Ejemplos de pruebas de hipótesis completas Pruebas sobre las medias Cuando Jeffrey tenía ocho años estableció un tiempo medio de 16,43 segundos al nadar las 25 yardas en estilo libre, con una desviación típica de 0,8 segundos . Su padre, Frank, pensó que Jeffrey podría nadar más rápido las 25 yardas en estilo libre si utilizaba gafas para nadar. Frank le compró a Jeffrey un nuevo par de gafas para nadar costosas y cronometró 15 veces que nadó las 25 yardas en estilo libre . En las 15 veces, el tiempo medio de Jeffrey fue de 16 segundos. Frank pensó que las gafas para nadar ayudaron a Jeffrey a nadar más rápido que los 16,43 segundos. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Establezca la prueba de la hipótesis: Dado que el problema se refiere a una media, se trata de una prueba de una única media poblacional . Establezca las hipótesis nula y alternativa: En este caso hay una impugnación o reclamo implícitos. Esto es que las gafas reducirán el tiempo de natación. El efecto es formular la hipótesis como una prueba de una cola. El planteamiento siempre estará en la hipótesis alternativa porque la carga de la prueba siempre recae en la alternativa. Recuerde que el statu quo deberá derrotarse con un alto grado de confianza, en este caso del 95 %. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H 0 : μ ≥ 16,43 H a : μ < 16,43 Para que Jeffrey nade más rápido, su tiempo debiera ser inferior a 16,43 segundos. El “<” indica que es de cola izquierda. Determine la distribución necesaria: Variable aleatoria: X – = el tiempo medio para nadar las 25 yardas de estilo libre. Distribución para el estadístico de prueba: El tamaño de la muestra es inferior a 30 y no conocemos la desviación típica de la población, por lo que se trata de una prueba t y la fórmula adecuada es: t c = X – – μ 0 σ / n μ 0 = 16,43 proviene de H 0 y no de los datos. X – = 16. s = 0,8; y n = 15. Nuestro paso 2, establecer el nivel de significación, ya se ha determinado en el problema, 0,05 para un nivel de significación del 95 %. Merece la pena reflexionar sobre el significado de esta elección. El error tipo I consiste en concluir que Jeffrey nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos cuando, en realidad, nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en 16,43 segundos (rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Para este caso, la única preocupación de un error de tipo I parece ser que el padre de Jeffery puede no apostar por la victoria de su hijo porque no le convence el efecto de las gafas. Para calcular el valor crítico tenemos que seleccionar la estadística apropiada de la prueba. Hemos llegado a la conclusión de que se trata de una prueba t en función del tamaño de la muestra y de que nos interesa una media poblacional. Ahora podemos dibujar el gráfico de la distribución t y marcar el valor crítico. Para este problema los grados de libertad son n-1, es decir, 14. Al buscar 14 grados de libertad en la columna 0,05 de la tabla t, hallamos 1,761. Este es el valor crítico y podemos ponerlo en nuestro gráfico. El paso 3 es el cálculo de la estadístico de la prueba con la fórmula seleccionada. Hallamos que el estadístico de prueba es 2,08, lo que significa que la media muestral está a 2,08 desviaciones típicas de la media hipotética de 16,43. t c = x – – μ 0 s n = 16 – 16,43 0,8 15 = -2,08 En el paso 4 tenemos que comparar el estadístico de prueba y el valor crítico y marcarlos en el gráfico. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola; por ende, pasamos al paso 4 y llegamos a una conclusión. La probabilidad de que el tiempo promedio de 16 minutos proceda de una distribución con una media poblacional de 16,43 minutos es demasiado improbable para que aceptemos la hipótesis nula. No podemos aceptar la hipótesis nula. El paso 5 nos hace exponer nuestras conclusiones primero de manera formal y luego de manera menos formal. La conclusión formal sería la siguiente: "Con un nivel de significación del 95 %, no podemos aceptar la hipótesis nula de que el tiempo de natación con gafas procede de una distribución con una media poblacional de 16,43 minutos". De manera menos formal: "Con un 95 % de significación, creemos que las gafas mejoran la velocidad de nado". Si quisiéramos utilizar el sistema de valores p para llegar a una conclusión, calcularíamos la estadística y daríamos el paso adicional de la probabilidad de estar a 2,08 desviaciones típicas de la media en una distribución t. Este valor es de 0,0187. Al compararlo con el nivel α de 0,05, nos damos cuenta de que no podemos aceptar la hipótesis nula. El valor p se ha puesto en el gráfico como el área sombreada más allá de –2,08 y muestra que es menor que el área sombreada, que es el nivel alfa de 0,05. Con ambos métodos se llega a la misma conclusión de que no podemos aceptar la hipótesis nula. Ejercicio La distancia media de lanzamiento de un balón de fútbol para Marco, un mariscal de campo de primer año de escuela secundaria, es de 40 yardas, con una desviación típica de dos yardas. El entrenador del equipo le dice a Marco que ajuste su agarre para conseguir más distancia. El entrenador registra las distancias de 20 lanzamientos. En los 20 lanzamientos, la distancia media de Marco fue de 45 yardas. El entrenador pensó que el agarre diferente ayudó a Marco a lanzar más allá de las 40 yardas. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Supongamos que las distancias de lanzamiento de los balones son normales. En primer lugar, determine de qué tipo de prueba se trata, establezca la prueba de hipótesis, calcule el valor p , dibuje el gráfico y plantee su conclusión. Dado que el problema se refiere a una media, se trata de una prueba de una única media poblacional. H 0 : μ = 40 H a : μ > 40 p = 0,0062 Como p < α , rechazamos la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para sugerir que el cambio de agarre mejoró la distancia de lanzamiento de Marco. Jane acaba de incorporarse al equipo de ventas de una compañía muy competitiva. En una muestra de 16 llamadas de ventas se comprobó que cerró el contrato por un valor promedio de 108 dólares con una desviación típica de 12 dólares. Pruebe al 5 % de significación que la media de la población es de al menos 100 dólares contra la alternativa de que es menor de 100 dólares. La política de la compañía exige que los nuevos integrantes del equipo de ventas superen un promedio de 100 dólares por contrato durante el periodo de prueba del empleo. ¿Podemos concluir que Jane ha cumplido este requisito con un nivel de significación del 95 %? H 0 : µ ≤ 100 H a : µ > 100 Las hipótesis nula y alternativa son para el parámetro µ porque el número de dólares de los contratos es una variable aleatoria continua. Además, se trata de una prueba de una cola porque a la compañía solo le interesa si el número de dólares por contacto está por debajo de una cifra determinada, no de una cifra "demasiado alta". Esto se considera una afirmación de que el requisito se cumple; por ende, está en la hipótesis alternativa. Estadístico de prueba: t c = x ¯ – µ 0 s n = 108 – 100 ( 12 16 ) = 2,67 Valor crítico: t a = 1,753 con n-1 grados de libertad = 15 El estadístico de prueba es una t de Student porque el tamaño de la muestra es inferior a 30; por ende, no podemos utilizar la distribución normal. Al comparar el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico de t ( t a ) a un nivel de significación del 5 %, vemos que el valor calculado está en la cola de la distribución. Así, concluimos que 108 dólares por contrato es significativamente mayor que el valor hipotético de 100; por ende, no podemos aceptar la hipótesis nula. Hay pruebas que apoyan que el desempeño de Jane cumple con los estándares de la compañía. Ejercicio Se cree que el precio de las acciones de una determinada compañía crecerá a un ritmo de 5 dólares por semana con una desviación típica de 1 dólar. Un inversor cree que las acciones no crecerán tan rápido. Las variaciones en el precio de las acciones se registran durante diez semanas y son las siguientes: 4, 3, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 1 y 2 dólares. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5 %. Plantee las hipótesis nula y alternativa, exponga su conclusión e identifique los errores de tipo I. H 0 : μ = 5 H a : μ < 5 p = 0,0082 Como p < α , rechazamos la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para sugerir que el precio de las acciones de la compañía crece a un ritmo inferior a 5 dólares por semana. Error de tipo I: Concluir que el precio de las acciones crece más lentamente que 5 dólares a la semana cuando, de hecho, crece a 5 dólares a la semana (rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera). Error de tipo II: Concluir que el precio de las acciones crece a un ritmo de 5 dólares a la semana cuando, en realidad, crece más lentamente que 5 dólares a la semana (no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa). Un fabricante de aderezos para ensaladas utiliza máquinas para dispensar ingredientes líquidos en frascos que se mueven a lo largo de una línea de llenado. La máquina que dispensa aderezos para ensaladas funciona correctamente cuando se dispensan 8 onzas. Supongamos que la cantidad promedio dispensada en una muestra concreta de 35 frascos es de 7,91 onzas con una varianza de 0,03 onzas al cuadrado, s 2 . ¿Hay pruebas de que la máquina debería detenerse y la producción debería esperar a que se repare? La pérdida de producción por una parada es potencialmente tan grande que la dirección considera que el nivel de significación en el análisis debería ser del 99 %. De nuevo, seguiremos los pasos de nuestro análisis de este problema. PASO 1 : Formule las hipótesis nula y alternativa. La variable aleatoria es la cantidad de líquido que se coloca en los frascos. Se trata de una variable aleatoria continua y el parámetro que nos interesa es la media. Por lo tanto, nuestra hipótesis se refiere a la media. En este caso, nos preocupa que la máquina no esté haciendo el llenado correctamente. Por lo que nos dicen, no importa si la máquina está llenando de más o de menos, ambos parecen ser un error igual de malo. Esto nos indica que se trata de una prueba de dos colas: si la máquina funciona mal, se apagará, sea por exceso o insuficiencia de llenado. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H 0 : μ = 8 H a : μ ≠ 8 PASO 2 : Decida el nivel de significación y dibuje el gráfico que muestra el valor crítico. Este problema ya ha fijado el nivel de significación en el 99 %. La decisión luce apropiada y muestra el proceso de reflexión al establecer el nivel de significación. La dirección quiere estar muy segura, tan segura como la probabilidad le permita, de que no esté cerrando una máquina que no necesita reparación. Para dibujar la distribución y el valor crítico, necesitamos saber qué distribución utilizar. Dado que se trata de una variable aleatoria continua y que nos interesa la media, y que el tamaño de la muestra es superior a 30, la distribución adecuada es la normal y el valor crítico pertinente es 2,575 de la tabla normal o la tabla t con una columna de 0,005 e infinitos grados de libertad. Dibujamos el gráfico y marcamos estos puntos. PASO 3 : Calcule los parámetros de la muestra y el estadístico de prueba. Los parámetros de la muestra se proporcionan, la media muestral es 7,91 y la varianza de la muestra es 0,03 y el tamaño de la muestra es 35. Hay que tener en cuenta que se proporcionó la varianza de la muestra y no la desviación típica de la muestra, que es lo que necesitamos para la fórmula. Al recordar que la desviación típica es simplemente la raíz cuadrada de la varianza, sabemos, por ende, que la desviación típica de la muestra, s, es 0,173. Con esta información calculamos el estadístico de prueba como -3,07, y la marcamos en el gráfico. Z c = x – – μ 0 s n = 7,91 – 8 0,173 35 = -3,07 PASO 4 : Compare el estadístico de prueba y los valores críticos. Ahora comparamos el estadístico de prueba y el valor crítico al colocar el estadístico de prueba en el gráfico. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola, decididamente mayor que el valor crítico de 2,575. Observamos que incluso la pequeña diferencia entre el valor hipotético y el valor de la muestra sigue siendo un gran número de desviaciones típicas. La media muestral solo difiere en 0,08 onzas del nivel requerido de 8 onzas, pero está a 3 desviaciones típicas más; en consecuencia, no podemos aceptar la hipótesis nula. PASO 5 : Llegue a una conclusión Tres desviaciones típicas del estadístico de prueba harán que la prueba falle. La probabilidad de que algo esté dentro de tres desviaciones típicas es casi cero. En realidad, es 0,0026 en la distribución normal, lo que ciertamente es casi cero en un sentido práctico. Nuestra conclusión formal sería: "A un nivel de significación del 99 %, no podemos aceptar la hipótesis de que la media muestral procede de una distribución con una media de 8 onzas". De manera menos formal, y yendo al grano: "A un nivel de significación del 99 %, llegamos a la conclusión de que la máquina no llena bien las botellas y necesita reparación". Prueba de hipótesis para las proporciones Al igual que existían intervalos de confianza para las proporciones, o más formalmente, el parámetro poblacional p de la distribución binomial, existe la posibilidad de contrastar hipótesis relativas a p . El parámetro poblacional para la binomial es p . El valor estimado (estimación puntual) para p es p′ donde p′ = x/n , x es el número de aciertos en la muestra y n es el tamaño de la muestra. Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una proporción poblacional p , se toma una muestra aleatoria simple de la población. Deberán cumplirse las condiciones de la distribución binomial , a saber: que haya un cierto número n de ensayos independientes, lo que significa un muestreo aleatorio; que los resultados de cualquier ensayo sean binarios, éxito o fracaso, y que cada ensayo tenga la misma probabilidad de éxito p . La forma de la distribución binomial debe ser similar a la forma de la distribución normal. Para ello, las cantidades np′ y nq′ deben ser ambas mayores que cinco ( np′ > 5 y nq′ > 5). En este caso, la distribución binomial de una proporción muestral (estimada) se calcula aproximadamente por la distribución normal con μ = np y σ = npq . Recuerde que q = 1 – p . No hay ninguna distribución que corrija este pequeño sesgo de la muestra; por ende, si no se cumplen estas condiciones, simplemente no podemos probar la hipótesis con los datos disponibles en ese momento. Cumplimos esta condición cuando estimamos por primera vez los intervalos de confianza para p . Nuevamente, comenzamos con la fórmula normalizadora modificada porque se trata de la distribución de una binomial. Z = p' – p pq n Al sustituir p 0 , el valor hipotético de p , tenemos: Z c = p' – p 0 p 0 q 0 n Es el estadístico de prueba para comprobar los valores hipotéticos de p , cuando las hipótesis nula y alternativa adoptan una de las siguientes formas: Prueba de dos colas Prueba de una cola Prueba de una cola H 0 : p = p 0 H 0 : p ≤ p 0 H 0 : p ≥ p 0 H a : p ≠ p 0 H a : p > p 0 H a : p < p 0 La regla de decisión indicada anteriormente se aplica también en este caso: si el valor calculado de Z c muestra que la proporción de la muestra está a "demasiadas" desviaciones típicas de la proporción hipotética, no se puede aceptar la hipótesis nula. La decisión sobre lo que es "demasiado" está predeterminada por el analista en función del nivel de significación requerido en la prueba. El departamento de hipotecas de un gran banco se interesa por la naturaleza de los préstamos de prestatarios primerizos. Esta información se utilizará para adaptar su estrategia de mercadeo. Creen que el 50 % de los prestatarios primerizos piden préstamos más pequeños que los demás. Realizan una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 50 % . Toman una muestra de 100 prestatarios primerizos y concluyen que 53 de estos préstamos son menores que los demás. Para la prueba de la hipótesis, eligen un nivel de significación del 5 %. PASO 1 : Formule las hipótesis nula y alternativa. H 0 : p = 0,50 H a : p ≠ 0,50 Las palabras “es igual o diferente de” indican que se trata de una prueba de dos colas. Los errores tipo I y II son los siguientes: El error de tipo I consiste en concluir que la proporción de prestatarios es diferente del 50 % cuando, en realidad, la proporción es del 50 %. (Rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error de tipo II consiste en que no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de prestatarios primerizos difiere del 50 % cuando, de hecho, sí difiere del 50 %. (No se rechaza la hipótesis nula cuando esta es falsa). PASO 2 : Decida el nivel de significación y dibuje el gráfico que muestre el valor crítico. El nivel de significación se ha fijado por el problema en el 95 %. Por tratarse de una prueba de dos colas, la mitad del valor alfa estará en la cola superior y la otra mitad en la cola inferior, como se muestra en el gráfico. El valor crítico de la distribución normal con un nivel de confianza del 95 % es de 1,96. Esto se halla fácilmente en la tabla t de Student en la parte inferior a infinitos grados de libertad, recordando que en el infinito la distribución t es la distribución normal. Por supuesto, el valor también se halla en la tabla normal, pero hay que buscar la mitad de 95 (0,475) dentro de la tabla y luego leer hacia los lados y la parte superior el número de desviaciones típicas. PASO 3 : Calcule los parámetros de la muestra y el valor crítico del estadístico de prueba. El estadístico de prueba es una distribución normal, Z, para probar proporciones y es: Z = p' – p 0 p 0 q 0 n = .53 – 0,50 0,5 ( 0,5 ) 100 = 0,60 En este caso, en la muestra de 100 se determinó que 53 prestatarios primerizos eran diferentes de los demás. La proporción muestral, p′ = 53/100 = 0,53. En consecuencia, la pregunta de la prueba es: "¿Es 0,53 significativamente diferente de 0,50?" Si introducimos estos valores en la fórmula del estadístico de prueba, hallamos que 0,53 está a solo 0,60 desviaciones típicas de 0,50. Esto apenas se aleja de la media de la distribución estándar normal de cero. No hay prácticamente ninguna diferencia entre la proporción de la muestra y la proporción hipotética en términos de desviaciones típicas. PASO 4 : Compare el estadístico de prueba y el valor crítico. El valor calculado se encuentra dentro de los valores críticos de ± 1,96 desviaciones típicas, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Para rechazar la hipótesis nula, la diferencia significativa entre el valor hipotético y el valor de la muestra tiene que ser evidente. En este caso, el valor de la muestra es muy parecido al valor hipotético medido en términos de desviaciones típicas. PASO 5 : Llegue a una conclusión La conclusión formal sería: "A un nivel de significación del 95 %, no podemos rechazar la hipótesis nula de que el 50 % de los prestatarios primerizos tienen préstamos del mismo tamaño que los demás". De manera menos formal, diríamos que: "No hay pruebas de que la mitad de los prestatarios primerizos sean significativamente diferentes en cuanto al tamaño del préstamo de los demás". Fíjese en lo lejos que llega la conclusión para incluir todas las condiciones correspondientes. Los estadísticos, a pesar de todas las críticas que reciben, se preocupan por ser muy específicos, incluso cuando esto parece trivial. Los estadísticos no pueden decir más de lo que saben y los datos obligan a que la conclusión esté dentro de los límites de los datos. Ejercicio Un maestro cree que el 85 % de los estudiantes de la clase querrán ir de excursión al zoológico local. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 85 %. El maestro hace un muestreo de 50 estudiantes y 39 responden que querrían ir al zoológico. Para la prueba de hipótesis utilice un nivel de significación del 1 %. Ya que el problema es de porcentajes, se trata de una prueba de proporciones de una sola población. H 0 : p = 0,85 H a : p ≠ 0,85 p = 0,7554 Como p > α , no rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que indiquen que la proporción de estudiantes que quieren ir al zoológico no sea del 85 %. Supongamos que un grupo de consumidores estima que la proporción de hogares que tienen tres o más teléfonos móviles es del 30 %. Una compañía de telefonía móvil tiene razones para creer que la proporción no es del 30 %. Antes de iniciar una gran campaña publicitaria realizan una prueba de hipótesis. Su personal de mercadeo realiza una encuesta en 150 hogares, con el resultado de que 43 tienen tres o más teléfonos móviles. He aquí una versión abreviada del sistema de resolución de pruebas de hipótesis, aplicado a una prueba de proporciones. H 0 : p = 0,3 H a : p ≠ 0,3 n = 150 p' = x n = 43 150 = 0,287 Z c = p' – p 0 p 0 q 0 n = 0,287 – 0,3 0,3 ( 0,7 ) 150 = 0,347 El Instituto Nacional de Normas y Tecnología proporciona datos exactos sobre las propiedades de conductividad de los materiales. A continuación se muestran las mediciones de conductividad de 11 piezas seleccionadas al azar de un tipo de vidrio en particular. 1,11; 1,07; 1,11; 1,07; 1,12; 1,08; 0,98; 0,98; 1,02; 0,95; 0,95. ¿Hay pruebas convincentes de que la conductividad promedio de este tipo de vidrio sea superior a uno? Utilice un nivel de significación de 0,05. Sigamos un proceso de cuatro pasos para responder esta pregunta estadística. Plantee la pregunta : Tenemos que determinar si, a un nivel de significación de 0,05, la conductividad promedio del vidrio seleccionado es mayor que uno. Nuestras hipótesis serán H 0 : μ ≤ 1 H a : μ > 1 Plan : Estamos probando una media muestral sin una desviación típica poblacional conocida con menos de 30 observaciones. Por consiguiente, tenemos que utilizar una distribución de la t de Student. Supongamos que la población subyacente es normal. Haga los cálculos y dibuje el gráfico . Plantee las conclusiones : No podemos aceptar la hipótesis nula. Es razonable afirmar que los datos apoyan la afirmación de que el nivel promedio de conductividad es superior a uno. En un estudio de 420.019 usuarios de teléfonos móviles, 172 de los sujetos desarrollaron cáncer cerebral. Pruebe la afirmación de que los usuarios de teléfonos móviles desarrollaron cáncer cerebral a una tasa mayor que la de los no usuarios de teléfonos móviles (la tasa de cáncer cerebral para los no usuarios de teléfonos móviles es del 0,0340 %). Dado que se trata de un asunto crítico utilice un nivel de significación de 0,005. Explique por qué el nivel de significación debe ser tan bajo en términos de un error tipo I. Tenemos que realizar una prueba de hipótesis sobre la tasa de cáncer declarada. Nuestras hipótesis serán H 0 : p ≤ 0,00034 H a : p > 0,00034 Si cometemos un error tipo I, estamos aceptando esencialmente una afirmación falsa. Dado que la afirmación describe entornos cancerígenos, queremos minimizar las posibilidades de identificar incorrectamente las causas del cáncer. Probemos una proporción de muestra con x = 172 y n = 420.019. La muestra es suficientemente grande porque tenemos np' = 420.019(0,00034) = 142,8; nq' = 420.019(0,99966) = 419.876,2, dos resultados independientes y una probabilidad fija de éxito p' = 0,00034. Así podremos generalizar nuestros resultados a la población. Repaso del capítulo La prueba de hipótesis en sí tiene un proceso establecido. Esto se sintetiza de la siguiente manera Determine H 0 y H a . Recuerde que son contradictorios. Determine la variable aleatoria. Determine la distribución para la prueba. Dibuje un gráfico y calcule el estadístico de prueba. Compare el estadístico de prueba con el valor crítico Z, determinado por el nivel de significación que se requiere en la prueba, tome una decisión (no puede rechazar H 0 o no puede aceptar H 0 ) y escriba una conclusión clara. Revisión de la fórmula Estadística de una prueba de hipótesis de proporciones: Z c = p ' – p 0 p 0 p 0 n Supongamos que H 0 : μ = 9 y H a : μ < 9. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que H 0 : μ ≤ 6 y H a : μ > 6. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que H 0 : p = 0,25 y H a : p ≠ 0,25. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Dibuje el gráfico general de una prueba de cola izquierda. Dibuje el gráfico de una prueba de dos colas. La etiqueta de una botella de agua indica que contiene 16 onzas líquidas de agua. Usted cree que es menos que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Su amigo afirma que su puntuación media en el golf es de 63. Quiere demostrar que es más que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola derecha En una báscula de baño se señala que puede identificar correctamente cualquier peso dentro de una libra. Usted cree que no puede ser tan precisa. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Lanza una moneda y anota si sale cara o cruz. Sabe que la probabilidad de salir cara es del 50 %, pero cree que es menor para esta moneda en particular. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola izquierda ¿Sabe qué tipo de prueba debe utilizar si la hipótesis alternativa tiene un símbolo de diferente (≠)? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es, al menos, 18. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es como máximo 12. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es igual a 88. La hipótesis alternativa afirma que la media es diferente a 88. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Tarea para la casa Una marca particular de neumáticos afirma que su neumático de lujo recorre un promedio de 50.000 millas antes de necesitar reemplazo. Por estudios anteriores de este neumático, se sabe que la desviación típica es de 8.000. Se realiza una encuesta entre los propietarios de ese diseño de neumático. De los 28 neumáticos revisados la vida media fue de 46.500 millas con una desviación típica de 9.800 millas. Utilizando alfa = 0,05, ¿los datos son altamente incoherentes con la afirmación? H 0 : μ ≥ 50.000 H a : μ < 50.000 Supongamos que X ¯ = la vida promedio de unos neumáticos de marca. distribución normal z = –2,315 valor p = 0,0103 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: hay pruebas suficientes para concluir que la vida media de los neumáticos sea inferior a 50.000 millas. (43.537, 49.463) De una generación a otra, la edad media en que los fumadores empiezan a fumar varía. Sin embargo, la desviación típica de esa edad se mantiene constante en torno a los 2,1 años. Se hizo una encuesta a 40 fumadores de esta generación para comprobar si la edad media de inicio es de, al menos, 19 años. La media muestral fue de 18,1 con una desviación típica de la muestra de 1,3. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 5 %? El costo de un diario varía de una ciudad a otra. Sin embargo, la variación entre los precios se mantiene estable con una desviación típica de 20 centavos. Se realizó un estudio para comprobar la afirmación de que el costo medio de un diario es de 1,00 dólar. Doce costos dan un costo medio de 95 centavos con una desviación típica de 18 centavos. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 1 %? H 0 : μ = $1,00 H a : μ ≠ $1,00 Supongamos que X ¯ = el costo promedio de un diario. distribución normal z = –0,866 valor p = 0,3865 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,01 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,01. Conclusión: hay pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que el costo medio de los diarios es de 1 dólar. El costo medio podría ser de 1 dólar. ($0,84, $1,06) Un artículo de The Mercury News de San José afirmaba que los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan un promedio de 4,5 años en graduarse. Supongamos que cree que el tiempo medio es mayor. Usted realiza una encuesta a 49 estudiantes y obtiene una media muestral de 5,1 con una desviación típica de la muestra de 1,2. ¿Los datos apoyan su afirmación al nivel del 1 %? Se cree que el número medio de días por permiso de enfermedad que toma un empleado al año es de unos diez. Los miembros de un departamento de personal no creen en esta cifra. Encuestan al azar a ocho empleados. El número de días por permiso de enfermedad que tomaron el año pasado es el siguiente: 12; 4; 15; 3; 11; 8; 6; 8. Supongamos que x = el número de días por permiso de enfermedad que tomaron durante el año pasado. ¿El equipo de personal debería creer que la media es diez? H 0 : μ = 10 H a : μ ≠ 10 Supongamos que X ¯ la media de días por permiso de enfermedad que un empleado toma al año. Distribución t de Student t = –1,12 valor p = 0,300 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: a un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de días por permiso de enfermedad no es diez. (4,9443, 11,806) En 1955, la revista Life informó que la joven de 25 años, madre de tres hijos, trabajaba un promedio de 80 horas semanales. Recientemente, muchos grupos han estudiado si el movimiento feminista ha provocado o no un aumento de la semana laboral promedio de las mujeres (combinación de empleo y trabajo en casa). Supongamos que se realiza un estudio para determinar si la semana laboral media ha aumentado. Se encuestaron 81 mujeres con los siguientes resultados. La media muestral fue de 83; la desviación típica de la muestra fue de diez. ¿Parece que la semana laboral media ha aumentado para las mujeres al nivel del 5 %? Su instructora de estadística afirma que el 60 % de los estudiantes que asisten a su clase de Estadística Elemental pasan por la vida sintiéndose más enriquecidos. Por algún motivo que ella no puede entender la mayoría de las personas no le cree. Usted decide comprobarlo por su cuenta. Hace una encuesta al azar a 64 de sus antiguos estudiantes de Estadística Elemental y descubre que 34 se sienten más enriquecidos como consecuencia de su clase. Ahora, ¿qué cree? H 0 : p ≥ 0,6 H a : p < 0,6 Supongamos que P′ = la proporción de estudiantes que se sienten más enriquecidos como consecuencia de cursar Estadística Elemental. normal para una sola proporción 1,12 valor p = 0,1308 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 60 % de sus estudiantes se sienten más enriquecidos. Intervalo de confianza: (0,409, 0,654) El intervalo de confianza “más 4” es (0,411, 0,648) Un anuncio de Nissan Motor Corporation decía: “El coeficiente intelectual del hombre promedio es 107. El coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es 4. Entonces, ¿por qué el hombre no puede pescar truchas marrones?”. Supongamos que cree que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es superior a cuatro. Ha capturado 12 truchas marrones. Un psicólogo especializado en peces determina el coeficiente intelectual de la siguiente manera: 5; 4; 7; 3; 6; 4; 5; 3; 6; 3; 8; 5. Realice una prueba de hipótesis de su creencia. Consulte el ejercicio 9.119 . Realice una prueba de hipótesis para ver si su decisión y conclusión cambiarían si su creencia fuera que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no es cuatro. H 0 : μ = 4 H a : μ ≠ 4 Supongamos que X ¯ el coeficiente intelectual en promedio de un conjunto de truchas marrones. distribución t de Student de dos colas t = 1,95 valor p = 0,076 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no sea de cuatro. (3.8865,5.9468) Según un artículo de Newsweek , el cociente natural de niñas y niños es de 100:105. En China, el cociente de natalidad es 100: 114 (46,7 % niñas). Supongamos que no cree en las cifras que se dan a conocer sobre el porcentaje de niñas nacidas en China. Realiza un estudio. En este estudio, cuenta el número de niñas y niños nacidos en 150 nacimientos recientes elegidos al azar. De los 150 han nacido 60 niñas y 90 niños. Basándose en su estudio, ¿cree que el porcentaje de niñas nacidas en China es del 46,7? Un sondeo realizado para Newsweek reveló que el 13 % de los estadounidenses ha visto o percibido la presencia de un ángel. Un contingente tiene dudas sobre que el porcentaje sea realmente tan alto. Realiza su propia encuesta. De los 76 estadounidenses encuestados, solo dos habían visto o sentido la presencia de un ángel. Como resultado de la encuesta del contingente, ¿está usted de acuerdo con el sondeo de Newsweek ? En oraciones completas, indique también tres justificaciones por las que los dos sondeos podrían dar resultados diferentes. H 0 : p ≥ 0,13 H a : p < 0,13 Supongamos que P′ = la proporción de estadounidenses que han visto o percibido ángeles. normal para una sola proporción -2,688 valor p = 0,0036 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estadounidenses que han visto o sentido un ángel es inferior al 13 %. (0, 0,0623). El intervalo de confianza “más 4” es (0,0022, 0,0978) Se cree que la semana laboral media de los ingenieros de una compañía emergente es de unas 60 horas. Un ingeniero recién contratado espera que sea más corto. Pregunta a diez amigos ingenieros de compañías emergentes por la duración de sus semanas de trabajo medias. Con base en los resultados siguientes, ¿debe contar con que la semana laboral media sea inferior a 60 horas? Datos (duración de la semana laboral media): 70; 45; 55; 60; 65; 55; 55; 60; 50; 55. El sesenta y ocho por ciento de los cursos en línea de colegios comunitarios de todo el país fueron impartidos por profesores a tiempo completo. Para comprobar si el 68 % también representa el porcentaje de California de profesores a tiempo completo que imparten clases en línea se seleccionó al azar el Long Beach City College (LBCC) de California para realizar una comparación. Ese mismo año, 34 de los 44 cursos en línea que ofrecía el LBCC los impartieron profesores a tiempo completo. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el 68 % es representativo de California. NOTA: Para obtener resultados más precisos, utilice más colegios comunitarios de California y los datos del año pasado. Según un artículo de Bloomberg Businessweek , la tasa de fumadores adultos más reciente de la ciudad de Nueva York es del 14 %. Supongamos que se hace una encuesta para determinar la tasa de este año. Nueve de los 70 residentes de la ciudad de Nueva York elegidos al azar responden que fuman. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la tasa sigue siendo del 14 % o si ha disminuido. H 0 : p = 0,14 H a : p < 0,14 Supongamos que P′ = la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman. normal para una sola proporción -0,2756 valor p = 0,3914 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman es inferior al 0,14. Intervalo de confianza: (0,0502, 0,2070): El intervalo de confianza “más 4” (consulte el capítulo 8) es (0,0676, 0,2297). La edad media de los estudiantes del De Anza College en un trimestre anterior era de 26,6 años. Un instructor cree que la edad media de los estudiantes en línea es mayor de 26,6 años. Encuesta al azar a 56 estudiantes en línea y halla que la media muestral es de 29,4 con una desviación típica de 2,1. Realice una prueba de hipótesis. Los enfermeros registrados ganan un salario promedio anual de 69.110 dólares. Para ese mismo año, se realizó una encuesta a 41 enfermeros registrados de California para determinar si el salario anual es superior a 69.110 dólares para los enfermeros de California. El promedio muestral fue de 71.121 dólares, con una desviación típica de la muestra de 7.489 dólares. Realice una prueba de hipótesis. H 0 : μ = 69.110 H a : μ > 69.110 Supongamos que X ¯ = el salario medio en dólares de los enfermeros registrados de California. Distribución t de Student t = 1,719 valor p : 0,0466 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el salario medio de los enfermeros registrados de California supera los 69.110 dólares. ($68.757, $73.485) La Leche League International informa que la edad media de destete de un niño de la lactancia materna es de cuatro a cinco años en todo el mundo. En Estados Unidos, la mayoría de las madres lactantes destetan a sus hijos mucho antes. Supongamos que se realiza una encuesta aleatoria a 21 madres de EE. UU. que han destetado recientemente a sus hijos. La edad media de destete fue de nueve meses (3/4 de año) con una desviación típica de 4 meses. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la edad media de destete en EE. UU. es inferior a los cuatro años. En las décadas recientes los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el hábito de fumar de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 niñas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las niñas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? Después de realizar la prueba, su decisión y conclusión son: Rechazar H 0 : hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. Rechazar H 0 : Hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. c Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche de la última película de Harry Potter. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y halla que 11 de ellos asistieron a la proyección de medianoche. A un nivel de significación del 1 %, la conclusión adecuada es: No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de Evergreen Valley College (EVC) que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es superior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es de, al menos, el 20 %. Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. A un nivel de significación de a = 0,05, ¿cuál es la conclusión correcta? Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,75 Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,75 c Instrucciones: En los diez ejercicios siguientes, Comprobación de hipótesis: Responda cada una de las preguntas de los diez ejercicios siguientes. Indique la hipótesis nula y la alternativa. Indique el valor p . Indique alfa. ¿Cuál es su decisión? Escriba una conclusión. Responde cualquier otra pregunta que se le plantee en el problema. Según el sitio web del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades, en 2011, al menos, el 18 % de los estudiantes de secundaria han fumado un cigarrillo. Una clase de Introducción a la estadística en el condado de Davies, Kentucky llevó a cabo una prueba de hipótesis en la escuela secundaria local (una ciudad de tamaño demográfico medio, de aproximadamente 1.200 estudiantes) para determinar si el porcentaje de la escuela secundaria local era menor. Se eligieron al azar ciento cincuenta estudiantes y se les encuestó. De los 150 estudiantes encuestados, 82 han fumado. Utilice un nivel de significación de 0,05 y, mediante las pruebas estadísticas adecuadas, realice una prueba de hipótesis y exponga las conclusiones. Una encuesta reciente del New York Times Almanac indica que el 48,8 % de las familias poseen acciones. Un corredor de acciones quería determinar si esta encuesta podía ser válida. Consultó a una muestra aleatoria de 250 familias y descubrió que 142 poseían algún tipo de acciones. A un nivel de significación del 0,05, ¿puede considerarse que la encuesta es precisa? H 0 : p = 0,488 H a : p ≠ 0,488 valor p = 0,0114 alfa = 0,05 rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que el 48,8 % de las familias poseen acciones. La encuesta no parece ser precisa. El error del conductor puede figurar como la causa de aproximadamente el 54 % de todos los accidentes automovilísticos mortales, según la Asociación Americana del Automóvil (AAA). Se examinan treinta accidentes mortales seleccionados al azar y se determina que 14 fueron causados por un error del conductor. Utilizando α = 0,05, ¿la proporción de la AAA es exacta? El Departamento de Energía de Estados Unidos informó que el 51,7 % de los hogares se calentaban con gas natural. En una muestra aleatoria de 221 hogares de Kentucky se comprobó que 115 se calentaban con gas natural. ¿La evidencia apoya la afirmación de Kentucky en el nivel α = 0,05 en Kentucky? ¿Los resultados son aplicables en todo el país? ¿Por qué? H 0 : p = 0,517 H a : p ≠ 0,517 valor p = 0,9203. alfa = 0,05. no rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hogares de Kentucky que se calientan con gas natural es de 0,517. Sin embargo, no podemos generalizar este resultado para toda la nación. Primero, la población de la muestra es solo el estado de Kentucky. Segundo, es razonable suponer que los hogares de los extremos norte y sur tendrán un uso extremadamente alto y bajo, respectivamente. Tendríamos que ampliar nuestra base muestral para incluir estas posibilidades si quisiéramos generalizar esta afirmación para toda la nación. En cuanto a los estadounidenses que utilizan servicios de las bibliotecas, la Asociación Americana de Bibliotecas afirma que, como máximo, el 67 % de los usuarios piden libros en préstamo. La directora de la biblioteca de Owensboro, Kentucky cree que esto no es cierto, así que pidió a una clase de Estadística de un instituto universitario local que realizara una encuesta. La clase seleccionó al azar 100 usuarios y descubrió que 82 pidieron libros prestados. ¿La clase demostró que el porcentaje era mayor en Owensboro, Kentucky? Utilice el nivel de significación α = 0,01. ¿Cuál es la posible proporción de usuarios que piden prestados libros de la Biblioteca de Owensboro? Weather Underground informó de que la cantidad media de lluvias en verano para el noreste de EE. UU. es de, al menos, 11,52 pulgadas. Se seleccionan aleatoriamente diez ciudades del noreste y se calcula que la cantidad media de lluvia es de 7,42 pulgadas con una desviación típica de 1,3 pulgadas. Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que el promedio de las lluvias fue inferior al promedio comunicado? ¿Y si α = 0,01? Supongamos que la cantidad de lluvia de verano sigue una distribución normal. H 0 : µ ≥ 11,52 H a : µ < 11,52 valor p = 0,000002 que es casi 0. alfa = 0,05. rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que la cantidad promedio de lluvia en verano en el noreste de EE. UU. es inferior a 11,52 pulgadas, en promedio. Llegaríamos a la misma conclusión si alfa fuera del 1 % porque el valor p es casi 0. Una encuesta publicada en el New York Times Almanac revela que el tiempo medio de desplazamiento (en un sentido) es de 25,4 minutos en las 15 principales ciudades de EE. UU. La cámara de comercio de Austin, TX considera que el tiempo de desplazamiento de Austin es menor y quiere dar a conocer este hecho. La media de 25 viajeros seleccionados al azar es de 22,1 minutos, con una desviación típica de 5,3 minutos. Al nivel α = 0,10, ¿el viaje al trabajo de Austin, TX es significativamente menor que la media del tiempo de viaje de las 15 ciudades más grandes de EE. UU.? Un informe de Gallup Poll reveló que una mujer visita a su médico, en promedio, como máximo 5,8 veces al año. Una muestra aleatoria de 20 mujeres da como resultado estos totales de visitas anuales 3 2 1 3 7 2 9 4 6 6 8 0 5 6 4 2 1 3 4 1 Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que la media muestral es superior a 5,8 visitas al año? H 0 : µ ≤ 5,8 H a : µ > 5,8 valor p = 0,9987 alfa = 0,05 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que una mujer visita a su médico, en promedio, más de 5,8 veces al año. Según el New York Times Almanac , el tamaño medio de las familias en EE. UU. es de 3,18. Una muestra de una clase de Matemáticas de un instituto universitario dio como resultado los siguientes tamaños de familia: 5 4 5 4 4 3 6 4 3 3 5 5 6 3 3 2 7 4 5 2 2 2 3 2 Al nivel α = 0,05, ¿el tamaño medio de las familias de la clase es mayor que el promedio nacional? ¿Sigue siendo válido el resultado del New York Times Almanac? ¿Por qué? El grupo académico de estudiantes de un campus de un instituto universitario afirma que los estudiantes de primer año estudian, al menos, 2,5 horas al día en promedio. Una clase de Introducción a la estadística era escéptica. La clase tomó una muestra aleatoria de 30 estudiantes de primer año y halló una media de tiempo de estudio de 137 minutos con una desviación típica de 45 minutos. Al nivel α = 0,01, ¿la afirmación del grupo académico de estudiantes es correcta? H 0 : µ ≥ 150 H a : µ < 150 valor p = 0,0622 alfa = 0,01 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 1 % no hay pruebas suficientes para concluir que los estudiantes de primer año estudian menos de 2,5 horas al día en promedio. La afirmación del grupo académico de estudiantes parece ser correcta. Referencias Datos de Amit Schitai. Director de tecnología educativa y aprendizaje a distancia. LBCC. Datos de Bloomberg Businessweek . Disponible en línea en http://www.businessweek.com/news/2011- 09-15/nyc-smoking-rate-falls-to-record-low-of-14-bloomberg-says.html. Datos de energy.gov. Disponible en línea en http://energy.gov (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Gallup®. Disponible en línea en www.gallup.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Growing by Degrees de Allen y Seaman. Datos de La Leche League International. Disponible en línea en http://www.lalecheleague.org/Law/BAFeb01.html. Datos de la Asociación Americana del Automóvil. Disponible en línea en www.aaa.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Asociación Americana de Bibliotecas. Disponible en línea en www.ala.org (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina de Estadísticas Laborales. Disponible en línea en http://www.bls.gov/oes/current/oes291111.htm. Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov (consultado el 27 de junio de 2013) Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., disponibles en línea en http://quickfacts.census.gov/qfd/states/00000.html (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/. Datos de Toastmasters International. Disponible en línea en http://toastmasters.org/artisan/detail.asp?CategoryID=1&SubCategoryID=10&ArticleID=429&Page=1. Datos de Weather Underground. Disponible en línea en www.wunderground.com (consultado el 27 de junio de 2013). Oficina Federal de Investigaciones. “Uniform Crime Reports and Index of Crime in Daviess in the State of Kentucky enforced by Daviess County from 1985 to 2005”. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/kentucky/crime/3868.htm (consultado el 27 de junio de 2013). “Foothill-De Anza Community College District”. De Anza College, invierno de 2006. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/DAdemofs/Fact_sheet_da_2006w.pdf. Johansen, C., J. Boice, Jr., J. McLaughlin, J. Olsen. “Cellular Telephones and Cancer—a Nationwide Cohort Study in Denmark”. Institute of Cancer Epidemiology and the Danish Cancer Society, 93(3):203-7. Disponible en línea en http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11158188 (consultado el 27 de junio de 2013). Rape, Abuse & Incest National Network. “How often does sexual assault occur?”. RAINN, 2009. Disponible en línea en http://www.rainn.org/get-information/statistics/frequency-of-sexual-assault (consultado el 27 de junio de 2013). Teorema del límite central Dada una variable aleatoria (RV) con media conocida μ y la desviación típica conocida σ. Estamos muestreando con un tamaño n y nos interesan dos nuevas RV: la media muestral, X ¯ . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, entonces X ¯ ~ N ( μ , σ n ) . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. El valor esperado de la media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media.

Empresarial


Introducción Si quiere probar una afirmación que involucra dos grupos (los tipos de desayunos que se consumen al este y al oeste del río Misisipi) puede utilizar una técnica ligeramente diferente al realizar una prueba de hipótesis (créditos: Chloe Lim). Los estudios suelen comparar dos grupos. Por ejemplo, los investigadores están interesados en el efecto que tiene la aspirina en la prevención de ataques al corazón. Durante los años recientes, los periódicos y las revistas han informado de varios estudios sobre la aspirina en los que participan dos grupos. Normalmente, un grupo recibe aspirina y el otro un placebo. Luego, se estudia la tasa de infarto durante varios años. Hay otras situaciones que tratan de la comparación de dos grupos. Por ejemplo, los estudios comparan varios programas de dieta y ejercicio. Los políticos comparan la proporción de personas de diferentes niveles de ingresos que podrían votar por ellos. Los estudiantes se interesan por saber si los cursos de preparación para la SAT o el Examen de Registro de Graduados (Graduate Record Exam, GRE) ayudan realmente a mejorar sus calificaciones. Muchas aplicaciones empresariales requieren la comparación de dos grupos. Puede tratarse de la rentabilidad de dos estrategias distintas de inversión o de las diferencias en la eficiencia de la producción de distintos estilos de gestión. Para comparar dos medias o dos proporciones, se trabaja con dos grupos. Los grupos se clasifican como independientes o pares coincidentes . Los grupos independientes consisten en dos muestras que son independientes, es decir, los valores de la muestra seleccionados de una población no están relacionados de ninguna manera con los valores de la muestra seleccionados de la otra población. Los pares coincidentes consisten en dos muestras que son dependientes. El parámetro que se comprueba utilizando pares coincidentes es la media de la población. Los parámetros que se prueban con grupos independientes son las medias de la población o las proporciones de la población de cada grupo. Grupos independientes dos muestras que se seleccionan de dos poblaciones, donde los valores de una población no están relacionados de ninguna manera con los de la otra población. Pares emparejados dos muestras que son dependientes. Las diferencias entre un escenario antes y después se comprueban con una media poblacional de diferencias.

Introducción a la estadística empresarial

Empresarial


Comparación de las medias de dos poblaciones independientes La comparación de dos medias poblacionales independientes es muy común y proporciona una forma de probar la hipótesis de que los dos grupos difieren entre sí. ¿Es el turno de noche menos productivo que el de día, las tasas de rendimiento de las inversiones en activos fijos son diferentes a las de las inversiones en acciones ordinarias, etc.? Una diferencia observada entre dos medias muestrales depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas de la muestra. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. El estadístico de prueba tendrá que tener en cuenta este hecho. La prueba que compara dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas y posiblemente desiguales se denomina prueba t de Aspin-Welch. Aspin-Welch ideó la fórmula de los grados de libertad que veremos más adelante. Cuando desarrollamos la prueba de hipótesis para la media y las proporciones, comenzamos con el teorema del límite central. Reconocemos que la media muestral procede de una distribución de medias muestrales, y las proporciones muestrales proceden de la distribución muestral de las proporciones muestrales. Esto convirtió nuestros parámetros, las medias y las proporciones muestrales, en variables aleatorias. Era importante para nosotros conocer la distribución de la que procedían estas variables aleatorias. El teorema del límite central nos dio la respuesta: la distribución normal. Nuestras estadísticas Z y t provienen de este teorema. Esto nos proporcionó la solución a nuestra pregunta de cómo medir la probabilidad de que la media muestral provenga de una distribución con un valor hipotético particular de la media o proporción. En ambos casos esa era la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la media (o proporción) de nuestros datos muestrales proceda de una distribución poblacional con el valor hipotético que nos interesa? Ahora nos interesa saber si dos muestras tienen o no la misma media. Nuestra pregunta no ha cambiado: ¿Proceden estas dos muestras de la misma distribución poblacional? Para abordar este problema creamos una nueva variable aleatoria. Reconocemos que tenemos dos medias muestrales: una de cada conjunto de datos. Así, tenemos dos variables aleatorias, procedentes de dos distribuciones desconocidas. Para resolver el problema creamos una nueva variable aleatoria: la diferencia entre las medias muestrales. Dicha variable también tiene una distribución. Nuevamente, el teorema del límite central nos indica que esta nueva distribución se distribuye normalmente, sin importar las distribuciones subyacentes de los datos originales. Un gráfico despejaría este concepto. En la imagen aparecen dos distribuciones de datos, X 1 y X 2 , con medias y desviaciones típicas desconocidas. El segundo panel muestra la distribución muestral de la variable aleatoria recién creada ( X – 1 – X – 2 ). Esta es la distribución teórica de muchas medias muestrales de la población 1 menos las medias muestrales de la población 2. El teorema del límite central señala que esta distribución muestral teórica de las diferencias de las medias muestrales se distribuye normalmente, sin importar la distribución de los datos reales de la población que se muestran en el panel superior. Dado que la distribución del muestreo se distribuye normalmente, podemos desarrollar una fórmula de estandarización y calcular las probabilidades a partir de la distribución normal estándar del panel inferior, la distribución Z. Ya hemos visto este mismo análisis en la Figura 7.2 del Capítulo 7. El teorema del límite central, como antes, nos proporciona la desviación típica de la distribución muestral y, además, que el valor previsto de la media de la distribución de las diferencias de las medias muestrales es igual a las diferencias de las medias poblacionales. Matemáticamente, esto se formula de la siguiente manera: E ( µ x – 1 – µ x – 2 ) = µ 1 – µ 2 Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar , de la diferencia de las medias muestrales , X ¯ 1 – X ¯ 2 . El error estándar es: ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Recordemos que la sustitución de la varianza de la muestra por la varianza de la población cuando no teníamos la varianza de la población fue la técnica que utilizamos al construir el intervalo de confianza y el estadístico de prueba para comprobar la hipótesis con respecto a una sola media en Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis con una muestra . El estadístico de prueba (puntuación t ) se calcula como sigue: t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 donde: s 1 y s 2 , las desviaciones típicas de la muestra, son estimaciones de σ 1 y σ 2 , respectivamente, y σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas desconocidas de la población. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales desconocidas. El número de grados de libertad ( df ) requiere un cálculo algo complicado. Los df no son siempre un número entero. El anterior estadístico de prueba se calcula aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera: El error estándar es: d f = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 - 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 Cuando los tamaños de las muestras n 1 y n 2 son de 30 o más, la aproximación de la t de Student es muy buena. Si cada muestra tiene más de 30 observaciones, los grados de libertad pueden calcularse como n1 + n2 - 2. El formato de la distribución muestral, las diferencias de medias muestrales, especifica que el formato de las hipótesis nula y alternativa es: H 0 : µ 1 – µ 2 = δ 0 H a : µ 1 – µ 2 ≠ δ 0 donde δ 0 es la diferencia hipotética entre las dos medias. Si la pregunta es simplemente: "¿Hay alguna diferencia entre las medias?", entonces δ 0 = 0 y las hipótesis nula y alternativa pasan a ser: H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 Un ejemplo de cuándo δ 0 puede no ser cero es cuando la comparación de los dos grupos requiere una diferencia específica para que la decisión sea significativa. Imagine que está haciendo una inversión de capital. Piensa en cambiar su modelo de máquina actual por otro. La productividad de sus máquinas se mide por la velocidad a la que producen el producto. Puede ser que un contendiente para sustituir al modelo antiguo sea más rápido en términos de rendimiento del producto, pero también es más caro. La segunda máquina también puede tener más costes de mantenimiento, de instalación, etc. La hipótesis nula se establecería de forma que la nueva máquina tendría que ser mejor que la antigua en la medida suficiente para cubrir estos costes adicionales en términos de velocidad y coste de producción. Esta forma de las hipótesis nula y alternativa muestra lo valiosa que puede ser esta comprobación de la hipótesis en particular. Para la mayor parte de nuestro trabajo, comprobaremos hipótesis simples al indagar si hay alguna diferencia entre las dos medias de distribución. Grupos independientes La empresa Kona Iki Corporation produce leche de coco. Toman los cocos, perforan un agujero, extraen la leche y la vierten en una cuba para su procesamiento. Disponen de un turno de día (el turno B) y otro de noche (el turno G) para realizar esta parte del proceso. Les gustaría saber si ambos turnos son igual de eficaces en el procesamiento de los cocos. Se realiza un estudio de muestreo de 9 turnos G y 16 turnos B. Los resultados del número de horas necesarias para procesar 100 libras de cocos se presentan en la . Se hace un estudio y se recopilan datos, lo que da como resultado los datos en la . Tamaño de la muestra Promedio de horas para procesar 100 libras de cocos Desviación típica de la muestra Turno G 9 2 0,866 Turno B 16 3,2 1,00 ¿Existe alguna diferencia en el tiempo medio de cada turno para procesar 100 libras de cocos? Prueba al nivel de significación del 5 %. Las desviaciones típicas de la población no se conocen y no se supone que sean iguales. Supongamos que g es el subíndice del turno G y b es el subíndice del turno B. Entonces, μ g es la media poblacional para el turno G y μ b es la media poblacional para el turno B. Se trata de una prueba de dos grupos independientes y dos medias poblacionales. Variable aleatoria : X ¯ g – X ¯ b = diferencia en la media de tiempo de la muestra entre el Turno G y el Turno B para procesar los cocos. H 0 : μ g = μ b H 0 : μ g – μ b = 0 H a : μ g ≠ μ b H a : μ g – μ b ≠ 0 Las palabras “igual que” le dicen que H 0 tiene un “=”. Ya que no hay otras palabras para indicar H a , es más rápido o más lento. Se trata de una prueba de dos colas. Distribución para la prueba: Utilice t df donde df se calcula con la fórmula df para grupos independientes, dos medias poblacionales arriba. Con el empleo de la calculadora, los df son aproximadamente 18,8462. Gráfico: t c = ( X – 1 – X – 2 ) – δ 0 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 = -3,01 A continuación, hallamos el valor crítico en la tabla t con los grados de libertad anteriores. El valor crítico, 2,093, se encuentra en la columna 0,025, es decir, α/2, con 19 grados de libertad. (La convención es redondear los grados de libertad para que la conclusión sea más conservadora). A continuación, calculamos el estadístico de prueba y lo marcamos en el gráfico de la distribución t. Tome una decisión: Ya que el valor t calculado está en la cola, no podemos aceptar la hipótesis nula de que no hay diferencia entre los dos grupos. Las medias son diferentes. En el gráfico se incluye la distribución muestral de las diferencias de las medias muestrales para indicar cómo se alinea la distribución t con los datos de la distribución muestral. Vemos en el panel superior que la diferencia calculada en las dos medias es de –1,2 y el panel inferior muestra que es de 3,01 desviaciones típicas a partir de la media. Normalmente no necesitamos mostrar el gráfico de la distribución muestral y nos basamos en el gráfico del estadístico de prueba, la distribución t en este caso, para llegar a nuestra conclusión. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, los datos de la muestra apuntan a que hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas que el turno G tarda en procesar 100 libras de cocos es diferente de la del turno B (la media de horas del turno B es mayor que la del turno G). NOTA Cuando la suma de los tamaños de las muestras es mayor que 30 ( n 1 + n 2 > 30), se puede utilizar la distribución normal para calcular aproximadamente la t de Student. Se realiza un estudio para determinar si la compañía A conserva a sus trabajadores durante más tiempo que la compañía B. Se cree que la compañía A tiene mayor retención que la compañía B. El estudio determina que el tiempo promedio en una muestra de 11 trabajadores de la compañía A es de cuatro años, con una desviación típica de 1,5 años. Una muestra de 9 trabajadores de la compañía B revela que el promedio del tiempo de permanencia fue de 3,5 años, con una desviación típica de 1 año. Pruebe esta proposición al nivel de significación del 1 %. a. ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? a. Dos medias porque el tiempo es una variable aleatoria continua. b. ¿Las desviaciones típicas de las poblaciones son conocidas o desconocidas? b. desconocidas c. ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? c. t de Student. d. ¿Cuál es la variable aleatoria? d. X ¯ A – X ¯ B e. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? e H o : μ A ≤ μ B H a : μ A > μ B f. ¿Esta prueba es de cola derecha, izquierda o doble? f. Prueba de cola derecha. g. ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? t c = ( X – 1 – X – 2 ) – δ 0 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 = 0,89 h. ¿Puede aceptar o rechazar la hipótesis nula? h. No se puede rechazar la hipótesis nula de que no hay diferencia entre los dos grupos. El estadístico de prueba no está en la cola. El valor crítico de la distribución t es de 2,764 con 10 grados de libertad. Este ejemplo pone de manifiesto lo difícil que es rechazar una hipótesis nula con una muestra muy pequeña. Los valores críticos requieren estadísticas de la prueba muy grandes para alcanzar la cola. i. Conclusión: i. Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la retención de los trabajadores en la compañía A sea más grande que la de la compañía B, en promedio. Una pregunta interesante de la investigación es el efecto, si es que lo hay, que tienen los diferentes tipos de formatos de enseñanza en las calificaciones de los estudiantes. Para investigar esta cuestión se tomó una muestra de las notas en una clase híbrida y otra muestra de una clase magistral regular. Ambas clases eran para la misma asignatura. La calificación media porcentual para los 35 estudiantes híbridos es de 74, con una desviación típica de 16. La media de las notas de los 40 estudiantes de la clase magistral regular fue del 76 %, con desviación típica de 9. Pruebe al 5 % para ver si hay alguna diferencia significativa en las media de notas entre la clase magistral regular y la clase híbrida. Comenzamos por destacar que tenemos dos grupos: estudiantes de una clase híbrida y estudiantes de una clase magistral regular. También observamos que la variable aleatoria, lo que nos interesa, son las notas de los estudiantes, esto es, una variable aleatoria continua. Podríamos haber formulado la pregunta de investigación de otra manera y tener una variable aleatoria binaria. Por ejemplo, podríamos haber estudiado el porcentaje de estudiantes reprobados o con una calificación de A. Ambos serían binarios y, por lo tanto, sería una prueba de proporciones y no una de medias, como es el caso. Por último, no hay ninguna presunción sobre qué formato podría conducir a notas más altas, por lo que la hipótesis se plantea como una prueba de dos colas. H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 Como ocurre casi siempre, desconocemos las varianzas poblacionales de las dos distribuciones; por ende, nuestro estadístico de prueba es: t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 s 2 n 1 + s 2 n 2 = ( 74 – 76 ) – 0 16 2 35 + 9 2 40 = –0,65 Para determinar el valor crítico de la t de Student necesitamos los grados de libertad. En este caso utilizamos: df = n1 + n2 – 2 = 35 + 40 –2 = 73. Esto es lo suficientemente grande como para considerarla la distribución normal, por lo que t a/2 = 1,96. De nuevo, como siempre, determinamos si el valor calculado está en la cola definida por el valor crítico. En este caso, ni siquiera es necesario buscar el valor crítico: el cálculo de la diferencia entre los dos promedios de notas no tiene ni siquiera una desviación típica. Ciertamente no en la cola. Conclusión: No se puede rechazar la nulidad a α=5 %. Por consiguiente, no existen pruebas que demuestren que las notas de la clase híbrida y las de la clase magistral regular sean diferentes. Referencias Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com Datos de Microsoft Bookshelf . Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013). “Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013). “Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013). “Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013). “Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población. Variable aleatoria: X – 1 – X – 2 = la diferencia de las medias muestrales Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar). Repaso de la fórmula Error estándar: SE = ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Estadístico de prueba (puntuación t ): t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Grados de libertad: d f = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 – 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 donde: s 1 y s 2 son las desviaciones típicas de la muestra, y n 1 y n 2 son los tamaños de las muestras. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para: medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas muestras coincidentes o emparejadas media simple dos proporciones proporción única Se cree que el 70 % de los hombres aprueban el examen de conducir en el primer intento, comparado con el 65 % de las mujeres. Nos interesa saber si las proporciones son realmente iguales. dos proporciones Se prueba un nuevo detergente para la ropa en consumidores. Nos interesa la proporción de consumidores que prefieren la nueva marca sobre el competidor principal. Se realiza un experimento para comprobarlo. Un nuevo tratamiento para parabrisas pretende repeler el agua con mayor eficacia. Se prueban diez parabrisas simulando lluvia sin el nuevo tratamiento. A continuación, se tratan los mismos parabrisas y se repite el experimento. Se realiza una prueba de hipótesis. muestras coincidentes o emparejadas La desviación típica conocida del salario de todos los profesionales de nivel intermedio en el sector financiero es de 11.000 dólares. La compañía A y la compañía B pertenecen al sector financiero. Supongamos que se toman muestras de profesionales de nivel intermedio en las compañías A y B. El salario en la media muestral de los profesionales de nivel intermedio en la compañía A es de 80.000 dólares. El salario medio de la muestra para los profesionales de nivel intermedio en la compañía B es de 96.000 dólares. Las gerencias de las compañías A y B quieren saber si la remuneración de sus profesionales de nivel intermedio es diferente, en promedio. El trabajador promedio en Alemania cuenta con ocho semanas de vacaciones remuneradas. media sencilla Según un anuncio de televisión, el 80 % de los dentistas coinciden en que la pasta de dientes Ultrafresh es la mejor en el mercado. Se cree que el promedio de calificación en un ensayo en inglés en un sistema escolar concreto es más alto en las mujeres que en los hombres. La muestra aleatoria de 31 mujeres obtuvo una puntuación media de 82 con desviación típica de tres, mientras que la muestra aleatoria de 25 hombres obtuvo una puntuación media de 76 con desviación típica de cuatro. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas El promedio de bateo de la liga es de 0,280 con desviación típica conocida de 0,06. Los Rattlers y los Vikingos pertenecen a la liga. El promedio de bateo de una muestra de ocho jugadores de los Rattlers es de 0,210, mientras que el de los Vikingos es de 0,260. Hay 24 jugadores en el equipo de los Rattlers y 19 en el de los Vikingos. ¿Es el promedio de bateo de los Rattlers y de los Vikingos estadísticamente diferente? En una muestra aleatoria de 100 bosques en Estados Unidos, 56 eran de coníferas o contenían coníferas. En una muestra aleatoria de 80 bosques en México, 40 eran de coníferas o contenían coníferas. ¿La proporción de coníferas en Estados Unidos es estadísticamente mayor que en México? dos proporciones Se dice que un nuevo medicamento mejora el sueño. Se elige a ocho personas al azar y se les suministra el medicamento. Se registraron las horas medias de sueño de cada persona antes y después de comenzar la medicación. Se cree que los adolescentes duermen más que los adultos en promedio. Se realiza un experimento para comprobarlo. Una muestra de 16 adolescentes tiene una media de 8,9 horas de sueño con desviación típica de 1,2. Una muestra de 12 adultos tiene una media de 6,9 horas de sueño con una desviación típica de 0,6. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Los atletas universitarios practican un promedio de cinco veces a la semana. Una muestra de 12 programas de posgrado en el estado de la escuela A tiene una matrícula media de 64.000 dólares con desviación típica de 8.000 dólares. En la escuela B, una muestra de 16 programas de posgrado en el estado tiene una media de 80.000 dólares con desviación típica de 6.000 dólares. En promedio, ¿son diferentes las matrículas medias? medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Se ofrece a los consumidores un nuevo amplificador de alcance de wifi. Un investigador prueba el alcance nativo de 12 enrutadores diferentes en las mismas condiciones. Los rangos se registran. A continuación, el investigador utiliza el nuevo amplificador de alcance de wifi y registra los nuevos alcances. ¿El nuevo amplificador de alcance de wifi funciona mejor? El director de un escuela secundaria afirma que el 30 % de los estudiantes atletas van en automóvil a la escuela, comparado con el 4% de los que no son atletas. En una muestra de 20 estudiantes atletas, el 45 % va en automóvil a la escuela. En una muestra de 35 estudiantes que no son atletas, el 6 % va en automóvil a la escuela. ¿Es mayor el porcentaje de estudiantes atletas que se desplazan en automóvil a la escuela que el de los estudiantes que no son atletas? dos proporciones Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. ¿Las desviaciones típicas son conocidas o desconocidas? ¿Cuál es la variable aleatoria? La variable aleatoria es la diferencia entre las cantidades medias de azúcar de las dos bebidas gaseosas. ¿Es una prueba de una o dos colas? Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? medias Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : __________ H a : __________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? dos colas En símbolos, ¿cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? En palabras, defina la variable aleatoria de interés para esta prueba. la diferencia entre la duración media de la vida de personas blancas y personas que no son blancas ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el . Se trata de una comparación de dos medias poblacionales con desviaciones típicas poblacionales desconocidas. Calcule el estadístico de prueba. Dibuje un gráfico de la situación. Etiquete el eje horizontal. Marque la diferencia hipotética y la diferencia muestral. Sombree el área correspondiente al valor p . Compruebe la solución del estudiante. Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su: Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): No se puede aceptar la hipótesis nula valor p < 0,05 No hay pruebas suficientes al nivel de significación del 5 % para respaldar la afirmación de que la esperanza de vida en la década de 1900 es diferente entre los blancos y los no blancos. ¿Parece que las medias son iguales? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa Se cree que el número medio de cursos de inglés realizados en un periodo de dos años por los estudiantes de educación superior hombres y mujeres es aproximadamente igual. Se realiza un experimento y se recopilan datos de 29 hombres y 16 mujeres. Los hombres tomaron tres cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 0,8. Las mujeres tomaron cuatro cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 1,0. ¿Son las medias estadísticamente iguales? Un estudiante de una universidad de cuatro años afirma que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años en Estados Unidos. Se realizan dos encuestas. De los 35 institutos universitarios de dos años encuestados la media de matriculación era de 5.068, con desviación típica de 4.777. De los 35 institutos universitarios de cuatro años encuestados, la media de matriculación era de 5.466, con desviación típica de 8.191. Subíndices: 1: colegios universitarios de dos años; 2: universidades de cuatro años H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de matriculación en los institutos universitarios de dos años y en las universidades de cuatro años. t de Student estadístico de prueba: –0,2480 valor p : 0,4019 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años. En la fiesta del 11. º cumpleaños de Rachel se cronometró el tiempo (en segundos) que ocho niñas podían aguantar la respiración en posición relajada. Tras un descanso de dos minutos, se cronometraron mientras saltaban. Las niñas pensaron que la diferencia media entre sus tiempos de salto y de relajación sería cero. Compruebe su hipótesis. Tiempo de relajación (segundos) Tiempo de salto (segundos) 26 21 47 40 30 28 22 21 23 25 45 43 37 35 29 32 Se cree que la media de los salarios iniciales de los graduados universitarios con títulos de Ingeniería Mecánica y de Ingeniería Eléctrica es aproximadamente igual. Una oficina de contratación cree que el salario medio de los ingenieros mecánicos es en realidad más bajo que el de los ingenieros eléctricos. La oficina de contratación encuesta aleatoriamente a 50 ingenieros mecánicos de y a 60 ingenieros eléctricos de nivel inicial. Sus salarios medios fueron de 46.100 dólares y 46.700 dólares, respectivamente. Sus desviaciones típicas fueron de 3.450 dólares y 4.210 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si está de acuerdo en que el salario medio inicial de los ingenieros mecánicos es inferior al de los ingenieros eléctricos. Subíndices: 1: ingeniería mecánica; 2: ingeniería eléctrica H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos y los ingenieros eléctricos. t 108 estadístico de prueba: t = –0,82 valor p : 0,2061 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos es inferior a la de los ingenieros eléctricos. Compañías de mercadeo han recopilado datos que implican que las adolescentes utilizan más tonos de llamada en sus teléfonos móviles que sus pares masculinos. En un estudio particular de 40 adolescentes elegidos al azar (20 de cada sexo) con teléfonos móviles, el número medio de tonos de llamada para las chicas era de 3,2 con desviación típica de 1,5. La media de los chicos fue de 1,7 con desviación típica de 0,8. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son aproximadamente iguales o si la media de las chicas es mayor que la de los chicos. Utilice la información del Conjunto de datos del Apéndice A: Tablas de estadísticas para responder los siguientes cuatro ejercicios. Con solo los datos de la vuelta 1, realice una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es el mismo que en los entrenamientos. H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 20,32 estadístico de prueba: –4,70 valor p : 0,0001 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. Repita la prueba en el , pero esta vez utilice los datos de la vuelta 5. Repita la prueba en el , pero esta vez combine los datos de las vueltas 1 y 5. H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 40,94 estadístico de prueba: –5,08 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. En dos o tres oraciones completas, explique detalladamente cómo podría utilizar los datos sobre Terri Vogel para responder la siguiente pregunta. “¿Terri Vogel conduce más rápido en las carreras que en los entrenamientos?” Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales. Oeste Este Los Ángeles 9 DC United 9 FC Dallas 3 Chicago 8 Chivas USA 4 Columbus 7 Real Salt Lake 3 Nueva Inglaterra 6 Colorado 4 MetroStars 5 San José 4 Kansas City 3 Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes. La distribución exacta para la prueba de hipótesis es: la distribución normal la distribución t de Student la distribución uniforme la distribución exponencial Si el nivel de significación es 0,05, la conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen más goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No se puede determinar. c Supongamos que un instructor de estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron de 75,86 y 16,91. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. La conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes nocturnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes diurnos. No hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes diurnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes nocturnos. No hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los nocturnos en el examen 2. Hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Elijah quiere saber si los costos de los libros de texto son diferentes para las distintas carreras. Selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Sociología ofrecidos en un popular sitio web. El precio medio de su muestra es de 74,64 dólares, con una desviación típica de 49,36 dólares. A continuación, selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Matemáticas y Ciencias del mismo sitio. El precio medio de esta muestra es de 111,56 dólares, con una desviación típica de 66,90 dólares. ¿El precio medio de un libro de texto de Sociología es inferior al de un libro de Matemáticas o Ciencias? Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Ejercicio: dos medias muestrales independientes, desviaciones típicas poblacionales desconocidas. μ 1 = el precio medio de un libro de texto de Sociología en el sitio seleccionado. μ 2 = el precio medio de un libro de texto de Matemáticas/Ciencias en el sitio seleccionado. Variable aleatoria: X 1 ¯ – X 1 ¯ = la diferencia en el precio medio de los libros de texto de la muestra entre los libros de texto de Sociología y los de Matemáticas y Ciencias. Hipótesis: H 0 : μ 1 – μ 2 = 0 , H a : μ 1 – μ 2 < μ 2 que puede expresarse como H 0 s : μ 1 – μ 2 , Ha μ 1 < μ 2 . Distribución para la prueba: Utilice la sustitución en t d f ; porque cada muestra tiene más de 30 observaciones, d f = n 1 + n 2 – 2 = 33 + 33 – 2 = 64 . Estime el valor crítico en la tabla t utilizando los grados de libertad disponibles más próximos, 60. El valor crítico, 2,660, se halla en la columna de 0,0005. Calcule el estadístico de prueba: t c = ( X ¯ 1 – X ¯ 2 ) – 0 s 1 2 n 2 + s 2 2 n 2 = ( 74 . 64 – 111 . 56 ) – 0 49 . 36 2 33 + 66 . 90 2 33 = – 2 . 55 . Utilizando una calculadora con t c = – 2 . 55 y d f = 64 , el valor p : Decisión: Rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, hay suficientes pruebas para concluir que el precio medio de los libros de texto de Sociología es inferior al precio medio de los libros de texto de Matemáticas/Ciencias. Se prueba una dieta en polvo en 49 personas, y una dieta líquida en 36 personas diferentes. Es interesante saber si la dieta líquida produce una mayor pérdida de peso media que la dieta en polvo. El grupo de la dieta en polvo tuvo una media de pérdida de peso de 42 libras con desviación típica de 12 libras. El grupo de la dieta líquida tuvo una media de pérdida de peso de 45 libras con desviación típica de 14 libras. Supongamos que una instructora de Estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron 75,86 y 16,91, respectivamente. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. Otra hipótesis adecuada para la prueba de hipótesis es: μ día > μ noche μ día < μ noche μ día = μ noche μ día ≠ μ noche d d de Cohen medida del tamaño del efecto basada en las diferencias entre dos medias. Si d está entre 0 y 0,2, el efecto es pequeño. Si d se acerca a 0,5, el efecto es medio, y si d se aproxima a 0,8, es un efecto grande. Varianza agrupada promedio ponderado de dos varianzas, que se utiliza para calcular el error estándar.

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Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande La d de Cohen es una medida del "tamaño del efecto", basada en las diferencias entre dos medias. La d de Cohen, llamada así por el estadístico estadounidense Jacob Cohen, mide la fuerza relativa de las diferencias entre las medias de dos poblaciones a partir de los datos de la muestra. El valor calculado del tamaño del efecto se compara entonces con los criterios de Cohen de efecto de tamaño pequeño, mediano y grande. Tamaños de los efectos de los criterios de Cohen Tamaño del efecto d Pequeño 0,2 Medio 0,5 Grande 0,8 La d de Cohen es la medida de la diferencia entre dos medias dividida entre la desviación típica combinada: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s combinada donde s combinada = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 - 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Cabe destacar que la d de Cohen no proporciona un nivel de confianza en cuanto al tamaño del efecto comparable a las otras comprobaciones de hipótesis que hemos estudiado. Los tamaños de los efectos son simplemente indicativos. Calcule la d de Cohen para el Ejemplo 10.2 . ¿El tamaño del efecto es pequeño, mediano o grande? Explique qué significa el tamaño del efecto para este problema. x̅ 1 = 4 s 1 = 1,5 n 1 = 11 x̅ 2 = 3,5 s 2 = 1 n 2 = 9 d = 0,384 El efecto es pequeño porque 0,384 está entre el valor de Cohen de 0,2 para un tamaño de efecto pequeño y 0,5 para un tamaño de efecto medio. El tamaño de las diferencias de las medias de las dos compañías es pequeño, lo que indica que no hay ninguna diferencia significativa entre sí. Repaso del capítulo La d de Cohen es una medida del "tamaño del efecto", basada en las diferencias entre dos medias. Cabe destacar que la d de Cohen no proporciona un nivel de confianza en cuanto al tamaño del efecto comparable a las otras comprobaciones de hipótesis que hemos estudiado. Los tamaños de los efectos son simplemente indicativos. Revisión de la fórmula La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d donde s p o o l e d = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2

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Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales Normalmente, nunca esperamos conocer ninguno de los parámetros de la población, la media, la proporción o la desviación típica. Cuando se comprueban hipótesis relativas a diferencias de medias, nos enfrentamos a la dificultad de dos varianzas desconocidas que desempeñan un papel fundamental en el estadístico de prueba. Hemos sustituido las varianzas de la muestra tal y como hicimos al comprobar las hipótesis para una única media. Tal como lo hicimos anteriormente, utilizamos una t de Student para compensar esta falta de información sobre la varianza de la población. Sin embargo, hay situaciones en las que no conocemos las varianzas de la población, aunque podemos asumir que las dos poblaciones tienen la misma varianza. Si esto es así, entonces la varianza de la muestra conjunta será menor que las varianzas de las muestras individuales. Así se obtienen estimaciones más precisas y se reduce la probabilidad de descartar un buen nulo. Las hipótesis nula y alternativa siguen siendo las mismas, pero el estadístico de prueba cambia a: t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 S p 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) donde S p 2 es la varianza combinada dada por la fórmula: S p 2 = ( n 1 – 1 ) s 2 1 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Se intenta hacer un ensayo con un fármaco real y un placebo. Un total de 18 personas reciben el fármaco con la esperanza de aumentar la producción de endorfinas. Se ha comprobado que el aumento de endorfinas es de 8 microgramos por persona, en promedio, y la desviación típica de la muestra es de 5,4 microgramos. A 11 personas se les da el placebo, y su aumento promedio de endorfinas es de 4 microgramos con una desviación típica de 2,4. A partir de las investigaciones anteriores sobre las endorfinas se determina que se puede suponer que las varianzas dentro de las dos muestras son iguales. Pruebe al 5 % para ver si la media de la población para el fármaco tenía un impacto significativamente mayor en las endorfinas que la media de la población con el placebo. En primer lugar, se empieza por designar a uno de los dos grupos como Grupo 1 y al otro como Grupo 2. Esto será necesario para seguir la pista de las hipótesis nula y alternativa. Establezcamos que el Grupo 1 es el que recibió el nuevo medicamento que se está probando y, por ende, el Grupo 2 es el que recibió el placebo. Ahora podemos formular las hipótesis nula y alternativa como: H 0 : µ 1 ≤ µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 Esto se establece como una prueba de una cola, con la afirmación en la hipótesis alternativa de que el medicamento producirá más endorfinas que el placebo. Ahora calculamos el estadístico de prueba, lo que nos obliga a calcular la varianza conjunta, S p 2 , utilizando la fórmula anterior. t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 S p 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) = ( 8 – 4 ) – 0 20,4933 ( 1 18 + 1 11 ) = 2,31 t α , nos permite comparar el estadístico de prueba y el valor crítico. t α = 1,703 a d e = n 1 + n 2 – 2 = 18 + 11 – 2 = 27 El estadístico de prueba está claramente en la cola, 2,31 es mayor que el valor crítico de 1,703; por consiguiente, no podemos mantener la hipótesis nula. Así, concluimos que hay pruebas significativas con un nivel de confianza del 95 % de que el nuevo medicamento produce el efecto deseado. Repaso del capítulo En situaciones en las que desconocemos las varianzas de la población, pero suponemos que son las mismas, la varianza de la muestra conjunta será menor que las varianzas de la muestra individual. Así se obtienen estimaciones más precisas y se reduce la probabilidad de descartar un buen nulo. Revisión de la fórmula t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 S p 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) donde S p 2 es la varianza combinada dada por la fórmula: S p 2 = ( n 1 – 1 ) s 2 1 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2

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