Campo eléctrico Como vimos en el apartado anterior, la fuerza eléctrica neta sobre una carga de prueba es la suma vectorial de todas las fuerzas eléctricas que actúan sobre ella, procedentes de todas las distintas cargas fuente, situadas en sus distintas posiciones. ¿Pero qué pasa si utilizamos una carga de prueba diferente, una con una magnitud o signo diferente, o ambos? O supongamos que tenemos una docena de cargas de prueba diferentes que deseamos probar en el mismo lugar. Tendríamos que calcular la suma de las fuerzas desde cero. Afortunadamente, es posible definir una cantidad, llamada campo eléctrico , que es independiente de la carga de prueba. Solo depende de la configuración de las cargas fuente, y una vez encontrada, nos permite calcular la fuerza sobre cualquier carga de prueba. Definir un campo Supongamos que tenemos N cargas de origen q 1 , q 2 , q 3 ,… , q N situadas en las posiciones r → 1 , r → 2 , r → 3 ,… , r → N , aplicando fuerzas electrostáticas N sobre una carga de prueba Q . La fuerza neta sobre Q es (ver la ) F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + ⋯ + F → N = 1 4 π ε 0 ( Q q 1 r 1 2 r ^ 1 + Q q 2 r 2 2 r ^ 2 + Q q 3 r 3 2 r ^ 3 + ⋯ + Q q N r 1 2 r ^ N ) = Q [ 1 4 π ε 0 ( q 1 r 1 2 r ^ 1 + q 2 r 2 2 r ^ 2 + q 3 r 3 2 r ^ 3 + ⋯ + q N r 1 2 r ^ N ) ] . Podemos reescribirlo como F → = Q E → donde E → ≡ 1 4 π ε 0 ( q 1 r 1 2 r ^ 1 + q 2 r 2 2 r ^ 2 + q 3 r 3 2 r ^ 3 + ⋯ + q N r 1 2 r ^ N ) o, de forma más compacta, E → ( P ) ≡ 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 N q i r i 2 r ^ i . Esta expresión se denomina campo eléctrico en la posición P = P ( x , y , z ) de las cargas de la fuente N . Aquí, P es la ubicación del punto en el espacio donde se calcula el campo y es relativo a las posiciones r → i de las cargas de origen ( ). Observe que tenemos que imponer un sistema de coordenadas para resolver los problemas reales. Cada una de estas ocho cargas fuente crea su propio campo eléctrico en cada punto del espacio; aquí se muestran los vectores de campo en un punto arbitrario P . Al igual que la fuerza eléctrica, el campo eléctrico neto obedece al principio de superposición. Observe que el cálculo del campo eléctrico no hace referencia a la carga de prueba. Por lo tanto, el enfoque físicamente útil es calcular el campo eléctrico y luego utilizarlo para calcular la fuerza sobre alguna carga de prueba más tarde, si es necesario. Diferentes cargas de prueba experimentan diferentes fuerzas ( ), pero es el mismo campo eléctrico ( ). Dicho esto, recuerde que no hay ninguna diferencia fundamental entre una carga de prueba y una carga de origen; son simplemente etiquetas convenientes para el sistema de interés. Cualquier carga produce un campo eléctrico; sin embargo, al igual que la órbita de la Tierra no se ve afectada por la propia gravedad terrestre, una carga no está sometida a una fuerza debida al campo eléctrico que genera. Las cargas solo están sujetas a las fuerzas de los campos eléctricos de otras cargas. En este sentido, el campo eléctrico E → de una carga de puntos es similar al campo gravitacional g → de la Tierra; una vez que hemos calculado el campo gravitacional en algún punto del espacio, podemos utilizarlo siempre que queramos para calcular la fuerza resultante sobre cualquier masa que decidamos colocar en ese punto. De hecho, esto es exactamente lo que hacemos cuando decimos que el campo gravitacional de la Tierra (cerca de la superficie terrestre) tiene un valor de 9,81 m/s 2 , y luego calculamos la fuerza resultante (es decir, el peso) sobre diferentes masas. Además, la expresión general para calcular g → a distancias arbitrarias del centro de la Tierra (es decir, no solo cerca de la superficie terrestre) es muy similar a la expresión para E → : g → = G M r 2 r ^ , donde G es una constante de proporcionalidad, que juega el mismo papel para g → como 1 4 π ε 0 hace para E → . El valor de g → se calcula una vez y luego se utiliza en un sinfín de problemas. Para llevar la analogía más allá, fíjese en las unidades del campo eléctrico: Desde F = Q E , las unidades de E son newtons por culombio, N/C, es decir, el campo eléctrico aplica una fuerza sobre cada carga unitaria. Ahora fíjese en las unidades de g : Desde w = m g , las unidades de g son newtons por kilogramo, N/kg, es decir, el campo gravitacional aplica una fuerza sobre cada unidad de masa. Podríamos decir que el campo gravitacional de la Tierra, cerca de la superficie terrestre, tiene un valor de 9,81 N/kg. El significado de "campo" Recuerde que la palabra "campo" tiene un significado preciso en este contexto. Un campo, en física, es una cantidad física cuyo valor depende de (es una función de) la posición, relativa a la fuente del campo. En el caso del campo eléctrico, la muestra que el valor de E → (tanto la magnitud como la dirección) depende del lugar del espacio en el que se encuentre el punto P , medido desde los lugares r → i de las cargas de origen q i . Además, dado que el campo eléctrico es una cantidad vectorial, el campo eléctrico se denomina campo vectorial . (El campo gravitacional es también un campo vectorial). En cambio, un campo que solo tiene una magnitud en cada punto es un campo escalar . La temperatura de una habitación es un ejemplo de campo escalar. Es un campo porque la temperatura, en general, es diferente en diferentes lugares de la habitación, y es un campo escalar porque la temperatura es una cantidad escalar. Además, al igual que hizo con el campo gravitacional de un objeto con masa, debe imaginar el campo eléctrico de un objeto con carga (la carga fuente) como una sustancia continua e inmaterial que rodea la carga fuente, llenando todo el espacio, en principio, a ± ∞ en todas las direcciones. El campo existe en cada punto físico del espacio. Dicho de otro modo, la carga eléctrica de un objeto altera el espacio que lo rodea de tal manera que todos los demás objetos cargados eléctricamente en el espacio experimentan una fuerza eléctrica como resultado de estar en ese campo. El campo eléctrico, por tanto, es el mecanismo por el que las propiedades eléctricas de la carga fuente se transmiten al resto del universo y a través de él (de nuevo, el alcance de la fuerza eléctrica es infinito). Veremos en capítulos posteriores que la velocidad a la que viajan los fenómenos eléctricos es la misma que la velocidad de la luz. Existe una profunda conexión entre el campo eléctrico y la luz. Superposición Otro hecho experimental sobre el campo es que obedece al principio de superposición. En este contexto, eso significa que podemos (en principio) calcular el campo eléctrico total de muchas cargas fuente calculando el campo eléctrico de solo q 1 en la posición P , entonces calcula el campo de q 2 en P , mientras que (y esta es la idea crucial) se ignora el campo de, e incluso la existencia de, q 1 . Podemos repetir este proceso, calculando el campo de cada carga fuente individual, independientemente de la existencia de cualquiera de las otras cargas. El campo eléctrico total, entonces, es la suma vectorial de todos estos campos. Eso es, en esencia, lo que dice la . En la siguiente sección, describimos cómo determinar la forma de un campo eléctrico de una distribución de carga de la fuente y cómo dibujarlo. La dirección del campo La nos permite determinar la magnitud del campo eléctrico, pero también necesitamos la dirección. Utilizamos la convención de que la dirección de cualquier vector de campo eléctrico es la misma que la dirección del vector de fuerza eléctrica que el campo aplicaría a una carga de prueba positiva colocada en ese campo. Dicha carga sería repelida por cargas fuente positivas (la fuerza sobre ella apuntaría lejos de la carga fuente positiva) pero atraída por cargas negativas (la fuerza apunta hacia la fuente negativa). Dirección del campo eléctrico Por convención, todos los campos eléctricos E → apuntan lejos de las cargas fuente positivas y apuntan hacia las cargas fuente negativas. Añada cargas al Electric Field of Dreams (Campo eléctrico de los sueños) y observe cómo reaccionan al campo eléctrico. Encienda un campo eléctrico de fondo y ajuste la dirección y la magnitud. El campo E de un átomo En un átomo de helio ionizado, la distancia más probable entre el núcleo y el electrón es r = 26,5 × 10 −12 m . ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la ubicación del electrón? Estrategia Observe que, aunque se menciona el electrón, no se utiliza en ningún cálculo. El problema pide un campo eléctrico, no una fuerza; por lo tanto, solo hay una carga involucrada, y el problema pide específicamente el campo debido al núcleo. Por tanto, el electrón es una pista falsa; solo importa su distancia. Además, como la distancia entre los dos protones del núcleo es mucho, mucho menor que la distancia del electrón al núcleo, podemos tratar los dos protones como una sola carga +2 e ( ). Representación esquemática de un átomo de helio. De nuevo, el helio no se parece físicamente a esto, pero este tipo de diagrama es útil para calcular el campo eléctrico del núcleo. Solución El campo eléctrico se calcula mediante E → = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 N q i r i 2 r ^ i . Como solo hay una carga fuente (el núcleo), esta expresión se simplifica a E → = 1 4 π ε 0 q r 2 r ^ . Aquí q = 2 e = 2 ( 1,6 × 10 −19 C ) (ya que hay dos protones) y se da r ; sustituyendo se obtiene E → = 1 4 π ( 8,85 × 10 −12 C 2 N · m 2 ) 2 ( 1,6 × 10 −19 C ) ( 26,5 × 10 −12 m ) 2 r ^ = 4,1 × 10 12 N C r ^ . La dirección de E → se aleja radialmente del núcleo en todas las direcciones. ¿Por qué? Porque una carga de prueba positiva colocada en este campo se aceleraría radialmente lejos del núcleo (ya que también está cargado positivamente), y de nuevo, la convención es que la dirección del vector del campo eléctrico se define en términos de la dirección de la fuerza que aplicaría a las cargas de prueba positivas. El campo E sobre dos cargas iguales (a) Halle el campo eléctrico (magnitud y dirección) a una distancia z por encima del punto medio entre dos cargas iguales + q que están a una distancia d ( ). Compruebe que el resultado es coherente con lo que se espera cuando z ≫ d . (b) Lo mismo que la parte (a), solo que esta vez haga la carga de la derecha − q en lugar de + q . Halle el campo de dos cargas fuente idénticas en el punto P . Debido a la simetría, el campo neto en P es totalmente vertical. (Observe que esto no es cierto lejos de la línea media entre las cargas). Estrategia Sumamos los dos campos como vectores, según la . Observe que el sistema (y por tanto el campo) es simétrico respecto al eje vertical; como resultado, las componentes horizontales de los vectores de campo se cancelan. Esto simplifica la matemática. Además, tenemos cuidado de expresar nuestra respuesta final en términos de las únicas cantidades que se dan en el enunciado original del problema: q , z , d , y las constantes ( π , ε 0 ) . Solución Por simetría, los componentes horizontales ( x ) de E → cancelan ( ); E x = 1 4 π ε 0 q r 2 sen θ − 1 4 π ε 0 q r 2 sen θ = 0 . Observe que los componentes horizontales de los campos eléctricos de las dos cargas se anulan entre sí, mientras que los componentes verticales se suman. El componente vertical ( z ) viene dado por E z = 1 4 π ε 0 q r 2 cos θ + 1 4 π ε 0 q r 2 cos θ = 1 4 π ε 0 2 q r 2 cos θ . Como ninguno de los otros componentes sobrevive, este es el campo eléctrico completo, y apunta en el k ^ . Observe que este cálculo utiliza el principio de superposición ; calculamos los campos de las dos cargas de forma independiente y luego los sumamos. Lo que queremos hacer ahora es sustituir las cantidades de esta expresión que no conocemos (como r ), o que no podemos medir fácilmente (como cos θ ) con cantidades que sí conocemos o podemos medir. En este caso, por la geometría, r 2 = z 2 + ( d 2 ) 2 y cos θ = z r = z [ z 2 + ( d 2 ) 2 ] 1 / 2 . Así, sustituyendo, E → ( z ) = 1 4 π ε 0 2 q [ z 2 + ( d 2 ) 2 ] z [ z 2 + ( d 2 ) 2 ] 1 / 2 k ^ . Simplificando, la respuesta deseada es E → ( z ) = 1 4 π ε 0 2 q z [ z 2 + ( d 2 ) 2 ] 3 / 2 k ^ . Si las cargas de origen son iguales y opuestas, los componentes verticales se cancelan porque E z = 1 4 π ε 0 q r 2 cos θ − 1 4 π ε 0 q r 2 cos θ = 0 y obtenemos, para la componente horizontal de E → , E → ( z ) = 1 4 π ε 0 q r 2 sen θ i ^ − 1 4 π ε 0 − q r 2 sen θ i ^ = 1 4 π ε 0 2 q r 2 sen θ i ^ = 1 4 π ε 0 2 q [ z 2 + ( d 2 ) 2 ] ( d 2 ) [ z 2 + ( d 2 ) 2 ] 1 / 2 i ^ . Esto se convierte en E → ( z ) = 1 4 π ε 0 q d [ z 2 + ( d 2 ) 2 ] 3 / 2 i ^ . Importancia Es una técnica muy común y muy útil en física para comprobar si su respuesta es razonable evaluándola en casos extremos. En este ejemplo, debemos evaluar las expresiones de campo para los casos d = 0 , z ≫ d , y z → ∞ , y confirmar que las expresiones resultantes coinciden con nuestras expectativas físicas. Hagámoslo: Empecemos con la , el campo de dos cargas idénticas. Desde lejos (es decir, z ≫ d ) , las dos cargas fuente deberían "fusionarse" y entonces deberíamos "ver" el campo de una sola carga, de tamaño 2 q . Por lo tanto, supongamos que z ≫ d ; entonces podemos descuidar d 2 en la para obtener lim d → 0 E → = 1 4 π ε 0 2 q z [ z 2 ] 3 / 2 k ^ = 1 4 π ε 0 2 q z z 3 k ^ = 1 4 π ε 0 ( 2 q ) z 2 k ^ , que es la expresión correcta para un campo a una distancia z de una carga 2 q . A continuación, consideramos el campo de cargas iguales y opuestas, la . Se puede demostrar (mediante una expansión de Taylor) que para d ≪ z ≪ ∞ , esto se convierte en E → ( z ) = 1 4 π ε 0 q d z 3 i ^ , que es el campo de un dipolo, un sistema que estudiaremos con más detalle más adelante. (Tenga en cuenta que las unidades de E → siguen siendo correctas en esta expresión, ya que las unidades de d en el numerador anulan la unidad de la z "extra" en el denominador). Si z es muy grande ( z → ∞ ) , entonces E → 0 , como debe ser; las dos cargas se "fusionan" y así se anulan. ¿Qué es el campo eléctrico debido a una partícula puntual? E → = 1 4 π ε 0 q r 2 r ^ Pruebe esta simulación de hockey sobre campo eléctrico para conseguir la carga en la portería colocando otras cargas en el campo. Resumen El campo eléctrico es una alteración del espacio causada por la presencia de una carga eléctrica. El campo eléctrico media la fuerza eléctrica entre una carga fuente y una carga de prueba. El campo eléctrico, al igual que la fuerza eléctrica, obedece al principio de superposición El campo es un vector; por definición, apunta lejos de las cargas positivas y hacia las negativas. Cuestiones conceptuales Al medir un campo eléctrico, ¿podríamos utilizar una carga de prueba negativa en lugar de positiva? Se puede utilizar cualquier signo de la carga de prueba, pero la convención es utilizar una carga de prueba positiva. Cuando hace buen tiempo, el campo eléctrico, debido a la carga neta de la Tierra, apunta hacia abajo. ¿La Tierra está cargada positiva o negativamente? Si el campo eléctrico en un punto de la línea entre dos cargas es cero, ¿qué sabe de las cargas? Las cargas son del mismo signo. Dos cargas se encuentran a lo largo del eje x . ¿Es cierto que el campo eléctrico neto siempre desaparece en algún punto (distinto del infinito) a lo largo del eje x ? Problemas Una partícula de carga 2,0 × 10 −8 C experimenta una fuerza ascendente de magnitud 4,0 × 10 −6 N cuando se coloca en un punto determinado en un campo eléctrico. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en ese punto? (b) Si una carga q = −1,0 × 10 −8 C se coloca allí, ¿cuál es la fuerza que se ejerce sobre él? a. E = 2,0 × 10 2 N C arriba; b F = 2,0 × 10 −6 N abajo En un día claro típico, el campo eléctrico atmosférico apunta hacia abajo y tiene una magnitud de aproximadamente 100 N/C. Compare las fuerzas gravitacionales y eléctricas sobre una pequeña partícula de polvo de masa 2,0 × 10 −15 g que lleva una sola carga de electrones. ¿Cuál es la aceleración (tanto la magnitud como la dirección) de la partícula de polvo? Considere un electrón que es 10 −10 m de una partícula alfa ( q = 3,2 × 10 −19 C ) . (a) ¿Cuál es el campo eléctrico debido a la partícula alfa en la ubicación del electrón? (b) ¿Cuál es el campo eléctrico debido al electrón en la ubicación de la partícula alfa? (c) ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre la partícula alfa? ¿En el electrón? a. E = 2,88 × 10 11 N / C ; b. E = 1,44 × 10 11 N / C ; c. F = 4,61 × 10 −8 N sobre la partícula alfa; F = 4,61 × 10 −8 N en electrón Cada una de las bolas que se muestran a continuación lleva una carga q y tiene una masa m . La longitud de cada hilo es l , y en el equilibrio, las bolas están separadas por un ángulo 2 θ . ¿Cómo es que θ varían con q y l ? Demuestre que θ satisface sen ( θ ) 2 tan ( θ ) = q 2 16 π ε 0 g l 2 m . ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto donde la fuerza sobre una carga de −2,0 × 10 −6 −C es ( 4,0 i ^ − 6,0 j ^ ) × 10 −6 N? E = ( −2,0 i ^ + 3,0 j ^ ) N Un protón está suspendido en el aire por un campo eléctrico en la superficie de la Tierra. ¿Cuál es la intensidad de este campo eléctrico? El campo eléctrico en una nube de tormenta particular es 2,0 × 10 5 N/C . ¿Cuál es la aceleración de un electrón en este campo? F = 3,204 × 10 −14 N , a = 3,517 × 10 16 m / s 2 Un pequeño trozo de corcho cuya masa es de 2,0 g recibe una carga de 5,0 × 10 −7 C . ¿Qué campo eléctrico se necesita para poner el corcho en equilibrio bajo la combinación de fuerzas eléctricas y gravitacionales? Si el campo eléctrico es 100 N/C a una distancia de 50 cm de una carga de puntos q , ¿cuál es el valor de q ? q = 2,78 × 10 −9 C ¿Cuál es el campo eléctrico de un protón en la primera órbita de Bohr para el hidrógeno ( r = 5,29 × 10 −11 m ) ? ¿Cuál es la fuerza sobre el electrón en esa órbita? (a) ¿Cuál es el campo eléctrico de un núcleo de oxígeno en un punto que es 10 −10 m del núcleo? (b) ¿Cuál es la fuerza que este campo eléctrico ejerce sobre un segundo núcleo de oxígeno colocado en ese punto? a. E = 1,15 × 10 12 N / C ; b. F = 1,47 × 10 −6 N Dos cargas por puntos, q 1 = 2,0 × 10 −7 C y q 2 = −6,0 × 10 −8 C , se mantienen separadas 25,0 cm. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto situado a 5,0 cm de la carga negativa y a lo largo de la línea entre las dos cargas? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre un electrón situado en ese punto? Las cargas de puntos q 1 = 50 μ C y q 2 = −25 μ C están colocados a 1,0 m de distancia. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en un punto intermedio entre ellos? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre una carga q 3 = 20 μ C situada allí? Si q 2 está a la derecha de q 1 , el vector campo eléctrico de ambas cargas apunta a la derecha. a E = 2,70 × 10 6 N / C ; b. F = 54,0 N ¿Puede arreglar las dos cargas por puntos q 1 = −2,0 × 10 −6 C y q 2 = 4,0 × 10 −6 C a lo largo del eje x para que E = 0 en el origen? Las cargas de puntos q 1 = q 2 = 4,0 × 10 −6 C se fijan en el eje x en x = −3,0 m y x = 3,0 m . ¿Qué carga q debe colocarse en el origen para que el campo eléctrico desaparezca en x = 0 , y = 3,0 m ? Hay 45 ° de geometría del triángulo rectángulo. Los componentes x del campo eléctrico en y = 3 m se cancelan. Los componentes y dan E ( y = 3 m ) = 2,83 × 10 3 N / C . En el origen tenemos una carga negativa de magnitud q = -2,83 × 10 −6 C . campo eléctrico fenómeno físico creado por una carga; "transmite" una fuerza entre dos cargas superposición concepto que establece que el campo eléctrico neto de múltiples cargas fuente es la suma vectorial del campo de cada carga fuente calculada individualmente

Ciencia


Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga Las distribuciones de carga que hemos visto hasta ahora han sido discretas: formadas por partículas de puntos individuales. Esto contrasta con una distribución de carga continua , que tiene al menos una dimensión distinta de cero. Si una distribución de carga es continua en lugar de discreta, podemos generalizar la definición del campo eléctrico. Simplemente dividimos la carga en trozos infinitesimales y tratamos cada trozo como una carga de puntos. Tenga en cuenta que, como la carga está cuantizada, no existe una distribución de carga continua “real". Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos, la carga total que crea el campo implica un número tan grande de cargas discretas que podemos ignorar con seguridad la naturaleza discreta de la carga y considerarla continua. Este es exactamente el tipo de aproximación que hacemos cuando tratamos un cubo de agua como un fluido continuo, en lugar de una colección de moléculas de H 2 O . Nuestro primer paso es definir una densidad de carga para una distribución de carga a lo largo de una línea, a través de una superficie o dentro de un volumen, como se muestra en la . La configuración de los elementos diferenciales de carga para una (a) línea de carga, (b) hoja de carga y (c) un volumen de carga. Observe también que (d) algunos de los componentes del campo eléctrico total se anulan, y el resto da lugar a un campo eléctrico neto. Definiciones de densidad de carga: λ ≡ carga por unidad de longitud ( densidad de carga lineal ); las unidades son culombios por metro (C/m) σ ≡ carga por unidad de superficie ( densidad de carga superficial ); las unidades son culombios por metro cuadrado ( C / m 2 ) ρ ≡ carga por unidad de volumen ( volumen de densidad de carga ); las unidades son culombios por metro cúbico ( C / m 3 ) Entonces, para una carga de línea, una carga de superficie y una carga de volumen, la suma en la se convierte en una integral y q i se sustituye por d q = λ d l , σ d A , o ρ d V , respectivamente: Cargas de puntos: E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 N ( q i r 2 ) r ^ Carga lineal: E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ línea ( λ d l r 2 ) r ^ Carga superficial: E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ superficie ( σ d A r 2 ) r ^ Volumen de carga: E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ volumen ( ρ d V r 2 ) r ^ Las integrales son generalizaciones de la expresión del campo de una carga de puntos. Incluyen y asumen implícitamente el principio de superposición. El "truco" para utilizarlos consiste casi siempre en obtener expresiones correctas para dl , dA o dV , según el caso, expresadas en términos de r , y también en expresar adecuadamente la función de densidad de carga. Puede ser constante; puede depender de la ubicación. Observe cuidadosamente el significado de r en estas ecuaciones: Es la distancia del elemento de carga ( q i , λ d l , σ d A , ρ d V ) al lugar de interés, P ( x , y , z ) (el punto del espacio donde se quiere determinar el campo). Sin embargo, no hay que confundir esto con el significado de r ^ ; lo utilizamos y la notación vectorial E → para escribir tres integrales a la vez. Es decir, la es en realidad E x ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ línea ( λ d l r 2 ) x , E y ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ línea ( λ d l r 2 ) y , E z ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ línea ( λ d l r 2 ) z . Campo eléctrico de un segmento de línea Halle el campo eléctrico a una distancia z por encima del punto medio de un segmento de línea recta de longitud L que lleva una densidad de carga lineal uniforme λ . Estrategia Dado que se trata de una distribución de carga continua, dividimos conceptualmente el segmento de cable en trozos diferenciales de longitud dl , cada uno de los cuales lleva una cantidad diferencial de carga d q = λ d l . A continuación, calculamos el campo diferencial creado por dos trozos de cable colocados simétricamente, utilizando la simetría del montaje para simplificar el cálculo ( ). Finalmente, integramos esta expresión de campo diferencial sobre la longitud del cable (la mitad, en realidad, como explicamos a continuación) para obtener la expresión completa del campo eléctrico. Un segmento de cable cargado uniformemente. El campo eléctrico en el punto P se puede hallar aplicando el principio de superposición a los elementos de carga colocados simétricamente e integrando. Solución Antes de entrar en materia, ¿cómo esperamos que sea el campo desde lejos? Como es un segmento de línea finito, desde lejos debería parecer una carga de puntos. Comprobaremos la expresión que obtenemos para ver si cumple esta expectativa. El campo eléctrico para una carga lineal viene dado por la expresión general E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ línea λ d l r 2 r ^ . La simetría de la situación (nuestra elección de las dos piezas de carga diferenciales idénticas) implica que los componentes horizontales (x ) del campo se cancelan, de modo que el campo neto apunta en la dirección z . Vamos a comprobarlo formalmente. El campo total E → ( P ) es la suma vectorial de los campos de cada uno de los dos elementos de carga (llámalos E → 1 y E → 2 , por ahora): E → ( P ) = E → 1 + E → 2 = E 1 x i ^ + E 1 z k ^ + E 2 x ( − i ^ ) + E 2 z k ^ . Porque los dos elementos de carga son idénticos y están a la misma distancia del punto P donde queremos calcular el campo, E 1 x = E 2 x , para que esos componentes se cancelen. Esto deja E → ( P ) = E 1 z k ^ + E 2 z k ^ = E 1 cos θ k ^ + E 2 cos θ k ^ . Estos componentes también son iguales, por lo que tenemos E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ λ d l r 2 cos θ k ^ + 1 4 π ε 0 ∫ λ d l r 2 cos θ k ^ = 1 4 π ε 0 ∫ 0 L / 2 2 λ d x r 2 cos θ k ^ donde nuestro elemento de línea diferencial dl es dx , en este ejemplo, ya que estamos integrando a lo largo de una línea de carga que se encuentra en el eje x . (Los límites de integración son de 0 a L 2 , no − L 2 a + L 2 , porque hemos construido el campo neto a partir de dos piezas diferenciales de carga dq . Si integráramos a lo largo de toda la longitud, recogeríamos un factor erróneo de 2). En principio, esto es completo. Sin embargo, para calcular realmente esta integral, tenemos que eliminar todas las variables que no están dadas. En este caso, tanto r como θ cambian a medida que integramos hacia el exterior la carga del final de la línea, por lo que esas son las variables de las que hay que deshacerse. Podemos hacerlo de la misma manera que hicimos con las dos cargas de puntos: observando que r = ( z 2 + x 2 ) 1 / 2 y cos θ = z r = z ( z 2 + x 2 ) 1 / 2 . Sustituyendo, obtenemos E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ 0 L / 2 2 λ d x ( z 2 + x 2 ) z ( z 2 + x 2 ) 1 / 2 k ^ = 1 4 π ε 0 ∫ 0 L / 2 2 λ z ( z 2 + x 2 ) 3 / 2 d x k ^ = 2 λ z 4 π ε 0 [ x z 2 z 2 + x 2 ] | 0 L / 2 k ^ que se simplifica a E → ( z ) = 1 4 π ε 0 λ L z z 2 + L 2 4 k ^ . Importancia Observe, una vez más, el uso de la simetría para simplificar el problema. Esta es una estrategia muy común para calcular los campos eléctricos. Los campos de las distribuciones de carga no simétricas deben tratarse con integrales múltiples y pueden necesitar que se calculen numéricamente por medio de una computadora. ¿Cómo cambiaría la estrategia utilizada anteriormente para calcular el campo eléctrico en un punto a una distancia z por encima de un extremo del segmento de línea finito? Ya no podremos aprovechar la simetría. En cambio, tendremos que calcular cada uno de los dos componentes del campo eléctrico con su propia integral. Campo eléctrico de una línea de carga infinita Halle el campo eléctrico a una distancia z por encima del punto medio de una línea de carga infinita que lleva una densidad de carga lineal uniforme λ . Estrategia Esto es exactamente como el ejemplo anterior, excepto que los límites de integración serán − ∞ a + ∞ . Solución De nuevo, los componentes horizontales se cancelan, por lo que acabamos con E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ − ∞ ∞ λ d x r 2 cos θ k ^ donde nuestro elemento de línea diferencial dl es dx , en este ejemplo, ya que estamos integrando a lo largo de una línea de carga que se encuentra en el eje x . Otra vez, cos θ = z r = z ( z 2 + x 2 ) 1 / 2 . Sustituyendo, obtenemos E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ − ∞ ∞ λ d x ( z 2 + x 2 ) z ( z 2 + x 2 ) 1 / 2 k ^ = 1 4 π ε 0 ∫ − ∞ ∞ λ z ( z 2 + x 2 ) 3 / 2 d x k ^ = λ z 4 π ε 0 [ x z 2 z 2 + x 2 ] | − ∞ ∞ k ^ , que se simplifica a E → ( z ) = 1 4 π ε 0 2 λ z k ^ . Importancia Nuestra estrategia para trabajar con distribuciones de carga continuas también da resultados útiles para cargas con dimensión infinita. En el caso de una línea de carga finita, observe que para z ≫ L , z 2 domina la L en el denominador, por lo que la se simplifica a E → ≈ 1 4 π ε 0 λ L z 2 k ^ . Si recuerda que λ L = q , la carga total en el cable, hemos obtenido la expresión para el campo de una carga de puntos, como se esperaba. En el límite L → ∞ , en cambio, obtenemos el campo de un cable lineal infinito , que es un cable recto cuya longitud es mucho, mucho mayor que cualquiera de sus otras dimensiones, y también mucho, mucho mayor que la distancia a la que se quiere calcular el campo: E → ( z ) = 1 4 π ε 0 2 λ z k ^ . Un artefacto interesante de este límite infinito es que hemos perdido la dependencia 1 / r 2 habitual a la que estamos acostumbrados. Esto será aun más intrigante en el caso de un plano infinito. Campo eléctrico debido a un anillo de carga Un anillo tiene una densidad de carga uniforme λ , con unidades de culombios por unidad de metro de arco. Calcule el campo eléctrico en un punto del eje que pasa por el centro del anillo. Estrategia Utilizamos el mismo procedimiento que para el cable cargado. La diferencia aquí es que la carga se distribuye en un círculo. Dividimos el círculo en elementos infinitesimales con forma de arcos sobre el círculo y utilizamos las coordenadas polares que se muestran en la . El sistema y la variable para calcular el campo eléctrico debido a un anillo de carga. Solución El campo eléctrico para una carga lineal viene dado por la expresión general E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ línea λ d l r 2 r ^ . Un elemento general del arco entre θ y θ + d θ es de longitud R d θ y por lo tanto contiene una carga igual a λ R d θ . El elemento está a una distancia de r = z 2 + R 2 desde P , el ángulo es cos ϕ = z z 2 + R 2 , y por lo tanto el campo eléctrico es E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ línea λ d l r 2 r ^ = 1 4 π ε 0 ∫ 0 2 π λ R d θ z 2 + R 2 z z 2 + R 2 z ^ = 1 4 π ε 0 λ R z ( z 2 + R 2 ) 3 / 2 z ^ ∫ 0 2 π d θ = 1 4 π ε 0 2 π λ R z ( z 2 + R 2 ) 3 / 2 z ^ = 1 4 π ε 0 q tot z ( z 2 + R 2 ) 3 / 2 z ^ . Importancia Como es habitual, la simetría simplificó este problema, dando lugar en este caso particular a una integral trivial. Además, cuando tomamos el límite de z >> R , hallamos que E → ≈ 1 4 π ε 0 q tot z 2 z ^ , como esperamos. El campo de un disco Halle el campo eléctrico de un disco circular delgado de radio R y densidad de carga uniforme a una distancia z sobre el centro del disco ( ) Un disco cargado uniformemente. Como en el ejemplo de la carga lineal, el campo sobre el centro de este disco puede calcularse aprovechando la simetría de la distribución de la carga. Estrategia El campo eléctrico para una carga superficial viene dado por E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ superficie σ d A r 2 r ^ . Para resolver los problemas de carga superficial, rompemos la superficie en "franjas" diferenciales simétricas que se ajustan a la forma de la superficie; aquí utilizaremos anillos, como se muestra en la figura. De nuevo, por simetría, las componentes horizontales se anulan y el campo se encuentra completamente en la dirección ( k ^ ) vertical. El componente vertical del campo eléctrico se extrae multiplicando por cos θ , así que E → ( P ) = 1 4 π ε 0 ∫ superficie σ d A r 2 cos θ k ^ . Como antes, tenemos que reescribir las incógnitas del integrando en términos de las cantidades dadas. En este caso, d A = 2 π r ′ d r ′ r 2 = r ′ 2 + z 2 cos θ = z ( r ′ 2 + z 2 ) 1 / 2 . (Tenga en cuenta las dos " r " diferentes aquí; r es la distancia desde el anillo diferencial de carga al punto P donde queremos determinar el campo, mientras que r ′ es la distancia desde el centro del disco hasta el anillo diferencial de carga). Además, ya hemos realizado la integral del ángulo polar al escribir dA . Solución Sustituyendo todo esto, obtenemos E → ( P ) = E → ( z ) = 1 4 π ε 0 ∫ 0 R σ ( 2 π r ′ d r ′ ) z ( r ′ 2 + z 2 ) 3 / 2 k ^ = 1 4 π ε 0 ( 2 π σ z ) ( 1 z − 1 R 2 + z 2 ) k ^ o, más sencillamente, E → ( z ) = 1 4 π ε 0 ( 2 π σ − 2 π σ z R 2 + z 2 ) k ^ . Importancia De nuevo, se puede demostrar (mediante una expansión de Taylor) que cuando z ≫ R , esto se reduce a E → ( z ) ≈ 1 4 π ε 0 σ π R 2 z 2 k ^ , que es la expresión para una carga de puntos Q = σ π R 2 . ¿Cómo cambiaría el límite anterior con un rectángulo cargado uniformemente en lugar de un disco? La carga por puntos sería Q = σ a b donde a y b son los lados del rectángulo pero por lo demás son idénticos. Como R → ∞ , la se reduce al campo de un plano infinito , que es una lámina plana cuya área es mucho, mucho mayor que su espesor, y también mucho, mucho mayor que la distancia a la que se quiere calcular el campo: E → = σ 2 ε 0 k ^ . Tenga en cuenta que este campo es constante. Este sorprendente resultado es, de nuevo, un artefacto de nuestro límite, aunque uno que utilizaremos repetidamente en el futuro. Para entender por qué ocurre esto, imagine que se sitúa sobre un plano infinito de carga constante. ¿Se ve el avión diferente si se varía la altitud? No, sigue viendo el avión que se aleja hasta el infinito, no importa lo lejos que esté de él. Es importante señalar que la se debe a que estamos por encima del plano. Si estuviéramos abajo, el campo apuntaría en la dirección − k ^ . El campo de los dos planos infinitos Halle el campo eléctrico en todas las partes resultantes de dos planos infinitos con densidades de carga iguales pero opuestas ( ). Dos planos infinitos cargados. Observe la dirección del campo eléctrico. Estrategia Ya conocemos el campo eléctrico resultante de un solo plano infinito, así que podemos utilizar el principio de superposición para hallar el campo de dos. Solución El campo eléctrico apunta lejos del plano cargado positivamente y hacia el plano cargado negativamente. Ya que σ son iguales y opuestos, esto significa que en la región fuera de los dos planos, los campos eléctricos se anulan mutuamente hasta llegar a cero. Sin embargo, en la región entre los planos, los campos eléctricos se suman, y obtenemos E → = σ ε 0 i ^ para el campo eléctrico. El i ^ es porque, en la figura, el campo está apuntando en la dirección + x . Importancia Los sistemas que pueden aproximarse como dos planos infinitos de este tipo proporcionan un medio útil para crear campos eléctricos uniformes. ¿Qué aspecto tendría el campo eléctrico en un sistema con dos planos paralelos cargados positivamente con densidades de carga iguales? El campo eléctrico sería cero en el medio, y tendría una magnitud σ ε 0 en todos los demás lugares. Resumen Un número muy grande de cargas puede ser tratado como una distribución de carga continua, donde el cálculo del campo requiere integración. Los casos más comunes son: unidimensional (como un cable); utiliza una densidad de carga lineal λ bidimensional (placa de metal); utiliza la densidad de carga superficial σ tridimensional (esfera de metal); utiliza la densidad de carga volumétrica ρ La "carga fuente" es una cantidad diferencial de carga dq . El cálculo de dq depende del tipo de distribución de la carga de la fuente: d q = λ d l ; d q = σ d A ; d q = ρ d V . La simetría de la distribución de la carga suele ser clave. Casos especiales importantes son el campo de un cable "infinito" y el campo de un plano "infinito". Cuestiones conceptuales Dé un argumento plausible de por qué el campo eléctrico fuera de una hoja cargada infinita es constante. En el infinito, esperaríamos que el campo fuera cero, pero como la hoja tiene una extensión infinita, no es así. Dondequiera que esté, ve un plano infinito en todas las direcciones. Compare los campos eléctricos de una lámina infinita de carga, de una placa conductora infinita y cargada, y de placas infinitas paralelas con cargas opuestas. Describa los campos eléctricos de una placa infinita cargada y de dos placas paralelas infinitas cargadas en términos del campo eléctrico de una lámina de carga infinita. La placa con carga infinita tendría E = σ 2 ε 0 en todas partes. El campo apuntaría hacia la placa si estuviera cargada negativamente y se alejaría de la placa si estuviera cargada positivamente. El campo eléctrico de las placas paralelas sería cero entre ellas si tuvieran la misma carga, y E sería E = σ ε 0 en todos los demás lugares. Si las cargas fueran opuestas, la situación se invierte, cero fuera de las placas y E = σ ε 0 entre ellas. Se coloca una carga negativa en el centro de un anillo de carga positiva uniforme. ¿Cuál es la moción (si la hay) de la carga? ¿Y si la carga se colocara en un punto del eje del anillo distinto del centro? Problemas Una placa conductora delgada de 1,0 m de lado recibe una carga de −2,0 × 10 −6 C . Se coloca un electrón a 1,0 cm por encima del centro de la placa. ¿Cuál es la aceleración del electrón? Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico a 2,0 m de un cable largo cargado uniformemente a λ = 4,0 × 10 −6 C/m . E → ( z ) = 3,6 × 10 4 N / C k ^ Dos finas placas conductoras, de 25,0 cm de lado cada una, están situadas en paralelo y separadas 5,0 mm. Si 10 11 electrones se mueven de una placa a la otra, ¿cuál es el campo eléctrico entre las placas? La carga por unidad de longitud en la varilla delgada que se muestra a continuación es λ . ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto P ? (Pista : Resuelva este problema considerando primero el campo eléctrico d E → en P debido a un pequeño segmento dx de la varilla, que contiene carga d q = λ d x . A continuación, halle el campo neto integrando d E → sobre la longitud de la varilla). d E = 1 4 π ε 0 λ d x ( x + a ) 2 , E = λ 4 π ε 0 [ 1 l + a − 1 a ] La carga por unidad de longitud en el alambre semicircular delgado que se muestra a continuación es λ . ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto P ? Se colocan dos finas placas conductoras paralelas a 2,0 cm de distancia. Cada placa tiene 2,0 cm de lado; una placa lleva una carga neta de 8,0 μ C , y la otra placa lleva una carga neta de −8,0 μ C . ¿Cuál es la densidad de carga en la superficie interior de cada placa? ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? σ = 0,02 C / m 2 E = 2,26 × 10 9 N / C Una placa conductora delgada de 2,0 m de lado recibe una carga total de −10,0 μ C . (a) ¿Cuál es el campo eléctrico 1,0 cm por encima de la placa? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre un electrón en este punto? (c) Repita estos cálculos para un punto situado a 2,0 cm por encima de la placa. (d) Cuando el electrón se desplaza de 1,0 a 2,0 cm por encima de la placa, ¿cuánto trabajo realiza sobre él el campo eléctrico? Una carga total q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla delgada y recta de longitud L (ver abajo). ¿Cuál es el campo eléctrico en P 1 ? En P 2 ? En P 1 : E → ( y ) = 1 4 π ε 0 λ L y y 2 + L 2 4 j ^ ⇒ 1 4 π ε 0 q a 2 ( a 2 ) 2 + L 2 4 j ^ = 1 π ε 0 q a a 2 + L 2 j ^ En P 2 : Poner el origen al final de L . d E = 1 4 π ε 0 λ d x ( x + a ) 2 , E → = − q 4 π ε 0 l [ 1 l + a − 1 a ] i ^ La carga se distribuye a lo largo de todo el eje x con una densidad uniforme λ . ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico de esta distribución de carga sobre un electrón que se mueve a lo largo del eje y desde y = a a y = b ? La carga se distribuye a lo largo de todo el eje x con una densidad uniforme λ x y a lo largo de todo el eje y con una densidad uniforme λ y . Calcule el campo eléctrico resultante en (a) r → = a i ^ + b j ^ y (b) r → = c k ^ . a. E → ( r → ) = 1 4 π ε 0 2 λ x b i ^ + 1 4 π ε 0 2 λ y a j ^ ; b. 1 4 π ε 0 2 ( λ x + λ y ) c k ^ Una varilla doblada en el arco de un círculo subtiende un ángulo 2 θ en el centro P del círculo (ver más abajo). Si la varilla está cargada uniformemente con una carga total Q , ¿cuál es el campo eléctrico en P ? Un protón se mueve en el campo eléctrico E → = 200 i ^ N/C . (a) ¿Cuál es la fuerza y la aceleración del protón? (b) Haga el mismo cálculo para un electrón que se mueve en este campo. a. F → = 3,2 × 10 −17 N i ^ , a → = 1,92 × 10 10 m / s 2 i ^ ; b. F → = -3,2 × 10 −17 N i ^ , a → = −3,51 × 10 13 m / s 2 i ^ Un electrón y un protón, cada uno partiendo del reposo, son acelerados por el mismo campo eléctrico uniforme de 200 N/C. Determine la distancia y el tiempo para que cada partícula adquiera una energía cinética de 3,2 × 10 −16 J . Una gota de agua esférica de radio 25 μ m lleva un exceso de 250 electrones. ¿Qué campo eléctrico vertical se necesita para equilibrar la fuerza gravitatoria sobre la gota en la superficie de la tierra? m = 6,5 × 10 −11 kg , E = 1,6 × 10 7 N / C Un protón entra en el campo eléctrico uniforme producido por las dos placas cargadas que se muestran a continuación. La magnitud del campo eléctrico es 4,0 × 10 5 N/C , y la velocidad del protón cuando entra es 1,5 × 10 7 m/s . ¿Qué distancia d se ha desviado el protón hacia abajo cuando sale de las placas? A continuación se muestra una pequeña esfera de masa 0,25 g que lleva una carga de 9,0 × 10 −10 C . La esfera está unida al extremo de un cordón de seda muy fino de 5,0 cm de longitud. El otro extremo de la cuerda está unido a una gran placa conductora vertical que tiene una densidad de carga de 30 × 10 −6 C/m 2 . ¿Cuál es el ángulo que forma la cuerda con la vertical? E = 1,70 × 10 6 N / C , F = 1,53 × 10 −3 N T cos θ = m g T sen θ = q E , tan θ = 0,62 ⇒ θ = 32,0 ° , Esto es independiente de la longitud de la cadena. Dos varillas infinitas, cada una con una densidad de carga uniforme λ , son paralelas entre sí y perpendiculares al plano de la página. (Ver más abajo.) ¿Cuál es el campo eléctrico en P 1 ? En P 2 ? La carga positiva se distribuye con una densidad uniforme λ a lo largo del eje x positivo de r a ∞ , a lo largo del eje y positivo de r a ∞ , y a lo largo de un arco de 90 ° de una circunferencia de radio r , como se muestra a continuación. ¿Cuál es el campo eléctrico en O ? arco de círculo d E x ( − i ^ ) = 1 4 π ε 0 λ d s r 2 cos θ ( − i ^ ) , E → x = λ 4 π ε 0 r ( − i ^ ) , d E y ( − i ^ ) = 1 4 π ε 0 λ d s r 2 sen θ ( − j ^ ) , E → y = λ 4 π ε 0 r ( − j ^ ) ; eje y : E → x = λ 4 π ε 0 r ( − i ^ ) ; eje x : E → y = λ 4 π ε 0 r ( − j ^ ) , E → = λ 2 π ε 0 r ( − i ^ ) + λ 2 π ε 0 r ( − j ^ ) Desde una distancia de 10 cm, un protón se proyecta con una velocidad de v = 4,0 × 10 6 m/s directamente a una gran placa cargada positivamente cuya densidad de carga es σ = 2,0 × 10 −5 C/m 2 . (Ver abajo.) (a) ¿Llega el protón a la placa? (b) Si no, ¿a qué distancia de la placa da la vuelta? Una partícula de masa m y carga − q se mueve a lo largo de una línea recta alejándose de una partícula fija de carga Q . Cuando la distancia entre las dos partículas es r 0 , − q se mueve con una velocidad v 0 . (a) Utilice el teorema de trabajo-energía para calcular la máxima separación de las cargas. (b) ¿Qué tiene que suponer sobre v 0 para realizar este cálculo? (c) ¿Cuál es el valor mínimo de v 0 tal que − q se escapa de Q ? a. W = 1 2 m ( v 2 − v 0 2 ) , Q q 4 π ε 0 ( 1 r − 1 r 0 ) = 1 2 m ( v 2 − v 0 2 ) ⇒ r 0 − r = 4 π ε 0 Q q 1 2 r r 0 m ( v 2 − v 0 2 ) ; b. r 0 − r es negativo; por lo tanto, v 0 > v , r → ∞ , y v → 0 : Q q 4 π ε 0 ( − 1 r 0 ) = − 1 2 m v 0 2 ⇒ v 0 = Q q 2 π ε 0 m r 0 distribución de carga continua la carga total de la fuente está compuesta por un número tan grande de cargas elementales que debe tratarse como continua, en lugar de discreta plano infinito lámina plana en la que las dimensiones que componen el área son mucho, mucho mayores que su espesor, y también mucho, mucho mayores que la distancia a la que se debe calcular el campo; su campo es constante cable lineal infinito un cable recto cuya longitud es mucho, mucho mayor que cualquiera de sus otras dimensiones, y también mucho, mucho mayor que la distancia a la que se debe calcular el campo densidad de carga lineal cantidad de carga en un elemento de una distribución de carga que es esencialmente unidimensional (la anchura y la altura son mucho, mucho más pequeñas que su longitud); sus unidades son C/m densidad de carga superficial cantidad de carga en un elemento de una distribución de carga bidimensional (el espesor es pequeño); sus unidades son C / m 2 volumen de densidad de carga cantidad de carga en un elemento de una distribución de carga tridimensional; sus unidades son C / m 3

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Líneas de campo eléctrico Ahora que tenemos algo de experiencia en el cálculo de campos eléctricos, vamos a intentar comprender la geometría de los campos eléctricos. Como se ha mencionado anteriormente, nuestro modelo es que la carga de un objeto (la carga fuente) altera el espacio en la región que lo rodea de tal manera que cuando se coloca otro objeto cargado (la carga de prueba) en esa región del espacio, esa carga de prueba experimenta una fuerza eléctrica. El concepto de líneas de campo eléctrico, y de diagramas de líneas de campo eléctrico, nos permite visualizar la forma en que se altera el espacio, permitiéndonos visualizar el campo. El propósito de esta sección es permitirle crear bocetos de esta geometría, por lo que enumeraremos los pasos y reglas específicas que intervienen en la creación de un boceto preciso y útil de un campo eléctrico. Es importante recordar que los campos eléctricos son tridimensionales. Aunque en este libro incluimos algunas imágenes pseudotridimensionales, varios de los diagramas que verá (tanto aquí como en los capítulos siguientes) serán proyecciones bidimensionales o secciones transversales. Tenga siempre presente que, de hecho, está viendo un fenómeno tridimensional. Nuestro punto de partida es el hecho físico de que el campo eléctrico de la carga fuente hace que una carga de prueba en ese campo experimente una fuerza. Por definición, los vectores del campo eléctrico apuntan en la misma dirección que la fuerza eléctrica que experimentaría una (hipotética) carga de prueba positiva, si se colocara en el campo ( ) El campo eléctrico de una carga de puntos positiva. Se muestra un gran número de vectores de campo. Como todas las flechas vectoriales, la longitud de cada vector es proporcional a la magnitud del campo en cada punto. (a) Campo en dos dimensiones; (b) campo en tres dimensiones. En la figura hemos trazado muchos vectores de campo, que se distribuyen uniformemente alrededor de la carga fuente. Como el campo eléctrico es un vector, las flechas que dibujamos corresponden en cada punto del espacio tanto a la magnitud como a la dirección del campo en ese punto. Como siempre, la longitud de la flecha que dibujamos corresponde a la magnitud del vector campo en ese punto. Para una carga de origen de puntos, la longitud disminuye por el cuadrado de la distancia a la carga de origen. Además, la dirección del vector campo se aleja radialmente de la carga fuente, porque la dirección del campo eléctrico está definida por la dirección de la fuerza que experimentaría una carga de prueba positiva en ese campo. (De nuevo, tenga en cuenta que el campo real es tridimensional; también hay líneas de campo que apuntan hacia fuera y hacia dentro de la página). Este diagrama es correcto, pero se vuelve menos útil a medida que la distribución de la carga de la fuente se complica. Por ejemplo, consideremos el diagrama de campo vectorial de un dipolo ( ). El campo vectorial de un dipolo. Incluso con solo dos cargas idénticas, el diagrama del campo vectorial se vuelve difícil de entender. Hay una forma más útil de presentar la misma información. En lugar de dibujar un gran número de flechas vectoriales cada vez más pequeñas, conectamos todas ellas, formando líneas y curvas continuas, como se muestra en la . (a) El diagrama de líneas de campo eléctrico de una carga de puntos positiva. (b) El diagrama de líneas de campo de un dipolo. En ambos diagramas, la magnitud del campo se indica mediante la densidad de líneas de campo. Los vectores de campo (no mostrados aquí) son en todas partes tangentes a las líneas de campo. Aunque no sea evidente a primera vista, estos diagramas de campo transmiten la misma información sobre el campo eléctrico que los diagramas vectoriales. En primer lugar, la dirección del campo en cada punto es simplemente la dirección del vector campo en ese mismo punto. En otras palabras, en cualquier punto del espacio, el vector campo en cada punto es tangente a las líneas de campo en ese mismo punto. La punta de flecha colocada en una línea de campo indica su dirección. En cuanto a la magnitud del campo, se indica mediante la densidad de líneas de campo , es decir, el número de líneas de campo por unidad de superficie que pasan por una pequeña zona de sección transversal perpendicular al campo eléctrico. Esta densidad de líneas de campo se dibuja para ser proporcional a la magnitud del campo en esa sección transversal. En consecuencia, si las líneas de campo están muy juntas (es decir, la densidad de líneas de campo es mayor), esto indica que la magnitud del campo es grande en ese punto. Si las líneas de campo están muy separadas en la sección transversal, esto indica que la magnitud del campo es pequeña. La muestra la idea. Líneas de campo eléctrico que pasan por zonas imaginarias. Como el número de líneas que pasan por cada zona es el mismo, pero las zonas en sí son diferentes, la densidad de líneas de campo es diferente. Esto indica diferentes magnitudes del campo eléctrico en estos puntos. En la , el mismo número de líneas de campo pasa por ambas superficies ( S y S ′ ) , pero la superficie S es mayor que la superficie S ′ . Por lo tanto, la densidad de líneas de campo (número de líneas por unidad de superficie) es mayor en la ubicación de S ′ , lo que indica que el campo eléctrico es más fuerte en el lugar de S ′ que en S . Las reglas para crear un diagrama de campo eléctrico son las siguientes. Dibujo de líneas de campo eléctrico Las líneas de campo eléctrico se originan en cargas positivas o llegan desde el infinito, y terminan en cargas negativas o se extienden hasta el infinito. El número de líneas de campo que se originan o terminan en una carga es proporcional a la magnitud de esa carga. Una carga de 2 q tendrá el doble de líneas que una carga de q . En cada punto del espacio, el vector campo en ese punto es tangente a la línea de campo en ese mismo punto. La densidad de la línea de campo en cualquier punto del espacio es proporcional (y por tanto representativa) a la magnitud del campo en ese punto del espacio. Las líneas de campo nunca pueden cruzarse. Como una línea de campo representa la dirección del campo en un punto determinado, si dos líneas de campo se cruzaran en algún punto, eso implicaría que el campo eléctrico apuntaba en dos direcciones diferentes en un mismo punto. Esto, a su vez, sugeriría que la fuerza (neta) sobre una carga de prueba colocada en ese punto apuntaría en dos direcciones diferentes. Como esto es obviamente imposible, se deduce que las líneas de campo no deben cruzarse nunca. Tenga siempre en cuenta que las líneas de campo solo sirven para visualizar el campo eléctrico; no son entidades físicas. Aunque la dirección y la intensidad relativa del campo eléctrico pueden deducirse de un conjunto de líneas de campo, las líneas también pueden ser engañosas. Por ejemplo, las líneas de campo trazadas para representar el campo eléctrico en una región deben ser necesariamente discretas. Sin embargo, el campo eléctrico real en esa región existe en cada punto del espacio. Las líneas de campo para tres grupos de cargas discretas se muestran en la . Como las cargas de las partes (a) y (b) tienen la misma magnitud, se muestra el mismo número de líneas de campo que parten o terminan en cada carga. En (c), sin embargo, dibujamos tres veces más líneas de campo dejando la carga + 3 q como que entra en − q . Las líneas de campo que no terminan en − q emanan hacia fuera de la configuración de la carga, hasta el infinito. Tres diagramas típicos de campo eléctrico. (a) Un dipolo. (b) Dos cargas idénticas. (c) Dos cargas con signos opuestos y magnitudes diferentes. ¿Puede decir en el diagrama qué carga tiene la mayor magnitud? La capacidad de construir un diagrama de campo eléctrico preciso es una habilidad importante y útil; facilita mucho la estimación, la predicción y, por tanto, el cálculo del campo eléctrico de una carga fuente. La mejor manera de desarrollar esta habilidad es con un software que le permite colocar las cargas de origen y luego dibujar el campo de la red a petición. Le recomendamos encarecidamente que busque un programa en Internet. Una vez que haya encontrado uno que le guste, realiza varias simulaciones para obtener las ideas esenciales de la construcción de diagramas de campo. A continuación, practique el dibujo de diagramas de campo y compruebe sus predicciones con los diagramas que dibuje la computadora. En la simulación de Phet a continuación podrá ver un ejemplo de programa de dibujo de líneas de campo. Resumen Los diagramas de campo eléctrico ayudan a visualizar el campo de una carga fuente. La magnitud del campo es proporcional a la densidad de líneas de campo. Los vectores de campo son siempre tangentes a las líneas de campo. Cuestiones conceptuales Si una carga de puntos se libera del reposo en un campo eléctrico uniforme, ¿seguirá una línea de campo? ¿Lo hará si el campo eléctrico no es uniforme? sí; no ¿En qué condiciones, si las hay, la trayectoria de una partícula cargada no seguirá una línea de campo? ¿Cómo distinguiría experimentalmente un campo eléctrico de un campo gravitacional? En la superficie de la Tierra, el campo gravitacional está siempre dirigido hacia el centro de la Tierra. Un campo eléctrico podría mover una partícula cargada en una dirección diferente a la del centro de la Tierra. Esto indicaría que hay un campo eléctrico presente. Una representación de un campo eléctrico muestra 10 líneas de campo perpendiculares a una placa cuadrada. ¿Cuántas líneas de campo deben pasar perpendicularmente por la placa para representar un campo con el doble de magnitud? ¿Cuál es la relación entre el número de líneas de campo eléctrico que salen de una carga 10 q y una carga q ? 10 Problemas ¿Cuál de las siguientes líneas de campo eléctrico es incorrecta para cargas de puntos? Explique por qué. En este ejercicio, practicará el dibujo de líneas de campo eléctrico. Asegúrese de representar adecuadamente tanto la magnitud como la dirección del campo eléctrico. Observe que el número de líneas de entrada o salida de cargas es proporcional a las cargas. (a) Dibuje el mapa de líneas de campo eléctrico para dos cargas + 20 μ C y −20 μ C situados a 5 cm uno del otro. (b) Dibuje el mapa de líneas de campo eléctrico para dos cargas + 20 μ C y + 20 μ C situados a 5 cm uno del otro. (c) Dibuje el mapa de líneas de campo eléctrico para dos cargas + 20 μ C y −30 μ C situados a 5 cm uno del otro. Dibuje el campo eléctrico para un sistema de tres partículas de cargas + 1 μ C , + 2 μ C , y −3 μ C fijadas en las esquinas de un triángulo equilátero de lado 2 cm. Dos cargas de igual magnitud pero de signo contrario forman un dipolo eléctrico. Un cuadrupolo está formado por dos dipolos eléctricos que se colocan de forma antiparalela en dos aristas de un cuadrado, como se muestra. Dibuje el campo eléctrico de la distribución de carga. Supongamos que el campo eléctrico de una carga de puntos aislada disminuye con la distancia como 1 / r 2 + δ y no como 1 / r 2 . Demuestre que entonces es imposible trazar líneas de campo continuas de modo que su número por unidad de superficie sea proporcional a E . línea de campo línea suave, generalmente curva, que indica la dirección del campo eléctrico densidad de líneas de campo número de líneas de campo por metro cuadrado que atraviesan un área imaginaria; su objetivo es indicar la intensidad de campo en diferentes puntos del espacio

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Dipolos eléctricos Anteriormente discutimos, y calculamos, el campo eléctrico de un dipolo: dos cargas iguales y opuestas que están "cerca" la una de la otra (en este contexto, "cerca" significa que la distancia d entre las dos cargas es mucho mucho menos que la distancia del punto de campo P , el lugar donde se calcula el campo). Consideremos ahora lo que le ocurre a un dipolo cuando se coloca en un campo externo E → . Suponemos que el dipolo es un dipolo permanente ; existe sin el campo y no se rompe en el campo externo. Rotación de un dipolo debido a un campo eléctrico Por ahora, solo tratamos el caso más sencillo: el campo externo es uniforme en el espacio. Supongamos que tenemos la situación representada en la , donde denotamos la distancia entre las cargas como el vector d → , apuntando de la carga negativa a la positiva. Las fuerzas sobre las dos cargas son iguales y opuestas, por lo que no hay fuerza neta sobre el dipolo. Sin embargo, hay un par de torsión: τ → = ( d → 2 × F → + ) + ( − d → 2 × F → − ) = [ ( d → 2 ) × ( + q E → ) + ( − d → 2 ) × ( − q E → ) ] = q d → × E → . Un dipolo en un campo eléctrico externo. (a) La fuerza neta sobre el dipolo es cero, pero el par neto no lo es. Como resultado, el dipolo gira, alineándose con el campo externo. (b) El momento dipolar es una forma conveniente de caracterizar este efecto. El d → apunta en la misma dirección que p → . La cantidad q d → (la magnitud de cada carga multiplicada por la distancia vectorial entre ellas) es una propiedad del dipolo; su valor, como podemos ver, determina el par que experimenta el dipolo en el campo externo. Por lo tanto, es útil definir este producto como el llamado momento dipolar del dipolo: p → ≡ q d → . Por lo tanto, podemos escribir τ → = p → × E → . Recordemos que una torsión modifica la velocidad angular de un objeto, el dipolo, en este caso. En esta situación, el efecto es rotar el dipolo (es decir, alinear la dirección de p → ) de manera que sea paralela a la dirección del campo externo. Dipolos inducidos Los átomos neutros son, por definición, eléctricamente neutros; tienen cantidades iguales de carga positiva y negativa. Además, al ser esféricamente simétricos, no tienen un momento dipolar "incorporado" como la mayoría de las moléculas asimétricas. Sin embargo, obtienen uno cuando se colocan en un campo eléctrico externo, ya que el campo externo provoca fuerzas dirigidas de forma opuesta sobre el núcleo positivo del átomo versus los electrones negativos que rodean el núcleo. El resultado es una nueva distribución de la carga del átomo y, por tanto, un momento dipolar inducido ( ). Un dipolo es inducido en un átomo neutro por un campo eléctrico externo. El momento dipolar inducido está alineado con el campo externo. Un hecho importante aquí es que, al igual que en el caso de una molécula polar rotada, el resultado es que el momento dipolar termina alineado en paralelo al campo eléctrico externo. Generalmente, la magnitud de un dipolo inducido es mucho menor que la de un dipolo inherente. Para ambos tipos de dipolos, observe que una vez que la alineación del dipolo (girado o inducido) es completa, el efecto neto es la disminución del campo eléctrico total E → total = E → externo + E → dipolo en las regiones del interior de las cargas dipolares ( ). Por “interior" se entiende entre las cargas. Este efecto es crucial para los condensadores, como verá en Capacitancia . El campo eléctrico neto es la suma vectorial del campo del dipolo más el campo externo. Recordemos que encontramos el campo eléctrico de un dipolo en la . Si lo reescribimos en términos del momento dipolar obtenemos: E → ( z ) = 1 4 π ε 0 p → z 3 . La forma de este campo se muestra en la . Observe que a lo largo del plano perpendicular al eje del dipolo y a medio camino entre las cargas, la dirección del campo eléctrico es opuesta a la del dipolo y se hace más débil cuanto más se aleja del eje. Del mismo modo, en el eje del dipolo (pero fuera de él), el campo apunta en la misma dirección que el dipolo, volviéndose de nuevo más débil cuanto más se aleja de las cargas. Resumen Si se coloca un dipolo permanente en un campo eléctrico externo, se produce una torsión que lo alinea con el campo externo. Si un átomo (o molécula) no polar se coloca en un campo externo, adquiere un dipolo inducido que se alinea con el campo externo. El campo neto es la suma vectorial del campo externo más el campo del dipolo (físico o inducido). La fuerza de la polarización se describe mediante el momento dipolar del dipolo, p → = q d → . Ecuaciones clave Ley de Coulomb F → 12 ( r ) = 1 4 π ε 0 q 1 q 2 r 12 2 r ^ 12 Superposición de fuerzas eléctricas F → ( r ) = 1 4 π ε 0 Q ∑ i = 1 N q i r i 2 r ^ i Fuerza eléctrica debida a un campo eléctrico F → = Q E → Campo eléctrico en el punto P E → ( P ) ≡ 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 N q i r i 2 r ^ i Campo de un cable infinito E → ( z ) = 1 4 π ε 0 2 λ z k ^ Campo de un plano infinito E → = σ 2 ε 0 k ^ Momento dipolar p → ≡ q d → Torsión en el dipolo en el campo E externo τ → = p → × E → Cuestiones conceptuales ¿Cuáles son las orientaciones estables de un dipolo en un campo eléctrico externo? ¿Qué ocurre si el dipolo se desvía ligeramente de estas orientaciones? Problemas Considere las cargas iguales y opuestas que se muestran a continuación. (a) Demuestre que en todos los puntos del eje x para los que | x | ≫ a , E ≈ Q a / 2 π ε 0 x 3 . b) Demuestre que en todos los puntos del eje y para los que | y | ≫ a , E ≈ Q a / π ε 0 y 3 . E x = 0 , E y = 1 4 π ε 0 [ 2 q ( x 2 + a 2 ) a ( x 2 + a 2 ) ] ⇒ x ≫ a ⇒ 1 2 π ε 0 q a x 3 , E y = q 4 π ε 0 [ 2 y a + 2 y a ( y − a ) 2 ( y + a ) 2 ] ⇒ y ≫ a ⇒ 1 π ε 0 q a y 3 (a) ¿Cuál es el momento dipolar de la configuración mostrada arriba? Si Q = 4,0 μ C , (b) ¿Cuál es la torsión en este dipolo con un campo eléctrico de 4,0 × 10 5 N/C i ^ ? (c) ¿Cuál es la torsión en este dipolo con un campo eléctrico de −4,0 × 10 5 N/C i ^ ? (d) ¿Cuál es la torsión en este dipolo con un campo eléctrico de ± 4,0 × 10 5 N/C j ^ ? Una molécula de agua está formada por dos átomos de hidrógeno unidos a un átomo de oxígeno. El ángulo de enlace entre los dos átomos de hidrógeno es 104 ° (ver más abajo). Calcule el momento dipolar neto de una hipotética molécula de agua donde la carga en la molécula de oxígeno es –2e y en cada átomo de hidrógeno es +e. El momento dipolar neto de la molécula es la suma vectorial del momento dipolar individual entre los dos O-H. La separación O-H es de 0,9578 angstroms. El momento dipolar neto de la molécula es la suma vectorial de los momentos dipolares individuales entre los dos O-H. La separación O-H es de 0,9578 angstroms p → = 1,889 × 10 −29 Cm i ^ Problemas adicionales Las cargas de puntos q 1 = 2,0 μ C y q 1 = 4,0 μ C se encuentran en r 1 = ( 4,0 i ^ − 2,0 j ^ + 2,0 k ^ ) m y r 2 = ( 8,0 i ^ + 5,0 j ^ − 9,0 k ^ ) m . ¿Cuál es la fuerza de q 2 en q 1 ? ¿Cuál es la fuerza sobre la carga 5,0 - μ C que se muestra a continuación? F → neto = [ −8,99 × 10 9 3,0 × 10 −6 ( 5,0 × 10 −6 ) ( 3,0 m ) 2 − 8,99 × 10 9 9,0 × 10 −6 ( 5,0 × 10 −6 ) ( 3,0 m ) 2 ] i ^ , −8,99 × 10 9 6,0 × 10 −6 ( 5,0 × 10 −6 ) ( 3,0 m ) 2 j ^ = −0,06 N i ^ − 0,03 N j ^ ¿Cuál es la fuerza sobre la carga 2,0 - μ C colocada en el centro del cuadrado que se muestra a continuación? Se colocan cuatro partículas cargadas en las esquinas de un paralelogramo como se muestra a continuación. Si q = 5,0 μ C y Q = 8,0 μ C , ¿cuál es la fuerza neta sobre q ? Las cargas Q y q forman un triángulo rectángulo de lados 1 m y 3 + 3 m . Las cargas 2 Q y q forman un triángulo rectángulo de lados 1 m y 3 m . F x = 0,049 N , F y = 0,093 N , F → neto = 0,036 N i ^ + 0,09 N j ^ Una carga Q está fija en el origen y una segunda carga q se mueve a lo largo del eje x , como se muestra a continuación. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza eléctrica sobre q cuando esta se mueve de x 1 a x 2 ? Una carga q = −2,0 μ C se libera del reposo cuando está a 2,0 m de una carga fija Q = 6,0 μ C . ¿Cuál es la energía cinética de q cuando está a 1,0 m de Q ? W = 0,054 J ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto medio M de la hipotenusa del triángulo que se muestra a continuación? Halle el campo eléctrico en P para las configuraciones de carga que se muestran a continuación. a. E → = 1 4 π ε 0 ( q ( 2 a ) 2 − q a 2 ) i ^ ; b. E → = 3 4 π ε 0 q a 2 ( − j ^ ) ; c. E → = 2 π ε 0 q a 2 1 2 ( − j ^ ) (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en la esquina inferior derecha del cuadrado que se muestra a continuación? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre una carga q colocada en ese punto? Las cargas de puntos se colocan en las cuatro esquinas de un rectángulo como se muestra a continuación: q 1 = 2,0 × 10 −6 C , q 2 = −2,0 × 10 −6 C, q 3 = 4,0 × 10 −6 C, y q 4 = 1,0 × 10 −6 C . ¿Cuál es el campo eléctrico en P ? E → neto = E → 1 + E → 2 + E → 3 + E → 4 = ( 4,65 i ^ + 1,44 j ^ ) × 10 7 N/C Tres cargas están colocadas en las esquinas de un paralelogramo como se muestra a continuación. (a) Si Q = 8,0 μ C , ¿cuál es el campo eléctrico en la esquina desocupada? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre una carga de 5,0 - μ C colocada en esta esquina? Una carga positiva q se libera del reposo en el origen de un sistema de coordenadas rectangular y se mueve bajo la influencia del campo eléctrico E → = E 0 ( 1 + x / a ) i ^ . ¿Cuál es la energía cinética de q cuando pasa por x = 3 a ? F = q E 0 ( 1 + x / a ) W = 1 2 m ( v 2 − v 0 2 ) , 1 2 m v 2 = q E 0 ( 15 a 2 ) J Se coloca una partícula de carga − q y masa m en el centro de un anillo uniformemente cargado de carga total Q y radio R . La partícula se desplaza una pequeña distancia a lo largo del eje perpendicular al plano del anillo y se libera. Suponiendo que la partícula está obligada a moverse a lo largo del eje, demuestre que la partícula oscila en movimiento armónico simple con una frecuencia f = 1 2 π q Q 4 π ε 0 m R 3 . La carga se distribuye uniformemente a lo largo de todo el eje y con una densidad λ y y a lo largo del eje x positivo de x = a a x = b con una densidad λ x . ¿Cuál es la fuerza entre las dos distribuciones? Campo eléctrico del cable en x : E → ( x ) = 1 4 π ε 0 2 λ y x i ^ , d F = λ y λ x 2 π ε 0 ( ln b − ln a ) El arco circular que se muestra a continuación lleva una carga por unidad de longitud λ = λ 0 cos θ , donde θ se mide desde el eje x . ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? Calcular el campo eléctrico debido a una varilla uniformemente cargada de longitud L , alineada con el eje x con un extremo en el origen; en un punto P del eje z . d E x = 1 4 π ε 0 λ d x ( x 2 + a 2 ) x x 2 + a 2 , E → x = λ 4 π ε 0 [ 1 L 2 + a 2 − 1 a ] i ^ , d E z = 1 4 π ε 0 λ d x ( x 2 + a 2 ) a x 2 + a 2 , E → z = λ 4 π ε 0 a L L 2 + a 2 k ^ , Sustituyendo z por a , tenemos E → ( z ) = λ 4 π ε 0 [ 1 L 2 + z 2 − 1 z ] i ^ + λ 4 π ε 0 z L L 2 + z 2 k ^ La carga por unidad de longitud en la varilla delgada que se muestra a continuación es λ . ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre la carga de puntos q ? Resuelva este problema considerando primero la fuerza eléctrica d F → en q debido a un pequeño segmento d x de la varilla, que contiene carga λ d x . Entonces, halle la fuerza neta integrando d F → a lo largo de la varilla. La carga por unidad de longitud en la varilla delgada que se muestra aquí es λ . ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre la carga de puntos q ? (Consulte el problema anterior). Hay una fuerza neta solo en la dirección y . Supongamos que θ es el ángulo que forma el vector de dx a q con el eje x . Las componentes a lo largo del eje x se cancelan debido a la simetría, dejando el componente y de la fuerza. d F y = 1 4 π ε 0 a q λ d x ( x 2 + a 2 ) 3 / 2 , F y = 1 2 π ε 0 q λ a [ l / 2 ( ( l / 2 ) 2 + a 2 ) 1 / 2 ] La carga por unidad de longitud en el alambre semicircular delgado que se muestra a continuación es λ . ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre la carga de puntos q ? (Ver los problemas anteriores) momento dipolar propiedad de un dipolo; caracteriza la combinación de la distancia entre las cargas opuestas y la magnitud de las cargas dipolo inducido típicamente un átomo, o una molécula esféricamente simétrica; un dipolo que se crea debido a fuerzas opuestas que desplazan las cargas positivas y negativas dipolo permanente típicamente una molécula; un dipolo que se crea por la disposición de las partículas cargadas a partir de las cuales se crea el dipolo

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Introducción Este capítulo introduce el concepto de flujo, que relaciona una cantidad física y el área por la que fluye. Aunque introducimos este concepto con el campo eléctrico, el concepto puede utilizarse para muchas otras magnitudes, como el flujo de fluidos (créditos: modificación del trabajo de “Alessandro”/Flickr). El flujo es un concepto general y ampliamente aplicable en física. Sin embargo, en este capítulo nos concentramos en el flujo del campo eléctrico. Esto nos permite introducir la ley de Gauss, que es particularmente útil para hallar los campos eléctricos de las distribuciones de carga que presentan simetría espacial. Los principales temas que se tratan aquí son Flujo eléctrico. Definimos el flujo eléctrico tanto para las superficies abiertas como para las cerradas. La ley de Gauss. Derivamos la ley de Gauss para una distribución de carga arbitraria y examinamos el papel del flujo eléctrico en la ley de Gauss. Cálculo de campos eléctricos con la ley de Gauss. El objetivo principal de este capítulo es explicar cómo utilizar la ley de Gauss para hallar los campos eléctricos de distribuciones de carga espacialmente simétricas. Discutimos la importancia de elegir una superficie gaussiana y proporcionamos ejemplos que implican las aplicaciones de la ley de Gauss. Campos eléctricos en conductores. La ley de Gauss proporciona una visión útil sobre la ausencia de campos eléctricos en los materiales conductores. Hasta ahora, hemos comprobado que el campo electrostático comienza y termina en las cargas de puntos y que el campo de una carga de puntos varía inversamente con el cuadrado de la distancia a dicha carga. Estas características del campo electrostático conducen a una importante relación matemática conocida como ley de Gauss. Esta ley lleva el nombre del extraordinario matemático y científico alemán Karl Friedrich Gauss ( ). La ley de Gauss nos da una forma elegantemente sencilla de hallar el campo eléctrico y, como verá, puede ser mucho más fácil de usar que el método de integración descrito en el capítulo anterior. Sin embargo, la ley de Gauss tiene una limitación: aunque siempre es cierta, solo puede aplicarse a distribuciones de carga con ciertas simetrías. Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático legendario del siglo XIX. Aunque sus principales contribuciones fueron en el campo de las matemáticas, también realizó importantes trabajos en física y astronomía.

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Flujo eléctrico El concepto de flujo describe la cantidad de algo que atraviesa un área determinada. Más formalmente, es el producto punto de un campo vectorial (en este capítulo, el campo eléctrico) con un área. Se puede conceptualizar el flujo de un campo eléctrico como una medida del número de líneas de campo eléctrico que pasan por un área ( ). Cuanto mayor sea el área, más líneas de campo la atraviesan y, por lo tanto, mayor es el flujo; del mismo modo, cuanto más fuerte es el campo eléctrico (representado por una mayor densidad de líneas), mayor es el flujo. Por otro lado, si el área gira de manera que el plano esté alineado con las líneas de campo, no pasará ninguna y no habrá flujo. El flujo de un campo eléctrico a través de la zona sombreada capta información sobre el "número" de líneas de campo eléctrico que pasan por la zona. El valor numérico del flujo eléctrico depende de las magnitudes del campo eléctrico y del área, así como de la orientación relativa del área con respecto a la dirección del campo eléctrico. Una analogía macroscópica que puede ayudar a imaginar esto es poner un aro hula-hula en un río que fluye. Al cambiar el ángulo del aro con respecto a la dirección de la corriente, más o menos del flujo pasará por el aro. Del mismo modo, la cantidad de flujo que pasa a través del aro depende de la fuerza de la corriente y del tamaño del aro. De nuevo, el flujo es un concepto general; también podemos utilizarlo para describir la cantidad de luz solar que incide en un panel solar o la cantidad de energía que recibe un telescopio de una estrella lejana, por ejemplo. Para cuantificar esta idea, la (a) muestra una superficie plana S 1 del área A 1 que es perpendicular al campo eléctrico uniforme E → = E y ^ . Si N líneas de campo pasan por S 1 , entonces sabemos por la definición de las líneas de campo eléctrico ( Cargas y campos eléctricos) que N / A 1 ∝ E , o N ∝ E A 1 . La cantidad E A 1 es el flujo eléctrico que atraviesa S 1 . Representamos el flujo eléctrico a través de una superficie abierta como S 1 con el símbolo Φ . El flujo eléctrico es una cantidad escalar y tiene una unidad SI de newton-metros al cuadrado por culombio ( N · m 2 /C ). Observe que N ∝ E A 1 también puede escribirse como N ∝ Φ , demostrando que el flujo eléctrico es una medida del número de líneas de campo que cruzan una superficie . (a) Una superficie plana S 1 del área A 1 es perpendicular al campo eléctrico E j ^ . Las líneas de campo N cruzan la superficie S 1 . (b) Una superficie S 2 del área A 2 cuya proyección en el plano xz es S 1 . El mismo número de líneas de campo cruzan cada superficie. Consideremos ahora una superficie plana que no es perpendicular al campo. ¿Cómo representaríamos el flujo eléctrico? La (b) muestra una superficie S 2 del área A 2 que está inclinada en un ángulo θ al plano xz y cuya proyección en dicho plano es S 1 (área A 1 ). Las áreas están relacionadas por A 2 cos θ = A 1 . Dado que el mismo número de líneas de campo cruza ambos S 1 y S 2 , los flujos a través de ambas superficies deben ser iguales. El flujo a través de S 2 por lo tanto, es Φ = E A 1 = E A 2 cos θ . Al designar n ^ 2 como un vector unitario normal a S 2 (vea la (b)), obtenemos Φ = E → · n ^ 2 A 2 . Mire este video para observar lo que ocurre con el flujo cuando el área cambia de tamaño y ángulo, o el campo eléctrico cambia de intensidad. Vector de área Para discutir el flujo de un campo vectorial, es útil introducir un vector de área A → . Esto nos permite escribir la última ecuación de forma más compacta. ¿Cuál debe ser la magnitud del vector de área? ¿Cuál debe ser la dirección del vector de área? ¿Qué implicaciones tiene la respuesta a la pregunta anterior? El vector de área de una superficie plana de área A tiene la siguiente magnitud y dirección: La magnitud es igual al área (A ) La dirección es a lo largo de la normal a la superficie ( n ^ ); es decir, perpendicular a la superficie. Dado que la normal a una superficie plana puede apuntar en cualquier dirección desde la superficie, es necesario elegir la dirección del vector de área de una superficie abierta, como se muestra en la . Hay que elegir la dirección del vector de área de una superficie abierta; podría ser cualquiera de los dos casos que se muestran aquí. El vector de área de una parte de una superficie cerrada se define para apuntar desde el interior del espacio cerrado hacia el exterior. Esta regla da una dirección única. Dado que n ^ es una normal unitaria a una superficie, tiene dos direcciones posibles en cada punto de esa superficie ( (a)). Para una superficie abierta, podemos utilizar cualquier dirección, siempre que seamos coherentes en toda la superficie. La parte (c) de la figura muestra varios casos. (a) En cada punto de una superficie surgen dos vectores normales potenciales. (b) La normal exterior se utiliza para calcular el flujo a través de una superficie cerrada. (c) Solo S 3 ha recibido un conjunto coherente de vectores normales que nos permite definir el flujo a través de la superficie. Sin embargo, si una superficie es cerrada, entonces la superficie encierra un volumen. En ese caso, la dirección del vector normal en cualquier punto de la superficie apunta desde el interior hacia el exterior. En una superficie cerrada como la de (b), n ^ se elige para ser la normal hacia afuera en cada punto, para ser consistente con la convención de signos para la carga eléctrica. Flujo eléctrico Ahora que hemos definido el vector área de una superficie, podemos definir el flujo eléctrico de un campo eléctrico uniforme a través de un área plana como el producto escalar del campo eléctrico y el vector de área, como se define en Productos de vectores : Φ = E → · A → ( uniforme E → , superficie plana ) . La muestra el campo eléctrico de un sistema de placas paralelas con carga opuesta y una caja imaginaria entre las placas. El campo eléctrico entre las placas es uniforme y apunta desde la placa positiva hacia la negativa. Un cálculo del flujo de este campo a través de varias caras de la caja muestra que el flujo neto a través de la caja es cero. ¿Por qué el flujo se anula aquí? Flujo eléctrico a través de un cubo, colocado entre dos placas cargadas. El flujo eléctrico a través de la cara inferior (ABCD ) es negativo, porque E → está en la dirección opuesta a la normal de la superficie. El flujo eléctrico a través de la cara superior (FGHK ) es positivo, porque el campo eléctrico y la normal están en la misma dirección. El flujo eléctrico a través de las otras caras es cero, ya que el campo eléctrico es perpendicular a los vectores normales de esas caras. El flujo eléctrico neto a través del cubo es la suma de los flujos a través de las seis caras. Aquí, el flujo neto a través del cubo es igual a cero. La magnitud del flujo a través del rectángulo BCKF es igual a las magnitudes del flujo a través de las caras superior e inferior. La razón es que las fuentes del campo eléctrico están fuera de la caja. Por lo tanto, si cualquier línea de campo eléctrico entra en el volumen de la caja, también debe salir en algún lugar de la superficie porque no hay carga en el interior para que las líneas se posen. Por lo tanto, en general, el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero si no hay fuentes de campo eléctrico, ya sean cargas positivas o negativas, dentro del volumen encerrado. En general, cuando las líneas de campo salen (o "fluyen fuera") de una superficie cerrada, Φ es positivo; cuando entran (o "fluyen hacia") la superficie, Φ es negativo. Cualquier superficie lisa y no plana puede ser sustituida por un conjunto de pequeñas superficies aproximadamente planas, como se muestra en la . Si dividimos una superficie S en pequeñas porciones, observamos que, a medida que las porciones se hacen más pequeñas, pueden ser aproximadas por superficies planas. Esto es similar a la forma en que tratamos la superficie de la Tierra como localmente plana, aunque sabemos que globalmente es aproximadamente esférica. Una superficie se divide en porciones para hallar el flujo. Para llevar la cuenta de las porciones, podemos numerarlas de 1 a N . Ahora, definimos el vector de área para cada porción como el área de la porción apuntada en la dirección de la normal. Denotemos el vector de área de la i -ésima porción por δ A → i . (Hemos utilizado el símbolo δ para recordar que el área es de una porción arbitrariamente pequeña) Con porciones suficientemente pequeñas, podemos aproximar el campo eléctrico sobre cualquier porción dada como uniforme. Denotemos el campo eléctrico medio en la ubicación de la i -ésima porción por E → i . E → i = campo eléctrico medio sobre la i -ésima porción . Por lo tanto, podemos escribir el flujo eléctrico Φ i a través del área de la i -ésima porción como Φ i = E → i · δ A → i ( i -ésima porción ) . El flujo a través de cada una de las porciones individuales puede construirse de esta manera y luego sumarse para darnos una estimación del flujo neto a través de toda la superficie S , que denotamos simplemente como Φ . Φ = ∑ i = 1 N Φ i = ∑ i = 1 N E → i · δ A → i ( N estimación de porciones ) . Esta estimación del flujo mejora a medida que se reduce el tamaño de las porciones. Sin embargo, cuando se utilizan porciones más pequeñas se necesitan más para cubrir la misma superficie. En el límite de porciones infinitesimales se puede considerar que tienen un área dA y una normal unitaria n ^ . Como los elementos son infinitesimales se puede suponer que son planos, y E → i puede tomarse como constante sobre cualquier elemento. Entonces el flujo d Φ a través de un área dA viene dada por d Φ = E → · n ^ d A . Es positivo cuando el ángulo entre E → i y n ^ es menor de 90 ° y negativo cuando el ángulo es mayor de 90 ° . El flujo neto es la suma de los elementos de flujo infinitesimales en toda la superficie. Con porciones infinitesimales, se necesitan infinitas porciones, y el límite de la suma se convierte en una integral de superficie. Con ∫ S que representa la integral sobre S , Φ = ∫ S E → · n ^ d A = ∫ S E → · d A → ( superficie abierta ) . En la práctica, las integrales de superficie se calculan tomando las antiderivadas de ambas dimensiones que definen el área, siendo los bordes de la superficie en cuestión los límites de la integral. Para distinguir entre el flujo a través de una superficie abierta como la de la y el flujo a través de una superficie cerrada (una que limita completamente algún volumen), representamos el flujo a través de una superficie cerrada mediante Φ = ∮ S E → · n ^ d A = ∮ S E → · d A → ( superficie cerrada ) donde el círculo que atraviesa el símbolo de la integral significa simplemente que la superficie es cerrada, y que estamos integrando sobre toda ella. Si solo integra sobre una parte de una superficie cerrada, significa que está tratando un subconjunto de ella como una superficie abierta. Flujo de un campo eléctrico uniforme Un campo eléctrico constante de magnitud E 0 apunta en la dirección del eje z positivo ( ). ¿Cuál es el flujo eléctrico que atraviesa un rectángulo de lados a y b en el (a) plano xy y en el (b) plano xz ? El cálculo del flujo de E 0 a través de una superficie rectangular. Estrategia Aplicar la definición de flujo Φ = E → · A → ( uniforme E → ) , donde la definición de producto punto es crucial. Solución En este caso, Φ = E → 0 · A → = E 0 A = E 0 a b . Aquí, la dirección del vector área es a lo largo del eje y positivo o hacia el eje y negativo. Por lo tanto, el producto escalar del campo eléctrico con el vector área es cero, dando un flujo cero. Importancia Las direcciones relativas del campo eléctrico y del área pueden hacer que el flujo a través del área sea cero. Flujo de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie cerrada Un campo eléctrico constante de magnitud E 0 apunta en la dirección del eje z positivo ( ). ¿Cuál es el flujo eléctrico neto que atraviesa un cubo? El cálculo del flujo de E 0 a través de una superficie cúbica cerrada. Estrategia Aplicar la definición de flujo Φ = E → · A → ( uniforme E → ) , observando que una superficie cerrada elimina la ambigüedad en la dirección del vector área. Solución A través de la cara superior del cubo, Φ = E → 0 · A → = E 0 A . A través de la cara inferior del cubo, Φ = E → 0 · A → = − E 0 A , porque el vector área aquí apunta hacia abajo. A lo largo de los otros cuatro lados, la dirección del vector área es perpendicular a la dirección del campo eléctrico. Por lo tanto, el producto escalar del campo eléctrico con el vector área es cero, dando un flujo cero. El flujo neto es Φ neto = E 0 A − E 0 A + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 . Importancia El flujo neto de un campo eléctrico uniforme a través de una superficie cerrada es cero. Flujo eléctrico a través de un plano, Método Integral Un campo eléctrico uniforme E → de magnitud 10 N/C se dirige paralelamente al plano yz en 30 ° sobre el plano xy , como se muestra en la . Cuál es el flujo eléctrico que atraviesa la superficie plana de área 6,0 m 2 situado en el plano xz ? Supongamos que n ^ puntos en la dirección y positiva. El campo eléctrico produce un flujo eléctrico neto a través de la superficie S . Estrategia Aplique Φ = ∫ S E → · n ^ d A , donde la dirección y la magnitud del campo eléctrico son constantes. Solución El ángulo entre el campo eléctrico uniforme E → y la unidad normal n ^ a la superficie plana es 30 ° . Como tanto la dirección como la magnitud son constantes, E queda fuera de la integral. Todo lo que queda es una integral de superficie sobre dA , que es A . Por lo tanto, utilizando la ecuación de superficie abierta, hallamos que el flujo eléctrico a través de la superficie es Φ = ∫ S E → · n ^ d A = E A cos θ = ( 10 N/C ) ( 6,0 m 2 ) ( cos 30 ° ) = 52 N · m 2 /C . Importancia De nuevo, las direcciones relativas del campo y del área importan, y la ecuación general con la integral se simplificará al simple producto punto del área y el campo eléctrico. ¿Qué ángulo debe haber entre el campo eléctrico y la superficie mostrada en la en el ejemplo anterior para que no pase ningún flujo eléctrico por la superficie? Colóquelo de forma que su normal unitaria sea perpendicular a E → . Campo eléctrico no homogéneo ¿Cuál es el flujo total del campo eléctrico E → = c y 2 k ^ a través de la superficie rectangular mostrada en la ? Dado que el campo eléctrico no es constante sobre la superficie, es necesaria una integración para determinar el flujo. Estrategia Aplique Φ = ∫ S E → · n ^ d A . Suponemos que la normal unitaria n ^ a los puntos de la superficie dada en la dirección z positiva, por lo que n ^ = k ^ . Como el campo eléctrico no es uniforme sobre la superficie, es necesario dividir la superficie en franjas infinitesimales a lo largo de las cuales E → es esencialmente constante. Como se muestra en la , estas tiras son paralelas al eje x , y cada tira tiene un área d A = b d y . Solución A partir de la integral de superficie abierta, hallamos que el flujo neto a través de la superficie rectangular es Φ = ∫ S E → · n ^ d A = ∫ 0 a ( c y 2 k ^ ) · k ^ ( b d y ) = c b ∫ 0 a y 2 d y = 1 3 a 3 b c . Importancia Para un campo eléctrico no constante, se requiere el método integral. Si el campo eléctrico en el es E → = m x k ^ , ¿cuál es el flujo que atraviesa el área rectangular? m a b 2 / 2 Resumen El flujo eléctrico que atraviesa una superficie es proporcional al número de líneas de campo que la atraviesan. Observe que esto significa que la magnitud es proporcional a la porción del campo perpendicular al área. El flujo eléctrico se obtiene evaluando la integral de superficie Φ = ∮ S E → · n ^ d A = ∮ S E → · d A → , donde la notación utilizada aquí es para una superficie cerrada S . Cuestiones conceptuales Discuta cómo orientar una superficie plana de área A en un campo eléctrico uniforme de magnitud E 0 para obtener (a) el flujo máximo y (b) el flujo mínimo a través del área. a. Si la superficie plana es perpendicular al vector de campo eléctrico, se obtendría el flujo máximo. b. Si la superficie plana fuera paralela al vector de campo eléctrico, se obtendría el flujo mínimo. ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos del flujo en la pregunta anterior? El flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie cerrada es siempre cero. ¿Verdadero o falso? Falso. El flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie cerrada es siempre cero si y solo si la carga neta encerrada es cero. El flujo eléctrico neto que atraviesa una superficie abierta nunca es cero. ¿Verdadero o falso? Problemas Un campo eléctrico uniforme de magnitud 1,1 × 10 4 N/C es perpendicular a una hoja cuadrada de 2,0 m de lado. ¿Cuál es el flujo eléctrico que atraviesa la lámina? Calcule el flujo que atraviesa la lámina del problema anterior si el plano de la lámina tiene un ángulo de 60 ° al campo. Halle el flujo para ambas direcciones de la normal unitaria a la hoja. Φ = E → · A → → E A cos θ = 2,2 × 10 4 N · m 2 / C campo eléctrico en la dirección de la normal unitaria Φ = E → · A → → E A cos θ = −2,2 × 10 4 N · m 2 / C campo eléctrico opuesto a la normal unitaria Halle el flujo eléctrico a través de un área rectangular 3 cm × 2 cm entre dos placas paralelas donde hay un campo eléctrico constante de 30 N/C para las siguientes orientaciones del área: (a) paralela a las placas, (b) perpendicular a las placas, y (c) la normal al área haciendo un ángulo de 30 ° con la dirección del campo eléctrico. Observe que este ángulo también puede darse como 180 ° + 30 ° . El flujo eléctrico a través de un área cuadrada de 5 cm de lado cerca de una gran lámina cargada resulta ser 3 × 10 −5 N · m 2 / C cuando el área es paralela a la placa. Halle la densidad de carga en la hoja. 3 × 10 −5 N · m 2 / C ( 0,05 m ) 2 = E ⇒ σ = 2,12 × 10 −13 C / m 2 Dos grandes placas rectangulares de aluminio de área 150 cm 2 se enfrentan con una separación de 3 mm entre ellos. Las placas están cargadas con igual cantidad de cargas opuestas, ± 20 μ C . Las cargas de las placas se enfrentan entre sí. Halle el flujo que atraviesa un círculo de 3 cm de radio entre las placas cuando la normal al círculo forma un ángulo de 5 ° con una línea perpendicular a las placas. Observe que este ángulo también puede darse como 180 ° + 5 ° . Una superficie cuadrada de área 2 cm 2 está en un espacio de campo eléctrico uniforme de magnitud 10 3 N/C . La cantidad de flujo que lo atraviesa depende de la orientación del cuadrado con respecto a la dirección del campo eléctrico. Halle el flujo eléctrico que atraviesa el cuadrado, cuando la normal parar el mismo hace los siguientes ángulos con el campo eléctrico: (a) 30 ° , (b) 90 ° , y (c) 0 ° . Observe que estos ángulos también pueden darse como 180 ° + θ . a. Φ = 0,17 N · m 2 /C; b Φ = 0 ; c. Φ = E A cos 0 ° = 1,0 × 10 3 N / C ( 2,0 × 10 −4 m ) 2 cos 0 ° = 0,20 N · m 2 / C Un campo vectorial apunta a lo largo del eje z , v → = α x 2 + y 2 z ^ . (a) Halle el flujo del campo vectorial a través de un rectángulo en el plano xy entre a < x < b y c < y < d . (b) Haga lo mismo a través de un rectángulo en el plano yz entre a < z < b y c < y < d . (Deje su respuesta como una integral) Consideremos el campo eléctrico uniforme E → = ( 4,0 j ^ + 3,0 k ^ ) × 10 3 N/C . ¿Cuál es su flujo eléctrico a través de un área circular de 2,0 m de radio que se encuentra en el plano xy ? Φ = 3,8 × 10 4 N · m 2 / C Repita el problema anterior, dado que el área circular es (a) en el plano yz y (b) 45 ° sobre el plano xy . Un cable con carga infinita con carga por unidad de longitud λ se encuentra a lo largo del eje central de una superficie cilíndrica de radio r y longitud l . ¿Cuál es el flujo que atraviesa la superficie debido al campo eléctrico del cable cargado? E → ( z ) = 1 4 π ε 0 2 λ z k ^ , ∫ E → · n ^ d A = λ ε 0 l vector de área vector con magnitud igual al área de una superficie y dirección perpendicular a la superficie flujo eléctrico producto punto del campo eléctrico y el área que atraviesa flujo cantidad de algo que pasa por una zona determinada

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