Caída libre Una aplicación interesante de la a la es la llamada caída libre , que describe el movimiento de un objeto que cae en un campo gravitacional, como por ejemplo cerca de la superficie de la Tierra u otros cuerpos celestes de tamaño planetario. Supongamos que el cuerpo cae en línea recta perpendicular a la superficie, por lo que su movimiento es unidimensional. Por ejemplo, podemos calcular la profundidad de un pozo minero vertical al dejar caer una roca en él y escuchar cómo toca el fondo. Sin embargo, "caer", en el contexto de la caída libre, no implica necesariamente que el cuerpo se desplace de una altura mayor a otra menor. Si se lanza una pelota hacia arriba, las ecuaciones de la caída libre se aplican tanto a su ascenso como a su descenso. Gravedad El hecho más notable e inesperado sobre la caída de objetos es que si la resistencia del aire y la fricción son despreciables, entonces en un lugar determinado todos los objetos caen hacia el centro de la Tierra con la misma aceleración constante , independientemente de su masa . Este hecho determinado experimentalmente es inesperado porque estamos tan acostumbrados a los efectos de la resistencia del aire y la fricción que esperamos que los objetos ligeros caigan más lentamente que los pesados. Hasta que Galileo Galilei (1564-1642) demostró lo contrario, se creía que un objeto más pesado tiene una mayor aceleración en caída libre. Ahora sabemos que no es así. A falta de resistencia del aire, los objetos pesados llegan al suelo al mismo tiempo que los más ligeros cuando se dejan caer desde la misma altura como en la . El martillo y la pluma caen con la misma aceleración constante si la resistencia del aire es despreciable. Se trata de una característica general de la gravedad que no es exclusiva de la Tierra, como demostró el astronauta David R. Scott en 1971 en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es solo de 1,67 m/s 2 y no hay atmósfera. En el mundo real, la resistencia del aire hace que un objeto más ligero caiga más lentamente que un objeto más pesado del mismo tamaño. Una pelota de tenis llega al suelo después de una pelota de béisbol lanzada al mismo tiempo. (Puede ser difícil observar la diferencia si la altura no es grande). La resistencia del aire se opone al movimiento de un objeto a través del aire, y la fricción entre los objetos, como entre la ropa y el conducto de la lavandería o entre una piedra y un estanque en el que se deja caer, también se opone al movimiento entre ellos. Para las situaciones ideales de estos primeros capítulos, un objeto que cae sin resistencia del aire o fricción se define como en caída libre . La fuerza de la gravedad hace que los objetos caigan hacia el centro de la Tierra. La aceleración de los objetos en caída libre se denomina, por tanto, aceleración debida a la gravedad . La aceleración debida a la gravedad es constante, lo que significa que podemos aplicar las ecuaciones cinemáticas a cualquier objeto que caiga y en el que la resistencia del aire y la fricción sean despreciables. Esto nos abre una amplia clase de situaciones interesantes. La aceleración debida a la gravedad es tan importante que su magnitud recibe su propio símbolo, g . Es constante en cualquier lugar de la Tierra y tiene el valor promedio g = 9,81 m/s 2 ( o 32,2 pies/s 2 ) . Aunque g varía entre 9,78 m/s 2 y 9,83 m/s 2 , dependiendo de la latitud, la altitud, las formaciones geológicas subyacentes y la topografía local, utilizaremos en este texto un valor medio de 9,8 m/s 2 redondeado a dos cifras significativas, a menos que se especifique lo contrario. Sin tener en cuenta estos efectos sobre el valor de g como resultado de la posición en la superficie de la Tierra, así como los efectos resultantes de la rotación de la Tierra, tomamos la dirección de la aceleración debida a la gravedad hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). De hecho, su dirección define lo que llamamos vertical. Hay que tener en cuenta que el hecho de que la aceleración a en las ecuaciones cinemáticas tenga el valor + g o - g depende de cómo definamos nuestro sistema de coordenadas. Si definimos la dirección ascendente como positiva, entonces a = − g = −9,8 m/s 2 , y si definimos la dirección descendente como positiva, entonces a = g = 9,8 m/s 2 . Movimiento unidimensional en función de la gravedad La mejor manera de ver las características básicas del movimiento en el que interviene la gravedad es empezar con las situaciones más sencillas y luego progresar hacia otras más complejas. Así pues, empezamos considerando un movimiento recto hacia arriba y hacia abajo sin resistencia del aire ni fricción. Estas suposiciones significan que la velocidad (si la hay) es vertical. Si se deja caer un objeto, sabemos que la velocidad inicial es cero cuando está en caída libre. Cuando el objeto ha dejado de estar en contacto con lo que lo sostenía o lanzaba, está en caída libre. Cuando el objeto es lanzado, tiene la misma rapidez inicial en caída libre que tenía antes de ser soltado. Cuando el objeto entra en contacto con el suelo o con cualquier otro objeto, ya no está en caída libre y su aceleración de g ya no es válida. En estas circunstancias, el movimiento es unidimensional y tiene una aceleración constante de magnitud g . Representamos el desplazamiento vertical con el símbolo y . Ecuaciones cinemáticas para objetos en caída libre Suponemos aquí que la aceleración es igual a - g (con la dirección positiva hacia arriba). v =  v 0 − g t y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 v 2 = v 0 2 − 2 g ( y − y 0 ) Caída libre Decidir el signo de la aceleración de la gravedad. En la a la , la aceleración g es negativa, lo que dice que la dirección positiva es hacia arriba y la dirección negativa es hacia abajo. En algunos problemas, sería útil tener la aceleración g como positiva, lo que indica que la dirección positiva es hacia abajo. Dibuje un esquema del problema. Esto permite visualizar la física involucrada. Registre los valores conocidos e incógnitas de la descripción del problema. Esto permite trazar una estrategia con el fin de seleccionar las ecuaciones adecuadas para resolver el problema. Decidir cuál de la a la se va a utilizar para resolver las incógnitas. Caída libre de una pelota La muestra las posiciones de una pelota, a intervalos de 1 s, con una velocidad inicial de 4,9 m/s hacia abajo, que se lanza desde lo alto de un edificio de 98 m. (a) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que la pelota llegue al suelo? (b) ¿Cuál es la velocidad cuando llega al suelo? Las posiciones y velocidades a intervalos de 1 s de una pelota lanzada hacia abajo desde un edificio alto a 4,9 m/s. Estrategia Elija el origen en la parte superior del edificio con la dirección positiva hacia arriba y la dirección negativa hacia abajo. Para encontrar el tiempo en que la posición es -98 m, utilizamos la , con y 0 = 0 , v 0 = −4,9 m/s, y g = 9,8 m/s 2 . Solución Sustituya los valores dados en la ecuación: y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 − 98,0 m = 0 − ( 4,9 m/s ) t − 1 2 ( 9,8 m/s 2 ) t 2 . Esto se simplifica a t 2 + t − 20 = 0 . Esta es una ecuación cuadrática con raíces t = −5,0 s y t = 4,0 s . La raíz positiva es la que nos interesa, ya que el tiempo t = 0 es el tiempo en que la pelota se libera en la parte superior del edificio. (El tiempo t = −5,0 s representa el hecho de que una pelota lanzada hacia arriba desde el suelo habría estado en el aire durante 5,0 s cuando pasó por la parte superior del edificio moviéndose hacia abajo a 4,9 m/s). Utilizando la , tenemos v = v 0 − g t = −4,9 m/s − ( 9,8 m/s 2 ) ( 4,0 s ) = -44,1 m/s . Importancia Para las situaciones en las que se obtienen dos raíces de una ecuación cuadrática en la variable del tiempo, debemos observar el significado físico de ambas raíces para determinar cuál es la correcta. Dado que t = 0 corresponde al momento en que se lanzó la pelota, la raíz negativa correspondería a un momento anterior al lanzamiento de la pelota, lo que no es físicamente significativo. Cuando la pelota toca el suelo, su velocidad no es inmediatamente cero, pero en cuanto la pelota interactúa con el suelo, su aceleración no es g y se acelera con un valor diferente en un tiempo corto hasta la velocidad cero. Este problema muestra lo importante que es establecer el sistema correcto de coordenadas y mantener los signos de g en las ecuaciones cinemáticas. Movimiento vertical de una pelota de béisbol Un bateador batea una pelota de béisbol directamente hacia arriba en el plato del home y la pelota es atrapada 5,0 s después de ser golpeada como en la . (a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota? (b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? (c) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima? (d) ¿Cuál es la aceleración en la parte superior de su recorrido? (e) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando es atrapada? Supongamos que la pelota es golpeada y atrapada en el mismo lugar. Una pelota de béisbol que se batea hacia arriba es atrapada por el receptor 5,0 s después. Estrategia Escoja un sistema de coordenadas con un eje y positivo que sea recto hacia arriba y con un origen que esté en el lugar donde se golpea y atrapa la pelota. Solución La nos da y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 0 = 0 + v 0 ( 5,0 s ) − 1 2 ( 9,8 m / s 2 ) ( 5,0 s ) 2 , que nos da v 0 = 24,5 m/s . En la altura máxima, v = 0 . Con v 0 = 24,5 m/s , la nos da v 2 = v 0 2 − 2 g ( y − y 0 ) 0 = ( 24,5 m/s ) 2 − 2 ( 9,8 m/s 2 ) ( y − 0 ) o y = 30,6 m . Para encontrar el tiempo en que v = 0 , utilizamos la : v = v 0 − g t 0 = 24,5 m/s − ( 9,8 m/s 2 ) t . Esto nos da t = 2,5 s . Como la pelota sube durante 2,5 s, el tiempo de caída es de 2,5 s. La aceleración es de 9,8 m/s 2 en todas partes, incluso cuando la velocidad es cero en la parte superior del recorrido. Aunque la velocidad es cero en la parte superior, está cambiando a una tasa de 9,8 m/s 2 hacia abajo. La velocidad en t = 5,0 s se puede determinar con la : v = v 0 − g t = 24,5 m/s − 9,8 m/s 2 ( 5,0 s ) = -24,5 m/s . Importancia La pelota vuelve con la rapidez que tenía cuando salió. Esta es una propiedad general de la caída libre para cualquier velocidad inicial. Utilizamos una única ecuación para ir del lanzamiento a la atrapada, y no tuvimos que dividir el movimiento entre dos segmentos, hacia arriba y hacia abajo. Estamos acostumbrados a pensar que el efecto de la gravedad es crear una caída libre hacia la Tierra. Es importante entender, como se ilustra en este ejemplo, que los objetos que se alejan de la Tierra hacia arriba también se encuentran en estado de caída libre. Un trozo de hielo se desprende de un glaciar y cae 30,0 m antes de llegar al agua. Suponiendo que cae libremente (no hay resistencia del aire), ¿cuánto tiempo tarda en caer al agua? ¿Qué cantidad aumenta más rápido, la rapidez del trozo de hielo o su distancia recorrida? Tarda 2,47 s en llegar al agua. La distancia recorrida aumenta más rápidamente. Propulsor de cohete Un pequeño cohete con un propulsor despega y se dirige hacia arriba. Cuando a una altura de 5,0 km y una velocidad de 200,0 m/s, suelta su propulsor. (a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el propulsor? (b) ¿Cuál es la velocidad del propulsor a una altura de 6,0 km? Ignore la resistencia del aire. Un cohete libera su propulsor a una altura y velocidad determinadas. ¿A qué altura y a qué velocidad llega el propulsor? Estrategia Tenemos que seleccionar el sistema de coordenadas para la aceleración de la gravedad, que tomamos como negativa hacia abajo. Se nos da la velocidad inicial del propulsor y su altura. Consideramos el punto de liberación como el origen. Sabemos que la velocidad es cero en la posición máxima dentro del intervalo de aceleración; por lo tanto, la velocidad del propulsor es cero en su altura máxima, así que también podemos utilizar esta información. A partir de estas observaciones, utilizamos la , que nos da la altura máxima del propulsor. También utilizamos la para dar la velocidad a 6,0 km. La velocidad inicial del propulsor es de 200,0 m/s. Solución A partir de la , v 2 = v 0 2 − 2 g ( y − y 0 ) . Con v = 0 y y 0 = 0 , podemos resolver y : y = v 0 2 2 g = ( 2,0 × 10 2 m / s ) 2 2 ( 9,8 m / s 2 ) = 2040,8 m . Esta solución da la altura máxima del propulsor en nuestro sistema de coordenadas, que tiene su origen en el punto de liberación, por lo que la altura máxima del propulsor es de aproximadamente 7,0 km. Una altitud de 6,0 km corresponde a y = 1,0 × 10 3 m en el sistema de coordenadas que estamos utilizando. Las otras condiciones iniciales son y 0 = 0 , y v 0 = 200,0 m/s . Tenemos, a partir de la , v 2 = ( 200,0 m / s ) 2 − 2 ( 9,8 m / s 2 ) ( 1,0 × 10 3 m ) ⇒ v = ± 142,8 m / s . Importancia Tenemos una solución positiva y otra negativa en (b). Como nuestro sistema de coordenadas tiene la dirección positiva hacia arriba, los +142,8 m/s corresponden a una velocidad positiva hacia arriba a 6000 m durante el tramo ascendente de la trayectoria del propulsor. El valor v = -142,8 m/s corresponde a la velocidad a 6000 m en el tramo descendente. Este ejemplo también es importante porque un objeto recibe una velocidad inicial en el origen de nuestro sistema de coordenadas, pero el origen está a una altitud sobre la superficie de la Tierra, lo que debe tenerse en cuenta al formar la solución. Participe en la simulación Phet a continuación para aprender a graficar polinomios. La forma de la curva cambia a medida que se ajustan las constantes. Visualice las curvas de los términos individuales (por ejemplo, y = bx ) para ver cómo se suman para generar la curva polinómica. Resumen Un objeto en caída libre experimenta una aceleración constante si la resistencia del aire es despreciable. En la Tierra, todos los objetos en caída libre tienen una aceleración g debida a la gravedad, cuyo promedio es g = 9,81 m/s 2 . Para los objetos en caída libre, la dirección ascendente se toma normalmente como positiva para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Preguntas conceptuales ¿Cuál es la aceleración de una roca lanzada en línea recta hacia arriba? ¿En la cima de su vuelo? ¿En el camino hacia abajo? Supongamos que no hay resistencia del aire. Un objeto que es lanzado hacia arriba cae de nuevo a la Tierra. Se trata de un movimiento unidimensional. (a) ¿Cuándo su velocidad es cero? (b) ¿Cambia su velocidad de dirección? (c) ¿Tiene la aceleración el mismo signo al subir que al bajar? a. en la parte superior de su trayectoria; b. sí, en la parte superior de su trayectoria; c. sí Supongamos que se lanza una piedra casi en línea recta a un coco en una palmera y que la piedra no golpea al coco en la subida, pero sí en la bajada. Descartando la resistencia del aire y la ligera variación horizontal del movimiento para tener en cuenta el golpe y el fallo del coco, ¿cómo se compara la rapidez de la roca cuando golpea el coco en el camino hacia abajo con la que habría tenido si hubiera golpeado el coco en el camino hacia arriba? ¿Es más probable que el coco se desprenda al subir o al bajar? Explique. La gravedad de una caída depende de la rapidez con la que se golpea el suelo. Siendo todos los factores menos la aceleración de la gravedad iguales, ¿cuántas veces más podría producirse una caída segura en la Luna que en la Tierra (la aceleración gravitatoria en la Luna es aproximadamente una sexta parte de la de la Tierra)? Tierra v = v 0 − g t = − g t ; Luna v ′ = g 6 t ′ v = v ′ − g t = − g 6 t ′ t ′ = 6 t ; Tierra y = − 1 2 g t 2 Luna y ′ = − 1 2 g 6 ( 6 t ) 2 = − 1 2 g 6 t 2 = −6 ( 1 2 g t 2 ) = −6 y ¿Cuántas veces más alto podría saltar una astronauta en la Luna que en la Tierra si su rapidez de despegue es la misma en ambos lugares (la aceleración gravitatoria en la Luna es aproximadamente una sexta parte de la de la Tierra)? Problemas Calcule el desplazamiento y la velocidad en los tiempos de (a) 0,500 s, (b) 1,00 s, (c) 1,50 s y (d) 2,00 s para una pelota lanzada en línea recta con una velocidad inicial de 15,0 m/s. Tome el punto de liberación como y 0 = 0 . Calcule el desplazamiento y la velocidad en los tiempos de (a) 0,500 s, (b) 1,00 s, (c) 1,50 s, (d) 2,00 s y (e) 2,50 s para una roca lanzada en línea recta con una velocidad inicial de 14,0 m/s desde el puente Verrazano Narrows en la ciudad de Nueva York. La calzada de este puente está a 70,0 m por encima del agua. a. y = -8,23 m v 1 = − 18,9 m/s ; b. y = -18,9 m v 2 = -23,8 m/s ; c. y = -32,0 m v 3 = − 28,7 m/s ; d. y = -47,6 m v 4 = − 33,6 m/s ; e. y = -65,6 m v 5 = − 38,5 m/s Un árbitro de baloncesto lanza el balón hacia arriba para dar el aviso de inicio. ¿A qué velocidad debe saltar un jugador de baloncesto para elevarse 1,25 m sobre el suelo en un intento por atrapar el balón? Un helicóptero de rescate sobrevuela sobre una persona cuya embarcación se ha hundido. Uno de los socorristas lanza un salvavidas directamente hacia la víctima, a una velocidad inicial de 1,40 m/s y observa que tarda 1,8 s en llegar al agua. (a) Enumere los valores conocidos de este problema. (b) ¿A qué altura sobre el agua se soltó el salvavidas? Hay que tener en cuenta que la corriente descendente del helicóptero reduce los efectos de la resistencia del aire en la caída del salvavidas, por lo que una aceleración igual a la de la gravedad es razonable. a. Valores conocidos: a = − 9,8 m/s 2 v 0 = −1,4 m/s t = 1,8 s y 0 = 0 m ; b. y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 y = v 0 t − 1 2 g t = −1,4 m / s ( 1,8 seg ) − 1 2 ( 9,8 ) ( 1,8 s ) 2 = -18,4 m y el origen está en los socorristas, que están a 18,4 m sobre el agua. Resultados poco razonables. Un delfín en un espectáculo acuático salta en línea recta fuera del agua a una velocidad de 15,0 m/s. (a) Enumere los valores conocidos de este problema. (b) ¿A qué altura se eleva su cuerpo por encima del agua? Para resolver esta parte, primero hay que observar que la velocidad final ya es un valor conocido, e identificar su valor. Luego, identifique la incógnita y comente cómo ha elegido la ecuación adecuada para resolverla. Después de elegir la ecuación, muestre sus pasos para resolver la incógnita, compruebe las unidades y analice si la respuesta es razonable. (c) ¿Cuánto tiempo está el delfín en el aire? Descarte cualquier efecto derivado de su tamaño u orientación. Una clavadista salta directamente desde un trampolín, esquiva el trampolín en la bajada y cae con los pies por delante en una piscina. Comienza con una velocidad de 4,00 m/s y su punto de despegue está a 1,80 m por encima de la piscina. (a) ¿Cuál es su punto más alto por encima del trampolín? (b) ¿Cuánto tiempo están sus pies en el aire? (c) ¿Cuál es su velocidad cuando sus pies tocan el agua? a. v 2 = v 0 2 − 2 g ( y − y 0 ) y 0 = 0 v = 0 y = v 0 2 2 g = ( 4,0 m / s ) 2 2 ( 9,80 ) = 0,82 m ; b. al vértice v = 0,41 s por 2 al trampolín = 0,82 s del trampolín al agua y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 y = −1,80 m y 0 = 0 v 0 = 4,0 m / s −1,8 = 4,0 t − 4,9 t 2 4,9 t 2 − 4,0 t − 1,80 = 0 , la solución de la ecuación cuadrática da 1,13 s; c. v 2 = v 0 2 − 2 g ( y − y 0 ) y 0 = 0 v 0 = 4,0 m / s y = −1,80 m v = 7,16 m / s (a) Calcule la altura de un acantilado si una roca tarda 2,35 s en llegar al suelo cuando es lanzada directamente desde el acantilado, a una velocidad inicial de 8,00 m/s. (b) ¿Cuánto tiempo tardaría en llegar al suelo si se lanza directamente hacia abajo con la misma rapidez? Un lanzador de bala, muy fuerte, pero inepto, lanza la bala en vertical con una velocidad inicial de 11,0 m/s. ¿De cuánto tiempo dispone para apartarse si el lanzamiento se liberó a una altura de 2,20 m y él mide 1,80 m? Tiempo hasta el vértice: t = 1,12 s por 2 es igual a 2,24 s a una altura de 2,20 m. A 1,80 m de altura hay que añadir 0,40 m y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 y = −0,40 m y 0 = 0 v 0 = −11,0 m / s y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 y = −0,40 m y 0 = 0 v 0 = −11,0 m / s − 0,40 = −11,0 t − 4,9 t 2 o 4,9 t 2 + 11,0 t − 0,40 = 0 . Tome la raíz positiva, por lo que el tiempo para recorrer los 0,4 m adicionales es de 0,04 s. El tiempo total es 2,24 s + 0,04 s = 2,28 s . Lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 15,0 m/s. Pasa por una rama de árbol en el camino a una altura de 7,0 m. ¿Cuánto tiempo adicional transcurre antes de que la pelota pase por la rama del árbol en el camino de vuelta? Un canguro puede saltar sobre un objeto de 2,50 m de altura. (a) Considerando solo su movimiento vertical, calcule su rapidez vertical cuando abandona el suelo. (b) ¿Cuánto tiempo está en el aire? a. v 2 = v 0 2 − 2 g ( y − y 0 ) y 0 = 0 v = 0 y = 2,50 m v 0 2 = 2 g y ⇒ v 0 = 2 ( 9,80 ) ( 2,50 ) = 7,0 m / s ; b. t = 0,72 s por 2 da 1,44 s en el aire De pie en la base de uno de los acantilados del monte Arapiles en Victoria, Australia, un excursionista oye cómo se desprende una roca desde una altura de 105,0 m. No puede ver la roca de inmediato, pero luego sí, 1,50 s después. (a) ¿A qué distancia por encima del excursionista está la roca cuando la oye? (b) ¿Cuánto tiempo tiene para moverse antes de que la roca le golpee la cabeza? Hay un acantilado de 250 metros de altura en Half Dome, en el Parque Nacional de Yosemite, en California. Supongamos que una roca se desprende de la cima de este acantilado. (a) ¿A qué velocidad irá cuando choque contra el suelo? (b) Suponiendo un tiempo de reacción de 0,300 s, ¿cuánto tiempo tendrá un turista que se encuentre en la parte inferior para apartarse tras oír el ruido de la roca al desprenderse (sin tener en cuenta la altura del turista, que de todas formas sería despreciable si lo golpea)? La velocidad del sonido es de 335,0 m/s en este día. a. v = 70,0 m / s ; b. tiempo que se escucha después de que la roca comienza a caer: 0,75 s, tiempo para llegar al suelo: 6,09 s aceleración debida a la gravedad aceleración de un objeto como resultado de la gravedad caída libre el estado de movimiento que resulta de la fuerza gravitatoria únicamente

Ciencia


Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración En esta sección se asume que usted tiene suficiente experiencia en cálculo para estar familiarizado con la integración. En Velocidad y rapidez instantáneas y Aceleración media e instantánea introducimos las funciones cinemáticas de velocidad y aceleración con el empleo de la derivada. Al tomar la derivada de la función de posición encontramos la función de velocidad; igualmente, al tomar la derivada de la función de velocidad encontramos la función de aceleración. Mediante el cálculo integral, podemos trabajar hacia atrás y calcular la función de velocidad a partir de la función de aceleración, y la función de posición a partir de la función de velocidad. Ecuaciones cinemáticas del cálculo integral Empecemos con una partícula con una aceleración a (t) que es una función conocida del tiempo. Dado que la derivada de tiempo de la función de velocidad es la aceleración, d d t v ( t ) = a ( t ) , podemos tomar la integral indefinida de ambos lados, al encontrar ∫ d d t v ( t ) d t = ∫ a ( t ) d t + C 1 , donde C 1 es una constante de integración. Dado que ∫ d d t v ( t ) d t = v ( t ) , la velocidad viene dada por v ( t ) = ∫ a ( t ) d t + C 1 . Del mismo modo, la derivada temporal de la función de posición es la función de velocidad, d d t x ( t ) = v ( t ) . Por lo tanto, podemos utilizar las mismas manipulaciones matemáticas que acabamos de emplear y encontrar x ( t ) = ∫ v ( t ) d t + C 2 , donde C 2 es una segunda constante de integración. Podemos derivar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante mediante el empleo de estas integrales. Con a ( t ) = a una constante, y al hacer la integración en la , encontramos v ( t ) = ∫ a d t + C 1 = a t + C 1 . Si la velocidad inicial es v (0) = v 0 , entonces v 0 = 0 + C 1 . Luego, C 1 = v 0 y v ( t ) = v 0 + a t , que es la . Al sustituir esta expresión en la obtenemos x ( t ) = ∫ ( v 0 + a t ) d t + C 2 . Haciendo la integración, encontramos x ( t ) = v 0 t + 1 2 a t 2 + C 2 . Si x (0) = x 0 , tenemos x 0 = 0 + 0 + C 2 ; por lo tanto, C 2 = x 0 . Al sustituir de nuevo en la ecuación de x ( t ), tenemos finalmente x ( t ) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 , que es la . Movimiento de una lancha a motor Una lancha a motor viaja a una velocidad constante de 5,0 m/s cuando comienza a desacelerar para llegar al muelle. Su aceleración es a ( t ) = − 1 4 t m/ s 3 . (a) ¿Cuál es la función de velocidad de la lancha a motor? (b) ¿En qué momento la velocidad llega a cero? (c) ¿Cuál es la función de posición de la lancha a motor? (d) ¿Cuál es el desplazamiento de la lancha a motor desde que comienza a desacelerar hasta que la velocidad es cero? (e) Grafique las funciones de velocidad y posición. Estrategia (a) Para obtener la función de velocidad debemos integrar y utilizar las condiciones iniciales para encontrar la constante de integración. (b) Establecemos la función de velocidad igual a cero y resolvemos t . (c) De forma similar, debemos integrar para encontrar la función de posición y utilizar las condiciones iniciales para encontrar la constante de integración. (d) Como la posición inicial se toma como cero, solo tenemos que evaluar la función de posición en el momento en que la velocidad es cero. Solución Tomamos t = 0 como el tiempo en que la lancha comienza a desacelerar. A partir de la forma funcional de la aceleración podemos resolver la para obtener v ( t ): v ( t ) = ∫ a ( t ) d t + C 1 = ∫ − 1 4 t d t + C 1 = − 1 8 t 2 + C 1 . En t = 0 tenemos v (0) = 5,0 m/s = 0 + C 1 , por lo que C 1 = 5,0 m/s o v ( t ) = 5,0 m/ s − 1 8 t 2 . v ( t ) = 0 = 5,0 m/ s − 1 8 t 2 m/ s 3 ⇒ t = 6,3 s Resolvemos la : x ( t ) = ∫ v ( t ) d t + C 2 = ∫ ( 5,0 − 1 8 t 2 ) d t + C 2 = 5,0 t m/s − 1 24 t 3 m/ s 3 + C 2 . En t = 0, suponemos que x (0) = 0 = x 0 , dado que solo nos interesa el desplazamiento a partir del momento en que la lancha comienza a desacelerar. Tenemos x ( 0 ) = 0 = C 2 . Por lo tanto, la ecuación de la posición es x ( t ) = 5,0 t − 1 24 t 3 . Como la posición inicial se toma como cero, solo tenemos que evaluar la función de posición en el momento en que la velocidad es cero. Esto ocurre en t = 6,3 s. Por lo tanto, el desplazamiento es x ( 6,3 ) = 5,0 ( 6,3 s ) − 1 24 ( 6,3 s ) 3 = 21,1 m . (a) Velocidad de la lancha a motor en función del tiempo. La lancha reduce su velocidad a cero en 6,3 s. En tiempos superiores a este, la velocidad se vuelve negativa, es decir, la lancha invierte su dirección. (b) Posición de la lancha a motor en función del tiempo. En t = 6,3 s, la velocidad es cero y la lancha se ha detenido. En momentos superiores a este, la velocidad se vuelve negativa, es decir, si la lancha sigue moviéndose con la misma aceleración, invierte la dirección y se dirige de vuelta al lugar de origen. Importancia La función de aceleración es lineal en el tiempo, por lo que la integración implica polinomios simples. En la , vemos que si extendemos la solución más allá del punto en que la velocidad es cero, la velocidad se vuelve negativa y la lancha invierte su dirección. Esto nos dice que las soluciones pueden darnos información fuera de nuestro interés inmediato y que debemos tener cuidado al interpretarlas. Una partícula parte del reposo y tiene una función de aceleración a ( t ) = ( 5 – ( 10 1 s ) t ) m s 2 . (a) ¿Cuál es la función de velocidad? (b) ¿Cuál es la función de posición? (c) ¿Cuándo es cero la velocidad? La función de velocidad es la integral de la función de aceleración más una constante de integración. Según la , v ( t ) = ∫ a ( t ) d t + C 1 = ∫ ( 5 − 10 t ) d t + C 1 = 5 t − 5 t 2 + C 1 . Dado que v (0) = 0, tenemos que C 1 = 0; por lo tanto, v ( t ) = 5 t − 5 t 2 . Según la , x ( t ) = ∫ v ( t ) d t + C 2 = ∫ ( 5 t − 5 t 2 ) d t + C 2 = 5 2 t 2 − 5 3 t 3 + C 2 . Dado que x (0) = 0, tenemos C 2 = 0, y x ( t ) = 5 2 t 2 − 5 3 t 3 . La velocidad puede escribirse como v ( t ) = 5 t (1 - t ), que es igual a cero en t = 0, y t = 1 s. Resumen El cálculo integral nos brinda una formulación más completa de la cinemática. Si se conoce la aceleración a ( t ), podemos utilizar el cálculo integral para derivar expresiones para la velocidad v ( t ) y la posición x ( t ). Si la aceleración es constante, las ecuaciones integrales se reducen a la y la para el movimiento con aceleración constante. Ecuaciones clave Desplazamiento Δ x = x f − x i Desplazamiento total Δ x Total = ∑ Δ x i Velocidad media (para una aceleración constante) v – = Δ x Δ t = x 2 − x 1 t 2 − t 1 Velocidad instantánea v ( t ) = d x ( t ) d t Rapidez media Rapidez media = s – = Distancia total Tiempo transcurrido Rapidez instantánea Rapidez instantánea = | v ( t ) | Aceleración media a – = Δ v Δ t = v f − v 0 t f − t 0 Aceleración instantánea a ( t ) = d v ( t ) d t Posición a partir de la velocidad media x = x 0 + v – t Velocidad media v – = v 0 + v 2 Velocidad a partir de la aceleración v = v 0 + a t ( constante a ) Posición a partir de la velocidad y la aceleración x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ( constante a ) Velocidad a partir de la distancia v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) ( constante a ) Velocidad de caída libre v = v 0 − g t (positivo ascendente) Altura de la caída libre y = y 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 Velocidad de caída libre desde la altura v 2 = v 0 2 − 2 g ( y − y 0 ) Velocidad a partir de la aceleración v ( t ) = ∫ a ( t ) d t + C 1 Posición a partir de la velocidad x ( t ) = ∫ v ( t ) d t + C 2 Preguntas conceptuales Cuando se da la función de aceleración, ¿qué otra información se necesita para encontrar la función de velocidad y la función de posición? Problemas La aceleración de una partícula varía con el tiempo según la ecuación a ( t ) = p t 2 − q t 3 . Inicialmente, la velocidad y la posición son cero. (a) ¿Cuál es la velocidad en función del tiempo? (b) ¿Cuál es la posición en función del tiempo? Entre t = 0 y t = t 0 , un cohete se mueve en línea recta hacia arriba con una aceleración dada por a ( t ) = A − B t 1 / 2 , donde A y B son constantes. (a) Si x está en metros y t en segundos, ¿cuáles son las unidades de A y B ? (b) Si el cohete parte del reposo, ¿cómo varía la velocidad entre t = 0 y t = t 0 ? (c) Si su posición inicial es cero, ¿cuál es la posición del cohete en función del tiempo durante este mismo intervalo de tiempo? a. A = m/s 2 B = m/s 5 / 2 ; b. v ( t ) = ∫ a ( t ) d t + C 1 = ∫ ( A − B t 1 / 2 ) d t + C 1 = A t − 2 3 B t 3 / 2 + C 1 v ( 0 ) = 0 = C 1 así que v ( t 0 ) = A t 0 − 2 3 B t 0 3/2 ; c. x ( t ) = ∫ v ( t ) d t + C 2 = ∫ ( A t − 2 3 B t 3 / 2 ) d t + C 2 = 1 2 A t 2 − 4 15 B t 5 / 2 + C 2 x ( 0 ) = 0 = C 2 así que x ( t 0 ) = 1 2 A t 0 2 − 4 15 B t 0 5/2 La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía con el tiempo según v ( t ) = A + B t −1 , donde A = 2 m/s, B = 0,25 m, y 1,0 s ≤ t ≤ 8,0 s . Determine la aceleración y la posición de la partícula en t = 2,0 s y t = 5,0 s. Supongamos que x ( t = 1 s ) = 0 . Una partícula en reposo sale del origen con su velocidad que se incrementa con el tiempo según v ( t ) = 3,2 t m/s. A los 5,0 s, la velocidad de la partícula empieza a disminuir según [16,0 - 1,5( t - 5,0)] m/s. Esta disminución continúa hasta t = 11,0 s, después de lo cual la velocidad de la partícula permanece constante en 7,0 m/s. (a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula en función del tiempo? (b) ¿Cuál es la posición de la partícula en t = 2,0 s, t = 7,0 s y t = 12,0 s? a. a ( t ) = 3,2 m/s 2 t ≤ 5,0 s a ( t ) = 1,5 m/s 2 5,0 s ≤ t ≤ 11,0 s a ( t ) = 0 m/s 2 t > 11,0 s ; b. x ( t ) = ∫ v ( t ) d t + C 2 = ∫ 3,2 t d t + C 2 = 1,6 t 2 + C 2 t ≤ 5,0 s x ( 0 ) = 0 ⇒ C 2 = 0 por lo tanto, x ( 2,0 s ) = 6,4 m x ( t ) = ∫ v ( t ) d t + C 2 = ∫ [ 16,0 − 1,5 ( t − 5,0 ) ] d t + C 2 = 16 t − 1,5 ( t 2 2 − 5,0 t ) + C 2 5,0 ≤ t ≤ 11,0 s x ( 5 s ) = 1,6 ( 5,0 ) 2 = 40 m = 16 ( 5,0 s ) − 1,5 ( 5 2 2 − 5,0 ( 5,0 ) ) + C 2 40 = 98,75 + C 2 ⇒ C 2 = -58,75 x ( 7,0 s ) = 16 ( 7,0 ) − 1,5 ( 7 2 2 − 5,0 ( 7 ) ) − 58,75 = 69 m x ( t ) = ∫ 7,0 d t + C 2 = 7 t + C 2 t ≥ 11,0 s x ( 11,0 s ) = 16 ( 11 ) − 1,5 ( 11 2 2 − 5,0 ( 11 ) ) − 58,75 = 109 = 7 ( 11,0 s ) + C 2 ⇒ C 2 = 32 m x ( t ) = 7 t + 32 m x ≥ 11,0 s ⇒ x ( 12,0 s ) = 7 ( 12 ) + 32 = 116 m Problemas adicionales El jugador de béisbol profesional Nolan Ryan podía lanzar la pelota aproximadamente a 160,0 km/h. A esa velocidad media, ¿cuánto tarda la pelota que lanzó Ryan en llegar al plato de home, que está a 18,4 m del montículo del lanzador? Compárelo con el tiempo promedio de reacción de un ser humano ante un estímulo visual, que es de 0,25 s. Un avión sale de Chicago y realiza el trayecto de 3.000 km hasta Los Ángeles en 5,0 h. Un segundo avión sale de Chicago media hora más tarde y llega a Los Ángeles a la misma hora. Compare la velocidad media de los dos aviones. Ignore la curvatura de la Tierra y la diferencia de altitud entre las dos ciudades. Tome el oeste como la dirección positiva. Primer avión: ν – = 600 km/h Segundo avión: ν – = 667,0 km/h Resultados poco razonables. Un ciclista recorre 16,0 km al este, luego 8,0 km al oeste, después 8,0 km al este, luego 32,0 km al oeste y finalmente 11,2 km al este. Si su velocidad media es de 24 km/h, ¿cuánto tiempo tardó en realizar el viaje? ¿Es un tiempo razonable? Un objeto tiene una aceleración de + 1,2 cm/s 2 . En t = 4,0 s , su velocidad es − 3,4 cm/s . Determine las velocidades del objeto en t = 1,0 s y t = 6,0 s . a = v − v 0 t − t 0 , t = 0 , a = − 3,4 cm/s − v 0 4 s = 1,2 cm/s 2 ⇒ v 0 = − 8,2 cm/s v = v 0 + a t = − 8,2 + 1,2 t ; v = −7,0 cm/s v = −1,0 cm/s Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación x ( t ) = 2,0 − 4,0 t 2 m. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración en t = 2,0 s y t = 5,0 s? Una partícula que se mueve con aceleración constante tiene velocidades de 2,0 m/s en t = 2,0 s y − 7,6 m/s en t = 5,2 s. ¿Cuál es la aceleración de la partícula? a = −3 m/s 2 Un tren asciende por una pendiente pronunciada a velocidad constante (ver la siguiente figura) cuando su furgón de cola se suelta y empieza a rodar libremente por la vía. Después de 5,0 s, el furgón de cola se encuentra a 30 m por detrás del tren. ¿Cuál es la aceleración del furgón de cola? Un electrón se mueve en línea recta, a una velocidad de 4,0 × 10 5 m/s. Entra en una región de 5,0 cm de longitud, donde sufre una aceleración de 6,0 × 10 12 m/s 2 a lo largo de la misma línea recta. a) ¿Cuál es la velocidad del electrón cuando sale de esta región? b) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en atravesar la región? a. v = 8,7 × 10 5 m/s ; b. t = 7,8 × 10 − 8 s Una conductora de ambulancia lleva a un paciente al hospital. Mientras viaja a 72 km/h, se da cuenta de que el semáforo de los próximos cruces se ha puesto en ámbar. Para llegar a la intersección antes de que el semáforo se ponga en rojo, debe recorrer 50 m en 2,0 s. (a) ¿Qué aceleración mínima debe tener la ambulancia para llegar a la intersección antes de que el semáforo se ponga en rojo? (b) ¿Cuál es la rapidez de la ambulancia cuando llega a la intersección? Una motocicleta que desacelera uniformemente recorre 2,0 km sucesivos en 80 s y 120 s, respectivamente. Calcule (a) la aceleración de la motocicleta y (b) su velocidad al principio y al final del recorrido de 2 km. 1 km = v 0 ( 80,0 s ) + 1 2 a ( 80,0 ) 2 ; 2 km = v 0 ( 200,0 ) + 1 2 a ( 200,0 ) 2 resuelva simultáneamente para obtener a = − 0,1 2400,0 km/s 2 y v 0 = 0,014167 km/s , que es 51,0 km/h . La velocidad al final del viaje es v = 21,0 km/h . Una ciclista viaja del punto A al punto B en 10 min. Durante los primeros 2,0 min de su viaje, mantiene una aceleración uniforme de 0,090 m/s 2 . A continuación, se desplaza a velocidad constante durante los siguientes 5,0 min. Después, desacelera a una tasa constante, de modo que se detiene en el punto B 3,0 min más tarde. (a) Haga un esquema del gráfico de velocidad en función del tiempo para el viaje. (b) ¿Cuál es la aceleración durante los últimos 3 min? (c) ¿Qué distancia recorre la ciclista? Dos trenes se desplazan a 30 m/s en direcciones opuestas en la misma vía. Los ingenieros ven simultáneamente que están en curso de colisión y aplican los frenos cuando están a 1000 m de distancia. Suponiendo que ambos trenes tienen la misma aceleración, ¿cuál debe ser esta aceleración para que los trenes se detengan justo antes de colisionar? a = -0,9 m/s 2 Un camión de 10,0 m de longitud, que se desplaza a una velocidad constante de 97,0 km/h, adelanta a un auto de 3,0 m de longitud, que se desplaza a una velocidad constante de 80,0 km/h. ¿Cuánto tiempo transcurre entre el momento en que la parte delantera del camión está a la par de la parte trasera del auto y el momento en que la parte trasera del camión está a la par de la parte delantera del auto? Un auto de policía espera escondido un poco fuera de la carretera. El auto de policía detecta a un auto que circula a gran velocidad, a 40 m/s. En el momento en que el auto que va a gran velocidad pasa por delante del auto de policía, este acelera desde el reposo a 4 m/s 2 para alcanzar al auto que va a gran velocidad. ¿Cuánto tiempo tarda el auto de policía en alcanzar al auto que va a gran velocidad? Ecuación para el auto que va a gran velocidad: este auto tiene una velocidad constante, que es la velocidad media, y no está acelerando, por lo que utilizamos la ecuación del desplazamiento con x 0 = 0 : x = x 0 + v – t = v – t ; ecuación para el auto de policía: este auto está acelerando, así que utilizamos la ecuación del desplazamiento con x 0 = 0 y v 0 = 0 , ya que el auto de policía arranca desde el reposo: x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 = 1 2 a t 2 ; ahora tenemos una ecuación de movimiento para cada auto con un parámetro común, que puede eliminarse para encontrar la solución. En este caso, resolvemos t . Paso 1, eliminar x : x = v – t = 1 2 a t 2 ; paso 2, resolver t : t = 2 v – a . El auto que va a gran velocidad tiene una velocidad constante de 40 m/s, que es su velocidad media. La aceleración del auto de policía es de 4 m/s 2 . Al evaluar t , el tiempo que tarda el auto de policía en alcanzar al auto que va a gran velocidad, tenemos t = 2 v – a = 2 ( 40 ) 4 = 20 s . Pablo corre en una media maratón a una velocidad de 3 m/s. Otro corredor, Jacob, está 50 metros detrás de Pablo, a la misma velocidad. Jacob comienza a acelerar a 0,05 m/s 2 . (a) ¿Cuánto tiempo tarda Jacob en alcanzar a Pablo? (b) ¿Cuál es la distancia recorrida por Jacob? (c) ¿Cuál es la velocidad final de Jacob? Resultados poco razonables. Una corredora se acerca a la línea de meta y se encuentra a 75 m; su rapidez en esta posición es de 8 m/s. En este punto decelera a 0,5 m/s 2 . ¿Cuánto tarda en cruzar la línea de meta a 75 m de distancia? ¿Esto es razonable? Con esta aceleración se detiene por completo en t = − v 0 a = 8 0,5 = 16 s , pero la distancia recorrida es x = 8 m/s(16 s) − 1 2 ( 0,5 ) ( 16 s ) 2 = 64 m , que es menor que la distancia que le separa de la meta, por lo que nunca termina la carrera. Un avión acelera a 5,0 m/s 2 durante 30,0 s. Durante este tiempo, cubre una distancia de 10,0 km. ¿Cuáles son las velocidades inicial y final del avión? Compare la distancia recorrida por un objeto que experimenta un cambio de velocidad que es el doble de su velocidad inicial con un objeto que cambia su velocidad cuatro veces su velocidad inicial durante el mismo tiempo. Las aceleraciones de ambos objetos son constantes. x 1 = 3 2 v 0 t x 2 = 5 3 x 1 Un objeto se mueve hacia el este a una velocidad constante y se encuentra en la posición x 0 en tiempo t 0 = 0 . (a) ¿Qué aceleración debe tener el objeto para que su desplazamiento total sea cero en un tiempo t posterior? (b) ¿Cuál es la interpretación física de la solución en el caso de t → ∞ ? Se lanza una pelota directamente hacia arriba. Pasa por una ventana de 2,00 m de altura a 7,50 m del suelo en su camino hacia arriba y tarda 1,30 s en pasar por la ventana. ¿Cuál era la velocidad inicial de la pelota? v 0 = 7,9 m/s velocidad en la parte inferior de la ventana. v = 7,9 m/s v 0 = 14,1 m/s Se deja caer una moneda desde un globo aerostático, que está a 300 m del suelo y que se eleva a 10,0 m/s hacia arriba. Para la moneda, halle: (a) la altura máxima alcanzada, (b) su posición y velocidad 4,00 s después de soltarla, y (c) el tiempo antes de que toque el suelo. Una pelota de tenis se deja caer sobre un suelo duro desde una altura de 1,50 m y rebota hasta una altura de 1,10 m. (a) Calcule su velocidad justo antes de que golpee el suelo. (b) Calcule su velocidad justo después de que abandone el suelo al volver a subir. (c) Calcule su aceleración durante el contacto con el suelo si ese contacto dura 3,50 ms ( 3,50 × 10 − 3 s ) (d) ¿Cuánto se comprimió la pelota durante su colisión con el suelo, suponiendo que el suelo es absolutamente rígido? a. v = 5,42 m/s ; b. v = 4,64 m/s ; c. a = 2874,28 m/s 2 ; d. ( x − x 0 ) = 5,11 × 10 − 3 m Resultados poco razonables . Una gota de lluvia cae desde una nube a 100 m de altura. Ignore la resistencia del aire. ¿Cuál es la rapidez de la gota de lluvia cuando toca el suelo? ¿Es una cifra razonable? Compare el tiempo en el aire de un jugador de baloncesto que salta 1,0 m en vertical desde el suelo con el de un jugador que salta 0,3 m en vertical. Considere que los jugadores caen desde el reposo a la altura de 1,0 m y 0,3 m. 0,9 s 0,5 s Supongamos que una persona tarda 0,5 s en reaccionar y mover la mano para coger un objeto que se le ha caído. (a) ¿A qué distancia cae el objeto en la Tierra, donde g = 9,8 m/s 2 ? (b) ¿A qué distancia cae el objeto en la Luna, donde la aceleración debida a la gravedad es 1/6 de la de la Tierra? Un globo aerostático se eleva desde el nivel del suelo a una velocidad constante de 3,0 m/s. Un minuto después del despegue, un saco de arena cae accidentalmente desde el globo. Calcule (a) el tiempo que tarda el saco de arena en llegar al suelo y (b) la velocidad del saco de arena cuando toca el suelo. a. t = 6,37 s tomando la raíz positiva; b v = 59,5 m/s (a) En los Juegos Olímpicos de Pekín 2008, el jamaicano Usain Bolt estableció el récord mundial de la carrera de 100 m. Bolt cruzó la línea de meta con un tiempo de 9,69 segundos. Si suponemos que Bolt aceleró durante 3,00 s para alcanzar su rapidez máxima, y mantuvo esa rapidez durante el resto de la carrera, calcule su rapidez máxima y su aceleración. (b) Durante los mismos Juegos Olímpicos, Bolt también estableció el récord mundial en la carrera de 200 m con un tiempo de 19,30 s. Utilizando los mismos supuestos que para la carrera de 100 m, ¿cuál fue su rapidez máxima en esta carrera? Un objeto se deja caer desde una altura de 75,0 m sobre el nivel del suelo. (a) Determine la distancia recorrida durante el primer segundo. (b) Determine la velocidad final con la que el objeto golpea el suelo. (c) Determine la distancia recorrida durante el último segundo de movimiento antes de golpear el suelo. a. y = 4,9 m ; b. v = 38,3 m/s ; c. -33,3 m Una bola de acero se deja caer sobre un suelo duro desde una altura de 1,50 m y rebota hasta una altura de 1,45 m. (a) Calcule su velocidad justo antes de golpear el suelo. (b) Calcule su velocidad justo después de abandonar el suelo al volver a subir. (c) Calcule su aceleración durante el contacto con el suelo si ese contacto dura 0,0800 ms ( 8,00 × 10 − 5 s ) (d) ¿Cuánto se comprimió la pelota durante su colisión con el suelo, suponiendo que el suelo sea absolutamente rígido? Se deja caer un objeto desde el tejado de un edificio de altura h . Durante el último segundo de su descenso, desciende a una distancia de h /3. Calcule la altura del edificio. h = 1 2 g t 2 , h = altura total y tiempo de caída al suelo 2 3 h = 1 2 g ( t − 1 ) 2 en t - 1 segundos baja 2/3 h 2 3 ( 1 2 g t 2 ) = 1 2 g ( t − 1 ) 2 o t 2 3 = 1 2 ( t − 1 ) 2 0 = t 2 − 6 t + 3 t = 6 ± 6 2 − 4 · 3 2 = 3 ± 24 2 t = 5,45 s y h = 145,5 m. La otra raíz es inferior a 1 s. Para comprobar t = 4,45 s h = 1 2 g t 2 = 97,0 m = 2 3 ( 145,5 ) Problemas de desafío En una carrera de 100 metros, la ganadora es cronometrada en 11,2 s. El tiempo de la segunda clasificada es de 11,6 s. ¿A qué distancia se encuentra la segunda clasificada de la ganadora cuando cruza la línea de meta? Supongamos que la velocidad de cada corredora es constante durante toda la carrera. La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje de la x varía con el tiempo según x ( t ) = 5,0 t 2 − 4,0 t 3 m. Calcule (a) la velocidad y la aceleración de la partícula como funciones del tiempo, (b) la velocidad y la aceleración en t = 2,0 s, (c) el tiempo en que la posición es un máximo, (d) el tiempo en que la velocidad es cero, y (e) la posición máxima. a. v ( t ) = 10 t − 12 t 2 m/s, a ( t ) = 10 − 24 t m/s 2 ; b. v ( 2 s ) = −28 m/s, a ( 2 s ) = −38 m/s 2 ; c. La pendiente de la función de posición es cero o la velocidad es cero. Hay dos soluciones posibles: t = 0, que da x = 0, o t = 10,0/12,0 = 0,83 s, que da x = 1,16 m. La segunda respuesta es la opción correcta; d. 0,83 s (e) 1,16 m Una ciclista esprinta al final de una carrera para conseguir la victoria. Tiene una velocidad inicial de 11,5 m/s y acelera a una tasa de 0,500 m/s 2 durante 7,00 s. (a) ¿Cuál es su velocidad final? (b) La ciclista continúa con esta velocidad hasta la meta. Si está a 300 m de la meta cuando empieza a acelerar, ¿cuánto tiempo ha ahorrado? c) El segundo clasificado llevaba 5,00 m de ventaja cuando la ganadora empezó a acelerar, pero él no pudo hacerlo y recorrió a 11,8 m/s hasta la meta. ¿Cuál fue la diferencia de tiempo de llegada en segundos entre la ganadora y el subcampeón? ¿A qué distancia estaba el subcampeón cuando la ganadora cruzó la línea de meta? En 1967, el neozelandés Burt Munro estableció el récord mundial para una motocicleta Indian, en el Salar Bonneville de Utah, de 295,38 km/h. El recorrido de ida era de 8,00 km de largo. Las tasas de aceleración suelen describirse por el tiempo que se tarda en alcanzar los 96,0 km/h desde el reposo. Si este tiempo fue de 4,00 s y Burt aceleró a ese ritmo hasta alcanzar su rapidez máxima, ¿cuánto tiempo tardó Burt en completar el recorrido? 96 km/h = 26,67 m/s, a = 26,67 m/s 4,0 s = 6,67 m/s 2 , 295,38 km/h = 82,05 m/s, t = 12,3 s tiempo para acelerar a la velocidad máxima x = 504,55 m distancia recorrida durante la aceleración 7.495,44 m a una rapidez constante 7.495,44 m 82,05 m/s = 91,35 s por lo que el tiempo total es 91,35 s + 12,3 s = 103,65 s .

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Introducción Los Red Arrows son el equipo de acrobacias aéreas de la Fuerza Aérea Real británica. Con sede en Lincolnshire, Inglaterra, realizan espectáculos de vuelo de precisión a altas velocidades, lo que requiere una medición precisa de la posición, la velocidad y la aceleración en tres dimensiones (créditos: modificación del trabajo de Phil Long). Para dar una descripción completa de la cinemática, debemos explorar el movimiento en dos y tres dimensiones. Al fin y al cabo, la mayoría de los objetos de nuestro universo no se mueven en línea recta, sino que siguen trayectorias curvas. Desde los balones de fútbol pateados, las trayectorias de vuelo de los pájaros y los movimientos orbitales de los cuerpos celestes, hasta el flujo de plasma sanguíneo en las venas, la mayoría de los movimientos siguen trayectorias curvas. Afortunadamente, el tratamiento del movimiento en una dimensión en el capítulo anterior nos ha dado una base sobre la que construir, ya que los conceptos de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración definidos en una dimensión pueden ampliarse a dos y tres dimensiones. Pensemos en los Red Arrows, también conocidos como el equipo acrobático de la Real Fuerza Aérea del Reino Unido. Cada jet sigue una trayectoria curva única en el espacio aéreo tridimensional, además de tener una velocidad y una aceleración únicas. Así, para describir el movimiento de cualquiera de los jets con precisión, debemos asignar a cada jet un único vector de posición en tres dimensiones, así como un único vector de velocidad y aceleración. Podemos aplicar las mismas ecuaciones básicas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, que derivamos en Movimiento en línea recta para describir el movimiento de los jets en dos y tres dimensiones. Esta vez, con algunas modificaciones, en particular, la inclusión de vectores. En este capítulo también exploramos dos tipos especiales de movimiento en dos dimensiones: el movimiento de proyectil y el movimiento circular. Por último, concluimos con un análisis sobre el movimiento relativo. En la imagen que abre el capítulo, cada jet tiene un movimiento relativo con respecto a cualquier otro jet del grupo o a los espectadores del espectáculo aéreo en tierra.

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Vectores de desplazamiento y velocidad El desplazamiento y la velocidad en dos o tres dimensiones son extensiones directas de las definiciones unidimensionales. Sin embargo, ahora son cantidades vectoriales, por lo que los cálculos con ellas tienen que seguir las reglas del álgebra vectorial, no del álgebra escalar. Vector de desplazamiento Para describir el movimiento en dos y tres dimensiones, primero debemos establecer un sistema de coordenadas y una convención para los ejes. Generalmente utilizamos las coordenadas de la x , la y y la z para localizar una partícula en el punto P ( x , y , z ) en tres dimensiones. Si la partícula se mueve, las variables de la x , la y y la z son funciones del tiempo ( t ): x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) . El vector de posición desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto P es r → ( t ) . En notación vectorial unitaria, presentada en Sistemas de coordenadas y componentes de un vector , r → ( t ) es r → ( t ) = x ( t ) i ^ + y ( t ) j ^ + z ( t ) k ^ . La muestra el sistema de coordenadas y el vector hacia el punto P , donde una partícula podría estar situada en un tiempo t determinado. Observe la orientación de los ejes de la x , la y y la z . Esta orientación se denomina sistema de coordenadas de la mano derecha ( Sistemas de coordenadas y componentes de un vector ) y se utiliza a lo largo del capítulo. Un sistema de coordenadas tridimensional con una partícula en la posición P ( x ( t ), y ( t ), z ( t )). Con nuestra definición de la posición de una partícula en el espacio tridimensional, podemos formular el desplazamiento tridimensional. La muestra una partícula en el tiempo t 1 situada en P 1 con vector de posición r → ( t 1 ) . En un tiempo posterior t 2 , la partícula se encuentra en P 2 con vector de posición r → ( t 2 ) . El vector de desplazamiento Δ r → se encuentra restando r → ( t 1 ) de r → ( t 2 ) : Δ r → = r → ( t 2 ) − r → ( t 1 ) . La adición de vectores se trata en Vectores . Observe que es la misma operación que hicimos en una dimensión, pero ahora los vectores están en un espacio tridimensional. El desplazamiento Δ r → = r → ( t 2 ) − r → ( t 1 ) es el vector desde P 1 hasta P 2 . Los siguientes ejemplos ilustran el concepto de desplazamiento en múltiples dimensiones. Satélite de órbita polar Un satélite se encuentra en una órbita polar circular alrededor de la Tierra a una altitud de 400 km, lo que significa que pasa directamente por encima de los polos norte y sur. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del vector de desplazamiento desde que está directamente sobre el Polo Norte hasta que está a −45 ° de latitud? Estrategia Hacemos un dibujo del problema para visualizar la solución gráficamente. Esto nos permitirá entender el desplazamiento. A continuación, utilizamos los vectores unitarios para resolver el desplazamiento. Solución La muestra la superficie de la Tierra y un círculo que representa la órbita del satélite. Aunque los satélites se mueven en el espacio tridimensional, siguen trayectorias de elipses, que pueden graficarse en dos dimensiones. Los vectores de posición se dibujan desde el centro de la Tierra, que tomamos como origen del sistema de coordenadas, con el eje de la y como norte y el eje de la x como este. El vector entre ellos es el desplazamiento del satélite. Tomamos el radio de la Tierra como 6370 km, por lo que la longitud de cada vector de posición es de 6770 km. Se dibujan dos vectores de posición desde el centro de la Tierra, que es el origen del sistema de coordenadas, con el eje de la y como norte y el eje de la x como este. El vector entre ellos es el desplazamiento del satélite. En notación vectorial unitaria, los vectores de posición son r → ( t 1 ) = 6770. km j ^ r → ( t 2 ) = 6770. km ( cos ( -45 ° ) ) i ^ + 6770. km ( sen ( −45 ° ) ) j ^ . Al evaluar el seno y el coseno, tenemos r → ( t 1 ) = 6770. j ^ r → ( t 2 ) = 4.787 i ^ − 4.787 j ^ . Ahora podemos encontrar Δ r → , el desplazamiento del satélite: Δ r → = r → ( t 2 ) − r → ( t 1 ) = 4.787 i ^ − 11.557 j ^ . La magnitud del desplazamiento es | Δ r → | = ( 4.787 ) 2 + ( −11.557 ) 2 = 12.509 km . El ángulo que forma el desplazamiento con el eje de la x es θ = tan −1 ( −11.557 4.787 ) = -67,5 ° . Importancia El trazado del desplazamiento brinda información y significado a la solución del vector unitario del problema. Al trazar el desplazamiento, debemos incluir sus componentes, así como su magnitud y el ángulo que forma con un eje elegido, en este caso, el eje de la x ( ). Vector de desplazamiento con componentes, ángulo y magnitud. Observe que, en este ejemplo, el satélite tomó una trayectoria curva a lo largo de su órbita circular para llegar desde su posición inicial hasta su posición final. También podría haber viajado 4.787 km al este y luego 11.557 km al sur para llegar al mismo lugar. Ambas trayectorias son más largas que la longitud del vector de desplazamiento. De hecho, el vector de desplazamiento da el trayecto más corto entre dos puntos en una, dos o tres dimensiones. Muchas aplicaciones en física pueden tener una serie de desplazamientos, como se ha comentado en el capítulo anterior. El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos individuales, solo que esta vez hay que tener cuidado, porque estamos sumando vectores. Ilustramos este concepto con un ejemplo de movimiento browniano. Movimiento browniano El movimiento browniano es un movimiento aleatorio y caótico de las partículas suspendidas en un fluido, resultante de las colisiones con las moléculas del mismo. Este movimiento es tridimensional. Los desplazamientos en orden numérico de una partícula que experimenta un movimiento browniano podrían tener el siguiente aspecto, en micrómetros ( ): Δ r → 1 = 2,0 i ^ + j ^ + 3,0 k ^ Δ r → 2 = − i ^ + 3,0 k ^ Δ r → 3 = 4,0 i ^ − 2,0 j ^ + k ^ Δ r → 4 = −3,0 i ^ + j ^ + 2,0 k ^ . ¿Cuál es el desplazamiento total de la partícula desde el origen? Trayectoria de una partícula sometida a desplazamientos aleatorios de movimiento browniano. El desplazamiento total se muestra en rojo. Solución Formamos la suma de los desplazamientos y los sumamos como vectores: Δ r → Total = ∑ Δ r → i = Δ r → 1 + Δ r → 2 + Δ r → 3 + Δ r → 4 = ( 2,0 − 1,0 + 4,0 − 3,0 ) i ^ + ( 1,0 + 0 − 2,0 + 1,0 ) j ^ + ( 3,0 + 3,0 + 1,0 + 2,0 ) k ^ = 2,0 i ^ + 0 j ^ + 9,0 k ^ μ m . Para completar la solución, expresamos el desplazamiento como magnitud y dirección, | Δ r → Total | = 2,0 2 + 0 2 + 9,0 2 = 9,2 μ m, θ = tan −1 ( 9 2 ) = 77 ° , con respecto al eje de la x en el plano xz . Importancia En la figura podemos ver que la magnitud del desplazamiento total es menor que la suma de la magnitud de cada uno de los desplazamientos. Vector de velocidad En el capítulo anterior encontramos la velocidad instantánea calculando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo. Podemos hacer la misma operación en dos y tres dimensiones, pero utilizamos vectores. El vector de velocidad instantánea ahora es v → ( t ) = lim Δ t → 0 r → ( t + Δ t ) − r → ( t ) Δ t = d r → d t . Veamos gráficamente la orientación relativa del vector de posición y del vector de velocidad. En la mostramos los vectores r → ( t ) y r → ( t + Δ t ) , que dan la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria representada por la línea gris. Cuando Δ t llega a cero, el vector de velocidad, dado por la , se vuelve tangente a la trayectoria de la partícula en el tiempo t . Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria dada por la línea gris. En el límite cuando Δ t se acerca a cero, el vector velocidad se vuelve tangente a la trayectoria de la partícula. La también puede escribirse en términos de los componentes de v → ( t ) . Dado que r → ( t ) = x ( t ) i ^ + y ( t ) j ^ + z ( t ) k ^ , podemos escribir v → ( t ) = v x ( t ) i ^ + v y ( t ) j ^ + v z ( t ) k ^ donde v x ( t ) = d x ( t ) d t , v y ( t ) = d y ( t ) d t , v z ( t ) = d z ( t ) d t . Si solo interesa la velocidad media, tenemos el equivalente vectorial de la velocidad media unidimensional para dos y tres dimensiones: v → avg = r → ( t 2 ) − r → ( t 1 ) t 2 − t 1 . Calcular el vector de velocidad La función de posición de una partícula es r → ( t ) = 2,0 t 2 i ^ + ( 2,0 + 3,0 t ) j ^ + 5,0 t k ^ m . (a) ¿Cuál es la velocidad instantánea y la rapidez en t = 2,0 s? (b) ¿Cuál es la velocidad media entre 1,0 s y 3,0 s? Solución Utilizando la y la , y tomando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo, encontramos (a) v ( t ) = d r ( t ) d t = 4,0 t i ^ + 3,0 j ^ + 5,0 k ^ m/s v → ( 2,0 s ) = 8,0 i ^ + 3,0 j ^ + 5,0 k ^ m/s Rapidez | v → ( 2,0 s ) | = 8 2 + 3 2 + 5 2 = 9,9 m/s . (b) De la , v → avg = r → ( t 2 ) − r → ( t 1 ) t 2 − t 1 = r → ( 3,0 s ) − r → ( 1,0 s ) 3,0 s − 1,0 s = ( 18 i ^ + 11 j ^ + 15 k ^ ) m − ( 2 i ^ + 5 j ^ + 5 k ^ ) m 2,0 s = ( 16 i ^ + 6 j ^ + 10 k ^ ) m 2,0 s = 8,0 i ^ + 3,0 j ^ + 5,0 k ^ m/s . Importancia Vemos que la velocidad media es la misma que la velocidad instantánea en t = 2,0 s, como resultado de que la función de velocidad es lineal. En general, esto no debería ser así. De hecho, la mayoría de las veces, las velocidades instantáneas y medias no son las mismas. La función de posición de una partícula es r → ( t ) = 3,0 t 3 i ^ + 4,0 j ^ . (a) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 3 s? (b) ¿Es la velocidad media entre 2 s y 4 s igual a la velocidad instantánea en t = 3 s? (a) Tomando la derivada con respecto al tiempo de la función de posición, tenemos v → ( t ) = 9,0 t 2 i ^ y v → (3,0s) = 81,0 i ^ m/s . (b) Como la función de velocidad no es lineal, sospechamos que la velocidad media no es igual a la velocidad instantánea. Lo revisamos y encontramos v → avg = r → ( t 2 ) − r → ( t 1 ) t 2 − t 1 = r → ( 4,0 s ) − r → ( 2,0 s ) 4,0 s − 2,0 s = ( 188 i ^ − 20 i ^ ) m 2,0 s = 84 i ^ m/s , que es diferente de v → (3,0s) = 81,0 i ^ m/s . La independencia de los movimientos perpendiculares Cuando observamos las ecuaciones tridimensionales de posición y velocidad escritas en notación vectorial unitaria, la y la , vemos que los componentes de estas ecuaciones son funciones separadas y únicas del tiempo que no dependen unas de otras. El movimiento a lo largo de la dirección de la x no tiene parte de su movimiento a lo largo de las direcciones de la y y la z , y de forma similar para los otros dos ejes de coordenadas. Por lo tanto, el movimiento de un objeto en dos o tres dimensiones puede dividirse en movimientos separados e independientes a lo largo de los ejes perpendiculares del sistema de coordenadas en el que se produce el movimiento. Para ilustrar este concepto con respecto al desplazamiento, considere a una mujer que camina del punto A al punto B en una ciudad conformada por cuadras. La mujer que toma el trayecto de A a B puede caminar hacia el este durante tantas cuadras y luego hacia el norte (dos direcciones perpendiculares) durante otra serie de cuadras para llegar a B . La distancia que camina hacia el este solo se ve afectada por su movimiento hacia el este. Del mismo modo, la distancia que recorre hacia el norte solo se ve afectada por su movimiento hacia el norte. Independencia del movimiento En la descripción cinemática del movimiento, podemos tratar por separado los componentes horizontal y vertical del movimiento. En muchos casos, el movimiento en la dirección horizontal no afecta al movimiento en la dirección vertical, y viceversa. Un ejemplo que ilustra la independencia de los movimientos verticales y horizontales viene dado por dos pelotas de béisbol. Una pelota de béisbol se deja caer del reposo. En el mismo instante, se lanza otra horizontalmente desde la misma altura y sigue una trayectoria curva. Un estroboscopio capta las posiciones de las pelotas a intervalos de tiempo fijos mientras caen ( ). Un diagrama de los movimientos de dos pelotas idénticas: una cae desde el reposo y la otra tiene una velocidad inicial horizontal. Cada posición posterior es un intervalo de tiempo igual. Las flechas representan las velocidades horizontal y vertical en cada posición. La pelota de la derecha tiene una velocidad horizontal inicial mientras que la de la izquierda no tiene velocidad horizontal. A pesar de la diferencia de velocidades horizontales, las velocidades y posiciones verticales son idénticas para ambas pelotas, lo que demuestra que los movimientos verticales y horizontales son independientes. Es notable que, para cada destello del estroboscopio, las posiciones verticales de las dos pelotas son las mismas. Esta similitud implica que el movimiento vertical es independiente de si la pelota se mueve horizontalmente. (Suponiendo que no hay resistencia del aire, el movimiento vertical de un objeto que cae está influenciado solo por la gravedad, no por ninguna fuerza horizontal). Un examen minucioso de la pelota lanzada horizontalmente muestra que recorre la misma distancia horizontal entre los destellos. Esto se debe a que no hay fuerzas adicionales sobre la pelota en la dirección horizontal después de su lanzamiento. Este resultado significa que la velocidad horizontal es constante y no se ve afectada ni por el movimiento vertical ni por la gravedad (que es vertical). Tenga en cuenta que este caso solo es válido para condiciones ideales. En el mundo real, la resistencia del aire afecta a la rapidez de las pelotas en ambas direcciones. La trayectoria curva bidimensional de la pelota lanzada horizontalmente se compone de dos movimientos unidimensionales independientes (horizontal y vertical). La clave para analizar este movimiento, llamado movimiento de proyectil , es resolverlo en movimientos a lo largo de direcciones perpendiculares. Resolver el movimiento bidimensional en componentes perpendiculares es posible porque los componentes son independientes. Resumen La función de posición r → ( t ) da la posición en función del tiempo de una partícula que se mueve en dos o tres dimensiones. Gráficamente, es un vector desde el origen de un sistema de coordenadas elegido hasta el punto en el que se encuentra la partícula en un momento determinado. El vector de desplazamiento Δ r → da la distancia más corta entre dos puntos cualquiera de la trayectoria de una partícula en dos o tres dimensiones. La velocidad instantánea da la rapidez y la dirección de una partícula en un momento determinado de su trayectoria en dos o tres dimensiones, y es un vector en dos y tres dimensiones. El vector velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula. El desplazamiento r → ( t ) puede escribirse como una suma vectorial de los desplazamientos unidimensionales x → ( t ) , y → ( t ) , z → ( t ) a lo largo de las direcciones de la x , la y y la z . La velocidad v → ( t ) puede escribirse como una suma vectorial de las velocidades unidimensionales v x ( t ) , v y ( t ) , v z ( t ) a lo largo de las direcciones de la x , la y y la z . El movimiento en una dirección determinada es independiente del movimiento en una dirección perpendicular. Preguntas conceptuales ¿Qué forma tiene la trayectoria de una partícula si la distancia de cualquier punto A al punto B es igual a la magnitud del desplazamiento de A a B ? línea recta Dé un ejemplo de una trayectoria en dos o tres dimensiones causada por movimientos perpendiculares independientes. Si la velocidad instantánea es cero, ¿qué se puede decir de la pendiente de la función de posición? La pendiente debe ser cero porque el vector velocidad es tangente al gráfico de la función posición. Problemas Las coordenadas de una partícula en un sistema de coordenadas rectangulares son (1,0, -4,0, 6,0). ¿Cuál es el vector de posición de la partícula? r → = 1,0 i ^ − 4,0 j ^ + 6,0 k ^ La posición de una partícula cambia de r → 1 = ( 2,0  i ^ + 3,0 j ^ ) cm a r → 2 = ( −4,0 i ^ + 3,0 j ^ ) cm . ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula? El hoyo 18 del campo de golf de Pebble Beach es un dogleg a la izquierda de 496,0 m de longitud. La calle desde el tee se toma como la dirección de la x . Un golfista realiza su golpe del tee a una distancia de 300,0 m, lo que corresponde a un desplazamiento Δ r → 1 = 300,0 m i ^ , y realiza su segundo golpe a 189,0 m con un desplazamiento Δ r → 2 = 172,0 m i ^ + 80,3 m j ^ . ¿Cuál es el desplazamiento final de la bola de golf desde el tee ? Δ r → Total = 472,0 m i ^ + 80,3 m j ^ Un pájaro vuela en línea recta hacia el noreste una distancia de 95,0 km durante 3,0 h. Con el eje de la x hacia el este y el eje de la y hacia el norte, ¿cuál es el desplazamiento en notación vectorial unitaria del pájaro? ¿Cuál es la velocidad media del viaje? Un ciclista recorre 5,0 km hacia el este y luego 10,0 km a 20 ° al oeste del norte. Desde este punto recorre 8,0 km hacia el oeste. ¿Cuál es el desplazamiento final desde el punto de partida del ciclista? Suma de los desplazamientos = -6,4 km i ^ + 9,4 km j ^ El defensa de los New York Rangers, Daniel Girardi, se sitúa en la portería y pasa un disco de hockey a 20 m y 45 ° en línea recta desde el hielo hasta el ala izquierda, donde Chris Kreider esperaba en la línea azul. Kreider espera a que Girardi llegue a la línea azul y le pasa el disco directamente a través del hielo a 10 m de distancia. ¿Cuál es el desplazamiento final del disco? Vea la siguiente figura. La posición de una partícula es r → ( t ) = 4,0 t 2 i ^ − 3,0 j ^ + 2,0 t 3 k ^ m . (a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula en 0 s y en 1,0 s? (b) ¿Cuál es la velocidad media entre 0 s y 1,0 s? a. v → ( t ) = 8,0 t i ^ + 6,0 t 2 k ^ , v → ( 0 ) = 0 , v → ( 1,0 ) = 8,0 i ^ + 6,0 k ^ m/s , b. v → avg = 4,0  i ^ + 2,0 k ^ m/s Clay Matthews, apoyador ( linebacker ) de los Green Bay Packers, puede alcanzar una rapidez de 10,0 m/s. Al comienzo de una jugada, Matthews corre por el campo a 45 ° con respecto a la línea de 50 yardas y recorre 8,0 m en 1 s. Luego, corre en línea recta por el campo a 90 ° con respecto a la línea de 50 yardas durante 12 m, con un tiempo transcurrido de 1,2 s. (a) ¿Cuál es el desplazamiento final de Matthews desde el inicio de la jugada? (b) ¿Cuál es su velocidad media? El F-35B Lighting II es un avión de combate de despegue corto y aterrizaje vertical. Si realiza un despegue vertical a 20,00 m de altura sobre el suelo y luego sigue una trayectoria de vuelo en un ángulo de 30 ° con respecto al suelo durante 20,00 km, ¿cuál es el desplazamiento final? Δ r → 1 = 20,00 m j ^ , Δ r → 2 = ( 2,000 × 10 4 m ) ( cos 30 ° i ^ + sen 30 ° j ^ ) Δ r → = 1,700 × 10 4 m i ^ + 1,002 × 10 4 m j ^ vector de desplazamiento vector desde la posición inicial hasta una posición final en una trayectoria de una partícula vector de posición vector desde el origen de un sistema de coordenadas elegido hasta la posición de una partícula en el espacio bidimensional o tridimensional vector de velocidad vector que da la rapidez instantánea y la dirección de una partícula; tangente a la trayectoria

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Vector de aceleración Aceleración instantánea Además de obtener los vectores de desplazamiento y velocidad de un objeto en movimiento, a menudo queremos conocer su vector de aceleración en cualquier punto del tiempo a lo largo de su trayectoria. Este vector de aceleración es la aceleración instantánea y se puede obtener a partir de la derivada con respecto al tiempo de la función velocidad, como hemos visto en un capítulo anterior. La única diferencia en dos o tres dimensiones es que ahora son cantidades vectoriales. Tomando la derivada con respecto al tiempo v → ( t ) , encontramos a → ( t ) = lim t → 0 v → ( t + Δ t ) − v → ( t ) Δ t = d v → ( t ) d t . La aceleración en términos de componentes es a → ( t ) =  d v x ( t ) d t i ^ + d v y ( t ) d t j ^ + d v z ( t ) d t k ^ . Además, como la velocidad es la derivada de la función de posición, podemos escribir la aceleración en términos de la segunda derivada de la función de posición: a → ( t ) = d 2 x ( t ) d t 2 i ^ + d 2 y ( t ) d t 2 j ^ + d 2 z ( t ) d t 2 k ^ . Encontrar un vector de aceleración Una partícula tiene una velocidad de v → ( t ) = 5,0 t i ^ + t 2 j ^ − 2,0 t 3 k ^ m/s . (a) ¿Cuál es la función de aceleración? (b) ¿Cuál es el vector de aceleración en t = 2,0 s? Halle su magnitud y dirección. Solución (a) Tomamos la primera derivada con respecto al tiempo de la función de velocidad para encontrar la aceleración. La derivada se toma componente por componente: a → ( t ) = 5,0 i ^ + 2,0 t j ^ − 6,0 t 2 k ^ m/ s 2 . (b) Evaluar a → ( 2,0 s ) = 5,0 i ^ + 4,0 j ^ − 24,0 k ^ m/ s 2 nos da la dirección en notación vectorial unitaria. La magnitud de la aceleración es | a → ( 2,0 s ) | = 5,0 2 + 4,0 2 + ( -24,0 ) 2 = 24,8 m/ s 2 . Importancia En este ejemplo encontramos que la aceleración tiene una dependencia del tiempo y es cambiante a lo largo del movimiento. Consideremos una función de velocidad diferente para la partícula. Encontrar la aceleración de una partícula Una partícula tiene una función de posición r → ( t ) = ( 10 t − t 2 ) i ^ + 5 t j ^ + 5 t  k ^ m . (a) ¿Cuál es la velocidad? (b) ¿Cuál es la aceleración? (c) Describa el movimiento desde t = 0 s. Estrategia Podemos entender el problema al observar la función de posición. Es lineal en y y z ; por ende, sabemos que la aceleración en estas direcciones es cero cuando tomamos la segunda derivada. Además, observe que la posición en la dirección de la x es cero para t = 0 s y t = 10 s. Solución (a) Tomando la derivada con respecto al tiempo de la función de posición, encontramos v → ( t ) = ( 10 − 2 t ) i ^ + 5 j ^ + 5 k ^ m/s . La función de velocidad es lineal en el tiempo en la dirección de la x y es constante en las direcciones de la y y la z . (b) Tomando la derivada de la función de velocidad, encontramos a → ( t ) = −2 i ^ m/s 2 . El vector de aceleración es una constante en la dirección de la x negativa. (c) La trayectoria de la partícula puede verse en la . Veamos primero las direcciones y y z . La posición de la partícula aumenta constantemente en función del tiempo, a una velocidad constante en estas direcciones. Sin embargo, en la dirección de la x , la partícula sigue una trayectoria en la x positiva hasta t = 5 s, cuando invierte la dirección. Lo sabemos al observar la función de velocidad, que se vuelve cero en este momento y negativa a partir de entonces. También lo sabemos porque la aceleración es negativa y constante, es decir, la partícula desacelera o acelera en sentido negativo. La posición de la partícula alcanza los 25 m, donde entonces invierte la dirección y comienza a acelerar en la dirección de la x negativa. La posición llega a cero en t = 10 s. La partícula comienza en el punto ( x , y , z ) = (0, 0, 0) con el vector de posición r → = 0 . Se muestra la proyección de la trayectoria sobre el plano xy . Los valores de la y y la z aumentan linealmente en función del tiempo, mientras que la x tiene un punto de inflexión en t = 5 s y 25 m, cuando invierte su dirección. En este punto, el componente x de la velocidad se vuelve negativo. En t = 10 s, la partícula vuelve a estar a 0 m en la dirección x . Importancia Al graficar la trayectoria de la partícula, podemos entender mejor su movimiento, dado por los resultados numéricos de las ecuaciones cinemáticas. Supongamos que la función de aceleración tiene la forma a → ( t ) = a i ^ + b j ^ + c k ^ m/ s 2 , donde a, b y c son constantes. ¿Qué se puede decir de la forma funcional de la función de velocidad? El vector de aceleración es constante y no cambia con el tiempo. Si a, b y c no son cero, entonces la función de velocidad debe ser lineal en el tiempo. Tenemos v → ( t ) = ∫ a → d t = ∫ ( a i ^ + b j ^ + c k ^ ) d t = ( a i ^ + b j ^ + c k ^ ) t m/s , ya que al tomar la derivada de la función de velocidad se obtiene a → ( t ) . Si alguno de los componentes de la aceleración es cero, entonces ese componente de la velocidad sería una constante. Aceleración constante El movimiento multidimensional con aceleración constante puede tratarse de la misma manera que se mostró en el capítulo anterior para el movimiento unidimensional. Anteriormente demostramos que el movimiento tridimensional es equivalente a tres movimientos unidimensionales, cada uno a lo largo de un eje perpendicular a los otros. Para desarrollar las ecuaciones pertinentes en cada dirección, consideremos el problema bidimensional de una partícula que se mueve en el plano xy con aceleración constante; se ignora por el momento el componente z . El vector de aceleración es a → = a 0 x i ^ + a 0 y j ^ . Cada componente del movimiento tiene un conjunto separado de ecuaciones semejantes a la - del capítulo anterior sobre el movimiento unidimensional. Solo mostramos las ecuaciones de posición y velocidad en las direcciones de la x y la y . Se podría escribir un conjunto similar de ecuaciones cinemáticas para el movimiento en la dirección z : x ( t ) = x 0 + ( v x ) avg t v x ( t ) = v 0 x + a x t x ( t ) = x 0 + v 0 x t + 1 2 a x t 2 v x 2 ( t ) = v 0 x 2 + 2 a x ( x − x 0 ) y ( t ) = y 0 + ( v y ) avg t v y ( t ) = v 0 y + a y t y ( t ) = y 0 + v 0 y t + 1 2 a y t 2 v y 2 ( t ) = v 0 y 2 + 2 a y ( y − y 0 ) . Aquí el subíndice 0 denota la posición o velocidad inicial. La a la puede sustituirse en la y la sin el componente z para obtener el vector de posición y el vector de velocidad en función del tiempo en dos dimensiones: r → ( t ) = x ( t ) i ^ + y ( t ) j ^ y v → ( t ) = v x ( t ) i ^ + v y ( t ) j ^ . El siguiente ejemplo ilustra un uso práctico de las ecuaciones cinemáticas en dos dimensiones. Una esquiadora La muestra a una esquiadora moviéndose con una aceleración de 2,1 m/ s 2 por una pendiente de 15 ° en t = 0. Con el origen del sistema de coordenadas en la parte delantera del albergue, su posición y velocidad iniciales son r → ( 0 ) = ( 75,0 i ^ − 50,0 j ^ ) m y v → ( 0 ) = ( 4,1 i ^ − 1,1 j ^ ) m/s . (a) ¿Cuáles son los componentes x y y de la posición y velocidad de la esquiadora en función del tiempo? (b) ¿Cuáles son su posición y velocidad en t = 10,0 s? Una esquiadora tiene una aceleración de 2,1 m/s 2 por una pendiente de 15 ° . El origen del sistema de coordenadas está en el albergue de esquí. Estrategia Dado que estamos evaluando los componentes de las ecuaciones de movimiento en las direcciones x y y , necesitamos encontrar los componentes de la aceleración y ponerlos en las ecuaciones cinemáticas. Los componentes de la aceleración se encuentran en referencia al sistema de coordenadas en la . Entonces, al agregar los componentes de la posición y la velocidad iniciales en las ecuaciones de movimiento, podemos resolver su posición y velocidad en un tiempo t posterior. Solución (a) El origen del sistema de coordenadas se encuentra en la cima de la colina con el eje de la y verticalmente hacia arriba y el eje de la x horizontal. Al observar la trayectoria de la esquiadora, el componente x de la aceleración es positivo y el componente y es negativo. Dado que el ángulo es 15 ° por la pendiente, encontramos a x = ( 2,1 m/ s 2 ) cos ( 15 ° ) = 2,0 m/ s 2 a y = ( −2,1 m/ s 2 ) sen 15 ° = −0,54 m/ s 2 . Al agregar la posición y la velocidad iniciales en la y la para x , tenemos x ( t ) = 75,0 m + ( 4,1 m/s ) t + 1 2 ( 2,0 m/ s 2 ) t 2 v x ( t ) = 4,1 m/s + ( 2,0 m/ s 2 ) t . Para y , tenemos y ( t ) = −50,0 m + ( −1,1 m/s ) t + 1 2 ( −0,54 m/ s 2 ) t 2 v y ( t ) = −1,1 m/s + ( −0,54 m/ s 2 ) t . (b) Ahora que tenemos las ecuaciones de movimiento para x y y en función del tiempo, podemos evaluarlas en t = 10,0 s: x ( 10,0 s ) = 75,0 m + ( 4,1 m/ s 2 ) ( 10,0 s ) + 1 2 ( 2,0 m/ s 2 ) ( 10,0 s ) 2 = 216,0 m v x ( 10,0 s ) = 4,1 m/s + ( 2,0 m/ s 2 ) ( 10,0 s ) = 24,1 m /s y ( 10,0 s ) = −50,0 m + ( −1,1 m/s ) ( 10,0 s ) + 1 2 ( −0,54 m/ s 2 ) ( 10,0 s ) 2 = -88,0 m v y ( 10,0 s ) = −1,1 m/s + ( −0,54 m/ s 2 ) ( 10,0 s ) = -6,5 m/s . La posición y la velocidad en t = 10,0 s son, finalmente, r → ( 10,0 s ) = ( 216,0 i ^ − 88,0 j ^ ) m v → ( 10,0 s ) = ( 24,1 i ^ − 6,5 j ^ ) m/s . La magnitud de la velocidad de la esquiadora a los 10,0 s es de 25 m/s, lo que supone 60 mi/h. Importancia Es útil saber que, dadas las condiciones iniciales de posición, velocidad y aceleración de un objeto, podemos encontrar la posición, velocidad y aceleración en cualquier otro momento. Con la y la hemos completado el conjunto de expresiones para la posición, velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en dos o tres dimensiones. Si las trayectorias de los objetos se parecen a las "flechas rojas" de la imagen que abre el capítulo, las expresiones para la posición, la velocidad y la aceleración pueden ser bastante complicadas. En las siguientes secciones examinaremos dos casos especiales de movimiento en dos y tres dimensiones, mediante el análisis del movimiento de proyectil y del movimiento circular. En esta página web de la Universidad de Colorado Boulder , puede explorar la posición, velocidad y aceleración de una mariquita con una simulación interactiva, que le permite cambiar estos parámetros. Resumen En dos y tres dimensiones, el vector de aceleración puede tener una dirección arbitraria y no apunta necesariamente a lo largo de un componente determinado de la velocidad. La aceleración instantánea se produce por un cambio de velocidad tomado en un tiempo muy corto (infinitesimal). La aceleración instantánea es un vector en dos o tres dimensiones. Se encuentra al tomar la derivada de la función de velocidad con respecto al tiempo. En tres dimensiones, la aceleración a → ( t ) puede escribirse como una suma vectorial de las aceleraciones unidimensionales a x ( t ) , a y ( t ) , y a z ( t ) a lo largo de los ejes de la x , la y y la z . Las ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante pueden escribirse como la suma vectorial de las ecuaciones de aceleración constante en las direcciones de la x , la y y la z . Preguntas conceptuales Si la función de posición de una partícula es una función lineal del tiempo, ¿qué se puede decir de su aceleración? Si un objeto tiene un componente x constante de velocidad y de repente experimenta una aceleración en la dirección de la y , ¿cambia el componente x de su velocidad? No, los movimientos en direcciones perpendiculares son independientes. Si un objeto tiene un componente x constante de velocidad y de repente experimenta una aceleración con un ángulo de 70 ° en la dirección de la x , ¿cambia el componente x de velocidad? Problemas La posición de una partícula es r → ( t ) = ( 3,0 t 2 i ^ + 5,0 j ^ − 6,0 t k ^ ) m . (a) Determine su velocidad y aceleración en función del tiempo. (b) ¿Cuáles son su velocidad y aceleración en el tiempo t = 0? La aceleración de una partícula es ( 4,0 i ^ + 3,0 j ^ ) m/ s 2 . En t = 0, su posición y velocidad son cero. (a) ¿Cuáles son la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo? (b) Halle la ecuación de la trayectoria de la partícula. Dibuje los ejes de la x y la y y haga un esquema de la trayectoria de la partícula. a. v → ( t ) = ( 4,0 t i ^ + 3,0 t j ^ ) m/s , r → ( t ) = ( 2,0 t 2 i ^ + 3 2 t 2 j ^ ) m , b. x ( t ) = 2,0 t 2 m, y ( t ) = 3 2 t 2 m, t 2 = x 2 ⇒ y = 3 4 x Un barco sale del muelle en t = 0 y se dirige a un lago con una aceleración de 2,0 m/ s 2 i ^ . Un fuerte viento empuja el barco y le imprime una velocidad adicional de 2,0 m/s i ^ + 1,0 m/s j ^ . (a) ¿Cuál es la velocidad del barco en t = 10 s? (b) ¿Cuál es la posición del barco en t = 10s? Dibuje un esquema de la trayectoria y posición del barco en t = 10 s, mostrando los ejes de la x y la y . La posición de una partícula para t > 0 está dada por r → ( t ) = ( 3,0 t 2 i ^ − 7,0 t 3 j ^ − 5,0 t −2 k ^ ) m . (a) ¿Cuál es la velocidad en función del tiempo? (b) ¿Cuál es la aceleración en función del tiempo? (c) ¿Cuál es la velocidad de la partícula en t = 2,0 s? (d) ¿Cuál es su velocidad en t = 1,0 s y t = 3,0 s? (e) ¿Cuál es la velocidad media entre t = 1,0 s y t = 2,0 s? a. v → ( t ) = ( 6,0 t i ^ − 21,0 t 2 j ^ + 10,0 t −3 k ^ ) m/s , b. a → ( t ) = ( 6,0 i ^ − 42,0 t j ^ − 30 t −4 k ^ ) m/ s 2 , c. v → ( 2,0 s ) = ( 12,0 i ^ − 84,0 j ^ + 1,25 k ^ ) m/s , d. v → ( 1,0 s ) = 6,0 i ^ − 21,0 j ^ + 10,0 k ^ m/s , | v → ( 1,0 s ) | = 24,0 m/s v → ( 3,0 s ) = 18,0 i ^ − 189,0 j ^ + 0,37 k ^ m/s , | v → ( 3,0 s ) | = 190 m/s , e. r → ( t ) = ( 3,0 t 2 i ^ − 7,0 t 3 j ^ − 5,0 t −2 k ^ ) m v → avg = 9,0 i ^ − 49,0 j ^ + 3,75 k ^ m/s La aceleración de una partícula es una constante. En t = 0 la velocidad de la partícula es ( 10 i ^ + 20 j ^ ) m/s . En t = 4 s la velocidad es 10 j ^ m/s . (a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula? (b) ¿Cómo varían la posición y la velocidad con el tiempo? Supongamos que la partícula está inicialmente en el origen. Una partícula tiene una función de posición r → ( t ) = cos ( 1,0 t ) i ^ + sen ( 1,0 t ) j ^ + t k ^ , donde los argumentos de las funciones coseno (cos) y seno (sen) están en radianes. (a) ¿Cuál es el vector velocidad? (b) ¿Cuál es el vector de aceleración? a. v → ( t ) = -sen ( 1,0 t ) i ^ + cos ( 1,0 t ) j ^ + k ^ , b. a → ( t ) = -cos ( 1,0 t ) i ^ − sen ( 1,0 t ) j ^ Un jet Lockheed Martin F-35 II Lighting despega de un portaaviones con una longitud de pista de 90 m y una rapidez de despegue de 70 m/s al final de la pista. Los jets se catapultan al espacio aéreo desde la cubierta de un portaaviones con dos fuentes de propulsión: la propulsión del jet y la catapulta. En el momento de abandonar la cubierta del portaaviones, la aceleración del F-35 disminuye hasta una constante de 5,0 m/ s 2 a 30 ° con respecto a la horizontal. (a) ¿Cuál es la aceleración inicial del F-35 en la cubierta del portaviones para hacerlo volar? (b) Escriba la posición y la velocidad del F-35 en notación vectorial unitaria desde el momento en que abandona la cubierta del portaaviones. (c) ¿A qué altitud se encuentra el avión de combate 5,0 s después de abandonar la cubierta del portaaviones? (d) ¿Cuál es su velocidad y su rapidez en ese momento? (e) ¿Qué distancia ha recorrido horizontalmente? vector de aceleración aceleración instantánea que se obtiene al tomar la derivada de la función de velocidad con respecto al tiempo en notación vectorial unitaria

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