Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético Una partícula cargada experimenta una fuerza cuando se mueve a través de un campo magnético. ¿Qué ocurre si este campo es uniforme sobre el movimiento de la partícula cargada? ¿Qué trayectoria sigue la partícula? En esta sección analizamos el movimiento circular de la partícula cargada, así como otros movimientos que resultan de una partícula cargada que entra en un campo magnético. El caso más simple ocurre cuando una partícula cargada se mueve perpendicularmente a un campo B uniforme ( ). Si el campo está en el vacío, el campo magnético es el factor dominante que determina el movimiento. Como la fuerza magnética es perpendicular a la dirección de desplazamiento, una partícula cargada sigue una trayectoria curva en un campo magnético. La partícula continúa siguiendo esta trayectoria curva hasta formar un círculo completo. Otra forma de ver esto es que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, por lo que no hace ningún trabajo sobre la partícula cargada. Así, la energía cinética y la velocidad de la partícula permanecen constantes. La dirección del movimiento se ve afectada pero no la velocidad. Una partícula cargada negativamente se mueve en el plano del papel en una región donde el campo magnético es perpendicular al papel (representado por las × pequeñas, como las colas de las flechas). La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, por lo que esta cambia de dirección pero no de magnitud. El resultado es un movimiento circular uniforme. (Observe que, como la carga es negativa, la fuerza es de sentido contrario a la predicción de la regla de la mano derecha). En esta situación, la fuerza magnética suministra la fuerza centrípeta F c = m v 2 r . Al observar que la velocidad es perpendicular al campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética se reduce a F = q v B . Puesto que la fuerza magnética F suministra la fuerza centrípeta F c , tenemos q v B = m v 2 r . Al resolver para r se obtiene r = m v q B . Aquí, r es el radio de curvatura de la trayectoria de una partícula cargada, con masa m y carga q , que se mueve a una velocidad v que es perpendicular a un campo magnético de intensidad B . El tiempo que tarda la partícula cargada en recorrer la trayectoria circular se define como el periodo, que es igual a la distancia recorrida (la circunferencia) dividida entre la velocidad. Con base en esto y en la , podemos derivar el periodo del movimiento como T = 2 π r v = 2 π v m v q B = 2 π m q B . Si la velocidad no es perpendicular al campo magnético, entonces podemos comparar cada componente de la velocidad por separado con el campo magnético. La componente de la velocidad perpendicular al campo magnético produce una fuerza magnética perpendicular tanto a esta velocidad como al campo: v perp = v sen θ , v para = v cos θ . donde θ es el ángulo entre v y B . La componente paralela al campo magnético crea un movimiento constante a lo largo de la misma dirección que el campo magnético, también mostrado en la . El movimiento paralelo determina el paso p de la hélice, que es la distancia entre vueltas adyacentes. Esta distancia es igual a la componente paralela de la velocidad entre el periodo: p = v para T . El resultado es un movimiento helicoidal , como se muestra en la siguiente figura. Una partícula cargada que se mueve con una velocidad que no está en la misma dirección que el campo magnético. La componente de la velocidad perpendicular al campo magnético crea un movimiento circular, mientras que la componente de la velocidad paralela al campo mueve la partícula a lo largo de una línea recta. El paso es la distancia horizontal entre dos círculos consecutivos. El movimiento resultante es helicoidal. Mientras la partícula cargada viaja en una trayectoria helicoidal, puede entrar en una región donde el campo magnético no es uniforme. En particular, supongamos que una partícula viaja desde una región de campo magnético fuerte a una región de campo más débil, y luego vuelve a una región de campo más fuerte. La partícula puede reflejarse antes de entrar en la región del campo magnético más fuerte. Esto es similar a una onda en una cuerda que viaja desde una cuerda muy ligera y fina hasta una pared dura y se refleja hacia atrás. Si la reflexión se produce en ambos extremos, la partícula queda atrapada en la llamada botella magnética. Las partículas atrapadas en los campos magnéticos se encuentran en los cinturones de radiación de Van Allen alrededor de la Tierra, que forman parte del campo magnético terrestre. Estos cinturones fueron descubiertos por James Van Allen mientras intentaba medir el flujo de rayos cósmicos en la Tierra (partículas de alta energía que provienen del exterior del sistema solar) para ver si este era similar al flujo medido en la Tierra. Van Allen descubrió que, debido a la contribución de las partículas atrapadas en el campo magnético de la Tierra, el flujo era mucho mayor en la Tierra que en el espacio exterior. Las auroras , como la famosa aurora boreal del hemisferio norte (luces del norte) ( ), son hermosos despliegues de luz emitidos cuando los iones se recombinan con los electrones que entran en la atmósfera al recorrer en espiral las líneas de campo magnético. (Los iones son principalmente átomos de oxígeno y nitrógeno que se ionizan inicialmente por colisiones con partículas energéticas en la atmósfera terrestre). También se han observado auroras en otros planetas, como Júpiter y Saturno. (a) Los cinturones de radiación de Van Allen que rodean la Tierra atrapan los iones producidos por los rayos cósmicos que inciden en la atmósfera terrestre. (b) El magnífico espectáculo de la aurora boreal, o luces del norte, brilla en el cielo boreal sobre el lago Bear, cerca de la base Eielson de la Fuerza Aérea en Alaska. Formada por el campo magnético de la Tierra, esta luz es producida por moléculas e iones brillantes de oxígeno y nitrógeno. (crédito b: modificación del trabajo del aviador senior de la USAF Joshua Strang) Deflector de rayo Un grupo de investigación está estudiando los isótopos radiactivos de vida corta. Tienen que diseñar una forma de transportar las partículas alfa (núcleos de helio) desde el lugar donde se fabrican hasta un lugar donde colisionarán con otro material para formar un isótopo. El rayo de partículas alfa ( m = 6,64 × 10 −27 kg, q = 3,2 × 10 −19 C ) atraviesa una región de 90 grados con un campo magnético uniforme de 0,050 T ( ). (a) ¿En qué dirección debe aplicarse el campo magnético? (b) ¿Cuánto tiempo tardan las partículas alfa en atravesar la región de campo magnético uniforme? Vista superior del montaje del deflector de rayos. Estrategia La dirección del campo magnético se muestra con la regla de la mano derecha-1 (right hand rule-1, RHR-1). Los dedos apuntan en la dirección de v y el pulgar debe apuntar en la dirección de la fuerza, hacia la izquierda. Por lo tanto, como las partículas alfa están cargadas positivamente, el campo magnético debe apuntar hacia abajo. El periodo de la partícula alfa que da la vuelta al círculo es T = 2 π m q B . Como la partícula solo recorre un cuarto de círculo, podemos tomar 0,25 veces el periodo para calcular el tiempo que tarda en recorrer esta trayectoria. Solución Empecemos por centrarnos en la partícula alfa que entra en el campo cerca de la parte inferior de la imagen. En primer lugar, apunte con el pulgar hacia arriba en la página. Para que la palma de la mano se abra hacia la izquierda, donde apunta la fuerza centrípeta (y, por tanto, la fuerza magnética), los dedos deben cambiar de orientación hasta apuntar a la página. Esta es la dirección del campo magnético aplicado. El periodo de la partícula cargada que gira alrededor de un círculo se calcula utilizando la masa, la carga y el campo magnético dados en el problema. El resultado es T = 2 π m q B = 2 π ( 6,64 × 10 −27 kg ) ( 3,2 × 10 −19 C ) ( 0,050 T ) = 2,6 × 10 −6 s. Sin embargo, para el problema dado, la partícula alfa recorre un cuarto del círculo, por lo que el tiempo que tarda sería t = 0,25 × 2,61 × 10 −6 s = 6,5 × 10 −7 s. Importancia Este tiempo puede ser lo suficientemente rápido como para llegar al material que queremos bombardear, dependiendo de la corta vida del isótopo radiactivo y de que siga emitiendo partículas alfa. Si pudiéramos aumentar el campo magnético aplicado en la región, esto acortaría aun más el tiempo. La trayectoria que deben recorrer las partículas podría acortarse, pero esto puede no ser económico dado el montaje experimental. Un campo magnético uniforme de magnitud 1,5 T se dirige horizontalmente de oeste a este. (a) ¿Cuál es la fuerza magnética sobre un protón en el instante en que se mueve verticalmente hacia abajo en el campo con una velocidad de 4 × 10 7 m/s? (b) Compare esta fuerza con el peso w de un protón. a. 9,6 × 10 −12 N hacia el sur; b. w F m = 1,7 × 10 −15 Movimiento helicoidal en un campo magnético Un protón entra en un campo magnético uniforme de 1,0 × 10 −4 T con una velocidad de 5 × 10 5 m/s . ¿A qué ángulo debe estar el campo magnético respecto a la velocidad para que el paso del movimiento helicoidal resultante sea igual al radio de la hélice? Estrategia El paso del movimiento está relacionado con la velocidad paralela por el periodo del movimiento circular, mientras que el radio está relacionado con la componente de la velocidad perpendicular. Después de fijar el radio y el paso iguales, resuelva el ángulo entre el campo magnético y la velocidad o θ . Solución El paso viene dado por la , el periodo por la y el radio de movimiento circular por la . Observe que la velocidad en la ecuación del radio está relacionada solo con la velocidad perpendicular, que es donde se produce el movimiento circular. Por lo tanto, sustituimos la componente sinusoidal de la velocidad global en la ecuación del radio para igualar el paso y el radio: p = r v ∥ T = m v ⊥ q B v cos θ 2 π m q B = m v sen θ q B 2 π = tan θ θ = 81,0 ° . Importancia Si este ángulo fuera 0 ° , solo se produciría una velocidad paralela y la hélice no se formaría, porque no habría movimiento circular en el plano perpendicular. Si este ángulo fuera 90 ° , solo se produciría un movimiento circular y no habría ningún movimiento de los círculos perpendicular al movimiento. Eso es lo que crea el movimiento helicoidal. Resumen Una fuerza magnética puede aportar una fuerza centrípeta y hacer que una partícula cargada se mueva en una trayectoria circular de radio r = m v q B . El periodo de movimiento circular para una partícula cargada que se mueve en un campo magnético perpendicular al plano de movimiento es T = 2 π m q B . El movimiento helicoidal se produce cuando la velocidad de la partícula cargada tiene una componente paralela al campo magnético y otra perpendicular al mismo. Preguntas conceptuales En un instante dado, un electrón y un protón se mueven con la misma velocidad en un campo magnético constante. Compare las fuerzas magnéticas sobre estas partículas. Compare sus aceleraciones. La magnitud de las fuerzas magnéticas del protón y del electrón es la misma, ya que tienen la misma cantidad de carga. Sin embargo, la dirección de estas fuerzas es opuesta. Las aceleraciones son de sentido contrario y el electrón tiene una aceleración mayor que el protón debido a su menor masa. ¿Aumentar la magnitud de un campo magnético uniforme a través del que viaja una carga significa necesariamente aumentar la fuerza magnética sobre la carga? ¿Cambiar la dirección del campo implica necesariamente un cambio en la fuerza sobre la carga? Un electrón atraviesa un campo magnético sin ser desviado. ¿Qué conclusión saca sobre el campo magnético? El campo magnético debe apuntar paralelo o antiparalelo a la velocidad. Si una partícula cargada se mueve en línea recta, ¿puede concluir que no hay campo magnético presente? ¿Cómo podría determinar qué polo de un electroimán es el norte y qué polo es el sur? Una brújula apunta hacia el polo norte de un electroimán. Problemas Un electrón de rayos cósmicos se mueve a 7,5 × 10 6 m/s perpendicular al campo magnético de la Tierra a una altitud en la que la intensidad del campo es 1,0 × 10 −5 T . ¿Cuál es el radio de la trayectoria circular que sigue el electrón? 4,27 m (a) Los espectadores de Star Trek han oído hablar de un motor de antimateria en la nave estelar Enterprise . Una posibilidad para esta fuente de energía futurista es almacenar partículas cargadas de antimateria en una cámara de vacío, circulando en un campo magnético, y luego extraerlas cuando se necesiten. La antimateria aniquila la materia normal, produciendo energía pura. ¿Qué fuerza de campo magnético se necesita para mantener los antiprotones, moviéndose a 5,0 × 10 7 m/s en una trayectoria circular de 2,00 m de radio? Los antiprotones tienen la misma masa que los protones pero la carga opuesta (negativa). (b) ¿Es posible obtener esta intensidad de campo con la tecnología actual o es una posibilidad futurista? (a) Un ion oxígeno-16 con una masa de 2,66 × 10 −26 kg viaja a 5,0 × 10 6 m/s perpendicular a un campo magnético de 1,20 T, lo que hace que se mueva en un arco circular de 0,231 m de radio. ¿Qué carga positiva tiene el ion? (b) ¿Cuál es la relación entre esta carga y la carga de un electrón? (c) Discuta por qué la relación encontrada en (b) debe ser un número entero. a. 4,80 × 10 −19 C ; b. 3; c. Esta relación debe ser un número entero porque las cargas deben ser números enteros de la carga básica de un electrón. No hay cargas libres con valores inferiores a esta carga básica y todas las cargas son múltiplos enteros de esta carga básica. Un electrón en un televisor de CRT se mueve con una velocidad de 6,0 × 10 6 m/s , en dirección perpendicular al campo terrestre, que tiene una fuerza de 5,0 × 10 −5 T . (a) ¿Qué intensidad de campo eléctrico hay que aplicar perpendicularmente al campo terrestre para que el electrón se mueva en línea recta? (b) Si se hace entre placas separadas 1,00 cm, ¿cuál es el voltaje aplicado? (Observe que los televisores suelen estar rodeados de un material ferromagnético para protegerlos de los campos magnéticos externos y evitar la necesidad de dicha corrección). (a) ¿A qué velocidad se moverá un protón en una trayectoria circular del mismo radio que el electrón del ejercicio anterior? (b) ¿Cuál sería el radio de la trayectoria si el protón tuviera la misma velocidad que el electrón? (c) ¿Cuál sería el radio si el protón tuviera la misma energía cinética que el electrón? (d) ¿El mismo momento? (a) 3,27 x 10 4 m/s (b) 12,525 m (c) 292 m (d) 6,83 m. (a) ¿Qué voltaje acelerará los electrones a una velocidad de 6,00 × 10 −7 m/s ? (b) Halle el radio de curvatura de la trayectoria de un protón acelerado a través de este potencial en un campo de 0,500 T y compárelo con el radio de curvatura de un electrón acelerado a través del mismo potencial. Una partícula alfa ( m = 6,64 × 10 −27 kg, q = 3,2 × 10 −19 C ) se desplaza en una trayectoria circular de radio 25 cm en un campo magnético uniforme de magnitud 1,5 T. (a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula? (b) ¿Cuál es la energía cinética en electronvoltios? (c) ¿A través de qué diferencia de potencial debe ser acelerada la partícula para darle esta energía cinética? a. 1,8 × 10 7 m/s ; b. 6,8 × 10 6 eV ; c. 3,4 × 10 6 V Una partícula de carga q y masa m es acelerada desde el reposo a través de una diferencia de potencial V , tras lo cual se encuentra con un campo magnético uniforme B . Si la partícula se mueve en un plano perpendicular a B , ¿cuál es el radio de su órbita circular? rayos cósmicos compuesto por partículas que se originan principalmente en el exterior del sistema solar y llegan a la Tierra movimiento helicoidal superposición del movimiento circular con un movimiento rectilíneo que sigue una partícula cargada que se mueve en una región de campo magnético con un ángulo respecto al campo

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Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente Las cargas en movimiento experimentan una fuerza en un campo magnético. Si estas cargas en movimiento están en un cable (es decir, si este porta una corriente), también debería experimentar una fuerza. Sin embargo, antes de hablar de la fuerza ejercida sobre una corriente por un campo magnético, examinamos primero el campo magnético generado por una corriente eléctrica. Aquí estudiamos dos efectos distintos que interactúan estrechamente: Un cable portador de corriente genera un campo magnético y el campo magnético ejerce una fuerza sobre el cable portador de corriente. Campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas Al hablar de los descubrimientos históricos del magnetismo, mencionamos el hallazgo de Oersted de que un cable que portaba una corriente eléctrica provocaba la desviación de una brújula cercana. Se estableció la conexión de que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos (esta conexión entre la electricidad y el magnetismo se trata con más detalle en Fuentes de campos magnéticos ). La aguja de brújula cerca del cable experimenta una fuerza que alinea la aguja tangente a un círculo alrededor del cable. Por lo tanto, un cable portador de corriente produce bucles circulares de campo magnético. Para determinar la dirección del campo magnético generado a partir de un cable, utilizamos una segunda regla de la mano derecha. En la RHR-2, el pulgar apunta en la dirección de la corriente mientras los dedos envuelven el cable, apuntando en la dirección del campo magnético producido ( ). Si el campo magnético viniera hacia usted o fuera de la página, lo representamos con un punto. Si el campo magnético entrara en la página, lo representaríamos con una × . Estos símbolos provienen de la consideración de una flecha vectorial: Una flecha apuntando hacia usted, desde su perspectiva, se vería como un punto o la punta de una flecha. Una flecha apuntando en dirección contraria a usted, desde su perspectiva, se vería como una cruz o una × . En la se muestra un esquema compuesto de los círculos magnéticos, en el que se muestra que la intensidad del campo disminuye a medida que se aleja del cable mediante bucles más separados. (a) Cuando el cable está en el plano del papel, el campo es perpendicular al papel. Observe los símbolos utilizados para el campo que apunta hacia adentro (como la cola de una flecha) y el campo que apunta hacia afuera (como la punta de una flecha). (b) Un cable largo y recto crea un campo con líneas de campo magnético que forman bucles circulares. Cálculo de la fuerza magnética La corriente eléctrica es un movimiento ordenado de carga. Por lo tanto, un cable portador de corriente en un campo magnético debe experimentar una fuerza debida al campo. Para investigar esta fuerza, consideremos la sección infinitesimal de cable que se muestra en la . La longitud y el área transversal de la sección son dl y A , respectivamente, por lo que su volumen es V = A · d l . El cable está formado por un material que contiene n portadores de carga por unidad de volumen, por lo que el número de portadores de carga en la sección es n A · d l . Si los portadores de carga se mueven con velocidad de deriva v → d , la corriente I en el cable es (a partir de Corriente y resistencia ) I = n e A v d . La fuerza magnética sobre cualquier portador de carga individual es e v → d × B → , por lo que la fuerza magnética total d F → en los portadores de carga n A · d l en la sección de cable es d F → = ( n A · d l ) e v → d × B → . Podemos definir dl como un vector de longitud dl que apunta a lo largo de v → d , lo que nos permite reescribir esta ecuación como d F → = n e A v d d l → × B → , o d F → = I d l → × B → . Esta es la fuerza magnética sobre la sección de cable. Observe que en realidad es la fuerza neta ejercida por el campo sobre los propios portadores de carga. La dirección de esta fuerza viene dada por la RHR-1, en la que se apuntan los dedos en la dirección de la corriente y se curvan hacia el campo. El pulgar apunta entonces en la dirección de la fuerza. Una sección infinitesimal de cable portador de corriente en un campo magnético. Para determinar la fuerza magnética F → en un cable de longitud y forma arbitrarias, debemos integrar la en todo el cable. Si la sección del cable resulta ser recta y B es uniforme, las diferenciales de la ecuación se convierten en cantidades absolutas, dándonos F → = I l → × B → . Esta es la fuerza que se ejerce sobre un cable recto portador de corriente en un campo magnético uniforme. Equilibrio de las fuerzas gravitacionales y magnéticas en un cable portador de corriente Un cable de 50 cm de longitud y 10 g de masa está suspendido en un plano horizontal por un par de cables flexibles ( ). A continuación, el cable se somete a un campo magnético constante de magnitud 0,50 T, que se dirige como se indica. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la corriente en el cable necesaria para eliminar la tensión en los cables de soporte? (a) Un cable suspendido en un campo magnético. (b) El diagrama de cuerpo-libre del cable. Estrategia Según el diagrama de cuerpo-libre de la figura, las tensiones en los cables de soporte llegan a cero cuando las fuerzas gravitacionales y magnéticas se equilibran. Con el uso de la RHR-1, hallamos que la fuerza magnética apunta hacia arriba. Entonces podemos determinar la corriente I al guiar las dos fuerzas. Solución Iguale las dos fuerzas del peso y la fuerza magnética sobre el cable: m g = I l B . Así, I = m g l B = ( 0,010 kg ) ( 9,8 m/s 2 ) ( 0,50 m ) ( 0,50 T ) = 0,39 A. Importancia Este gran campo magnético crea una fuerza significativa sobre una longitud de cable para contrarrestar su peso. Cálculo de la fuerza magnética en un cable portador de corriente Un cable largo y rígido situado a lo largo del eje y conduce una corriente de 5,0 A que fluye en la dirección y positiva. (a) Si un campo magnético constante de magnitud 0,30 T se dirige a lo largo del eje x positivo, ¿cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud en el cable? (b) Si un campo magnético constante de 0,30 T se dirige 30 grados desde el eje x positivo hacia el eje y positivo, ¿cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud en el cable? Estrategia La fuerza magnética sobre un cable portador de corriente en un campo magnético viene dada por F → = I l → × B → . Para la parte a, como la corriente y el campo magnético son perpendiculares en este problema, podemos simplificar la fórmula para que nos dé la magnitud y hallar la dirección a través del RHR-1. El ángulo θ es de 90 grados, lo que significa sen θ = 1 . Además, la longitud se puede dividir hacia el lado izquierdo para calcular la fuerza por unidad de longitud. Para la parte b, la corriente por la longitud se escribe en notación vectorial unitaria, así como el campo magnético. Después de tomar el producto cruz, la direccionalidad es evidente por el vector unitario resultante. Solución Comenzamos con la fórmula general de la fuerza magnética sobre un cable. Buscamos la fuerza por unidad de longitud, así que dividimos entre la longitud para llevarla al lado izquierdo. También hemos establecido sen θ = 1 . La solución, por tanto, es F = I l B sen θ F l = ( 5,0 A ) ( 0,30 T ) F l = 1,5 N/m. Direccionalidad: Apunte con los dedos en la dirección y positiva y curve los dedos en la dirección x positiva. El pulgar apuntará en la dirección − k → . Por lo tanto, con la direccionalidad, la solución es F → l = −1,5 k → N/m. La corriente por la longitud y el campo magnético se escriben en notación vectorial unitaria. Entonces, tomamos el producto cruz para calcular la fuerza: F → = I l → × B → = ( 5,0 A ) l j ^ × ( 0,30 T cos ( 30 ° ) i ^ + 0,30 T sen ( 30 ° ) j ^ ) F → / l = -1,30 k ^ N/m. Importancia Este gran campo magnético crea una fuerza significativa en una pequeña longitud de cable. A medida que el ángulo del campo magnético se alinea más estrechamente con la corriente en el cable, hay menos fuerza sobre él, como se ve al comparar las partes a y b. Un cable de cobre recto y flexible se sumerge en un campo magnético dirigido hacia la página. (a) Si la corriente del cable corre en la dirección + x , ¿hacia qué lado se doblará el cable? (b) ¿Hacia qué lado se doblará el cable si la corriente corre en la dirección – x ? a. se dobla hacia arriba; b. se dobla hacia abajo Fuerza en un cable circular Un bucle circular de radio R que porta una corriente I se sitúa en el plano xy . Un campo magnético uniforme y constante atraviesa el bucle paralelamente al eje y ( ). Halle la fuerza magnética sobre la mitad superior del bucle, la mitad inferior del bucle y la fuerza total sobre este. Un bucle de cable que porta una corriente en un campo magnético. Estrategia La fuerza magnética sobre el bucle superior debe escribirse en términos de la fuerza diferencial que actúa sobre cada segmento de él. Si integramos sobre cada pieza diferencial, resolvemos la fuerza global en esa sección del bucle. La fuerza en el bucle inferior se calcula de manera similar, y la fuerza total es la suma de estas dos fuerzas. Solución Una fuerza diferencial sobre un trozo de cable arbitrario situado en el anillo superior es: d F = I B sen θ d l . donde θ es el ángulo entre la dirección del campo magnético ( y +) y el segmento de cable. Un segmento diferencial se encuentra en el mismo radio, por lo que al utilizar una fórmula de longitud de arco, tenemos: d l = R d θ d F = I B R sen θ d θ . Para hallar la fuerza sobre un segmento, integramos sobre la mitad superior del círculo, de 0 a π . Esto da como resultado: F = I B R ∫ 0 π sen θ d θ = I B R ( − cos π + cos 0 ) = 2 I B R . La mitad inferior del bucle se integra de π a cero, lo que nos da: F = I B R ∫ π 0 sen θ d θ = I B R ( − cos 0 + cos π ) = −2 I B R . La fuerza neta es la suma de estas fuerzas, que es cero. Importancia La fuerza total sobre cualquier bucle cerrado en un campo magnético uniforme es cero. Aunque cada pieza del bucle tiene una fuerza que actúa sobre él, la fuerza neta sobre el sistema es cero. (Observe que hay un torque neto en el bucle, que consideramos en la siguiente sección). Resumen Una corriente eléctrica produce un campo magnético alrededor del cable. La direccionalidad del campo magnético producido viene determinada por la regla de la mano derecha-2, en la que el pulgar apunta en la dirección de la corriente y los dedos envuelven el cable en la dirección del campo magnético. La fuerza magnética sobre los conductores portadores de corriente viene dada por F → = I l → × B → donde I es la corriente y l es la longitud de un cable en un campo magnético uniforme B . Preguntas conceptuales Describa el error que se produce al utilizar accidentalmente la mano izquierda en lugar de la derecha al determinar la dirección de una fuerza magnética. Teniendo en cuenta la ley de la fuerza magnética, ¿la velocidad y el campo magnético son siempre perpendiculares? ¿La fuerza y la velocidad son siempre perpendiculares? ¿Y la fuerza y el campo magnético? La velocidad y el campo magnético pueden ajustarse juntos en cualquier dirección. Si hay una fuerza, la velocidad es perpendicular a ella. El campo magnético también es perpendicular a la fuerza si existe. ¿Por qué un imán cercano puede distorsionar la imagen de un televisor de tubo de rayos catódicos? Un campo magnético ejerce una fuerza sobre los electrones en movimiento en un cable portador de corriente. ¿Qué ejerce la fuerza sobre un cable? La fuerza sobre un cable la ejerce un campo magnético externo creado por un cable u otro imán. Hay regiones en las que el campo magnético terrestre es casi perpendicular a la superficie de la Tierra. ¿Qué dificultad supone el uso de la brújula? Problemas ¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética sobre la corriente en cada uno de los seis casos? a. izquierda; b. dentro de la página; c. arriba; d. sin fuerza; e. derecha; f. abajo ¿Cuál es el sentido de una corriente que experimenta la fuerza magnética indicada en cada uno de los tres casos, suponiendo que la corriente discurre perpendicular a B → ? ¿Cuál es la dirección del campo magnético que produce la fuerza magnética indicada sobre las corrientes en cada uno de los tres casos, suponiendo que B → es perpendicular a I ? a. dentro de la página; b. a la izquierda; c. fuera de la página (a) ¿Cuál es la fuerza por metro en un rayo en el ecuador que lleva 20.000 A perpendicularmente al campo 3,0 × 10 −5 T de la Tierra? (b) ¿Cuál es la dirección de la fuerza si la corriente es recta hacia arriba y la dirección del campo terrestre es hacia el norte, paralela al suelo? (a) Una línea eléctrica de corriente continua para un sistema de tren ligero conduce 1.000 A con un ángulo de 30,0° respecto al campo 5,0 × 10 −5 T de la Tierra. ¿Cuál es la fuerza en un tramo de 100 m de esta línea? (b) Discuta los problemas prácticos que esto presenta, si los hay. a. 2,50 N; b. Esto significa que las líneas eléctricas del tren ligero deben estar sujetas para no ser movidas por la fuerza causada por el campo magnético de la Tierra. Un cable que porta una corriente de 30,0 A pasa entre los polos de un imán fuerte que es perpendicular a su campo y experimenta una fuerza de 2,16 N sobre los 4,00 cm de cable en el campo. ¿Cuál es la intensidad media del campo?

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Fuerza y torque en un bucle de corriente Los motores son la aplicación más común de la fuerza magnética en los cables portadores de corriente. Los motores contienen bucles de cable en un campo magnético. Cuando la corriente pasa por los bucles, el campo magnético ejerce un torque en los bucles, que hace girar un eje. La energía eléctrica se convierte en trabajo mecánico en el proceso. Una vez que la superficie del bucle se alinea con el campo magnético, el sentido de la corriente se invierte, por lo que hay un torque continuo en el bucle ( ). Esta inversión de la corriente se realiza con conmutadores y escobillas. El conmutador se ajusta para invertir el flujo de corriente en los puntos establecidos para mantener un movimiento continuo en el motor. Un conmutador básico tiene tres zonas de contacto que hay que evitar y puntos muertos en los que el bucle tendría un torque instantáneo cero en ese punto. Las escobillas presionan contra el conmutador, creando un contacto eléctrico entre sus partes durante el movimiento de giro. Versión simplificada de un motor eléctrico de corriente continua. (a) El bucle de alambre rectangular se coloca en un campo magnético. Las fuerzas sobre los alambres más cercanos a los polos magnéticos (N y S) son de sentido opuesto, tal y como determina la regla 1 de la mano derecha. Por lo tanto, el bucle tiene un torque neto y gira hasta la posición indicada en (b). (b) Las escobillas tocan ahora los segmentos del conmutador, por lo que no circula corriente por el bucle. Sobre el bucle no actúa ningún torque, pero el bucle sigue girando a partir de la velocidad inicial que se le dio en la parte (a). En el momento en que se invierte el bucle, la corriente vuelve a circular por los alambres, pero ahora en sentido contrario, y el proceso se repite como en la parte (a). Esto provoca una rotación continua del bucle. En un campo magnético uniforme, un bucle de alambre que porta corriente, como el bucle de un motor, experimenta tanto fuerzas como torque en el bucle. La muestra un bucle de alambre rectangular que porta una corriente I y tiene lados de longitudes a y b . El bucle está en un campo magnético uniforme B → = B j ^ . La fuerza magnética sobre un cable recto portador de corriente de longitud l viene dada por I l → × B → . Para calcular la fuerza neta sobre el bucle, tenemos que aplicar esta ecuación a cada uno de los cuatro lados. La fuerza en el lado 1 es F → 1 = I a B sen ( 90 ° − θ ) i ^ = I a B cos θ i ^ donde la dirección ha sido determinada con la RHR-1. La corriente en el lado 3 fluye en dirección opuesta a la del lado 1, por lo que F → 3 = − I a B sen ( 90 ° + θ ) i ^ = − I a B cos θ i ^ . Las corrientes de los lados 2 y 4 son perpendiculares a B → y las fuerzas en estos lados son F → 2 = I b B k ^ , F → 4 = − I b B k ^ . Ahora podemos calcular la fuerza neta en el bucle: ∑ F → neta = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4 = 0 . Aunque este resultado ( Σ F = 0 ) se ha obtenido para un bucle rectangular, es mucho más general y vale para bucles portadores de corriente de formas arbitrarias; es decir, no hay fuerza neta en un bucle de corriente en un campo magnético uniforme. (a) Un bucle de corriente rectangular en un campo magnético uniforme está sometido a un torque neto pero no a una fuerza neta. (b) Una vista lateral de la bobina. Para calcular el torque neto en el bucle de corriente mostrado en la , primero consideramos F 1 y F 3 . Como tienen la misma línea de acción y son iguales y opuestos, la suma de sus torques alrededor de cualquier eje es cero (ver Rotación de eje fijo ). Por lo tanto, si hay algún torque en el bucle, debe ser proporcionado por F 2 y F 4 . Calculemos los torques alrededor del eje que pasa por el punto O de la (una vista lateral de la bobina) y es perpendicular al plano de la página. El punto O está a una distancia x del lado 2 y a una distancia ( a − x ) desde el lado 4 del bucle. Los brazos de momento de F 2 y F 4 son x sen θ y ( a − x ) sen θ , respectivamente, por lo que el torque neto en el bucle es ∑ τ → = τ → 1 + τ → 2 + τ → 3 + τ → 4 = F 2 x sen θ i ^ − F 4 ( a − x ) sen ( θ ) i ^ = − I b B x sen θ i ^ − I b B ( a − x ) sen θ i ^ . Esto se simplifica a τ → = − I A B sen θ i ^ donde A = a b es el área del bucle. Observe que este torque es independiente de x ; por lo tanto, es independiente de dónde se encuentre el punto O en el plano del bucle de corriente. En consecuencia, el bucle experimenta el mismo torque del campo magnético alrededor de cualquier eje en el plano del bucle y paralelo al eje x . Un bucle de corriente cerrado se denomina comúnmente dipolo magnético y el término IA se conoce como su momento dipolar magnético μ . En realidad, el momento dipolar magnético es un vector que se define como μ → = I A n ^ donde n ^ es un vector unitario dirigido perpendicularmente al plano del bucle (consulte la ). La dirección de n ^ se obtiene con la RHR-2: si se curvan los dedos de la mano derecha en la dirección del flujo de corriente en el bucle, entonces el pulgar apunta a lo largo de n ^ . Si el bucle contiene N vueltas de cable, su momento dipolar magnético viene dado por μ → = N I A n ^ . En términos del momento dipolar magnético, el torque en un bucle de corriente debido a un campo magnético uniforme puede escribirse simplemente como τ → = μ → × B → . Esta ecuación es válida para un bucle de corriente en un plano bidimensional de forma arbitraria. Al utilizar un cálculo análogo al encontrado en Capacitancia para un dipolo eléctrico, la energía potencial de un dipolo magnético es U = − μ → · B → . Fuerzas y torques en los bucles portadores de corriente Un bucle circular de radio 2,0 cm conduce una corriente de 2,0 mA. (a) ¿Cuál es la magnitud de su momento dipolar magnético? (b) Si el dipolo está orientado a 30 grados respecto a un campo magnético uniforme de magnitud 0,50 T, ¿cuál es la magnitud del torque que experimenta y cuál es su energía potencial? Estrategia El momento dipolar se define por la corriente multiplicada por el área del bucle. El área del bucle se puede calcular a partir del área del círculo. El torque en el bucle y la energía potencial se calculan a partir de la identificación del momento magnético, el campo magnético y el ángulo orientado en el campo. Solución El momento magnético μ se calcula mediante la corriente por el área del bucle o π r 2 . μ = I A = ( 2,0 × 10 −3 A)( π (0,02 m) 2 ) = 2,5 × 10 −6 A · m 2 El torque y la energía potencial se calculan identificando el momento magnético, el campo magnético y el ángulo entre estos dos vectores. Los cálculos de estas cantidades son: τ = μ → × B → = μ B sen θ = ( 2,5 × 10 −6 A · m 2 ) ( 0,50 T ) sen ( 30 ° ) = 6,3 × 10 −7 N · m U = − μ → · B → = − μ B cos θ = − ( 2,5 × 10 −6 A · m 2 ) ( 0,50 T ) cos ( 30 ° ) = −1,1 × 10 −6 J. Importancia El concepto de momento magnético a nivel atómico se analiza en el siguiente capítulo. El concepto de alinear el momento magnético con el campo magnético es la funcionalidad de dispositivos como los motores magnéticos, en los que la conmutación del campo magnético externo da lugar a un giro constante del bucle mientras intenta alinearse con el campo para minimizar su energía potencial. Compruebe lo aprendido ¿En qué orientación tendría que estar un dipolo magnético para producir (a) un torque máximo en un campo magnético? (b) Una energía máxima del dipolo? a. alineado o antialineado; b. perpendicular Resumen La fuerza neta sobre un bucle portador de corriente de cualquier forma plana en un campo magnético uniforme es cero. El torque neto τ en un bucle portador de corriente de cualquier forma en un campo magnético uniforme se calcula mediante τ = μ → × B → donde μ → es el momento dipolar magnético y B → es la intensidad del campo magnético. El momento dipolar magnético μ es el producto del número de vueltas de cable N , la corriente en el bucle I y el área del bucle A o μ → = N I A n ^ . Problemas (a) ¿En qué porcentaje disminuye el torque de un motor si sus imanes permanentes pierden un 5,0 % de su fuerza? (b) ¿En qué porcentaje habría que aumentar la corriente para devolver la torsión a los valores originales? a. τ = N I A B , así que τ disminuye un 5,00 % si B disminuye un 5,00 %; b. 5.26 % de aumento (a) ¿Cuál es el torque máximo en un bucle cuadrado de 150 vueltas de alambre de 18,0 cm de lado que lleva una corriente de 50,0 A en un campo de 1,60 T? (b) ¿Cuál es el par cuando θ es de 10,9º? Halle la corriente necesaria a través de un bucle para crear un torque máximo de 9,0 N · m . El bucle tiene 50 vueltas cuadradas de 15,0 cm de lado y está en un campo magnético uniforme de 0,800 T. 10,0 A Calcule la intensidad necesaria de campo magnético en un bucle cuadrado de 200 vueltas y 20,0 cm de lado para crear un torque máximo de 300 N ⋅ m si el bucle porta 25,0 A. Como la ecuación del torque en un bucle portador de corriente es τ = NIAB sen θ , las unidades de N ⋅ m deben ser iguales a las unidades de A ⋅ m2 T. Compruébelo. A · m 2 · T = A · m 2 . N A · m = N · m (a) ¿En qué ángulo θ el torque en un bucle de corriente es el 90,0 % del máximo? (b) ¿El 50,0 % del máximo? (c) ¿El 10,0 % del máximo? Un protón tiene un campo magnético debido a su espín. El campo es similar al creado por un bucle de corriente circular 0,65 × 10 −15 m de radio con una corriente de 1,05 × 10 4 A . Halle el torque máximo de un protón en un campo de 2,50 T. (Se trata de un torque importante en una partícula pequeña). 3,48 × 10 −26 N · m (a) Un bucle circular de 200 vueltas de radio 50,0 cm es vertical, con su eje en una línea este-oeste. Una corriente de 100 A circula en el sentido de las agujas del reloj en el bucle visto desde el este. El campo de la Tierra aquí es hacia el norte, paralelo al suelo, con una fuerza de 3,0 × 10 −5 T . ¿Cuál es el sentido y la magnitud del torque en el bucle? b) ¿Este dispositivo tiene alguna aplicación práctica como motor? Repita el problema anterior, pero con el bucle tumbado en el suelo con su corriente circulando en sentido contrario a las agujas del reloj (cuando se ve desde arriba) en un lugar donde el campo de la Tierra está al norte, pero con un ángulo de 45,0º por debajo de la horizontal y con una fuerza de 6,0 × 10 −5 T . 0,666 N · m dipolo magnético bucle de corriente cerrado momento dipolar magnético término IA del dipolo magnético, también llamado μ motor (dc) bucle de alambre en un campo magnético; cuando la corriente pasa a través de los bucles, el campo magnético ejerce un torque en los bucles, que hace girar un eje; la energía eléctrica se convierte en trabajo mecánico en el proceso

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El efecto Hall En 1879, E. H. Hall ideó un experimento que puede utilizarse para identificar el signo de los portadores de carga predominantes en un material conductor. Desde una perspectiva histórica, este experimento fue el primero en demostrar que los portadores de carga en la mayoría de los metales son negativos. Visite este sitio web para encontrar más información sobre el efecto Hall. Investigamos el efecto Hall al estudiar el movimiento de los electrones libres a lo largo de una banda de metal de anchura l en un campo magnético constante ( ). Los electrones se mueven de izquierda a derecha, por lo que la fuerza magnética que experimentan los empuja hacia el borde inferior de la tira. Esto deja un exceso de carga positiva en el borde superior de la tira, lo que da lugar a un campo eléctrico E dirigido de arriba a abajo. La concentración de carga en ambos bordes se acumula hasta que la fuerza eléctrica sobre los electrones en una dirección se equilibra con la fuerza magnética sobre ellos en la dirección opuesta. El equilibrio se alcanza cuando: e E = e v d B donde e es la magnitud de la carga del electrón, v d es la velocidad de deriva de los electrones, y E es la magnitud del campo eléctrico creado por la carga separada. Al resolver esto para la velocidad de deriva se obtiene v d = E B . En el efecto Hall, se produce una diferencia de potencial entre los bordes superior e inferior de la banda metálica cuando los portadores de carga en movimiento son desviados por el campo magnético. (a) Efecto Hall para portadores de carga negativa; (b) Efecto Hall para portadores de carga positiva. Una situación en la que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí se denomina situación de campo cruzado. Si estos campos producen fuerzas iguales y opuestas sobre una partícula cargada con la velocidad que iguala las fuerzas, estas partículas son capaces de pasar por un aparato, llamado selector de velocidad , sin ser desviadas. Esta velocidad se representa en la . Cualquier otra velocidad de una partícula cargada enviada a los mismos campos sería desviada por la fuerza magnética o la fuerza eléctrica. Volviendo al efecto Hall, si la corriente en la tira es I , entonces a partir de Corriente y resistencia , sabemos que I = n e v d A donde n es el número de portadores de carga por volumen y A es el área de la sección transversal de la tira. Al combinar las ecuaciones de v d y I se obtiene I = n e ( E B ) A . El campo E está relacionado con la diferencia de potencial V entre los bordes de la tira por E = V l . La cantidad V se denomina potencial Hall y se puede medir con un voltímetro. Finalmente, al combinar las ecuaciones de I y E obtenemos V = I B l n e A donde el borde superior de la tira en la es positivo con respecto al borde inferior. También podemos combinar la y la para obtener una expresión para el voltaje Hall en términos del campo magnético: V = B l v d . ¿Y si los portadores de carga son positivos, como en la ? Para la misma corriente I , la magnitud de V sigue estando dada por la . Sin embargo, el borde superior es ahora negativo con respecto al borde inferior. Por lo tanto, simplemente al medir el signo de V , podemos determinar el signo de los portadores de carga mayoritarios en un metal. Las mediciones del potencial Hall muestran que los electrones son los portadores de carga dominantes en la mayoría de los metales. Sin embargo, los potenciales Hall indican que para unos pocos metales, como el tungsteno, el berilio y muchos semiconductores, la mayoría de los portadores de carga son positivos. Resulta que la conducción por carga positiva está causada por la migración de sitios de electrones perdidos (llamados agujeros) en los iones. La conducción por agujeros se estudia más adelante en Física de la materia condensada . El efecto Hall puede utilizarse para medir campos magnéticos. Si un material con una densidad conocida de portadores de carga n se coloca en un campo magnético y se mide V , entonces se puede determinar el campo a partir de la . En los laboratorios de investigación en los que los campos de los electroimanes utilizados para mediciones precisas tienen que ser extremadamente estables, se suele utilizar una "sonda Hall" como parte de un circuito electrónico que regula el campo. Selector de velocidad Un rayo de electrones entra en un selector de velocidad de campo cruzado con campos magnéticos y eléctricos de 2,0 mT y 6,0 × 10 3 N/C, respectivamente. (a) ¿Cuál debe ser la velocidad del rayo de electrones para atravesar los campos cruzados sin ser desviado? Si se apaga el campo eléctrico, (b) ¿cuál es la aceleración del rayo de electrones y (c) cuál es el radio del movimiento circular resultante? Estrategia El rayo de electrones no es desviado por ninguno de los dos campos magnéticos o eléctricos si estas fuerzas están equilibradas. A partir de estas fuerzas equilibradas, calculamos la velocidad del rayo. Sin el campo eléctrico, en la segunda ley de Newton solo se utiliza la fuerza magnética para hallar la aceleración. Por último, el radio de la trayectoria se basa en el movimiento circular resultante de la fuerza magnética. Solución La velocidad del rayo de electrones no perturbado con campos cruzados se calcula mediante : v d = E B = 6 × 10 3 N / C 2 × 10 −3 T = 3 × 10 6 m / s. La aceleración se calcula a partir de la fuerza neta del campo magnético, igual a la masa por la aceleración. La magnitud de la aceleración es: m a = q v B a = q v B m = ( 1,6 × 10 −19 C ) ( 3 × 10 6 m/s ) ( 2 × 10 −3 T ) 9,1 × 10 −31 kg = 1,1 × 10 15 m/s 2 . El radio de la trayectoria proviene de un equilibrio de las fuerzas circulares y magnéticas, o : r = m v q B = ( 9,1 × 10 −31 kg ) ( 3 × 10 6 m/s ) ( 1,6 × 10 −19 C ) ( 2 × 10 −3 T ) = 8,5 × 10 −3 m. Importancia Si los electrones del rayo tuvieran velocidades superiores o inferiores a la respuesta de la parte (a), esos electrones tendrían una fuerza neta más fuerte ejercida por el campo magnético o eléctrico. Por lo tanto, solo los electrones a esta velocidad específica lo lograrían. El potencial Hall en una cinta de plata La muestra una cinta de plata cuya sección transversal es de 1,0 cm por 0,20 cm. La cinta lleva una corriente de 100 A de izquierda a derecha, y se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud 1,5 T. Utilizando un valor de densidad de n = 5,9 × 10 28 electrones por metro cúbico para la plata, calcule el potencial Hall entre los bordes de la cinta. Se muestra el potencial Hall en una cinta de plata en un campo magnético. Estrategia Como la mayoría de los portadores de carga son electrones, la polaridad del voltaje Hall es la indicada en la figura. El valor del voltaje Hall se calcula mediante la : V = I B l n e A . Solución Para calcular el voltaje Hall, necesitamos conocer la corriente que atraviesa el material, el campo magnético, la longitud, el número de portadores de carga y el área. Como todo esto está dado, el voltaje Hall se calcula como: V = I B l n e A = ( 100 A ) ( 1,5 T ) ( 1,0 × 10 −2 m ) ( 5,9 × 10 28 / m 3 ) ( 1,6 × 10 −19 C ) ( 2,0 × 10 −5 m 2 ) = 7,9 × 10 −6 V. Importancia Como en este ejemplo, el potencial Hall es generalmente muy pequeño y se requiere una cuidadosa experimentación con equipos sensibles para su medición. Una sonda Hall consiste en una tira de cobre, n = 8,5 × 10 28 electrones por metro cúbico, que tiene 2,0 cm de ancho y 0,10 cm de espesor. ¿Cuál es el campo magnético cuando I = 50 A y el potencial Hall es (a) 4,0 μ V y (b) 6,0 μ V ? a. 1,1 T; b. 1,6 T Resumen Los campos eléctricos y magnéticos perpendiculares ejercen fuerzas iguales y opuestas para una velocidad específica de las partículas que entran, actuando así como un selector de velocidad. La velocidad que pasa sin desviarse se calcula mediante v = E B . El efecto Hall puede utilizarse para medir el signo de la mayoría de los portadores de carga de los metales. También puede utilizarse para medir un campo magnético. Preguntas conceptuales Los potenciales Hall son mucho mayores para los malos conductores que para los buenos. ¿Por qué? Los malos conductores tienen una menor densidad de portadores de carga, n , que, según la fórmula del efecto Hall, se relaciona con un mayor potencial Hall. Los buenos conductores tienen una mayor densidad de portadores de carga y, por tanto, un menor potencial Hall. Problemas Se coloca una tira de cobre en un campo magnético uniforme de magnitud 2,5 T. Se mide que el campo eléctrico Hall es 1,5 × 10 −3 V/m . (a) ¿Cuál es la velocidad de deriva de los electrones de conducción? (b) Suponiendo que n = 8,0 × 10 28 electrones por metro cúbico y que el área de la sección transversal de la banda es 5,0 × 10 −6 m 2 , calcule la corriente en la tira. (c) ¿Cuál es el coeficiente Hall 1/nq? Las dimensiones de la sección transversal de la tira de cobre mostrada son de 2,0 cm por 2,0 mm. La cinta lleva una corriente de 100 A y se coloca en un campo magnético de magnitud B = 1,5 T. ¿Cuáles son el valor y la polaridad del potencial Hall en la cinta de cobre? 5,8 × 10 −6 V Las magnitudes de los campos eléctricos y magnéticos en un selector de velocidad son 1,8 × 10 5 V/m y 0,080 T, respectivamente. (a) ¿Qué velocidad debe tener un protón para atravesar el selector? (b) Calcule también las velocidades necesarias para una partícula alfa y un átomo ionizado simple s O 16 para pasar por el selector. Una partícula cargada se mueve a través de un selector de velocidad a velocidad constante. En el selector, E = 1,0 × 10 4 N/C y B = 0,250 T. Cuando se apaga el campo eléctrico, la partícula cargada recorre una trayectoria circular de radio 3,33 mm. Determine la relación carga-masa de la partícula. 4,8 × 10 7 C/kg Una sonda Hall da una lectura de 1,5 μ V para una corriente de 2 A cuando se coloca en un campo magnético de 1 T. ¿Cuál es el campo magnético en una región donde la lectura es 2 μ V para 1,7 A de corriente? efecto Hall creación de voltaje a través de un conductor portador de corriente por un campo magnético selector de velocidad aparato en el que los campos eléctrico y magnético cruzados producen fuerzas iguales y opuestas sobre una partícula cargada que se desplaza con una velocidad específica; esta partícula se desplaza a través del selector de velocidad sin verse afectada por ninguno de los dos campos, mientras que las partículas que se desplazan con velocidades diferentes son desviadas por el aparato

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Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos Poder manipular y clasificar las partículas cargadas permite profundizar en la experimentación para entender de qué está hecha la materia. En primer lugar, observamos un espectrómetro de masas para ver cómo podemos separar los iones por su relación carga-masa. A continuación, hablaremos de los ciclotrones como método para acelerar cargas a energías muy altas. Espectrómetro de masas El espectrómetro de masas es un dispositivo que separa los iones según su relación carga-masa. Una versión concreta, el espectrómetro de masas de Bainbridge, se ilustra en la . Los iones producidos en una fuente se envían primero a través de un selector de velocidad, donde la fuerza magnética se equilibra por igual con la fuerza eléctrica. Estos iones salen todos con la misma velocidad v = E / B ya que cualquier ion con una velocidad diferente es desviado preferentemente por la fuerza eléctrica o magnética y, en última instancia, bloqueado de la siguiente etapa. A continuación, entran en un campo magnético uniforme B 0 donde recorren una trayectoria circular cuyo radio R viene dado por la . El radio se mide con un detector de partículas situado como se muestra en la figura. Un esquema del espectrómetro de masas de Bainbridge, que muestra las partículas cargadas que salen de una fuente, seguidas de un selector de velocidad donde se equilibran las fuerzas eléctricas y magnéticas, seguido de una región de campo magnético uniforme donde se detecta finalmente la partícula. La relación entre la tasa carga-masa q / m y el radio R se determina combinando la y la : q m = E B B 0 R . Dado que la mayoría de los iones están cargados de manera individual ( q = 1,6 × 10 −19 C ) , los valores medidos de R pueden utilizarse con esta ecuación para determinar la masa de los iones. Con los instrumentos modernos, las masas pueden determinarse con una parte en 10 8 . Un uso interesante de un espectrómetro es como parte de un sistema para detectar fugas muy pequeñas en un aparato de investigación. En los laboratorios de física de baja temperatura, un dispositivo conocido como refrigerador de dilución utiliza una mezcla de He-3, He-4 y otros criógenos para alcanzar temperaturas muy por debajo de 1 K. El rendimiento del refrigerador se ve gravemente afectado si se produce incluso una mínima fuga entre sus distintos componentes. Por lo tanto, antes de que se enfríe a la temperatura deseada, el refrigerador se somete a una prueba de estanqueidad. En uno de sus compartimentos se inyecta una pequeña cantidad de helio gaseoso, mientras que un compartimento adyacente, pero supuestamente aislado, está conectado a una bomba de alto vacío a la que está conectado un espectrómetro de masas. Un filamento calentado ioniza los átomos de helio evacuados por la bomba. La detección de estos iones por el espectrómetro indica entonces una fuga entre los dos compartimentos del refrigerador de dilución. Junto con la cromatografía de gases, los espectrómetros de masas se utilizan ampliamente para identificar sustancias desconocidas. Mientras que la parte de la cromatografía de gases descompone la sustancia, el espectrómetro de masas separa las moléculas ionizadas resultantes. Esta técnica se utiliza con los restos de un incendio para determinar la causa, en los cuerpos policiales para identificar drogas ilegales, en seguridad para identificar explosivos y en muchas aplicaciones medicinales. Ciclotrón El ciclotrón fue desarrollado por E. O. Lawrence para acelerar partículas cargadas (normalmente protones, deuterones o partículas alfa) hasta alcanzar grandes energías cinéticas. Estas partículas se utilizan después en experimentos de colisión nuclear para producir isótopos radiactivos. Se ilustra un ciclotrón en la . Las partículas se mueven entre dos recipientes de metal planos y semicilíndricos D1 y D2, llamados dees . Los dees están encerrados en un recipiente de metal más grande y el aparato se coloca entre los polos de un electroimán que proporciona un campo magnético uniforme. El aire se retira del gran contenedor para que las partículas no pierdan energía ni se desvíen debido a las colisiones con las moléculas de aire. Los dees están conectados a una fuente de voltaje de alta frecuencia que proporciona un campo eléctrico alterno en la pequeña región entre ellos. Como los dees son de metal, su interior está protegido del campo eléctrico. El interior de un ciclotrón. Se aplica un campo magnético uniforme a medida que los protones que circulan viajan a través de los dees, ganando energía a medida que atraviesan el espacio entre los dees. Supongamos que se inyecta una partícula cargada positivamente en el espacio entre los dees cuando D2 está a un potencial positivo respecto a D1. La partícula es entonces acelerada a través del espacio y entra en D1 después de ganar energía cinética qV , donde V es la diferencia de potencial media que experimenta la partícula entre los dees. Cuando la partícula está dentro de D1, solo el campo magnético uniforme B → del electroimán actúa sobre ella, por lo que la partícula se mueve en un círculo de radio r = m v q B con un periodo de T = 2 π m q B . El periodo del curso del voltaje alterno se fija en T , de modo que mientras la partícula está dentro de D1, moviéndose a lo largo de su órbita semicircular en un tiempo T /2, la polaridad de los dees se invierte. Cuando la partícula vuelve a entrar en el espacio, D1 es positivo con respecto a D2, y la partícula se acelera de nuevo a través del espacio, ganando así una energía cinética qV . A continuación, la partícula entra en D2, circula en un círculo ligeramente mayor y sale de D2 tras pasar un tiempo T /2 en este dee. Este proceso se repite hasta que la órbita de la partícula alcanza el límite de los dees. En ese momento, la partícula (en realidad, un rayo de partículas) se extrae del ciclotrón y se utiliza para algún propósito experimental. El funcionamiento del ciclotrón depende del hecho de que, en un campo magnético uniforme, el periodo orbital de una partícula es independiente de su radio y de su energía cinética. Por lo tanto, el periodo de la fuente de voltaje alterno solo debe fijarse en el valor dado por la . Con esa configuración, el campo eléctrico acelera las partículas cada vez que se encuentran entre los dees. Si el radio orbital máximo en el ciclotrón es R , entonces desde la , la velocidad máxima de una partícula circulante de masa m y carga q es v máx. = q B R m . Por lo tanto, su energía cinética al ser expulsada del ciclotrón es 1 2 m v máx. 2 = q 2 B 2 R 2 2 m . La energía cinética máxima alcanzable con este tipo de ciclotrón es de aproximadamente 30 MeV. Por encima de esta energía, los efectos relativistas se vuelven importantes, lo que hace que el periodo orbital aumente con el radio. Hasta energías de varios cientos de MeV, los efectos relativistas pueden compensarse haciendo que el campo magnético aumente gradualmente con el radio de la órbita. Sin embargo, para energías más altas, hay que utilizar métodos mucho más elaborados para acelerar las partículas. Las partículas se aceleran a energías muy elevadas con aceleradores lineales o sincrotrones. El acelerador lineal acelera las partículas de forma continua con el campo eléctrico de una onda electromagnética que recorre un largo tubo evacuado. El Acelerador Lineal de Stanford (Stanford Linear Accelerator, SLAC) tiene unos 3,3 km de longitud y acelera electrones y positrones (electrones con carga positiva) hasta energías de 50 GeV. El sincrotrón está construido de forma que su campo magnético de flexión aumenta con la velocidad de las partículas de forma que estas permanecen en una órbita de radio fijo. El sincrotrón de mayor energía del mundo se encuentra en la Organización Europea para la Investigación Nuclear (European Organization for Nuclear Research, CERN), en la frontera franco-suiza, cerca de Ginebra. Recientemente, la CERN ha cobrado interés con el descubrimiento verificado del Bosón de Higgs (consulte Física de partículas y cosmología ). Este sincrotrón puede acelerar rayos de aproximadamente 10 13 protones a energías de aproximadamente 10 3 GeV. Aceleración de partículas alfa en un ciclotrón Un ciclotrón utilizado para acelerar partículas alfa ( m = 6,64 × 10 −27 kg , q = 3,2 × 10 −19 C ) tiene un radio de 0,50 m y un campo magnético de 1,8 T. (a) ¿Cuál es el periodo de revolución de las partículas alfa? (b) ¿Cuál es su energía cinética máxima? Estrategia El periodo de revolución es aproximadamente la distancia recorrida en un círculo dividida entre la velocidad. Al identificar que la fuerza magnética aplicada es la fuerza centrípeta, podemos derivar la fórmula del periodo. La energía cinética puede hallarse a partir de la velocidad máxima del rayo, correspondiente al radio máximo dentro del ciclotrón. Solución Al identificar la masa, la carga y el campo magnético en el problema, podemos calcular el periodo: T = 2 π m q B = 2 π ( 6,64 × 10 −27 kg ) ( 3,2 × 10 −19 C ) ( 1,8 T ) = 7,3 × 10 −8 s. Al identificar la carga, el campo magnético, el radio de la trayectoria y la masa, podemos calcular la energía cinética máxima: 1 2 m v máx. 2 = q 2 B 2 R 2 2 m = ( 3,2 × 10 −19 C ) 2 ( 1,8 T ) 2 ( 0,50 m ) 2 2 ( 6,65 × 10 −27 kg ) = 6,2 × 10 −12 J = 39 MeV. Se va a diseñar un ciclotrón para acelerar protones hasta energías cinéticas de 20 MeV utilizando un campo magnético de 2,0 T. ¿Cuál es el radio necesario del ciclotrón? 0,32 m Resumen Un espectrómetro de masas es un dispositivo que separa los iones según su proporción carga-masa haciéndolos pasar primero por un selector de velocidad y luego por un campo magnético uniforme. Los ciclotrones se utilizan para acelerar partículas cargadas hasta alcanzar grandes energías cinéticas mediante campos eléctricos y magnéticos aplicados. Ecuaciones clave Fuerza sobre una carga en un campo magnético F → = q v → × B → Magnitud de la fuerza magnética F = q v B sen θ Radio de la trayectoria de una partícula en un campo magnético r = m v q B Periodo del movimiento de una partícula en un campo magnético T = 2 π m q B Fuerza sobre un cable conductor de corriente en un campo magnético uniforme F → = I l → × B → Momento dipolar magnético μ → = N I A n ^ Torque en un bucle de corriente τ → = μ → × B → Energía de un dipolo magnético U = − μ → · B → Velocidad de deriva en campos eléctricos y magnéticos cruzados v d = E B Potencial Hall V = I B l n e A Potencial Hall en términos de velocidad de deriva V = B l v d Proporción carga-masa en un espectrómetro de masas q m = E B B 0 R Velocidad máxima de una partícula en un ciclotrón v máx. = q B R m Preguntas conceptuales Describa la función principal del campo eléctrico y del campo magnético en un ciclotrón. Problemas Un físico está diseñando un ciclotrón para acelerar protones a una décima parte de la velocidad de la luz. El campo magnético tendrá una intensidad de 1,5 T. Determine (a) el periodo de rotación de los protones que circulan y (b) el radio máximo de la órbita de los protones. a. 4,4 × 10 −8 s ; b. 0,21 m Las intensidades de los campos en el selector de velocidad de un espectrómetro de masas de Bainbridge son B = 0,500 T y E = 1,2 × 10 5 V/m , y la fuerza del campo magnético que separa los iones es B o = 0,750 T . Se halla que una corriente de iones de Li cargados de manera individual se dobla en un arco circular de radio 2,32 cm. ¿Cuál es la masa de los iones Li? El campo magnético de un ciclotrón es de 1,25 T, y el radio orbital máximo de los protones que circulan es de 0,40 m. (a) ¿Cuál es la energía cinética de los protones cuando son expulsados del ciclotrón? (b) ¿Cuál es esta energía en MeV? (c) ¿A través de qué diferencia de potencial tendría que ser acelerado un protón para adquirir esta energía cinética? (d) ¿Cuál es el periodo de la fuente de voltaje utilizada para acelerar los protones? (e) Repita los cálculos para las partículas alfa. a. 1,92 × 10 −12 J ; b. 12 MeV; c. 12 MV; d. 5,2 × 10 −8 s ; e. 1,92 × 10 −12 J , 12 MeV, 12 V, 10,4 × 10 −8 s Se está utilizando un espectrómetro de masas para separar el oxígeno-16 común del oxígeno-18, mucho más raro, tomado de una muestra de hielo glacial antiguo. (La abundancia relativa de estos isótopos de oxígeno está relacionada con la temperatura climática en el momento en que se depositó el hielo). La relación de las masas de estos dos iones es de 16 a 18, la masa del oxígeno-16 es 2,66 × 10 −26 kg , y se cargan de manera individual y viajan a 5,00 × 10 6 m/s en un campo magnético de 1,20 T. ¿Cuál es la separación entre sus trayectorias cuando alcanzan un objetivo después de atravesar un semicírculo? (a) En un espectrómetro de masas se separan iones de uranio 235 y uranio 238 con tres cargas. (El uranio-235, mucho más raro, se utiliza como combustible de reactores). Las masas de los iones son 3,90 × 10 −25 kg y 3,95 × 10 −25 kg , respectivamente, y viajan a 3,0 × 10 5 m/s en un campo de 0,250 T. ¿Cuál es la separación entre sus trayectorias cuando chocan con un objetivo después de atravesar un semicírculo? (b) Discuta si esta distancia entre sus trayectorias parece ser lo suficientemente grande como para ser práctica en la separación del uranio-235 del uranio-238. a. 2,50 × 10 −2 m ; b. Sí, esta distancia entre sus trayectorias es claramente lo suficientemente grande como para separar el U-235 del U-238, ya que es una distancia de 2,5 cm. Problemas adicionales Calcule la fuerza magnética sobre una hipotética partícula de carga 1,0 × 10 −19 C moviéndose con una velocidad de 6,0 × 10 4 i ^ m/s en un campo magnético de 1,2 k ^ T . Repita el problema anterior con un nuevo campo magnético de ( 0,4 i ^ + 1,2 k ^ ) T . -7,2 × 10 −15 N j ^ Un electrón se proyecta en un campo magnético uniforme ( 0,5 i ^ + 0,8 k ^ ) T con una velocidad de ( 3,0 i ^ + 4,0 j ^ ) × 10 6 m/s . ¿Cuál es la fuerza magnética sobre el electrón? La masa y la carga de una gota de agua son 1,0 × 10 −4 g y 2,0 × 10 −8 C , respectivamente. Si la gota recibe una velocidad horizontal inicial de 5,0 × 10 5 i ^ m/s , ¿qué campo magnético lo mantendrá en esta dirección? ¿Por qué hay que tener en cuenta la gravedad en este caso? 9,8 × 10 −5 j ^ T ; las fuerzas magnéticas y gravitacionales deben equilibrarse para mantener el equilibrio dinámico Se dan cuatro velocidades de protones diferentes. Para cada caso, determine la fuerza magnética sobre el protón en términos de e, v 0 , y B 0 . Un electrón de energía cinética 2.000 eV pasa entre placas paralelas que están a 1,0 cm de distancia y se mantienen a una diferencia de potencial de 300 V. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético uniforme B que permitirá al electrón viajar sin desviarse a través de las placas? Supongamos que E y B son perpendiculares. 1,13 × 10 −3 T Una partícula alfa ( m = 6,64 × 10 −27 kg , q = 3,2 × 10 −19 C ) moviéndose con una velocidad v → = ( 2,0 i ^ − 4,0 k ^ ) × 10 6 m/s entra en una región donde E → = ( 5,0 i ^ − 2,0 j ^ ) × 10 4 V/m y B → = ( 1,0 i ^ + 4,0 k ^ ) × 10 −2 T . ¿Cuál es la fuerza inicial sobre ella? Un electrón que se mueve con una velocidad v → = ( 4,0 i ^ + 3,0 j ^ + 2,0 k ^ ) × 10 6 m/s entra en una región donde hay un campo eléctrico y un campo magnético uniformes. El campo magnético viene dado por B → = ( 1,0 i ^ − 2,0 j ^ + 4,0 k ^ ) × 10 −2 T . Si el electrón viaja a través de una región sin ser desviado, ¿cuál es el campo eléctrico? ( 1,6 i ^ − 1,4 j ^ − 1,1 k ^ ) × 10 5 V/m En un instante determinado, un electrón viaja de oeste a este con una energía cinética de 10 keV. El campo magnético de la Tierra tiene una componente horizontal de 1,8 × 10 −5 T norte y una componente vertical de 5,0 × 10 −5 T abajo. (a) ¿Cuál es la trayectoria del electrón? (b) ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria? ¿Cuál es la (a) trayectoria de un protón y (b) la fuerza magnética sobre el protón que viaja de oeste a este con una energía cinética de 10 keV en el campo magnético de la Tierra que tiene una componente horizontal de 1,8 x 10 –5 T hacia el norte y una componente vertical de 5,0 x 10 –5 T hacia abajo? a. movimiento circular en un plano norte, hacia abajo; b. ( 1,61 j ^ − 0,58 k ^ ) × 10 −14 N ¿Qué campo magnético se necesita para confinar un protón que se mueve con una velocidad de 4,0 × 10 6 m/s a una órbita circular de radio 10 cm? Un electrón y un protón se mueven con la misma velocidad en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme. Compare los radios y periodos de sus órbitas. El protón tiene más masa que el electrón, por lo que su radio y su periodo serán mayores. Un protón y una partícula alfa tienen la misma energía cinética y ambos se mueven en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme. Compare los periodos de sus órbitas. Un ion con carga simple toma 2,0 × 10 −3 s para completar ocho revoluciones en un campo magnético uniforme de magnitud 2,0 × 10 −2 T . ¿Cuál es la masa del ion? 1,3 × 10 −25 kg Una partícula que se mueve hacia abajo a una velocidad de 6,0 × 10 6 m/s entra en un campo magnético uniforme que es horizontal y está dirigido de este a oeste. (a) Si la partícula se desvía inicialmente hacia el norte en un arco circular, ¿su carga es positiva o negativa? (b) Si B = 0,25 T y la proporción carga-masa ( q/m ) de la partícula es 4,0 × 10 7 C/kg , ¿cuál es el radio de la trayectoria? (c) ¿Cuál es la velocidad de la partícula después de haberse movido en el campo por 1,0 × 10 −5 s ? ¿Por 2,0 s? Un protón, un deuterón y una partícula alfa son acelerados desde el reposo por la misma diferencia de potencial. Luego entran en el mismo campo magnético, moviéndose perpendicularmente a él. Calcule los cocientes de los radios de sus trayectorias circulares. Supongamos que m d = 2 m p y m α = 4 m p . 1:0,707:1 Un ion con una sola carga que se mueve en un campo magnético uniforme de 7,5 × 10 −2 T completa 10 revoluciones en 3,47 × 10 −4 s . Identifique el ion. Dos partículas tienen el mismo momento lineal, pero la partícula A tiene cuatro veces la carga de la partícula B. Si ambas partículas se mueven en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme, ¿cuál es la proporción R A / R B de los radios de sus órbitas circulares? 1/4 Un campo magnético uniforme de magnitud B se dirige en paralelo al eje z . Un protón entra en el campo con una velocidad v → = ( 4 j ^ + 3 k ^ ) × 10 6 m/s y se desplaza en una trayectoria helicoidal con un radio de 5,0 cm. (a) ¿Cuál es el valor de B ? (b) ¿Cuál es el tiempo necesario para un viaje alrededor de la hélice? (c) ¿Dónde está el protón 5,0 × 10 −7 s después de entrar en el campo? Un electrón que se mueve a lo largo del eje + x a 5,0 × 10 6 m/s entra en un campo magnético que hace un ángulo de 75 o con el eje x de magnitud 0,20 T. Calcule el (a) paso y (b) radio de la trayectoria. a. 2,3 × 10 −4 m ; b. 1,37 × 10 −4 m (a) Un tramo de cable de 0,750 m de longitud que porta corriente al motor de arranque de un automóvil forma un ángulo de 60º con el campo de 5,5 × 10 −5 T de la Tierra. ¿Cuál es la corriente cuando el cable experimenta una fuerza de 7,0 × 10 −3 N ? b) Si se pasa el cable entre los polos de un imán de herradura fuerte, sometiendo 5,00 cm del mismo a un campo de 1,75 T, ¿qué fuerza se ejerce sobre este segmento de cable? (a) ¿Cuál es el ángulo entre un cable que porta una corriente de 8,00 A y el campo de 1,20 T en el que se encuentra si 50,0 cm del cable experimentan una fuerza magnética de 2,40 N? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre el cable si se gira para formar un ángulo de 90º con el campo? a. 30,0 ° ; b. 4,80 N Un segmento de cable de 1,0 m de longitud se encuentra a lo largo del eje x y lleva una corriente de 2,0 A en la dirección x positiva. Alrededor del cable está el campo magnético de ( 3,0 i ^ × 4,0 k ^ ) × 10 −3 T . Halle la fuerza magnética en este segmento. Una sección de 5,0 m de un cable largo y recto porta una corriente de 10 A mientras se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud 8,0 × 10 −3 T . Calcule la magnitud de la fuerza sobre la sección si el ángulo entre el campo y la dirección de la corriente es (a) 45°; (b) 90°; (c) 0°; o (d) 180°. a. 0,283 N; b. 0,4 N; c. 0 N; d. 0 N Un electroimán produce un campo magnético de magnitud 1,5 T en toda una región cilíndrica de radio 6,0 cm. Un cable recto que porta una corriente de 25 A pasa por el campo como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre el cable? El bucle de corriente que se muestra en la figura adjunta se encuentra en el plano de la página, al igual que el campo magnético. Determine la fuerza neta y el torque neto en el bucle si I = 10 A y B = 1,5 T. 0 N y 0,012 Nm Una bobina circular de radio 5,0 cm está enrollada con cinco vueltas y porta una corriente de 5,0 A. Si la bobina se coloca en un campo magnético uniforme de intensidad 5,0 T, ¿cuál es el torque máximo en ella? Una bobina circular de alambre de radio 5,0 cm tiene 20 vueltas y porta una corriente de 2,0 A. La bobina se encuentra en un campo magnético de magnitud 0,50 T que está dirigido paralelamente al plano de la bobina. (a) ¿Cuál es el momento dipolar magnético de la bobina? (b) ¿Cuál es el torque en la bobina? a. 0,31 Am 2 ; b. 0,16 Nm Una bobina portadora de corriente en un campo magnético experimenta un torque que es el 75 % del torque máximo posible. ¿Cuál es el ángulo entre el campo magnético y la normal al plano de la bobina? Un bucle rectangular de 4,0 cm por 6,0 cm porta una corriente de 10 A. ¿Cuál es el momento dipolar magnético del bucle? 0,024 Am 2 Una bobina circular de 200 vueltas tiene un radio de 2,0 cm. (a) ¿Qué corriente a través de la bobina da lugar a un momento dipolar magnético de 3,0 Am 2 ? (b) ¿Cuál es el torque máximo que experimentará la bobina en un campo uniforme de intensidad 5,0 × 10 −2 T ? (c) Si el ángulo entre μ y B es de 45°, ¿cuál es la magnitud del torque en la bobina? (d) ¿Cuál es la energía potencial magnética de la bobina para esta orientación? La corriente que atraviesa un bucle circular de radio 10 cm es de 5,0 A. (a) Calcule el momento dipolar magnético del bucle. (b) ¿Cuál es el torque en el bucle si está en un campo magnético uniforme de 0,20 T tal que μ y B se dirigen a 30 ° entre sí? (c) Para esta posición, ¿cuál es la energía potencial del dipolo? a. 0,16 Am 2 ; b. 0,016 Nm; c. 0,028 J Un cable de 1,0 m de longitud se enrolla en un bucle plano de una sola vuelta. El bucle lleva una corriente de 5,0 A, y está situado en un campo magnético uniforme de intensidad 0,25 T. (a) ¿Cuál es el torque máximo que experimentará el bucle si es cuadrado? (b) ¿Si es circular? (c) ¿Con qué ángulo respecto a B tendría que estar orientada la normal de la bobina circular para que el torque en ella fuera el mismo que el torque máximo en la bobina cuadrada? Consideremos un electrón que gira en una órbita circular de radio r. Demuestre que las magnitudes del momento dipolar magnético μ y el momento angular L del electrón están relacionadas por: μ L = e 2 m . (Prueba) El efecto Hall debe utilizarse para calcular el signo de los portadores de carga en una muestra de semiconductor. La sonda se coloca entre los polos de un imán para que el campo magnético apunte hacia arriba. Se hace pasar una corriente a través de una muestra rectangular colocada horizontalmente. Al pasar la corriente a través de la muestra en dirección este, la cara norte de esta se encuentra a un potencial más alto que la cara sur. Decida si la densidad numérica de portadores de carga está cargada positiva o negativamente. La densidad de portadores de carga para el cobre es 8,47 × 10 28 electrones por metro cúbico. ¿Cuál será la lectura del voltaje Hall de una sonda formada por una placa de cobre de 3 cm × 2 cm × 1 cm ( L × W × T ) cuando se hace pasar por ella una corriente de 1,5 A en un campo magnético de 2,5 T perpendicular a 3 cm × 2 cm . 4,65 × 10 −7 V Debe utilizarse el efecto Hall para calcular la densidad de portadores de carga en un material desconocido. Un voltaje Hall de 40 μV para una corriente de 3 A se observa en un campo magnético de 3 T para una muestra rectangular con una longitud de 2 cm, una anchura de 1,5 cm y una altura de 0,4 cm. Determine la densidad de los portadores de carga. Demuestre que el voltaje Hall a través de cables del mismo material, que portan corrientes idénticas y que están sometidos al mismo campo magnético, es inversamente proporcional a sus diámetros. (Pista: Considere cómo la velocidad de deriva depende del diámetro del cable). Dado que E = B l v , donde la anchura es el doble del radio, I = 2 r , I = n q A v d , v d = I n q A = I n q π r 2 así que E = B × 2 r × I n q π r 2 = 2 I B n q π r ∝ 1 r ∝ 1 d . El voltaje Hall es inversamente proporcional al diámetro del cable. Un selector de velocidad en un espectrómetro de masas utiliza un campo magnético de 0,100 T. (a) ¿Qué intensidad de campo eléctrico se necesita para seleccionar una velocidad de 4,0 × 10 6 m/s ? b) ¿Cuál es el voltaje entre las placas si están separadas por 1,00 cm? Halle el radio de curvatura de la trayectoria de un protón de 25,0 MeV que se mueve perpendicularmente al campo de 1,20 T de un ciclotrón. 6,92 × 10 7 m/s ; 0,602 m Resultados no razonables Para construir un medidor de agua no mecánico, se coloca un campo magnético de 0,500 T a través de la tubería de suministro de agua de una vivienda y se registra el voltaje Hall. (a) Halle el caudal que pasa por una tubería de 3,00 cm de diámetro si el voltaje Hall es de 60,0 mV. (b) ¿Cuál sería el voltaje Hall para el mismo caudal que pasa por una tubería de 10,0 cm de diámetro con el mismo campo aplicado? Resultados no razonables Una partícula cargada con masa 6,64 × 10 −27 kg (la de un átomo de helio) que se mueve a 8,70 × 10 5 m/s perpendicular a un campo magnético de 1,50 T viaja en una trayectoria circular de radio 16,0 mm. (a) ¿Cuál es la carga de la partícula? (b) ¿Qué no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposiciones son responsables? a. 2,4 × 10 −19 C ; b. no es un múltiplo entero de e; c. hay que suponer que todas las cargas tienen múltiplos de e, podría haber otras fuerzas no consideradas Resultados no razonables Un inventor quiere generar energía de 120 V moviendo un cable de 1,00 m de longitud perpendicular al campo de 5,00 × 10 −5 T de la Tierra. (a) Halle la velocidad con la que debe moverse el cable. (b) ¿Qué es lo que no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposición es la responsable? Resultados no razonables Frustrado por el pequeño voltaje Hall obtenido en las mediciones del flujo sanguíneo, un físico médico decide aumentar la intensidad del campo magnético aplicado para obtener una salida de 0,500 V para la sangre que se mueve a 30,0 cm/s en un vaso de 1,50 cm de diámetro. (a) ¿Qué intensidad de campo magnético se necesita? (b) ¿Qué es lo no razonable de este resultado? (c) ¿Qué premisa es responsable? a. B = 5 T; b. imán muy grande; c. aplicar un voltaje tan grande Problemas de desafíos Una partícula de carga + q y masa m se mueve con velocidad v → 0 apuntando en la dirección + y al cruzar el eje x en x = R en un momento determinado. Hay una carga negativa – Q fija en el origen, y existe un campo magnético uniforme B → 0 apuntando en la dirección + z . Se halla que la partícula describe un círculo de radio R alrededor de – Q . Calcule B → 0 en términos de las cantidades dadas. Un protón de velocidad v = 6 × 10 5 m/s entra en una región de campo magnético uniforme de B = 0,5 T con un ángulo de q = 30 ° al campo magnético. En la región del campo magnético el protón describe una trayectoria helicoidal con radio R y paso p (distancia entre bucles). Halle R y p . R = ( m v sen θ ) / q B ; p = ( 2 π m e B ) v cos θ La trayectoria de una partícula se dobla cuando pasa por una región de campo magnético distinto de cero, aunque su velocidad permanece inalterada. Esto es muy útil para la "dirección del rayo" en los aceleradores de partículas. Considere un protón de velocidad 4 × 10 6 m/s que entra en una región de campo magnético uniforme de 0,2 T en una región de 5 cm de ancho. El campo magnético es perpendicular a la velocidad de la partícula. ¿En qué ángulo se doblará la trayectoria del protón? (Pista: La partícula sale tangente a un círculo). En una región existe un campo magnético no uniforme tal que B x = 0 , B y = 0 , a n d B z = a x , donde a es una constante. En algún momento t , un cable de longitud L que porta una corriente I se encuentra a lo largo del eje x desde el origen hasta x = L . Halle la fuerza magnética sobre el cable en este instante de tiempo. I a L 2 / 2 Una varilla de cobre de masa m y longitud L se cuelga del techo mediante dos resortes de constante elástica k . Un campo magnético uniforme de magnitud B 0 apuntando perpendicularmente a la varilla y al resorte (entrando en la página en la figura) existe en una región del espacio que cubre una longitud w de la varilla de cobre. Los extremos de la varilla se conectan mediante un cable de cobre flexible a los terminales de una batería de voltaje V . Determine la variación de la longitud de los resortes cuando a corriente I recorre la varilla de cobre en el sentido indicado en la figura. (Ignore cualquier fuerza por el cable flexible). La figura adjunta muestra una disposición para medir la masa de los iones mediante un instrumento llamado espectrómetro de masas. Un ion de masa m y carga + q se produce esencialmente en reposo en la fuente S , una cámara en la que tiene lugar una descarga de gas. El ion es acelerado por una diferencia de potencial V acc y se le permite entrar en una región de campo magnético constante B → 0 . En la región del campo magnético uniforme, el ion se mueve en una trayectoria semicircular golpeando una placa fotográfica a una distancia x del punto de entrada. Deduzca una fórmula para la masa m en términos de B 0 , q , V acc , y x . m = q B 0 2 8 V acc x 2 Se hace un alambre de forma circular de radio R y se hace pivotar a lo largo de un soporte central. Los dos extremos del alambre están en contacto con una escobilla que está conectada a una fuente de alimentación de corriente continua. La estructura se encuentra entre los polos de un imán, por lo que podemos suponer que existe un campo magnético uniforme en el cable. En términos de un sistema de coordenadas con origen en el centro del anillo, el campo magnético es B x = B 0 , B y = B z = 0 , y el anillo gira alrededor del eje z . Halle el torque en el anillo cuando no está en el plano xz . Un cable largo y rígido se encuentra a lo largo del eje x y porta una corriente de 2,5 A en la dirección x positiva. Alrededor del cable está el campo magnético B → = 2,0 i ^ + 5,0 x 2 j ^ , con x en metros y B en militesla. Calcule la fuerza magnética sobre el segmento de cable entre x = 2,0 m y x = 4,0 m. 0,23 N Un bucle circular de cable de 10 cm 2 lleva una corriente de 25 A. En un instante determinado el bucle se encuentra en el plano xy y está sometido a un campo magnético B → = ( 2,0 i ^ + 6,0 j ^ + 8,0 k ^ ) × 10 −3 T . Vista desde el plano xy , la corriente circula en el sentido de las agujas del reloj. (a) ¿Cuál es el momento dipolar magnético del bucle de corriente? (b) En este instante, ¿cuál es el torque magnético en el bucle? ciclotrón dispositivo utilizado para acelerar partículas cargadas hasta alcanzar grandes energías cinéticas dees grandes contenedores de metal utilizados en los ciclotrones que sirven para contener una corriente de partículas cargadas al aumentar su velocidad espectrómetro de masas dispositivo que separa los iones según su proporción carga-masa

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Introducción Un disco duro externo conectado a una computadora funciona codificando magnéticamente la información que se puede almacenar o recuperar rápidamente. Una idea clave en el desarrollo de dispositivos digitales es la capacidad de producir y utilizar campos magnéticos de esta manera (créditos: modificación de la obra de "Miss Karen”/Flickr). En el capítulo anterior vimos que una partícula cargada en movimiento produce un campo magnético. Esta conexión entre electricidad y magnetismo se aprovecha en los dispositivos electromagnéticos, como el disco duro de una computadora. De hecho, es el principio subyacente a la mayor parte de la tecnología de la sociedad moderna, incluidos los teléfonos, la televisión, las computadoras e internet. En este capítulo examinamos cómo se crean los campos magnéticos mediante distribuciones arbitrarias de corriente eléctrica, utilizando la ley de Biot-Savart. A continuación, veremos cómo los cables conductores de corriente crean campos magnéticos y deduciremos las fuerzas que surgen entre dos cables conductores de corriente debido a estos campos magnéticos. También estudiamos los torques producidos por los campos magnéticos de los bucles de corriente. A continuación, generalizamos estos resultados a una importante ley del electromagnetismo, llamada ley de Ampère. Examinamos algunos dispositivos que producen campos magnéticos a partir de corrientes en geometrías basadas en bucles, conocidas como solenoides y toroides. Por último, estudiamos cómo se comportan los materiales en los campos magnéticos y clasificamos los materiales en función de sus respuestas a los campos magnéticos.

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La ley de Biot-Savart Hemos visto que la masa produce un campo gravitacional y también interactúa con ese campo. La carga produce un campo eléctrico y también interactúa con ese campo. Dado que la carga en movimiento (es decir, la corriente) interactúa con un campo magnético, cabe esperar que también cree ese campo, y así es. La ecuación utilizada para calcular el campo magnético producido por una corriente se conoce como ley de Biot-Savart. Se trata de una ley empírica que recibe su nombre en honor a dos científicos que investigaron la interacción entre un cable recto conductor de corriente y un imán permanente. Esta ley permite calcular la magnitud y la dirección del campo magnético producido por una corriente en un cable. La ley de Biot-Savart establece que en cualquier punto P ( ), el campo magnético d B → debido a un elemento d l → de un cable conductor de corriente viene dado por d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2 . Un elemento de corriente I d l → produce un campo magnético en el punto P dado por la ley de Biot-Savart. La constante μ 0 se conoce como la permeabilidad del espacio libre y es exactamente μ 0 = 4 π × 10 −7 T ⋅ m/A en el sistema SI. El segmento de cable infinitesimal d l → está en la misma dirección que la corriente I (que se supone positiva), r es la distancia desde d l → a P y r ^ es un vector unitario que apunta desde d l → a P , como se muestra en la figura. La dirección de d B → se determina aplicando la regla de la mano derecha al producto vectorial d l → × r ^ . La magnitud de d B → es d B = μ 0 4 π I d l sen θ r 2 donde θ es el ángulo entre d l → y r ^ . Observe que si θ = 0 , entonces d B → = 0 → . El campo producido por un elemento de corriente I d l → no tiene ningún componente paralelo a d l → . El campo magnético debido a una longitud finita de cable conductor de corriente se encuentra integrando la a lo largo del cable, lo que nos da la forma habitual de la ley de Biot-Savart. Ley de Biot-Savart El campo magnético B → debido a un elemento d l → de un cable conductor de corriente viene dado por B → = μ 0 4 π ∫ cable I d l → × r ^ r 2 . Como se trata de una integral vectorial, las contribuciones de los distintos elementos de la corriente pueden no apuntar en la misma dirección. En consecuencia, la integral suele ser difícil de evaluar, incluso para geometrías bastante sencillas. La siguiente estrategia puede ser útil. Resolución de los problemas de Biot-Savart Para resolver los problemas de la ley de Biot-Savart, son útiles los siguientes pasos: Identifique que la ley de Biot-Savart es el método elegido para resolver el problema dado. Si hay simetría en el problema al comparar B → y d l → , La ley de Ampère puede ser el método preferido para resolver la cuestión. Dibuje la longitud del elemento de corriente d l → y el vector unitario r ^ , señalando que d l → apunta en la dirección de la corriente y r ^ apunta desde el elemento de corriente hacia el punto donde se desea el campo. Calcule el producto cruz d l → × r ^ . El vector resultante da la dirección del campo magnético según la ley de Biot-Savart. Utilice la y sustituya todas las cantidades dadas en la expresión para resolver el campo magnético. Observe que todas las variables que permanecen constantes a lo largo de toda la longitud del cable pueden ser eliminadas de la integración. Utilice la regla de la mano derecha para verificar la dirección del campo magnético producido por la corriente o para escribir la dirección del campo magnético si solo se resolvió la magnitud en la parte anterior. Cálculo de los campos magnéticos de los segmentos cortos de corriente Un cable corto de 1,0 cm de longitud porta una corriente de 2,0 A en la dirección vertical ( ). El resto del cable está protegido para que no se sume al campo magnético producido por el cable. Calcule el campo magnético en el punto P , que está a 1 metro del cable en la dirección x . Un pequeño segmento de línea lleva una corriente I en la dirección vertical. ¿Cuál es el campo magnético a una distancia x del segmento? Estrategia Podemos determinar el campo magnético en el punto P mediante la ley de Biot-Savart. Como el segmento actual es mucho más pequeño que la distancia x , podemos eliminar la integral de la expresión. La integración se convierte de nuevo en una suma, pero solo para segmentos dl pequeños, que ahora escribimos como Δ l . Otra forma de pensar en ello es que cada uno de los valores del radio es casi el mismo, sin importar dónde se encuentre el elemento actual en el segmento de línea, si Δ l es pequeño en comparación con x . El ángulo θ se calcula mediante una función tangente. Al utilizar los números dados, podemos calcular el campo magnético en P . Solución El ángulo entre Δ l → y r ^ se calcula a partir de la trigonometría, conociendo las distancias l y x del problema: θ = tan −1 ( 1 m 0,01 m ) = 89,4 ° . El campo magnético en el punto P se calcula mediante la ley de Biot-Savart: B = μ 0 4 π I Δ l sen θ r 2 = ( 1 × 10 −7 T ⋅ m/A ) ( 2 A ( 0,01 m ) sen ( 89,4 ° ) ( 1 m ) 2 ) = 2,0 × 10 −9 T . A partir de la regla de la mano derecha y la ley de Biot-Savart, el campo se dirige hacia la página. Importancia Esta aproximación solo es buena si la longitud del segmento de línea es muy pequeña comparada con la distancia del elemento de corriente al punto. Si no es así, hay que utilizar la forma integral de la ley de Biot-Savart en todo el segmento de línea para calcular el campo magnético. Al utilizar el , ¿a qué distancia tendría que estar P para medir un campo magnético la mitad de la respuesta dada? 1,41 metros Cálculo del campo magnético de un arco de cable circular Un cable porta una corriente I en un arco circular de radio R barrido por un ángulo arbitrario θ ( ). Calcule el campo magnético en el centro de este arco en el punto P . Un segmento de cable que porta una corriente I . La trayectoria d l → y dirección radial r ^ se indican. Estrategia Podemos determinar el campo magnético en el punto P mediante la ley de Biot-Savart. Las direcciones radial y de la longitud de la trayectoria están siempre en ángulo recto, por lo que el producto cruz se convierte en una multiplicación. También sabemos que la distancia a lo largo de la trayectoria dl está relacionada con el radio por el ángulo θ (en radianes). Entonces podemos sacar todas las constantes de la integración y resolver el campo magnético. Solución La ley de Biot-Savart parte de la siguiente ecuación: B → = μ 0 4 π ∫ cable I d l → × r ^ r 2 . Al integrar a lo largo del arco, todas las contribuciones al campo magnético están en la misma dirección (fuera de la página), por lo que podemos trabajar con la magnitud del campo. El producto cruz se convierte en multiplicación porque la trayectoria dl y la dirección radial son perpendiculares. También podemos sustituir la fórmula de la longitud de arco, d l = r d θ : B = μ 0 4 π ∫ cable I r d θ r 2 . La corriente y el radio se pueden sacar de la integral porque son los mismos sin importar el lugar en el que nos encontremos en la trayectoria. Esto deja solo la integral sobre el ángulo, B = μ 0 I 4 π r ∫ cable d θ . El ángulo varía en el cable de 0 a θ ; por lo tanto, el resultado es B = μ 0 I θ 4 π r . Importancia La dirección del campo magnético en el punto P viene determinada por la regla de la mano derecha, tal y como se ha mostrado en el capítulo anterior. Si hay otros cables en el diagrama junto con el arco, y se le pide que calcule el campo magnético neto, halle cada contribución de un cable o arco y sume los resultados por superposición de vectores. Asegúrese de prestar atención a la dirección de cada contribución. También hay que tener en cuenta que en una situación simétrica, como un cable recto o circular, las contribuciones de los lados opuestos del punto P se anulan entre sí. El bucle de cable forma un círculo completo de radio R y corriente I . ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el centro? μ 0 I 2 R Resumen El campo magnético creado por un cable conductor de corriente se halla por la ley de Biot-Savart. El elemento de corriente I d l → produce un campo magnético a una distancia r . Preguntas conceptuales Para calcular los campos magnéticos, ¿cuáles son las ventajas e inconvenientes de la ley de Biot-Savart? La ventaja de la ley de Biot-Savart es que funciona con cualquier campo magnético producido por un bucle de corriente. La desventaja es que puede llevar mucho tiempo. Describa el campo magnético debido a la corriente en dos cables conectados a los dos terminales de una fuente de emf y retorcidos fuertemente uno alrededor del otro. ¿Cómo se puede decidir si un cable es infinito? Si fuera al inicio de un segmento de línea y calculara el ángulo θ para ser aproximadamente 0 ° , el cable puede considerarse infinito. Este juicio se basa también en la precisión que necesita el resultado. Se transportan corrientes idénticas en dos bucles circulares; sin embargo, un bucle tiene el doble de diámetro que el otro. Compare los campos magnéticos creados por los bucles en el centro de cada uno de ellos. Problemas Por el cable mostrado circula una corriente de 10 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético debido a un segmento de cable de 0,5 mm medido en (a) el punto A y (b) el punto B? Diez amperios fluyen a través de un bucle cuadrado en el que cada lado tiene 20 cm de longitud. En cada esquina del bucle hay un segmento de 0,01 cm que conecta los cables más largos como se muestra. Calcule la magnitud del campo magnético en el centro del bucle. 5,66 × 10 −5 T ¿Cuál es el campo magnético en P debido a la corriente I en el cable mostrado? La figura adjunta muestra un bucle de corriente formado por dos arcos circulares concéntricos y dos líneas radiales perpendiculares. Determine el campo magnético en el punto P. B = μ o I 8 ( 1 a − 1 b ) fuera de la página Halle el campo magnético en el centro C del bucle rectangular de cable mostrado en la figura adjunta. Dos cables largos, uno de los cuales tiene una curva semicircular de radio R , se colocan como se muestra en la figura adjunta. Si ambos cables portan una corriente I , ¿a qué distancia deben estar sus secciones paralelas para que el campo magnético neto en P sea cero? ¿La corriente en el cable recto fluye hacia arriba o hacia abajo? a = 2 R π ; la corriente en el cable de la derecha debe subir por la página. ley de Biot-Savart una ecuación que da el campo magnético en un punto producido por un cable portador de corriente permeabilidad del espacio libre μ 0 , medida de la capacidad de un material, en este caso el espacio libre, para soportar un campo magnético

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