Resolución de problemas con las leyes de Newton El éxito en la resolución de problemas es necesario para comprender y aplicar los principios físicos. En las Leyes del movimiento de Newton desarrollamos un patrón para analizar y plantear las soluciones a los problemas que involucran las leyes de Newton. En este capítulo, continuamos abordando estas estrategias y aplicando un proceso paso a paso. Estrategias de resolución de problemas Aquí seguimos los fundamentos de la resolución de problemas presentados anteriormente en este texto. Sin embargo, hacemos hincapié en las estrategias específicas que son útiles para aplicar las leyes del movimiento de Newton . Una vez que identifique los principios físicos implicados en el problema y determine que incluyen las leyes del movimiento de Newton, puede aplicar estos pasos para encontrar una solución. Estas técnicas también refuerzan conceptos que son útiles en muchas otras áreas de la física. Muchas de las estrategias de resolución de problemas se exponen directamente en los ejemplos trabajados, por lo que las siguientes técnicas deberían reforzar las habilidades que ya ha empezado a desarrollar. Aplicación de las leyes del movimiento de Newton Identifique los principios físicos implicados; enumere los datos dados y las cantidades por calcular. Haga un esquema de la situación; utilice flechas para representar todas las fuerzas. Determine el sistema de interés. El resultado es un diagrama de cuerpo libre , que es esencial para resolver el problema. Aplique la segunda ley de Newton para resolver el problema. Si es necesario, aplique las correspondientes ecuaciones cinemáticas del capítulo sobre el movimiento rectilíneo. Compruebe si la solución es razonable. Apliquemos esta estrategia de resolución de problemas al reto de subir un piano de cola a un segundo piso. Una vez que hayamos determinado que las leyes del movimiento de Newton están implicadas (si el problema implica fuerzas), es especialmente importante trazar un esquema pormenorizado de la situación. Este esquema se muestra en la (a). Entonces, como en la (b), podemos representar todas las fuerzas con flechas. Siempre que exista información suficiente, es mejor etiquetar estas flechas minuciosamente y hacer que la longitud y la dirección de cada una se correspondan con la fuerza representada. (a) Un piano de cola se sube a un segundo piso. (b) Se utilizan flechas para representar todas las fuerzas: T → es la tensión en la cuerda sobre el piano, F → T es la fuerza que el piano ejerce sobre la cuerda, y w → es el peso del piano. Todas las demás fuerzas, como el empuje de una brisa, se suponen despreciables. (c) Supongamos que nos dan la masa del piano y nos indican que encontremos la tensión en la cuerda. A continuación, definimos el sistema de interés como se muestra y dibujamos un diagrama de cuerpo libre. Ahora F → T ya no se muestra, porque no es una fuerza que actúe sobre el sistema de interés; mejor dicho, F → T actúa sobre el mundo exterior. (d) Mostrando solo las flechas, se utiliza el método de suma de cabeza a cola. Es evidente que si el piano está inmóvil, T → = - w → . Como en la mayoría de los problemas, a continuación hay que identificar lo que hay que determinar y lo que se sabe o se puede deducir del problema tal y como está planteado, es decir, hacer una lista de los valores conocidos y las incógnitas. Es especialmente importante identificar el sistema de interés, ya que la segunda ley de Newton solo implica fuerzas externas. Así podemos determinar cuáles fuerzas son externas y cuáles son internas, lo que es un paso necesario para emplear la segunda ley de Newton. (Ver la (c)). La tercera ley de Newton puede utilizarse para identificar si las fuerzas se ejercen entre los componentes de un sistema (internas) o entre el sistema y algo exterior (externas). Como se ilustra en las Leyes del movimiento de Newton , el sistema de interés depende de la pregunta a la que debemos responder. En los diagramas de cuerpo libre solo se muestran las fuerzas, no la aceleración ni la velocidad. Hemos dibujado varios diagramas de cuerpo libre en los ejemplos de trabajo anteriores. La (c) muestra un diagrama de cuerpo libre para el sistema de interés. Tenga en cuenta que en un diagrama de cuerpo libre no se muestran las fuerzas internas. Una vez dibujado el diagrama de cuerpo libre, aplicamos la segunda ley de Newton. Esto se hace en la (d) para una situación particular. En general, una vez que las fuerzas externas están claramente identificadas en los diagramas de cuerpo libre, debería ser una tarea sencilla ponerlas en forma de ecuación y resolver la incógnita, como se hizo en todos los ejemplos anteriores. Si el problema es unidimensional, es decir, si todas las fuerzas son paralelas, pueden manejarse algebraicamente. Si el problema es bidimensional, hay que descomponerlo en un par de problemas unidimensionales. Para ello, proyectamos los vectores de fuerza sobre un conjunto de ejes elegidos por conveniencia. Como se aprecia en los ejemplos anteriores, la elección de los ejes puede simplificar el problema. Por ejemplo, cuando se trata de una inclinación, lo más conveniente es un conjunto de ejes con un eje paralelo a la inclinación y otro perpendicular a ella. Casi siempre es conveniente hacer un eje paralelo a la dirección del movimiento, si se conoce. En general, basta con escribir la segunda ley de Newton en componentes a lo largo de las diferentes direcciones. Entonces, tiene las siguientes ecuaciones: ∑ F x = m a x , ∑ F y = m a y . (Si, por ejemplo, el sistema está acelerando horizontalmente, entonces se puede establecer a y = 0 ). Necesitamos esta información para determinar las fuerzas desconocidas que actúan sobre un sistema. Como siempre, debemos comprobar la solución. En algunos casos, es fácil saber si la solución es razonable. Por ejemplo, es razonable encontrar que la fricción hace que un objeto se deslice por una inclinación de forma más lenta que cuando no existe fricción. En la práctica, la intuición se desarrolla gradualmente a través de la resolución de problemas; con la experiencia, se facilita paulatinamente juzgar si una respuesta es razonable. Otra forma de comprobar una solución es verificar las unidades. Si estamos resolviendo la fuerza y terminamos con unidades de milímetros por segundo, entonces hemos cometido un error. Hay muchas aplicaciones interesantes de las leyes del movimiento de Newton, algunas de las cuales se presentan en esta sección. También sirven para ilustrar otras sutilezas de la física y para desarrollar la capacidad de resolución de problemas. En primer lugar, estudiaremos los problemas relacionados con el equilibrio de las partículas, que hacen uso de la primera ley de Newton, y después consideraremos la aceleración de las partículas, que implica la segunda ley de Newton. Equilibrio de partículas Recordemos que una partícula en equilibrio es aquella para la que las fuerzas externas están equilibradas. El equilibrio estático implica objetos en reposo, y el equilibrio dinámico implica objetos en movimiento sin aceleración. Sin embargo, es importante recordar que estas condiciones son relativas. Por ejemplo, un objeto puede estar en reposo cuando se ve desde nuestro marco de referencia, pero el mismo objeto parecería estar en movimiento cuando lo ve alguien que se mueve a una velocidad constante. A continuación, utilizaremos los conocimientos adquiridos en las Leyes del movimiento de Newton , relativos a los diferentes tipos de fuerzas y al uso de los diagramas de cuerpo libre, para resolver problemas adicionales de equilibrio de partículas . Diferentes tensiones en diferentes ángulos Considere el semáforo (con una masa de 15,0 kg) suspendido de dos alambres, como se muestra en la . Halle la tensión en cada alambre; ignore las masas de los alambres. Un semáforo está suspendido de dos alambres. (b) Algunas de las fuerzas implicadas. (c) Solo se muestran las fuerzas que actúan sobre el sistema. También se muestra el diagrama de cuerpo libre del semáforo. (d) Las fuerzas proyectadas sobre los ejes vertical ( y ) y horizontal ( x ). Los componentes horizontales de las tensiones deben anularse, y la suma de los componentes verticales de las tensiones debe ser igual al peso del semáforo. (e) El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas verticales y horizontales que actúan sobre el semáforo. Estrategia El sistema de interés es el semáforo, y su diagrama de cuerpo libre se muestra en la (c). Las tres fuerzas implicadas no son paralelas, por lo que deben proyectarse en un sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas más conveniente tiene un eje vertical y otro horizontal, y las proyecciones vectoriales sobre este se muestran en la (d). Hay dos incógnitas en este problema ( T 1 y T 2 ), por lo que se necesitan dos ecuaciones para encontrarlas. Estas dos ecuaciones provienen de la aplicación de la segunda ley de Newton a lo largo de los ejes vertical y horizontal; se observa que la fuerza externa neta es cero a lo largo de cada eje porque la aceleración es cero. Solución En primer lugar, considere el eje horizontal o x : F neta x = T 2 x + T 1 x = 0 . Por lo tanto, como es de esperar, | T 1 x | = | T 2 x | . Esto nos da la siguiente relación: T 1 cos 30 ° = T 2 cos 45 ° . Por lo tanto, T 2 = 1,225 T 1 . Observe que T 1 y T 2 no son iguales en este caso porque los ángulos de ambos lados no son iguales. Es razonable que T 2 acabe siendo mayor que T 1 porque se ejerce más verticalmente que T 1 . Consideremos ahora los componentes de la fuerza a lo largo del eje vertical o eje de la y : F neta y = T 1 y + T 2 y - w = 0 . Esto implica T 1 y + T 2 y = w . Al sustituir las expresiones de los componentes verticales se obtiene T 1 sen 30 ° + T 2 sen 45 ° = w . Hay dos incógnitas en esta ecuación, pero si se sustituye la expresión de T 2 en términos de T 1 la reduce a una ecuación con una incógnita: T 1 ( 0,500 ) + ( 1,225 T 1 ) ( 0,707 ) = w = m g , que produce 1,366 T 1 = ( 15,0 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) . Al resolver esta última ecuación se obtiene la magnitud de T 1 que es T 1 = 108 N . Por último, encontramos la magnitud de T 2 utilizando la relación entre ellos, T 2 = 1,225 T 1 , que se encontró anteriormente. Por lo tanto, obtenemos T 2 = 132 N . Importancia Ambas tensiones serían mayores si los dos alambres estuvieran más horizontales, y serán iguales si y solo si los ángulos de ambos lados son iguales (como lo eran en el ejemplo anterior de un equilibrista en las Leyes de movimiento de Newton . Aceleración de partículas Hemos dado varios ejemplos de partículas en equilibrio. Ahora nos centramos en los problemas de aceleración de partículas , que son el resultado de una fuerza neta distinta a cero. Vuelva a consultar los pasos dados al principio de esta sección y observe cómo se aplican a los siguientes ejemplos. Fuerza de arrastre en una barcaza Dos remolcadores empujan una barcaza en diferentes ángulos ( ). El primer remolcador ejerce una fuerza de 2,7 × 10 5 N en la dirección de la x , y el segundo remolcador ejerce una fuerza de 3,6 × 10 5 N en la dirección de la y . La masa de la barcaza es 5,0 × 10 6 kg y su aceleración se observa que es 7,5 × 10 −2 m/s 2 en la dirección indicada. ¿Cuál es la fuerza de arrastre del agua sobre la barcaza que se resiste al movimiento? ( Nota: La fuerza de arrastre es una fuerza de fricción ejercida por los fluidos, como el aire o el agua. La fuerza de arrastre se opone al movimiento del objeto. Como la barcaza tiene un fondo plano, podemos suponer que la fuerza de arrastre está en la dirección opuesta al movimiento de la barcaza). (a) Vista desde arriba de dos remolcadores que empujan una barcaza. (b) El diagrama de cuerpo libre del barco contiene solo las fuerzas que actúan en el plano del agua. Omite las dos fuerzas verticales, el peso de la barcaza y la fuerza de flotación del agua que la sostiene, pues se anulan y no se muestran. Observe que F → aplicada es la fuerza total aplicada de los remolcadores. Estrategia Las direcciones y magnitudes de la aceleración y las fuerzas aplicadas se indican en la (a). Definimos la fuerza total de los remolcadores sobre la barcaza como F → aplicada de modo que F → aplicada = F → 1 + F → 2 . El arrastre del agua F → D está en la dirección opuesta a la dirección del movimiento del bote; por lo tanto, esta fuerza trabaja contra F → aplicada , como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la (b). El sistema de interés aquí es la barcaza, ya que se dan las fuerzas sobre ella y su aceleración. Como las fuerzas aplicadas son perpendiculares, los ejes de la x y la y están en la misma dirección que F → 1 y F → 2 . El problema se convierte rápidamente en unidimensional en la dirección de F → aplicada , ya que la fricción va en sentido contrario a F → aplicada . Nuestra estrategia consiste en encontrar la magnitud y la dirección de la fuerza neta aplicada F → aplicada y luego aplicar la segunda ley de Newton para resolver la fuerza de arrastre F → D . Solución Dado que F x y F y son perpendiculares, podemos encontrar la magnitud y la dirección de F → aplicada directamente. En primer lugar, la magnitud resultante viene dada por el teorema de Pitágoras: F aplicada = F 1 2 + F 2 2 = ( 2,7 × 10 5 N ) 2 + ( 3,6 × 10 5 N ) 2 = 4,5 × 10 5 N . El ángulo viene dado por θ = tan −1 ( F 2 F 1 ) = tan −1 ( 3,6 × 10 5 N 2,7 × 10 5 N ) = 53,1 ° . Por la primera ley de Newton, sabemos que esta es la misma dirección que la aceleración. También sabemos que F → D está en la dirección opuesta a F → aplicada , ya que actúa para frenar la aceleración. Por lo tanto, la fuerza externa neta está en la misma dirección que F → aplicada , pero su magnitud es ligeramente inferior a F → aplicada . El problema es ahora unidimensional. A partir del diagrama de cuerpo libre, podemos ver que F neta = F aplicada - F D . Sin embargo, la segunda ley de Newton establece que F neta = m a . Por lo tanto, F aplicada - F D = m a . Esto se puede resolver para la magnitud de la fuerza de arrastre del agua F D en términos de cantidades conocidas: F D = F aplicada - m a . Al sustituir los valores conocidos se obtiene F D = ( 4,5 × 10 5 N ) - ( 5,0 × 10 6 kg ) ( 7,5 × 10 - 2 m/s 2 ) = 7,5 × 10 4 N . La dirección de F → D ya se ha determinado que está en la dirección opuesta a F → aplicada , o en un ángulo de 53 ° al sur del oeste. Importancia Las cifras utilizadas en este ejemplo son razonables para una barcaza moderadamente grande. Ciertamente, es difícil obtener aceleraciones mayores con los remolcadores, y es deseable poca rapidez para evitar que la barcaza se estrelle contra los muelles. El arrastre es relativamente pequeño para un casco bien diseñado a rapidez baja, de acuerdo con la respuesta a este ejemplo, donde F D es menos de 1/600 del peso del barco. En las Leyes del movimiento de Newton , hablamos de la fuerza normal , que es una fuerza de contacto que actúa normal a la superficie para que un objeto no tenga una aceleración perpendicular a la superficie. La báscula de baño es un excelente ejemplo de una fuerza normal que actúa sobre un cuerpo. Proporciona una lectura cuantitativa de cuánto debe empujar hacia arriba para soportar el peso de un objeto. Sin embargo, ¿podría predecir lo que vería en el dial de una báscula de baño si se subiera a ella durante un viaje en elevador ? ¿Verá un valor superior a su peso cuando el elevador se ponga en marcha? ¿Y cuando el elevador se mueve hacia arriba a una rapidez constante? Haga una estimación antes de leer el siguiente ejemplo. ¿Qué indica la báscula de baño en un elevador? La muestra a un hombre de 75,0 kg (con un peso de aproximadamente 165 lb) subido a una báscula de baño en un elevador. Calcule la lectura de la báscula: (a) si el elevador acelera hacia arriba a una tasa de 1,20 m/s 2 , y (b) si el elevador se mueve hacia arriba a una rapidez constante de 1 m/s. a) Las distintas fuerzas que actúan cuando una persona se sube a una báscula de baño en un elevador. Las flechas son aproximadamente correctas para cuando el elevador acelera hacia arriba; las flechas rotas representan fuerzas demasiado grandes para dibujarse a escala T → es la tensión en el cable de soporte, w → es el peso de la persona, w → s es el peso de la báscula, w → e es el peso del elevador, F → s es la fuerza de la báscula sobre la persona, F → p es la fuerza de la persona en la báscula, F → t es la fuerza de la báscula en el suelo del elevador, y N → es la fuerza del suelo hacia arriba sobre la báscula. (b) El diagrama de cuerpo libre muestra únicamente las fuerzas externas que actúan sobre el sistema de interés designado (la persona) y es el diagrama que utilizamos para la solución del problema. Estrategia Si la báscula en reposo es precisa, su lectura es igual a F → p , la magnitud de la fuerza que la persona ejerce hacia abajo sobre ella. La (a) muestra las numerosas fuerzas que actúan sobre el elevador, la báscula y la persona. Hace que este problema unidimensional parezca mucho más formidable que si se elige a la persona como sistema de interés y se dibuja un diagrama de cuerpo libre, como en la (b). El análisis del diagrama de cuerpo libre mediante el empleo de las leyes de Newton puede dar respuesta a los dos apartados (a) y (b) de la de este ejemplo, así como a otras preguntas que puedan surgir. Las únicas fuerzas que actúan sobre la persona son su peso w → y la fuerza ascendente de la báscula F → s . Según la tercera ley de Newton, F → p y F → s son iguales en magnitud y opuestos en dirección, por lo que necesitamos encontrar F s para encontrar lo que marca la báscula. Podemos hacerlo, como siempre, aplicando la segunda ley de Newton, F → neta = m a → . A partir del diagrama de cuerpo libre, vemos que F → neta = F → s - w → , por lo que tenemos F s - w = m a . Al resolver F s nos da una ecuación con una sola incógnita: F s = m a + w , o, dado que w = m g , simplemente F s = m a + m g . No se han hecho suposiciones sobre la aceleración, por lo que esta solución debería ser válida para una variedad de aceleraciones además de las de esta situación. ( Nota: Consideramos el caso en que el elevador acelera hacia arriba. Si el elevador acelera hacia abajo, la segunda ley de Newton se convierte en F s - w = - m a . ) Solución Tenemos a = 1,20 m/s 2 , de modo que F s = ( 75,0 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) + ( 75,0 kg ) ( 1,20 m/s 2 ) que produce F s = 825 N . Ahora, ¿qué sucede cuando el elevador alcanza una velocidad constante hacia arriba? ¿La báscula seguirá marcando más que su peso? Para cualquier velocidad constante (hacia arriba, hacia abajo o inmóvil), la aceleración es cero porque a = Δ v Δ t y Δ v = 0 . Por lo tanto, F s = m a + m g = 0 + m g o F s = ( 75,0 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) , que da F s = 735 N . Importancia La lectura de la báscula en la (a) es de aproximadamente 185 lb. ¿Qué habría leído la báscula si estuviera inmóvil? Como su aceleración sería cero, la fuerza de la báscula sería igual a su peso: F neta = m a = 0 = F s - w F s = w = m g F s = ( 75,0 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) = 735 N . Por lo tanto, la lectura de la báscula en el elevador es mayor que su peso de 735 N (165 libras). Esto significa que la báscula empuja hacia arriba sobre la persona con una fuerza mayor que su peso, como debe ser, para acelerarla hacia arriba. Evidentemente, cuanto mayor sea la aceleración del elevador, mayor será la lectura de la báscula, en consonancia con lo que se siente en los elevadores de aceleración rápida frente a los de aceleración lenta. En la (b), la lectura de la báscula es de 735 N, que equivale al peso de la persona. Este es el caso siempre que el elevador tenga una velocidad constante, ya sea subiendo, bajando o inmóvil. Calcule ahora la lectura de la báscula cuando el elevador acelera hacia abajo a una velocidad de 1,20 m/s 2 . F s = 645 N La solución del ejemplo anterior también se aplica a un elevador que acelera hacia abajo, como se ha mencionado. Cuando un elevador acelera hacia abajo, a es negativa, y la lectura de la báscula es menor que el peso de la persona. Si se alcanza una velocidad constante hacia abajo, la lectura de la báscula vuelve a ser igual al peso de la persona. Si el elevador está en caída libre y acelera hacia abajo a g , entonces la lectura de la báscula es cero y la persona parece no tener peso. Dos bloques sujetados La muestra un bloque de masa m 1 en una superficie horizontal sin fricción. Se hala de una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción ni masa. El otro extremo de la cuerda está conectado a un bloque de masa m 2 . Halle la aceleración de los bloques y la tensión en la cuerda en términos de m 1 , m 2 , y g . (a) El bloque 1 está unido por una cuerda ligera al bloque 2. (b) Los diagramas de cuerpo libre de los bloques. Estrategia Dibujamos un diagrama de cuerpo libre para cada masa por separado, como se muestra en la . A continuación, analizamos cado uno de ellos para encontrar las incógnitas necesarias. Las fuerzas sobre el bloque 1 son la fuerza gravitatoria, la fuerza de contacto de la superficie y la tensión de la cuerda. El bloque 2 está sometido a la fuerza gravitatoria y a la tensión de la cuerda. La segunda ley de Newton se aplica a cada uno, por lo que escribimos dos ecuaciones vectoriales: Para el bloque 1: T → + w → 1 + N → = m 1 a → 1 Para el bloque 2: T → + w → 2 = m 2 a → 2 . Observe que T → es el mismo para ambos bloques. Como la cuerda y la polea tienen una masa despreciable, y como no hay fricción en la polea, la tensión es la misma en toda la cuerda. Ahora podemos escribir las ecuaciones de los componentes de cada bloque. Todas las fuerzas son horizontales o verticales, por lo que podemos utilizar el mismo sistema de coordenadas horizontales/verticales para ambos objetos. Solución Las ecuaciones de los componentes se derivan de las ecuaciones vectoriales anteriores. Vemos que el bloque 1 tiene las fuerzas verticales equilibradas, así que las pasamos por alto y escribimos una ecuación que relacione los componentes de x . No hay fuerzas horizontales en el bloque 2, por lo que se escribe únicamente la ecuación de y . Obtenemos estos resultados: Bloque 1 Bloque 2 ∑ F x = m a x ∑ F y = m a y T x = m 1 a 1 x T y - m 2 g = m 2 a 2 y . Cuando el bloque 1 se mueve hacia la derecha, el bloque 2 se desplaza a una distancia igual hacia abajo; por lo tanto, a 1 x = - a 2 y . Al escribir la aceleración común de los bloques como a = a 1 x = - a 2 y , ahora tenemos T = m 1 a y T - m 2 g = - m 2 a . A partir de estas dos ecuaciones, podemos expresar a y T en términos de las masas m 1 y m 2 , y g : a = m 2 m 1 + m 2 g y T = m 1 m 2 m 1 + m 2 g . Importancia Observe que la tensión de la cuerda es menor que el peso del bloque que cuelga de su extremo. Un error común en este tipo de problemas es establecer T = m 2 g . Se puede ver del diagrama de cuerpo libre del bloque 2 que no es correcto si el bloque acelera. Calcule la aceleración del sistema, y la tensión en la cuerda, cuando las masas son m 1 = 5,00 kg y m 2 = 3,00 kg . a = 3,68 m/s 2 , T = 18,4 N Máquina de Atwood Un problema clásico de la física, similar al que acabamos de resolver, es el de la máquina de Atwood , que consiste en una cuerda que pasa por una polea, con dos objetos de diferente masa unidos. Sirve especialmente para comprender la conexión entre fuerza y movimiento. En la , m 1 = 2,00 kg y m 2 = 4,00 kg . Considere que la polea no tiene fricción. (a) Si m 2 se libera, ¿cuál será su aceleración? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Una máquina de Atwood y diagramas de cuerpo libre para cada uno de los dos bloques. Estrategia Dibujamos un diagrama de cuerpo libre para cada masa por separado, como se muestra en la figura. A continuación, analizamos cada diagrama para encontrar las incógnitas necesarias. Esto puede implicar la solución de ecuaciones simultáneas. También es importante señalar la similitud con el ejemplo anterior. Como el bloque 2 acelera con aceleración a 2 hacia abajo, el bloque 1 acelera hacia arriba con aceleración a 1 . Por lo tanto, a = a 1 = - a 2 . Solución Tenemos Para m 1 , ∑ F y = T - m 1 g = m 1 a . Para m 2 , ∑ F y = T - m 2 g = - m 2 a . (El signo negativo delante de m 2 a indica que m 2 acelera hacia abajo; ambos bloques aceleran a la misma velocidad, pero en direcciones opuestas). Resuelva las dos ecuaciones simultáneamente (réstelas) y el resultado es ( m 2 - m 1 ) g = ( m 1 + m 2 ) a . Al resolver a : a = m 2 - m 1 m 1 + m 2 g = 4 kg - 2 kg 4 kg + 2 kg ( 9,8 m/s 2 ) = 3,27 m/s 2 . Al observar el primer bloque, vemos que T - m 1 g = m 1 a T = m 1 ( g + a ) = ( 2 kg ) ( 9,8 m/s 2 + 3,27 m/s 2 ) = 26,1 N . Importancia El resultado de la aceleración dado en la solución puede interpretarse como la razón de la fuerza desequilibrada sobre el sistema, ( m 2 - m 1 ) g , a la masa total del sistema, m 1 + m 2 . También podemos utilizar la máquina de Atwood para medir la intensidad del campo gravitatorio local. Determine una fórmula general en términos de m 1 , m 2 y g para calcular la tensión en la cuerda para la máquina de Atwood mostrada arriba. T = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 g (Esto se encuentra al sustituir la ecuación de la aceleración en la (a), en la ecuación de la tensión en la (b) Leyes del movimiento y cinemática de Newton La física es más interesante y poderosa cuando se aplica a situaciones generales que implican algo más que un estrecho conjunto de principios físicos. Las leyes del movimiento de Newton también pueden integrarse con otros conceptos que se han tratado anteriormente en este texto para resolver problemas de movimiento. Por ejemplo, las fuerzas producen aceleración, un tema de la cinemática , y de ahí la relevancia de los capítulos anteriores. Al abordar problemas que implican varios tipos de fuerzas, aceleración, velocidad o posición, la enumeración de las cantidades dadas y de las que hay que calcular le permitirá identificar los principios implicados. A continuación, puede consultar los capítulos que tratan un tema concreto y resolver el problema con las estrategias indicadas en el texto. El siguiente ejemplo trabajado ilustra cómo se aplica la estrategia de resolución de problemas, dada anteriormente en este capítulo, así como las estrategias presentadas en otros capítulos, a un problema de concepto integrado. ¿Qué fuerza debe ejercer una jugadora de fútbol para alcanzar la velocidad máxima? Una jugadora de fútbol comienza en reposo y acelera hacia delante, y alcanza una velocidad de 8,00 m/s en 2,50 s. (a) ¿Cuál es su aceleración media? (b) ¿Qué fuerza media ejerce el suelo hacia delante sobre la corredora para que alcance esta aceleración? La masa de la jugadora es de 70,0 kg y la resistencia del aire es despreciable. Estrategia Para encontrar las respuestas a este problema, utilizamos la estrategia de resolución de problemas, dada anteriormente en este capítulo. Las soluciones de cada parte del ejemplo ilustran cómo aplicar los pasos específicos de la resolución de problemas. En este caso, no es necesario utilizar todos los pasos. Simplemente identificamos los principios físicos y, por lo tanto, los valores conocidos y las incógnitas; aplicamos la segunda ley de Newton y comprobamos si la respuesta es razonable. Solución Se nos dan las velocidades inicial y final (cero y 8,00 m/s hacia adelante); por lo tanto, el cambio de velocidad es Δ v = 8,00 m/s . Nos dan el tiempo transcurrido, así que Δ t = 2,50 s . La incógnita es la aceleración, que se puede encontrar a partir de su definición: a = Δ v Δ t . Al sustituir los valores conocidos se tiene a = 8,00 m/s 2,50 s = 3,20 m/s 2 . Aquí se nos pide que encontremos la fuerza media que el suelo ejerce sobre la corredora para producir esta aceleración. (Recuerde que se trata de la fuerza o fuerzas que actúan sobre el objeto de interés). Esta es la fuerza de reacción a la que ejerce la jugadora hacia atrás contra el suelo, por la tercera ley de Newton. Al ignorar la resistencia del aire, esto sería igual en magnitud a la fuerza externa neta sobre la jugadora, ya que esta fuerza causa su aceleración. Como ahora conocemos la aceleración de la jugadora y tenemos su masa, podemos utilizar la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza ejercida. Eso es, F neta = m a . Al sustituir los valores conocidos de m y a obtenemos F neta = ( 70,0 kg ) ( 3,20 m/s 2 ) = 224 N . Este es un resultado razonable: la aceleración es alcanzable para un atleta en buenas condiciones. La fuerza es de aproximadamente 50 libras, una fuerza media razonable. Importancia Este ejemplo ilustra cómo aplicar las estrategias de resolución de problemas a situaciones que incluyen temas de diferentes capítulos. El primer paso es identificar los principios físicos, los valores conocidos y las incógnitas del problema. El segundo paso es resolver la incógnita, en este caso con la segunda ley de Newton. Por último, comprobamos nuestra respuesta para asegurarnos de que sea razonable. Estas técnicas de problemas de conceptos integrados serán útiles en aplicaciones de la física fuera de un curso de física, como en su profesión, en otras disciplinas científicas y en la vida cotidiana. La jugadora de fútbol se detiene tras realizar la jugada descrita anteriormente, pero ahora se da cuenta de que la pelota se puede robar. Si ahora experimenta una fuerza de 126 N para intentar robar la pelota, que está a 2,00 m de ella, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a la pelota? 1,49 s ¿Qué fuerza actúa sobre un modelo de helicóptero? Un modelo de helicóptero de 1,50 kg tiene una velocidad de 5,00 j ^ m/s a t = 0 . Se acelera a una tasa constante durante dos segundos (2,00 s) después de lo cual tiene una velocidad de ( 6,00 i ^ + 12,00 j ^ ) m/s . ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el helicóptero durante este intervalo? Estrategia Podemos establecer fácilmente un sistema de coordenadas en el que el eje de la x ( i ^ ) es horizontal, y el eje de la y ( j ^ ) es vertical. Sabemos que Δ t = 2,00 s y Δ v = ( 6,00 i ^ + 12,00 j ^ m/s ) - ( 5,00 j ^ m/s ) . A partir de esto, podemos calcular la aceleración por la definición; entonces podemos aplicar la segunda ley de Newton. Solución Tenemos a = Δ v Δ t = ( 6,00 i ^ + 12,00 j ^ m/s ) - ( 5,00 j ^ m/s ) 2,00 s = 3,00 i ^ + 3,50 j ^ m/s 2 ∑ F → = m a → = ( 1,50 kg ) ( 3,00 i ^ + 3,50 j ^ m/s 2 ) = 4,50 i ^ + 5,25 j ^ N . La magnitud de la fuerza se encuentra ahora fácilmente: F = ( 4,50 N ) 2 + ( 5,25 N ) 2 = 6,91 N . Importancia El problema original se planteó en términos de componentes vectoriales i ^ - j ^ , por lo que utilizamos métodos vectoriales. Compare este ejemplo con el anterior. Halle la dirección de la resultante para el modelo de helicóptero de 1,50 kg. 49,4 grados Tractor de equipaje La (a) muestra un tractor de equipaje que hala los carros portaequipajes de un avión. El tractor tiene una masa de 650,0 kg, mientras que el carro A tiene una masa de 250,0 kg y el carro B tiene una masa de 150,0 kg. La fuerza motriz que actúa durante un breve lapso acelera el sistema desde el reposo y actúa durante 3,00 s. (a) Si esta fuerza motriz está dada por F = ( 820,0 t ) N, halle la rapidez después de 3,00 segundos. (b) ¿Cuál es la fuerza horizontal que actúa sobre el cable de conexión entre el tractor y el carro A en este instante? (a) Se muestra un diagrama de cuerpo libre que indica todas las fuerzas externas sobre el sistema formado por el tractor y los carros portaequipajes para transportar el equipaje de la aerolínea. (b) Se muestra un diagrama de cuerpo libre solo del tractor aislado para calcular la tensión en el cable a los carros. Estrategia Un diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza motriz del tractor, que da al sistema su aceleración. Solo tenemos que considerar el movimiento en la dirección horizontal. Las fuerzas verticales se equilibran entre sí y no es necesario considerarlas. Para la parte b, utilizamos un diagrama de cuerpo libre del tractor solo para determinar la fuerza entre este y el carro A. Esto expone la fuerza de acoplamiento T → , que es nuestro objetivo. Solución ∑ F x = m sistema a x y ∑ F x = 820,0 t , así que 820,0 t = ( 650,0 + 250,0 + 150,0 ) a a = 0,7809 t . Dado que la aceleración es una función del tiempo, podemos determinar la velocidad del tractor mediante a = d v d t con la condición inicial de que v 0 = 0 a t = 0 . Integramos desde t = 0 a t = 3 : d v = a d t , ∫ 0 3 d v = ∫ 0 3,00 a d t = ∫ 0 3,00 0,7809 t d t , v = 0,3905 t 2 ] 0 3,00 = 3,51 m/s . Consulte el diagrama de cuerpo libre en la (b). ∑ F x = m tractor a x 820,0 t - T = m tractor ( 0,7805 ) t ( 820,0 ) ( 3,00 ) - T = ( 650,0 ) ( 0,7805 ) ( 3,00 ) T = 938 N . Importancia Como la fuerza varía con el tiempo, debemos utilizar el cálculo para resolver este problema. Observe cómo la masa total del sistema era importante para resolver la (a) , mientras que solo la masa del camión (ya que suministraba la fuerza) era útil en la (b). Recuerde que v = d s d t y a = d v d t . Si la aceleración es una función del tiempo, podemos utilizar las formas de cálculo desarrolladas en Movimiento en línea recta , como se muestra en este ejemplo. Sin embargo, a veces la aceleración es una función del desplazamiento. En este caso, podemos derivar un resultado importante de estas relaciones de cálculo. Al resolver dt en cada uno, tenemos d t = d s v y d t = d v a . Ahora, al igualar estas expresiones, tenemos d s v = d v a . Podemos reordenar esto para obtener a d s = v d v . Movimiento de un proyectil disparado verticalmente Un proyectil de mortero de 10,0 kg se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 50,0 m/s (ver la ). Determine la altura máxima que recorrerá si la resistencia atmosférica se mide como F D = ( 0,0100 v 2 ) N, donde v es la rapidez en cualquier instante. (a) El mortero dispara un proyectil en línea recta hacia arriba; consideramos la fuerza de fricción proporcionada por el aire. (b) Se muestra un diagrama de cuerpo libre que indica todas las fuerzas sobre el proyectil de mortero (créditos: a. modificación del trabajo de OS541/DoD. La información visual del Departamento de Defensa (Department of Defense, DoD) de los EE. UU. no implica ni constituye el respaldo del DoD). Estrategia La fuerza conocida sobre el proyectil de mortero puede relacionarse con su aceleración mediante el empleo de las ecuaciones del movimiento. La cinemática puede utilizarse entonces para relacionar la aceleración del proyectil de mortero con su posición. Solución Inicialmente, y 0 = 0 y v 0 = 50,0 m/s . En la altura máxima y = h , v = 0 . El diagrama de cuerpo libre muestra F D actúa hacia abajo, porque frena el movimiento ascendente del proyectil de mortero. Así, podemos escribir ∑ F y = m a y - F D - w = m a y - 0,0100 v 2 - 98,0 = 10,0 a a = −0,00100 v 2 - 9,80 . La aceleración depende de v y, por tanto, es variable. Dado que a = f ( v ) , podemos relacionar a con v mediante el reordenamiento descrito anteriormente, a d s = v d v . Sustituimos ds por dy porque se trata de la dirección vertical, a d y = v d v , ( −0,00100 v 2 - 9,80 ) d y = v d v . Ahora separamos las variables ( v y dv por un lado; dy por otro): ∫ 0 h d y = ∫ 50,0 0 v d v ( −0,00100 v 2 - 9,80 ) ∫ 0 h d y = - ∫ 50,0 0 v d v ( 0,00100 v 2 + 9,80 ) = ( −5 × 10 3 ) ln ( 0,00100 v 2 + 9,80 ) | 50,0 0 . Por lo tanto, h = 114 m . Importancia Observe la necesidad de aplicar el cálculo, ya que la fuerza no es constante, lo que significa también que la aceleración no es constante. Por si fuera poco, la fuerza depende de v (no de t ), por lo que debemos utilizar el truco explicado antes del ejemplo. La respuesta para la altura indica una menor elevación si hubiera resistencia del aire. Trataremos los efectos de la resistencia del aire y otras fuerzas de arrastre con más detalle en Fuerza de arrastre y velocidad límite . Si se ignora la resistencia atmosférica, halle la altura máxima del proyectil de mortero. ¿Es necesario el cálculo para esta solución? 128 m; no Explore las fuerzas que actúan en esta simulación cuando intenta empujar un archivador. Cree una fuerza aplicada y vea la fuerza de fricción resultante y la fuerza total que actúa sobre el archivador. Los gráficos muestran las fuerzas, la posición, la velocidad y la aceleración frente al tiempo. Visualice un diagrama de cuerpo libre de todas las fuerzas (inclusive las fuerzas gravitacionales y normales). Resumen Las leyes del movimiento de Newton pueden aplicarse en numerosas situaciones para resolver problemas de movimiento. Algunos problemas contienen múltiples vectores de fuerza que actúan en diferentes direcciones sobre un objeto. Dibuje diagramas, resuelva todos los vectores de fuerza en componentes horizontales y verticales, y trace un diagrama de cuerpo libre. Analice siempre la dirección en la que se acelera un objeto para poder determinar si F neta = m a o F neta = 0 . La fuerza normal sobre un objeto no siempre es igual en magnitud al peso del objeto. Si un objeto se acelera verticalmente, la fuerza normal es menor o mayor que el peso del objeto. Además, si el objeto está en un plano inclinado, la fuerza normal es siempre menor que el peso total del objeto. Algunos problemas contienen varias magnitudes físicas, como fuerzas, aceleración, velocidad o posición. Puede aplicar conceptos de cinemática y dinámica para resolver estos problemas. Preguntas conceptuales Para simular la ingravidez aparente de la órbita espacial, los astronautas se entrenan en la bodega de un avión de carga que acelera hacia abajo a g . ¿Por qué parecen no tener peso, como se mide en una báscula de baño, en este marco de referencia acelerado? ¿Hay alguna diferencia entre su aparente ingravidez en órbita y en el avión? La báscula está en caída libre junto con los astronautas, por lo que la lectura de la báscula sería 0. No hay diferencia en la ingravidez aparente; en el avión y en órbita, se produce la caída libre. Problemas Una niña de 30,0 kg en un columpio se empuja hacia un lado y se mantiene en reposo por una fuerza horizontal F → para que las cuerdas del columpio estén a 30,0 ° con respecto a la vertical. (a) Calcule la tensión en cada una de las dos cuerdas que soportan el columpio en estas condiciones. (b) Calcule la magnitud de F → . a. 170 N; b. 170 N Halle la tensión en cada uno de los tres cables que sostienen el semáforo si este pesa 2,00 × 10 2 N. Tres fuerzas actúan sobre un objeto, considerado como una partícula, que se mueve con velocidad constante v = ( 3 i ^ - 2 j ^ ) m/s . Dos de las fuerzas son F → 1 = ( 3 i ^ + 5 j ^ - 6 k ^ ) N y F → 2 = ( 4 i ^ - 7 j ^ + 2 k ^ ) N . Halle la tercera fuerza. F → 3 = ( - 7 i ^ + 2 j ^ + 4 k ^ ) N Una pulga salta y ejerce una fuerza de 1,20 × 10 −5 N directamente sobre el suelo. La brisa que sopla sobre la pulga paralela al suelo ejerce una fuerza de 0,500 × 10 −6 N sobre la pulga mientras aún está en contacto con el suelo. Halle la dirección y la magnitud de la aceleración de la pulga si su masa es 6,00 × 10 −7 kg . No ignore la fuerza gravitatoria. Dos músculos de la parte posterior de la pierna halan hacia arriba el tendón de Aquiles, como se muestra en la siguiente imagen. (Estos músculos se denominan cabezas medial y lateral del músculo gastrocnemio). Halle la magnitud y la dirección de la fuerza total sobre el tendón de Aquiles. ¿Qué tipo de movimiento puede provocar esta fuerza? 376 N que apunten hacia arriba (a lo largo de la línea discontinua en la figura); la fuerza se utiliza para levantar el talón del pie. Tras un percance, un artista de circo de 76,0 kg se aferra a un trapecio, que está siendo halado hacia un lado por otro artista de circo, como se muestra aquí. Calcule la tensión en las dos cuerdas si la persona está momentáneamente inmóvil. Incluya un diagrama de cuerpo libre en su solución. Un delfín de 35,0 kg desacelera de 12,0 a 7,50 m/s en 2,30 s para unirse a otro delfín en juego. ¿Qué fuerza media se ejerció para frenar al primer delfín si se movía horizontalmente? (La fuerza gravitatoria se equilibra con la fuerza de flotación del agua). -68,5 N Al iniciar una carrera a pie, un velocista de 70,0 kg ejerce una fuerza media de 650 N hacia atrás sobre el suelo durante 0,800 s. (a) ¿Cuál es su rapidez final? (b) ¿Qué distancia recorre? Un cohete grande tiene una masa de 2,00 × 10 6 kg en el despegue, y sus motores producen un empuje de 3,50 × 10 7 N . (a) Halle su aceleración inicial si despega en vertical. (b) ¿Cuánto tarda en alcanzar una velocidad de 120 km/h en línea recta, suponiendo que la masa y el empuje son constantes? a. 7,70 m/s 2 ; b. 4,33 s Un jugador de baloncesto salta directamente por un balón. Para ello, baja su cuerpo 0,300 m y luego acelera a través de esta distancia enderezando con fuerza las piernas. Este jugador salta con una velocidad vertical suficiente para elevarse 0,900 m por encima del suelo. (a) Calcule su velocidad cuando salta. (b) Calcule su aceleración mientras endereza las piernas. Pasa de cero a la velocidad encontrada en (a) en una distancia de 0,300 m. (c) Calcule la fuerza que ejerce sobre el suelo para hacerlo, dado que su masa es de 110,0 kg. Un proyectil de fuegos artificiales de 2,50 kg se dispara directamente desde un mortero y alcanza una altura de 110,0 m. (a) Ignorando la resistencia del aire (una suposición precaria, pero la haremos para este ejemplo), calcule la velocidad del proyectil cuando sale del mortero. (b) El propio mortero es un tubo de 0,450 m de longitud. Calcule la aceleración media del proyectil en el tubo al pasar de cero a la velocidad encontrada en (a). (c) ¿Cuál es la fuerza media sobre el proyectil en el mortero? Exprese su respuesta en newtons y a razón del peso del proyectil. a. 46,4 m/s; b 2,40 × 10 3 m/s 2 ; c. 5,99 × 10 3 N; razón de 245 Una papa de 0,500 kg se dispara con un ángulo de 80,0 ° por encima de la horizontal desde un tubo de PVC utilizado como "pistola de papas" y alcanza una altura de 110,0 m. (a) Ignorando la resistencia del aire, calcule la velocidad de la papa cuando sale de la pistola. (b) La propia pistola es un tubo de 0,450 m de longitud. Calcule la aceleración media de la papa en el tubo al pasar de cero a la velocidad hallada en (a). (c) ¿Cuál es la fuerza media sobre la papa en la pistola? Exprese su respuesta en newtons y a razón del peso de la patata. Un elevador lleno de pasajeros tiene una masa de 1,70 × 10 3 kg . (a) El elevador acelera hacia arriba desde el reposo a una tasa de 1,20 m/s 2 durante 1,50 s. Calcule la tensión en el cable que sostiene el elevador. b) El elevador continúa hacia arriba a velocidad constante durante 8,50 s. ¿Cuál es la tensión en el cable durante este tiempo? (c) El elevador desacelera a una tasa de 0,600 m/s 2 durante 3,00 s. ¿Cuál es la tensión del cable durante la desaceleración? (d) ¿A qué altura se ha desplazado el elevador por encima de su punto de partida original, y cuál es su velocidad final? a. 1,87 × 10 4 N; b. 1,67 × 10 4 N; c. 1,56 × 10 4 N; d. 19,4 m, 0 m/s Una bola de 20,0 g cuelga del techo de un vagón de carga mediante una cuerda. Cuando el vagón de carga comienza a moverse, la cuerda hace un ángulo de 35,0 ° con la vertical. (a) ¿Cuál es la aceleración del vagón? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? La mochila de un estudiante, llena de libros de texto, está colgada de una balanza de resorte fijada al techo de un elevador. Cuando el elevador acelera hacia abajo a 3,8 m/s 2 , la balanza lee 60 N. (a) ¿Cuál es la masa de la mochila? (b) ¿Qué lee la balanza si el elevador se mueve hacia arriba mientras acelera a una tasa de 3,8 m/s 2 ? (c) ¿Qué indica la balanza si el elevador se mueve hacia arriba a velocidad constante? (d) Si el elevador no tuviera frenos y el cable que lo sostiene se soltara de modo que el elevador pudiera caer libremente, ¿qué indicaría la balanza de resorte? a. 10 kg; b. 140 N; c. 98 N; d. 0 Un elevador de servicio lleva una carga de basura, con una masa de 10,0 kg, desde un piso de un rascacielos en construcción, hasta el nivel del suelo, que acelera hacia abajo a una tasa de 1,2 m/s 2 . Halle la magnitud de la fuerza que ejerce la basura sobre el suelo del elevador de servicio. Un vagón de montaña rusa parte del reposo en la parte superior de una pista de 30,0 m de longitud e inclinada a 20,0 ° de la horizontal. Supongamos que se puede ignorar la fricción. (a) ¿Cuál es la aceleración del vagón? (b) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que llegue al fondo de la pista? a. 3,35 m/s 2 ; b. 4,2 s El dispositivo que se muestra a continuación es la máquina de Atwood considerada en el . Suponiendo que las masas de la cuerda y de la polea sin fricción son despreciables, (a) halle una ecuación para la aceleración de los dos bloques; (b) halle una ecuación para la tensión en la cuerda; y (c) halle tanto la aceleración como la tensión cuando el bloque 1 tiene masa 2,00 kg y el bloque 2 tiene masa 4,00 kg. Dos bloques están conectados por una cuerda sin masa como se muestra a continuación. La masa del bloque sobre la mesa es de 4,0 kg y la masa colgante es de 1,0 kg. La mesa y la polea no tienen fricción. (a) Halle la aceleración del sistema. (b) Halle la tensión en la cuerda. (c) Halle la rapidez con la que la masa colgante golpea el suelo si parte del reposo y se sitúa inicialmente a 1,0 m del suelo. a. 2,0 m/s 2 ; b. 7,8 N; c. 2,0 m/s A continuación, se muestran dos carros unidos por una cuerda que pasa sobre una pequeña polea sin fricción. Cada carro rueda libremente con una fricción despreciable. Calcule la aceleración de los carros y la tensión de la cuerda. Un bloque de 2,00 kg (masa 1) y un bloque de 4,00 kg (masa 2) están unidos por una cuerda ligera como se muestra; la inclinación de la rampa es 40,0 ° . La fricción es despreciable. ¿Cuál es (a) la aceleración de cada bloque y (b) la tensión en la cuerda? a. 4,43 m/s 2 (la masa 1 acelera por la rampa mientras la masa 2 cae con la misma aceleración); b. 21,5 N

Ciencia


Fricción Cuando un cuerpo está en movimiento, tiene resistencia porque el cuerpo interactúa con su entorno. Esta resistencia es una fuerza de fricción. La fricción se opone al movimiento relativo entre sistemas en contacto, pero también nos permite movernos, un concepto que se hace evidente si se intenta caminar sobre el hielo. La fricción es una fuerza común, aunque compleja, y su comportamiento aún no se comprende del todo. Aun así, es posible entender las circunstancias en las que se comporta. Fricción estática y cinética La definición básica de fricción es relativamente sencilla de enunciar. Fricción La fricción es una fuerza que se opone al movimiento relativo entre sistemas en contacto. Hay varias formas de fricción. Una de las características más sencillas de la fricción por deslizamiento es que es paralela a las superficies de contacto entre los sistemas y siempre está en una dirección que se opone al movimiento o intento de movimiento de los sistemas entre sí. Si dos sistemas están en contacto y se mueven uno respecto al otro, la fricción entre ellos se denomina fricción cinética. Por ejemplo, la fricción frena el deslizamiento de un disco de hockey sobre el hielo. Cuando los objetos están inmóviles, la fricción estática puede actuar entre ellos; la fricción estática suele ser mayor que la fricción cinética entre dos objetos. Fricción estática y cinética Si dos sistemas están en contacto y estacionarios uno respecto al otro, la fricción entre ellos se denomina fricción estática . Si dos sistemas están en contacto y se mueven uno respecto al otro, la fricción entre ellos se denomina fricción cinética . Imagine, por ejemplo, que intenta deslizar una caja pesada por un piso de hormigón: podría empujar muy fuerte la caja y no moverla en absoluto. Esto significa que la fricción estática responde a lo que usted hace: aumenta para ser igual y en la dirección opuesta a su empujón. Si finalmente empuja lo suficientemente fuerte, la caja parece deslizarse de repente y comienza a moverse. Ahora la fricción estática da paso a la fricción cinética. Una vez en movimiento, es más fácil mantenerla en movimiento que lo que fue ponerla en marcha, lo que indica que la fuerza de fricción cinética es menor que la fuerza de fricción estática. Si se añade masa a la caja, por ejemplo, si coloca una caja encima, hay que empujar aún más fuerte para ponerla en marcha y también para mantenerla en movimiento. Además, si aceitara el hormigón le resultaría más fácil poner la caja en marcha y mantenerla en marcha (como es lógico). La es una burda representación pictórica de cómo se produce la fricción en la interfaz entre dos objetos. La inspección de cerca de estas superficies muestra que son ásperas. Por lo tanto, cuando empuja para que un objeto se mueva (en este caso, una caja), debe alzar el objeto hasta que pueda saltar con solo las puntas de la superficie golpeando, romper las puntas, o ambas cosas. La fricción puede resistir una fuerza considerable, sin movimiento aparente. Cuanto más fuerte se empujen las superficies entre sí (por ejemplo, si se coloca otra caja sobre la caja), más fuerza se necesitará para moverlas. Una parte de la fricción se debe a las fuerzas adhesivas entre las moléculas de la superficie de los dos objetos, lo que explica la dependencia de la fricción de la naturaleza de las sustancias. Por ejemplo, los zapatos con suela de goma resbalan menos que los que tienen suela de cuero. La adhesión varía con las sustancias en contacto y es un aspecto complicado de la física de las superficies. Una vez que el objeto está en movimiento, hay menos puntos de contacto (menos moléculas adheridas), por lo que se requiere menos fuerza para mantenerlo en movimiento. A poca rapidez, pero distinta a cero, la fricción es casi independiente de la velocidad. Las fuerzas de fricción, como f → , siempre se oponen al movimiento o al intento de movimiento entre objetos en contacto. La fricción se produce en parte por la aspereza de las superficies en contacto, como se ve en la vista ampliada. Para que el objeto se mueva, debe elevarse hasta donde los picos de la superficie superior puedan saltar a lo largo de la superficie inferior. Por lo tanto, se requiere una fuerza solo para poner el objeto en movimiento. Algunos de los picos se quebrarán, lo que exigirá también una fuerza para mantener el movimiento. En realidad, gran parte de la fricción se debe a las fuerzas de atracción entre las moléculas que componen los dos objetos, de modo que incluso las superficies perfectamente lisas no están exentas de fricción. (De hecho, superficies perfectamente lisas y limpias de materiales similares se adherirían para formar una unión denominada "soldadura en frío"). La magnitud de la fuerza de fricción tiene dos formas: una para situaciones estáticas (fricción estática) y otra para situaciones de movimiento (fricción cinética). Lo que sigue es apenas un modelo empírico aproximado (determinado experimentalmente). Estas ecuaciones para la fricción estática y cinética no son ecuaciones vectoriales. Magnitud de la fricción estática La magnitud de la fricción estática f s es f s ≤ μ s N , donde μ s es el coeficiente de fricción estática y N es la magnitud de la fuerza normal. El símbolo ≤ significa menor o igual que , lo que implica que la fricción estática puede tener un valor máximo de μ s N . La fricción estática es una fuerza de respuesta que aumenta para ser igual y opuesta a cualquier fuerza que se ejerza, hasta su límite máximo. Una vez que la fuerza aplicada supera f s (máx), el objeto se mueve. Por lo tanto, f s ( máx ) = μ s N . Magnitud de la fricción cinética La magnitud de la fricción cinética f k viene dada por f k = μ k N , donde μ k es el coeficiente de fricción cinética . Un sistema en el que f k = μ k N se describe como un sistema en el que la fricción se comporta de forma sencilla . La transición de la fricción estática a la cinética se ilustra en la . (a) La fuerza de fricción f → entre el bloque y la superficie áspera se opone a la dirección de la fuerza aplicada F → . La magnitud de la fricción estática equilibra la de la fuerza aplicada. Esto se muestra en la parte izquierda del gráfico en (c). (b) En algún momento, la magnitud de la fuerza aplicada es mayor que la fuerza de fricción cinética, y el bloque se mueve hacia la derecha. Esto se muestra en la parte derecha del gráfico. (c) El gráfico de la fuerza de fricción frente a la fuerza aplicada; observe que f s ( máx ) > f k . Esto significa que μ s > μ k . Como puede ver en la , los coeficientes de fricción cinética son menores que sus homólogos estáticos. Los valores aproximados de μ se indican a solo uno o dos dígitos para señalar la descripción aproximada de la fricción dada por las dos ecuaciones anteriores. Coeficientes aproximados de fricción estática y cinética Sistema Fricción estática μ s Fricción cinética μ k Goma sobre hormigón seco 1,0 0,7 Goma sobre hormigón húmedo 0,5-0,7 0,3-0,5 Madera sobre madera 0,5 0,3 Madera encerada sobre nieve húmeda 0,14 0,1 Metal sobre madera 0,5 0,3 Acero sobre acero (en seco) 0,6 0,3 Acero sobre acero (aceitado) 0,05 0,03 Teflón sobre acero 0,04 0,04 Hueso lubricado por líquido sinovial 0,016 0,015 Zapatos sobre madera 0,9 0,7 Zapatos sobre hielo 0,1 0,05 Hielo sobre hielo 0,1 0,03 Acero sobre hielo 0,4 0,02 La y la incluyen la dependencia de la fricción con los materiales y la fuerza normal. La dirección de la fricción es siempre opuesta a la del movimiento, paralela a la superficie entre los objetos y perpendicular a la fuerza normal. Por ejemplo, si la caja que se intenta empujar (con una fuerza paralela al suelo) tiene una masa de 100 kg, entonces la fuerza normal es igual a su peso, w = m g = ( 100 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) = 980 N, perpendicular al suelo. Si el coeficiente de fricción estática es de 0,45, tendría que ejercer una fuerza paralela al suelo superior a f s ( máx ) = μ s N = ( 0,45 ) ( 980 N ) = 440 N para mover la caja. Una vez que hay movimiento, la fricción es menor y el coeficiente de fricción cinética puede ser 0,30, por lo que una fuerza de solo f k = μ k N = ( 0,30 ) ( 980 N ) = 290 N lo mantiene en movimiento a una rapidez constante. Si el suelo está lubricado, ambos coeficientes son considerablemente menores de lo que serían sin lubricación. El coeficiente de fricción es una cantidad sin unidad con una magnitud generalmente entre 0 y 1,0. El valor real depende de las dos superficies que están en contacto. Muchas personas han experimentado lo resbaladizo que resulta caminar sobre el hielo. Sin embargo, muchas partes del cuerpo, especialmente las articulaciones, tienen coeficientes de fricción mucho menores, a menudo tres o cuatro veces menos que el hielo. Una articulación está formada por los extremos de dos huesos, que están unidos por tejidos gruesos. La articulación de la rodilla está formada por el hueso de la parte inferior de la pierna (la tibia) y el hueso del muslo (el fémur). La cadera es una articulación de rótula (en el extremo del fémur) y cavidad (parte de la pelvis). Los extremos de los huesos de la articulación están cubiertos por cartílago, que proporciona una superficie lisa, casi cristalina. Las articulaciones también producen un líquido (líquido sinovial) que reduce la fricción y el desgaste. Una articulación dañada o artrítica puede reemplazarse con una articulación artificial ( ). Estas prótesis pueden ser de metal (acero inoxidable o titanio) o de plástico (polietileno), también con coeficientes de fricción muy pequeños. El reemplazo de rodilla artificial es un procedimiento que se realiza desde hace más de 20 años. Estas radiografías postoperatorias muestran el reemplazo de la articulación de la rodilla derecha (créditos: modificación del trabajo de Mike Baird). Entre los lubricantes naturales se encuentran la saliva que facilita la deglución, y el moco viscoso que se encuentra entre los órganos del cuerpo y los protege y lubrica durante los latidos del corazón, durante la respiración y cuando la persona se mueve. Los hospitales y las clínicas médicas utilizan lubricantes artificiales, como gel, para reducir la fricción. Las ecuaciones dadas para la fricción estática y cinética son leyes empíricas que describen el comportamiento de las fuerzas de fricción. Aunque estas fórmulas son muy útiles a efectos prácticos, no tienen la categoría de enunciados matemáticos que representan los principios generales (por ejemplo, la segunda ley de Newton). De hecho, hay casos para los que estas ecuaciones ni siquiera son buenas aproximaciones. Por ejemplo, ninguna de las dos fórmulas es precisa para superficies lubricadas o para dos superficies que se deslizan una sobre otra a gran rapidez. A menos que se especifique, no nos ocuparemos de estas excepciones. Fricción estática y cinética Una caja de 20,0 kg está en reposo sobre el piso, como se muestra en la . El coeficiente de fricción estática entre la caja y el piso es de 0,700 y el coeficiente de fricción cinética es de 0,600. Una fuerza horizontal P → se aplica a la caja. Halle la fuerza de fricción si (a) P → = 20,0 N, (b) P → = 30,0 N, (c) P → = 120,0 N, y (d) P → = 180,0 N . (a) Una caja situada en una superficie horizontal se empuja con una fuerza P → . (b) Las fuerzas sobre la caja. Aquí, f → puede representar la fuerza de fricción estática o cinética. Estrategia El diagrama de cuerpo libre de la caja se muestra en la (b). Aplicamos la segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical, incluso la fuerza de fricción en oposición a la dirección del movimiento de la caja. Solución La segunda ley de Newton DA ∑ F x = m a x ∑ F y = m a y P - f = m a x N - w = 0 . Aquí utilizamos el símbolo f para representar la fuerza de fricción, ya que aún no hemos determinado si la caja está sometida a fricción estática o fricción cinética. Lo hacemos siempre que no estemos seguros del tipo de fricción que está actuando. Ahora el peso de la caja es w = ( 20,0 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) = 196 N, que también es igual a N . Por tanto, la fuerza máxima de fricción estática es ( 0,700 ) ( 196 N ) = 137 N . Siempre que P → sea inferior a 137 N, la fuerza de fricción estática mantendrá la caja inmóvil y f s = P → . Por lo tanto, (a) f s = 20,0 N, (b) f s = 30,0 N, y (c) f s = 120,0 N . (d) Si P → = 180,0 N, la fuerza aplicada es mayor que la fuerza máxima de fricción estática (137 N), por lo que la caja ya no puede permanecer en reposo. Una vez que la caja esté en movimiento, actúa la fricción cinética. Entonces f k = μ k N = ( 0,600 ) ( 196 N ) = 118 N, y la aceleración es a x = P → - f k m = 180,0 N - 118 N 20,0 kg = 3,10 m/s 2 . Importancia Este ejemplo ilustra cómo consideramos la fricción en un problema de dinámica. Observe que la fricción estática tiene un valor que coincide con la fuerza aplicada, hasta que alcanzamos el valor máximo de fricción estática. Además, no puede producirse ningún movimiento hasta que la fuerza aplicada sea igual a la fuerza de fricción estática, pero la fuerza de fricción cinética será entonces menor. Un bloque de masa 1,0 kg descansa sobre una superficie horizontal. Los coeficientes de fricción para el bloque y la superficie son μ s = 0,50 y μ k = 0,40 . (a) ¿Cuál es la mínima fuerza horizontal necesaria para mover el bloque? (b) ¿Cuál es la aceleración del bloque cuando se aplica esta fuerza? a. 4,9 N; b. 0,98 m/s 2 Fricción y el plano inclinado Una situación en la que la fricción desempeña un papel evidente es la de un objeto en una pendiente. Puede tratarse de una caja que se empuja por una rampa hasta un muelle de carga o de un patinador que desciende por una montaña, pero la física básica es la misma. Solemos generalizar la superficie con pendiente y llamarla plano inclinado , pero luego fingimos que la superficie es plana. Veamos un ejemplo de análisis del movimiento en un plano inclinado con fricción. Esquiador cuesta abajo Un esquiador con una masa de 62 kg se desliza por una pendiente nevada con aceleración constante. Halle el coeficiente de fricción cinética del esquiador si se sabe que la fricción es de 45,0 N. Estrategia La magnitud de la fricción cinética es de 45,0 N. La fricción cinética está relacionada con la fuerza normal N por f k = μ k N ; por lo tanto, podemos encontrar el coeficiente de fricción cinética si encontramos la fuerza normal sobre el esquiador. La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie, y como no hay movimiento perpendicular a la superficie, la fuerza normal debe ser igual al componente del peso del esquiador perpendicular a la pendiente. (Vea la , que repite una figura del capítulo sobre las leyes del movimiento de Newton). El movimiento del esquiador y la fricción son paralelos a la pendiente, por lo que lo más conveniente es proyectar todas las fuerzas en un sistema de coordenadas en el que un eje es paralelo a la pendiente y el otro es perpendicular (los ejes se muestran a la izquierda del esquiador). La fuerza normal N → es perpendicular a la pendiente, y la fricción f → es paralela a la pendiente, pero el peso del esquiador w → tiene componentes a lo largo de ambos ejes, es decir w → y y w → x . La fuerza normal N → es igual en magnitud a w → y , por lo que no hay movimiento perpendicular a la pendiente. Sin embargo, f → es igual a w → x en magnitud, por lo que hay una velocidad constante hacia abajo en la pendiente (a lo largo del eje de la x ). Tenemos N = w y = w cos 25 ° = m g cos 25 ° . Al sustituir esto en nuestra expresión de la fricción cinética, obtenemos f k = μ k m g cos 25 ° , que ahora se puede resolver para el coeficiente de fricción cinética μ k . Solución Al resolver μ k da μ k = f k N = f k w cos 25 ° = f k m g cos 25 ° . Al sustituir los valores conocidos en el lado derecho de la ecuación, μ k = 45,0 N ( 62 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) ( 0,906 ) = 0,082 . Importancia Este resultado es un poco menor que el coeficiente indicado en la para la madera encerada sobre la nieve, pero sigue siendo razonable, ya que los valores de los coeficientes de fricción pueden variar mucho. En situaciones como esta, en la que un objeto de masa m se desliza por una pendiente que forma un ángulo θ con la horizontal, la fricción está dada por f k = μ k m g cos θ . Todos los objetos se deslizan hacia abajo por una pendiente con aceleración constante en estas circunstancias. Hemos hablado de que, cuando un objeto se apoya en una superficie horizontal, la fuerza normal que lo sostiene es igual en magnitud a su peso. Además, la fricción simple es siempre proporcional a la fuerza normal. Cuando un objeto no está sobre una superficie horizontal, como en el caso del plano inclinado, debemos encontrar la fuerza que actúa sobre el objeto y que está dirigida perpendicularmente a la superficie; es un componente del peso. Ahora derivamos una relación útil para calcular el coeficiente de fricción en un plano inclinado. Observe que el resultado se aplica solo para situaciones en las que el objeto se desliza con rapidez constante por la rampa. Un objeto se desliza por un plano inclinado a velocidad constante si la fuerza neta sobre el objeto es cero. Podemos utilizar este hecho para medir el coeficiente de fricción cinética entre dos objetos. Como se muestra en el , la fricción cinética en una pendiente es f k = μ k m g cos θ . El componente del peso hacia abajo de la pendiente es igual a m g sen θ (observe el diagrama de cuerpo libre en la ). Estas fuerzas actúan en direcciones opuestas, por lo que, cuando tienen igual magnitud, la aceleración es cero. Escribiendo esto, μ k m g cos θ = m g sen θ . Al resolver μ k , encontramos que μ k = m g sen θ m g cos θ = tan θ . Coloque una moneda sobre un libro e inclínelo hasta que la moneda se deslice a una velocidad constante por el libro. Es posible que tenga que golpear ligeramente el libro para que la moneda se mueva. Mida el ángulo de inclinación con respecto a la horizontal y calcule μ k . Observe que la moneda no empieza a deslizarse en absoluto hasta que un ángulo superior a θ se obtiene, ya que el coeficiente de fricción estática es mayor que el coeficiente de fricción cinética. Piense en cómo esto puede afectar el valor para μ k y su incertidumbre. Explicaciones a escala atómica de la fricción Los aspectos más sencillos de la fricción tratados hasta ahora son sus características macroscópicas (a gran escala). En las últimas décadas se han producido grandes avances en la explicación de la fricción a escala atómica. Los investigadores están descubriendo que la naturaleza atómica de la fricción parece tener varias características fundamentales. Estas características no solo explican algunos de los aspectos más sencillos de la fricción, sino que también encierran el potencial para el desarrollo de entornos casi sin fricción. Esto podría ahorrar cientos de miles de millones de dólares en energía que actualmente se convierte (innecesariamente) en calor. La ilustra una característica macroscópica de la fricción que se explica mediante la investigación microscópica (a pequeña escala). Hemos observado que la fricción es proporcional a la fuerza normal, pero no a la cantidad del área en contacto, una noción algo contraintuitiva. Cuando dos superficies ásperas están en contacto, el área de contacto real es una fracción minúscula del área total porque solo se tocan los puntos altos. Cuando se ejerce una fuerza normal mayor, el área de contacto real aumenta, y encontramos que la fricción es proporcional a esta área. Dos superficies ásperas en contacto tienen un área de contacto real mucho menor que su área total. Cuando la fuerza normal es mayor como resultado de una mayor fuerza aplicada, el área de contacto real aumenta, al igual que la fricción. Sin embargo, la visión a escala atómica promete explicar mucho más que las características más simples de la fricción. Ahora se está determinando el mecanismo de cómo se genera el calor. En otras palabras, ¿por qué se calientan las superficies al frotarlas? Esencialmente, los átomos están unidos entre sí para formar entramados. Cuando las superficies se frotan, los átomos de la superficie se adhieren y hacen vibrar los entramados atómicos, para crear esencialmente ondas sonoras que penetran en el material. Las ondas sonoras disminuyen con la distancia y su energía se convierte en calor. Las reacciones químicas relacionadas con el desgaste por fricción también pueden producirse entre los átomos y las moléculas de las superficies. La muestra cómo la punta de una sonda que atraviesa otro material se deforma por la fricción a escala atómica. La fuerza necesaria para arrastrar la punta puede medirse y se encuentra relacionada con la tensión de corte , que se aborda en Equilibrio estático y elasticidad . La variación de la tensión de corte es notable (más de un factor de 10 12 ) y difícil de predecir teóricamente, pero la tensión de corte permite comprender fundamentalmente un fenómeno a gran escala que se conoce desde la antigüedad: la fricción. La punta de una sonda se deforma lateralmente por la fuerza de fricción al ser arrastrada por una superficie. Las mediciones de cómo varía la fuerza en diferentes materiales aportan conocimientos fundamentales sobre la naturaleza atómica de la fricción. Participe en la simulación a continuación. Describa un modelo de fricción a nivel molecular. Describa la materia en términos de movimiento molecular. La descripción debería incluir diagramas que apoyen la descripción, cómo incide la temperatura en la imagen, cuáles son las diferencias y similitudes entre el movimiento de las partículas sólidas, líquidas y gaseosas, y cómo se relacionan el tamaño y la rapidez de las moléculas de gas con los objetos cotidianos. Bloques deslizantes Los dos bloques de la están unidos entre sí por una cuerda sin masa que se enrolla alrededor de una polea sin fricción. Cuando el bloque inferior de 4,00 kg es halado hacia la izquierda por la fuerza constante P → , el bloque superior de 2,00 kg se desliza por este hacia la derecha. Halle la magnitud de la fuerza necesaria para mover los bloques con rapidez constante. Supongamos que el coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es de 0,400. (a) Cada bloque se mueve a velocidad constante. (b) Diagramas de cuerpo libre para los bloques. Estrategia Analizamos los movimientos de los dos bloques por separado. El bloque superior está sometido a una fuerza de contacto ejercida por el bloque inferior. Los componentes de esta fuerza son la fuerza normal N 1 y la fuerza de fricción −0,400 N 1 . Otras fuerzas sobre el bloque superior son la tensión T i en la cuerda y el peso del propio bloque superior, 19,6 N. El bloque inferior está sometido a fuerzas de contacto debidas al bloque superior y al suelo. La primera fuerza de contacto tiene componentes - N 1 y 0,400 N 1 , que son simplemente fuerzas de reacción a las fuerzas de contacto que el bloque inferior ejerce sobre el bloque superior. Los componentes de la fuerza de contacto del suelo son N 2 y 0,400 N 2 . Otras fuerzas sobre este bloque son - P , la tensión T i , y el peso -39,2 N. Solución Como el bloque superior se mueve horizontalmente hacia la derecha a velocidad constante, su aceleración es cero tanto en la dirección horizontal como en la vertical. De la segunda ley de Newton, ∑ F x = m 1 a x ∑ F y = m 1 a y T - 0,400 N 1 = 0 N 1 - 19,6 N = 0 . Al resolver las dos incógnitas, obtenemos N 1 = 19,6 N y T = 0,40 N 1 = 7,84 N . El bloque inferior tampoco acelera, por lo que la aplicación de la segunda ley de Newton a este bloque da ∑ F x = m 2 a x ∑ F y = m 2 a y T - P + 0,400 N 1 + 0,400 N 2 = 0 N 2 - 39,2 N - N 1 = 0 . Los valores de N 1 y T se encontraron con el primer conjunto de ecuaciones. Cuando estos valores se sustituyen en el segundo conjunto de ecuaciones, podemos determinar N 2 y P . Son N 2 = 58,8 N y P = 39,2 N . Importancia Entender en qué dirección hay que dibujar la fuerza de fricción suele ser problemático. Observe que cada fuerza de fricción marcada en la actúa en la dirección opuesta al movimiento de su bloque correspondiente. Una caja en un camión que acelera Una caja de 50,0 kg descansa en la plataforma de un camión como se muestra en la . Los coeficientes de fricción entre las superficies son μ k = 0,300 y μ s = 0,400 . Halle la fuerza de fricción sobre la caja cuando el camión se acelera hacia adelante con respecto al suelo a (a) 2,00 m/s 2 , y (b) 5,00 m/s 2 . (a) Una caja descansa sobre la plataforma del camión que acelera hacia adelante. (b) El diagrama de cuerpo libre de la caja. Estrategia Las fuerzas sobre la caja son su peso y las fuerzas normales y de fricción debidas al contacto con la plataforma del camión. Comenzamos asumiendo que la caja no se desliza. En este caso, la fuerza de fricción estática f s actúa sobre la caja. Además, la aceleración de la caja y del camión es igual. Solución La aplicación de la segunda ley de Newton a la caja, con el marco de referencia fijado al suelo, produce ∑ F x = m a x ∑ F y = m a y f s = ( 50,0 kg ) ( 2,00 m/s 2 ) N - 4,90 × 10 2 N = ( 50,0 kg ) ( 0 ) = 1,00 × 10 2 N N = 4,90 × 10 2 N . Ahora podemos comprobar la validez de nuestra suposición de no deslizamiento. El valor máximo de la fuerza de fricción estática es μ s N = ( 0,400 ) ( 4,90 × 10 2 N ) = 196 N, mientras que la fuerza real de fricción estática que actúa cuando el camión acelera hacia delante a 2,00 m/s 2 es solo 1,00 × 10 2 N . Por lo tanto, la suposición de que no hay deslizamiento es válida. Si la caja se mueve con el camión cuando este acelera a 5,0 m/s 2 , la fuerza de fricción estática deberá ser f s = m a x = ( 50,0 kg ) ( 5,00 m/s 2 ) = 250 N . Como esto excede el máximo de 196 N, la caja deberá deslizarse. La fuerza de fricción es por tanto cinética y es f k = μ k N = ( 0,300 ) ( 4,90 × 10 2 N ) = 147 N . La aceleración horizontal de la caja con respecto al suelo se encuentra ahora a partir de ∑ F x = m a x 147 N = ( 50,0 kg ) a x , así que a x = 2,94 m/s 2 . Importancia En relación con el suelo, el camión acelera hacia delante a 5,0 m/s 2 y la caja acelera hacia delante a 2,94 m/s 2 . Por lo tanto, la caja se desliza hacia atrás con respecto a la plataforma del camión con una aceleración de 2,94 m/s 2 - 5,00 m/s 2 = -2,06 m/s 2 . Surfear sobre nieve Anteriormente, analizamos la situación de un esquiador cuesta abajo que se desplaza a velocidad constante para determinar el coeficiente de fricción cinética. Ahora, hagamos un análisis similar para determinar la aceleración. La surfista sobre nieve de la se desliza por una pendiente inclinada a θ = 13 0 con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la tabla y la nieve es μ k = 0,20 . ¿Cuál es la aceleración de la surfista sobre nieve? (a) Una surfista sobre nieve se desliza por una pendiente inclinada a 13° con respecto a la horizontal. (b) El diagrama de cuerpo libre de la surfista sobre nieve. Estrategia Las fuerzas que actúan sobre la surfista sobre nieve son su peso y la fuerza de contacto de la pendiente, que tiene un componente normal a la inclinación y un componente a lo largo de la misma (fuerza de fricción cinética). Como se desplaza a lo largo de la pendiente, el marco de referencia más conveniente para analizar su movimiento es uno con el eje de la x a lo largo y el eje de la y perpendicular a la pendiente. En este marco, tanto las fuerzas normales como las de fricción se sitúan a lo largo de los ejes de coordenadas, los componentes del peso son m g sen θ a lo largo de la pendiente y m g cos θ en ángulo recto en la pendiente , y la única aceleración es a lo largo del eje de la x ( a y = 0 ) . Solución Ahora podemos aplicar la segunda ley de Newton a la surfista sobre nieve: ∑ F x = m a x ∑ F y = m a y m g sen θ - μ k N = m a x N - m g cos θ = m ( 0 ) . De la segunda ecuación, N = m g cos θ . Al sustituir esto en la primera ecuación, encontramos a x = g ( sen θ - μ k cos θ ) = g ( sen 13 ° - 0,20 cos 13 ° ) = 0,29 m/s 2 . Importancia Observe en esta ecuación que, si θ es lo suficientemente pequeño o μ k es lo suficientemente grande, a x será negativo, es decir, la surfista sobre nieve desacelera. La surfista sobre nieve se desplaza ahora por una colina con pendiente de 10,0 ° . ¿Cuál es la aceleración de la esquiadora? -0,23 m/s 2 ; el signo negativo indica que la surfista sobre nieve desacelera. Resumen La fricción es una fuerza de contacto que se opone al movimiento o al intento de movimiento entre dos sistemas. La fricción simple es proporcional a la fuerza normal N , que soporta los dos sistemas. La magnitud de la fuerza de fricción estática entre dos materiales inmóviles uno respecto del otro se determina mediante el coeficiente de fricción estática, que depende de ambos materiales. La fuerza de fricción cinética entre dos materiales que se mueven uno respecto del otro se determina mediante el coeficiente de fricción cinética, que también depende de ambos materiales y siempre es menor que el coeficiente de fricción estática. Preguntas conceptuales El pegamento de un trozo de cinta adhesiva puede ejercer fuerzas. ¿Pueden estas fuerzas ser un tipo de fricción simple? Explique, teniendo en cuenta especialmente que la cinta adhesiva puede pegarse a las paredes verticales e incluso al techo. Cuando aprende a conducir, descubre que tiene que soltar ligeramente el pedal del freno al detenerse o el auto se parará con una sacudida. Explique esto en términos de la relación entre la fricción estática y la cinética. Si no se suelta el pedal de freno, las ruedas del auto se bloquearán para no rodar; ahora interviene la fricción por deslizamiento y el cambio brusco (debido a la mayor fuerza de fricción estática) provoca la sacudida. Cuando empuja un trozo de tiza por una pizarra, a veces chirría porque alterna rápidamente entre el deslizamiento y la adhesión a la pizarra. Describa este proceso con más detalle, en particular, explique cómo se relaciona con el hecho de que la fricción cinética es menor que la estática. (El mismo proceso de deslizamiento y agarre ocurre cuando los neumáticos chirrían en el pavimento). Una estudiante de física está cocinando el desayuno cuando se da cuenta de que la fuerza de fricción entre su espátula de acero y la sartén de teflón es de apenas 0,200 N. Conociendo el coeficiente de fricción cinética entre los dos materiales, calcule rápidamente la fuerza normal. ¿De cuánto es? 5,00 N Problemas (a) Al reconstruir el motor de su auto, un estudiante de física deberá ejercer 3,00 × 10 2 N de fuerza para introducir un pistón de acero seco en un cilindro de acero. ¿Cuál es la fuerza normal entre el pistón y el cilindro? b) ¿Qué fuerza tendría que ejercer si las piezas de acero estuvieran aceitadas? (a) ¿Cuál es la máxima fuerza de fricción en la articulación de la rodilla de una persona que soporta 66,0 kg de su masa en esa rodilla? (b) Durante el ejercicio extenuante, es posible ejercer fuerzas en las articulaciones que son fácilmente 10 veces mayores que el peso soportado. ¿Cuál es la fuerza máxima de fricción en esas condiciones? Las fuerzas de fricción en las articulaciones son relativamente pequeñas en todas las circunstancias, excepto cuando las articulaciones se deterioran, como en el caso de las lesiones o de la artritis. El aumento de las fuerzas de fricción puede causar más lesiones y dolor. a. 10,0 N; b. 97,0 N Suponga que tiene una caja de madera de 120 kg apoyada sobre un suelo de madera, con un coeficiente de fricción estática de 0,500 entre estas superficies de madera. (a) ¿Qué fuerza máxima puede ejercer horizontalmente sobre la caja sin que se mueva? (b) Si sigue ejerciendo esta fuerza una vez que la caja empieza a resbalar, ¿cuál será entonces su aceleración? Se sabe que el coeficiente de fricción por deslizamiento es de 0,300 para esta situación. (a) Si la mitad del peso de un pequeño 1,00 × 10 3 -kg camión utilitario se apoya en sus dos ruedas motrices, ¿cuál es la máxima aceleración que puede alcanzar sobre el hormigón seco? (b) ¿Se deslizará un armario metálico que está sobre la plataforma de madera del camión si este acelera a este ritmo? (c) Resuelva ambos problemas suponiendo que el camión tiene tracción en las cuatro ruedas. a. 4,9 m/s 2 ; b. El armario no se deslizará. c. El armario se deslizará. Un equipo de ocho perros hala un trineo con patines de madera encerada sobre la nieve húmeda (¡masa blanda!). Los perros tienen masas medias de 19,0 kg, y el trineo cargado con su conductor tiene una masa de 210 kg. (a) Calcule la aceleración de los perros partiendo del reposo si cada perro ejerce una fuerza media de 185 N hacia atrás sobre la nieve. (b) Calcule la fuerza en el acoplamiento entre los perros y el trineo. Considere la patinadora sobre hielo de 65,0 kg que es empujada por otros dos que se muestran a continuación. (a) Halle la dirección y la magnitud de F tot , la fuerza total ejercida sobre ella por los demás, dado que las magnitudes F 1 y F 2 son 26,4 N y 18,6 N, respectivamente. (b) ¿Cuál es su aceleración inicial si inicialmente está inmóvil y lleva unos patines con cuchillas de acero que apuntan en la dirección de la F tot ? (c) ¿Cuál es su aceleración, suponiendo que ya se está moviendo en la dirección de la F tot ? (Recuerde que la fricción siempre actúa en dirección contraria a la del movimiento o intento de movimiento entre superficies en contacto). a. 32,3 N, 35,2 ° ; b. 0; c. 0,301 m/s 2 en dirección a F → tot Demuestre que la aceleración de cualquier objeto que desciende por una pendiente sin fricción que forma un ángulo θ con la horizontal es a = g sen θ . (Observe que esta aceleración es independiente de la masa). Demuestre que la aceleración de cualquier objeto que desciende por una pendiente en la que la fricción se comporta de forma simple (es decir, en la que f k = μ k N ) es a = g ( sen θ - μ k cos θ ) . Observe que la aceleración es independiente de la masa y se reduce a la expresión encontrada en el problema anterior cuando la fricción se vuelve insignificantemente pequeña ( μ k = 0 ) . neta F y = 0 ⇒ N = m g cos θ neta F x = m a a = g ( sen θ - μ k cos θ ) Calcule la desaceleración de un patinador sobre nieve que sube una pendiente de 5,00 ° , asumiendo el coeficiente de fricción de la madera encerada sobre la nieve húmeda. El resultado del problema anterior puede ser útil, pero hay que tener en cuenta que el patinador sobre nieve va cuesta arriba. Una máquina de una oficina de correos envía los paquetes por una rampa para cargarlos en los vehículos de reparto. (a) Calcule la aceleración de una caja que se dirige hacia abajo de una pendiente de 10,0 ° , suponiendo que el coeficiente de fricción para un paquete sobre madera encerada es de 0,100. (b) Halle el ángulo de la pendiente por el que esta caja podría desplazarse a velocidad constante. Se puede ignorar la resistencia del aire en ambas partes. a. 0,737 m/s 2 ; b. 5,71 ° Para que un objeto se apoye en una pendiente sin resbalar, la fricción debe ser igual al componente del peso del objeto paralelo a la pendiente. Esto requiere una fricción cada vez mayor para las pendientes más pronunciadas. Demuestre que el ángulo máximo de una pendiente sobre la horizontal para que un objeto no se deslice hacia abajo es θ = tan −1 μ s . Puede utilizar el resultado del problema anterior. Supongamos que a = 0 y que la fricción estática ha alcanzado su valor máximo. Calcule la aceleración máxima de un auto que se dirige hacia una pendiente de 6,00 ° (una que hace un ángulo de 6,00 ° con la horizontal) en las siguientes condiciones de la carretera. Puede suponer que el peso del auto está distribuido uniformemente en los cuatro neumáticos y que interviene el coeficiente de fricción estática, es decir, que los neumáticos no pueden resbalar durante la desaceleración. (Ignore la rodadura). Calcule para un auto: (a) sobre hormigón seco. (b) Sobre hormigón húmedo. (c) Sobre hielo, suponiendo que μ s = 0,100 , lo mismo que para los zapatos sobre el hielo. a. 10,8 m/s 2 ; b. 7,85 m/s 2 ; c. 2,00 m/s 2 Calcule la aceleración máxima de un auto que se dirige a una pendiente de 4,00 ° (una que hace un ángulo de 4,00 ° con la horizontal) en las siguientes condiciones de la carretera. Supongamos que solo la mitad del peso del auto se soporta en las dos ruedas motrices y que interviene el coeficiente de fricción estática, es decir, que los neumáticos no pueden resbalar durante la aceleración. (Ignore la rodadura). (a) Sobre hormigón seco. (b) Sobre hormigón húmedo. (c) Sobre hielo, suponiendo que μ s = 0,100 , lo mismo que para los zapatos sobre el hielo. Repita el problema anterior para un auto con tracción en las cuatro ruedas. a. 9,09 m/s 2 ; b. 6,16 m/s 2 ; c. 0,294 m/s 2 Un tren de carga está formado por dos 8,00 × 10 5 -kg motores y 45 vagones con masa promedio de 5,50 × 10 5 kg . (a) ¿Qué fuerza debe ejercer cada motor en retroceso en la vía para acelerar el tren a una tasa de 5,00 × 10 −2 m / s 2 si la fuerza de fricción es 7,50 × 10 5 N , suponiendo que los motores ejerzan fuerzas idénticas? No es una fuerza de fricción muy grande para un sistema tan masivo. La fricción de rodadura de los trenes es pequeña y, en consecuencia, los trenes son sistemas de transporte muy eficientes desde el punto de vista energético. (b) ¿Cuál es la fuerza en el acoplamiento entre los vagones 37 y 38 (es la fuerza que cada uno ejerce sobre el otro), suponiendo que todos los vagones tienen la misma masa y que la fricción se distribuye uniformemente entre todos los vagones y motores? Considere la escaladora de 52,0 kg que se muestra a continuación. (a) Halle la tensión en la cuerda y la fuerza que la escaladora debe ejercer con sus pies sobre la pared vertical de la roca para permanecer estacionaria. Supongamos que la fuerza se ejerce en paralelo a sus piernas. Además, supongamos que la fuerza ejercida por sus brazos es despreciable. (b) ¿Cuál es el mínimo coeficiente de fricción entre sus zapatos y el acantilado? a. 272 N, 512 N; b. 0,268 Un competidor en una prueba deportiva de invierno empuja un bloque de hielo de 45,0 kg a través de un lago helado, como se muestra a continuación. (a) Calcule la fuerza mínima F que debe ejercer para que el bloque se mueva. (b) ¿Cuál es su aceleración una vez que empieza a moverse, si se mantiene esa fuerza? El competidor hala ahora el bloque de hielo con una cuerda por encima del hombro en el mismo ángulo sobre la horizontal como se muestra a continuación. Calcule la fuerza mínima F que debe ejercer para que el bloque se mueva. (b) ¿Cuál es su aceleración una vez que empieza a moverse, si se mantiene esa fuerza? a. 46,5 N; b. 0,629 m/s 2 En una oficina de correos, un paquete que es una caja de 20,0 kg se desliza por una rampa inclinada a 30,0 ° con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y el plano es de 0,0300. (a) Halle la aceleración de la caja. (b) Halle la velocidad de la caja al llegar al final del plano, si la longitud del plano es de 2 m y la caja comienza en reposo. fricción fuerza que se opone al movimiento relativo o a los intentos de movimiento entre sistemas en contacto fricción cinética fuerza que se opone al movimiento de dos sistemas que están en contacto y se mueven uno respecto al otro fricción estática fuerza que se opone al movimiento de dos sistemas que están en contacto y no se mueven uno respecto al otro

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