Wstęp Wodospad Wiktorii na rzece Zambezi na granicy Zimbabwe i Zambii ma 1700 metrów szerokości i 108 metrów wysokości. Średnio przepływa przez niego 935 metrów sześciennych wody na sekundę. Ten gigantyczny przepływ wody posłużył nam do zilustrowania pojęcia strumienia pola, które łączy ze sobą wielkość fizyczną opisującą pole oraz powierzchnię, przez którą strumień przenika. I chociaż wprowadzamy to pojęcie dla pola elektrycznego, może być ono stosowane do zjawisk innych niż elektryczne, na przykład do przepływu płynów. Źródło: adaptacja pracy „Alessandro”/Flickr Pojęcie strumienia pola jest szeroko stosowane w fizyce. W tym rozdziale zajmiemy się strumieniem pola elektrycznego. W oparciu o definicję strumienia pola elektrycznego wyprowadzimy prawo Gaussa, które jest szczególnie użyteczne do wyznaczania natężenia pola elektrycznego dla symetrycznego rozkładu ładunku tj. dla znanego rozkładu linii pola. Głównymi, omawianymi tutaj zagadnieniami są: Strumień pola elektrycznego. Definiujemy strumień pola elektrycznego przez otwarte i zamknięte powierzchnie. Prawo Gaussa. Wyprowadzamy prawo Gaussa dla dowolnego rozkładu ładunku i sprawdzamy, jakie ma ono znaczenie w wyznaczaniu natężenia pola elektrycznego. Obliczanie natężenia pola elektrycznego na podstawie prawa Gaussa. W tym rozdziale skupiamy się na wyjaśnieniu, jak korzystać z prawa Gaussa do wyznaczenia natężenia pola o znanej geometrii linii (symetryczny rozkład ładunku). Omawiamy znaczenie wyboru powierzchni Gaussa i podajemy przykłady zastosowania prawa Gaussa. Pole elektryczne w przewodnikach. Wykorzystując prawo Gaussa udowodnimy znikanie pola elektrycznego wewnątrz przewodników. Ustaliliśmy, że pole elektryczne zaczyna się i kończy na ładunkach punktowych i że natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od tego ładunku. Właściwości pola elektrycznego ładunku punktowego pozwoliły na wyprowadzenie (później uogólnionego) ważnego matematycznego związku znanego jako prawo Gaussa. To prawo zostało nazwane dla uczczenia wybitnego niemieckiego matematyka i naukowca Karla Friedricha Gaussa (1777–1855) – . Prawo Gaussa pozwala w wygodny i prosty sposób wyznaczać natężenie pola elektrycznego i, jak to zobaczymy, może być prostsze w zastosowaniu niż metoda całkowania (sumowania), oparta na wykorzystaniu prawa Coulomba, opisana w poprzednim rozdziale. Jednak prawo Gaussa, chociaż zawsze słuszne, ma ograniczone możliwości zastosowania, może być łatwo wykorzystane jedynie dla rozkładów ładunku o określonej symetrii. Karl Friedrich Gauss (1777–1855) był sławnym dziewiętnastowiecznym matematykiem. Choć jego dorobek naukowy dotyczy głównie matematyki, jego wkład w rozwój fizyki i astronomii jest również znaczący.

Science


Strumień pola elektrycznego Formalnie strumień (ang. flux ) wyrażamy jako iloczyn skalarny pola wektorowego (w tym rozdziale – pola elektrycznego) i powierzchni. Strumień pola elektrycznego można zobrazować jako liczbę linii pola elektrycznego przechodzących przez powierzchnię ( ), która im większa, tym więcej linii pola przechodzi przez nią i tym samym większy jest strumień; podobnie im silniejsze jest pole elektryczne (co oznacza większą gęstość linii pola), tym większy jest strumień. Z drugiej strony, gdy obrócimy powierzchnię, tak że linie pola są równoległe do płaszczyzny, to żadna z linii nie przechodzi przez nią i strumień jest zerowy. Strumień pola elektrycznego zawiera informację o „liczbie” linii pola elektrycznego przechodzących przez powierzchnię. Wartość liczbowa strumienia zależy od wartości natężenia pola elektrycznego, wielkości powierzchni i jej orientacji względem kierunku pola elektrycznego. Makroskopowa analogia, która może pomóc w zrozumieniu tego pojęcia, to umieszczenie obręczy w rzece. Gdy zmieniamy kąt, jaki tworzy ona względem kierunku prądu rzeki, regulujemy strumień wody przepływający przez obręcz. Podobnie przepływ wody przez obręcz zależy od tego, jak silny jest prąd rzeki i jak wielka jest obręcz. Podkreślmy ponownie, że pojęcie strumienia jest bardzo ogólne; przykładowo możemy je również stosować do opisu ilości promieniowania słonecznego docierającego do panelu fotowoltaicznego czy też rejestrowanej w teleskopie ilości energii docierającej z odległych gwiazd. Żeby wyrazić ilościowo to pojęcie, na (a) pokazano płaską powierzchnię S 1 prostopadłą do linii jednorodnego pola elektrycznego E → = E ⋅ y ̂ . Jeżeli N linii pola przechodzi przez powierzchnię S 1 , to z definicji linii pola elektrycznego ( Ładunki elektryczne i pola ) wiemy, że N ∕ S 1 ∝ E , czyli N ∝ E  S 1 . Wielkość E  S 1 jest strumieniem natężenia pola elektrycznego (ang. electric flux ) przez S 1 . Strumień natężenia pola elektrycznego przez otwartą powierzchnię taką jak S 1 oznaczamy symbolem Φ E \Phi_E . Jest on wielkością skalarną i jego jednostką w układzie SI jest N  m 2 ∕ C . Zauważ, że N ∝ E  S 1 można zapisać jako N ∝ Φ E N \propto \Phi_E , pokazując, że strumień natężenia pola elektrycznego jest miarą liczby linii pola elektrycznego przenikających przez powierzchnię. (a) Płaska powierzchnia S 1 jest prostopadła do pola elektrycznego o natężeniu E  j ̂ . N linii pola przechodzi przez powierzchnię S 1 . (b) Powierzchnia S 2 , której rzut na płaszczyznę x z to S 1 . Ta sama liczba linii pola przenika obie powierzchnie. Rozważmy teraz przykład płaskiej powierzchni, która nie jest prostopadła do pola. Jak przedstawiamy strumień natężenia pola elektrycznego dla takiego przypadku? (b) pokazuje powierzchnię S 2 , która jest nachylona pod kątem θ w stosunku do płaszczyzny x z i której rzut na tę płaszczyznę wynosi S 1 . Związek pomiędzy powierzchniami jest dany przez S 2  cos θ = S 1 . Ponieważ ta sama liczba linii pola przechodzi przez obie powierzchnie S 1 i S 2 , strumienie przez obie powierzchnie są takie same. Strumień przez S 2 wynosi więc Φ E = E  S 1 = E  S 2  cos θ \Phi_E = ES_1 = ES_2 \cos \theta . Wprowadzając n ̂ 2 jako wektor jednostkowy prostopadły do S 2 – zob. (b), otrzymujemy Φ E = E → ⋅ n ̂ 2  S 2  . \Phi_E = \vec{E} \cdot \hat{n}_2 S_2 \text{.} Obejrzyj film , żeby zobaczyć, jak zmienia się strumień wraz ze zmianą powierzchni i jej nachylenia lub zmianą natężenia pola elektrycznego. Wektor powierzchni Przy omawianiu strumienia pola wektorowego wygodnie jest wprowadzić wektor powierzchni S → . Pozwala to na zapisanie ostatniego równania w bardziej spójnej postaci. Jaka powinna być długość wektora powierzchni? Jaki powinien być kierunek wektora powierzchni? Jakie są konsekwencje odpowiedzi udzielonych na powyższe pytania? Wektor powierzchni (ang. area vector ) dla płaskiej powierzchni S ma następującą długość i kierunek: długość jest równa liczbowo powierzchni ( S ); skierowany jest wzdłuż normalnej do powierzchni ( n ̂ ); to znaczy jest prostopadły do powierzchni. Ponieważ normalna do płaskiej powierzchni może być zwrócona w górę lub w dół, zwrot wektora powierzchni dla otwartej powierzchni może zostać wybrany, tak jak pokazano na . Dla płaszczyzny otwartej należy wybrać zwrot wektora powierzchni; można to zrobić na dwa pokazane tutaj sposoby. Wektor powierzchni dla wycinka powierzchni zamkniętej jest z definicji zwrócony na zewnątrz. W ten sposób jednoznacznie określamy jego zwrot. Ponieważ n ̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni (wersorem), dla każdego punktu powierzchni można wybrać zwrot wektora powierzchni na dwa sposoby – (a). Dla otwartej powierzchni możemy przyjąć jeden z dwóch możliwych zwrotów, ale wyboru tego musimy konsekwentnie przestrzegać. Część (c) pokazuje kilka przypadków. (a) Dla każdego punktu powierzchni możemy wybrać wektor jednostkowy normalny do powierzchni na dwa sposoby. (b) W celu obliczenia strumienia przez zamkniętą powierzchnię stosujemy wektor jednostkowy normalny do powierzchni, skierowany na zewnątrz powierzchni. (c) Tylko dla S 3 podano spójny zestaw wektorów normalnych, pozwalający na zdefiniowanie strumienia przez tę powierzchnię. Jeżeli mamy do czynienia z zamkniętą powierzchnią, to otacza ona pewną objętość. W takim przypadku wektor normalny (ang. normal vector ) w każdym punkcie powierzchni jest skierowany od jej wnętrza na zewnątrz. Dla zamkniętej powierzchni, takiej jak na (b), n ̂ jest wybrany tak, aby dla każdego punktu powierzchni był skierowany wzdłuż normalnej na zewnątrz, zgodnie z przyjętą konwencją znaku ładunku elektrycznego. Strumień natężenia pola elektrycznego Teraz, kiedy już zdefiniowaliśmy wektor powierzchni, możemy określić strumień natężenia jednorodnego pola elektrycznego przez płaską powierzchnię jako iloczyn skalarny natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni, tak jak go zdefiniowano w podrozdziale Mnożenie wektorów Φ E = E → ⋅ S →  . \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} \text{.} Na pokazane jest pole elektryczne wytworzone przez przeciwnie naładowane, równoległe płytki, pomiędzy którymi znajduje się wirtualne pudełko. Pole elektryczne pomiędzy płytkami jest jednorodne i skierowane od płytki dodatniej do płytki ujemnej. Obliczenia strumienia natężenia pola elektrycznego przez różne ścianki pudełka pokazują, że wypadkowy strumień przechodzący przez pudełko jest równy zero. Dlaczego tak jest? Strumień natężenia pola elektrycznego przenikający sześcian umieszczony pomiędzy dwoma naładowanymi płytkami. Strumień przez dolną ściankę ( A B C D A \sep B \sep C \sep D ) jest ujemny, ponieważ wektor E → jest zwrócony przeciwnie do normalnej do powierzchni. Strumień przez górną ściankę ( F G H K F \sep G \sep H \sep K ) jest dodatni, ponieważ wektor ten i normalna mają ten sam zwrot. Strumień przez pozostałe ścianki jest równy zero, gdyż wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do wektorów normalnych dla tych ścianek. Wypadkowy strumień przez sześcian jest sumą strumieni przenikających sześć ścianek i w tym przypadku wynosi zero. Wartość strumienia przez prostokąt B C K F B \sep C \sep K \sep F jest równa wartości strumienia przez górną i dolną ściankę. Powodem tego jest fakt, że źródła pola elektrycznego znajdują się na zewnątrz pudełka, a nie w jego wnętrzu, stąd linie pola, które wchodzą do wnętrza pudełka przenikając przez jego ścianki, muszą też z niego wyjść. Zatem, mówiąc ogólnie, strumień natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zero, gdy nie ma ładunków źródłowych, dodatnich bądź ujemnych, wewnątrz zamkniętej powierzchni. Gdy linie pola wychodzą z zamkniętej powierzchni, to Φ E \Phi_E jest dodatni; a gdy wchodzą do powierzchni, Φ E \Phi_E jest ujemny. Każdą gładką, niepłaską powierzchnię można potraktować jako zbiór małych, w przybliżeniu płaskich elementów, tak jak pokazano na . Jeżeli podzielimy powierzchnię S na małe elementy (fragmenty), to zauważymy, że im mniejsze są te elementy, tym z lepszym przybliżeniem tworzą płaskie powierzchnie. Powierzchnię Ziemi również traktujemy lokalnie jako płaską, chociaż wiemy, że w całości ma w przybliżeniu kształt kulisty. Powierzchnia została podzielona na elementarne wycinki w celu wyznaczenia strumienia. Żeby kontrolować elementy powierzchni, możemy je ponumerować od 1 do N . Teraz dla każdego elementu definiujemy wektor o długości odpowiadającej wartości jego pola powierzchni i skierowany wzdłuż normalnej. Oznaczmy wektor powierzchni dla i -tego elementu jako δ S → i \prefop{\delta} \vec{S}_i (użyliśmy symbolu δ , ponieważ element jest dowolnie mały). Dla dostatecznie małych elementów możemy z dobrym przybliżeniem przyjąć, że pole elektryczne przechodzące przez nie jest jednorodne. Oznaczmy średnie natężenie pola elektrycznego w miejscu i -tego elementu jako E → i . Zatem możemy zapisać strumień natężenia pola elektrycznego Φ E \Phi_E przez powierzchnię i -tego elementu jako δ Φ E i = E → i ⋅ δ S → i  . \prefop{\delta} \Phi_{E\sep i} = \vec{E}_i \cdot \prefop{\delta} \vec{S}_i \text{.} W ten sposób możemy wyznaczyć strumień przenikający przez każdy pojedynczy element (fragment) powierzchni, a następnie zsumować pojedyncze strumienie, aby wyznaczyć (oszacować) wypadkowy strumień przenikający przez całą powierzchnię S , który oznaczamy po prostu jako Φ E \Phi_E Φ E = ∑ i = 1 N δ Φ E i = ∑ i = 1 N E → i ⋅ δ S → i  . \Phi_E = \sum_{i=1}^N \prefop{\delta} \Phi_{E\sep i} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \prefop{\delta} \vec{S}_i \text{.} To szacowanie staje się coraz dokładniejsze wraz ze zmniejszaniem się elementów. Jednak gdy dzielimy powierzchnię na mniejsze fragmenty, to potrzebujemy ich więcej do pokrycia całej powierzchni. W granicy dla nieskończenie małych elementów (elementów różniczkowych) można przyjąć, że mają one powierzchnię d S i jednostkowy wektor normalny (wersor) n ̂ . Ponieważ elementy są nieskończenie małe, możemy je uznać za płaskie i przyjąć, że E → i przenikające przez każdy element jest stałe. Wtedy strumień d Φ E \d \Phi_E przez powierzchnię d S jest dany jako d Φ E = E → ⋅ n ̂  d S \d \Phi_E = \vec{E} \cdot \hat{n} \d S . Jest on dodatni, gdy kąt pomiędzy E → i oraz n ̂ wynosi mniej niż 90 ° i ujemny, gdy kąt jest większy niż 90 ° . Wypadkowy strumień jest sumą nieskończenie małych elementarnych strumieni dla całej powierzchni. Dla nieskończenie małych elementów powierzchni ich liczba zmierza do nieskończoności i suma przechodzi w całkę. Otrzymujemy zatem całkę po (otwartej) powierzchni S Φ E = ∬ S E → ⋅ n ̂  d S = ∬ S E → ⋅ d S →  . \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \iint_S \vec{E} \cdot \d \vec{S} \text{.} W praktyce całki powierzchniowe obliczamy, stosując całkę podwójną po obu wymiarach (zmiennych), przyjmując krawędzie rozpatrywanej powierzchni jako granice całkowania. Aby rozróżnić strumień przez otwartą powierzchnię, taką jak na , od strumienia przez zamkniętą powierzchnię (otaczającą pewną objętość), przedstawiamy strumień przez zamkniętą powierzchnię jako Φ E = ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = ∯ S E → ⋅ d S →  , \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \d \vec{S} \text{,} gdzie kółko na symbolu całki oznacza, że mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą i że całkujemy po całej tej powierzchni. Jeżeli całkujemy tylko po części zamkniętej powierzchni, oznacza to, że traktujemy ten jej podzbiór jako powierzchnię otwartą. Strumień natężenia jednorodnego pola elektrycznego Pole elektryczne o stałym natężeniu E 0 jest skierowane w stronę dodatniej osi z ( ). Ile wynosi strumień pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię o bokach a i b , znajdującą się w płaszczyźnie x y ; w płaszczyźnie x z ? Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego E 0 przez prostokątną powierzchnię. Strategia rozwiązania Skorzystajmy z definicji strumienia: Φ E = E → ⋅ S → \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} (jednorodne pole E → ), w której kluczowe jest obliczenie iloczynu skalarnego. Rozwiązanie W tym przypadku Φ E = E → 0 ⋅ S → = E 0  S = E 0  a  b  . \Phi_E = \vec{E}_0 \cdot \vec{S} = E_0 S = E_0 ab \text{.} Wektor powierzchni jest zwrócony albo wzdłuż dodatniej osi y , albo w stronę ujemnej osi y . Dlatego iloczyn skalarny natężenia pola elektrycznego i wektora powierzchni wynosi zero i w konsekwencji strumień też ma wartość zero. Znaczenie Orientacja pola elektrycznego względem powierzchni może w szczególności skutkować zerowym strumieniem pola przez powierzchnię. Strumień natężenia pola elektycznego przez zamkniętą powierzchnię Stałe pole elektryczne o natężeniu E 0 jest zwrócone w stronę dodatniej osi z ( ). Ile wynosi wypadkowy strumień pola przez sześcian? Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego E 0 przez zamkniętą powierzchnię sześcianu. Strategia rozwiązania Skorzystajmy z definicji strumienia: Φ E = E → ⋅ S → \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} (jednorodne pole E → ), pamiętając, że dla powierzchni zamkniętej nie występuje niejednoznaczność w wyborze zwrotu wektora powierzchni. Rozwiązanie Dla górnej ścianki sześcianu Φ E = E → 0 ⋅ S → = E 0  S  . \Phi_E = \vec{E}_0 \cdot \vec{S} = E_0 S \text{.} Dla dolnej ścianki sześcianu Φ E = E → 0 ⋅ S → = − E 0  S  , \Phi_E = \vec{E}_0 \cdot \vec{S} = - E_0 S \text{,} ponieważ wektor powierzchni jest zwrócony w dół. Dla pozostałych czterech ścianek wektor powierzchni jest prostopadły do kierunku pola, dlatego iloczyn skalarny natężenia pola i wektora powierzchni jest równy zero i daje zerowy strumień. Wypadkowy strumień wynosi Φ E wyp = E 0  S − E 0  S = 0  N  m 2 ∕ C  . \Phi_{E\sep\text{ wyp}} = E_0 S - E_0 S = \SI{0}{\newton\metre\squared\per\coulomb} \text{.} Znaczenie Wypadkowy strumień jednorodnego pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zero. Strumień natężenia pola elektrycznego przez płaszczyznę, metoda całkowania Jednorodne pole elektryczne o natężeniu E → równym 10  N ∕ C jest skierowane równolegle do płaszczyzny y z i pod kątem 30 ° w górę od płaszczyzny x y , jak pokazano na . Ile wynosi strumień natężenia pola elektrycznego przez płaszczyznę o powierzchni 6  m 2 , leżącą w płaszczyźnie x z ? Załóżmy, że n ̂ jest zgodny z kierunkiem osi y . Wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię S . Strategia rozwiązania Skorzystajmy z równania Φ E = ∬ S E → ⋅ n ̂  d S \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S , gdzie kierunek i wartość natężenia pola elektrycznego są stałe. Rozwiązanie Kąt pomiędzy wektorem natężenia jednorodnego pola elektrycznego E → a wersorem normalnym do powierzchni n ̂ wynosi 30 ° . Ponieważ zarówno kierunek, jak i wartość natężenia pola elektrycznego są stałe, można wyłączyć E przed całkę. Pozostaje więc całkowanie po powierzchni d S , które daje w wyniku S . Stąd, korzystając z równania dla otwartej powierzchni, znajdujemy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię Φ E = ∬ S E → ⋅ n ̂  d S = E  S  cos θ = 10  N ∕ C ⋅ 6  m 2 ⋅ cos 30 ° = 52  N  m 2 ∕ C  . \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = ES \cos \theta = \SI{10}{\newton\per\coulomb} \cdot \SI{6}{\metre\squared} \cdot \cos \ang{30} = \SI{52}{\newton\metre\squared\per\coulomb} \text{.} Znaczenie Ponownie istotny jest kierunek pola elektrycznego względem powierzchni, a ogólne równanie zawierające całkę upraszcza się do zwykłego iloczynu skalarnego powierzchni i natężenia pola elektrycznego. Sprawdź, czy rozumiesz. Jaki kąt powinien tworzyć wektor natężenia pola elektrycznego z powierzchnią pokazaną na w poprzednim przykładzie, aby strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię był równy zero? Należy ustawić powierzchnię tak, aby wersor normalny był prostopadły do E → . Niejednorodne pole elektryczne Jaki jest całkowity strumień pola elektrycznego o natężeniu E → = c  y 2  k ̂ przez prostokątną powierzchnię pokazaną na ? Ponieważ natężenie pola elektrycznego nie jest stałe na całej powierzchni, do obliczenia strumienia konieczne jest całkowanie. Strategia rozwiązania Skorzystajmy ze wzoru Φ E = ∬ S E → ⋅ n ̂  d S \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S . Zakładamy, że wersor normalny n ̂ w danym punkcie powierzchni jest skierowany w dodatnim kierunku z , tak że n ̂ = k ̂ . Ponieważ natężenie pola elektrycznego nie jest jednakowe na całej powierzchni, konieczne jest podzielenie powierzchni na nieskończenie małe paski, wzdłuż których E → jest stałe. Tak jak pokazano na , te paski są równoległe do osi x i każdy z nich ma powierzchnię d S = b  d y . Rozwiązanie Znajdujemy wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię, obliczając całkę dla powierzchni otwartej Φ E = ∬ S E → ⋅ n ̂  d S = ∫ 0 a c  y 2  k ̂ ⋅ k ̂  b  d y = c  b  ∫ 0 a y 2  d y = 1 3  a 3  b  c  . \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \int_0^a cy^2 \hat{k} \cdot \hat{k} b \d y = cb \int_0^a y^2 \d y = \frac{1}{3}a^3bc \text{.} Znaczenie Metoda całkowania jest konieczna w przypadku niejednorodnego pola elektrycznego. Sprawdź, czy rozumiesz. Jeżeli pole elektryczne w ma natężenie E → = m  x  k ̂ , to ile wynosi strumień przechodzący przez prostokątną powierzchnię? m  a  b 2 ∕ 2 . Podsumowanie Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię jest proporcjonalny do liczby linii pola przenikających powierzchnię. Zauważ, że wielkość strumienia jest proporcjonalna do części (składowej) pola prostopadłej do powierzchni. Strumień natężenia pola elektrycznego jest wyznaczany poprzez obliczenie całki powierzchniowej Φ E = ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = ∯ S E → ⋅ d S →  , \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \d \vec{S} \text{,} gdzie S jest powierzchnią zamkniętą. Pytania Przeanalizuj, jakie powinno być ustawienie płaskiej powierzchni S w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E 0 , aby uzyskać maksymalny strumień; minimalny strumień; przez tę powierzchnię. a. Jeżeli płaska powierzchnia jest ustawiona prostopadle do wektora natężenia pola elektrycznego, to strumień jest maksymalny; b. Jeżeli płaska powierzchnia jest ustawiona równolegle do wektora natężenia pola elektrycznego, to strumień jest minimalny. Jakie są maksymalna i minimalna wartość strumienia w poprzednim pytaniu? Wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zero. Prawda czy fałsz? Prawda. Wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię otwartą nigdy nie jest równy zero. Prawda czy fałsz? Zadania Jednorodne pole elektryczne o natężeniu 1,1 ⋅ 10 4  N ∕ C jest prostopadłe do kwadratowej powierzchni o boku długości 2  m . Jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego przez tę powierzchnię? Oblicz strumień przez powierzchnię z poprzedniego zadania w sytuacji, gdy płaszczyzna tworzy kąt 60 ° z kierunkiem pola. Znajdź strumień dla obu zwrotów wersora normalnego do powierzchni. Φ E = E → ⋅ S → = E  S  cos θ = 2,2 ⋅ 10 4  N  m 2 ∕ C \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta = \SI{2.2e4}{\newton\metre\squared\per\coulomb} pole elektryczne zgodne z kierunkiem wersora normalnego, Φ E = E → ⋅ S → = E  S  cos θ = − 2,2 ⋅ 10 4  N  m 2 ∕ C \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta = -\SI{2.2e4}{\newton\metre\squared\per\coulomb} pole elektryczne przeciwne do wersora normalnego. Znajdź strumień natężenia pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię o wymiarach 3  cm × 2  cm , znajdującą się pomiędzy dwoma płytami, między którymi występuje stałe pole elektryczne o natężeniu 30  N ∕ C dla następujących ustawień tej powierzchni: równolegle do płyt; prostopadle do płyt; normalna do powierzchni tworzy kąt 30 ° z kierunkiem pola elektrycznego. Zauważ, że ten kąt może być także podany jako równy 180 ° + 30 ° . Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię w kształcie kwadratu o boku 5  cm , umieszczoną w pobliżu dużej naładowanej płyty, wynosi 3 ⋅ 10 -5  N  m 2 ∕ C , gdy powierzchnia jest ustawiona równolegle do płyty. Znajdź gęstość powierzchniową ładunku płyty. E = σ ∕ 2  ε 0 = Φ E ∕ S ⇒ σ = 2  ε 0  Φ E ∕ S = 2,12 ⋅ 10 -13  C ∕ m E = \sigma / (2 \epsilon_0) = \Phi_E / S \implies \sigma = 2 \epsilon_0 \Phi_E / S = \SI{2,12e-13}{\coulomb\per\metre} Dwie duże, prostokątne płyty aluminiowe o powierzchni 150  cm 2 ustawione są naprzeciw siebie w odległości 3  mm od siebie. Płyty naładowane są ładunkami jednakowymi co do wartości, ale o przeciwnych znakach, ± 20  µC \prefop{\pm} \SI{20}{\micro\coulomb} . Ładunki na płytach znajdują się naprzeciw siebie. Znajdź strumień przechodzący przez koło o promieniu 3  cm , umieszczone pomiędzy płytami, gdy normalna do powierzchni koła tworzy kąt 5 ° z linią prostopadłą do płyt. Zauważ, że ten kąt może być również podany jako równy 180 ° + 5 ° . Kwadrat o powierzchni 2  cm 2 znajduje się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu 10 3  N ∕ C . Wielkość strumienia przez ten kwadrat zależy od jego ustawienia względem kierunku pola elektrycznego. Znajdź strumień natężenia pola elektrycznego przez kwadrat, gdy normalna do jego powierzchni tworzy następujące kąty z polem elektrycznym: 30 ° ; 90 ° ; 0 ° . Zauważ, że te kąty mogą być też podane jako równe 180 ° + θ . a. Φ E = 0 17  N  m 2 ∕ C ; b. Φ E = 0  N  m 2 ∕ C ; c. Φ E = 0,2  N  m 2 ∕ C . Pole wektorowe jest skierowane wzdłuż osi z , v → = α ∕ x 2 + y 2 ⋅ k ̂ \vec{v} = \alpha / (x^2 + y^2) \cdot \hat{k} . Znajdź strumień pola wektorowego przez prostokąt znajdujący się w płaszczyźnie x y pomiędzy a < x < b oraz c < y < d ; Wykonaj te same obliczenia dla prostokąta w płaszczyźnie y z , znajdującego się pomiędzy a < z < b oraz c < y < d (podaj swoją odpowiedź w postaci całki). Rozważ jednorodne pole elektryczne o natężeniu E → = 4 ⋅ 10 3  N ∕ C ⋅ j ̂ + 3 ⋅ 10 3  N ∕ C ⋅ k ̂  . \vec{E} = \SI{4e3}{\newton\per\coulomb} \cdot \hat{j} + \SI{3e3}{\newton\per\coulomb} \cdot \hat{k} \text{.} Jaki jest strumień natężenia tego pola elektrycznego przez kołową powierzchnię o promieniu 2  m , która znajduje się w płaszczyźnie x y ? Φ E = 3,8 ⋅ 10 4  N  m 2 ∕ C . Powtórz obliczenia dla powierzchni kołowej znajdującej się w płaszczyźnie y z ; pod kątem 45 ° powyżej płaszczyzny x y . Nieskończenie długi drut naładowany z gęstością liniową ładunku λ został umieszczony na osi symetrii cylindrycznej powierzchni o promieniu r i długości l . Jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego, wytworzonego przez naładowany drut, przez tę powierzchnię? E →  z = 2  λ ∕ 4  π  ε 0  z ⋅ k ̂ \vec{E} \apply (z) = 2\lambda / (4\pi \epsilon_0 z) \cdot \hat{k} , Φ E = ∬ S E → ⋅ n ̂  d S = λ  l ∕ ε 0 \Phi_E = \iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \lambda l / \epsilon_0 . wektor powierzchni (ang. area vector ) wektor, którego długość jest równa liczbowo powierzchni i o kierunku prostopadłym do tej powierzchni strumień natężenia pola elektrycznego (ang. electric flux ) iloczyn skalarny natężenia pola elektrycznego i powierzchni, przez którą to pole przechodzi strumień (ang. flux ) ilość czegoś (jakiejś wielkości) przechodzącego przez daną powierzchnię

Science


Wyjaśnienie prawa Gaussa Możemy teraz wyznaczyć strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię, od dowolnego rozkładu ładunku. Stwierdziliśmy, że gdy wewnątrz zamkniętej powierzchni nie ma żadnych ładunków, na których kończyłyby się linie pola elektrycznego, to dowolne linie pola elektrycznego wchodzące do wnętrza powierzchni w dowolnym jej punkcie muszą koniecznie wyjść na zewnątrz w innym punkcie powierzchni. Dlatego, gdy nie ma ładunków wewnątrz otoczonej (ograniczonej) powierzchnią objętości, to strumień natężenia pola elektrycznego przenikający tę powierzchnię jest równy zero. Jaki natomiast będzie strumień natężenia pola elektrycznego, gdy wewnątrz otoczonej powierzchnią objętości znajdują się ładunki elektryczne? Prawo Gaussa dostarcza ilościowej odpowiedzi na to pytanie. Żeby zorientować się, czego możemy się spodziewać, obliczymy strumień natężenia pola elektrycznego przez sferyczną powierzchnię wokół dodatniego ładunku punktowego q , gdyż wiemy, jakie jest natężenie pola elektrycznego w tym przypadku. Przypomnij sobie, że gdy umieściliśmy ładunek punktowy w początku układu współrzędnych, to natężenie pola elektrycznego w punkcie P odległym o r od ładunku było dane wyrażeniem E → P = q 4  π  ε 0 ⋅ 1 r 2  r ̂  , gdzie r ̂ jest wektorem jednostkowym skierowanym od ładunku do punktu P . Możemy teraz skorzystać z wyrażenia na natężenie pola elektrycznego do znalezienia strumienia pola przez powierzchnię sferyczną o promieniu r , jak pokazano na . Zamknięta sferyczna powierzchnia otaczająca ładunek punktowy q . Następnie podstawiamy wartości do wzoru Φ E = ∯ S E → ⋅ n ̂  d S \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S . Dla omawianego przypadku sfery n ̂ = r ̂ oraz r = R , tak więc dla nieskończenie małego elementu powierzchni d S d Φ E = E → ⋅ n ̂  d S = 1 4  π  ε 0 ⋅ q R 2  r ̂ ⋅ r ̂  d S = 1 4  π  ε 0 ⋅ q R 2  d S  . \d \Phi_E = \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2}\hat{r} \cdot \hat{r} \d S = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2} \d S \text{.} Teraz obliczamy wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego, całkując elementarny strumień po powierzchni sfery Φ E = 1 4  π  ε 0 ⋅ q R 2  ∯ S d S = 1 4  π  ε 0 ⋅ q R 2 ⋅ 4  π  R 2 = q ε 0  , \Phi_E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2} \prefop{\u{222F}}_S \d S = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R^2} \cdot 4\pi R^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \text{,} gdzie uwzględniono powierzchnię sfery 4  π  R 2 . W wyniku otrzymujemy strumień przez zamkniętą, sferyczną powierzchnię o promieniu r Φ E = q ε 0  . \Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0} \text{.} Ciekawe jest to, że zgodnie z powyższym równaniem strumień jest niezależny od rozmiaru powierzchni sferycznej. Można to uzasadnić następująco: ponieważ strumień jest iloczynem natężenia pola, które w tym przypadku jest proporcjonalne do 1 ∕ r 2 , i wielkości powierzchni, która jest proporcjonalna do r 2 , zatem ich iloczyn będzie wielkością niezależną od r r . Wizualizacja za pomocą linii pola elektrycznego Alternatywnym sposobem pokazania, dlaczego strumień przez zamkniętą sferyczną powierzchnię nie zależy od promienia sfery, jest obserwacja linii pola elektrycznego. Zauważmy, że każda linia pola wychodząca z ładunku q , przenikająca powierzchnię o promieniu R 1 przenika także powierzchnię o promieniu R 2 ( ). Strumienie przez sferyczne powierzchnie o promieniach R 1 i R 2 otaczające ładunek q są równe niezależnie od rozmiaru powierzchni, ponieważ wszystkie linie pola E , które zaczynają się na ładunku, wychodzą przez obie powierzchnie sferyczne. Dlatego wypadkowa liczba linii pola elektrycznego wychodzących na zewnątrz przez obie powierzchnie jest taka sama. Ta wypadkowa liczba linii odpowiada strumieniowi pola elektrycznego przenikającemu przez te powierzchnie. Widać, że gdy nie ma ładunków wewnątrz zamkniętej powierzchni, strumień pola elektrycznego musi być równy zero. Typowe linie pola wchodzą przez powierzchnię d S 1 i wychodzą przez d S 2 . Każda linia, która wchodzi przez powierzchnię musi także wyjść przez nią. Dlatego wypadkowy „przepływ” linii pola wchodzących i wychodzących jest równy zero – (a). Taka sama sytuacja ma miejsce, gdy ładunki równe, ale te o przeciwnych znakach znajdują się wewnątrz zamkniętej powierzchni, tak że wypadkowy ładunek wewnątrz jest równy zero – (b). Dla określonego ładunku możemy wybrać otaczającą powierzchnię w zasadzie dowolnie (pod względem jej kształtu i rozmiaru). Dla każdej takiej powierzchni liczba linii przechodzących przez nią będzie taka sama – (c). Rozumienie strumienia z punktu widzenia linii pola. (a) Strumień pola elektrycznego przenikającego przez zamkniętą powierzchnię, którego źródłem jest ładunek poza tą powierzchnią, jest równy zero. (b) Ładunki znajdują się wewnątrz powierzchni, ale ponieważ wypadkowy ładunek jest równy zero, również wypadkowy strumień jest równy zero. (c) Kształt i rozmiar powierzchni otaczającej ładunki nie mają znaczenia, gdyż strumień przenikający każdą powierzchnię jest taki sam. Sformułowanie prawa Gaussa Prawo Gaussa uogólnia ten wynik na przypadek dowolnej liczby ładunków o dowolnym rozmieszczeniu w przestrzeni ograniczonej przez zamkniętą powierzchnię. Zgodnie z prawem Gaussa strumień natężenia pola elektrycznego E → przez dowolną zamkniętą powierzchnię, nazywaną powierzchnią Gaussa (ang. Gaussian surface ), jest równy wypadkowemu ładunkowi otoczonemu przez tę powierzchnię ( q wew ), podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni ( ε 0 ) Φ E = q wew ε 0  . \Phi_E = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{.} To równanie obowiązuje dla ładunków dowolnego znaku, ponieważ zdefiniowaliśmy wektor powierzchni jako skierowany na zewnątrz powierzchni zamkniętej. Jeżeli otoczony ładunek jest ujemny, zobacz (b), wtedy strumień zarówno przez S , jak i S ′ jest ujemny. Strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię otaczającą ładunek punktowy q może być obliczony na podstawie prawa Gaussa. (a) Otoczony ładunek jest dodatni. (b) Otoczony ładunek jest ujemny. Powierzchnia Gaussa nie musi być powierzchnią rzeczywistego obiektu i zazwyczaj jest matematyczną (wirtualną) powierzchnią o dowolnym kształcie; ważne, żeby była to powierzchnia zamknięta. Jednak ponieważ zamierzamy całkować strumień po tej wirtualnej powierzchni, staramy się wybierać kształty (powierzchnie) o wysokim stopniu symetrii. Jeżeli mamy do czynienia z odrębnymi ładunkami punktowymi, to po prostu dodajemy je. Jeżeli dany jest ciągły rozkład ładunku, wtedy konieczne jest obliczenie odpowiedniej całki celem znalezienia całkowitego ładunku znajdującego się w otoczonej objętości. Na przykład strumień przez powierzchnię Gaussa S pokazaną na wynosi Φ E = q 1 + q 2 + q 5 ∕ ε 0 . Zauważmy, że q wew jest po prostu sumą ładunków punktowych. Gdybyśmy mieli do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku, musielibyśmy obliczyć odpowiednią całkę, aby wyznaczyć całkowity ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa. Strumień przez powierzchnię Gaussa od przedstawionego rozkładu ładunków wynosi Φ E = q 1 + q 2 + q 5 ∕ ε 0 . Przypomnijmy sobie, że dla pola elektrycznego obowiązuje zasada superpozycji. Dlatego całkowite natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie, w tym również na powierzchni Gaussa, jest sumą wszystkich natężeń pól elektrycznych w tym punkcie. To pozwala nam wyrazić prawo Gaussa za pomocą całkowitego natężenia pola elektrycznego. Prawo Gaussa Strumień Φ E natężenia pola elektrycznego E → przez dowolną zamkniętą powierzchnię S (powierzchnię Gaussa) jest równy wypadkowemu ładunkowi ( q wew ) otoczonemu przez tę powierzchnię, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni ( ε 0 ) Φ E = ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = q wew ε 0  . \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{.} Aby skutecznie korzystać z prawa Gaussa, musisz w pełni rozumieć, co oznacza każdy wyraz w równaniu. Natężenie pola E → jest całkowitym natężeniem pola elektrycznego w każdym punkcie powierzchni Gaussa. To całkowite natężenie pola obejmuje przyczynki (wkład) od ładunków znajdujących się zarówno na zewnątrz, jak i wewnątrz powierzchni Gaussa. Jednak q wew jest ładunkiem wewnątrz powierzchni Gaussa. I wreszcie, powierzchnia Gaussa jest dowolną zamkniętą powierzchnią w przestrzeni. Może pokrywać się z rzeczywistą powierzchnią przewodnika lub może być dowolną wirtualną, geometryczną powierzchnią. Jedyny warunek, jaki musi spełniać powierzchnia Gaussa, to ten, żeby była ona powierzchnią zamkniętą ( ). Butelka Kleina (ang. Klein bottle ) wypełniona częściowo cieczą. Czy powierzchnia butelki Kleina może być użyta jako powierzchnia Gaussa? Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnie Gaussa Obliczmy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnie Gaussa pokazane na . Różne powierzchnie Gaussa i różne ładunki. Strategia rozwiązania Zgodnie z prawem Gaussa strumień przenikający przez każdą z powierzchni jest dany wyrażeniem q wew ∕ ε 0 , gdzie q wew jest ładunkiem otoczonym przez tę powierzchnię. Rozwiązanie Φ E = 2  µC ∕ ε 0 = 2,3 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; Φ E = − 2  µC ∕ ε 0 = -2,3 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; Φ E = − 2  µC ∕ ε 0 = -2,3 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; Φ E = − 4  µC + 6  µC − 1  µC ∕ ε 0 = 1,1 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; Φ E = 4  µC + 6  µC − 10  µC ∕ ε 0 = 0  N  m 2 ∕ C . Znaczenie W przypadku szczególnych, zamkniętych powierzchni, obliczanie strumienia sprowadza się do sumowania ładunków. W następnej części pozwoli nam to na rozważanie bardziej złożonych układów. Sprawdź, czy rozumiesz. Oblicz strumień natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię sześcianu dla każdego rozkładu ładunku pokazanego na . Sześcienna powierzchnia Gaussa z różnymi rozkładami ładunku. a. 3,4 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; b. − 3,4 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; c. 3,4 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; d. 0  N  m 2 ∕ C . Za pomocą tej symulacji zmieniaj wartość ładunku i promień powierzchni Gaussa otaczającej ładunek. Zobacz, jak wpływa to na całkowity strumień pola elektrycznego i na natężenie pola na powierzchni Gaussa. Podsumowanie Prawo Gaussa wiąże strumień natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię z wypadkowym ładunkiem wewnątrz tej powierzchni Φ E = ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = q wew ε 0  , \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{,} gdzie q wew jest całkowitym ładunkiem wewnątrz powierzchni Gaussa S . Przez wszystkie powierzchnie zawierające tę samą ilość ładunku przechodzi ta sama liczba linii pola, bez względu na kształt i rozmiar powierzchni, tak długo, jak powierzchnie otaczają tę samą ilość ładunku. Pytania Dwie koncentryczne, sferyczne powierzchnie otaczają ładunek punktowy q . Promień zewnętrznej sfery jest dwa razy większy niż promień sfery wewnętrznej. Porównaj strumienie natężenia pola elektrycznego przez obie powierzchnie. Ponieważ wektor natężenia pola elektrycznego zmienia się proporcjonalnie do 1 ∕ r 2 , strumienie są identyczne, gdyż S = 4  π  r 2 . Porównaj strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię sześcianu o boku długości a , w którego środku umieszczono ładunek q , ze strumieniem przechodzącym przez sferyczną powierzchnię o promieniu a , w której środku znajduje się ładunek q . Jeżeli strumień natężenia pola elektrycznego wynosi zero, to czy oznacza to, że natężenie pola elektrycznego jest też równe zero w każdym punkcie powierzchni? Jaki wypadkowy ładunek znajduje się wewnątrz powierzchni? a. Nie; b. Zero. Przedyskutuj, jak zmieniłoby się prawo Gaussa, gdyby natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego nie zmieniało się jak 1 ∕ r 2 . Omów podobieństwa i różnice pomiędzy polem grawitacyjnym punktowej masy m a polem elektrycznym ładunku punktowego q . Oba pola zmieniają się tak, jak 1 ∕ r 2 . Ponieważ stała grawitacyjna jest wielokrotnie mniejsza od 1 ∕ 4  π  ε 0 , to natężenie pola grawitacyjnego jest wiele rzędów słabsze niż natężenie pola elektrostatycznego. Przedyskutuj, czy prawo Gaussa może być stosowane w przypadku innych sił, a jeżeli tak, to jakich. Czy wyraz E → w prawie Gaussa oznacza natężenie pola elektrycznego wytworzonego tylko przez ładunki wewnątrz powierzchni Gaussa? Nie, to pole wytworzone przez wszystkie ładunki zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz powierzchni Gaussa. Przeformułuj prawo Gaussa, wybierając wersor normalny do powierzchni Gaussa o zwrocie do wnętrza powierzchni. Zadania Wyznacz strumień natężenia pola elektrycznego przez każdą z powierzchni, których przekroje są pokazane poniżej. Znajdź natężenie pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię, której przekroje są pokazane poniżej. a. Φ E = 3,39 ⋅ 10 3  N  m 2 ∕ C ; b. Φ E = 0  N  m 2 ∕ C ; c. Φ E = − 2,25 ⋅ 10 5  N  m 2 ∕ C ; d. Φ E = 90,4  N  m 2 ∕ C . Ładunek punktowy q został umieszczony w środku sześcianu o krawędziach długości a . Jeżeli w układzie nie występują inne ładunki, to jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez jedną ściankę sześcianu? Ładunek punktowy 10  µC znajduje się wewnątrz sześcianu o boku 2  cm . Znajdź wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię sześcianu. Φ E = 1,13 ⋅ 10 6  N  m 2 ∕ C . Wypadkowy strumień 10 4  N  m 2 ∕ C przenika do wnętrza przez powierzchnię sfery o promieniu 5  cm . Jak duży ładunek znajduje się wewnątrz sfery? W jaki sposób możemy na podstawie tej informacji określić dokładnie położenie ładunku? Ładunek q został umieszczony w jednym z narożników sześcianu o boku a , jak pokazano na rysunku poniżej. Wyznacz wartość strumienia natężenia pola elektrycznego przechodzącego przez zaznaczoną (pociemnioną) ściankę, wytworzonego przez ładunek q . Przyjmij q > 0  C q > \SI{0}{\coulomb} . Zbuduj duży sześcian z ładunkiem q w środku, używając do tego celu sześcianów o boku a . Będziesz potrzebował ośmiu sześcianów o boku a do zbudowania dużego sześcianu. Zaznaczona (pociemniona) ścianka małego sześcianu stanowiłaby 1 ∕ 24 całej powierzchni dużego sześcianu; dlatego strumień przez tę zaznaczoną powierzchnię wynosi Φ E = q ∕ 24  ε 0 . Strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez sześcienne pudełko o boku 8  cm wynosi 1,2 ⋅ 10 3  N  m 2 ∕ C . Jaki całkowity ładunek znajduje się w pudełku? Strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię sferyczną jest równy 4 ⋅ 10 4  N  m 2 ∕ C . Jaki jest wypadkowy ładunek otoczony przez tę powierzchnię? q = 3,54 ⋅ 10 −7  C . Sześcian o krawędziach długości d został umieszczony w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E = 4 ⋅ 10 3  N ∕ C , tak że pole elektryczne jest prostopadłe do dwóch przeciwległych ścian sześcianu. Jaki jest wypadkowy strumień przechodzący przez sześcian? Rozwiąż poprzednie zadanie, zakładając, że pole elektryczne jest skierowane wzdłuż przekątnej sześcianu. Zero, ponieważ strumień wchodzący jest równy strumieniowi wychodzącemu. Całkowity ładunek 5 ⋅ 10 -6  C jest równomiernie rozłożony w objętości sześcianu o boku długości 8  cm . Jaka jest gęstość ładunku w sześcianie? Jaki strumień natężenia pola elektrycznego przechodzi przez sześcian o krawędzi 12  cm , który jest współśrodkowy z danym rozkładem ładunku? Wykonaj te same obliczenia dla sześcianów o krawędziach długości 10  cm oraz 5  cm ; Jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego przez sferyczną powierzchnię o promieniu 3  cm , która też jest umieszczona współśrodkowo z danym rozkładem ładunku? powierzchnia Gaussa (ang. Gaussian surface ) dowolna powierzchnia zamknięta (zazwyczaj wirtualna)

Science


Stosowanie prawa Gaussa Prawo Gaussa jest bardzo użyteczne do wyznaczania natężenia pola elektrycznego, pomimo że samo prawo nie odnosi się wprost do natężenia pola elektrycznego, ale dotyczy strumienia natężenia pola elektrycznego. Okazuje się, że w sytuacjach, w których rozkład ładunku ma określoną symetrię (sferyczną, cylindryczną lub płaszczyznową), możemy wywnioskować, jakie jest natężenie pola elektrycznego, na podstawie znajomości strumienia pola elektrycznego. W tych układach możemy wybrać (znaleźć) taką powierzchnię Gaussa S , na której wektor natężenia pola ma stałą wartość. Ponadto, gdy wektor E → jest równoległy do n ̂ w każdym punkcie powierzchni, to E → ⋅ n ̂ = E (jeżeli E → oraz n ̂ są antyrównoległe na całej powierzchni, to E → ⋅ n ̂ = − E ). Prawo Gaussa upraszcza się wtedy do postaci Φ E = ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = E  ∯ S d S = E  S = q wew ε 0  , \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \prefop{\u{222F}}_S \d S = ES = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{,} gdzie S jest powierzchnią Gaussa. Zauważmy, że dla układów o takich symetriach obliczanie strumienia w wyniku całkowania przekształca się w obliczanie iloczynu natężenia pola elektrycznego i odpowiedniej powierzchni. Gdy mamy do czynienia z taką sytuacją, to prawo Gaussa przyjmuje postać równania algebraicznego, z którego można otrzymać natężenie pola elektrycznego jako E = q wew ε 0  S  . E = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0 S} \text{.} Kierunek pola elektrycznego w punkcie P P pola wynika z symetrii rozkładu ładunku i rodzaju tego ładunku. Dlatego prawo Gaussa może być wykorzystane do wyznaczenia E → . Poniżej podsumowanie kolejnych kroków postępowania: Strategia rozwiązania: prawo Gaussa Rozpoznaj rozkład natężenia pola elektrycznego od danego rozkładu ładunku. To ważny, pierwszy krok, który pozwoli wybrać właściwą powierzchnię Gaussa. Przykładowo ładunek punktowy ma symetrię sferyczną, a nieskończony ładunek liniowy ma symetrię cylindryczną. Wybierz powierzchnię Gaussa, która ma taką samą symetrię, jak rozkład ładunku, i zobacz, że przy takim wyborze łatwo wyznaczyć iloczyn E → ⋅ n ̂ na powierzchni Gaussa. Oblicz całkę ∯ S E → ⋅ n ̂  d S \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S po powierzchni Gaussa, czyli oblicz strumień przez tę powierzchnię . Symetria powierzchni Gaussa pozwala wyłączyć czynnik E → ⋅ n ̂ przed całkę. Wyznacz ładunek otoczony powierzchnią Gaussa . Tak obliczamy wartość wyrażenia po prawej stronie równania opisującego prawo Gaussa. Często do wyliczenia wypadkowego ładunku otoczonego przez powierzchnię konieczne jest obliczenie całki. Oblicz natężenie pola elektrycznego od rozkładu ładunku . Natężenie pola może teraz być znalezione z wykorzystaniem wyników otrzymanych w 3 i 4 kroku. Zasadniczo mamy trzy rodzaje symetrii, które pozwalają skorzystać z prawa Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego: rozkład ładunku o symetrii sferycznej, cylindrycznej, płaszczyznowej. Żeby wykorzystać tę symetrię, wykonujemy obliczenia w odpowiednim układzie współrzędnych postępując zgodnie z czterema podanymi krokami. Rozkład ładunku o symetrii sferycznej Rozkład ładunku ma symetrię sferyczną (ang. spherical symmetry ), gdy gęstość ładunku zależy tylko od odległości od punktu w przestrzeni, a nie od kierunku. Mówiąc inaczej, jeżeli obrócimy układ, to nie zobaczymy zmiany. Na przykład, jeżeli kula o promieniu R jest naładowana równomiernie ładunkiem o gęstości ρ 0 , to rozkład ładunku ma symetrię sferyczną – (a). Z drugiej strony, gdy kula o promieniu R jest naładowana tak, że gęstość ładunku w górnej połowie kuli wynosi ρ 1 , a w dolnej połowie jest równa ρ 2 ≠ ρ 1 , wtedy układ nie ma symetrii sferycznej, ponieważ gęstość ładunku zależy od kierunku – (b). Tak więc to nie kształt obiektu (ciała), ale raczej kształt rozkładu ładunku decyduje o tym, czy układ ma lub nie symetrię sferyczną. Na (c) pokazano kulę z czterema różnymi sferycznymi powłokami, każda ze swoją indywidualną gęstością ładunku. Chociaż gęstość ładunku w całej objętości nie jest jednorodna, to funkcja gęstości ładunku zależy tylko od odległości od środka, a nie od kierunku. Dlatego ten rozkład ładunku ma symetrię sferyczną. Przedstawienie układów o symetrii sferycznej i nieposiadających takiej symetrii. Różne kolory oznaczają różne gęstości ładunku. Jeżeli ładunki są umieszczone na ciałach o sferycznej symetrii, to nie oznacza to tym samym, że rozkład ładunku ma taką symetrię. Z symetrią sferyczną mamy do czynienia tylko wtedy, gdy gęstość ładunku nie zależy od kierunku. Na rysunku (a) ładunki są rozmieszczone równomiernie w kuli. Na rysunku (b) gęstość ładunku w górnej połowie kuli jest inna niż ta w dolnej połowie kuli; dlatego, w sytuacji (b) układ nie ma symetrii sferycznej. Na rysunku (c) ładunki rozmieszczone są w sferycznych powłokach z różnymi gęstościami ładunku, co oznacza, że gęstość ładunku jest wyłącznie funkcją radialnej odległości od środka; dlatego układ ma symetrię sferyczną. Jednym ze sposobów rozstrzygnięcia, czy mamy do czynienia z symetrią sferyczną, czy też nie, jest wyrażenie funkcji gęstości ładunku we współrzędnych sferycznych, ρ  r θ ϕ . Jeżeli gęstość ładunku jest wyłącznie funkcją r , czyli ρ = ρ  r , to wtedy mamy do czynienia z symetrią sferyczną. Jeżeli gęstość zależy od θ lub od ϕ , to możemy zmienić układ poprzez jego obrót; wtedy nie mamy do czynienia z symetrią sferyczną. Następstwa symetrii We wszystkich przypadkach, gdy mamy do czynienia z symetrią sferyczną, pole elektryczne musi być w każdym punkcie skierowane radialnie, ponieważ ładunek i pole elektryczne muszą być niezmiennicze ze względu na obrót. Dlatego stosując współrzędne sferyczne z początkiem układu w środku sferycznego rozkładu ładunku, możemy zapisać wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w punkcie P znajdującym się w odległości r od środka w postaci E → P = E P  r  r ̂  , gdzie r ̂ jest wektorem jednostkowym (wersorem) skierowanym od początku układu do punktu pola P . Składowa radialna E P natężenia pola elektrycznego może być dodatnia lub ujemna. Gdy E P > 0 , pole elektryczne w punkcie P jest skierowane od początku układu, a kiedy E P < 0 , pole elektryczne w punkcie P jest skierowane do początku układu. Powierzchnia Gaussa i obliczenia strumienia Możemy teraz skorzystać z natężenia pola elektrycznego w tej postaci do wyznaczenia strumienia natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię Gaussa. W przypadku symetrii sferycznej powierzchnia Gaussa jest zamkniętą sferyczną powierzchnią, której środek pokrywa się ze środkiem rozkładu ładunku. Dzięki temu wektor powierzchni, elementu powierzchni Gaussa, w każdym jej punkcie jest równoległy do kierunku natężenia pola elektrycznego w tym punkcie, gdyż oba są skierowane radialnie na zewnątrz ( ). Wektor natężenia pola elektrycznego w każdym punkcie sferycznej powierzchni Gaussa dla sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku jest równoległy do wektora powierzchni w tym punkcie, co pozwala przedstawić strumień pola elektrycznego jako iloczyn natężenia pola elektrycznego i powierzchni. Zauważ, że promień R rozkładu ładunku i promień r powierzchni Gaussa są rożnymi wielkościami. Wartość natężenia pola elektrycznego E → musi być taka sama w każdym punkcie sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z rozkładem ładunku. Dla sferycznej powierzchni o promieniu r Φ E = ∯ S E → P ⋅ n ̂  d S = E P  ∯ S d S = E P ⋅ 4  π  r 2  . \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E}_P \cdot \hat{n} \d S = E_P \prefop{\u{222F}}_S \d S = E_P \cdot 4\pi r^2 \text{.} Stosowanie prawa Gaussa Zgodnie z prawem Gaussa strumień przenikający zamkniętą powierzchnię jest równy całkowitemu ładunkowi otoczonemu przez zamkniętą powierzchnię, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni ε 0 . Niech q wew będzie całkowitym ładunkiem znajdującym się w odległości r od początku układu, to jest w obszarze wewnątrz sferycznej powierzchni Gaussa o promieniu r . Wówczas z prawa Gaussa otrzymujemy E ⋅ 4  π  r 2 = q wew ε 0  . E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q_{\text{wew}}}{\epsilon_0} \text{.} Dlatego pole elektryczne w punkcie P znajdującym się w odległości r od środka sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku ma następujące natężenie i zwrot E  r = 1 4  π  ε 0 ⋅ q wew r 2  , E \apply (r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{wew}}}{r^2} \text{,} zwrot: radialnie od O do P lub od P do O . Zwrot natężenia pola elektrycznego w punkcie P zależy od tego, czy ładunek wewnątrz sfery jest dodatni, czy ujemny. Dla wypadkowego dodatniego ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa zwrot jest od O do P , a dla wypadkowego ujemnego ładunku zwrot jest od P do O . To wszystko, czego potrzebujemy w przypadku ładunku punktowego i, jak widać, powyższy wynik jest taki sam, jak dla ładunku punktowego. Jednak prawo Gaussa okazuje się rzeczywiście użyteczne w przypadku, gdy ładunki rozmieszczone są w skończonej objętości. Obliczanie ładunku otoczonego przez powierzchnię Bardziej interesującym przypadkiem jest ten, gdy mamy w danej objętości sferyczny rozkład ładunku i pytamy, jakie jest natężenie pola elektrycznego wewnątrz tego rozkładu ładunku. W tym przypadku ładunek uwzględniany w obliczeniach (otoczony powierzchnią Gaussa) zależy od odległości r punktu pola w stosunku do promienia rozkładu ładunku R , tak jak pokazano na . Sferyczny rozkład ładunku i powierzchnia Gaussa wykorzystywana do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego (a) wewnątrz oraz (b) na zewnątrz rozkładu ładunku. Jeżeli punkt P znajduje się na zewnątrz rozkładu ładunku, czyli gdy r ≥ R , wówczas powierzchnia Gaussa, na której leży punkt P , otacza wszystkie ładunki w kuli. W tym przypadku q wew jest równy całkowitemu ładunkowi kuli. Z drugiej strony, gdy punkt P leży wewnątrz sferycznego rozkładu ładunku, czyli gdy r < R , wtedy powierzchnia Gaussa otacza mniejszą kulę niż kula rozkładu ładunku. W tym przypadku q wew jest mniejszy niż całkowity ładunek kuli. Nawiązując do , możemy zapisać q wew jako q wew = q wew  , ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla  r < R  , q cał  , całkowity ładunek, dla  r ≥ R  . q_{\text{wew}} = \left{ \begin{matrix*}[l] q_{\text{wew}} \text{,} &\text{ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla } r < R \text{,} \\ q_{\text{cał}} \text{,} &\text{całkowity ładunek, dla } r \geq R \text{.} \end{matrix*} \right. Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz rozkładu ładunku jest oznaczane jako E → zew , a natężenie pola elektrycznego wewnątrz rozkładu ładunku oznaczamy jako E → wew . Skupiając się nad dwoma kategoriami punktów pola, wewnątrz lub na zewnątrz rozkładu ładunku, możemy teraz wyrazić natężenie pola elektrycznego jako E wew = 1 4  π  ε 0 ⋅ q wew r 2  , E_{\text{wew}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{wew}}}{r^2} \text{,} E zew = 1 4  π  ε 0 ⋅ q cał r 2  , E_{\text{zew}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{cał}}}{r^2} \text{,} Zauważmy, że natężenie pola elektrycznego na zewnątrz sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku jest takie samo, jak dla ładunku punktowego umieszczonego w środku rozkładu, o wartości równej całkowitemu ładunkowi rozkładu sferycznego. Jest to istotne, gdyż ładunki nie znajdują się tylko w środku. Rozpatrzymy teraz szczególne przykłady sferycznych rozkładów ładunków, poczynając od przypadku jednorodnie naładowanej kuli. Jednorodnie naładowana kula Kula o promieniu R , taka jak pokazana na , ma jednorodną objętościową gęstość ładunku ρ 0 . Znajdziemy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz kuli i w punkcie wewnątrz kuli. Strategia rozwiązania Skorzystajmy z prawa Gaussa do rozwiązania zadania, stosując taką strategię jak przy obliczaniu strumienia pola. Rozwiązanie Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa jest dany jako q wew = ∭ V ρ 0  d V = ρ 0  ∭ V d V = ρ 0 ⋅ 4 3  π  r 3  . q_{\text{wew}} = \iiint_V \rho_0 \d V = \rho_0 \iiint_V \d V = \rho_0 \cdot \frac43 \pi r^3 \text{.} Możemy teraz napisać wyrażenie na natężenie pola elektrycznego dla punktu znajdującego się na zewnątrz kuli, oznaczone jako E zew , oraz dla punktu wewnątrz kuli, oznaczone jako E wew . E wew = q wew 4  π  ε 0  r 2 = ρ 0  r 3  ε 0  , ponieważ  q wew = 4 3  π  r 2  ρ 0  , E_{\text{wew}} = \frac{q_{\text{wew}}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0 r}{3 \epsilon_0} \text{, ponieważ } q_{\text{wew}} = \frac43 \pi r^2 \rho_0 \text{,} E zew = q całk 4  π  ε 0  r 2 = ρ 0  R 3 3  ε 0  r 2  , ponieważ  q cał = 4 3  π  R 3  ρ 0  . E_{\text{zew}} = \frac{q_{\text{całk}}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0 R^3}{3\epsilon_0 r^2} \text{, ponieważ } q_{\text{cał}} = \frac43 \pi R^3 \rho_0 \text{.} Warto zauważyć, że natężenie pola elektrycznego rośnie wewnątrz materiału w miarę oddalania się od środka, ponieważ wraz ze wzrostem objętości rośnie ilość ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa. Konkretnie, wartość ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa rośnie proporcjonalnie do sześcianu promienia q wew ∝ r 3 q_{\text{wew}} \propto r^3 , podczas gdy natężenie pola wytworzonego przez dowolny nieskończenie mały ładunek maleje proporcjonalnie do kwadratu promienia E ∝ 1 ∕ r 2 . Łącząc te dwa fakty ze sobą, otrzymujemy, że natężenie pola elektrycznego rośnie liniowo z promieniem. Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz kuli maleje w miarę oddalania się od ładunków, ponieważ ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa pozostaje niezmieniony, podczas gdy rośnie odległość. pokazuje zmianę natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli. Natężenie pola elektrycznego nieprzewodzącej, jednorodnie naładowanej kuli rośnie wewnątrz kuli, osiągając maksimum na jej powierzchni: E R = ρ 0  R ∕ 3  ε 0 , a następnie maleje jak 1 ∕ r 2 . Pokazane jest pole elektryczne wytworzone przez sferyczny rozkład ładunku o jednorodnej gęstości ładunku i całkowitym ładunku Q w funkcji odległości od środka rozkładu ładunku. Natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie P jest skierowane radialnie na zewnątrz od środka, gdy ρ 0 jest dodatnia, i do wewnątrz (tzn. do środka), gdy ρ 0 jest ujemna. Natężenie pola elektrycznego w wybranych punktach przestrzeni jest pokazane na , dla współrzędnych sferycznych r równych r = R ∕ 2 , r = R i r = 2  R . Wektory natężenia pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli. Znaczenie Zauważmy, że wyrażenie na E zew ma taką samą postać jak natężenie pola elektrycznego pojedynczego ładunku punktowego. Dlatego przy obliczaniu natężenia pola elektrycznego jednorodnego, sferycznego rozkładu ładunku możemy założyć, że cały ładunek jest skupiony w środku odpowiedniej powierzchni Gaussa. Niejednorodnie naładowana kula Nieprzewodząca kula o promieniu R jest naładowana z niejednorodną gęstością ładunku, która zmienia się wraz z odległością od środka zgodnie z zależnością ρ  r = a  r n   r ≤ R  ,  n ≥ 0  , gdzie a jest stałą. Przyjmujemy, że n ≥ 0 , aby gęstość ładunku nie była niezdefiniowana w r = 0 . Znajdziemy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz i wewnątrz kuli. Strategia rozwiązania Skorzystajmy z poprzedniego przykładu do obliczenia ładunku otoczonego przez powierzchnię Gaussa wewnątrz i na zewnątrz kuli. Rozwiązanie Ponieważ dana funkcja gęstości ładunku zależy tylko od składowej radialnej, a nie od kierunku, mamy do czynienia z symetrią sferyczną. Dlatego natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie jest opisane przez wyrażenia podane powyżej, a kierunek pola jest radialny. Potrzebujemy tylko wyznaczyć ładunek otoczony powierzchnią Gaussa q wew , zależny od położenia punktu pola, w którym wyznaczamy natężenie. Uwaga na temat oznaczeń: używamy r ′ do opisu położenia ładunków w rozkładzie ładunku oraz r do opisu położenia punktów pola na powierzchni Gaussa. Literą R oznaczamy promień rozkładu ładunku. Ponieważ gęstość ładunku nie jest stałą, musimy scałkować funkcję gęstości ładunku po objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa. Dlatego formułujemy zagadnienie dla ładunków zawartych w sferycznej powłoce, pomiędzy r ′ i r ′ + d r ′ , jak pokazano na . Objętość zajmowana przez ładunki znajdujące się w powłoce o nieskończenie małej grubości jest równa iloczynowi powierzchni 4  π  r ′ 2 4\pi (r')^2 i grubości d r ′ . Mnożąc objętość przez gęstość ładunku w tym położeniu, która wynosi a  r ′ n a(r')^n , otrzymujemy ładunek zawarty w powłoce d q = a  r ′ n ⋅ 4  π  r ′ 2  d r ′  . \d q = a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' \text{.} Sferycznie symetryczny układ z niejednorodnym rozkładem ładunku. W takich przypadkach potrzebujemy do opisu czterech promieni: R jest promieniem rozkładu ładunku, r jest promieniem powierzchni Gaussa, r ′ jest wewnętrznym promieniem sferycznej powłoki, r ′ + d r ′ jest zewnętrznym promieniem sferycznej powłoki. Ta sferyczna powłoka jest wykorzystywana do obliczenia ładunku zawartego w powierzchni Gaussa. Promień r ′ zmienia się w zakresie od 0 do r dla pola w punkcie wewnątrz rozkładu ładunku i od 0 do R dla pola w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku. Gdy r > R , wtedy powierzchnia Gaussa obejmuje większą objętość niż rozkład ładunku, ale dodatkowa objętość nie ma wpływu na q wew . Natężenie pola w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku. W tym przypadku powierzchnia Gaussa, na której leży punkt pola P , ma promień r większy niż promień R rozkładu ładunku, r > R . Dlatego cały ładunek rozkładu jest otoczony przez powierzchnię Gaussa. Zauważmy, że przestrzeń pomiędzy r ′ = R i r ′ = r nie zawiera ładunków i dlatego nie wnosi wkładu do całki po objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa q cał = ∫ 0 R a  r ′ n ⋅ 4  π  r ′ 2  d r ′ = 4  π  a n + 3  R n + 3  . q_{\text{cał}} = \int_0^R a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' = \frac{4\pi a}{n+3} R^{n+3} \text{.} Korzystając z ogólnego wyrażenia na E → zew , obliczamy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz rozkładu ładunku E → zew = a  R n + 3 ε 0  n + 3  1 r 2  r ̂  , gdzie r ̂ jest wersorem skierowanym od początku układu do punktu pola na powierzchni Gaussa. Natężenie pola w punkcie wewnątrz rozkładu ładunku. Powierzchnia Gaussa znajduje się teraz wewnątrz rozkładu ładunku, z r ≤ R r \leq R . Dlatego wyznaczając q wew , bierzemy pod uwagę tylko te ładunki, które znajdują się w odległości nie większej niż r od środka sferycznego rozkładu ładunku q wew = ∫ 0 r a  r ′ n ⋅ 4  π  r ′ 2  d r ′ = 4  π  a n + 3  r n + 3  . q_{\text{wew}} = \int_0^r a (r')^n \cdot 4\pi (r')^2 \d r' = \frac{4\pi a}{n+3} r^{n+3} \text{.} Korzystając z ogólnego wyrażenia na E → wew , obliczamy natężenie pola elektrycznego w punkcie znajdującym się w odległości r od środka, wewnątrz rozkładu ładunku E → wew = a ε 0  n + 3 ⋅ r n + 1  r ̂  , gdzie radialny wersor zawiera informację o kierunku pola. Sprawdź, czy rozumiesz. Upewnij się, że natężenie pola elektrycznego dla kuli sprowadza się do wartości pola dla ładunku punktowego. W tym przypadku mamy tylko E → zew . Odpowiedź brzmi: tak. Rozkład ładunku o symetrii cylindrycznej Rozkład ładunku ma symetrię cylindryczną (ang. cylindrical symmetry ), gdy gęstość ładunku zależy tylko od odległości r od osi walca i nie zmienia się ani wzdłuż osi, ani w kierunku osi. Inaczej mówiąc, jeżeli układ zmienia się w wyniku obrotu wokół osi lub na skutek przesunięcia wzdłuż osi, to układ nie posiada symetrii cylindrycznej. Na pokazane są cztery sytuacje, w których ładunki są rozmieszczone w walcu. Jednorodna gęstość ładunku ρ 0 w nieskończenie długim, prostym drucie ma symetrię cylindryczną, tak jak nieskończenie długi walec z ładunkiem o stałej gęstości ρ 0 . Nieskończenie długi walec, który jest naładowany z różną gęstością ładunku wzdłuż swojej długości, na przykład z gęstością ładunku ρ 1 dla z > 0 i ρ 2 ≠ ρ 1 dla z < 0 , nie posiada użytecznej dla naszych obliczeń symetrii cylindrycznej. Podobnie jak walec, w którym gęstość ładunku zmienia się wraz kierunkiem i wynosi na przykład ρ 1 dla 0 ≤ θ < π i ρ 2 ≠ ρ 1 dla π ≤ θ < 2  π . Układ posiadający współosiowe, koncentryczne powłoki, z których każda charakteryzuje się inną jednorodną gęstością ładunku, jak na (d), ma symetrię cylindryczną, jeżeli powłoki są nieskończenie długie. Wymóg nieskończonej długości wynika z tego, że dla skończenie długiego walca gęstość ładunku zmienia się wzdłuż jego osi. W rzeczywistych układach nie mamy do czynienia z nieskończonymi walcami; jednak zastosowanie przybliżenia w postaci nieskończenie długiego walca jest użyteczne, gdy analizowana przez nas odległość od walca jest znacząco mniejsza niż jego długość. Aby określić, czy dany rozkład ładunku ma symetrię cylindryczną, popatrz na przekrój poprzeczny „nieskończenie długiego” walca. Jeżeli gęstość ładunku nie zależy od kąta biegunowego w przekroju poprzecznym i nie zmienia się wzdłuż osi walca, to mamy do czynienia z symetrią cylindryczną. (a) Gęstość ładunku w walcu jest stała; (b) górna połowa walca ma inną gęstość ładunku niż połowa dolna; (c) lewa połowa walca ma inną gęstość ładunku niż prawa; (d) ładunki są stałe w różnych cylindrycznych pierścieniach, ale gęstość nie zależy od kąta biegunowego. W przypadkach (a) i (d) mamy symetrię cylindryczną, podczas gdy dla (b) i (c) jej nie ma. Następstwa symetrii We wszystkich przypadkach cylindrycznie symetrycznych pole elektryczne E → P w dowolnie wybranym punkcie P musi także posiadać symetrię cylindryczną E → P = E P  r  r ̂  , \vec{E}_P = E_P \apply (r) \hat{r} \text{,} gdzie r jest odległością od osi, a r ̂ wersorem skierowanym prostopadle od osi ( ). Natężenie pola elektrycznego w sytuacji symetrii cylindrycznej zależy tylko od odległości od osi cylindra. Pole elektryczne jest skierowane od osi na zewnątrz w przypadku ładunków dodatnich i do osi dla ładunków ujemnych. Powierzchnia Gaussa i obliczenia strumienia Aby wykorzystać własności pola elektrycznego, wybieramy zamkniętą powierzchnię Gaussa w kształcie cylindra współosiowego z rozkładem ładunku. Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię o promieniu r i wysokości L jest łatwy do obliczenia, jeżeli podzielimy nasze zadanie na dwie części: (a) strumień natężenia pola przez podstawy cylindra i (b) strumień natężenia pola elektrycznego przez zakrzywioną powierzchnię boczną ( ). Powierzchnia Gaussa w przypadku symetrii cylindrycznej. Pole elektryczne jest albo równoległe, albo prostopadłe do normalnej do elementarnego wycinka powierzchni Gaussa. Pole elektryczne jest równoległe do cylindrycznych ścian bocznych i prostopadłe do płaskich powierzchni podstaw. Strumień przez część cylindryczną (czyli przez powierzchnię boczną walca S b S_{\text{b}} ) wynosi ∬ S b E → ⋅ n ̂  d S = E  ∬ S b d S = E ⋅ 2  π  r  L  , \iint_{S_{\text{b}}} \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \iint_{S_{\text{b}}} \d S = E \cdot 2\pi r L \text{,} podczas gdy strumień przez płaskie podstawy jest równy zero, ponieważ E → ⋅ n ̂ = 0 \vec{E} \cdot \hat{n} = 0 . Tak więc strumień wynosi ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = E ⋅ 2  π  r  L + 0 + 0 = 2  π  r  L  E  . \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \cdot 2\pi r L + 0 + 0 = 2\pi r L E \text{.} Stosowanie prawa Gaussa Zgodnie z prawem Gaussa strumień równa się ładunkowi znajdującemu się w objętości otoczonej przez powierzchnię Gaussa, podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni. Gdy prowadzimy obliczenia dla walca (pręta) o długości L , stwierdzamy, że q wew występujący w prawie Gaussa jest wprost proporcjonalny do L . Zapiszmy go jako ładunek przypadający na jednostkę długości ( λ wew ) razy długość L q wew = λ wew  L  . Stąd, na podstawie prawa Gaussa, otrzymujemy dla cylindrycznie symetrycznego rozkładu ładunku następujące wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w odległości r od osi E  r = λ wew 2  π  ε 0 ⋅ 1 r  . Ładunek na jednostkę długości λ wew zależy od tego, czy punkt pola znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz rozkładu ładunku, tak jak to już widzieliśmy w przypadku rozkładu sferycznego. Obliczanie ładunku otoczonego przez powierzchnię Niech R będzie promieniem walca, wewnątrz którego ładunki są rozłożone z zachowaniem symetrii cylindrycznej. Niech punkt pola P znajduje się w odległości r od osi (punkt pola P znajduje się na ścianie powierzchni Gaussa). Gdy r > R (to znaczy, gdy P znajduje się na zewnątrz poza rozkładem ładunku), powierzchnia Gaussa zawiera cały ładunek walca o promieniu R i długości L . Gdy r < R ( P znajduje się wewnątrz rozkładu ładunku), wtedy tylko ładunek wewnątrz walca o promieniu r i długości L jest otoczony powierzchnią Gaussa λ wew  L = q wew  , ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla  r < R  , q cał  , całkowity ładunek, dla  r ≥ R  . \lambda_{\text{wew}} L = \left{ \begin{matrix*}[l] q_{\text{wew}} \text{,} &\text{ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa, dla } r < R \text{,} \\ q_{\text{cał}} \text{,} &\text{całkowity ładunek, dla } r \geq R \text{.} \end{matrix*} \right. Jednorodnie naładowana cylindryczna powłoka Bardzo długa, nieprzewodząca, cylindryczna powłoka o promieniu R jest naładowana z jednorodną gęstością powierzchniową ładunku σ 0 . Znajdźmy natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz powłoki; w punkcie wewnątrz powłoki. Strategia rozwiązania Skorzystajmy z prawa Gaussa do rozwiązania zadania, stosując taką strategię jak uprzednio, osobno rozważając przypadki pola na zewnątrz i wewnątrz powłoki. Rozwiązanie Natężenie pola elektrycznego w punkcie na zewnątrz powłoki. Dla punktu na zewnątrz cylindrycznej powłoki wybieramy powierzchnię Gaussa jako powierzchnię cylindra o promieniu r ≥ R r \geq R i długości L , jak pokazano na . Ładunek otoczony przez cylinder (powierzchnię) Gaussa jest równy ładunkowi znajdującemu się na cylindrycznej powłoce o długości L . Stąd λ wew jest dana jako λ wew = σ 0  2  π  R  L L = 2  π  R  σ 0  . Powierzchnia Gaussa otaczająca cylindryczną powłokę. Stąd natężenie pola elektrycznego w punkcie P na zewnątrz powłoki w odległości r od osi wynosi E → = 2  π  R  σ 0 2  π  ε 0 ⋅ 1 r  r ̂ = R  σ 0 ε 0 ⋅ 1 r  r ̂  , \vec{E} = \frac{2\pi R \sigma_0}{2\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \hat{r} = \frac{R \sigma_0}{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r}\hat{r} \text{,} gdzie r ̂ jest wersorem prostopadłym do osi i skierowanym na zewnątrz od niej, jak pokazano na rysunku. Pole elektryczne w punkcie P jest zwrócone w kierunku zgodnym z r ̂ pokazanym na , gdy σ 0 > 0 , a w przeciwnym kierunku do r ̂ , gdy σ 0 < 0 . Natężenie pola elektrycznego w punkcie wewnątrz powłoki. Dla punktu wewnątrz cylindrycznej powłoki wybieramy powierzchnię Gaussa jako powierzchnię cylindra o promieniu r mniejszym niż R ( ). To oznacza, że wewnątrz powierzchni Gaussa nie znajdują się żadne ładunki λ wew = 0  C ∕ m  . Powierzchnia Gaussa wewnątrz cylindrycznej powłoki. W rezultacie otrzymujemy równanie na natężenie pola elektrycznego E → wew \vec{E}_{\text{wew}} w punkcie, dla którego r jest mniejsze niż R naładowanej powłoki E → wew ⋅ 2  π  r  L = 0  V  m ⇒ E → wew = 0  V ∕ m  . \vec{E}_{\text{wew}} \cdot 2\pi r L = \SI{0}{\volt\metre} \implies \vec{E}_{\text{wew}} = \SI{0}{\volt\per\metre} \text{.} Znaczenie Zauważmy, że wynik dla wnętrza powłoki jest taki, jakiego oczekiwaliśmy – brak ładunków oznacza zerowe pole elektryczne. Na zewnątrz powłoki wynik jest taki, jak dla jednorodnie naładowanego drutu. Sprawdź, czy rozumiesz. Cienki, prosty drut jest naładowany z jednorodną liniową gęstością ładunku λ 0 . Znajdź natężenie pola elektrycznego w odległości d od drutu, gdzie d jest dużo mniejsze niż długość drutu. E → = λ 0 ∕ 2  π  ε 0  d ⋅ r ̂ , ten wynik jest zgodny z obliczeniami z , gdzie znaleźliśmy natężenie pola elektrycznego, całkując po ładunku zgromadzonym na drucie. Zauważ, o ile prostsze są obliczenia natężenia pola elektrycznego z wykorzystaniem prawa Gaussa. Rozkład ładunku o symetrii płaszczyznowej Z symetrią płaszczyznową (ang. planar symmetry ) gęstości ładunku mamy do czynienia wówczas, gdy ładunki są równomiernie rozłożone na dużej, płaskiej powierzchni. W przypadku symetrii płaszczyznowej wszystkie punkty w płaszczyźnie równoległej do naładowanej płaszczyzny są równorzędne w odniesieniu do ładunków. Następstwa symetrii Przyjmijmy, że płaszczyzna rozkładu ładunku jest płaszczyzną x y i wyznaczmy natężenie pola elektrycznego w punkcie P o współrzędnych x y z . Ponieważ gęstość ładunku jest taka sama dla wszystkich współrzędnych x y w płaszczyźnie z = 0 , to ze względu na symetrię natężenie pola elektrycznego w punkcie P nie może zależeć od współrzędnych x lub y punktu P , jak pokazano na . Dlatego natężenie pola elektrycznego w punkcie P zależy tylko od odległości od płaszczyzny i ma zwrot albo w stronę płaszczyzny, albo od płaszczyzny. To oznacza, że natężenie pola elektrycznego w punkcie P ma tylko niezerową składową z E → P = E P  z  z ̂  , gdzie z jest odległością od płaszczyzny, a z ̂ jest wersorem normalnym (prostopadłym) do płaszczyzny. Zauważmy, że w tym układzie E  z = E  − z , chociaż oczywiście mają przeciwne zwroty. Składowe natężenia pola elektrycznego równoległe do naładowanej płaszczyzny, pochodzące od dwóch ładunków umieszczonych symetrycznie względem punktu P znoszą się. Dlatego pole elektryczne w każdym punkcie jest skierowane pionowo względem naładowanej płaszczyzny. Dla każdego punktu P i ładunku q 1 zawsze możemy znaleźć ładunek q 2 , który da ten efekt. Powierzchnia Gaussa i obliczenia strumienia W tym przypadku wygodnie jest wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie pudełka, gdyż pole elektryczne jest zwrócone tylko w jednym kierunku. Aby pudełko (powierzchnia) Gaussa było położone symetrycznie względem naładowanej płaszczyzny, umieszczamy je tak, aby leżało po obu jej stronach, ze ścianką, na której znajduje się punkt P , ustawioną równolegle do niej. Na zaznaczono (zacieniowano) ścianki I i II powierzchni Gaussa (pudełka), które są równoległe do nieskończonej płaszczyzny. Są to jedyne powierzchnie, które wnoszą niezerowy wkład do strumienia, ponieważ natężenie pola elektrycznego i wektory powierzchni dla pozostałych ścianek są prostopadłe do siebie. Cienka, naładowana płaszczyzna i pudełko (powierzchnia) Gaussa wybrane do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego w punkcie pola P . Normalna do każdej ze ścianek pudełka jest skierowana z wnętrza pudełka na zewnątrz. Dla dwóch ścianek pudełka natężenie pola elektrycznego jest równoległe do wektorów powierzchni, a dla pozostałych czterech ścianek natężenie pola elektrycznego jest prostopadłe do wektorów powierzchni. Niech S oznacza powierzchnię zaznaczonych ścianek po obu stronach płaszczyzny, a E P natężenie pola elektrycznego w punkcie P . Ponieważ ścianki I i II są w tej samej odległości od płaszczyzny, natężenie pola elektrycznego ma taką samą wartość w punktach na tych powierzchniach, chociaż jest w tych punktach, na przeciwległych ściankach, zwrócone w przeciwnych kierunkach E  z = E P  . Jeżeli ładunek na płaszczyźnie jest dodatni, wtedy zwroty pola elektrycznego i wektorów powierzchni są takie jak na . Dlatego strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię pudełka opisujemy jako Φ E = ∯ S E → P ⋅ n ̂  d S = E P  S + E P  S + 0 + 0 + 0 + 0 = 2  E P  S  , \Phi_E = \prefop{\u{222F}}_S \vec{E}_P \cdot \hat{n} \d S = E_P S + E_P S + 0 + 0 + 0 + 0 = 2E_P S \text{,} gdzie zero to wartość strumienia przez pozostałe ścianki pudełka. Zauważmy, że gdy ładunek płaszczyzny jest ujemny, zwroty pola elektrycznego i wektorów powierzchni ścianek I i II są skierowane przeciwnie i otrzymujemy ujemny strumień. Zgodnie z prawem Gaussa strumień równa się q wew ∕ ε 0 . Widzimy na , że ładunki wewnątrz objętości ograniczonej powierzchnią Gaussa znajdują się na powierzchni S płaszczyzny x y . Dlatego q wew = σ 0  S  . Korzystając z równań na strumień i ładunek otoczony powierzchnią Gaussa, możemy natychmiast na podstawie prawa Gaussa wyznaczyć w punkcie na wysokości z natężenie pola elektrycznego od jednorodnie naładowanej płaszczyzny x y E → P = σ 0 2  ε 0  n ̂  . Zwrot pola zależy od znaku ładunku na płaszczyźnie i od ścianki, na której znajduje się punkt pola P . Zauważmy, że powyżej płaszczyzny n ̂ = + z ̂ , podczas gdy poniżej płaszczyzny n ̂ = − z ̂ . Zastanawiające jest to, że natężenie pola elektrycznego nie zależy od odległości od płaszczyzn – to wynik przyjętego założenia, że płaszczyzna jest nieskończona. W praktyce, ten wynik jest dobrym przybliżeniem dla płaszczyzn o skończonych wymiarach w pobliżu ich środka. Podsumowanie Dla rozkładu ładunku posiadającego określoną przestrzenną symetrię (sferyczną, cylindryczną i płaszczyznową) możemy dobrać powierzchnię Gaussa, dla której E → ⋅ n ̂ = E , gdzie E jest stałe na powierzchni. Natężenie pola elektrycznego wyznaczamy wtedy na podstawie prawa Gaussa. Dla symetrii sferycznej wybieramy sferyczną powierzchnię Gaussa i prawo Gaussa upraszcza się do postaci 4  π  r 2  E = q wew ∕ ε 0 . Dla symetrii cylindrycznej wybieramy cylindryczną powierzchnię Gaussa i prawo Gaussa upraszcza się do postaci 2  π  r  L  E = q wew ∕ ε 0 . Dla symetrii płaszczyznowej praktyczną powierzchnią Gaussa jest przenikające płaszczyznę pudełko z dwoma ściankami równoległymi do płaszczyzny, a pozostałymi prostopadłymi do niej, co prowadzi do prawa Gaussa w postaci 2  S  E = q wew ∕ ε 0 . Pytania Czy prawo Gaussa może być pomocne do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego dwóch przeciwnych ładunków znajdujących się w stałej odległości od siebie? Tak, korzystając z zasady superpozycji. Przedyskutuj, jaką rolę odgrywa symetria układu w stosowaniu prawa Gaussa. Podaj przykłady ciągłych rozkładów ładunku, dla których prawo Gaussa jest przydatne do wyznaczania natężenia pola elektrycznego. Dla jakich ciągłych rozkładów ładunku prawo Gaussa nie jest przydatne do wyznaczania natężenia pola elektrycznego? Przedyskutuj ograniczenia w wyborze powierzchni Gaussa dla przypadku symetrii płaszczyznowej. Przykładowo, czy jej długość jest istotna? Czy jej przekrój poprzeczny musi być kwadratem? Czy zamykające ścianki (podstawy) muszą być po przeciwnych stronach płaszczyzny? Możemy użyć powierzchni Gaussa o dowolnym kształcie. Jedyne ograniczenie polega na tym, że musimy umieć policzyć całkę po powierzchni Gaussa; dlatego wybieramy pudełko lub walec jako najbardziej poręczne kształty powierzchni Gaussa. Zadania Przypomnij sobie, że w przykładzie z jednorodnie naładowaną kulą ρ 0 = Q ∕ 4 ∕ 3 ⋅ π  R 3 . Przedstaw rozwiązanie za pomocą całkowitego ładunku Q kuli. E = Q  r ∕ 4  π  ε 0  R 3 , kiedy r ≤ R i E = Q ∕ 4  π  ε 0  r 2 dla r > R . Przypuśćmy, że gęstość ładunku sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku pokazanego na wynosi ρ  r = ρ 0  r ∕ R dla r ≤ R i zero dla r > R . Przedstaw wyrażenia na natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz tego rozkładu. Bardzo długi, cienki drut jest naładowany z jednorodną gęstością liniową ładunku 50  µC ∕ m . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w odległości 2  cm od drutu? E  S = λ  l ∕ ε 0 ⇒ E = 4,5 ⋅ 10 7  N ∕ C . Ładunek − 30  µC jest rozłożony równomiernie w sferycznej objętości o promieniu 10  cm . Wyznacz natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ten ładunek, w odległości 2  cm ; 5  cm ; 20  cm . Powtórz obliczenia z poprzedniego zadania, przyjmując, że ładunek jest jednorodnie rozłożony na powierzchni sferycznego przewodnika o promieniu 10  cm . a. E → = 0  N ∕ C \vec{E} = \SI{0}{\newton\per\coulomb} ; b. E → = 0  N ∕ C \vec{E} = \SI{0}{\newton\per\coulomb} ; c. E → = 6,74 ⋅ 10 6  N ∕ C ⋅ − r ̂ . Całkowity ładunek Q jest rozmieszczony równomiernie w sferycznej powłoce o promieniach, odpowiednio wewnętrznym i zewnętrznym, r 1 i r 2 . Pokaż, że natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ten ładunek wynosi E → = 0  V ∕ m , gdy r ≤ r 1 ; E → = Q ∕ 4  π  ε 0  r 2 ⋅ r 3 − r 1 3 ∕ r 2 3 − r 1 3 ⋅ r ̂ , gdy r 1 < r ≤ r 2 ; E → = Q ∕ 4  π  ε 0  r 2 ⋅ r ̂ , gdy r > r 2 . Kiedy ładunek zostanie umieszczony na metalowej kuli, to w stanie równowagi gromadzi się on na zewnętrznej powierzchni. Korzystając z tej informacji, wyznacz natężenie pola elektrycznego dla ładunku + 3  µC umieszczonego na aluminiowej kuli o średnicy 5  cm , dla dwóch punktów przestrzeni: 1  cm od środka kuli (punkt wewnątrz kuli); 10  cm od środka kuli (punkt na zewnątrz kuli). a. E = 0  N ∕ C E = \SI{0}{\newton\per\coulomb} ; b. E = 2,7 ⋅ 10 6  N ∕ C . Duża płaszczyzna jest naładowana z jednorodną gęstością ładunku 10  µC ∕ m 2 . Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ten ładunek w punkcie tuż nad powierzchnią płaszczyzny? Sprawdź, czy przybliżenie symetrii cylindrycznej ma zastosowanie w następujących sytuacjach. Uzasadnij dlaczego. Długi na 300  cm miedziany pręt o promieniu 1  cm jest naładowany ładunkiem + 500  nC . Szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o 5  cm od środka pręta; Długi na 10  cm miedziany pręt o promieniu 1  cm jest naładowany ładunkiem + 500  nC . Szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o 5  cm od środka pręta; Długi na 150  cm drewniany pręt jest przyklejony do plastikowego pręta, tak że tworzą pręt o długości 300  cm , który zostaje potem pokryty warstwą naładowanej farby, dzięki czemu uzyskujemy jednorodną gęstość ładunku. Promień każdego z prętów wynosi 1  cm . Szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o 4  cm od pręta; Ten sam pręt co w (c), ale tym razem szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o 500  cm od środka pręta. a. Tak, długość pręta jest o wiele większa od odległości od rozpatrywanego punktu; b. Nie, długość pręta jest porównywalna z odległością od rozpatrywanego punktu; c. Tak, długość pręta jest o wiele większa od odległości od rozpatrywanego punktu; d. Nie, długość pręta jest porównywalna z odległością od rozpatrywanego punktu. Długi, pręt ze srebra o promieniu 3  cm ma ładunek − 5  µC ∕ cm zgromadzony na powierzchni. Znajdź natężenie pola elektrycznego w punkcie odległym o 5  cm od środka pręta (zewnętrzny punkt); Znajdź natężenie pola elektrycznego w odległości 2  cm od środka pręta (wewnętrzny punkt). Pole elektryczne w odległości 2  cm od środka długiego, miedzianego pręta o promieniu 1  cm ma natężenie 3  N ∕ C i jest skierowane na zewnątrz osi pręta. Ile ładunku przypada na jednostkę długości pręta? Jaki byłby strumień natężenia pola elektrycznego przez sześcian o krawędzi 5  cm , usytuowany tak, że pręt przechodzi prostopadle przez przeciwległe ścianki sześcianu? a. E → = R  σ ∕ ε 0  r ⋅ r ̂ ⇒ σ = E  r  ε 0 ∕ R = 5,31 ⋅ 10 -11  C ∕ m 2 \vec{E} = R\sigma / (\epsilon_0 r) \cdot \hat{r} \implies \sigma = Er\epsilon_0 / R = \SI{5,31e-11}{\coulomb\per\metre\squared} , λ = 2  π  r  σ = 3,34 ⋅ 10 -12  C ∕ m \lambda = 2\pi r \sigma = \SI{3,34e-12}{\coulomb\per\metre} ; b. Φ E = q wew ∕ ε 0 = 0,019  N  m 2 ∕ C \Phi_E = q_{\text{wew}} / \epsilon_0 = \SI{0,019}{\newton\metre\squared\per\coulomb} . Długa, miedziana, cylindryczna powłoka o wewnętrznym promieniu 2  cm i zewnętrznym promieniu 3  cm , otacza umieszczony współosiowo, długi, aluminiowy pręt o promieniu 1  cm naładowany, z gęstością ładunku 4  pC ∕ m . Wszystkie ładunki na aluminiowym pręcie gromadzą się na powierzchni. Wewnętrzna powierzchnia miedzianej powłoki ma dokładnie przeciwny ładunek do tego na aluminiowym pręcie, podczas gdy zewnętrzna powierzchnia miedzianej powłoki ma taki sam ładunek jak aluminiowy pręt. Znajdź natężenie pola elektrycznego i jego kierunek w punktach, które znajdują się w następujących odległościach od środka aluminiowego pręta: 0,5  cm ; 1,5  cm ; 2,5  cm ; 3,5  cm ; 7  cm . Ładunek jest jednorodnie rozłożony z gęstością ρ w nieskończenie długiej cylindrycznej objętości o promieniu R . Pokaż, że pole elektryczne pochodzące od tego rozkładu ładunku jest skierowane radialnie w stosunku do walca i że E = ρ  r ∕ 2  ε 0 dla r ≤ R i E = ρ  R 2 ∕ 2  ε 0  r dla r > R . E  2  π  r  l = ρ  π  r 2  l ∕ ε 0 ⇒ E = ρ  r ∕ 2  ε 0 , kiedy r ≤ R ; E  2  π  r  l = ρ  π  R 2  l ∕ ε 0 ⇒ E = ρ  R 2 ∕ 2  ε 0  r , kiedy r > R . Ładunek jest rozłożony w bardzo długiej cylindrycznej objętości o promieniu R , tak że gęstość ładunku wzrasta wraz z odległością r od osi walca zgodnie z relacją ρ = α  r , gdzie α jest stałą. Pokaż, że pole elektryczne wytworzone przez ten rozkład ładunku jest skierowane radialnie w stosunku do walca i że E = α  r 2 ∕ 3  ε 0 dla r ≤ R oraz E = α  R 3 ∕ 3  ε 0  r dla r > R . Pole elektryczne w odległości 10  cm od powierzchni miedzianej kuli o promieniu 5  cm jest skierowane do środka kuli i ma natężenie 4 ⋅ 10 2  N ∕ C . Jaki ładunek znajduje się na powierzchni kuli? Φ E = q wew ∕ ε 0 ⇒ q wew = - 4,45 ⋅ 10 -10  C . Ładunek jest rozłożony w sferycznej powłoce o wewnętrznym promieniu r 1 i zewnętrznym promieniu r 2 z gęstością objętościową ρ = ρ 0  r 1 ∕ r , gdzie ρ 0 jest stałą. Wyznacz natężenie pola elektrycznego w funkcji odległości r , od środka powłoki. Ładunek jest rozłożony w sferycznej objętości o promieniu R z gęstością ρ = α  r 2 , gdzie α jest stałą. Wyznacz natężenie pola elektrycznego w punktach wewnątrz i na zewnątrz kuli. q wew = 4 ∕ 5 ⋅ π  α  r 5 q_{\text{wew}} = 4/5 \cdot \pi \alpha r^5 , E = α  r 3 ∕ 5  ε 0 E = \alpha r^3 / (5\epsilon_0) , dla r ≤ R r \leq R , q cał = 4 ∕ 5 ⋅ π  α  R 5 q_{\text{cał}} = 4/5 \cdot \pi \alpha R^5 , E = α  R 5 ∕ 5  ε 0  r 2 E = \alpha R^5 / (5\epsilon_0 r^2) , dla r > R r > R . Przyjmij, że jądro uranu jest kulą o promieniu R = 7,4 ⋅ 10 -15  m posiadającą ładunek 92  e , rozłożony równomiernie w całej jego objętości. Jaka jest siła elektrostatyczna działająca na elektron, gdy znajduje się on w odległości 3 ⋅ 10 -15  m od środka jądra? Jakie jest przyspieszenie elektronu w tym punkcie? Gęstość objętościowa sferycznego rozkładu ładunku jest dana jako ρ  r = ρ 0  e − α  r , gdzie ρ 0 i α są stałymi. Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ten rozkład ładunku? Całkując przez części otrzymujemy: q wew = 4  π  ρ 0  − e − α  r  r 2 ∕ α + 2  r ∕ α 2 + 2 ∕ α 3 + 2 ∕ α 3 q_{\text{wew}} = 4\pi \rho_0 [-e^{-\alpha r} (r^2/\alpha + 2r/\alpha^2 + 2/\alpha^3) + 2/\alpha^3] , a z tego wynika, że E = ρ 0 ∕ r 2  ε 0 ⋅ − e − α  r  r 2 ∕ α + 2  r ∕ α 2 + 2 ∕ α 3 + 2 ∕ α 3 E = \rho_0 / r^2 \epsilon_0 \cdot [-e^{-\alpha r} (r^2/\alpha + 2r/\alpha^2 + 2/\alpha^3) + 2/\alpha^3] . symetria cylindryczna (ang. cylindrical symmetry ) układ zmienia się tylko wraz z odległością od osi, a jest niezależny od kierunku symetria płaszczyznowa (ang. planar symmetry ) układ zmienia się tylko wraz z odległością od płaszczyzny symetria sferyczna (ang. spherical symmetry ) układ zmienia się tylko wraz z odległością od początku układu, a jest niezależny od kierunku

Science