule la corriente real correspondiente I = d Q d t , y compare la respuesta con la corriente esperada en los cables del circuito RC correspondiente. Estrategia Podemos utilizar las ecuaciones del análisis de un circuito RC (Circuitos de corriente alterna ) más la versión de Maxwell de la ley de Ampère. Solución El voltaje entre las placas en el momento t viene dado por V C = 1 C Q ( t ) = V 0 ( 1 − e − t / R C ) . Supongamos que el eje z apunta desde la placa positiva a la negativa. Entonces la componente z del campo eléctrico entre las placas en función del tiempo t es E z ( t ) = V 0 d ( 1 − e − t / R C ) . Por lo tanto, la componente z de la corriente de desplazamiento I d entre las placas es I d ( t ) = ε 0 A ∂ E z ( t ) ∂ t = ε 0 A V 0 d × 1 R C e − t / R C = V 0 R e − t / R C , donde hemos utilizado C = ε 0 A d para la capacitancia. A partir de la expresión para V C , , la carga del condensador es Q ( t ) = C V C = C V 0 ( 1 − e − t / R C ) . Por lo tanto, la corriente que entra en el condensador después de cerrar el circuito es I = d Q d t = V 0 R e − t / R C . Esta corriente es igual a I d que se encuentra en (a). Ecuaciones de Maxwell Con la corrección de la corriente de desplazamiento, las ecuaciones de Maxwell toman la forma ∮ E → · d A → = Q in ε 0 ( Ley de Gauss ) ∮ B → · d A → = 0 ( Ley de Gauss para el magnetismo ) ∮ E → · d s → = − d Φ m d t ( Ley de Faraday ) ∮ B → · d s → = μ 0 I + ε 0 μ 0 d Φ E d t ( Ley de Ampère-Maxwell ) . Una vez calculados los campos mediante estas cuatro ecuaciones, la ecuación de fuerza de Lorentz F → = q E → + q v → × B → da la fuerza que los campos ejercen sobre una partícula con carga q que se mueve con velocidad v → . La ecuación de fuerza de Lorentz combina la fuerza del campo eléctrico y del campo magnético sobre la carga en movimiento. Las fuerzas magnéticas y eléctricas se han examinado en módulos anteriores. Estas cuatro ecuaciones de Maxwell son, respectivamente, Ecuaciones de Maxwell 1. Ley de Gauss El flujo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada es igual a la carga eléctrica Q in encerrada en la superficie. La ley de Gauss [ ] describe la relación entre una carga eléctrica y el campo eléctrico que produce. Esto se suele representar en términos de líneas de campo eléctrico que se originan en cargas positivas y terminan en cargas negativas e indican la dirección del campo eléctrico en cada punto del espacio. 2. Ley de Gauss para el magnetismo El flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es cero [ ]. Esto equivale a la afirmación de que las líneas de campo magnético son continuas, sin principio ni fin. Cualquier línea de campo magnético que entre en la región encerrada por esta superficie también debe salir de ella. No se conoce la existencia de monopolos magnéticos, donde terminarían las líneas de campo magnético (vea la sección Campos y líneas magnéticas ). 3. Ley de Faraday Un campo magnético cambiante induce una fuerza electromotriz (emf) y, por tanto, un campo eléctrico. La dirección de la emf se opone al cambio. Esta tercera ecuación de Maxwell, , es la ley de inducción de Faraday e incluye la ley de Lenz. El campo eléctrico de un campo magnético cambiante tiene líneas de campo que forman bucles cerradas, sin principio ni fin. 4. Ley de Ampère-Maxwell Los campos magnéticos son generados por cargas en movimiento o por campos eléctricos cambiantes. Esta cuarta de las ecuaciones de Maxwell, la , engloba la ley de Ampère y añade otra fuente de campos magnéticos, concretamente los campos eléctricos cambiantes. Las ecuaciones de Maxwell y la ley de la fuerza de Lorentz abarcan conjuntamente todas las leyes de la electricidad y el magnetismo. La simetría que Maxwell introdujo en su marco matemático puede que no sea inmediatamente evidente. La ley de Faraday describe cómo los campos magnéticos cambiantes producen campos eléctricos. La corriente de desplazamiento introducida por Maxwell resulta, en cambio, de un campo eléctrico cambiante y da cuenta de que un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético. Las ecuaciones para los efectos de los cambios en los campos eléctricos y en los campos magnéticos solo difieren en su forma cuando la ausencia de monopolos magnéticos hace que falten términos. Esta simetría entre los efectos del cambio de los campos magnéticos y eléctricos es esencial para explicar la naturaleza de las ondas electromagnéticas. La aplicación posterior de la teoría de la relatividad de Einstein a la teoría completa y simétrica de Maxwell demostró que las fuerzas eléctricas y magnéticas no están separadas, sino que son manifestaciones diferentes de la misma cosa: la fuerza electromagnética. La fuerza electromagnética y la fuerza nuclear débil están unificadas de forma similar a la fuerza electrodébil. Esta unificación de fuerzas ha sido una de las motivaciones de los intentos de unificar las cuatro fuerzas básicas de la naturaleza: la gravitatoria, la eléctrica, la fuerte y la nuclear débil (vea la sección Física de partículas y cosmología ). El mecanismo de propagación de las ondas electromagnéticas Para ver cómo la simetría introducida por Maxwell explica la existencia de ondas eléctricas y magnéticas combinadas que se propagan por el espacio, imagine un campo magnético que varía en el tiempo B → 0 ( t ) producido por la corriente alterna de alta frecuencia que se ve en la . Representamos B → 0 ( t ) en el diagrama por una de sus líneas de campo. Según la ley de Faraday, el campo magnético cambiante a través de una superficie induce un campo eléctrico variable en el tiempo E → 0 ( t ) en el límite de esa superficie. La fuente de corriente de desplazamiento para el campo eléctrico, al igual que la fuente de la ley de Faraday para el campo magnético, solo produce bucles cerrados de líneas de campo, debido a la simetría matemática implicada en las ecuaciones para los campos eléctrico y magnético inducidos. Se muestra una representación de la línea de campo de E → 0 ( t ) . A su vez, el campo eléctrico cambiante E → 0 ( t ) crea un campo magnético B → 1 ( t ) según la ley de Ampère modificada. Este campo cambiante induce E → 1 ( t ) , que induce B → 2 ( t ) , y así sucesivamente. Tenemos entonces un proceso autocontinuado que lleva a la creación de campos eléctricos y magnéticos que varían en el tiempo en regiones cada vez más alejadas de O . Este proceso puede visualizarse como la propagación de una onda electromagnética a través del espacio. Cómo los campos cambiantes E → y B → se propagan por el espacio. En la siguiente sección, mostramos en términos matemáticos más precisos cómo las ecuaciones de Maxwell conducen a la predicción de ondas electromagnéticas que pueden viajar por el espacio sin un medio material, lo que implica una velocidad de las ondas electromagnéticas igual a la velocidad de la luz. Antes de los trabajos de Maxwell, los experimentos ya indicaban que la luz era un fenómeno ondulatorio, aunque la naturaleza de las ondas era aún desconocida. En 1801, Thomas Young (1773-1829) demostró que cuando se separaba un haz de luz por dos rendijas estrechas y luego se recombinaba, se formaba un patrón compuesto por franjas brillantes y oscuras en una pantalla. Young explicó este comportamiento suponiendo que la luz estaba compuesta por ondas que se sumaban constructivamente en algunos puntos y destructivamente en otros (vea Interferencia ). Posteriormente, Jean Foucault (1819-1868), con sus mediciones de la velocidad de la luz en diversos medios, y Augustin Fresnel (1788-1827), con sus detallados experimentos de interferencia y difracción de la luz, aportaron nuevas pruebas concluyentes de que la luz era una onda. De esa manera, se sabía que la luz era una onda, y Maxwell había predicho la existencia de ondas electromagnéticas que viajaban a la velocidad de la luz. La conclusión parecía ineludible: La luz debe ser una forma de radiación electromagnética. Pero la teoría de Maxwell demostró que otras longitudes de onda y frecuencias distintas a las de la luz eran posibles para las ondas electromagnéticas. Demostró que la radiación electromagnética con las mismas propiedades fundamentales que la luz visible debería existir a cualquier frecuencia. Queda pendiente que otros comprueben y confirmen esta predicción. Cuando se enciende la emf a través de un condensador y se deja que este se cargue, ¿cuándo tiene la mayor magnitud el campo magnético inducido por la corriente de desplazamiento? Es mayor inmediatamente después de conectar la corriente. La corriente de desplazamiento y el campo magnético de la misma son proporcionales a la tasa de cambio del campo eléctrico entre las placas, que es mayor cuando las placas comienzan a cargarse. Observaciones de Hertz El físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894) fue el primero en generar y detectar ciertos tipos de ondas electromagnéticas en el laboratorio. A partir de 1887, realizó una serie de experimentos que no solo confirmaron la existencia de las ondas electromagnéticas, sino que también verificaron que viajan a la velocidad de la luz. Hertz utilizó un circuito RLC (resistor-inductor-condensador) de corriente alterna que resuena a una frecuencia conocida f 0 = 1 2 π L C y lo conectó a un bucle de cable, como se muestra en la . Los altos voltajes inducidos a través del hueco del bucle producían chispas que eran una prueba visible de la corriente en el circuito y ayudaban a generar ondas electromagnéticas. Al otro lado del laboratorio, Hertz colocó otro bucle unido a otro circuito RLC , que podía sintonizarse (como el dial de una radio) a la misma frecuencia de resonancia que la primera y, por tanto, podía hacerse que recibiera ondas electromagnéticas. Este bucle también tenía un espacio a través del cual se generaban chispas, lo que daba pruebas sólidas de que se habían recibido ondas electromagnéticas. El aparato utilizado por Hertz en 1887 para generar y detectar ondas electromagnéticas. Hertz también estudió los patrones de reflexión, refracción e interferencia de las ondas electromagnéticas que generó, confirmando su carácter ondulatorio. Pudo determinar las longitudes de onda a partir de los patrones de interferencia, y conociendo sus frecuencias, pudo calcular la velocidad de propagación mediante la ecuación v = f λ , donde v es la velocidad de una onda, f es su frecuencia y λ es su longitud de onda. Hertz pudo así demostrar que las ondas electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz. La unidad del SI para la frecuencia, el hercio ( 1 Hz = 1 ciclo/s ), se llama así en su honor. ¿Un campo puramente eléctrico podría propagarse como una onda a través del vacío sin un campo magnético? Justifique su respuesta. No. El campo eléctrico cambiante según la versión modificada de la ley de Ampère induciría necesariamente un campo magnético cambiante. Resumen La predicción de Maxwell sobre las ondas electromagnéticas fue el resultado de su formulación de una teoría completa y simétrica de la electricidad y el magnetismo, conocida como ecuaciones de Maxwell. Las cuatro ecuaciones de Maxwell, junto con la ley de la fuerza de Lorentz, abarcan las principales leyes de la electricidad y el magnetismo. La primera es la ley de Gauss para la electricidad; la segunda es la ley de Gauss para el magnetismo; la tercera es la ley de Faraday de la inducción (incluida la ley de Lenz); y la cuarta es la ley de Ampère en una formulación simétrica que añade otra fuente de magnetismo, a saber, los campos eléctricos cambiantes. La simetría introducida entre los campos eléctricos y magnéticos a través de la corriente de desplazamiento de Maxwell explica el mecanismo de propagación de las ondas electromagnéticas, en el que los campos magnéticos cambiantes producen campos eléctricos cambiantes y viceversa. Aunque ya se sabía que la luz era una onda, antes de Maxwell no se comprendía la naturaleza de la onda. Las ecuaciones de Maxwell también predijeron ondas electromagnéticas con longitudes de onda y frecuencias fuera del rango de la luz. Estas predicciones teóricas fueron confirmadas experimentalmente por primera vez por Heinrich Hertz. Preguntas conceptuales Explique cómo la corriente de desplazamiento mantiene la continuidad de la corriente en un circuito que contiene un condensador. La corriente que entra en el condensador para cambiar el campo eléctrico entre las placas es igual a la corriente de desplazamiento entre las placas. Describa las líneas de campo del campo magnético inducido a lo largo del borde del cilindro horizontal imaginario que se muestra a continuación, si el cilindro se encuentra en un campo eléctrico espacialmente uniforme que es horizontal, apunta a la derecha y aumenta en magnitud. ¿Por qué es mucho más fácil demostrar en un laboratorio para estudiantes que un campo magnético cambiante induce un campo eléctrico que demostrar que un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético? La primera demostración requiere simplemente observar la corriente producida en un cable que experimenta un campo magnético cambiante. La segunda demostración requiere mover la carga eléctrica de un lugar a otro y, por tanto, implica corrientes eléctricas que generan un campo eléctrico cambiante. Los campos magnéticos de estas corrientes no se separan fácilmente del campo magnético que produce la corriente de desplazamiento. Problemas Demuestre que el campo magnético a una distancia r del eje de dos placas circulares paralelas, producido al colocar la carga Q ( t ) en las placas es B ind = μ 0 2 π r d Q ( t ) d t . B ind = μ 0 2 π r I ind = μ 0 2 π r ε 0 ∂ Φ E ∂ t = μ 0 2 π r ε 0 ( A ∂ E ∂ t ) = μ 0 2 π r ε 0 A ( 1 d d V ( t ) d t ) = μ 0 2 π r [ ε 0 A d ] [ 1 C d Q ( t ) d t ] = μ 0 2 π r d Q ( t ) d t porque C = ε 0 A d Exprese la corriente de desplazamiento en un condensador en términos de la capacitancia y la tasa de cambio del voltaje a través del condensador. Una diferencia de potencial V ( t ) = V 0 sen ω t se mantiene a través de un condensador de placas paralelas con capacitancia C que consiste en dos placas circulares paralelas. Un cable delgado con resistencia R conecta los centros de las dos placas, lo que permite que la carga se filtre entre las placas mientras se están cargando. (a) Obtenga expresiones para la corriente de fuga I res ( t ) en el cable fino. Utilice estos resultados para obtener una expresión para la corriente I real ( t ) en los cables conectados al condensador. (b) Calcule la corriente de desplazamiento en el espacio entre las placas a partir del cambio del campo eléctrico entre las placas. (c) Compare I real ( t ) con la suma de la corriente de desplazamiento I d ( t ) y la corriente del resistor I res ( t ) entre las placas, y explique por qué se esperaría la relación que observa. a I res = V 0 sen ω t R ; b I d = C V 0 ω cos ω t ; c I real = I res + d Q d t = V 0 sen ω t R + C V 0 d d t sen ω t = V 0 sen ω t R + C V 0 ω cos ω t ; que es la suma de I res y I real , consistente con el modo en que la corriente de desplazamiento mantiene la continuidad de la corriente. Supongamos que el condensador de placas paralelas que se muestra a continuación acumula carga a una velocidad de 0,010 C/s. ¿Cuál es el campo magnético inducido a una distancia de 10 cm del condensador? La diferencia de potencial V ( t ) entre las placas paralelas que se mostraron anteriormente aumenta de forma instantánea a una velocidad de 10 7 V/s . ¿Cuál es la corriente de desplazamiento entre las placas si su separación es de 1,00 cm y tienen un área de 0,200 m 2 ? 1,77 × 10 −3 A Un condensador de placas paralelas tiene un área de placa de A = 0,250 m 2 y una separación de 0,0100 m. Lo que debe ser la frecuencia angular ω para un voltaje V ( t ) = V 0 sen ω t con V 0 = 100 V para producir una corriente máxima inducida por desplazamiento de 1,00 A entre las placas? El voltaje en un condensador de placas paralelas con área A = 800 cm 2 y separación d = 2 mm varía sinusoidalmente como V = ( 15 mV ) cos ( 150 t ) , donde t está en segundos. Calcule la corriente de desplazamiento entre las placas. I d = ( 7,97 × 10 −10 A ) sen ( 150 t ) El voltaje en un condensador de placas paralelas con área A y separación d varía con el tiempo t como V = a t 2 , donde a es una constante. Calcule la corriente de desplazamiento entre las placas. corriente de desplazamiento término adicional en las ecuaciones de Maxwell que es análogo a una corriente real, pero que da cuenta de un campo eléctrico cambiante que produce un campo magnético, incluso cuando la corriente real está presente ecuaciones de Maxwell conjunto de cuatro ecuaciones que conforman una teoría completa y global del electromagnetismo

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