Fuerza centrípeta En Movimiento en dos y tres dimensiones , examinamos los conceptos básicos del movimiento circular. Un objeto que experimenta un movimiento circular, como uno de los autos de carreras mostrados al principio de este capítulo, debe estar acelerando porque está cambiando la dirección de su velocidad. Demostramos que esta aceleración dirigida al centro, llamada aceleración centrípeta , está dada por la fórmula a c = v 2 r donde v es la velocidad del objeto, dirigida a lo largo de una línea tangente a la curva en cualquier instante. Si conocemos la velocidad angular ω , entonces podemos utilizar a c = r ω 2 . La velocidad angular da la proporción con la que el objeto gira a través de la curva, en unidades de rad/s. Esta aceleración actúa a lo largo del radio de la trayectoria curva, por lo que también se denomina aceleración radial. La fuerza deberá producir la aceleración. Cualquier fuerza o combinación de fuerzas puede provocar una aceleración centrípeta o radial. Algunos ejemplos son la tensión en la cuerda de un balón atado a un poste ( tether ball ), la fuerza de la gravedad terrestre en la Luna, la fricción entre los patines y el suelo de una pista de patinaje, la fuerza de una calzada con peralte sobre un auto y las fuerzas en el tubo de una centrífuga que gira. Cualquier fuerza neta que cause un movimiento circular uniforme se denomina fuerza centrípeta . La dirección de una fuerza centrípeta es hacia el centro de curvatura, igual que la dirección de la aceleración centrípeta. Según la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza neta es la masa por la aceleración: F neta = m a . Para un movimiento circular uniforme, la aceleración es la aceleración centrípeta: . a = a c . Por lo tanto, la magnitud de la fuerza centrípeta F c es F c = m a c . Al sustituir las expresiones para la aceleración centrípeta a c ( a c = v 2 r ; a c = r ω 2 ) , obtenemos dos expresiones para la fuerza centrípeta F c en términos de masa, velocidad, velocidad angular y radio de la curvatura: F c = m v 2 r ; F c = m r ω 2 . Puede utilizar la expresión de la fuerza centrípeta que más le convenga. La fuerza centrípeta F → c es siempre perpendicular a la trayectoria y apunta al centro de curvatura, porque a → c es perpendicular a la velocidad y apunta al centro de curvatura. Observe que, si se resuelve la primera expresión para r , obtiene r = m v 2 F c . Esto implica que, para una masa y una velocidad dadas, una fuerza centrípeta grande provoca un radio de curvatura pequeño, es decir, una curva cerrada, como en la . La fuerza de fricción suple la fuerza centrípeta y es numéricamente igual a ella. La fuerza centrípeta es perpendicular a la velocidad y provoca un movimiento circular uniforme. Cuanto más grande sea la F c , menor será el radio de curvatura r y más pronunciada será la curva. La segunda curva tiene la misma v , pero una mayor F c produce un r ′ más pequeño. ¿Qué coeficiente de fricción necesitan los autos en una curva plana? (a) Calcule la fuerza centrípeta ejercida sobre un auto de 900,0 kg que recorre una curva de 500,0 m de radio a 25,00 m/s. (b) Suponiendo una curva sin peralte, halle el mínimo coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y la carretera, siendo la fricción estática la que impide que el auto resbale ( ). Este auto en terreno llano se aleja y gira a la izquierda. La fuerza centrípeta que hace que el auto gire en una trayectoria circular se debe a la fricción entre los neumáticos y la carretera. Se necesita un mínimo coeficiente de fricción; de otra manera, el auto se moverá en una curva de mayor radio y se saldrá de la calzada. Estrategia Sabemos que F c = m v 2 r . Así, F c = m v 2 r = ( 900,0 kg ) ( 25,00 m/s ) 2 ( 500,0 m ) = 1.125 N . La muestra las fuerzas que actúan sobre el auto en una curva sin peralte (terreno llano). La fricción está a la izquierda, lo que impide que el auto resbale, y como es la única fuerza horizontal que actúa sobre el auto, la fricción es la fuerza centrípeta en este caso. Sabemos que la fricción estática máxima (con la que los neumáticos ruedan pero no resbalan) es μ s N , donde μ s es el coeficiente de fricción estática y N es la fuerza normal. La fuerza normal es igual al peso del auto sobre terreno llano, por lo que N = m g . Así, la fuerza centrípeta en esta situación es F c ≡ f = μ s N = μ s m g . Ahora tenemos una relación entre la fuerza centrípeta y el coeficiente de fricción. Al utilizar la ecuación F c = m v 2 r , obtenemos m v 2 r = μ s m g . Resolvemos esto para μ s , observamos que la masa se anula, y obtenemos μ s = v 2 r g . Al sustituir los valores conocidos, μ s = ( 25,00 m/s ) 2 ( 500,0 m ) ( 9,80 m/s 2 ) = 0,13 . (Como los coeficientes de fricción son aproximados, la respuesta se da con apenas dos dígitos). Importancia El coeficiente de fricción que se encuentra en la (b) es mucho menor que el que se encuentra normalmente entre los neumáticos y las carreteras. El auto sigue maniobrando en la curva si el coeficiente es superior a 0,13, ya que la fricción estática es una fuerza de respuesta, capaz de asumir un valor inferior, pero no superior a μ s N . Un coeficiente más alto también permitiría al auto tomar la curva a mayor rapidez, pero si el coeficiente de fricción es menor, la rapidez segura sería inferior a 25 m/s. Observe que la masa se anula, lo que implica que, en este ejemplo, no importa la carga del auto para maniobrar el giro. La masa se anula porque la fricción se supone proporcional a la fuerza normal, que a su vez es proporcional a la masa. Si la superficie de la carretera tuviera peralte, la fuerza normal sería mayor, como se explica a continuación. Un auto que se mueve a 96,8 km/h recorre una curva circular de radio 182,9 m en una carretera rural plana. ¿Cuál debe ser el coeficiente mínimo de fricción estática para que el auto no resbale? 0,40 Curvas con peralte Consideremos ahora las curvas con peralt e , en las que la pendiente de la carretera permite maniobrar en la curva ( ). Cuanto mayor sea el ángulo θ , más rápido se puede tomar la curva. Los circuitos de carreras, tanto de motos como de autos, por ejemplo, suelen tener curvas con peralte muy pronunciados. En una "curva con peralte ideal", el ángulo θ es tal que puede maniobrar en la curva a cierta rapidez sin la ayuda de la fricción entre los neumáticos y la carretera. Derivamos una expresión θ para una curva con peralte ideal y consideramos un ejemplo relacionado con ella. El auto en esta curva con peralte se aleja y gira a la izquierda. Para el peralte ideal , la fuerza externa neta es igual a la fuerza centrípeta horizontal en ausencia de fricción. Las componentes de la fuerza normal N en las direcciones horizontal y vertical deberán ser iguales a la fuerza centrípeta y al peso del auto, respectivamente. En los casos en que las fuerzas no son paralelas, lo más conveniente es considerar los componentes a lo largo de los ejes perpendiculares, en este caso, las direcciones vertical y horizontal. La muestra un diagrama de cuerpo libre para un auto en una curva con peralte sin fricción. Si el ángulo θ es ideal para la rapidez y el radio, entonces la fuerza externa neta es igual a la fuerza centrípeta necesaria. Las dos únicas fuerzas externas que actúan sobre el auto son su peso w → y la fuerza normal de la carretera N → . (Una superficie sin fricción puede ejercer solamente una fuerza perpendicular a la superficie, es decir, una fuerza normal). Estas dos fuerzas deberán sumarse para dar una fuerza externa neta que es horizontal hacia el centro de la curvatura y tiene magnitud m v 2 / r . Como esta es la fuerza crucial y es horizontal, utilizamos un sistema de coordenadas con ejes verticales y horizontales. Solo la fuerza normal tiene un componente horizontal, por lo que este deberá ser igual a la fuerza centrípeta, es decir, N sen θ = m v 2 r . Dado que el auto no abandona la superficie de la carretera, la fuerza vertical neta deberá ser cero, lo que significa que los componentes verticales de las dos fuerzas externas deberán ser iguales en magnitud y opuestas en dirección. En la , vemos que el componente vertical de la fuerza normal es N cos θ , y la única otra fuerza vertical es el peso del auto. Estas deberán ser iguales en magnitud; por lo tanto, N cos θ = m g . Ahora podemos combinar estas dos ecuaciones para eliminar N y obtener una expresión para θ , según se desee. Al resolver la segunda ecuación para N = m g / ( c o s θ ) y sustituir esto en la primera obtiene m g sen θ cos θ = m v 2 r m g tan θ = m v 2 r tan θ = v 2 r g . Al tomar la tangente inversa se obtiene θ = tan −1 ( v 2 r g ) . Esta expresión puede entenderse al considerar cómo θ depende de v y r . Un gran θ se obtiene para una v grande y un r pequeño. Es decir, las carreteras deben tener un peralte pronunciado para la rapidez elevada y las curvas cerradas. La fricción permite tomar la curva a mayor o menor rapidez que si la curva no tuviera fricción. Observe que θ no depende de la masa del vehículo. ¿Cuál es la rapidez ideal para tomar una curva cerrada con peralte pronunciado? Las curvas de algunos circuitos de pruebas y de carreras, como el Daytona International Speedway de Florida, tienen un peralte muy pronunciado. Este peralte, junto con la fricción de los neumáticos y las configuraciones de los autos muy estables, permite tomar las curvas a muy alta velocidad. Para ilustrarlo, calcule la rapidez a la que una curva de 100,0 m de radio con peralte a 31,0 ° debería conducirse si la carretera no tuviera fricción. Estrategia En primer lugar, observamos que todos los términos de la expresión para el ángulo ideal de una curva con peralte son conocidos, excepto la rapidez; por lo tanto, solo tenemos que reorganizarla para que la rapidez aparezca en el lado izquierdo y luego sustituir las cantidades conocidas. Solución A partir de tan θ = v 2 r g , obtenemos v = r g tan θ . Al observar que tan 31,0 ° = 0,609 , obtenemos v = ( 100,0 m ) ( 9,80 m/s 2 ) ( 0,609 ) = 24,4 m/s . Importancia Se trata de unos 165 km/h, lo que se corresponde con una curva con peralte muy pronunciado y bastante cerrada. La fricción de los neumáticos permite que el vehículo tome la curva a una rapidez mucho mayor. Los aviones también hacen virajes por ladeo. La fuerza de sustentación, debida a la fuerza del aire sobre el ala, actúa en ángulo recto con el ala. Cuando el avión se ladea, el piloto obtiene mayor sustentación de la necesaria para el vuelo nivelado. El componente vertical de la sustentación equilibra el peso del avión, y el componente horizontal acelera el avión. El ángulo de ladeo que se muestra en la viene dado por θ . Analizamos las fuerzas de la misma manera que tratamos el caso del auto que toma una curva con peralte. En un giro inclinado, el componente horizontal de la sustentación se desequilibra y acelera el avión. El componente normal de la sustentación equilibra el peso del avión. El ángulo de ladeo viene dado por θ . Compare el diagrama vectorial con el que se muestra en la . Acompañe a la mariquita en una exploración del movimiento rotacional. Rote el carrusel para cambiar su ángulo o elija una velocidad angular o una aceleración angular constantes. Explore cómo el movimiento circular se relaciona con la posición xy del insecto, la velocidad y la aceleración mediante el empleo de vectores o gráficos. El movimiento circular requiere una fuerza, la llamada fuerza centrípeta, que se dirige al eje de rotación. Este modelo de un carrusel simplificado demuestra esta fuerza. Fuerzas inerciales y marcos no inerciales (acelerados): la fuerza de Coriolis ¿Qué tienen en común el despegue de un avión de reacción, el giro de una esquina en un auto, el paseo en un carrusel y el movimiento circular de un ciclón tropical? Cada uno de ellos presenta fuerzas inerciales, es decir, fuerzas que simplemente parecen surgir del movimiento, porque el marco de referencia del observador acelera o rota. Al despegar en un jet, la mayoría de la gente estará de acuerdo en que se siente como si le empujaran hacia atrás en el asiento mientras el avión acelera por la pista. Sin embargo, un físico diría que usted tiende a permanecer inmóvil mientras el asiento le empuja hacia delante. Una experiencia aún más común ocurre cuando se toma una curva cerrada con el auto, por ejemplo, hacia la derecha ( ). Tiene la sensación de ser lanzado (es decir, forzado ) hacia la izquierda en relación con el auto. De nuevo, un físico diría que usted va en línea recta (recuerde la primera ley de Newton), pero que el auto se desplaza hacia la derecha, no que usted esté experimentando una fuerza desde la izquierda. (a) La conductora del auto se siente forzada hacia la izquierda con respecto al auto cuando hace un giro a la derecha. Se trata de una fuerza de inercia derivada del uso del auto como marco de referencia. (b) En el marco de referencia de la Tierra, la conductora se mueve en línea recta, obedeciendo la primera ley de Newton, y el auto se mueve hacia la derecha. No hay ninguna fuerza hacia la izquierda sobre la conductora en relación con la Tierra. En cambio, hay una fuerza hacia la derecha sobre el auto para hacerlo girar. Podemos conciliar estos puntos de vista examinando los marcos de referencia utilizados. Concentrémonos en las personas en un auto. Los pasajeros utilizan instintivamente el auto como marco de referencia, mientras que un físico podría utilizar la Tierra. El físico podría hacer esta elección porque la Tierra es casi un marco de referencia inercial, en el que todas las fuerzas tienen un origen físico identificable. En este marco de referencia, las leyes del movimiento de Newton adoptan la forma dada en Leyes de movimiento de Newton . El auto es un marco de referencia no inercial porque está acelerado hacia un lado. La fuerza hacia la izquierda que perciben los pasajeros de un auto es una fuerza inercial que no tiene origen físico (se debe puramente a la inercia del pasajero, no a ninguna causa física como la tensión, la fricción o la gravitación). El auto, al igual que el conductor, acelera hacia la derecha. Se dice que esta fuerza inercial es una fuerza inercial porque no tiene ningún origen físico, como la gravedad. Un físico elige el marco de referencia que sea más conveniente para la situación analizada. El físico no tiene ningún problema en incluir las fuerzas inerciales y la segunda ley de Newton, como es habitual, si eso es más conveniente, por ejemplo, en un carrusel o en un planeta en rotación. Los marcos de referencia no inerciales (acelerados) se utilizan cuando es útil hacerlo. Hay que tener en cuenta diferentes marcos de referencia al hablar del movimiento de un astronauta en una nave espacial que viaja a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, como apreciará en el estudio de la teoría especial de la relatividad. Ahora, demos un paseo mental en un carrusel, concretamente en un carrusel de parque infantil que rota rápidamente ( ). Usted toma el carrusel como marco de referencia porque ambos rotan juntos. Al rotar en ese marco de referencia no inercial, se siente una fuerza inercial que tiende a despedirlo hacia afuera; esto se denomina fuerza centrífuga (no confundirla con la fuerza centrípeta). La fuerza centrífuga es un término que se utiliza comúnmente, pero en realidad no existe. Debe agarrarse con fuerza para contrarrestar su inercia (que la gente denomina fuerza centrífuga). En el marco de referencia de la Tierra, no hay ninguna fuerza que intente despedirlo hacia afuera; subrayamos que la fuerza centrífuga es una ficción. Tiene que agarrarse para ir en círculo, porque, de lo contrario, iría en línea recta, justo fuera del carrusel, de acuerdo con la primera ley de Newton. Sin embargo, la fuerza que se ejerce actúa hacia el centro del círculo. (a) Una persona que se monta en un carrusel tiene la sensación de salir despedido hacia afuera. Esta fuerza inercial a veces se denomina erróneamente fuerza centrífuga en un intento por explicar el movimiento de la persona montada en el marco de referencia rotativo. (b) En un marco de referencia inercial y según las leyes de Newton, es su inercia la que lo arrastra (la persona sin sombrear tiene F neta = 0 y se dirige en línea recta). Una fuerza, F centrípeta , es necesaria para provocar una trayectoria circular. Este efecto inercial, que lo aleja del centro de rotación si no hay una fuerza centrípeta que provoque un movimiento circular, se aprovecha en las centrífugas ( ). Una centrífuga hace girar una muestra muy rápidamente, como se ha mencionado anteriormente en este capítulo. Visto desde el marco de referencia rotativo, la fuerza inercial lanza las partículas hacia el exterior, lo que acelera su sedimentación. Cuanto mayor sea la velocidad angular, mayor será la fuerza centrífuga. Sin embargo, lo que realmente ocurre es que la inercia de las partículas las lleva a lo largo de una línea tangente al círculo, mientras que el tubo de ensayo es forzado en una trayectoria circular por una fuerza centrípeta. Las centrífugas utilizan la inercia para realizar su tarea. Las partículas del sedimento fluido se depositan porque su inercia las aleja del centro de rotación. La gran velocidad angular de la centrífuga acelera la sedimentación. Al final, las partículas entran en contacto con las paredes del tubo de ensayo, que aportan la fuerza centrípeta necesaria para que se muevan en un círculo de radio constante. Consideremos ahora lo que ocurre si algo se mueve en un marco de referencia rotativo. Por ejemplo, ¿qué ocurre si desliza una pelota directamente desde el centro del carrusel, como se muestra en la ? La pelota sigue una trayectoria recta con respecto a la Tierra (suponiendo una fricción despreciable) y una trayectoria curvada hacia la derecha en la superficie del carrusel. Una persona situada junto al carrusel ve que la pelota se mueve en línea recta y que el carrusel rota debajo de ella. En el marco de referencia del carrusel, explicamos la aparente curva hacia la derecha mediante una fuerza de inercia, llamada fuerza de Coriolis , que hace que la pelota se curve hacia la derecha. Cualquiera puede utilizar la fuerza de Coriolis en ese marco de referencia para explicar por qué los objetos siguen trayectorias curvas y nos permite aplicar las leyes de Newton en marcos de referencia no inerciales. Observando la rotación en sentido contrario de las agujas del reloj de un carrusel, vemos que una pelota que se desliza directamente hacia el borde sigue una trayectoria curvada hacia la derecha. La persona desliza la pelota hacia el punto B , partiendo del punto A . Ambos puntos rotan hasta las posiciones sombreadas ( A ' y B ') que se muestran en el tiempo que la pelota sigue la trayectoria curva en el marco rotativo y una trayectoria recta en el marco de la Tierra. Hasta ahora, hemos considerado que la Tierra es un marco de referencia inercial, sin preocuparse por los efectos debidos a su rotación. Sin embargo, estos efectos existen , por ejemplo, en la rotación de los sistemas meteorológicos. La mayoría de las consecuencias de la rotación de la Tierra pueden entenderse cualitativamente por analogía con el carrusel. Vista desde el Polo Norte, la Tierra rota en sentido contrario de las agujas del reloj, al igual que el carrusel en la . Como en el carrusel, cualquier movimiento en el hemisferio norte de la Tierra experimenta una fuerza de Coriolis hacia la derecha. Lo contrario ocurre en el hemisferio sur; allí, la fuerza es hacia la izquierda. Dado que la velocidad angular de la Tierra es pequeña, la fuerza de Coriolis suele ser despreciable, pero para los movimientos a gran escala, como los patrones de viento, tiene efectos sustanciales. La fuerza de Coriolis hace que los huracanes del hemisferio norte roten en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que los ciclones tropicales del hemisferio sur rotan en el sentido de las agujas del reloj. (Los términos huracán, tifón y tormenta tropical son nombres regionales específicos para los ciclones, que son sistemas de tormentas caracterizados por centros de baja presión, fuertes vientos y lluvias intensas). La ayuda a mostrar cómo se producen estas rotaciones. El aire fluye hacia cualquier región de baja presión, y los ciclones tropicales contienen presiones particularmente bajas. Así, los vientos fluyen hacia el centro de un ciclón tropical o de un sistema meteorológico de baja presión en la superficie. En el hemisferio norte, estos vientos de entrada se desvían hacia la derecha, como se muestra en la figura, lo que produce una circulación en sentido contrario a las agujas del reloj en la superficie para las zonas de baja presión de cualquier tipo. Las bajas presiones en la superficie se asocian al ascenso del aire, que también produce el enfriamiento y la formación de nubes, lo que hace que los patrones de bajas presiones sean bastante visibles desde el espacio. Por el contrario, la circulación del viento en torno a las zonas de alta presión se produce en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio sur, pero es menos visible porque las altas presiones se asocian al hundimiento del aire y producen cielos despejados. (a) La rotación en sentido contrario de las agujas del reloj de este huracán del hemisferio norte es una de las principales consecuencias de la fuerza de Coriolis. (b) Sin la fuerza de Coriolis, el aire fluiría directamente hacia una zona de baja presión, como la que se encuentra en los ciclones tropicales. (c) La fuerza de Coriolis desvía los vientos hacia la derecha y produce una rotación en sentido contrario de las agujas del reloj. (d) El viento que se aleja de una zona de alta presión también se desvía hacia la derecha y produce una rotación en sentido de las agujas del reloj. (e) La fuerza de Coriolis produce el sentido de rotación contrario en el hemisferio sur, lo que da lugar a los ciclones tropicales (créditos: a y créditos e. modificaciones del trabajo de la NASA). La rotación de los ciclones tropicales y la trayectoria de una pelota en un carrusel se explican igualmente por la inercia y la rotación del sistema que hay debajo. Cuando se utilizan marcos no inerciales, hay que inventar fuerzas inerciales, como la fuerza de Coriolis, para explicar la trayectoria curva. No existe ninguna fuente física identificable para estas fuerzas de inercia. En un marco inercial, la inercia explica la trayectoria, y no se encuentra ninguna fuerza sin una fuente identificable. Cualquiera de los dos puntos de vista nos permite describir la naturaleza, pero un punto de vista en un marco inercial es el más simple, en el sentido de que todas las fuerzas tienen orígenes y explicaciones. Resumen La fuerza centrípeta F → c es una fuerza de "búsqueda de centro" que siempre apunta hacia el centro de rotación. Es perpendicular a la velocidad lineal y tiene la magnitud F c = m a c . Los marcos de referencia rotativos y acelerados son no inerciales. Las fuerzas inerciales, como la fuerza de Coriolis, son necesarias para explicar el movimiento en esos marcos. Preguntas conceptuales Si desea reducir el estrés (que está relacionado con la fuerza centrípeta) en los neumáticos de alta velocidad, ¿utilizaría neumáticos de diámetro grande o pequeño? Explique. Defina la fuerza centrípeta. ¿Puede cualquier tipo de fuerza (por ejemplo, la tensión, la fuerza gravitatoria, la fricción, etc.) ser una fuerza centrípeta? ¿Puede cualquier combinación de fuerzas ser una fuerza centrípeta? La fuerza centrípeta se define como cualquier fuerza neta que provoca un movimiento circular uniforme. La fuerza centrípeta no es un nuevo tipo de fuerza. La etiqueta "centrípeta" se refiere a cualquier fuerza que mantiene algo girando en un círculo. Esa fuerza puede ser la tensión, la gravedad, la fricción, la atracción eléctrica, la fuerza normal o cualquier otra fuerza. Cualquier combinación de ellas podría ser la fuente de la fuerza centrípeta; por ejemplo, la fuerza centrípeta en la parte superior de la trayectoria de un balón atado a un poste ( tether ball ) que se balancea a través de un círculo vertical es el resultado tanto de la tensión como de la gravedad. Si la fuerza centrípeta se dirige hacia el centro, ¿por qué siente que es "lanzado" lejos del centro cuando un auto toma una curva? Explique. Los conductores de autos de carreras suelen cortar las curvas, como se muestra a continuación (Trayectoria 2). Explique cómo esto permite tomar la curva a la mayor rapidez. El conductor que corta la curva (en la Trayectoria 2) tiene una curva más gradual, con un radio mayor. Esa será la mejor línea de carrera. Si el conductor va demasiado rápido en una curva por una línea de carrera, seguirá deslizándose fuera de la pista; la clave es mantenerse en el valor máximo de fricción estática. Por lo tanto, el conductor quiere la máxima rapidez posible y la máxima fricción. Considere la ecuación de la fuerza centrípeta: F c = m v 2 r donde v es la rapidez y r es el radio de curvatura. Por lo tanto, al disminuir la curvatura (1/ r ) de la trayectoria que sigue el auto, reducimos la cantidad de fuerza que los neumáticos tienen que ejercer sobre la carretera, lo que significa que ahora podemos aumentar la rapidez, v . Desde el punto de vista del conductor en la Trayectoria 1, podemos razonar de la siguiente manera: cuanto más pronunciado sea el giro, menor será el radio de giro; cuanto menor sea el radio de giro, mayor será la fuerza centrípeta necesaria. Si no se ejerce esta fuerza centrípeta, el resultado es un derrape. Muchos parques de atracciones tienen atracciones que hacen giros circulares verticales como el que se muestra a continuación. Por seguridad, los vagones se fijan a los rieles de forma que no puedan caerse. Si el vagón pasa por encima a la rapidez adecuada, solo la gravedad suministrará la fuerza centrípeta. Qué otra fuerza actúa y cuál es su dirección si: (a) ¿El vagón pasa por encima a una rapidez mayor a la indicada? (b) ¿El vagón pasa por encima a una rapidez inferior a la indicada? ¿Qué hace que se elimine el agua de la ropa en una secadora? El tambor de la secadora ejerce una fuerza centrípeta sobre la ropa (incluidas las gotas de agua) para mantenerla en movimiento en una trayectoria circular. Cuando una gota de agua llegue a uno de los agujeros del tambor, se moverá en una trayectoria tangente al círculo. Cuando un patinador forma un círculo, ¿qué fuerza es la responsable de realizar su giro? Utilice un diagrama de cuerpo libre en su respuesta. Supongamos que una niña está montada en un carrusel a una distancia aproximada de la mitad de su centro y su borde. Tiene una fiambrera apoyada en papel encerado, de modo que hay muy poca fricción entre ella y el carrusel. ¿Qué trayectoria tomará la fiambrera cuando la suelte? La fiambrera deja un rastro de polvo sobre el carrusel. ¿Ese rastro es recto, curvado a la izquierda o curvado a la derecha? Razone su respuesta. Si no hay fricción, entonces no hay fuerza centrípeta. Esto significa que la fiambrera se moverá a lo largo de una trayectoria tangente al círculo, y por lo tanto sigue la trayectoria B . El rastro de polvo será recto. Esto es el resultado de la primera ley del movimiento de Newton. ¿Siente que lo tiran hacia un lado u otro cuando toma una curva con peralte ideal para la rapidez de su auto? ¿Cuál es la dirección de la fuerza ejercida sobre usted por el asiento del auto? Supongamos que una masa se mueve en una trayectoria circular sobre una mesa sin fricción como se muestra a continuación. En el marco de referencia de la Tierra, no hay ninguna fuerza centrífuga que hale a la masa del centro de rotación, pero sí hay una fuerza que estira la cuerda que une la masa al clavo. Utilizando conceptos relacionados con la fuerza centrípeta y la tercera ley de Newton, explique qué fuerza estira la cuerda, identificando su origen físico. Debe haber una fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular; esto lo proporciona el clavo en el centro. La tercera ley de Newton explica el fenómeno. La fuerza de acción es la fuerza de la cuerda sobre la masa; la fuerza de reacción es la fuerza de la masa sobre la cuerda. Esta fuerza de reacción hace que la cuerda se estire. Cuando se tira de la cadena de un inodoro o se vacía un fregadero, el agua (y otros materiales) empieza a rotar alrededor del desagüe en su descenso. Suponiendo que no hay rotación inicial y que el flujo es inicialmente recto hacia el desagüe, explique qué causa la rotación y qué dirección tiene en el hemisferio norte. (Tenga en cuenta que se trata de un efecto pequeño y que en la mayoría de los inodoros la rotación se debe a los chorros de agua direccionales). ¿Se invertiría el sentido de la rotación si el agua fuera forzada a subir por el desagüe? Un auto toma una curva y se encuentra con una placa de hielo con un coeficiente de fricción cinética muy bajo. El auto se sale de la carretera. Describa la trayectoria del auto al salir de la carretera. Como la fricción radial con los neumáticos suministra la fuerza centrípeta, y la fricción es casi 0 cuando el auto se encuentra con el hielo, el auto obedecerá la primera ley de Newton y se saldrá de la carretera en una trayectoria en línea recta, tangente a la curva. Un error común es que el auto seguirá una trayectoria curva fuera de la carretera. En una atracción del parque de atracciones, los pasajeros entran en un gran barril vertical y se colocan contra la pared sobre su suelo horizontal. El barril gira hacia arriba y el suelo cae. Los pasajeros se sienten como si estuvieran clavados a la pared por una fuerza parecida a la gravitatoria. Se trata de una fuerza inercial percibida y utilizada por los pasajeros para explicar los acontecimientos en el marco de referencia rotativo del barril. Explique en un marco de referencia inercial (la Tierra es casi uno) qué es lo que sujeta a los pasajeros a la pared, e identifique todas las fuerzas que actúan sobre ellos. Dos amigos mantienen una conversación. Anna dice que un satélite en órbita está en caída libre porque el satélite sigue cayendo hacia la Tierra. Tom afirma que un satélite en órbita no está en caída libre porque la aceleración debida a la gravedad no es 9,80 m/s 2 . ¿Con quién está de acuerdo y por qué? Anna tiene razón. El satélite cae libremente hacia la Tierra debido a la gravedad, aunque la gravedad es más débil a la altura del satélite, y g no es 9,80 m/s 2 . La caída libre no depende del valor de g ; es decir, se podría experimentar la caída libre en Marte si se saltara desde el monte Olimpo (el volcán más alto del sistema solar). Un marco de referencia no rotativo situado en el centro del Sol es casi un marco inercial. ¿Por qué no es exactamente un marco inercial? Problemas (a) Un niño de 22,0 kg está montado en un carrusel de un parque infantil que rota a 40,0 rev/min. ¿Qué fuerza centrípeta se ejerce si está a 1,25 m de su centro? (b) ¿Qué fuerza centrípeta se ejerce si el carrusel rota a 3,00 rev/min y él está a 8,00 m de su centro? (c) Compare cada fuerza con su peso. a. 483 N; b. 17,4 N; c. 2,24, 0,0807 Calcule la fuerza centrípeta en el extremo de un aspa de una turbina eólica de 100 m (de radio) que rota a 0,5 rev/s. Supongamos que la masa es de 4 kg. ¿Cuál es el ángulo de peralte ideal para un giro suave de 1,20 km de radio en una autopista con un límite de velocidad de 105 km/h (unas 65 mi/h), suponiendo que todo el mundo viaja al límite? 4,14 ° ¿Cuál es la rapidez ideal para tomar una curva de 100,0 m de radio con peralte a un ángulo de 20,0 ° ? (a) ¿Cuál es el radio de un giro de trineo con peralte de 75,0 ° y tomado a 30,0 m/s, suponiendo que tiene un peralte ideal? (b) Calcule la aceleración centrípeta. (c) ¿Le parece que esta aceleración es grande? a. 24,6 m; b 36,6 m/s 2 ; c. 3,73 por g Parte de montar en bicicleta implica inclinarse en el ángulo correcto al hacer un giro, como se ve a continuación. Para ser estable, la fuerza ejercida por el suelo debe estar en una línea que pase por el centro de gravedad. La fuerza sobre la rueda de la bicicleta puede resolverse en dos componentes perpendiculares: la fricción paralela a la carretera (que debe suministrar la fuerza centrípeta) y la fuerza normal vertical (que deberá ser igual al peso del sistema). (a) Demuestre que θ (definido como se muestra) está relacionado con la rapidez v y el radio de curvatura r de la curva de la misma manera que para una calzada con peralte ideal, es decir, θ = tan −1 ( v 2 / r g ) . (b) Calcule θ para un giro de 12,0 m/s de radio 30,0 m (como en una carrera). Si un auto toma una curva con peralte a una rapidez inferior a la ideal, la fricción es necesaria para evitar que se deslice hacia el interior de la curva (un problema en las carreteras de montaña con hielo). (a) Calcule la rapidez ideal para tomar una curva de 100,0 m de radio con peralte de 15,0 ° . b) ¿Cuál es el mínimo coeficiente de fricción necesario para que un conductor asustado tome la misma curva a 20,0 km/h? a. 16,2 m/s; b. 0,234 Las montañas rusas modernas tienen giros circulares verticales como el que se muestra aquí. El radio de curvatura es menor en la parte superior que en los laterales, de modo que la aceleración centrípeta descendente en la parte superior será mayor que la aceleración debida a la gravedad, lo que mantendrá a los pasajeros firmemente presionados a sus asientos. ¿Cuál es la rapidez de la montaña rusa en la parte superior del giro circular si el radio de curvatura allí es de 15,0 m y la aceleración hacia abajo del vagón es de 1,50 g ? Un niño de masa 40,0 kg está en un vagón de montaña rusa, que se desplaza en un giro circular de radio 7,00 m. En el punto A la velocidad del vagón es de 10,0 m/s, y en el punto B, la rapidez es de 10,5 m/s. Supongamos que el niño no se sujeta y no lleva cinturón de seguridad. (a) ¿Cuál es la fuerza del asiento del vagón sobre el niño en el punto A? (b) ¿Cuál es la fuerza del asiento del vagón sobre el niño en el punto B? (c) ¿Qué rapidez mínima es necesaria para mantener al niño en su asiento en el punto A? a. 179 N; b. 290 N; c. 8,3 m/s En el modelo de Bohr simple del estado fundamental del átomo de hidrógeno, el electrón viaja en una órbita circular alrededor de un protón fijo. El radio de la órbita es 5,28 × 10 −11 m, y la rapidez del electrón es 2,18 × 10 6 m / s . La masa de un electrón es 9,11 × 10 −31 kg . ¿Cuál es la fuerza sobre el electrón? Las vías férreas siguen una curva circular de 500,0 m de radio y con peralte a un ángulo de 5,0 ° . ¿Para qué trenes de qué rapidez están diseñadas estas vías? 20,7 m/s El acelerador de partículas del CERN es circular con una circunferencia de 7,0 km. (a) ¿Cuál es la aceleración de los protones ( m = 1,67 × 10 −27 kg ) que se mueven en torno al acelerador a 5 % de la velocidad de la luz? (La velocidad de la luz es v = 3,00 × 10 8 m/s . ) (b) ¿Cuál es la fuerza sobre los protones? Un auto rodea una curva sin peralte de radio de 65 m. Si el coeficiente de fricción estática entre la carretera y el auto es de 0,70, ¿cuál es la rapidez máxima a la que el auto puede atravesar la curva sin resbalar? 21 m/s Una autopista con peralte está diseñada para el tráfico que se mueve a 90,0 km/h. El radio de la curva es de 310 m. ¿Cuál es el ángulo de peralte de la carretera? curva con peralte curva en una carretera con una pendiente que permite al vehículo maniobrar en la curva fuerza centrípeta cualquier fuerza neta que cause un movimiento circular uniforme fuerza de Coriolis fuerza inercial que causa la desviación aparente de los objetos en movimiento cuando se ven en un marco de referencia rotativo peralte ideal pendiente de una curva en una carretera, donde el ángulo de la pendiente permite al vehículo maniobrar en la curva a una determinada rapidez, sin la ayuda de la fricción entre los neumáticos y la carretera; la fuerza externa neta sobre el vehículo es igual a la fuerza centrípeta horizontal en ausencia de fricción fuerza inercial fuerza que no tiene origen físico marco de referencia no inercial marco de referencia acelerado

Ciencia


Fuerza de arrastre y velocidad límite Otra fuerza interesante en la vida cotidiana es la fuerza de arrastre sobre un objeto cuando se mueve en un fluido (ya sea un gas o un líquido). Siente la fuerza de arrastre cuando usted mueve la mano en el agua. También puede sentirla si mueve la mano durante un viento fuerte. Cuanto más rápido se mueva la mano, más difícil será el movimiento. Sentirá una menor fuerza de arrastre cuando incline la mano de manera que solo el lado pase por el aire: habrá disminuido el área de la mano que se enfrenta a la dirección del movimiento. Fuerzas de arrastre Al igual que la fricción, la fuerza de arrastre siempre se opone al movimiento de un objeto. A diferencia de la fricción simple, la fuerza de arrastre es proporcional a alguna función de la velocidad del objeto en ese fluido. Esta funcionalidad es complicada y depende de la forma del objeto, su tamaño, su velocidad y el fluido en el que se encuentra. Para la mayoría de los objetos grandes, como ciclistas, autos y pelotas de béisbol que no se mueven demasiado despacio, la magnitud de la fuerza de arrastre F D es proporcional al cuadrado de la rapidez del objeto. Podemos escribir esta relación matemáticamente como F D ∝ v 2 . Si se tienen en cuenta otros factores, esta relación se convierte en F D = 1 2 C ρ A v 2 , donde C es el coeficiente de arrastre, A es el área del objeto frente al fluido, y ρ es la densidad del fluido. (Recordemos que la densidad es la masa por unidad de volumen). Esta ecuación también puede escribirse de forma más generalizada como F D = b v n , donde b es una constante equivalente a 0,5 C ρ A . Hemos fijado el exponente n para estas ecuaciones en 2 porque, cuando un objeto se mueve a gran velocidad por el aire, la magnitud de la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la rapidez. Como veremos en Mecánica de fluidos , para partículas pequeñas que se mueven a poca rapidez en un fluido, el exponente n es igual a 1. Fuerza de arrastre Fuerza de arrastre F D es proporcional al cuadrado de la rapidez del objeto. Matemáticamente, F D = 1 2 C ρ A v 2 , donde C es el coeficiente de arrastre , A es el área del objeto frente al fluido, y ρ es la densidad del fluido. Tanto los atletas como los diseñadores de autos buscan reducir la fuerza de arrastre para disminuir su tiempo de carrera ( ). La configuración aerodinámica de un automóvil puede reducir la fuerza de arrastre y, por ende, aumentar el kilometraje de un auto. Desde los autos de carreras hasta los corredores de trineo, la forma aerodinámica es crucial para alcanzar velocidades máximas. Los trineos de carreras están diseñados para la rapidez y tienen forma de bala con aletas cónicas (crédito: "Ejército de los EE. UU."/Wikimedia Commons). El valor del coeficiente de arrastre C se determina empíricamente, normalmente con el uso de un túnel de viento ( ). Investigadores de la NASA prueban un modelo de avión en un túnel de viento (créditos: NASA/Ames). El coeficiente de arrastre puede depender de la velocidad, pero aquí suponemos que es una constante. La enumera algunos coeficientes de arrastre típicos para una variedad de objetos. Observe que el coeficiente de arrastre es una cantidad sin dimensiones. A velocidades de autopista, más del 50 % de la potencia de un auto se utiliza para superar el arrastre del aire. La velocidad de crucero más eficiente en cuanto a consumo de combustible es de unos 70 a 80 km/h (unas 45 a 50 mi/h). Por esta razón, durante la crisis del petróleo de la década de los años 70 del siglo XX en los Estados Unidos, la velocidad máxima en las autopistas se fijó en unos 90 km/h (55 mi/h). Valores típicos del coeficiente de arrastre C Objeto C Perfil alar 0,05 Toyota Camry 0,28 Ford Focus 0,32 Honda Civic 0,36 Ferrari Testarossa 0,37 Dodge Ram Pickup 0,43 Esfera 0,45 Vehículo todoterreno Hummer H2 0,64 Paracaidista (con los pies por delante) 0,70 Bicicleta 0,90 Paracaidista (horizontal) 1,0 Placa plana circular 1,12 En el mundo del deporte se está investigando mucho para minimizar el arrastre. Los hoyuelos de las pelotas de golf se están rediseñando, al igual que la ropa que llevan los deportistas. Los ciclistas y algunos nadadores y corredores llevan trajes de cuerpo entero. La australiana Cathy Freeman llevó un traje de cuerpo entero en los Juegos Olímpicos de Sydney 2000 y ganó una medalla de oro en la carrera de 400 metros. Muchos nadadores de los Juegos Olímpicos de Pekín 2008 llevaban trajes de baño de cuerpo entero (Speedo), lo que podría haber marcado la diferencia a la hora de batir muchos récords mundiales ( ). La mayoría de los nadadores de élite (y los ciclistas) se afeitan el vello corporal. Estas innovaciones tendrían el efecto de recortar milésimas de segundo en una carrera, lo que a veces marca la diferencia entre una medalla de oro y una de plata. Una de las consecuencias es que hay que elaborar continuamente directrices cuidadosas y precisas para mantener la integridad del deporte. A los trajes de cuerpo entero, como este LZR Racer Suit, se les atribuye la ayuda en muchos récords mundiales luego de su lanzamiento en 2008. Una "piel" más suave y más fuerzas de compresión en el cuerpo del nadador proporcionan al menos 10 % menos arrastre (créditos: NASA/Kathy Barnstorff). Velocidad límite Algunas situaciones interesantes relacionadas con la segunda ley de Newton se producen al considerar los efectos de las fuerzas de arrastre sobre un objeto en movimiento. Por ejemplo, pensemos en un paracaidista que se lanza bajo la influencia de la gravedad. Las dos fuerzas que actúan sobre él son la fuerza de gravedad y la fuerza de arrastre (sin tomar en cuenta la pequeña fuerza de flotación). La fuerza de gravedad hacia abajo se mantiene constante, independientemente de la velocidad a la que se mueva la persona. Sin embargo, a medida que aumenta la velocidad de la persona, la magnitud de la fuerza de arrastre aumenta hasta que la magnitud de la fuerza de arrastre es igual a la fuerza gravitatoria, lo que produce una fuerza neta de cero. La fuerza neta de cero significa que no hay aceleración, como lo demuestra la segunda ley de Newton. En este punto, la velocidad de la persona permanece constante y decimos que la persona ha alcanzado su velocidad límite ( v T ) . Dado que F D es proporcional a la rapidez al cuadrado, un paracaidista más pesado deberá ir más rápido para que F D sea igual a su peso. Veamos cómo funciona esto de forma más cuantitativa. En la velocidad terminal, F neta = m g - F D = m a = 0 . Por lo tanto, m g = F D . Al utilizar la ecuación de la fuerza de arrastre, tenemos m g = 1 2 C ρ A v T 2 . Al resolver la velocidad, obtenemos v T = 2 m g ρ C A . Supongamos que la densidad del aire es ρ = 1,21 kg/m 3 . Un paracaidista de 75 kg que desciende de cabeza tiene un área transversal de aproximadamente A = 0,18 m 2 y un coeficiente de arrastre de aproximadamente C = 0,70 . Encontramos que v T = 2 ( 75 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) ( 1,21 kg/m 3 ) ( 0,70 ) ( 0,18 m 2 ) = 98 m/s = 350 km/h . Esto significa que un paracaidista con una masa de 75 kg alcanza una velocidad límite de unos 350 km/h mientras se desplaza en posición de cabeza, lo que minimiza el área y su resistencia. En una posición de águila extendida, esa velocidad límite puede disminuir a unos 200 km/h a medida que aumenta el área. Esta velocidad límite se reduce mucho después de que se abra el paracaídas. Velocidad límite de un paracaidista Halle la velocidad límite de un paracaidista de 85 kg que cae en posición de águila extendida. Estrategia Para la velocidad límite, F neta = 0 . Por lo tanto, la fuerza de arrastre sobre el paracaidista deberá ser igual a la fuerza de gravedad (el peso de la persona). Al utilizar la ecuación de la fuerza de arrastre, encontramos m g = 1 2 ρ C A v 2 . Solución La velocidad límite v T puede escribirse como v T = 2 m g ρ C A = 2 ( 85 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) ( 1,21 kg/m 3 ) ( 1,0 ) ( 0,70 m 2 ) = 44 m/s . Importancia Este resultado es coherente con el valor de v T mencionado anteriormente. El paracaidista de 75 kg que iba con los pies por delante tenía una velocidad límite de v T = 98 m/s . Pesaba menos, pero tenía un área frontal más pequeña y, por ende, menor arrastre debido al aire. Halle la velocidad límite de un paracaidista de 50 kg que cae en forma de águila extendida. 34 m/s El tamaño del objeto que cae por el aire presenta otra interesante aplicación del arrastre del aire. Si se cae de una rama de un árbol de 5 metros de altura, es probable que se haga daño, y posiblemente se fracture un hueso. Sin embargo, una ardilla pequeña hace esto todo el tiempo, sin hacerse daño. Usted no alcanza una velocidad límite en una distancia tan corta, pero la ardilla sí. La siguiente cita interesante sobre el tamaño de los animales y la velocidad límite procede de un ensayo de 1928 de un biólogo británico, J. B. S. Haldane, titulado "Sobre ser del tamaño correcto" ("On Being the Right Size"). "Para el ratón y cualquier animal más pequeño, [la gravedad] no presenta prácticamente ningún peligro. Se puede dejar caer un ratón por el pozo de una mina de mil metros; y, al llegar al fondo, recibe una ligera sacudida y se aleja, siempre que el suelo sea bastante blando. Una rata muere, un hombre se fractura los huesos y un caballo se desparrama. Esto se debe a que la resistencia que presenta el aire al movimiento es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Dividiendo por diez la longitud, la anchura y la altura de un animal, su peso se reduce a una milésima parte, pero su superficie solo a una centésima parte. Así que la resistencia a la caída en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza motriz". La anterior dependencia cuadrática del arrastre del aire con respecto a la velocidad no se cumple si el objeto es muy pequeño, va muy lento o se encuentra en un medio más denso que el aire. Entonces encontramos que la fuerza de arrastre es proporcional justo a la velocidad. Esta relación viene dada por la ley de Stokes. Ley de Stokes Para un objeto esférico que cae en un medio, la fuerza de arrastre es F s = 6 π r η v , donde r es el radio del objeto, η es la viscosidad del fluido y v es la velocidad del objeto. Los microorganismos, el polen y las partículas de polvo son buenos ejemplos de la ley de Stokes. Como cada uno de estos objetos es tan pequeño, nos encontramos con que muchos de ellos se desplazan sin ayuda solo a una velocidad constante (límite). Las velocidades límites de las bacterias (tamaño de aproximadamente de 1 μm ) pueden ser casi 2 μm/s . Para desplazarse a mayor rapidez, muchas bacterias nadan con flagelos (orgánulos con forma de pequeñas colas) que son impulsados por pequeños motores incrustados en la célula. Los sedimentos en un lago pueden moverse a una velocidad límite mayor (alrededor de 5 μm/s ) , por lo que puede tardar días en llegar al fondo del lago después de haberse depositado en la superficie. Si comparamos los animales terrestres con los acuáticos, se observa cómo el arrastre ha influido en la evolución. Los peces, los delfines e incluso las enormes ballenas tienen una forma aerodinámica para reducir las fuerzas de arrastre. Las aves son aerodinámicas y las especies migratorias que vuelan grandes distancias suelen tener características particulares, como cuellos largos. Las bandadas de pájaros vuelan en forma de punta de lanza mientras la bandada forma un patrón aerodinámico ( ). En los seres humanos, un ejemplo importante de aerodinámica es la forma de los espermatozoides, que deben ser eficientes en el uso de la energía. Los gansos vuelan en formación de V durante sus largos viajes migratorios. Esta forma reduce el arrastre y el consumo de energía de cada una de las aves, y también les permite comunicarse mejor (créditos: modificación de la obra de "Julo"/Wikimedia Commons). En las exposiciones de clase, hacemos mediciones de la fuerza de arrastre en diferentes objetos. Los objetos se colocan en una corriente de aire uniforme creada por un ventilador. Calcule el número de Reynolds y el coeficiente de arrastre. El cálculo de las fuerzas de fricción dependientes de la velocidad Cuando un cuerpo se desliza por una superficie, la fuerza de fricción sobre este es aproximadamente constante y viene dada por μ k N . Desgraciadamente, la fuerza de fricción sobre un cuerpo que se mueve a través de un líquido o un gas no se comporta de forma tan sencilla. Esta fuerza de arrastre es generalmente una función complicada de la velocidad del cuerpo. Sin embargo, para un cuerpo que se mueve en línea recta a una rapidez moderada a través de un líquido como el agua, la fuerza de fricción puede aproximarse a menudo por f R = - b v , donde b es una constante, cuyo valor depende de las dimensiones y la forma del cuerpo y de las propiedades del líquido, y v es la velocidad del cuerpo. Dos situaciones para las que la fuerza de fricción puede representarse mediante esta ecuación son una lancha a motor que se mueve por el agua y un pequeño objeto que cae lentamente por un líquido. Consideremos el objeto que cae a través de un líquido. El diagrama de cuerpo libre de este objeto con la dirección positiva hacia abajo se muestra en la . La segunda ley de Newton en la dirección vertical da la ecuación diferencial m g - b v = m d v d t , donde hemos escrito la aceleración como d v / d t . A medida que v aumenta, la fuerza de fricción - bv aumenta hasta igualar a mg . En este punto, no hay aceleración y la velocidad se mantiene constante en la velocidad límite v T . De la ecuación anterior, m g - b v T = 0 , así que v T = m g b . Diagrama de cuerpo libre de un objeto que cae a través de un medio resistivo. Podemos encontrar la velocidad del objeto al integrar la ecuación diferencial para v . Primero, reordenamos los términos de esta ecuación para obtener d v g - ( b / m ) v = d t . Suponiendo que v = 0 en t = 0 , la integración de esta ecuación da como resultado ∫ 0 v d v ′ g - ( b / m ) v ′ = ∫ 0 t d t ′ , o - m b ln ( g - b m v ′ ) | 0 v = t ′ | 0 t , donde v ' y t ' son variables ficticias de integración. Con los límites dados, encontramos - m b [ ln ( g - b m v ) - ln g ] = t . Dado que ln A - ln B = ln ( A / B ) , y ln ( A / B ) = x implica e x = A / B , obtenemos g - ( b v / m ) g = e - b t / m , y v = m g b ( 1 - e - b t / m ) . Observe que, como t → ∞ , v → m g / b = v T , que es la velocidad límite. La posición en cualquier momento se encuentra al integrar la ecuación de v . Con v = d y / d t , d y = m g b ( 1 - e - b t / m ) d t . Suponiendo que y = 0 cuando t = 0 , ∫ 0 y d y ′ = m g b ∫ 0 t ( 1 - e - b t ' / m ) d t ′ , que se integra en y = m g b t + m 2 g b 2 ( e - b t / m - 1 ) . Efecto de la fuerza de resistencia en una lancha a motor Una lancha a motor se desplaza por un lago a una rapidez v 0 cuando su motor se congela y se para de repente. La lancha desacelera entonces por la fuerza de fricción f R = - b v . (a) ¿Cuáles son la velocidad y la posición de la lancha en función del tiempo? (b) Si la lancha desacelera de 4,0 a 1,0 m/s en 10 s, ¿qué distancia recorre antes de detenerse? Solución Con el motor detenido, la única fuerza horizontal sobre la lancha es f R = - b v , por lo que de la segunda ley de Newton, m d v d t = - b v , que podemos escribir como d v v = - b m d t . Integrando esta ecuación entre el tiempo cero cuando la velocidad es v 0 y el tiempo t cuando la velocidad es v , tenemos ∫ 0 v d v ′ v ′ = - b m ∫ 0 t d t ′ . Por lo tanto, ln v v 0 = - b m t , que, dado que ln A = x implica e x = A , podemos escribirlo como v = v 0 e - b t / m . Ahora, desde la definición de velocidad, d x d t = v 0 e - b t / m , por lo que tenemos d x = v 0 e - b t / m d t . Con la posición inicial cero, tenemos ∫ 0 x d x ' = v 0 ∫ 0 t e - b t ' / m d t ' , y x = - m v 0 b e - b t ' / m | 0 t = m v 0 b ( 1 - e - b t / m ) . A medida que aumenta el tiempo, e - b t / m → 0 , y la posición de la lancha se acerca a un valor límite x máx = m v 0 b . Aunque esto nos dice que la lancha tarda infinidad de tiempo en llegar x máx , la lancha se detiene efectivamente después de un tiempo razonable. Por ejemplo, en t = 10 m / b , tenemos v = v 0 e −10 ≃ 4,5 × 10 −5 v 0 , mientras que también tenemos x = x máx ( 1 - e −10 ) ≃ 0,99995 x máx . Por lo tanto, la velocidad y la posición de la lancha han alcanzado esencialmente sus valores finales. Con v 0 = 4,0 m/s y v = 1,0 m/s, tenemos 1,0 m/s = ( 4,0 m/s ) e - ( b / m ) ( 10 s ) , así que ln 0,25 = - ln 4,0 = - b m ( 10 s ) , y b m = 1 10 ln 4,0 s -1 = 0,14 s -1 . Ahora la posición límite del barco es x máx = m v 0 b = 4,0 m/s 0,14 s −1 = 29 m . Importancia En los dos ejemplos anteriores, hallamos valores "límite". La velocidad límite es la misma que la velocidad terminal, que es la velocidad del objeto que cae después de un tiempo (relativamente) largo. Del mismo modo, la distancia límite de la lancha es la distancia que la lancha recorrerá después de que haya transcurrido una gran cantidad de tiempo. Debido a las propiedades del decaimiento exponencial, el tiempo necesario para alcanzar cualquiera de estos valores no es en realidad demasiado largo (¡ciertamente no es un tiempo infinito!), pero se encuentran rápidamente para llevar el límite al infinito. Supongamos que la fuerza de resistencia del aire sobre un paracaidista puede aproximarse mediante f = - b v 2 . Si la velocidad terminal de un paracaidista de 100 kg es de 60 m/s, ¿cuál es el valor de b? 0,27 kg/m Resumen Las fuerzas de arrastre que actúan sobre un objeto que se mueve en un fluido se oponen al movimiento. Para objetos más grandes (como una pelota de béisbol) que se mueven a una velocidad en el aire, la fuerza de arrastre se determina con el coeficiente de arrastre (los valores típicos se dan en la ), el área del objeto que se enfrenta al fluido y la densidad del fluido. Para objetos pequeños (como una bacteria) que se mueven en un medio más denso (como el agua), la fuerza de arrastre viene dada por la ley de Stokes. Ecuaciones clave Magnitud de la fricción estática f s ≤ μ s N Magnitud de la fricción cinética f k = μ k N Fuerza centrípeta F c = m v 2 r o F c = m r ω 2 Ángulo ideal de una curva con peralte tan θ = v 2 r g Fuerza de arrastre F D = 1 2 C ρ A v 2 Ley de Stokes F s = 6 π r η v Preguntas conceptuales Los atletas, como los nadadores y los ciclistas, llevan trajes de cuerpo entero en competición. Formule una lista de los pros y los contras de estos trajes. Entre los pros de usar trajes de cuerpo entero se encuentran: (1) el traje de cuerpo entero reduce la fuerza de arrastre sobre el nadador y el deportista puede moverse con más facilidad; (2) la estrechez del traje de cuerpo entero reduce el área del deportista, y aunque sea una cantidad pequeña, puede marcar la diferencia en el tiempo de rendimiento. Los contras de usar trajes de cuerpo entero son: (1) la estrechez de los trajes puede provocar calambres y problemas respiratorios. (2) Se retendrá el calor y, por ende, el atleta podría sobrecalentarse durante mucho tiempo de uso. Se utilizaron dos expresiones para la fuerza de arrastre experimentada por un objeto en movimiento en un líquido. Uno dependía de la rapidez, mientras que el otro era proporcional al cuadrado de la rapidez. ¿En qué tipo de movimiento sería más aplicable cada una de estas expresiones que la otra? Cuando los autos circulan, el aceite y la gasolina se filtran en la superficie de la carretera. Si cae una lluvia ligera, ¿qué le hace al control del auto? ¿La lluvia fuerte hace alguna diferencia? El aceite es menos denso que el agua, por lo que sube a la superficie cuando cae una lluvia ligera y se acumula en la carretera. Esto crea una situación peligrosa en la que la fricción disminuye considerablemente, por lo que el auto puede perder el control. En caso de lluvia intensa, el aceite se dispersa y no afecta tanto al movimiento de los autos. ¿Por qué una ardilla puede saltar desde la rama de un árbol hasta el suelo y salir corriendo sin sufrir daños, mientras que un humano podría fracturarse un hueso en una caída así? Problemas La velocidad límite de una persona que cae en el aire depende del peso y del área de la persona frente al fluido. Halle la velocidad límite (en metros por segundo y kilómetros por hora) de un paracaidista de 80,0 kg que cae de cabeza con una superficie de 0,140 m 2 . 115 m/s o 414 km/h Un paracaidista de 60,0 kg y otro de 90,0 kg saltan desde un avión a una altura de 6,00 × 10 3 m , ambos caen de cabeza. Haga algunas suposiciones sobre sus áreas frontales y calcule sus velocidades límites. ¿Cuánto tiempo tardará cada paracaidista en llegar al suelo (suponiendo que el tiempo para alcanzar la velocidad límite es pequeño)? Asuma que todos los valores son precisos con tres dígitos significativos. Una ardilla de 560 g con una superficie de 930 cm 2 cae desde un árbol de 5,0 m al suelo. Calcule su velocidad límite. (Utilice un coeficiente de arrastre para un paracaidista horizontal). ¿Cuál será la velocidad de una persona de 56 kg al chocar contra el suelo, suponiendo que no hay contribución del arrastre en una distancia tan corta? v T = 11,8 m/s; v 2 = 9,9 m/s Para mantener una rapidez constante, la fuerza proporcionada por el motor de un auto deberá ser igual a la fuerza de arrastre más la fuerza de fricción de la carretera (la resistencia a la rodadura). (a) ¿Cuáles son las fuerzas de arrastre a 70 km/h y a 100 km/h para un Toyota Camry? (El área de arrastre es 0,70 m 2 ) b) ¿Cuál es la fuerza de arrastre a 70 km/h y a 100 km/h de una Hummer H2? (El área de arrastre es 2,44 m 2 ) Asuma que todos los valores son precisos con tres dígitos significativos. ¿En qué factor aumenta la fuerza de arrastre de un auto cuando pasa de 65 a 110 km/h? ( 110 65 ) 2 = 2,86 veces Calcule la velocidad que alcanzaría una gota de lluvia esférica que cae desde 5,00 km (a) en ausencia de arrastre del aire (b) con arrastre del aire. Tomemos que el tamaño de la gota es de 4 mm y la densidad es de 1,00 × 10 3 kg/m 3 , y el área de superficie como π r 2 . Utilizando la ley de Stokes, verifique que las unidades de la viscosidad sean kilogramos por metro por segundo. La ley de Stokes es F s = 6 π r η v . Al resolver la viscosidad, η = F s 6 π r v . Considerando solo las unidades, esto se convierte en [ η ] = kg m · s . Halle la velocidad límite de una bacteria esférica (diámetro 2,00 μm ) que cae en el agua. En primer lugar, debe tener en cuenta que la fuerza de arrastre es igual al peso a velocidad límite. Tome la densidad de la bacteria como 1,10 × 10 3 kg/m 3 . La ley de Stokes describe la sedimentación de las partículas en los líquidos y puede utilizarse para medir la viscosidad. Las partículas en los líquidos alcanzan rápidamente la velocidad límite. Se puede medir el tiempo que tarda una partícula en caer una determinada distancia y luego utilizar la ley de Stokes para calcular la viscosidad del líquido. Supongamos que un rodamiento de bolas de acero (densidad 7,8 × 10 3 kg/m 3 , de 3,0 mm de diámetro) se deja caer en un recipiente con aceite de motor. Tarda 12 s en caer una distancia de 0,60 m. Calcule la viscosidad del aceite. 0,76 kg/m · s Supongamos que la fuerza de resistencia del aire sobre un paracaidista puede aproximarse por f = - b v 2 . Si la velocidad límite de un paracaidista de 50,0 kg es de 60,0 m/s, ¿cuál es el valor de b ? Un pequeño diamante de masa 10,0 g se desprende del pendiente de una nadadora y cae por el agua, hasta alcanzar una velocidad límite de 2,0 m/s. (a) Suponiendo que la fuerza de fricción sobre el diamante obedece a f = - b v , ¿cuánto es b ? (b) ¿A qué distancia cae el diamante antes de alcanzar el 90 % de su velocidad límite? a. 0,049 kg/s; b. 0,57 m Problemas adicionales (a) ¿Cuál es la velocidad final de un auto que originalmente viajaba a 50,0 km/h y que desacelera a una tasa de 0,400 m/s 2 durante 50,0 s? Supongamos un coeficiente de fricción de 1,0. (b) ¿Qué es lo poco razonable del resultado? (c) ¿Qué premisa es poco razonable o qué premisas son incompatibles? Una mujer de 75,0 kg se sube a una báscula de baño en un elevador que acelera desde el reposo hasta 30,0 m/s en 2,00 s. (a) Calcule la lectura de la báscula en newtons y compárela con su peso. (La báscula ejerce sobre ella una fuerza ascendente igual a su lectura). (b) ¿Qué es lo poco razonable del resultado? (c) ¿Qué premisa es poco razonable, o qué premisas son incompatibles? a. 1.860 N, 2,53; b. El valor (1.860 N) es más fuerza de la que se espera experimentar en un elevador. La fuerza de 1.860 N es de 418 libras, comparada con la fuerza en un elevador típico de 904 N (que son unas 203 libras); esto se calcula para una velocidad de 0 a 10 millas por hora, que son unos 4,5 m/s, en 2,00 s). c. La aceleración a = 1,53 × g es mucho más alta que cualquier elevador estándar. ¡La rapidez final es demasiado grande (30,0 m/s es MUY rápido)! El tiempo de 2,00 s no es poco razonable para un elevador. (a) Calcule el coeficiente de fricción mínimo necesario para que un auto recorra una curva de 50,0 m de radio sin peralte a 30,0 m/s. (b) ¿Qué es lo poco razonable del resultado? (c) ¿Qué premisas son absurdas o incompatibles? Como se muestra a continuación, si M = 5,50 kg, ¿cuál es la tensión de la cuerda 1? 199 N Como se muestra a continuación, si F = 60,0 N y M = 4,00 kg, ¿cuál es la magnitud de la aceleración del objeto suspendido? Todas las superficies son sin fricción. Como se muestra a continuación, si M = 6,0 kg, ¿cuál es la tensión de la cuerda de conexión? La polea y todas las superficies no tienen fricción. 15 N Una pequeña sonda espacial es liberada de una nave espacial. La sonda espacial tiene una masa de 20,0 kg y contiene 90,0 kg de combustible. Parte del reposo en el espacio profundo, desde el origen de un sistema de coordenadas basado en la nave espacial, y quema combustible a razón de 3,00 kg/s. El motor proporciona un empuje constante de 120,0 N. (a) Escriba una expresión para la masa de la sonda espacial en función del tiempo, entre 0 y 30 segundos, suponiendo que el motor encienda el combustible a partir de t = 0 . (b) ¿Cuál es la velocidad después de 15,0 s? (c) ¿Cuál es la posición de la sonda espacial después de 15,0 s, con la posición inicial en el origen? (d) Escriba una expresión para la posición en función del tiempo, para t > 30,0 s . Un contenedor de reciclaje medio lleno tiene una masa de 3,0 kg y es empujado hacia arriba por una pendiente de 40,0 ° con rapidez constante bajo la acción de una fuerza de 26 N que actúa hacia arriba y paralela a la pendiente. La pendiente tiene fricción. ¿Qué magnitud de fuerza debe actuar hacia arriba y en paralelo a la pendiente para que el contenedor se mueva hacia abajo con velocidad constante? 12 N Un niño tiene una masa de 6,0 kg y se desliza por una pendiente de 35 ° con rapidez constante bajo la acción de una fuerza de 34 N que actúa hacia arriba y paralela a la inclinación. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el niño y la superficie de la pendiente? Las dos barcazas mostradas aquí están acopladas por un cable de masa despreciable. La masa de la barcaza de adelante es 2,00 × 10 3 kg y la masa de la barcaza de atrás es 3,00 × 10 3 kg . Un remolcador hala la barcaza de adelante con una fuerza horizontal de magnitud 20,0 × 10 3 N, y las fuerzas de fricción del agua sobre las barcazas de adelante y atrás son 8,00 × 10 3 N y 10,0 × 10 3 N, respectivamente. Halle la aceleración horizontal de las barcazas y la tensión en el cable de conexión. a x = 0,40 m/s 2 y T = 11,2 × 10 3 N Si se invierte el orden de las barcazas del ejercicio anterior para que el remolcador hale la barcaza de 3,00 × 10 3 kg con una fuerza de 20,0 × 10 3 N , ¿cuál es la aceleración de las barcazas y la tensión en el cable de acoplamiento? Un objeto con masa m se mueve a lo largo del eje de la x . Su posición en cualquier momento viene dada por x ( t ) = p t 3 + q t 2 donde p y q son constantes. Halle la fuerza neta sobre este objeto para cualquier tiempo t . m (6 pt + 2 q ) Un helicóptero con masa 2,35 × 10 4 kg tiene una posición dada por r → ( t ) = ( 0,020 t 3 ) i ^ + ( 2,2 t ) j ^ - ( 0,060 t 2 ) k ^ . Halle la fuerza neta sobre el helicóptero en t = 3,0 s . Situado en el origen, un auto eléctrico de masa m está en reposo y en equilibrio. Una fuerza dependiente del tiempo de F → ( t ) se aplica en el tiempo t = 0 , y sus componentes son F x ( t ) = p + n t y F y ( t ) = q t donde p , q y n son constantes. Halle la posición r → ( t ) y la velocidad v → ( t ) en función del tiempo t . v → ( t ) = ( p t m + n t 2 2 m ) i ^ + ( q t 2 2 m ) j ^ y r → ( t ) = ( p t 2 2 m + n t 3 6 m ) i ^ + ( q t 3 6 m ) j ^ Una partícula de masa m se encuentra en el origen. Está en reposo y en equilibrio. Una fuerza dependiente del tiempo de F → ( t ) se aplica en el tiempo t = 0 , y sus componentes son F x ( t ) = p t y F y ( t ) = n + q t donde p , q y n son constantes. Halle la posición r → ( t ) y la velocidad v → ( t ) en función del tiempo t . Un objeto de 2,0 kg tiene una velocidad de 4,0 i ^ m/s a t = 0 . Una fuerza resultante constante de ( 2,0 i ^ + 4,0 j ^ ) N actúa entonces sobre el objeto durante 3,0 s. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del objeto al final del intervalo de 3,0 s? 9,2 m/s Una masa de 1,5 kg tiene una aceleración de ( 4,0 i ^ - 3,0 j ^ ) m/s 2 . Solamente dos fuerzas actúan sobre la masa. Si una de las fuerzas es ( 2,0 i ^ - 1,4 j ^ ) N, ¿cuál es la magnitud de la otra fuerza? Se deja caer una caja sobre una cinta transportadora que se mueve a 3,4 m/s. Si el coeficiente de fricción entre la caja y la correa es de 0,27, ¿cuánto tiempo tardará la caja en moverse sin resbalar? 1,3 s A continuación, se muestra un bloque de 10,0 kg empujado por una fuerza horizontal F → de magnitud 200,0 N. El coeficiente de fricción cinética entre las dos superficies es de 0,50. Calcule la aceleración del bloque. Como se muestra a continuación, la masa del bloque 1 es m 1 = 4,0 kg, mientras que la masa del bloque 2 es m 2 = 8,0 kg . El coeficiente de fricción entre m 1 y la superficie inclinada es μ k = 0,40 . ¿Cuál es la aceleración del sistema? 3,5 m/s 2 Una estudiante intenta trasladar una mininevera de 30 kg a su dormitorio. Durante un momento de desatención, la mininevera se desliza por una pendiente de 35 grados a rapidez constante cuando ella aplica una fuerza de 25 N que actúa hacia arriba y en paralelo a la pendiente. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre la nevera y la superficie de la pendiente? Una caja de 100,0 kg de masa descansa sobre una superficie rugosa inclinada con un ángulo de 37,0 ° con la horizontal. Una cuerda sin masa a la que se puede aplicar una fuerza paralela a la superficie está unida a la caja y conduce a la parte superior de la pendiente. En su estado actual, la caja está a punto de resbalar y empezar a bajar por el plano. El coeficiente de fricción es 80 % de eso para el caso estático. (a) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática? (b) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede aplicarse hacia arriba a lo largo del plano en la cuerda y no mover el bloque? (c) Con una fuerza aplicada ligeramente mayor, el bloque se deslizará hacia arriba en el plano. Una vez que comienza a moverse, ¿cuál es su aceleración y qué fuerza reducida es necesaria para mantenerlo en movimiento hacia arriba a rapidez constante? (d) Si se le da un ligero empujón al bloque para que comience a descender por el plano, ¿cuál será su aceleración en esa dirección? (e) Una vez que el bloque comienza a deslizarse hacia abajo, ¿qué fuerza ascendente sobre la cuerda es necesaria para evitar que el bloque acelere hacia abajo? a. 0,75; b. 1.200 N; c 1,2 m/s 2 y 1080 N; d. −1,2 m/s 2 ; e. 120 N Un auto circula a gran rapidez por una autopista cuando el conductor frena de emergencia. Las ruedas se bloquean (dejan de rodar), y las marcas de derrape tienen una longitud de 32,0 metros. Si el coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y la carretera es de 0,550, y la aceleración fue constante durante el frenado, ¿a qué velocidad iba el auto cuando se bloquearon las ruedas? Una caja con una masa de 50,0 kg cae horizontalmente desde la parte trasera del camión de plataforma, que se desplaza a 100 km/h. Calcule el valor del coeficiente de fricción cinética entre la carretera y la caja si esta se desliza 50 m sobre la carretera al llegar al reposo. La rapidez inicial de la caja es la misma que la del camión, 100 km/h. 0,789 Un trineo de 15 kg es halado por una superficie horizontal cubierta de nieve mediante una fuerza aplicada a una cuerda a 30 grados con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve es de 0,20. (a) Si la fuerza es de 33 N, ¿cuál es la aceleración horizontal del trineo? (b) ¿Cuál debe ser la fuerza para halar el trineo a velocidad constante? Una bola de 30,0 g en el extremo de una cuerda se balancea en un círculo vertical con un radio de 25,0 cm. La velocidad tangencial es de 200,0 cm/s. Halle la tensión en la cuerda: (a) en la parte superior del círculo, (b) en la parte inferior del círculo, y (c) a una distancia de 12,5 cm del centro del círculo ( r = 12,5 cm ) . a. 0,186 N; b. 0,774 N; c. 0,48 N Una partícula de masa 0,50 kg comienza a moverse por una trayectoria circular en el plano xy con una posición dada por r → ( t ) = ( 4,0 cos 3 t ) i ^ + ( 4,0 sen 3 t ) j ^ donde r está en metros y t está en segundos. (a) Halle los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo. (b) Demuestre que el vector de aceleración siempre apunta hacia el centro del círculo (y por tanto representa la aceleración centrípeta). (c) Halle el vector de fuerza centrípeta como función del tiempo. Un ciclista de acrobacia circula por el interior de un cilindro de 12 m de radio. El coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y la pared es de 0,68. Calcule el valor de la rapidez mínima para que el ciclista realice la acrobacia. 13 m/s Cuando un cuerpo de masa de 0,25 kg está unido a un resorte vertical sin masa, se extiende 5,0 cm desde su longitud no estirada de 4,0 cm. El cuerpo y el resorte se colocan en una superficie horizontal sin fricción y se hace rotar alrededor del extremo del resorte sostenido a 2,0 rev/s. ¿Hasta dónde se estira el resorte? Un trozo de tocino se desliza por la sartén cuando un lado de esta se eleva 5,0 cm. Si la longitud de la sartén desde el pivote hasta el punto de elevación es de 23,5 cm, ¿cuál es el coeficiente de fricción estática entre la sartén y el tocino? 0,21 Una plomada cuelga del techo de un vagón de ferrocarril. El auto rodea una pista circular de radio 300,0 m a una rapidez de 90,0 km/h. ¿Con qué ángulo con respecto a la vertical cuelga la plomada? Un avión vuela a 120,0 m/s y se inclina a un ángulo de 30 ° . Si su masa es 2,50 × 10 3 kg, (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de sustentación? (b) ¿Cuál es el radio del giro? a. 28.300 N; b. 2540 m La posición de una partícula viene dada por r → ( t ) = A ( cos ω t i ^ + sen ω t j ^ ) , donde ω es una constante. (a) Demuestre que la partícula se mueve en un círculo de radio A . (b) Calcule d r → / d t y luego muestre que la rapidez de la partícula es una constante A ω . (c) Determine d 2 r → / d t 2 y muestre que a viene dada por a c = r ω 2 . (d) Calcule la fuerza centrípeta sobre la partícula. [ Pista : Para (b) y (c), tendrá que utilizar ( d / d t ) ( cos ω t ) = - ω sen ω t y ( d / d t ) ( sen ω t ) = ω cos ω t . Dos bloques unidos por una cuerda son arrastrados a través de una superficie horizontal por una fuerza aplicada a uno de los bloques, como se muestra a continuación. El coeficiente de fricción cinética entre los bloques y la superficie es de 0,25. Si cada bloque tiene una aceleración de 2,0 m/s 2 hacia la derecha, ¿cuál es la magnitud F de la fuerza aplicada? 25 N Como se muestra a continuación, el coeficiente de fricción cinética entre la superficie y el bloque más grande es de 0,20, y el coeficiente de fricción cinética entre la superficie y el bloque más pequeño es de 0,30. Si F = 10 N y M = 1,0 kg , ¿cuál es la tensión de la cuerda de conexión? En la figura, el coeficiente de fricción cinética entre la superficie y los bloques es μ k . Si M = 1,0 kg, halle una expresión para la magnitud de la aceleración de cualquiera de los bloques (en términos de F , μ k , y g ). a = F 4 - μ k g Dos bloques se apilan como se muestra a continuación, y descansan sobre una superficie sin fricción. Hay fricción entre los dos bloques (coeficiente de fricción μ ). Se aplica una fuerza externa al bloque superior en un ángulo θ con la horizontal. ¿Cuál es la fuerza máxima F que se puede aplicar para que los dos bloques se muevan juntos? Una caja descansa sobre la parte trasera (horizontal) de un camión. El coeficiente de fricción estática entre la caja y la superficie sobre la que se apoya es de 0,24. ¿Qué distancia máxima puede recorrer el camión (partiendo del reposo y moviéndose horizontalmente con aceleración constante) en 3,0 s sin que la caja se deslice? 11 m A continuación, se muestra un plano de doble inclinación. El coeficiente de fricción en la superficie izquierda es de 0,30 y en la derecha de 0,16. Calcule la aceleración del sistema. Problemas de desafío En un capítulo posterior, encontrará que el peso de una partícula varía con la altitud de forma que w = m g r 0 2 r 2 donde r 0 es el radio de la Tierra y r es la distancia al centro de la Tierra. Si la partícula se dispara verticalmente con velocidad v 0 de la superficie de la Tierra, determine su velocidad en función de la posición r . ( Pista: Utilice a d r = v d v , la reordenación mencionada en el texto). v = v 0 2 - 2 g r 0 ( 1 - r 0 r ) Una gran centrifugadora, como la que se muestra a continuación, se utiliza para exponer a los aspirantes a astronautas a aceleraciones similares a las que se experimentan en los lanzamientos de cohetes y en los reingresos a la atmósfera. (a) ¿A qué velocidad angular corresponde una aceleración centrípeta de 10 g si el piloto se encuentra a 15,0 m del centro de rotación? (b) La jaula del piloto cuelga de un pivote en el extremo del brazo, lo que le permite oscilar hacia fuera durante la rotación, como se muestra en la figura inferior adjunta. En qué ángulo θ por debajo de la horizontal colgará la jaula cuando la aceleración centrípeta sea de 10 g ? ( Pista: El brazo suministra la fuerza centrípeta y soporta el peso de la jaula. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas para ver cuál ángulo θ debería ser). Un auto de masa de 1000,0 kg circula por una carretera llana a 100,0 km/h cuando se aplican los frenos. Calcule la distancia de frenado si el coeficiente de fricción cinética de los neumáticos es de 0,500. Ignore la resistencia del aire. ( Pista: Como lo que interesa es la distancia recorrida y no el tiempo, x es la variable independiente deseada y no t . Utilice la regla de la cadena para cambiar la variable: d v d t = d v d x d x d t = v d v d x . ) 78,7 m Un avión que vuela a 200,0 m/s realiza un giro que tarda 4,0 min. ¿Qué ángulo de ladeo se requiere? ¿Cuál es el porcentaje de aumento del peso percibido de los pasajeros? Un paracaidista se encuentra a una altura de 1.520 m. Tras 10,0 segundos de caída libre, abre su paracaídas y comprueba que la resistencia del aire, F D , viene dada por la fórmula F D = - b v , donde b es una constante y v es la velocidad. Si b = 0,750 , y la masa del paracaidista es de 82,0 kg, establezca primero las ecuaciones diferenciales para la velocidad y la posición, y luego halle: (a) la rapidez del paracaidista cuando se abre el paracaídas, (b) la distancia caída antes de que se abra el paracaídas, (c) la velocidad límite después de que se abra el paracaídas (calcule la velocidad terminal), y (d) el tiempo que el paracaidista está en el aire después de que se abra el paracaídas. a. 98 m/s; b. 490 m; c. 107 m/s; d. 9,6 s En un anuncio de televisión, una pequeña cuenta esférica de 4,00 g de masa se libera del reposo en t = 0 en un frasco de champú líquido. Se observa que la velocidad límite es de 2,00 cm/s. Calcule: (a) el valor de la constante b en la ecuación v = m g b ( 1 - e - b t / m ) , y (b) el valor de la fuerza resistiva cuando la cuenta alcanza la velocidad límite. Un navegante y una lancha a motor descansan en un lago. Juntos, tienen una masa de 200,0 kg. Si el empuje del motor es una fuerza constante de 40,0 N en la dirección del movimiento, y si la fuerza resistiva del agua es numéricamente equivalente a 2 veces la rapidez v de la lancha, plantee y resuelva la ecuación diferencial para encontrar: (a) la velocidad de la lancha en el tiempo t ; (b) la velocidad límite (la velocidad después de transcurrido un tiempo largo). a. v = 20,0 ( 1 - e -0,01 t ) ; b. v límite = 20 m/s fuerza de arrastre fuerza que siempre se opone al movimiento de un objeto en un fluido; a diferencia de la fricción simple, la fuerza de arrastre es proporcional a alguna función de la velocidad del objeto en ese fluido velocidad límite velocidad constante alcanzada por un objeto que cae, que se produce cuando el peso del objeto se equilibra con la fuerza de arrastre hacia arriba

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Introducción Una velocista ejerce su máxima potencia con la mayor fuerza en el breve tiempo que su pie está en contacto con el suelo. Esto se suma a su energía cinética y le impide que desacelere durante la carrera. Empujar con fuerza hacia atrás en la pista genera una fuerza de reacción que impulsa a la velocista hacia delante para ganar en la meta (créditos: modificación del trabajo de Marie-Lan Nguyen). En este capítulo, abordamos algunos conceptos físicos básicos que participan en cada movimiento físico en el universo, más allá de los conceptos de fuerza y cambio en el movimiento, que exploramos en Movimiento en dos y tres dimensiones y Leyes del movimiento de Newton . Estos conceptos son el trabajo, la energía cinética y la potencia. Explicamos cómo se relacionan estas cantidades entre sí, lo que nos llevará a una relación fundamental denominada teorema de trabajo-energía. En el próximo capítulo, generalizamos esta idea al principio más amplio de la conservación de la energía. La aplicación de las leyes de Newton exige la resolución de ecuaciones diferenciales que relacionan las fuerzas actuantes sobre un objeto con la aceleración que producen. A menudo, una solución analítica es intratable o imposible, por lo que se requieren largas soluciones numéricas o simulaciones para obtener resultados aproximados. En tales situaciones, relaciones más generales, como el teorema de trabajo-energía (o la conservación de la energía), pueden seguir dando respuestas útiles a muchas preguntas y requieren una cantidad más modesta de cálculos matemáticos. En particular, verá cómo el teorema de trabajo-energía sirve para relacionar la rapidez de una partícula, en diferentes puntos a lo largo de su trayectoria, con las fuerzas que actúan sobre esta, incluso cuando la trayectoria es demasiado complicada de tratar. Así, algunos aspectos del movimiento pueden abordarse con menos ecuaciones y sin descomposiciones vectoriales.

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