Explicar la ley de Gauss Ahora podemos determinar el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria debido a una distribución de carga arbitraria. Descubrimos que si una superficie cerrada no tiene ninguna carga en su interior en la que pueda terminar una línea de campo eléctrico, entonces cualquier línea de campo eléctrico que entre en la superficie por un punto debe salir necesariamente por algún otro punto de la superficie. Por lo tanto, si una superficie cerrada no tiene ninguna carga dentro del volumen encerrado, entonces el flujo eléctrico a través de la superficie es cero. Ahora, ¿qué sucede con el flujo eléctrico si hay algunas cargas dentro del volumen encerrado? La ley de Gauss da una respuesta cuantitativa a esta cuestión. Para hacernos una idea de lo que podemos esperar, calculemos el flujo eléctrico a través de una superficie esférica alrededor de una carga puntual positiva q , puesto que ya conocemos el campo eléctrico en tal situación. Recordemos que cuando colocamos la carga puntual en el origen de un sistema de coordenadas, el campo eléctrico en un punto P que está a una distancia r de la carga en el origen viene dado por E → P = 1 4 π ε 0 q r 2 r ^ , donde r ^ es el vector radial desde la carga en el origen hasta el punto P. Podemos utilizar este campo eléctrico para calcular el flujo a través de la superficie esférica de radio r , como se muestra en la . Una superficie esférica cerrada que rodea una carga puntual q . A continuación, aplicamos Φ = ∫ S E → · n ^ d A a este sistema y sustituimos los valores conocidos. En la esfera, n ^ = r ^ y r = R , por lo que para un área infinitesimal dA , d Φ = E → · n ^ d A = 1 4 π ε 0 q R 2 r ^ · r ^ d A = 1 4 π ε 0 q R 2 d A . Ahora hallamos el flujo neto integrando este flujo sobre la superficie de la esfera: Φ = 1 4 π ε 0 q R 2 ∮ S d A = 1 4 π ε 0 q R 2 ( 4 π R 2 ) = q ε 0 . donde la superficie total de la superficie esférica es 4 π R 2 . Esto da el flujo a través de la superficie esférica cerrada en el radio r como Φ = q ε 0 . Un hecho destacable de esta ecuación es que el flujo es independiente del tamaño de la superficie esférica. Esto puede atribuirse directamente al hecho de que el campo eléctrico de una carga puntual disminuye a medida a 1 / r 2 con la distancia, lo que simplemente anula la tasa de aumento r 2 de la superficie. Imagen de las líneas de campo eléctrico Una forma alternativa de ver por qué el flujo a través de una superficie esférica cerrada es independiente del radio de la superficie es observar las líneas de campo eléctrico. Observe que cada línea de campo de q que perfora la superficie en el radio R 1 también perfora la superficie en R 2 ( ). El flujo a través de superficies esféricas de radios R 1 y R 2 que encierran una carga q son iguales, independientemente del tamaño de la superficie, ya que todas las líneas de campo E que atraviesan una superficie desde la dirección interior a la exterior también atraviesan la otra superficie en la misma dirección. Por lo tanto, el número neto de líneas de campo eléctrico que atraviesan las dos superficies desde la dirección interior a la exterior es igual. Este número neto de líneas de campo eléctrico, que se obtiene restando el número de líneas en la dirección de fuera a dentro del número de líneas en la dirección de dentro a fuera, da una medida visual del flujo eléctrico a través de las superficies. Se puede ver que si no se incluyen cargas dentro de una superficie cerrada, entonces el flujo eléctrico que la atraviesa debe ser cero. Una línea de campo típica entra en la superficie en d A 1 y la deja en d A 2 . Toda línea que entre en la superficie debe salir también de ella. Por lo tanto, el "flujo" neto de las líneas de campo hacia o desde la superficie es cero ( (a)). Lo mismo ocurre si se incluyen cargas de signo igual y opuesto en el interior de la superficie cerrada, de modo que la carga total incluida es cero (parte (b)). Una superficie que incluye la misma cantidad de carga tiene el mismo número de líneas de campo que la cruzan, independientemente de la forma o el tamaño de la superficie, siempre que la superficie encierre la misma cantidad de carga (parte (c)). Entender el flujo en términos de líneas de campo. (a) El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada debido a una carga fuera de esa superficie es cero. (b) Las cargas están encerradas, pero como la carga neta incluida es cero, el flujo neto a través de la superficie cerrada también es cero. (c) La forma y el tamaño de las superficies que encierran una carga no importa porque todas las superficies que encierran la misma carga tienen el mismo flujo. Enunciado de la ley de Gauss La ley de Gauss generaliza este resultado al caso de cualquier número y cualquier ubicación de cargas en el espacio interior de la superficie cerrada. Según la ley de Gauss, el flujo del campo eléctrico E → a través de cualquier superficie cerrada, también llamada superficie gaussiana , es igual a la carga neta encerrada ( q enc ) dividida entre la permitividad del espacio libre ( ε 0 ) : Φ Superficie cerrada = q enc ε 0 . Esta ecuación es válida para cargas de cualquier signo , porque definimos que el vector área de una superficie cerrada apunta hacia afuera. Si la carga encerrada es negativa (ver la (b)), entonces el flujo a través de cualquiera de los dos S o S ' es negativo. El flujo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada que rodea una carga puntual q viene dado por la ley de Gauss. (a) La carga encerrada es positiva. (b) La carga encerrada es negativa. La superficie gaussiana no tiene por qué corresponder a un objeto físico real; de hecho, rara vez lo hará. Es una construcción matemática que puede tener cualquier forma, siempre que sea cerrada. Sin embargo, como nuestro objetivo es integrar el flujo sobre él, tendemos a elegir formas muy simétricas. Si las cargas son de puntos discretas, entonces simplemente las sumamos. Si la carga está descrita por una distribución continua, entonces necesitamos integrar adecuadamente para calcular la carga total que reside dentro del volumen encerrado. Por ejemplo, el flujo a través de la superficie gaussiana S de la es Φ = ( q 1 + q 2 + q 5 ) / ε 0 . Observe que q enc es simplemente la suma de las cargas puntuales. Si la distribución de la carga fuera continua, tendríamos que integrar adecuadamente para calcular la carga total dentro de la superficie gaussiana. El flujo a través de la superficie gaussiana mostrada, debido a la distribución de carga, es Φ = | q 1 | + | q 2 | + | q 5 | / ε 0 . Recordemos que el principio de superposición es válido para el campo eléctrico. Por lo tanto, el campo eléctrico total en cualquier punto, incluidos los de la superficie gaussiana elegida, es la suma de todos los campos eléctricos presentes en este punto. Esto nos permite escribir la ley de Gauss en términos del campo eléctrico total. Ley de Gauss El flujo Φ del campo eléctrico E → a través de cualquier superficie cerrada S (una superficie gaussiana) es igual a la carga neta encerrada ( q enc ) dividida entre la permitividad del espacio libre ( ε 0 ) : Φ = ∮ S E → · n ^ d A = q enc ε 0 . Para utilizar la ley de Gauss de forma eficaz, hay que tener claro qué representa cada término de la ecuación. El campo E → es el campo eléctrico total en cada punto de la superficie gaussiana. Este campo total incluye las contribuciones de las cargas tanto dentro como fuera de la superficie gaussiana. Sin embargo, q enc es solo la carga dentro de la superficie gaussiana. Por último, la superficie gaussiana es cualquier superficie cerrada en el espacio. Esa superficie puede coincidir con la superficie real de un conductor, o puede ser una superficie geométrica imaginaria. El único requisito impuesto a una superficie gaussiana es que sea cerrada ( ). Una botella de Klein parcialmente llena de un líquido. ¿Podría utilizarse la botella de Klein como superficie gaussiana? Flujo eléctrico a través de superficies gaussianas Calcule el flujo eléctrico a través de cada superficie gaussiana mostrada en la . Varias superficies y cargas gaussianas. Estrategia A partir de la ley de Gauss, el flujo que atraviesa cada superficie viene dado por q enc / ε 0 , donde q enc es la carga que encierra esa superficie. Solución Para las superficies y cargas mostradas, hallamos Φ = 2,0 μ C ε 0 = 2,3 × 10 5 N · m 2 /C . Φ = −2,0 μ C ε 0 = −2,3 × 10 5 N · m 2 /C . Φ = 2,0 μ C ε 0 = 2,3 × 10 5 N · m 2 /C . Φ = −4,0 μ C + 6,0 μ C − 1,0 μ C ε 0 = 1,1 × 10 5 N · m 2 /C . Φ = 4,0 μ C + 6,0 μ C − 10,0 μ C ε 0 = 0 . Importancia En el caso especial de una superficie cerrada, los cálculos de flujo se convierten en una suma de cargas. En la próxima sección, esto nos permitirá trabajar con sistemas más complejos. Calcule el flujo eléctrico a través de la superficie cúbica cerrada para cada distribución de carga mostrada en la . Una superficie cúbica gaussiana con varias distribuciones de carga. a. 3,4 × 10 5 N · m 2 /C; b. -3,4 × 10 5 N · m 2 /C; c. 3,4 × 10 5 N · m 2 /C; d. 0 Utilice esta simulación para ajustar la magnitud de la carga y el radio de la superficie gaussiana que la rodea. Observe cómo afecta esto al flujo total y a la magnitud del campo eléctrico en la superficie gaussiana. Resumen La ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga neta dentro de esa superficie, Φ = ∮ S E → · n ^ d A = q enc ε 0 , donde q enc es la carga total dentro de la superficie gaussiana S . Todas las superficies que incluyen la misma cantidad de carga tienen el mismo número de líneas de campo que la cruzan, independientemente de la forma o el tamaño de la superficie, siempre que las superficies encierren la misma cantidad de carga. Preguntas conceptuales Dos superficies esféricas concéntricas encierran una carga puntual q . El radio de la esfera exterior es el doble del de la interior. Compare los flujos eléctricos que cruzan las dos superficies. Dado que el vector del campo eléctrico tiene una dependencia 1 r 2 , los flujos son los mismos ya que A = 4 π r 2 . Compare el flujo eléctrico que atraviesa la superficie de un cubo de lado a que tiene una carga q en su centro con el flujo que atraviesa una superficie esférica de radio a con una carga q en su centro. (a) Si el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es cero, ¿el campo eléctrico es necesariamente cero en todos los puntos de la superficie? (b) ¿Cuál es la carga neta dentro de la superficie? a. no; b. cero Discuta cómo se vería afectada la ley de Gauss si el campo eléctrico de una carga puntual no variara como 1 / r 2 . Discuta las similitudes y diferencias entre el campo gravitacional de una masa puntual m y el campo eléctrico de una carga puntual q . Ambos campos varían como 1 r 2 . Debido a que la constante gravitacional es mucho más pequeña que 1 4 π ε 0 , el campo gravitacional es órdenes de magnitud más débiles que el campo eléctrico. Además, el flujo gravitacional a través de una superficie cerrada es cero o positivo; sin embargo, el flujo eléctrico es positivo, negativo o cero, dependiendo de la definición de flujo para la situación dada. Discuta si la ley de Gauss puede aplicarse a otras fuerzas y, en caso afirmativo, a cuáles. ¿Es el término E → en la ley de Gauss el campo eléctrico producido solo por la carga dentro de la superficie gaussiana? No, se produce por todas las cargas tanto dentro como fuera de la superficie gaussiana. Reformule la ley de Gauss eligiendo que la normal unitaria de la superficie gaussiana sea la dirigida hacia el interior. Problemas Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie cerrada donde la sección transversal dentro de la superficie se muestra a continuación. Calcule el flujo eléctrico que atraviesa la superficie cerrada cuyas secciones transversales se muestran a continuación. a. Φ = 3,39 × 10 3 N · m 2 / C ; b. Φ = 0 ; c. Φ = -2,25 × 10 5 N · m 2 / C ; d. Φ = 90,4 N · m 2 / C Una carga puntual q está situada en el centro de un cubo cuyos lados son de longitud a . Si no hay otras cargas en este sistema, ¿cuál es el flujo eléctrico que atraviesa una cara del cubo? Una carga puntual de 10 μ C está en un lugar no especificado dentro de un cubo de 2 cm de lado. Calcule el flujo eléctrico neto a través de las superficies del cubo. Φ = 1,13 × 10 6 N · m 2 /C Un flujo neto de 1,0 × 10 4 N · m 2 /C pasa hacia el interior de la superficie de una esfera de radio 5 cm. (a) ¿Cuánta carga hay dentro de la esfera? (b) ¿Con qué precisión podemos determinar la ubicación de la carga a partir de esta información? Una carga q se coloca en una de las esquinas de un cubo de lado a , como se muestra a continuación. Calcule la magnitud del flujo eléctrico a través de la cara sombreada debido a q . Supongamos que q > 0 . Haga un cubo con q en el centro, usando el cubo de lado a . Se necesitarían cuatro cubos de lado a para hacer una cara del cubo grande. El lado sombreado del cubo pequeño sería 1/24 del área total del cubo grande; por lo tanto, el flujo a través del área sombreada sería Φ = 1 24 q ε 0 . El flujo eléctrico que atraviesa una caja cúbica de 8,0 cm de lado es 1,2 × 10 3 N · m 2 /C . ¿Cuál es la carga total que encierra la caja? El flujo eléctrico que atraviesa una superficie esférica es 4,0 × 10 4 N · m 2 /C . ¿Cuál es la carga neta que encierra la superficie? q = 3,54 × 10 −7 C Un cubo cuyos lados son de longitud d se coloca en un campo eléctrico uniforme de magnitud E = 4,0 × 10 3 N/C para que el campo sea perpendicular a dos caras opuestas del cubo. ¿Cuál es el flujo neto a través del cubo? Repita el problema anterior, suponiendo que el campo eléctrico se dirige a lo largo de una diagonal del cuerpo del cubo. cero, también porque el flujo de entrada es igual al flujo de salida Una carga total de 5,0 × 10 −6 C se distribuye uniformemente por un volumen cúbico cuyas aristas miden 8,0 cm. (a) ¿Cuál es la densidad de carga en el cubo? (b) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de un cubo con aristas de 12,0 cm que es concéntrico con la distribución de carga? (c) Haga el mismo cálculo para cubos cuyas aristas miden 10,0 cm y 5,0 cm. (d) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una superficie esférica de radio 3,0 cm que también es concéntrica con la distribución de carga? superficie gaussiana cualquier superficie cerrada (normalmente imaginaria)

Ciencia


Aplicación de la ley de Gauss La ley de Gauss es muy útil para determinar las expresiones del campo eléctrico, aunque la ley no se refiere directamente al campo eléctrico, sino al flujo eléctrico. Resulta que en situaciones que tienen ciertas simetrías (esféricas, cilíndricas o planas) en la distribución de cargas, podemos deducir el campo eléctrico a partir del conocimiento del flujo eléctrico. En estos sistemas, podemos calcular una superficie gaussiana S sobre la que el campo eléctrico tiene una magnitud constante. Además, si E → es paralelo a n ^ por todas partes en la superficie, entonces E → · n ^ = E . (Si E → y n ^ son antiparalelas en toda la superficie, entonces E → · n ^ = − E . ). La ley de Gauss se simplifica entonces a Φ = ∮ S E → · n ^ d A = E ∮ S d A = E A = q enc ε 0 , donde A es el área de la superficie. Observe que estas simetrías conducen a la transformación de la integral de flujo en un producto de la magnitud del campo eléctrico y un área apropiada. Cuando se utiliza este flujo en la expresión de la ley de Gauss, se obtiene una ecuación algebraica que se puede resolver para la magnitud del campo eléctrico, que se parece a E ~ q enc ε 0 área . La dirección del campo eléctrico en el punto P se obtiene a partir de la simetría de la distribución de carga y del tipo de carga en la distribución. Por lo tanto, se puede utilizar la ley de Gauss para determinar E → . A continuación, un resumen de los pasos que seguiremos: Ley de Gauss Identificar la simetría espacial de la distribución de cargas . Este es un primer paso importante que nos permite elegir la superficie gaussiana adecuada. Como ejemplos, una carga puntual aislada tiene simetría esférica, y una línea de carga infinita tiene simetría cilíndrica. Elegir una superficie gaussiana con la misma simetría que la distribución de cargas e identifique sus consecuencias . Con esta elección, E → · n ^ se determina fácilmente sobre la superficie gaussiana. Evaluar la integral ∮ S E → · n ^ d A sobre la superficie gaussiana, es decir, calcular el flujo a través de la superficie . La simetría de la superficie gaussiana nos permite factorizar E → · n ^ fuera de la integral. Determinar la cantidad de carga que encierra la superficie gaussiana . Se trata de una evaluación del lado derecho de la ecuación que representa la ley de Gauss. A menudo es necesario realizar una integración para obtener la carga neta encerrada. Evaluar el campo eléctrico de la distribución de carga . Ahora se puede calcular el campo utilizando los resultados de los pasos 3 y 4. Básicamente, solo hay tres tipos de simetría que permiten utilizar la ley de Gauss para deducir el campo eléctrico. Estas son: una distribución de carga con simetría esférica; una distribución de carga con simetría cilíndrica; una distribución de carga con simetría plana. Para explotar la simetría, realizamos los cálculos en sistemas de coordenadas adecuados y utilizamos el tipo de superficie gaussiana correcta para esa simetría, aplicando los cuatro pasos restantes. Distribución de la carga con simetría esférica Una distribución de carga tiene simetría esférica si la densidad de carga depende solo de la distancia a un punto del espacio y no de la dirección. En otras palabras, si gira el sistema, no se ve diferente. Por ejemplo, si una esfera de radio R está cargada uniformemente con una densidad de carga ρ 0 entonces la distribución tiene simetría esférica ( (a)). Por otro lado, si una esfera de radio R se carga de manera que la mitad superior de la esfera tiene una densidad de carga uniforme ρ 1 y la mitad inferior tiene una densidad de carga uniforme ρ 2 ≠ ρ 1 , entonces la esfera no tiene simetría esférica porque la densidad de carga depende de la dirección ( (b)). Por lo tanto, no es la forma del objeto sino la forma de la distribución de la carga lo que determina si un sistema tiene o no simetría esférica. La (c) muestra una esfera con cuatro capas diferentes, cada una con su propia densidad de carga uniforme. Aunque se trata de una situación en la que la densidad de carga en la esfera completa no es uniforme, la función de densidad de carga solo depende de la distancia al centro y no de la dirección. Por lo tanto, esta distribución de carga sí tiene simetría esférica. Ilustraciones de sistemas esféricamente simétricos y no simétricos. Diferentes sombreados indican diferentes densidades de carga. Las cargas en objetos con forma esférica no significan necesariamente que las cargas estén distribuidas con simetría esférica. Esta simetría se produce solo cuando la densidad de carga no depende de la dirección. En (a), las cargas están distribuidas uniformemente en una esfera. En (b), la mitad superior de la esfera tiene una densidad de carga diferente de la mitad inferior; por lo tanto, (b) no tiene simetría esférica. En (c), las cargas están en capas esféricas de diferentes densidades de carga, lo que significa que la densidad de carga es solo una función de la distancia radial desde el centro; por lo tanto, el sistema tiene simetría esférica. Una buena forma de determinar si su problema tiene o no simetría esférica es mirar la función de densidad de carga en coordenadas esféricas, ρ ( r , θ , ϕ ) . Si la densidad de carga es solo una función de r , es decir ρ = ρ ( r ) , entonces tiene simetría esférica. Si la densidad depende de θ o ϕ , se podría cambiar por rotación; por lo tanto, no se tendría simetría esférica. Consecuencias de la simetría En todos los casos de simetría esférica, el campo eléctrico en cualquier punto debe estar dirigido radialmente, porque la carga y, por consiguiente, el campo deben ser invariantes bajo la rotación. Por lo tanto, utilizando coordenadas esféricas con su origen en el centro de la distribución de carga esférica, podemos escribir la forma esperada del campo eléctrico en un punto P situado a una distancia r del centro: Simetría esférica: E → P = E P ( r ) r ^ , donde r ^ es el vector unitario que apunta en la dirección del origen al campo de puntos P . El componente radial E P del campo eléctrico puede ser positivo o negativo. Cuando E P > 0 , el campo eléctrico en los puntos P apunta lejos del origen, y cuando E P < 0 , el campo eléctrico en P apunta hacia el origen. Superficie gaussiana y cálculos de flujo Ahora podemos utilizar esta forma del campo eléctrico para obtener el flujo del campo eléctrico a través de la superficie gaussiana. Para la simetría esférica, la superficie gaussiana es una superficie esférica cerrada que tiene el mismo centro que el de la distribución de carga. Así, la dirección del vector área de un elemento de área en la superficie gaussiana en cualquier punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en ese punto, ya que ambos están dirigidos radialmente hacia fuera ( ). El campo eléctrico en cualquier punto de la superficie esférica de Gauss para una distribución de carga esféricamente simétrica es paralelo al vector del elemento de área en ese punto, dando el flujo como el producto de la magnitud del campo eléctrico y el valor del área. Note que el radio R de la distribución de carga y el radio r de la superficie gaussiana son cantidades diferentes. La magnitud del campo eléctrico E → debe ser igual en todas partes en una superficie esférica gaussiana concéntrica con la distribución. Para una superficie esférica de radio r , Φ = ∮ S E → P · n ^ d A = E P ∮ S d A = E P 4 π r 2 . Utilizando la ley de Gauss Según la ley de Gauss, el flujo que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada en la superficie cerrada dividida entre la permitividad del vacío ε 0 . Supongamos que q enc es la carga total encerrada dentro de la distancia r del origen, que es el espacio dentro de la superficie esférica gaussiana de radio r . Esto da la siguiente relación para la ley de Gauss: 4 π r 2 E = q enc ε 0 . Por lo tanto, el campo eléctrico en el punto P que está a una distancia r del centro de una distribución de carga esféricamente simétrica tiene la siguiente magnitud y dirección: Magnitud: E ( r ) = 1 4 π ε 0 q enc r 2 Dirección: radial de O a P o de P a O . La dirección del campo en el punto P depende de si la carga de la esfera es positiva o negativa. Para una carga neta positiva encerrada dentro de la superficie gaussiana, la dirección es de O a P , y para una carga neta negativa, la dirección es de P a O . Esto es todo lo que necesitamos para una carga puntual, y notará que el resultado anterior es idéntico al de una carga puntual. Sin embargo, la ley de Gauss se vuelve verdaderamente útil en los casos en que la carga ocupa un volumen finito. Cálculo de la carga encerrada El caso más interesante es cuando una distribución de carga esférica ocupa un volumen, y entonces se vuelve relevante preguntarse cuál es el campo eléctrico dentro de la distribución de carga. En este caso, la carga encerrada depende de la distancia r del punto de campo en relación con el radio de la distribución de carga R , como la que se muestra en la . Una distribución de carga esféricamente simétrica y la superficie gaussiana utilizada para calcular el campo (a) dentro y (b) fuera de la distribución. Si el punto P se encuentra fuera de la distribución de la carga, es decir, si r ≥ R , entonces la superficie gaussiana que contiene a P encierra todas las cargas de la esfera. En este caso, q enc es igual a la carga total de la esfera. Por otro lado, si el punto P está dentro de la distribución de carga esférica, es decir, si r < R , entonces la superficie gaussiana encierra una esfera más pequeña que la esfera de distribución de la carga. En este caso, q enc es menor que la carga total presente en la esfera. En referencia a la , podemos escribir q enc como q enc = { q tot ( carga total ) si r ≥ R q dentro r < R ( solo carga dentro r < R ) si r < R . El campo en un punto fuera de la distribución de carga también se llama E → fuera , y el campo en un punto dentro de la distribución de carga se llama E → dentro . Centrándonos en los dos tipos de puntos de campo, ya sea dentro o fuera de la distribución de carga, ahora podemos escribir la magnitud del campo eléctrico como P esfera exterior E fuera = 1 4 π ε 0 q tot r 2 P dentro de la esfera E dentro = 1 4 π ε 0 q dentro r < R r 2 . Observe que el campo eléctrico fuera de una distribución de carga esférica simétrica es idéntico al de una carga puntual en el centro que tiene una carga igual a la carga total de la distribución de carga esférica. Esto es notable ya que las cargas no se encuentran en el centro solamente. A continuación, elaboramos ejemplos concretos de distribuciones de carga esféricas, empezando por el caso de una esfera cargada uniformemente. Esfera con carga uniforme Una esfera de radio R , como la que se muestra en la , tiene un volumen de densidad de carga uniforme ρ 0 . Halle el campo eléctrico en un punto fuera de la esfera y en un punto dentro de esta. Estrategia Aplicar la estrategia de resolución de problemas de la ley de Gauss, en la que ya hemos elaborado el cálculo del flujo. Solución La carga encerrada por la superficie gaussiana viene dada por q enc = ∫ ρ 0 d V = ∫ 0 r ρ 0 4 π r ′ 2 d r ′ = ρ 0 ( 4 3 π r 3 ) . La respuesta para la amplitud del campo eléctrico puede entonces escribirse inmediatamente para un punto fuera de la esfera, marcado como E fuera , y un punto dentro de la esfera, marcado como E dentro . E fuera = 1 4 π ε 0 q tot r 2 , q tot = 4 3 π R 3 ρ 0 , E dentro = q enc 4 π ε 0 r 2 = ρ 0 r 3 ε 0 , dado que q enc = 4 3 π r 3 ρ 0 . Es interesante observar que la magnitud del campo eléctrico aumenta en el interior del material a medida que se sale, ya que la cantidad de carga encerrada por la superficie gaussiana aumenta con el volumen. En concreto, la carga adjunta crece ∝ r 3 , mientras que el campo de cada elemento infinitesimal de carga cae ∝ 1 / r 2 con el resultado neto de que el campo eléctrico dentro de la distribución aumenta en fuerza linealmente con el radio. La magnitud del campo eléctrico fuera de la esfera disminuye a medida que se aleja de las cargas, porque la carga incluida sigue siendo la misma pero la distancia aumenta. La muestra la variación de la magnitud del campo eléctrico con la distancia desde el centro de una esfera uniformemente cargada. El campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada y no conductora aumenta en el interior de la esfera hasta un máximo en la superficie y luego disminuye como 1 / r 2 . Aquí, E R = ρ 0 R 3 ε 0 . El campo eléctrico se debe a una distribución de carga esférica de densidad de carga uniforme y carga total Q en función de la distancia al centro de la distribución. La dirección del campo eléctrico en cualquier punto P es radialmente hacia fuera desde el origen si ρ 0 es positivo, y hacia adentro (es decir, hacia el centro) si ρ 0 es negativo. El campo eléctrico en algunos puntos representativos del espacio se muestra en la cuyas coordenadas radiales r son r = R / 2 , r = R , y r = 2 R . Vectores del campo eléctrico dentro y fuera de una esfera uniformemente cargada. Importancia Observe que E fuera tiene la misma forma que la ecuación del campo eléctrico de una carga puntual aislada. Por lo tanto, al determinar el campo eléctrico de una distribución de carga esférica uniforme, podemos suponer que toda la carga dentro de la superficie esférica gaussiana apropiada se encuentra en el centro de la distribución. Esfera con carga no uniforme Una esfera no conductora de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía con la distancia a su centro, dada por ρ ( r ) = a r n ( r ≤ R ; n ≥ 0 ) , donde a es una constante. Requerimos n ≥ 0 para que la densidad de carga no esté indefinida en r = 0 . Halle el campo eléctrico en un punto fuera de la esfera y en un punto dentro de esta. Estrategia Aplique la estrategia de la ley de Gauss dada anteriormente, en la que se calculan las integrales de carga cerrada por separado para los casos dentro y fuera de la esfera. Solución Como la función de densidad de carga dada solo tiene una dependencia radial y ninguna dependencia de la dirección, tenemos una situación esféricamente simétrica. Por lo tanto, la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto está dada arriba y la dirección es radial. Solo tenemos que calcular la carga cerrada q enc , que depende de la ubicación del punto de campo. Una nota sobre los símbolos: Utilizamos r ′ para localizar las cargas en la distribución de cargas y r para localizar el (los) punto(s) de campo en la(s) superficie(s) gaussiana(s). La letra R se utiliza para el radio de la distribución de la carga. Como la densidad de carga no es constante aquí, necesitamos integrar la función de densidad de carga sobre el volumen encerrado por la superficie gaussiana. Por lo tanto, planteamos el problema para las cargas en una capa esférica, digamos entre r ′ y r ′ + d r ′ , como se muestra en la . El volumen de cargas en la capa de anchura infinitesimal es igual al producto del área de la superficie 4 π r ′ 2 y el espesor d r ′ . Multiplicando el volumen por la densidad en este lugar, que es a r ′ n , da la carga en la capa: d q = a r ′ n 4 π r ′ 2 d r ′ . Simetría esférica con distribución de carga no uniforme. En este tipo de problema, necesitamos cuatro radios: R es el radio de la distribución de carga, r es el radio de la superficie gaussiana, r ′ es el radio interior de la capa esférica, y r ′ + d r ′ es el radio exterior de la capa esférica. La capa esférica se utiliza para calcular la carga encerrada en la superficie gaussiana. La gama para r ′ es de 0 a r para el campo en un punto dentro de la distribución de carga y de 0 a R para el campo en un punto fuera de la distribución de carga. Si r > R , entonces la superficie gaussiana encierra más volumen que la distribución de carga, pero el volumen adicional no contribuye a q enc . (a) Campo en un punto fuera de la distribución de la carga. En este caso, la superficie gaussiana, que contiene el punto de campo P , tiene un radio r mayor que el radio R de la distribución de carga, r > R . Por lo tanto, todas las cargas de la distribución de carga están encerradas en la superficie gaussiana. Tenga en cuenta que el espacio entre r ′ = R y r ′ = r está vacío de cargas y, por tanto, no contribuye a la integral sobre el volumen encerrado por la superficie gaussiana: q enc = ∫ d q = ∫ 0 R a r ′ n 4 π r ′ 2 d r ′ = 4 π a n + 3 R n + 3 . Esto se utiliza en el resultado general para E → fuera anterior para obtener el campo eléctrico en un punto fuera de la distribución de carga como E → fuera = [ a R n + 3 ε 0 ( n + 3 ) ] 1 r 2 r ^ , donde r ^ es un vector unitario en la dirección del origen al punto de campo en la superficie gaussiana. (b) Campo en un punto dentro de la distribución de carga. La superficie gaussiana está ahora enterrada dentro de la distribución de carga, con r < R . Por lo tanto, solo las cargas de la distribución que están a una distancia r del centro de la distribución esférica de cargas cuentan en r enc : q enc = ∫ 0 r a r ′ n 4 π r ′ 2 d r ′ = 4 π a n + 3 r n + 3 . Ahora, utilizando el resultado general anterior para E → dentro , calculamos el campo eléctrico en un punto que está a una distancia r del centro y está dentro de la distribución de carga como E → dentro = [ a ε 0 ( n + 3 ) ] r n + 1 r ^ , donde la información sobre la dirección se incluye utilizando el vector radial unitario. Compruebe que los campos eléctricos de la esfera se reducen a los valores correctos para una carga puntual. En este caso, solo hay E → fuera . Así que , sí . Distribución de la carga con simetría cilíndrica Una distribución de carga tiene simetría cilíndrica si la densidad de carga depende solo de la distancia r del eje de un cilindro y no debe variar a lo largo del eje o con la dirección alrededor del eje. En otras palabras, si su sistema varía si lo gira alrededor del eje, o lo desplaza a lo largo del eje, no tiene simetría cilíndrica. La muestra cuatro situaciones en las que las cargas se distribuyen en un cilindro. Una densidad de carga uniforme ρ 0 . en un alambre recto infinito tiene una simetría cilíndrica, y lo mismo ocurre con un cilindro infinitamente largo con densidad de carga constante ρ 0 . Un cilindro infinitamente largo que tiene diferentes densidades de carga a lo largo de su longitud, como una densidad de carga ρ 1 para z > 0 y ρ 2 ≠ ρ 1 para z < 0 , no tiene una simetría cilíndrica utilizable para este curso. Tampoco lo hace un cilindro en el que la densidad de carga varía con la dirección, como una densidad de carga ρ 1 para 0 ≤ θ < π y ρ 2 ≠ ρ 1 para π ≤ θ < 2 π . Un sistema con capas cilíndricas concéntricas, cada una con densidades de carga uniformes, aunque diferentes en las distintas capas, como en la (d), sí tiene simetría cilíndrica si son infinitamente largas. El requisito de longitud infinita se debe a que la densidad de carga cambia a lo largo del eje de un cilindro finito. En los sistemas reales, no tenemos cilindros infinitos; sin embargo, si el objeto cilíndrico es considerablemente más largo que el radio de él que nos interesa, entonces la aproximación de un cilindro infinito resulta útil. Para determinar si una distribución de carga dada tiene simetría cilíndrica, observe la sección transversal de un cilindro "infinitamente largo". Si la densidad de carga no depende del ángulo polar de la sección transversal o a lo largo del eje, entonces se tiene simetría cilíndrica. (a) La densidad de carga es constante en el cilindro; (b) la mitad superior del cilindro tiene una densidad de carga diferente de la mitad inferior; (c) la mitad izquierda del cilindro tiene una densidad de carga diferente de la mitad derecha; (d) las cargas son constantes en diferentes anillos cilíndricos, pero la densidad no depende del ángulo polar. Los casos (a) y (d) tienen simetría cilíndrica, mientras que (b) y (c) no. Consecuencias de la simetría En todos los casos de simetría cilíndrica, el campo eléctrico E → P en cualquier punto P también debe mostrar simetría cilíndrica. Simetría cilíndrica E → P = E P ( r ) r ^ , donde r es la distancia al eje y r ^ es un vector unitario dirigido perpendicularmente fuera del eje ( ). El campo eléctrico en una situación de simetría cilíndrica depende solo de la distancia al eje. La dirección del campo eléctrico se aleja del eje para las cargas positivas y se acerca al eje para las cargas negativas. Superficie gaussiana y cálculo de flujos Para aprovechar la dependencia direccional y funcional del campo eléctrico, elegimos una superficie gaussiana cerrada en forma de cilindro con el mismo eje que el de la distribución de carga. El flujo a través de esta superficie de radio s y altura L es fácil de calcular si dividimos nuestra tarea en dos partes: (a) un flujo a través de los extremos planos y (b) un flujo a través de la superficie curva ( ). La superficie gaussiana en el caso de simetría cilíndrica. El campo eléctrico en un área es paralelo o perpendicular a la normal del área de la superficie gaussiana. El campo eléctrico es perpendicular al lado cilíndrico y paralelo a los extremos planos de la superficie. El flujo que atraviesa la parte cilíndrica es ∫ S E → · n ^ d A = E ∫ S d A = E ( 2 π r L ) , mientras que el flujo a través de las tapas de los extremos es cero porque E → · n ^ = 0 allí. Por lo tanto, el flujo es ∫ S E → · n ^ d A = E ( 2 π r L ) + 0 + 0 = 2 π r L E . Utilizando la ley de Gauss Según la ley de Gauss, el flujo debe ser igual a la cantidad de carga dentro del volumen encerrado por esta superficie, dividido por la permitividad del espacio libre. Cuando hace el cálculo para un cilindro de longitud L , halla que q enc de la ley de Gauss es directamente proporcional a L . Escribámosla como carga por unidad de longitud ( λ enc ) por la longitud L : q enc = λ enc L . Por lo tanto, la ley de Gauss para cualquier distribución de carga cilíndrica simétrica arroja la siguiente magnitud del campo eléctrico a una distancia s del eje: Magnitud: E ( r ) = λ enc 2 π ε 0 1 r . La carga por unidad de longitud λ enc depende de si el punto de campo está dentro o fuera del cilindro de distribución de la carga, al igual que hemos visto para la distribución esférica. Cálculo de la carga encerrada Supongamos que R es el radio del cilindro dentro del cual se distribuyen las cargas de forma cilíndrica y simétrica. Supongamos que el punto de campo P está a una distancia s del eje (el lado de la superficie gaussiana incluye el punto de campo P ). Cuando r > R (es decir, cuando P está fuera de la distribución de carga), la superficie gaussiana incluye toda la carga en el cilindro de radio R y longitud L . Cuando r < R ( P se encuentra dentro de la distribución de carga), entonces solo la carga dentro de un cilindro de radio s y longitud L está encerrada por la superficie gaussiana: λ enc L = { ( carga total ) si r ≥ R ( solo carga dentro r < R ) si r < R . Capa cilíndrica cargada uniformemente Una capa cilíndrica no conductora muy larga de radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme σ 0 . Halle el campo eléctrico (a) en un punto fuera de la capa y (b) en un punto dentro de esta. Estrategia Aplique la estrategia de la ley de Gauss dada anteriormente, donde tratamos los casos dentro y fuera de la capa por separado. Solución Campo eléctrico en un punto fuera de la capa. Para un punto fuera de la capa cilíndrica, la superficie gaussiana es la superficie de un cilindro de radio r > R y la longitud L , como se muestra en la . La carga encerrada por el cilindro gaussiano es igual a la carga de la capa cilíndrica de longitud L . Por lo tanto, λ enc viene dada por λ enc = σ 0 2 π R L L = 2 π R σ 0 . Una superficie gaussiana que rodea una capa cilíndrica. Por lo tanto, el campo eléctrico en un punto P fuera de la capa a una distancia r del eje es E → = 2 π R σ 0 2 π ε o 1 r r ^ = R σ 0 ε o 1 r r ^ ( r > R ) donde r ^ es un vector unitario, perpendicular al eje y apuntando hacia fuera, como se muestra en la figura. El campo eléctrico en P apunta en la dirección de r ^ dado en la si σ 0 > 0 y en dirección contraria a r ^ si σ 0 < 0 . Campo eléctrico en un punto del interior de la capa. Para un punto dentro de la capa cilíndrica, la superficie gaussiana es un cilindro cuyo radio r es menor que R ( ). Esto significa que no se incluyen cargas dentro de la superficie gaussiana: λ enc = 0 . Una superficie gaussiana dentro de una capa cilíndrica. Esto da la siguiente ecuación para la magnitud del campo eléctrico E dentro en un punto cuyo r es menor que R de la capa de cargas. E dentro 2 π r L = 0 ( r < R ) , Esto nos da E dentro = 0 ( r < R ) . Importancia Observe que el resultado dentro de la capa es exactamente lo que deberíamos esperar: si no hay carga encerrada, el campo eléctrico es cero. Fuera de la capa, el resultado es idéntico al de un cable con carga uniforme R σ 0 . Un cable recto y delgado tiene una densidad de carga lineal uniforme λ 0 . Calcule el campo eléctrico a una distancia d del cable, donde d es mucho menor que la longitud del cable. E → = λ 0 2 π ε 0 1 d r ^ ; Esto concuerda con el cálculo del donde encontramos el campo eléctrico integrando sobre el cable cargado. Observe que el cálculo de este campo eléctrico es mucho más sencillo con la ley de Gauss. Distribución de la carga con simetría plana La simetría plana de la densidad de carga se obtiene cuando las cargas se reparten uniformemente en una gran superficie plana. En la simetría plana, todos los puntos de un plano paralelo al plano de carga son idénticos con respecto a las cargas. Consecuencias de la simetría Tomamos el plano de la distribución de la carga como el plano xy y hallamos el campo eléctrico en un punto espacial P con coordenadas ( x , y , z ). Dado que la densidad de carga es la misma en todas las coordenadas ( x , y ) del plano z = 0 , por simetría, el campo eléctrico en P no puede depender de las coordenadas x o y del punto P , como se muestra en la . Por lo tanto, el campo eléctrico en P solo puede depender de la distancia al plano y tiene una dirección hacia el plano o fuera de él. Es decir, el campo eléctrico en P solo tiene un componente z que no es cero. Cargas uniformes en el plano xy : E → = E ( z ) z ^ donde z es la distancia al plano y z ^ es el vector unitario normal al plano. Tenga en cuenta que en este sistema, E ( z ) = E ( − z ) , aunque, por supuesto, apuntan en direcciones opuestas. Los componentes del campo eléctrico paralelos a un plano de cargas anulan las dos cargas situadas simétricamente desde el punto P del campo. Para cualquier punto P y carga q 1 , siempre podemos calcular un q 2 con este efecto. Superficie gaussiana y cálculo de flujos En el presente caso, una superficie gaussiana conveniente es una caja, ya que el campo eléctrico esperado apunta en una sola dirección. Para mantener la simetría de la caja gaussiana con respecto al plano de las cargas, la tomamos para abarcar el plano de las cargas, de manera que una cara que contiene el punto de campo P se toma paralela al plano de las cargas. En la , se han sombreado los lados I y II de la superficie gaussiana (la caja) que son paralelos al plano infinito. Son las únicas superficies que generan un flujo que no es cero porque el campo eléctrico y los vectores de área de las otras caras son perpendiculares entre sí. Una lámina delgada cargada y la caja gaussiana para hallar el campo eléctrico en el punto de campo P . La normal a cada cara de la caja es desde el interior de la caja hacia el exterior. En dos caras de la caja, los campos eléctricos son paralelos a los vectores de área, y en las otras cuatro caras, los campos eléctricos son perpendiculares a los vectores de área. Supongamos que A es el área de la superficie sombreada en cada lado del plano y E P es la magnitud del campo eléctrico en el punto P . Como los lados I y II están a la misma distancia del plano, el campo eléctrico tiene la misma magnitud en los puntos de estos planos, aunque las direcciones del campo eléctrico en estos puntos de los dos planos son opuestas entre sí. Magnitud en I o II E ( z ) = E P . Si la carga en el plano es positiva, entonces la dirección del campo eléctrico y los vectores de área son como se muestra en la . Por lo tanto, hallamos para el flujo del campo eléctrico a través de la caja Φ = ∮ S E → P · n ^ d A = E P A + E P A + 0 + 0 + 0 + 0 = 2 E P A donde los ceros son para el flujo a través de los otros lados de la caja. Observe que si la carga del plano es negativa, las direcciones del campo eléctrico y de los vectores de área para los planos I y II son opuestas entre sí, y obtenemos un signo negativo para el flujo. Según la ley de Gauss, el flujo debe ser igual a q enc / ε 0 . De la vemos que las cargas dentro del volumen encerrado por la caja gaussiana residen en un área A del plano xy . Por lo tanto, q enc = σ 0 A . Utilizando las ecuaciones para el flujo y la carga encerrada en la ley de Gauss, podemos determinar inmediatamente el campo eléctrico en un punto a la altura z de un plano uniformemente cargado en el plano xy : E → P = σ 0 2 ε 0 n ^ . La dirección del campo depende del signo de la carga en el plano y del lado del plano donde se encuentra el punto de campo P . Observe que por encima del plano, n ^ = + z ^ , mientras que por debajo del plano, n ^ = − z ^ . Le sorprenderá observar que el campo eléctrico no depende realmente de la distancia al plano; esto es un efecto de la suposición de que el plano es infinito. En términos prácticos, el resultado dado anteriormente sigue siendo una aproximación útil para planos finitos cerca del centro. Resumen Para una distribución de carga con ciertas simetrías espaciales (esférica, cilíndrica y plana), podemos calcular una superficie gaussiana sobre la que E → · n ^ = E , donde E es constante sobre la superficie. El campo eléctrico se determina entonces con la ley de Gauss. Para la simetría esférica, la superficie gaussiana es también una esfera, y la ley de Gauss se simplifica a 4 π r 2 E = q enc ε 0 . Para la simetría cilíndrica, utilizamos una superficie cilíndrica de Gauss, y hallamos que la ley de Gauss se simplifica a 2 π r L E = q enc ε 0 . Para la simetría plana, una superficie gaussiana conveniente es una caja que penetra en el plano, con dos caras paralelas al plano y el resto perpendiculares, resultando la ley de Gauss 2 A E = q enc ε 0 . Preguntas conceptuales ¿Sería útil la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico de dos cargas iguales pero opuestas a una distancia fija? No, ya que la situación no tiene simetría, lo que hace que la ley de Gauss sea difícil de simplificar. Discuta el papel que juega la simetría en la aplicación de la ley de Gauss. De ejemplos de distribuciones de carga continuas en las que la ley de Gauss sea útil y no lo sea para determinar el campo eléctrico. Discuta las restricciones de la superficie gaussiana utilizadas para discutir la simetría plana. Por ejemplo, ¿es importante su longitud? ¿La sección transversal tiene que ser cuadrada? ¿Las caras finales deben estar en lados opuestos de la hoja? Se puede utilizar cualquier forma de la superficie gaussiana. La única restricción es que la integral gaussiana debe ser calculable; por tanto, una caja o un cilindro son las formas geométricas más convenientes para la superficie gaussiana. Problemas Recordemos que en el ejemplo de una esfera cargada uniforme, ρ 0 = Q / ( 4 3 π R 3 ) . Reescriba las respuestas en términos de la carga total Q en la esfera. r > R , E = Q 4 π ε 0 r 2 ; r < R , E = q r 4 π ε 0 R 3 Supongamos que la densidad de carga de la distribución de carga esférica mostrada en la es ρ ( r ) = ρ 0 r / R para r ≤ R y cero para r > R . Obtenga expresiones para el campo eléctrico tanto dentro como fuera de la distribución. Un cable muy largo y delgado tiene una densidad de carga lineal uniforme de 50 μ C/m . ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 2,0 cm del cable? E A = λ l ε 0 ⇒ E = 4,50 × 10 7 N / C Una carga de −30 μ C se distribuye uniformemente en un volumen esférico de 10,0 cm de radio. Determine el campo eléctrico debido a esta carga a una distancia de (a) 2,0 cm, (b) 5,0 cm y (c) 20,0 cm del centro de la esfera. Repita sus cálculos para el problema anterior, dado que la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie de un conductor esférico de radio 10,0 cm. a. 0; b. 0; c E → = 6,74 × 10 6 N / C ( − r ^ ) Una carga total Q se distribuye uniformemente en una envoltura esférica de radios interior y exterior r 1 y r 2 , respectivamente. Demuestre que el campo eléctrico debido a la carga es E → = 0 → ( r ≤ r 1 ) ; E → = Q 4 π ε 0 r 2 ( r 3 − r 1 3 r 2 3 − r 1 3 ) r ^ ( r 1 ≤ r ≤ r 2 ) ; E → = Q 4 π ε 0 r 2 r ^ ( r ≥ r 2 ) . Cuando se coloca una carga en una esfera de metal, esta termina en equilibrio en la superficie exterior. Utilice esta información para determinar el campo eléctrico de una carga + 3,0 μ C puesta en una bola esférica de aluminio de 5,0 cm en los siguientes dos puntos del espacio: (a) un punto a 1,0 cm del centro de la bola (un punto interior) y (b) un punto a 10 cm del centro de la bola (un punto exterior). a. 0; b. E = 2,70 × 10 6 N / C Una gran lámina de carga tiene una densidad de carga uniforme de 10 μ C/m 2 . ¿Cuál es el campo eléctrico debido a esta carga en un punto justo por encima de la superficie de la lámina? Determine si la simetría cilíndrica aproximada se cumple en las siguientes situaciones. Indique por qué o por qué no. (a) Una varilla de cobre de 300 cm de largo y radio 1 cm se carga con +500 nC de carga y buscamos el campo eléctrico en un punto a 5 cm del centro de la varilla. (b) Una varilla de cobre de 10 cm de largo y radio 1 cm se carga con +500 nC de carga y buscamos el campo eléctrico en un punto a 5 cm del centro de la varilla. (c) Una varilla de madera de 150 cm se pega a una varilla de plástico de 150 cm para obtener una varilla de 300 cm de largo, que luego se pinta con una pintura cargada de forma que se obtiene una densidad de carga uniforme. El radio de cada varilla es de 1 cm, y buscamos un campo eléctrico en un punto que está a 4 cm del centro de la varilla. (d) La misma varilla que (c), pero buscamos el campo eléctrico en un punto que está a 500 cm del centro de la varilla. a. Sí, la longitud de la varilla es mucho mayor que la distancia al punto en cuestión. b. No, la longitud de la varilla es del mismo orden de magnitud que la distancia al punto en cuestión. c. Sí, la longitud de la varilla es mucho mayor que la distancia al punto en cuestión. d. No. La longitud de la varilla es del mismo orden de magnitud que la distancia al punto en cuestión. Una varilla larga de plata de 3 cm de radio tiene una carga de − 5 μ C/cm en su superficie. (a) Calcule el campo eléctrico en un punto a 5 cm del centro de la varilla (un punto exterior). (b) Calcule el campo eléctrico en un punto a 2 cm del centro de la varilla (un punto interior). El campo eléctrico a 2 cm del centro de una varilla larga de cobre de radio 1 cm tiene una magnitud de 3 N/C y está dirigido hacia el exterior desde el eje de la varilla. (a) ¿Cuánta carga por unidad de longitud existe en la varilla de cobre? (b) ¿Cuál sería el flujo eléctrico a través de un cubo de 5 cm de lado situado de tal manera que la varilla pasa por los lados opuestos del cubo perpendicularmente? a. E → = R σ 0 ε 0 1 r r ^ ⇒ σ 0 = 5,31 × 10 −11 C / m 2 , λ = 3,33 × 10 −12 C / m ; b. Φ = q enc ε 0 = 3,33 × 10 −12 C / m ( 0,05 m ) ε 0 = 0,019 N · m 2 / C Una capa cilíndrica larga de cobre de radio interior 2 cm y radio exterior 3 cm rodea concéntricamente una varilla larga de aluminio cargada de radio 1 cm con una densidad de carga de 4 pC/m. Todas las cargas de la varilla de aluminio residen en su superficie. La superficie interior de la capa de cobre tiene una carga exactamente opuesta a la de la varilla de aluminio, mientras que la superficie exterior de la capa de cobre tiene la misma carga que la varilla de aluminio. Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico en los puntos que están a las siguientes distancias del centro de la varilla de aluminio: (a) 0,5 cm, (b) 1,5 cm, (c) 2,5 cm, (d) 3,5 cm y (e) 7 cm. La carga se distribuye uniformemente con una densidad ρ a lo largo de un volumen cilíndrico infinitamente largo de radio R . Demuestre que el campo de esta distribución de carga está dirigido radialmente con respecto al cilindro y que E = ρ r 2 ε 0 ( r ≤ R ) ; E = ρ R 2 2 ε 0 r ( r ≥ R ) . E 2 π r l = ρ π r 2 l ε 0 ⇒ E = ρ r 2 ε 0 ( r ≤ R ) ; E 2 π r l = ρ π R 2 l ε 0 ⇒ E = ρ R 2 2 ε 0 r ( r ≥ R ) La carga se distribuye a lo largo de un volumen cilíndrico muy largo de radio R , de forma que la densidad de carga aumenta con la distancia r desde el eje central del cilindro según ρ = α r , donde α es una constante. Demuestre que el campo de esta distribución de carga está dirigido radialmente con respecto al cilindro y que E = α r 2 3 ε 0 ( r ≤ R ) ; E = α R 3 3 ε 0 r ( r ≥ R ) . El campo eléctrico a 10,0 cm de la superficie de una bola de cobre de radio 5,0 cm se dirige hacia el centro de la bola y tiene una magnitud 4,0 × 10 2 N/C . ¿Cuánta carga hay en la superficie de la bola? Φ = q enc ε 0 ⇒ q enc = −1,0 × 10 −9 C La carga se distribuye en una capa esférica de radio interior r 1 y radio exterior r 2 con una densidad de volumen dada por ρ = ρ 0 r 1 / r , donde ρ 0 es una constante. Determine el campo eléctrico debido a esta carga en función de r , la distancia desde el centro de la capa. La carga se distribuye en un volumen esférico de radio R con una densidad ρ = α r 2 , donde α es una constante. Determine el campo eléctrico debido a la carga puntual tanto del interior como del exterior de la esfera. q enc = 4 5 π α r 5 , E 4 π r 2 = 4 π α r 5 5 ε 0 ⇒ E = α r 3 5 ε 0 ( r ≤ R ) , q enc = 4 5 π α R 5 , E 4 π r 2 = 4 π α R 5 5 ε 0 ⇒ E = α R 5 5 ε 0 r 2 ( r ≥ R ) Considere que un núcleo de uranio es una esfera de radio R = 7,4 × 10 −15 m con una carga de 92 e distribuida uniformemente en su volumen. (a) ¿Cuál es la fuerza eléctrica ejercida sobre un electrón cuando es 3,0 × 10 −15 m desde el centro del núcleo? (b) ¿Cuál es la aceleración del electrón en este punto? La densidad de carga volumétrica de una distribución de carga esférica viene dada por ρ ( r ) = ρ 0 e − α r , donde ρ 0 y α son constantes. ¿Cuál es el campo eléctrico producido por esta distribución de carga? integrar por partes q enc = 4 π ρ 0 [ − e − α r ( ( r ) 2 α + 2 r α 2 + 2 α 3 ) + 2 α 3 ] ⇒ E = ρ 0 r 2 ε 0 [ − e − α r ( ( r ) 2 α + 2 r α 2 + 2 α 3 ) + 2 α 3 ] simetría cilíndrica el sistema solo varía con la distancia al eje, no con la dirección simetría plana el sistema solo varía con la distancia a un plano simetría esférica el sistema solo varía con la distancia al origen, no en la dirección

Ciencia


Conductores en equilibrio electrostático Hasta ahora, hemos trabajado generalmente con cargas que ocupan un volumen dentro de un aislante. Ahora estudiamos lo que ocurre cuando se colocan cargas libres en un conductor. Por lo general, en presencia de un campo eléctrico (generalmente externo), la carga libre de un conductor se redistribuye y alcanza muy rápidamente el equilibrio electrostático. La distribución de carga resultante y su campo eléctrico tienen muchas propiedades interesantes, que podemos investigar con la ayuda de la ley de Gauss y el concepto de potencial eléctrico. El campo eléctrico desaparece dentro de un conductor Si hay un campo eléctrico en el interior de un conductor, este ejerce fuerzas sobre los electrones libres (también llamados electrones de conducción), que son los electrones del material que no están unidos a un átomo. Entonces, estos electrones libres se aceleran. Sin embargo, las cargas en movimiento significan, por definición, condiciones no estáticas, al contrario de lo que suponemos. Por lo tanto, cuando se alcanza el equilibrio electrostático, la carga se distribuye de tal manera que el campo eléctrico dentro del conductor desaparece. Si se coloca una pieza de un metal cerca de una carga positiva, los electrones libres del metal son atraídos por la carga positiva externa y migran libremente hacia esa región. La región a la que se desplazan los electrones tiene entonces un exceso de electrones sobre los protones de los átomos y la región desde la que han migrado los electrones tiene más protones que electrones. En consecuencia, el metal desarrolla una región negativa cerca de la carga y una región positiva en el extremo lejano ( ). Como vimos en el capítulo anterior, esta separación de cargas eléctricas de igual magnitud y de tipo opuesto se llama polarización . Si se elimina la carga externa, los electrones vuelven a migrar y neutralizan la región positiva. Polarización de una esfera de metal por una carga puntual externa + q . El lado cercano del metal tiene una carga superficial opuesta en comparación con el lado lejano del metal. Se dice que la esfera está polarizada. Al eliminar la carga externa, la polarización del metal también desaparece. La polarización del metal solo se produce en presencia de cargas externas. Se puede pensar en esto en términos de campos eléctricos. La carga externa crea un campo eléctrico externo. Cuando el metal se coloca en la región de este campo eléctrico, los electrones y protones del metal experimentan fuerzas eléctricas debidas a este campo eléctrico externo, pero solo los electrones de conducción son libres de moverse en el metal a distancias macroscópicas. El movimiento de los electrones de conducción conduce a la polarización, que crea un campo eléctrico inducido además del campo eléctrico externo ( ). El campo eléctrico neto es una suma vectorial de los campos de + q y las densidades de carga superficial − σ A y + σ B . Esto significa que el campo neto dentro del conductor es diferente del campo fuera de él. En presencia de una carga externa q , las cargas de un metal se redistribuyen. El campo eléctrico en cualquier punto tiene tres contribuciones, desde + q y las cargas inducidas − σ A y + σ B . Tenga en cuenta que la distribución de la carga superficial no será uniforme en este caso. La redistribución de cargas es tal que la suma de las tres contribuciones en cualquier punto P dentro del conductor es E → P = E → q + E → B + E → A = 0 → . Ahora, gracias a la ley de Gauss, sabemos que no hay carga neta encerrada por una superficie gaussiana que esté únicamente dentro del volumen del conductor en equilibrio. Eso es, q enc = 0 y por lo tanto E → neto = 0 → ( en puntos del interior de un conductor ) . Carga en un conductor Una propiedad interesante de un conductor en equilibrio estático es que las cargas adicionales en el conductor terminan en su superficie exterior, independientemente de su origen. La ilustra un sistema en el que llevamos una carga positiva externa al interior de la cavidad de un metal y luego toca la superficie interior. Inicialmente, la superficie interior de la cavidad está cargada negativamente y la superficie exterior del conductor está cargada positivamente. Cuando tocamos la superficie interior de la cavidad, la carga inducida se neutraliza, dejando la superficie exterior y todo el metal cargado con una carga neta positiva. Las cargas eléctricas en un conductor migran a la superficie exterior sin importar dónde las ponga inicialmente. Para ver por qué ocurre esto, observe que la superficie gaussiana en la (la línea discontinua) sigue el contorno de la superficie real del conductor y se sitúa a una distancia infinitesimal dentro de ella. Dado que E = 0 por todas partes dentro de un conductor, ∮ s E → · n ^ d A = 0 . Así, a partir de la ley de Gauss, no hay carga neta dentro de la superficie gaussiana. Pero la superficie gaussiana se encuentra justo por debajo de la superficie real del conductor; en consecuencia, no hay carga neta dentro del conductor. Cualquier exceso de carga debe estar en su superficie. La línea discontinua representa una superficie gaussiana que está justo por debajo de la superficie real del conductor. Esta propiedad particular de los conductores es la base de un método extremadamente preciso desarrollado por Plimpton y Lawton en 1936 para verificar la ley de Gauss y, en consecuencia, la ley de Coulomb. Un esquema de su aparato se muestra en la . Dos capas esféricas están conectadas entre sí a través de un electrómetro E, un dispositivo que puede detectar una cantidad muy ligera de carga que fluye de una capa a la otra. Cuando se acciona el interruptor S hacia la izquierda, la batería B pone carga en la capa exterior. ¿La carga fluye a través del electrómetro a la capa interior? No. Hacerlo significaría una violación de la ley de Gauss. Plimpton y Lawton no detectaron ningún flujo y, conociendo la sensibilidad de su electrómetro, concluyeron que si la dependencia radial en la ley de Coulomb fuera 1 / r ( 2 + δ ) , δ sería menor que 2 × 10 −9 S. Plimpton y W. Lawton. 1936. "A Very Accurate Test of Coulomb’s Law of Force between Charges”. Physical Review 50, n.º 11: 1066, doi:10.1103/PhysRev.50.1066 . Las mediciones más recientes sitúan δ a menos de 3 × 10 −16 E. Williams, J. Faller y H. Hill. 1971. “New Experimental Test of Coulomb’s Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass”. Physical Review Letters 26, N.º 12: 721, doi:10.1103/PhysRevLett.26.721 , un número tan pequeño que la validez de la ley de Coulomb parece indiscutible. Una representación del aparato utilizado por Plimpton y Lawton. Cualquier transferencia de carga entre las esferas es detectada por el electrómetro E. El campo eléctrico en la superficie de un conductor Si el campo eléctrico tuviera un componente paralelo a la superficie de un conductor, las cargas libres en la superficie se moverían, una situación contraria a la suposición de equilibrio electrostático. Por lo tanto, el campo eléctrico es siempre perpendicular a la superficie de un conductor. En cualquier punto justo por encima de la superficie de un conductor, la densidad de carga superficial σ y la magnitud del campo eléctrico E están relacionados por E = σ ε 0 . Para ver esto, considere un cilindro gaussiano infinitesimal que rodea un punto de la superficie del conductor, como en la . El cilindro tiene una cara final interior y otra exterior a la superficie. La altura y la sección transversal del cilindro son δ y Δ A , respectivamente. Los lados del cilindro son perpendiculares a la superficie del conductor, y sus caras extremas son paralelas a la superficie. Como el cilindro es infinitesimalmente pequeño, la densidad de carga σ es esencialmente constante sobre la superficie encerrada, por lo que la carga total dentro del cilindro gaussiano es σ Δ A . Ahora bien, E es perpendicular a la superficie del conductor en el exterior de este y se desvanece en el interior, ya que de otra manera las cargas se acelerarían y no estaríamos en equilibrio. Por lo tanto, el flujo eléctrico solo atraviesa la cara exterior de la superficie gaussiana y puede escribirse como E Δ A , ya que se supone que el cilindro es lo suficientemente pequeño como para que E sea aproximadamente constante en esa área. De la ley de Gauss, E Δ A = σ Δ A ε 0 . Por lo tanto, E = σ ε 0 . Una superficie gaussiana cilíndrica infinitesimal rodea el punto P , que está en la superficie del conductor. El campo E → es perpendicular a la superficie del conductor fuera del mismo y desaparece dentro de él. Campo eléctrico de una placa conductora La placa conductora infinita en la tiene una densidad de carga superficial uniforme σ . Utilice la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico fuera de la placa. Compare este resultado con el calculado anteriormente de forma directa. Vista lateral de una placa conductora infinita y de un cilindro gaussiano con sección transversal A . Estrategia Para este caso, utilizamos una superficie gaussiana cilíndrica, de la que se muestra una vista lateral. Solución El cálculo del flujo es similar al de una hoja de carga infinita del capítulo anterior, con una excepción importante: La cara izquierda de la superficie gaussiana está dentro del conductor donde E → = 0 → , por lo que el flujo total a través de la superficie gaussiana es EA en lugar de 2 EA . Entonces, a partir de la ley de Gauss, E A = σ A ε 0 y el campo eléctrico fuera de la placa es E = σ ε 0 . Importancia Este resultado está de acuerdo con el resultado de la sección anterior, y es coherente con la regla indicada anteriormente. Campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta Dos grandes placas conductoras llevan cargas iguales y opuestas, con una densidad de carga superficial σ de magnitud 6,81 × 10 −7 C/m 2 , como se muestra en la . La separación entre las placas es l = 6,50 mm . ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? El campo eléctrico entre placas paralelas con carga opuesta. Se libera una carga de prueba en la placa positiva. Estrategia Observe que el campo eléctrico en la superficie de una placa solo depende de la carga de esa placa. Por lo tanto, aplique E = σ / ε 0 con los valores dados. Solución El campo eléctrico se dirige desde la placa positiva a la negativa, como se muestra en la figura, y su magnitud viene dada por E = σ ε 0 = 6,81 × 10 −7 C/m 2 8,85 × 10 −12 C 2 /N m 2 = 7,69 × 10 4 N/C . Importancia Esta fórmula es aplicable a más de una placa. Además, los sistemas de dos placas serán importantes más adelante. Una esfera conductora La esfera conductora aislada ( ) tiene un radio R y un exceso de carga q . ¿Cuál es el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera? Una esfera conductora aislada. Estrategia La esfera está aislada, por lo que su distribución de cambios en la superficie y el campo eléctrico de esa distribución son esféricamente simétricos. Por lo tanto, podemos representar el campo como E → = E ( r ) r ^ . Para calcular E ( r ), aplicamos la ley de Gauss sobre una superficie esférica cerrada S de radio r que es concéntrica con la esfera conductora. Solución Dado que r es constante y n ^ = r ^ en la esfera, ∮ S E → · n ^ d A = E ( r ) ∮ S d A = E ( r ) 4 π r 2 . Para r < R , S está dentro del conductor, por lo que q enc = 0 , y la ley de Gauss da E ( r ) = 0 , como se espera dentro de un conductor. Si r > R , S encierra el conductor de manera que q enc = q . De la ley de Gauss, E ( r ) 4 π r 2 = q ε 0 . Por lo tanto, el campo eléctrico de la esfera puede escribirse como E → = 0 → ( r < R ) , E → = 1 4 π ε 0 q r 2 r ^ ( r ≥ R ) . Importancia Observe que en la región r ≥ R , el campo eléctrico debido a una carga q situada en una esfera conductora aislada de radio R es idéntico al campo eléctrico de una carga puntual q situada en el centro de la esfera. La diferencia entre el metal cargado y una carga puntual se produce solo en los puntos espaciales del interior del conductor. Para una carga puntual colocada en el centro de la esfera el campo eléctrico no es cero en los puntos del espacio ocupados por la esfera, pero un conductor con la misma cantidad de carga tiene un campo eléctrico cero en esos puntos ( ). Sin embargo, no hay distinción en los puntos exteriores del espacio donde r > R , y podemos sustituir impunemente el conductor esférico cargado aislado por una carga puntual en su centro. Campo eléctrico de una esfera de metal cargada positivamente. El campo eléctrico en el interior es cero, y el campo eléctrico en el exterior es igual al campo eléctrico de una carga puntual en el centro, aunque la carga en la esfera de metal está en la superficie. Compruebe lo aprendido ¿Cómo cambiará el sistema anterior si hay objetos cargados externos a la esfera? Si hay otros objetos cargados alrededor, entonces las cargas en la superficie de la esfera no serán necesariamente esféricamente simétricas; habrá más en cierta dirección que en otras. Para un conductor con una cavidad, si ponemos una carga + q dentro de la cavidad, entonces la separación de la carga tiene lugar en el conductor, con una cantidad − q de carga en la superficie interior y una cantidad + q de carga en la superficie exterior ( (a)). Para el mismo conductor con una carga + q fuera de ella, no hay exceso de carga en la superficie interior; tanto las cargas positivas como las negativas inducidas residen en la superficie exterior ( (b)). (a) Una carga dentro de una cavidad en un metal. La distribución de las cargas en la superficie exterior no depende de cómo se distribuyen las cargas en la superficie interior, ya que el campo E dentro del cuerpo del metal es cero. Sin embargo, la magnitud de la carga en la superficie exterior depende de la magnitud de la carga en el interior. (b) Una carga fuera de un conductor que contiene una cavidad interior. La cavidad sigues sin tener carga. La polarización de las cargas en el conductor se produce en la superficie. Si un conductor tiene dos cavidades, una de ellas con carga + q a en su interior y el otro una carga − q b , la polarización del conductor resulta en − q a en la superficie interior de la cavidad a , + q b en la superficie interior de la cavidad b y q a − q b en la superficie exterior ( ). Las cargas en las superficies pueden no estar uniformemente repartidas; su distribución depende de la geometría. La única regla que se cumple es que cuando se ha alcanzado el equilibrio, la distribución de cargas en un conductor es tal que el campo eléctrico por la distribución de cargas en el conductor cancela el campo eléctrico de las cargas externas en todos los puntos del espacio dentro del cuerpo del conductor. Las cargas inducidas por dos cargas iguales y opuestas en dos cavidades separadas de un conductor. Si la carga neta en la cavidad es distinta de cero, la superficie externa se carga en la cantidad de la carga neta. Resumen El campo eléctrico dentro de un conductor desaparece. Cualquier exceso de carga colocado en un conductor reside enteramente en la superficie del mismo. El campo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor en cualquier lugar de esa superficie. La magnitud del campo eléctrico justo por encima de la superficie de un conductor viene dada por E = σ ε 0 . Ecuaciones clave Definición del flujo eléctrico, para un campo eléctrico uniforme Φ = E → · A → → E A cos θ Flujo eléctrico a través de una superficie abierta Φ = ∫ S E → · n ^ d A = ∫ S E → · d A → Flujo eléctrico a través de una superficie cerrada Φ = ∮ S E → · n ^ d A = ∮ S E → · d A → Ley de Gauss Φ = ∮ S E → · n ^ d A = q enc ε 0 Ley de Gauss para sistemas con simetría Φ = ∮ S E → · n ^ d A = E ∮ S d A = E A = q enc ε 0 La magnitud del campo eléctrico justo fuera de la superficie de un conductor E = σ ε 0 Preguntas conceptuales ¿El campo eléctrico dentro de un metal es siempre cero? En condiciones electrostáticas, el exceso de carga de un conductor reside en su superficie. ¿Significa esto que todos los electrones de conducción de un conductor están en la superficie? No. Si un metal estuviera en una región de campo eléctrico cero, todos los electrones de conducción se distribuirían uniformemente por el metal. Se coloca una carga q en la cavidad de un conductor como se muestra a continuación. ¿Una carga fuera del conductor experimentará un campo eléctrico debido a la presencia de q ? El conductor de la figura anterior tiene un exceso de carga de – 5, 0 µ C . Si una carga de puntos 2,0 - µ C se coloca en la cavidad, ¿cuál es la carga neta en la superficie de la cavidad y en la superficie exterior del conductor? Como el campo eléctrico es cero dentro de un conductor, una carga de −2,0 μ C se induce en la superficie interior de la cavidad. Esto pondrá una carga de + 2,0 μ C en la superficie exterior, dejando una carga neta de −3,0 μ C en la superficie. Problemas En la siguiente figura se muestra un conductor sin carga con una cavidad interna. Utilice la superficie cerrada S junto con la ley de Gauss para demostrar que cuando se coloca una carga q en la cavidad se induce una carga total – q en la superficie interior del conductor. ¿Cuál es la carga en la superficie exterior del conductor? Una carga dentro de una cavidad de un metal. Las cargas en la superficie exterior no dependen de cómo se distribuyen las cargas en la superficie interior, ya que el campo E dentro del cuerpo del metal es cero. Un conductor esférico sin carga S de radio R tiene dos cavidades esféricas A y B de radios a y b , respectivamente, como se muestra a continuación. Dos cargas puntuales + q a y + q b se colocan en el centro de las dos cavidades utilizando soportes no conductores. Además, una carga puntual + q 0 se coloca en el exterior a una distancia r del centro de la esfera. (a) Dibuje las distribuciones de carga aproximadas en la esfera de metal aunque esta no tenga carga neta. (b) Dibuje las líneas de campo eléctrico. Dibuje suficientes líneas para representar todos los lugares distintos. Una carga puntual positiva se coloca en la bisectriz del ángulo de dos conductores planos sin carga que forman un ángulo de 45 ° . Vea a continuación. Dibuje las líneas de campo eléctrico. Un cilindro largo de cobre de 3 cm de radio está cargado de forma que tiene una carga uniforme por unidad de longitud en su superficie de 3 C/m. (a) Calcule el campo eléctrico dentro y fuera del cilindro. (b) Dibuje las líneas de campo eléctrico en un plano perpendicular a la varilla. a. Afuera E 2 π r l = λ l ε 0 ⇒ E = 3,0 C / m 2 π ε 0 r ; Adentro E dentro = 0 ; b Una bola esférica de aluminio de radio 4 cm se carga con 5 μ C de carga. Lo rodea una capa esférica de cobre de radio interior de 6 cm y exterior de 8 cm. Una carga total de −8 μ C se coloca en la capa de cobre. (a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio, incluso los puntos dentro de la capa de aluminio y de cobre cuando la capa de cobre y la esfera de aluminio son concéntricas. (b) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio, incluso los puntos dentro de la capa de aluminio y de cobre cuando los centros de la capa de cobre y de la esfera de aluminio están a 1 cm de distancia. Un cilindro largo de aluminio de radio R metros se carga de manera que tiene una carga uniforme por unidad de longitud en su superficie de λ . (a) Halle el campo eléctrico dentro y fuera del cilindro. (b) Trace el campo eléctrico en función de la distancia al centro de la varilla. a. E 2 π r l = λ l ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r r ≥ R E interior es igual a 0; b. En la superficie de cualquier conductor en equilibrio electrostático, E = σ / ε 0 . Demuestre que esta ecuación es consistente con el hecho de que E = k q / r 2 en la superficie de un conductor esférico. Dos placas paralelas de 10 cm de lado reciben cargas iguales y opuestas de magnitud 5,0 × 10 −9 C . Las placas están separadas 1,5 mm. ¿Cuál es el campo eléctrico en el centro de la región entre las placas? E = 5,65 × 10 4 N / C Dos placas conductoras paralelas, cada una de ellas con una sección transversal 400 cm 2 , están a 2,0 cm de distancia y sin carga. Si 1,0 × 10 12 electrones se transfieren de una placa a la otra, ¿cuáles son (a) la densidad de carga en cada placa (b) el campo eléctrico entre las placas? La densidad de carga superficial en un tubo metálico largo y recto es σ . ¿Cuál es el campo eléctrico fuera y dentro del tubo? Supongamos que el tubo tiene un diámetro de 2 a . λ = λ l ε 0 ⇒ E = a σ ε 0 r r ≥ a , E = 0 adentro, dado que q cerrado = 0 Una carga puntual q = −5,0 × 10 −12 C se coloca en el centro de una capa conductora esférica de radio interior 3,5 cm y radio exterior 4,0 cm. El campo eléctrico justo por encima de la superficie del conductor está dirigido radialmente hacia fuera y tiene una magnitud de 8,0 N/C. (a) ¿Cuál es la densidad de carga en la superficie interior de la capa? (b) ¿Cuál es la densidad de carga en la superficie exterior de la capa? (c) ¿Cuál es la carga neta en el conductor? Un conductor cilíndrico macizo de radio a está rodeado por una capa cilíndrica concéntrica de radio interior b . El cilindro macizo y la capa llevan cargas + Q y – Q , respectivamente. Suponiendo que la longitud L de ambos conductores es mucho mayor que a o b , determine el campo eléctrico en función de r , la distancia desde el eje central común de los cilindros, para (a) r < a ; (b) a < r < b ; y (c) r > b . a. E = 0 ; b. E 2 π r L = Q ε 0 ⇒ E = Q 2 π ε 0 r L ; c. E = 0 ya que r estaría dentro de la segunda capa o si está fuera entonces q cerrada es igual a 0. Problemas adicionales Un campo vectorial E → (no necesariamente un campo eléctrico; observe las unidades) viene dado por E → = 3 x 2 k ^ . Calcule ∫ S E → · n ^ d a , donde S es el área que se muestra a continuación. Supongamos que n ^ = k ^ . Repita el problema anterior, con E → = 2 x i ^ + 3 x 2 k ^ . ∫ E → · n ^ d A = a 4 Un área circular S es concéntrica con el origen, tiene radio a y se encuentra en el plano yz . Calcule ∫ S E → · n ^ d A para E → = 3 z 2 i ^ . (a) Calcule el flujo eléctrico que atraviesa la superficie semiesférica abierta debido al campo eléctrico E → = E 0 k ^ (vea más adelante). (b) Si la semiesfera gira en 90 ° alrededor del eje x , ¿cuál es el flujo que lo atraviesa? a. ∫ E → · n ^ d A = E 0 r 2 π ; b. cero, ya que el flujo a través de la mitad superior anula el flujo a través de la mitad inferior de la esfera Supongamos que el campo eléctrico de una carga puntual aislada fuera proporcional a 1 / r 2 + σ en lugar de 1 / r 2 . Determine el flujo que atraviesa la superficie de una esfera de radio R centrada en la carga. ¿Seguiría siendo válida la ley de Gauss? El campo eléctrico en una región viene dado por E → = a / ( b + c x ) i ^ , donde a = 200 N · m/C, b = 2,0 m, y c = 2,0 . ¿Cuál es la carga neta que encierra el volumen sombreado que se muestra a continuación? Φ = q enc ε 0 ; Hay dos contribuciones a la integral de superficie: una en el lado del rectángulo en x = 0 y el otro al lado en x = 2,0 m − E ( 0 ) [ 1,5 m 2 ] + E ( 2,0 m ) [ 1,5 m 2 ] = q enc ε 0 = −100 Nm 2 / C donde el signo menos indica que en x = 0 , el campo eléctrico está a lo largo de x positivo y la normal unitaria está a lo largo de x negativo. En x = 2 , la normal unitaria y el vector del campo eléctrico están en la misma dirección q enc = ε 0 Φ = -8,85 × 10 −10 C . Dos cargas iguales y opuestas de magnitud Q están situadas en el eje x en los puntos + a y – a , como se muestra a continuación. ¿Cuál es el flujo neto debido a estas cargas a través de una superficie cuadrada de lado 2 a que se encuentra en el plano yz y está centrada en el origen? ( Pista: Determine el flujo debido a cada carga por separado, y luego utilice el principio de superposición. Es posible que pueda usar un argumento de simetría). Un compañero calculó el flujo a través del cuadrado para el sistema del problema anterior y obtuvo 0. ¿Qué falló? no mantuvo direcciones consistentes para los vectores de área, o los campos eléctricos Una pieza de papel de aluminio de 10 cm × 10 cm de 0,1 mm de espesor tiene una carga de 20 μ C que se extiende en ambas superficies laterales anchas de manera uniforme. Puede ignorar las cargas en los lados delgados de los bordes. (a) Calcule la densidad de carga. (b) Calcule el campo eléctrico a 1 cm del centro, suponiendo una simetría plana aproximada. Dos piezas de papel de aluminio de 10 cm × 10 cm de 0,1 mm de grosor se enfrentan con una separación de 5 mm. Una de las láminas tiene una carga de +30 μ C y el otro tiene − 30 μ C . (a) Calcule la densidad de carga en todas las superficies, es decir, en las que están enfrentadas y en las que están alejadas. (b) Calcule el campo eléctrico entre las placas cercanas al centro suponiendo simetría plana. a. σ = 3,0 × 10 −3 C / m 2 , + 3 × 10 −3 C/m 2 en uno y −3 × 10 −3 C/m 2 en el otro; b. E = 3,39 × 10 8 N / C Dos grandes placas de cobre enfrentadas tienen densidades de carga ± 4,0 C/m 2 en la superficie que da a la otra placa, y el cero entre las placas. Calcule el flujo eléctrico a través de un área rectangular de 3 cm × 4 cm entre las placas, como se muestra a continuación, para las siguientes orientaciones del área. (a) Si el área es paralela a las placas, y (b) si el área está inclinada θ = 30 ° desde la dirección paralela. Tenga en cuenta que este ángulo también puede ser θ = 180 ° + 30 ° . La losa infinita entre los planos definidos por z = − a / 2 y z = a / 2 contiene un volumen de densidad de carga uniforme ρ (vea más adelante). ¿Cuál es el campo eléctrico producido por esta distribución de carga, tanto dentro como fuera de la distribución? Construya un cilindro gaussiano a lo largo del eje z con un área de sección transversal A . | z | ≥ a 2 q enc = ρ A a , Φ = ρ A a ε 0 ⇒ E = ρ a 2 ε 0 , | z | ≤ a 2 q enc = ρ A 2 z , E ( 2 A ) = ρ A 2 z ε 0 ⇒ E = ρ z ε 0 Una carga total Q se distribuye uniformemente en un volumen esférico centrado en O 1 y tiene un radio R . Sin perturbar la carga restante, se elimina la carga del volumen esférico que está centrado en O 2 (vea más adelante). Demuestre que el campo eléctrico en toda la región vacía viene dado por E → = Q r → 4 π ε 0 R 3 , donde r → es el vector de desplazamiento dirigido desde O 1 a O 2 . Una capa esférica no conductora de radio interior a 1 y radio exterior b 1 está cargada uniformemente con una densidad de carga ρ 1 dentro de otra capa esférica no conductora de radio interior a 2 y radio exterior b 2 que también está cargada uniformemente con densidad de carga ρ 2 . Vea más adelante. Calcule el campo eléctrico en el punto espacial P a una distancia r del centro común tal que (a) r > b 2 , (b) a 2 < r < b 2 , (c) b 1 < r < a 2 , (d) a 1 < r < b 1 , y (e) r < a 1 . a. r > b 2 E 4 π r 2 = 4 3 π [ ρ 1 ( b 1 3 − a 1 3 ) + ρ 2 ( b 2 3 − a 2 3 ) ε 0 ⇒ E = ρ 1 ( b 1 3 − a 1 3 ) + ρ 2 ( b 2 3 − a 2 3 ) 3 ε 0 r 2 ; b. a 2 < r < b 2 E 4 π r 2 = 4 3 π [ ρ 1 ( b 1 3 − a 1 3 ) + ρ 2 ( r 3 − a 2 3 ) ] ε 0 ⇒ E = ρ 1 ( b 1 3 − a 1 3 ) + ρ 2 ( r 3 − a 2 3 ) 3 ε 0 r 2 ; c. b 1 < r < a 2 E 4 π r 2 = 4 3 π ρ 1 ( b 1 3 − a 1 3 ) ε 0 ⇒ E = ρ 1 ( b 1 3 − a 1 3 ) 3 ε 0 r 2 ; d. a 1 < r < b 1 E 4 π r 2 = 4 3 π ρ 1 ( r 3 − a 1 3 ) ε 0 ⇒ E = ρ 1 ( r 3 − a 1 3 ) 3 ε 0 r 2 ; e. 0 Dos esferas no conductoras de radios R 1 y R 2 están cargadas uniformemente con densidades de carga ρ 1 y ρ 2 , respectivamente. Están separadas a una distancia a de centro a centro (vea más adelante). Calcule el campo eléctrico en el punto P situado a una distancia r del centro de la esfera 1 y que está en la dirección θ de la línea que une las dos esferas suponiendo que sus densidades de carga no se ven afectadas por la presencia de la otra esfera. ( Pista: Trabaje una esfera a la vez y utilice el principio de superposición). Un disco de radio R se corta en una placa grande no conductora que está cargada uniformemente con densidad de carga σ (culombios por metro cuadrado). Vea más adelante. Calcule el campo eléctrico a una altura h sobre el centro del disco. ( h > > R , h < < l o w ). ( Pista: Rellene el agujero con ± σ . ) Campo eléctrico debido a la placa sin agujero E = σ 2 ε 0 . Campo eléctrico de un solo agujero lleno de − σ E = − σ 2 ε 0 ( 1 − z R 2 + z 2 ) . Por lo tanto, E neto = σ 2 ε 0 h R 2 + h 2 . Las capas esféricas conductoras concéntricas transportan cargas Q y – Q , respectivamente (vea a continuación). La capa interior tiene un grosor insignificante. Determine el campo eléctrico para (a) r < a ; (b) a < r < b ; (c) b < r < c ; y (d) r > c . A continuación se muestran dos capas esféricas conductoras concéntricas de radios R 1 y R 2 , cada una de ellas con un grosor finito mucho menor que cualquiera de los radios. La capa interior y exterior llevan cargas netas q 1 y q 2 , respectivamente, donde ambas q 1 y q 2 son positivas. ¿Cuál es el campo eléctrico para (a) r < R 1 ; (b) R 1 < r < R 2 ; y (c) r > R 2 ? (d) ¿Cuál es la carga neta en la superficie interna de la capa interna, la superficie externa de la capa interna, la superficie interna de la capa externa y la superficie externa de la capa externa? a. E = 0 ; b. E = q 1 4 π ε 0 r 2 ; c. E = q 1 + q 2 4 π ε 0 r 2 ; d. 0 , q 1 , − q 1 , q 1 + q 2 Una carga puntual de q = 5,0 × 10 −8 C se coloca en el centro de una capa conductora esférica sin carga de radio interior 6,0 cm y radio exterior 9,0 cm. Calcule el campo eléctrico en (a) r = 4,0 cm , (b) r = 8,0 cm , y (c) r = 12,0 cm . (d) ¿Cuáles son las cargas inducidas en las superficies interior y exterior de la capa? Problemas de desafíos El Telescopio Espacial Hubble puede medir el flujo de energía de objetos lejanos, como supernovas y estrellas. Los científicos utilizan entonces estos datos para calcular la energía emitida por ese objeto. Elija un objeto interestelar con el que los científicos hayan observado el flujo en el Hubble (por ejemplo, Vega http://adsabs.harvard.edu/abs/2004AJ....127.3508B ), halle la distancia a ese objeto y el tamaño del espejo primario del Hubble, y calcule el flujo de energía total. ( Pista: El Hubble intercepta solo una pequeña parte del flujo total). Dado el enlace referenciado, utilizando una distancia a Vega de 237 × 10 15 m http://webviz.u-strasbg.fr/viz-bin/VizieR-5?-source=I/311&HIP=91262 y un diámetro de 2,4 m para el espejo primario, http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19910003124.pdf hallamos que a una longitud de onda de 555,6 nm, Vega está emitiendo 2,44 × 10 24 J/s en esa longitud de onda. Observe que el flujo que atraviesa el espejo es esencialmente constante. Vuelva a leer la ley de Gauss para el campo gravitacional, con g → dirigida positivamente hacia el exterior. Una lámina de carga infinita de densidad de carga superficial σ se muestra a continuación. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia x de la hoja? Compare el resultado de este cálculo con el de la elaboración del texto. La simetría del sistema obliga a E → a ser perpendicular a la hoja y constante sobre cualquier plano paralelo a la hoja. Para calcular el campo eléctrico, elegimos la superficie cilíndrica gaussiana mostrada. El área de la sección transversal y la altura del cilindro son A y 2 x , respectivamente, y el cilindro se coloca de manera que sea bisecado por la hoja plana. Como E es perpendicular a cada extremo y paralelo al lado del cilindro, tenemos EA como el flujo a través de cada extremo y no hay flujo a través del lado. La carga que encierra el cilindro es σ A , por la ley de Gauss, 2 E A = σ A ε 0 , y el campo eléctrico de una hoja de carga infinita es E = σ 2 ε 0 , de acuerdo con su cálculo en el texto. Un globo de goma esférico lleva una carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie. En t = 0 , el radio del globo es R . A continuación, el globo se infla lentamente hasta que su radio alcanza 2 R en el tiempo t 0 . Determine el campo eléctrico debido a esta carga en función del tiempo (a) en la superficie del globo, (b) en la superficie de radio R y (c) en la superficie de radio 2 R . Ignore cualquier efecto en el campo eléctrico debido al material del globo y asuma que el radio aumenta uniformemente con el tiempo. Calcule el campo eléctrico de una gran placa conductora que contiene una carga neta q . Supongamos que A es el área de un lado de la placa y h el grosor de la placa (vea más adelante). La carga en la placa de metal se distribuirá principalmente en las dos caras planas y muy poco en los bordes si la placa es delgada. Hay Q /2 en cada lado de la placa ya que la carga neta es Q : σ = Q 2 A , ∮ S E → · n ^ d A = 2 σ Δ A ε 0 ⇒ E P = σ ε 0 = Q ε 0 2 A electrones libres también llamados electrones de conducción, son los electrones de un conductor que no están ligados a ningún átomo en particular, y por lo tanto son libres de moverse

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Introducción La energía que libera un rayo es una excelente ilustración de las enormes cantidades de energía que puede almacenar y liberar una diferencia de potencial eléctrico. En este capítulo calculamos cuánta energía puede liberarse en un rayo y cómo varía con la altura de las nubes desde el suelo (créditos: modificación de un trabajo de Anthony Quintano). En Cargas y campos eléctricos , apenas hemos arañado la superficie (o al menos la hemos rozado) de los fenómenos eléctricos. Dos términos comúnmente utilizados para describir la electricidad son energía y voltaje , sobre lo cual en este capítulo se expone que está directamente relacionado con la energía potencial de un sistema. Sabemos, por ejemplo, que se puede almacenar grandes cantidades de energía eléctrica en baterías, que se transmiten por todo el país a través de corrientes que van por tendidos eléctricos y que pueden saltar de las nubes para hacer explotar la savia de los árboles. De forma similar, a nivel molecular, los iones atraviesan las membranas celulares y transfieren información. También conocemos los voltajes asociados a la electricidad. Las baterías suelen tener unos pocos voltios, los enchufes de su casa suelen producir 120 voltios y las líneas eléctricas pueden llegar a tener cientos de miles de voltios. Pero energía y voltaje no son lo mismo. Una batería de motocicleta, por ejemplo, es pequeña y no tendría mucho éxito en la sustitución de una batería de auto mucho más grande, aunque cada una tiene el mismo voltaje. En este capítulo examinamos la relación entre el voltaje y la energía eléctrica, y comenzamos a explorar algunas de las muchas aplicaciones de la electricidad.

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