Trabajo En física, el trabajo se realiza sobre un objeto cuando se le transfiere energía. En otras palabras, el trabajo se realiza cuando una fuerza actúa sobre algo que sufre un desplazamiento de una posición a otra. Las fuerzas pueden variar en función de la posición, y los desplazamientos pueden ser a lo largo de varias trayectorias entre dos puntos. Primero definimos el incremento de trabajo dW realizado por una fuerza F → actuando a través de un desplazamiento infinitesimal d r → como el producto punto de estos dos vectores: d W = F → · d r → = | F → | | d r → | cos θ . Entonces, podemos sumar los aportes a los desplazamientos infinitesimales, a lo largo de una trayectoria entre dos posiciones, para obtener el trabajo total. Trabajo realizado por una fuerza El trabajo realizado por una fuerza es la integral de la fuerza con respecto al desplazamiento a lo largo de la trayectoria del desplazamiento: W A B = ∫ trayectoria A B F → · d r → . Los vectores que intervienen en la definición del trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre una partícula se ilustran en la . Vectores utilizados para definir el trabajo. La fuerza que actúa sobre una partícula y su desplazamiento infinitesimal se muestran en un punto de la trayectoria entre A y B . El trabajo infinitesimal es el producto punto de estos dos vectores; el trabajo total es la integral del producto punto a lo largo de la trayectoria. Elegimos expresar el producto punto en términos de las magnitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos, porque el significado del producto punto para el trabajo se puede poner en palabras más directamente en términos de magnitudes y ángulos. También podríamos haber expresado el producto punto en términos de los distintos componentes introducidos en Vectores . En dos dimensiones, eran los componentes de la x y la y en coordenadas cartesianas, o los componentes r y φ en coordenadas polares; en tres dimensiones, solo eran los componentes de la x , la y y la z . La elección más conveniente depende de la situación. En palabras, se puede expresar la para el trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre un desplazamiento como producto de un componente que actúa paralelo al otro componente. Por las propiedades de los vectores, no importa si toma el componente de la fuerza paralelo al desplazamiento o el componente del desplazamiento paralelo a la fuerza: obtiene el mismo resultado de cualquier manera. Recordemos que la magnitud de una fuerza multiplicada por el coseno del ángulo que forma la fuerza con una dirección determinada es el componente de la fuerza en esa dirección. Los componentes de un vector pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de si el ángulo entre el vector y la dirección del componente está entre 0 ° y 90 ° o 90 ° y 180 ° , o es igual a 90 ° . Como resultado, el trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de si la fuerza está generalmente en la dirección del desplazamiento, generalmente opuesta al desplazamiento o perpendicular al desplazamiento. El trabajo máximo es realizado por una fuerza dada cuando se encuentra a lo largo de la dirección del desplazamiento ( cos θ = ± 1 ), y el trabajo es cero cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento ( cos θ = 0 ). Las unidades de trabajo son unidades de fuerza multiplicadas por unidades de longitud, que en el sistema SI son newtons por metros, N · m. Esta combinación se denomina julio , por razones históricas que mencionaremos más adelante, y se abrevia como J. En el sistema inglés, aún utilizado en los Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra (lb) y la unidad de distancia es el pie(ft), por lo que la unidad de trabajo es el pie-libra ( ft · lb ) . Trabajo realizado por fuerzas constantes y fuerzas de contacto El trabajo más sencillo de evaluar es el que realiza una fuerza que es constante en magnitud y dirección. En este caso, podemos factorizar la fuerza; la integral restante es solo el desplazamiento total, que solo depende de los puntos finales A y B , pero no de la trayectoria entre ellos: W A B = F → · ∫ A B d r → = F → · ( r → B - r → A ) = | F → | | r → B - r → A | cos θ (fuerza constante). También podemos ver esto escribiendo la en coordenadas cartesianas y utilizando el hecho de que los componentes de la fuerza son constantes: W A B = ∫ trayectoria A B F → · d r → = ∫ trayectoria A B ( F x d x + F y d y + F z d z ) = F x ∫ A B d x + F y ∫ A B d y + F z ∫ A B d z = F x ( x B - x A ) + F y ( y B - y A ) + F z ( z B - z A ) = F → · ( r → B - r → A ) . La (a) muestra a una persona ejerciendo una fuerza constante F → a lo largo del mango de un cortacésped, que hace un ángulo θ con la horizontal. El desplazamiento horizontal del cortacésped, sobre el que actúa la fuerza, es d → . El trabajo realizado sobre el cortacésped es W = F → · d → = F d cos θ , que la figura también ilustra como el componente horizontal de la fuerza por la magnitud del desplazamiento. Trabajo realizado por una fuerza constante. (a) Una persona empuja un cortacésped con una fuerza constante. El componente de la fuerza paralelo al desplazamiento es el trabajo realizado, como se muestra en la ecuación de la figura. (b) Una persona sostiene un maletín. No se realiza ningún trabajo porque el desplazamiento es cero. (c) La persona de (b) camina horizontalmente mientras sostiene el maletín. No se realiza ningún trabajo porque cos θ es cero. La (b) muestra a una persona que sostiene un maletín. La persona debe ejercer una fuerza hacia arriba, de magnitud igual al peso del maletín, pero esta fuerza no realiza ningún trabajo, porque el desplazamiento sobre el que actúa es cero. En la (c), donde la persona en (b) camina horizontalmente con rapidez constante, el trabajo que realiza la persona sobre el maletín sigue siendo cero, pero ahora porque el ángulo entre la fuerza ejercida y el desplazamiento es 90 ° ( F → perpendicular a d → ) y cos 90 ° = 0 . Calcular el trabajo que realiza al empujar un cortacésped ¿Cuánto trabajo realiza la persona que aparece en la (a) sobre el cortacésped si ejerce una fuerza constante de 75,0 N en un ángulo de 35 ° por debajo de la horizontal y empuja el cortacésped 25,0 m en terreno llano? Estrategia Podemos resolver este problema sustituyendo los valores dados en la definición de trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza constante, indicada en la ecuación W = F d cos θ . La fuerza, el ángulo y el desplazamiento están dados, por lo que solo se desconoce el trabajo W . Solución La ecuación para el trabajo es W = F d cos θ . Al sustituir los valores conocidos se obtiene W = ( 75,0 N ) ( 25,0 m ) cos ( 35,0 ° ) = 1,54 × 10 3 J . Importancia Aunque un kilojulio y medio puede parecer mucho trabajo, veremos en Energía potencial y conservación de la energía que es solo la misma cantidad de trabajo que podría hacer al quemar una sexta parte de un gramo de grasa. Cuando corta el césped, sobre el cortacésped actúan otras fuerzas además de la que usted ejerce: la fuerza de contacto del suelo y la fuerza gravitatoria de la Tierra. Consideremos el trabajo que realizan estas fuerzas en general. Para un objeto que se mueve sobre una superficie, el desplazamiento d r → es tangente a la superficie. La parte de la fuerza de contacto sobre el objeto que es perpendicular a la superficie es la fuerza normal N → . Dado que el coseno del ángulo entre la normal y la tangente a una superficie es cero, tenemos d W N = N → · d r → = 0 → . La fuerza normal realiza trabajo en estas circunstancias. (Tenga en cuenta que si el desplazamiento d r → tuviera un componente relativo perpendicular a la superficie, el objeto abandonaría la superficie o la atravesaría, y ya no habría ninguna fuerza de contacto normal. Sin embargo, si el objeto es más que una partícula y tiene una estructura interna, la fuerza normal de contacto puede realizar un trabajo sobre él, por ejemplo, desplazándolo o deformando su forma. Esto se mencionará en el próximo capítulo). La parte de la fuerza de contacto sobre el objeto que es paralela a la superficie es la fricción, f → . Para este objeto que se desliza por la superficie, la fricción cinética f → k es opuesta a d r → , con respecto a la superficie, por lo que el trabajo realizado por la fricción cinética es negativo. Si la magnitud de f → k es constante (como lo sería si todas las demás fuerzas sobre el objeto fueran constantes), entonces el trabajo realizado por la fricción es W fr = ∫ A B f → k · d r → = - f k ∫ A B | d r | = - f k | l A B | , donde | l A B | es la longitud de la trayectoria en la superficie. La fuerza de fricción estática no realiza ningún trabajo en el marco de referencia entre dos superficies porque nunca hay desplazamiento entre las superficies. Como fuerza externa, la fricción estática puede realizar trabajo. La fricción estática evita que alguien se deslice de un trineo cuando este se mueve y realizar un trabajo positivo sobre la persona. Si conduce su auto a la velocidad máxima en un tramo recto y llano de la autopista, el trabajo negativo realizado por la resistencia del aire se equilibra con el trabajo positivo realizado por la fricción estática de la carretera sobre las ruedas motrices. Se puede sacar la alfombra de debajo de un objeto de manera que se deslice hacia atrás con respecto a la alfombra, pero hacia delante con respecto al suelo. En este caso, la fricción cinética ejercida por la alfombra sobre el objeto podría estar en la misma dirección que el desplazamiento del objeto, con respecto al suelo, y realizar un trabajo positivo. La conclusión es que hay que analizar cada caso particular para determinar el trabajo realizado por las fuerzas, ya sea positivo, negativo o cero. Mover un sofá Decide mover su sofá a una nueva posición en el suelo horizontal de su sala. La fuerza normal sobre el sofá es de 1 kN y el coeficiente de fricción es de 0,6. (a) Primero empuja el sofá 3 m paralelos a una pared y luego 1 m perpendicular a la pared (de A a B en la ). ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de fricción? (b) No le gusta la nueva posición, así que devuelve el sofá a su posición original (de B a A en la ). ¿Cuál fue el trabajo total realizado contra la fricción al alejar el sofá de su posición original y volver a ella? Vista superior de las trayectorias para mover un sofá. Estrategia La magnitud de la fuerza de fricción cinética sobre el sofá es constante, igual al coeficiente de fricción por la fuerza normal, f K = μ K N . Por lo tanto, el trabajo realizado por esta es W fr = - f K d , donde d es la longitud de la trayectoria recorrida. Los segmentos de las trayectorias son los lados de un triángulo rectángulo, por lo que las longitudes de las trayectorias se calculan fácilmente. En la parte (b), puede utilizar el hecho de que el trabajo realizado contra una fuerza es el negativo del trabajo realizado por la fuerza. Solución El trabajo realizado por la fricción es W = - ( 0,6 ) ( 1 kN ) ( 3 m + 1 m ) = - 2,4 kJ . La longitud de la trayectoria a lo largo de la hipotenusa es 10 m , por lo que el trabajo total realizado contra la fricción es W = ( 0,6 ) ( 1 kN ) ( 3 m + 1 m + 1 0 m ) = 4,3 kJ . Importancia La trayectoria total sobre la que se evaluó el trabajo de fricción comenzaba y terminaba en el mismo punto (era una trayectoria cerrada), de modo que el desplazamiento total del sofá era cero. Sin embargo, el trabajo total no fue cero. La razón es que fuerzas como la fricción se clasifican como fuerzas no conservativas, o fuerzas disipativas, tal y como veremos en el próximo capítulo. ¿Puede la fricción cinética ser alguna vez una fuerza constante para todas las trayectorias? No, solo su magnitud puede ser constante; su dirección debe cambiar, para ser siempre opuesta al desplazamiento relativo a lo largo de la superficie. La otra fuerza sobre el cortacésped mencionada anteriormente era la fuerza gravitatoria de la Tierra, o el peso del cortacésped. Cerca de la superficie de la Tierra, la fuerza gravitatoria sobre un objeto de masa m tiene una magnitud constante, mg , y una dirección constante, verticalmente hacia abajo. Por lo tanto, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto es el producto punto de su peso y su desplazamiento. En muchos casos, es conveniente expresar el producto punto para el trabajo gravitatorio en términos de los componentes x , y y z de los vectores. Un sistema de coordenadas típico tiene el eje de la x horizontal y el eje de la y verticalmente hacia arriba. Entonces la fuerza gravitatoria es - m g j ^ , por lo que el trabajo realizado por la gravedad, en cualquier trayectoria de A a B , es W gravedad , A B = - m g j ^ · ( r → B - r → A ) = - m g ( y B - y A ) . El trabajo realizado por una fuerza de gravedad constante sobre un objeto depende únicamente del peso del objeto y de la diferencia de altura por la que se desplaza el objeto. La gravedad realiza un trabajo negativo sobre un objeto que se mueve hacia arriba ( y B > y A ), o, en otras palabras, hay que hacer un trabajo positivo contra la gravedad para levantar un objeto hacia arriba. Alternativamente, la gravedad hace un trabajo positivo sobre un objeto que se mueve hacia abajo ( y B < y A ), o se realiza un trabajo negativo contra la gravedad para "levantar" un objeto hacia abajo, controlando su descenso para que no caiga al suelo. ("levantar" se utiliza en contraposición a "caer"). Poner un libro en la estantería Usted levanta un libro de biblioteca de gran tamaño, que pesa 20 N, 1 m en vertical desde una estantería, y lo lleva 3 m en horizontal hasta una mesa ( ). ¿Cuánto trabajo hace la gravedad sobre el libro? (b) Cuando ha terminado, mueve el libro en línea recta hasta su lugar original en la estantería. ¿Cuál ha sido el trabajo total realizado contra la gravedad, alejando el libro de su posición original en la estantería y volviéndolo a colocar? Vista lateral de los recorridos para mover un libro hacia y desde una estantería. Estrategia Acabamos de ver que el trabajo realizado por una fuerza de gravedad constante depende únicamente del peso del objeto desplazado y de la diferencia de altura por la trayectoria recorrida, W A B = - m g ( y B - y A ) . Podemos evaluar la diferencia de altura para responder (a) y (b). Solución Como el libro empieza en la estantería y se levanta hacia abajo y B - y A = - 1 m , tenemos W = - ( 20 N ) ( - 1 m ) = 20 J . La diferencia de altura es cero para cualquier trayectoria que comience y termine en el mismo lugar de la estantería, por lo que W = 0 . Importancia La gravedad realiza un trabajo positivo (20 J) cuando el libro se mueve hacia abajo desde la estantería. La fuerza gravitatoria entre dos objetos es una fuerza de atracción, que realiza un trabajo positivo cuando los objetos se acercan. La gravedad realiza un trabajo cero (0 J) cuando el libro se desplaza horizontalmente de la estantería a la mesa y un trabajo negativo (-20 J) cuando el libro se desplaza de la mesa a la estantería. El trabajo total realizado por la gravedad es cero [ 20 J + 0 J + ( - 20 J ) = 0 ] . A diferencia de la fricción u otras fuerzas disipativas, descritas en el , el trabajo total realizado contra la gravedad, en cualquier trayectoria cerrada, es cero. Se realiza un trabajo positivo contra la gravedad en las partes ascendentes de una trayectoria cerrada, pero se realiza una cantidad igual de trabajo negativo contra la gravedad en las partes descendentes. En otras palabras, el trabajo realizado contra la gravedad, levantando un objeto, se "devuelve" cuando el objeto vuelve a bajar. Fuerzas como la gravedad (las que realizan un trabajo cero en cualquier trayectoria cerrada) se clasifican como fuerzas conservativas y desempeñan un papel importante en la física. ¿Puede la gravedad de la Tierra ser una fuerza constante para todas las trayectorias? No, solo es aproximadamente constante cerca de la superficie de la Tierra. Trabajo realizado por fuerzas que varían En general, las fuerzas pueden variar en magnitud y dirección en puntos del espacio, y las trayectorias entre dos puntos pueden ser curvas. El trabajo infinitesimal que realiza una fuerza variable puede expresarse en términos de los componentes de la fuerza y del desplazamiento a lo largo de la trayectoria, d W = F x d x + F y d y + F z d z . Aquí, los componentes de la fuerza son funciones de la posición a lo largo de la trayectoria, y los desplazamientos dependen de las ecuaciones de la trayectoria. (Aunque hemos elegido ilustrar dW en coordenadas cartesianas, otras coordenadas son más adecuadas para algunas situaciones). La define el trabajo total como una integral de línea, o el límite de una suma de cantidades infinitesimales de trabajo. El concepto físico de trabajo es sencillo: se calcula el trabajo para pequeños desplazamientos y se suman. A veces las matemáticas pueden parecer complicadas, pero el siguiente ejemplo demuestra la limpieza con la que pueden funcionar. Trabajo realizado por una fuerza variable en una trayectoria curva Un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica y = ( 0,5 m −1 ) x 2 desde el origen A = ( 0 , 0 ) al punto B = ( 2 m, 2 m ) bajo la acción de una fuerza F → = ( 5 N/m ) y i ^ + ( 10 N/m ) x j ^ ( ). Calcule el trabajo realizado. La trayectoria parabólica de una partícula sobre la que actúa una fuerza determinada. Estrategia Las componentes de la fuerza son funciones dadas de la x y la y . Podemos utilizar la ecuación de la trayectoria para expresar la y y la dy en términos de la x y la dx ; esto es y = ( 0,5 m −1 ) x 2 y d y = 2 ( 0,5 m −1 ) x d x . Entonces, la integral del trabajo es solo una integral definida de una función de la x . Solución El elemento infinitesimal del trabajo es d W = F x d x + F y d y = ( 5 N/m ) y d x + ( 10 N/m ) x d y = ( 5 N/m ) ( 0,5 m - 1 ) x 2 d x + ( 10 N/m ) 2 ( 0,5 m - 1 ) x 2 d x = ( 12,5 N/m 2 ) x 2 d x . La integral de x 2 es x 3 / 3 , así que W = ∫ 0 2 m ( 12,5 N/m 2 ) x 2 d x = ( 12,5 N/m 2 ) x 3 3 | 0 2 m = ( 12,5 N/m 2 ) ( 8 3 ) = 33,3 J . Importancia Esta integral no era difícil de hacer. Puede seguir los mismos pasos, como en este ejemplo, para calcular las integrales de línea que representan el trabajo para fuerzas y trayectorias más complicadas. En este ejemplo, todo se ha dado en términos de componentes de x y y , que son los más fáciles de usar para evaluar el trabajo en este caso. En otras situaciones, las magnitudes y los ángulos pueden ser más fáciles. Calcule el trabajo realizado por la misma fuerza en el sobre una trayectoria cúbica, y = ( 0,25 m −2 ) x 3 , entre los mismos puntos A = ( 0 , 0 ) y B = ( 2 m, 2 m ) . W = 35 J En el ha visto que para evaluar una integral de línea, puede reducirla a una integral sobre una sola variable o parámetro. Normalmente, hay varias formas de hacerlo, que pueden ser más o menos convenientes, según el caso. En el , hemos reducido la integral de línea a una integral sobre la x , pero podríamos haber optado igualmente por reducir todo a una función de la y . No lo hicimos porque las funciones en la y implican la raíz cuadrada y los exponentes fraccionarios, que pueden ser menos familiares, pero para fines ilustrativos, lo hacemos ahora. Al resolver la x y dx , en términos de la y , a lo largo de la trayectoria parabólica, obtenemos x = y / ( 0,5 m −1 ) = ( 2 m ) y y d x = ( 2 m ) × 1 2 d y / y = d y / ( 2 m −1 ) y . Los componentes de la fuerza, en términos de y , son F x = ( 5 N/m ) y y F y = ( 10 N/m ) x = ( 10 N/m ) ( 2 m ) y , por lo que el elemento de trabajo infinitesimal se convierte en d W = F x d x + F y d y = ( 5 N/m ) y d y ( 2 m −1 ) y + ( 10 N/m ) ( 2 m ) y d y = ( 5 N · m −1 / 2 ) ( 1 2 + 2 2 ) y d y = ( 17,7 N · m −1 / 2 ) y 1 / 2 d y . La integral de y 1 / 2 es 2 3 y 3 / 2 , por lo que el trabajo realizado de A a B es W = ∫ 0 2 m ( 17,7 N · m −1 / 2 ) y 1 / 2 d y = ( 17,7 N · m −1 / 2 ) 2 3 ( 2 m ) 3 / 2 = 33,3 J . Como era de esperar, el resultado es exactamente el mismo que antes. Una fuerza variable muy importante y ampliamente aplicable es la fuerza que ejerce un resorte perfectamente elástico, que satisface la ley de Hooke F → = - k Δ x → , donde k es la constante del resorte, y Δ x → = x → - x → eq es el desplazamiento desde la posición no estirada (de equilibrio) del resorte ( leyes de movimiento de Newton ). Tenga en cuenta que la posición no estirada solo es igual a la posición de equilibrio si no actúan otras fuerzas (o, si lo hacen, se anulan entre sí). Las fuerzas entre moléculas, o en cualquier sistema que sufra pequeños desplazamientos desde un equilibrio estable, se comportan aproximadamente como una fuerza de resorte. Para calcular el trabajo que realiza la fuerza de un resorte, podemos elegir el eje de la x a lo largo del resorte, en la dirección de la longitud creciente, como en la , con el origen en la posición de equilibrio x eq = 0 . (Entonces la x positiva corresponde a un estiramiento y la x negativa a una compresión). Con esta elección de coordenadas, la fuerza del resorte solo tiene un componente x , F x = - k x , y el trabajo realizado cuando x cambia de x A a x B es W resorte , A B = ∫ A B F x d x = - k ∫ A B x d x = - k x 2 2 | A B = - 1 2 k ( x B 2 - x A 2 ) . (a) El resorte no ejerce ninguna fuerza en su posición de equilibrio. El resorte ejerce una fuerza en sentido contrario a (b) una extensión o estiramiento, y (c) una compresión. Observe que W A B solo depende de los puntos de partida y de llegada, A y B , y es independiente de la trayectoria real entre ellos, siempre que empiece en A y termine en B . Es decir, la trayectoria real podría implicar ir y venir antes de terminar. Otro aspecto interesante que hay que observar en la es que, para este caso unidimensional, se puede ver fácilmente la correspondencia entre el trabajo que realiza una fuerza y el área bajo la curva de la fuerza frente a su desplazamiento. Recordemos que, en general, una integral unidimensional es el límite de la suma de infinitesimales, f ( x ) d x , que representa el área de las franjas, como se muestra en la . En la , dado que F = - k x es una línea recta con pendiente - k , cuando se representa en función de la x , el "área" bajo la línea no es más que una combinación algebraica de "áreas" triangulares, donde las "áreas" por encima del eje de la x son positivas y las que están por debajo son negativas, como se muestra en la . La magnitud de una de estas "áreas" es justo la mitad de la base del triángulo, a lo largo del eje de la x , por la altura del triángulo, a lo largo del eje de la fuerza. (Hay comillas alrededor de "área" porque este producto de altura base tiene las unidades de trabajo, en lugar de metros cuadrados). Curva de f(x) en función de x que muestra el área de una franja infinitesimal, f(x)dx , y la suma de dichas áreas, que es la integral de f(x) de x 1 a x 2 . Curva de la fuerza del resorte f ( x ) = - k x en función de la x , donde se muestran las áreas bajo la línea, entre x A y x B , tanto para valores positivos como negativos de x A . Cuando x A es negativa, el área total bajo la curva de la integral en la es la suma de las áreas triangulares positivas y negativas. Cuando x A es positiva, el área total bajo la curva es la diferencia entre dos triángulos negativos. Trabajo que realiza la fuerza de un resorte Un resorte perfectamente elástico requiere 0,54 J de trabajo para estirarse 6 cm desde su posición de equilibrio, como en la (b). (a) ¿Cuál es su constante k de resorte? (b) ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo 6 cm más? Estrategia El trabajo "requerido" significa el trabajo realizado contra la fuerza del resorte, que es el negativo del trabajo en la , es decir W = 1 2 k ( x B 2 - x A 2 ) . Para la parte (a), x A = 0 y x B = 6 cm ; para la parte (b), x B = 6 cm y x B = 12 cm . En la parte (a), se da el trabajo y puede resolver la constante del resorte; en la parte (b), puede utilizar el valor de k , de la parte (a), para resolver el trabajo. Solución W = 0,54 J = 1 2 k [ ( 6 cm ) 2 - 0 ] , así que k = 3 N/cm . W = 1 2 ( 3 N/cm ) [ ( 12 cm ) 2 - ( 6 cm ) 2 ] = 1,62 J . Importancia Dado que el trabajo realizado por la fuerza de un resorte es independiente de la trayectoria, solo había que calcular la diferencia de la cantidad ½ k x 2 en los puntos finales. Observe que el trabajo necesario para estirar el resorte de 0 a 12 cm es el cuádruple del necesario para estirarlo de 0 a 6 cm, porque ese trabajo depende del cuadrado de la cantidad de estiramiento desde el equilibrio, ½ k x 2 . En esta circunstancia, el trabajo para estirar el resorte de 0 a 12 cm es también igual al trabajo para una trayectoria compuesta de 0 a 6 cm seguida de un estiramiento adicional de 6 cm a 12 cm. Por lo tanto, 4 W ( 0 cm a 6 cm ) = W ( 0 cm a 6 cm ) + W ( 6 cm a 12 cm ) , o W ( 6 cm a 12 cm ) = 3 W ( 0 cm a 6 cm ) , tal y como hemos comprobado anteriormente. El resorte del se comprime 6 cm desde su longitud de equilibrio. (a) ¿La fuerza del resorte realiza un trabajo positivo o negativo y (b) cuál es la magnitud? a. La fuerza del resorte es de sentido contrario a una compresión (como lo es para una extensión), por lo que el trabajo que realiza es negativo. b. El trabajo realizado depende del cuadrado del desplazamiento, que es el mismo para x = ± 6 cm , por lo que la magnitud es de 0,54 J. Resumen El incremento infinitesimal del trabajo realizado por una fuerza, que actúa sobre un desplazamiento infinitesimal, es el producto punto de la fuerza y el desplazamiento. El trabajo realizado por una fuerza, que actúa sobre una trayectoria finita, es la integral de los incrementos infinitesimales del trabajo realizado a lo largo de la trayectoria. El trabajo realizado contra una fuerza es el negativo del trabajo realizado por la fuerza. El trabajo realizado por una fuerza normal o de fricción por contacto deberá determinarse en cada caso particular. El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad, sobre un objeto cercano a la superficie de la Tierra, depende únicamente del peso del objeto y de la diferencia de altura por la que se desplazó. El trabajo realizado por una fuerza de resorte, que actúa desde una posición inicial hasta una posición final, depende únicamente de la constante del resorte y de los cuadrados de esas posiciones. Preguntas conceptuales Dé un ejemplo de algo que consideremos trabajo en circunstancias cotidianas y que no sea trabajo en el sentido científico. ¿La energía se transfiere o cambia de forma en su ejemplo? En caso afirmativo, explique cómo se consigue esto sin realizar trabajo. Cuando se empuja la pared, esto "se siente" como trabajo; sin embargo, no hay desplazamiento, por lo que no hay trabajo físico. Se consume energía, pero no se transfiere. Dé un ejemplo de una situación en la que hay una fuerza y un desplazamiento, pero la fuerza no realiza ningún trabajo. Explique por qué no realiza trabajo. Describa una situación en la que una fuerza se ejerce durante mucho tiempo, pero no realiza ningún trabajo. Explique. Si sigue empujando una pared sin atravesarla, sigue ejerciendo una fuerza sin desplazamiento, por lo que no se realiza ningún trabajo. Un cuerpo se mueve en un círculo a rapidez constante. ¿La fuerza centrípeta que acelera el cuerpo realiza algún trabajo? Explique. Suponga que lanza una pelota hacia arriba y la atrapa cuando vuelve a la misma altura. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza gravitatoria sobre la pelota en todo su recorrido? El desplazamiento total de la pelota es cero, por lo que no se realiza ningún trabajo. ¿Por qué es más difícil hacer abdominales sobre una tabla inclinada que sobre una superficie horizontal? (Vea a continuación). De joven, Tarzán trepó por una liana para llegar a su casa del árbol. Cuando se hizo mayor, decidió construir y utilizar una escalera en su lugar. Dado que el trabajo de la fuerza gravitatoria mg es independiente de la trayectoria, ¿qué ganaba el rey de los monos al utilizar las escaleras? Ambas requieren el mismo trabajo gravitatorio, pero las escaleras permiten a Tarzán realizar este trabajo durante un tiempo más prolongado y, por ende, ejercer gradualmente su energía, en lugar de hacerlo de forma drástica subiendo a una liana. Problemas ¿Cuánto trabajo realiza el cajero de un supermercado con una lata de sopa que empuja 0,600 m horizontalmente con una fuerza de 5,00 N? 3,00 J Una persona de 75,0 kg sube las escaleras, para llegar a 2,50 m de altura. Calcule el trabajo realizado para llevar a cabo esta tarea. (a) Calcule el trabajo realizado sobre una cabina de elevador de 1.500 kg por su cable para elevarla 40,0 m con rapidez constante, suponiendo que la fricción es de media 100 N. (b) ¿Cuál es el trabajo realizado sobre el elevador por la fuerza gravitatoria en este proceso? (c) ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el elevador? a. 593 kJ; b. -589 kJ; c. 0 J Supongamos que un auto recorre 108 km a una rapidez de 30,0 m/s, y utiliza 2,0 galones de gasolina. Solo el 30 % de la gasolina se convierte en trabajo útil por la fuerza que mantiene el auto en movimiento a rapidez constante, a pesar de la fricción. (El contenido de energía de la gasolina es de unos 140 MJ/gal). (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida para mantener el auto en movimiento a rapidez constante? (b) Si la fuerza necesaria es directamente proporcional a la rapidez, ¿cuántos galones se utilizarán para recorrer 108 km a una rapidez de 28,0 m/s? Calcule el trabajo realizado por un hombre de 85,0 kg que empuja una caja de 4,00 m hacia arriba por una rampa que forma un ángulo de 20,0 ° con la horizontal (vea más abajo). Ejerce una fuerza de 500 N sobre la caja paralela a la rampa y se mueve a rapidez constante. Incluya el trabajo que realiza en la caja y en su cuerpo para subir la rampa. 3,14 kJ ¿Cuánto trabajo realiza el niño que hala a su hermana 30,0 m en una carretilla como la que se muestra a continuación? Supongamos que ninguna fricción actúa sobre la carretilla. Un comprador empuja un carro de supermercado 20,0 m a rapidez constante en terreno llano, contra una fuerza de fricción de 35,0 N. Empuja en una dirección de 25,0 ° por debajo de la horizontal. (a) ¿Cuál es el trabajo realizado sobre el carro por la fricción? (b) ¿Cuál es el trabajo realizado sobre el carro por la fuerza gravitatoria? (c) ¿Cuál es el trabajo realizado sobre el carro por el comprador? (d) Calcule la fuerza que ejerce el comprador; utilice consideraciones de energía. (e) ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el carro? a. -700 J; b. 0 J; c. 700 J; d. 38,6 N; e. 0 J Supongamos que la patrulla de esquí baja un trineo de rescate y una víctima, con una masa total de 90,0 kg, por una pendiente de 60,0 ° a rapidez constante, como se muestra a continuación. El coeficiente de fricción entre el trineo y la nieve es de 0,100. (a) ¿Cuánto trabajo realiza la fricción cuando el trineo se desplaza 30,0 m por la colina? (b) ¿Cuánto trabajo realiza la cuerda sobre el trineo en esta distancia? (c) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre el trineo? (d) ¿Cuál es el trabajo total realizado? Una fuerza constante de 20 N empuja una pequeña pelota en la dirección de la fuerza a lo largo de una distancia de 5,0 m. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza? 100 J Un carro de juguete es arrastrado una distancia de 6,0 m en línea recta por el suelo. La fuerza que hala del carro tiene una magnitud de 20 N y está dirigida a 37 ° sobre la horizontal. ¿Cuál es el trabajo realizado por esta fuerza? Una caja de 5,0 kg descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es μ K = 0,50 . Una fuerza horizontal hala de la caja a velocidad constante durante 10 cm. Calcule el trabajo realizado por (a) la fuerza horizontal aplicada, (b) la fuerza de fricción y (c) la fuerza neta. a. 2,45 J; b. - 2,45 J; c. 0 J Un trineo más un pasajero con una masa total de 50 kg es halado 20 m por la nieve ( μ k = 0,20 ) a velocidad constante por una fuerza dirigida a 25 ° sobre la horizontal. Calcule (a) el trabajo de la fuerza aplicada, (b) el trabajo de la fricción y (c) el trabajo total. Supongamos que el trineo más el pasajero del problema anterior son empujados 20 m por la nieve a velocidad constante por una fuerza dirigida a 30 ° por debajo de la horizontal. Calcule (a) el trabajo de la fuerza aplicada, (b) el trabajo de la fricción y (c) el trabajo total. a. 2,22 kJ; b. -2,22 kJ; c. 0 J ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza F ( x ) = ( −2,0 / x ) N en una partícula cuando se mueve de x = 2,0 m a x = 5,0 m? ¿Cuánto trabajo se realiza contra la fuerza gravitatoria sobre un maletín de 5,0 kg cuando se transporta desde la planta baja hasta la azotea del Empire State Building, un ascenso vertical de 380 m? 18,6 kJ Se necesitan 500 J de trabajo para comprimir un resorte 10 cm. ¿Cuál es la constante de fuerza del resorte? Una cuerda elástica es esencialmente una banda elástica muy larga que puede estirarse hasta cuatro veces su longitud sin estirar. Sin embargo, su constante de resorte varía a lo largo de su estiramiento [vea Menz, P.G. "La física del puenting ". El profesor de física (The Physics Teacher) (noviembre de 1993) 31: 483-487]. Tome la longitud de la cuerda en la dirección de la x y defina el estiramiento de la x como la longitud de la cuerda l menos su longitud no estirada l 0 ; es decir, x = l - l 0 (vea más abajo). Supongamos que una determinada cuerda elástica tiene una constante de resorte, para 0 ≤ x ≤ 4,88 m , de k 1 = 204 N/m y para 4,88 m ≤ x , de k 2 = 111 N/m . (Recuerde que la constante del resorte es la pendiente de la fuerza F(x) en función de su estiramiento x ). (a) ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando el estiramiento es de 16,7 m (el máximo deseado para un salto determinado)? (b) ¿Cuánto trabajo debe realizarse contra la fuerza elástica de la cuerda elástica para estirarla 16,7 m? (créditos: modificación del trabajo de Graeme Churchard). a. 2,32 kN; b. 22,0 kJ Una cuerda elástica ejerce una fuerza elástica no lineal de magnitud F ( x ) = k 1 x + k 2 x 3 , donde la x es la distancia a la que se estira la cuerda, k 1 = 204 N/m y k 2 = −0,233 N/m 3 . ¿Cuánto trabajo hay que ejercer en la cuerda para estirarla 16,7 m? Los ingenieros desean modelar la magnitud de la fuerza elástica de una cuerda elástica con la ecuación F ( x ) = a [ x + 9 m 9 m - ( 9 m x + 9 m ) 2 ] , donde la x es el estiramiento de la cuerda a lo largo de su longitud y a es una constante. Si se necesitan 22,0 kJ de trabajo para estirar la cuerda 16,7 m, determine el valor de la constante a . 835 N Una partícula que se mueve en el plano xy está sometida a una fuerza F → ( x , y ) = ( 50 N / m ) ( x i ^ + y 2 3 m j ^ ) donde la x y la y están en metros. Calcule el trabajo realizado sobre la partícula por esta fuerza, al moverse en línea recta desde el punto (3 m, 4 m) hasta el punto (6 m, 8 m). Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva y ( x ) = ( 10 m ) { 1 + cos [ ( 0,1 m −1 ) x ] } , de x = 0 a x = 10 π m, sometida a una fuerza tangencial de magnitud variable F ( x ) = ( 10 N ) sen [ ( 0,1 m −1 ) x ] . ¿Cuánto trabajo hace la fuerza? ( Pista: Consulte una tabla de integrales o utilice un programa de integración numérica). 257 J trabajo se realiza cuando una fuerza actúa sobre algo que sufre un desplazamiento de una posición a otra

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Energía cinética Es plausible suponer que cuanto mayor sea la velocidad de un cuerpo, mayor será su efecto sobre otros cuerpos. Esto no depende de la dirección de la velocidad, sino de su magnitud. A finales del siglo XVII se introdujo en la mecánica una cantidad para explicar las colisiones entre dos cuerpos perfectamente elásticos, en las que un cuerpo choca frontalmente con otro idéntico en reposo. El primer cuerpo se detiene y el segundo cuerpo se desplaza con la velocidad inicial del primero. (Si alguna vez ha jugado al billar o al croquet, o ha visto una maqueta de la Cuna de Newton, habrá observado este tipo de colisión). La idea que subyace a esta cantidad está relacionada con las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y se denomina "la energía del movimiento". Más tarde, durante el siglo XVIII, se dio el nombre de energía cinética a la energía del movimiento. Teniendo en cuenta esta historia, podemos enunciar la definición clásica de energía cinética. Observe que, cuando decimos "clásica", queremos decir no relativista, es decir, a velocidades mucho menores que la de la luz. A velocidades comparables a la de la luz, la teoría especial de la relatividad requiere una expresión diferente para la energía cinética de una partícula, tal como se comenta en Relatividad . Dado que los objetos (o sistemas) de interés varían en complejidad, primero definimos la energía cinética de una partícula con masa m . Energía cinética La energía cinética de una partícula es la mitad del producto de su masa m por el cuadrado de su rapidez v : K = 1 2 m v 2 . A continuación, ampliamos esta definición a cualquier sistema de partículas, al sumar las energías cinéticas de todas las partículas que lo componen: K = ∑ 1 2 m v 2 . Observe que, al igual que podemos expresar la segunda ley de Newton en términos de la tasa de cambio del momento o de la masa por la tasa de cambio de la velocidad, entonces la energía cinética de una partícula puede expresarse en términos de su masa y su momento ( p → = m v → ) , en lugar de su masa y velocidad. Dado que v = p / m , vemos que K = 1 2 m ( p m ) 2 = p 2 2 m también expresa la energía cinética de una sola partícula. A veces, esta expresión es más cómoda de utilizar que la . Las unidades de energía cinética son la masa por el cuadrado de la rapidez, o kg · m 2 /s 2 . No obstante, las unidades de fuerza son la masa por la aceleración, kg · m/s 2 , por lo que las unidades de energía cinética son también las unidades de la fuerza por la distancia, que son las unidades de trabajo, o julios. En la siguiente sección verá que el trabajo y la energía cinética tienen las mismas unidades, porque son formas diferentes de la misma propiedad física más general. Energía cinética de un objeto (a) ¿Cuál es la energía cinética de un atleta de 80 kg, corriendo a 10 m/s? (b) Se cree que el cráter de Chicxulub, en Yucatán, uno de los mayores cráteres de impacto existentes en la Tierra, fue creado por un asteroide, que viajaba a 22 km/s y liberó 4,2 × 10 23 J de energía cinética en el momento del impacto. ¿Cuál era su masa? (c) En los reactores nucleares, los neutrones térmicos, que viajan a unos 2,2 km/s, desempeñan un papel importante. ¿Cuál es la energía cinética de dicha partícula? Estrategia Para responder a estas preguntas, puede utilizar la definición de energía cinética en la . También hay que buscar la masa de un neutrón. Solución No olvide convertir los km en m para hacer estos cálculos, aunque, para ahorrar espacio, omitimos mostrar estas conversiones. K = 1 2 ( 80 kg ) ( 10 m/s ) 2 = 4,0 kJ . m = 2 K / v 2 = 2 ( 4,2 × 10 23 J ) / ( 22 km/s ) 2 = 1,7 × 10 15 kg . K = 1 2 ( 1,68 × 10 −27 kg ) ( 2,2 km/s ) 2 = 4,1 × 10 −21 J . Importancia En este ejemplo, hemos utilizado la forma en que la masa y la velocidad se relacionan con la energía cinética, y hemos hallado un rango muy amplio de valores para las energías cinéticas. Para estos valores tan grandes y tan pequeños se suelen utilizar unidades diferentes. La energía del impactador en la parte (b) se compara con el rendimiento explosivo del TNT y las explosiones nucleares, 1 megatón = 4,18 × 10 15 J . La energía cinética del asteroide de Chicxulub era de unos cien millones de megatones. En el otro extremo, la energía de la partícula subatómica se expresa en electronvoltios, 1 eV = 1,6 × 10 −19 J . El neutrón térmico de la parte (c) tiene una energía cinética de aproximadamente una cuadragésima parte de un electronvoltio. (a) Un auto y un camión se mueven cada uno con la misma energía cinética. Supongamos que el camión tiene más masa que el auto. ¿Cuál tiene mayor rapidez? (b) Un auto y un camión se mueven cada uno con la misma rapidez. ¿Cuál tiene mayor energía cinética? a. el auto; b. el camión Ya que la velocidad es una magnitud relativa, se puede ver que el valor de la energía cinética dependerá de su marco de referencia. Por lo general, puede elegir un marco de referencia que se adapte al propósito de su análisis y que simplifique sus cálculos. Uno de estos marcos de referencia es aquel en el que se realizan las observaciones del sistema (probablemente un marco externo). Otra opción es un marco que esté unido al sistema o se mueva con este (probablemente un marco interno). Las ecuaciones del movimiento relativo, tratadas en Movimiento en dos y tres dimensiones , proporcionan un enlace para calcular la energía cinética de un objeto con respecto a diferentes marcos de referencia. Energía cinética en relación con diferentes marcos Una persona de 75,0 kg camina por el pasillo central de un vagón de metro a una rapidez de 1,50 m/s respecto al vagón, mientras que el tren se mueve a 15,0 m/s respecto a las vías. (a) ¿Cuál es la energía cinética de la persona respecto al vagón? (b) ¿Cuál es la energía cinética de la persona respecto a las vías? (c) ¿Cuál es la energía cinética de la persona respecto a un marco que se mueve con la persona? Estrategia Ya que la rapidez está dada, utilizamos 1 2 m v 2 para calcular la energía cinética de la persona. Sin embargo, en la parte (a), la rapidez de la persona es relativa al vagón de metro (como se da); en la parte (b), es relativa a las vías; y en la parte (c), es cero. Si denotamos el marco del vagón como C, el marco de la vía como T, y la persona como P, las velocidades relativas en la parte (b) están relacionadas por v → PT = v → PC + v → CT . Podemos suponer que el pasillo central y las vías se encuentran en la misma línea. Sin embargo, no se especifica la dirección en la que la persona camina con respecto al vagón, por lo que daremos una respuesta para cada posibilidad, v PT = v CT ± v PC , como se muestra en la . Los posibles movimientos de una persona que camina en un tren son (a) hacia la parte delantera del vagón y (b) hacia la parte trasera del vagón. Solución K = 1 2 ( 75,0 kg ) ( 1,50 m/s ) 2 = 84,4 J . v PT = ( 15,0 ± 1,50 ) m/s . Por lo tanto, los dos valores posibles de la energía cinética respecto al vagón son K = 1 2 ( 75,0 kg ) ( 13,5 m/s ) 2 = 6,83 kJ y K = 1 2 ( 75,0 kg ) ( 16,5 m/s ) 2 = 10,2 kJ . En un marco en el que v P = 0 , K = 0 también. Importancia Verá que la energía cinética de un objeto puede tener valores muy diferentes, dependiendo del marco de referencia. Sin embargo, la energía cinética de un objeto nunca puede ser negativa, ya que es el producto de la masa y el cuadrado de la velocidad, ambos siempre positivos o cero. Está remando un bote paralelo a la orilla de un río. Su energía cinética respecto a las orillas es menor que su energía cinética respecto al agua. ¿Está remando con o contra la corriente? contra La energía cinética de una partícula es una cantidad única. Sin embargo, la energía cinética de un sistema de partículas puede dividirse a veces en varios tipos, según el sistema y su movimiento. Por ejemplo, si todas las partículas de un sistema tienen la misma velocidad, el sistema está en movimiento de traslación y tiene energía cinética de traslación. Si un objeto está en rotación, podría tener energía cinética rotacional, o si está vibrando, podría tener energía cinética vibratoria. La energía cinética de un sistema, relativa a un marco de referencia interno, se denomina energía cinética interna. La energía cinética asociada al movimiento molecular aleatorio se denomina energía térmica. Estos nombres se utilizarán en capítulos posteriores del libro, cuando corresponda. Independientemente del nombre, cada tipo de energía cinética es la misma cantidad física, que representa la energía asociada al movimiento. Nombres especiales para la energía cinética (a) Un jugador lanza un pase a media cancha con un balón de baloncesto de 624 g, que recorre 15 m en 2 s. ¿Cuál es la energía cinética de traslación horizontal del balón de baloncesto durante su vuelo? (b) Una molécula media de aire, en el balón de baloncesto de la parte (a), tiene una masa de 29 u, y una rapidez media de 500 m/s, en relación con el balón de baloncesto. Hay alrededor de 3 × 10 23 moléculas en su interior, moviéndose en direcciones aleatorias, cuando el balón está bien inflado. ¿Cuál es la energía cinética de traslación media del movimiento aleatorio de todas las moléculas del interior, en relación con el balón de baloncesto? (c) ¿A qué velocidad tendría que desplazarse el balón de baloncesto en relación con la cancha, como en la parte (a), para tener una energía cinética igual a la de la parte (b)? Estrategia En la parte (a), halle primero la rapidez horizontal del balón de baloncesto y luego utilice la definición de energía cinética en términos de masa y rapidez, K = 1 2 m v 2 . A continuación, en la parte (b), convierta las unidades unificadas en kilogramos y luego utilice K = 1 2 m v 2 para obtener la energía cinética media de traslación de una molécula, en relación con el balón de baloncesto. A continuación, multiplique por el número de moléculas para obtener el resultado total. Finalmente, en la parte (c), podemos sustituir la cantidad de energía cinética de la parte (b), y la masa del balón de baloncesto de la parte (a), en la definición K = 1 2 m v 2 , y resolver para v . Solución La rapidez horizontal es (15 m)/(2 s), por lo que la energía cinética horizontal del balón de baloncesto es 1 2 ( 0,624 kg ) ( 7,5 m/s ) 2 = 17,6 J . La energía cinética media de traslación de una molécula es 1 2 ( 29 u ) ( 1,66 × 10 −27 kg/u ) ( 500 m/s ) 2 = 6,02 × 10 −21 J, y la energía cinética total de todas las moléculas es ( 3 × 10 23 ) ( 6,02 × 10 −21 J ) = 1,80 kJ . v = 2 ( 1,8 kJ ) / ( 0,624 kg ) = 76,0 m/s . Importancia En la parte (a), este tipo de energía cinética se denomina energía cinética horizontal de un objeto (el balón de baloncesto), en relación con su entorno (la cancha). Si el balón de baloncesto estuviera girando, todas sus partes tendrían no solo la rapidez media, sino también energía cinética rotacional. La parte (b) nos recuerda que este tipo de energía cinética se denomina energía cinética interna o térmica. Observe que esta energía es unas cien veces superior a la de la parte (a). El aprovechamiento de la energía térmica será el tema en los capítulos de termodinámica. En la parte (c), dado que la energía de la parte (b) es unas 100 veces mayor que la de la parte (a), la rapidez debería ser unas 10 veces mayor, y así es (76 frente a 7,5 m/s). Resumen La energía cinética de una partícula es el producto de la mitad de su masa por el cuadrado de su velocidad, para una rapidez no relativista. La energía cinética de un sistema es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas del sistema. La energía cinética es relativa a un marco de referencia, siempre es positiva y a veces recibe nombres especiales para los distintos tipos de movimiento. Preguntas conceptuales Una partícula de m tiene una velocidad de v x i ^ + v y j ^ + v z k ^ . ¿Está su energía cinética dada por m ( v x 2 i ^ + v y 2 j ^ + v z 2 k ^ )/2? Si no es así, ¿cuál es la expresión correcta? Una partícula tiene masa m y una segunda partícula tiene masa 2 m . La segunda partícula se mueve con rapidez v y la primera con rapidez 2 v . ¿Cómo se comparan sus energías cinéticas? La primera partícula tiene una energía cinética de 4 ( 1 2 m v 2 ) mientras que la segunda partícula tiene una energía cinética de 2 ( 1 2 m v 2 ) , por lo que la primera partícula tiene el doble de energía cinética que la segunda. Una persona deja caer un guijarro de masa m 1 desde una altura h , y golpea el suelo con una energía cinética K . La persona deja caer otro guijarro de masa m 2 desde una altura de 2 h , y golpea el suelo con la misma energía cinética K . ¿Cómo se comparan las masas de los guijarros? Problemas Compare la energía cinética de un camión de 20.000 kg que se mueve a 110 km/h con la de un astronauta de 80,0 kg en órbita que se mueve a 27.500 km/h. (a) ¿A qué velocidad debe moverse un elefante de 3.000 kg para tener la misma energía cinética que un velocista de 65,0 kg que corre a 10,0 m/s? (b) Argumente de qué manera las mayores energías necesarias para el movimiento de los animales más grandes se relacionarían con las tasas metabólicas. a. 1,47 m/s; b. las respuestas pueden variar Calcule la energía cinética de un portaaviones de 90.000 toneladas que se mueve a una rapidez de 30 nudos. Tendrá que buscar la definición de milla náutica para utilizarla en la conversión de la unidad para la rapidez, donde 1 nudo equivale a 1 milla náutica por hora. Además, para este problema, 1 tonelada equivale a 2.000 libras. Calcule las energías cinéticas de (a) un automóvil de 2.000,0 kg que se mueve a 100,0 km/h; (b) un corredor de 80,0 kg que esprinta a 10,0 m/s; y (c) un electrón de 9,1 × 10 −31 -kg que se mueve a 2,0 × 10 7 m/s . a. 772 kJ; b. 4,0 kJ; c. 1,8 × 10 −16 J Un cuerpo de 5,0 kg tiene tres veces la energía cinética de un cuerpo de 8,0 kg. Calcule el cociente de la rapidez de estos cuerpos. Una bala de 8,0 g tiene una rapidez de 800 m/s. (a) ¿Cuál es su energía cinética? (b) ¿Cuál es su energía cinética si la rapidez se reduce a la mitad? a. 2,6 kJ; b. 640 J energía cinética energía del movimiento, la mitad de la masa de un objeto por el cuadrado de su rapidez

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Teorema de trabajo-energía Hemos hablado de cómo calcular el trabajo que realizan en una partícula las fuerzas que actúan sobre esta, pero ¿cómo se manifiesta ese trabajo en el movimiento de la partícula? Según la segunda ley del movimiento de Newton, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o la fuerza neta, determina la tasa de cambio del momento de la partícula, o su movimiento. Por lo tanto, debemos considerar el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o el trabajo neto , para ver qué efecto tiene sobre el movimiento de la partícula. Empecemos por ver el trabajo neto realizado sobre una partícula en desplazamiento infinitesimal, que es el producto punto de la fuerza neta y el desplazamiento: d W neta = F → neta · d r → . La segunda ley de Newton establece que F → neta = m ( d v → / d t ) , así que d W neta = m ( d v → / d t ) · d r → . Para las funciones matemáticas que describen el movimiento de una partícula física, podemos reordenar las diferenciales dt , etc., como cantidades algebraicas en esta expresión, es decir, d W neta = m ( d v → d t ) · d r → = m d v → · ( d r → d t ) = m v → · d v → , donde sustituimos la velocidad por la derivada de tiempo del desplazamiento y utilizamos la propiedad conmutativa del producto punto [ ]. Ya que las derivadas e integrales de escalares probablemente le resulten más familiares en este punto, expresamos el producto punto en términos de coordenadas cartesianas antes de integrar entre dos puntos cualesquiera A y B en la trayectoria de la partícula. Esto nos da el trabajo neto realizado sobre la partícula: W neta , A B = ∫ A B ( m v x d v x + m v y d v y + m v z d v z ) = 1 2 m | v x 2 + v y 2 + v z 2 | A B = | 1 2 m v 2 | A B = K B − K A . En el paso intermedio, utilizamos el hecho de que el cuadrado de la velocidad es la suma de los cuadrados de sus componentes cartesianos, y en el último paso, utilizamos la definición de la energía cinética de la partícula. Este importante resultado se denomina teorema de trabajo-energía ( ). Teorema de trabajo-energía El trabajo neto realizado sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula: W neta = K B − K A . La tracción de caballos es un evento común en las ferias estatales. El trabajo realizado por los caballos que halan de la carga da lugar a un cambio en la energía cinética de la carga, que, en última instancia, va más rápido (créditos: modificación del trabajo por "Jassen"/ Flickr). Según este teorema, cuando un objeto desacelera, su energía cinética final es menor que su energía cinética inicial, el cambio en su energía cinética es negativo, y también lo es el trabajo neto realizado sobre este. Si un objeto se acelera, el trabajo neto realizado sobre este es positivo. Al calcular el trabajo neto, hay que incluir todas las fuerzas que actúan sobre un objeto. Si se omiten las fuerzas que actúan sobre un objeto, o si se incluyen las fuerzas que no actúan sobre este, se obtendrá un resultado erróneo. La importancia del teorema de trabajo-energía, y de las posteriores generalizaciones a las que conduce, es que hace que algunos tipos de cálculos sean mucho más sencillos de realizar que si se tratara de resolver la segunda ley de Newton. Por ejemplo, en las Leyes de movimiento de Newton , calculamos la rapidez de un objeto que se desliza por un plano sin fricción al resolver la segunda ley de Newton para la aceleración y utilizar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante, con lo que se obtiene v f 2 = v i 2 + 2 g ( s f − s i ) sen θ , donde s es el desplazamiento hacia abajo del plano. También podemos obtener este resultado a partir del teorema de trabajo-energía en la . Como únicamente actúan dos fuerzas sobre el objeto, la gravedad y la fuerza normal, y la fuerza normal no realiza ningún trabajo, el trabajo neto es solo el realizado por la gravedad. El trabajo dW es el producto punto de la fuerza de gravedad o F → = − mg j ^ y el desplazamiento d r → = d x i ^ + d y j ^ . Tras tomar el producto punto e integrar desde una posición inicial y i a una posición final y f , se calcula el trabajo neto como W neta = W grav = − m g ( y f - y i ) , donde la y es positiva hacia arriba. El teorema de trabajo-energía señala que esto es igual al cambio de energía cinética: - m g ( y f - y i ) = 1 2 m ( v f 2 - v i 2 ) . Si utilizamos un triángulo rectángulo, podemos ver que ( y f - y i ) = ( s f - s i ) sen θ , para que el resultado de la rapidez final sea el mismo. ¿Qué se gana con el teorema de trabajo-energía? La respuesta es que para una superficie plana sin fricción, no mucho. Sin embargo, la segunda ley de Newton es fácil de resolver solo para este caso en particular, mientras que el teorema de trabajo-energía da la rapidez final para cualquier superficie sin fricción. En el caso de una superficie curva arbitraria, la fuerza normal es inconstante, y la segunda ley de Newton puede ser difícil o imposible de resolver analíticamente. Constante o no, para el movimiento a lo largo de una superficie, la fuerza normal nunca hace ningún trabajo, porque es perpendicular al desplazamiento. El cálculo mediante el teorema de trabajo-energía evita esta dificultad y se aplica a situaciones más generales. Teorema de trabajo-energía Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada fuerza sobre el objeto. Determine si cada fuerza realiza o no un trabajo sobre el desplazamiento en el diagrama. Mantenga cualquier signo positivo o negativo en el trabajo realizado. Sume la cantidad total de trabajo realizado por cada fuerza. Establezca este trabajo total igual al cambio de energía cinética y resuelva para cualquier parámetro desconocido. Compruebe sus respuestas. Si el objeto se desplaza a una rapidez constante o a una aceleración cero, el trabajo total realizado debería ser cero y coincidir con el cambio de energía cinética. Si el trabajo total es positivo, el objeto debe haber acelerado o aumentado su energía cinética. Si el trabajo total es negativo, el objeto debe haber disminuido su velocidad o su energía cinética. Completar el círculo La pista sin fricción para un auto de juguete consta de un giro circular de radio R . ¿A qué altura, medida desde la parte inferior del círculo, debe colocarse el auto para partir del reposo en la sección de pista que se aproxima y dar toda la vuelta al círculo? Una pista sin fricción para un auto de juguete tiene un giro circular completo. ¿A qué altura debe arrancar el auto para que pueda dar la vuelta al círculo sin caerse? Estrategia El diagrama de cuerpo libre en la posición final del objeto se dibuja en la . El trabajo gravitacional es el único trabajo realizado sobre el desplazamiento que no es cero. Dado que el peso apunta en la misma dirección que el desplazamiento vertical neto, el trabajo total realizado por la fuerza gravitacional es positivo. A partir del teorema de trabajo-energía, la altura inicial determina la rapidez del auto en la parte superior del círculo, – m g ( y 2 - y 1 ) = 1 2 m v 2 2 , donde la notación se muestra en la figura adjunta. En la parte superior del círculo, la fuerza normal y la gravedad están abajo y la aceleración es centrípeta, por lo que a superior = F m = N + m g m = v 2 2 R . La condición para mantener el contacto con la pista es que haya alguna fuerza normal, por mínima que sea; es decir, N > 0 . Sustituyendo por v 2 2 y N , podemos encontrar la condición para y 1 . Solución Aplique los pasos de la estrategia para llegar al resultado deseado: N = - m g R + m v 2 2 R = - m g + 2 m g ( y 1 - 2 R ) R > 0 o y 1 > 5 R 2 . Importancia En la superficie del círculo, el componente normal de la gravedad y la fuerza normal de contacto deberán proporcionar la aceleración centrípeta del auto que da la vuelta al círculo. El componente tangencial de la gravedad frena o acelera el auto. Un niño averiguaría a qué altura arrancar el auto por ensayo y error, pero ahora que conoce el de teorema de trabajo-energía, puede predecir la altura mínima (así como otros resultados más útiles) a partir de principios físicos. Al utilizar el teorema de trabajo-energía, no ha tenido que resolver ninguna ecuación diferencial para determinar la altura. Supongamos que el radio del giro circular en el es de 15 cm y que el auto de juguete parte del reposo a una altura de 45 cm sobre la parte inferior. ¿Cuál es su rapidez en la parte superior del círculo? 3 m/s Visite el sitio web de Carleton College para ver un vídeo de una montaña rusa con círculos completos. En situaciones en las que se conoce el movimiento de un objeto, pero se desconocen los valores de una o más de las fuerzas que actúan sobre este, se puede utilizar el teorema de trabajo-energía para obtener alguna información sobre las fuerzas. El trabajo depende de la fuerza y de la distancia sobre la que actúa, por lo que la información se proporciona a través de su producto. Determinación de la fuerza de detención Una bala tiene una masa de 40 granos (2,60 g) y una velocidad de salida de 1.100 pies/s (335 m/s). Puede penetrar ocho tablas de pino de 1 pulgada, cada una con un grosor de 0,75 pulgadas. ¿Cuál es la fuerza media de detención ejercida por la madera, como se muestra en la ? Las tablas ejercen una fuerza para detener la bala. Como resultado, las tablas hacen trabajo y la bala pierde energía cinética. Estrategia Podemos suponer que, en las condiciones generales expuestas, la bala pierde toda su energía cinética al penetrar en las tablas, por lo que el teorema de trabajo-energía señala que su energía cinética inicial es igual a la fuerza media de detención por la distancia penetrada. El cambio en la energía cinética de la bala y el trabajo neto realizado para detenerla son ambos negativos, así que cuando escribe el teorema de trabajo-energía, con el trabajo neto igual a la fuerza media por la distancia de detención, eso es lo que obtiene. El espesor total de ocho tablas de pino de 1 pulgada que la bala penetra es 8 × 3 4 in . = 6 in . = 15,2 cm . Solución Si aplicamos el teorema de trabajo-energía, obtenemos W neta = - F ave Δ s detención = - K inicial , entonces F ave = 1 2 m v 2 Δ s detención = 1 2 ( 2,6 × 10 −3 kg ) ( 335 m/s ) 2 0,152 m = 960 N . Importancia Podríamos haber utilizado la segunda ley de Newton y la cinemática en este ejemplo, pero el teorema de trabajo-energía también proporciona una respuesta a situaciones menos sencillas. La penetración de una bala, disparada verticalmente hacia arriba en un bloque de madera, se analiza en una sección del reciente artículo de Asif Shakur ["Bullet-Block Science Video Puzzle" (Video rompecabezas de ciencia con bloque y bala) The Physics Teacher (El Profesor de Física) (enero de 2015) 53(1): 15-16]. Si la bala se dispara centrada en el bloque, pierde toda su energía cinética y penetra ligeramente más lejos que si se dispara descentrada. La razón es que si la bala impacta descentrada, tiene un poco de energía cinética después de dejar de penetrar, porque el bloque gira. El teorema de trabajo-energía implica que un menor cambio en la energía cinética da lugar a una menor penetración. Entenderá mejor la física de este interesante artículo cuando termine de leer Momento angular . Aprenda más sobre el trabajo y la energía en esta simulación de PhET llamada "la rampa". Intente cambiar la fuerza que empuja la caja y la fuerza de fricción a lo largo de la pendiente. Los gráficos de trabajo y energía pueden examinarse para observar el trabajo total realizado y el cambio en la energía cinética de la caja. Resumen Ya que la fuerza neta sobre una partícula es igual a su masa por la derivada de su velocidad, la integral del trabajo neto realizado sobre la partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. Este es el teorema de trabajo-energía. Puede utilizar el teorema de trabajo-energía para hallar ciertas propiedades de un sistema, sin tener que resolver la ecuación diferencial de la segunda ley de Newton. Preguntas conceptuales La persona que se muestra a continuación ejerce trabajo sobre el cortacésped. ¿En qué condiciones el cortacésped ganaría energía de la persona que lo empuja? ¿En qué condiciones perdería energía? El cortacésped ganaría energía si −90 ° < θ < 90 ° . Perdería energía si 90 ° < θ < 270 ° . El cortacésped también puede perder energía debido a la fricción con la hierba mientras se empuja; sin embargo, no nos preocupa esa pérdida de energía para este problema. El trabajo realizado sobre un sistema aporta energía al mismo. El trabajo realizado por un sistema le quita energía. Dé un ejemplo para cada afirmación. Dos canicas de masas m y 2 m se dejan caer desde una altura h . Compare sus energías cinéticas cuando llegan al suelo. La segunda canica tiene el doble de energía cinética que la primera porque la energía cinética es directamente proporcional a la masa, como el trabajo realizado por la gravedad. Compare el trabajo necesario para acelerar un auto de 2.000 kg de masa de 30,0 a 40,0 km/h con el necesario para una aceleración de 50,0 a 60,0 km/h. Supongamos que está trotando a velocidad constante. ¿Está ejerciendo un trabajo en el ambiente y viceversa? A menos que el ambiente sea casi sin fricción, está haciendo algún trabajo positivo en el entorno para cancelar el trabajo de fricción contra usted, lo que resulta en un trabajo total cero, que produce una velocidad constante. Dos fuerzas actúan para duplicar la rapidez de una partícula que se mueve inicialmente con una energía cinética de 1 J. Una de las fuerzas realiza 4 J de trabajo. ¿Cuánto trabajo hace la otra fuerza? Problemas (a) Calcule la fuerza necesaria para que un auto de 950 kg se detenga desde una rapidez de 90,0 km/h en una distancia de 120 m (una distancia bastante típica para una parada sin pánico). (b) Suponga que, en cambio, el auto choca con un estribo de hormigón a toda velocidad y se detiene en 2,00 m. Calcule la fuerza ejercida sobre el auto y compárela con la fuerza encontrada en la parte (a). El parachoques de un auto está diseñado para soportar una colisión a 4,0 km/h (1,1 m/s) con un objeto inamovible sin que se dañe la carrocería del vehículo. El parachoques amortigua el choque absorbiendo la fuerza a lo largo de una distancia. Calcule la magnitud de la fuerza media sobre un parachoques que se desploma 0,200 m al poner en reposo un auto de 900 kg desde una rapidez inicial de 1,1 m/s. 2,72 kN Los guantes de boxeo están acolchados para disminuir la fuerza de un golpe. (a) Calcule la fuerza ejercida por un guante de boxeo sobre la cara de un adversario, si el guante y la cara se comprimen 7,50 cm durante un golpe en el que el brazo de 7,00 kg y el guante se llevan a reposo desde una rapidez inicial de 10,0 m/s. (b) Calcule la fuerza ejercida por un golpe idéntico en los días en que no se utilizaban guantes, y los nudillos y la cara se comprimían sólo 2,00 cm. Suponga que el cambio de masa al quitarse el guante es despreciable. (c) Comente sobre la magnitud de la fuerza con el guante puesto. ¿Parece lo suficientemente alta como para causar daños aunque sea menor que la fuerza sin guante? Con base en consideraciones energéticas, calcule la fuerza media que un velocista de 60,0 kg ejerce hacia atrás en la pista para acelerar de 2,00 a 8,00 m/s en una distancia de 25,0 m, si encuentra un viento en contra que ejerce una fuerza media de 30,0 N contra él. 102 N Una caja de 5,0 kg tiene una aceleración de 2,0 m/s 2 cuando es halada por una fuerza horizontal a través de una superficie con μ K = 0,50 . Calcule el trabajo realizado en una distancia de 10 cm por (a) la fuerza horizontal, (b) la fuerza de fricción y (c) la fuerza neta. (d) ¿Cuál es el cambio en la energía cinética de la caja? Se aplica una fuerza horizontal constante de 10 N a un carro de 20 kg en reposo sobre un suelo plano. Si la fricción es despreciable, ¿cuál es la rapidez del carro cuando ha sido empujado 8,0 m? 2,8 m/s En el problema anterior, la fuerza de 10 N se aplica en un ángulo de 45 ° por debajo de la horizontal. ¿Cuál es la rapidez del carro cuando ha sido empujado 8,0 m? Compare el trabajo necesario para detener una caja de 100 kg que se desliza a 1,0 m/s y una bala de 8,0 g que viaja a 500 m/s. W ( bala ) = 20 × W ( caja ) Un vagón con su pasajero se encuentra en la cima de una colina. El vagón recibe un ligero empujón y rueda 100 m por una pendiente de 10 ° hasta la base de la colina. Cuál es la rapidez del vagón cuando llega al final de la pendiente. Supongamos que la fuerza de fricción retardadora es despreciable. Una bala de 8,0 g a una rapidez de 800 m/s se dispara contra un bloque de madera y penetra 20 cm antes de detenerse. ¿Cuál es la fuerza media de la madera sobre la bala? Supongamos que el bloque no se mueve. 12,8 kN Un bloque de 2,0 kg comienza con una rapidez de 10 m/s en la parte inferior de un plano inclinado a 37 ° de la horizontal. El coeficiente de fricción por deslizamiento entre el bloque y el plano es μ k = 0,30 . (a) Utilice el principio de trabajo-energía para determinar la distancia que el bloque se desliza a lo largo del plano antes de detenerse momentáneamente. (b) Después de detenerse, el bloque vuelve a deslizarse por el plano. ¿Cuál es su rapidez cuando llega a la parte inferior? ( Pista: Para el viaje de ida y vuelta, solo la fuerza de la fricción ejerce trabajo en el bloque). Cuando un bloque de 3,0 kg es empujado contra un resorte sin masa de fuerza constante 4,5 × 10 3 N/m, el resorte se comprime 8,0 cm. El bloque se suelta y se desliza 2,0 m (desde el punto en que se suelta) por una superficie horizontal antes de que la fricción lo detenga. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie? 0,25 Un pequeño bloque de masa 200 g comienza en reposo en A, se desliza hasta B donde su rapidez es v B = 8,0 m/s, luego, se desliza por la superficie horizontal una distancia de 10 m antes de detenerse en C. (Vea abajo.) (a) ¿Cuál es el trabajo de fricción a lo largo de la superficie curva? (b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética a lo largo de la superficie horizontal? Se coloca un pequeño objeto en la parte superior de una pendiente que es esencialmente sin fricción. El objeto se desliza por la pendiente hasta una superficie horizontal rugosa, donde se detiene en 5,0 s después de recorrer 60 m. (a) ¿Cuál es la rapidez del objeto en la parte inferior de la pendiente y su aceleración a lo largo de la superficie horizontal? (b) ¿Cuál es la altura de la pendiente? a. 24 m/s, -4,8 m/s 2 ; b. 29,4 m Cuando se suelta, un bloque de 100 g se desliza por la trayectoria que se muestra a continuación, para llegar hasta la parte inferior con una rapidez de 4,0 m/s. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de fricción? Una bala de calibre 0,22LR como la mencionada en el se dispara contra una puerta hecha con tablas de pino de un solo grosor de 1 pulgada. ¿A qué velocidad se desplazaría la bala después de atravesar la puerta? 310 m/s Un trineo parte del reposo en la cima de una pendiente cubierta de nieve que forma un ángulo de 22 ° con la horizontal. Tras deslizarse 75 m por la pendiente, su rapidez es de 14 m/s. Utilice el teorema de trabajo-energía para calcular el coeficiente de fricción cinética entre los patines del trineo y la superficie nevada. trabajo neto trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un objeto teorema de trabajo-energía el trabajo neto realizado sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética

Ciencia


Potencia El concepto de trabajo implica fuerza y desplazamiento; el teorema de trabajo-energía relaciona el trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo con la diferencia de su energía cinética, calculada entre dos puntos de su trayectoria. Ninguna de estas cantidades o relaciones implica explícitamente el tiempo, pero sabemos que el tiempo disponible para realizar una determinada cantidad de trabajo suele ser tan importante para nosotros como la propia cantidad. En la figura que abre el capítulo, varios velocistas pueden haber alcanzado la misma velocidad en la meta y, por lo tanto, haber realizado la misma cantidad de trabajo, pero el ganador de la carrera lo hizo en el menor tiempo. Expresamos la relación entre el trabajo realizado y el intervalo de tiempo que implica su realización, al introducir el concepto de potencia. Dado que el trabajo puede variar en función del tiempo, primero definimos la potencia media (Average, ave) como el trabajo realizado durante un intervalo de tiempo, dividido entre el intervalo, P ave = Δ W Δ t . A continuación, podemos definir la potencia instantánea (a menudo denominada simplemente potencia ). Potencia La potencia se define como la tasa de realización de trabajo, o el límite de la potencia media para los intervalos de tiempo que se acercan a cero, P = d W d t . Si la potencia es constante a lo largo de un intervalo de tiempo, la potencia media de ese intervalo es igual a la potencia instantánea, y el trabajo realizado por el agente que suministra la potencia es W = P Δ t . Si la potencia durante un intervalo varía con el tiempo, entonces el trabajo realizado es la integral del tiempo de la potencia, W = ∫ P d t . El teorema de trabajo-energía relaciona cómo se puede transformar el trabajo en energía cinética. Dado que también existen otras formas de energía, como veremos en el próximo capítulo, también podemos definir la potencia como la tasa de transferencia de energía. El trabajo y la energía se miden en unidades de julios, por lo que la potencia se mide en unidades de julios por segundo, a las que el SI ha dado el nombre de vatios, con abreviatura W: 1 J/s = 1 W . Otra unidad común para expresar la capacidad de potencia de los dispositivos cotidianos es el caballo de fuerza (Horsepower, hp): 1 hp = 746 W . Potencia de levantamiento Un aprendiz del ejército de 80 kg hace dominadas en una barra horizontal ( ). El aprendiz tarda 0,8 segundos en levantar el cuerpo desde una posición baja hasta que la barbilla está por encima de la barra. ¿Cuánta fuerza suministran los músculos del aprendiz al mover su cuerpo desde la posición inferior hasta que la barbilla está por encima de la barra? ( Pista: Haga una estimación razonable de las cantidades necesarias). ¿Cuál es la potencia gastada al hacer diez dominadas en diez segundos? Estrategia El trabajo realizado contra la gravedad, subiendo o bajando una distancia Δ y , es m g Δ y . Supongamos que Δ y = 2 pies ≈ 60 cm . Supongamos también que los brazos representan el 10 % de la masa del cuerpo y no se incluyen en la masa en movimiento. Con estos supuestos, podemos calcular el trabajo realizado. Solución El resultado que obtenemos, aplicando nuestros supuestos, es P = mg ( Δ y ) t = 0,9 ( 80 kg ) ( 9,8 m/s 2 ) ( 0,60 m ) 0,8 s = 529 W . Importancia Esto es típico para el gasto de energía en el ejercicio extenuante; en unidades cotidianas, es algo más de un caballo de fuerza ( 1 hp = 746 W ) . Calcule la potencia que gasta un levantador de pesas al levantar una barra de 150 kg 2 m en 3 s. 980 W La potencia necesaria para mover un cuerpo también puede expresarse en términos de las fuerzas que actúan sobre este. Si una fuerza F → actúa sobre un cuerpo que es desplazado d r → en un tiempo dt , la potencia gastada por la fuerza es P = d W d t = F → · d r → d t = F → · ( d r → d t ) = F → · v → , donde v → es la velocidad del cuerpo. El hecho de que los límites implicados por las derivadas existan, para el movimiento de un cuerpo real, justifica el reordenamiento de los infinitesimales. Potencia automotriz conduciendo cuesta arriba ¿Cuánta potencia debe gastar el motor de un automóvil para mover un auto de 1.200 kg por una pendiente de grado del 15 % a 90 km/h ( )? Supongamos que el 25 % de esta potencia se disipa al vencer la resistencia del aire y la fricción. Queremos calcular la potencia necesaria para subir un auto por una colina a velocidad constante. Estrategia A velocidad constante, no hay cambio en la energía cinética, por lo que el trabajo neto realizado para mover el auto es cero. Por lo tanto, la potencia suministrada por el motor para mover el auto es igual a la potencia gastada contra la gravedad y la resistencia del aire. Suponiendo que el 75 % de la potencia se suministre contra la gravedad, lo que equivale a m g → · v → = m g v sen θ , donde θ es el ángulo de la pendiente. Un grado del 15 % significa tan θ = 0,15 . Este razonamiento nos permite resolver la potencia necesaria. Solución Al llevar a cabo los pasos sugeridos, hallamos 0,75 P = m g v sen ( tan −1 0,15 ) , o P = ( 1.200 × 9,8 N ) ( 90 m / 3,6 s ) sen ( 8,53 ° ) 0,75 = 58 kW, o unos 78 hp. (Deberá suministrar los pasos utilizados para convertir las unidades). Importancia Esta es una cantidad razonable de potencia para que el motor de un auto pequeño o mediano suministre ( 1 hp = 0,746 kW ). Observe que esto es solo la potencia gastada para mover el auto. Gran parte de la potencia del motor va a parar a otra parte, por ejemplo, al calor residual. Por eso los autos necesitan radiadores. La potencia restante puede utilizarse para acelerar o para hacer funcionar los accesorios del auto. Resumen La potencia es la tasa de realización del trabajo, es decir, la derivada del trabajo con respecto al tiempo. Alternativamente, el trabajo realizado durante un intervalo de tiempo es la integral de la potencia suministrada durante dicho intervalo. La potencia entregada por una fuerza, que actúa sobre una partícula en movimiento, es el producto punto de la fuerza por la velocidad de la partícula. Ecuaciones clave Trabajo realizado por una fuerza en un desplazamiento infinitesimal d W = F → · d r → = | F → | | d r → | cos θ Trabajo realizado por una fuerza que actúa a lo largo de una trayectoria de A a B W A B = ∫ trayectoria A B F → · d r → Trabajo realizado por una fuerza constante de fricción cinética W fr = - f k | l A B | Trabajo realizado por la gravedad de la Tierra para ir de A a B , cerca de su superficie W grav, A B = - m g ( y B - y A ) Trabajo realizado por la fuerza de un resorte unidimensional para ir de A a B W resorte, A B = - ( 1 2 k ) ( x B 2 - x A 2 ) Energía cinética de una partícula no relativista K = 1 2 m v 2 = p 2 2 m Teorema de trabajo-energía W neto = K B - K A Potencia como tasa de realización del trabajo P = d W d t Potencia como producto punto de la fuerza y la velocidad P = F → · v → Preguntas conceptuales La mayoría de los aparatos eléctricos están clasificados en vatios. ¿Depende esta clasificación del tiempo que esté encendido el aparato? (Cuando está apagado, es un dispositivo de cero vatios). Explique en términos de la definición de potencia. Los aparatos se clasifican en función de la energía consumida en un intervalo de tiempo relativamente pequeño. No importa el tiempo que el aparato esté encendido, sino la tasa de cambio de energía por unidad de tiempo. Explique, en términos de la definición de potencia, por qué el consumo de energía se indica a veces en kilovatios-hora en lugar de julios. ¿Cuál es la relación entre estas dos unidades de energía? Una chispa de electricidad estática, como la que puede recibir de un pomo de la puerta en un día frío y seco, puede llevar unos cientos de vatios de potencia. Explique por qué no lo lastima dicha chispa. La chispa se produce en un lapso relativamente corto, por lo que proporciona una cantidad muy baja de energía a su cuerpo. ¿Depende el trabajo realizado al levantar un objeto de que tan rápido este es levantado? ¿Depende la potencia gastada de la rapidez con la que se levanta? ¿Puede ser negativa la potencia gastada por una fuerza? Si la fuerza es antiparalela o apunta en dirección opuesta a la velocidad, la potencia gastada puede ser negativa. ¿Cómo puede una bombilla de 50 W consumir más energía que un horno de 1.000 W? Problemas Una persona en buenas condiciones físicas puede emitir 100 W de potencia útil durante varias horas seguidas, quizás pedaleando un mecanismo que accione un generador eléctrico. Descartando los problemas de eficiencia de los generadores ni consideraciones prácticas como el tiempo de descanso: (a) ¿Cuántas personas harían falta para hacer funcionar una secadora de ropa eléctrica de 4,00 kW? (b) ¿Cuántas personas harían falta para sustituir una gran central eléctrica que genera 800 MW? a. 40; b. 8 millones ¿Cuál es el costo de funcionamiento de un reloj eléctrico de 3,00 W durante un año si el costo de la electricidad es de 0,0900 dólares por kW · h ? Un gran aparato de aire acondicionado residencial puede consumir 15,0 kW de potencia. ¿Cuál es el costo de hacer funcionar este aire acondicionado 3,00 h al día durante 30,0 d si el costo de la electricidad es de 0,110 $ por kW · h ? $149 (a) ¿Cuál es el consumo medio de potencia en vatios de un aparato que utiliza 5,00 kW · h de energía al día? b) ¿Cuántos julios de energía consume este aparato en un año? (a) ¿Cuál es la producción de potencia útil media de una persona que hace 6,00 × 10 6 J de trabajo útil en 8,00 h? (b) Trabajando a este ritmo, ¿cuánto tiempo tardará esta persona en levantar 2.000 kg de ladrillos en 1,50 m hasta una plataforma? (El trabajo realizado para levantar su cuerpo puede omitirse porque no se considera aquí una producción útil). a. 208 W; b. 141 s Un dragster de 500 kg acelera desde el reposo hasta una rapidez final de 110 m/s en 400 m (aproximadamente un cuarto de milla) y encuentra una fuerza de fricción media de 1.200 N. ¿Cuál es su producción de potencia media en vatios y caballos de fuerza si esto le toma 7,30 s? (a) ¿Cuánto tardará un auto de 850 kg con una potencia útil de 40,0 hp (1 hp equivale a 746 W) en alcanzar una rapidez de 15,0 m/s, ignorando la fricción? (b) ¿Cuánto tardará esta aceleración si el auto también sube una colina de 3,00 m de altura en el proceso? a. 3,20 s; b. 4,04 s (a) Halle la potencia útil de un motor de elevador que eleva una carga de 2.500 kg a una altura de 35,0 m en 12,0 s, si además aumenta la rapidez desde el reposo a 4,00 m/s. Observe que la masa total del sistema de contrapesos es de 10.000 kg, de modo que solo se elevan 2.500 kg en altura, pero se aceleran los 10.000 kg completos. (b) ¿Cuánto cuesta, si la electricidad es de 0,0900 dólares por kW · h ? (a) ¿Cuánto tiempo tardaría un avión de 1,50 × 10 5 -kg con motores que generan 100 MW de potencia para alcanzar una rapidez de 250 m/s y una altitud de 12,0 km si la resistencia del aire fuera despreciable? (b) Si realmente tarda 900 s, ¿cuál es la potencia? (c) Dada esta potencia, ¿cuál es la fuerza media de la resistencia del aire si el avión tarda 1.200 s? ( Pista: Debe encontrar la distancia que recorre el avión en 1.200 s suponiendo una aceleración constante). a. 224 s; b. 24,8 MW; c. 49,7 kN Calcule la producción de potencia necesaria para que un auto de 950 kg suba una pendiente de 2,00 ° a 30,0 m/s constantes mientras se encuentra con una resistencia al viento y una fricción de 600 N. Un hombre de 80 kg de masa sube corriendo un tramo de escaleras de 20 m de altura en 10 s. (a) ¿Cuánta potencia se utiliza para levantar al hombre? (b) Si el cuerpo del hombre tiene un rendimiento del 25 %, ¿cuánta potencia gasta? a. 1,57 kW; b. 6,28 kW El hombre del problema anterior consume aproximadamente 1,05 × 10 7 J (2.500 calorías) de energía al día para mantener un peso constante. ¿Cuál es la potencia media que produce en un día? Compare esto con su producción de energía cuando sube las escaleras. Un electrón en un tubo de televisión se acelera uniformemente desde el reposo hasta una rapidez de 8,4 × 10 7 m/s a una distancia de 2,5 cm. ¿Cuál es la potencia entregada al electrón en el instante en que su desplazamiento es de 1,0 cm? 6,83 μW El carbón se eleva desde una mina una distancia vertical de 50 m mediante un motor que suministra 500 W a una cinta transportadora. ¿Cuánto carbón por minuto se puede sacar a la superficie? Ignore los efectos de la fricción. Una niña hala su vagón de 15 kg por una acera plana al aplicar una fuerza de 10 N a 37 ° de la horizontal. Supongamos que la fricción es despreciable y que el vagón parte del reposo. (a) ¿Cuánto trabajo realiza la niña sobre el vagón en los primeros 2,0 s. (b) ¿Cuánta potencia instantánea ejerce en t = 2,0 s ? a. 8,51 J; b. 8,51 W Un motor de automóvil típico tiene un rendimiento del 25 %. Supongamos que el motor de un automóvil de 1.000 kg tiene una potencia máxima de 140 hp. ¿Cuál es el grado máximo que puede subir el automóvil a 50 km/h si la fuerza de fricción retardante sobre este es de 300 N? Al trotar a 13 km/h en una superficie plana, un hombre de 70 kg utiliza energía a una tasa de aproximadamente 850 W. Con base en el hecho de que el "motor humano" tiene una eficiencia de aproximadamente el 25 %, determine la tasa a la que este hombre utiliza energía al correr por una pendiente de 5,0 ° a esta misma rapidez. Supongamos que la fuerza de fricción retardante es la misma en ambos casos. 1,7 kW Problemas adicionales Un carro es arrastrado una distancia D sobre una superficie plana y horizontal por una fuerza constante F que actúa a un ángulo θ con respecto a la dirección horizontal. Las otras fuerzas sobre el objeto durante este tiempo son la gravedad ( F w ), las fuerzas normales ( F N 1 ) y ( F N 2 ), y las fricciones de rodadura F r 1 y F r 2 , como se muestra a continuación. ¿Cuál es el trabajo que realiza cada fuerza? Consideremos una partícula sobre la que actúan varias fuerzas, una de las cuales se sabe que es constante en el tiempo: F → 1 = ( 3 N ) i ^ + ( 4 N ) j ^ . Como resultado, la partícula se mueve a lo largo del eje de la x desde x = 0 a x = 5 m en algún intervalo de tiempo. ¿Cuál es el trabajo que realiza F → 1 ? 15 N · m Consideremos una partícula sobre la que actúan varias fuerzas, una de las cuales se sabe que es constante en el tiempo: F → 1 = ( 3 N ) i ^ + ( 4 N ) j ^ . Como resultado, la partícula se mueve primero a lo largo del eje de la x de x = 0 a x = 5 m y luego paralela al eje de la y de y = 0 a y = 6 m . ¿Cuál es el trabajo que realiza F → 1 ? Consideremos una partícula sobre la que actúan varias fuerzas, una de las cuales se sabe que es constante en el tiempo: F → 1 = ( 3 N ) i ^ + ( 4 N ) j ^ . Como resultado, la partícula se desplaza por una trayectoria recta desde una coordenada cartesiana de (0 m, 0 m) a (5 m, 6 m). ¿Cuál es el trabajo que realiza F → 1 ? 39 N · m Consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza que depende de la posición de la partícula. Esta fuerza viene dada por F → 1 = ( 2 y ) i ^ + ( 3 x ) j ^ . Calcule el trabajo que realiza esta fuerza cuando la partícula se mueve desde el origen hasta un punto situado 5 metros a la derecha en el eje de la x . Un niño hala de un carro de 5 kg con una fuerza de 20 N en un ángulo de 30 ° por encima de la horizontal durante un tiempo. Durante este tiempo, el carro se desplaza una distancia de 12 m sobre el suelo horizontal. (a) Calcule el trabajo que realiza el niño sobre el carro. (b) ¿Cuál será el trabajo que realiza el niño si hala con la misma fuerza horizontalmente en lugar de en un ángulo de 30 ° sobre la horizontal en la misma distancia? a. 208 N · m ; b. 240 N · m Hay que llevar una caja de 200 kg de masa desde un sitio en la planta baja hasta el tercer piso. Los trabajadores saben que pueden utilizar primero el elevador y luego deslizarla por el tercer piso hasta el apartamento, o bien deslizar primero la caja hasta otro lugar marcado con una C abajo, y luego tomar el elevador hasta el tercer piso y deslizarla en el tercer piso una distancia más corta. El problema es que la tercera planta es muy áspera en comparación con la planta baja. Dado que el coeficiente de fricción cinética entre la caja y el suelo es de 0,100 y entre la caja y la superficie del tercer piso es de 0,300, calcule el trabajo que necesitan realizar los trabajadores para cada trayectoria mostrada desde A hasta E . Suponga que la fuerza que necesitan ejercer los trabajadores es la suficiente para deslizar la caja a velocidad constante (aceleración cero). Nota: El trabajo del elevador contra la fuerza de la gravedad no lo realizan los trabajadores. Un disco de hockey con una masa de 0,17 kg se lanza por un suelo áspero con una aspereza diferente en distintos lugares, que puede describirse mediante un coeficiente de fricción cinética que depende de la posición. Para un disco que se mueve a lo largo del eje de la x , el coeficiente de fricción cinética es la siguiente función de x , donde x está en m: μ ( x ) = 0,1 + 0,05 x . Calcule el trabajo realizado por la fuerza cinética de fricción sobre el disco de hockey cuando se ha movido (a) de x = 0 a x = 2 m , y (b) de x = 2 m a x = 4 m . a. - 0,9 N · m ; b. -0,83 N · m Se requiere una fuerza horizontal de 20 N para mantener una caja de 5,0 kg subiendo a rapidez constante por una pendiente sin fricción durante un cambio de altura vertical de 3,0 m. (a) ¿Cuál es el trabajo realizado por la gravedad durante este cambio de altura? (b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza normal? (c) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza horizontal? Una caja de 7,0 kg se desliza por un suelo horizontal sin fricción a 1,7 m/s y colisiona con un resorte relativamente sin masa que se comprime 23 cm antes de que la caja se detenga. (a) ¿Cuánta energía cinética tiene la caja antes de chocar con el resorte? (b) Calcule el trabajo realizado por el resorte. (c) Determine la constante del resorte. a. 10. J; b. 10. J; c. 380 N/m Está conduciendo su auto por una carretera recta con un coeficiente de fricción entre los neumáticos y la carretera de 0,55. Un gran trozo de escombro cae enfrente; usted frena de súbito y deja una marca de derrape de 30,5 m (100 pies) antes de detenerse. Un policía ve su auto parado en la carretera, mira la marca de derrape y le impone una multa por superar el límite de velocidad de 13,4 m/s (30 mph). ¿Debe impugnar la multa por exceso de velocidad en los tribunales? Se empuja una caja por una superficie de suelo áspero. Si no se aplica ninguna fuerza sobre la caja, esta desacelerá y se detendrá. Si la caja de 50 kg de masa que se mueve a una rapidez de 8 m/s llega al reposo en 10 segundos, ¿cuál es la tasa a la que la fuerza de fricción sobre la caja le quita energía? 160 J/s Supongamos que se requiere una fuerza horizontal de 20 N para mantener una rapidez de 8 m/s de una caja de 50 kg. (a) ¿Cuál es la potencia de esta fuerza? (b) Observe que la aceleración de la caja es cero, a pesar de que la fuerza de 20 N actúa sobre la caja horizontalmente. ¿Qué ocurre con la energía que recibe la caja como resultado del trabajo realizado por esta fuerza de 20 N? Los granos de una tolva caen a una tasa de 10 kg/s en vertical sobre una cinta transportadora que se mueve en horizontal a una rapidez constante de 2 m/s. (a) ¿Qué fuerza se necesita para mantener la cinta transportadora en movimiento a la velocidad constante? (b) ¿Cuál es la potencia mínima del motor que mueve la cinta transportadora? a. 10 N; b. 20 W Un ciclista en una carrera debe subir una colina de 5 ° a una rapidez de 8 m/s. Si la masa de la bicicleta y del ciclista juntos es de 80 kg, ¿cuál debe ser la producción de potencia del ciclista para alcanzar la meta? Problemas de desafío A continuación, se muestra una caja de 40 kg, que se empuja a velocidad constante, a una distancia de 8,0 m por una pendiente de 30 ° por la fuerza horizontal F → . El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la pendiente es μ k = 0,40 . Calcule el trabajo realizado por (a) la fuerza aplicada, (b) la fuerza de fricción, (c) la fuerza gravitacional y (d) la fuerza neta. Si la caja sube: a. 3,46 kJ; b. -1,89 kJ; c. -1,57 kJ; d. 0; Si la caja baja: a. -0,39 kJ; b. -1,18 kJ; c. 1,57 kJ; d. 0 La superficie del problema anterior se modifica para que el coeficiente de fricción cinética disminuya. Se aplica la misma fuerza horizontal a la caja y, tras empujarse 8,0 m, su rapidez es de 5,0 m/s. ¿Cuánto trabajo realiza ahora la fuerza de fricción? Supongamos que la caja comienza en reposo. La fuerza F ( x ) varía con la posición, como se muestra a continuación. Calcule el trabajo realizado por esta fuerza sobre una partícula cuando se mueve de x = 1,0 m a x = 5,0 m . 8,0 J Calcule el trabajo realizado por la misma fuerza en el , entre los mismos puntos, A = ( 0 , 0 ) y B = ( 2 m , 2 m ) , sobre un arco circular de radio 2 m, centrado en (0, 2 m). Evalúe la integral de la trayectoria mediante el empleo de coordenadas cartesianas. ( Pista: Probablemente tendrá que consultar una tabla de integrales). Responda al problema anterior mediante el empleo de coordenadas polares. 35,7 J Calcule el trabajo realizado por la misma fuerza en el , entre los mismos puntos, A = ( 0 , 0 ) y B = ( 2 m , 2 m ) , sobre un arco de radio 2 m, centrado en (2 m, 0). Evalúe la integral de la trayectoria mediante el empleo de coordenadas cartesianas. ( Pista: Probablemente tendrá que consultar una tabla de integrales). Responda al problema anterior mediante el empleo de coordenadas polares. 24,3 J A un auto de masa m le llega una potencia constante P a través de su motor. Demuestre que, si se puede ignorar la resistencia del aire, la distancia recorrida en un tiempo t por el auto, partiendo del reposo, está dada por s = ( 8 P / 9 m ) 1 / 2 t 3 / 2 . Supongamos que la resistencia del aire que encuentra un auto es independiente de su rapidez. Cuando el auto se desplaza a 15 m/s, su motor entrega 20 hp a sus ruedas. (a) ¿Cuál es la potencia entregada a las ruedas cuando el auto se desplaza a 30 m/s? (b) ¿Cuánta energía utiliza el auto para recorrer 10 km a 15 m/s? ¿A 30 m/s? Supongamos que el motor tiene un rendimiento del 25 %. (c) Responda las mismas preguntas si la fuerza de la resistencia del aire es proporcional a la rapidez del automóvil. (d) ¿Qué le dicen estos resultados, más su experiencia con el consumo de gasolina, acerca de la resistencia del aire? a. 40 hp; b. 39,8 MJ, independientemente de la rapidez; c. 80 hp, 79,6 MJ a 30 m/s; d. Si la resistencia del aire es proporcional a la rapidez, el auto obtiene alrededor de 22 mpg a 34 mph y la mitad de eso al doble de rapidez, más cerca de la experiencia de conducción real. Consideremos un resorte lineal, como el de la (a), con una masa M , distribuida uniformemente a lo largo. El extremo izquierdo del resorte está fijo, pero el extremo derecho, en la posición de equilibrio x = 0 , se desplaza a una rapidez v en la dirección de la x . ¿Cuál es la energía cinética total del resorte? ( Pista: Primero, exprese la energía cinética de un elemento infinitesimal del resorte dm en términos de la masa total, la longitud de equilibrio, la rapidez del extremo derecho y la posición a lo largo del resorte; luego integre). potencia media trabajo realizado en un intervalo de tiempo dividido entre el intervalo de tiempo potencia (o potencia instantánea) tasa de realización del trabajo

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Introducción Aquí se muestra parte de una escultura Ball Machine de George Rhoads. Una pelota en este artilugio se levanta, rueda, cae, rebota y colisiona con varios objetos. A lo largo de sus viajes, su energía cinética cambia en cantidades definidas y predecibles, que dependen de su posición y de los objetos con los que interactúa (créditos: modificación del trabajo de Roland Tanglao). En la escultura de la pelota rodante de George Rhoads, el principio de conservación de la energía rige los cambios en la energía cinética de la pelota y los relaciona con los cambios y transferencias de otros tipos de energía asociados a las interacciones de la bola. En este capítulo, presentamos el importante concepto de energía potencial. Esto nos permitirá formular la ley de conservación de la energía mecánica y aplicarla a sistemas sencillos, lo cual facilitará la resolución de problemas. En la última sección sobre las fuentes de energía, consideraremos las transferencias de energía y la ley general de conservación de la energía. A lo largo de este libro, la ley de conservación de la energía se aplicará cada vez con más detalle, a medida que se encuentren sistemas más complejos y variados, y otras formas de energía.

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