Medidas de la ubicación de los datos Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q 1 , es igual que el percentil 25 , y el tercer cuartil, Q 3 , es igual que el percentil 75 . La mediana, M , se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50 . Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación. Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75 . Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220. Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo. La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos. 1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1 Ordenado de menor a mayor: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos. 6,8 + 7,2 = 14 14 ÷ 2 = 7 La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete. Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q 1 , es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q 3 , es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos. 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8 El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil . Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos. La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve. El tercer cuartil , Q 3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo. El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil ( Q 3 ) y el primer cuartil ( Q 1 ). IQR = Q 3 – Q 1 El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos . Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)( IQR ) por debajo del primer cuartil o más de (1,5)( IQR ) por encima del tercer cuartil . Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda. NOTA Un valor atípico potencial es un punto de datos que es significativamente diferente de los otros puntos de datos. Estos puntos de datos especiales pueden ser errores o algún tipo de anormalidad o pueden ser una clave para entender los datos. Para los siguientes 13 precios de bienes raíces, calcule el IQR y determine si algún precio es un posible valor atípico. Los precios están en dólares. 389.950; 230.500; 158.000; 479.000; 639.000; 114.950; 5.500.000; 387.000; 659.000; 529.000; 575.000; 488.800; 1.095.000 Ordene los datos de menor a mayor. 114.950; 158.000; 230.500; 387.000; 389.950; 479.000; 488.800; 529.000; 575.000; 639.000; 659.000; 1.095.000; 5.500.000 M = 488.800 Q 1 = 230.500 + 387.000 2 = 308.750 Q 3 = 639.000 + 659.000 2 = 649.000 IQR = 649.000 – 308.750 = 340.250 (1,5)( IQR ) = (1,5)(340.250) = 510.375 Q 1 – (1,5)( IQR ) = 308.750 – 510.375 = –201.625 Q 3 + (1,5)( IQR ) = 649.000 + 510.375 = 1.159.375 Ningún precio de la vivienda es inferior a –201.625. Sin embargo, 5.500.000 son más que 1.159.375. Por lo tanto, 5.500.000 es un posible valor atípico . Para los dos conjuntos de datos del ejemplo de las calificaciones de los exámenes , halle lo siguiente: El rango intercuartil. Compare los dos rangos intercuartiles. Cualquier valor atípico en cualquier conjunto. El resumen de cinco números para las clases diurnas y nocturnas es Mínimo Q 1 Mediana Q 3 Máximo Día 32 56 74,5 82,5 99 Noche 25,5 78 81 89 98 El IQR para el grupo de día es Q 3 – Q 1 = 82,5 – 56 = 26,5 El IQR para el grupo nocturno es Q 3 – Q 1 = 89 – 78 = 11 El rango intercuartil (la dispersión o variabilidad) para la clase diurna es mayor que el IQR de la clase nocturna. Esto sugiere que se hallarán más variaciones en los resultados de las pruebas de la clase diurna. Los valores atípicos de la clase diurna se encuentran utilizando la regla del IQR por 1,5. Así que, Q 1 – IQR (1,5) = 56 – 26,5(1,5) = 16,25 Q 3 + IQR (1,5) = 82,5 + 26,5(1,5) = 122,25 Dado que los valores mínimos y máximos de la clase diurna son superiores a 16,25 e inferiores a 122,25, no hay valores atípicos. Los valores atípicos de la clase nocturna se calculan como: Q 1 – IQR (1,5) = 78 – 11(1,5) = 61,5 Q 3 + IQR(1,5) = 89 + 11(1,5) = 105,5 Para esta clase, cualquier calificación de la prueba inferior a 61,5 es un valor atípico. Por lo tanto, las calificaciones de 45 y 25,5 son valores atípicos. Dado que ninguna calificación de la prueba es superior a 105,5, no hay ningún valor atípico en el extremo superior. Se les preguntó a cincuenta estudiantes de Estadística cuánto dormían por noche de escuela (redondeado a la hora más cercana). Los resultados fueron: Cantidad de sueño por noche escolar (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 4 2 0,04 0,04 5 5 0,10 0,14 6 7 0,14 0,28 7 12 0,24 0,52 8 14 0,28 0,80 9 7 0,14 0,94 10 3 0,06 1,00 Calcule el percentil 28 . Fíjese en el 0,28 de la columna “frecuencia relativa acumulada”. El veintiocho por ciento de 50 valores de datos son 14 valores. Hay 14 valores inferiores al percentil 28 . Incluyen los dos 4, los cinco 5 y los siete 6. El percentil 28 está entre los seis últimos y los siete primeros. El percentil 28 es 6,5. Calcule la mediana . Observe de nuevo la columna de “frecuencia relativa acumulada” y halle 0,52. La mediana es el percentil 50 o el segundo cuartil. El 50 % de 50 es 25. Hay 25 valores inferiores a la mediana. Incluyen los dos 4, los cinco 5, los siete 6 y once de los 7. La mediana o el percentil 50 está entre los valores 25 , o siete, y 26 , o siete. La mediana es siete. Calcule el tercer cuartil . El tercer cuartil es lo mismo que el percentil 75 . Puede dar esta respuesta “al ojo”. Si observa la columna de “frecuencia relativa acumulada”, verá 0,52 y 0,80. Cuando tiene todos los cuatros, cincos, seises y sietes tiene el 52 % de los datos. Cuando incluye todos los 8, tiene el 80 % de los datos. El percentil 75 , entonces, debe ser un ocho . Otra forma de ver el problema es hallar el 75 % de 50, que es 37,5, y redondear a 38. El tercer cuartil, Q 3 , es el valor 38 , que es un ocho. Puede comprobar esta respuesta contando los valores (hay 37 valores por debajo del tercer cuartil y 12 valores por encima). Ejercicio Se les ha preguntado a cuarenta conductores de autobús cuántas horas dedican cada día a recorrer sus rutas (redondeadas a la hora más cercana). Calcule el percentil 65 . Cantidad de tiempo invertido en la ruta (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2 12 0,30 0,30 3 14 0,35 0,65 4 10 0,25 0,90 5 4 0,10 1,00 El percentil 65 está entre los tres últimos y los cuatro primeros. El percentil 65 es de 3,5. Mediante la : Calcule el percentil 80 . Calcule el percentil 90 . Calcule el primer cuartil. ¿Cuál es otro nombre para el primer cuartil? Al usar los datos de la tabla de frecuencias, tenemos: El percentil 80 está entre los ocho últimos y los nueve primeros de la tabla (entre los valores 40 y 41 ). Por lo tanto, tenemos que tomar la media de los valores 40 y 41 . El percentil 80 = 8 + 9 2 = 8,5 El percentil 90 será el valor del dato 45 (la ubicación es 0,90(50) = 45) y el valor del dato 45 es nueve. El Q 1 es también el percentil 25 . El cálculo de la ubicación del percentil 25 es: P 25 = 0,25(50) = 12,5 ≈ 13 el valor del dato 13 . Así, el percentil 25 es seis. Una fórmula para hallar el percentil k Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas. k = el percentil k . Puede o no formar parte de los datos. i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos) n = el número total de puntos de datos u observaciones Ordene los datos de menor a mayor. Calcule i = k 100 ( n + 1 ) Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos. Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 70 . Calcule el percentil 83 . k = 70 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 70 100 )(29 + 1) = 21. Veintiuno es un número entero, y el valor de los datos en la posición 21 del conjunto de datos ordenados es 64. El percentil 70 es 64 años. k = percentil 83 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 83 100 )(29 + 1) = 24,9, que NO es un número entero. Redondee a 24 hacia abajo y a 25 hacia arriba. La edad en el puesto 24 es de 71 años y la edad en el puesto 25 es de 72 años. Promedio 71 y 72. El percentil 83 es de 71,5 años. Ejercicio Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 20 y el percentil 55 . k = 20. Índice = i = k 100 ( n + 1 ) = 20 100 (29 + 1) = 6. La edad en la sexta posición es de 27 años. El percentil 20 es de 27 años. k = 55. Índice = i = k 100 ( n + 1 ) = 55 100 (29 + 1) = 16,5. Redondee hacia abajo a 16 y hacia arriba a 17. La edad en el puesto 16 es de 52 años y la edad en el puesto 17 es de 55 años. El promedio de 52 y 55 es 53,5. El percentil 55 es de 53,5 años. Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos Ordene los datos de menor a mayor. x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil. y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil. n = el número total de datos. Calcule x + 0,5 y n (100). Luego, redondee al número entero más cercano. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 58. Calcule el percentil de 25. Contando desde el final de la lista hay 18 valores de datos inferiores a 58. Hay un valor de 58. x = 18 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 18 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 63,80. 58 es el percentil 64 . Contando desde el final de la lista hay tres valores de datos inferiores a 25. Hay un valor de 25. x = 3 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 3 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 12,07. Veinticinco es el percentil 12 . Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15 . Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos. Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos. Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor. Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto. NOTA Al escribir la interpretación de un percentil en el contexto de los datos dados, la oración debe contener la siguiente información. información sobre el contexto de la situación considerada. el valor del dato (valor de la variable) que representa el percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por debajo del percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por encima del percentil. En un examen de Matemáticas cronometrado, el primer cuartil del tiempo que se tardó en terminar el examen fue de 35 minutos. Interprete el primer cuartil en el contexto de esta situación. El veinticinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o menos. El setenta y cinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o más. Un percentil bajo podría considerarse bueno, ya que es deseable terminar más rápido en un examen cronometrado (si tarda demasiado, es posible que no pueda terminar). En un examen de Matemáticas de 20 preguntas, el percentil 70 del número de respuestas correctas fue de 16. Interprete el percentil 70 en el contexto de esta situación. El setenta por ciento de los estudiantes respondió correctamente 16 o menos preguntas. El treinta por ciento de los estudiantes respondió correctamente 16 o más preguntas. Un percentil más alto podría considerarse bueno, ya que es deseable responder correctamente más preguntas. Ejercicio En una asignación escrita de 60 puntos, el percentil 80 del número de puntos obtenidos fue de 49. Interprete el percentil 80 en el contexto de esta situación. El 80 % de los estudiantes obtuvo 49 puntos o menos. El 20 % de los estudiantes obtuvo 49 o más puntos. Un percentil más alto es bueno porque obtener más puntos en una tarea es deseable. En un colegio comunitario se comprobó que el percentil 30 de unidades de crédito en las que se inscriben los estudiantes es de siete unidades. Interprete el percentil 30 en el contexto de esta situación. El treinta por ciento de los estudiantes están inscritos en siete o menos unidades de crédito. El setenta por ciento de los estudiantes están inscritos en siete o más unidades de crédito. En este ejemplo, no hay un juicio de valor "bueno" o "malo" asociado a un percentil más alto o más bajo. Los estudiantes acuden a los colegios comunitarios por razones y necesidades diversas y su carga lectiva varía según sus necesidades. La escuela intermedia Sharpe está solicitando una subvención que se utilizará para añadir equipos de acondicionamiento físico para el gimnasio. El director encuestó 15 estudiantes anónimos para determinar cuántos minutos al día dedican los estudiantes a hacer ejercicio. Se muestran los resultados de los 15 estudiantes anónimos. 0 minutos; 40 minutos; 60 minutos; 30 minutos; 60 minutos 10 minutos; 45 minutos; 30 minutos; 300 minutos; 90 minutos; 30 minutos; 120 minutos; 60 minutos; 0 minutos; 20 minutos Determine los cinco valores siguientes. Mín. = 0 Q 1 = 20 Med. = 40 Q 3 = 60 Máx. = 300 Si usted fuera el director, ¿se justificaría la compra de nuevos equipos de acondicionamiento físico? Dado que el 75 % de los estudiantes hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día, y que el IQR es de 40 minutos (60 – 20 = 40), sabemos que la mitad de los estudiantes encuestados hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Esto parece una cantidad razonable de tiempo de ejercicio, por lo que el director estaría justificado en la compra del nuevo equipamiento. Sin embargo, el director debe tener cuidado. El valor 300 parece ser un posible valor atípico. Q 3 + 1,5( IQR ) = 60 + (1,5)(40) = 120. El valor 300 es mayor que 120, por lo que es un posible valor atípico. Si lo eliminamos y calculamos los cinco valores, obtenemos los siguientes valores: Mín. = 0 Q 1 = 20 Q 3 = 60 Máx. = 120 Todavía tenemos un 75 % de los estudiantes que hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día y la mitad de los estudiantes que hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Sin embargo, 15 estudiantes es una muestra pequeña y el director debería encuestar más estudiantes para estar seguro de los resultados de su encuesta. Referencias Cauchon, Dennis, Paul Overberg. “Census data shows minorities now a majority of U.S. births”. USA Today, 2012. Disponible en línea en http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/story/2012-05-17/minority-birthscensus/55029100/1 (consultado el 3 de abril de 2013). Datos del Departamento de Comercio de Estados Unidos: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/ (consultado el 3 de abril de 2013). “1990 Census”. United States Department of Commerce: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/main/www/cen1990.html (consultado el 3 de abril de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de la Revista Time ; encuesta de Yankelovich Partners, Inc. Repaso del capítulo Los valores que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales se llaman percentiles. Los percentiles se utilizan para comparar e interpretar datos. Por ejemplo, una observación en el percentil 50 sería mayor que el 50 % de las demás observaciones del conjunto. Los cuartiles dividen los datos en cuartos. El primer cuartil ( Q 1 ) es el percentil 25, el segundo cuartil ( Q 2 o mediana) es el percentil 50 y el tercer cuartil ( Q 3 ) es el percentil 75. El rango intercuartil, o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos. El IQR se encuentra restando Q 1 de Q 3 , y puede ayudar a determinar los valores atípicos utilizando las dos expresiones siguientes. Q 3 + IQR (1,5) Q 1 – IQR (1,5) Revisión de la fórmula i = ( k 100 ) ( n + 1 ) donde i = la clasificación o posición de un valor de datos, k = el percentil k, n = número total de datos. Expresión para hallar el percentil de un valor de datos: ( x + 0,5 y n ) (100) donde x = el número de valores contando desde el final de la lista de datos hasta el valor de los datos para el que se quiere hallar el percentil, pero sin incluirlo, y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil, n = número total de datos Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 78. El percentil 40 es 37 años. El percentil 78 es 70 años. Se enumeran las 32 edades de los mejores actores ganadores de los Premios de la Academia (Oscar) en orden de menor a mayor. 18; 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 31; 33; 36; 37; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 37. Calcule el percentil de 72. Jesse ocupó el puesto 37 de su promoción de 180 estudiantes. ¿En qué percentil se encuentra Jesse? Jesse se graduó en el puesto 37 de una clase de 180 estudiantes. Hay 180 – 37 = 143 estudiantes clasificados por debajo de Jesse. Hay un rango de 37. x = 143 y y = 1 x + 0,5 y n (100) = 143 + 0,5 ( 1 ) 180 (100) = 79,72. El puesto 37 de Jesse le sitúa en el percentil 80 . Para los corredores en una carrera un tiempo bajo significa una carrera más rápida. Los ganadores de una carrera tienen los tiempos de carrera más cortos. ¿Es más deseable tener un tiempo de llegada con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 20 de los tiempos de carrera en una determinada carrera es de 5,2 minutos. Escriba una oración con la interpretación del percentil 20 en el contexto de la situación. Un ciclista en el percentil 90 de una carrera la terminó en 1 hora y 12 minutos. ¿Está entre los ciclistas más rápidos o más lentos de la carrera? Escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera una mayor velocidad significa una carrera más rápida. ¿Es más deseable tener una velocidad con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 40 de las velocidades en una carrera particular es de 7,5 millas por hora. Escriba una oración con la interpretación del percentil 40 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera es más deseable tener un percentil alto de velocidad. Un percentil alto significa una mayor velocidad, lo cual es más rápida. El 40 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o menos (más lento). El 60 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o más (más rápido). En un examen, ¿sería más deseable obtener una calificación con un percentil alto o bajo? Explique. Mina está esperando en la fila del Departamento de Vehículos Motorizados (Department of Motor Vehicles, DMV). Su tiempo de espera de 32 minutos está en el percentil 85 de los tiempos de espera. ¿Es eso bueno o malo? Escriba una oración con la interpretación del percentil 85 en el contexto de esta situación. Cuando se espera en la fila del DMV, el percentil 85 sería un tiempo de espera largo en comparación con las demás personas que esperan. El 85 % de las personas tuvieron tiempos de espera más cortos que Mina. En este contexto, Mina preferiría un tiempo de espera correspondiente a un percentil inferior. El 85 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o menos. El 15 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o más. En una encuesta en la que se recopilan datos sobre los salarios que ganan los recién graduados universitarios, Li descubrió que su sueldo estaba en el percentil 78 . ¿Li debe alegrarse o molestarse por este resultado? Explique. En un estudio en el que se recopilan datos sobre costos de reparación por daños sufridos por automóviles en un determinado tipo de pruebas de choque, un determinado modelo de automóvil sufrió daños por valor de 1.700 dólares y se situó en el percentil 90 . ¿El fabricante y el consumidor deben estar satisfechos o molestos por este resultado? Explique y escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de este problema. El fabricante y el consumidor estarían molestos. Este es un gran costo de reparación de daños en comparación con los otros automóviles de la muestra. INTERPRETACIÓN: El 90 % de los automóviles sometidos a pruebas de choque tuvieron costos de reparación de daños de 1.700 dólares o menos; solo el 10 % tuvo costos de reparación de daños de 1.700 dólares o más. La Universidad de California (UC) tiene dos criterios que se utilizan para establecer las normas de admisión de los estudiantes de primer año de educación superior en el sistema UC: Los GPA de los estudiantes y las calificaciones de los exámenes estandarizados (SAT y ACT) se introducen en una fórmula que calcula una calificación de “índice de admisión”. La calificación del índice de admisión se utiliza para establecer normas de elegibilidad destinadas a cumplir la meta de admitir el 12 % de los mejores estudiantes de escuela secundaria del estado. En este contexto, ¿qué percentil representa el 12 % superior? Los estudiantes cuyos GPA se sitúan en o sobre el percentil 96 de todos los estudiantes de su escuela secundaria son elegibles (denominados elegibles en el contexto local), aunque no se encuentren en el 12 % superior de todos los estudiantes del estado. ¿Qué porcentaje de estudiantes de cada escuela secundaria son “elegibles en el contexto local”? Supongamos que va a comprar una casa. Usted y su agente inmobiliario han determinado que la casa más costosa que puede permitirse es la del percentil 34 . El percentil 34 de los precios de la vivienda es de 240.000 dólares en la ciudad a la que quiere mudarse. En esta ciudad, ¿puede permitirse el 34 % de las casas o el 66 % de las casas? Puede permitirse el 34 % de las casas. El 66 % de las casas son demasiado costosas para su presupuesto. INTERPRETACIÓN: El 34 % de las casas cuestan 240.000 dólares o menos. El 66 % de las casas cuestan 240.000 dólares o más. Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Primer cuartil = _______ Segundo cuartil = mediana = percentil 50 = _______ 4 Tercer cuartil = _______ Rango intercuartil ( IQR ) = _____ – _____ = _____ 6 – 4 = 2 percentil 10 = _______ percentil 70 = _______ 6 Tarea para la casa La edad media de las personas negras en Estados Unidos es actualmente de 30,9 años; la de las personas blancas es de 42,3 años. Basándose en esta información, indique dos razones por las que la edad media de las personas negras podría ser inferior a la de las personas blancas. ¿La menor edad media de las personas negras significa necesariamente que estas mueren más jóvenes que las personas blancas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo es posible que las personas negras y las blancas mueran aproximadamente a la misma edad, pero que la edad media de las personas blancas sea mayor? A seiscientos estadounidenses adultos se les preguntó mediante un sondeo telefónico: “¿Qué cree usted que constituye un ingreso de clase media?”. Los resultados están en la . Además, se incluye el extremo izquierdo, pero no el derecho. Salario (dólares) Frecuencia relativa < 20.000 0,02 20.000-25.000 0,09 25.000-30.000 0,19 30.000-40.000 0,26 40.000-50.000 0,18 50.000-75.000 0,17 75.000-99.999 0,02 100.000 o más 0,01 ¿Qué porcentaje de la encuesta respondió “no estoy seguro”? ¿Qué porcentaje cree que la clase media es de 25.000 a 50.000 dólares? Construya un histograma de los datos. ¿Según los datos, todas las barras deben tener el mismo ancho? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo se deben tratar los intervalos <20.000 y más de 100.000? ¿Por qué? Calcule el percentil 40 y el percentil 80 Construya un gráfico de barras de los datos 1 – (0,02 + 0,09 + 0,19 + 0,26 + 0,18 + 0,17 + 0,02 + 0,01) = 0,06 0,19 + 0, 26 + 0,18 = 0,63 Compruebe la solución del estudiante. El percentil 40 se situará entre 30.000 y 40.000 El percentil 80 estará entre 50.000 y 75.000 Compruebe la solución del estudiante. Rango intercuartil o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos; el IQR se encuentra al restar el primer cuartil del tercer cuartil. Atípico una observación que no se ajusta al resto de los datos Percentil un número que divide los datos ordenados en centésimas; los percentiles pueden o no formar parte de los datos. La mediana de los datos es el segundo cuartil y el percentil 50 . El primer y tercer cuartil son el percentil 25 y el percentil 75 , respectivamente. Cuartiles los números que separan los datos en cuartos; los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. El segundo cuartil es la mediana de los datos.

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Medidas del centro de los datos El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana . Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Técnicamente es la media aritmética. Más adelante hablaremos de la media geométrica. Para hallar la mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales, lo que significa un número igual de observaciones en cada lado. El peso de 25 personas está por debajo de ese peso y 25 personas están por encima de ese peso. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro. NOTA Las palabras “media” y “promedio” se suelen usar indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Formalmente, los matemáticos llaman a la media aritmética el primer momento de la distribución. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x ”): x – . La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población . Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria. Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4 x – = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 11 = 2,7 x – = 3 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + 1 ( 3 ) + 5 ( 4 ) 11 = 2,7 En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5. Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión n + 1 2 . La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces n + 1 2 = 97 + 1 2 = 49. La mediana es el 49. º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces n + 1 2 = 100 + 1 2 = 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50. º y 51. º . La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor. Los datos sobre el sida que indican el número de meses que vive un paciente con sida después de tomar un nuevo medicamento con anticuerpos son los siguientes (de menor a mayor): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; Calcule la media y la mediana. El cálculo de la media es: x – = [ 3 + 4 + ( 8 ) ( 2 ) + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + ( 15 ) ( 2 ) + ( 16 ) ( 2 ) + ... + 35 + 37 + 40 + ( 44 ) ( 2 ) + 47 ] 40 = 23,6 Para hallar la mediana, M , primero hay que utilizar la fórmula de la ubicación. La ubicación es: n + 1 2 = 40 + 1 2 = 20,5 A partir del valor más pequeño, la mediana se sitúa entre los valores 20. º y 21. º (los dos 24): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; M = 24 + 24 2 = 24 Supongamos que en una pequeña ciudad de 50 personas una de ellas gana 5.000.000 de dólares al año y las otras 49 ganan 30.000 dólares cada una. ¿Cuál es la mejor medida del “centro”: la media o la mediana? x – = 5 , 000 , 000 + 49 ( 30 , 000 ) 50 = 129.400 M = 30.000 (Hay 49 personas que ganan 30.000 dólares y una persona que gana 5.000.000 de dólares). La mediana es una mejor medida del “centro” que la media porque 49 de los valores son 30.000 y uno es 5.000.000. El 5.000.000 es un valor atípico. Los 30.000 nos dan una mejor idea del centro de los datos. Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal. Las calificaciones de los exámenes de Estadística de 20 estudiantes son las siguientes: 50 53 59 59 63 63 72 72 72 72 72 76 78 81 83 84 84 84 90 93 Calcule la moda. La calificación más frecuente es 72, que aparece cinco veces. Moda = 72. Las cinco calificaciones del examen sobre bienes raíces son 430, 430, 480, 480, 495. El conjunto de datos es bimodal porque las calificaciones 430 y 480 aparecen dos veces cada una. ¿Cuándo la moda es la mejor medida del “centro”? Piense en un programa de adelgazamiento que anuncia una pérdida media de peso de seis libras la primera semana del programa. La moda podría indicar que la mayoría de las personas pierden dos libras la primera semana, lo que hace que el programa sea menos atractivo. NOTA La moda puede calcularse tanto para datos cualitativos como para cuantitativos. Por ejemplo, si el conjunto de datos es: rojo, rojo, rojo, verde, verde, amarillo, púrpura, negro, azul, la moda es rojo. Cálculo de la media aritmética de tablas de frecuencias agrupadas Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media = suma de los datos n u m b e r o f d a t a v a l u e s Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias. Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es límite inferior + límite superior 2 . Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea Tabla de media de la frecuencia = ∑ f m ∑ f donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo. Se presenta una tabla de frecuencias que muestra la prueba estadística anterior del profesor Blount. Calcule la mejor estimación de la media de la clase. Intervalo de grado Número de estudiantes 50–56,5 1 56,5–62,5 0 62,5–68,5 4 68,5–74,5 4 74,5–80,5 2 80,5–86,5 3 86,5–92,5 4 92,5–98,5 1 Calcule los puntos medios de todos los intervalos Intervalo de grado Punto medio 50–56,5 53,25 56,5–62,5 59,5 62,5–68,5 65,5 68,5–74,5 71,5 74,5–80,5 77,5 80,5–86,5 83,5 86,5–92,5 89,5 92,5–98,5 95,5 Calcule la suma del producto de la frecuencia de cada intervalo y el punto medio. ∑  f m 53,25 ( 1 ) + 59,5 ( 0 ) + 65,5 ( 4 ) + 71,5 ( 4 ) + 77,5 ( 2 ) + 83,5 ( 3 ) + 89,5 ( 4 ) + 95,5 ( 1 ) = 1460,25 μ = ∑ f m ∑ f = 1460,25 19 = 76,86 Ejercicio Maris realizó un estudio sobre el efecto que tiene jugar videojuegos en el recuerdo. Como parte de su estudio recopiló los siguientes datos: Horas que los adolescentes dedican a los videojuegos Número de adolescentes 0–3,5 3 3,5–7,5 7 7,5–11,5 12 11,5–15,5 7 15,5–19,5 9 ¿Cuál es la mejor estimación del número medio de horas dedicadas a los videojuegos? Calcule el punto medio de cada intervalo, multiplíquelo por el número correspondiente de adolescentes, sume los resultados y luego divídalos entre el número total de adolescentes Los puntos medios son 1,75, 5,5, 9,5, 13,5, 17,5. Media = (1,75)(3) + (5,5)(7) + (9,5)(12) + (13,5)(7) + (17,5)(9) = 409,75/38 = 10,78 Referencias Datos del Banco Mundial, disponibles en línea en http://www.worldbank.org (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Obesity – adult prevalence rate”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La media y la mediana se pueden calcular para ayudar a hallar el “centro” de un conjunto de datos. La media es la mejor estimación para el conjunto de datos reales, pero la mediana es la mejor medida cuando un conjunto de datos contiene varios valores atípicos o extremos. La moda le indicará el dato (o los datos) que aparecen con más frecuencia en su conjunto de datos. La media, la mediana y la moda son extremadamente útiles cuando se necesita analizar datos, pero si el conjunto de datos está formado por rangos que carecen de valores específicos, la media puede parecer imposible de calcular. Sin embargo, la media se puede aproximar si se suma el límite inferior con el superior y se divide entre dos para hallar el punto medio de cada intervalo. Multiplique cada punto medio por el número de valores hallados en el rango correspondiente. Divida la suma de estos valores entre el número total de valores de datos del conjunto. Revisión de la fórmula μ = ∑ f m ∑ f Donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios de intervalo. La media aritmética de una muestra (denominada x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra La media aritmética de una población (denominada μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población Calcule la media de las siguientes tablas de frecuencia. Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: los siguientes datos muestran las esloras de barcos atracados en un puerto. Los datos están ordenados de menor a mayor: 16 17 19 20 20 21 23 24 25 25 25 26 26 27 27 27 28 29 30 32 33 33 34 35 37 39 40 Calcule la media. Media: 16 + 17 + 19 + 20 + 20 + 21 + 23 + 24 + 25 + 25 + 25 + 26 + 26 + 27 + 27 + 27 + 28 + 29 + 30 + 32 + 33 + 33 + 34 + 35 + 37 + 39 + 40 = 738; 738 27 = 27,33 Identifique la mediana. Identifique la moda. Las esloras más frecuentes son 25 y 27, que aparecen tres veces. Moda = 25, 27 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Calcule lo siguiente: media muestral = x – = _______ mediana = _______ 4 moda = _______ Tarea para la casa Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en el siguiente cuadro. Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cómo se compara Estados Unidos con otros países? La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 El porcentaje de la media, x – = 1.328,65 50 = 26,75 Resúmalo todo Javier y Ercilia son supervisores en un centro comercial. A cada uno se le encomendó la tarea de estimar la distancia media a la que viven los compradores del centro comercial. Cada uno de ellos encuestó al azar a 100 compradores. Las muestras arrojaron la siguiente información. Javier Ercilia x – 6,0 millas 6,0 millas s 4,0 millas 7,0 millas ¿Cómo se puede determinar cuál es la encuesta correcta? Explique qué implica la diferencia de los resultados de las encuestas sobre los datos. Si los dos histogramas representan la distribución de valores de cada supervisor, ¿cuál representa la muestra de Ercilia? ¿Cómo lo sabe? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios : estamos interesados en el número de años que han vivido en California los estudiantes de una determinada clase de Estadística Elemental. La información de la siguiente tabla es de toda la sección. Número de años Frecuencia Número de años Frecuencia 7 1 22 1 14 3 23 1 15 1 26 1 18 1 40 2 19 4 42 2 20 3 Total = 20 ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? 8 11 15 35 a ¿Cuál es la moda? 19 19,5 14 y 20 22,65 ¿Se trata de una muestra o de toda la población? muestra toda la población ninguna b Tabla de frecuencias una representación de datos en la que se muestran los datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes Media (aritmética) un número que mide la tendencia central de los datos; un nombre común para la media es 'promedio'. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Media (geométrica) medida de tendencia central que proporciona una medida de crecimiento geométrico promedio a lo largo de múltiples periodos. Mediana número que separa los datos ordenados en mitades; la mitad de los valores son del mismo número o menores que la mediana y la mitad de los valores son del mismo número o mayores que la mediana. La mediana puede o no formar parte de los datos. Punto medio la media de un intervalo en una tabla de frecuencia Moda el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos

Introducción a la estadística empresarial

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Notación sigma y cálculo de la media aritmética Fórmula de la media de la población μ = 1 N ∑ i = 1 N x i Fórmula de la media muestral x – = 1 n ∑ i = 1 n x i Esta unidad está aquí para recordarle el material que una vez estudió y en su momento dijo: “¡Estoy seguro de que nunca necesitaré esto!”. Estas son las fórmulas de la media poblacional y de la media muestral. La letra griega μ es el símbolo de la media poblacional y x – es el símbolo de la media muestral. Ambas fórmulas tienen un símbolo matemático que nos indica cómo hacer los cálculos. Se llama notación Sigma porque el símbolo es la letra griega mayúscula sigma: Σ. Como todos los símbolos matemáticos nos dice lo que hay que hacer: igual que el signo más nos dice que hay que sumar y la x nos dice que hay que multiplicar. Se denominan operadores matemáticos. El símbolo Σ nos dice que hay que añadir una lista específica de números. Supongamos que tenemos una muestra de animales del refugio de animales local y nos interesa su edad promedio. Si enumeramos cada valor, u observación, en una columna, se puede dar a cada uno un número de índice. El primer número será el número 1 y el segundo el número 2 y así sucesivamente. Animal Edad 1 9 2 1 3 8,5 4 10,5 5 10 6 8,5 7 12 8 8 9 1 10 9,5 Cada observación representa un animal concreto de la muestra. Purr es el animal número uno y es un gato de 9 años, Toto es el animal número 2 y es un cachorro de 1 año y así sucesivamente. Para calcular la media, la fórmula nos dice que debemos sumar todos estos números, las edades en este caso, y luego dividir la suma entre 10, el número total de animales de la muestra. El animal número uno, el gato Purr, se designa como X 1 , el animal número 2, Toto, se designa como X 2 y así sucesivamente hasta Dundee que es el animal número 10 y se designa como X 10 . La i de la fórmula nos indica cuál de las observaciones hay que sumar. En este caso es de X 1 a X 10 que son todos. Sabemos cuáles hay que añadir por la notación de indexación, la i = 1 y la n o N mayúscula de la población. Para este ejemplo la notación de indexación sería i = 1 y por tratarse de una muestra utilizamos una n pequeña en la parte superior del Σ que sería 10. La desviación típica requiere el mismo operador matemático, por lo que sería útil recordar este conocimiento de su pasado. La suma de las edades es de 78 y, dividiendo entre 10, la edad media de la muestra es de 7,8 años. Un grupo de 10 niños están en una búsqueda del tesoro para encontrar rocas de diferentes colores. Los resultados se muestran en la . La columna de la derecha muestra el número de colores de las piedras que tiene cada niño. ¿Cuál es el número medio de piedras? Niño Colores de las piedras 1 5 2 5 3 6 4 2 5 4 6 3 7 7 8 2 9 1 10 10 Se mide a un grupo de niños para determinar la estatura promedio del grupo. Los resultados se encuentran en la . ¿Cuál es la estatura media del grupo con una precisión de una centésima de pulgada? Niño Estatura en pulgadas Adam 45,21 Betty 39,45 Charlie 43,78 Donna 48,76 Earl 37,39 Fran 39,90 George 45,56 Heather 46,24 39,48 in. Una persona compara los precios de cinco automóviles. Los resultados están en la . ¿Cuál es el precio medio de los automóviles que la persona ha considerado? Precio $20.987 $22.008 $19.998 $23.433 $21.444 $21.574 Un servicio de protección al cliente ha obtenido 8 bolsas de caramelos que supuestamente contienen 16 onzas de caramelos cada una. Los caramelos se pesan para determinar si el peso promedio es al menos las 16 onzas declaradas. Los resultados figuran en la . ¿Cuál es el peso medio de una bolsa de caramelos en la muestra? Peso en onzas 15,65 16,09 16,01 15,99 16,02 16,00 15,98 16,08 15,98 onzas Un maestro registra las notas de una clase de 70, 72, 79, 81, 82, 82, 83, 90 y 95. ¿Cuál es la media de estas notas? 81,56 Se hace una encuesta a una familia para ver la media del número de horas al día que el televisor está encendido. Los resultados, empezando por el domingo, son 6, 3, 2, 3, 1, 3 y 7 horas. ¿Cuál es el número promedio de horas que la familia ha tenido la televisión encendida, redondeando al número entero más cercano? 4 horas Una ciudad recibió las siguientes precipitaciones en un año reciente. ¿Cuál es el número medio de pulgadas de lluvia que recibe la ciudad mensualmente, con una precisión de una centésima de pulgada? Utilice . Mes Precipitaciones en pulgadas Enero 2,21 Febrero 3,12 Marzo 4,11 Abril 2,09 May 0,99 Junio 1,08 Julio 2,99 Agosto 0,08 Septiembre 0,52 Octubre 1,89 Noviembre 2,00 Diciembre 3,06 2,01 pulgadas Un equipo de fútbol anotó los siguientes puntos en sus primeros 8 partidos de la nueva temporada. Empezando por el juego 1 y en orden los resultados son 14, 14, 24, 21, 7, 0, 38 y 28. ¿Cuál es el número medio de puntos que el equipo anotó en estos ocho partidos? 18,25 Tarea para la casa Se elige una muestra de 10 precios de una población de 100 artículos similares. Los valores obtenidos de la muestra, y los valores para la población, figuran en la y en la respectivamente. ¿La media de la muestra está a menos de 1 dólar de la media de la población? ¿Cuál es la diferencia entre las medias de la muestra y de la población? Precios de la muestra $21 $23 $21 $24 $22 $22 $25 $21 $20 $24 Precios de la población Frecuencia $20 20 $21 35 $22 15 $23 10 $24 18 $25 2 Sí La muestra es 0,5 más alta. Al principio del curso escolar se realiza una prueba estandarizada a diez personas, cuyos resultados se recogen en la . Al final del año se volvió a examinar a las mismas personas. ¿Cuál es la mejora promedio? ¿Importa si se restan las medias o si se restan los valores individuales? Estudiante Puntuación inicial Puntuación final 1 1.100 1.120 2 980 1.030 3 1.200 1.208 4 998 1.000 5 893 948 6 1.015 1.030 7 1.217 1.224 8 1.232 1.245 9 967 988 10 988 997 20 No Una clase pequeña de 7 estudiantes tiene una nota media de 82 en un examen. Si seis de las notas son 80, 82,86, 90, 90 y 95, ¿cuál es la otra nota? 51 Una clase de 20 estudiantes tiene una nota media de 80 en un examen. Diecinueve de los estudiantes tienen una nota media entre 79 y 82, ambas inclusive. ¿Cuál es la nota más baja posible de otro estudiante? ¿Cuál es la nota más alta posible de otro estudiante? 42 99 Si la media de 20 precios es de 10,39 dólares, y se muestrean 5 de los artículos con una media de 10,99 dólares, ¿cuál es la media de los otros 15 precios? $10,19

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Media geométrica La media (aritmética), la mediana y la moda son medidas del "centro" de los datos, la "media". Todos intentan, a su manera, medir el punto "común" dentro de los datos, el que es "normal". En el caso de la media aritmética esto se resuelve encontrando el valor del que todos los puntos están a igual distancia lineal. Podemos imaginar que todos los valores de los datos se combinan mediante la adición y luego se distribuyen a cada punto de datos en cantidades iguales. La suma de todos los valores es lo que se redistribuye en cantidades iguales de manera que la suma total sigue siendo la misma. La media geométrica no redistribuye la suma de los valores, sino el producto de multiplicar todos los valores individuales y luego redistribuirlos en porciones iguales de manera que el producto total siga siendo el mismo. Esto se desprende de la fórmula de la media geométrica, x ~ : (Se dice “x tilde”) x ~ = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n = x 1 · x 2 ··· x n n = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n donde π es otro operador matemático, que nos dice que hay que multiplicar todos los números x i de la misma manera que la sigma griega mayúscula nos dice que sumemos todos los números x i . Recuerde que un exponente fraccionario pide la raíz enésima del número por lo que un exponente de 1/3 es la raíz cúbica del número. La media geométrica responde a la pregunta "si todas las cantidades tuvieran el mismo valor, ¿cuál tendría que ser ese valor para conseguir el mismo producto?”. La media geométrica recibe su nombre del hecho de que cuando se redistribuye de esta manera los lados forman una forma geométrica en la que todos tienen la misma longitud. Para verlo, tomemos el ejemplo de los números 10, 51,2 y 8. La media geométrica es el producto de multiplicar estos tres números entre sí (4.096) y sacar la raíz cúbica porque son tres los números entre los que hay que repartir este producto. Por tanto, la media geométrica de estos tres números es 16. Esto describe un cubo de 16x16x16 y tiene un volumen de 4.096 unidades. La media geométrica es relevante en Economía y Finanzas para tratar el crecimiento: el crecimiento de los mercados, de la inversión, de la población y de otras variables cuyo crecimiento interesa. Imagine que nuestra caja de 4096 unidades (quizás dólares) es el valor de una inversión al cabo de tres años y que los rendimientos de la inversión en porcentajes fueron los tres números de nuestro ejemplo. La media geométrica nos proporcionará la respuesta a la pregunta de cuál es la tasa promedio de rendimiento: 16 por ciento. La media aritmética de estas tres cifras es del 23,6 %. La razón de esta diferencia, 16 frente a 23,6, es que la media aritmética es aditiva y, por lo tanto, no tiene en cuenta el interés sobre el interés, el interés compuesto, implícito en el proceso de crecimiento de la inversión. La misma situación se plantea cuando se pregunta por la tasa promedio de crecimiento de una población o de las ventas o de la penetración en el mercado, etc., conociendo las tasas anuales de crecimiento. La fórmula de la tasa de rendimiento media geométrica, o de cualquier otra tasa de crecimiento, es: r s = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n − 1 Al manipular la fórmula de la media geométrica también se puede calcular la tasa promedio de crecimiento entre dos periodos conociendo solo el valor inicial a 0 y el valor final a n y el número de periodos, n . La siguiente fórmula proporciona esta información: ( a n a 0 ) 1 n = x ~ Por último, observamos que la fórmula de la media geométrica requiere que todos los números sean positivos, mayores que cero. La razón, por supuesto, es que la raíz de un número negativo no está definida para su uso fuera de la teoría matemática. Sin embargo, hay formas de evitar este problema. En el caso de las tasas de rendimiento y otros problemas de crecimiento simples, podemos convertir los valores negativos en valores equivalentes positivos significativos. Imagine que los rendimientos anuales de los últimos tres años son del +12 %, –8 % y +2 %. El uso de los multiplicadores decimales equivalentes a 1,12, 0,92 y 1,02 nos permite calcular una media geométrica de 1,0167. Al restar 1 a este valor se obtiene la media geométrica de +1,67 % como tasa neta de crecimiento de la población (o rendimiento financiero). De este ejemplo se desprende que la media geométrica nos proporciona esta fórmula para calcular la tasa de rendimiento geométrica (media) de una serie de tasas de rendimiento anuales: r s = x ~ - 1 donde r s es la tasa promedio de rendimiento y x ~ es la media geométrica de los rendimientos durante un cierto número de periodos. Tenga en cuenta que la duración de cada periodo debe ser la misma. Como regla general, hay que convertir los valores porcentuales en su equivalente decimal multiplicador. Es importante reconocer que cuando se trata de porcentajes, la media geométrica de los valores porcentuales no es igual a la media geométrica de los equivalentes del multiplicador decimal y es la media geométrica del multiplicador decimal la que es relevante. Revisión de la fórmula La media geométrica x ~ = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n = x 1 · x 2 ··· x n n = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 5, 10, 20 10 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 9,000, 15,00, 21,00 14,15 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 7,0, 10,0, 39,2 14 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 17,00, 10,00, 19,00 14,78 ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 1,0, 2,0, 1,5 44 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 0,80, 2,0, 5,0 100 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 0,90, 1,1, 1,2 6 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 4,2, 4,3, 4,5 33 % Tarea para la casa Una inversión pasa de 10.000 a 22.000 dólares en cinco años. ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento? 17 % Una inversión inicial de 20.000 dólares crece a un ritmo del 9 % durante cinco años. ¿Cuál es su valor final? $30.772,48 Un cultivo contiene 1300 bacterias. Las bacterias crecen hasta 2.000 en 10 horas. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de las bacterias por hora, con una precisión de una décima de porcentaje? 4,4 % Una inversión de 3.000 dólares crece a un ritmo del 5 % durante un año, y luego a un ritmo del 8 % durante tres años. ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento con una precisión de una centésima? 7,24 % Una inversión de 10.000 dólares se reduce a 9.500 dólares en cuatro años. ¿Cuál es la rentabilidad promedio anual, con una precisión de una centésima? –1,27 %

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Distorsión y media, mediana y moda Considere el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10 Este conjunto de datos se puede representar mediante el siguiente histograma. Cada intervalo tiene un ancho de uno y cada valor se sitúa en el centro de un intervalo. El histograma muestra una distribución simétrica de los datos. Una distribución es simétrica si se puede trazar una línea vertical en algún punto del histograma de manera que la forma a la izquierda y a la derecha de la línea vertical sean imágenes una espejo de la otra. La media, la mediana y la moda son siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son iguales. Este ejemplo tiene una moda (unimodal), y la moda es la misma que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modas (bimodal), las dos modas serían diferentes de la media y la mediana. El histograma de los datos: 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 que se muestra en la no es simétrico. El lado derecho parece “cortado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se denomina distorsionada a la izquierda porque se desplaza hacia la izquierda. Podemos medir formalmente la distorsión de una distribución del mismo modo que podemos medir matemáticamente el peso del centro de los datos o su "velocidad" general. La fórmula matemática de la distorsión es a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 . Cuanto mayor sea la desviación con respecto a cero, mayor será el grado de distorsión. Si la distorsión es negativa, la distribución está distorsionada a la izquierda, como en la . Una medida positiva de la distorsión indica distorsionada a la derecha, como en la . La media es 6,3, la mediana es 6,5 y la moda es siete. Observe que la media es menor que la mediana y ambas son menores que la moda. Tanto la media como la mediana reflejan la distorsión, pero la media lo refleja más. El histograma de los datos: 6 7 7 7 7 8 8 8 9 10 mostrados en la , tampoco es simétrico. Es con distorsión a la derecha . La media es 7,7, la mediana es 7,5 y la moda es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la moda es la menor . De nuevo, la media es la que más refleja la distorsión. Para resumir, generalmente si la distribución de los datos está distorsionada a la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que la moda. Si la distribución de los datos está distorsionada a la derecha, la moda suele ser menor que la mediana, que es menor que la media. Al igual que con la media, la mediana y la moda, y como veremos en breve, la varianza, existen fórmulas matemáticas que nos dan medidas precisas de estas características de la distribución de los datos. Volviendo a mirar la fórmula de la distorsión, vemos que se trata de una relación entre la media de los datos y las observaciones individuales al cubo. a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 donde s es la desviación típica muestral de los datos, X i , y x ¯ es la media aritmética y n es el tamaño de la muestra. Formalmente, la media aritmética se conoce como el primer momento de la distribución. El segundo momento que veremos es la varianza, y la distorsión es el tercer momento. La varianza mide las diferencias al cuadrado de los datos respecto a la media y la distorsión mide las diferencias al cubo de los datos respecto a la media. Mientras que una varianza nunca puede ser un número negativo, la medida de distorsión sí puede y así es como determinamos si los datos están distorsionados la derecha o a la izquierda. La distorsión de una distribución normal es cero, y cualquier dato simétrico debería tener una distorsión cercana a cero. Los valores negativos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la izquierda y los valores positivos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la derecha. Por izquierda distorsionada, queremos decir que la cola izquierda es larga en relación con la cola derecha. Del mismo modo, la derecha distorsionada significa que la cola derecha es larga en relación con la cola izquierda. La distorsión caracteriza el grado de asimetría de una distribución en torno a su media. Mientras que la media y la desviación típica son magnitudes dimensionales (por eso tomaremos la raíz cuadrada de la varianza) es decir, tienen las mismas unidades que las magnitudes medidas X i , la distorsión se define convencionalmente de forma que sea adimensional . Es un número puro que caracteriza únicamente la forma de la distribución. Un valor positivo de distorsión significa una distribución con una cola asimétrica que se extiende hacia un X más positiva y un valor negativo significa una distribución cuya cola se extiende hacia X más negativa. Una medida cero de distorsión indicará una distribución simétrica. La distorsión y la simetría son importantes cuando hablemos de distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores. Repaso del capítulo Observar la distribución de los datos puede revelar mucho sobre la relación entre la media, la mediana y la moda. Hay tres tipos de distribuciones. Una distribución distorsionada a la izquierda (o negativa) tiene una forma como la . Una distribución distorsionada a la derecha (o positiva) tiene una forma como la . Una distribución simétrica se parece a la . Revisión de la fórmula Fórmula para la distorsión: a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 Fórmula del coeficiente de variación C V = s x ¯ · 100 condicionado a x ¯ ≠ 0 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Indique si los datos son simétricos, distorsionados a la izquierda o distorsionados a la derecha. 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 Los datos son simétricos. La mediana es 3 y la media es 2,85. Están cerca, y la moda se encuentra cerca del centro de los datos, por lo que los datos son simétricos. 16 17 19 22 22 22 22 22 23 87 87 87 87 87 88 89 89 90 91 Los datos están distorsionados a la derecha. La mediana es de 87,5 y la media de 88,2. Aunque están cerca, la moda se encuentra a la izquierda del centro de los datos, y hay muchos más casos de 87 que de cualquier otro número, por lo que los datos están distorsionados a la derecha. Cuando los datos están distorsionados a la izquierda, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, la media y la mediana están cerca o son iguales. ¿Qué palabra describe una distribución que tiene dos modas? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la derecha porque luce desplazada hacia la derecha. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media es de 4,1 y es ligeramente superior a la mediana, que es de cuatro. Describa la forma de esta distribución. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. La moda y la mediana son iguales. En este caso, las dos son cinco. ¿La media y la mediana son exactamente iguales en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la izquierda porque luce desplazada hacia la izquierda. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media y la mediana son seis. La media y la mediana de los datos son iguales. 3 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 ¿Los datos son perfectamente simétricos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la mayor, la media, la moda o la mediana del conjunto de datos? 11 11 12 12 12 12 13 15 17 22 22 22 La moda es 12, la mediana es 12,5 y la media es 15,1. La media es la mayor. ¿Cuál es menor, la media, la moda y la mediana del conjunto de datos? 56 56 56 58 59 60 62 64 64 65 67 De las tres medidas, ¿cuál tiende a reflejar más la distorsión: la media, la moda o la mediana? ¿Por qué? La media tiende a reflejar más la distorsión porque es la más afectada por los valores atípicos. En una distribución perfectamente simétrica, ¿cuándo la moda sería diferente de la media y la mediana? Tarea para la casa La edad media de la población de EE. UU. en 1980 era de 30,0 años. En 1991, la edad media era de 33,1 años. ¿Qué significa que la edad media aumente? Dé dos razones por las que la edad media podría aumentar. Para que la edad media aumente, ¿el número real de niños es menor en 1991 que en 1980? ¿Por qué sí o por qué no?

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