Fuerza electromotriz Si se le olvida apagar las luces del automóvil, estas se van apagando poco a poco a medida que la batería se va agotando. ¿Por qué no se apagan de repente cuando la energía de la batería se agota? Su atenuación gradual implica que el voltaje de salida de la batería disminuye a medida que esta se agota. La razón de la disminución del voltaje de salida de las baterías agotadas es que todas las fuentes de voltaje tienen dos partes fundamentales: una fuente de energía eléctrica y una resistencia interna. En esta sección examinamos la fuente de energía y la resistencia interna. Introducción a la fuerza electromotriz El voltaje tiene muchas fuentes, algunas de las cuales se muestran la en . Todos estos dispositivos crean una diferencia de potencial y pueden suministrar corriente si se conectan a un circuito. Un tipo especial de diferencia de potencial se conoce como fuerza electromotriz (emf) . La emf no es una fuerza en absoluto, pero el término "fuerza electromotriz" se utiliza por razones históricas. Fue acuñado por Alessandro Volta en el siglo XIX, cuando inventó la primera batería, también conocida como pila voltaica . Como la fuerza electromotriz no es una fuerza, es común referirse a estas fuentes simplemente como fuentes de emf (pronunciadas como las letras “e-eme-efe”), en vez de fuentes de fuerza electromotriz. Diversas fuentes de voltaje. (a) El parque eólico de Brazos en Fluvanna, Texas; (b) la presa de Krasnoyarsk en Rusia; (c) un parque solar; (d) un grupo de baterías de níquel-hidruro metálico. La salida de voltaje de cada aparato depende de su construcción y de la carga. La salida de voltaje es igual a la emf solo si no hay carga (créditos a: modificación del trabajo de Stig Nygaard; créditos b: modificación del trabajo de "vadimpl"/Wikimedia Commons; créditos c: modificación del trabajo de "The tdog"/Wikimedia Commons; créditos d: modificación del trabajo de "Itrados"/Wikimedia Commons). Si la fuerza electromotriz no es una fuerza en absoluto, entonces ¿qué es la emf y qué es una fuente de emf? Para responder estas preguntas considere un circuito simple de una lámpara de 12 V conectada a una batería de 12 V, como se muestra en la . La batería se puede modelar como un dispositivo de dos terminales que mantiene un terminal a un potencial eléctrico más alto que el segundo terminal. El potencial eléctrico más alto se denomina a veces terminal positivo y se etiqueta con un signo positivo. El terminal de menor potencial se denomina a veces terminal negativo y se etiqueta con el signo menos. Esta es la fuente de la emf. Una fuente de emf mantiene un terminal a un potencial eléctrico mayor que el otro terminal, actuando como fuente de corriente en un circuito. Cuando la fuente de emf no está conectada a la lámpara, no hay flujo neto de carga dentro de la fuente de emf. Una vez que la batería está conectada a la lámpara, las cargas fluyen desde un terminal de la batería, a través de la lámpara (haciendo que esta se encienda), y de vuelta al otro terminal de la batería. Si consideramos el flujo de corriente positiva (convencional), las cargas positivas salen del terminal positivo, viajan a través de la lámpara y entran en el terminal negativo. El flujo de corriente positiva es útil para la mayoría de los análisis de circuitos de este capítulo, pero en los cables metálicos y los resistores, los electrones son los que más contribuyen a la corriente, y fluyen en la dirección opuesta al flujo de corriente positiva. Por lo tanto, es más realista considerar el movimiento de los electrones para el análisis del circuito en la . Los electrones salen del terminal negativo, viajan a través de la lámpara y vuelven al terminal positivo. Para que la fuente de emf mantenga la diferencia de potencial entre los dos terminales, las cargas negativas (electrones) deben desplazarse del terminal positivo al negativo. La fuente de emf actúa como una bomba de carga, moviendo las cargas negativas del terminal positivo al negativo para mantener la diferencia de potencial. Esto aumenta la energía potencial de las cargas y, por tanto, su potencial eléctrico. La fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la carga negativa está en la dirección opuesta al campo eléctrico, como se muestra en la . Para que las cargas negativas se desplacen al terminal negativo, debe realizarse un trabajo sobre las cargas negativas. Para ello se necesita energía, que proviene de las reacciones químicas de la batería. El potencial se mantiene alto en el terminal positivo y bajo en el negativo para mantener la diferencia de potencial entre los dos terminales. La emf es igual al trabajo realizado sobre la carga por unidad de carga ( ε = d W d q ) cuando no hay flujo de corriente. Como la unidad de trabajo es el julio y la unidad de carga es el culombio, la unidad de emf es el voltio ( 1 V = 1 J/C ) . El voltaje de los terminales V terminal de una batería es el voltaje medida a través de sus terminales. Una batería ideal es una fuente de emf que mantiene un voltaje constante en los terminales, independientemente de la corriente entre los dos terminales. Una batería ideal no tiene resistencia interna, y el voltaje en los terminales es igual a la emf de la batería. En la siguiente sección demostraremos que una batería real sí tiene resistencia interna y que el voltaje de los terminales es siempre menor que la emf de la batería. El origen del potencial de la batería La combinación de sustancias químicas y la composición de los terminales de una batería determinan su emf. La batería de plomo-ácido utilizada en los automóviles y otros vehículos es una de las combinaciones químicas más comunes. La muestra una sola célula (una de seis) de esta batería. El terminal catódico (positivo) de la célula está conectado a una placa de óxido de plomo, mientras que el terminal anódico (negativo) está conectado a una placa de plomo. Ambas placas se sumergen en ácido sulfúrico, el electrolito del sistema. Las reacciones químicas en una célula de plomo-ácido separan la carga, enviando la carga negativa al ánodo, que está conectado a las placas de plomo. Las placas de óxido de plomo se conectan al terminal positivo o catódico de la célula. El ácido sulfúrico conduce la carga, además de participar en la reacción química. Conocer un poco cómo interactúan las sustancias químicas de una batería de plomo-ácido ayuda a entender el potencial creado por la batería. La muestra el resultado de una única reacción química. Dos electrones se colocan en el ánodo , haciéndolo negativo, siempre que el cátodo suministre dos electrones. Esto deja al cátodo cargado positivamente, porque ha perdido dos electrones. En resumen, una separación de carga ha sido impulsada por una reacción química. Observe que la reacción no se produce si no hay un circuito completo que permita suministrar dos electrones al cátodo. En muchas circunstancias, estos electrones salen del ánodo, fluyen a través de una resistencia y vuelven al cátodo. Observe también que, como en las reacciones químicas intervienen sustancias con resistencia, no es posible crear la emf sin una resistencia interna. En una batería de plomo-ácido, dos electrones son forzados a entrar en el ánodo de la célula, y dos electrones son retirados del cátodo de la célula. La reacción química en una batería de plomo-ácido coloca dos electrones en el ánodo y retira dos del cátodo. Requiere un circuito cerrado para proceder, ya que los dos electrones deben ser suministrados al cátodo. Resistencia interna y voltaje de los terminales La cantidad de resistencia al flujo de corriente dentro de la fuente de voltaje se llama resistencia interna . La resistencia interna r de una batería puede comportarse de forma compleja. Por lo general, aumenta a medida que se agota una batería, debido a la oxidación de las placas o a la reducción de la acidez del electrolito. Sin embargo, la resistencia interna también puede depender de la magnitud y la dirección de la corriente a través de una fuente de voltaje, su temperatura e incluso su historia. La resistencia interna de las pilas recargables de níquel-cadmio, por ejemplo, depende de cuántas veces y a qué profundidad se han agotado. Un modelo simple para una batería consiste en una fuente de emf idealizada ε y una resistencia interna r ( ). Una batería puede ser modelada como una emf idealizada ( ε ) con una resistencia interna (r ). El voltaje del terminal de la batería es V terminal = ε − I r . Supongamos que un resistor externo, que se conoce como resistencia de carga R , está conectado a una fuente de voltaje como una batería, como en la . La figura muestra un modelo de batería con una emf ε , una resistencia interna r , y un resistor de carga R conectado a través de sus terminales. Utilizando el flujo de corriente convencional, las cargas positivas salen del terminal positivo de la batería, viajan a través del resistor y vuelven al terminal negativo de la batería. El voltaje de los terminales de la batería depende de la emf, de la resistencia interna y de la corriente, y es igual a V terminal = ε − I r . Para una emf y una resistencia interna dadas, el voltaje de los terminales disminuye a medida que aumenta la corriente debido a la caída de potencial Ir de la resistencia interna. Esquema de una fuente de voltaje y su resistor de carga R . Como la resistencia interna r está en serie con la carga, puede afectar significativamente al voltaje de los terminales y a la corriente entregada a la carga. Un gráfico de la diferencia de potencial a través de cada elemento del circuito se muestra en la . Por el circuito circula una corriente I y la caída de potencial a través del resistor interno es igual a Ir . El voltaje en los terminales es igual a ε − I r , que es igual a la caída de potencial a través del resistor de carga I R = ε − I r . Al igual que con la energía potencial, lo importante es el cambio de voltaje. Cuando se utiliza el término "voltaje", suponemos que se trata realmente del cambio de potencial, o Δ V . Sin embargo, Δ suele omitirse por comodidad. Gráfico del voltaje a través del circuito de una batería y una resistencia de carga. El potencial eléctrico aumenta la emf de la batería debido a las reacciones químicas que realizan trabajo sobre las cargas. Hay una disminución del potencial eléctrico en la batería debido a la resistencia interna. El potencial disminuye debido a la resistencia interna ( − I r ) , haciendo que el voltaje de la batería sea igual a ( ε − I r ) . El voltaje disminuye entonces en ( IR ). La corriente es igual a I = ε r + R . La corriente a través del resistor de carga es I = ε r + R . De esta expresión se desprende que cuanto menor sea la resistencia interna r , mayor será la corriente que la fuente de voltaje suministra a su carga R . A medida que se agotan las baterías, r aumenta. Si r se convierte en una fracción significativa de la resistencia de la carga, entonces la corriente se reduce significativamente, como ilustra el siguiente ejemplo. Análisis de un circuito con una batería y una carga Una batería dada tiene una emf de 12,00 V y una resistencia interna de 0,100 Ω . (a) Calcule su voltaje en los terminales cuando se conecta a una carga de 10,00 - Ω . (b) ¿Cuál es el voltaje en los terminales cuando se conecta a una carga de 0,500 - Ω ? (c) ¿Qué potencia tiene el 0,500 - Ω carga disipar? (d) Si la resistencia interna crece hasta 0,500 Ω , calcule la corriente, el voltaje en los terminales y la potencia disipada por un 0,500 - Ω carga. Estrategia El análisis anterior dio una expresión para la corriente cuando se tiene en cuenta la resistencia interna. Una vez hallada la corriente, se puede calcular el voltaje de los terminales mediante la ecuación V terminal = ε − I r . Una vez hallada la corriente, también podemos hallar la potencia disipada por el resistor. Solución Introduciendo los valores dados para la emf, la resistencia de carga y la resistencia interna en la expresión anterior se obtiene I = ε R + r = 12,00 V 10,10 Ω = 1,188 A . Introduce los valores conocidos en la ecuación V terminal = ε − I r para obtener el voltaje de los terminales: V terminal = ε − I r = 12,00 V − ( 1,188 A ) ( 0,100 Ω ) = 11,90 V . En este caso, el voltaje de los terminales es solo ligeramente inferior a la emf, lo que implica que la corriente absorbida por esta carga ligera no es significativa. Del mismo modo, con R carga = 0,500 Ω , la corriente es I = ε R + r = 12,00 V 0,600 Ω = 20,00 A . El voltaje de los terminales no es V terminal = ε − I r = 12,00 V − ( 20,00 A ) ( 0,100 Ω ) = 10,00 V . El voltaje en los terminales presenta una reducción más significativa en comparación con la emf, lo que implica 0,500 Ω es una carga pesada para esta batería. Una "carga pesada" significa un mayor consumo de corriente de la fuente, pero no una mayor resistencia. La potencia disipada por el 0,500 - Ω carga se puede calcular utilizando la fórmula P = I 2 R . Introduciendo los valores conocidos se obtiene P = I 2 R = ( 20,0 A ) 2 ( 0,500 Ω ) = 2,00 × 10 2 W. Observe que esta potencia también puede obtenerse mediante la expresión V 2 R o I V , donde V es el voltaje de los terminales (10,0 V en este caso). En este caso, la resistencia interna ha aumentado, quizás debido al agotamiento de la batería, hasta el punto de ser tan grande como la resistencia de la carga. Al igual que antes, primero hallamos la corriente introduciendo los valores conocidos en la expresión, dando como resultado I = ε R + r = 12,00 V 1,00 Ω = 12,00 A . Ahora el voltaje en los terminales es V terminal = ε − I r = 12,00 V − ( 12,00 A ) ( 0,500 Ω ) = 6,00 V , y la potencia disipada por la carga es P = I 2 R = ( 12,00 A ) 2 ( 0,500 Ω ) = 72,00 W. Vemos que el aumento de la resistencia interna ha disminuido significativamente el voltaje en los terminales, la corriente y la potencia entregada a una carga. Importancia La resistencia interna de una batería puede aumentar por muchas razones. Por ejemplo, la resistencia interna de una batería recargable aumenta a medida que aumenta el número de veces que se recarga la batería. El aumento de la resistencia interna puede tener dos efectos en la batería. Primero, el voltaje de los terminales disminuirá. En segundo lugar, la batería puede sobrecalentarse debido a la mayor potencia disipada por la resistencia interna. Si coloca un cable directamente a través de los dos terminales de una batería, poniendo en cortocircuito los terminales, la batería comenzará a calentarse. ¿Por qué crees que ocurre esto? Si se conecta un cable a través de los terminales, la resistencia de la carga es cercana a cero, o al menos considerablemente menor que la resistencia interna de la batería. Como la resistencia interna es pequeña, la corriente que atraviesa el circuito será grande, I = ε R + r = ε 0 + r = ε r . La gran corriente hace que la resistencia interna disipe una gran potencia ( P = I 2 r ) . La energía se disipa en forma de calor. Comprobadores de baterías Los comprobadores de baterías , como los que se muestran en la , utilizan pequeños resistores de carga para extraer intencionadamente la corriente y determinar si el potencial de los terminales cae por debajo de un nivel aceptable. Aunque es difícil medir la resistencia interna de una batería, los comprobadores de baterías pueden proporcionar una medición de la resistencia interna de la batería. Si la resistencia interna es alta, la batería es débil, como lo demuestra su bajo voltaje en los terminales. Los comprobadores de baterías miden el voltaje de los terminales bajo una carga para determinar el estado de una batería. (a) Un técnico de electrónica de la Armada de los EE. UU. utiliza un comprobador de baterías para probar grandes baterías a bordo del portaaviones USS Nimitz . El comprobador de baterías que utiliza tiene una pequeña resistencia que puede disipar grandes cantidades de energía. (b) El pequeño dispositivo que se muestra se utiliza en baterías pequeñas y tiene una pantalla digital para indicar la aceptabilidad del voltaje de los terminales. (crédito a: modificación del trabajo de Jason A. Johnston; crédito b: modificación del trabajo de Keith Williamson) Algunas baterías pueden recargarse haciendo pasar por ellas una corriente en sentido contrario a la que suministran a un aparato. Esto se hace de forma rutinaria en los automóviles y en las baterías de los pequeños aparatos eléctricos y electrónicos ( ). La salida de voltaje del cargador de baterías debe ser mayor que la emf de la batería para invertir la corriente que la atraviesa. Esto hace que el voltaje de los terminales de la batería sea mayor que la emf, ya que V = ε − I r y I es ahora negativo. Un cargador de baterías de automóvil invierte el sentido normal de la corriente a través de una batería, invirtiendo su reacción química y reponiendo su potencial químico. Es importante entender las consecuencias de la resistencia interna de las fuentes de emf, como las baterías y las células solares, pero a menudo, el análisis de los circuitos se hace con el voltaje de los terminales de la batería, como hemos hecho en los apartados anteriores. El voltaje de los terminales se denomina simplemente V , suprimiendo el subíndice “de los terminales”. Esto se debe a que la resistencia interna de la batería es difícil de medir directamente y puede cambiar con el tiempo. Resumen Todas las fuentes de voltaje tienen dos partes fundamentales: una fuente de energía eléctrica que tiene una fuerza electromotriz (emf) característica y una resistencia interna r . La emf es el trabajo realizado por carga para mantener constante la diferencia de potencial de una fuente. La emf es igual a la diferencia de potencial entre los terminales cuando no fluye la corriente. La resistencia interna r de una fuente de voltaje afecta el voltaje de salida cuando fluye una corriente. La salida de voltaje de un dispositivo se denomina voltaje de los terminales V terminal y viene dada por V terminal = ε − I r , donde I es la corriente eléctrica y es positiva cuando fluye desde el terminal positivo de la fuente de voltaje y r es la resistencia interna. Preguntas conceptuales ¿Qué efecto tendrá la resistencia interna de una batería recargable en la energía que se utiliza para recargarla? Parte de la energía que se utiliza para recargar la batería se disipará en forma de calor por la resistencia interna. Una batería con una resistencia interna de r y una emf de 10,00 V se conecta a un resistor de carga R = r . A medida que la batería envejece, la resistencia interna se triplica. ¿Cuánto se reduce la corriente a través del resistor de carga? Demuestre que la potencia disipada por el resistor de carga es máxima cuando la resistencia del resistor de carga es igual a la resistencia interna de la batería. P = I 2 R = ( ε r + R ) 2 R = ε 2 R ( r + R ) −2 , d P d R = ε 2 [ ( r + R ) −2 − 2 R ( r + R ) −3 ] = 0 , [ ( r + R ) − 2 R ( r + R ) 3 ] = 0 , r = R Problemas Una batería de automóvil con una emf de 12 V y una resistencia interna de 0,050 Ω se está cargando con una corriente de 60 A. Observe que en este proceso se está cargando la batería. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de sus terminales? (b) ¿A qué velocidad se disipa la energía térmica en la batería? (c) ¿A qué velocidad se convierte la energía eléctrica en energía química? La etiqueta de una radio a batería recomienda el uso de una celda recargable de níquel-cadmio (nicads), aunque tiene una emf de 1,25 V, mientras que una celda alcalina tiene una emf de 1,58 V. La radio tiene un 3,20 Ω resistencia. (a) Dibuja un diagrama del circuito de la radio y su batería. Ahora, calcule la potencia entregada a la radio (b) cuando se utilizan pilas de nicad, cada una con una resistencia interna de 0,0400 Ω , y c) cuando se utilice una pila alcalina, que tenga una resistencia interna de 0,200 Ω . (d) ¿Le parece significativa esta diferencia, teniendo en cuenta que la resistencia efectiva de la radio disminuye cuando se sube el volumen? a b. 0.476W; c. 0.691 W; d. Como R L , la diferencia de potencia disminuye; por lo tanto, a volúmenes más altos, no hay una diferencia significativa. El motor de arranque de un automóvil tiene una resistencia equivalente de 0,0500 Ω y se alimenta de una batería de 12,0 V con una 0,0100 - Ω resistencia interna. (a) ¿Cuál es la corriente que llega al motor? (b) ¿Qué voltaje se le aplica? (c) ¿Qué potencia se suministra al motor? (d) Repita estos cálculos para cuando las conexiones de la batería estén corroídas y añada 0,0900 Ω al circuito (incluso pequeñas cantidades de resistencia no deseada causan problemas importantes en aplicaciones de bajo voltaje y alta corriente). (a) ¿Cuál es la resistencia interna de una fuente de voltaje si su potencial en los terminales disminuye en 2,00 V cuando la corriente suministrada aumenta en 5,00 A? (b) ¿Puede hallarse la emf de la fuente de voltaje con la información suministrada? a. 0,400 Ω ; b. No, solo hay una ecuación independiente, por lo que solo se puede calcular r . Una persona con resistencia corporal entre sus manos de 10,0 k Ω agarra accidentalmente los terminales de una fuente de alimentación de 20,0 kV. (¡NO lo hagas!) (a) Dibuja un diagrama de circuito para representar la situación. (b) Si la resistencia interna de la fuente de alimentación es 2.000 Ω , ¿cuál es la corriente que atraviesa su cuerpo? (c) ¿Cuál es la potencia disipada en su cuerpo? (d) Si la fuente de alimentación debe hacerse segura aumentando su resistencia interna, ¿cuál debe ser la resistencia interna para que la corriente máxima en esta situación sea de 1,00 mA o menos? (e) ¿Comprometerá esta modificación la eficacia de la fuente de alimentación para accionar dispositivos de baja resistencia? Explique su razonamiento. Una batería de automóvil de 12,0 V emf tiene una voltaje de los terminales de 16,0 V cuando se carga con una corriente de 10,0 A. (a) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería? (b) ¿Qué potencia se disipa en el interior de la batería? (c) ¿A qué velocidad (en ° C / min ) aumentará su temperatura si su masa es de 20,0 kg y tiene un calor específico de 0,300 kcal/kg · ° C , suponiendo que no se escape el calor a. 0,400 Ω ; b. 40.0 W; c 0,0956 °C/min fuerza electromotriz (emf) energía producida por unidad de carga, extraída de una fuente que produce una corriente eléctrica resistencia interna cantidad de resistencia al flujo de corriente dentro de la fuente de voltaje diferencia de potencial diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un circuito eléctrico, medida en voltios caída de potencial pérdida de energía potencial eléctrica cuando una corriente atraviesa un resistor, un cable u otro componente voltaje en los terminales diferencia de potencial medida a través de los terminales de una fuente cuando no hay carga conectada

Ciencia


Resistores en serie y en paralelo En Corriente y resistencia , describimos el término "resistencia" y explicamos el diseño básico de un resistor. Básicamente, un resistor limita el flujo de carga en un circuito y es un dispositivo óhmico donde V = I R . La mayoría de los circuitos tienen más de un resistor. Si se conectan varios resistores entre sí y se conectan a una batería, la corriente suministrada por la batería depende de la resistencia equivalente del circuito. La resistencia equivalente de una combinación de resistores depende tanto de sus valores individuales como de su conexión. Las combinaciones más sencillas de resistores son las conexiones en serie y en paralelo ( ). En un circuito en serie , la corriente de salida del primer resistor fluye hacia la entrada del segundo resistor, por lo tanto, la corriente es la misma en cada resistor. En un circuito en paralelo , todos los cables de los resistores de un lado están conectados entre sí y todos los cables del otro lado están conectados entre sí. En el caso de una configuración en paralelo, cada resistor tiene la misma caída de potencial a través de él, y las corrientes a través de cada resistor pueden ser diferentes, dependiendo del resistor. La suma de las corrientes individuales es igual a la corriente que fluye por las conexiones en paralelo. (a) Para una conexión en serie de resistores, la corriente es la misma en cada uno de ellos. (b) Para una conexión en paralelo de resistores, el voltaje es el mismo en cada resistor. Resistores en serie Se dice que los resistores están en serie cuando la corriente fluye a través de ellos de forma secuencial. Consideremos la , que muestra tres resistores en serie con un voltaje aplicado igual a V a b . Como solo hay un camino por el que fluyen las cargas, la corriente es la misma a través de cada resistor. La resistencia equivalente de un conjunto de resistores en una conexión en serie es igual a la suma algebraica de los resistores individuales. (a) Tres resistores conectados en serie a una fuente de voltaje. (b) El circuito original se reduce a una resistencia equivalente y una fuente de voltaje. En la , la corriente procedente de la fuente de voltaje fluye a través de cada resistor, por lo que la corriente que pasa por cada resistor es la misma. La corriente que atraviesa el circuito depende del voltaje que suministra la fuente y de la resistencia de los resistores. Para cada resistor, se produce una caída de potencial que es igual a la pérdida de energía potencial eléctrica cuando una corriente viaja a través de cada resistor. Según la ley de Ohm, la caída de potencial V a través de un resistor cuando una corriente fluye por ella se calcula mediante la ecuación V = I R , donde I es la corriente en amperios (A) y R es la resistencia en ohmios ( Ω ) . Dado que se conserva la energía, y que el voltaje es igual a la energía potencial por carga, la suma del voltaje aplicado al circuito por la fuente y las caídas de potencial a través de los resistores individuales alrededor de un bucle debe ser igual a cero: ∑ i = 1 N V i = 0 . Esta ecuación suele denominarse ley de bucle de Kirchhoff, que veremos con más detalle más adelante en este capítulo. Para la , la suma de la caída de potencial de cada resistor y el voltaje suministrado por la fuente debe ser igual a cero: V − V 1 − V 2 − V 3 = 0 , V = V 1 + V 2 + V 3 , = I R 1 + I R 2 + I R 3 , I = V R 1 + R 2 + R 3 = V R S . Dado que la corriente que atraviesa cada componente es la misma, la igualdad puede simplificarse a una resistencia equivalente, que no es más que la suma de las resistencias de cada uno de los resistores. Se puede conectar en serie cualquier número de resistores. Si se conectan N resistores en serie, la resistencia equivalente es R S = R 1 + R 2 + R 3 + ⋯ + R N − 1 + R N = ∑ i = 1 N R i . Uno de los resultados de los componentes conectados en un circuito en serie es que si algo le ocurre a un componente, afecta a todos los demás. Por ejemplo, si varias lámparas están conectadas en serie y una de ellas se funde, todas las demás se apagan. Resistencia equivalente, corriente y potencia en un circuito en serie Una batería con un voltaje del terminal de 9 V se conecta a un circuito formado por cuatro resistores de 20 - Ω y uno de 10 - Ω , todos en serie ( ). Supongamos que la batería tiene una resistencia interna insignificante. (a) Calcule la resistencia equivalente del circuito. (b) Calcule la corriente que pasa por cada resistor. (c) Calcule la caída de potencial a través de cada resistor. (d) Determine la potencia total disipada por los resistores y la potencia suministrada por la batería. Un circuito en serie simple con cinco resistores. Estrategia En un circuito en serie, la resistencia equivalente es la suma algebraica de las resistencias. La corriente que atraviesa el circuito se puede calcular a partir de la ley de Ohm y es igual al voltaje dividido entre la resistencia equivalente. La caída de potencial a través de cada resistor se puede calcular utilizando la ley de Ohm. La potencia disipada por cada resistor se puede calcular mediante P = I 2 R , y la potencia total disipada por los resistores es igual a la suma de la potencia disipada por cada resistor. La potencia suministrada por la batería se puede calcular mediante P = I ε . Solución La resistencia equivalente es la suma algebraica de las resistencias: R S = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 = 20 Ω + 20 Ω + 20 Ω + 20 Ω + 10 Ω = 90 Ω . La corriente que atraviesa el circuito es la misma para cada resistor en un circuito en serie y es igual al voltaje aplicado dividido entre la resistencia equivalente: I = V R S = 9 V 90 Ω = 0,1 A. La caída de potencial a través de cada resistor se puede calcular mediante la ley de Ohm: V 1 = V 2 = V 3 = V 4 = ( 0,1 A ) 20 Ω = 2 V , V 5 = ( 0,1 A ) 10 Ω = 1 V , V 1 + V 2 + V 3 + V 4 + V 5 = 9 V . Observe que la suma de las caídas de potencial a través de cada resistor es igual al voltaje suministrado por la batería. La potencia disipada por un resistor es igual a P = I 2 R , y la potencia suministrada por la batería es igual a P = I ε : P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = ( 0,1 A ) 2 ( 20 Ω ) = 0,2 W , P 5 = ( 0,1 A ) 2 ( 10 Ω ) = 0,1 W , P disipada = 0,2 W + 0,2 W + 0,2 W + 0,2 W + 0,1 W = 0,9 W , P fuente = I ε = ( 0,1 A ) ( 9 V ) = 0,9 W . Importancia Hay varias razones por las que utilizaríamos varios resistores en vez de uno solo con una resistencia igual a la resistencia equivalente del circuito. Quizás no se disponga de un resistor del tamaño necesario o necesitemos disipar el calor generado o queramos minimizar el costo de los resistores. Cada resistor puede costar entre unos pocos céntimos y unos pocos dólares, pero cuando se multiplica por miles de unidades el ahorro de costos puede ser apreciable. Algunas cadenas de luces navideñas miniatura están hechas para provocar un cortocircuito cuando se quema una bombilla. El dispositivo que provoca el cortocircuito se llama derivación (o shunt), que permite que la corriente fluya alrededor del circuito abierto. Un "cortocircuito" es como poner un trozo de cable a través del componente. Las bombillas suelen estar agrupadas en series de nueve bombillas. Si se queman demasiadas bombillas, las derivaciones acaban por abrirse. ¿Cuál es la causa? La resistencia equivalente de nueve bombillas conectadas en serie es 9 R . La corriente es I = V / 9 R . Si una bombilla se quema, la resistencia equivalente es de 8 R , y el voltaje no cambia, pero la corriente aumenta ( I = V / 8 R ) . A medida que se van quemando más bombillas, la corriente es aun mayor. Con el tiempo, la corriente se vuelve demasiado alta, quemando la derivación. Resumamos brevemente las principales características de los resistores en serie: Las resistencias en serie se suman para obtener la resistencia equivalente: R S = R 1 + R 2 + R 3 + ⋯ + R N − 1 + R N = ∑ i = 1 N R i . La misma corriente fluye por cada resistor en serie. Los resistores individuales en serie no obtienen el voltaje total de la fuente, sino que lo dividen. La caída de potencial total a través de una configuración en serie de resistores es igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada resistor. Resistores en paralelo La muestra resistores en paralelo, conectados a una fuente de voltaje. Los resistores están en paralelo cuando un extremo de todos los resistores están conectados por un alambre continuo de resistencia insignificante y el otro extremo de todos los resistores también están conectados entre sí por un alambre continuo de resistencia insignificante. La caída de potencial a través de cada resistor es la misma. La corriente a través de cada resistor se puede calcular mediante la ley de Ohm I = V / R , donde el voltaje es constante a través de cada resistor. Por ejemplo, los faros, la radio y otros sistemas de un automóvil se conectan en paralelo, de modo que cada subsistema utiliza todo el voltaje de la fuente y puede funcionar de forma totalmente independiente. Lo mismo ocurre con el cableado de su casa o de cualquier edificio. (a) Dos resistores conectados en paralelo a una fuente de voltaje. (b) El circuito original se reduce a una resistencia equivalente y una fuente de voltaje. La corriente que fluye desde la fuente de voltaje en la depende del voltaje suministrado por la fuente y de la resistencia equivalente del circuito. En este caso, la corriente fluye desde la fuente de voltaje y entra en una unión, o nodo, donde el circuito se divide fluyendo a través de resistores R 1 y R 2 . Cuando las cargas fluyen desde la batería, algunas pasan por el resistor R 1 y un poco de flujo a través del resistor R 2 . La suma de las corrientes que fluyen hacia una unión debe ser igual a la suma de las corrientes que fluyen fuera de la unión: ∑ I dentro = ∑ I fuera . Esta ecuación se denomina regla de nodos de Kirchhoff y se analizará en detalle en la siguiente sección. En la , la regla de nodos da I = I 1 + I 2 . Hay dos bucles en este circuito, lo que lleva a las ecuaciones V = I 1 R 1 y I 1 R 1 = I 2 R 2 . Observe que el voltaje a través de los resistores en paralelo es la misma ( V = V 1 = V 2 ) y la corriente es aditiva: I = I 1 + I 2 = V 1 R 1 + V 2 R 2 = V R 1 + V R 2 = V ( 1 R 1 + 1 R 2 ) = V R P R P = ( 1 R 1 + 1 R 2 ) −1 . Generalizando a cualquier número de resistores N , la resistencia equivalente R P de una conexión en paralelo está relacionada con las resistencias individuales por R P = ( 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + ⋯ + 1 R N − 1 + 1 R N ) −1 = ( ∑ i = 1 N 1 R i ) −1 . Esta relación da como resultado una resistencia equivalente R P que es menor que las resistencias individuales más pequeñas. Cuando los resistores están conectados en paralelo, fluye más corriente desde la fuente que la que fluiría por cualquiera de ellas individualmente, por lo que la resistencia total es menor. Análisis de un circuito paralelo Tres resistores R 1 = 1,00 Ω , R 2 = 2,00 Ω , y R 3 = 2,00 Ω , están conectados en paralelo. La conexión en paralelo está unida a una fuente de voltaje V = 3,00 V . (a) ¿Cuál es la resistencia equivalente? (b) Calcule la corriente suministrada por la fuente al circuito paralelo. (c) Calcule las corrientes en cada resistor y demuestre que estos se suman para igualar la salida de corriente de la fuente. (d) Calcule la potencia disipada por cada resistor. (e) Calcule la potencia de salida de la fuente y demuestre que es igual a la potencia total disipada por los resistores. Estrategia (a) La resistencia total para una combinación en paralelo de resistores se encuentra utilizando R P = ( ∑ i 1 R i ) −1 . (Tenga en cuenta que en estos cálculos, cada respuesta intermedia se muestra con un dígito extra). (b) La corriente suministrada por la fuente se puede calcular a partir de la ley de Ohm, al sustituir R P por la resistencia total I = V R P . (c) Las corrientes individuales se calculan fácilmente a partir de la ley de Ohm ( I i = V i R i ) , ya que cada resistor recibe todo el voltaje. La corriente total es la suma de las corrientes individuales I = ∑ i I i . (d) La potencia disipada por cada resistor se puede calcular con cualquiera de las ecuaciones que relacionan la potencia con la corriente, el voltaje y la resistencia, ya que las tres son conocidas. Utilicemos P i = V 2 / R i , ya que cada resistor recibe todo el voltaje. (e) La potencia total también se puede calcular de varias maneras, utilice P = I V . Solución La resistencia total para una combinación en paralelo de resistores se encuentra utilizando la . Introduciendo los valores conocidos se obtiene R P = ( 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 ) −1 = ( 1 1,00 Ω + 1 2,00 Ω + 1 2,00 Ω ) −1 = 0,50 Ω . La resistencia total con el número correcto de dígitos significativos es R P = 0,50 Ω . Como se predijo, R P es menor que la resistencia individual más pequeña. La corriente total se puede calcular a partir de la ley de Ohm, al sustituir R P para la resistencia total. Esto da I = V R P = 3,00 V 0,50 Ω = 6,00 A . La corriente I de cada dispositivo es mucho mayor que la de los mismos dispositivos conectados en serie (ver el ejemplo anterior). Un circuito con conexiones en paralelo tiene una resistencia total menor que los resistores conectados en serie. Las corrientes individuales se calculan fácilmente a partir de la ley de Ohm, ya que cada resistor recibe todo el voltaje. Por lo tanto, I 1 = V R 1 = 3,00 V 1,00 Ω = 3,00 A . De la misma manera, I 2 = V R 2 = 3,00 V 2,00 Ω = 1,50 A y I 3 = V R 3 = 6,00 V 2,00 Ω = 1,50 A . La corriente total es la suma de las corrientes individuales: I 1 + I 2 + I 3 = 6,00 A . La potencia disipada por cada resistor se puede hallar utilizando cualquiera de las ecuaciones que relacionan potencia con corriente, voltaje y resistencia, ya que las tres son conocidas. Utilicemos P = V 2 / R , ya que cada resistor recibe todo el voltaje. Por lo tanto, P 1 = V 2 R 1 = ( 3,00 V ) 2 1,00 Ω = 9,00 W . De la misma manera, P 2 = V 2 R 2 = ( 3,00 V ) 2 2,00 Ω = 4,50 W y P 3 = V 2 R 3 = ( 3,00 V ) 2 2,00 Ω = 4,50 W . La potencia total también se puede calcular de varias maneras. Eligiendo P = I V e introduciendo los rendimientos totales de la corriente P = I V = ( 6,00 A ) ( 3,00 V ) = 18,00 W . Importancia La potencia total disipada por los resistores es también de 18,00 W: P 1 + P 2 + P 3 = 9,00 W + 4,50 W + 4,50 W = 18,00 W . Observe que la potencia total disipada por los resistores es igual a la potencia suministrada por la fuente. Considere la misma diferencia de potencial ( V = 3,00 V ) aplicada a los mismos tres resistores conectados en serie. ¿La resistencia equivalente del circuito en serie sería mayor, menor o igual a la de los tres resistores en paralelo? ¿La corriente que circula por el circuito en serie sería mayor, menor o igual que la proporcionada por el mismo voltaje aplicado al circuito paralelo? ¿Cómo se compararía la potencia disipada por el resistor en serie con la potencia disipada por los resistores en paralelo? El equivalente del circuito en serie sería R eq = 1,00 Ω + 2,00 Ω + 2,00 Ω = 5,00 Ω , que es mayor que la resistencia equivalente del circuito paralelo R eq = 0,50 Ω . El resistor equivalente de cualquier número de resistores siempre es mayor que la resistencia equivalente de los mismos resistores conectados en paralelo. La corriente de paso para el circuito en serie sería I = 3,00 V 5,00 Ω = 0,60 A , que es menor que la suma de las corrientes a través de cada resistor en el circuito paralelo, I = 6,00 A . Esto no es sorprendente ya que la resistencia equivalente del circuito en serie es mayor. La corriente que pasa por una conexión en serie de cualquier número de resistores siempre será menor que la que pasa por una conexión en paralelo de los mismos resistores, ya que la resistencia equivalente del circuito en serie será mayor que la del circuito paralelo. La potencia disipada por los resistores en serie sería P = 1,80 W , que es inferior a la potencia disipada en el circuito paralelo P = 18,00 W . ¿Cómo utilizaría un río y dos cascadas para modelar una configuración en paralelo de dos resistores? ¿Cómo se rompe esta analogía? Un río, que fluye horizontalmente a un ritmo constante, se divide en dos y fluye por dos cascadas. Las moléculas de agua son análogas a los electrones en los circuitos paralelos. El número de moléculas de agua que fluyen en el río y en las cascadas debe ser igual al número de moléculas que fluyen en cada cascada, al igual que la suma de la corriente que pasa por cada resistor debe ser igual a la corriente que fluye en el circuito paralelo. Las moléculas de agua en el río tienen energía debido a su movimiento y a su altura. La energía potencial de las moléculas de agua en el río es constante debido a la igualdad de sus alturas. Esto es análogo a la variación constante del voltaje en un circuito paralelo. El voltaje es la energía potencial a través de cada resistor. La analogía se rompe rápidamente al considerar la energía. En la cascada, la energía potencial se convierte en energía cinética de las moléculas de agua. En el caso de los electrones que fluyen a través de un resistor, la caída de potencial se convierte en calor y luz, no en energía cinética de los electrones. Resumamos las principales características de los resistores en paralelo: La resistencia equivalente se encuentra a partir de R P = ( 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + ⋯ + 1 R N − 1 + 1 R N ) −1 = ( ∑ i = 1 N 1 R i ) −1 , y es menor que cualquier resistencia individual de la combinación. La caída de potencial a través de cada resistor en paralelo es la misma. Los resistores en paralelo no reciben cado uno la corriente total, sino que la dividen. La corriente que entra en una combinación en paralelo de resistores es igual a la suma de la corriente que pasa por cada resistor en paralelo. En este capítulo introducimos la resistencia equivalente de los resistores conectados en serie y los conectados en paralelo. Tal vez recuerde que en Capacitancia introdujimos la capacitancia equivalente de los condensadores conectados en serie y en paralelo. Los circuitos suelen contener condensadores y resistores. La resume las ecuaciones utilizadas para la resistencia equivalente y la capacitancia equivalente para las conexiones en serie y en paralelo. Resumen de la resistencia equivalente y la capacitancia en combinaciones en paralelo y en serie. Combinación de series Combinación en paralelo Capacitancia equivalente 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + ⋯ C P = C 1 + C 2 + C 3 + ⋯ Resistencia equivalente R S = R 1 + R 2 + R 3 + ⋯ = ∑ i = 1 N R i 1 R P = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + ⋯ Combinaciones en serie y en paralelo Las conexiones más complejas de los resistores suelen ser solo combinaciones de conexiones en serie y en paralelo. Estas combinaciones son habituales, sobre todo si se tiene en cuenta la resistencia de los cables. En ese caso, la resistencia del cable está en serie con otras resistencias que están en paralelo. Las combinaciones en serie y en paralelo pueden reducirse a una única resistencia equivalente mediante la técnica ilustrada en la . Varias partes pueden identificarse como conexiones en serie o en paralelo, reducidas a sus resistencias equivalentes, y luego reducidas aun más hasta que quede una sola resistencia equivalente. El proceso es más largo que difícil. Aquí, anotamos la resistencia equivalente como R eq . (a) El circuito original de cuatro resistores. (b) Paso 1: los resistores R 3 y R 4 están en serie y la resistencia equivalente es R 34 = 10 Ω . (c) Paso 2: el circuito reducido muestra los resistores R 2 y R 34 que están en paralelo, con una resistencia equivalente de R 234 = 5 Ω . (d) Paso 3: el circuito reducido muestra que R 1 y R 234 están en serie con una resistencia equivalente de R 1.234 = 12 Ω , que es la resistencia equivalente R eq . (e) El circuito reducido con una fuente de voltaje de V = 24 V con una resistencia equivalente de R eq = 12 Ω . Esto da lugar a una corriente de I = 2 A de la fuente de voltaje. Observe que los resistores R 3 y R 4 están en serie. Pueden combinarse en una sola resistencia equivalente. Un método para seguir el proceso es incluir los resistores como subíndices. Aquí la resistencia equivalente de R 3 y R 4 es R 34 = R 3 + R 4 = 6 Ω + 4 Ω = 10 Ω . El circuito se reduce ahora a tres resistores, mostrados en la (c). Volviendo a dibujar, ahora vemos que los resistores R 2 y R 34 constituyen un circuito paralelo. Esos dos resistores pueden reducirse a una resistencia equivalente: R 234 = ( 1 R 2 + 1 R 34 ) −1 = ( 1 10 Ω + 1 10 Ω ) −1 = 5 Ω . Este paso del proceso reduce el circuito a dos resistores, que se muestran en la (d). Aquí, el circuito se reduce a dos resistores, que en este caso están en serie. Estos dos resistores pueden reducirse a una resistencia equivalente, que es la resistencia equivalente del circuito: R eq = R 1.234 = R 1 + R 234 = 7 Ω + 5 Ω = 12 Ω . La meta principal de este análisis del circuito se ha alcanzado, y el circuito se reduce ahora a un solo resistor y una sola fuente de voltaje. Ahora podemos analizar el circuito. La corriente proporcionada por la fuente de voltaje es I = V R eq = 24 V 12 Ω = 2 A . Esta corriente pasa por el resistor R 1 y se designa como I 1 . La caída de potencial a través de R 1 se puede calcular mediante la ley de Ohm: V 1 = I 1 R 1 = ( 2 A ) ( 7 Ω ) = 14 V . Mirando la (c), esto deja 24 V − 14 V = 10 V que se dejan caer a través de la combinación en paralelo de R 2 y R 34 . La corriente a través de R 2 se puede calcular mediante la ley de Ohm: I 2 = V 2 R 2 = 10 V 10 Ω = 1 A . Los resistores R 3 y R 4 están en serie por lo que las corrientes I 3 y I 4 son iguales a I 3 = I 4 = I − I 2 = 2 A − 1 A = 1 A . Con la ley de Ohm podemos calcular la caída de potencial a través de los dos últimos resistores. Las caídas de potencial son V 3 = I 3 R 3 = 6 V y V 4 = I 4 R 4 = 4 V . El análisis final consiste en observar la potencia suministrada por la fuente de voltaje y la potencia disipada por los resistores. La potencia disipada por los resistores es P 1 = I 1 2 R 1 = ( 2 A ) 2 ( 7 Ω ) = 28 W , P 2 = I 2 2 R 2 = ( 1 A ) 2 ( 10 Ω ) = 10 W , P 3 = I 3 2 R 3 = ( 1 A ) 2 ( 6 Ω ) = 6 W , P 4 = I 4 2 R 4 = ( 1 A ) 2 ( 4 Ω ) = 4 W , P disipada = P 1 + P 2 + P 3 + P 4 = 48 W . La energía total es constante en cualquier proceso. Por lo tanto, la potencia suministrada por la fuente de voltaje es P s = I V = ( 2 A ) ( 24 V ) = 48 W . Analizar la potencia suministrada al circuito y la potencia disipada por los resistores es una buena comprobación de la validez del análisis; deben ser iguales. Combinación de circuitos en serie y en paralelo La muestra resistores conectados en una combinación de serie y paralelo. Podemos considerar que R 1 sea la resistencia de los cables que conducen a R 2 y R 3 . (a) Calcule la resistencia equivalente del circuito. (b) ¿Cuál es la caída de potencial V 1 a través del resistor R 1 ? (c) Calcule la corriente I 2 a través del resistor R 2 . (d) ¿Qué potencia se disipa por R 2 ? Estos tres resistores se conectan a una fuente de voltaje de manera que R 2 y R 3 están en paralelo entre sí y esa combinación está en serie con R 1 . Estrategia (a) Para hallar la resistencia equivalente, primero calcule la resistencia equivalente de la conexión en paralelo de R 2 y R 3 . A continuación, utilice este resultado para calcular la resistencia equivalente de la conexión en serie con R 1 . (b) La corriente a través de R 1 se puede calcular mediante la ley de Ohm y el voltaje aplicado. La corriente a través de R 1 es igual a la corriente de la batería. La caída de potencial V 1 a través del resistor R 1 (que representa la resistencia en los cables de conexión) se puede calcular mediante la ley de Ohm. (c) La corriente a través de R 2 se puede calcular mediante la ley de Ohm I 2 = V 2 R 2 . El voltaje a través de R 2 se puede calcular mediante V 2 = V − V 1 . (d) Utilizando la ley de Ohm ( V 2 = I 2 R 2 ) , la potencia disipada por el resistor también se puede calcular mediante P 2 = I 2 2 R 2 = V 2 2 R 2 . Solución Para calcular la resistencia equivalente del circuito, observe que la conexión en paralelo de R 2 y R 3 está en serie con R 1 , por lo que la resistencia equivalente es R eq = R 1 + ( 1 R 2 + 1 R 3 ) −1 = 1,00 Ω + ( 1 6,00 Ω + 1 13,00 Ω ) −1 = 5,10 Ω . La resistencia total de esta combinación es intermedia entre los valores puros en serie y en paralelo ( 20,0 Ω y 0,804 Ω , respectivamente). La corriente a través de R 1 es igual a la corriente suministrada por la batería: I 1 = I = V R eq = 12,0 V 5,10 Ω = 2,35 A . El voltaje a través de R 1 es V 1 = I 1 R 1 = ( 2,35 A ) ( 1 Ω ) = 2,35 V . El voltaje aplicado a R 2 y R 3 es inferior al voltaje suministrado por la batería en una cantidad V 1 . Cuando la resistencia del cable es grande, puede afectar significativamente el funcionamiento de los dispositivos representados por R 2 y R 3 . Para calcular la corriente a través de R 2 , primero debemos calcular el voltaje que se le aplica. El voltaje a través de los dos resistores en paralelo es la misma: V 2 = V 3 = V − V 1 = 12,0 V − 2,35 V = 9,65 V . Ahora podemos calcular la corriente I 2 a través de la resistencia R 2 utilizando la ley de Ohm: I 2 = V 2 R 2 = 9,65 V 6,00 Ω = 1,61 A . La corriente es inferior a los 2,00 A que circularon por R 2 cuando estaba conectado en paralelo con la batería en el ejemplo anterior de circuito paralelo. La potencia disipada por R 2 viene dada por P 2 = I 2 2 R 2 = ( 1,61 A ) 2 ( 6,00 Ω ) = 15,5 W . Importancia A menudo, el análisis de circuitos complejos puede simplificarse reduciendo el circuito a una fuente de voltaje y una resistencia equivalente. Aunque no se pueda reducir todo el circuito a una sola fuente de voltaje y una sola resistencia equivalente, se pueden reducir partes del circuito, lo que simplifica mucho el análisis. Considere los circuitos eléctricos de su casa. Dé al menos dos ejemplos de circuitos que deban utilizar una combinación de circuitos en serie y en paralelo para funcionar eficazmente. 1. Todos los circuitos de iluminación de techo están en paralelo y conectados a la línea de alimentación principal, por lo que cuando una bombilla se funde, no se apaga toda la iluminación superior. Cada lámpara de techo tendrá al menos un interruptor en serie con la luz, para poder encenderla y apagarla. 2. Un refrigerador tiene un compresor y una luz que se enciende al abrir la puerta. Por lo general, solo hay un cable para enchufar el refrigerador a la pared. El circuito que contiene el compresor y el que contiene el circuito de iluminación están en paralelo, pero hay un interruptor en serie con la luz. Un termostato controla un interruptor que está en serie con el compresor para controlar la temperatura del refrigerador. Implicaciones prácticas Una implicación de este último ejemplo es que la resistencia en los cables reduce la corriente y la potencia suministrada a un resistor. Si la resistencia del cable es relativamente grande, como en un cable de extensión desgastado (o muy largo), entonces esta pérdida puede ser significativa. Si se consume una corriente grande, la caída de IR en los cables también puede ser significativa y puede manifestarse por el calor generado en el cable. Por ejemplo, cuando está rebuscando en el refrigerador y se enciende el motor, la luz del refrigerador se atenúa momentáneamente. Del mismo modo, puede ver cómo se atenúa la luz del compartimiento del pasajero cuando arranca el motor de su automóvil (aunque esto puede deberse a la resistencia dentro de la propia batería). Lo que ocurre en estas situaciones de alta corriente se ilustra en la . El dispositivo representado por R 3 tiene una resistencia muy baja, por lo que cuando se enciende, fluye una corriente grande. Este aumento de la corriente provoca una mayor caída de IR en los cables representada por R 1 , reduciendo el voltaje a través de la bombilla (que es R 2 ), que luego se atenúa notablemente. ¿Por qué se atenúan las luces cuando se enciende un aparato grande? La respuesta es que la gran corriente que consume el motor del aparato provoca una importante caída de IR en los cables y reduce el voltaje en la luz. Resistores en serie y en paralelo Dibuje un diagrama de circuito claro, etiquetando todos los resistores y fuentes de voltaje. Este paso incluye una lista de los valores conocidos para el problema, ya que están marcados en su diagrama de circuito. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identificar las incógnitas). Es útil tener una lista escrita. Determine si los resistores están en serie, en paralelo o una combinación de ambas. Examine el diagrama del circuito para hacer esta evaluación. Los resistores están en serie si la misma corriente debe pasar secuencialmente por ellos. Utilice la lista apropiada de características principales para las conexiones en serie o en paralelo para resolver las incógnitas. Hay una lista para la serie y otra para el paralelo. Compruebe si las respuestas son razonables y coherentes. Combinación de circuitos en serie y en paralelo Dos resistores conectados en serie ( R 1 , R 2 ) se conectan a dos resistores que se conectan en paralelo ( R 3 , R 4 ) . La combinación serie-paralelo se conecta a una batería. Cada resistor tiene una resistencia de 10,00 ohmios. Los cables que conectan los resistores y la batería tienen una resistencia insignificante. Una corriente de 2,00 amperios pasa por el resistor R 1 . ¿Cuál es el voltaje suministrado por la fuente de voltaje? Estrategia Utilice los pasos de la estrategia de resolución de problemas anterior para hallar la solución de este ejemplo. Solución Dibuje un diagrama de circuito claro ( ). Para calcular el voltaje desconocido, primero debemos calcular la resistencia equivalente del circuito. La incógnita es el voltaje de la batería. Para calcular el voltaje suministrado por la batería, hay que hallar la resistencia equivalente. En este circuito, ya sabemos que los resistores R 1 y R 2 están en serie y los resistores R 3 y R 4 están en paralelo. La resistencia equivalente de la configuración en paralelo de los resistores R 3 y R 4 está en serie con la configuración en serie de los resistores R 1 y R 2 . El voltaje suministrado por la batería se puede calcular multiplicando la corriente de la batería por la resistencia equivalente del circuito. La corriente de la batería es igual a la corriente que pasa por R 1 y es igual a 2,00 A. Tenemos que calcular la resistencia equivalente reduciendo el circuito. Para reducir el circuito, primero considere los dos resistores en paralelo. La resistencia equivalente es R 34 = ( 1 10,00 Ω + 1 10,00 Ω ) −1 = 5,00 Ω . Esta combinación en paralelo está en serie con los otros dos resistores, por lo que la resistencia equivalente del circuito es R eq = R 1 + R 2 + R 34 = 25,00 Ω . Por lo tanto, el voltaje suministrado por la batería es V = I R eq = 2,00 A ( 25,00 Ω ) = 50,00 V . Una forma de comprobar la coherencia de sus resultados es calcular la potencia suministrada por la batería y la potencia disipada por los resistores. La potencia suministrada por la batería es P batería = I V = 100,00 W . Como están en serie, la corriente que pasa por R 2 es igual a la corriente que pasa por R 1 . Dado que R 3 = R 4 , la corriente a través de cada uno será de 1,00 amperios. La potencia disipada por los resistores es igual a la suma de la potencia disipada por cada resistor: P = I 1 2 R 1 + I 2 2 R 2 + I 3 2 R 3 + I 4 2 R 4 = 40,00 W + 40,00 W + 10,00 W + 10,00 W = 100,00 W . Como la potencia disipada por los resistores es igual a la potencia suministrada por la batería, nuestra solución parece coherente. Importancia Si un problema tiene una combinación en serie y en paralelo, como en este ejemplo, puede reducirse por pasos utilizando la estrategia de resolución de problemas anterior y considerando grupos individuales de conexiones en serie o en paralelo. Al calcular R eq para una conexión en paralelo, el recíproco debe tomarse con cuidado. Además, las unidades y los resultados numéricos deben ser razonables. La resistencia equivalente en serie debe ser mayor, mientras que la resistencia equivalente en paralelo debe ser menor, por ejemplo. La potencia debe ser mayor para los mismos dispositivos en paralelo que en serie, y así sucesivamente. Resumen La resistencia equivalente de un circuito eléctrico con resistores conectadas en serie es la suma de las resistencias individuales R s = R 1 + R 2 + R 3 + ⋯ = ∑ i = 1 N R i . Cada resistor en un circuito en serie tiene la misma cantidad de corriente que fluye a través de él. La caída de potencial, o disipación de potencia, a través de cada resistor individual en una serie es diferente, y su total combinado es la entrada de la fuente de energía. La resistencia equivalente de un circuito eléctrico con resistores conectados en paralelo es menor que la resistencia más baja de cualquiera de los componentes y puede determinarse mediante la fórmula R eq = ( 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + ⋯ ) −1 = ( ∑ i = 1 N 1 R i ) −1 . Cada resistor de un circuito paralelo tiene el mismo voltaje completo de la fuente que se le aplica. La corriente que fluye por cada resistor en un circuito paralelo es diferente, dependiendo de la resistencia. Si una conexión más compleja de resistores es una combinación de serie y paralelo, puede reducirse a una sola resistencia equivalente identificando sus distintas partes como serie o paralelo, reduciendo cada una a su equivalente y continuando hasta llegar a una sola resistencia. Preguntas conceptuales Se produce un voltaje a través de un interruptor abierto. ¿Cuál es la potencia disipada por el interruptor abierto? La gravedad de una descarga depende de la magnitud de la corriente que atraviesa su cuerpo. ¿Preferiría estar en serie o en paralelo con una resistencia, como el elemento de calentamiento de una tostadora, si recibiera una descarga eléctrica? Explique. Probablemente sea mejor que esté en serie porque la corriente será menor que si estuviera en paralelo. Suponga que está trabajando en un laboratorio de física en el que le piden que ponga un resistor en un circuito, pero todos los resistores suministrados tienen una resistencia mayor que el valor solicitado. ¿Cómo conectaría las resistencias disponibles para intentar conseguir el valor más pequeño que se pide? Algunas bombillas tienen tres niveles de potencia (sin incluir el cero), obtenidos a partir de múltiples filamentos que se conmutan individualmente y se conectan en paralelo. ¿Cuál es el número mínimo de filamentos necesarios para tres ajustes de potencia? dos filamentos, uno de baja resistencia y otro de alta resistencia, conectados en paralelo Problemas (a) ¿Cuál es la resistencia de un resistor de 1,00 × 10 2 - Ω , de 2,50 -k Ω y de 4,00 -k Ω conectado en serie? (b) ¿En paralelo? ¿Cuáles son las resistencias más grandes y más pequeñas que se pueden obtener conectando un resistor de 36,0 - Ω , de 50,0 - Ω y de 700 - Ω juntos? el más grande, 786 Ω , el más pequeño, 20,32 Ω Una tostadora de 1800 W, un altavoz de 1400 W y una lámpara de 75 W están conectados a la misma toma de corriente en un fusible de 15 A y un circuito de 120 V. (Los tres aparatos están en paralelo cuando se conectan a la misma toma de corriente). (a) ¿Qué corriente consume cada aparato? (b) ¿Esta combinación fundirá el fusible de 15 A? Los faros de 30,0 W y el motor de arranque de 2,40 kW de su automóvil suelen estar conectados en paralelo en un sistema de 12,0 V. ¿Qué potencia consumirían un faro y el motor de arranque si se conectaran en serie a una batería de 12,0 V? (Ignore cualquier otra resistencia en el circuito y cualquier cambio de resistencia en los dos dispositivos). 29,6 W (a) Dada una batería de 48,0 V y resistores de 24,0 - Ω y 96,0 - Ω , calcule la corriente y la potencia de cada uno cuando están conectados en serie. (b) Repita cuando las resistencias están en paralelo. Refiriéndose al ejemplo que combina circuitos en serie y en paralelo y la , calcule I 3 de las siguientes dos maneras diferentes: (a) a partir de los valores conocidos de I y I 2 ; (b) utilizando la ley de Ohm para R 3 . En ambas partes demuestre de manera explícita cómo se siguen los pasos en . a. 0,74 A; b. 0,742 A Consultando la , (a) Calcule P 3 y observe cómo se compara con P 3 que se encuentran en los dos primeros problemas de ejemplo de este módulo. (b) Calcule la potencia total suministrada por la fuente y compárela con la suma de las potencias disipadas por los resistores. Consulte la y la discusión sobre la atenuación de las luces cuando se enciende un aparato pesado. (a) Dado que la fuente de voltaje es de 120 V, la resistencia del cable es 0,800 Ω, y la bombilla es nominalmente de 75,0 W, ¿qué potencia disipará la bombilla si pasa un total de 15,0 A por los cables cuando se enciende el motor? Supongamos que la resistencia de la bombilla es insignificante. (b) ¿Qué potencia consume el motor? a. 60,8 W; b. 1,56 kW Demuestre que si dos resistores R 1 y R 2 se combinan y uno es mucho mayor que el otro ( R 1 ≫ R 2 ) , (a) su resistencia en serie es casi igual a la resistencia más grande R 1 y (b) su resistencia en paralelo es casi igual a la resistencia más pequeña R 2 . Considere el circuito que se muestra a continuación. El voltaje del terminal de la batería es V = 18,00 V . (a) Calcule la resistencia equivalente del circuito. (b) Calcule la corriente a través de cada resistor. (c) Calcule la caída de potencial a través de cada resistor. (d) Calcule la potencia disipada por cada resistor. (e) Calcule la potencia suministrada por la batería. a. R s = 9,00 Ω ; b. I 1 = I 2 = I 3 = 2,00 A ; c. V 1 = 8,00 V , V 2 = 2,00 V , V 3 = 8,00 V ; d. P 1 = 16,00 W , P 2 = 4,00 W , P 3 = 16,00 W ; e. P = 36,00 W resistencia equivalente resistencia de una combinación de resistores; puede considerarse como la resistencia de un solo resistor que puede sustituir a una combinación de resistores en un circuito paralelo o en serie.

Ciencia


Reglas de Kirchhoff Acabamos de ver que algunos circuitos pueden analizarse reduciendo un circuito a una única fuente de voltaje y una resistencia equivalente. Muchos circuitos complejos no pueden analizarse con las técnicas en serie-en paralelo desarrolladas en los apartados anteriores. En esta sección se profundiza en el uso de las reglas de Kirchhoff para analizar circuitos más complejos. Por ejemplo, el circuito que aparece en la se conoce como circuito de bucle múltiple) , que consiste en uniones. Una unión, también conocida como nodo, es una conexión de tres o más cables. En este circuito no se pueden utilizar los métodos anteriores, porque no todos los resistores están en configuraciones claras en serie o en paralelo que se puedan reducir. Pruébelo. Los resistores R 1 y R 2 están en serie y pueden reducirse a una resistencia equivalente. Lo mismo ocurre con los resistores R 4 y R 5 . Pero, ¿qué puede hacer entonces? Aunque este circuito no se puede analizar con los métodos ya aprendidos, se pueden utilizar dos reglas de análisis de circuitos para analizar cualquier circuito, simple o complejo. Estas reglas se conocen como reglas de Kirchhoff , en honor a su inventor Gustav Kirchhoff (1824-1887). Este circuito no puede reducirse a una combinación de conexiones en serie y en paralelo. Sin embargo, podemos utilizar las reglas de Kirchhoff para analizarlo. Reglas de Kirchhoff Primera regla de Kirchhoff: la regla de nodos. La suma de todas las corrientes que entran en un nodo debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen del nodo: ∑ I dentro = ∑ I fuera . Segunda regla de Kirchhoff: la regla de las tensiones. La suma algebraica de los cambios de potencial alrededor de cualquier trayectoria de circuito cerrado (bucle) debe ser cero: ∑ V = 0 . A continuación explicamos estas dos reglas, seguidas de pistas para aplicarlas y de un ejemplo práctico que las utiliza. Primera regla de Kirchhoff La primera regla de Kirchhoff (la regla de nodos ) se aplica a la carga que entra y sale de un nodo ( ). Como ya se ha dicho, una unión, o nodo, es una conexión de tres o más cables. La corriente es el flujo de carga, y la carga se conserva; por lo tanto, cualquier carga que entre en el nodo debe salir. La carga debe conservarse, por lo que la suma de las corrientes que entran en un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de él. Aunque es una simplificación excesiva, se puede hacer una analogía con las tuberías de agua conectadas en un empalme de fontanería. Si los cables de la se sustituyeran por tuberías de agua, y se supusiera que el agua es incompresible, el volumen de agua que entra en la unión debe ser igual al volumen de agua que sale de ella. Segunda regla de Kirchhoff La segunda regla de Kirchhoff (la regla de las tensiones ) se aplica a las diferencias de potencial. La regla de las tensiones se expresa en términos de potencial V y no de energía potencial, pero ambas están relacionadas, ya que U = q V . En un bucle cerrado, sea cual sea la energía suministrada por una fuente de voltaje, esta debe ser transferida a otras formas por los dispositivos en el bucle, ya que no hay otras formas de transferir la energía dentro o fuera del circuito. La regla de las tensiones de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las diferencias de potencial, incluido el voltaje suministrado por las fuentes de voltaje y los elementos resistivos, en cualquier bucle debe ser igual a cero. Por ejemplo, consideremos un bucle simple sin nodos, como en la . Un bucle simple sin nodos. La regla de las tensiones de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las diferencias de voltaje es igual a cero. El circuito consta de una fuente de voltaje y tres resistores de carga externas. Las marcas a , b , c y d sirven de referencia y no tienen ningún otro significado. La utilidad de estas marcas se pondrá de manifiesto en breve. El bucle se designa como bucle abcda , y las marcas ayudan a llevar la cuenta de las diferencias de voltaje a medida que recorremos el circuito. Comienza en el punto a y viaja hasta el punto b . El voltaje de la fuente de voltaje se añade a la ecuación y la caída de potencial del resistor R 1 se resta. Del punto b al c , la caída de potencial a través de R 2 se resta. De c a d , la caída de potencial a través de R 3 se resta. Del punto d al a no se hace nada porque no hay componentes. la muestra un gráfico del voltaje a medida que recorremos el bucle. El voltaje aumenta al atravesar la batería, mientras que disminuye al atravesar un resistor. La caída de potencial , o cambio en el potencial eléctrico, es igual a la corriente que atraviesa el resistor por su resistencia. Como los cables tienen una resistencia insignificante, el voltaje se mantiene constante al cruzar los cables que conectan los componentes. Un gráfico de voltaje a medida que recorremos el circuito. El voltaje aumenta al cruzar la batería y disminuye al cruzar cada resistor. Como la resistencia del cable es bastante pequeña, suponemos que el voltaje se mantiene constante al cruzar los cables que conectan los componentes. Entonces la regla de las tensiones de Kirchhoff dice V − I R 1 − I R 2 − I R 3 = 0 . La ecuación del bucle puede utilizarse para hallar la corriente que lo atraviesa: I = V R 1 + R 2 + R 2 = 12,00 V 1,00 Ω + 2,00 Ω + 3,00 Ω = 2,00 A . Este bucle podría haberse analizado con los métodos anteriores, pero en la siguiente sección demostraremos la potencia del método de Kirchhoff. Aplicación de las reglas de Kirchhoff Al aplicar las reglas de Kirchhoff, generamos un conjunto de ecuaciones lineales que nos permiten hallar los valores desconocidos en los circuitos. Pueden ser corrientes, voltajes o resistencias. Cada vez que se aplica una regla, se produce una ecuación. Si hay tantas ecuaciones independientes como incógnitas, el problema se puede resolver. La utilización del método de análisis de Kirchhoff requiere varios pasos, como se indica en el siguiente procedimiento. Reglas de Kirchhoff Marque los puntos del circuito con las letras minúsculas a , b , c .... Estas marcas simplemente ayudan a la orientación. Localice los nodos en el circuito. Los nodos son puntos donde se conectan tres o más cables. Rotule cada nodo con las corrientes y direcciones de entrada y salida. Asegúrese de que al menos una corriente apunte hacia el nodo y al menos una corriente apunte hacia fuera de él. Elija los bucles del circuito. Cada componente debe estar contenido en al menos un bucle, pero un componente puede estar contenido en más de uno. Aplique la regla de nodos. De nuevo, algunos nodos no deberían incluirse en el análisis. Solo es necesario utilizar suficientes nodos para incluir todas las corrientes. Aplique la regla de las tensiones. Utilice el mapa en la . Cada uno de estos resistores y fuentes de voltaje se recorren de a hasta b . (a) Al desplazarse a través de un resistor en el mismo sentido que el flujo de corriente, reste la caída de potencial. (b) Al desplazarse a través de un resistor en sentido contrario al flujo de corriente, sume la caída de potencial. (c) Al desplazarse a través de una fuente de voltaje desde el terminal negativo al positivo, sume la caída de potencial. (d) Al desplazarse a través de una fuente de voltaje desde el terminal positivo al negativo, reste la caída de potencial. Examinemos más detenidamente algunos pasos de este procedimiento. A la hora de localizar los nodos en el circuito, no se preocupe por el sentido de las corrientes. Si la dirección del flujo de corriente no es obvia, basta con elegir cualquier dirección siempre que al menos una corriente apunte hacia el nodo y al menos una corriente apunte hacia fuera de él. Si la flecha está en la dirección opuesta al flujo de corriente convencional, el resultado para la corriente en cuestión será negativo pero la respuesta seguirá siendo correcta. El número de nodos depende del circuito. Cada corriente debe incluirse en un nodo y, por tanto, en al menos una ecuación de nodo. No incluya nodos que no sean linealmente independientes, es decir, nodos que contengan la misma información. Considere la . En este circuito hay dos nodos: nodo b y nodo e . Los puntos a , c , d y f no son nodos, porque un nodo debe tener tres o más conexiones. La ecuación del nodo b es I 1 = I 2 + I 3 y la ecuación del nodo e es I 2 + I 3 = I 1 . Estas son ecuaciones equivalentes, por lo que es necesario mantener solo una de ellas. A primera vista, este circuito contiene dos nodos, el nodo b y el nodo e , pero solo debe considerarse uno porque sus ecuaciones de nodo son equivalentes. A la hora de elegir los bucles en el circuito, necesita suficientes bucles para que cada componente se cubra una vez, sin repetir bucles. La muestra cuatro opciones de bucles para resolver un circuito de ejemplo; las opciones (a), (b) y (c) tienen una cantidad suficiente de bucles para resolver el circuito completamente. La opción (d) refleja más bucles de los necesarios para resolver el circuito. Los paneles (a) hasta (c) son suficientes para el análisis del circuito. En cada caso, los dos bucles mostrados contienen todos los elementos del circuito que son necesarios para resolverlo completamente. El panel (d) muestra tres bucles utilizados, que es más de lo necesario. Dos bucles cualesquiera del sistema contendrán toda la información necesaria para resolver el circuito. Añadir el tercer bucle proporciona información redundante. Considere el circuito de la (a). Analicemos este circuito para hallar la corriente que pasa por cada resistor. En primer lugar, marque el circuito como se muestra en la parte (b). (a) Un circuito multi-loop (o circuito de bucle múltiple). (b) Marque el circuito para ayudar a la orientación. A continuación, determine los nodos. En este circuito, los puntos b y e tienen tres cables conectados cada uno, lo que los convierte en nodos. Comience a aplicar la regla de nodos de Kirchhoff ( ∑ I dentro = ∑ I fuera ) dibujando flechas que representen las corrientes y marcando cada flecha, como se muestra en la (b). El nodo b muestra que I 1 = I 2 + I 3 y el nodo e muestra que I 2 + I 3 = I 1 . Dado que el nodo e proporciona la misma información que el nodo b , puede ignorarse. Este circuito tiene tres incógnitas, por lo que necesitamos tres ecuaciones linealmente independientes para analizarlo. (a) Este circuito tiene dos nodos, marcados como b y e , pero solo se utiliza el nodo b en el análisis. (b) Las flechas marcadas representan las corrientes que entran y salen de los nodos. A continuación, tenemos que elegir los bucles. En la , el bucle abefa incluye la fuente de voltaje V 1 y los resistores R 1 y R 2 . El bucle comienza en el punto a , luego recorre los puntos b , e y f y vuelve al punto a . El segundo bucle, el bucle ebcde , comienza en el punto e , incluyendo los resistores R 2 y R 3 , y la fuente de voltaje V 2 . Elija los bucles del circuito. Ahora podemos aplicar la regla de las tensiones de Kirchhoff, utilizando el mapa en la . Partiendo del punto a y llegando al punto b , el resistor R 1 se cruza en la misma dirección que el flujo de corriente I 1 , por lo que la caída de potencial I 1 R 1 se resta. Al pasar del punto b al punto e , el resistor R 2 se cruza en la misma dirección que el flujo de corriente I 2 por lo que la caída de potencial I 2 R 2 se resta. Al pasar del punto e al punto f , la fuente de voltaje V 1 se cruza desde el terminal negativo al positivo, por lo que V 1 se añade. No hay componentes entre los puntos f y a. La suma de las diferencias de voltaje debe ser igual a cero: Bucle a b e f a : − I 1 R 1 − I 2 R 2 + V 1 = 0 o V 1 = I 1 R 1 + I 2 R 2 . Por último, comprobamos el bucle ebcde . Comenzamos en el punto e y nos desplazamos hasta el punto b , cruzando R 2 en la dirección opuesta al flujo de corriente I 2 . La caída de potencial I 2 R 2 se añade. A continuación, cruzamos R 3 y R 4 en la misma dirección que el flujo de corriente I 3 y se restan las caídas de potencial I 3 R 3 y I 3 R 4 . Observe que la corriente es la misma a través de los resistores R 3 y R 4 , porque están conectados en serie. Finalmente, la fuente de voltaje se cruza desde el terminal positivo al negativo, y la fuente de voltaje V 2 se resta. La suma de estas diferencias de voltaje es igual a cero y da lugar a la ecuación de bucle Bucle e b c d e : I 2 R 2 − I 3 ( R 3 + R 4 ) − V 2 = 0 . Ahora tenemos tres ecuaciones, que podemos resolver para las tres incógnitas. (1) Nodo b : I 1 − I 2 − I 3 = 0 . (2) Bucle a b e f a : I 1 R 1 + I 2 R 2 = V 1 . (3) Bucle e b c d e : I 2 R 2 − I 3 ( R 3 + R 4 ) = V 2 . Para resolver las tres ecuaciones de las tres corrientes desconocidas, se empieza por eliminar la corriente I 2 . Primero hay que añadir la Ec. (1) por R 2 a la Ec. (2). El resultado se marca como Ec. (4): ( R 1 + R 2 ) I 1 − R 2 I 3 = V 1 . (4) 6 Ω I 1 − 3 Ω I 3 = 24 V . A continuación, se resta la Ec. (3) de la Ec. (2). El resultado se marca como Ec. (5): I 1 R 1 + I 3 ( R 3 + R 4 ) = V 1 − V 2 . (5) 3 Ω I 1 + 7 Ω I 3 = −5 V . Podemos resolver las Ecs. (4) y (5) para la corriente I 1 . Al sumar siete veces la Ec. (4) y tres veces la Ec. (5) resulta en 51 Ω I 1 = 153 V , o I 1 = 3,00 A . Al utilizar la Ec. (4) resulta en I 3 = -2,00 A . Por último, la Ec. (1) produce I 2 = I 1 − I 3 = 5,00 A . Una forma de comprobar que las soluciones son coherentes es comprobar la potencia suministrada por las fuentes de voltaje y la potencia disipada por los resistores: P dentro = I 1 V 1 + I 3 V 2 = 130 W , P fuera = I 1 2 R 1 + I 2 2 R 2 + I 3 2 R 3 + I 3 2 R 4 = 130 W . Observe que la solución para la corriente I 3 es negativa. Esta es la respuesta correcta, pero sugiere que la flecha dibujada originalmente en el análisis de la unión es la dirección opuesta al flujo de corriente convencional. La potencia suministrada por la segunda fuente de voltaje es de 58 W y no de −58 W. Cálculo de la corriente mediante el uso de las reglas de Kirchhoff Calcule las corrientes que fluyen en el circuito en la . Este circuito es una combinación de configuraciones en serie y en paralelo de resistores y fuentes de voltaje. Este circuito no puede ser analizado utilizando las técnicas discutidas en Fuerza electromotriz pero puede ser analizado utilizando las reglas de Kirchhoff. Estrategia Este circuito es lo suficientemente complejo como para que las corrientes no puedan hallarse mediante la ley de Ohm y las técnicas en serie en paralelo, sino que es necesario utilizar las reglas de Kirchhoff. Las corrientes se han marcado I 1 , I 2 , y I 3 en la figura, y se han hecho suposiciones sobre sus direcciones. Las ubicaciones en el diagrama se han marcado con letras de la a a la h . En la solución, aplicamos las reglas de nodos y de las tensiones, buscando tres ecuaciones independientes que nos permitan resolver las tres corrientes desconocidas. Solución Al aplicar las reglas de nodos y de las tensiones se obtienen las tres ecuaciones siguientes. Tenemos tres incógnitas, por lo que se requieren tres ecuaciones. Nodo c : I 1 + I 2 = I 3 . Bucle a b c d e f a : I 1 ( R 1 + R 4 ) − I 2 ( R 2 + R 5 + R 6 ) = V 1 − V 3 . Bucle c d e f c : I 2 ( R 2 + R 5 + R 6 ) + I 3 R 3 = V 2 + V 3 . Simplificamos las ecuaciones colocando las incógnitas en un lado de las ecuaciones. Nodo c : I 1 + I 2 − I 3 = 0. Bucle a b c d e f a : I 1 ( 3 Ω ) − I 2 ( 8 Ω ) = 0,5 V − 2,30 V . Bucle c d e f c : I 2 ( 8 Ω ) + I 3 ( 1 Ω ) = 0,6 V + 2,30 V . Simplificamos las ecuaciones. La primera ecuación de bucle puede simplificarse dividiendo ambos lados entre 3,00. La segunda ecuación de bucle puede simplificarse dividiendo ambos lados entre 6,00. Nodo c : I 1 + I 2 − I 3 = 0. Bucle a b c d e f a : I 1 ( 3 Ω ) − I 2 ( 8 Ω ) = − 1,8 V . Bucle c d e f c : I 2 ( 8 Ω ) + I 3 ( 1 Ω ) = 2,9 V . Los resultados son I 1 = 0,20 A , I 2 = 0,30 A , I 3 = 0,50 A . Importancia Un método para comprobar los cálculos es calcular la potencia disipada por los resistores y la potencia suministrada por las fuentes de voltaje: P R 1 = I 1 2 R 1 = 0,04 W . P R 2 = I 2 2 R 2 = 0,45 W . P R 3 = I 3 2 R 3 = 0,25 W . P R 4 = I 1 2 R 4 = 0,08 W . P R 5 = I 2 2 R 5 = 0,09 W . P R 6 = I 2 2 R 6 = 0,18 W . P disipado = 1,09 W . P fuente = I 1 V 1 + I 2 V 3 + I 3 V 2 = 0,10 W + 0,69 W + 0,30 W = 1,09 W . La potencia suministrada es igual a la potencia disipada por los resistores. Al considerar el siguiente esquema y la potencia suministrada y consumida por un circuito, ¿una fuente de voltaje siempre proporcionará energía al circuito o una fuente de voltaje puede consumir energía? El circuito puede ser analizado utilizando la regla de las tensiones de Kirchhoff. La primera fuente de voltaje suministra potencia P dentro = I V 1 = 7,20 mW. La segunda fuente de voltaje consume potencia P fuera = I V 2 + I 2 R 1 + I 2 R 2 = 7,2 mW . Cálculo de la corriente mediante el uso de las reglas de Kirchhoff Calcule la corriente que fluye en el circuito en la . Este circuito consta de tres resistores y dos baterías conectados en serie. Observe que las baterías están conectadas con polaridades opuestas. Estrategia Este circuito puede analizarse utilizando las reglas de Kirchhoff. Solo hay un bucle y no hay nodos. Elija el sentido del flujo de la corriente. Para este ejemplo, utilizaremos la dirección de las agujas del reloj desde el punto a hasta el punto b . Considere el bucle abcda y utilice la para escribir la ecuación del bucle. Observe que, según la , la batería V 1 se añadirá y la batería V 2 se restará. Solución Al aplicar la regla de nodos se obtienen las tres ecuaciones siguientes. Tenemos una incógnita, por lo que se requiere una ecuación: Bucle a b c d a : − I R 1 − V 1 − I R 2 + V 2 − I R 3 = 0 . Simplificamos las ecuaciones colocando las incógnitas en un lado de las ecuaciones. Utilice los valores indicados en la figura. I ( R 1 + R 2 + R 3 ) = V 2 − V 1 . I = V 2 − V 1 R 1 + R 2 + R 3 = 24 V − 12 V 10,0 Ω + 30,0 Ω + 10,0 Ω = 0,20 A . Importancia La potencia disipada o consumida por el circuito es igual a la potencia suministrada al circuito, pero observe que la corriente en la batería V 1 fluye a través de la batería desde el terminal positivo al negativo y consume potencia. P R 1 = I 2 R 1 = 0,40 W P R 2 = I 2 R 2 = 1,20 W P R 3 = I 2 R 3 = 0,80 W P V 1 = I V 1 = 2,40 W P disipado = 4,80 W P fuente = I V 2 = 4,80 W La potencia suministrada es igual a la potencia disipada por los resistores y consumida por la batería V 1 . Al utilizar las leyes de Kirchhoff, tiene que decidir qué bucles utilizar y el sentido del flujo de la corriente a través de cada uno. Al analizar el circuito en el , se eligió que la dirección del flujo de corriente fuera en el sentido de las agujas del reloj, desde el punto a hasta el punto b . ¿Cómo cambiarían los resultados si la dirección de la corriente se eligiera en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el punto b al punto a ? La corriente calculada sería igual a I = −0,20 A en lugar de I = 0,20 A . La suma de la potencia disipada y la potencia consumida seguiría siendo igual a la potencia suministrada. Múltiples fuentes de voltaje Muchos dispositivos necesitan más de una batería. Las fuentes de voltajes múltiples, como las baterías, pueden conectarse en configuraciones en serie, en paralelo o en una combinación de ambas. Cuando están en serie, el terminal positivo de una batería se conecta al terminal negativo de otra. Se puede conectar en serie cualquier número de fuentes de voltaje, incluidas las baterías. En la se muestran dos baterías conectadas en serie. Utilizando la regla de las tensiones de Kirchhoff para el circuito de la parte (b) se obtiene el resultado ε 1 − I r 1 + ε 2 − I r 2 − I R = 0 , [ ( ε 1 + ε 2 ) − I ( r 1 + r 2 ) ] − I R = 0. (a) Dos baterías conectadas en serie con un resistor de carga. (b) El diagrama del circuito de las dos baterías y el resistor de carga, con cada batería modelada como una fuente de emf idealizada y una resistencia interna. Cuando las fuentes de voltaje están en serie, sus resistencias internas se pueden sumar y sus emf se pueden sumar para obtener los valores totales. Las conexiones en serie de las fuentes de voltaje son habituales, por ejemplo, en linternas, juguetes y otros aparatos. Normalmente, las celdas están en serie para producir una emf total mayor. En la , el voltaje del terminal es V terminal = ( ε 1 − I r 1 ) + ( ε 2 − I r 2 ) = [ ( ε 1 + ε 2 ) − I ( r 1 + r 2 ) ] = ( ε 1 + ε 2 ) + I r eq . Observe que la misma corriente I se encuentra en cada batería porque están conectadas en serie. El inconveniente de las conexiones en serie de las celdas es que sus resistencias internas son aditivas. Las baterías se conectan en serie para aumentar el voltaje suministrado al circuito. Por ejemplo, una linterna LED puede tener dos baterías de celda AAA, cada una con un voltaje del terminal de 1,5 V, para proporcionar 3,0 V a la linterna. Se puede conectar cualquier número de baterías en serie. Para N baterías en serie, el voltaje del terminal es igual a V terminal = ( ε 1 + ε 2 + ⋯ + ε N − 1 + ε N ) − I ( r 1 + r 2 + ⋯ + r N − 1 + r N ) = ∑ i = 1 N ε i − I r eq donde la resistencia equivalente es r eq = ∑ i = 1 N r i . Cuando se coloca una carga a través de fuentes de voltaje en serie, como en la , podemos hallar la corriente: ( ε 1 − I r 1 ) + ( ε 2 − I r 2 ) = I R , I r 1 + I r 2 + I R = ε 1 + ε 2 , I = ε 1 + ε 2 r 1 + r 2 + R . Como era de esperar, las resistencias internas aumentan la resistencia equivalente. Dos baterías conectadas en serie a una bombilla LED, como las que se encuentran en una linterna. Las fuentes de voltaje, como las baterías, también pueden conectarse en paralelo. La muestra dos baterías con emf idénticas en paralelo y conectadas a una resistencia de carga. Cuando las baterías se conectan en paralelo, los terminales positivos se conectan juntos y los negativos también, y la resistencia de carga se conecta a los terminales positivos y negativos. Normalmente, las fuentes de voltaje en paralelo tienen emf idénticas. En este caso sencillo, como las fuentes de voltaje están en paralelo, la emf total es la misma que las emf individuales de cada batería. (a) Dos baterías se conectan en paralelo a un resistor de carga. (b) El diagrama del circuito muestra la batería como fuente de emf y un resistor interno. Las dos fuentes tienen emf idénticas (cada una marcada por ε ) conectadas en paralelo que producen la misma emf. Considere el análisis de Kirchhoff del circuito en la (b). Hay dos bucles y un nodo en el punto b y ε = ε 1 = ε 2 . Nodo b : I 1 + I 2 − I = 0 . Bucle abcfa : ε − I 1 r 1 + I 2 r 2 − ε = 0 , I 1 r 1 = I 2 r 2 . Bucle fcdef : ε 2 − I 2 r 2 − I R = 0 , ε − I 2 r 2 − I R = 0. Al resolver la corriente a través del resistor de carga se obtiene I = ε r eq + R , donde r eq = ( 1 r 1 + 1 r 2 ) −1 . El voltaje del terminal es igual a la caída de potencial a través del resistor de carga I R = ( ε r eq + R ) . La conexión en paralelo reduce la resistencia interna y, por tanto, puede producir una corriente mayor. Se puede conectar cualquier número de baterías en paralelo. Para N baterías en paralelo, el voltaje del terminal es igual a V terminal = ε − I ( 1 r 1 + 1 r 2 + ⋯ + 1 r N − 1 + 1 r N ) −1 = ε − I r eq donde la resistencia equivalente es r eq = ( ∑ i = 1 N 1 r i ) −1 . Por ejemplo, algunos camiones diésel utilizan dos baterías de 12 V en paralelo; producen una emf total de 12 V pero pueden suministrar la mayor corriente necesaria para arrancar un motor diésel. En resumen, el voltaje del terminal de las baterías en serie es igual a la suma de las emf individuales menos la suma de las resistencias internas por la corriente. Cuando las baterías están conectadas en paralelo, suelen tener emf iguales y el voltaje del terminal es igual a la emf menos la resistencia interna equivalente por la corriente, donde la resistencia interna equivalente es menor que las resistencias internas individuales. Las baterías se conectan en serie para aumentar el voltaje del terminal de la carga. Las baterías se conectan en paralelo para aumentar la corriente hacia la carga. Matrices de celdas solares Otro ejemplo de fuentes de voltaje múltiples es el de las combinaciones de celdas solares conectadas en combinaciones en serie y en paralelo para obtener el voltaje y la corriente deseados. La generación fotovoltaica, que es la conversión de la luz solar directamente en electricidad, se basa en el efecto fotoeléctrico. Este efecto está fuera del alcance de este capítulo y se trata en Fotones y ondas de materia , pero en general, los fotones que inciden en la superficie de una celda solar crean una corriente eléctrica en ella. La mayoría de las celdas solares están hechas de silicio puro. La mayoría de las celdas individuales tienen una salida de voltaje de unos 0,5 V, mientras que la salida de corriente es una función de la cantidad de luz solar que incide en la celda (la radiación solar incidente conocida como la insolación). Bajo la luz del sol del mediodía, una corriente por unidad de superficie de aproximadamente 100 mA/cm 2 de la superficie de la celda es producida por las típicas celdas monocristalinas. Las celdas solares individuales se conectan de manera eléctrica en módulos para satisfacer las necesidades de energía eléctrica. Pueden conectarse en serie o en paralelo, como las baterías de las que hemos hablado antes. Un conjunto o módulo de celdas solares suele estar formado por entre 36 y 72 celdas, con una potencia de 50 W a 140 W. Las celdas solares, al igual que las baterías, proporcionan un voltaje de corriente continua (dc). La corriente de una fuente de voltaje continua es unidireccional. La mayoría de los electrodomésticos necesitan una voltaje de corriente alterna (alternating current, ac). Resumen Las reglas de Kirchhoff pueden utilizarse para analizar cualquier circuito, simple o complejo. Las reglas de conexión en serie y en paralelo más sencillas son casos especiales de las reglas de Kirchhoff. La primera regla de Kirchhoff, también conocida como regla de nodos, se aplica a la carga de un nodo. La corriente es el flujo de carga; por lo tanto, toda la carga que entra en el nodo debe salir. La segunda regla de Kirchhoff, también conocida como regla de las tensiones, establece que la caída de voltaje alrededor de un bucle es cero. Al calcular el potencial y la corriente utilizando las reglas de Kirchhoff, hay que seguir una serie de convenciones para determinar los signos correctos de los distintos términos. Cuando varias fuentes de voltaje están en serie, sus resistencias internas se suman y sus emf se suman para obtener los valores totales. Cuando varias fuentes de voltaje están en paralelo, sus resistencias internas se combinan en una resistencia equivalente que es menor que la resistencia individual y proporciona una corriente mayor que una sola celda. Las celdas solares pueden conectarse en serie o en paralelo para aumentar el voltaje o la corriente, respectivamente. Preguntas conceptuales ¿Todas las corrientes que entran en el nodo que se muestra a continuación pueden ser positivas? Explique. Considere el circuito que se muestra a continuación. ¿El análisis del circuito requiere el método de Kirchhoff o se puede rediseñar para simplificar el circuito? Si se trata de un circuito de conexiones en serie y en paralelo, ¿cuál es la resistencia equivalente? Se puede volver a dibujar. R eq = [ 1 R 6 + 1 R 1 + 1 R 2 + ( 1 R 4 + 1 R 3 + R 5 ) −1 ] −1 ¿Las baterías en un circuito siempre suministran potencia a un circuito o pueden absorber la energía en él? Dé un ejemplo. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de conectar las baterías en serie? ¿En paralelo? Los voltajes se suman cuando están en serie, pero también se suman las resistencias internas, porque están en serie. Cuando están en paralelo, el voltaje del terminal es el mismo, pero la resistencia interna equivalente es menor que la individual más pequeña y se puede proporcionar una corriente más alta. Los camiones semirremolque utilizan cuatro grandes baterías de 12 V. El sistema de arranque requiere 24 V, mientras que el funcionamiento normal de los demás componentes eléctricos del camión utiliza 12 V. ¿Cómo podrían conectarse las cuatro baterías para producir 24 V? ¿Para producir 12 V? ¿Por qué es mejor 24 V que 12 V para arrancar el motor del camión (una carga muy pesada)? Problemas Considere el circuito que se muestra a continuación. (a) Halle el voltaje a través de cada resistor. (b)¿Cuál es la potencia suministrada al circuito y la potencia disipada o consumida por él? Considere los circuitos que se muestran a continuación. (a) ¿Cuál es la corriente que pasa por cada resistor en la parte (a)? (b) ¿Cuál es la corriente que pasa por cada resistor en la parte (b)? (c) ¿Cuál es la potencia disipada o consumida por cada circuito? (d) ¿Cuál es la potencia suministrada a cada circuito? a. I 1 = 0,6 mA , I 2 = 0,4 mA , I 3 = 0,2 mA ; b. I 1 = 0,04 mA , I 2 = 1,52 mA , I 3 = -1,48 mA ; c. P fuera = 0,92 mW , P fuera = 4,50 mW ; d. P dentro = 0,92 mW , P dentro = 4,50 mW Considere el circuito que se muestra a continuación. Calcule V 1 , I 2 , y I 3 . Considere el circuito que se muestra a continuación. Calcule V 1 , V 2 , y R 4 . V 1 = 42 V , V 2 = 6 V , R 4 = 18 Ω Considere el circuito que se muestra a continuación. Calcule I 1 , I 2 , y I 3 . Considere el circuito que se muestra a continuación. (a) Calcule I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , y I 5 . (b) Calcule la potencia suministrada por las fuentes de voltaje. (c) Calcule la potencia disipada por los resistores. a. I 1 = 1,5 A , I 2 = 2 A , I 3 = 0,5 A , I 4 = 2,5 A , I 5 = 2 A ; b. P dentro = I 2 V 1 + I 5 V 5 = 34 W ; c. P fuera = I 1 2 R 1 + I 2 2 R 2 + I 3 2 R 3 + I 4 2 R 4 = 34 W Considere el circuito que se muestra a continuación. Escriba las tres ecuaciones de los bucles mostrados. Considere el circuito que se muestra a continuación. Escriba las ecuaciones de las tres corrientes en términos de R y V . I 1 = 2 3 V R , I 2 = V 3 R , I 3 = V 3 R Considere el circuito mostrado en el problema anterior. Escriba las ecuaciones de la potencia suministrada por las fuentes de voltaje y la potencia disipada por los resistores en términos de R y V . Un juguete electrónico para niños se alimenta de tres baterías alcalinas de 1,58 V con resistencias internas de 0,0200 Ω en serie con una batería seca de carbono-zinc de 1,53 V con 0,100 - Ω de resistencia interna. La resistencia de la carga es 10,0 Ω . (a) Dibuje un diagrama del circuito del juguete y sus baterías. (b) ¿Qué corriente fluye? (c) ¿Cuánta potencia se suministra a la carga? (d) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería seca si se estropea, lo que hace que solo se suministren 0,500 W a la carga? a. ; b. 0,617 A; c. 3,81 W; d. 18,0 Ω Aplique la regla de nodos al nodo b que se muestra a continuación. ¿Se obtiene alguna información nueva al aplicar la regla de nodos en e ? Aplique la regla de las tensiones afedcba en el problema anterior. I 1 r 1 − ε 1 + I 1 R 4 + ε 4 + I 2 r 4 + I 4 r 3 − ε 3 + I 2 R 3 + I 1 R 1 = 0 regla de nodos la suma de todas las corrientes que entran en un nodo debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen de él reglas de Kirchhoff conjunto de dos reglas que rigen la corriente y los cambios de potencial en un circuito eléctrico regla de las tensiones la suma algebraica de los cambios de potencial alrededor de cualquier circuito cerrado (bucle) debe ser cero

Ciencia