Ondas en desplazamiento En la sección Oscilaciones vimos que el movimiento oscilatorio es un tipo importante de comportamiento que se puede usar para modelar un amplio rango de fenómenos físicos. El movimiento oscilatorio también es importante porque las oscilaciones pueden generar ondas, que tienen una importancia fundamental en la física. Muchos de los términos y ecuaciones que estudiamos en el capítulo sobre las oscilaciones se aplican igualmente al movimiento ondulatorio ( ). Una onda del océano es probablemente la primera imagen que le viene a la mente cuando escucha la palabra “onda”. Aunque esta onda rompiente, y las ondas oceánicas en general, tienen aparentes similitudes con las características básicas de las ondas que analizaremos, los mecanismos que impulsan las ondas oceánicas son muy complejos y están fuera del alcance de este capítulo. Puede parecer natural, e incluso ventajoso, aplicar los conceptos de este capítulo a las ondas del océano, pero las ondas del océano no son lineales y los modelos simples presentados en este capítulo no las explican completamente (créditos: Steve Jurvetson). Tipos de ondas Una onda es una alteración que se propaga o se mueve desde el lugar en que se creó. Hay tres tipos básicos de ondas: mecánicas, electromagnéticas y de materia. Las ondas mecánica s básicas se rigen por las leyes de Newton y requieren un medio. Un medio es la sustancia por la que se propagan las ondas mecánicas, y el medio produce una fuerza restauradora elástica cuando se deforma. Las ondas mecánicas transfieren energía y momento, sin transferir masa. Algunos ejemplos de ondas mecánicas son las ondas acuáticas, las sonoras y las sísmicas. El medio para las ondas acuáticas es el agua; para las ondas sonoras, el medio suele ser el aire (las ondas sonoras también se pueden desplazar en otros medios; lo veremos con más detalle en la sección Sonido ). En el caso de las ondas acuáticas superficiales, la alteración se produce en la superficie del agua, quizás creada por una roca arrojada a un estanque o por un nadador que salpica la superficie repetidamente. En el caso de las ondas sonoras, la alteración es un cambio en la presión del aire, tal vez creado por el cono oscilante dentro de un altavoz o un diapasón que vibra. En ambos casos, la alteración es la oscilación de las moléculas del fluido. En las ondas mecánicas, la energía y el momento se transfieren con el movimiento de la onda, mientras que la masa oscila alrededor de un punto de equilibrio (hablamos de ello en la sección La energía y la potencia de una onda ). Los terremotos generan ondas sísmicas a partir de varios tipos de alteraciones, como la de la superficie terrestre y las de presión que están debajo de la superficie. Las ondas sísmicas se desplazan a través de los sólidos y los líquidos que forman la Tierra. En este capítulo nos centramos en ondas mecánicas. Las ondas electromagnéticas están asociadas a las oscilaciones de los campos eléctricos y magnéticos y no requieren un medio. Algunos ejemplos son rayos gama, rayos X, ondas ultravioletas, luz visible, ondas infrarrojas, microondas y ondas de radio. Las ondas electromagnéticas se pueden desplazar por el vacío a la velocidad de la luz, v = c = 2,99792458 × 10 8 m/s . Por ejemplo, la luz de las estrellas lejanas se desplaza a través del vacío del espacio y llega a la Tierra. Las ondas electromagnéticas tienen algunas características similares a las ondas mecánicas; se tratan con más detalle en la sección Ondas electromagnéticas . Las ondas de materia son una parte central de la rama de la física conocida como mecánica cuántica. Estas ondas están asociadas a protones, electrones, neutrones y otras partículas fundamentales que se encuentran en la naturaleza. La teoría de que todos los tipos de materia tienen propiedades ondulatorias fue propuesta por primera vez por Louis de Broglie en 1924. Las ondas de materia se tratan en la sección Fotones y ondas de materia . Ondas mecánicas Las ondas mecánicas presentan características comunes a todas las ondas, como amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia y energía. Todas las características de las ondas se pueden describir mediante un pequeño conjunto de principios subyacentes. Las ondas mecánicas más sencillas se repiten durante varios ciclos y están asociadas al movimiento armónico simple. Estas ondas armónicas simples se pueden modelar mediante alguna combinación de funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la onda acuática superficial simplificada que se mueve a través de la superficie del agua como se ilustra en la . A diferencia de las ondas oceánicas complejas, en las ondas acuáticas superficiales el medio, en este caso el agua, se mueve verticalmente y oscila hacia arriba y hacia abajo, mientras que la alteración de la onda se mueve horizontalmente a través del medio. En la , las ondas hacen que una gaviota se mueva hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple cuando las crestas y las depresiones de las ondas (picos y valles) pasan por debajo del ave. La cresta es el punto más alto de la onda y la depresión es la parte más baja. El tiempo de una oscilación completa del movimiento hacia arriba y hacia abajo es el periodo (T) de la onda. La frecuencia de la onda es el número de ondas que pasan por un punto por unidad de tiempo y es igual a f = 1 / T . El periodo se puede expresar mediante cualquier unidad de tiempo conveniente, pero suele medirse en segundos; la frecuencia suele medirse en hercios (Hz), donde 1 Hz = 1 s −1 . La extensión de la onda se denomina longitud de onda y se representa con la letra griega lambda ( λ ) , la cual se mide en cualquier unidad de longitud conveniente, como el centímetro o el metro. La longitud de onda se puede medir entre dos puntos similares cualesquiera a lo largo del medio que tengan la misma altura y la misma pendiente. En la , se muestra la longitud de onda medida entre dos crestas. Como ya se ha dicho, el periodo de la onda es igual al tiempo de una oscilación, pero también es igual al tiempo de paso de una longitud de onda por un punto de la trayectoria de la onda. La amplitud de la onda (A ) es una medida del desplazamiento máximo del medio desde su posición de equilibrio. En la figura, la posición de equilibrio está indicada por la línea punteada, que es la altura del agua si no hubiera ondas en movimiento. En este caso, la onda es simétrica, la cresta de la onda está a una distancia + A por encima de la posición de equilibrio, y la depresión es una distancia – A por debajo de la posición de equilibrio. Las unidades de la amplitud pueden ser centímetros o metros, o cualquier unidad de distancia conveniente. Una onda acuática superficial idealizada pasa por debajo de una gaviota que se balancea hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple. La onda tiene una longitud de onda λ , lo cual es la distancia entre partes idénticas adyacentes de la onda. La amplitud (A) de la onda es el máximo desplazamiento de la onda desde la posición de equilibrio, lo cual se indica con la línea punteada. En este ejemplo, el medio se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que la alteración de la superficie se propaga paralelamente a la superficie con una velocidad v . La onda acuática de la figura se mueve a través del medio con una velocidad de propagación v → . La magnitud de la velocidad de la onda es la distancia que recorre la onda en un tiempo determinado, lo cual es una longitud de onda en el tiempo de un periodo, y la rapidez de onda es la magnitud de la velocidad de la onda. En forma de ecuación, esto es v = λ T = λ f . Esta relación fundamental es válida para todos los tipos de ondas. Para las ondas acuáticas, v es la rapidez de una onda superficial; para el sonido, v es la velocidad del sonido; y para la luz visible, v es la velocidad de la luz. Ondas transversales y longitudinales Hemos visto que una onda mecánica simple consiste en una alteración periódica que se propaga de un lugar a otro a través de un medio. En la (a), la onda se propaga en la dirección horizontal, mientras que el medio está alterado en la dirección vertical. Una onda de este tipo se denomina onda transversal . En una onda transversal, la onda puede propagarse en cualquier dirección, pero la alteración del medio es perpendicular a la dirección de propagación. En cambio, en una onda longitudinal o de compresión, la alteración es paralela a la dirección de propagación. La (b) muestra un ejemplo de onda longitudinal. El tamaño de la alteración es su amplitud (A) y es completamente independiente de la velocidad de propagación v . (a) En una onda transversal, el medio oscila perpendicularmente a la velocidad de la onda. Aquí, el resorte se mueve verticalmente hacia arriba y hacia abajo, mientras que la onda se propaga horizontalmente hacia la derecha. (b) En una onda longitudinal, el medio oscila paralelamente a la propagación de la onda. En este caso, el resorte oscila de un lado a otro, mientras que la onda se propaga hacia la derecha. Una representación gráfica simple de una sección del resorte mostrado en la (b) se muestra en la . La (a) muestra la posición de equilibrio del resorte antes de que cualquier onda se mueva hacia abajo. Un punto del resorte está marcado con un punto azul. En la de la (b) a la (g) se muestran representaciones del resorte tomadas con un cuarto de periodo de diferencia, en algún momento después del final del resorte oscila de un lado a otro en la dirección x a una frecuencia constante. La alteración de la onda se ve como las compresiones y las expansiones del resorte. Note que el punto azul oscila alrededor de su posición de equilibrio una distancia A , ya que la onda longitudinal se mueve en la dirección x positiva con una velocidad constante. La distancia A es la amplitud de la onda. La posición y del punto no cambia a medida que la onda se desplaza por el resorte. Su longitud de onda se mide en la parte (d). La longitud de onda depende de la velocidad de la onda y de la frecuencia de la fuerza impulsora. (a) Esta es una representación gráfica simple de una sección del resorte estirado que se muestra en la (b), que representa la posición de equilibrio del resorte antes de que se le induzcan ondas. Un punto del resorte está marcado con un punto azul (de la b a la g). Las ondas longitudinales se crean haciendo oscilar el extremo del resorte (no mostrado) de un lado a otro a lo largo del eje x . La onda longitudinal con una longitud de onda λ se mueve a lo largo del resorte en la dirección + x con una rapidez de onda v . Por conveniencia, la longitud de onda se mide en (d). Observe que el punto del resorte marcado con el punto azul se mueve de un lado a otro a una distancia A desde la posición de equilibrio y oscila alrededor de la posición de equilibrio del punto. Las ondas pueden ser transversales, longitudinales o una combinación de ambas. Ejemplos de ondas transversales son las ondas de los instrumentos de cuerda o las ondas superficiales del agua, como las ondulaciones que se mueven en un estanque. Las ondas sonoras en el aire y en el agua son longitudinales. En el caso de las ondas sonoras, las alteraciones son variaciones periódicas de presión que se transmiten en fluidos. Los fluidos no tienen una resistencia al corte apreciable, y por esto, las ondas sonoras en ellos son ondas longitudinales. El sonido en los sólidos puede tener componentes longitudinales y transversales, como los de una onda sísmica. Los terremotos generan ondas sísmicas debajo de la superficie terrestre con componentes longitudinales y transversales (denominadas ondas de compresión o P y ondas de corte o S, respectivamente). Los componentes de las ondas sísmicas tienen importantes características individuales: se propagan a diferentes velocidades, por ejemplo. Los terremotos también tienen ondas superficiales que son similares a las ondas superficiales del agua. Las ondas oceánicas también tienen componentes transversales y longitudinales. Onda en una cuerda Un estudiante toma una cuerda de 30,00 m de longitud y fija un extremo a la pared del laboratorio de física. A continuación, el estudiante sujeta el extremo libre de la cuerda y la mantiene a tensión constante. A continuación, el estudiante comienza a enviar ondas por la cuerda moviendo el extremo hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia de 2,00 Hz. El desplazamiento máximo del extremo de la cuerda es de 20,00 cm. La primera onda golpea la pared del laboratorio 6,00 s después de haberse creado. (a) ¿Cuál es la rapidez de la onda? (b) ¿Cuál es el periodo de la onda? (c) ¿Cuál es su longitud de onda? Estrategia La rapidez de la onda se puede obtener al dividir la distancia recorrida entre el tiempo. El periodo de la onda es el inverso de la frecuencia de la fuerza impulsora. La longitud de onda se puede calcular a partir de la velocidad y el periodo v = λ / T . Solución La primera onda recorrió 30,00 m en 6,00 s: v = 30,00 m 6,00 s = 5,00 m s . El periodo es igual al inverso de la frecuencia: T = 1 f = 1 2,00 s −1 = 0,50 s . La longitud de onda es igual a la velocidad por el periodo: λ = v T = 5,00 m s ( 0,50 s ) = 2,50 m . Importancia La frecuencia de la onda producida por una fuerza impulsora oscilante es igual a la frecuencia de la fuerza impulsora. Cuando se puntea una cuerda de guitarra, esta oscila como consecuencia de las ondas que se mueven a través de la cuerda. Las vibraciones de la cuerda hacen oscilar las moléculas de aire y forman ondas sonoras. La frecuencia de las ondas sonoras es igual a la frecuencia de la cuerda que vibra. ¿La longitud de onda de la onda sonora es siempre igual a la de las ondas de la cuerda? La longitud de onda de las ondas depende de la frecuencia y la velocidad de la onda. La frecuencia de la onda sonora es igual a la frecuencia de la onda en la cuerda. Las longitudes de onda de las ondas sonoras y de las ondas de la cuerda son iguales solo si las velocidades de las ondas son las mismas, lo que no siempre ocurre. Si la velocidad de la onda sonora es diferente de la velocidad de la onda en la cuerda, las longitudes de onda son diferentes. Esta velocidad de las ondas sonoras se analizará en la sección Sonido . Características de una onda Una onda mecánica transversal se propaga en la dirección x positiva a través de un resorte (como se muestra en la (a)) con una rapidez de onda constante, y el medio oscila entre + A y – A en torno a una posición de equilibrio. El gráfico en la muestra la altura del resorte ( y ) versus la posición ( x ), donde el eje x señala la dirección de propagación. La figura muestra la altura del resorte versus la x en t = 0,00 s como una línea punteada y la onda en t = 3,00 s como una línea sólida. Suponga que la onda no ha recorrido más de 1 longitud de onda en este tiempo. (a) Determine la longitud de onda y la amplitud de la onda. (b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. (c) Calcule el periodo y la frecuencia de la onda. Una onda transversal mostrada en dos instantes distintos. Estrategia La amplitud y la longitud de onda se pueden determinar a partir del gráfico. Dado que la velocidad es constante, la velocidad de la onda se puede hallar al dividir la distancia recorrida por la onda entre el tiempo que tardó la onda en recorrer la distancia. El periodo se puede calcular a partir de v = λ T y la frecuencia de f = 1 T . Solución Lea la longitud de onda del gráfico y mire la flecha púrpura en la . Lea la amplitud y mire la flecha verde. La longitud de onda es λ = 8,00 cm y la amplitud es A = 6,00 cm . Características de la onda marcada en un gráfico de su desplazamiento. La distancia que la onda se desplazó desde el tiempo t = 0,00 s hasta el tiempo t = 3,00 s que puede verse en el gráfico. Considere la flecha roja, la cual muestra la distancia que la cresta se ha movido en 3 s. La distancia es 8,00 cm – 2,00 cm = 6,00 cm . La velocidad es v = Δ x Δ t = 8,00 cm – 2,00 cm 3,00 s – 0,00 s = 2,00 cm/s . El periodo es T = λ v = 8,00 cm 2,00 cm/s = 4,00 s y la frecuencia es f = 1 T = 1 4,00 s = 0,25 Hz . Importancia Observe que la longitud de onda se puede hallar mediante dos puntos sucesivos idénticos que se repitan, teniendo la misma altura y pendiente. Debe elegir dos puntos que sean los más convenientes. El desplazamiento también se puede calcular mediante cualquier punto conveniente. La velocidad de propagación de una onda mecánica transversal o longitudinal puede ser constante a medida que la alteración ondulatoria se desplaza a través del medio. Considere una onda mecánica transversal: ¿La velocidad del medio también es constante? En una onda transversal, la onda puede moverse a una velocidad de propagación constante a través del medio, pero el medio oscila perpendicularmente al movimiento de la onda. Si la onda se mueve en la dirección x positiva, el medio oscila hacia arriba y hacia abajo en la dirección y . Por tanto, la velocidad del medio no es constante, pero la velocidad y la aceleración del medio son similares a las del movimiento armónico simple de una masa sobre un resorte. Resumen Una onda es una alteración que se desplaza desde el punto de origen con una velocidad de la onda v . Una onda tiene una longitud de onda λ , lo cual es la distancia entre partes idénticas adyacentes de la onda. La velocidad y la longitud de onda se relacionan con la frecuencia y el periodo de la onda mediante v = λ T = λ f . Las ondas mecánicas son alteraciones que se desplazan a través de un medio y se rigen por las leyes de Newton. Las ondas electromagnéticas son alteraciones de los campos eléctricos y magnéticos, y no necesitan un medio. Las ondas de materia son una parte central de la mecánica cuántica y están asociadas a protones, electrones, neutrones y otras partículas fundamentales que se encuentran en la naturaleza. Una onda transversal tiene una alteración perpendicular a la dirección de propagación de la onda, mientras que una onda longitudinal tiene una alteración paralela a su dirección de propagación. Preguntas conceptuales Dé un ejemplo de onda transversal y otro de onda longitudinal, teniendo en cuenta las direcciones relativas de la alteración y de la propagación de la onda en cada uno de ellos. Una onda en una cuerda de guitarra es un ejemplo de onda transversal. La alteración de la cuerda se mueve perpendicularmente a la propagación de la onda. El sonido producido por la cuerda es una onda longitudinal en la que la alteración del aire se mueve en paralelo a la propagación de la onda. Una onda transversal sinusoidal tiene una longitud de onda de 2,80 m. Una parte de la cuerda en una posición x tarda 0,10 s en pasar de una posición máxima de y = 0,03 m a la posición de equilibrio y = 0 . ¿Cuáles son el periodo, la frecuencia y la rapidez de onda? ¿Cuál es la diferencia entre la velocidad de propagación y la frecuencia de una onda mecánica? ¿Uno afecta la longitud de onda o lo hacen ambos? Si es así, ¿cómo? La velocidad de propagación es la rapidez de la onda que se propaga a través del medio. Si la rapidez de onda es constante, la velocidad se puede calcular por v = λ T = λ f . La frecuencia es el número de ondas que pasan por un punto por unidad de tiempo. La longitud de onda es directamente proporcional a la rapidez de onda e inversamente proporcional a la frecuencia. Considera un resorte estirado, como un Slinky®. El resorte estirado puede soportar ondas longitudinales y transversales. ¿Cómo podría producir ondas transversales en el resorte? ¿Cómo podría producir ondas longitudinales en el resorte? Considere una onda producida en un resorte estirado al sujetar un extremo y agitarlo hacia arriba y hacia abajo. ¿La longitud de onda depende de la distancia a la que mueva la mano hacia arriba y hacia abajo? No, la distancia a la que mueva la mano hacia arriba y hacia abajo determinará la amplitud de la onda. La longitud de onda dependerá de la frecuencia con la que mueva la mano hacia arriba y hacia abajo y de la velocidad de la onda a través del resorte. Se produce una onda transversal sinusoidal en un resorte estirado, que tiene un periodo (T) . Cada sección del resorte se mueve perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda, en movimiento armónico simple con una amplitud (A) . ¿Cada sección oscila con el mismo periodo que la onda o con un periodo diferente? Si la amplitud de la onda transversal se duplicara pero el periodo se mantuviera igual, ¿su respuesta sería la misma? Una onda electromagnética, como la luz, no necesita un medio. ¿Se le ocurre algún ejemplo que apoye esta afirmación? La luz del Sol y de las estrellas llega a la Tierra a través del espacio vacío, donde no hay ningún medio. Problemas Las tormentas en el Pacífico Sur pueden crear ondas que llegan hasta la costa de California, a 12.000 km de distancia. ¿Cuánto tiempo tardan en recorrer esta distancia si se desplazan a 15,0 m/s? Las ondas en una piscina se propagan a 0,75 m/s. Usted chapotea en el agua en un extremo de la piscina y observa cómo la onda va al extremo opuesto, se refleja y vuelve en 30,00 s. ¿A qué distancia está el otro extremo de la piscina? 2 d = v t ⇒ d = 11,25 m Las ráfagas de viento crean ondas en el océano que tienen una longitud de onda de 5,00 cm y se propagan a 2,00 m/s. ¿Cuál es su frecuencia? ¿Cuántas veces por minuto se balancea un barco sobre las ondas del mar que tienen una longitud de onda de 40,0 m y una velocidad de propagación de 5,00 m/s? v = f λ , por lo que f = 0,125 Hz, por lo que N = 7,50 veces Los exploradores de un campamento sacuden el puente de cuerda que acaban de cruzar y observan que las crestas de las ondas están a 8,00 m de distancia. Si agitan el puente dos veces por segundo, ¿cuál es la velocidad de propagación de las ondas? ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas que se crean en una piscina si chapotea con la mano a una frecuencia de 2,00 Hz y las ondas se propagan a una rapidez de onda de 0,800 m/s? v = f λ ⇒ λ = 0,400 m ¿Cuál es la longitud de onda de un terremoto que lo sacude con una frecuencia de 10,0 Hz y llega a otra ciudad a 84,0 km de distancia en 12,0 s? Las ondas de radio se transmiten a través del espacio vacío a la velocidad de la luz ( v = c = 3,00 × 10 8 m/s ) por la nave espacial Voyager tienen una longitud de onda de 0,120 m. ¿Cuál es su frecuencia? v = f λ ⇒ f = 2,50 × 10 9 Hz Sus oídos son capaces de diferenciar los sonidos que llegan a cada uno con una diferencia de 0,34 ms, lo que resulta útil para determinar de dónde procede el sonido de baja frecuencia. (a) Suponga que una fuente de sonido de baja frecuencia se sitúa a la derecha de una persona, cuyos oídos están separados 18 cm aproximadamente, y que la velocidad del sonido generado es de 340 m/s. ¿Cuánto tiempo transcurre entre la llegada del sonido al oído derecho y la llegada del sonido al oído izquierdo? (b) Suponga que la misma persona está buceando y que una fuente de sonido de baja frecuencia está a la derecha del buceador. ¿Cuánto tiempo transcurre entre la llegada del sonido al oído derecho y la llegada del sonido al oído izquierdo si la velocidad del sonido en el agua es de 1.500 m/s? (c) ¿Qué es lo significativo del intervalo de tiempo de las dos situaciones? (a) Los sismógrafos miden los tiempos de llegada de los terremotos con una precisión de 0,100 s. Para obtener la distancia al epicentro del terremoto, los geólogos comparan los tiempos de llegada de las ondas S y P, las cuales se desplazan a diferentes velocidades. Si las ondas S y P llegan a 4,00 y 7,20 km/s, respectivamente, en la región considerada, ¿con qué precisión puede determinarse la distancia a la fuente del terremoto? (b) Las ondas sísmicas procedentes de las detonaciones subterráneas de bombas nucleares se pueden usar para localizar el lugar de las pruebas y detectar violaciones de sus prohibiciones. Discuta si su respuesta a (a) implica un límite serio para dicha detección (note también que la incertidumbre es mayor si existe una incertidumbre en las velocidades de propagación de las ondas S y P). a. Las ondas P superan a las ondas S en una velocidad de v = 3,20 km/s; por lo tanto, Δ d = 0,320 km . b. Dado que la incertidumbre en la distancia es inferior a un kilómetro, nuestra respuesta a la parte (a) no parece limitar la detección de las detonaciones de bombas nucleares. Sin embargo, si las velocidades son inciertas, la incertidumbre en la distancia aumentaría y podría dificultar la identificación de la fuente de las ondas sísmicas. Una niña exploradora está haciendo una caminata de 10,00 km para ganar una insignia de mérito. Durante la caminata, ve un acantilado a cierta distancia. Desea calcular el tiempo necesario para llegar al acantilado. Sabe que la velocidad del sonido es de 343 metros por segundo aproximadamente. Grita y comprueba que el eco vuelve después de 2,00 segundos aproximadamente. Si puede recorrer 1,00 km en 10 minutos, ¿cuánto tardaría en llegar al acantilado? A un ingeniero de control de calidad de una compañía de sartenes se le pide que califique una nueva línea de sartenes con revestimiento antiadherente. El revestimiento debe tener un grosor de 1,00 mm. Un método para comprobar el grosor es que el ingeniero elija un porcentaje de las sartenes fabricadas, retire el revestimiento y mida el grosor con un micrómetro. Este método es un método de ensayo destructivo. En vez de eso, el ingeniero decide que cada sartén se someta a una prueba con un método no destructivo. Se utiliza un transductor ultrasónico que produce ondas sonoras con una frecuencia de f = 25 kHz . Las ondas sonoras se envían a través del revestimiento y se reflejan en la interfase entre el revestimiento y la sartén metálica, y se registra el tiempo. La longitud de onda de las ondas ultrasónicas en el revestimiento es de 0,076 m. ¿Cuál debe ser el tiempo registrado si el revestimiento tiene el grosor correcto (1,00 mm)? v = 1.900 m/s Δ t = 1,05 μ s onda longitudinal onda en la que la alteración es paralela a la dirección de propagación onda mecánica onda que se rige por las leyes de Newton y requiere un medio onda transversal onda en la que la alteración es perpendicular a la dirección de propagación onda alteración que se desplaza desde su origen y lleva energía velocidad de la onda velocidad a la que se mueve la alteración; también llamada velocidad de propagación rapidez de onda magnitud de la velocidad de la onda longitud de onda distancia entre partes idénticas adyacentes de una onda

Ciencia


Matemáticas de las ondas En la sección anterior describimos ondas periódicas por sus características de longitud de onda, periodo, amplitud y rapidez de onda. Las ondas también se pueden describir mediante el movimiento de las partículas del medio por el que se mueven. La posición de las partículas del medio se puede modelar matemáticamente como funciones de onda , las cuales se pueden usar para calcular la posición, la velocidad y la aceleración de las partículas del medio de la onda en cualquier momento. Pulsos Un pulso se puede describir como una onda que consiste en una única alteración que se desplaza por el medio con una amplitud constante. El pulso se mueve como un patrón que mantiene su forma mientras se propaga con una rapidez de onda constante. Dado que la rapidez de onda es constante, la distancia que recorre el pulso en un tiempo Δ t es igual a Δ x = v Δ t ( ). El pulso en el tiempo t = 0 que se centra en x = 0 con amplitud (A) . El pulso se mueve como un patrón con una forma constante, con un valor máximo constante A . La velocidad es constante y el pulso se mueve a una distancia Δ x = v Δ t en un tiempo Δ t . La distancia recorrida se mide con cualquier punto conveniente del pulso. En esta figura se usa la cresta. Modelado de una onda sinusoidal unidimensional mediante una función de onda Considere una cuerda que se mantiene a una tensión constante F T donde un extremo está fijo y el extremo libre oscila entre y = + A y y = – A a través de un dispositivo mecánico a una frecuencia constante. La muestra representaciones de la onda a un intervalo de un octavo de periodo que comienza después de un periodo ( t = T ) . Representaciones de una onda transversal moviéndose a través de una cuerda bajo tensión, que comienza en el tiempo t = T y se toma a intervalos de 1 8 T . Los puntos de color se utilizan para resaltar puntos en la cuerda. Los puntos que están a una longitud de onda de distancia en la dirección x se resaltan con puntos del mismo color. Observe que cada punto seleccionado en la cuerda (marcado con puntos de color) oscila hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, entre y = + A y y = – A , con un periodo (T) . La onda en la cuerda es sinusoidal y se traslada en la dirección x positiva a medida que avanza el tiempo. En este punto, es útil que recuerde su estudio algebraico al indicar que si f ( x ) es alguna función, entonces f ( x – d ) es la misma función trasladada en la dirección x positiva una distancia d . La función f ( x + d ) es la misma función trasladada en la dirección x negativa una distancia d . Queremos definir una función de onda que dé la posición y de cada segmento de la cuerda para cada posición x a lo largo de la cuerda para cada tiempo t . Al observar la primera representación en la , la posición y de la cuerda entre x = 0 y x = λ se puede modelar como una función seno. Esta onda se propaga por la cuerda una longitud de onda en un periodo, como se ve en la última representación. Por lo tanto, la onda se mueve con una rapidez de onda constante de v = λ / T . Recuerde que una función seno es una función del ángulo θ , que oscila entre + 1 y −1 , y se repite cada 2 π radianes ( ). Sin embargo, la posición y del medio, o la función de onda, oscila entre + A y – A y se repite cada longitud de onda λ . Una función seno oscila entre + 1 y −1 cada 2 π radianes. Para construir nuestro modelo de la onda mediante una función periódica, consideremos la relación entre el ángulo y la posición, θ x = 2 π λ , θ = 2 π λ x . Al usar θ = 2 π λ x y multiplicar la función seno por la amplitud (A) , ahora podemos modelar la posición y de la cuerda como una función de la posición x : y ( x ) = A sen ( 2 π λ x ) . La onda en la cuerda se desplaza en la dirección x positiva con una velocidad constante v , y se mueve una distancia vt en un tiempo t . La función de onda puede definirse ahora mediante y ( x , t ) = A sen ( 2 π λ ( x – v t ) ) . A menudo, es conveniente reescribir esta función de onda de una forma más compacta. Al multiplicar mediante la relación 2 π λ conduce a la ecuación y ( x , t ) = A sen ( 2 π λ x – 2 π λ v t ) . El valor 2 π λ se define como el número de onda . El símbolo del número de onda es k y tiene unidades de metros inversos, m −1 : k ≡ 2 π λ Recuerde que en la sección Oscilaciones vimos que la frecuencia angular se define como ω ≡ 2 π T . El segundo término de la función de onda se convierte en 2 π λ v t = 2 π λ ( λ T ) t = 2 π T t = ω t . La función de onda para una onda armónica simple en una cuerda se reduce a y ( x , t ) = A sen ( k x ∓ ω t ) , donde A es la amplitud, k = 2 π λ es el número de onda, ω = 2 π T es la frecuencia angular, el signo menos es para las ondas que se mueven en la dirección x positiva y el signo más es para las ondas que se mueven en la dirección x negativa. La velocidad de la onda es igual a v = λ T = λ T ( 2 π 2 π ) = ω k . Piense en nuestra discusión sobre una masa en un resorte, cuando la posición de la masa se modeló como x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . El ángulo ϕ es un deslizamiento de fase, añadido para tener en cuenta que la masa puede tener condiciones iniciales distintas de x = + A y v = 0 . Por motivos similares, la fase inicial se añade a la función de onda. La función de onda que modela una onda sinusoidal y permite un deslizamiento de fase inicial ϕ , es y ( x , t ) = A sen ( k x ∓ ω t + ϕ ) El valor ( k x ∓ ω t + ϕ ) se conoce como la fase de la onda , donde ϕ es la fase inicial de la función de onda. Si el término temporal ω t es negativo o positivo depende de la dirección de la onda. En primer lugar, considere el signo menos para una onda con una fase inicial igual a cero ( ϕ = 0 ) . La fase de la onda sería ( k x – ω t ) . Considere la posibilidad de seguir un punto de una onda, como una cresta. Se producirá una cresta cuando sen ( k x – ω t ) = 1,00 , es decir, cuando k x – ω t = n π + π 2 , para cualquier valor integral de n . Por ejemplo, una cresta particular se produce en k x – ω t = π 2 . A medida que la onda se mueve, el tiempo aumenta y x también debe aumentar para mantener la fase igual a π 2 . Por lo tanto, el signo menos es para una onda que se mueve en la dirección x positiva. Al usar el signo más, k x + ω t = π 2 . Al aumentar el tiempo, x debe disminuir para mantener la fase igual a π 2 . El signo más se utiliza para ondas que se mueven en la dirección x negativa. En resumen, y ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) modela una onda que se mueve en la dirección x positiva y y ( x , t ) = A sen ( k x + ω t + ϕ ) modela una onda que se mueve en la dirección x negativa. La se conoce como función de onda armónica simple. Una función de onda es cualquier función tal que f ( x , t ) = f ( x – v t ) . Más adelante en este capítulo veremos que es una solución a la ecuación lineal de onda. Tenga en cuenta que y ( x , t ) = A cos ( k x + ω t + ϕ ′ ) funciona igualmente bien porque corresponde a un deslizamiento de fase diferente ϕ ′ = ϕ – π 2 . calcular las características de una onda sinusoidal Para calcular la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la frecuencia de una onda sinusoidal, escriba la función de onda en la forma y ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) . La amplitud se puede leer directamente en la ecuación y es igual a A . El periodo de la onda se puede derivar de la frecuencia angular ( T = 2 π ω ) . La frecuencia se puede calcular mediante f = 1 T . La longitud de onda se puede calcular mediante el número de onda ( λ = 2 π k ) . Características de una onda que se desplaza en una cuerda Una onda transversal en una cuerda estirada se modela con la función de onda y ( x , t ) = A sen ( k x – w t ) = 0,2 m sen ( 6,28 m −1 x – 1,57 s −1 t ) . Calcule la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la velocidad de la onda. Estrategia Todas estas características de la onda se pueden calcular a partir de las constantes incluidas en la ecuación o de combinaciones simples de estas constantes. Solución La amplitud, el número de onda y la frecuencia angular se pueden leer directamente a partir de la ecuación de onda: y ( x , t ) = A sen ( k x – w t ) = 0,2 m sen ( 6,28 m −1 x – 1,57 s −1 t ) . ( A = 0,2 m; k = 6,28 m −1 ; ω = 1,57 s −1 ) El número de onda se puede usar para calcular la longitud de onda: k = 2 π λ . λ = 2 π k = 2 π 6,28 m −1 = 1,0 m . El periodo de la onda se puede calcular mediante la frecuencia angular: ω = 2 π T . T = 2 π ω = 2 π 1,57 s −1 = 4 s . La velocidad de la onda se puede calcular mediante el número de onda y la frecuencia angular. La dirección de la onda se puede determinar considerando el signo de k x ∓ ω t : Un signo negativo sugiere que la onda se mueve en la dirección x positiva: | v | = ω k = 1,57 s −1 6,28 m −1 = 0,25 m/s . Importancia Todas las características de la onda están contenidas en la función de onda. Observe que la rapidez de onda es la velocidad de la onda en la dirección paralela al movimiento de la onda. Trazado de la altura del medio y versus la posición x para dos tiempos t = 0,00 s y t = 0,80 s puede proporcionar una visualización gráfica de la onda ( ). Gráfico de la altura de la onda y como función de posición x para representaciones de la onda en dos tiempos. La línea punteada representa la onda en el tiempo t = 0,00 s y la línea continua representa la onda en t = 0,80 s . Como la velocidad de la onda es constante, la distancia que recorre la onda es la velocidad de la onda por el intervalo de tiempo. Los puntos negros indican los puntos utilizados para medir el desplazamiento de la onda. El medio se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que la onda se mueve hacia la derecha. Hay una segunda velocidad en el movimiento. En este ejemplo, la onda es transversal, se mueve horizontalmente mientras el medio oscila hacia arriba y hacia abajo perpendicularmente a la dirección del movimiento. El gráfico en la muestra el movimiento del medio en el punto x = 0,60 m como una función de tiempo. Observe que el medio de la onda oscila hacia arriba y hacia abajo entre y = + 0,20 m y y = −0,20 m cada periodo de 4,0 segundos. Un gráfico de la altura de la onda y como una función de tiempo t para la posición x = 0,6 m . El medio oscila entre y = + 0,20 m y y = −0,20 m cada periodo. El periodo representado escoge dos puntos convenientes en las oscilaciones para medir el periodo. El periodo se puede medir entre dos puntos adyacentes cualesquiera con la misma amplitud y la misma velocidad, ( ∂ y / ∂ t ) . La velocidad se puede calcular al mirar la pendiente tangente al punto en un trazado y versus t . Observe que, a veces, t = 3,00 s y t = 7,00 s , las alturas y las velocidades son las mismas y el periodo de la oscilación es de 4,00 s. La función de onda anterior se deriva mediante una función seno. ¿Se puede usar una función coseno en su lugar? Sí, una función coseno es igual a una función seno con un deslizamiento de fase, y cualquiera de las dos funciones se puede usar en una función de onda. Cuál función es más conveniente usar depende de las condiciones iniciales. En la , la onda tiene una altura inicial de y ( 0,00 , 0,00 ) = 0 y luego la altura de la onda aumenta hasta la altura máxima en la cresta. Si la altura inicial en el tiempo inicial era igual a la amplitud de la onda y ( 0,00 , 0,00 ) = + A , entonces podría ser más conveniente modelar la onda con una función coseno. Velocidad y aceleración del medio Como se ve en el , la rapidez de onda es constante y representa la velocidad de la onda al propagarse por el medio, no la velocidad de las partículas que lo componen. Las partículas del medio oscilan en torno a una posición de equilibrio a medida que la onda se propaga por el medio. En el caso de la onda transversal que se propaga en la dirección x , las partículas oscilan hacia arriba y hacia abajo en la dirección y , perpendicular al movimiento de la onda. La velocidad de las partículas del medio no es constante, lo que significa que hay una aceleración. La velocidad del medio, la cual es perpendicular a la velocidad de la onda en una onda transversal, se puede calcular mediante la derivada parcial de la ecuación de posición con respecto al tiempo. La derivada parcial se calcula con la derivada de la función, y se tratan todas las variables como constantes, excepto la variable en cuestión. En el caso de la derivada parcial con respecto al tiempo t , la posición x se trata como una constante. Aunque esto puede sonar extraño si no lo ha visto antes, el objetivo de este ejercicio es calcular la velocidad transversal en un punto, así que en este sentido la posición x no está cambiando. Tenemos y ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) v y ( x , t ) = ∂ y ( x , t ) ∂ t = ∂ ∂ t ( A sen ( k x – ω t + ϕ ) ) = – A ω cos ( k x – ω t + ϕ ) = – v y máx. cos ( k x – ω t + ϕ ) . La magnitud de la velocidad máxima del medio es | v y máx. | = A ω . Esto puede parecer familiar por lo visto en la sección Oscilaciones y el ejemplo de una masa sobre un resorte. Podemos calcular la aceleración del medio al tomar la derivada parcial de la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo, a y ( x , t ) = ∂ v y ∂ t = ∂ ∂ t ( – A ω cos ( k x – ω t + ϕ ) ) = – A ω 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) = – a y máx. sen ( k x – ω t + ϕ ) . La magnitud de la aceleración máxima es | a y máx. | = A ω 2 . Las partículas del medio, o los elementos de masa, oscilan en movimiento armónico simple para una onda mecánica. Ecuación lineal de onda Acabamos de determinar la velocidad del medio en una posición x tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la posición y . Para una onda transversal, esta velocidad es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Calculamos la aceleración tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la velocidad, la cual es la segunda derivada temporal de la posición: a y ( x , t ) = ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 ( A sen ( k x – ω t + ϕ ) ) = – A ω 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) . Considere ahora las derivadas parciales con respecto a la otra variable, la posición x , y mantenga el tiempo constante. La primera derivada es la pendiente de la onda en un punto x en un tiempo t , pendiente = ∂ y ( x , t ) ∂ x = ∂ ∂ x ( A sen ( k x – ω t + ϕ ) ) = A k cos ( k x – ω t + ϕ ) . La segunda derivada parcial expresa cómo cambia la pendiente de la onda con respecto a la posición, es decir, la curvatura de la onda, donde curvatura = ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ x 2 ( A sen ( k x – ω t + ϕ ) ) = – A k 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) . La relación entre la aceleración y la curvatura conduce a una relación muy importante en física conocida como ecuación lineal de onda . Al tomar el cociente y mediante la ecuación v = ω / k se obtiene la ecuación lineal de onda (también conocida, simplemente, como ecuación de onda o ecuación de una cuerda vibrante), ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = – A ω 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) – A k 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) = ω 2 k 2 = v 2 , ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . La es la ecuación lineal de onda, que es una de las ecuaciones más importantes de la física y la ingeniería. Lo derivamos aquí para una onda transversal, pero es igualmente importante cuando se investigan ondas longitudinales. Esta relación también se derivó mediante una onda sinusoidal, pero describe con éxito cualquier onda o pulso que tenga la forma y ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) . Estas ondas resultan debido a una fuerza restauradora lineal del medio, de ahí el nombre de ecuación lineal de onda. Cualquier función de onda que satisfaga esta ecuación es una función de onda lineal. Un aspecto interesante de la ecuación lineal de onda es que si dos funciones de onda son soluciones individuales de la ecuación lineal de onda, entonces la suma de las dos funciones de onda lineal es también una solución de la ecuación de onda. Considere dos ondas transversales que se propagan a lo largo del eje x , y ocupan el mismo medio. Suponga que las ondas individuales se pueden modelar con las funciones de onda y 1 ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) y y 2 ( x , t ) = g ( x ∓ v t ) , que son soluciones a las ecuaciones lineales de onda y, por tanto, son funciones de onda lineales. La suma de las funciones de onda es la función de onda y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) + g ( x ∓ v t ) . Considere la ecuación lineal de onda: ∂ 2 ( f + g ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 ( f + g ) ∂ t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ x 2 = 1 v 2 [ ∂ 2 f ∂ t 2 + ∂ 2 g ∂ t 2 ] . Esto ha demostrado que si se suman algebraicamente dos funciones de onda lineales, la función de onda resultante también es lineal. Esta función de onda modela el desplazamiento del medio de la onda resultante en cada posición a lo largo del eje x . Si dos ondas lineales ocupan el mismo medio, se dice que interfieren. Si estas ondas se pueden modelar con una función de onda lineal, estas funciones de onda se suman para formar la ecuación de onda de la onda resultante de la interferencia de las ondas individuales. El desplazamiento del medio en cada punto de la onda resultante es la suma algebraica de los desplazamientos debido a las ondas individuales. Al llevar este análisis un paso más allá si las funciones de onda y 1 ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) y y 2 ( x , t ) = g ( x ∓ v t ) son soluciones de la ecuación lineal de onda, entonces A y 1 ( x , t ) + B y 2 ( x , t ) , donde A y B son constantes, es también una solución a la ecuación lineal de onda. Esta propiedad se conoce como el principio de superposición . La interferencia y la superposición se tratan con más detalle en la sección Interferencia de ondas . Interferencia de ondas en una cuerda Considere que hay dos estudiantes que sostienen una cuerda muy larga estirada; cada uno sostiene un extremo. El estudiante A hace oscilar el extremo de la cuerda y se produce una onda modelada con la función de onda y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y el estudiante B hace oscilar la cuerda y se produce el doble de la frecuencia, lo que hace que se mueva en dirección opuesta. Ambas ondas se mueven a la misma velocidad v = ω k . Las dos ondas interfieren para formar una onda resultante cuya función de onda es y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) . Calcule la velocidad de la onda resultante mediante la ecuación lineal de onda ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Estrategia Primero, escriba la función de onda para la onda creada por el segundo estudiante. Observe que la frecuencia angular de la segunda onda es el doble de la frecuencia de la primera onda ( 2 ω ) , y como la velocidad de las dos ondas es la misma, el número de onda de la segunda onda es el doble que el de la primera ( 2 k ) . A continuación, escriba la ecuación de onda para la función de onda resultante, que es la suma de las dos funciones de onda individuales. A continuación, calcule la segunda derivada parcial con respecto a la posición y la segunda derivada parcial con respecto al tiempo. Use la ecuación lineal de onda para calcular la velocidad de la onda resultante. Solución Escriba la función de onda de la segunda onda: y 2 ( x , t ) = A sen ( 2 k x + 2 ω t ) . Escriba la función de onda resultante: y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) + A sen ( 2 k x + 2 ω t ) . Calcule las derivadas parciales: ∂ y R ( x , t ) ∂ x = – A k cos ( k x – ω t ) + 2 A k cos ( 2 k x + 2 ω t ) , ∂ 2 y R ( x , t ) ∂ x 2 = – A k 2 sen ( k x – ω t ) – 4 A k 2 sen ( 2 k x + 2 ω t ) , ∂ y R ( x , t ) ∂ t = – A ω cos ( k x – ω t ) + 2 A ω cos ( 2 k x + 2 ω t ) , ∂ 2 y R ( x , t ) ∂ t 2 = – A ω 2 sen ( k x – ω t ) – 4 A ω 2 sen ( 2 k x + 2 ω t ) . Use la ecuación de onda para calcular la velocidad de la onda resultante: ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 , – A k 2 sen ( k x – ω t ) – 4 A k 2 sen ( 2 k x + 2 ω t ) = 1 v 2 ( – A ω 2 sen ( k x – ω t ) – 4 A ω 2 sen ( 2 k x + 2 ω t ) ) , k 2 ( – A sen ( k x – ω t ) – 4 A sen ( 2 k x + 2 ω t ) ) = ω 2 v 2 ( – A sen ( k x – ω t ) – 4 A sen ( 2 k x + 2 ω t ) ) , k 2 = ω 2 v 2 , | v | = ω k . Importancia La velocidad de la onda resultante es igual a la velocidad de las ondas originales ( v = ω k ) . En la siguiente sección mostraremos que la velocidad de una onda armónica simple en una cuerda depende de la tensión en la cuerda y de la masa por longitud de la cuerda. Por ello, no es de extrañar que tanto las ondas componentes como la resultante se desplacen a la misma velocidad. La ecuación de onda ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 funciona para cualquier onda de la forma y ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) . En la sección anterior afirmamos que una función coseno también se podría usar para modelar una onda mecánica armónica simple. Compruebe si la onda y ( x , t ) = 0,50 m cos ( 0,20 π m −1 x – 4,00 π s −1 t + π 10 ) es una solución de la ecuación de onda. Esta onda, con amplitud A = 0,5 m , longitud de onda λ = 10,00 m , periodo T = 0,50 s , es una solución de la ecuación de onda con una velocidad de la onda v = 20,00 m/s . Cualquier alteración que cumpla con la ecuación de onda se puede propagar como una onda que se mueve a lo largo del eje x con una rapidez de onda v . Funciona igualmente bien para ondas en una cuerda, ondas sonoras y ondas electromagnéticas. Esta ecuación es extremadamente útil. Por ejemplo, se puede usar para demostrar que las ondas electromagnéticas se mueven a la velocidad de la luz. Resumen Una onda es una oscilación (de una cantidad física) que se desplaza a través de un medio, acompañada de una transferencia de energía. La energía se transfiere de un punto a otro en la dirección del movimiento de la onda. Las partículas del medio oscilan hacia arriba y hacia abajo, hacia adelante y hacia atrás, o ambas hacia arriba y hacia abajo y hacia adelante y hacia atrás, alrededor de una posición de equilibrio. Una representación de una onda sinusoidal en el tiempo t = 0,00 s se puede modelar como una función de posición. Dos ejemplos de estas funciones son y ( x ) = A sen ( k x + ϕ ) y y ( x ) = A cos ( k x + ϕ ) . Dada una función de una onda que es una representación de esta, y que solo es una función de la posición x , el movimiento del pulso o de la onda que se mueve a velocidad constante se puede modelar con la función, al sustituir x por x ∓ v t . El signo menos es para el movimiento en dirección positiva y el signo más para la dirección negativa. La función de onda viene dada por y ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) donde k = 2 π / λ se define como el número de onda, ω = 2 π / T es la frecuencia angular y ϕ es el deslizamiento de fase. La onda se mueve con una velocidad constante v w , donde las partículas del medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio. La velocidad constante de una onda se puede calcular mediante v = λ T = ω k . Preguntas conceptuales Si usted agita el extremo de un resorte estirado hacia arriba y hacia abajo 10 veces por segundo, ¿cuáles serían la frecuencia y el periodo de la onda sinusoidal producida en el resorte? Si usted agita el extremo de un resorte estirado hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia f , podría producir una onda transversal sinusoidal que se propaga por el resorte. ¿El número de onda depende de la frecuencia con la que se agita el resorte? La longitud de onda es igual a la velocidad de la onda por la frecuencia, y el número de onda es igual a k = 2 π λ , así que sí, el número de onda dependerá de la frecuencia y también de la velocidad de la onda que se propaga a través del resorte. ¿La velocidad vertical de un segmento de una cuerda horizontal estirada por la que se propaga una onda transversal sinusoidal depende de la rapidez de onda de la onda transversal? En esta sección hemos considerado las ondas que se mueven a una rapidez de onda constante. ¿El medio se acelera? El medio presenta un movimiento armónico simple mientras la onda se propaga a través del medio, y cambia continuamente de velocidad, por lo que se acelera. La aceleración del medio se debe a su fuerza restauradora, la cual actúa en dirección opuesta al desplazamiento. Si deja caer un guijarro en un estanque puede observar que se producen varias ondulaciones concéntricas, no una sola ondulación. ¿Por qué cree que es así? Problemas Un pulso se puede describir como una alteración de onda única que se desplaza por un medio. Considere un pulso que se define en el tiempo t = 0,00 s por la ecuación y ( x ) = 6,00 m 3 x 2 + 2,00 m 2 centrado alrededor de x = 0,00 m . El pulso se mueve con una velocidad de v = 3,00 m/s en la dirección x positiva. (a) ¿Cuál es la amplitud del pulso? (b) ¿Cuál es la ecuación del pulso como una función de posición y de tiempo? (c) ¿Dónde está el pulso centrado en el tiempo t = 5,00 s ? Una onda transversal en una cuerda se modela con la función de onda y ( x , t ) = ( 0,20 cm ) sen ( 2,00 m −1 x – 3,00 s −1 t + π 16 ) . ¿Cuál es la altura de la cuerda con respecto a la posición de equilibrio en una posición x = 4,00 m y un tiempo t = 10,00 s ? y ( x , t ) = -0,037 cm Considere la función de onda y ( x , t ) = ( 3,00 cm ) sen ( 0,4 m −1 x + 2,00 s −1 t + π 10 ) . ¿Cuáles son el periodo, la longitud de onda, la velocidad y el deslizamiento de fase inicial de la onda modelada por la función de onda? Un pulso se define como y ( x , t ) = e -2,77 ( 2,00 ( x – 2,00 m/s ( t ) ) 5,00 m ) 2 . Use una hoja de cálculo, u otro programa informático, para trazar el pulso como la altura del medio y como una función de posición x . Trazar el pulso en los tiempos t = 0,00 s y t = 3,00 s en el mismo gráfico. ¿Dónde está centrado el pulso en el tiempo t = 3,00 s ? Use su hoja de cálculo para comprobar su respuesta. El pulso se moverá Δ x = 6,00 m . Se modela una onda en el tiempo t = 0,00 s con una función de onda que depende de la posición. La ecuación es y ( x ) = ( 0,30 m ) sen ( 6,28 m −1 x ) . La onda recorre una distancia de 4,00 metros en 0,50 s en la dirección x positiva. Escriba una ecuación para la onda como función de posición y tiempo. Una onda se modela con la función y ( x , t ) = ( 0,25 m ) cos ( 0,30 m −1 x – 0,90 s −1 t + π 3 ) . Calcule (a) amplitud, (b) número de onda, (c) frecuencia angular, (d) rapidez de onda, (e) deslizamiento de fase inicial, (f) longitud de onda y (g) periodo de la onda. a. A = 0,25 m ; b. k = 0,30 m −1 ; c. ω = 0,90 s −1 ; d. v = 3,0 m/s ; e. ϕ = π / 3 rad ; f. λ = 20,93 m ; g. T = 6,98 s Una onda oceánica superficial tiene una amplitud de 0,60 m y la distancia de depresión a depresión es de 8,00 m. Se mueve a una rapidez de onda constante de 1,50 m/s propagándose en la dirección x positiva. En t = 0 , el desplazamiento del agua en x = 0 es cero y v y es positivo. (a) Suponiendo que la onda se puede modelar como una onda sinusoidal, escriba una función de onda para modelarla. (b) Use una hoja de cálculo para trazar la función de onda en los tiempos t = 0,00 s y t = 2,00 s en el mismo gráfico. Comprueba que la onda se mueve 3,00 m en esos 2,00 s. Una onda se modela por la función de onda y ( x , t ) = ( 0,30 m ) sen [ 2 π 4,50 m ( x – 18,00 m s t ) ] . ¿Cuáles son la amplitud, la longitud de onda, la rapidez de onda, el periodo y la frecuencia de la onda? A = 0,30 m , λ = 4,50 m , v = 18,00 m/s , f = 4,00 Hz , T = 0,25 s Una onda transversal en una cuerda se describe con la función de onda y ( x , t ) = ( 0,50 cm ) sen ( 1,57 m −1 x – 6,28 s −1 t ) . (a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? (b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad máxima de la cuerda perpendicular a la dirección del movimiento? Un nadador en el océano observa un día que las ondas de la superficie del océano son periódicas y se asemejan a una onda sinusoidal. El nadador estima que la distancia vertical entre la cresta y la depresión de cada onda es de 0,45 m aproximadamente, y la distancia entre cada cresta es de 1,8 m aproximadamente. El nadador cuenta que pasan 12 ondas cada dos minutos. Determine la función de onda armónica simple que describiría estas ondas. y ( x , t ) = 0,23 m sen ( 3,49 m −1 x – 0,63 s −1 t ) Considere una onda descrita por la función de onda y ( x , t ) = 0,3 m sen ( 2,00 m −1 x – 628,00 s −1 t ) . (a) ¿Cuántas crestas pasan por un observador en un lugar fijo durante 2,00 minutos? (b) ¿Qué distancia ha recorrido la onda durante ese tiempo? Considere dos ondas definidas por las funciones de onda y 1 ( x , t ) = 0,50 m sen ( 2 π 3,00 m x + 2 π 4,00 s t ) y y 2 ( x , t ) = 0,50 m sen ( 2 π 6,00 m x – 2 π 4,00 s t ) . ¿Cuáles son las similitudes y las diferencias entre las dos ondas? Tienen la misma frecuencia angular, la misma frecuencia y el mismo periodo. Están desplazándose en direcciones opuestas y y 2 ( x , t ) tiene el doble de longitud de onda que y 1 ( x , t ) y se mueve a la mitad de la rapidez de onda. Considere dos ondas definidas por las funciones de onda y 1 ( x , t ) = 0,20 m sen ( 2 π 6,00 m x – 2 π 4,00 s t ) y y 2 ( x , t ) = 0,20 m cos ( 2 π 6,00 m x – 2 π 4,00 s t ) . ¿Cuáles son las similitudes y las diferencias entre las dos ondas? La velocidad de una onda transversal en una cuerda es de 300,00 m/s, su longitud de onda es de 0,50 m y la amplitud es de 20,00 cm. ¿Cuánto tiempo necesita una partícula en la cuerda para recorrer una distancia de 5,00 km? Cada partícula del medio se desplaza una distancia de 4 A en cada periodo. El periodo se puede calcular al dividir la velocidad entre la longitud de onda: t = 10,42 s ecuación lineal de onda ecuación que describe las ondas que se generan de una fuerza lineal restauradora del medio; cualquier función que sea una solución de la ecuación de onda describe una onda que se mueve en la dirección x positiva o en la dirección x negativa con una rapidez de onda constante v pulso alteración única que se mueve a través de un medio y transfiere energía pero no masa función de onda modelo matemático de la posición de las partículas del medio número de onda 2 π λ

Ciencia


Rapidez de onda en una cuerda estirada La velocidad de una onda depende de las características del medio. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, las cuerdas vibran para producir el sonido. La velocidad de las ondas en las cuerdas y la longitud de onda determinan la frecuencia del sonido producido. Las cuerdas de una guitarra tienen un grosor diferente pero pueden estar hechas de un material similar. Tienen diferentes densidades lineales , donde la densidad lineal se define como la masa por longitud, μ = masa de la cuerda longitud de la cuerda = m l . En este capítulo solo consideramos la cuerda con una densidad lineal constante. Si la densidad lineal es constante, entonces la masa ( Δ m ) de un pequeño trozo de cuerda ( Δ x ) es Δ m = μ Δ x . Por ejemplo, si la cuerda tiene una longitud de 2,00 m y una masa de 0,06 kg, entonces la densidad lineal es μ = 0,06 kg 2,00 m = 0,03 kg m . Si se corta una sección de 1,00 mm de la cuerda, la masa de la longitud de 1,00 mm es Δ m = μ Δ x = ( 0,03 kg m ) 0,001 m = 3,00 × 10 −5 kg . La guitarra también tiene un método para cambiar la tensión de las cuerdas. La tensión de las cuerdas se ajusta girando unos husillos, llamados clavijas de afinación, alrededor de los cuales se enrollan las cuerdas. En el caso de la guitarra, la densidad lineal de la cuerda y su tensión determinan la velocidad de las ondas en la cuerda, y la frecuencia del sonido producido es proporcional a la rapidez de onda. Rapidez de onda en una cuerda bajo tensión Para ver cómo la velocidad de una onda en una cuerda depende de la tensión y a la densidad lineal, considere un pulso enviado por una cuerda estirada ( ). Cuando la cuerda estirada está en reposo en la posición de equilibrio, la tensión de la cuerda F T es constante. Considere un pequeño elemento de la cuerda con una masa igual a Δ m = μ Δ x . El elemento de masa está en reposo y en equilibrio y la fuerza de tensión de cada lado del elemento de masa es igual y opuesta. Elemento de masa de una cuerda que se mantiene estirada con una tensión F T . El elemento de masa está en equilibrio estático, y la fuerza de tensión que actúa en cada lado del elemento de masa es igual en magnitud y opuesta en dirección. Si se puntea una cuerda bajo tensión, una onda transversal se mueve en la dirección x positiva, como se muestra en la . El elemento de masa es pequeño, pero se ha ampliado en la figura para hacerlo visible. El elemento de masa pequeño oscila perpendicularmente al movimiento de la onda como consecuencia de la fuerza restauradora proporcionada por la cuerda y no se mueve en la dirección x . La tensión F T en la cuerda, que actúa en la dirección x positiva y negativa, es aproximadamente constante y es independiente de la posición y el tiempo. Una cuerda bajo tensión se puntea, y provoca un pulso que se desplaza a lo largo de la cuerda en la dirección x positiva. Suponga que la inclinación de la cuerda desplazada con respecto al eje horizontal es pequeña. La fuerza neta sobre el elemento de la cuerda, que actúa en paralelo a esta, es la suma de la tensión en la cuerda y la fuerza restauradora. Los componentes x de la fuerza de tensión se cancelan, por lo que la fuerza neta es igual a la suma de los componentes y de la fuerza. La magnitud del componente x de la fuerza es igual a la fuerza horizontal de tensión de la cuerda F T como se muestra en la . Para obtener el componente y de la fuerza, hay que tener en cuenta que tan θ 1 = – F 1 F T y tan θ 2 = F 2 F T . La tan θ es igual a la pendiente de una función en un punto, lo cual es igual a la derivada parcial de y con respecto a x en ese punto. Por lo tanto, F 1 F T es igual a la pendiente negativa de la cuerda en x 1 y F 2 F T es igual a la pendiente de la cuerda en x 2 : F 1 F T = – ( ∂ y ∂ x ) x 1 y F 2 F T = ( ∂ y ∂ x ) x 2 . La fuerza neta sobre el elemento de masa pequeño se puede escribir como F neta = F 1 + F 2 = F T [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 – ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] . De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración. La densidad lineal de la cuerda μ es la masa por longitud de la cuerda, y la masa de la porción de cuerda es μ Δ x , F T [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 – ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] = Δ m a , F T [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 – ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] = μ Δ x ∂ 2 y ∂ t 2 . Al dividir entre F T Δ x y tomar el límite como Δ x se acerca a cero, [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 – ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] Δ x = μ F T ∂ 2 y ∂ t 2 lim Δ x → 0 [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 – ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] Δ x = μ F T ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = μ F T ∂ 2 y ∂ t 2 . Recuerde que la ecuación lineal de onda es ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Por lo tanto, 1 v 2 = μ F T . Al resolver para v , vemos que la velocidad de la onda en una cuerda depende de la tensión y de la densidad lineal. Velocidad de una onda en una cuerda bajo tensión La velocidad de un pulso u onda en una cuerda bajo tensión se puede calcular con la ecuación | v | = F T μ donde F T es la tensión de la cuerda y μ es la masa por longitud de la cuerda. Rapidez de onda de un resorte de guitarra En una guitarra de seis cuerdas, la cuerda mi aguda tiene una densidad lineal de μ mi aguda = 3,09 × 10 −4 kg/m y la cuerda mi grave tiene una densidad lineal de μ mi grave = 5,78 × 10 −3 kg/m . (a) Si se puntea la cuerda mi aguda, lo que produce una onda en la cuerda, ¿cuál es la rapidez de la onda si la tensión de la cuerda es de 56,40 N? (b) La densidad lineal de la cuerda mi grave es, aproximadamente, 20 veces mayor que la de la cuerda mi aguda. Para que las ondas se desplacen a través de la cuerda de la mi grave a la misma rapidez de onda que la de la mi aguda, ¿la tensión tendría que ser mayor o menor que la de la cuerda de la mi aguda? ¿Cuál sería la tensión aproximada? (c) Calcule la tensión de la cuerda mi grave necesaria para la misma rapidez de onda. Estrategia La rapidez de la onda se puede calcular a partir de la densidad lineal y la tensión v = F T μ . A partir de la ecuación v = F T μ , si la densidad lineal se incrementa en un factor de casi 20, la tensión tendría que incrementarse en un factor de 20. Conociendo la velocidad y la densidad lineal, se puede resolver la ecuación de velocidad para la fuerza de tensión F T = μ v 2 . Solución Use la ecuación de velocidad para calcular la rapidez: v = F T μ = 56,40 N 3,09 × 10 −4 kg/m = 427,23 m/s . La tensión tendría que ser aumentada por un factor de 20 aproximadamente. La tensión sería ligeramente inferior a 1.128 N. Use la ecuación de velocidad para calcular la tensión real: F T = μ v 2 = 5,78 × 10 −3 kg / m ( 427,23 m/s ) 2 = 1055,00 N . Esta solución está dentro del 7 % de la aproximación. Importancia Las notas estándar de las seis cuerdas (mi aguda, si, sol, se, la, mi grave) están afinadas para vibrar en las frecuencias fundamentales (329,63 Hz, 246,94 Hz, 196,00 Hz, 146,83 Hz, 110,00 Hz y 82,41 Hz) cuando se puntean. Las frecuencias dependen de la rapidez de las ondas en la cuerda y de la longitud de onda de las ondas. Las seis cuerdas tienen diferentes densidades lineales y se “afinan” mediante el cambio de tensiones de las cuerdas. En la sección Interferencia de ondas veremos que la longitud de onda depende de la longitud de las cuerdas y de las condiciones de frontera. Para tocar otras notas que no sean las fundamentales, las longitudes de las cuerdas se cambian cuando se presionan las cuerdas. La rapidez de onda de una onda en una cuerda depende de la tensión y de la densidad lineal de masa. Si se duplica la tensión, ¿qué ocurre con la rapidez de las ondas en la cuerda? Dado que la rapidez de una onda en una cuerda tensada es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la densidad lineal, la rapidez de onda aumentaría por 2 . Rapidez de las ondas de compresión en un fluido La rapidez de una onda en una cuerda depende de la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la masa por longitud, la densidad lineal. En general, la rapidez de una onda a través de un medio depende de las propiedades elásticas y de la propiedad inercial del medio. | v | = propiedades elásticas propiedad inercial Las propiedades elásticas describen la tendencia de las partículas del medio a volver a su posición inicial cuando se alteran. La propiedad inercial describe la tendencia de la partícula a resistir cambios de velocidad. La rapidez de una onda longitudinal a través de un líquido o un gas depende de la densidad del fluido y de su módulo de compresibilidad, v = Β ρ . Aquí el módulo de compresibilidad se define como Β = – Δ P Δ V V 0 , donde Δ P es el cambio de presión, el denominador es la relación entre el cambio de volumen y el volumen inicial y ρ ≡ m V es la masa por unidad de volumen. Por ejemplo, el sonido es una onda mecánica que se desplaza a través de un fluido o de un sólido. La velocidad del sonido en el aire con una presión atmosférica de 1,013 × 10 5 Pa y una temperatura de 20 ° C es v s ≈ 343,00 m/s . Como la densidad depende de la temperatura, la velocidad del sonido en el aire depende de la temperatura del aire. Esto se analizará en detalle en la sección Sonido . Resumen La velocidad de una onda en una cuerda depende de la densidad lineal de la cuerda y de su a tensión. La densidad lineal es la masa por unidad de longitud de la cuerda. En general, la velocidad de una onda depende de la raíz cuadrada de la relación entre las propiedades elásticas y la propiedad inercial del medio. La rapidez de una onda a través de un fluido es igual a la raíz cuadrada de la relación entre el módulo de compresibilidad del fluido y su densidad. La velocidad del sonido a través del aire en T = 20 ° C es, aproximadamente, v s = 343,00 m/s . Preguntas conceptuales Si la tensión de una cuerda se multiplicara por cuatro, ¿en qué factor aumentaría la rapidez de onda de una onda en la cuerda? La rapidez de onda es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión, por lo que la velocidad se duplica. ¿Se mueve más rápido una onda sonora en agua de mar o en agua dulce si tanto el agua de mar como el agua dulce están a la misma temperatura y la onda sonora se mueve cerca de la superficie? ( ρ w ≈ 1.000 kg m 3 , ρ s ≈ 1.030 kg m 3 , B w = 2,15 × 10 9 Pa , B s = 2,34 × 10 9 Pa ) Las guitarras tienen cuerdas de diferente densidad lineal de masa. Si la cuerda de menor densidad y la de mayor densidad están a la misma tensión, ¿qué cuerda soportaría ondas con mayor rapidez de onda? Como la velocidad de una onda en una cuerda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal de masa, la velocidad sería mayor en la densidad lineal de masa baja de la cuerda. A continuación se muestran tres ondas que se enviaron por una cuerda en diferentes tiempos. La tensión de la cuerda permanece constante. (a) Ordene las ondas de menor a mayor longitud de onda. (b) Ordene las ondas de menor a mayor frecuencia. A veces, se oye el zumbido de las líneas eléctricas conectadas por dos postes cuando el viento las hace oscilar. La rapidez de las ondas en las líneas eléctricas depende de la tensión. ¿Qué proporciona la tensión en las líneas eléctricas? La tensión en el cable se debe al peso del cable eléctrico. Se empalman dos cuerdas, una con baja densidad de masa y otra con alta densidad lineal. El extremo de mayor densidad se ata a un poste de laboratorio y un estudiante sostiene el extremo libre de la cuerda de baja densidad de masa. El estudiante da una vuelta a la cuerda y envía un pulso por las cuerdas. Si la tensión es la misma en ambas cuerdas, ¿el pulso se desplaza a la misma velocidad de la onda en ambas cuerdas? Si no es así, ¿dónde se desplaza más rápido, en la cuerda de baja densidad o en la de alta densidad? Problemas Las ondas transversales se envían a lo largo de una cuerda de 5,00 m de longitud con una velocidad de 30,00 m/s. La cuerda está bajo una tensión de 10,00 N. ¿Cuál es la masa de la cuerda? Un cable de cobre tiene una densidad de ρ = 8.920 kg/m 3 , un radio de 1,20 mm y una longitud L . El cable se mantiene con una tensión de 10,00 N. Se envían ondas transversales a través del cable. (a) ¿Cuál es la densidad lineal de masa del cable? (b) ¿Cuál es la rapidez de las ondas a través del cable? a. μ = 0,040 kg/m; b. v = 15,75 m/s Una cuerda de piano tiene una densidad lineal de masa de μ = 4,95 × 10 −3 kg/m . ¿A qué tensión se debe someter la cuerda para producir ondas con una rapidez de onda de 500,00 m/s? Una cuerda con una densidad lineal de masa de μ = 0,0060 kg/m está atada al techo. Se ata una masa de 20 kg al extremo libre de la cuerda. La cuerda se puntea, lo que envía un pulso a través de esta. Estime la velocidad del pulso a medida que se desplaza por la cuerda. v = 180 m/s Una cuerda tiene una densidad lineal de masa de μ = 0,0075 kg/m y una longitud de tres metros. La cuerda se puntea y el pulso tarda 0,20 s en llegar hasta el final. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Una cuerda tiene una longitud de 3,00 m y una masa de 5,00 g. La cuerda se mantiene estirada con una tensión de 500,00 N aplicada a la cuerda. Se envía un pulso por la cuerda. ¿Cuánto tarda el pulso en recorrer los 3,00 m de la cuerda? v = 547,723 m/s , Δ t = 5,48 ms Dos cuerdas están atadas a postes, pero la primera cuerda es el doble de larga que la segunda. Si ambas cuerdas tienen las mismas tensión y mu, ¿cuál es la relación entre la velocidad del pulso de la onda de la primera cuerda y de la segunda? Dos cuerdas están atadas a postes, pero la primera cuerda tiene el doble de densidad lineal de masa mu que la segunda. Si ambas cuerdas tienen la misma tensión, ¿cuál es la relación entre la velocidad del pulso de la onda de la primera cuerda y de la segunda? 0,707 Las ondas transversales recorren una cuerda cuya tensión es igual a 7,00 N con una velocidad de 20,00 m/s. ¿Qué tensión sería necesaria para una rapidez de onda de 25,00 m/s? Dos cuerdas están atadas entre dos postes separados por una distancia de 2,00 m como se muestra a continuación, ambas con la misma tensión de 600,00 N. La cuerda 1 tiene una densidad lineal de μ 1 = 0,0025 kg/m y la cuerda 2 tiene una densidad lineal de masa de μ 2 = 0,0035 kg/m . Los pulsos de ondas transversales se generan simultáneamente en los extremos opuestos de las cuerdas. ¿Cuánto tiempo pasa antes de que los pulsos se crucen entre sí? v 1 t + v 2 t = 2,00 m , t = 1,69 ms Dos cuerdas están atadas entre dos postes separados por una distancia de 2,00 metros como se muestra en la figura anterior, ambas cuerdas tienen una densidad lineal de μ 1 = 0,0025 kg/m , la tensión en la cuerda 1 es de 600,00 N y en la cuerda 2 es de 700,00 N. Los pulsos de onda transversal se generan simultáneamente en los extremos opuestos de las cuerdas. ¿Cuánto tiempo pasa antes de que los pulsos se crucen entre sí? La nota mi 4 se toca en un piano y tiene una frecuencia de f = 393,88 . Si la densidad lineal de masa de esta cuerda del piano es μ = 0,012 kg/m y la cuerda está sometida a una tensión de 1.000,00 N, ¿cuál es la velocidad de la onda en la cuerda y su longitud de onda? v = 288,68 m/s , λ = 0,73 m Dos ondas transversales se desplazan a través de una cuerda estirada. La velocidad de cada onda es v = 30,00 m/s . A continuación se muestra un trazado de la posición vertical como una función de la posición horizontal para el tiempo t = 0,00 s . (a) ¿Cuál es la longitud de onda de cada una de las ondas? (b) ¿Cuál es la frecuencia de cada una de las ondas? (c) ¿Cuál es la velocidad vertical máxima de cada cuerda? Una onda sinusoidal se desplaza por una cuerda estirada y horizontal con una densidad lineal de masa de μ = 0,060 kg/m . La velocidad vertical máxima de la onda es v y máx. = 0,30 cm/s . La onda se modela con la ecuación de onda y ( x , t ) = A sen ( 6,00 m −1 x – 24,00 s −1 t ) . (a) ¿Cuál es la amplitud de la onda? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? a. A = 0,0125 cm; b. F T = 0,96 N La rapidez de una onda transversal en una cuerda es v = 60,00 m/s y la tensión en la cuerda es F T = 100,00 N . ¿Cuál debe ser la tensión para aumentar la rapidez de la onda a v = 120,00 m/s?

Ciencia


La energía y la potencia de una onda Todas las ondas transportan energía y, a veces, esto se puede observar directamente. Los terremotos pueden hacer temblar ciudades enteras y hacen el trabajo de miles de bolas de demolición ( ). Los sonidos fuertes pueden pulverizar células nerviosas del oído interno y provocar una pérdida de audición permanente. Los ultrasonidos se utilizan para el tratamiento con calor profundo de tensiones musculares. Un rayo láser puede quemar un tumor maligno. Ondas acuáticas hacen que se formen playas. El efecto destructivo de un terremoto es una prueba observable de la energía que transportan estas ondas. La clasificación de los terremotos en la escala de Richter es una serie logarítmica relacionada tanto con su amplitud como con la energía que transportan. En esta sección examinamos la expresión cuantitativa de la energía en las ondas. Esto tendrá una importancia fundamental en las discusiones posteriores sobre las ondas, desde el sonido hasta la luz y la mecánica cuántica. La energía en las ondas La cantidad de energía de una onda está relacionada con su amplitud y su frecuencia. Los terremotos de gran amplitud producen grandes desplazamientos del suelo. Los sonidos fuertes tienen amplitudes de alta presión y provienen de vibraciones de fuentes de mayor amplitud que los sonidos suaves. Las olas grandes del mar revientan en la orilla más que las pequeñas. Considere el ejemplo de la gaviota y la onda acuática que vimos anteriormente en este capítulo ( ). La onda hace un trabajo sobre la gaviota a medida que esta se desplaza hacia arriba, lo que cambia su energía potencial. Cuanto mayor sea la amplitud, mayor será la elevación de la gaviota por la onda y mayor será el cambio de energía potencial. La energía de la onda depende tanto de la amplitud como de la frecuencia. Si se considera que la energía de cada longitud de onda es un paquete discreto de energía, una onda de alta frecuencia emitirá más de estos paquetes por unidad de tiempo que una onda de baja frecuencia. Veremos que la tasa media de transferencia de energía en ondas mecánicas es proporcional tanto al cuadrado de la amplitud como al cuadrado de la frecuencia. Si dos ondas mecánicas tienen amplitudes iguales, pero una de ellas tiene una frecuencia que es el doble de la frecuencia de la otra, la onda de mayor frecuencia tendrá una tasa de transferencia de energía cuatro veces mayor que la tasa de transferencia de energía de la onda de menor frecuencia. Hay que tener en cuenta que, si bien en las ondas mecánicas la tasa de transporte de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia, en las ondas electromagnéticas la tasa de transferencia de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, pero independiente de la frecuencia. Potencia de las ondas Considere una onda sinusoidal en una cuerda que se produce por un vibrador de cuerda, como se muestra en la . El vibrador de cuerda es un dispositivo que hace vibrar una varilla hacia arriba y hacia abajo. Una cuerda de densidad lineal de masa uniforme está atada a la varilla, y esta hace oscilar la cuerda y produce una onda sinusoidal. La varilla hace un trabajo sobre la cuerda que produce energía que se propaga a lo largo de ella. Considere un elemento de masa de la cuerda con una masa Δ m , como se ve en la . A medida que la energía se propaga a lo largo de la cuerda, cada elemento de masa de la cuerda es impulsado hacia arriba y hacia abajo a la misma frecuencia que la onda. Cada elemento de masa de la cuerda se puede modelar como un oscilador armónico simple. Como la cuerda tiene una densidad lineal constante μ = Δ m Δ x , cada elemento de masa de la cuerda tiene la masa Δ m = μ Δ x . Un vibrador de cuerda es un dispositivo que hace vibrar una varilla. Una cuerda está atada a la varilla, y la varilla hace el trabajo en la cuerda, lo que impulsa la cuerda hacia arriba y hacia abajo. Esto produce una onda sinusoidal en la cuerda, que se mueve con una velocidad de la onda v . La rapidez de onda depende de la tensión en la cuerda y de la densidad lineal de masa de la cuerda. Una sección de la cuerda con masa Δ m oscila a la misma frecuencia que la onda. La energía mecánica total de la onda es la suma de su energía cinética y su energía potencial. La energía cinética K = 1 2 m v 2 de cada elemento de masa de la cuerda de longitud Δ x es Δ K = 1 2 ( Δ m ) v y 2 , ya que el elemento de masa oscila perpendicularmente a la dirección del movimiento de la onda. Al usar la densidad lineal de masa constante, la energía cinética de cada elemento de masa de la cuerda con longitud Δ x es Δ K = 1 2 ( μ Δ x ) v y 2 . Se puede formar una ecuación diferencial al dejar que la longitud del elemento de masa de la cuerda se acerque a cero, d K = lim Δ x → 0 1 2 ( μ Δ x ) v y 2 = 1 2 ( μ d x ) v y 2 . Dado que la onda es una onda sinusoidal con una frecuencia angular ω , la posición de cada elemento de masa se puede modelar como y ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) . Cada elemento de masa de la cuerda oscila con una velocidad v y = ∂ y ( x , t ) ∂ t = – A ω cos ( k x – ω t ) . La energía cinética de cada elemento de masa de la cuerda se convierte en d K = 1 2 ( μ d x ) ( – A ω cos ( k x – ω t ) ) 2 , = 1 2 ( μ d x ) A 2 ω 2 cos 2 ( k x – ω t ) . La onda puede ser muy larga y estar compuesta por muchas longitudes de onda. Para normalizar la energía, considere la energía cinética asociada a una longitud de onda de la onda. Esta energía cinética se puede integrar sobre la longitud de onda para calcular la energía asociada a cada longitud de onda de la onda: d K = 1 2 ( μ d x ) A 2 ω 2 cos 2 ( k x ) , ∫ 0 K λ d K = ∫ 0 λ 1 2 μ A 2 ω 2 cos 2 ( k x ) d x = 1 2 μ A 2 ω 2 ∫ 0 λ cos 2 ( k x ) d x , K λ = 1 2 μ A 2 ω 2 [ 1 2 x + 1 4 k sen ( 2 k x ) ] 0 λ = 1 2 μ A 2 ω 2 [ 1 2 λ + 1 4 k sen ( 2 k λ ) – 1 4 k sen ( 0 ) ] , K λ = 1 4 μ A 2 ω 2 λ . También hay energía potencial asociada a la onda. Al igual que la masa que oscila sobre un resorte, existe una fuerza restauradora conservadora que, cuando el elemento de masa se desplaza de la posición de equilibrio, lo devuelve a la posición de equilibrio. La energía potencial del elemento de masa se puede calcular considerando la fuerza restauradora lineal de la cuerda. En la sección Oscilaciones vimos que la energía potencial almacenada en un resorte con una fuerza lineal de restauración es igual a U = 1 2 k s x 2 , donde la posición de equilibrio se define como x = 0,00 m . Cuando una masa unida al resorte oscila en movimiento armónico simple, la frecuencia angular es igual a ω = k s m . Como cada elemento de masa oscila en movimiento armónico simple, la constante del resorte es igual a k s = Δ m ω 2 . La energía potencial del elemento de masa es igual a Δ U = 1 2 k s x 2 = 1 2 Δ m ω 2 x 2 . Tenga en cuenta que k s es la constante del resorte y no el número de onda k = 2 π λ . Esta ecuación se puede usar para calcular la energía en una longitud de onda. Al integrar sobre la longitud de onda podemos calcular la energía potencial sobre una longitud de onda: d U = 1 2 k s x 2 = 1 2 μ ω 2 x 2 d x , U λ = 1 2 μ ω 2 A 2 ∫ 0 λ sen 2 ( k x ) d x = 1 4 μ A 2 ω 2 λ . La energía potencial asociada a una longitud de onda de la onda es igual a la energía cinética asociada a una longitud de onda. La energía total asociada a una longitud de onda es la suma de la energía potencial y la energía cinética: E λ = U λ + K λ , E λ = 1 4 μ A 2 ω 2 λ + 1 4 μ A 2 ω 2 λ = 1 2 μ A 2 ω 2 λ . La potencia promediada en el tiempo de una onda mecánica sinusoidal, que es la tasa media de transferencia de energía asociada a una onda cuando pasa por un punto, se puede hallar al tomar la energía total asociada a la onda dividida entre el tiempo que tarda en transferirse la energía. Si la velocidad de la onda sinusoidal es constante, el tiempo de paso de una longitud de onda por un punto es igual al periodo de la onda, el cual también es constante. Para una onda mecánica sinusoidal, la potencia promediada en el tiempo es, por tanto, la energía asociada a una longitud de onda dividida entre el periodo de la onda. La longitud de onda de la onda dividida entre el periodo es igual a la velocidad de la onda, P ave = E λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 v . Note que esta ecuación para la potencia promediada en el tiempo de una onda mecánica sinusoidal muestra que la potencia es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de su frecuencia angular. Recuerde que la frecuencia angular es igual a ω = 2 π f , por lo que la potencia de una onda mecánica es igual al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia de la onda. Potencia suministrada por un vibrador de cuerda Considere una cuerda de dos metros de longitud con una masa de 70,00 g unida a un vibrador de cuerda como se ilustra en la . La tensión de la cuerda es de 90,0 N. Cuando el vibrador de cuerda se enciende, oscila con una frecuencia de 60 Hz y produce una onda sinusoidal en la cuerda con una amplitud de 4,00 cm y una rapidez de onda constante. ¿Cuál es la potencia promediada en el tiempo suministrada a la onda por el vibrador de cuerda? Estrategia La potencia suministrada a la onda debe ser igual a la potencia promediada en el tiempo de la onda en la cuerda. Conocemos la masa de la cuerda ( m s ) , la longitud de la cuerda ( L s ) y la tensión ( F T ) en la cuerda. La rapidez de la onda en la cuerda se puede derivar de la densidad lineal de masa y de la tensión. La cuerda oscila con la misma frecuencia que el vibrador de la cuerda, a partir de lo cual podemos calcular la frecuencia angular. Solución Comience con la ecuación de la potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal en una cuerda: P = 1 2 μ A 2 ω 2 v . La amplitud está dada, así que tenemos que calcular la densidad lineal de masa de la cuerda, la frecuencia angular de la onda en la cuerda y la rapidez de la onda en la cuerda. Tenemos que calcular la densidad lineal para calcular la rapidez de onda: μ = m s L s = 0,070 kg 2,00 m = 0,035 kg/m . La rapidez de onda se puede calcular mediante la densidad lineal de masa y la tensión de la cuerda: v = F T μ = 90,00 N 0,035 kg/m = 50,71 m/s . La frecuencia angular se puede calcular a partir de la frecuencia: ω = 2 π f = 2 π ( 60 s −1 ) = 376,80 s −1 . Calcule la potencia promediada en el tiempo: P = 1 2 μ A 2 ω 2 v = 1 2 ( 0,035 kg m ) ( 0,040 m ) 2 ( 376,80 s −1 ) 2 ( 50,71 m s ) = 201,59 W . Importancia La potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de su frecuencia angular. Esto es cierto para la mayoría de las ondas mecánicas. Si se duplicara la frecuencia angular o la amplitud de la onda, la potencia se multiplicaría por cuatro. La potencia promediada en el tiempo de la onda en una cuerda es también proporcional a la velocidad de la onda sinusoidal en la cuerda. Si la velocidad se duplicara, al aumentar la tensión por un factor de cuatro, la potencia también se duplicaría. ¿La potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal en una cuerda es proporcional a la densidad lineal de la cuerda? A primera vista, la potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal en una cuerda puede parecer proporcional a la densidad lineal de la cuerda porque P = 1 2 μ A 2 ω 2 v ; sin embargo, la velocidad de la onda depende de la densidad lineal. Al sustituir la rapidez de onda con F T μ se muestra que la potencia es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal de masa P = 1 2 μ A 2 ω 2 v = 1 2 μ A 2 ω 2 F T μ = 1 2 A 2 ω 2 μ F T . Las ecuaciones para la energía de la onda y la potencia promediada en el tiempo se derivaron para una onda sinusoidal en una cuerda. En general, la energía de una onda mecánica y la potencia son proporcionales a la amplitud al cuadrado y a la frecuencia angular al cuadrado (y por tanto a la frecuencia al cuadrado). Otra característica importante de las ondas es su intensidad. Las ondas también se pueden concentrar o propagar. Las ondas de un terremoto, por ejemplo, se propagan por un área mayor a medida que se alejan de la fuente, por lo que causan menos daño cuanto más se alejan de ella. La modificación del área que cubren las ondas tiene efectos importantes. Todos estos factores pertinentes se incluyen en la definición de intensidad ( I ) como potencia por unidad de área: I = P A , donde P es la potencia transportada por la onda a través del área A . La definición de intensidad es válida para cualquier energía en tránsito, incluida la transportada por las ondas. La unidad del SI para la intensidad es el vatio por metro cuadrado (W/m 2 ). Muchas ondas son ondas esféricas que se desplazan desde una fuente como una esfera. Por ejemplo, un altavoz montado en un poste sobre el suelo puede producir ondas sonoras que se alejan de la fuente como una onda esférica. Las ondas sonoras se analizan con más detalle en el siguiente capítulo pero, en general, cuanto más lejos esté del altavoz menos intenso será el sonido que escuche. A medida que una onda esférica se desplaza desde una fuente, la superficie de la onda aumenta a medida que aumenta el radio ( A = 4 π r 2 ) . La intensidad para una onda esférica es, por tanto, I = P 4 π r 2 . Si no hay fuerzas de disipación, la energía permanecerá constante a medida que la onda esférica se aleja de la fuente, pero la intensidad disminuirá a medida que aumente la superficie. En el caso de la onda circular bidimensional, la onda se desplaza hacia afuera, y aumenta la circunferencia de la onda a medida que aumenta el radio del círculo. Si usted lanza un guijarro en un estanque, la ondulación de la superficie se desplaza como una onda circular. A medida que la ondulación se aleja de la fuente, la amplitud disminuye. La energía de la onda se propaga por una circunferencia mayor y la amplitud disminuye proporcionalmente a 1 r , que también es el mismo en el caso de una onda esférica, ya que la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado. Resumen La energía y la potencia de una onda son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de su frecuencia angular. La potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal en una cuerda se calcula mediante P ave = 1 2 μ A 2 ω 2 v , donde μ es la densidad lineal de masa de la cuerda, A es la amplitud de la onda, ω es la frecuencia angular de la onda y v es la velocidad de la onda. La intensidad se define como la potencia dividida entre el área. En una onda esférica el área es A = 4 π r 2 y la intensidad es I = P 4 π r 2 . A medida que la onda se aleja de una fuente, la energía se conserva, pero la intensidad disminuye a medida que aumenta el área. Preguntas conceptuales Considere una cuerda en tensión con una densidad lineal de masa constante. Una onda sinusoidal con una frecuencia angular y una amplitud producidas por alguna fuerza impulsora externa. Si la frecuencia de la fuerza impulsora se reduce a la mitad de la frecuencia original, ¿cómo se ve afectada la potencia promediada en el tiempo de la onda? Si la amplitud de la fuerza impulsora se reduce a la mitad, ¿cómo se ve afectada la potencia promediada en el tiempo? Explique su respuesta. La potencia promediada en el tiempo es P = E λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 v . Si la frecuencia o la amplitud se reducen a la mitad, la potencia disminuye en un factor de 4. Las ondas acuáticas circulares disminuyen su amplitud a medida que se alejan del lugar donde se deja caer una roca. Explique por qué. En una onda transversal en una cuerda, el movimiento de la cuerda es perpendicular al movimiento de la onda. Si esto es así, ¿cómo es posible mover la energía a lo largo de la cuerda? Cuando una porción de la cuerda se mueve verticalmente, ejerce una fuerza sobre la porción vecina de la cuerda, realiza un trabajo sobre la porción y transfiere la energía. La energía del sol calienta la parte de la Tierra orientada al sol durante las horas de luz. ¿Por qué los polos norte y sur son fríos mientras que el ecuador es bastante cálido? La intensidad de una onda esférica disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente. Si la intensidad de la onda en la fuente es I 0 , ¿a qué distancia de la fuente disminuirá la intensidad en un factor de nueve? La intensidad de una onda esférica es I = P 4 π r 2 , si no se disipa energía, la intensidad disminuirá en un factor de nueve a tres metros. Problemas Una cuerda de 5 m de longitud y una masa de 90 g se mantienen con una tensión de 100 N. Una onda se desplaza por la cuerda que se modela como y ( x , t ) = 0,01 m sen ( 15,7 m −1 x – 1170,12 s −1 ) . ¿Cuál es la potencia en una longitud de onda? v = 74,54 m/s, P λ = 91,85 W Un ultrasonido de intensidad 1,50 × 10 2 W/m 2 es producido por la cabeza rectangular de un dispositivo de imagen médico que mide 3,00 cm por 5,00 cm. ¿Cuál es su potencia de salida? El altavoz de baja frecuencia de un equipo de música tiene una superficie de A = 0,05 m 2 y produce 1 W de potencia acústica. (a) ¿Cuál es la intensidad en el altavoz? (b) Si el altavoz proyecta el sonido uniformemente en todas las direcciones, ¿a qué distancia del altavoz se encuentra la intensidad 0,1 W/m 2 ? a. I = 20,0 W/m 2 ; b. I = P A , A = 10,0 m 2 A = 4 π r 2 , r = 0,892 m Para aumentar la intensidad de una onda en un factor de 50, ¿en qué factor debe aumentar la amplitud? Para medir la intensidad de la luz solar se utiliza un dispositivo llamado medidor de insolación. Tiene un área de 100 cm 2 y registra 6,50 W. ¿Cuál es la intensidad en W/m 2 ? I = 650 W/m 2 La energía del sol llega a la parte superior de la atmósfera terrestre con una intensidad de 1.400 W/m 2 . ¿Cuánto tiempo se tarda 1,80 × 10 9 J para llegar a un área de 1,00 m 2 ? Suponga que usted dispone de un dispositivo que extrae energía de las ondas grandes del mar en proporción directa a su intensidad. Si el dispositivo produce 10,0 kW de potencia un día en que las olas grandes están a 1,20 m de altura, ¿cuánto producirá cuando estén a 0,600 m de altura? P ∝ E ∝ I ∝ X 2 ⇒ P 2 P 1 = ( X 2 X 1 ) 2 P 2 = 2,50 kW Un conjunto fotovoltaico de (celda solar) es 10,0 % eficiente en la recogida de energía solar y su conversión en electricidad. Si la intensidad media de la luz solar un día es 70,00 W/m 2 , ¿qué área debería tener su conjunto para recoger energía a razón de 100 W? b) ¿Cuál es el costo máximo del conjunto si debe amortizarse en dos años de funcionamiento con un promedio de 10,0 horas al día? Suponga que gana dinero a razón de 9,00 céntimos por kilovatio-hora. Un micrófono que recibe un tono de sonido puro alimenta un osciloscopio, lo que produce una onda en su pantalla. Si la intensidad del sonido es originalmente 2,00 × 10 −5 W/m 2 , pero se sube hasta que la amplitud aumenta en 30,0 % , ¿cuál es la nueva intensidad? I ∝ X 2 ⇒ I 1 I 2 = ( X 1 X 2 ) 2 ⇒ I 2 = 3,38 × 10 −5 W/m 2 Una cuerda con una masa de 0,30 kg tiene una longitud de 4,00 m. Si la tensión en la cuerda es de 50,00 N y se induce en la cuerda una onda sinusoidal con una amplitud de 2,00 cm, ¿cuál debe ser la frecuencia para una potencia media de 100,00 W? La potencia versus el tiempo para un punto de una cuerda ( μ = 0,05 kg/m ) en el que se induce una onda en desplazamiento sinusoidal se muestra en la figura anterior. La onda se modela con la ecuación de onda y ( x , t ) = A sen ( 20,93 m −1 x – ω t ) . ¿Cuál es la frecuencia y la amplitud de la onda? f = 100,00 Hz , A = 1,10 cm Una cuerda tiene una tensión de F T 1 . La energía se transmite mediante una onda en la cuerda a una tasa de P 1 mediante una onda de frecuencia f 1 . ¿Cuál es la relación entre la nueva tasa de transmisión de energía P 2 a P 1 si se duplica la tensión? Se golpea un diapasón de 250 Hz y la intensidad en la fuente es I 1 a una distancia de un metro de la fuente. (a) ¿Cuál es la intensidad a una distancia de 4,00 m de la fuente? (b) ¿A qué distancia del diapasón la intensidad es una décima parte de la intensidad en la fuente? a. I 2 = 0,063 I 1 ; b. I 1 4 π r 1 2 = I 2 4 π r 2 2 r 2 = 3,16 m Un altavoz de sonido tiene un voltaje de P = 120,00 V y una corriente de I = 10,00 A . El consumo de potencia eléctrica es P = I V . Para probar el altavoz, se le aplica una señal de onda sinusoidal. Suponiendo que la onda sonora se mueve como una onda esférica y que toda la energía aplicada al altavoz se convierte en energía sonora, ¿a qué distancia del altavoz la intensidad es igual a 3,82 W/m 2 ? La energía de una ondulación en un estanque es proporcional a la amplitud al cuadrado. Si la amplitud de la ondulación es de 0,1 cm a una distancia de la fuente de 6,00 metros, ¿cuál era la amplitud a una distancia de 2,00 metros de la fuente? 2 π r 1 A 1 2 = 2 π r 2 A 2 2 , A 1 = ( r 2 r 1 ) 1 / 2 A 1 = 0,17 m intensidad (I ) potencia por unidad de área

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