Układy współrzędnych i składowe wektora Wektory zazwyczaj opisuje się, podając ich współrzędne w układzie współrzędnych (ang. coordinate system ). Nawet w życiu codziennym mamy skłonność do opisu rzeczywistości przy użyciu prostokątnego układu współrzędnych. Jeśli zapytasz kogoś, jak dostać się w pewne miejsce, bardziej prawdopodobne jest to, że usłyszysz, aby jechać 40 km na wschód, a następnie 30 km na północ, a nie 50 km, pod kątem 37 ∘ na północ od kierunku wschodniego. W dwuwymiarowym, prostokątnym (kartezjańskim) układzie współrzędnych położenie punktu podaje się poprzez określenie jego dwóch współrzędnych ( x , y ) . Położenie wektora A → opisuje się w podobny sposób. Rolę współrzędnej x wektora A → pełni składowa pozioma , a rolę współrzędnej y wektora A → pełni składowa pionowa . Składowa pozioma to wektor zapisywany A → x . Składowa pionowa to wektor zapisywany A → y . W kartezjańskim układzie współrzędnych składowe (ang. vector components ) x i y wektora są jego rzutami na osie układu współrzędnych: x oraz y . Dlatego, zgodnie z regułą równoległoboku, każdy wektor leżący na płaszczyźnie kartezjańskiej można przedstawić jako sumę jego składowych: A → = A → x + A → y . Jak widać na , wektor A → jest przekątną prostokąta, w którym składowa x A → x jest bokiem równoległym do osi x , a składowa y A → y jest bokiem równoległym do osi y . Składowa A → x jest prostopadła do składowej A → y . Wektor A → położony na płaszczyźnie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest sumą swojej składowej poziomej i pionowej. Składowa A → x jest rzutem wektora A → na oś x . Składowa A → y jest rzutem wektora A → na oś y . Liczby A x oraz A y , przez które mnożone są wektory jednostkowe, są wartościami składowych wektora. Przyjęło się oznaczać dodatni kierunek osi x przy pomocy wektora jednostkowego i ^ , a dodatni kierunek osi y przy pomocy wektora jednostkowego j ^ . Wektory jednostkowe osi (ang. unit vectors of the axes ), nazywane wersorami osi , i ^ oraz j ^ , określają dwa prostopadłe względem siebie kierunki na płaszczyźnie. Jak widać poniżej ( ), składowe x i y wektora można zapisać przy pomocy wersorów osi: { A → x = A x i ^ A → y = A y j ^ . Wektory A → x i A → y występujące w są składowymi wektora A → . Liczby A x i A y są składowymi skalarnymi (ang. scalar component ) wektora A → . W wyniku połączenia i otrzymujemy rozkład wektora na składowe (ang. the component form of a vector ): A → = A x i ^ + A y j ^ Jeżeli znamy współrzędne p ( x p y p ) punktu początkowego wektora ( p oznacza „początek”) i współrzędne k ( x k , y k ) punktu końcowego wektora ( k oznacza „koniec”), możemy poznać składowe skalarne wektora, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego: { A x = x k − x p , A y = y k − y p . Przemieszczenie kursora Przyjmując, że lewy dolny róg monitora jest początkiem układu współrzędnych, to kursor myszy znajduje się w punkcie ( 6,0 c m ; 1,6 c m ) . Jeśli najedziesz kursorem na ikonę znajdującą się w punkcie ( 2,0 c m ; 4,5 c m ) , jaki będzie wektor jego przemieszczenia? Strategia rozwiązania Początkiem dwuwymiarowego układu współrzędnych jest lewy dolny róg ekranu. Oznacza to, że wersor i ^ osi x skierowany jest w prawo, a wersor j ^ osi y skierowany jest w górę. Punkt początkowy wektora przemieszczenia p leży w ( 6,0 ; 1,6 ) . Punkt końcowy wektora przemieszczenia k leży w ( 2,0 ; 4,5 ) . Podstaw współrzędne tych punktów do , aby otrzymać składowe skalarne D x oraz D y wektora przemieszczenia D → . Aby uzyskać rozkład wektora na składowe, podstaw obliczone składowe do . Rozwiązanie Na podstawie treści zadania mamy x p = 6,0 , x k = 2,0 , y p = 1,6 i y k = 4,5 , gdzie jednostką jest 1 cm. Możemy obliczyć składowe skalarne x oraz y wektora: D x = x k − x p = 2,0  cm − 6,0  cm = − 4,0  cm  , D y = y k − y p = 4,5  cm − 1,6  cm = + 2,9  cm  . \begin{align} D_x &= x_{\text{k}} - x_{\text{p}} = \SI{2,0}{\centi\metre} - \SI{6,0}{\centi\metre} = - \SI{4,0}{\centi\metre} \text{,} \\ D_y &= y_{\text{k}} - y_{\text{p}} = \SI{4,5}{\centi\metre} - \SI{1,6}{\centi\metre} = +\SI{2,9}{\centi\metre} \text{.} \end{align} Rozkład wektora na składowe przedstawia się następująco: D → = D x i ^ + D y j ^ = − 4,0 c m ⋅ i ^ + 2,9 c m ⋅ j ^ . Rozwiązanie przedstawiono na . Wektor przemieszczenia w układzie współrzędnych. Punkt początkowy wektora oznaczony jest przez p , a punkt końcowy przez k . Znaczenie Zauważ, że jednostkę – w tym przypadku 1 cm – można umieścić albo przy każdej składowej, przed symbolem wersora, albo dla obu składowych jednocześnie, jak w . Wygodniej jest korzystać z drugiego sposobu, ponieważ jest on prostszy. Moduł wektora D → x = − 4,0 i ^ = 4,0 ⋅ ( − i ^ ) , czyli składowej poziomej wektora przemieszczenia, jest równy | D → x | = | − 4,0 | ⋅ | i ^ | = 4,0 , ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy | i ^ | = 1 . Zauważ, że kierunek składowej x jest równy − i ^ , a więc jest on przeciwny do kierunku osi x . Oznacza to, że składowa x wektora D → x skierowana jest w lewo, tak jak przedstawia to . Składowa skalarna x wektora D → jest równa D x = - 4,0 . Moduł wektora y D → y = + 2,9 j ^ , czyli składowej pionowej wektora przemieszczenia, jest równy | D → y | = | 2,9 | ⋅ | j ^ | = 2,9 , ponieważ moduł wektora jednostkowego jest równy | j ^ | = 1 . Kierunek składowej y jest równy + j ^ , a więc jest on zgodny z kierunkiem osi y . Oznacza to, że składowa y wektora D → y skierowana jest w górę, tak jak przedstawiono na . Składowa skalarna y wektora D → jest równa D y = + 2,9 . Wektor przemieszczenia D → jest sumą swoich składowych. Rozkład wektora na składowe ( ) mówi nam, że kursor został przesunięty o 4,0 cm w lewo i o 2,9 cm do góry. Sprawdź, czy rozumiesz. Mucha ląduje na arkuszu papieru milimetrowego w punkcie położonym 10,0 cm na prawo od jego lewej krawędzi i 8,0 cm powyżej krawędzi dolnej, po czym przemieszcza się do punktu położonego 5,0 od lewej krawędzi i 5,0 cm od krawędzi dolnej. Przyjmij, że lewy dolny róg arkusza jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych i znajdź wektor przemieszczenia muchy. Przedstaw rozwiązanie graficznie. D → = − 5,0 c m ⋅ i ^ − 3,0 c m ⋅ j ^ ; mucha przesunęła się 5,0 cm w lewo i 3,0 cm w dół od punktu początkowego. Jeśli znamy składowe skalarne A x i A y wektora A → , możemy znaleźć jego moduł A oraz jego kierunek opisywany przez kąt θ A . Kierunek wektora określa się względem kąta nachylenia wektora do osi x . Kąt θ A , patrząc od osi x , mierzony jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ( ). Ponieważ odcinki o długościach A , A x i A y tworzą trójkąt prostokątny, zależność między nimi opisuje twierdzenie Pitagorasa: A 2 = A x 2 + A y 2 ⟺ A = A x 2 + A y 2 . Zależność ta jest spełniona, nawet jeśli składowe skalarne wektora są liczbami ujemnymi. Kierunek wektora definiuje się obliczając tangens kąta θ A ( ): tg θ = A y A x ⇒ θ = arc tg A y A x  . \tg \theta = \frac{A_y}{A_x} \implies \theta = \arctg (\frac{A_y}{A_x}) \text{.} Moduł A oraz kąt nachylenia θ A wektora A → związane są z długością jego składowych, ponieważ A , A x oraz A y tworzą trójkąt prostokątny. Jeśli wektor leży w pierwszej lub czwartej ćwiartce, gdzie składowa A x jest liczbą dodatnią ( ), kąt θ (z ) jest identyczny z kątem nachylenia θ A . Jeśli wektor leży w czwartej ćwiartce, kąt θ jest ujemny, co oznacza, że kąt nachylenia θ A takiego wektora do osi x mierzy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, rozpoczynając od osi x . Jeśli wektor leży w drugiej ćwiartce, kąt θ również jest ujemny. Jeśli wektor leży w drugiej lub trzeciej ćwiartce, gdzie składowa A x jest liczbą ujemną, kąt nachylenia wektora jest równy θ A = θ + 180 ∘ ( ). Wartości składowych wektora mogą być dodatnie lub ujemne. Dla wektorów leżących w pierwszej ćwiartce (I) wartości obu składowych są dodatnie, a dla wektorów leżących w trzeciej ćwiartce (III) obie te wartości są ujemne. Kąt nachylenia wektora znajdującego się w II lub III ćwiartce do osi x jest równy θ A = θ + 180 ∘ . Moduł i kierunek wektora przemieszczenia Przesuwasz kursor z punktu początkowego ( 6,0 c m ; 1,6 c m ) na ikonę znajdującą się w punkcie ( 2,0 c m ; 4,5 c m ) . Jaki jest moduł i kierunek wektora przemieszczenia kursora? Strategia rozwiązania W znaleźliśmy wektor przemieszczenia D → kursora (zobacz ). Na początku musimy określić wartości składowych wektora: D x = − 4,0 c m i D y = + 2,9 c m i podstawić je do i , aby znaleźć moduł D wektora oraz jego kąt nachylenia θ D . Rozwiązanie Moduł wektora D → jest równy D = D x 2 + D y 2 = ( − 4,0 c m ) 2 + ( 2,9 c m ) 2 = ( 4,0 ) 2 + ( 2,9 ) 2 c m = 4,9 c m . Kąt nachylenia wektora do osi jest równy tg  θ = D y D x = 2,9 c m − 4,0 c m = − 0,725 ⟹ θ = arctg  ( − 0,725 ) = − 35,9 ∘ . Wektor D → leży w drugiej ćwiartce, więc jego kierunek opisujemy przy pomocy kąta θ D = θ + 180 ∘ = − 35,9 ∘ + 180 ∘ = 144,1 ∘ . Sprawdź, czy rozumiesz. Jeśli przemieszczenie muchy wędrującej po arkuszu papieru milimetrowego jest równe D → = − 5,00 c m ⋅ i ^ − 3,00 c m ⋅ j ^ , znajdź jego moduł i kierunek. 5,83 cm; 211 ∘ W praktyce często zdarza się, że trzeba znaleźć sumę wielu wektorów, których moduły i kierunki są znane. Wyobraź sobie na przykład, że podczas silnego wiatru na moście znajduje się jednocześnie 400 samochodów. Każdy z nich oddziałuje na most naciskiem o innym kierunku, a my chcemy dowiedzieć się, jaka jest suma nacisku. Poznałeś już metodę graficzną znajdowania sumy wektorów, więc wiesz, że metoda ta, ze względu na mierzenie długości i kątów, może szybko prowadzić do znaczących błędów. W przypadku metod analitycznych takie zagrożenie nie występuje. Pierwszym krokiem podejścia analitycznego, jeśli moduł i kierunek wektora są dane, jest znalezienie jego składowych. Wróćmy do trójkąta prostokątnego z . Stosunek długości przyprostokątnej A x i przeciwprostokątnej A jest cosinusem kąta θ A , A x / A = cos  θ A , a stosunek długości przyprostokątnej A y i przeciwprostokątnej A jest sinusem kąta θ A , A y / A = sin  θ A . Jeśli moduł A i kierunek θ A są znane, możemy znaleźć wartości składowych wektora: { A x = A cos θ A A y = A sin θ A . Podczas obliczania składowych wektora przy pomocy należy pamiętać o zasadach wyznaczania kąta. Kąt θ A jest kątem mierzonym przeciwnie do ruchów wskazówek zegara, zaczynając od osi x . Kąt mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara będzie ujemny. Składowe wektorów przemieszczenia Ekipa ratunkowa szukająca zaginionego dziecka podąża za Azorem, psem tropiącym. Azor często gubi trop i często zawraca. W końcu znajduje dziecko i wszystko dobrze się kończy, więc możemy skupić się na wektorach przemieszczenia Azora. Wektory te są bardzo zróżnicowane: najpierw Azor przebiegł 200,0 m na południowy wschód, następnie 300,0 m na północ, później węsząc przeszedł 50,0 m w kierunku 30 ∘ na zachód od kierunku północnego. Po przejściu 80,0 m na południe Azor złapał świeży trop i skręcił w kierunku 23 ∘ na zachód od kierunku południowego, po czym przebiegł 150,0 m. Znajdź wartości składowych wektorów przemieszczenia Azora i wektory przemieszczenia (w postaci rozkładu na składowe) dla każdej z przebytych przez niego ścieżek. Strategia rozwiązania W celu rozwiązania tego zadania skorzystamy z prostokątnego układu współrzędnych o osi x skierowanej na wschód oraz osi y skierowanej na północ. Oznacza to, że wersor i ^ będzie wskazywał na wschód, a wersor j ^ na północ. Azor wytyczył pięć ścieżek, co oznacza, że jego przemieszczenie składa się z pięciu wektorów przemieszczenia. Zaczniemy od znalezienia ich modułów i kierunków, następnie użyjmy , aby znaleźć wartości składowych wektorów i zapiszemy wektory w postaci przedstawionej na . Rozwiązanie Moduł przemieszczenia Azora na pierwszej ścieżce jest równy L 1 = 200,0 m , a wektor ma kierunek południowo-wschodni. Za kąt nachylenia θ 1 możemy przyjąć albo - 45 ∘ mierzone od kierunku południe-północ, jeśli zmierzymy kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara, albo 45 ∘ + 270 ∘ , jeśli zmierzymy go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W pierwszym przypadku θ 1 = − 45 ∘ , a w drugim θ 1 = + 315 ∘ . Możemy użyć którejkolwiek z tych wartości. Składowe są więc równe: L 1 x = L 1  cos θ 1 = 200,0  m ⋅ cos 315 ° = 141,4  m  , L 1 y = L 1  sin θ 1 = 200,0  m ⋅ sin 315 ° = − 141,4  m  . \begin{align} L_{1\sep x} &= L_1 \cos \theta_1 = \SI{200,0}{\metre} \cdot \cos \ang{315} = \SI{141,4}{\metre} \text{,} \\ L_{1\sep y} &= L_1 \sin \theta_1 = \SI{200,0}{\metre} \cdot \sin \ang{315} = - \SI{141,4}{\metre} \text{.} \end{align} Wektor przemieszczenia na pierwszej ścieżce jest równy: L → 1 = L → 1 x i ^ + L → 1 y j ^ = 141,4 m ⋅ i ^ − 141,4 m ⋅ j ^ . Moduł przemieszczenia Azora na drugiej ścieżce jest równy L 2 = 300,0 m , a wektor skierowany jest na północ. Kąt nachylenia θ 2 = + 90 ∘ . Otrzymujemy następujące wyniki: L 2 x = L 2 cos  θ 2 = 300,0 m ⋅ cos  90 ∘ = 0,0 m , L 2 y = L 2 sin  θ 2 = 300,0 m ⋅ sin 90 ∘ = 300,0 m , L → 2 = L 2 x i ^ + L 2 y j ^ = 300,0 m ⋅ j ^ . Moduł przemieszczenia Azora na trzeciej ścieżce jest równy L 3 = 50,0 m , a wektor skierowany jest 30 ∘ na zachód od kierunku północnego. Kąt nachylenia mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi x jest równy θ 3 = 30 ∘ + 90 ∘ = + 120 ∘ . Otrzymujemy następujące wyniki: L 3 x = L 3 cos  θ 3 = 50,0 m ⋅ cos  120 ∘ = − 25,0 m , L 3 y = L 3 sin  θ 3 = 50,0 m ⋅ sin  120 ∘ = + 43,3 m , L → 3 = L 3 x i ^ + L 3 y j ^ = − 25,0 m ⋅ i ^ + 43,3 m ⋅ j ^ . Moduł przemieszczenia Azora na czwartej ścieżce jest równy L 4 = 80,0 m , a wektor skierowany jest na południe. Za kąt nachylenia możemy przyjąć θ 4 = − 90 ∘ albo θ 4 = + 270 ∘ . Otrzymujemy następujące wyniki: L 4 x = L 4 cos  θ 4 = 80,0 m ⋅ cos  ( − 90 ∘ ) = 0,0 m , L 4 y = L 4 sin  θ 4 = 80,0 m ⋅ sin  ( − 90 ∘ ) = − 80,0 m , L → 4 = L 4 x i ^ + L 4 y j ^ = − 80,0 m ⋅ j ^ . Moduł przemieszczenia Azora na ostatniej ścieżce to L 5 = 150,0 m , a kąt nachylenia jest równy θ 5 = − 23 ∘ + 270 ∘ = + 247 ∘ ( 23 ∘ na zachód od kierunku południowego), co daje: L 5 x = L 5 cos  θ 5 = 150,0 m ⋅ cos  247 ∘ = − 58,6 m , L 5 y = L 5 sin  θ 5 = 150,0 m ⋅ sin  247 ∘ = − 138,1 m , L → 5 = L 5 x i ^ + L 5 y j ^ = − 58,6 m ⋅ i ^ − 138,1 m ⋅ j ^ . Sprawdź, czy rozumiesz. Jeśli Azor przebiegnie 20 m na zachód, jaki będzie wektor jego przemieszczenia? D → = − 20 m ⋅ i ^ . Współrzędne biegunowe Aby opisać położenie punktu na płaszczyźnie, potrzebujemy dwóch ortogonalnych kierunków. W kartezjańskim układzie współrzędnych kierunki te są wyznaczone przez wersor i ^ osi x oraz wersor j ^ osi y . Korzystanie z kartezjańskiego układu współrzędnych jest wygodne, jeśli chodzi o opis przemieszczeń, prędkości i sił. Jednak w przypadku ruchu obrotowego korzystanie z tego układu okazuje się nieefektywne. Opisu ruchu obrotowego dokonuje się zazwyczaj w układzie współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinate system ). W układzie współrzędnych biegunowych położenie punktu P określa się za pomocą dwóch współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinates ) ( ). Pierwsza współrzędna biegunowa to promień wodzący (ang. radial coordinate r , czyli odległość punktu P od bieguna. Drugą współrzędną biegunową jest kąt φ zawarty między promieniem wodzącym a pewną prostą (ang. direction angle ), zazwyczaj osią x . W układzie współrzędnych biegunowych miarę kątów podaje się w radianach. Punktem początkowym promienia wodzącego jest punkt ( 0 , 0 ) , a punktem końcowym punkt P . Kierunek promienia wodzącego opisuje wektor jednostkowy r ^ . Drugi wektor jednostkowy t ^ jest prostopadły do wektora r ^ . Kierunek dodatni + t ^ informuje nas, że kąt φ zmienia się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Położenie punktu P o współrzędnych ( x , y ) w prostokątnym układzie współrzędnych może być również opisane przez współrzędne biegunowe ( r , φ ) . jest spełnione dla wszystkich wektorów, więc za jego pomocą możemy wyrazić współrzędne x oraz y wektora r → . W ten sposób możemy wyznaczyć zależność między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi punktu P : { x = r cos φ y = r sin φ . Wektor jednostkowy r ^ definiuje kierunek promienia wodzącego r , a prostopadły do niego wektor jednostkowy t ^ definiuje kierunek obrotu promienia o kąt φ . Współrzędne biegunowe Poszukiwacz skarbów znajduje srebrną monetę 20,0 m od wyschniętej studni w kierunku 20 ∘ na północ od kierunku wschodniego i złotą monetę 10,0 m od studni w kierunku 20 ∘ na północ od kierunku zachodniego. Jakie są współrzędne biegunowe i kartezjańskie jego znalezisk względem studni? Strategia rozwiązania Miejsce położenia studni jest biegunem układu współrzędnych, a wschód to dodatni kierunek osi x . Promienie wodzące łączące biegun z miejscami poszczególnych znalezisk są równe r S = 20,0 m (miejsce znalezienia srebrnej monety) i r Z = 10,0 m (miejsce znalezienia złotej monety). W celu określenia wartości kąta φ przekształcamy 20 ∘ na radiany: 20 ∘ = π ⋅ 20 / 180 r a d = π / 9 r a d . Aby znaleźć współrzędne x i y monet, korzystamy z . Rozwiązanie Kąt położenia srebrnej monety jest równy φ S = π / 9 , a kąt położenia złotej monety jest równy φ Z = π − π / 9 = 8 π / 9 . Współrzędne biegunowe srebrnej monety są więc równe ( r S , φ S ) = ( 20,0 m ; π / 9 r a d ) , natomiast współrzędne monety złotej to ( r Z , φ Z ) = ( 10,0 m ; 8 π / 9 r a d ) . Aby otrzymać współrzędne kartezjańskie, podstawiamy współrzędne biegunowe do . Współrzędne kartezjańskie miejsca znalezienia złotej monety są równe { x Z = r Z cos  φ Z = 10,0 m ⋅ cos  ( 8 π / 9 ) = − 9,4 m y Z = r Z sin  φ Z = 10,0 m ⋅ sin  ( 8 π / 9 ) = 3,4 m ⟹ ( x Z , y Z ) = ( − 9,4 m ; 3,4 m ) . Współrzędne miejsca znalezienia srebrnej monety są równe { x S = r S cos  φ S = 20,0 m ⋅ cos  ( π / 9 ) = 18,9 m y S = r S sin  φ S = 20,0 m ⋅ sin  ( π / 9 ) = 6,8 m ⟹ ( x S , y S ) = ( 18,9 m ; 6,8 m ) . Wektory w przestrzeni trójwymiarowej Aby określić położenie punktu w przestrzeni, potrzebne są trzy zmienne ( x , y , z ) , gdzie x oraz y określają położenie punktu na płaszczyźnie, natomiast współrzędna z informuje o odległości od płaszczyzny w pionie. W przestrzeni trójwymiarowej możemy wyróżnić trzy kierunki ortogonalne, a więc do opisu tej przestrzeni potrzebne są trzy wektory jednostkowe. W układzie współrzędnych kartezjańskich pierwsze dwa wektory jednostkowe to wersory osi x i ^ oraz y j ^ . Trzecim wektorem jednostkowym k ^ jest wektor informujący o kierunku osi z , a więc wersor tej osi ( ). Kolejność podpisywania osi, a tym samym kolejność definiowania wektorów jednostkowych jest istotna, ponieważ od niej zależy orientacja układu współrzędnych. Kolejność x – y – z , równoważna z kolejnością i ^ – j ^ – k ^ , oznacza, że mamy do czynienia z układem prawoskrętnym, który definiuje się, używając metody śruby prawoskrętnej. Trzy wektory jednostkowe definiują układ współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej. Od kolejności podpisywania osi zależy orientacja układu współrzędnych. Układ przedstawiony na rysunku jest układem prawoskrętnym. W przestrzeni trójwymiarowej wektor A → ma trzy składowe: składową x : A → x = A x i ^ , będącą rzutem wektora A → na oś x , składową y : A → y = A y j ^ , będącą rzutem wektora A → na oś y , oraz składową z : A → z = A z k ^ , będącą rzutem wektora na oś z . Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich trzech składowych. ( ): A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ . Jeśli znamy współrzędne punktu początkowego wektora p ( x p , y p , z p ) oraz współrzędne jego punktu końcowego k ( x k , y k , z k ) , możemy obliczyć wartości składowych wektora, odejmując od siebie współrzędne punktów – dla A x i A y zostało to pokazane w . Wartość składowej z uzyskujemy w następujący sposób: A z = z k − z p . Moduł A obliczamy, wykonując dla trzech wymiarów: A = A x 2 + A y 2 + A z 2 . Powyższy wzór wynika z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Jak widać na , przekątna w płaszczyźnie x y ma długość A x 2 + A y 2 , a po podniesieniu do kwadratu i dodaniu A z 2 daje A 2 . Zauważ, że kiedy składowa z jest równa zero, wektor leży w płaszczyźnie xy , w związku z czym jego opis ogranicza się do dwóch wymiarów. Wektor w przestrzeni trójwymiarowej jest sumą swoich składowych. Lot drona Podczas startu dron IAI Heron ( ) znajduje się 100 m nad ziemią, 300 m na wschód i 200 m na północ względem wieży kontroli lotów. Minutę później dron znajduje się 250 m nad ziemią, 1200 m na wschód i 2100 m na północ względem wieży. Jaki jest wektor przemieszczenia drona względem wieży? Jaki jest moduł tego wektora? Dron IAI Heron. (Źródło: SSgt Reynaldo Ramon, USAF) Strategia rozwiązania Przyjmujemy, że miejsce położenia wieży stanowi początek układu współrzędnych. Dodatni kierunek osi x określa wektor jednostkowy i ^ (jest to kierunek wschodni), dodatni kierunek osi y określa wektor jednostkowy j ^ (jest to kierunek północny), a dodatni kierunek osi z określa wektor jednostkowy k ^ (skierowany pionowo względem ziemi). Pozycja, z której startuje dron, stanowi punkt początkowy wektora przemieszczenia, a jego pozycja po upływie minuty stanowi jego punkt końcowy. Rozwiązanie W pierwszej kolejności określamy współrzędne punktów p ( 300,0 m ; 200,0 m ; 100,0 m ) oraz k ( 1200,0 m ; 2100,0 m ; 250,0 m ) , a następnie znajdujemy wartości składowych wektora przemieszczenia przy pomocy oraz : { D x = x k − x p = 1200,0 m − 300,0 m = 900,0 m , D y = y k − y p = 2100,0 m − 200,0 m = 1900,0 m , D z = z k − z p = 250,0 m − 100,0 m = 150,0 m . Aby znaleźć wektor przemieszczenia, podstawiamy powyższe wartości do : D → = D x i ^ + D y j ^ + D z k ^ = 900,0 m ⋅ i ^ + 1900,0 m ⋅ j ^ + 150,0 m ⋅ k ^ . Aby znaleźć moduł wektora przemieszczenia, podstawiamy moduły poszczególnych składowych do : D = D x 2 + D y 2 + D z 2 = ( 0,90 km ) 2 + ( 1,90 km ) 2 + ( 0,15 km ) 2 = 2,11 k m . Sprawdź, czy rozumiesz. Jeśli wektor średniej prędkości drona z jest równy u → = 15,0 m/s ⋅ i ^ + 31,7 m/s ⋅ j ^ + 2,5 m/s ⋅ k ^ , jaka jest wartość modułu tego wektora? 35,1 m/s = 126,4 km/h . Podsumowanie Opisu wektorów dokonuje się przy pomocy ich składowych. W przestrzeni jednowymiarowej wektor ma jedną składową, w dwuwymiarowej (na płaszczyźnie) wektor ma dwie składowe, w trójwymiarowej – trzy. Składowa wektora jest to rzut wektora na daną oś. Wartość składowej wektora jest to długość rzutu wektora na daną oś. Wektor jest sumą swoich składowych. Wartości składowych wektora oblicza się, odejmując współrzędne punktu początkowego wektora od współrzędnych jego punktu końcowego. W prostokątnym układzie współrzędnych moduł wektora jest równy pierwiastkowi sumy kwadratów wartości jego składowych. Kierunek wektora na płaszczyźnie określany jest przez kąt, jaki ten wektor tworzy z dodatnim kierunkiem osi x . Kąt ten mierzy się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Wartość składowej x wektora oblicza się, mnożąc moduł tego wektora przez cosinus kąta określającego kierunek. Wartość składowej y wektora oblicza się, mnożąc moduł tego wektora przez sinus kąta określającego kierunek. Możemy wyróżnić dwa rodzaje układów współrzędnych w przestrzeni dwuwymiarowej. Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny układ współrzędnych) charakteryzowany jest przez i ^ , czyli wersor osi x , oraz j ^ , czyli wersor osi y . Układ współrzędnych biegunowych charakteryzowany jest przez wektor jednostkowy r ^ określający kierunek promienia wodzącego oraz wektor jednostkowy t ^ , prostopadły (ortogonalny) do wektora r ^ . Pytania Podaj przykład niezerowego wektora, którego składowa ma wartość zero. wersor osi x Wyjaśnij, dlaczego składowa wektora nie może mieć wartości większej od modułu tego wektora. Jeżeli dwa wektory są równe, co możesz powiedzieć o ich składowych? Składowe też są równe. Jeżeli wektory A → i B → są ortogonalne, jaka jest składowa wektora B → w kierunku wektora A → ? Jaka jest składowa wektora A → w kierunku wektora B → ? Jeśli wartość jednej ze składowych wektora jest różna od zera, czy wartość drugiej składowej może być równa zero? tak Jeśli moduły dwóch wektorów są równe, to czy wartości ich składowych muszą być takie same? Zadania Zakładając, że oś x leży w poziomie i skierowana jest w prawo, dokonaj rozkładu na składowe wektorów podanych na ilustracji. A → = 8,66 i ^ + 5,00 j ^ , B → = + 30,09 i ^ + 39,93 j ^ , C → = + 6,00 i ^ − 10,39 j ^ , D → = − 15,97 i ^ + 12,04 j ^ , F → = − 17,32 i ^ − 10,00 j ^ . Idziesz 18,0 m na zachód, a następnie 25,0 m na północ. Jak daleko jesteś od punktu startowego? Jaki jest wektor twojego przemieszczenia? Jaki jest kierunek twojego przemieszczenia? Przyjmij, że oś x leży w poziomie i skierowana jest w prawo. Jedziesz 7,50 km pod kątem 15 ∘ na wschód od kierunku północnego. Jaką drogę musiałbyś przebyć prosto na wschód, a następnie prosto na północ, aby znaleźć się w tym samym punkcie? Udowodnij, że jeśli przejedziesz odcinki drogi w odwrotnej kolejności (najpierw na północ, a następnie na wschód), znajdziesz się w tym samym miejscu. Przyjmij, że dodatni kierunek osi x skierowany jest na wschód. 1,94 km, 7,24 km dowód Dwa konie ciągną sanie po płaskim terenie. Siła wywierana na sanie w prostokątnym układzie współrzędnym jest wektorem F → = − 2980,0 N ⋅ i ^ + 8200,0 N ⋅ j ^ , gdzie i ^ i j ^ oznaczają odpowiednio kierunek wschodni i północny. Znajdź moduł i kierunek wektora siły. Turystka idzie ze schroniska nad jezioro. W prostej linii jezioro oddalone jest od schroniska o 5,0 km. Określ składowe wektora w kierunkach wschodnim i północnym. O ile kilometrów dłuższy dystans musiałaby przejść, gdyby szła wzdłuż składowych wektora? Jaki jest wektor jej przemieszczenia? 3,8 km na wschód, 3,2 km na północ; 2,0 km; D → = 3,8 km ⋅ i ^ + 3,2 km ⋅ j ^ Współrzędne biegunowe punktu są równe 4 π / 3 i 5,50 m. Jakie są jego współrzędne kartezjańskie? Współrzędne biegunowe dwóch punktów są równe P 1 ( 2,500 m ; π / 6 ) oraz P 2 ( 3,800 m ; 2 π / 3 ) . Ustal, jakie są ich współrzędne kartezjańskie oraz określ, z dokładnością do centymetra, jaka odległość dzieli te punkty w prostokątnym układzie współrzędnych. P 1 ( 2,165 m ; 1,250 m ) , P 1 ( − 1,900 m ; 3,290 m ) , 5,27 m Kameleon leży na dachu werandy i czeka, aż w pobliżu pojawi się owad. Przyjmijmy, że lewy dolny róg dachu jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych, a oś x skierowana jest w prawo. Jeżeli kameleon znajduje się w punkcie ( 2,0 m ; 1,0 m ) , jak daleko znajduje się od narożnika dachu? Jakie są jego współrzędne biegunowe? Współrzędne dwóch punktów znajdujących się w prostokątnym układzie współrzędnych są równe A ( 2,00 m ; − 4,00 m ) oraz B ( − 3,00 m ; 3,00 m ) . Określ odległość między tymi punktami oraz ich współrzędne biegunowe. 8,60 m, A ( 2 5 m ; 0,647 π r a d ) , B ( 3 2 m ; 0,75 π r a d ) . Mucha wlatuje przez otwarte okno i zaczyna krążyć po pokoju. Osie trójwymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich skierowane są wzdłuż trzech krawędzi pokoju. Mucha przemieszcza się z punktu p ( 4,0 m ; 1,5 m ; 2,5 m ) do punktu k ( 1,0 m ; 4,5 m ; 0,5 m ) . Znajdź wartości składowych wektora przemieszczenia muchy oraz moduł tego wektora. Przedstaw rozkład wektora na składowe. rozkład wektora na składowe (ang. component form of a vector ) zapis wektora w postaci sumy jego składowych, przy pomocy wersorów osi kąt skierowany (ang. direction angle ) kąt między rosnącym kierunkiem osi x a wektorem, mierzony od osi do wektora układ współrzędnych biegunowych (ang. polar coordinate system ) układ współrzędnych, w którym położenie punktu na płaszczyźnie określone jest za pomocą współrzędnych biegunowych współrzędne biegunowe (ang. polar coordinates ) promień wodzący i kąt skierowany tego promienia promień wodzący (ang. radial coordinate ) odległość punktu od bieguna w układzie współrzędnych biegunowych wartość składowej (ang. scalar component ) liczba, przez którą należy pomnożyć wersor osi, aby otrzymać składową wektora wersory osi (ang. unit vectors of the axes ) wektory jednostkowe definiujące kierunki ortogonalne na płaszczyźnie lub w przestrzeni składowe wektora (ang. vector components ) rzuty wektora na poszczególne osie układu współrzędnych; wektor jest sumą swoich składowych

Science


Działania na wektorach Wektory można dodawać i mnożyć przez skalary. Dodawanie wektorów jest łączne ( ) i przemienne ( ), a mnożenie wektorów przez sumę skalarów jest rozdzielne względem dodawania ( ). Mnożenie skalarów przez sumę wektorów również jest rozdzielne względem dodawania: α ( A → + B → ) = α A → + α B → . W powyższym równaniu α może być jakąkolwiek liczbą (skalarem). Przykładowo wektor o zwrocie przeciwnym do zwrotu wektora A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ można przedstawić, mnożąc A → przez α = −1 : − A → = − A x i ^ − A y j ^ − A z k ^ . Kierunek ruchu Dany jest układ współrzędnych kartezjańskich, gdzie i ^ jest skierowany na wschód, j ^ jest skierowany n północ, a k ^ jest skierowany pionowo i oznacza wysokość nad poziomem morza. Oddział żołnierzy przemieszcza się po nieznanym terenie z prędkością v → = 4,0 km/h ⋅ i ^ + 3,0 km/h ⋅ j ^ + 0,1 km/h ⋅ k ^ . Jeśli zarządzono by odwrót, w jakim kierunku geograficznym oddział musiałby ruszyć? Rozwiązanie Trzecia składowa wektora prędkości jest równa v → z = + 0,1 km/h ⋅ k ^ , co oznacza, że oddział wspina się z prędkością 100 m/h. Prędkość w kierunku wschodnim jest równa 4,0 km/h, a w kierunku północnym 3,0 km/h, a więc kierunek oddziału na płaszczyźnie to arctg  ( 3 / 4 ) ≈ 37 ∘ na północ od kierunku wschodniego. Jeśli oddział musiałby zawrócić, zwrot nowego wektora prędkości u → musiałby być przeciwny do wektora v → . Można go zapisać u → = − α v → , gdzie α jest liczbą dodatnią. Prędkość zawracającego oddziału byłaby więc równa u → = α ( − 4,0 km/h ⋅ i ^ − 3,0 km/h ⋅ j ^ − 0,1 km/h ⋅ k ^ ) . Minus przy trzeciej składowej oznacza, że oddział będzie szedł w dół. Kierunek nowego wektora prędkości opisuje kąt arctg  ( − 3 α / − 4 α ) ≈ 37 ∘ na południe od kierunku zachodniego. W płaszczyźnie oddział będzie poruszał się w kierunku 37 ∘ na południe od kierunku zachodniego. W rachunku wektorowym występuje pojęcie wektora zerowego (ang. null vector ), zapisywanego 0 → . Wszystkie składowe wektora zerowego są równe zero, 0 → = 0 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ , więc nie ma on długości ani kierunku. Wektory A → i B → są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy ich różnica jest wektorem zerowym: 0 → = A → − B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) − ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = ( A x − B x ) i ^ + ( A y − B y ) j ^ + ( A z − B z ) k ^ . Oznacza to, że muszą być spełnione równania A x − B x = 0 , A y − B y = 0 oraz A z − B z = 0 . Aby stwierdzić, że A → = B → , poszczególne składowe wektorów A → i B → muszą być równe: A → = B → ⟺ { A x = B x A y = B y A z = B z . Dwa wektory są równe, jeśli wartości ich składowych są takie same. Rozkład wektora na składowe i przedstawienie tego w formie takiej jak w pozwala na znalezienie sumy i różnicy wielu wektorów analitycznie (to znaczy bez użycia metod graficznych). Na przykład aby znaleźć sumę dwóch wektorów A → i B → , należy po prostu dodać do siebie ich poszczególne składowe R → = A → + B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) + ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = ( A x + B x ) i ^ + ( A y + B y ) j ^ + ( A z + B z ) k ^ . Wartości składowych wektora sumy R → = R x i ^ + R y j ^ + R z k ^ są więc sumami wartości odpowiednich składowych dodawanych wektorów A → i B → : { R x = A x + B x R y = A y + B y R z = A z + B z . Przy pomocy metody analitycznej można obliczyć sumę wielu wektorów. Jeśli na przykład chcemy dodać N wektorów F → 1 , F → 2 , F → 3 , … , F → N , gdzie każdy wektor F → k = F k x i ^ + F k y j ^ + F k z k ^ , wektor sumy F → R będzie równy F → R = F → 1 + F → 2 + F → 3 + … + F → N = ∑ k = 1 N F → k = ∑ k = 1 N ( F k x i ^ + F k y j ^ + F k z k ^ ) = ( ∑ k = 1 N F k x ) i ^ + ( ∑ k = 1 N F k y ) j ^ + ( ∑ k = 1 N F k z ) k ^ . Wartości składowych wektora sumy są równe: { F R x = ∑ k = 1 N F k x = F 1 x + F 2 x + … + F N x F R y = ∑ k = 1 N F k y = F 1 y + F 2 y + … + F N y F R z = ∑ k = 1 N F k z = F 1 z + F 2 z + … + F N z . Skoro znamy wartości składowych wektora, możemy przedstawić rozkład wektora na składowe: F → R = F R x i ^ + F R y j ^ + F R z k ^ . Obliczanie sumy wektorów – i rozwiązywanie równań wektorowych w ogóle – za pomocą metod analitycznych jest bardzo przydatne, ponieważ wiele wielkości fizycznych to wielkości wektorowe. Metodę analityczną stosujemy na przykład w kinematyce, kiedy chcemy znaleźć sumę wektorów przemieszczenia lub prędkości, w mechanice podczas obliczania wynikowego wektora siły oraz różnych wielkości pochodnych, czy też w elektryczności i magnetyzmie podczas obliczania sumy wektorów natężenia pola elektrycznego lub magnetycznego. Obliczanie sumy i różnicy wektorów metodą analityczną Moduły trzech leżących na płaszczyźnie ( ) wektorów A → , B → oraz C → są równe A = 10,0 , B = 7,0 i C = 8,0 . Ich kąty odchylenia od poziomu są równe α = 35 ∘ , β = − 110 ∘ oraz γ = 30 ∘ . Wartości modułów podane są w centymetrach. Znajdź wartości składowych poszczególnych wektorów i wykonaj następujące działania: R → = A → + B → + C → , D → = A → − B → , S → = A → − 3 B → + C → . Strategia rozwiązania Najpierw znajdujemy wartości poszczególnych składowych każdego wektora i zapisujemy wektory w postaci rozkładu na składowe ( ). Następnie stosujemy metodę analityczną rachunku wektorowego. Rozwiązanie Dokonujemy rozkładu wektorów na składowe: A x = A  cos α = 10,0  cm ⋅ cos 35 ° = 8,19  cm  , A y = A  sin α = 10,0  cm ⋅ sin 35 ° = 5,73  cm  , \left{ \begin{matrix*}[l] A_x = A \cos \alpha = \SI{10,0}{\centi\metre} \cdot \cos ( \ang{35} ) = \SI{8,19}{\centi\metre} \text{,} \\ A_y = A \sin \alpha = \SI{10,0}{\centi\metre} \cdot \sin ( \ang{35} ) = \SI{5,73}{\centi\metre} \text{,} \end{matrix*} \right. B x = B  cos β = 7,0  cm ⋅ cos − 110 ° = − 2,39  cm  , B y = B  sin β = 7,0  cm ⋅ sin − 110 ° = − 6,58  cm  , \left{ \begin{matrix*}[l] B_x = B \cos \beta = \SI{7,0}{\centi\metre} \cdot \cos ( -\ang{110} ) = -\SI{2,39}{\centi\metre} \text{,} \\ B_y = B \sin \beta= \SI{7,0}{\centi\metre} \cdot \sin ( -\ang{110} ) = -\SI{6,58}{\centi\metre} \text{,} \end{matrix*} \right. C x = C  cos γ = 8,0  cm ⋅ cos 30 ° = 6,93  cm  , C y = C  sin γ = 8,0  cm ⋅ sin 30 ° = 4,00  cm  . \left{ \begin{matrix*}[l] C_x = C \cos \gamma = \SI{8,0}{\centi\metre} \cdot \cos ( \ang{30} ) = \SI{6,93}{\centi\metre} \text{,} \\ C_y = C \sin \gamma = \SI{8,0}{\centi\metre} \cdot \sin ( \ang{30} ) = \SI{4,00}{\centi\metre} \text{.} \end{matrix*} \right. (a) Aby otrzymać wartości składowych wektora wynikowego, możemy po prostu podstawić otrzymane wartości do : { R x = A x + B x + C x = 8,19 c m − 2,39 c m + 6,93 c m = 12,73 c m R y = A y + B y + C y = 5,73 c m − 6,58 c m + 4,00 c m = 3,15 c m . Otrzymujemy wektor R → = R x i ^ + R y j ^ = 12,7 c m ⋅ i ^ + 3,2 c m ⋅ j ^ . (b) Różnicę wektorów możemy zapisać jako D → = A → − B → = ( A x i ^ + A y j ^ ) − ( B x i ^ + B y j ^ ) = ( A x − B x ) i ^ + ( A y − B y ) j ^ . Wartości składowych wektora różnicy są równe { D x = A x − B x = 8,19 c m − ( − 2,39 c m ) = 10,58 c m D y = A y − B y = 5,73 c m − ( − 6,58 c m ) = 12,31 c m . Otrzymujemy następujący wektor różnicy: D → = D x i ^ + D y j ^ = 10,6 c m ⋅ i ^ + 12,3 c m ⋅ j ^ . (c) Możemy zapisać wektor S → w następujący sposób: S → = A → − 3 B → + C → = ( A x i ^ + A y j ^ ) − 3 ( B x i ^ + B y j ^ ) + ( C x i ^ + C y j ^ ) = ( A x − 3 B x + C x ) i ^ + ( A y − 3 B y + C y ) j ^ . Wartości składowych wektora S → są równe { S x = A x − 3 B x + C x = 8,19 c m − 3 ⋅ ( − 2,39 c m ) + 6,93 c m = 22,29 c m S y = A y − 3 B y + C y = 5,73 c m − 3 ⋅ ( − 6,58 c m ) + 4,00 c m = 29,47 c m . Otrzymujemy wektor S → = S x i ^ + S y j ^ = 22,3 c m ⋅ i ^ + 29,5 c m ⋅ j ^ . Znaczenie Kiedy znamy już składowe wektorów, możemy przedstawić te wektory graficznie lub obliczyć ich moduły i kąty określające kierunek, jak przedstawiono to na . Wyniki otrzymane podczas obliczania modułów w sytuacjach (b) i (c) można porównać z wynikami uzyskanymi przy pomocy metody graficznej, jak na oraz . Wyniki uzyskane przy pomocy metody analitycznej są precyzyjne, a ich dokładność nie jest ograniczona przez skalę linijki ani kątomierza, jak dzieje się w przypadku metody graficznej ( ). Zobrazowanie wyników otrzymanych przy pomocy metody analitycznej w . Sprawdź, czy rozumiesz. Moduły trzech wektorów przemieszczenia A → , B → oraz F → ( ) są równe A = 10,0 , B = 7,0 oraz F = 20,0 . Kąty nachylenia tych wektorów do poziomu są równe kolejno α = 35 ∘ , β = − 110 ∘ , φ = 110 ∘ . Wartości modułów podane są w centymetrach. Za pomocą metody analitycznej znajdź wektor G → = A → + 2 B → − F → . Sprawdź, czy wartość modułu G = 28,15 c m oraz czy kąt θ G = − 68 , 65 ∘ . G → = 10,25 c m ⋅ i ^ − 26,22 c m ⋅ j ^ . Psia zabawa Cztery psy – Azor, Burek, Ciapek i Dingo – jednocześnie ciągną zabawkę, każdy w swoją stronę ( ). Azor ciągnie ją pod kątem α = 55 ∘ na południe od kierunku wschodniego, Burek pod kątem β = 60 ∘ na wschód od kierunku północnego, a Ciapek pod kątem γ = 55 ∘ na zachód od kierunku północnego. Azor ciągnie siłą o wartości A = 160,0 N , Burek siłą o wartości B = 200,0 N , a Ciapek siłą o wartości C = 140,0 N . Dingo ciągnie zabawkę siłą, która równoważy siły wywierane przez pozostałe psy, co oznacza, że zabawka jest cały czas w tym samym miejscu. Jaki jest kierunek oraz wartość siły wywieranej na zabawkę przez Dingo? Cztery psy ciągnące zabawkę, każdy w swoją stronę. Strategia rozwiązania Zakładamy, że kierunek wschodni jest dodatnim kierunkiem osi x , a kierunek północny jest dodatnim kierunkiem osi y . Najpierw, podobnie jak w , musimy dokonać rozkładu wektorów A → , B → oraz C → na składowe, a następnie znaleźć wartości składowych wynikowego wektora R → = A → + B → + C → . Siła D → równoważy pozostałe siły, co oznacza, że suma wektorów D → i R → musi być wektorem zerowym: D → + R → = 0 → . Wynika z tego, że D → = − R → , a więc siła, z jaką ciągnie zabawkę Dingo, jest wektorem o tym samym kierunku, lecz zwrocie przeciwnym do zwrotu R → . Rozwiązanie Kąty nachylenia wektorów do osi x są równe θ A = − α = − 55 ∘ , θ B = 90 ∘ − β = 30 ∘ , θ C = 90 ∘ + γ = 145 ∘ . Podstawiając je do , otrzymujemy wartości składowych wektorów siły: A x = A  cos θ A = 160,0  N ⋅ cos − 55 ° = 91,8  N  , A y = A  sin θ A = 160,0  N ⋅ sin − 55 ° = − 131,1  N  , \left{ \begin{matrix*}[l] A_x = A \cos \theta_A = \SI{160,0}{\newton} \cdot \cos ( -\ang{55} ) = \SI{91,8}{\newton} \text{,} \\ A_y = A \sin \theta_A = \SI{160,0}{\newton} \cdot \sin ( -\ang{55} ) = -\SI{131,1}{\newton} \text{,} \end{matrix*} \right. B x = B  cos θ B = 200,0  N ⋅ cos 30 ° = 173,2  N  , B y = B  sin θ B = 200,0  N ⋅ sin 30 ° = 100,0  N  , \left{ \begin{matrix*}[l] B_x = B \cos \theta_B = \SI{200,0}{\newton} \cdot \cos ( \ang{30} ) = \SI{173,2}{\newton} \text{,} \\ B_y = B \sin \theta_B = \SI{200,0}{\newton} \cdot \sin ( \ang{30} ) = \SI{100,0}{\newton} \text{,} \end{matrix*} \right. C x = C  cos θ C = 140,0  N ⋅ cos 145 ° = − 114,7  N  , C y = C  sin θ C = 140,0  N ⋅ sin 145 ° = 80,3  N  . \left{ \begin{matrix*}[l] C_x = C \cos \theta_C = \SI{140,0}{\newton} \cdot \cos ( \ang{145} ) = -\SI{114,7}{\newton} \text{,} \\ C_y = C \sin \theta_C = \SI{140,0}{\newton} \cdot \sin ( \ang{145} ) = \SI{80,3}{\newton} \text{.} \end{matrix*} \right. Następnym krokiem jest obliczenie wartości składowych wektora wynikowego R → = A → + B → + C → : { R x = A x + B x + C x = + 91,8 N + 173,2 N − 114,7 N = + 150,3 N , R y = A y + B y + C y = − 131,1 N + 100,0 N + 80,3 N = + 49,2 N . Następnie zapisujemy wektor o tym samym kierunku co wektor R → , ale o przeciwnym zwrocie D → = − R → = − R x i ^ − R y j ^ = − 150,3 N ⋅ i ^ − 49,2 N ⋅ j ^ . Siła, z jaką ciągnie zabawkę Dingo, ma moduł równy D = D x 2 + D y 2 = ( − 150,3 N ) 2 + ( − 49,2 N ) 2 = 158,1 N . Kierunek tej siły to θ = arctg  ( D y D x ) = arctg  ( − 49,2 N − 150,3 N ) = 18 , 1 ∘ . Dingo ciągnie zabawkę pod kątem 18 , 1 ∘ na południe od kierunku zachodniego, ponieważ wartości obu składowych wektora siły są ujemne – wektor leży w trzeciej ćwiartce ( ). Sprawdź, czy rozumiesz. Przypuśćmy, że Burek ( ) porzuca zabawę na rzecz ważniejszych spraw. Siła, z jaką zabawkę ciągną Azor i Ciapek, nie zmienia się, ale Dingo puszcza ją na chwilę i łapie w innym miejscu. Określ kierunek i wartość siły, z jaką musi ciągnąć zabawkę Dingo, aby zrównoważyć siły wywierane przez Azora i Ciapka. Narysuj diagram przedstawiający wszystkie wektory siły. D = 55,7 N ; kierunek 65 , 7 ∘ na północ od kierunku wschodniego Algebra wektorów Znajdź moduł wektora C → spełniającego równanie 2 A → − 6 B → + 3 C → = 2 j ^ , gdzie A → = i ^ − 2 k ^ i B → = − j ^ + k ^ / 2 . Strategia rozwiązania Na początku przekształcamy równanie, aby wyznaczyć C → . Do tak przekształconego równania podstawiamy A → i B → . Następnie grupujemy wyrażenia według kierunków i ^ , j ^ , k ^ i wyznaczamy wartości składowych C x , C y , C z . Na końcu podstawiamy wyniki do w celu znalezienia modułu wektora C → . Rozwiązanie 2 A → − 6 B → + 3 C → = 2 j ^ , 3 C → = 2 j ^ − 2 A → + 6 B → , C → = 2 3 j ^ − 2 3 A → + 2 B → = 2 3 j ^ − 2 3 ( i ^ − 2 k ^ ) + 2 ( − j ^ + k ^ 2 ) = 2 3 j ^ − 2 3 i ^ + 4 3 k ^ − 2 j ^ + k ^ = − 2 3 i ^ + ( 2 3 − 2 ) j ^ + ( 4 3 + 1 ) k ^ = − 2 3 i ^ − 4 3 j ^ + 7 3 k ^ . Wartości składowych szukanego wektora są następujące: C x = − 2 / 3 , C y = − 4 / 3 , C z = 7 / 3 . Po podstawieniu ich do otrzymujemy C = C x 2 + C y 2 + C z 2 = ( − 2 3 ) 2 + ( − 4 3 ) 2 + ( 7 3 ) 2 = 23 3 . Przemieszczenie narciarza Narciarz biegowy rusza ze stacji narciarskiej i biegnie 5,0 km na północ, następnie 3,0 km na zachód, a później 4,0 km na południowy zachód. Znajdź wektor jego całkowitego przemieszczenia o punkcie początkowym w stacji narciarskiej. Jaki dystans i w jakim kierunku musi przebyć narciarz, aby wrócić do stacji najkrótszą drogą? Strategia rozwiązania Do rozwiązania tego zadania posłużymy się prostokątnym układem współrzędnych, którego początkiem będzie stacja narciarska. Wektor jednostkowy i ^ będzie wskazywał wschód, a wektor jednostkowy j ^ będzie wskazywał północ. Możemy wyróżnić trzy wektory przemieszczenia: D → 1 , D → 2 i D → 3 . Ich moduły są równe D 1 = 5,0 k m , D 2 = 3,0 k m , i D 3 = 4,0 k m . Ich kąty nachylenia do osi x są równe θ 1 = 90 ∘ , θ 2 = 180 ∘ i θ 3 = 180 ∘ + 45 ∘ = 225 ∘ . Każdy z wektorów rozbijamy na składowe, które podstawiamy do – w ten sposób otrzymamy wartości składowych wektora całkowitego przemieszczenia D → . Przemieszczenie narciarza w drodze powrotnej jest równe B → = − D → . W końcu możemy określić moduł i kierunek wektora B → . Rozwiązanie Wartości składowych wektorów przemieszczenia są równe D 1 x = D 1  cos θ 1 = 5,0  km ⋅ cos 90 ° = 0,0  km  , D 1 y = D 1  sin θ 1 = 5,0  km ⋅ sin 90 ° = 5,0  km  , \left{ \begin{matrix*}[l] D_{1\sep x} = D_1 \cos \theta_1 = \SI{5,0}{\kilo\metre} \cdot \cos ( \ang{90} ) = \SI{0,0}{\kilo\metre} \text{,} \\ D_{1\sep y} = D_1 \sin \theta_1 = \SI{5,0}{\kilo\metre} \cdot \sin ( \ang{90} ) = \SI{5,0}{\kilo\metre} \text{,} \end{matrix*} \right. D 2 x = D 2  cos θ 2 = 3,0  km ⋅ cos 180 ° = − 3,0  km  , D 2 y = D 2  sin θ 2 = 3,0  km ⋅ sin 180 ° = 0,0  km  , \left{ \begin{matrix*}[l] D_{2\sep x} = D_2 \cos \theta_2 = \SI{3,0}{\kilo\metre} \cdot \cos ( \ang{180} ) = -\SI{3,0}{\kilo\metre} \text{,} \\ D_{2\sep y} = D_2 \sin \theta_2 = \SI{3,0}{\kilo\metre} \cdot \sin ( \ang{180} ) = \SI{0,0}{\kilo\metre} \text{,} \end{matrix*} \right. D 3 x = D 3  cos θ 3 = 4,0  km ⋅ cos 225 ° = − 2,8  km  , D 3 y = D 3  sin θ 3 = 4,0  km ⋅ sin 225 ° = − 2,8  km  . \left{ \begin{matrix*}[l] D_{3\sep x} = D_3 \cos \theta_3 = \SI{4,0}{\kilo\metre} \cdot \cos ( \ang{225} ) = -\SI{2,8}{\kilo\metre} \text{,} \\ D_{3\sep y} = D_3 \sin \theta_3 = \SI{4,0}{\kilo\metre} \cdot \sin ( \ang{225} ) = -\SI{2,8}{\kilo\metre} \text{.} \end{matrix*} \right. Wartości składowych wynikowego wektora przemieszczenia są równe { D x = D 1 x + D 2 x + D 3 x = 0 k m − 3,0 k m − 2,8 k m = − 5,8 k m , D y = D 1 y + D 2 y + D 3 y = 5,0 k m + 0 k m − 2,8 k m = + 2,2 k m . Wektor całkowitego przemieszczenia narciarza jest więc równy D → = D x i ^ + D y j ^ = − 5,8 k m ⋅ i ^ + 2,2 k m ⋅ j ^ . Wektor jego przemieszczenia w drodze powrotnej ma przeciwny zwrot: B → = − D → = − ( –5,8 k m ⋅ i ^ + 2,2 k m j ^ ) = 5,8 k m ⋅ i ^ − 2,2 k m ⋅ j ^ . Moduł tego wektora jest równy B = B x 2 + B y 2 = ( 5,8 k m ) 2 + ( − 2,2 k m ) 2 = 6,2 k m , a jego kąt nachylenia do osi x jest równy θ = arctg  ( − 2,2 / 5,8 ) = − 20,8 ∘ , co oznacza, że aby wrócić prostą drogą do stacji, narciarz musi przebiec 6,2 km w kierunku około 21 ∘ na południe od kierunku wschodniego. Znaczenie Rozwiązanie przy pomocy metody analitycznej nie wymaga rysowania czegokolwiek, zawsze jednak warto wykonać prosty szkic – pomoże nam to stwierdzić, czy uzyskane przez nas wyniki są sensowne. Przemieszczenie biegacza Biegacz dostaje się na szczyt wzgórza, pokonując 200 schodów, biegnie szczytem przez 50,0 m, po czym zatrzymuje sie przy fontannie ( ). Wektor jego przemieszczenia z punktu A u podnóża schodów do punktu B przy fontannie jest równy D → A B = − 90 ,0 m · i ^ + 30 ,0 m · j ^ . Jaka jest wysokość i szerokość każdego stopnia? Jaki dystans przebył biegacz? Jaki będzie wektor jego przemieszczenia, jeśli wróci on do punktu A tą samą drogą? Biegacz pokonuje schody. Strategia rozwiązania Wektor przemieszczenia D → A B jest sumą wektorów D → A T (od punktu A u podnóża schodów do punktu T na szczycie schodów) oraz D → T B (od punktu T do punktu B przy fontannie). Musimy znaleźć składową poziomą i pionową wektora D → T B . Jeśli szerokość stopnia oznaczymy przez w , a jego wysokość przez h , składowa pozioma wektora D → T B musi być równa 200 w , a składowa pionowa 200 h . Dystans pokonany przez biegacza jest sumą dystansu, jaki pokonał, wbiegając po schodach, i dystansu (50,0 m), jaki przebiegł szczytem pagórka. Rozwiązanie W układzie współrzędnych przedstawionym na wektor przemieszczenia biegacza po szczycie wzgórza jest równy D → T B = − 50,0 m ⋅ i ^ . Wektor jego całkowitego przemieszczenia to D → A B = D → A T + D → T B . Wektor jego przemieszczenia od podnóża schodów na szczyt D → T B jest więc równy D → A T = D → A B − D → T B = − 90,0 m ⋅ i ^ + 30,0 m ⋅ j ^ − ( − 50,0 m ⋅ i ^ ) = ( − 90,0 m + 50,0 m ) ⋅ i ^ + 30,0 m ⋅ j ^ = − 40,0 m ⋅ i ^ + 30,0 m ⋅ j ^ . Wartości jego składowych sa równe D A T x = − 40,0 m oraz D A T y = 30,0 m . Dlatego 200 w = | − 40,0 m | = 40,0 m , 200 h = 30,0 m . Szerokość stopnia jest więc równa w = 40,0 m / 200 = 0,2 m = 20 c m , a jego wysokość h = 30,0 m / 200 = 0,15 m = 15 c m . Dystans, jaki pokonuje biegacz, wbiegając na schody, jest równy D A T = D A T x 2 + D A T y 2 = ( − 40,0 m ) 2 + ( 30,0 m ) 2 = 50,0 m . Dystans, jaki pokonał biegacz, jest więc równy D A T + D T B = 50,0 m + 50,0 m = 100,0 m . Jeśli biegacz wróci do punktu A tą samą drogą, przebyty przez niego dystans będzie dwa razy dłuższy – będzie równy 200,0 m. Wektor jego przemieszczenia będzie w takim wypadku wektorem zerowym – jego punkt początkowy będzie jednocześnie punktem końcowym, a więc wartości składowych wektora będą równe zero ( ). W wielu sytuacjach musimy znać kierunek wektora. Na przykład gdy chcemy wiedzieć, jaki jest kierunek wektora pola magnetycznego lub w jakim kierunku porusza się ciało. Wiemy już, że kierunek określany jest przez wektor jednostkowy nie posiadający jednostki. Jeśli wektor, którego kierunku szukamy, jest równoległy do jednej z osi układu współrzędnych, nie ma problemu – jego kierunek jest zgodny lub przeciwny do kierunku wektora jednostkowego tej osi. Przykładowo kierunkiem wektora d → = − 5 m ⋅ i ^ jest wektor jednostkowy d ^ = − i ^ . Aby znaleźć wektor jednostkowy V ^ wektora V → , należy podzielić go przez jego moduł V : V ^ = V → V . Dzięki widzimy, że wektor jednostkowy rzeczywiście jest liczbą niemianowaną – licznik i mianownik mają tę samą jednostkę. pozwala na wyrażenie wektora jednostkowego za pomocą wersorów osi. Poniższy przykład wyjaśnia tę zasadę. Wektor jednostkowy określający kierunek Jeśli wektor prędkości oddziału żołnierzy z jest równy v → = 4,0 k m / h ⋅ i ^ + 3,0 k m / h ⋅ j ^ + 0,1 k m / h ⋅ k ^ , jaki wektor jednostkowy określa jego kierunek? Strategia rozwiązania Wektor jednostkowy v ^ określający kierunek ruchu oddziału jest zgodny z wektorem prędkości. Wektor jednostkowy znajdujemy, dzieląc wektor przez jego moduł, zgodnie z . Rozwiązanie Moduł wektora v → jest równy v = v x 2 + v y 2 + v z 2 = ( 4,000 km/h ) 2 + ( 3,000 km/h ) 2 + ( 0,100 km/h ) 2 = 5,001 km/h . Aby otrzymać wektor jednostkowy v ^ , dzielimy wektor v → przez jego moduł: v ^ = v → v = 4,000 km/h ⋅ i ^ + 3,000 km/h ⋅ j ^ + 0,100 km/h ⋅ k ^ 5,001 km/h = 4,000 i ^ + 3,000 j ^ + 0,100 k ^ 5,001 = 4,000 5,001 i ^ + 3,000 5,001 j ^ + 0,100 5,001 k ^ = ( 79,98 i ^ + 59,99 j ^ + 2,00 k ^ ) ⋅ 10 − 2 . Znaczenie Jeśli stosujesz metodę analityczną i korzystasz z kalkulatora, warto prowadzić obliczenia na liczbach z dokładnością co najmniej do trzech miejsc po przecinku, a dopiero po uzyskaniu ostatecznego wyniku zastosować wymagane zaokrąglenie, tak jak zrobiliśmy to w tym przykładzie. Zaokrąglanie kolejnych liczb podczas obliczeń powoduje, że niedokładność wyniku wzrasta. Sprawdź, czy rozumiesz. Obliczając moduł wektora v ^ , uzyskany w , udowodnij, że rzeczywiście jest on wektorem jednostkowym. Jeśli oddział z poruszałby się po płaskim terenie, a więc jeśli trzecia składowa wektora jego prędkości byłaby równa zero, jaki wektor jednostkowy określałby jego kierunek? Jaki kierunek geograficzny wskazywałby ten wektor? v ^ = 0,8 i ^ + 0,6 j ^ , 36 , 87 ∘ na północ od kierunku wschodniego Podsumowanie Metoda analityczna obliczania wektorów pozwala na znajdowanie sum i różnic wektorów bez konieczności ich rysowania. Metoda ta, w przeciwieństwie do metody graficznej, jest bardzo precyzyjna. Z metody analitycznej korzysta się w dziedzinach takich jak mechanika, elektryczność, czy magnetyzm. W fizyce stanowi ona bardzo ważne narzędzie. Zadania Dane są wektory B → = − i ^ − 4 j ^ oraz A → = − 3 i ^ − 2 j ^ . Oblicz: wektor A → + B → , jego moduł oraz kąt nachylenia do osi poziomej; wektor A → − B → , jego moduł oraz kąt nachylenia do osi poziomej. A → + B → = − 4 i ^ − 6 j ^ , | A → + B → | = 7,211 oraz θ = 213 , 7 ∘ ; A → − B → = 2 i ^ − 2 j ^ , | A → − B → | = 2 2 oraz θ = − 45 ∘ . Ruch cząstki opisują trzy wektory: D → 1 = 3,0 m m ⋅ i ^ − 4,0 m m ⋅ j ^ − 2,0 m m ⋅ k ^ , D → 2 = 1,0 m m ⋅ i ^ − 7,0 m m ⋅ j ^ + 4,0 m m ⋅ k ^ oraz D → 3 = − 7,0 m m ⋅ i ^ + 4,0 m m ⋅ j ^ + 1,0 m m ⋅ k ^ . Znajdź sumę wektorów przemieszczenia tej cząstki. Jaki jest moduł tej sumy? Jaki dystans przebyłaby cząstka, gdyby wszystkie wektory przemieszczenia leżały w jednej linii? Dane są dwa wektory przemieszczenia A → = 3,00 m ⋅ i ^ − 4,00 m ⋅ j ^ + 4,00 m ⋅ k ^ oraz B → = 2,00 m ⋅ i ^ + 3,00 m ⋅ j ^ − 7,00 m ⋅ k ^ . Znajdź następujące wektory przemieszczenia oraz oblicz ich moduły: C → = A → + B → ; D → = 2 A → − B → . C → = 5,0 m ⋅ i ^ − 1,0 m ⋅ j ^ − 3,0 m ⋅ k ^ , C = 5,92 m ; D → = 4,0 m ⋅ i ^ − 11,0 m ⋅ j ^ + 15,0 m ⋅ k ^ , D = 19,03 m . Samolot leci 40,0 k m pod kątem 60 ∘ na północ od kierunku wschodniego, a następnie 30,0 k m pod kątem 15 ∘ na północ od kierunku wschodniego. Użyj metody analitycznej, aby obliczyć moduł oraz kierunek geograficzny wektora przemieszczenia samolotu. Aby uciec z bezludnej wyspy, rozbitek buduje tratwę i rusza na morze. Wiatr jest bardzo zmienny i znosi tratwę w różne strony. Najpierw płynie ona 2,50 km pod kątem 45 , 0 ∘ na północ od kierunku zachodniego, następnie 4,70 km pod kątem 60 , 0 ∘ na południe od kierunku wschodniego, 1,30 km pod kątem 25 , 0 ∘ na południe od kierunku zachodniego, 5,10 km na wschód, 1,70 km pod kątem 5 , 0 ∘ na wschód od kierunku północnego, 7,20 km pod kątem 55 , 0 ∘ na południe od kierunku zachodniego i na końcu 2,80 km pod kątem 10 , 0 ∘ na północ od kierunku wschodniego. Skorzystaj z metody analitycznej, aby obliczyć sumę wszystkich wektorów przemieszczenia tratwy. Jaki jest moduł i kierunek tego wektora sumy? D → = 3,3 k m ⋅ i ^ − 6,6 k m ⋅ j ^ , gdzie i ^ wskazuje na wschód, 7,34 km, − 63 , 5 ∘ . Jeśli oś x skierowana jest w prawo, znajdź za pomocą metody analitycznej następujące wektory: A → + B → , C → + B → , D → + F → , A → − B → , D → − F → , A → + 2 F → , C → − 2 D → + 3 F → , A → − 4 D → + 2 F → . Znajdź wektor R → spełniający równanie (a) D → + R → = F → (b) C → − 2 D → + 5 R → = 3 F → . Przyjmij, że oś x skierowana jest w prawo. R → = − 1,35 i ^ − 22,04 j ^ , R → = − 17,98 i ^ + 0,89 j ^ . Kurier jedzie 40 km na północ, 20 km na zachód, a następnie 60 km na północny wschód. Po 50 km jazdy na północ zatrzymuje się w restauracji na obiad. Znajdź wektor jego przemieszczenia. Oblicz odległość między restauracją a punktem startowym. Jeśli kurier pojedzie z restauracji do biura po linii prostej, jaki będzie wektor przemieszczenia po jego drodze powrotnej? W jakim kierunku geograficznym będzie jechał, wracając? Użyj metody analitycznej. Przyjmij, że dodatnim kierunkiem osi x jest kierunek wschodni. Żądny przygód pies wymyka się z domu, biegnie trzy przecznice na wschód, dwie przecznice na północ, jedną przecznicę na wschód, jedną przecznicę na północ i dwie przecznice na zachód. Przyjmij, że przecznica to około 100 metrów, i za pomocą metody analitycznej wyznacz wektor przemieszczenia psa, jego moduł oraz kierunek. Dodatni kierunek osi x to kierunek wschodni. D → = 200 m ⋅ i ^ + 300 m ⋅ j ^ , D = 360,5 m , 56 , 3 ∘ na północ od kierunku wschodniego. Dane są wektory D → = 6,00 m ⋅ i ^ − 8,00 m ⋅ j ^ , B → = − 8,00 m ⋅ i ^ + 3,00 m ⋅ j ^ oraz A → = 26,0 m ⋅ i ^ + 19,0 m ⋅ j ^ . Znajdź współczynniki a oraz b spełniające równanie a D → + b B → + A → = 0 → . Dany jest wektor przemieszczenia D → = 3 m ⋅ i ^ − 4 m ⋅ j ^ . Znajdź wektor przemieszczenia R → taki, aby D → + R → = − 4 D j ^ . R → = − 3 m ⋅ i ^ − 16 m ⋅ j ^ . Znajdź wektor jednostkowy, określający kierunek następujących wektorów: siła F → = 3,0 N ⋅ i ^ − 2,0 N ⋅ j ^ , przemieszczenie D → = − 3,0 m ⋅ i ^ − 4,0 m ⋅ j ^ , prędkość v → = − 5,00 m / s ⋅ i ^ + 4,00 m / s ⋅ j ^ . Kierunek wektora natężenia pola elektrycznego określony jest w układzie współrzędnych kartezjańskich przez wektor jednostkowy E ^ = 1 / 5 ⋅ i ^ − 2 / 5 ⋅ j ^ . Jeśli moduł wektora natężenia pola elektrycznego jest równy E = 400,0 V / m , jakie są wartości jego składowych E x , E y oraz E z ? Jaki kąt θ E określa kierunek tego wektora? E → = E ⋅ E ^ , E x = + 178,9 V / m , E y = − 357,8 V / m , E z = 0,0 V / m , θ E = − arctg  ( 2 ) . Dwa holowniki ciągną barkę w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Jeden z holowników ciągnie barkę z siłą o module 4000 jednostek siły, pod kątem 15 ∘ w stosunku do odcinka AB, a drugi z siłą o module 5000 jednostek, pod kątem 12 ∘ w stosunku do odcinka AB. Wyznacz wartości składowych wektorów siły i znajdź składowe wynikowego wektora siły działającej na barkę. Jaki jest moduł wektora wynikowego? Jaki jest jego kierunek w stosunku do odcinka AB? Kontroler lotów na lotnisku śledzi zmianę położenia dwóch samolotów w stosunku do wieży kontroli lotów. Jeden z samolotów to Boeing 747, a drugi to Douglas DC-3. Boeing znajduje się na wysokości 2500 m, wznosi się pod kątem 10 ∘ do powierzchni ziemi i leci w kierunku 30 ∘ na północ od kierunku zachodniego. DC-3 znajduje się na wysokości 3000 m, wznosi się pod kątem 5 ∘ do powierzchni ziemi i leci prosto na zachód. Znajdź wektory wodzące samolotów w stosunku do wieży kontroli lotów. Jaka odległość dzieliła samoloty w momencie, w którym kontroler odczytał ich pozycje? R → B = 12,278 k m ⋅ i ^ + 7,089 k m ⋅ j ^ + 2,500 k m ⋅ k ^ , R → D = − 0,262 k m ⋅ i ^ + 3,000 k m ⋅ k ^ ; | R → B − R → D | = 14,414 k m . wektory równe (ang. equal vectors ) dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy ich poszczególne składowe są równe; równe wektory mają ten sam kierunek, zwrot oraz moduł wektor zerowy (ang. null vector ) wektor, którego wszystkie składowe są równe zero

Science


Mnożenie wektorów Wektor można pomnożyć przez inny wektor, ale nie można go przez niego podzielić. Możemy wyróżnić dwa rodzaje mnożenia wektorów. Pierwszy rodzaj mnożenia to iloczyn skalarny . Wynik iloczynu skalarnego jest, jak sama nazwa wskazuje, skalarem, czyli liczbą. Z iloczynu skalarnego korzysta się podczas określania pracy i energii. Przykładowo, praca wykonywana przez pewną siłę (wektor) działającą na ciało i jednocześnie powodującą jego przesunięcie jest iloczynem skalarnym wektora siły i wektora przemieszczenia. Drugim rodzajem mnożenia jest iloczyn wektorowy . Iloczyn wektorowy jest wektorem. Wykorzystywany jest do definiowania wektorowych wielkości pochodnych. Na przykład wielkość wektorową zwaną momentem siły definiuje się jako iloczyn wektorowy siły oraz promienia wodzącego łączącego oś obrotu z punktem przyłożenia tej siły. Iloczyn skalarny dwóch wektorów Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar, czyli liczba. Iloczyn skalarny Iloczyn skalarny (ang. dot product ) A → ⋅ B → dwóch wektorów A → i B → jest liczbą określoną wzorem A → ⋅ B → = A B cos  φ , gdzie φ jest kątem między wektorami (zobacz ). Kierunek, w jakim mierzymy kąt φ , jest bez znaczenia, ponieważ cos φ = cos ( − φ ) = cos ( 2 π − φ ) . Iloczyn skalarny jest liczbą ujemną, kiedy 90 ∘ < φ ⩽ 180 ∘ , a liczbą dodatnią, kiedy 0 ∘ ⩽ φ < 90 ∘ . Iloczyn skalarny wektorów o tym samym kierunku i zwrocie jest równy A → ⋅ B → = A B cos  0 ∘ = A B . Iloczyn skalarny dwóch wektorów o tym samym kierunku, lecz przeciwnych zwrotach jest równy A → ⋅ B → = A B cos  180 ∘ = − A B . Iloczyn skalarny dwóch wektorów ortogonalnych jest równy zero: A → ⋅ B → = A B cos  90 ∘ = 0 . Iloczyn skalarny wektora mnożonego przez samego siebie jest kwadratem modułu tego wektora: A → 2 = A → ⋅ A → = A A cos  0 ∘ = A 2 . Iloczyn skalarny dwóch wektorów. (a) Kąt między wektorami. (b) Rzut prostopadły A ⊥ wektora A → na kierunek wektora B → . (c) Rzut prostopadły B ⊥ wektora B → na kierunek wektora A → . Iloczyn skalarny Znajdź iloczyn skalarny A → ⋅ F → (wektory przedstawione są na ). Strategia rozwiązania Moduły wektorów A → i F → są równe A = 10,0 oraz F = 20,0 . Kąt θ między tymi wektorami jest równy θ = φ − α = 110 ∘ − 35 ∘ = 75 ∘ . Po podstawieniu powyższych wartości do otrzymujemy skalar. Rozwiązanie Na podstawie obliczeń otrzymujemy A → ⋅ F → = A F cos  θ = 10,0 ⋅ 20,0 ⋅ cos  75 ∘ = 51,76. Sprawdź, czy rozumiesz. Znajdź następujące iloczyny skalarne wektorów przedstawionych na : A → ⋅ B → oraz F → ⋅ C → . A → ⋅ B → = − 57,3 , F → ⋅ C → = 27,8 . W układzie współrzędnych kartezjańskich iloczyn skalarny wektorów jednostkowych zawsze jest równy zero, ponieważ wektory te są do siebie prostopadłe: i ̂ ⋅ j ̂ = i ̂ ⋅ j ̂ ⋅ cos 90 ° = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0  , i ̂ ⋅ k ̂ = i ̂ ⋅ k ̂ ⋅ cos 90 ° = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0  , k ̂ ⋅ j ̂ = k ̂ ⋅ j ̂ ⋅ cos 90 ° = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0  . \begin{align} \hat i \cdot \hat j &= \abs{\hat i} \cdot \abs{\hat j} \cdot \cos \ang{90} &= 1 \cdot 1 \cdot 0 &= 0 \text{,} \\ \hat i \cdot \hat k &= \abs{\hat i} \cdot \abs{\hat k} \cdot \cos \ang{90} &= 1 \cdot 1 \cdot 0 &= 0 \text{,} \\ \hat k \cdot \hat j &= \abs{\hat k} \cdot \abs{\hat j} \cdot \cos \ang{90} &= 1 \cdot 1 \cdot 0 &= 0 \text{.} \end{align} W tych równaniach korzystamy z faktu, że moduły wszystkich wektorów jednostkowych są równe jeden: | i ^ | = | j ^ | = | k ^ | = 1 . Na podstawie możemy zapisać: i ^ ⋅ i ^ = i 2 = j ^ ⋅ j ^ = j 2 = k ^ ⋅ k ^ = k 2 = 1. Iloczyn skalarny A → ⋅ B → można również interpretować jako iloczyn B oraz rzutu prostopadłego A ⊥ wektora A → na kierunek wektora B → ( (b)) lub jako iloczyn A oraz rzutu prostopadłego B ⊥ wektora B → na kierunek wektora A → ( (c)): A → ⋅ B → = A B cos  φ = B ( A cos  φ ) = B A ⊥ = A ( B cos  φ ) = A B ⊥ . Na przykład w prostokątnym, dwuwymiarowym układzie współrzędnych, wartość składowej x wektora jest iloczynem skalarnym tego wektora oraz wersora i ^ , natomiast wartość składowej y wektora jest iloczynem skalarnym tego wektora oraz wersora j ^ : { A → ⋅ i ^ = | A → | ⋅ | i ^ | ⋅ cos  θ A = A cos  θ A = A x , A → ⋅ j ^ = | A → | ⋅ | j ^ | ⋅ cos  ( 90 ∘ − θ A ) = A sin  θ A = A y . Iloczyn skalarny jest przemienny A → ⋅ B → = B → ⋅ A → , oraz rozdzielny względem dodawania A → ⋅ ( B → + C → ) = A → ⋅ B → + A → ⋅ C → . Prawa przemienności i rozdzielności względem dodawania pozwalają na przedstawienie wzorów w przekształconej formie. Iloczyn skalarny dwóch wektorów możemy przedstawić na przykład przy pomocy ich składowych. Sprawdź, czy rozumiesz. Wektor A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ znajduje się w prostokątnym układzie współrzędnych. Skorzystaj z oraz z , aby udowodnić, że A → ⋅ i ^ = A x , A → ⋅ j ^ = A y oraz A → ⋅ k ^ = A z . Kiedy wektory z rozłożone są na składowe A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ oraz B → = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ , możemy obliczyć ich iloczyn skalarny w następujący sposób: A → · B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) · ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x B x i ^ · i ^ + A x B y i ^ · j ^ + A x B z i ^ · k ^ + A y B x j ^ · i ^ + A y B y j ^ · j ^ + A y B z j ^ · k ^ + A z B x k ^ · i ^ + A z B y k ^ · j ^ + A z B z k ^ · k ^ . Jako że iloczyn dwóch różnych wektorów jednostkowych jest równy zero, a wektor jednostkowy pomnożony skalarnie przez samego siebie daje jeden (zobacz i ), to w powyższym równaniu znajdują się tylko trzy wyrażenia, których wartość jest różna od zera. Upraszczamy więc iloczyn skalarny do następującej postaci: A → ⋅ B → = A x B x + A y B y + A z B z . Możemy zastosować , aby znaleźć kąt między dwoma wektorami (ang. angle between two vectors ). Kiedy podzielimy przez A B , otrzymamy wzór na cos φ , do którego podstawimy : cos φ = A → · B → A B = A x B x + A y B y + A z B z A B . Kąt φ między wektorami A → i B → znajdziemy, obliczając arcus cosinus wyrażenia z . Kąt między dwiema siłami Trzy psy ciągną patyk w różne strony ( ). Pierwszy z nich ciągnie z siłą F → 1 = 10,0 N ⋅ i ^ − 20,4 N ⋅ j ^ + 2,0 N ⋅ k ^ , drugi z siłą F → 2 = − 15,0 N ⋅ i ^ − 6,2 N ⋅ k ^ , a trzeci z siłą F → 3 = 5,0 N ⋅ i ^ + 12,5 N ⋅ j ^ . Jaki jest kąt między siłami F → 1 i F → 2 ? Psy bawią się patykiem. Strategia rozwiązania Składowe wektora siły F → 1 są równe F → 1 x = 10,0 N , F → 1 y = − 20,4 N i F → 1 z = 2,0 N , a składowe wektora F → 2 są równe F 2 x = − 15,0 N , F 2 y = 0,0 N i F 2 z = − 6,2 N . Kąt znajdujemy, obliczając iloczyn skalarny tych wektorów oraz ich moduły i podstawiając otrzymane wartości do . Rozwiązanie Moduły wektorów siły F → 1 i F → 2 są równe F 1 = F 1 x 2 + F 1 y 2 + F 1 z 2 = ( 10,0 N ) 2 + ( 20,4 N ) 2 + ( 2,0 N ) 2 = 22,8 N , oraz F 2 = F 2 x 2 + F 2 y 2 + F 2 z 2 = ( 15,0 N ) 2 + ( 6,2 N ) 2 = 16,2 N . Obliczamy iloczyn skalarny, podstawiając wartości składowych do F → 1 ⋅ F → 2 = F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z = 10,0 N ⋅ ( − 15,0 N ) + ( − 20,4 N ) ⋅ 0,0 N + 2,0 N ⋅ ( − 6,2 N ) = − 162,4 N 2 . Po podstawieniu wszystkiego do otrzymujemy kąt cos  φ = F → 1 ⋅ F → 2 F 1 F 2 = − 162,4 N 2 22,8 N ⋅ 16,2 N = − 0,438 ⟹ φ = arccos  ( − 0,439 ) = 116 , 0 ∘ . Znaczenie Zauważ, że jeśli wektory opisane są przy pomocy wersorów osi, możemy znaleźć kąt między nimi, nie wiedząc, jakie kierunki geograficzne wskazują te wersory. W tym przykładzie oś x może wskazywać na wschód, a oś y na północ. Jednak kąt między wektorami siły będzie taki sam, jeśli oś x wskazywać będzie na zachód, a oś y na południe. Sprawdź, czy rozumiesz. Znajdź kąt zawarty między wektorami siły F → 1 i F → 3 z . 131 , 9 ∘ Praca wykonywana przez siłę Kiedy siła F → ciągnie ciało powodując przemieszczenie D → , mówimy, że siła ta wykonuje pracę. Praca wykonywana przez siłę jest iloczynem skalarnym F → ⋅ D → . Jeśli patyk z zostanie przemieszczony o wektor D → = − 7,9 c m ⋅ j ^ − 4,2 c m ⋅ k ^ , to jaka praca zostanie wykonana przez trzeciego psa? Strategia rozwiązania Obliczamy siłę, z jaką ciągnie patyk trzeci pies, czyli iloczyn skalarny wektora przemieszczenia D → i wektora siły F → 3 = 5,0 N ⋅ i ^ + 12,5 N ⋅ j ^ . Przez W 3 oznaczymy pracę wykonaną przez siłę F → 3 powodującą przemieszczenie D → . Rozwiązanie Obliczamy pracę, czyli iloczyn skalarny W 3 = F → 3 ⋅ D → = F 3 x D x + F 3 y D y + F 3 z D z = 5,0 N ⋅ 0,0 c m + 12,5 N ⋅ ( − 7,9 c m ) + 0,0 N ⋅ ( − 4,2 c m ) = − 98,7 N ⋅ c m . Znaczenie Jednostką pracy w układzie SI jest dżul ( J ) , 1 J = 1 N ⋅ m . Jednostkę cm · N możemy zapisać jako 10 − 2 m ⋅ N = 10 − 2 J , więc odpowiedź możemy zapisać jako W 3 = − 0,9875 J ≈ − 1,0 J . Sprawdź, czy rozumiesz. Jaką pracę wykonały dwa pierwsze psy z , przy przemieszczeniu z ? W 1 = 1,5 J , W 2 = 0,3 J Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem. Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy (ang. cross product ) dwóch wektorów A → oraz B → zapisujemy A → × B → . Iloczyn wektorowy jest wektorem o kierunku prostopadłym do wektorów A → i B → . Inaczej mówiąc, A → × B → jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory A → i B → , jak przedstawia . Moduł iloczynu wektorowego definiuje się jako | A → × B → | = A B sin  φ , gdzie kąt między wektorami φ mierzy się od wektora A → (pierwszego wektora w iloczynie) w kierunku wektora B → , jak przedstawiono na . Kąt ten przyjmuje wartości od 0 ∘ do 180 ∘ . Zgodnie z iloczyn wektorowy równy jest zero, jeśli kierunek wektorów jest taki sam ( φ = 0 ∘ lub φ = 180 ∘ ), ponieważ sin  0 ∘ = sin  180 ∘ = 0 . Iloczyn wektorowy dwóch wektorów rysuje się w przestrzeni trójwymiarowej. (a) Iloczyn wektorowy A → × B → jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leżą wektory A → i B → . Narysowane pod kątem kwadraty oznaczają kąty proste między A → i C → , oraz między B → i C → , więc jeśli A → i B → leżałyby na podłodze, wektor C → wskazywałby sufit. (b) Iloczyn wektorowy B → × A → ma zwrot przeciwny do wektora A → × B → . Wektor prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory A → i B → , może mieć jeden z dwóch możliwych zwrotów – w górę albo w dół (zobacz ). Jeżeli kąt między wektorami mierzony jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, rozpoczynając od pierwszego wektora, zwrot wektora A → × B → wskazuje w górę (zobacz (a)). W przeciwnym wypadku, to znaczy jeśli pierwszym czynnikiem jest B → , zwrot wektora B → × A → wskazuje w dół (zobacz (b)). Oznacza to, że wektory A → × B → oraz B → × A → mają przeciwne zwroty , a iloczyn wektorowy nie jest przemienny. Oznacza to, że zmiana kolejności czynników w iloczynie wektorowym powoduje zmianę znaku wyniku: A → × B → = − B → × A → . Aby określić zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego stosujemy regułę korkociągu (ang. corkscrew right-hand rule ), nazywaną też regułą śruby prawoskrętnej. Jak przedstawiono na , korkociąg znajduje się pod kątem prostym do płaszczyzny, w której leżą wektory A → i B → , i jest on obracany w kierunku od wektora będącego pierwszym czynnikiem do wektora będącego drugim czynnikiem iloczynu wektorowego. Zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu określony jest przez kierunek, w jakim porusza się korkociąg. Regułę korkociągu stosuje się, aby określić zwrot wektora A → × B → . Umieść korkociąg pod kątem prostym do płaszczyzny, w której leżą wektory A → i B → i obracaj go w kierunku od pierwszego do drugiego wektora, po mniejszym kącie. Na podstawie kierunku, w jakim porusza się korkociąg, możemy określić zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego. (a) Jeśli korkociąg porusza się w górę, zwrot wektora również wskazuje w górę. (b) Jeśli korkociąg porusza się w dół, zwrot wektora również wskazuje w dół. Moment siły Efekt, który możemy uzyskać dzięki kluczowi ( ), zależy od modułu F siły, od jej kierunku w stosunku do uchwytu klucza i od tego, w jakiej odległości od nakrętki siła ta została przyłożona. Odległość R od nakrętki do punktu przyłożenia wektora siły F → jest modułem wektora wodzącego R → . Wielkość wektorową powodującą obrót nakrętki nazywamy momentem siły ( M → ). Moment siły jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego, łączącego trzpień z punktem przyłożenia siły, oraz siły: M → = R → × F → . Próbując poluzować zardzewiałą nakrętkę, do uchwytu klucza, pod kątem φ = 40 ∘ w odległości 0,25 m od nakrętki przyłożono siłę równą 20,00 N ( (a)). Znajdź moduł i kierunek wektora momentu siły działającego na nakrętkę. Jaki byłby moduł i kierunek momentu siły, jeśli siłę przyłożono by pod kątem φ = 45 ∘ ( (b))? Dla jakiego kąta φ moduł momentu siły jest największy? Stosując klucz w celu obrócenia nakrętki, uzyskujemy zysk mechaniczny. (a) Obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aby poluzować nakrętkę. (b) Obrót w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, aby dokręcić nakrętkę. Strategia rozwiązania Stosujemy punkt odniesienia taki, jak na , gdzie wektory R → i F → leżą na płaszczyźnie xy , a punkt biegunowy znajduje się w miejscu położenia nakrętki. Kierunek wektora R → (o zwrocie od bieguna) jest kierunkiem odniesienia umożliwiającym zmierzenie kąta φ , ponieważ wektor R → jest pierwszym czynnikiem iloczynu wektorowego M → = R → × F → . Wektor M → musi leżeć wzdłuż osi z , ponieważ oś ta jest prostopadła do płaszczyzny xy , w której leżą wektory R → oraz F → . W celu obliczenia modułu M stosujemy . Aby znaleźć zwrot wektora M → , stosujemy regułę śruby prawoskrętnej ( ). Rozwiązanie Dla przypadku przedstawionego w (a), dzięki regule korkociągu możemy ustalić, że zwrot wektora R → × F → jest zgodny z dodatnim kierunkiem osi z . Oznacza to, że wektor momentu siły M → skierowany jest w górę kartki, prostopadle do uchwytu korkociągu. Wiemy, że F = 20,00 N oraz R = 0,25 m , więc stosując , możemy obliczyć moduł wektora: M = | R → × F → | = R F sin  φ = 0,25 m ⋅ 20,00 N ⋅ sin  40 ∘ = 3,21 N ⋅ m . W przypadku przedstawionym w (b), wektor R → × F → zwrócony jest w ujemnym kierunku osi z . Oznacza to, że wektor M → wskazuje za kartkę, prostopadle do uchwytu korkociągu. Moduł momentu siły jest równy M = | R → × F → | = R F sin  φ = 0,25 m ⋅ 20,00 N ⋅ sin  45 ∘ = 3,53 N ⋅ m . Moduł momentu siły jest największy, kiedy sin  φ = 1 , a więc kiedy φ = 90 ∘ . Oznacza to, że zastosowanie klucza jest najbardziej efektywne – daje największy zysk mechaniczny – kiedy przyłożymy siłę prostopadle do uchwytu klucza. Dla danych z tego przykładu największy moduł jest równy M max = R F = 0,25 m ⋅ 20,00 N = 5,00 N ⋅ m . Znaczenie Rozwiązywanie zadań związanych z mechaniką dosyć często nie wymaga korzystania z reguły korkociągu, o czym przekonamy się, analizując alternatywne podejście do rozwiązania powyższego zadania. Stwierdziliśmy, że wektor R → × F → leży wzdłuż osi z , a więc możemy zapisać go przy pomocy k ^ , czyli wersora osi z : R → × F → = R F sin  φ ⋅ k ^ . Liczba, przez którą mnożymy wersor k ^ , to wartość składowej z wektora R → × F → . Podczas obliczania wartości tej składowej, kąt φ musi być mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od wektora R → (pierwszego czynnika) do wektora F → (drugiego czynnika). Stosując tę zasadę pomiaru kątów, otrzymujemy R F sin  40 ∘ = 3,2 N ⋅ m dla przypadku (a) oraz R F sin  ( − 45 ∘ ) = − 3,5 N ⋅ m dla przypadku (b). W przypadku (b) kąt jest ujemny, ponieważ jak widać na , kąt mierzony jest zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Jednak taki sam wynik otrzymamy, jeśli kąt ten zmierzymy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ponieważ 360 ∘ − 45 ∘ = 315 ∘ i sin  315 ∘ = sin  ( − 45 ∘ ) . W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie bez korzystania z reguły korkociągu. Dla przypadku (a) rozwiązaniem jest R → × F → = 3,2 N ⋅ m ⋅ k ^ . Dla przypadku (b) rozwiązaniem jest R → × F → = − 3,5 N ⋅ m ⋅ k ^ . Sprawdź, czy rozumiesz. Oblicz następujące iloczyny wektorowe wektorów z : A → × B → i C → × F → . A → × B → = − 40,1 k ^ lub | A → × B → | = 40,1 , zwrot za kartkę; C → × F → = 157,6 k ^ lub | C → × F → | = 157,6 , zwrot nad kartkę Podobnie jak iloczyn skalarny ( ), iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodawania: A → × ( B → + C → ) = A → × B → + A → × C → . Z własności rozdzielności względem dodawania często korzysta się, zapisując wektory rozłożone na składowe. Kiedy zastosujemy definicję iloczynu wektorowego ( ) do wektorów jednostkowych i ^ , j ^ i k ^ , określających dodatnie kierunki osi x , y i z , otrzymamy i ^ × i ^ = j ^ × j ^ = k ^ × k ^ = 0. Moduły wszystkich wektorów jednostkowych muszą być równe jeden, ponieważ i ^ , j ^ oraz k ^ są ortogonalne. Przykładowo, dla pary wektorów i ^ i j ^ moduł jest równy | i ^ × j ^ | = i ⋅ j ⋅ sin  90 ∘ = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 . Wektor i ^ × j ^ musi być prostopadły do płaszczyzny xy , a więc jego kierunek musi być taki sam jak kierunek osi z . Wektorami jednostkowymi o kierunku zgodnym z kierunkiem osi z są − k ^ i + k ^ . Zgodnie z regułą korkociągu zwrot wektora i ^ × j ^ musi być zgodny z dodatnim kierunkiem osi z . Dlatego wynikiem mnożenia i ^ × j ^ jest + k ^ . Analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla pozostałych par wektorów jednostkowych. Uzyskamy wtedy: { i ^ × j ^ = + k ^ j ^ × k ^ = + i ^ k ^ × i ^ = + j ^ . Zauważ, że w wektory jednostkowe i ^ , j ^ i k ^ pojawiają się w porządku cyklicznym przedstawionym na (a). Porządek cykliczny oznacza, że we wzorze i ^ występuje po k ^ , ale przed j ^ , k ^ występuje po j ^ , ale przed i ^ , zaś j ^ występuje po i ^ , ale przed k ^ . Wynikiem iloczynu wektorowego wersorów dwóch osi zawsze jest wersor trzeciej osi. Kiedy mnożone wektorowo wersory dwóch osi występują w porządku cyklicznym, wynikiem jest wersor trzeciej osi, jak przedstawiono na (b). Kiedy mnożone wektorowo wersory występują w innej kolejności, wynikiem jest wektor jednostkowy o zwrocie przeciwnym do zwrotu wersora trzeciej osi (to znaczy, że w wyniku występuje znak minus, tak jak na (c) oraz (d)). Zasada ta jest bardzo przydatna w przypadku obliczania iloczynu wektorowego wektorów rozłożonych na składowe. (a) Diagram przedstawiający porządek cykliczny wersorów osi. (b) Wszystkie iloczyny wektorowe, w których wersory osi występują w porządku cyklicznym. Wektory wynikowe mają znak dodatni. (c, d) Dwa przykłady iloczynów wektorowych, w których wersory osi nie występują w porządku cyklicznym. Wektory wynikowe mają znak ujemny. Przypuśćmy, że chcemy obliczyć iloczyn wektorowy A → × B → , gdzie A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ i B → = B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ . Podczas obliczeń możemy skorzystać z własności rozdzielności względem dodawania ( ), z faktu, że iloczyn wektorowy nie jest przemienny (ang. anticommutative property ) ( ), oraz ze wzorów dla wektorów jednostkowych ( oraz ): A → × B → = ( A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ ) × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = A x i ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A y j ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) + A z k ^ × ( B x i ^ + B y j ^ + B z k ^ ) = + A x B x i ^ × i ^ + A x B y i ^ × j ^ + A x B z i ^ × k ^ + A y B x j ^ × i ^ + A y B y j ^ × j ^ + A y B z j ^ × k ^ + A z B x k ^ × i ^ + A z B y k ^ × j ^ + A z B z k ^ × k ^ = + A x B x ⋅ 0 + A x B y ⋅ k ^ + A x B z ⋅ ( − j ^ ) + A y B x ⋅ ( − k ^ ) + A y B y ⋅ 0 + A y B z ⋅ i ^ + A z B x ⋅ j ^ + A z B y ⋅ ( − i ^ ) + A z B z ⋅ 0. Podczas obliczania iloczynu wektorowego pamiętaj o tym, że działanie to nie jest przemienne, co oznacza, że musisz pamiętać o zachowaniu odpowiedniej kolejności czynników. Aby dokończyć zadanie, musimy wykonać jeszcze dwa kroki. Pierwszym z nich jest pogrupowanie wyrazów mnożonych przez ten sam wektor jednostkowy, a drugim rozkład wektora na składowe. W ten sposób otrzymujemy poniższy wzór, który jest bardzo przydatny podczas obliczania iloczynu wektorowego: C → = A → × B → = ( A y B z − A z B y ) i ^ + ( A z B x − A x B z ) j ^ + ( A x B y − A y B x ) k ^ . Wartości poszczególnych składowych wektora wynikowego są równe { C x = A y B z − A z B y C y = A z B x − A x B z C z = A x B y − A y B x . Podczas obliczania iloczynu wektorowego możemy skorzystać z lub z , w zależności od tego, które z nich wymaga mniej skomplikowanych obliczeń. Wynik otrzymany za pomocą każdego z tych wzorów będzie taki sam. Jeśli chcemy się upewnić, że uzyskany przez nas wynik jest poprawny, możemy skorzystać z obu równań. Cząstka w polu magnetycznym Niektóre cząstki poruszające się w polu magnetycznym mogą doświadczyć wpływu siły Lorentza. Bez zbędnego wchodzenia w szczegóły – dokładny opis zjawisk związanych z polem magnetycznym znajduje się w późniejszych rozdziałach – wyjaśnimy tylko, że pole magnetyczne B → jest wektorem, siła Lorentza F → jest wektorem i prędkość cząstki u → również jest wektorem. Wektor siły Lorentza jest wprost proporcjonalny do iloczynu wektorowego wektora prędkości oraz wektora pola magnetycznego, co zapisujemy jako F → = ζ u → × B → . We wzorze tym stała ζ zapewnia zachowanie odpowiedniej jednostki, dzięki czemu możemy pominąć jednostki występujące przy wektorach u → oraz B → . Na potrzeby tego przykładu przyjmijmy, że stała ζ jest liczbą dodatnią. Cząstka poruszająca się w przestrzeni z prędkością u → = − 5,0 i ^ − 2,0 j ^ + 3,5 k ^ wpada w obszar oddziaływania pola magnetycznego, gdzie zaczyna działać na nią siła Lorentza. Znajdź siłę Lorentza F → działającą na tę cząstkę w miejscu, w którym wektor indukcji pola magnetycznego jest równy (a) B → = 7,2 i ^ − j ^ − 2,4 k ^ i (b) B → = 4,5 k ^ . Dla obu przypadków znajdź moduł F siły Lorentza oraz kąt θ między wektorem siły F → oraz wektorem indukcji pola magnetycznego B → . Strategia rozwiązania Na początku musimy obliczyć iloczyn u → × B → , ponieważ dzięki temu, przy pomocy F → = ζ u → × B → , będziemy mogli określić siłę Lorentza. Moduł F można znaleźć albo podstawiając wartości składowych do wzoru F = F x 2 + F y 2 + F z 2 , albo bezpośrednio z wyniku iloczynu wektorowego: | u → × B → | ( ). W przypadku drugiego sposobu będziemy musieli znaleźć kąt między wektorami u → i B → . Jeżeli znamy wektor F → , kąt θ możemy znaleźć, obliczając iloczyn skalarny F → ⋅ B → i podstawiając wynik do . Iloczyn wektorowy możemy obliczyć albo przy pomocy , albo bezpośrednio, w zależności od tego, która metoda wydaje nam się prostsza. Rozwiązanie Składowe wektora prędkości są równe u x = − 5,0 , u y = −2,0 oraz u z = 3,5 . (a) Wartości składowych wektora indukcji pola magnetycznego są równe B x = 7,2 , B y = −1,0 oraz B z = −2,4 . Podstawiając je do , uzyskamy wartości składowych wektora F → = ζ u → × B → : { F x = ζ ( u y B z − u z B y ) = ζ [ − 2,0 ⋅ ( − 2,4 ) − 3,5 ⋅ ( − 1,0 ) ] = 8,3 ζ , F y = ζ ( u z B x − u x B z ) = ζ [ 3,5 ⋅ 7,2 − ( − 5,0 ) ⋅ ( − 2,4 ) ] = 13,2 ζ , F z = ζ ( u x B y − u y B x ) = ζ [ − 5,0 ⋅ ( − 1,0 ) − ( − 2,0 ) ⋅ 7,2 ] = 19,4 ζ . Na tej podstawie możemy zapisać wektor siły Lorentza: F → = ζ ( 8,3 i ^ + 13,2 j ^ + 19,4 k ^ ) . Jego moduł jest równy F = F x 2 + F y 2 + F z 2 = ( 8,3 ζ ) 2 + ( 13,2 ζ ) 2 + ( 19,4 ζ ) 2 = 24,9 ζ . Aby obliczyć kąt θ , musimy znaleźć moduł wektora indukcji pola magnetycznego B = B x 2 + B y 2 + B z 2 = ( 7,2 ) 2 + ( −1,0 ) 2 + ( −2,4 ) 2 = 7,6 , oraz iloczyn skalarny F → ⋅ B → : F → ⋅ B → = F x B x + F y B y + F z B z = 8,3 ζ ⋅ 7,2 + 13,2 ζ ⋅ ( − 1,0 ) + 19,4 ζ ⋅ ( − 2,4 ) = 0. Po podstawieniu wartości do otrzymujemy kąt θ : cos  θ = F → ⋅ B → F B = 0 18,2 ζ ⋅ 7,6 = 0 ⟹ θ = 90 ∘ . Wektor siły Lorentza jest więc prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego. (Moglibyśmy oszczędzić trochę czasu, gdybyśmy wcześniej obliczyli iloczyn skalarny). (b) Ponieważ wektor B → = 4,5 k ^ ma tylko jedną składową, której wartość jest różna od zera, możemy obliczyć iloczyn wektorowy bezpośrednio: F → = ζ u → × B → = ζ ( − 5,0 i ^ − 2,0 j ^ + 3,5 k ^ ) × ( 4,5 k ^ ) = ζ [ − 5,0 ⋅ 4,5 ⋅ i ^ × k ^ + ( − 2,0 ) ⋅ 4,5 ⋅ j ^ × k ^ + 3,5 ⋅ 4,5 ⋅ k ^ × k ^ ] = ζ [ − 22,5 ( − j ^ ) − 9,0 i ^ + 0 ] = ζ ( − 9,0 i ^ + 22,5 j ^ ) . Moduł siły Lorentza jest równy F = F x 2 + F y 2 + F z 2 = ζ ( − 9,0 ζ ) 2 + ( 22,5 ζ ) 2 + ( 0,0 ζ ) 2 = 24,2 ζ . Ponieważ iloczyn skalarny jest równy F → ⋅ B → = F x B x + F y B y + F z B z = − 9,0 ζ ⋅ 0 + 22,5 ζ ⋅ 0 + 0 ζ ⋅ 4,5 = 0 , wektor siły Lorentza F → jest prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego B → . Znaczenie Nawet bez obliczania iloczynu skalarnego możemy przewidzieć, że wektor siły Lorentza zawsze będzie prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego. Wektor siły Lorentza jest iloczynem wektorowym F → = ζ u → × B → , a z definicji iloczynu wektorowego (zobacz ) wektor F → musi być prostopadły do wektorów u → i B → . Sprawdź, czy rozumiesz. Dane są dwa wektory A → = − i ^ + j ^ i B → = 3 i ^ − j ^ . Oblicz: A → × B → ; | A → × B → | ; kąt między A → i B → ; kąt między A → × B → i C → = i ^ + k ^ . − 2 k ^ ; 2 ; 153 , 4 ∘ ; 135 ∘ . Na koniec chcemy jeszcze raz podkreślić, jaka jest różnica między iloczynem skalarnym a iloczynem wektorowym. Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar, czyli liczba, podczas gdy wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor. Podsumowanie Wyróżniamy dwa rodzaje mnożenia wektorów – iloczyn skalarny, którego wynikiem jest liczba (skalar), oraz iloczyn wektorowy, którego wynikiem jest wektor. Zarówno iloczyn skalarny, jak i iloczyn wektorowy są rozdzielne względem dodawania, ale tylko iloczyn skalarny jest przemienny. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny – jeśli zamienimy czynniki miejscami, wynik zmieni się na przeciwny. Iloczyn skalarny dwóch wektorów obliczamy, mnożąc przez siebie moduły tych wektorów oraz cosinus kąta między nimi. Iloczyn skalarny wektorów ortogonalnych jest równy zero; iloczyn skalarny wektorów o przeciwnych zwrotach jest liczbą ujemną. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leżą mnożone wektory. Jego moduł obliczamy, mnożąc moduły mnożonych wektorów przez sinus kąta między nimi. Zwrot wektora wynikowego możemy określić, stosując regułę korkociągu (regułę śruby prawoskrętnej). Iloczyn wektorowy dwóch równoległych wektorów jest wektorem zerowym. Moduł wektora wynikowego jest największy, jeśli mnożone wektory są ortogonalne. Iloczyn skalarny wykorzystuje się do obliczania kątów między wektorami oraz do definiowania pochodnych wielkości fizycznych, takich jak praca lub energia. Iloczyn wektorowy wykorzystuje się do definiowania pochodnych wektorowych wielkości fizycznych, takich jak moment siły lub siła Lorentza oraz do opisu ruchu obrotowego. Najważniejsze wzory Mnożenie przez skalar (działanie na wektorach) B → = α A → Mnożenie przez skalar (działanie na modułach wektorów) B = | α | A Suma dwóch wektorów D → A D = D → A C + D → C D Prawo przemienności A → + B → = B → + A → Prawo łączności ( A → + B → ) + C → = A → + ( B → + C → ) Prawo rozdzielności względem dodawania α 1 A → + α 2 A → = ( α 1 + α 2 ) A → Rozkład wektora na składowe w przestrzeni dwuwymiarowej A → = A x i ^ + A y j ^ Wartości składowych wektora w przestrzeni dwuwymiarowej { A x = x k − x p A y = y k − y p Moduł wektora leżącego na płaszczyźnie A = A x 2 + A y 2 Kąt skierowany wektora leżącego na płaszczyźnie θ A = arctg A y A x Wartości składowych wektora leżącego na płaszczyźnie { A x = A cos θ A A y = A sin θ A Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie { x = r cos φ y = r sin φ Rozkład wektora na składowe w przestrzeni trójwymiarowej A → = A x i ^ + A y j ^ + A z k ^ Wartość składowej z wektora w przestrzeni trójwymiarowej A z = z k − z p Moduł wektora w przestrzeni trójwymiarowej A = A x 2 + A y 2 + A z 2 Prawo rozdzielności względem dodawania α ( A → + B → ) = α A → + α B → Wektor o zwrocie przeciwnym do wektora A → − A → = − A x i ^ − A y j ^ − A z k ^ Wektory równe A → = B → ⇔ { A x = B x A y = B y A z = B z Składowe wektora sumy N wektorów { F R x = ∑ k = 1 N F k x = F 1 x + F 2 x + … + F N x F R y = ∑ k = 1 N F k y = F 1 y + F 2 y + … + F N y F R z = ∑ k = 1 N F k z = F 1 z + F 2 z + … + F N z Wektor jednostkowy (wersor) V ^ = V → V Definicja iloczynu skalarnego A → · B → = A B cos φ Przemienność iloczynu skalarnego A → ⋅ B → = B → ⋅ A → Rozdzielność iloczynu skalarnego względem dodawania A → ⋅ ( B → + C → ) = A → ⋅ B → + A → ⋅ C → Iloczyn skalarny obliczany przy pomocy poszczególnych składowych wektorów A → · B → = A x B x + A y B y + A z B z Cosinus kąta między dwoma wektorami cos φ = A → · B → A B Iloczyn skalarny wektorów jednostkowych i ^ · j ^ = j ^ · k ^ = k ^ · i ^ = 0 Moduł iloczynu wektorowego (definicja) | A → × B → | = A B sin  φ Nieprzemienność iloczynu wektorowego A → × B → = − B → × A → Rozdzielność iloczynu wektorowego względem dodawania A → × ( B → + C → ) = A → × B → + A → × C → Iloczyn wektorowy wektorów jednostkowych { i ^ × j ^ = + k ^ j ^ × k ^ = + i ^ k ^ × i ^ = + j ^ . Iloczyn wektorowy obliczany przy pomocy wartości składowych wektorów A → × B → = A y B z − A z B y i ^ + A z B x − A x B z j ^ + A x B y − A y B x k ^ Pytania Co się nie zgadza w przedstawionych wyrażeniach? Jak można je poprawić? C = A → B → , C → = A → B → , C = A → × B → , C = A B → , C + 2 A → = B , C → = A × B → , A → ⋅ B → = A → × B → , C → = 2 A → ⋅ B → , C = A → / B → , C = A → / B . C = A → ⋅ B → , C → = A → × B → lub C → = A → − B → , C → = A → × B → , C → = A B → , C → + 2 A → = B → , C → = A → × B → , po lewej stronie znaku równości znajduje się skalar, a po prawej wektor, C → = 2 A → × B → , C → = A → / B , C → = A → / B . Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem zerowym, co można powiedzieć o kierunkach mnożonych wektorów? Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zero, co można powiedzieć o kierunkach mnożonych wektorów? Są ortogonalne Jeżeli pewien wektor w → pomnożymy wektorowo przez inny wektor, a następnie skalarnie przez wektor w → , co otrzymamy? Zadania Przyjmując, że oś x jest pozioma i ma zwrot w prawo, znajdź następujące iloczyny skalarne: A → ⋅ C → , A → ⋅ F → , D → ⋅ C → , A → ⋅ ( F → + 2 C → ) , i ^ ⋅ B → , j ^ ⋅ B → , ( 3 i ^ − j ^ ) ⋅ B → , B ^ ⋅ B → . Przyjmując, że oś x jest pozioma i ma zwrot w prawo, dla tych samych wektorów co w poprzednim zadaniu znajdź rzut wektora A → na kierunek wektora C → , rzut wektora C → na kierunek wektora A → , rzut wektora i ^ na kierunek wektora F → , rzut wektora F → na kierunek wektora i ^ . 0, 0, 0,866, 17,32. Znajdź kąty między wektorami D → = − 3,0 m ⋅ i ^ − 4,0 m ⋅ j ^ i A → = − 3,0 m ⋅ i ^ + 4,0 m ⋅ j ^ , D → = 2,0 m ⋅ i ^ − 4,0 m ⋅ j ^ + 1,0 m ⋅ k ^ i B → = − 2,0 m ⋅ i ^ + 3,0 m ⋅ j ^ + 2,0 m ⋅ k ^ . Znajdź kąty, jakie wektor D → = 2,0 m ⋅ i ^ − 4,0 m ⋅ j ^ + 1,0 m ⋅ k ^ tworzy z osiami x , y i z . θ i = 64 , 12 ∘ , θ j = 150 , 79 ∘ , θ k = 77 , 39 ∘ . Udowodnij, że wektor siły D → = 2,0 N ⋅ i ^ − 4,0 N ⋅ j ^ + 1,0 N ⋅ k ^ jest prostopadły do wektora siły G → = 3 ,0 N · i ^ + 4 ,0 N · j ^ + 10 ,0 N · k ^ . Przyjmując, że oś x jest pozioma i ma zwrot w prawo, znajdź następujące iloczyny wektorowe A → × C → , A → × F → , D → × C → , A → × ( F → + 2 C → ) , i ^ × B → , j ^ × B → , ( 3 i ^ − j ^ ) × B → , B ^ × B → . − 119 ,98 k ^ , − 173 ,2 k ^ , + 93,69 k ^ , − 413 ,2 k ^ , + 39 ,93 k ^ , − 30 ,09 k ^ , + 149 ,9 k ^ , 0 . Oblicz A → × C → dla A → = 2,0 i ^ − 4,0 j ^ + k ^ i C → = 3,0 i ^ + 4,0 j ^ + 10,0 k ^ , A → = 3,0 i ^ + 4,0 j ^ + 10,0 k ^ i C → = 2,0 i ^ − 4,0 j ^ + k ^ , A → = − 3,0 i ^ − 4,0 j ^ i C → = − 3,0 i ^ + 4,0 j ^ , C → = − 2,0 i ^ + 3,0 j ^ + 2,0 k ^ i A → = − 9,0 j ^ . Dla wektorów z poprzedniego rysunku znajdź ( A → × F → ) ⋅ D → , ( A → × F → ) ⋅ ( D → × B → ) , ( A → ⋅ F → ) ⋅ ( D → × B → ) . 0 , 173,194 , + 199 ,993 k ^ . Jeżeli A → × F → = B → × F → , to czy możemy wywnioskować, że A → = B → ? Jeżeli A → ⋅ F → = B → ⋅ F → , to czy możemy wywnioskować, że A → = B → ? Jeżeli F A → = B → F , to czy możemy wywnioskować, że A → = B → ? Dlaczego tak lub dlaczego nie? Zadania dodatkowe Lecisz 32,0 k m w linii prostej, przy bezwietrznej pogodzie pod kątem 35 , 0 ∘ na południe od kierunku zachodniego. Jaki dystans musiałbyś przelecieć, żeby znaleźć się w tym samym punkcie, jeśli leciałbyś prosto na południe, a następnie prosto na zachód? Jaki dystans musiałbyś przelecieć, żeby znaleźć się w tym samym punkcie, jeśli leciałbyś najpierw na południowy zachód, a następnie na północny zachód? Zauważ, że wektory przemieszczenia są obrócone o 45 , 0 ∘ względem wektorów z podpunktu (a). 18,4 km i 26,2 km; 31,5 km i 5,56 km. Współrzędne kartezjańskie punktu to ( 2 , y ) , a jego współrzędne biegunowe ( r , π / 6 ) . Znajdź y oraz r . Jeśli współrzędnymi biegunowymi punktu są ( r , φ ) , jego współrzędnymi kartezjańskimi ( x , y ) , określ współrzędne biegunowe następujących punktów: ( − x , y ) , ( − 2 x , − 2 y ) , ( 3 x , − 3 y ) . ( r , π – φ ) , ( 2 r , φ + 2 π ) , ( 3 r , − φ ) . Wektory A → i B → mają moduły równe 5,0 jednostek. Znajdź kąt między tymi wektorami, jeśli A → + B → = 5 2 j ^ . Łódź rybacka wyrusza z wyspy Moi położonej w nieznanym archipelagu. Przed powrotem na Moi zatrzymuje się na wyspach Noi i Poi. Łódź przepływa najpierw 4,76 mil morskich (nmi) pod kątem 37 ∘ na północ od kierunku wschodniego, po czym dociera do Noi. Następnie płynie pod kątem 69 ∘ na zachód od kierunku północnego, aż dociera do Poi. W drodze powrotnej z Poi płynie pod kątem 28 ∘ na wschód od kierunku południowego. Jaki dystans przepływa łódź między wyspami Noi i Poi? Jaki dystans przepływa między Moi i Poi? Przedstaw wyniki w milach morskich oraz w kilometrach. 1 n m i = 1852 m . d PM = 33,12 n m i = 61,34 k m , d NP = 35,47 n m i = 65,69 k m . Pracownik wieży kontroli lotów zauważa na monitorze radaru sygnały dwóch samolotów. Jeden z nich znajduje się na wysokości 800 m i w odległości (w poziomie) 19,2 km od wieży, pod kątem 25 ∘ na południe od kierunku zachodniego. Drugi samolot znajduje się na wysokości 1100 m, w odległości (w poziomie) 17,6 km od wieży, pod kątem 20 ∘ na południe od kierunku zachodniego. Jaka jest odległość między samolotami? Udowodnij, że jeśli A → + B → = C → , to C 2 = A 2 + B 2 + 2 A B cos  φ , gdzie φ jest kątem między wektorami A → i B → . dowód Każdy z czterech wektorów siły ma taki sam moduł równy f . Jaka może być maksymalna wartość modułu wektora sumy tych czterech wektorów? Jaka może być jego najmniejsza wartość? Przedstaw obie sytuacje graficznie. Deskorolkarz jedzie po okrągłym torze o średnicy 5,00 m w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeśli przebył połowę okręgu, licząc od punktu wysuniętego najbardziej na zachód, znajdź (a) moduł wektora jego przemieszczenia oraz (b) odległość, jaką przejechał. (c) Jaki będzie moduł wektora jego przemieszczenia, jeśli przejedzie cały tor i wróci do wysuniętego na zachód punktu początkowego? 10,00 m , 5 π m , 0 . Właściciel wyprowadza swojego ciekawskiego psa na smyczy. W pewnym momencie pies czuje intrygujący zapach dochodzący z pewnego miejsca na ziemi i chce dokładnie go zbadać, jednak właściciel jest niecierpliwy i ciągnie smycz z siłą F → = 98,0 N ⋅ i ^ + 132,0 N ⋅ j ^ + 32,0 N ⋅ k ^ . Jaki jest moduł siły, z jaką właściciel ciągnie smycz? Jaki kąt tworzy smycz z pionem? Jeżeli wektor prędkości niedźwiedzia polarnego jest równy u → = − 18,0 k m / h ⋅ i ^ − 13,0 k m / h ⋅ j ^ , jak szybko i w jakim kierunku geograficznym porusza się ten niedźwiedź? Wektory i ^ oraz j ^ wskazują odpowiednio na wschód i na północ. 22,2 km/h, 35 , 8 ∘ na południe od kierunku zachodniego Znajdź składowe wektorów G → i H → znajdujących się w przestrzeni trójwymiarowej. Przedstaw rozkład wektora przy pomocy wersorów osi. Nurek bada rafę koralową u wybrzeża Belize. Na początku płynie 90,0 m na północ, następnie 200,0 m na wschód, po czym zauważa dużego granika i podąża za nim przez 80,0 metrów pod kątem 30 ∘ na północ od kierunku wschodniego. W międzyczasie prąd znosi go 150,0 m na południe. Zakładając, że prąd już nie oddziałuje, w jakim kierunku i jak daleko powinien płynąć nurek, aby wrócić do punktu startowego? 240,2 m; 2 , 2 ∘ na południe od kierunku zachodniego Składowe x i y wektora siły A → są równe odpowiednio −8,80 jednostek siły i 15,00 jednostek siły. Składowe x i y wektora siły B → są równe odpowiednio 13,20 jednostek siły i −6,60 jednostek siły. Znajdź składowe wektora siły C → , spełniającego równanie A → − B → + 3 C → = 0 . Wektory A → i B → leżą na płaszczyźnie xy , mają takie same moduły i są ortogonalne. Jeśli A → = 3,0 i ^ + 4,0 j ^ , znajdź B → . B → = − 4,0 i ^ + 3,0 j ^ lub B → = 4,0 i ^ − 3,0 j ^ Dla przedstawionych na rysunku wektorów leżących w przestrzeni trójwymiarowej oblicz: G → × H → , | G → × H → | , G → ⋅ H → . Udowodnij, że ( B → × C → ) ⋅ A → jest wzorem na objętość równoległościanu, gdzie każdy z trzech wektorów tworzy inną krawędź. dowód Zadania trudniejsze Moduł wektora B → jest równy 5,0 cm, a moduł wektora A → jest równy 4,0 cm. Znajdź kąt między tymi wektorami, jeśli | A → + B → | = 3,0 c m i | A → − B → | = 3,0 c m . Jaka jest wartość rzutu wektora siły G → = 3,0 N ⋅ i ^ + 4,0 N ⋅ j ^ + 10,0 N ⋅ k ^ na kierunek wektora siły H → = 1,0 N ⋅ i ^ + 4,0 N ⋅ j ^ ? G ⊥ = 2375 17 ≈ 9792. Poniższy rysunek przedstawia trójkąt stworzony przez trzy wektory A → , B → i C → . Wektor C → ′ łączy środki wektorów A → i B → . Udowodnij, że C → ′ = C → / 2 . Odległości między punktami leżącymi na płaszczyźnie nie zmieniają się podczas obrotu układu współrzędnych. Innymi słowy, moduł wektora podczas obrotu układu współrzędnych jest niezmienny . Przypuśćmy, że układ współrzędnych S obracamy względem swojego początku o kąt φ , tworząc nowy układ współrzędnych S ′ (zobacz rysunek). Punkt leżący na płaszczyźnie opisują współrzędne ( x , y ) układu S oraz współrzędne ( x ′ , y ′ ) układu S ′ . (a) Udowodnij, że współrzędne układu S ′ oraz współrzędne układu S związane są ze sobą w następujący sposób: { x ' = x cos φ + y sin φ y ' = − x sin φ + y cos φ (b) Udowodnij, że obrót układu współrzędnych nie ma wpływu na odległość punktu P od początku układu współrzędnych. Musisz dowieść, że x 2 + y 2 = x ′ 2 + y ′ 2 . (c) Udowodnij, że obrót układu współrzędnych nie ma wpływu na odległość między punktami P i Q . Musisz dowieść, że P  Q = x P − x Q 2 + y P − y Q 2 P  Q = x P ′ − x Q ′ 2 + y P ′ − y Q ′ 2  . dowód nieprzemienność iloczynu wektorowego (ang. anticommutative property ) zmiana kolejności występowania czynników powoduje pojawienie się minusa (wektor ma przeciwny zwrot) reguła śruby prawoskrętnej (ang. right-hand corkscrew rule ) inaczej reguła korkociągu; pozwala określić zwrot wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego iloczyn wektorowy (ang. cross product ) wynik mnożenia wektorów wektorowo, wynik tej operacji jest wektorem iloczyn skalarny (ang. dot product ) wynik mnożenia wektorów skalarnie, wynik tej operacji jest skalarem (liczbą)

Science


Wstęp Pendolino ED250 to najszybszy pociąg na polskich torach, jeżdżący np. na linii Kraków–Warszawa. Ruch Pendolino możesz opisać dzięki równaniom kinematycznym, które poznasz w tym rozdziale. Wszechświat jest wypełniony obiektami, które są w nieustannym ruchu. Od ciał niebieskich, takich jak planety, gwiazdy, całe galaktyki; poprzez ludzi i zwierzęta na Ziemi; aż po molekuły i atomy w skali mikroskopowej – wszystkie obiekty we Wszechświecie się poruszają. Fizyka zajmuje się opisem ruchu w dwóch aspektach, o czym traktują jej działy: dynamika i kinematyka. Dynamika zajmuje się zagadnieniem przyczyn ruchu, co opisujemy w rozdziale Zasady dynamiki Newtona , jednak i bez wnikania w przyczyny ruchu możemy wiele o nim powiedzieć. Kinematyka zajmuje się opisem samego ruchu, bez dyskusji o jego przyczynach, wykorzystując do tego pojęcia takie jak: położenie, czas, prędkość i przyspieszenie. Właśnie kinematyką zajmiemy się w niniejszym rozdziale. Najbardziej ogólnym przypadkiem ruchu i przedmiotem badań kinematyki jest ruch w trzech wymiarach. Na razie jednak skupimy się na ruchu w jednym wymiarze, dzięki czemu poznamy narzędzia potrzebne także do opisu ruchu wielowymiarowego. Dobrym przykładem ruchu w jednym wymiarze jest pociąg Pendolino, który widzisz na zdjęciu. Gdy pociąg jedzie np. z Krakowa do Warszawy, w różnych momentach znajduje się w różnych położeniach na trasie, co oznacza, że przemieszcza się, czyli dochodzi do zmiany jego położenia. Na wielu odcinkach porusza się dokładnie po linii prostej. W swej podróży ma też cały wachlarz różnych prędkości – np. przy peronach lub na łukach zatrzymuje się lub zwalnia. Doznaje w związku z tym przyspieszeń, czyli zmian prędkości w czasie. Dzięki umiejętnościom zdobytym w tym rozdziale będziesz potrafił obliczyć te wielkości, a także prędkość średnią i szybkość średnią. Wszystkie te wielkości potrafimy obliczyć, używając tylko kinematyki, bez znajomości masy pociągu ani sił, jakie na niego działają. Tym zajmuje się dynamika .

Science