Energía potencial de un sistema En Trabajo , vimos que el trabajo realizado sobre un objeto por la fuerza gravitacional constante, cerca de la superficie de la Tierra, sobre cualquier desplazamiento es una función solo de la diferencia en las posiciones de los puntos finales del desplazamiento. Esta propiedad nos permite definir un tipo de energía diferente para el sistema que su energía cinética, que recibe el nombre de energía potencial . En las siguientes subsecciones consideramos varias propiedades y tipos de energía potencial. Fundamentos de la energía potencial En Movimiento en dos y tres dimensiones , analizamos el movimiento de un proyectil, como patear un balón de fútbol en la . Para este ejemplo, vamos a ignorar la fricción y la resistencia del aire. Cuando el balón se eleva, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre el balón es negativo, porque su desplazamiento es positivo en sentido vertical y la fuerza debida a la gravedad es negativa en sentido vertical. También observamos que el balón desacelera hasta llegar a su punto más alto en el movimiento, lo que disminuye su energía cinética. Esta pérdida de energía cinética se traduce en una ganancia de energía potencial gravitacional del sistema balón de fútbol-Tierra. A medida que el balón cae hacia la Tierra, el trabajo realizado sobre el balón es ahora positivo, ya que tanto el desplazamiento como la fuerza gravitacional apuntan verticalmente hacia abajo. El balón también se acelera, lo que indica un aumento en la energía cinética. Por lo tanto, la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética. Cuando el balón de fútbol comienza a descender hacia el receptor, la energía potencial gravitacional se convierte de nuevo en energía cinética. Basándonos en este escenario, podemos definir la diferencia de energía potencial del punto A al punto B como el negativo del trabajo realizado: Δ U A B = U B - U A = - W A B . Esta fórmula indica explícitamente una diferencia de energía potencial , no solo una energía potencial absoluta. Por lo tanto, tenemos que definir la energía potencial en una posición determinada de manera que se establezcan valores estándar de energía potencial por sí mismos, en lugar de diferencias de energía potencial. Lo hacemos al reescribir la función de energía potencial en términos de una constante arbitraria, Δ U = U ( r → ) - U ( r → 0 ) . La elección de la energía potencial en un punto de partida de r → 0 se hace por conveniencia en el problema dado. Lo más importante es que, sea cual sea la elección que se haga, se debería indicar y mantener la coherencia a lo largo de todo el problema. Hay algunas opciones bien aceptadas de energía potencial inicial. Por ejemplo, la altura más baja de un problema se define como energía potencial cero, o si un objeto está en el espacio, el punto más alejado del sistema se define como energía potencial cero. Entonces, la energía potencial, con respecto a cero en r → 0 , es solo U ( r → ) . Mientras no haya fricción ni resistencia del aire, el cambio en la energía cinética del balón es igual al negativo del cambio en su energía potencial gravitacional. Esto se puede generalizar a cualquier energía potencial: Δ K A B = – Δ U A B . Veamos un ejemplo concreto, al elegir la energía potencial cero para la energía potencial gravitacional en los puntos convenientes. Propiedades básicas de la energía potencial Una partícula se mueve a lo largo del eje de la x bajo la acción de una fuerza dada por F = - a x 2 , donde a = 3 N/m 2 . (a) ¿Cuál es la diferencia en su energía potencial al pasar de x A = 1 m a x B = 2 m ? (b) ¿Cuál es la energía potencial de la partícula en x = 1 m con respecto a una determinada energía potencial de 0,5 J en x = 0 ? Estrategia (a) La diferencia en la energía potencial es el negativo del trabajo realizado, definido por la . El trabajo se define en el capítulo anterior como el producto punto de la fuerza por la distancia. Dado que la partícula se desplaza hacia adelante, en la dirección de la x , el producto punto se simplifica a una multiplicación ( i ^ · i ^ = 1 ). Para hallar el trabajo total realizado, tenemos que integrar la función entre los límites dados. Después de la integración, podemos indicar el trabajo o el cambio de energía potencial. (b) La función de energía potencial, con respecto a cero en x = 0 , es la integral indefinida encontrada en la parte (a), con la constante de integración determinada a partir de la . A continuación, sustituimos el valor de x en la función de energía potencial para calcular la energía potencial en x = 1 m . Solución El trabajo realizado por la fuerza dada cuando la partícula se mueve de la coordenada x a x + d x en una dimensión es d W = F → · d r → = F d x = - a x 2 d x . Sustituyendo esta expresión en la , obtenemos Δ U = - W = ∫ x 1 x 2 a x 2 d x = 1 3 ( 3 N/m 2 ) x 3 | 1 m 2 m = 7 J . La integral indefinida para la función de energía potencial en la parte (a) es U ( x ) = 1 3 a x 3 + const . , y queremos que la constante esté determinada por U ( 0 ) = 0,5 J . Así, la energía potencial con respecto a cero en x = 0 es solo U ( x ) = 1 3 a x 3 + 0,5 J . Por lo tanto, la energía potencial en x = 1 m es U ( 1 m ) = 1 3 ( 3 N/m 2 ) ( 1 m ) 3 + 0,5 J = 1,5 J . Importancia En este ejemplo unidimensional, cualquier función que podamos integrar, independientemente de la trayectoria, es conservativa. Observe cómo hemos aplicado la definición de diferencia de energía potencial para determinar la función de energía potencial con respecto a cero en un punto seleccionado. Observe también que la energía potencial, determinada en la parte (b), en x = 1 m es U ( 1 m ) = 1 J y en x = 2 m es U ( 2 m ) = 8 J ; su diferencia es el resultado de la parte (a). En el , ¿cuál es la energía potencial de la partícula en x = 1 m y x = 2 m con respecto a cero en x = 1,5 m ? Compruebe que la diferencia de energía potencial sigue siendo de 7 J. ( 4,63 J ) - ( -2,38 J ) = 7,00 J Sistemas de varias partículas En general, un sistema de interés puede estar formado por varias partículas. La diferencia en la energía potencial del sistema es el negativo del trabajo realizado por las fuerzas gravitacionales o elásticas, que, como veremos en el siguiente apartado, son fuerzas conservativas. La diferencia de energía potencial depende solo de las posiciones inicial y final de las partículas, y de algunos parámetros que caracterizan la interacción (como la masa para la gravedad o la constante de resorte para una fuerza de la ley de Hooke). Es importante recordar que la energía potencial es una propiedad de las interacciones entre los objetos de un sistema elegido, y no solo una propiedad de cada objeto. Esto es especialmente cierto para las fuerzas eléctricas, aunque en los ejemplos de energía potencial que consideramos a continuación, las partes del sistema son tan grandes (como la Tierra, comparada con un objeto en su superficie) o tan pequeñas (como un resorte sin masa), que los cambios que sufren esas partes son despreciables cuando se incluyen en el sistema. Tipos de energía potencial Para cada tipo de interacción presente en un sistema, se puede marcar el tipo correspondiente de energía potencial. La energía potencial total del sistema es la suma de las energías potenciales de todos los tipos. (Esto se deduce de la propiedad aditiva del producto punto en la expresión del trabajo realizado). Veamos algunos ejemplos concretos de los tipos de energía potencial que se analizan en Trabajo . En primer lugar, consideramos cada una de estas fuerzas cuando actúan por separado, y luego cuando ambas actúan conjuntamente. Energía potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra El sistema de interés consiste en nuestro planeta, la Tierra, y una o más partículas cercanas a su superficie (o cuerpos lo suficientemente pequeños para ser considerados como partículas, en comparación con la Tierra). La fuerza gravitacional sobre cada partícula (o cuerpo) es solo su peso mg cerca de la superficie de la Tierra, que actúa verticalmente hacia abajo. Según la tercera ley de Newton, cada partícula ejerce una fuerza sobre la Tierra de igual magnitud, pero en sentido contrario. La segunda ley de Newton establece que la magnitud de la aceleración producida por cada una de estas fuerzas sobre la Tierra es mg dividida entre la masa terrestre. Dado que el cociente entre la masa de cualquier objeto ordinario y la masa de la Tierra es diminuto, el movimiento de la Tierra puede ignorarse por completo. Por lo tanto, consideramos que este sistema es un grupo de sistemas de una sola partícula, sujetos a la fuerza gravitacional uniforme de la Tierra. En Trabajo , el trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza gravitacional uniforme de la Tierra, cerca de su superficie, dependía de la masa del cuerpo, de la aceleración debida a la gravedad y de la diferencia de altura que el cuerpo recorría, tal como se indica en la . Por definición, este trabajo es el negativo de la diferencia de energía potencial gravitacional, por lo que esa diferencia es Δ U grav = - W grav , A B = m g ( y B - y A ) . De ello se deduce que la función de energía potencial gravitacional , cerca de la superficie de la Tierra, es U ( y ) = m g y + const . Se puede elegir el valor de la constante, como se describe en el análisis de la ; sin embargo, para resolver la mayoría de los problemas, la constante más conveniente a elegir es cero para cuando y = 0 , que es la posición vertical más baja del problema. Energía potencial gravitacional de un excursionista La cumbre de Great Blue Hill en Milton, un pueblo localizado en Massachusetts, está a 147 m sobre su base y tiene una cota sobre el nivel del mar de 195 m ( ). (Su nombre nativo americano, Massachusett , fue adoptado por los colonos para dar nombre a la Colonia de la Bahía y al estado cercano a su ubicación). Un excursionista de 75 kg asciende desde la base hasta la cumbre. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del sistema excursionista-Tierra con respecto a la energía potencial gravitacional cero a la altura de la base, cuando el excursionista está (a) en la base de la colina, (b) en la cima, y (c) a nivel del mar, después? Esquema del perfil de Great Blue Hill, Milton, Massachusetts. Se indican las altitudes de los tres niveles. Estrategia En primer lugar, tenemos que elegir un origen para el eje de la y y luego determinar el valor de la constante que hace que la energía potencial sea cero a la altura de la base. Entonces, podemos determinar las energías potenciales a partir de la , con base en la relación entre la altura de la energía potencial cero y la altura a la que se encuentra el excursionista. Solución Elijamos el origen para el eje y en la altura de la base, donde también queremos que esté el cero de la energía potencial. Esta elección hace que la constante sea igual a cero y U ( base ) = U ( 0 ) = 0 . En la cumbre, y = 147 m , así que U ( cumbre ) = U ( 147 m ) = m g h = ( 75 × 9,8 N ) ( 147 m ) = 108 kJ . A nivel del mar, y = ( 147 - 195 ) m = −48 m , así que U ( nivel del mar ) = ( 75 × 9,8 N ) ( −48 m ) = -35,3 kJ . Importancia Además de ilustrar el uso de la y la , los valores de energía potencial gravitacional que hallamos son razonables. La energía potencial gravitacional es mayor en la cumbre que en la base, y menor a nivel del mar que en la base. ¡La gravedad también actúa sobre usted al subir! Hace un trabajo negativo y no tanto (en magnitud), como el que hacen sus músculos. No obstante, ciertamente realiza un trabajo Del mismo modo, sus músculos realizan un trabajo en la bajada, como trabajo negativo. Los valores numéricos de las energías potenciales dependen de la elección del cero de la energía potencial, pero las diferencias físicamente significativas de la energía potencial no lo hacen. [Observe que, dado que la es una diferencia, los valores numéricos no dependen del origen de coordenadas]. ¿Cuáles son los valores de la energía potencial gravitacional del excursionista en la base, la cumbre y al nivel del mar, con respecto a un cero de energía potencial a nivel del mar? 35,3 kJ, 143 kJ, 0 Energía potencial elástica En Trabajo , vimos que el trabajo que realiza un resorte perfectamente elástico, en una dimensión, depende solo de la constante del resorte y de los cuadrados de los desplazamientos desde la posición no estirada, como se indica en la . Este trabajo se refiere única y exclusivamente a las propiedades de una interacción de la ley de Hooke y no a las propiedades de los resortes reales y de los objetos que estén unidos a ellos. Por lo tanto, podemos definir la diferencia de energía potencial elástica para una fuerza de resorte como el negativo del trabajo realizado por la fuerza de resorte en esta ecuación, antes de considerar los sistemas que encarnan este tipo de fuerza. Así, Δ U = - W A B = 1 2 k ( x B 2 - x A 2 ) , donde el objeto se desplaza del punto A al punto B . La función de energía potencial correspondiente a esta diferencia es U ( x ) = 1 2 k x 2 + const . Si la fuerza del resorte es la única que actúa, lo más sencillo es tomar el cero de la energía potencial en x = 0 , cuando el resorte está sin estirar. Entonces, la constante en la es cero. (Otras opciones pueden ser más convenientes si actúan otras fuerzas). Energía potencial del resorte Un sistema contiene un resorte perfectamente elástico, con una longitud sin estirar de 20 cm y una constante de resorte de 4 N/cm. (a) ¿Cuánta energía potencial elástica aporta el resorte cuando su longitud es de 23 cm? (b) ¿Cuánta más energía potencial aporta si su longitud aumenta a 26 cm? Estrategia Cuando el resorte está sin estirar, no aporta nada a la energía potencial del sistema, por lo que podemos utilizar la con la constante igual a cero. El valor de la x es la longitud menos la longitud sin estirar. Cuando el resorte se expande, el desplazamiento del resorte o la diferencia entre su longitud relajada y su longitud estirada debe utilizarse para el valor de la x en el cálculo de la energía potencial del resorte. Solución El desplazamiento del resorte es x = 23 cm - 20 cm = 3 cm , por lo que la energía potencial aportada es U = 1 2 k x 2 = 1 2 ( 4 N/cm ) ( 3 cm ) 2 = 0,18 J . Cuando el desplazamiento del resorte es x = 26 cm - 20 cm = 6 cm , la energía potencial es U = 1 2 k x 2 = 1 2 ( 4 N/cm ) ( 6 cm ) 2 = 0,72 J , lo que supone un aumento de 0,54 J sobre la cantidad de la parte (a). Importancia El cálculo de la energía potencial elástica y de las diferencias de energía potencial a partir de la implica la resolución de las energías potenciales en función de las longitudes dadas del resorte. Dado que U depende de x 2 , la energía potencial para una compresión ( x negativa) es la misma que para una extensión de igual magnitud. Cuando la longitud del resorte en el cambia de un valor inicial de 22,0 cm a un valor final, la energía potencial elástica que aporta cambia en −0,0800 J . Halle la longitud final. 22,8 cm. Utilizando 0,02 m para el desplazamiento inicial del resorte (vea más arriba), calculamos que el desplazamiento final del resorte es de 0,028 m; por lo tanto, la longitud del resorte es la longitud sin estirar más el desplazamiento, es decir, 22,8 cm. Energía potencial gravitacional y elástica Un sistema sencillo que incorpora los tipos de energía potencial gravitacional y elástica es un sistema unidimensional vertical de masa-resorte. Consiste en una partícula masiva (o bloque), colgada de un extremo de un resorte perfectamente elástico y sin masa, cuyo otro extremo está fijo, como se ilustra en la . Un sistema vertical de masa-resorte, con el eje de la Y positivo apuntando hacia arriba. La masa se encuentra inicialmente en una longitud de resorte sin estirar, el punto A. Luego se suelta y se expande más allá del punto B hasta el punto C, donde se detiene. En primer lugar, consideremos la energía potencial del sistema. Necesitamos definir la constante en la función de energía potencial de la . A menudo, el suelo es una opción adecuada para cuando la energía potencial gravitacional es cero; sin embargo, en este caso, el punto más alto o cuando y = 0 es un lugar conveniente para la energía potencial gravitacional cero. Observe que esta elección es arbitraria, y el problema puede resolverse correctamente aunque se elija otra opción. También debemos definir la energía potencial elástica del sistema y la constante correspondiente, como se detalla en la . Aquí es donde el resorte está sin estirar, o en la posición y = 0 . Si consideramos que la energía total del sistema se conserva, entonces la energía en el punto A es igual a la del punto C. El bloque se coloca justo sobre el resorte, por lo que su energía cinética inicial es cero. Según el planteamiento del problema analizado anteriormente, tanto la energía potencial gravitacional como la energía potencial elástica son iguales a cero. Por lo tanto, la energía inicial del sistema es cero. Cuando el bloque llega al punto C, su energía cinética es cero. Sin embargo, ahora tiene tanto energía potencial gravitacional como energía potencial elástica. Por lo tanto, podemos resolver la distancia y, que recorre el bloque antes de detenerse: K A + U A = K C + U C 0 = 0 + m g y C + 1 2 k ( y C ) 2 y C = - 2 m g k Un puente elástico transforma la energía potencial gravitacional al inicio del salto en energía potencial elástica al final del mismo. Energía potencial de un sistema vertical de masa-resorte Un bloque que pesa 1,2 N se cuelga de un resorte con una constante de 6,0 N / m , como se muestra en la . (a) ¿Cuál es la máxima expansión del resorte, vista en el punto C? (b) ¿Cuál es la energía potencial total en el punto B, a medio camino entre A y C? (c) ¿Cuál es la velocidad del bloque en el punto B? Estrategia En la parte (a) calculamos la distancia y C como se ha comentado en el texto anterior. Luego, en la parte (b), utilizamos la mitad del valor de y para calcular la energía potencial en el punto B mediante la y la . Esta energía deberá ser igual a la energía cinética, la , en el punto B ya que la energía inicial del sistema es cero. Al calcular la energía cinética en el punto B, ahora podemos calcular la rapidez del bloque en el punto B. Solución Dado que la energía total del sistema es cero en el punto A, como se ha comentado anteriormente, se calcula que la expansión máxima del resorte es: y C = - 2 m g k y C = - 2 ( 1,2 N ) ( 6,0 N/m ) = -0,40 m La posición de y B es la mitad de la posición en y C o -0,20 m . La energía potencial total en el punto B sería, por lo tanto, la siguiente: U B = m g y B + 1 2 k ( y C ) 2 U B = ( 1,2 N ) ( -0,20 m ) + 1 2 ( 6 N/m ) ( - 0,20 m ) 2 U B = - 0,12 J La masa del bloque es el peso dividido entre la gravedad. m = F w g = 1,2 N 9,8 m/s 2 = 0,12 kg Por lo tanto, la energía cinética en el punto B es de 0,12 J, porque la energía total es cero. Así, la rapidez del bloque en el punto B es igual a K = 1 2 m v 2 v = 2 K m = 2 ( 0,12 J ) ( 0,12 kg ) = 1,4 m/s Importancia Aunque la energía potencial debida a la gravedad es relativa a un lugar cero elegido, las soluciones a este problema serían las mismas si los puntos de energía cero se eligieran en lugares diferentes. Supongamos que la masa en la se duplica mientras se mantienen las demás condiciones. ¿Aumentaría, disminuiría o permanecería igual la expansión máxima del resorte? ¿La rapidez en el punto B sería mayor, menor o igual en comparación con la masa original? Aumenta porque ha tenido que ejercer una fuerza hacia abajo, haciendo un trabajo positivo, para empujar la masa hacia abajo, y eso es igual al cambio en la energía potencial total. ¡Participe en la simulación a continuación para aprender sobre la conservación de la energía con un patinador! Construya pistas, rampas y saltos para el patinador y observe la energía cinética, la energía potencial y la fricción mientras se mueve. ¡También puede llevar al patinador a diferentes planetas o incluso al espacio! En la se muestra un gráfico de muestra de una variedad de energías para darle una idea sobre los valores típicos de energía, asociados a ciertos eventos. Algunos de ellos se calculan con la energía cinética, mientras que otros se calculan con cantidades que se encuentran en una forma de energía potencial, que quizá no se haya comentado en este punto. Energía de diversos objetos y fenómenos Objeto/fenómeno Energía en julios Big Bang 10 68 Consumo anual de energía en el mundo 4,0 × 10 20 Bomba grande de fusión (9 megatones) 3,8 × 10 16 Bomba de fisión del tamaño de la de Hiroshima (10 kilotones) 4,2 × 10 13 1 barril de petróleo crudo 5,9 × 10 9 1 tonelada métrica de TNT 4,2 × 10 9 1 galón de gasolina 1,2 × 10 8 Ingesta diaria de alimentos para adultos (recomendada) 1,2 × 10 7 Auto de 1.000 kg a 90 km/h 3,1 × 10 5 Pelota de tenis a 100 km/h 22 Mosquito ( 10 −2 g a 0,5 m/s ) 1,3 × 10 −6 Electrón individual en un haz de tubo de TV 4,0 × 10 −15 Energía para romper una cadena de ADN 10 −19 Resumen Para un sistema de una sola partícula, la diferencia de energía potencial es la opuesta al trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se mueve de una posición a otra. Dado que solo las diferencias de energía potencial son físicamente significativas, el cero de la función de energía potencial puede elegirse en un lugar conveniente. Las energías potenciales para la gravedad constante de la Tierra, cerca de su superficie, y para una fuerza de la ley de Hooke son funciones lineales y cuadráticas de la posición, respectivamente. Preguntas conceptuales La energía cinética de un sistema deberá ser siempre positiva o cero. Explique si esto es cierto para la energía potencial de un sistema. La energía potencial de un sistema puede ser negativa porque su valor es relativo a un punto definido. La fuerza que ejerce un trampolín es conservativa, siempre que la fricción interna sea despreciable. Suponiendo que la fricción es despreciable, describa los cambios en la energía potencial de un trampolín cuando un nadador se impulsa desde este, empezando justo antes de que el nadador pise el trampolín hasta justo después de que sus pies se aparten de este. Describa las transferencias y transformaciones de energía potencial gravitacional de una jabalina, empezando por el punto en el que un atleta recoge la jabalina y terminando cuando la jabalina se clava en el suelo después lanzarla. Si el punto de referencia del suelo es una energía potencial gravitacional cero, la jabalina aumenta primero su energía potencial gravitacional, seguida de una disminución de su energía potencial gravitacional a medida que se lanza hasta que toca el suelo. El cambio global en la energía potencial gravitacional de la jabalina es cero, a menos que el centro de masa de la jabalina esté más bajo que desde donde se lanza inicialmente, y por lo tanto tendría un poco menos de energía potencial gravitacional. Un par de balones de fútbol de igual masa son pateados desde el suelo a la misma rapidez, pero en diferentes ángulos. El balón A se lanza con un ángulo ligeramente superior a la horizontal, mientras que el balón B se lanza ligeramente por debajo de la vertical. ¿Cómo se comparan cada uno de los siguientes elementos para el balón A y el balón B? (a) La energía cinética inicial y (b) el cambio en la energía potencial gravitacional desde el suelo hasta el punto más alto? Si la energía de la parte (a) difiere de la de la parte (b), explique por qué hay una diferencia entre las dos energías. ¿Cuál es el factor dominante que afecta a la rapidez de un objeto que parte del reposo por una pendiente sin fricción, si el único trabajo realizado sobre el objeto procede de las fuerzas gravitacionales? la altura vertical desde el suelo hasta el objeto Dos personas observan cómo cae una hoja de un árbol. Una persona está de pie en una escalera y la otra en el suelo. Si cada persona comparara la energía de la hoja observada, ¿encontraría lo siguiente igual o diferente para la hoja, desde el punto en el que cae del árbol hasta cuando golpea el suelo: (a) la energía cinética de la hoja; (b) el cambio en la energía potencial gravitacional; (c) la energía potencial gravitacional final? Problemas Utilizando los valores de la , ¿cuántas moléculas de ADN podrían romperse por la energía transportada por un solo electrón en el haz de un tubo antiguo de televisión? (Estos electrones no eran peligrosos en sí mismos, pero sí generaban rayos X nocivos. Los televisores de tubo de modelos posteriores tenían un blindaje que absorbía los rayos X antes de que se escaparan y expusieran a los espectadores). 40.000 Si la energía de las bombas de fusión se utilizara para abastecer las necesidades energéticas del mundo, ¿cuántas de la variedad de 9 megatones se necesitarían para el suministro de energía de un año (utilizando los datos de la )? Una cámara que pesa 10 N cae desde un pequeño dron que flota 20 m por encima y entra en caída libre. ¿Cuál es el cambio de energía potencial gravitacional de la cámara desde el dron hasta el suelo, si se toma como punto de referencia que (a) el suelo tiene una energía potencial gravitacional cero? (b) el dron tiene una energía potencial gravitacional cero? ¿Cuál es la energía potencial gravitacional de la cámara (c) antes de que caiga del dron y (d) después de que la cámara aterrice en el suelo si se toma como punto de referencia de energía potencial gravitacional cero una segunda persona que se asoma de un edificio a 30 m del suelo? a. −200 J ; b. −200 J ; c. −100 J ; d. −300 J Alguien deja caer un guijarro de 50 - g de un crucero atracado, a 70,0 m de la línea de agua. Una persona en un muelle a 3,0 m de la línea del agua sostiene una red para atrapar el guijarro. (a) ¿Cuánto trabajo realiza la gravedad sobre el guijarro durante la caída? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial gravitacional durante la caída? Si la energía potencial gravitacional es cero en la línea del agua, ¿cuál es la energía potencial gravitacional (c) cuando se deja caer el guijarro? (d) cuando llega a la red? ¿Y si la energía potencial gravitacional fuera 30,0 Julios al nivel del agua? (e) Encuentre las respuestas a las mismas preguntas en (c) y (d). Una bola arrugada de juguete para gatos con masa 15 g se lanza directamente hacia arriba con una rapidez inicial de 3 m/s . Supongamos en este problema que la resistencia del aire es despreciable. (a) ¿Cuál es la energía cinética de la bola cuando sale de la mano? (b) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza gravitacional durante el ascenso de la bola hasta su punto máximo? (c) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial gravitacional de la bola durante el ascenso hasta su punto máximo? (d) Si se considera que la energía potencial gravitacional es cero en el punto en que sale de la mano, ¿cuál es la energía potencial gravitacional cuando alcanza la altura máxima? (e) Si se considera que la energía potencial gravitacional es cero en la altura máxima que alcanza la bola, ¿cuál sería la energía potencial gravitacional cuando sale de la mano? (f) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola? a. 0,068 J ; b. −0,068 J ; c. 0,068 J ; d. 0,068 J ; e. −0,068 J ; f. 46 cm energía potencial función de la posición, energía que posee un objeto en relación con el sistema considerado diferencia de energía potencial negativo del trabajo realizado y que actúa entre dos puntos del espacio

Ciencia


Fuerzas conservativas y no conservativas En Energía potencial y conservación de la energía , cualquier transición entre energía cinética y potencial conserva la energía total del sistema. Esto era independiente de la trayectoria, lo que significa que podemos empezar y parar en dos puntos cualesquiera del problema, y que la energía total del sistema, cinética más potencial, en estos puntos es igual. Esto es característico de la fuerza conservativa . En la sección anterior hemos tratado las fuerzas conservativas, como la fuerza gravitacional y la fuerza del resorte. Al comparar el movimiento del balón de fútbol en la , la energía total del sistema nunca cambia, aunque la energía potencial gravitacional del balón aumenta, ya que el balón se eleva con respecto al suelo y vuelve a caer a la energía potencial gravitacional inicial cuando el jugador de fútbol atrapa el balón. Las fuerzas no conservativas son fuerzas disipativas como la fricción o la resistencia del aire. Estas fuerzas restan energía al sistema a medida que este avanza, energía que no se puede recuperar. Estas fuerzas dependen de la trayectoria; por lo tanto, importa dónde empieza y se detiene el objeto. Fuerza conservativa El trabajo que realiza una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria; en otras palabras, el trabajo que realiza una fuerza conservativa es el mismo para cualquier trayectoria que conecte dos puntos: W A B , trayectoria - 1 = ∫ A B , trayectoria - 1 F → cons · d r → = W A B , trayectoria - 2 = ∫ A B , trayectoria - 2 F → cons · d r → . El trabajo que realiza una fuerza no conservativa depende de la trayectoria recorrida. De forma equivalente, una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero: W trayectoria cerrada = ∮ F → cons · d r → = 0 . [En la , utilizamos la notación de un círculo en medio del signo de la integral para una integral de línea sobre una trayectoria cerrada, una notación que se encuentra en la mayoría de los textos de física e ingeniería]. La y la son equivalentes porque cualquier trayectoria cerrada es la suma de dos trayectorias: la primera va de A a B , y la segunda va de B a A . El trabajo realizado que va por una trayectoria de B a A es el negativo del trabajo realizado que va por la misma trayectoria de A a B , donde A y B son dos puntos cualesquiera en la trayectoria cerrada: 0 = ∫ F → cons · d r → = ∫ A B , trayectoria - 1 F → cons · d r → + ∫ B A , trayectoria - 2 F → cons · d r → = ∫ A B , trayectoria - 1 F → cons · d r → - ∫ A B , trayectoria - 2 F → cons · d r → = 0 . Podría preguntar cómo hacemos para demostrar si una fuerza es o no conservativa, ya que las definiciones implican todas y cada una de las trayectorias de A a B , o todas y cada una de las trayectorias cerradas. Sin embargo, para hacer la integral del trabajo, tiene que elegir una trayectoria en particular. Una respuesta es que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria si el trabajo infinitesimal F → · d r → es una diferencial exacta , como el trabajo neto infinitesimal era igual a la diferencial exacta de la energía cinética, d W neto = m v → · d v → = d 1 2 m v 2 , cuando derivamos el teorema de trabajo-energía en Teorema de trabajo-energía . Hay condiciones matemáticas que se pueden utilizar para comprobar si el trabajo infinitesimal que realiza una fuerza es una diferencial exacta, y la fuerza es conservativa. Estas condiciones solo implican una diferenciación y, por lo tanto, su aplicación es relativamente sencilla. En dos dimensiones, la condición para F → · d r → = F x d x + F y d y para ser una diferencial exacta es d F x d y = d F y d x . Recordará que el trabajo que realiza la fuerza en el dependía de la trayectoria. Para esa fuerza, F x = ( 5 N/m ) y y F y = ( 10 N/m ) x . Por lo tanto, ( d F x / d y ) = 5 N/m ≠ ( d F y / d x ) = 10 N/m, lo que indica que es una fuerza no conservativa. ¿Puede ver lo que podría cambiar para convertirla en una fuerza conservativa? La rueda de esmeril aplica una fuerza no conservativa, ya que el trabajo realizado depende del número de rotaciones que haga la rueda, por lo que depende de la trayectoria (créditos: modificación del trabajo de Grantez Stephens, Marina de los EE. UU.). ¿Conservativa o no? ¿Cuáles de las siguientes fuerzas bidimensionales son conservativas y cuáles no? Supongamos que a y b son constantes con las unidades adecuadas: (a) a x y 3 i ^ + a y x 3 j ^ , (b) a [ ( y 2 / x ) i ^ + 2 y ln ( x / b ) j ^ ] , (c) a x i ^ + a y j ^ x 2 + y 2 Estrategia Aplicar la condición indicada en la , es decir, utilizar las derivadas de los componentes de cada fuerza indicada. Si la derivada del componente y de la fuerza con respecto a x es igual a la derivada del componente x de la fuerza con respecto a y , la fuerza es una fuerza conservativa, lo que significa que la trayectoria tomada para el cálculo de la energía potencial o del trabajo siempre arroja los mismos resultados. Solución d F x d y = d ( a x y 3 ) d y = 3 a x y 2 y d F y d x = d ( a y x 3 ) d x = 3 a y x 2 , por lo que esta fuerza no es conservativa. d F x d y = d ( a y 2 / x ) d y = 2 a y x y d F y d x = d ( 2 a y ln ( x / b ) ) d x = 2 a y x , por lo que esta fuerza es conservativa. d F x d y = d ( a x / ( x 2 + y 2 ) ) d y = - a x ( 2 y ) ( x 2 + y 2 ) 2 = d F y d x = d ( a y / ( x 2 + y 2 ) ) d x , de nuevo conservativa. Importancia Las condiciones en la son derivadas como funciones de una sola variable; en tres dimensiones, existen condiciones similares que implican más derivadas. Una fuerza bidimensional y conservativa es cero en los ejes de la x y la y , y satisface la condición ( d F x / d y ) = ( d F y / d x ) = ( 4 N/m 3 ) x y . ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en el punto x = y = 1 m? 2,83 N Antes de dejar esta sección, observamos que las fuerzas no conservativas no tienen energía potencial asociada porque la energía se pierde en el sistema y no puede convertirse en trabajo útil más adelante. Así que siempre hay una fuerza conservativa asociada a cada energía potencial. Hemos visto que la energía potencial se define en relación con el trabajo que realizan las fuerzas conservativas. Esa relación, la , implicaba una integral para el trabajo; partiendo de la fuerza y el desplazamiento, se integraba para obtener el trabajo y el cambio de energía potencial. Sin embargo, la integración es la operación inversa de la diferenciación; podría haber empezado con la energía potencial y tomar su derivada, con respecto al desplazamiento, para obtener la fuerza. El incremento infinitesimal de energía potencial es el producto punto de la fuerza y el desplazamiento infinitesimal, d U = - F → · d l → = - F l d l . En este caso, hemos optado por representar el desplazamiento en una dirección arbitraria mediante d l → , para no limitarnos a una dirección de coordenadas concreta. También expresamos el producto punto en términos de la magnitud del desplazamiento infinitesimal y el componente de la fuerza en su dirección. Ambas cantidades son escalares, por lo que se puede dividir por dl para obtener F l = - d U d l . Esta ecuación da la relación entre la fuerza y la energía potencial asociada. En palabras, el componente de una fuerza conservativa, en una dirección particular, es igual al negativo de la derivada de la energía potencial correspondiente, con respecto a un desplazamiento en esa dirección. Para un movimiento unidimensional, digamos a lo largo del eje de la x , la da la fuerza vectorial completa, F – = F x i ^ = - ∂ U ∂ x i ^ . En dos dimensiones, F – = F x i ^ + F y j ^ = - ( ∂ U ∂ x ) i ^ - ( ∂ U ∂ y ) j ^ . A partir de esta ecuación, se puede ver por qué la es la condición para que el trabajo sea una diferencial exacta, en términos de las derivadas de los componentes de la fuerza. En general, se utiliza una notación de derivada parcial. Si una función tiene muchas variables, la derivada se toma solo de la variable que especifica la derivada parcial. Las demás variables se mantienen constantes. En tres dimensiones, se añade otro término para el componente z , y el resultado es que la fuerza es el negativo del gradiente de la energía potencial. Sin embargo, todavía no vamos a ver ejemplos tridimensionales. Fuerza debida a una energía potencial cuártica La energía potencial de una partícula que experimenta un movimiento unidimensional a lo largo del eje de la x es U ( x ) = 1 4 c x 4 , donde c = 8 N/m 3 . Su energía total en x = 0 es 2 J, y no está sujeta a ninguna fuerza no conservativa. Halle (a) las posiciones en las que su energía cinética es cero y (b) las fuerzas en esas posiciones. Estrategia (a) Podemos hallar las posiciones en las que K = 0 , por lo que la energía potencial es igual a la energía total del sistema dado. (b) Utilizando la , podemos encontrar la fuerza evaluada en las posiciones halladas de la parte anterior, ya que la energía mecánica se conserva. Solución La energía total del sistema de 2 J es igual a la energía elástica cuártica dada en el problema, 2 J = 1 4 ( 8 N/m 3 ) x f 4 . Resolviendo para x f da como resultado x f = ± 1 m . A partir de la , F x = - d U / d x = - c x 3 . Por lo tanto, al evaluar la fuerza en ± 1 m , obtenemos F → = - ( 8 N/m 3 ) ( ± 1 m ) 3 i ^ = ± 8 N i ^ . En ambas posiciones, la magnitud de las fuerzas es de 8 N y las direcciones son hacia el origen, ya que esta es la energía potencial para una fuerza restauradora. Importancia Hallar la fuerza a partir de la energía potencial es matemáticamente más fácil que hallar la energía potencial a partir de la fuerza, porque diferenciar una función es más fácil que integrar una. Halle las fuerzas sobre la partícula en el cuando su energía cinética es de 1,0 J en x = 0 . F = 4,8 N, dirigida hacia el origen Resumen La fuerza conservativa es aquella para la que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria. De forma equivalente, una fuerza es conservativa si el trabajo realizado en cualquier trayectoria cerrada es cero. La fuerza no conservativa es aquella cuyo trabajo depende de la trayectoria. Para una fuerza conservativa, el trabajo infinitesimal es una diferencial exacta. Esto implica condiciones sobre las derivadas de los componentes de la fuerza. El componente de una fuerza conservativa, en una dirección particular, es igual al negativo de la derivada de la energía potencial para esa fuerza, con respecto a un desplazamiento en esa dirección. Preguntas conceptuales ¿Cuál es el significado físico de la fuerza no conservativa? Una fuerza que quita energía al sistema y que no se puede recuperar si invertimos la acción. Un cohetón se dispara directamente al aire, a una rapidez de 30 m/s . Si se ignora la resistencia del aire, el cohetón subiría hasta una altura de aproximadamente 46 m . Sin embargo, el cohetón sube a solo 35 m antes de volver al suelo. ¿Qué ha pasado? Explique solamente con una respuesta cualitativa. Una fuerza externa actúa sobre una partícula durante un viaje de un punto a otro y de vuelta a ese mismo punto. Esta partícula solo se ve afectada por las fuerzas conservativas. ¿Cambia la energía cinética y la energía potencial de esta partícula como resultado de este viaje? El cambio de energía cinética es el trabajo neto. Ya que las fuerzas conservativas son independientes de la trayectoria, cuando se vuelve al mismo punto las energías cinética y potencial son exactamente las mismas que al principio. Durante el viaje la energía total se conserva. Sin embargo, tanto la energía potencial como la cinética cambian. Problemas Una fuerza F ( x ) = ( 3,0 / x ) N actúa sobre una partícula al moverse a lo largo del eje de la x positiva. (a) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza sobre la partícula al moverse de x = 2,0 m a x = 5,0 m? (b) Elija un punto de referencia conveniente de la energía potencial para que sea cero en x = ∞ , y halle la energía potencial de esta fuerza. Una fuerza F ( x ) = ( −5,0 x 2 + 7,0 x ) N actúa sobre una partícula. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza sobre la partícula al pasar de x = 2,0 m a x = 5,0 m? −120 J Halle la fuerza correspondiente a la energía potencial U ( x ) = - a / x + b / x 2 . La función de energía potencial para cualquiera de los dos átomos de una molécula diatómica suele tomarse como U ( x ) = a / x 12 - b / x 6 donde x es la distancia entre los átomos. (a) ¿A qué distancia de separación tiene la energía potencial un mínimo local (no a x = ∞ ) ? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre un átomo a esta separación? (c) ¿Cómo varía la fuerza con la distancia de separación? a. ( 2 a b ) 1 / 6 ; b. 0 ; c. ∼ x 6 Una partícula de masa 2,0 kg se desplaza bajo la influencia de la fuerza F ( x ) = ( 3 / x ) N . Si su rapidez en x = 2,0 m es v = 6,0 m/s, cuál es su rapidez en x = 7,0 m? Una partícula de masa 2,0 kg se desplaza bajo la influencia de la fuerza F ( x ) = ( −5 x 2 + 7 x ) N . Si su rapidez en x = −4,0 m es v = 20,0 m/s, cuál es su rapidez en x = 4,0 m ? 14 m / s Una caja sobre rodillos es empujada sin pérdida de energía por fricción por el suelo de un vagón de carga (vea la siguiente figura). El vagón se mueve hacia la derecha a rapidez constante v 0 . Si la caja comienza en reposo con respecto al vagón de carga, entonces a partir del teorema de trabajo-energía, F d = m v 2 / 2 , donde d , la distancia a la que se mueve la caja, y v , la rapidez de la caja, se miden ambas con respecto al vagón de carga. (a) Para un observador en reposo junto a las vías, ¿a qué distancia d ′ se empuja la caja cuando se mueve la distancia d en el vagón? (b) ¿Cuál es la rapidez inicial y final de la caja v 0 ′ y v ′ medida por el observador junto a las vías? (c) Demuestre que F d ′ = m ( v ′ ) 2 / 2 - m ( v ′ 0 ) 2 / 2 y, en consecuencia, ese trabajo es igual al cambio de energía cinética en ambos sistemas de referencia. fuerza conservativa fuerza que realiza un trabajo independiente de la trayectoria diferencial exacta es la diferencial total de una función y requiere el uso de derivadas parciales si la función implica más de una dimensión fuerza no conservativa fuerza que realiza un trabajo que depende de la trayectoria

Ciencia


Conservación de la energía En esta sección, explicamos y ampliamos el resultado que derivamos en Energía potencial de un sistema , donde reescribimos el teorema de trabajo-energía en términos del cambio en las energías cinética y potencial de una partícula. Esto nos llevará a analizar el importante principio de la conservación de la energía mecánica. A medida que continúe examinando otros temas de la física, en capítulos posteriores de este libro, verá cómo esta ley de conservación se generaliza para abarcar otros tipos de energía y transferencias de energía. La última sección de este capítulo ofrece un avance. Los términos "cantidad conservada" y "ley de conservación" tienen significados específicos y científicos en física, que son diferentes de los significados cotidianos, que se asocian a estas palabras. (El mismo comentario es válido para los usos científicos y cotidianos de la palabra "trabajo"). En el uso cotidiano, se puede conservar el agua al no usarla, al usar menos cantidad o al reutilizarla. El agua está compuesta por moléculas formadas por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Si se juntan estos átomos para formar una molécula, se crea el agua; si se disocian los átomos de dicha molécula, se destruye el agua. Sin embargo, en el uso científico, una cantidad conservada para un sistema permanece constante, cambia en una cantidad definida que se transfiere a otros sistemas o se convierte en otras formas de esa cantidad. Una cantidad conservada, en el sentido científico, puede transformarse, pero no crearse ni destruirse en el sentido estricto de la palabra. Así, no existe ninguna ley física de conservación del agua. Sistemas con una sola partícula u objeto Primero consideramos un sistema con una sola partícula u objeto. De vuelta a nuestro desarrollo de la , recordemos que primero separamos todas las fuerzas que actúan sobre una partícula en tipos conservativas y no conservativas, y escribimos el trabajo realizado por cada tipo de fuerza como un término separado en el teorema de trabajo-energía. Entonces sustituimos el trabajo realizado por las fuerzas conservativas por el cambio en la energía potencial de la partícula y lo combinamos con el cambio en la energía cinética de la partícula para obtener la . Ahora, escribimos esta ecuación sin el paso intermedio y definimos la suma de las energías cinética y potencial, K + U = E ; a ser la energía mecánica de la partícula. Conservación de la energía La energía mecánica E de una partícula permanece constante, a menos que fuerzas externas al sistema o fuerzas no conservativas realicen un trabajo sobre ella, en cuyo caso, el cambio en la energía mecánica es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas: W nc , A B = Δ ( K + U ) A B = Δ E A B . Esta afirmación expresa el concepto de conservación de energía para una partícula clásica mientras no haya trabajo no conservativo. Recordemos que una partícula clásica es solo una masa puntual, no es relativista y obedece a las leyes del movimiento de Newton. En Relatividad , veremos que la conservación de la energía sigue aplicándose a una partícula no clásica. Sin embargo, para ello tenemos que hacer un ligero ajuste en la definición de energía. A veces es conveniente separar el caso en el que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es cero, ya sea porque se supone que no hay tales fuerzas presentes, o, como la fuerza normal, realizan un trabajo cero cuando el movimiento es paralelo a la superficie. Entonces 0 = W nc , A B = Δ ( K + U ) A B = Δ E A B . En este caso, la conservación de la energía mecánica puede expresarse como sigue: La energía mecánica de una partícula no cambia si todas las fuerzas no conservativas que pueden actuar sobre ella no realizan ningún trabajo. Lo importante es comprender el concepto de conservación de energía, no la ecuación concreta que se utilice para expresarla. Conservación de la energía Identifique el organismo o los organismos que se van a estudiar (el sistema). A menudo, en las aplicaciones del principio de conservación de energía mecánica, estudiamos más de un cuerpo al mismo tiempo. Identifique todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo o los cuerpos. Determine si cada fuerza que realiza un trabajo es conservativa. Si una fuerza no conservativa (por ejemplo, la fricción) realiza un trabajo, la energía mecánica no se conserva. Luego, el sistema deberá analizarse con trabajo no conservativo, la . Para cada fuerza que realice un trabajo, elija un punto de referencia y determine la función de energía potencial para la fuerza. Los puntos de referencia de las distintas energías potenciales no tienen por qué estar en el mismo lugar. Aplique el principio de conservación de energía mecánica al establecer la suma de las energías cinética y potencial iguales en cada punto de interés. Péndulo simple Una partícula de masa m cuelga desde el techo con una cuerda sin masa de 1,0 m de longitud, como se muestra en la . La partícula se libera del reposo, cuando el ángulo entre la cuerda y la dirección vertical descendente es de 30 °. ¿Cuál es su rapidez cuando alcanza el punto más bajo de su arco? Una partícula colgada de una cuerda constituye un péndulo simple. Se muestra cuando se libera del reposo, junto con algunas distancias que se utilizan en el análisis del movimiento. Estrategia Al utilizar nuestra estrategia de resolución de problemas, el primer paso es definir que estamos interesados en el sistema partícula-Tierra. En segundo lugar, sobre la partícula solo actúa la fuerza gravitacional, que es conservativa (paso 3). Ignoramos la resistencia del aire en el problema, y la tensión de la cuerda, que es perpendicular al arco del movimiento, no realiza ningún trabajo. Por lo tanto, la energía mecánica del sistema se conserva, como se representa en la , 0 = Δ ( K + U ) . Como la partícula parte del reposo, el aumento de la energía cinética es solo la energía cinética en el punto más bajo. Este aumento de la energía cinética es igual a la disminución de la energía potencial gravitacional, que podemos calcular a partir de la geometría. En el paso 4, elegimos como punto de referencia para la energía potencial gravitacional cero el punto vertical más bajo que alcanza la partícula, que es la mitad de la oscilación. Por último, en el paso 5, establecemos la suma de energías en el punto más alto (inicial) de la oscilación hasta el punto más bajo (final) de la oscilación para resolver finalmente la rapidez final. Solución Estamos ignorando las fuerzas no conservativas, por lo que escribimos la fórmula de conservación de energía que relaciona la partícula en el punto más alto (inicial) y el punto más bajo de la oscilación (final) como K i + U i = K f + U f . Dado que la partícula se libera del reposo, la energía cinética inicial es cero. En el punto más bajo, definimos que la energía potencial gravitacional es cero. Por lo tanto, nuestra fórmula de conservación de la energía se reduce a 0 + m g h = 1 2 m v 2 + 0 v = 2 g h . La altura vertical de la partícula no se da directamente en el problema. Esto puede resolverse con la trigonometría y dos datos: la longitud del péndulo y el ángulo por el que la partícula se hala verticalmente. Observando el diagrama, la línea vertical discontinua es la longitud de la cuerda del péndulo. La altura vertical se denomina h . La otra longitud parcial de la cuerda vertical se puede calcular con trigonometría. Esa parte se resuelve por cos θ = x / L , x = L cos θ . Por lo tanto, si observamos las dos partes de la cuerda, podemos resolver la altura h , x + h = L L cos θ + h = L h = L - L cos θ = L ( 1 - cos θ ) . Sustituimos esta altura en la expresión anterior resuelta para la rapidez con el fin de calcular nuestro resultado: v = 2 g L ( 1 - cos θ ) = 2 ( 9,8 m/s 2 ) ( 1 m ) ( 1 - cos 30 ° ) = 1,62 m/s . Importancia Hallamos la rapidez directamente a partir de la conservación de la energía mecánica, sin tener que resolver la ecuación diferencial para el movimiento de un péndulo (vea Oscilaciones ). Podemos abordar este problema en términos de gráficos de barras de energía total . Inicialmente, la partícula tiene toda la energía potencial, al estar en el punto más alto, y ninguna energía cinética. Cuando la partícula cruza el punto más bajo de la parte inferior de la oscilación, la energía pasa de la columna de energía potencial a la columna de energía cinética. Por lo tanto, podemos imaginar una progresión de esta transferencia a medida que la partícula se mueve entre su punto más alto, el punto más bajo de la oscilación, y de vuelta al punto más alto ( ). A medida que la partícula se desplaza desde el punto más bajo de la oscilación hasta el punto más alto en el extremo derecho del diagrama, las barras de energía van en orden inverso de (c) a (b) a (a). Gráficos de barras que representan la energía total ( E ), la energía potencial ( U ) y la energía cinética ( K ) de la partícula en diferentes posiciones. (a) La energía total del sistema es igual a la energía potencial y la energía cinética es cero, que se encuentra en el punto más alto que alcanza la partícula. (b) La partícula se encuentra a medio camino entre el punto más alto y el más bajo, por lo que los gráficos de barras de energía cinética más energía potencial son iguales a la energía total. (c) La partícula se encuentra en el punto más bajo de la oscilación, por lo que el gráfico de barras de energía cinética es el más alto e igual a la energía total del sistema. ¿A qué altura sobre la parte inferior de su arco se encuentra la partícula en el péndulo simple de arriba, cuando su rapidez es 0,81 m / s ? 0,033 m Resistencia del aire en un objeto que cae Un helicóptero sobrevuela a una altitud de 1 km cuando un panel de su parte inferior se desprende y cae al suelo ( ). La masa del panel es 15 kg , y golpea el suelo a una rapidez de 45 m / s . ¿Cuánta energía mecánica se disipó por la resistencia del aire durante el descenso del panel? Un helicóptero pierde un panel que cae hasta alcanzar una velocidad límite de 45 m/s. ¿En qué medida contribuyó la resistencia del aire a la disipación de energía en este problema? Estrategia Paso 1: Aquí solo se investiga un cuerpo. Paso 2: Sobre el panel actúa la fuerza gravitacional y la resistencia del aire, que se indica en el problema. Paso 3: La fuerza gravitacional es conservativa; sin embargo, la fuerza no conservativa de la resistencia del aire realiza un trabajo negativo sobre el panel que cae, por lo que podemos utilizar la conservación de la energía mecánica, en la forma expresada por la , para hallar la energía disipada. Esta energía es la magnitud del trabajo: Δ E disipada = | W nc, if | = | Δ ( K + U ) if | . Paso 4: La energía cinética inicial, en y i = 1 km , es cero. Por comodidad, fijamos la energía potencial gravitacional en cero a nivel del suelo. Paso 5: El trabajo no conservativo se establece igual a las energías para resolver el trabajo disipado por la resistencia del aire. Solución La energía mecánica disipada por la resistencia del aire es la suma algebraica de la ganancia de energía cinética y la pérdida de energía potencial. Por lo tanto, el cálculo de esta energía es Δ E disipada = | K f - K i + U f - U i | = | 1 2 ( 15 kg ) ( 45 m/s ) 2 - 0 + 0 - ( 15 kg ) ( 9,8 m/s 2 ) ( 1.000 m ) | = 130 kJ . Importancia La mayor parte de la energía mecánica inicial del panel ( U i ) , 147 kJ, se perdió por la resistencia del aire. Observe que hemos podido calcular la energía disipada sin saber cuál era la fuerza de resistencia del aire, únicamente que era disipativa. Probablemente recuerde que, al descartar la resistencia del aire, si lanza un proyectil directamente hacia arriba, el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima es igual al tiempo que tarda en caer desde la altura máxima hasta la altura inicial. Supongamos que no se puede descartar la resistencia del aire, como en el . ¿Es el tiempo que el proyectil tarda en subir (a) mayor, (b) menor o (c) igual al tiempo que tarda en bajar? Explique. b. A cualquier altura, la energía potencial gravitacional es la misma subiendo o bajando, pero la energía cinética es menor bajando que subiendo, ya que la resistencia del aire es disipativa y realiza un trabajo negativo. Por lo tanto, a cualquier altura, la velocidad de bajada es menor que la de subida, por lo que debe tardar más tiempo en bajar que en subir. En estos ejemplos, hemos podido utilizar la conservación de la energía para calcular la rapidez de una partícula justo en determinados puntos de su movimiento. Sin embargo, el método de análisis del movimiento de las partículas, partiendo de la conservación de energía, es más poderoso que eso. Los tratamientos más avanzados de la teoría de la mecánica permiten calcular la dependencia a tiempo completo del movimiento de una partícula, para una energía potencial dada. De hecho, a menudo se da el caso de que un mejor modelo para el movimiento de la partícula lo proporciona la forma de sus energías cinética y potencial, en lugar de una ecuación para la fuerza que actúa sobre esta. (Esto es especialmente cierto para la descripción mecánica cuántica de partículas como los electrones o los átomos). Podemos ilustrar algunas de las características más simples de este enfoque basado en la energía, al considerar una partícula en movimiento unidimensional, con energía potencial U ( x ) y sin interacciones no conservativas presentes. La y la definición de velocidad requieren K = 1 2 m v 2 = E - U ( x ) v = d x d t = 2 ( E - U ( x ) ) m . Separe las variables x y t e integre, a partir de un tiempo inicial t = 0 a un tiempo arbitrario, para obtener t = ∫ 0 t d t = ∫ x 0 x d x 2 [ E - U ( x ) ] / m . Si puedes hacer la integral en la , entonces puedes resolver x en función de t . Aceleración constante Utilice la energía potencial U ( x ) = - E ( x / x 0 ) , para E > 0 , en la para hallar la posición x de una partícula como función del tiempo t . Estrategia Ya que sabemos cómo cambia la energía potencial como función de x , podemos sustituir por U ( x ) en la , integre, y luego resuelva para x . Se obtiene una expresión de x como función del tiempo con las constantes de energía E , masa m y posición inicial x 0 . Solución Siguiendo los dos primeros pasos sugeridos en la estrategia anterior, t = ∫ x 0 x d x ( 2 E / m x 0 ) ( x 0 - x ) = 1 ( 2 E / m x 0 ) | −2 ( x 0 - x ) | x 0 x = - 2 ( x 0 - x ) ( 2 E / m x 0 ) . Resolviendo para la posición, obtenemos x ( t ) = x 0 - 1 2 ( E / m x 0 ) t 2 . Importancia La posición en función del tiempo, para este potencial, representa un movimiento unidimensional con aceleración constante, a = ( E / m x 0 ) , partiendo de la posición de reposo x 0 . Esto no es tan sorprendente, ya que se trata de una energía potencial para una fuerza constante, F = - d U / d x = E / x 0 , y a = F / m . ¿Qué energía potencial U ( x ) puede sustituir en la que resultará en un movimiento con velocidad constante de 2 m/s para una partícula de 1 kg de masa y 1 J de energía mecánica? constante U ( x ) = −1 J Veremos otro ejemplo más apropiado físicamente del uso de la después de que hayamos explorado algunas implicaciones adicionales que se pueden extraer de la forma funcional de la energía potencial de una partícula. Sistemas con varias partículas u objetos Los sistemas suelen estar formados por más de una partícula u objeto. Sin embargo, la conservación de la energía mecánica, en una de sus formas en la o la , es una ley fundamental de la física y se aplica a cualquier sistema. Todo lo que hay que hacer es incluir las energías cinética y potencial de todas las partículas, y el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan sobre ellas. Hasta que aprenda más sobre la dinámica de los sistemas compuestos por muchas partículas, en Momento lineal y colisiones , Rotación de eje fijo y Momento angular , es mejor posponer el debate de la aplicación de la conservación de energía para entonces. Resumen Una cantidad conservada es una propiedad física que se mantiene constante, independientemente de la trayectoria recorrida. Una forma del teorema de trabajo-energía establece que el cambio en la energía mecánica de una partícula es igual al trabajo que realizan sobre esta las fuerzas no conservativas. Si las fuerzas no conservativas no realizan ningún trabajo y no hay fuerzas externas, la energía mecánica de una partícula permanece constante. Esta es una afirmación de la conservación de la energía mecánica y no hay ningún cambio en la energía mecánica total. En cuanto al movimiento unidimensional de una partícula, en el que la energía mecánica es constante y la energía potencial es conocida, la posición de la partícula, como función del tiempo, se halla al evaluar una integral que se deriva de la conservación de la energía mecánica. Preguntas conceptuales Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado, ¿el trabajo de la fricción depende de la rapidez inicial del cuerpo? Responda la misma pregunta en relación con un cuerpo que se desliza por una superficie curva. Considere la situación siguiente. Un auto para el que la fricción no es despreciable acelera desde el reposo cuesta abajo, pero se queda sin gasolina al cabo de una corta distancia (vea más abajo). El conductor deja que el auto vaya un poco más abajo por la colina y entonces asciende por una pequeña cresta. Luego, viaja cuesta abajo, hasta llegar a una gasolinera, donde frena y llena el tanque de gasolina. Identifique las formas de energía que tiene el auto y cómo se cambian y transfieren en esta serie de acontecimientos. El auto experimenta un cambio en la energía potencial gravitacional a medida que va cuesta abajo porque la distancia vertical disminuye. El trabajo realizado por la fricción sustraerá parte de este cambio de energía potencial gravitacional. El resto de la energía se traduce en un aumento de la energía cinética, lo que hace que el auto vaya más rápido. Por último, el auto frena y pierde su energía cinética por el trabajo realizado al frenar hasta detenerse. Una pelota que cae rebota hasta la mitad de su altura original. Comente sobre las transformaciones energéticas que se producen. “ E = K + U constante es un caso especial del teorema de trabajo-energía". Razone esta afirmación. Afirma que la energía total del sistema E se conserva mientras no haya fuerzas no conservativas que actúen sobre el objeto. En una demostración común de física, una bola de boliche está suspendida del techo por una cuerda. El profesor aleja la bola de su posición de equilibrio y la mantiene junto a su nariz, como se muestra a continuación. Suelta la bola para que oscile directamente lejos de él. ¿Recibe el golpe de la bola a su regreso? ¿Qué intenta mostrar con esta demostración? Un niño salta sobre una cama y alcanza una mayor altura después de cada rebote. Explique cómo el niño puede aumentar su energía potencial gravitacional máxima con cada rebote. Aplica energía al sistema a través de sus piernas al comprimir y expandir. ¿Puede una fuerza no conservativa aumentar la energía mecánica del sistema? Descartando la resistencia del aire, ¿cuánto tendría que aumentar la altura vertical si quisiera duplicar la velocidad de impacto de un objeto que cae? Cuatro veces la altura original duplicaría la velocidad de impacto. Una caja se deja caer sobre un resorte en su posición de equilibrio. El resorte se comprime con la caja unida y llega a un punto de reposo. Dado que el resorte está en posición vertical, ¿es necesario considerar en este problema el cambio en la energía potencial gravitacional de la caja mientras el resorte se comprime? Problemas Un niño lanza una pelota de masa 0,25 kg directamente hacia arriba, a una rapidez inicial de 20 m / s Cuando la pelota regresa al niño, su rapidez es 17 m / s ¿Cuánto trabajo realiza la resistencia del aire sobre la pelota durante su vuelo? 14 J Un ratón con una masa de 200 g cae 100 m por un pozo de mina vertical y aterriza en el fondo, a una rapidez de 8,0 m/s. Durante su caída, ¿cuánto trabajo realiza la resistencia del aire sobre el ratón? Con base en consideraciones energéticas y suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, demuestre que una roca lanzada desde un puente a 20,0 m sobre el agua, a una rapidez inicial de 15,0 m/s golpea el agua a una rapidez de 24,8 m/s, independientemente de la dirección del lanzamiento. (Pista: Demuestre que K i + U i = K f + U f ) prueba Una pelota de 1,0 kg en el extremo de una cuerda de 2,0 m se balancea en un plano vertical. En su punto más bajo, la pelota se desplaza a una rapidez de 10 m/s. (a) ¿Cuál es su rapidez en la parte superior de su trayectoria? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando la pelota está en la parte inferior y en la parte superior de su trayectoria? Ignorando los detalles asociados a la fricción, las fuerzas adicionales que ejercen los músculos de brazos y piernas, y otros factores, podemos considerar el salto con pértiga como la conversión de la energía cinética de la carrera de un atleta en energía potencial gravitacional. Si un atleta debe elevar su cuerpo 4,8 m durante un salto, ¿qué rapidez deberá tener al plantar la pértiga? 9,7 m / s Tarzán se agarra a una liana que cuelga verticalmente de un alto árbol cuando corre a 9,0 m / s . (a) ¿A qué altura puede balancearse hacia arriba? (b) ¿Afecta la longitud de la liana esta altura? Supongamos que la fuerza de un arco sobre una flecha se comporta como la fuerza de un resorte. Al apuntar la flecha, un arquero tira del arco hacia atrás 50 cm y lo mantiene en posición con una fuerza de 150 N . Si la masa de la flecha es 50 g y el "resorte" no tiene masa, ¿cuál es la rapidez de la flecha inmediatamente después de salir del arco? 39 m / s Un hombre de 100 - kg esquía por un terreno llano a una rapidez de 8,0 m/s cuando llega a la pequeña pendiente de 1,8 m, más alta que el nivel del suelo que se muestra en la siguiente figura. (a) Si el esquiador viaja hacia arriba de la colina, ¿cuál es su rapidez cuando llega a la meseta superior? Supongamos que la fricción entre la nieve y los esquís es despreciable. (b) ¿Cuál es su velocidad cuando llega a la parte superior si una fuerza de fricción de 80 - N actúa sobre los esquís? Un trineo de 70 kg de masa parte del reposo y se desliza por una pendiente de 10 ° de 80 m de largo. Luego, se desplaza 20 m en horizontal antes de volver a subir una pendiente de 8 ° . Recorre 80 m a lo largo de la pendiente antes de detenerse. ¿Cuál es la magnitud del trabajo neto realizado en el trineo por la fricción? 1.900 J Una chica en una patineta (masa total de 40 kg) se mueve a una rapidez de 10 m/s en la parte inferior de una larga rampa. La rampa está inclinada a 20 ° con respecto a la horizontal. Si recorre 14,2 m hacia arriba, a lo largo de la rampa, antes de detenerse, ¿cuál es la fuerza neta de fricción sobre ella? Una pelota de béisbol de 0,25 kg de masa es golpeada en el home a una rapidez de 40 m/s. Cuando aterriza en un asiento de la grada del campo izquierdo a una distancia horizontal de 120 m del home, se mueve a 30 m/s. Si la pelota cae a 20 m por encima del lugar donde fue golpeada, ¿cuánto trabajo realiza sobre ella la resistencia del aire? -39 J Un pequeño bloque de masa m se desliza sin fricción alrededor del aparato de completar el círculo que se muestra a continuación. (a) Si el bloque parte del reposo en A , ¿cuál es su rapidez en B ? (b) ¿Cuál es la fuerza de la pista sobre el bloque en B ? El resorte sin masa de una pistola de resorte tiene una constante de fuerza k = 12 N/cm . Cuando la pistola apunta verticalmente, un proyectil de 15 g se dispara a una altura de 5,0 m por encima del extremo del resorte expandido. (Vea más abajo). ¿Cuánto se comprimió el resorte inicialmente? 3,5 cm Se ata una pequeña pelota a una cuerda y se la pone a girar con una fricción despreciable en un círculo vertical. Si la pelota se desplaza por la parte superior del círculo lo más lentamente posible (de modo que la tensión de la cuerda sea despreciable), ¿cuál es la tensión de la cuerda en la parte inferior del círculo, suponiendo que no se añade energía a la pelota durante la rotación? cantidad conservada es aquella que no se crea ni se destruye, sino que asume distintas formas de sí misma conservación de energía la energía total de un sistema aislado es constante energía mecánica la suma de las energías cinética y potencial

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Diagramas de energía potencial y estabilidad A menudo, se puede obtener una buena cantidad de información útil sobre el comportamiento dinámico de un sistema mecánico simplemente mediante la interpretación de un gráfico de su energía potencial como función de la posición, denominado diagrama de energía potencial . Esto es más fácil de lograr para un sistema unidimensional, cuya energía potencial se puede trazar en un gráfico bidimensional, por ejemplo, U ( x ) frente a x , en una hoja de papel o en un programa de computadora. Para los sistemas cuyo movimiento es en más de una dimensión, es necesario estudiar el movimiento en el espacio tridimensional. Simplificaremos nuestro procedimiento para el movimiento unidimensional solamente. En primer lugar, veamos un objeto que cae libremente en vertical, cerca de la superficie de la Tierra, en ausencia de resistencia del aire. La energía mecánica del objeto se conserva, E = K + U , y la energía potencial, con respecto a cero a nivel del suelo, es U ( y ) = m g y , que es una línea recta que pasa por el origen con pendiente m g . En el gráfico mostrado en la , el eje de la x es la altura sobre el suelo y y el eje de la y es la energía del objeto. Gráfico de la energía potencial de un objeto en caída libre vertical, en la que se indican diversas cantidades. La línea en la energía E representa la energía mecánica constante del objeto, mientras que las energías cinética y potencial, K A y U A , se indican a una altura determinada y A . Puede ver cómo la energía total se divide entre energía cinética y potencial a medida que cambia la altura del objeto. Dado que la energía cinética nunca puede ser negativa, existe una energía potencial máxima y una altura máxima que un objeto con la energía total dada no puede superar: K = E - U ≥ 0 , U ≤ E . Si utilizamos el punto de referencia de la energía potencial gravitacional de cero en y 0 , podemos reescribir la energía potencial gravitacional U como mgy . Resolviendo para y se obtiene y ≤ E / m g = y máx . Observamos en esta expresión que la cantidad de energía total, dividida entre el peso ( mg ), se sitúa en la altura máxima de la partícula, o y máx . En la altura máxima, la energía cinética y la rapidez son cero, por lo que si el objeto se desplazara inicialmente hacia arriba, su velocidad pasaría por cero allí, mientras que y máx sería un punto de inflexión en el movimiento. A nivel del suelo, y 0 = 0 , la energía potencial es cero, y la energía cinética y la rapidez son máximas: U 0 = 0 = E - K 0 , E = K 0 = 1 2 m v 0 2 , v 0 = ± 2 E / m . La rapidez máxima ± v 0 da la velocidad inicial necesaria para alcanzar y máx , la altura máxima, y - v 0 representa la velocidad final, después de caer de y máx . Puede leer toda esta información, y más, en el diagrama de energía potencial que hemos mostrado. Considere un sistema masa-resorte sobre una superficie horizontal sin fricción, estacionaria, de modo que la gravedad y la fuerza normal de contacto no realizan ningún trabajo y pueden pasarse por alto ( ). Es como un sistema unidimensional, cuya energía mecánica E es una constante y cuya energía potencial, con respecto a la energía cero en el desplazamiento cero de la longitud no estirada del resorte, x = 0 , es U ( x ) = 1 2 k x 2 . (a) Un planeador entre resortes en una pista de aire es un ejemplo de un sistema masa-resorte horizontal. (b) El diagrama de energía potencial para este sistema, donde se indican diversas cantidades. En este caso se puede leer el mismo tipo de información a partir del diagrama de energía potencial que en el caso del cuerpo en caída libre vertical. Sin embargo, ya que la energía potencial del resorte describe una fuerza variable, se puede aprender más de este gráfico. En cuanto al objeto en caída libre vertical, se puede deducir el rango de movimiento físicamente admisible y los valores máximos de distancia y rapidez, a partir de los límites de la energía cinética, 0 ≤ K ≤ E . Por lo tanto, K = 0 y U = E en un punto de inflexión , de los cuales hay dos para la energía potencial del resorte elástico, x máx = ± 2 E / k . El movimiento del planeador se limita a la región entre los puntos de inflexión, - x máx ≤ x ≤ x máx . Esto es así con cualquier valor (positivo) de E porque la energía potencial es ilimitada con respecto a x . Por esta razón, así como por la forma de la curva de energía potencial, U ( x ) se denomina pozo de potencial infinito. En el fondo del pozo de potencial, x = 0 , U = 0 y la energía cinética es máxima, K = E , entonces v máx = ± 2 E / m . Sin embargo, a partir de la pendiente de esta curva de energía potencial, también se puede deducir información sobre la fuerza sobre el planeador y su aceleración. Hemos visto antes que el negativo de la pendiente de la energía potencial es la fuerza del resorte, que en este caso es también la fuerza neta, y por lo tanto es proporcional a la aceleración. Cuando x = 0 , la pendiente, la fuerza y la aceleración son todas cero, por lo que se trata de un punto de equilibrio . El negativo de la pendiente, a ambos lados del punto de equilibrio, da una fuerza que apunta hacia el punto de equilibrio, F = ± k x , por lo que el equilibrio se denomina estable y la fuerza se denomina restauradora. Esto implica que U ( x ) tiene allí un mínimo relativo. Si la fuerza a ambos lados de un punto de equilibrio tiene una dirección opuesta a la del cambio de posición, el equilibrio se denomina inestable, y esto implica que U ( x ) tiene un máximo relativo en ese punto. Diagrama de energía potencial cuártica y cuadrática La energía potencial para una partícula que experimenta un movimiento unidimensional a lo largo del eje de la x es U ( x ) = 2 ( x 4 - x 2 ) , donde U está en julios y x está en metros. La partícula no está sometida a ninguna fuerza no conservativa y su energía mecánica es constante en E = -0,25 J . (a) ¿Está el movimiento de la partícula confinado en algunas regiones del eje de la x , y si es así, cuáles son? (b) ¿Existen puntos de equilibrio, y si es así, dónde están y son estables o inestables? Estrategia En primer lugar, tenemos que graficar la energía potencial como función de la x . La función es cero en el origen, se vuelve negativa a medida que la x aumenta en las direcciones positivas o negativas ( x 2 es mayor que x 4 para x < 1 ), y luego se convierte en positiva a un tamaño suficientemente grande | x | . Su gráfico debería parecerse a un pozo de potencial doble, con los ceros determinados al resolver la ecuación U ( x ) = 0 , y los extremos se determinan al examinar las derivadas primera y segunda de U ( x ), como se muestra en la . El gráfico de energía potencial para una energía potencial unidimensional, cuártica y cuadrática, se muestra con diversas cantidades. Puede calcular los valores de (a) las regiones permitidas a lo largo del eje de la x , para el valor dado de la energía mecánica, a partir de la condición de que la energía cinética no puede ser negativa, y (b) los puntos de equilibrio y su estabilidad a partir de las propiedades de la fuerza (estable para un mínimo relativo e inestable para un máximo relativo de energía potencial). Para obtener respuestas cualitativas a las preguntas de este ejemplo, basta con echar un vistazo al gráfico. Al fin y al cabo, ese es el valor de los diagramas de energía potencial. Puede ver que hay dos regiones permitidas para el movimiento ( E > U ) y tres puntos de equilibrio (pendiente d U / d x = 0 ) , de los cuales el central es inestable ( d 2 U / d x 2 < 0 ) , y los otros dos son estables ( d 2 U / d x 2 > 0 ) . Solución Para hallar las regiones permitidas para la x , utilizamos la condición K = E - U = - 1 4 - 2 ( x 4 - x 2 ) ≥ 0 . Si completamos el cuadrado en x 2 , esta condición se simplifica a 2 ( x 2 - 1 2 ) 2 ≤ 1 4 , que podemos resolver para obtener 1 2 - 1 8 ≤ x 2 ≤ 1 2 + 1 8 . Esto representa dos regiones permitidas, x p ≤ x ≤ x R y - x R ≤ x ≤ - x p , donde x p = 0,38 y x R = 0,92 (en metros). Para hallar los puntos de equilibrio, resolvemos la ecuación d U / d x = 8 x 3 - 4 x = 0 y calculamos x = 0 y x = ± x Q , donde x Q = 1 / 2 = 0,707 (metros). La segunda derivada d 2 U / d x 2 = 24 x 2 - 4 es negativa en x = 0 , por lo que esa posición es un máximo relativo y el equilibrio allí es inestable. La segunda derivada es positiva en x = ± x Q , por lo que estas posiciones son mínimos relativos y representan equilibrios estables. Importancia La partícula en este ejemplo puede oscilar en la región permitida alrededor de cualquiera de los dos puntos de equilibrio estables que encontramos, pero no tiene suficiente energía para escapar de cualquier pozo de potencial en el que se encuentre inicialmente. La conservación de la energía mecánica y las relaciones entre la energía cinética y la velocidad, y la energía potencial y la fuerza, permiten deducir mucha información sobre el comportamiento cualitativo del movimiento de una partícula, así como alguna información cuantitativa, a partir de un gráfico de su energía potencial. Repita el cuando la energía mecánica de la partícula es + 0,25 J. a. sí, movimiento limitado a -1,055 m ≤ x ≤ 1,055 m ; b. mismos puntos de equilibrio y tipos que en el ejemplo Antes de terminar esta sección, practiquemos la aplicación del método basado en la energía potencial de una partícula para hallar su posición como función del tiempo, en el sistema unidimensional masa-resorte considerado anteriormente en esta sección. Oscilaciones sinusoidales Calcule x ( t ) para una partícula que se mueve con energía mecánica constante E > 0 y energía potencial U ( x ) = 1 2 k x 2 , cuando la partícula parte del reposo en el tiempo t = 0 . Estrategia Seguimos los mismos pasos que en el . Sustituya la energía potencial U en la y factorice las constantes, como m o k . Integre la función y resuelva la expresión resultante para la posición, que ahora es una función del tiempo. Solución Sustituya la energía potencial en la e intégrela mediante un solucionador de integrales encontrado en una búsqueda en la web: t = ∫ x 0 x d x ( k / m ) [ ( 2 E / k ) - x 2 ] = m k [ sen −1 ( x 2 E / k ) - sen −1 ( x 0 2 E / k ) ] . A partir de las condiciones iniciales en t = 0 , la energía cinética inicial es cero y la energía potencial inicial es 1 2 k x 0 2 = E , a partir de lo que puede observar que x 0 / ( 2 E / k ) = ± 1 y sen −1 ( ± ) = ± 90 0 . Ahora puede resolver para x : x ( t ) = ( 2 E / k ) sen [ ( k / m ) t ± 90 0 ] = ± ( 2 E / k ) cos [ ( k / m ) t ] . Importancia Unos cuantos párrafos atrás, nos hemos referido a este sistema masa-resorte como un ejemplo de oscilador armónico. Aquí, anticipamos que un oscilador armónico ejecuta oscilaciones sinusoidales con un desplazamiento máximo de ( 2 E / k ) (amplitud) y una tasa de oscilación de ( 1 / 2 π ) k / m (frecuencia). Para más información sobre las oscilaciones, consulte Oscilaciones . Calcule x ( t ) para el sistema masa-resorte en el si la partícula parte de x 0 = 0 en t = 0 . ¿Cuál es la velocidad inicial de la partícula? x ( t ) = ± ( 2 E / k ) sen [ ( k / m ) t ] y v 0 = ± ( 2 E / m ) Resumen La interpretación de un diagrama de energía potencial unidimensional permite obtener información cualitativa, y algo de información cuantitativa, sobre el movimiento de una partícula. En un punto de inflexión, la energía potencial es igual a la energía mecánica y la energía cinética es cero, lo que indica que el sentido de la velocidad se invierte allí. El negativo de la pendiente de la curva de energía potencial, para una partícula, es igual al componente unidimensional de la fuerza conservativa sobre la partícula. En un punto de equilibrio, la pendiente es cero y es un equilibrio estable (inestable) para un mínimo (máximo) de energía potencial. Problemas Una misteriosa fuerza constante de 10 N actúa horizontalmente sobre todo. Se comprueba que la dirección de la fuerza apunta siempre hacia una pared en una gran sala. Halle la energía potencial de una partícula debida a esta fuerza cuando se encuentra a una distancia x de la pared, suponiendo que la energía potencial en la pared es cero. 10 x con el eje de la x apuntando hacia fuera de la pared y el origen en la pared Una sola fuerza F ( x ) = −4,0 x (en newtons) actúa sobre un cuerpo de 1,0 kg. Cuando x = 3,5 m, la rapidez del cuerpo es de 4,0 m/s. ¿Cuál es su rapidez en x = 2,0 m? Una partícula de masa 4,0 kg está obligada a moverse a lo largo del eje de la x bajo una sola fuerza F ( x ) = - c x 3 , donde c = 8,0 N/m 3 . La rapidez de la partícula en A , donde x A = 1,0 m, es de 6,0 m/s. ¿Cuál es su rapidez en B , donde x B = −2,0 m? 4,6 m/s La fuerza sobre una partícula de masa 2,0 kg varía con la posición según F ( x ) = −3,0 x 2 ( x en metros, F ( x ) en newtons). La velocidad de la partícula en x = 2,0 m es de 5,0 m/s. Calcule la energía mecánica de la partícula al utilizar (a) el origen como punto de referencia y (b) x = 4,0 m como punto de referencia. (c) Calcule la velocidad de la partícula en x = 1,0 m . Haga esta parte del problema para cada punto de referencia. Sobre una partícula de 4,0 kg que se mueve a lo largo del eje de la x actúa la fuerza cuya forma funcional aparece a continuación. La velocidad de la partícula en x = 0 es v = 6,0 m/s . Calcule la rapidez de la partícula en x = ( a ) 2,0 m , ( b ) 4,0 m , ( c ) 10,0 m , ( d ) ¿La partícula da la vuelta en algún punto y vuelve hacia el origen? (e) Repita la parte (d) si v = 2,0 m/s en x = 0 . a. 5,6 m/s; b. 5,2 m/s; c. 6,4 m/s; d. no; e. sí Una partícula de masa 0,50 kg se mueve a lo largo del eje de la x con una energía potencial cuya dependencia de x se muestra a continuación. (a) ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula en x = 2,0 , 5,0 , 8,0 , y 12 m? (b) Si la energía mecánica total E de la partícula es -6,0 J, ¿cuáles son las posiciones mínima y máxima de la partícula? (c) ¿Cuáles son estas posiciones si E = 2,0 J? (d) Si E = 16 J , ¿cuál es la rapidez de la partícula en las posiciones indicadas en la parte (a)? (a) Trace un gráfico de la función de energía potencial U ( x ) = k x 2 / 2 + A e - α x 2 , donde k , A , y α son constantes. (b) ¿Cuál es la fuerza correspondiente a esta energía potencial? (c) Supongamos que una partícula de masa m que se mueve con esta energía potencial tiene una velocidad v a cuando su posición es x = a . Demuestre que la partícula no pasa por el origen, a menos que A ≤ m v a 2 + k a 2 2 ( 1 - e - α a 2 ) . a. donde k = 0,02 , A = 1 , α = 1 ; b. F = k x - α x A e - α x 2 ; c. La energía potencial en x = 0 deberá ser menor que la energía cinética más la potencial en x = a o A ≤ 1 2 m v 2 + 1 2 k a 2 + A e - α a 2 . Resolviendo esto para A coincide con los resultados en el problema. punto de equilibrio posición en la que la supuesta fuerza conservativa neta sobre una partícula, dada por la pendiente de su curva de energía potencial, es cero diagrama de energía potencial gráfico de la energía potencial de una partícula en función de la posición punto de inflexión posición en la que la velocidad de una partícula, en movimiento unidimensional, cambia de signo

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