Energía en el movimiento armónico simple Para producir una deformación en un objeto, debemos realizar un trabajo. Es decir, tanto si se puntea una cuerda de guitarra como si se comprime el sistema de suspensión de un automóvil, hay que ejercer una fuerza a través de una distancia. Si el único resultado es la deformación, y ningún trabajo se convierte en energía térmica, sonora o cinética, entonces todo el trabajo se almacena inicialmente en el objeto deformado como alguna forma de energía potencial. Considere el ejemplo de un bloque unido a un resorte en una mesa sin fricción, que oscila en SHM. La fuerza del resorte es una fuerza conservativa (que estudió en el capítulo sobre energía potencial y conservación de la energía), y podemos definir una energía potencial para ella. Esta energía potencial es la energía almacenada en el resorte cuando este se extiende o se comprime. En este caso, el bloque oscila en una dimensión con la fuerza del resorte actuando en paralelo al movimiento: W = ∫ x i x f F x d x = ∫ x i x f – k x d x = [ – 1 2 k x 2 ] x i x f = – [ 1 2 k x f 2 – 1 2 k x i 2 ] = – [ U f – U i ] = – Δ U . Al considerar la energía almacenada en un resorte, la posición de equilibrio, marcada como x i = 0,00 m, es la posición en la que la energía almacenada en el resorte es igual a cero. Cuando el resorte se estira o se comprime una distancia x , la energía potencial almacenada en el resorte es U = 1 2 k x 2 . La energía y el oscilador armónico simple Para estudiar la energía de un oscilador armónico simple, debemos considerar todas las formas de energía. Considere el ejemplo de un bloque unido a un resorte, colocado sobre una superficie sin fricción, que oscila en SHM. La energía potencial almacenada en la deformación del resorte es U = 1 2 k x 2 . En un oscilador armónico simple la energía oscila entre la energía cinética de la masa K = 1 2 m v 2 y la energía potencial U = 1 2 k x 2 almacenado en el resorte. En el SHM del sistema de masa y resorte no hay fuerzas disipativas, por lo que la energía total es la suma de la energía potencial y la energía cinética. En esta sección consideramos la conservación de la energía del sistema. Los conceptos examinados son válidos para todos los osciladores armónicos simples, incluidos aquellos en los que interviene la fuerza gravitacional. Considere la , que muestra un bloque oscilante unido a un resorte. En el caso del SHM no amortiguado, la energía oscila de un lado a otro entre la cinética y la potencial, pasando completamente de una forma de energía a la otra a medida que el sistema oscila. Así, para el sencillo ejemplo de un objeto sobre una superficie sin fricción unido a un resorte, el movimiento comienza con toda la energía almacenada en el resorte como energía potencial elástica . Cuando el objeto comienza a moverse, la energía potencial elástica se convierte en energía cinética, y pasa a ser totalmente cinética en la posición de equilibrio. A continuación, el resorte convierte la energía en energía potencial elástica al estirarse o comprimirse. La velocidad se convierte en cero cuando la energía cinética se convierte completamente, y este ciclo se repite. La comprensión de la conservación de la energía en estos ciclos proporcionará una visión adicional aquí y en aplicaciones posteriores de SHM, como circuitos alternos. La transformación de la energía en SHM para un objeto unido a un resorte sobre una superficie sin fricción. (a) Cuando la masa está en la posición x = + A , toda la energía se almacena como energía potencial en el resorte U = 1 2 k A 2 . La energía cinética es igual a cero porque la velocidad de la masa es cero. (b) A medida que la masa se mueve hacia x = – A , la masa cruza la posición x = 0 . En este punto, el resorte no está ni extendido ni comprimido, por lo que la energía potencial almacenada en el resorte es cero. En x = 0 , la energía total es toda la energía cinética donde K = 1 2 m ( – v máx. ) 2 . (c) La masa continúa moviéndose hasta alcanzar x = – A donde la masa se detiene y comienza a moverse hacia x = + A . En la posición x = – A , la energía total se almacena como energía potencial en el U = 1 2 k ( – A ) 2 comprimido y la energía cinética es cero. (d) Al pasar la masa por la posición x = 0 , la energía cinética es K = 1 2 m v máx. 2 y la energía potencial almacenada en el resorte es cero. (e) La masa vuelve a la posición x = + A , donde K = 0 y U = 1 2 k A 2 . Considere la , que muestra la energía en puntos específicos del movimiento periódico. Mientras se mantiene constante, la energía oscila entre la energía cinética del bloque y la energía potencial almacenada en el resorte: E Total = U + K = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 . El movimiento del bloque sobre un resorte en SHM está definido por la posición x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) con una velocidad de v ( t ) = – A ω sen ( ω t + ϕ ) . Mediante estas ecuaciones, la identidad trigonométrica cos 2 θ + sen 2 θ = 1 y ω = k m , podemos calcular la energía total del sistema: E Total = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 ω 2 sen 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 ( k m ) sen 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + ϕ ) + 1 2 k A 2 sen 2 ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 ( cos 2 ( ω t + ϕ ) + sen 2 ( ω t + ϕ ) ) = 1 2 k A 2 . La energía total del sistema de un bloque y un resorte es igual a la suma de la energía potencial almacenada en el resorte más la energía cinética del bloque y es proporcional al cuadrado de la amplitud E Total = ( 1 / 2 ) k A 2 . La energía total del sistema es constante. Un examen más detallado de la energía del sistema muestra que la energía cinética oscila como una función seno-cuadrada, mientras que la energía potencial oscila como una función coseno-cuadrada. Sin embargo, la energía total del sistema es constante y es proporcional a la amplitud al cuadrado. La muestra un trazado de las energías potencial, cinética y total del sistema de bloques y resortes como una función de tiempo. También se representan la posición y la velocidad como una función de tiempo. Antes del tiempo t = 0,0 s, el bloque está unido al resorte y colocado en la posición de equilibrio. El trabajo se realiza sobre el bloque aplicando una fuerza externa, halándolo hasta una posición de x = + A . El sistema tiene ahora energía potencial almacenada en el resorte. En el tiempo t = 0,00 s, la posición del bloque es igual a la amplitud, la energía potencial almacenada en el resorte es igual a U = 1 2 k A 2 y la fuerza sobre el bloque es máxima y apunta en la dirección x negativa ( F S = – k A ) . La velocidad y la energía cinética del bloque son cero en el tiempo t = 0,00 s . En el tiempo t = 0,00 s, el bloque se libera del reposo. Gráfico de las energías cinética, potencial y total de un bloque que oscila sobre un resorte en SHM. También se muestran los gráficos de posición versus tiempo y de velocidad versus tiempo. La energía total permanece constante, pero la energía oscila entre la energía cinética y la potencial. Cuando la energía cinética es máxima, la energía potencial es cero. Esto ocurre cuando la velocidad es máxima y la masa está en la posición de equilibrio. La energía potencial es máxima cuando la velocidad es cero. La energía total es la suma de la energía cinética más la energía potencial y es constante. Oscilaciones en torno a una posición de equilibrio Acabamos de considerar la energía del SHM como una función de tiempo. Otra visión interesante del oscilador armónico simple es considerar la energía como una función de posición. La muestra un gráfico de la energía versus posición de un sistema que experimenta SHM. Gráfico de la energía cinética (rojo), la energía potencial (azul) y la energía total (verde) de un oscilador armónico simple. La fuerza es igual a F = – d U d x . La posición de equilibrio se muestra como un punto negro y es el punto donde la fuerza es igual a cero. La fuerza es positiva cuando x < 0 , negativa cuando x > 0 e igual a cero cuando x = 0 . La curva de energía potencial en la se asemeja a un bol. Cuando se coloca una canica en un bol, se asienta en la posición de equilibrio en el punto más bajo del bol ( x = 0 ) . Esto ocurre porque una fuerza restauradora se dirige hacia el punto de equilibrio. Este punto de equilibrio se denomina, a veces, punto fijo . Cuando la canica se altera hacia una posición diferente ( x = + A ) , la canica oscila alrededor de la posición de equilibrio. Volviendo al gráfico de la energía potencial, la fuerza se puede calcular mirando la pendiente del gráfico de la energía potencial ( F = – d U d x ) . Dado que la fuerza a ambos lados del punto fijo señala hacia el punto de equilibrio, este se denomina punto de equilibrio estable . Los puntos x = A y x = – A se llaman los puntos de inflexión (ver Energía potencial y conservación de la energía ). La estabilidad es un concepto importante. Si un punto de equilibrio es estable, una ligera alteración de un objeto que se encuentra inicialmente en el punto de equilibrio estable hará que el objeto oscile alrededor de ese punto. El punto de equilibrio estable se produce porque la fuerza de cada lado se dirige hacia él. En el caso de un punto de equilibrio inestable si el objeto se altera ligeramente, no vuelve al punto de equilibrio. Considere el ejemplo de la canica en el bol. Si el bol está boca arriba, la canica oscilará alrededor del punto de equilibrio estable si la alteración es ligera. Si el bol se pone boca abajo, la canica se puede equilibrar en la parte superior, en el punto de equilibrio donde la fuerza neta es cero. Sin embargo, si la alteración de la canica es ligera, no volverá al punto de equilibrio, sino que rodará fuera del bol. La razón es que la fuerza a ambos lados del punto de equilibrio se aleja de ese punto. Este punto es un punto de equilibrio inestable. La muestra tres condiciones. El primero es un punto de equilibrio estable (a); el segundo es un punto de equilibrio inestable (b); y el último es también un punto de equilibrio inestable (c), ya que la fuerza en un solo lado señala hacia el punto de equilibrio. Ejemplos de puntos de equilibrio: (a) punto de equilibrio estable; (b) punto de equilibrio inestable; (c) punto de equilibrio inestable (a veces denominado punto de equilibrio medio estable). El proceso para determinar si un punto de equilibrio es estable o inestable se puede formalizar. Considere las curvas de energía potencial mostradas en la . La fuerza se puede calcular al analizar la pendiente del gráfico. La fuerza es F = – d U d x . En (a), el punto fijo está en x = 0,00 m . Cuando x < 0,00 m, la fuerza es positiva. Cuando x > 0,00 m, la fuerza es negativa. Este es un punto estable. En (b), el punto fijo está en x = 0,00 m . Cuando x < 0,00 m, la fuerza es negativa. Cuando x > 0,00 m, la fuerza también es negativa. Este es un punto inestable. Dos ejemplos de función de energía potencial. La fuerza en una posición es igual al negativo de la pendiente del gráfico en esa posición. (a) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio estable. (b) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio inestable. Este punto se llama a veces medio estable porque la fuerza de un lado señala hacia el punto fijo. Una aplicación práctica del concepto de puntos de equilibrio estables es la fuerza entre dos átomos neutros de una molécula. Si dos moléculas están muy cerca, separadas por unos pocos diámetros atómicos, pueden experimentar una fuerza de atracción. Si las moléculas se acercan lo suficiente como para que las capas electrónicas de los otros electrones se superpongan, la fuerza entre las moléculas se vuelve repulsiva. La fuerza de atracción entre los dos átomos puede hacer que estos formen una molécula. La fuerza entre las dos moléculas no es una fuerza lineal y no se puede modelar simplemente como dos masas separadas por un resorte, sino que los átomos de la molécula pueden oscilar alrededor de un punto de equilibrio cuando se desplazan una pequeña cantidad de la posición de equilibrio. Los átomos oscilan debido a la fuerza de atracción y a la fuerza de repulsión entre los dos átomos. Considere un ejemplo de la interacción entre dos átomos conocida como la interacción de van Der Waals. Está fuera del alcance de este capítulo discutir en profundidad las interacciones de los dos átomos, pero las oscilaciones de los átomos pueden ser examinadas considerando un ejemplo de un modelo de la energía potencial del sistema. Una sugerencia para modelar la energía potencial de esta molécula es con el potencial de Lennard-Jones 6-12 : U ( x ) = 4 ε [ ( σ x ) 12 – ( σ x ) 6 ] . Un gráfico de esta función se muestra en la . Los dos parámetros ε y σ se hallan experimentalmente. La función de energía potencial de Lennard-Jones para un sistema de dos átomos neutros. Si la energía está por debajo de cierta energía máxima, el sistema oscila cerca de la posición de equilibrio entre los dos puntos de inflexión. A partir del gráfico, podrá ver que hay un pozo de energía potencial, que tiene algunas similitudes con el pozo de energía potencial de la función de energía potencial del oscilador armónico simple analizado en la . El potencial de Lennard-Jones tiene un punto de equilibrio estable donde la energía potencial es mínima y la fuerza a ambos lados del punto de equilibrio señala hacia el punto de equilibrio. Note que, a diferencia del oscilador armónico simple, el pozo de potencial del potencial de Lennard-Jones no es simétrico. Esto se debe a que la fuerza entre los átomos no es una fuerza de la ley de Hooke y no es lineal. Los átomos pueden seguir oscilando alrededor de la posición de equilibrio x min porque cuando x < x min , la fuerza es positiva; cuando x > x min , la fuerza es negativa. Note que a medida que x se acerca a cero, la pendiente es bastante pronunciada y negativa, lo que significa que la fuerza es grande y positiva. Esto sugiere que se necesita una gran fuerza para intentar acercar los átomos. A medida que x se hace más grande, la pendiente se hace menos pronunciada y la fuerza es más pequeña y negativa. Esto sugiere que si se da una energía lo suficientemente grande, los átomos pueden separarse. Si le interesa esta interacción, calcule la fuerza entre las moléculas tomando la derivada de la función de energía potencial. Verá inmediatamente que la fuerza no se asemeja a una fuerza de la ley de Hooke ( F = – k x ) , pero si está familiarizado con el teorema del binomio: ( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n – 1 ) 2 ! x 2 + n ( n – 1 ) ( n – 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ , la fuerza puede ser aproximada por una fuerza de la ley de Hooke. Velocidad y conservación de energía Volviendo al sistema de un bloque y un resorte en la , una vez que el bloque se libera del reposo, comienza a moverse en la dirección negativa hacia la posición de equilibrio. La energía potencial disminuye y la magnitud de la velocidad y la energía cinética aumentan. En el tiempo t = T / 4 , el bloque alcanza la posición de equilibrio x = 0,00 m, donde la fuerza sobre el bloque y la energía potencial son cero. En la posición de equilibrio, el bloque alcanza una velocidad negativa con una magnitud igual a la velocidad máxima v = – A ω . La energía cinética es máxima e igual a K = 1 2 m v 2 = 1 2 m A 2 ω 2 = 1 2 k A 2 . En este punto, la fuerza sobre el bloque es cero, pero el momento arrastra al bloque y este continúa en dirección negativa hacia x = – A . A medida que el bloque continúa moviéndose, la fuerza sobre él actúa en la dirección positiva y la magnitud de la velocidad y la energía cinética disminuyen. La energía potencial aumenta a medida que el resorte se comprime. En el tiempo t = T / 2 , el bloque alcanza x = – A . Aquí la velocidad y la energía cinética son iguales a cero. La fuerza sobre el bloque es F = + k A y la energía potencial almacenada en el resorte es U = 1 2 k A 2 . Durante las oscilaciones, la energía total es constante e igual a la suma de la energía potencial y la energía cinética del sistema, E Total = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2 . La ecuación de la energía asociada al SHM puede resolverse para calcular la magnitud de la velocidad en cualquier posición: | v | = k m ( A 2 – x 2 ) . La energía en un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Cuando se consideran muchas formas de oscilación, verá que la energía es proporcional a la amplitud al cuadrado. ¿Por qué le dolería más si se rompiera la mano con una regla que con un resorte flojo, aunque el desplazamiento de cada sistema sea igual? La regla es un sistema más rígido, que soporta mayor fuerza para la misma cantidad de desplazamiento. La regla rompe su mano con más fuerza, lo que duele más. Identifique una forma en la que podría disminuir la velocidad máxima de un oscilador armónico simple. Puede aumentar la masa del objeto que está oscilando. Otras opciones serían reducir la amplitud o utilizar un resorte menos rígido. Resumen El tipo más sencillo de oscilaciones está relacionado con los sistemas que pueden describirse mediante la ley de Hooke, F = − kx , donde F es la fuerza restauradora, x es el desplazamiento desde el equilibrio o la deformación y k es la constante de fuerza del sistema. La energía potencial elástica U almacenada en la deformación de un sistema que se puede describir por la ley de Hooke viene dada por U = 1 2 k x 2 . La energía en el oscilador armónico simple se reparte entre la energía potencial elástica y la energía cinética, siendo el total constante: E Total = 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 = constante. La magnitud de la velocidad como una función de posición para el oscilador armónico simple se puede calcular mediante | v | = k m ( A 2 – x 2 ) . Preguntas conceptuales Describa un sistema en el que se almacena energía potencial elástica. En un automóvil, la energía potencial elástica se almacena cuando el choque se extiende o se comprime. En algunos zapatos para correr la energía potencial elástica se almacena en la compresión del material de las suelas de los zapatos. En el salto con pértiga, la energía potencial elástica se almacena en la flexión de la pértiga. Explique en términos de energía cómo fuerzas disipativas, como la fricción, reducen la amplitud de un oscilador armónico. Explique también cómo puede compensar un mecanismo de conducción (un reloj de péndulo es un sistema de este tipo). La temperatura de la atmósfera oscila entre un máximo cerca del mediodía y un mínimo cerca del amanecer. ¿Consideraría que la atmósfera está en equilibrio estable o inestable? El sistema general es estable. Puede haber momentos en los que la estabilidad se vea interrumpida por una tormenta, pero la fuerza impulsora proporcionada por el sol devuelve a la atmósfera a un patrón estable. Problemas Se cuelgan peces en un dinamómetro para determinar su masa. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza del resorte en dicha balanza si este se estira 8,00 cm para una carga de 10,0 kg? (b) ¿Cuál es la masa de un pez que estira el resorte 5,50 cm? (c) ¿Qué distancia hay entre las marcas de medio kilogramo en la balanza? Es la hora del pesaje del equipo local de rugby de menos de 85 kilos. La balanza de baño utilizada para evaluar la elegibilidad se puede describir mediante la ley de Hooke y baja 0,75 cm con su carga máxima de 120 kg. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza efectiva del resorte? (b) Un jugador se coloca sobre la balanza y la baja 0,48 cm, ¿es elegible para jugar en este equipo de menos de 85 kilos? a. 1,57 × 10 5 N/m ; b. 77 kg, sí, es elegible para jugar. Un tipo de pistola de balines utiliza un émbolo accionado por un resorte para expulsar los balines de su cañón. (a) Calcule la constante de fuerza del resorte de su émbolo si debe comprimirlo 0,150 m para que el émbolo de 0,0500 kg alcance una velocidad máxima de 20,0 m/s. (b) ¿Qué fuerza hay que ejercer para comprimir el resorte? Cuando un hombre de 80,0 kg se sube a un palo saltarín, el resorte se comprime 0,120 m. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza del resorte? (b) ¿Se comprimirá más el resorte cuando salte por la carretera? a. 6,53 × 10 3 N/m ; b. sí, cuando el hombre está en su punto más bajo en su salto el resorte estará más comprimido. Un resorte tiene una longitud de 0,200 m cuando cuelga de él una masa de 0,300 kg, y una longitud de 0,750 m cuando cuelga de él una masa de 1,95 kg. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza del resorte? (b) ¿Cuál es la longitud sin carga del resorte? La longitud de la cuerda de nailon de la que está suspendido un alpinista tiene una constante de fuerza efectiva de 1,40 × 10 4 N/m . (a) ¿Cuál es la frecuencia con la que rebota, dado que su masa y la masa de su equipo suman 90,0 kg? (b) ¿Cuánto se estiraría esta cuerda para frenar la caída del escalador si cae en caída libre 2,00 m antes de que la cuerda se estire? (Pista: Utilice conservación de energía). (c) Repita las dos partes de este problema en la situación en la que se utiliza el doble de esta longitud de cuerda de nailon. a. 1,99 Hz; b. 44,3 cm; c. 65,0 cm energía potencial elástica energía potencial almacenada a consecuencia de la deformación de un objeto elástico, como el estiramiento de un resorte fuerza restauradora fuerza que actúa en oposición a la fuerza causada por una deformación punto de equilibrio estable punto en el que la fuerza neta sobre un sistema es cero, pero un pequeño desplazamiento de la masa provocará una fuerza restauradora que señala hacia el punto de equilibrio

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Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular Una forma fácil de modelar el SHM es considerando un movimiento circular uniforme . La muestra una forma de utilizar este método. Una clavija (un cilindro de madera) está unida a un disco vertical que gira con una frecuencia angular constante. La muestra una vista lateral del disco y la clavija. Si se coloca una lámpara sobre el disco y la clavija, la clavija produce una sombra. Supongamos que el disco tenga un radio de r = A y define la posición de la sombra que coincide con la línea central del disco para ser x = 0,00 m . Como el disco gira a una velocidad constante, la sombra oscila entre x = + A y x = – A . Ahora, imagine un bloque sobre un resorte debajo del suelo como se muestra en la . El SHM se puede modelar como un movimiento de rotación al mirar la sombra de una clavija en una rueda que gira a una frecuencia angular constante. La luz brilla sobre el disco, por lo que la clavija hace una sombra. Si el disco gira a la frecuencia angular adecuada, la sombra sigue el movimiento del bloque sobre un resorte. Si no hay energía disipada debido a fuerzas no conservativas, el bloque y la sombra oscilarán de un lado a otro al unísono. En esta figura, se toman cuatro representaciones en cuatro momentos diferentes. (a) La rueda comienza en θ = 0 o y la sombra de la clavija está en x = + A , y representa la masa en la posición x = + A . (b) Como el disco gira a través de un ángulo θ = ω t , la sombra de la clavija está entre x = + A y x = 0 . (c) El disco sigue girando hasta θ = 90 0 , en la cual la sombra sigue a la masa hasta x = 0 . (d) El disco sigue girando, la sombra sigue la posición de la masa. Si el disco gira a la frecuencia angular adecuada, la sombra sigue al bloque. La posición de la sombra se puede modelar con la ecuación x ( t ) = A cos ( ω t ) . Recuerde que el bloque unido al resorte no se mueve a velocidad constante. ¿Cuántas veces tiene que girar la rueda para que la sombra de la clavija esté siempre en el bloque? El disco debe girar a una frecuencia angular constante igual a 2 π veces la frecuencia de oscilación ( ω = 2 π f ) . La muestra la relación básica entre el movimiento circular uniforme y el SHM. La clavija se encuentra en la punta del radio, a una distancia A del centro del disco. El eje x está definido por una línea trazada en paralelo al suelo que corta el disco por la mitad. El eje y (no mostrado) está definido por una línea perpendicular al suelo que corta el disco en una mitad izquierda y otra derecha. El centro del disco es el punto ( x = 0 , y = 0 ) . La proyección de la posición de la clavija sobre el eje x fijo da la posición de la sombra, que experimenta un SHM análogo al del sistema del bloque y el resorte. En el tiempo indicado en la figura, la proyección tiene la posición x y se mueve hacia la izquierda con velocidad v . La velocidad tangencial de la clavija alrededor del círculo es igual a v – máx. del bloque en el resorte. El componente x de la velocidad es igual a la velocidad del bloque sobre el resorte. Una clavija que se mueve en una trayectoria circular con una velocidad angular constante ω está experimentando un movimiento circular uniforme. Su proyección en el eje x experimenta SHM. También se muestra la velocidad de la clavija alrededor del círculo, v máx. , y su proyección, la cual es v . Observe que estas velocidades forman un triángulo similar al del desplazamiento. Podemos usar la para analizar la velocidad de la sombra a medida que el disco gira. La clavija se mueve en un círculo con una velocidad de v máx. = A ω . La sombra se mueve con una velocidad igual al componente de la velocidad de la clavija que es paralela a la superficie donde se produce la sombra: v = – v máx. sen ( ω t ) . De ello se deduce que la aceleración es a = – a máx. cos ( ω t ) . Identifique un objeto que experimenta movimiento circular uniforme. Describa cómo podría trazar el SHM de este objeto. En el centro de la mesa se encuentra una botella de kétchup sobre una bandeja giratoria. Usted la pone a girar en movimiento circular uniforme. Un juego de luces ilumina la botella, lo que produce una sombra en la pared. Resumen Una proyección de movimiento circular uniforme experimenta una oscilación armónica simple. Considere un círculo de radio A que se mueve con una velocidad angular constante ω . Un punto en el borde del círculo se mueve con una velocidad tangencial constante de v máx. = A ω . La proyección del radio sobre el eje x es x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) , donde ( ϕ ) es el deslizamiento de fase. El componente x de la velocidad tangencial es v ( t ) = – A ω sen ( ω t + ϕ ) . Preguntas conceptuales ¿Se puede llevar a cabo esta analogía de SHM con el movimiento circular de un objeto que oscile sobre un resorte colgado verticalmente del techo? ¿Por qué sí o por qué no? Si pudiera elegir, ¿preferiría utilizar una función seno o una función coseno para modelar el movimiento? Si se aumenta la velocidad máxima de la masa unida a un resorte que oscila sobre una mesa sin fricción, ¿qué características del disco giratorio habría que modificar? La velocidad máxima es igual a v máx. = A ω y la frecuencia angular es independiente de la amplitud, por lo que esta se vería afectada. El radio del círculo representa la amplitud del círculo, lo que hace que la amplitud sea mayor. Problemas El movimiento de una masa sobre un resorte colgado verticalmente, en el que la masa oscila hacia arriba y hacia abajo, también se puede modelar con el disco giratorio. En vez de ubicar las luces horizontalmente a lo largo de la parte superior y apuntando hacia abajo, ubíquelas verticalmente y haga que brillen en el lado del disco giratorio. Se producirá una sombra en una pared cercana y se moverá hacia arriba y hacia abajo. Escriba las ecuaciones del movimiento de la sombra que toma la posición en t = 0,0 s para ser y = 0,0 m con la masa moviéndose en la dirección y positiva. (a) Un reloj novedoso tiene un objeto de 0,0100 kg de masa que rebota sobre un resorte que tiene una constante de fuerza de 1,25 N/m. ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto si este rebota 3,00 cm por encima y por debajo de su posición de equilibrio? b) ¿Cuántos julios de energía cinética tiene el objeto a su velocidad máxima? a. 0,335 m/s; b 5,61 × 10 −4 J El movimiento basculante utiliza la rotación de un motor para producir un movimiento lineal hacia arriba y hacia abajo o hacia adelante y hacia atrás. Así es como funciona una sierra basculante, como se muestra a continuación. Si el motor gira a 60 Hz y tiene un radio de 3,0 cm, calcule la velocidad máxima de la cuchilla de sierra cuando se mueve a la izquierda y a la derecha. Este diseño se conoce como yugo escocés. Un estudiante se sitúa en el borde de un tiovivo que gira cinco veces por minuto y tiene un radio de dos metros una tarde mientras se pone el sol. El estudiante produce una sombra en el edificio cercano. (a) Escriba una ecuación para la posición de la sombra. (b) Escriba una ecuación para la velocidad de la sombra. a. x ( t ) = 2 m cos ( 0,52 s −1 t ) ; b. v ( t ) = ( -1,05 m/s ) sen ( 0,52 s −1 t )

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Péndulos Los péndulos son de uso común. Los relojes de pie utilizan un péndulo para dar la hora, y un péndulo se puede usar para medir la aceleración debido a la gravedad. Para desplazamientos cortos, un péndulo es un oscilador armónico simple. El péndulo simple Un péndulo simple se define por tener una masa puntual, también conocida como masa pendular , la cual está suspendida de una cuerda de longitud L con masa insignificante ( ). En este caso, las únicas fuerzas que actúan sobre la pesa son la fuerza de gravedad (es decir, el peso de la pesa) y la tensión de la cuerda. Se supone que la masa de la cuerda es insignificante en comparación con la masa de la pesa. Un péndulo simple tiene una pesa de pequeño diámetro y una cuerda que tiene una masa muy pequeña pero es lo suficientemente fuerte como para no estirarse de forma apreciable. El desplazamiento lineal desde el equilibrio es s , la longitud del arco. También se muestran las fuerzas sobre la pesa, lo que resulta en una fuerza neta de – m g sen θ hacia la posición de equilibrio, es decir, una fuerza restauradora. Considere el torque en el péndulo. La fuerza que proporciona el torque restaurador es el componente del peso de la masa pendular que actúa a lo largo de la longitud del arco. El torque es la longitud de la cuerda L por el componente de la fuerza neta perpendicular al radio del arco. El signo menos indica que el torque actúa en dirección opuesta al desplazamiento angular: τ = – L ( m g sen θ ) ; I α = – L ( m g sen θ ) ; I d 2 θ d t 2 = – L ( m g sen θ ) ; m L 2 d 2 θ d t 2 = – L ( m g sen θ ) ; d 2 θ d t 2 = – g L sen θ . La solución de esta ecuación diferencial implica un cálculo avanzado, y está fuera del alcance de este texto. Pero tenga en cuenta que para ángulos pequeños (menos de 15 grados), sen θ y θ difieren en menos de un 1 %, por lo que podemos utilizar la aproximación de ángulo pequeño sen θ ≈ θ . El ángulo θ describe la posición del péndulo. El uso de la aproximación de ángulo pequeño da una solución aproximada para ángulos pequeños, d 2 θ d t 2 = – g L θ . Dado que esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación de SHM, la solución es fácil de calcular. La frecuencia angular es ω = g L y el periodo es T = 2 π L g . El periodo de un péndulo simple depende de su longitud y de la aceleración debido a la gravedad. El periodo es completamente independiente de otros factores, como masa y desplazamiento máximo. Como en el caso de los osciladores armónicos simples, el periodo (T) de un péndulo es casi independiente de la amplitud, especialmente si θ es inferior a unos 15 ° . Incluso relojes de péndulo simple se pueden ajustar con precisión y seguir siendo exactos. Note la dependencia de T con respecto a g . Si se conoce con precisión la longitud de un péndulo, se puede utilizar para medir la aceleración debido a la gravedad, como en el siguiente ejemplo. Medición de la aceleración debido a la gravedad mediante el periodo de un péndulo ¿Cuál es la aceleración debido a la gravedad en una región donde un péndulo simple de 75,000 cm de longitud tiene un periodo de 1,7357 s? Estrategia Se nos pide calcular g dado el periodo (T) y la longitud L de un péndulo. Podemos resolver T = 2 π L g para g , suponiendo únicamente que el ángulo de desviación es menor de 15 ° . Solución Cuadrado T = 2 π L g y resuelva para g : g = 4 π 2 L T 2 . Sustituya los valores conocidos en la nueva ecuación: g = 4 π 2 0,75000 m ( 1,7357 s ) 2 . Calcule para hallar g : g = 9,8281 m/s 2 . Importancia Este método para determinar g puede ser muy preciso, por lo que la longitud y el periodo se dan con cinco dígitos en este ejemplo. Para la precisión de la aproximación sen θ ≈ θ para ser mejor que la precisión de la longitud y el periodo del péndulo, el ángulo máximo de desplazamiento debe mantenerse por debajo de 0,5 ° aproximadamente. Un ingeniero construye dos péndulos simples. Ambos están suspendidos de pequeños cables fijados al techo de una habitación. Cada péndulo se sitúa a 2 cm del suelo. El péndulo 1 tiene una pesa con una masa de 10 kg. El péndulo 2 tiene una pesa con una masa de 100 kg. Describa cómo diferirá el movimiento de los péndulos si ambas pesas están desplazadas por 12 ° . El movimiento de los péndulos no diferirá en absoluto porque la masa de la pesa no tiene ningún efecto sobre el movimiento de un péndulo simple. Los péndulos solo se ven afectados por el periodo (el cual está relacionado con la longitud del péndulo) y por la aceleración debido a la gravedad. Péndulo físico Cualquier objeto puede oscilar como un péndulo. Piense en una taza de café colgada en un gancho en la despensa. Si la taza recibe un golpe, oscila de un lado a otro como un péndulo hasta que las oscilaciones se detienen. Hemos descrito un péndulo simple como una masa puntual y una cuerda. Un péndulo físico es cualquier objeto cuyas oscilaciones son similares a las del péndulo simple, pero no se puede modelar como una masa puntual en una cuerda, y la distribución de la masa se debe incluir en la ecuación de movimiento. En cuanto al péndulo simple, la fuerza restauradora del péndulo físico es la fuerza de la gravedad. En el péndulo simple la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de la masa pendular. En el caso del péndulo físico, la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) de un objeto. El objeto oscila alrededor de un punto O . Considere un objeto de forma genérica como el que se muestra en la . Un péndulo físico es cualquier objeto que oscila como un péndulo, pero que no se puede modelar como una masa puntual en una cuerda. La fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) y proporciona la fuerza restauradora que hace que el objeto oscile. El signo menos en el componente del peso que proporciona la fuerza restauradora está presente porque la fuerza actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente θ . Cuando un péndulo físico está colgado de un punto pero es libre de girar, lo hace debido al torque aplicado en el CM, producido por el componente del peso del objeto que actúa tangente al movimiento del CM. Tomando la dirección contraria a las agujas del reloj como positiva, el componente de la fuerza gravitacional que actúa tangente al movimiento es – m g sen θ . El signo menos es el resultado de la fuerza restauradora que actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente. Recuerde que el torque es igual a τ → = r → × F → . La magnitud del torque es igual a la longitud del brazo del radio por el componente tangencial de la fuerza aplicada, | τ | = r F sen θ . Aquí, la longitud L del brazo del radio es la distancia entre el punto de rotación y el CM. Para analizar el movimiento, empiece con el torque neto. Al igual que el péndulo simple, considere solo los ángulos pequeños para que sen θ ≈ θ . Recuerde del capítulo Rotación de eje fijo sobre rotación que el torque neto es igual al momento de inercia I = ∫ r 2 d m por la aceleración angular α , donde α = d 2 θ d t 2 : I α = τ neto = L ( – m g ) sen θ . Al usar la aproximación de ángulo pequeño y reordenar: I α = – L ( m g ) θ ; I d 2 θ d t 2 = – L ( m g ) θ ; d 2 θ d t 2 = – ( m g L I ) θ . Una vez más, la ecuación dice que la segunda derivada temporal de la posición (en este caso, el ángulo) es igual a menos una constante ( – m g L I ) por la posición. La solución es θ ( t ) = Θ cos ( ω t + ϕ ) , donde Θ es el desplazamiento angular máximo. La frecuencia angular es ω = m g L I . Por lo tanto, el periodo es T = 2 π I m g L . Observe que para un péndulo simple, el momento de inercia es I = ∫ r 2 d m = m L 2 y el periodo se reduce a T = 2 π L g . Cómo reducir el vaivén de un rascacielos En condiciones extremas, los rascacielos pueden tener un vaivén de hasta dos metros con una frecuencia de hasta 20,00 Hz debido a vientos fuertes o a actividad sísmica. Varias compañías han desarrollado péndulos físicos que se colocan en lo alto de los rascacielos. Cuando el rascacielos se inclina hacia la derecha, el péndulo lo hace hacia la izquierda, lo que reduce el vaivén. Suponiendo que las oscilaciones tienen una frecuencia de 0,50 Hz, diseñe un péndulo que consista en una viga larga, de densidad constante, con una masa de 100 toneladas métricas y un punto de apoyo en un extremo de la viga. ¿Cuál debería ser la longitud de la viga? Estrategia Se nos pide que hallemos la longitud del péndulo físico con una masa conocida. Primero tenemos que hallar el momento de inercia de la viga. A continuación, podemos utilizar la ecuación del periodo de un péndulo físico para calcular la longitud. Solución Calcule el momento de inercia del CM: Use el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia en torno al punto de rotación I = I CM + L 4 2 M = 1 12 M L 2 + 1 4 M L 2 = 1 3 M L 2 . El periodo de un péndulo físico tiene un periodo de T = 2 π I m g L . Use el momento de inercia para resolver la longitud L : T = 2 π I M g L = 2 π 1 3 M L 2 M g L = 2 π L 3 g ; L = 3 g ( T 2 π ) 2 = 3 ( 9,8 m s 2 ) ( 2 s 2 π ) 2 = 2,98 m . Esta longitud L es desde el centro de masa hasta el eje de rotación, que es la mitad de la longitud del péndulo. Por lo tanto, la longitud H del péndulo es: H = 2 L = 5,96 m Importancia Hay muchas formas de reducir las oscilaciones, entre las que se encuentran modificar la forma de los rascacielos, utilizar varios péndulos físicos y emplear amortiguadores de masa sintonizada. Péndulo de torsión Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido por un cable o resorte ligero ( ). Cuando el cuerpo se retuerce un poco en un pequeño ángulo máximo ( Θ ) y liberado del reposo, el cuerpo oscila entre ( θ = + Θ ) y ( θ = – Θ ) . El torque restaurador es suministrado por el corte de la cuerda o el cable. Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido mediante una cuerda o un cable. El cuerpo rígido oscila entre θ = + Θ y θ = – Θ . El torque restaurador se puede modelar como proporcional al ángulo: τ = – κ θ . La variable kappa ( κ ) se conoce como la constante de torsión del cable o cuerda. El signo menos indica que el torque restaurador actúa en dirección opuesta al aumento del desplazamiento angular. El torque neto es igual al momento de inercia por la aceleración angular: I d 2 θ d t 2 = – κ θ ; d 2 θ d t 2 = – κ I θ . Esta ecuación dice que la segunda derivada temporal de la posición (en este caso, el ángulo) es igual a una constante negativa por la posición. Esto se parece mucho a la ecuación de movimiento del SHM d 2 x d t 2 = – k m x , donde se halló que el periodo era T = 2 π m k . Por lo tanto, el periodo del péndulo de torsión se puede calcular mediante T = 2 π I κ . Las unidades de la constante de torsión son [ κ ] = N – m = ( kg m s 2 ) m = kg m 2 s 2 y las unidades para el momento de inercia son [ I ] = kg – m 2 , que muestran que la unidad del periodo es el segundo. Medición de la constante de torsión de una cuerda Una varilla tiene una longitud de l = 0,30 m y una masa de 4,00 kg. Se fija una cuerda al CM de la varilla y el sistema se cuelga del techo ( ). La varilla se desplaza 10 grados desde la posición de equilibrio y se libera del reposo. La varilla oscila con un periodo de 0,5 s. ¿Cuál es la constante de torsión κ ? (a) Una varilla suspendida del techo mediante una cuerda. (b) Halle el momento de inercia de la varilla. Estrategia Se nos pide que hallemos la constante de torsión de la cuerda. Primero tenemos que hallar el momento de inercia. Solución Calcule el momento de inercia del CM: I CM = ∫ x 2 d m = ∫ – L / 2 + L / 2 x 2 λ d x = λ [ x 3 3 ] – L / 2 + L / 2 = λ 2 L 3 24 = ( M L ) 2 L 3 24 = 1 12 M L 2 . Calcule la constante de torsión mediante la ecuación del periodo: T = 2 π I κ ; κ = I ( 2 π T ) 2 = ( 1 12 M L 2 ) ( 2 π T ) 2 ; = ( 1 12 ( 4,00 kg ) ( 0,30 m ) 2 ) ( 2 π 0,50 s ) 2 = 4,73 N · m . Importancia Al igual que la constante de fuerza del sistema de un bloque y un resorte, cuanto mayor sea la constante de torsión, más corto será el periodo. Resumen Una masa m suspendida por un cable de longitud L y masa insignificante es un péndulo simple y experimenta SHM para amplitudes inferiores a 15 ° . El periodo de un péndulo simple es T = 2 π L g , donde L es la longitud de la cuerda y g es la aceleración debido a la gravedad. El periodo de un péndulo físico T = 2 π I m g L se puede calcular si se conoce el momento de inercia. La longitud entre el punto de rotación y el centro de masa es L . El periodo de un péndulo de torsión T = 2 π I κ se puede calcular si se conoce el momento de inercia y la constante de torsión. Preguntas conceptuales Los relojes de péndulo se hacen funcionar a la velocidad correcta al ajustar la longitud del péndulo. Suponga que usted se traslada de una ciudad a otra donde la aceleración debido a la gravedad es ligeramente mayor y lleva consigo su reloj de péndulo, ¿tendrá que alargar o acortar el péndulo para mantener la hora correcta mientras los demás factores permanecen constantes? Explique su respuesta. Un reloj de péndulo funciona al medir el periodo de un péndulo. En primavera, el reloj funciona con un tiempo perfecto, pero en verano e invierno la longitud del péndulo cambia. Cuando la mayoría de los materiales se calientan, se expanden. ¿El reloj va demasiado rápido o demasiado lento en verano? ¿Y en el invierno? El periodo del péndulo es T = 2 π L / g . En verano, la longitud aumenta y el periodo también. Si el periodo debe ser de un segundo, pero el periodo es mayor de un segundo en el verano, oscilará menos de 60 veces por minuto y el reloj funcionará lentamente. En invierno irá rápido. Mediante un deslizamiento de fase, la posición de un objeto se puede modelar como una función coseno o seno. Si le dieran la opción, ¿qué función elegiría? Suponiendo que el deslizamiento de fase es cero, ¿cuáles son las condiciones iniciales de la función, es decir, la posición, la velocidad y la aceleración iniciales, cuando se utiliza una función senoidal? ¿Y cuándo se utiliza una función coseno? Problemas ¿Cuál es la longitud de un péndulo que tiene un periodo de 0,500 s? Algunas personas piensan que un péndulo con un periodo de 1,00 s se puede impulsar con “energía mental” o psicocinética, ya que su periodo es el mismo que el de un latido de corazón promedio. Cierto o no, ¿cuál es la longitud de dicho péndulo? 24,8 cm ¿Cuál es el periodo de un péndulo de 1,00 m de longitud? ¿Cuánto tiempo tarda un niño en un columpio en hacer un balanceo si su centro de gravedad está a 4,00 m por debajo del apoyo? 4,01 s El péndulo de un reloj cucú mide 5,00 cm de largo. ¿Cuál es su frecuencia? Dos periquitos se sientan en un columpio con sus CM combinados a 10,0 cm por debajo del apoyo. ¿A qué frecuencia se balancean? 1,58 s a) Un péndulo que tiene un periodo de 3,00000 s y que está situado donde la aceleración debido a la gravedad es 9,79 m/s 2 se traslada a un lugar donde la aceleración debido a la gravedad es 9,82 m/s 2 . ¿Cuál es su nuevo periodo? (b) Explique por qué se necesitan tantos dígitos en el valor del periodo, basándose en la relación entre el periodo y la aceleración debido a la gravedad. Un péndulo con un periodo de 2,00000 s en un lugar ( g = 9,80 m/s 2 ) se traslada a una nueva ubicación donde el periodo es ahora de 1,99796 s. ¿Cuál es la aceleración debido a la gravedad en su nueva ubicación? 9,82002 m/s 2 (a) ¿Cuál es el efecto en el periodo de un péndulo si duplicara su longitud? (b) ¿Cuál es el efecto en el periodo de un péndulo si disminuyera su longitud en un 5,00 %? péndulo físico cualquier objeto extendido que se balancee como un péndulo péndulo simple una masa puntual, llamada masa pendular, unida a una cuerda casi sin masa péndulo de torsión cualquier objeto suspendido que oscile mediante la torsión de su suspensión

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Oscilaciones amortiguadas En el mundo real, las oscilaciones pocas veces siguen un verdadero SHM. Algún tipo de fricción suele amortiguar el movimiento, por lo que desaparece o necesita más fuerza para continuar. En esta sección examinamos algunos ejemplos de movimiento armónico amortiguado y vemos cómo modificar las ecuaciones de movimiento para describir este caso más general. Una cuerda de guitarra deja de oscilar unos segundos después de que la puntean. Para seguir balanceándose en un columpio de parque infantil, usted deberá seguir empujando ( ). Aunque, a menudo, podemos hacer que la fricción y otras fuerzas no conservativas sean pequeñas o insignificantes, el movimiento completamente sin amortiguación es poco frecuente. De hecho, es posible que incluso queramos amortiguar las oscilaciones, como ocurre con el sistema de suspensión de los automóviles. Para contrarrestar las fuerzas de amortiguación, usted debe seguir empujando un columpio (créditos: Bob Mical). La muestra una masa m unida a un resorte con una constante de fuerza k . La masa se eleva a una posición A 0 , la amplitud inicial, y luego se libera. La masa oscila alrededor de la posición de equilibrio en un fluido con viscosidad, pero la amplitud disminuye en cada oscilación. Para un sistema que tiene una pequeña cantidad de amortiguación, el periodo y la frecuencia son constantes y son casi los mismos que para SHM, pero la amplitud disminuye gradualmente como se muestra. Esto ocurre porque la fuerza de amortiguación no conservativa elimina energía del sistema, normalmente en forma de energía térmica. Para una masa sobre un resorte que oscila en un fluido viscoso, el periodo permanece constante, pero las amplitudes de las oscilaciones disminuyen debido al amortiguamiento que causa el fluido. Considere las fuerzas que actúan sobre la masa. Note que la única contribución del peso es cambiar la posición de equilibrio, como se ha comentado anteriormente en el capítulo. Por lo tanto, la fuerza neta es igual a la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación ( F D ) . Si la magnitud de la velocidad es pequeña, es decir, la masa oscila lentamente, la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad y actúa contra la dirección del movimiento ( F D = – b v ) . Por lo tanto, la fuerza neta sobre la masa es m a = – b v – k x . Al escribir esto como una ecuación diferencial en x , obtenemos m d 2 x d t 2 + b d x d t + k x = 0 . Para determinar la solución de esta ecuación, considere el trazado de posición versus tiempo que se muestra en la . La curva se asemeja a una curva coseno que oscila en una envoltura de una función exponencial A 0 e – α t donde α = b 2 m . La solución es x ( t ) = A 0 e – b 2 m t cos ( ω t + ϕ ) . Queda como ejercicio demostrar que esta es, de hecho, la solución. Para demostrar que es la solución correcta, se toman la primera y la segunda derivada con respecto al tiempo y se sustituyen en la . Se halla que la es la solución si ω = k m – ( b 2 m ) 2 . Recuerde que la frecuencia angular de una masa que experimenta un SHM es igual a la raíz cuadrada de la constante de fuerza dividida entre la masa. A menudo se denomina frecuencia angular natural , que se representa como ω 0 = k m . La frecuencia angular del movimiento armónico amortiguado se transforma en ω = ω 0 2 – ( b 2 m ) 2 . Posición versus tiempo para la masa que oscila sobre un resorte en un fluido viscoso. Observe que la curva parece ser una función coseno dentro de una envoltura exponencial. Recuerde que cuando comenzamos esta descripción de movimiento armónico amortiguado afirmamos que la amortiguación debe ser pequeña. Se me ocurren dos preguntas. ¿Por qué la amortiguación debe ser pequeña? ¿Y cuán pequeño es lo pequeño? Si usted aumenta gradualmente la cantidad de amortiguación en un sistema, el periodo y la frecuencia empiezan a verse afectados, ya que la amortiguación se opone y, por tanto, ralentiza el movimiento de un lado a otro (la fuerza neta es más pequeña en ambas direcciones). Si la amortiguación es muy grande, el sistema ni siquiera oscila, sino que se mueve lentamente hacia el equilibrio. La frecuencia angular es igual a ω = k m – ( b 2 m ) 2 . A medida que b aumenta, k m – ( b 2 m ) 2 se hace más pequeña y finalmente llega a cero cuando b = 4 m k . Si b se hace más grande, k m – ( b 2 m ) 2 se convierte en un número negativo y k m – ( b 2 m ) 2 es un número complejo. La muestra el desplazamiento de un oscilador armónico para diferentes cantidades de amortiguación. Cuando la constante de amortiguación es pequeña, b < 4 m k , el sistema oscila mientras la amplitud del movimiento decae exponencialmente. Se dice que este sistema está subamortiguado , como en la curva (a). Muchos sistemas están subamortiguados y oscilan mientras la amplitud disminuye exponencialmente, como la masa que oscila sobre un resorte. La amortiguación puede ser muy pequeña, pero finalmente la masa llega a estar en reposo. Si la constante de amortiguación es b = 4 m k , se dice que el sistema está amortiguado críticamente , como en la curva (b). Un ejemplo de sistema amortiguado críticamente es el sistema de suspensión de un automóvil. Es ventajoso que las oscilaciones decaigan lo más rápido posible. En este caso, el sistema no oscila, sino que se aproxima asintóticamente a la condición de equilibrio lo más rápidamente posible. La curva (c) en la representa un sistema sobreamortiguado donde b > 4 m k . Un sistema sobreamortiguado se acercará al equilibrio durante un periodo más largo. La posición versus el tiempo para tres sistemas formados por una masa y un resorte en un fluido viscoso. (a) Si la amortiguación es pequeña ( b < 4 m k ) , la masa oscila, y pierde lentamente la amplitud a medida que la energía es disipada por las fuerzas no conservativas. El caso límite es (b) donde la amortiguación es ( b = 4 m k ) . (c) Si la amortiguación es muy grande ( b > 4 m k ) , la masa no oscila cuando se desplaza, sino que intenta volver a la posición de equilibrio. A menudo se desea una amortiguación crítica, ya que un sistema de este tipo vuelve al equilibrio rápidamente y se mantiene allí. Además, una fuerza constante aplicada a un sistema amortiguado críticamente mueve el sistema a una nueva posición de equilibrio en el menor tiempo posible sin sobrepasar ni oscilar sobre la nueva posición. ¿Por qué son tan poco comunes los osciladores armónicos completamente no amortiguados? La fricción suele entrar en juego cuando un objeto se mueve. La fricción provoca amortiguación en un oscilador armónico. Resumen Los osciladores armónicos amortiguados tienen fuerzas no conservativas que disipan su energía. La amortiguación crítica devuelve el sistema al equilibrio lo más rápido posible sin sobrepasarlo. Un sistema subamortiguado oscilará a través de la posición de equilibrio. Un sistema sobreamortiguado se mueve más lentamente hacia el equilibrio que uno amortiguado críticamente. Preguntas conceptuales Dé un ejemplo de un oscilador armónico amortiguado (son más comunes que los osciladores no amortiguados o los osciladores armónicos simples). Sistema de suspensión de un automóvil. ¿Cómo rebotaría un automóvil tras un golpe en cada una de estas condiciones? (a) sobreamortiguación (b) subamortiguación c) amortiguación crítica La mayoría de los osciladores armónicos están amortiguados y, si no son accionados, acaban por detenerse. ¿Por qué? La segunda ley de la termodinámica establece que las máquinas de movimiento perpetuo son imposibles. Finalmente, el movimiento ordenado del sistema disminuye y vuelve al equilibrio. Problemas La amplitud de un oscilador ligeramente amortiguado disminuye en 3,0 % durante cada ciclo. ¿Qué porcentaje de la energía mecánica del oscilador se pierde en cada ciclo? 6 % amortiguado críticamente condición en la que la amortiguación de un oscilador hace que vuelva lo más rápidamente posible a su posición de equilibrio sin oscilar hacia adelante y hacia atrás en torno a esta posición frecuencia angular natural frecuencia angular de un sistema que oscila en SHM sobreamortiguado condición en la que la amortiguación de un oscilador hace que vuelva al equilibrio sin oscilar; el oscilador se mueve más lentamente hacia el equilibrio que en el sistema amortiguado críticamente subamortiguado condición en la que la amortiguación de un oscilador hace que la amplitud de las oscilaciones de un oscilador armónico amortiguado disminuya con el tiempo, acercándose finalmente a cero

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Oscilaciones forzadas Siéntese alguna vez delante de un piano y cante una breve nota fuerte con los apagadores fuera de sus cuerdas ( ). Le devolverá la misma nota: las cuerdas, que tienen las mismas frecuencias que su voz, están resonando en respuesta a las fuerzas de las ondas sonoras que les envió. Este es un buen ejemplo del hecho de que los objetos —en este caso, las cuerdas del piano— se pueden forzar a oscilar, y oscilan más fácilmente en su frecuencia natural. En esta sección exploramos brevemente la aplicación de una fuerza impulsora periódica que actúa sobre un oscilador armónico simple. La fuerza impulsora introduce energía en el sistema a una determinada frecuencia, que no es necesariamente la misma que la frecuencia natural del sistema. Recuerde que la frecuencia natural es la frecuencia a la que oscilaría un sistema si no hubiera ninguna fuerza impulsora ni amortiguadora. Puede hacer vibrar las cuerdas de un piano simplemente produciendo ondas sonoras con su voz (créditos: Matt Billings). La mayoría de nosotros se ha entretenido con juguetes que implican un objeto apoyado en una banda elástica, algo así como la pelota de pádel suspendida de un dedo en la . Imagine que el dedo de la figura es su dedo. Al principio, mantiene el dedo firme y la pelota rebota hacia arriba y hacia abajo con una pequeña amortiguación. Si mueve el dedo hacia arriba y hacia abajo lentamente, la pelota sigue sin rebotar mucho por sí sola. A medida que se aumenta la frecuencia con la que mueva el dedo hacia arriba y hacia abajo, la pelota responde oscilando con una amplitud cada vez mayor. Cuando impulsa la pelota a su frecuencia natural, las oscilaciones de la pelota aumentan en amplitud con cada oscilación durante el tiempo que usted la impulsa. El fenómeno de impulsar un sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural se llama resonancia . Se dice que un sistema que se mueve a su frecuencia natural resuena . A medida que la frecuencia de impulso es progresivamente más alta que la frecuencia de resonancia o natural, la amplitud de las oscilaciones se hace más pequeña hasta que las oscilaciones casi desaparecen, y su dedo, simplemente, se mueve hacia arriba y hacia abajo con poco efecto sobre la pelota. La pelota de pádel en su banda elástica se mueve en respuesta al dedo que la sostiene. Si el dedo se mueve con la frecuencia natural f 0 de la pelota en la banda elástica, entonces se alcanza una resonancia, y la amplitud de las oscilaciones de la pelota aumenta drásticamente. A frecuencias de impulso más altas y más bajas, la energía se transfiere a la pelota con menos eficacia, y esta responde con oscilaciones de menor amplitud. Considere un simple experimento. Sujete una masa m a un resorte en un fluido viscoso, de forma similar al aparato comentado en el oscilador armónico amortiguado. Esta vez, en vez de fijar el extremo libre del resorte, sujete el extremo libre a un disco impulsado por un motor de velocidad variable. El motor gira con una frecuencia de impulso angular de ω . El disco giratorio proporciona energía al sistema por el trabajo hecho por la fuerza impulsora ( F d = F 0 sen ( ω t ) ) . El aparato experimental se muestra en la . Movimiento armónico amortiguado y forzado producido por el impulso de un resorte y una masa con un disco impulsado por un motor de velocidad variable. Al usar la segunda ley de Newton ( F → neta = m a → ) , podemos analizar el movimiento de la masa. La ecuación resultante es similar a la ecuación de fuerza para el oscilador armónico amortiguado, con la adición de la fuerza impulsora: – k x – b d x d t + F 0 sen ( ω t ) = m d 2 x d t 2 . Cuando se fuerza un oscilador con una fuerza impulsora periódica, el movimiento puede parecer caótico. Los movimientos del oscilador se conocen como transitorios. Una vez que los transitorios desaparecen, el oscilador alcanza un estado estable, en el que el movimiento es periódico. Después de algún tiempo, la solución en estado estable de esta ecuación diferencial es x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Una vez más, se deja como ejercicio demostrar que esta ecuación es una solución. Tomando la primera y la segunda derivada temporal de x (t ) y sustituyéndolas en la ecuación de fuerza se observa que x ( t ) = A sen ( ω t + ϕ ) es una solución siempre que la amplitud sea igual a A = F 0 m 2 ( ω 2 – ω 0 2 ) 2 + b 2 ω 2 donde ω 0 = k m es la frecuencia angular de la fuerza impulsora. Recuerde que la frecuencia angular, y por tanto la frecuencia, del motor se puede ajustar. Al observar el denominador de la ecuación de la amplitud, cuando la frecuencia de impulso es mucho menor, o mucho mayor, que la frecuencia natural, el cuadrado de la diferencia de las dos frecuencias angulares ( ω 2 – ω 0 2 ) 2 es positivo y grande, lo que hace que el denominador sea grande, y el resultado es una pequeña amplitud para las oscilaciones de la masa. A medida que la frecuencia de la fuerza impulsora se acerca a la frecuencia natural del sistema, el denominador se hace pequeño y la amplitud de las oscilaciones se hace grande. La amplitud máxima se genera cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del sistema ( A máx. = F 0 b ω ) . La muestra un gráfico de la amplitud de un oscilador armónico amortiguado como función de la frecuencia de la fuerza periódica que lo impulsa. Cada una de las tres curvas del gráfico representa una cantidad diferente de amortiguación. Las tres curvas alcanzan su pico en el punto en el que la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador armónico. El pico más alto, o la mayor respuesta, es para la menor cantidad de amortiguación, ya que se elimina menos energía por la fuerza de amortiguación. Observe que, dado que la amplitud crece a medida que disminuye la amortiguación, y al llevar esto al límite en el que no hay amortiguación ( b = 0 ) , la amplitud se vuelve infinita. Tenga en cuenta que una fuerza impulsora de pequeña amplitud puede producir una respuesta de gran amplitud. Este fenómeno se conoce como resonancia. Un ejemplo común de resonancia es el de un padre que empuja a un niño pequeño en un columpio. Cuando el niño quiere ir más alto, el padre no retrocede y entonces, tomando carrerilla, se abalanza sobre el niño y aplica una gran fuerza en un corto intervalo. En cambio, el padre aplica pequeños empujones al niño con la frecuencia adecuada, y la amplitud de los balanceos del niño aumenta. Amplitud de un oscilador armónico como una función de la frecuencia de la fuerza impulsora. Las curvas representan el mismo oscilador con la misma frecuencia natural, pero con diferentes cantidades de amortiguación. La resonancia se produce cuando la frecuencia de impulso es igual a la frecuencia natural, y la mayor respuesta es para la menor cantidad de amortiguación. La respuesta más estrecha es también para la menor amortiguación. Es interesante observar que las anchuras de las curvas de resonancia mostradas en la dependen de la amortiguación: cuanto menos amortiguación, más estrecha es la resonancia. La consecuencia es que si quiere que un oscilador impulsado resuene a una frecuencia muy específica, necesitará la menor amortiguación posible. Por ejemplo, una radio tiene un circuito que se utiliza para elegir una determinada emisora de radio. En este caso, el oscilador amortiguado forzado consiste en un resistor, un condensador y un inductor, lo cual se analizará más adelante en este curso. El circuito se “sintoniza” para elegir una emisora de radio específica. Aquí es deseable que la curva de resonancia sea muy estrecha, para captar la frecuencia exacta de la emisora elegida. La estrechez del gráfico, y la capacidad de elegir una determinada frecuencia, se conoce como la calidad del sistema. La calidad se define como la dispersión de la frecuencia angular, o lo que es lo mismo, la dispersión en la frecuencia, a la mitad de la amplitud máxima, dividida entre la frecuencia natural ( Q = ω 0 Δ ω ) como se muestra en la . Para una pequeña amortiguación, la calidad es, aproximadamente, igual a Q ≈ 2 b m . La calidad de un sistema se define como la dispersión de las frecuencias a la mitad de la amplitud dividida entre la frecuencia natural. Estas características de los osciladores armónicos impulsados se aplican a una enorme variedad de sistemas. Por ejemplo, la imagen de resonancia magnética (IRM) es una herramienta de diagnóstico médico muy utilizada en la que se hace resonar núcleos atómicos (principalmente núcleos de hidrógeno o protones) mediante ondas de radio entrantes (en el orden de 100 MHz). En todos estos casos, la eficacia de la transferencia de energía de la fuerza impulsora al oscilador es mejor en la resonancia. En la se muestra la pasarela London Millennium que permite a los peatones cruzar el río Támesis en Londres. Este puente recibió el apodo de “wobbly bridge” (puente tambaleante) cuando los peatones experimentaban movimientos de vaivén al cruzarlo. El puente estuvo cerrado durante unos dos años para eliminar este movimiento. Al principio, cuando la gente cruzaba la pasarela London Millennium experimentaba un movimiento de vaivén. El hecho de que las personas sigan cruzando reforzó la amplitud de la oscilación, lo que aumentó el problemático vaivén (créditos: Adrian Pingstone/Wikimedia Commons). Un famoso truco de magia consiste en que un artista canta una nota hacia una copa de cristal hasta que esta se rompe. Explique por qué el truco funciona en términos de resonancia y frecuencia natural. El intérprete debe cantar una nota que corresponda a la frecuencia natural de la copa. Cuando la onda sonora se dirige a la copa, esta responde resonando a la misma frecuencia que la onda sonora. Si se introduce suficiente energía en el sistema, la copa empieza a vibrar y acaba por romperse. Resumen La frecuencia natural de un sistema es la frecuencia a la que el sistema oscila si no se ve afectado por fuerzas impulsoras o amortiguadoras. Una fuerza periódica que impulsa un oscilador armónico a su frecuencia natural produce resonancia. Se dice que el sistema resuena. Cuanto menos amortiguación tenga un sistema, mayor será la amplitud de las oscilaciones forzadas cerca de la resonancia. Cuanto más amortiguación tenga un sistema, más amplia será su respuesta a las distintas frecuencias de impulso. Ecuaciones clave Relación entre frecuencia y periodo f = 1 T Posición en SHM con ϕ = 0,00 x ( t ) = A cos ( ω t ) Posición general en SHM x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) Velocidad general en SHM v ( t ) = – A ω sen ( ω t + ϕ ) Aceleración general en SHM a ( t ) = – A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) Desplazamiento máximo (amplitud) del SHM x máx. = A Velocidad máxima de SHM | v máx. | = A ω Aceleración máxima de SHM | a máx. | = A ω 2 Frecuencia angular de un sistema masa-resorte en SHM ω = k m Periodo de un sistema masa-resorte en SHM T = 2 π m k Frecuencia de un sistema masa-resorte en SHM f = 1 2 π k m Energía en un sistema masa-resorte en SHM E Total = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2 La velocidad de la masa en un sistema resorte-masa en SHM v = ± k m ( A 2 – x 2 ) El componente x del radio de un disco giratorio x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) El componente x de la velocidad del borde de un disco giratorio v ( t ) = – v máx. sen ( ω t + ϕ ) El componente x de la aceleración del borde de un disco giratorio a ( t ) = – a máx. cos ( ω t + ϕ ) Ecuación de fuerza para un péndulo simple d 2 θ d t 2 = – g L θ Frecuencia angular de un péndulo simple ω = g L Periodo de un péndulo simple T = 2 π L g Frecuencia angular de un péndulo físico ω = m g L I Periodo de un péndulo físico T = 2 π I m g L Periodo de un péndulo de torsión T = 2 π I κ Segunda ley de Newton para el movimiento armónico m d 2 x d t 2 + b d x d t + k x = 0 Solución para un movimiento armónico subamortiguado x ( t ) = A 0 e – b 2 m t cos ( ω t + ϕ ) Frecuencia angular natural de un sistema masa-resorte ω 0 = k m Frecuencia angular del movimiento armónico subamortiguado ω = ω 0 2 – ( b 2 m ) 2 Segunda ley de Newton para una oscilación forzada y amortiguada – k x – b d x d t + F o sen ( ω t ) = m d 2 x d t 2 Solución de la segunda ley de Newton para oscilaciones forzadas y amortiguadas x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) Amplitud del sistema que experimenta oscilaciones forzadas y amortiguadas A = F o m 2 ( ω 2 – ω o 2 ) 2 + b 2 ω 2 Preguntas conceptuales ¿Por qué se ordena a los soldados, en general, que den un “paso en ruta” (que se salgan del paso) al cruzar un puente? ¿Cree que hay algún movimiento armónico en el mundo físico que no sea un movimiento armónico amortiguado? Intente hacer una lista de cinco ejemplos de movimiento armónico no amortiguado y de movimiento armónico amortiguado. ¿Qué lista fue más fácil de hacer? Todo movimiento armónico es un movimiento armónico amortiguado, pero la amortiguación puede ser insignificante. Esto se debe a las fuerzas de fricción y arrastre. Es fácil calcular cinco ejemplos de movimiento amortiguado: (1) Una masa que oscila sobre un resorte (al final llega al reposo). (2) El sistema de suspensión de un automóvil (por suerte, también llegan a estar en reposo). (3) Un péndulo es un reloj de pie (se añaden pesos para añadir energía a las oscilaciones). (4) Un niño en un columpio (al final se queda parado, a menos que se añada energía empujándolo). (5) Una canica rodando en un bol (al final se detiene). En cuanto al movimiento no amortiguado, incluso una masa sobre un resorte en el vacío acabará por llegar al reposo debido a las fuerzas internas del resorte. La amortiguación puede ser insignificante, pero no puede eliminarse. Algunos ingenieros utilizan el sonido para diagnosticar problemas de desempeño de motores de automóviles. En ocasiones, se diseña una pieza del motor que resuena a la frecuencia de este. Las oscilaciones no deseadas pueden provocar ruidos que irriten al conductor o pueden hacer que la pieza falle prematuramente. En un caso, se localizó una pieza que tenía una longitud L hecha de un material con una masa M . ¿Qué se puede hacer para corregir este problema? Problemas ¿Cuánta energía debe disipar el sistema de suspensión de un automóvil de 1.200 kg para amortiguar un rebote que inicialmente tiene una velocidad de 0,800 m/s en la posición de equilibrio? Suponga que el automóvil vuelve a su posición vertical original. Si un automóvil tiene un sistema de suspensión con una constante de fuerza de 5,00 × 10 4 N/m , ¿cuánta energía debe eliminar el sistema de suspensión del automóvil para amortiguar una oscilación que comienza con un desplazamiento máximo de 0,0750 m? 141 J (a) ¿Cuánto se estirará un resorte que tiene una constante de fuerza de 40,0 N/m por un objeto con una masa de 0,500 kg cuando se cuelga inmóvil del resorte? (b) Calcule la disminución de la energía potencial gravitacional del objeto de 0,500 kg cuando desciende esta distancia. (c) Parte de esta energía gravitacional va al resorte. Calcule la energía almacenada en el resorte por este estiramiento y compárela con la energía potencial gravitacional. Explique a dónde puede ir el resto de la energía. Suponga que tiene un objeto de 0,750 kg en una superficie horizontal conectado a un resorte que tiene una constante de fuerza de 150 N/m. Hay una fricción simple entre el objeto y la superficie con un coeficiente de fricción estática μ s = 0,100 . (a) ¿Hasta dónde puede estirarse el resorte sin que se mueva la masa? (b) Si el objeto se pone en oscilación con una amplitud dos veces superior a la distancia hallada en la parte (a), y el coeficiente cinético de fricción es μ k = 0,0850 , ¿qué distancia total recorre antes de detenerse? Suponga que comienza en la máxima amplitud. a. 4,90 × 10 −3 m ; b. 1,15 × 10 −2 m Problemas adicionales Suponga que fijara un objeto de masa m a un resorte vertical originalmente en reposo y lo deja rebotar hacia arriba y hacia abajo. Usted suelta el objeto desde el reposo hasta la longitud de reposo original del resorte, la longitud del resorte en equilibrio, sin la masa unida. La amplitud del movimiento es la distancia entre la posición de equilibrio del resorte sin la masa unida y la posición de equilibrio del resorte con la masa unida. (a) Demuestre que el resorte ejerce una fuerza ascendente de 2,00 mg sobre el objeto en su punto más bajo. (b) Si el resorte tiene una constante de fuerza de 10,0 N/m, está colgado horizontalmente y la posición del extremo libre del resorte está marcada como y = 0,0 0 m , ¿dónde está la nueva posición de equilibrio si se cuelga del resorte un objeto de 0,25 kg de masa? (c) Si el resorte tiene una constante de fuerza de 10,0 N/m y se pone en movimiento un objeto de 0,25 kg de masa como se ha descrito, calcule la amplitud de las oscilaciones. (d) Calcule la velocidad máxima. Un buceador en un trampolín experimenta un SHM. Su masa es de 55,0 kg y el periodo de su movimiento es de 0,800 s. El siguiente buceador es un hombre cuyo periodo de oscilación armónica simple es de 1,05 s. ¿Cuál es su masa si la masa de la tabla es insignificante? 94,7 kg Suponga que un trampolín sin nadie encima rebota en un SHM con una frecuencia de 4,00 Hz. El trampolín tiene una masa efectiva de 10,0 kg. ¿Cuál es la frecuencia del SHM de un buceador de 75,0 kg en el trampolín? El dispositivo que se muestra en la siguiente figura entretiene a los bebés al tiempo que evita que deambulen. El niño rebota en un arnés suspendido del marco de una puerta por un resorte. (a) Si el resorte se estira 0,250 m mientras soporta a un niño de 8,0 kg, ¿cuál es su constante de fuerza? (b) ¿Cuál es el tiempo para un rebote completo de este niño? (c) ¿Cuál es la velocidad máxima del niño si la amplitud de su rebote es de 0,200 m? (créditos: Lisa Doehnert). a. 314 N/m; b. 1,00 s; c. 1,25 m/s Se coloca una masa en una mesa horizontal sin fricción. Un resorte ( k = 100 N/m ) , el cual se puede estirar o comprimir, se coloca en la mesa. Una masa de 5,00 kg está unida a un extremo del resorte y el otro extremo se ancla a la pared. La posición de equilibrio está marcada en cero. Un estudiante mueve la masa hacia afuera para x = 4,00 cm y lo libera del reposo. La masa oscila en SHM. (a) Determine las ecuaciones del movimiento. (b) Calcule la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el tiempo t = 3,00 s . Calcule la relación entre los periodos nuevo y viejo de un péndulo si este fuera transportado desde la Tierra hasta la Luna, donde la aceleración debido a la gravedad es 1,63 m/s 2 . relación de 2,45 ¿A qué velocidad funcionará un reloj de péndulo en la Luna, donde la aceleración debido a la gravedad es 1,63 m/s 2 , si mantiene la hora con precisión en la Tierra? Es decir, hallar el tiempo (en horas) que tarda la aguja horaria del reloj en dar una vuelta a la Luna. Si un reloj de péndulo gana 5,00 s/día, ¿qué cambio fraccionario en la longitud del péndulo se debe hacer para que mantenga la hora perfecta? La longitud debe aumentar un 0,0116 %. Un objeto de 2,00 kg cuelga, en reposo, de una cuerda de 1,00 m de longitud sujeta al techo. Una masa de 100 g se dispara con una velocidad de 20 m/s contra la masa de 2,00 kg, y la masa de 100,00 g colisiona perfectamente de forma elástica con la masa de 2,00 kg. Escriba una ecuación para el movimiento de la masa colgante después de la colisión. Suponga que la resistencia del aire es insignificante. Un objeto de 2,00 kg cuelga, en reposo, de una cuerda de 1,00 m de longitud sujeta al techo. Un objeto de 100 g se dispara con una velocidad de 20 m/s contra el objeto de 2,00 kg, y los dos objetos chocan y se pegan en una colisión totalmente inelástica. Escriba una ecuación para el movimiento del sistema después de la colisión. Suponga que la resistencia del aire es insignificante. θ = ( 0,31 rad ) sen ( 3,13 s −1 t ) Suponga que un péndulo utilizado para accionar un reloj de pie tiene una longitud L 0 = 1,00 m y una masa M a la temperatura T = 20,00 ° C . Se puede modelar como un péndulo físico, como una varilla que oscila alrededor de un extremo. ¿En qué porcentaje cambiará el periodo si la temperatura aumenta en 10 ° C ? Suponga que la longitud de la varilla cambia linealmente con la temperatura, donde L = L 0 ( 1 + α Δ T ) y la varilla es de latón ( α = 18 × 10 −6 ° C −1 ) . Un bloque de 2,00 kg está en reposo sobre una mesa sin fricción. Un resorte, con una constante de resorte de 100 N/m, se fija a la pared y al bloque. Un segundo bloque de 0,50 kg se coloca encima del primer bloque. El bloque de 2,00 kg se hala suavemente hasta una posición x = + A y se libera del reposo. Hay un coeficiente de fricción de 0,45 entre los dos bloques. (a) ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones? (b) ¿Cuál es la mayor amplitud de movimiento que permitirá que los bloques oscilen sin que el bloque de 0,50 kg se deslice? a. 0,99 s; b. 0,11 m Problemas de desafío Un puente colgante oscila con una constante de fuerza efectiva de 1,00 × 10 8 N/m . (a) ¿Cuánta energía se necesita para hacerlo oscilar con una amplitud de 0,100 m? (b) Si los soldados marchan por el puente con una cadencia igual a la frecuencia natural del puente e imparten 1,00 × 10 4 J de energía cada segundo, ¿cuánto tiempo tardan las oscilaciones del puente en pasar de 0,100 m a 0,500 m de amplitud? Cerca de la cima del edificio Citigroup Center en la ciudad de Nueva York hay un objeto con masa de 4,00 × 10 5 kg en resortes que tienen constantes de fuerza ajustables. Su función es amortiguar las oscilaciones del edificio provocadas por el viento mediante la oscilación a la misma frecuencia con la que se impulsa el edificio: la fuerza impulsora se transfiere al objeto, el cual oscila en vez de que lo haga todo el edificio. (a) ¿Qué constante de fuerza efectiva deben tener los resortes para que el objeto oscile con un periodo de 2,00 s? (b) ¿Qué energía se almacena en los resortes para un desplazamiento de 2,00 m desde el equilibrio? a. 3,95 × 10 6 N/m ; b. 7,90 × 10 6 J Las parcelas de aire (pequeños volúmenes de aire) en una atmósfera estable (en la que la temperatura aumenta con la altura) pueden oscilar hacia arriba y hacia abajo debido a la fuerza restauradora proporcionada por la flotabilidad de la parcela de aire. La frecuencia de las oscilaciones es una medida de la estabilidad de la atmósfera. Al asumir que la aceleración de una parcela de aire se puede modelar como ∂ 2 z ′ ∂ t 2 = g ρ o ∂ ρ ( z ) ∂ z z ′ , demuestre que z ′ = z 0 ′ e t – N 2 es una solución, donde N se conoce como la frecuencia de Brunt-Väisälä. Observe que en una atmósfera estable la densidad disminuye con la altura y la parcela oscila hacia arriba y hacia abajo. Considere el potencial de van der Waals U ( r ) = U o [ ( R o r ) 12 – 2 ( R o r ) 6 ] , utilizado para modelar la función de energía potencial de dos moléculas, donde el potencial mínimo está en r = R o . Calcule la fuerza como una función de r . Considere un pequeño desplazamiento r = R o + r ′ y use el teorema del binomio: ( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n – 1 ) 2 ! x 2 + n ( n – 1 ) ( n – 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ , para demostrar que la fuerza se aproxima a la ley de Hooke. F ≈ – constante r ′ Suponga que la longitud del péndulo de un reloj se modifica en un 1,000 %, exactamente al mediodía de un día. ¿Qué hora marcará el reloj 24,00 horas más tarde, suponiendo que el péndulo haya mantenido la hora perfecta antes del cambio? Tenga en cuenta que hay dos respuestas, y haga el cálculo con una precisión de cuatro dígitos. (a) Los resortes de una camioneta actúan como un solo resorte con una constante de fuerza de 1,30 × 10 5 N/m . ¿Cuánto bajará la camioneta con su carga máxima de 1.000 kg? (b) Si la camioneta tiene cuatro resortes idénticos, ¿cuál es la constante de fuerza de cada uno? a. 7,54 cm; b 3,25 × 10 4 N/m resonancia oscilaciones de gran amplitud en un sistema producidas por una fuerza impulsora de pequeña amplitud, la cual tiene una frecuencia igual a la frecuencia natural

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Introducción Del mundo de las energías renovables surge la boya generadora de potencia eléctrica. Aunque hay muchas versiones, esta convierte el movimiento hacia arriba y hacia abajo, así como el movimiento de un lado a otro, de la boya en movimiento de rotación para hacer girar un generador eléctrico, el cual almacena la energía en baterías. En este capítulo estudiamos la física del movimiento de onda. Nos centramos en ondas mecánicas, las cuales son alteraciones que se desplazan por un medio como el aire o el agua. Al igual que el movimiento armónico simple estudiado en el capítulo anterior, la energía transferida a través del medio es proporcional a la amplitud al cuadrado. Las ondas superficiales en el océano son ondas transversales en las que la energía de la onda se desplaza horizontalmente mientras el agua oscila hacia arriba y hacia abajo debido a alguna fuerza restauradora. En la imagen de arriba, se utiliza una boya para convertir la impresionante potencia de las ondas del mar en electricidad. El movimiento hacia arriba y hacia abajo de la boya que se genera al paso de las ondas se convierte en un movimiento de rotación que hace girar un rotor en un generador eléctrico. El generador carga baterías, que a su vez se utilizan para proporcionar una fuente de energía constante al usuario final. Este modelo fue probado con éxito por la Armada de EE. UU. en un proyecto para suministrar energía a las redes de seguridad costera y fue capaz de proporcionar una potencia media de 350 W. La boya sobrevivió al difícil ambiente oceánico, incluida la operación frente a la costa de Nueva Jersey durante el huracán Irene en 2011. Los conceptos presentados en este capítulo serán la base de muchos temas interesantes, desde la transmisión de información hasta los conceptos de mecánica cuántica.

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