Sistemas de coordenadas y componentes de un vector Los vectores suelen describirse en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas . Incluso en la vida cotidiana invocamos de forma natural el concepto de proyecciones ortogonales en un sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, si pregunta a alguien cómo llegar a un lugar determinado, es más probable que le digan que vaya 40 km al este y 30 km al norte que 50 km en la dirección 37 ° al norte del este. En un sistema de coordenadas xy rectangular (cartesiano) en un plano, un punto en un plano se describe por un par de coordenadas (la x , la y ). De forma similar, un vector A → en un plano se describe mediante un par de sus coordenadas vectoriales . La coordenada x del vector A → se llama su componente x y la coordenada y del vector A → se llama su componente y . El componente x del vector es un vector denotado por A → x . El componente y del vector es un vector denotado por A → y . En el sistema cartesiano, los componentes vectoriales x y y de un vector son las proyecciones ortogonales de este vector sobre los ejes de la x y la y , respectivamente. De este modo, siguiendo la regla del paralelogramo para la suma de vectores, cada vector en un plano cartesiano puede expresarse como la suma vectorial de sus componentes vectoriales: A → = A → x + A → y . Como se ilustra en la , el vector A → es la diagonal del rectángulo donde el componente x A → x es el lado paralelo al eje de la x y el componente y A → y es el lado paralelo al eje de la y . El componente vectorial A → x es ortogonal al componente vectorial A → y . Vector A → en un plano en el sistema de coordenadas cartesianas es la suma vectorial de sus componentes vectoriales x y y . El componente vectorial x A → x es la proyección ortogonal del vector A → en el eje de la x . El componente vectorial y A → y es la proyección ortogonal del vector A → en el eje de la y . Las cifras A x y A y que multiplican los vectores unitarios son los componentes escalares del vector. Es habitual denotar la dirección positiva en el eje de la x por el vector unitario i ^ y la dirección positiva en el eje de la y por el vector unitario j ^ . Los vectores unitarios de los ejes , i ^ y j ^ , definen dos direcciones ortogonales en el plano. Como se muestra en la , los componentes x y y de un vector pueden escribirse ahora en términos de los vectores unitarios de los ejes: { A → x = A x i ^ A → y = A y j ^ . Los vectores A → x y A → y definidos por la son los componentes vectoriales del vector A → . Las cifras A x y A y que definen los componentes vectoriales en la son los componentes escalares del vector A → . Combinando la con la , obtenemos la forma en componentes de un vector : A → = A x i ^ + A y j ^ . Si conocemos las coordenadas b ( x b , y b ) del punto de origen de un vector (donde b significa "comienzo") y las coordenadas e ( x e , y e ) del punto final de un vector (donde e significa "final"), podemos obtener los componentes escalares de un vector simplemente al restar las coordenadas del punto de origen de las coordenadas del punto final: { A x = x e − x b A y = y e − y b . Desplazamiento de un puntero de ratón Un puntero de ratón en el monitor de una computadora en su posición inicial está en el punto (6,0 cm, 1,6 cm) con respecto a la esquina inferior izquierda. Si mueve el puntero a un icono situado en el punto (2,0 cm, 4,5 cm), ¿cuál es el vector de desplazamiento del puntero? Estrategia El origen del sistema de coordenadas xy es la esquina inferior izquierda del monitor de la computadora. Por lo tanto, el vector unitario i ^ en el eje de la x apunta horizontalmente a la derecha y el vector unitario j ^ en el eje de la y apunta verticalmente hacia arriba. El origen del vector de desplazamiento está situado en el punto b (6,0, 1,6) y el final del vector de desplazamiento está situado en el punto e (2,0, 4,5). Sustituya las coordenadas de estos puntos en la para encontrar los componentes escalares D x y D y del vector de desplazamiento D → . Por último, sustituya las coordenadas en la para escribir el vector de desplazamiento en forma de componente vectorial. Solución Identificamos x b = 6,0 , x e = 2,0 , y b = 1,6 y y e = 4,5 , donde la unidad física es 1 cm. Los componentes escalares x y y del vector de desplazamiento son D x = x e − x b = ( 2,0 − 6,0 ) cm = −4,0 cm , D y = y e − y b = ( 4,5 − 1,6 ) cm = + 2,9 cm . La forma de componente vectorial del vector de desplazamiento es D → = D x i ^ + D y j ^ = ( −4,0 cm ) i ^ + ( 2,9 cm ) j ^ = ( −4,0 i ^ + 2,9 j ^ ) cm . Esta solución se muestra en la . El gráfico del vector de desplazamiento. El vector apunta desde el punto de origen en b hasta el punto final en e . Importancia Observe que la unidad física (aquí, 1 cm) puede colocarse con cada componente inmediatamente antes del vector unitario o globalmente para ambos componentes, como en la . A menudo, esta última forma es más conveniente porque es más sencilla. El componente x del vector D → x = −4,0 i ^ = 4,0 ( − i ^ ) del vector de desplazamiento tiene la magnitud | D → x | = | − 4,0 | | i ^ | = 4,0 porque la magnitud del vector unitario es | i ^ | = 1 . Observe también que la dirección del componente x es − i ^ , que es antiparalela a la dirección del eje de la x +; por lo tanto, el componente x del vector D → x apunta a la izquierda, como se muestra en la . El componente escalar x del vector D → es D x = −4,0 . Del mismo modo, el componente y del vector D → y = + 2,9 j ^ del vector de desplazamiento tiene una magnitud | D → y | = | 2,9 | | j ^ | = 2,9 porque la magnitud del vector unitario es | j ^ | = 1 . La dirección del componente y es + j ^ , que es paralela a la dirección del eje de la + y . Por lo tanto, el componente y del vector D → y apunta hacia arriba, como se ve en la . El componente escalar y del vector D → es D y = + 2,9 . El vector de desplazamiento D → es la resultante de sus dos componentes vectoriales . La forma de componente vectorial del vector de desplazamiento en la nos indica que el puntero del ratón se ha movido en el monitor 4,0 cm hacia la izquierda y 2,9 cm hacia arriba desde su posición inicial. Una mosca azul se posa en una hoja de papel cuadriculado en un punto situado a 10,0 cm a la derecha de su borde izquierdo y a 8,0 cm por encima de su borde inferior y camina lentamente hasta un punto situado a 5,0 cm del borde izquierdo y a 5,0 cm del borde inferior. Elija el sistema de coordenadas rectangulares con el origen en la esquina inferior izquierda del papel y halle el vector de desplazamiento de la mosca. Ilustre su solución con un gráfico. D → = ( −5,0 i ^ − 3,0 j ^ ) cm ; la mosca se desplazó 5,0 cm hacia la izquierda y 3,0 cm hacia abajo desde su lugar de aterrizaje. Cuando conocemos las componentes escalares A x y A y de un vector A → , podemos encontrar su magnitud A y su ángulo direccional θ A . El ángulo direccional , o dirección para abreviar, es el ángulo que forma el vector con la dirección positiva en el eje de la x . El ángulo θ A se mide en la dirección contraria a las agujas del reloj desde el eje de la x + hasta el vector ( ). Como las longitudes A , A x y A y forman un triángulo rectángulo, están relacionadas por el teorema de Pitágoras: A 2 = A x 2 + A y 2 ⇔ A = A x 2 + A y 2 . Esta ecuación funciona incluso si los componentes escalares de un vector son negativos. El ángulo direccional θ A de un vector se define a través de la función tangente del ángulo θ A en el triángulo mostrado en la : tan θ = A y A x Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante, donde el componente A x es positivo ( ), el ángulo direccional θ A en la ( ) es idéntico al ángulo θ . Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante, donde el componente A x es positivo ( ), el ángulo θ en la es idéntico al ángulo direccional θ A . Para los vectores del cuarto cuadrante, el ángulo θ es negativo, lo que significa que para estos vectores, el ángulo direccional θ A se mide en el sentido de las agujas del reloj desde el eje de la x positiva. Del mismo modo, para los vectores del segundo cuadrante, el ángulo θ es negativo. Cuando el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, donde el componente A x es negativo, el ángulo direccional es θ A = θ + 180 ° ( ). Los componentes escalares de un vector pueden ser positivos o negativos. Los vectores del primer cuadrante (I) tienen ambos componentes escalares positivos y los vectores del tercer cuadrante tienen ambos componentes escalares negativos. Para los vectores de los cuadrantes II y III, el ángulo direccional de un vector es θ A = θ + 180 ° . Magnitud y dirección del vector de desplazamiento Usted mueve el puntero del ratón en la pantalla del monitor desde su posición inicial en el punto (6,0 cm, 1,6 cm) a un icono situado en el punto (2,0 cm, 4,5 cm). ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del vector de desplazamiento del puntero? Estrategia En el , encontramos el vector de desplazamiento D → del puntero del ratón (vea la ). Identificamos sus componentes escalares D x = −4,0 cm y D y = + 2,9 cm y sustituimos en la y la para encontrar la magnitud D y la dirección θ D , respectivamente. Solución La magnitud del vector D → es D = D x 2 + D y 2 = ( −4,0 cm ) 2 + ( 2,9 cm ) 2 = ( 4,0 ) 2 + ( 2,9 ) 2 cm = 4,9 cm . El ángulo direccional es tan θ = D y D x = + 2,9 cm −4,0 cm = −0,725 ⇒ θ = tan −1 ( −0,725 ) = −35,9 ° . Vector D → se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que su ángulo direccional es θ D = θ + 180 ° = −35,9 ° + 180 ° = 144,1 ° . Si el vector de desplazamiento de una mosca azul que camina sobre una hoja de papel cuadriculado es D → = ( −5,00 i ^ − 3,00 j ^ ) cm , halle su magnitud y dirección. 5,83 cm, 211 ° En muchas aplicaciones, se conocen las magnitudes y direcciones de las cantidades vectoriales y necesitamos encontrar la resultante de muchos vectores. Por ejemplo, imagine que 400 autos circulan por el puente Golden Gate de San Francisco con un fuerte viento. Cada auto da al puente un empuje diferente en varias direcciones y nos gustaría saber cuán grande puede ser el empuje resultante. Ya hemos adquirido cierta experiencia con la construcción geométrica de sumas vectoriales. En tal sentido, sabemos que la tarea de hallar la resultante al dibujar los vectores y medir sus longitudes y ángulos puede ser intratable con bastante rapidez, lo que ocasiona grandes errores. Preocupaciones como estas no surgen cuando utilizamos métodos analíticos. El primer paso en un enfoque analítico es encontrar los componentes vectoriales cuando se conocen su dirección y la magnitud. Volvamos al triángulo rectángulo en la . El cociente del lado adyacente A x a la hipotenusa A es la función coseno (cos) del ángulo direccional θ A , A x / A = cos θ A , y el cociente del lado opuesto A y a la hipotenusa A es la función seno (sen) de θ A , A y / A = sen θ A . Cuando la magnitud A y la dirección θ A son conocidas, podemos resolver estas relaciones para los componentes escalares: { A x = A cos θ A A y = A sen θ A . Al calcular los componentes del vector con la , hay que tener cuidado con el ángulo. El ángulo direccional θ A de un vector es el ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección positiva del eje de la x hasta el vector. La medición en el sentido de las agujas del reloj da un ángulo negativo. Componentes de los vectores de desplazamiento Un grupo de rescate de un niño desaparecido sigue a un perro de búsqueda llamado Trooper. Trooper deambula y olfatea bastante por muchos senderos diferentes. Finalmente, Trooper encuentra al niño y la historia tiene un final feliz, pero su desplazamiento en diversos tramos luce realmente complejo. En uno de los tramos camina 200,0 m hacia el sureste y luego corre hacia el norte unos 300,0 m. En el tercer tramo, examina cuidadosamente los olores durante 50,0 m en la dirección 30 ° al oeste del norte. En el cuarto tramo, Trooper va directamente al sur durante 80,0 m, capta un nuevo olor y gira 23 ° al oeste del sur durante 150,0 m. Halle los componentes escalares de los vectores de desplazamiento de Trooper y sus vectores de desplazamiento en forma de componente vectorial para cada tramo. Estrategia Adoptemos un sistema de coordenadas rectangular con el eje de la x positiva en la dirección del este geográfico, con la dirección de la y positiva apuntando al norte geográfico. Explícitamente, el vector unitario i ^ del eje de la x apunta al este y el vector unitario j ^ del eje de la y apunta al norte. Trooper recorre cinco tramos, por lo que hay cinco vectores de desplazamiento. Comenzamos por identificar sus magnitudes y ángulos direccionales, luego utilizamos la para encontrar los componentes escalares de cada desplazamiento y la para los vectores de desplazamiento. Solución En el primer tramo, la magnitud del desplazamiento es L 1 = 200,0 m y la dirección es sureste. Para el ángulo direccional θ 1 podemos tomar cualquiera de los dos 45 ° medido en el sentido de las agujas del reloj desde la dirección este o 45 ° + 270 ° medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección este. Con la primera opción, θ 1 = −45 ° . Con la segunda opción, θ 1 = + 315 ° . Podemos utilizar cualquiera de estos dos ángulos. Los componentes son L 1 x = L 1 cos θ 1 = ( 200,0 m ) cos 315 ° = 141,4 m, L 1 y = L 1 sen θ 1 = ( 200,0 m ) sen 315 ° = -141,4 m . El vector de desplazamiento del primer tramo es L → 1 = L 1 x i ^ + L 1 y j ^ = ( 141,4 i ^ − 141,4 j ^ ) m . En el segundo tramo de las andanzas de Trooper, la magnitud del desplazamiento es L 2 = 300,0 m y la dirección es norte. El ángulo direccional es θ 2 = + 90 ° . Obtenemos los siguientes resultados: L 2 x = L 2 cos θ 2 = ( 300,0 m ) cos 90 ° = 0,0 , L 2 y = L 2 sen θ 2 = ( 300,0 m ) sen 90 ° = 300,0 m, L → 2 = L 2 x i ^ + L 2 y j ^ = ( 300,0 m ) j ^ . En el tercer tramo, la magnitud del desplazamiento es L 3 = 50,0 m y la dirección es 30 ° al oeste del norte. El ángulo direccional medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección este es θ 3 = 30 ° + 90 ° = + 120 ° . Esto da las siguientes respuestas: L 3 x = L 3 cos θ 3 = ( 50,0 m ) cos 120 ° = −25,0 m, L 3 y = L 3 sen θ 3 = ( 50,0 m ) sen 120 ° = + 43,3 m, L → 3 = L 3 x i ^ + L 3 y j ^ = ( −25,0 i ^ + 43,3 j ^ ) m . En el cuarto tramo de la excursión, la magnitud del desplazamiento es L 4 = 80,0 m y la dirección es sur. El ángulo de dirección puede tomarse como θ 4 = −90 ° o θ 4 = + 270 ° . Obtenemos L 4 x = L 4 cos θ 4 = ( 80,0 m ) cos ( −90 ° ) = 0 , L 4 y = L 4 sen θ 4 = ( 80,0 m ) sen ( −90 ° ) = −80,0 m, L → 4 = L 4 x i ^ + L 4 y j ^ = ( −80,0 m ) j ^ . En el último tramo, la magnitud es L 5 = 150,0 m y el ángulo es θ 5 = −23 ° + 270 ° = + 247 ° ( 23 ° al oeste del sur), lo que da L 5 x = L 5 cos θ 5 = ( 150,0 m ) cos 247 ° = −58,6 m, L 5 y = L 5 sen θ 5 = ( 150,0 m ) sen 247 ° = -138,1 m, L → 5 = L 5 x i ^ + L 5 y j ^ = ( −58,6 i ^ − 138,1 j ^ ) m . Si Trooper corre 20 m hacia el oeste antes de descansar, ¿cuál es su vector de desplazamiento? D → = ( −20 m ) i ^ Coordenadas polares Para describir ubicaciones de puntos o vectores en un plano, necesitamos dos direcciones ortogonales. En el sistema de coordenadas cartesianas estas direcciones vienen dadas por vectores unitarios i ^ y j ^ a lo largo del eje de la x y del eje de la y , respectivamente. El sistema de coordenadas cartesianas es muy conveniente para describir los desplazamientos y las velocidades de los objetos y las fuerzas que actúan sobre ellos. Sin embargo, es engorroso cuando necesitamos describir la rotación de los objetos. Al describir la rotación, solemos trabajar en el sistema de coordenadas polares . En el sistema de coordenadas polares, la ubicación del punto P en un plano viene dada por dos coordenadas polares ( ). La primera coordenada polar es la coordenada radial r , que es la distancia del punto P al origen. La segunda coordenada polar es un ángulo φ que el vector radial hace con alguna dirección elegida, normalmente la dirección de la x positiva. En coordenadas polares, los ángulos se miden en radianes, o rads. El vector radial se fija en el origen y apunta lejos del origen hacia el punto P. Esta dirección radial se describe por un vector radial unitario r ^ . El segundo vector unitario t ^ es un vector ortogonal a la dirección radial r ^ . La dirección positiva + t ^ indica cómo el ángulo φ cambia en dirección contraria a las agujas del reloj. De este modo, un punto P que tiene coordenadas ( x , y ) en el sistema rectangular puede describirse por equivalencia en el sistema de coordenadas polares mediante las dos coordenadas polares ( r , φ ) . La es válida para cualquier vector, por lo que podemos utilizarla para expresar las coordenadas de la x y la y del vector r → . De este modo, obtenemos la conexión entre las coordenadas polares y las coordenadas rectangulares del punto P : { x = r cos φ y = r sen φ . Utilizando coordenadas polares, el vector unitario r ^ define la dirección positiva a lo largo del radio r (dirección radial) y, ortogonal a él, el vector unitario t ^ define la dirección positiva de la rotación por el ángulo φ . Coordenadas polares Un buscador de tesoros encuentra una moneda de plata en un lugar situado a 20,0 m de un pozo seco en la dirección 20 ° al norte del este y encuentra una moneda de oro en un lugar a 10,0 m del pozo en la dirección 20 ° al norte del oeste. ¿Cuáles son las coordenadas polares y rectangulares de estos hallazgos con respecto al pozo? Estrategia El pozo marca el origen del sistema de coordenadas y el este es la dirección de la x +. Identificamos las distancias radiales de los lugares al origen, que son r S = 20,0 m (para la moneda de plata) y r G = 10,0 m (para la moneda de oro). Para encontrar las coordenadas angulares, convertimos 20 ° a radianes: 20 ° = π 20 / 180 = π / 9 . Utilizamos la para encontrar las coordenadas de la x y la y de las monedas. Solución La coordenada angular de la moneda de plata es φ S = π / 9 , mientras que la coordenada angular de la moneda de oro es φ G = π − π / 9 = 8 π / 9 . Por lo tanto, las coordenadas polares de la moneda de plata son ( r S , φ S ) = ( 20,0 m , π / 9 ) y las de la moneda de oro son ( r G , φ G ) = ( 10,0 m , 8 π / 9 ) . Sustituimos estas coordenadas en la para obtener coordenadas rectangulares. Para la moneda de oro, las coordenadas son { x G = r G cos φ G = ( 10,0 m ) cos 8 π / 9 = −9,4 m y G = r G sen φ G = ( 10,0 m ) sen 8 π / 9 = 3,4 m ⇒ ( x G , y G ) = ( −9,4 m , 3,4 m ) . Para la moneda de plata, las coordenadas son { x S = r S cos φ S = ( 20,0 m ) cos π / 9 = 18,9 m y S = r S sen φ S = ( 20,0 m ) sen π / 9 = 6,8 m ⇒ ( x S , y S ) = ( 18,9 m , 6,8 m ) . Vectores en tres dimensiones Para especificar la ubicación de un punto en el espacio, necesitamos tres coordenadas ( x , y , z ), donde las coordenadas de la x y de la y especifican ubicaciones en un plano, y la coordenada de la z da una posición vertical por encima o por debajo del plano. El espacio tridimensional tiene tres direcciones ortogonales, por lo que no necesitamos dos, sino tres vectores unitarios para definir un sistema de coordenadas tridimensional. En el sistema de coordenadas cartesianas, los dos primeros vectores unitarios son el vector unitario del eje de la x i ^ y el vector unitario del eje de la y j ^ . El tercer vector unitario k ^ es la dirección del eje z ( ). El orden en que se marcan los ejes, que es el orden en que aparecen los tres vectores unitarios, es importante porque define la orientación del sistema de coordenadas. El orden x - y - z , que equivale al orden i ^ - j ^ - k ^ , define el sistema de coordenadas estándar de la mano derecha (orientación positiva). Tres vectores unitarios definen un sistema cartesiano en el espacio tridimensional. El orden en que aparecen estos vectores unitarios define la orientación del sistema de coordenadas. El orden mostrado aquí define la orientación de la mano derecha. En el espacio tridimensional, el vector A → tiene tres componentes vectoriales: el componente x A → x = A x i ^ , que es la parte del vector A → a lo largo del eje de la x , el componente y A → y = A y j ^ , que es la parte de A → a lo largo del eje de la y , y el componente z A → z = A z k ^ , que es la parte del vector a lo largo del eje z . Un vector en un espacio tridimensional es la suma vectorial de sus tres componentes vectoriales ( ): A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ . Si conocemos las coordenadas de su origen b ( x b , y b , z b ) y de su fin e ( x e , y e , z e ) , sus componentes escalares se obtienen al tomar sus diferencias: A x y A y vienen dados por la y el componente z viene dado por A z = z e − z b . La magnitud A se obtiene al generalizar la a tres dimensiones: A = A x 2 + A y 2 + A z 2 . Esta expresión para la magnitud del vector proviene de aplicar el teorema de Pitágoras dos veces. Como se ve en la , la diagonal en el plano xy tiene una longitud A x 2 + A y 2 y su potencia al cuadrado se suma al cuadrado A z 2 para dar A 2 . Observe que, cuando el componente z es cero, el vector se encuentra completamente en el plano xy y su descripción se reduce a dos dimensiones. Un vector en un espacio tridimensional es la suma vectorial de sus tres componentes vectoriales. Despegue de un dron Durante un despegue del IAI Heron ( ), su posición con respecto a una torre de control es de 100 m sobre el suelo, 300 m al este y 200 m al norte. Un minuto después, su posición es de 250 m sobre el suelo, 1200 m al este y 2100 m al norte. ¿Cuál es el vector de desplazamiento del dron con respecto a la torre de control? ¿Cuál es la magnitud de su vector de desplazamiento? El dron IAI Heron en vuelo (créditos: sargento de Estado Mayor [Staff Sargeant, SSgt] Reynaldo Ramon, Fuerzas Aéreas de los EE. UU. [U.S. Air Force, USAF]). Estrategia Tomamos el origen del sistema de coordenadas cartesianas como la torre de control. La dirección del eje de la x + viene dada por el vector unitario i ^ al este, la dirección del eje de la y + viene dada por el vector unitario j ^ al norte, y la dirección del eje de la z + viene dada por el vector unitario k ^ , que apunta hacia arriba desde el suelo. La primera posición del dron es el origen (o, equivalentemente, el comienzo) del vector de desplazamiento y su segunda posición es el final del vector de desplazamiento. Solución Identificamos b (300,0 m, 200,0 m, 100,0 m) y e (1200 m, 2100 m, 250 m), y utilizamos la y la para encontrar las componentes escalares del vector de desplazamiento del dron: { D x = x e − x b = 1200,0 m − 300,0 m = 900,0 m , D y = y e − y b = 2100,0 m − 200,0 m = 1.900,0 m, D z = z e − z b = 250,0 m − 100,0 m = 150,0 m . Sustituimos estos componentes en la para encontrar el vector de desplazamiento: D → = D x i ^ + D y j ^ + D z k ^ = 900,0 m i ^ + 1.900,0 m j ^ + 150,0 m k ^ = ( 0,90 i ^ + 1,90 j ^ + 0,15 k ^ ) km . Sustituimos en la para encontrar la magnitud del desplazamiento: D = D x 2 + D y 2 + D z 2 = ( 0,90 km ) 2 + ( 1,90 km ) 2 + ( 0,15 km ) 2 = 2,11 km . Si el vector de velocidad media del dron en el desplazamiento en el es u → = ( 15,0 i ^ + 31,7 j ^ + 2,5 k ^ ) m / s , ¿cuál es la magnitud del vector velocidad del dron? 35,2 m/s = 126,4 km/h Resumen Los vectores se describen en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas. En dos dimensiones (en un plano), los vectores tienen dos componentes. En tres dimensiones (en el espacio), los vectores tienen tres componentes. Un componente vectorial de un vector es su parte en la dirección de un eje. El componente vectorial es el producto del vector unitario de un eje por su componente escalar a lo largo de dicho eje. Un vector es la resultante de sus componentes vectoriales. Las componentes escalares de un vector son diferencias de coordenadas, donde las coordenadas del origen se restan de las coordenadas del punto final de un vector. En un sistema rectangular, la magnitud de un vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. En un plano, la dirección de un vector viene dada por el ángulo que tiene el vector con el eje de la x positiva. Este ángulo direccional se mide en sentido contrario a las agujas del reloj. El componente escalar x de un vector puede expresarse como el producto de su magnitud por el coseno de su ángulo direccional, y el componente escalar y puede expresarse como el producto de su magnitud por el seno de su ángulo de dirección. En un plano, hay dos sistemas de coordenadas equivalentes. El sistema de coordenadas cartesianas está definido por vectores unitarios i ^ y j ^ a lo largo del eje de la x y del eje de la y , respectivamente. El sistema de coordenadas polares está definido por el vector unitario radial r ^ , que da la dirección desde el origen, y un vector unitario t ^ , que es perpendicular (ortogonal) a la dirección radial. Preguntas conceptuales Dé un ejemplo de un vector distinto de cero que tenga un componente de cero. un vector unitario del eje de la x Explique por qué un vector no puede tener un componente mayor que su propia magnitud. Si dos vectores son iguales, ¿qué puede decir de sus componentes? Son iguales. Si los vectores A → y B → son ortogonales, ¿cuál es el componente de B → a lo largo de la dirección de A → ? ¿Cuál es el componente de A → a lo largo de la dirección de B → ? Si uno de los dos componentes de un vector es distinto de cero, ¿puede ser cero la magnitud del otro componente de este vector? sí Si dos vectores tienen la misma magnitud, ¿sus componentes tienen que ser iguales? Problemas Suponiendo que el eje de la x + es horizontal y apunta a la derecha, resuelva los vectores dados en la siguiente figura a sus componentes escalares y expréselos en forma de componentes vectoriales. a. A → = + 8,66 i ^ + 5,00 j ^ , b. B → = + 3,01 i ^ + 3,99 j ^ , c. C → = + 6,00 i ^ − 10,39 j ^ , d. D → = -15,97 i ^ + 12,04 j ^ , f. F → = -17,32 i ^ − 10,00 j ^ Supongamos que camina 18,0 m en línea recta hacia el oeste y luego 25,0 m en línea recta hacia el norte. ¿A qué distancia se encuentra de su punto de partida? ¿Cuál es su vector de desplazamiento? ¿Cuál es la dirección de su desplazamiento? Supongamos que el eje de la x + está al este. Conduce 7,50 km en línea recta en una dirección de 15 ° al este del norte. (a) Calcule las distancias que tendría que recorrer en línea recta hacia el este y luego en línea recta hacia el norte para llegar al mismo punto. (b) Demuestre que sigue llegando al mismo punto si los tramos este y norte se invierten de orden. Supongamos que el eje de la x + está al este. a. 1,94 km, 7,24 km; b. prueba Un trineo es arrastrado por dos caballos en un terreno llano. La fuerza neta sobre el trineo puede expresarse en el sistema de coordenadas cartesianas como el vector F → = ( -2980,0 i ^ + 8200,0 j ^ ) N , donde i ^ y j ^ indican direcciones hacia el este y el norte, respectivamente. Halle la magnitud y la dirección de la tracción. Una trampera recorre una distancia en línea recta de 5,0 km desde su cabaña hasta el lago, como se muestra en la siguiente figura. Determine las componentes este y norte de su vector de desplazamiento. ¿Cuántos kilómetros más tendría que caminar si recorriera por los componentes de los desplazamientos? ¿Cuál es su vector de desplazamiento? 3,8 km al este, 3,2 km al norte, 2,0 km, D → = ( 3,8 i ^ + 3,2 j ^ ) km Las coordenadas polares de un punto son 4 π / 3 y 5,50 m. ¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas? Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares P 1 ( 2,500 m , π / 6 ) y P 2 ( 3,800 m , 2 π / 3 ) . Determine sus coordenadas cartesianas y la distancia entre estas en el sistema de coordenadas cartesianas. Redondee la distancia al centímetro más cercano. P 1 ( 2,165 m , 1,250 m ) , P 2 ( -1,900 m , 3,290 m ) , 5,27 m Un camaleón reposa tranquilamente en el mosquitero de una veranda, esperando que pase un insecto. Supongamos que el origen de un sistema de coordenadas cartesianas está en la esquina inferior izquierda de la veranda y la dirección horizontal hacia la derecha es la dirección de la x +. Si sus coordenadas son (2,000 m, 1,000 m), (a) ¿a qué distancia está de la esquina del biombo? (b) ¿Cuál es su ubicación en coordenadas polares? Dos puntos del plano cartesiano son A (2,00 m, -4,00 m) y B (-3,00 m, 3,00 m). Calcule la distancia entre ellos y sus coordenadas polares. 8,60 m, A ( 2 5 m , 0,647 π ) , B ( 3 2 m , 0,75 π ) Una mosca entra por una ventana abierta y recorre la habitación. En un sistema de coordenadas cartesianas con tres ejes a lo largo de tres bordes de la habitación, la mosca cambia su posición del punto b (4,0 m, 1,5 m, 2,5 m) al punto e (1,0 m, 4,5 m, 0,5 m). Halle los componentes escalares del vector de desplazamiento de la mosca y exprese su vector de desplazamiento en forma de componente vectorial. ¿Cuál es su magnitud? forma en componentes de un vector un vector escrito como la suma vectorial de sus componentes en términos de vectores unitarios ángulo direccional en un plano, un ángulo entre la dirección positiva del eje de la x y el vector, medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje hasta el vector sistema de coordenadas polares un sistema de coordenadas ortogonales en el que la ubicación en un plano viene dada por coordenadas polares coordenadas polares una coordenada radial y un ángulo coordenada radial distancia al origen en un sistema de coordenadas polares componente escalar un número que multiplica un vector unitario en un componente vectorial de un vector vectores unitarios de los ejes vectores unitarios que definen direcciones ortogonales en un plano o en el espacio componentes vectoriales componentes ortogonales de un vector; un vector es la suma vectorial de sus componentes vectoriales

Ciencia


Álgebra de vectores Los vectores pueden sumarse y multiplicarse por escalares. La suma de vectores es asociativa ( ) y conmutativa ( ), y la multiplicación de vectores por una suma de escalares es distributiva ( ). Además, la multiplicación escalar por una suma de vectores es distributiva: α ( A → + B → ) = α A → + α B → . En esta ecuación, α es un número cualquiera (un escalar). Por ejemplo, un vector antiparalelo al vector A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ se puede expresar simplemente multiplicando A → por el escalar α = −1 : − A → = − A x i ^ − A y j ^ − A z k ^ . Dirección del movimiento En un sistema de coordenadas cartesianas donde i ^ indica el este geográfico, j ^ indica el norte geográfico, y k ^ indica la altitud sobre el nivel del mar, un convoy militar avanza su posición a través de un territorio desconocido con velocidad v → = ( 4,0 i ^ + 3,0 j ^ + 0,1 k ^ ) km / h . Si el convoy tuviera que retirarse, ¿en qué dirección geográfica se movería? Solución El vector velocidad tiene el tercer componente v → z = ( + 0,1 km / h ) k ^ , que informa que el convoy sube a 100 m/h por un terreno montañoso. Al mismo tiempo, su velocidad es de 4,0 km/h hacia el este y 3,0 km/h hacia el norte, por lo que se desplaza sobre el terreno en dirección tan −1 ( 3 / 4 ) ≈ 37 ° al norte del este. Si el convoy tuviera que retirarse, su nuevo vector velocidad u → tendría que ser antiparalelo a v → y ser de la forma u → = − α v → , donde α es un número positivo. Así, la velocidad de retirada sería u → = α ( −4,0 i ^ − 3,0 j ^ − 0,1 k ^ ) km / h . El signo negativo del tercer componente indica que el convoy estaría descendiendo. El ángulo direccional de la velocidad de retirada es tan −1 ( −3 α / − 4 α ) ≈ 37 ° al sur del oeste. Por lo tanto, el convoy se movería sobre el terreno en dirección 37 ° al sur del oeste mientras desciende en su camino de regreso. La generalización del número cero al álgebra vectorial se denomina vector nulo , denotado por 0 → . Todos los componentes del vector nulo son cero, 0 → = 0 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ , por lo que el vector nulo no tiene longitud ni dirección. Dos vectores A → y B → son vectores iguales si y solo si su diferencia es el vector nulo: 0 → = A → − B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) − ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = ( A x − B x ) i ^ + ( A y − B y ) j ^ + ( A z − B z ) k ^ . Esta ecuación vectorial significa que debemos tener simultáneamente A x − B x = 0 , A y − B y = 0 y A z − B z = 0 . De allí que podemos escribir A → = B → si y solo si los componentes correspondientes de los vectores A → y B → son iguales: A → = B → ⇔ { A x = B x A y = B y A z = B z . Dos vectores son iguales cuando sus componentes escalares correspondientes son iguales. Resolver los vectores en sus componentes escalares (es decir, encontrar sus componentes escalares) y expresarlos analíticamente en forma de componentes vectoriales (dados por la ) nos permite utilizar el álgebra vectorial para encontrar sumas o diferencias de muchos vectores analíticamente (es decir, sin utilizar métodos gráficos). Por ejemplo, para encontrar la resultante de dos vectores A → y B → , simplemente los sumamos componente por componente, de la siguiente manera: R → = A → + B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) + ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = ( A x + B x ) i ^ + ( A y + B y ) j ^ + ( A z + B z ) k ^ . De este modo, utilizando la , los componentes escalares del vector resultante R → = R x i ^ + R y j ^ + R z k ^ son las sumas de los correspondientes componentes escalares de los vectores A → y B → : { R x = A x + B x , R y = A y + B y , R z = A z + B z . Se pueden utilizar métodos analíticos para encontrar los componentes de una resultante de muchos vectores. Por ejemplo, si tenemos que sumar N vectores F → 1 , F → 2 , F → 3 , … , F → N , donde cada vector es F → k = F k x i ^ + F k y j ^ + F k z k ^ , el vector resultante F → R es F → R = F → 1 + F → 2 + F → 3 + … + F → N = ∑ k = 1 N F → k = ∑ k = 1 N ( F k x i ^ + F k y j ^ + F k z k ^ ) = ( ∑ k = 1 N F k x ) i ^ + ( ∑ k = 1 N F k y ) j ^ + ( ∑ k = 1 N F k z ) k ^ . Por lo tanto, los componentes escalares del vector resultante son { F R x = ∑ k = 1 N F k x = F 1 x + F 2 x + … + F N x F R y = ∑ k = 1 N F k y = F 1 y + F 2 y + … + F N y F R z = ∑ k = 1 N F k z = F 1 z + F 2 z + … + F N z . Una vez hallados los componentes escalares, podemos escribir la resultante en forma de componente vectorial: F → R = F R x i ^ + F R y j ^ + F R z k ^ . Los métodos analíticos para hallar la resultante y, en general, para resolver ecuaciones vectoriales son muy importantes en física porque muchas cantidades físicas son vectores. Por ejemplo, utilizamos este método en cinemática para encontrar vectores de desplazamiento resultantes y vectores de velocidad resultantes, en mecánica para encontrar vectores de fuerza resultantes y las resultantes de muchas cantidades vectoriales derivadas, y en electricidad y magnetismo para encontrar campos vectoriales eléctricos o magnéticos resultantes. Cálculo analítico de una resultante Tres vectores de desplazamiento A → , B → y C → en un plano ( ) se especifican por sus magnitudes A = 10,0, B = 7,0 y C = 8,0, respectivamente, y por sus respectivos ángulos direccionales con la horizontal α = 35 ° , β = −110 ° y γ = 30 ° . Las unidades físicas de las magnitudes son los centímetros. Resuelva los vectores a sus componentes escalares y halle las siguientes sumas vectoriales: (a) R → = A → + B → + C → , (b) D → = A → − B → , y (c) S → = A → − 3 B → + C → . Estrategia En primer lugar, utilizamos la para encontrar los componentes escalares de cada vector y luego expresamos cada vector en su forma de componente vectorial dada por la . Luego, utilizamos los métodos analíticos del álgebra vectorial para encontrar las resultantes. Solución Resolvemos los vectores dados a sus componentes escalares: { A x = A cos α = ( 10,0 cm ) cos 35 ° = 8,19 cm A y = A sen α = ( 10,0 cm ) sen 35 ° = 5,73 cm { B x = B cos β = ( 7,0 cm ) cos ( −110 ° ) = −2,39 cm B y = B sen β = ( 7,0 cm ) sen ( −110 ° ) = −6,58 cm { C x = C cos γ = ( 8,0 cm ) cos 30 ° = 6,93 cm C y = C sen γ = ( 8,0 cm ) sen 30 ° = 4,00 cm . Para (a) podemos sustituir directamente en la para encontrar los componentes escalares de la resultante: { R x = A x + B x + C x = 8,19 cm − 2,39 cm + 6,93 cm = 12,73 cm R y = A y + B y + C y = 5,73 cm − 6,58 cm + 4,00 cm = 3,15 cm . Por lo tanto, el vector resultante es R → = R x i ^ + R y j ^ = ( 12,7 i ^ + 3,1 j ^ ) cm . Para (b), podemos escribir la diferencia de vectores como D → = A → − B → = ( A x i ^ + A y j ^ ) − ( B x i ^ + B y j ^ ) = ( A x − B x ) i ^ + ( A y − B y ) j ^ . Luego, los componentes escalares de la diferencia vectorial son { D x = A x − B x = 8,19 cm − ( −2,39 cm ) = 10,58 cm D y = A y − B y = 5,73 cm − ( −6,58 cm ) = 12,31 cm . Por lo tanto, el vector de diferencia es D → = D x i ^ + D y j ^ = ( 10,6 i ^ + 12,3 j ^ ) cm . Para (c), podemos escribir el vector S → en la siguiente forma explícita: S → = A → − 3 B → + C → = ( A x i ^ + A y j ^ ) − 3 ( B x i ^ + B y j ^ ) + ( C x i ^ + C y j ^ ) = ( A x − 3 B x + C x ) i ^ + ( A y − 3 B y + C y ) j ^ . Luego, los componentes escalares de S → son { S x = A x − 3 B x + C x = 8,19 cm − 3 ( −2,39 cm ) + 6,93 cm = 22,29 cm S y = A y − 3 B y + C y = 5,73 cm − 3 ( −6,58 cm ) + 4,00 cm = 29,47 cm . El vector es S → = S x i ^ + S y j ^ = ( 22,3 i ^ + 29,5 j ^ ) cm . Importancia Una vez hallados los componentes del vector, podemos ilustrar los vectores mediante un gráfico o podemos calcular las magnitudes y los ángulos direccionales, como se muestra en la . Los resultados de las magnitudes en (b) y (c) pueden compararse con los resultados de los mismos problemas obtenidos con el método gráfico, mostrados en la y la . Observe que el método analítico produce resultados exactos y su exactitud no está limitada por la resolución de una regla o un transportador, como ocurría con el método gráfico utilizado en el para hallar esta misma resultante. Ilustración gráfica de las soluciones obtenidas analíticamente en el . Tres vectores de desplazamiento A → , B → y F → ( ) se especifican por sus magnitudes A = 10,00, B = 7,00 y F = 20,00, respectivamente, y por sus respectivos ángulos direccionales con la horizontal α = 35 ° , β = −110 ° y φ = 110 ° . Las unidades físicas de las magnitudes son los centímetros. Utilice el método analítico para encontrar el vector G → = A → + 2 B → − F → . Compruebe que G = 28,15 cm y que θ G = -68,65 ° . G → = ( 10,25 i ^ − 26,22 j ^ ) cm El juego de tira y afloja Cuatro perros llamados Astro, Balto, Clifford y Dug juegan al tira y afloja con un juguete ( ). Astro hala el juguete en dirección α = 55 ° al sur del este, Balto hala en dirección β = 60 ° al este del norte, y Clifford hala en dirección γ = 55 ° al oeste del norte. Astro hala fuertemente con 160,0 unidades de fuerza (N), que abreviamos como A = 160,0 N. Balto hala aún más fuerte que Astro con una fuerza de magnitud B = 200,0 N, y Clifford hala con una fuerza de magnitud C = 140,0 N. Cuando Dug hala del juguete de forma que su fuerza equilibra la resultante de las otras tres fuerzas, el juguete no se mueve en ninguna dirección. ¿Con qué fuerza y en qué dirección debe halar Dug el juguete para que esto ocurra? Cuatro perros juegan al tira y afloja con un juguete. Estrategia Suponemos que el este es la dirección del eje de la x positiva y el norte es la dirección del eje de la y positiva. Como en el , tenemos que resolver las tres fuerzas dadas, A → (el tirón de Astro), B → (el tirón de Balto), y C → (el tirón de Clifford), en sus componentes escalares y luego encontrar los componentes escalares del vector resultante R → = A → + B → + C → . Cuando la fuerza de tracción D → de Dug equilibra esta resultante, la suma de D → y R → debe dar el vector nulo D → + R → = 0 → . Esto significa que D → = − R → , por lo que el tirón de Dug debe ser antiparalelo a R → . Solución Los ángulos direccionales son θ A = − α = −55 ° , θ B = 90 ° − β = 30 ° y θ C = 90 ° + γ = 145 ° , y sustituyéndolos en la se obtienen los componentes escalares de las tres fuerzas dadas: { A x = A cos θ A = ( 160,0 N ) cos ( −55 ° ) = + 91,8 N A y = A sen θ A = ( 160,0 N ) sen ( −55 ° ) = −131,1 N { B x = B cos θ B = ( 200,0 N ) cos 30 ° = + 173,2 N B y = B sen θ B = ( 200,0 N ) sen 30 ° = + 100,0 N { C x = C cos θ C = ( 140,0 N ) cos 145 ° = -114,7 N C y = C sen θ C = ( 140,0 N ) sen 145 ° = + 80,3 N . Ahora calculamos los componentes escalares del vector resultante R → = A → + B → + C → : { R x = A x + B x + C x = + 91,8 N + 173,2 N − 114,7 N = + 150,3 N R y = A y + B y + C y = −131,1 N + 100,0 N + 80,3 N = + 49,2 N . El vector antiparalelo a la resultante R → es D → = − R → = − R x i ^ − R y j ^ = ( −150,3 i ^ − 49,2 j ^ ) N . La magnitud de la fuerza de tracción de Dug es D = D x 2 + D y 2 = ( −150,3 ) 2 + ( −49,2 ) 2 N = 158,1 N . La dirección de la fuerza de tracción de Dug es θ = tan −1 ( D y D x ) = tan −1 ( −49,2 N −150,3 N ) = tan −1 ( 49,2 150,3 ) = 18,1 ° . Dug hala en la dirección 18,1 ° al sur del oeste porque ambos componentes son negativos, lo que significa que el vector de tracción se encuentra en el tercer cuadrante ( ). Supongamos que Balto en el abandona el juego para atender asuntos más importantes, pero Astro, Clifford y Dug siguen jugando. El tirón de Astro y Clifford sobre el juguete no cambia, pero Dug corre y muerde el juguete en otro lugar. ¿Con qué fuerza y en qué dirección debe Dug halar ahora del juguete para equilibrar los tirones combinados de Clifford y Astro? Ilustre esta situación dibujando un diagrama vectorial que indique todas las fuerzas implicadas. D = 55,7 N; dirección 65,7 ° al norte del este Álgebra vectorial Halle la magnitud del vector C → que satisface la ecuación 2 A → − 6 B → + 3 C → = 2 j ^ , donde A → = i ^ − 2 k ^ y B → = − j ^ + k ^ / 2 . Estrategia Primero resolvemos la ecuación dada para el vector desconocido C → . Luego sustituimos A → y B → ; agrupamos los términos a lo largo de cada una de las tres direcciones i ^ , j ^ y k ^ ; e identificamos los componentes escalares C x , C y y C z . Finalmente, sustituimos en la para encontrar la magnitud C . Solución 2 A → − 6 B → + 3 C → = 2 j ^ 3 C → = 2 j ^ − 2 A → + 6 B → C → = 2 3 j ^ − 2 3 A → + 2 B → = 2 3 j ^ − 2 3 ( i ^ − 2 k ^ ) + 2 ( − j ^ + k ^ 2 ) = 2 3 j ^ − 2 3 i ^ + 4 3 k ^ − 2 j ^ + k ^ = − 2 3 i ^ + ( 2 3 − 2 ) j ^ + ( 4 3 + 1 ) k ^ = − 2 3 i ^ − 4 3 j ^ + 7 3 k ^ . Los componentes son C x = − 2 / 3 , C y = −4 / 3 y C z = 7 / 3 , y al sustituir en la obtenemos C = C x 2 + C y 2 + C z 2 = ( −2 / 3 ) 2 + ( − 4 / 3 ) 2 + ( 7 / 3 ) 2 = 23 / 3 . Desplazamiento de un esquiador Partiendo de un albergue de esquí, un esquiador de fondo recorre 5,0 km hacia el norte, luego 3,0 km hacia el oeste y finalmente 4,0 km hacia el suroeste antes de tomar un descanso. Halle su vector de desplazamiento total con respecto al albergue cuando está en el punto de descanso. ¿A qué distancia y en qué dirección debe esquiar desde el punto de descanso para volver directamente al albergue? Estrategia Suponemos un sistema de coordenadas rectangular con el origen en el albergue de esquí y con el vector unitario i ^ que apunta al este y el vector unitario j ^ que apunta al norte. Hay tres desplazamientos: D → 1 , D → 2 y D → 3 . Identificamos sus magnitudes como D 1 = 5,0 km , D 2 = 3,0 km y D 3 = 4,0 km . Identificamos que sus direcciones son los ángulos θ 1 = 90 ° , θ 2 = 180 ° y θ 3 = 180 ° + 45 ° = 225 ° . Resolvemos cada vector de desplazamiento en sus componentes escalares y los sustituimos en la para obtener los componentes escalares del desplazamiento resultante D → desde el albergue hasta el punto de descanso. En el camino de regreso desde el punto de descanso hasta el albergue, el desplazamiento es B → = − D → . Por último, encontramos la magnitud y la dirección de B → . Solución Las componentes escalares de los vectores de desplazamiento son { D 1 x = D 1 cos θ 1 = ( 5,0 km ) cos 90 ° = 0 D 1 y = D 1 sen θ 1 = ( 5,0 km ) sen 90 ° = 5,0 km { D 2 x = D 2 cos θ 2 = ( 3,0 km ) cos 180 ° = −3,0 km D 2 y = D 2 sen θ 2 = ( 3,0 km ) sen 180 ° = 0 { D 3 x = D 3 cos θ 3 = ( 4,0 km ) cos 225 ° = −2,8 km D 3 y = D 3 sen θ 3 = ( 4,0 km ) sen 225 ° = −2,8 km . Los componentes escalares del vector de desplazamiento neto son { D x = D 1 x + D 2 x + D 3 x = ( 0 − 3,0 − 2,8 ) km = −5,8 km D y = D 1 y + D 2 y + D 3 y = ( 5,0 + 0 − 2,8 ) km = + 2,2 km . Por lo tanto, el vector de desplazamiento neto del esquiador es D → = D x i ^ + D y j ^ = ( −5,8 i ^ + 2,2 j ^ ) km . En el camino de regreso al albergue, su desplazamiento es B → = − D → = − ( −5,8 i ^ + 2,2 j ^ ) km = ( 5,8 i ^ − 2,2 j ^ ) km . Su magnitud es B = B x 2 + B y 2 = ( 5,8 ) 2 + ( −2,2 ) 2 km = 6,2 km y su ángulo direccional es θ = tan −1 ( −2,2 / 5,8 ) = -20,8 ° . Por lo tanto, para volver al albergue, deberá recorrer 6,2 km en una dirección de 21 ° al sur del este. Importancia Observe que no se necesita ninguna figura para resolver este problema por el método analítico. Las figuras son necesarias cuando se utiliza un método gráfico; sin embargo, podemos comprobar si nuestra solución tiene sentido haciendo un esquema, lo cual es un paso final útil para resolver cualquier problema vectorial. Desplazamiento de un corredor Un corredor sube un tramo de 200 escalones idénticos hasta la cima de una colina y luego corre a lo largo de la cima de la colina 50,0 m antes de detenerse en un bebedero ( ). Su vector de desplazamiento desde el punto A en la parte inferior de los escalones hasta el punto B en el bebedero es D → A B = ( −90,0 i ^ + 30,0 j ^ ) m . ¿Cuál es la altura y el ancho de cada escalón en el tramo? ¿Cuál es la distancia real que recorre el corredor? Si hace un circuito y vuelve al punto A , ¿cuál es su vector de desplazamiento neto? Un corredor sube un tramo de escaleras. Estrategia El vector de desplazamiento D → A B es la suma vectorial del vector de desplazamiento del corredor D → A T a lo largo de la escalera (desde el punto A en la parte inferior de la escalera hasta el punto T en la parte superior de la misma) y su vector de desplazamiento D → T B en la cima de la colina (desde el punto A en la cima de las escaleras hasta el bebedero en el punto T ). Debemos encontrar los componentes horizontales y verticales de D → A T . Si cada escalón tiene un ancho w y una altura h , el componente horizontal de D → A T deberá tener una longitud de 200 w y el componente vertical deberá tener una longitud de 200 h. La distancia real que recorre el corredor es la suma de la distancia que recorre por las escaleras y la distancia de 50,0 m que recorre en la cima de la colina. Solución En el sistema de coordenadas indicado en la , el vector de desplazamiento del corredor en la cima de la colina es D → T B = ( −50,0 m ) i ^ . Su vector de desplazamiento neto es D → A B = D → A T + D → T B . Por lo tanto, su vector de desplazamiento D → T B a lo largo de las escaleras es D → A T = D → A B − D → T B = ( −90,0 i ^ + 30,0 j ^ ) m − ( −50,0 m ) i ^ = [ ( −90,0 + 50,0 ) i ^ + 30,0 j ^ ) ] m = ( −40,0 i ^ + 30,0 j ^ ) m . Sus componentes escalares son D A T x = −40,0 m y D A T y = 30,0 m . Por lo tanto, debemos tener 200 w = | − 40,0 | m y 200 h = 30,0 m . De allí que el ancho del escalón es w = 40,0 m/200 = 0,2 m = 20 cm, y la altura del escalón sea h = 30,0 m/200 = 0,15 m = 15 cm. La distancia que recorre el corredor por las escaleras es D A T = D A T x 2 + D A T y 2 = ( −40,0 ) 2 + ( 30,0 ) 2 m = 50,0 m . Así, la distancia real que recorre es D A T + D T B = 50,0 m + 50,0 m = 100,0 m . Cuando hace un circuito y vuelve desde el bebedero a su posición inicial en el punto A , la distancia total que recorre es el doble de esta distancia, es decir, 200,0 m. Sin embargo, su vector de desplazamiento neto es cero, porque cuando su posición final es la misma que su posición inicial, los componentes escalares de su vector de desplazamiento neto son cero ( ). En muchas situaciones físicas, a menudo necesitamos conocer la dirección de un vector. Por ejemplo, quizá queramos conocer la dirección de un vector de campo magnético en algún punto o la dirección del movimiento de un objeto. Ya hemos dicho que la dirección viene dada por un vector unitario, que es una entidad adimensional, es decir, no tiene unidades físicas asociadas. Cuando el vector en cuestión se encuentra a lo largo de uno de los ejes en un sistema cartesiano de coordenadas, la respuesta es sencilla, porque entonces su vector unitario de dirección es paralelo o antiparalelo a la dirección del vector unitario de un eje. Por ejemplo, la dirección del vector d → = −5 m i ^ es el vector unitario d ^ = − i ^ . La regla general para encontrar el vector unitario V ^ de dirección para cualquier vector V → es dividirlo entre su magnitud V : V ^ = V → V . Vemos en esta expresión que, efectivamente, el vector unitario de dirección es adimensional porque el numerador y el denominador en la tienen la misma unidad física. De este modo, la nos permite expresar el vector unitario de dirección en términos de vectores unitarios de los ejes. El siguiente ejemplo ilustra este principio. El vector unitario de dirección Si el vector de velocidad del convoy militar en el es v → = ( 4,000 i ^ + 3,000 j ^ + 0,100 k ^ ) km / h , ¿cuál es el vector unitario de su dirección de movimiento? Estrategia El vector unitario de la dirección de movimiento del convoy es el vector unitario v ^ que es paralelo al vector de velocidad. El vector unitario se obtiene al dividir un vector entre su magnitud, de acuerdo con la . Solución La magnitud del vector v → es v = v x 2 + v y 2 + v z 2 = 4,000 2 + 3,000 2 + 0,100 2 km / h = 5,001 km / h . Para obtener el vector unitario v ^ , dividimos v → entre su magnitud: v ^ = v → v = ( 4,000 i ^ + 3,000 j ^ + 0,100 k ^ ) km / h 5,001 km / h = ( 4,000 i ^ + 3,000 j ^ + 0,100 k ^ ) 5,001 = 4,000 5,001 i ^ + 3,000 5,001 j ^ + 0,100 5,001 k ^ = ( 79,98 i ^ + 59,99 j ^ + 2,00 k ^ ) × 10 −2 . Importancia Tenga en cuenta que, cuando utilice el método analítico con una calculadora, es aconsejable realizar sus cálculos con al menos tres decimales y luego redondear la respuesta final al número requerido de cifras significativas, que es la forma en que realizamos los cálculos en este ejemplo. Si redondea su respuesta parcial demasiado pronto, se arriesga a que su respuesta final tenga un gran error numérico y esté muy lejos de la respuesta exacta o de un valor medido en un experimento. Verifique que el vector v ^ obtenido en el es efectivamente un vector unitario calculando su magnitud. Si el convoy del se desplazara por una llanura desértica (es decir, si el tercer componente de su velocidad fuera cero), ¿cuál es el vector unitario de su dirección de movimiento? ¿Qué dirección geográfica representa? v ^ = 0,8 i ^ + 0,6 j ^ , 36,87 ° al norte del este Resumen Los métodos analíticos del álgebra vectorial nos permiten encontrar las resultantes de las sumas o diferencias de vectores sin tener que dibujarlas. Los métodos analíticos de suma de vectores son exactos, al contrario que los métodos gráficos, que son aproximados. Los métodos analíticos del álgebra vectorial se utilizan habitualmente en mecánica, electricidad y magnetismo. Son importantes herramientas matemáticas de la física. Problemas Para los vectores B → = − i ^ − 4 j ^ y A → = −3 i ^ − 2 j ^ , calcule (a) A → + B → y su magnitud y ángulo direccional, y (b) A → − B → y su magnitud y ángulo direccional. a. A → + B → = −4 i ^ − 6 j ^ , | A → + B → | = 7,211 , θ = 236 ° ; b. A → − B → = -2 i ^ + 2 j ^ , | A → − B → | = 2 2 , θ = 135 ° Una partícula sufre tres desplazamientos consecutivos dados por los vectores D → 1 = ( 3,0 i ^ − 4,0 j ^ − 2,0 k ^ ) mm , D → 2 = ( 1,0 i ^ − 7,0 j ^ + 4,0 k ^ ) mm y D → 3 = ( −7,0 i ^ + 4,0 j ^ + 1,0 k ^ ) mm . (a) Halle el vector de desplazamiento resultante de la partícula. (b) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento resultante? (c) Si todos los desplazamientos fueran a lo largo de una línea, ¿qué distancia recorrería la partícula? Dados dos vectores de desplazamiento A → = ( 3,00 i ^ − 4,00 j ^ + 4,00 k ^ ) m y B → = ( 2,00 i ^ + 3,00 j ^ − 7,00 k ^ ) m , halle los desplazamientos y sus magnitudes para (a) C → = A → + B → y (b) D → = 2 A → − B → . a. C → = ( 5,0 i ^ − 1,0 j ^ − 3,0 k ^ ) m , C = 5,92 m ; b. D → = ( 4,0 i ^ − 11,0 j ^ + 15,0 k ^ ) m , D = 19,03 m Una avioneta vuela 40,0 km en una dirección de 60 ° al norte del este y luego vuela 30,0 km en una dirección de 15 ° al norte del este. Utilice el método analítico para encontrar la distancia total que recorre la avioneta desde el punto de partida, y la dirección geográfica de su vector de desplazamiento. ¿Cuál es su vector de desplazamiento? En un intento por escapar de una isla desierta, un náufrago construye una balsa y zarpa al mar. El viento cambia mucho durante el día y lo arrastra por las siguientes líneas rectas: 2,50 km y 45,0 ° al norte del oeste, luego 4,70 km y 60,0 ° al sur del este, luego 1,30 km y 25,0 ° al sur del oeste, luego 5,10 km hacia el este, luego 1,70 km y 5,00 ° al este del norte, luego 7,20 km y 55,0 ° al sur del oeste, y finalmente 2,80 km y 10,0 ° al norte del este. Utilice el método analítico para encontrar el vector resultante de todos sus vectores de desplazamiento. ¿Cuál es su magnitud y dirección? D → = ( 3,3 i ^ − 6,6 j ^ ) km , i ^ es al este, a 7,34 km, -63,5 ° Suponiendo que el eje de la x + es horizontal hacia la derecha para los vectores dados en la siguiente figura, utilice el método analítico para encontrar las siguientes resultantes: (a) A → + B → , (b) C → + B → , (c) D → + F → , (d) A → − B → , (e) D → − F → , (f) A → + 2 F → , (g) C → − 2 D → + 3 F → , y (h) A → − 4 D → + 2 F → . Dados los vectores de la figura anterior, halle el vector R → que resuelve las ecuaciones (a) D → + R → = F → y (b) C → − 2 D → + 5 R → = 3 F → . Supongamos que el eje de la x + es horizontal hacia la derecha. a. R → = -1,35 i ^ − 22,04 j ^ , b. R → = -17,98 i ^ + 0,89 j ^ Un repartidor parte de la oficina de correos, conduce 40 km hacia el norte, luego 20 km hacia el oeste, después 60 km hacia el noreste y finalmente 50 km hacia el norte para realizar una parada y almorzar. Utilice el método analítico para determinar lo siguiente: (a) Halle su vector de desplazamiento neto. (b) ¿A qué distancia está el restaurante de la oficina de correos? (c) Si vuelve directamente del restaurante a la oficina de correos, ¿cuál es su vector de desplazamiento en el viaje de regreso? (d) ¿Cuál es el rumbo de su brújula en el viaje de regreso? Supongamos que el eje de la x + está al este. Un perro aventurero se aleja de su casa, corre tres cuadras hacia el este, dos hacia el norte y una hacia el este, una hacia el norte y dos hacia el oeste. Suponiendo que cada cuadra tiene una longitud de unos 100 m, utilice el método analítico para encontrar el vector de desplazamiento neto del perro, su magnitud y su dirección. Supongamos que el eje de la x + está al este. ¿Cómo se vería afectada su respuesta si cada cuadra tuviera unos 100 m? D → = ( 200 i ^ + 300 j ^ ) yardas , D = 360,5 yardas, 56,3 ° al norte del este; las respuestas numéricas seguirían siendo las mismas, aunque la unidad física sería el metro. El significado físico y las distancias serían más o menos las mismas porque 1 yarda (yd) es comparable a 1 m. Si D → = ( 6,00 i ^ − 8,00 j ^ ) m , B → = ( -8,00 i ^ + 3,00 j ^ ) m y A → = ( 26,0 i ^ + 19,0 j ^ ) m , halle las incógnitas en las constantes a y b tales que a D → + b B → + A → = 0 → . Dado el vector de desplazamiento D → = ( 3 i ^ − 4 j ^ ) m, encontrar el vector de desplazamiento R → para que D → + R → = −4 D j ^ . R → = −3 i ^ − 16 j ^ Halle el vector unitario de dirección para las siguientes cantidades vectoriales: (a) fuerza F → = ( 3,0 i ^ − 2,0 j ^ ) N , (b) desplazamiento D → = ( −3,0 i ^ − 4,0 j ^ ) m , y (c) velocidad v → = ( −5,00 i ^ + 4,00 j ^ ) m/s . En un punto del espacio, la dirección del vector de campo eléctrico viene dada en el sistema cartesiano por el vector unitario E ^ = 1 / 5 i ^ − 2 / 5 j ^ . Si la magnitud del vector de campo eléctrico es E = 400,0 V/m, ¿cuáles son los componentes escalares E x , E y y E z del vector de campo eléctrico E → en este punto? Cuál es el ángulo direccional θ E del vector de campo eléctrico en este punto? E → = E E ^ , E x = + 178,9 V / m , E y = -357,8 V / m , E z = 0,0 V / m , θ E = − tan −1 ( 2 ) Los dos remolcadores que se muestran en la siguiente figura halan una barcaza. Un remolcador hala la barcaza con una fuerza de magnitud de 4.000 unidades de fuerza a 15 ° por encima de la línea AB (ver la figura) y el otro remolcador, con una fuerza de magnitud de 5.000 unidades de fuerza a 12 ° por debajo de la línea AB. Resuelva las fuerzas de tracción a sus componentes escalares y halle los componentes de la fuerza resultante que hala la barcaza. ¿Cuál es la magnitud de la tracción resultante? ¿Cuál es su dirección con respecto a la línea AB? En la torre de control de un aeropuerto regional, un controlador aéreo supervisa dos aviones mientras sus posiciones cambian con respecto a la torre de control. Un avión es un Boeing 747 de carga y el otro es un Douglas DC-3. El Boeing se encuentra a una altitud de 2.500 m, sube a 10 ° sobre la horizontal, y se mueve 30 ° al norte del oeste. El DC-3 está a una altitud de 3.000 m, sube a 5 ° sobre la horizontal, y vuela directamente hacia el oeste. (a) Halle los vectores de posición de los aviones con respecto a la torre de control. (b) ¿Cuál es la distancia entre los aviones en el momento en que el controlador aéreo toma nota de sus posiciones? a. -34,290 R → B = ( -12,278 i ^ + 7,089 j ^ + 2,500 k ^ ) km , R → D = ( -34,290 i ^ + 3,000 k ^ ) km ; b. | R → B − R → D | = 23,131 km vectores iguales dos vectores son iguales si y solo si todos sus componentes correspondientes son iguales; alternativamente, dos vectores paralelos de magnitudes iguales vector nulo un vector con todos sus componentes iguales a cero

Ciencia


Productos de los vectores Un vector puede multiplicarse por otro vector pero no puede dividirse entre otro vector. Hay dos tipos de productos de vectores que se utilizan ampliamente en la física y la ingeniería. Un tipo de multiplicación es la multiplicación escalar de dos vectores . El producto escalar de dos vectores da como resultado un número (un escalar), como su nombre lo indica. Los productos escalares se utilizan para definir las relaciones de trabajo y energía. Por ejemplo, el trabajo que una fuerza (un vector) realiza sobre un objeto y provoca su desplazamiento (un vector) se define como un producto escalar del vector de fuerza por el vector de desplazamiento. Otro tipo de multiplicación muy diferente es la multiplicación vectorial de vectores . El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector, como su nombre lo indica. Los productos vectoriales se utilizan para definir otras cantidades vectoriales derivadas. Por ejemplo, al describir las rotaciones, una cantidad vectorial llamada torque se define como un producto vectorial de una fuerza aplicada (un vector) y su distancia desde el pivote a la fuerza (un vector). Es importante distinguir entre estos dos tipos de multiplicaciones vectoriales porque el producto escalar es una cantidad escalar y el producto vectorial es una cantidad vectorial. El producto escalar de dos vectores (el producto punto) La multiplicación escalar de dos vectores da como resultado un producto escalar. Producto escalar (producto punto) El producto escalar A → · B → de dos vectores A → y B → es un número definido por la ecuación A → · B → = A B cos φ , donde φ es el ángulo entre los vectores (mostrado en la ). El producto escalar también se denomina producto punto por la notación de punto que lo indica. En la definición del producto punto, la dirección del ángulo φ no importa, y φ se puede medir desde cualquiera de los dos vectores hacia el otro porque cos φ = cos ( − φ ) = cos ( 2 π − φ ) . El producto punto es un número negativo cuando 90 ° < φ ≤ 180 ° y es un número positivo cuando 0 ° ≤ φ < 90 ° . Además, el producto punto de dos vectores paralelos es A → · B → = A B cos 0 ° = A B , y el producto punto de dos vectores antiparalelos es A → · B → = A B cos 180 ° = − A B . El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero: A → · B → = A B cos 90 ° = 0 . El producto escalar de un vector consigo mismo es el cuadrado de su magnitud: A → 2 ≡ A → · A → = A A cos 0 ° = A 2 . El producto escalar de dos vectores. (a) El ángulo entre los dos vectores. (b) La proyección ortogonal A ⊥ del vector A → en la dirección del vector B → . (c) La proyección ortogonal B ⊥ del vector B → en la dirección del vector A → . El producto escalar Para los vectores mostrados en la , halle el producto escalar A → · F → . Estrategia A partir de la , la magnitud de los vectores A → y F → son A = 10,0 y F = 20,0. El ángulo θ , entre ellos, es la diferencia: θ = φ − α = 110 ° − 35 ° = 75 ° . Sustituyendo estos valores en la obtenemos el producto escalar. Solución Un cálculo sencillo nos da A → · F → = A F cos θ = ( 10,0 ) ( 20,0 ) cos 75 ° = 51,76 . Para los vectores dados en la , halle el producto escalar A → · B → y F → · C → . A → · B → = -57,3 , F → · C → = 27,8 En el sistema de coordenadas cartesianas, los productos escalares del vector unitario de un eje con otros vectores unitarios de ejes siempre son iguales a cero porque estos vectores unitarios son ortogonales: i ^ · j ^ = | i ^ | | j ^ | cos 90 ° = ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) = 0 , i ^ · k ^ = | i ^ | | k ^ | cos 90 ° = ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) = 0 , k ^ · j ^ = | k ^ | | j ^ | cos 90 ° = ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) = 0 . En estas ecuaciones, utilizamos el hecho de que la magnitud de todos los vectores unitarios es uno: | i ^ | = | j ^ | = | k ^ | = 1 . Para los vectores unitarios de los ejes, la da las siguientes identidades: i ^ · i ^ = i 2 = j ^ · j ^ = j 2 = k ^ · k ^ = k 2 = 1 . El producto escalar A → · B → también puede interpretarse como el producto de B con la proyección A ǁ del vector A → en la dirección del vector B → ( (b)) o el producto de A con la proyección B ǁ del vector B → en la dirección del vector A → ( (c)): A → · B → = A B cos φ = B ( A cos φ ) = B A ǁ = A ( B cos φ ) = A B ǁ . Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares en un plano, el componente escalar x de un vector es su producto punto con el vector unitario i ^ , y el componente escalar y de un vector es su producto punto con el vector unitario j ^ : { A → · i ^ = | A → | | i ^ | cos θ A = A cos θ A = A x A → · j ^ = | A → | | j ^ | cos ( 90 ° − θ A ) = A sen θ A = A y . La multiplicación escalar de vectores es conmutativa, A → · B → = B → · A → , y obedece a la ley distributiva: A → · ( B → + C → ) = A → · B → + A → · C → . Podemos utilizar las leyes conmutativa y distributiva para derivar varias relaciones para los vectores, como expresar el producto punto de dos vectores en términos de sus componentes escalares. Para el vector A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ en un sistema de coordenadas rectangulares, utilice la hasta para demostrar que A → · i ^ = A x A → · j ^ = A y y A → · k ^ = A z . Cuando los vectores en la se dan en sus formas de componentes vectoriales, A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ y B → = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ , podemos calcular su producto escalar de la siguiente manera: A → · B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) · ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x B x i ^ · i ^ + A x B y i ^ · j ^ + A x B z i ^ · k ^ + A y B x j ^ · i ^ + A y B y j ^ · j ^ + A y B z j ^ · k ^ + A z B x k ^ · i ^ + A z B y k ^ · j ^ + A z B z k ^ · k ^ . Como los productos escalares de dos vectores unitarios diferentes de los ejes dan cero, y los productos escalares de los vectores unitarios con ellos mismos dan uno (vea la y la ), solo hay tres términos que no son cero en esta expresión. Por lo tanto, el producto escalar se simplifica a A → · B → = A x B x + A y B y + A z B z . Podemos utilizar la para el producto escalar en términos de componentes escalares de vectores para encontrar el ángulo entre dos vectores . Si dividimos la entre AB , obtenemos la ecuación para cos φ , en la que sustituimos la : cos φ = A → · B → A B = A x B x + A y B y + A z B z A B . El ángulo φ entre los vectores A → y B → se obtiene tomando el coseno inverso de la expresión en la . Ángulo entre dos fuerzas Tres perros halan de un palo en diferentes direcciones, como se muestra en la . El primer perro hala con fuerza F → 1 = ( 10,0 i ^ − 20,4 j ^ + 2,0 k ^ ) N , el segundo perro hala con fuerza F → 2 = ( −15,0 i ^ − 6,2 k ^ ) N , y el tercer perro hala con fuerza F → 3 = ( 5,0 i ^ + 12,5 j ^ ) N . ¿Cuál es el ángulo entre las fuerzas F → 1 y F → 2 ? Tres perros juegan con un palo. Estrategia Los componentes del vector de fuerza F → 1 son F 1 x = 10,0 N , F 1 y = −20,4 N y F 1 z = 2,0 N , mientras que los del vector de fuerza F → 2 son F 2 x = −15,0 N , F 2 y = 0,0 N y F 2 z = −6,2 N . Calculando el producto escalar de estos vectores y sus magnitudes, y sustituyendo en la se obtiene el ángulo de interés. Solución Las magnitudes de las fuerzas F → 1 y F → 2 son F 1 = F 1 x 2 + F 1 y 2 + F 1 z 2 = 10,0 2 + 20,4 2 + 2,0 2 N = 22,8 N y F 2 = F 2 x 2 + F 2 y 2 + F 2 z 2 = 15,0 2 + 6,2 2 N = 16,2 N . Sustituyendo los componentes escalares en la produce el producto escalar F → 1 · F → 2 = F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z = ( 10,0 N ) ( −15,0 N ) + ( −20,4 N ) ( 0,0 N ) + ( 2,0 N ) ( −6,2 N ) = −162,4 N 2 . Finalmente, sustituyendo todo en la se obtiene el ángulo cos φ = F → 1 · F → 2 F 1 F 2 = −162,4 N 2 ( 22,8 N ) ( 16,2 N ) = −0,439 ⇒ φ = cos −1 ( −0,439 ) = 116,0 ° . Importancia Observe que, cuando los vectores se dan en términos de los vectores unitarios de los ejes, podemos encontrar el ángulo entre ellos sin conocer los detalles de las direcciones geográficas que representan los vectores unitarios. En este caso, por ejemplo, la dirección de la x + puede ser hacia el este y la dirección de la + y puede ser hacia el norte. Sin embargo, el ángulo entre las fuerzas en el problema es el mismo si la dirección de la x + está al oeste y la dirección de la + y está al sur. Halle el ángulo entre las fuerzas F → 1 y F → 3 en el . 131,9 ° El trabajo de una fuerza Cuando la fuerza F → hala de un objeto y cuando provoca su desplazamiento D → , decimos que la fuerza realiza un trabajo. La cantidad de trabajo que realiza la fuerza es el producto escalar F → · D → . Si el palo en el se mueve momentáneamente y se desplaza por el vector D → = ( −7,9 j ^ − 4,2 k ^ ) cm , ¿cuánto trabajo hace el tercer perro en el ? Estrategia Calculamos el producto escalar del vector de desplazamiento D → con el vector de fuerza F → 3 = ( 5,0 i ^ + 12,5 j ^ ) N , que es el tirón del tercer perro. Utilicemos W 3 para denotar el trabajo realizado por la fuerza F → 3 en el desplazamiento D → . Solución El cálculo del trabajo es la aplicación directa del producto punto: W 3 = F → 3 · D → = F 3 x D x + F 3 y D y + F 3 z D z = ( 5,0 N ) ( 0,0 cm ) + ( 12,5 N ) ( −7,9 cm ) + ( 0,0 N ) ( -4,2 cm ) = -98,7 N · cm . Importancia La unidad de trabajo del SI se denomina julio ( J ) , donde 1 J = 1 N · m . La unidad cm · N puede escribirse como 10 −2 m · N = 10 −2 J , por lo que la respuesta puede expresarse como W 3 = -0,9875 J ≈ −1,0 J . ¿Cuánto trabajo realizan el primer perro y el segundo en el sobre el desplazamiento en el ? W 1 = 1,5 J , W 2 = 0,3 J El producto vectorial de dos vectores (el producto cruz) La multiplicación de dos vectores da como resultado un producto vectorial. Producto vectorial (producto cruz) El producto vectorial de dos vectores A → y B → se denota por A → × B → y suele denominarse producto cruz . El producto vectorial es un vector que tiene su dirección perpendicular a ambos vectores A → y B → . En otras palabras, el vector A → × B → es perpendicular al plano que contiene los vectores A → y B → , como se muestra en la . La magnitud del producto vectorial se define como | A → × B → | = A B sen φ , donde el ángulo φ , entre los dos vectores, se mide desde el vector A → (primer vector del producto) al vector B → (segundo vector del producto), como se indica en la , y está entre 0 ° y 180 ° . Según la , el producto vectorial es igual a cero para pares de vectores que son paralelos ( φ = 0 ° ) o antiparalelos ( φ = 180 ° ) porque sen 0 ° = sen 180 ° = 0 . El producto vectorial de dos vectores se dibuja en un espacio tridimensional. (a) El producto vectorial A → × B → es un vector perpendicular al plano que contiene los vectores A → y B → . Los pequeños cuadrados dibujados en perspectiva marcan los ángulos rectos entre A → y C → , y entre B → y C → de modo que si A → y B → están acostados en el suelo, el vector C → apunta verticalmente hacia arriba. (b) El producto vectorial B → × A → es un vector antiparalelo al vector A → × B → . En la línea perpendicular al plano que contiene los vectores A → y B → hay dos direcciones alternativas: hacia arriba o hacia abajo, como se muestra en la , y la dirección del producto vectorial puede ser cualquiera de ellas. En la orientación estándar de la mano derecha, donde el ángulo entre los vectores se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el primer vector, el vector A → × B → apunta hacia arriba , como se ve en la (a). Si invertimos el orden de la multiplicación, de modo que ahora B → es lo primero en el producto, entonces el vector B → × A → debe apuntar hacia abajo , como se ve en la (b). Esto significa que los vectores A → × B → y B → × A → son antiparalelos entre sí y que la multiplicación de vectores no es conmutativa, sino anticonmutativa . La anticonmutatividad significa que el producto vectorial invierte el signo cuando se invierte el orden de la multiplicación: A → × B → = − B → × A → . La regla de la mano derecha es un mnemotécnico común que sirve para determinar la dirección del producto vectorial. Como se muestra en la , un sacacorchos se coloca en una dirección perpendicular al plano que contiene los vectores A → y B → , y su mango se gira en la dirección del primer al segundo vector del producto. La dirección del producto cruz se da por la progresión del sacacorchos. La regla de la mano derecha sirve para determinar la dirección del producto cruz A → × B → . Coloque un sacacorchos en la dirección perpendicular al plano que contiene los vectores A → y B → , y gírelo en la dirección del primer al segundo vector del producto. La dirección del producto cruz se da por la progresión del sacacorchos. (a) El movimiento hacia arriba significa que el vector del producto cruz apunta hacia arriba. (b) El movimiento hacia abajo significa que el vector del producto cruz apunta hacia abajo. El torque de una fuerza La ventaja mecánica que proporciona una herramienta familiar llamada llave inglesa ( ) depende de la magnitud F de la fuerza aplicada, de su dirección con respecto al mango de la llave y de la distancia a la que se aplica esta fuerza. La distancia R desde la tuerca hasta el punto donde el vector de fuerza F → se une está representado por el vector radial R → . La cantidad física vectorial que hace girar la tuerca se denomina torque (denotado por τ → ) , y es el producto vectorial de la distancia entre el pivote a la fuerza con la fuerza: τ → = R → × F → . Para aflojar una tuerca oxidada, se aplica una fuerza de 20,00 N al mango de la llave en ángulo φ = 40 ° y a una distancia de 0,25 m de la tuerca, como se muestra en la (a). Calcule la magnitud y la dirección del torque aplicado a la tuerca. ¿Cuál sería la magnitud y la dirección del torque si la fuerza se aplicara con un ángulo φ = 45 ° , como se muestra en la (b)? ¿Para qué valor del ángulo φ el torque tiene la mayor magnitud? Una llave proporciona agarre y ventaja mecánica al aplicar el torque para girar una tuerca. (a) Gire en sentido contrario a las agujas del reloj para aflojar la tuerca. (b) Gire en sentido de las agujas del reloj para apretar la tuerca. Estrategia Adoptamos el marco de referencia mostrado en la , donde los vectores R → y F → se encuentran en el plano xy y el origen está en la posición de la tuerca. La dirección radial a lo largo del vector R → (apuntando lejos del origen) es la dirección de referencia para medir el ángulo φ porque R → es el primer vector del producto vectorial τ → = R → × F → . El vector τ → debe estar a lo largo del eje de la z porque este es el eje perpendicular al plano xy , donde ambos R → y F → están. Para calcular la magnitud de τ , utilizamos la . Para encontrar la dirección de τ → , utilizamos la regla de la mano derecha ( ). Solución Para la situación de (a), la regla del sacacorchos nos da la dirección de R → × F → en la dirección positiva del eje z . Físicamente, significa que el vector de torque τ → apunta fuera de la página, perpendicular al mango de la llave. Identificamos F = 20,00 N y R = 0,25 m, y calculamos la magnitud utilizando la : τ = | R → × F → | = R F sen φ = ( 0,25 m ) ( 20,00 N ) sen 40 ° = 3,21 N · m . Para la situación en (b), la regla del sacacorchos da la dirección de R → × F → en la dirección negativa del eje z . Físicamente, significa que el vector τ → apunta a la página, perpendicular al mango de la llave. La magnitud de este torque es τ = | R → × F → | = R F sen φ = ( 0,25 m ) ( 20,00 N ) sen 45 ° = 3,53 N · m . El torque tiene el mayor valor cuando el sen φ = 1 , lo que se produce cuando φ = 90 ° . Físicamente, significa que la llave inglesa es más eficaz, es decir, nos proporciona la mejor ventaja mecánica, cuando aplicamos la fuerza perpendicular al mango de la llave. Para la situación de este ejemplo, este valor óptimo de torque es τ óptimo = R F = ( 0,25 m ) ( 20,00 N ) = 5,00 N · m . Importancia Cuando resolvemos problemas de mecánica, a menudo no necesitamos utilizar la regla del sacacorchos en absoluto, como veremos ahora en la siguiente solución equivalente. Observe que una vez que hemos identificado ese vector R → × F → que se encuentra a lo largo del eje z , podemos escribir este vector en términos del vector unitario k ^ del eje z : R → × F → = R F sen φ k ^ . En esta ecuación, el número que multiplica k ^ es el componente escalar z del vector R → × F → . En el cálculo de este componente, hay que tener en cuenta que el ángulo φ se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde R → (primer vector) al F → (segundo vector). Siguiendo este principio para los ángulos, obtenemos R F sen ( + 40 ° ) = + 3,2 N · m para la situación en (a), y obtenemos R F sen ( −45 ° ) = −3,5 N · m para la situación en (b). En este último caso, el ángulo es negativo porque el gráfico en la indica que el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj; pero, el mismo resultado se obtiene cuando este ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj porque + ( 360 ° − 45 ° ) = + 315 ° y sen ( + 315 ° ) = sen ( −45 ° ) . De este modo, obtenemos la solución sin referencia a la regla del sacacorchos. Para la situación en (a), la solución es R → × F → = + 3,2 N · m k ^ ; para la situación en (b), la solución es R → × F → = −3,5 N · m k ^ . Para los vectores dados en la , halle el producto vectorial A → × B → y C → × F → . A → × B → = -40,1 k ^ o, de forma equivalente, | A → × B → | = 40,1 , y la dirección es hacia la página C → × F → = + 157,6 k ^ o, de forma equivalente, | C → × F → | = 157,6 , y la dirección es hacia fuera de la página. Al igual que el producto punto ( ), el producto cruz tiene la siguiente propiedad distributiva: A → × ( B → + C → ) = A → × B → + A → × C → . La propiedad distributiva se aplica frecuentemente cuando los vectores se expresan en sus formas componentes, en términos de vectores unitarios de ejes cartesianos. Cuando aplicamos la definición del producto cruz, la , a los vectores unitarios i ^ , j ^ y k ^ que definen las direcciones de la x , la y y la z positivas en el espacio, encontramos que i ^ × i ^ = j ^ × j ^ = k ^ × k ^ = 0 . Todos los demás productos cruz de estos tres vectores unitarios deben ser vectores de magnitud unitaria porque i ^ , j ^ y k ^ son ortogonales. Por ejemplo, para el par i ^ y j ^ , la magnitud es | i ^ × j ^ | = i j sen 90 ° = ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 1 . La dirección del producto vectorial i ^ × j ^ debe ser ortogonal al plano xy , lo que significa que debe estar a lo largo del eje de la z . Los únicos vectores unitarios a lo largo del eje z son − k ^ o + k ^ . Por la regla del sacacorchos, la dirección del vector i ^ × j ^ debe ser paralela al eje z positivo. Por lo tanto, el resultado de la multiplicación i ^ × j ^ es idéntico a + k ^ . Podemos repetir un razonamiento similar para los pares restantes de vectores unitarios. Los resultados de estas multiplicaciones son { i ^ × j ^ = + k ^ , j ^ × k ^ = + i ^ , k ^ × i ^ = + j ^ . Observe que en la , los tres vectores unitarios i ^ , j ^ y k ^ aparecen en el orden cíclico que se muestra en el diagrama de la (a). El orden cíclico significa que en la fórmula del producto, i ^ le sigue k ^ y viene antes de j ^ , o k ^ le sigue j ^ y viene antes de i ^ , o j ^ le sigue i ^ y viene antes de k ^ . El producto cruz de dos vectores unitarios diferentes siempre es un tercer vector unitario. Cuando dos vectores unitarios en el producto cruz aparecen en el orden cíclico, el resultado de dicha multiplicación es el vector unitario restante, como se ilustra en la (b). Cuando los vectores unitarios en el producto cruz aparecen en un orden diferente, el resultado es un vector unitario antiparalelo al vector unitario restante (es decir, el resultado es con el signo menos, como muestran los ejemplos de la (c) y la (d). En la práctica, cuando la tarea es encontrar productos cruz de vectores que están dados en forma de componentes vectoriales, esta regla para la multiplicación cruzada de vectores unitarios es muy útil. (a) El diagrama del orden cíclico de los vectores unitarios de los ejes. (b) Los únicos productos cruz donde los vectores unitarios aparecen en el orden cíclico. Estos productos tienen el signo positivo. (c, d) Dos ejemplos de productos cruz donde los vectores unitarios no aparecen en el orden cíclico. Estos productos tienen el signo negativo. Supongamos que queremos encontrar el producto cruz A → × B → para los vectores A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ y B → = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ . Podemos utilizar la propiedad distributiva ( ), la anticonmutatividad ( ), y los resultados en la y la para vectores unitarios para realizar la siguiente operación de álgebra: A → × B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x i ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A y j ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A z k ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x B x i ^ × i ^ + A x B y i ^ × j ^ + A x B z i ^ × k ^ + A y B x j ^ × i ^ + A y B y j ^ × j ^ + A y B z j ^ × k ^ + A z B x k ^ × i ^ + A z B y k ^ × j ^ + A z B z k ^ × k ^ = A x B x ( 0 ) + A x B y ( + k ^ ) + A x B z ( − j ^ ) + A y B x ( − k ^ ) + A y B y ( 0 ) + A y B z ( + i ^ ) + A z B x ( + j ^ ) + A z B y ( − i ^ ) + A z B z ( 0 ) . Cuando se realicen operaciones algebraicas que impliquen el producto cruz, hay que tener mucho cuidado en mantener el orden correcto de la multiplicación, ya que el producto cruz es anticonmutativo. Los dos últimos pasos que nos quedan por hacer para completar nuestra tarea son, primero, agrupar los términos que contienen un vector unitario común y, segundo, factorizar. De esta manera obtenemos la siguiente expresión muy útil para el cálculo del producto cruz: C → = A → × B → = ( A y B z − A z B y ) i ^ + ( A z B x − A x B z ) j ^ + ( A x B y − A y B x ) k ^ . En esta expresión, los componentes escalares del vector del producto cruz son { C x = A y B z − A z B y , C y = A z B x − A x B z , C z = A x B y − A y B x . Al momento de encontrar el producto cruz, en la práctica, podemos utilizar tanto la como la , dependiendo de cuál de ellas nos parezca menos compleja computacionalmente. Ambas conducen al mismo resultado final. Una forma de asegurarse de que el resultado final es correcto es utilizar ambas. Una partícula en un campo magnético Al moverse en un campo magnético, algunas partículas pueden experimentar una fuerza magnética. Sin entrar en detalles, el estudio detallado de los fenómenos magnéticos se aborda en capítulos posteriores, reconozcamos que el campo magnético B → es un vector, la fuerza magnética F → es un vector, y la velocidad u → de la partícula es un vector. El vector de fuerza magnética es proporcional al producto vectorial del vector de velocidad por el vector de campo magnético, que expresamos como F → = ζ u → × B → . En esta ecuación, una constante ζ se encarga de la coherencia en unidades físicas, por lo que podemos omitir las unidades físicas en los vectores u → y B → . En este ejemplo, vamos a suponer que la constante ζ es positiva. Una partícula que se mueve en el espacio con un vector de velocidad u → = −5,0 i ^ − 2,0 j ^ + 3,5 k ^ entra en una región con un campo magnético y experimenta una fuerza magnética. Halle la fuerza magnética F → sobre esta partícula en el punto de entrada a la región donde el vector de campo magnético es (a) B → = 7,2 i ^ − j ^ − 2,4 k ^ y (b) B → = 4,5 k ^ . En cada caso, halle la magnitud F de la fuerza magnética y el ángulo θ que el vector de fuerza F → hace con el vector de campo magnético dado B → . Estrategia Primero, queremos encontrar el producto vectorial u → × B → , porque entonces podemos determinar la fuerza magnética utilizando F → = ζ u → × B → . La magnitud F puede hallarse mediante el uso de componentes, F = F x 2 + F y 2 + F z 2 , o calculando la magnitud | u → × B → | utilizando directamente la . En este último enfoque, tendríamos que encontrar el ángulo entre los vectores u → y B → . Cuando tenemos F → , el método general para encontrar el ángulo direccional θ implica el cálculo del producto escalar F → · B → y la sustitución en la . Para calcular el producto vectorial podemos utilizar la o calcular el producto directamente, lo que sea más sencillo. Solución Los componentes del vector velocidad son u x = −5,0 , u y = −2,0 y u z = 3,5 . (a) Los componentes del vector de campo magnético son B x = 7,2 , B y = −1,0 y B z = −2,4 . Sustituyéndolos en la se obtienen los componentes escalares del vector F → = ζ u → × B → : { F x = ζ ( u y B z − u z B y ) = ζ [ ( −2,0 ) ( −2,4 ) − ( 3,5 ) ( −1,0 ) ] = 8,3 ζ F y = ζ ( u z B x − u x B z ) = ζ [ ( 3,5 ) ( 7,2 ) − ( −5,0 ) ( −2,4 ) ] = 13,2 ζ F z = ζ ( u x B y − u y B x ) = ζ [ ( −5,0 ) ( −1,0 ) − ( −2,0 ) ( 7,2 ) ] = 19,4 ζ . Por lo tanto, la fuerza magnética es F → = ζ ( 8,3 i ^ + 13,2 j ^ + 19,4 k ^ ) y su magnitud es F = F x 2 + F y 2 + F z 2 = ζ ( 8,3 ) 2 + ( 13,2 ) 2 + ( 19,4 ) 2 = 24,9 ζ . Para calcular el ángulo θ , tendríamos que encontrar la magnitud del vector de campo magnético, B = B x 2 + B y 2 + B z 2 = ( 7,2 ) 2 + ( −1,0 ) 2 + ( −2,4 ) 2 = 7,6 , y el producto escalar F → · B → : F → · B → = F x B x + F y B y + F z B z = ( 8,3 ζ ) ( 7,2 ) + ( 13,2 ζ ) ( −1,0 ) + ( 19,4 ζ ) ( −2,4 ) = 0 . Ahora, sustituyendo en la obtenemos el ángulo θ : cos θ = F → · B → F B = 0 ( 18,2 ζ ) ( 7,6 ) = 0 ⇒ θ = 90 ° . Por lo tanto, el vector de fuerza magnética es perpendicular al vector de campo magnético. (Podríamos haber ahorrado algo de tiempo si hubiéramos calculado antes el producto escalar). (b) Dado que el vector B → = 4,5 k ^ tiene un solo componente, podemos realizar la operación de álgebra rápidamente y encontrar el producto vectorial directamente: F → = ζ u → × B → = ζ ( −5,0 i ^ − 2,0 j ^ + 3,5 k ^ ) × ( 4,5 k ^ ) = ζ [ ( −5,0 ) ( 4,5 ) i ^ × k ^ + ( −2,0 ) ( 4,5 ) j ^ × k ^ + ( 3,5 ) ( 4,5 ) k ^ × k ^ ] = ζ [ -22,5 ( − j ^ ) − 9,0 ( + i ^ ) + 0 ] = ζ ( −9,0 i ^ + 22,5 j ^ ) . La magnitud de la fuerza magnética es F = F x 2 + F y 2 + F z 2 = ζ ( −9,0 ) 2 + ( 22,5 ) 2 + ( 0,0 ) 2 = 24,2 ζ . Dado que el producto escalar es F → · B → = F x B x + F y B y + F z B z = ( −9,0 ζ ) ( 0 ) + ( 22,5 ζ ) ( 0 ) + ( 0 ) ( 4,5 ) = 0 , el vector de fuerza magnética F → es perpendicular al vector de campo magnético B → . Importancia Incluso sin calcular el producto escalar, podemos predecir que el vector de fuerza magnética debe ser siempre perpendicular al vector de campo magnético debido a la forma en que se construye este vector. En concreto, el vector de fuerza magnética es el producto vectorial F → = ζ u → × B → y, por la definición del producto vectorial (vea la ), el vector F → debe ser perpendicular a ambos vectores u → y B → . Dados dos vectores A → = − i ^ + j ^ y B → = 3 i ^ − j ^ , halle: (a) A → × B → , (b) | A → × B → | , (c) el ángulo entre A → y B → , y (d) el ángulo entre A → × B → y el vector C → = i ^ + k ^ . a. −2 k ^ , b. 2, c. 153,4 ° , d. 135 ° Para concluir esta sección, queremos destacar que el "producto punto" y el "producto cruz" son objetos matemáticos totalmente diferentes que tienen significados distintos. El producto punto es un escalar; el producto cruz es un vector. En capítulos posteriores se utilizan indistintamente los términos producto punto y producto escalar . Asimismo, los términos producto cruz y producto vectorial se utilizan indistintamente. Resumen Hay dos tipos de multiplicación para los vectores. Un tipo de multiplicación es el producto escalar, también conocido como producto punto. El otro tipo de multiplicación es el producto vectorial, también conocido como producto cruz. El producto escalar de vectores es un número (escalar). El producto vectorial de vectores es un vector. Ambos tipos de multiplicación tienen la propiedad distributiva, pero solo el producto escalar tiene la propiedad conmutativa. El producto vectorial tiene la anticonmutatividad, lo que significa que, cuando cambiamos el orden en que se multiplican dos vectores, el resultado adquiere un signo menos. El producto escalar de dos vectores se obtiene multiplicando sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos. El producto escalar de vectores ortogonales es igual a cero; el producto escalar de vectores antiparalelos es negativo. El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos. Su magnitud se obtiene multiplicando sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellas. La dirección del producto vectorial se puede determinar mediante la regla de la mano derecha. El producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos es igual a cero. La magnitud del producto vectorial es mayor para los vectores ortogonales. El producto escalar de vectores se utiliza para encontrar ángulos entre vectores y en las definiciones de magnitudes físicas escalares derivadas, como el trabajo o la energía. El producto cruz de vectores se utiliza en las definiciones de cantidades físicas vectoriales derivadas, como el torque o la fuerza magnética, y en la descripción de rotaciones. Ecuaciones clave Multiplicación por un escalar (ecuación vectorial) B → = α A → Multiplicación por un escalar (ecuación escalar para las magnitudes) B = | α | A Resultante de dos vectores D → A D = D → A C + D → C D Ley conmutativa A → + B → = B → + A → Ley asociativa ( A → + B → ) + C → = A → + ( B → + C → ) Ley distributiva α 1 A → + α 2 A → = ( α 1 + α 2 ) A → La forma en componentes de un vector en dos dimensiones A → = A x i ^ + A y j ^ Componentes escalares de un vector en dos dimensiones { A x = x e − x b A y = y e − y b Magnitud de un vector en un plano A = A x 2 + A y 2 El ángulo direccional de un vector en un plano θ A = tan −1 ( A y A x ) Componentes escalares de un vector en un plano { A x = A cos θ A A y = A sen θ A Coordenadas polares en un plano { x = r cos φ y = r sen φ La forma en componentes de un vector en tres dimensiones A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ El componente escalar z de un vector en tres dimensiones A z = z e − z b Magnitud de un vector en tres dimensiones A = A x 2 + A y 2 + A z 2 Propiedad distributiva α ( A → + B → ) = α A → + α B → Vector antiparalelo a A → − A → = − A x i ^ − A y j ^ − A z k ^ Vectores iguales A → = B → ⇔ { A x = B x A y = B y A z = B z Componentes de la resultante de N vectores { F R x = ∑ k = 1 N F k x = F 1 x + F 2 x + … + F N x F R y = ∑ k = 1 N F k y = F 1 y + F 2 y + … + F N y F R z = ∑ k = 1 N F k z = F 1 z + F 2 z + … + F N z Vector unitario general V ^ = V → V Definición del producto escalar A → · B → = A B cos φ Propiedad conmutativa del producto escalar A → · B → = B → · A → Propiedad distributiva del producto escalar A → · ( B → + C → ) = A → · B → + A → · C → Producto escalar en términos de componentes escalares de vectores A → · B → = A x B x + A y B y + A z B z Coseno del ángulo entre dos vectores cos φ = A → · B → A B Productos punto de vectores unitarios i ^ · j ^ = j ^ · k ^ = k ^ · i ^ = 0 Magnitud del producto vectorial (definición) | A → × B → | = A B sen φ Anticonmutatividad del producto vectorial A → × B → = − B → × A → Propiedad distributiva del producto vectorial A → × ( B → + C → ) = A → × B → + A → × C → Productos cruz de vectores unitarios { i ^ × j ^ = + k ^ , j ^ × k ^ = + i ^ , k ^ × i ^ = + j ^ . El producto cruz en términos de componentes escalares de vectores A → × B → = ( A y B z − A z B y ) i ^ + ( A z B x − A x B z ) j ^ + ( A x B y − A y B x ) k ^ Preguntas conceptuales ¿Cuál es el error en las siguientes expresiones? ¿Cómo puede corregirlas? (a) C = A → B → , (b) C → = A → B → , (c) C = A → × B → , (d) C = A B → , (e) C + 2 A → = B , (f) C → = A × B → , (g) A → · B → = A → × B → , (h) C → = 2 A → · B → , (i) C = A → / B → , y (j) C = A → / B . a. C = A → · B → , b. C → = A → × B → o C → = A → − B → , c. C → = A → × B → , d. C → = A B → , e. C → + 2 A → = B → , f. C → = A → × B → , g. el lado izquierdo es un escalar y el derecho un vector, h. C → = 2 A → × B → , i. C → = A → / B , j. C → = A → / B Si el producto cruz de dos vectores es igual a cero, ¿qué se puede decir de sus direcciones? Si el producto punto de dos vectores es igual a cero, ¿qué se puede decir de sus direcciones? Son ortogonales. ¿Cuál es el producto punto de un vector con el producto cruz que este vector tiene con otro vector? Problemas Suponiendo que el eje de la x + es horizontal hacia la derecha para los vectores de la siguiente figura, halle los siguientes productos escalares: (a) A → · C → , (b) A → · F → , (c) D → · C → , (d) A → · ( F → + 2 C → ) , (e) i ^ · B → , (f) j ^ · B → , (g) ( 3 i ^ − j ^ ) · B → , y (h) B ^ · B → . Suponiendo que el eje de la x + es horizontal hacia la derecha para los vectores de la figura anterior, halle: (a) el componente del vector A → junto al vector C → , (b) el componente del vector C → junto al vector A → , (c) el componente del vector i ^ junto al vector F → , y (d) el componente del vector F → junto al vector i ^ . a. 0, b. 0, c. 0,866, d. 17,32 Halle el ángulo entre vectores para (a) D → = ( −3,0 i ^ − 4,0 j ^ ) m y A → = ( −3,0 i ^ + 4,0 j ^ ) m y (b) D → = ( 2,0 i ^ − 4,0 j ^ + k ^ ) m y B → = ( −2,0 i ^ + 3,0 j ^ + 2,0 k ^ ) m . Halle los ángulos que el vector D → = ( 2,0 i ^ − 4,0 j ^ + k ^ ) m hace con los ejes de la x , la y y la z . θ i = 64,12 ° , θ j = 150,79 ° , θ k = 77,39 ° Demuestre que el vector de fuerza D → = ( 2,0 i ^ − 4,0 j ^ + k ^ ) N es ortogonal al vector de fuerza G → = ( 3,0 i ^ + 4,0 j ^ + 10,0 k ^ ) N . Suponiendo que el eje de la x + es horizontal hacia la derecha para los vectores de la figura anterior, halle los siguientes productos vectoriales: (a) A → × C → , (b) A → × F → , (c) D → × C → , (d) A → × ( F → + 2 C → ) , (e) i ^ × B → , (f) j ^ × B → , (g) ( 3 i ^ − j ^ ) × B → , y (h) B ^ × B → . a. −120 k ^ , b. 0 k ^ , c. – 94 k ^ , d. -240 k ^ , e. 4,0 k ^ , f. −3,0 k ^ , g. 15 k ^ , h. 0 Halle el producto cruz A → × C → para (a) A → = 2,0 i ^ − 4,0 j ^ + k ^ y C → = 3,0 i ^ + 4,0 j ^ + 10,0 k ^ , (b) A → = 3,0 i ^ + 4,0 j ^ + 10,0 k ^ y C → = 2,0 i ^ − 4,0 j ^ + k ^ , (c) A → = −3,0 i ^ − 4,0 j ^ y C → = −3,0 i ^ + 4,0 j ^ , y (d) C → = −2,0 i ^ + 3,0 j ^ + 2,0 k ^ y A → = −9,0 j ^ . Para los vectores de la figura anterior, halle: (a) ( A → × F → ) · D → , (b) ( A → × F → ) · ( D → × B → ) , y (c) ( A → · F → ) ( D → × B → ) . a. 0, b. 0, c. + -20.000 k ^ (a) Si A → × F → = B → × F → , ¿podemos concluir que A → = B → ? (b) Si A → · F → = B → · F → , ¿podemos concluir que A → = B → ? (c) Si F A → = B → F , ¿podemos concluir que A → = B → ? ¿Por qué sí por qué no? Problemas adicionales Usted vuela 32,0 km en línea recta en el aire quieto en la dirección 35,0 ° al sur del oeste. (a) Calcule las distancias que tendría que volar hacia el sur y luego hacia el oeste para llegar al mismo punto. (b) Calcule las distancias que tendría que volar primero en una dirección de 45,0 ° al sur del oeste y luego en dirección de 45,0 ° al oeste del norte. Observe que se trata de los componentes del desplazamiento a lo largo de un conjunto diferente de ejes, es decir, el que rota a 45 ° con respecto a los ejes en (a). a. 18,4 km y 26,2 km, b. 31,5 km y 5,56 km Las coordenadas rectangulares de un punto vienen dadas por (2, y ) y sus coordenadas polares por ( r , π / 6 ) . Halle y y r . Si las coordenadas polares de un punto son ( r , φ ) y sus coordenadas rectangulares son ( x , y ) , determine las coordenadas polares de los siguientes puntos: (a) (- x , y ), (b) (-2 x , -2 y ), y (c) (3 x , -3 y ). a. ( r , π − φ ) , b. ( 2 r , φ + 2 π ) , (c) ( 3 r , − φ ) Los vectores A → y B → tienen magnitudes idénticas de 5,0 unidades. Halle el ángulo entre ellos si A → + B → = 5 2 j ^ . Partiendo de la isla de Moi, en un archipiélago desconocido, un barco pesquero realiza un viaje de ida y vuelta con dos paradas en las islas de Noi y Poi. Navega desde Moi durante 4,76 millas náuticas (nautical mile, nmi) en una dirección de 37 ° al norte del este a Noi. Desde Noi, navega a 69 ° al oeste del norte hasta Poi. En su regreso desde Poi, navega a 28 ° al este del sur. ¿Qué distancia navega el barco entre Noi y Poi? ¿Qué distancia navega entre Moi y Poi? Exprese su respuesta tanto en millas náuticas como en kilómetros. Nota: 1 nmi = 1852 m. d PM = 6,2 nmi = 11,4 km , d NP = 7,2 nmi = 13,3 km Un controlador aéreo observa dos señales de dos aviones en el monitor del radar. Un avión se encuentra a 800 m de altura y a una distancia horizontal de 19,2 km de la torre en una dirección de 25 ° al sur del oeste. El segundo avión está a 1.100 m de altura y su distancia horizontal es de 17,6 km y 20 ° al sur del oeste. ¿Cuál es la distancia entre estos aviones? Demuestre que cuando A → + B → = C → , luego C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos φ , donde φ es el ángulo entre los vectores A → y B → . prueba Cuatro vectores de fuerza tienen cada uno la misma magnitud f . ¿Cuál es la mayor magnitud que puede tener el vector de fuerza resultante cuando se suman estas fuerzas? ¿Cuál es la menor magnitud de la resultante? Haga un gráfico de ambas situaciones. Un patinador se desliza por un recorrido circular de radio 5,00 m en la dirección de las agujas del reloj. Cuando da la vuelta a la mitad del círculo, partiendo del punto oeste, halle: (a) la magnitud de su vector de desplazamiento y (b) la distancia que realmente ha patinado. (c) ¿Cuál es la magnitud de su vector de desplazamiento cuando da la vuelta completa al círculo y vuelve al punto oeste? a. 10,00 m, b. 5 π m , c. 0 Un perro rebelde pasea sujetado a una correa por su dueño. En un momento dado, el perro encuentra un olor interesante en algún punto del terreno y quiere explorarlo en detalle, pero el dueño se impacienta y hala de la correa con fuerza F → = ( 98,0 i ^ + 132,0 j ^ + 32,0 k ^ ) N a lo largo de la correa. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de tracción? (b) ¿Qué ángulo forma la correa con la vertical? Si el vector de velocidad de un oso polar es u → = ( -18,0 i ^ − 13,0 j ^ ) km / h , ¿a qué velocidad y en qué dirección geográfica se dirige? Aquí, i ^ y j ^ son direcciones hacia el este y el norte geográficos, respectivamente. 22,2 km/h, 35,8 ° al sur del oeste Halle los componentes escalares de los vectores tridimensionales G → y H → en la siguiente figura y escriba los vectores en forma de componentes vectoriales en términos de los vectores unitarios de los ejes. Una buceadora explora un arrecife poco profundo en la costa de Belice. Inicialmente nada 90,0 m hacia el norte, hace un giro hacia el este y continúa durante 200,0 m, luego sigue a un gran mero durante 80,0 m en la dirección de 30 ° al norte del este. Mientras tanto, una corriente local la desplaza 150,0 m hacia el sur. Suponiendo que la corriente ya no está presente, ¿en qué dirección y a qué distancia debería nadar ahora para volver al punto de partida? 270 m, 4,2 ° al norte del oeste Un vector de fuerza A → tiene componentes x y y , respectivamente, de -8,80 unidades de fuerza y 15,00 unidades de fuerza. Los componentes x y y del vector de fuerza B → son, respectivamente, 13,20 unidades de fuerza y -6,60 unidades de fuerza. Halle los componentes del vector de fuerza C → que satisfacen la ecuación vectorial A → − B → + 3 C → = 0 . Los vectores A → y B → son dos vectores ortogonales en el plano xy y tienen magnitudes idénticas. Si A → = 3,0 i ^ + 4,0 j ^ , halle B → . B → = −4,0 i ^ + 3,0 j ^ o B → = 4,0 i ^ − 3,0 j ^ Para los vectores tridimensionales de la siguiente figura, halle: (a) G → × H → , (b) | G → × H → | , y (c) G → · H → . Demuestre que ( B → × C → ) · A → es el volumen del paralelepípedo, cuyas aristas están formadas por los tres vectores de la siguiente figura. prueba Problemas de desafío El vector B → tiene una longitud de 5,0 cm y un vector A → tiene una longitud de 4,0 cm. Calcule el ángulo entre estos dos vectores cuando | A → + B → | = 3,0 cm y | A → − B → | = 3,0 cm . ¿Cuál es el componente del vector de fuerza G → = ( 3,0 i ^ + 4,0 j ^ + 10,0 k ^ ) N junto al vector de fuerza H → = ( 1,0 i ^ + 4,0 j ^ ) N ? G H = 19 N / 17 ≈ 4,6 N La siguiente figura muestra un triángulo formado por los tres vectores A → , B → y C → . Si el vector C → ′ se dibuja entre los puntos medios de los vectores A → y B → , demuestre que C → ′ = C → / 2 . Las distancias entre los puntos de un plano no cambian cuando se rota un sistema de coordenadas. En otras palabras, la magnitud de un vector es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas. Supongamos que un sistema de coordenadas S rota alrededor de su origen por un ángulo φ para convertirse en un nuevo sistema de coordenadas S ′ , como se muestra en la siguiente figura. Un punto en un plano tiene coordenadas ( x , y ) en S y coordenadas ( x ′ , y ′ ) en S ′ . (a) Demuestre que, durante la transformación de rotación, las coordenadas en S ′ se expresan en términos de las coordenadas en S mediante las siguientes relaciones: { x ′ = x cos φ + y sen φ y ′ = − x sen φ + y cos φ . (b) Demuestre que la distancia del punto P al origen es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas. Aquí, tiene que mostrar que x 2 + y 2 = x ′ 2 + y ′ 2 . (c) Demuestre que la distancia entre los puntos P y Q es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas. Aquí, tiene que mostrar que ( x P − x Q ) 2 + ( y P − y Q ) 2 = ( x ' P − x ' Q ) 2 + ( y ' P − y ' Q ) 2 . prueba anticonmutatividad el cambio en el orden de la operación introduce el signo menos regla de la mano derecha una regla utilizada para determinar la dirección del producto vectorial producto cruz el resultado de la multiplicación vectorial de vectores es un vector llamado producto cruz; también llamado producto vectorial producto punto el resultado de la multiplicación escalar de dos vectores es un escalar llamado producto punto; también llamado producto escalar producto escalar el resultado de la multiplicación escalar de dos vectores es un escalar llamado producto escalar; también llamado producto punto producto vectorial el resultado de la multiplicación vectorial de vectores es un vector llamado producto vectorial; también llamado producto cruz

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