Interferencia de ondas Hasta ahora hemos estudiado las ondas mecánicas que se propagan continuamente a través de un medio, pero no hemos hablado de lo que ocurre cuando las ondas se encuentran con la frontera del medio ni de lo que ocurre cuando una onda se encuentra con otra que se propaga por el mismo medio. Las ondas interactúan con las fronteras del medio y toda o parte de la onda se puede reflejar. Por ejemplo, cuando usted se sitúa a cierta distancia de la parte rígida de un acantilado y grita, puede oír las ondas sonoras reflejadas en la superficie rígida en forma de eco. Las ondas también pueden interactuar con otras ondas que se propagan en el mismo medio. Si lanzara dos piedras a un estanque a cierta distancia una de la otra, las ondulaciones circulares que se forman de las dos piedras parecen pasar una a través de la otra al propagarse desde donde las piedras entraron en el agua. Este fenómeno se conoce como interferencia. En esta sección examinamos lo que ocurre con ondas que se encuentran con una frontera de un medio o con otra onda que se propaga en el mismo medio. Veremos que su comportamiento es muy diferente al de las partículas y cuerpos rígidos. Más adelante, cuando estudiemos física moderna, veremos que solo a la escala de los átomos vemos similitudes en las propiedades de ondas y partículas. Reflexión y transmisión Cuando una onda se propaga a través de un medio se refleja cuando encuentra la frontera del medio. La onda antes de chocar con la frontera se conoce como la onda incidente. La onda después de encontrarse con la frontera se conoce como la onda reflejada. La forma en que la onda se refleja en la frontera del medio depende de las condiciones de frontera; las ondas reaccionarán de forma diferente si la frontera del medio está fija en su lugar o es libre de moverse ( ). Existe una condición de frontera fija cuando el medio en una frontera está fijado en su lugar para que no pueda moverse. Existe una condición de frontera libre cuando el medio en la frontera es libre de moverse. (a) Uno de los extremos de una cuerda está fijado de manera que no puede moverse. Una onda que se propaga por la cuerda y que encuentra esta condición de frontera fija se refleja 180 ° ( π rad ) fuera de fase con respecto a la onda incidente. (b) Un extremo de una cuerda está atado a un anillo sólido de masa insignificante en un poste de laboratorio sin fricción, donde el anillo es libre de moverse. Una onda que se propaga en la cuerda, al calcular esta condición de frontera libre , se refleja en fase 0 ° ( 0 rad ) con respecto a la onda. La parte (a) de la muestra una condición de frontera fija. En este caso, un extremo de la cuerda está fijado a una pared, de modo que el extremo de la cuerda está fijo en su lugar y el medio (la cuerda) en la frontera que no se mueve. Cuando la onda se refleja, la amplitud de la forma reflejada es exactamente la misma que la amplitud de la onda incidente, pero la onda reflejada lo hace a 180 ° ( π rad ) fuera de fase con respecto a la onda incidente. El cambio de fase se puede explicar mediante la tercera ley de Newton: Recuerde que la tercera ley de Newton establece que cuando el objeto A ejerce una fuerza sobre el objeto B , entonces el objeto B ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el objeto A . Cuando la onda incidente se encuentra con la pared, la cuerda ejerce una fuerza ascendente sobre la pared y esta reacciona ejerciendo una fuerza igual y opuesta sobre la cuerda. La reflexión en una frontera fija se invierte. Observe que la figura muestra una cresta de la onda incidente reflejada como una depresión. Si la onda incidente fuera una depresión, la onda reflejada sería una cresta. La parte (b) de la figura muestra una condición de frontera libre. Aquí, un extremo de la cuerda está atado a un anillo sólido de masa insignificante en un poste sin fricción, por lo que el extremo de la cuerda es libre de moverse hacia arriba y hacia abajo. Cuando la onda incidente se encuentra con la frontera del medio, también se refleja. En el caso de una condición de frontera libre, la onda reflejada está en fase con respecto a la onda incidente. En este caso, la onda se encuentra con la frontera libre y aplica una fuerza hacia arriba en el anillo, lo que acelera el anillo hacia arriba. El anillo se desplaza hasta una altura máxima igual a la amplitud de la onda y luego se acelera hacia la posición de equilibrio debido a la tensión de la cuerda. La figura muestra la cresta de una onda incidente que se refleja en fase con respecto a la onda incidente como una cresta. Si la onda incidente fuera una depresión, la onda reflejada también sería una depresión. La amplitud de la onda reflejada sería igual a la amplitud de la onda incidente. En algunas situaciones, la frontera del medio no es fija ni está libre. Considere la (a), donde una cuerda de baja densidad lineal de masa está atada a una cuerda de mayor densidad lineal de masa. En este caso, la onda reflejada está desfasada con respecto a la onda incidente. También hay una onda transmitida que está en fase con respecto a la onda incidente. Tanto las ondas transmitidas como las reflejadas tienen amplitudes menores que la amplitud de la onda incidente. Si la tensión es la misma en ambas cuerdas, la rapidez de onda es mayor en la cuerda con menor densidad lineal de masa. Las ondas en desplazamiento a lo largo de dos tipos de cuerdas: una cuerda gruesa con una densidad lineal alta y una cuerda fina con una densidad lineal baja. Ambas cuerdas tienen la misma tensión, por lo que una onda se mueve más rápido en la cuerda de baja densidad que en la cuerda de alta densidad. (a) Una onda que se mueve de un medio de baja densidad a uno de alta densidad ocasiona una onda reflejada que es 180 ° ( π rad ) desfasada con respecto al pulso (u onda) incidente y una onda transmitida que está en fase con la onda incidente. (b) Cuando una onda se desplaza de un medio de alta densidad a un medio de baja densidad, tanto la onda reflejada como la transmitida están en fase con respecto a la onda incidente. La parte (b) de la figura muestra que una cuerda de alta densidad lineal de masa está atada a una cuerda de menor densidad lineal. En este caso, la onda reflejada está en fase con respecto a la onda incidente. También hay una onda transmitida que está en fase con respecto a la onda incidente. Tanto la onda incidente como la reflejada tienen amplitudes menores que la amplitud de la onda incidente. Aquí puede observar que si la tensión es la misma en ambas cuerdas, la rapidez de onda es mayor en la cuerda con menor densidad lineal de masa. Superposición e interferencia La mayoría de las ondas no parecen muy simples. Las ondas complejas son más interesantes, incluso hermosas, y tienen un aspecto formidable. La mayoría de las ondas mecánicas interesantes consisten en una combinación de dos o más ondas en desplazamiento que se propagan en el mismo medio. El principio de superposición se puede usar para analizar la combinación de ondas. Considere dos pulsos simples de la misma amplitud que se mueven el uno hacia el otro en el mismo medio, como se muestra en la . Finalmente, las ondas se superponen, lo que produce una onda que tiene el doble de amplitud, y luego continúan sin que el encuentro las haya afectado. Se dice que los pulsos interfieren, y este fenómeno se conoce como interferencia . Dos pulsos que se mueven el uno hacia el otro experimentan interferencia. El término interferencia se refiere a lo que ocurre cuando dos ondas se superponen. Para analizar la interferencia de dos o más ondas usamos el principio de superposición. Para ondas mecánicas, el principio de superposición establece que si dos o más ondas en desplazamiento se combinan en el mismo punto, la posición resultante del elemento de masa del medio, en ese punto, es la suma algebraica de la posición debido a las ondas individuales. Esta propiedad la presentan muchas ondas observadas, como las ondas en una cuerda, las ondas sonoras y las ondas superficiales del agua. Las ondas electromagnéticas también obedecen al principio de superposición, pero se suman los campos eléctrico y magnético de la onda combinada en vez del desplazamiento del medio. Las ondas que obedecen al principio de superposición son ondas lineales; las ondas que no obedecen al principio de superposición se llaman ondas no lineales. En este capítulo nos ocupamos de ondas lineales, en particular, ondas sinusoidales. El principio de superposición se puede entender mediante la consideración de la ecuación lineal de onda. En la sección Matemáticas de las ondas , definimos una onda lineal como una onda cuya representación matemática obedece a la ecuación lineal de onda. Para una onda transversal en una cuerda con una fuerza restauradora elástica, la ecuación lineal de onda es ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Cualquier función de onda y ( x , t ) = y ( x ∓ v t ) , donde el argumento de la función es lineal ( x ∓ v t ) es una solución de la ecuación lineal de onda y es una función de onda lineal. Si las funciones de onda y 1 ( x , t ) y y 2 ( x , t ) son soluciones a la ecuación lineal de onda, la suma de las dos funciones y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) es también una solución a la ecuación lineal de onda. Las ondas mecánicas que obedecen a superposición se limitan normalmente a ondas con amplitudes pequeñas con respecto a sus longitudes de onda. Si la amplitud es demasiado grande, el medio se distorsiona más allá de la región donde la fuerza restauradora del medio es lineal. Las ondas pueden interferir de forma constructiva o destructiva. La muestra dos ondas sinusoidales idénticas que llegan al mismo punto exactamente en fase. La (a) y (b) muestran las dos ondas individuales, la (c) muestra la onda resultante de la suma algebraica de las dos ondas lineales. Las crestas de las dos ondas están alineadas con precisión, al igual que las depresiones. Esta superposición produce una interferencia constructiva . Como las alteraciones se suman, la interferencia constructiva produce una onda que tiene el doble de amplitud que las ondas individuales, pero tiene la misma longitud de onda. La muestra dos ondas idénticas que llegan exactamente a 180 ° fuera de fase, lo que produce interferencia destructiva . La (a) y (b) muestra las ondas individuales y la (c) muestra la superposición de las dos ondas. Como las depresiones de una onda se suman a la cresta de la otra, la amplitud resultante es cero para interferencia destructiva: las ondas se anulan por completo. La interferencia constructiva de dos ondas idénticas produce una onda con el doble de amplitud, pero con la misma longitud de onda. Interferencia destructiva de dos ondas idénticas, una con un deslizamiento de fase de 180 ° ( π rad ) , produce una amplitud cero, o una cancelación completa. Cuando las ondas lineales interfieren, la onda resultante no es más que la suma algebraica de las ondas individuales, tal como establece el principio de superposición. La muestra dos ondas (roja y azul) y la onda resultante (negra). La onda resultante es la suma algebraica de las dos ondas individuales. Cuando dos ondas lineales en el mismo medio interfieren, la altura de la onda resultante es la suma de las alturas de las ondas individuales tomadas punto por punto. En este gráfico se muestran dos ondas (roja y azul) sumadas, junto con la onda resultante (negra). Estos gráficos representan la altura de la onda en cada punto. Las ondas pueden ser cualquier onda lineal, lo que incluye ondulaciones en un estanque, alteraciones de una cuerda, sonido u ondas electromagnéticas. La superposición de la mayoría de las ondas produce una combinación de interferencias constructiva y destructiva, y puede variar de un lugar a otro y de un momento a otro. El sonido de un equipo de música, por ejemplo, puede ser alto en un punto y bajo en otro. La variación del volumen significa que las ondas sonoras se suman de forma parcialmente constructiva y parcialmente destructiva en diferentes lugares. Un equipo de música tiene, al menos, dos altavoces que crean ondas sonoras, y las ondas se pueden reflejar en las paredes. Todas estas ondas interfieren, y la onda resultante es la superposición de las ondas. Hemos mostrado varios ejemplos de superposición de ondas que son similares. La ilustra un ejemplo de superposición de dos ondas disímiles. También en este caso las alteraciones se suman y producen una onda resultante. La superposición de ondas no idénticas presenta interferencias tanto constructiva como destructiva. A veces, cuando dos o más ondas mecánicas interfieren el patrón producido por la onda resultante puede ser rico en complejidad, algunas sin patrones fácilmente discernibles. Por ejemplo, el trazado de la onda sonora de su música favorita puede parecer bastante complejo y es la superposición de las ondas sonoras individuales de muchos instrumentos; es la complejidad lo que hace que la música sea interesante y merezca la pena escucharla. En otras ocasiones, las ondas pueden interferir y producir fenómenos interesantes, complejos en su apariencia y, sin embargo, bellos en la simplicidad del principio de superposición físico que formó la onda resultante. Un ejemplo es el fenómeno conocido como ondas estacionarias, el cual se produce por dos ondas idénticas que se mueven en direcciones diferentes. En la próxima sección analizaremos más detenidamente este fenómeno. ¡Participe en la simulación Phet a continuación para hacer ondas con un grifo que gotea, un altavoz o un láser! Añada una segunda fuente o un par de rendijas para crear un patrón de interferencia. Puede observar una fuente o dos fuentes. Al usar dos fuentes, puede observar los patrones de interferencia que resultan de variar las frecuencias y las amplitudes de las fuentes. Superposición de ondas sinusoidales que se diferencian por un deslizamiento de fase Muchos ejemplos en física consisten en dos ondas sinusoidales que son idénticas en amplitud, número de onda y frecuencia angular, pero que difieren por un deslizamiento de fase : y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) , y 2 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) . Cuando estas dos ondas existen en el mismo medio, la onda resultante de la superposición de las dos ondas individuales es la suma de las dos ondas individuales: y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) + A sen ( k x – ω t ) . La onda resultante se puede entender mejor mediante la identidad trigonométrica: sen u + sen v = 2 sen ( u + v 2 ) cos ( u – v 2 ) , donde u = k x – ω t + ϕ y v = k x – ω t . La onda resultante se convierte en y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) + A sen ( k x – ω t ) = 2 A sen ( ( k x – ω t + ϕ ) + ( k x – ω t ) 2 ) cos ( ( k x – ω t + ϕ ) – ( k x – ω t ) 2 ) = 2 A sen ( k x – ω t + ϕ 2 ) cos ( ϕ 2 ) . Esta ecuación se suele escribir como y R ( x , t ) = [ 2 A cos ( ϕ 2 ) ] sen ( k x – ω t + ϕ 2 ) . La onda resultante tiene el mismo número de onda y la misma frecuencia angular, una amplitud de A R = [ 2 A cos ( ϕ 2 ) ] , y un deslizamiento de fase igual a la mitad del deslizamiento de fase original. En la se muestran ejemplos de ondas que solo se diferencian por un deslizamiento de fase. Las ondas rojas y azules tienen cada una la misma amplitud, el mismo número de onda y la misma frecuencia angular, y solo se diferencian en un deslizamiento de fase. Por lo tanto, tienen el mismo periodo, la misma longitud de onda y la misma frecuencia. La onda verde es el resultado de la superposición de las dos ondas. Cuando las dos ondas tienen una diferencia de fase cero, las ondas están en fase, y la onda resultante tiene el mismo número de onda y la misma frecuencia angular y una amplitud igual al doble de las amplitudes individuales (parte (a)). Esto es una interferencia constructiva. Si la diferencia de fase es 180 ° , las ondas se atraviesan en la interferencia destructiva (parte (c)). La onda resultante tiene una amplitud de cero. Cualquier otra diferencia de fase ocasiona una onda con el mismo número de onda y la misma frecuencia angular que las dos ondas incidentes, pero con un deslizamiento de fase de ϕ / 2 y una amplitud igual a 2 A cos ( ϕ / 2 ) . Los ejemplos se muestran en las partes (b) y (d). Superposición de dos ondas con amplitudes, longitudes de onda y frecuencia idénticas, pero que difieren en un deslizamiento de fase. La onda roja está definida por la función de onda y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y la onda azul está definida por la función de onda y 2 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) . La línea negra muestra el resultado de la suma de las dos ondas. La diferencia de fase entre las dos ondas es (a) 0,00 rad , (b) π / 2 rad, (c) π rad y (d) 3 π / 2 rad . Resumen La superposición es la combinación de dos ondas en el mismo lugar. La interferencia constructiva se produce por la superposición de dos ondas idénticas que están en fase. La interferencia destructiva se produce por la superposición de dos ondas idénticas que están a 180 ° ( π radianes ) fuera de fase. La onda que resulta de la superposición de dos ondas sinusoidales que solo se diferencian por un deslizamiento de fase es una onda con una amplitud que depende del valor de la diferencia de fase. Preguntas conceptuales Una onda sinusoidal incidente se envía a lo largo de una cuerda que está fijada a la pared con una rapidez de onda v . La onda se refleja en el extremo de la cuerda. Describa la onda reflejada. Una cuerda de una longitud de 2,00 m con una densidad lineal de masa de μ = 0,006 kg/m está unida al extremo de una cuerda de 2,00 m de longitud con una densidad lineal de masa de μ = 0,012 kg/m . El extremo libre de la cuerda de mayor densidad se fija a la pared, y un estudiante sujeta el extremo libre de la cuerda de menor densidad manteniendo la tensión constante en ambas cuerdas. El estudiante envía un pulso por la cuerda. Describa lo que ocurre en la interfase entre las dos cuerdas. En la interfase, el pulso incidente produce un pulso reflejado y un pulso transmitido. El pulso reflejado estaría desfasado con respecto al pulso incidente, y se movería a la misma velocidad de propagación que el pulso incidente, pero lo haría en la dirección opuesta. El pulso transmitido se desplazaría en la misma dirección que el pulso incidente, pero a la mitad de velocidad. El pulso transmitido estaría en fase con el pulso incidente. Tanto el pulso reflejado como el transmitido tendrían amplitudes menores que la del pulso incidente. Dos estudiantes sostienen un resorte largo y apretado; cada uno sostiene un extremo. Cada estudiante da una vuelta al extremo y envía una longitud de onda de una onda sinusoidal por el resorte en direcciones opuestas. Cuando las ondas se juntan en el centro, ¿qué aspecto tiene la onda? Muchos de los temas tratados en este capítulo son útiles más allá de los temas de ondas mecánicas. Es difícil concebir una onda mecánica con ángulos agudos, pero podría calcular una forma de onda de este tipo en su clase de electrónica digital, como se muestra a continuación. Puede tratarse de una señal procedente de un dispositivo conocido como convertidor analógico-digital, en el que una señal de voltaje continuo se convierte en una señal discreta o de una grabación digital de sonido. ¿Cuál es el resultado de la superposición de las dos señales? Dos estudiantes sostienen una cuerda de densidad lineal de masa constante estirada; cada uno sostiene un extremo. La tensión de la cuerda es constante. Los agitan la cuerda y envían ondas a través de esta. (a) ¿Es posible que las ondas tengan diferentes velocidades de onda? (b) ¿Es posible que las ondas tengan diferentes frecuencias? (c) ¿Es posible que las ondas tengan diferentes longitudes de onda? Problemas Considere dos ondas sinusoidales que se desplazan a lo largo de una cuerda, modeladas como y 1 ( x , t ) = 0,3 m sen ( 4 m −1 x + 3 s −1 t ) y y 2 ( x , t ) = 0,6 m sen ( 8 m −1 x – 6 s −1 t ) . ¿Cuál es la altura de la onda resultante formada por la interferencia de las dos ondas en la posición x = 0,5 m en el tiempo t = 0,2 s? Considere dos ondas sinusoidales que se desplazan a lo largo de una cuerda, modeladas como y 1 ( x , t ) = 0,3 m sen ( 4 m −1 x + 3 s −1 t + π 3 ) y y 2 ( x , t ) = 0,6 m sen ( 8 m −1 x – 6 s −1 t ) . ¿Cuál es la altura de la onda resultante formada por la interferencia de las dos ondas en la posición x = 1,0 m en el tiempo t = 3,0 s? y ( x , t ) = 0,63 m Considere dos ondas sinusoidales que se desplazan a lo largo de una cuerda, modeladas como y 1 ( x , t ) = 0,3 m sen ( 4 m −1 x – 3 s −1 t ) y y 2 ( x , t ) = 0,3 m sen ( 4 m −1 x + 3 s −1 t ) . ¿Cuál es la función de onda de la onda resultante? [ Pista: Use la identidad trigonométrica sen ( u ± v ) = sen u cos v ± cos u sen v]. Dos ondas sinusoidales se mueven a través de un medio en la misma dirección, ambas tienen amplitudes de 3,00 cm, una longitud de onda de 5,20 m y un periodo de 6,52 s, pero una tiene un deslizamiento de fase de un ángulo ϕ . ¿Cuál es el deslizamiento de fase si la onda resultante tiene una amplitud de 5,00 cm? [Pista: Use la identidad trigonométrica sen u + sen v = 2 sen ( u + v 2 ) cos ( u – v 2 ) A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , ϕ = 1,17 rad Dos ondas sinusoidales se mueven a través de un medio en la dirección x positiva, ambas tienen amplitudes de 6,00 cm, una longitud de onda de 4,3 m y un periodo de 6,00 s, pero una tiene un deslizamiento de fase de un ángulo ϕ = 0,50 rad . ¿Cuál es la altura de la onda resultante en un tiempo t = 3,15 s y una posición x = 0,45 m ? Dos ondas sinusoidales se mueven a través de un medio en la dirección x positiva, ambas con amplitudes de 7,00 cm, un número de onda de k = 3,00 m −1 , una frecuencia angular de ω = 2,50 s −1 , y un periodo de 6,00 s, pero uno tiene un deslizamiento de fase de un ángulo ϕ = π 12 rad . ¿Cuál es la altura de la onda resultante en un tiempo t = 2,00 s y una posición x = 0,53 m? y R = 1,90 cm Considere dos ondas y 1 ( x , t ) y y 2 ( x , t ) que son idénticas excepto por un deslizamiento de fase que se propaga en el mismo medio. (a)¿Cuál es el deslizamiento de fase en radianes si la amplitud de la onda resultante es 1,75 veces la amplitud de las ondas individuales? (b) ¿Cuál es el deslizamiento de fase en grados? (c) ¿Cuál es el deslizamiento de fase como porcentaje de la longitud de onda individual? Dos ondas sinusoidales, que son idénticas excepto por un deslizamiento de fase, se desplazan en la misma dirección. La ecuación de onda de la onda resultante es y R ( x , t ) = 0,70 m sen ( 3,00 m −1 x – 6,28 s −1 t + π / 16 rad ) . ¿Cuáles son la frecuencia angular, el número de onda, la amplitud y el deslizamiento de fase de cada una de las ondas? ω = 6,28 s −1 , k = 3,00 m −1 , ϕ = π 8 rad, A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , A = 0,37 m Dos ondas sinusoidales, que son idénticas excepto por un deslizamiento de fase, se desplazan en la misma dirección. La ecuación de onda de la onda resultante es y R ( x , t ) = 0,35 cm sen ( 6,28 m −1 x – 1,57 s −1 t + π 4 ) . ¿Cuáles son el periodo, la longitud de onda, la amplitud y el deslizamiento de fase de las ondas individuales? Considere dos funciones de onda, y 1 ( x , t ) = 4,00 m sen ( π m −1 x – π s −1 t ) y y 2 ( x , t ) = 4,00 m sen ( π m −1 x – π s −1 t + π 3 ) . (a) En una hoja de cálculo trace las dos funciones de onda y la onda que resulta de la superposición de las dos funciones de onda como una función de posición ( 0,00 ≤ x ≤ 6,00 m ) para el tiempo t = 0,00 s . (b) ¿Cuáles son la longitud de onda y la amplitud de las dos ondas originales? (c) ¿Cuáles son la longitud de onda y la amplitud de la onda resultante? a. ; b. λ = 2,0 m , A = 4 m ; c. λ R = 2,0 m , A R = 6,93 m Considere dos funciones de onda, y 2 ( x , t ) = 2,00 m sen ( π 2 m −1 x – π 3 s −1 t ) y y 2 ( x , t ) = 2,00 m sen ( π 2 m −1 x – π 3 s −1 t + π 6 ) . (a) Verifique que y R = 2 A cos ( ϕ 2 ) sen ( k x – ω t + ϕ 2 ) es la solución de la onda que resulta de la superposición de las dos ondas. Haga una columna para x , y 1 , y 2 , y 1 + y 2 y y R = 2 A cos ( ϕ 2 ) sen ( k x – ω t + ϕ 2 ) . Trace cuatro ondas como una función de posición, donde el rango de x es de 0 a 12 m. Considere dos funciones de onda que solo se diferencian por un deslizamiento de fase, y 1 ( x , t ) = A cos ( k x – ω t ) y y 2 ( x , t ) = A cos ( k x – ω t + ϕ ) . Use las identidades trigonométricas cos u + cos v = 2 cos ( u – v 2 ) cos ( u + v 2 ) y cos ( – θ ) = cos ( θ ) para calcular una ecuación de onda para la onda resultante de la superposición de las dos ondas. ¿Le sorprende la función de onda resultante? y R ( x , t ) = 2 A cos ( ϕ 2 ) cos ( k x – ω t + ϕ 2 ) ; El resultado no es sorprendente porque cos ( θ ) = sen ( θ + π 2 ) . interferencia constructiva cuando dos ondas llegan al mismo punto exactamente en fase; es decir, las crestas de las dos ondas están precisamente alineadas al igual que las depresiones interferencia destructiva cuando dos ondas idénticas llegan al mismo punto exactamente desfasadas; es decir, alineadas con precisión de cresta a depresión condición de frontera fija cuando el medio en una frontera se fija en su lugar para que no pueda moverse condición de frontera libre existe cuando el medio en la frontera es libre de moverse interferencia superposición de dos o más ondas en el mismo punto y tiempo superposición fenómeno que se produce cuando dos o más ondas llegan al mismo punto

Ciencia


Ondas estacionarias y resonancia A lo largo de este capítulo hemos estado estudiando las ondas en desplazamiento u ondas que transportan energía de un lugar a otro. En determinadas condiciones, las ondas pueden rebotar de un lado a otro en una región determinada, y terminan convirtiéndose en fijas. Estas son llamadas ondas estacionaria s . Otro efecto relacionado se conoce como resonancia . En la sección Oscilaciones definimos la resonancia como un fenómeno en el que una fuerza impulsora de pequeña amplitud podía producir un movimiento de gran amplitud. Piense en un niño en un columpio, lo que se puede modelar como un péndulo físico. Los empujes de magnitudes relativamente pequeñas de un padre pueden producir balanceos de gran amplitud. A veces, esta resonancia es buena, por ejemplo, cuando se produce música con un instrumento de cuerda. En otras ocasiones, los efectos pueden ser devastadores, como el derrumbe de un edificio durante un terremoto. En el caso de las ondas estacionarias, las de amplitud relativamente grande se producen por la superposición de ondas componentes de menor amplitud. Ondas estacionarias A veces, parece que las ondas no se mueven, sino que simplemente vibran en el lugar. Puede observar ondas inmóviles en la superficie de un vaso de leche en un refrigerador, por ejemplo. Las vibraciones del motor del refrigerador crean ondas en la leche que oscilan hacia arriba y hacia abajo, pero no parecen moverse por la superficie. La muestra un experimento que puede probar en casa. Tome un bol de leche y póngalo sobre el marco de un ventilador cuadrado común. Las vibraciones del ventilador producirán ondas estacionarias circulares en la leche. Las ondas son visibles en la foto debido al reflejo de una lámpara. Estas ondas se forman por la superposición de dos o más ondas en desplazamiento, como se ilustra en la para dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. Las ondas se mueven unas a través de otras con sus alteraciones añadiéndose a su paso. Si las dos ondas tienen la misma amplitud y la misma longitud de onda, entonces alternan entre la interferencia constructiva y la destructiva. La resultante tiene el aspecto de una onda detenida y, por tanto, se denomina onda estacionaria. Las ondas estacionarias se forman en la superficie de un bol de leche ubicado en el marco de un ventilador cuadrado. Las vibraciones del ventilador hacen oscilar la superficie de la leche. Las ondas son visibles debido a la reflexión de la luz de una lámpara (créditos: David Chelton). Representaciones temporales de dos ondas sinusoidales. La onda roja se mueve en la dirección − x y la azul en la dirección + x . La onda resultante se muestra en negro. Considere la onda resultante en los puntos x = 0 m , 3 m , 6 m , 9 m , 12 m , 15 m y observe que la onda resultante siempre es igual a cero en estos puntos, sea cual sea el tiempo. Estos puntos se conocen como puntos fijos (nodos). Entre cada dos nodos hay un antinodo, un lugar donde el medio oscila con una amplitud igual a la suma de las amplitudes de las ondas individuales. Considere dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. La primera onda tiene una función de onda de y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y la segunda onda tiene una función de onda y 2 ( x , t ) = A sen ( k x + ω t ) . Las ondas interfieren y forman una onda resultante y ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) , y ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) + A sen ( k x + ω t ) . Esto se puede simplificar mediante la identidad trigonométrica sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β , donde α = k x y β = ω t , dándonos y ( x , t ) = A [ sen ( k x ) cos ( ω t ) – cos ( k x ) sen ( ω t ) + sen ( k x ) cos ( ω t ) + cos ( k x ) sen ( ω t ) ] , que se simplifica a y ( x , t ) = [ 2 A sen ( k x ) ] cos ( ω t ) . Observe que la onda resultante es una onda sinusoidal que es una función solo de posición, multiplicada por una función coseno que es una función solo de tiempo. Los gráficos de y (x , t ) como una función de x para varios tiempos se muestran en la . La onda roja se mueve en la dirección x negativa, la onda azul se mueve en la dirección x positiva y la onda negra es la suma de las dos ondas. A medida que las ondas rojas y azules se mueven entre sí, entran y salen de la interferencia constructiva y de la interferencia destructiva. Inicialmente, en el tiempo t = 0 , las dos ondas están en fase, y el resultado es una onda que es el doble de la amplitud de las ondas individuales. Las ondas también están en fase en el tiempo t = T 2 . De hecho, las ondas están en fase en cualquier múltiplo entero de la mitad de un periodo: t = n T 2 donde n = 0 , 1 , 2 , 3 ... . (en fase) . En otras ocasiones, las dos ondas son 180 ° ( π radianes ) fuera de fase y la onda resultante es igual a cero. Esto ocurre en t = 1 4 T , 3 4 T , 5 4 T ,... , n 4 T donde n = 1 , 3 , 5 ... . (fuera de fase) . Observe que algunas posiciones x de la onda resultante son siempre cero sin importar la relación de fase. Estas posiciones se denominan nodo s . ¿Dónde se encuentran los nodos? Considere la solución de la suma de las dos ondas y ( x , t ) = [ 2 A sen ( k x ) ] cos ( ω t ) . Calcular las posiciones en las que la función seno es igual a cero proporciona las posiciones de los nodos. sen ( k x ) = 0 k x = 0 , π , 2 π , 3 π ,... 2 π λ x = 0 , π , 2 π , 3 π ,... x = 0 , λ 2 , λ , 3 λ 2 ,... = n λ 2 n = 0 , 1 , 2 , 3 ,... . También hay posiciones en las que y oscila entre y = ± A . Estos son los antinodo s . Podemos calcularlos considerando qué valores de x dan como resultado sen ( k x ) = ± 1 . sen ( k x ) = ± 1 k x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 ,... 2 π λ x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 ,... x = λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 ,... = n λ 4 n = 1 , 3 , 5 ,... . Lo que resulta es una onda estacionaria como la que se muestra en la , que muestra representaciones de la onda resultante de dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. La onda resultante parece ser una onda sinusoidal con nodos en múltiplos enteros de media longitud de onda. Los antinodos oscilan entre y = ± 2 A debido al término del coseno, cos ( ω t ) , que oscila entre ± 1 . La onda resultante parece estar quieta, sin movimiento aparente en la dirección x , aunque está compuesta por una función de onda que se mueve en positivo, mientras que la segunda onda se mueve en la dirección x negativa. La muestra varias representaciones de la onda resultante. Los nodos están marcados con puntos rojos mientras que los antinodos están marcados con puntos azules. Cuando dos ondas idénticas se mueven en direcciones opuestas, la onda resultante es una onda estacionaria. Los nodos aparecen en múltiplos enteros de las medias longitudes de onda. Los antinodos aparecen en los múltiplos impares de los cuartos de longitud de onda, donde oscilan entre y = ± A . Los nodos están marcados con puntos rojos y los antinodos con puntos azules. Un ejemplo común de ondas estacionarias son las ondas producidas por los instrumentos musicales de cuerda. Cuando se puntea la cuerda, los pulsos se desplazan a lo largo de esta en direcciones opuestas. Los extremos de las cuerdas están fijados en su lugar, por lo que aparecen nodos en los extremos de las cuerdas; las condiciones de frontera del sistema, que regulan las frecuencias de resonancia en las cuerdas. La resonancia producida en un instrumento de cuerda se puede modelar en un laboratorio de física con el aparato que se muestra en la . Un montaje de laboratorio para crear ondas estacionarias en una cuerda. La cuerda tiene un nodo en cada extremo y una densidad lineal constante. La longitud entre las condiciones de frontera fija es L . La masa colgante proporciona la tensión en la cuerda, y la rapidez de onda en la cuerda es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la densidad lineal de masa. El montaje de laboratorio muestra una cuerda atada a un vibrador de cuerda, que hace oscilar la cuerda con una frecuencia ajustable f . El otro extremo de la cuerda pasa por una polea sin fricción y se ata a una masa colgante. La magnitud de la tensión en la cuerda es igual al peso de la masa colgante. La cuerda tiene una densidad lineal constante (masa por longitud) μ y la velocidad a la que una onda se desplaza por la cuerda es igual a v = F T μ = m g μ, . Las condiciones de frontera simétricas (un nodo en cada extremo) dictan las posibles frecuencias que pueden estimular las ondas estacionarias. Partiendo de una frecuencia cero y aumentando lentamente la frecuencia, el primer modo n = 1 aparece como se muestra en la . El primer modo, también llamado modo fundamental o primer armónico, muestra que se ha formado la mitad de una longitud de onda, por lo que la longitud de onda es igual al doble de la longitud entre los nodos λ 1 = 2 L . La frecuencia fundamental , o primera frecuencia armónica, que impulsa este modo es f 1 = v λ 1 = v 2 L , donde la velocidad de la onda es v = F T μ, . AL mantener la tensión constante y aumentar la frecuencia se obtiene el segundo armónico o el n = 2 . Este modo es una longitud de onda completa λ 2 = L y la frecuencia es el doble de la frecuencia fundamental: f 2 = v λ 2 = v L = 2 f 1 . Ondas estacionarias creadas en una cuerda de longitud L . Se produce un nodo en cada extremo de la cuerda. Los nodos son condiciones de frontera que limitan las posibles frecuencias que estimulan las ondas estacionarias (note que las amplitudes de las oscilaciones se han mantenido constantes para su visualización. Los patrones de ondas estacionarias posibles en la cuerda se conocen como modos normales. Si se realiza este experimento en el laboratorio, la amplitud disminuirá al aumentar la frecuencia). Los dos siguientes modos, o el tercer y cuarto armónicos, tienen longitudes de onda de λ 3 = 2 3 L y λ 4 = 2 4 L , impulsado por frecuencias de f 3 = 3 v 2 L = 3 f 1 y f 4 = 4 v 2 L = 4 f 1 . Todas las frecuencias por encima de la frecuencia f 1 se conocen como los sobretono s . Las ecuaciones para la longitud de onda y la frecuencia se pueden resumir como λ n = 2 n L n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... f n = n v 2 L = n f 1 n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... Los patrones de ondas estacionarias que son posibles para una cuerda, los cuatro primeros de los cuales se muestran en la , se conocen como los modos normales , con frecuencias conocidas como las frecuencias normales. En resumen, la primera frecuencia que produce un modo normal se llama frecuencia fundamental (o primer armónico). Todas las frecuencias por encima de la frecuencia fundamental son sobretonos. La segunda frecuencia del n = 2 modo normal de la cuerda es el primer sobretono (o segundo armónico). La frecuencia del n = 3 modo normal es el segundo sobretono (o tercer armónico) y así sucesivamente. Las soluciones mostradas en la y la son para una cuerda con la condición de contorno de un nodo en cada extremo. Cuando la condición de contorno en ambos lados es la misma, se dice que el sistema tiene condiciones de frontera simétricas. La y la sirven para cualquier condición de contorno simétrica, es decir, nodos en ambos extremos o antinodos en ambos extremos. Ondas estacionarias en una cuerda Considere una cuerda de L = 2,00 m . atada a un vibrador de cuerda de frecuencia ajustable como se muestra en la . Las ondas producidas por el vibrador se desplazan por la cuerda y son reflejadas por la condición de frontera fija en la polea. La cuerda, que tiene una densidad lineal de masa de μ = 0,006 kg/m se hace pasar por una polea sin fricción de masa insignificante, y la tensión la proporciona una masa colgante de 2,00 kg. (a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas en la cuerda? (b) Dibuje un esquema de los tres primeros modos normales de las ondas estacionarias que se pueden producir en la cuerda e identifique cada uno con la longitud de onda. (c) Enumere las frecuencias a las que debe estar sintonizado el vibrador de la cuerda para producir los tres primeros modos normales de las ondas estacionarias. Una cuerda atada a un vibrador de cuerda de frecuencia ajustable. Estrategia La velocidad de la onda se puede calcular mediante v = F T μ . La tensión es proporcionada por el peso de la masa colgante. Las ondas estacionarias dependerán de las condiciones de frontera. Debe haber un nodo en cada extremo. El primer modo será la mitad de una onda. La segunda se puede calcular añadiendo una media longitud de onda. Es la longitud más corta que ocasionará a un nodo en las fronteras. Por ejemplo, si se añade un cuarto de longitud de onda, se obtendrá un antinodo en la frontera y no es un modo que satisfaga las condiciones de frontera. Esto se muestra en la . Como la rapidez de onda es la longitud de onda por la frecuencia, la frecuencia es la velocidad de la onda dividida entre la longitud de onda (a) La figura representa el segundo modo de la cuerda que satisface las condiciones de frontera de un nodo en cada extremo de la cuerda. (b) Esta figura no podría ser un modo normal en la cuerda porque no satisface las condiciones de frontera. Hay un nodo en un extremo, pero un antinodo en el otro. Solución Comienza con la velocidad de una onda en una cuerda. La tensión es igual al peso de la masa colgante. La densidad lineal de masa y la masa de la masa colgante están dadas: v = F T μ = m g μ = 2 kg ( 9,8 m s ) 0,006 kg m = 57,15 m/s . El primer modo normal que tiene un nodo en cada extremo es una media longitud de onda. Los dos siguientes modos se encuentran añadiendo la mitad de una longitud de onda. Las frecuencias de los tres primeros modos se calculan mediante f = v w λ . f 1 = v w λ 1 = 57,15 m/s 4,00 m = 14,29 Hz f 2 = v w λ 2 = 57,15 m/s 2,00 m = 28,58 Hz f 3 = v w λ 3 = 57,15 m/s 1,333 m = 42,87 Hz Importancia Los tres modos estables de este ejemplo se produjeron al mantener la tensión en la cuerda y ajustar la frecuencia de impulso. Si se mantiene constante la tensión de la cuerda, se obtiene una velocidad constante. Los mismos modos se podrían haber producido al mantener la frecuencia constante y ajustar la velocidad de la onda en la cuerda (al cambiar la masa colgante). Participe en la simulación Phet a continuación para jugar con un sistema 1D o 2D de osciladores masa-resorte acoplados. Varíe el número de masas, establezca las condiciones iniciales y observe cómo evoluciona el sistema. Vea el espectro de los modos normales para el movimiento arbitrario. Vea modos longitudinales o transversales en el sistema 1D. Las ecuaciones de las longitudes de onda y las frecuencias de los modos de una onda producida en una cuerda: λ n = 2 n L n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... y f n = n v 2 L = n f 1 n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... se derivaron al considerar una onda en una cuerda en la que había condiciones de frontera simétricas de un nodo en cada extremo. Estos modos son el resultado de dos ondas sinusoidales con características idénticas, excepto que se mueven en direcciones opuestas, confinadas en una región L con nodos necesarios en ambos extremos. ¿Funcionarán las mismas ecuaciones si hubiera condiciones de frontera simétricas con antinodos en cada extremo? ¿Qué aspecto tendrían los modos normales de un medio que fuera libre de oscilar en cada extremo? Pierda cuidado si por ahora no puede imaginar un medio así, solo considere dos funciones de onda sinusoidales en una región de longitud L , con antinodos en cada extremo. Sí, las ecuaciones funcionarían igualmente bien para condiciones de frontera simétricas de un medio libre de oscilar en cada extremo donde hubiera un antinodo en cada extremo. A continuación se muestran los modos normales de los tres primeros modos. La línea punteada muestra la posición de equilibrio del medio. Observe que el primer modo tiene dos cuartos, o sea, la mitad de una longitud de onda. El segundo modo es un cuarto de longitud de onda, seguido de la mitad de una longitud de onda, seguido de un cuarto de longitud de onda o una longitud de onda completa. El tercer modo es de una longitud de onda y media. El resultado es el mismo que el de la cuerda con un nodo en cada extremo. Las ecuaciones para condiciones de frontera fija funcionan igualmente bien para condiciones de frontera fijas y condiciones de frontera libres. Estos resultados se retomarán en el próximo capítulo cuando se hable de la onda sonora en un tubo abierto. Las condiciones de frontera libre mostradas en el último Compruebe lo aprendido pueden parecer difíciles de visualizar. ¿Cómo puede haber un sistema que sea libre de oscilar en cada extremo? En la se muestran dos posibles configuraciones de una varilla metálica (en rojo) unida a dos soportes (en azul). En la parte (a), la varilla está apoyada en los extremos, y hay condiciones de frontera fija en ambos extremos. Dada la frecuencia adecuada, la varilla puede entrar en resonancia con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla, con nodos en cada extremo. En la parte (b), la varilla está apoyada en posiciones a un cuarto de la longitud de cada extremo de la varilla, y hay condiciones de frontera libre en ambos extremos. Dada la frecuencia adecuada, esta varilla también puede entrar en resonancia con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla, pero hay antinodos en cada extremo. Si tiene problemas para visualizar la longitud de onda en esta figura, recuerde que la longitud de onda se puede medir entre dos puntos idénticos cualesquiera y considere la . (a) Una varilla metálica de longitud L (rojo) apoyada en dos soportes (azul) en cada extremo. Cuando se impulsa a la frecuencia adecuada, la varilla puede resonar con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla con un nodo en cada extremo. (b) La misma varilla metálica de longitud L (rojo) apoyada en dos soportes (azul) en una posición a un cuarto de la longitud de la varilla desde cada extremo. Cuando se impulsa a la frecuencia adecuada, la varilla puede resonar con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla con un antinodo en cada extremo. La longitud de onda se puede medir entre los dos puntos de repetición más cercanos. En la onda sobre una cuerda, esto significa la misma altura y pendiente. (a) La longitud de onda se mide entre los dos puntos más cercanos donde la altura es cero y la pendiente es máxima y positiva. (b) La longitud de onda se mide entre dos puntos idénticos donde la altura es máxima y la pendiente es cero. Tenga en cuenta que el estudio de las ondas estacionarias puede llegar a ser bastante complejo. En la (a), el modo n = 2 de la onda estacionaria se muestra y resulta en una longitud de onda igual a L . En esta configuración, el modo n = 1 también habría sido posible con una onda estacionaria igual a 2 L . ¿Es posible obtener el modo n = 1 para la configuración mostrada en la parte (b)? La respuesta es no. En esta configuración hay condiciones adicionales establecidas más allá de las condiciones de frontera. Dado que la varilla está montada en un punto a un cuarto de la longitud de cada lado, debe existir allí un nodo, y esto limita los posibles modos de ondas estacionarias que se pueden crear. Dejamos como ejercicio para el lector considerar si son posibles otros modos de ondas estacionarias. Hay que tener en cuenta que cuando un sistema se impulsa a una frecuencia que no hace que el sistema resuene, pueden seguir produciéndose vibraciones, pero la amplitud de las vibraciones será mucho menor que la amplitud en la resonancia. Un campo de la ingeniería mecánica utiliza el sonido producido por las piezas que vibran en sistemas mecánicos complejos para solucionar problemas de los sistemas. Suponga que una pieza de un automóvil resuena a la frecuencia del motor del automóvil y provoca vibraciones no deseadas. Esto puede hacer que el motor falle prematuramente. Los ingenieros utilizan micrófonos para grabar el sonido producido por el motor, luego utilizan una técnica llamada análisis de Fourier para hallar las frecuencias de sonido producidas con grandes amplitudes y luego buscan en la lista de piezas del automóvil para hallar una pieza que resuene a esa frecuencia. La solución puede ser tan sencilla como cambiar la composición del material utilizado o modificar la longitud de la pieza en cuestión. Existen otros numerosos ejemplos de resonancia en ondas estacionarias en el mundo físico. El aire en un tubo, como el que se encuentra en un instrumento musical como la flauta, puede ser forzado a entrar en resonancia y producir un sonido agradable, como comentamos en la sección Sonido . En otras ocasiones, la resonancia puede causar graves problemas. Un examen más detallado de los terremotos proporciona pruebas de las condiciones adecuadas para resonancia, ondas estacionarias e interferencias constructiva y destructiva. Un edificio puede vibrar durante varios segundos con una frecuencia de impulso que coincida con la frecuencia natural de vibración del edificio, lo que produce una resonancia que hace que un edificio se derrumbe mientras los edificios vecinos no lo hacen. A menudo, los edificios de cierta altura son devastados mientras que otros más altos permanecen intactos. La altura del edificio coincide con la condición para establecer una onda estacionaria para esa altura concreta. También es importante la extensión del techo. A menudo, se observa que gimnasios, supermercados e iglesias sufren daños mientras las viviendas individuales sufren muchos menos daños. Los techos con grandes superficies apoyadas solo en los bordes resuenan a las frecuencias de los terremotos, lo que provoca su colapso. Cuando las ondas sísmicas recorren la superficie de la Tierra y se reflejan en las rocas más densas, se produce interferencia constructiva en determinados puntos. A menudo, las áreas más cercanas al epicentro no sufren daños, mientras que las más alejadas sí. Resumen Una onda estacionaria es la superposición de dos ondas que produce una onda que varía en amplitud pero no se propaga. Los nodos son puntos sin movimiento en las ondas estacionarias. Un antinodo es el lugar de máxima amplitud de una onda estacionaria. Los modos normales de una onda en una cuerda son los posibles patrones de ondas estacionarias. La frecuencia más baja que producirá una onda estacionaria se conoce como frecuencia fundamental. Las frecuencias más altas que producen ondas estacionarias se denominan sobretonos. Ecuaciones clave Rapidez de onda v = λ T = λ f Densidad lineal de masa μ = masa de la cuerda longitud de la cuerda Velocidad de una onda o pulso en una cuerda en tensión | v | = F T μ Velocidad de una onda de compresión en un fluido v = Β ρ Onda resultante de la superposición de dos ondas sinusoidales que son idénticas excepto por un deslizamiento de fase y R ( x , t ) = [ 2 A cos ( ϕ 2 ) ] sen ( k x – ω t + ϕ 2 ) Número de onda k ≡ 2 π λ Rapidez de onda v = ω k Una onda periódica y ( x , t ) = A sen ( k x ∓ ω t + ϕ ) Fase de una onda k x ∓ ω t + ϕ La ecuación lineal de onda ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v w 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 Potencia promediada en una longitud de onda P ave = E λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 v Intensidad I = P A Intensidad de una onda esférica I = P 4 π r 2 Ecuación de una onda estacionaria y ( x , t ) = [ 2 A sen ( k x ) ] cos ( ω t ) Longitud de onda para condiciones de frontera simétricas λ n = 2 n L , n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... Frecuencia para condiciones de frontera simétricas f n = n v 2 L = n f 1 , n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... Preguntas conceptuales Un fabricante de camiones descubre que un puntal del motor está fallando prematuramente. Un ingeniero de sonido determina que el puntal resuena a la frecuencia del motor y sospecha que este podría ser el problema. ¿Cuáles son las dos posibles características del puntal que se pueden modificar para corregir el problema? Puede ser tan fácil como cambiar la longitud o la densidad una pequeña cantidad para que las piezas no resuenen a la frecuencia del motor. ¿Por qué los techos de gimnasios e iglesias parecen fallar más que los de las viviendas familiares cuando se produce un terremoto? Puede poner las copas de vino en resonancia al humedecer y frotar el dedo alrededor del borde de la copa. ¿Por qué? La energía se suministra a la copa por el trabajo realizado por la fuerza del dedo sobre la copa. Cuando se suministra a la frecuencia adecuada, se forman ondas estacionarias. La copa resuena y las vibraciones producen sonido. Los aparatos de aire acondicionado se colocan, a veces, en el techo de las casas de la ciudad. En ocasiones, los aparatos de aire acondicionado provocan un zumbido indeseable en los pisos superiores de las viviendas. ¿Por qué ocurre esto? ¿Qué se puede hacer para reducir el zumbido? Considere una onda estacionaria modelada como y ( x , t ) = 4,00 cm sen ( 3 m −1 x ) cos ( 4 s −1 t ) . ¿Hay un nodo o un antinodo en x = 0,00 m ? ¿Qué pasa con una onda estacionaria modelada como y ( x , t ) = 4,00 cm sen ( 3 m −1 x + π 2 ) cos ( 4 s −1 t ) ? ¿Hay un nodo o un antinodo en la posición x = 0,00 m ? Para la ecuación y ( x , t ) = 4,00 cm sen ( 3 m −1 x ) cos ( 4 s −1 t ) , hay un nodo porque cuando x = 0,00 m , sen ( 3 m −1 ( 0,00 m ) ) = 0,00 , así que y ( 0,00 m , t ) = 0,00 m todo el tiempo. Para la ecuación y ( x , t ) = 4,00 cm sen ( 3 m −1 x + π 2 ) cos ( 4 s −1 t ) , hay un antinodo porque cuando x = 0,00 m , sen ( 3 m −1 ( 0,00 m ) + π 2 ) = + 1,00 , así que y ( 0,00 m , t ) oscila entre + A y − A como el término del coseno oscila entre +1 y –1. Problemas Una onda que se desplaza por un Slinky® estirado a 4 m tarda 2,4 s en recorrer la longitud del Slinky y volver a recorrerla. (a) ¿Cuál es la rapidez de la onda? (b) Al usar el mismo Slinky estirado a la misma longitud se crea una onda estacionaria que consta de tres antinodos y cuatro nodos. ¿A qué frecuencia debe oscilar el Slinky? Una cuerda de 2 m de longitud se estira entre dos soportes con una tensión que produce una rapidez de onda igual a v w = 50,00 m/s . ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de los tres primeros modos que resuenan en la cuerda? λ n = 2,00 n L , f n = v λ n λ 1 = 4,00 m , f 1 = 12,5 Hz λ 2 = 2,00 m , f 2 = 25,00 Hz λ 3 = 1,33 m , f 3 = 37,59 Hz Considere el montaje experimental que se muestra a continuación. La longitud de la cuerda entre el vibrador de cuerda y la polea es L = 1,00 m . La densidad lineal de la cuerda es μ = 0,006 kg/m . El vibrador de cuerda puede oscilar a cualquier frecuencia. La masa colgante es de 2,00 kg. (a)¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia del modo n = 6 ? (b) La cuerda hace oscilar el aire a su alrededor. ¿Cuál es la longitud de onda del sonido si la velocidad del sonido es v s = 343,00 m/s? Un cable con una densidad lineal de μ = 0,2 kg/m se cuelga de los postes telefónicos. La tensión del cable es de 500,00 N. La distancia entre postes es de 20 metros. El viento sopla a través de la línea, lo que hace que el cable resuene. Se produce un patrón de ondas estacionarias que tiene 4,5 longitudes de onda entre los dos postes. La velocidad del sonido a la temperatura actual T = 20 ° C es 343,00 m/s . ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de onda del zumbido? v = 158,11 m/s, λ = 4,44 m, f = 35,61 Hz λ s = 9,63 m Considere una varilla de longitud L montada en el centro a un soporte. Debe existir un nodo donde la varilla esté montada en un soporte, como se muestra a continuación. Dibuje los dos primeros modos normales de la varilla cuando es impulsada hacia la resonancia. Identifique la longitud de onda y la frecuencia necesaria para que la varilla entre en resonancia. Considere dos funciones de onda y ( x , t ) = 0,30 cm sen ( 3 m −1 x – 4 s −1 t ) y y ( x , t ) = 0,30 cm sen ( 3 m −1 x + 4 s −1 t ) . Escriba una función de onda para la onda estacionaria resultante. y ( x , t ) = [ 0,60 cm sen ( 3 m −1 x ) ] cos ( 4 s −1 t ) Un cable de 2,40 m tiene una masa de 7,50 g y tiene una tensión de 160 N. El cable se sujeta rígidamente en ambos extremos y se pone a oscilar. (a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas en el cable? La cuerda entra en resonancia con una frecuencia que produce una onda estacionaria con una longitud de onda igual a 1,20 m. (b) ¿Cuál es la frecuencia utilizada para hacer entrar la cuerda en resonancia? Una cuerda con una densidad lineal de masa de 0,0062 kg/m y una longitud de 3,00 m se coloca en el modo de resonancia n = 100 . La tensión de la cuerda es de 20,00 N. ¿Cuál es la longitud de onda y la frecuencia de la onda? λ 100 = 0,06 m v = 56,8 m/s, f n = n f 1 , n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... f 100 = 947 Hz Una cuerda con una densidad lineal de masa de 0,0075 kg/m y una longitud de 6,00 m se coloca en el modo de resonancia n = 4 y se impulsa con una frecuencia de 100,00 Hz. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Dos ondas sinusoidales con longitudes de onda y amplitudes idénticas se desplazan en direcciones opuestas a lo largo de una cuerda y producen una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es μ = 0,075 kg/m y la tensión en la cuerda es F T = 5,00 N . El intervalo de tiempo entre los casos de interferencia destructiva total es Δ t = 0,13 s . ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas? T = 2 Δ t , v = λ T , λ = 2,12 m Una cuerda, fijada en ambos extremos, tiene una longitud de 5,00 m y una masa de 0,15 kg. La tensión de la cuerda es de 90 N. La cuerda está vibrando para producir una onda estacionaria a la frecuencia fundamental de la cuerda. (a) ¿Cuál es la rapidez de onda en la cuerda? (b) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria producida? (c) ¿Cuál es el periodo de la onda estacionaria? Se fija una cuerda en ambos extremos. La masa de la cuerda es de 0,0090 kg y la longitud es de 3,00 m. La cuerda está sometida a una tensión de 200,00 N. La cuerda es impulsada por una fuente de frecuencia variable para producir ondas estacionarias en la cuerda. Calcule las longitudes de onda y la frecuencia de los cuatro primeros modos de las ondas estacionarias. λ 1 = 6,00 m , λ 2 = 3,00 m , λ 3 = 2,00 m , λ 4 = 1,50 m v = 258,20 m/s = λ f f 1 = 43,03 Hz , f 2 = 86,07 Hz , f 3 = 129,10 Hz , f 4 = 172,13 Hz Las frecuencias de dos modos sucesivos de ondas estacionarias en una cuerda son 258,36 Hz y 301,42 Hz. ¿Cuál es la siguiente frecuencia por encima de 100,00 Hz que produciría una onda estacionaria? Una cuerda está fijada en ambos extremos a unos soportes separados por 3,50 m y tiene una densidad lineal de masa de μ = 0,005 kg/m . La cuerda está sometida a una tensión de 90,00 N. Se produce una onda estacionaria en la cuerda con seis nodos y cinco antinodos. ¿Cuáles son la rapidez de onda, la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de la onda estacionaria? v = 134,16 ms , λ = 1,4 m , f = 95,83 Hz , T = 0,0104 s Las ondas sinusoidales se envían por una cuerda de 1,5 m de longitud fijada en ambos extremos. Las ondas se reflejan en la dirección opuesta. La amplitud de la onda es de 4,00 cm. La velocidad de propagación de las ondas es de 175 m/s. El n = 6 modo de resonancia de la cuerda se produce. Escriba una ecuación para la onda estacionaria resultante. Problemas adicionales Los equipos de ultrasonidos utilizados en la profesión médica usan ondas sonoras de una frecuencia superior al rango de la audición humana. Si la frecuencia del sonido producido por el ecógrafo es f = 30 kHz, ¿cuál es la longitud de onda de los ultrasonidos en el hueso si la velocidad del sonido en el hueso es v = 3.000 m/s? λ = 0,10 m A continuación se muestra el gráfico de una función de onda que modela una onda en el tiempo t = 0,00 s y t = 2,00 s . La línea punteada es la función de onda en el tiempo t = 0,00 s y la línea continua es la función en el tiempo t = 2,00 s . Estime la amplitud, la longitud de onda, la velocidad y el periodo de la onda. La velocidad de la luz en el aire es v = 3,00 × 10 8 m/s aproximadamente y la velocidad de la luz en el vidrio es v = 2,00 × 10 8 m/s . Un láser rojo con una longitud de onda de λ = 633,00 nm hace incidir la luz en el vidrio, y parte de la luz roja se transmite a este. La frecuencia de la luz es la misma para el aire y el vidrio. (a) ¿Cuál es la frecuencia de la luz? (b) ¿Cuál es la longitud de onda de la luz en el vidrio? a. f = 4,74 × 10 14 Hz; b. λ = 422 nm Una emisora de radio emite ondas de radio a una frecuencia de 101,7 MHz. Las ondas de radio se mueven por el aire a una velocidad aproximada a la de la luz en el vacío. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas de radio? Un bañista se encuentra a la altura de la cintura en el océano y observa que cada minuto pasan seis crestas de ondas superficiales periódicas. Las crestas tienen una separación de 16,00 metros. ¿Cuál es la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la rapidez de las ondas? λ = 16,00 m , f = 0,10 Hz , T = 10,00 s , v = 1,6 m/s Un diapasón vibra y produce un sonido a una frecuencia de 512 Hz. La velocidad del sonido en el aire es v = 343,00 m/s si el aire está a una temperatura de 20,00 ° C . ¿Cuál es la longitud de onda del sonido? Una lancha a motor se desplaza por un lago a una velocidad de v b = 15,00 m/s . El barco rebota cada 0,50 s mientras se desplaza en la misma dirección que una onda. Rebota hacia arriba y hacia abajo cada 0,30 s mientras se desplaza en dirección opuesta a las ondas. ¿Cuál es la velocidad y la longitud de onda de la onda? λ = ( v b + v ) t b , v = 3,75 m/s, λ = 3,00 m Use la ecuación lineal de onda para demostrar que la rapidez de onda de una onda modelada con la función de onda y ( x , t ) = 0,20 m sen ( 3,00 m −1 x + 6,00 s −1 t ) es v = 2,00 m/s . ¿Cuáles son la longitud de onda y la rapidez de la onda? Dadas las funciones de onda y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y y 2 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) con ϕ ≠ π 2 , demuestre que y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) es una solución de la ecuación lineal de onda con una velocidad de la onda de v = ω k . ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ t 2 = – A ω 2 sen ( k x – ω t ) – A ω 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ x 2 = – A k 2 sen ( k x – ω t ) – A k 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 – A ω 2 sen ( k x – ω t ) – A ω 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) = ( 1 v 2 ) ( – A k 2 sen ( k x – ω t ) – A k 2 sen ( k x – ω t + ϕ ) ) v = ω k Una onda transversal en una cuerda se modela con la función de onda y ( x , t ) = 0,10 m sen ( 0,15 m −1 x + 1,50 s −1 t + 0,20 ) . (a) Calcule la velocidad de la onda. (b) Calcule la posición en la dirección y , la velocidad perpendicular al movimiento de la onda y la aceleración perpendicular al movimiento de la onda de un pequeño segmento de la cuerda centrado en x = 0,40 m en el tiempo t = 5,00 s . Una onda sinusoidal se desplaza por una cuerda estirada y horizontal con una densidad lineal de masa de μ = 0,060 kg/m . La magnitud de la aceleración vertical máxima de la onda es a y máx. = 0,90 cm/s 2 y la amplitud de la onda es de 0,40 m. La cuerda está bajo una tensión de F T = 600,00 N . La onda se mueve en la dirección x negativa. Escriba una ecuación para modelar la onda. y ( x , t ) = 0,40 m sen ( 0,015 m −1 x + 1,5 s −1 t ) Una onda transversal en una cuerda ( μ = 0,0030 kg/m ) se describe con la ecuación y ( x , t ) = 0,30 m sen ( 2 π 4,00 m ( x – 16,00 m s t ) ) . ¿Cuál es la tensión con la que se mantiene estirada la cuerda? Una onda transversal en una cuerda horizontal ( μ = 0,0060 kg/m ) se describe con la ecuación y ( x , t ) = 0,30 m sen ( 2 π 4,00 m ( x – v w t ) ) . La cuerda está bajo una tensión de 300,00 N. ¿Cuáles son la rapidez de onda, el número de onda y la frecuencia angular de la onda? v = 223,61 m/s , k = 1,57 m −1 , ω = 142,43 s −1 Un estudiante sostiene un telémetro sónico barato y lo usa para hallar la distancia a la pared. El telémetro sónico emite una onda sonora. La onda sonora se refleja en la pared y vuelve al telémetro. El desplazamiento de ida y vuelta dura 0,012 s. El telémetro fue calibrado para su uso a temperatura ambiente T = 20 ° C , pero la temperatura de la habitación es en realidad T = 23 ° C . Suponiendo que el mecanismo de cronometraje sea perfecto, ¿qué porcentaje de error puede esperar el estudiante debido a la calibración? Una onda en una cuerda es impulsada por un vibrador de cuerda, que oscila con una frecuencia de 100,00 Hz y una amplitud de 1,00 cm. El vibrador de cuerda funciona con un voltaje de 12,00 V y una corriente de 0,20 A. La potencia consumida por el vibrador de cuerda es P = I V . Suponga que el vibrador de cuerda es 90 % eficiente para convertir la energía eléctrica en la energía asociada a las vibraciones de la cuerda. La cuerda tiene una longitud de 3,00 m y está sometida a una tensión de 60,00 N. ¿Cuál es la densidad lineal de masa de la cuerda? P = 1 2 A 2 ( 2 π f ) 2 μ F T μ = 2,00 × 10 −4 kg/m Una onda en desplazamiento en una cuerda se modela mediante la ecuación de onda y ( x , t ) = 3,00 cm sen ( 8,00 m −1 x + 100,00 s −1 t ) . La cuerda está bajo una tensión de 50,00 N y tiene una densidad lineal de masa de μ = 0,008 kg/m . ¿Cuál es la potencia media transferida por la onda en la cuerda? Una onda transversal en una cuerda tiene una longitud de onda de 5,0 m, un periodo de 0,02 s y una amplitud de 1,5 cm. La potencia media transferida por la onda es de 5,00 W. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? P = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T , μ = 0,0018 kg/m a) ¿Cuál es la intensidad de un rayo láser utilizado para quemar tejido canceroso que, cuando absorbe el 90,0 % , pone 500,0 J de energía en un punto circular de 2,00 mm de diámetro en 4,00 s? (b) Analice cómo se compara esta intensidad con la intensidad media de la luz solar (aproximadamente 1 kW / m 2 ) y las implicaciones que tendría si el rayo láser entrara en su ojo. Observe cómo su respuesta depende de la duración de la exposición. Considere dos funciones de onda periódicas, y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y y 2 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t + ϕ ) . (a) ¿Para qué valores de ϕ la onda que resulta de una superposición de las funciones de onda tendrá una amplitud de 2 A ? (b) ¿Para qué valores de ϕ la onda que resulta de una superposición de las funciones de onda tendrá una amplitud de cero? a. A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , cos ( ϕ 2 ) = 1 , ϕ = 0 , 2 π , 4 π ,... ; b. A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , cos ( ϕ 2 ) = 0 , ϕ = 0 , π , 3 π , 5 π ... Considere dos funciones de onda periódicas, y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y y 2 ( x , t ) = A cos ( k x – ω t + ϕ ) . (a) ¿Para qué valores de ϕ la onda que resulta de una superposición de las funciones de onda tendrá una amplitud de 2 A ? (b) ¿Para qué valores de ϕ la onda que resulta de una superposición de las funciones de onda tendrá una amplitud de cero? Una depresión de dimensiones 10,00 metros por 0,10 metros por 0,10 metros está parcialmente llena de agua. Las ondas acuáticas superficiales de pequeña amplitud se producen desde ambos extremos de la depresión mediante remos que oscilan en movimiento armónico simple. La altura de las ondas acuáticas se modela con dos ecuaciones de ondas sinusoidales, y 1 ( x , t ) = 0,3 m sen ( 4 m −1 x – 3 s −1 t ) y y 2 ( x , t ) = 0,3 m cos ( 4 m −1 x + 3 s −1 t – π 2 ) . ¿Cuál es la función de onda de la onda resultante después de que las ondas se alcancen entre sí y antes de que lleguen al final de la depresión (es decir, suponiendo que solo hay dos ondas en la depresión e ignorando las reflexiones)? Use una hoja de cálculo para comprobar sus resultados. (Pista: Use las identidades trigonométricas sen ( u ± v ) = sen u cos v ± cos u sen v y cos ( u ± v ) = cos u cos v ∓ sen u sen v ) y R ( x , t ) = 0,6 m sen ( 4 m −1 x ) cos ( 3 s −1 t ) Un sismógrafo registra las ondas S y P de un terremoto con una diferencia de 20,00 s. Si recorren la misma trayectoria a rapidez de onda constante de v S = 4,00 km/s y v P = 7,50 km/s , ¿A qué distancia está el epicentro del terremoto? Considere lo que se muestra a continuación. Una masa de 20,00 kg reposa sobre una rampa sin fricción inclinada a 45 ° . Una cuerda con una densidad lineal de masa de μ = 0,025 kg/m está atada a la masa de 20,00 kg. La cuerda pasa por encima de una polea sin fricción de masa insignificante y está atada a una masa colgante (m ). El sistema está en equilibrio estático. Se induce una onda en la cuerda y sube por la rampa. (a) ¿Cuál es la masa de la masa colgante ( m )? (b) ¿A qué rapidez de onda sube la cuerda? a. ( 1 ) F T – 20,00 kg ( 9,80 m/s 2 ) cos 45 ° = 0 ( 2 ) m ( 9,80 m/s 2 ) – F T = 0 m = 14,14 kg ; b. F T = 138,57 N v = 74,45 m/s Considere la superposición de tres funciones de onda y ( x , t ) = 3,00 cm sen ( 2 m −1 x – 3 s −1 t ) , y ( x , t ) = 3,00 cm sen ( 6 m −1 x + 3 s −1 t ) , y y ( x , t ) = 3,00 cm sen ( 2 m −1 x – 4 s −1 t ) . ¿Cuál es la altura de la onda resultante en la posición x = 3,00 m en el tiempo t = 10,0 s? Una cuerda tiene una masa de 150 g y una longitud de 3,4 m. Uno de los extremos de la cuerda está fijado a un soporte de laboratorio y el otro está atado a un resorte con una constante de resorte de k s = 100 N/m . El extremo libre del resorte está unido a otro poste de laboratorio. La tensión de la cuerda se mantiene gracias al resorte. Los postes del laboratorio están separados por una distancia que estira el resorte 2,00 cm. Se puntea la cuerda y un pulso la recorre. ¿Cuál es la rapidez de propagación del pulso? F T = 2 N, v = 6,73 m/s En una cuerda bajo una tensión de 70,0 N se produce una onda estacionaria mediante dos ondas transversales sinusoidales idénticas, pero que se mueven en direcciones opuestas. La cuerda se fija en x = 0,00 m y x = 10,00 m . Los nodos aparecen en x = 0,00 m, 2,00 m, 4,00 m, 6,00 m, 8,00 m y 10,00 m. La amplitud de la onda estacionaria es de 3,00 cm. Los antinodos tardan 0,10 s en hacer una oscilación completa. (a) ¿Cuáles son las funciones de onda de las dos ondas sinusoidales que producen la onda estacionaria? (b) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración máximas de la cuerda, perpendicular a la dirección del movimiento de las ondas transversales, en los antinodos? Una cuerda con una longitud de 4 m se mantiene con una tensión constante. La cuerda tiene una densidad lineal de masa de μ = 0,006 kg/m . Las dos frecuencias de resonancia de la cuerda son 400 Hz y 480 Hz. No hay frecuencias de resonancia entre las dos frecuencias. (a) ¿Cuáles son las longitudes de onda de los dos modos resonantes? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? a. f n = n v 2 L , v = 2 L f n + 1 n + 1 , n + 1 n = 2 L f n + 1 2 L f n , 1 + 1 n = 1,2 , n = 5 λ n = 2 n L , λ 5 = 1,6 m , λ 6 = 1,33 m ; b. F T = 245,76 N Problemas de desafío Un cable de cobre tiene un radio de 200 μm y una longitud de 5,0 m. El cable se coloca bajo una tensión de 3.000 N y el cable se estira un poco. Se pulsa el cable y un pulso lo recorre hacia abajo. ¿Cuál es la rapidez de propagación del pulso? (Suponga que la temperatura no cambia: ( ρ = 8,96 g cm 3 , Y = 1,1 × 10 11 N m ) . ) Un pulso que se mueve a lo largo del eje x puede ser modelado como la función de onda y ( x , t ) = 4,00 m e – ( x + ( 2,00 m/s ) t 1,00 m ) 2 . (a)¿Cuál es la dirección y la velocidad de propagación del pulso? (b) ¿Qué distancia ha recorrido la onda en 3,00 s? (c) Grafique el pulso en una hoja de cálculo en el tiempo t = 0,00 s y t = 3,00 s para verificar su respuesta en la parte (b). a. Se mueve en la dirección x negativa con una velocidad de propagación de v = 2,00 m/s . b. Δ x = -6,00 m; c Una cuerda con una densidad lineal de masa de μ = 0,0085 kg/m se fija en ambos extremos. Una masa de 5,0 kg se cuelga de la cuerda, como se muestra a continuación. Si se envía un pulso a lo largo de la sección A , ¿cuál es la rapidez de onda en la sección A y la rapidez de onda en la sección B ? Considere dos funciones de onda y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y y 2 ( x , t ) = A sen ( k x + ω t + ϕ ) . ¿Cuál es la función de onda resultante de la interferencia de las dos ondas? (Pista: sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β y ϕ = ϕ 2 + ϕ 2 ). sen ( k x – ω t ) = sen ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) – cos ( k x + ϕ 2 ) sen ( ω t + ϕ 2 ) sen ( k x – ω t + ϕ ) = sen ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) + cos ( k x + ϕ 2 ) sen ( ω t + ϕ 2 ) sen ( k x – ω t ) + sen ( k x + ω t + ϕ ) = 2 sen ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) y R = 2 A sen ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) La función de onda que modela una onda estacionaria viene dada por y R ( x , t ) = 6,00 cm sen ( 3,00 m −1 x + 1,20 rad ) cos ( 6,00 s −1 t + 1,20 rad ) . ¿Cuáles son las dos funciones de onda que interfieren para formar esta función de onda? Trace las dos funciones de onda y la adición de la suma de las dos funciones de onda en t = 1,00 s para verificar su respuesta. Considere dos funciones de onda y 1 ( x , t ) = A sen ( k x – ω t ) y y 2 ( x , t ) = A sen ( k x + ω t + ϕ ) . La forma de onda resultante al sumar las dos funciones es y R = 2 A sen ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) . Considere el caso en el que A = 0,03 m −1 , k = 1,26 m −1 , ω = π s −1 y ϕ = π 10 . (a) ¿Dónde están los tres primeros nodos de la función de onda estacionaria que comienza en cero y se mueve en la dirección x positiva? (b) En una hoja de cálculo trace las dos funciones de onda y la función resultante en el tiempo t = 1,00 s para verificar su respuesta. sen ( k x + ϕ 2 ) = 0 , k x + ϕ 2 = 0 , π , 2 π , 1,26 m −1 x + π 20 = π , 2 π , 3 π x = 2,37 m , 4,86 m , 7,35 m ; antinodo localización de la máxima amplitud en las ondas estacionarias frecuencia fundamental la frecuencia más baja que producirá una onda estacionaria nodo punto en el que la cuerda no se mueve; de forma más general, los nodos están donde la alteración de la onda es cero en una onda estacionaria modo normal posible patrón de onda estacionaria para una onda estacionaria en una cuerda sobretono frecuencia que produce ondas estacionarias y es mayor que la frecuencia fundamental onda estacionaria onda que puede rebotar hacia arriba y hacia abajo en una región determinada y que termina convirtiéndose en estacionaria

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Introducción La audición es un importante sentido del ser humano que puede detectar frecuencias de sonido que oscilan entre 20 Hz y 20 kHz. Sin embargo, otras especies tienen rangos de audición muy diferentes. Los murciélagos, por ejemplo, emiten chasquidos con ultrasonidos que usan frecuencias superiores a los 20 kHz. Pueden detectar insectos cercanos al escuchar el eco de estos chasquidos ultrasónicos. Los ultrasonidos son importantes en varias aplicaciones humanas, como el sondeo de las estructuras interiores del cuerpo humano, la Tierra y el Sol. Los ultrasonidos también son útiles en la industria para hacer pruebas no destructivas (crédito: modificación de un trabajo de Angell Williams). El sonido es un ejemplo de onda mecánica, concretamente, una onda de presión: las ondas sonoras se desplazan por el aire y otros medios en forma de oscilaciones de moléculas. La audición humana normal abarca un impresionante rango de frecuencias de 20 Hz a 20 kHz. Los sonidos inferiores a 20 Hz se denominan infrasonidos, mientras que los superiores a 20 kHz se llaman ultrasonidos. Algunos animales, como el murciélago que aparece en la , pueden oír sonidos en el rango de los ultrasonidos. Muchos de los conceptos tratados en la sección Ondas también tienen aplicaciones en el estudio del sonido. Por ejemplo, cuando una onda sonora encuentra una interfase entre dos medios con rapidez de onda diferentes se produce la reflexión y la transmisión de la onda. Los ultrasonidos tienen muchos usos en la ciencia, la ingeniería y la medicina. Los ultrasonidos se usan para hacer pruebas no destructivas en ingeniería, como la comprobación del grosor del revestimiento sobre el metal. En medicina, las ondas sonoras son mucho menos destructivas que los rayos X y se pueden usar para obtener imágenes del feto en el útero de la madre sin peligro para ninguno de los dos. Más adelante en este mismo capítulo hablaremos del Efecto Doppler, que se puede utilizar para determinar la velocidad de la sangre en las arterias o la velocidad del viento los sistemas meteorológicos.

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Ondas sonoras El fenómeno físico del sonido es una alteración de la materia que se transmite desde su origen hacia el exterior. La audición es la percepción del sonido, al igual que la visión es la percepción de la luz visible. A escala atómica, el sonido es una alteración de los átomos mucho más ordenada que sus movimientos térmicos. En muchos casos, el sonido es una onda periódica y los átomos experimentan un movimiento armónico simple. Así, las ondas sonoras pueden inducir oscilaciones y efectos de resonancia ( ). Esta copa la destrozó una onda sonora de alta intensidad de la misma frecuencia que la frecuencia de resonancia de la copa (créditos: “||read||”/Flickr). En este video se muestran las ondas en la superficie de una copa de vino impulsadas por las ondas sonoras de un altavoz. A medida que la frecuencia de la onda sonora se acerca a la frecuencia de resonancia de la copa de vino, aumentan la amplitud y la frecuencia de las ondas en la copa de vino. Cuando se alcanza la frecuencia de resonancia se rompe la copa. Un altavoz produce una onda sonora mediante la oscilación de un cono, lo que provoca vibración de moléculas de aire. En la , un altavoz vibra a una frecuencia y una amplitud constantes, lo que produce vibraciones en las moléculas de aire circundantes. Cuando el altavoz oscila de un lado a otro transfiere energía al aire, principalmente en forma de energía térmica. Pero una pequeña parte de la energía del altavoz se destina a comprimir y expandir el aire circundante, lo que crea presiones locales ligeramente más altas y más bajas. Estas compresiones (regiones de alta presión) y rarefacciones (regiones de baja presión) se desplazan como ondas de presión longitudinales que tienen la misma frecuencia que el altavoz: son la alteración que es una onda sonora (las ondas sonoras en el aire y en la mayoría de los fluidos son longitudinales, ya que los fluidos casi no tienen resistencia al corte. En los sólidos, las ondas sonoras pueden ser tanto transversales como longitudinales). La (a) muestra las compresiones y las rarefacciones, y también muestra un gráfico de presión manométrica versus distancia de un altavoz. Cuando el altavoz se mueve en la dirección x positiva empuja las moléculas de aire y las desplaza de sus posiciones de equilibrio. Cuando el altavoz se mueve en la dirección x negativa las moléculas de aire vuelven a su posición de equilibrio debido a una fuerza restauradora. Las moléculas de aire oscilan en movimiento armónico simple alrededor de sus posiciones de equilibrio, como se muestra en la parte (b). Observe que las ondas sonoras en el aire son longitudinales y, en la figura, la onda se propaga en la dirección x positiva y las moléculas oscilan paralelas a la dirección en que se propaga la onda. (a) El cono vibratorio de un altavoz, que se mueve en la dirección x positiva, comprime el aire que tiene delante y expande el que tiene detrás. Cuando el altavoz oscila crea otras compresión y rarefacción a medida que lo que está a la derecha se aleja del altavoz. Después de muchas vibraciones, varias compresiones y rarefacciones salen del altavoz en forma de onda sonora. En el gráfico rojo se muestra la presión manométrica del aire versus la distancia del altavoz. Las presiones solo varían ligeramente de la presión atmosférica para sonidos ordinarios. Observe que la presión manométrica se modela con una función seno, en la que las crestas de la función se alinean con las compresiones y las depresiones lo hacen con las rarefacciones. (b) Las ondas sonoras también se pueden modelar mediante el desplazamiento de las moléculas de aire. En el gráfico azul se muestra el desplazamiento de las moléculas de aire versus la posición del altavoz y se modela con una función coseno. Observe que el desplazamiento es cero para las moléculas en su posición de equilibrio y están centradas en las compresiones y las rarefacciones. Las compresiones se forman cuando las moléculas de ambos lados del equilibrio se desplazan hacia la posición de equilibrio. Las rarefacciones se forman cuando las moléculas se alejan de la posición de equilibrio. Modelos que describen el sonido El sonido se puede modelar como una onda de presión considerando el cambio de presión a partir de la presión media, Δ P = Δ P máx. sen ( k x ∓ ω t + ϕ ) . Esta ecuación es similar a las ecuaciones de ondas periódicas vistas en la sección Ondas , donde Δ P es el cambio de presión, Δ P máx. es el cambio máximo de presión, k = 2 π λ es el número de onda, ω = 2 π T = 2 π f es la frecuencia angular y ϕ es la fase inicial. La rapidez de onda se puede determinar a partir de v = ω k = λ T . Las ondas sonoras también se pueden modelar en términos del desplazamiento de las moléculas de aire. El desplazamiento de las moléculas de aire se puede modelar mediante una función coseno: s ( x , t ) = s máx. cos ( k x ∓ ω t + ϕ ) . En esta ecuación, s es el desplazamiento y s máx. es el desplazamiento máximo. En la figura no se muestra la amplitud de una onda sonora a medida que disminuye con la distancia desde su fuente, ya que la energía de la onda se propaga sobre un área cada vez mayor. La intensidad disminuye a medida que se aleja del altavoz, como se analizó en la sección Ondas . La energía también la absorben los objetos y se convierte en energía térmica por la viscosidad del aire. Además, durante cada compresión se transfiere un poco de calor al aire; durante cada rarefacción, se transfiere aún menos calor del aire, y estas transferencias de calor reducen la alteración organizada en movimientos térmicos aleatorios. Que la transferencia de calor de la compresión a la rarefacción sea significativa depende de la distancia a la que se encuentren, es decir, depende de la longitud de onda. La longitud de onda, la frecuencia, la amplitud y la velocidad de propagación son características importantes para el sonido, como lo son para todas las ondas. Resumen El sonido es una alteración de la materia (una onda de presión) que se transmite desde su origen hacia el exterior. La audición es la percepción del sonido. El sonido se puede modelar en términos de presión o de desplazamiento de moléculas. El oído humano es sensible a frecuencias entre 20 Hz y 20 kHz. Preguntas conceptuales ¿Cuál es la diferencia entre sonido y audición? El sonido es una alteración de la materia (una onda de presión) que se transmite desde su origen hacia el exterior. La audición es la percepción humana del sonido. Aprenderá que la luz es una onda electromagnética que puede desplazarse a través del vacío. ¿Las ondas sonoras pueden desplazarse por el vacío? Las ondas sonoras se pueden modelar como un cambio de presión. ¿Por qué se utiliza el cambio de presión y no la presión real? Considere una onda sonora que se mueve en el aire. La presión del aire es la condición de equilibrio, esto es el cambio de presión que produce la onda sonora. Problemas Considere una onda sonora modelada con la ecuación s ( x , t ) = 4,00 nm cos ( 3,66 m −1 x – 1.256 s −1 t ) . ¿Cuál es el desplazamiento máximo, la longitud de onda, la frecuencia y la rapidez de la onda sonora? s máx. = 4,00 nm , λ = 1,72 m , f = 200 Hz , v = 343,17 m/s Considere una onda sonora que se mueve por el aire modelada con la ecuación s ( x , t ) = 6,00 nm cos ( 54,93 m −1 x – 18,84 × 10 3 s −1 t ) . ¿Cuál es el menor tiempo necesario para que una molécula de aire se mueva entre 3,00 nm y –3,00 nm? Considere un ultrasonido de diagnóstico con frecuencia de 5,00 MHz que se usa para examinar una irregularidad en el tejido blando. (a) ¿Cuál es la longitud de onda en el aire de dicha onda sonora si la velocidad del sonido es de 343 m/s? (b) Si la velocidad del sonido en el tejido es de 1.800 m/s, ¿cuál es la longitud de onda de esta onda en el tejido? a. λ = 68,60 μ m; b. λ = 360,00 μ m Una onda sonora se modela como Δ P = 1,80 Pa sen ( 55,41 m −1 x – 18.840 s −1 t ) . ¿Cuál es el cambio máximo de presión, la longitud de onda, la frecuencia y la rapidez de la onda sonora? Una onda sonora se modela con la función de onda Δ P = 1,20 Pa sen ( k x – 6,28 × 10 4 s −1 t ) y la onda sonora se desplaza en el aire a una velocidad de v = 343,00 m/s . (a) ¿Cuál es el número de onda de la onda sonora? (b) ¿Cuál es el valor de Δ P ( 3,00 m , 20,00 s ) ? a. k = 183,09 m −1 ; b. Δ P = -1,11 Pa El desplazamiento de las moléculas de aire en la onda sonora se modela con la función de onda s ( x , t ) = 5,00 nm cos ( 91,54 m −1 x – 3,14 × 10 4 s −1 t ) . (a) ¿Cuál es la rapidez de onda de la onda sonora? (b) ¿Cuál es la velocidad máxima de las moléculas de aire al oscilar en movimiento armónico simple? (c) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración máxima de las moléculas de aire al oscilar en movimiento armónico simple? Se coloca un altavoz en la abertura de un tubo horizontal largo. El altavoz oscila a una frecuencia f y crea una onda sonora que se desplaza por el tubo. La onda se mueve a través del tubo a una velocidad de v = 340,00 m/s . La onda sonora se modela con la función de onda s ( x , t ) = s máx. cos ( k x – ω t + ϕ ) . En el tiempo t = 0,00 s , una molécula de aire en x = 3,5 m está en el desplazamiento máximo de 7,00 nm. Al mismo tiempo, otra molécula en x = 3,7 m tiene un desplazamiento de 3,00 nm. ¿Cuál es la frecuencia a la que oscila el altavoz? s 1 = 7,00 nm, s 2 = 3,00 nm, k x 1 + ϕ = 0 rad k x 2 + ϕ = 1,128 rad k ( x 2 – x 1 ) = 1,128 rad, k = 5,64 m −1 λ = 1,11 m, f = 306,31 Hz Se golpea un diapasón de 250 Hz y comienza a vibrar. Un sonómetro está situado a 34,00 m de distancia. Toma el sonido Δ t = 0,10 s para llegar al medidor. El desplazamiento máximo del diapasón es de 1,00 mm. Escriba una función de onda para el sonido. Una onda sonora producida por un transductor de ultrasonido que se mueve en el aire se modela con la ecuación de onda s ( x , t ) = 4,50 nm cos ( 9,15 × 10 4 m −1 x – 2 π ( 5,00 MHz ) t ) . El transductor se usará en pruebas no destructivas para identificar fracturas en vigas de acero. La velocidad del sonido en la viga de acero es v = 5.950 m/s . Calcule la función de onda para la onda sonora en la viga de acero. k = 5,28 × 10 3 m s ( x , t ) = 4,50 nm cos ( 5,28 × 10 3 m −1 x – 2 π ( 5,00 MHz ) t ) Las marsopas emiten ondas sonoras que usan para desplazarse por el agua. Si la longitud de onda de la onda sonora emitida es de 4,5 cm y la velocidad del sonido en el agua es v = 1.530 m/s, ¿cuál es el periodo del sonido? Los murciélagos usan ondas sonoras para atrapar insectos. Los murciélagos pueden detectar frecuencias de hasta 100 kHz. Si las ondas sonoras se desplazan por el aire a una velocidad de v = 343 m/s, ¿cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras? λ = 3,43 mm Un murciélago envía una onda sonora de 100 kHz y las ondas sonoras se desplazan por el aire a una velocidad de v = 343 m/s . (a) Si la diferencia de presión máxima es de 1,30 Pa, ¿cuál es la función de onda que modelaría la onda sonora, suponiendo que la onda es sinusoidal? (Suponga que el deslizamiento de fase es cero). (b) ¿Cuáles son el periodo y la longitud de onda de la onda sonora? Considere el gráfico que se muestra a continuación de una onda de compresión. Se muestran representaciones de la función de onda para t = 0,000 s (azul) y t = 0,005 s (naranja). ¿Cuáles son la longitud de onda, el desplazamiento máximo, la velocidad y el periodo de la onda de compresión? λ = 6,00 m s máx. = 2,00 mm v = 600 m/s T = 0,01 s Considere el gráfico del problema anterior de una onda de compresión. Se muestran representaciones de la función de onda para t = 0,000 s (azul) y t = 0,005 s (naranja). Dado que el desplazamiento de la molécula en el tiempo t = 0,00 s y posición x = 0,00 m es s ( 0,00 m , 0,00 s ) = 1,08 mm, derive una función de onda para modelar la onda de compresión. Una cuerda de guitarra oscila a una frecuencia de 100 Hz y produce una onda sonora. (a) ¿Cuál cree que es la frecuencia de la onda sonora que produce la cuerda que vibra? (b) Si la velocidad de la onda sonora es v = 343 m/s, ¿cuál es la longitud de onda de la onda sonora? (a) f = 100 Hz, (b) λ = 3,43 m audición percepción del sonido sonido onda de presión en desplazamiento que puede ser periódica; la onda se puede modelar como una onda de presión o como una oscilación de moléculas

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