Momento de inercia y energía cinética rotacional Hasta ahora en este capítulo, hemos estado trabajando con la cinemática rotacional: la descripción del movimiento de un cuerpo rígido en rotación con un eje fijo de rotación. En esta sección, definimos dos nuevas magnitudes que sirven para analizar las propiedades de los objetos en rotación: el momento de inercia y la energía cinética rotacional. Con estas propiedades definidas, tendremos dos herramientas importantes que necesitamos para analizar la dinámica rotacional. Energía cinética rotacional Cualquier objeto en movimiento tiene energía cinética. Sabemos cómo calcular esto para un cuerpo que experimenta un movimiento traslacional, pero ¿qué pasa con un cuerpo rígido que experimenta una rotación? Esto puede parecer complicado porque cada punto del cuerpo rígido tiene una velocidad diferente. Sin embargo, podemos utilizar la velocidad angular, que es la misma para todo el cuerpo rígido, a objeto de expresar la energía cinética de un objeto en rotación. La muestra un ejemplo de un cuerpo en rotación muy energético: una piedra eléctrica de amolar, impulsada por un motor. Saltan chispas y se generan ruidos y vibraciones mientras la piedra de amolar hace su trabajo. Este sistema tiene una energía considerable, parte de ella en forma de calor, luz, sonido y vibración. Sin embargo, la mayor parte de esta energía está en forma de energía cinética rotacional . La energía cinética rotacional de la piedra de amolar se convierte en calor, luz, sonido y vibración (créditos: Zachary David Bell, Marina de los EE. UU.). La energía en el movimiento rotacional no es ninguna nueva forma de energía, sino que es la energía asociada al movimiento rotacional, igual que la energía cinética en el movimiento traslacional. Sin embargo, ya que la energía cinética viene dada por K = 1 2 m v 2 , y la velocidad es una cantidad que es diferente para cada punto de un cuerpo que rota en torno a un eje, tiene sentido encontrar una manera de escribir la energía cinética en términos de la variable ω , que es la misma para todos los puntos de un cuerpo rígido en rotación. Para una sola partícula que rota en torno a un eje fijo, esto es sencillo de calcular. Podemos relacionar la velocidad angular con la magnitud de la velocidad de traslación mediante la relación v t = ω r , donde r es la distancia de la partícula al eje de rotación y v t es su rapidez tangencial. Al sustituir en la ecuación de la energía cinética, hallamos K = 1 2 m v t 2 = 1 2 m ( ω r ) 2 = 1 2 ( m r 2 ) ω 2 . En el caso de un cuerpo rígido en rotación, podemos dividir cualquier cuerpo en un gran número de masas más pequeñas, cada una con una masa m j y una distancia al eje de rotación r j , de manera que la masa total del cuerpo es igual a la suma de todas y cada una de las masas M = ∑ j m j . Cada masa menor tiene una rapidez tangencial v j , donde por el momento hemos suprimido el subíndice t . La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es K = ∑ j 1 2 m j v j 2 = ∑ j 1 2 m j ( r j ω j ) 2 y dado que ω j = ω para todas las masas, K = 1 2 ( ∑ j m j r j 2 ) ω 2 . Las unidades de la son julios (J). La ecuación en esta forma es completa, aunque poco manejable; tenemos que encontrar una manera de generalizarla. Momento de inercia Si comparamos la con la forma en que escribimos la energía cinética en Trabajo y energía cinética , ( 1 2 m v 2 ) , esto sugiere que tenemos una nueva variable rotacional que añadir a la lista de nuestras relaciones entre variables rotacionales y traslacionales. La cantidad ∑ j m j r j 2 es la contraparte de la masa en la ecuación de la energía cinética rotacional. Este es un término nuevo e importante para el movimiento rotacional. Esta cantidad recibe el nombre de momento de inercia I , con unidades de kg · m 2 : I = ∑ j m j r j 2 . Por ahora, dejamos la expresión en forma de suma, representando el momento de inercia de un sistema de partículas puntuales que rotan en torno a un eje fijo. Observamos que el momento de inercia de una partícula puntual en torno a un eje fijo es simplemente m r 2 , siendo r la distancia de la partícula puntual al eje de rotación. En la siguiente sección, exploramos la forma integral de esta ecuación, que puede utilizarse para calcular el momento de inercia de algunos cuerpos rígidos de forma regular. El momento de inercia es la medida cuantitativa de la inercia rotacional, al igual que en el movimiento traslacional, y la masa es la medida cuantitativa de la inercia lineal, es decir, cuanto más masivo sea un objeto, más inercia tiene y mayor será su resistencia al cambio de velocidad lineal. Del mismo modo, cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo rígido o de un sistema de partículas, mayor será su resistencia al cambio de velocidad angular en torno a un eje fijo de rotación. Es interesante ver cómo varía el momento de inercia con r, la distancia al eje de rotación de las partículas de masa en la . Los cuerpos rígidos y los sistemas de partículas con más masa concentrados a mayor distancia del eje de rotación tienen mayores momentos de inercia que los cuerpos y sistemas de la misma masa, pero concentrados cerca del eje de rotación. De esta manera, podemos ver que un cilindro hueco tiene más inercia rotacional que un cilindro sólido de la misma masa cuando rota en torno a un eje que pasa por el centro. Sustituyendo la en la , la expresión para la energía cinética de un cuerpo rígido en rotación se convierte en K = 1 2 I ω 2 . De esta ecuación se desprende que la energía cinética de un cuerpo rígido en rotación es directamente proporcional al momento de inercia y al cuadrado de la velocidad angular. Esto se aprovecha en los dispositivos de almacenamiento de energía de los volantes de inercia , que están diseñados para almacenar grandes cantidades de energía cinética rotacional. Muchos fabricantes de automóviles están probando ahora dispositivos de almacenamiento de energía en volantes de inercia en sus automóviles, como el volante de inercia, o sistema de recuperación de energía cinética, que se muestra en la . Volante de inercia del sistema de recuperación de energía cinética (Kinetic Energy Recovery System, KERS) utilizado en los autos (créditos: "cmonville"/Flickr). Las magnitudes rotacional y traslacional para la energía cinética y la inercia se resumen en la . La columna de relación no se incluye porque no existe ninguna constante por la que podamos multiplicar la cantidad rotacional para obtener la cantidad traslacional, como se puede hacer con las variables en la . Energías cinéticas rotacionales y traslacionales e inercia Rotacional Traslacional I = ∑ j m j r j 2 m K = 1 2 I ω 2 K = 1 2 m v 2 Momento de inercia de un sistema de partículas Seis pequeñas arandelas están separadas por 10 cm en una varilla de masa insignificante y 0,5 m de longitud. La masa de cada arandela es de 20 g. La varilla rota en torno a un eje situado a 25 cm, como se muestra en la . (a) ¿Cuál es el momento de inercia del sistema? (b) Si se quitan las dos arandelas más cercanas al eje, ¿cuál es el momento de inercia de las cuatro arandelas restantes? (c) Si el sistema con seis arandelas gira a 5 rev/s, ¿cuál es su energía cinética rotacional? Seis arandelas están separadas por 10 cm en una varilla de masa despreciable y rotan en torno a un eje vertical. Estrategia Utilizamos la definición de momento de inercia para un sistema de partículas y realizamos la suma para evaluar esta cantidad. Las masas son todas iguales, así que podemos poner esa cantidad delante del símbolo de la suma. Hacemos un cálculo similar. Insertamos el resultado de (a) en la expresión de la energía cinética rotacional. Solución I = ∑ j m j r j 2 = ( 0,02 kg ) ( 2 × ( 0,25 m ) 2 + 2 × ( 0,15 m ) 2 + 2 × ( 0,05 m ) 2 ) = 0,0035 kg · m 2 . I = ∑ j m j r j 2 = ( 0,02 kg ) ( 2 × ( 0,25 m ) 2 + 2 × ( 0,15 m ) 2 ) = 0,0034 kg · m 2 . K = 1 2 I ω 2 = 1 2 ( 0,0035 kg · m 2 ) ( 5,0 × 2 π rad / s ) 2 = 1,73 J . Importancia Podemos ver los aportes individuales al momento de inercia. Las masas cercanas al eje de rotación tienen un aporte muy pequeño. Cuando las quitamos, tuvo un efecto muy pequeño en el momento de inercia. En la siguiente sección, generalizamos la ecuación de suma para partículas puntuales y desarrollamos un método para calcular los momentos de inercia de los cuerpos rígidos. Por ahora, sin embargo, la ofrece valores de inercia rotacional para formas de objetos comunes alrededor de ejes específicos. Valores de inercia rotacional para formas comunes de objetos. Aplicación de la energía cinética rotacional Apliquemos ahora las ideas de la energía cinética rotacional y la tabla de momentos de inercia para tener una idea de la energía asociada a algunos objetos en rotación. Los siguientes ejemplos también le harán sentirse cómodo utilizando estas ecuaciones. En primer lugar, veamos una estrategia general de resolución de problemas de energía rotacional. Energía rotacional Determine que la energía o el trabajo está implicado en la rotación. Determine el sistema de interés. Un esquema suele ayudar. Analice la situación para determinar los tipos de trabajo y energía implicados. Si no hay pérdidas de energía debido a la fricción y otras fuerzas no conservativas, la energía mecánica se conserva, es decir, K i + U i = K f + U f . Si hay fuerzas no conservativas, la energía mecánica no se conserva y otras formas de energía, como el calor y la luz, pueden entrar o salir del sistema. Determine cuáles son y calcúlelas según sea necesario. Elimine los términos siempre que sea posible para simplificar el álgebra. Evalúe la solución numérica para ver si tiene sentido en la situación física presentada en el enunciado del problema. Calcular la energía de los helicópteros Un pequeño helicóptero de rescate típico tiene cuatro aspas: cada una mide 4,00 m de largo y tiene una masa de 50,0 kg ( ). Las aspas pueden tomarse como varillas delgadas que rotan en torno a un extremo de un eje perpendicular a su longitud. El helicóptero tiene una masa total cargada de 1.000 kg. (a) Calcule la energía cinética rotacional en las aspas cuando giran a 300 rpm. (b) Calcule la energía cinética traslacional del helicóptero cuando vuela a 20,0 m/s, y compárela con la energía rotacional en las aspas. (a) Esquema de un helicóptero de cuatro aspas. (b) Una operación de rescate en el agua con un helicóptero del Servicio de Helicópteros de Rescate de Auckland Westpac (créditos b: modificación del trabajo de "111 Emergency"/Flickr). Estrategia Las energías cinéticas rotacional y traslacional pueden calcularse a partir de sus definiciones. El enunciado del problema arroja todas las constantes necesarias para evaluar las expresiones de las energías cinéticas rotacional y traslacional. Solución La energía cinética rotacional es K = 1 2 I ω 2 . Debemos convertir la velocidad angular a radianes por segundo y calcular el momento de inercia antes de poder encontrar K . La velocidad angular ω es ω = 300 rev 1,00 min 2 π rad 1 rev 1,00 min 60,0 s = 31,4 rad s . El momento de inercia de un aspa es el de una varilla delgada que rota en torno a su extremo, que figura en la . El I total es cuatro veces este momento de inercia porque hay cuatro aspas. Así, I = 4 M l 2 3 = 4 × ( 50,0 kg ) ( 4,00 m ) 2 3 = 1067,0 kg · m 2 . Al introducir ω y I en la expresión de la energía cinética rotacional da K = 0,5 ( 1.067 kg · m 2 ) (31,4 rad/s) 2 = 5,26 × 10 5 J . Al introducir los valores dados en la ecuación de la energía cinética traslacional, obtenemos K = 1 2 m v 2 = ( 0,5 ) ( 1.000,0 kg ) ( 20,0 m/s ) 2 = 2,00 × 10 5 J . Para comparar la energía cinética, tomamos el cociente entre la energía cinética traslacional y la energía cinética rotacional. Este cociente es 2,00 × 10 5 J 5,26 × 10 5 J = 0,380 . Importancia El cociente entre la energía traslacional y la energía cinética rotacional es solo de 0,380. Este cociente nos indica que la mayor parte de la energía cinética del helicóptero está en sus aspas giratorias. Energía en un búmeran Una persona lanza un bumerán al aire, a una velocidad de 30,0 m/s en un ángulo de 40,0 ° con respecto a la horizontal ( ). Tiene una masa de 1,0 kg y gira a 10,0 rev/s. El momento de inercia del bumerán viene dado por I = 1 12 m L 2 donde L = 0,7 m . (a) ¿Cuál es la energía total del bumerán cuando sale de la mano? (b) ¿A qué altura llega el bumerán desde la elevación de la mano, descartando la resistencia del aire? Un bumerán se lanza al aire en un ángulo inicial de 40 ° . Estrategia Utilizamos las definiciones de energía cinética rotacional y lineal para hallar la energía total del sistema. El problema señala que hay que descartar la resistencia del aire, por lo que no hay que preocuparse por la pérdida de energía. En la parte (b), utilizamos la conservación de la energía mecánica para hallar la altura máxima del bumerán. Solución Momento de inercia: I = 1 12 m L 2 = 1 12 ( 1,0 kg ) ( 0,7 m ) 2 = 0,041 kg · m 2 . Velocidad angular: ω = ( 10,0 rev / s ) ( 2 π ) = 62,83 rad / s . Por lo tanto, la energía cinética rotacional es K R = 1 2 ( 0,041 kg · m 2 ) ( 62,83 rad / s ) 2 = 80,93 J . La energía cinética traslacional es K T = 1 2 m v 2 = 1 2 ( 1,0 kg ) ( 30,0 m / s ) 2 = 450,0 J . Por lo tanto, la energía total del bumerán es K Total = K R + K T = 80,93 + 450,0 = 530,93 J . Utilizamos la conservación de la energía mecánica. Dado que el bumerán se lanza en ángulo, necesitamos escribir la energía total del sistema en términos de su energía cinética lineal al utilizar la velocidad en las direcciones de la x y la y . La energía total cuando el bumerán sale de la mano es E Antes = 1 2 m v x 2 + 1 2 m v y 2 + 1 2 I ω 2 . La energía total a la altura máxima es E Final = 1 2 m v x 2 + 1 2 I ω 2 + m g h . Por conservación de la energía mecánica, E Antes = E Final por lo que tenemos, después de cancelar términos similares, 1 2 m v y 2 = m g h . Dado que v y = 30,0 m / s ( sen 40 ° ) = 19,28 m / s , hallamos h = ( 19,28 m / s ) 2 2 ( 9,8 m / s 2 ) = 18,97 m . Importancia En la parte (b), la solución demuestra cómo la conservación de energía es un método alternativo para resolver un problema que normalmente se resolvería utilizando la cinemática. En ausencia de resistencia del aire, la energía cinética rotacional no era un factor en la solución para la altura máxima. La hélice de un submarino nuclear tiene un momento de inercia de 800,0 kg · m 2 . Si la hélice sumergida tiene una tasa de rotación de 4,0 rev/s cuando se corta el motor, ¿cuál es la tasa de rotación de la hélice después de 5,0 s cuando la resistencia del agua ha quitado 50.000 J al sistema? La energía cinética rotacional inicial de la hélice es K 0 = 1 2 I ω 2 = 1 2 ( 800,0 kg-m 2 ) ( 4,0 × 2 π rad / s ) 2 = 2,53 × 10 5 J . A los 5,0 s la nueva energía cinética rotacional de la hélice es K f = 2,03 × 10 5 J . y la nueva velocidad angular es ω = 2 ( 2,03 × 10 5 J ) 800,0 kg-m 2 = 22,53 rad / s que es de 3,58 rev/s. Resumen La energía cinética rotacional es la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido o sistema de partículas en rotación, y viene dada por K = 1 2 I ω 2 , donde I es el momento de inercia, o "masa rotacional" del cuerpo rígido o sistema de partículas. El momento de inercia para un sistema de partículas puntuales que rotan en torno a un eje fijo es I = ∑ j m j r j 2 , donde m j es la masa de la partícula puntual y r j es la distancia de la partícula puntual al eje de rotación. Debido al término r 2 , el momento de inercia aumenta como el cuadrado de la distancia al eje fijo de rotación. El momento de inercia es la contraparte rotacional de la masa en movimiento lineal. En los sistemas que están en rotación y traslación, la conservación de la energía mecánica puede utilizarse si no hay fuerzas no conservativas en funcionamiento. La energía mecánica total se conserva entonces y es la suma de las energías cinéticas rotacional y traslacional, y la energía potencial gravitacional. Preguntas conceptuales ¿Qué pasaría si otro planeta del mismo tamaño que la Tierra se pusiera en órbita alrededor del Sol junto con la Tierra? ¿El momento de inercia del sistema aumentaría, disminuiría o se mantendría igual? Una esfera sólida rota en torno a un eje que pasa por su centro a una tasa de rotación constante. Otra esfera hueca de la misma masa y radio rota en torno a su eje por el centro, a la misma tasa de rotación. ¿Qué esfera tiene mayor energía cinética rotacional? La esfera hueca, dado que la masa se distribuye más lejos del eje de rotación. Problemas En la siguiente figura se muestra un sistema de partículas puntuales. Cada partícula tiene una masa de 0,3 kg y todas se encuentran en el mismo plano. (a) ¿Cuál es el momento de inercia del sistema alrededor del eje dado? (b) Si el sistema gira a 5 rev/s, ¿cuál es su energía cinética rotacional? (a) Calcule la energía cinética rotacional de la Tierra sobre su eje. (b) ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la Tierra en su órbita alrededor del Sol? a. K = 2,56 × 10 29 J; b. K = 2,68 × 10 33 J Calcule la energía cinética rotacional de una rueda de motocicleta de 12 kg si su velocidad angular es de 120 rad/s y su radio interior es de 0,280 m y el exterior de 0,330 m. Un lanzador de béisbol lanza la pelota con un movimiento en el que hay rotación del antebrazo sobre la articulación del codo, así como otros movimientos. Si la velocidad lineal de la pelota respecto a la articulación del codo es de 20,0 m/s a una distancia de 0,480 m de la articulación y el momento de inercia del antebrazo es 0,500 kg-m 2 , ¿cuál es la energía cinética rotacional del antebrazo? K = 434,0 J Una clavadista da una voltereta durante una inmersión plegando las extremidades. Si su energía cinética rotacional es de 100 J y su momento de inercia al plegarse es 9,0 kg · m 2 , ¿cuál es su velocidad de rotación durante la voltereta? Un avión aterriza a 300 metros de altura cuando la hélice se desprende. El avión vuela a 40,0 m/s en horizontal. La hélice tiene un índice de rotación de 20 rev/s, un momento de inercia de 70,0 kg-m 2 , y una masa de 200 kg. Descarte la resistencia del aire. (a) ¿Con qué velocidad de traslación golpea la hélice el suelo? (b) ¿Cuál es la tasa de rotación de la hélice al momento del impacto? a. v f = 86,5 m / s ; b. La tasa de rotación de la hélice se mantiene en 20 rev/s. Si la resistencia del aire está presente en el problema anterior y reduce la energía cinética rotacional de la hélice en el momento del impacto en un 30 %, ¿cuál es la tasa de rotación de la hélice en el momento del impacto? Una estrella de neutrones de masa 2 × 10 30 kg y un radio de 10 km rota en un periodo de 0,02 segundos. ¿Cuál es su energía cinética rotacional? K = 3,95 × 10 42 J Una lijadora eléctrica formada por un disco giratorio de 0,7 kg de masa y radio 10 cm rota a 15 rev/s. Cuando se aplica a una pared de madera rugosa, la tasa de rotación disminuye en un 20 %. (a) ¿Cuál es la energía cinética de rotación final del disco giratorio? (b) ¿Cuánto ha disminuido su energía cinética rotacional? Un sistema consiste de un disco de 2,0 kg de masa y radio 50 cm sobre el que está montado un cilindro anular de 1,0 kg de masa con radio interior de 20 cm y exterior de 30 cm (vea abajo). El sistema gira alrededor de un eje que pasa por el centro del disco y del cilindro anular a 10 rev/s. (a) ¿Cuál es el momento de inercia del sistema? (b) ¿Cuál es su energía cinética rotacional? a. I = 0,315 kg · m 2 ; b. K = 621,8 J momento de inercia masa rotacional de los cuerpos rígidos que se relaciona con lo fácil o difícil que será cambiar la velocidad angular del cuerpo rígido en rotación energía cinética rotacional energía cinética debida a la rotación de un objeto; forma parte de su energía cinética total

Ciencia


Calcular momentos de inercia En la sección anterior definimos el momento de inercia, pero no indicamos cómo calcularlo. En esta sección, mostramos cómo calcular el momento de inercia para varios tipos de objetos estándar, así como cómo utilizar los momentos de inercia conocidos para hallar el momento de inercia en un eje desplazado o en un objeto compuesto. Esta sección es bastante útil para ver cómo aplicar una ecuación general a objetos complejos (una habilidad que es fundamental en los cursos de física e ingeniería más avanzados). Momento de inercia Definimos el momento de inercia I de un objeto como I = ∑ i m i r i 2 para todas las masas puntuales que componen el objeto. Como r es la distancia al eje de rotación de cada pieza de masa que compone el objeto, el momento de inercia de cualquier objeto depende del eje elegido. Para ver esto, tomemos un ejemplo sencillo de dos masas en el extremo de una varilla sin masa (masa despreciable) ( ) y calculemos el momento de inercia en torno a dos ejes diferentes. En este caso, la suma sobre las masas es sencilla porque las dos masas del extremo de la barra se pueden tomar como masas puntuales y, por tanto, la suma solo tiene dos términos. En el caso con el eje en el centro de la barra, cada una de las dos masas m está a una distancia R del eje, dando un momento de inercia de I 1 = m R 2 + m R 2 = 2 m R 2 . En el caso de que el eje esté en el extremo de la barra, pasando por una de las masas, el momento de inercia es I 2 = m ( 0 ) 2 + m ( 2 R ) 2 = 4 m R 2 . De este resultado, podemos concluir que es dos veces más difícil hacer rotar la barra en torno al extremo que en torno a su centro. (a) Una barra con un eje de rotación por su centro; (b) una barra con un eje de rotación por un extremo. En este ejemplo, teníamos dos masas puntuales y la suma era sencilla de calcular. Sin embargo, para tratar con objetos que no son puntuales, tenemos que pensar cuidadosamente en cada uno de los términos de la ecuación. La ecuación nos pide que sumemos cada "pieza de masa" a una determinada distancia del eje de rotación. Pero, ¿qué significa exactamente cada "pieza de masa"? Recordemos que, en nuestra derivación de esta ecuación, cada pieza de masa tenía la misma magnitud de velocidad, lo que significa que toda la pieza debía tener una única distancia r al eje de rotación. Sin embargo, esto no es posible, a menos que tomemos una pieza infinitesimalmente pequeña de masa dm , como se muestra en la . Utilizar una pieza infinitesimalmente pequeña de masa para calcular la contribución al momento de inercia total. La necesidad de utilizar una pieza infinitesimalmente pequeña de masa dm sugiere que podemos escribir el momento de inercia al evaluar una integral sobre masas infinitesimales en lugar de hacer otra suma en masas finitas: I = ∑ i m i r i 2 se convierte en I = ∫ r 2 d m . De hecho, esta es la forma que necesitamos para generalizar la ecuación para formas complejas. Lo mejor es trabajar en detalle con ejemplos específicos para tener una idea de cómo calcular el momento de inercia en formas específicas. En esto se centra la mayor parte del resto de esta sección. Una varilla delgada y uniforme con un eje por el centro Considere una varilla delgada uniforme (densidad y forma) de masa M y longitud L como se muestra en la . Queremos una varilla delgada para poder suponer que el área de la sección transversal de la varilla es pequeña y que la varilla se puede considerar como una cadena de masas a lo largo de una línea recta unidimensional. En este ejemplo, el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio para simplificar. Nuestra tarea consiste en calcular el momento de inercia en torno a este eje. Orientamos los ejes de manera que el eje de la z sea el eje de rotación y el eje de la x pase por la longitud de la varilla, como se muestra en la figura. Esta es una opción conveniente porque entonces podemos integrar a lo largo del eje de la x . Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada uniforme en torno a un eje que pasa por el centro de la varilla. Definimos dm como un pequeño elemento de masa que compone la varilla. La integral del momento de inercia es una integral sobre la distribución de masas. Sin embargo, sabemos cómo integrar sobre el espacio, no sobre la masa. Por lo tanto, tenemos que encontrar una forma de relacionar la masa con las variables espaciales. Para ello, utilizamos la densidad lineal de masa λ del objeto, que es la masa por unidad de longitud. Dado que la densidad de masa de este objeto es uniforme, podemos escribir λ = m l o m = λ l . Si tomamos la diferencial de cada lado de esta ecuación, hallamos d m = d ( λ l ) = λ ( d l ) dado que λ es constante. Hemos elegido orientar la varilla a lo largo del eje de la x por comodidad, y es aquí donde esta elección resulta muy útil. Observe que una pieza de la varilla dl se encuentra completamente a lo largo del eje de la x y tiene una longitud dx ; de hecho, d l = d x en esta situación. Por lo tanto, podemos escribir d m = λ ( d x ) , lo que nos da una variable de integración que sabemos cómo tratar. La distancia de cada pieza de masa dm al eje viene dada por la variable x , como se muestra en la figura. Al unir todo esto, obtenemos I = ∫ r 2 d m = ∫ x 2 d m = ∫ x 2 λ d x . El último paso es tener cuidado con nuestros límites de integración. La varilla se extiende desde x = - L / 2 a x = L / 2 , ya que el eje está en el centro de la varilla en x = 0 . Esto nos da I = ∫ - L / 2 L / 2 x 2 λ d x = λ x 3 3 | - L / 2 L / 2 = λ ( 1 3 ) [ ( L 2 ) 3 - ( - L 2 ) 3 ] = λ ( 1 3 ) L 3 8 ( 2 ) = M L ( 1 3 ) L 3 8 ( 2 ) = 1 12 M L 2 . A continuación, calculamos el momento de inercia para la misma varilla delgada uniforme, pero con otra elección de eje para poder comparar los resultados. Es de esperar que el momento de inercia sea menor en torno a un eje que pasa por el centro de masa que en el eje de los extremos, tal y como ocurría en el ejemplo de la barra al principio de esta sección. Esto ocurre porque la masa se distribuye más lejos del eje de rotación. Una varilla delgada y uniforme con un eje en el extremo Consideremos ahora la misma varilla delgada y uniforme de masa M y longitud L , pero esta vez trasladamos el eje de rotación al extremo de la varilla. Queremos hallar el momento de inercia en torno a este nuevo eje ( ). La cantidad dm se define de nuevo como un pequeño elemento de masa que compone la varilla. Al igual que antes, obtenemos I = ∫ r 2 d m = ∫ x 2 d m = ∫ x 2 λ d x . Sin embargo, esta vez tenemos otros límites de integración. La varilla se extiende desde x = 0 a x = L , ya que el eje está en el extremo de la varilla en x = 0 . Por lo tanto, hallamos I = ∫ 0 L x 2 λ d x = λ x 3 3 | 0 L = λ ( 1 3 ) [ ( L ) 3 - ( 0 ) 3 ] = λ ( 1 3 ) L 3 = M L ( 1 3 ) L 3 = 1 3 M L 2 . Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada y uniforme en torno a un eje que pasa por el extremo de la varilla. Observe que la inercia rotacional de la varilla en torno a su extremo es mayor que la inercia rotacional en torno a su centro (en consonancia con el ejemplo de la barra) por un factor de cuatro. El teorema del eje paralelo La similitud entre el proceso de hallar el momento de inercia de una varilla en torno a un eje que pasa por su centro y en torno a un eje que pasa por su extremo es sorprendente, y sugiere que podría haber un método más sencillo para determinar el momento de inercia de una varilla en torno a cualquier eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa. Dicho eje se denomina eje paralelo . Existe un teorema para esto, llamado teorema del eje paralelo , que enunciamos aquí, pero no derivamos en este texto. Teorema del eje paralelo Supongamos que m sea la masa de un objeto y d sea la distancia desde un eje que pasa por el centro de masa del objeto hasta un nuevo eje. Entonces tenemos I eje paralelo = I centro de masa + m d 2 . Apliquemos esto a los ejemplos de varillas resueltos anteriormente: I extremo = I centro de masa + m d 2 = 1 12 m L 2 + m ( L 2 ) 2 = ( 1 12 + 1 4 ) m L 2 = 1 3 m L 2 . Este resultado concuerda con nuestro cálculo más extenso de arriba. Esta es una ecuación útil que aplicamos en algunos de los ejemplos y problemas. ¿Cuál es el momento de inercia de un cilindro de radio R y masa m en torno a un eje que pasa por un punto de la superficie, como se muestra a continuación? I eje paralelo = I centro de masa + m d 2 = m R 2 + m R 2 = 2 m R 2 Un disco delgado y uniforme en torno a un eje que pasa por el centro Integrar para hallar el momento de inercia de un objeto bidimensional es un poco más complicado, pero una forma se hace comúnmente en este nivel de estudio: un disco delgado y uniforme en torno a un eje que pasa por su centro ( ). Calcular el momento de inercia de un disco delgado en torno a un eje que pasa por su centro. Dado que el disco es delgado, podemos tomar la masa como distribuida enteramente en el plano xy . Comenzamos de nuevo con la relación para la densidad de masa superficial , que es la masa por unidad de área de superficie. Al ser uniforme, la densidad de masa superficial σ es constante: σ = m A o σ A = m , entonces d m = σ ( d A ) . Ahora utilizamos una simplificación para el área. Se puede pensar que el área está formada por una serie de anillos delgados, donde cada anillo es un incremento de masa dm de radio r equidistante del eje, como se muestra en la parte (b) de la figura. El área infinitesimal de cada anillo dA viene dada, por lo tanto, por la longitud de cada anillo ( 2 π r ) por la anchura infinitesimal de cada anillo dr : A = π r 2 , d A = d ( π r 2 ) = π d r 2 = 2 π r d r . El área completa del disco se compone entonces de la suma de todos los anillos delgados con un rango de radios de 0 a R . Este rango de radios se convierte entonces en nuestros límites de integración para dr , es decir, integramos desde r = 0 a r = R . Si juntamos todo esto, tenemos I = ∫ 0 R r 2 σ ( 2 π r ) d r = 2 π σ ∫ 0 R r 3 d r = 2 π σ r 4 4 | 0 R = 2 π σ ( R 4 4 - 0 ) = 2 π m A ( R 4 4 ) = 2 π m π R 2 ( R 4 4 ) = 1 2 m R 2 . Observe que esto coincide con el valor dado en la . Cálculo del momento de inercia de los objetos compuestos Consideremos ahora un objeto compuesto como el que aparece en la , que representa un disco delgado en el extremo de una varilla delgada. Esto no se puede integrar fácilmente para hallar el momento de inercia porque no es un objeto uniforme. Sin embargo, si volvemos a la definición inicial del momento de inercia como una suma, podemos razonar que el momento de inercia de un objeto compuesto se halla a partir de la suma de cada parte del objeto: I total = ∑ i I i . Es importante señalar que los momentos de inercia de los objetos en la están en torno a un eje común . En el caso de este objeto, se trataría de una varilla de longitud L que rota en torno a su extremo, y un disco delgado de radio R que rota en torno a un eje desplazado del centro en una distancia L + R , donde R es el radio del disco. Definamos la masa de la varilla como m r y la masa del disco como m d . Objeto compuesto que consiste de un disco en el extremo de una varilla. El eje de rotación está situado en A . El momento de inercia de la varilla es simplemente 1 3 m r L 2 , pero tenemos que utilizar el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia del disco en torno al eje mostrado. El momento de inercia del disco en torno a su centro es 1 2 m d R 2 y aplicamos el teorema del eje paralelo I eje paralelo = I centro de masa + m d 2 para hallar I eje paralelo = 1 2 m d R 2 + m d ( L + R ) 2 . Si sumamos el momento de inercia de la varilla más el momento de inercia del disco con el eje de rotación desplazado, hallamos que el momento de inercia del objeto compuesto es I total = 1 3 m r L 2 + 1 2 m d R 2 + m d ( L + R ) 2 . Aplicar los cálculos del momento de inercia para resolver problemas Examinemos ahora algunas aplicaciones prácticas del cálculo del momento de inercia. Persona en un carrusel Un niño de 25 kg se encuentra a una distancia r = 1,0 m del eje de un carrusel en rotación ( ). El carrusel puede tomarse como un disco sólido uniforme, con una masa de 500 kg y un radio de 2,0 m. Halle el momento de inercia de este sistema. Calcular el momento de inercia de un niño en un carrusel. Estrategia Este problema implica el cálculo de un momento de inercia. Nos dan la masa y la distancia al eje de rotación del niño, así como la masa y el radio del carrusel. Dado que la masa y el tamaño del niño son mucho más pequeños que el carrusel, podemos calcular aproximadamente al niño como una masa puntual. La notación que utilizamos es m c = 25 kg , r c = 1,0 m , m m = 500 kg , r m = 2,0 m . Nuestro objetivo es hallar I total = ∑ i I i . Solución Para el niño (child, c), I c = m c r 2 , y para el carrusel (merry-go-round, m), I m = 1 2 m m r 2 . Por lo tanto, I total = 25 ( 1 ) 2 + 1 2 ( 500 ) ( 2 ) 2 = 25 + 1.000 = 1.025 kg · m 2 . Importancia El valor debería aproximarse al momento de inercia del carrusel por sí mismo porque tiene mucha más masa distribuida fuera del eje que el niño. Varilla y esfera sólida Halle el momento de inercia de la combinación de varilla y esfera sólida en torno a los dos ejes, como se muestra a continuación. La varilla tiene una longitud de 0,5 m y una masa de 2,0 kg. El radio de la esfera es de 20,0 cm y tiene una masa de 1,0 kg. Estrategia Dado que en ambos casos tenemos un objeto compuesto, podemos utilizar el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia en torno a cada eje. En (a), el centro de masa de la esfera está situado a una distancia L + R desde el eje de rotación. En (b), el centro de masa de la esfera está situado a una distancia R del eje de rotación. En ambos casos, el momento de inercia de la varilla está en torno a un eje situado en un extremo. Consulte en la los momentos de inercia de los distintos objetos. I total = ∑ i I i = I Varilla + I Esfera ; I Esfera = I centro de masa + m Esfera ( L + R ) 2 = 2 5 m Esfera R 2 + m Esfera ( L + R ) 2 ; I total = I Varilla + I Esfera = 1 3 m Varilla L 2 + 2 5 m Esfera R 2 + m Esfera ( L + R ) 2 ; I total = 1 3 ( 2,0 kg ) ( 0,5 m ) 2 + 2 5 ( 1,0 kg ) ( 0,2 m ) 2 + ( 1,0 kg ) ( 0,5 m + 0,2 m ) 2 ; I total = ( 0,167 + 0,016 + 0,490 ) kg · m 2 = 0,673 kg · m 2 . I Esfera = 2 5 m Esfera R 2 + m Esfera R 2 ; I total = I Varilla + I Esfera = 1 3 m Varilla L 2 + 2 5 m Esfera R 2 + m Esfera R 2 ; I total = 1 3 ( 2,0 kg ) ( 0,5 m ) 2 + 2 5 ( 1,0 kg ) ( 0,2 m ) 2 + ( 1,0 kg ) ( 0,2 m ) 2 ; I total = ( 0,167 + 0,016 + 0,04 ) kg · m 2 = 0,223 kg · m 2 . Importancia El uso del teorema del eje paralelo facilita el cálculo del momento de inercia de los objetos compuestos. Vemos que el momento de inercia es mayor en (a) que en (b). Esto se debe a que el eje de rotación está más cerca del centro de masa del sistema en (b). La analogía simple es la de una varilla. El momento de inercia en torno a un extremo es 1 3 m L 2 , pero el momento de inercia a través del centro de masa a lo largo de su longitud es 1 12 m L 2 . Velocidad angular de un péndulo Un péndulo en forma de varilla ( ) se suelta del reposo con un ángulo de 30 ° . Tiene una longitud de 30 cm y una masa de 300 g. ¿Cuál es su velocidad angular en su punto más bajo? Un péndulo en forma de varilla se suelta del reposo con un ángulo de 30 ° . Estrategia Utilice la conservación de la energía para resolver el problema. En el punto de liberación, el péndulo tiene energía potencial gravitacional, que se determina a partir de la altura del centro de masa sobre su punto más bajo en la oscilación. En la parte inferior de la oscilación, toda la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética rotacional. Solución El cambio en la energía potencial es igual al cambio en la energía cinética rotacional, Δ U + Δ K = 0 . En la parte superior de la oscilación: U = m g h cm = m g L 2 ( cos θ ) . En la parte inferior de la oscilación, U = m g L 2 . En la parte superior de la oscilación, la energía cinética rotacional es K = 0 . En la parte inferior de la oscilación, K = 1 2 I ω 2 . Por lo tanto: Δ U + Δ K = 0 ⇒ ( m g L 2 ( 1 - cos θ ) - 0 ) + ( 0 - 1 2 I ω 2 ) = 0 o 1 2 I ω 2 = m g L 2 ( 1 - cos θ ) . Resolviendo para ω , tenemos ω = m g L I ( 1 - cos θ ) = m g L 1 / 3 m L 2 ( 1 - cos θ ) = g 3 L ( 1 - cos θ ) . Insertando los valores numéricos, tenemos ω = 9,8 m / s 2 3 0,3 m ( 1 - cos 30 ) = 3,6 rad / s . Importancia Observe que la velocidad angular del péndulo no depende de su masa. Resumen Los momentos de inercia se hallan al sumar o integrar cada "pieza de masa" que compone un objeto, multiplicado por el cuadrado de la distancia de cada "pieza de masa" al eje. En forma integral el momento de inercia es I = ∫ r 2 d m . El momento de inercia es mayor cuando la masa de un objeto está más alejada del eje de rotación. Es posible hallar el momento de inercia de un objeto en torno a un nuevo eje de rotación una vez que se conoce para un eje paralelo. Esto se denomina el teorema del eje paralelo dado por I eje paralelo = I centro de masa + m d 2 , donde d es la distancia del eje inicial al eje paralelo. El momento de inercia de un objeto compuesto es simplemente la suma de los momentos de inercia de cada uno de los objetos que lo componen. Preguntas conceptuales Si un niño camina hacia el centro de un carrusel, ¿aumenta o disminuye el momento de inercia? Un lanzador de disco rota con un disco en la mano antes de soltarlo. (a) ¿Cómo cambia su momento de inercia después de soltar el disco? (b) ¿Cuál sería la aproximación adecuada para calcular el momento de inercia del lanzador de disco y del disco? a. Disminuye. b. Los brazos podrían calcularse aproximadamente como varillas y el disco como un disco. El torso está cerca del eje de rotación, por lo que no contribuye mucho al momento de inercia. ¿El aumento del número de aspas de una hélice aumenta o disminuye su momento de inercia, y por qué? El momento de inercia de una varilla larga que gira alrededor de un eje por un extremo perpendicular a su longitud es m L 2 / 3 . ¿Por qué este momento de inercia es mayor que si se hace girar una masa puntual m en el lugar del centro de masa de la varilla (en L /2) (que sería m L 2 / 4 )? Porque el momento de inercia varía como el cuadrado de la distancia al eje de rotación. La masa de la varilla situada a distancias superiores a L /2 aportaría la mayor contribución para que su momento de inercia fuera mayor que la masa puntual en L /2. ¿Por qué el momento de inercia de un aro que tiene una masa M y un radio R es mayor que el momento de inercia de un disco que tiene la misma masa y radio? Problemas Al lanzar un balón de fútbol, un pateador rota su pierna en torno a la articulación de la cadera. El momento de inercia de la pierna es 3,75 kg-m 2 y su energía cinética rotacional es de 175 J. (a) ¿Cuál es la velocidad angular de la pierna? (b) ¿Cuál es la velocidad de la punta del zapato del jugador si está a 1,05 m de la articulación de la cadera? Utilizando el teorema del eje paralelo, ¿cuál es el momento de inercia de la varilla de masa m en torno al eje que se muestra a continuación? I = 7 36 m L 2 Halle el momento de inercia de la varilla en el problema anterior por integración directa. Una varilla uniforme de masa 1,0 kg y longitud 2,0 m rota libremente en torno a un extremo (vea la figura siguiente). Si la varilla se suelta del reposo en un ángulo de 60 ° con respecto a la horizontal, ¿cuál es la rapidez de la punta de la varilla al pasar por la posición horizontal? v = 7,14 m / s . Un péndulo consiste en una varilla de masa 2 kg y longitud 1 m con una esfera maciza en un extremo con masa 0,3 kg y radio 20 cm (vea la siguiente figura). Si el péndulo se suelta del reposo con un ángulo de 30 ° , ¿cuál es la velocidad angular en el punto más bajo? Una esfera sólida de 10 cm de radio se deja rotar libremente en torno a un eje. La esfera recibe un golpe fuerte de forma que su centro de masa parte de la posición indicada en la siguiente figura con una rapidez de 15 cm/s. ¿Cuál es el ángulo máximo que forma el diámetro con la vertical? θ = 10,2 ° Calcule el momento de inercia por integración directa de una varilla delgada de masa M y longitud L en torno a un eje que pasa por la varilla en L /3, como se muestra a continuación. Compruebe su respuesta con el teorema del eje paralelo. densidad lineal de masa la masa por unidad de longitud λ de un objeto unidimensional eje paralelo eje de rotación paralelo a un eje en torno al cual se conoce el momento de inercia de un objeto teorema del eje paralelo si se conoce el momento de inercia para un eje determinado, se puede hallar para cualquier eje paralelo a este densidad de masa superficial masa por unidad de área σ de un objeto bidimensional

Ciencia


Torque Una magnitud importante para describir la dinámica de un cuerpo rígido en rotación es el torque. Vemos la aplicación del torque de muchas maneras en nuestro mundo. Todos tenemos una intuición sobre el torque, como cuando utilizamos una llave grande para desenroscar un tornillo difícil. El torque actúa de forma invisible, como cuando pisamos el acelerador en un auto, lo que hace que el motor ponga torque adicional en el tren de transmisión. También, cada vez que movemos nuestro cuerpo desde una posición de pie, aplicamos un torque a nuestras extremidades. En esta sección, definimos el torque y argumentamos la ecuación para calcular el torque para un cuerpo rígido con rotación de eje fijo. Definir el torque Hasta ahora hemos definido muchas variables que son equivalentes rotacionales a sus contrapartes traslacionales. Consideremos cuál debe ser la contrapartida de la fuerza. Dado que las fuerzas cambian el movimiento de traslación de los objetos, la contraparte rotacional deberá relacionarse con el cambio del movimiento de rotación de un objeto alrededor de un eje. Llamamos torque a esta contrapartida rotacional. En la vida cotidiana, rotamos objetos alrededor de un eje todo el tiempo, así que intuitivamente ya sabemos mucho sobre el torque. Piense, por ejemplo, en cómo rotamos una puerta para abrirla. En primer lugar, sabemos que una puerta se abre con lentitud si empujamos demasiado cerca de sus bisagras; es más eficaz hacer rotar una puerta abierta si empujamos lejos de las bisagras. En segundo lugar, sabemos que debemos empujar perpendicularmente al plano de la puerta; si empujamos paralelamente al plano de la puerta, no podremos hacerla rotar. En tercer lugar, cuanto mayor sea la fuerza, más eficaz será para abrir la puerta; cuanto más fuerte sea el empujón, la puerta se abrirá más rápidamente. El primer punto implica que, cuanto más lejos se aplique la fuerza del eje de rotación, mayor será la aceleración angular; el segundo implica que la eficacia depende del ángulo en el que se aplica la fuerza; el tercero implica que la magnitud de la fuerza también debe formar parte de la ecuación. Observe que, para la rotación en un plano, el torque tiene dos direcciones posibles. El torque es en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario de las agujas del reloj con respecto al punto de apoyo elegido. La muestra rotaciones en sentido contrario de las agujas del reloj. El torque es la eficacia de giro o torsión de una fuerza, ilustrada aquí para la rotación de una puerta sobre sus bisagras (vista desde arriba). El torque tiene tanto magnitud como dirección. (a) Un torque en el sentido contrario de las agujas del reloj es producido por una fuerza F → actuando a una distancia r de las bisagras (el punto de apoyo). (b) Se produce un torque menor en el sentido contrario de las agujas del reloj cuando una fuerza menor F → ′ actúa a la misma distancia r de las bisagras. (c) La misma fuerza que en (a) produce un torque menor en el sentido contrario de las agujas del reloj cuando se aplica a una distancia menor de las bisagras. (d) Se produce un torque menor en el sentido contrario de las agujas del reloj si la fuerza de la misma magnitud que (a) actúa a la misma distancia que (a), pero con un ángulo θ que es menor a 90 ° . Consideremos ahora cómo definir los torques en el caso general de las tres dimensiones. Torque Cuando una fuerza F → se aplica a un punto P cuya posición es r → respecto a O ( ), el torque τ → alrededor de O es τ → = r → × F → . El torque es perpendicular al plano definido por r → y F → y su dirección está determinada por la regla de la mano derecha. A partir de la definición del producto cruz, el torque τ → es perpendicular al plano que contiene a r → y F → y tiene una magnitud | τ → | = | r → × F → | = r F sen θ , donde θ es el ángulo entre los vectores r → y F → . La unidad SI de torque es newtons por metros, que se escribe como N · m . La cantidad r ⊥ = r sen θ es la distancia perpendicular de O a la línea determinada por el vector F → y se denomina brazo de palanca . Observe que, cuanto mayor sea el brazo de palanca, mayor será la magnitud del torque. En términos del brazo de palanca, la magnitud del torque es | τ → | = r ⊥ F . El producto cruz r → × F → también nos indica el signo del torque. En la , el producto cruz r → × F → es a lo largo del eje de la z positiva, que, por convención, es un torque positivo. Si r → × F → es a lo largo del eje de la z negativa; esto produce un torque negativo. Si consideramos un disco que rota libremente en torno a un eje que pasa por el centro, como se muestra en la , podemos ver cómo el ángulo entre el radio r → y la fuerza F → afecta a la magnitud del torque. Si el ángulo es cero, el torque es cero; si el ángulo es 90 ° , el torque es máximo. El torque en la es positivo porque la dirección del torque por la regla de la mano derecha está fuera de la página a lo largo del eje de la z positiva. El disco rota en el sentido contrario de las agujas del reloj debido al torque, en la misma dirección que la aceleración angular positiva. Un disco rotar libremente en torno a su eje por el centro. La magnitud del torque en el disco es r F sen θ . Cuando θ = 0 ° , el torque es cero y el disco no rota. Cuando θ = 90 ° , el torque es máximo y el disco rota con la máxima aceleración angular. Se puede calcular cualquier número de torques en torno a un eje determinado. Cada uno de los torques se suman para producir un torque neto en torno al eje. Cuando se asigna el signo apropiado (positivo o negativo) a la magnitud de cada uno de los torques en torno a un eje determinado, el torque neto al eje es la suma de todos y cada uno de los torques: τ → neto = ∑ i | τ → i | . Calcular el torque neto para cuerpos rígidos en un eje fijo En los siguientes ejemplos, calculamos el torque tanto de forma abstracta y aplicado a un cuerpo rígido. En primer lugar, introducimos una estrategia de resolución de problemas. Hallar el torque neto Elija un sistema de coordenadas con el punto de apoyo o eje de rotación como origen del sistema seleccionado de coordenadas. Determine el ángulo entre el brazo de palanca r → y el vector de fuerza. Tome el producto cruz de r → y F → para determinar si el torque es positivo o negativo en torno al punto de apoyo o eje. Evalúe la magnitud del torque por medio de r ⊥ F . Asigne el signo apropiado, positivo o negativo, a la magnitud. Sume los torques para hallar el torque neto. Calcular el torque En la se muestran cuatro fuerzas en lugares y orientaciones particulares con respecto a un sistema de coordenadas xy determinado. Halle el torque debido a cada fuerza en torno al origen, y luego utilice sus resultados para hallar el torque neto en torno al origen. Cuatro fuerzas que producen torques. Estrategia Este problema requiere el cálculo del torque. Todas las cantidades conocidas, fuerzas con direcciones y brazos de palanca, se indican en la figura. El objetivo es hallar cada torque y el torque neto al sumar todos y cada uno de los torques. Tenga cuidado de asignar el signo correcto a cada torque mediante el producto cruz de r → y el vector de fuerza F → . Solución Utilice | τ → | = r ⊥ F = r F sen θ para hallar la magnitud y τ → = r → × F → para determinar el signo del torque. El torque para la fuerza de 40 N en el primer cuadrante viene dado por ( 4 ) ( 40 ) sen 90 ° = 160 N · m . El producto cruz de r → y F → está fuera de la página, es positivo. El torque para la fuerza de 20 N en el tercer cuadrante viene dado por - ( 3 ) ( 20 ) sen 90 ° = - 60 N · m . El producto cruz de r → y F → está dentro de la página, por lo que es negativo. El torque para la fuerza 30 N en el tercer cuadrante viene dado por ( 5 ) ( 30 ) sen 53 ° = 120 N · m . El producto cruz de r → y F → está fuera de la página, es positivo. El torque para la fuerza de 20 N en el segundo cuadrante viene dado por ( 1 ) ( 20 ) sen 30 ° = 10 N · m . El producto cruz de r → y F → está fuera de la página. Por lo tanto, el torque neto es τ neto = ∑ i | τ i | = 160 - 60 + 120 + 10 = 230 N · m . Importancia Observe que cada fuerza que actúa en el sentido contrario de las agujas del reloj tiene un torque positivo, mientras que cada fuerza que actúa en el sentido de las agujas del reloj tiene un torque negativo. El torque es mayor cuando la distancia, la fuerza o los componentes perpendiculares son mayores. Calcular el torque en un cuerpo rígido La muestra varias fuerzas que actúan en diferentes lugares y ángulos sobre un volante de inercia. Tenemos | F → 1 | = 20 N , | F → 2 | = 30 N , | F → 3 | = 30 N , y r = 0,5 m . Calcule el torque neto en el volante de inercia en torno a un eje que pasa por el centro. Tres fuerzas que actúan sobre un volante de inercia. Estrategia Calculamos cada torque individualmente, mediante el producto cruz, y determinamos el signo del torque. Luego sumamos los torques para dar con el torque neto. Solución Comenzamos con F → 1 . Si nos fijamos en la , vemos que F → 1 forma un ángulo de 90 ° + 60 ° con el radio del vector r → . Tomando el producto cruz, vemos que está fuera de la página y por lo tanto es positivo. También vemos esto al calcular su magnitud: | τ → 1 | = r F 1 sen 150 ° = 0,5 m ( 20 N ) ( 0,5 ) = 5,0 N · m . A continuación, examinamos F → 2 . El ángulo entre F → 2 y r → es 90 ° y el producto cruz está en la página, por lo que el torque es negativo. Su valor es | τ → 2 | = - r F 2 sen 90 ° = −0,5 m ( 30 N ) = −15,0 N · m . Cuando evaluamos el torque debido a F → 3 , vemos que el ángulo que forma con r → es cero, por lo que r → × F → 3 = 0 . Por lo tanto, F → 3 no produce ningún torque en el volante de inercia. Evaluamos la suma de los torques: τ neto = ∑ i | τ i | = 5 - 15 = −10 N · m . Importancia El eje de rotación está en el centro de masa del volante de inercia. Dado que el volante de inercia está en un eje fijo, no se traslada libremente. Si estuviera en una superficie sin fricción y no estuviera fijo, F → 3 provocaría la traslación del volante de inercia, así como F → 1 . Su movimiento sería una combinación de traslación y rotación. Un gran barco oceánico encalla cerca de la costa, como ocurrió con el Costa Concordia , y queda en un ángulo como el que se muestra a continuación. La tripulación de salvamento deberá aplicar un torque para enderezar el barco con el fin de hacerlo flotar para su transporte. Una fuerza de 5,0 × 10 5 N actuando en el punto A deberá aplicarse para enderezar el barco. ¿Cuál es el torque sobre el punto de contacto del barco con el suelo ( )? Un barco encalla y se inclina, por lo que es necesario aplicar un torque para devolverlo a la posición vertical. El ángulo entre el brazo de palanca y el vector de fuerza es 80 ° ; por lo tanto, r ⊥ = 100 m(sen80 ° ) = 98,5 m . El producto cruz τ → = r → × F → da un torque negativo o en el sentido de las agujas del reloj. El torque es entonces τ = - r ⊥ F = −98,5 m ( 5,0 × 10 5 N ) = −4,9 × 10 7 N · m . Resumen La magnitud de un torque en torno a un eje fijo se calcula al hallar el brazo de palanca hasta el punto donde se aplica la fuerza y utilizar la relación | τ → | = r ⊥ F , donde r ⊥ es la distancia perpendicular del eje a la línea sobre la que se encuentra el vector de fuerza. El signo del torque se halla con la regla de la mano derecha. Si la página es el plano que contiene r → y F → , entonces r → × F → está fuera de la página para los torques positivos y dentro de la página para los torques negativos. El torque neto se halla al sumar cada uno de los torques en torno a un eje determinado. Preguntas conceptuales ¿Cuáles son los tres factores que inciden en el torque creado por una fuerza en relación con un punto de apoyo específico? magnitud de la fuerza, longitud del brazo de palanca y ángulo del brazo de palanca y del vector de fuerza Dé un ejemplo en el que una pequeña fuerza ejerza un gran torque. Dé otro ejemplo en el que una fuerza grande ejerza un torque pequeño. Al reducir la masa de una bicicleta de carreras, el mayor beneficio se obtiene al reducir la masa de los neumáticos y las llantas. ¿Por qué esto permite a un corredor alcanzar mayor aceleración que la que conseguiría una reducción idéntica de la masa del cuadro de la bicicleta? El momento de inercia de las ruedas se reduce, por lo que se necesita un torque menor para acelerarlas. ¿Puede una sola fuerza producir un torque cero? ¿Puede un conjunto de fuerzas tener un torque neto que sea cero y una fuerza neta que no sea cero? sí ¿Puede un conjunto de fuerzas tener una fuerza neta que sea cero y un torque neto que no sea cero? En la expresión r → × F → ¿puede | r → | ser alguna vez menor que el brazo de palanca? ¿Puede ser igual al brazo de palanca? | r → | puede ser igual al brazo de palanca, pero nunca menor. Problemas Dos volantes de inercia de masa despreciable y radios diferentes se unen y rotan en torno a un eje común (vea más abajo). El volante de inercia más pequeño, de 30 cm de radio, tiene una cuerda que ejerce una fuerza de tracción de 50 N sobre este. ¿Qué fuerza de tracción hay que aplicar a la cuerda que une el volante de inercia mayor de radio 50 cm para que la combinación no rote? F = 30 N Los pernos de cabeza de cilindro de un auto deben apretarse con un torque de 62,0 N · m . Si un mecánico utiliza una llave de 20 cm de longitud, ¿qué fuerza perpendicular deberá ejercer sobre el extremo de la llave para apretar correctamente un perno? a) Al abrir una puerta, la empuja perpendicularmente con una fuerza de 55,0 N a una distancia de 0,850 m de las bisagras. ¿Qué torque ejerce con respecto a las bisagras? b) ¿Importa que empuje a la misma altura que las bisagras? Solo hay un par de bisagras. a. 0,85 m ( 55,0 N ) = 46 . 75 N · m ; b. No importa a qué altura se empuje. Al apretar un perno, se empuja perpendicularmente una llave con una fuerza de 165 N a una distancia de 0,140 m del centro del perno. ¿Cuánto torque ejerce en newton-metros (en relación con el centro del perno)? ¿Qué masa colgante deberá colocarse en la cuerda para que la polea no rote? (Vea la siguiente figura). La masa en el plano sin fricción es de 5,0 kg. El radio interior de la polea es de 20 cm y el exterior de 30 cm. m 2 = 4,9 N · m 9,8 ( 0,3 m ) = 1,67 kg Un péndulo simple consiste en una cuerda sin masa de 50 cm de longitud, atada a un apoyo, y una pequeña masa de 1,0 kg, unida al otro extremo. ¿Cuál es el torque en torno al apoyo cuando el péndulo forma un ángulo de 40 ° con respecto a la vertical? Calcule el torque en torno al eje de la z que está fuera de la página en el origen en la siguiente figura, dado que F 1 = 3 N , F 2 = 2 N , F 3 = 3 N , F 4 = 1,8 N . τ n e t = −9,0 N · m + 3,46 N · m + 0 - 3,38 N · m = -8,92 N · m Un balancín tiene una longitud de 10,0 m y una masa uniforme de 10,0 kg, y reposa en un ángulo de 30 ° con respecto al suelo (vea la siguiente figura). El apoyo está situado a 6,0 m. ¿Qué magnitud de fuerza hay que aplicar perpendicularmente al balancín en el extremo elevado para que apenas empiece a rotar? Un péndulo consiste en una varilla de 1 kg de masa y 1m de longitud, conectada a un apoyo con una esfera sólida unida en el otro extremo, con masa de 0,5 kg y radio de 30 cm. ¿Cuál es el torque en torno al apoyo cuando el péndulo forma un ángulo de 30 ° con respecto a la vertical? τ = 5,66 N · m Un torque de 5,00 × 10 3 N · m es necesario para levantar un puente levadizo (vea la siguiente figura). ¿Cuál es la tensión necesaria para producir este torque? ¿Sería más fácil levantar el puente levadizo si el ángulo θ fuera más grande o más pequeño? Una viga horizontal de 3 m de longitud y 2,0 kg de masa tiene una masa de 1,0 kg y 0,2 m de anchura apoyada en el extremo de la viga (vea la figura siguiente). ¿Cuál es el torque del sistema sobre el soporte en la pared? ∑ τ = 57,82 N · m ¿Qué fuerza debe aplicarse al extremo de una varilla a lo largo del eje de la x de 2,0 m de longitud para producir un torque en la varilla en torno al origen de 8,0 k ^ N · m ? Cuál es el torque en torno al origen de la fuerza ( 5,0 i ^ - 2,0 j ^ + 1,0 k ^ ) N si se aplica en el punto cuya posición es: r → = ( −2,0 i ^ + 4,0 j ^ ) m? r → × F → = 4,0 i ^ + 2,0 j ^ - 16,0 k ^ N · m brazo de palanca distancia perpendicular desde la línea en la que se encuentra el vector de fuerza a un eje determinado torque producto cruz de una fuerza y un brazo de palanca hacia un eje determinado

Ciencia


Segunda ley de Newton para la rotación En esta sección reunimos todos los elementos aprendidos hasta ahora en este capítulo para analizar la dinámica de los cuerpos rígidos en rotación. Hemos analizado el movimiento con la cinemática y la energía cinética rotacional, pero aún no hemos conectado estas ideas con la fuerza o el torque. En esta sección introducimos el equivalente rotacional a la segunda ley del movimiento de Newton y lo aplicamos a cuerpos rígidos con rotación de eje fijo. Segunda ley de Newton para la rotación Hasta ahora hemos hallado muchas contrapartes a los términos traslacionales utilizados a lo largo de este texto; la más reciente, el torque, es el análogo rotacional de la fuerza. Esto plantea la pregunta: ¿Existe una ecuación análoga a la segunda ley de Newton, Σ F → = m a → , que implique al torque y al movimiento rotacional? Para investigarlo, comenzamos con la segunda ley de Newton para una sola partícula que rota alrededor de un eje y ejecuta un movimiento circular. Ejerzamos una fuerza F → sobre una masa puntual m que se encuentra a una distancia r de un punto de apoyo ( ). La partícula está obligada a moverse en una trayectoria circular de radio fijo y la fuerza es tangente al círculo. Aplicamos la segunda ley de Newton para determinar la magnitud de la aceleración a = F / m en dirección a F → . Recordemos que la magnitud de la aceleración tangencial es proporcional a la magnitud de la aceleración angular por a = r α . Sustituyendo esta expresión en la segunda ley de Newton, obtenemos F = m r α . Un objeto se apoya en una mesa horizontal sin fricción y está unido a un punto de apoyo por una cuerda que suministra fuerza centrípeta. Una fuerza F → se aplica al objeto perpendicularmente al radio r , lo que provoca su aceleración en torno al punto de apoyo. La fuerza es perpendicular a r . Multiplique ambos lados de esta ecuación por r , r F = m r 2 α . Observe que el lado izquierdo de esta ecuación es el torque en torno al eje de rotación, donde r es el brazo de palanca y F es la fuerza, perpendicular a r . Recuerde que el momento de inercia de una partícula puntual es I = m r 2 . Por lo tanto, el torque aplicado perpendicularmente a la masa puntual en la es τ = I α . El torque sobre la partícula es igual al momento de inercia sobre el eje de rotación por la aceleración angular . Podemos generalizar esta ecuación a un cuerpo rígido que rota en torno a un eje fijo. Segunda ley de Newton para la rotación Si, sobre un cuerpo rígido actúa más de un torque en torno a un eje fijo, la suma de los torques es igual al momento de inercia por la aceleración angular: ∑ i τ i = I α . El término I α es una cantidad escalar y puede ser positiva o negativa (en el sentido contrario de las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj), dependiendo del signo del torque neto. Recuerde la convención de que la aceleración angular en el sentido contrario de las agujas del reloj es positiva. Así, si un cuerpo rígido rota en el sentido de las agujas del reloj y experimenta un torque positivo (en el sentido contrario de las agujas del reloj), la aceleración angular será positiva. La es la segunda ley de Newton para la rotación y establece cómo relacionar el torque, el momento de inercia y la cinemática rotacional. Esto se denomina ecuación de la dinámica rotacional . Con esta ecuación, podemos resolver toda una clase de problemas relacionados con la fuerza y la rotación. Es lógico que la relación de la fuerza necesaria para hacer rotar un cuerpo incluya el momento de inercia, ya que es la cantidad que nos indica lo fácil o difícil que es cambiar el movimiento de rotación de un objeto. Derivar la segunda ley de Newton para la rotación en forma vectorial Como antes, cuando calculamos la aceleración angular, también podemos hallar el vector de torque. La segunda ley Σ F → = m a → nos indica la relación entre la fuerza neta y la forma de modificar el movimiento de traslación de un objeto. Tenemos un equivalente vectorial rotacional de esta ecuación, que se hallará al utilizar la y la . La relaciona la aceleración angular con los vectores de posición y de aceleración tangencial: a → = α → × r → . Formamos el producto cruz de esta ecuación con r → y utilizamos una identidad de producto cruz (tenga en cuenta que r → · α → = 0 ): r → × a → = r → × ( α → × r → ) = α → ( r → · r → ) - r → ( r → · α → ) = α → ( r → · r → ) = α → r 2 . Ahora formamos el producto cruz de la segunda ley de Newton con el vector de posición r → , Σ ( r → × F → ) = r → × ( m a → ) = m r → × a → = m r 2 α → . Al identificar el primer término de la izquierda como la suma de los torques, y m r 2 como el momento de inercia, llegamos a la segunda ley de Newton para la rotación en forma vectorial: Σ τ → = I α → . Esta ecuación es exactamente la , pero con el torque y la aceleración angular como vectores. Un punto importante es que el vector de torque está en la misma dirección que la aceleración angular. Aplicar la ecuación de la dinámica rotacional Antes de aplicar la ecuación de la dinámica rotacional a algunas situaciones cotidianas, repasemos una estrategia general de resolución de problemas para utilizarla con esta categoría de problemas. Dinámica rotacional Examine la situación para determinar que el torque y la masa están involucrados en la rotación. Dibuje un esquema minucioso de la situación. Determine el sistema de interés. Dibuje un diagrama de cuerpo libre. Es decir, dibuje y marque todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema de interés. Identifique el punto de apoyo. Si el objeto está en equilibrio, debe estarlo para todos los puntos de apoyo posibles: elija el que más simplifique su trabajo. Aplique ∑ i τ i = I α , el equivalente rotacional de la segunda ley de Newton, para resolver el problema. Hay que tener cuidado de utilizar el momento de inercia correcto y tener en cuenta el torque alrededor del punto de rotación. Como siempre, compruebe la solución para ver si es razonable. Calcular el efecto de la distribución de masas en un carrusel Piense en el padre que empuja un carrusel del parque infantil en la . Ejerce una fuerza de 250 N en el borde del carrusel de 50,0 kg, que tiene un radio de 1,50 m. Calcule la aceleración angular producida (a) cuando no hay nadie en el carrusel y (b) cuando un niño de 18,0 kg se sienta a 1,25 m del centro. Considere que el propio carrusel es un disco uniforme con una fricción despreciable. Un padre empuja un carrusel de un parque infantil por su borde y perpendicularmente a su radio para conseguir el máximo torque. Estrategia El torque neto viene dado directamente por la expresión ∑ i τ i = I α , para resolver en α , primero debemos calcular el torque neto τ (que es el mismo en ambos casos) y el momento de inercia I (que es mayor en el segundo caso). Solución El momento de inercia de un disco sólido en torno a este eje se da en la como 1 2 M R 2 . Tenemos M = 50,0 kg y R = 1,50 m , así que I = ( 0,500 ) ( 50,0 kg ) ( 1,50 m ) 2 = 56,25 kg-m 2 . Para hallar el torque neto, observamos que la fuerza aplicada es perpendicular al radio y la fricción es despreciable, por lo que τ = r F sen θ = ( 1,50 m ) ( 250,0 N ) = 375,0 N-m . Ahora, después de sustituir los valores conocidos, hallamos que la aceleración angular es α = τ I = 375,0 N-m 56,25 kg-m 2 = 6,67 rad s 2 . Esperamos que la aceleración angular del sistema sea menor en esta parte porque el momento de inercia es mayor cuando el niño está en el carrusel. Para hallar el momento de inercia total I , primero hallamos el momento de inercia del niño (child, c) I c al calcular aproximadamente al niño como una masa puntual a una distancia de 1,25 m del eje. Luego I c = m R 2 = ( 18,0 kg ) ( 1,25 m ) 2 = 28,13 kg-m 2 . El momento de inercia total es la suma de los momentos de inercia del carrusel y del niño (en torno al mismo eje): I = 28,13 kg-m 2 + 56,25 kg-m 2 = 84,38 kg-m 2 . Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación para α se obtiene α = τ I = 375,0 N-m 84,38 kg-m 2 = 4,44 rad s 2 . Importancia La aceleración angular es menor cuando el niño está en el carrusel que cuando el carrusel está vacío, como era de esperar. Las aceleraciones angulares halladas son bastante grandes, en parte debido a que la fricción se consideró despreciable. Si, por ejemplo, el padre siguiera empujando perpendicularmente durante 2,00 s, daría al carrusel una velocidad angular de 13,3 rad/s cuando está vacío, pero apenas 8,89 rad/s cuando el niño está montado en este. En términos de revoluciones por segundo, estas velocidades angulares son 2,12 rev/s y 1,41 rev/s, respectivamente. El padre acabaría corriendo a unos 50 km/h en el primer caso. Las aspas del ventilador de un motor a reacción tienen un momento de inercia 30,0 kg-m 2 . En 10 s, rota en el sentido contrario de las agujas del reloj desde el reposo hasta una tasa de rotación de 20 rev/s. (a) ¿Qué torque deberá aplicarse a las aspas para lograr esta aceleración angular? (b) ¿Cuál es el torque necesario para llevar las aspas del ventilador que giran a 20 rev/s hasta el reposo en 20 s? a. La aceleración angular es α = 20,0 ( 2 π ) rad / s - 0 10,0 s = 12,56 rad / s 2 . Al resolver el torque, tenemos ∑ i τ i = I α = ( 30,0 kg · m 2 ) ( 12,56 rad / s 2 ) = 376,80 N · m ; b. La aceleración angular es α = 0 - 20,0 ( 2 π ) rad / s 20,0 s = −6,28 rad / s 2 . Al resolver el torque, tenemos ∑ i τ i = I α = ( 30,0 kg-m 2 ) ( −6,28 rad / s 2 ) = -188,50 N · m Resumen La segunda ley de Newton para la rotación, ∑ i τ i = I α , establece que la suma de los torques en un sistema que rota en torno a un eje fijo es igual al producto del momento de inercia y la aceleración angular. Es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton del movimiento lineal. En la forma vectorial de la segunda ley de Newton para la rotación, el vector de torque τ → está en la misma dirección que la aceleración angular α → . Si la aceleración angular de un sistema en rotación es positiva, el torque en el sistema también es positivo, y si la aceleración angular es negativa, el torque es negativo. Preguntas conceptuales Si quisiera detener una rueca con una fuerza constante, ¿en qué parte de la rueca aplicaría la fuerza para producir la máxima aceleración negativa? Una varilla gira en torno a un extremo. Dos fuerzas F → y - F → se aplican a ella. ¿En qué circunstancias no rotará la varilla? Si las fuerzas están a lo largo del eje de rotación, o si tienen el mismo brazo de palanca y se aplican en un punto de la varilla. Problemas Tiene una piedra de amolar (un disco) que pesa 90,0 kg, tiene un radio de 0,340 m y gira a 90,0 rpm, y presiona un hacha de acero contra ella con una fuerza radial de 20,0 N. (a) Suponiendo que el coeficiente cinético de fricción entre el acero y la piedra es de 0,20, calcule la aceleración angular de la piedra de amolar. (b) ¿Cuántas vueltas dará la piedra antes de llegar al reposo? Supongamos que ejerce una fuerza de 180 N tangencial a una piedra de amolar (un disco macizo) de 0,280 m de radio y 75,0 kg de peso. (a)¿Qué torque se ejerce? (b) ¿Cuál es la aceleración angular suponiendo que la fricción opuesta es insignificante? (c) ¿Cuál es la aceleración angular si hay una fuerza de fricción opuesta de 20,0 N ejercida a 1,50 cm del eje? a. τ = ( 0,280 m ) ( 180,0 N ) = 50,4 N · m ; b. α = 17,14 rad / s 2 ; c. α = 17,04 rad / s 2 Un volante de inercia ( I = 50 kg-m 2 ) partiendo del reposo adquiere una velocidad angular de 200,0 rad/s mientras está sometido a un torque constante de un motor durante 5 s. (a) ¿Cuál es la aceleración angular del volante de inercia? (b) ¿Cuál es la magnitud del torque? Se aplica un torque constante a un cuerpo rígido cuyo momento de inercia es 4,0 kg-m 2 alrededor del eje de rotación. Si la rueda parte del reposo y alcanza una velocidad angular de 20,0 rad/s en 10,0 s, ¿cuál es el torque aplicado? τ = 8,0 N · m Se aplica un torque de 50,0 N-m a una rueda de esmeril ( I = 20,0 kg-m 2 ) durante 20 s. (a) Si parte del reposo, ¿cuál es la velocidad angular de la rueda de esmeril después de retirar el torque? (b) ¿En qué ángulo se desplaza la rueda mientras se aplica el torque? Un volante de inercia ( I = 100,0 kg-m 2 ) que rota a 500,0 rev/min se pone en reposo por fricción en 2,0 min. ¿Cuál es el torque de fricción en el volante de inercia? τ = -43,6 N · m Una rueda de esmeril, cilíndrica y uniforme, de 50,0 kg de masa y 1,0 m de diámetro se pone en marcha mediante un motor eléctrico. La fricción en los rodamientos es despreciable. (a) ¿Qué torque debe aplicarse a la rueda para que pase del reposo a 120 rev/min en 20 revoluciones? (b) Una herramienta cuyo coeficiente de fricción cinética con la rueda es de 0,60 se presiona perpendicularmente contra la rueda con una fuerza de 40,0 N. ¿Qué torque debe suministrar el motor para mantener la rueda girando a una velocidad angular constante? Supongamos que la Tierra no rotaba cuando se formó. Sin embargo, tras la aplicación de un torque uniforme después de 6 días, giraba a 1 revolución/día. (a) ¿Cuál fue la aceleración angular durante los 6 días? (b) ¿Qué torque se aplicó a la Tierra durante este periodo? (c) ¿Qué fuerza tangente a la Tierra en su ecuador produciría este torque? a. α = 1,4 × 10 −10 rad / s 2 ; b. τ = 1,36 × 10 28 N-m ; c. F = 2,1 × 10 21 N Una polea de momento de inercia de 2,0 kg-m 2 se monta en una pared como se muestra en la siguiente figura. Las cuerdas ligeras se enrollan alrededor de las dos circunferencias de la polea y se fijan las pesas. ¿Cuáles son (a) la aceleración angular de la polea y (b) la aceleración lineal de las pesas? Supongamos los siguientes datos: r 1 = 50 cm , r 2 = 20 cm , m 1 = 1,0 kg , m 2 = 2,0 kg . Un bloque de masa 3 kg se desliza por un plano inclinado en un ángulo de 45 ° con una cuerda de sujeción sin masa unida a una polea de 1 kg de masa y 0,5 m de radio en la parte superior de la pendiente (vea la figura siguiente). La polea puede se puede tomar como un disco. El coeficiente de fricción cinética en el plano es de 0,4. ¿Cuál es la aceleración del bloque? a = 3,6 m / s 2 El carro que se muestra a continuación se desplaza por el tablero de la mesa a medida que el bloque cae. ¿Cuál es la aceleración del carro? Descarte la fricción y suponga los siguientes datos: m 1 = 2,0 kg , m 2 = 4,0 kg , I = 0,4 kg-m 2 , r = 20 cm Una varilla uniforme de masa y longitud se sujeta verticalmente con dos cuerdas de masa despreciable, como se muestra a continuación. (a) Inmediatamente después de cortar la cuerda, ¿cuál es la aceleración lineal del extremo libre de la varilla? (b) ¿De la parte central de la varilla? a. a = r α = 14,7 m / s 2 ; b. a = L 2 α = 3 4 g Un palo delgado de masa 0,2 kg y longitud L = 0,5 m está unido al borde de un disco metálico de masa M = 2,0 kg y radio R = 0,3 m . El palo es rota libremente en torno a un eje horizontal por su otro extremo (vea la siguiente figura). (a) Si la combinación se suelta con el palo horizontal, ¿cuál es la rapidez del centro del disco cuando el palo está en vertical? (b) ¿Cuál es la aceleración del centro del disco en el instante en que se suelta el palo? (c) ¿En el instante en que el palo pasa por la vertical? segunda ley de Newton para la rotación la suma de los torques en un sistema rotacional es igual a su momento de inercia por su aceleración angular dinámica rotacional análisis del movimiento rotacional en el que se utiliza el torque neto y el momento de inercia para hallar la aceleración angular

Ciencia


Trabajo y potencia en el movimiento rotacional Hasta ahora en el capítulo, hemos abordado ampliamente la cinemática y la dinámica para cuerpos rígidos en rotación alrededor de un eje fijo. En esta última sección, definimos el trabajo y la potencia en el contexto de la rotación alrededor de un eje fijo, lo que tiene aplicaciones tanto en la física como en la ingeniería. El análisis del trabajo y la potencia hace que nuestro tratamiento del movimiento rotacional sea casi completo, con la excepción del movimiento rodadura y el momento angular, que se analizan en Momento angular . Comenzamos esta sección con un tratamiento del teorema de trabajo-energía para la rotación. Trabajo para el movimiento rotacional Ahora, que hemos determinado cómo calcular la energía cinética para cuerpos rígidos en rotación, podemos proceder a analizar el trabajo realizado en un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo. La muestra un cuerpo rígido que ha rotado a través de un ángulo d θ de A a B bajo la influencia de una fuerza F → . La fuerza externa F → se aplica al punto P , cuya posición es r → , y el cuerpo rígido se ve obligado a rotar alrededor de un eje fijo que es perpendicular a la página y pasa por O . El eje de rotación es fijo, por lo que el vector r → se mueve en un círculo de radio r , y el vector d s → es perpendicular a r → . Un cuerpo rígido rota a través de un ángulo d θ de A a B por la acción de una fuerza externa F → aplicada al punto P . A partir de la , tenemos s → = θ → × r → . Así, d s → = d ( θ → × r → ) = d θ → × r → + d r → × θ → = d θ → × r → . Observe que d r → es cero porque r → está fijado en el cuerpo rígido desde el origen O hasta el punto P . Al utilizar la definición de trabajo, obtenemos W = ∫ ∑ F → · d s → = ∫ ∑ F → · ( d θ → × r → ) = ∫ d θ → · ( r → × ∑ F → ) donde utilizamos la identidad a → · ( b → × c → ) = b → · ( c → × a → ) . Al observar que ( r → × ∑ F → ) = ∑ τ → , llegamos a la expresión del trabajo rotacional realizado en un cuerpo rígido: W = ∫ ∑ τ → · d θ → . El trabajo total realizado en un cuerpo rígido es la suma de los torques integrados en el ángulo a través del cual rota el cuerpo . El trabajo incremental es d W = ( ∑ i τ i ) d θ donde hemos tomado el producto punto en la , y dejamos solo los torques a lo largo del eje de rotación. En un cuerpo rígido, todas las partículas rotan a través del mismo ángulo; así, el trabajo de cada fuerza externa es igual al torque por el ángulo incremental común d θ . La cantidad ( ∑ i τ i ) es el torque neto sobre el cuerpo debido a las fuerzas externas. Del mismo modo, hallamos la energía cinética de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo al sumar la energía cinética de cada partícula que compone el cuerpo rígido. Dado que el teorema de trabajo-energía W i = Δ K i es válido para cada partícula, es válido para la suma de las partículas y el cuerpo entero. Teorema de trabajo-energía para la rotación El teorema de trabajo-energía para un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo es W A B = K B - K A donde K = 1 2 I ω 2 y el trabajo rotacional realizado por una fuerza neta que hace rotar a un cuerpo del punto A al punto B es W A B = ∫ θ A θ B ( ∑ i τ i ) d θ . Damos una estrategia para utilizar esta ecuación al analizar el movimiento rotacional. Teorema de trabajo-energía para el movimiento rotacional Identifique las fuerzas sobre el cuerpo y dibuje un diagrama de cuerpo libre. Calcule el torque para cada fuerza. Calcule el trabajo realizado durante la rotación del cuerpo por cada torque. Aplique el teorema de trabajo-energía al igualar el trabajo neto realizado sobre el cuerpo con el cambio de energía cinética rotacional. Veamos dos ejemplos y utilicemos el teorema de trabajo-energía para analizar el movimiento rotacional. Trabajo y energía rotacional Un torque de 12,0 N · m se aplica a un volante de inercia que rota alrededor de un eje fijo y tiene un momento de inercia de 30,0 kg · m 2 . Si el volante de inercia está inicialmente en reposo, ¿cuál es su velocidad angular después de girar ocho revoluciones? Estrategia Aplicamos el teorema de trabajo-energía. Por la descripción del problema sabemos cuál es el torque y el desplazamiento angular del volante de inercia. Entonces podemos resolver la velocidad angular final. Solución El volante de inercia gira ocho revoluciones, lo que 16 π radianes. El trabajo realizado por el torque, que es constante y, por tanto, puede salir de la integral en la , es W A B = τ ( θ B - θ A ) . Aplicamos el teorema de trabajo-energía: W A B = τ ( θ B - θ A ) = 1 2 I ω B 2 - 1 2 I ω A 2 . Con τ = 12,0 N · m , θ B - θ A = 16,0 π rad , I = 30,0 kg · m 2 , y ω A = 0 , tenemos 12,0 N-m ( 16,0 π rad ) = 1 2 ( 30,0 kg · m 2 ) ( ω B 2 ) - 0 . Por lo tanto, ω B = 6,3 rad / s . Es la velocidad angular del volante de inercia después de ocho revoluciones. Importancia El teorema de trabajo-energía es una forma eficaz de analizar el movimiento rotacional, al conectar el torque con la energía cinética rotacional. Trabajo rotacional: Una polea Una cuerda enrollada alrededor de la polea en la se hala con una fuerza constante hacia abajo F → de 50 N de magnitud. El radio R y el momento de inercia I de la polea son 0,10 m y 2,5 × 10 −3 kg-m 2 , respectivamente. Si la cuerda no resbala, ¿cuál es la velocidad angular de la polea después de desenrollar 1,0 m de cuerda? Supongamos que la polea parte del reposo. (a) Una cuerda se enrolla alrededor de una polea de radio R . (b) El diagrama de cuerpo libre. Estrategia Al observar el diagrama de cuerpo libre, vemos que ni B → , la fuerza en los rodamientos de la polea, ni M g → , el peso de la polea, ejerce un torque alrededor del eje rotacional, y por lo tanto no realiza ningún trabajo sobre la polea. Al rotar la polea a través de un ángulo θ , F → actúa a través de una distancia d tal que d = R θ . Solución Dado que el torque debido a F → tiene una magnitud τ = R F , tenemos W = τ θ = ( F R ) θ = F d . Si la fuerza sobre la cuerda actúa a través de una distancia de 1,0 m, tenemos, a partir del teorema de trabajo-energía W A B = K B - K A F d = 1 2 I ω 2 - 0 ( 50,0 N ) ( 1,0 m ) = 1 2 ( 2,5 × 10 −3 kg-m 2 ) ω 2 . Resolviendo para ω , obtenemos ω = 200,0 rad / s . Potencia para el movimiento rotacional La potencia siempre sale a relucir en los debates sobre las aplicaciones en ingeniería y física. La potencia para el movimiento rotacional es tan importante como la potencia en el movimiento lineal y puede derivarse de forma similar a la del movimiento lineal cuando la fuerza es una constante. La potencia lineal cuando la fuerza es una constante es P = F → · v → . Si el torque neto es constante en el desplazamiento angular, la se simplifica y el torque neto se puede sacar de la integral. En el siguiente análisis, asumimos que el torque neto es constante. Podemos aplicar al movimiento rotacional la definición de potencia derivada de Potencia . A partir de Trabajo y la energía cinética , la potencia instantánea (o simplemente la potencia) se define como la tasa de realización del trabajo, P = d W d t . Si tenemos un torque neto constante, la se convierte en W = τ θ y la potencia es P = d W d t = d d t ( τ θ ) = τ d θ d t o P = τ ω . Torque en una hélice de barco Un motor de barco que funciona a 9,0 × 10 4 W funciona a 300 rev/min. ¿Cuál es el torque en el eje de la hélice? Estrategia Se nos da la tasa de rotación en rev/min y el consumo de energía, por lo que podemos calcular fácilmente el torque. Solución 300,0 rev/min = 31,4 rad/s; τ = P ω = 9,0 × 10 4 N · m / s 31,4 rad / s = 2864,8 N · m . Importancia Cabe destacar que el radián es una unidad adimensional porque su definición es el cociente de dos longitudes. Por lo tanto, no aparece en la solución. Un torque constante de 500 kN · m se aplica a un aerogenerador para mantenerlo rotando a 6 rad/s. ¿Cuál es la potencia necesaria para que se mantenga rotando el aerogenerador? 3 MW Resumen de relaciones rotacionales y traslacionales Las cantidades rotacionales y sus análogas lineales se resumen en tres tablas. La resume las variables rotacionales para el movimiento circular alrededor de un eje fijo con sus análogas lineales y la ecuación de conexión, excepto para la aceleración centrípeta, que se mantiene por sí misma. La resume las ecuaciones cinemáticas rotacionales y traslacionales. La resume las ecuaciones dinámicas rotacionales junto con sus análogas lineales. Variables rotacionales y traslacionales: resumen Rotacional Traslacional Relación θ x θ = s r ω v t ω = v t r α a t α = a t r a c a c = v t 2 r Ecuaciones cinemáticas rotacionales y traslacionales: resumen Rotacional Traslacional θ f = θ 0 + ω – t x = x 0 + v – t ω f = ω 0 + α t v f = v 0 + a t θ f = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 x f = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ω f 2 = ω 2 0 + 2 α ( Δ θ ) v f 2 = v 2 0 + 2 a ( Δ x ) Ecuaciones rotacionales y traslacionales: dinámica Rotacional Traslacional I = ∑ i m i r i 2 m K = 1 2 I ω 2 K = 1 2 m v 2 ∑ i τ i = I α ∑ i F → i = m a → W A B = ∫ θ A θ B ( ∑ i τ i ) d θ W = ∫ F → · d s → P = τ ω P = F → · v → Resumen El trabajo incremental dW en la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo es la suma de los torques alrededor del eje a por el ángulo incremental d θ . El trabajo total realizado para la rotación de un cuerpo rígido a través de un ángulo θ alrededor de un eje fijo es la suma de los torques integrados sobre el desplazamiento angular. Si el torque es una constante como función de θ , entonces W A B = τ ( θ B - θ A ) . El teorema de trabajo-energía relaciona el trabajo rotacional realizado con el cambio en la energía cinética rotacional: W A B = K B - K A donde K = 1 2 I ω 2 . La potencia suministrada a un sistema que rota alrededor de un eje fijo es el torque por la velocidad angular, P = τ ω . Ecuaciones clave Posición angular θ = s r Velocidad angular ω = lim Δ t → 0 Δ θ Δ t = d θ d t Rapidez tangencial v t = r ω Aceleración angular α = lim Δ t → 0 Δ ω Δ t = d ω d t = d 2 θ d t 2 Aceleración tangencial a t = r α Velocidad angular media ω – = ω 0 + ω f 2 Desplazamiento angular θ f = θ 0 + ω – t Velocidad angular a partir de una aceleración angular constante ω f = ω 0 + α t Velocidad angular a partir del desplazamiento y la aceleración angular constante θ f = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 Cambio en la velocidad angular ω f 2 = ω 0 2 + 2 α ( Δ θ ) Aceleración total a → = a → c + a → t Energía cinética rotacional K = 1 2 ( ∑ j m j r j 2 ) ω 2 Momento de inercia I = ∑ j m j r j 2 Energía cinética rotacional en términos del momento de inercia de un cuerpo rígido K = 1 2 I ω 2 Momento de inercia de un objeto continuo I = ∫ r 2 d m Teorema del eje paralelo I eje paralelo = I centro de masa + m d 2 Momento de inercia de un objeto compuesto I total = ∑ i I i Vector de torque τ → = r → × F → Magnitud del torque | τ → | = r ⊥ F Torque total τ → neto = ∑ i | τ → i | Segunda ley de Newton para la rotación ∑ i τ i = I α Trabajo incremental realizado por un torque d W = ( ∑ i τ i ) d θ Teorema de trabajo-energía W A B = K B - K A Trabajo rotacional realizado por la fuerza neta W A B = ∫ θ A θ B ( ∑ i τ i ) d θ Potencia rotacional P = τ ω Problemas Un aerogenerador rota a 20 rev/min. Si su generación de potencia es de 2,0 MW, ¿cuál es el torque que produce el viento en el aerogenerador? τ = P ω = 2,0 × 10 6 W 2,1 rad / s = 9,5 × 10 5 N · m Un cilindro de arcilla de 20 cm de radio en un torno de alfarero gira a una tasa constante de 10 rev/s. El alfarero aplica una fuerza de 10 N a la arcilla con sus manos, donde el coeficiente de fricción es de 0,1 entre sus manos y la arcilla. ¿Cuál es la potencia que el alfarero tiene que entregar al torno para que siga girando a esta tasa constante? Una piedra de amolar, cilíndrica y uniforme tiene una masa de 10 kg y un radio de 12 cm. (a) ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la piedra de amolar cuando rota a 1,5 × 10 3 rev / min ? b) Después de apagar el motor de la piedra de amolar, se presiona una cuchilla contra el borde exterior de la piedra de amolar con una fuerza perpendicular de 5,0 N. El coeficiente de fricción cinética entre la piedra de amolar y la cuchilla es de 0,80. Utilice el teorema de trabajo-energía para determinar cuántas vueltas da la piedra de amolar antes de pararse. a. K = 888,50 J ; b. Δ θ = 294,6 rev Un disco uniforme de 500 kg de masa y 0,25 m de radio está montado sobre rodamientos sin fricción para que pueda rotar libremente alrededor de un eje vertical que pasa por su centro (vea la siguiente figura). Se enrolla una cuerda alrededor del borde del disco y se hala de ella con una fuerza de 10 N. (a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza en el instante en que el disco hace tres revoluciones, partiendo del reposo? (b) Determine el torque debido a la fuerza y, a continuación, calcule el trabajo realizado por este torque en el instante en que el disco hace tres revoluciones. (c) ¿Cuál es la velocidad angular en ese instante? (d) ¿Cuál es la generación de potencia de la fuerza en ese instante? Una hélice es acelerada desde el reposo hasta una velocidad angular de 1000 rev/min durante un periodo de 6,0 segundos por un torque constante de 2,0 × 10 3 N · m . (a) ¿Cuál es el momento de inercia de la hélice? (b) ¿Qué potencia se proporciona a la hélice 3,0 s después de que empiece su rotación? a. I = 114,6 kg · m 2 ; b. P = 104.700 W Una esfera de 1,0 kg de masa y 0,5 m de radio está unida al extremo de una varilla sin masa de 3,0 m de longitud. La varilla rota en torno a un eje que se encuentra en el extremo opuesto de la esfera (vea abajo). El sistema rota horizontalmente alrededor del eje a una velocidad constante de 400 rev/min. Después de rotar a esta rapidez angular en el vacío, se introduce la resistencia del aire y proporciona una fuerza de 0,15 N en la esfera opuesta a la dirección del movimiento. ¿Cuál es la potencia que proporciona la resistencia del aire al sistema 100,0 s después de introducir la resistencia del aire? Una varilla uniforme de longitud L y masa M se sostiene verticalmente con un extremo apoyado en el suelo, como se muestra a continuación. Cuando la varilla se suelta, rota alrededor de su extremo inferior hasta que toca el suelo. Suponiendo que el extremo inferior de la varilla no resbale, ¿cuál es la velocidad lineal del extremo superior cuando golpea el suelo? v = L ω = 3 L g Un atleta en un gimnasio aplica una fuerza constante de 50 N a los pedales de una bicicleta a una tasa de movimiento de los pedales de 60 rev/min. La longitud de los brazos de los pedales es de 30 cm. ¿Cuál es la potencia que aplica el atleta a la bicicleta? Un bloque de 2 kg en un plano inclinado sin fricción a 40 ° tiene una cuerda atada a una polea de 1 kg de masa y 20 cm de radio (vea la siguiente figura). (a) ¿Cuál es la aceleración del bloque por el plano? (b) ¿Cuál es el trabajo que realiza la cuerda sobre la polea? a. a = 5,0 m / s 2 ; b. W = 1,25 N · m Pequeños cuerpos de masa m 1 y m 2 se fijan en los extremos opuestos de una varilla rígida y delgada, de longitud L y masa M . La varilla está montada de manera que rote libremente en un plano horizontal en torno a un eje vertical (vea más abajo). A qué distancia d de m 1 debería estar el eje de rotación de tal manera que se requiera una cantidad mínima de trabajo para hacer rotar la varilla a una velocidad angular ω ? Problemas adicionales Un ciclista circula de forma que las ruedas de la bicicleta tienen una tasa de rotación de 3,0 rev/s. Si el ciclista frena de forma que la tasa de rotación de las ruedas disminuye a una tasa de 0,3 rev / s 2 , ¿cuánto tiempo tarda el ciclista en detenerse por completo? Δ t = 10,0 s Calcule la velocidad angular del movimiento orbital de la Tierra alrededor del Sol. Un tocadiscos que rota a 33 1/3 rev/min desacelera y se detiene en 1,0 min. (a) ¿Cuál es la aceleración angular del tocadiscos suponiendo que es constante? (b) ¿Cuántas revoluciones da el tocadiscos mientras se detiene? a. 0,06 rad / s 2 ; b. θ = 105,0 rad Con la ayuda de una cuerda, un giroscopio acelera desde el reposo hasta 32 rad/s en 0,40 s, a una aceleración angular constante. (a) ¿Cuál es su aceleración angular en rad/s 2 ? (b) ¿Cuántas revoluciones pasa en el proceso? Supongamos que un poco de polvo cae en un CD. Si la velocidad de giro del CD es de 500 rpm, y el polvo está a 4,3 cm del centro, ¿cuál es la distancia total recorrida por el polvo en 3 minutos? (Ignore las aceleraciones debidas a lograr que el CD esté en rotación). s = 405,26 m Un sistema de partículas puntuales rota alrededor de un eje fijo a 4 rev/s. Las partículas están fijas unas respecto a otras. Las masas y distancias al eje de las partículas puntuales son m 1 = 0,1 kg , r 1 = 0,2 m , m 2 = 0,05 kg , r 2 = 0,4 m , m 3 = 0,5 kg , r 3 = 0,01 m . (a) ¿Cuál es el momento de inercia del sistema? (b) ¿Cuál es la energía cinética rotacional del sistema? Calcule el momento de inercia de un patinador dada la siguiente información. (a) El patinador de 60,0 kg se calcula aproximadamente como un cilindro con un radio de 0,110 m. (b) El patinador con los brazos extendidos calcula aproximadamente como un cilindro que pesa 52,5 kg, tiene un radio de 0,110 m y tiene dos brazos de 0,900 m de longitud que pesan 3,75 kg cada uno y se extienden en línea recta desde el cilindro como varillas que rotan sobre sus extremos. a. I = 0,363 kg · m 2 ; b. I = 2,34 kg · m 2 Un palo de 1,0 m de longitud y 6,0 kg de masa rota libremente en torno a un eje horizontal que pasa por el centro. En sus dos extremos se fijan pequeños cuerpos de masas 4,0 y 2,0 kg (vea la siguiente figura). El palo se libera de la posición horizontal. ¿Cuál es la velocidad angular del palo cuando oscila por la vertical? Un péndulo consiste de una varilla de 2 m de longitud y 3 kg de masa, con una esfera sólida de 1 kg de masa y 0,3 m de radio unida a un extremo. El eje de rotación es el que se muestra a continuación. ¿Cuál es la velocidad angular del péndulo en su punto más bajo, si se suelta del reposo en un ángulo de 30 ° ? ω = 6,68 J 4,4 kgm 2 = 1,23 rad / s Calcule el torque de la fuerza de 40 N alrededor del eje que pasa por O y es perpendicular al plano de la página, como se muestra a continuación. Dos niños empujan en lados opuestos de una puerta durante el juego. Ambos empujan horizontal y perpendicularmente a la puerta. Un niño empuja con una fuerza de 17,5 N a una distancia de 0,600 m de las bisagras, y el segundo niño empuja a una distancia de 0,450 m. ¿Qué fuerza debe ejercer el segundo niño para evitar que la puerta se mueva? Supongamos que la fricción es despreciable. F = 23,3 N La fuerza de 20 j ^ N se aplica en r → = ( 4,0 i ^ - 2,0 j ^ ) m . ¿Cuál es el torque de esta fuerza alrededor del origen? Un motor de automóvil puede producir 200 N · m de torque. Calcule la aceleración angular producida si el 95,0 % de este torque se aplica al eje de transmisión, al eje y a las ruedas traseras de un auto, dada la siguiente información. El auto está suspendido para que las ruedas giren libremente. Cada rueda actúa como un disco de 15,0 kg que tiene un radio de 0,180 m. Las paredes de cada neumático actúan como un anillo anular de 2,00 kg que tiene un radio interior de 0,180 m y un radio exterior de 0,320 m. La banda de rodadura de cada neumático actúa como un aro de 10,0 kg de radio 0,330 m. El eje de 14,0 kg actúa como una varilla que tiene un radio de 2,00 cm. El eje de transmisión de 30,0 kg actúa como una varilla que tiene un radio de 3,20 cm. α = 190,0 N-m 2,94 kg-m 2 = 64,4 rad / s 2 Una piedra de amolar con una masa de 50 kg y un radio de 0,8 m mantiene una tasa de rotación constante de 4,0 rev/s mediante un motor mientras se presiona una cuchilla contra el borde, con una fuerza de 5,0 N. El coeficiente de fricción cinética entre la piedra de amolar y la cuchilla es de 0,8. ¿Cuál es la potencia que proporciona el motor para mantener la piedra de amolar a una tasa de rotación constante? Problemas de desafío La aceleración angular de un cuerpo rígido en rotación viene dada por α = ( 2,0 - 3,0 t ) rad / s 2 . Si el cuerpo comienza a rotar desde el reposo en t = 0 , (a) ¿cuál es la velocidad angular? (b) ¿la posición angular? (c) ¿con qué ángulo rota en 10 s? (d) ¿dónde se encuentra el vector perpendicular al eje de rotación que indica 0 ° en t = 0 para t = 10 s ? a. ω = 2,0 t - 1,5 t 2 ; b. θ = t 2 - 0,5 t 3 ; c. θ = −400,0 rad ; d. el vector está en -0,66 ( 360 ° ) = -237,6 ° El día en la Tierra ha aumentado en 0,002 s en el último siglo. Si este aumento en el periodo de la Tierra es constante, ¿cuánto tiempo tardará la Tierra en llegar al reposo? Un disco de masa m , radio R y área A tiene una densidad de masa superficial σ = m r A R (vea la siguiente figura). ¿Cuál es el momento de inercia del disco alrededor de un eje que pasa por el centro? I = 2 5 m R 2 Zorch, el archienemigo del Hombre Rotación, decide ralentizar la rotación de la Tierra a una vez cada 28,0 h ejerciendo una fuerza opuesta y paralela en el ecuador. El Hombre Rotación no se preocupa inmediatamente, porque sabe que Zorch solo puede ejercer una fuerza de 4 0,00 × 1 0 7 N (un poco mayor que el empuje de un cohete Saturno V). ¿Cuánto tiempo debe empujar Zorch con esta fuerza para lograr su objetivo? (Este periodo da al Hombre Rotación tiempo para dedicarse a otros villanos). Se enrolla una cuerda alrededor del borde de un cilindro macizo de radio 0,25 m, y se ejerce una fuerza constante de 40 N en la cuerda indicada, como se muestra en la siguiente figura. El cilindro está montado sobre rodamientos sin fricción y su momento de inercia es 6,0 kg · m 2 . (a) Utilice el teorema de trabajo-energía para calcular la velocidad angular del cilindro después de que se hayan retirado 5,0 m de cuerda. (b) Si la fuerza de 40 N se sustituye por un peso de 40 N, ¿cuál es la velocidad angular del cilindro después de que se hayan desenrollado 5,0 m de cuerda? a. ω = 8,2 rad / s ; b. ω = 8,0 rad / s trabajo rotacional trabajo realizado sobre un cuerpo rígido debido a la suma de los torques integrados sobre el ángulo a través del cual rota el cuerpo

Ciencia


Introducción Un helicóptero tiene sus aspas de elevación principales girando para mantener la aeronave en el aire. Debido a la conservación del momento angular, el cuerpo del helicóptero querría girar en sentido contrario a las aspas, si no fuera por el pequeño rotor de la cola de la aeronave, que proporciona empuje para estabilizarla. El momento angular es la contrapartida rotacional del momento lineal. Cualquier objeto masivo que rote en torno a un eje conlleva un momento angular, incluidos los volantes de inercia, los planetas, las estrellas, los huracanes, los tornados, los remolinos, etc. El helicóptero que aparece en la imagen de apertura del capítulo sirve para ilustrar el concepto de momento angular. Las aspas de elevación giran en torno a un eje vertical a través del cuerpo principal y transportan el momento angular. El cuerpo del helicóptero tiende a rotar en sentido contrario para conservar el momento angular. Los pequeños rotores de la cola de la aeronave proporcionan un contraempuje contra el cuerpo para evitar que esto ocurra, y el helicóptero se estabiliza por sí mismo. El concepto de conservación del momento angular se analiza más adelante en este capítulo. En la parte principal de este capítulo, exploramos las complejidades del momento angular de los cuerpos rígidos, como un trompo, y también de las partículas puntuales y los sistemas de partículas. Sin embargo, para ser exhaustivos, empezamos con un análisis del movimiento rodadura, que se basa en los conceptos del capítulo anterior.

Ciencia