Estimación de la binomial con la distribución normal Ya hemos visto que varias funciones de densidad de probabilidad son las distribuciones límite de otras; por tanto, podemos estimar una con otra en determinadas circunstancias. Aquí veremos que la distribución normal puede utilizarse para estimar un proceso binomial. La Poisson se utilizó para estimar la binomial previamente, y la binomial se utilizó para estimar la distribución hipergeométrica. En el caso de la relación entre la distribución hipergeométrica y la binomial, tuvimos que reconocer que un proceso binomial asume que la probabilidad de un éxito permanece constante de un ensayo a otro: una cara en el último lanzamiento no puede tener un efecto en la probabilidad de una cara en el siguiente lanzamiento. En la distribución hipergeométrica esta es la esencia de la cuestión porque el experimento asume que cualquier "extracción" es sin reemplazo. Si se extrae sin reemplazo, todos las "extracciones" posteriores son probabilidades condicionales. Descubrimos que si el experimento hipergeométrico saca extrae un pequeño porcentaje del total de objetos, entonces podemos ignorar el impacto en la probabilidad de una extracción a otra. Imagine que hay 312 cartas en una baraja compuesta por 6 mazos normales. Si el experimento exigía extraer solo 10 cartas, menos del 5% del total, entonces aceptaremos la estimación binomial de la probabilidad, aunque en realidad se trata de una distribución hipergeométrica porque las cartas se extraen presumiblemente sin reemplazo. La Poisson también se consideró una estimación adecuada de la binomial en determinadas circunstancias. En el capítulo 4 encontramos que si el número de ensayos de interés es grande y la probabilidad de éxito es pequeña, tal que μ = n p < 7 , la Poisson puede utilizarse para estimar la binomial con buenos resultados. Una vez más, estas reglas empíricas no pretenden en modo alguno que la probabilidad real sea la que determina la estimación, sino que la diferencia está en el tercer o cuarto decimal y, por tanto, es de minimus . Aquí, de nuevo, encontramos que la distribución normal hace estimaciones particularmente precisas de un proceso binomial bajo ciertas circunstancias. La es una distribución de frecuencia de un proceso binomial para el experimento de lanzar tres monedas donde la variable aleatoria es el número de caras. El espacio muestral se encuentra debajo de la distribución. En el experimento se ha asumido que la probabilidad de éxito es de 0,5; por tanto, la probabilidad de fracaso, de cola, es también de 0,5. Al observar la nos llama la atención que la distribución sea simétrica. La raíz de este resultado es que las probabilidades de éxito y de fracaso son las mismas, 0,5. Si la probabilidad de éxito fuera inferior a 0,5, la distribución se vuelve sesgada hacia la derecha. De hecho, a medida que la probabilidad de éxito disminuye, el grado de asimetría aumenta. Si la probabilidad de éxito aumenta a partir de 0,5, la asimetría aumenta en la cola inferior, lo que da lugar a una distribución sesgada a la izquierda. La razón por la que la asimetría de la distribución binomial es importante es porque si se va a estimar con una distribución normal, entonces tenemos que reconocer que la distribución normal es simétrica. Cuanto más se acerque la distribución binomial subyacente a ser simétrica, mejor será la estimación producida por la distribución normal. La muestra una distribución normal simétrica transpuesta en un gráfico de una distribución binomial donde p = 0,2 y n = 5. La discrepancia entre la probabilidad estimada utilizando una distribución normal y la probabilidad de la distribución binomial original es evidente. El criterio para utilizar una distribución normal para estimar una binomial aborda, pues, este problema al exigir que TANTO np COMO n (1 - p ) sean mayores que cinco. De nuevo, se trata de una regla general, pero es eficaz y da lugar a estimaciones aceptables de la probabilidad binomial. Imagínese que se sabe que solo el 10 % de los cachorros de pastor australiano nacen con lo que se llama "simetría perfecta" en sus tres colores, negro, blanco y cobre. La simetría perfecta se define como una cobertura igual en todas las partes del perro cuando se mira en la cara y se mide a la izquierda y a la derecha por la línea central. Un criadero tendría una buena reputación en la cría de pastores australianos si tuviera un alto porcentaje de perros que cumplieran este criterio. Durante los últimos 5 años y de los 100 perros nacidos en Dundee Kennels, 16 han nacido con esta característica de coloración. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 100 nacimientos, más de 16 tengan esta característica? Si suponemos que la coloración de un perro es independiente de la de los demás, una suposición un poco valiente, esto se convierte en un problema clásico de probabilidad binomial. El enunciado de la probabilidad solicitada es 1 - [ p ( X = 0) + p ( X = 1) + p ( X = 2) + ... + p ( X = 16)]. Para ello debemos calcular 17 fórmulas binomiales y sumarlas y luego restar a una para obtener la parte derecha de la distribución. Como alternativa, podemos utilizar la distribución normal para obtener una respuesta aceptable y en mucho menos tiempo. En primer lugar, tenemos que comprobar si la distribución binomial es lo suficientemente simétrica como para utilizar la distribución normal. Sabemos que la binomial de este problema está sesgada porque la probabilidad de éxito, 0,1, no es la misma que la probabilidad de fracaso, 0,9. Sin embargo, tanto np = 10 como n ( 1 – p ) = 90 son mayores que 5, el límite para utilizar la distribución normal para estimar la binomial. La a continuación muestra la distribución binomial y se marca el área que queremos conocer. También se marca la media de la binomial, 10, y se escribe la desviación típica en el lateral del gráfico: σ = n p q = 3. El área bajo la distribución de cero a 16 es la probabilidad solicitada, y se ha sombreado. Debajo de la distribución binomial hay una distribución normal que se utiliza para estimar esta probabilidad. Esa probabilidad también ha sido sombreada. Al estandarizar de la distribución binomial a la normal, como se hizo en el pasado, se muestra que estamos pidiendo la probabilidad de 16 a infinito positivo, o 100 en este caso. Tenemos que calcular el número de desviaciones típicas que 16 se aleja de la media: 10. Z = x – μ σ = 16 – 10 3 = 2 Estamos preguntando por la probabilidad más allá de dos desviaciones típicas, un evento muy improbable. Buscamos dos desviaciones típicas en la tabla normal estándar y encontramos que el área de cero a dos desviaciones típicas es 0,4772. Sin embargo, nos interesa la cola, así que restamos 0,4772 de 0,5 y así encontramos el área de la cola. Nuestra conclusión es que la probabilidad de que un criadero tenga 16 perros con "simetría perfecta" es de 0,0228. Dundee Kennels tiene un historial extraordinario en este sentido. Matemáticamente, lo escribimos como: 1 – [ p ( X = 0 ) + p ( X = 1 ) + p ( X = 2 ) + … + p ( X = 16 ) ] = p ( X > 16 ) = p ( Z > 2 ) = 0,0228 Repaso del capítulo La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ . Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z . Su media es cero y su desviación típica es uno. Revisión de la fórmula Distribución normal: X ~ N ( µ , σ ) donde µ es la media y σ es la desviación típica. Distribución normal estándar: Z ~ N (0, 1). ¿Cómo representaría el área a la izquierda de uno en un enunciado de probabilidad? P ( x < 1) ¿Cuál es el área a la derecha de uno? ¿ P ( x < 1) es igual a P ( x ≤ 1)? ¿Por qué? Sí, porque son iguales en una distribución continua: P ( x = 1) = 0 ¿Cómo representaría el área a la izquierda de tres en un enunciado de probabilidad? ¿Cuál es el área a la derecha de tres? 1 – P ( x < 3) o P ( x > 3) Si el área a la izquierda de x en una distribución normal es 0,123, ¿cuál es el área a la derecha de x ? Si el área a la derecha de x en una distribución normal es 0,543, ¿cuál es el área a la izquierda de x ? 1 – 0,543 = 0,457 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: X ~ N (54, 8) Calcule la probabilidad de que x > 56. Calcule la probabilidad de que x < 30. 0,0013 X ~ N (6, 2) Calcule la probabilidad de que x esté entre tres y nueve. X ~ N (–3, 4) Calcule la probabilidad de que x esté entre uno y cuatro. 0,1186 X ~ N (4, 5) Calcule el máximo de x en el cuartil inferior. Use la siguiente información para responder el próximo ejercicio: La vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD se averíe durante el periodo de garantía. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (0 < x < ____________) = ___________ (use el cero para el valor mínimo de x .) Compruebe la solución del estudiante. 3; 0,1979 Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD dure entre 2,8 y seis años. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (__________ < x < __________) = __________ Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y calcule la probabilidad de que el experimento tenga al menos 45 aciertos. 0,154 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y calcule la probabilidad de que el experimento tenga al menos 22 aciertos. 0,874 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga de 35 a 45 aciertos. 0,693 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga de 26 a 30 aciertos. 0,346 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga como máximo 34 aciertos. 0,110 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga como máximo 34 aciertos. 0,946 Una prueba de opción múltiple tiene una probabilidad de que cualquier pregunta se estime correctamente de 0,25. Hay 100 preguntas, y un estudiante las acierta todas. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y determine la probabilidad de que se adivinen correctamente al menos 30 preguntas, pero no más de 32. 0,071 Una prueba de opción múltiple tiene una probabilidad de que cualquier pregunta se estime correctamente de 0,25. Hay 100 preguntas, y un estudiante las acierta todas. Utilice la distribución normal para aproximarse a la distribución binomial y determine la probabilidad de que se adivinen correctamente al menos 24 preguntas, pero no más de 28. 0,347 Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la probabilidad de pasar más de dos días en recuperación? 0,0580 0,8447 0,0553 0,9420 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Con base en la información dada y justificada numéricamente, ¿le sorprendería que tardara menos de un minuto en encontrar un puesto de estacionamiento? Sí No No se puede determinar Calcule la probabilidad de que se tarde al menos ocho minutos en encontrar un puesto de estacionamiento. 0,0001 0,9270 0,1862 0,0668 d El setenta por ciento de las veces, ¿cuántos minutos se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento? 1,24 2,41 3,95 6,05 Según un estudio realizado por estudiantes de De Anza, la altura de los hombres adultos asiáticos se distribuye normalmente, con un promedio de 66 pulgadas y una desviación típica de 2,5 pulgadas. Supongamos que se elige al azar un hombre adulto asiático. Supongamos que X = la altura de la persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga entre 65 y 69 pulgadas de alto. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. ¿Espera hallar muchos hombres adultos asiáticos de más de 72 pulgadas de alto? Explique por qué sí o por qué no, y justifique su respuesta numéricamente. ¿El 40% de las alturas se encuentra entre cuáles dos valores? Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (66; 2,5) 0,5404 No, la probabilidad de que un hombre asiático mida más de 72 pulgadas es de 0,0082 El IQ se distribuye normalmente, con una media de 100 y una desviación típica de 15. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = IQ de una persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga un IQ superior a 120. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. MENSA es una organización cuyos miembros tienen el 2 % más alto de todos los IQ. Calcule el IQ mínimo necesario para poder acceder a la organización MENSA. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. El porcentaje de calorías de grasa que consume una persona en Estados Unidos cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de 10. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = porcentaje de calorías de grasa. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de calorías de grasa que consume una persona sea superior a 40. Grafique la situación. Sombree en la zona por determinar. Calcule el número máximo para el cuarto inferior del porcentaje de calorías de grasa. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (36, 10) La probabilidad de que una persona consuma más del 40 % de sus calorías en forma de grasa es de 0,3446. Aproximadamente el 25 % de las personas consumen menos del 29,26 % de sus calorías en forma de grasa. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Si X = distancia en pies para un batazo de aire, entonces X ~ _____(_____,_____) Si se elige al azar un batazo de aire de esta distribución, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota haya volado menos de 220 pies? Dibuje el gráfico. Escale el eje horizontal X . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. En China, los niños de cuatro años pasan un promedio de tres horas al día sin supervisión. La mayoría de los niños sin supervisión viven en zonas rurales, consideradas seguras. Supongamos que la desviación típica es de 1,5 horas y que la cantidad de tiempo que se pasa solo se distribuye normalmente. Seleccionamos al azar un niño chino de cuatro años que vive en una zona rural. Nos interesa la cantidad de tiempo que el niño pasa solo al día. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿Qué porcentaje de niños pasa más de diez horas al día sin supervisión? ¿Cuánto tiempo como mínimo pasan al día sin supervisión el setenta por ciento de los niños? X = número de horas que un niño chino de cuatro años en una zona rural está sin supervisión durante el día. X ~ N (3, 1,5) La probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión es de 0,0918. La probabilidad de que un niño pase más de diez horas al día sin supervisión es inferior a 0,0001. 2,21 horas En las elecciones presidenciales de 1992, los 40 distritos electorales de Alaska obtuvieron un promedio de 1.956,8 votos por distrito para el presidente Clinton. La desviación típica fue de 572,3 (solo hay 40 distritos electorales en Alaska). La distribución de los votos por distrito para el presidente Clinton tuvo forma de campana. Supongamos que X = número de votos para el presidente Clinton para un distrito electoral. Indique la distribución aproximada de X . ¿1.956,8 es una media poblacional o una media muestral? ¿Cómo lo sabe? Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga menos de 1.600 votos para el presidente Clinton. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga entre 1.800 y 2.000 votos para el presidente Clinton. Calcule el tercer cuartil de votos para el presidente Clinton. Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal se distribuye normalmente, con una media de 21 días y una desviación típica de siete días. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Si uno de los juicios se elige al azar, calcule la probabilidad de que haya durado, al menos, 24 días. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿En cuántos días se completan el sesenta por ciento de los juicios de este tipo? X = la distribución del número de días que durará un determinado tipo de juicio penal X ~ N (21, 7) La probabilidad de que un juicio seleccionado al azar dure más de 24 días es de 0,3336. 22,77 Terri Vogel, una corredora de motos aficionada, tiene un promedio de 129,71 segundos por vuelta de 2,5 millas (en una carrera de siete vueltas) con una desviación típica de 2,28 segundos. La distribución de sus tiempos de carrera se distribuye normalmente. Estamos interesados en una de sus vueltas seleccionadas al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule el porcentaje de sus vueltas que se completan en menos de 130 segundos. El 3 % de sus vueltas más rápidas están por debajo de _____. El 80 % de sus vueltas son de _______ segundos a _______ segundos. Thuy Dau, Ngoc Bui, Sam Su y Lan Voung realizaron una encuesta sobre el tiempo que los clientes de Lucky afirmaron que esperaban en la fila de la caja hasta que les llegaba su turno. Supongamos que X = tiempo en fila. La muestra los datos reales ordenados (en minutos): 0,50 4,25 5 6 7,25 1,75 4,25 5,25 6 7,25 2 4,25 5,25 6,25 7,25 2,25 4,25 5,5 6,25 7,75 2,25 4,5 5,5 6,5 8 2,5 4,75 5,5 6,5 8,25 2,75 4,75 5,75 6,5 9,5 3,25 4,75 5,75 6,75 9,5 3,75 5 6 6,75 9,75 3,75 5 6 6,75 10,75 Calcule la media y la desviación típica de la muestra. Construya un histograma. Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras. Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras. Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ . La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____) Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que una persona espere menos de 6,1 minutos. Determine la frecuencia relativa acumulada para esperar menos de 6,1 minutos. ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales? ¿Por qué las respuestas de las partes f y g son tan cercanas? Si solo se hubiera encuestado a diez clientes en vez de 50, ¿cree que las respuestas de las partes f y g habrían estado más cerca o más lejos? Explique su conclusión. media = 5,51, s = 2,15 Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. X ~ N (5,51; 2,15) 0,6029 La frecuencia acumulada para menos de 6,1 minutos es de 0,64. Las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales, ya que la distribución normal es solo una aproximación a la real. Las respuestas de las partes f y g son cercanas, ya que una distribución normal es una excelente aproximación cuando el tamaño de la muestra es superior a 30. La aproximación habría sido menos precisa porque el menor tamaño de la muestra hace que los datos no se ajusten tan bien a la curva normal. Supongamos que Ricardo y Anita asisten a institutos universitarios diferentes. El GPA de Ricardo es igual al GPA de su escuela. El GPA de Anita está 0,70 desviaciones típicas por encima del GPA de su escuela. En oraciones completas, explique por qué cada una de las siguientes afirmaciones puede ser falsa. El GPA real de Ricardo es menor que el de Anita. Ricardo no aprueba porque su puntuación z es cero. Anita está en el percentil 70 de los estudiantes de su instituto universitario. Un perito de una demanda de paternidad declara que la duración de un embarazo se distribuye normalmente, con una media de 280 días y una desviación típica de 13 días. El presunto padre estuvo fuera del país entre 240 y 306 días antes del nacimiento del niño, por lo que el embarazo habría durado menos de 240 días o más de 306 días si era el padre. El parto no tuvo complicaciones y el niño no necesitó ninguna intervención médica. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea el padre? ¿Cuál es la probabilidad de que pueda ser el padre? Calcule primero las puntuaciones z y luego utilícelas para calcular la probabilidad. La línea de montaje de NUMMI, que lleva funcionando desde 1984, ha construido un promedio de 6.000 automóviles y camiones a la semana. Por lo general, el 10 % de los automóviles salían defectuosos de la cadena de montaje. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de n = 100 automóviles. Supongamos que X el número de automóviles defectuosos de la muestra. ¿Qué podemos decir de X con respecto a la regla empírica 68-95-99,7 (se habla de una desviación típica, dos desviaciones típicas y tres desviaciones típicas de la media)? Supongamos una distribución normal para los automóviles defectuosos de la muestra. n = 100; p = 0,1; q = 0,9 μ = np = (100)(0,10) = 10 σ = n p q = (100)(0 0,1)(0 0,9) = 3 z = ± 1 : x 1 = µ + zσ = 10 + 1(3) = 13 y x 2 = µ – zσ = 10 – 1(3) = 7,68% de los automóviles defectuosos estará entre el siete y el 13. z = ± 2 : x 1 = µ + zσ = 10 + 2(3) = 16 como x 2 = µ – zσ = 10 – 2(3) = 4. 95% de los automóviles defectuosos caerán entre cuatro y 16 z = ± 3 : x 1 = µ + zσ = 10 + 3(3) = 19 como x 2 = µ – zσ = 10 – 3(3) = 1. 99,7% de los automóviles defectuosos estará entre uno y 19. Lanzamos una moneda 100 veces ( n = 100) y observamos que solo sale cara el 20 % ( p = 0,20) de las veces. La media y la desviación típica del número de veces que la moneda cae cara es µ = 20 y σ = 4 (verifica la media y la desviación típica). Resuelva lo siguiente: Hay un 68 % de posibilidades de que el número de caras esté entre ___ y ___. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre 12 y 28. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre ocho y 32. Un billete de lotería de 1 dólar resultará ganador una de cada cinco veces. De un cargamento de n = 190 billetes de lotería, calcule la probabilidad de que haya entre 34 y 54 premios. entre 54 y 64 premios. más de 64 premios. n = 190; p = 1 5 = 0,2; q = 0,8 μ = np = (190)(0,2) = 38 σ = n p q = (190)(0 0,2)(0 0,8) = 5,5136 Para este problema: P (34 < x < 54) = 0,7641 Para este problema: P (54 < x < 64) = 0,0018 Para este problema: P ( x > 64) = 0,0000012 (aproximadamente 0) Facebook ofrece una serie de estadísticas en su sitio web que detallan el crecimiento y la popularidad del sitio. En promedio, el 28 % de los jóvenes de 18 a 34 años consultan sus perfiles de Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana. Supongamos que este porcentaje sigue una distribución normal con una desviación típica del cinco por ciento. Un hospital tiene 49 nacimientos en un año. Se considera igual de probable que un nacimiento sea un niño que una niña. ¿Cuál es la media? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Se puede aproximar esta distribución binomial con una distribución normal? Si es así, utilice la distribución normal para calcular la probabilidad de que al menos 23 de los 49 nacimientos sean niños. 24,5 3,5 Sí 0,67 Históricamente, el examen final de un curso se aprueba con una probabilidad de 0,9. El examen se realiza a un grupo de 70 estudiantes. ¿Cuál es la media de la distribución binomial? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Se puede aproximar esta distribución binomial con una distribución normal? Si es así, utilice la distribución normal para calcular la probabilidad de que al menos 60 de los estudiantes aprueben el examen 63 2,5 Sí 0,88 Un árbol de un huerto tiene 200 naranjas. De las naranjas, 40 no están maduras. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y determina la probabilidad de que una caja que contiene 35 naranjas tenga como máximo dos naranjas que no estén maduras. 0,02 En una gran ciudad, uno de cada diez hidrantes necesita ser reparado. Si una cuadrilla examina 100 hidrantes en una semana, ¿cuál es la probabilidad de que encuentre menos de nueve hidrantes que necesiten reparación? Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial. 0,37 En una línea de montaje se determina que el 85% de los productos ensamblados no tienen defectos. Si un día se ensamblan 50 artículos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 y no más de 8 estés defectuosos? Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial. 0,50

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Introducción Si quiere averiguar la distribución del cambio que la gente lleva en sus bolsillos, utilizando el teorema del límite central y suponiendo que su muestra es lo suficientemente grande, encontrará que la distribución es la función de densidad de probabilidad normal (créditos: John Lodder) ¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo, estudiará las medias y el teorema del límite central . El teorema del límite central es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. El teorema central del límite es un teorema, lo que significa que NO es una teoría o simplemente la idea de alguien sobre cómo funcionan las cosas. Como teorema, está a la altura del teorema de Pitágoras, o el teorema que nos dice que la suma de los ángulos de un triángulo debe sumar 180. Son hechos de las formas del mundo rigurosamente demostrados con precisión matemática y lógica. Como veremos, este poderoso teorema determinará lo que podemos y no podemos decir en la estadística inferencial. El teorema del límite central se ocupa de extraer muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ , y una desviación típica conocida, σ . La conclusión es que si recogemos muestras de tamaño n con un " n suficientemente grande", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma (distribución) de esas medias, la distribución resultante tenderá a tener una distribución normal aproximada. El resultado asombroso es que no importa cuál es la distribución de la población original, ni siquiera es necesario conocerla. El hecho importante es que la distribución de las medias muestrales tiende a seguir la distribución normal. El tamaño de la muestra, n , que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de la normal, se necesitan más observaciones para las medias de la muestra. El muestreo se realiza de forma aleatoria y con reemplazo en el modelo teórico. Distribución de muestreo dadas muestras aleatorias simples de tamaño n de una población determinada con una característica medida como la media, la proporción o la desviación típica para cada muestra, la distribución de probabilidad de todas las características medidas se llama distribución de muestreo.

Introducción a la estadística empresarial

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Teorema del límite central de las medias muestrales La distribución muestral es una distribución teórica. Se crea tomando muchas muestras de tamaño n de una población. Cada media muestral se trata entonces como una única observación de esta nueva distribución, la distribución muestral. La genialidad de pensar de esta manera es que reconoce que cuando tomamos una muestra estamos creando una observación y esa observación debe provenir de alguna distribución particular. El teorema del límite central responde a la pregunta: ¿de qué distribución procede la media de una muestra? Si se descubre esto, entonces podemos tratar una media muestral como cualquier otra observación y calcular probabilidades sobre los valores que puede tomar. En efecto, hemos pasado del mundo de la estadística, en el que solo conocemos lo que tenemos de la muestra, al mundo de la probabilidad, en el que conocemos la distribución de la que procede la media muestral y los parámetros de esa distribución. Las razones por las que se toma una muestra de una población son obvias. El tiempo y el gasto de comprobar cada factura para determinar su validez o cada envío para ver si contiene todos los artículos puede superar con creces el coste de los errores de facturación o envío. En el caso de algunos productos, el muestreo requeriría su destrucción, lo que se denomina muestreo destructivo. Un ejemplo de ello es la medición de la capacidad de un metal para resistir la corrosión del agua salada en las piezas de los buques oceánicos. El muestreo plantea, pues, una cuestión importante: qué muestra se ha extraído. Incluso si la muestra se extrajera al azar, en teoría hay un número casi infinito de muestras. Con solo 100 artículos, se pueden extraer más de 75 millones de muestras únicas de tamaño cinco. Si hay seis en la muestra, el número de muestras posibles aumenta a algo más de mil millones. Entonces, de los 75 millones de muestras posibles, ¿cuál obtuvo? Si hay variación en los artículos que se van a muestrear, habrá variación en las muestras. Se podría extraer una muestra "desafortunada" y sacar conclusiones muy erróneas sobre la población. Este reconocimiento de que cualquier muestra que extraigamos es en realidad solo una de una distribución de muestras nos proporciona el que probablemente sea el teorema más importante de la estadística: el teorema del límite central . Sin el teorema del límite central sería imposible pasar a la estadística inferencial a partir de la teoría de la probabilidad simple. En su forma más básica, el teorema del límite central establece que, independientemente de la función de densidad de probabilidad subyacente de los datos de la población, la distribución teórica de las medias de las muestras de la población se distribuirá normalmente. En esencia, esto dice que la media de una muestra debe tratarse como una observación extraída de una distribución normal. El Teorema del Límite Central solo se cumple si el tamaño de la muestra es "suficientemente grande", lo que se ha demostrado que es de solo 30 observaciones o más. La muestra gráficamente esta importante propuesta. Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como X. Se trata de las observaciones individuales de la población. Esta es la distribución desconocida de los valores de la población. El gráfico está dibujado a propósito de forma cuadriculada para mostrar que no importa lo extraña que sea en realidad. Recuerde que nunca sabremos cómo es esta distribución, ni su media ni su desviación típica. El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como X – 's. Se trata de la distribución teórica denominada distribución muestral de las medias. Cada observación de esta distribución es una media muestral. Todas estas medias muestrales se calcularon a partir de muestras individuales con el mismo tamaño de muestra. La distribución muestral teórica contiene todos los valores medios muestrales de todas las muestras posibles que podrían haberse tomado de la población. Por supuesto, nadie tomaría realmente todas estas muestras, pero si lo hicieran, este es el aspecto que tendrían. Y el teorema del límite central dice que se distribuirán normalmente. El teorema del límite central va más allá y nos indica la media y la desviación típica de esta distribución teórica. Parámetro Distribución de la población Muestra Distribución muestral de X – 's Media μ X – μ x – y E ( μ x – ) = μ Desviación típica σ s σ x – = σ n La importancia práctica del teorema del límite central es que ahora podemos calcular las probabilidades de obtener una media muestral, X – , de la misma manera que lo hicimos para extraer observaciones específicas, X's, cuando conocíamos la media y la desviación típica de la población y que los datos de la población estaban distribuidos normalmente. La fórmula de estandarización tiene que modificarse para reconocer que la media y la desviación típica de la distribución muestral, a veces llamada error estándar de la media, son diferentes de las de la distribución de la población, pero por lo demás no ha cambiado nada. La nueva fórmula de estandarización es Z = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ n Observe que µ X – en la primera fórmula se ha cambiado por simplemente µ en la segunda versión. La razón es que matemáticamente se puede demostrar que el valor esperado de µ X – es igual a µ. Esto se ha indicado en la anteriormente. Matemáticamente, el símbolo E(x) indica el "valor esperado de x". Esta fórmula se utilizará en la siguiente unidad para proporcionar estimaciones del parámetro poblacional desconocido μ. Referencias Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos. Repaso del capítulo En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño ( n ) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ( n ). Revisión de la fórmula El teorema del límite central para las medias muestrales: X – ~ N ( μ x – , σ n ) Z = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ / n La media X – : μ x – Teorema del límite central de las medias muestrales de puntuación z z = x – – μ x – ( σ n ) Error estándar de la media (desviación típica ( X – )): σ n Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las medias: Z = x ¯ – μ σ n · N – n N – 1 Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las proporciones: σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 Tarea para la casa Anteriormente, los estudiantes de Estadística de De Anza estimaron que la cantidad de cambio que llevan los estudiantes de Estadística durante el día se distribuye exponencialmente con una media de 0,88 dólares. Supongamos que elegimos al azar a 25 estudiantes diurnos de Estadística. En palabras, Χ = ____________ Χ ~ _____(_____,_____) En palabras, X – = ____________ X – ~ ______ (______, ______) Calcule la probabilidad de que una persona tenga entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Calcule la probabilidad de que el promedio de los 25 estudiantes esté entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Explique por qué hay una diferencia en la parte e y en la parte f. Χ = cantidad de cambio que llevan los estudiantes Χ ~ E (0,88; 0,88) X – = cantidad de cambio promedio llevada por una muestra de 25 estudiantes. X – ~ N (0,88; 0,176) 0,0819 0,1882 Las distribuciones son diferentes. La parte a es exponencial y la parte b es normal. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Tomamos una muestra aleatoria de 49 batazos de aire. Si X – = distancia promedio en pies para 49 batazos de aire, entonces X – ~ _______(_______,_______) ¿Cuál es la probabilidad de que las 49 pelotas hayan volado un promedio de menos de 240 pies? Dibuje el gráfico. Escala el eje horizontal para X – . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. Calcule el percentil 80 de la distribución del promedio de 49 batazos de aire. Según el Servicio de Impuestos Internos, el tiempo promedio que tarda una persona en terminar (llevar un registro, aprender, preparar, copiar, recopilar y enviar) el formulario 1040 del IRS es de 10,53 horas (sin los anexos). La distribución es desconocida. Supongamos que la desviación típica es de dos horas. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 36 contribuyentes. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) ¿Le sorprendería que los 36 contribuyentes terminaran su formulario 1040 en un promedio de más de 12 horas? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. ¿Le sorprendería que un contribuyente terminara su formulario 1040 en más de 12 horas? Explique por qué en una oración completa. tiempo que tarda una persona en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. duración media de una muestra de 36 contribuyentes en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. N ( 10 0,53, 1 3 ) Sí. Me sorprendería, porque la probabilidad es casi 0. No. No me sorprendería del todo porque la probabilidad es de 0,2312 Supongamos que se sabe que una categoría de corredores de clase mundial corre un maratón (26 millas) en un promedio de 145 minutos con una desviación típica de 14 minutos. Considere 49 de las carreras. Supongamos que X – el promedio de las 49 carreras. X – ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el corredor tenga un promedio entre 142 y 146 minutos en estos 49 maratones. Calcule el percentil 80 del promedio de estos 49 maratones. Calcule la mediana de los tiempos promedio de ejecución. La duración de las canciones en la colección de álbumes de iTunes de un coleccionista se distribuye uniformemente de dos a 3,5 minutos. Supongamos que elegimos al azar cinco álbumes de la colección. Hay un total de 43 canciones en los cinco álbumes. En palabras, Χ = _________ Χ ~ _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) Calcule el primer cuartil para la duración promedio de la canción. El IQR (rango intercuartil) para la longitud promedio de la canción es de _______-_______. la duración de una canción, en minutos, en la colección U (2, 3,5) la duración promedio, en minutos, de las canciones de una muestra de cinco álbumes de la colección N (2,75, 0,066) 2,74 minutos 0,03 minutos En 1940, el tamaño promedio de una granja en EE. UU. era de 174 acres. Digamos que la desviación típica era de 55 acres. Supongamos que encuestamos al azar a 38 agricultores de 1940. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) El IQR para X – es de _______ acres a _______ acres. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Luego, justifique sus respuestas con oraciones completas. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la media de X – es aproximadamente igual a la media de Χ . Cuando el tamaño de la muestra es grande, X – se distribuye aproximadamente normal. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la desviación típica de X – es aproximadamente igual a la desviación típica de Χ . Verdadero. La media de una distribución del muestreo de las medias es aproximadamente la media de la distribución de los datos. Verdadero. Según el teorema del límite central, cuanto mayor sea la muestra, más se aproxima a la normalidad la distribución del muestreo de las medias. La desviación típica de la distribución del muestreo de las medias disminuirá haciéndola aproximadamente igual a la desviación típica de X a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El porcentaje de calorías de grasa que una persona en Estados Unidos consume cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de diez aproximadamente. Supongamos que se eligen 16 personas al azar. Supongamos que X – = porcentaje promedio de calorías de grasa. X – ~ ______(______, ______) Para el grupo de 16, calcule la probabilidad de que el porcentaje promedio de calorías de grasa consumidas sea superior a cinco. Grafique la situación y sombree la zona a determinar. Calcule el primer cuartil para el porcentaje promedio de calorías de grasa. La distribución de los ingresos en algunos países del tercer mundo se considera en forma de cuña (mucha gente muy pobre, muy poca gente con ingresos medios y aún menos gente rica). Supongamos que elegimos un país con una distribución en forma de cuña. Supongamos que el salario promedio es de 2.000 dólares al año con una desviación típica de 8.000 dólares. Encuestamos al azar a 1.000 residentes de ese país. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) ¿Cómo es posible que la desviación típica sea mayor que el promedio? ¿Por qué es más probable que el promedio de los 1.000 residentes sea de 2.000 a 2.100 dólares que de 2.100 a 2.200 dólares? X = los ingresos anuales de alguien en un país del tercer mundo el salario promedio de las muestras de 1.000 residentes de un país del tercer mundo X – ∼ N ( 2000, 8000 1.000 ) Las diferencias muy amplias en los valores de los datos pueden tener promedios más pequeños que las desviaciones típicas. La distribución de la media muestral tendrá mayores probabilidades de acercarse a la media de la población. P (2.000 < X – < 2.100) = 0,1537 P (2.100 < X – < 2200) = 0,1317 ¿Cuál de las siguientes opciones NO ES CIERTA sobre la distribución de los promedios? La media, la mediana y la moda son iguales. El área debajo de la curva es uno. La curva nunca toca el eje x . La curva está distorsionada hacia la derecha. El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras. La distribución que se va a usar para el costo promedio de la gasolina para las 16 gasolineras es X – ~ N (4,59; 0,10) X – ~ N ( 4 0,59, 0,10 16 ) X – ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) X – ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) b Promedio un número que describe la tendencia central de los datos; existen varios promedios especializados, como la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica. Teorema del límite central dada una variable aleatoria con media conocida μ y desviación típica conocida, σ , estamos muestreando con tamaño n , y nos interesan dos nuevas VR: la media muestral, X – . Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, entonces X – ~ N ( μ , σ n ). Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media. Error estándar de la media la desviación típica de la distribución de las medias muestrales, o σ n .

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Uso del teorema del límite central Ejemplos del teorema del límite central Ley de los grandes números La ley de los grandes números dice que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media de la distribución muestral, μ x – tiende a acercarse cada vez más a la verdadera media de la población, μ . A partir del teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n , menor será la desviación típica de la distribución muestral. (Recuerde que la desviación típica de la distribución muestral de X – es σ n ). Esto significa que la media muestral x – debe estar más cerca de la media poblacional μ a medida que n aumenta. Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números. Este concepto es tan importante y desempeña un papel tan decisivo en lo que sigue que merece un mayor desarrollo. De hecho, hay dos cuestiones críticas que se derivan del teorema del límite central y de la aplicación de la ley de los grandes números a este. Estos son La función de densidad de probabilidad de la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente independientemente de la distribución subyacente de las observaciones de la población y la desviación típica de la distribución muestral disminuye a medida que aumenta el tamaño de las muestras que se utilizaron para calcular las medias de la distribución muestral. Tomando estos en orden. Parece contradictorio que la población pueda tener cualquier distribución y que la distribución de las medias procedentes de ella se distribuya normalmente. Con el uso de computadoras, se pueden simular experimentos que muestren el proceso por el cual la distribución de muestreo cambia a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Estas simulaciones muestran visualmente los resultados de la demostración matemática del teorema del límite central. He aquí tres ejemplos de distribuciones poblacionales muy diferentes y la evolución de la distribución muestral hacia una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El panel superior en estos casos representa el histograma de los datos originales. Los tres paneles muestran los histogramas de 1000 muestras extraídas al azar para diferentes tamaños de muestra: n=10, n= 25 y n=50. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, y el número de muestras tomadas se mantiene constante, la distribución de las medias de 1000 muestras se acerca más a la línea suave que representa la distribución normal. La es para una distribución normal de las observaciones individuales y esperaríamos que la distribución de muestreo convergiera en la normal rápidamente. Los resultados lo demuestran y muestran que, incluso con un tamaño de muestra muy pequeño, la distribución se aproxima a la distribución normal. La es una distribución uniforme que, de forma un poco sorprendente, se acerca rápidamente a la distribución normal incluso con solo una muestra de 10. La es una distribución sesgada. Esta última podría ser una exponencial, geométrica o binomial con una pequeña probabilidad de éxito creando el sesgo en la distribución. En el caso de las distribuciones asimétricas, nuestra intuición nos dice que se necesitarán tamaños de muestra mayores para pasar a una distribución normal y de hecho, eso es lo que observamos en la simulación. Sin embargo, con un tamaño de muestra de 50, que no se considera muy grande, la distribución de las medias muestrales ha adquirido muy decididamente la forma de la distribución normal. El teorema del límite central proporciona algo más que la prueba de que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. También nos proporciona la media y la desviación típica de esta distribución. Además, como se ha comentado anteriormente, el valor esperado de la media, μ x – , es igual a la media de la población de los datos originales que es lo que nos interesa estimar a partir de la muestra que tomamos. Ya hemos insertado esta conclusión del teorema del límite central en la fórmula que utilizamos para estandarizar desde la distribución muestral a la distribución normal estándar. Y, por último, el teorema del límite central también ha proporcionado la desviación típica de la distribución muestral, σ x – = σ n , y esto es crítico para poder calcular las probabilidades de los valores de la nueva variable aleatoria, x – . La muestra una distribución de muestreo. La media se ha marcado en el eje horizontal de las x – y la desviación típica se ha escrito a la derecha sobre la distribución. Observe que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica original de la población, dividida entre el tamaño de la muestra. Ya hemos visto que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución muestral se acerca cada vez más a la distribución normal. Como esto ocurre, la desviación típica de la distribución muestral cambia de otra manera; la desviación típica disminuye a medida que n aumenta. Cuando n es muy grande, la desviación típica de la distribución muestral se hace muy pequeña y en el infinito colapsa sobre la media de la población. Esto es lo que significa que el valor esperado de µ x – es la media de la población, µ. En valores no extremos de n, esta relación entre la desviación típica de la distribución muestral y el tamaño de la muestra desempeña un papel muy importante en nuestra capacidad para estimar los parámetros que nos interesan. La muestra tres distribuciones de muestreo. El único cambio que se ha realizado es el tamaño de la muestra que se utilizó para obtener las medias muestrales de cada distribución. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, n pasa de 10 a 30 a 50, las desviaciones típicas de las respectivas distribuciones muestrales disminuyen porque el tamaño de la muestra está en el denominador de las desviaciones típicas de las distribuciones muestrales. Las implicaciones de esto son muy importantes. La muestra el efecto del tamaño de la muestra en la confianza que tendremos en nuestras estimaciones. Se trata de dos distribuciones muestrales de la misma población. Una distribución de muestreo se creó con muestras de tamaño 10 y la otra con muestras de tamaño 50. Si todo lo demás es constante, la distribución de muestreo con un tamaño de muestra de 50 tiene una desviación típica menor que hace que el gráfico sea más alto y estrecho. El efecto importante de esto es que para la misma probabilidad de una desviación típica de la media, esta distribución cubre mucho menos rango de valores posibles que la otra distribución. Una desviación típica está marcada en el eje X – para cada distribución. Esto se muestra con las dos flechas que son más o menos una desviación típica para cada distribución. Si la probabilidad de que la verdadera media esté a una desviación típica de la media, entonces para la distribución de muestreo con el tamaño de muestra más pequeño, el rango posible de valores es mucho mayor. Una pregunta sencilla es: ¿preferiría tener una media muestral de la distribución estrecha y ajustada o de la distribución plana y amplia como estimación de la media de la población? Su respuesta nos dice por qué la gente intuitivamente siempre elegirá datos de una muestra grande en lugar de una muestra pequeña. La media muestral que obtienen procede de una distribución más compacta. Este concepto será la base de lo que se llamará nivel de confianza en la siguiente unidad. Repaso del capítulo El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral x – llega a μ . Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas. ¿Cuál es la distribución de los pesos de una pesa de 25 libras? ¿Cuál es la media y la desviación típica? ¿Cuál es la distribución del peso medio de 100 pesas de 25 libras? Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea inferior a 24,9. U (24, 26), 25, 0,5774 N (25, 0,0577) 0,0416 Dibuje el gráfico del Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea mayor que 25,2. 0,0003 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso medio de las 100 pesas. 25,07 Dibuje el gráfico de la ¿Cuál es la distribución de la suma de los pesos de 100 pesas de 25 libras? Calcule P ( Σx < 2.450). N (2.500; 5,7735) 0 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso total de las 100 pesas. 2.507,40 Dibuje el gráfico de la Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál es el parámetro m ? 10 1 10 ¿Cuál es la distribución de la duración de una batería? ¿Cuál es la distribución de la duración media de 64 baterías? N ( 10, 10 8 ) ¿Cuál es la distribución de la duración total de 64 baterías? Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre siete y 11. 0,7799 Calcule el percentil 80 para la duración total de 64 baterías. Calcule el IQR para la media de tiempo que duran 64 baterías. 1,69 Calcule el 80 % del centro para el tiempo total de duración de 64 baterías. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas. Calcule P ( Σx > 420). 0,0072 Calcule el percentil 90 de las sumas. Calcule el percentil 15 de las sumas. 391,54 Calcule el primer cuartil de las sumas. Calcule el tercer cuartil para las sumas. 405,51 Calcule el percentil 80 de las sumas. Una población tiene una media de 25 y una desviación típica de 2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 49, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 25, desviación típica = 2/7 Una población tiene una media de 48 y una desviación típica de 5. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 36, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 48, desviación típica = 5/6 Una población tiene una media de 90 y una desviación típica de 6. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 64, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 90, desviación típica = 3/4 Una población tiene una media de 120 y una desviación típica de 2,4. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 40, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 120, desviación típica = 0,38 Una población tiene una media de 17 y una desviación típica de 1,2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 50, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 17, desviación típica = 0,17 Una población tiene una media de 17 y una desviación típica de 0,2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 16, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 17, desviación típica = 0,05 Una población tiene una media de 38 y una desviación típica de 3. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 48, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 38, desviación típica = 0,43 Una población tiene una media de 14 y una desviación típica de 5. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 60, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 14, desviación típica = 0,65 Tarea para la casa Una gran población de 5000 estudiantes realiza un examen de práctica para preparar una prueba estandarizada. La media de la población es de 140 preguntas correctas y la desviación típica es de 80. ¿Qué tamaño de muestras debe tomar un investigador para obtener una distribución de medias de las muestras con una desviación típica de 10? 64 Una población grande tiene datos sesgados con una media de 70 y una desviación típica de 6. Se toman 100 muestras y se analiza la distribución de las medias de estas muestras. ¿La distribución de las medias se acercará más a una distribución normal que la distribución de la población? ¿Se mantendrá la media de las medias de las muestras cerca de 70? ¿La distribución de las medias tendrá una desviación típica menor? ¿Cuál es esa desviación típica? Sí Sí Sí 0,6 Un investigador observa los datos de una gran población con una desviación típica demasiado grande. Para concentrar la información, el investigador decide muestrear repetidamente los datos y utilizar la distribución de las medias de las muestras. En el primer esfuerzo se utilizó una muestra de un tamaño de 100. Pero la desviación típica era aproximadamente el doble del valor que quería el investigador. ¿Cuál es el tamaño más pequeño de las muestras que el investigador puede utilizar para solucionar el problema? 400 Un investigador observa un gran conjunto de datos y concluye que la población tiene una desviación típica de 40. Si se utilizan tamaños de muestra de 64, el investigador es capaz de centrar la media de las medias de la muestra en una distribución más estrecha en la que la desviación típica es de 5. Entonces, el investigador se da cuenta de que hubo un error en los cálculos originales, y la desviación típica inicial es realmente 20. Dado que la desviación típica de las medias de las muestras se obtuvo utilizando la desviación típica original, este valor también se ve afectado por el descubrimiento del error. ¿Cuál es el valor correcto de la desviación típica de las medias de las muestras? 2,5 Una población tiene una desviación típica de 50. Se muestrea con muestras de tamaño 100. ¿Cuál es la varianza de las medias de las muestras? 25 Media un número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es “promedio”. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Factor de corrección de la población finita ajusta la varianza de la distribución del muestreo si la población es conocida y se está realizando muestras más del 5 % de la población. Distribución normal variable aleatoria continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria, Z, se llama distribución normal estándar . Error estándar de la proporción desviación típica de la distribución muestral de las proporciones

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Teorema del límite central de las proporciones El teorema del límite central nos dice que la estimación puntual de la media muestral, x ¯ , proviene de una distribución normal de x ¯ 's. Esta distribución teórica se denomina distribución muestral de x ¯ 's. Ahora investigamos la distribución de muestreo para otro parámetro importante que deseamos estimar; p de la función de densidad de probabilidad binomial. Si la variable aleatoria es discreta, como en el caso de los datos categóricos, el parámetro que deseamos estimar es la proporción de la población. Esta es, por supuesto, la probabilidad de obtener un éxito en cualquier sorteo aleatorio. A diferencia del caso que acabamos de discutir para una variable aleatoria continua en la que no conocíamos la distribución poblacional de las X, aquí sí conocemos la función de densidad de probabilidad subyacente para estos datos; es la binomial. La variable aleatoria es X = el número de aciertos y el parámetro que deseamos conocer es p, la probabilidad de sacar un acierto que es, por supuesto, la proporción de aciertos en la población. La pregunta que se plantea es: ¿a partir de qué distribución se obtuvo la proporción de la muestra, p' = x n extraída? El tamaño de la muestra es n y X es el número de aciertos encontrados en esa muestra. Se trata de una pregunta paralela a la que acaba de responder el teorema del límite central: ¿de qué distribución era la media de la muestra, x ¯ , extraída? Vimos que una vez que supimos que la distribución era la normal, pudimos crear intervalos de confianza para el parámetro poblacional: µ. También utilizaremos esta misma información para comprobar las hipótesis sobre la media de la población más adelante. Ahora queremos ser capaces de desarrollar intervalos de confianza para el parámetro poblacional "p" a partir de la función de densidad de probabilidad binomial. Para hallar la distribución de la que proceden las proporciones muestrales, necesitamos desarrollar la distribución muestral de las proporciones muestrales, al igual que hicimos con las medias muestrales. Imaginemos de nuevo que tomamos una muestra aleatoria de, por ejemplo, 50 personas y les preguntamos si apoyan la nueva emisión de bonos escolares. A partir de esto encontramos una proporción muestral, p', y la graficamos en el eje de las p'. Hacemos esto una y otra vez, etc., hasta que tengamos la distribución teórica de las p'. Algunas proporciones de la muestra presentarán una alta favorabilidad hacia la emisión de bonos y otras presentarán una baja favorabilidad porque el muestreo aleatorio reflejará la variación de opiniones dentro de la población. Lo que hemos hecho puede verse en la . El panel superior es la distribución poblacional de probabilidades para cada valor posible de la variable aleatoria X. Aunque no sabemos cómo es la distribución específica porque no conocemos p, el parámetro poblacional, sí sabemos que debe ser algo así. En realidad, no conocemos ni la media ni la desviación típica de esta distribución de la población, la misma dificultad a la que nos enfrentamos al analizar las X anteriormente. La sitúa la media en la distribución de probabilidades de la población como µ = n p pero, por supuesto, no conocemos realmente la media de la población porque no conocemos la probabilidad de éxito de la población, p . Debajo de la distribución de los valores de la población se encuentra la distribución muestral de p 's. De nuevo, el teorema del límite central nos dice que esta distribución se distribuye normalmente al igual que el caso de la distribución muestral para x ¯ 's. Esta distribución muestral también tiene una media, la media de p ', y una desviación típica, σ p ' . Es importante destacar que, en el caso del análisis de la distribución de las medias muestrales, el teorema del límite central nos indicó el valor esperado de la media de las medias muestrales en la distribución muestral, y la desviación típica de la distribución muestral. De nuevo, el teorema del límite central proporciona esta información para la distribución de muestreo de las proporciones. Las respuestas son El valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, µ p' , es la proporción de población, p. La desviación típica de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, σ p' , es la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, n. Estas dos conclusiones son las mismas que hemos encontrado para la distribución de muestreo de las medias de las muestras. Sin embargo, en este caso, como la media y la desviación típica de la distribución binomial dependen de p , la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral requiere una manipulación algebraica para ser útil. Lo abordaremos en el próximo capítulo. A continuación, se ofrece la demostración de estas importantes conclusiones del teorema del límite central. E ( p ' ) = E ( x n ) = ( 1 n ) E ( x ) = ( 1 n ) n p = p (El valor esperado de X, E(x), es simplemente la media de la distribución binomial que sabemos que es np). σ p' 2 = Var ( p ' ) = Var ( x n ) = 1 n 2 ( Var ( x ) ) = 1 n 2 ( n p ( 1 – p ) ) = p ( 1 – p ) n La desviación típica de la distribución muestral de las proporciones es, por tanto, la siguiente σ p' = p ( 1 – P ) n Parámetro Distribución de la población Muestra Distribución muestral de las p Media µ = np p ' = x n p' y E(p') = p Desviación típica σ = n p q σ p' = p ( 1 – p ) n La resume estos resultados y muestra la relación entre la población, la muestra y la distribución muestral. Nótese el paralelismo entre esta Tabla y la Tabla 7.1 para el caso en que la variable aleatoria es continua y estábamos desarrollando la distribución muestral para las medias. Repasando la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral para las proporciones vemos que a medida que n aumenta la desviación típica disminuye. Esta es la misma observación que hicimos para la desviación típica de la distribución de muestreo para las medias. De nuevo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, se observa que la estimación puntual de µ o p procede de una distribución cada vez más estrecha. Llegamos a la conclusión de que, con un nivel de probabilidad determinado, el rango del que procede la estimación puntual es menor a medida que aumenta el tamaño de la muestra, n. La figura 7.8 muestra este resultado para el caso de las medias muestrales. Simplemente sustituya p ' por x ¯ y podemos ver el impacto del tamaño de la muestra en la estimación de la proporción de la muestra. Repaso del capítulo El teorema del límite central también puede utilizarse para ilustrar que la distribución muestral de las proporciones de la muestra se distribuye normalmente con el valor esperado de p y una desviación típica de σ p' = p ( 1 – p ) n Se hace una pregunta a una clase de 200 estudiantes de primer año y el 23 % de los estudiantes sabe la respuesta correcta. Si se toma repetidamente una muestra de 50 estudiantes, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,23 Se hace una pregunta a una clase de 200 estudiantes de primer año y el 23 % de los estudiantes sabe la respuesta correcta. Si se toma repetidamente una muestra de 50 estudiantes, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,060 Un juego se juega repetidamente. Un jugador gana una quinta parte de las veces. Si se toman repetidamente 40 muestras por cada juego, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/5 Un juego se juega repetidamente. Un jugador gana una quinta parte de las veces. Si se toman repetidamente 40 muestras por cada juego, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,063 Un virus ataca a una de cada tres personas expuestas a él. Toda una gran ciudad está expuesta. Si se toman muestras de 70 personas, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/3 Un virus ataca a una de cada tres personas expuestas a él. Toda una gran ciudad está expuesta. Si se toman muestras de 70 personas, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,056 Una compañía inspecciona productos que pasan por su proceso de producción y rechaza los productos detectados. Una décima parte de los artículos son rechazados. Si se toman muestras de 50 elementos, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/10 Una compañía inspecciona productos que pasan por su proceso de producción y rechaza los productos detectados. Una décima parte de los artículos son rechazados. Si se toman muestras de 50 elementos, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,042 Tarea para la casa Un agricultor recoge calabazas en un campo extenso. El agricultor toma muestras de 260 calabazas y las inspecciona. Si una de cada cincuenta calabazas no es apta para el mercado y se guarda para semillas, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,0087 Una tienda encuesta a los clientes para ver si están satisfechos con el servicio que recibieron. Se toman muestras de 25 encuestas. Una de cada cinco personas está insatisfecha. ¿Cuál es la varianza de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra para el número de clientes insatisfechos? ¿Cuál es la diferencia entre los clientes satisfechos? 0,0064, 0,0064 Una compañía hace una encuesta anónima a sus empleados para ver qué porcentaje de ellos está contento. La compañía es demasiado grande para comprobar cada respuesta, así que se toman muestras de 50, y la tendencia es que tres cuartas partes de los empleados están contentos. Para la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, responda a las siguientes preguntas, si el tamaño de la muestra se duplica. ¿Cómo afecta esto a la media? ¿Cómo afecta esto a la desviación típica? ¿Cómo afecta esto a la varianza? No tiene ningún efecto. Se divide entre 2 . Se divide entre 2. Un encuestador hace una sola pregunta con solo un sí y un no como posibilidades de respuesta. La encuesta se realiza a nivel nacional, por lo que se toman muestras de 100 respuestas. Hay cuatro respuestas afirmativas para cada respuesta negativa en general. Para la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, halle lo siguiente para las respuestas afirmativas. El valor esperado. La desviación típica. La varianza. 4/5 0,04 0,0016 La media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra tiene un valor de p de 0,3 y un tamaño de muestra de 40. ¿Hay alguna diferencia en el valor esperado si p y q invierten los roles? ¿Hay alguna diferencia en el cálculo de la desviación típica con la misma inversión? Sí No

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Factor de corrección de población finita Hemos visto que el tamaño de la muestra tiene un efecto importante en la varianza y, por tanto, en la desviación típica de la distribución muestral. También es interesante la proporción de la población total que ha sido muestreada. Hemos asumido que la población es extremadamente grande y que hemos muestreado una pequeña parte de ella. A medida que la población se hace más pequeña y muestreamos un mayor número de observaciones, las observaciones de la muestra no son independientes entre sí. Para corregir el impacto de esto, se puede utilizar el factor de corrección finito para ajustar la varianza de la distribución de muestreo. Es apropiado cuando se muestrea más del 5 % de la población y esta tiene un tamaño poblacional conocido. Hay casos en los que se conoce la población, por lo que hay que aplicar el factor de corrección. El problema se plantea tanto para la distribución muestral de las medias como para la distribución muestral de las proporciones. El factor de corrección de la población finita para la varianza de las medias que aparece en la fórmula de normalización es: Z = x ¯ – µ σ n · N – n N – 1 y para la varianza de las proporciones es: σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el factor. Las varianzas muestrales se ajustan mediante la fórmula anterior. Se sabe que la población de pastores alemanes blancos en EE. UU. es de 4.000 perros y el peso medio de los pastores alemanes es de 75,45 libras. También se sabe que la desviación típica de la población es de 10,37 libras. Si el tamaño de la muestra es de 100 perros, halle la probabilidad de que una muestra tenga una media que difiera de la verdadera media probabilística en menos de 2 libras. N = 4.000 , n = 100 , σ = 10,37 , µ = 75,45 , ( x ¯ – µ ) = ± 2 Z = x ¯ – µ σ n · N – n N – 1 = ± 2 10,37 100 · 4.000 – 100 4.000 – 1 = ± 1,95 f ( Z ) = 0,4744 · 2 = 0,9488 Tenga en cuenta que "difiere en menos" hace referencia al área a ambos lados de la media dentro de 2 libras a la derecha o a la izquierda. Cuando un cliente hace un pedido a Rudy's On-Line Office Supplies, un sistema informático de información contable (accounting information system, AIS) comprueba automáticamente si el cliente ha superado su límite de crédito. Los registros anteriores indican que la probabilidad de que los clientes superen su límite de crédito es de 0,06. Supongamos que en un día determinado se realizan 3.000 pedidos en total. Si seleccionamos al azar 360 pedidos, ¿cuál es la probabilidad de que entre 10 y 20 clientes superen su límite de crédito? N = 3.000 , n = 360 , p = 0,06 σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 = 0,06 ( 1 – 0,06 ) 360 × 3.000 – 360 3.000 – 1 = 0,0117 p 1 = 10 360 = 0,0278 , p 2 = 20 360 = 0,0556 Z = p ' – p p ( 1 – p ) n · N – n N – 1 = 0,0278 – 0,06 0,011744 = −2,74 Z = p ' – p p ( 1 – p ) n · N – n N – 1 = 0,0556 – 0,06 0,011744 = −0,38 p ( 0,0278 – 0,06 0,011744 < z < 0,0556 – 0,06 0,011744 ) = p ( −2,74 < z < −0,38 ) = 0,4969 – 0,1480 = 0,3489 Un barco pesquero lleva 1.000 peces a bordo, con un peso promedio de 120 libras y una desviación típica de 6,0 libras. Si se revisan tamaños de muestra de 50 peces, ¿cuál es la probabilidad de que los peces de una muestra tengan un peso medio dentro de 2,8 libras de la media real de la población? 0,999 Un jardín experimental cuenta con 500 plantas de girasol. Las plantas están siendo tratadas para que crezcan a alturas inusuales. La altura promedio es de 9,3 pies con una desviación típica de 0,5 pies. Si se toman muestras de 60 plantas, ¿cuál es la probabilidad de que las plantas de una muestra determinada tengan una altura promedio dentro de 0,1 pies de la media real de la población? 0,901 Una compañía tiene 800 empleados. El número promedio de días de trabajo entre ausencias por enfermedad es de 123, con una desviación típica de 14 días. Se examinan muestras de 50 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra tenga una media de días de trabajo sin ausencia por enfermedad de al menos 124 días? 0,301 Unos automóviles pasan por un dispositivo automático de control de velocidad que monitorea 2.000 automóviles en un día determinado. Esta población de automóviles tiene una velocidad media de 67 millas por hora con una desviación típica de 2 millas por hora. Si se toman muestras de 30 automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra dada tenga una velocidad promedio dentro de 0,50 millas por hora de la media de la población? 0,832 Un pueblo lleva un registro meteorológico. A partir de estos registros se ha determinado que llueve un promedio del 37 % de los días al año. Si se seleccionan 30 días al azar de un año, ¿cuál es la probabilidad de que hayan llovido al menos 5 y como máximo 11 días? 0,483 Un fabricante de varas de medir tiene un problema de tinta que hace que las marcas se corran en el 4 % de las varas. La producción diaria es de 2.000 varas de medir. ¿Cuál es la probabilidad de que si se comprueba una muestra de 100 varas de medir, haya tinta corrida como máximo en 4 varas de medir? 0,500 Una escuela tiene 300 estudiantes. Normalmente, hay un promedio de 21 estudiantes que se ausentan. Si se toma una muestra de 30 estudiantes en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 2 estudiantes de la muestra estén ausentes? 0,502 Una universidad hace una prueba de nivelación a 5.000 estudiantes de nuevo ingreso cada año. En promedio, 1.213 quedan en uno o más cursos de desarrollo. Si se toma una muestra de 50 de los 5.000, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 12 de los incluidos en la muestra tengan que hacer al menos un curso de desarrollo? 0,519 Tarea para la casa Una compañía tiene 1.000 empleados. El número promedio de días de trabajo entre ausencias por enfermedad es de 80, con una desviación típica de 11 días. Se examinan muestras de 80 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra tenga una media de días de trabajo sin ausencia por enfermedad de al menos 78 días y como máximo 84 días? 0,955 Unos camiones pasan por una báscula automática que controla 2.000 camiones. Esta población de camiones tiene un peso promedio de 20 toneladas con una desviación típica de 2 toneladas. Si se toma una muestra de 50 camiones, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra tenga un peso promedio dentro de la media de la población? 0,927 Un pueblo lleva un registro meteorológico. A partir de estos registros se ha determinado que llueve un promedio del 12 % de los días al año. Si se seleccionan 30 días al azar de un año, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 3 días hayan llovido? 0,648 Un fabricante de tarjetas de felicitación tiene un problema de tinta que hace que esta se corra en el 7 % de las tarjetas. La producción diaria es de 500 tarjetas. ¿Cuál es la probabilidad de que, si se revisa una muestra de 35 tarjetas, haya tinta manchada como máximo en 5 tarjetas? 0,101 Una escuela tiene 500 estudiantes. Por lo general, hay un promedio de 20 estudiantes que se ausentan. Si se toma una muestra de 30 estudiantes en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 estudiantes de la muestra estén ausentes? 0,273

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Introducción ¿Se ha preguntado alguna vez cuál es el promedio de M&M que hay en una bolsa en el supermercado? Puede usar los intervalos de confianza para responder esta pregunta (créditos: comedy_nose/flickr). Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción verdadera del parámetro p en la función de densidad de probabilidad binomial. Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial . Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza. Lo que la estadística nos proporciona, más allá de un simple promedio o estimación puntual, es una estimación a la que podemos atribuir una probabilidad de exactitud, lo que llamaremos un nivel de confianza. Hacemos inferencias con un nivel de probabilidad conocido. En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija. Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral, x – , y la desviación típica de la muestra, s . Usaría x – para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral, x – , es la estimación puntual de la media de la población, μ . La desviación típica de la muestra, s , es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ . x – y s se denominan cada uno una estadística. Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. El intervalo de números es un rango de valores calculado a partir de un conjunto determinado de datos de muestra. Es probable que el intervalo de confianza incluya el parámetro poblacional desconocido. Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ , pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica de la distribución muestral de las medias de la muestra es σ n = 1 100 = 0,1 . La regla empírica , que se aplica a la distribución normal, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral, x – , estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ . Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral x – es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ . Dado que x – está dentro de 0,2 unidades de μ , que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de x – con un 95 % de probabilidad. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre x – – 0 0,2 y x – + 0 0,2 en el 95 % de las muestras. Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral x – = 2 . Entonces con un 95 % de probabilidad la media poblacional desconocida μ está entre x – – 0,2 = 2 – 0,2 = 1,8 y x – + 0,2 = 2 + 0,2 = 2,2 Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2). Tenga en cuenta que hablamos en términos de confianza del 95 % utilizando la regla empírica. La regla empírica para dos desviaciones típicas es solo aproximadamente el 95 % de la probabilidad bajo la distribución normal. Para ser precisos, dos desviaciones típicas en una distribución normal son en realidad el 95,44 % de la probabilidad. Para calcular el nivel de confianza exacto del 95 % utilizaríamos 1,96 desviaciones típicas. El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ, o bien nuestra muestra produjo un x – que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ . La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de todas las muestras (95 % menos 100 % = 5 %). Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ . Para el intervalo de confianza de una media la fórmula sería μ = X – ± Z α σ n O escrito de otra manera como: X – – Z α σ n ≤ μ ≤ X – + Z α σ n Donde X – es la media de la muestra. Z α se determina por el nivel de confianza deseado por el analista, y σ n es la desviación típica de la distribución muestral para las medias que nos da el teorema del límite central. Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de el nivel de confianza deseado, información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, la desviación típica conocida), la muestra y su tamaño. Estadística Inferencial también llamada inferencia estadística o estadística inductiva; esta faceta de la estadística se ocupa de estimar un parámetro poblacional a partir de un estadístico muestral. Por ejemplo, si cuatro de las 100 calculadoras muestreadas son defectuosas, podríamos deducir que el cuatro por ciento de la producción es defectuosa. Parámetro una característica numérica de una población Estimación puntual un número único calculado a partir de una muestra y utilizado para estimar un parámetro de la población

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