Fuentes de energía En este capítulo hemos estudiado la energía. Hemos aprendido que la energía puede adoptar diferentes formas y transferirse de una forma a otra. Verá que la energía se analiza en muchos contextos cotidianos, así como en los científicos, porque está implicada en todos los procesos físicos. También se hará evidente que muchas situaciones se entienden mejor, o se conceptualizan más fácilmente, al considerar la energía. Hasta ahora, ningún resultado experimental ha contradicho la conservación de la energía. De hecho, siempre que las mediciones han parecido entrar en conflicto con la conservación de energía, se han descubierto o reconocido nuevas formas de energía de acuerdo con este principio. ¿Cuáles son otras formas de energía? Muchas de estas se tratan en capítulos posteriores (vea también la ), aunque detallaremos algunas aquí: Los átomos y las moléculas del interior de todos los objetos están en movimiento aleatorio. La energía cinética interna de estos movimientos aleatorios se denomina energía térmica porque está relacionada con la temperatura del objeto. Observe que la energía térmica también se transfiere de un lugar a otro, sin transformarse ni convertirse, mediante los conocidos procesos de conducción, convección y radiación. En este caso, la energía se conoce como energía calorífica . La energía eléctrica es una forma común que se convierte en muchas otras formas y funciona en una amplia gama de situaciones prácticas. Los combustibles, como la gasolina y los alimentos, tienen energía química , que es energía potencial derivada de su estructura molecular. La energía química se convierte en energía térmica mediante reacciones como la oxidación. Las reacciones químicas también generan energía eléctrica, como en las baterías. La energía eléctrica, a su vez, genera energía térmica y luz, como en un calentador eléctrico o una bombilla. La luz es solo un tipo de radiación electromagnética, o energía radiante que también incluye la radio, el infrarrojo, el ultravioleta, los rayos X y los rayos gama. Todos los cuerpos con energía térmica irradian energía en ondas electromagnéticas. La energía nuclear proviene de reacciones y procesos que convierten cantidades mensurables de masa en energía. La energía nuclear se transforma en energía radiante en el Sol, en energía térmica en las calderas de las plantas de energía nuclear y luego en energía eléctrica en los generadores de las plantas de energía. Estas y todas las demás formas de energía se transforman entre sí y, hasta cierto punto, se convierten en trabajo mecánico. La energía que utilizamos en la sociedad adopta muchas formas, que se convierten de una en otra, dependiendo del proceso que se realice. Estudiaremos muchas de estas formas de energía en capítulos posteriores de este texto (créditos: "sol", modificación del trabajo del Consorcio del Observatorio Solar y Heliosférico [Solar and Heliospheric Observatory, SOHO] - Telescopio de Imágenes Ultravioleta Extrema [Extreme Utraviolet Imaging Telescope, EIT], ESA y NASA; "paneles solares", modificación del trabajo de "kjkolb"/Wikimedia Commons; "quemador de gas", modificación del trabajo de Steven Depolo). La transformación de la energía de una forma a otra ocurre todo el tiempo. La energía química de los alimentos se convierte en energía térmica a través del metabolismo; la energía de la luz se convierte en energía química a través de la fotosíntesis. Otro ejemplo de conversión de energía se produce en una celda solar. La luz solar que incide en una celda solar produce electricidad, que se utiliza para hacer funcionar motores eléctricos o calentar agua. En un ejemplo que abarca muchos pasos, la energía química contenida en el carbón se convierte en energía térmica al arder en un horno, para transformar el agua en vapor, en una caldera. Parte de la energía térmica del vapor se convierte en energía mecánica al expandirse y hacer girar una turbina, que está conectada a un generador para producir energía eléctrica. En estos ejemplos, no toda la energía inicial se convierte en las formas mencionadas, porque siempre se transfiere algo de energía al medio ambiente. La energía es un elemento importante en todos los niveles de la sociedad. Vivimos en un mundo muy interdependiente, y el acceso a recursos energéticos adecuados y fiables es crucial para el crecimiento económico y para mantener la calidad de nuestras vidas. Los principales recursos energéticos que se utilizan en el mundo se muestran en la . La figura distingue entre dos grandes tipos de fuentes de energía: renovables y no renovables , y además divide cada tipo en algunas clases más específicas. Las fuentes renovables son fuentes de energía que se reponen a través de procesos naturales y continuos, en una escala de tiempo que es mucho más corta que la vida prevista de la civilización que utiliza la fuente. Las fuentes no renovables se agotan una vez que parte de la energía que contienen se extrae y se convierte en otros tipos de energía. Los procesos naturales por los que se forman las fuentes no renovables suelen tener lugar en escalas de tiempo geológicas. Consumo mundial de energía por fuentes; el porcentaje de renovables va en aumento, lo que representa el 19 % en 2012. Nuestras fuentes de energía no renovables más importantes son los combustibles fósiles , como el carbón, el petróleo y el gas natural. Estas representan alrededor del 81 % del consumo mundial de energía, como se muestra en la figura. La quema de combustibles fósiles crea reacciones químicas que transforman la energía potencial, en las estructuras moleculares de los reactivos, en la energía térmica y en productos. Esta energía térmica se utiliza para la calefacción en los edificios o para hacer funcionar maquinaria de vapor. Los motores de combustión interna y de reacción convierten parte de la energía de los gases en rápida expansión, liberados por la combustión de la gasolina, en trabajo mecánico. La generación de potencia eléctrica se deriva principalmente de la transferencia de energía en el vapor en expansión, a través de turbinas, en trabajo mecánico, que hace rotar bobinas de alambre en campos magnéticos para generar electricidad. La energía nuclear es la otra fuente no renovable que aparece en la y suministra aproximadamente el 3 % del consumo mundial. Las reacciones nucleares liberan energía al transformar la energía potencial, en la estructura de los núcleos, en energía térmica, semejante a la liberación de energía en las reacciones químicas. La energía térmica obtenida de las reacciones nucleares puede transferirse y convertirse en otras formas de la misma manera que se utiliza la energía de los combustibles fósiles. Un desafortunado subproducto de depender de la energía generada a partir de la combustión de combustibles fósiles es la liberación de dióxido de carbono a la atmósfera y su contribución al calentamiento global. La energía nuclear también plantea problemas ambientales, como la seguridad y la eliminación de los residuos nucleares. Además de estas importantes consecuencias, las reservas de fuentes de energía no renovables son limitadas y, dado el rápido ritmo de crecimiento del consumo mundial de energía, puede que no duren más que unos cuantos cientos de años. Se está realizando un esfuerzo considerable para desarrollar y ampliar el uso de las fuentes de energía renovables, en el que participa un porcentaje importante de los físicos e ingenieros del mundo. Cuatro de las fuentes de energía renovable enumeradas en la , las que utilizan material vegetal como combustible (calor de biomasa, etanol, biodiésel y electricidad de biomasa), implican los mismos tipos de transformaciones y conversiones energéticas que se acaban de comentar para los combustibles fósiles y nucleares. Los otros grandes tipos de energías renovables son la hidroeléctrica, la eólica, la geotérmica y la solar. La potencia hidráulica se produce al convertir la energía potencial gravitacional del agua que cae o fluye en energía cinética y luego en trabajo para hacer funcionar generadores eléctricos o maquinaria. La conversión de la energía mecánica de las olas y las mareas de la superficie del océano está en desarrollo. La energía eólica también convierte la energía cinética en trabajo, que puede utilizarse directamente para generar electricidad, hacer funcionar molinos y propulsar veleros. El interior de la Tierra tiene una gran cantidad de energía térmica, parte de la cual es un remanente de su formación original (energía potencial gravitacional convertida en energía térmica), y la otra parte es liberada por los minerales radioactivos (una forma de energía nuclear natural). Esta energía geotérmica tardará mucho tiempo en salir al espacio, por lo que la gente suele considerarla como una fuente renovable, cuando en realidad, es simplemente inagotable en escalas de tiempo de la humanidad. La fuente de energía solar es la energía transportada por las ondas electromagnéticas que irradia el Sol. La mayor parte de esta energía es transportada por la luz visible y la radiación infrarroja (calor). Cuando los materiales adecuados absorben las ondas electromagnéticas, la energía radiante se convierte en energía térmica, que se utiliza para calentar el agua, o cuando se concentra, para hacer vapor y generar electricidad ( ). Sin embargo, en otro importante proceso físico, conocido como efecto fotoeléctrico, la radiación energética que incide sobre ciertos materiales se convierte directamente en electricidad. Los materiales que hacen esto reciben el nombre de fotovoltaicos (PV en la ). Algunos sistemas de energía solar utilizan lentes o espejos para concentrar los rayos del Sol, antes de convertir su energía a través de fotovoltaicos, y se califican como CSP en la . Matrices de celdas solares que se encuentran en una zona soleada y que convierten la energía solar en energía eléctrica almacenada (créditos: modificación del trabajo de Sarah Swenty, Servicio de Pesca y Vida Silvestre de los EE. UU.). Al terminar este capítulo sobre la energía y el trabajo, es pertinente establecer algunas distinciones entre dos términos a veces malinterpretados en el ámbito del uso de la energía. Como ya hemos mencionado, la "ley de conservación de la energía" es un principio muy útil para analizar los procesos físicos. No se puede demostrar a partir de principios básicos, pero es un dispositivo de contabilidad muy bueno, y nunca se han encontrado excepciones. Afirma que la cantidad total de energía en un sistema aislado siempre permanece constante. Relacionada con este principio, pero notablemente diferente de este, se encuentra la importante filosofía de la conservación de energía. Este concepto tiene que ver con la búsqueda de la disminución de la cantidad de energía utilizada por un individuo o grupo a través de la reducción de las actividades (por ejemplo, al bajar los termostatos, al conducir menos kilómetros) o el aumento de la eficiencia de la conversión en el desempeño de una tarea particular, como el desarrollo y el uso de calentadores de habitación más eficientes, autos que tienen mayores índices de millas por galón, luces fluorescentes compactas de bajo consumo, etc. Dado que la energía en un sistema aislado no se destruye, ni se crea, ni se genera, cabe preguntarse por qué tenemos que preocuparnos por nuestros recursos energéticos, ya que la energía es una cantidad conservada. El problema es que el resultado final de la mayoría de las transformaciones energéticas es el calor residual, es decir, el trabajo que se ha "degradado" en la transformación energética. Trataremos esta idea con más detalle en los capítulos sobre termodinámica. Resumen La energía se transfiere de un sistema a otro y se transforma o convierte de un tipo a otro. Algunos de los tipos básicos de energía son la cinética, la potencial, la térmica y la electromagnética. Las fuentes de energía renovables son aquellas que se reponen mediante procesos naturales continuos, a lo largo de escalas de tiempo humanas. Algunos ejemplos son la energía eólica, la hidráulica, la geotérmica y la solar. Las fuentes de energía no renovables son aquellas que se agotan por el consumo, en escalas de tiempo humanas. Los ejemplos son los combustibles fósiles y la energía nuclear. Ecuaciones clave Diferencia de energía potencial Δ U A B = U B - U A = - W A B Energía potencial con respecto a cero de energía potencial en r → 0 Δ U = U ( r → ) - U ( r → 0 ) Energía potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra U ( y ) = m g y + const . Energía potencial para un resorte ideal U ( x ) = 1 2 k x 2 + const . Trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada W trayectoria cerrada = ∫ F → cons · d r → = 0 Condición para la fuerza conservativa en dos dimensiones ( d F x d y ) = ( d F y d x ) La fuerza conservativa es la derivada negativa de la energía potencial F l = - d U d l Conservación de la energía sin fuerzas no conservativas 0 = W n c , A B = Δ ( K + U ) A B = Δ E A B . Problemas En la película de dibujos animados Pocahontas Pocahontas corre hacia el borde de un acantilado y salta, mostrando el lado divertido de su personalidad. (a) Si corre a 3,0 m/s antes de saltar por el acantilado y llega al agua en el fondo del acantilado a 20,0 m/s, ¿a qué altura está el acantilado? Supongamos que la resistencia del aire es despreciable en este dibujo animado. (b) Si saltara desde el mismo acantilado desde una posición de reposo, ¿qué tan rápido caería justo antes de llegar al agua? En el reality show de televisión "Amazing Race" , un concursante dispara sandías de 12 kg con una honda para alcanzar objetivos en el campo. La honda es halada hacia atrás 1,5 m y se considera que la sandía está a nivel del suelo. El punto de lanzamiento está a 0,3 m del suelo y los objetivos están a 10 m de distancia horizontal. Calcule la constante de resorte de la honda. 8.700 N/m En las películas de Regreso al Futuro , un auto DeLorean de 1.230 kg de masa viaja a 88 millas por hora para aventurarse de regreso al futuro. (a) ¿Cuál es la energía cinética del DeLorean? (b) ¿Qué constante de resorte sería necesaria para detener este DeLorean en una distancia de 0,1 m? En la película Los Juegos del Hambre , Katniss Everdeen dispara una flecha de 0,0200 kg desde el nivel del suelo para atravesar una manzana en un escenario. La constante de resorte del arco es de 330 N/m y ella hala la flecha hacia atrás una distancia de 0,55 m. La manzana en el escenario está 5,00 m más alta que el punto de lanzamiento de la flecha. ¿A qué rapidez la flecha (a) sale del arco? (b) golpea la manzana? a. 70,6 m/s; b. 69,9 m/s En un de "Top Fail" , dos mujeres corren con pelotas de ejercicio la una contra la otra y colisionan golpeando las pelotas. Si cada mujer tiene una masa de 50 kg, que incluye la pelota de ejercicios, y una mujer corre hacia la derecha a 2,0 m/s y la otra corre hacia ella a 1,0 m/s, (a) ¿cuánta energía cinética total hay en el sistema? (b) Si la energía se conserva después de la colisión y cada pelota de ejercicios tiene una masa de 2,0 kg, ¿qué tan rápido saldrían volando las pelotas hacia la cámara? En un clip de dibujos animados del Coyote / Correcaminos , un resorte se expande rápidamente y envía al coyote contra una roca. Si el resorte se extiende 5 m y envía al coyote de masa 20 kg a una rapidez de 15 m/s, (a) ¿cuál es la constante de resorte de este resorte? (b) Si el coyote fuera enviado verticalmente al aire con la energía que le da el resorte, ¿a qué altura podría llegar si no hubiera fuerzas no conservativas? a. 180 N/m; b. 11 m En una icónica escena del cine, Forrest Gump recorre el país corriendo. Si corre a una rapidez constante de 3 m/s, ¿le costaría más o menos energía correr cuesta arriba o cuesta abajo y por qué? En la película Monty Python y el Santo Grial una vaca es catapultada desde lo alto de la muralla de un castillo hacia la gente abajo. La energía potencial gravitacional se toma como cero a nivel del suelo. La vaca es lanzada desde un resorte con constante de resorte 1,1 × 10 4 N/m que se expande 0,5 m desde el equilibrio. Si el castillo tiene 9,1 m de altura y la masa de la vaca es de 110 kg, (a) ¿cuál es la energía potencial gravitacional de la vaca en la cima del castillo? (b) ¿cuál es la energía elástica de resorte de la vaca antes de que se suelte la catapulta? (c) ¿cuál es la rapidez de la vaca justo antes de que aterrice en el suelo? a. 9,8 × 10 3 J ; b. 1,4 × 10 3 J ; c. 14 m/s Un esquiador de 60,0 kg con una rapidez inicial de 12,0 m/s viaja hacia arriba por una subida de 2,50 m de altura, tal como se muestra. Halle su rapidez final en la cima, dado que el coeficiente de fricción entre sus esquís y la nieve es de 0,80. (a) ¿A qué altura de una colina puede subir un auto (con los motores desembragados) si el trabajo realizado por la fricción es insignificante y su rapidez inicial es de 110 km/h? (b) Si, en realidad, se observa que un auto de 750 kg con una rapidez inicial de 110 km/h sube por la colina hasta una altura de 22,0 m por encima de su punto de partida, ¿cuánta energía térmica se generó por la fricción? (c) ¿Cuál es la fuerza media de fricción si la colina tiene una pendiente de 2,5 ° sobre la horizontal? a. 47,6 m; b. 1,88 × 10 5 J ; c. 373 N Un tren de metro de 5,00 × 10 5 -kg se detiene desde una rapidez de 0,500 m/s en 0,400 m gracias a un gran parachoques de resorte situado al final de la vía. ¿Cuál es la constante de resorte k del resorte? Un palo saltarín tiene un resorte con una constante de resorte de 2,5 × 10 4 N/m, que se puede comprimir 12,0 cm. ¿A qué altura máxima del resorte sin comprimir puede saltar un niño sobre el palo utilizando solo la energía del resorte, si el niño y el palo tienen una masa total de 40 kg? 33,9 cm Un bloque de 500 g de masa está unido a un resorte de constante de resorte 80 N/m (vea la siguiente figura). El otro extremo del resorte está sujeto a un soporte mientras la masa descansa sobre una superficie áspera con un coeficiente de fricción de 0,20, que está inclinada con un ángulo de 30 ° . El bloque es empujado a lo largo de la superficie hasta que el resorte se comprime 10 cm y luego es liberado del reposo. (a) ¿Cuánta energía potencial estaba almacenada en el sistema bloque-resorte-soporte cuando el bloque acaba de ser liberado? (b) Determine la rapidez del bloque cuando cruza el punto en el que el resorte no está comprimido ni estirado. (c) Determine la posición del bloque cuando acaba de llegar al reposo en su camino hacia arriba de la pendiente. Un bloque de 200 g de masa se fija en el extremo de un resorte sin masa a la longitud de equilibrio de la constante de resorte 50 N/m. El otro extremo del resorte se sujeta al techo y la masa se suelta a una altura que se considera el punto donde la energía potencial gravitacional es cero. (a) ¿Cuál es la energía potencial neta del bloque en el instante en que el bloque está en el punto más bajo? (b) ¿Cuál es la energía potencial neta del bloque en el punto medio de su descenso? (c) ¿Cuál es la rapidez del bloque en el punto medio de su descenso? a. Cero, ya que la energía total del sistema es cero y la energía cinética en el punto más bajo es cero; b. -0,038 J; c. 0,62 m/s Un cañón de camisetas lanza una camiseta a 5,00 m/s desde una plataforma a 3,00 m de altura desde el nivel del suelo. ¿Qué tan rápido se desplazará la camiseta si es atrapada por alguien cuyas manos están a) a 1,00 m del nivel del suelo? b) a 4,00 m del nivel del suelo? Ignore el arrastre del aire. Un niño (32 kg) salta en un trampolín. El trampolín ejerce sobre el niño una fuerza restauradora de resorte con una constante de 5.000 N/m. En el punto más alto del rebote, el niño está a 1,0 m por encima de la superficie nivelada del trampolín. ¿Cuál es la distancia de compresión del trampolín? Ignore la flexión de las piernas o cualquier transferencia de energía del niño al trampolín mientras salta. 42 cm A continuación se muestra una caja de masa m 1 que descansa sobre una inclinación sin fricción en un ángulo sobre la horizontal de θ = 30 ° . Esta caja está conectada por una cuerda relativamente sin masa, sobre una polea sin fricción, y finalmente conectada a una caja en reposo sobre el borde, marcada como m 2 . Si m 1 y m 2 están a una altura h del suelo y m 2 >> m 1 : (a) ¿Cuál es la energía potencial gravitacional inicial del sistema? (b) ¿Cuál es la energía cinética final del sistema? Problemas adicionales Un resorte sin masa con fuerza constante k = 200 N/m cuelga del techo. Se fija un bloque de 2,0 kg en el extremo libre del resorte y se suelta. Si el bloque cae 17 cm antes de volver a subir, ¿cuánto trabajo realiza la fricción durante su descenso? -0,44 J Una partícula de masa 2,0 kg se mueve bajo la influencia de la fuerza F ( x ) = ( −5 x 2 + 7 x ) N . Supongamos que sobre la partícula actúa también una fuerza de fricción. Si la rapidez de la partícula cuando comienza en x = −4,0 m es de 0,0 m/s y cuando llega a x = 4,0 m es de 9,0 m/s, ¿cuánto trabajo realiza sobre ella la fuerza de fricción entre x = −4,0 m y x = 4,0 m? El bloque 2 mostrado abajo se desliza a lo largo de una mesa sin fricción mientras el bloque 1 cae. Ambos bloques están unidos por una polea sin fricción. Halle la rapidez de los bloques después de que cada uno se haya movido 2,0 m. Supongamos que empiezan en reposo y que la polea tiene una masa insignificante. Utilice m 1 = 2,0 kg y m 2 = 4,0 kg . 3,6 m/s Un cuerpo de masa m y tamaño despreciable parte del reposo y se desliza hacia abajo por la superficie sin fricción de una esfera sólida de radio R . (Vea más abajo). Demuestre que el cuerpo sale de la esfera cuando θ = cos −1 ( 2 / 3 ) . Una fuerza misteriosa actúa sobre todas las partículas a lo largo de una línea particular y siempre apunta hacia un punto particular P en la línea. La magnitud de la fuerza sobre una partícula aumenta como el cubo de la distancia a ese punto; es decir F ∞ r 3 , si la distancia de P a la posición de la partícula es r . Supongamos que b es la constante de proporcionalidad, y escriba la magnitud de la fuerza como F = b r 3 . Encuentre la energía potencial de una partícula sometida a esta fuerza cuando la partícula está a una distancia D de P , suponiendo que la energía potencial es cero cuando la partícula está en P . b D 4 / 4 Un objeto de 10 kg de masa se suelta en el punto A , se desliza hasta la parte inferior de una inclinación de 30 ° , luego colisiona con un resorte horizontal sin masa y lo comprime una distancia máxima de 0,75 m. (Vea más abajo). La constante de resorte es de 500 M/m, la altura de la pendiente es de 2,0 m y la superficie horizontal no tiene fricción. (a) ¿Cuál es la rapidez del objeto en la parte inferior de la pendiente? (b) ¿Cuál es el trabajo de fricción sobre el objeto mientras está en la pendiente? (c) El resorte retrocede y envía el objeto de vuelta hacia la pendiente. ¿Cuál es la rapidez del objeto cuando llega a la base de la pendiente? (d) ¿Qué distancia vertical recorre de vuelta hacia arriba de la pendiente? A continuación se muestra una pequeña bola de masa m unida a una cuerda de longitud a . Una pequeña clavija se sitúa a una distancia h por debajo del punto donde se apoya la cuerda. Si la bola se suelta cuando la cuerda está horizontal, demuestre que h debe ser mayor que 3 a /5 para que la bola gire completamente alrededor de la clavija. prueba Un bloque sale horizontalmente de una superficie inclinada sin fricción tras caer a una altura h . Halle la distancia horizontal D a la que caerá en el suelo, en términos de h , H y g . Un bloque de masa m , después de deslizarse por una pendiente sin fricción, golpea otro bloque de masa M que está unido a un resorte de constante de resorte k (vea más abajo). Los bloques se pegan al impactar y se desplazan juntos. (a) Encuentre la compresión del resorte en términos de m , M , h , g y k cuando la combinación llega al reposo. Sugerencia: La rapidez de los bloques combinados m + M ( v 2 ) se basa en la rapidez del bloque m justo antes de la colisión con el bloque M (v 1 ) según la ecuación v 2 = ( m / m ) + M ( v 1 ) . Esto se analizará más adelante, en el capítulo sobre Momento lineal y colisiones. (b) La pérdida de energía cinética como resultado de la unión de las dos masas al impactar se almacena en la llamada energía de enlace de las dos masas. Calcule la energía de enlace. a. 2 m 2 g h k ( m + M ) ; b. m M g h m + M Un bloque de 300 g de masa está unido a un resorte de constante de resorte de 100 N/m. El otro extremo del resorte está sujeto a un soporte mientras el bloque descansa sobre una mesa horizontal lisa y se desliza libremente sin ninguna fricción. El bloque se empuja horizontalmente hasta que el resorte se comprime 12 cm, y entonces el bloque se libera del reposo. (a) ¿Cuánta energía potencial estaba almacenada en el sistema de bloque-resorte-soporte cuando el bloque se acaba de liberar? (b) Determine la rapidez del bloque cuando cruza el punto en el que el resorte no está ni comprimido ni estirado. (c) Determine la rapidez del bloque cuando ha recorrido una distancia de 20 cm desde donde fue liberado. Consideremos un bloque de 0,200 kg de masa unido a un resorte de constante de resorte de 100 N/m. El bloque se coloca en una mesa sin fricción, y el otro extremo del resorte se fija a la pared de manera que el resorte quede nivelado con la mesa. A continuación, se empuja el bloque para que el resorte se comprima 10,0 cm. Halle la rapidez del bloque al cruzar (a) el punto cuando el resorte no está estirado, (b) 5,00 cm a la izquierda del punto en (a), y (c) 5,00 cm a la derecha del punto en (a). a. 2,24 m / s ; b. 1,94 m / s ; c. 1,94 m / s Un esquiador parte del reposo y se desliza cuesta abajo. ¿Cuál será la rapidez del esquiador si desciende a 20 metros de altura? Ignore la resistencia del aire (que, en realidad, será bastante) y la fricción entre los esquís y la nieve. Repita el problema anterior, pero esta vez suponga que el trabajo realizado por la resistencia del aire no puede ignorarse. Supongamos que el trabajo realizado por la resistencia del aire cuando el esquiador va de A a B por la trayectoria de la colina dada es de -2.000 J. El trabajo realizado por la resistencia del aire es negativo ya que la resistencia del aire actúa en sentido contrario al desplazamiento. Suponiendo que la masa del esquiador es de 50 kg, ¿cuál es la rapidez del esquiador en el punto B ? 18 m/s Dos cuerpos interactúan mediante una fuerza conservativa. Demuestre que la energía mecánica de un sistema aislado formado por dos cuerpos que interactúan con una fuerza conservativa se conserva. ( Pista : Comience con la tercera ley de Newton y la definición de trabajo para hallar el trabajo realizado en cada cuerpo por la fuerza conservativa). En un parque de atracciones, un vagón rueda en una pista como la que se muestra a continuación. Halle la rapidez del vagón en A , B y C . Observe que el trabajo realizado por la fricción de rodadura es cero, dado que el desplazamiento del punto en el que la fricción de rodadura actúa sobre los neumáticos está momentáneamente en reposo y, por lo tanto, tiene un desplazamiento cero. v A = 24 m/s; v B = 14 m/s; v C = 31 m/s Se ata una bola de acero de 200 g a una cuerda "sin masa" de 2,00 m y se cuelga del techo para hacer un péndulo, y luego, se lleva la bola a una posición que forme un ángulo de 30 ° en dirección vertical y es liberada del reposo. Ignorando los efectos de la resistencia del aire, halle la rapidez de la bola cuando la cuerda (a) está verticalmente hacia abajo, (b) forma un ángulo de 20 ° con la vertical y (c) forma un ángulo de 10 ° con la vertical. Se lanza un disco de hockey de 300 g a través de un estanque cubierto de hielo. Antes de golpearlo, el disco de hockey estaba en reposo. Después del golpe, el disco tiene una rapidez de 40 m/s. El disco se detiene después de recorrer una distancia de 30 m. (a) Describa cómo cambia la energía del disco con el tiempo; indique los valores numéricos de cualquier trabajo o energía involucrados. (b) Halle la magnitud de la fuerza de fricción neta. a. La pérdida de energía es 240 N · m ; b. F = 8 N Un proyectil de 2 kg de masa se dispara a una rapidez de 20 m/s en un ángulo de 30 ° con respecto a la horizontal. (a) Calcule la energía total inicial del proyectil, dado que el punto de referencia de la energía potencial gravitacional es cero en la posición de lanzamiento. (b) Calcule la energía cinética en la posición vertical más alta del proyectil. (c) Calcule la energía potencial gravitacional en la posición vertical más alta. (d) Calcule la altura máxima que alcanza el proyectil. Compare este resultado al resolver el mismo problema utilizando sus conocimientos sobre el movimiento de proyectil. Se dispara un proyectil de artillería contra un objetivo situado a 200 m del suelo. Cuando el proyectil está a 100 m en el aire, tiene una rapidez de 100 m/s. ¿Cuál es su rapidez cuando alcanza su objetivo? Ignore la fricción del aire. 89,7 m/s ¿Cuánta energía se pierde por una fuerza de arrastre disipativa si una persona de 60 kg cae a una rapidez constante durante 15 metros? Una caja se desliza sobre una superficie sin fricción con una energía total de 50 J. Choca con un resorte y lo comprime una distancia de 25 cm del equilibrio. Si la misma caja con la misma energía inicial se desliza sobre una superficie áspera, solo comprime el resorte una distancia de 15 cm, ¿cuánta energía habrá perdido al deslizarse sobre la superficie áspera? 32 J no renovable fuente de energía que no es renovable, sino que se agota con el consumo humano renovable fuente de energía que se repone mediante procesos naturales, en escalas de tiempo de la humanidad

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Introducción Los conceptos de impulso, momento y centro de masa son cruciales para que un jugador de béisbol de las grandes ligas consiga batear. Si juzga mal estas cantidades, podría romper el bate (créditos: modificación de la obra de "Cathy T"/Flickr). Los conceptos de trabajo, energía y el teorema de trabajo-energía son valiosos por dos razones principales. En primer lugar, son potentes herramientas computacionales que facilitan el análisis de sistemas físicos complejos más allá de las leyes de Newton (por ejemplo, sistemas con fuerzas no constantes) y, en segundo lugar, la observación de que la energía total de un sistema cerrado se conserva significa que el sistema solo puede evolucionar de forma coherente con la conservación de energía. En otras palabras, un sistema no puede evolucionar al azar, sino que cambia únicamente en formas que conserven la energía. En este capítulo, desarrollamos y definimos otra cantidad conservada, denominada momento lineal , y otra relación (el teorema del momento-impulso ), que pondrá una restricción adicional sobre cómo evoluciona un sistema en el tiempo. La conservación del momento sirve para entender las colisiones, como la que se muestra en la imagen anterior. Es tan potente, tan importante y tan útil como la conservación de la energía y el teorema de trabajo-energía.

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Momento lineal Nuestro estudio de la energía cinética mostró que la comprensión completa del movimiento de un objeto debe incluir tanto su masa como su velocidad ( K = ( 1 / 2 ) m v 2 ). Sin embargo, por muy potente que sea este concepto, no incluye ninguna información sobre la dirección del vector de velocidad del objeto en movimiento. Ahora definiremos una cantidad física que incluye la dirección. Al igual que la energía cinética, esta cantidad incluye tanto la masa como la velocidad; al igual que la energía cinética, es una forma de caracterizar la "cantidad de movimiento" de un objeto. Se le da el nombre de momento (de la palabra latina movimentum , que significa "movimiento"), y se representa con el símbolo p . Momento El momento p de un objeto es el producto de su masa por su velocidad: p → = m v → . Los vectores de velocidad y momento del balón están en la misma dirección. La masa del balón es de unos 0,5 kg, por lo que el vector de momento es aproximadamente la mitad de la longitud del vector de velocidad, ya que el momento es velocidad por masa (créditos: modificación del trabajo de Ben Sutherland). Como se muestra en la , el momento es una cantidad vectorial (ya que la velocidad lo es). Este es uno de los aspectos que hace que el momento sea útil y no una duplicación de la energía cinética. Quizá sea más útil para determinar si el movimiento de un objeto es difícil de cambiar ( ) o fácil de cambiar ( ). Este supertanquero transporta una enorme masa de petróleo; en consecuencia, se necesita mucho tiempo para que una fuerza cambie su velocidad (comparativamente pequeña) (créditos: modificación de la obra de "the_tahoe_guy"/Flickr). Las moléculas de gas pueden tener velocidades muy grandes, pero estas velocidades cambian casi instantáneamente cuando colisionan con las paredes del recipiente o entre sí. Esto se debe principalmente a que sus masas son muy pequeñas. A diferencia de la energía cinética, el momento depende por igual de la masa y la velocidad de un objeto. Por ejemplo, como aprenderá cuando estudie termodinámica, la rapidez media de una molécula de aire a temperatura ambiente es de aproximadamente 500 m/s, con una masa molecular media de 6 × 10 −25 kg ; por lo tanto, su momento es p molécula = ( 6 × 10 −25 kg ) ( 500 m s ) = 3 × 10 −22 kg · m s . A modo de comparación, un automóvil típico puede tener una rapidez de solo 15 m/s, pero una masa de 1.400 kg, lo que le da un momento de p auto = ( 1.400 kg ) ( 15 m s ) = 21.000 kg · m s . Estos momentos son diferentes en 27 órdenes de magnitud, ¡o un factor de mil millones de mil millones de mil millones! Resumen El movimiento de un objeto depende tanto de su masa como de su velocidad. El momento es un concepto que describe esto. Es un concepto útil y poderoso, tanto desde el punto de vista computacional como teórico. La unidad del SI para el momento es el kg · m/s. Preguntas conceptuales Un objeto que tiene una masa pequeña y un objeto que tiene una masa grande tienen el mismo momento. ¿Qué objeto tiene la mayor energía cinética? Dado que K = p 2 / 2 m , entonces, si el momento es fijo, el objeto con menor masa tiene más energía cinética. Un objeto con una masa pequeña y otro objeto con una masa grande tienen la misma energía cinética. ¿Qué masa tiene el mayor momento? Problemas Un elefante y un cazador tienen un enfrentamiento. Calcule el momento del elefante de 2.000,0 kg que embiste al cazador a una velocidad de 7,50 m/s. Calcule la relación entre el momento del elefante y el momento de un dardo tranquilizante de 0,0400 kg disparado a una velocidad de 600 m/s. ¿Cuál es el momento del cazador de 90,0 kg que corre a 7,40 m/s después de perder al elefante? Una patinadora de 40 kg de masa lleva una caja de 5 kg de masa. La patinadora tiene una velocidad de 5 m/s con respecto al suelo y se desliza sin ningún tipo de fricción sobre una superficie lisa. Halle el momento de la caja con respecto al suelo. Halle el momento de la caja con respecto al suelo después de que ella pone la caja en la superficie sin fricción de patinaje. a. magnitud: 25 kg · m/s; b. igual que a. Un auto de 2.000 kg de masa circula a una velocidad constante de 10 m/s hacia el este. ¿Cuál es el momento del auto? La masa de la Tierra es 5,97 × 10 24 kg y su radio orbital es un promedio de 1,50 × 10 11 m . Calcule la magnitud de su momento lineal en el lugar del diagrama. 1,78 × 10 29 kg · m/s Si una tormenta deja caer 1 cm de lluvia sobre un área de 10 km 2 en el periodo de 1 hora, ¿cuál es el momento de la lluvia que cae en un segundo? Supongamos que la velocidad límite de una gota de lluvia es de 10 m/s. ¿Cuál es el momento medio de una avalancha que desplaza una capa de nieve de 40 cm de espesor en un área de 100 m por 500 m sobre una distancia de 1 km por una colina en 5,5 s? Suponga una densidad de 350 kg/m 3 para la nieve. 1,3 × 10 9 kg · m/s ¿Cuál es el momento medio de un velocista de 70,0 kg que corre la carrera de 100 m en 9,65 s? momento medida de la cantidad de movimiento que tiene un objeto; toma en cuenta tanto la velocidad del objeto como su masa; concretamente, es el producto de la masa por la velocidad; es una cantidad vectorial

Ciencia


Impulso y colisiones Hemos definido el momento como el producto de la masa y la velocidad. Por lo tanto, si la velocidad de un objeto cambia (debido a la aplicación de una fuerza sobre el objeto), entonces necesariamente, su momento también cambia. Esto indica una conexión entre el momento y la fuerza. El propósito de esta sección es explorar y describir esa conexión. Supongamos que aplica una fuerza a un objeto libre durante cierto tiempo. Evidentemente, cuanto mayor sea la fuerza, mayor será el cambio de momento del objeto. Alternativamente, cuanto más tiempo se aplique esta fuerza, también será mayor el cambio de momento, como se representa en la . Por lo tanto, la cantidad en la que cambia el movimiento del objeto es proporcional a la magnitud de la fuerza, y también al intervalo de tiempo en el que se aplica la fuerza. El cambio de momento de un objeto es proporcional a la duración de la fuerza aplicada. Si se ejerce una fuerza sobre el balón más bajo durante el doble de tiempo que sobre el balón de arriba, entonces el cambio en el momento del balón más bajo es el doble que el del balón de arriba. Matemáticamente, si una cantidad es proporcional a dos (o más) cosas, entonces es proporcional al producto de esas cosas. El producto de una fuerza por un intervalo de tiempo (sobre el que actúa esa fuerza) se llama impulso , y recibe el símbolo J → . Impulso Supongamos que F → ( t ) sea la fuerza aplicada a un objeto en un intervalo de tiempo diferencial dt ( ). El impulso resultante sobre el objeto se define como d J → ≡ F → ( t ) d t . La fuerza que aplicada la raqueta a una pelota de tenis durante un intervalo de tiempo genera un impulso que actúa sobre la pelota. El impulso total en el intervalo t f - t i es J → = ∫ t i t f d J → o J → ≡ ∫ t i t f F → ( t ) d t . La y la señalan conjuntamente que, cuando una fuerza se aplica durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt , provoca un impulso infinitesimal d J → , y el impulso total dado al objeto se define como la suma (integral) de todos estos impulsos infinitesimales. Para calcular el impulso mediante la , necesitamos conocer la función de la fuerza F ( t ), que a menudo no conocemos. Sin embargo, el resultado del cálculo es útil aquí: Recordemos que el valor medio de una función a lo largo de un intervalo se calcula mediante f ( x ) ave = 1 Δ x ∫ x i x f f ( x ) d x donde Δ x = x f - x i . Aplicando esto a la función de fuerza dependiente del tiempo, obtenemos F → ave = 1 Δ t ∫ t i t f F → ( t ) d t . Por lo tanto, a partir de la , J → = F → ave Δ t . La idea es que puede calcular el impulso sobre el objeto, aunque no conozca los detalles de la fuerza en función del tiempo; solo necesita la fuerza media. De hecho, el proceso suele ser inverso: Se determina el impulso (por medición o cálculo) y luego se calcula la fuerza media que ha causado ese impulso. Para calcular el impulso, se obtiene un resultado útil al escribir la fuerza en la como F → ( t ) = m a → ( t ) : J → = ∫ t i t f F → ( t ) d t = m ∫ t i t f a → ( t ) d t = m [ v → ( t f ) - v → i ] . Para una fuerza constante F → ave = F → = m a → , esto se simplifica a J → = m a → Δ t = m v → f - m v → i = m ( v → f - v → i ) . Esto es, J → = m Δ v → . Observe que la forma integral, la , se aplica también a las fuerzas constantes; en ese caso, dado que la fuerza es independiente del tiempo, sale de la integral, que puede entonces evaluarse trivialmente. El cráter del meteorito de Arizona Hace aproximadamente 50.000 años, un meteorito de hierro y níquel de gran tamaño (radio de 25 m) colisionó con la Tierra a una rapidez estimada de 1,28 × 10 4 m/s en lo que hoy es el desierto del norte de Arizona, en los Estados Unidos. El impacto produjo un cráter que todavía es visible hoy en día ( ); tiene aproximadamente 1.200 m de diámetro (tres cuartos de milla), 170 m de profundidad y un borde que se eleva 45 m por encima de la llanura desértica circundante. Los meteoritos de hierro-níquel suelen tener una densidad de ρ = 7.970 kg/m 3 . Utilice las consideraciones de impulso para estimar la fuerza media y la fuerza máxima que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto. El cráter del meteorito de Arizona en Flagstaff, Arizona (a menudo denominado cráter Barringer en honor a la persona que sugirió por primera vez su origen y cuya familia es propietaria del terreno) (créditos: modificación de la obra de "Shane.torgerson"/Wikimedia Commons). Estrategia Es conceptualmente más fácil invertir la pregunta y calcular la fuerza que la Tierra aplicó al meteorito para detenerlo. Por lo tanto, calcularemos la fuerza sobre el meteorito y luego usaremos la tercera ley de Newton para argumentar que la fuerza del meteorito sobre la Tierra fue igual en magnitud y opuesta en dirección. Utilizando los datos dados sobre el meteorito, y haciendo conjeturas razonables sobre la forma del meteorito y el tiempo de impacto, calculamos primero el impulso utilizando la . A continuación, utilizamos la relación entre la fuerza y el impulso en la para estimar la fuerza media durante el impacto. Luego, elegimos una función razonable de fuerza para el evento de impacto, calculamos el valor medio de esa función con la y establecemos la expresión resultante igual a la fuerza media calculada. Esto nos permite resolver la fuerza máxima. Solución Defina hacia arriba como la dirección de la + y . Para simplificar, supongamos que el meteorito se desplaza verticalmente hacia abajo antes del impacto. En ese caso, su velocidad inicial es v → i = - v i j ^ , y la fuerza que la Tierra ejerce sobre el meteorito apunta hacia arriba, F → ( t ) = + F ( t ) j ^ . La situación en t = 0 se muestra a continuación. La fuerza media durante el impacto se relaciona con el impulso mediante F → ave = J → Δ t . A partir de la , J → = m Δ v → , por lo que tenemos F → ave = m Δ v → Δ t . La masa es igual al producto de la densidad del meteorito por su volumen: m = ρ V . Si suponemos (conjeturamos) que el meteorito era aproximadamente esférico, tenemos V = 4 3 π R 3 . Así, obtenemos F → ave = ρ V Δ v → Δ t = ρ ( 4 3 π R 3 ) ( v → f - v → i ) Δ t . El problema establece que la velocidad en el impacto fue −1,28 × 10 4 m/s j ^ (la velocidad final es cero); además, suponemos que el impacto primario duró aproximadamente t máx = 2 s . Sustituyendo estos valores obtenemos F → ave = ( 7.970 kg m 3 ) [ 4 3 π ( 25 m ) 3 ] [ 0 m s - ( −1,28 × 10 4 m s j ^ ) ] 2 s = + ( 3,33 × 10 12 N ) j ^ . Es la fuerza media aplicada durante la colisión. Observe que este vector de fuerza apunta en la misma dirección que el cambio del vector velocidad Δ v → . A continuación, calculamos la fuerza máxima. El impulso se relaciona con la función de fuerza mediante J → = ∫ t i t máx F → ( t ) d t . Tenemos que hacer una elección razonable de la fuerza en función del tiempo. Definimos t = 0 como el momento en que el meteorito toca el suelo por primera vez. Entonces suponemos que la fuerza es máxima en el impacto y cae rápidamente a cero. La función que hace esto es F ( t ) = F máx e - t 2 / ( 2 τ 2 ) . (El parámetro τ representa la rapidez con que la fuerza disminuye hasta llegar a cero). La fuerza media es F ave = 1 Δ t ∫ 0 t máx F máx e - t 2 / ( 2 τ 2 ) d t donde Δ t = t máx - 0 s . Como ya tenemos un valor numérico para F ave , podemos utilizar el resultado de la integral para obtener F máx . Eligiendo τ = 1 e t máx (esta es una opción común, como se verá en capítulos posteriores), y conjeturando que t máx = 2 s , esta integral se evalúa como F avg = 0,458 F máx . Así, la fuerza máxima tiene una magnitud de 0,458 F máx = 3,33 × 10 12 N F máx = 7,27 × 10 12 N . La función completa de fuerza, incluida la dirección, es F → ( t ) = ( 7,27 × 10 12 N ) e - t 2 / ( 8 s 2 ) j ^ . Esta es la fuerza que la Tierra aplicó al meteorito; por la tercera ley de Newton, la fuerza que el meteorito aplicó a la Tierra es F → ( t ) = - ( 7,27 × 10 12 N ) e - t 2 / ( 8 s 2 ) j ^ que es la respuesta a la pregunta original. Importancia El gráfico de esta función contiene información importante. Grafiquemos (la magnitud de) esta función y la fuerza media juntas ( ). Gráfico de la fuerza media (en rojo) y de la fuerza como función del tiempo (en azul) del impacto del meteorito. Las áreas bajo las curvas son iguales entre sí, y son numéricamente iguales al impulso aplicado. Observe que se ha rellenado el área bajo cada gráfico. Para el gráfico de la fuerza (constante) F ave , el área es un rectángulo, correspondiente a F ave Δ t = J . En cuanto al gráfico de F ( t ), recordemos del cálculo que el área bajo el gráfico de una función es numéricamente igual a la integral de esa función, sobre el intervalo especificado; así que aquí, esto es ∫ 0 t máx F ( t ) d t = J . Así, las áreas son iguales, y ambas representan el impulso que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto de dos segundos. La fuerza media sobre la Tierra parece una fuerza enorme, y lo es. Sin embargo, la Tierra apenas lo notó. La aceleración que obtuvo la Tierra fue solo a → = - F → ave M Tierra = - ( 3,33 × 10 12 N ) j ^ 5,97 × 10 24 kg = - ( 5,6 × 10 −13 m s 2 ) j ^ que es completamente inconmensurable. Eso sí, el impacto creó ondas sísmicas que hoy en día podrían detectar los modernos equipos de vigilancia. Los beneficios del impulso Un auto que viaja a 27 m/s colisiona con un edificio. La colisión con el edificio hace que el auto se detenga en aproximadamente 1 segundo. El conductor, que pesa 860 N, está protegido por una combinación de cinturón de seguridad de tensión variable y una bolsa de aire ( ). (En efecto, el conductor colisiona con el cinturón de seguridad y la bolsa de aire y no con el edificio). La bolsa de aire y el cinturón de seguridad disminuyen su velocidad, de manera que se detiene en aproximadamente 2,5 s. ¿Qué fuerza media experimenta el conductor durante la colisión? Sin el cinturón de seguridad y la bolsa de aire, el tiempo de colisión (con el volante) habría sido de aproximadamente 0,20 s. ¿Qué fuerza experimentaría en este caso? El movimiento del auto y de su conductor en el instante anterior y en el instante posterior a la colisión con el muro. El conductor sujetado experimenta una gran fuerza hacia atrás por el cinturón de seguridad y la bolsa de aire, lo que hace que su velocidad disminuya hasta cero. (La fuerza hacia delante del respaldo del asiento es mucho menor que la fuerza hacia atrás, por lo que la ignoramos en la solución). Estrategia Se nos da el peso del conductor, sus velocidades inicial y final, y el tiempo de la colisión; se nos pide que calculemos una fuerza. El impulso parece la forma correcta de abordar esto; podemos combinar la y la . Solución Defina la dirección de la x + como la dirección en la que se desplaza inicialmente el auto. Sabemos que J → = F → Δ t y J → = m Δ v → . Dado que J es igual a ambas cosas, deben ser iguales entre sí: F → Δ t = m Δ v → . Tenemos que convertir este peso en la masa equivalente, expresada en unidades del SI: 860 N 9,8 m/s 2 = 87,8 kg . Recordando que Δ v → = v → f - v → i , y observando que la velocidad final es cero, resolvemos la fuerza: F → = m 0 - v i i ^ Δ t = ( 87,8 kg ) ( - ( 27 m / s ) i ^ 2,5 s ) = - ( 948 N ) i ^ . El signo negativo implica que la fuerza lo frena. Para tener una perspectiva, esto es aproximadamente 1,1 veces su propio peso. El mismo cálculo, solo que el intervalo de tiempo es diferente: F → = ( 87,8 kg ) ( - ( 27 m / s ) i ^ 0,20 s ) = - ( 11.853 N ) i ^ que es aproximadamente 14 veces su propio peso. ¡Gran diferencia! Importancia Como ve, el valor de la bolsa de aire es la medida en que reduce la fuerza sobre los ocupantes del vehículo. Por tal motivo, se exigen en todos los vehículos de pasajeros en los Estados Unidos desde 1991, y son habituales en toda Europa y Asia desde mediados de la década de los años 90 del siglo XX. El cambio del momento en un choque es el mismo, con o sin bolsa de aire; la fuerza, sin embargo, es muy diferente. Efecto del impulso Dado que el impulso es una fuerza que actúa durante cierto tiempo, hace que el movimiento de un objeto cambie. Recuerde la : J → = m Δ v → . Dado que m v → es el momento de un sistema, m Δ v → es el cambio del momento Δ p → . Esto nos da la siguiente relación, que recibe el nombre de teorema del momento-impulso (o relación). Teorema del momento-impulso El impulso aplicado a un sistema cambia el momento del sistema, y ese cambio de momento es exactamente igual al impulso que se aplicó: J → = Δ p → . El teorema del momento-impulso se representa gráficamente en la . Ilustración del teorema del momento-impulso. (a) Un balón con velocidad inicial v → 0 y momento p → 0 recibe un impulso J → . (b) Este impulso se añade vectorialmente al momento inicial. (c) Por lo tanto, el impulso es igual al cambio de momento, J → = Δ p → . (d) Tras el impulso, el balón se desplaza con su nuevo momento p → f . Hay dos conceptos cruciales en el teorema del momento-impulso: El impulso es una cantidad vectorial; un impulso de, por ejemplo, - ( 10 N · s ) i ^ es muy diferente a un impulso de + ( 10 N · s ) i ^ ; provocan cambios de momento completamente opuestos. Un impulso no provoca momento, sino que provoca un cambio en el momento de un objeto. Así, hay que restar el momento final del momento inicial y, dado que el momento es también una cantidad vectorial, hay que tener muy en cuenta los signos de los vectores del momento. Las preguntas más frecuentes en relación con el impulso son para calcular la fuerza aplicada, o el cambio de velocidad que se produce como resultado de la aplicación de un impulso. El enfoque general es el mismo. Teorema del momento-impulso Exprese el impulso como la fuerza por el intervalo de tiempo correspondiente. Exprese el impulso como el cambio de momento, normalmente m Δ v . Iguale esto y resuelva la cantidad deseada. Mover la nave Enterprise La nave ficticia Enterprise de las aventuras de "Viaje a las estrellas" funcionaba con los llamados "motores de impulso", que combinaban materia con antimateria para generar energía. Cuando el capitán Picard ordena: "Sácanos; adelante un cuarto de impulso", la nave Enterprise ( ) arranca desde el reposo hasta una rapidez final de v f = 1 / 4 ( 3,0 × 10 8 m/s ) . Suponiendo que esta maniobra se complete en 60 s, ¿qué fuerza media aplicaron los motores de impulso a la nave? Estrategia Se nos pide una fuerza; conocemos las rapideces inicial y final (y, por tanto, el cambio de rapidez), y conocemos el intervalo en el que ha ocurrido todo esto. En concreto, sabemos el tiempo que actuó la fuerza. Esto sugiere utilizar la relación momento-impulso. Sin embargo, para esto, necesitamos la masa de la nave Enterprise . Una búsqueda en Internet da una mejor estimación de la masa de la nave Enterprise (en la película de 2009) como 2 × 10 9 kg . Solución Dado que este problema implica solo una dirección (es decir, la dirección de la fuerza aplicada por los motores), solo necesitamos la forma escalar del teorema del momento-impulso de la , que es Δ p = J con Δ p = m Δ v y J = F Δ t . Al igualar estas expresiones obtenemos F Δ t = m Δ v . Si se resuelve para la magnitud de la fuerza y se insertan los valores dados, se obtiene F = m Δ v Δ t = ( 2 × 10 9 kg ) ( 7,5 × 10 7 m/s ) 60 s = 2,5 × 10 15 N . Importancia Esta es una fuerza inimaginablemente enorme. No hace falta decir que una fuerza semejante mataría al instante a todos los que están a bordo, además de destruir todos los equipos. Afortunadamente, la nave Enterprise tiene "amortiguadores de inercia". Se deja a la imaginación del lector determinar cómo funcionan. La Fuerza Aérea de los EE. UU. utiliza "10 g " (una aceleración igual a 10 × 9,8 m/s 2 ) como la aceleración máxima que puede soportar un ser humano (pero solo durante varios segundos) y sobrevivir. ¿Cuánto tiempo debe pasar la nave Enterprise acelerando si los seres humanos a bordo deben experimentar una media de 10 g de aceleración como máximo? (Supongamos que los amortiguadores de inercia están desconectados). Para alcanzar una rapidez final de v f = 1 4 ( 3,0 × 10 8 m/s ) a una aceleración de 10 g , el tiempo requerido es 10 g = v f Δ t Δ t = v f 10 g 1 4 ( 3,0 × 10 8 m/s ) 10 g = 7,7 × 10 5 s = 8,9 d La caída del iPhone Apple lanzó su iPhone 6 Plus en noviembre de 2014. Según muchos informes, en un principio iba a tener una pantalla de zafiro, pero se cambió en el último momento por una de cristal endurecido. Según se informa, esto se debió a que la pantalla de zafiro se agrietó cuando el teléfono se cayó. ¿Qué fuerza sufrió el iPhone 6 Plus como resultado de la caída? Estrategia La fuerza que experimenta el teléfono se debe al impulso que le aplica el suelo al colisionar con este. Nuestra estrategia entonces es utilizar la relación momento-impulso. Calculamos el impulso, estimamos el tiempo de impacto y lo utilizamos para calcular la fuerza. Tenemos que hacer un par de estimaciones razonables, así como encontrar datos técnicos sobre el propio teléfono. En primer lugar, supongamos que el teléfono se deja caer desde la altura del pecho en una persona de estatura media. En segundo lugar, supongamos que se deja caer desde el reposo, es decir, con una velocidad vertical inicial de cero. Por último, supongamos que el teléfono rebota muy poco y que la altura del rebote es despreciable. Solución Defina hacia arriba como la dirección de la + y . La altura típica es de aproximadamente h = 1,5 m y, como se ha señalado, v → i = ( 0 m/s ) i ^ . La fuerza media sobre el teléfono se relaciona con el impulso que el suelo aplica sobre este durante la colisión: F → ave = J → Δ t . El impulso J → es igual al cambio de momento, J → = Δ p → entonces F → ave = Δ p → Δ t . Luego, el cambio de momento es Δ p → = m Δ v → . Hay que tener cuidado con las velocidades aquí; se trata del cambio de velocidad debido a la colisión con el suelo. Sin embargo, el teléfono también tiene una velocidad de caída inicial [ v → i = ( 0 m/s ) j ^ ], por lo que marcamos nuestras velocidades. Supongamos que: v → i = la velocidad inicial con la que se dejó caer el teléfono (cero, en este ejemplo) v → 1 = la velocidad que tuvo el teléfono en el instante justo antes de golpear el suelo v → 2 = la velocidad final del teléfono al chocar contra el suelo La muestra las velocidades en cada uno de estos puntos de la trayectoria del teléfono. (a) La velocidad inicial del teléfono es cero, justo después de que la persona lo deja caer. (b) Justo antes de que el teléfono golpee el suelo, su velocidad es v → 1 , que por el momento se desconoce, salvo por su dirección, que es descendente ( - j ^ ) . (c) Después de rebotar en el suelo, el teléfono tiene una velocidad v → 2 , que también se desconoce, salvo por su dirección, que es ascendente ( + j ^ ) . Con estas definiciones, el cambio de momento del teléfono durante la colisión contra el suelo es m Δ v → = m ( v → 2 - v → 1 ) . Dado que suponemos que el teléfono no rebota en absoluto cuando golpea el suelo (o al menos, la altura de rebote es despreciable), entonces v → 2 es cero, por lo que m Δ v → = m [ 0 - ( - v 1 j ^ ) ] m Δ v → = + m v 1 j ^ . Podemos obtener la velocidad del teléfono justo antes de que toque el suelo mediante el empleo de la cinemática o la conservación de la energía. Utilizaremos aquí la conservación de la energía; debe rehacer esta parte del problema mediante el empleo de la cinemática y demostrar que obtiene la misma respuesta. En primer lugar, defina el cero de la energía potencial como la posición en el suelo. Entonces, la conservación de la energía nos da: E i = E 1 K i + U i = K 1 + U 1 1 2 m v i 2 + m g h caída = 1 2 m v 1 2 + m g h suelo . Definiendo la h suelo = 0 y utilizando la v → i = ( 0 m/s ) j ^ nos da 1 2 m v 1 2 = m g h caída v 1 = ± 2 g h caída . Dado que v 1 es una magnitud vectorial, deberá ser positiva. Así, m Δ v = m v 1 = m 2 g h caída . Insertando este resultado en la expresión de la fuerza se obtiene F → = Δ p → Δ t = m Δ v → Δ t = + m v 1 j ^ Δ t = m 2 g h Δ t j ^ . Por último, tenemos que estimar el tiempo de colisión. La forma habitual de estimar el tiempo de colisión es calcular cuánto tardaría el objeto en recorrer su propia longitud. El teléfono se mueve a 5,4 m/s justo antes de golpear el suelo, y tiene una longitud de 0,14 m, lo que da un tiempo de colisión estimado de 0,026 s. Insertando los números dados, obtenemos F → = ( 0,172 kg ) 2 ( 9,8 m/s 2 ) ( 1,5 m ) 0,026 s j ^ = ( 36 N ) j ^ . Importancia El propio iPhone pesa apenas ( 0,172 kg ) ( 9,81 m/s 2 ) = 1,68 N ; la fuerza que le aplica el suelo es, por lo tanto, más de 20 veces su peso. ¿Y si hubiéramos asumido que el teléfono sí rebotó en el impacto? ¿Habría aumentado la fuerza sobre el iPhone, la habría disminuido o no habría ninguna diferencia? Si el teléfono rebota hacia arriba aproximadamente a la misma rapidez inicial que su rapidez de impacto, el cambio de momento del teléfono será Δ p → = m Δ v → - ( - m Δ v → ) = 2 m Δ v → . Esto supone el doble de cambio de momento que cuando el teléfono no rebota, por lo que el teorema del momento-impulso nos indica que hay que aplicar más fuerza al teléfono. Momento y fuerza En el , obtuvimos una relación importante: F → ave = Δ p → Δ t . En palabras, la fuerza media aplicada a un objeto es igual al cambio de momento que provoca la fuerza, dividido entre el intervalo en el que se produce este cambio de momento. Esta relación es muy útil en situaciones en las que el tiempo de colisión Δ t es pequeño, pero medible; los valores típicos serían 1/10ma de segundo, o incluso una milésima de segundo. Los accidentes de auto, el lanzamiento de un balón de fútbol o las colisiones de partículas subatómicas cumplirían este criterio. Para un momento que cambia continuamente , debido a una fuerza que cambia continuamente, esto se convierte en una poderosa herramienta conceptual. En el límite Δ t → d t , la se convierte en F → = d p → d t . Esto indica que la tasa de cambio del momento del sistema (lo que implica que el momento es una función del tiempo) es exactamente igual a la fuerza neta aplicada (también, en general, una función del tiempo). Se trata, de hecho, de la segunda ley de Newton, escrita en términos de momento y no de aceleración. Esta es la relación que el propio Newton presentó en su Principia Mathematica (aunque la denominó "cantidad de movimiento" en lugar de "momento"). Si la masa del sistema permanece constante, la se reduce a la forma más familiar de la segunda ley de Newton. Podemos ver esto al sustituir la definición de momento: F → = d ( m v → ) d t = m d v → d t = m a → . La suposición de masa constante nos permitió sacar m de la derivada. Si la masa no es constante, no podemos utilizar esta forma de la segunda ley, sino que debemos partir de la . Así, una de las ventajas de expresar la fuerza en términos de cambio de momento es que permite cambiar la masa del sistema, así como la velocidad. Este es un concepto que exploraremos cuando estudiemos el movimiento de los cohetes. Segunda ley del movimiento de Newton en términos de momento La fuerza externa neta sobre un sistema es igual a la tasa de cambio del momento de ese sistema causada por la fuerza: F → = d p → d t . Aunque la permite cambiar la masa, como veremos en Propulsión de cohetes , la relación entre momento y fuerza sigue siendo útil cuando la masa del sistema es constante, como en el siguiente ejemplo. Calcular la fuerza: el saque de tenis de Venus Williams Durante el Abierto de Francia de 2007, Venus Williams realizó el saque más rápido registrado en un partido de la máxima categoría femenina, alcanzando una rapidez de 58 m/s (209 km/h). ¿Cuál es la fuerza media ejercida sobre la pelota de tenis de 0,057 kg por la raqueta de Venus Williams? Supongamos que la rapidez de la pelota justo después del impacto es de 58 m/s, como se muestra en la , que el componente horizontal inicial de la velocidad antes del impacto es despreciable, y que la pelota permaneció en contacto con la raqueta durante 5,0 ms. La velocidad final de la pelota de tenis es v → f = ( 58 m/s ) i ^ . Estrategia Este problema implica solo una dimensión, porque la pelota parte de no tener ningún componente de velocidad horizontal antes del impacto. La segunda ley de Newton expresada en términos de momento se escribe entonces como F → = d p → d t . Como se ha señalado anteriormente, cuando la masa es constante, el cambio de momento viene dado por Δ p = m Δ v = m ( v f - v i ) donde hemos utilizado escalares porque este problema implica solo una dimensión. En este ejemplo, se da la velocidad justo después del impacto y el intervalo de tiempo; así, una vez que Δ p se calcula, podemos utilizar F = Δ p Δ t para encontrar la fuerza. Solución Para determinar el cambio de momento, inserte los valores de las velocidades inicial y final en la ecuación anterior: Δ p = m ( v f - v i ) = ( 0,057 kg ) ( 58 m/s - 0 m/s ) = 3,3 kg · m s . Ahora se puede determinar la magnitud de la fuerza externa neta al utilizar F = Δ p Δ t = 3,3 kg · m s 5,0 × 10 −3 s = 6,6 × 10 2 N. donde hemos conservado únicamente dos cifras significativas en el último paso. Importancia Esta cantidad fue la fuerza media ejercida por la raqueta de Venus Williams sobre la pelota de tenis durante su breve impacto (observe que la pelota también experimentó la fuerza de gravedad de 0,57 N, pero esa fuerza no se debió a la raqueta). Este problema también podría resolverse al hallar primero la aceleración y luego utilizar F = m a , pero se requeriría un paso adicional en comparación con la estrategia utilizada en este ejemplo. Resumen Cuando se aplica una fuerza sobre un objeto durante cierto tiempo, el objeto experimenta un impulso. Este impulso es igual al cambio de momento del objeto. La segunda ley de Newton en términos de momento establece que la fuerza neta aplicada a un sistema es igual a la tasa de cambio del momento que la fuerza provoca. Preguntas conceptuales ¿Es posible que una fuerza pequeña produzca un impulso mayor sobre un objeto dado que una fuerza grande? Explique. Sí; el impulso es la fuerza aplicada multiplicada por el tiempo durante el cual se aplica ( J = F Δ t ), por lo que, si una fuerza pequeña actúa durante mucho tiempo, puede dar lugar a un impulso mayor que una fuerza grande que actúe durante poco tiempo. ¿Por qué es mucho más peligrosa una caída de 10 metros sobre hormigón que una caída de 10 metros sobre agua? ¿Qué fuerza externa es responsable de cambiar el momento de un auto que circula por una carretera horizontal? Mediante la fricción, la carretera ejerce una fuerza horizontal sobre los neumáticos, lo que modifica el momento del auto. Un trozo de masilla y una pelota de tenis con la misma masa se lanzan contra una pared a la misma velocidad. ¿Qué objeto experimenta una mayor fuerza de la pared o las fuerzas son iguales? Explique. Problemas Una persona de 75,0 kg va en un auto que circula a 20,0 m/s cuando el auto choca con un pilar de un puente (vea la siguiente figura). Calcule la fuerza media sobre la persona si la detiene un tablero acolchado que comprime una media de 1,00 cm. Calcule la fuerza media sobre la persona si la detiene una bolsa de aire que comprime una media de 15,0 cm. a. 1,50 × 10 6 N ; b. 1,00 × 10 5 N Uno de los peligros de los viajes espaciales son los escombros de las misiones anteriores. Hay varios miles de objetos en órbita alrededor de la Tierra que son lo suficientemente grandes como para ser detectados por el radar, pero hay un número mucho mayor de objetos muy pequeños, como copos de pintura. Calcule la fuerza ejercida por un trozo de pintura de 0,100 mg que golpea la ventana de una nave espacial a una rapidez relativa de 4,00 × 10 3 m/s , dado que la colisión dura 6,00 × 10 −8 s . Un crucero con una masa de 1,00 × 10 7 kg choca contra un muelle a una velocidad de 0,750 m/s. Se detiene tras recorrer 6,00 m, lo que daña el barco, el muelle y las finanzas del capitán del remolcador. Calcule la fuerza media ejercida sobre el muelle; utilice el concepto de impulso. ( Pista : Primero, calcule el tiempo que tardó el barco en entrar en reposo, suponiendo una fuerza constante). 4,69 × 10 5 N Calcule la rapidez final de un jugador de rugby de 110 kg que corre inicialmente a 8,00 m/s, pero que colisiona frontalmente con un poste acolchado de la portería y experimenta una fuerza hacia atrás de 1,76 × 10 4 N por 5,50 × 10 −2 s . El agua de una manguera de incendios apunta horizontalmente a una pared, a una tasa de 50,0 kg/s y una rapidez de 42,0 m/s. Calcule la fuerza ejercida sobre la pared, suponiendo que el momento horizontal del agua se reduce a cero. 2,10 × 10 3 N Un martillo de 0,450 kg se mueve horizontalmente a 7,00 m/s cuando golpea un clavo y se detiene tras clavar el clavo 1,00 cm en una tabla. Supongamos una aceleración constante del par martillo-clavo. Calcule la duración del impacto. ¿Cuál fue la fuerza media que se ejerce sobre el clavo? ¿Cuál es el momento (como función del tiempo) de una partícula de 5,0 kg que se mueve con una velocidad v → ( t ) = ( 2,0 i ^ + 4,0 t j ^ ) m/s ? ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre esta partícula? p → ( t ) = ( 10 i ^ + 20 t j ^ ) kg · m / s ; F → = ( 20 N ) j ^ En la siguiente figura se representa el componente x de una fuerza ejercida por un hierro 7 sobre una pelota de golf de 46 g en función del tiempo: Halle el componente x del impulso durante los intervalos [0, 50 ms], y [50 ms, 100 ms] Halle el cambio en el componente x del momento durante los intervalos [0, 50 ms], y [50 ms, 100 ms] Un disco de hockey de 150 g de masa se desliza hacia el este sobre una mesa sin fricción a una velocidad de 10 m/s. De repente, se aplica al disco una fuerza constante de magnitud 5 N y dirección hacia el norte durante 1,5 s. Halle los componentes norte y este del momento al final del intervalo de 1,5 s. Supongamos que el eje de la x positiva está en la dirección del momento original. Entonces p x = 1,5 kg · m/s y p y = 7,5 kg · m/s Una pelota de 250 g de masa se lanza a una velocidad inicial de 25 m/s, en un ángulo de 30 ° con respecto a la dirección horizontal. Ignore la resistencia del aire. ¿Cuál es el momento de la pelota después de 0,2 s? (Para realizar este problema, halle primero los componentes del momento, y luego construya la magnitud y dirección del vector de momento a partir de los componentes). impulso efecto de aplicar una fuerza sobre un sistema durante un intervalo de tiempo, que suele ser pequeño, pero no tiene por qué serlo teorema del momento-impulso el cambio de momento de un sistema es igual al impulso que se aplica al sistema

Ciencia


Conservación del momento lineal Recordemos la tercera ley de Newton: cuando dos objetos de masas m 1 y m 2 interactúan (lo que significa que aplican fuerzas entre sí), la fuerza que el objeto 2 aplica al objeto 1 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza que el objeto 1 aplica sobre el objeto 2. Supongamos que: F → 21 = la fuerza sobre m 1 de m 2 F → 12 = la fuerza sobre m 2 de m 1 Entonces, en símbolos, la tercera ley de Newton establece F → 21 = - F → 12 m 1 a → 1 = - m 2 a → 2 . (Recordemos que estas dos fuerzas no se cancelan porque se aplican a objetos diferentes. F 21 causa que m 1 acelere, y F 12 causa que m 2 acelere). Aunque las magnitudes de las fuerzas sobre los objetos son las mismas, las aceleraciones no lo son, simplemente porque las masas (en general) son diferentes. Por lo tanto, los cambios de velocidad de cada objeto son diferentes: d v → 1 d t ≠ d v → 2 d t . Sin embargo, los productos de la masa y el cambio de velocidad son iguales (en magnitud): m 1 d v → 1 d t = - m 2 d v → 2 d t . Es una buena idea, en este punto, que tenga claro el significado físico de las derivadas en la . A causa de la interacción, cada objeto termina cambiando su velocidad, en una cantidad dv . Además, la interacción se produce en un intervalo de tiempo dt , lo que significa que el cambio de velocidades también se produce en dt . Este intervalo es el mismo para cada objeto. Supongamos, por el momento, que las masas de los objetos no cambian durante la interacción. (Más adelante relajaremos esta restricción). En ese caso, podemos halar las masas dentro de las derivadas: d d t ( m 1 v → 1 ) = - d d t ( m 2 v → 2 ) y así d p → 1 d t = - d p → 2 d t . Esto indica que la tasa a la que cambia el momento es la misma para ambos objetos. Las masas son diferentes, y los cambios de velocidad son distintos, pero la tasa de cambio del producto de m y v → son las mismas. Físicamente, esto significa que durante la interacción de los dos objetos ( m 1 y m 2 ), ambos objetos tienen su momento cambiado; pero esos cambios son idénticos en magnitud, aunque opuestos en signo. Por ejemplo, el momento del objeto 1 puede aumentar, lo que significa que el momento del objeto 2 disminuye exactamente en la misma cantidad. A la luz de esto, reescribamos la de forma más sugerente: d p → 1 d t + d p → 2 d t = 0 . Esto indica que, durante la interacción, aunque el momento del objeto 1 cambia, y el momento del objeto 2 también cambia, estos dos cambios se cancelan mutuamente, de modo que el cambio total del momento de los dos objetos juntos es cero. Como el momento total combinado de los dos objetos juntos nunca cambia, entonces podríamos escribir d d t ( p → 1 + p → 2 ) = 0 de lo que se deduce que p → 1 + p → 2 = constante . Como se muestra en la , el momento total del sistema antes y después de la colisión sigue siendo el mismo. Antes de la colisión, las dos bolas de billar viajan con momentos p → 1 y p → 2 . El momento total del sistema es la suma de estos, como se muestra en el vector rojo marcado como p → total a la izquierda. Tras la colisión, las dos bolas de billar se desplazan con momentos diferentes p → ′ 1 y p → ′ 2 . El momento total; sin embargo, no ha cambiado, como muestra la flecha roja del vector p → ′ total a la derecha. Generalizando este resultado a N objetos, obtenemos p → 1 + p → 2 + p → 3 + ⋯ + p → N = constante ∑ j = 1 N p → j = constante. La es la definición del momento total (o neto) de un sistema de N objetos que interactúan, junto con la afirmación de que el momento total de un sistema de objetos es constante en el tiempo, o mejor, se conserva. Leyes de conservación Si el valor de una cantidad física es constante en el tiempo, decimos que la cantidad se conserva. Requisitos para la conservación del momento Sin embargo, hay una complicación. Un sistema deberá cumplir dos requisitos para que su momento se conserve: La masa del sistema deberá permanecer constante durante la interacción. A medida que los objetos interactúan (aplican fuerzas entre sí), pueden transferir masa de uno a otro; pero cualquier masa que gane un objeto se compensa con la pérdida de esa masa de otro. Por lo tanto, la masa total del sistema de objetos no cambia con el paso del tiempo: [ d m d t ] sistema = 0 . La fuerza externa neta sobre el sistema deberá ser cero. A medida que los objetos colisionan, o explotan, y se desplazan, ejercen fuerzas entre sí. Sin embargo, todas estas fuerzas son internas al sistema y, por lo tanto, cada una está equilibrada por otra fuerza interna de igual magnitud y signo contrario. Como resultado, el cambio en el momento causado por cada fuerza interna se cancela con otro cambio de momento, que es igual en magnitud y opuesto en dirección. Por lo tanto, las fuerzas internas no pueden cambiar el momento total de un sistema porque los cambios suman cero. Sin embargo, si hay alguna fuerza externa que actúa sobre todos los objetos (la gravedad, por ejemplo, o la fricción), entonces esta fuerza cambia el momento del sistema en su conjunto; es decir, la fuerza externa cambia el momento del sistema. Por lo tanto, para que el momento del sistema se conserve, debemos tener F → e x t = 0 → . Se dice que un sistema de objetos que cumple estos dos requisitos es un sistema cerrado (también llamado sistema aislado). Así, la forma más compacta de expresarlo es la que se muestra a continuación. Ley de conservación del momento El momento total de un sistema cerrado se conserva: ∑ j = 1 N p → j = constante. Esta afirmación se denomina ley de conservación del momento . Junto con la conservación de la energía, es uno de los fundamentos sobre los que se asienta toda la física. Todas nuestras pruebas experimentales apoyan esta afirmación: desde los movimientos de los cúmulos galácticos hasta los quarks que forman el protón y el neutrón, y en todas las escalas intermedias. En un sistema cerrado, el momento total nunca cambia. Observe que absolutamente pueden haber fuerzas externas actuando sobre el sistema; sin embargo, para que el momento del sistema permanezca constante, estas fuerzas externas tienen que cancelarse, de modo que la fuerza externa neta sea cero. Las bolas de billar en una mesa tienen todas una fuerza de peso que actúa sobre ellas, pero los pesos se equilibran (se cancelan) por las fuerzas normales, por lo que no hay fuerza neta . El significado de "sistema" Un sistema (mecánico) es el conjunto de objetos en cuyo movimiento (cinemática y dinámica) está interesado. Si está analizando el rebote de una pelota en el suelo, probablemente solo le interesa el movimiento de la pelota, y no el de la Tierra; por lo tanto, la pelota es su sistema. Si está analizando un accidente de auto, los dos autos juntos componen su sistema ( ). Los dos autos juntos forman el sistema que se va a analizar. Es importante recordar que el contenido (la masa) del sistema no cambia antes, durante o después de que los objetos del sistema interactúen. Conservación del momento El uso de la conservación del momento requiere cuatro pasos básicos. El primer paso es crucial: Identifique un sistema cerrado (la masa total es constante, ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema). Escriba una expresión que represente el momento total del sistema antes del "evento" (explosión o colisión). Escriba una expresión que represente el momento total del sistema después del "evento". Establezca estas dos expresiones iguales entre sí, y resuelva esta ecuación para la cantidad deseada. Carros que colisionan Dos carros en un laboratorio de física ruedan sobre una pista plana, con una fricción insignificante. Estos carros tienen pequeños imanes en sus extremos, de modo que cuando colisionan, se pegan ( ). El primer carro tiene una masa de 675 gramos y rueda a 0,75 m/s hacia la derecha; el segundo tiene una masa de 500 gramos y rueda a 1,33 m/s, también hacia la derecha. Tras la colisión, ¿cuál es la velocidad de los dos carros unidos? Dos carros de laboratorio colisionan y se pegan tras la colisión. Estrategia Tenemos una colisión. Nos dan masas y velocidades iniciales; nos piden la velocidad final. Todo esto sugiere utilizar la conservación del momento como método de solución. Sin embargo, solo podemos utilizarla si tenemos un sistema cerrado. Por lo tanto, tenemos que asegurarnos de que el sistema que elegimos no tenga ninguna fuerza externa neta sobre este, y de que la colisión no modifique su masa. Definir el sistema como los dos carros cumple los requisitos de un sistema cerrado: la masa combinada de los dos carros ciertamente no cambia, y aunque los carros definitivamente ejercen fuerzas el uno sobre el otro, esas fuerzas son internas al sistema, por lo que no cambian el momento del sistema como un todo. En la dirección vertical, los pesos de los carros se cancelan por las fuerzas normales sobre los carros procedentes de la pista. Solución La conservación del momento es p → f = p → i . Defina la dirección de sus vectores de velocidad inicial como la dirección de la x +. El momento inicial es entonces p → i = m 1 v 1 i ^ + m 2 v 2 i ^ . El momento final de los carros ahora enlazados es p → f = ( m 1 + m 2 ) v → f . Igualando: ( m 1 + m 2 ) v → f = m 1 v 1 i ^ + m 2 v 2 i ^ v → f = ( m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 ) i ^ . Al sustituir los números dados: v → f = [ ( 0,675 kg ) ( 0,75 m/s ) + ( 0,5 kg ) ( 1,33 m/s ) 1,175 kg ] i ^ = ( 0,997 m/s ) i ^ . Importancia Los principios que se aplican aquí a dos carros de laboratorio se aplican de forma idéntica a todos los objetos de cualquier tipo o tamaño. Incluso para los fotones, los conceptos de momento y conservación del momento siguen siendo de crucial importancia incluso a esa escala. (Como no tienen masa, el momento de un fotón se define de forma muy diferente al momento de los objetos ordinarios. Lo aprenderá cuando estudie física cuántica). Supongamos que el segundo carro, más pequeño, se ha movido inicialmente hacia la izquierda. ¿Cuál habría sido el signo de la velocidad final en este caso? Si el carro más pequeño rodara a 1,33 m/s hacia la izquierda, entonces la conservación del momento da ( m 1 + m 2 ) v → f = m 1 v 1 i ^ - m 2 v 2 i ^ v → f = ( m 1 v 1 - m 2 v 2 m 1 + m 2 ) i ^ = [ ( 0,675 kg ) ( 0,75 m/s ) - ( 0,500 kg ) ( 1,33 m/s ) 1,175 kg ] i ^ = - ( 0,135 m/s ) i ^ Por lo tanto, la velocidad final es de 0,135 m/s hacia la izquierda. Una superpelota que rebota Una superpelota de masa 0,25 kg se deja caer desde el reposo desde una altura de h = 1,50 m sobre el suelo. Rebota sin pérdida de energía y vuelve a su altura inicial ( ). ¿Cuál es el cambio de momento de la superpelota durante su rebote en el suelo? ¿Cuál fue el cambio de momento de la Tierra debido a la colisión de la pelota con el suelo? ¿Cuál fue el cambio de velocidad de la Tierra como resultado de esta colisión? (Este ejemplo demuestra que hay que tener cuidado con la definición del sistema). Se deja caer una superpelota al suelo ( t 0 ), golpea el suelo ( t 1 ), rebota ( t 2 ), y vuelve a su altura inicial ( t 3 ). Estrategia Dado que solo se nos pregunta por el cambio de momento de la pelota, definimos nuestro sistema como la pelota. No obstante, está claro que no se trata de un sistema cerrado; la gravedad aplica una fuerza hacia abajo sobre la pelota mientras cae, y la fuerza normal del suelo aplica una fuerza durante el rebote. Por lo tanto, no podemos utilizar la conservación del momento como estrategia. En su lugar, simplemente determinamos el momento de la pelota justo antes de que choque con el suelo y justo después, y calculamos la diferencia. Tenemos la masa de la pelota, así que necesitamos sus velocidades. Solución Como se trata de un problema unidimensional, utilizamos la forma escalar de las ecuaciones. Supongamos: p 0 = la magnitud del momento de la pelota en el tiempo t 0 , en el momento en que se soltó; como se soltó desde el reposo, este es cero. p 1 = la magnitud del momento de la pelota en el tiempo t 1 , el instante justo antes de que toque el suelo. p 2 = la magnitud del momento de la pelota en el tiempo t 2 , justo después de perder el contacto con el suelo tras el rebote. El cambio de momento de la pelota es Δ p → = p → 2 - p → 1 = p 2 j ^ - ( - p 1 j ^ ) = ( p 2 + p 1 ) j ^ . Su velocidad justo antes de caer al suelo se determina a partir de la conservación de la energía o de la cinemática. Aquí utilizamos la cinemática; debería volver a resolverlo al utilizar la conservación de la energía y confirmar que obtiene el mismo resultado. Queremos la velocidad justo antes de que toque el suelo (en el momento t 1 ). Conocemos su velocidad inicial v 0 = 0 (en el tiempo t 0 ), la altura a la que cae y su aceleración; no conocemos el tiempo de caída. Podríamos calcularlo, pero en su lugar utilizamos v → 1 = - j ^ 2 g y = −5,4 m/s j ^ . Así, la pelota tiene un momento de p → 1 = - ( 0,25 kg ) ( −5,4 m/s j ^ ) = - ( 1,4 kg · m/s ) j ^ . No tenemos una manera fácil de calcular el momento después del rebote. En cambio, razonamos a partir de la simetría de la situación. Antes del rebote, la pelota comienza con velocidad cero y cae 1,50 m bajo la influencia de la gravedad, hasta alcanzar cierta cantidad de momento justo antes de tocar el suelo. En el viaje de vuelta (después del rebote), comienza con cierta cantidad de momento, sube los mismos 1,50 m que cayó y termina con velocidad cero. Por lo tanto, el movimiento después del rebote era la imagen espejo del movimiento antes del rebote. A partir de esta simetría, debe ser cierto que el momento de la pelota después del rebote debe ser igual y opuesto a su momento antes del rebote. (Este es un argumento sutil, pero crucial; asegúrese de entenderlo antes de continuar). Por lo tanto, p → 2 = - p → 1 = + ( 1,4 kg · m/s ) j ^ . Así, el cambio de momento de la pelota durante el rebote es Δ p → = p → 2 - p → 1 = ( 1,4 kg · m/s ) j ^ - ( −1,4 kg · m/s ) j ^ = + ( 2,8 kg · m/s ) j ^ . ¿Cuál fue el cambio de momento de la Tierra debido a la colisión de la pelota con el suelo? Su respuesta instintiva puede haber sido "cero; la Tierra es demasiado masiva para que esa pequeña pelota la haya afectado" o, posiblemente, "más que cero, pero totalmente despreciable". Pero no, si redefinimos nuestro sistema para que sea la superpelota + la Tierra, entonces este sistema es cerrado (despreciando la tracción gravitacional del Sol, de la Luna y de los demás planetas del sistema solar), y por ende, el cambio total de momento de este nuevo sistema deberá ser cero. Por consiguiente, el cambio de momento de la Tierra es exactamente de la misma magnitud: Δ p → Tierra = −2,8 kg · m/s j ^ . ¿Cuál fue el cambio de velocidad de la Tierra como resultado de esta colisión? Aquí es donde su instinto quizá sea correcto: Δ v → Tierra = Δ p → Tierra M Tierra = - 2,8 kg · m/s 5 . 97 × 10 24 kg j ^ = - ( 4,7 × 10 −25 m/s ) j ^ . Este cambio de la velocidad de la Tierra es totalmente despreciable. Importancia Es importante darse cuenta de que la respuesta a la parte (c) no es una velocidad; es un cambio de velocidad, lo que es muy diferente. Sin embargo, para que se haga una idea de lo pequeño que es ese cambio de velocidad, suponga que se mueve a una velocidad de 4,7 × 10 −25 m/s . A esta velocidad, tardaría unos 7 millones de años en recorrer una distancia equivalente al diámetro de un átomo de hidrógeno. ¿El cambio de momento de la pelota habría sido mayor, menor o igual si hubiera colisionado con el suelo y se hubiera detenido (sin rebotar)? ¿El cambio de momento de la pelota habría sido mayor, menor o igual si hubiera colisionado con el suelo y se hubiera detenido (sin rebotar)? Si la pelota no rebota, su momento final p → 2 es cero, por lo que Δ p → = p → 2 - p → 1 = ( 0 ) j ^ - ( −1,4 kg · m/s ) j ^ = + ( 1,4 kg · m/s ) j ^ Hockey sobre hielo 1 Dos discos de hockey de idéntica masa se encuentran en una pista de hockey sobre hielo plana y horizontal. El disco rojo está inmóvil; el disco azul se mueve a 2,5 m/s hacia la izquierda ( ). Colisiona con el disco rojo inmóvil. Los discos tienen una masa de 15 g. Tras la colisión, el disco rojo se mueve a 2,5 m/s, hacia la izquierda. ¿Cuál es la velocidad final del disco azul? Dos discos de hockey idénticos colisionando. El diagrama superior muestra los discos en el instante anterior a la colisión, mientras que el diagrama inferior muestra los discos en el instante posterior a la colisión. La fuerza externa neta es cero. Estrategia Nos indican que tenemos dos objetos que colisionan, nos proporcionan las masas y las velocidades iniciales, y una velocidad final; nos piden las dos velocidades finales. La conservación del momento parece una buena estrategia. Definamos el sistema como los dos discos; no hay fricción, por lo que tenemos un sistema cerrado. Antes de ver la solución, ¿cuál cree que será la respuesta? La velocidad final del disco azul será: cero 2,5 m/s hacia la izquierda 2,5 m/s hacia la derecha 1,25 m/s hacia la izquierda 1,25 m/s hacia la derecha otra cosa Solución Defina la dirección de la x + para que apunte hacia la derecha. Entonces, la conservación del momento se lee p → f = p → i m v r f i ^ + m v b f i ^ = m v r i i ^ - m v b i i ^ . Antes de la colisión, el momento del sistema está única y exclusivamente en el disco azul. Así, m v r f i ^ + m v b f i ^ = - m v b i i ^ v r f i ^ + v b f i ^ = - v b i i ^ . (Recuerde que las masas de los discos son iguales). Sustituyendo los números: - ( 2,5 m/s ) i ^ + v → b f = - ( 2,5 m/s ) i ^ v → b f = 0 . Importancia Evidentemente, los dos discos simplemente intercambiaron su momento. El disco azul transfirió todo su momento al disco rojo. De hecho, esto es lo que ocurre en una colisión semejante, en la que m 1 = m 2 . Incluso si hubiera algo de fricción en el hielo, todavía es posible utilizar la conservación del momento para resolver este problema, aunque tendría que imponer una condición adicional en el problema. ¿Cuál es esa condición adicional? Consideremos la teoría del momento impulso, que es J → = Δ p → . Si J → = 0 , tenemos la situación descrita en el ejemplo. Si una fuerza actúa sobre el sistema, entonces J → = F → ave Δ t . Así, en lugar de p → f = p → i , tenemos F → ave Δ t = Δ p → = p → f - p → i donde F → ave es la fuerza debida a la fricción. Aterrizaje de Philae El 12 de noviembre de 2014, la Agencia Espacial Europea aterrizó con éxito una sonda llamada Philae en el cometa 67P / Churyumov / Gerasimenko ( ). Sin embargo, durante el aterrizaje, la sonda en realidad hizo contacto con el suelo tres veces, porque rebotó dos veces. Calculemos cuánto ha cambiado la velocidad del cometa como resultado del primer rebote. Representación artística del aterrizaje de Philae en un cometa (créditos: modificación del trabajo del "DLR German Aerospace Center"/Flickr). Definamos hacia arriba como la dirección de la + y , perpendicular a la superficie del cometa, y y = 0 como la superficie del cometa. Esto es lo que sabemos: La masa del cometa 67P: M c = 1,0 × 10 13 kg La aceleración debida a la gravedad del cometa: a → = - ( 5,0 × 10 −3 m/s 2 ) j ^ La masa de Philae : M p = 96 kg Rapidez de aterrizaje inicial: v → 1 = - ( 1,0 m/s ) j ^ Rapidez inicial hacia arriba debido al primer rebote: v → 2 = ( 0,38 m/s ) j ^ Tiempo de impacto del aterrizaje: Δ t = 1,3 s Estrategia Nos preguntan cuánto ha cambiado la rapidez del cometa, pero no sabemos mucho al respecto, más allá de su masa y la aceleración que provoca su gravedad. Sin embargo, se nos indica que el módulo de aterrizaje Philae colisiona con (aterriza en) el cometa y rebota. Una colisión sugiere el momento como estrategia para resolver este problema. Si definimos un sistema formado por Philae y el cometa 67/P, entonces no hay ninguna fuerza externa neta sobre este sistema, y por ende, el momento de este sistema se conserva. (Ignoraremos la fuerza gravitacional del sol). Así, si calculamos el cambio de momento del módulo de aterrizaje, tenemos automáticamente el cambio de momento del cometa. Además, el cambio de velocidad del cometa guarda relación directa con su cambio de momento como resultado de la "colisión" del módulo de aterrizaje con este. Solución Supongamos que p → 1 sea el momento de Philae en el momento justo antes del aterrizaje, y p → 2 sea su momento justo después del primer rebote. Entonces su momento justo antes de aterrizar fue p → 1 = M p v → 1 = ( 96 kg ) ( - 1,0 m/s j ^ ) = - ( 96 kg · m/s ) j ^ y justo después fue p → 2 = M p v → 2 = ( 96 kg ) ( + 0,38 m/s j ^ ) = ( 36,5 kg · m/s ) j ^ . Por consiguiente, el cambio de momento del módulo de aterrizaje durante el primer rebote es Δ p → = p → 2 - p → 1 = ( 36,5 kg · m/s ) j ^ - ( -96,0 kg · m/s j ^ ) = ( 133 kg · m/s ) j ^ Observe la importancia de incluir el signo negativo del momento inicial. Ahora para el cometa. Dado que el momento del sistema deberá conservarse, el momento del cometa cambió exactamente en el negativo de este: Δ p → c = - Δ p → = - ( 133 kg · m/s ) j ^ . Por consiguiente, su cambio de velocidad es Δ v → c = Δ p → c M c = - ( 133 kg · m/s ) j ^ 1,0 × 10 13 kg = - ( 1,33 × 10 −11 m/s ) j ^ . Importancia Se trata de un cambio de velocidad muy pequeño, de una milésima de mil millonésima de metro por segundo. Sin embargo, lo más importante es que no es cero. Los cambios de momento de Philae y del cometa 67/P fueron iguales (en magnitud). ¿Fueron iguales los impulsos experimentados por Philae y el cometa? ¿Y las fuerzas? ¿Y los cambios de energías cinéticas? El impulso es el cambio de momento multiplicado por el tiempo necesario para que se produzca el cambio. Por conservación del momento, los cambios de momento de la sonda y el momento son de la misma magnitud, pero en direcciones opuestas, y el tiempo de interacción para cada uno es también el mismo. Por consiguiente, el impulso que recibe cada uno es de la misma magnitud, pero en direcciones opuestas. Ya que actúan en direcciones opuestas, los impulsos no son los mismos. En cuanto al impulso, la fuerza sobre cada cuerpo actúa en direcciones opuestas, por lo que las fuerzas sobre cada uno no son iguales. Sin embargo, el cambio en la energía cinética difiere para cada uno, porque la colisión no es elástica. Resumen La ley de conservación del momento establece que el momento de un sistema cerrado es constante en el tiempo (se conserva). El sistema cerrado (o aislado) se define como aquel en el que la masa permanece constante y la fuerza externa neta es cero. El momento total del sistema se conserva solo cuando el sistema está cerrado. Preguntas conceptuales ¿En qué circunstancias se conserva el momento? El momento se conserva cuando la masa del sistema de interés permanece constante durante la interacción en cuestión y cuando ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema durante la interacción. ¿Puede conservarse el momento de un sistema si hay fuerzas externas que actúan sobre este? Si es así, ¿en qué condiciones? Si no, ¿por qué no? Explique en términos de momento y de las leyes de Newton cómo la resistencia del aire en un auto se debe en parte a que empuja el aire en su dirección de movimiento. Para acelerar las moléculas de aire en la dirección del movimiento del auto, este deberá ejercer una fuerza sobre estas moléculas por la segunda ley de Newton F → = d p → / d t . Según la tercera ley de Newton, las moléculas de aire ejercen una fuerza de igual magnitud, aunque en sentido contrario sobre el auto. Esta fuerza actúa en la dirección opuesta al movimiento del auto y constituye la fuerza debida a la resistencia del aire. ¿Pueden los objetos de un sistema tener momento mientras el momento del sistema es cero? Razone su respuesta. Un velocista acelera desde los bloques de salida. ¿Puede considerarlo un sistema cerrado? Explique. No, no es un sistema cerrado porque una fuerza externa neta diferente de cero actúa sobre este en forma de bloques de partida que empujan sus pies. Un cohete en el espacio profundo (gravedad cero) acelera al expulsar gas caliente de sus propulsores. ¿El cohete constituye un sistema cerrado? Explique. Problemas Los vagones se acoplan al tropezar entre sí. Supongamos que dos vagones cargados se acercan, el primero tiene una masa de 1,50 × 10 5 kg y una velocidad de ( 0,30 m/s ) i ^ , y el segundo con una masa de 1,10 × 10 5 kg y una velocidad de - ( 0,12 m/s ) i ^ . ¿Cuál es su velocidad final? ( 0,122 m/s ) i ^ Dos discos idénticos chocan elásticamente en una mesa de hockey de aire. El disco 1 estaba originalmente en reposo; el disco 2 tiene una rapidez de entrada de 6,00 m/s y se dispersa en un ángulo de 30 ° con respecto a su dirección de entrada. ¿Cuál es la velocidad (magnitud y dirección) del disco 1 tras la colisión? La siguiente figura muestra una bala de 200 g de masa que se desplaza horizontalmente hacia el este con una rapidez de 400 m/s, y que golpea un bloque de masa 1,5 kg que está inicialmente en reposo sobre una mesa sin fricción. Tras golpear el bloque, la bala se incrusta y el bloque y la bala se mueven juntos como una unidad. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad de la combinación bloque / bala inmediatamente después del impacto? ¿Cuál es la magnitud y la dirección del impulso del bloque sobre la bala? ¿Cuál es la magnitud y la dirección del impulso de la bala sobre el bloque? Si la bala tardó 3 m/s para cambiar la rapidez de 400 m/s a la rapidez final tras el impacto, ¿cuál es la fuerza media entre el bloque y la bala durante este tiempo? a. 47 m/s en la dirección de la bala al bloque; b. 70,6 N · s , hacia la bala; c. 70,6 N · s , hacia el bloque; d. la magnitud es 2,35 × 10 4 N Un niño de 20 kg se desplaza a 3,3 m/s por un terreno llano en un vagón de 4,0 kg. El niño deja caer una pelota de 1,0 kg por la parte trasera del vagón. ¿Cuál es la rapidez final del niño y del vagón? Un pez globo de 4,5 kg se expande hasta el 40 % de su masa al tomar agua. Cuando el pez globo se ve amenazado, suelta el agua hacia la amenaza para avanzar rápidamente. ¿Cuál es la relación de la rapidez del pez globo hacia delante con la rapidez del agua expulsada hacia atrás? 2:5 Explique por qué un cañón retrocede cuando dispara un proyectil. Dos patinadores artísticos se mueven en la misma dirección; la patinadora que va adelante se desplaza a 5,5 m/s y el que la sigue, a 6,2 m/s. Cuando el patinador que va detrás alcanza a la patinadora que va adelante, la levanta sin aplicar ninguna fuerza horizontal sobre sus patines. Si el patinador que va detrás es un 50 % más pesado que la patinadora que va adelante, cuyo peso es de 50 kg, ¿cuál es su rapidez después de que él la levanta? 5,9 m/s Un vagón de carga de 2.000 kg viaja a 4,4 m/s por debajo de una terminal de cereales, que vierte el grano directamente en el vagón. Si la rapidez del vagón cargado no debe ser inferior a 3,0 m/s, ¿cuál es la masa máxima de grano que puede cargar? sistema cerrado sistema para el que la masa es constante y la fuerza externa neta sobre el sistema es cero ley de conservación del momento el momento total de un sistema cerrado no puede cambiar sistema objeto o colección de objetos cuyo movimiento se está investigando actualmente; sin embargo, su sistema se define al comienzo del problema, por lo que usted deberá mantener esa definición para todo el problema

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