Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym Dotychczas w tym rozdziale omawialiśmy kinematykę ruchu obrotowego: opis ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół stałej osi. Teraz zdefiniujemy dwie nowe wielkości bardzo przydatne w analizie właściwości obracających się obiektów: moment bezwładności i energię kinetyczną ruchu obrotowego. Te dwie wielkości dadzą nam ważne narzędzie do analizy dynamiki ruchu obrotowego. Energia kinetyczna ruchu obrotowego Dowolne obracające się ciało ma energię kinetyczną. Potrafimy policzyć energię kinetyczną ciała poruszającego się ruchem postępowym, lecz jak policzyć energię kinetyczną obracającego się ciała? Może to wydawać się bardzo skomplikowane, ponieważ w czasie wykonywania obrotu każdy punkt ciała sztywnego ma inną prędkość liniową. Jednakże w celu wyznaczenia energii kinetycznej ruchu obrotowego (ang. rotational kinetic energy ) możemy posłużyć się prędkością kątową, która ma taką samą wartość dla każdego punktu obracającego się ciała. Na pokazano przykład pracującej szlifierki, napędzanej silnikiem elektrycznym. Wirująca tarcza szlifierki posiada określoną energię kinetyczną ruchu obrotowego. W momencie styku z obrabianym przedmiotem dochodzi do wystąpienia tarcia. W rezultacie cząstki przedmiotu są odrywane od jego powierzchni i ze względu na dużą energię wyzwalaną w tym procesie dochodzi do ich zapalenia i emisji światła. Dodatkowo, obroty szlifierki wywołują drgania, których częstotliwość zawiera się w paśmie słyszalnym, stąd tego typu pracom towarzyszy hałas. Energia kinetyczna ruchu obrotowego szlifierki jest zamieniana na ciepło, energię światła, dźwięku oraz na energię drgań (Źródło: Zachary David Bell, US Navy) Energia ruchu obrotowego jest sumą energii kinetycznych ruchu obrotowego poszczególnych cząstek ciała, podobnie jak energia kinetyczna ciała w ruchu postępowym. Ponieważ energia kinetyczna ruchu postępowego jest proporcjonalna do kwadratu prędkości E k = m v 2 / 2 , a prędkość każdego punktu obracającego się ciała jest inna, sensownym postępowaniem jest znalezienie sposobu na wyrażenie energii kinetycznej obracającego się ciała poprzez prędkość kątową, która ma taką samą wartość dla każdego punktu obracającego się ciała. Dla pojedynczej cząstki poruszającej się po okręgu wokół stałej osi możemy tego dokonać w prosty sposób. Możemy powiązać prędkość kątową z wartością prędkości liniowej ruchu po okręgu, stosując zależność v = ω r , gdzie r jest odległością cząstki od osi obrotu, a v jest wartością prędkości ruchu po okręgu. Wstawiając to do wyrażenia na energię kinetyczną otrzymujemy: E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( ω r ) 2 = 1 2 ( m r 2 ) ω 2 . Podzielmy teraz obracające się ciało sztywne na dużą liczbę małych fragmentów, każdy o masie m j i odległości r j od osi obrotu. Każdy z fragmentów będzie miał prędkość v j . Masę całego ciała można teraz zapisać jako M = ∑ j m j . Energię kinetyczną obracającego się ciała można wyrazić jako sumę energii kinetycznych wszystkich jej fragmentów: E k = ∑ j 1 2 m j v j 2 = ∑ j 1 2 m j ( r j ω j ) 2 . Ponieważ każdy z fragmentów ma taką samą prędkość kątową ω j = ω , to otrzymujemy: E k = 1 2 ( ∑ j m j r j 2 ) ω 2 . W układzie SI jednostką wielkości E k (energii kinetycznej ruchu obrotowego), określonej powyższym równaniem, jest dżul (J). W przedstawionej formie równanie to wygląda na dość skomplikowane. Postaramy się je nieco uprościć poprzez wprowadzenie nowej wielkości fizycznej – momentu bezwładności. Moment bezwładności Porównanie tego wyrażenia do formy zapisu energii kinetycznej w ruchu postępowym w rozdziale Praca i energia kinetyczna , m v 2 / 2 , sugeruje, że mamy do czynienia z nową wielkością obrotową. Dodajmy ją do naszej listy zmiennych obrotowych i zależności pomiędzy zmiennymi obrotowymi a zmiennymi w ruchu postępowym. Wielkość ∑ j m j r j 2 jest odpowiednikiem masy w równaniu na energię kinetyczną ruchu postępowego. Jest to bardzo ważna nowa wielkość fizyczna opisująca ruch obrotowy. Nazywamy ją momentem bezwładności (ang. moment of inertia ) I , a jej jednostką jest k g ⋅ m 2 : I = ∑ j m j r j 2 . Wyrażenie to definiuje moment bezwładności układu punktów materialnych poruszających się po okręgu wokół stałej osi. Zauważmy, że moment bezwładności pojedynczej cząstki, liczony względem osi obrotu, wyraża się wielkością m r 2 , gdzie r jest odległością cząstki od osi obrotu. W następnym podrozdziale zastosujemy całkową postać tego równania do wyznaczania momentu bezwładności brył sztywnych o regularnych kształtach. Moment bezwładności jest ilościową miarą bezwładności obrotowej, podobnie jak w ruchu postępowym masa jest miarą liniowej bezwładności – to znaczy, im bardziej masywny jest obiekt, tym ma większą inercję (bezwładność) i tym bardziej opiera się zmianom prędkości liniowej. Podobnie, im większa wartość momentu bezwładności bryły sztywnej lub układu cząstek, tym bardziej ciało to przeciwstawia się zmianie prędkości kątowej w jego obrocie wokół stałej osi. Interesująca jest analiza zależnośći momentu bezwładności ciała sztywnego oraz układu punktów materialnych zdefiniowanego od rozkładu mas względem osi obrotu. Ciała sztywne oraz układy punktów materialnych, których masa jest skupiona dalej od osi obrotu, mają większy moment bezwładności niż ciała, których masa jest skupiona bliżej osi obrotu. Dlatego też pierścień o takiej samej masie, długości i promieniu co pełny walec będzie miał większy od niego moment bezwładności, liczony względem osi obrotu będącej ich osią symetrii. Wstawiając równanie na moment bezwładności ( ) do równania na energię kinetyczną ( ) otrzymujemy wyrażenie na energię kinetyczną obracającego się ciała sztywnego w postaci: E k = 1 2 I ω 2 . Z równania tego wynika, że energia kinetyczna obracającego się ciała sztywnego jest wprost proporcjonalna do momentu bezwładności ciała i kwadratu prędkości kątowej. Jest to wykorzystywane w urządzeniach z kołami zamachowymi (ang. flywheel ), które służą do magazynowania dużych ilości energii w ruchu obrotowym. Obecnie wielu producentów samochodów testuje w swoich samochodach urządzenia do magazynowania energii wykorzystujące koła zamachowe, jak np. urządzenie do odzyskiwania energii kinetycznej pokazane na . Na fotelu pasażera umieszczono urządzenie wykorzystujące koło zamachowe do odzyskiwania energii kinetycznej w samochodzie. (Źródło: „cmonville”/Flicker) Wielkości opisujące energię kinetyczną ruchu obrotowego i postępowego zostały zebrane w . Zależności wiążących wielkości przedstawione w obu kolumnach nie zawarto w tabeli, ponieważ takie zależności nie istnieją. Nie istnieje bowiem taka stała, przez którą można by pomnożyć wielkość związaną z ruchem obrotowym, aby otrzymać opowiadającą jej wielkość związaną z ruchem postępowym, tak jak to zostało zrobione dla zmiennych przedstawionych w tabeli w poprzednim podrozdziale ( Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym ). Energia i bezwładność w ruchu obrotowym i postępowym ( v w ruchu postępowym jest prędkością środka masy) Ruch obrotowy Ruch postępowy I = ∑ j m j r j 2 m = ∑ j m j E k = I ω 2 / 2 E k = m v 2 / 2 Moment bezwładności układu cząstek Sześć małych nakrętek umieszczono na pręcie o pomijalnej masie i o długości 0,5 m, tak jak to pokazano na . Nakrętki umieszczono w odległości 10 cm od siebie nawzajem, masa każdej z nakrętek wynosiła 20 g. Jaki jest moment bezwładności układu nakrętek? Jeżeli usuniemy dwie nakrętki leżące najbliżej osi obrotu, to jaki będzie moment bezwładności układu pozostałych nakrętek? Jeżeli układ sześciu nakrętek obraca się z częstotliwością 5 obr/s, to jaka jest jego energia kinetyczna? Rysunek przedstawia sześć nakrętek umieszczonych w odległości 10 cm od siebie nawzajem na nieważkim pręcie obracającym się wokół pionowej osi. Strategia rozwiązania Aby wyznaczyć moment bezwładności układu sześciu nakrętek, zastosujemy definicję momentu bezwładności dla układu punktów materialnych. Ponieważ masy nakrętek są jednakowe, możemy masę nakrętki wyciągnąć przed znak sumowania. Analogiczne obliczenia wykonamy dla układu czterech nakrętek. Wstawimy wynik obliczeń z punktu (a) do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu obrotowego. Rozwiązanie I = ∑ j m j r j 2 = 0 , 02 k g ⋅ 2 [ ( 0 , 25 m ) 2 + ( 0 , 15 m ) 2 + ( 0 , 05 m ) 2 ] = 0 , 0035 k g ⋅ m 2 I = ∑ j m j r j 2 = 0 , 02 k g ⋅ [ 2 ⋅ ( 0 , 25 m ) 2 + 2 ⋅ ( 0 , 15 m ) 2 ] = 0 , 0034 k g ⋅ m 2 E k = 1 2 I ω 2 = 1 2 ⋅ 0 , 0035 k g ⋅ m 2 ⋅ ( 5 , 0 ⋅ 2 π r a d / s ) 2 = 1 , 73 J . Znaczenie Usunięcie dwóch nakrętek leżących najbliżej osi obrotu miało mały wpływ na wartość momentu bezwładności, który jest proporcjonalny do kwadratu odległości punktu materialnego od osi obrotu. W następnej części uogólnimy równanie na moment bezwładności dla układu punktów materialnych uzyskując równanie na moment bezwładności ciała sztywnego. Na razie jednak, na przedstawiono wartości momentów bezwładności dla wybranych ciał obracających się wokół zaznaczonej osi. Momenty bezwładności wybranych ciał. Oś obrotu względem której obliczono moment bezwładności zaznaczono przerywana linią. Stosowanie energii kinetycznej ruchu obrotowego Zastosujmy teraz pojęcie energii kinetycznej ruchu obrotowego i momentu bezwładności do zaznajomienia się z energią ruchu obrotowego związaną z obrotami wybranych obiektów. Poniższe przykłady ułatwią również korzystanie z tych równań. Najpierw przyjrzyjmy się ogólnej strategii rozwiązywania zadań dotyczących energii ruchu obrotowego. Strategia rozwiązywania zadań: energia kinetyczna ruchu obrotowego Ustal, czy w zadaniu mamy do czynienia z energią lub pracą w ruchu obrotowym. Określ, co nas interesuje. Zwykle pomaga szkic rozwiązania. Dokonaj analizy zadania w celu określenia rodzajów pracy i energii. Jeśli nie ma strat energii ze względu na tarcie i inne siły niezachowawcze, energia mechaniczna jest zachowana, tj. E k pocz + E p pocz = E k końc + E p końc E_{\text{k pocz}} + E_{\text{p pocz}} = E_{\text{k końc}} + E_{\text{p końc}} . Jeżeli występują siły niezachowawcze, to energia mechaniczna nie jest zachowana. Oznacza to, że inne formy energii, takie jak energia cieplna lub energia świetlna, mogą być dostarczane lub oddawane przez układ. Dla ułatwienia obliczeń, tam gdzie jest to możliwe, upraszczaj wyrażenia algebraiczne. Oceń rozwiązanie numeryczne, aby sprawdzić, czy ma ono sens w sytuacji fizycznej przedstawionej w treści zadania. Energia lecącego helikoptera Typowy mały helikopter ratunkowy ma cztery łopaty wirnika: każda ma długość 4,00 m i masę m = 50 , 0 k g ( ). Łopaty można rozpatrywać jako cienkie pręty, które obracają się wokół jednego z końców, wokół osi prostopadłej do ich długości. Całkowita masa załadowanego helikoptera wynosi M = 1000 k g . Oblicz energię kinetyczną ruchu obrotowego łopat wirnika, jeśli ich prędkość obrotowa wynosi 300 obr/min. Oblicz energię kinetyczną ruchu postępowego helikoptera, gdy leci on z prędkością 20 , 0 m / s , i porównaj ją z energią kinetyczną ruchu obrotowego łopat. (a) Szkic helikoptera z czterołopatowym wirnikiem głównym. (b) Akcja ratownictwa wodnego z udziałem helikoptera ze służby ratunkowej Westpac Rescue Helicopter. (Źródło b: "111 Emergency" / Flickr) Strategia rozwiązania Energię kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego możemy wyznaczyć z ich definicji. W treści zadania znajdziemy wszystkie wartości wielkości fizycznych, potrzebne do obliczenia energii ruchu postępowego i obrotowego helikoptera. Rozwiązanie Energia kinetyczna ruchu obrotowego dana jest wyrażeniem: E k = 1 2 I ω 2 . Prędkość obrotową zamieniamy na prędkość kątową: ω = 300 o b r 1 , 00 m i n ⋅ 2 π r a d 1 o b r ⋅ 1 , 00 m i n 60 , 0 s = 31 , 4 r a d s . Moment bezwładności jednej łopaty można przybliżyć momentem bezwładności cienkiego pręta obracającego się wokół jednego z jego końców. Wartość tego momentu podana jest na . Ponieważ wirnik helikoptera ma cztery łopaty, całkowity moment bezwładności będzie 4 razy większy. Tak więc: I = 4 ⋅ m l 2 3 = 4 ⋅ 50 , 0 k g ⋅ ( 4 , 00 m ) 2 3 = 1067 , 0 k g ⋅ m 2 . Wstawiając wartości ω oraz I do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu obrotowego, otrzymamy: E k = 0 , 5 ⋅ 1067 k g ⋅ m 2 ⋅ ( 31 , 4 r a d / s ) 2 = 5 , 26 ⋅ 10 5 J . Wstawiając wartości M oraz v do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu postępowego helikoptera, otrzymujemy: E k = 1 2 M v 2 = 0 , 5 ⋅ 1000 , 0 k g ⋅ ( 20 m / s ) 2 = 2 , 00 ⋅ 10 5 J . 2 , 00 ⋅ 10 5 J 5 , 26 ⋅ 10 5 J = 0 , 380. Znaczenie Stosunek energii kinetycznej ruchu postępowego do energii kinetycznej ruchu obrotowego wynosi zaledwie 0,380. Wielkość ta świadczy o tym, że większość energii kinetycznej helikoptera jest zawarta w jego wirujących łopatach. Energia bumerangu Mężczyzna rzuca w powietrze bumerang z prędkością 30,0 m/s pod kątem 40 , 0 ∘ względem poziomu ( ). Bumerang ma masę 1,0 kg i obraca się z częstotliwością 10,0 obr/s. Moment bezwładności bumerangu można wyliczyć ze wzoru I = m L 2 / 12 , gdzie L = 0,7 m . Jaka jest całkowita energia bumerangu w momencie, gdy opuszcza on rękę człowieka? Jak wysoko uniesie się bumerang, licząc od wysokości wyciągniętej ręki człowieka? Można pominąć opór powietrza. Bumerang wyrzucany w powietrze pod kątem 40 ∘ . Strategia rozwiązania Energię całkowitą bumerangu wyznaczymy jako sumę energii kinetycznej ruchu obrotowego i energii kinetycznej ruchu postępowego. W zadaniu podano, że można zaniedbać stratę energii związaną z oporem powietrza. W związku z tym w punkcie (b), w celu wyznaczenia maksymalnej wysokości, na jaką wzniósł się bumerang, możemy zastosować zasadę zachowania energii mechanicznej. Rozwiązanie Moment bezwładności jak dla pręta przedstawiony na : I = 1 12 ⋅ 1 , 0 k g ⋅ ( 0 , 7 m ) 2 = 0 , 041 k g ⋅ m 2 . Prędkość kątowa: ω = 10 , 0 o b r / s ⋅ 2 π r a d / o b r = 62 , 83 r a d / s . Energia kinetyczna ruchu obrotowego E obr = 1 2 ⋅ 0 , 041 k g ⋅ m 2 ⋅ ( 62 , 83 r a d / s ) 2 = 80 , 93 J . Energia kinetyczna ruchu postępowego E pos = 1 2 ⋅ 1 , 0 k g ⋅ ( 30 , 0 m / s ) 2 = 450 , 0 J . Energia całkowita jest sumą energi kinetycznej ruchu postępowego i ruchu obrotowego E = E obr + E pos = 80 , 93 J + 450 , 0 J = 530 , 9 J Zastosujemy zasadę zachowania energii mechanicznej. Ponieważ bumerang rzucono pod pewnym kątem względem poziomu, jego całkowitą energię kinetyczną ruchu postępowego możemy zapisać jako sumę energii w kierunku poziomym (oś x ) oraz energii ruchu postępowego w kierunku pionowym (oś y ). Energia całkowita bumerangu w momencie opuszczania ręki mężczyzny może być zapisana jako: E pocz = 1 2 m v x 2 + 1 2 m v y 2 + 1 2 I ω 2 . Energia bumerangu w momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości jest równa: E konc = 1 2 m v x 2 + 1 2 I ω 2 + m g h . Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika, że E pocz = E konc . Zatem, z dwóch powyższych równań otrzymujemy: 1 2 m v y 2 = m g h . Ponieważ v y = 30 , 0 m / s ⋅ sin  40 ∘ = 19 , 28 m / s , otrzymamy: h = ( 19 , 28 m / s ) 2 2 ⋅ 9 , 8 m / s 2 = 18 , 97 m . Znaczenie Część (b) pokazuje, że zastosowanie zasady zachowania energii może dawać alternatywną metodę rozwiązywania zadań, które zwykle są rozwiązywane za pomocą równań kinematyki. W przypadku braku oporu powietrza energia kinetyczna ruchu obrotowego nie wpływa na wartość maksymalnej wysokości, jaką osiągnął bumerang. Sprawdź, czy rozumiesz. Śruba napędowa podwodnego okrętu o napędzie jądrowym ma moment bezwładności wynoszący 800 , 0 k g ⋅ m 2 . W chwili, gdy śruba napędowa obracała się z prędkością 4 o b r / s , wyłączono silnik, który ją napędza. Jaka będzie wartość prędkości kątowej śruby po 5,0 s od wyłączenia silnika, jeżeli w tym czasie śruba wykonała pracę 50 000 J przeciwko siłom oporu wody? Początkowa energia kinetyczna ruchu obrotowego śruby była równa: K pocz = 1 2 I ω 2 = 1 2 ⋅ 800 , 0 k g ⋅ m 2 ⋅ ( 4 , 0 o b r / s ⋅ 2 π r a d / o b r ) 2 = 2 , 53 ⋅ 10 5 J . W chwili t = 5 s energia kinetyczna ruchu obrotowego śruby była mniejsza o 50 000 J i wynosiła: K końc = 2 , 03 ⋅ 10 5 J , a stąd wyliczona prędkość kątowa ω = 2 ⋅ 2 , 03 ⋅ 10 5 J 800 , 0 k g ⋅ m 2 = 22 , 54 r a d / s , czyli 3,58 obr/s. Podsumowanie Energia kinetyczna ruchu obrotowego to suma energii kinetycznych cząstek ciała sztywnego lub punktów materialnych, wynikająca z ich ruchu po okręgu wokół wspólnej osi. Można ją wyrazić w postaci E k = I ω 2 / 2 , gdzie I jest momentem bezwładności ciała sztywnego lub układu punktów materialnych. Moment bezwładności punktów materialnych poruszających się wokół stałej osi jest definiowany jako I = ∑ j m j r j 2 , gdzie m j jest masą j -tego punktu, natomiast r j jest jego odległością od osi obrotu. Wartość momentu pędu rośnie z kwadratem odległości punktów od osi obrotu. Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu postępowym. W układach, które obracają się i przemieszczają, można zastosować zasadę zachowania energii mechanicznej tylko wtedy, gdy na układ działają siły zachowawcze. W tym przypadku całkowita energia mechaniczna jest zachowana i jest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego i ruchu postępowego oraz energii potencjalnej wynikającej z grawitacji. Pytania Gdyby na orbicie wokół Słońca umieszczono by dodatkowo inną planetę o rozmiarach takich jak Ziemia, to czy moment bezwładności Układu Słonecznego by wzrósł, zmalał czy pozostał bez zmian? Jednorodna kula obraca się ze stałą prędkością kątową wokół osi przechodzącej przez jej środek. Sfera o tej samej masie i promieniu obraca się wokół jej osi symetrii przechodzącej przez środek sfery, z taką samą prędkością kątową jak kula. Który obiekt ma większą energię kinetyczną ruchu obrotowego? Sfera, ponieważ jej masa jest rozłożona dalej od osi obrotu. Zadania Na rysunku przedstawiono układ trzech cząstek punktowych leżących w tej samej płaszczyźnie. Masa każdej cząstki wynosi 0,3 kg. Wyznacz moment bezwładności układu względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez zaznaczony punkt. Oblicz wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego, jeżeli układ obraca się wokół zaznaczonej osi z częstotliwością 5 obr/s. Wyznacz energię kinetyczną ruchu obrotowego Ziemi wokół jej osi obrotu. Jaka jest wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego Ziemi związana z jej ruchem wokół Słońca? E k = 2 , 56 ⋅ 10 29 J ; E k = 2 , 68 ⋅ 10 33 J . Oblicz energię kinetyczną ruchu obrotowego 12-kilogramowego koła motocykla, jeżeli jego prędkość kątowa wynosi 120 rad/s. Promień wewnętrzny koła ma 0,2080 m, a zewnętrzny 0,330 m. W baseballu, miotacz wyrzuca piłkę wykonując m.in. obrót przedramieniem wokół stawu łokciowego. Jeżeli prędkość liniowa piłki względem stawu łokciowego wynosi 20 m/s, to jaka jest wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego przedramienia? Odległość piłki od stawu biodrowego wynosi 0,480 m, a moment bezwładności przedramienia wynosi 0 , 500 k g ⋅ m 2 . E k = 434 , 0 J . Samolot lecący poziomo z prędkością 40,0 m/s podchodzi do lądowania. W momencie, gdy znajduje się na wysokości 300 m, urywa się śmigło o masie 200 kg i momencie bezwładności 70 , 0 k g ⋅ m 2 . W chwili oderwania się prędkość obrotowa śmigła wynosiła 20 obr/s. Zaniedbując opory powietrza wyznacz: (a) prędkość liniową, z jaką śmigło uderzy o ziemię, (b) prędkość obrotową śmigła w momencie uderzenia o ziemię. v = 86 , 5 m / s ; Prędkość kątowa śmigła jest stała i wynosi 20 obr/s. Jaka będzie w momencie zderzenia z ziemią prędkość obrotowa śmigła z poprzedniego zadania, jeżeli uwzględnimy, że opory powietrza w ciągu całego ruchu zmniejszyły jego energię kinetyczną ruchu obrotowego o 30%? Jaka jest energia kinetyczna ruchu obrotowego gwiazdy neutronowej o masie 2 ⋅ 10 30 k g , promieniu 10 km i okresie obrotu 0,02 s? Gwiazdę neutronową można uważać za jednorodną kulę. E k = 3 , 95 ⋅ 10 42 J . Szlifierka elektryczna składająca się z tarczy obrotowej o masie 0,7 kg i promieniu 10 cm obraca się z prędkością 15 obr/min. Przy szlifowaniu surowej ściany drewnianej jej prędkość obrotowa zmniejsza się o 20%. Jaka jest końcowa energia kinetyczna ruchu obrotowego tarczy? O ile zmniejszyła się energia kinetyczna jej ruchu obrotowego? Urządzenie składa się z tarczy o masie 2,0 kg i promieniu 50 cm, na której zamocowany jest pierścień o masie 1,0 kg oraz promieniu wewnętrznym 20 cm i zewnętrznym 30 cm (patrz poniżej). Urządzenie obraca się wokół osi przechodzącej przez środek tarczy i pierścienia, a prędkość kątowa wynosi 10 obr/s. Jaki jest moment bezwładności urządzenia względem osi obrotu? Jaka jest energia kinetyczna jego ruchu obrotowego? I = 0 , 0315 k g ⋅ m 2 . E k = 621 , 8 J . moment bezwładności (ang. moment of inertia ) miara bezwładności obrotowej, która charakteryzuje ilościowo stopień łatwości lub trudności wykonywania zmiany wartości prędkości kątowej bryły sztywnej energia kinetyczna ruchu obrotowego (ang. rotational kinetic energy ) część całkowitej energii kinetycznej ciała

Science


Obliczanie momentu bezwładności W poprzednim podrozdziale zdefiniowaliśmy moment bezwładności, ale nie pokazaliśmy, jak go obliczyć. Poniżej pokazujemy, jak obliczyć moment bezwładności dla kilku standardowych obiektów oraz jak wykorzystać znane momenty bezwładności, aby znaleźć moment bezwładności dla przesuniętej osi lub dla układu złożonego. Ta wiedza bardzo przydaje się, gdy chcemy zastosować ogólne równanie do złożonych układów (to umiejętności, które są kluczowe dla bardziej zaawansowanych kursów fizyki i inżynierii). Moment bezwładności Zdefiniowaliśmy moment bezwładności dla punktów materialnych jako: I = ∑ i m i r i 2 , gdzie r i jest odległością i -tego punktu od osi obrotu, a m i oznacza masę i -tego punktu. Tak więc, wartość momentu bezwładności będzie zależała od wyboru osi, czyli od rozkładu masy względem osi. Aby się o tym przekonać, weźmy prosty przykład dwóch mas na końcu bezmasowej (o nieistotnie małej masie) sztangi i obliczmy moment bezwładności względem dwóch różnych osi (patrz ). W tym przypadku sumowanie jest proste: dwie masy na końcach sztangi można uważać za masy punktowe, a zatem suma ma tylko dwa składniki. W przypadku osi przechodzącej przez środek sztangi, każda z dwóch mas m jest w takiej samej odległości R od osi, dając moment bezwładności: I 1 = m R 2 + m R 2 = 2 m R 2 . W przypadku, gdy oś umieścimy na jednym z końców sztangi, moment bezwładności jest równy: I 2 = m ⋅ 0 2 + m ( 2 R ) 2 = 4 m R 2 . Na podstawie tego wyniku możemy stwierdzić, że znacznie trudniej będzie obrócić sztangę wokół osi przechodzącej przez jej koniec niż wokół osi w połowie jej długości. (a) Oś obrotu przechodzi przez środek sztangi; (b) Oś obrotu przechodzi przez jeden z końców sztangi. Prędkość kątowa wynosi ω . W tym przykładzie mamy dwie masy punktowe, więc suma była łatwa do obliczenia. Jednakże, aby poradzić sobie z obiektami, które nie są punktowe, musimy dokładnie przemyśleć każde z pojęć użytych w równaniu. Równanie wymaga zsumowania wkładów pochodzących od każdego „kawałka masy” znajdującego się w określonej odległości od osi obrotu. Ale co dokładnie oznacza ów każdy „kawałek masy”? Przypomnijmy, że w naszym wyprowadzeniu tego równania każda masa miała tę samą wartość prędkości, co oznacza, że każdy kawałek musiał mieć jednakową odległość r od osi obrotu. Niestety, nie jest to możliwe. Zatem, musimy zastąpić nasz „kawałek masy” nieskończenie małym fragmentem d m , jak pokazano na . Idea użycia nieskończenie małego kawałka masy do obliczenia jego udziału w całkowitym momencie bezwładności. Potrzeba użycia nieskończenie małego kawałka d m sugeruje, że możemy napisać równanie na moment bezwładności całkując wkłady pochodzące od nieskończenie małych mas, zamiast liczyć dyskretną sumę skończonej liczby mas. Wówczas równanie: I = ∑ i m i r i 2 zmienia się w równanie I = ∫ r 2 d m . Jest to ogólna postać równania, pozwalająca na obliczenie momentów bezwładności ciał o złożonych kształtach. W pozostałej części tego rozdziału pokażemy szczegółowo, na konkretnych przykładach, jak liczyć moment bezwładności dla ciał sztywnych o wybranych kształtach. Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek Rozważmy jednorodny cienki pręt o masie m i długości L , tak jak to pokazano na rysunku ( ). Zakładamy, że pręt jest tak cienki a jego pole przekroju poprzecznego tak niewielkie, że pręt może być traktowany jako struna rozciągnięta wzdłuż linii prostej. Naszym zadaniem jest obliczenie momentu bezwładności tego pręta względem osi obrotu, która jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego środek. Skierujmy osie układu współrzędnych tak, by oś z była osią obrotu, a oś x prostą, na której leży pręt, tak jak pokazano na rysunku. Wykonamy teraz całkowanie wzdłuż osi x . Obliczanie momentu bezwładności dla jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek. Wybierzmy mały fragment pręta o długości d x i masie d m . Moment bezwładności jest całką po rozkładzie mas. Jak na razie umiemy jedynie wykonać całkowanie po zmiennych przestrzennych, nie po masie. Musimy zatem znaleźć sposób na powiązanie masy ze zmiennymi przestrzennymi. Dokonamy tego używając pojęcia liniowej gęstości masy (ang. linear mass density ) λ , czyli masy liczonej na jednostkę długości. Ponieważ pręt jest jednorodny, gęstość pręta jest stała; możemy zatem napisać: λ = m l czyli m = λ l . Różniczkując obustronnie otrzymujemy: d m = d ( λ l ) = λ d l , ponieważ λ jest wielkością stałą. Zauważmy, że element pręta d l leży całkowicie wzdłuż osi x i ma długość d x ; czyli d l = d x . Możemy zatem napisać, że d m = λ ( d x ) , otrzymując zmienną całkowania, z którą umiemy już sobie poradzić. Odległość każdego fragmentu masy d m od osi obrotu jest określona przez zmienną x , jak to pokazano na rysunku. Łączymy to wszystko razem i otrzymujemy: I = ∫ r 2 d m = ∫ x 2 d m = ∫ x 2 λ d x . Określmy teraz granice całkowania. Zgodnie z rysunkiem, pręt rozciąga się od x = − L / 2 do x = L / 2 , mamy zatem: I = ∫ − L / 2 L / 2 x 2 λ d x = [ λ x 3 3 ] − L / 2 L / 2 = λ 3 [ ( L 2 ) 3 − ( − L 2 ) 3 ] = λ 3 ⋅ L 3 8 ⋅ 2 = 1 12 m L 2 . Przejdźmy teraz do obliczenia momentu bezwładności dla tego samego jednorodnego, cienkiego pręta, ale względem innej osi, tak abyśmy mogli porównać wyniki. Spodziewamy się, że moment bezwładności będzie mniejszy względem osi przechodzącej przez środek pręta niż względem osi przechodzącej przez jego koniec, podobnie jak w przypadku sztangi omawianej na początku tego podrozdziału. Spodziewamy się tego, ponieważ większość masy jest rozłożona dalej od osi obrotu. Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców Rozpatrzmy teraz ten sam jednorodny pręt o masie m i długości L , lecz tym razem umieścimy oś obrotu na jednym z jego końców (patrz ). Wyznaczmy moment bezwładności pręta względem tej osi. Zdefiniujemy d m jako nieskończenie mały fragment masy naszego pręta. Podobnie jak poprzednio otrzymamy: I = ∫ r 2 d m = ∫ x 2 d m = ∫ x 2 λ d x . Jednak tym razem mamy inne granice całkowania. Pręt rozciąga się od x = 0 do x = L , ponieważ oś jest umieszczona na końcu pręta w x = 0 . Dlatego otrzymujemy: I = ∫ 0 L x 2 λ d x = [ λ x 3 3 ] 0 L = λ 3 ( L 3 − 0 3 ) = λ 3 ⋅ L 3 = 1 3 m L 2 . Obliczanie momentu bezwładności dla jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec. Zauważmy, że „bezwładność obrotowa” pręta przy obrotach względem jego końca jest czterokrotnie większa niż „bezwładność obrotowa” dla obrotów wokół jego środka. Twierdzenie Steinera Podobieństwo między procesem obliczania momentu bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek i względem osi przechodzącej przez jego koniec jest uderzające i sugeruje, że może istnieć prostsza metoda wyznaczenia momentu bezwładności pręta wokół dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy. Taka oś jest nazywana osią równoległą (ang. parallel axis ). Istnieje twierdzenie pozwalające nam wyznaczyć moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, jeżeli znamy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. Jest to twierdzenie Steinera (ang. parallel axis theorem , Steiner's theorem ), które podamy tu bez dowodu. Twierdzenie Steinera Moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy i kwadratu odległości pomiędzy osiami: I oś równoległa = I środek masy + m d 2 . Zastosujmy to twierdzenie do wyznaczenia momentu bezwładności rozważanego poprzednio pręta: I koniec = I środek masy + m d 2 = 1 12 m L 2 + m ( L 2 ) 2 = ( 1 12 + 1 4 ) m L 2 = 1 3 m L 2 . Wynik ten jest zgodny z poprzednimi, znacznie dłuższymi obliczeniami. To przydatne twierdzenie zastosujemy też w kolejnych przykładach. Sprawdź, czy rozumiesz. Jaki jest moment bezwładności walca o promieniu R i masie m liczony względem osi przechodzącej przez punkt na jego powierzchni, jak pokazano na poniższym rysunku? Oś jest prostopadła do płaszczyzny rysunku. I oś równoległa = I środek masy + m d 2 = m R 2 + m R 2 = 2 m R 2 Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek Całkowanie w celu wyznaczenia momentu bezwładności obiektu dwuwymiarowego jest nieco trudniejsze, ale na tym poziomie studiów zwykle wykonuje się jeden przykład, mianowicie wyznaczenie momentu bezwładności jednorodnej cienkiej tarczy obracającej się wokół osi przechodzącej przez jej środek ( ). Obliczanie momentu bezwładności cienkiej tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek. Ponieważ tarcza jest cienka, możemy założyć, że jej masa rozmieszczona jest całkowicie w płaszczyźnie x y . Zaczynamy od zdefiniowania powierzchniowej gęstości masy (ang. surface mass density ), czyli masy na jednostkę powierzchni. Ponieważ tarcza jest jednorodna, to gęstość powierzchniowa σ jest stała: σ = m S czyli σ S = m , stąd d m = σ ( d S ) . Obszar zajmowany przez tarczę można uznać za złożony z szeregu cienkich pierścieni, z których każdy ma szerokość d r i masę d m równomiernie rozłożoną na okręgu o promieniu R , tak jak to pokazano na . Powierzchnia każdego pierścienia d S jest zatem iloczynem długości każdego pierścienia ( 2 π r ) i jego szerokości d r : S = π r 2 , stąd d S = d ( π r 2 ) = π d ( r 2 ) = 2 π r d r . Powierzchnia tarczy jest sumą powierzchni wszystkich cienkich pierścieni o promieniu od 0 do R , które są naszym granicami całkowania dla d r , tzn. całkujemy od r = 0 do r = R . Biorąc to wszystko po uwagę otrzymujemy: I = ∫ 0 R r 2  σ ⋅ 2  π  r  d r = 2  π  σ  ∫ 0 R r 3  d r = 2  π  σ  r 4 4 0 R I = 2  π  σ  R 4 4 − 0 4 = 2  π ⋅ m S ⋅ R 4 4 I = 2  π ⋅ m π  R 2 ⋅ R 4 4 = 1 2  m  R 2 . \begin{multiline} I &= \int_0^R r^2 \sigma \cdot 2 \pi r \d r = 2\pi \sigma \int_0^R r^3\d r = 2\pi \sigma [\frac{r^4}{4}]_0^R \\ &= 2\pi \sigma (\frac{R^4}{4} - \frac{0}{4}) = 2\pi \cdot \frac{m}{S} \cdot \frac{R^4}{4} \\ &= 2 \pi \cdot \frac{m}{\pi R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac12 mR^2 \text{.} \end{multiline} I = ∫ 0 R r 2  σ ⋅ 2  π  r  d r = 2  π  σ  ∫ 0 R r 3  d r = 2  π  σ  r 4 4 0 R = 2  π  σ  R 4 4 − 0 4 = 2  π ⋅ m S ⋅ R 4 4 = 2  π ⋅ m π  R 2 ⋅ R 4 4 = 1 2  m  R 2 . Zauważmy, że wynik jest zgodny z rezultatem podanym na . Obliczanie momentu bezwładności układów złożonych Rozpatrzmy teraz obiekt złożony, taki jak na rysunku poniżej. Rysunek przedstawia cienką tarczę na końcu cienkiego pręta. Nie można tego łatwo scałkować w celu wyznaczenia momentu bezwładności, ponieważ nie jest to obiekt o jednolitym kształcie. Jeśli jednak wrócimy do pierwotnej definicji momentu bezwładności jako sumy, możemy przypuścić, że moment bezwładności obiektu złożonego można wyznaczyć jako sumę momentów bezwładności każdej z jego części: I całkowite = ∑ i I i . Należy dodać, że momenty bezwładności obiektów w ( ) dotyczą momentów bezwładności liczonych względem wspólnej osi. W przypadku tego obiektu byłby to pręt o długości L obracający się wokół jego końca, oraz cienki krążek o promieniu R , obracający się wokół osi przesuniętej od środka masy krążka o odległość L + R . Oznaczmy masę pręta jako m p , a masę krążka jako m k . Obiekt złożony składający się z krążka zawieszonego na końcu pręta. Oś obrotu jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i przechodzi przez punkt A . Oś przechodzi przez koniec pręta, więc jego moment bezwładności względem tej osi jest równy m p L / 2 . Aby wyznaczyć moment bezwładności krążka względem podanej osi, musimy zastosować twierdzenie Steinera. Moment bezwładności krążka liczony względem osi przechodzącej przez jego środek masy ma wartość m k R 2 / 2 ; po zastosowaniu twierdzenia Steinera I oś równoległa = I środek masy + m d 2 otrzymamy: I oś równoległa = 1 2 m k R 2 + m k ( L + R ) 2 . Dodając moment bezwładności pręta do momentu bezwładności krążka przy przesuniętej osi obrotu stwierdzimy, że moment bezwładności dla przedmiotu złożonego jest równy: I całkowity = 1 3 m p L 2 + 1 2 m k R 2 + m k ( L + R ) 2 . Obliczanie momentu bezwładności przy rozwiązywaniu zadań Rozpatrzmy teraz kilka praktycznych zastosowań obliczeń momentu bezwładności. Dziecko na karuzeli Dziecko o masie 25 kg siedzi na karuzeli w odległości r = 1 , 0 m od jej osi obrotu ( ). Karuzelę możemy rozpatrywać jako jednolitą tarczę o promieniu 2,0 m i masie 500 kg. Wyznacz moment bezwładności tego układu. Obliczanie momentu bezwładności dla dziecka na karuzeli. Strategia rozwiązania W tym zadaniu mamy obliczyć moment bezwładności całego układu. Mamy podaną masę i odległość dziecka do osi obrotu, a także masę i promień karuzeli. Ponieważ masa i rozmiar dziecka są znacznie mniejsze niż karuzeli, możemy rozpatrywać dziecko jako masę punktową. Wprowadźmy oznaczenia dla danych: m d = 25 k g , r d = 1 , 0 m , m k = 500 k g , r k = 2 , 0 m . Naszym celem jest wyznaczenie całkowitego momentu bezwładności układu I całkowity = ∑ i I i . Rozwiązanie Moment bezwładności dziecka I d = m d r 2 , a karuzeli I k = m k r 2 / 2 , stąd: I całkowity = 25  kg ⋅ 1  m 2 + 1 2 ⋅ 500  kg ⋅ 2  m 2 I całkowity = 25  kg ⋅ m 2 + 1000  kg ⋅ m 2 = 2025  kg ⋅ m 2 . \begin{multiline} I_{\text{całkowity}} &= \SI{25}{\kilo\gram} \cdot (\SI{1}{\metre})^2 + \frac12 \cdot \SI{500}{\kilo\gram} \cdot (\SI{2}{\metre})^2 \\ &= \SI[inter-unit-product = ⋅]{25}{\kilo\gram\metre\squared} + \SI[inter-unit-product = ⋅]{1000}{\kilo\gram\metre\squared} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{2025}{\kilo\gram\metre\squared} \text{.} \end{multiline} I całkowity = 25  kg ⋅ 1  m 2 + 1 2 ⋅ 500  kg ⋅ 2  m 2 = 25  kg ⋅ m 2 + 1000  kg ⋅ m 2 = 2025  kg ⋅ m 2 . Znaczenie Wartość I całkowity powinna być zbliżona do momentu bezwładności pustej karuzeli, ponieważ karuzela ma dużo większą masę niż położona dalej od osi obrotu masa dziecka. Pręt i cienka powłoka sferyczna Wyznacz moment bezwładności układu: pręt połączony z cienką powłoką sferyczną. Obliczeń dokonaj dla dwóch przypadków pokazanych na rysunku poniżej. Oś jest prostopadła do rysunku i umieszczona w punkcie A. Pręt ma długość 0,5 m i masę 2,0 kg. Promień sfery wynosi 20,0 cm i ma ona masę 1,0 kg. Strategia rozwiązania Ponieważ w obu przypadkach mamy złożony obiekt, możemy użyć twierdzenia Steinera do wyznaczenia momentu bezwładności względem każdej osi. W przypadku (a) środek masy sferycznej powłoki znajduje się w odległości L + R od osi obrotu. W przypadku (b) środek masy sferycznej powłoki znajduje się w odległości R od osi obrotu. W obu przypadkach moment bezwładności pręta jest momentem bezwładności liczonym względem osi przechodzącej przez jego koniec. Informacje na temat momentów bezwładności poszczególnych obiektów można znaleźć w podrozdziale Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym . Rozwiązanie I całkowity = ∑ i I i = I pręt + I powłoka , I sfera = I środek masy + m sfera ( L + R ) 2 = 2 5 m sfera R 2 + m sfera ( L + R ) 2 , I całkowity = I pręt + I sfera = 1 3 m pręt L 2 + 2 5 m sfera R 2 + m sfera ( R + L ) 2 , I całkowity = 1 3 ⋅ 2 , 0 k g ⋅ ( 0 , 5 m ) 2 + 2 5 ⋅ 1 , 0 k g ⋅ ( 0 , 2 m ) 2 + 1 , 0 k g ⋅ ( 0 , 5 m + 0 , 2 m ) 2 , I całkowty = 0 , 167 k g ⋅ m 2 + 0 , 016 k g ⋅ m 2 + 0 , 490 k g ⋅ m 2 = 0 , 673 k g ⋅ m 2 . I sfera = 2 5 m sfera R 2 + m sfera R 2 , I całkowity = I pręt + I sfera = 1 3 m pręt L 2 + 2 5 m sfera R 2 + m sfera R 2 , I całkowity = 1 3 ⋅ 2 , 0 k g ⋅ ( 0 , 5 m ) 2 + 2 5 ⋅ 1 , 0 k g ⋅ ( 0 , 2 m ) 2 + 1 , 0 k g ⋅ ( 0 , 2 m ) 2 , I całkowity = 0 , 167 k g ⋅ m 2 + 0 , 016 k g ⋅ m 2 + 0 , 04 k g ⋅ m 2 . Znaczenie Wykorzystanie twierdzenia Steinera ułatwia obliczenie momentu bezwładności obiektów złożonych. Widzimy, że moment bezwładności jest większy w przypadku (a) niż w przypadku (b). Dzieje się tak, ponieważ w przypadku (b) oś obrotu jest bliżej środka masy systemu. Prostą analogią jest tu moment bezwładności pręta. Moment bezwładności względem końca wynosi m L 2 / 3 , a moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy wynosi m L 2 / 12 . Prędkość kątowa wahadła. Wahadło w kształcie pręta ( ) wychylono o kąt 30°, a następnie puszczono swobodnie. Wahadło ma długość 30 cm i masę 300 g. Jaka jest jego prędkość kątowa w najniższym punkcie? Wahadło w kształcie pręta puszczone swobodnie. Strategia rozwiązania Zmiana energii potencjalnej wahadła jest równa zmianie jego energii kinetycznej ruchu obrotowego Δ E p + Δ E k = 0 . Rozwiązanie W maksymalnym wychyleniu energia potencjalna wahadła wynosi E p = m g h ŚM = m g ( L / 2 ) cos  θ . W najniższym położeniu E p = m g L / 2 . W maksymalnym wychyleniu energia kinetyczna wahadła wynosi E k = 0 , a w najniższym E k = I ω 2 / 2 . Tak więc: Δ E p + Δ E k = 0 ⟹ [ m g L 2 ⋅ ( 1 − cos  θ ) − 0 ] + ( 0 − 1 2 I ω 2 ) = 0 , stąd: 1 2 I ω 2 = m g L 2 ⋅ ( 1 − cos  θ ) . Wyliczając z powyższych równań ω otrzymujemy: ω = m g L I ( 1 − cos θ ) = m g L 1 / 3 m L 2 ( 1 − cos θ ) = g 3 L ( 1 − cos θ ) . Wstawiając wartości numeryczne otrzymujemy: ω = 9 , 8 m / s 2 ⋅ 3 0 , 3 m ⋅ ( 1 − cos  30 ∘ ) = 3 , 6 r a d / s . Znaczenie Należy zauważyć, że prędkość kątowa wahadła nie zależy od jego masy. Podsumowanie Momenty bezwładności można wyznaczyć przez zsumowanie lub scałkowanie wartości masy „każdego fragmentu” tworzącego obiekt, pomnożonej przez kwadrat odległości fragmentu od osi. W postaci całkowej moment bezwładności wynosi I = ∫ r 2 d m . Moment bezwładności jest większy, gdy masa obiektu znajduje się dalej od osi obrotu. Można wyznaczyć moment bezwładności obiektu względem nowej osi obrotu, gdy znany jest moment bezwładności dla osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy układu. Mówi o tym twierdzenie Steinera: I oś równoległa = I środek masy + m d 2 , gdzie d jest odległością pomiędzy osiami. Moment bezwładności dla złożonego obiektu jest sumą momentów bezwładności każdego pojedynczego obiektu składającego się na obiekt złożony. Pytania Jeśli dziecko idzie w kierunku środka karuzeli, to moment bezwładności wzrasta czy maleje? Dyskobol, zanim wypuści dysk, obraca się trzymając dysk w dłoni. (a) Jak zmieni się jego moment bezwładności po wypuszczeniu dysku? (b) Jak dobre przybliżenie należy zrobić, aby obliczyć moment bezwładności dyskobola i dysku? a. Zmniejszy się, jeżeli za jego moment bezwładności rozumiemy sumę momentów człowieka i dysku. Jeżeli pytamy tylko o moment bezwładności samego człowieka, to pozostanie bez zmiany. b. Ramiona można przybliżyć prętami, a dysk krążkiem. Tułów znajduje się w pobliżu osi obrotu, więc nie ma istotnego wkładu w moment bezwładności. Czy zwiększenie liczby łopatek śruby napędowej zwiększa czy zmniejsza moment bezwładności? Dlaczego? Moment bezwładności długiego pręta obracającego się wokół osi przechodzącej przez jeden z jego końców i prostopadłej do jego długości wynosi m L 2 / 3 . Dlaczego ten moment bezwładności jest większy niż gdyby umieścić masę punktową m w odległości równej odległości środka masy pręta od osi obrotu ( L / 2 ) (tzn. m L 2 / 4 )? Ponieważ moment bezwładności zmienia się z kwadratem odległości od osi obrotu. Masa pręta usytuowanego w odległości większej niż L / 2 zapewnia większy wkład do jego momentu bezwładności niż masa w punkcie L / 2 . Dlaczego moment bezwładności obręczy o masie M i promieniu R jest większy niż moment bezwładności tarczy, która ma tę samą masę i promień? Zadania Podczas kopnięcia piłki nożnej piłkarz obraca nogę w stawie biodrowym. Moment bezwładności nóg wynosi 3 , 75 k g ⋅ m 2 , a energia kinetyczna ruchu obrotowego nogi to 175 J. (a) Jaka jest prędkość kątowa nogi? (b) Jaka jest prędkość końcówki buta zawodnika, jeśli jest ona w odległości 1,05 m od stawu biodrowego? Korzystając z twierdzenia Steinera wyznacz moment bezwładności pręta o masie m względem osi przedstawionej na rysunku poniżej. I = 7 36 m L 2 . Wyznacz moment bezwładności pręta z poprzedniego zadania przez bezpośrednie całkowanie. Jednorodny pręt o masie 1,0 kg i długości 2,0 m może obracać się swobodnie wokół jednego z jego końców (patrz poniższy rysunek). Jeśli pręt zostanie puszczony swobodnie po wcześniejszym odchyleniu go o kąt 60 ∘ , liczony względem poziomu, to z jaką prędkością końcówka pręta przechodzi przez pozycję poziomą? v = 7 , 14 m / s . Wahadło składa się z pręta o masie 2 kg i długości 1 m oraz jednorodnej kuli umieszczonej na jednym z jego końców. Kula ma masę 0,3 kg i promień 20 cm (patrz poniższy rysunek). Jeśli wahadło odchylono o kąt 30 ∘ i puszczono swobodnie, to jaka jest prędkość kątowa pręta w najniższym punkcie? Jednorodna kulka o promieniu 10 cm może swobodnie obracać się wokół osi zaznaczonej na rysunku poniżej. Kulkę pchnięto gwałtownie tak, że jej środek masy rozpoczął ruch od położenia pokazanego na poniższym rysunku, z prędkością 15 cm/s. Jaki maksymalny kąt tworzy średnica z pionem? θ = 10 , 2 ∘ . gęstość liniowa masy (ang. linear mass density ) masa na jednostkę długości obiektu liniowego oś równoległa (ang. parallel axis ) oś obrotu, która jest równoległa do osi, względem której znany jest moment bezwładności obiektu gęstość powierzchniowa masy (ang. surface mass density ) masa na jednostkę powierzchni obiektu dwuwymiarowego

Science


Moment siły Ważną wielkością związaną z dynamiką ruchu obrotowego ciała sztywnego jest moment siły, nazywany też momentem obrotowym. Efekty jego działania można obserwować na co dzień w naszym najbliższym otoczeniu. Moment siły odczuwamy używając dużego klucza do wykręcenia trudnej do odkręcenia śruby. Działa on w niewidoczny sposób, gdy naciskamy pedał gazu w samochodzie nadając silnikowi dodatkowy moment obrotowy. Za każdym razem, gdy spacerujemy, czy biegniemy, towarzyszy temu moment siły przyłożony do naszego ciała. W tym podrozdziale zdefiniujemy moment siły i metody jego obliczania dla brył sztywnych obracających się wokół stałej osi. Definicja momentu siły Do tej pory zdefiniowaliśmy wiele zmiennych obrotowych będących odpowiednikami zmiennych w ruchu postępowym. Zastanówmy się teraz, co jest odpowiednikiem siły. Ponieważ siły zmieniają ruch postępowy obiektów, odpowiednikiem w ruchu obrotowym musi być wielkość zmieniająca ruch obrotowy obiektu wokół osi. Jest to moment siły (ang. torque ). W codziennym życiu obracamy różne obiekty wokół ich osi, przez co intuicyjnie wiemy już wiele o momencie siły. Zastanówmy się na przykład, jak obracamy drzwi, aby je otworzyć. Po pierwsze, wiemy, że drzwi otwierają się powoli, jeśli naciskamy na nie zbyt blisko zawiasów. Łatwiejsze jest otwieranie drzwi przez naciskanie z dala od zawiasów. Po drugie, wiemy, że powinniśmy naciskać prostopadle do płaszczyzny drzwi. Jeśli naciskamy równolegle do płaszczyzny drzwi, nie jesteśmy w stanie ich otworzyć. Po trzecie, im większa jest siła, tym skuteczniej otwieramy drzwi; im mocniej naciskamy, tym szybciej drzwi ustępują. Pierwszy punkt oznacza, że im dalej od osi obrotu znajduje się punkt przyłożenia siły, tym większe jest przyspieszenie kątowe drzwi. Drugi oznacza, że skuteczność zależy od kąta, pod którym siła jest przyłożona. Trzeci oznacza, że musimy uwzględnić także wartość siły. Zauważmy, że dla obrotów w płaszczyźnie możliwe są dwa kierunki obrotu: zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara albo przeciwny, a tym samym dwa kierunki momentu siły. przedstawia obroty w lewo. Od wartości momentu siły zależy skuteczność obrotu lub skrętu. Na rysunku przedstawiono to na przykładzie otwierania drzwi (widok z góry). Moment siły ma zarówno wartość, jak i kierunek. (a) i (b) Obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara są wytwarzane przez siłę F → , działającą w odległości r od zawiasów (punkt obrotu). (b) Zmniejszenie wartości siły zmniejsza wartość momentu siły, trudniej otworzyć drzwi. (c) Ta sama siła jak w (a) i (b) powoduje mniejszy moment sił, gdy jest przyłożona w mniejszej odległości od zawiasów. d) Mniejszy moment siły jest wytwarzany przez tę samą siłę co w (a), przyłożoną w tej samej odległości co w (a), ale pod kątem θ mniejszym niż 90 ∘ . Rozważmy teraz, jak zdefiniować momenty siły w ogólnym trójwymiarowym przypadku. Definicja momentu siły Momentem siły F → względem punktu O , działającym w punkcie P , nazywamy wielkość wektorową M → zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora położenia punktu P (wektor r → ) względem punktu O i wektora siły F → (patrz ): M → = r → × F → . Moment siły M → jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r → i F → . Jego zwrot określić można przy pomocy reguły prawej dłoni. Z definicji iloczyn wektorowy M → = r → × F → jest wektorem prostopadłym do wektorów r → i F → . Jego wartość jest równa: | M → | = | r → × F → | = r F sin  θ , gdzie θ jest kątem pomiędzy wektorami r → i F → . W układzie jednostek SI jednostką momentu siły jest N ⋅ m . Wielkość r ⊥ = r sin  θ jest odległością punktu O od prostej, na której leży siła F → . Nazywamy ją ramieniem siły (ang. arm force ). Im większa wartość ramienia siły, tym większa wartość momentu siły. Tak więc wartość momentu siły można przedstawić jako: | M → | = r ⊥ F . Iloczyn wektorowy M → = r → × F → wskazuje nam także znak momentu siły M → . Przedstawiony na iloczyn wektorowy M → = r → × F → skierowany jest wzdłuż dodatniej części osi z ; w oparciu o przyjętą konwencję uważamy go za dodatni. Jeśli ma zwrot przeciwny, to mówimy, że ma wartość ujemną. Jeśli weźmiemy pod uwagę krążek, który może swobodnie obracać się wokół osi przechodzącej przez jego środek, jak pokazano na , to możemy zobaczyć, jak kąt między promieniem r → a siłą F → wpływa na wartość momentu siły. Jeśli kąt jest równy zero, moment siły wynosi zero. Jeśli kąt wynosi 90 ∘ , to moment siły jest maksymalny. Moment siły przedstawiony na jest dodatni i skierowany przed płaszczyznę rysunku, wzdłuż dodatniego zwrotu osi z . W wyniku działania tego momentu siły krążek obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara – w tym samym kierunku, co działanie momentu siły nadającej dodatnie przyspieszenie kątowe. Krążek może swobodnie obracać się wokół osi przechodzącej przez jego środek. Wartość momentu siły działającego na krążek wynosi r F sin  θ . Gdy θ = 0 ∘ , moment siły wynosi zero, a krążek nie obraca się. Gdy θ = 90 ∘ , moment siły jest maksymalny, a krążek obraca się z maksymalnym przyspieszeniem kątowym. Jeżeli na ciało sztywne obracające się wokół danej osi działają różne siły i związane z nimi momenty sił, to wypadkowy moment sił będzie sumą wektorową poszczególnych momentów siły. M → = ∑ i M → i Obliczanie wartości wypadkowego momentu siły w przypadku obrotów ciał sztywnych wokół stałej osi W poniższych przykładach obliczamy moment siły zarówno dla przykładów czysto rachunkowych, jak i dla występujących w ruchu obrotowym ciała sztywnego. Najpierw przedstawimy strategię rozwiązywania zadań. Strategia rozwiązywania zadań: wyznaczanie wypadkowego momentu siły Wybierz układ współrzędnych z punktem obrotu lub osią obrotu jako początkiem wybranego układu współrzędnych. Określ kąt między wektorem położenia punktu, w którym przyłożona jest siła, a wektorem siły. Oblicz iloczyn wektorowy r → × F → , aby określić, czy moment siły względem punktu obrotu lub osi obrotu jest dodatni czy ujemny. Wyznacz wartość momentu siły M korzystając z wartości r ⊥ i F . Przypisz odpowiedni znak, dodatni lub ujemny, do obliczonej wartości M . Dodaj wszystkie momenty sił, aby wyznaczyć wartość wypadkowego momentu siły. Założyliśmy tutaj, że mamy do czynienia z układem liniowym, dlatego wartość wypadkowego momentu siły może być obliczona jako suma wszystkich momentów sił. Jest to przykład popularnej w fizyce zasady superpozycji, którą stosuje się tylko dla układów liniowych. W rzeczywistości jednak większość układów to układy nieliniowe, dla których z tej zasady skorzystać nie możemy. Obliczanie momentu siły Na rysunku poniżej pokazano cztery siły o różnych orientacjach w danym układzie współrzędnych x y , przyłożone w określonych miejscach. Znajdź moment siły dla każdej z nich (względem początku układu współrzędnych), a następnie wyznacz wypadkowy moment siły. Cztery siły przyczyniające się do wypadkowego momentu siły. Strategia rozwiązania W tym zadaniu mamy obliczyć wypadkowy moment sił. Wszystkie znane wielkości – wartości sił z kierunkami ich działania oraz ramionami sił – podano na rysunku. Celem jest wyznaczenie wartości każdego momentu siły i wypadkowego momentu poprzez zsumowanie poszczególnych momentów sił. Uważaj, aby przypisać prawidłowy znak każdemu momentowi, używając iloczynu wektorowego wektora r → i wektora F → . Rozwiązanie Wartość momentu siły wyznaczymy z zależności | M → | = r ⊥ F , a znak ustalimy na podstawie iloczynu wektorowego M → = r → × F → . Dla siły o wartości 40 N przyłożonej w pierwszej ćwiartce otrzymujemy: M 1 = 4 m ⋅ 40 N ⋅ sin  90 ∘ = 160 N ⋅ m . Iloczyn wektorowy M → = r → × F → skierowany jest przed rysunek, jest więc dodatni. Dla siły o wartości 20 N przyłożonej w trzeciej ćwiartce: M 2 = − 3 m ⋅ 20 N ⋅ sin  90 ∘ = − 60 N ⋅ m . Iloczyn wektorowy M → = r → × F → jest skierowany za rysunek, moment ujemny. Dla siły o wartości 30 N przyłożonej w trzeciej ćwiartce otrzymamy: M 3 = 4 m ⋅ 30 N ⋅ sin  53 ∘ = 120 N ⋅ m . Iloczyn wektorowy M → = r → × F → jest skierowany przed rysunek, moment dodatni. Dla siły o wartości 20 N przyłożonej w drugiej ćwiartce otrzymamy: M 4 = 1 m ⋅ 20 N ⋅ sin  30 ∘ = 10 N ⋅ m . Iloczyn wektorowy M → = r → × F → jest skierowany przed rysunek, moment dodatni. Wartość wypadkowego momentu sił jest równa: M wyp = ∑ i = 1 4 M i = 160 N ⋅ m − 60 N ⋅ m + 120 N ⋅ m + 10 N ⋅ m = 230 N ⋅ m . Znaczenie Zauważmy, że moment każdej siły działającej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest dodatni, podczas gdy moment siły działającej w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest ujemny. Moment obrotowy jest większy, gdy siła lub ramię siły są większe. Obliczanie momentu siły działającej na ciało sztywne Na rysunku poniżej przedstawiono trzy siły o różnej wartości i kierunku, działające na koło zamachowe. Dane są: | F → 1 | = 20 N , | F → 2 | = 30 N , | F → 3 | = 30 N oraz r = 0 , 5 m . Wyznacz wypadkowy moment tych sił względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez środek koła. Trzy siły działające na koło zamachowe. Strategia rozwiązania Korzystając z iloczynu wektorowego wyliczamy momenty sił dla każdej z sił z osobna. Następnie wyznaczamy moment wypadkowy jako sumę momentów siły dla poszczególnych sił. Rozwiązanie Rozwiązanie rozpocznijmy od wyznaczenia momentu siły F → 1 . Widzimy, że siła F → 1 tworzy kąt 90 ∘ + 60 ∘ z wektorem r → . Zatem wartość momentu siły F → 1 wyraża się zależnością: | M → 1 | = r F 1 sin  150 ∘ = 0 , 5 m ⋅ 20 N ⋅ 0 , 5 = 5 , 0 N ⋅ m . Następnie wyliczamy moment dla siły F → 2 . Kąt pomiędzy siłą F → 2 i wektorem r → wynosi 90 ∘ , a iloczyn wektorowy skierowany jest w stronę rysunku, więc jest ujemny. Jego wartość wynosi: | M → 2 | = − r F 2 sin  90 ∘ = − 0 , 5 m ⋅ 30 N = − 15 , 0 N ⋅ m . W przypadku siły F → 3 widzimy, że jest prostopadła do wektora r → , zatem r → × F → 3 = 0 . Tak więc siła F → 3 nie przyczynia się do momentu wypadkowego. Wartość wypadkowego momentu pędu jest zatem równa: M wyp = ∑ i = 1 3 M i = 5 N ⋅ m − 15 N ⋅ m + 0 N ⋅ m = − 10 N ⋅ m . Znaczenie Oś obrotu koła zamachowego przechodzi przez środek masy. Koło zamachowe umieszczone jest na stałej osi, a więc nie może poruszać się ruchem postępowym. Gdyby koło nie było zamocowane na nieruchomej osi i położono by go na chropowatej powierzchni (występuje tarcie między kołem a powierzchnią) wówczas siły F → 1 i F → 2 spowodowałyby ruch koła po tej powierzchni. W takim przypadku każdy punkt koła uczestniczyłby w dwóch ruchach jednocześnie: w ruchu postępowym i w ruchu obrotowym. Sprawdź, czy rozumiesz. Duży statek oceaniczny opływając wybrzeże zderza się ze skałą, osiada na mieliźnie i przechyla się, tak jak to pokazano na . Zespół ratowniczy ma za zadanie obrócić statek w celu ustawienia go pionowo na wodzie. Dlatego w punkcie A należy przyłożyć siłę o wartości 5 , 0 ⋅ 10 5 N . Oblicz, jaki jest moment tej siły względem podłoża (patrz rysunek). Statek osiadł na mieliźnie i się przechylił. Przywrócenie go do pozycji pionowej wymaga zastosowania momentu siły przyłożonego do punktu A . Kąt pomiędzy wektorem położenia punktu A i zastosowaną siłą wynosi 80 ∘ . Ramię przyłożonej siły: r ⊥ = 100 m ⋅ sin  80 ∘ = 98 , 5 m . Iloczyn wektorowy M → = r → × F → jest ujemny i powoduje obrót w prawo (zgodnie ze wskazówkami zegara). Jego wartość wynosi M = − r ⊥ F = − 98 , 5 m ⋅ 5 , 0 ⋅ 10 5 N = − 4 , 9 ⋅ 10 7 N ⋅ m . Podsumowanie Wartość momentu siły względem nieruchomej osi oblicza się poprzez wyznaczenie ramienia siły względem osi obrotu i zastosowanie równania | M → | = r ⊥ F , gdzie r ⊥ jest ramieniem siły, tj. odległością osi obrotu od prostej, na której leży siła. Znak momentu obrotowego określa się przy pomocy reguły prawej dłoni. Jeśli wektory r → i F → leżą w płaszczyźnie rysunku, to wektor r → × F → jest prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany w jego stronę, gdy ma wartość ujemną, a gdy ma wartość dodatnią, wychodzi z płaszczyzny rysunku. Wypadkowy moment siły można obliczyć dodając indywidualne momenty sił wokół danej osi. Pytania Jakie trzy czynniki wpływają na wartość momentu siły? Wartość siły, długość ramienia siły oraz kąt pomiędzy wektorem siły, a wektorem położenia punktu przyłożenia siły. Podaj przykład, w którym moment siły o małej wartości jest duży oraz przykład małego momentu siły mimo dużej wartości. Przy zmniejszaniu masy roweru wyścigowego największą korzyść uzyskujemy redukując masę opon i obręczy kół. Dlaczego pozwala to kolarzowi osiągnąć większe przyspieszenia niż identyczne zmniejszenie masy ramy roweru? Moment bezwładności kół jest mniejszy, zatem ten sam moment sił daje większe przyspieszenie. Czy moment pojedynczej siły może być zerowy? Czy może wystąpić sytuacja, gdy siła wypadkowa kilku sił jest różna od zera, a wypadkowy moment tych sił jest równy zero? Tak. Czy może wystąpić sytuacja, gdy siła wypadkowa kilku sił jest równa zero, a wypadkowy moment tych sił jest różny od zera? Czy w wyrażeniu r → × F → wartość | r → | może mieć mniejszą wartość niż jej ramię? Czy może być ona równa wartości jej ramienia? Wartość | r → | może być równa ramieniu siły, ale nigdy nie może być mniejsza niż ramię siły. Zadania Dwa koła zamachowe o zaniedbywalnie małej masie i różnych promieniach są połączone ze sobą i obracają się wokół wspólnej osi (patrz poniżej). Do mniejszego koła zamachowego o promieniu 30 cm doczepiono sznurek, za pośrednictwem którego na koło działa siła 50 N. Jaką siłę naciągu należy przyłożyć do sznurka doczepionego do większego koła zamachowego o promieniu 50 cm, aby układ nie obracał się? F = 30 N . Śrubę w samochodzie należy dokręcić używając momentu siły o wartości 62 , 0 N ⋅ m . Jeżeli mechanik używa klucza o długości 20 cm, to siłę o jakiej wartości musi on przyłożyć do końca klucza, aby prawidłowo dokręcić śrubę? Siła jest przykładana prostopadle do klucza. Podczas otwierania drzwi naciskasz na nie prostopadle siłą 55,0 N w odległości 0,850 m od zawiasów. Jaki jest moment tej siły liczony względem zawiasów? Czy ma to znaczenie, jeśli naciskasz na tej samej wysokość co zawiasy? Jest tylko jedna para zawiasów. 0 , 85 m ⋅ 55 , 0 N = 46 , 75 N ⋅ m ; Nie ma znaczenia, na jakiej wysokości naciskasz na drzwi. Podczas dokręcania śruby naciskasz prostopadle na klucz siłą 165 N, w odległości 0,140 m od środka śruby. Z jakim momentem siły, względem środka śruby, działasz na śrubę? Wynik podaj w niutonometrach. Jaka musi być wartość wiszącej masy, aby koło pasowe się nie obracało (patrz poniższy rysunek)? Masa ciała na równi wynosi 5,0 kg, a równia jest doskonale gładka. Promień wewnętrzny koła pasowego wynosi 20 cm, a zewnętrzny 30 cm. M = 4 , 9 N ⋅ m 9 , 8 m / s 2 ⋅ 0 , 3 m = 1 , 67 k g . Proste wahadło składa się z paska o znikomo małej masie i długości 50 cm, zaczepionego na przegubie, a na drugim końcu doczepiono małe ciało o masie 1,0 kg. Jaki jest moment siły względem przegubu, gdy wahadło znajduje się pod kątem 40° względem pionu? Obliczyć wypadkowy moment sił przedstawionych na rysunku. Wyznacz go względem osi z , która jest prostopadła do rysunku i wychodzi z niego w stronę widza. Wartości sił są następujące: F 1 = 3 N , F 2 = 2 N , F 3 = 3 N , F 4 = 1 , 8 N . M wyp = − 9 , 0 N ⋅ m + 3 , 46 N ⋅ m − 3 , 28 N ⋅ m = − 8 , 82 N ⋅ m . Huśtawka ma długość 10,0 m i jednorodnie rozłożoną masę 10,0 kg. Spoczywa ona pod kątem 30 ∘ do podłoża (patrz poniższy rysunek). Trzpień obrotowy znajduje się w odległości 6,0 m. Wyznacz wartość siły, jaką należy przyłożyć prostopadle do huśtawki, do jej podniesionego końca, aby huśtawka zaczęła się obracać. Wahadło składa się z pręta o masie 1 kg i długości 1 m oraz przymocowanej do niego kuli o masie 0,5 kg i promieniu 30 cm. Jaki jest moment sił działających na wahadło, gdy jest ono odchylone o kąt 30° od pionu? M = 5 , 66 N ⋅ m Do podniesienia zwodzonego mostu potrzebny jest moment siły o wartości 5 , 00 ⋅ 10 3 N ⋅ m (patrz poniższy rysunek). Jakie naprężenie liny jest niezbędne do wytworzenia tego momentu? Czy łatwiej byłoby podnieść most, gdyby kąt θ był większy czy mniejszy? Na końcu poziomej belki o długości 3 m i masie 2,0 kg umieszczono klocek o masie 1,0 kg i szerokości 0,2 m (patrz poniższy rysunek). Jaki jest wypadkowy moment sił działających na deskę, liczony względem systemu podparcia deski? ∑ M = 57 , 82 N ⋅ m . Z jaką siłą należy działać na koniec pręta o długości 2,0 m, ułożonego wzdłuż osi x , w celu wytworzenia momentu siły 8 , 0 N ⋅ m ⋅ k ^ ? Moment siły liczymy względem drugiego końca. Wyznacz moment siły F → = 5 , 0 N ⋅ i ^ − 2 , 0 N ⋅ j ^ + 1 , 0 N ⋅ k ^ względem początku układu współrzędnych, jeżeli siła działa w punkcie r → = − 2 , 0 m ⋅ i ^ + 4 , 0 m ⋅ j ^ . r → × F → = 4 , 0 N ⋅ m ⋅ i ^ + 2 , 0 N ⋅ m ⋅ j ^ − 16 , 0 N ⋅ m ⋅ k ^ . ramię siły (ang. arm force ) odległość osi obrotu (punktu, względem którego mierzymy moment) od prostej, na której leży siła moment siły (ang. moment of power ) iloczyn siły i jej ramienia liczonego względem danej osi (punktu)

Science


Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Do tej pory analizowaliśmy energię kinetyczną ruchu postępowego i ruchu obrotowego, ale nie powiązaliśmy ich jeszcze z siłami i momentami sił działających na układ. W tym podrozdziale wprowadzimy równanie analogiczne do drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i zastosujemy je do analizy dynamiki ciał sztywnych obracających się wokół stałej osi. Równanie Newtona dla ruchu obrotowego Dotychczas wiele z omówionych wielkości używanych do opisu ruchu obrotowego ma swoje odpowiedniki w wielkościach opisujących ruch postępowy. Ostatnią taką wielkością, którą omawialiśmy, był moment siły – obrotowy odpowiednik siły. Powstaje pytanie: czy dla ruchu obrotowego istnieje równanie analogiczne do drugiego prawa Newtona dla ruchu postępowego, ∑ F → = m a → , które zawiera moment siły? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przeanalizujmy na początek ruch cząstki punktowej o masie m poruszającej się dookoła pewnej osi, po okręgu o promieniu r . Niech na tę cząstkę działa stała co do wartości siła F (patrz rysunek). Leżący na idealnie gładkim stole (brak tarcia) przywiązany do sznurka krążek porusza się po okręgu o promieniu r . Siłą dośrodkową jest siła naprężenia sznurka. Na krążek działa prostopadła do promienia siła F , nadająca mu stałe przyspieszenie styczne. Zastosujmy drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego, aby określić przyspieszenie liniowe naszej cząstki. Siła ta powoduje, że cząstka porusza się z przyspieszeniem stycznym o wartości a = F / m . Wartość przyspieszenia stycznego jest proporcjonalna do wartości przyspieszenia kątowego, zgodnie z zależnością a = r ε . Wstawiając to wyrażenie do równania dla drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego otrzymujemy: F = m r ε . Mnożąc obie strony przez r otrzymujemy: r F = m r 2 ε . Zauważmy, że lewa strona tego równania jest momentem siły liczonym względem osi obrotu, gdzie r jest ramieniem siły, a F jest wartością siły. Siła F jest prostopadła do promienia r . Przypomnijmy, że moment bezwładności cząstki punktowej jest równy I = m r 2 . Moment siły prostopadłej do promienia okręgu w naszym przypadku ( ) można zapisać jako: M = I ε . Moment siły działającej na cząstkę jest równy momentowi bezwładności liczonemu względem osi obrotu pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe. Możemy uogólnić to równanie na równanie dla ciała sztywnego obracającego się wokół ustalonej osi. Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego Jeśli więcej niż jeden moment siły działa na ciało sztywne obracające się wokół stałej osi, wówczas suma momentów siły jest równa momentowi bezwładności pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe: ∑ i M i = I ε . Iloczyn I ε jest wielkością skalarną i może być dodatni lub ujemny (przeciwny lub zgodny z ruchem wskazówek zegara), zależnie od znaku wypadkowego momentu siły. Należy pamiętać o konwencji, że przyspieszenie kątowe przeciwne do ruchu wskazówek zegara jest dodatnie. Zatem, jeśli ciało sztywne obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara pod wpływem dodatniego momentu siły (przeciwnego do ruchu wskazówek zegara), to jego przyspieszenie kątowe jest dodatnie. Powyższe równanie ( ) jest drugim prawem Newtona dla dynamiki ruchu obrotowego i mówi nam, jaki jest związek momentu siły z momentem bezwładności i przyspieszeniem kątowym. Nazywamy je drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego (ang. Newton’s second law for rotation ). Korzystając z tego równania możemy rozwiązać całą grupę zagadnień związanych z siłami i obrotami. Nic dziwnego, że formuła opisująca skutki działania momentu siły na ciało sztywne (a więc obrót) zawiera moment bezwładności, ponieważ jest to wielkość, która określa, jak łatwo lub trudno jest zmienić ruch obrotowy obiektu. Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w postaci wektorowej Podobnie jak poprzednio, kiedy wyznaczaliśmy przyspieszenie kątowe, możemy również wyznaczyć wektor momentu siły. Drugie prawo dynamiki ∑ F → = m a → określa związek między siłą wypadkową a wielkością kinematyczną ruchu postępowego obiektu. Równoważnik tego równania dla ruchu obrotowego można otrzymać stosując zależność pomiędzy przyspieszeniem kątowym, położeniem i wektorem przyspieszenia stycznego: a → = ε → × r → . Policzmy iloczyn wektorowy r → × a → wykorzystując własności iloczynu wektorowego (należy pamiętać, że r → ⋅ ε → = 0 ): r → × a → = r → × ( ε → × r → ) = ε → ( r → ⋅ r → ) − r → ( r → ⋅ ε → ) = ε → r 2 . Policzmy teraz wypadkowy moment siły: ∑ ( r → × F → ) = r → × ( m a → ) = m r → × a → = m r 2 ε → . Ponieważ m r 2 jest momentem bezwładności masy punktowej, otrzymujemy: ∑ M → = I ε → . Jest to równanie wyrażające drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego zapisane w postaci wektorowej. Wektor momentu siły ma ten sam kierunek, co wektor przyspieszenia kątowego. Zastosowanie równań dynamiki ruchu obrotowego Zanim zastosujemy równanie dynamiki ruchu obrotowego do opisu konkretnych codziennych sytuacji, ustalmy ogólną strategię rozwiązywania zadań w tej kategorii. Strategia rozwiązywania zadań: dynamika ruchu obrotowego Przeanalizuj sytuację i ustal, czy mamy do czynienia z działaniem momentów sił i na jakie ciała one działają. Wykonaj starannie szkic sytuacyjny. Określ, jakie wielkości będą analizowane i jakie wartości będą wyznaczane. Narysuj diagram sił, tj. wszystkie zewnętrzne siły działające na rozpatrywany w zadaniu układ. Określ punkt obrotu. Jeśli obiekt jest w stanie równowagi, musi być w równowadze dla wszystkich możliwych punktów obrotu – wybierz ten, który upraszcza obliczenia. Zastosuj równanie ∑ M → = I ε → , tj. drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego. Należy użyć właściwego wzoru dla momentu bezwładności i wyliczyć momenty wszystkich sił względem wybranego punktu (osi) obrotu. Jak zwykle, sprawdź sensowność rozwiązania. Wyznaczenie wpływu rozkładu masy na ruch obrotowy karuzeli Wyobraź sobie ojca kręcącego karuzelą na placu zabaw ( ). Działa on z siłą 250 N na brzeg karuzeli o masie 200,0 kg. Promień karuzeli wynosi 1,50 m. Oblicz przyspieszenie kątowe karuzeli spowodowane przyłożeniem tej siły: gdy nikogo nie ma na karuzeli; gdy dziecko o masie 8,0 kg siedzi w odległości 1,25 m od środka; załóż, że karuzela jest jednorodną tarczą, a tarcie można zaniedbać. Aby uzyskać maksymalny moment siły, mężczyzna popycha karuzelę przykładając siłę do punktów leżących na jej obrzeżu, prostopadle do promienia karuzeli. Strategia rozwiązania Wypadkowy moment pędu dany jest wyrażeniem ∑ M → = I ε → . Aby wyznaczyć ε , musimy najpierw wyliczyć moment siły M (który jest taki sam w obu przypadkach) i moment bezwładności I (większy w drugim przypadku). Rozwiązanie Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem jej środka jest równy 1 2 m R 2 . Dla danych z zadania m = 50 k g i R = 1 , 50 m otrzymujemy: I = 0 , 500 ⋅ 50 , 0 k g ⋅ ( 1 , 50 m ) 2 = 56 , 25 k g ⋅ m 2 . Wyznaczając wypadkowy moment sił zauważamy, że działająca siła jest prostopadła do promienia, a tarcie jest nieistotnie, zatem: M = r F sin  θ = 1 , 50 m ⋅ 250 , 0 N = 375 N ⋅ m . Wstawiając tę wartość do wzoru na przyspieszenie kątowe otrzymujemy: ε = M I = 375 , 0 N ⋅ m 56 , 25 k g ⋅ m 2 = 6 , 67 r a d s 2 . Spodziewamy się, że w tej sytuacji przyspieszenie kątowe karuzeli będzie mniejsze, ponieważ moment bezwładności jest większy, gdy na karuzeli jest dziecko. Aby wyznaczyć całkowity moment bezwładności I , najpierw wyznaczamy moment bezwładności dziecka I d . Zastąpimy dziecko masą punktową w odległości 1,25 m od osi obrotu. Wówczas: I d = m R 2 = 18 , 0 k g ⋅ ( 1 , 25 m ) 2 = 28 , 13 k g ⋅ m 2 . Całkowity moment bezwładności jest sumą momentów bezwładności karuzeli i dziecka (liczonych względem tej samej osi): I = 28 , 13 k g ⋅ m 2 + 56 , 25 k g ⋅ m 2 = 84 , 38 k g ⋅ m 2 . Ostatecznie otrzymujemy: ε = M I = 375 , 0 N 84 , 38 k g ⋅ m 2 = 4 , 44 r a d s 2 . Znaczenie Zgodnie z oczekiwaniami, przyspieszenie kątowe jest mniejsze, gdy dziecko znajduje się na karuzeli, niż wtedy, gdy karuzela jest pusta. Otrzymane przyspieszenia kątowe są dość duże częściowo z powodu faktu, że tarcie uznano za nieistotne. Gdyby na przykład ojciec naciskał prostopadle przez 2,00 s, nadałby pustej karuzeli prędkość kątową 13,3 rad/s, a tylko 8,89 rad/s, gdyby było na niej dziecko. Jeśli chodzi o liczby obrotów na sekundę, prędkość kątowa wynosi odpowiednio 2,12 obr/s i 1,41 obr/s. Sprawdź, czy rozumiesz. Moment bezwładności łopatek wentylatora silnika odrzutowego jest równy 30 , 0 k g ⋅ m 2 . W ciągu 10 s od rozpoczęcia ruchu, obracając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, osiągnęły one częstotliwość 20 obr/s. Jaki moment siły należy przyłożyć do łopatek w celu osiągnięcia w tym czasie tego przyspieszenia kątowego? Jaki jest wymagany moment siły, aby łopatki osiągnęły częstotliwość 20 obrotów na sekundę w ciągu 20 sekund? Przyspieszenie kątowe jest równe ε = ( 20 , 0 o b r / s ⋅ 2 π r a d / o b r ) / ( 10 , 0 s ) = 12 , 56 r a d / s 2 , stąd całkowity moment siły M = I ε = 30 , 0 k g ⋅ m 2 ⋅ 12 , 56 r a d / s 2 = 376 , 8 N ⋅ m . Przyspieszenie kątowe jest równe: ε = ( 20 , 0 o b r / s ⋅ 2 π r a d / o b r ) / ( 20 , 0 s ) = 6 , 28 r a d / s 2 , stąd całkowity moment siły M = I ε = 30 , 0 k g ⋅ m 2 ⋅ 6 , 28 r a d / s 2 = 188 , 5 N ⋅ m . Podsumowanie Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ∑ i M i = I ε mówi, że suma momentów siły działających na układ obracający się wokół stałej osi jest równa iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego. Jest to odpowiednik drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego. W postaci wektorowej, drugie prawo dynamiki ruchu obrotowego bryły wokół stałej osi stwierdza, że wektor momentu siły M → ma ten sam kierunek, co przyspieszenie kątowe ε → . Jeśli przyspieszenie kątowe obracającej się bryły sztywnej jest dodatnie, to moment siły działającej na bryłę też jest dodatni, a jeśli przyspieszenie kątowe jest ujemne, moment siły jest ujemny. Pytania Jeśli mamy zamiar zatrzymać obracający się kołowrotek działając na niego stałą siłą, to gdzie na kole należy przyłożyć siłę, aby uzyskać maksymalne przyspieszenie (opóźnienie)? Pręt jest obracany wokół jednego z jego końców. Na pręt działają dwie siły F → i − F → . W jakich warunkach pręt nie będzie się obracał? Jeśli siły leżą wzdłuż osi obrotu lub jeśli mają takie same ramię siły (są przyłożone w tym samym punkcie pręta). Zadania Kamień szlifierski (jednorodna tarcza) o masie 90,0 kg i promieniu 0,340 m obraca się z częstotliwością 90,0 obr/min. Naciskasz na niego stalowym kluczem z siłą 20,0 N skierowaną wzdłuż promienia. (a) Zakładając, że współczynnik tarcia kinetycznego między kluczem i tarczą kamienia wynosi 0,20, oblicz przyspieszenie kątowe kamienia szlifierskiego. (b) Ile obrotów zrobi kamień, zanim się zatrzyma? Załóżmy, że działasz siłą styczną o wartości 180 N na kamień szlifierski (jednorodna tarcza) o promieniu 0,280 m i masie 75,0 kg. Jaki moment siły jest wywierany na kamień? Jakie jest przyspieszenie kątowe, przyjmując, że siły tarcia są do zaniedbania? Jakie jest przyspieszenie kątowe, jeśli siła tarcia wynosi 20,0 N i jest wywierana na kamień w odległości 1,50 cm od osi obrotu? M = 0 , 280 m ⋅ 180 , 0 N = 50 , 4 N ⋅ m ; ε = 17 , 14 r a d / s 2 ; ε = 17 , 04 r a d / s 2 . Koło zamachowe ( I = 50 k g ⋅ m 2 ) rozpoczynające ruch uzyskuje w ciągu 5 s prędkość kątową 200,0 rad/s, pod wpływem działania stałego momentu siły pochodzącego od silnika. Jakie jest przyspieszenie kątowe koła zamachowego? Jaka jest wielkość momentu siły? Do ciała sztywnego o momencie bezwładności 4 , 0 k g ⋅ m 2 (liczonym względem osi obrotu) przyłożono określony moment siły. Jeżeli ciało zaczyna ruch od spoczynku i po 10 sekundach uzyskuje prędkość kątową 20 rad/s, to jaka jest wartość zastosowanego momentu siły? M = 8 , 0 N ⋅ m . Moment obrotowy 50 N ⋅ m działał na szlifierkę ( I = 20 , 0 k g ⋅ m 2 ) przez 20 s. Jeśli ruch zaczyna się od spoczynku, jaka jest prędkość kątowa szlifierki po zaprzestaniu działania momentu siły? O jaki kąt obróciło się koło szlifierki w czasie działania tego momentu siły? Koło zamachowe ( I = 100 , 0 k g ⋅ m 2 ) obracające się z częstotliwością 500,0 obr/min zatrzymuje się po upływie 2,0 min w wyniku działania sił tarcia. Jaka jest wartość momentu siły tarcia działającej na koło zamachowe? M = − 43 , 6 N ⋅ m . Jednorodną tarczę szlifierską o masie 50 kg i średnicy 1 m napędza silnik elektryczny. Tarcie jest zaniedbywalnie małe. Jaki moment sił należy zastosować, aby nadać jej prędkość 120 obrotów na minutę w ciągu 20 obrotów. Początkowo tarcza nie obracała się. Narzędzie, którego współczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię koła wynosi 0,6, jest przyciskane prostopadle do koła z siłą 40 N. Jaki moment siły trzeba zastosować, aby silnik utrzymywał stałą prędkość obrotową tarczy o poprzedniej wartości? Załóżmy, że w momencie swojego powstania Ziemia nie obracała się. Potem, w wyniku działania stałego momentu siły, po upływie 6 dni uzyskała prędkość obrotową 1 obr/dobę. Jaka była wartość przyspieszenia kątowego w ciągu tych 6 dni? Jaki moment siły działał w tym okresie na Ziemię? Jaką wartość musiałaby mieć siła styczna przyłożona do Ziemi na jej równiku, aby wytworzyć ten moment? ε = 1 , 4 ⋅ 10 − 10 r a d / s 2 ; M = 1 , 36 ⋅ 10 28 N ⋅ m ; F = 2 , 1 ⋅ 10 21 N . Do ściany przymocowane jest koło pasowe o momencie bezwładności 2 , 0 k g ⋅ m 2 , tak jak to pokazano na poniższym rysunku. Lekkie sznurki, na końcach których zamocowano odważniki, owinięte są wokół dwóch obwodów koła pasowego. Jakie jest (a) przyspieszenie kątowe koła pasowego i (b) liniowe przyspieszenie ciężarków? Załóżmy, że znamy następujące dane: r 1 = 50 c m , r 2 = 20 c m , m 1 = 1 , 0 k g , m 2 = 2 , 0 k g . Klocek o masie 3 kg zsuwa się po nachylonej pod kątem 45 ∘ równi (patrz rysunek). Klocek przymocowany jest za pomocą sznurka o znikomo małej masie do koła pasowego umieszczonego na szczycie równi. Koło ma masę 1 kg i promień 0.5 m. Współczynnik tarcia kinetycznego klocka o równię jest równy 0,4. Wyznacz przyspieszenie klocka. a = 3 , 6 m / s 2 . Pokazany poniżej wózek porusza się po blacie stołu podczas opadania klocka. Jaka jest wartość przyspieszenia klocka? Zaniedbaj tarcie i przyjmij następujące dane: m 1 = 2 , 0 k g , m 2 = 4 , 0 k g , I = 0 , 4 k g ⋅ m 2 , r = 20 c m . Jednorodny pręt o masie m i długości L zawieszony jest poziomo na dwu sznurkach o nieznacznej masie, tak jak pokazano poniżej. Jakie jest przyspieszenie liniowe wolnego końca pręta natychmiast po przecięciu sznurka? Jakie jest przyspieszenie liniowe środkowego punktu pręta natychmiast po przecięciu sznurka? a = r ε = 14 , 7 m / s 2 ; a = ( L / 2 ) ε = ( 3 / 4 ) g . Cienki drążek o masie 0,2 kg i długości 0,5 m przymocowany jest do obrzeża metalowego krążka o masie 2 kg i promieniu 0,3 m. Drążek może swobodnie obracać się wokół poziomej osi przechodzącej przez jego drugi koniec (patrz rysunek). Jaka będzie prędkość środka krążka, gdy pręt, uwolniony z pozycji poziomej, osiągnie pozycję pionową? Jakie jest przyspieszenie środka krążka w chwili uwolnienia krążka? Jakie jest przyspieszenie środka krążka w chwili, gdy drążek przechodzi przez pozycję pionową? druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego (ang. Newton’s second law for rotation ) wypadkowy moment sił jest równy iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego dynamika ruchu obrotowego (ang. kinematics of rotational motion ) analiza ruchu obrotowego z wykorzystaniem wypadkowego momentu siły i momentu bezwładności, w celu wyznaczenia przyspieszenia kątowego

Science


Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym Do tej pory szeroko omówiliśmy zagadnienia kinematyki i dynamiki ruchu obrotowego brył sztywnych wokół stałej osi. W tym ostatnim podrozdziale zdefiniujemy pracę i moc w ruchu obrotowym wokół stałej osi, co ma istotne znaczenie zarówno w fizyce jak i w technice. Wprowadzenie pracy i mocy sprawia, że nasz opis ruchu obrotowego staje się prawie kompletny, z wyjątkiem toczenia się ciał i momentu pędu, które zostaną omówione w podrozdziale Moment pędu . Zaczynamy tę część od wprowadzenia twierdzenia o pracy i energii w ruchu obrotowym. Praca w ruchu obrotowym Teraz, gdy wiemy już, jak wyznaczać energię ruchu obrotowego bryły sztywnej, możemy przejść do wyznaczenia pracy wykonanej nad ciałem sztywnym obracającym się wokół stałej osi. Rysunek poniżej przedstawia bryłę sztywną, która została obrócona o kąt d θ od A do B w wyniku działania siły F → . Siła zewnętrzna F → jest przyłożona w punkcie P, określonym przez wektor położenia r → . Przedstawiona bryła sztywna obraca się wokół stałej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt O . Ponieważ oś obrotu nie zmienia swojego położenia, koniec wektora r → zakreśla okrąg o promieniu r , stąd wektor d s → jest prostopadły do wektora r → . Obrót ciała sztywnego o kąt d θ od punktu A do B w wyniku działania siły zewnętrznej F → , przyłożonej w punkcie P . Punkt P wykonując obrót o kąt d θ → przemieści się o wektor d s → d s → = d θ → × r → . Stosując definicję pracy otrzymujemy: W = ∫ ∑ F → ⋅ d s → = ∫ ∑ F → ⋅ ( d θ → × r → ) = ∫ ( r → × ∑ F → ) d θ → , gdzie skorzystaliśmy z tożsamości a → ⋅ ( b → × c → ) = b → ⋅ ( c → × a → ) . Ponieważ r → × ∑ F → = ∑ M → , otrzymujemy wyrażenie na pracę w ruchu obrotowym (ang. rotational work ) : W = ∫ ∑ M → ⋅ d θ → . Całkowita praca wykonana nad ciałem sztywnym jest całką z sumy momentów pędu obliczonej po kącie obrotu ciała sztywnego. Różniczka pracy (praca wykonana, aby obrócić ciało o kąt d θ ) wyraża się zależnością: d W = ( ∑ i M i ) d θ , gdzie w sumowaniu występują jedynie składowe momentu siły wzdłuż osi obrotu. W przypadku bryły sztywnej wszystkie jej punkty obracają się wokół tej samej osi, tak więc praca siły zewnętrznej jest równa momentowi siły pomnożonemu przez wspólny kąt d θ . Wielkość ∑ i M i jest wypadkowym momentem sił zewnętrznych działających na bryłę. Podobnie, poprzez sumowanie energii kinetycznej każdej cząstki tworzącej bryłę sztywną, wyznaczyliśmy energię kinetyczną bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi. Ponieważ twierdzenie o pracy i energii W i = Δ E ki jest ważne dla każdej cząstki, jest słuszne również dla sumy cząstek, a w konsekwencji dla całej bryły. Twierdzenie o pracy i energii Twierdzenie o pracy i energii w ruchu obrotowym (ang. work-energy theorem for rotation ) wokół stałej osi ma postać: W A B = E kB − E kA , gdzie E k = 1 2 I ω 2 , a praca wykonana przez wypadkową siłę nad ciałem sztywnym obracającym się od punktu A do punktu B wyraża się zależnością: W A B = ∫ θ 1 θ 2 ( ∑ i M i ) d θ → . Pokażemy teraz, w jaki sposób wykorzystać powyższe zależności w analizie ruchu obrotowego. Strategia rozwiązywania zadań: twierdzenie o pracy i energii w ruchu obrotowym Określ siły działające na bryłę i narysuj diagram sił. Wyznacz moment siły dla każdej z nich. Wyznacz pracę wykonaną przez każdy z momentów siły w czasie obrotu bryły. Zastosuj twierdzenia o równoważności pracy i energii, przyrównując pracę wykonaną nad ciałem do zmiany jego energii kinetycznej ruchu obrotowego. Spójrzmy na dwa przykłady, w których zastosujemy twierdzenie o energii i pracy do analizy ruchu obrotowego. Praca i energia w ruchu obrotowym Do koła zamachowego o momencie bezwładności 30 , 0 k g ⋅ m 2 , obracającego się wokół nieruchomej osi, przyłożono moment siły o wartości 12 , 0 N ⋅ m . Jeżeli w chwili początkowej koło nie obracało się, to jaka jest wartość jego prędkości kątowej po 8 obrotach? Strategia rozwiązania Stosujemy twierdzenie o pracy i energii. Z opisu problemu wiemy, jaka jest wartość momentu siły i przemieszczenie kątowe koła zamachowego. Zatem możemy wyznaczyć końcową prędkość kątową. Rozwiązanie Koło zamachowe wykonało 8 obrotów, co stanowi 16 π radianów. Praca została wykonana przez stały moment siły i jej wartość wynika z informacji w zadaniu. Stąd możemy wyznaczyć końcową prędkość kątową. Praca wyniosła: W A B = M ( θ B − θ A ) . Zastosujmy teraz twierdzenie o pracy i energii: W A B = M ( θ B − θ A ) = 1 2 I ω B 2 − 1 2 I ω A 2 . Podstawiając wartości M = 12 , 0 N ⋅ m , θ B − θ A = 16 , 0 π r a d , I = 30 , 0 k g ⋅ m 2 oraz ω A = 0 otrzymujemy: 12 , 0 N ⋅ m ⋅ 16 , 0 π r a d = 1 2 ⋅ 30 , 0 k g ⋅ m 2 ⋅ ω B 2 − 0 , stąd wartość prędkości kątowej koła zamachowego po 8 obrotach wynosi: ω B = 6 , 3 r a d / s . Znaczenie Twierdzenie o pracy i energii stanowi skuteczny sposób analizy ruchu obrotowego, ponieważ łączy moment siły z energią kinetyczną ruchu obrotowego. Praca w ruchu obrotowym: Krążek Nawinięty wokół krążka sznurek ( ) jest ciągnięty pionowo w dół z siłą F → o wartości 50 N. Promień krążka R = 0 , 10 m , a jego moment bezwładności I = 2 , 5 ⋅ 10 − 3 k g ⋅ m 2 . Jeżeli sznurek nie ślizga się po krążku, to jaka jest prędkość kątowa krążka po odwinięciu się 10 m sznurka? Załóż, że początkowo krążek się nie obracał. (a) Sznurek nawinięty na krążek o promieniu R . (b) Diagram sił. Strategia rozwiązania Patrząc na rysunek widzimy, że zarówno moment siły ciążenia m g → jak i moment siły F → R związanej z reakcją łożysk są równe zero, ponieważ przyłożone są one w punkcie, przez który przechodzi oś obrotu, czyli ich odległość od osi obrotu wynosi zero. W czasie obrotów krążka siła F → działa w stałej odległości R od osi obrotu, zatem działa ona na drodze s = R θ . Rozwiązanie Ponieważ moment siły ma wartość M = R F , możemy napisać: W = M θ = ( F R ) θ = F s . Jako że siła działa w stałej odległości 1,0 m, na podstawie twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy: W A B = E kB − E kA  , F  s = 1 2  I  ω 2 − 0  , 50,0  N ⋅ 1,0  m = 1 2 ⋅ 2,5 ⋅ 10 -3  kg ⋅ m 2 ⋅ ω 2  . \begin{align} W_{A\sep B} &= K_B - K_A \text{,} \\ F s &= \frac12 I \omega^2 - 0 \text{,} \\ \SI{50,0}{\newton} \cdot \SI{1,0}{\metre} &= \frac12 \cdot \SI[inter-unit-product = ⋅]{2,5e-3}{\kilo\gram\metre\squared} \cdot \omega^2 \text{.} \end{align} Rozwiązując to równanie otrzymujemy: ω = 200 , 0 r a d / s . Moc w ruchu obrotowym Moc pojawia się w każdej dyskusji na temat praktycznych zastosowań ruchu obrotowego w inżynierii i fizyce. Moc w ruchu obrotowym jest równie ważna jak moc w ruchu postępowym i można ją opisać w podobny sposób jak w ruchu postępowym, gdy działa stała siła. Moc stałej siły w ruchu postępowym wyraża się wzorem P = F → ⋅ v → . Jeżeli wypadkowy moment siły jest stały w czasie całego przesunięcia kątowego, to równanie na pracę upraszcza się i wartość momentu siły może być wyłączona przed całkę. W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że moment siły jest stały. Możemy zatem zastosować definicję mocy wyprowadzoną w rozdziale Praca i energia kinetyczna . Tamże, moc chwilowa (lub po prostu moc) definiowana była jako szybkość wykonywania pracy: P = d W d t . Jeżeli działa stały moment siły, to równanie na pracę przybiera postać W = M θ , a równanie na moc: P = d W d t = d d t ( M θ ) = M d θ d t , czyli P = M ω . Moment obrotowy śruby łodzi Silnik łodzi pracujący z mocą 9 , 0 ⋅ 10 4 N ⋅ m / s obraca się wykonując 300 obr/min. Jaki moment siły działa na wał śruby napędowej? Strategia rozwiązania Mamy podaną liczbę obrotów na minutę i zużycie energii. Dzięki tym danym możemy łatwo obliczyć moment siły. Rozwiązanie 300 , 0 o b r / m i n = 31 , 4 r a d / s , M = P ω = 9 , 0 ⋅ 10 4 N ⋅ m / s 31 , 4 r a d / s = 2864 , 8 N ⋅ m . Znaczenie Warto zauważyć, że radian jest jednostką bezwymiarową, ponieważ zgodnie z definicją jest to iloraz dwóch długości. Dlatego też nie pojawia się w odpowiedzi. Sprawdź, czy rozumiesz. Moment siły o wartości 500 k N ⋅ m działający na turbinę wiatrową utrzymuje ją w ruchu obrotowym z prędkością 6 rad/s. Jaka jest wartość mocy potrzebna do podtrzymania obrotów turbiny? 3 MW. Wielkości opisujące ruch obrotowy i postępowy. Zmienne obrotowe i postępowe – podsumowanie Ruch obrotowy Ruch postępowy Zależności między wielkościami obrotowymi i postępowymi ( r – promień okręgu) θ x θ = s / r ω v ω = v / r ε a s ε = a s / r a d a d = v 2 / r Równania kinematyki dla ruchu obrotowego i postępowego Ruch obrotowy Ruch postępowy θ k = θ 0 + ω – t x = x 0 + v – t ω k = ω 0 + ε t v k = v 0 + a t θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2 x k = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 ω k 2 = ω 2 0 + 2 ε ( Δ θ ) v k 2 = v 2 0 + 2 a ( Δ x ) Równania dynamiki w ruchu obrotowym i postępowym Ruch obrotowy Ruch postępowy I = ∑ i m i r i 2 m E k = 1 2 I ω 2 E k = 1 2 m v 2 ∑ i M → i = I ε → ∑ i F → i = m a → W A B = ∫ θ A θ B ( ∑ i M i ) d θ W = ∫ F → ⋅ d s → P = M ω P = F → ⋅ v → Posumowanie Elementarna praca d W wykonana nad obracającą się wokół stałej osi bryłą sztywną jest sumą iloczynu momentu siły, liczonego względem osi obrotu, i elementarnego przemieszczenia kątowego d θ . Całkowita praca wykonana przy obróceniu bryły sztywnej o kąt θ wokół ustalonej (nieruchomej) osi jest całką, liczoną względem przesunięcia kątowego, z sumy momentów siły. Jeżeli moment siły nie zależy od θ , wówczas W A B = M ( θ B − θ A ) . Twierdzenie o pracy i energii wiąże pracę wykonaną w ruchu obrotowym z energią kinetyczną ruchu obrotowego: W A B = E k B − E k A W_{A\sep B} = E_{\text{k}\sep B} - E_{\text{k}\sep A} , gdzie E k = I  ω 2 ∕ 2 E_{\text{k}} = I \omega^2 / 2 . Moc w przypadku bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi jest równa iloczynowi momentu siły i prędkości kątowej: P = M ω . Najważniejsze wzory Droga kątowa θ = s r Prędkość kątowa ω = lim Δ t → 0 Δ θ Δ t = d θ d t Prędkość liniowa w ruchu po okręgu v = r ω Przyspieszenie kątowe ε = lim Δ t → 0 Δ ω Δ t = d ω d t = d 2 θ d t 2 Przyspieszenie styczne a s = r ε Średnia prędkość kątowa ω – = ω 0 + ω k 2 Przesunięcie kątowe w ruchu ze stałym przyspieszeniem kątowym θ k = θ 0 + ω – t Prędkość końcowa w ruchu ze stałym przyspieszeniem kątowym ω k = ω 0 + ε t Końcowe położenie kątowe dla ruchu ze stałym przyspieszeniem kątowym θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2 Zmiana prędkości kątowej ω k 2 = ω 0 2 + 2 ε ( Δ θ ) Przyspieszenie całkowite a → = a → d + a → s Energia kinetyczna ruchu obrotowego E k = 1 2 ( ∑ j m j r j 2 ) ω 2 Moment bezwładności I = ∑ j m j r j 2 Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu obrotowym E k = 1 2 I ω 2 Moment bezwładności ciała sztywnego I = ∫ r 2 d m Twierdzenie Steinera I oś równoległa = I środek masy + m d 2 Moment bezwładności ciał złożonych I całkowite = ∑ i I i Moment siły M → = r → × F → Wartość wektora momentu siły | M → | = r ⊥ F Wypadkowy moment sił M → wyp = ∑ i M → i Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ∑ i M → i = I ε → Elementarna praca momentu sił d W = ( ∑ i M i ) d θ Twierdzenie praca-energia W A B = E kB − E kA Praca wypadkowego momentu sił przy obrotach wokół stałej osi W A B = ∫ θ A θ B ( ∑ i M i ) d θ Moc w ruchu obrotowym P = M ω Zadania Turbina wiatrowa obraca się z częstotliwością 20 obr/min. Jeśli jej moc wynosi 2,0 MW, to jaki jest generowany przez wiatr moment siły działający na turbinę? M = P ω = 2 , 0 ⋅ 10 6 W 2 , 1 r a d / s = 9 , 5 ⋅ 10 5 N ⋅ m . Gliniany walec o promieniu 20 cm znajdujący się na kole garncarskim obraca się ze stałą częstotliwością wynoszącą 10 obr/s. Garncarz przykłada rękami siłę 10 N do gliny. Współczynnik tarcia między jego dłonią a gliną wynosi 0,1. Jaką moc garncarz musi przyłożyć do koła, aby utrzymać jego stałą częstotliwość obrotów? Jednorodna, cylindryczna tarcza szlifierska ma masę 10 kg i promień 12 cm. Jaka jest jej energia kinetyczna podczas szlifowania, gdy obraca się ona z częstotliwością 1 , 5 ⋅ 10 3 o b r / m i n ? Po wyłączeniu silnika napędzającego tarczę, do zewnętrznej krawędzi tarczy dociśnięto, prostopadle do kamienia, ostrze noża. Siła nacisku wynosiła 5,0 N, a współczynnik tarcia kinetycznego między tarczą a ostrzem wynosił 0,80. Stosując twierdzenie o pracy i energii wyznacz, ile obrotów wykona tarcza do zatrzymania się. E k = 888 , 50 J ; Δ θ = 294 , 6 o b r . Jednorodny krążek o masie 500 kg i promieniu 0,25 m jest zamontowany na łożysku mogącym obracać się bez tarcia, dzięki czemu może on obracać się swobodnie wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek (patrz rysunek). Sznurek owinięty wokół obręczy krążka jest ciągnięty z siłą 10 N. Jaką pracę wykonała ta siła do chwili wykonania przez krążek 3 obrotów, jeśli zaczynał od spoczynku? Wyznacz moment tej siły, a następnie oblicz pracę wykonaną przez ten moment siły do zakończenia 3 obrotów. Jaka jest wartość prędkości kątowej w momencie zakończenia trzeciego obrotu? Jak jest moc tej siły w tym momencie? W wyniku działania stałego momentu sił o wartości 2 , 0 ⋅ 10 3 N ⋅ m , śmigło przyspiesza od spoczynku do prędkości obrotowej 1000 obr/min w czasie 6 s. Jaki jest moment bezwładności śmigła? Jaka moc jest dostarczana do śmigła po upływie 3,0 s od rozpoczęcia obrotów? I = 114 , 6 k g ⋅ m 2 ; P = 104 , 700 W . Kulę o masie 1,0 kg i promieniu 0,5 m przymocowano do jednego z końców pręta o znikomo małej masie i długości 3 m (patrz rysunek poniżej). Układ obraca się w próżni w płaszczyźnie poziomej, dookoła pionowej osi, z częstotliwością 400 obrotów na minutę. Następnie, po włączeniu nadmuchu powietrza, na wirujący początkowo z taką prędkością kątową układ zaczyna działać siła oporu powietrza o wartości 0,15 N. Siła działa na kulę w kierunku przeciwnym do kierunku jej ruchu. Jaka jest moc siły oporu powietrza po upływie 100,0 s licząc od momentu, w którym zaczęła ona działać? Jednorodny pręt o długości L i masie M jest trzymany pionowo, z jednym końcem spoczywającym na podłodze, jak pokazano poniżej. Kiedy pręt zostaje puszczony, obraca się wokół swojego dolnego końca, aż do uderzenia w podłogę. Zakładając, że dolny koniec pręta nie ślizga się, wyznacz liniową prędkość górnego końca, gdy uderza on w podłogę. v = L ω = 3 L g Sportowiec na siłowni działa na pedały roweru ze stałą siłą 50 N, aby utrzymać stałą częstotliwość obrotów koła równą 10 obr/s. Ramiona pedałów mają długość 30 cm. Jaką moc dostarcza rowerowi sportowiec? Klocek o masie 2 kg umieszczono na doskonale gładkiej powierzchni, nachylonej pod kątem 40 ∘ do poziomu. Za pośrednictwem sznurka klocek połączony jest z krążkiem o masie 1 kg i promieniu 20 cm (patrz rysunek). Wyznacz przyspieszenie klocka. Wyznacz pracę wykonaną przez siłę ciążenia, aby przesunąć klocek o 50 cm. a = 5 , 0 m / s 2 ; W = 1 , 25 N ⋅ m . Dwa małe ciała o masach m 1 i m 2 przymocowane są na przeciwległych końcach cienkiego, sztywnego pręta o długości L i masie M . Pręt jest zamontowany tak, że może swobodnie obracać się w płaszczyźnie poziomej wokół osi pionowej (patrz rysunek poniżej). Jaka powinna być odległość d osi obrotu od masy m 1 , aby praca potrzebna na wprowadzenie pręta w ruch obrotowy z prędkością kątową ω była najmniejsza? Zadania dodatkowe Rowerzysta nadaje kołom roweru częstotliwość obrotów równą 3,0 obr/s. Jeśli zacznie hamować, zmniejszając prędkość kątową z opóźnieniem 0 , 3 o b r / s 2 , to po jakim czasie rower się zatrzyma? Δ t = 10 , 0 s , Oblicz prędkość kątową ruchu orbitalnego Ziemi wokół Słońca. Talerz gramofonu początkowo obracający się z prędkością obrotową 100 / 3 o b r / m i n zwolnił i zatrzymał się po 1,0 min. Wyznacz przyspieszenie talerza gramofonu zakładając, że było ono stałe. Ile obrotów wykonał talerz, zanim się zatrzymał? ε = 0 , 06 r a d / s 2 ; θ = 105 , 0 r a d . W ciągu 0,40 s żyroskop został rozpędzony za pomocą sznurka od spoczynku do prędkości kątowej 32 rad/s. Przyspieszenie kątowe żyroskopu jest stałe. Jakie jest jego przyspieszenie kątowe w rad/s 2 ? Ile obrotów wykonał on w czasie tego przyspieszania? Załóżmy, że mały pyłek kurzu spadł na płytę CD. Jeśli szybkość wirowania płyty CD wynosi 500 obr/min, a pyłek upadł w odległości 4,3 cm od środka płyty, to jaką całkowitą drogę pokonał pyłek w ciągu 3 minut? (Załóż, że pyłek leży cały czas w tej samej odległości od środka płyty). s = 405 , 26 m . Układ cząstek punktowych obraca się wokół stałej osi z częstotliwością 4 obr/s. Wzajemne odległości cząstek i ich odległość od osi obrotu są stałe. Masy cząstek i ich odległości od osi obrotu to m 1 = 0 , 1 k g , r 1 = 0 , 2 m , m 2 = 0 , 05 k g , r 2 = 0 , 4 m , m 3 = 0 , 5 k g , r 3 = 0 , 01 m . (a) Ile wynosi moment bezwładności tego układu względem osi obrotu? (b) Jaka jest energia kinetyczna ruchu obrotowego tego układu? Oblicz moment bezwładności łyżwiarza mając następujące informacje: Łyżwiarza o masie 60,0 kg można w przybliżeniu uznać za walec o promieniu 0,110 m. Łyżwiarza z wysuniętymi rękami można uznać za walec o masie 52,5 kg i promieniu 0,110 m, z którego wystają dwa pręty o długości 0,900 m i masie 3,75 kg każdy. I = 0 , 363 k g ⋅ m 2 ; I = 2 , 34 k g ⋅ m 2 Kij o długości 1,0 m oraz masie 6,0 kg może swobodnie obracać się wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek. Małe ciała o masach 4,0 i 2,0 kg przymocowano do dwóch jego końców (patrz poniższy rysunek). Kij zostaje zwolniony z pozycji poziomej. Jaka jest prędkość kątowa kija, gdy przechodzi on przez położenie pionowe? Wahadło składa się z pręta o długości 2 m i masie 3 kg oraz kuli o masie 1 kg i promieniu 0,3 m, przymocowanej do jednego jego końców. Oś obrotu jest taka, jak pokazano poniżej. Ile wynosi prędkość kątowa wahadła w najniższej pozycji, jeśli pręt został puszczony swobodnie z pozycji pod kątem 30 ∘ ? ω = 5 , 36 J 4 , 4 k g ⋅ m 2 = 1 , 10 r a d / s . Oblicz moment siły o wartości 40 N względem osi przechodzącej przez punkt O i prostopadłej do płaszczyzny rysunku, jak pokazano poniżej. Dwoje dzieci naciska na drzwi po przeciwnych stronach. Oba naciski są skierowane poziomo i prostopadle do drzwi. Jedno dziecko popycha z siłą 17,5 N w odległości 0,600 m od zawiasów, a drugie w odległości 0,450 m. Z jaką siłą musi działać drugie dziecko, aby drzwi się nie poruszyły? Załóż, że tarcie jest nieistotne. F = 23 , 3 N . Siła F → = 20 N ⋅ j ^ jest przyłożona w punkcie r → = 4 , 0 m ⋅ i ^ − 2 , 0 m ⋅ j ^ . Wyznacz moment tej siły względem początku układu współrzędnych. Silnik samochodowy może wytworzyć moment obrotowy 200 N ⋅ m . Oblicz przyspieszenie kątowe, jeśli 95,0% momentu obrotowego zostanie przyłożone do wału napędowego, osi i tylnych kół samochodu, biorąc pod uwagę następujące informacje: samochód jest zawieszony tak, że koła mogą obracać się swobodnie; obręcz każdego koła można uznać za tarczę o masie 15,0 kg i promieniu 0,180 m; każdą oponę można uznać za pierścień o masie 2,00 kg, którego wewnętrzny promień jest równy 0,180 m a zewnętrzny 0,320 m; bieżnik każdej opony można uznać za 10,0 kg obręcz o promieniu 0,330 m; oś można uznać za pręt o masie 14,0 kg i promieniu 2,00 cm; wał napędowy można uznać za pręt o masie 30,0 kg i promieniu 3,20 cm. ε = 190 , 0 N ⋅ m 2 , 94 k g ⋅ m 2 = 64 , 4 r a d / s 2 . Tarcza szlifierki o masie 50 kg i promieniu 0,8 m dzięki pracy silnika utrzymuje stałą częstotliwość obrotów wynoszącą 4,0 obr/s, podczas gdy do jej krawędzi dociskany jest nóż. Nóż dociskany jest z siłą 5,0 N, a współczynnik tarcia kinetycznego między tarczą a ostrzem wynosi 0,8. Jaką moc dostarcza silnik, jeśli tarcza szlifierki utrzymuje stałą prędkość kątową? Zadania trudniejsze Zależność przyspieszenia kątowego wirującej bryły sztywnej od czasu ilustruje równanie ε = ( 2 , 0 − 3 , 0 t ) r a d / s 2 . Jeżeli bryła rozpoczyna ruch obrotowy w chwili t = 0 , to: Jaka jest zależność jej prędkości kątowej od czasu? Jaka jest zależność jej położenia kątowego od czasu? O jaki kąt obróciła się w ciągu pierwszych 10 s? Jeżeli wektor wodzący pewnej cząstki tej bryły w chwili t = 0 wskazywał kąt 0 ∘ , to jaki kąt wskazuje on w chwili t = 10 s ? ω = ( 2 , 0 t − 1 , 5 t 2 ) r a d / s ; θ = ( t 2 − 0 , 5 t 3 ) r a d ; θ ( 10 s ) = − 400 , 0 r a d ; wektor wskazuje kąt − 0 , 66 ⋅ 360 ∘ = − 237 , 6 ∘ . Przez ostatnie 100 lat długość ziemskiego dnia wzrosła o 0,002 s. Jeśli ten wzrost będzie trwał, to po jakim czasie Ziemia się zatrzyma? Gęstość powierzchniowa krążka o masie m , promieniu R i powierzchni A zmienia się wraz z odległością osi obrotu, zgodnie ze wzorem σ = m r / A R , gdzie r jest odległością od środka krążka (patrz poniższy rysunek). Wyznacz wartość momentu bezwładności krążka liczonego względem osi przechodzącej przez jego środek. I = 2 5 m R 2 Wyobraź sobie, że chciałbyś wydłużyć ziemski dzień do 28,0 h. Możesz tego dokonać przykładając na równiku siłę równoległą do jego płaszczyzny i skierowaną przeciwnie do kierunku obrotu Ziemi. Niestety, dysponujesz jedynie siłą 4 , 00 ⋅ 10 7 N . Ile czasu zajęłoby ci wydłużenie dnia do takiej wartości? Sznurek nawinięty na walcu o promieniu 0,25 m jest ciągnięty z siłą 40 N (jak pokazano na poniższym rysunku). Walec jest zamontowany na łożyskach, których tarcie można pominąć, a jego moment bezwładności wynosi 6 , 0 k g ⋅ m 2 . Użyj twierdzenia o pracy i energii do obliczenia prędkości kątowej walca po rozwinięciu się sznurka o 5,0 m. Jeśli siła 40 N zostanie zastąpiona ciężarkiem o wadze 40 N, to jaka będzie prędkość kątowa walca po odwinięciu się sznurka o 5,0 m? ω = 8 , 2 r a d / s ; ω = 8 , 0 r a d / s . praca w ruchu obrotowym (ang. rotational work ) praca wykonywana nad bryłą sztywną w wyniku działania momentów sił, dana przez całkę z momentów sił liczoną po kącie, o jaki została obrócona bryła sztywna twierdzenie o pracy i energii w ruchu obrotowym (ang. work-energy theorem for rotation ) całkowita praca wykonana nad zmianą prędkości kątowej ciała sztywnego, równa zmianie jego energii kinetycznej ruchu obrotowego

Science


Wstęp Śmigłowiec (helikopter) unosi się w powietrzu dzięki wirnikowi nośnemu. Składa się on z 2–6 łopat śmigłowych osadzonych w głowicy, które obracając się, utrzymują samolot w powietrzu. Ze względu na zasadę zachowania momentu pędu korpus śmigłowca ma tendencję do obracania się w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wirnika nośnego. Temu obrotowi wokół własnej osi zapobiega śmigło ogonowe umieszczone pionowo na ogonie helikoptera. Moment pędu w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem pędu w ruchu postępowym. Wszelkie masywne obiekty, które obracają się wokół osi, w tym wirujące koła zamachowe, planety, gwiazdy, huragany, tornada, itp. posiadają moment pędu. Dla zilustrowania koncepcji momentu pędu można wykorzystać śmigłowiec pokazany na rysunku powyżej. Łopaty śmigieł głównego wirnika, obracające się wokół pionowej osi korpusu głównego, wytwarzają niezerowy moment pędu. Jak dowiemy się z treści tego rozdziału, korpus śmigłowca, zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, ma tendencję do obracania się w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wirnika nośnego. Aby do tego nie dopuścić, na ogonie śmigłowca umieszcza się małe wirniki, które wirując, wywierają siłę na ogon śmigłowca w celu ustabilizowania jego kierunku lotu. Zasada zachowania momentu pędu jest omówiona w dalszej części tego podrozdziału. W głównej jego części odkryjemy tajemnice momentu pędu brył sztywnych, takich jak np. góry, a także cząstki i układy cząstek punktowych. Zaczniemy od omówienia toczenia (ruchu tocznego), które opiera się na ideach zaprezentowanych w poprzednim rozdziale (i jest jego rozszerzeniem).

Science