La distribución uniforme La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o excluyentes de los extremos. El enunciado matemático de la distribución uniforme es f ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x . Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son μ = a + b 2 y σ = ( b – a ) 2 12 Ejercicio Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b . Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica. 1 12 4 10 4 14 11 7 11 4 13 2 4 6 3 10 0 12 6 9 10 5 13 4 10 14 12 11 6 10 11 0 11 13 2 a es cero; b es 14; X ~ U (0, 14); μ = 7 pasajeros; σ = 4,04 pasajeros La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos? a. Supongamos que X = el número de minutos que una persona debe esperar el autobús. a = 0 y b = 15. X ~ U (0, 15). Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 15 – 0 = 1 15 para 0 ≤ x ≤ 15. Calcule P ( x < 12,5). Dibuje un gráfico. P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,5 – 0 ) ( 1 15 ) = 0,8333 La probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos es de 0,8333. b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ , y la desviación típica, σ . b. μ = a + b 2 = 15 + 0 2 = 7,5. En promedio, una persona debe esperar 7,5 minutos. σ = ( b – a ) 2 12 = ( 15 – 0 ) 2 12 = 4,3. La desviación típica es de 4,3 minutos. c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces? NOTA Esto pide calcular el percentil 90 . c. Calcule el percentil 90 . Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 90 . P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( k – 0 ) ( 1 15 ) 0,90 = ( k ) ( 1 15 ) k = ( 0,90 ) ( 15 ) = 13,5 El percentil 90 es de 13,5 minutos. El noventa por ciento de las veces una persona debe esperar como máximo 13,5 minutos. Ejercicio La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive. Calcule a y b y describa lo que representan. Escriba la distribución. Calcule la media y la desviación típica. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas? a es 447, y b es 521. a es la duración mínima de los partidos de un equipo para la temporada 2011, y b es la duración máxima de los partidos de un equipo para la temporada 2011. X ~ U (447, 521). μ = 484, y σ = 21,36 P (480 < x < 500) = 0,2703 Repaso del capítulo Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b , entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b ). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U ( a , b ). La media de X es μ = a + b 2 . La desviación típica de X es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad de X es e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . X es continua. La probabilidad de P ( c < X < d ) se puede hallar calculando el área bajo f ( x ), entre c y d . Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura. Revisión de la fórmula X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b ). a = X más pequeño; b = X más grande X ~ U (a, b) La media es μ = a + b 2 La desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 Función de densidad de probabilidad: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ X ≤ b Área a la izquierda de x : P ( X < x ) = ( x – a ) ( 1 b – a ) Área a la derecha de x : P ( X > x ) = ( b – x ) ( 1 b – a ) Área entre c y d : P ( c < x < d ) = (base)(altura) = ( d – c ) ( 1 b – a ) pdf: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b cdf: P ( X ≤ x ) = x – a b – a media µ = a + b 2 desviación típica σ = ( b – a ) 2 12 P ( c < X < d ) = ( d – c ) ( 1 b – a ) Referencias McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995. Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas. 1,5 2,4 3,6 2,6 1,6 2,4 2,0 3,5 2,5 1,8 2,4 2,5 3,5 4,0 2,6 1,6 2,2 1,8 3,8 2,5 1,5 2,8 1,8 4,5 1,9 1,9 3,1 1,6 La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302. La distribución se puede escribir como X ~ U (1,5, 4,5). ¿Qué tipo de distribución es esta? En esta distribución, los resultados son igualmente probables. ¿Qué significa esto? Significa que el valor de x tiene la misma probabilidad de ser cualquier número entre 1,5 y 4,5. ¿Cuál es la altura de f ( x ) para la distribución de probabilidad continua? ¿Cuáles son las limitaciones para los valores de x ? 1,5 ≤ x ≤ 4,5 Gráfico de P (2 < x < 3). ¿Qué es P (2 < x < 3)? 0,3333 ¿Qué es P (x < 3,5 | x < 4)? ¿Qué es P ( x = 1,5)? cero Calcule la probabilidad de que una casa seleccionada al azar tenga más de 3.000 pies cuadrados dado que ya se sabe que la casa tiene más de 2.000 pies cuadrados. 0,6 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U (0, 12). ¿Qué es a ? ¿Qué representa? ¿Qué es b ? ¿Qué representa? b es 12, y representa el valor más alto de x . ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? ¿Cuál es la media teórica? seis ¿Cuál es la desviación típica teórica? Dibuje el gráfico de la distribución para P ( x > 9). Calcule P ( x > 9). Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años. ¿Qué se mide aquí? Defina la variable aleatoria X en palabras. X = La edad (en años) de los automóviles en el estacionamiento del personal ¿Los datos son discretos o continuos? El intervalo de valores de x es ______. de 0,5 a 9,5 La distribución de X es ______. Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 9 donde x está entre 0,5 y 9,5, ambos inclusive. Grafique la distribución de probabilidad. Dibuje el gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los siguientes valores: El valor más bajo para x – : _______ El valor más alto para x – : _______ Altura del rectángulo: _______ Identifique para el eje x (en palabras): _______ Identifique para el eje y (en palabras): _______ Calcule la edad promedio de los automóviles en el estacionamiento. μ = 5 Calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4) = _______ Considerando solo los automóviles de menos de 7,5 años, calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico, sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4 | x < 7,5) = _______ Compruebe la solución del estudiante. 3,5 7 ¿Qué ha cambiado en los dos problemas anteriores para que las soluciones sean diferentes? Calcule el tercer cuartil de edades de los automóviles en el estacionamiento. Esto significa que tendrá que hallar el valor tal que 3 4 , o el 75 %, de los automóviles tienen como máximo (menos o igual) esa edad. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,75. El tercer cuartil es _______ Compruebe la solución del estudiante. k = 7,25 7,25 Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Los nacimientos se distribuyen de manera aproximadamente uniforme entre las 52 semanas del año. Se puede decir que siguen una distribución uniforme de uno a 53 (repartición de 52 semanas). Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca en el momento exacto en que comienza la semana 19. Es decir, calcule P ( x = 19) = _________ P (2 < x < 31) = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca después de la semana 40. P (12 < x | x < 28) = _________ Un generador de números aleatorios elige un número del uno al nueve de manera uniforme. Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ P (3,5 < x < 7,25) = _________ P ( x > 5,67) P ( x > 5 | x > 3) = _________ Compruebe la solución del estudiante. e ( x ) = 1 8 donde 1 ≤ x ≤ 9 cinco 2,3 15 32 333 800 2 3 Según un estudio realizado por el Dr. John McDougall sobre su programa de pérdida de peso en vivo en el Hospital de Santa Elena, las personas que siguen su programa pierden entre 6 y 15 libras al mes hasta acercarse a su peso corporal ideal. Supongamos que la pérdida de peso se distribuye uniformemente. Nos interesa la pérdida de peso de una persona seleccionada al azar que sigue el programa durante un mes. Defina la variable aleatoria. X = _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que la persona haya perdido más de diez libras en un mes. Supongamos que se sabe que la persona ha perdido más de diez libras en un mes. Calcule la probabilidad de que haya perdido menos de 12 libras en el mes. P (7 < x < 13 | x > 9) = __________. Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Un vagón de metro de la Red Line llega cada ocho minutos en la hora pico. Nos interesa el tiempo que debe esperar un viajero para que llegue el tren. El tiempo sigue una distribución uniforme. Defina la variable aleatoria. X = _______ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _______ μ = _______ σ = _______ Calcule la probabilidad de que el viajero espere menos de un minuto. Calcule la probabilidad de que el viajero espere entre tres y cuatro minutos. La X representa el tiempo que un viajero debe esperar a que llegue un tren en la línea roja. Grafique la distribución de probabilidad. e ( x ) = 1 8 donde 0 ≤ x ≤ 8 cuatro 2,31 1 8 1 8 La edad de los estudiantes de primer grado el 1.º de septiembre en la escuela primaria Garden se distribuye uniformemente de 5,8 a 6,8 años. Seleccionamos al azar un estudiante de primer grado de la clase. Defina la variable aleatoria. X = _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que tenga más de 6,5 años. Calcule la probabilidad de que tenga entre cuatro y seis años. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera (en minutos)? cero dos tres cuatro d ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de siete minutos dado que una persona ha esperado más de cuatro minutos? 0,125 0,25 0,5 0,75 b El tiempo (en minutos) que transcurre hasta que el siguiente autobús sale de una estación de autobuses importante sigue una distribución con f ( x ) = 1 20 donde x va de 25 a 45 minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________ Grafique la distribución de probabilidad. La distribución es ______________ (nombre de la distribución). Es _____________ (discreta o continua). μ = ________ σ = ________ Calcule la probabilidad de que el tiempo sea como máximo de 30 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. Calcule la probabilidad de que el tiempo esté entre 30 y 40 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. P (25 < x < 55) = _________. Exponga esto en un enunciado de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Suponga que el valor de una acción varía cada día de 16 a 25 dólares con una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea superior a 19 dólares. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción esté entre 19 y 22 dólares. Dado que el valor de la acción es mayor de 18 dólares, calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea mayor de 21 dólares. La función de densidad de probabilidad de X es 1 25 – 16 = 1 9 . P ( X > 19) = (25 – 19) ( 1 9 ) = 6 9 = 2 3 . P (19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1 9 ) = 3 9 = 1 3 . Esta es una pregunta de probabilidad condicional. P(x > 21 | x > 18). Puede responderla de dos maneras: Dibuje el gráfico donde a es ahora 18 y b sigue siendo 25. La altura es 1 ( 25 – 18 ) = 1 7 Entonces, P ( x > 21 | x > 18) = (25 - 21) ( 1 7 ) = 4/7. Utilice la fórmula: P ( x > 21 | x > 18) = P ( x > 21 ∩ x > 18 ) P ( x > 18 ) = P ( x > 21 ) P ( x > 18 ) = ( 25 – 21 ) ( 25 – 18 ) = 4 7 . Un espectáculo de fuegos artificiales está diseñado para que el tiempo entre los fuegos artificiales esté entre uno y cinco segundos, y sigue una distribución uniforme. Calcule el tiempo promedio entre los fuegos artificiales. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre los fuegos artificiales sea mayor de cuatro segundos. El número de millas recorridas por un camionero oscila entre 300 y 700, y sigue una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el camionero recorra más de 650 millas en un día. Calcule la probabilidad de que los camioneros recorran entre 400 y 650 millas en un día. P ( X > 650) = 700 – 650 700 – 300 = 50 400 = 1 8 = 0,125. P (400 < X < 650) = 650 – 400 700 – 300 = 250 400 = 0,625 Probabilidad condicional la probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro.

Empresarial


La distribución exponencial La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, los estudios de marketing han demostrado que la cantidad de dinero que los clientes gastan en una visita al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero. Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto. La variable aleatoria de la distribución exponencial es continua y suele medir el paso del tiempo, aunque puede utilizarse en otras aplicaciones. Las preguntas típicas pueden ser: "¿cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra en los próximos x horas o días, o cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra entre x 1 horas y x 2 horas, o cuál es la probabilidad de que el evento dure más de x 1 horas para llevarse a cabo" En resumen, la variable aleatoria X es iguala ( a ) el tiempo entre eventos o( b ) el paso del tiempo para completar una acción, por ejemplo, esperar a un cliente. La función de densidad de probabilidad viene dada por: e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x donde μ es el tiempo promedio de espera histórico. y tiene una media y una desviación típica de 1/μ. Una forma alternativa de la fórmula de la distribución exponencial reconoce lo que suele llamarse el factor de decaimiento. El factor de decaimiento simplemente mide la rapidez con la que la probabilidad de un evento disminuye a medida que la variable aleatoria X aumenta. Cuando se utiliza la notación con el parámetro de decaimiento m , la función de densidad de probabilidad se presenta como e ( x ) = m e – m x donde m = 1 μ Para calcular las probabilidades de determinadas funciones de densidad de probabilidad, se utiliza la función de densidad acumulada. La función de densidad acumulativa (cdf) es simplemente la integral de la pdf y es: F ( x ) = ∫ 0 ∞ [ 1 μ e – x μ ] = 1 – e – x μ Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado de correos pasa con un cliente. A partir de los datos históricos, se sabe que el tiempo promedio es de cuatro minutos. Dado que μ = 4 minutos, es decir, el tiempo promedio que el dependiente pasa con un cliente es de 4 minutos. Recuerde que seguimos calculando probabilidad y por tanto nos tienen que decir los parámetros poblacionales como la media. Para hacer cualquier cálculo, necesitamos conocer la media de la distribución: el tiempo histórico de prestación de un servicio, por ejemplo. Conocer la media histórica permite calcular el parámetro de decaimiento, m . m = 1 μ . Por lo tanto, m = 1 4 = 0,25 . Cuando la notación utiliza el parámetro de decaimiento, m , la función de densidad de probabilidad se presenta como e ( x ) = m e – m x , que es simplemente la fórmula original con m sustituido por 1 μ , o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x . Para calcular las probabilidades de una función de densidad de probabilidad exponencial, tenemos que utilizar la función de densidad acumulada. Como se muestra a continuación, la curva de la función de densidad acumulada es: f ( x ) = 0,25 e –0,25 x donde x es al menos cero y m = 0,25. Por ejemplo, f (5) = 0,25 e (–0,25)(5) = 0,072. Es decir, la función tiene un valor de 0,072 cuando x = 5. El gráfico es el siguiente: Observe que el gráfico es una curva descendente. Cuando x = 0, f ( x ) = 0,25 e (−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m . El valor máximo en el eje y es siempre m , uno dividido entre la media. Ejercicio El tiempo que los cónyuges dedican a la compra de tarjetas de aniversario se puede modelar mediante una distribución exponencial con un promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escriba la distribución, indique la función de densidad de probabilidad y haga un gráfico de la distribución. X ~ Exp (0,125); f ( x ) = 0,125e –0,125 x ; a. Utilizando la información del , halle la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar. a. Calcule P (4 < x < 5). La función de distribución acumulativa (cumulative distribution function, cdf) da el área a la izquierda. P ( x < x ) = 1 – e –mx P ( x < 5) = 1 – e (–0,25)(5) = 0,7135 and P ( x < 4) = 1 – e (–0,25)(4) = 0,6321 P (4 < x < 5)= 0,7135 – 0,6321 = 0,0814 Ejercicio El número de días de antelación con el que los viajeros compran sus billetes de avión se puede modelar mediante una distribución exponencial con un tiempo promedio igual a 15 días. Calcule la probabilidad de que un viajero compre un billete con menos de diez días de antelación. ¿Cuántos días esperan la mitad de los viajeros? P ( x < 10) = 0,4866 El percentil 50 = 10,40 En promedio, una determinada pieza de computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure más de 7 años? a. Supongamos que x = la cantidad de tiempo (en años) que dura una pieza de computadora. μ = 10 por lo que m = 1 μ = 1 10 = 0,1 Calcule P ( x > 7). Dibuje el gráfico. P ( x > 7) = 1 – P ( x < 7). Como P ( X < x ) = 1 – e –mx entonces P ( X > x ) = 1 – (1 – e –mx ) = e –mx P ( x > 7) = e (–0,1)(7) = 0,4966. La probabilidad de que una pieza de computadora dure más de siete años es de 0,4966. b. En promedio, ¿cuánto tiempo durarían cinco piezas de computadora si se utilizan una tras otra? b. En promedio, una pieza de computadora dura diez años. Por lo tanto, cinco piezas de computadora, si se utilizan una tras otra, durarían, en promedio, (5)(10) = 50 años. d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años? d. Calcule P (9 < x < 11). Dibuje el gráfico. P (9 < x < 11) = P ( x < 11) – P ( x < 9) = (1 – e (–0,1)(11) ) – (1 – e (–0,1)(9) ) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. La probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0,0737. Ejercicio En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días? P ( x > 15) = 0,4346 Seis pares de zapatos para correr durarían 108 meses en promedio. El percentil 80 = 28,97 meses Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro de decaimiento 1 12 . El decaimiento p[parámetro] es otra forma de ver 1/λ. Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que usted, calcule la probabilidad de que tenga que esperar más de cinco minutos. Supongamos que X = la duración de una llamada telefónica en minutos. ¿Qué son m , μ y σ ? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______. m = 1 12 μ = 12 σ = 12 P ( x > 5) = 0,6592 El tiempo de espera entre eventos se suele modelar mediante la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que a una tienda llegan un promedio de 30 clientes por hora y que el tiempo entre las llegadas se distribuye exponencialmente. ¿Cuántos minutos transcurren en promedio entre dos llegadas sucesivas? Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan en llegar tres clientes? Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde menos de un minuto en llegar. Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde más de cinco minutos en llegar. ¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación? Dado que esperamos que lleguen 30 clientes por hora (60 minutos), esperamos que llegue un cliente cada dos minutos en promedio. Dado que un cliente llega cada dos minutos, en promedio, tardarán seis minutos en promedio en llegar tres clientes. Supongamos que X = el tiempo entre llegadas en minutos. Por la parte a, μ = 2, por lo que m = 1 2 = 0,5. La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 - e (-0,5)(x) Por tanto, P ( X < 1) = 1 – e (–0,5)(1) = 0,3935. P ( X > 5) = 1 – P ( X < 5) = 1 – (1 – e (-0,5)(5) ) = e –2,5 ≈ 0,0821. Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede ser irrazonable, ya que la gente puede comprar en grupos, lo que hace que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También supone que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo que no es válido si algunas horas del día están más ocupadas que otras. La falta de memoria de la distribución exponencial Recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes para el empleado de correos comentado anteriormente se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos. Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria . Las funciones de densidad de probabilidad exponencial y geométrica son las únicas funciones de probabilidad que tienen la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que P ( X > r + t | X > r ) = P ( X > t ) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0 Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior. P ( X > 5 + 1 | X > 5) = P ( X > 1) = e ( – 0,5 ) ( 1 ) = 0,6065. Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior. La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años. La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P ( X > 17| X > 10) = P ( X > 7) = 0,4966, donde la línea vertical se lee como “dada". Volvamos al caso del empleado de correos, en el que el tiempo que un empleado de correos pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado de la oficina postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase, al menos, tres minutos más con el empleado de la oficina postal? El parámetro de decaimiento de X es m = 1 4 = 0,25, por lo que X ∼ Exp (0,25). La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 – e –0,25 x . Queremos despejar P ( X > 7| X > 4). La propiedad de falta de memoria dice que P ( X > 7| X > 4) = P ( X > 3), así que solo tenemos que hallar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado de la oficina postal. Esto es P ( X > 3) = 1 – P ( X < 3) = 1 – (1 – e –0,25⋅3 ) = e –0,75 ≈ 0,4724. Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con una media μ . Recordemos que si X tiene la distribución de Poisson con una media μ , entonces P ( X = x ) = μ x e – μ x ! . La fórmula de la distribución exponencial P ( X = x ) = m e – m x = 1 μ e – 1 μ x Donde m = el parámetro de la tasa, o μ = tiempo promedio entre ocurrencias. Vemos que la exponencial es la pariente de la distribución de Poisson y se relacionan a través de esta fórmula. Existen importantes diferencias que hacen que cada distribución sea relevante para diferentes tipos de problemas de probabilidad. En primer lugar, la Poisson tiene una variable aleatoria discreta, x, en la que el tiempo; una variable continua se divide artificialmente en trozos discretos. Vimos que el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo dado, x, sigue la distribución de Poisson. Por ejemplo, el número de veces que suena el teléfono por hora. En cambio, el tiempo entre ocurrencias sigue la distribución exponencial. Por ejemplo. El teléfono acaba de sonar, ¿cuánto tiempo pasará hasta que vuelva a sonar? Estamos midiendo la duración del intervalo, una variable aleatoria continua, exponencial, no los eventos durante un intervalo, Poisson. La distribución exponencial frente a la distribución de Poisson Una forma visual de mostrar tanto las similitudes como las diferencias entre estas dos distribuciones es con una línea del tiempo. La variable aleatoria de la distribución de Poisson es discreta y, por tanto, cuenta los eventos durante un periodo determinado, de t 1 a t 2 en la , y calcula la probabilidad de que se produzca ese número. El número de eventos, cuatro en el gráfico, se mide en números que se pueden contar; por lo tanto, la variable aleatoria de Poisson es una variable aleatoria discreta. La distribución de probabilidad exponencial calcula las probabilidades del paso del tiempo, una variable aleatoria continua. En la esto se muestra como el paréntesis desde t 1 hasta la siguiente ocurrencia del evento marcada con un triángulo. Las preguntas clásicas de la distribución de Poisson son "¿cuántas personas llegarán a mi caja en la próxima hora?". Las preguntas clásicas de la distribución exponencial son "¿cuánto tiempo pasará hasta que llegue la siguiente persona?", o una variante, "¿cuánto tiempo permanecerá la persona una vez que haya llegado?". De nuevo, la fórmula de la distribución exponencial es: e ( x ) = m e – m x o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x Vemos inmediatamente la similitud entre la fórmula exponencial y la fórmula de Poisson. P ( x ) = μ x e – μ x ! Ambas funciones de densidad de probabilidad se basan en la relación entre el tiempo y el crecimiento o decaimiento exponencial. La "e" de la fórmula es una constante con el valor aproximado de 2,71828 y es la base de la fórmula del crecimiento exponencial logarítmica natural. Cuando la gente dice que algo ha crecido exponencialmente, se refiere a esto. Un ejemplo de la exponencial y la Poisson dejará claras las diferencias entre ambas. También mostrará las interesantes aplicaciones que tienen. Distribución de Poisson Supongamos que históricamente llegan 10 clientes a las filas de espera en las cajas registradoras cada hora. Recuerde que esto es todavía una probabilidad, por lo que nos tienen que decir estos valores históricos. Vemos que se trata de un problema de probabilidad de Poisson. Podemos introducir esta información en la función de densidad de probabilidad de Poisson y obtener una fórmula general que calculará la probabilidad de que llegue algún número determinado de clientes en la próxima hora. La fórmula es para cualquier valor de la variable aleatoria que hayamos elegido y, por tanto, la x se pone en la fórmula. Esta es la fórmula: e ( x ) = 10 x e -10 x ! Como ejemplo, la probabilidad de que lleguen 15 personas a la caja registradora en la próxima hora sería P ( x = 15 ) = 10 15 e -10 15 ! = 0,0611 Aquí insertamos x = 15 y calculamos que la probabilidad de que en la próxima hora lleguen 15 personas es de 0,061. Distribución exponencial Si mantenemos los mismos hechos históricos de que llegan 10 clientes cada hora, pero ahora nos interesa el tiempo de servicio que pasa una persona en el mostrador, entonces utilizaríamos la distribución exponencial. La función de probabilidad exponencial para cualquier valor de x, la variable aleatoria, para estos datos históricos de la caja registradora es: e ( x ) = 1 0,1 e -x 0,1 = 10 e -10 x Para calcular µ, el tiempo promedio de servicio histórico, simplemente dividimos el número de personas que llegan por hora, 10, entre el periodo, una hora, y tenemos µ = 0,1. Históricamente, la gente pasa el 0,1 de una hora en la caja registradora, es decir, 6 minutos. Esto explica el 0,1 de la fórmula. Existe una confusión natural con µ tanto en las fórmulas de Poisson como en las exponenciales. Tienen significados diferentes, aunque tengan el mismo símbolo. La media de la exponencial es uno dividido entre la media de Poisson. Si se da el número histórico de llegadas se tiene la media de Poisson. Si se da una duración histórica entre eventos, se tiene la media de una exponencial. Siguiendo con nuestro ejemplo de la caja, si quisiéramos saber la probabilidad de que una persona tarde 9 minutos o menos en pasar por caja registradora, utilizaríamos esta fórmula. En primer lugar, convertimos a las mismas unidades de tiempo que son partes de una hora. Nueve minutos son 0,15 de una hora. A continuación, observamos que estamos pidiendo un rango de valores. Este es siempre el caso de una variable aleatoria continua. Escribimos la pregunta de probabilidad como p ( x ≤ 9 ) = 1 – 10 e -10 x Ahora podemos poner los números en la fórmula y obtenemos nuestro resultado. p ( x = 0,15 ) = 1 – 10 e -10 ( 0,15 ) = 0,7769 La probabilidad de que un cliente emplee 9 minutos o menos en pasar por caja es de 0,7769. Vemos que tenemos una alta probabilidad de salir en menos de nueve minutos y una mínima probabilidad de que lleguen 15 clientes en la próxima hora. Repaso del capítulo Si X tiene una distribución exponencial con media μ , entonces el parámetro de decaimiento es m = 1 μ . La función de densidad de probabilidad de X es f ( x ) = me –mx (o equivalentemente e ( x ) = 1 μ e – x / μ . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = 1 – e – mx . Revisión de la fórmula pdf: f ( x ) = me (– mx ) donde x ≥ 0 y m > 0 cdf: P ( X ≤ x ) = 1 – e (– mx ) media µ = 1 m desviación típica σ = µ Además P ( X > x ) = e (– mx ) P ( a < X < b ) = e (– ma ) – e (– mb ) Probabilidad de Poisson: P ( X = x ) = μ x e – μ x ! con una media y una varianza de μ Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013). “No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013). Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013). Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp (0,2) ¿Qué tipo de distribución es esta? ¿Los resultados son igualmente probables en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? No, los resultados no son igualmente probables. En esta distribución más personas requieren poco tiempo y menos personas requieren mucho tiempo, por lo que es más probable que alguien requiera menos tiempo. ¿Qué es m ? ¿Qué representa? ¿Cuál es la media? cinco ¿Cuál es la desviación típica? Indique la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 0,2e –0,2 x Grafique la distribución. Calcule P (2 < x < 10). 0,5350 Calcule P ( x > 6). Calcule el percentil 70 . 6,02 Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp (0,75). ¿Qué es m ? ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? f ( x ) = 0,75 e –0,75 x ¿Qué es la función de distribución acumulativa? Dibuje la distribución. Calcule P ( x < 4). Calcule el percentil 30 . 0,4756 Calcule la mediana. ¿Qué es más grande, la media o la mediana? La media es mayor. La media es 1 m = 1 0,75 ≈ 1,33 , que es superior a 0,9242. Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14. ¿Qué se mide aquí? ¿Los datos son discretos o continuos? continuos Defina la variable aleatoria X en palabras. ¿Cuál es la tasa de descomposición ( m )? m = 0,000121 La distribución de X es ______. Calcule la cantidad (porcentaje de un gramo) de carbono-14 que dura menos de 5.730 años. Es decir, calcule P ( x < 5.730). Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 5.730) = __________ Compruebe la solución del estudiante. P ( x < 5.730) = 0,5001 Calcule el porcentaje de carbono-14 que dura más de 10.000 años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x > 10.000) = ________ ¿En cuántos años se descompone el treinta por ciento (30 %) del carbono-14? Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,30. Compruebe la solución del estudiante. k = 2.947,73 Tarea para la casa Supongamos que se sabe que la duración de las llamadas telefónicas de larga distancia, medida en minutos, tienen una distribución exponencial con la duración promedio de una llamada igual a ocho minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure menos de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure más de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure entre siete y nueve minutos. Si se hacen 25 llamadas telefónicas una tras otra, en promedio, ¿cuál sería el total esperado? ¿Por qué? Supongamos que la vida útil de una determinada batería de automóvil, medida en meses, decae con el parámetro 0,025. Nos interesa la duración de la batería. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? En promedio, ¿cuánto tiempo espera que dure la batería de un automóvil? ¿Cuánto tiempo en promedio se puede esperar que duren nueve baterías de automóvil si se usan una tras otra? Calcule la probabilidad de que la batería de un automóvil dure más de 36 meses. ¿Cuánto tiempo duran, al menos, el setenta por ciento de las baterías? X = la vida útil de una determinada batería de automóvil medida en meses. X es continua. 40 meses 360 meses 0,4066 14,27 El porcentaje de personas (de cinco años en adelante) en cada estado que hablan un idioma en casa distinto del inglés se distribuye de forma aproximadamente exponencial con una media de 9,848. Supongamos que elegimos un estado al azar. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que el porcentaje sea menor que 12. Calcule la probabilidad de que el porcentaje esté entre ocho y 14. El porcentaje de todas las personas que viven en Estados Unidos que hablan un idioma distinto del inglés en casa es del 13,8. ¿Por qué este número es diferente del 9,848 %? ¿Qué haría que este número fuera superior al 9,848 %? El tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir los 60 años se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de unos cinco años. Supongamos que elegimos al azar una persona jubilada. Nos interesa el tiempo que transcurre desde los 60 años hasta la jubilación. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que la persona se jubile después de los 70 años. ¿Se jubilan más personas antes de los 65 años o después de los 65? En una sala con 1.000 personas mayores de 80 años, ¿cuántas cree que NO se habrán jubilado aún? X = el tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir 60 años X es continua. cinco cinco Compruebe la solución del estudiante. 0,1353 antes 18,3 El costo de todo el mantenimiento de un automóvil durante su primer año se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de 150 dólares. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que un automóvil requiera más de 300 dólares para su mantenimiento durante su primer año. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial. La tasa de decaimiento es: 0,3333 0,5000 2 3 a ¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra? 0,8647 0,4866 0,2212 0,9997 ¿Cuál es la mediana de la vida de estos teléfonos (en años)? 0,1941 1,3863 2,0794 5,5452 c Las llamadas al 911 entran a una tasa promedio de una llamada cada dos minutos. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. En promedio, ¿cuánto tiempo pasa entre cinco llamadas consecutivas? Calcule la probabilidad de que, tras recibir una llamada, la siguiente tarde más de tres minutos en producirse. ¿El noventa por ciento de las llamadas se producen en los minutos siguientes a la llamada anterior? Supongamos que han transcurrido dos minutos desde la última llamada. Calcule la probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en el próximo minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 20 llamadas en una hora. En el béisbol de las grandes ligas, un partido sin batazos imparables es aquel en el que un lanzador, o varios lanzadores, no reciben ningún batazo imparable en todo el partido. Los “sin batazos imparables” se producen a un ritmo de unos tres por temporada. Supongamos que la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que toda una temporada transcurra con un solo sin batazos imparables? Si transcurre una temporada entera sin batazos imparables, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ningún sin batazos imparables en la temporada siguiente? ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 sin batazos imparables en una misma temporada? Supongamos que X = el número de sin batazos imparables a lo largo de una temporada. Como la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial, el número de sin batazos imparables por temporada es Poisson con media de λ = 3. Por lo tanto, ( X = 0) = 3 0 e – 3 0 ! = e –3 ≈ 0,0498 NOTA Podría dejar que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Como el tiempo es exponencial y hay 3 sin batazos imparables por temporada, entonces el tiempo entre sin batazos imparables es 1 3 por temporada. Para la exponencial, µ = 1 3 . Por lo tanto, m = 1 μ = 3 y T ∼ Exp (3). La probabilidad deseada es P ( T > 1) = 1 – P ( T < 1) = 1 – (1 – e –3 ) = e –3 ≈ 0,0498. Supongamos que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Hallamos P ( T > 2| T > 1), y por la propiedad de falta de memoria esto es simplemente P ( T > 1), que hallamos que es 0,0498 en la parte a. Supongamos que X = el número de sin batazos imparables es una temporada. Supongamos que X es Poisson con media de λ = 3. Entonces P ( X > 3) = 1 – P ( X ≤ 3) = 0,3528. Entre 1998 y 2012 se han producido un total de 29 terremotos de magnitud superior a 6,5 en Papúa Nueva Guinea. Supongamos que el tiempo que transcurre entre terremotos es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo terremoto se produzca en los tres meses siguientes? Dado que han pasado seis meses sin que se produzca un terremoto en Papúa Nueva Guinea, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos tres meses no se produzcan terremotos? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cero terremotos en 2014? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan, al menos, dos terremotos en 2014? Según la Cruz Roja Americana, una de cada nueve personas en EE. UU., aproximadamente, tiene sangre de tipo B. Supongamos que los tipos de sangre de las personas que llegan a una campaña de donación son independientes. En este caso, el número de tipos de sangre de tipo B que llegan sigue más o menos la distribución de Poisson. Si llegan 100 personas, ¿cuántas en promedio se espera que tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas de estas 100 tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 20 personas antes de encontrar una persona con sangre de tipo B? 100 9 = 11,11 P ( X > 10) = 1 – P ( X ≤ 10) = 1 – Poissoncdf(11,11; 10) ≈ 0,5532. El número de personas con sangre de tipo B encontradas sigue más o menos la distribución de Poisson, por lo que el número de personas X que llegan entre las sucesivas llegadas de tipo B es aproximadamente exponencial con media μ = 9 y m = 1 9 . La función de distribución acumulativa de X es P ( X < x ) = 1 – e – x 9 . Así que, P ( X > 20) = 1 – P ( X ≤ 20) = 1 – ( 1 – e – 20 9 ) ≈ 0,1084. Nota También podríamos deducir que cada persona que llega tiene una probabilidad de 8/9 de no tener sangre de tipo B. Así que la probabilidad de que ninguna de las primeras 20 personas que lleguen tenga sangre tipo B es ( 8 9 ) 20 ≈ 0,0948 . (la distribución geométrica es más apropiada que la exponencial porque el número de personas entre el tipo B es discreto en vez de continuo). Un sitio web experimenta un tráfico durante las horas normales de trabajo a un ritmo de 12 visitas por hora. Supongamos que la duración entre visitas tiene la distribución exponencial. Calcule la probabilidad de que la duración entre dos visitas sucesivas al sitio web sea superior a diez minutos. ¿De cuánto tiempo como mínimo son el 25 % de las duraciones más altas entre visitas? Supongamos que han pasado 20 minutos desde la última visita al sitio web. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima visita se produzca durante los 5 minutos siguientes? Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 7 visitas en un periodo de una hora. En un centro de atención de urgencias los pacientes llegan a una tasa promedio de un paciente cada siete minutos. Supongamos que la duración entre llegadas se distribuye exponencialmente. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea inferior a 2 minutos. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea superior a 15 minutos. Si han pasado 10 minutos desde la última llegada, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona llegue durante los próximos cinco minutos? Calcule la probabilidad de que lleguen más de ocho pacientes durante un periodo de media hora. Supongamos que T = la duración (en minutos) entre visitas sucesivas. Dado que los pacientes llegan a un ritmo de un paciente cada siete minutos, μ = 7 y la constante de decaimiento es m = 1 7 . La cdf es P ( T < t ) = 1 – e t 7 P ( T < 2) = 1 – 1 – e – 2 7 ≈ 0,2485. P ( T > 15) = 1 – P ( T < 15 ) = 1 – ( 1 – e – 15 7 ) ≈ e – 15 7 ≈ 0,1173 . P ( T > 15| T > 10) = P ( T > 5) = 1 – ( 1 – e – 5 7 ) = e – 5 7 ≈ 0,4895 . Supongamos que X = número de pacientes que llegan durante un periodo de media hora. Entonces X tiene la distribución de Poisson con una media de 30 7 , X ∼ Poisson ( 30 7 ) . Calcule P ( X > 8) = 1 – P ( X ≤ 8) ≈ 0,0311. parámetro de decaimiento el parámetro de decaimiento describe la velocidad a la que las probabilidades decaen a cero para valores crecientes de x . Es el valor m en la función de densidad de probabilidad f ( x ) = me (– mx ) de una variable aleatoria exponencial. También es igual a m = 1 μ , donde μ es la media de la variable aleatoria. propiedad de falta de memoria para una variable aleatoria exponencial X , la propiedad de falta de memoria es la afirmación de que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre las probabilidades futuras. Esto significa que la probabilidad de que X supere a x + t , dado que ha superado a x , es la misma que la probabilidad de que X supere a t si no tuviéramos conocimiento de ello. En símbolos decimos que P ( X > x + t | X > x ) = P ( X > t ). Distribución de Poisson si se conoce un promedio de eventos μ que ocurren por unidad de tiempo, y estos eventos son independientes entre sí, entonces el número de eventos X que ocurren en una unidad del tiempo tiene la distribución de Poisson. La probabilidad de que ocurran eventos x en una unidad del tiempo es igual a P ( X = x ) = μ x e – μ x ! .

Introducción a la estadística empresarial

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Introducción Si le pregunta a un número suficiente de personas por su talla de calzado, comprobará que los datos representados en el gráfico tienen la forma de una curva de campana y se pueden describir como normalmente distribuidos (créditos: Ömer Ünlϋ). La función de densidad de probabilidad normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. Recuerde que todavía estamos hablando de la distribución de los datos de la población. Se trata de una discusión sobre la probabilidad y, por tanto, son los datos de la población los que pueden estar distribuidos normalmente, y si lo están, entonces es así como podemos calcular las probabilidades de eventos específicos al igual que hicimos con los datos de la población que pueden tener una distribución binomial o de Poisson. Esta precaución se debe a que en el próximo capítulo veremos que la distribución normal describe algo muy diferente de los datos brutos y constituye la base de la estadística inferencial. La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media ( μ ) y la desviación típica ( σ ). Si X es una cantidad que se va a medir que tiene una distribución normal con media( μ ) y desviación típica( σ ), la designamos escribiendo la siguiente fórmula de la función de densidad de probabilidad normal: La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice . No es necesario. f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ . La media es la misma que la mediana, que es la misma que la moda, porque el gráfico es simétrico respecto a μ . Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Observe que esto es diferente a varias funciones de densidad de probabilidad que ya hemos estudiado, como la de Poisson, donde la media es igual a μ y la desviación típica simplemente la raíz cuadrada de la media, o la binomial, donde p se utiliza para determinar tanto la media como la desviación típica. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ , provoca un cambio en la forma de la curva normal; la curva se vuelve más abultada y ancha o más delgada y alta dependiendo de σ . Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar . Revisión de la fórmula X ∼ N ( μ , σ ) μ = la media σ = la desviación típica Distribución normal una variable aleatoria continua (RV) con pdf f ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 σ 2 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV, Z, se llama distribución normal estándar .

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La distribución normal estándar La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z . Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica. La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. Lo que hace esto es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómese un momento y sustituya el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y podrá ver que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente utilizando el cálculo integral. La transformación z = x – μ σ produce la distribución Z ~ N (0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación típica conocida σ . La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas se aleja una determinada x de la media. Puntuaciones z Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ) , entonces la puntuación z para una determinada x es: z = x – μ σ La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ . Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero. Supongamos que X ~ N(5, 6) . Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces: z = x – μ σ = 17 – 5 6 = 2 Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2 σ ) por encima o a la derecha de la media μ = 5. Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = x – μ σ = 1 – 5 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales) Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67 σ ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5 La regla empírica Si X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ , la regla empírica dice lo siguiente: Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1 σ y +1 σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media). Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2 σ y +2 σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media). Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3 σ y +3 σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Las puntuaciones z para +1 σ y –1 σ son +1 y –1, respectivamente. Las puntuaciones z para +2 σ y –2 σ son +2 y –2, respectivamente. Las puntuaciones z para +3 σ y –3 σ son +3 y –3, respectivamente. Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6. Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1 σ = (–1)(6) = –6 y 1 σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente. Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2 σ = (–2)(6) = –12 y 2 σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se encuentran entre –3 σ = (–3)(6) = –18 y 3 σ = (3)(6) = 18 de la media 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típica de la media 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente. Referencias “Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013). “The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013). “2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013). “Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de The World Almanac and Book of Facts . “List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N (0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N ( µ , σ ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ . Revisión de la fórmula Z ~ N (0, 1) z = un valor estandarizado (puntuación z ) media = 0; desviación típica = 1 Para hallar el percentil K de X , x , cuando se conocen las puntuaciones z : x = μ + ( z ) σ puntuación z : k = x – μ σ o z = | x – μ | σ Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z Z ~ N (0, 1) Una botella de agua contiene 12,05 onzas líquidas con una desviación típica de 0,01 onzas. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ____________. onzas de agua en una botella Una distribución normal tiene una media de 61 y una desviación típica de 15. ¿Cuál es la mediana? X ~ N (1, 2) σ = _______ 2 Una compañía fabrica pelotas de goma. El diámetro medio de una pelota es de 12 cm con una desviación típica de 0,2 cm. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ______________. X ~ N (–4, 1) ¿Cuál es la mediana? -4 X ~ N (3, 5) σ = _______ X ~ N (–2, 1) μ = _______ -2 ¿Qué mide una puntuación z ? ¿Qué hace la estandarización de una distribución normal con la media? La media se convierte en cero. ¿ X ~ N (0, 1) es una distribución normal estandarizada? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la puntuación z de x = 12, si está dos desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2 ¿Cuál es la puntuación z de x = 9, si está 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? ¿Cuál es la puntuación z de x = –2, si está a 2,78 desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2,78 ¿Cuál es la puntuación z de x = 7, si está a 0,133 desviaciones típicas a la izquierda de la media? Supongamos que X ~ N (2, 6). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de tres? x = 20 Supongamos que X ~ N (8, 1). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –2,25? Supongamos que X ~ N (9, 5). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,5? x = 6,5 Supongamos que X ~ N (2, 3). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,67? Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1 Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a dos desviaciones típicas a la derecha de la media? Supongamos que X ~ N (8, 9). ¿Qué valor de x está a 0,67 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1,97 Supongamos que X ~ N (–1, 2). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? Supongamos que X ~ N (12, 6). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? z = –1.67 Supongamos que X ~ N (9, 3). ¿Cuál es la puntuación z de x = 9? Supongamos que una distribución normal tiene una media de seis y una desviación típica de 1,5. ¿Cuál es la puntuación z de x = 5,5? z ≈ –0,33 En una distribución normal, x = 5 y z = –1,25. Esto le dice que x = 5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = 3 y z = 0,67. Esto le dice que x = 3 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 0,67, derecha En una distribución normal, x = –2 y z = 6. Esto le dice que x = –2 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = –5 y z = –3,14. Esto le dice que x = –5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 3,14, izquierda En una distribución normal, x = 6 y z = –1,7. Esto le dice que x = 6 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de una desviación típica (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? alrededor del 68 % Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de dos desviaciones típicas (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la segunda y la tercera desviación típica (en ambos lados)? alrededor del 4 % Supongamos que X ~ N (15, 3). ¿Entre qué valores de x está el 68,27 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, 15). Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 95,45 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, –3). entre –5 y –1 Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 34,14 % de los datos? ¿Aproximadamente qué porcentaje de los valores de x están entre la media y tres desviaciones típicas? alrededor del 50 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la media y una desviación típica? Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la segunda desviación típica de la media (en ambos lados)? alrededor del 27 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la tercera desviación típica (en ambos lados)? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = _______________. La vida útil de un reproductor de CD de Sunshine se mide en años. X ~ _____(_____,_____) Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la mediana del tiempo de recuperación? 2,7 5,3 7,4 2,1 ¿Cuál es la puntuación z de un paciente que tarda diez días en recuperarse? 1,5 0,2 2,2 7,3 c El tiempo que se tarda en hallar un puesto para estacionar a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Si la media es significativamente mayor que la desviación típica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? Los datos no pueden seguir la distribución uniforme. Los datos no pueden seguir la distribución exponencial. Los datos no pueden seguir la distribución normal. I solo II solo III solo I, II y III Las alturas de los 430 jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (National Basketball Association, NBA) figuraban en las listas de los equipos al comienzo de la temporada 2005-2006. Las alturas de los jugadores de baloncesto tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 79 pulgadas y una desviación típica, σ = 3,89 pulgadas. Para cada una de las siguientes alturas, calcule la puntuación z e interprétala utilizando oraciones completas. 77 pulgadas 85 pulgadas Si un jugador de la NBA informara que su altura tiene una puntuación z de 3,5, ¿le creería? Explique su respuesta. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = –0,5141. La altura de 77 pulgadas es 0,5141 desviaciones típicas por debajo de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 77 pulgadas es más bajo que el promedio. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = 1,5424. La altura 85 pulgadas es 1,5424 desviaciones típicas por encima de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 85 pulgadas es más alto que el promedio. Altura = 79 + 3,5(3,89) = 92,615 pulgadas, los cual es más alto que 7 pies y 8 pulgadas. Hay muy pocos jugadores de la NBA tan altos, así que la respuesta es no, no es probable. La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. La presión arterial sistólica de los hombres sigue una distribución normal. Calcule las puntuaciones z para las presiones sistólicas de 100 y 150 milímetros en hombres. Si un amigo le dijera que cree que su presión arterial sistólica está 2,5 desviaciones típicas por debajo de la media, pero que cree que su presión arterial está entre 100 y 150 milímetros, ¿qué le diría? El médico de Kyle le dijo que la puntuación z de su presión arterial sistólica es de 1,75. ¿Cuál de las siguientes es la mejor interpretación de esta calificación estandarizada? La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. Si X = una calificación de presión arterial sistólica, entonces X ~ N (125, 14). ¿Qué respuesta(s) es(son) correcta(s)? La presión arterial sistólica de Kyle es de 175. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 veces la presión arterial promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyles está 1,75 desviaciones típicas por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres. Calcule la presión arterial de Kyle. iv La presión arterial de Kyle es igual a 125 + (1,75)(14) = 149,5. La altura y el peso son dos medidas que se utilizan para seguir el desarrollo del niño. La Organización Mundial de la Salud mide el desarrollo infantil comparando el peso de niños de la misma altura y del mismo sexo. En 2009, los pesos de todas las niñas de 80 cm de la población de referencia tenían una media µ = 10,2 kg y una desviación típica σ = 0,8 kg. Los pesos se distribuyen normalmente. X ~ N (10,2, 0,8). Calcule las puntuaciones z que corresponden a las siguientes ponderaciones e interprételas. 11 kg 7,9 kg 12,2 kg En 2005, 1.475.623 estudiantes que iban a continuar estudios superiores tomaron la SAT. La distribución de las calificaciones en la sección de Matemáticas de la SAT sigue una distribución normal con media µ = 520 y desviación típica σ = 115. Calcule la puntuación z para una calificación de la SAT de 720. Interprételo con una oración completa. ¿Qué calificación de la SAT de Matemáticas está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media? ¿Qué puede decir de esta calificación en la SAT? En 2012, la prueba de Matemáticas de la SAT tuvo una media de 514 y una desviación típica de 117. El examen de Matemáticas de la Prueba de Admisión en la Educación Superior de Estados Unidos (American College Testing, ACT) es una alternativa a la SAT y se distribuye aproximadamente normal, con una media de 21 y una desviación típica de 5,3. Si una persona toma el examen de Matemáticas de la SAT y obtiene 700 puntos y una segunda persona toma el examen de Matemáticas de la ACT y obtiene 30 puntos, ¿quién lo hizo mejor con respecto al examen que tomó? Supongamos que X = una calificación de Matemáticas de la SAT y Y = una calificación de Matemáticas del ACT. X = 720 720 – 520 15 = 1,74. La calificación del examen de 720 está 1,74 desviaciones típicas por encima de la media de 520. z = 1,5. La calificación de la SAT de Matemáticas es 520 + 1,5(115) ≈ 692,5. La calificación del examen de 692,5 está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de 520. X – μ σ = 700 – 514 117 ≈ 1,59, la puntuación z de la SAT. Y – μ σ = 30 – 21 5,3 ≈ 1,70, las puntuaciones z del ACT. Con respecto a la prueba que tomaron, la persona que presentó el ACT obtuvo mejores resultados (tiene la puntuación z más alta). Distribución normal estándar una variable aleatoria continua (RV) X ~ N (0, 1); cuando X sigue la distribución normal estándar, suele anotarse como Z ~ N (0, 1). puntuación z la transformación lineal de la forma z = x – μ σ o escrito como z = | x – μ | σ ; si esta transformación se aplica a cualquier distribución normal X ~ N ( μ , σ ) el resultado es la distribución normal estándar Z ~ N (0,1). Si esta transformación se aplica a cualquier valor específico x de la RV con media μ y desviación típica σ , el resultado se denomina puntuación z de x . La puntuación z nos permite comparar datos que se distribuyen normalmente, pero que se escalan de forma diferente. Una puntuación z es el número de desviaciones típicas que una determinada x se aleja de su valor medio.

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Uso de la distribución normal El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la derecha de x . Esta zona está representada por la probabilidad P (X > x ). Las tablas normales proporcionan la probabilidad entre la media, cero para la distribución normal estándar y un valor específico como x 1 . Esta es la parte no sombreada del gráfico desde la media hasta x 1 . Como la distribución normal es simétrica, si x 1 estuviera a la misma distancia a la izquierda de la media, el área (la probabilidad) en la cola izquierda, sería la misma que el área sombreada en la cola derecha. Además, hay que tener en cuenta que, debido a la simetría de esta distribución, la mitad de la probabilidad está a la derecha de la media y la otra mitad a la izquierda. Cálculo de probabilidades Para hallar la probabilidad de las funciones de densidad de probabilidad con una variable aleatoria continua necesitamos calcular el área bajo la función a través de los valores de X que nos interesan. Para la distribución normal esto parece una tarea difícil dada la complejidad de la fórmula. Sin embargo, hay una forma sencilla de conseguir lo que queremos. Aquí tenemos de nuevo la fórmula de la distribución normal: f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 Al observar la fórmula de la distribución normal no está claro cómo vamos a resolver la probabilidad haciéndolo de la misma manera que lo hicimos con las funciones de probabilidad anteriores. Allí pusimos los datos en la fórmula e hicimos las cuentas. Para resolver este rompecabezas, desde el principio sabemos que el área bajo una función de densidad de probabilidad es la probabilidad. Esto demuestra que el área entre X 1 y X 2 es la probabilidad que se indica en la fórmula: P (X 1 ≤ x ≤ X 2 ) La herramienta matemática necesaria para calcular el área bajo una curva es el cálculo integral. La integral de la función de densidad de probabilidad normal entre los dos puntos x 1 y x 2 es el área bajo la curva entre estos dos puntos y es la probabilidad entre estos dos puntos. Hacer estas integrales no es divertido y puede llevar mucho tiempo. Pero ahora, recordando que hay un número infinito de distribuciones normales, podemos considerar la que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Esta particular distribución normal recibe el nombre de distribución normal estándar. Al poner estos valores en la fórmula se reduce a una ecuación muy sencilla. Ahora podemos calcular fácilmente todas las probabilidades para cualquier valor de x en esta distribución normal particular, que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Se han elaborado y están disponibles aquí en el apéndice del texto o en cualquier lugar de la web. Se presentan de varias maneras. La tabla de este texto es la presentación más habitual y se establece con las probabilidades de la mitad de la distribución, que comienza por el cero, la media, y moviéndose hacia fuera. El área sombreada en el gráfico de la parte superior de la tabla en Tablas estadísticas representa la probabilidad desde cero hasta el valor Z específico anotado en el eje horizontal, Z. El único problema es que, incluso con esta tabla, sería una ridícula coincidencia que nuestros datos tuvieran una media de cero y una desviación típica de uno. La solución es convertir la distribución que tenemos con su media y desviación típica a esta nueva distribución normal estándar. La normal estándar tiene una variable aleatoria llamada Z. Al usar la tabla normal estándar, que por lo general se llama tabla normal, para hallar la probabilidad de una desviación típica, vaya a la columna Z, lea hasta 1,0 y luego lea en la columna 0. Ese número, 0,3413 es la probabilidad de cero a 1 desviación típica. En la parte superior de la tabla se encuentra la zona sombreada de la distribución que es la probabilidad para una desviación típica. La tabla ha resuelto nuestro problema de cálculo integral, pero solo si nuestros datos tienen una media de cero y una desviación típica de 1. Sin embargo, el punto esencial aquí es que la probabilidad de una desviación típica en una distribución normal es la misma en todas las distribuciones normales. Si el conjunto de datos de la población tiene una media de 10 y una desviación típica de 5, entonces la probabilidad de 10 a 15, una desviación típica, es la misma que de cero a 1, una desviación típica en la distribución normal estándar. Para calcular las probabilidades, las áreas, para cualquier distribución normal, solo tenemos que convertir la distribución normal particular a la distribución normal estándar y buscar la respuesta en las tablas. Como revisión, aquí está de nuevo la fórmula de normalización : Z = x - μ σ donde Z es el valor de la distribución normal estándar, X es el valor de una distribución normal que se desea convertir a la normal estándar, μ y σ son, respectivamente, la media y la desviación típica de esa población. Tenga en cuenta que la ecuación utiliza μ y σ lo que denota parámetros poblacionales. Esto sigue tratando con la probabilidad, por lo que siempre estamos tratando con la población, con valores de parámetros conocidos y una distribución conocida . También es importante tener en cuenta que, como la distribución normal es simétrica, no importa si la puntuación z es positiva o negativa a la hora de calcular una probabilidad. Una desviación típica a la izquierda (puntuación Z negativa) cubre la misma área que una desviación típica a la derecha (puntuación Z positiva). Este hecho es la razón por la que las tablas de la normal estándar no proporcionan áreas para el lado izquierdo de la distribución. Debido a esta simetría, la fórmula de la puntuación Z se escribe a veces como Z = | x - μ | σ Las líneas verticales de la ecuación significan el valor absoluto del número. Lo que realmente hace la fórmula de estandarización es calcular el número de desviaciones típicas que tiene X respecto a la media de su propia distribución. La fórmula de estandarización y el concepto de contar desviaciones típicas de la media es el secreto de todo lo que haremos en esta clase de Estadística. La razón de esto es que toda la estadística se reduce a la variación, y el recuento de las desviaciones típicas es una medida de variación. Esta fórmula, con muchas apariencias, reaparecerá una y otra vez a lo largo de este curso. Las calificaciones del examen final de una clase de Estadística se distribuyeron normalmente, con una media de 63 y una desviación típica de cinco. a. Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga más de 65 puntos en el examen. b. Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación inferior a 85. a. Supongamos que X = una calificación en el examen final. X ~ N (63, 5), donde μ = 63 y σ = 5. Dibuje un gráfico. Entonces, calcule P ( x > 65). P ( x > 65) = 0,3446 Z 1 = x 1 – μ σ = 65 – 63 5 = 0,4 P ( x ≥ x 1 ) = P ( Z ≥ Z 1 ) = 0,3446 La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación superior a 65 es de 0,3446. Así es como hemos hallado esta respuesta. La tabla normal proporciona probabilidades desde cero hasta el valor Z 1 . Para este problema la pregunta se puede escribir como P(X ≥ 65) = P(Z ≥ Z 1 ), que es el área de la cola. Para calcular esta área la fórmula sería 0,5 – P(X ≤ 65). La mitad de la probabilidad está por encima del valor medio porque se trata de una distribución simétrica. El gráfico muestra cómo hallar el área en la cola restando esa porción de la media, cero, al valor Z 1 . La respuesta final es: P(X ≥ 63) = P(Z ≥ 0,4) = 0,3446 z = 65 – 63 5 = 0,4 El área a la izquierda de Z 1 a la media de cero es 0,1554 P ( x > 65) = P ( z > 0,4) = 0,5 - 0,1554 = 0,3446 b. Z = x - μ σ = 85 - 63 5 = 4,4 que es mayor que el valor máximo de la tabla normalizada. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación inferior a 85 es aproximadamente de uno o del 100 %. Una calificación de 85 está a 4,4 desviaciones típicas de la media de 63, lo que está fuera del rango de la tabla normal estándar. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación inferior a 85 es aproximadamente uno (o el 100 %). Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar obtenga una puntuación inferior a 65. normalcdf(0,65,68,3) = 0,1587 Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora. a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día. a. Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento. X ~ N (2, 0,5) donde μ = 2 y σ = 0,5. Calcule P (1,8 < x < 2,75). La probabilidad que se busca es el área entre x = 1,8 y x = 2,75. P (1,8 < x < 2,75) = 0,5886 P (1,8 ≤ x ≤ 2,75) = P ( Z i ≤ Z ≤ Z 2 ) La probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice entre 1,8 y 2,75 horas al día para el entretenimiento es de 0,5886 b. Calcule el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse. b. Para hallar el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse, calcule el percentil 25 , k , donde P ( x < k ) = 0,25. f ( Z ) = 0,5 – 0,25 = 0,25 , por lo que Z ≈ –0,675 ( o simplemente 0,67 utilizando la tabla ) Z = x – μ σ = x – 2 0,5 = –0,675 , por lo tanto x = –0,675 * 0,5 + 2 = 1,66 horas. El número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse es de 1,66 horas. Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista obtenga una puntuación entre 66 y 70. normalcdf(66,70,68,3) = 0,4950 En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. a. Determine la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfono inteligente en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga entre 23 y 64,7 años. a. 0,8186 b. Determine la probabilidad de que un usuario de teléfono inteligente seleccionado al azar en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga como máximo 50,8 años. b. 0,8413 Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas comprueba que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su finca siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5,85 cm y una desviación típica de 0,24 cm. a. Calcule la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro superior a 6,0 cm. Dibuje el gráfico. Z 1 = 6 – 5,85 0,24 = 0,625 P ( x ≥ 6) = P ( z ≥ 0,625) = 0,2670 b. El 20 % de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______. f ( Z ) = 0,20 2 = 0,10 Por lo tanto, Z ≈ ± 0,25 Z = x – μ σ = x – 5,85 0,24 = ± 0,25 → ± 0,25 · 0,24 + 5,85 = ( 5,79 , 5,91 ) Referencias “Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013). “403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013). “Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013). “Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013). “Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013).

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