Ecuación de Bernoulli Como mostramos en la , cuando un fluido circula en un canal más estrecho, su velocidad aumenta. Eso significa que su energía cinética también aumenta. El aumento de la energía cinética procede del trabajo neto realizado sobre el fluido para empujarlo hacia el interior del canal. Además, si el fluido cambia de posición vertical, la fuerza gravitacional realiza un trabajo sobre el fluido. Se produce una diferencia de presión cuando el canal se estrecha. Esta diferencia de presión resulta en una fuerza neta sobre el fluido porque la presión por el área es igual a la fuerza, y esta fuerza neta hace trabajo. Recordemos el teorema de trabajo-energía, W neta = 1 2 m v 2 − 1 2 m v 0 2 . El trabajo neto realizado aumenta la energía cinética del fluido. En consecuencia, la presión cae en un fluido que se mueve rápidamente, esté o no confinado en un tubo. Hay muchos ejemplos comunes de caída de presión en fluidos que se mueven rápidamente. Por ejemplo, las cortinas de la ducha tienen la desagradable costumbre de abultarse dentro de la cabina cuando la ducha está abierta. La explicación es que el chorro de agua y aire a gran velocidad crea una región de menor presión en el interior de la ducha, mientras que la presión en el otro lado permanece a la presión atmosférica estándar. Esta diferencia de presión genera una fuerza neta que empuja la cortina hacia dentro. Del mismo modo, cuando un automóvil adelanta a un camión en la carretera, los dos vehículos parecen acercarse el uno al otro. La explicación es la misma: la alta velocidad del aire entre el automóvil y el camión crea una región de menor presión entre los vehículos, y una mayor presión en el exterior hace que sean empujados juntos ( ). Este efecto se observó a mediados del siglo XIX cuando se comprobó que trenes que pasaban en direcciones opuestas se inclinaban precariamente uno hacia el otro. Una vista aérea de un automóvil que pasa por delante de un camión en una autopista. El aire que pasa entre los vehículos fluye por un canal más estrecho y debe aumentar su velocidad ( v 2 es mayor que v 1 ), lo que hace que la presión entre ellos disminuya ( p i es menor que p o ) . Una mayor presión en el exterior empuja al automóvil y al camión juntos. Conservación de energía y ecuación de Bernoulli La aplicación del principio de conservación de la energía al flujo laminar sin fricción conduce a una relación muy útil entre presión y velocidad de flujo en un fluido. Esta relación se denomina ecuación de Bernoulli , en honor a Daniel Bernoulli (1700-1782), quien publicó sus estudios sobre movimiento de fluidos en su libro Hydrodynamica (1738). Considere un fluido incompresible que circula a través de una tubería que tiene un diámetro y una altura variables, como se muestra en la . Los subíndices 1 y 2 en la figura denotan dos lugares a lo largo de la tubería e ilustran las relaciones entre las áreas de las secciones transversales A , la velocidad del flujo v , la altura desde el suelo y y la presión p en cada punto. Suponemos que la densidad en los dos puntos es la misma, por lo tanto, la densidad se denota por ρ sin subíndices, y como el fluido es incompresible, los volúmenes sombreados deben ser iguales. La geometría usada para la derivación de la ecuación de Bernoulli. También suponemos que no hay fuerzas viscosas en el fluido, por lo que la energía de cualquier parte del fluido se conservará. Para derivar la ecuación de Bernoulli, primero calculamos el trabajo realizado sobre el fluido: d W = F 1 d x 1 − F 2 d x 2 d W = p 1 A 1 d x 1 − p 2 A 2 d x 2 = p 1 d V − p 2 d V = ( p 1 − p 2 ) d V . El trabajo realizado se debe a la fuerza conservativa de la gravedad y al cambio en la energía cinética del fluido. El cambio en la energía cinética del fluido es igual a d K = 1 2 m 2 v 2 2 − 1 2 m 1 v 1 2 = 1 2 ρ d V ( v 2 2 − v 1 2 ) . El cambio de energía potencial es d U = m g y 2 − m g y 1 = ρ d V g ( y 2 − y 1 ) . La ecuación de la energía se convierte entonces en d W = d K + d U ( p 1 − p 2 ) d V = 1 2 ρ d V ( v 2 2 − v 1 2 ) + ρ d V g ( y 2 − y 1 ) ( p 1 − p 2 ) = 1 2 ρ ( v 2 2 − v 1 2 ) + ρ g ( y 2 − y 1 ) . Al reordenar la ecuación se obtiene la ecuación de Bernoulli: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2 . Esta relación establece que la energía mecánica de cualquier parte del fluido cambia como consecuencia del trabajo realizado por el fluido externo a esa parte, debido a la variación de la presión a lo largo del camino. Dado que los dos puntos fueron elegidos arbitrariamente, podemos escribir la ecuación de Bernoulli de forma más general como un principio de conservación a lo largo del flujo. Ecuación de Bernoulli Para un fluido incompresible y sin fricción, la combinación de la presión y la suma de las densidades de energías cinética y potencial es constante no solo en el tiempo, sino también a lo largo de una línea de corriente: p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = constante Hay que tener en cuenta el hecho de que en una situación dinámica las presiones a la misma altura en diferentes partes del fluido pueden ser diferentes si tienen diferentes velocidades de flujo. Análisis de la ecuación de Bernoulli Según la ecuación de Bernoulli, si seguimos un pequeño volumen de fluido a lo largo de su trayectoria, varias cantidades de la suma pueden cambiar, pero el total permanece constante. La ecuación de Bernoulli es, de hecho, solo una declaración conveniente de la conservación de la energía para un fluido incompresible en ausencia de fricción. La forma general de la ecuación de Bernoulli tiene tres términos y es ampliamente aplicable. Para entenderlo mejor, consideremos algunas situaciones concretas que simplifican e ilustran su uso y significado. Ecuación de Bernoulli para fluidos estáticos En primer lugar, consideremos una situación muy sencilla en la que el fluido es estático, es decir, v 1 = v 2 = 0 . La ecuación de Bernoulli en ese caso es p 1 + ρ g h 1 = p 2 + ρ g h 2 . Podemos simplificar aún más la ecuación al establecer h 2 = 0 . (se puede elegir cualquier altura para una altura de referencia de cero, como se hace a menudo para otras situaciones en las que interviene la fuerza gravitacional, lo que hace que todas las demás alturas sean relativas). En este caso, obtenemos p 2 = p 1 + ρ g h 1 . Esta ecuación nos dice que en fluidos estáticos la presión aumenta con la profundidad. Al pasar del punto 1 al punto 2 del fluido, la profundidad aumenta en h 1 , y en consecuencia, p 2 es mayor que p 1 por una cantidad ρ g h 1 . En el caso más sencillo, p 1 es cero en la parte superior del fluido, y obtenemos la conocida relación p = ρ g h . ( Recordemos que p = ρ g h y Δ U g = − m g h . ) Así, la ecuación de Bernoulli confirma el hecho de que el cambio de presión debido al peso de un fluido es ρ g h . Aunque presentamos la ecuación de Bernoulli para movimiento de fluidos, esta incluye gran parte de lo que hemos estudiado antes para fluidos estáticos. Principio de Bernoulli Supongamos que un fluido se mueve pero su profundidad es constante, es decir, h 1 = h 2 . Con esta condición, la ecuación de Bernoulli se convierte en p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . Las situaciones en las que el fluido circula a una profundidad constante son tan comunes que esta ecuación suele llamarse también principio de Bernoulli , lo cual es simplemente la ecuación de Bernoulli para fluidos a profundidad constante (nótese de nuevo que esto se aplica a un pequeño volumen de fluido mientras lo seguimos a lo largo de su trayectoria). El principio de Bernoulli refuerza el hecho de que la presión disminuye al aumentar la velocidad en un fluido en movimiento: Si v 2 es mayor que v 1 en la ecuación, entonces p 2 debe ser menor que p 1 para que la igualdad se mantenga. Calcular presión En el , comprobamos que la velocidad del agua en una manguera aumenta de 1,96 m/s a 25,5 m/s yendo de la manguera a la boquilla. Calcule la presión en la manguera, dado que la presión absoluta en la boquilla es 1,01 × 10 5 N/m 2 (atmosférico, como debe ser) y si se supone un flujo nivelado y sin fricción. Estrategia Flujo nivelado significa profundidad constante, por lo que se aplica el principio de Bernoulli. Usamos el subíndice 1 para los valores de la manguera y el 2 para los de la boquilla. Por lo tanto, se nos pide que encontremos p 1 . Solución Resolver el principio de Bernoulli para p 1 arroja p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 − 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ ( v 2 2 − v 1 2 ) . Al sustituir valores conocidos, p 1 = 1,01 × 10 5 N/m 2 + 1 2 ( 10 3 kg/m 3 ) [ (25,5 m/s) 2 − (1,96 m/s) 2 ] = 4,24 × 10 5 N/m 2 . Importancia Esta presión absoluta en la manguera es mayor que en la boquilla, como era de esperarse, ya que v es mayor en la boquilla. La presión p 2 en la boquilla debe ser atmosférica, ya que el agua sale a la atmósfera sin otros cambios en las condiciones. Aplicaciones del principio de Bernoulli Hay muchos dispositivos y situaciones en los que el fluido circula a una altura constante y, por tanto, se puede analizar con el principio de Bernoulli. Arrastre El principio de Bernoulli se aplica desde hace mucho tiempo usando reducción de la presión en fluidos de alta velocidad para mover cosas. Con una mayor presión en el exterior, el fluido de alta velocidad obliga a otros fluidos a entrar en la corriente. Este proceso se denomina arrastre . Los dispositivos de arrastre se han usado desde la antigüedad como bombas para elevar el agua a pequeñas alturas, como es necesario para drenar pantanos, campos u otras áreas bajas. Algunos otros dispositivos que usan el concepto de arrastre se muestran en la . Los dispositivos de arrastre usan el aumento de la velocidad del fluido para crear presiones bajas, que luego arrastran un fluido dentro de otro. (a) Un mechero Bunsen usa una boquilla de gas ajustable, y arrastra aire para una combustión adecuada. (b) Un atomizador usa una pera de presión para crear un chorro de aire que arrastra gotas de perfume. Los pulverizadores de pintura y los carburadores usan técnicas muy similares para mover sus respectivos líquidos. (c) Un aspirador común usa un chorro de agua a gran velocidad para crear una región de menor presión. Los aspiradores se pueden usar como bombas de succión en situaciones dentales y quirúrgicas o para drenar un sótano inundado o producir una presión reducida en un recipiente. (d) La chimenea de un calentador de agua está diseñada para arrastrar el aire hacia la tubería que atraviesa el techo. Medición de velocidad La muestra dos dispositivos que aplican el principio de Bernoulli para medir velocidad de fluidos. El manómetro de la parte (a) está conectado a dos tubos lo suficientemente pequeños como para no perturbar apreciablemente el flujo. El tubo orientado hacia el fluido que se aproxima crea un punto muerto con velocidad cero ( v 1 = 0 ) delante de él, mientras que el fluido que pasa por el otro tubo tiene una velocidad v 2 . Esto significa que el principio de Bernoulli, tal y como se establece en p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 se convierte en p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . Así, la presión p 2 sobre la segunda apertura se reduce en 1 2 ρ v 2 2 , por lo que el fluido en el manómetro aumenta en h en el lado conectado a la segunda abertura, donde h ∝ 1 2 ρ v 2 2 . (recordemos que el símbolo ∝ significa “proporcional a”). Al resolver para v 2 , vemos que v 2 ∝ h . La parte (b) muestra una versión de este dispositivo que es de uso común para medir varias velocidades de fluidos; tales dispositivos se usan frecuentemente como indicadores de la velocidad del aire en los aviones. Medición de la velocidad del fluido basada en el principio de Bernoulli. (a) Se conecta un manómetro a dos tubos que están cerca entre sí y son lo suficientemente pequeños como para no perturbar el flujo. El tubo 1 está abierto en el extremo que da al flujo. Allí se crea un punto muerto con velocidad cero. El tubo 2 tiene una abertura en el lateral, por lo que el fluido tiene una velocidad v a través de la abertura; por lo tanto, la presión allí disminuye. La diferencia de presión en el manómetro es 1 2 ρ v 2 2 , por lo que h es proporcional a 1 2 ρ v 2 2 . (b) Este tipo de dispositivo de medición de la velocidad es un tubo de Prandtl , también conocido como tubo de Pitot. Una manguera de incendios Todas las aplicaciones anteriores de la ecuación de Bernoulli implicaban condiciones simples, como altura o presión constantes. El siguiente ejemplo es una aplicación más general de la ecuación de Bernoulli en la que cambian presión, velocidad y altura. Calcular presión: una boquilla de manguera de incendios Las mangueras que se usan en los grandes incendios estructurales tienen un diámetro interior de 6,40 cm ( ). Supongamos que dicha manguera transporta un flujo de 40,0 L/s, a partir de una presión manométrica de 1,62 × 10 6 N/m 2 . La manguera sube 10,0 m por una escalera hasta una boquilla con un diámetro interior de 3,00 cm. ¿Cuál es la presión en la boquilla? La presión en la boquilla de esta manguera contra incendios es menor que en el suelo por dos motivos: el agua tiene que ir cuesta arriba para llegar a la boquilla y la velocidad aumenta en la boquilla. A pesar de su baja presión, el agua puede ejercer una gran fuerza sobre cualquier cosa que golpee en virtud de su energía cinética. La presión de la corriente de agua se iguala a la presión atmosférica una vez que sale al aire. Estrategia Debemos usar la ecuación de Bernoulli para resolver la presión, ya que la profundidad no es constante. Solución La ecuación de Bernoulli es p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2 donde los subíndices 1 y 2 se refieren a las condiciones iniciales en el suelo y a las condiciones finales dentro de la boquilla, respectivamente. Primero debemos encontrar las velocidades v 1 y v 2 . Toda vez que Q = A 1 v 1 , obtenemos v 1 = Q A 1 = 40,0 × 10 −3 m 3 / s π ( 3,20 × 10 −2 m) 2 = 12,4 m/s . Del mismo modo, encontramos v 2 = 56,6 m/s . Esta velocidad bastante grande es útil para alcanzar el fuego. Ahora, al tomar h 1 sea cero, resolvemos la ecuación de Bernoulli para p 2 : p 2 = p 1 + 1 2 ρ ( v 1 2 − v 2 2 ) − ρ g h 2 . Al sustituir valores conocidos se obtiene p 2 = 1,62 × 10 6 N/m 2 + 1 2 ( 1.000 kg/m 3 ) [ (12,4 m/s) 2 − (56,6 m/s) 2 ] − ( 1.000 kg/m 3 ) ( 9,80 m/s 2 ) ( 10,0 m ) = 0. Importancia Este valor es una presión manométrica, ya que la presión inicial se dio como presión manométrica. Así, la presión de la boquilla es igual a la presión atmosférica, como debe ser, porque el agua sale a la atmósfera sin cambios en sus condiciones. Resumen La ecuación de Bernoulli establece que la suma en cada lado de la siguiente ecuación es constante, o la misma en dos puntos cualesquiera de un fluido incompresible sin fricción: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2 . El principio de Bernoulli es la ecuación de Bernoulli aplicada a situaciones en las que la altura del fluido es constante. Los términos que implican profundidad (o altura h ) se restan, con lo que se obtiene p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . El principio de Bernoulli tiene muchas aplicaciones, como arrastre y medición de la velocidad. Cuestiones conceptuales Puede lanzar un chorro de agua desde una manguera de jardín a una distancia considerablemente mayor cubriendo parcialmente la abertura con el pulgar. Explique cómo funciona esto. El agua se dispara casi verticalmente hacia arriba en una fuente decorativa y se observa que la corriente se ensancha a medida que sube. Por el contrario, un chorro de agua que cae directamente de un grifo se estrecha. Explique por qué. La masa de agua que entra en una sección transversal debe ser igual a la que sale. Por la ecuación de continuidad, sabemos que la densidad por el área por la velocidad debe permanecer constante. Como la densidad del agua no cambia, la velocidad por el área de la sección transversal que entra en una región debe ser igual al área de la sección transversal por la velocidad que sale de la región. Dado que la velocidad de la corriente de la fuente disminuye a medida que asciende debido a la gravedad, el área debe aumentar. Dado que la velocidad del chorro del grifo se acelera al caer, el área debe disminuir. Revise la . Responda las siguientes dos preguntas. ¿Por qué p o es menos que la atmosférica? ¿Por qué p o es mayor que p i ? Un tubo con un segmento estrecho diseñado para mejorar el arrastre se llama Venturi , como el que se muestra a continuación. Los venturis son muy usados en carburadores y aspiradores. ¿Cómo esta estructura refuerza el arrastre? Cuando el tubo se estrecha, el fluido se ve obligado a acelerar, gracias a la ecuación de continuidad y al trabajo realizado sobre el fluido. Cuando el tubo es estrecho, la presión disminuye. Esto significa que el fluido arrastrado se empujará hacia el área estrecha. Algunos tubos de chimenea tienen forma de T, con un travesaño en la parte superior que ayuda a aspirar los gases cuando hay una ligera brisa. Explique cómo funciona esto en términos del principio de Bernoulli. ¿Existe un límite en la altura a la que un dispositivo de arrastre puede elevar un fluido? Explique su respuesta. El trabajo realizado por la presión se puede usar para aumentar la energía cinética y ganar energía potencial. A medida que la altura es mayor, queda menos energía para dar a la energía cinética. Finalmente, habrá una altura máxima que no podrá ser superada. ¿Por qué es preferible que los aviones despeguen contra el viento en vez de con el viento? En ocasiones, los tejados se desprenden verticalmente durante un ciclón tropical, y los edificios, a veces, explotan hacia fuera cuando los golpea un tornado. Use el principio de Bernoulli para explicar estos fenómenos. Debido a la velocidad del aire en el exterior del edificio, la presión fuera de la casa disminuye. La mayor presión en el interior del edificio puede hacer volar el tejado o hacer que el edificio explote. Es peligroso situarse cerca de las vías del tren cuando pasa un tren de cercanías a gran velocidad. Explique por qué la presión atmosférica lo empujaría hacia el tren en movimiento. La presión del agua dentro de una boquilla de manguera puede ser inferior a la presión atmosférica debido al efecto Bernoulli. Explique en términos de energía cómo el agua puede salir de la boquilla contra la presión atmosférica opuesta. El aire dentro de la manguera tiene energía cinética debido a su movimiento. La energía cinética se puede usar para realizar un trabajo contra la diferencia de presión. David bajó la ventanilla de su automóvil mientras conducía por la autopista. Una bolsa de plástico vacía que había en el suelo salió rápidamente volando por la ventana. Explique por qué. Según la ecuación de Bernoulli, ¿cuáles son las tres formas de energía en un fluido? (Nótese que estas formas son conservadoras, a diferencia de la transferencia de calor y otras formas disipativas no incluidas en la ecuación de Bernoulli). La energía potencial debido a la posición, la energía cinética debido a la velocidad y el trabajo realizado por una diferencia de presión. La vieja bota de goma que se muestra a continuación tiene dos fugas. ¿A qué altura máxima puede brotar el agua de la fuga 1? ¿En qué se diferencia la velocidad del agua que sale de la fuga 2 de la de la fuga 1? Explique sus respuestas en términos de energía. La presión del agua dentro de una boquilla de manguera puede ser inferior a la presión atmosférica debido al efecto Bernoulli. Explique en términos de energía cómo el agua puede salir de la boquilla contra la presión atmosférica opuesta. El agua tiene energía cinética debido a su movimiento. Esta energía puede convertirse en trabajo contra la diferencia de presión. Problemas Compruebe que la presión tiene unidades de energía por unidad de volumen. F = p A ⇒ p = F A , [ p ] = N/m 2 = N · m/m 3 = J/m 3 = energía/volumen Suponga que tiene un medidor de velocidad del viento como el tubo de Pitot que se muestra en la . ¿En qué factor debe aumentar la velocidad del viento para duplicar el valor de h en el manómetro? ¿Esto es independiente del fluido en movimiento y del fluido en el manómetro? Si la lectura de la presión de su tubo de Pitot es de 15,0 mm Hg a una velocidad de 200 km/h, ¿cuál será a 700 km/h a la misma altitud? −135 mm Hg Cada pocos años, los vientos en Boulder, Colorado alcanzan velocidades sostenidas de 45,0 m/s (unas 100 mph) cuando la corriente en chorro desciende durante el comienzo de la primavera. Aproximadamente, ¿cuál es la fuerza debido a la ecuación de Bernoulli en un tejado con una superficie de 220 m 2 ? La densidad típica del aire en Boulder es 1,14 kg/m 3 y la presión atmosférica correspondiente es 8,89 × 10 4 N/m 2 (el principio de Bernoulli, tal como se indica en el texto, supone un flujo laminar. El uso del principio aquí produce solo un resultado aproximado, porque hay una turbulencia significativa). ¿Cuál es la caída de presión debido al efecto Bernoulli cuando el agua entra en una boquilla de 3,00 cm de diámetro desde una manguera de incendios de 9,00 cm de diámetro mientras transporta un flujo de 40,0 L/s? (b) ¿A qué altura máxima por encima de la boquilla puede subir el agua? (La altura real será significativamente menor debido a la resistencia del aire). a. 1,58 × 10 6 N/m 2 ; b. 163 m (a) Con la ecuación de Bernoulli, demuestre que la velocidad del fluido medida v para un tubo de Pitot, como el de (b), viene dada por v = ( 2 ρ ′ g h ρ ) 1 / 2 , donde h es la altura del fluido del manómetro, ρ ′ es la densidad del fluido del manómetro, ρ es la densidad del fluido en movimiento y g es la aceleración debido a la gravedad (obsérvese que v es efectivamente proporcional a la raíz cuadrada de h , como se indica en el texto). (b) Calcule v para el aire en movimiento si la h de un manómetro de mercurio es de 0,200 m. Un recipiente de agua tiene un área de sección transversal de A = 0,1 m 2 Un pistón se asienta sobre el agua (véase la siguiente figura). Hay un surtidor situado a 0,15 m del fondo del tanque, abierto a la atmósfera, y un chorro de agua sale del surtidor. El área de la sección transversal del surtidor es A s = 7,0 × 10 −4 m 2 . (a) ¿Cuál es la velocidad del agua al salir del surtidor? (b) Si la abertura del surtidor está situada a 1,5 m del suelo, ¿a qué distancia del surtidor llega el agua al suelo? Ignore todas las fuerzas de fricción y disipación. a. v 2 = 3,28 m s ; b. t = 0,55 s x = v t = 1,81 m Un fluido de densidad constante circula a través de una reducción en una tubería. Encuentre una ecuación para el cambio de presión, en términos de v 1 , A 1 , A 2 , y la densidad. ecuación de Bernoulli ecuación resultante de aplicar conservación de la energía a un fluido incompresible sin fricción: p + 1 2 ρ v 2 + ρ g h = constante , en todo el fluido principio de Bernoulli la ecuación de Bernoulli aplicada a profundidad constante: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Ciencia


Viscosidad y turbulencia En Aplicaciones de las leyes de Newton , donde se introdujo el concepto de fricción, vimos que un objeto que se desliza por el suelo con una velocidad inicial y sin fuerza aplicada llega al reposo debido a la fuerza de fricción. La fricción depende de los tipos de materiales en contacto y es proporcional a la fuerza normal. En ese mismo capítulo hablamos también de arrastre y resistencia del aire. Explicamos que a bajas velocidades el arrastre es proporcional a la velocidad, mientras que a altas velocidades el arrastre es proporcional a la velocidad al cuadrado. En esta sección introducimos las fuerzas de fricción que actúan sobre fluidos en movimiento. Por ejemplo, un fluido que circula por una tubería está sujeto a una resistencia, un tipo de fricción, entre el fluido y las paredes. La fricción también se produce entre las diferentes capas de fluido. Estas fuerzas resistivas afectan la forma en que el fluido circula a través de la tubería. Viscosidad y flujo laminar Cuando se sirve un vaso de jugo, el líquido fluye libre y rápidamente. Pero si vierte sirope de arce sobre sus panqueques, ese líquido fluye lentamente y se pega a la jarra. La diferencia es la fricción del fluido, tanto dentro del propio fluido como entre este y su entorno. A esta propiedad de los fluidos la llamamos viscosidad . El jugo tiene una baja viscosidad, mientras que el sirope tiene una alta viscosidad. La definición precisa de la viscosidad se basa en el flujo laminar, o no turbulento. La muestra de forma esquemática en qué se diferencian el flujo laminar y el turbulento. Cuando el flujo es laminar, las capas fluyen sin mezclarse. Cuando el flujo es turbulento, las capas se mezclan y se producen velocidades significativas en direcciones distintas de la dirección general del flujo. (a) El flujo laminar se produce en capas sin mezclarse. Obsérvese que la viscosidad provoca un arrastre entre las capas, así como con la superficie fija. La velocidad cerca del fondo del flujo ( v b ) es menor que la velocidad cerca de la cima ( v t ) porque en este caso, la superficie del recipiente contenedor está en el fondo. (b) Una obstrucción en el recipiente provoca un flujo turbulento. El flujo turbulento mezcla el fluido. Hay más interacción, mayor calentamiento y más resistencia que en el flujo laminar. La turbulencia es un fluido circulante en el cual las capas se mezclan entre sí mediante torbellinos y remolinos. Tiene dos causas principales. En primer lugar, cualquier obstrucción o esquina afilada, como en un grifo, crea turbulencia al impartir velocidades perpendiculares al flujo. En segundo lugar, las altas velocidades provocan turbulencia . El arrastre entre capas adyacentes de fluido y entre el fluido y su entorno puede formar remolinos y torbellinos si la velocidad es lo suficientemente grande. En la , la velocidad del humo que se acelera alcanza el punto en que comienza a arremolinarse debido al arrastre entre el humo y el aire circundante. El humo se eleva suavemente durante un tiempo y luego comienza a formar remolinos y torbellinos. El flujo suave se denomina flujo laminar, mientras que los remolinos y torbellinos tipifican el flujo turbulento. El humo se eleva más rápidamente cuando fluye suavemente que después de volverse turbulento, lo que sugiere que la turbulencia plantea más resistencia al flujo (créditos: “Creativity103”/Flickr). La muestra cómo se mide la viscosidad de un fluido. El fluido que se va a medir se coloca entre dos placas paralelas. La placa inferior se mantiene fija, mientras que la placa superior se mueve hacia la derecha y arrastra el fluido con ella. La capa (o lámina) de fluido en contacto con cualquiera de las placas no se mueve con respecto a la placa, por lo que la capa superior se mueve a una velocidad v mientras que la capa inferior permanece en reposo. Cada capa sucesiva, de arriba hacia abajo, ejerce una fuerza sobre la que está por debajo, tratando de arrastrarla, lo que produce una variación continua de la velocidad desde v hasta 0, como se muestra. Se procura que el flujo sea laminar, es decir, que las capas no se mezclen. El movimiento de la figura es como un movimiento de cizallamiento continuo. Los fluidos tienen una resistencia al cizallamiento cero, pero la velocidad a la que se cizallan está relacionada con los mismos factores geométricos A y L que la deformación por cizallamiento de los sólidos. En el diagrama, el fluido está inicialmente en reposo. La capa de fluido en contacto con la placa móvil se acelera y comienza a moverse debido a la fricción interna entre la placa móvil y el fluido. La siguiente capa está en contacto con la capa en movimiento; como hay fricción interna entre las dos capas, también se acelera, y así sucesivamente a través de la profundidad del fluido. También hay fricción interna entre la placa estacionaria y la capa más baja de fluido, junto a la placa de la estación. La fuerza es necesaria para mantener la placa en movimiento a una velocidad constante debido a la fricción interna. Medición de viscosidad para el flujo laminar de un fluido entre dos placas de área A . La placa inferior es fija. Cuando la placa superior es empujada hacia la derecha, arrastra el fluido con ella. Se requiere una fuerza F para mantener la placa superior en movimiento a una velocidad constante v , y hay experimentos que han demostrado que esta fuerza depende de cuatro factores. En primer lugar, F es directamente proporcional a v (hasta que la velocidad es tan alta que se produce turbulencia; entonces se necesita una fuerza mucho mayor, y tiene una dependencia más complicada de v ). En segundo lugar, F es proporcional al área A de la placa. Esta relación parece razonable, ya que A es directamente proporcional a la cantidad de fluido que se mueve. En tercer lugar, F es inversamente proporcional a la distancia entre las placas L . Esta relación también es razonable; L es como un brazo de palanca, y cuanto mayor sea el brazo de palanca, menor será la fuerza necesaria. En cuarto lugar, F es directamente proporcional al coeficiente de viscosidad , η . Cuanto mayor sea la viscosidad, mayor será la fuerza necesaria. Estas dependencias se combinan en la ecuación F = η v A L . Esta ecuación nos da una definición de trabajo de la viscosidad del fluido η . Resolver para η da η = F L v A que define la viscosidad en términos de cómo se mide. La unidad SI de la viscosidad es N ⋅ m/ [ ( m/s ) m 2 ] = ( N/m 2 ) s o Pa ⋅ s . En la se enumeran los coeficientes de viscosidad de varios fluidos. La viscosidad varía de un fluido a otro en varios órdenes de magnitud. Como es de esperar, las viscosidades de los gases son mucho menores que las de los líquidos, y estas viscosidades suelen depender de la temperatura. Coeficientes de viscosidad de varios fluidos Fluido Temperatura ( °C) Viscosidad η × 10 3 Aire 0 0,0171 20 0,0181 40 0,0190 100 0,0218 Amoníaco 20 0,00974 Dióxido de carbono 20 0,0147 Helio 20 0,0196 Hidrógeno 0 0,0090 Mercurio 20 0,0450 Oxígeno 20 0,0203 Vapor 100 0,0130 Agua líquida 0 1,792 20 1,002 37 0,6947 40 0,653 100 0,282 Sangre completa 20 3,015 37 2,084 Plasma sanguíneo 20 1,810 37 1,257 Alcohol etílico 20 1,20 Metanol 20 0,584 Aceite (máquina pesada) 20 660 Aceite (motor, SAE 10) 30 200 Aceite (de oliva) 20 138 Glicerina 20 1.500 Miel 20 2.000-10.000 Sirope de arce 20 2.000-3.000 Leche 20 3,0 Aceite (maíz) 20 65 Flujo laminar confinado en tubos: Ley de Poiseuille ¿Qué causa el flujo? La respuesta, como es lógico, es una diferencia de presión. De hecho, existe una relación muy sencilla entre flujo horizontal y presión. La tasa de flujo Q está en la dirección de alta a baja presión. Cuanto mayor sea la diferencia de presión entre dos puntos, mayor será la tasa de flujo. Esta relación se puede expresar como Q = p 2 − p 1 R donde p 1 y p 2 son las presiones en dos puntos, como por ejemplo en cada extremo de un tubo, y R es la resistencia al flujo. La resistencia R incluye todo, excepto la presión, que afecta la tasa de flujo. Por ejemplo, R es mayor para un tubo largo que para uno corto. Cuanto mayor es la viscosidad de un fluido, mayor es el valor de R . La turbulencia aumenta mucho R , mientras que el aumento del diámetro de un tubo disminuye R . Si la viscosidad es cero, el fluido no tiene fricción y la resistencia al flujo también es cero. Al comparar el flujo sin fricción en un tubo con el flujo viscoso, como en la , vemos que para un fluido viscoso, la velocidad es mayor a mitad de camino debido al arrastre en los límites. Podemos ver el efecto de la viscosidad en la llama de un mechero Bunsen [parte (c)], aunque la viscosidad del gas natural es pequeña. (a) Si el fluido circulante en un tubo tiene una resistencia insignificante, la velocidad es la misma a lo largo de todo el tubo. (b) Cuando un fluido viscoso circula a través de un tubo, su velocidad en las paredes es cero, y aumenta constantemente hasta su máximo en el centro del tubo. (c) La forma de la llama de un mechero Bunsen se debe al perfil de velocidad a través del tubo (créditos c: modificación de trabajo de “jasonwoodhead23”/Flickr). La resistencia R al flujo laminar de un fluido incompresible con viscosidad η a través de un tubo horizontal de radio uniforme r y longitud l , viene dada por R = 8 η l π r 4 . Esta ecuación se denomina ley de Poiseuille para la resistencia , llamada así en honor al científico francés J. L. Poiseuille (1799-1869), que la dedujo en un intento de comprender el flujo de la sangre a través del cuerpo. Examinemos la expresión de Poiseuille para R para ver si tiene un buen sentido intuitivo. Vemos que la resistencia es directamente proporcional a la viscosidad del fluido η y la longitud l de un tubo. Al fin y al cabo, ambos afectan directamente a la cantidad de fricción encontrada: cuanto mayor sea uno de ellos, mayor será la resistencia y menor el flujo. El radio r de un tubo afecta la resistencia, lo que también tiene sentido, porque cuanto mayor sea el radio, mayor será el flujo (los demás factores permanecen iguales). Pero es sorprendente que r se eleve a la cuarta potencia en la ley de Poiseuille. Este exponente significa que cualquier cambio en el radio de un tubo tiene un efecto muy grande en la resistencia. Por ejemplo, duplicar el radio de un tubo disminuye la resistencia en un factor de 2 4 = 16 . En conjunto, Q = p 2 − p 1 R y R = 8 η l π r 4 dan la siguiente expresión para la tasa de flujo: Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l . Esta ecuación describe el flujo laminar a través de un tubo. A veces se denomina ley de Poiseuille para el flujo laminar, o simplemente ley de Poiseuille ( ). La ley de Poiseuille se aplica al flujo laminar de un fluido incompresible de viscosidad η a través de un tubo de longitud l y radio r . El sentido del flujo es de mayor a menor presión. La tasa de flujo Q es directamente proporcional a la diferencia de presión p 2 − p 1 , e inversamente proporcional a la longitud l del tubo y a la viscosidad η del fluido. La tasa de flujo aumenta con el radio en un factor de r 4 . Usar la tasa de flujo: sistemas de aire acondicionado Se está diseñando un sistema de aire acondicionado para suministrar aire a una presión manométrica de 0,054 Pa a una temperatura de 20 ° C . El aire se envía a través de un conducto redondo aislado de 18,00 cm de diámetro. El conducto tiene una longitud de 20 metros y está abierto a una habitación a una presión atmosférica de 101,30 kPa. La habitación tiene una longitud de 12 metros, una anchura de 6 metros y una altura de 3 metros. (a) ¿Cuál es la tasa de flujo volumétrica que pasa por la tubería al suponer un flujo laminar? (b) Estime el tiempo necesario para sustituir completamente el aire de la habitación. (c) Los constructores deciden ahorrar dinero usando un conducto de 9,00 cm de diámetro. ¿Cuál es la nueva tasa de flujo? Estrategia Al suponer un flujo laminar, la ley de Poiseuille establece que Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l = d V d t . Tenemos que comparar el radio de la arteria antes y después de la reducción de la tasa de flujo. Obsérvese que se nos da el diámetro del conducto, por lo que debemos dividir entre dos para obtener el radio. Solución Se supone una diferencia de presión constante y se usa la viscosidad η = 0,0181 mPa ⋅ s , Q = ( 0,054 Pa ) ( 3,14 ) ( 0,09 m ) 4 8 ( 0,0181 × 10 −3 Pa ⋅ s ) ( 20 m ) = 3,84 × 10 −3 m 3 s . Se supone un flujo constante Q = d V d t ≈ Δ V Δ t Δ t = Δ V Q = ( 12 m ) ( 6 m ) ( 3 m ) 3,84 × 10 −3 m 3 s = 5,63 × 10 4 s = 15,63 h . Usando el flujo laminar, la ley de Poiseuille arroja Q = ( 0,054 Pa ) ( 3,14 ) ( 0,045 m ) 4 8 ( 0,0181 × 10 −3 Pa ⋅ s ) ( 20 m ) = 2,40 × 10 −4 m 3 s . Así, la disminución del radio del conducto a la mitad reduce la tasa de flujo al 6,25 % del valor original. Importancia En general, al suponer un flujo laminar, la disminución del radio tiene un efecto más dramático que la modificación de la longitud. Si se aumenta la longitud y todas las demás variables permanecen constantes, la tasa de flujo disminuye: Q A Q B = ( p 2 − p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 − p 1 ) π r B 4 8 η l B = l B l A Q B = l A l B Q A . Al duplicar la longitud, la tasa de flujo se reduce a la mitad de la original. Si se disminuye el radio y todas las demás variables permanecen constantes, la tasa de flujo volumétrica disminuye en un factor mucho mayor. Q A Q B = ( p 2 − p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 − p 1 ) π r B 4 8 η l B = ( r A r B ) 4 Q B = ( r B r A ) 4 Q A Al reducir el radio a la mitad, la tasa de flujo disminuye a una dieciseisava parte del original. El flujo y la resistencia como causas de caídas de presión La presión del agua en los hogares es, a veces, más baja de lo normal en momentos de mucho uso, como los días calurosos de verano. La caída de presión se produce en el conducto de agua antes de que llegue a los hogares. Consideremos el flujo a través del conducto de agua como se ilustra en la . Podemos entender por qué la presión p 1 a la vivienda disminuye en los momentos de mayor uso, reordenando la ecuación de la tasa de flujo: Q = p 2 − p 1 R p 2 – p 1 = R Q . En este caso, p 2 es la presión en la obra de agua y R es la resistencia del conducto de agua. En los momentos de mayor uso, la tasa de flujo Q es grande. Esto significa que p 2 − p 1 también debe ser grande. Así, p 1 debe disminuir. Es correcto pensar que el flujo y la resistencia hacen que la presión baje de p 2 hasta p 1 . La ecuación p 2 − p 1 = R Q es válido tanto para flujos laminares como turbulentos. Durante los momentos de mayor uso se produce una importante caída de presión en el conducto de agua, y p 1 suministrado a los usuarios es significativamente menor que p 2 creado en las obras de agua. Si el flujo es muy pequeño, la caída de presión es insignificante y p 2 ≈ p 1 . También podemos usar p 2 − p 1 = R Q para analizar las caídas de presión que se producen en sistemas más complejos en los que el radio del tubo no es el mismo en todas partes. La resistencia es mucho mayor en lugares estrechos, como en una arteria coronaria obstruida. Para una tasa de flujo dada Q , la pérdida de carga es mayor donde el tubo es más estrecho. Así es como los grifos de agua controlan el flujo. Además, R aumenta mucho con la turbulencia, y una constricción que crea turbulencia reduce mucho la presión descendente. La placa en una arteria reduce la presión y, por tanto, el flujo, tanto por su resistencia como por la turbulencia que crea. Medición de turbulencia Un indicador llamado número de Reynolds N R puede revelar si el flujo es laminar o turbulento. Para un flujo en un tubo de diámetro uniforme, el número de Reynolds se define como N R = 2 ρ v r η (flujo en el tubo) donde ρ es la densidad del fluido, v su velocidad, η su viscosidad y r el radio del tubo. El número de Reynolds es una cantidad sin dimensiones. Hay experimentos que han revelado que N R está relacionado con el inicio de turbulencia. Para N R por debajo de unos 2.000, el flujo es laminar. Para N R por encima de unos 3.000, el flujo es turbulento. Para valores de N R entre 2.000 y 3.000 aproximadamente, el flujo es inestable, es decir, puede ser laminar, pero pequeños obstáculos y la rugosidad de la superficie pueden hacerlo turbulento, y puede oscilar aleatoriamente entre ser laminar y turbulento. De hecho, el flujo de un fluido con un número de Reynolds entre 2.000 y 3.000 es un buen ejemplo de comportamiento caótico. Un sistema se define como caótico cuando su comportamiento es tan sensible a algún factor que es extremadamente difícil de predecir. Es difícil, pero no imposible, predecir si el flujo es turbulento o no cuando el número de Reynolds de un fluido cae en este rango debido a la dependencia extremadamente sensible de factores como rugosidad y obstrucciones en la naturaleza del flujo. Una pequeña variación de un factor tiene un efecto exagerado (o no lineal) en el flujo. Usar la tasa de flujo: flujo turbulento o flujo laminar En el , encontramos que la tasa de flujo volumétrica de un sistema de aire acondicionado es Q = 3,84 × 10 −3 m 3 /s . Este cálculo suponía un flujo laminar. (a) ¿Esta era una buena suposición? (b) ¿A qué velocidad se convertiría el flujo en turbulento? Estrategia Para determinar si el flujo de aire a través del sistema de aire acondicionado es laminar, primero tenemos que encontrar la velocidad, que se puede encontrar por Q = A v = π r 2 v . Entonces, podemos calcular el número de Reynolds usando la ecuación siguiente, y determinar si entra en el rango del flujo laminar R = 2 ρ v r η . Solución Usando los valores dados: v = Q π r 2 = 3,84 × 10 −3 m 3 s 3,14 ( 0,09 m ) 2 = 0,15 m s R = 2 ρ v r η = 2 ( 1,23 kg m 3 ) ( 0,15 m s ) ( 0,09 m ) 0,0181 × 10 −3 Pa ⋅ s = 1.835 . Como el número de Reynolds es 1.835 < 2.000, el flujo es laminar y no turbulento. La suposición de que el flujo era laminar es válida. Para encontrar la velocidad máxima del aire para mantener el flujo laminar, considere el número de Reynolds. R = 2 ρ v r η ≤ 2.000 v = 2.000 ( 0,0181 × 10 −3 Pa ⋅ s ) 2 ( 1,23 kg m 3 ) ( 0,09 m ) = 0,16 m s . Importancia Cuando se traslada un fluido de un punto a otro, es deseable limitar la turbulencia. La turbulencia provoca un desperdicio de energía, ya que parte de la energía destinada a mover el fluido se disipa cuando se forman torbellinos. En este caso, el sistema de aire acondicionado será menos eficiente una vez que la velocidad supere los 0,16 m/s, ya que este es el punto en el que comenzará a producirse turbulencia. Resumen El flujo laminar se caracteriza por un flujo suave del fluido en capas que no se mezclan. La turbulencia se caracteriza por torbellinos y remolinos que mezclan capas de fluido. Viscosidad del fluido η se debe a la fricción dentro de un fluido. El flujo es proporcional a la diferencia de presión e inversamente proporcional a la resistencia: Q = p − 2 p 1 R . La caída de presión causada por el flujo y la resistencia viene dada por p 2 – p 1 = R Q . El número de Reynolds N R puede revelar si el flujo es laminar o turbulento. Es N R = 2 ρ v r η . Para N R por debajo de unos 2.000, el flujo es laminar. Para N R por encima de unos 3.000, el flujo es turbulento. Para valores de N R entre 2.000 y 3.000, puede ser cualquiera de los dos o ambos. Ecuaciones clave Densidad de una muestra a densidad constante ρ = m V Presión p = F A Presión a una profundidad h en un fluido de densidad constante p = p 0 + ρ g h Cambio de la presión con la altura en un fluido de densidad constante d p d y = − ρ g Presión absoluta p abs = p g + p atm Principio de Pascal F 1 A 1 = F 2 A 2 Tasa de flujo volumétrica Q = d V d t Ecuación de continuidad (densidad constante) A 1 v 1 = A 2 v 2 Ecuación de continuidad (forma general) ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 Ecuación de Bernoulli p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = constante Viscosidad η = F L v A Ley de Poiseuille para la resistencia R = 8 η l π r 4 Ley de Poiseuille Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l Cuestiones conceptuales Explique por qué la viscosidad de un líquido disminuye con la temperatura, es decir, ¿cómo un aumento de la temperatura puede reducir los efectos de las fuerzas de cohesión en un líquido? Explique también por qué la viscosidad de un gas aumenta con la temperatura, es decir, ¿cómo el aumento de la temperatura del gas crea más colisiones entre átomos y moléculas? Cuando se rema con una canoa río arriba, lo más sensato es viajar lo más cerca posible de la orilla. Cuando se navega en canoa río abajo, generalmente, es mejor permanecer cerca del centro. Explique por qué. El agua en el centro de la corriente se mueve más rápido que el agua cerca de la orilla debido a la resistencia entre el agua y la orilla y entre las capas de fluido. También es probable que haya más turbulencia cerca de la orilla, lo que también ralentizará el agua. Al remar corriente arriba, el agua empuja la canoa, por lo que es mejor permanecer cerca de la orilla para minimizar la fuerza que empuja la canoa. Al desplazarse río abajo, el agua empuja la canoa, lo que aumenta su velocidad, y lo más conveniente es permanecer en el centro de la corriente para maximizar este efecto. Las tuberías suelen incluir tubos llenos de aire cerca de los grifos de agua (véase la siguiente figura). Explique por qué son necesarios y cómo funcionan. El ultrasonido doppler se puede usar para medir la velocidad de la sangre en el cuerpo. Si se produce una constricción parcial de una arteria, ¿dónde se espera que la velocidad de la sangre sea mayor: en la constricción o después de ella? ¿Cuáles son las dos causas distintas de una mayor resistencia en la constricción? Es de esperar que la velocidad sea menor después de la obstrucción. La resistencia aumenta debido a la reducción del tamaño de la abertura, y se creará turbulencia a causa de la obstrucción, y ambas disposiciones harán que el fluido disminuya su velocidad. Los desagües del fregadero suelen tener un dispositivo como el que se muestra a continuación para ayudar a acelerar el flujo de agua. ¿Cómo funciona esto? Problemas (a) Calcule la fuerza de retardo debido a la viscosidad de la capa de aire entre un carrito y una pista de aire nivelada dada la siguiente información: la temperatura del aire es 20 °C , el carrito se mueve a 0,400 m/s, su superficie es 2,50 × 10 −2 m 2 , y el espesor de la capa de aire es 6,00 × 10 −5 m . (b) ¿Cuál es la relación entre esta fuerza y el peso del carrito de 0,300 kg? a. 3,02 × 10 − 3 N ; b. 1,03 × 10 − 3 Las arteriolas (pequeñas arterias) que conducen a un órgano se estrechan para disminuir el flujo hacia el órgano. Para apagar un órgano, el flujo sanguíneo se reduce de forma natural al 1,00 % de su valor original. ¿En qué factor se contraen los radios de las arteriolas? Una partícula esférica que cae a una velocidad terminal en un líquido debe tener la fuerza gravitacional equilibrada por la fuerza de arrastre y la fuerza de flotación. La fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado, mientras que la fuerza de arrastre se supone dada por la Ley de Stokes, F s = 6 π r η v . Demuestre que la velocidad terminal viene dada por v = 2 R 2 g 9 η ( ρ s − ρ 1 ) , donde R es el radio de la esfera, ρ s es su densidad y ρ 1 es la densidad del fluido y η el coeficiente de viscosidad. prueba Usando la ecuación del problema anterior, encuentre la viscosidad del aceite de motor en el que cae una bola de acero de radio 0,8 mm con una velocidad terminal de 4,32 cm/s. Las densidades de la bola y del aceite son de 7,86 y 0,88 g/mL, respectivamente. Un paracaidista alcanzará una velocidad límite cuando el arrastre del aire sea igual a su peso. Para un paracaidista con un cuerpo grande, la turbulencia es un factor a altas velocidades. La fuerza de arrastre es entonces aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. Tomando la fuerza de arrastre como F D = 1 2 ρ A v 2 , y fijando esta igual al peso del paracaidista, encuentre la velocidad terminal para una persona que cae en “águila abierta”. 40 m/s (a) Compruebe que una disminución del 19,0 % del flujo laminar a través de un tubo se debe a una disminución del 5,00 % del radio, al suponer que todos los demás factores permanecen constantes. (b) ¿Qué incremento del flujo se obtiene de un aumento del 5,00 % del radio, al suponer también que todos los demás factores permanecen constantes? Cuando los médicos diagnostican obstrucciones arteriales, citan la reducción de la tasa de flujo. Si la tasa de flujo de una arteria se ha reducido al 10,0 % de su valor normal por un coágulo de sangre y la diferencia de presión media ha aumentado un 20,0 %, ¿en qué factor ha reducido el coágulo el radio de la arteria? 0,537 r ; el radio se reduce al 53,7 % de su valor normal. Un pozo de petróleo lanza crudo a 25,0 m en el aire a través de una tubería de 0,100 m de diámetro. Descarte la resistencia del aire, pero no la de la tubería, suponga un flujo laminar y calcule la presión en la entrada de la tubería vertical de 50,0 m de longitud. Tome la densidad del petróleo para ser 900 kg/m 3 y que su viscosidad sea 1,00 ( N/m 2 ) ⋅ s (o 1,00 Pa ⋅ s ). Hay que tener en cuenta la presión debido a la columna de aceite de 50,0 m en la tubería. El hormigón se bombea desde una mezcladora hasta el lugar donde se va a vaciar, en vez de transportarlo en carretillas. La tasa de flujo es de 200 L/min a través de una manguera de 50,0 m de longitud y 8,00 cm de diámetro, y la presión en la bomba es de 8,00 × 10 6 N/m 2 . (a) Calcule la resistencia de la manguera. (b) ¿Cuál es la viscosidad del hormigón si se supone que el flujo es laminar? (c) ¿Cuánta potencia se suministra, si se supone que el punto de uso está al mismo nivel que la bomba? Puede descartar la potencia suministrada para aumentar la velocidad del hormigón. a. 2,40 × 10 9 N ⋅ s/m 5 ; b. 48,3 ( N/m 2 ) ⋅ s ; c. 2,67 × 10 4 W Compruebe que el flujo de petróleo es laminar para un pozo de petróleo que lanza crudo a 25,0 m en el aire a través de una tubería de 0,100 m de diámetro. El tubo vertical tiene 50 m de longitud. Tome la densidad del petróleo para ser 900 kg/m 3 y que su viscosidad sea 1,00 ( N/m 2 ) ⋅ s (o 1,00 Pa ⋅ s ). Calcule los números de Reynolds para el flujo de agua a través de (a) una boquilla con un radio de 0,250 cm; y (b) una manguera de jardín con un radio de 0,900 cm, cuando la boquilla está unida a la manguera. La tasa de flujo que pasa por la manguera y la boquilla es de 0,500 L/s. ¿Es posible que el flujo en cualquiera de ellos sea laminar? a. Boquilla v = 25,5 m s N R = 1,27 × 10 5 > 2.000 ⇒ El flujo no es laminar. b. Manguera: v = 1,96 m s N R = 35.100 > 2.000 ⇒ El flujo no es laminar. Una manguera de incendios tiene un diámetro interior de 6,40 cm. Supongamos que dicha manguera transporta un flujo de 40,0 L/s a partir de una presión manométrica de 1,62 × 10 6 N/m 2 . La manguera sube 10,0 m por una escalera hasta una boquilla con un diámetro interior de 3,00 cm. Calcule los números de Reynolds para el flujo en la manguera y en la boquilla para demostrar que el flujo en cada una debe ser turbulento. ¿A partir de qué tasa de flujo se puede producir turbulencia en una tubería de agua de 0,200 m de diámetro? Supongamos que un 20 °C temperatura. 3,16 × 10 − 4 m 3 /s Problemas adicionales Antes de los dispositivos de almacenamiento digital, como la memoria del teléfono móvil, la música se almacenaba en discos de vinilo con surcos de distinta profundidad cortados en el disco. Un fonógrafo usaba una aguja, la cual se movía sobre los surcos y medía su profundidad. La presión que ejerce la aguja de un fonógrafo sobre un disco es sorprendentemente grande. Si el equivalente a 1,00 g es soportado por una aguja cuya punta es un círculo de 0,200 mm de radio, ¿qué presión se ejerce sobre el disco en Pa? Las torres de agua almacenan agua por encima del nivel de los consumidores para los momentos de mayor uso, lo que elimina la necesidad de usar bombas de alta velocidad. ¿A qué altura sobre el usuario debe estar el nivel de agua para crear una presión manométrica de 3,00 × 10 5 N/m 2 ? 30,6 m El humor acuoso del ojo de una persona ejerce una fuerza de 0,300 N sobre la 1,10 cm 2 área de la córnea. ¿Qué presión es esta en mm Hg? (a) Convierta las lecturas normales de presión arterial de 120 sobre 80 mm Hg a newtons por metro cuadrado usando la relación para presión debido al peso de un fluido ( p = h ρ g ) en vez de un factor de conversión. (b) Explique por qué la presión arterial de un bebé sería, probablemente, menor que la de un adulto. En concreto, considere la menor altura a la que debe bombearse la sangre. a. p 120 = 1,60 × 10 4 N/m 2 p 80 = 1,07 × 10 4 N/m 2 ; b. Dado que un bebé solo mide 20 pulgadas aproximadamente, mientras que un adulto mide 70 pulgadas aproximadamente, se espera que la presión arterial de un bebé sea menor que la de un adulto. La sangre solo siente una presión de 20 pulgadas en vez de 70 pulgadas, por lo que la presión debería ser menor. Las ollas a presión existen desde hace más de 300 años, aunque su uso ha disminuido mucho en los años recientes (los primeros modelos tenían la desagradable costumbre de explotar). ¿Qué fuerza deben soportar los cierres que sujetan la tapa de una olla a presión si la tapa circular es 25,0 cm de diámetro y la presión manométrica en su interior es de 300 atm? Ignore el peso de la tapa. Los huesos de las aves tienen bolsas de aire para reducir su peso, lo que también les confiere una densidad media significativamente menor que la de los huesos de otros animales. Supongamos que un ornitólogo pesa un hueso de ave en el aire y en el agua y encuentra que su masa es de 45,0 g y su masa aparente cuando está sumergido es de 3,60 g (supongamos que el hueso es hermético). (a) ¿Qué masa de agua se desplaza? (b) ¿Cuál es el volumen del hueso? (c) ¿Cuál es su densidad media? a. 41,4 g; b. 41,4 cm 3 ; c. 1,09 g/cm 3 . Está claro que no es la densidad del hueso en todas partes. Las bolsas de aire tendrán una densidad de, aproximadamente, 1,29 × 10 −3 g/cm 3 , mientras que el hueso será sustancialmente más denso. En una medición por inmersión de la densidad de una mujer, se encuentra que tiene una masa de 62,0 kg en el aire y una masa aparente de 0,0850 kg cuando está completamente sumergida con los pulmones vacíos. (a) ¿Qué masa de agua desplaza? (b) ¿Cuál es su volumen? (c) Calcule su densidad. (d) Si su capacidad pulmonar es de 1,75 L, ¿es capaz de flotar sin pisar el agua con los pulmones llenos de aire? Algunos peces tienen una densidad ligeramente inferior a la del agua y deben ejercer una fuerza (nadar) para mantenerse sumergidos. ¿Qué fuerza debe ejercer un mero de 85,0 kg para permanecer sumergido en agua salada si la densidad de su cuerpo es 1.015 kg/m 3 ? 12,3 N El sistema circulatorio humano tiene, aproximadamente, 1 × 10 9 vasos capilares. Cada recipiente tiene un diámetro de, aproximadamente, 8 μ m . Suponga que el gasto cardíaco es de 5 L/min y determine la velocidad media del flujo sanguíneo a través de cada vaso capilar. La tasa de flujo a través de un 2,00 × 10 −6 m radio capilar es 3,80 × 10 9 cm 3 /s . (a) ¿Cuál es la velocidad del flujo sanguíneo? (b) Suponga que toda la sangre del cuerpo pasa por los capilares, ¿cuántos debe haber para transportar un flujo total de 90,0 cm 3 /s ? a. 3,02 × 10 −2 cm/s . (esta pequeña velocidad permite el tiempo de difusión de los materiales hacia y desde la sangre). b 2,37 × 10 10 capilares (esta gran cifra es una sobreestimación, pero sigue siendo razonable). El ventrículo izquierdo del corazón de un adulto en reposo bombea sangre a una tasa de flujo de 83,0 cm 3 /s , aumentando su presión en 110 mm Hg, su velocidad de cero a 30,0 cm/s, y su altura en 5,00 cm (todas las cifras se promedian a lo largo de todo el latido del corazón). Calcule la potencia total del ventrículo izquierdo. Tenga en cuenta que la mayor parte de la potencia se usa para aumentar la presión arterial. Una bomba de sumidero (que se usa para drenar el agua del sótano de casas construidas por debajo del nivel freático) está drenando un sótano inundado a una velocidad de 0,750 L/s, con una presión de salida de 3,00 × 10 5 N/m 2 . a) El agua entra en una manguera con un diámetro interior de 3,00 cm y sube 2,50 m por encima de la bomba. ¿Cuál es su presión en este punto? b) La manguera pasa por encima del muro de los cimientos, pierde 0,500 m de altura y se ensancha hasta los 4,00 cm de diámetro. ¿Cuál es la presión ahora? Es posible que descarte pérdidas por fricción en ambas partes del problema. a. 2,76 × 10 5 N/m 2 ; b. P 2 = 2,81 × 10 5 N/m 2 Una solución de glucosa que se administra por vía intravenosa tiene una tasa de flujo de 4,00 cm 3 /min . ¿Cuál será la nueva tasa de flujo si se sustituye la glucosa por sangre total con la misma densidad pero con una viscosidad 2,50 veces superior a la de la glucosa? Todos los demás factores permanecen constantes. Una arteria pequeña tiene una longitud de 1,1 × 10 −3 m y un radio de 2,5 × 10 −5 m . Si la caída de presión a través de la arteria es de 1,3 kPa, ¿cuál es la tasa de flujo a través de la arteria? (Supongamos que la temperatura es 37 °C ). 8,7 × 10 −2 mm 3 /s La angioplastia es una técnica en la que se dilatan las arterias parcialmente obstruidas por la placa para aumentar el flujo sanguíneo. ¿En qué factor debe aumentar el radio de una arteria para que el flujo sanguíneo se multiplique por 10? Supongamos que el radio de un vaso sanguíneo disminuye hasta el 90,0 % de su valor original debido a los depósitos de placa y que el organismo compensa aumentando la diferencia de presión a lo largo del vaso para mantener la tasa de flujo constante. ¿En qué factor debe aumentar la diferencia de presión? b) Si la obstrucción crea turbulencia, ¿qué efecto adicional tendría sobre la tasa de flujo? a. 1,52; b. La turbulencia disminuiría la tasa de flujo de la sangre, lo que requeriría un aumento aún mayor de la diferencia de presión, lo que provocaría una mayor presión arterial. Problemas de desafíos La presión sobre la presa mostrada al principio de la sección de problemas aumenta con la profundidad. Por lo tanto, hay un torque neto en la presa. Encuentre el torque neto. La temperatura de la atmósfera no es siempre constante y puede aumentar o disminuir con la altura. En una atmósfera neutra, donde no hay una cantidad significativa de mezcla vertical, la temperatura disminuye a un ritmo de 6,5 K por km aproximadamente. La magnitud de la disminución de la temperatura a medida que aumenta la altura se conoce como la tasa de lapso ( Γ ) . (el símbolo es la letra griega mayúscula gamma). Supongamos que la presión superficial es p 0 = 1,013 × 10 5 Pa donde T = 293 K y la tasa de caída es ( − Γ = 6,5 K km ) . Estime la presión a 3,0 km por encima de la superficie de la Tierra. p = 0,99 × 10 5 Pa Un submarino queda varado en el fondo del océano con su escotilla a 25,0 m de profundidad. Calcule la fuerza necesaria para abrir la escotilla desde el interior, dado que es circular y tiene 0,450 m de diámetro. La presión del aire dentro del submarino es de 1,00 atm. Los troncos, a veces, flotan verticalmente en un lago porque un extremo se ha encharcado y es más denso que el otro. ¿Cuál es la densidad media de un tronco de diámetro uniforme que flota con el 20,0 % de su longitud por encima del agua? 800 kg/m 3 Se sabe de estafadores que representan lingotes de tungsteno chapados en oro como si fueran de oro puro y los venden a precios muy inferiores al valor del oro, pero muy superiores al coste del tungsteno. ¿Con qué exactitud se debe poder medir la masa de un lingote de este tipo dentro y fuera del agua para saber que se trata de tungsteno casi puro y no de oro puro? El volumen interior de una casa equivale al de un sólido rectangular de 13,0 m de ancho por 20,0 m de largo y 2,75 m de alto. La casa se calienta con un calentador de gas de aire forzado. El conducto principal de entrada de aire del calentador tiene un diámetro de 0,300 m. ¿Cuál es la rapidez media del aire en el conducto si este transporta un volumen igual al del interior de la casa cada 15 minutos? 11,2 m/s Se usa una manguera de jardín con un diámetro de 2,0 cm para llenar un cubo, que tiene un volumen de 0,10 metros cúbicos. Tarda 1,2 minutos en llenarse. Una boquilla ajustable se acopla a la manguera para disminuir el diámetro de la abertura, lo que aumenta la velocidad del agua. La manguera se mantiene nivelada con el suelo a una altura de 1,0 metros y se va disminuyendo el diámetro hasta llegar a un lecho de flores que se encuentra a 3,0 metros de distancia. (a) ¿Cuál es la tasa de flujo volumétrica del agua que pasa por la boquilla cuando el diámetro es de 2,0 cm? (b) ¿Cuál es la velocidad del agua que sale de la manguera? (c) ¿Cuál debe ser la velocidad del agua que sale de la manguera para llegar al lecho de flores que se encuentra a 3,0 metros de distancia? (d) ¿Cuál es el diámetro de la boquilla necesario para llegar al lecho de flores? Una regla general citada con frecuencia en el diseño de aeronaves es que las alas deben producir unos 1.000 N de sustentación por metro cuadrado de ala (el hecho de que un ala tenga una superficie superior y otra inferior no duplica su área). (a) En el despegue, un avión viaja a 60,0 m/s, por lo que la velocidad del aire respecto a la parte inferior del ala es de 60,0 m/s. Dada la densidad del aire a nivel del mar como 1,29 kg/m 3 , ¿a qué velocidad debe moverse sobre la superficie superior para crear la sustentación ideal? b) ¿A qué velocidad debe moverse el aire sobre la superficie superior a una velocidad de crucero de 245 m/s y a una altitud en la que la densidad del aire es una cuarta parte de la del nivel del mar? (Obsérvese que no se trata de toda la sustentación del avión: una parte procede del cuerpo del avión, otra del empuje del motor, etc. Además, el principio de Bernoulli da una respuesta aproximada porque el flujo sobre el ala crea turbulencia). a. 71,8 m/s; b. 257 m/s Dos tuberías de diámetro igual y constante salen de una estación de bombeo de agua y vierten el agua por un extremo abierto a la atmósfera (véase la siguiente figura). El agua entra a una presión de dos atmósferas y a una velocidad de ( v 1 = 1,0 m/s ) . Un tubo desciende una altura de 10 m. ¿Cuál es la velocidad del agua al salir de cada tubería? El fluido circula originalmente a través de un tubo a una velocidad de 100 cm 3 /s . Para ilustrar la sensibilidad de la tasa de flujo a diversos factores, calcule la nueva tasa de flujo para los siguientes cambios, todos los demás factores permanecen iguales que en las condiciones originales. (a) La diferencia de presión aumenta en un factor de 1,50. (b) Se sustituye un nuevo fluido con una viscosidad 3,00 veces mayor. (c) Se sustituye el tubo por uno con una longitud 4,00 veces mayor. (d) Se usa otro tubo con un radio 0,100 veces mayor que el original. (e) Se sustituye otro tubo con un radio 0,100 veces mayor que el original y la mitad de la longitud, y la diferencia de presión aumenta en un factor de 1,50. a. 150 cm 3 /s ; b. 33,3 cm 3 /s ; c. 25,0 cm 3 /s ; d. 0,0100 cm 3 /s ; e. 0,0300 cm 3 /s Durante una carrera de maratón, el flujo sanguíneo de un corredor aumenta hasta 10,0 veces su ritmo en reposo. La viscosidad de la sangre descendió al 95,0 % de su valor normal, y la diferencia de presión sanguínea en el sistema circulatorio aumentó en un 50,0 %. ¿En qué factor ha aumentado los radios medios de sus vasos sanguíneos? El agua suministrada a una casa por una tubería principal tiene una presión de 3,00 × 10 5 N/m 2 temprano en un día de verano cuando el uso del vecindario es bajo. Esta presión produce un flujo de 20,0 L/min a través de una manguera de jardín. Más tarde, la presión a la salida del conducto de agua y a la entrada de la casa disminuye y se obtiene un flujo de solo 8,00 L/min a través de la misma manguera. (a) ¿Qué presión se suministra ahora a la casa si se supone que la resistencia es constante? (b) ¿En qué factor ha aumentado la tasa de flujo en el conducto de agua para provocar esta disminución de la presión suministrada? La presión en la entrada del conducto de agua es 5,00 × 10 5 N/m 2 , y la tasa de flujo original era de 200 L/min. (c) ¿Cuántos usuarios más hay, si se supone que cada uno consuma 20,0 L/min por la mañana? a. 1,20 × 10 5 N/m 2 ; b. La tasa de flujo en el conducto aumenta un 90 %. c. Hay 38 usuarios más por la tarde aproximadamente. La gasolina se transporta por tuberías subterráneas desde las refinerías hasta los principales usuarios. La tasa de flujo es 3,00 × 10 −2 m 3 /s (unos 500 gal/min), la viscosidad de la gasolina es 1,00 × 10 −3 ( N/m 2 ) ⋅ s , y su densidad es 680 kg/m 3 . (a) ¿Qué diámetro mínimo debe tener la tubería para que el número de Reynolds sea inferior a 2.000? (b) ¿Qué diferencia de presión debe mantenerse a lo largo de cada kilómetro de la tubería para mantener esta tasa de flujo? Ley de Poiseuille velocidad de flujo laminar de un fluido incompresible en un tubo: Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l . Ley de Poiseuille para la resistencia resistencia al flujo laminar de un fluido incompresible en un tubo R = 8 η l π r 4 número de Reynolds parámetro sin dimensiones que puede revelar si un determinado flujo es laminar o turbulento turbulencia fluido circulante en el que las capas se mezclan por torbellinos y remolinos

Ciencia


Introducción (a) El edificio Comcast de Filadelfia, Pensilvania, que se eleva sobre el horizonte, tiene una altura de 305 metros (1.000 pies) aproximadamente. A esta altura, los pisos superiores pueden oscilar de un lado a otro debido a actividad sísmica y a vientos fluctuantes. (b) Arriba se muestra un dibujo esquemático de un amortiguador de masa de columna líquida sintonizado instalado en la parte superior del Comcast, que consiste en un depósito de 300.000 galones de agua para reducir las oscilaciones. Comenzamos el estudio de las oscilaciones con sistemas simples de péndulos y resortes. Aunque estos sistemas parezcan bastante básicos, los conceptos involucrados tienen muchas aplicaciones en la vida real. Por ejemplo, el edificio Comcast de Filadelfia, Pensilvania tiene una altura de 305 metros (1.000 pies) aproximadamente. A medida que los edificios se construyen más altos pueden actuar como péndulos físicos invertidos, y los pisos superiores oscilan debido a actividad sísmica y a vientos fluctuantes. En el edificio Comcast, se usa un amortiguador de masa sintonizada para reducir las oscilaciones. En la parte superior del edificio se ha instalado un amortiguador de masa de columna líquida sintonizado, que consiste en un depósito de 300.000 galones de agua. Este depósito en forma de U permite que el agua oscile libremente a una frecuencia que coincide con la frecuencia natural del edificio. La amortiguación se consigue al ajustar los niveles de turbulencia en el agua en movimiento mediante deflectores.

Ciencia


Movimiento armónico simple Al pulsar una cuerda de guitarra, el sonido resultante tiene un tono constante y dura mucho tiempo ( ). La cuerda vibra alrededor de una posición de equilibrio, y una oscilación se completa cuando la cuerda parte de la posición inicial, se desplaza a una de las posiciones extremas, luego a la otra posición extrema y vuelve a su posición inicial. Definimos movimiento periódico como cualquier movimiento que se repite a intervalos de tiempo regulares, como el exhibido por la cuerda de la guitarra o por un niño que se balancea en un columpio. En esta sección, estudiamos las características básicas de las oscilaciones y su descripción matemática. Cuando se puntea una cuerda de guitarra, esta oscila hacia arriba y hacia abajo en un movimiento periódico. La cuerda que vibra hace oscilar las moléculas de aire circundantes, lo que produce ondas sonoras (créditos: Yutaka Tsutano). Periodo y frecuencia en oscilaciones En ausencia de fricción, el tiempo para completar una oscilación permanece constante y se denomina periodo ( T ). Sus unidades suelen ser segundos, pero pueden ser cualquier unidad de tiempo conveniente. La palabra “periodo” se refiere al tiempo de algún acontecimiento, ya sea repetitivo o no, pero en este capítulo nos ocuparemos principalmente del movimiento periódico, que es por definición repetitivo. Un concepto estrechamente relacionado con el de periodo es el de frecuencia de un evento. La frecuencia ( f ) se define como el número de eventos por unidad de tiempo. Para el movimiento periódico, la frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. La relación entre frecuencia y periodo es f = 1 T . La unidad del SI para la frecuencia es el hercio (Hz) y se define como un ciclo por segundo : 1 Hz = 1 ciclo s o 1 Hz = 1 s = 1 s −1 . Un ciclo es una oscilación completa. Determinar la frecuencia de ultrasonidos médicos Los profesionales de la medicina usan ecógrafos para obtener imágenes que permitan examinar órganos internos del cuerpo. Un ecógrafo emite ondas sonoras de alta frecuencia, que se reflejan en los órganos, y una computadora las recibe y las usa para crear una imagen. Podemos usar las fórmulas presentadas en este módulo para determinar la frecuencia, basándonos en lo que sabemos sobre las oscilaciones. Consideremos un dispositivo de imagen médica que produce ultrasonidos oscilando con un periodo de 0,400 μ s . ¿Cuál es la frecuencia de esta oscilación? Estrategia Se da el periodo (T ) y se pide encontrar la frecuencia ( f ). Solución Sustituir 0,400 μ s para T en f = 1 T : f = 1 T = 1 0,400 × 10 −6 s . Resolver para encontrar f = 2,50 × 10 6 Hz . Importancia Esta frecuencia de sonido es mucho más alta que la frecuencia más alta que puede oír el ser humano (el rango de audición humana es de 20 Hz a 20.000 Hz); por eso se llama ultrasonido. Las oscilaciones adecuadas a esta frecuencia generan ultrasonidos que se usan para diagnósticos médicos no invasivos, como la observación de un feto en el útero. Características de movimiento armónico simple Un tipo muy común de movimiento periódico es el llamado movimiento armónico simple (Simple Harmonic Motion, SHM) . Un sistema que oscila con SHM se llama oscilador armónico simple . Movimiento armónico simple En el movimiento armónico simple, la aceleración del sistema, y por tanto la fuerza neta, es proporcional al desplazamiento y actúa en sentido contrario a este. Un buen ejemplo de SHM es un objeto con masa m unido a un resorte sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la . El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio, y la fuerza neta sobre el objeto es igual a la fuerza proporcionada por el resorte. Esta fuerza obedece a la ley de Hooke F s = − k x , como se ha comentado en un capítulo anterior. Si la fuerza neta se puede describir mediante la ley de Hooke y no hay amortiguación (ralentización debido a fricción o a otras fuerzas no conservativas), entonces un oscilador armónico simple oscila con igual desplazamiento a ambos lados de la posición de equilibrio, como se muestra para un objeto sobre un resorte en la . El desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama amplitud ( A ). Las unidades de amplitud y desplazamiento son las mismas, pero están sujetas al tipo de oscilación. Para el objeto sobre el resorte, las unidades de amplitud y desplazamiento son metros. Un objeto unido a un resorte que se desliza sobre una superficie sin fricción es un oscilador armónico simple sin complicaciones. En las figuras anteriores, una masa está unida a un resorte y colocada sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte se fija a la pared. La posición de la masa, cuando el resorte no está ni estirado ni comprimido, se marca como x = 0 y es la posición de equilibrio. (a) La masa se desplaza a una posición x = A y se libera del reposo. (b) La masa se acelera mientras se mueve en la dirección x negativa, y alcanza una velocidad negativa máxima en x = 0 . (c) La masa continúa moviéndose en la dirección x negativa, y frena hasta detenerse en x = − A . (d) La masa comienza ahora a acelerar en la dirección x positiva, y alcanza una velocidad máxima positiva en x = 0 . (e) La masa continúa entonces moviéndose en la dirección positiva hasta que se detiene en x = A . La masa continúa en SHM que tiene una amplitud A y un periodo T . La velocidad máxima del objeto se produce al pasar por el equilibrio. Cuanto más rígido sea el resorte, menor será el periodo T . Cuanto mayor sea la masa del objeto, mayor será el periodo T . ¿Qué tiene de significativo el SHM? Por un lado, el periodo T y la frecuencia f de un oscilador armónico simple son independientes de la amplitud. La cuerda de una guitarra, por ejemplo, oscila con la misma frecuencia tanto si se puntea con suavidad como con fuerza. Hay dos factores importantes que afectan el periodo de un oscilador armónico simple. El periodo está relacionado con la rigidez del sistema. Un objeto muy rígido tiene una constante de fuerza ( k ) grande, lo que hace que el sistema tenga un periodo menor. Por ejemplo, se puede ajustar la rigidez de un trampolín: cuanto más rígido sea, más rápido vibrará y más corto será su periodo. El periodo también está sujeto a la masa del sistema oscilante. Cuanto más masivo sea el sistema, más largo será el periodo. Por ejemplo, una persona pesada en un trampolín rebota hacia arriba y hacia abajo más lentamente que una persona liviana. De hecho, la masa m y la constante de fuerza k son los únicos factores que afectan el periodo y la frecuencia del SHM. Para obtener una ecuación para el periodo y la frecuencia, primero debemos definir y analizar las ecuaciones de movimiento. Obsérvese que la constante de fuerza se denomina, a veces, constante de resorte . Ecuaciones de SHM Consideremos un bloque unido a un resorte en una mesa sin fricción ( ). La posición de equilibrio (la posición en la que el resorte no está ni estirado ni comprimido) se marca como x = 0 . En la posición de equilibrio la fuerza neta es cero. Un bloque está unido a un resorte y se coloca en una mesa sin fricción. La posición de equilibrio, en la que el resorte no está ni extendido ni comprimido, se marca como x = 0 . Se trabaja en el bloque para sacarlo a una posición de x = + A , y así se libera del reposo. La posición x máxima ( A ) se llama amplitud del movimiento. El bloque comienza a oscilar en SHM entre x = + A y x = − A , donde A es la amplitud del movimiento y T es el periodo de la oscilación. El periodo es el tiempo de una oscilación. La muestra el movimiento del bloque cuando completa una oscilación y media después de soltarlo. La muestra un gráfico de la posición del bloque versus tiempo. Cuando se representa posición versus tiempo, es evidente que los datos pueden ser modelados por una función coseno con una amplitud A y un periodo T . La función coseno cos θ se repite cada múltiplo de 2 π , mientras que el movimiento del bloque se repite cada periodo T . Sin embargo, la función cos ( 2 π T t ) se repite cada múltiplo entero del periodo. El máximo de la función coseno es uno, por lo que es necesario multiplicar la función coseno por la amplitud A . x ( t ) = A cos ( 2 π T t ) = A cos ( ω t ) . Recordemos del capítulo sobre la rotación que la frecuencia angular es igual a ω = d θ d t . En este caso, el periodo es constante, por lo que la frecuencia angular se define como 2 π dividido entre el periodo, ω = 2 π T . Se fija un bloque a un extremo de un resorte y se coloca sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte se ancla a la pared. La posición de equilibrio, donde la fuerza neta es igual a cero, se marca como x = 0 m . Se trabaja en el bloque, sacándolo para x = + A , y el bloque se libera del reposo. El bloque oscila entre x = + A y x = − A . La fuerza también se muestra como un vector. Un gráfico de la posición del bloque mostrado en la como una función de tiempo. La posición se puede modelar como una función periódica, como una función coseno o seno. La ecuación de la posición como una función de tiempo x ( t ) = A cos ( ω t ) es bueno para modelar datos, donde la posición del bloque en el momento inicial t = 0,00 s está en la amplitud A y la velocidad inicial es cero. A menudo, cuando se toman datos experimentales, la posición de la masa en el momento inicial t = 0,00 s no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero. Considere 10 segundos de datos recogidos por un estudiante en el laboratorio, que se muestran en la . Los datos recogidos por un estudiante en el laboratorio indican la posición de un bloque unido a un resorte, medida con un telémetro sónico. Los datos se recogen a partir del momento t = 0,00 s, pero la posición inicial está cerca de la posición x ≈ − 0,80 cm ≠ 3,00 cm , por lo que la posición inicial no es igual a la amplitud x 0 = + A . La velocidad es la derivada temporal de la posición, que es la pendiente en un punto del gráfico de posición versus tiempo. La velocidad no es v = 0,00 m/s en el momento t = 0,00 s , como se desprende de la pendiente del gráfico de posición versus tiempo, que no es cero en el momento inicial. Los datos de la pueden seguir siendo modelados con una función periódica, como una función coseno, pero la función está desplazada hacia la derecha. Este deslizamiento se conoce como deslizamiento de fase y suele representarse con la letra griega pi ( ϕ ) . La ecuación de la posición como una función de tiempo para un bloque sobre un resorte es x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Esta es la ecuación generalizada para el SHM donde t es el tiempo medido en segundos, ω es la frecuencia angular con unidades de segundos inversos, A es la amplitud medida en metros o centímetros y ϕ es el deslizamiento de fase medido en radianes ( ). Cabe señalar que, dado que las funciones seno y coseno solo se diferencian por un deslizamiento de fase, este movimiento podría modelarse usando la función coseno o la función seno. (a) Una función coseno. (b) Una función coseno desplazada hacia la izquierda por un ángulo ϕ . El ángulo ϕ se conoce como el deslizamiento de fase de la función. La velocidad de la masa sobre un resorte, que oscila en SHM, se puede encontrar tomando la derivada de la ecuación de posición: v ( t ) = d x d t = d d t ( A cos ( ω t + ϕ ) ) = − A ω sen ( ω t + ω ) = − v máx. sen ( ω t + ϕ ) . Dado que la función sinusoidal oscila entre –1 y +1, la velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia angular, v máx. = A ω . La velocidad máxima se produce en la posición de equilibrio ( x = 0 ) cuando la masa se mueve hacia x = + A . La velocidad máxima en sentido negativo se alcanza en la posición de equilibrio ( x = 0 ) cuando la masa se mueve hacia x = − A y es igual a − v máx. . La aceleración de la masa sobre el resorte se puede encontrar tomando la derivada temporal de la velocidad: a ( t ) = d v d t = d d t ( − A ω sen ( ω t + ϕ ) ) = − A ω 2 cos ( ω t + φ ) = − a máx. cos ( ω t + ϕ ) . La aceleración máxima es a máx. = A ω 2 . La aceleración máxima se produce en la posición ( x = − A ) , y la aceleración en la posición ( x = − A ) y es igual a − a máx. . Resumen de ecuaciones de movimiento para SHM En resumen, el movimiento oscilatorio de un bloque sobre un resorte puede modelarse con las siguientes ecuaciones de movimiento: x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) v ( t ) = − v máx. sen ( ω t + ϕ ) a ( t ) = − a máx. cos ( ω t + ϕ ) x máx. = A v máx. = A ω a máx. = A ω 2 . Aquí, A es la amplitud del movimiento, T es el periodo, ϕ es el deslizamiento de fase y ω = 2 π T = 2 π f es la frecuencia angular del movimiento del bloque. Determinación de las ecuaciones de movimiento de un bloque y un resorte Se coloca un bloque de 2,00 kg en una superficie sin fricción. Un resorte con una constante de fuerza de k = 32,00 N / m se fija al bloque y el extremo opuesto del resorte se fija a la pared. El resorte se puede comprimir o extender. La posición de equilibrio está marcada como x = 0,00 m . Se trabaja en el bloque, sacándolo para x = + 0,02 m . El bloque se libera del reposo y oscila entre x = + 0,02 m y x = -0,02 m . El periodo del movimiento es de 1,57 s. Determine las ecuaciones de movimiento. Estrategia Primero encontramos la frecuencia angular. El deslizamiento de fase es cero, ϕ = 0,00 rad, porque el bloque se libera del reposo en x = A = + 0,02 m . Una vez hallada la frecuencia angular, podemos determinar la velocidad y la aceleración máximas. Solución La frecuencia angular se puede encontrar y usar para encontrar la velocidad y la aceleración máximas: ω = 2 π 1,57 s = 4,00 s −1 ; v máx. = A ω = 0,02 m ( 4,00 s −1 ) = 0,08 m/s; a máx. = A ω 2 = 0,02 m ( 4,00 s −1 ) 2 = 0,32 m/s 2 . Solo queda rellenar las ecuaciones de movimiento: x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) = ( 0,02 m ) cos ( 4,00 s −1 t ) ; v ( t ) = − v máx. sen ( ω t + ϕ ) = ( -0,08 m/s ) sen ( 4,00 s −1 t ) ; a ( t ) = − a máx. cos ( ω t + ϕ ) = ( -0,32 m/s 2 ) cos ( 4,00 s −1 t ) . Importancia La posición, la velocidad y la aceleración se pueden encontrar para cualquier tiempo. Es importante recordar que al usar estas ecuaciones, su calculadora debe estar en modo radianes. El periodo y la frecuencia de una masa en un resorte Una característica interesante del SHM de un objeto unido a un resorte es que la frecuencia angular, y por tanto el periodo y la frecuencia del movimiento, dependen únicamente de la masa y la constante de fuerza, y no de otros factores como la amplitud del movimiento. Podemos usar las ecuaciones de movimiento y la segunda ley de Newton ( F → neta = m a → ) para encontrar ecuaciones para la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. Considere el bloque sobre un resorte en una superficie sin fricción. Hay tres fuerzas sobre la masa: el peso, la fuerza normal y la fuerza debido al resorte. Las únicas dos fuerzas que actúan perpendicularmente a la superficie son el peso y la fuerza normal, que tienen magnitudes iguales y direcciones opuestas, y por tanto suman cero. La única fuerza que actúa paralela a la superficie es la fuerza debido al resorte, por lo que la fuerza neta debe ser igual a la fuerza del resorte: F x = − k x ; m a = − k x ; m d 2 x d t 2 = − k x ; d 2 x d t 2 = − k m x . Al sustituir las ecuaciones de movimiento para x y a nos da − A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) = − k m A cos ( ω t + ϕ ) . Al anular los términos similares y resolver la frecuencia angular se obtiene ω = k m . La frecuencia angular solo depende de la constante de fuerza y de la masa, y no de la amplitud. La frecuencia angular se define como ω = 2 π / T , que da una ecuación para el periodo del movimiento: T = 2 π m k . El periodo también depende solo de la masa y de la constante de fuerza. Cuanto mayor sea la masa, mayor será el periodo. Cuanto más rígido sea el resorte, más corto será el periodo. La frecuencia es f = 1 T = 1 2 π k m . Movimiento vertical y resorte horizontal Cuando se cuelga un resorte en vertical y se coloca un bloque y se pone en movimiento, el bloque oscila en SHM. En este caso, no hay fuerza normal, y el efecto neto de la fuerza de gravedad es cambiar la posición de equilibrio. Considere la . Sobre el bloque actúan dos fuerzas: el peso y la fuerza del resorte. El peso es constante y la fuerza del resorte cambia al variar su longitud. Un resorte está colgado del techo. Cuando se fija un bloque, este se encuentra en la posición de equilibrio en la que el peso del bloque es igual a la fuerza del resorte. (a) El resorte se cuelga del techo y la posición de equilibrio se marca como y o . (b) Se fija una masa al resorte y se alcanza una nueva posición de equilibrio ( y 1 = y o − Δ y ) cuando la fuerza proporcionada por el resorte es igual al peso de la masa. (c) El diagrama de cuerpo-libre de la masa muestra las dos fuerzas que actúan sobre la masa: el peso y la fuerza del resorte. Cuando el bloque alcanza la posición de equilibrio, como se ve en la , la fuerza del resorte es igual al peso del bloque, F neta = F s − m g = 0 , donde − k ( − Δ y ) = m g . Según la figura, el cambio de posición es Δ y = y 0 − y 1 y dado que − k ( − Δ y ) = m g , tenemos k ( y 0 − y 1 ) − m g = 0 . Si el bloque se desplaza y se suelta, oscilará alrededor de la nueva posición de equilibrio. Como se muestra en la , si la posición del bloque se registra como una función de tiempo, el registro es una función periódica. Si el bloque se desplaza a una posición y , la fuerza neta se convierte en F neta = k ( y − y 0 ) − m g = 0 . Pero encontramos que en la posición de equilibrio, m g = k Δ y = k y 0 − k y 1 . Al sustituir el peso en la ecuación se obtiene F neta = k y − k y 0 − ( k y 0 − k y 1 ) = − k ( y − y 1 ) . Recordemos que y 1 es solo la posición de equilibrio y cualquier posición puede ser el punto y = 0,00 m . Así que vamos a establecer y 1 hasta y = 0,00 m . La fuerza neta se convierte entonces en F neta = − k y ; m d 2 y d t 2 = − k y . Esto es justo lo que encontramos anteriormente para una masa que se desliza horizontalmente sobre un resorte. La fuerza de gravedad constante solo sirvió para desplazar el lugar de equilibrio de la masa. Por lo tanto, la solución debe tener la misma forma que para un bloque sobre un resorte horizontal, y ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Las ecuaciones para la velocidad y la aceleración también tienen la misma forma que para el caso horizontal. Obsérvese que la inclusión del deslizamiento de fase significa que el movimiento se puede modelar usando una función coseno o seno, ya que estas dos funciones solo se diferencian por un desplazamiento de fase. Gráficos de y ( t ), v ( t ) y a ( t ) versus t para el movimiento de un objeto sobre un resorte vertical. La fuerza neta sobre el objeto puede ser descrita por la ley de Hooke, por lo que el objeto experimenta SHM. Nótese que la posición inicial tiene el desplazamiento vertical en su valor máximo A ; v es inicialmente cero y luego negativo a medida que el objeto se desplaza hacia abajo; la aceleración inicial es negativa, hacia la posición de equilibrio y se vuelve cero en ese punto. Resumen El movimiento periódico es una oscilación que se repite. El tiempo de una oscilación es el periodo T y el número de oscilaciones por unidad de tiempo es la frecuencia f . Estas cantidades están relacionadas por f = 1 T . El movimiento armónico simple (SHM) es un movimiento oscilatorio para un sistema en el que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y actúa en la dirección opuesta al desplazamiento. El desplazamiento máximo es la amplitud A . La frecuencia angular ω , el periodo T y la frecuencia f de un oscilador armónico simple vienen dados por ω = k m , T = 2 π m k , y f = 1 2 π k m , donde m es la masa del sistema y k es la constante de fuerza. El desplazamiento como una función de tiempo en SHM viene dado por x ( t ) = A cos ( 2 π T t + ϕ ) = A cos ( ω t + ϕ ) . La velocidad viene dada por v ( t ) = − A ω sen ( ω t + ϕ ) = − v máx. sen ( ω t + ϕ ) , donde v máx. = A ω = A k m . La aceleración es a ( t ) = − A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) = − a máx. cos ( ω t + ϕ ) , donde a máx. = A ω 2 = A k m . Cuestiones conceptuales ¿Qué condiciones se deben cumplir para que se produzca SHM? La fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento y actuar en sentido contrario a la dirección del movimiento, sin fuerzas de arrastre ni de fricción. La frecuencia de oscilación no depende de la amplitud. (a) Si la frecuencia no es constante para alguna oscilación, ¿la oscilación puede ser SHM? (b) ¿Se le ocurre algún ejemplo de movimiento armónico en el que la frecuencia pueda depender de la amplitud? Dé un ejemplo de un oscilador armónico simple, y señale específicamente cómo su frecuencia es independiente de la amplitud. Ejemplos: Una masa unida a un resorte sobre una mesa sin fricción, una masa colgada de una cuerda y un péndulo simple con una pequeña amplitud de movimiento. Todos estos ejemplos tienen frecuencias de oscilación que son independientes de la amplitud. Explique por qué espera que un objeto hecho de un material rígido vibre a una frecuencia más alta que un objeto similar hecho de un material más flexible. Cuando pasa por delante de un camión de carga con remolque en una autopista, observa que su remolque rebota lentamente hacia arriba y hacia abajo. ¿Es más probable que el remolque esté muy cargado o casi vacío? Explique su respuesta. Como la frecuencia es proporcional a la raíz cuadrada de la constante de fuerza e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa, es probable que el camión esté muy cargado, ya que la constante de fuerza sería la misma tanto si el camión está vacío como si está muy cargado. Algunas personas modifican los automóviles para que estén mucho más cerca del suelo que cuando se fabrican. ¿Deben instalar resortes más rígidos? Explique su respuesta. Problemas Demostrar que usando x ( t ) = A sen ( ω t + ϕ ) dará los mismos resultados para el periodo de las oscilaciones de una masa y un resorte. ¿Por qué cree que se ha elegido la función coseno? Prueba ¿Cuál es el periodo de 60,0 Hz de la potencia eléctrica? Si su ritmo cardíaco es de 150 latidos por minuto durante un ejercicio extenuante, ¿cuál es el tiempo por latido en unidades de segundos? 0,400 s/latido Encuentre la frecuencia de un diapasón que toma 2,50 × 10 −3 s para completar una oscilación. Un estroboscopio está configurado para parpadear cada 8,00 × 10 −5 s . ¿Cuál es la frecuencia de los destellos? 12.500 Hz Un neumático tiene un dibujo de la banda de rodadura con una hendidura cada 2,00 cm. Cada hendidura hace una sola vibración cuando el neumático se mueve. ¿Cuál es la frecuencia de estas vibraciones si el vehículo se mueve a 30,0 m/s? Cada pistón de un motor emite un sonido agudo cada dos revoluciones del motor. (a) ¿A qué velocidad va un auto de carreras si su motor de ocho cilindros emite un sonido de frecuencia 750 Hz, dado que el motor hace 2.000 revoluciones por kilómetro? (b) ¿A cuántas revoluciones por minuto gira el motor? a. 340 km/h; b 11,3 × 10 3 rev/min Un tipo de reloj cucú mantiene la hora gracias a una masa que rebota en un resorte, normalmente algo bonito como un querubín en una silla. ¿Qué constante de fuerza se necesita para producir un periodo de 0,500 s para una masa de 0,0150 kg? Una masa m 0 se sujeta a un resorte y cuelga verticalmente. La masa se eleva una corta distancia en la dirección vertical y se suelta. La masa oscila con una frecuencia f 0 . Si se sustituye la masa por otra nueve veces mayor y se repite el experimento, ¿cuál sería la frecuencia de las oscilaciones en términos de f 0 ? f = 1 3 f 0 Una masa de 0,500 kg suspendida de un resorte oscila con un periodo de 1,50 s. ¿Qué masa hay que añadir al objeto para que el periodo pase a ser de 2,00 s? ¿Qué margen de maniobra (tanto en porcentaje como en masa) tendría en la selección de la masa del objeto en el problema anterior si no quisiera que el nuevo periodo fuera mayor de 2,01 s ni menor de 1,99 s? 0,009 kg; 2 % amplitud ( A ) desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio de un objeto que oscila alrededor de la posición de equilibrio posición de equilibrio posición en la que el resorte no se estira ni se comprime constante de fuerza ( k ) característica de un resorte que se define como la relación entre la fuerza aplicada al resorte y el desplazamiento causado por la fuerza frecuencia ( f ) número de eventos por unidad de tiempo oscilación fluctuación única de una cantidad, o fluctuaciones repetidas y regulares de una cantidad, entre dos valores extremos en torno a un equilibrio o valor medio movimiento periódico movimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo periodo ( T ) tiempo que se tarda en completar una oscilación deslizamiento de fase ángulo, en radianes, que se usa en una función coseno o seno para desplazar la función a la izquierda o a la derecha que se usa para hacer coincidir la función con las condiciones iniciales de los datos movimiento armónico simple (SHM) movimiento oscilatorio en un sistema en el que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento, el cual actúa en la dirección opuesta al desplazamiento oscilador armónico simple un dispositivo que oscila en SHM donde la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y actúa en la dirección opuesta al desplazamiento

Ciencia