Comparación de dos proporciones de población independientes Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características: Las dos muestras independientes son muestras aleatorias que son independientes. El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras. La bibliografía, cada vez más extensa, afirma que la población deberá ser, como mínimo, 10 y hasta 20 veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y que los resultados sean sesgados. La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar en el muestreo. La comprobación de la hipótesis permite determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las dos proporciones de la población. Al igual que en el caso de las diferencias de medias muestrales, construimos una distribución muestral para las diferencias de proporciones muestrales: ( p A ' - p B ' ) donde p A ' = X A n A y p B ' = X B n B son las proporciones de la muestra para los dos conjuntos de datos en cuestión. X A y X B son el número de aciertos en cada grupo de la muestra, respectivamente, y n A y n B son los tamaños de muestra respectivos de los dos grupos. De nuevo acudimos al teorema del límite central para hallar la distribución muestral con respecto a las diferencias en las proporciones de la muestra. También nos encontramos con que esta distribución muestral, al igual que las anteriores, se distribuye normalmente, tal y como demuestra el teorema del límite central, como se ve en la . En general, la hipótesis nula permite probar una diferencia de un valor determinado, 𝛿 0 , tal como hicimos para el caso de las diferencias de medias. H 0 : p 1 – p 2 = 𝛿 0 H 1 : p 1 – p 2 ≠ 𝛿 0 Sin embargo, lo más común es la prueba de que las dos proporciones son iguales. Esto es, H 0 : p A = p B H a : p A ≠ p B Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p c . La proporción combinada se calcula de la siguiente manera: p c = x A + x B n A + n B El estadístico de prueba (puntuación z ) es: Z c = ( p A ′ – p B ′ ) – δ 0 p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) donde δ 0 son las diferencias hipotéticas entre las dos proporciones y p c es la varianza agrupada de la fórmula anterior. Un banco acaba de adquirir otra sucursal, por lo que tiene clientes en este nuevo territorio. Les interesa la tasa de morosidad en su nuevo territorio. Desean comprobar la hipótesis de que la tasa de morosidad es diferente a la de su actual base de clientes. Hacen un muestreo de 200 expedientes en el área A, sus clientes actuales, y descubren que 20 han incumplido. En el área B, la de los nuevos clientes, otra muestra de 200 expedientes muestra que 12 han dejado de pagar sus préstamos. A un nivel de significación del 10 %, ¿podemos decir que los índices de impago son iguales o diferentes? Esto es una prueba de proporciones. Lo sabemos porque la variable aleatoria subyacente es binaria: impago o no impago. Además, sabemos que se trata de una prueba de diferencias de proporciones porque tenemos dos grupos de muestra, la base de clientes actual y la recién adquirida. Supongamos que A y B son los subíndices de los dos grupos de clientes. Entonces p A y p B son las dos proporciones de la población que deseamos probar. Variable aleatoria: P′ A – P′ B = diferencia en las proporciones de clientes con impago en los dos grupos. H 0 : p A = p B H a : p A ≠ p B Las palabras “es una diferencia” le indican que la prueba es de dos colas. Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones poblacionales binomiales, la distribución es normal: p c = x A + x B n A + n B = 20 + 12 200 + 200 = 0,08 1 – p c = 0,92 ( p′ A – p′ B ) = 0,04 sigue una distribución normal aproximada. Proporción estimada para el grupo A: p ′ A = x A n A = 20 200 = 0,1 Proporción estimada para el grupo B: p ′ B = x B n B = 12 200 = 0,06 La diferencia estimada entre los dos grupos es: p′ A – p′ B = 0,1 – 0,06 = 0,04. Z c = ( P′ A – P′ B ) – δ 0 P c ( 1 – P c ) ( 1 n A + 1 n B ) = 1,47 El valor calculado del estadístico de prueba es de 1,47 y no se encuentra en la cola de la distribución. Tome una decisión: Dado que el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola de la distribución, no podemos rechazar H 0 . Conclusión: A un nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia entre las proporciones de clientes con impagos en los dos grupos. Ejercicio Se están probando dos tipos de válvulas para determinar si hay una diferencia en las tolerancias de presión. Quince de una muestra aleatoria de 100 de la válvula A se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Seis de una muestra aleatoria de 100 de la válvula B se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. El valor p es 0,0379, por lo que podemos rechazar la hipótesis nula. A un nivel de significación del 5 %, los datos respaldan que hay una diferencia en las tolerancias de presión entre las dos válvulas. Referencias Datos de Educational Resources , catálogo de diciembre. Datos de los Hoteles Hilton. Disponible en línea en http://www.hilton.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de los Hoteles Hyatt. Disponible en línea en http://hyatt.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de Estadísticas del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos de la Exposición del Whitney en préstamo al Museo de Arte de San José. Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Disponible en línea en http://www.cancer.org/index (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de la Chancellor's Office, California Community Colleges, noviembre de 1994. “State of the States”. Gallup, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/125066/State-States.aspx?ref=interactive (consultado el 17 de junio de 2013). “West Nile Virus”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Prueba de dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes Variable aleatoria: p' A – p' B = diferencia entre las dos proporciones estimadas Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Proporción combinada: pc = x A + x B n A + n B Estadístico de prueba (puntuación z ): Z c = ( p ′ A – p ′ B ) p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) donde p A ' y p B ' son las proporciones de la muestra, p A y p B son las proporciones de la población, P c es la proporción combinada, y n A y n B son los tamaños de las muestras. Use la siguiente información para los próximos cinco ejercicios. Se están probando dos tipos de sistemas operativos (operating system, OS) de teléfonos para determinar si hay una diferencia en las proporciones de fallos del sistema (caídas). Quince de una muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 1 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Nueve de otra muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 2 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Se cree que el OS 2 es más estable (tiene menos fallos) que el OS 1 . ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? ¿Cuál es la variable aleatoria? P ′ OS1 – P ′ OS2 = diferencia en las proporciones de teléfonos que tuvieron fallos del sistema durante las primeras ocho horas de funcionamiento con OS 1 y OS 2 . Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Qué puede concluir sobre los dos sistemas operativos? Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios. En el reciente censo el tres por ciento de la población de EE. UU. declaró que era de dos o más razas. Sin embargo, el porcentaje varía enormemente de un estado a otro. Supongamos que se realizan dos encuestas aleatorias. En la primera encuesta aleatoria, de 1.000 habitantes de Dakota del Norte, solo nueve personas declararon que son de dos o más razas. En la segunda encuesta aleatoria, de 500 nevadenses, 17 personas declararon que son de dos o más razas. Realice una prueba de hipótesis para determinar si los porcentajes de población son iguales para los dos estados o si el porcentaje de Nevada es estadísticamente mayor que el de Dakota del Norte. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? proporciones Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : _________ H a : _________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? ¿Cómo lo sabe? cola derecha ¿Cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? Defina la variable aleatoria para esta prueba en palabras. La variable aleatoria es la diferencia de proporciones (porcentajes) de las poblaciones que son de dos o más razas en Nevada y Dakota del Norte. ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el Ejercicio 10.56 . El tamaño de nuestras muestras es muy superior a cinco, por lo que utilizamos la distribución normal para dos proporciones para esta prueba de hipótesis. Calcule el estadístico de prueba. Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su: Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): No se puede aceptar la hipótesis nula valor p < alfa Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la proporción (porcentaje) de la población que es de dos o más razas en Nevada es estadísticamente mayor que la de Dakota del Norte. ¿Parece que la proporción de nevadenses de dos o más razas es mayor que la de los habitantes de Dakota del Norte? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa Una reciente encuesta sobre drogas mostró un aumento del consumo de drogas y alcohol entre estudiantes locales de último año de escuela secundaria en comparación con el porcentaje nacional. Supongamos que se realiza una encuesta entre 100 estudiantes de último año de escuela secundaria locales y 100 nacionales para ver si la proporción de consumo de drogas y alcohol es mayor localmente que en todo el país. Localmente, 65 estudiantes de último año de escuela secundaria declararon haber consumido drogas o alcohol durante el mes anterior, mientras que el número nacional fue de 60. Nos interesa saber si las proporciones de mujeres víctimas de suicidio entre 15 y 24 años son iguales para las razas blanca y negra en Estados Unidos. Elegimos al azar un año, 1992, para comparar las razas. El número de suicidios estimado en Estados Unidos en 1992 para mujeres blancas es de 4.930. Quinientos ochenta tenían entre 15 y 24 años. La estimación para las mujeres negras es de 330. Cuarenta tenían entre 15 y 24 años. Supondremos que las mujeres víctimas de suicidio sean nuestra población. H 0 : P W = P B H a : P W ≠ P B La variable aleatoria es la diferencia en las proporciones de víctimas de suicidio blancas y negras, de 15 a 24 años. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –0,1944 valor p : 0,8458 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de mujeres blancas y negras víctimas de suicidio, de entre 15 y 24 años, sean diferentes. Elizabeth Mjelde, profesora de Historia del Arte, estaba interesada en saber si el valor de la fórmula del número áureo, ( dimensión mayor + menor mayor dimensión ) era el mismo en la exposición del Whitney para las obras de 1900 a 1919 que para las de 1920 a 1942. Se muestrearon treinta y siete obras tempranas, con una media de 1,74 con una desviación típica de 0,11. Se muestrearon sesenta y cinco obras finales, con una media de 1,746 con una desviación típica de 0,1064. ¿Cree que hay una diferencia significativa en el cálculo del número áureo? Se eligió al azar un año reciente desde 1985 hasta el presente. En ese año, había 2.051 estudiantes hispanos en el Cabrillo College de un total de 12.328 estudiantes. En el Lake Tahoe College, había 321 estudiantes hispanos de un total de 2.441 estudiantes. En general, ¿cree que el porcentaje de estudiantes hispanos en los dos institutos universitarios es básicamente igual o diferente? Subíndices: 1 = Cabrillo College, 2 = Lake Tahoe College H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La variable aleatoria es la diferencia entre las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y el Lake Tahoe College. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 4,29 valor p : 0,00002 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y en el Lake Tahoe College son diferentes. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El virus neuroinvasivo del Nilo Occidental es una enfermedad grave que afecta el sistema nervioso de las personas. Lo transmite la especie de mosquito Culex. En Estados Unidos en 2010 se registraron 629 casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental de un total de 1.021 casos notificados, y en 2011 se registraron 486 casos neuroinvasivos de un total de 712 casos. ¿La proporción de casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental en 2011 es mayor que la proporción de casos de 2010? Use un nivel de significación del 1 % y haga una prueba de hipótesis adecuada. “2011” subíndice: grupo 2011. “2010” subíndice: grupo 2010 Esto es: una prueba de dos proporciones una prueba de dos medias independientes una prueba de una sola media una prueba de pares coincidentes. Una hipótesis nula adecuada es: p 2011 ≤ p 2010 p 2011 ≥ p 2010 μ 2011 ≤ μ 2010 p 2011 > p 2010 a Unos investigadores hicieron un estudio para averiguar si existe una diferencia en el uso de lectores de libros electrónicos por parte de distintos grupos de edad. Los participantes seleccionados al azar se dividieron en dos grupos de edad. En el grupo de 16 a 29 años, el 7 % de los 628 encuestados utilizan lectores de libros electrónicos, así como el 11 % de los 2.309 participantes de 30 años o más Prueba: dos proporciones de muestras independientes. Variable aleatoria: p ′ 1 – p ′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos es diferente para los usuarios de 16 a 29 años que para los de 30 o más. Gráfico: de dos colas Se seleccionaron aleatoriamente adultos de 18 años o más para una encuesta sobre obesidad. Se considera que los adultos son obesos si su índice de masa corporal (IMC) es de al menos 30. Los investigadores querían determinar si la proporción de mujeres obesas en el sur es menor que la proporción de hombres del sur que son obesos. Los resultados se muestran en la . Pruebe al nivel de significación del 1 %. Número de personas obesas Tamaño de la muestra Hombres 42.769 155.525 Mujeres 67.169 248.775 Dos usuarios de computadoras estaban hablando sobre tabletas. La proporción de personas de 16 a 29 años que utilizan tabletas es mayor que la de las personas de 30 años o más. La detalla el número de propietarios de tabletas para cada grupo de edad. Pruebe al nivel de significación del 1 %. de 16 a 29 años 30 años o más Poseer una tableta 69 231 Tamaño de la muestra 628 2.309 Prueba: dos proporciones de muestras independientes Variable aleatoria: p′ 1 − p′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 > p 2 La proporción de propietarios de tabletas es mayor entre 16 y 29 años que entre 30 y más. Gráfico: cola derecha No rechace la H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 1 % a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de tabletas tenga entre 16 y 29 años que 30 años o más. Un grupo de amigos debatía sobre si hay más hombres que usan teléfonos inteligentes que mujeres. Consultaron un estudio de investigación sobre el uso de teléfonos inteligentes entre adultos. Los resultados de la encuesta indican que de los 973 hombres incluidos en la muestra aleatoria, 379 utilizan teléfonos inteligentes. En el caso de las mujeres, 404 de las 1.304 incluidas en la muestra aleatoria utilizan teléfonos inteligentes. Prueba al nivel de significación del 5 %. Mientras su esposo se pasaba 2½ horas eligiendo nuevos altavoces, una estadística decidió determinar si el porcentaje de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que el porcentaje de mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. La población eran los compradores del sábado por la tarde. De los 67 hombres, 24 dijeron que disfrutaban de la actividad. Ocho de las 24 mujeres encuestadas afirmaron que disfrutaban de la actividad. Interprete los resultados de la encuesta. Subíndices: 1: hombres; 2: mujeres H 0 : p 1 ≤ p 2 H a : p 1 > p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 0,22 valor p : 0,4133 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que la de mujeres. Nos interesa saber si los softwares educativos para niños cuestan menos, en promedio, que los de entretenimiento para niños. Se eligieron al azar treinta y seis títulos de software educativo de un catálogo. El costo medio fue de 31,14 dólares, con una desviación típica de 4,69 dólares. Se eligieron al azar treinta y cinco títulos de software de entretenimiento del mismo catálogo. El costo medio fue de 33,86 dólares, con una desviación típica de 10,87 dólares. Decida si el software educativo para niños cuesta menos, en promedio, que el software de entretenimiento para niños. Joan Nguyen afirmó recientemente que la proporción de hombres en edad universitaria con al menos una oreja perforada es tan alta como la proporción de mujeres universitarias. Hizo una encuesta en sus clases. De los 107 hombres, 20 tenían, al menos, una oreja perforada. De las 92 mujeres, 47 tenían, al menos, una oreja perforada. ¿Cree que la proporción de hombres ha alcanzado a la de mujeres? H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que tienen, al menos, una oreja perforada. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –4,82 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de hombres y mujeres con, al menos, una oreja perforada son diferentes. “¿Desayunar o no desayunar?”, por Richard Ayore En la sociedad estadounidense, los cumpleaños son uno de esos días que todo el mundo espera con ilusión. Personas de diferentes edades y grupos de compañeros se reúnen para celebrar los cumpleaños: 18, 20, etc. Durante este tiempo, uno mira hacia atrás para ver lo que ha conseguido durante el año pasado y también se centra en el futuro para ver lo que está por venir. Si, por casualidad, me invitan a una de estas fiestas, mi experiencia es siempre diferente. En vez de bailar con mis amigos mientras la música retumba, me dejo llevar por los recuerdos de mi familia en Kenia. Recuerdo los buenos momentos que pasé con mis hermanos y mi hermana mientras llevábamos a cabo nuestra rutina diaria. Recuerdo que todas las mañanas íbamos a la shamba (huerto) a desherbar nuestros cultivos. Recuerdo que un día discutí con mi hermano por qué siempre se quedaba atrás para reunirse con nosotros una hora más tarde. En su defensa, dijo que prefería esperar a desayunar antes de venir a desherbar. Dijo: “¡Por eso siempre trabajo más horas que ustedes!”. Así que, para demostrar que estaba equivocado o que tenía razón, decidimos probarlo. Un día fuimos a trabajar como de costumbre sin desayunar, y registramos el tiempo que podíamos trabajar antes de cansarnos y parar. Al día siguiente, todos desayunamos antes de ir a trabajar. Registramos el tiempo que trabajamos de nuevo antes de cansarnos y parar. Nos interesa saber el aumento medio del tiempo de trabajo. Aunque no estoy seguro, mi hermano insistió en que fueron más de dos horas. Use los datos de la y resuelva nuestro problema. Horas de trabajo con desayuno Horas de trabajo sin desayuno 8 6 7 5 9 5 5 4 9 7 8 7 10 7 7 5 6 6 9 5 H 0 : µ d = 0 H a : µ d > 0 La variable aleatoria X d es la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna. t 9 estadístico de prueba: 4,8963 valor p : 0,0004 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna ha aumentado.

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Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas Aunque difícilmente se dé esta situación (conocer las desviaciones típicas de la población es improbable), el siguiente ejemplo ilustra las pruebas de hipótesis para medias independientes con desviaciones típicas conocidas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal de acuerdo con el teorema del límite central. La variable aleatoria es X 1 – – X 2 – . La distribución normal tiene el siguiente formato: La desviación típica es: ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 El estadístico de prueba (puntuación z ) es: Z c = ( x - 1 – x – 2 ) – δ 0 ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 Grupos independientes, desviaciones típicas de la población conocidas: Se va a comparar el tiempo medio de duración de dos ceras para suelos de la competencia. Se asignan al azar veinte pisos para probar cada cera . Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Los datos se registran en la . Cera Media muestral del número de meses que dura la cera para pisos Desviación típica de la población 1 3 0,33 2 2,9 0,36 ¿Los datos indican que la cera 1 es más eficaz que la cera 2 ? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales, desviaciones típicas poblacionales conocidas. Variable aleatoria : X – 1 – X – 2 = diferencia en el número medio de meses que duran las ceras para suelos de la competencia. H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 La expresión “es más eficaz” dice que la cera 1 dura más que la cera 2 , en promedio. “Más que” es el símbolo “>” y entra en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Distribución para la prueba: Las desviaciones típicas de la población son conocidas, por lo que la distribución es normal. Con la fórmula del estadístico de prueba calculamos el valor para el problema. Z c = ( μ 1 – μ 2 ) – δ 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 0,1 La diferencia estimada entre las dos medias es: X – 1 – X – 2 = 3 – 2,9 = 0,1 Compare el valor calculado, el valor crítico y Z α : Marcamos el valor calculado en el gráfico y determinamos que el valor calculado no está en la cola, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Tome una decisión: el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola, por lo que no se puede rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de duración de la cera 1 sea mayor (la cera 1 es más eficaz) que el tiempo medio de duración de la cera 2. Ejercicio Hay que comparar las medias del número de revoluciones por minuto de dos motores en competencia. Treinta motores son asignados al azar para ser probados. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. ¿Los datos indican que el motor 2 tiene más RPM que el motor 1? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Motor Número de la media muestral de RPM Desviación típica de la población 1 1.500 50 2 1.600 60 El valor p es casi cero, por lo que rechazamos la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para concluir que el motor 2 funciona a un número de revoluciones mayor que el motor 1. Un ciudadano interesado quería saber si los senadores estadounidenses demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio. El 26 de mayo de 2013, la edad media de 30 senadores republicanos seleccionados al azar era de 61 años y 247 días (61,675 años) con una desviación típica de 10,17 años. La edad media de los 30 senadores demócratas seleccionados al azar era de 61 años y 257 días (61,704 años), con una desviación típica de 9,55 años. ¿Los datos indican que los senadores demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales. Se desconocen las desviaciones típicas de la población, pero la suma de los tamaños de las muestras es 30 + 30 = 60, que es mayor que 30, por lo que podemos utilizar la aproximación normal a la distribución t de Student. Subíndices: 1: Senadores demócratas 2: Senadores republicanos Variable aleatoria: X – 1 – X – 2 = diferencia en la edad media de los senadores estadounidenses demócratas y republicanos. H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H 0 : μ 1 – μ 2 ≤ 0 H a : μ 1 > μ 2 H a : μ 1 – μ 2 > 0 Las palabras “mayor que” se traducen en un símbolo “>” y entran en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Tome una decisión: El valor p es superior al 5 %, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Al calcular el estadístico de prueba, observamos que no cae en la cola, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Llegamos a la misma conclusión al utilizar cualquiera de los dos métodos para tomar esta decisión estadística. Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la edad media de los senadores demócratas sea mayor que la de los republicanos. Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/prod/cen2010/briefs/c2010br-02.pdf Hinduja, Sameer. “Sexting Research and Gender Differences”. Cyberbulling Research Center, 2013. Disponible en línea en http://cyberbullying.us/blog/sexting-research-and-gender-differences/ (consultado el 17 de junio de 2013). “Smart Phone Users, By the Numbers”. Visually, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013). Smith, Aaron. “35% of American adults own a Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2011/PIP_Smartphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013). “State-Specific Prevalence of Obesity AmongAduls—Unites States, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013). “Texas Crime Rates 1960–1012”. FBI, Uniform Crime Reports, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se conocen las desviaciones típicas de la población tendrá estas características: Variable aleatoria: X – 1 – X – 2 = la diferencia de las medias Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Estadístico de prueba (puntuación z ): Z c = ( x - 1 – x – 2 ) – δ 0 ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 donde: σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas conocidas de la población. n 1 y n 2 son los tamaños de las muestras. x - 1 y x – 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se van a comparar las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de dos lanzadores de béisbol diferentes. Se mide una muestra de 14 lanzamientos de pelotas rápidas de cada lanzador. Las poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. Los cazatalentos creen que Rodríguez lanza una pelota rápida más rápida. Lanzador Media muestral de la velocidad de los lanzamientos (mph) Desviación típica de la población Wesley 86 3 Rodríguez 91 7 ¿Cuál es la variable aleatoria? La diferencia en las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de los dos lanzadores Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico de prueba? -2,46 Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Al nivel de significación del 1 %, podemos rechazar la hipótesis nula. Hay datos suficientes para concluir que la velocidad media de la pelota rápida de Rodríguez es más rápida que la de Wesley. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un investigador está probando los efectos de los alimentos para plantas en su crecimiento. Nueve plantas han recibido el alimento para plantas. Otras nueve plantas no han recibido el alimento para plantas. Las alturas de las plantas se registran después de ocho semanas. Las poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. El investigador cree que la comida hace que las plantas crezcan más altas. Grupo de plantas Media muestral de la altura de las plantas (pulgadas) Desviación típica de la población Con alimento 16 2,5 Sin alimento 14 1,5 ¿La desviación típica de la población es conocida o desconocida? Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = Con alimento, 2 = Sin alimento H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Se están considerando dos aleaciones metálicas como material para los rodamientos de pelotas. Hay que comparar el punto de fusión medio de las dos aleaciones. Se están probando 15 piezas de cada metal. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. Se cree que la aleación zeta tiene un punto de fusión diferente. Media muestral de las temperaturas de fusión (°F) Desviación típica de la población Aleación gamma 800 95 Aleación zeta 900 105 Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = gamma, 2 = zeta H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 ¿Se trata de una prueba a la derecha, a la izquierda o de dos colas? Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Hay suficientes pruebas, por lo que no podemos aceptar la hipótesis nula. Los datos apoyan que el punto de fusión de la aleación zeta es diferente del punto de fusión de la aleación gamma. Tarea para la casa Nota Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente (sin embargo, cuando se utilicen estas pruebas en una situación real, primero hay que demostrar ese supuesto). Se hace un estudio para determinar si los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan más en graduarse, en promedio, que los estudiantes inscritos en universidades privadas. Se encuestaron cien estudiantes del sistema universitario estatal de California y de universidades privadas. Supongamos que, a partir de años de investigación, se sabe que las desviaciones típicas de la población son 1,5811 años y 1 año, respectivamente. Se recopilan los siguientes datos. Los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardaron un promedio de 4,5 años, con una desviación típica de 0,8. Los estudiantes de universidades privadas tardaron un promedio de 4,1 años, con una desviación típica de 0,3. Los padres de los adolescentes se quejan a menudo de que el seguro de automóvil cuesta más, en promedio, para los hombres que para las mujeres. Un grupo de padres preocupados examina una muestra aleatoria de facturas de seguros. El costo medio anual para 36 adolescentes hombres fue de 679 dólares. Para 23 adolescentes mujeres fueron 559 dólares. De los años anteriores, se sabe que la desviación típica de la población para cada grupo es de 180 dólares. Determine si cree que el costo medio del seguro de automóvil para los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes mujeres. Subíndices: 1 = hombres, 2 = mujeres H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de los costos de los seguros de automóviles de hombres y mujeres. normal estadístico de prueba: z = 2,50 valor p : 0,0062 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el costo medio del seguro de automóvil de los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes. Un grupo de estudiantes que van a transferirse se preguntaba si gastarían la misma cantidad media en textos y materiales cada año en su universidad de cuatro años que en su colegio comunitario. Realizaron una encuesta aleatoria a 54 estudiantes de su colegio comunitario y a 66 estudiantes de su universidad de cuatro años local. Las medias muestrales fueron 947 y 1.011 dólares, respectivamente. Se sabe que las desviaciones típicas de la población son de 254 y 87 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son estadísticamente iguales. Algunos fabricantes afirman que los vehículos tipo sedán no híbridos tienen una media de millas por galón (mpg) inferior a los híbridos. Supongamos que los consumidores prueban 21 sedanes híbridos y obtienen una media de 31 mpg con una desviación típica de siete mpg. Treinta y un sedanes no híbridos obtienen una media de 22 mpg con una desviación típica de cuatro mpg. Supongamos que se sabe que las desviaciones típicas de la población son seis y tres, respectivamente. Haga una prueba de hipótesis para evaluar la afirmación del fabricante. Subíndices: 1 = sedanes no híbridos, 2 = sedanes híbridos H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de millas por galón de los sedanes no híbridos y los sedanes híbridos. normal estadístico de prueba: 6,36 valor p : 0 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la media de millas por galón de los sedanes no híbridos es inferior a la de los híbridos. Un aficionado al béisbol quería saber si existe una diferencia entre el número de partidos jugados en una Serie Mundial cuando la Liga Americana gana la serie versus cuando la Liga Nacional gana la serie. Desde 1922 hasta 2012, la desviación típica de la población de los partidos ganados por la Liga Americana fue de 1,14, y la de los partidos ganados por la Liga Nacional fue de 1,11. De los 19 partidos de las Series Mundiales seleccionados al azar que ganó la Liga Americana, la media de partidos ganados fue de 5,76. La media de los 17 partidos seleccionados al azar que ganó la Liga Nacional fue de 5,42. Realice una prueba de hipótesis. Una de las preguntas de un estudio sobre la satisfacción conyugal de las parejas con dos carreras era valorar la afirmación: “Estoy satisfecho con la forma en que dividimos las responsabilidades del cuidado de los hijos”. Las valoraciones iban del uno (muy de acuerdo) al cinco (muy en desacuerdo). La contiene diez de las respuestas emparejadas de esposos y esposas. Realice una prueba de hipótesis para ver si la diferencia media en el nivel de satisfacción de los esposos versus el de las esposas es negativo (lo que significa que, dentro de la pareja, el esposo es más feliz que la esposa). Puntuación de la esposa 2 2 3 3 4 2 1 1 2 4 Puntuación del esposo 2 2 1 3 2 1 1 1 2 4 H 0 : µ d = 0 H a : µ d < 0 La variable aleatoria X d es la diferencia promedio entre el nivel de satisfacción del esposo y de la esposa. t 9 estadístico de prueba: t = –1,86 valor p : 0,0479 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula, pero hay que hacer otra prueba. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Se trata de una prueba débil porque alfa y el valor p están cerca. Sin embargo, no hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media es negativa.

Introducción a la estadística empresarial

Empresarial


Muestras coincidentes o emparejadas En la mayoría de los casos de datos económicos o empresariales tenemos poco o ningún control sobre la recopilación de los datos. En este sentido, los datos no son el resultado de un experimento controlado y planificado. Sin embargo, en algunos casos podemos generar datos que forman parte de un experimento controlado. Esto se da con frecuencia en situaciones de control de calidad. Imagine que las tasas de producción de dos máquinas construidas con el mismo diseño, pero en diferentes plantas de fabricación, se prueban para detectar diferencias en algún sistema de medición de la producción, como la velocidad de salida o el cumplimiento con alguna especificación, como la resistencia del producto. La prueba tiene el mismo formato que la que hemos estado probando, pero aquí podemos tener pares emparejados para los que podemos verificar si existen diferencias. Cada observación tiene su par emparejado con el que se calculan las diferencias. En primer lugar, hay que calcular las diferencias del indicador que se va a probar entre las dos listas de observaciones, lo que se suele etiquetar con la letra "d". A continuación, el promedio de estas diferencias emparejadas, X ¯ d se calcula al igual que su desviación típica, S d . Esperamos que la desviación típica de las diferencias de los pares emparejados sea menor que la de los pares no emparejados porque presumiblemente deberían existir menos diferencias debido a la correlación entre los dos grupos. Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras emparejadas o pareadas, pueden darse las siguientes características: Se utiliza un muestreo aleatorio simple. El tamaño de las muestras suele ser pequeño. Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos. Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas. Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis. O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal. En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, la media poblacional de las diferencias, μ d , se verifica con la prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias, es decir, el número de pares, no el número de observaciones. Las hipótesis nula y alternativa para esta prueba son: H 0 : µ d = 0 H a : µ d ≠ 0 El estadístico de prueba es: t c = x – d – μ d ( s d n ) Una compañía ha desarrollado un programa de formación para sus nuevos empleados porque le preocupa los resultados de la revisión semestral de los empleados. Esperan que el programa de formación dé lugar a mejores revisiones semestrales. Cada aprendiz constituye un "par", la puntuación de entrada que el empleado recibió al ingresar en la empresa y la puntuación otorgada en la revisión de los seis meses. Se calculó la diferencia de las dos puntuaciones de cada empleado y se calcularon las medias de antes y después del programa de formación. La media muestral antes del programa de formación era de 20,4 y la media muestral después del programa de formación fue de 23,9. La desviación típica de las diferencias entre las dos puntuaciones de los 20 empleados fue de 3,8 puntos. Compruebe al nivel de significación del 10 % la hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que el programa de formación mejora las puntuaciones de los empleados. El primer paso es identificar este caso como de dos muestras: antes y después de la formación. Esto diferencia este problema de los simples problemas de una muestra. En segundo lugar, determinamos que las dos muestras están "emparejadas". Cada observación de la primera muestra tiene una observación emparejada en la segunda muestra. Esta información nos revela que las hipótesis nula y alternativa deberían ser: H 0 : µ d ≤ 0 H a : µ d > 0 Esta forma refleja la afirmación implícita de que el curso de formación mejora las puntuaciones; la prueba es de una cola y la afirmación está en la hipótesis alternativa. Dado que el experimento se llevó a cabo como una muestra emparejada, en lugar de tomar simplemente las puntuaciones de las personas que realizaron el curso de formación de las que no lo hicieron, utilizamos el estadístico de prueba de pares emparejados: Estadístico de prueba: t c = X ¯ d – µ d S d n = ( 23,9 – 20,4 ) – 0 ( 3,8 20 ) = 4,12 Para resolver esta ecuación, hay que utilizar cada una las puntuaciones, el curso previo a la formación y el curso posterior a la formación para calcular cada una de las diferencias. A continuación, se promedian estas puntuaciones y se calcula la diferencia promedio: X ¯ d = x ¯ 1 – x ¯ 2 A partir de estas diferencias podemos calcular la desviación típica de cada una de las diferencias: S d = Σ ( d i – X ¯ d ) 2 n – 1 donde d i = x 1i – x 2i Ahora podemos comparar el valor calculado del estadístico de prueba, 4,12, con el valor crítico. El valor crítico es una t de Student con grados de libertad iguales al número de pares, no de observaciones, menos 1. En este caso 20 pares y con un nivel de confianza del 90% t a/2 = ±1,729 con df = 20 - 1 = 19. El valor calculado del estadístico de prueba se encuentra con toda seguridad en la cola de la distribución; por ende, no podemos aceptar la hipótesis nula de que no hay diferencias con el programa de formación. Las pruebas parecen indicar que la formación permite a los empleados a obtener mejores puntuaciones. Se realizó un estudio para investigar la eficacia del hipnotismo en la reducción del dolor. Los resultados de los sujetos seleccionados al azar se muestran en la . Una calificación más baja indica menos dolor. El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. ¿Las medidas sensoriales son, en promedio, más bajas después del hipnotismo? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Sujeto: A B C D E F G H Antes 6,6 6,5 9,0 10,3 11,3 8,1 6,3 11,6 Después 6,8 2,4 7,4 8,5 8,1 6,1 3,4 2,0 Los valores correspondientes de “antes” y “después” forman pares coincidentes (calcule “después” – “antes”). Datos de “Después” Datos de “Antes” Diferencia 6,8 6,6 0,2 2,4 6,5 -4,1 7,4 9 -1,6 8,5 10,3 -1,8 8,1 11,3 -3,2 6,1 8,1 -2 3,4 6,3 -2,9 2 11,6 -9,6 Los datos para la prueba son las diferencias: {0,2; –4,1; –1,6; –1,8; –3,2; –2; –2,9; –9,6} La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son: x – d = -3,13 y s d = 2,91 Verifique estos valores. Supongamos que μ d es la media poblacional de las diferencias. Utilizamos el subíndice d para denotar “diferencias”. Variable aleatoria: X – d = la diferencia media de las mediciones sensoriales H 0 : μ d ≥ 0 La hipótesis nula es cero o positiva, lo que significa que se siente el mismo o más dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto no muestra ninguna mejora ( μ d es la media poblacional de las diferencias). H a : μ d < 0 La hipótesis alternativa es negativa, lo que significa que se siente menos dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto muestra una mejora. La calificación debería ser menor después del hipnotismo, por lo que la diferencia debería ser negativa para indicar una mejora. Distribución para la prueba: La distribución es una t de Student con df = n – 1 = 8 – 1 = 7. Use t 7 (observe que la prueba es para una única media poblacional) Calcule el estadístico de prueba y busque el valor crítico con la distribución t de Student: El valor calculado del estadístico de prueba es 3,06 y el valor crítico de la distribución t con 7 grados de libertad al nivel de confianza del 5 % es 1,895 con una prueba de una cola. X – d es la variable aleatoria de las diferencias. La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son: x – d = -3,13 s – d = 2,91 Compare el valor crítico de alfa con el valor calculado del estadístico de prueba. La conclusión de utilizar la comparación del valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico nos dará el resultado. En esta pregunta, el valor calculado del estadístico de prueba es 3,06 y el valor crítico es 1,895. Obviamente, el estadístico de prueba está en la cola; así, no podemos aceptar las hipótesis nulas de que no hay diferencia entre las dos situaciones: hipnotizados y no hipnotizados. Tome una decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula, H 0 . Esto significa que μ d < 0 y que hay una mejora estadísticamente significativa. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que las mediciones sensoriales, en promedio, son más bajas después del hipnotismo. El hipnotismo parece ser eficaz para reducir el dolor. Un entrenador de fútbol universitario estaba interesado en saber si la clase de desarrollo de fuerza del instituto universitario aumentaba el levantamiento máximo (en libras) de sus jugadores en el ejercicio de empuje en banca. Les pidió a cuatro de sus jugadores que participaran en un estudio. La cantidad de peso que podía levantar cada uno se registró antes de que tomaran la clase de desarrollo de fuerza. Tras completar la clase, se midió de nuevo la cantidad de peso que podía levantar cada uno. Los datos son los siguientes: Peso (en libras) Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Cantidad de peso levantado antes de la clase 205 241 338 368 Cantidad de peso levantado después de la clase 295 252 330 360 El entrenador quiere saber si la clase de desarrollo de fuerza hace que sus jugadores sean más fuertes, en promedio. Registre los datos de las diferencias . Para calcular las diferencias reste la cantidad de peso levantado antes de la clase del peso levantado después de terminar la clase. Los datos de las diferencias son: {90, 11, –8, –8}. x – d = 21,3, s d = 46,7 Utilizando los datos de diferencia, esto se convierte en una prueba de una sola media. Defina la variable aleatoria: X – d diferencia media en la elevación máxima por jugador. La distribución para la prueba de hipótesis es una t de Student con 3 grados de libertad. H 0 : μ d ≤ 0, H a : μ d > 0 Busque el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico: El valor crítico del estadístico de prueba es 0,91. El valor crítico de la t de Student a un nivel de significación del 5 % y 3 grados de libertad es de 2,353. Decisión: Si el nivel de significación es del 5 %, no podemos rechazar la hipótesis nula, porque el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola. ¿Cuál es la conclusión? A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la clase de desarrollo de fuerza ayudó a hacer más fuertes a los jugadores, en promedio. Repaso del capítulo Una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas (prueba t) tiene estas características: Compruebe las diferencias restando una medida de la otra Variable aleatoria: x – d = media de las diferencias Distribución: Distribución t de Student con n – 1 grados de libertad Si el número de diferencias es pequeño (menos de 30), las diferencias deben seguir una distribución normal. Se extraen dos muestras del mismo conjunto de objetos. Las muestras son dependientes. Revisión de la fórmula Estadístico de prueba (puntuación t ): t c = x – d – μ d ( s d n ) donde: x – d es la media de las diferencias de la muestra. μ d es la media de las diferencias de la población. s d es la desviación típica de la muestra de las diferencias. n es el tamaño de la muestra. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de un parche de software en la reducción de fallos del sistema durante un periodo de seis meses. Los resultados de instalaciones seleccionadas al azar se muestran en la . El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %. Instalación A B C D E F G H Antes 3 6 4 2 5 8 2 6 Después 1 5 2 0 1 0 2 2 ¿Cuál es la variable aleatoria? la diferencia media de los fallos del sistema Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Qué conclusión puede sacar sobre el parche de software? Con un valor p de 0,0067, no podemos aceptar la hipótesis nula. Hay suficientes pruebas que demuestran que el parche de software es eficaz para reducir el número de fallos del sistema. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de una clase de malabares. Antes de que empezara la clase seis sujetos hicieron malabares con todas las pelotas que pudieron a la vez. Después de la clase, los mismos seis sujetos hicieron todos los malabares que pudieron con las pelotas. Se calculan las diferencias en el número de pelotas. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %. Sujeto A B C D E F Antes 3 4 3 2 4 5 Después 4 5 6 4 5 7 Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es la diferencia de la media muestral? ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la clase de malabares? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Un médico quiere saber si un medicamento para la presión arterial es eficaz. A seis sujetos se les toma la presión arterial y se registra. Después de doce semanas de uso del medicamento, se vuelve a tomar la presión arterial de los mismos seis sujetos. Para esta prueba, solo se considera la presión sistólica. Prueba al nivel de significación del 1 %. Paciente A B C D E F Antes 161 162 165 162 166 171 Después 158 159 166 160 167 169 Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : μ d ≥ 0 H a : μ d < 0 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es la diferencia de la media muestral? ¿Cuál es la conclusión? No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que respalden la eficacia del medicamento. Tarea para la casa Diez personas siguieron una dieta baja en grasas durante 12 semanas para reducir el colesterol. Los datos se registran en la . ¿Cree que sus niveles de colesterol se redujeron significativamente? Nivel de colesterol inicial Nivel de colesterol final 140 140 220 230 110 120 240 220 200 190 180 150 190 200 360 300 280 300 260 240 valor p = 0,1494 Con un nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que el medicamento reduzca los niveles de colesterol después de 12 semanas. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se probó un nuevo medicamento para la prevención del sida en un grupo de 224 pacientes con VIH positivo. Cuarenta y cinco pacientes desarrollaron sida después de cuatro años. En un grupo de control de 224 pacientes con VIH positivo, 68 desarrollaron sida al cabo de cuatro años. Queremos comprobar si el método de tratamiento reduce la proporción de pacientes que desarrollan sida al cabo de cuatro años o si las proporciones del grupo tratado y del grupo no tratado se mantienen igual. Supongamos que el subíndice t = paciente tratado y nt = paciente no tratado. Las hipótesis adecuadas son: H 0 : p t < p nt y H a : p t ≥ p nt H 0 : p t ≤ p nt y H a : p t > p nt H 0 : p t = p nt y H a : p t ≠ p nt H 0 : p t = p nt y H a : p t < p nt Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se realiza un experimento para demostrar que la presión arterial se puede reducir conscientemente en personas entrenadas en un “programa de ejercicios de biorrealimentación”. Se seleccionaron seis sujetos al azar y se registraron las mediciones de la presión arterial antes y después del entrenamiento. Se calculó la diferencia entre las presiones sanguíneas (después – antes) lo que arrojó los siguientes resultados x – d = −10,2 s d = 8,4. Use los datos y compruebe la hipótesis de que la presión arterial ha disminuido después del entrenamiento. La distribución para la prueba es: t 5 t 6 N (−10,2; 8,4) N(−10,2, 8,4 6 ) Una instructora de golf está interesada en determinar si su nueva técnica para mejorar los resultados de los jugadores de golf es eficaz. Toma cuatro nuevos estudiantes. Registra sus calificaciones de 18 hoyos antes de aprender la técnica y después de haber tomado su clase. Realiza una prueba de hipótesis. Los datos son los siguientes. Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Puntuación media antes de la clase 83 78 93 87 Puntuación media después de la clase 80 80 86 86 La decisión correcta es: Rechaza H 0 . No rechace la H 0 . Un grupo local de apoyo al cáncer cree que la estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur es mayor en 2013 que en 2012. El grupo comparó las estimaciones de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres por estados del sur en 2012 y en 2013. Los resultados están en la . Estados del sur 2012 2013 Alabama 3.450 3.720 Arkansas 2.150 2.280 Florida 15.540 15.710 Georgia 6.970 7.310 Kentucky 3.160 3.300 Luisiana 3.320 3.630 Misisipi 1.990 2.080 Carolina del Norte 7.090 7.430 Oklahoma 2.630 2.690 Carolina del Sur 3.570 3.580 Tennessee 4.680 5.070 Texas 15.050 14.980 Virginia 6.190 6.280 Prueba: dos pares coincidentes o muestras emparejadas ( prueba t ) Variable aleatoria: X – d Distribución: t 12 H 0 : μ d = 0 H a : μ d > 0 La media de las diferencias de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur entre 2013 y 2012 es mayor de cero. La estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur es mayor en 2013 que en 2012. Gráfico: cola derecha valor p : 0,0004 Decisión: No se puede aceptar H 0 Conclusión: Con un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que hubo una mayor estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en 2013 que en 2012. Un viajero quería saber si los precios de los hoteles son diferentes en las diez ciudades que visita con más frecuencia. La lista de las ciudades con los precios correspondientes de sus dos cadenas hoteleras favoritas está en la . Pruebe al nivel de significación del 1 %. Ciudades Precios del Hyatt Regency en dólares Precios del Hilton en dólares Atlanta 107 169 Boston 358 289 Chicago 209 299 Dallas 209 198 Denver 167 169 Indianápolis 179 214 Los Ángeles 179 169 Ciudad de Nueva York 625 459 Filadelfia 179 159 Washington, DC 245 239 Un político les pidió a sus colaboradores que determinaran si la tasa de subempleo en el noreste disminuyó de 2011 a 2012. Los resultados están en la . Estados del noreste 2011 2012 Connecticut 17,3 16,4 Delaware 17,4 13,7 Maine 19,3 16,1 Maryland 16,0 15,5 Massachusetts 17,6 18,2 Nuevo Hampshire 15,4 13,5 Nueva Jersey 19,2 18,7 Nueva York 18,5 18,7 Ohio 18,2 18,8 Pensilvania 16,5 16,9 Rhode Island 20,7 22,4 Vermont 14,7 12,3 Virginia Occidental 15,5 17,3 Prueba: muestras coincidentes o emparejadas (prueba t ) Datos de diferencia: {–0,9; –3,7; –3,2; –0,5; 0,6; –1,9; –0,5; 0,2; 0,6; 0,4; 1,7; –2,4; 1,8} Variable aleatoria: X – d Distribución: H 0 : μ d = 0 H a : μ d < 0 La media de las diferencias de la tasa de subempleo en los estados del noreste entre 2012 y 2011 es inferior a cero. La tasa de subempleo bajó de 2011 a 2012. Gráfico: cola izquierda. Decisión: No se puede rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que hubo una disminución en las tasas de subempleo de los estados del noreste de 2011 a 2012. Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Indique cuál de las siguientes opciones identifica mejor la prueba de hipótesis. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas muestras coincidentes o emparejadas media simple dos proporciones proporción única Se prueba una dieta en polvo en 49 personas, y una dieta líquida en 36 personas diferentes. Las desviaciones típicas de la población son de dos y tres libras, respectivamente. Nos interesa saber si la dieta líquida produce una mayor pérdida de peso media que la dieta en polvo. Se hace una prueba de sabor de una nueva barra de chocolate entre consumidores. Nos interesa saber si la proporción de niños a quienes les gusta la nueva barra de chocolate es mayor que la de adultos. e Se cree que el número medio de cursos de inglés realizados en un periodo de dos años por los estudiantes de educación superior hombres y mujeres es aproximadamente igual. Se realiza un experimento y se recopilan datos de nueve hombres y 16 mujeres. Una liga de fútbol informó que la media de anotaciones por partido era de cinco. Se hace un estudio para determinar si el número medio de anotaciones ha disminuido. d Se realiza un estudio para determinar si los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan más en graduarse que los inscritos en universidades privadas. Se encuestaron cien estudiantes del sistema universitario estatal de California y de universidades privadas. A partir de años de investigación se sabe que las desviaciones típicas de la población son de 1,5811 años y de un año, respectivamente. Según un boletín del Centro de Crisis por Violación de la Asociación Cristiana de Mujeres Jóvenes (Young Women's Christian Association, YWCA), el 75 % de las víctimas de violación conocen a sus agresores. Se realiza un estudio para comprobarlo. e Según un estudio reciente, las compañías estadounidenses tienen una ausencia media por maternidad de seis semanas. Una encuesta reciente sobre drogas mostró un aumento del consumo de drogas y alcohol entre los estudiantes de secundaria locales en comparación con el porcentaje nacional. Supongamos que se realiza una encuesta entre 100 jóvenes locales y 100 nacionales para ver si la proporción de consumo de drogas y alcohol es mayor localmente que en todo el país. e Un nuevo curso de estudio de la SAT se pone a prueba en 12 personas. Se registran las calificaciones antes y después del curso. Nos interesa el aumento medio de las calificaciones de la SAT. Se recopilan los siguientes datos: Calificación antes del curso Calificación después del curso 1 300 960 920 1010 1.100 840 880 1.100 1070 1250 1320 860 860 1330 1370 790 770 990 1040 1110 1.200 740 850 Investigadores de la Universidad de Michigan informaron en la Revista del Instituto Nacional del Cáncer que dejar de fumar es especialmente beneficioso para los menores de 49 años. En este estudio de la Sociedad Americana del Cáncer, el riesgo (probabilidad) de morir de cáncer de pulmón era prácticamente igual que el de quienes nunca habían fumado. e Lesley E. Tan investigó la relación entre ser zurdo o diestro y la competencia motriz en niños de preescolar. Se realizaron varias pruebas de habilidades motrices a muestras aleatorias de 41 niños de preescolar zurdos y 41 diestros para determinar si hay pruebas de una diferencia entre los niños basada en este experimento. El experimento produjo las medias y las desviaciones típicas que se muestran en la . Determine la prueba adecuada y la mejor distribución que debe utilizar para esa prueba. Zurdo Diestro Tamaño de la muestra 41 41 Media muestral 97,5 98,1 Desviación típica de la muestra 17,5 19,2 Dos medias independientes, distribución normal Dos medias independientes, distribución t de Student Muestras coincidentes o emparejadas, distribución t de Student Dos proporciones de población, distribución normal Una instructora de golf está interesada en determinar si su nueva técnica para mejorar los resultados de los jugadores de golf es eficaz. Lleva a cuatro (4) nuevos estudiantes. Registra sus calificaciones de 18 hoyos antes de aprender la técnica y después de haber tomado su clase. Realiza una prueba de hipótesis. Los datos son los siguientes: . Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Puntuación media antes de la clase 83 78 93 87 Puntuación media después de la clase 80 80 86 86 Esto es: una prueba de dos medias independientes. una prueba de dos proporciones. una prueba de una sola media. una prueba de una sola proporción. a

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Introducción La distribución chi-cuadrado se puede usar para hallar relaciones entre dos cosas, como los precios de los comestibles en diferentes tiendas (créditos: Pete/flickr). ¿Alguna vez se ha preguntado si los números ganadores de la lotería se distribuyen uniformemente o si algunos números se producen con mayor frecuencia? ¿Qué tal si los tipos de películas que prefiere las personas son diferentes en los distintos grupos de edad? ¿Y si una máquina de café dispensara aproximadamente la misma cantidad de café cada vez? Podría responder estas preguntas mediante una prueba de hipótesis. Ahora estudiará una nueva distribución, la cual se utiliza para determinar las respuestas de estas preguntas. Esta distribución se denomina distribución chi-cuadrado. En este capítulo aprenderá las tres principales aplicaciones de la distribución chi-cuadrado la prueba de bondad de ajuste, que determina si los datos se ajustan a una determinada distribución, como en el ejemplo de la lotería la prueba de independencia, que determina si los eventos son independientes, como en el ejemplo de la película la prueba de una sola varianza, que comprueba la variabilidad, como en el ejemplo del café

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Datos sobre la distribución chi-cuadrado La notación para la distribución chi-cuadrado es: χ ∼ χ d e 2 donde df = grados de libertad, lo cual depende de cómo se utilice el chi-cuadrado (si quiere practicar el cálculo de probabilidades chi-cuadrado, utilice df = n – 1. Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de forma diferente). Para la distribución χ 2 , la media poblacional es μ = df y la desviación típica poblacional es σ = 2 ( d e ) . La variable aleatoria se muestra como χ 2 . La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad es la suma de variables k normales cuadradas independientes. χ 2 = ( Z 1 ) 2 + ( Z 2 ) 2 + ... + ( Z k ) 2 La curva no es simétrica y es asimétrica hacia la derecha. Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada df . El estadístico de prueba para cualquier prueba es siempre mayor o igual a cero. Cuando df > 90, la curva chi-cuadrado se aproxima a la distribución normal. Para X ~ χ 1.000 2 la media, μ = df = 1.000 y la desviación típica, σ = 2 ( 1.000 ) = 44,7. Por tanto, X ~ N (1.000, 44,7), aproximadamente. La media, μ , se encuentra justo a la derecha del pico. Referencias Datos de la Revista Parade . “HIV/AIDS Epidemiology Santa Clara County”, Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara, mayo de 2011. Repaso del capítulo La distribución chi-cuadrado es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una determinada distribución; (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales; (iii) si dos eventos pueden ser independientes; y (iv) si hay una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población. Un parámetro importante en una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad df en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrado es la suma de cuadrados de df variables normales estándar, los cuales deben ser independientes. Las características clave de la distribución chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad. La curva de la distribución chi-cuadrado es asimétrica hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad df . Para df > 90, la curva se aproxima a la distribución normal. Los estadísticos de prueba basados en la distribución chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Estas pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha. Revisión de la fórmula χ 2 = ( Z 1 ) 2 + ( Z 2 ) 2 + … ( Z df ) 2 variable aleatoria de distribución chi-cuadrado μ χ 2 = df distribución chi-cuadrado media de la población σ χ 2 = 2 ( d e ) Distribución chi-cuadrado de la desviación típica de la población Si el número de grados de libertad de una distribución chi-cuadrado es 25, ¿cuál es la media y la desviación típica de la población? media = 25 y desviación típica = 7,0711 Si df > 90, la distribución es _____________. Si df = 15, la distribución es ________________. ¿Cuándo se aproxima la curva chi-cuadrado a una distribución normal? cuando el número de grados de libertad es superior a 90 ¿Dónde se ubica μ en una curva de chi-cuadrado? ¿Es más probable que el df sea 90, 20 o dos en el gráfico? df = 2 Tarea para la casa Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A medida que aumenta el número de grados de libertad, el gráfico de la distribución chi-cuadrado parece cada vez más simétrico. verdadero La desviación típica de la distribución chi-cuadrado es el doble de la media. La media y la mediana de la distribución chi-cuadrado son iguales si df = 24. falso

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Prueba de una sola varianza Hasta ahora nuestro interés se ha centrado exclusivamente en el parámetro poblacional μ o su contrapartida en la binomial, p. Seguramente la media de una población es el dato más crítico que se tiene, pero en algunos casos nos interesa la variabilidad de los resultados de alguna distribución. En casi todos los procesos de producción, la calidad se mide no solo por el grado de adecuación de la máquina al objetivo, sino también por la variabilidad del proceso. Si se llenaran bolsas con patas fritas, no solo interesaría el peso promedio de la bolsa, sino también la variación de los pesos. Nadie quiere que se le asegure que el peso promedio es exacto cuando su bolsa no tiene papas fritas. El voltaje eléctrico puede alcanzar cierto nivel promedio, pero una gran variabilidad, los picos, pueden causar graves daños a las máquinas eléctricas, especialmente a las computadoras. No solo me gustaría obtener una nota media alta en mis clases, sino también una baja variación en torno a esta media. En resumen, las pruebas estadísticas relativas a la varianza de una distribución tienen un gran valor y muchas aplicaciones. Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal . Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población . El estadístico de prueba es: χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 donde: n = el número total de observaciones en los datos de la muestra s 2 = varianza de la muestra σ 0 2 = valor hipotético de la varianza de la población H 0 : σ 2 = σ 0 2 H a : σ 2 ≠ σ 0 2 Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población. A los instructores de Matemáticas no solo les interesa saber cómo les va a sus estudiantes en los exámenes, en promedio, sino cómo varían las calificaciones. Para muchos instructores, la varianza (o desviación típica) puede ser más importante que el promedio. Supongamos que un instructor de Matemáticas cree que la desviación típica de su examen final es de cinco puntos. Uno de sus mejores estudiantes piensa otra cosa. El estudiante afirma que la desviación típica es superior a cinco puntos. Si el estudiante tuviera que realizar una prueba de hipótesis, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? Aunque se nos da la desviación típica de la población podemos establecer la prueba utilizando la varianza de la población de la siguiente manera. H 0 : σ 2 ≤ 5 2 H a : σ 2 > 5 2 Ejercicio Un instructor de submarinismo quiere registrar las profundidades colectivas de cada una de las inmersiones de sus estudiantes durante su entrenamiento. Se interesa por cómo varían las profundidades, aunque todos deberían estar a la misma profundidad. Cree que la desviación típica es de tres pies. Su asistente cree que la desviación típica es de menos de tres pies. Si el instructor tuviera que realizar una prueba, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : σ 2 = 3 2 H a : σ 2 < 3 2 Con filas individuales en sus distintas ventanillas, una oficina de correos comprueba que la desviación típica de los tiempos de espera de los clientes el viernes por la tarde es de 7,2 minutos. La oficina de correos experimenta con una única línea de espera principal y concluye que, para una muestra aleatoria de 25 clientes, el tiempo de espera tiene una desviación típica de 3,5 minutos un viernes por la tarde. Con un nivel de significación del 5 %, pruebe la afirmación de que una línea única provoca una variación menor entre los tiempos de espera de los clientes . Dado que la afirmación es que una sola fila causa menos variación, esta es una prueba de una sola varianza. El parámetro es la varianza de la población, σ 2 . Variable aleatoria: La desviación típica de la muestra, s , es la variable aleatoria. Supongamos que s = desviación típica de los tiempos de espera. H 0 : σ 2 ≥ 7,2 2 H a : σ 2 < 7,2 2 La palabra “menos” indica que se trata de una prueba de cola izquierda. Distribución para la prueba: χ 24 2 , donde: n = el número de clientes muestreados df = n – 1 = 25 – 1 = 24 Calcule el estadístico de prueba: χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 2 = ( 25 – 1 ) ( 3,5 ) 2 7,2 2 = 5,67 donde n = 25, s = 3,5 y σ = 7,2. El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con 24 grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05, 13,85. El valor crítico de 13,85 procede de la tabla de chi-cuadrado, que se lee de forma muy parecida a la tabla t de Student. La diferencia es que la distribución t de Student es simétrica y la distribución de chi-cuadrado no lo es. En la parte superior de la tabla de chi-cuadrado no solo vemos los valores conocidos 0,05, 0,10, etc., sino también 0,95, 0,975, etc. Estas son las columnas que se utilizan para hallar el valor crítico de la izquierda. El gráfico también marca el valor χ 2 calculado del estadístico de prueba de 5,67. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H 0 . Esto significa que se rechaza σ 2 ≥ 7,2 2 . En otras palabras, no cree que la variación de los tiempos de espera sea de 7,2 minutos o más, sino que es menor. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que una sola fila provoca una menor variación entre los tiempos de espera o que con una sola fila, los tiempos de espera de los clientes varían menos de 7,2 minutos. El profesor Hadley tiene debilidad por las donas rellenas de crema, pero cree que algunas panaderías no las rellenan adecuadamente. Una muestra de 24 donas revela una cantidad media de relleno igual a 0,04 tazas, y la desviación típica de la muestra es de 0,11 tazas. Obviamente, al profesor Hadley le interesa la cantidad promedio de relleno, pero le angustia el hecho de que una dona sea radicalmente diferente de otra. Al profesor Hadley no le gustan las sorpresas. Pruebe al 95% la hipótesis nula de que la varianza poblacional del relleno de las donas es significativamente diferente de la cantidad promedio de relleno. Es evidente que se trata de un problema que tiene que ver con las varianzas. En este caso, estamos analizando una sola muestra en lugar de comparar dos muestras de poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H 0 : σ 2 = 0,04 H 0 : σ 2 ≠ 0,04 La prueba está configurada como de dos colas porque el profesor Hadley ha expresado su preocupación por una variación excesiva en el relleno, así como por una variación insuficiente: su disgusto por las sorpresas es cualquier nivel de relleno fuera del promedio previsto de 0,04 tazas. Se calcula que el estadístico de prueba es: χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ o 2 = ( 24 – 1 ) 0,11 2 0,04 2 = 6,9575 El valor calculado del estadístico de prueba χ 2 de 6,96 está en la cola y, por ende, a un nivel de significación de 0,05. No podemos aceptar la hipótesis nula de que la varianza en el relleno de las donas es igual a 0,04 tazas. Parece que el profesor Hadley está destinado a encontrarse con la decepción en cada bocado. Ejercicio La Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) hace pruebas de velocidad de banda ancha para medir cuántos datos por segundo pasan entre la computadora de un consumidor e internet. En agosto de 2012, la desviación típica de las velocidades de internet entre los proveedores de servicios de internet (PSI) era del 12,2 %. Supongamos que se toma una muestra de 15 PSI y que la desviación típica es de 13,2. Un analista afirma que la desviación típica de las velocidades es mayor que la comunicada. Plantee las hipótesis nula y alternativa, calcule los grados de libertad, el estadístico de prueba, trace el gráfico de la distribución, marque el área asociada al nivel de confianza y extraiga una conclusión. Prueba al nivel de significación del 1 %. H 0 : σ 2 = 12,2 2 H a : σ 2 > 12,2 2 df = 14 estadístico de prueba chi 2 = 16,39 El valor p es de 0,2902, por lo que rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes para sugerir que la varianza sea superior al 12,2 2 . Pulgadas 2nd DISTR , use7: χ2cdf . La sintaxis es (inferior, superior, df) para la lista de parámetros. χ2cdf(16,39; 10^99; 14) . El valor p = 0,2902. Referencias “AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012. Repaso del capítulo Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica). Revisión de la fórmula χ 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 Prueba de una estadística de varianza única donde: n : tamaño de la muestra s : desviación típica de la muestra σ 0 : valor hipotético de la desviación típica de la población df = n – 1 grado de libertad Prueba de una sola varianza Utilice la prueba para determinar la variación. Los grados de libertad son el número de muestras – 1. El estadístico de prueba es ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 , donde n = tamaño de la muestra, s 2 = varianza de la muestra y σ 2 = varianza de la población. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? una prueba de cola izquierda Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 2 = 0,81 2 ; H a : σ 2 > 0,81 2 df = ________ Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos. ¿El viajero está discutiendo el reclamo sobre el promedio o sobre la varianza? Una desviación típica de la muestra de 15 minutos es lo mismo que una varianza de la muestra de __________ minutos. 225 ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? H 0 : __________ H 0 : σ 2 ≤ 150 df = ________ estadístico de prueba chi-cuadrado = ________ 36 Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree el área asociada al nivel de confianza. Compruebe la solución del estudiante. Supongamos que α = 0,05 Decisión: ________ Conclusión (escribir en una oración completa.): ________ ¿Cómo supo que debía analizar la varianza en vez de la media? La afirmación es que la varianza no es superior a 150 minutos. Si se realizara una prueba adicional sobre la reclamación del retraso promedio, ¿qué distribución utilizaría? Si se hiciera una prueba adicional sobre la afirmación del retraso promedio, pero se encuestaran 45 vuelos, ¿qué distribución utilizaría? una distribución t de Student o normal A la gerente de una planta le preocupa que su equipo necesite recalibración. Parece que el peso real de las cajas de cereales de 15 oz que llena ha estado fluctuando. La desviación típica debe ser como máximo de 0,5 oz. Para determinar si es necesario recalibrar la máquina, se pesaron 84 cajas de cereales seleccionadas al azar de la producción del día siguiente. La desviación típica de las 84 cajas fue de 0,54. ¿Es necesario recalibrar la máquina? Los consumidores pueden estar interesados en saber si el costo de una calculadora particular varía de una tienda a otra. Sobre la base de una encuesta realizada en 43 tiendas, que arrojó una media muestral de 84 dólares y una desviación típica de la muestra de 12 dólares, pruebe la afirmación de que la desviación típica es mayor de 15 dólares. H 0 : σ = 15 H a : σ > 15 df = 42 chi-cuadrado con df = 42 estadístico de prueba = 26,88 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a 15. Isabella, una consumada corredora de Bay to Breakers , afirma que la desviación típica de su tiempo para correr las 7,5 millas es de tres minutos como máximo. Para probar su afirmación, Rupinder ve cinco de sus tiempos de carrera. Son 55 minutos, 61 minutos, 58 minutos, 63 minutos y 57 minutos. Las compañías aéreas están interesadas en la coherencia del número de bebés en cada vuelo para tener un equipo de seguridad adecuado. También se interesan por la variación del número de bebés. Supongamos que un ejecutivo de una compañía aérea cree que el número promedio de bebés en los vuelos es de seis, con una varianza de nueve como máximo. La compañía aérea recopila los datos. Los resultados de los 18 vuelos investigados dan un promedio muestral de 6,4 con una desviación típica de la muestra de 3,9. Realice una prueba de hipótesis sobre la creencia del ejecutivo de la aerolínea. H 0 : σ ≤ 3 H a : σ > 3 df = 17 distribución chi-cuadrado con df = 17 estadístico de prueba = 28,73 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a tres. El número de nacimientos por mujer en China es de 1,6, versus los 5,91 de 1966. Esta tasa de fecundidad se ha atribuido a la ley aprobada en 1979 que restringe los nacimientos a uno por mujer. Supongamos que un grupo de estudiantes estudia si la desviación típica de los nacimientos por mujer es o no superior a 0,75. Les preguntaron a 50 mujeres de toda China el número de partos que habían tenido. Los resultados se muestran en la . ¿La encuesta de los estudiantes indica que la desviación típica es superior a 0,75? N.º de nacimientos Frecuencia 0 5 1 30 2 10 3 5 Según un ávido piscicultor, el número promedio de peces en un tanque de 20 galones es de 10, con una desviación típica de dos. Su amigo, también piscicultor, no cree que la desviación típica sea de dos. Cuenta el número de peces en otras 15 peceras de 20 galones. Basándose en los siguientes resultados, ¿cree que la desviación típica es diferente de dos? Datos: 11; 10; 9; 10; 10; 11; 11; 10; 12; 9; 7; 9; 11; 10; 11 H 0 : σ = 2 H a : σ ≠ 2 df = 14 distribución chi-cuadrado con df = 14 estadístico de prueba chi-cuadrado = 5,2094 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es diferente de 2. Al gerente de Frenchies le preocupa que los clientes no reciban siempre la misma cantidad de papas fritas con cada orden. El chef afirma que la desviación típica de una orden de diez onzas de papas fritas es como máximo de 1,5 oz, pero el gerente cree que puede ser mayor. Pesa aleatoriamente 49 órdenes de papas fritas, lo que arroja una media de 11 onzas y una desviación típica de dos onzas. Quiere comprar una computadora específica. Un representante de ventas del fabricante afirma que las tiendas minoristas venden esta computadora a un precio promedio de 1.249 dólares con una desviación típica muy estrecha de 25 dólares. Encuentra un sitio web que tiene una comparación de precios para la misma computadora en una serie de tiendas de la siguiente manera: 1.299; 1.229,99; 1.193,08; 1.279; 1.224,95; 1.229,99; 1.269,95; y 1.249 dólares. ¿Puede argumentar que los precios tienen una desviación típica mayor que la que afirma el fabricante? Utilice el nivel de significación del 5 %. Como comprador potencial, ¿cuál sería la conclusión práctica de su análisis? La desviación típica de la muestra es de 34,29 dólares. H 0 : σ 2 = 25 2 H a : σ 2 > 25 2 df = n – 1 = 7. estadístico de prueba: x 2 = x 7 2 = ( n – 1 ) s 2 25 2 = ( 8 – 1 ) ( 34,29 ) 2 25 2 = 13,169 ; Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: al nivel del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la varianza es superior a 625. Una compañía empaqueta manzanas por peso. Uno de los grados de peso es el de las manzanas de clase A. Las manzanas de clase A tienen un peso medio de 150 g, y existe una tolerancia de peso máxima permitida del 5 % por encima o por debajo de la media para las manzanas del mismo paquete de consumo. Se selecciona un lote de manzanas para incluirlo en un paquete de manzanas de clase A. Teniendo en cuenta los siguientes pesos de las manzanas del lote, ¿la fruta cumple con los requisitos de tolerancia de peso de la clase A? Realice una prueba de hipótesis adecuada. (a) al nivel de significación del 5 % (b) al nivel de significación del 1 % Pesos en el lote de manzanas seleccionado (en gramos): 158; 167; 149; 169; 164; 139; 154; 150; 157; 171; 152; 161; 141; 166; 172;

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