Niveles de medición Una vez que tenga un conjunto de datos, tendrá que organizarlos para poder analizar la frecuencia con la que aparece cada dato en el conjunto. Sin embargo, al calcular la frecuencia, es posible que tenga que redondear sus respuestas para que sean lo más precisas posible. Niveles de medición La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición . Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel): Nivel de escala nominal Nivel de escala ordinal Nivel de escala de intervalos Nivel de escala de cociente Los datos que se miden mediante una escala nominal son cualitativos (categóricos) . Categorías, colores, nombres, etiquetas y alimentos favoritos junto con las respuestas de sí o no son ejemplos de datos de nivel nominal. Los datos de escala nominal no están ordenados. Por ejemplo, intentar clasificar a las personas según su comida favorita no tiene ningún sentido. Poner la pizza en primer lugar y el sushi en segundo no tiene sentido. Las compañías de teléfonos inteligentes son otro ejemplo de datos de escala nominal. Los datos son los nombres de las compañías que fabrican teléfonos inteligentes, pero no hay un orden consensuado de estas marcas, aunque la gente pueda tener preferencias personales. Los datos de escala nominal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con una escala ordinal son similares a los datos de la escala nominal, pero hay una gran diferencia. Los datos de la escala ordinal se pueden ordenar. Un ejemplo de datos de escala ordinal es una lista de los cinco mejores parques nacionales de Estados Unidos. Los cinco principales parques nacionales de Estados Unidos se pueden clasificar del uno al cinco, pero no podemos medir las diferencias entre los datos. Otro ejemplo de uso de la escala ordinal es una encuesta sobre un crucero en la que las respuestas son “excelente”, “bueno”, “satisfactorio” e “insatisfactorio”. Estas respuestas están ordenadas de la respuesta más deseada a la menos deseada. Pero las diferencias entre dos datos no se pueden medir. Al igual que los datos de la escala nominal, los datos de la escala ordinal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con la escala de intervalos son similares a los datos de nivel ordinal porque tienen un orden definido, pero hay una diferencia entre los datos. Las diferencias entre los datos de la escala de intervalos se pueden medir aunque los datos no tengan un punto de partida. Las escalas de temperatura como Celsius (C) y Fahrenheit (F) se miden utilizando la escala de intervalos. En ambas medidas de temperatura, 40° es igual a 100° menos 60°. Las diferencias tienen sentido. Pero los 0 grados no porque, en ambas escalas, el 0 no es la temperatura mínima absoluta. Existen temperaturas como –10 °F y –15 °C que son más frías que el 0. Los datos a nivel de intervalo pueden utilizarse en cálculos, pero no se puede hacer un tipo de comparación. 80 °C no es cuatro veces más caliente que 20 °C (ni 80 °F es cuatro veces más caliente que 20 °F). El cociente de 80 a 20 (o de cuatro a uno) no tiene sentido. Los datos que se miden con la escala de cociente se encargan del problema de las proporciones y ofrecen más información. Los datos de la escala de cociente son como los datos de la escala de intervalos, pero tienen un punto 0 y se pueden calcular cocientes. Por ejemplo, las calificaciones de cuatro exámenes finales de Estadística de opción múltiple son 80, 68, 20 y 92 (sobre 100 puntos posibles). Los exámenes son calificados por máquina. Los datos se pueden ordenar de menor a mayor: 20, 68, 80, 92. Las diferencias entre los datos tienen un significado. La calificación de 92 es superior a la de 68 por 24 puntos. Se pueden calcular cocientes. La calificación más baja es 0. Así que 80 es cuatro veces 20. La calificación de 80 es cuatro veces mejor que la de 20. Frecuencia Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: 5 6 3 3 2 4 7 5 2 3 5 6 5 4 4 3 5 2 5 3 . La enumera los diferentes valores de los datos en orden ascendente y sus frecuencias. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes Valor de los datos Frecuencia 2 3 3 5 4 3 5 6 6 2 7 1 Una frecuencia es el número de veces que se produce un valor de los datos. Según la , hay tres estudiantes que trabajan dos horas, cinco estudiantes que trabajan tres horas y así sucesivamente. La suma de los valores de la columna de frecuencia, 20, representa el número total de estudiantes incluidos en la muestra. Una frecuencia relativa es el cociente (fracción o proporción) entre el número de veces que se produce un valor de los datos en el conjunto de todos los resultados y el número total de resultados. Para hallar las frecuencias relativas, divida cada frecuencia entre el número total de estudiantes de la muestra, en este caso, 20. Las frecuencias relativas se pueden escribir como fracciones, porcentajes o decimales. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas Valor de los datos Frecuencia Frecuencia relativa 2 3 3 20 o 0,15 3 5 5 20 o 0,25 4 3 3 20 o 0,15 5 6 6 20 o 0,30 6 2 2 20 o 0,10 7 1 1 20 o 0,05 La suma de los valores de la columna de frecuencia relativa de la es 20 20 , o 1. La frecuencia relativa acumulada es la acumulación de las frecuencias relativas anteriores. Para hallar las frecuencias relativas acumuladas se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual, como se muestra en la . Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas y acumuladas Valor de los datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2 3 3 20 o 0,15 0,15 3 5 5 20 o 0,25 0,15 + 0,25 = 0,40 4 3 3 20 o 0,15 0,40 + 0,15 = 0,55 5 6 6 20 o 0,30 0,55 + 0,30 = 0,85 6 2 2 20 o 0,10 0,85 + 0,10 = 0,95 7 1 1 20 o 0,05 0,95 + 0,05 = 1,00 La última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada es uno, lo que indica que se ha acumulado el cien por ciento de los datos. NOTA Debido al redondeo, es posible que la columna de frecuencia relativa no sume siempre uno, y que la última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada no sea uno. Sin embargo, cada uno de ellos debería estar cerca de uno. La representa las alturas, en pulgadas, de una muestra de 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales. Tabla de frecuencias de la altura de los jugadores de fútbol Estatura (en pulgadas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 59,95–61,95 5 5 100 = 0,05 0,05 61.95–63.95 3 3 100 = 0,03 0,05 + 0,03 = 0,08 63.95–65.95 15 15 100 = 0,15 0,08 + 0,15 = 0,23 65.95–67.95 40 40 100 = 0,40 0,23 + 0,40 = 0,63 67.95–69.95 17 17 100 = 0,17 0,63 + 0,17 = 0,80 69.95–71.95 12 12 100 = 0,12 0,80 + 0,12 = 0,92 71.95–73.95 7 7 100 = 0,07 0,92 + 0,07 = 0,99 73.95–75.95 1 1 100 = 0,01 0,99 + 0,01 = 1,00 Total = 100 Total = 1,00 Los datos de esta tabla se han agrupado en los siguientes intervalos: de 59,95 a 61,95 pulgadas de 61,95 a 63,95 pulgadas de 63,95 a 65,95 pulgadas de 65,95 a 67,95 pulgadas de 67,95 a 69,95 pulgadas de 69,95 a 71,95 pulgadas de 71,95 a 73,95 pulgadas de 73,95 a 75,95 pulgadas En esta muestra hay cinco jugadores cuyas alturas están dentro del intervalo de 59,95 a 61,95 pulgadas, tres dentro del intervalo de 61,95 a 63,95 pulgadas, 15 dentro del intervalo de 63,95 a 65,95 pulgadas, 40 dentro del intervalo de 65,95 a 67,95 pulgadas, 17 dentro del intervalo de 67,95 a 69,95 pulgadas, 12 jugadores dentro del intervalo de 69,95 a 71,95, siete dentro del intervalo de 71,95 a 73,95 y un jugador cuya altura está dentro del intervalo de 73,95 a 75,95. Todas las alturas caen entre los puntos finales de un intervalo y no en los puntos finales. A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que son inferiores a 65,95 pulgadas. Si se observan la primera, la segunda y la tercera filas, las alturas son todas inferiores a 65,95 pulgadas. Hay 5 + 3 + 15 = 23 jugadores cuya altura es inferior a 65,95 pulgadas. El porcentaje de alturas inferiores a 65,95 pulgadas es entonces 23 100 o el 23 %. Este porcentaje es la entrada de frecuencia relativa acumulada en la tercera fila. Ejercicio La muestra la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. Precipitaciones (en pulgadas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2,95-4,97 6 6 50 = 0,12 0,12 4,97-6,99 7 7 50 = 0,14 0,12 + 0,14 = 0,26 6,99-9,01 15 15 50 = 0,30 0,26 + 0,30 = 0,56 9,01-11,03 8 8 50 = 0,16 0,56 + 0,16 = 0,72 11,03-13,05 9 9 50 = 0,18 0,72 + 0,18 = 0,90 13,05-15,07 5 5 50 = 0,10 0,90 + 0,10 = 1,00 Total = 50 Total = 1,00 A partir de la , calcule el porcentaje de precipitación que es inferior a 9,01 pulgadas. Ejercicio Soluciones 0,56 o 56 % A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que se encuentran entre 61,95 y 65,95 pulgadas. Sume las frecuencias relativas en la segunda y tercera filas: 0,03 + 0,15 = 0,18 o 18 %. Ejercicio A partir de la , calcule el porcentaje de precipitaciones que se encuentra entre 6,99 y 13,05 pulgadas. Ejercicio Soluciones 0,30 + 0,16 + 0,18 = 0,64 o 64 % Utilice las alturas de los 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales en la . Rellene los espacios en blanco y compruebe sus respuestas. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 71,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 73,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas superiores a 65,95 pulgadas es: ____. El número de jugadores de la muestra que miden entre 61,95 y 71,95 pulgadas es: ____. ¿Qué tipo de datos son las alturas? Describa cómo podría reunir estos datos (las alturas) para que los datos sean característicos de todos los jugadores hombres de fútbol semiprofesionales. Recuerde, usted cuentas frecuencias . Para hallar la frecuencia relativa, divida la frecuencia entre el número total de valores de datos. Para hallar la frecuencia relativa acumulada se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual. 29 % 36 % 77 % 87 cuantitativo continuo obtener las listas de cada equipo y elegir una muestra aleatoria simple de cada uno Se les preguntó a diecinueve personas cuántas millas recorren cada día para ir al trabajo, con una aproximación de una milla. Los datos son los siguientes: 2 5 7 3 2 10 18 15 20 7 10 18 5 12 13 12 4 5 10 . Se produjo la : Frecuencia de las distancias de desplazamiento Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 3 3 3 19 0,1579 4 1 1 19 0,2105 5 3 3 19 0,1579 7 2 2 19 0,2632 10 3 4 19 0,4737 12 2 2 19 0,7895 13 1 1 19 0,8421 15 1 1 19 0,8948 18 1 1 19 0,9474 20 1 1 19 1,0000 ¿La tabla es correcta? Si no es correcta, ¿qué está errado? Verdadero o falso: El tres por ciento de los encuestados se desplazan tres millas. Si la afirmación es incorrecta, ¿cuál debería serlo? Si la tabla es incorrecta, haga las correcciones. ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza cinco o siete millas? ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza 12 millas o más? ¿Menos de 12 millas? ¿Entre cinco y 13 millas (sin incluir cinco y 13 millas)? No. La columna de frecuencia suma 18, no 19. No todas las frecuencias relativas acumuladas son correctas. Falso. La frecuencia para tres millas debería ser una; para dos millas (omitidas), dos. La columna de frecuencia relativa acumulada debe decir: 0,1052, 0,1579, 0,2105, 0,3684, 0,4737, 0,6316, 0,7368, 0,7895, 0,8421, 0,9474, 1,0000. 5 19 7 19 , 12 19 , 7 19 Ejercicio La representa la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. ¿Qué fracción de las ciudades recibe entre 11,03 y 13,05 pulgadas de lluvia al año? Ejercicio Soluciones 9 50 La contiene el número total de muertes en todo el mundo a causa de terremotos en el periodo comprendido entre 2000 y 2012. Año Número total de muertes 2000 231 2001 21.357 2002 11.685 2003 33.819 2004 228.802 2005 88.003 2006 6.605 2007 712 2008 88.011 2009 1.790 2010 320.120 2011 21.953 2012 768 Total 823.856 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2006 hasta 2009? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2009? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2003 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2004? ¿Qué tipo de datos son los números de las muertes? La escala de Richter se utiliza para cuantificar la energía producida por un terremoto. Ejemplos de números de la escala de Richter son 2,3; 4,0; 6,1 y 7,0. ¿Qué tipo de datos son estas cifras? 97.118 (11,8 %) 41,6 % 67.092/823.356 o 0,081 o 8,1 % 27,8 % Discreto cuantitativo Cuantitativo continuo Ejercicio La contiene el número total de accidentes mortales de tráfico de vehículos de motor en Estados Unidos para el periodo de 1994 a 2011. Año Número total de accidentes Año Número total de accidentes 1994 36.254 2004 38.444 1995 37.241 2005 39.252 1996 37.494 2006 38.648 1997 37.324 2007 37.435 1998 37.107 2008 34.172 1999 37.140 2009 30.862 2000 37.526 2010 30.296 2001 37.862 2011 29.757 2002 38.491 Total 653.782 2003 38.477 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2000 hasta 2004? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2006? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2000 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2011? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada en 2006? Explique qué le dice este número sobre los datos. Ejercicio Soluciones 190.800 (29,2%) 24,9% 260.086/653.782 o el 39,8 % 4,6% El 75,1 % de todos los accidentes de tránsito mortales en el periodo de 1994 a 2011 se produjeron entre 1994 y 2006. Referencias “State & County QuickFacts”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/download_data.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “State & County QuickFacts: Quick, easy access to facts about people, business, and geography”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/index.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Table 5: Direct hits by mainland United States Hurricanes (1851-2004)”, National Hurricane Center, http://www.nhc.noaa.gov/gifs/table5.gif (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Levels of Measurement”, http://infinity.cos.edu/faculty/woodbury/stats/tutorial/Data_Levels.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). Courtney Taylor, “Levels of Measurement”, about.com, http://statistics.about.com/od/HelpandTutorials/a/Levels-Of-Measurement.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). David Lane. “Levels of Measurement”, Connexions, http://cnx.org/content/m10809/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo Algunos cálculos generan números que son artificialmente precisos. No es necesario informar de un valor con ocho decimales cuando las medidas que generaron ese valor solo eran precisas hasta la décima más cercana. Redondee su respuesta final con un decimal más de los que había en los datos originales. Esto significa que si tiene datos medidos a la décima más cercana de una unidad, presente la estadística final a la centésima más cercana. Además de redondear sus respuestas, puede medir sus datos utilizando los siguientes cuatro niveles de medición. Nivel de escala nominal: datos que no se pueden ordenar ni usar en cálculos Nivel de escala ordinal: datos que se pueden ordenar; las diferencias no se pueden medir Nivel de escala de intervalos: datos con un orden definido pero sin punto de partida; las diferencias se pueden medir, pero no como si fuera un cociente. Nivel de escala de cociente: datos con un punto de partida que se puede ordenar; las diferencias tienen significado y se pueden calcular cocientes. Al organizar los datos, es importante saber cuántas veces aparece un valor. ¿Cuántos estudiantes de Estadística estudian cinco horas o más para un examen? ¿Qué porcentaje de familias de nuestra manzana tiene dos mascotas? La frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada son medidas que responden preguntas como estas. TAREA PARA LA CASA Se les preguntó a cincuenta estudiantes a tiempo parcial cuántos cursos estaban tomando este trimestre. Los resultados (incompletos) se muestran a continuación: Carga lectiva de los estudiantes a tiempo parcial Número de cursos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 30 0,6 2 15 3 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de estudiantes toman exactamente dos cursos? ¿Qué porcentaje de estudiantes toman uno o dos cursos? Antes de emitir el diagnóstico se les preguntó a sesenta adultos con enfermedades de las encías el número de veces por semana que utilizaban el hilo dental. Los resultados (incompletos) se muestran en la . Frecuencia de uso del hilo dental en adultos con enfermedades de las encías N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 1 18 3 0,9333 6 3 0,0500 7 1 0,0167 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de adultos utiliza el hilo dental seis veces por semana? ¿Qué porcentaje utiliza el hilo dental como máximo tres veces por semana? N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 0,4500 1 18 0,3000 0,7500 3 11 0,1833 0,9333 6 3 0,0500 0,9833 7 1 0,0167 1 5,00 % 93,33 % Se les preguntó a diecinueve inmigrantes en EE. UU. cuántos años, con una aproximación de un año, han vivido en EE. UU. Los datos son los siguientes: 2 5 7 2 2 10 20 15 0 7 0 20 5 12 15 12 4 5 10 . Se produjo la . Frecuencia de las respuestas de los inmigrantes a la encuesta Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 2 2 19 0,1053 2 3 3 19 0,2632 4 1 1 19 0,3158 5 3 3 19 0,4737 7 2 2 19 0,5789 10 2 2 19 0,6842 12 2 2 19 0,7895 15 1 1 19 0,8421 20 1 1 19 1,0000 Corrija los errores en la . Además, explique cómo alguien podría haber llegado a los números incorrectos. Explique qué está errado en esta afirmación: “El 47 % de los encuestados lleva 5 años viviendo en EE. UU.”. Corrija el enunciado en b para que sea correcto. ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. cinco o siete años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido como máximo 12 años en EE. UU.? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. menos de 12 años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. de cinco a 20 años, ambos inclusive? ¿Cuánto tiempo se tarda en ir al trabajo? La muestra el tiempo medio de desplazamiento por estado para los trabajadores de, al menos, 16 años que no trabajan en casa. Calcule el tiempo medio de traslado, y redondee la respuesta correctamente. 24,0 24,3 25,9 18,9 27,5 17,9 21,8 20,9 16,7 27,3 18,2 24,7 20,0 22,6 23,9 18,0 31,4 22,3 24,0 25,5 24,7 24,6 28,1 24,9 22,6 23,6 23,4 25,7 24,8 25,5 21,2 25,7 23,1 23,0 23,9 26,0 16,3 23,1 21,4 21,5 27,0 27,0 18,6 31,7 23,3 30,1 22,9 23,3 21,7 18,6 La suma de los tiempos de viaje es de 1.173,1. Divida la suma entre 50 para calcular el valor medio: 23,462. Dado que el tiempo de viaje de cada estado se midió a la décima más cercana, redondee este cálculo a la centésima más cercana: 23,46. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de al menos 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. La muestra la edad de los directores generales de las primeras 60 compañías clasificadas. Edad Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 40-44 3 45-49 11 50-54 13 55-59 16 60-64 10 65-69 6 70-74 1 ¿Cuál es la frecuencia para los directores generales entre 54 y 65 años? ¿Qué porcentaje de directores generales tienen 65 años o más? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las edades inferiores a 50 años? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los directores generales menores de 55 años? ¿Qué gráfico muestra la frecuencia relativa y cuál la frecuencia relativa acumulada? Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: la contiene datos sobre los huracanes que han impactado directamente a EE. UU. entre 1851 y 2004. Un huracán recibe una categoría de fuerza basada en la velocidad mínima del viento generada por la tormenta. Frecuencia de los impactos directos de los huracanes Categoría Número de impactos directos Frecuencia relativa Frecuencia acumulada 1 109 0,3993 0,3993 2 72 0,2637 0,6630 3 71 0,2601 4 18 0,9890 5 3 0,0110 1,0000 Total = 273 ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron huracanes de categoría 4? 0,0768 0,0659 0,2601 No hay suficiente información para calcular b ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron COMO MÁXIMO una tormenta de categoría 3? 0,3480 0,9231 0,2601 0,3370 Frecuencia relativa acumulada el término se aplica a un conjunto ordenado de observaciones de menor a mayor. La frecuencia relativa acumulada es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores que son menores o iguales al valor dado. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados con el número total de resultados

Empresarial


Diseño experimental y ética ¿La aspirina reduce el riesgo de infarto? ¿Una marca de abono es más eficaz para el cultivo de rosas que otra? ¿El cansancio es tan peligroso para un conductor como la influencia del alcohol? Este tipo de preguntas se responden con experimentos aleatorios. En este módulo aprenderá aspectos importantes del diseño experimental. Un diseño adecuado del estudio garantiza la obtención de datos fiables y precisos. El propósito de un experimento es investigar la relación entre dos variables. Cuando una variable provoca un cambio en otra, llamamos a la primera variable la variable independiente o explicativa . La variable afectada se llama variable dependiente o variable de respuesta : estímulo, respuesta. En un experimento aleatorio, el investigador manipula los valores de la variable explicativa y mide los cambios resultantes en la variable de respuesta. Los diferentes valores de la variable explicativa se denominan tratamientos . Una unidad experimental es un único objeto o persona que se va a medir. Quiere investigar la eficacia de la vitamina E en la prevención de enfermedades. Usted recluta a un grupo de sujetos y les pregunta si toman regularmente vitamina E. Observa que los sujetos que toman vitamina E, en promedio, presentan una salud mejor que quienes no la toman. ¿Esto prueba que la vitamina E es eficaz en la prevención de enfermedades? No es así. Hay muchas diferencias entre los dos grupos comparados, además del consumo de vitamina E. Las personas que toman vitamina E con regularidad suelen tomar otras medidas para mejorar su salud: ejercicio, dieta, otros suplementos vitamínicos, elección de no fumar, etc. Cualquiera de estos factores podría estar influyendo en la salud. Como se ha descrito, este estudio no demuestra que la vitamina E sea la clave para la prevención de enfermedades. Las variables adicionales que pueden enturbiar un estudio se denominan variables ocultas . Para demostrar que la variable explicativa provoca un cambio en la variable de respuesta, es necesario aislar la variable explicativa. La investigadora debe diseñar su experimento de forma que solo haya una diferencia entre los grupos que se comparan: los tratamientos previstos. Esto se consigue mediante la asignación aleatoria de unidades experimentales a grupos de tratamiento. Cuando los sujetos se asignan a los tratamientos de forma aleatoria, todas las variables ocultas potenciales se reparten por igual entre los grupos. En este punto, la única diferencia entre los grupos es la impuesta por el investigador. Los diferentes resultados medidos en la variable de respuesta, por tanto, deben ser una consecuencia directa de los diferentes tratamientos. De este modo, un experimento puede demostrar una conexión causa-efecto entre las variables explicativas y las de respuesta. El poder de la sugestión puede tener una importante influencia en el resultado de un experimento. Los estudios han demostrado que la expectativa del participante en el estudio puede ser tan importante como el medicamento real. En un estudio sobre fármacos que mejoran el desempeño, los investigadores señalaron: Los resultados mostraron que creer que se había tomado la sustancia provocaba tiempos de [ desempeño ] casi tan rápidos como los asociados al consumo del propio fármaco. Por el contrario, la toma del fármaco sin conocimiento no produjo un aumento significativo del desempeño. (McClung, M. Collins, D. “Because I know it will!”: placebo effects of an ergogenic aid on athletic performance. Journal of Sport & Exercise Psychology. Junio de 2007. 29(3):382-94. Web. 30 de abril de 2013) . Cuando la participación en un estudio provoca una respuesta física del participante, es difícil aislar los efectos de la variable explicativa. Para contrarrestar el poder de la sugestión, los investigadores reservaron un grupo de tratamiento como grupo de control . Este grupo recibe un tratamiento placebo , es decir, un tratamiento que no puede influir en la variable de respuesta. El grupo de control ayuda a los investigadores a equilibrar los efectos de estar en un experimento con los efectos de los tratamientos activos. Por supuesto, si usted participa en un estudio y sabe que está recibiendo una píldora que no contiene ningún medicamento real, entonces el poder de la sugestión ya no es un factor. Que un experimento aleatorio sea ciego preserva el poder de la sugestión. Cuando una persona participa en un estudio de investigación ciego, no sabe quién recibe el tratamiento activo y quién el placebo. Un experimento doble ciego es aquel en el que tanto los sujetos como los investigadores que participan en él no conocen la información del fármaco. La Fundación para el Tratamiento y la Investigación del Olfato y el Gusto realizó un estudio para investigar si el olor puede afectar el aprendizaje. Los sujetos completaron laberintos varias veces con máscaras puestas. Completaron los laberintos de lápiz y papel tres veces con máscaras con aroma floral y tres veces con máscaras sin aroma. Los participantes se asignaron al azar a ponerse la máscara floral durante los tres primeros ensayos o durante los tres últimos. En cada ensayo, los investigadores registraron el tiempo que se tardaban en completar el laberinto y la impresión de los sujetos sobre el olor de la máscara: positivo, negativo o neutro. Describa las variables explicativas y de respuesta de este estudio. ¿Cuáles son los tratamientos? Identifique cualquier variable oculta que pueda interferir en este estudio. ¿Es posible que este estudio se haga ciego? La variable explicativa es el olor y la variable de respuesta es el tiempo que se tarda en completar el laberinto. Hay dos tratamientos: una máscara con aroma floral y otra sin aroma. Todos los sujetos experimentaron ambos tratamientos. El orden de los tratamientos se asignó al azar, por lo que no hubo diferencias entre los grupos de tratamiento. La asignación aleatoria elimina el problema de las variables ocultas. Los sujetos sabrán claramente si pueden oler las flores o no, por lo que no es un estudio ciego para los participantes. Sin embargo, para los investigadores que cronometran los laberintos sí puede ser ciego. El investigador que observa a un sujeto no sabrá qué máscara se está usando. Referencias “Vitamin E and Health”, Nutrition Source, Harvard School of Public Health, http://www.hsph.harvard.edu/nutritionsource/vitamin-e/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Stan Reents. “Don’t Underestimate the Power of Suggestion,” athleteinme.com, http://www.athleteinme.com/ArticleView.aspx?id=1053 (consultado el 1.º de mayo de 2013). Ankita Mehta. “Daily Dose of Aspiring Helps Reduce Heart Attacks: Study,” International Business Times, 21 de julio de 2011. También disponible en línea en http://www.ibtimes.com/daily-dose-aspirin-helps-reduce-heart-attacks-study-300443 (consultado el 1.º de mayo de 2013). The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/ScentsandLearning.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). M. L. Jacskon et al., “Cognitive Components of Simulated Driving Performance: Sleep Loss effect and Predictors”, Accident Analysis and Prevention Journal, Enero n.º 50 (2013), http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22721550 (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Earthquake Information by Year”, U.S. Geological Survey. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqarchives/year/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Fatality Analysis Report Systems (FARS) Encyclopedia”, National Highway Traffic and Safety Administration. http://www-fars.nhtsa.dot.gov/Main/index.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de www.businessweek.com (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de www.forbes.com (consultado el 1.º de mayo de 2013). “America’s Best Small Companies”, http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). U.S. Department of Health and Human Services, Code of Federal Regulations Title 45 Public Welfare Department of Health and Human Services Part 46 Protection of Human Subjects, revisado el 15 de enero de 2009. Section 46.111:Criteria for IRB Approval of Research. “April 2013 Air Travel Consumer Report”, U.S. Department of Transportation, 11 de abril (2013), http://www.dot.gov/airconsumer/april-2013-air-travel-consumer-report (consultado el 1.º de mayo de 2013). Lori Alden, “Statistics can be Misleading”, econoclass.com, http://www.econoclass.com/misleadingstats.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). María de los A. Medina, “Ethics in Statistics”, basado en “Building an Ethics Module for Business, Science, and Engineering Students” de José A. Cruz-Cruz y William Frey, Connexions, http://cnx.org/content/m15555/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un estudio de diseño deficiente no producirá datos fiables. Hay ciertos componentes clave que deben incluirse en cada experimento. Para eliminar las variables ocultas los sujetos deben ser asignados aleatoriamente a diferentes grupos de tratamiento. Uno de los grupos debe actuar como grupo de control, con lo que se demuestra lo que ocurre cuando no se aplica el tratamiento activo. Los participantes del grupo de control reciben un tratamiento placebo que es exactamente igual a los tratamientos activos, pero que no puede influir en la variable de respuesta. Para preservar la integridad del placebo, tanto los investigadores como los sujetos pueden estar sin conocimiento del fármaco. Cuando un estudio se diseña correctamente la única diferencia entre los grupos de tratamiento es la impuesta por el investigador. Por lo tanto, cuando los grupos responden de forma diferente a los distintos tratamientos, la diferencia debe ser por la influencia de la variable explicativa. “Un problema de ética surge cuando se plantea una acción que le beneficia a usted o a alguna causa que apoya, perjudica o reduce los beneficios de otras personas y viola alguna norma” (Andrew Gelman, “Open Data and Open Methods”, Ethics and Statistics, http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/ChanceEthics1.pdf [consultado el 1.º de mayo de 2013]) . Las violaciones de la ética en las estadísticas no siempre son fáciles de detectar. Asociaciones profesionales y agencias federales publican directrices sobre la conducta adecuada. Es importante que aprenda los procedimientos estadísticos básicos para que pueda reconocer un análisis de datos adecuado. Variable explicativa la variable independiente en un experimento; el valor controlado por los investigadores Tratamientos diferentes valores o componentes de la variable explicativa aplicada en un experimento Variable de respuesta la variable dependiente en un experimento; el valor que se mide para el cambio al final de un experimento Unidad experimental cualquier persona u objeto que se va a medir Variable oculta una variable que tiene un efecto en un estudio, aunque no sea ni una variable explicativa ni una variable de respuesta Asignación aleatoria el acto de organizar las unidades experimentales en grupos de tratamiento con métodos aleatorios Grupo de control un grupo en un experimento aleatorio que recibe un tratamiento inactivo pero que se gestiona exactamente igual que los demás grupos Consentimiento informado todo sujeto humano que participe en un estudio de investigación debe ser consciente de los riesgos o los costos asociados al estudio. El sujeto tiene derecho a conocer la naturaleza de los tratamientos incluidos en el estudio, sus posibles riesgos y sus posibles beneficios. El consentimiento debe ser dado libremente por un participante informado y apropiado. Junta de Revisión Institucional un comité encargado de supervisar los programas de investigación con seres humanos Placebo un tratamiento inactivo que no tiene ningún efecto real sobre la variable explicativa Ciego no decirles a los participantes qué tratamiento está recibiendo un sujeto Doble ciego cuando tanto los sujetos de un experimento como los investigadores que trabajan con ellos no saben cuál es el fármaco que se administra

Introducción a la estadística empresarial

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Introducción Cuando tenga grandes cantidades de datos, tendrá que organizarlos de forma que tengan sentido. Estas papeletas de una elección se enrollan junto con otras similares para mantenerlas organizadas (créditos: William Greeson). Una vez que haya recopilado los datos, ¿qué hará con ellos? Los datos se pueden describir y presentar en muchos formatos diferentes. Por ejemplo, supongamos que está interesado en comprar una casa en una zona determinada. Es posible que no tenga ni idea de los precios de las viviendas, por lo que puede pedirle a su agente inmobiliario que le dé un conjunto de datos de muestra de los precios. Mirar todos los precios de la muestra suele ser abrumador. Una mejor forma sería observar la mediana del precio y la variación de los precios. La mediana y la variación son solo dos formas que aprenderá para describir los datos. Su agente también puede proporcionarle un gráfico de los datos. En este capítulo estudiará las formas numéricas y gráficas de describir y mostrar sus datos. Esta área de la estadística se llama “Estadística Descriptiva”. Aprenderá a calcular y, lo que es más importante, a interpretar estas medidas y gráficos. Un gráfico estadístico es una herramienta que ayuda a conocer la forma o la distribución de una muestra o de una población. Un gráfico puede ser una forma más eficaz de presentar los datos que una masa de números porque podemos ver dónde se agrupan los datos y dónde hay solo unos pocos valores de datos. Los periódicos e internet utilizan gráficos para mostrar tendencias y permitir a los lectores comparar rápidamente datos y cifras. Los estadísticos suelen hacer primero un gráfico de los datos para hacerse una idea de lo que arrojan. Luego, se pueden aplicar herramientas más formales. Algunos de los tipos de gráficos que se utilizan para resumir y organizar los datos son el diagrama de puntos, el gráfico de barras, el histograma, el diagrama de tallo y hojas, el polígono de frecuencias (un tipo de gráfico de líneas discontinuas), el gráfico circular y el diagrama de caja. En este capítulo veremos brevemente gráficos de tallo y hoja, gráficos de líneas y gráficos de barras, así como polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales. Haremos hincapié en los histogramas y los diagramas de caja.

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Datos mostrados Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras Un gráfico sencillo, el gráfico de tallo y hoja o gráfico de tallo , procede del campo del análisis exploratorio de datos. Es una buena opción cuando los conjuntos de datos son pequeños. Para crear el gráfico, divida cada observación de datos en un tallo y una hoja. La hoja consta de un último dígito significativo . Por ejemplo, 23 tiene el tallo dos y la hoja tres. El número 432 tiene el tallo 43 y la hoja dos. Asimismo, el número 5.432 tiene el tallo 543 y la hoja dos. El decimal 9,3 tiene el tallo nueve y la hoja tres. Escriba los tallos en una línea vertical de menor a mayor. Dibuje una línea vertical a la derecha de los tallos. Luego, escriba las hojas en orden creciente junto a su correspondiente tallo. En la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean las calificaciones del primer examen fueron las siguientes (de menor a mayor): 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Gráfico de tallo y hoja Tallo Hoja 3 3 4 2 9 9 5 3 5 5 6 1 3 7 8 8 9 9 7 2 3 4 8 8 0 3 8 8 8 9 0 2 4 4 4 4 6 10 0 El gráfico de tallo muestra que la mayoría de las calificaciones fueron de 60, 70, 80 y 90. Ocho de las 31 calificaciones, es decir, aproximadamente el 26 % ( 8 31 ) estaban en los 90 o 100, un número bastante alto de calificaciones con A. Ejercicio Para el equipo de baloncesto de Park City los resultados de los últimos 30 partidos fueron los siguientes (de menor a mayor): 32; 32; 33; 34; 38; 40; 42; 42; 43; 44; 46; 47; 47; 48; 48; 48; 49; 50; 50; 51; 52; 52; 52; 53; 54; 56; 57; 57; 60; 61 Construya un diagrama de tallo para los datos. Tallo Hoja 3 2 2 3 4 8 4 0 2 2 3 4 6 7 7 8 8 8 9 5 0 0 1 2 2 2 3 4 6 7 7 6 0 1 El diagrama de tallo es una forma rápida de representar datos gráficamente y ofrece una imagen exacta de la información. Hay que buscar un patrón general y los valores atípicos. Un valor atípico es una observación de datos que no se ajusta al resto de los datos. A veces se le llama valor extremo. Cuando grafique un valor atípico parecerá que no se ajusta al patrón del gráfico. Algunos valores atípicos se deben a errores (por ejemplo, anotar 50 en vez de 500), mientras que otros pueden indicar que está ocurriendo algo inusual. Para explicar los valores atípicos se necesita información de fondo, por lo que los trataremos con más detalle más adelante. Los datos son las distancias (en kilómetros) de un hogar a supermercados locales. Cree un diagrama de tallo con los datos: 1,1; 1,5; 2,3; 2,5; 2,7; 3,2; 3,3; 3,3; 3,5; 3,8; 4,0; 4,2; 4,5; 4,5; 4,7; 4,8; 5,5; 5,6; 6,5; 6,7; 12,3 ¿Los datos parecen tener alguna concentración de valores? NOTA Las hojas están a la derecha del decimal. El valor 12,3 puede ser un valor atípico. Los valores parecen concentrarse en los tres y cuatro kilómetros. Tallo Hoja 1 1 5 2 3 5 7 3 2 3 3 5 8 4 0 2 5 5 7 8 5 5 6 6 5 7 7 8 9 10 11 12 3 Ejercicio Los siguientes datos muestran las distancias (en millas) desde los hogares de los estudiantes de Estadística fuera del campus hasta el instituto universitario. Cree un diagrama de tallo con los datos e identifique los valores atípicos: 0,5; 0,7; 1,1; 1,2; 1,2; 1,3; 1,3; 1,5; 1,5; 1,7; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0; 2,2; 2,5; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 3,5; 3,8; 4,4; 4,8; 4,9; 5,2; 5,5; 5,7; 5,8; 8,0 Tallo Hoja 0 5 7 1 1 2 2 3 3 5 5 7 7 8 9 2 0 2 5 6 8 8 8 3 5 8 4 4 8 9 5 2 5 7 8 6 7 8 0 El valor 8,0 puede ser un valor atípico. Los valores parecen concentrarse en una y dos millas. El diagrama de tallo y hoja bilateral permite comparar los dos conjuntos de datos en dos columnas. En el diagrama de tallo y hoja bilateral dos conjuntos de hojas comparten el mismo tallo. Las hojas están a la izquierda y a la derecha de los tallos. La y la muestran las edades de los presidentes en su investidura y al momento de su muerte. Construya un diagrama de tallo y hoja bilateral utilizando estos datos. Edades en la investidura Edades al momento de la muerte 9 9 8 7 7 7 6 3 2 4 6 9 8 7 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 0 5 3 6 6 7 7 8 9 8 5 4 4 2 1 1 1 0 6 0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8 7 0 0 1 1 1 4 7 8 8 9 8 0 1 3 5 8 9 0 0 3 3 Edades de los presidentes en su investidura Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 57 Lincoln 52 Hoover 54 J. Adams 61 A. Johnson 56 F. Roosevelt 51 Jefferson 57 Grant 46 Truman 60 Madison 57 Hayes 54 Eisenhower 62 Monroe 58 Garfield 49 Kennedy 43 J. Q. Adams 57 Arthur 51 L. Johnson 55 Jackson 61 Cleveland 47 Nixon 56 Van Buren 54 B. Harrison 55 Ford 61 W. H. Harrison 68 Cleveland 55 Carter 52 Tyler 51 McKinley 54 Reagan 69 Polk 49 T. Roosevelt 42 G. H. W. Bush 64 Taylor 64 Taft 51 Clinton 47 Fillmore 50 Wilson 56 G. W. Bush 54 Pierce 48 Harding 55 Obama 47 Buchanan 65 Coolidge 51 Edad del presidente al momento de su muerte Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 67 Lincoln 56 Hoover 90 J. Adams 90 A. Johnson 66 F. Roosevelt 63 Jefferson 83 Grant 63 Truman 88 Madison 85 Hayes 70 Eisenhower 78 Monroe 73 Garfield 49 Kennedy 46 J. Q. Adams 80 Arthur 56 L. Johnson 64 Jackson 78 Cleveland 71 Nixon 81 Van Buren 79 B. Harrison 67 Ford 93 W. H. Harrison 68 Cleveland 71 Reagan 93 Tyler 71 McKinley 58 Polk 53 T. Roosevelt 60 Taylor 65 Taft 72 Fillmore 74 Wilson 67 Pierce 64 Harding 57 Buchanan 77 Coolidge 60 Otro tipo de gráfico que resulta útil para valores de datos específicos es el gráfico de líneas . En el gráfico de líneas en particular que se muestra en el , el eje x (eje horizontal) está formado por los valores de los datos y el eje y (eje vertical) por puntos de frecuencia . Los puntos de frecuencia se conectan mediante segmentos de la línea. En una encuesta, se preguntó a 40 madres cuántas veces a la semana hay que recordarle a un adolescente que haga sus tareas. Los resultados se muestran en la y en la . Número de veces que se le recuerda al adolescente Frecuencia 0 2 1 5 2 8 3 14 4 7 5 4 Ejercicio En una encuesta, se preguntó a 40 personas cuántas veces al año llevaban su automóvil al taller para repararlo. Los resultados se muestran en la . Construya un gráfico de líneas. Número de veces en el taller Frecuencia 0 7 1 10 2 14 3 9 Los gráficos de barras están formados por barras separadas entre sí. Las barras pueden ser rectángulos o recuadros rectangulares (usados en representaciones tridimensionales), y pueden ser verticales u horizontales. El gráfico de barras que se muestra en el tiene los grupos de edad representados en el eje x y las proporciones en el eje y . A finales de 2011, Facebook tenía más de 146 millones de usuarios en Estados Unidos. La muestra tres grupos de edad, el número de usuarios en cada grupo de edad y la proporción (%) de usuarios en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras con estos datos. Grupos de edad Número de usuarios de Facebook Proporción (%) de usuarios de Facebook 13-25 65.082.280 45 % 26-44 53.300.200 36 % 45-64 27.885.100 19 % Ejercicio La población de Park City se compone de niños, adultos en edad de trabajar y jubilados. La muestra los tres grupos de edad, el número de personas de cada grupo en la ciudad y la proporción (%) de personas en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras que muestre las proporciones. Grupos de edad Número de personas Proporción de la población Niños 67.059 19 % Adultos en edad de trabajar 152.198 43 % Jubilados 131.662 38 % Las columnas de la contienen la raza o el origen étnico de los estudiantes de escuelas públicas de EE. UU. para la clase de 2011, los porcentajes para la población examinada de Colocación Avanzada para esa clase y los porcentajes para la población estudiantil en general. Cree un gráfico de barras con la raza o el origen étnico de los estudiantes (datos cualitativos) en el eje x y los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada en el eje y . Raza/etnia Población examinada de AP Población estudiantil total 1 = asiático, asiático americano o isleño del Pacífico 10,3 % 5,7 % 2 = negro o afroamericano 9,0 % 14,7 % 3 = hispano o latino 17,0 % 17,6 % 4 = amerindio o nativo de Alaska 0,6 % 1,1 % 5 = blanco 57,1 % 59,2 % 6 = no informado/otro 6,0 % 1,7% Ejercicio Park City se divide en seis distritos electorales. La tabla muestra el porcentaje de la población total de votantes registrados que vive en cada distrito, así como el porcentaje total de la población entera que vive en cada distrito. Construya un gráfico de barras que muestre la población de votantes registrados por distrito. Distrito Población de votantes registrados Población total de la ciudad 1 15,5 % 19,4 % 2 12,2 % 15,6 % 3 9,8 % 9,0 % 4 17,4 % 18,5 % 5 22,8 % 20,7 % 6 22,3 % 16,8 % A continuación, se presenta una tabla de dos vías que muestra los tipos de mascotas que poseen los hombres y las mujeres: Perros Gatos Peces Total Hombres 4 2 2 8 Mujeres 4 6 2 12 Total 8 8 4 20 Dados estos datos, calcule las distribuciones condicionales para la subpoblación de hombres que poseen cada tipo de mascota. Hombres que tienen perros = 4/8 = 0,5 Hombres que tienen gatos = 2/8 = 0,25 Hombres que tienen peces = 2/8 = 0,25 Nota: La suma de todas las distribuciones condicionales debe ser igual a uno. En este caso: 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1; por lo tanto, la solución "se comprueba". Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales Para la mayor parte del trabajo que se realiza en este libro se utilizará un histograma para mostrar los datos. Una de las ventajas de un histograma es que puede mostrar fácilmente grandes conjuntos de datos. Una regla general es utilizar un histograma cuando el conjunto de datos consta de 100 valores o más. Un histograma está formado por recuadros contiguos (adyacentes). Tiene un eje horizontal y otro vertical. El eje horizontal está identificado con lo que representan los datos (por ejemplo, la distancia de su casa a la escuela). El eje vertical está identificado como frecuencia o frecuencia relativa (o porcentaje de frecuencia o probabilidad). El gráfico tendrá la misma forma con cualquiera de las dos etiquetas. El histograma (al igual que el diagrama de tallo) puede darle la forma de los datos, el centro y la dispersión de los datos. La frecuencia relativa es igual a la frecuencia de un valor observado de los datos dividida entre el número total de valores de los datos en la muestra. (Recuerde que la frecuencia se define como el número de veces que se produce una respuesta). Si: f = frecuencia n = número total de valores de datos (o la suma de las frecuencias individuales) y RF = frecuencia relativa, entonces: RF = e n Por ejemplo, si tres estudiantes de la clase de Inglés del Sr. Ahab compuesta por 40 estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %, entonces, f = 3, n = 40 y RF = e n = 3 40 = 0,075. El 7,5 % de los estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %. Del 90 % al 100 % son medidas cuantitativas. Para construir un histograma , primero hay que decidir cuántas barras o intervalos (también llamados clases) representan los datos. Muchos histogramas constan de cinco a 15 barras o clases para mayor claridad. Hay que elegir el número de barras. Elija un punto de partida para que el primer intervalo sea menor que el valor más pequeño de los datos. Un punto de partida conveniente es un valor inferior llevado a un decimal más que el valor con más decimales. Por ejemplo, si el valor con más decimales es 6,1 y este es el valor más pequeño, un punto de partida conveniente es 6,05 (6,1 – 0,05 = 6,05). Decimos que 6,05 tiene más precisión. Si el valor con más decimales es 2,23 y el valor más bajo es 1,5, un punto de partida conveniente es 1,495 (1,5 – 0,005 = 1,495). Si el valor con más decimales es 3,234 y el valor más bajo es 1,0, un punto de partida conveniente es 0,9995 (1,0 – 0,0005 = 0,9995). Si todos los datos son enteros y el valor más pequeño es dos, un punto de partida conveniente es 1,5 (2 – 0,5 = 1,5). Además, cuando el punto de partida y otros límites se llevan a un decimal adicional, ningún valor de los datos caerá en un límite. Los dos siguientes ejemplos detallan cómo construir un histograma utilizando datos continuos y cómo crear un histograma utilizando datos discretos. Los siguientes datos son las estaturas (en pulgadas con una aproximación de media pulgada) de 100 jugadores hombres de fútbol semiprofesional. Las alturas son datos continuos , ya que la altura se mide. 60; 60,5; 61; 61; 61,5 63,5; 63,5; 63,5 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5 68; 68; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5 70; 70; 70; 70; 70; 70; 70,5; 70,5; 70,5; 71; 71; 71 72; 72; 72; 72,5; 72,5; 73; 73,5 74 El valor de datos más pequeño es 60. Como los datos con más decimales tienen un decimal (por ejemplo, 61,5), queremos que nuestro punto de partida tenga dos decimales. Dado que los números 0,5, 0,05, 0,005, etc. son números convenientes, utilice 0,05 y réstelo a 60, el valor más pequeño, para el punto de partida conveniente. 60 – 0,05 = 59,95 que es más preciso que, por ejemplo, 61,5 por un decimal. El punto de partida es, pues, 59,95. El valor mayor es 74, por lo que 74 + 0,05 = 74,05 es el valor final. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Para calcular este ancho, reste el punto inicial del valor final y divídalo entre el número de barras (debe elegir el número de barras que desee). Suponga que elige ocho barras. 74,05 - 59,95 = 14,1 14,1 ÷ 8 = 1,76 NOTA Redondearemos a dos y haremos que cada barra o intervalo de clase tenga dos unidades de ancho. Redondear a dos es una forma de evitar que un valor caiga en un límite. El redondeo al número siguiente es a menudo necesario, incluso si va en contra de las reglas estándar de redondeo. Para este ejemplo, utilizar 1,76 como ancho también funcionaría. Una pauta que siguen algunos para el ancho de una barra o intervalo de clase es tomar la raíz cuadrada del número de valores de los datos y luego redondear al número entero más cercano, si es necesario. Por ejemplo, si hay 150 valores de datos, tome la raíz cuadrada de 150 y redondee a 12 barras o intervalos. Los límites son: 59,95 59,95 + 2 = 61,95 61,95 + 2 = 63,95 63,95 + 2 = 65,95 65,95 + 2 = 67,95 67,95 + 2 = 69,95 69,95 + 2 = 71,95 71,95 + 2 = 73,95 73,95 + 2 = 75,95 Las alturas de 60 a 61,5 pulgadas están en el intervalo de 59,95 a 61,95. Las alturas que son 63,5 están en el intervalo de 61,95 a 63,95. Las alturas que van de 64 a 64,5 están en el intervalo de 63,95 a 65,95. Las alturas de 66 a 67,5 están en el intervalo de 65,95 a 67,95. Las alturas de 68 a 69,5 están en el intervalo de 67,95 a 69,95. Las alturas de 70 a 71 están en el intervalo de 69,95 a 71,95. Las alturas de 72 a 73,5 están en el intervalo de 71,95 a 73,95. La altura 74 está en el intervalo de 73,95 a 75,95. El siguiente histograma muestra las alturas en el eje x y la frecuencia relativa en el eje y . Ejercicio Los siguientes datos son las tallas de los zapatos de 50 estudiantes hombres. Las tallas son datos continuos ya que se mide la talla de zapato. Construya un histograma y calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Suponga que elige seis barras. 9; 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12,5; 12,5; 12,5; 12,5; 14 El valor más pequeño es: 9 El valor más grande es: 14 El valor inicial conveniente es: 9 – 0,05 = 8,95 El valor final conveniente es: 14 + 0,05 = 14,05 14,05 – 8,95 6 = 0,85 Los cálculos sugieren utilizar 0,85 para el ancho de cada barra o intervalo de clase. También puede utilizar un intervalo con un ancho igual a uno. Cree un histograma para los siguientes datos: el número de libros comprados por 50 estudiantes universitarios a tiempo parcial en el ABC College. El número de libros es un dato discreto , ya que los libros se cuentan. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 4; 4; 4; 4; 4; 4 5; 5; 5; 5; 5 6; 6 Once estudiantes compran un libro. Diez estudiantes compran dos libros. Dieciséis estudiantes compran tres libros. Seis estudiantes compran cuatro libros. Cinco estudiantes compran cinco libros. Dos estudiantes compran seis libros. Como los datos son enteros, reste 0,5 a 1, el valor más pequeño de los datos, y sume 0,5 a 6, el valor más grande de los datos. Entonces el punto de partida es 0,5 y el valor final es 6,5. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Si los datos son discretos y no hay demasiados valores diferentes, lo más conveniente es un ancho que sitúe los valores de los datos en el centro del intervalo de barras o clases. Dado que los datos consisten en los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, y el punto de partida es 0,5, un ancho de uno sitúa el 1 en el centro del intervalo de 0,5 a 1,5, el 2 en el centro del intervalo de 1,5 a 2,5, el 3 en el centro del intervalo de 2,5 a 3,5, el 4 en el centro del intervalo de _______ a _______, el 5 en el centro del intervalo de _______ a _______ y el _______ en el centro del intervalo de _______ a _______. de 3,5 a 4,5 de 4,5 a 5,5 6 de 5,5 a 6,5 Calcule el número de barras de la siguiente manera: 6,5 - 0,5 = 6 6 ÷ 1 = 6 donde 1 es el ancho de una barra. Por lo tanto, barras = 6. El siguiente histograma muestra el número de libros en el eje x y la frecuencia en el eje y . Con este conjunto de datos construya un histograma. Número de horas que mis compañeros de clase pasan jugando videojuegos los fines de semana 9,95 10 2,25 16,75 0 19,5 22,5 7,5 15 12,75 5,5 11 10 20,75 17,5 23 21,9 24 23,75 18 20 15 22,9 18,8 20,5 Algunos valores de este conjunto de datos caen en los límites de los intervalos de clase. Un valor se cuenta en un intervalo de clase si cae en el límite izquierdo, pero no si cae en el límite derecho. Diferentes investigadores pueden establecer histogramas para los mismos datos de diferentes maneras. Hay más de una forma correcta de configurar un histograma. Polígonos de frecuencia Los polígonos de frecuencias son análogos a los gráficos de líneas y, al igual que los gráficos de líneas facilitan la interpretación visual de los datos continuos, también lo hacen los polígonos de frecuencias. Para construir un polígono de frecuencias, primero hay que examinar los datos y decidir el número de intervalos, o intervalos de clase, que se van a utilizar en los ejes x y y . Después de elegir los rangos apropiados, comience a trazar los puntos de datos. Después de trazar todos los puntos, dibuje segmentos de línea para conectarlos. Se construyó un polígono de frecuencias a partir de la tabla de frecuencias que aparece a continuación. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 La primera etiqueta del eje x es 44,5. Esto representa un intervalo que va de 39,5 a 49,5. Dado que la calificación más baja de la prueba es 54,5, este intervalo se utiliza solo para permitir que el gráfico toque el eje x . El punto identificado como 54,5 representa el siguiente intervalo, o el primer intervalo “real” de la tabla, y contiene cinco calificaciones. Este razonamiento se sigue para cada uno de los intervalos restantes, con el punto 104,5 que representa el intervalo de 99,5 a 109,5. De nuevo, este intervalo no contiene datos y solo se utiliza para que el gráfico toque el eje x . Observando el gráfico, decimos que esta distribución está distorsionada porque un lado del gráfico no es un espejo del otro. Ejercicio Construya un polígono de frecuencias de las edades de los presidentes de EE. UU. en el momento de la investidura que se muestra en la . Edad en el momento de la investidura Frecuencia 41,5-46,5 4 46,5-51,5 11 51,5-56,5 14 56,5-61,5 9 61,5-66,5 4 66,5-71,5 2 La primera marca del eje x es 39. Esto representa un intervalo que va de 36,5 a 41,5. Dado que no hay edades inferiores a 41,5, este intervalo se utiliza solo para permitir que el gráfico toque el eje x . El punto marcado como 44 representa el siguiente intervalo, o el primer intervalo "real" de la tabla, y contiene cuatro puntuaciones. Este razonamiento se sigue en cada uno de los intervalos restantes, con el punto 74 que representa el intervalo de 71,5 a 76,5. De nuevo, este intervalo no contiene datos y solo se utiliza para que el gráfico toque el eje x . Observando el gráfico, decimos que esta distribución está distorsionada porque un lado del gráfico no es un espejo del otro. Los polígonos de frecuencia son útiles para comparar distribuciones. Esto se consigue superponiendo los polígonos de frecuencia dibujados para diferentes conjuntos de datos. Construiremos un polígono de frecuencias superpuestas comparando las calificaciones del con la nota numérica final de los estudiantes. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 Distribución de frecuencias de las notas finales de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 10 10 59,5 69,5 10 20 69,5 79,5 30 50 79,5 89,5 45 95 89,5 99,5 5 100 Construcción de un gráfico de series temporales Supongamos que queremos estudiar el rango de temperaturas de una región durante todo un mes. Todos los días a mediodía anotamos la temperatura y la anotamos en un registro. Con estos datos se podrían realizar diversos estudios estadísticos. Podemos hallar la media o la mediana de la temperatura del mes. Podemos construir un histograma que muestre el número de días en que las temperaturas alcanzan un determinado rango de valores. Sin embargo, todos estos métodos ignoran una parte de los datos que hemos recopilado. Una característica de los datos que podemos considerar es la del tiempo. Dado que cada fecha se empareja con la lectura de la temperatura del día, no tenemos que pensar que los datos son aleatorios. En cambio, podemos utilizar los tiempos indicados para imponer un orden cronológico a los datos. Un gráfico que reconoce esta ordenación y muestra la evolución de la temperatura a medida que avanza el mes se denomina gráfico de series temporales. Para construir un gráfico de series temporales debemos observar las dos partes de nuestro conjunto de datos emparejados . Comenzamos con un sistema de coordenadas cartesianas estándar. El eje horizontal se utiliza para trazar la fecha o los incrementos de tiempo, y el eje vertical se utiliza para trazar los valores de la variable que estamos midiendo. De este modo, hacemos que cada punto del gráfico corresponda a una fecha y a una cantidad medida. Los puntos del gráfico suelen estar conectados por líneas rectas en el orden en que se producen. Los siguientes datos muestran el Índice de Precios del Consumidor (IPC) Anual, cada mes, durante diez años. Construya un gráfico de series temporales solo para los datos del Índice de Precios del Consumidor Anual. Año Ene Feb Mar Abr May Jun Jul 2003 181,7 183,1 184,2 183,8 183,5 183,7 183,9 2004 185,2 186,2 187,4 188,0 189,1 189,7 189,4 2005 190,7 191,8 193,3 194,6 194,4 194,5 195,4 2006 198,3 198,7 199,8 201,5 202,5 202,9 203,5 2007 202,416 203,499 205,352 206,686 207,949 208,352 208,299 2008 211,080 211,693 213,528 214,823 216,632 218,815 219,964 2009 211,143 212,193 212,709 213,240 213,856 215,693 215,351 2010 216,687 216,741 217,631 218,009 218,178 217,965 218,011 2011 220,223 221,309 223,467 224,906 225,964 225,722 225,922 2012 226,665 227,663 229,392 230,085 229,815 229,478 229,104 Año Ago Sep Oct Nov Dic Anual 2003 184,6 185,2 185,0 184,5 184,3 184,0 2004 189,5 189,9 190,9 191,0 190,3 188,9 2005 196,4 198,8 199,2 197,6 196,8 195,3 2006 203,9 202,9 201,8 201,5 201,8 201,6 2007 207,917 208,490 208,936 210,177 210,036 207,342 2008 219,086 218,783 216,573 212,425 210,228 215,303 2009 215,834 215,969 216,177 216,330 215,949 214,537 2010 218,312 218,439 218,711 218,803 219,179 218,056 2011 226,545 226,889 226,421 226,230 225,672 224,939 2012 230,379 231,407 231,317 230,221 229,601 229,594 Ejercicio La siguiente tabla es una parte de un conjunto de datos de www.worldbank.org. Utilice la tabla para construir un gráfico de la serie temporal de las emisiones de CO 2 de Estados Unidos. Emisiones de CO 2 Año Ucrania Reino Unido Estados Unidos 2003 352.259 540.640 5.681.664 2004 343.121 540.409 5.790.761 2005 339.029 541.990 5.826.394 2006 327.797 542.045 5.737.615 2007 328.357 528.631 5.828.697 2008 323.657 522.247 5.656.839 2009 272.176 474.579 5.299.563 Usos de un gráfico de series temporales Los gráficos de series temporales son herramientas importantes en diversas aplicaciones de la estadística. Cuando se registran los valores de una misma variable durante un largo periodo, a veces, es difícil discernir cualquier tendencia o patrón. Sin embargo, una vez que los mismos puntos de datos se muestran gráficamente, algunas características saltan a la vista. Los gráficos de series temporales facilitan la detección de tendencias. Cómo NO mentir con las estadísticas Es importante recordar que la razón por la que desarrollamos una variedad de métodos para presentar los datos es para comprender el tema de lo que las observaciones representan. Queremos tener una "sensación" de los datos. ¿Las observaciones son todas muy parecidas o están repartidas en un amplio rango de valores, están agrupadas en un extremo del espectro o están distribuidas uniformemente, etc.? Intentamos obtener una representación visual de los datos numéricos. En breve desarrollaremos medidas matemáticas formales de los datos, pero nuestra presentación gráfica visual puede decir mucho. Desgraciadamente, también puede decir muchas cosas que distraen, confunden y simplemente son erróneas en cuanto a la impresión que lo visual deja. Hace muchos años, Darrell Huff escribió el libro How to Lie with Statistics [Cómo mentir con estadísticas] . Ha tenido más de 25 ediciones y ha vendido más de un millón y medio de ejemplares. Su perspectiva era dura y utilizaba muchos ejemplos reales destinados a engañar. Quería hacer que la gente fuera consciente de ese engaño, pero quizás lo más importante era educar para que otros no cometieran los mismos errores inadvertidamente. De nuevo, el objetivo es ilustrar con imágenes que cuenten la historia de los datos. Los gráficos circulares tienen una serie de problemas comunes cuando se utilizan para transmitir el mensaje de los datos. Demasiados trozos del pastel abruman al lector. Más de quizás cinco o seis categorías deberían dar una idea de la importancia relativa de cada trozo. Al fin y al cabo, este es el objetivo de un gráfico circular: qué subconjunto importa más en relación con los demás. Si hay más componentes que esto, tal vez sea mejor un enfoque alternativo o tal vez algunos puedan consolidarse en una categoría "otros". Los gráficos circulares no pueden mostrar los cambios a lo largo del tiempo, aunque vemos que esto se intenta con demasiada frecuencia. En los documentos financieros federales, estatales y municipales se suelen presentar gráficos circulares para mostrar los componentes de los ingresos de los que dispone el órgano de gobierno para su consignación: impuesto sobre la renta, impuesto sobre las ventas, impuestos sobre los vehículos de motor, etc. En sí misma es una información interesante y se puede hacer muy bien con un gráfico circular. El error se produce cuando se ponen dos años uno al lado del otro. Como los ingresos totales cambian de un año a otro, pero el tamaño del pastel es fijo, no se proporciona ninguna información real y no se puede comparar de forma significativa el tamaño relativo de cada trozo del pastel. Los histogramas pueden ser muy útiles para entender los datos. Si se presentan correctamente, pueden ser una forma visual rápida de presentar las probabilidades de las diferentes categorías mediante la simple visualización de la comparación de las áreas relativas en cada categoría. Aquí el error, intencionado o no, es variar la amplitud de las categorías. Por supuesto, esto hace imposible la comparación con las demás categorías. Adorna la importancia de la categoría con un ancho ampliado porque tiene un área mayor, de forma inapropiada, y así "dice" visualmente que esa categoría tiene una mayor probabilidad de ocurrencia. Los gráficos de series temporales tal vez sean de los que más se abusa. Un gráfico de alguna variable a lo largo del tiempo nunca debe presentarse en ejes que cambien en parte de la página, ya sea en la dimensión vertical u horizontal. Tal vez se cambie el marco temporal de años a meses. Probablemente esto se haga para ahorrar espacio o porque los datos mensuales no estaban disponibles para los primeros años. En cualquier caso, esto confunde la presentación y destruye cualquier valor del gráfico. Si esto no se hace para confundir a propósito al lector, entonces ciertamente es un trabajo perezoso o descuidado. Cambiar las unidades de medida del eje puede suavizar o acentuar una caída. Si quiere mostrar grandes cambios, mida la variable en unidades pequeñas, centavos en lugar de miles de dólares. Y, por supuesto, para continuar con el fraude, asegúrese de que el eje no comienza en cero, cero. Si comienza en cero, cero entonces se hace evidente que el eje ha sido manipulado. Tal vez tenga un cliente al que le preocupa la volatilidad de la cartera que usted gestiona. Una forma fácil de presentar los datos es utilizar periodos largos en el gráfico de la serie temporal. Utilice meses o, mejor, trimestres en lugar de datos diarios o semanales. Si eso no consigue reducir la volatilidad, entonces separe el eje temporal en relación con el eje de la tasa de rendimiento o de la valoración de la cartera. Si quiere mostrar un crecimiento dramático "rápido", entonces reduzca el eje temporal. Cualquier crecimiento positivo mostrará tasas de crecimiento visualmente "altas". Tenga en cuenta que si el crecimiento es negativo, este truco mostrará que la cartera se está hundiendo a un ritmo dramático. Una vez más, el objetivo de la Estadística Descriptiva es transmitir imágenes significativas que cuenten la historia de los datos. La manipulación intencionada es un fraude y una falta de ética en el peor de los casos, pero incluso en el mejor, cometer este tipo de errores llevará a la confusión del análisis. Referencias Burbary, Ken. Facebook Demographics Revisited–2001 Statistics, 2011. Disponible en línea en http://www.kenburbary.com/2011/03/facebook-demographics-revisited-2011-statistics-2/ (consultado el 21 de agosto de 2013). “9th Annual AP Report to the Nation”. CollegeBoard, 2013. Disponible en línea en http://apreport.collegeboard.org/goals-and-findings/promoting-equity (consultado el 13 de septiembre de 2013). “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Datos sobre los homicidios anuales en Detroit, 1961-1973, extraídos del libro de Gunst & Mason: “Regression Analysis and its Application”, Marcel Dekker “Timeline: Guide to the U.S. Presidents: Information on every president’s birthplace, political party, term of office, and more”. Scholastic, 2013. Disponible en línea en http://www.scholastic.com/teachers/article/timeline-guide-us-presidents (consultado el 3 de abril de 2013). “Presidents”. Fact Monster. Pearson Education, 2007. Disponible en línea en http://www.factmonster.com/ipka/A0194030.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Food Security Statistics”. Food and Agriculture Organization of the United Nations. Disponible en línea en http://www.fao.org/economic/ess/ess-fs/en/ (consultado el 3 de abril de 2013). “Consumer Price Index”. United States Department of Labor: Bureau of Labor Statistics. Disponible en línea en http://data.bls.gov/pdq/SurveyOutputServlet (consultado el 3 de abril de 2013). “CO2 emissions (kt)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://databank.worldbank.org/data/home.aspx (consultado el 3 de abril de 2013). “Births Time Series Data”. General Register Office For Scotland, 2013. Disponible en línea en http://www.gro-scotland.gov.uk/statistics/theme/vital-events/births/time-series.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Children under the age of 5 years underweight”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2224&aml=en (consultado el 3 de abril de 2013). Gunst, Richard, Robert Mason. Regression Analysis and Its Application: A Data-Oriented Approach . CRC Press: 1980. “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Repaso del capítulo Un gráfico de tallo y hoja es una forma de representar los datos y observar la distribución. En un gráfico de tallo y hoja todos los valores de los datos de una clase son visibles. La ventaja de un gráfico de tallo y hoja es que se enumeran todos los valores, a diferencia de un histograma, que da clases de valores de datos. Un gráfico de líneas se suele usar para representar un conjunto de valores de datos en los que una cantidad varía con el tiempo. Estos gráficos son útiles para hallar tendencias. Es decir, hallar un patrón general en conjuntos de datos que incluyan temperatura, ventas, empleo, ganancias o costos de la compañía durante un periodo. Un gráfico de barras es un gráfico que utiliza barras horizontales o verticales para mostrar comparaciones entre categorías. Un eje del gráfico muestra las categorías específicas que se comparan, y el otro eje representa un valor discreto. Algunos gráficos de barras presentan las barras agrupadas en grupos de más de uno (gráficos de barras agrupados), y otros muestran las barras divididas en subpartes para mostrar el efecto acumulativo (gráficos de barras apilados). Los gráficos de barras son especialmente útiles cuando se utilizan datos categóricos. Un histograma es una versión gráfica de una distribución de frecuencias. El gráfico consiste en barras de igual ancho dibujadas de forma adyacente. La escala horizontal representa clases de valores de datos cuantitativos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a valores de frecuencia. Los histogramas se suelen utilizar para conjuntos de datos cuantitativos, continuos y de gran tamaño. Un polígono de frecuencias también se puede usar cuando se grafican grandes conjuntos de datos con puntos de datos que se repiten. Los datos suelen ir en el eje y , y la frecuencia se representa en el eje x . Los gráficos de series temporales pueden ser útiles cuando se observan grandes cantidades de datos de una variable durante un periodo. Para los tres ejercicios siguientes utilice los datos para construir un gráfico de líneas. En una encuesta se preguntó a 40 personas cuántas veces habían visitado una tienda antes de hacer una compra importante. Los resultados se muestran en la . Número de veces en la tienda Frecuencia 1 4 2 10 3 16 4 6 5 4 En una encuesta se preguntó a varias personas cuántos años hacía que no compraban un colchón. Los resultados se muestran en la . Años desde la última compra Frecuencia 0 2 1 8 2 13 3 22 4 16 5 9 Se preguntó a varios niños cuántos programas de televisión ven al día. Los resultados de la encuesta se muestran en la . Número de programas de televisión Frecuencia 0 12 1 18 2 36 3 7 4 2 Los estudiantes de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez cumplen años en cada una de las cuatro estaciones. La muestra las cuatro estaciones, el número de estudiantes que cumplen años en cada estación y el porcentaje (%) de estudiantes en cada grupo. Construya un gráfico de barras que muestre el número de estudiantes. Estaciones Número de estudiantes Proporción de la población Primavera 8 24 % Verano 9 26 % Otoño 11 32 % Invierno 6 18 % Use los datos de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez suministrados en el y construya un gráfico de barras que muestre los porcentajes. El condado de David tiene seis escuelas secundarias. Cada escuela envió a sus estudiantes a participar en un concurso de Ciencias de todo el condado. La muestra el desglose porcentual de los competidores de cada escuela y el porcentaje de toda la población estudiantil del condado que va a cada escuela. Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de los competidores de cada escuela. Escuela secundaria Población de la competición científica Población estudiantil total Alabaster 28,9 % 8,6 % Concordia 7,6 % 23,2 % Genoa 12,1 % 15,0 % Mocksville 18,5 % 14,3 % Tynneson 24,2 % 10,1 % West End 8,7 % 28,8 % Utilice los datos del concurso de Ciencias del condado de David que se facilitan en el . Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de todo el condado de los estudiantes en cada escuela. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Rellene la tabla. Valor de los datos (n.º de vehículos) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia en la ? ¿Por qué? 65 ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia relativa en la ? ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa y la frecuencia de cada valor de los datos en la ? La frecuencia relativa muestra la proporción de puntos de datos que tiene cada valor. La frecuencia indica el número de puntos de datos que tiene cada valor. ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa acumulada y la frecuencia relativa de cada valor de los datos? Para construir el histograma de los datos en la , determine los valores mínimos y máximos de x y y y la escala. Dibuje el histograma. Identifique los ejes horizontal y vertical con palabras. Incluya la escala numérica. Las respuestas variarán. Se muestra un posible histograma: Construya un polígono de frecuencias para lo siguiente: Pulsaciones de las mujeres Frecuencia 60-69 12 70-79 14 80-89 11 90-99 1 100-109 1 110-119 0 120-129 1 Velocidad real en una zona de 30 millas por hora (mph) Frecuencia 42-45 25 46-49 14 50-53 7 54-57 3 58-61 1 Alquitrán (mg) en cigarrillos sin filtro Frecuencia 10-13 1 14-17 0 18-21 15 22-25 7 26-29 2 Construya un polígono de frecuencias a partir de la distribución de frecuencias para los 50 países con más puntos en cuanto a la magnitud del hambre. Magnitud del hambre Frecuencia 230-259 21 260-289 13 290-319 5 320-349 7 350-379 1 380-409 1 410-439 1 Calcule el punto medio de cada clase. Estos se graficarán en el eje x . Los valores de la frecuencia se graficarán en los valores del eje y . Utilice las dos tablas de frecuencia para comparar la esperanza de vida de hombres y mujeres de 20 países seleccionados al azar. Incluya un polígono de frecuencias superpuesto y analice las formas de las distribuciones, el centro, la dispersión y cualquier valor atípico. ¿Qué podemos concluir sobre la esperanza de vida de las mujeres en comparación con la de los hombres? Esperanza de vida al nacer: mujeres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 3 77-83 8 84-90 2 Esperanza de vida al nacer: hombres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 1 77-83 7 84-90 5 Construya un gráfico de series temporales para (a) el número de nacimientos de hombres; (b) el número de nacimientos de mujeres; y (c) el número total de nacimientos. Sexo/Año 1855 1856 1857 1858 1859 1860 1861 Mujeres 45.545 49.582 50.257 50.324 51.915 51.220 52.403 Hombres 47.804 52.239 53.158 53.694 54.628 54.409 54.606 Total 93.349 101.821 103.415 104.018 106.543 105.629 107.009 Sexo/Año 1862 1863 1864 1865 1866 1867 1868 1869 Mujeres 51.812 53.115 54.959 54.850 55.307 55.527 56.292 55.033 Hombres 55.257 56.226 57.374 58.220 58.360 58.517 59.222 58.321 Total 107.069 109.341 112.333 113.070 113.667 114.044 115.514 113.354 Sexo/Año 1870 1871 1872 1873 1874 1875 Mujeres 56.431 56.099 57.472 58.233 60.109 60.146 Hombres 58.959 60.029 61.293 61.467 63.602 63.432 Total 115.390 116.128 118.765 119.700 123.711 123.578 Los siguientes conjuntos de datos enumeran los policías a tiempo completo por cada 100.000 ciudadanos junto con los homicidios por cada 100.000 ciudadanos para la ciudad de Detroit, Michigan, durante el periodo de 1961 a 1973. Año 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 Policía 260,35 269,8 272,04 272,96 272,51 261,34 268,89 Homicidios 8,6 8,9 8,52 8,89 13,07 14,57 21,36 Año 1968 1969 1970 1971 1972 1973 Policía 295,99 319,87 341,43 356,59 376,69 390,19 Homicidios 28,03 31,49 37,39 46,26 47,24 52,33 Construya un gráfico de serie temporal doble utilizando un eje x común para ambos conjuntos de datos. ¿Qué variable aumentó más rápido? Explique. ¿El aumento de policías en Detroit tuvo un efecto en la tasa de homicidios? Explique. Tarea para la casa La contiene las tasas de obesidad de 2010 en estados de EE. UU. y en Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Utilice un generador de números aleatorios para elegir al azar ocho estados. Construya un gráfico de barras con las tasas de obesidad de esos ocho estados. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “A”. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “M”. Solución de ejemplo para utilizar el generador de números aleatorios de la calculadora TI-84+ para generar una muestra aleatoria simple de 8 estados. Las instrucciones son las siguientes. Numere las entradas de la tabla 1-51 (incluye Washington, DC; numeradas verticalmente) Pulse MATH Flecha hacia PRB Pulse 5:randInt( Introduzca 51,1,8) Se generan ocho números (utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por los números). Los números corresponden a los estados numerados (para este ejemplo: {47 21 9 23 51 13 25 4}. Si algún número se repite, genere un número diferente utilizando 5:randInt(51,1)). Aquí, los estados (y Washington, DC) son {Arkansas, Washington DC, Idaho, Maryland, Michigan, Misisipi, Virginia, Wyoming}. Los porcentajes correspondientes son {30,1; 22,2; 26,5; 27,1; 30,9; 34,0; 26,0; 25,1}. Supongamos que tres editoriales se interesan por el número de libros de ficción de tapa blanda que compran los consumidores adultos al mes. Cada editorial realizó una encuesta. En la encuesta se les preguntó a los consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados son los siguientes: Editorial A N.º de libros Frec. Frec. rel. 0 10 1 12 2 16 3 12 4 8 5 6 6 2 8 2 Editorial B N.º de libros Frec. Frec. rel. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 Editorial C N.º de libros Frec. Frec. rel. 0–1 20 2–3 35 4–5 12 6–7 2 8–9 1 Calcule las frecuencias relativas de cada encuesta. Escríbalas en las tablas. Utilice la columna de frecuencias para construir un histograma de la encuesta de cada editor. Para las editoriales A y B, haga el ancho de las barras de uno. Para la editorial C, haga las barras con un ancho de dos. En oraciones completas, indique dos razones por las que los gráficos de las editoriales A y B no son idénticos. ¿Habría esperado que el gráfico de la editorial C se pareciera a los otros dos gráficos? ¿Por qué sí o por qué no? Haga nuevos histogramas para la editorial A y la editorial B. Esta vez, haga barras con un ancho de dos. Ahora, compare el gráfico de la editorial C con los nuevos gráficos de las editoriales A y B. ¿los gráficos son más parecidos o más distintos? Explique su respuesta. A menudo, los cruceros realizan todas las transacciones a bordo sin dinero en efectivo, a excepción de los juegos de azar. Al final del crucero, los huéspedes pagan una sola factura que cubre todas las transacciones a bordo. Supongamos que se encuestaron 60 viajeros solteros y 70 parejas sobre sus facturas a bordo para un crucero de siete días desde Los Ángeles a la riviera mexicana. A continuación, un resumen de las facturas de cada grupo. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 51-100 5 101-150 10 151-200 15 201-250 15 251-300 10 301-350 5 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 100-150 5 201-250 5 251-300 5 301-350 5 351-400 10 401-450 10 451-500 10 501-550 10 551-600 5 601-650 5 Rellene la frecuencia relativa de cada grupo. Construya un histograma para el grupo de solteros. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Construya un histograma para el grupo de parejas. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare los dos gráficos: Enumere dos similitudes entre los gráficos. Enumere dos diferencias entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? Construya un nuevo gráfico a mano para las parejas. Dado que cada pareja paga por dos personas, en vez de escalar el eje x a 50 dólares, escálelo a 100 dólares. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Enumere dos similitudes entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? ¿Cómo ha cambiado la escala del gráfico de parejas en comparación con el gráfico de solteros? Basándose en los gráficos, ¿cree que las personas gastan la misma cantidad, más o menos como solteros que como pareja? Explique por qué en una o dos oraciones completas. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 51-100 5 0,08 101-150 10 0,17 151-200 15 0,25 201-250 15 0,25 251-300 10 0,17 301-350 5 0,08 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 100-150 5 0,07 201-250 5 0,07 251-300 5 0,07 301-350 5 0,07 351-400 10 0,14 401-450 10 0,14 451-500 10 0,14 501-550 10 0,14 551-600 5 0,07 601-650 5 0,07 Vea la y la . En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen ambos valores del límite). En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen los valores de ambos límites). Compare los dos gráficos: Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos utilizan intervalos de clase con un ancho igual a 50 dólares. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: El gráfico de parejas tiene un intervalo de clase sin valores. Se necesita casi el doble de intervalos de clase para mostrar los datos de las parejas. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Los gráficos son más similares que diferentes porque los patrones generales de los gráficos son iguales. Compruebe la solución del estudiante. Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos muestran intervalos de 6 clases. Ambos gráficos muestran el mismo patrón general. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Aunque el ancho de los intervalos de clase de las parejas es el doble que la de los intervalos de clase de los solteros, los gráficos son más similares que diferentes. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Puede comparar los gráficos intervalo por intervalo. Es más fácil comparar los patrones generales con la nueva escala del gráfico de las parejas. Como una pareja representa a dos personas, la nueva escala permite una comparación más precisa. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Según los histogramas, parece que el gasto no varía mucho entre los solteros y las personas que forman parte de una pareja. Los patrones generales son iguales. El rango de gasto de las parejas es aproximadamente el doble que el de personas individuales. Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes. N.º de películas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: supongamos que se les pregunta a ciento once personas que compran en una tienda especial de camisetas el número de camisetas que tienen y que cuestan más de 19 dólares cada una. El porcentaje de personas que tienen como máximo tres camisetas que cuestan más de 19 dólares cada una es aproximadamente: 21 59 41 No se puede determinar c Si los datos se recopilaron al preguntarles a las primeras 111 personas que entraron en la tienda, entonces el tipo de muestreo es: conglomerado simple aleatorio estratificado de conveniencia A continuación se muestran las tasas de obesidad de 2010 por estados de EE. UU. y Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Construya un gráfico de barras de las tasas de obesidad de su estado y de los cuatro estados más cercanos al suyo. Pista: Identifique el eje x con los estados. Las respuestas variarán. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Histograma una representación gráfica en forma de x - y de la distribución de los datos en un conjunto de datos; x representa los datos y y representa la frecuencia o la frecuencia relativa. El gráfico está formado por rectángulos contiguos. Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados

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