Inductancia mutua La inductancia es la propiedad de un dispositivo que nos indica la eficacia con la que induce una fuerza electromotriz en otro dispositivo. En otras palabras, es una cantidad física que expresa la eficacia de un determinado dispositivo. Cuando dos circuitos que transportan corrientes variables en el tiempo están cerca el uno del otro, el flujo magnético a través de cada circuito varía debido a la variación de la corriente I en el otro circuito. En consecuencia, se induce una emf en cada circuito por la corriente cambiante en el otro. Este tipo de emf se denomina, por tanto, emf mutuamente inducida , y el fenómeno que se produce se conoce como inductancia mutua ( M ) . Como ejemplo, consideremos dos bobinas fuertemente enrolladas ( ). Las bobinas 1 y 2 tienen N 1 y N 2 giros y corrientes de transporte I 1 y I 2 , respectivamente. El flujo a través de una sola vuelta de la bobina 2 producido por el campo magnético de la corriente en la bobina 1 es Φ 21 , mientras que el flujo a través de una sola vuelta de la bobina 1 debido al campo magnético de I 2 es Φ 12 . Algunas de las líneas de campo magnético producidas por la corriente en la bobina 1 pasan por la bobina 2. La inductancia mutua M 21 de la bobina 2 con respecto a la bobina 1 es la relación del flujo a través del N 2 vueltas de la bobina 2 producidas por el campo magnético de la corriente en la bobina 1, dividido por dicha corriente, es decir M 21 = N 2 Φ 21 I 1 . Del mismo modo, la inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2 es M 12 = N 1 Φ 12 I 2 . Al igual que la capacitancia, la inductancia mutua es una magnitud geométrica. Depende de las formas y posiciones relativas de las dos bobinas, y es independiente de las corrientes en las bobinas. La unidad del SI para la inductancia mutua M se llama henrio (H) en honor a Joseph Henry (1799-1878), un científico estadounidense que descubrió la emf inducida independientemente de Faraday. Así, tenemos 1 H = 1 V · s/A . A partir de la y la , podemos demostrar que M 21 = M 12 , por lo que solemos eliminar los subíndices asociados a la inductancia mutua y escribir M = N 2 Φ 21 I 1 = N 1 Φ 12 I 2 . La emf desarrollada en cualquiera de las bobinas se encuentra combinando la ley de Faraday y la definición de inductancia mutua. Dado que N 2 Φ 21 es el flujo total a través de la bobina 2 debido a I 1 , obtenemos ε 2 = − d d t ( N 2 Φ 21 ) = − d d t ( M I 1 ) = − M d I 1 d t donde hemos utilizado el hecho de que M es una constante independiente del tiempo porque la geometría es independiente del tiempo. Del mismo modo, tenemos ε 1 = − M d I 2 d t . En la , podemos ver el significado de la descripción anterior de la inductancia mutua (M ) como una cantidad geométrica. El valor de M encapsula claramente las propiedades físicas de los elementos del circuito y nos permite separar la disposición física del circuito de las cantidades dinámicas, como la emf y la corriente. La define la inductancia mutua en términos de propiedades en el circuito, mientras que la definición anterior de inductancia mutua en la se define en términos del flujo magnético experimentado, independientemente de los elementos del circuito. Debe tener cuidado al utilizar la y la porque ε 1 y ε 2 no representan necesariamente las emfs totales en las respectivas bobinas. Cada bobina también puede tener una emf inducida en ella debido a su autoinducción (la autoinducción se tratará con más detalle en una sección posterior). Una gran inductancia mutua M puede ser deseable o no. Queremos que un transformador tenga una gran inductancia mutua. Pero un aparato, como una secadora de ropa eléctrica, puede inducir una emf peligrosa en su caja metálica si la inductancia mutua entre sus bobinas y la caja es grande. Una forma de reducir la inductancia mutua es contrarrestar las bobinas para cancelar el campo magnético producido ( ). Las bobinas de calentamiento de una secadora de ropa eléctrica pueden estar enrolladas en sentido contrario para que sus campos magnéticos se anulen entre sí, reduciendo en gran medida la inductancia mutua con la caja de la secadora. El procesamiento digital de señales es otro ejemplo en el que la inductancia mutua se reduce mediante bobinas de contrabobinado. La rápida emf de encendido y apagado que representa los 1s y 0s en un circuito digital crea un complejo campo magnético dependiente del tiempo. Se puede generar una emf en los conductores vecinos. Si ese conductor también transporta una señal digital, la emf inducida puede ser lo suficientemente grande como para conmutar 1 s y 0 s, con consecuencias que van desde inconvenientes hasta desastrosas. Inductancia mutua La muestra una bobina de N 2 giros y radios R 2 que rodea a un solenoide largo de longitud l 1 , radio R 1 , y N 1 vueltas. (a) ¿Cuál es la inductancia mutua de las dos bobinas? (b) Si N 1 = 500 vueltas , N 2 = 10 vueltas , R 1 = 3,10 cm , l 1 = 75,0 cm , y la corriente en el solenoide está cambiando a una velocidad de 200 A/s, ¿cuál es la emf inducida en la bobina adyacente? Un solenoide rodeado de una bobina. Estrategia No hay campo magnético fuera del solenoide, y el campo en el interior tiene magnitud B 1 = μ 0 ( N 1 / l 1 ) I 1 y se dirige en paralelo al eje del solenoide. Podemos utilizar este campo magnético para calcular el flujo magnético a través de la bobina adyacente y luego utilizar este flujo para calcular la inductancia mutua para la parte (a), utilizando la . Resolvemos la parte (b) mediante el cálculo de la inductancia mutua a partir de las cantidades dadas y utilizando la para calcular la emf inducida. Solución El flujo magnético Φ 21 a través de la bobina adyacente es Φ 21 = B 1 π R 1 2 = μ 0 N 1 I 1 l 1 π R 1 2 . Ahora a partir de la , la inductancia mutua es M = N 2 Φ 21 I 1 = ( N 2 I 1 ) ( μ 0 N 1 I 1 l 1 ) π R 1 2 = μ 0 N 1 N 2 π R 1 2 l 1 . Utilizando la expresión anterior y los valores dados, la inductancia mutua es M = ( 4 π × 10 −7 T · m/A ) ( 500 ) ( 10 ) π ( 0,0310 m ) 2 0,750 m = 2,53 × 10 −5 H . Así, a partir de la , la emf inducida en la bobina adyacente es ε 2 = − M d I 1 d t = − ( 2,53 × 10 −5 H ) ( 200 A/s ) = -5,06 × 10 −3 V . Importancia Observe que M en la parte (a) es independiente del radio R 2 de la bobina adyacente porque el campo magnético del solenoide está confinado en su interior. En principio, también podemos calcular M encontrando el flujo magnético a través del solenoide producido por la corriente en la bobina adyacente. Este enfoque es mucho más difícil porque Φ 12 es muy complicado. Sin embargo, como M 12 = M 21 , conocemos el resultado de este cálculo. Una corriente I ( t ) = ( 5,0 A ) sen ( ( 120 π rad/s ) t ) fluye a través del solenoide de la parte (b) del . ¿Cuál es la máxima emf inducida en la bobina adyacente? 4,77 × 10 −2 V Resumen La inductancia es la propiedad de un dispositivo que expresa la eficacia con la que induce una emf en otro dispositivo. La inductancia mutua es el efecto de dos dispositivos que se inducen emf mutuamente. Un cambio en la corriente d I 1 / d t en un circuito induce una emf ( ε 2 ) en el segundo: ε 2 = − M d I 1 d t , donde M se define como la inductancia mutua entre los dos circuitos y el signo menos se debe a la ley de Lenz. Simétricamente, un cambio de corriente d I 2 / d t a través del segundo circuito induce una emf ( ε 1 ) en el primero: ε 1 = − M d I 2 d t , donde M es la misma inductancia mutua que en el proceso inverso. Preguntas conceptuales Demuestre que N Φ m / I y ε / ( d I / d t ) , ambas son expresiones para la autoinducción, tienen las mismas unidades. Wb A = T · m 2 A = V · s A = V A/s Un inductor de 10 H transporta una corriente de 20 A. Describa cómo se puede inducir una emf de 50 V a través de él. El circuito de encendido de un automóvil se alimenta de una batería de 12 V. ¿Cómo podemos generar grandes voltajes con esta fuente de energía? La corriente inducida de la batería de 12 V pasa por un inductor, generando un gran voltaje. Cuando se interrumpe la corriente a través de un inductor grande con un interruptor, aparece un arco a través de los terminales abiertos del interruptor. Explique. Problemas Cuando la corriente en una bobina cambia a una velocidad de 5,6 A/s, se produce una emf de 6,3 × 10 −3 V en una segunda bobina cercana. ¿Cuál es la inductancia mutua de las dos bobinas? Una emf de 9,7 × 10 −3 V se induce en una bobina mientras la corriente en una bobina cercana disminuye a una velocidad de 2,7 A/s. ¿Cuál es la inductancia mutua de las dos bobinas? M = 3,6 × 10 −3 H Dos bobinas cercanas entre sí tienen una inductancia mutua de 32 mH. Si la corriente en una bobina decae según I = I 0 e − α t , donde I 0 = 5,0 A y α = 2,0 × 10 3 s −1 , ¿cuál es la emf inducida en la segunda bobina inmediatamente después de que la corriente empieza a decaer? En t = 1,0 × 10 −3 s ? Una bobina de 40 vueltas se enrolla alrededor de un solenoide largo de sección transversal 7,5 × 10 −3 m 2 . El solenoide tiene una longitud de 0,50 m y 500 vueltas. (a) ¿Cuál es la inductancia mutua de este sistema? (b) Se sustituye la bobina exterior por una bobina de 40 vueltas cuyo radio es tres veces el del solenoide. ¿Cuál es la inductancia mutua de esta configuración? a 3,8 × 10 −4 H ; b 3,8 × 10 −4 H Un solenoide de 600 vueltas tiene 0,55 m de longitud y 4,2 cm de diámetro. Dentro del solenoide, una pequeña ( 1,1 cm × 1,4 cm ) , bobina rectangular de una vuelta se fija en su lugar con su cara perpendicular al eje largo del solenoide. ¿Cuál es la inductancia mutua de este sistema? Una bobina toroidal tiene un radio medio de 16 cm y una sección transversal de 0,25 cm 2 ; se enrolla uniformemente con 1.000 vueltas. Una segunda bobina toroidal de 750 vueltas se enrolla uniformemente sobre la primera bobina. Ignorando la variación del campo magnético dentro de un toroide, determine la inductancia mutua de las dos bobinas. M 21 = 2,3 × 10 −5 H Un solenoide de N 1 vueltas tiene longitud l 1 y el radio R 1 , y un segundo solenoide más pequeño de N 2 vueltas tiene longitud l 2 y el radio R 2 . El solenoide más pequeño se coloca completamente dentro del solenoide más grande de manera que sus ejes largos coincidan. ¿Cuál es la inductancia mutua de los dos solenoides? henri (H) unidad de inductancia, 1 H = 1 Ω · s ; también se expresa como un voltio segundo por amperio inductancia propiedad de un dispositivo que indica la eficacia con la que induce una emf en otro dispositivo inductancia mutua cantidad geométrica que expresa la eficacia de dos dispositivos para inducir ems entre sí

Ciencia


Autoinducción e inductores La inductancia mutua surge cuando una corriente en un circuito produce un campo magnético cambiante que induce una emf en otro circuito. Pero, ¿puede el campo magnético afectar a la corriente del circuito original que produjo el campo? La respuesta es sí, y se trata del fenómeno llamado autoinducción . Los inductores La muestra algunas de las líneas de campo magnético que se deben a la corriente en un bucle circular de alambre. Si la corriente es constante, el flujo magnético que atraviesa el bucle también lo es. Sin embargo, si la corriente I variara con el tiempo, por ejemplo, inmediatamente después de cerrar el interruptor S, el flujo magnético Φ m cambiaría en consecuencia. Entonces la ley de Faraday nos dice que una emf ε se induciría en el circuito, donde ε = − d Φ m d t . Como el campo magnético debido a un alambre conductor de corriente es directamente proporcional a la corriente, el flujo debido a este campo es también proporcional a la corriente; es decir, Φ m ∝ I . La corriente I en el bucle produce un campo magnético. Si variara con el tiempo, el flujo magnético que atraviesa el bucle también variaría y se induciría una emf en el bucle. Esto también puede escribirse como Φ m = L I donde la constante de proporcionalidad L se conoce como la autoinducción del bucle de alambre. Si el bucle tiene N vueltas, esta ecuación se convierte en N Φ m = L I . Por convención, el sentido positivo de la normal al bucle está relacionado con la corriente por la regla de la mano derecha, por lo que en la , la normal apunta hacia abajo. Con esta convención, Φ m es positivo en la , por lo que L siempre tiene un valor positivo . Para un bucle con N vueltas, ε = − N d Φ m / d t , por lo que la emf inducida puede escribirse en términos de la autoinducción como ε = − L d I d t . Al utilizar esta ecuación para determinar L , lo más fácil es ignorar los signos de ε y d I / d t , y calcular L como L = | ε | | d I / d t | . Como la autoinducción está asociada al campo magnético producido por una corriente, cualquier configuración de conductores posee autoinducción. Por ejemplo, además del bucle de cable, un cable largo y recto tiene autoinducción, al igual que un cable coaxial. El cable coaxial es el más utilizado por la industria de la televisión por cable y también puede encontrarse conectado a su cablemódem. Los cables coaxiales se utilizan por su capacidad de transmitir señales eléctricas con mínimas distorsiones. Los cables coaxiales están formados por dos largos conductores cilíndricos que conducen corriente que a su vez producen una autoinducción que puede tener efectos indeseables Un elemento de circuito utilizado para proporcionar autoinducción se conoce como inductor . Está representado por el símbolo que se muestra en la , que se asemeja a una bobina de alambre, la forma básica del inductor. La muestra varios tipos de inductores utilizados habitualmente en los circuitos. Símbolo utilizado para representar un inductor en un circuito. Una variedad de inductores. Tanto si están encapsulados, como los tres primeros mostrados o enrollados en una bobina o como el último, cada uno es simplemente una bobina de alambre relativamente larga (créditos: Windell Oskay). De acuerdo con la ley de Lenz, el signo negativo en la indica que la emf inducida a través de un inductor siempre tiene una polaridad que se opone al cambio de la corriente. Por ejemplo, si la corriente que fluye de A a B en la (a) fuera creciente, la emf inducida (representada por la batería imaginaria) tendría la polaridad mostrada para oponerse al aumento. Si la corriente de A a B disminuyera, entonces la emf inducida tendría la polaridad opuesta, de nuevo para oponerse al cambio de corriente ( (b)). Por último, si la corriente a través del inductor fuera constante, no se induciría ninguna emf en la bobina. La emf inducida a través de un inductor siempre actúa para oponerse al cambio de la corriente. Esto puede visualizarse como una batería imaginaria que hace fluir la corriente para oponerse al cambio en (a) y reforzar el cambio en (b). Una aplicación común de la inductancia es permitir que señales de tráfico detecten cuándo hay vehículos esperando en una intersección de calles. Se coloca un circuito eléctrico con un inductor en la carretera, debajo del lugar donde se detendrá un automóvil en espera. La carrocería del automóvil aumenta la inductancia y el circuito cambia, enviando una señal a los semáforos para que cambien de color. Del mismo modo, los detectores de metales utilizados en la seguridad de los aeropuertos emplean la misma técnica. Una bobina o inductor en el marco del detector de metales actúa como transmisor y receptor. Una señal en forma de pulsos procedente de la bobina transmisora induce una señal en el receptor. La autoinducción del circuito se ve afectada por cualquier objeto metálico en el camino ( ). Los detectores de metales pueden ajustarse en cuanto a sensibilidad y también pueden detectar la presencia de metal en una persona. La conocida puerta de seguridad de un aeropuerto no solo detecta los metales, sino que también puede indicar su altura aproximada sobre el suelo (créditos: "Alexbuirds"/Wikimedia Commons). En los destellos de cámara se encuentran grandes voltajes inducidos. Los destello de cámara utilizan una batería, dos inductores que funcionan como un transformador y un sistema de conmutación u oscilador para inducir grandes voltajes. Recordemos que en Oscilaciones se define "oscilación" como la fluctuación de una cantidad, o las fluctuaciones regulares repetidas de una cantidad, entre dos valores extremos en torno a un valor medio. Recuerde también (en la sección Inducción electromagnética sobre la inducción electromagnética) que necesitamos un campo magnético cambiante, provocado por una corriente cambiante, para inducir un voltaje en otra bobina. El sistema de oscilación hace esto muchas veces mientras el voltaje de la batería se eleva a más de 1.000 voltios (es posible que escuche el silbido agudo del transformador mientras se carga el condensador). Un condensador almacena el alto voltaje para su posterior uso en la alimentación del destello. La autoinducción de una bobina Se mide una emf inducida de 2,0 V a través de una bobina de 50 vueltas estrechamente enrolladas mientras la corriente que la atraviesa aumenta uniformemente de 0,0 a 5,0 A en 0,10 s. (a) ¿Cuál es la autoinducción de la bobina? (b) Con la corriente a 5,0 A, ¿cuál es el flujo que atraviesa cada vuelta de la bobina? Estrategia Ambas partes de este problema dan toda la información necesaria para resolver la autoinducción en la parte (a) o el flujo a través de cada vuelta de la bobina en la parte (b). Las ecuaciones necesarias son la para la parte (a) y la para la parte (b). Solución Ignorando el signo negativo y utilizando las magnitudes, tenemos, a partir de la , L = ε d I / d t = 2,0 V 5,0 A / 0,10 s = 4,0 × 10 −2 H . A partir de la , el flujo está dado en términos de la corriente por Φ m = L I / N , así que Φ m = ( 4,0 × 10 −2 H ) ( 5,0 A ) 50 gira = 4,0 × 10 −3 Wb . Importancia La autoinducción y el flujo calculados en las partes (a) y (b) son valores típicos de las bobinas que se encuentran en los dispositivos contemporáneos. Si la corriente no cambia en el tiempo, el flujo no cambia en el tiempo, por lo que no se induce ninguna emf. La corriente fluye a través del inductor en la de B a A en vez de A a B como se muestra. ¿La corriente aumenta o disminuye para producir la emf dada en el diagrama (a)? ¿En el diagrama (b)? a. disminuyendo; b. aumentando; Dado que la corriente fluye en el sentido contrario del diagrama, para obtener una emf positiva en el lado izquierdo del diagrama (a), tenemos que disminuir la corriente hacia la izquierda, lo que crea una emf reforzada donde el extremo positivo está en el lado izquierdo. Para obtener una emf positiva en el lado derecho del diagrama (b), necesitamos aumentar la corriente hacia la izquierda, lo que crea una emf reforzada donde el extremo positivo está en el lado derecho. Una corriente cambiante induce una emf de 10 V a través de un inductor de 0,25 H. ¿A qué tasa cambia la corriente? 40 A/s Un buen enfoque para calcular la autoinducción de un inductor consiste en los siguientes pasos: La autoinducción Supongamos que por el inductor circula una corriente I . Determinar el campo magnético B → producido por la corriente. Si hay una simetría adecuada, se puede hacer esto con la ley de Ampère. Obtener el flujo magnético, Φ m . Conocido el flujo, la autoinducción se puede calcular a partir de la , L = N Φ m / I . Para demostrar este procedimiento, calculamos ahora las autoinducciones de dos inductores. Solenoide cilíndrico Considere un solenoide largo y cilíndrico con longitud l , área de sección transversal A y N vueltas de alambre. Suponemos que la longitud del solenoide es mucho mayor que su diámetro, por lo que podemos tomar el campo magnético como B = μ 0 n I en todo el interior del solenoide, es decir, ignoramos los efectos finales en el solenoide. Con una corriente I circulando por las bobinas, el campo magnético producido dentro del solenoide es B = μ 0 ( N l ) I , por lo que el flujo magnético a través de una vuelta es Φ m = B A = μ 0 N A l I . Utilizando , calculamos para la autoinducción del solenoide, L solenoide = N Φ m I = μ 0 N 2 A l . Si n = N / l es el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide, podemos escribir como L = μ 0 ( N l ) 2 A l = μ 0 n 2 A l = μ 0 n 2 ( V ) , donde V = A l es el volumen del solenoide. Observe que la autoinducción de un solenoide largo solo depende de sus propiedades físicas (como el número de vueltas de cable por unidad de longitud y el volumen) y no del campo magnético ni de la corriente. Esto es cierto para los inductores en general. Toroide rectangular En la se muestra un toroide de sección rectangular. Los radios interior y exterior del toroide son R 1 y R 2 , y h es la altura del toroide. Aplicando la ley de Ampère de la misma manera que lo hicimos en el para un toroide de sección circular, hallamos que el campo magnético dentro de un toroide rectangular también viene dado por B = μ 0 N I 2 π r , donde r es la distancia al eje central del toroide. Como el campo cambia dentro del toroide, debemos calcular el flujo integrando sobre la sección transversal del toroide. Utilizando el elemento de la sección transversal infinitesimal d a = h d r que se muestra en la , obtenemos Φ m = ∫ B d a = ∫ R 1 R 2 ( μ 0 N I 2 π r ) ( h d r ) = μ 0 N h I 2 π ln R 2 R 1 . Cálculo de la autoinducción de un toroide rectangular. Ahora, a partir de la , obtenemos para la autoinducción de un toroide rectangular L = N Φ m I = μ 0 N 2 h 2 π ln R 2 R 1 . Como era de esperar, la autoinducción es una constante determinada únicamente por las propiedades físicas del toroide. (a) Calcule la autoinducción de un solenoide que está enrollado estrechamente con un alambre de 0,10 cm de diámetro, tiene una sección transversal de 0,90 cm 2 y tiene una longitud de 40 cm. (b) Si la corriente que atraviesa el solenoide disminuye uniformemente de 10 a 0 A en 0,10 s, ¿cuál es la emf inducida entre los extremos del solenoide? a 4,5 × 10 −5 H ; b 4,5 × 10 −3 V (a) ¿Cuál es el flujo magnético que pasa por un solenoide de autoinducción de una vuelta 8,0 × 10 −5 H cuando circula una corriente de 3,0 A? Supongamos que el solenoide tiene 1.000 vueltas y está bobinado con alambre de 1,0 mm de diámetro. (b) ¿Cuál es la sección transversal del solenoide? a 2,4 × 10 −7 Wb ; b 6,4 × 10 −5 m 2 Resumen Los cambios de corriente en un dispositivo inducen una emf en el propio dispositivo, llamada autoinducción, ε = − L d I d t , donde L es la autoinducción del inductor y d I / d t es la tasa de cambio de la corriente que lo atraviesa. El signo menos indica que la emf se opone a la variación de la corriente, de acuerdo con la ley de Lenz. La unidad de autoinducción e inductancia es el henrio (H), donde 1 H = 1 Ω · s . La autoinducción de un solenoide es L = μ 0 N 2 A l , donde N es su número de vueltas en el solenoide, A es su área de sección transversal, l es su longitud, y μ 0 = 4 π × 10 −7 T · m/A es la permeabilidad del espacio libre. La autoinducción de un toroide es L = μ 0 N 2 h 2 π ln R 2 R 1 , donde N es su número de vueltas en el toroide, R 1 y R 2 son los radios interior y exterior del toroide, h es la altura del toroide y μ 0 = 4 π × 10 −7 T · m/A es la permeabilidad del espacio libre. Preguntas conceptuales ¿Depende la autoinducción del valor del flujo magnético? ¿Depende de la corriente que pasa por el cable? Correlacione sus respuestas con la ecuación N Φ m = L I . La autoinducción es proporcional al flujo magnético e inversamente proporcional a la corriente. Sin embargo, como el flujo magnético depende de la corriente I , estos efectos se anulan. Esto significa que la autoinducción no depende de la corriente. Si la emf se induce a través de un elemento, sí depende de cómo cambia la corriente con el tiempo. ¿Difiere la autoinducción de un solenoide de 1,0 m de longitud, estrechamente enrollado, de la autoinducción por metro de un solenoide infinito, pero por lo demás idéntico? Analiza cómo podría determinar la autoinducción por unidad de longitud de un cable largo y recto. Considere los extremos de un cable como parte de un circuito RL y determine la autoinducción de este circuito. La autoinducción de una bobina es cero si no pasa corriente por los bobinados. ¿Verdadero o falso? ¿Cómo se compara la autoinducción por unidad de longitud cerca del centro de un solenoide (lejos de los extremos) con su valor cerca del extremo del solenoide? El campo magnético se ensanchará al final del solenoide, por lo que hay menos flujo a través de la última vuelta que a través del centro del solenoide. Problemas Se induce una emf de 0,40 V a través de una bobina cuando la corriente que la atraviesa cambia uniformemente de 0,10 a 0,60 A en 0,30 s. ¿Cuál es la autoinducción de la bobina? 0,24 H La corriente mostrada en la parte (a) es creciente, mientras que la mostrada en la parte (b) es decreciente. En cada caso, determina qué extremo del inductor está a mayor potencial. ¿Cuál es la velocidad a la que cambia la corriente a través de una bobina de 0,30 H si se induce una emf de 0,12 V a través de la bobina? 0,4 A/s Cuando una cámara utiliza un destello, un condensador completamente cargado se descarga a través de un inductor. ¿En qué tiempo debe conectarse o desconectarse la corriente de 0,100 A a través de un inductor de 2,00 mH para inducir una emf de 500 V? Una bobina con una autoinducción de 2,0 H transporta una corriente que varía con el tiempo según I ( t ) = ( 2,0 A ) sen 120 π t . Calcule una expresión para la emf inducida en la bobina. ε = 480 π sen ( 120 π t − π / 2 ) V Un solenoide de 50 cm de longitud se enrolla con 500 vueltas de alambre. El área de la sección transversal de la bobina es 2,0 cm 2 ¿Cuál es la autoinducción del solenoide? Una bobina con una autoinducción de 3,0 H transporta una corriente que disminuye a un ritmo uniforme d I / d t = −0,050 A/s . ¿Cuál es la emf inducida en la bobina? Describa la polaridad de la emf inducida. 0,15 V. Esta es la misma polaridad que la emf que conduce la corriente. La corriente I(t) a través de un inductor de 5,0 mH varía con el tiempo, como se muestra a continuación. La resistencia del inductor es 5,0 Ω . Calcule el voltaje a través del inductor en t = 2,0 ms , t = 4,0 ms , y t = 8,0 ms . Un solenoide largo y cilíndrico con 100 vueltas por centímetro tiene un radio de 1,5 cm. (a) Sin tener en cuenta los efectos de los extremos, ¿cuál es la autoinducción por unidad de longitud del solenoide? (b) Si la corriente que pasa por el solenoide cambia a una velocidad de 5,0 A/s, ¿cuál es la emf inducida por unidad de longitud? a. 0,089 H/m; b. 0,44 V/m Supongamos que un toroide rectangular tiene 2.000 bobinados y una autoinducción de 0,040 H. Si h = 0,10 m , ¿cuál es la relación entre su radio exterior y su radio interior? ¿Cuál es la autoinducción por metro de un cable coaxial cuyo radio interior es de 0,50 mm y cuyo radio exterior es de 4,00 mm? L l = 4,16 × 10 −7 H/m inductor parte de un circuito eléctrico para proporcionar autoinducción, que se simboliza con una bobina de alambre autoinducción efecto del dispositivo que induce la emf en sí mismo

Ciencia


Energía en un campo magnético La energía de un condensador se almacena en el campo eléctrico entre sus placas. Del mismo modo, un inductor tiene la capacidad de almacenar energía, pero en su campo magnético. Esta energía se puede hallar integrando la densidad de energía magnética , u m = B 2 2 μ 0 sobre el volumen adecuado. Para entender de dónde viene esta fórmula, consideremos el solenoide largo y cilíndrico de la sección anterior. Utilizando de nuevo la aproximación del solenoide infinito, podemos suponer que el campo magnético es esencialmente constante y viene dado por B = μ 0 n I en todas partes dentro del solenoide. Por lo tanto, la energía almacenada en un solenoide o la densidad de energía magnética por volumen es equivalente a U = u m ( V ) = ( μ 0 n I ) 2 2 μ 0 ( A l ) = 1 2 ( μ 0 n 2 A l ) I 2 . Con la sustitución de la , esto se convierte en U = 1 2 L I 2 . Aunque se deriva para un caso especial, esta ecuación da la energía almacenada en el campo magnético de cualquier inductor. Podemos ver esto considerando un inductor arbitrario por el que pasa una corriente cambiante. En cualquier instante, la magnitud de la emf inducida es ε = L d i / d t , donde i es la corriente inducida en esa instancia. Por lo tanto, la potencia absorbida por el inductor es P = ε i = L d i d t i . La energía total almacenada en el campo magnético cuando la corriente aumenta de 0 a I en un intervalo de tiempo de 0 a t puede determinarse integrando esta expresión: U = ∫ 0 t P d t ′ = ∫ 0 t L d i d t ′ i d t ′ = L ∫ 0 I i d i = 1 2 L I 2 . Autoinducción de un cable coaxial La muestra dos capas cilíndricas largas y concéntricas de radios R 1 y R 2 . Como se ha comentado en Capacitancia , esta configuración es una representación simplificada de un cable coaxial . Ya se ha calculado la capacitancia por unidad de longitud del cable. Ahora (a) determine la energía magnética almacenada por unidad de longitud del cable coaxial y (b) utilice este resultado para calcular la autoinducción por unidad de longitud del cable. (a) Un cable coaxial está representado aquí por dos conductores cilíndricos huecos y concéntricos a lo largo de los cuales fluye la corriente eléctrica en direcciones opuestas. (b) El campo magnético entre los conductores se puede calcular aplicando la ley de Ampère a la trayectoria punteada. (c) La envoltura cilíndrica se utiliza para calcular la energía magnética almacenada en una longitud l del cable. Estrategia El campo magnético, tanto en el interior como en el exterior del cable coaxial, viene determinado por la ley de Ampère. A partir de este campo magnético, podemos utilizar la para calcular la densidad de energía del campo magnético. La energía magnética se calcula mediante una integral de la densidad de energía magnética por el volumen diferencial sobre la capa cilíndrica. Una vez realizada la integración, tenemos una solución de forma cerrada para la parte (a). “Así que la autoinducción por unidad de longitud se calcula basada en el resultado anterior y la . Solución Determinamos el campo magnético entre los conductores aplicando la ley de Ampère a la trayectoria circular discontinua mostrada en la (b). Debido a la simetría cilíndrica, B → es constante a lo largo de la trayectoria, y ∮ B → · d l → = B ( 2 π r ) = μ 0 I . Esto nos da B = μ 0 I 2 π r . En la región fuera del cable, una aplicación similar de la ley de Ampère muestra que B = 0 , ya que ninguna corriente neta atraviesa la zona delimitada por una trayectoria circular donde r > R 2 . Este argumento también es válido cuando r < R 1 ; , es decir, en la región del cilindro interior. Por lo tanto, toda la energía magnética del cable se almacena entre los dos conductores. Dado que la densidad de energía del campo magnético es u m = B 2 2 μ 0 la energía almacenada en una capa cilíndrica de radio interior r , radio exterior r + d r , y la longitud l (vea la parte (c) de la figura) es u m = μ 0 I 2 8 π 2 r 2 . Así, la energía total del campo magnético en una longitud l del cable es U = ∫ R 1 R 2 d U = ∫ R 1 R 2 μ 0 I 2 8 π 2 r 2 ( 2 π r l ) d r = μ 0 I 2 l 4 π ln R 2 R 1 , y la energía por unidad de longitud es ( μ 0 I 2 / 4 π ) ln ( R 2 / R 1 ) . A partir de , U = 1 2 L I 2 , donde L es la autoinducción de una longitud l del cable coaxial. Igualando las dos ecuaciones anteriores, hallamos que la autoinducción por unidad de longitud del cable es L l = μ 0 2 π ln R 2 R 1 . Importancia La inductancia por unidad de longitud depende solo de los radios interior y exterior, como se ve en el resultado. Para aumentar la inductancia, podríamos aumentar el radio exterior ( R 2 ) o disminuir el radio interior ( R 1 ) . En el límite, a medida que los dos radios se igualan, la inductancia llega a cero. En este límite, no hay cable coaxial. Además, la energía magnética por unidad de longitud de la parte (a) es proporcional al cuadrado de la corriente. ¿Cuánta energía se almacena en el inductor del después de que la corriente alcance su valor máximo? 0,50 J Resumen La energía almacenada en un inductor U es U = 1 2 L I 2 . La autoinducción por unidad de longitud del cable coaxial es L l = μ 0 2 π ln R 2 R 1 . Preguntas conceptuales Demostrar que L I 2 / 2 tiene unidades de energía. Problemas En el instante en que una corriente de 0,20 A fluye por una bobina de alambre, la energía almacenada en su campo magnético es 6,0 × 10 −3 J . ¿Cuál es la autoinducción de la bobina? Supongamos que un toroide rectangular tiene 2.000 bobinados y una autoinducción de 0,040 H. Si h = 0,10 m , cuál es la corriente que circula por un toroide rectangular cuando la energía de su campo magnético es 2,0 × 10 −6 J ? 0,01 A El solenoide A está enrollado de forma ajustada, mientras que el solenoide B tiene bobinas espaciadas uniformemente con una separación igual al diámetro del cable. Por lo demás, los solenoides son idénticos. Determine la relación de las energías almacenadas por unidad de longitud de estos solenoides cuando la misma corriente fluye a través de cada uno. Un inductor de 10 H transporta una corriente de 20 A. ¿Cuánto hielo a 0 ° C podría fundirse por la energía almacenada en el campo magnético del inductor? (Pista : Utilice el valor L f = 334 J/g para el hielo) 6,0 g Una bobina con una autoinducción de 3,0 H y una resistencia de 100 Ω conduce una corriente constante de 2,0 A. (a) ¿Cuál es la energía almacenada en el campo magnético de la bobina? (b) ¿Cuál es la energía por segundo disipada en la resistencia de la bobina? En un cable coaxial cuyo radio exterior es cinco veces su radio interior circula una corriente de 1,2 A. ¿Cuál es la energía del campo magnético almacenada en una longitud de 3,0 m del cable? U m = 7,0 × 10 −7 J densidad de energía magnética energía almacenada por volumen en un campo magnético

Ciencia


Circuitos RL Un circuito con resistencia y autoinducción se conoce como circuito RL . La (a) muestra un circuito RL formado por un resistor, un inductor, una fuente constante de emf y unos interruptores S 1 y S 2 . Cuando S 1 está cerrado, el circuito es equivalente a un circuito de un bucle que consiste en un resistor y un inductor conectados a una fuente de emf ( (b)). Cuando el S 1 está abierto y el S 2 está cerrado, el circuito se convierte en un circuito de un bucle conformado solo por un resistor y un inductor ( (c)). (a) Un circuito RL con interruptores S 1 y S 2 . (b) El circuito equivalente con el S 1 cerrado y el S 2 abierto. (c) El circuito equivalente después de S 1 está abierto y el S 2 está cerrado. Consideramos primero el circuito RL de la (b). Una vez que el S 1 está cerrado y el S 2 está abierto, la fuente de emf produce una corriente en el circuito. Si no hubiera autoinducción en el circuito, la corriente aumentaría inmediatamente hasta un valor estable de ε / R . Sin embargo, a partir de la ley de Faraday, el aumento de la corriente produce una emf V L = − L ( d I / d t ) en el inductor. De acuerdo con la ley de Lenz, la emf inducida contrarresta el aumento de la corriente y se dirige como se muestra en la figura. Como resultado, I(t ) comienza en cero y aumenta asintóticamente hasta su valor final. Aplicando la regla de las tensiones de Kirchhoff a este circuito, obtenemos ε − L d I d t − I R = 0 , que es una ecuación diferencial de primer orden para I(t) . Fíjese en su similitud con la ecuación de un condensador y un resistor en serie (vea Circuitos RC ). Del mismo modo, la solución de la se puede calcular haciendo sustituciones en las ecuaciones que relacionan el condensador con el inductor. Esto da I ( t ) = ε R ( 1 − e − R t / L ) = ε R ( 1 − e − t / τ L ) , donde τ L = L / R es la constante de tiempo inductiva del circuito. La corriente I(t) se representa en la (a). Comienza en cero, y como t → ∞ , I(t) se aproxima a ε / R asintóticamente. La emf inducida V L ( t ) es directamente proporcional a dI / dt o a la pendiente de la curva. Por lo tanto, mientras que es máxima inmediatamente después de accionar los interruptores, la emf inducida disminuye a cero con el tiempo a medida que la corriente se acerca a su valor final de ε / R . El circuito se convierte entonces en equivalente a un resistor conectado en una fuente de emf. Variación en el tiempo de (a) la corriente eléctrica y (b) la magnitud del voltaje inducido en la bobina en el circuito de (b). La energía almacenada en el campo magnético de un inductor es U L = 1 2 L I 2 . Así, a medida que la corriente se acerca a la corriente máxima ε / R , la energía almacenada en el inductor aumenta desde cero y se aproxima asintóticamente a un máximo de L ( ε / R ) 2 / 2 . La constante de tiempo τ L nos indica la rapidez con la que la corriente aumenta hasta su valor final. En t = τ L , la corriente en el circuito es, de , I ( τ L ) = ε R ( 1 − e −1 ) = 0,63 ε R , que es 63 % del valor final ε / R . Mientras menor sea la constante de tiempo inductiva τ L = L / R , más rápido se acercará la corriente ε / R . Podemos calcular la dependencia en el tiempo del voltaje inducido en el inductor de este circuito utilizando V L ( t ) = − L ( d I / d t ) y la : V L ( t ) = − L d I d t = − ε e − t / τ L . La magnitud de esta función se grafica en la (b). El mayor valor de L ( d I / d t ) es ε ; se produce cuando dI/dt es mayor, es decir, inmediatamente después de que el S 1 está cerrado y el S 2 está abierto. En la aproximación al estado estacionario, dI/dt disminuye a cero. Como resultado, el voltaje en el inductor también desaparece como t → ∞ . La constante de tiempo τ L también nos indica la rapidez con la que decae el voltaje inducido. En t = τ L , la magnitud del voltaje inducido es | V L ( τ L ) | = ε e −1 = 0,37 ε = 0,37 V ( 0 ) . Por lo tanto, el voltaje en el inductor cae a aproximadamente 37 % de su valor inicial después de una constante de tiempo. Mientras más corta sea la constante de tiempo τ L , más rápidamente disminuirá el voltaje. Una vez transcurrido el tiempo suficiente para que la corriente haya alcanzado esencialmente su valor final, se procede a invertir las posiciones de los interruptores en la (a), por lo que obtenemos el circuito de la parte (c). En t = 0 , la corriente en el circuito es I ( 0 ) = ε / R . Con la regla de las tensiones de Kirchhoff, obtenemos I R + L d I d t = 0 . La solución de esta ecuación es similar a la solución de la ecuación de un condensador en descarga, con sustituciones similares. Entonces la corriente en el momento t es I ( t ) = ε R e − t / τ L . La corriente comienza en I ( 0 ) = ε / R y disminuye con el tiempo a medida que se agota la energía almacenada en el inductor ( ). La dependencia del voltaje en el inductor en función del tiempo se puede determinar a partir de V L = − L ( d I / d t ) : V L ( t ) = ε e − t / τ L . Este voltaje es inicialmente V L ( 0 ) = ε , y decae a cero como la corriente. La energía almacenada en el campo magnético del inductor, L I 2 / 2 , también disminuye exponencialmente en el tiempo, ya que se disipa por el efecto de calentamiento Joule en la resistencia del circuito. Variación temporal de la corriente eléctrica en el circuito RL de la (c). El voltaje inducido en la bobina también decae exponencialmente. Un circuito RL con una fuente de emf En el circuito de la (a), dejemos que ε = 2,0 V , R = 4,0 Ω , y L = 4,0 H . Con el S 1 cerrado y el S 2 abierto ( (b)), (a) ¿cuál es la constante de tiempo del circuito? (b) ¿Cuáles son la corriente en el circuito y la magnitud de la emf inducida a través del inductor en t = 0 , en t = 2,0 τ L , y como t → ∞ ? Estrategia La constante de tiempo para un inductor y un resistor en un circuito en serie se calcula mediante la . La corriente que atraviesa el inductor y el voltaje de este se calculan mediante los escenarios detallados de la y . Solución La constante de tiempo inductiva es τ L = L R = 4,0 H 4,0 Ω = 1,0 s . La corriente en el circuito de la (b) aumenta según la : I ( t ) = ε R ( 1 − e − t / τ L ) . En t = 0 , ( 1 − e − t / τ L ) = ( 1 − 1 ) = 0 ; así que I ( 0 ) = 0 . En t = 2,0 τ L y t → ∞ , tenemos, respectivamente, I ( 2,0 τ L ) = ε R ( 1 − e −2,0 ) = ( 0,50 A ) ( 0,86 ) = 0,43 A , y I ( ∞ ) = ε R = 0,50 A . A partir de la , la magnitud de la emf inducida decae como | V L ( t ) | = ε e − t / τ L . En t = 0 , t = 2,0 τ L , y como t → ∞ , obtenemos | V L ( 0 ) | = ε = 2,0 V , | V L ( 2,0 τ L ) | = ( 2,0 V ) e −2,0 = 0,27 V y | V L ( ∞ ) | = 0 . Importancia Si el tiempo de la medición fuera mucho mayor que la constante de tiempo, no veríamos el decaimiento o el crecimiento del voltaje en el inductor o el resistor. El circuito alcanzaría rápidamente los valores asintóticos para ambos. Vea la . Un generador en un circuito RL produce una salida de pulso cuadrado en la que el voltaje oscila entre cero y algún valor establecido. Estas trazas del osciloscopio muestran (a) el voltaje en la fuente; (b) el voltaje en el inductor; (c) el voltaje en el resistor. Un circuito RL sin una fuente de emf Después de que la corriente en el circuito RL del haya alcanzado su valor final, se invierten las posiciones de los interruptores para que el circuito se convierta en el que se muestra en la (c). (a) ¿Cuánto tiempo tarda la corriente en caer a la mitad de su valor inicial? (b) ¿Cuánto tiempo tarda la energía almacenada en el inductor en reducirse a 1,0 % de su valor máximo? Estrategia La corriente en el inductor ahora disminuirá a medida que el resistor disipa esta energía. Por lo tanto, la corriente disminuye como un decaimiento exponencial. También podemos utilizar esa misma relación como una sustitución de la energía en la fórmula de un inductor para calcular cómo disminuye la energía en diferentes intervalos de tiempo. Solución Con los interruptores invertidos, la corriente disminuye según I ( t ) = ε R e − t / τ L = I ( 0 ) e − t / τ L . En un tiempo t en el que la corriente es la mitad de su valor inicial, tenemos I ( t ) = 0,50 I ( 0 ) así que e − t / τ L = 0,50 , y t = − [ ln ( 0,50 ) ] τ L = 0,69 ( 1,0 s ) = 0,69 s , donde hemos utilizado la constante de tiempo inductiva encontrada en el . La energía almacenada en el inductor viene dada por U L ( t ) = 1 2 L [ I ( t ) ] 2 = 1 2 L ( ε R e − t / τ L ) 2 = L ε 2 2 R 2 e −2 t / τ L . Si la energía baja a 1,0 % de su valor inicial en un tiempo t , tenemos U L ( t ) = ( 0,010 ) U L ( 0 ) o L ε 2 2 R 2 e −2 t / τ L = ( 0,010 ) L ε 2 2 R 2 . Al cancelar los términos y tomar el logaritmo natural de ambos lados, obtenemos − 2 t τ L = ln ( 0,010 ) , así que t = − 1 2 τ L ln ( 0,010 ) . Dado que τ L = 1,0 s , el tiempo que tarda la energía almacenada en el inductor en disminuir a 1,0 % de su valor inicial es t = − 1 2 ( 1,0 s ) ln ( 0,010 ) = 2,3 s . Importancia Este cálculo solo funciona si el circuito está al máximo de corriente en la situación (b) anterior a esta nueva situación. En caso contrario, partimos de una corriente inicial menor, que decaerá por la misma relación. Verifique que RC y L/R tienen las dimensiones del tiempo. (a) Si la corriente en el circuito de en la (b) aumenta a 90 % de su valor final después de 5,0 s, ¿cuál es la constante de tiempo inductiva? (b) Si R = 20 Ω , ¿cuál es el valor de la autoinducción? (c) Si el resistor de 20 - Ω se sustituye por otro de 100 - Ω , ¿cuánto tiempo tarda la corriente en alcanzar 90 % de su valor final? a. 2,2 s; b. 43 H; c. 1,0 s Para el circuito de la (b), demuestre que cuando se alcanza el estado estacionario, la diferencia de las energías totales producidas por la batería y disipadas en el resistor es igual a la energía almacenada en el campo magnético de la bobina. Resumen Cuando una conexión en serie de un resistor y un inductor -un circuito RL- se conecta a una fuente de voltaje, la variación temporal de la corriente es I ( t ) = ε R ( 1 − e − R t / L ) = ε R ( 1 − e − t / τ L ) (encendido), donde la corriente inicial es I 0 = ε / R . La constante de tiempo característica τ es τ L = L / R , donde L es la inductancia y R la resistencia. En la primera constante de tiempo τ , la corriente pasa de cero a 0,632 I 0 , y al 0,632 del resto en cada intervalo de tiempo posterior τ . Cuando el inductor está en cortocircuito conectado a un resistor, la corriente disminuye como I ( t ) = ε R e − t / τ L (apagando). La corriente baja a 0,368 I 0 en el primer intervalo de tiempo τ , y a 0,368 del resto hacia cero en cada tiempo posterior τ . Preguntas conceptuales Utilice la ley de Lenz para explicar por qué la corriente inicial en el circuito RL de la (b) es cero. A medida que la corriente fluye a través del inductor, hay una corriente de retorno por la ley de Lenz que se crea para mantener la corriente neta en cero amperios, la corriente inicial. Cuando la corriente en el circuito RL de la (b) alcanza su valor final ε / R , ¿cuál es el voltaje en el inductor? ¿En el resistor? ¿El tiempo necesario para que la corriente en un circuito RL alcance alguna fracción de su valor en estado estacionario depende de la emf de la batería? no Un inductor se conecta en los terminales de una batería. ¿La corriente que finalmente pasa por el inductor depende de la resistencia interna de la batería? ¿El tiempo necesario para que la corriente alcance su valor final depende de esta resistencia? ¿En qué momento el voltaje en el inductor del circuito RL de la (b) es máximo? En t = 0 , o cuando se acciona el interruptor por primera vez. En el sencillo circuito RL de la (b), ¿puede la emf inducida a través del inductor ser alguna vez mayor que la emf de la batería utilizada para producir la corriente? Si la emf de la batería de la (b) se reduce en un factor de 2, ¿en cuánto cambia la energía en estado estacionario almacenada en el campo magnético del inductor? 1/4 Una corriente constante fluye a través de un circuito con una gran constante de tiempo inductiva. Cuando se abre un interruptor en el circuito, se produce una gran chispa a través de los terminales del interruptor. Explique. Describa cómo las corrientes que atraviesan a R 1 y R 2 que se muestran a continuación varían con el tiempo después de cerrar el interruptor S. Inicialmente, I R 1 = ε R 1 y I R 2 = 0 , y después de que haya pasado mucho tiempo, I R 1 = ε R 1 y I R 2 = ε R 2 . Discuta las posibles aplicaciones prácticas de los circuitos RL . Problemas En la , ε = 12 V , L = 20 mH , y R = 5,0 Ω . Determine (a) la constante de tiempo del circuito, (b) la corriente inicial en el resistor, (c) la corriente final en el resistor, (d) la corriente en el resistor cuando t = 2 τ L , y (e) los voltajes en el inductor y el resistor cuando t = 2 τ L . Para el circuito que se muestra a continuación, ε = 20 V , L = 4,0 mH, y R = 5,0 Ω . Una vez alcanzado el estado estacionario con el S 1 cerrado y el S 2 abierto, el S 2 está cerrado e inmediatamente después ( en t = 0 ) S 1 está abierto. Determine (a) la corriente que pasa por L en t = 0 , (b) la corriente que atraviesa L en t = 4,0 × 10 −4 s , y (c) los voltajes en L y R 1 en t = 4,0 × 10 −4 s R 1 = R 2 = R . a. 4,0 A; b. 2,4 A; c. en R : V = 12 V ; en L : V = 7,9 V La corriente en el circuito RL que se muestra aquí aumenta a 40 % de su valor en estado estacionario en 2,0 s. ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito? Cuánto tiempo tarda la corriente, después de activar el interruptor S 1 en el circuito mostrado, en alcanzar la mitad de su valor máximo? Exprese su respuesta en términos de la constante de tiempo del circuito. 0,69 τ Examine el circuito mostrado en la parte (a). Determine dI/dt en el instante posterior a la activación del interruptor en el circuito de (a), produciendo así el circuito de (b). Demuestre que si l siguiera aumentando a esta tasa inicial, alcanzaría su máximo ε / R en una constante de tiempo. La corriente en el circuito RL que se muestra a continuación alcanza la mitad de su valor máximo en 1,75 ms después del interruptor S 1 se cierra. Determine (a) la constante de tiempo del circuito y (b) la resistencia del circuito si L = 250 mH . a. 2,52 ms; b 99,2 Ω Considere el circuito que se muestra a continuación. Calcule I 1 , I 2 , y I 3 cuando (a) el interruptor S se cierra por primera vez, (b) después de que las corrientes hayan alcanzado los valores de estado estacionario, y (c) en el instante en que el interruptor se vuelve a abrir (después de estar cerrado durante mucho tiempo). Para el circuito que se muestra a continuación, ε = 50 V , R 1 = 10 Ω, , R 2 = R 3 = 19,4 Ω, , y L = 2,0 mH . Calcule los valores de I 1 y I 2 (a) inmediatamente después de que se cierre el interruptor S, (b) mucho tiempo después de que se cierre el S, (c) inmediatamente después de que se vuelva a abrir el S, y (d) mucho tiempo después de que se vuelva a abrir el S. a I 1 = I 2 = 1,7 A ; b I 1 = 2,73 A , I 2 = 1,36 A ; c I 1 = 0 , I 2 = 0,54 A ; d I 1 = I 2 = 0 Para el circuito que se muestra a continuación, calcule la corriente que pasa por el inductor 2,0 × 10 −5 s después de reabrir el interruptor. Demuestre que para el circuito mostrado a continuación, la energía inicial almacenada en el inductor, L I 2 ( 0 ) / 2 , es igual a la energía total que finalmente se disipa en el resistor, ∫ 0 ∞ I 2 ( t ) R d t . realice una prueba con la constante de tiempo inductiva denotado por τ , el tiempo característico dado por la cantidad L/R de un determinado circuito RL en serie

Ciencia


Oscilaciones en un circuito LC Cabe destacar que tanto los condensadores como los inductores almacenan energía, en sus campos eléctricos y magnéticos, respectivamente. Un circuito que contiene un inductor ( L ) y un condensador ( C ) puede oscilar sin una fuente de emf al desplazar la energía almacenada en el circuito entre los campos eléctrico y magnético. Así, los conceptos que desarrollamos en esta sección son directamente aplicables al intercambio de energía entre los campos eléctrico y magnético en las ondas electromagnéticas, o luz. Comenzamos con un circuito idealizado de resistencia cero que contiene un inductor y un condensador, un circuito LC . En la se muestra un circuito LC . Si el condensador contiene una carga q 0 antes de que se cierre el interruptor, entonces toda la energía del circuito se almacena inicialmente en el campo eléctrico del condensador ( (a)). Esta energía es U C = 1 2 q 0 2 C . Cuando el interruptor se cierra, el condensador comienza a descargarse, produciendo una corriente en el circuito. La corriente, a su vez, crea un campo magnético en el inductor. El efecto neto de este proceso es una transferencia de energía del condensador, con su campo eléctrico decreciente, al inductor, con su campo magnético creciente. (a-d) La oscilación del almacenamiento de carga con las direcciones cambiantes de la corriente en un circuito LC . (e) Los gráficos muestran la distribución de carga y corriente entre el condensador y el inductor. En la (b), el condensador está completamente descargado y toda la energía está almacenada en el campo magnético del inductor. En este instante, la corriente está en su valor máximo I 0 y la energía en el inductor es U L = 1 2 L I 0 2 . Como no hay resistencia en el circuito, no se pierde energía por calentamiento Joule; por tanto, la energía máxima almacenada en el condensador es igual a la energía máxima almacenada en un momento posterior en el inductor: 1 2 q 0 2 C = 1 2 L I 0 2 . En un momento arbitrario en el que la carga del condensador es q(t) y la corriente es i(t) , la energía total U en el circuito viene dada por q 2 ( t ) 2 C + L i 2 ( t ) 2 . Porque no hay disipación de energía, U = 1 2 q 2 C + 1 2 L i 2 = 1 2 q 0 2 C = 1 2 L I 0 2 . Tras alcanzar su máximo I 0 , la corriente i(t) sigue transportando carga entre las placas del condensador, recargando así el condensador. Dado que el inductor resiste el cambio de corriente, la corriente sigue fluyendo, aunque el condensador esté descargado. Esta corriente continua hace que el condensador se cargue con polaridad opuesta. El campo eléctrico del condensador aumenta mientras el campo magnético del inductor disminuye, y el efecto global es una transferencia de energía del inductor que regresa al condensador. A partir de la ley de conservación de energía, la carga máxima que el condensador vuelve a obtener es q 0 . Sin embargo, como muestra (c), las placas del condensador se cargan de forma opuesta a como estaban inicialmente. Cuando está completamente cargado, el condensador vuelve a transferir su energía al inductor hasta que vuelve a estar completamente descargado, como se muestra en (d). Luego, en la última parte de este proceso cíclico, la energía vuelve a fluir hacia el condensador y se restablece el estado inicial del circuito. Hemos seguido el circuito a través de un ciclo completo. Sus oscilaciones electromagnéticas son análogas a las oscilaciones mecánicas de una masa en el extremo de un resorte. En este último caso, la energía se transfiere de un lado a otro entre la masa, que tiene energía cinética m v 2 / 2 , y el resorte, que tiene energía potencial k x 2 / 2 . Con la ausencia de fricción en el sistema masa-resorte, las oscilaciones continuarían indefinidamente. Del mismo modo, las oscilaciones de un circuito LC sin resistencia continuarían para siempre si no se perturba; sin embargo, este circuito LC ideal de resistencia cero no es práctico, y cualquier circuito LC tendrá al menos una pequeña resistencia, que irradiará y perderá energía con el tiempo. La frecuencia de las oscilaciones en un circuito LC sin resistencia puede encontrarse por analogía con el sistema masa-resorte. Para el circuito, i ( t ) = d q ( t ) / d t , la energía electromagnética total U es U = 1 2 L i 2 + 1 2 q 2 C . Para el sistema masa-resorte, v ( t ) = d x ( t ) / d t , la energía mecánica total E es E = 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 . La equivalencia de los dos sistemas es evidente. Para pasar del sistema mecánico al electromagnético, basta con sustituir m por L , v por i , k por 1/ C , y x por q . Ahora x(t) viene dada por x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) donde ω = k / m . Por lo tanto, la carga del condensador en un circuito LC viene dada por q ( t ) = q 0 cos ( ω t + ϕ ) donde la frecuencia angular de las oscilaciones en el circuito es ω = 1 L C . Finalmente, la corriente en el circuito LC se encuentra tomando la derivada en función del tiempo de q(t) : i ( t ) = d q ( t ) d t = − ω q 0 sen ( ω t + ϕ ) . Las variaciones temporales de q e I se muestran en la (e) para ϕ = 0 . Un circuito LC En un circuito LC , la autoinducción es 2,0 × 10 −2 H y la capacitancia es 8,0 × 10 −6 F. En t = 0 , toda la energía se almacena en el condensador, que tiene carga 1,2 × 10 −5 C. (a) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones en el circuito? (b) ¿Cuál es la corriente máxima que circula por el circuito? (c) ¿Cuánto tiempo tarda el condensador en descargarse completamente? (d) Halle una ecuación que represente q(t) . Estrategia La frecuencia angular del circuito LC viene dada por la . Para calcular la corriente máxima, la energía máxima en el condensador se establece igual a la energía máxima en el inductor. El tiempo que tarda el condensador en descargarse si está cargado inicialmente es la cuarta parte del periodo del ciclo, por lo que si calculamos el periodo de la oscilación, podemos averiguar cuál es la cuarta parte de este para calcular este tiempo. Por último, conociendo la carga inicial y la frecuencia angular, podemos plantear una ecuación del coseno para hallar q ( t ). Solución A partir de la , la frecuencia angular de las oscilaciones es ω = 1 L C = 1 ( 2,0 × 10 −2 H ) ( 8,0 × 10 −6 F ) = 2,5 × 10 3 rad/s . La corriente está al máximo I 0 cuando toda la energía se almacena en el inductor. De la ley de conservación de energía, 1 2 L I 0 2 = 1 2 q 0 2 C , así que I 0 = 1 L C q 0 = ( 2,5 × 10 3 rad/s ) ( 1,2 × 10 −5 C ) = 3,0 × 10 −2 A . Este resultado también se puede calcular por analogía con el movimiento armónico simple, donde la corriente y la carga son la velocidad y la posición de un oscilador. El condensador se descarga completamente en un cuarto de ciclo, o durante un tiempo T /4, donde T es el periodo de las oscilaciones. Dado que T = 2 π ω = 2 π 2,5 × 10 3 rad/s = 2,5 × 10 −3 s , el tiempo que tarda el condensador en descargarse completamente es ( 2,5 × 10 −3 s ) / 4 = 6,3 × 10 −4 s . El condensador está completamente cargado en t = 0 , así que q ( 0 ) = q 0 . Utilizando la , obtenemos q ( 0 ) = q 0 = q 0 cos ϕ . Así, ϕ = 0 , y q ( t ) = ( 1,2 × 10 −5 C ) cos ( 2,5 × 10 3 t ) . Importancia La relación energética establecida en la parte (b) no es la única forma de equiparar energías. En la mayoría de los casos, parte de la energía se almacena en el condensador y parte en el inductor. Podemos poner ambos términos en cada lado de la ecuación. Al examinar el circuito solo cuando no hay carga en el condensador o no hay corriente en el inductor, simplificamos la ecuación de energía. La frecuencia angular de las oscilaciones en un circuito LC es 2,0 × 10 3 rad/s. (a) Si L = 0,10 H , ¿cuál es C ? (b) Supongamos que en t = 0 , toda la energía se almacena en el inductor. ¿Cuál es el valor de ϕ ? (c) Se conecta un segundo condensador idéntico en paralelo con el condensador original. ¿Cuál es la frecuencia angular de este circuito? a 2,5 μ F ; b π / 2 rad o 3 π / 2 rad ; c 1,4 × 10 3 rad/s Resumen La energía transferida de forma oscilante entre el condensador y el inductor en un circuito LC se produce a una frecuencia angular ω = 1 L C . La carga y la corriente en el circuito vienen dadas por q ( t ) = q 0 cos ( ω t + ϕ ) , i ( t ) = − ω q 0 sen ( ω t + ϕ ) . Preguntas conceptuales ¿Se aplican las reglas de Kirchhoff a los circuitos que contienen inductores y condensadores? sí ¿Un elemento del circuito puede tener tanto capacitancia como inductancia? En un circuito LC , ¿qué determina la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones de energía en el inductor o el condensador? La amplitud de las oscilaciones de energía depende de la energía inicial del sistema. La frecuencia en un circuito LC depende de los valores de inductancia y capacitancia. Problemas Un condensador de 5.000 pF se carga a 100 V y se conecta rápidamente a un inductor de 80 mH. Determine (a) la energía máxima almacenada en el campo magnético del inductor, (b) el valor pico de la corriente y (c) la frecuencia de oscilación del circuito. La autoinducción y la capacitancia de un circuito LC son 0,20 mH y 5,0 pF. ¿Cuál es la frecuencia angular a la que oscila el circuito? ω = 3,2 × 10 7 rad/s ¿Cuál es la autoinducción de un circuito LC que oscila a 60 Hz cuando la capacitancia es 10 μ F ? En un circuito LC oscilante, la carga máxima del condensador es 2,0 × 10 −6 C y la corriente máxima a través del inductor es de 8,0 mA. (a) ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones? (b) ¿Cuánto tiempo transcurre entre un instante en el que el condensador está sin cargar y el siguiente instante en el que está totalmente cargado? a 1,57 × 10 −6 s ; b 3,93 × 10 −7 s La autoinducción y la capacitancia de un circuito LC oscilante son L = 20 mH y C = 1,0 μ F , respectivamente. (a) ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones? (b) Si la diferencia de potencial máxima entre las placas del condensador es de 50 V, ¿cuál es la corriente máxima en el circuito? En un circuito LC oscilante, la carga máxima del condensador es q m . Determine la carga del condensador y la corriente que pasa por el inductor cuando la energía se reparte por igual entre los campos eléctrico y magnético. Exprese su respuesta en términos de q m , L , y C . q = q m 2 , I = q m 2 L C En el circuito que se muestra a continuación, S 1 se abre y S 2 se cierra simultáneamente. Determine (a) la frecuencia de las oscilaciones resultantes, (b) la carga máxima en el condensador, (c) la corriente máxima a través del inductor, y (d) la energía electromagnética del circuito oscilante. Un circuito LC en un sintonizador de AM (en un estéreo de automóvil) utiliza una bobina con una inductancia de 2,5 mH y un condensador variable. Si la frecuencia natural del circuito debe ser ajustable en el rango de 540 a 1.600 kHz (la banda de emisión de AM), ¿qué rango de capacitancia se requiere? C = 1 4 π 2 f 2 L f 1 = 540 Hz; C 1 = 3,5 × 10 −11 F f 2 = 1.600 Hz; C 2 = 4,0 × 10 −12 F Circuito LC circuito compuesto por una fuente de ac, un inductor y un condensador

Ciencia


Circuitos RLC en serie Cuando el interruptor se cierra en el circuito RLC de (a), el condensador comienza a descargarse y la energía electromagnética se disipa por el resistor a una tasa de i 2 R . Con U dado por la , tenemos d U d t = q C d q d t + L i d i d t = − i 2 R donde i y q son funciones que dependen del tiempo. Esto se reduce a L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = 0 . (a) Un circuito RLC . Las oscilaciones electromagnéticas comienzan cuando se cierra el interruptor. El condensador está totalmente cargado inicialmente. (b) Las oscilaciones amortiguadas de la carga del condensador se muestran en esta curva de carga versus tiempo, o q versus t . El condensador contiene una carga q 0 antes de que se cierre el interruptor. Esta ecuación es análoga a m d 2 x d t 2 + b d x d t + k x = 0 , que es la ecuación del movimiento para un sistema masa-resorte amortiguado (la primera vez que usted vio esta ecuación fue en Oscilaciones ). Como vimos en ese capítulo, se puede demostrar que la solución de esta ecuación diferencial toma tres formas, dependiendo de si la frecuencia angular del resorte no amortiguado es mayor, igual o menor que b /2 m . Por lo tanto, el resultado puede ser subamortiguado ( k / m > b / 2 m ) , amortiguado críticamente ( k / m = b / 2 m ) , o sobreamortiguado ( k / m < b / 2 m ) . Por analogía, la solución q (t ) de la ecuación diferencial RLC tiene la misma característica. En este caso, solo se trata de un caso de subamortiguación. Sustituyendo m por L , b por R , k por 1/ C , y x por q en la , y asumiendo 1 / L C > R / 2 L , obtenemos q ( t ) = q 0 e − R t / 2 L cos ( ω ′ t + ϕ ) donde la frecuencia angular de las oscilaciones viene dada por ω ′ = 1 L C − ( R 2 L ) 2 Esta solución subamortiguada se muestra en la (b). Observe que la amplitud de las oscilaciones disminuye a medida que la energía se disipa en el resistor. La puede confirmarse experimentalmente midiendo el voltaje a través del condensador en función del tiempo. Este voltaje, multiplicado por la capacitancia del condensador, da entonces q (t ). En la simulación del kit de construcción de circuitos interactivos que aparece a continuación, puede añadir inductores y condensadores para trabajar con cualquier combinación de circuitos R, L y C con fuentes tanto de corriente continua como de corriente alterna. A continuación, puede medir y evaluar la corriente y el voltaje, y representarlas gráficamente en función del tiempo. Con la simulación interactiva del kit de construcción de circuitos de corriente continua que aparece a continuación, puede añadir inductores y condensadores para trabajar con cualquier combinación de circuitos R, L y C con fuentes tanto de corriente continua como de corriente alterna. A continuación, puede medir y evaluar la corriente y el voltaje, y representarlas gráficamente en función del tiempo. En un circuito RLC , L = 5,0 mH , C = 6,0 μ F , y R = 200 Ω . (a) ¿Está el circuito subamortiguado, amortiguado críticamente o sobreamortiguado? (b) Si el circuito comienza a oscilar con una carga de 3,0 × 10 −3 C en el condensador, ¿cuánta energía se ha disipado en el resistor cuando cesan las oscilaciones? a. Sobreamortiguado; b. 0,75 J Resumen La solución subamortiguada para la carga del condensador en un circuito RLC es q ( t ) = q 0 e − R t / 2 L cos ( ω ′ t + ϕ ) . La frecuencia angular dada en la solución subamortiguada para el circuito RLC es ω ′ = 1 L C − ( R 2 L ) 2 . Ecuaciones clave Inductancia mutua por flujo M = N 2 Φ 21 I 1 = N 1 Φ 12 I 2 Inductancia mutua en los circuitos ε 1 = − M d I 2 d t Autoinducción en términos de flujo magnético N Φ m = L I Autoinducción en términos de emf ε = − L d I d t Autoinducción de un solenoide L solenoide = μ 0 N 2 A l Autoinducción de un toroide L toroide = μ 0 N 2 h 2 π In R 2 R 1 . Energía almacenada en un inductor U = 1 2 L I 2 Corriente en función del tiempo para un circuito RL I ( t ) = ε R ( 1 − e − t / τ L ) Constante de tiempo para un circuito RL τ L = L / R Oscilación de la carga en los circuitos LC q ( t ) = q 0 cos ( ω t + ϕ ) Frecuencia angular en circuitos LC ω = 1 L C Oscilaciones de corriente en circuitos LC i ( t ) = − ω q 0 sen ( ω t + ϕ ) Carga en función del tiempo en un circuito RLC q ( t ) = q 0 e − R t / 2 L cos ( ω ′ t + ϕ ) Frecuencia angular en circuito RLC ω ′ = 1 L C − ( R 2 L ) 2 Preguntas conceptuales Cuando se conecta un cable entre los dos extremos de un solenoide, el circuito resultante puede oscilar como un circuito RLC . Describa la causa de la capacitancia en este circuito. Describe qué efecto tiene la resistencia de los cables de conexión en un circuito LC oscilante. Esto crea un circuito RLC que disipa energía, haciendo que las oscilaciones disminuyan en amplitud lenta o rápidamente dependiendo del valor de la resistencia. Suponga que quiere diseñar un circuito LC con una frecuencia de 0,01 Hz. ¿Qué problemas puede encontrar? Un receptor de radio utiliza un circuito RLC para seleccionar determinadas frecuencias para escuchar en su casa o automóvil sin oír otras frecuencias no deseadas. ¿Cómo podría alguien diseñar un circuito de este tipo? Tendría que elegir una resistencia lo suficientemente pequeña como para que solo se capte una emisora a la vez, pero lo suficientemente grande como para que el sintonizador no tenga que estar ajustado exactamente a la frecuencia correcta. La inductancia o la capacitancia tendrían que variar para sintonizar la emisora, sin embargo, en la práctica, los condensadores variables son mucho más fáciles de construir en un circuito. Problemas En un circuito RLC oscilante, R = 5,0 Ω , L = 5,0 mH , y C = 500 μ F . ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones? En un circuito RLC oscilante con L = 10 mH , C = 1,5 µ F , y R = 2,0 Ω , ¿cuánto tiempo transcurre antes de que la amplitud de las oscilaciones caiga a la mitad de su valor inicial? 6,9 ms ¿Qué resistencia R debe conectarse en serie con un inductor de 200 mH y un condensador de 10 μ F para que el circuito RLC oscilante resultante, pueda disminuir al 50 % de su valor inicial de carga en 50 ciclos? A 0,10 % de su valor inicial en 50 ciclos? Problemas adicionales Demostrar que la autoinducción por unidad de longitud de un alambre infinito, recto y delgado es infinita. Sea a igual al radio del alambre largo y delgado, r el lugar donde se mide el campo magnético, y R el límite superior del problema donde tomaremos R al acercarse al infinito. Realice una prueba. En el exterior, B = μ 0 I 2 π r En el interior, B = μ 0 I r 2 π a 2 U = μ 0 I 2 l 4 π ( 1 4 + In R a ) Así que, 2 U I 2 = μ 0 l 2 π ( 1 4 + In R a ) y L = ∞ Dos cables largos y paralelos transportan corrientes iguales en direcciones opuestas. El radio de cada cable es a , y la distancia entre los centros de los cables es d . Demuestre que si se puede ignorar el flujo magnético dentro de los propios cables, la autoinductancia de una longitud l de ese par de cables es L = μ 0 l π In d − a a . (Pista : Calcule el flujo magnético a través de un rectángulo de longitud l entre los cables y luego utilice L = N Φ / I .) Un pequeño bucle rectangular de alambre con dimensiones l , y a se coloca, como se muestra a continuación, en el plano de un bucle rectangular de alambre mucho más grande. Los dos lados cortos del bucle mayor están tan alejados del bucle menor que sus campos magnéticos sobre los campos menores del bucle menor se pueden ignorar. ¿Cuál es la inductancia mutua de los dos bucles? M = μ 0 l π In d + a d Supongamos que un solenoide cilíndrico está enrollado en un núcleo de hierro cuya susceptibilidad magnética es x . Utilizando la , demuestre que la autoinducción del solenoide viene dada por L = ( 1 + x ) μ 0 N 2 A l , donde l es su longitud, A su área de sección transversal y N su número total de vueltas. Un solenoide con 4 x 10 7 vueltas/m tiene un núcleo de hierro colocado en él cuya susceptibilidad magnética es 4,0 × 10 3 . (a) Si una corriente de 2,0 A fluye a través del solenoide, ¿cuál es el campo magnético en el núcleo de hierro? (b) ¿Cuál es la corriente superficial efectiva formada por los bucles de corriente atómica alineados en el núcleo de hierro? (c) ¿Cuál es la autoinducción del solenoide con núcleo de hierro? a. 100 T; b. 2 A; c. 0,50 H Un toroide rectangular con radio interior R 1 = 7,0 cm, radio exterior R 2 = 9,0 cm , altura h = 3,0 , y N = 3.000 vueltas está lleno de un núcleo de hierro de susceptibilidad magnética 5,2 × 10 3 . (a) ¿Cuál es la autoinducción del toroide? (b) Si la corriente que atraviesa el toroide es de 2,0 A, ¿cuál es el campo magnético en el centro del núcleo? (c) Para esta misma corriente de 2,0 A, ¿cuál es la corriente superficial efectiva formada por los bucles de corriente atómica alineados en el núcleo de hierro? El interruptor S del circuito que se muestra a continuación está cerrado a t = 0 . Determine (a) la corriente inicial de la batería y (b) la corriente en estado estacionario de la batería. a. 0 A; b. 2,4 A En un circuito RLC oscilante, R = 7,0 Ω , L = 10 mH , y C = 3,0 μ F . Inicialmente, el condensador tiene una carga de 8,0 μ C y la corriente es cero. Calcule la carga del condensador (a) cinco ciclos después y (b) 50 ciclos después. Un inductor de 25,0 H tiene 100 A de corriente apagada en 1,00 ms. (a) ¿Qué voltaje se induce para oponerse a esto? (b) ¿Qué no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposición o premisa es responsable? a 2,50 × 10 6 V ; (b) El voltaje es tan extremadamente alto que se produciría un arco eléctrico y la corriente no se reduciría tan rápidamente. (c) No es razonable apagar una corriente tan grande en un inductor tan grande en un tiempo tan extremadamente corto. Problemas de desafíos Un cable coaxial tiene un conductor interno de radio a, y una capa cilíndrica delgada externa de radio b. Una corriente I circula por el conductor interior y regresa por el exterior. La autoinducción de la estructura dependerá de cómo tienda a distribuirse la corriente en el cilindro interior. Investigue los dos casos extremos siguientes. (a) Deje que la corriente en el conductor interior se distribuya solo en la superficie y calcule la autoinducción. (b) Deje que la corriente en el cilindro interior se distribuya uniformemente en su sección transversal y calcule la autoinducción. Compárelo con sus resultados en (a). En un circuito oscilante amortiguado la energía se disipa en el resistor. El factor Q es una medida de la persistencia del oscilador frente a la pérdida disipativa. (a) Demuestre que para un circuito ligeramente amortiguado la energía, U , en el circuito disminuye según la siguiente ecuación. d U d t = −2 β U , donde β = R 2 L . (b) Utilizando la definición del factor Q como la energía dividida entre la pérdida en el siguiente ciclo, demuestre que el factor Q de un oscilador ligeramente amortiguado como se define en este problema es Q ≡ U de inicio Δ U de un ciclo = 1 2 π R L C . (Pista: Para (b), para obtener Q , dividir E al principio de un ciclo por el cambio Δ E durante el siguiente ciclo) prueba El interruptor del circuito que se muestra a continuación está cerrado en t = 0 s . Calcule las corrientes a través de (a) R 1 , (b) R 2 y (c) la batería en función del tiempo. Un bucle cuadrado de 2 cm de lado se coloca a 1 cm de un cable largo que transporta una corriente que varía con el tiempo a una velocidad constante de 3 A/s como se muestra a continuación. (a) Utilice la ley de Ampère y halle el campo magnético. (b) Determine el flujo magnético que atraviesa el bucle. (c) Si el bucle tiene una resistencia de 3 Ω , ¿cuánta corriente inducida fluye en el bucle? a d B d t = 6 × 10 −6 T/s; b Φ = μ 0 a I 2 π In ( a + b b ) ; c. 4,4 nA Circuito RLC circuito con una fuente de ac, un resistor, un inductor y un condensador en serie.

Ciencia


Introducción La corriente que recibimos en nuestras casas es una corriente alterna (ac). Las líneas eléctricas transmiten la ac a nuestros vecindarios, donde las centrales eléctricas locales y los transformadores la distribuyen a nuestros hogares. En este capítulo se explica cómo funciona un transformador y cómo nos permite transmitir energía a voltajes muy altos y con mínimas pérdidas de calor en las líneas. La energía eléctrica llega a nuestros hogares mediante corriente alterna (ac) a través de líneas de transmisión de alto voltaje. Como se explica en la sección Transformadores , los transformadores pueden cambiar la amplitud de la diferencia de potencial alterna a una forma más útil. Esto nos permite transmitir energía a voltajes muy altos, lo que minimiza pérdidas por calentamiento resistivo en las líneas, y luego suministrar esa energía a los hogares a voltajes más bajos y seguros. Como las diferencias de potencial constantes no se ven afectadas por los transformadores, esta capacidad es más difícil de conseguir con la transmisión de corriente continua. En este capítulo utilizamos las leyes de Kirchhoff para analizar cuatro circuitos simples en los que fluye la ac. Hemos hablado del uso del resistor, el condensador y el inductor en los circuitos con baterías. Estos componentes también forman parte de los circuitos de ac. Sin embargo, como se requiere ac, la fuente constante de emf suministrada por una batería se sustituye por una fuente de voltaje alterno, que produce una emf oscilante.

Ciencia


Fuentes de ac La mayoría de los ejemplos tratados hasta ahora en este libro, especialmente los que utilizan baterías, tienen fuentes de voltaje constante. Así, una vez establecida la corriente, esta es constante. La corriente continua (dc) es el flujo de carga eléctrica en una sola dirección. Es el estado estacionario de un circuito de voltaje constante. Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones conocidas utilizan una fuente de voltaje variable en el tiempo. La corriente alterna (ac) es el flujo de carga eléctrica que invierte periódicamente su dirección. La ac es producida por una emf alterna, que se genera en una central eléctrica, como se describe en Campos eléctricos inducidos . Si la fuente de ac varía periódicamente, especialmente de forma sinusoidal, el circuito se conoce como circuito de ac. Por ejemplo, la energía comercial y residencial que sirve para muchas de nuestras necesidades. Los voltajes alternos y frecuencias de ac que se utilizan habitualmente en las empresas y los hogares varían en todo el mundo. En una casa típica, la diferencia de potencial entre los dos lados de una toma de corriente alterna sinusoidalmente con una frecuencia de 60 o 50 Hz y una amplitud de 170 o 311 V, según se viva en Estados Unidos o Europa, respectivamente. La mayoría de la gente sabe que la diferencia de potencial de las tomas de corriente es de 120 V o 220 V en EE. UU. o Europa, pero como se explica más adelante en el capítulo, estos voltajes no son los valores máximos que se dan aquí, sino que están relacionados con los voltajes comunes que vemos en nuestras tomas de corriente. La muestra gráficos de voltaje y corriente versus tiempo para dc y ac típicas de Estados Unidos. (a) El voltaje continuo y la corriente continua son constantes en el tiempo, una vez establecida la corriente. (b) El voltaje y la corriente versus tiempo son muy diferentes para la energía de ac. En este ejemplo, que muestra la potencia de ac de 60 Hz y el tiempo t en milisegundos, el voltaje y la corriente son sinusoidales y están en fase para un circuito de resistencia simple. Las frecuencias y los picos de voltajes de las fuentes de ac son muy diferentes. Supongamos que conectamos un resistor a una fuente de voltaje alterno y determinamos cómo el voltaje y la corriente varían en el tiempo a través del resistor. La muestra un esquema de un circuito sencillo con una fuente de voltaje alterno. El voltaje fluctúa sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia fija, como se muestra, en los terminales de la batería o en el resistor. Por lo tanto, el voltaje alterno , o el "voltaje en un enchufe” puede venir dado por v = V 0 sen ω t , donde v es el voltaje en el momento t , V 0 es el voltaje pico, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo. Para una casa típica en Estados Unidos, V 0 = 170 V y ω = 120 π rad/s , mientras que en Europa, V 0 = 311 V y ω = 100 π rad/s . Para este sencillo circuito de resistencia, I = V / R , por lo que la ac , es decir, la corriente que fluctúa sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia fija, es i = I 0 sen ω t , donde i es la corriente en el momento t y I 0 es la corriente máxima y es igual a V 0 / R . En este ejemplo, se dice que el voltaje y la corriente están en fase, lo que significa que sus formas funcionales sinusoidales tienen picos, valles y nodos en el mismo lugar. Oscilan de forma sincronizada, como se muestra en la (b). En estas ecuaciones, y a lo largo de este capítulo, utilizamos letras minúsculas (como la i ) para indicar valores instantáneos y letras mayúsculas (como la I ) para indicar valores máximos o pico. La diferencia de potencial V entre los terminales de una fuente de voltaje alterno fluctúa, por lo que la fuente y el resistor tienen ondas sinusoidales alternas por encima de cada uno. La expresión matemática de v viene dada por v = V 0 sen ω t . La corriente en el resistor se alterna de un lado a otro al igual que el voltaje de conducción, ya que I = V / R . Si el resistor es una bombilla fluorescente, por ejemplo, se ilumina y se oscurece 120 veces por segundo cuando la corriente pasa repetidamente por cero. Un parpadeo de 120 Hz es demasiado rápido para que sus ojos lo detecten, pero si agita la mano de un lado a otro entre su cara y una luz fluorescente, verá el efecto estroboscópico del ac. Si se considera una fuente de voltaje alterno europeo, ¿cuál es la diferencia de tiempo entre los cruces por cero en una gráfica de voltaje alterno en función del tiempo? 10 ms Resumen La corriente continua (dc) se refiere a los sistemas en los que el voltaje de la fuente es constante. La corriente alterna (ac) se refiere a los sistemas en los que el voltaje de la fuente varía periódicamente, específicamente de forma sinusoidal. La fuente de voltaje de un sistema de ac emite un voltaje que se calcula a partir del tiempo, el voltaje pico y la frecuencia angular. En un circuito simple, la corriente se encuentra dividiendo el voltaje entre la resistencia. Una ac se calcula utilizando la corriente de pico (determinada al dividir del voltaje pico entre la resistencia), la frecuencia angular y el tiempo. Preguntas conceptuales ¿Cuál es la relación entre la frecuencia y la frecuencia angular? La frecuencia angular es 2 π veces la frecuencia. Problemas Escriba una expresión para el voltaje de salida de una fuente de ac que tiene una amplitud de 12 V y una frecuencia de 200 Hz. corriente alterna corriente que fluctúa sinusoidalmente en el tiempo a una frecuencia fija voltaje de ac voltaje que fluctúa sinusoidalmente con el tiempo a una frecuencia fija corriente alterna (ac) flujo de carga eléctrica que invierte periódicamente su dirección corriente continua (dc) flujo de carga eléctrica en una sola dirección

Ciencia


Circuitos simples de ac En esta sección estudiamos modelos sencillos de fuentes de voltaje alterno conectadas a tres componentes del circuito: (1) un resistor, (2) un condensador y (3) un inductor. La potencia suministrada por una fuente de voltaje alterno tiene una emf dada por v ( t ) = V 0 sen ω t , como se muestra en la . Esta función sinusoidal supone que empezamos a registrar el voltaje cuando es v = 0 V en un momento de t = 0 s . Es posible que haya una constante de fase que desplace la función cuando empezamos a medir voltajes, similar a la constante de fase en las ondas que estudiamos en Ondas . Sin embargo, como somos libres de elegir cuándo empezamos a examinar el voltaje, podemos ignorar esta constante de fase por ahora. Podemos medir este voltaje a través de los componentes del circuito utilizando uno de los dos métodos: (1) un enfoque cuantitativo basado en nuestro conocimiento de los circuitos, o (2) un enfoque gráfico que se explica en las próximas secciones. (a) La salida v ( t ) = V 0 sen ω t de un generador de ac. (b) Símbolo utilizado para representar una fuente de voltaje alterno en un diagrama de circuito. Resistor En primer lugar, consideremos un resistor conectado a una fuente de voltaje alterno. A partir de la regla de las tensiones de Kirchhoff, el voltaje instantáneo a través del resistor de la (a) es v R ( t ) = V 0 sen ω t y la corriente instantánea a través del resistor es i R ( t ) = v R ( t ) R = V 0 R sen ω t = I 0 sen ω t . (a) Un resistor conectado a una fuente de voltaje alterno. (b) La corriente i R ( t ) a través del resistor y el voltaje v R ( t ) a través del resistor. Las dos cantidades están en fase. Aquí, I 0 = V 0 / R es la amplitud de la corriente variable en el tiempo. Gráficos de i R ( t ) y v R ( t ) se muestran en la (b). Ambas curvas alcanzan sus máximos y mínimos en los mismos momentos, es decir, la corriente que pasa y el voltaje que atraviesa el resistor están en fase. Las representaciones gráficas de las relaciones de fase entre la corriente y el voltaje suelen ser útiles en el análisis de los circuitos de ac. Estas representaciones se denominan diagramas fasoriales . El diagrama fasorial de i R ( t ) se muestra en la (a), con la corriente en el eje vertical. La flecha (o fasor) gira en sentido contrario a las agujas del reloj con una frecuencia angular constante ω , por lo que lo estamos viendo en un instante en el tiempo. Si la longitud de la flecha corresponde a la amplitud de la corriente I 0 , la proyección de la flecha giratoria sobre el eje vertical es i R ( t ) = I 0 sen ω t , que es la corriente instantánea. (a) El diagrama fasorial que representa la corriente a través del resistor de la . (b) El diagrama fasorial que representa ambos i R ( t ) y v R ( t ) . El eje vertical de un diagrama fasorial puede ser el voltaje o la corriente, según el fasor que se examine. Además, se pueden representar varias magnitudes en el mismo diagrama fasorial. Por ejemplo, tanto el actual i R ( t ) y el voltaje v R ( t ) se muestran en el diagrama de la (b). Como tienen la misma frecuencia y están en fase, sus fasores apuntan en la misma dirección y giran juntos. Las longitudes relativas de los dos fasores son arbitrarias porque representan cantidades diferentes; sin embargo, la relación de las longitudes de los dos fasores puede representarse mediante la resistencia, ya que uno es un fasor de voltaje y el otro de corriente. Condensador Consideremos ahora un condensador conectado a una fuente de voltaje alterno. A partir de la regla de las tensiones de Kirchhoff, el voltaje instantáneo a través del condensador de la (a) es v C ( t ) = V 0 sen ω t . Recordemos que la carga de un condensador viene dada por Q = C V . Esto es cierto en cualquier momento medido en el ciclo de ac del voltaje. En consecuencia, la carga instantánea del condensador es q ( t ) = C v C ( t ) = C V 0 sen ω t . Dado que la corriente en el circuito es la velocidad a la que la carga entra (o sale) del condensador, i C ( t ) = d q ( t ) d t = ω C V 0 cos ω t = I 0 cos ω t , donde I 0 = ω C V 0 es la amplitud de la corriente. Utilizando la relación trigonométrica cos ω t = sen ( ω t + π / 2 ) , podemos expresar la corriente instantánea como i C ( t ) = I 0 sen ( ω t + π 2 ) . Dividiendo V 0 entre I 0 , obtenemos una ecuación que se parece a la ley de Ohm: V 0 I 0 = 1 ω C = X C . La cantidad X C es análoga a la resistencia en un circuito de corriente continua en el sentido de que ambas magnitudes son una relación entre un voltaje y una corriente. Por ello, tienen la misma unidad, el ohmio. Sin embargo, hay que tener en cuenta que un condensador almacena y descarga energía eléctrica, mientras que un resistor la disipa. La cantidad X C se conoce como la reactancia capacitiva del condensador, o la oposición de un condensador a un cambio de corriente. Depende de forma inversa de la frecuencia de la fuente de ac: una alta frecuencia conduce a una baja reactancia capacitiva. (a) Un condensador conectado a un generador de ac. (b) La corriente i C ( t ) a través del condensador y el voltaje v C ( t ) a través del condensador. Observe que i C ( t ) lleva v C ( t ) entre π / 2 rad. Una comparación de las expresiones para v C ( t ) y i C ( t ) muestra que hay una diferencia de fase de π / 2 rad entre ellos. Cuando estas dos cantidades se grafican juntas, la corriente alcanza un pico de un cuarto de ciclo (o π / 2 rad ) por delante del voltaje, como se ilustra en la (b). La corriente a través de un condensador conduce al voltaje a través de un condensador por π / 2 rad , o un cuarto de ciclo. El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la . Aquí, la relación entre i C ( t ) y v C ( t ) se representa haciendo que sus fasores giren a la misma frecuencia angular, con el fasor de la corriente a la cabeza por π / 2 rad . El diagrama fasorial del condensador de la . El fasor de la corriente adelanta al fasor del voltaje en π / 2 rad ya que ambos giran con la misma frecuencia angular. Hasta ahora, hemos utilizado exclusivamente los valores de pico de la corriente o el voltaje en nuestra discusión, es decir, I 0 y V 0 . Sin embargo, si promediamos los valores de corriente o voltaje, estos valores son cero. Por lo tanto, a menudo utilizamos una segunda convención llamada valor cuadrático medio, o valor eficaz, en las discusiones sobre la corriente y el voltaje. El rms funciona a la inversa de la terminología. Primero, se eleva la función al cuadrado, después se toma la media y, por último, se halla la raíz cuadrada. Como resultado, los valores eficaces de la corriente y el voltaje no son cero. Los aparatos y dispositivos se citan habitualmente con valores rms para su funcionamiento, en lugar de valores de pico. Indicamos los valores rms con un subíndice unido a una letra mayúscula (como I rms ). Aunque un condensador es básicamente un circuito abierto, una corriente rms , o el valor cuadrático medio de la corriente, en un circuito con un voltaje alterno aplicado a un condensador. Considera que I rms = I 0 2 , donde I 0 es la corriente de pico en un sistema de ac. El voltaje rms , o valor cuadrático medio del voltaje, es V rms = V 0 2 , donde V 0 es el voltaje de pico en un sistema de ac. La corriente rms aparece porque el voltaje se invierte continuamente, cargando y descargando el condensador. Si la frecuencia llega a cero, lo que sería un voltaje continuo, X C tiende a infinito, y la corriente es cero una vez cargado el condensador. A frecuencias muy altas, la reactancia del condensador tiende a cero: tiene una reactancia despreciable y no impide la corriente (actúa como un simple cable). Inductor Por último, consideremos un inductor conectado a una fuente de voltaje alterno. A partir de la regla de las tensiones de Kirchhoff, el voltaje a través del inductor L de la (a) es v L ( t ) = V 0 sen ω t . La fuerza electromotriz a través de un inductor es igual a ε = − L ( d i L / d t ) ; sin embargo, la diferencia de potencial a través del inductor es v L ( t ) = L d i L ( t ) / d t , ya que si consideramos que el voltaje alrededor del bucle debe ser igual a cero, el voltaje obtenido de la fuente de ac debe disiparse a través del inductor. Por lo tanto, conectando esto con la fuente de voltaje alterno, tenemos d i L ( t ) d t = V 0 L sen ω t . (a) Un inductor conectado a través de un generador de ac. (b) La corriente i L ( t ) a través del inductor y el voltaje v L ( t ) a través del inductor. Aquí i L ( t ) retrasos v L ( t ) entre π / 2 rad. El actual i L ( t ) se encuentra integrando esta ecuación. Como el circuito no contiene una fuente de emf constante, no hay corriente constante en el circuito. Por lo tanto, podemos establecer la constante de integración, que representa la corriente constante en el circuito, igual a cero, y tenemos i L ( t ) = − V 0 ω L cos ω t = V 0 ω L sen ( ω t − π 2 ) = I 0 sen ( ω t − π 2 ) , donde I 0 = V 0 / ω L . La relación entre V 0 y I 0 también puede escribirse de forma análoga a la ley de Ohm: V 0 I 0 = ω L = X L . La cantidad X L se conoce como la reactancia inductiva del inductor, o la oposición de un inductor a un cambio de corriente; su unidad es también el ohmio. Tenga en cuenta que X L varía directamente en función de la frecuencia de la fuente de ac: la alta frecuencia provoca una alta reactancia inductiva. Una diferencia de fase de π / 2 rad se produce entre la corriente que pasa y el voltaje a través del inductor. En la y la , la corriente que atraviesa un inductor se retrasa con respecto a la diferencia de potencial en el mismo en π / 2 rad o un cuarto de ciclo. El diagrama fasorial para este caso se muestra en la . El diagrama fasorial del inductor de la . El fasor de la corriente va por detrás del fasor del voltaje en π / 2 rad ya que ambos giran con la misma frecuencia angular. Una animación de la Universidad de Nueva Gales del Sur Circuitos ac ilustra algunos de los conceptos que tratamos en este capítulo. También incluyen diagramas de ondas y fasoriales que evolucionan con el tiempo para que puedas hacerte una mejor idea de cómo cambia cada uno con el tiempo. Circuitos simples de ac Un generador de ac produce una emf de amplitud 10 V a una frecuencia f = 60 Hz . Determine los voltajes y las corrientes que atraviesan los elementos del circuito cuando el generador está conectado a (a) un resistor de 100 - Ω , (b) un condensador de 10 - μ F y (c) un inductor de 15 mH. Estrategia Todo el voltaje alterno a través de cada dispositivo es el mismo que el voltaje de la fuente. Podemos determinar las corrientes encontrando la reactancia X de cada dispositivo y resolviendo la corriente pico mediante I 0 = V 0 / X . Solución El voltaje en los terminales de la fuente es v ( t ) = V 0 sen ω t = ( 10 V ) sen 120 π t , donde ω = 2 π f = 120 π rad/s es la frecuencia angular. Como v (t ) es también el voltaje a través de cada uno de los elementos, tenemos v ( t ) = v R ( t ) = v C ( t ) = v L ( t ) = ( 10 V ) sen 120 π t . a. Cuando R = 100 Ω , la amplitud de la corriente a través del resistor es I 0 = V 0 / R = 10 V / 100 Ω = 0,10 A, así que i R ( t ) = ( 0,10 A ) sen 120 π t . b. A partir de la , la reactancia capacitiva es X C = 1 ω C = 1 ( 120 π rad/s ) ( 10 × 10 −6 F ) = 265 Ω , por lo que el valor máximo de la corriente es I 0 = V 0 X C = 10 V 265 Ω = 3,8 × 10 −2 A y la corriente instantánea viene dada por i C ( t ) = ( 3,8 × 10 −2 A ) sen ( 120 π t + π 2 ) . c. A partir de la , la reactancia inductiva es X L = ω L = ( 120 π rad/s ) ( 15 × 10 −3 H ) = 5,7 Ω . Por lo tanto, la corriente máxima es I 0 = 10 V 5,7 Ω = 1,8 A y la corriente instantánea es i L ( t ) = ( 1,8 A ) sen ( 120 π t − π 2 ) . Importancia Aunque el voltaje a través de cada dispositivo es el mismo, la corriente de pico tiene valores diferentes, dependiendo de la reactancia. La reactancia de cada dispositivo depende de los valores de resistencia, capacitancia o inductancia. Repita el para una fuente de ac de 20 V de amplitud y 100 Hz de frecuencia. a ( 20 V ) sen 200 π t , ( 0,20 A ) sen 200 π t ; b ( 20 V ) sen 200 π t , ( 0,13 A ) sen ( 200 π t + π / 2 ) ; c ( 20 V ) sen 200 π t , ( 2,1 A ) sen ( 200 π t − π / 2 ) Resumen En el caso de los resistores, la corriente que pasa y el voltaje que atraviesa están en fase. En el caso de los condensadores, hallamos que cuando se aplica un voltaje sinusoidal a un condensador, el voltaje sigue a la corriente en un cuarto de ciclo. Dado que un condensador puede detener la corriente cuando está completamente cargado, limita la corriente y ofrece otra forma de resistencia ac, llamada reactancia capacitiva, que tiene unidades de ohmios. En el caso de los inductores en circuitos de ac, se observa que cuando se aplica un voltaje sinusoidal a un inductor, el voltaje adelanta a la corriente en un cuarto de ciclo. La oposición de un inductor a un cambio de corriente se expresa como un tipo de reactancia ac. Esta reactancia inductiva, que tiene unidades de ohmios, varía con la frecuencia de la fuente de ac. Preguntas conceptuales Explique por qué a altas frecuencias un condensador actúa como un cortocircuito de ac, mientras que un inductor actúa como un circuito abierto. Problemas Calcule la reactancia de un condensador de 5,0 - μ F a (a) 60 Hz, (b) 600 Hz y (c) 6.000 Hz. a 530 Ω ; b 53 Ω ; c 5,3 Ω ¿Cuál es la capacitancia de un condensador cuya reactancia es 10 Ω a 60 Hz? Calcule la reactancia de un inductor de 5,0 mH a (a) 60 Hz, (b) 600 Hz y (c) 6.000 Hz. a 1,9 Ω ; b 19 Ω ; c 190 Ω Cuál es la autoinducción de una bobina cuya reactancia es 10 Ω a 60 Hz? ¿A qué frecuencia es la reactancia de un condensador de 20 - μ F igual al de un inductor de 10 mH? 360 Hz A 1.000 Hz, la reactancia de un inductor de 5,0 mH es igual a la reactancia de un condensador particular. ¿Cuál es la capacitancia del condensador? Un resistor de 50 - Ω se conecta a través de la emf v ( t ) = ( 160 V ) sen ( 120 π t ) . Escriba una expresión para la corriente que pasa por el resistor. i ( t ) = ( 3,2 A ) sen ( 120 π t ) Un condensador de 25 - μ F está conectado a una emf dada por v ( t ) = ( 160 V ) sen ( 120 π t ) . (a) ¿Cuál es la reactancia del condensador? (b) Escriba una expresión para la salida de corriente de la fuente. Un inductor de 100 mH se conecta a través de la emf del problema anterior. (a) ¿Cuál es la reactancia del inductor? (b) Escriba una expresión para la corriente que atraviesa el inductor. a 38 Ω ; b i ( t ) = ( 4,24 A ) sen ( 120 π t − π / 2 ) reactancia capacitiva oposición de un condensador a un cambio de corriente reactancia inductiva oposición de un inductor a un cambio de corriente corriente rms valor cuadrático medio de la corriente voltaje rms valor cuadrático medio del voltaje

Ciencia