Energía potencial eléctrica Cuando una carga positiva libre q es acelerada por un campo eléctrico, recibe energía cinética ( ). El proceso es análogo al de un objeto que es acelerado por un campo gravitacional, como si la carga bajara por una colina eléctrica donde su energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética, aunque, por supuesto, las fuentes de las fuerzas son muy diferentes. Exploremos el trabajo realizado sobre una carga q por el campo eléctrico en este proceso, para poder desarrollar una definición de energía potencial eléctrica. Una carga acelerada por un campo eléctrico es análoga a una masa que baja una colina. En ambos casos, la energía potencial disminuye a medida que aumenta la energía cinética, – Δ U = Δ K . El trabajo es realizado por una fuerza, pero como esta fuerza es conservativa, podemos escribir W = – Δ U . La fuerza electrostática o de Coulomb es conservativa, lo que significa que el trabajo realizado sobre q es independiente del camino recorrido, como demostraremos más adelante. Esto es exactamente análogo a la fuerza gravitacional. Cuando una fuerza es conservativa, es posible definir una energía potencial asociada a la fuerza. Suele ser más fácil trabajar con la energía potencial (porque solo depende de la posición) que calcular el trabajo directamente. Para demostrarlo explícitamente, consideremos una carga eléctrica + q fija en el origen y mueve otra carga + Q hacia q de manera que, en cada instante, la fuerza aplicada F → equilibra exactamente la fuerza eléctrica F → e en Q ( ). El trabajo realizado por la fuerza aplicada F → sobre la carga Q cambia la energía potencial de Q . Llamamos a esta energía potencial la energía potencial eléctrica de Q . Desplazamiento de la carga "de prueba" Q en presencia de una carga "fuente" fija q . El trabajo W 12 realizado por la fuerza aplicada F → cuando la partícula se mueve de P 1 a P 2 puede calcularse mediante W 12 = ∫ P 1 P 2 F → · d l → . Dado que la fuerza aplicada F → equilibra la fuerza eléctrica F → e en Q , las dos fuerzas tienen igual magnitud y direcciones opuestas. Por lo tanto, la fuerza aplicada es F → = − F e → = − k q Q r 2 r ^ , donde hemos definido positivo para que apunte lejos del origen y r es la distancia al origen. Las direcciones del desplazamiento y de la fuerza aplicada en el sistema en la son paralelas, por lo que el trabajo realizado en el sistema es positivo. Utilizamos la letra U para denotar la energía potencial eléctrica, que tiene unidades de julios (J). Cuando una fuerza conservativa realiza un trabajo negativo, el sistema gana energía potencial. Cuando una fuerza conservativa realiza un trabajo positivo, el sistema pierde energía potencial, Δ U = − W . En el sistema de la , la fuerza de Coulomb actúa en sentido contrario al desplazamiento, por lo que el trabajo es negativo. Sin embargo, hemos aumentado la energía potencial en el sistema de dos cargas. Energía cinética de una partícula cargada Una pieza de papel de aluminio de + 3,0 -nC de carga Q está inicialmente en reposo a una distancia de 10 cm ( r 1 ) de un + 5,0 -nC de carga q fija en el origen ( ). Naturalmente, la fuerza de Coulomb acelera a Q para que se aleje de q , alcanzando finalmente los 15 cm ( r 2 ). La carga Q es repelida por q , por lo que se realiza un trabajo sobre ella y gana energía cinética. ¿Cuál es el trabajo realizado por el campo eléctrico entre r 1 y r 2 ? ¿Cuánta energía cinética tiene Q en r 2 ? Estrategia Calcule el trabajo con la definición habitual. Como Q partía del reposo, es la misma que la energía cinética. Solución Integrando la fuerza sobre la distancia, obtenemos W 12 = ∫ r 1 r 2 F → · d r → = ∫ r 1 r 2 k q Q r 2 d r = [ − k q Q r ] r 1 r 2 = k q Q [ −1 r 2 + 1 r 1 ] = ( 8,99 × 10 9 Nm 2 /C 2 ) ( 5,0 × 10 −9 C ) ( 3,0 × 10 −9 C ) [ −1 0,15 m + 1 0,10 m ] = 4,5 × 10 −7 J . Este es también el valor de la energía cinética en r 2 . Importancia La carga Q estaba inicialmente en reposo; el campo eléctrico de q realizó un trabajo sobre Q , por lo que ahora Q tiene una energía cinética igual al trabajo realizado por el campo eléctrico. Si Q tiene una masa de 4,00 μ g , ¿cuál es la velocidad de Q en r 2 ? K = 1 2 m v 2 , v = 2 K m = 2 4,5 × 10 −7 J 4,00 × 10 −9 kg = 15 m/s En este ejemplo, el trabajo W realizado para acelerar una carga positiva desde el reposo es positivo y resulta de una pérdida en U , o un Δ U . Se puede calcular un valor para U en cualquier punto tomando un punto como referencia y calculando el trabajo necesario para mover una carga al otro punto. Energía potencial eléctrica El trabajo W realizado para acelerar una carga positiva desde el reposo es positivo y resulta de una pérdida en U , o de un negativo Δ U . Matemáticamente, W = − Δ U . La energía potencial gravitacional y la energía potencial eléctrica son bastante análogas. La energía potencial representa el trabajo realizado por una fuerza conservadora y ofrece una visión adicional sobre la energía y la transformación de la energía sin necesidad de tratar directamente la fuerza. Es mucho más común, por ejemplo, utilizar el concepto de energía potencial eléctrica que tratar la fuerza de Coulomb directamente en aplicaciones del mundo real. En coordenadas polares con q en el origen y Q situado en r , el vector del elemento de desplazamiento es d l → = r ^ d r y así el trabajo se convierte en W 12 = k q Q ∫ r 1 r 2 1 r 2 r ^ · r ^ d r = k q Q 1 r 2 − k q Q 1 r 1 . Observe que este resultado solo depende de los puntos finales y que, por lo demás, es independiente del camino recorrido. Para profundizar en ello, compare la trayectoria P 1 a P 2 con ruta de acceso P 1 P 3 P 4 P 2 en la . Dos vías de desplazamiento P 1 a P 2 . El trabajo en los segmentos P 1 P 3 y P 4 P 2 son cero debido a que la fuerza eléctrica es perpendicular al desplazamiento a lo largo de estas trayectorias. Por lo tanto, el trabajo en los caminos P 1 P 2 y P 1 P 3 P 4 P 2 son iguales. Los segmentos P 1 P 3 y P 4 P 2 son arcos de círculos centrados en q . Dado que la fuerza sobre Q apunta hacia o lejos de q , no se realiza ningún trabajo por una fuerza que equilibre la fuerza eléctrica, porque es perpendicular al desplazamiento a lo largo de estos arcos. Por lo tanto, el único trabajo realizado es a lo largo del segmento P 3 P 4 , que es idéntico a P 1 P 2 . Una implicación de este cálculo de trabajo es que si fuéramos a rodear el camino P 1 P 3 P 4 P 2 P 1 , el trabajo neto sería cero ( ). Recordemos que así se determina si una fuerza es conservadora o no. Por lo tanto, como la fuerza eléctrica está relacionada con el campo eléctrico por F → = q E → , el campo eléctrico es conservador en sí mismo. Eso es, ∮ E → · d l → = 0 . Observe que Q es una constante. Una trayectoria cerrada en un campo eléctrico. El trabajo neto alrededor de este camino es cero. Otra implicación es que podemos definir una energía potencial eléctrica. Recordemos que el trabajo realizado por una fuerza conservativa se expresa también como la diferencia de energía potencial correspondiente a dicha fuerza. Por lo tanto, el trabajo W ref para llevar una carga desde un punto de referencia a un punto de interés puede escribirse como W ref = ∫ r ref r F → · d l → y, según la , la diferencia de energía potencial ( U 2 − U 1 ) de la carga de prueba Q entre los dos puntos es Δ U = − ∫ r ref r F → · d l → . Por lo tanto, podemos escribir una expresión general para la energía potencial de dos cargas puntuales (en coordenadas esféricas): Δ U = − ∫ r ref r k q Q r 2 d r = − [ − k q Q r ] r ref r = k q Q [ 1 r − 1 r ref ] . Podemos tomar el segundo término como un nivel de referencia constante arbitrario, que sirve como referencia cero: U ( r ) = k q Q r − U ref . Una elección conveniente de referencia que se basa en nuestro sentido común es que cuando las dos cargas están infinitamente alejadas, no hay interacción entre ellas (recuerde la discusión de la energía potencial de referencia en Energía potencial y conservación de la energía ). Al tomar la energía potencial de este estado como cero, se elimina el término U ref de la ecuación (al igual que cuando decimos que el suelo es de energía potencial cero en un problema de energía potencial gravitacional), y la energía potencial de Q cuando se separa de q por una distancia r asume la forma U ( r ) = k q Q r ( cero de referencia en r = ∞ ) . Esta fórmula es simétrica con respecto a q y Q , por lo que se describe mejor como la energía potencial del sistema de dos cargas. Energía potencial de una partícula cargada Una pieza de papel de aluminio de + 3,0 -nC de carga Q está inicialmente en reposo a una distancia de 10 cm ( r 1 ) de un +5 0,0-nC de carga q fija en el origen ( ). Naturalmente, la fuerza de Coulomb acelera a Q para que se aleje de q , alcanzando finalmente los 15 cm ( r 2 ). La carga Q es repelida por q , por lo que se realiza un trabajo sobre ella y pierde energía potencial. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial del sistema de dos cargas de r 1 a r 2 ? Estrategia Calcule la energía potencial con la definición dada anteriormente Δ U 12 = − ∫ r 1 r 2 F → · d r → . Como Q partía del reposo, es la misma que la energía cinética. Solución Tenemos Δ U 12 = − ∫ r 1 r 2 F → · d r → = − ∫ r 1 r 2 k q Q r 2 d r = − [ − k q Q r ] r 1 r 2 = k q Q [ 1 r 2 − 1 r 1 ] = ( 8,99 × 10 9 Nm 2 /C 2 ) ( 5,0 × 10 −9 C ) ( 3,0 × 10 −9 C ) [ 1 0,15 m − 1 0,10 m ] = -4,5 × 10 −7 J . Importancia El cambio en la energía potencial es negativo, como se esperaba, e igual en magnitud al cambio en la energía cinética en este sistema. Recordemos del que el cambio de energía cinética fue positivo. ¿Cuál es la energía potencial de Q respecto a la referencia cero en el infinito en r 2 en el ejemplo anterior? Tiene una energía cinética de 4,5 × 10 −7 J en el punto r 2 y la energía potencial de 9,0 × 10 −7 J , lo que significa que a medida que Q se acerca al infinito, su energía cinética es tres veces superior a la energía cinética a r 2 , ya que toda la energía potencial se convierte en cinética. Debido a la ley de Coulomb, las fuerzas debidas a múltiples cargas sobre una carga de prueba Q se superponen; pueden calcularse individualmente y luego sumarse. Esto implica que las integrales de trabajo y, por tanto, las energías potenciales resultantes presentan el mismo comportamiento. Para demostrarlo, consideramos un ejemplo de montaje de un sistema de cuatro cargas. Ensamblaje de cuatro cargas positivas Calcule la cantidad de trabajo que debe realizar un agente externo para reunir cuatro cargas + 2,0 μ C , + 3,0 μ C , + 4,0 μ C , y + 5,0 μ C en los vértices de un cuadrado de lado 1,0 cm, comenzando cada carga desde el infinito ( ). ¿Cuánto trabajo se necesita para montar esta configuración de carga? Estrategia Introducimos las cargas de una en una, dándoles ubicaciones iniciales en el infinito y calculando el trabajo para llevarlas desde el infinito hasta su ubicación final. Lo hacemos por orden de carga creciente. Solución Paso 1. Primero traiga + 2,0 - μ C de carga al origen. Dado que todavía no hay otras cargas a una distancia finita de esta carga, no se realiza ningún trabajo al traerla desde el infinito, W 1 = 0 . Paso 2. Mientras se mantiene + 2,0 - μ C de carga fijada en el origen, lleve + 3,0 - μ C de carga a ( x , y , z ) = ( 1,0 cm , 0 , 0 ) ( ). Ahora, la fuerza aplicada debe realizar un trabajo contra la fuerza ejercida por + 2,0 - μ C de carga fija en el origen. El trabajo realizado es igual al cambio en la energía potencial + 3,0 - μ C de la carga: W 2 = k q 1 q 2 r 12 = ( 9,0 × 10 9 N · m 2 C 2 ) ( 2,0 × 10 −6 C ) ( 3,0 × 10 −6 C ) 1,0 × 10 −2 m = 5,4 J . Paso 2. Trabajo W 2 para llevar + 3,0 - μ C de carga desde el infinito. Paso 3. Mientras se mantienen las cargas de + 2,0 μ C y + 3,0 μ C fijadas en sus lugares, triga + 4,0 - μ C de carga a ( x , y , z ) = ( 1,0 cm , 1,0 cm , 0 ) ( ). El trabajo realizado en este paso es W 3 = k q 1 q 3 r 13 + k q 2 q 3 r 23 = ( 9,0 × 10 9 N · m 2 C 2 ) [ ( 2,0 × 10 −6 C ) ( 4,0 × 10 −6 C ) 2 × 10 −2 m + ( 3,0 × 10 −6 C ) ( 4,0 × 10 −6 C ) 1,0 × 10 −2 m ] = 15,9 J . Paso 3. El trabajo W 3 para llevar + 4,0 - μ C de carga desde el infinito. Paso 4. Por último, manteniendo las tres primeras cargas en su sitio, lleva el + 5,0 - μ C de carga a ( x , y , z ) = ( 0 , 1,0 cm , 0 ) ( ). El trabajo realizado aquí es W 4 = k q 4 [ q 1 r 14 + q 2 r 24 + q 3 r 34 ] , = ( 9,0 × 10 9 N · m 2 C 2 ) ( 5,0 × 10 −6 C ) [ ( 2,0 × 10 −6 C ) 1,0 × 10 −2 m + ( 3,0 × 10 −6 C ) 2 × 10 −2 m + ( 4,0 × 10 −6 C ) 1,0 × 10 −2 m ] = 36,5 J . Paso 4. El trabajo W 4 para llevar + 5,0 - μ C de carga desde el infinito. Por lo tanto, el trabajo total realizado por la fuerza aplicada en el ensamblaje de las cuatro cargas es igual a la suma del trabajo de llevar cada carga desde el infinito hasta su posición final: W T = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = 0 + 5,4 J + 15,9 J + 36,5 J = 57,8 J . Importancia El trabajo de cada carga depende únicamente de sus interacciones por pares con las demás cargas. No es necesario considerar interacciones más complicadas; el trabajo de la tercera carga solo depende de su interacción con la primera y la segunda carga, la interacción entre la primera y la segunda carga no afecta a la tercera. ¿La energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales es positiva o negativa si las cargas son del mismo signo? ¿Signos opuestos? ¿Cómo se relaciona esto con el trabajo necesario para acercar las cargas desde el infinito? positivo, negativo y estas cantidades son las mismas que el trabajo que habría que hacer para traer las cargas desde el infinito Observe que la energía potencial eléctrica es positiva si las dos cargas son del mismo tipo, positivo o negativo, y negativa si las dos cargas son de tipos opuestos. Esto tiene sentido si se piensa en el cambio de la energía potencial Δ U al acercar o alejar las dos cargas. Dependiendo de los tipos de carga relativos, puede que tenga que trabajar en el sistema o que el sistema haga el trabajo en usted, es decir, su trabajo es positivo o negativo. Si hay que hacer un trabajo positivo en el sistema (acercar las cargas), entonces la energía del sistema debería aumentar. Si acerca dos cargas positivas o dos cargas negativas, tiene que hacer un trabajo positivo en el sistema, lo que aumenta su energía potencial. Dado que la energía potencial es proporcional a 1/ r , la energía potencial aumenta cuando r disminuye entre dos cargas positivas o dos negativas. Por otro lado, si acerca una carga positiva y otra negativa, tiene que hacer un trabajo negativo sobre el sistema (las cargas tiran de usted), lo que significa que le quita energía al sistema. Esto reduce la energía potencial. Como la energía potencial es negativa en el caso de un par de cargas positivas y negativas, el aumento de 1/ r hace que la energía potencial sea más negativa, lo que equivale a una reducción de la energía potencial. El resultado de la puede extenderse a sistemas con cualquier número arbitrario de cargas. En este caso, lo más conveniente es escribir la fórmula como W 12 ⋯ N = k 2 ∑ i N ∑ j N q i q j r i j para i ≠ j . El factor de 1/2 tiene en cuenta la adición de cada par de cargas dos veces. Resumen El trabajo realizado para mover una carga del punto A al B en un campo eléctrico es independiente de la trayectoria, y el trabajo alrededor de una trayectoria cerrada es cero. Por lo tanto, el campo eléctrico y la fuerza eléctrica son conservadores. Podemos definir una energía potencial eléctrica, que entre cargas puntuales es U ( r ) = k q Q r , con la referencia cero tomada en el infinito. El principio de superposición es válido para la energía potencial eléctrica; la energía potencial de un sistema de cargas múltiples es la suma de las energías potenciales de los pares individuales. Preguntas conceptuales ¿Tendría sentido la energía potencial eléctrica si el campo eléctrico no fuera conservador? No. Solo podemos definir energías potenciales para campos conservadores. ¿Por qué hay que tener cuidado con el trabajo realizado en el sistema frente al trabajo realizado por el sistema en los cálculos? ¿Afecta el orden en que ensamblamos un sistema de cargas puntuales al trabajo total realizado? No, aunque ciertas ordenaciones pueden ser más sencillas de calcular. Problemas Considere una carga Q 1 ( + 5,0 μ C ) fijada en un sitio con otra carga Q 2 (carga + 3,0 μ C , masa 6,0 μ g ) moviéndose en el espacio vecino. (a) Evalúe la energía potencial de Q 2 cuando está a 4,0 cm de Q 1 . (b) Si Q 2 parte del reposo desde un punto a 4,0 cm de Q 1 , ¿cuál será su velocidad cuando esté a 8,0 cm de Q 1 ? (Nota: Q 1 se mantiene fija en su lugar). a. U = 3,4 J; b 1 2 m v 2 = Q 1 Q 2 ( 1 r i − 1 r f ) → v = 2,4 x 10 4 m/s Dos cargas Q 1 ( + 2,00 μ C ) y Q 2 ( + 2,00 μ C ) se colocan simétricamente a lo largo del eje x en x = ± 3,00 cm . Considere una carga Q 3 de carga + 4,00 μ C y una masa de 10,0 mg que se desplaza a lo largo del eje y . Si Q 3 comienza desde el reposo en y = 2,00 cm, ¿cuál es su velocidad cuando alcanza y = 4,00 cm? Para formar un átomo de hidrógeno, se fija un protón en un punto y se trae un electrón desde muy lejos hasta una distancia de 0,529 × 10 −10 m, la distancia media entre el protón y el electrón en un átomo de hidrógeno. ¿Cuánto trabajo se hace? U = 4,36 × 10 −18 J (a) ¿Cuál es la potencia media de un desfibrilador cardíaco que disipa 400 J de energía en 10,0 ms? (b) Teniendo en cuenta la alta potencia de salida, ¿por qué el desfibrilador no produce quemaduras graves? energía potencial eléctrica energía potencial almacenada en un sistema de objetos cargados debido a las cargas

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Potencial eléctrico y diferencia de potencial Recordemos que anteriormente definimos el campo eléctrico como una cantidad independiente de la carga de prueba en un sistema dado que, sin embargo, nos permitiría calcular la fuerza que resultaría sobre una carga de prueba arbitraria (la suposición por defecto en ausencia de otra información es que la carga de prueba es positiva). Definimos brevemente un campo para la gravedad, pero esta es siempre atractiva, mientras que la fuerza eléctrica puede ser atractiva o repulsiva. Por lo tanto, aunque la energía potencial es perfectamente adecuada en un sistema gravitacional, es conveniente definir una cantidad que nos permita calcular el trabajo sobre una carga independientemente de la magnitud de esta. Calcular el trabajo directamente puede ser difícil, ya que W = F → · d → y la dirección y magnitud de F → pueden ser complejos para múltiples cargas, para objetos con formas extrañas y a lo largo de trayectorias arbitrarias. Pero sabemos que porque F → = q E → , el trabajo, y por tanto Δ U , es proporcional a la carga de prueba q . Para disponer de una cantidad física independiente de la carga de prueba, definimos el potencial eléctrico V (o simplemente potencial, ya que se entiende que es eléctrico) como la energía potencial por unidad de carga: Potencial eléctrico La energía potencial eléctrica por unidad de carga es V = U q . Como U es proporcional a q , la dependencia sobre q se anula. Por lo tanto, V no depende de q . El cambio en la energía potencial Δ U es crucial, por lo que nos preocupa la diferencia en el potencial o la diferencia de potencial Δ V entre dos puntos, donde Δ V = V B − V A = Δ U q . Diferencia de potencial eléctrico La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B , V B − V A , se define como el cambio de energía potencial de una carga q desplazada de A hacia B , dividido entre la carga. Las unidades de diferencia de potencial son julios por culombio, y Alessandro Volta les dio el nombre de voltios (V) . 1 V = 1 J/C El conocido término voltaje es el nombre común de la diferencia de potencial eléctrico. Tenga en cuenta que siempre que se cita un voltaje, se entiende que es la diferencia de potencial entre dos puntos. Por ejemplo, toda batería tiene dos terminales y su voltaje es la diferencia de potencial entre ellos. Más fundamentalmente, el punto que elige como cero voltios es arbitrario. Esto es análogo al hecho de que la energía potencial gravitacional tiene un cero arbitrario, como el nivel del mar o quizás el suelo de una sala de conferencias. Conviene subrayar la distinción entre diferencia de potencial y energía potencial eléctrica. Diferencia de potencial y energía potencial eléctrica La relación entre la diferencia de potencial (o voltaje) y la energía potencial eléctrica viene dada por Δ V = Δ U q o Δ U = q Δ V . Voltaje no es lo mismo que energía. El voltaje es la energía por unidad de carga. Por lo tanto, una batería de motocicleta y una de automóvil pueden tener el mismo voltaje (más exactamente, la misma diferencia de potencial entre los terminales de la batería) y, sin embargo, una almacena mucha más energía que la otra porque Δ U = q Δ V . La batería del automóvil puede mover más carga que la de la motocicleta, aunque ambas son baterías de 12 V. Calcular la energía Tiene una batería de motocicleta de 12,0 V que puede mover 5.000 C de carga, y una batería de automóvil de 12,0 V que puede mover 60.000 C de carga. ¿Cuánta energía aporta cada una? (Se supone que el valor numérico de cada carga es preciso con tres cifras significativas). Estrategia Decir que tenemos una batería de 12,0 V significa que sus terminales tienen una diferencia de potencial de 12,0 V. Cuando una batería de este tipo mueve la carga, la hace pasar por una diferencia de potencial de 12,0 V, y la carga recibe un cambio de energía potencial igual a Δ U = q Δ V . Para calcular la salida de energía, multiplicamos la carga movida por la diferencia de potencial. Solución Para la batería de la motocicleta, q = 5.000 C y Δ V = 12,0 V . La energía total suministrada por la batería de la motocicleta es Δ U ciclo = ( 5.000 C ) ( 12,0 V ) = ( 5.000 C ) ( 12,0 J/C ) = 6,00 × 10 4 J . Del mismo modo, para la batería del automóvil, q = 60.000 C y Δ U auto = ( 60.000 C ) ( 12,0 V ) = 7,20 × 10 5 J . Importancia El voltaje y la energía están relacionados, pero no son lo mismo. Los voltajes de las baterías son idénticos, pero la energía suministrada por cada una es muy diferente. La batería de un automóvil cuenta con un motor mucho más grande para arrancar que una motocicleta. Tenga en cuenta también que cuando una batería se descarga parte de su energía se utiliza internamente y su voltaje del terminal desciende, como ocurre cuando los faros se atenúan debido a que la batería del automóvil está descargada. La energía suministrada por la batería se sigue calculando como en este ejemplo, pero no toda la energía está disponible para su uso externo. ¿Cuánta energía tiene una batería AAA de 1,5 V que puede mover 100 C? Δ U = q Δ V = ( 100 C ) ( 1,5 V ) = 150 J Observe que las energías calculadas en el ejemplo anterior son valores absolutos. El cambio de energía potencial de la batería es negativo, ya que pierde energía. Estas baterías, al igual que muchos sistemas eléctricos, en realidad mueven carga negativa, electrones en particular. Las baterías repelen los electrones de sus terminales negativos( A ) a través de cualquier circuito y los atraen a sus terminales positivos( B ), como se muestra en la . El cambio de potencial es Δ V = V B − V A = + 12 V y la carga q es negativa, por lo que Δ U = q Δ V es negativo, lo que significa que la energía potencial de la batería disminuyó cuando q se desplazó de A hasta B . Una batería mueve la carga negativa desde su terminal negativo a través de un faro hasta su terminal positivo. Las combinaciones adecuadas de sustancias químicas en la batería separan las cargas de modo que el terminal negativo tiene un exceso de carga negativa, que es repelida por ella y atraída por el exceso de carga positiva del otro terminal. En términos de potencial, el terminal positivo está a un voltaje más alto que el terminal negativo. En el interior de la batería se mueven tanto las cargas positivas como las negativas. ¿Cuántos electrones pasan por un faro cada segundo? Cuando una batería de automóvil de 12,0 V alimenta un solo faro de 30,0 W, ¿cuántos electrones pasan por ella cada segundo? Estrategia Para calcular el número de electrones, primero debemos calcular la carga que se mueve en 1,00 s. La carga desplazada se relaciona con el voltaje y la energía mediante las ecuaciones Δ U = q Δ V . Una lámpara de 30,0 W consume 30,0 julios por segundo. Como la batería pierde energía, tenemos Δ U = −30 J y, como los electrones van del terminal negativo al positivo, vemos que Δ V = +12,0 V . Solución Para calcular la carga q movida, resolvemos la ecuación Δ U = q Δ V : q = Δ U Δ V . Al introducir los valores de Δ U y Δ V , obtenemos q = −30,0 J + 12,0 V = −30,0 J + 12,0 J/C = −2,50 C . El número de electrones n e es la carga total dividida entre la carga por electrón. Eso es, n e = −2,50 C −1,60 × 10 −19 C/e − = 1,56 × 10 19 electrones . Importancia Es un número muy grande. No es de extrañar que no observemos habitualmente electrones individuales con tantos presentes en los sistemas ordinarios. De hecho, la electricidad se utilizó durante muchas décadas antes de que se determinara que las cargas móviles en muchas circunstancias eran negativas. La carga positiva que se mueve en dirección opuesta a la carga negativa suele producir efectos idénticos, lo que hace difícil determinar cuál se mueve o si se mueven ambas. ¿Cuántos electrones pasarían por una lámpara de 24,0 W? –2,00 C, n e = 1,25 × 10 19 electrones El electronvoltio La energía por electrón es muy pequeña en situaciones macroscópicas como la del ejemplo anterior: una pequeña fracción de julio. Pero a escala submicroscópica, esa energía por partícula (electrón, protón o ion) puede ser de gran importancia. Por ejemplo, incluso una pequeña fracción de julio puede ser suficiente para que estas partículas destruyan las moléculas orgánicas y dañen los tejidos vivos. La partícula puede hacer su daño por colisión directa, o puede crear rayos X dañinos, que también pueden infligir daño. Es útil tener una unidad de energía relacionada con los efectos submicroscópicos. La muestra una situación relacionada con la definición de dicha unidad de energía. Un electrón se acelera entre dos placas de metal cargadas, como podría ocurrir en un tubo de televisión o un osciloscopio de modelos antiguos. El electrón adquiere energía cinética que luego se convierte en otra forma: la luz en el tubo de televisión, por ejemplo. (Observe que en términos de energía, "cuesta abajo" para el electrón es "cuesta arriba" para una carga positiva). Dado que la energía está relacionada con el voltaje por Δ U = q Δ V , podemos pensar en el julio como un coulombiovoltio. Un cañón de electrones típico acelera los electrones utilizando una diferencia de potencial entre dos placas de metal separadas. Por conservación de la energía, la energía cinética tiene que ser igual al cambio de energía potencial, por lo que K E = q V . La energía del electrón en electronvoltio es numéricamente igual al voltaje entre las placas. Por ejemplo, una diferencia de potencial de 5.000 V produce electrones de 5.000 eV. La construcción conceptual, es decir, dos placas paralelas con un agujero en una, se muestra en (a), mientras que se muestra un cañón de electrones real en (b). Electronvoltio En la escala submicroscópica, es más conveniente definir una unidad de energía llamada electronvoltio (eV), que es la energía dada a una carga fundamental acelerada a través de una diferencia de potencial de 1 V. En forma de ecuación 1 eV = ( 1,60 × 10 −19 C ) ( 1 V ) = ( 1,60 × 10 −19 C ) ( 1 J/C ) = 1,60 × 10 −19 J . Un electrón acelerado por una diferencia de potencial de 1 V recibe una energía de 1 eV. De ello se deduce que un electrón acelerado a 50 V gana 50 eV. Una diferencia de potencial de 100.000 V (100 kV) le da a un electrón una energía de 100.000 eV (100 keV), y así sucesivamente. Del mismo modo, un ion con doble carga positiva acelerado a 100 V gana 200 eV de energía. Estas sencillas relaciones entre el voltaje de aceleración y las cargas de las partículas hacen que el electronvoltio sea una unidad de energía sencilla y conveniente en tales circunstancias. El electronvoltio se emplea habitualmente en los procesos submicroscópicos: las energías de valencia química y las energías de enlace molecular y nuclear son algunas de las cantidades que suelen expresarse en electronvoltios. Por ejemplo, se necesitan unos 5 eV de energía para romper ciertas moléculas orgánicas. Si un protón se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 30 kV, adquiere una energía de 30 keV (30.000 eV) y puede romper hasta 6.000 de estas moléculas ( 30.000 eV ÷ 5 eV por molécula = 6000 moléculas). Las energías de decaimiento nuclear son del orden de 1 MeV (1.000.000 eV) por evento y, por tanto, pueden producir daños biológicos importantes. Conservación de la energía La energía total de un sistema se conserva si no hay adición (o sustracción) neta debida al trabajo o a la transferencia de calor. Para las fuerzas conservativas, como la fuerza electrostática, la conservación de la energía establece que la energía mecánica es una constante. La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema; es decir, K + U = constante . Una pérdida de U para una partícula cargada se convierte en un aumento de su K . La conservación de la energía se establece en forma de ecuación como K + U = constante o K i + U i = K f + U f donde i y f representan las condiciones iniciales y finales. Como ya hemos comprobado muchas veces, considerar la energía puede darnos ideas y facilitar la resolución de problemas. Energía potencial eléctrica convertida en energía cinética Calcule la velocidad final de un electrón libre acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 100 V (supongamos que este valor numérico tiene una precisión de tres cifras significativas). Estrategia Tenemos un sistema en el que solo hay fuerzas conservativas. Suponiendo que el electrón se acelera en el vacío e ignorando la fuerza gravitacional (comprobaremos esta suposición más adelante), toda la energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética. Podemos identificar las formas de energía inicial y final para que sean K i = 0 , K f = 1 2 m v 2 , U i = q V , U f = 0 . Solución La conservación de la energía establece que K i + U i = K f + U f . Introduciendo las formas identificadas anteriormente, obtenemos q V = m v 2 2 . Resolvemos esto para v : v = 2 q V m . Introduciendo los valores de q , V y m se obtiene v = 2 ( −1,60 × 10 −19 C ) ( − 100 J/C ) 9,11 × 10 −31 kg = 5,93 × 10 6 m/s . Importancia Observe que tanto la carga como el voltaje inicial son negativas, como en la . A partir de la discusión sobre la carga eléctrica y el campo eléctrico, sabemos que las fuerzas electrostáticas sobre las partículas pequeñas son generalmente muy grandes comparadas con la fuerza gravitacional. La gran velocidad final confirma que la fuerza gravitacional es efectivamente insignificante en este caso. La gran velocidad también indica lo fácil que es acelerar los electrones con voltajes pequeños debido a su escasa masa. En los cañones de electrones se suelen utilizar voltajes muy superiores a los 100 V de este problema. Estos voltajes más elevados producen velocidades de los electrones tan grandes que hay que tener en cuenta los efectos de la relatividad especial, por lo que se reservan para un capítulo posterior ( Relatividad ). Por eso, en este ejemplo consideramos un voltaje bajo (con precisión). ¿Cómo cambiaría este ejemplo con un positrón? Un positrón es idéntico a un electrón, salvo que la carga es positiva. Sería ir en la dirección opuesta, sin efecto en los cálculos presentados. Voltaje y campo eléctrico Hasta ahora, hemos explorado la relación entre el voltaje y la energía. Ahora queremos explorar la relación entre el voltaje y el campo eléctrico. Comenzaremos con el caso general de un campo no uniforme E → . Recordemos que nuestra fórmula general para la energía potencial de una carga de prueba q en el punto P respecto al punto de referencia R es U P = − ∫ R P F → · d l → . Cuando sustituimos en la definición de campo eléctrico ( E → = F → / q ) , esto se convierte en U P = − q ∫ R P E → · d l → . Aplicando nuestra definición de potencial ( V = U / q ) a esta energía potencial, hallamos que, en general, V P = − ∫ R P E → · d l → . De nuestra discusión anterior sobre la energía potencial de una carga en un campo eléctrico, el resultado es independiente del camino elegido y, por lo tanto, podemos elegir el camino integral que sea más conveniente. Consideremos el caso especial de una carga puntual positiva q en el origen. Para calcular el potencial causado por q a una distancia r del origen respecto a una referencia de 0 en el infinito (recordemos que hicimos lo mismo para la energía potencial), supongamos que P = r y R = ∞ , con d l → = d r → = r ^ d r y usamos E → = k q r 2 r ^ . Cuando evaluamos la integral V P = − ∫ R P E → · d l → para este sistema, tenemos V r = − ∫ ∞ r k q r 2 r ^ · r ^ d r , que se simplifica a V r = − ∫ ∞ r k q r 2 d r = k q r − k q ∞ = k q r . Este resultado, V r = k q r es la forma estándar del potencial de una carga puntual. Esto se analizará más a fondo en la siguiente sección. Para estudiar otro caso especial interesante, supongamos que un campo eléctrico uniforme E → se produce al colocar una diferencia de potencial (o voltaje) Δ V a través de dos placas de metal paralelas, marcadas como A y B ( ). El estudio de esta situación nos dirá qué voltaje es necesario para producir una determinada intensidad de campo eléctrico. También revelará una relación más fundamental entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico. La relación entre V y E para placas conductoras paralelas es E = V / d . (Tenga en cuenta que Δ V = V A B en magnitud. Para una carga que se desplaza de la placa A a un potencial más alto a la placa B a un potencial más bajo, es necesario incluir un signo menos como se indica a continuación − Δ V = V A − V B = V A B . ). Desde el punto de vista de un físico, o bien Δ V o E → pueden utilizarse para describir cualquier interacción entre cargas. Sin embargo, Δ V es una cantidad escalar y no tiene dirección, mientras que E → es una cantidad vectorial, que tiene tanto magnitud como dirección. (Observe que la magnitud del campo eléctrico, una cantidad escalar, se representa por E ). La relación entre Δ V y E → se pone de manifiesto calculando el trabajo realizado por la fuerza eléctrica al desplazar una carga del punto A al punto B . Pero, como se ha señalado anteriormente, las distribuciones de carga arbitrarias requieren cálculo. Por lo tanto, consideramos que un campo eléctrico uniforme es un caso especial interesante. El trabajo realizado por el campo eléctrico en la para mover una carga positiva q desde A , la placa positiva de mayor potencial, hasta B , la placa negativa de menor potencial, es W = − Δ U = − q Δ V . La diferencia de potencial entre los puntos A y B es − Δ V = − ( V B − V A ) = V A − V B = V A B . Al introducir esto en la expresión del trabajo se obtiene W = q V A B . El trabajo es W = F → · d → = F d cos θ ; aquí cos θ = 1 , ya que la trayectoria es paralela al campo. Por lo tanto, W = F d . Dado que F = q E , vemos que W = q E d . Al sustituir esta expresión del trabajo en la ecuación anterior se obtiene q E d = q V A B . La carga se anula, por lo que obtenemos para el voltaje entre los puntos A y B V A B = E d E = V A B d } ( solo campo E uniforme ) donde d es la distancia de A hasta B , o la distancia entre las placas en la . Observe que esta ecuación implica que las unidades del campo eléctrico son voltios por metro. Ya sabemos que las unidades para el campo eléctrico son newtons por culombio; por tanto, la siguiente relación entre unidades es válida: 1 N / C = 1 V / m . Además, podemos extender esto a la forma integral. Al sustituir la en nuestra definición de la diferencia de potencial entre los puntos A y B , obtenemos V B A = V B − V A = − ∫ R B E → · d l → + ∫ R A E → · d l → que se simplifica a V B − V A = − ∫ A B E → · d l → . Como demostración, a partir de esto podemos calcular la diferencia de potencial entre dos puntos ( A y B ) que equidistan de una carga puntual q en el origen, como se muestra en la . El arco para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos que equidistan de una carga puntual en el origen. Para ello, integramos alrededor de un arco de círculo de radio constante r entre A y B , lo que significa que dejamos que d l → = r φ ^ d φ , mientras se utiliza E → = k q r 2 r ^ . Por lo tanto, Δ V B A = V B − V A = − ∫ A B E → · d l → para este sistema se convierte en V B − V A = − ∫ A B k q r 2 r ^ · r φ ^ d φ . Sin embargo, r ^ · φ ^ = 0 y por lo tanto V B − V A = 0 . Este resultado, de que no hay diferencia de potencial a lo largo de un radio constante desde una carga puntual, será útil cuando mapeemos los potenciales. ¿Cuál es el voltaje máximo posible entre dos placas? El aire seco puede soportar una intensidad de campo eléctrico máxima de aproximadamente 3,0 × 10 6 V/m . Por encima de ese valor, el campo crea la suficiente ionización en el aire como para convertirlo en conductor. Esto permite una descarga o chispa que reduce el campo. ¿Cuál es entonces el voltaje máximo entre dos placas conductoras paralelas separadas por 2,5 cm de aire seco? Estrategia Nos dan el campo eléctrico máximo E entre las placas y la distancia d entre ellas. Podemos utilizar la ecuación V A B = E d para calcular el voltaje máximo. Solución La diferencia de potencial o voltaje entre las placas es V A B = E d . Al introducir los valores dados para E y d se obtiene V A B = ( 3,0 × 10 6 V/m ) ( 0,025 m ) = 7,5 × 10 4 V o V A B = 75 kV . (La respuesta se cita con solo dos dígitos, ya que la intensidad de campo máxima es aproximada). Importancia Una de las implicaciones de este resultado es que se necesitan unos 75 kV para hacer saltar una chispa a través de un hueco de 2,5 cm (1 pulgada) o 150 kV para una chispa de 5 cm. Esto limita los voltajes que pueden existir entre los conductores, quizás en una línea de transmisión de potencia. Un voltaje menor puede provocar una chispa si hay espinas en la superficie, ya que las puntas afiladas tienen mayor intensidad de campo que las superficies lisas. El aire húmedo se descompone con una menor intensidad de campo, lo que significa que un voltaje menor hará saltar una chispa a través del aire húmedo. Los voltajes más grandes se pueden acumular con la electricidad estática en días secos ( ). Se utiliza una cámara de chispas para trazar las trayectorias de las partículas de alta energía. La ionización que crean las partículas al pasar por el gas entre las placas permite que salte una chispa. Las chispas son perpendiculares a las placas, siguiendo las líneas de campo eléctrico entre ellas. La diferencia de potencial entre placas adyacentes no es lo suficientemente alta como para provocar chispas sin la ionización que producen las partículas de los experimentos con aceleradores (o los rayos cósmicos). Esta forma de detector es ahora arcaica y ya no se utiliza, excepto para fines de demostración. (crédito b: modificación de la obra de Jack Collins). Campo y fuerza dentro de un cañón de electrones Un cañón de electrones ( ) tiene placas paralelas separadas por 4,00 cm y da a los electrones 25,0 keV de energía. (a) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre las placas? (b) ¿Qué fuerza ejercería este campo sobre un trozo de plástico con 0,500 - μ C de carga que se mete entre las placas? Estrategia Dado que el voltaje y la separación de las placas están dadas, la intensidad del campo eléctrico puede calcularse directamente a partir de la expresión E = V A B d . Una vez que conocemos la intensidad del campo eléctrico, podemos calcular la fuerza sobre una carga utilizando F → = q E → . Como el campo eléctrico está en una sola dirección, podemos escribir esta ecuación en términos de las magnitudes, F = q E . Solución La expresión para la magnitud del campo eléctrico entre dos placas de metal uniformes es E = V A B d . Dado que el electrón es una carga única y recibe 25,0 keV de energía, la diferencia de potencial debe ser de 25,0 kV. Al introducir este valor para V A B y la separación de las placas de 0,0400 m, obtenemos E = 25,0 kV 0,0400 m = 6,25 × 10 5 V/m . La magnitud de la fuerza sobre una carga en un campo eléctrico se obtiene a partir de la ecuación F = q E . Al sustraer los valores conocidos se obtiene F = ( 0,500 × 10 −6 C ) ( 6,25 × 10 5 V/m ) = 0,313 N . Importancia Observe que las unidades son newtons, ya que 1 V/m = 1 N/C . Como el campo eléctrico es uniforme entre las placas, la fuerza sobre la carga es la misma sin importar dónde se encuentre la carga entre las placas. Cálculo del potencial de una carga puntual Dada una carga puntual q = + 2,0 nC en el origen, calcule la diferencia de potencial entre el punto P 1 a una distancia a = 4,0 cm de q , y P 2 a una distancia b = 12,0 cm de q , donde los dos puntos tienen un ángulo de φ = 24 ° entre ellos ( ). Calcule la diferencia de potencial entre P 1 y P 2 . Estrategia Hágalo en dos pasos. El primer paso es utilizar V B − V A = − ∫ A B E → · d l → y supongamos que A = a = 4,0 cm y B = b = 12,0 cm , con d l → = d r → = r ^ d r y E → = k q r 2 r ^ . Entonces realice la integral. El segundo paso es integrar V B − V A = − ∫ A B E → · d l → alrededor de un arco de radio constante r , lo que significa que suponemos que d l → = r φ ^ d φ con límites 0 ≤ φ ≤ 24 ° , aún utilizando E → = k q r 2 r ^ . A continuación, sume los dos resultados. Solución Para la primera parte, V B − V A = − ∫ A B E → · d l → para este sistema se convierte en V b − V a = − ∫ a b k q r 2 r ^ · r ^ d r lo que equivale a Δ V = − ∫ a b k q r 2 d r = k q [ 1 a − 1 b ] = ( 8,99 × 10 9 Nm 2 /C 2 ) ( 2,0 × 10 −9 C ) [ 1 0,040 m − 1 0,12 m ] = 300 V . Para el segundo paso, V B − V A = − ∫ A B E → · d l → se convierte en Δ V = − ∫ 0 24 ° k q r 2 r ^ · r φ ^ d φ , pero r ^ · φ ^ = 0 y por lo tanto Δ V = 0 . Sumando las dos partes, obtenemos 300 V. Importancia Demostramos el uso de la forma integral de la diferencia de potencial para obtener un resultado numérico. Observe que, en este sistema en particular, también podríamos haber utilizado la fórmula del potencial debido a una carga puntual en los dos puntos y simplemente tomar la diferencia. A partir de los ejemplos, ¿cómo varía la energía de un rayo con la altura de las nubes desde el suelo? Considere el sistema nube-tierra como dos placas paralelas. Dada una intensidad máxima fija de campo eléctrico, el potencial al que se produce un golpe se incrementa con el aumento de la altura sobre el suelo. Por lo tanto, cada electrón llevará más energía. La determinación de si hay un efecto sobre el número total de electrones está en el futuro. Antes de presentar los problemas relacionados con la electrostática, sugerimos una estrategia de resolución de problemas para este tema. Electroestática Estudie la situación para determinar si hay electricidad estática; puede tratarse de cargas estacionarias separadas, las fuerzas entre ellas y los campos eléctricos que crean. Identifique el sistema de interés. Esto incluye anotar el número, los lugares y los tipos de cargas involucradas. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identificar las incógnitas). Es útil tener una lista escrita. Determine si la fuerza de Coulomb debe considerarse directamente (si es así, puede ser útil dibujar un diagrama de cuerpo libre, utilizando líneas de campo eléctrico). Haga una lista de lo que se da o puede deducirse del problema tal y como está planteado (identificar los conocidos). Es importante distinguir la fuerza de Coulomb F del campo eléctrico E , por ejemplo. Resuelva la ecuación apropiada para la cantidad a determinar (la incógnita) o dibuje las líneas de campo como se pide. Examine la respuesta para ver si es razonable: ¿tiene sentido? ¿Las unidades son correctas y las cifras son razonables? Resumen El potencial eléctrico es la energía potencial por unidad de carga. La diferencia de potencial entre los puntos A y B , V B − V A , es decir, el cambio de potencial de una carga q trasladada de A hasta B , es igual al cambio de energía potencial dividido entre la carga. La diferencia de potencial se denomina comúnmente voltaje, representada por el símbolo Δ V : Δ V = Δ U q o Δ U = q Δ V . Un electronvoltio es la energía dada a una carga fundamental acelerada a través de una diferencia de potencial de 1 V. En forma de ecuación, 1 eV = ( 1,60 × 10 −19 C ) ( 1 V ) = ( 1,60 × 10 −19 C ) ( 1 J/C ) = 1,60 × 10 −19 J . Preguntas conceptuales Discuta cómo se relacionan la diferencia de potencial y la intensidad del campo eléctrico. Dé un ejemplo. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en una región donde el potencial eléctrico es constante? La intensidad del campo eléctrico es cero porque las diferencias de potencial eléctrico están directamente relacionadas con la intensidad del campo. Si la diferencia de potencial es cero, entonces la intensidad de campo también debe ser cero. Si se suelta un protón desde el reposo en un campo eléctrico, ¿se moverá en la dirección del potencial creciente o decreciente? Responda también a esta pregunta para un electrón y un neutrón. Explique por qué. Voltaje es la palabra común para la diferencia de potencial. ¿Qué término es más descriptivo, voltaje o diferencia de potencial? La diferencia de potencial es más descriptiva porque indica que es la diferencia entre el potencial eléctrico de dos puntos. Si el voltaje entre dos puntos es cero, ¿se puede mover una carga de prueba entre ellos con un trabajo neto cero? ¿Puede hacerse necesariamente sin ejercer una fuerza? Explique. ¿Cuál es la relación entre el voltaje y la energía? Más concretamente, ¿cuál es la relación entre la diferencia de potencial y la energía potencial eléctrica? Son muy similares, pero la diferencia de potencial es una característica del sistema; cuando se introduce una carga en el sistema, esta tendrá una energía potencial que se puede calcular multiplicando la magnitud de la carga por la diferencia de potencial. Los voltajes se miden siempre entre dos puntos. ¿Por qué? ¿Cómo se relacionan las unidades de voltios y electronvoltios? ¿En qué se diferencian? Un electronvoltio es un voltio multiplicado por la carga de un electrón. Los voltios miden la diferencia de potencial, los electronvoltios son una unidad de energía. ¿Una partícula puede moverse en una dirección de aumento del potencial eléctrico y, sin embargo, disminuir su energía potencial eléctrica? Explique Problemas Calcule la relación de velocidades de un electrón y un ion de hidrógeno negativo (que tiene un electrón extra) acelerados a través del mismo voltaje, suponiendo velocidades finales no relativistas. Tome la masa del ion de hidrógeno para ser 1,67 × 10 −27 kg . 1 2 m e v e 2 = q V , 1 2 m H v H 2 = q V , de modo que m e v e 2 m H v H 2 = 1 o v e v H = 42,8 Un tubo evacuado utiliza un voltaje de aceleración de 40 kV para acelerar los electrones y hacerlos chocar con una placa de cobre y producir rayos X. De forma no relativista, ¿cuál sería la velocidad máxima de estos electrones? Demuestre que las unidades de V/m y N/C para la intensidad del campo eléctrico son efectivamente equivalentes. 1 V = 1 J/C; 1 J = 1 N · m → 1 V/m = 1 N/C ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre dos placas conductoras paralelas separadas por 1,00 cm y con una diferencia de potencial (voltaje) entre ellas de 1,50 × 10 4 V ? La intensidad del campo eléctrico entre dos placas conductoras paralelas separadas por 4,00 cm es 7,50 × 10 4 V/m . (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? (b) La placa con el menor potencial se toma como cero voltios. ¿Cuál es el potencial a 1,00 cm de esa placa y a 3,00 cm de la otra? a. V A B = 3,00 kV ; b. V A B = 750 V El voltaje a través de una membrana que forma una pared celular es de 80,0 mV y la membrana tiene un grosor de 9,00 nm. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico? (El valor es sorprendentemente grande, pero correcto). Se puede suponer un campo eléctrico uniforme. Dos placas conductoras paralelas están separadas por 10,0 cm, y se considera que una de ellas está a cero voltios. (a) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre ellas si el potencial a 8,00 cm de la placa de cero voltios (y a 2,00 cm de la otra) es de 450 V? (b) ¿Cuál es el voltaje entre las placas? a. V A B = E d → E = 5,63 kV/m ; b. V A B = 563 V Calcule la máxima diferencia de potencial entre dos placas conductoras paralelas separadas por 0,500 cm de aire, dada la máxima intensidad de campo eléctrico sostenible en el aire que es 3,0 × 10 6 V/m . Un electrón debe ser acelerado en un campo eléctrico uniforme con una intensidad de 2,00 × 10 6 V/m . (a) ¿Qué energía en keV recibe el electrón si es acelerado a través de 0,400 m? (b) ¿A qué distancia tendría que ser acelerado para aumentar su energía en 50,0 GeV? a. Δ K = q Δ V y V A B = E d , de modo que Δ K = 800 keV; b. d = 25,0 km Utilice la definición de diferencia de potencial en términos de campo eléctrico para deducir la fórmula de la diferencia de potencial entre r = r a y r = r b para una carga puntual situada en el origen. Aquí r es la coordenada radial esférica. El campo eléctrico en una región apunta hacia fuera del eje z y la magnitud depende de la distancia s del eje. La magnitud del campo eléctrico viene dada por E = α s donde α es una constante. Calcule la diferencia de potencial entre los puntos P 1 y P 2 , indicando explícitamente el camino sobre el que se realiza la integración para la integral de línea. Una posibilidad es permanecer con un radio constante y recorrer el arco desde P 1 a P 2 , que tendrá un potencial cero debido a que la trayectoria es perpendicular al campo eléctrico. Entonces integre desde a hasta b : V a b = α dentro ( b a ) Los iones de gas con carga única se aceleran desde el reposo mediante un voltaje de 13,0 V. ¿A qué temperatura la energía cinética media de las moléculas del gas será la misma que la de estos iones? potencial eléctrico energía potencial por unidad de carga diferencia de potencial eléctrico la variación de la energía potencial de una carga q desplazada entre dos puntos, dividida entre la carga. electronvoltio energía dada a una carga fundamental acelerada por una diferencia de potencial de un voltio voltaje cambio en la energía potencial de una carga trasladada de un punto a otro, dividido entre la carga; las unidades de la diferencia de potencial son julios por culombio, conocidos como voltios

Ciencia


Cálculo del potencial eléctrico Las cargas puntuales, como los electrones, son uno de los elementos fundamentales de la materia. Además, las distribuciones de carga esférica (como la carga en una esfera de metal) crean campos eléctricos externos exactamente igual que una carga puntual. El potencial eléctrico debido a una carga puntual es, por tanto, un caso que debemos considerar. Podemos utilizar el cálculo para calcular el trabajo necesario para mover una carga de prueba q desde una gran distancia hasta una distancia r de una carga puntual q . Observe la conexión entre el trabajo y el potencial W = − q Δ V , como en la última sección, podemos obtener el siguiente resultado. Potencial eléctrico V de una carga puntual El potencial eléctrico V de una carga puntual viene dado por V = k q r ( carga puntual ) donde k es una constante igual a 8,99 × 10 9 N · m 2 /C 2 . El potencial en el infinito se elige como cero. Así, V para una carga puntual disminuye con la distancia, mientras que E → para una carga puntual disminuye con la distancia al cuadrado: E = F q t = k q r 2 . Recordemos que el potencial eléctrico V es un escalar y no tiene dirección, mientras que el campo eléctrico E → es un vector. Para calcular el voltaje debido a una combinación de cargas puntuales, se suman los voltajes individuales como números. Para calcular el campo eléctrico total, hay que sumar los campos individuales como vectores, teniendo en cuenta la magnitud y la dirección. Esto es coherente con el hecho de que V está estrechamente asociado a la energía, un escalar, mientras que E → está estrechamente relacionado con la fuerza, un vector. ¿Qué voltaje produce una pequeña carga en una esfera de metal? Las cargas de la electricidad estática suelen estar en el rango de los nanoculombios (nC) y microculombios ( μ C ) . ¿Cuál es el voltaje a 5,00 cm del centro de una esfera de metal sólida de 1 cm de diámetro que tiene una carga estática de –3,00 nC? Estrategia Como ya comentamos en Cargas y campos eléctricos , la carga en una esfera de metal se propaga uniformemente y produce un campo como el de una carga puntual situada en su centro. Por lo tanto, podemos calcular el voltaje utilizando la ecuación V = k q r . Solución Al introducir los valores conocidos en la expresión del potencial de una carga puntual, obtenemos V = k q r = ( 8,99 × 10 9 N · m 2 /C 2 ) ( −3,00 × 10 −9 C 5,00 × 10 −2 m ) = -539 V . Importancia El valor negativo del voltaje significa que una carga positiva sería atraída desde una distancia mayor, ya que el potencial es menor (más negativo) que a distancias mayores. Por el contrario, una carga negativa sería repelida, como es de esperar. ¿Qué es el exceso de carga en un generador Van de Graaff? Un generador Van de Graaff de demostración tiene una esfera de metal de 25,0 cm de diámetro que produce un voltaje de 100 kV cerca de su superficie ( ). ¿Qué exceso de carga reside en la esfera? (Supongamos que cada valor numérico se muestra aquí con tres cifras significativas). El voltaje de este generador Van de Graaff de demostración se mide entre la esfera cargada y tierra. Se toma como referencia el potencial de la Tierra, que es cero. El potencial de la esfera conductora cargada es el mismo que el de una carga puntual igual en su centro. Estrategia El potencial en la superficie es el mismo que el de una carga puntual en el centro de la esfera, a 12,5 cm de distancia. (El radio de la esfera es de 12,5 cm). Así, podemos determinar el exceso de carga mediante la ecuación V = k q r . Solución Al resolver para q y al introducir los valores conocidos se obtiene q = r V k = ( 0,125 m ) ( 100 × 10 3 V ) 8,99 × 10 9 N · m 2 /C 2 = 1,39 × 10 −6 C = 1,39 μ C . Importancia Se trata de una carga relativamente pequeña, pero que produce un voltaje bastante grande. Aquí tenemos otro indicio de que es difícil almacenar cargas aisladas. ¿Cuál es el potencial dentro de la esfera de metal en el ? V = k q r = ( 8,99 × 10 9 N · m 2 /C 2 ) ( −3,00 × 10 −9 C 5,00 × 10 −3 m ) = -5390 V; recuerde que el campo eléctrico dentro de un conductor es cero. Por lo tanto, cualquier camino desde un punto de la superficie a cualquier punto del interior tendrá un integrando de cero al calcular el cambio de potencial, por lo que el potencial en el interior de la esfera es idéntico al de la superficie. Los voltajes en estos dos ejemplos podrían medirse con un medidor que compare el potencial medido con el potencial de tierra. El potencial de tierra a menudo se toma como cero (en lugar de tomar el potencial en el infinito como cero). Lo importante es la diferencia de potencial entre dos puntos, y muy a menudo se asume tácitamente que algún punto de referencia, como la Tierra o un punto muy lejano, está a potencial cero. Como se ha señalado anteriormente, esto es análogo a tomar el nivel del mar como h = 0 al considerar la energía potencial gravitacional U g = m g h . Sistemas de cargas puntuales múltiples Al igual que el campo eléctrico obedece a un principio de superposición, también lo hace el potencial eléctrico. Consideremos un sistema formado por N cargas q 1 , q 2 , … , q N . ¿Cuál es el potencial eléctrico neto V en un punto espacial P de estas cargas? Cada una de estas cargas es una carga fuente que produce su propio potencial eléctrico en el punto P , independientemente de cualquier otro cambio que se produzca. Supongamos que V 1 , V 2 , … , V N son los potenciales eléctricos en P producidos por las cargas q 1 , q 2 , … , q N , respectivamente. Entonces, el potencial eléctrico neto V P en ese punto es igual a la suma de estos potenciales eléctricos individuales. Esto se puede demostrar fácilmente calculando la energía potencial de una carga de prueba cuando esta se lleva desde el punto de referencia en el infinito hasta el punto P : V P = V 1 + V 2 + ⋯ + V N = ∑ 1 N V i . Observe que el potencial eléctrico sigue el mismo principio de superposición que el campo eléctrico y la energía potencial eléctrica. Para mostrar esto de forma más explícita, observe que una carga de prueba q i en el punto P del espacio tiene distancias de r 1 , r 2 , … , r N a partir de las N cargas fijadas en el espacio superior, como se muestra en la . Utilizando nuestra fórmula para el potencial de una carga puntual para cada una de estas cargas (que se supone son puntuales), hallamos que V P = ∑ 1 N k q i r i = k ∑ 1 N q i r i . Por lo tanto, la energía potencial eléctrica de la carga de prueba es U P = q t V P = q t k ∑ 1 N q i r i , que es la misma que el trabajo para introducir la carga de prueba en el sistema, como se encuentra en la primera sección del capítulo. Notación para las distancias directas de las cargas a un punto espacial P . El dipolo eléctrico Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas iguales pero opuestas a una distancia fija. Este sistema se utiliza para modelar muchos sistemas del mundo real, incluidas las interacciones atómicas y moleculares. Uno de estos sistemas es la molécula de agua, en determinadas circunstancias. Estas circunstancias se dan en el interior de un horno de microondas, donde los campos eléctricos con direcciones alternas hacen que las moléculas de agua cambien de orientación. Esta vibración es lo mismo que el calor a nivel molecular. Potencial eléctrico de un dipolo Consideremos el dipolo en la con la magnitud de carga de q = 3,0 nC y la distancia de separación d = 4,0 cm . ¿Cuál es el potencial en los siguientes lugares del espacio? (a) (0, 0, 1,0 cm); (b) (0, 0, –5,0 cm); (c) (3,0 cm, 0, 2,0 cm). Un diagrama general de un dipolo eléctrico, y la notación para las distancias de las cargas individuales a un punto P en el espacio. Estrategia Aplique V P = k ∑ 1 N q i r i a cada uno de estos tres puntos. Solución V P = k ∑ 1 N q i r i = ( 9,0 × 10 9 N · m 2 / C 2 ) ( 3,0 nC 0,010 m − 3,0 nC 0,030 m ) = 1,8 × 10 3 V V P = k ∑ 1 N q i r i = ( 9,0 × 10 9 N · m 2 / C 2 ) ( 3,0 nC 0,070 m − 3,0 nC 0,030 m ) = -5,1 × 10 2 V V P = k ∑ 1 N q i r i = ( 9,0 × 10 9 N · m 2 / C 2 ) ( 3,0 nC 0,030 m − 3,0 nC 0,050 m ) = 3,6 × 10 2 V Importancia Observe que la evaluación del potencial es mucho más sencilla que la del campo eléctrico, ya que el potencial es un escalar en lugar de un vector. ¿Cuál es el potencial en el eje x ? ¿El eje z ? En el eje x el potencial es cero, debido a las cargas iguales y opuestas a la misma distancia de él. En el eje z podemos superponer los dos potenciales; calcularemos que para z > > d , de nuevo el potencial llega a cero debido a la cancelación. Consideremos ahora el caso especial cuando la distancia del punto P al dipolo es mucho mayor que la distancia entre las cargas del dipolo, r ≫ d ; por ejemplo, cuando nos interesamos en el potencial eléctrico debido a una molécula polarizada como una molécula de agua. No está tan lejos (infinito) como para tratar el potencial como cero, pero la distancia es lo suficientemente grande como para simplificar nuestros cálculos en relación con el ejemplo anterior. Comenzamos señalando que en la el potencial viene dado por V P = V + + V − = k ( q r + − q r − ) donde r ± = x 2 + ( z ∓ d 2 ) 2 . Un diagrama general de un dipolo eléctrico, y la notación para las distancias de las cargas individuales a un punto P en el espacio. Esta sigue siendo la fórmula exacta. Para aprovechar el hecho de que r ≫ d , reescribimos los radios en términos de coordenadas polares, con x = r sen θ y z = r cos θ . Esto nos da r ± = r 2 sen 2 θ + ( r cos θ ∓ d 2 ) 2 . Podemos simplificar esta expresión sacando r de la raíz, r ± = r sen 2 θ + ( cos θ ∓ d 2 r ) 2 y luego multiplicando los paréntesis r ± = r sen 2 θ + cos 2 θ ∓ cos θ d r + ( d 2 r ) 2 = r 1 ∓ cos θ d r + ( d 2 r ) 2 . El último término de la raíz es lo suficientemente pequeño como para ser insignificante (recuerde r ≫ d , y por lo tanto ( d / r ) 2 es extremadamente pequeño, efectivamente cero al nivel que probablemente estaremos midiendo), dejándonos con r ± = r 1 ∓ cos θ d r . Al utilizar la aproximación binomial (un resultado estándar de las matemáticas de las series, cuando α es pequeño) 1 1 ∓ α ≈ 1 ± α 2 y al sustituir esto en nuestra fórmula para V P , obtenemos V P = k [ q r ( 1 + d cos θ 2 r ) − q r ( 1 − d cos θ 2 r ) ] = k q d cos θ r 2 . Esto puede escribirse de manera más conveniente si definimos una nueva cantidad, el momento dipolar eléctrico , p → = q d → , donde estos vectores apuntan de la carga negativa a la positiva. Observe que esto tiene una magnitud qd . Esta cantidad nos permite escribir el potencial en el punto P debido a un dipolo en el origen como V P = k p → · r ^ r 2 . Un diagrama de la aplicación de esta fórmula se muestra en la . La geometría para la aplicación del potencial de un dipolo. También hay momentos de orden superior, para cuadrupolos, octupolos, etc. Los verá en futuras clases. Potencial de las distribuciones de carga continuas Hemos trabajado mucho con cargas puntuales, pero ¿qué pasa con las distribuciones de cargas continuas? Recordemos de la que V P = k ∑ q i r i . Podemos tratar una distribución de carga continua como una colección de puntos individuales infinitesimales. De esta forma se obtiene la integral V P = k ∫ d q r para el potencial en un punto P . Observe que r es la distancia de cada punto individual de la distribución de cargas al punto P . Como vimos en Cargas y campos eléctricos , las cargas infinitesimales vienen dadas por d q = { λ d l ( una dimensión ) σ d A ( dos dimensiones ) ρ d V ( tres dimensiones ) donde λ es la densidad de carga lineal, σ es la carga por unidad de superficie y ρ es la carga por unidad de volumen. Potencial de una línea de carga Calcule el potencial eléctrico de un cable no conductor con carga uniforme y densidad lineal λ (culombios/metro) y la longitud L en un punto que se encuentra en una línea que divide el cable en dos partes iguales. Estrategia Para plantear el problema, elegimos las coordenadas cartesianas de forma que se aproveche al máximo la simetría del problema. Colocamos el origen en el centro del cable y orientamos el eje y a lo largo del cable de manera que sus extremos estén en y = ± L / 2 . El punto de campo P está en el plano xy y, como la elección de los ejes depende de nosotros, elegimos que el eje x pase por el punto de campo P , como se muestra en la . Queremos calcular el potencial eléctrico debido a una línea de carga. Solución Consideremos un pequeño elemento de la distribución de carga entre y y y + d y . La carga de esta célula es d q = λ d y y la distancia de la célula al punto de campo P es x 2 + y 2 . Por lo tanto, el potencial se convierte en V P = k ∫ d q r = k ∫ − L / 2 L / 2 λ d y x 2 + y 2 = k λ [ dentro ( y + y 2 + x 2 ) ] − L / 2 L / 2 = k λ [ dentro ( ( L 2 ) + ( L 2 ) 2 + x 2 ) − dentro ( ( − L 2 ) + ( − L 2 ) 2 + x 2 ) ] = k λ dentro [ L + L 2 + 4 x 2 − L + L 2 + 4 x 2 ] . Importancia Observe que este problema era más sencillo que el equivalente para el campo eléctrico, debido al uso de cantidades escalares. Recordemos que esperamos que el nivel cero del potencial esté en el infinito, cuando tenemos una carga finita. Para examinar esto, tomamos el límite del potencial anterior cuando x se acerca al infinito; en este caso, los términos dentro del logaritmo natural se acercan a uno, y por lo tanto el potencial se acerca a cero en este límite. Observe que podríamos haber hecho este problema de forma equivalente en coordenadas cilíndricas; el único efecto sería sustituir r por x y z por y . Potencial debido a un anillo de carga Un anillo tiene una densidad de carga uniforme λ , con unidades de culombios por unidad de metro de arco. Calcule el potencial eléctrico en un punto del eje que pasa por el centro del anillo. Estrategia Utilizamos el mismo procedimiento que para el cable cargado. La diferencia aquí es que la carga se distribuye en un círculo. Dividimos el círculo en elementos infinitesimales con forma de arcos en el círculo y utilizamos las coordenadas cilíndricas que se muestran en la . Queremos calcular el potencial eléctrico debido a un anillo de carga. Solución Un elemento general del arco entre θ y θ + d θ es de longitud R d θ y, por lo tanto, contiene una carga igual a λ R d θ . El elemento está a una distancia de z 2 + R 2 de P , y por lo tanto el potencial es V P = k ∫ d q r = k ∫ 0 2 π λ R d θ z 2 + R 2 = k λ R z 2 + R 2 ∫ 0 2 π d θ = 2 π k λ R z 2 + R 2 = k q tot z 2 + R 2 . Importancia Este resultado es esperado porque cada elemento del anillo está a la misma distancia del punto P . El potencial neto en P es el de la carga total colocada a la distancia común, z 2 + R 2 . Potencial debido a un disco uniforme de carga Un disco de radio R tiene una densidad de carga uniforme σ , con unidades de culombios al cuadrado. Calcule el potencial eléctrico en cualquier punto del eje que pasa por el centro del disco. Estrategia Dividimos el disco en celdas en forma de anillo, y utilizamos el resultado para un anillo elaborado en el ejemplo anterior, luego integramos sobre r además de θ . Esto se muestra en la . Queremos calcular el potencial eléctrico debido a un disco de carga. Solución Una celda de anchura infinitesimal entre las coordenadas cilíndricas r y r + d r que se muestra en la será un anillo de cargas cuyo potencial eléctrico d V P en el punto de campo tiene la siguiente expresión d V P = k d q z 2 + r 2 donde d q = σ 2 π r d r . La superposición de potenciales de todos los anillos infinitesimales que componen el disco da el potencial neto en el punto P . Esto se consigue integrando desde r = 0 a r = R : V P = ∫ d V P = k 2 π σ ∫ 0 R r d r z 2 + r 2 , = k 2 π σ ( z 2 + R 2 − z 2 ) . Importancia El procedimiento básico para un disco es integrar primero alrededor de θ y luego sobre r . Esto se ha demostrado para una densidad de carga uniforme (constante). A menudo, la densidad de carga variará con r , y entonces la última integral dará resultados diferentes. Potencial debido a un cable con carga infinita Calcule el potencial eléctrico debido a un cable infinitamente largo y uniformemente cargado. Estrategia Dado que ya hemos calculado el potencial de un cable finito de longitud L en el , podríamos preguntarnos si tomando L → ∞ en nuestro resultado anterior funcionará: V P = lim L → ∞ k λ dentro ( L + L 2 + 4 x 2 − L + L 2 + 4 x 2 ) . Sin embargo, este límite no existe porque el argumento del logaritmo se convierte en [2/0] como L → ∞ , por lo que esta forma de calcular V de un cable infinito no funciona. La razón de este problema puede deberse a que las cargas no están localizadas en un espacio determinado, sino que continúan hasta el infinito en la dirección del cable. Por lo tanto, nuestra suposición (tácita) de que el potencial cero debe estar a una distancia infinita del cable ya no es válida. Para evitar esta dificultad en el cálculo de los límites, utilicemos la definición de potencial integrando sobre el campo eléctrico del apartado anterior, y el valor del campo eléctrico de esta configuración de carga del capítulo anterior. Solución Utilizamos la integral V P = − ∫ R P E → · d l → donde R es una distancia finita de la línea de carga, como se muestra en la . Puntos de interés para calcular el potencial de una línea de carga infinita. Con esta configuración, utilizamos E → P = 2 k λ 1 s s ^ y d l → = d s → para obtener V P − V R = − ∫ R P 2 k λ 1 s d s = −2 k λ dentro s P s R . Ahora, si definimos el potencial de referencia V R = 0 a s R = 1 m, esto se simplifica a V P = −2 k λ dentro s P . Observe que esta forma del potencial es bastante utilizable; es 0 a 1 m y es indefinido en el infinito, por lo que no podríamos utilizar este último como referencia. Importancia Aunque calcular el potencial directamente puede ser bastante conveniente, acabamos de calcular un sistema para el que esta estrategia no funciona bien. En estos casos, volver a la definición de potencial en términos de campo eléctrico puede ofrecer un camino a seguir. ¿Cuál es el potencial en el eje de un anillo de carga no uniforme, donde la densidad de carga es λ ( θ ) = λ cos θ ? Será cero, ya que en todos los puntos del eje hay cargas iguales y opuestas equidistantes del punto de interés. Observe que esta distribución tendrá, de hecho, un momento dipolar. Resumen El potencial eléctrico es un escalar mientras que el campo eléctrico es un vector. La suma de los voltajes como números da el voltaje debido a una combinación de cargas puntuales, lo que nos permite utilizar el principio de superposición V P = k ∑ 1 N q i r i . Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas iguales y opuestas a una distancia fija, con un momento dipolar p → = q d → . Las distribuciones de carga continua pueden calcularse con V P = k ∫ d q r . Preguntas conceptuales Compare los momentos dipolares eléctricos de las cargas ± Q separadas por una distancia d y cargas ± Q / 2 separadas por una distancia d/2 . El segundo tiene 1/4 del momento dipolar del primero. ¿Sería útil la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico de un dipolo? ¿Por qué? ¿En qué región del espacio el potencial debido a una esfera uniformemente cargada es el mismo que el de una carga puntual? ¿En qué región se diferencia de la de una carga puntual? La región exterior a la esfera tendrá un potencial indistinguible de una carga puntual; el interior de la esfera tendrá un potencial diferente. ¿Puede el potencial de una esfera con carga no uniforme ser el mismo que el de una carga puntual? Explique. Problemas Una esfera de plástico de 0,500 cm de diámetro, utilizada en una demostración de electricidad estática, tiene una carga de 40,0 pC distribuida uniformemente en su superficie. ¿Cuál es el potencial cerca de su superficie? V = 144 V A qué distancia de un punto de carga 1,00 - μ C es el potencial 100 V? ¿A qué distancia está 2,00 × 10 2 V? Si el potencial debido a una carga puntual es 5,00 × 10 2 V a una distancia de 15,0 m, ¿cuáles son el signo y la magnitud de la carga? V = k Q r → Q = 8,33 × 10 −7 C ; La carga es positiva porque el potencial es positivo. En la fisión nuclear, un núcleo se divide por la mitad aproximadamente. (a) ¿Cuál es el potencial 2,00 × 10 −14 m de un fragmento que tiene 46 protones? (b) ¿Cuál es la energía potencial en MeV de un fragmento de carga similar a esta distancia? Un generador Van de Graaff de investigación tiene una esfera de metal de 2,00 m de diámetro con una carga de 5,00 mC en ella. Supongamos que la energía potencial es cero en un punto de referencia infinitamente alejado del Van de Graaff. (a) ¿Cuál es el potencial cerca de su superficie? (b) ¿A qué distancia de su centro es el potencial 1,00 MV? (c) Un átomo de oxígeno con tres electrones perdidos se libera cerca del generador Van de Graaff. ¿Cuál es su energía cinética en MeV cuando el átomo está a la distancia encontrada en la parte b? a. V = 45,0 MV ; b. V = k Q r → r = 45,0 m ; c. Δ U = 132 MeV Un pulverizador de pintura electroestática tiene una esfera de metal de 0,200 m de diámetro a un potencial de 25,0 kV que repele las gotas de pintura sobre un objeto conectado a tierra. (a) ¿Qué carga tiene la esfera? (b) ¿Qué carga debe tener una gota de pintura de 0,100 mg para llegar al objeto con una velocidad de 10,0 m/s? (a) ¿Cuál es el potencial entre dos puntos situados a 10 cm y 20 cm de una carga puntual de 3,0 - μ C ? (b) ¿A qué lugar debería desplazarse el punto a 20 cm para aumentar esta diferencia de potencial en un factor de dos? V = k Q / r ; a. Con respecto al origen, halle el potencial en cada punto y luego calcule la diferencia Δ V = 135 × 10 3 V ; b. Para duplicar la diferencia de potencial, mueva el punto de 20 cm al infinito; el potencial a 20 cm está a medio camino entre el cero y el de 10 cm. Calcule el potencial en los puntos P 1 , P 2 , P 3 , y P 4 en el diagrama debido a las dos cargas dadas. Dos cargas –2,0 µ C y + 2,0 µ C están separadas por 4,0 cm en el eje z de forma simétrica respecto al origen, con el positivo más arriba. Dos puntos de interés espacial P 1 y P 2 están situados a 3,0 cm y 30 cm del origen en un ángulo de 30 ° con respecto al eje z . Evalúe los potenciales eléctricos en P 1 y P 2 de dos maneras: (a) Utilizando la fórmula exacta de las cargas puntuales, y (b) utilizando la fórmula aproximada del potencial dipolar. a. V P 1 = 7,4 × 10 5 V y V P 2 = 6,9 × 10 3 V ; b. V P 1 = 6,9 × 10 5 V y V P 2 = 6,9 × 10 3 V (a) Grafique el potencial de una varilla de 1 m de carga uniforme con 1 C/m de carga en función de la distancia perpendicular al centro. Dibuje su gráfico a partir de s = 0,1 m a s = 1,0 m . (b) En la misma gráfica, trace el potencial de una carga puntual con una carga 1-C en el origen. (c) ¿Qué potencial es más fuerte cerca de la varilla? (d) ¿Qué ocurre con la diferencia a medida que aumenta la distancia? Interprete su resultado. dipolo eléctrico sistema de dos cargas iguales pero opuestas a una distancia fija momento dipolar eléctrico cantidad definida como p → = q d → para todos los dipolos, donde el vector apunta de la carga negativa a la positiva

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Determinación del campo a partir del potencial Recordemos que hemos podido, en ciertos sistemas, calcular el potencial integrando sobre el campo eléctrico. Como ya se puede sospechar, esto significa que podemos calcular el campo eléctrico tomando derivadas del potencial, aunque pasar de una cantidad escalar a una vectorial introduce algunas arrugas interesantes. A menudo necesitamos E → para calcular la fuerza en un sistema; como a menudo es más sencillo calcular el potencial directamente, hay sistemas en los que es útil calcular V y luego derivar E → de la misma. En general, independientemente de que el campo eléctrico sea uniforme, apunta en la dirección del potencial decreciente, porque la fuerza sobre una carga positiva es en la dirección de E → y también en la dirección del potencial inferior V . Además, la magnitud de E → es igual a la tasa de disminución de V con la distancia. Cuanto más rápido disminuya V con la distancia, mayor será el campo eléctrico. Esto nos da el siguiente resultado. Relación entre voltaje y campo eléctrico uniforme En forma de ecuación, la relación entre voltaje y campo eléctrico uniforme es E = − Δ V Δ s donde Δ s es la distancia en la que el cambio de potencial Δ V tiene lugar. El signo menos nos dice que E apunta en la dirección de la disminución del potencial. Se dice que el campo eléctrico es el gradiente (como en grado o pendiente) del potencial eléctrico. Para los potenciales que cambian continuamente, Δ V y Δ s se convierten en infinitesimales, y necesitamos el cálculo diferencial para determinar el campo eléctrico. Como se muestra en la , si tratamos la distancia Δ s como muy pequeño para que el campo eléctrico sea esencialmente constante sobre él, hallamos que E s = − d V d s . La componente del campo eléctrico a lo largo del desplazamiento Δ s viene dada por E = − Δ V Δ s . Observe que se supone que A y B están tan cerca que el campo es constante a lo largo de Δ s . Por tanto, las componentes del campo eléctrico en las direcciones cartesianas vienen dadas por E x = − ∂ V ∂ x , E y = − ∂ V ∂ y , E z = − ∂ V ∂ z . Con esto se puede definir el operador vectorial "grad" o "del", lo que nos permite calcular el gradiente en un solo paso. En coordenadas cartesianas, toma la forma ∇ → = i ^ ∂ ∂ x + j ^ ∂ ∂ y + k ^ ∂ ∂ z . Con esta notación, podemos calcular el campo eléctrico a partir del potencial con E → = − ∇ → V , un proceso que llamamos cálculo del gradiente del potencial. Si tenemos un sistema con simetría cilíndrica o esférica, solo tenemos que utilizar el operador en las coordenadas adecuadas: Cilíndrica: ∇ → = r ^ ∂ ∂ r + φ ^ 1 r ∂ ∂ φ + z ^ ∂ ∂ z Esférico: ∇ → = r ^ ∂ ∂ r + θ ^ 1 r ∂ ∂ θ + φ ^ 1 r sen θ ∂ ∂ φ Campo eléctrico de una carga puntual Calcule el campo eléctrico de una carga puntual a partir del potencial. Estrategia Se sabe que el potencial es V = k q r , que tiene una simetría esférica. Por lo tanto, utilizamos el operador del esférico en la fórmula E → = − ∇ → V . Solución Realizando este cálculo obtenemos E → = − ( r ^ ∂ ∂ r + θ ^ 1 r ∂ ∂ θ + φ ^ 1 r sen θ ∂ ∂ φ ) k q r = − k q ( r ^ ∂ ∂ r 1 r + θ ^ 1 r ∂ ∂ θ 1 r + φ ^ 1 r sen θ ∂ ∂ φ 1 r ) . Esta ecuación se simplifica en E → = − k q ( r ^ −1 r 2 + θ ^ 0 + φ ^ 0 ) = k q r 2 r ^ como se esperaba. Importancia No solo hemos obtenido la ecuación para el campo eléctrico de una partícula puntual que hemos visto antes, sino que también tenemos una demostración de que E → apunta en la dirección de la disminución del potencial, como se muestra en la . Vectores del campo eléctrico dentro y fuera de una esfera uniformemente cargada. Campo eléctrico de un anillo de carga Utilice el potencial encontrado en el para calcular el campo eléctrico a lo largo del eje de un anillo de carga ( ). Queremos calcular el campo eléctrico a partir del potencial eléctrico debido a una carga anular. Estrategia En este caso, solo nos interesa una dimensión, el eje z . Por lo tanto, utilizamos E z = − ∂ V ∂ z con el potencial V = k q tot z 2 + R 2 encontrado anteriormente. Solución Tomando la derivada del potencial se obtiene E z = − ∂ ∂ z k q tot z 2 + R 2 = k q tot z ( z 2 + R 2 ) 3 / 2 . Importancia De nuevo, esto coincide con la ecuación del campo eléctrico encontrada anteriormente. También demuestra un sistema en el que no es necesario utilizar el operador del completo. ¿Qué sistema de coordenadas utilizaría para calcular el campo eléctrico de un dipolo? Cualquiera, pero la cilíndrica es la que más se acerca a la simetría de un dipolo. Resumen Al igual que podemos integrar sobre el campo eléctrico para calcular el potencial, podemos tomar la derivada del potencial para calcular el campo eléctrico. Esto puede hacerse para componentes individuales del campo eléctrico, o podemos calcular todo el vector del campo eléctrico con el operador de gradiente. Preguntas conceptuales Si el campo eléctrico es cero en toda una región, ¿el potencial eléctrico debe ser también cero en esa región? No. Será constante, pero no necesariamente cero. Explique por qué el conocimiento de E → ( x , y , z ) no es suficiente para determinar V (x ,y ,z ). ¿Y al revés? Problemas En toda una región, las superficies equipotenciales vienen dadas por z = constante . Las superficies están igualmente espaciadas con V = 100 V para z = 0,00 m, V = 200 V para z = 0,50 m, V = 300 V para z = 1,00 m. ¿Cuál es el campo eléctrico en esta región? El problema es describir un campo uniforme, por lo que E = 200 V/m en la dirección – z . En una región determinada, el potencial eléctrico viene dado por V = − x y 2 z + 4 x y . ¿Cuál es el campo eléctrico en esta región? Calcule el campo eléctrico de una carga lineal infinita en todo el espacio. Aplique E → = − ∇ → V con ∇ → = r ^ ∂ ∂ r + φ ^ 1 r ∂ ∂ φ + z ^ ∂ ∂ z al potencial calculado anteriormente, V = −2 k λ dentro s : E → = 2 k λ 1 r r ^ como se esperaba.

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