Prueba de bondad de ajuste En este tipo de prueba de hipótesis se determina si los datos “se ajustan” a una determinada distribución o no. Por ejemplo, puede sospechar que sus datos desconocidos se ajustan a una distribución binomial. Se utiliza una prueba de chi-cuadrado (lo que significa que la distribución para la prueba de hipótesis es chi-cuadrado) para determinar si hay un ajuste o no. Las hipótesis nula y alternativa de esta prueba se pueden escribir en oraciones o plantear como ecuaciones o desigualdades. El estadístico de prueba para una prueba de bondad de ajuste es: Σ k ( O – E ) 2 E donde: O = valores observados (datos) E = valores esperados (de la teoría) k = el número de celdas o categorías de datos diferentes Los valores observados son los valores de los datos y los valores esperados son los valores que se esperarían obtener si la hipótesis nula fuera cierta. Hay n términos de la forma ( O – E ) 2 E . El número de grados de libertad es df = (número de categorías – 1). La prueba de bondad de ajuste es casi siempre de cola derecha. Si los valores observados y los correspondientes valores esperados no se aproximan entre sí, el estadístico de prueba puede ser muy grande y se situará en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado. Nota El número de valores esperados dentro de cada celda debe ser al menos cinco para poder utilizar esta prueba. El ausentismo de los estudiantes universitarios a las clases de Matemáticas es una de las principales preocupaciones de los instructores de Matemáticas, ya que ausentarse de clase parece aumentar la tasa de abandono. Supongamos que se realiza un estudio para determinar si la tasa real de ausentismo de los estudiantes sigue la percepción del profesorado. El profesorado esperaba que un grupo de 100 estudiantes se ausentara de clase según se indica en la . Número de ausencias por trimestre Número previsto de estudiantes 0–2 50 3–5 30 6–8 12 9–11 6 12+ 2 Luego, se realizó una encuesta aleatoria en todos los cursos de Matemáticas para determinar el número real (observado) de ausencias en un curso. El gráfico de la muestra los resultados de esa encuesta. Número de ausencias por trimestre Número real de estudiantes 0–2 35 3–5 40 6–8 20 9–11 1 12+ 4 Determine las hipótesis nula y alternativa necesarias para realizar una prueba de bondad de ajuste. H 0 : El ausentismo de los estudiantes se ajusta a la percepción del profesorado. La hipótesis alternativa es la opuesta a la hipótesis nula. H a : El ausentismo de los estudiantes no se ajusta a la percepción del profesorado. a. ¿Puede utilizar la información tal y como aparece en los gráficos para realizar la prueba de bondad de ajuste? a. No. Tome nota que el número de ausencias previsto para la entrada “más de 12” es inferior a cinco (es dos). Combine ese grupo con el de “9-11” para crear nuevas tablas en las que el número de estudiantes de cada entrada sea de cinco como mínimo. Los nuevos resultados están en la y la . Número de ausencias por trimestre Número previsto de estudiantes 0–2 50 3–5 30 6–8 12 9+ 8 Número de ausencias por trimestre Número real de estudiantes 0–2 35 3–5 40 6–8 20 9+ 5 b. ¿Cuál es el número de grados de libertad ( df )? b. Hay cuatro “celdas” o categorías en cada una de las nuevas tablas. df = número de celdas – 1 = 4 – 1 = 3 Ejercicio El gerente de una fábrica necesita saber cuántos productos son defectuosos frente a cuántos se producen. El número de defectos previstos figura en la . Número producido Número defectuoso 0–100 5 101–200 6 201–300 7 301–400 8 401–500 10 Se tomó una muestra aleatoria para determinar el número real de defectos. La muestra los resultados de la encuesta. Número producido Número defectuoso 0–100 5 101–200 7 201–300 8 301–400 9 401–500 11 Indique las hipótesis nula y alternativa necesarias para llevar a cabo una prueba de bondad de ajuste, e indique los grados de libertad. H 0 : El número de impagos se ajusta a las expectativas. H a : El número de impagos no se ajusta a las expectativas. df = 4 Los empleadores quieren saber qué días de la semana se ausentan los empleados en una semana laboral de cinco días. La mayoría de los empleadores quiere creer que los empleados se ausentan por igual durante la semana. Supongamos que se pregunta a una muestra aleatoria de 60 gerentes qué día de la semana tienen el mayor número de ausencias de empleados. Los resultados se distribuyeron como en la . Para la población de empleados, ¿los días de mayor número de ausencias se producen con igual frecuencia durante una semana laboral de cinco días? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Día de la semana en que los empleados estuvieron más ausentes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Número de ausencias 15 12 9 9 15 Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Los días ausentes se producen con igual frecuencia, es decir, se ajustan a una distribución uniforme. H a : Los días ausentes se producen con frecuencias desiguales, es decir, no se ajustan a una distribución uniforme. Si los días de ausencia se producen con igual frecuencia, entonces, de los 60 días de ausencia (el total de la muestra: 15 + 12 + 9 + 9 + 15 = 60), habría 12 ausencias el lunes, 12 el martes, 12 el miércoles, 12 el jueves y 12 el viernes. Estos números son los valores esperados ( E ). Los valores de la tabla son los valores o datos observados ( O ). Esta vez, calcule el estadístico de prueba χ 2 a mano. Haga un cuadro con los siguientes títulos y rellene las columnas: Valores esperados ( E ) (12, 12, 12, 12, 12) Valores observados ( O ) (15, 12, 9, 9, 15) ( O – E ) ( O – E ) 2 ( O – E ) 2 E Ahora, añada (sume) la última columna. La suma es de tres. Se trata del estadístico de prueba χ 2 . El valor calculado del estadístico de prueba es 3 y el valor crítico de la distribución χ 2 a 4 grados de libertad; el nivel de confianza de 0,05 es 9,48. Este valor se encuentra en la tabla χ 2 en la columna 0,05 de la fila 4 de grados de libertad. Los grados de libertad son el número de celdas – 1 = 5 – 1 = 4 Luego, complete un gráfico como el siguiente con el identificado y el sombreado adecuados (debería sombrear la cola derecha). χ c 2 = Σ k ( O – E ) 2 E = 3 La decisión es no rechazar la hipótesis nula porque el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola de la distribución. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que los días de ausencia no se producen con igual frecuencia. Ejercicio Los maestros quieren saber qué noche de la semana sus estudiantes hacen la mayor parte de las tareas para la casa. La mayoría de los maestros piensan que los estudiantes hacen las tareas para la casa por igual a lo largo de la semana. Supongamos que se pregunta a una muestra aleatoria de 56 estudiantes en qué noche de la semana hacen más tareas para la casa. Los resultados se distribuyeron como en la . Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Número de estudiantes 11 8 10 7 10 5 5 De la población de estudiantes, ¿las noches en las que el mayor número de estudiantes hace la mayoría de sus tareas para la casa ocurren con igual frecuencia durante una semana? ¿Qué tipo de prueba de hipótesis debe utilizar? df = 6 valor p = 0,6093 No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que demuestren que los estudiantes no hacen la mayoría de los deberes por igual a lo largo de la semana. Un estudio indica que el número de televisores que tienen las familias estadounidenses se distribuye (esta es la distribución dada para la población estadounidense) como en la . Número de televisores Porcentaje 0 10 1 16 2 55 3 11 4+ 8 La tabla contiene los porcentajes esperados ( E ). Una muestra aleatoria de 600 familias del extremo oeste de Estados Unidos dio como resultado los datos que figuran en la . Número de televisores Frecuencia 0 66 1 119 2 340 3 60 4+ 15 Total = 600 La tabla contiene los valores de frecuencia observados ( O ). Al nivel de significación del 1 %, ¿parece que la distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución de la población estadounidense en su conjunto? Este problema le pide que compruebe si la distribución de las familias del extremo oeste de Estados Unidos se ajusta a la distribución de las familias del resto del país. Esta prueba es siempre de cola derecha. La primera tabla contiene los porcentajes previstos. Para obtener las frecuencias esperadas ( E ), multiplique el porcentaje por 600. Las frecuencias esperadas se muestran en la . Número de televisores Porcentaje Frecuencia esperada 0 10 (0,10)(600) = 60 1 16 (0,16)(600) = 96 2 55 (0,55)(600) = 330 3 11 (0,11)(600) = 66 más de 3 8 (0,08)(600) = 48 Por lo tanto, las frecuencias esperadas son 60, 96, 330, 66 y 48. H 0 : La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es igual a la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense. H a : La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense. Distribución para la prueba: χ 4 2 donde df = (el número de celdas) – 1 = 5 – 1 = 4. Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 29,65 Gráfico: El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con cuatro grados de libertad a un nivel de confianza del 99 %, α = 0,01; 13,277. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba de chi-cuadrado en 29,65. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Dado que el estadístico de prueba está en la cola de la distribución, no podemos aceptar la hipótesis nula. Esto significa que usted rechaza la creencia de que la distribución para los estados del extremo oeste es igual a la de la población estadounidense en su conjunto. Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del “número de televisores” para el extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” para el conjunto de la población estadounidense. Ejercicio El porcentaje esperado del número de mascotas que tienen los estudiantes en sus hogares se distribuye (es la distribución dada para la población estudiantil de Estados Unidos) como en la . Número de mascotas Porcentaje 0 18 1 25 2 30 3 18 4+ 9 Una muestra aleatoria de 1.000 estudiantes del este de Estados Unidos dio como resultado los datos que figuran en la . Número de mascotas Frecuencia 0 210 1 240 2 320 3 140 4+ 90 Al nivel de significación del 1 %, ¿parece que la distribución “número de mascotas” de los estudiantes del este de Estados Unidos es diferente de la distribución para el conjunto de la población estudiantil de Estados Unidos? Valor p = 0,0036 Rechazamos la hipótesis nula de que las distribuciones son iguales. Hay pruebas suficientes para concluir que la distribución "número de mascotas" de los estudiantes en el este de Estados Unidos es diferente de la distribución para el conjunto de la población estudiantil de Estados Unidos. Supongamos que lanza dos monedas 100 veces. Los resultados son 20 HH , 27 HT , 30 TH y 23 TT . ¿Las monedas son imparciales? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Este problema se puede plantear como un problema de bondad de ajuste. El espacio muestral para lanzar dos monedas imparciales es { HH , HT , TH , TT }. De cada 100 lanzamientos, se esperan 25 HH , 25 HT , 25 TH y 25 TT . Esta es la distribución esperada de probabilidad binomial. La pregunta “¿las monedas son imparciales?” es lo mismo que decir “¿la distribución de las monedas (20 HH , 27 HT , 30 TH , 23 TT ) se ajusta a la distribución esperada?”. Variable aleatoria: Supongamos que X = el número de caras en un lanzamiento de las dos monedas. X toma los valores 0, 1, 2 (hay 0, 1 o 2 caras en el lanzamiento de dos monedas). Por lo tanto, el número de celdas es tres . Como X = el número de caras, las frecuencias observadas son 20 (para dos caras), 57 (para una cara) y 23 (para cero caras o dos cruces). Las frecuencias esperadas son 25 (para dos caras), 50 (para una cara) y 25 (para cero caras o dos cruces). Esta prueba es de cola derecha. H 0 : Las monedas son imparciales. H a : Las monedas no son imparciales. Distribución para la prueba: χ 2 2 donde df = 3 – 1 = 2. Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 2,14 Gráfico: El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con dos grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 5,991. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ 2 en 2,14. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las monedas no son justas: no podemos rechazar la hipótesis nula de que las monedas son justas. Referencias Datos de la Oficina del Censo de EE. UU. Datos del College Board. Disponible en línea en http://www.collegeboard.com. Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., Current Population Reports. Ma, Y., E. R. Bertone, E. J. Stanek III, G. W. Reed, J. R. Hebert, N. L. Cohen, P. A. Merriam, I. S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population”. American Journal of Epidemiology volume 158, n.º 1, pages 85-92. Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010”. NCHS Data Brief n.º 82, enero de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey”. Condado de Arlington, VA. Disponible en línea en http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución específica, puede aplicar la prueba de hipótesis de bondad de ajuste que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que los datos proceden de la distribución supuesta. La prueba compara los valores observados con los valores que se esperarían tener si los datos siguieran la distribución supuesta. La prueba es casi siempre de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco. Revisión de la fórmula ∑ k ( O – E ) 2 E estadístico de prueba de bondad de ajuste donde: O : valores observados E : valores esperados k : número de celdas o categorías de datos diferentes df = k − 1 grados de libertad Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes. Una arqueóloga está calculando la distribución de la frecuencia del número de artefactos que encuentre en una excavación. Basándose en excavaciones anteriores, el arqueólogo crea una distribución prevista desglosada por secciones de la cuadrícula en el lugar de la excavación. Una vez que el yacimiento se ha excavado por completo, compara el número real de objetos encontrados en cada sección de la cuadrícula para determinar si sus expectativas eran correctas. Un economista está elaborando un modelo para predecir los resultados del mercado de valores. Crea una lista de puntos esperados en el índice bursátil para las próximas dos semanas. Al cierre de cada jornada registra los puntos reales del índice. Quiere ver hasta qué punto su modelo coincide con lo que realmente ocurrió. una prueba de bondad de ajuste Una entrenadora personal está preparando un programa de levantamiento de pesas para sus clientes. Para un programa de 90 días espera que cada cliente levante un peso máximo específico cada semana. A medida que avanza registra los pesos máximos reales que levantan sus clientes. Quiere saber si sus expectativas se ajustan a lo observado. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un maestro predice cuál será la distribución de las notas del examen final y las registra en la . Grado Proporción A 0,25 B 0,30 C 0,35 D 0,10 La distribución real para una clase de 20 está en la . Grado Frecuencia A 7 B 7 C 5 D 1 d e = ______ 3 Indique las hipótesis nula y alternativa. estadístico de prueba χ 2 = ______ 2,04 Al nivel de significación del 5 %, ¿qué puede concluir? No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que sugieran que las calificaciones observadas en las pruebas sean significativamente diferentes de las esperadas. Use la siguiente información para responder los próximos nueve ejercicios: los siguientes datos son reales. El número acumulado de casos de SIDA notificados en el condado de Santa Clara se desglosa por grupos étnicos como en la . Etnia Número de casos Blancos 2.229 Hispanos 1.157 Negros/Afroamericanos 457 Asiáticos, isleños del Pacífico 232 Total = 4.075 El porcentaje de cada grupo étnico en el condado de Santa Clara es el que figura en la . Etnia Porcentaje de la población total del condado Número esperado (redondeado a dos decimales) Blancos 42,9% 1.748,18 Hispanos 26,7% Negros/Afroamericanos 2,6% Asiáticos, isleños del Pacífico 27,8 % Total = 100 % Si las etnias de las víctimas de sida aparecen según las etnias de la población total del condado, rellene el número esperado de casos por grupo étnico. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si la aparición de casos de sida es según las etnias de la población general del condado de Santa Clara. H 0 : _______ H 0 : la distribución de los casos de sida es según las etnias de la población general del condado de Santa Clara. H a : _______ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? cola derecha grados de libertad = _______ estadístico de prueba χ 2 = _______ 2016,136 Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree en la región correspondiente al nivel de confianza. Supongamos que α = 0,05 Decisión: ________________ Motivo de la decisión: ________________ Conclusión (escriba en oraciones completas): ________________ Gráfico: Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión (escriba en oraciones completas): La composición de los casos de SIDA no se ajusta a las etnias de la población general del condado de Santa Clara. ¿Parece que el patrón de casos de sida en el condado de Santa Clara se corresponde con la distribución de los grupos étnicos en este condado? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa Se lanza un dado de seis caras 120 veces. Rellene la columna de frecuencia prevista. Luego, realice una prueba de hipótesis para determinar si el dado es imparcial. Los datos de la son el resultado de las 120 lanzamientos. Valor nominal Frecuencia Frecuencia esperada 1 15 2 29 3 16 4 15 5 30 6 15 La distribución del estado civil de la población de hombres de EE. UU. de 15 años o más es la que se muestra en la . Estado civil Porcentaje Frecuencia esperada Soltero 31,3 Casado 56,1 Viudo 2,5 Divorciado/Separado 10,1 Supongamos que una muestra aleatoria de 400 hombres adultos jóvenes de EE. UU. de 18 a 24 años arroja la siguiente distribución de frecuencias. Nos interesa saber si este grupo de edad de hombres se ajusta a la distribución de la población adulta de EE. UU. Calcule la frecuencia que cabría esperar al encuestar a 400 personas. Rellene la , redondeando a dos decimales. Estado civil Frecuencia Soltero 140 Casado 238 Viudo 2 Divorciado/Separado 20 Estado civil Porcentaje Frecuencia esperada Soltero 31,3 125,2 Casado 56,1 224,4 Viudo 2,5 10 Divorciado/Separado 10,1 40,4 Los datos se ajustan a la distribución. Los datos no se ajustan a la distribución. 3 distribución chi-cuadrado con df = 3 19,27 0,0002 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula con un nivel de significación del 5 %. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Los datos no se ajustan a la distribución. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: las columnas de la contienen la raza/etnia de escuelas públicas de EE. UU. para un año reciente, los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada para esa clase y la población estudiantil general. Supongamos que la columna de la derecha contiene el resultado de una encuesta realizada a 1.000 estudiantes locales de ese año que presentaron un examen de AP. Raza/etnia Población examinada de AP Población estudiantil total Frecuencia de las encuestas Asiático, asiático americano o isleño del Pacífico 10,2% 5,4% 113 Negro o afroamericano 8,2% 14,5% 94 Hispano o latino 15,5 % 15,9% 136 Amerindio o nativo de Alaska 0,6 % 1,2% 10 Blancos 59,4% 61,6% 604 No informado/otro 6,1% 1,4% 43 Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los resultados locales siguen la distribución de la población estudiantil general de EE. UU. con base en el origen étnico. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los resultados locales siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. con base en su origen étnico. H 0 : Los resultados locales siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. H a : Los resultados locales no siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. df = 5 distribución chi-cuadrado con df = 5 estadístico de prueba chi-cuadrado = 13,4 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula cuando a = 0,05 Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Los datos locales no se ajustan a la distribución de los examinados de AP. Decisión: No rechaza la nulidad cuando a = 0,01 Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que los datos locales no siguen la distribución de los examinados de AP de EE. UU. La ciudad de South Lake Tahoe, California tiene una población asiática de 1.419 personas, de una población total de 23.609. Supongamos que una encuesta realizada a 1.419 asiáticos autodeclarados en el área de Manhattan (Nueva York) arroja los datos de la . Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los subgrupos de asiáticos autodeclarados en el área de Manhattan se ajustan a los de la zona del Lake Tahoe. Raza Frecuencia en el lago Tahoe Frecuencia en Manhattan Indio asiático 131 174 Chino 118 557 Filipino 1.045 518 Japonés 80 54 Coreano 12 29 Vietnamita 9 21 Otro 24 66 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la UCLA realizó una encuesta a más de 263.000 estudiantes de primer año de 385 institutos universitarios en otoño de 2005. Los resultados de las especialidades esperadas de los estudiantes, por sexo, fueron presentado en The Chronicle of Higher Education (2 feb 2006). . Supongamos que el año pasado se realizó una encuesta de seguimiento a 5.000 mujeres y 5.000 hombres que se graduaron para determinar cuáles eran sus especialidades reales. Los resultados se muestran en las tablas del y del . La segunda columna de cada tabla no suma el 100 % debido al redondeo. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas. Especialidad Mujeres: especialidad esperada Mujeres: especialidad real Arte y Humanidades 14,0% 670 Ciencias Biológicas 8,4% 410 Negocios 13,1% 685 Educación 13,0% 650 Ingeniería 2,6% 145 Ciencias Físicas 2,6% 125 Profesional 18,9% 975 Ciencias Sociales 13,0% 605 Técnica 0,4% 15 Otro 5,8% 300 Indecisos 8,0% 420 H 0 : Las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas H a : Las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan no se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas df = 10 distribución chi-cuadrado con df = 10 estadístico de prueba = 11,48 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula cuando a = 0,05 y a = 0,01 Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de las especialidad real en los estudios universitarios de las mujeres que se gradúan se ajusta a la distribución de la especialidad esperada. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si las especialidades universitarias reales de los hombres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas. Especialidad Hombres: especialidad esperada Hombres: especialidad real Arte y Humanidades 11,0% 600 Ciencias Biológicas 6,7% 330 Negocios 22,7% 1130 Educación 5,8% 305 Ingeniería 15,6 % 800 Ciencias Físicas 3,6% 175 Profesional 9,3% 460 Ciencias Sociales 7,6 % 370 Técnica 1,8% 90 Otro 8,2% 400 Indecisos 6,6% 340 Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. En general, si los valores observados y los valores esperados de una prueba de bondad de ajuste no están cerca, el estadístico de prueba puede ser muy grande y en un gráfico estará muy lejos en la cola derecha. Utilice una prueba de bondad de ajuste para determinar si los directores de las escuelas secundarias creen que los estudiantes se ausentan por igual durante la semana o no. verdadero La prueba que se va a usar para determinar si un dado de seis caras es imparcial es una prueba de bondad de ajuste. En una prueba de bondad de ajuste, si el valor p es 0,0113, en general, no rechaza la hipótesis nula. falso Se encuestó una muestra de 212 compañías comerciales para el reciclaje de una materia prima; una materia prima significa aquí cualquier tipo de material reciclable como plástico o aluminio. La muestra las categorías de compañías en la encuesta, el tamaño de la muestra de cada categoría y el número de compañías en cada categoría que reciclan una materia prima. Según el estudio, se espera que un promedio de la mitad de las compañías reciclen una materia prima. Como resultado, la última columna muestra el número esperado de compañías de cada categoría que reciclan una materia prima. Al nivel de significación del 5 % realice una prueba de hipótesis para determinar si el número observado de compañías que reciclan una materia prima sigue la distribución uniforme de los valores esperados. Tipo de negocio Número en la clase Número observado que recicla una materia prima Número esperado que reciclan una materia prima Oficina 35 19 17,5 Comercio minorista/mayorista 48 27 24 Alimentación/restauración 53 35 26,5 Fabricación/médico 52 21 26 Hotel/mixto 24 9 12 La contiene información procedente de una encuesta realizada a 499 participantes clasificados según sus grupos de edad. La segunda columna muestra el porcentaje de personas obesas por clase de edad entre los participantes en el estudio. La última columna procede de un estudio nacional diferente que muestra los porcentajes correspondientes de personas obesas en las mismas clases de edad en EE. UU. Realice una prueba de hipótesis al nivel de significación del 5 % para determinar si los participantes en la encuesta son una muestra representativa de la población obesa de Estados Unidos. Grupo etario (años) Obesos (porcentaje) Promedio previsto en EE. UU. (porcentaje) 20–30 15,0 32,6 31–40 26,5 32,6 41–50 13,6 36,6 51–60 21,9 36,6 61–70 21,0 39,7 Las hipótesis para la prueba de bondad de ajuste son: H 0 : Los obesos encuestados se ajustan a la distribución de los obesos esperados H a : Los obesos encuestados no se ajustan a la distribución de los obesos esperados Utilice una distribución chi-cuadrado con df = 4 para evaluar los datos. El estadístico de prueba es X 2 = 9,85 El valor p = 0,0431 Al nivel de significación del 5 %, = 0,05. Para estos datos, P < α. rechaza la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que los obesos encuestados no se ajustan a la distribución de obesos esperada. Bondad de ajuste prueba de hipótesis que compara los valores esperados y los observados para buscar diferencias significativas dentro de una variable no paramétrica. Los grados de libertad utilizados equivalen al (número de categorías – 1).

Empresarial


Prueba de independencia Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos). El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste: Σ ( i ⋅ j ) ( O – E ) 2 E donde: O = valores observados E = valores esperados i = el número de filas de la tabla j = el número de columnas de la tabla Hay i ⋅ j términos de la forma ( O – E ) 2 E . Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que vio el término independencia fue en la A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo . A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo. Nota El valor esperado dentro de cada celda debe ser, al menos, cinco para que pueda usar esta prueba. Supongamos que A = una infracción por exceso de velocidad en el último año y B = un usuario de teléfono móvil mientras conduce. Si A y B son independientes, entonces P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ). A ∩ B es el caso de que un conductor recibiera una infracción por exceso de velocidad el año pasado y también utilizara un teléfono móvil mientras conducía. Supongamos que se encuestaron 755 personas en un estudio sobre conductores que recibieron infracciones por exceso de velocidad durante el año pasado que usaron el teléfono móvil mientras conducían. De los 755, 70 tenían una infracción por exceso de velocidad y 685 no; 305 usaba el teléfono móvil mientras conducían y 450 no. Supongamos que y = número esperado de conductores que usaron un teléfono móvil mientras conducían y recibieron infracciones por exceso de velocidad. Si A y B son independientes, entonces P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ). Por sustitución, y 755 = ( 70 755 ) ( 305 755 ) Resuelva para y : y = ( 70 ) ( 305 ) 755 = 28,3 Se espera que unas 28 personas de la muestra usen teléfonos móviles mientras conducen y reciban infracciones por exceso de velocidad. En una prueba de independencia planteamos las hipótesis nula y alternativa con palabras. Dado que la tabla de contingencia consta de dos factores , la hipótesis nula afirma que los factores son independientes y la hipótesis alternativa afirma que no son independientes (dependientes) . Si hacemos una prueba de independencia usando el ejemplo, entonces la hipótesis nula es: H 0 : Ser usuario de un teléfono móvil mientras se conduce y recibir una infracción por exceso de velocidad son hechos independientes; en otras palabras, no tienen ningún efecto entre sí. Si la hipótesis nula fuera cierta, esperaríamos que unas 28 personas usaran el móvil mientras conducen y recibieran una infracción por exceso de velocidad. La prueba de independencia es siempre de cola derecha debido al cálculo del estadístico de prueba. Si los valores esperados y observados no están cerca, entonces el estadístico de prueba es muy grande y se encuentra en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado, al igual que en una bondad de ajuste. El número de grados de libertad para la prueba de independencia es: df = (número de columnas – 1)(número de filas – 1) La siguiente fórmula calcula el número esperado ( E ): E = (total de filas)(total de columnas) número total de encuestados Ejercicio Se toma una muestra de 300 estudiantes. De los estudiantes encuestados, 50 estudiaban música, mientras que 250 no. Noventa y siete de los 300 encuestados estaban en el cuadro de honor, mientras que 203 no estaban. Si suponemos que ser estudiante de música y estar en el cuadro de honor son hechos independientes, ¿cuál es el número esperado de estudiantes de música que también están en el cuadro de honor? Se espera que unos 16 estudiantes sean estudiantes de música y estén en el cuadro de honor. Un grupo de voluntarios dedica de una a nueve horas cada semana a personas mayores con discapacidades. El programa recluta entre estudiantes de colegios comunitarios, estudiantes de institutos universitarios de cuatro años y no estudiantes. En la se encuentra una muestra de los voluntarios adultos y el número de horas que ofrecen a la semana. Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (observado) Tipo de voluntario de 1 a 3 horas de 4 a 6 horas de 7 a 9 horas Total de la fila Estudiantes de colegios comunitarios 111 96 48 255 Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años 96 133 61 290 No estudiantes 91 150 53 294 Total de la columna 298 379 162 839 La tabla contiene los valores (datos) observados (O) . ¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario? La tabla observada y la pregunta al final del problema: “¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario?”, le indican que se trata de una prueba de independencia. Los dos factores son el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntario . Esta prueba es siempre de cola derecha. H 0 : El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario. H a : El número de horas de voluntariado depende del tipo de voluntario. Los resultados esperados están en la . Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (previsto) Tipo de voluntario de 1 a 3 horas de 4 a 6 horas de 7 a 9 horas Estudiantes de colegios comunitarios 90,57 115,19 49,24 Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años 103,00 131,00 56,00 No estudiantes 104,42 132,81 56,77 La tabla contiene los valores (datos) esperados ( E ). Por ejemplo, el cálculo de la frecuencia esperada para la celda superior izquierda es E = ( total de la fila ) ( total de la columna ) número total de encuestados = ( 255 ) ( 298 ) 839 = 90,57 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 12,99 (calculadora o computadora) Distribución para la prueba: χ 4 2 df = (3 columnas – 1)(3 filas – 1) = (2)(2) = 4 Gráfico: El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con cuatro grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 9,488. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ c 2 de 12,99. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H 0 . Esto significa que los factores no son independientes. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntariado dependen el uno del otro. Para el ejemplo de la , de haber otro tipo de voluntarios, adolescentes, ¿cuáles serían los grados de libertad? Ejercicio La Oficina de Estadísticas Laborales recopila datos sobre empleo en Estados Unidos. Se toma una muestra para calcular el número de ciudadanos de EE. UU. que trabajan en uno de varios sectores industriales a lo largo del tiempo. La muestra los resultados: Sector industrial 2000 2010 2020 Total Sueldos y salarios no agrícolas 13.243 13.044 15.018 41.305 Producción de bienes, excluida la agricultura 2.457 1.771 1.950 6.178 Prestación de servicios 10.786 11.273 13.068 35.127 Agricultura, silvicultura, pesca y caza 240 214 201 655 Autónomos no agrícolas y trabajadores familiares no remunerados 931 894 972 2.797 Empleos secundarios asalariados en agricultura e industrias domésticas privadas 14 11 11 36 Trabajos secundarios como autónomo o trabajador familiar no remunerado 196 144 152 492 Total 27.867 27.351 31.372 86.590 Queremos saber si el cambio en el número de empleos es independiente del cambio en los años. Indique las hipótesis nula y alternativa y los grados de libertad. H 0 : El número de empleos es independiente del año. H a : El número de empleos depende del año. df = 12 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 3 ENTER 3 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 227,73 y el valor p = 5,90E – 42 = 0. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . El De Anza College está interesado en la relación entre el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. Una muestra aleatoria de 400 estudiantes realizó una prueba que medía el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. La muestra los resultados. El De Anza College quiere saber si el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela son eventos independientes. Necesidad de tener éxito en la escuela versus nivel de ansiedad Necesidad de tener éxito en la escuela Ansiedad alta Ansiedad media alta Ansiedad media Ansiedad media baja Ansiedad baja Total de la fila Necesidad alta 35 42 53 15 10 155 Necesidad media 18 48 63 33 31 193 Necesidad baja 4 5 11 15 17 52 Total de la columna 57 95 127 63 58 400 a. ¿Cuántos estudiantes con alto nivel de ansiedad se espera que tengan una alta necesidad de tener éxito en la escuela? a. El total de la columna para un alto nivel de ansiedad es de 57. El total de filas para la alta necesidad de tener éxito en la escuela es de 155. El tamaño de la muestra o el total de encuestados es de 400. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = 155 ⋅ 57 400 = 22,09 El número esperado de estudiantes que tienen un alto nivel de ansiedad y una alta necesidad de tener éxito en la escuela es de unos 22. b. Si las dos variables son independientes, ¿cuántos estudiantes espera que tengan una baja necesidad de tener éxito en la escuela y un nivel medio-bajo de ansiedad? b. El total de la columna para un nivel de ansiedad medio-bajo es de 63. El total de filas para una baja necesidad de éxito en la escuela es de 52. El tamaño de la muestra o el total de encuestados es de 400. c. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = ________ c. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = 8,19 d. El número esperado de estudiantes que tienen un nivel de ansiedad medio-bajo y una baja necesidad de tener éxito en la escuela es aproximadamente ________. d. 8 Referencias DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Most Californians See a Direct Linkage between Obesity and Sugary Sodas. Two in Three Voters Support Taxing Sugar-Sweetened Beverages If Proceeds are Tied to Improving School Nutrition and Physical Activity Programs”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Harris Interactive, “Favorite Flavor of Ice Cream”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favorite-flavor-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013) “Youngest Online Entrepreneurs List”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/youngest-online-entrepreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si dos factores son independientes o no, puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba afirma que los dos factores son independientes. La prueba compara valores observados con valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, 5. Revisión de la fórmula Prueba de independencia El número de grados de libertad es igual a (número de columnas – 1)(número de filas – 1). El estadístico de prueba es ∑ i ⋅ j ( O – E ) 2 E donde O = valores observados, E = valores esperados, i = el número de filas de la tabla y j = el número de columnas de la tabla. Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados . Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes. Una compañía farmacéutica está interesada en la relación entre edad y presentación de síntomas de una infección viral común. Se toma una muestra aleatoria de 500 personas con la infección en diferentes grupos de edad. una prueba de independencia El propietario de un equipo de béisbol está interesado en la relación entre salarios de los jugadores y porcentaje de victorias del equipo. Toma una muestra aleatoria de 100 jugadores de diferentes organizaciones. Un corredor de maratón se interesa por la relación entre la marca de zapatillas que usan los corredores y sus tiempos de carrera. Toma una muestra aleatoria de 50 corredores y registra sus tiempos de carrera, así como la marca de zapatillas que llevaban. una prueba de independencia Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Transit Railroads se interesa por la relación entre distancia de viaje y clase de billete adquirido. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. La muestra los resultados. La compañía quiere saber si la elección de la clase de billete de un pasajero es independiente de la distancia que debe viajar. Distancia de viaje Tercera clase Segunda clase Primera clase Total de 1 a 100 millas 21 14 6 41 de 101 a 200 millas 18 16 8 42 de 201 a 300 millas 16 17 15 48 de 301 a 400 millas 12 14 21 47 de 401 a 500 millas 6 6 10 22 Total 73 67 60 200 Plantee las hipótesis. H 0 : _______ H a : _______ df = _______ 8 ¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 201 y 300 millas y compren billetes de segunda clase? ¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 401 y 500 millas y compren billetes de primera clase? 6,6 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: en un artículo publicado en el New England Journal of Medicine, se habla de un estudio sobre los fumadores de California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos. Rellene la tabla. Hábito de fumar por grupo étnico (observado) Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos Totales 1-10 11-20 21-30 31 o más Totales Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos Totales 1-10 9.886 2.745 12.831 8.378 7.650 41.490 11-20 6.514 3.062 4.932 10.680 9.877 35.065 21-30 1.671 1.419 1.406 4.715 6.062 15.273 31 o más 759 788 800 2.305 3.970 8.622 Totales 18.830 8.014 19.969 26.078 27.559 10.0450 Plantee las hipótesis. H 0 : _______ H a : _______ Introduzca los valores esperados en la . Redondee a dos decimales. Calcule los siguientes valores: Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos 1-10 7.777,57 3.310,11 8.248,02 10.771,29 11.383,01 11-20 6.573,16 2.797,52 6.970,76 9.103,29 9.620,27 21-30 2.863,02 1.218,49 3.036,20 3.965,05 4.190,23 31 o más 1.616,25 687,87 1.714,01 2.238,37 2.365,49 df = _______ χ 2 estadístico de prueba = ______ 10.301,8 ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? Explique por qué. derecha Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree en la región correspondiente al nivel de confianza. Indique la decisión y la conclusión (en una oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de α . α = 0,05 Decisión: ___________________ Motivo de la decisión: ___________________ Conclusión (escriba en una oración completa): ___________________ No se puede aceptar la hipótesis nula El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Hay pruebas suficientes para concluir que el hábito de fumar depende del grupo étnico. α = 0,01 Decisión: ___________________ Motivo de la decisión: ___________________ Conclusión (escriba en una oración completa): ___________________ Tarea para la casa Un reciente debate sobre dónde los esquiadores creen que se esquía mejor en Estados Unidos generó la siguiente encuesta. Pruebe para ver si la mejor área de esquí es independiente del nivel del esquiador. Zona de esquí de EE. UU. Principiante Intermedio Avanzado Tahoe 20 30 40 Utah 10 30 60 Colorado 10 40 50 Hay fabricantes de automóviles que están interesados en saber si hay una relación entre el tamaño del automóvil que conduce una persona y el número de personas que componen su familia (es decir, si el tamaño del automóvil y el de la familia son independientes). Para comprobarlo, supongamos que se encuestó aleatoriamente a 800 propietarios de automóviles, lo cual arrojó los resultados que están en la . Haga una prueba de independencia. Tamaño de la familia Sub y compacto Tamaño medio Tamaño completo Van y camioneta 1 20 35 40 35 2 20 50 70 80 3–4 20 50 100 90 Más de 5 20 30 70 70 H 0 : El tamaño del automóvil es independiente del tamaño de la familia. H a : El tamaño del automóvil depende del tamaño de la familia. df = 9 distribución chi-cuadrado con df = 9 estadístico de prueba = 15,8284 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que el tamaño del automóvil y el tamaño de la familia son dependientes. Los estudiantes universitarios pueden estar interesados en saber si sus especialidades tienen algún efecto sobre los salarios iniciales después de graduarse. Supongamos que se ha encuestado a 300 recién graduados sobre sus especialidades universitarias y sus salarios iniciales tras la graduación. La muestra los datos. Haga una prueba de independencia. Especialidad < $50.000 $50.000 – $68.999 $69.000 + Inglés 5 20 5 Ingeniería 10 30 60 Enfermería 10 15 15 Negocios 10 20 30 Psicología 20 30 20 Algunas agencias de viajes afirman que los lugares más visitados para la luna de miel varían según la edad de la novia. Supongamos que se entrevista a 280 novias recientes para saber dónde han pasado su luna de miel. La información se ofrece en la . Haga una prueba de independencia. Lugar 20–29 30–39 40–49 50 años o más Cataratas del Niágara 15 25 25 20 Poconos 15 25 25 10 Europa 10 25 15 5 Islas Vírgenes 20 25 15 5 H 0 : Los lugares de la luna de miel son independientes de la edad de la novia. H a : Los lugares de la luna de miel dependen de la edad de la novia. df = 9 distribución chi-cuadrado con df = 9 estadístico de prueba = 15,7027 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que el lugar de la luna de miel y la edad de la novia son dependientes. El gerente de un club deportivo guarda información sobre el deporte principal en el que participan los socios y sus edades. Para comprobar si existe una relación entre la edad de un socio y su elección de deporte se seleccionan aleatoriamente 643 socios del club deportivo. Haga una prueba de independencia. Deporte 18 - 25 26 - 30 31 - 40 41 años o más Raquetbol 42 58 30 46 Tenis 58 76 38 65 Natación 72 60 65 33 Un importante fabricante de alimentos está preocupado porque las ventas de sus papas fritas delgadas han disminuido. Como parte de un estudio de viabilidad, la compañía realiza una investigación sobre los tipos de papas fritas que se venden en todo el país para determinar si el tipo de papas fritas que se venden es independiente de la zona del país. Los resultados del estudio se muestran en la . Haga una prueba de independencia. Tipo de papas fritas Noreste Sur Centro Oeste Patatas fritas delgadas 70 50 20 25 Papas fritas rizadas 100 60 15 30 Papas fritas gruesas 20 40 10 10 H 0 : Los tipos de papas fritas que se venden son independientes del lugar. H a : Los tipos de papas fritas que se venden dependen del lugar. df = 6 distribución chi-cuadrado con df = 6 estadístico de prueba =18,8369 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes de que los tipos de papas fritas y los lugares son dependientes. De acuerdo con los datos suministrados por Dan Lenard, agente de seguros independiente de la zona de Buffalo (Nueva York), a continuación se desglosa el monto de los seguros de vida adquiridos por hombres de los siguientes grupos de edad. Le interesa saber si la edad del hombre y el monto del seguro de vida adquirido son hechos independientes. Haga una prueba de independencia. Edad de los hombres Ninguno < $200.000 $200.000–$400,000 $401.001–$1,000,000 $1,000,001+ 20–29 40 15 40 0 5 30–39 35 5 20 20 10 40–49 20 0 30 0 30 50 o más 40 30 15 15 10 Supongamos que se encuestaron 600 personas de treinta años para determinar si existe o no una relación entre el nivel de estudios de una persona y su salario. Haga una prueba de independencia. Salario anual No se graduó de escuela secundaria Graduado de escuela secundaria Graduado universitario Maestría o doctorado < $30.000 15 25 10 5 $30.000–$40,000 20 40 70 30 $40.000–$50,000 10 20 40 55 $50.000–$60,000 5 10 20 60 más de $60.000 0 5 10 150 H 0 : El salario es independiente del nivel de estudios. H a : El salario depende del nivel de estudios. df = 12 distribución chi-cuadrado con df = 12 estadístico de prueba = 255,7704 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el salario y el nivel de estudios son dependientes. Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. El número de grados de libertad para una prueba de independencia es igual al tamaño de la muestra menos uno. La prueba de independencia utiliza tablas de valores de datos observados y esperados. verdadero La prueba que hay que usar para determinar si el instituto universitario o la universidad que elige un estudiante está relacionado con su estatus socioeconómico es una prueba de independencia. En una prueba de independencia, el número esperado es igual al total de filas multiplicado por el total de columnas dividido entre el total encuestado. verdadero Un fabricante de helados hace una encuesta nacional sobre los sabores de helado favoritos en distintas zonas geográficas de EE. UU. Según la , ¿los números sugieren que la ubicación geográfica es independiente de los sabores de helado favoritos? Prueba al nivel de significación del 5 %. Región de EE. UU./Sabor Fresa Chocolate Vainilla Chocolate con nueces Menta con chispas de chocolate Pistacho Total de la fila Oeste 12 21 22 19 15 8 97 Medio Oeste 10 32 22 11 15 6 96 Este 8 31 27 8 15 7 96 Sur 15 28 30 8 15 6 102 Total de la columna 45 112 101 46 60 27 391 La ofrece una encuesta reciente sobre emprendedores en línea más jóvenes cuyo patrimonio neto se estima en un millón de dólares o más. Sus edades oscilan entre los 17 y los 30 años. Cada celda del cuadro ilustra el número de emprendedores que corresponden al grupo de edad específico y su patrimonio neto. ¿La edad y el patrimonio neto son independientes? Haga una prueba de independencia al nivel de significación del 5 %. Grupo etario\ Patrimonio neto (en millones de dólares) 1–5 6–24 ≥25 Total de la fila 17–25 8 7 5 20 26–30 6 5 9 20 Total de la columna 14 12 14 40 H 0 : La edad es independiente del patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes. H a : La edad depende del patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes. df = 2 distribución chi-cuadrado con df = 2 estadístico de prueba = 1,76 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la edad y el patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes sean dependientes. Un sondeo realizado en 2013 en California consulto a personas sobre los impuestos a las bebidas azucaradas. Los resultados se presentan en la , y están clasificados por grupo étnico y tipo de respuesta. ¿Las respuestas del sondeo son independientes del grupo étnico de los participantes? Haga una prueba de independencia al nivel de significación del 5 %. Opinión/Etnia Asiático americano Blanco/No Hispano Afroamericano Latinos Total de la fila Contra el impuesto 48 433 41 160 682 A favor del impuesto 54 234 24 147 459 Sin opinión 16 43 16 19 94 Total de la columna 118 710 81 326 1235 Tabla de contingencia una tabla que muestra los valores de dos factores diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí; facilita la determinación de probabilidades condicionales. Prueba de independencia prueba de hipótesis que compara los valores esperados y observados de las tablas de contingencia para comprobar la independencia entre dos variables. Los grados de libertad que se utilizan son iguales al (número de columnas – 1) multiplicado por el (número de filas – 1).

Introducción a la estadística empresarial

Empresarial


Prueba de homogeneidad La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad , se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia. Nota El valor esperado dentro de cada celda debe ser, al menos, cinco para que pueda usar esta prueba. Hipótesis H 0 : Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H a : Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales. Estadístico de prueba Utilice un χ 2 estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia. Grados de libertad ( df ) df = número de columnas – 1 Requisitos Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Usos comunes Comparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles. ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 250 estudiantes universitarios y a 300 estudiantes universitarias seleccionados al azar por su tipo de vivienda: residencia universitaria, apartamento, con los padres, otra. Los resultados se muestran en la . ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Distribución del tipo de vivienda para los hombres y mujeres universitarios Dormitorio Apartamento Con los padres Otra Hombres 72 84 49 45 Mujeres 91 86 88 35 H 0 : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios es igual que la de las estudiantes universitarias. H a : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios no es igual que la de las estudiantes universitarias. Grados de libertad ( df ): df = número de columnas – 1 = 4 – 1 = 3 Distribución de la prueba: χ 3 2 Calcule el estadístico de prueba: χ c 2 = 10,129 El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con tres grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 7,815. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ 2 de 10,129. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H 0 . Esto significa que las distribuciones no son iguales. Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que las distribuciones de los tipos de vivienda de los estudiantes universitarios hombres y mujeres no son iguales. Observe que la conclusión es solo que las distribuciones no son iguales. No podemos utilizar la prueba de homogeneidad para obtener conclusiones sobre sus diferencias. Ejercicio ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 100 familias y a 200 solteros seleccionados al azar qué tipo de automóvil conducen: deportivo, sedán, utilitario, camioneta, van/suv. Los resultados se muestran en la . ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Pruebe con un nivel de significación de 0,05. Deporte Sedán Utilitario Camioneta Van/suv Familia 5 15 35 17 28 Sencillo 45 65 37 46 7 Con un valor p de casi cero, rechazamos la hipótesis nula. Los datos muestran que la distribución de los automóviles no es la misma para las familias que para los solteros. Ejercicio Las escuelas Ivy League reciben muchas solicitudes, pero solo algunas pueden ser aceptadas. En las escuelas que aparecen en la se aceptan dos tipos de solicitudes: regulares y de decisión anticipada. Tipo de solicitud aceptada Brown Columbia Cornell Dartmouth Penn Yale Regular 2.115 1.792 5.306 1.734 2.685 1.245 Decisión anticipada 577 627 1.228 444 1.195 761 Queremos saber si el número de solicitudes regulares aceptadas sigue la misma distribución que el número de solicitudes anticipadas aceptadas. Indique las hipótesis nula y alternativa, los grados de libertad y el estadístico de prueba, dibuje el gráfico de la distribución χ 2 y muestre el valor crítico y el valor calculado del estadístico de prueba, y saque una conclusión sobre la prueba de homogeneidad. H 0 : La distribución de las solicitudes regulares aceptadas es la misma que la de las solicitudes anticipadas aceptadas. H a : La distribución de las solicitudes regulares aceptadas no es la misma que la de las solicitudes anticipadas aceptadas. df = 5 χ 2 estadístico de prueba = 430,06 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 3 ENTER 3 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 430,06 y el valor p = 9,80E-91. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . Referencias Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013). “Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco. Revisión de la fórmula ∑ i ⋅ j ( O – E ) 2 E Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos df = ( i −1)( j −1) Grados de libertad Una maestra de Matemáticas quiere ver si dos de sus clases tienen la misma distribución de resultados en los exámenes. ¿Qué prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa para el ? Un investigador de mercado quiere ver si dos tiendas diferentes tienen la misma distribución de ventas a lo largo del año. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad Una meteoróloga quiere saber si el este y el oeste de Australia tienen la misma distribución de tormentas. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? ¿Qué condición debe cumplirse para utilizar la prueba de homogeneidad? Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la . 20–30 30–40 40–50 50–60 Consulta privada 16 40 38 6 Hospital 8 44 59 39 Indique las hipótesis nula y alternativa. df = _______ 3 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Un psicólogo está interesado en comprobar si existe una diferencia en la distribución de los tipos de personalidad de los estudiantes de Negocios y de Ciencias Sociales. Los resultados del estudio se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Abierto Meticuloso Extrovertido Agradable Neurótico Negocios 41 52 46 61 58 Ciencias Sociales 72 75 63 80 65 H 0 : La distribución de los tipos de personalidad es la misma para ambas especialidades. H a : La distribución de los tipos de personalidad no es la misma para ambas especialidades. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 3,01 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de los tipos de personalidad es diferente para las especialidades de Negocios y Ciencias Sociales. ¿Los hombres y las mujeres seleccionan desayunos diferentes? Los desayunos pedidos por hombres y mujeres seleccionados al azar en un lugar popular de desayunos se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. Tostadas francesas Panqueques Waffles Tortillas Hombres 47 35 28 53 Mujeres 65 59 55 60 Un pescador está interesado en saber si la distribución de los peces capturados en el lago Green Valley es la misma que la de los peces capturados en el lago Echo. De los 191 peces capturados al azar en el lago Green Valley, 105 eran truchas arco iris, 27 otras truchas, 35 lubinas y 24 bagres. De los 293 peces capturados al azar en el lago Echo, 115 eran truchas arco iris, 58 otras truchas, 67 lubinas y 53 bagres. Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. H 0 : La distribución de los peces capturados es igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. H a : La distribución de los peces capturados no igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. 3 chi-cuadrado con df = 3 11,75 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Hay pruebas para concluir que la distribución de los peces capturados es diferente en el lago Green Valley y en el lago Echo En 2007, EE. UU. contaba con 1,5 millones de estudiantes educados en casa, según el Centro Nacional de Estadísticas Educativas de EE. UU. En la se puede ver que los padres deciden educar a sus hijos en casa por diferentes razones, y algunas razones son clasificadas por los padres como más importantes que otras. Según los resultados de la encuesta que se muestran en la tabla, ¿la distribución de las razones aplicables es la misma que la distribución de la razón más importante? Proporcione su evaluación con un nivel de significación del 5 %. ¿Esperaba el resultado que ha obtenido? Razones para educar en casa Razón aplicable (en miles de encuestados) Razón más importante (en miles de encuestados) Total de la fila Preocupación por el ambiente de otras escuelas 1.321 309 1.630 Insatisfacción con la enseñanza académica en otras escuelas 1.096 258 1.354 Proporcionar instrucción religiosa o moral 1.257 540 1.797 El niño tiene necesidades especiales, aparte de las físicas o mentales 315 55 370 Enfoque no tradicional de la educación de los niños 984 99 1.083 Otras razones (p. ej., finanzas, viajes, tiempo en familia, etc.) 485 216 701 Total de la columna 5.458 1.477 6.935 Al examinar el consumo de energía, a menudo nos interesa detectar las tendencias a lo largo del tiempo y su correlación entre los distintos países. La información de la muestra el uso promedio de energía (en unidades de kg de equivalente de petróleo per cápita) en EE. UU. y los países conjuntos de la Unión Europea (UE) para el periodo de seis años de 2005 a 2010. ¿Los valores de uso de energía en estas dos áreas provienen de la misma distribución? Haga el análisis al nivel de significación del 5 %. Año Unión Europea Estados Unidos Total de la fila 2010 3.413 7.164 10.557 2009 3.302 7.057 10.359 2008 3.505 7.488 10.993 2007 3.537 7.758 11.295 2006 3.595 7.697 11.292 2005 3.613 7.847 11.460 Total de la columna 20.965 45.011 65.976 H 0 : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos es igual que en Europa entre 2005 y 2010. H a : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos no es igual que en Europa entre 2005 y 2010. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 2,7434 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que los valores medios de uso de energía en EE. UU. y la UE no proceden de distribuciones diferentes para el periodo de 2005 a 2010. El Instituto de Seguros para la Seguridad en las Carreteras recopila cada año información sobre la seguridad de todo tipo de automóviles y publica un informe de los Mejores Selecciones de Seguridad entre todos los automóviles, marcas y modelos. La presenta el número de Mejores Selecciones de Seguridad en seis categorías de automóviles para los años 2009 y 2013. Analice los datos de la tabla para concluir si la distribución de los automóviles que obtuvieron el premio de seguridad de Mejores Selecciones de Seguridad se ha mantenido igual entre 2009 y 2013. Derive sus resultados al nivel de significación del 5 %. Año \ Tipo de automóvil Pequeño Tamaño medio Grande SUV pequeña Vehículo utilitario deportivo mediano SUV grande Total de la fila 2009 12 22 10 10 27 6 87 2013 31 30 19 11 29 4 124 Total de la columna 43 52 29 21 56 10 211 Prueba de homogeneidad prueba utilizada para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Los grados de libertad que se utilizan equivalen al (número de columnas – 1).

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Comparación de las pruebas chi-cuadrado Anteriormente el estadístico de prueba χ 2 se utilizó en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen de qué prueba χ 2 es la adecuada para utilizar en diferentes circunstancias. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : La población se ajusta a la distribución dada. H a : La población no se ajusta a la distribución dada. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos variables (factores) son independientes. H a : Las dos variables (factores) son dependientes. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H a : Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes. Repaso del capítulo La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida. ¿Qué prueba se usa para decidir si una distribución observada es la misma que una distribución esperada? una prueba de bondad de ajuste ¿Cuál es la hipótesis nula para el tipo de prueba de ? ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos factores tienen una relación? una prueba de independencia ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos poblaciones tienen la misma distribución? ¿En qué se parecen las pruebas de independencia a las pruebas de homogeneidad? Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: tanto las pruebas de independencia como las de homogeneidad calculan el estadístico de prueba de la misma manera ∑ ( i j ) ( O – E ) 2 E . Además, todos los valores deben ser mayores o iguales a cinco. ¿En qué se diferencian las pruebas de independencia de las pruebas de homogeneidad? Tarea para la casa ¿Existe una diferencia entre la distribución de los estudiantes de Estadística de colegios comunitarios y la distribución de los estudiantes de Estadística de universidades en cuanto a la tecnología que utilizan en sus tareas para la casa? De algunos estudiantes de colegios universitarios comunitarios seleccionados al azar, 43 utilizaron una computadora, 102 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 65 una tabla de libro de texto. De algunos estudiantes de universidades seleccionados al azar, 28 utilizaron una computadora, 33 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 40 una tabla de libro de texto. Haga una prueba de hipótesis adecuada utilizando un nivel de significación de 0,05. H 0 : La distribución del uso de la tecnología es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios y para los estudiantes universitarios. H a : La distribución del uso de la tecnología no es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios que para los estudiantes universitarios. 2 chi-cuadrado con df = 2 7,05 valor p = 0,0294 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del uso de la tecnología para las tareas en casa de Estadística no es la misma para los estudiantes de Estadística en colegios universitarios comunitarios y en universidades. Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. Si df = 2, la distribución chi-cuadrado tiene una forma que recuerda a la exponencial. Resúmalo todo Explique por qué una prueba de bondad de ajuste y una prueba de independencia suelen ser pruebas de cola derecha. Si hiciera una prueba de cola izquierda, ¿qué estaría probando? El estadístico de prueba siempre es positivo y si los valores esperados y observados no están próximos, el estadístico de prueba es grande y se rechazará la hipótesis nula. Comprobación para verificar si los datos se ajustan a la distribución “demasiado bien” o son demasiado perfectos.

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Introducción El ANOVA de una vía se utiliza para medir la información de varios grupos. Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos. Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado "análisis de la varianza" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F , utilizada para el ANOVA de una vía y la prueba de diferencias entre dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora.

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Prueba de dos varianzas Este capítulo introduce una nueva función de densidad de probabilidad: la distribución F. Se utiliza para muchas aplicaciones, incluso el ANOVA y para probar la igualdad entre varias medias. Comenzamos con la distribución F y la prueba de la hipótesis de las diferencias en las varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación en la tapa y del recipiente debería ser aproximadamente la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas. En finanzas, la varianza es una medida de riesgo; por ende, sería interesante comprobar la hipótesis de que dos carteras de inversión diferentes tienen la misma varianza: la volatilidad. Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que ocurra lo siguiente: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras tienen una distribución aproximadamente normal. Las dos poblaciones son independientes entre sí. A diferencia de la mayoría de las pruebas de hipótesis en este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, o se aproximan, la prueba puede dar un resultado sesgado para el estadístico de prueba. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que σ 1 2 y σ 2 2 son las varianzas poblacionales desconocidas y s 1 2 y s 2 2 sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n 1 y n 2 . Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F : F = [ s 1 2 σ 1 2 ] [ s 2 2 σ 2 2 ] F tiene la distribución F ~ F ( n 1 – 1, n 2 – 1) donde n 1 – 1 son los grados de libertad del numerador y n 2 – 1 son los grados de libertad del denominador. Si la hipótesis nula es σ 1 2 = σ 2 2 , entonces el cociente F , el estadístico de prueba, se convierte en F c = [ s 1 2 σ 1 2 ] [ s 2 2 σ 2 2 ] = s 1 2 s 2 2 H 0 : σ 1 2 σ 2 2 = δ 0 H a : σ 1 2 σ 2 2 ≠ δ 0 si δ 0 = 1, luego H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 2 El estadístico de prueba es: F c = S 1 2 S 2 2 Las distintas formas de las hipótesis probadas son: Prueba de dos colas Prueba de una cola Prueba de una cola H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H 0 : σ 1 2 ≤ σ 2 2 H 0 : σ 1 2 ≥ σ 2 2 H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2 H 1 : σ 1 2 > σ 2 2 H 1 : σ 1 2 < σ 2 2 Una forma más general de las hipótesis nula y alternativa para una prueba de dos colas sería: H 0 : σ 1 2 σ 2 2 = δ 0 H a : σ 1 2 σ 2 2 ≠ δ 0 Donde si δ 0 = 1 es una simple prueba de la hipótesis de que las dos varianzas son iguales. Esta forma de la hipótesis tiene la ventaja de permitir pruebas que van más allá de las simples diferencias y puede dar cabida a pruebas de diferencias específicas, como hicimos con las diferencias de medias y las diferencias de proporciones. Esta forma de la hipótesis también muestra la relación entre la distribución F y la χ 2 : la F es un cociente de dos distribuciones de chi-cuadrado, que vimos en el capítulo anterior. Esto sirve para determinar los grados de libertad de la distribución F resultante. Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces s 1 2 y s 2 2 están cerca en valor y el estadístico de prueba, F c = s 1 2 s 2 2 está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes, s 1 2 y s 2 2 también suelen ser muy diferentes. Al elegir s 1 2 ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente s 1 2 s 2 2 sea mayor que uno. Si s 1 2 y s 2 2 están muy separados, entonces F c = s 1 2 s 2 2 es un número grande. Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. En esencia, nos preguntamos si el valor calculado del estadístico de prueba F es significativamente diferente de uno. Para determinar los puntos críticos tenemos que calcular F α , df1 , df2 . Consulte la tabla F en el Apéndice A. Esta tabla F tiene valores para varios niveles de significación de 0,1 a 0,001, designados como "p" en la primera columna. Elija el nivel de significación deseado y siga hacia abajo y a través para encontrar el valor crítico en la intersección de los dos grados de libertad diferentes. La distribución F tiene dos grados de libertad diferentes, uno asociado al numerador, df1 , y otro asociado al denominador, df2 . Para complicar las cosas, la distribución F no es simétrica y cambia el grado de asimetría a medida que cambian los grados de libertad. Los grados de libertad en el numerador son n 1 -1, donde n 1 es el tamaño de la muestra del grupo 1, y los grados de libertad en el denominador son n 2 -1, donde n 2 es el tamaño de la muestra del grupo 2. F α , df1 , df2 dará el valor crítico en el extremo superior de la distribución F. Para calcular el valor crítico para el extremo inferior de la distribución, invierta los grados de libertad y divida el valor F de la tabla entre el número uno. Valor crítico superior de la cola: F α , df1 , df2 Valor crítico inferior de la cola: 1/F α , df2 , df1 Cuando el valor calculado de F está entre los valores críticos, no en la cola, no podemos rechazar la hipótesis nula de que las dos varianzas proceden de una población con la misma varianza. Si el valor F calculado está en cualquiera de las dos colas, no podemos aceptar la hipótesis nula, tal y como hemos hecho en todas las pruebas de hipótesis anteriores. Una forma alternativa de calcular los valores críticos de la distribución F facilita el uso de la tabla F. Observamos en la tabla F que todos los valores de F son mayores que uno, por lo que el valor crítico de F para la cola de la izquierda siempre será menor que uno, porque para calcular el valor crítico en la cola de la izquierda dividimos un valor de F entre el número uno, como se muestra arriba. También observamos que si la varianza de la muestra en el numerador del estadístico de prueba es mayor que la varianza de la muestra en el denominador, el valor F resultante será mayor que uno. El método abreviado para esta prueba consiste en asegurarse de que la mayor de las dos varianzas de la muestra se coloque en el numerador para calcular el estadístico de prueba. Esto significará que solo habrá que calcular el valor crítico de la cola derecha en la tabla F. Dos instructores de institutos universitarios están interesados en saber si existe alguna variación en la forma de calificar los exámenes de Matemáticas. Cada uno de ellos califica el mismo conjunto de 10 exámenes. Las notas del primer instructor tienen una varianza de 52,3. Las notas del segundo instructor tienen una varianza de 89,9. Pruebe la afirmación de que la varianza del primer instructor es menor (en la mayoría de los institutos universitarios es deseable que las varianzas de las notas de los exámenes sean casi iguales entre los instructores). El nivel de significación es del 10 %. Supongamos que 1 y 2 son los subíndices que indican el primer y el segundo instructor, respectivamente. n 1 = n 2 = 10. H 0 : σ 1 2 ≥ σ 2 2 y H a : σ 1 2 < σ 2 2 Calcule el estadístico de prueba: Según la hipótesis nula ( σ 1 2 ≥ σ 2 2 ) , el estadístico F es: F c = s 2 2 s 1 2 = 89,9 52,3 = 1,719 Valor crítico de la prueba: F 9, 9 = 5,35 donde n 1 – 1 = 9 y n 2 – 1 = 9. Tome una decisión: Dado que el valor F calculado no está en la cola, no podemos rechazar H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 10 %, a partir de los datos, no hay pruebas suficientes para concluir que la varianza de las notas del primer instructor sea menor. Ejercicio La Sociedad Coral de Nueva York divide a los cantantes hombres en cuatro categorías, desde las voces más altas hasta las más bajas: tenor 1, tenor 2, bajo 1, bajo 2. En la tabla están las estaturas de los hombres de los grupos tenor 1 y bajo 2. Uno sospecha que los hombres más altos tendrán voces más graves, y que la varianza de la altura puede subir también con las voces más graves. ¿Tenemos pruebas fehacientes de que la varianza de las alturas de los cantantes en cada uno de estos dos grupos (tenor 1 y bajo 2) es diferente? Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 69 72 67 72 68 67 72 75 70 74 67 70 71 67 65 70 64 70 66 75 72 66 69 76 74 70 68 72 74 72 68 75 71 71 72 64 68 74 66 74 73 70 75 68 72 66 72 Los histogramas no son tan normales como uno quisiera. Dibújelos para comprobarlo. Sin embargo, seguimos con la prueba en cualquier caso. Subíndices: T1 = tenor 1 y B2 = bajo 2 Las desviaciones típicas de las muestras son s T 1 = 3,3302 y s B 2 = 2,7208. Las hipótesis son: H 0 : σ T 1 2 = σ B 2 2 y H 0 : σ T 1 2 ≠ σ B 2 2 (prueba de dos colas) La estadística F es 1,4894 con 20 y 25 grados de libertad. El valor p es de 0,3430. Si suponemos que alfa es 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula. Los datos no demuestran que las alturas de los cantantes tenor 1 y bajo 2 tengan varianzas diferentes (a pesar de que hay una diferencia significativa en las alturas medias de unas 2,5 pulgadas). Referencias “MLB Vs. Division Standings – 2012” (MLB versus Clasificación de la División-2012) Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012/type/vs-division/order/true. Repaso del capítulo La prueba F para la igualdad de dos varianzas se basa en gran medida en el supuesto de distribuciones normales. La prueba no es fiable si no se cumple este supuesto. Si ambas distribuciones son normales, el cociente de las dos varianzas muestrales se distribuye como un estadístico F , con grados de libertad en el numerador y el denominador que son uno menos que los tamaños de las muestras de los dos grupos correspondientes. Una prueba de hipótesis de prueba de dos varianzas determina si dos varianzas son iguales. La distribución para la prueba de hipótesis es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. Las dos poblaciones son independientes entre sí. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Hay dos supuestos que deben ser ciertos para hacer una prueba F de dos varianzas. Nombre un supuesto que deba ser cierto. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. ¿Cuál es el otro supuesto que debe ser verdadero? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Dos compañeros de trabajo se desplazan desde el mismo edificio. Les interesa saber si hay alguna variación en el tiempo que tardan en ir al trabajo conduciendo un vehículo. Cada uno de ellos registra sus tiempos durante 20 trayectos. Los tiempos del primer trabajador tienen una varianza de 12,1. Los tiempos del segundo trabajador tienen una varianza de 16,9. El primer trabajador cree que es más coherente con sus tiempos de desplazamiento. Pruebe la afirmación al nivel del 10 %. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 1 = σ 2 H a : σ 1 < σ 2 o H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 < σ 2 2 ¿Cuál es s 1 en este problema? ¿Cuál es s 2 en este problema? 4,11 ¿Cuál es n ? ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7159 ¿Cuál es el valor crítico? ¿La afirmación es correcta? No, al nivel de significación del 10 %, no podemos rechazar la hipótesis nula y afirmar que los datos no muestran que la variación de los tiempos de conducción del primer trabajador sea menor que la variación de los tiempos de conducción del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Dos estudiantes están interesados en saber si hay o no variación en los resultados de sus exámenes en la clase de Matemáticas. En total son 15 los exámenes de Matemáticas que han presentado hasta ahora. Las notas del primer estudiante tienen una desviación típica de 38,1. Las notas del segundo estudiante tienen una desviación típica de 22,5. El segundo estudiante cree que sus resultados son más coherentes. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 2,8674 ¿Cuál es el valor crítico? Al nivel de significación del 5 %, ¿rechazamos la hipótesis nula? No se puede aceptar la hipótesis nula Hay pruebas suficientes para decir que la varianza de las notas del primer estudiante es mayor que la del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Dos ciclistas comparan las varianzas de sus ritmos globales en subidas. Cada ciclista registra su velocidad al subir 35 colinas. El primer ciclista tiene una varianza de 23,8 y el segundo de 32,1. Los ciclistas quieren ver si sus varianzas son iguales o diferentes. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7414 Al nivel de significación del 5 %, ¿qué podemos decir sobre las varianzas de los ciclistas? Tarea para la casa Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta a sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta a las suyas con la fórmula B y Javier lo hace con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo a cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 Determine si la varianza en el aumento de peso es estadísticamente igual entre las ratas de Javier y las de Linda. Pruebe con un nivel de significación del 10 %. H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( num ) = 4; df ( denom ) = 4 F 4, 4 3,00 Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados son los siguientes. Clase trabajadora Profesionales (ingresos medios) Profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Determine si la varianza del millaje conducido es estadísticamente igual entre los grupos de clase trabajadora y los de profesionales (ingresos medios). Utilice un nivel de significación del 5 %. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La siguiente tabla muestra el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. Decoración del hogar Noticias Salud Computación 172 87 82 104 286 94 153 136 163 123 87 98 205 106 103 207 197 101 96 146 ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen la misma varianza de longitud? ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen diferentes varianzas de longitud? Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: Las revistas de decoración del hogar y las de noticias tienen diferentes varianzas. ¿La varianza de la cantidad de dinero, en dólares, que los compradores gastan los sábados en el centro comercial es igual a la que gastan los domingos en el centro comercial? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Sábado Domingo Sábado Domingo 75 44 62 137 18 58 0 82 150 61 124 39 94 19 50 127 62 99 31 141 73 60 118 73 89 ¿Las varianzas de los ingresos en la costa este y en la costa oeste son iguales? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Los ingresos se indican en miles de dólares. Supongamos que ambas distribuciones son normales. Utilice un nivel de significación de 0,05. Este Oeste 38 71 47 126 30 42 82 51 75 44 52 90 115 88 67 H 0 : = σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( n ) = 7, df ( d ) = 6 F 7,6 0,8117 0,7825 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor calculado del estadístico de prueba no se encuentra en la cola de la distribución. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. A treinta hombres universitarios se les enseñó un método de golpeteo con los dedos. Se les asignó aleatoriamente a tres grupos de diez, y cada uno recibió una de las tres dosis de cafeína: 0 mg, 100 mg, 200 mg. Una taza de café puede contener 100 mg y dos tazas de café, 200 mg. Dos horas después de ingerir la cafeína, se registró el ritmo de golpeteo de los dedos por minuto de los hombres. El experimento era de doble ciego, por lo que ni los que anotaban ni los estudiantes sabían en qué grupo estaban. ¿La cafeína afecta a la velocidad de golpeteo? y, si es así, ¿cómo? Aquí están los datos: 0 mg 100 mg 200 mg 0 mg 100 mg 200 mg 242 248 246 245 246 248 244 245 250 248 247 252 247 248 248 248 250 250 242 247 246 244 246 248 246 243 245 242 244 250 El rey Manuel I Komnenus gobernó el Imperio Bizantino desde Constantinopla (Estambul) desde el año 1145 hasta el año 1180 d.C. El imperio fue muy poderoso durante su reinado, pero decayó considerablemente después. Las monedas acuñadas durante su época se encontraron en Chipre, una isla del mar Mediterráneo oriental. Nueve monedas eran de su primera acuñación, siete de la segunda, cuatro de la tercera y siete de una cuarta. Abarcaban la mayor parte de su reinado. Tenemos datos sobre el contenido de plata de las monedas: Primera acuñación Segunda acuñación Tercera acuñación Cuarta acuñación 5,9 6,9 4,9 5,3 6,8 9,0 5,5 5,6 6,4 6,6 4,6 5,5 7,0 8,1 4,5 5,1 6,6 9,3 6,2 7,7 9,2 5,8 7,2 8,6 5,8 6,9 6,2 ¿El contenido de plata de las monedas cambió a lo largo del reinado de Manuel? Aquí están las medias y las varianzas de cada acuñación. Los datos están desequilibrados. Nombre Segunda Tercera Cuarta Media 6,7444 8,2429 4,875 5,6143 Varianza 0,2953 1,2095 0,2025 0,1314 Se muestra un gráfico de bandas del contenido de plata de las monedas: Aunque hay diferencias en la dispersión, no es descabellado utilizar técnicas del ANOVA. Aquí está la tabla de ANOVA completa: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 37,748 4 – 1 = 3 12,5825 26,272 Error (dentro) 11,015 27 – 4 = 23 0,4789 Total 48,763 27 – 1 = 26 P ( F > 26,272) = 0; No se puede aceptar la hipótesis nula para ningún alfa. Hay pruebas suficientes para concluir que el contenido medio de plata entre las cuatro acuñaciones es diferente. Del gráfico de bandas se desprende que las primeras y segundas acuñaciones tenían mayor contenido de plata que las terceras y cuartas. La Liga Americana y la Liga Nacional del Béisbol de Grandes Ligas (Major League Baseball, MLB) están segmentadas en tres divisiones cada una: Este, Centro y Oeste. En muchos años los aficionados hablan de que algunas divisiones son más fuertes (tienen mejores equipos) que otras. Esto puede tener consecuencias para la postemporada. Por ejemplo, en 2012 Tampa Bay ganó 90 partidos y no jugó la postemporada, mientras que Detroit solo ganó 88 y sí jugó la postemporada. Puede que haya sido una rareza, pero ¿hay pruebas fehacientes de que en la temporada 2012 las divisiones de la Liga Americana fueran significativamente diferentes en cuanto a registros generales? Use los siguientes datos para comprobar si el número medio de victorias por equipo en las tres divisiones de la Liga Americana es igual o no. Tenga en cuenta que los datos no están equilibrados, ya que dos divisiones tenían cinco equipos, mientras que una tenía cuatro solamente. División Equipo Victorias Este NY Yankees 95 Este Baltimore 93 Este Tampa Bay 90 Este Toronto 73 Este Boston 69 División Equipo Victorias Centro Detroit 88 Centro Chicago Sox 85 Centro Kansas City 72 Centro Cleveland 68 Centro Minnesota 66 División Equipo Victorias Oeste Oakland 94 Oeste Texas 93 Oeste LA Angels 89 Oeste Seattle 75 Se muestra un gráfico de bandas con el número de victorias de los 14 equipos de la Liga Americana para la temporada 2012. Aunque la dispersión parece similar, puede haber alguna duda sobre la normalidad de los datos, dadas las grandes diferencias en el medio cerca de la marca de 0,500 de 82 partidos (los equipos juegan 162 partidos cada temporada en el MLB). Sin embargo, el ANOVA de una vía es robusto. Aquí está la tabla de ANOVA para los datos: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 344,16 3 – 1 = 2 172,08 Error (dentro) 1.219,55 14 – 3 = 11 110,87 1,5521 Total 1.563,71 14 – 1 = 13 P ( F > 1,5521) = 0,2548. Ya que el valor p es tan grande, no hay una buena evidencia contra la hipótesis nula de igualdad de medias. No podemos rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, para 2012, no hay ninguna buena evidencia de una diferencia significativa en el número medio de victorias entre las divisiones de la Liga Americana.

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