Distribución hipergeométrica La función de densidad de probabilidad más sencilla es la hipergeométrica. Es la más básica porque se crea combinando nuestro conocimiento de las probabilidades a partir de los diagramas de Venn, las reglas de adición y multiplicación y la fórmula de recuento combinatorio. Para hallar el número de formas de obtener 2 ases de los cuatro que hay en la baraja, calculamos: 4 2 = 4 ! 2 ! ( 4 – 2 ) ! = 6 Y si no nos importara qué más tenemos en la mano para las otras tres cartas calcularíamos: 48 3 = 48 ! 3 ! 45 ! = 17.296 Uniendo todo esto, podemos calcular la probabilidad de obtener exactamente dos ases en una mano de póquer de 5 cartas como: 4 2 48 3 52 5 = 0,0399 Esta solución es en realidad la distribución de probabilidad conocida como hipergeométrica. La fórmula generalizada es: h ( x ) = A x N – A n – x N n donde x = el número que nos interesa procedente del grupo con A objetos. h(x) es la probabilidad de x aciertos, en n intentos, cuando los aciertos A (ases en este caso) están en una población que contiene N elementos. La distribución hipergeométrica es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta porque no hay posibilidad de éxito parcial, es decir, no puede haber manos de póquer con 2 1/2 ases. Dicho de otro modo, una variable aleatoria discreta tiene que ser un número entero, o que se pueda contar, solamente. Esta distribución de probabilidad funciona en los casos en que la probabilidad de éxito cambia con cada extracción de cartas. Otra forma de decir esto es que los eventos NO son independientes. Al utilizar una baraja de cartas, estamos haciendo un muestreo SIN reemplazo. Si volvemos a poner cada carta después de haberla sacado, la distribución hipergeométrica sería una pdf inadecuada. Para que el hipergeométrico funcione, la población debe ser divisible en dos y solo dos subconjuntos independientes (ases y no ases en nuestro ejemplo). La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. el experimento debe tener probabilidades cambiantes de éxito con cada experimento (el hecho de que las cartas no sean reemplazadas después de la extracción en nuestro ejemplo hace que esto sea cierto en este caso). Otra forma de decir esto es que se muestrea sin reemplazo y, por lo tanto, cada selección no es independiente. la variable aleatoria debe ser discreta, en lugar de continua. Un plato de caramelos contiene 30 gominolas y 20 pastillas de goma. Se eligen diez caramelos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los 10 sean pastillas de goma? Los dos grupos son gominolas y pastillas de goma. Dado que la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de elegir gominolas, el grupo de interés (primer grupo A en la fórmula) son las gominolas. El tamaño del grupo de interés (primer grupo) es de 30. El tamaño del segundo grupo es de 20. El tamaño de la muestra es de 10 (gominolas o pastillas de goma). Supongamos que X = el número de pastillas de goma en la muestra de 10. X toma los valores x = 0, 1, 2, ..., 10. a. ¿Cuál es el enunciado de la probabilidad escrito matemáticamente? b. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad hipergeométrica escrita para resolver este problema? c. ¿Cuál es la respuesta a la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de extraer del plato 5 pastillas de goma en 10 intentos?" a. P ( x = 5 ) b. P ( x = 5 ) = ( 5 30 ) ( 5 20 ) ( 10 50 ) c. P ( x = 5 ) = 0,215 Ejercicio Una bolsa contiene fichas de letras. Cuarenta y cuatro de las fichas son vocales y 56 son consonantes. Se eligen siete fichas al azar. Quiere saber la probabilidad de que cuatro de las siete fichas sean vocales. ¿Cuál es el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra? El grupo de interés son las fichas de letras vocales. El tamaño del grupo de interés es de 44. El tamaño de la muestra es de siete. Repaso del capítulo La fórmula combinatoria puede proporcionar el número de subconjuntos únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n objetos únicos para ayudarnos a calcular las probabilidades. La fórmula combinatoria es n x = n C x = n ! x ! ( n – x ) ! Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. h ( x ) = A x N – A n – x N n . Revisión de la fórmula h ( x ) = A x N – A n – x N n Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de especialidades en Negocios en la muestra. ¿Qué valores toma X ? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 TAREA PARA LA CASA Un grupo de estudiantes de artes marciales tiene previsto participar en una demostración en los próximos días. Seis son estudiantes de taekwondo; siete son estudiantes de karate Shotokan. Supongamos que se eligen al azar ocho estudiantes para participar en la primera demostración. Nos interesa el número de estudiantes de karate Shotokan en esa primera demostración. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos estudiantes de karate Shotokan esperamos que haya en esa primera demostración? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida como máximo una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? Calcule la desviación típica. X = el número de páginas que anuncian calzado 0, 1, 2, 3, ..., 20 3,03 1,5197 Supongamos que se está formando un grupo de trabajo sobre tecnología para estudiar el conocimiento de la tecnología entre instructores. Supongamos que diez personas serán elegidas al azar para formar parte del comité de un grupo de 28 voluntarios, 20 de los cuales tienen conocimientos técnicos y ocho no. Nos interesa el número de miembros del comité que no tienen conocimientos técnicos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos instructores espera que haya en el comité que no sean técnicamente competentes? Calcule la probabilidad de que, al menos, cinco miembros del comité no sean técnicamente competentes. Calcule la probabilidad de que como máximo tres miembros del comité no sean técnicamente competentes. Supongamos que nueve atletas de Massachusetts tienen previsto aparecer en un acto benéfico. Los nueve son elegidos al azar entre ocho voluntarios de los Boston Celtics y cuatro de los New England Patriots. Nos interesa el número de Patriots elegidos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Elige a los nueve atletas con o sin reemplazo? X = el número de Patriots elegidos 0, 1, 2, 3, 4 Sin reemplazo Una mano de bridge se define como 13 cartas sacadas al azar y sin reemplazo de un mazo de 52 cartas. En un mazo estándar hay 13 cartas de cada palo: corazones, picas, tréboles y diamantes. ¿Cuál es la probabilidad de que se reparta una mano que no contenga un corazón? ¿Cuál es el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el otro grupo? Supongamos que X = _________. ¿Qué valores toma X ? La pregunta de probabilidad es P (_______). Calcule la probabilidad en cuestión. Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Experimento hipergeométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. Probabilidad hipergeométrica una variable aleatoria (RV) discreta que se caracteriza por: Un número fijo de ensayos. La probabilidad de acierto no es la misma de un ensayo a otro. Tomamos muestras de dos grupos de elementos cuando solo nos interesa un grupo. X se define como el número de aciertos sobre el total de elementos elegidos.

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Distribución binomial Una función de densidad de probabilidad más valiosa con muchas aplicaciones es la distribución binomial. Esta distribución calculará las probabilidades de cualquier proceso binomial. Un proceso binomial, a menudo llamado proceso de Bernoulli en honor a la primera persona que desarrolló plenamente sus propiedades, es cualquier caso en el que solo hay dos resultados posibles en cualquier ensayo, llamados éxitos y fracasos. Recibe su nombre del sistema numérico binario, en el que todos los números se reducen a 1 o 0, que es la base de la tecnología informática y de las grabaciones musicales en CD. Fórmula binomial b ( x ) = n x p x q n – x donde b(x) es la probabilidad de X aciertos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER ENSAYO es p. Y, por supuesto, q=(1-p) y es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo. Ahora podemos ver por qué la fórmula combinatoria se llama también coeficiente binomial, ya que vuelve a aparecer aquí en la función de probabilidad binomial. Para que la fórmula binomial funcione, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo debe ser la misma de un ensayo a otro, o en otras palabras, los resultados de cada ensayo deben ser independientes. Lanzar una moneda es un proceso binomial porque la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento no depende de lo que haya ocurrido en los lanzamientos anteriores. (En este momento hay que señalar que utilizar p para el parámetro de la distribución binomial es una violación de la regla de que los parámetros de la población se designan con letras griegas. En muchos libros de texto se utiliza θ (pronunciado theta) en lugar de p y así es como debe ser. Al igual que un conjunto de datos, una función de densidad de probabilidad tiene una media y una desviación típica que describe el conjunto de datos. Para la distribución binomial vienen dadas por las fórmulas: μ = np σ = n p q Observe que p es el único parámetro en estas ecuaciones. La distribución binomial se considera, pues, de la familia de las distribuciones de probabilidad de un parámetro. En resumen, sabemos todo lo que hay que saber sobre la binomial una vez que conocemos p, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo. En la teoría de la probabilidad, en determinadas circunstancias, una distribución de probabilidad puede utilizarse para aproximar otra. Decimos que una es la distribución límite de la otra. Si hay que extraer un número pequeño de una población grande, aunque no haya reemplazo, podemos utilizar la binomial, aunque no sea un proceso binomial. Si no hay reemplazo se viola la regla de independencia del binomio. Sin embargo, podemos utilizar la binomial para aproximar una probabilidad que es realmente una distribución hipergeométrica si extraemos menos del 10 por ciento de la población, es decir, n es menos del 10 por ciento de N en la fórmula de la función hipergeométrica. El fundamento de este argumento es que al extraer un pequeño porcentaje de la población no alteramos la probabilidad de éxito de un sorteo a otro de forma significativa. Imagine que saca una carta no de una baraja de 52 cartas, sino de 6 barajas de cartas. La probabilidad de sacar un as, por ejemplo, no cambia la probabilidad condicional de lo que ocurre en una segunda extracción de la misma manera que lo haría si solo hubiera 4 ases en lugar de los 24 que hay ahora para sacar. Esta capacidad de utilizar una distribución de probabilidad para estimar otras será muy valiosa para nosotros más adelante. Hay tres características de un experimento binomial Hay un número fijo de ensayos. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra n indica el número de ensayos. La variable aleatoria, x , número de aciertos, es discreta. Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, y q la probabilidad de fracaso en un ensayo cualquiera. p + q = 1. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Piense en esto como una extracción CON reemplazo. Como los n ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es que para cada ensayo individual la probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo siguen siendo las mismas. Por ejemplo, estimar al azar una pregunta de estadística de verdadero-falso solo tiene dos resultados. Si un acierto es estimar correctamente, un fallo es estimar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre acierta en cualquier pregunta de estadística de verdadero-falso con una probabilidad p = 0,6. Entonces, q = 0,4. Esto significa que para cada pregunta de estadística de verdadero-falso que responda Joe su probabilidad de acierto ( p = 0,6) y su probabilidad de fallo ( q = 0,4) siguen siendo las mismas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial . La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media, μ , y la varianza, σ 2 , de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ 2 = npq . La desviación típica, σ , es entonces σ = n p q . Cualquier experimento que tenga las características tres y cuatro y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que los estudió ampliamente a finales de 1600. ). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli. Supongamos que está en un juego en el que solo puede ganar o perder. La probabilidad de que gane cualquier partido es del 55 %, y la de que pierda es del 45 %. Cada partido que se juega es independiente. Si juega el juego 20 veces, escriba la función que describa la probabilidad de que gane 15 de las 20 veces. Aquí, si se define X como el número de victorias, entonces X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilidad de acierto es p = 0,55. La probabilidad de fallo es q = 0,45. El número de ensayos es n = 20. La pregunta de la probabilidad se puede enunciar matemáticamente como P ( x = 15). Ejercicio Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín acierte al desempeñar el truco es del 35 %, y la probabilidad de que el delfín no acierte al desempeñar el truco es del 65 %. De 20 intentos, se quiere hallar la probabilidad de que el delfín acierte 12 veces. Calcule la P(X=12) utilizando la pdf binomial. P ( x = 12) Una moneda imparcial se lanza 15 veces. Cada lanzada es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez caras? Supongamos que X = el número de caras en 15 lanzamientos de la moneda imparcial. X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 15. Como la moneda es imparcial, p = 0,5 y q = 0,5. El número de ensayos es n = 15. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. P ( x > 10) Aproximadamente el 70 % de los estudiantes de Estadística hacen sus tareas para la casa a tiempo para que sean recopiladas y calificadas. Cada estudiante lo hace de forma independiente. En una clase de Estadística de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 40 hagan la tarea para la casa a tiempo? Los estudiantes son seleccionados al azar. a. Se trata de un problema binomial porque solo hay un acierto o un __________, hay un número fijo de ensayos y la probabilidad de acierto es de 0,70 para cada ensayo. a. fracaso b. Si nos interesa el número de estudiantes que hacen la tarea para la casa a tiempo, ¿cómo definimos X ? b. X = número de estudiantes de Estadística que hacen la tarea para la casa a tiempo c. ¿Qué valores toma x ? c. 0, 1, 2, …, 50 d. ¿Qué es un “fallo” en palabras? d. Fallo se define como un estudiante que no termina sus tareas para la casa a tiempo. La probabilidad de acierto es p = 0,70. El número de ensayos es n = 50 e. Si p + q = 1, ¿qué es q ? e. q = 0,30 f. ¿Como qué tipo de inecuación se traducen las palabras “al menos” para la pregunta de probabilidad P ( x ____ 40)? f. mayor o igual que (≥) La pregunta de probabilidad es P ( x ≥ 40). Ejercicio El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueba el examen estatal de conducir en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 personas que han tomado el examen de conducir. Dé dos justificaciones por las que este es un problema binomial. Se trata de un problema binomial porque solo hay un éxito o un fracaso, y hay un número determinado de ensayos. La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Ejercicio Durante la temporada regular de la NBA de 2013, DeAndre Jordan, de Los Ángeles Clippers, tuvo el mayor índice de finalización de tiros de campo de la liga. DeAndre anotó con el 61,3 % de sus tiros. Supongamos que se elige una muestra aleatoria de 80 tiros realizados por DeAndre durante la temporada 2013. Supongamos que X = el número de tiros que anotaron puntos. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que DeAndre anote con 60 de estos tiros. Calcule la probabilidad de que DeAndre acierte más de 50 de estos tiros. X ~ B (80, 0,613) Media = np = 80(0,613) = 49,04 Desviación típica = n p q = 80 ( 0,613 ) ( 0,387 ) ≈ 4,3564 P ( x = 60)= 0,0036 P ( x > 50) = 1 - P ( x ≤ 50) = 1 - 0,6282 = 0,3718 Referencias “Access to electricity (% of population)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.ACCS.ZS?order=wbapi_data_value_2009 %20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015). “Distance Education”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013). “NBA Statistics-2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013). Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011 . Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “What are the key statistics about pancreatic cancer?” American Cancer Society, 2013. Disponible en línea en http://www.cancer.org/cancer/pancreaticcancer/detailedguide/pancreatic-cancer-key-statistics (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np , y la desviación típica viene dada por la fórmula σ = n p q . La fórmula de la función de densidad de probabilidad binomial es P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! · p x q ( n – x ) Revisión de la fórmula X ~ B ( n , p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad binomial con n ensayos y probabilidad de acierto p . X = el número de aciertos en n ensayos independientes n = el número de ensayos independientes X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ..., n p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo de cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media de X es μ = np . La desviación típica de X es σ = n p q . P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! · p x q ( n – x ) donde P(X) es la probabilidad de X éxitos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER OTRO ENSAYO es p. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = número de respuestas afirmativas X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). x P ( x ) En promedio ( μ ), ¿cuántos esperaría que respondieran afirmativamente? 5,7 ¿Cuál es la desviación típica ( σ )? ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, cinco de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? 0,4151 ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? TAREA PARA LA CASA Según un artículo reciente, el número promedio de bebés que nacen con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente dos por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados sana. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados intensivos. Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen. Defina la variable aleatoria y enumere sus posibles valores. X = el número de pacientes que llaman para decir que tienen gripe y que realmente la tienen. X = 0, 1, 2, ... 25 Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que, al menos, cuatro de los 25 pacientes tengan realmente gripe. 0,0165 En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe? Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go es . En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD. x P ( x ) 0 0,03 1 0,50 2 0,24 3 4 0,07 5 0,04 Describa la variable aleatoria X con palabras. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD. X = el número de DVD que alquila un cliente de Video to Go 0,12 0,11 0,77 Un reportero del periódico escolar decide hacer una encuesta al azar a 12 estudiantes para ver si asistirán a las festividades del Tet (Año Nuevo vietnamita) este año. Basándose en años anteriores, sabe que el 18 % de los estudiantes asisten a las festividades del Tet. Estamos interesados en el número de estudiantes que asistirán a las festividades. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos de los 12 estudiantes esperamos que asistan a las festividades? Calcule la probabilidad de que asistan como máximo cuatro estudiantes. Calcule la probabilidad de que asistan más de dos estudiantes. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos. El número esperado de victorias para ese mes es: 1,67 12 382 1043 4,43 d. 4,43 Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes. ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen seis partidos en ese mes? 0,1476 0,2336 0,7664 0,8903 ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen al menos cinco partidos en ese mes? 0,3694 0,5266 0,4734 0,2305 c Un estudiante toma una prueba de diez preguntas de verdadero-falso, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con una calificación de, al menos, el 70 % de las preguntas correctas. Un estudiante toma un examen de 32 preguntas de opción múltiple, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Cada pregunta tiene tres posibles opciones de respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante estime correctamente más del 75 % de las preguntas. X = número de preguntas contestadas correctamente X ~ B ( 32, 1 3 ) Nos interesa que MÁS DEL 75 % de las 32 preguntas sean correctas. El 75 % de 32 es 24. Queremos hallar P ( x > 24). El evento “más de 24” es el complemento de “menos de o igual a 24”. P ( x > 24) = 0 La probabilidad de acertar más del 75 % de las 32 preguntas cuando se estima al azar es muy pequeña y prácticamente cero. Se lanzan seis dados de diferentes colores. Nos interesa el número de dados que muestran un uno. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . En promedio, ¿cuántos dados se espera que muestren un uno? Calcule la probabilidad de que los seis dados muestren un uno. ¿Es más probable que tres o que cuatro dados muestren un uno? Utilice números para justificar su respuesta numéricamente. Más del 96 % de los institutos universitarios y universidades más grandes (más de 15.000 inscritos en total) tienen alguna oferta en línea. Supongamos que se eligen al azar 13 de estas instituciones. Nos interesa el número de los que ofrecen cursos a distancia. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántas escuelas espera que ofrezcan este tipo de cursos? Calcule la probabilidad de que como máximo diez ofrezcan esos cursos. ¿Es más probable que 12 o 13 ofrezcan estos cursos? Utilice los números para justificar su respuesta numéricamente y responda con una oración completa. X = el número de institutos universitarios y universidades que ofrecen cursos en línea. 0, 1, 2, …, 13 X ~ B (13, 0,96) 12,48 0,0135 P ( x = 12) = 0,3186 P ( x = 13) = 0,5882. Más probabilidades de obtener 13. Supongamos que alrededor del 85 % de los estudiantes que se gradúan asisten a su graduación. Se elige al azar un grupo de 22 estudiantes que se gradúan. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que asistan a su graduación? Calcule la probabilidad de que asistan 17 o 18. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 22 asistieran a la graduación? Justifique su respuesta numéricamente. En The Fencing Center el 60 % de los esgrimistas utilizan el florete como arma principal. Encuestamos al azar a 25 esgrimistas de The Fencing Center. Nos interesa el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que no utilicen el florete como arma principal? Calcule la probabilidad de que seis no utilicen el florete como arma principal. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 25 no utilizaran el florete como arma principal? Justifique su respuesta numéricamente. X = el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal 0, 1, 2, 3,... 25 X ~ B (25, 0,40) 10 0,0442 La probabilidad de que los 25 no utilicen el florete es casi cero. Por lo tanto, sería muy sorprendente. Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número que han participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Nos interesa el número esperado de auditorías que tiene una persona con esos ingresos en un periodo de 20 años. Supongamos que cada año es independiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas auditorías se esperan en un periodo de 20 años? Calcule la probabilidad de que una persona no sea auditada en absoluto. Calcule la probabilidad de que una persona sea auditada más de dos veces. X = el número de auditorías en un periodo de 20 años 0, 1, 2, …, 20 X ~ B (20, 0,02) 0,4 0,6676 0,0071 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que se encuesta al azar a 11 residentes de California. Nos interesa saber el número de personas que disponen de suministros adecuados para terremotos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, ocho tengan suministros adecuados para terremotos? ¿Es más probable que ninguno o que todos los residentes encuestados dispongan de suministros adecuados para terremotos? ¿Por qué? ¿Cuántos residentes espera que tengan suministros adecuados para terremotos? Hay dos juegos similares para el Año Nuevo chino y el Año Nuevo vietnamita. En la versión china, se utilizan dados imparciales con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 junto con un tablero con esos números. En la versión vietnamita, se utilizan dados de feria con dibujos de calabaza, pez, gallo, cangrejo, cangrejo de río y ciervo. El tablero también tiene esos seis objetos. Jugaremos con apuestas de 1 dólar. El jugador apuesta por un número u un objeto. La “casa” tira tres dados. Si ninguno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó, la casa se queda con el 1 dólar apostado. Si uno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó (y los otros dos no lo muestran), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 1 dólar de ganancia. Si dos de los dados muestran el número u objeto al que se apostó (y el tercer dado no lo muestra), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 2 dólares de ganancia. Si los tres dados muestran el número u objeto al que se apostó, el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 3 dólares de ganancia. Supongamos que X = número de coincidencias y Y = ganancia por juego. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Enumere los valores que puede adoptar Y . Luego, construya una tabla de PDF que incluya tanto X como Y y sus probabilidades. Calcule el promedio de coincidencias esperadas a largo plazo de jugar este juego para el jugador. Calcule las ganancias promedio esperadas a largo plazo de este juego para el jugador. Determine quién tiene la ventaja, el jugador o la casa. X = el número de coincidencias 0, 1, 2, 3 En dólares: −1, 1, 2, 3 1 2 La respuesta es −0,0787. Usted pierde unos ocho céntimos, en promedio, por juego. La casa tiene la ventaja. Según el Banco Mundial, solo el 9 % de la población de Uganda tenía acceso a la electricidad en 2009. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 150 personas en Uganda. Supongamos que X = el número de personas que tienen acceso a la electricidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule la media y la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que 15 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que como máximo diez personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que más de 25 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas de 15 años en adelante que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización en Afganistán es del 28,1 %. Supongamos que elige al azar a 15 personas en Afganistán. Supongamos que X = el número de personas alfabetizadas. Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que más de cinco personas de la muestra sepan leer y escribir. ¿Es más probable que tres o cuatro personas sepan leer y escribir? X ~ B (15, 0,281) Media = μ = np = 15(0,281) = 4,215 Desviación típica = σ = n p q = 15 ( 0,281 ) ( 0,719 ) = 1,7409 P ( x > 5)=1 - 0,7754 = 0,2246 P ( x = 3) = 0,1927 P ( x = 4) = 0,2259 Es más probable que cuatro personas sepan leer y escribir que tres. Experimento binomial un experimento estadístico que satisfaga las tres condiciones siguientes: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Ensayos de Bernoulli un experimento con las siguientes características: Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La probabilidad p de un acierto es igual para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad q = 1 − p de un fallo es la misma para cualquier ensayo). Distribución de probabilidad binomial una variable aleatoria discreta (RV) que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n − x .

Introducción a la estadística empresarial

Empresarial


Distribución geométrica La función de densidad de probabilidad geométrica se basa en lo que hemos aprendido de la distribución binomial. En este caso, el experimento continúa hasta que se produce un éxito o un fracaso, en lugar de un número determinado de ensayos. Hay tres características principales de un experimento geométrico. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p . Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es 1 6 . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q = 5 6 , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 1 6 ) = 0,0804 X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Participa en un juego de azar que puede ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierde. Su probabilidad de perder es p = 0,57. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco jugadas para perder? Supongamos que X = el número de partidas que juega hasta que pierde (incluye la partida perdida). Entonces X toma los valores 1, 2, 3, ... (podría seguir indefinidamente). La pregunta de probabilidad es P ( x = 5). Ejercicio Se lanzan dardos a un tablero hasta dar con la zona central. Su probabilidad de acertar el área central es p = 0,17. Quiere hallar la probabilidad de que se necesiten ocho lanzamientos hasta que acierte al centro. ¿Qué valores toma X ? 1, 2, 3, 4, … n . Puede continuar indefinidamente. Una ingeniera de seguridad considera que el 35 % de los accidentes laborales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Decide mirar los informes de accidentes (seleccionados al azar y sustituidos en la pila después de la lectura) hasta que encuentra uno que muestra un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. En promedio, ¿cuántos informes tendría que mirar la ingeniera de seguridad hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres informes hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? Supongamos que X = el número de accidentes que la ingeniera de seguridad debe examinar hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. X toma los valores 1, 2, 3, .... La primera pregunta le pide que calcule el valor esperado o la media. La segunda pregunta le pide que calcule P ( x ≥ 3). (“Al menos” se traduce en un símbolo “mayor o igual que”). Ejercicio Una instructora considera que el 15 % de los estudiantes obtienen menos de una C en su examen final. Decide revisar los exámenes finales (seleccionados al azar y sustituidos en el montón después de la lectura) hasta que halle uno que muestre una calificación inferior a C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar, al menos, diez exámenes hasta que halle uno con una calificación inferior a C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad enunciada matemáticamente? P ( x ≥ 10) Supongamos que busca a un estudiante de su instituto universitario que vive a menos de ocho millas de usted. Sabe que el 55 % de los 25.000 estudiantes viven a menos de ocho millas de usted. Contacta al azar con estudiantes del instituto universitario hasta que uno diga que vive a menos de ocho millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que contactar cuatro personas? Este es un problema geométrico porque puede tener varios fallos antes de tener el único acierto que desea. Además, la probabilidad de éxito es aproximadamente la misma cada vez que pregunta a un estudiante si vive a menos de cinco millas de usted. No hay un número definido de ensayos (número de veces que le pregunta a un estudiante). a. Supongamos que X = el número de ____________ a los que debe preguntar ____________ uno dice que sí. a. Supongamos que X = el número de estudiantes a los que debe preguntar hasta que uno diga que sí b. ¿Qué valores toma X ? b. 1, 2, 3, ..., (número total de estudiantes) c. ¿Qué son p y q ? c. p = 0,55; q = 0,45 d. La pregunta de probabilidad es P (_______). d. P ( x = 4) Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica X ~ G ( p ) Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica” . El parámetro es p ; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo. La pdf geométrica nos dice la probabilidad de que la primera ocurrencia de acierto requiera x número de ensayos independientes, cada uno con probabilidad de acierto p. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p , entonces la probabilidad de que el ensayo x ésimo (de x ensayos) sea el primer acierto es: P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 p para x = 1, 2, 3, .... El valor esperado de X, la media de esta distribución, es 1/p. Esto nos dice cuántos ensayos tenemos que esperar hasta obtener el primer acierto incluido en el recuento el ensayo que resulta en acierto. La forma anterior de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de ensayos hasta el primer acierto. El número de ensayos incluye el que es un acierto: x = todos los ensayos, incluido el que es un acierto. Esto se puede ver en la composición de la fórmula. Si X = número de ensayos incluido el acierto, entonces debemos multiplicar la probabilidad de fracaso, (1-p), por el número de fracasos, es decir, X-1. Por el contrario, la siguiente forma de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de fallos hasta el primer éxito: P ( X = x ) = ( 1 – p ) x p para x = 0, 1, 2, 3, .... En este caso el ensayo que es un éxito no se cuenta como un ensayo en la fórmula: x = número de fracasos. El valor esperado, la media, de esta distribución es μ = ( 1 – p ) p . Esto nos indica cuántos fracasos debemos esperar antes de tener un acierto. En cualquier caso, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica. Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es de 0,02. Los componentes se seleccionan al azar. Calcule la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que se halle uno defectuoso? Supongamos que X = el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el primer defecto. X toma los valores 1, 2, 3, ... donde p = 0,02. X ~ G(0,02) Calcule P ( x = 7). Respuesta: P ( x = 7) = (1 – 0,02) 7-1 × 0,02 = 0,0177. La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es de 0,0177. El gráfico de X ~ G(0,02) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de componentes informáticos probados. Observe que las probabilidades disminuyen en un incremento común. Este incremento es la misma proporción entre cada número y se llama progresión geométrica y de ahí el nombre de esta función de densidad de probabilidad. El número de componentes que se espera probar hasta encontrar el primer componente defectuoso es la media, μ = 50 . La fórmula de la media de la variable aleatoria definida como el número de fallos hasta el primer acierto es μ = 1 p = 1 0,02 = 50 Vea el para un ejemplo en el que la variable aleatoria geométrica se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. El valor esperado de esta fórmula para la geométrica será diferente de esta versión de la distribución. La fórmula de la varianza es σ 2 = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0,02 ) ( 1 0,02 – 1 ) = 2.450 La desviación típica es σ = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0, 02 ) ( 1 0, 02 – 1 ) = 49,5 El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que X = el número de personas a las que se pregunta antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas. La variable aleatoria X , en este caso, incluye solo el número de ensayos que fueron un fracaso y no cuenta el ensayo que fue un acierto para hallar una persona que tuviera la enfermedad. La fórmula adecuada para esta variable aleatoria es la segunda presentada anteriormente. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G ( 1 78 ) o X ~ G (0,0128). ¿Cuál es la probabilidad de que se pregunte a 9 personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas? Esto es preguntar: ¿cuál es la probabilidad de que pregunte a 9 personas sin acierto y la décima persona sea un acierto? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a 20 personas? Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . P ( x = 9) = (1 – 0,0128) 9 · 0,0128 = 0,0114 P ( x = 20) = (1 – 0,0128) 19 · 0,0128 =0,01 Media = μ = ( 1 – p ) p = ( 1 – 0,0128 ) 0,0128 = 77,12 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0,0128 0,0128 2 ≈ 77,62 Ejercicio La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas mayores de 15 años que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización de las mujeres en las Colonias Unidas de la Independencia era del 12 %. Supongamos que X = el número de mujeres a las que se pregunta hasta que una dice que sabe leer y escribir. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? ¿Cuál es la probabilidad de que les pregunte a cinco mujeres antes de que una diga que sabe leer y escribir? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a diez mujeres? X ~ G (0,12) P ( x = 5) = 0,0720 P ( x = 10) = 0,0380 Un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 0,320. Esta es la probabilidad general de que consiga un batazo imparable cada vez que esté al bate. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga su primer batazo imparable en el tercer chance al bate? P ( x =3) = (1-0,32) 3-1 × 0,32 = 0,1480 En este caso, la secuencia es de fracaso, acierto, fracaso. ¿Cuántos turnos de bateo espera que necesite el bateador antes de conseguir un batazo imparable? μ = 1 p = 1 0,320 = 3,125 ≈ 3 Es simplemente el valor esperado de los aciertos y, por tanto, la media de la distribución. Hay un 80 % de posibilidades de que un perro dálmata tenga 13 manchas negras. Vas a una exposición canina y cuentas las manchas de los dálmatas. ¿Cuál es la probabilidad de que revise las manchas de 3 perros antes de encontrar uno que tenga 13 manchas negras? P ( x =3) = (1 – 0,80) 3 × 0,80 = 0,0064 Referencias “Millennials: A Portrait of Generation Next”, PewResearchCenter. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Millennials: Confident. Connected. Open to Change”. Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Disponible en línea en http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video disponible en línea en http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Hay tres características de un experimento geométrico: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo son iguales para cada ensayo. En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G ( p ) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo. La media de la distribución geométrica X ~ G ( p ) es μ = 1 / p donde x = número de ensayos hasta el primer acierto de la fórmula P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 p donde el número de pruebas es hasta el primer acierto incluido. Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es: P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es μ = 1 – p p La forma más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento. Revisión de la fórmula P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x – 1 X ~ G( p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad geométrica con probabilidad de acierto en un único ensayo p . X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto X toma los valores x = 1, 2, 3, ... p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo para cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media es μ = 1 p . La desviación típica es σ = 1 – p p 2 = 1 p ( 1 p – 1 ) . Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de estudiantes de primer año seleccionados del estudio hasta que uno respondió “sí” a que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 1,2,… Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). Deténgase en x = 6. x P ( x ) 1 2 3 4 5 6 En promedio ( μ ), ¿a cuántos estudiantes de primer año tendría que preguntarles hasta hallar uno que responda “sí”? 1,4 ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a menos de tres estudiantes de primer año? TAREA PARA LA CASA Una consumidora que quiera comprar un Miata rojo de segunda mano llamará a los concesionarios hasta que halle uno que tenga ese automóvil. Calcula que la probabilidad de que cualquier concesionario independiente tenga el automóvil será del 28 %. Nos interesa el número de concesionarios a los que debe llamar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿a cuántos concesionarios tendríamos que llamar hasta hallar uno que tenga el automóvil? Calcule la probabilidad de que tenga que llamar como máximo a cuatro concesionarios. Calcule la probabilidad de que deba llamar a tres o cuatro concesionarios. Supongamos que la probabilidad de que un adulto en Estados Unidos vea el supertazón es del 40 %. Cada persona se considera independiente. Nos interesa saber el número de adultos en Estados Unidos que debemos encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿A cuántos adultos en Estados Unidos espera encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón? Calcule la probabilidad de que deba preguntar a siete personas. Calcule la probabilidad de que deba preguntar a tres o cuatro personas. X = el número de adultos en Estados Unidos encuestados hasta que uno dice que verá el supertazón. X ~ G (0,40) 2,5 0,0187 0,2304 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que nos interesa saber el número de residentes de California que debemos encuestar hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos que encuestar a uno o a dos residentes hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿Cuál es la probabilidad de que debamos encuestar, al menos, tres residentes de California hasta que hallemos uno que no tenga suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que sí tenga los suministros adecuados para un terremoto? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida más de una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? ¿Es probable que las veinte anuncien calzado en ellas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la probabilidad de que menos de diez anuncien calzado en ellas? Recordatorio: Una página puede ser elegida más de una vez. Nos interesa saber el número de páginas que debemos inspeccionar aleatoriamente hasta hallar una que tenga calzado anunciado. Defina la variable aleatoria X y dé su distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga que inspeccionar como máximo tres páginas para hallar una que anuncie calzado en ella? ¿Cuántas páginas espera tener que inspeccionar para hallar una que anuncie calzado? X = el número de páginas que anuncian calzado X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 X ~ B (20, 29 192 ) 3,02 No 0,9997 X = el número de páginas que debemos inspeccionar hasta hallar una que anuncie calzado. X ~ G ( 29 192 ) 0,3881 6,6207 páginas Suponga que está haciendo el experimento de probabilidad de lanzar un dado imparcial de seis lados. Supongamos que F es el evento de sacar un cuatro o un cinco. Le interesa saber cuántas veces tiene que lanzar el dado para obtener el primer cuatro o cinco como resultado. p = probabilidad de acierto (se produce el evento F ) q = probabilidad de fallo (el evento F no se produce) Escriba la descripción de la variable aleatoria X . ¿Cuáles son los valores que puede asumir X ? Calcule los valores de p y q . Calcule la probabilidad de que la primera ocurrencia del evento F (sacar un cuatro o un cinco) sea en el segundo ensayo. Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2 y 3 El Banco Mundial registra la prevalencia del VIH en países de todo el mundo. Según sus datos, “la prevalencia del VIH se refiere al porcentaje de personas de 15 a 49 años que están infectadas por el VIH”. ”Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). En Sudáfrica, la prevalencia del VIH es del 17,3 %. Supongamos que X = el número de personas a quienes se les hace la prueba hasta hallar una persona infectada por el VIH. Dibuje un gráfico de la distribución de la variable aleatoria discreta X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que hacer la prueba a 30 personas para hallar una con el VIH? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a diez personas? Calcule la (i) media y (ii) desviación típica de la distribución de X . Según una reciente encuesta de Pew Research, el 75 % de los millenials (personas nacidas entre 1981 y 1995) tienen un perfil en una red social. Supongamos que X = el número de mileniales a quienes pregunta hasta hallar una persona sin perfil en una red social. Describa la distribución de X . Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a diez personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a 20 personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a un máximo de cinco personas? X ~ G (0,25) Media = μ = 1 p = 1 0,25 = 4 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0 0,25 0,25 2 ≈ 3,4641 P ( x = 10) = 0,0188 P ( x = 20) = 0,0011 P ( x ≤ 5) = 0,7627 Distribución geométrica una variable aleatoria (RV) discreta que surge de los ensayos de Bernoulli; los ensayos se repiten hasta el primer acierto. La variable geométrica X se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. La media es μ = 1 p y la desviación típica es σ = 1 p ( 1 p – 1 ) . La probabilidad de que se produzcan exactamente x fallos antes del primer acierto viene dada por la fórmula P ( X = x ) = p (1 – p ) x – 1 donde se quiere conocer la probabilidad para el número de ensayos hasta el primer acierto: el x-ésimo ensayo es el primer acierto Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es μ = 1 – p p La manera más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento. Experimento geométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo no cambian de un ensayo a otro.

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Distribución de Poisson Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson o distribución del tiempo de espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja son necesarios para mantener el tiempo de espera en la fila a niveles especificados, cuántas líneas telefónicas son necesarias para evitar que el sistema se sobrecargue, y muchas otras aplicaciones prácticas. Una modificación de la distribución de Poisson, la Pascal, inventada hace casi cuatro siglos, es utilizada hoy en día por las compañías de telecomunicaciones de todo el mundo para los factores de carga, los niveles de conexión de los satélites y los problemas de capacidad de internet. La distribución recibe su nombre de Simeón Poisson, que la presentó en 1837 como una extensión de la distribución binomial, que veremos que se puede estimar con la Poisson. Hay dos características principales de un experimento de Poisson. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida. Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos. La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad. P ( x < 5) Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión? Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión. a. ¿Cuál es el intervalo de interés? a. una emisión medida en minutos b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión? b. 2 c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X ? c. Sea X = el número de veces que el reportero de noticias dice “ah" durante una emisión. x = 0, 1, 2, 3, ... d. La pregunta de probabilidad es P (______). d. P ( x > 2) Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson X ~ P ( μ ) Se lee como “ X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ ); μ (o λ ) = la media del intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que se producen por término promedio durante el periodo del intervalo. La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es: P ( x ) = μ x e – μ x ! donde P(X ) es la probabilidad de X aciertos, μ es el número esperado de aciertos basado en datos históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de aciertos por unidad, normalmente por unidad de tiempo. Para utilizar la distribución de Poisson, deben cumplirse ciertos supuestos. Estos son: la probabilidad de un éxito, μ, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos dentro del intervalo y, por último, que la probabilidad de un éxito entre intervalos es independiente, el mismo supuesto de la distribución binomial. En cierto modo, la distribución de Poisson puede considerarse una forma inteligente de convertir una variable aleatoria continua, normalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta al dividir el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar en la Poisson nos ayuda a entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta de la distribución binomial. La Poisson pide la probabilidad de un número de aciertos durante un periodo mientras que la binomial pide la probabilidad de un número determinado de aciertos para un número dado de ensayos. El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos? Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o 1 4 hora) x = 0, 1, 2, 3, ... Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe ( 1 8 ) (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema. X ~ P (0,75) Calcule P ( x > 1). P (x > 1) = 0,1734 La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734. El gráfico de X ~ P (0,75) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de llamadas durante 15 minutos. Según una encuesta, un profesor universitario recibe, en promedio, 7 correos electrónicos al día. Sea X = el número de correos electrónicos que recibe un profesor al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (7). La media es de 7 correos electrónicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 2 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 2 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la desviación típica? P ( x = 2 ) = μ x e –μ x! = 7 2 e -7 2! = 0,022 P ( x ≤ 2 ) = 7 0 e -7 0! + 7 1 e -7 1! + 7 2 e -7 2! = 0,029 Desviación típica = σ = μ = 7 ≈ 2,65 Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora? Supongamos que X = el número de mensajes de texto que un usuario envía o recibe en una hora. El número promedio de mensajes de texto recibidos por hora es 41,5 24 ≈ 1,7292. P ( x = 2 ) = μ x e –μ x! = 1,729 2 e -1,729 2! = 0,265 P ( x > 2 ) = 1 – P ( x ≤ 2 ) = 1 – [ 7 0 e -7 0! + 7 1 e -7 1! + 7 2 e -7 2! ] = 0,250 El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca? Supongamos que X = el número de días con actividad sísmica baja. Mediante la distribución binomial: P ( x = 10 ) = 200! 10! ( 200 – 10 ) ! × 0,0102 10 × 0,9898 190 = 0,000039 Mediante la distribución de Poisson: Calcule μ = np = 200(0,0102) ≈ 2,04 P ( x = 10 ) = μ x e –μ x! = 2,04 10 e -2,04 10! = 0,000045 Esperamos que la aproximación sea buena porque n es grande (más de 20) y p es pequeño (menos de 0,05). Los resultados son muy parecidos: ambas probabilidades son casi 0. Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson Anteriormente comprobamos que la distribución binomial proporcionaba una aproximación a la distribución hipergeométrica. Ahora hallamos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para la binomial. Decimos que la distribución binomial se acerca a la Poisson. La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson es a medida que n se hace más grande y p es pequeño, de manera que np se convierte en un valor constante. Hay varias reglas generales sobre cuándo se puede decir que se va a utilizar una Poisson para estimar una binomial. Una de ellas sugiere que np , la media de la binomial, debe ser inferior a 25. Otro autor sugiere que debería ser inferior a 7. Y otro, observando que la media y la varianza de la Poisson son ambas iguales, sugiere que np y npq , la media y la varianza de la binomial, deben ser mayores que 5. No existe una regla general aceptada sobre cuándo se puede utilizar la Poisson para estimar la binomial. A medida que avanzamos por estas distribuciones de probabilidad, llegamos a distribuciones más sofisticadas que, en cierto sentido, contienen las distribuciones menos sofisticadas dentro de ellas. Esta proposición ha sido demostrada por los matemáticos. Esto nos lleva al nivel más alto de sofisticación en la siguiente distribución de probabilidad que puede ser usada como una aproximación a todas las que hemos discutido hasta ahora. Esta es la distribución normal. Una encuesta realizada a 500 estudiantes de último curso de la Price Business School arroja los siguientes datos. El 75 % empieza a trabajar directamente después de graduarse. El 15 % continúa para hacer su Maestría en Administración de Empresas (Master of Business Administration, MBA). El 9 % se queda para obtener un título en una asignatura secundaria en otro programa. El 1 % continúa en una Maestría en Finanzas. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 estudiantes de último año vayan a la escuela de posgrado para hacer una Maestría en Finanzas? Esto es claramente un problema de distribución de probabilidad binomial. Las opciones son binarias cuando definimos los resultados como "Escuela de Postgrado en Finanzas" frente a "todas las demás opciones". La variable aleatoria es discreta y los eventos son, podríamos suponer, independientes. Resolviendo como un problema binomial, tenemos: Solución binomial n · p = 500 · 0,01 = 5 = µ P ( 0 ) = 500 ! 0 ! ( 500 – 0 ) ! 0,01 0 ( 1 – 0,01 ) 500 – 0 = 0,00657 P ( 1 ) = 500 ! 1 ! ( 500 – 1 ) ! 0,01 1 ( 1 – 0,01 ) 500 – 1 = 0,03318 P ( 2 ) = 500 ! 2 ! ( 500 – 2 ) ! 0,01 2 ( 1 – 0,01 ) 500 – 2 = 0,08363 Sumando los 3 = 0,12339 1 – 0,12339 = 0,87661 Aproximación de Poisson n · p = 500 · 0,01 = 5 = μ n · p · ( 1 – p ) = 500 · 0,01 · ( 0,99 ) ≈ 5 = σ 2 = μ P ( X ) = e −np ( n p ) x x ! = { P ( 0 ) = e −5 · 5 0 0 ! } + { P ( 1 ) = e −5 · 5 1 1 ! } + { P ( 2 ) = e −5 · 5 2 2 ! } 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1247 1 – 0,1247 = 0,8753 Una aproximación de 1 milésima es sin duda una aproximación aceptable. Referencias “ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 6 de febrero de 2019). Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013). “Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013). “How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volume is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,01) y el número de ensayos es "grande" (mayor o igual a 25). También se sugieren otras reglas generales por parte de diferentes autores, pero todos reconocen que la distribución de Poisson es la distribución límite de la binomial a medida que n aumenta y p se acerca a cero. La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es: P ( x ) = μ x e – μ x ! donde P(X) es la probabilidad de éxitos, μ (pronunciado mi) es el número esperado de éxitos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de éxitos por unidad, normalmente por unidad de tiempo. Revisión de la fórmula X ~ P ( μ ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ... Se suele dar la media μ o λ . La varianza es σ 2 = μ , y la desviación típica es σ = μ . Cuando se utiliza P ( μ ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo. P ( x ) = μ x e – μ x ! Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X . ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, … ¿Cuál es la probabilidad de recibir 150 clientes en un día? ¿Cuál es la probabilidad de recibir 35 clientes en las primeras cuatro horas? Supongamos que la tienda está abierta 12 horas al día. 0,0485 ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba más de 12 clientes en la primera hora? ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba menos de 12 clientes en las dos primeras horas? 0,0214 ¿Qué tipo de distribución se puede utilizar para aproximar el modelo de Poisson? ¿Cuándo lo haría? Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de adolescentes estadounidenses que mueren por lesiones en vehículos de motor al día. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, ... Para los valores dados de la variable aleatoria X , rellene las probabilidades correspondientes. ¿Es probable que no haya ningún adolescente muerto por accidente de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. No ¿Es probable que haya más de 20 adolescentes muertos por accidentes de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. TAREA PARA LA CASA La central de llamadas de un despacho de abogados de Minneapolis recibe un promedio de 5,5 llamadas telefónicas durante el mediodía de los lunes. La experiencia demuestra que el personal actual puede atender hasta seis llamadas en una hora. Supongamos que X = el número de llamadas recibidas a mediodía. Calcule la media y la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba como máximo seis llamadas el lunes a mediodía? Calcule la probabilidad de que el despacho de abogados reciba seis llamadas a mediodía. ¿Qué significa esto para el personal del despacho de abogados que recibe, en promedio, 5,5 llamadas telefónicas al mediodía? ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba más de ocho llamadas al mediodía? X ~ P (5,5); μ = 5,5; σ = 5,5 ≈ 2,3452 P (x ≤ 6) ≈ 0,6860 Hay un 15,7 % de probabilidad de que el personal jurídico reciba más llamadas de las que puede atender. P ( x > 8) = 1 - P (x ≤ 8) ≈ 1 - 0,8944 = 0,1056 La maternidad del Dr. José Fabella Memorial Hospital de Manila, Filipinas es una de las más concurridas del mundo, con un promedio de 60 nacimientos diarios. Supongamos que X = el número de nacimientos en una hora. Calcule la media y la desviación típica de X . Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan como máximo tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan más de cinco bebés durante una hora? Un fabricante de bombillas para árboles de navidad sabe que el 3 % de sus bombillas son defectuosas. Calcule la probabilidad de que una cadena de 100 luces contenga como máximo cuatro bombillas defectuosas mediante las distribuciones binomial y de Poisson. Supongamos que X = el número de bombillas defectuosas en una cadena. Mediante la distribución de Poisson: μ = np = 100(0,03) = 3 X ~ P (3) P (x ≤ 4) ≈ 0,8153 Mediante la distribución binomial: X ~ B (100, 0,03) P (x ≤ 4) = 0,8179 La aproximación de Poisson es muy buena: la diferencia entre las probabilidades es de solo 0,0026. El número promedio de hijos que tiene una japonesa a lo largo de su vida es de 1,37. Supongamos que se elige una japonesa al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de japonesas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de japonesas. El promedio de hijos que tiene una española a lo largo de su vida es de 1,47. Supongamos que se elige al azar una española. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de españolas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de españolas. X = el número de hijos de una española 0, 1, 2, 3,... 0,2299 0,5679 0,4321 Las gatas fértiles producen un promedio de tres camadas al año. Supongamos que se elige al azar una gata fértil. En un año, halla la probabilidad de que produzca: Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Demuestre la distribución de X . X ~ _______ Calcule la probabilidad de que no tenga camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga, al menos, dos camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga exactamente tres camadas en un año. La probabilidad de tener suerte adicional debido a una galleta de la fortuna es de un 3 % aproximadamente. Dada una bolsa de 144 galletas de la fortuna, nos interesa saber el número de galletas con suerte adicional. Se pueden utilizar dos distribuciones para resolver este problema, pero solo use una. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántas galletas esperamos que tengan suerte adicional? Calcule la probabilidad de que ninguna de las galletas tenga suerte adicional. Calcule la probabilidad de que más de tres tengan suerte adicional. A medida que aumenta n , ¿qué ocurre con las probabilidades si usa las dos distribuciones? Explique con oraciones completas. X = el número de galletas de la fortuna que tienen suerte adicional 0, 1, 2, 3,... 144 4,32 0,0124 o 0,0133 0,6300 o 0,6264 A medida que n aumenta, las probabilidades se acercan. Según el sitio web del Departamento de Salud Mental de Carolina del Sur, por cada 200 mujeres de EE. UU., en promedio, una padece anorexia. De un grupo de 600 mujeres de EE. UU. elegidas al azar, determine lo siguiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Dada la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas se espera que sufran anorexia? Calcule la probabilidad de que ninguna sufra anorexia. Calcule la probabilidad de que más de cuatro sufran anorexia. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Supongamos que se eligen al azar 100 personas con declaraciones de impuestos superiores a 25.000 dólares. Nos interesa el número de personas auditadas en un año. Utilice una distribución de Poisson para responder a las siguientes preguntas. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos se espera que se hayan auditado? Calcule la probabilidad de que nadie haya sido auditado. Calcule la probabilidad de que, al menos, tres hayan sido auditados. X = número de personas auditadas en un año 0, 1, 2, ..., 100 2 0,1353 0,3233 Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número de los que participaron en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. En promedio, Pierre, cocinero aficionado, deja caer tres trozos de cáscara de huevo en cada dos mezclas de pastel que hace. Supongamos que usted compra uno de sus pasteles. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . En promedio, ¿cuántos trozos de cáscara de huevo espera que haya en el pastel? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún trozo de cáscara de huevo en el pastel? Supongamos que compra uno de los pasteles de Pierre cada semana durante seis semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna cáscara de huevo en ninguno de los pasteles? Basándose en el promedio dado por Pierre, ¿es posible que haya siete trozos de cáscara en el pastel? ¿Por qué? X = el número de trozos de cáscara en un pastel 0, 1, 2, 3,... 1,5 0,2231 0,0001 Sí Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana. En palabras, la variable aleatoria X = _________________ el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada semana. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada hora. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada noche. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan. Calcule la probabilidad de que sus gatos la despierten no más de cinco veces la próxima semana. 0,5000 0,9329 0,0378 0,0671 d Distribución de probabilidad de Poisson una variable aleatoria (RV) discreta que cuenta el número de veces que se producirá un determinado evento en un intervalo específico; características de la variable La probabilidad de que el evento ocurra en un intervalo determinado es la misma para todos los intervalos. Los eventos ocurren con una media conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución está definida por la media μ del evento en el intervalo. La media es μ = np . La desviación típica es σ = μ . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en r ensayos es P ( x ) = μ x e – μ x ! . La distribución de Poisson se utiliza a menudo para aproximar la distribución binomial, cuando n es "grande" y p es "pequeño" (una regla general es que np debe ser mayor o igual a 25 y p debe ser menor o igual a 0,01).

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Introducción Las alturas de estas plantas de rábano son variables aleatorias continuas. (créditos: Rev Stan). Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI, la duración de una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, la duración de un chip de computadora, las tasas de rendimiento de una inversión y las puntuaciones de la selectividad son solo algunos ejemplos. El campo de la fiabilidad depende de una variedad de variables aleatorias continuas, al igual que todos los ámbitos del análisis de riesgos. Nota Los valores de las variables aleatorias discretas y continuas pueden ser ambiguos. Por ejemplo, si X es igual al número de millas (a la milla más cercana) que conduce al trabajo, entonces X es una variable aleatoria discreta. Puede contar las millas. Si X es la distancia que se recorre en automóvil hasta el trabajo, entonces se miden valores de X y X es una variable aleatoria continua. Para un segundo ejemplo, si X es igual al número de libros que hay en una mochila, entonces X es una variable aleatoria discreta. Si X es el peso de un libro, entonces X es una variable aleatoria continua porque el peso se mide. La forma de definir la variable aleatoria es muy importante.

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Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva. Ya conocimos este concepto cuando desarrollamos las frecuencias relativas con histogramas en el Capítulo 2 . El área relativa para un rango de valores era la probabilidad de extraer al azar una observación en ese grupo. De nuevo con la distribución de Poisson del Capítulo 4 , el gráfico del Ejemplo 4.14 utilizó cajas para representar la probabilidad de valores específicos de la variable aleatoria. En este caso, estábamos siendo poco estrictos porque las variables aleatorias de una distribución de Poisson son discretas, números enteros, y una caja tiene anchura. Observe que el eje horizontal, la variable aleatoria x, deliberadamente no marcó los puntos a lo largo del eje. La probabilidad de un valor específico de una variable aleatoria continua será cero porque el área bajo un punto es cero. La probabilidad es el área. La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf ). Utilizamos el símbolo f ( x ) para representar la curva. f ( x ) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f ( x ) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa ( cdf ). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad acumulada es la integral de la pdf, y la probabilidad entre dos valores de una variable aleatoria continua será la integral de la pdf entre estos dos valores: el área bajo la curva entre estos valores. Recuerde que el área bajo la pdf para todos los valores posibles de la variable aleatoria es uno, la certeza. Por tanto, la probabilidad puede verse como el porcentaje relativo de certeza entre los dos valores de interés. Los resultados se miden, no se cuentan. Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno. La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x . P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d . P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x , a la derecha de c y a la izquierda de d . P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero. P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área. Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, el cálculo integral es necesario para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera. En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones. El gráfico muestra una distribución uniforme con el área entre x = 3 y x = 6 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre tres y seis. El gráfico muestra una Distribución Exponencial con el área entre x = 2 y x = 4 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre dos y cuatro. El gráfico muestra la distribución normal estándar con el área entre x = 1 y x = 2 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre uno y dos. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA. Consideremos la función f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f ( x ) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive. f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20. El área entre f ( x ) = 1 20 donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = 1 20 . ÁREA = 20 ( 1 20 ) = 1 Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 0 < x < 2. ÁREA = ( 2 – 0 ) ( 1 20 ) = 0,1 ( 2 – 0 ) = 2 = base de un rectángulo Recordatorio área de un rectángulo = (base)(altura). El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P (0 < x < 2) = P ( x < 2) = 0,1. Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 4 < x < 15. ÁREA = ( 15 – 4 ) ( 1 20 ) = 0,55 ( 15 – 4 ) = 11 = la base de un rectángulo El área corresponde a la probabilidad P (4 < x < 15) = 0,55. Supongamos que queremos hallar P ( x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P ( x = 15) = (base)(altura) = (0) ( 1 20 ) = 0 P ( X ≤ x ), que también se puede escribir como P ( X < x ) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P ( X > x ). La cdf da el “área a la izquierda” y P ( X > x ) da el “área a la derecha”. Calculamos P ( X > x ) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P ( X > x ) = 1 – P ( X < x ). Identifique el gráfico con f ( x ) y x . Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y . f ( x ) = 1 20 , 0 ≤ x ≤ 20. Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo. P ( 2,3 < x < 12,7 ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,7 – 2,3 ) ( 1 20 ) = 0,52 Ejercicio Consideremos la función f ( x ) = 1 8 para 0 ≤ x ≤ 8. Dibuje el gráfico de f ( x ) y calcule P (2,5 < x < 7,5). P (2,5 < x < 7,5) = 0,625 Repaso del capítulo La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f ( x ) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f ( x ) es uno. El área debajo del gráfico de f ( x ) y entre los valores a y b da la probabilidad P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P ( X ≤ x ). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x . Revisión de la fórmula Función de densidad de probabilidad (pdf) f ( x ): f ( x ) ≥ 0 El área total debajo de la curva f ( x ) es uno. Función de distribución acumulativa (cdf): P ( X ≤ x ) ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución uniforme ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución normal ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) P (6 < x < 7) Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 15. ¿Qué es P ( x > 15)? ¿Cuál es el área debajo de f ( x ) si la función es una función de densidad de probabilidad continua? uno Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 10. ¿Qué es P ( x = 7)? Una función de probabilidad continua se restringe a la parte comprendida entre x = 0 y 7. ¿Qué es P ( x = 10)? cero f ( x ) para una función de probabilidad continua es 1 5 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 5. ¿Qué es P ( x < 0)? f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 12 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 12. ¿Qué es P (0 < x < 12)? uno Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. 0,625 Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 3 y la función se restringe a 1 ≤ x ≤ 4. Describa P ( x > 3 2 ) . La probabilidad es igual al área desde x = 3 2 hasta x = 4 por encima del eje x y hasta f ( x ) = 1 3 . Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Considere el siguiente experimento. Usted es una de las 100 personas reclutadas para participar en un estudio para determinar el porcentaje de enfermeros en Estados Unidos con un título de enfermero registrado (registered nurse, RN). Les pregunta a los enfermeros si tienen un título de RN. Los enfermeros responden “sí” o “no”. Luego, calcula el porcentaje de enfermeros con un título de RN. Le da ese porcentaje a su supervisor. ¿Qué parte del experimento producirá datos discretos? ¿Qué parte del experimento producirá datos continuos? Cuando se redondea la edad al año más cercano, ¿los datos siguen siendo continuos o se convierten en discretos? ¿Por qué? La edad es una medida, independientemente de la exactitud utilizada. Distribución uniforme variable aleatoria (RV) continua que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio, a < x < b ; a menudo se denomina distribución rectangular porque el gráfico de la pdf tiene la forma de un rectángulo. La media es μ = a + b 2 y la desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = 1 b – a para a < x < b o a ≤ x ≤ b . La distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . Distribución exponencial variable aleatoria continua (RV) que aparece cuando nos interesamos por los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, el tiempo entre las llegadas de emergencia a un hospital. La media es μ = 1 m y la desviación típica es σ = 1 m . La función de densidad de probabilidad es e ( x ) = m e – m x o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x , x ≥ 0 y la función de distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = 1 – e – m x o P ( X ≤ x ) = 1 – e – 1 μ x .

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