Superficies Equipotenciales y Conductores Podemos representar los potenciales eléctricos (voltajes) de forma pictórica, al igual que hicimos dibujos para ilustrar los campos eléctricos. Esto no es sorprendente, ya que ambos conceptos están relacionados. Consideremos la , que muestra una carga puntual positiva aislada y sus líneas de campo eléctrico que irradian desde una carga positiva y terminan en cargas negativas. Utilizamos flechas rojas para representar la magnitud y la dirección del campo eléctrico, y utilizamos líneas negras para representar los lugares donde el potencial eléctrico es constante. Se denominan superficies equipotenciales en tres dimensiones, o líneas equipotenciales en dos dimensiones. El término equipotencial también se utiliza como sustantivo, refiriéndose a una superficie o línea equipotencial. El potencial de una carga puntual es el mismo en cualquier lugar de una esfera imaginaria de radio r que rodea a la carga. Esto es cierto porque el potencial de una carga puntual viene dado por V = k q / r y, por tanto, tiene el mismo valor en cualquier punto que esté a una determinada distancia r de la carga. Una esfera equipotencial es un círculo en la vista bidimensional de la . Como las líneas de campo eléctrico apuntan radialmente lejos de la carga, son perpendiculares a las líneas equipotenciales. Una carga puntual aislada Q con sus líneas de campo eléctrico en rojo y las líneas equipotenciales en negro. El potencial es el mismo a lo largo de cada línea equipotencial, lo que significa que no se requiere ningún trabajo para mover una carga en cualquier lugar a lo largo de una de esas líneas. Se necesita trabajo para mover una carga de una línea equipotencial a otra. Las líneas equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico en todos los casos. Para una versión tridimensional, explore el primer enlace multimedia. Es importante señalar que las líneas equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico . No se requiere ningún trabajo para mover una carga a lo largo de un equipotencial, ya que Δ V = 0 . Así, el trabajo es W = − Δ U = − q Δ V = 0 . El trabajo es cero si la dirección de la fuerza es perpendicular al desplazamiento. La fuerza está en la misma dirección que E , por lo que el movimiento a lo largo de un equipotencial debe ser perpendicular a E . Más precisamente, el trabajo está relacionado con el campo eléctrico por W = F → ⋅ d → = q E → ⋅ d → = q E d cos θ = 0 . Observe que en esta ecuación, E y F simbolizan las magnitudes del campo eléctrico y la fuerza, respectivamente. Ni q ni E son cero; d tampoco es cero. Así que cos θ debe ser 0, es decir θ debe ser 90 º . En otras palabras, el movimiento a lo largo de un equipotencial es perpendicular a E . Una de las reglas para los campos eléctricos estáticos y los conductores es que el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie de cualquier conductor. Esto implica que un conductor es una superficie equipotencial en situaciones estáticas . No puede haber una diferencia de voltaje a través de la superficie de un conductor, o las cargas fluirán. Uno de los usos de este hecho es que un conductor puede fijarse en lo que consideramos cero voltios conectándolo a la tierra con un buen conductor, un proceso que se llama puesta a tierra . La puesta a tierra puede ser una herramienta de seguridad útil. Por ejemplo, la puesta a tierra de la capa de metal de un aparato eléctrico garantiza que esté a cero voltios con respecto a la Tierra. Como un conductor es un equipotencial, puede sustituir a cualquier superficie equipotencial. Por ejemplo, en la , un conductor esférico cargado puede sustituir a la carga puntual, y el campo eléctrico y las superficies de potencial fuera de él no cambiarán, confirmando la afirmación de que una distribución de carga esférica es equivalente a una carga puntual en su centro. La muestra el campo eléctrico y las líneas equipotenciales para dos cargas iguales y opuestas. Dadas las líneas de campo eléctrico, las líneas equipotenciales se pueden trazar simplemente haciéndolas perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. A la inversa, dadas las líneas equipotenciales, como en la (a), las líneas de campo eléctrico pueden dibujarse haciéndolas perpendiculares a los equipotenciales, como en la (b). Las líneas de campo eléctrico y las líneas equipotenciales para dos cargas iguales pero opuestas. Las líneas equipotenciales se pueden dibujar haciéndolas perpendiculares a las líneas de campo eléctrico, si se conocen. Observe que el potencial es mayor (más positivo) cerca de la carga positiva y menor (más negativo) cerca de la carga negativa. Para una versión tridimensional, explore el primer enlace multimedia. (a) Estas líneas equipotenciales podrían medirse con un voltímetro en un experimento de laboratorio. (b) Las líneas de campo eléctrico correspondientes se encuentran dibujándolas perpendicularmente a los equipotenciales. Observe que estos campos son consistentes con dos cargas negativas iguales. Para una versión tridimensional, juegue con el primer enlace multimedia. Para mejorar su intuición, mostramos una variante tridimensional del potencial en un sistema con dos cargas opuestas. La muestra un mapa tridimensional del potencial eléctrico, donde las líneas del mapa corresponden a superficies equipotenciales. La colina está en la carga positiva, y la depresión en la carga negativa. El potencial es cero lejos de las cargas. Observe que el corte a un determinado potencial implica que las cargas están en esferas conductoras de radio finito. Mapa de potencial eléctrico de dos cargas opuestas de igual magnitud en esferas conductoras. El potencial es negativo cerca de la carga negativa y positivo cerca de la carga positiva. En la se muestra un mapa bidimensional del plano de la sección transversal que contiene ambas cargas. La línea equdistante de las dos cargas opuestas corresponde al potencial cero, ya que en los puntos de la línea, el potencial positivo de la carga positiva anula el potencial negativo de la carga negativa. Las líneas equipotenciales en el plano transversal son bucles cerrados, que no son necesariamente círculos, ya que en cada punto, el potencial neto es la suma de los potenciales de cada carga. Sección transversal del mapa de potencial eléctrico de dos cargas opuestas de igual magnitud. El potencial es negativo cerca de la carga negativa y positivo cerca de la carga positiva. Vea esta simulación para observar y modificar las superficies equipotenciales y los campos eléctricos para muchas configuraciones de carga estándar. Hay mucho que explorar. Uno de los casos más importantes es el de las conocidas placas conductoras paralelas que se muestran en la . Entre las placas, los equipotenciales están uniformemente espaciados y paralelos. Se podría mantener el mismo campo colocando placas conductoras en las líneas equipotenciales a los potenciales indicados. El campo eléctrico y las líneas equipotenciales entre dos placas de metal. Observe que el campo eléctrico es perpendicular a los equipotenciales y, por tanto, normal a las placas tanto en su superficie como en el centro de la región entre ellas. Consideremos las placas paralelas en la . Estas tienen líneas equipotenciales que son paralelas a las placas en el espacio entre ellas y uniformemente espaciadas. Un ejemplo de ello (con valores de muestra) se ofrece en la . Podríamos dibujar un conjunto similar de isolíneas equipotenciales para la gravedad en la colina que se muestra en la . Si la colina tiene alguna extensión con la misma pendiente, las isolíneas a lo largo de esa extensión serían paralelas entre sí. Además, en las regiones de pendiente constante, las isolíneas estarían espaciadas uniformemente. Un ejemplo de líneas topográficas reales se muestra en la . Un mapa topográfico a lo largo de una cresta tiene líneas de elevación aproximadamente paralelas, similares a las líneas equipotenciales en la . (a) Un mapa topográfico de la Torre del Diablo, Wyoming. Las líneas que están muy juntas indican un terreno muy escarpado. (b) Una foto en perspectiva de la Torre del Diablo muestra lo escarpados que son sus lados. Observe que la parte superior de la torre tiene la misma forma que el centro del mapa topográfico. Cálculo de las líneas equipotenciales Ha visto las líneas equipotenciales de una carga puntual en la . ¿Cómo las calculamos? Por ejemplo, si tenemos una carga de + 10 nC en el origen, ¿cuáles son las superficies equipotenciales en las que el potencial es (a) 100 V, (b) 50 V, (c) 20 V y (d) 10 V? Estrategia Establezca la ecuación del potencial de una carga puntual igual a una constante y resuelva el resto de la(s) variable(s). A continuación, calcule los valores necesarios. Solución En V = k q r , sea V una constante. La única variable que queda es r ; por lo tanto, r = k q V = constante . Así, las superficies equipotenciales son esferas alrededor del origen. Sus ubicaciones son: r = k q V = ( 8,99 × 10 9 Nm 2 /C 2 ) ( 10 × 10 −9 C ) 100 V = 0,90 m ; r = k q V = ( 8,99 × 10 9 Nm 2 /C 2 ) ( 10 × 10 −9 C ) 50 V = 1,8 m ; r = k q V = ( 8,99 × 10 9 Nm 2 /C 2 ) ( 10 × 10 −9 C ) 20 V = 4,5 m ; r = k q V = ( 8,99 × 10 9 Nm 2 /C 2 ) ( 10 × 10 −9 C ) 10 V = 9,0 m . Importancia Esto significa que las superficies equipotenciales alrededor de una carga puntual son esferas de radio constante, como se ha mostrado anteriormente, con localizaciones bien definidas. Diferencia de potencial entre placas paralelas con carga opuesta Dos grandes placas conductoras llevan cargas iguales y opuestas, con una densidad de carga superficial σ de magnitud 6,81 × 10 −7 C/m 2 , como se muestra en la . La separación entre las placas es l = 6,50 mm . (a) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? (c) ¿Cuál es la distancia entre planos equipotenciales que difieren en 100 V? El campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta. Una parte se libera en la placa positiva. Estrategia (a) Como las placas se describen como "grandes" y la distancia entre ellas no lo es, aproximaremos cada una de ellas como un plano infinito y aplicaremos el resultado de la ley de Gauss del capítulo anterior. (b) Utilice Δ V A B = − ∫ A B E → · d l → . (c) Dado que el campo eléctrico es constante, halle la relación entre 100 V y la diferencia de potencial total; luego calcule esta fracción de la distancia. Solución El campo eléctrico se dirige desde la placa positiva a la negativa como se muestra en la figura, y su magnitud viene dada por E = σ ε 0 = 6,81 × 10 −7 C/m 2 8,85 × 10 −12 C 2 / N · m 2 = 7,69 × 10 4 V/m . Para calcular la diferencia de potencial Δ V entre las placas, utilizamos un camino desde la placa negativa a la positiva que está dirigido contra el campo. El vector de desplazamiento d l → y el campo eléctrico E → son antiparalelos por lo que E → · d l → = − E d l . La diferencia de potencial entre las placas positiva y la negativa es entonces Δ V = − ∫ E · d l = E ∫ d l = E l = ( 7,69 × 10 4 V/m ) ( 6,50 × 10 −3 m ) = 500 V . La diferencia de potencial total es de 500 V, por lo que 1/5 de la distancia entre las placas será la distancia entre diferencias de potencial de 100 V. La distancia entre las placas es de 6,5 mm, por lo que habrá 1,3 mm entre diferencias de potencial de 100 V. Importancia Ahora ha visto un cálculo numérico de las localizaciones de los equipotenciales entre dos placas paralelas cargadas. Compruebe lo aprendido ¿Cuáles son las superficies equipotenciales para una carga lineal infinita? cilindros infinitos de radio constante, con la línea de carga como eje Distribución de las cargas en los conductores En el con una carga puntual, encontramos que las superficies equipotenciales tenían forma de esferas, con la carga puntual en el centro. Dado que una esfera conductora en equilibrio electroestático es una superficie equipotencial esférica, deberíamos esperar que pudiéramos sustituir una de las superficies en el por una esfera conductora y tener una solución idéntica fuera de la esfera. Sin embargo, el interior será bastante diferente. Una esfera conductora aislada. Para investigar esto, considere la esfera conductora aislada de la que tiene un radio R y un exceso de carga q . Para hallar el campo eléctrico tanto dentro como fuera de la esfera, hay que tener en cuenta que la esfera está aislada, por lo que su distribución de cambios en la superficie y el campo eléctrico de esa distribución son esféricamente simétricos. Por lo tanto, podemos representar el campo como E → = E ( r ) r ^ . Para calcular E(r) , aplicamos la ley de Gauss sobre una superficie esférica cerrada S de radio r que es concéntrica con la esfera conductora. Dado que r es constante y n ^ = r ^ en la esfera, ∮ S E → · n ^ d a = E ( r ) ∮ d a = E ( r ) 4 π r 2 . Para r < R , S está dentro del conductor, por lo que recordemos de nuestro estudio anterior de la ley de Gauss que q enc = 0 y la ley de Gauss da E ( r ) = 0 , como se espera dentro de un conductor en equilibrio. Si r > R , S encierra el conductor de manera que q enc = q . De la ley de Gauss, E ( r ) 4 π r 2 = q ε 0 . Por lo tanto, el campo eléctrico de la esfera puede escribirse como E = 0 ( r < R ) , E = 1 4 π ε 0 q r 2 r ^ ( r ≥ R ) . Como se esperaba, en la región r ≥ R , el campo eléctrico debido a una carga q situada en una esfera conductora aislada de radio R es idéntico al campo eléctrico de una carga puntual q situada en el centro de la esfera. Para hallar el potencial eléctrico dentro y fuera de la esfera, observe que para r ≥ R , el potencial debe ser el mismo que el de una carga puntual aislada q situada en r = 0 , V ( r ) = 1 4 π ε 0 q r ( r ≥ R ) simplemente debido a la similitud del campo eléctrico. Para r < R , E = 0 , por lo que V ( r ) es constante en esta región. Dado que V ( R ) = q / 4 π ε 0 R , V ( r ) = 1 4 π ε 0 q R ( r < R ) . Utilizaremos este resultado para demostrar que σ 1 R 1 = σ 2 R 2 , para dos esferas conductoras de radios R 1 y R 2 , con densidades de carga superficial σ 1 y σ 2 respectivamente, que están conectadas por un cable fino, como se muestra en la . Las esferas están suficientemente separadas para que cada una pueda ser tratada como si estuviera aislada (aparte del cable). Observe que la conexión por el cable significa que todo este sistema debe ser equipotencial. Dos esferas conductoras están conectadas por un fino cable conductor. Acabamos de ver que el potencial eléctrico en la superficie de una esfera conductora aislada y cargada de radio R es V = 1 4 π ε 0 q R . Ahora, las esferas están conectadas por un conductor y en consecuencia están al mismo potencial; por lo tanto 1 4 π ε 0 q 1 R 1 = 1 4 π ε 0 q 2 R 2 , y q 1 R 1 = q 2 R 2 . La carga neta de una esfera conductora y su densidad de carga superficial están relacionadas por q = σ ( 4 π R 2 ) . Sustituyendo esta ecuación en la anterior, hallamos que σ 1 R 1 = σ 2 R 2 . Evidentemente, dos esferas conectadas por un cable fino no constituyen un conductor típico con un radio de curvatura variable. Sin embargo, este resultado proporciona al menos una idea cualitativa de cómo varía la densidad de carga en la superficie de un conductor. La ecuación indica que donde el radio de curvatura es grande (puntos B y D en la ), σ y E son pequeños. Del mismo modo, las cargas tienden a ser más densas allí donde la curvatura de la superficie es mayor, como demuestra la distribución de cargas en el metal de forma extraña ( ). La densidad de carga superficial es mayor en los lugares con un radio de curvatura pequeño que en los lugares con un radio de curvatura grande. La densidad de carga superficial y el campo eléctrico de un conductor son mayores en las regiones con radios de curvatura más pequeños. Una aplicación práctica de este fenómeno es el pararrayos , que no es más que una barra de metal conectada a tierra con un extremo afilado que apunta hacia arriba. Como la carga positiva se acumula en el suelo debido a una nube cargada negativamente en lo alto, el campo eléctrico alrededor del punto agudo se hace muy grande. Cuando el campo alcanza un valor de aproximadamente 3,0 × 10 6 N/C (la resistencia dieléctrica del aire), los iones libres del aire se aceleran hasta alcanzar energías tan altas que sus colisiones con las moléculas de aire realmente ionizan las moléculas. Los electrones libres resultantes en el aire fluyen entonces a través de la varilla hacia la Tierra, neutralizando así parte de la carga positiva. Esto evita que el campo eléctrico entre la nube y el suelo sea lo suficientemente grande como para producir un rayo en la región que rodea al pararrayos. Una importante aplicación de los campos eléctricos y las líneas equipotenciales es el corazón. El corazón depende de las señales eléctricas para mantener su ritmo. El movimiento de las señales eléctricas hace que las cámaras del corazón se contraigan y se relajen. Cuando una persona sufre un infarto, el movimiento de estas señales eléctricas puede verse alterado. Se puede utilizar un marcapasos artificial y un desfibrilador para iniciar el ritmo de las señales eléctricas. Las líneas equipotenciales alrededor del corazón, su eje y la región torácica son formas útiles de controlar la estructura y las funciones del corazón. Un electrocardiograma (ECG) mide las pequeñas señales eléctricas que se generan durante la actividad del corazón. Participe en la simulación a continuación para mover cargas puntuales en el campo de juego y luego ver el campo eléctrico, los voltajes, las líneas equipotenciales y mucho más. Resumen Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos en el espacio que están todos al mismo potencial. Las líneas equipotenciales son la representación bidimensional de las superficies equipotenciales. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. Los conductores en equilibrio estático son superficies equipotenciales. Se puede considerar que los mapas topográficos muestran las líneas equipotenciales gravitacionales. Preguntas conceptuales Si dos puntos están al mismo potencial, ¿existen líneas de campo eléctrico que los conecten? no Supongamos que tiene un mapa de superficies equipotenciales separadas por 1,0 V. ¿Qué le dicen las distancias entre las superficies de una región determinada sobre la fuerza de E → en esa región? ¿El potencial eléctrico es necesariamente constante sobre la superficie de un conductor? No; podría no estar en equilibrio electroestático. En condiciones electroestáticas, el exceso de carga de un conductor reside en su superficie. ¿Esto significa que todos los electrones de conducción de un conductor están en la superficie? ¿Un conductor con carga positiva puede estar a un potencial negativo? Explique. Sí. Depende de dónde esté la referencia cero del potencial. (Aunque esto podría ser inusual). ¿Las superficies equipotenciales pueden intersecarse? Problemas Se colocan dos placas de metal muy grandes a 2,0 cm de distancia, con una diferencia de potencial de 12 V entre ellas. Considere que una de las placas está a 12 V y la otra a 0 V. (a) Dibuje las superficies equipotenciales para 0, 4, 8 y 12 V. (b) A continuación, dibuje algunas líneas de campo eléctrico y confirme que son perpendiculares a las líneas equipotenciales. A una lámina muy grande de material aislante se le colocó un exceso de electrones hasta alcanzar una densidad de carga superficial de –3,00 nC/m 2 . (a) A medida que aumenta la distancia de la lámina, ¿el potencial aumenta o disminuye? ¿Puede explicar por qué sin cálculos? ¿Importa la ubicación de su punto de referencia? (b) ¿Cuál es la forma de las superficies equipotenciales? (c) ¿Cuál es el espacio entre las superficies que difieren en 1,00 V? a. aumenta; el campo eléctrico constante (negativo) tiene este efecto, el punto de referencia solo importa para la magnitud; b. son planos paralelos a la lámina; c. 0,006 m/V Una esfera de metal de radio 2,0 cm está cargada con + 5,0 - μ C que se extiende por la superficie de la esfera de manera uniforme. La esfera de metal se encuentra sobre un soporte aislado y está rodeada por una capa esférica metálica más grande, de radio interior 5,0 cm y exterior 6,0 cm. Ahora, una carga de −5,0 - μ C se coloca en el interior de la capa esférica que se extiende uniformemente en la superficie interior de la capa. Si el potencial es cero en el infinito, ¿cuál es el potencial de (a) la capa esférica, (b) la esfera, (c) el espacio entre ambas, (d) el interior de la esfera y (e) el exterior de la capa? Dos grandes placas cargadas de densidad de carga ± 30 μ C/m 2 se enfrentan a una separación de 5,0 mm. (a) Calcule el potencial eléctrico en todas partes. (b) Un electrón se libera del reposo en la placa negativa, ¿con qué velocidad golpeará la placa positiva? a. del capítulo anterior, el campo eléctrico tiene magnitud σ ε 0 en la región entre las placas y cero en el exterior; definiendo que la placa con carga negativa está en el origen y en el potencial cero, y que la placa con carga positiva está a + 5 mm en la dirección z , V = 1,7 × 10 4 V por lo que el potencial es 0 para z < 0 , 1,7 × 10 4 V ( z 5 mm ) para 0 ≤ z ≤ 5 mm, 1,7 × 10 4 V para z > 5 mm; b. q V = 1 2 m v 2 → v = 7,7 × 10 7 m/s Un cilindro largo de aluminio de radio R metros se carga de manera que tiene una carga uniforme por unidad de longitud en su superficie de λ . (a) Calcule el campo eléctrico dentro y fuera del cilindro. (b) Calcule el potencial eléctrico dentro y fuera del cilindro. (c) Trace el campo eléctrico y el potencial eléctrico en función de la distancia al centro de la varilla. Dos placas paralelas de 10 cm de lado reciben cargas iguales y opuestas de magnitud 5,0 × 10 −9 C . Las placas están separadas 1,5 mm. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? V = 85 V La densidad de carga superficial en un tubo de metal largo y recto es σ . ¿Cuál es el potencial eléctrico fuera y dentro de la tubería? Supongamos que la tubería tiene un diámetro de 2 a . Las capas esféricas conductoras concéntricas llevan cargas Q y – Q , respectivamente. La capa interior tiene un grosor insignificante. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las capas? En la región a ≤ r ≤ b , E → = k Q r 2 r ^ , y E es cero en cualquier otra parte; por lo tanto, la diferencia de potencial es V = k Q ( 1 a − 1 b ) . A continuación se muestran dos capas esféricas concéntricas de espesores y radios insignificantes R 1 y R 2 . Las capas interior y exterior llevan cargas netas q 1 y q 2 , respectivamente, donde ambas q 1 y q 2 son positivas. ¿Cuál es el potencial eléctrico en las regiones (a) r < R 1 , (b) R 1 < r < R 2 , y (c) r > R 2 ? Un conductor cilíndrico macizo de radio a está rodeado por una capa cilíndrica concéntrica de radio interior b . El cilindro macizo y la capa llevan cargas Q y – Q , respectivamente. Suponiendo que la longitud L de ambos conductores es mucho mayor que a o b , ¿cuál es la diferencia de potencial entre los dos conductores? De los resultados anteriores V P − V R = −2 k λ dentro s P s R . , observe que b es un lugar muy conveniente para definir el nivel cero de potencial Δ V = −2 k Q L dentro a b . línea equipotencial representación bidimensional de una superficie equipotencial superficie equipotencial superficie (normalmente en tres dimensiones) en la que todos los puntos están al mismo potencial puesta a tierra proceso de fijación de un conductor a la tierra para garantizar que no haya diferencia de potencial entre este y la tierra

Ciencia


Aplicaciones de la electrostática El estudio de la electroestática ha resultado útil en muchos ámbitos. Este módulo cubre solo algunas de las muchas aplicaciones de la electroestática. El generador Van de Graaff Los generadores de Van de Graaff (o Van de Graaffs) no solo son aparatos espectaculares utilizados para demostrar el alto voltaje debido a la electricidad estática, sino que también se utilizan para la investigación seria. El primero construyó Robert Van de Graaff en 1931 (basado en las sugerencias originales de Lord Kelvin) para su uso en la investigación de la física nuclear. La muestra un esquema de una versión de investigación de gran tamaño. Los Van de Graaffs utilizan tanto superficies lisas como puntiagudas, y conductores y aislantes para generar grandes cargas estáticas y, por tanto, grandes voltajes. Se puede depositar un exceso de carga muy grande en la esfera porque se desplaza rápidamente hacia la superficie exterior. Los límites prácticos surgen porque los grandes campos eléctricos polarizan y acaban por ionizar los materiales circundantes, creando cargas libres que neutralizan el exceso de carga o permiten que se escape. Sin embargo, los voltajes de 15 millones de voltios están muy dentro de los límites prácticos. Esquema del generador Van de Graaff. Una batería ( A ) suministra un exceso de carga positiva a un conductor puntiagudo, cuyas puntas pulverizan la carga sobre una cinta aislante en movimiento cerca del fondo. El conductor puntiagudo( B ) situado en la parte superior de la gran esfera recoge la carga. (El campo eléctrico inducido en los puntos es tan grande que elimina la carga de la correa). Esto puede hacerse porque la carga no permanece dentro de la esfera conductora, sino que se desplaza hacia su superficie exterior. Una fuente de iones dentro de la esfera produce iones positivos, que son acelerados fuera de la esfera positiva a altas velocidades. Xerografía La mayoría de las fotocopiadoras utilizan un proceso electroestático denominado xerografía , palabra acuñada a partir de las palabras griegas xeros , que significa seco, y graphos , que significa escritura. El núcleo del proceso se muestra de forma simplificada en la . La xerografía es un proceso de copia en seco basado en la electroestática. Las principales etapas del proceso son la carga del tambor fotoconductor, la transferencia de una imagen, la creación de un duplicado de carga positiva, la atracción del tóner a las partes cargadas del tambor y la transferencia del tóner al papel. No se muestra el tratamiento térmico del papel y la limpieza del tambor para la siguiente copia. Un tambor de aluminio recubierto de selenio se rocía con carga positiva desde los puntos de un dispositivo llamado corotrón. El selenio es una sustancia con una interesante propiedad: es un fotoconductor . Es decir, el selenio es un aislante cuando está en la oscuridad y un conductor cuando está expuesto a la luz. En la primera etapa del proceso de xerografía, el tambor de aluminio conductor se conecta a tierra para que se induzca una carga negativa bajo la fina capa de selenio uniformemente cargada positivamente. En la segunda etapa, la superficie del tambor se expone a la imagen de lo que se va a copiar. En los lugares donde la imagen es ligera, el selenio se convierte en conductor y la carga positiva se neutraliza. En las zonas oscuras, la carga positiva permanece, por lo que la imagen se ha transferido al tambor. La tercera etapa toma un polvo negro seco, llamado tóner, y lo rocía con una carga negativa para que las regiones positivas del tambor lo atraigan. A continuación, a un papel en blanco se le da una carga positiva mayor que la del tambor, de modo que este extraiga el tóner del tambor. Por último, el papel y el tóner que se mantiene electrostáticamente pasan por rodillos de presión calentados, que funden y adhieren permanentemente el tóner a las fibras del papel. Impresoras láser Las impresoras láser utilizan el proceso xerográfico para crear imágenes de alta calidad en el papel, empleando un láser para producir una imagen en el tambor fotoconductor, como se muestra en la . En su aplicación más común, la impresora láser recibe la salida de un computador y puede lograr una salida de alta calidad debido a la precisión con la que se puede controlar la luz láser. Muchas impresoras láser realizan un importante procesamiento de la información, como la elaboración de letras o fuentes sofisticadas, y en el pasado podían tener un computador más potente que el que les proporcionaba los datos brutos a imprimir. En una impresora láser, se escanea un rayo láser a través de un tambor fotoconductor, dejando una imagen cargada positivamente. Los demás pasos para cargar el tambor y transferir la imagen al papel son los mismos que en la xerografía. La luz láser puede controlarse con gran precisión, lo que permite a las impresoras láser producir imágenes de alta calidad. Impresoras de inyección de tinta y pintura electroestática La impresora de inyección de tinta , utilizada habitualmente para imprimir textos y gráficos generados por computador, también emplea la electroestática. Una boquilla produce una fina pulverización de pequeñas gotas de tinta, a las que se les aplica una carga electroestática ( ). Una vez cargadas, las gotas pueden dirigirse, mediante pares de placas cargadas, con gran precisión para formar letras e imágenes en el papel. Las impresoras de inyección de tinta pueden producir imágenes en color utilizando un chorro negro y otros tres chorros con colores primarios, normalmente cian, magenta y amarillo, de forma parecida a como lo hace una televisión en color. (Esto es más difícil con la xerografía, que requiere múltiples tambores y tóneres). La boquilla de una impresora de inyección de tinta produce pequeñas gotas de tinta que se pulverizan con carga electroestática. A continuación, se utilizan varios dispositivos informáticos para dirigir las gotas a las posiciones correctas en una página. La pintura electroestática emplea la carga para rociar pintura sobre superficies de formas extrañas. La repulsión mutua de las cargas similares hace que la pintura se aleje de su origen. La tensión superficial forma gotas, que luego son atraídas por cargas diferentes a la superficie a pintar. La pintura electroestática puede llegar a lugares de difícil acceso, aplicando una capa uniforme de forma controlada. Si el objeto es un conductor, el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, tendiendo a traer las gotas perpendicularmente. Las esquinas y los puntos de los conductores recibirán pintura adicional. El fieltro puede aplicarse de forma similar. Precipitadores de humo y limpieza electroestática del aire Otra aplicación importante de la electroestática se encuentra en los limpiadores de aire, tanto grandes como pequeños. La parte electroestática del proceso coloca un exceso de carga (normalmente positiva) en el humo, el polvo, el polen y otras partículas del aire y, a continuación, hace pasar el aire por una rejilla con carga opuesta que atrae y retiene las partículas cargadas ( ) Los precipitadores electroestáticos grandes se utilizan en la industria para eliminar el más del 99 % de las partículas procedentes de las emisiones de gases de chimenea asociadas a la combustión de carbón y petróleo. Los precipitadores domésticos, a menudo en combinación con el sistema de calefacción y aire acondicionado del hogar, son muy eficaces para eliminar las partículas contaminantes, los agentes irritantes y los alérgenos. (a) Esquema de un precipitador electrorestático. El aire pasa por rejillas de carga opuesta. La primera rejilla carga las partículas suspendidas en el aire, mientras que la segunda las atrae y las recoge. (b) El dramático efecto de los precipitadores electroestáticos se aprecia en la ausencia de humo de esta central eléctrica. (crédito b: modificación del trabajo de "Cmdalgleish"/Wikimedia Commons) Resumen La electroestática es el estudio de los campos eléctricos en equilibrio estático. Además de la investigación con equipos como el generador de Van de Graaff, existen muchas aplicaciones prácticas de la electroestática, como fotocopiadoras, impresoras láser, impresoras de inyección de tinta y filtros de aire electroestáticos. Ecuaciones clave Energía potencial de un sistema de dos cargas U ( r ) = k q Q r Trabajo realizado para montar un sistema de cargas W 12 ⋯ N = k 2 ∑ i N ∑ j N q i q j r i j para i ≠ j Diferencia de potencial Δ V = Δ U q o Δ U = q Δ V Potencial eléctrico V = U q = − ∫ R P E → ⋅ d l → Diferencia de potencial entre dos puntos Δ V B A = V B − V A = − ∫ A B E → · d l → Potencial eléctrico de una carga puntual V = k q r Potencial eléctrico de un sistema de cargas puntuales V P = k ∑ 1 N q i r i Momento dipolar eléctrico p → = q d → Potencial eléctrico debido a un dipolo V P = k p → · r ^ r 2 Potencial eléctrico de una distribución de carga continua V P = k ∫ d q r Componentes del campo eléctrico E x = − ∂ V ∂ x , E y = − ∂ V ∂ y , E z = − ∂ V ∂ z Operador Del en coordenadas cartesianas ∇ → = i ^ ∂ ∂ x + j ^ ∂ ∂ y + k ^ ∂ ∂ z Campo eléctrico como gradiente de potencial E → = − ∇ → V Operador Del en coordenadas cilíndricas ∇ → = r ^ ∂ ∂ r + φ ^ 1 r ∂ ∂ φ + z ^ ∂ ∂ z Operador Del en coordenadas esféricas ∇ → = r ^ ∂ ∂ r + θ ^ 1 r ∂ ∂ θ + φ ^ 1 r sen θ ∂ ∂ φ Preguntas conceptuales ¿Por qué las varillas de soporte de metal de las antenas parabólicas suelen estar conectadas a tierra? Para que los rayos que caen sobre ellas vayan a parar al suelo en lugar de a los equipos de televisión. (a) ¿Por qué los peces están razonablemente seguros en una tormenta eléctrica? (b) ¿Por qué se ordena a los bañistas que salgan del agua en la misma circunstancia? ¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre los procesos de una fotocopiadora y un precipitador electroestático? Ambos utilizan la electricidad estática para pegar pequeñas partículas a otra superficie. Sin embargo, el precipitador tiene que cargar una gran variedad de partículas, y no está diseñado para asegurarse de que caigan en un lugar concreto. ¿Aproximadamente qué magnitud de potencial se utiliza para cargar el tambor de una fotocopiadora? Una búsqueda en Internet de "xerografía" puede ser útil. Problemas (a) ¿Cuál es el campo eléctrico a 5,00 m del centro del terminal de un Van de Graaff con una carga de 3,00 mC, observando que el campo es equivalente al de una carga puntual en el centro del terminal? (b) A esta distancia, ¿qué fuerza ejerce el campo sobre una carga de 2,00 - μ C en la correa de Van de Graaff? (a) ¿Cuál es la dirección y la magnitud de un campo eléctrico que soporta el peso de un electrón libre cerca de la superficie de la Tierra? (b) Discuta lo que implica el pequeño valor de este campo con respecto a la fuerza relativa de las fuerzas gravitacionales y electroestáticas. a. F = 5,58 × 10 −11 N/C ; El campo eléctrico se dirige hacia la superficie de la Tierra. b. La fuerza del culombio es mucho más fuerte que la gravedad. Una técnica simple y común para acelerar electrones se muestra en la , donde hay un campo eléctrico uniforme entre dos placas. Los electrones se liberan, normalmente desde un filamento caliente cerca de la placa negativa, y hay un pequeño agujero en la placa positiva que permite que los electrones continúen moviéndose. (a) Calcule la aceleración del electrón si la intensidad del campo es 2,50 × 10 4 N/C . (b) Explique por qué el electrón no será atraído de vuelta a la placa positiva una vez que se mueva a través del agujero. Las placas conductoras paralelas con cargas opuestas en ellas crean un campo eléctrico relativamente uniforme que sirve para acelerar los electrones hacia la derecha. Los que atraviesan el agujero pueden utilizarse para hacer brillar la pantalla de un televisor o de un computador o para producir rayos X. En un contador Geiger, un fino hilo de metal situado en el centro de un tubo de metal se mantiene a un alto voltaje con respecto al tubo de metal. La radiación ionizante que entra en el tubo desprende electrones de las moléculas de gas o de los lados del tubo que luego se aceleran hacia el cable central, desprendiendo aún más electrones. Este proceso acaba provocando una avalancha detectable como una corriente. Un determinado contador Geiger tiene un tubo de radio R y el hilo interior de radio a está a un potencial de V 0 voltios con respecto al tubo de metal exterior. Considere un punto P a una distancia s del cable central y alejado de los extremos. (a) Encuentre una fórmula para el campo eléctrico en un punto P interior utilizando la aproximación del cable infinito. (b) Encuentre una fórmula para el potencial eléctrico en un punto P interior. (c) Utilice V 0 = 900 V , a = 3,00 mm, R = 2,00 cm, y encuentre el valor del campo eléctrico en un punto a 1,00 cm del centro. Sabemos por el capítulo de la ley de Gauss que el campo eléctrico para una carga lineal infinita es E → P = 2 k λ 1 s s ^ , y de lo dicho anteriormente en este capítulo, que el potencial de un sistema de cilindros de alambre de este tipo es V P = −2 k λ dentro s P R por integración. No se nos da λ , pero se nos da un V 0 ; así, sabemos que V 0 = −2 k λ dentro a R y por lo tanto λ = − V 0 2 k dentro ( a R ) . Podemos sustituir esto de nuevo para encontrar a. E → P = − V 0 dentro ( a R ) 1 s s ^ ; b. V P = V 0 dentro ( s P R ) dentro ( a R ) ; c. 4,74 × 10 4 N/C El límite práctico de un campo eléctrico en el aire es de aproximadamente 3,00 × 10 6 N/C . Por encima de esta intensidad, se producen chispas porque el aire comienza a ionizarse. (a) Con esta intensidad de campo eléctrico, ¿qué distancia recorrería un protón antes de alcanzar la velocidad de la luz (sin tener en cuenta los efectos relativistas)? (b) ¿Es práctico dejar el aire en los aceleradores de partículas? Para formar un átomo de helio, se fija una partícula alfa que contiene dos protones y dos neutrones en un lugar, y se traen dos electrones desde muy lejos, de uno en uno. El primer electrón se coloca a 0,600 × 10 −10 m de la partícula alfa y se mantiene allí mientras el segundo electrón es llevado a 0,600 × 10 −10 m de la partícula alfa en el otro lado del primer electrón. Observe la configuración final de abajo. (a) ¿Cuánto trabajo se realiza en cada paso? (b) ¿Cuál es la energía electroestática de la partícula alfa y de los dos electrones en la configuración final? a. U 1 = 7,68 × 10 −18 J U 2 = 5,76 × 10 −18 J ; b. U 1 + U 2 = -1,34 × 10 −17 J Encuentre la energía electroestática de ocho cargas iguales ( + 3 µ C ) cada una fijada en las esquinas de un cubo de 2 cm de lado. La probabilidad de que se produzca la fusión aumenta en gran medida cuando se acercan los núcleos correspondientes, pero hay que superar la repulsión de Coulomb mutua. Esto puede hacerse utilizando la energía cinética de los iones del gas de alta temperatura o acelerando los núcleos uno hacia el otro. (a) Calcule la energía potencial de dos núcleos de carga simple separados por 1,00 × 10 −12 m . b) ¿A qué temperatura los átomos de un gas tendrán una energía cinética media igual a esta energía potencial eléctrica necesaria? a. U = 2,30 × 10 −16 J ; b. K − = 3 2 k T → T = 1,11 × 10 7 K Un núcleo de helio desnudo tiene dos cargas positivas y una masa de 6,64 × 10 – 27 kg . (a) Calcule su energía cinética en julios a 2,00 % de la velocidad de la luz. (b) ¿Cuánto es esto en electronvoltios? (c) ¿Qué voltaje sería necesario para obtener esta energía? Un electrón entra en una región entre dos grandes placas paralelas de aluminio separadas por una distancia de 2,0 cm y mantenidas a una diferencia de potencial de 200 V. El electrón entra a través de un pequeño agujero en la placa negativa y se mueve hacia la placa positiva. En el momento en que el electrón está cerca de la placa negativa, su velocidad es 4,0 × 10 5 m/s . Suponga que el campo eléctrico entre las placas es uniforme, y encuentre la velocidad del electrón a (a) 0,10 cm, (b) 0,50 cm, (c) 1,0 cm, y (d) 1,5 cm de la placa negativa, y (e) inmediatamente antes de que choque con la placa positiva. a. 1,9 × 10 6 m/s ; b. 4,2 × 10 6 m/s ; c. 5,9 × 10 6 m/s ; d. 7,3 × 10 6 m/s ; e. 8,4 × 10 6 m/s A qué distancia están dos placas conductoras que tienen una intensidad de campo eléctrico de 4,50 × 10 3 V/m entre ellas, si su diferencia de potencial es de 15,0 kV? a) ¿La intensidad del campo eléctrico entre dos placas conductoras paralelas superará la intensidad de ruptura del aire seco, que es 3,00 × 10 6 V/m , si las placas están separadas por 2,00 mm y una diferencia de potencial de 5,0 × 10 3 V ? (b) ¿A qué distancia pueden estar las placas con este voltaje aplicado? a. E = 2,5 × 10 6 V/m < 3 × 10 6 V/m No, la intensidad de campo es menor que la intensidad de ruptura del aire . ; b. d = 1,7 mm Las paredes de las membranas de las células vivas tienen campos eléctricos sorprendentemente grandes a través de ellas debido a la separación de iones. ¿Cuál es el voltaje a través de una membrana de 8,00 nm de espesor si la intensidad del campo eléctrico a través de ella es de 5,50 MV/m? Se puede suponer un campo eléctrico uniforme. Un ion con doble carga es acelerado hasta una energía de 32,0 keV por el campo eléctrico entre dos placas conductoras paralelas separadas por 2,00 cm. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre las placas? K f = q V AB = q E d → E = 8,00 × 10 5 V/m Se cree que la temperatura cerca del centro del Sol es de 15 millones de grados Celsius ( 1,5 × 10 7 °C ) (o kelvin). ¿A través de qué voltaje se debe acelerar un ion con carga única para que tenga la misma energía que la energía cinética media de los iones a esta temperatura? Un rayo impacta en un árbol, moviendo 20,0 C de carga a través de una diferencia de potencial de 1,00 × 10 2 MV. (a) ¿Qué energía se disipó? (b) ¿Qué masa de agua se pudo elevar de 15 ° C hasta el punto de ebullición y luego hirvió por esta energía? (c) Discuta el daño que la expansión del vapor hirviendo podría causar al árbol. a. Energía = 2,00 × 10 9 J ; b. Q = m ( c Δ T + L ∇ ) m = 766 kg ; c. La expansión del vapor al hervir puede hacer volar literalmente el árbol. ¿Cuál es el potencial 0,530 × 10 −10 m de un protón (la distancia media entre el protón y el electrón en un átomo de hidrógeno)? (a) Una esfera tiene una superficie uniformemente cargada con 1,00 C. ¿A qué distancia de su centro se encuentra el potencial de 5,00 MV? (b) ¿Qué implica su respuesta sobre el aspecto práctico de aislar una carga tan grande? a. V = k Q r → r = 1,80 km ; b. Una carga de 1 C es una cantidad muy grande de carga; una esfera de 1,80 km es poco práctica. ¿Cuáles son el signo y la magnitud de una carga puntual que produce un potencial de -2,00 V a una distancia de 1,00 mm? En uno de los experimentos clásicos de la física nuclear de principios del siglo XX, se aceleró una partícula alfa hacia un núcleo de oro y su trayectoria se desvió sustancialmente por la interacción de Coulomb. Si la energía del núcleo alfa doblemente cargado es de 5,00 MeV, ¿a qué distancia del núcleo de oro (79 protones) podría llegar antes de ser desviada? La partícula alfa se acerca al núcleo de oro hasta que su energía original se convierte en energía potencial 5,00 MeV = 8,00 × 10 −13 J , así que E 0 = q k Q r → r = 4,54 × 10 −14 m (El tamaño del núcleo de oro es de aproximadamente 7 × 10 −15 m ). Problemas adicionales Un calentador de botellas a batería de 12,0 V calienta 50,0 g de vidrio, 2,50 × 10 2 g de fórmula para bebés, y 2,00 × 10 2 g de aluminio de 20,0 °C a 90,0 °C . (a) ¿Cuánta carga mueve la batería? (b) ¿Cuántos electrones por segundo fluyen si se tarda 5,00 min en calentar la fórmula? (Pista: Supongamos que el calor específico de la leche de fórmula para bebés es aproximadamente el mismo que el calor específico del agua). Un automóvil operado con batería utiliza un sistema de 12,0 V. Encuentre la carga que deben poder mover las baterías para acelerar el automóvil de 750 kg desde el reposo hasta 25,0 m/s, hacer que suba una colina de 2,00 × 10 2 -m de alto y, finalmente, hacer que se desplace a una velocidad constante de 25,0 m/s mientras sube con 5,00 × 10 2 -N de fuerza durante una hora. E tot = 4,67 × 10 7 J E tot = q V → q = E tot V = 3,89 × 10 6 C (a) Encuentre el voltaje cerca de una esfera de metal de 10,0 cm de diámetro que tiene 8,00 C de exceso de carga positiva. (b) ¿Qué es lo que no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposiciones son responsables? En una mesa no conductora se coloca un semianillo de radio 10 cm cargado uniformemente. Se encuentra que a 3,0 cm por encima del centro del semianillo el potencial es de -3,0 V con respecto al potencial cero en el infinito. ¿Cuánta carga hay en el semianillo? V P = k q tot z 2 + R 2 → q tot = −3,5 × 10 −11 C Un anillo de vidrio de radio 5,0 cm se pinta con una pintura cargada de tal manera que la densidad de carga alrededor del anillo varía continuamente dada por la siguiente función del ángulo polar θ , λ = ( 3,0 × 10 −6 C/m ) cos 2 θ . Encuentre el potencial en un punto a 15 cm por encima del centro. Un disco CD de radio ( R = 3,0 cm ) se rocía con una pintura cargada de manera que la carga varía continuamente con la distancia radial r desde el centro de la siguiente manera σ = − ( 6,0 C/m ) r / R . Encuentre el potencial en un punto a 4 cm por encima del centro. V P = −2,2 GV (a) ¿Cuál es la velocidad final de un electrón acelerado desde el reposo a través de un voltaje de 25,0 MV por un terminal de Van de Graff cargado negativamente? (b) ¿Qué no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposiciones son responsables? Una gran placa de metal se carga uniformemente a una densidad de σ = 2,0 × 10 −9 C/m 2 . ¿A qué distancia están las superficies equipotenciales que representan una diferencia de potencial de 25 V? Recordemos del capítulo anterior que el campo eléctrico E P = σ 0 2 ε 0 es uniforme en todo el espacio y que para campos uniformes tenemos E = − Δ V Δ z para la relación. Así, obtenemos σ 2 ε 0 = Δ V Δ z → Δ z = 0,22 m para la distancia entre equipotenciales de 25 V. Su amigo se entusiasma con la idea de hacer un pararrayos o tal vez un juguete que eche chispas conectando dos esferas como se muestra en la , y haciendo R 2 tan pequeño que el campo eléctrico es mayor que la resistencia dieléctrica del aire, justo desde el campo eléctrico habitual de 150 V/m cerca de la superficie de la Tierra. Si R 1 es de 10 cm, ¿qué tan pequeño necesita ser R 2 , y ¿parece práctico esto? (Pista: recuerde el cálculo del campo eléctrico en la superficie de un conductor a partir de la Ley de Gauss ). (a) Encuentre el límite x > > L del potencial de una varilla finita uniformemente cargada y demuestre que coincide con el de una fórmula de carga puntual. (b) ¿Por qué esperaría este resultado? a. Tome el resultado de la , divida tanto el numerador como el denominador entre x , tome el límite de esto, y luego aplique una expansión de Taylor al logaritmo resultante para obtener V P ≈ k λ L x ; b. que es el resultado que esperamos, porque a grandes distancias, esto debería parecer una carga puntual de q = λ L Una pequeña bola esférica de médula de radio 0,50 cm se pinta con una pintura plateada y luego se colocan −10 μ C de carga en ella. La bola de médula cargada se coloca en el centro de una capa esférica de oro de radio interior 2,0 cm y radio exterior 2,2 cm. (a) Encuentre el potencial eléctrico de la capa de oro con respecto al potencial cero en el infinito. (b) ¿Cuánta carga debe poner en la capa de oro si quiere que su potencial sea de 100 V? Dos placas conductoras paralelas, cada una de ellas con una sección transversal 400 cm 2 , están a 2,0 cm de distancia y sin carga. Si 1,0 × 10 12 electrones se transfieren de una placa a la otra, (a) ¿cuál es la diferencia de potencial entre las placas? (b) ¿cuál es la diferencia de potencial entre la placa positiva y un punto a 1,25 cm de ella que está entre las placas? a. V = 9,0 × 10 3 V ; b. −9,0 × 10 3 V ( 1,25 cm 2,0 cm ) = -5,7 × 10 3 V Una carga puntual de q = 5,0 × 10 −8 C se coloca en el centro de una capa conductora esférica sin carga de radio interior 6,0 cm y radio exterior 9,0 cm. Encuentre el potencial eléctrico en (a) r = 4,0 cm, (b) r = 8,0 cm, (c) r = 12,0 cm . La Tierra tiene una carga neta que produce un campo eléctrico de aproximadamente 150 N/C hacia abajo en su superficie. (a) ¿Cuál es la magnitud y el signo del exceso de carga, observando que el campo eléctrico de una esfera conductora es equivalente a una carga puntual en su centro? (b) ¿Qué aceleración producirá el campo en un electrón libre cerca de la superficie de la Tierra? (c) ¿Qué objeto de masa con un solo electrón extra tendrá su peso soportado por este campo? a. E = K Q r 2 → Q = -6,76 × 10 5 C ; b. F = m a = q E → a = q E m = 2,63 × 10 13 m/s 2 ( hacia arriba ) ; c. F = − m g = q E → m = − q E g = 2,45 × 10 −18 kg Cargas puntuales de 25,0 μ C y 45,0 μ C se colocan a 0,500 m de distancia. (a) ¿En qué punto de la línea que las une es nulo el campo eléctrico? (b) ¿Cuál es el campo eléctrico a medio camino entre ellas? ¿Qué se puede decir de dos cargas q 1 y q 2 , si el campo eléctrico a un cuarto de distancia de q 1 a q 2 es cero? Si el campo eléctrico es cero ¼ de camino de q 1 y q 2 , entonces sabemos por E = k Q r 2 que | E 1 | = | E 2 | → K q 1 x 2 = K q 2 ( 3 x ) 2 de modo que q 2 q 1 = ( 3 x ) 2 x 2 = 9 ; la carga q 2 es 9 veces mayor que q 1 . Calcule la velocidad angular ω de un electrón orbitando un protón en el átomo de hidrógeno, dado que el radio de la órbita es 0,530 × 10 −10 m . Puede suponer que el protón está inmóvil y que la fuerza centrípeta la suministra la atracción de Coulomb. Un electrón tiene una velocidad inicial de 5,00 × 10 6 m/s en un campo eléctrico 2,00 × 10 5 -N/C uniforme. El campo acelera al electrón en la dirección opuesta a su velocidad inicial. (a) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico? (b) ¿Qué distancia recorre el electrón antes de llegar a su reposo? (c) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en llegar a su reposo? (d) ¿Cuál es la velocidad del electrón cuando vuelve a su punto de partida? a. El campo está en la dirección de la velocidad inicial del electrón. b. v 2 = v 0 2 + 2 a x → x = − v 0 2 2 a ( v = 0 ) . También, F = m a = q E → a = q E m , x = 3,56 × 10 −4 m; c. v 2 = v 0 + a t → t = − v 0 m q E ( v = 0 ) , ∴ t = 1,42 × 10 −10 s; d. v = − ( 2 q E x m ) 1 / 2 −5,00 × 10 6 m/s ( frente a su velocidad inicial ) Problemas de desafíos Tres iones Na + y tres Cl − se colocan de forma alterna y espaciados equitativamente alrededor de un círculo de radio 50 nm. Encuentre la energía electroestática almacenada. Busque (presumiblemente en Internet o desmontando un aparato antiguo y haciendo mediciones) la magnitud de las placas de desviación potencial (y el espacio entre ellas) en una impresora de inyección de tinta. A continuación, busque la velocidad con la que la tinta sale de la boquilla. ¿Puede calcular la masa típica de una gota de tinta? Las respuestas variarán. Parece ser que se trata de información reservada y ridículamente difícil de encontrar. Las velocidades serán de 20 m/s o menos, y se afirma que ~ 10 −7 gramos para la masa de una gota. Utilice el campo eléctrico de una esfera finita con un volumen de densidad de carga constante para calcular el potencial eléctrico, en todo el espacio. A continuación, compruebe sus resultados calculando el campo eléctrico a partir del potencial. Calcule el campo eléctrico de un dipolo en todo el espacio a partir del potencial. Aplique E → = − ∇ → V con ∇ → = r ^ ∂ ∂ r + θ ^ 1 r ∂ ∂ θ + φ ^ 1 r sen θ ∂ ∂ φ al potencial calculado anteriormente, V P = k p → · r ^ r 2 con p → = q d → , y se supone que el eje del dipolo está alineado con el eje z del sistema de coordenadas. Así, el potencial es V P = k q d → · r ^ r 2 = k q d cos θ r 2 . E → = 2 k q d ( cos θ r 3 ) r ^ + k q d ( sen θ r 3 ) θ ^ precipitadores electroestáticos filtros que aplican cargas a las partículas del aire, y luego atraen esas cargas a un filtro, eliminándolas de la corriente de aire impresora de inyección de tinta pequeñas gotas de tinta rociadas con una carga eléctrica se controlan mediante placas electroestáticas para crear imágenes en el papel fotoconductor sustancia que es aislante hasta que se expone a la luz, cuando se convierte en conductora Generador Van de Graaff máquina que produce una gran cantidad de exceso de carga, utilizada para experimentos con alto voltaje xerografía proceso de copia en seco basado en la electroestática

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Introducción Los patrones de ramas en forma de árbol de este bloque de Plexiglas® transparente se conocen como figura de Lichtenberg, que recibe su nombre del físico alemán Georg Christof Lichtenberg (1742-1799), que fue el primero en estudiar estos patrones. Las "ramas" se crean por la ruptura dieléctrica producida por un fuerte campo eléctrico (créditos: modificación del trabajo de Bert Hickman). Los condensadores son componentes importantes de los circuitos eléctricos de muchos dispositivos electrónicos, como marcapasos, teléfonos móviles y computadoras. En este capítulo estudiamos sus propiedades y, en los siguientes, examinamos su función en combinación con otros elementos del circuito. Por sí solos, los condensadores se utilizan a menudo para almacenar energía eléctrica y liberarla cuando se necesita; con otros componentes del circuito, los condensadores suelen actuar como parte de un filtro que permite el paso de algunas señales eléctricas mientras bloquea otras. Puede ver por qué los condensadores se consideran uno de los componentes fundamentales de los circuitos eléctricos.

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Condensadores y capacitancia Un condensador es un dispositivo utilizado para almacenar carga eléctrica y energía eléctrica. Consiste en al menos dos conductores eléctricos separados por una distancia (observe que estos conductores eléctricos se denominan a veces "electrodos", pero es más correcto decir que son "placas de condensador"). El espacio entre los condensadores puede ser simplemente un vacío y, en ese caso, un condensador se conoce entonces como "condensador de vacío”. Sin embargo, el espacio suele estar relleno de un material aislante conocido como dieléctrico (aprenderá más sobre los dieléctricos en las secciones sobre dieléctricos más adelante en este capítulo). La cantidad de almacenamiento en un condensador viene determinada por una propiedad llamada capacitancia , de la que aprenderá más adelante en esta sección. Los condensadores tienen aplicaciones que van desde el filtrado de la estática de la recepción de radio hasta el almacenamiento de energía en desfibriladores cardíacos. Normalmente, los condensadores comerciales tienen dos partes conductoras cercanas entre sí pero que no se tocan, como los de la . La mayoría de las veces se utiliza un dieléctrico entre las dos placas. Cuando los terminales de la batería se conectan a un condensador inicialmente sin carga, el potencial de la batería mueve una pequeña cantidad de carga de magnitud Q desde la placa positiva a la negativa. El condensador permanece neutral en general, pero con cargas + Q y − Q que residen en placas opuestas. Los dos condensadores mostrados aquí estaban inicialmente sin cargar antes de ser conectados a una batería. Ahora tienen cargas de + Q y − Q (respectivamente) en sus placas. (a) Un condensador de placas paralelas consta de dos placas de carga opuesta con área A separadas por una distancia d . (b) Un condensador enrollado tiene un material dieléctrico entre sus dos láminas conductoras (placas). Un sistema compuesto por dos placas conductoras paralelas idénticas separadas por una distancia se denomina condensador de placas paralelas ( ). La magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las placas paralelas es E = σ / ε 0 , donde σ denota la densidad de carga superficial en una placa (recordemos que σ es la carga Q por la superficie A ). Así, la magnitud del campo es directamente proporcional a Q . La separación de cargas en un condensador muestra que las cargas permanecen en las superficies de las placas del condensador. Las líneas de campo eléctrico en un condensador de placas paralelas comienzan con cargas positivas y terminan con cargas negativas. La magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las placas está en proporción directa a la cantidad de carga en el condensador. Los condensadores con diferentes características físicas (como la forma y el tamaño de sus placas) almacenan diferentes cantidades de carga para el mismo voltaje aplicado V a través de sus placas. La capacitancia C de un condensador se define como la relación entre la carga máxima Q que puede almacenarse en un condensador y el voltaje aplicado V a través de sus placas. En otras palabras, la capacitancia es la mayor cantidad de carga por voltio que se puede almacenar en el dispositivo: C = Q V . La unidad del SI de la capacitancia es el faradio (F), llamado así por Michael Faraday (1791-1867). Dado que la capacitancia es la carga por unidad de voltaje, un faradio es un culombio por un voltio, o 1 F = 1 C 1 V . Por definición, un condensador de 1,0 F es capaz de almacenar 1,0 C de carga (una cantidad muy grande de carga) cuando la diferencia de potencial entre sus placas es de solo 1,0 V. Un faradio es, por tanto, una capacitancia muy grande. Los valores típicos de capacitancia van desde los picofaradios ( 1 pF = 10 − 12 F ) a milifaradios ( 1 mF = 10 − 3 F ) , que también incluye microfaradios ( 1 μ F = 10 −6 F ). Los condensadores se pueden fabricar en varias formas y tamaños ( ). Estos son algunos de los condensadores típicos utilizados en los dispositivos electrónicos. El tamaño de un condensador no está necesariamente relacionado con su valor de capacitancia (créditos: Windell Oskay) Cálculo de capacitancia Podemos calcular la capacitancia de un par de conductores con la aproximación estándar que sigue. Cálculo de capacitancia Supongamos que el condensador tiene una carga Q . Determine el campo eléctrico E → entre los conductores. Si hay simetría en la disposición de los conductores, puede utilizar la ley de Gauss para este cálculo. Calcule la diferencia de potencial entre los conductores de V B − V A = − ∫ A B E → · d l → , donde el camino de integración va de un conductor a otro. La magnitud de la diferencia de potencial es entonces V = | V B − V A | . Conociendo V , obtenga la capacitancia directamente de la . Para mostrar cómo funciona este procedimiento, calculamos ahora las capacitancias de condensadores de placas paralelas, esféricas y cilíndricas. En todos los casos, suponemos condensadores de vacío (condensadores vacíos) sin sustancia dieléctrica en el espacio entre los conductores. Condensador de placas paralelas El condensador de placas paralelas ( ) tiene dos placas conductoras idénticas, cada una con una superficie A , separadas por una distancia d . Cuando se aplica un voltaje V al condensador, este almacena una carga Q , como se muestra. Podemos ver cómo su capacitancia puede depender de A y d considerando las características de la fuerza de Coulomb. Sabemos que la fuerza entre las cargas aumenta con los valores de carga y disminuye con la distancia entre ellas. Es de esperar que cuanto más grandes sean las placas, más carga podrán almacenar. Por lo tanto, C debería ser mayor para un valor mayor de A . Del mismo modo, cuanto más cerca estén las placas, mayor será la atracción de las cargas opuestas en ellas. Por lo tanto, C debería ser mayor para una d más pequeña. En un condensador de placas paralelas con placas separadas por una distancia d , cada placa tiene la misma superficie A . Definimos la densidad de carga superficial σ en las placas como σ = Q A . Sabemos por los capítulos anteriores que cuando d es pequeño, el campo eléctrico entre las placas es bastante uniforme (ignorando los efectos de borde) y que su magnitud viene dada por E = σ ε 0 , donde la constante ε 0 es la permeabilidad del espacio libre, ε 0 = 8,85 × 10 −12 F/m . La unidad SI de F/m equivale a C 2 / N · m 2 . Dado que el campo eléctrico E → entre las placas es uniforme, la diferencia de potencial entre las placas es V = E d = σ d ε 0 = Q d ε 0 A . Por lo tanto, la da la capacitancia de un condensador de placas paralelas como C = Q V = Q Q d / ε 0 A = ε 0 A d . Observe en esta ecuación que la capacitancia es una función solo de la geometría y del material que llena el espacio entre las placas (en este caso, el vacío) de este condensador. De hecho, esto es cierto no solo para un condensador de placas paralelas, sino para todos los condensadores: La capacitancia es independiente de Q o V . Si la carga cambia, el potencial cambia correspondientemente, de modo que Q / V permanece constante. Capacitancia y carga almacenada en un condensador de placas paralelas (a) ¿Cuál es la capacitancia de un condensador vacío de placas paralelas con placas de metal que tienen cada una un área de 1,00 m 2 , separados por 1,00 mm? (b) ¿Cuánta carga se almacena en este condensador si se aplica un voltaje de 3,00 × 10 3 V ? Estrategia Encontrar la capacitancia C es una aplicación directa de la . Una vez que hallamos C , podemos calcular la carga almacenada utilizando la . Solución Al introducir los valores dados en la se obtiene C = ε 0 A d = ( 8,85 × 10 −12 F m ) 1,00 m 2 1,00 × 10 −3 m = 8,85 × 10 −9 F = 8,85 nF . Este pequeño valor de capacitancia indica lo difícil que es fabricar un dispositivo con una gran capacitancia. Al invertir la y al introducir los valores conocidos en esta ecuación se obtiene Q = C V = ( 8,85 × 10 −9 F ) ( 3,00 × 10 3 V ) = 26,6 μ C . Importancia Esta carga es solo ligeramente superior a las que se encuentran en las aplicaciones típicas de electricidad estática. Dado que el aire se descompone (se vuelve conductor) a una intensidad de campo eléctrico de aproximadamente 3,0 MV/m, no se puede almacenar más carga en este condensador aumentando el voltaje. Un condensador de placas paralelas de 1 F Suponga que desea construir un condensador de placas paralelas con una capacitancia de 1,0 F. ¿Qué área debe utilizar para cada placa si estas están separadas por 1,0 mm? Solución Al reordenar la , obtenemos A = C d ε 0 = ( 1,0 F ) ( 1,0 × 10 −3 m ) 8,85 × 10 −12 F / m = 1,1 × 10 8 m 2 . Cada placa cuadrada debería tener 10 km de ancho. Solía ser una broma común pedir a un estudiante que fuera al almacén del laboratorio y solicitara un condensador de placas paralelas 1 F, hasta que los encargados del almacén se cansaron de la broma. La capacitancia de un condensador de placas paralelas es de 2,0 pF. Si el área de cada placa es 2,4 cm 2 , ¿cuál es la separación de las placas? 1,1 × 10 −3 m Verifique que σ / V y ε 0 / d tienen las mismas unidades físicas. Condensador esférico Un condensador esférico es otro conjunto de conductores cuya capacitancia puede determinarse fácilmente ( ). Consta de dos capas esféricas conductoras concéntricas de radios R 1 (capa interior) y R 2 (capa exterior). Las capas tienen cargas iguales y opuestas + Q y − Q , respectivamente. Por simetría, el campo eléctrico entre las capas está dirigido radialmente hacia fuera. Podemos obtener la magnitud del campo al aplicar la ley de Gauss sobre una superficie esférica gaussiana de radio r concéntrica con las capas. La carga adjunta es + Q ; por lo tanto tenemos ∮ S E → · n ^ d A = E ( 4 π r 2 ) = Q ε 0 . Así, el campo eléctrico entre los conductores es E → = 1 4 π ε 0 Q r 2 r ^ . Sustituimos esto por E → en la y se integran a lo largo de una trayectoria radial entre las capas: V = ∫ R 1 R 2 E → · d l → = ∫ R 1 R 2 ( 1 4 π ε 0 Q r 2 r ^ ) · ( r ^ d r ) = Q 4 π ε 0 ∫ R 1 R 2 d r r 2 = Q 4 π ε 0 ( 1 R 1 − 1 R 2 ) . En esta ecuación, la diferencia de potencial entre las placas es V = − ( V 2 − V 1 ) = V 1 − V 2 . Sustituimos este resultado en la para calcular la capacitancia de un condensador esférico: C = Q V = 4 π ε 0 R 1 R 2 R 2 − R 1 . Un condensador esférico está formado por dos esferas conductoras concéntricas. Observe que las cargas de un conductor residen en su superficie. Capacitancia de una esfera aislada Calcule la capacitancia de una esfera conductora aislada de radio R 1 y compárela con la en el límite como R 2 → ∞ . Estrategia Suponemos que la carga de la esfera es Q , por lo que seguimos los cuatro pasos señalados anteriormente. También suponemos que el otro conductor es una esfera hueca concéntrica de radio infinito. Solución En el exterior de una esfera conductora aislada, el campo eléctrico viene dado por la . La magnitud de la diferencia de potencial entre la superficie de una esfera aislada y el infinito es V = ∫ R 1 + ∞ E → · d l → = Q 4 π ε 0 ∫ R 1 + ∞ 1 r 2 r ^ · ( r ^ d r ) = Q 4 π ε 0 ∫ R 1 + ∞ d r r 2 = 1 4 π ε 0 Q R 1 . La capacitancia de una esfera aislada es por tanto C = Q V = Q 4 π ε 0 R 1 Q = 4 π ε 0 R 1 . Importancia Se puede obtener el mismo resultado si se tima el límite de la como R 2 → ∞ . Una sola esfera aislada equivale, por tanto, a un condensador esférico cuya cubierta exterior tiene un radio infinitamente grande. El radio de la esfera exterior de un condensador esférico es cinco veces el radio de su capa interior. ¿Cuáles son las dimensiones de este condensador si su capacitancia es de 5,00 pF? 3,59 cm, 17,98 cm Condensador cilíndrico Un condensador cilíndrico está formado por dos cilindros conductores concéntricos ( ). El cilindro interior, de radio R 1 , puede ser una capa o ser completamente sólido. El cilindro exterior es una capa de radio interior R 2 . Suponemos que la longitud de cada cilindro es l y que el exceso de cargas + Q y − Q residen en los cilindros interior y exterior, respectivamente. Un condensador cilíndrico está formado por dos cilindros concéntricos conductores. Aquí, la carga en la superficie exterior del cilindro interior es positiva (indicada por + ) y la carga en la superficie interior del cilindro exterior es negativa (indicada por − ). Sin tener en cuenta los efectos de borde, el campo eléctrico entre los conductores se dirige radialmente hacia fuera desde el eje común de los cilindros. Si se utiliza la superficie gaussiana mostrada en la , tenemos ∮ S E → · n ^ d A = E ( 2 π r l ) = Q ε 0 . Por lo tanto, el campo eléctrico entre los cilindros es E → = 1 2 π ε 0 Q r l r ^ . Aquí r ^ es el vector radial unitario a lo largo del radio del cilindro. Podemos sustituir en la y calcular la diferencia de potencial entre los cilindros: V = ∫ R 1 R 2 E → · d l → p = Q 2 π ε 0 l ∫ R 1 R 2 1 r r ^ · ( r ^ d r ) = Q 2 π ε 0 l ∫ R 1 R 2 d r r = Q 2 π ε 0 l dentro r | R 1 R 2 = Q 2 π ε 0 l dentro R 2 R 1 . Así, la capacitancia de un condensador cilíndrico es C = Q V = 2 π ε 0 l dentro ( R 2 / R 1 ) . Como en otros casos, esta capacitancia depende únicamente de la geometría de la disposición de los conductores. Una aplicación importante de la es la determinación de la capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial , que se utiliza habitualmente para transmitir señales eléctricas que varían en el tiempo. Un cable coaxial está formado por dos conductores cilíndricos concéntricos separados por un material aislante. (Aquí suponemos un vacío entre los conductores, pero la física es cualitativamente casi la misma cuando el espacio entre los conductores está relleno por un dieléctrico). Esta configuración protege la señal eléctrica que se propaga por el conductor interno de los campos eléctricos parásitos externos al cable. La corriente fluye en direcciones opuestas en los conductores interiores y exteriores, y el conductor exterior suele estar conectado a tierra. Ahora, a partir de la , la capacitancia por unidad de longitud del cable coaxial viene dada por C l = 2 π ε 0 dentro ( R 2 / R 1 ) . En las aplicaciones prácticas, es importante seleccionar valores específicos de C / l . Esto puede lograrse con la elección adecuada de los radios de los conductores y del material aislante entre ellos. Cuando un condensador cilíndrico recibe una carga de 0,500 nC, se mide una diferencia de potencial de 20,0 V entre los cilindros. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este sistema? (b) Si los cilindros tienen 1,0 m de longitud, ¿cuál es la relación de sus radios? a. 25,0 pF; b. 9,2 En la se muestran varios tipos de condensadores prácticos. Los condensadores comunes suelen estar formados por dos pequeños trozos de lámina de metal separados por dos pequeños trozos de aislamiento (vea la (b)). La lámina de metal y el aislamiento están envueltos en una capa protectora, y se utilizan dos cables de metal para conectar las láminas a un circuito externo. Algunos materiales aislantes comunes son la mica, la cerámica, el papel y el revestimiento antiadherente de Teflon™. Otro tipo popular de condensador es el condensador electrolítico . Está compuesto por un metal oxidado en una pasta conductora. La principal ventaja de un condensador electrolítico es su alta capacitancia en relación con otros tipos comunes de condensadores. Por ejemplo, la capacitancia de un tipo de condensador electrolítico de aluminio puede llegar a ser de 1,0 F. Sin embargo, hay que tener cuidado al utilizarlo en un circuito, porque solo funciona correctamente cuando la lámina de metal está a un potencial más alto que la pasta conductora. Cuando se produce la polarización inversa, la acción electrolítica destruye la película de óxido. Este tipo de condensador no puede conectarse a través de una fuente de corriente alterna, porque la mitad de las veces, el voltaje alterno tendría la polaridad equivocada, ya que la corriente alterna invierte su polaridad (ver Circuitos de corriente alterna en circuitos de corriente alterna). Un condensador variable de aire ( ) tiene dos conjuntos de placas paralelas. Un conjunto de placas es fijo (indicado como "estator") y el otro conjunto de placas está unido a un eje que puede girar (indicado como "rotor"). Al girar el eje, se puede cambiar el área de la sección transversal en la superposición de las placas; por lo tanto, la capacitancia de este sistema se puede ajustar a un valor deseado. La sintonización de condensadores tiene aplicaciones en cualquier tipo de transmisión de radio y en la recepción de señales de radio de dispositivos electrónicos. Cada vez que sintonice la radio de su automóvil en su emisora favorita, piense en la capacitancia. En un condensador variable de aire la capacitancia se puede ajustar al cambiar el área efectiva de las placas (créditos: modificación del trabajo de Robbie Sproule). Los símbolos mostrados en la son representaciones de circuitos de varios tipos de condensadores. Por lo general, utilizamos el símbolo que aparece en la (a). El símbolo en la (c) representa un condensador de capacitancia variable. Observe la similitud de estos símbolos con la simetría de un condensador de placas paralelas. Un condensador electrolítico se representa con el símbolo de la parte de la (b), donde la placa curva indica el terminal negativo. Esto muestra tres representaciones de circuitos diferentes de condensadores. El símbolo de (a) es el más utilizado. El símbolo en (b) representa un condensador electrolítico. El símbolo en (c) representa un condensador de capacitancia variable. Un interesante ejemplo aplicado de un modelo de condensador proviene de la biología celular y trata del potencial eléctrico en la membrana plasmática de una célula viva ( ). Las membranas celulares separan las células de su entorno, pero permiten que algunos iones seleccionados entren o salgan de la célula. La diferencia de potencial a través de una membrana es de unos 70 mV. La membrana celular puede tener un grosor de 7 a 10 nm. Al tratar la membrana celular como un nano condensador, la estimación de la intensidad de campo eléctrico más pequeña a través de sus "placas" arroja el valor E = V d = 70 × 10 −3 V 10 × 10 −9 m = 7 × 10 6 V/m > 3 MV/m . Esta magnitud de campo eléctrico es lo suficientemente grande como para crear una chispa eléctrica en el aire. La membrana semipermeable de una célula biológica tiene diferentes concentraciones de iones en su superficie interior que en la exterior. La difusión mueve el K + (potasio) y Cl – (cloruro) en las direcciones indicadas, hasta que la fuerza de Coulomb detiene la transferencia. De esta manera, el exterior de la membrana adquiere una carga positiva y su superficie interior adquiere una carga negativa, creando una diferencia de potencial a través de la membrana. Esta es normalmente impermeable a Na+ (iones de sodio). Visite las Exploraciones de PhET: Laboratorio de condensadores para explorar cómo funciona un condensador. Cambie el tamaño de las placas y añada un dieléctrico para ver el efecto en la capacitancia. Cambie el voltaje y vea las cargas acumuladas en las placas. Observe el campo eléctrico en el condensador. Mida el voltaje y el campo eléctrico. Resumen Un condensador es un dispositivo que almacena una carga eléctrica y energía eléctrica. La cantidad de carga que puede almacenar un condensador de vacío depende de dos factores principales: el voltaje aplicado y las características físicas del condensador, como su tamaño y geometría. La capacitancia de un condensador es un parámetro que nos indica la cantidad de carga que se puede almacenar en él por unidad de diferencia de potencial entre sus placas. La capacitancia de un sistema de conductores depende únicamente de la geometría de su disposición y de las propiedades físicas del material aislante que rellena el espacio entre los conductores. La unidad de capacitancia es el faradio, donde 1 F = 1 C / 1 V . Preguntas conceptuales ¿La capacitancia de un dispositivo depende del voltaje aplicado? ¿La capacitancia de un dispositivo depende de la carga que reside en él? no; sí ¿Colocaría las placas de un condensador de placas paralelas más juntas o más separadas para aumentar su capacitancia? El valor de la capacitancia es cero si las placas no están cargadas. ¿Verdadero o falso? falso Si las placas de un condensador tienen áreas diferentes, ¿adquirirán la misma carga cuando el condensador esté conectado a una batería? ¿La capacitancia de un condensador esférico depende de la carga positiva o negativa de la esfera? no Problemas ¿Qué carga se almacena en un condensador de 180,0 - μ F cuando se le aplican 120,0 V? 21,6 mC Calcule la carga almacenada cuando se aplican 5,50 V a un condensador de 8,00 pF. Calcule el voltaje aplicado a un condensador de 2,00 - μ F cuando mantiene 3,10 μ C de carga. 1,55 V ¿Qué voltaje debe aplicarse a un condensador de 8,00 nF para almacenar 0,160 mC de carga? ¿Qué capacitancia se necesita para almacenar 3,00 μ C de carga a un voltaje de 120 V? 25,0 nF ¿Cuál es la capacitancia del terminal de un gran generador Van de Graaff, dado que almacena 8,00 mC de carga a un voltaje de 12,0 MV? Las placas de un condensador de placas paralelas vacío de capacitancia 5,0 pF están separadas 2,0 mm. ¿Cuál es el área de cada placa? 1,1 × 10 −3 m 2 Un condensador de vacío de 60,0 pF tiene un área de placa de 0,010 m 2 . ¿Cuál es la separación entre sus placas? Un conjunto de placas paralelas tiene una capacitancia de 5,0 µ F . ¿Cuánta carga hay que añadir a las placas para aumentar la diferencia de potencial entre ellas en 100 V? 500 µ C Considere que la Tierra es un conductor esférico de radio 6.400 km y calcule su capacitancia. Si la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico es de 20 pF/m, ¿cuál es la relación de los radios de los dos cilindros? 1:16 Un condensador de placas paralelas vacío tiene una capacitancia de 20 µ F . ¿Cuánta carga debe escaparse de sus placas para que el voltaje a través de ellas se reduzca en 100 V? capacitancia cantidad de carga almacenada por unidad de voltios condensador dispositivo que almacena carga eléctrica y energía eléctrica dieléctrico material aislante utilizado para rellenar el espacio entre dos placas condensador de placas paralelas sistema de dos placas conductoras paralelas idénticas separadas por una distancia

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Condensadores en serie y en paralelo Se pueden conectar varios condensadores entre sí para utilizarlos en diversas aplicaciones. Las conexiones múltiples de condensadores se comportan como un único condensador equivalente. La capacitancia total de este condensador único equivalente depende tanto de los condensadores individuales como de su conexión. Los condensadores pueden disponerse en dos tipos de conexiones simples y comunes, conocidas como en serie y en paralelo , para las que podemos calcular fácilmente la capacitancia total. Estas dos combinaciones básicas, en serie y en paralelo, también pueden utilizarse como parte de conexiones más complejas. La combinación en serie de condensadores La ilustra una combinación en serie de tres condensadores dispuestos en fila dentro del circuito. Como para cualquier condensador, la capacitancia de la combinación está relacionada con la carga y el voltaje mediante la . Cuando esta combinación en serie se conecta a una batería con voltaje V , cada uno de los condensadores adquiere una carga idéntica Q . Para explicarlo, primero hay que tener en cuenta que la carga de la placa conectada al terminal positivo de la batería es + Q y la carga en la placa conectada al terminal negativo es − Q . A continuación, se inducen cargas en las otras placas de modo que la suma de las cargas en todas las placas, y la suma de las cargas en cualquier par de placas del condensador, sea cero. Sin embargo, la caída de potencial V 1 = Q / C 1 en un condensador puede ser diferente de la caída de potencial V 2 = Q / C 2 en otro condensador, porque, generalmente, los condensadores pueden tener capacitancias diferentes. La combinación en serie de dos o tres condensadores se asemeja a un único condensador con una capacitancia menor. En general, cualquier número de condensadores conectados en serie equivale a un condensador cuya capacitancia (llamada capacitancia equivalente ) es menor que la menor de las capacitancias de la combinación en serie. La carga de este condensador equivalente es la misma que la de cualquier condensador en una combinación en serie: Es decir, todos los condensadores de una combinación en serie tienen la misma carga . Esto ocurre debido a la conservación de la carga en el circuito. Cuando una carga Q en un circuito en serie se retira de una placa del primer condensador (que denotamos como − Q ), debe colocarse en una placa del segundo condensador (que denotamos como + Q ) , y así sucesivamente. (a) Tres condensadores están conectados en serie. La magnitud de la carga en cada placa es Q . (b) La red de condensadores en (a) es equivalente a un condensador que tiene una capacitancia menor que cualquiera de las capacitancias individuales en (a), y la carga en sus placas es Q . Podemos calcular una expresión para la capacitancia total (equivalente) considerando los voltajes a través de los condensadores individuales. Los potenciales a través de los condensadores 1, 2 y 3 son, respectivamente, V 1 = Q / C 1 , V 2 = Q / C 2 y V 3 = Q / C 3 . Estos potenciales deben sumar el voltaje de la batería, dando el siguiente equilibrio de potencial: V = V 1 + V 2 + V 3 . El potencial V se mide a través de un condensador equivalente que mantiene la carga Q y tiene una capacitancia equivalente C S . Introduciendo las expresiones para V 1 , V 2 y V 3 , obtenemos Q C S = Q C 1 + Q C 2 + Q C 3 . Cancelando la carga Q , obtenemos una expresión que contiene la capacitancia equivalente, C S , de tres condensadores conectados en serie: 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 . Esta expresión puede generalizarse a cualquier número de condensadores en una red en serie. Combinación en serie Para los condensadores conectados en una combinación en serie , el recíproco de la capacitancia equivalente es la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales: 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + ⋯ . Capacitancia equivalente de una red en serie Calcule la capacitancia total de tres condensadores conectados en serie, dado que sus capacitancias individuales son 1,000 μ F , 5,000 μ F y 8,000 μ F . Estrategia Como solo hay tres condensadores en esta red podemos calcular la capacitancia equivalente utilizando la con tres términos. Solución Introducimos las capacitancias dadas en la : 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 = 1 1,000 μ F + 1 5,000 μ F + 1 8,000 μ F 1 C S = 1,325 μ F . Ahora invertimos este resultado y obtenemos C S = μ F 1,325 = 0,755 μ F . Importancia Tenga en cuenta que en una red de condensadores en serie la capacitancia equivalente es siempre menor que la menor capacitancia individual de la red. La combinación paralela de condensadores Una combinación en paralelo de tres condensadores, con una placa de cada condensador conectada a un lado del circuito y la otra placa conectada al otro lado, se ilustra en la (a). Como los condensadores están conectados en paralelo, todos tienen el mismo voltaje V en sus placas . Sin embargo, cada condensador de la red en paralelo puede almacenar una carga diferente. Para calcular la capacitancia equivalente C P de la red paralela, observamos que la carga total Q almacenada por la red es la suma de todas las cargas individuales: Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 . En el lado izquierdo de esta ecuación, utilizamos la relación Q = C P V , que se mantiene para toda la red. En el lado derecho de la ecuación, utilizamos las relaciones Q 1 = C 1 V , Q 2 = C 2 V , y Q 3 = C 3 V para los tres condensadores de la red. De esta manera obtenemos C P V = C 1 V + C 2 V + C 3 V . Esta ecuación, simplificada, es la expresión de la capacitancia equivalente de la red paralela de tres condensadores: C P = C 1 + C 2 + C 3 . Esta expresión es fácilmente generalizable a cualquier número de condensadores conectados en paralelo en la red. Combinación paralela Para los condensadores conectados en una combinación en paralelo , la capacitancia equivalente (neta) es la suma de todas las capacitancias individuales de la red, C P = C 1 + C 2 + C 3 + ⋯ . (a) Se conectan tres condensadores en paralelo. Cada condensador está conectado directamente a la batería. (b) La carga del condensador equivalente es la suma de las cargas de los condensadores individuales. Capacitancia equivalente de una red paralela Calcule la capacitancia neta de tres condensadores conectados en paralelo, dado que sus capacitancias individuales son 1,0 μ F , 5,0 μ F , y 8,0 μ F . Estrategia Como solo hay tres condensadores en esta red podemos calcular la capacitancia equivalente utilizando la con tres términos. Solución Introduciendo las capacitancias dadas en la se obtiene C P = C 1 + C 2 + C 3 = 1,0 μ F + 5,0 μ F + 8,0 μ F C P = 14,0 μ F . Importancia Observe que en una red paralela de condensadores la capacitancia equivalente es siempre mayor que cualquiera de las capacitancias individuales de la red. Las redes de condensadores suelen ser una combinación de conexiones en serie y en paralelo, como se muestra en . Para calcular la capacitancia neta de tales combinaciones, identificamos las partes que contienen solo conexiones en serie o solo en paralelo, y hallamos sus capacitancias equivalentes. Repetimos este proceso hasta que podamos determinar la capacitancia equivalente de toda la red. El siguiente ejemplo ilustra este proceso. (a) Este circuito contiene conexiones en serie y en paralelo de condensadores. (b) C 1 y C 2 están en serie; su capacitancia equivalente es C S . (c) La capacitancia equivalente C S se conecta en paralelo con C 3 . Así, la capacitancia equivalente de toda la red es la suma de C S y C 3 . Capacitancia equivalente de una red Calcule la capacitancia total de la combinación de condensadores que se muestra en la . Supongamos que las capacitancias se conocen con tres decimales ( C 1 = 1,000 μ F , C 2 = 5,000 μ F, C 3 = 8,000 μ F ) . Redondee su respuesta a tres decimales. Estrategia Primero identificamos qué condensadores están en serie y cuáles en paralelo. Condensadores C 1 y C 2 están en serie. Su combinación, denominada C S , está en paralelo con C 3 . Solución Dado que C 1 y C 2 están en serie, su capacitancia equivalente C S se obtiene con la : 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 = 1 1,000 μ F + 1 5,000 μ F = 1,200 μ F ⇒ C S = 0,833 μ F . Capacitancia C S se conecta en paralelo con la tercera capacitancia C 3 , por lo que utilizamos la para calcular la capacitancia equivalente C de toda la red: C = C S + C 3 = 0,833 μ F + 8,000 μ F = 8,833 μ F . Red de condensadores Determine la capacitancia neta C de la combinación de condensadores mostrada en la cuando las capacitancias son C 1 = 12,0 μ F , C 2 = 2,0 μ F , y C 3 = 4,0 μ F . Cuando se mantiene una diferencia de potencial de 12,0 V a través de la combinación, halle la carga y el voltaje a través de cada condensador. (a) Una combinación de condensadores. (b) Una combinación equivalente de dos condensadores. Estrategia Primero calculamos la capacitancia neta C 23 de la conexión en paralelo C 2 y C 3 . Entonces C es la capacitancia neta de la conexión en serie C 1 y C 23 . Utilizamos la relación C = Q / V para hallar las cargas Q 1 , Q 2 y Q 3 , y los voltajes V 1 , V 2 y V 3 , a través de los condensadores 1, 2 y 3, respectivamente. Solución La capacitancia equivalente para C 2 y C 3 es C 23 = C 2 + C 3 = 2,0 μ F + 4,0 μ F = 6,0 μ F . La combinación completa de tres condensadores equivale a dos condensadores en serie, 1 C = 1 12,0 μ F + 1 6,0 μ F = 1 4,0 μ F ⇒ C = 4,0 μ F . Considere la combinación equivalente de dos condensadores en la (b). Como los condensadores están en serie, tienen la misma carga, Q 1 = Q 23 . Además, los condensadores comparten la diferencia de potencial de 12,0 V, por lo que 12,0 V = V 1 + V 23 = Q 1 C 1 + Q 23 C 23 = Q 1 12,0 μ F + Q 1 6,0 μ F ⇒ Q 1 = 48,0 μ C . Ahora la diferencia de potencial a través del condensador 1 es V 1 = Q 1 C 1 = 48,0 μ C 12,0 μ F = 4,0 V . Como los condensadores 2 y 3 están conectados en paralelo, están a la misma diferencia de potencial: V 2 = V 3 = 12,0 V − 4,0 V = 8,0 V . Por lo tanto, las cargas de estos dos condensadores son, respectivamente, Q 2 = C 2 V 2 = ( 2,0 μ F ) ( 8,0 V ) = 16,0 μ C, Q 3 = C 3 V 3 = ( 4,0 μ F ) ( 8,0 V ) = 32,0 μ C . Importancia Como se esperaba, la carga neta en la combinación paralela de C 2 y C 3 es Q 23 = Q 2 + Q 3 = 48,0 μ C . Determine la capacitancia neta C de cada red de condensadores que se muestra a continuación. Supongamos que C 1 = 1,0 pF , C 2 = 2,0 pF , C 3 = 4,0 pF y C 4 = 5,0 pF . Calcule la carga de cada condensador suponiendo que hay una diferencia de potencial de 12,0 V en cada red. a. C = 0,86 pF, Q 1 = 10 pC, Q 2 = 3,4 pC, Q 3 = 6,8 pC ; b. C = 2,3 pF, Q 1 = 12 pC, Q 2 = Q 3 = 16 pC ; c. C = 2,3 pF, Q 1 = 9,0 pC, Q 2 = 18 pC, Q 3 = 12 pC, Q 4 = 15 pC Resumen Cuando se conectan varios condensadores en una combinación en serie, el recíproco de la capacitancia equivalente es la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales. Cuando se conectan varios condensadores en una combinación en paralelo, la capacitancia equivalente es la suma de las capacitancias individuales. Cuando una red de condensadores contiene una combinación de conexiones en serie y en paralelo, identificamos las redes en serie y en paralelo, y calculamos sus capacitancias equivalentes paso a paso hasta que toda la red se reduce a una capacitancia equivalente. Preguntas conceptuales Si quieres almacenar una gran cantidad de carga en una batería de condensadores, ¿conectarías los condensadores en serie o en paralelo? Explique. ¿Cuál es la máxima capacitancia que se puede obtener conectando tres 1,0 - μ F condensadores? ¿Cuál es la capacitancia mínima? 3,0 μ F , 0,33 μ F Problemas Un condensador de 4,00 pF está conectado en serie con un condensador de 8,00 pF y se aplica una diferencia de potencial de 400 V a través del par. (a) ¿Cuál es la carga de cada condensador? (b) ¿Cuál es el voltaje a través de cada condensador? a. 1,07 nC; b. 267 V, 133 V Tres condensadores, con capacitancias de C 1 = 2,0 μ F , C 2 = 3,0 μ F y C 3 = 6,0 μ F, respectivamente, están conectados en paralelo. Se aplica una diferencia de potencial de 500 V a través de la combinación. Determine el voltaje a través de cada condensador y la carga de cada condensador. Calcule la capacitancia total de esta combinación de condensadores en serie y en paralelo que se muestra a continuación. 0,29 μ F Supongamos que necesitas una batería de condensadores con una capacitancia total de 0,750 F pero solo tienes condensadores de 1,50 mF a su disposición. ¿Cuál es el menor número de condensadores que podría conectar para lograr su meta y cómo los conectaría? 500 condensadores; conectados en paralelo ¿Qué capacitancias totales se pueden hacer conectando un 5,00 - μ F y un 8,00 - μ F condensador? 3,08 μ F (serie) y 13,0 μ F (en paralelo) Calcule la capacitancia equivalente de la combinación de condensadores en serie y en paralelo que se muestra a continuación. Calcule la capacitancia neta de la combinación de condensadores en serie y en paralelo que se muestra a continuación. 11,4 μ F Un condensador de 40 pF se carga hasta una diferencia de potencial de 500 V. A continuación se conectan sus terminales a los de un condensador de 10 pF sin cargar. Calcule: (a) la carga original en el condensador de 40 pF; (b) la carga en cada condensador después de realizar la conexión; y (c) la diferencia de potencial a través de las placas de cada condensador después de la conexión. Un resistor de 2,0 - μ F y un condensador de 4,0 - μ F condensador están conectados en serie a través de un potencial de 1,0 kV. A continuación, los condensadores cargados se desconectan de la fuente y se conectan entre sí con terminales de signo similar. Halle la carga de cada condensador y el voltaje a través de cada condensador. 0.89 mC; 1,78 mC; 444 V combinación paralela componentes en un circuito dispuestos con un lado de cada componente conectado a un lado del circuito y los otros lados de los componentes conectados al otro lado del circuito combinación en serie componentes de un circuito dispuestos en fila uno tras otro en un circuito

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