Oporniki połączone szeregowo i równolegle W rozdziale Prąd i rezystancja opisaliśmy pojęcie oporu elektrycznego i wyjaśniliśmy podstawy konstrukcji opornika. Zasadniczo, opornik (rezystor) ogranicza przepływ ładunku w obwodzie i jest urządzeniem podlegającym prawu Ohma U = R  I U = RI . Większość układów składa się z więcej niż jednego opornika. Jeżeli kilka połączonych ze sobą oporników zostanie podłączonych do źródła SEM, to natężenie prądu w obwodzie będzie zależało od wartości oporu równoważnego (ang. equivalent resistance ) obwodu elektrycznego. Opór równoważny (rezystancja równoważna) układu oporników zależy zarówno od ich poszczególnych oporów, jak i sposobu ich połączenia. Najprostszymi układami połączenia kilku oporników są połączenie szeregowe i połączenie równoległe ( ). W obwodzie szeregowym (ang. series circuit ) prąd elektryczny wypływający z pierwszego opornika wpływa do drugiego. W związku z tym przez każdy opornik przepływa prąd o takim samym natężeniu. W obwodzie równoległym (ang. parallel circuit ) wszystkie wejścia oporników połączone są ze sobą, tak samo jak wszystkie wyjścia (po stronie przeciwnej do wejścia). W przypadku konfiguracji równoległej spadek potencjału na każdym z oporników jest taki sam, więc natężenie prądu płynącego przez każdy z nich może być inne i zależy od jego oporu. Suma natężeń prądów przepływających przez poszczególne oporniki równa się natężeniu prądu, który wpływa do ich równoległego połączenia. (a) Gdy oporniki połączone są szeregowo, prąd o takim samym natężeniu płynie przez każdy z nich. (b) Gdy oporniki są połączone równolegle, napięcie na każdym z nich jest takie samo. Oporniki połączone szeregowo Mówimy, że oporniki połączone są szeregowo, gdy prąd przepływa przez nie po kolei. Spójrzmy na przedstawiającą trzy oporniki połączone szeregowo. Między punktami A i B różnica potencjałów jest równa U A B . Ponieważ ładunki mogą przepływać tylko jedną ścieżką przewodzenia, przez każdy z oporników przepływa prąd o takim samym natężeniu. Opór równoważny zestawu oporników połączonych szeregowo równa się sumie algebraicznej wartości poszczególnych oporów. (a) Trzy oporniki połączone szeregowo i podłączone do źródła napięcia. (b) Wejściowy obwód został uproszczony do opornika równoważnego i źródła napięcia. Na prąd wychodzący ze źródła napięcia przepływa przez każdy z oporników, więc natężenie prądu przepływającego przez każdy z nich jest takie samo. Natężenie prądu płynącego przez układ zależy od napięcia źródła SEM i rezystancji przyłączonych oporników. Dla każdego opornika obserwowany spadek potencjałów między jego końcami jest równy stracie elektrycznej energii potencjalnej w czasie przepływu przez niego prądu. Zgodnie z prawem Ohma spadek potencjału U na oporniku, przez który płynie prąd o natężeniu I , oblicza się, stosując równanie U = R  I , gdzie natężenie prądu wyraża się w amperach ( A ), a R to opór wyrażony w omach ( Ω ). Suma napięć źródła (wnoszącego różnicę potencjałów do obwodu) i spadków potencjału na poszczególnych opornikach liczona dla zamkniętego oczka (pętli) obwodu powinna być równa zero ∑ i = 1 N U i = 0  V  . Równanie to jest często określane jako drugie prawo Kirchhoffa. Bardziej szczegółowo omówimy je w dalszej części tego rozdziału. Na suma spadków potencjału na każdym z oporników i napięcia źródła powinna być równa zero U − U 1 − U 2 − U 3 = 0  V  , U = U 1 + U 2 + U 3  , U = I  R 1 + I  R 2 + I  R 3  , I = U R 1 + R 2 + R 3 = U R rw  . Ponieważ natężenie prądu płynącego przez każdy z elementów jest takie samo, równość można uprościć do oporu równoważnego, który jest po prostu sumą oporów poszczególnych oporników. Szeregowo można połączyć dowolną liczbę oporników. Jeżeli połączymy szeregowo N oporników, to odpowiadający im równoważny opór wynosi R rw = R 1 + R 2 + R 3 + … + R N − 1 + R N = ∑ i = 1 N R i  . Jedną z konsekwencji łączenia elementów w układzie szeregowym jest to, że gdy coś się dzieje z jednym, wpływa to na pozostałe. Na przykład, jeśli połączymy szeregowo kilka żarówek i jedna z nich się przepali, to wszystkie pozostałe również przestaną świecić. Opór równoważny, prąd i moc w szeregowych obwodach elektrycznych Bateria o napięciu na biegunach 9  V jest podłączona do obwodu elektrycznego składającego się z szeregowo połączonych czterech oporników o oporze 20  Ω i jednego o oporze (rezystancji) 10  Ω ( ). Załóż, że bateria ma znikomy opór wewnętrzny. Oblicz równoważny opór obwodu. Oblicz natężenie prądu płynącego przez każdy opornik. Oblicz spadek potencjału na każdym oporniku. Wyznacz całkowitą moc rozpraszaną przez oporniki i moc dostarczaną przez baterię. Prosty obwód szeregowy z pięcioma opornikami Strategia rozwiązania W obwodzie szeregowym opór równoważny jest algebraiczną sumą poszczególnych oporów. Natężenie prądu płynącego przez układ możemy obliczyć z prawa Ohma i jest ono równe stosunkowi napięcia do oporu równoważnego. Spadek potencjału na oporniku możemy wyznaczyć za pomocą prawa Ohma. Moc rozpraszaną przez opornik możemy policzyć z zależności P = I 2  R ; aby wyznaczyć całkowitą moc rozproszoną przez wszystkie oporniki, należy zsumować moce rozproszone przez każdy z nich. Moc, z jaką energia jest dostarczana przez baterię (moc elektryczna baterii), obliczymy z wyrażenia P = I  ε . Rozwiązanie Opór równoważny jest algebraiczną sumą poszczególnych oporów R rw = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 = 20  Ω + 20  Ω + 20  Ω + 20  Ω + 10  Ω = 90  Ω  . Natężenie prądu płynącego przez każdy z oporników połączonych szeregowo jest takie samo i równa się wartości przyłożonego napięcia podzielonej przez równoważny opór I = U R rw = 9  V 90  Ω = 0,1  A  . Spadek potencjału na każdym oporniku można znaleźć korzystając z prawa Ohma U 1 = U 2 = U 3 = U 4 = 0,1  A ⋅ 20  Ω = 2  Ω  , U 5 = 0,1  A ⋅ 10  Ω = 1  V  , U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 = 9  V  . Zauważmy, że suma spadków potencjału na każdym oporniku równa się napięciu na biegunach baterii. Moc rozpraszana na oporniku wynosi P = I 2  R , a moc dostarczana przez baterię P = I  ε P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = 0,1  A 2 ⋅ 20  Ω = 0,2  W  , P 5 = 0,1  A 2 ⋅ 10  Ω = 0,1  W  , P rozproszona = 0,2  W + 0,2  W + 0,2  W + 0,2  W + 0,1  W = 0,9  W  , P źródła = I  ε = 0,1  A ⋅ 9  V = 0,9  W  . Znaczenie Istnieje kilka powodów, dla których będziemy używać wielu oporników zamiast jednego opornika równoważnego. Może opornik o wymaganej rezystancji nie jest dostępny albo musimy odprowadzić generowane ciepło lub chcemy zminimalizować koszt oporników. Każdy opornik może kosztować od kilku groszy do kilku złotych, ale po pomnożeniu przez tysiące sztuk oszczędności mogą okazać się znaczne. Sprawdź, czy rozumiesz. Niektóre sznury miniaturowych lampek choinkowych zbudowane są w sposób umożliwiający zwarcie, gdy przepali się jedna. Urządzenie, które powoduje zwarcie, nazywa się bocznikiem i pozwala na przepływ prądu w całym obwodzie. Zwarcie jest jak zastąpienie elementu kawałkiem drutu – pozwala na obejście uszkodzenia i dalsze działanie obwodu elektrycznego. Żarówki są zwykle zgrupowane w seriach po dziewięć. Jeśli zbyt wiele żarówek się wypali, bocznikowanie może nie zadziałać – obwód pozostanie otwarty. Co jest tego przyczyną? Równoważny opór dziewięciu żarówek połączonych szeregowo równy jest 9  R . Natężenie płynącego prądu wynosi I = U ∕ 9  R . Jeśli jedna z żarówek się przepali, to opór równoważny zmniejszy się do 8  R , ale napięcie się nie zmieni, więc natężenie prądu wzrośnie do I = U ∕ 8  R . Im więcej żarówek się przepali, tym natężenie prądu będzie większe. Ostatecznie, gdy natężenie prądu będzie zbyt duże, to przepali się bocznik – żarówki przestaną świecić. Krótko podsumujmy podstawowe właściwości oporników połączonych szeregowo: Szeregowo połączone opory dodają się, dając opór równoważny R rw = R 1 + R 2 + R 3 + … + R N − 1 + R N = ∑ i = 1 N R i  . Przez każdy opornik przepływa prąd o takim samym natężeniu. Na poszczególnych opornikach połączonych szeregowo napięcie nie jest równe napięciu źródła, które rozkłada się na wszystkie oporniki. Całkowity spadek potencjału dla układu połączonych szeregowo oporników równa się sumie spadków potencjału na każdym oporniku z osobna. Oporniki połączone równolegle przedstawia oporniki połączone równolegle i podłączone do źródła napięcia. Z połączeniem równoległym mamy do czynienia wtedy, gdy obie strony wszystkich oporników połączone są wspólnym przewodem o nieznacznej rezystancji. Spadek potencjału na każdym z oporników jest jednakowy. Natężenie prądu płynącego przez każdy z oporników można obliczyć z prawa Ohma I = U ∕ R , gdzie napięcie ma taką samą wartość na każdym oporniku. Przykładowo reflektory, radio i inne systemy samochodu są połączone równolegle, tak aby każdy wykorzystywał całe napięcie źródła i mógł działać całkowicie niezależnie. Tak samo jest z domową instalacją elektryczną. (a) Dwa oporniki podłączone równolegle do źródła napięcia. (b) Obwód wejściowy został uproszczony do opornika równoważnego i źródła napięcia. Natężenie prądu płynącego ze źródła napięcia z zależy od napięcia źródła i oporu równoważnego obwodu elektrycznego. W tym przypadku prąd płynie od źródła napięcia i dociera do węzła, gdzie dzieli się, by przepłynąć przez oporniki R 1 i R 2 . Część ładunków wypływających z baterii przepływa przez opornik R 1 , a pozostałe przez opornik R 2 . Suma natężeń prądów wpływających do węzła musi być równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających ∑ I wpływające = ∑ I wypływające  . Równanie to jest znane także jako pierwsze prawo Kirchhoffa i szczegółowo omówimy je w dalszej części rozdziału. Po zastosowaniu tej reguły do otrzymujemy I = I 1 + I 2 . W omawianym obwodzie elektrycznym możemy wyodrębnić dwa oczka (dwie pętle), co prowadzi nas do zależności: U = I 1  R 1 oraz I 1  R 1 = I 2  R 2 . Zauważmy, że spadek potencjału między miejscami połączenia równoległego oporników (węzłami) jest taki sam, a natężenia prądów się sumują I = I 1 + I 2 = U 1 R 1 + U 2 R 2 = U R 1 + U R 2 = U  1 R 1 + 1 R 2 = U R rw  , I = I_1 + I_2 = \frac{U_1}{R_1} + \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} = U (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}) = \frac{U}{R_{\text{rw}}} \text{,} R rw = 1 R 1 + 1 R 2 -1  . R_{\text{rw}} = (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})^{-1} \text{.} Uogólniając powyższe dla dowolnej liczby N oporników połączonych równolegle, opór równoważny R rw zależy od poszczególnych oporów w poniższy sposób R rw = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + … + 1 R N − 1 + 1 R N − 1 = ∑ i = 1 N 1 R i − 1  . W wyniku równoległego połączenia oporników równoważny opór R rw jest mniejszy niż opór (rezystancja) każdego z nich. Gdy oporniki są połączone równolegle, ze źródła wypływa prąd o większym natężeniu, niż gdyby każdy z oporników był podłączony do źródła oddzielnie, więc opór całkowity jest mniejszy. Analiza równoległego obwodu elektrycznego Trzy oporniki o oporach R 1 = 1  Ω , R 2 = 2  Ω i R 3 = 2  Ω połączono równolegle. Układ podłączono do źródła o napięciu U = 3  V U = 3 \si{\volt} na biegunach. Jaki jest opór równoważny? Oblicz natężenie prądu dostarczanego przez źródło do obwodu równoległego. Oblicz natężenia prądów przepływających przez poszczególne oporniki i udowodnij, że ich suma odpowiada natężeniu prądu wypływającego ze źródła. Oblicz moc energii elektrycznej wydzielanej na każdym z oporników. Oblicz moc energii elektrycznej dostarczanej przez źródło układowi i udowodnij, że jest równa sumie mocy energii rozpraszanych przez poszczególne oporniki. Strategia rozwiązania Równoważny opór układu oporników połączonych równolegle obliczamy z zależności R rw = ∑ i = 1 N 1 R i − 1  . Natężenie prądu dostarczanego przez źródło napięcia możemy obliczyć z prawa Ohma, podstawiając R rw w miejsce oporu: I = U ∕ R rw . Natężenia prądów płynących przez poszczególne oporniki łatwo obliczymy z prawa Ohma ( I i = U i ∕ R i ), pamiętając, że napięcie na wszystkich opornikach jest takie samo. Całkowite natężenie prądu jest sumą natężeń prądów przepływających przez poszczególne oporniki: I = ∑ i I i . Moc energii rozpraszanej przez każdy z oporników można obliczyć przy użyciu jednego z równań wiążących ją z natężeniem prądu, napięciem i oporem, ponieważ wszystkie te wielkości są dobrze znane. Skorzystajmy z wyrażenia P i = U 2 ∕ R i , gdyż do każdego opornika przyłączono całe napięcie ze źródła. Moc energii elektrycznej dostarczanej do układu także można obliczyć na kilka sposobów, np. ze wzoru P = I  U . Rozwiązanie Opór równoważny układu oporników połączonych równolegle liczymy z . Po podstawieniu danych otrzymujemy R rw = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 − 1 = 1 1  Ω + 1 2  Ω + 1 2  Ω − 1 = 0,5  Ω  . Zgodnie z przewidywaniami otrzymana wartość jest mniejsza od najmniejszego oporu występującego w obwodzie. Natężenie prądu dostarczanego przez źródło możemy obliczyć z prawa Ohma, podstawiwszy obliczony opór równoważny R rw w miejsce oporu całkowitego. Otrzymujemy I = U R rw = 3  V 0,5  Ω = 6  A  . Natężenie prądu P 5 = 0,1  A 2 ⋅ 10  Ω = 0,1  W P_5 = (\SI{0,1}{\ampere})^2 \cdot \SI{10}{\ohm} = \SI{0,1}{\watt} dla poszczególnych urządzeń jest znacznie większe niż dla tych samych urządzeń połączonych szeregowo (patrz: poprzedni przykład). Układ elementów połączonych równolegle ma mniejszy opór równoważny niż układ oporników połączonych szeregowo. Natężenia prądów przepływających przez poszczególne oporniki można łatwo obliczyć z prawa Ohma, ponieważ na każdym oporniku odkłada się napięcie ze źródła I 1 = U R 1 = 3  V 1  Ω = 3  A  . Podobnie I 2 = U R 2 = 3  V 2  Ω = 1,5  A oraz I 3 = U R 3 = 3  V 2  Ω = 1,5  A  . Całkowite natężenie prądu jest sumą natężeń poszczególnych prądów I 1 + I 2 + I 3 = 6  A  . Do obliczenia mocy energii rozpraszanej na poszczególnych opornikach użyjemy np. równania P = U 2 ∕ R P 1 = U 2 R 1 = 3  V 2 1  Ω = 9  W  . Podobnie P 2 = U 2 R 2 = 3  V 2 2  Ω = 4,5  W oraz P 3 = U 2 R 3 = 3  V 2 2  Ω = 4,5  W  . Moc źródła także możemy policzyć na kilka sposobów, np. P = I  U . Po podstawieniu prądu całkowitego otrzymujemy P = I  U = 6  A ⋅ 3  V = 18  W  . Znaczenie Całkowita moc rozpraszania energii przez oporniki także wynosi 18  W P 1 + P 2 + P 3 = 9  W + 4,5  W + 4,5  W = 18  W  . Zauważmy, że moc rozpraszania energii (wydzielania energii cieplnej na oporze zewnętrznym) przez oporniki równa się mocy energii dostarczanej do układu przez źródło. Sprawdź, czy rozumiesz. Rozważmy układ trzech oporników połączonych szeregowo i podłączonych do źródła napięcia ( U = 3  V ) – jak w poprzednim przykładzie. Czy opór równoważny układu szeregowego oporników byłby w stosunku do oporu tych trzech oporników w połączeniu równoległym większy, mniejszy czy może mu równy? Czy natężenie prądu płynącego przez obwód szeregowy będzie większe czy mniejsze od natężenia prądu dostarczanego przez identyczne źródło SEM przyłączone do obwodu z połączeniem równoległym, a może będzie mu równe? Jak się mają do siebie: moc rozpraszania energii przez oporniki połączone szeregowo i moc rozpraszania energii przez oporniki połączone równolegle? Równoważny opór połączonych szeregowo oporników wynosi: R rw = 1  Ω + 2  Ω + 2  Ω = 5  Ω , co jest wartością większą niż w przypadku równoległego połączenia tych oporników, R rw = 0,5  Ω . Równoważny opór dowolnej liczby oporników połączonych szeregowo jest zawsze większy od oporu równoważnego w przypadku, gdy te same oporniki połączymy równolegle. Natężenie prądu płynącego przez obwód szeregowy wynosi I = 3  V ∕ 5  Ω = 0,6  A , co daje wartość mniejszą od sumy natężeń prądów płynących przez poszczególne oporniki połączone równolegle, I = 6  A . Wynik ten nie powinien zaskakiwać, ponieważ równoważny opór szeregowo połączonych oporników jest większy niż w przypadku ich połączenia równoległego. Natężenie prądu płynącego poprzez szeregowe połączenie dowolnej liczby rezystorów zawsze będzie mniejsze niż natężenie prądu wpływającego do równoległego połączenia tych oporników, co wynika z różnicy wartości równoważnych oporów w poszczególnych przypadkach. Moc rozpraszania energii przez oporniki połączone szeregowo wynosi P = 1,8  W i jest mniejsza niż moc rozpraszania energii przez oporniki połączone równolegle: P = 18  W . Sprawdź, czy rozumiesz. W jaki sposób, korzystając z rzeki i dwóch wodospadów, można stworzyć model równoległego połączenia dwóch oporników? Kiedy ta analogia się nie sprawdza? Rzeka płynąc poziomo ze stałą szybkością, dzieli się na dwie części i przepływa przez dwa wodospady. Cząsteczki wody są analogiczne do elektronów w obwodach równoległych. Liczba cząsteczek wody, które przenosi rzeka, musi być równa liczbie cząsteczek przepływających przez każdy z wodospadów, podobnie jak suma natężeń prądów przepływających przez każdy z oporników musi być taka sama jak natężenie prądu przepływającego w obwodzie. Cząsteczki wody w rzece mają energię wynikającą z ich ruchu i wysokości, na której się znajdują. Energia potencjalna cząsteczek wody w rzece jest stała ze względu na stałą wysokość. Jest to analogia do stałego napięcia odkładającego się na obwodzie równoległym. W tym ujęciu napięcie na opornikach jest związane ze zmianą energii potencjalnej wody. Analogia załamuje się, gdy przyjrzymy się energii. W wodospadzie energia potencjalna jest przekształcana w energię kinetyczną cząsteczek wody. W przypadku elektronów przepływających przez opornik spadek potencjału jest przekształcany w ciepło i energię promieniowania termicznego emitowanego przez ogrzany opornik, a nie na energię kinetyczną elektronów. Krótko podsumujmy podstawowe właściwości oporników połączonych równolegle: Równoważny opór obliczamy ze wzoru R rw = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + … + 1 R N − 1 + 1 R N − 1 = ∑ i = 1 N 1 R i − 1  i jest on mniejszy niż każdy pojedynczy opór w układzie. Spadek potencjału na końcach każdego opornika jest taki sam. Natężenie prądu dopływającego do oporników połączonych równolegle dzieli się tak, że przez żaden nie przepływa całkowity prąd. Natężenie prądu dopływającego do oporników połączonych równolegle równa się sumie natężeń przepływającego przez nie prądu. W rozdziale tym wprowadziliśmy opór równoważny oporników połączonych szeregowo i oporników połączonych równolegle. Przypomnijmy sobie, że w rozdziale Pojemność elektryczna wprowadziliśmy równoważną pojemność kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle. Obwody często zawierają jednocześnie kondensatory i oporniki. podsumowuje równania stosowane do wyznaczania oporu równoważnego (rezystancji r równoważnej) i pojemności równoważnej dla układów szeregowych i równoległych. Podsumowanie wyrażeń stosowanych do wyznaczania równoważnego oporu i równoważnej pojemności dla układów szeregowych i równoległych Połączenie szeregowe Połączenie równoległe Równoważna pojemność 1 C rw = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + … C rw = C 1 + C 2 + C 3 + … Równoważny opór R rw = R 1 + R 2 + R 3 + … R_{\text{rw}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots 1 R rw = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + … Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych Bardziej skomplikowane połączenia oporników są często tylko kombinacjami połączeń szeregowych i równoległych. Takie obwody elektryczne nie są rzadkością, zwłaszcza gdy istotną rolę odgrywa także rezystancja przewodów. W takim przypadku rezystancja przewodu traktowana jest jako połączona szeregowo z innymi opornikami połączonymi ze sobą równolegle. Stosując metody przedstawione na , możemy uprościć zestawy połączeń szeregowych i równoległych do jednego opornika równoważnego. Poszczególne części obwodu elektrycznego traktujemy jako połączenia szeregowe lub równoległe i redukujemy do odpowiadających im równoważnych oporów aż do momentu, gdy pozostanie pojedynczy opór równoważący wszystkie pozostałe. Przedstawiony sposób jest raczej czasochłonny niż trudny. Opór równoważny, zastępujący wszystkie pozostałe, oznaczamy R rw . (a) Wejściowy układ oporników. (b) Krok 1: oporniki R 3 i R 4 połączone są szeregowo, a odpowiadający im opornik równoważny R 3 4 = 10  Ω . (c) Krok 2: uproszczony obwód składający się z połączonych równolegle oporników R 2 i R 3 4 , którym odpowiada opornik równoważny R 2 3 4 = 5  Ω . (d) Krok 3: uproszczony obwód składający się z połączonych szeregowo oporników R 1 i R 2 3 4 , dla których opornik równoważny R 1 2 3 4 = 12  Ω jest szukanym oporem R rw . (e) Obwód zredukowany składający się ze źródła napięcia o U = 24  V i opornika równoważnego R rw = 12  Ω . Daje to prąd o natężeniu I = 2  A wypływający ze źródła. Zacznijmy od obserwacji, że oporniki (rezystancje) R 3 i R 4 są połączone szeregowo. Możemy je zastąpić jednym opornikiem o odpowiednim oporze równoważnym. Dla ułatwienia wprowadźmy notację uwzględniającą numery oporników w postaci odpowiednich indeksów. Zgodnie z tą notacją opór równoważny oporników R 3 i R 4 oznaczymy R 3 4 R 3 4 = R 3 + R 4 = 6  Ω + 4  Ω = 10  Ω  . Teraz obwód elektryczny upraszczamy do trzech oporników, jak to pokazuje (c). Na uproszczonym schemacie widzimy, że teraz oporniki R 2 i R 3 4 tworzą układ równoległy. Możemy je zredukować do oporu równoważnego R 2 3 4 = 1 R 2 + 1 R 3 4 − 1 = 1 10  Ω + 1 10  Ω − 1 = 5  Ω  . Krok ten, czyli redukcję obwodu elektrycznego do dwóch oporników, przedstawia (d). Teraz obwód składa się z dwóch oporników połączonych szeregowo. Ich równoważny opór jest jednocześnie oporem równoważnym całego obwodu R rw = R 1 2 3 4 = R 1 + R 2 3 4 = 7  Ω + 5  Ω = 12  Ω  . Osiągnęliśmy główny cel analizy tego układu i obwód został uproszczony do pojedynczego opornika i jednego źródła napięcia. Teraz możemy przeanalizować obwód elektryczny. Natężenie prądu dostarczanego przez źródło SEM wynosi I = U ∕ R rw = 24  V ∕ 12  Ω = 2  A . Prąd o takim natężeniu przepływa przez opornik R 1 , dlatego oznaczmy go jako I 1 . Spadek potencjału na oporniku R 1 obliczamy przy użyciu prawa Ohma U 1 = I 1  R 1 = 2  A ⋅ 7  Ω = 14  V  . Spoglądając na (c), widzimy, że daje to 24  V − 14  V = 10  V spadku potencjału na każdym z oporników R 2 i R 3 4 połączonych równolegle. Natężenie prądu płynącego przez opornik R 2 wyliczamy z prawa Ohma I 2 = U 2 R 2 = 10  V 10  Ω = 1  A  . Oporniki R 3 i R 4 są połączone szeregowo, więc przepływający przez nie prąd ma takie samo natężenie I 3 = I 4 = I − I 2 = 2  A − 1  A = 1  A  . Z prawa Ohma możemy obliczyć spadek potencjału na pozostałych dwóch opornikach. Szukane wartości wynoszą: U 3 = I 3  R 3 = 6  V i U 4 = I 4  R 4 = 4  V . Pozostało nam obliczyć moc źródła SEM i moc wydzielaną na poszczególnych opornikach. Moc rozpraszania energii przez poszczególne oporniki wynosi P 1 = I 1 2  R 1 = 2  A 2 ⋅ 7  Ω = 28  W  , P 2 = I 2 2  R 2 = 1  A 2 ⋅ 10  Ω = 10  W  , P 3 = I 3 2  R 3 = 1  A 2 ⋅ 6  Ω = 6  W  , P 4 = I 4 2  R 4 = 1  A 2 ⋅ 4  Ω = 4  W  , P rozproszona = P 1 + P 2 + P 3 + P 4 = 48  W  . Całkowita energia jest stała w każdym procesie. W związku z tym moc dostarczania energii przez źródło SEM (moc elektryczna źródła) równa się P źródła = I  U = 2  A ⋅ 24  V = 48  W . Analiza mocy dostarczania energii do obwodu i mocy utraty energii na opornikach jest dobrym testem przeprowadzonych obliczeń; obie wartości powinny być równe. Łączenie ze sobą obwodów szeregowych i równoległych przedstawia oporniki połączone szeregowo i równolegle. Załóżmy, że opornik R 1 oznacza rezystancję przewodu prowadzącego od źródła SEM do oporników R 2 i R 3 . Oblicz równoważny opór obwodu. Jaki jest spadek potencjału U 1 na oporniku R 1 ? Wyznacz natężenie prądu I 2 płynącego przez opornik R 2 . Jaka moc jest rozpraszana przez opornik R 2 ? Schemat przedstawia trzy oporniki podłączone do źródła SEM i połączone ze sobą w następujący sposób: oporniki R 2 i R 3 są połączone równolegle ze sobą i szeregowo z opornikiem R 1 . Strategia rozwiązania Żeby obliczyć opór równoważny obwodu, najpierw musimy wyliczyć opór równoważny połączonych równolegle oporników R 2 i R 3 . Otrzymany opór zastępczy potraktujemy jako połączony szeregowo z opornikiem R 1 i obliczymy opór równoważny tego połączenia. Natężenie prądu płynącego przez opornik R 1 liczymy z prawa Ohma. Równe jest ono natężeniu prądu wypływającego ze źródła SEM. Spadek potencjału U 2 na oporniku R 2 (reprezentującym opór przewodów łączących oporniki i źródło SEM) obliczamy z prawa Ohma. Natężenie prądu płynącego przez opornik R 2 wyznaczamy z prawa Ohma, I 2 = U 2 ∕ R 2 . Napięcie na oporniku R 2 obliczamy z zależności U 2 = U − U 1 . Wykorzystując prawo Ohma ( U 2 = I 2  R 2 ), moc utraty energii na oporniku wyliczamy z zależności P 2 = I 2 2  R 2 = U 2 2 ∕ R 2 . Rozwiązanie W obliczeniu oporu równoważnego obwodu pomoże nam spostrzeżenie, że oporniki R 2 i R 3 są połączone równolegle ze sobą i szeregowo z opornikiem R 1 . Równoważny opór wynosi więc R rw = R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 − 1 = 1  Ω + 1 6  Ω + 1 13  Ω − 1 = 5,1  Ω  . Wyznaczona wartość oporu zastępczego mieści się pomiędzy wartością odpowiadającą szeregowemu połączeniu rozważanych oporników ( 20  Ω ) a wartością odpowiadającą ich połączeniu równoległemu ( 0,804  Ω ). Natężenie prądu przepływającego przez opornik R 1 równa się natężeniu prądu dostarczanemu przez źródło SEM I 1 = I = U R rw = 12  V 5,1  Ω = 2,35  A  . Spadek potencjału na R 1 wynosi U 1 = I 1  R 1 = 2,35  A ⋅ 1  Ω = 2,35  V  . Spadek potencjału na opornikach R 2 i R 3 jest mniejszy od napięcia na biegunach źródła o U 1 . Gdy opór przewodów doprowadzających prąd jest zbyt duży, może mieć wpływ na działanie urządzeń reprezentowanych przez oporniki R 2 i R 3 . Aby wyznaczyć natężenie prądu płynącego przez opornik R 2 , najpierw musimy obliczyć przyłożone do niego napięcie. Napięcie przyłożone do dwóch oporników połączonych równolegle jest identyczne U 2 = U 3 = U − U 1 = 12  V − 2,35  V = 9,65  V  . Teraz, korzystając z prawa Ohma, możemy obliczyć natężenie prądu I 2 przepływającego przez opornik R 2 I 2 = U 2 R 2 = 9,65  V 6  Ω = 1,61  A  . Moc rozpraszana przez opornik R 2 wynosi P 2 = I 2 2  R 2 = 1,61  A 2 ⋅ 6  Ω = 15,5  W  . Znaczenie Analizę złożonych obwodów elektrycznych często można uprościć, redukując układ do źródła SEM i opornika równoważnego. Jednak nawet wtedy, gdy nie da się w ten sposób uprościć całego układu, zwykle wykonalne jest uproszczenie fragmentów, co znacznie ułatwia analizę całości. Sprawdź, czy rozumiesz. Przyjrzyj się obwodom elektrycznym w swoim domu. Podaj przynajmniej dwa przykłady obwodów, które w celu zwiększenia skuteczności działania zbudowano z kombinacji połączeń szeregowych i równoległych. 1. Cała instalacja świetlna składa się z równoległych obwodów podłączonych do głównej linii zasilającej. Takie połączenie gwarantuje więc, że gdy jedna z żarówek się przepali pozostałe żarówki nie zgasną. Każde źródło światła ma co najmniej jeden przełącznik szeregowo z nim połączony, dzięki czemu poszczególne lampy można włączać i wyłączać. 2. Lodówka posiada kompresor i światło wewnątrz, które się włącza, gdy drzwi się otwierają. Zwykle jest tylko jeden przewód zasilający lodówkę. Obwód zawierający sprężarkę oraz obwód zawierający żarówkę są połączone równolegle, ale przełącznik światła jest z nim połączony szeregowo. Termostat steruje przełącznikiem, który jest połączony szeregowo z kompresorem i służy do regulacji temperatury wewnątrz chłodziarki. Praktyczne konsekwencje Jedną z konsekwencji ostatniego przykładu jest to, że rezystancja przewodów zmniejsza natężenie prądu i moc elektryczną, z jaką energia jest dostarczana do opornika. Jeśli rezystancja przewodu jest stosunkowo duża, jak w zużytym (lub bardzo długim) przedłużaczu, to ta strata może być znacząca. Jeżeli prąd o dużym natężeniu przepływa przez przewód, to napięcie, które odkłada się na przewodzie ( I  R ), także może być znaczące i stać się zauważalne ze względu na ciepło wytwarzane w przewodzie. Na przykład, jeśli wyjadając z lodówki, spowodujesz włączenie agregatu, to lampka w lodówce przygaśnie na chwilę. Podobnie możesz zauważyć, że oświetlenie w samochodzie przygasa w trakcie uruchomiania silnika (choć może to być także spowodowane oporem wewnętrznym samego akumulatora). Wyjaśnienie powyższych przypadków nagłego wzrostu natężenia prądu przedstawia . Urządzenie reprezentowane przez opornik R 3 ma bardzo niską oporność, więc gdy jest włączane, płynie prąd o dużym natężeniu. Zwiększone natężenie prądu powoduje większy spadek potencjału ( I  R ) na przewodach reprezentowanych przez R 1 , co obniża napięcie na żarówce (zaznaczonej jako R 2 ), która wyraźnie gaśnie. Dlaczego światło przygasa, gdy silnik się włącza? Odpowiedź jest taka, że silnik pobiera prąd o dużym natężeniu, co powoduje znaczny spadek potencjału ( I  R ) na przewodach, zmniejszając napięcie na żarówce. Strategia rozwiązywania zadań: oporniki połączone szeregowo i równolegle Narysuj czytelny schemat, opisując wszystkie oporniki i źródła SEM. Etap ten wymaga także wpisania danych do schematu układu. Określ dokładnie, co musisz wyznaczyć w zadaniu (zdefiniuj niewiadome). Przyda się lista pisemna. Ustal, czy oporniki połączone są szeregowo, równolegle, czy też ich połączenie jest kombinacją powyższych połączeń. Przeanalizuj schemat, aby dokonać oceny. Oporniki połączone są szeregowo, jeśli prąd o takim samym natężeniu przepływa przez nie kolejno. Aby obliczyć niewiadome, skorzystaj z właściwości danego rodzaju połączenia. Inne równania dotyczą połączeń szeregowych, a inne równoległych. Sprawdź, czy otrzymane wyniki mają sens. Łączenie obwodów szeregowych i równoległych Dwa połączone szeregowo oporniki ( R 1 i R 2 ) zestawiono z dwoma równoległymi opornikami ( R 3 i R 4 ). Szeregowo-równoległy układ podłączono do baterii. Każdy z oporników ma opór 10  Ω . Przewód łączący oporniki z baterią ma pomijalną rezystancję. Prąd o natężeniu 2  A płynie przez opornik R 1 . Ile wynosi napięcie na biegunach baterii? Strategia rozwiązania Aby znaleźć rozwiązanie, wykorzystaj schemat przedstawiony w opisanej powyżej strategii rozwiązywania problemów. Rozwiązanie Narysuj czytelny schemat obwodu ( ). Aby wyznaczyć wartość napięcia na biegunach źródła, najpierw musimy obliczyć opór równoważny obwodu. Nie znamy napięcia na biegunach baterii. Aby je wyznaczyć, musimy obliczyć opór równoważny obwodu. Z warunków zadania wiemy, że oporniki R 1 i R 2 są połączone szeregowo, a oporniki R 3 i R 4 równolegle. Równoważny opór odpowiadający równoległej konfiguracji oporników R 3 i R 4 jest połączony szeregowo z opornikami R 1 i R 2 . Wartość SEM baterii możemy wyznaczyć, mnożąc natężenie prądu wypływającego z baterii przez opór równoważny obwodu. Natężenie prądu wypływającego z baterii jest równe natężeniu prądu przepływającego przez opornik R 1 i ma wartość 2  A . Redukując obwód, musimy wyliczyć jego opór równoważny. Aby uprościć obwód, najpierw weźmy pod uwagę dwa oporniki połączone równolegle. Równoważny opór wynosi R 3 4 = 1 10  Ω + 1 10  Ω − 1 = 5  Ω  . To połączenie równoległe jest połączone szeregowo z pozostałymi dwoma opornikami, dając opór równoważny obwodu R rw = R 1 + R 2 + R 3 4 = 25  Ω  . Napięcie na biegunach baterii wynosi więc U = I  R rw = 2  A ⋅ 25  Ω = 50  V  . Znaczenie Jeśli analizujemy obwód zawierający połączenia szeregowe i równoległe, jak w powyższym przykładzie, możemy go uprościć przy użyciu schematu opisanego w powyższej strategii rozwiązywania problemów, z uwzględnieniem poszczególnych grup połączeń szeregowych i równoległych. Przy wyznaczaniu wartości R rw dla połączenia równoległego odwrotności oporów należy obliczać uważnie. Dodatkowo jednostki i wyniki liczbowe muszą być sensowne. Na przykład równoważny opór połączenia szeregowego powinien być większy niż opór połączenia równoległego. Moc rozpraszania energii powinna być większa dla tych samych elementów połączonych równolegle niż dla połączonych szeregowo i tak dalej. Podsumowanie Opór równoważny obwodu elektrycznego z opornikami połączonymi szeregowo równy jest sumie poszczególnych oporów R rw = R 1 + R 2 + R 3 + … + R N − 1 + R N = ∑ i = 1 N R i  . Przez każdy opornik w połączeniu szeregowym przepływa prąd o takim samym natężeniu. Spadek potencjału na poszczególnych opornikach połączonych szeregowo jest inny, a ich sumaryczna wartość odpowiada różnicy potencjałów na biegunach źródła zasilania. Podobnie suma mocy rozpraszanej na opornikach równa jest mocy elektrycznej źródła. Równoważny opór obwodu elektrycznego z opornikami połączonymi równolegle jest mniejszy od oporu każdego z połączonych oporników i wyznacza się go ze wzoru R rw = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + … + 1 R N − 1 + 1 R N − 1 = ∑ i = 1 N 1 R i − 1  . Spadek potencjału na opornikach połączonych równolegle jest taki sam i równa się różnicy potencjałów na biegunach źródła. Natężenie prądu przepływającego przez każdy z oporników połączonych równolegle jest inne i zależy od ich oporu. Jeśli obwód składa się z oporników połączonych w bardziej skomplikowany sposób, będący kombinacją połączeń szeregowych i równoległych, może zostać uproszczony do obwodu zawierającego jeden opornik równoważny. Można tego dokonać, identyfikując poszczególne jego części jako połączenia szeregowe lub równoległe i upraszczając każdą z nich do równoważnego oporu. Procedurę należy kontynuować, jeśli to możliwe, aż do uzyskania jednego oporu równoważnego. Pytania Na końcach otwartego przełącznika występuje różnica potencjałów. Jaka moc jest rozpraszana przez otwarty przełącznik? Obrażenia zależą od natężenia prądu przepływającego przez organizm. Jeśli porazi cię prąd płynący przez element grzewczy tostera, to lepiej, żebyś był połączony szeregowo czy równolegle z oporem urządzenia? Wyjaśnij. Prawdopodobnie lepiej być połączonym szeregowo, ponieważ przepływający przez ciało prąd będzie miał mniejsze natężenie niż w przypadku połączenia równoległego. Załóżmy, że wykonujesz ćwiczenie laboratoryjne z fizyki wymagające umieszczenia opornika w obwodzie. Jednak wszystkie dostępne oporniki mają opór większy od poszukiwanego. W jaki sposób próbowałbyś połączyć dostępne oporniki, aby uzyskać żądaną wartość? Niektóre żarówki mają trzy ustawienia mocy (nie wliczając zera) uzyskane z wielu włókien, które są niezależnie włączane i połączone równolegle. Jaka jest minimalna liczba włókien potrzebnych do uzyskania trzech wymaganych ustawień zasilania? Potrzebne są dwa włókna: o małym oporze i o dużym oporze, połączone równolegle. Zadania Jaki jest opór równoważny, gdy oporniki o oporach: 100  Ω , 2,5  kΩ i 4  kΩ połączysz szeregowo; równolegle? Jaki największy i najmniejszy opór otrzymasz z połączenia oporników o oporze: 36  Ω , 50  Ω i 700  Ω ? Największy opór ma wartość 786  Ω , a najmniejszy 20,32  Ω . Toster o mocy 1800  W , głośnik o mocy 1400  W i lampę 75  W podłączono do wspólnego gniazdka będącego w obwodzie o napięciu 230  V i zabezpieczonego bezpiecznikiem 15  A . (Trzy urządzenia są równolegle podłączone do tego samego gniazdka). Prąd o jakim natężeniu płynie przez każde z urządzeń? Czy takie podłączenie urządzeń spowoduje wybicie (zadziałanie) bezpiecznika 15  A ? Reflektor o mocy 30  W oraz rozrusznik o mocy 2,4  kW w samochodzie są zazwyczaj połączone równolegle w zasilanym akumulatorem 12  V obwodzie. Jaką moc będą pobierać te urządzenia podłączone szeregowo do akumulatora? (Pomiń wszystkie inne rezystancje w obwodzie i wszelkie zmiany oporu w omawianych urządzeniach). 29,6  W . Mamy baterię o napięciu na biegunach równym 48  V i oporniki 24  Ω i 96  Ω . Oblicz natężenie prądu płynącego przez każdy opornik i moc rozpraszaną przez każdy z nich, gdy połączone są szeregowo; Powtórz obliczenia dla równoległego połączenia oporników. Nawiązując do , przedstawiającego kombinacje połączeń szeregowych i równoległych, oblicz I 3 na dwa sposoby: na podstawie znanych wartości I oraz I 2 ; za pomocą prawa Ohma dla R 3 . W obu przypadkach wskaż wyraźnie, w jaki sposób skorzystałeś ze schematu nazwanego strategią rozwiązywania problemów w przypadku szeregowego i równoległego połączenia oporników, opisanego w . a. 0,74  A ; b. 0,742  A . Odnosząc się do , oblicz P 3 i otrzymaną wartość porównaj z wartościami P 3 uzyskanymi w pierwszych dwóch przykładowych problemach w tym rozdziale; oblicz moc źródła i porównaj z mocą rozpraszaną przez wszystkie oporniki. Cofnij się do i dyskusji dotyczącej przygasania świateł, gdy włączy się urządzenie znacznie obciążające obwód. Dane są: źródło o napięciu na biegunach równym 120  V , rezystancja przewodów 0,8  Ω i żarówka o mocy nominalnej 75  W . Jaka będzie moc rozpraszania energii przez żarówkę, jeśli w momencie włączania silnika przez przewód popłynie prąd 15  A ? Załóż, że zmiana oporu żarówki jest nieistotna; Jak szybko silnik zużywa dostarczaną energię? a. 60,8  W ; b. 3,18  kW . Pokaż, że jeśli połączymy ze sobą dwa oporniki o znacząco różnych oporach, R 1 ≫ R 2 , to w połączeniu szeregowym ich równoważny opór jest w przybliżeniu równy większemu oporowi R 1 ; w połączeniu równoległym ich równoważny opór jest w przybliżeniu równy mniejszemu oporowi R 2 . Rozważ obwód pokazany poniżej. Napięcie na biegunach baterii wynosi U = 18  V . Oblicz opór równoważny obwodu; Oblicz natężenie prądu przepływającego przez każdy opornik; Oblicz spadek potencjału na każdym oporniku; Oblicz moc, z jaką rozpraszana jest energia przez każdy opornik; Oblicz moc baterii. a. R rw = 9  Ω ; b. I 1 = I 2 = I 3 = 2  A ; c. U 1 = 8  V , U 2 = 2  V , U 3 = 8  V ; d. P 1 = 16  W , P 2 = 4  W , P 3 = 16  W ; e. P = 36  W . opór równoważny (ang. equivalent resistance ) opór układu połączonych ze sobą oporników; może być traktowany jako opór pojedynczego opornika, zastępującego układ oporników połączonych szeregowo i/lub równolegle

Science


Prawa Kirchhoffa Właśnie doszliśmy do wniosku, że niektóre obwody elektryczne mogą być analizowane przez ich uproszczenie do obwodu zawierającego pojedyncze źródło napięcia i opór równoważny. Wielu skomplikowanych obwodów nie da się jednak analizować przy użyciu schematów omawianych w poprzednich rozdziałach. W tej części poszerzymy zagadnienia tych schematów o sposoby zastosowania praw Kirchhoffa do analizy bardziej złożonych układów. Przykładowo obwód z , znany także jako obwód o wielu oczkach (pętlach), składa się z kilku węzłów. Pojęciem węzła określamy połączenie trzech lub więcej przewodów. W przedstawionym obwodzie wcześniej opisane sposoby nie mogą być użyte, ponieważ nie wszystkie oporniki tworzą układy szeregowe lub równoległe i nie da się ich uprościć. Spróbujmy. Oporniki R 1 i R 2 połączone są szeregowo i mogą być zredukowane do oporu równoważnego. Podobnie oporniki R 4 i R 5 . I co dalej? Mimo że tego obwodu nie możemy przeanalizować przy użyciu wcześniej poznanych metod, istnieją dwie zasady analizy obwodów elektrycznych, które można stosować do dowolnych obwodów – prostych i złożonych. Zasady te zostały sformułowane przez Gustava Kirchhoffa (1824–1887) i są znane jako prawa Kirchhoffa (ang. Kirchhoff’s rules ). Ten obwód nie może być uproszczony do kombinacji połączeń szeregowych i równoległych. Możemy jednak użyć praw Kirchhoffa, aby go przeanalizować. Prawa Kirchhoffa Pierwsze prawo Kirchhoffa – dotyczące węzłów. Suma natężeń wszystkich prądów wpływających do węzła musi być równa sumie natężeń wszystkich prądów z węzła wypływających ∑ I wpływające = ∑ I wypływające  . Drugie prawo Kirchhoffa – dotyczące oczek. Suma algebraiczna spadków potencjałów wzdłuż dowolnego zamkniętego obwodu (oczka) musi być równa zero ∑ U = 0  . Najpierw szczegółowo wyjaśnimy powyższe zasady, a następnie przedstawimy wskazówki pomocne w ich użyciu i przykłady zastosowania. Pierwsze prawo Kirchhoffa Pierwsze prawo Kirchhoffa – zasada węzła (ang. junction rule ) ma zastosowanie do natężeń prądów wpływających do węzła i z węzła wypływających ( ). Jak wspomniano wcześniej, węzeł to połączenie trzech lub więcej przewodów. Prądem nazywamy przepływ ładunku, a zasada zachowania ładunku, także w tym przypadku, musi być spełniona. Zatem bez względu na to, jaki ładunek wpływa do węzła, taki sam musi z niego wypłynąć. Ładunek musi zostać zachowany, tak więc suma natężeń prądów wpływających do węzła musi być równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Chociaż jest to nadmierne uproszczenie, węzeł możemy traktować analogicznie do rur wodociągowych połączonych z węzłem sanitarnym. Jeżeli przewody na zastąpimy rurami i założymy, że woda jest nieściśliwa, to objętość wody wpływającej do węzła musi się równać ilości wody wypływającej z węzła. Drugie prawo Kirchhoffa Drugie prawo Kirchhoffa – zasada oczka (ang. loop rule ) dotyczy różnic potencjału. W prawie tym mowa jest o potencjale, a nie o energii potencjalnej, choć należy pamiętać, że obie wielkości są ze sobą związane zależnością E p = q  Δ V . Ponieważ nie ma innych sposobów na przekazywanie energii do lub z obwodu, niezależnie od tego, ile energii dostarcza źródło SEM, musi ona być przetworzona przez urządzenia obecne w oczku. Drugie prawo Kirchhoffa stanowi, że w każdym oczku (pętli) obwodu suma algebraiczna spadków potencjału, uwzględniająca różnice potencjału na biegunach podłączonych źródeł i spadki potencjału na elementach mających rezystancję, musi być równa zero. Przykładowo rozważmy prosty obwód składający się z jednego oczka bez węzłów ( ). Proste oczko (pętla) bez węzłów. Drugie prawo Kirchhoffa stwierdza, że algebraiczna suma spadków potencjału jest równa zero. Obwód składa się ze źródła napięcia i trzech zewnętrznych oporników. Oznaczenia A , B , C i D służą jedynie jako odniesienie i nie mają innego znaczenia. Ich przydatność szybko zauważymy. Oczko jest oznaczone A  B  C  D  A i oznaczenia pomagają śledzić spadki potencjału, w miarę jak poruszamy się wokół oczka. Zacznijmy w punkcie A i przemieśćmy się do punktu B . Różnica potencjałów na biegunach źródła zostaje dodana do równania, a spadek potencjału na oporniku R 1 zostaje odjęty. Między punktami B i C obserwujemy spadek potencjału na oporniku R 2 , który odejmujemy. Między punktami C i D spadek potencjału występuje na oporniku R 3 , ten także odejmujemy. Między punktami D i A nic się nie dzieje, ponieważ nie ma tam żadnych elementów. przedstawia wykres zmian potencjału w miarę przemieszczania się wokół oczka. Potencjał wzrasta, gdy przechodzimy przez źródło, i spada, gdy mijamy opornik. Spadek potencjału (ang. potential drop ) równy jest iloczynowi natężenia prądu przepływającego przez opornik i jego oporu. Zakładając, że przewody mają pomijalny opór, spadek potencjału na elementach łączących możemy pominąć. Wykres zmian potencjału w miarę przemieszczania się wokół oczka. Potencjał wzrasta, gdy przechodzimy przez źródło, i spada, gdy mijamy opornik. Ponieważ opór połączeń jest niewielki, zakładamy, że napięcie pozostaje stałe, gdy przemieszczamy się przez przewody łączące poszczególne elementy. Z drugiego prawa Kirchhoffa mamy U − I  R 1 − I  R 2 − I  R 3 = 0  V  . U - IR_1 - IR_2 - IR_3 = \SI{0}{\volt} \text{.} Równanie powyższe pozwala obliczyć natężenie prądu płynącego w oczku I = U R 1 + R 2 + R 3 = 12  V 1  Ω + 2  Ω + 3  Ω = 2  A  . Obwód ten możemy przeanalizować za pomocą wcześniejszych sposobów, ale kolejne przykłady wykażą przydatność metody Kirchhoffa. Zastosowania praw Kirchhoffa Przy użyciu praw Kirchhoffa tworzymy układ równań liniowych, które pozwalają nam obliczyć nieznane wartości w obwodach. Niewiadomymi mogą być: natężenia prądów, spadki potencjału czy wartości oporu. Każde zastosowanie którejkolwiek z reguł daje nam równanie. Jeżeli liczba niezależnych równań jest taka sama jak liczba niewiadomych, to problem da się rozwiązać. Stosowanie metody Kirchhoffa do analizy obwodów elektrycznych wymaga kilku czynności wymienionych w poniższej procedurze. Strategia rozwiązywania problemów: prawa Kirchhoffa Za pomocą wielkich liter A , B , C , … oznacz punkty orientacyjne na schemacie obwodu elektrycznego. Oznaczenia te mogą pomóc podczas obchodzenia oczka. Zlokalizuj węzły w obwodzie elektrycznym. Są to miejsca, w których łączą się co najmniej trzy przewody. Oznacz prądy wpływające do węzła i z węzła wypływające, odpowiednio je ponumeruj i zaznacz kierunki ich przepływu. Upewnij się, że co najmniej jeden prąd wpływa do węzła oraz co najmniej jeden prąd z węzła wypływa. Wybierz oczka w obwodzie. Każdy element obwodu musi być zawarty w co najmniej jednym oczku, lecz może być także zawarty w więcej niż jednym oczku. Zastosuj pierwsze prawo Kirchhoffa. Niektóre węzły nie powinny być brane pod uwagę. Należy uwzględnić tylko tyle węzłów, żeby każdy prąd w obwodzie został uwzględniony w analizie. Zastosuj drugie prawo Kirchhoffa. Skorzystaj ze schematu z . Każdy element (opornik czy źródło SEM) rozciąga się od punktu A do punktu B . (a) W przypadku mijania opornika w kierunku zgodnym z kierunkiem przepływu prądu odejmujemy rópotencjału. (b) W przypadku mijania opornika w kierunku przeciwnym do kierunku przepływu prądu dodajemy różnicę potencjału. (c) Gdy przechodzimy przez źródło SEM od bieguna ujemnego do bieguna dodatniego, dodajemy różnicę potencjału. (d) Gdy przechodzimy przez źródło SEM od bieguna dodatniego do bieguna ujemnego, odejmujemy różnicę potencjału. Przeanalizujmy bardziej szczegółowo kilka kroków z powyższej procedury. Po zlokalizowaniu węzłów w obwodzie nie przejmujmy się kierunkami przepływu prądu. Jeśli nie jest on oczywisty, możemy wybrać dowolny kierunek do analizy obwodu, o ile co najmniej jeden prąd dociera do węzła i co najmniej jeden prąd go opuszcza. Gdy obrany przepływ prądu okaże się przeciwny do rzeczywistego kierunku przepływu prądu, odpowiedzi będą nadal poprawne, tyle że wyniki będą ujemne. Liczba węzłów zależy od obwodu elektrycznego. Musimy uwzględnić natężenie wszystkich prądów w danym węźle i natężenie każdego prądu w obwodzie musi zostać uwzględnione w co najmniej jednym równaniu dotyczącym węzłów. Pomijamy węzły, dla których równania nie są liniowo niezależne, czyli te, które zawierają jednakowe informacje. Rozważmy . W obwodzie możemy wyróżnić dwa węzły oznaczone literami B oraz E . Punkty A , C , D i F nie są węzłami, ponieważ węzeł musi łączyć co najmniej trzy przewody. Dla węzła B mamy równanie I 1 = I 2 + I 3 , a dla węzła E równanie I 2 + I 3 = I 1 . Są one równoważne, więc wystarczy zachować tylko jedno z nich. Na pierwszy rzut oka obwód składa się z dwóch węzłów: węzła B i węzła E , ale tylko jeden z nich należy uwzględnić, ponieważ równania opisujące natężenia prądów w tych węzłach są równoważne. Przy wyborze oczek w obwodzie musimy wybrać taką ich liczbę, aby każdy z elementów obwodu zawierał się przynajmniej w jednym oczku bez ich powielania. przedstawia cztery przykłady wyboru oczek w obwodzie; przykłady (a), (b) i (c) mają wystarczającą liczbę oczek do analizy obwodu. Przykład (d) zawiera ich więcej, niż to jest konieczne do analizy. Każdy ze schematów od (a) do (c) wystarczy do analizy obwodu. W każdym przypadku zaznaczono dwa oczka zawierające wszystkie niezbędne elementy układu potrzebne do jego analizy. W części (d) zaznaczono trzy oczka, czyli więcej, niż jest to konieczne. Każde dwa oczka dostarczają informacji niezbędnych do analizy układu. Dodanie trzeciego oczka zapewnia nadmiar informacji. Rozważmy obwód z (a). Przeanalizujmy ten obwód elektryczny, aby znaleźć natężenia prądów przepływających przez każdy z oporników. Po pierwsze, oznaczmy obwód w sposób pokazany w części (b) rysunku. (a) Układ składający się z wielu oczek. (b) Oznaczenie punktów szczególnych jest pomocne w orientacji podczas analizy. Następnie określmy węzły. W powyższym obwodzie w punktach B i E łączą się po trzy przewody, co czyni te punkty węzłami. Zacznijmy stosować pierwsze prawo Kirchhoffa, oznaczając strzałkami każdy z prądów i opisując każdą strzałkę, jak pokazano na . Dla węzła B uzyskujemy: I 1 = I 2 + I 3 , a dla węzła E : I 2 + I 3 = I 1 . Ponieważ równanie dla węzła E daje te same informacje co równanie dla węzła B , możemy je pominąć. W układzie mamy trzy niewiadome, dlatego potrzebne są trzy liniowo niezależne równania, aby je przeanalizować. Obwód ma dwa węzły oznaczone jako B i E , ale tylko węzeł B został uwzględniony w analizie. Oznaczone strzałki przedstawiają prądy wpływające do węzła i wypływające z niego. Następnie musimy wybrać oczka. Na oczko A  B  E  F  A zawiera źródło SEM ε 1 i oporniki R 1 i R 2 . Oczko zaczyna się w punkcie A , a następnie przechodzi przez punkty B , E i F i kończy się w punkcie A . Drugie oczko, E  B  C  D  E , rozpoczyna się w punkcie E i zawiera oporniki R 2 , R 3 i R 4 oraz źródło SEM ε 2 . Wybierz oczka w obwodzie. Teraz możemy zastosować drugie prawo Kirchhoffa, korzystając ze schematu z . Przemieszczamy się z punktu A do punktu B , mijając opornik R 1 w tym samym kierunku, w którym przepływa prąd I 1 , więc odejmujemy spadek potencjału I 1  R 1 . Przechodzimy z punktu B do punktu E , mijając opornik R 2 w tym samym kierunku, w jakim przepływa prąd I 2 , więc także odejmujemy spadek potencjału I 2  R 2 . Z punktu E do punktu F przechodzimy przez źródło o SEM równej ε 1 od bieguna ujemnego do dodatniego, więc dodajemy ε 1 . Brak jakichkolwiek elementów pomiędzy punktami F i A . Suma spadków potencjału musi być równa zero, więc oczko  A B E F A  : − I 1  R 1 − I 2  R 2 + ε 1 = 0  V  lub  ε 1 = I 1  R 1 + I 2  R 2  . \text{oczko } A\sep B\sep E\sep F\sep A\text{: } - I_1 R_1 - I_2 R_2 + \epsilon_1 = \SI{0}{\volt} \text{ lub } \epsilon_1 = I_1 R_1 + I_2 R_2 \text{.} Teraz możemy sprawdzić oczko E  B  C  D  E . Rozpoczynamy w punkcie E i przechodzimy do punktu B , mijamy opornik R 2 w kierunku przeciwnym do prądu I 2 . Dodajemy spadek potencjału I 2  R 2 . Następnie mijamy oporniki R 3 i R 4 w kierunku zgodnym z przepływem prądu I 3 , więc odejmujemy spadki potencjału I 3  R 3 i I 3  R 4 . Ponieważ oporniki są połączone szeregowo, przepływa przez nie prąd o takim samym natężeniu. Wreszcie przechodzimy od bieguna dodatniego do bieguna ujemnego źródła SEM, więc odejmujemy ε 2 . Suma spadków potencjału musi być równa zero, otrzymujemy więc oczko  E B C D E  :  I 2  R 2 − I 3  R 3 + R 4 − ε 2 = 0  V  . \text{oczko } E\sep B\sep C\sep D\sep E\text{: } I_2 R_2 - I_3 (R_3 + R_4) - \epsilon_2 = \SI{0}{\volt} \text{.} Mamy trzy równania z trzema niewiadomymi węzeł  B  :  I 1 − I 2 − I 3 = 0  A  , \text{węzeł } B \text{: } I_1-I_2-I_3 = \SI{0}{\ampere} \text{,} oczko  A B E F A  :  I 1  R 1 + I 2  R 2 = ε 1  , \text{oczko } A\sep B\sep E\sep F\sep A \text{: } I_1 R_1 + I_2 R_2 = \epsilon_1 \text{,} oczko  E B C D E  :  I 2  R 2 − I 3  R 3 + R 4 = ε 2  . \text{oczko } E\sep B\sep C\sep D\sep E \text{: } I_2 R_2 - I_3 (R_3 + R_4) = \epsilon_2 \text{.} Rozwiązywanie równań rozpocznijmy od wyeliminowania I 2 . Dodajmy pomnożone przez R 2 do . Wynik, po podstawieniu danych, oznaczmy jako R 1 + R 2  I 1 − R 2  I 3 = ε 1  , 6  Ω ⋅ I 1 − 3  Ω ⋅ I 3 = 24  V  . Następnie odejmijmy od , wynik (po podstawieniu danych) oznaczmy jako I 1  R 1 + I 3  R 3 + R 4 = ε 1 − ε 2  , 3  Ω ⋅ I 1 + 7  Ω ⋅ I 3 = − 5  V  . Z i wyznaczamy natężenie prądu I 1 = 3  A . Następnie z natężenie prądu I 3 = − 3  A . Wreszcie z obliczamy natężenie prądu I 2 = I 1 − I 3 = 5  A . Jednym ze sposobów sprawdzenia poprawności obliczeń jest porównanie sumarycznej mocy źródeł SEM z mocą rozpraszania energii przez oporniki obecne w obwodzie P SEM = I 1  ε 1 + I 3  ε 2 = 130  W  , P rozproszona = I 1 2  R 1 + I 2 2  R 2 + I 3 2  R 3 + I 3 2  R 4 = 130  W  . P SEM = I 1  ε 1 + I 3  ε 2 = 130  W  , P rozproszona = I 1 2  R 1 + I 2 2  R 2 + I 3 2  R 3 + I 3 2  R 4 = 130  W  . Widzimy, że obliczona wartość natężenia prądu I 3 jest ujemna. To poprawna odpowiedź, ale sugeruje, że pierwotnie wybrany kierunek prądu I 3 jest w rzeczywistości przeciwny. Moc dostarczania energii przez drugie źródło SEM wynosi więc 58  W , a nie − 58  W . Zauważmy, że do rozwiązania układu równań liniowych można z powodzeniem zastosować znaną z algebry liniowej metodę wyznaczników. Obliczanie natężenia prądu z zastosowaniem praw Kirchhoffa Oblicz natężenie prądów płynących w obwodzie elektrycznym przedstawionym na . Układ ten to kombinacja szeregowo i równolegle połączonych oporników i źródeł napięcia.Nie da się go analizoować przy użyciu metod omówionych w rozdziale Siła elektromotoryczna , ale można zastosoważ prawa Kirchhoffa. Strategia rozwiązania Obwód ten jest na tyle skomplikowany, że natężenia prądów nie można obliczyć za pomocą prawa Ohma i metod stosowanych do analizy układów szeregowych i równoległych. Niezbędne jest skorzystanie z praw Kirchhoffa. Na rysunku oznaczyliśmy prądy o natężeniach I 1 , I 2 i I 3 oraz poczyniliśmy założenia o kierunkach ich przepływu. Punkty charakterystyczne oznaczyliśmy literami od A do H . W rozwiązaniu stosujemy poznane zasady dotyczące wyboru węzłów i oczek, szukając trzech niezależnych równań, które pozwolą nam obliczyć natężenia trzech nieznanych prądów. Rozwiązanie Wybranie odpowiednich oczek i węzłów daje poniższe równania. Ponieważ mamy trzy niewiadome, potrzebne są trzy równania węzeł  C  :  I 1 + I 2 = I 3  , oczko  A  B  C  D  E  F  A  :  I 1  R 1 + R 4 − I 2  R 2 + R 5 + R 6 = ε 1 − ε 3  , oczko  C  D  E  F  C  :  I 2  R 2 + R 5 + R 6 + I 3  R 3 = ε 2 + ε 3  . węzeł  C  :  I 1 + I 2 = I 3  , oczko  A  B  C  D  E  F  A  :  I 1  R 1 + R 4 − I 2  R 2 + R 5 + R 6 = ε 1 − ε 3  , oczko  C  D  E  F  C  :  I 2  R 2 + R 5 + R 6 + I 3  R 3 = ε 2 + ε 3  . Uproszczenie równań (umieszczenie niewiadomych po jednej stronie równania) daje węzeł  C  :  I 1 + I 2 − I 3 = 0  V  , oczko  A B C D E F A  :  I 1 ⋅ 3  Ω − I 2 ⋅ 8  Ω = 0,5  V − 2,3  V  , oczko  C D E F C  :  I 2 ⋅ 8  Ω + I 3 ⋅ 1  Ω = 0,6  V + 2,3  V  . węzeł  C  :  I 1 + I 2 − I 3 = 0  V  , oczko  A B C D E F A  :  I 1 ⋅ 3  Ω − I 2 ⋅ 8  Ω = 0,5  V − 2,3  V  , oczko  C D E F C  :  I 2 ⋅ 8  Ω + I 3 ⋅ 1  Ω = 0,6  V + 2,3  V  . \begin{align} \text{węzeł } C \text{: } &I_1 + I_2 - I_3 = \SI{0}{\volt} \text{,} \\ \text{oczko } A\sep B\sep C\sep D\sep E\sep F\sep A \text{: } &I_1 \cdot \SI{3}{\ohm} - I_2 \cdot \SI{8}{\ohm} = \SI{0,5}{\volt} - \SI{2,3}{\volt} \text{,} \\ \text{oczko } C\sep D\sep E\sep F\sep C \text{: } &I_2 \cdot \SI{8}{\ohm} + I_3 \cdot \SI{1}{\ohm} = \SI{0,6}{\volt} + \SI{2,3}{\volt} \text{.} \end{align} Dalsze obliczenia pozwolą wyznaczyć natężenia prądów I 1 = 0,2  A  ,  I 2 = 0,3  A  ,  I 3 = 0,5  A  . Znaczenie Sposobem na sprawdzenie poprawności obliczeń jest porównanie mocy dostarczania energii przez źródła SEM z mocą rozpraszania energii przez oporniki obecne w obwodzie P SEM = I 1  ε 1 + I 2  ε 3 + I 3  ε 2 = 0,1  W + 0,69  W + 0,3  W = 1,09  W  , P rozproszona = I 1 2  R 1 + I 2 2  R 2 + I 3 2  R 3 + I 1 2  R 4 + I 2 2  R 5 + I 2 2  R 6 P rozproszona = 0,04  W + 0,45  W + 0,25  W + 0,08  W + 0,09  W + 0,18  W = 1,09  W  . \begin{multiline} P_{\text{rozproszona}} &= I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 + I_1^2 R_4 + I_2^2 R_5 + I_2^2 R_6 \\ &= \SI{0,04}{\watt} + \SI{0,45}{\watt} + \SI{0,25}{\watt} + \SI{0,08}{\watt} + \SI{0,09}{\watt} + \SI{0,18}{\watt} = \SI{1,09}{\watt} \text{.} \end{multiline} P rozproszona = I 1 2  R 1 + I 2 2  R 2 + I 3 2  R 3 + I 1 2  R 4 + I 2 2  R 5 + I 2 2  R 6 = 0,04  W + 0,45  W + 0,25  W + 0,08  W + 0,09  W + 0,18  W = 1,09  W  . \begin{multiline} P_{\text{rozproszona}} &= I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 + I_1^2 R_4 + I_2^2 R_5 + I_2^2 R_6 \\ &= \SI{0,04}{\watt} + \SI{0,45}{\watt} + \SI{0,25}{\watt} + \SI{0,08}{\watt} + \SI{0,09}{\watt} + \SI{0,18}{\watt} = \SI{1,09}{\watt} \text{.} \end{multiline} Otrzymane wartości są sobie równe. Sprawdź, czy rozumiesz. Rozważ następujący schemat, moc dostarczania, moc rozpraszania energii w obwodzie i sprawdź, czy każde z dwóch źródeł SEM zapewnia zasilanie obwodu, czy też może pochłaniać energię. Obwód można przeanalizować z zastosowaniem praw Kirchhoffa. Pierwsze źródło napięcia ma moc dostarczania energii do obwodu o wartości: P SEM 1 = I  ε 1 = 7,2  mW . Drugie źródło ma moc pochłania energii o wartości: P SEM 2 = I  ε 2 + I 2  R 1 + I 2  R 2 = 7,2  mW . Obliczanie natężenia prądu z zastosowaniem praw Kirchhoffa Oblicz natężenie prądu płynącego w obwodzie na . Obwód składa się z trzech oporników i dwóch baterii połączonych szeregowo. Zauważmy, że baterie podłączono naprzemiennie. Strategia rozwiązania Układ ten można przeanalizować przy zastosowaniu praw Kirchhoffa. Istnieje tylko jedno oczko i nie ma węzłów. Wybierzmy kierunek przepływu prądu. W tym przykładzie przyjmiemy kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, od punktu A do punktu B . Rozważmy oczko A  B  C  D  A i na podstawie zapiszmy równanie dla oczka. Zauważmy, że zgodnie z SEM źródła pierwszego ε 1 należy odjąć, a SEM drugiego źródła ε 2 należy dodać. Rozwiązanie Mamy jedną niewiadomą, więc potrzebujemy jednego równania. Po zastosowaniu drugiego prawa Kirchhoffa uzyskujemy oczko  A B C D E A  : − I  R 1 − ε 1 − I  R 2 + ε 2 − I  R 3 = 0  V  . \text{oczko } A\sep B\sep C\sep D\sep E\sep A \text{: } -IR_1 - \epsilon_1 - IR_2 + \epsilon_2 - IR_3 = \SI{0}{\volt} \text{.} Uprośćmy równanie przez przeniesienie niewiadomej na jedną stronę. Podstawmy dane I  R 1 + R 2 + R 3 = ε 2 − ε 1  , I = ε 2 − ε 1 R 1 + R 2 + R 3 = 24  V − 12  V 10  Ω + 30  Ω + 20  Ω = 0,2  A  . I  R 1 + R 2 + R 3 = ε 2 − ε 1  , I = ε 2 − ε 1 R 1 + R 2 + R 3 = 24  V − 12  V 10  Ω + 30  Ω + 20  Ω = 0,2  A  . Znaczenie Moc, z jaką energia jest rozpraszana czy zużywana w obwodzie, równa się mocy dostarczania energii do obwodu. Zauważmy jednak, że prąd przepływa przez źródło o SEM równej ε 1 od bieguna dodatniego do ujemnego i pobiera energię P SEM 2 = I  ε 2 = 4,8  W  , P rozproszona = I 2  R 1 + I 2  R 2 + I 2  R 3 + I  ε 1 = 0,4  W + 1,2  W + 0,8  W + 2,4  W = 4,8  W  . P SEM 2 = I  ε 2 = 4,8  W  , P rozproszona = I 2  R 1 + I 2  R 2 + I 2  R 3 + I  ε 1 = 0,4  W + 1,2  W + 0,8  W + 2,4  W = 4,8  W  . Moc, z jaką dostarczana jest energia do obwodu przez źródło o SEM wynoszącej ε 2 , równa się sumie mocy rozpraszania energii na opornikach i mocy pochłaniania energii przez źródło o SEM ε 1 . Sprawdź, czy rozumiesz. Podczas korzystania z prawa Kirchhoffa musimy zdecydować, które oczka w obwodzie wybrać, i ustalić kierunek przepływu prądu w każdym z nich. W powyższym przykładzie przyjęliśmy kierunek przepływu prądu w oczku zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara: od punktu A do punktu B . Jak zmieni się wynik, jeśli założymy przeciwny kierunek przepływu prądu w obwodzie: od punktu B do punktu A ? Natężenie prądu w obwodzie wyniesie wówczas I = − 0,2  A . Wiele źródeł napięcia Wiele urządzeń wymaga więcej niż jednego źródła napięcia. Źródła napięcia, takie jak baterie, mogą być połączone ze sobą szeregowo, równolegle lub w sposób będący kombinacją obydwu połączeń. W połączeniu szeregowym dodatni biegun jednego źródła jest połączony z biegunem ujemnym kolejnego źródła. W ten sposób możemy połączyć dowolną liczbę źródeł napięcia. Dwa takie źródła połączone szeregowo przedstawia . Po zastosowaniu drugiego prawa Kirchhoffa do oczka z części (b) rysunku otrzymujemy ε 1 − I  r 1 + ε 2 − I  r 2 − I  R = 0  V  , ε 1 + ε 2 − I  r 1 + r 2 − I  R = 0  V  . ε 1 − I  r 1 + ε 2 − I  r 2 − I  R = 0  V  , ε 1 + ε 2 − I  r 1 + r 2 − I  R = 0  V  . \begin{align} \epsilon_1 - Ir_1 + \epsilon_2 - Ir_2 - IR &= \SI{0}{\volt} \text{,} \\ \epsilon_1 + \epsilon_2 -I(r_1+r_2) - IR &= \SI{0}{\volt} \text{.} \end{align} (a) Dwa źródła napięcia połączone szeregowo z opornikiem obciążenia; (b) schemat obwodu z dwoma źródłami napięcia i opornikiem. Każde ze źródeł modelowano jako wyidealizowane źródło SEM z oporem wewnętrznym. Gdy źródła napięcia połączone są szeregowo, ich wewnętrzne opory i SEM możemy dodać, żeby uzyskać ich sumaryczną wartość. Połączenia szeregowe źródeł napięcia są powszechne, przykładowo w latarkach czy zabawkach. Zwykle ogniwa łączy się szeregowo w celu wytworzenia większej łącznej siły elektromotorycznej. Na spadek potencjału między punktami B i A wynosi U bat = ε 1 − I  r 1 + ε 2 − I  r 2 = ε 1 + ε 2 − I  r 1 + r 2 = ε 1 + ε 2 − I  r rw  . Zauważmy, że ze względu na ich połączenie szeregowe przez każde źródło napięcia płynie prąd o takim samym natężeniu I . Niedogodnością połączeń szeregowych wielu źródeł napięcia jest to, że ich wewnętrzne opory się dodają. Źródła łączy się szeregowo w celu zwiększenia napięcia dostarczanego do układu. Na przykład latarka LED może mieć dwie baterie typu AAA o napięciu na biegunach równym 1,5  V każda, zasilające latarkę napięciem 3  V . Możemy połączyć szeregowo dowolną liczbę źródeł napięcia. Dla N połączonych szeregowo źródeł napięcia różnica potencjałów na biegunach jest równa U bat = ε 1 + ε 2 + … + ε N − 1 + ε N − I  r 1 + r 2 + … + r N − 1 + r N = ∑ i = 1 N ε i − I  r rw  , gdzie równoważny opór wynosi r rw = ∑ i = 1 N r i . Gdy do baterii ogniw podłączymy szeregowo obciążenie, jak na , możemy obliczyć natężenie prądu płynącego przez obwód ε 1 − I  r 1 + ε 2 − I  r 2 = I  R  , I  r 1 + r 2 + R = ε 1 + ε 2  , I = ε 1 + ε 2 r 1 + r 2 + R  . ε 1 − I  r 1 + ε 2 − I  r 2 = I  R  , I  r 1 + r 2 + R = ε 1 + ε 2  , I = ε 1 + ε 2 r 1 + r 2 + R  . \begin{align} \epsilon_1 - Ir_1 + \epsilon_2 - Ir_2 &= IR \text{,} \\ I(r_1+r_2+R) &= \epsilon_1 + \epsilon_2 \text{,} \\ I &= \frac{\epsilon_1 + \epsilon_2}{r_1+r_2+R} \text{.} \end{align} Zgodnie z oczekiwaniami opór wewnętrzny zwiększa opór równoważny. (a) Żarówka LED podłączona do dwóch źródeł napięcia (np. baterii), jak w latarce; (b) schemat obwodu zawierającego żarówkę LED, podłączoną do dwóch źródeł napięcia. Źródła napięcia, np. baterie, mogą być również połączone ze sobą równolegle. przedstawia dwa źródła o identycznych SEM, połączone równolegle i podłączone do opornika. Gdy są one połączone równolegle, to zarówno bieguny dodatnie, jak i ujemne są parami połączone ze sobą, a opornik obciążenia podłączony jest do biegunów dodatnich i ujemnych. Normalnie źródła napięcia połączone równolegle mają identyczną SEM. W tym prostym przykładzie są one połączone równolegle, dlatego całkowita siła elektromotoryczna jest taka sama jak SEM poszczególnych źródeł napięcia. (a) Dwa źródła napięcia podłączone równolegle do opornika; (b) schemat obwodu zawierającego dwa źródła napięcia o identycznych SEM równych E i połączonych z nimi szeregowo wewnętrznych oporach r 1 i r 2 podłączonych do opornika o oporze R . Przeanalizujmy obwód z (b) w oparciu o prawa Kirchhoffa. Zaznaczmy dwa oczka i węzeł w punkcie B węzeł  B  :  I 1 + I 2 − I = 0  A  , oczko  A B C F A  :  ε − I 1  r 1 + I 2  r 2 − ε = 0  V  , oczko  F C D E F  :  ε − I 2  r 2 − I  R = 0  V  . węzeł  B  :  I 1 + I 2 − I = 0  A  , oczko  A B C F A  :  ε − I 1  r 1 + I 2  r 2 − ε = 0  V  , oczko  F C D E F  :  ε − I 2  r 2 − I  R = 0  V  . \begin{align} \text{węzeł } B \text{: } &I_1 + I_2 - I = \SI{0}{\ampere} \text{,} \\ \text{oczko } A\sep B\sep C\sep F\sep A \text{: } &\epsilon - I_1 r_1 + I_2 r_2 - \epsilon = \SI{0}{\volt} \text{,} \\ \text{oczko } F\sep C\sep D\sep E\sep F \text{: } &\epsilon - I_2 r_2 - IR = \SI{0}{\volt} \text{.} \end{align} Wyliczamy natężenie prądu, które wynosi I = ε ∕ r rw + R , gdzie r rw = 1 ∕ r 1 + 1 ∕ r 2 − 1 . Różnica potencjałów na biegunach (wspólnych dla obydwu źródeł napięcia) równa się spadkowi potencjału na oporniku i wynosi I  R = ε ∕ r rw + R ⋅ R . Połączenie równoległe zmniejsza więc opór wewnętrzny, a tym samym w obwodzie może popłynąć prąd o większym natężeniu. Połączyć równolegle możemy dowolną liczbę źródeł napięcia. W przypadku połączenia równoległego N źródeł napięcia różnica potencjałów na biegunach równa się U bat = ε − I  1 r 1 + 1 r 2 + … + 1 r N − 1 + 1 r N − 1 = ε − I  r rw  , gdzie równoważny opór r rw = ∑ i = 1 N 1 ∕ r i − 1 . Przykładowo niektóre ciężarówki z silnikiem diesla używają dwóch akumulatorów 12  V połączonych równolegle; wytwarzają one całkowitą SEM równą 12  V , ale zapewniają większy prąd potrzebny do uruchomienia silnika wysokoprężnego. Podsumowując, różnica potencjałów na biegunach baterii ogniw połączonych szeregowo równa się sumie poszczególnych SEM pomniejszonej o iloczyn sumy oporów wewnętrznych i natężenia prądu. Gdy ogniwa są połączone równolegle, zwykle mają taką samą SEM, a spadek potencjału na zaciskach baterii ogniw wynosi SEM minus iloczyn równoważnego oporu i natężenia prądu. W tym przypadku równoważny opór wewnętrzny jest mniejszy niż opór każdego z poszczególnych oporów wewnętrznych. Źródła napięcia łączy się szeregowo w celu zwiększenia różnicy potencjałów między biegunami baterii ogniw. Równolegle zaś łączy się je, żeby zwiększyć natężenie prądu wypływającego z baterii ogniw. Baterie ogniw słonecznych Innym przykładem połączenia wielu źródeł napięcia jest układ ogniw słonecznych. Łączy się je ze sobą szeregowo i równolegle, żeby uzyskać pożądane napięcie i natężenie prądu. Zjawisko fotowoltaiczne, będące przemianą energii światła słonecznego w energię elektryczną, wynika ze zjawiska fotoelektrycznego wewnętrznego. Tematyka ta wykracza poza ramy niniejszego rozdziału, omówiona jest szczegółowo w rozdziale Fotony i fale materii . Nie wgłębiając się w szczegóły, powiedzmy tylko, że fotony padające na powierzchnię ogniwa słonecznego powodują powstawanie w nim prądu elektrycznego. Większość ogniw słonecznych wytwarza się z czystego krzemu. Zwykle pojedyncze ogniwa mają napięcie wyjściowe około 0,5  V , a natężenie prądu wyjściowego jest funkcją ilości światła słonecznego padającego na ogniwo (nasłonecznienia). Dla ogniw monokrystalicznych przy dużym nasłonecznieniu (np. w południe) natężenie prądu na jednostkę powierzchni wynosi około 100  mA ∕ cm 2 . Poszczególne ogniwa słoneczne są połączone w baterie, tak aby spełniały potrzeby energetyczne. Mogą one być połączone ze sobą szeregowo albo równolegle – podobnie jak źródła SEM omawiane wcześniej. Liczba ogniw słonecznych składających się na baterię lub panel wynosi zazwyczaj między 36 i 72, co daje moc wyjściową między 50  W a 140  W . Ogniwa słoneczne, podobnie jak zwykłe baterie, są źródłami prądu stałego (DC). Prąd z takiego źródła płynie w jednym kierunku. Większość urządzeń gospodarstwa domowego potrzebuje do działania prądu zmiennego (AC). Podsumowanie Prawa Kirchhoffa można stosować do analizowania dowolnych obwodów: prostych lub złożonych. Analiza prostszych obwodów szeregowych lub równoległych podlega zasadom, które są szczególnymi przypadkami praw Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa, zasada węzła, odnosi się do ładunku w węźle. Prąd jest przepływem ładunku; tak więc bez względu na to, jaki ładunek wpłynął do węzła, taki sam musi z niego wypłynąć. Drugie prawo Kirchhoffa, zasada oczka, stwierdza, że spadek potencjału w oczku równa się zero. Przy obliczaniu spadku potencjału i natężenia prądu, korzystając z praw Kirchhoffa należy pamiętać o określonych konwencjach, aby określić prawidłowe znaki różnych wielkości. Gdy wiele źródeł napięcia połączymy szeregowo, to ich wewnętrzne opory i SEM sumują się, dając całkowite wartości SEM i oporu wewnętrznego. Gdy wiele źródeł napięcia połączymy równolegle, to ich opory wewnętrzne dadzą opór równoważny, który będzie mniejszy niż opór każdego pojedynczego oporu wewnętrznego, co daje prąd o większym natężeniu niż pojedyncze źródło napięcia. Ogniwa słoneczne mogą być połączone szeregowo lub równolegle, żeby zapewnić zwiększone odpowiednio napięcie lub prąd. Pytania Czy natężenia wszystkich prądów wchodzących do węzła na rysunku poniżej mogą być dodatnie? Wyjaśnij. Rozważ obwód pokazany poniżej. Czy jego analiza wymaga stosowania praw Kirchhoffa, czy też wystarczy go uprościć? Jeśli jest to obwód składający się z połączeń szeregowych i równoległych, to jaki jest jego opór równoważny? Obwód da się uprościć. R rw = 1 ∕ R 6 + 1 ∕ R 1 + 1 ∕ R 2 + 1 R 4 + 1 R 3 + R 5 − 1 − 1 . Czy źródła napięcia w obwodzie zawsze dostarczają energię do obwodu, czy też mogą one energię dostarczaną do obwodu pochłaniać? Podaj przykład. Jakie są zalety i wady szeregowego łączenia źródeł napięcia? A jakie równoległego? W połączeniu szeregowym napięcia z ogniw dodają się, ale równocześnie sumują się ich opory wewnętrzne, ponieważ są połączone szeregowo. W połączeniu równoległym napięcie na biegunach jest identyczne, ale równoważny opór wewnętrzny jest mniejszy niż najmniejszy opór indywidualnej rezystancji wewnętrznej, co zapewnia prąd o większym natężeniu. Ciągniki siodłowe wykorzystują cztery duże akumulatory 12  V . Układ rozrusznika wymaga 24  V , podczas gdy pozostałe podzespoły elektryczne pojazdu wykorzystują 12  V . Jak powinny być połączone cztery akumulatory, aby wytworzyć 24  V , a jak, aby wytworzyć 12  V ? Dlaczego 24  V są lepsze niż 12  V do uruchomienia silnika ciężarówki (bardzo obciążonej)? Zadania Rozważ obwód pokazany poniżej. Oblicz spadek potencjału na każdym z oporników; Jaka jest moc źródła napięcia, a jaka jest moc energii rozpraszanej lub zużywanej w obwodzie? Przyjrzyj się obwodom pokazanym poniżej. Jakie jest natężenie prądu płynącego przez każdy opornik w tej części? Ile wynosi natężenie prądu płynącego przez każdy opornik w tej części? Jaka jest moc dostarczanej lub pochłanianej energii w każdym obwodzie? Ile wynosi moc dostarczanej energii do każdego obwodu? a. I 1 = 0,6  mA , I 2 = 0,4  mA , I 3 = 0,2  mA ; b. I 1 = 0,04  mA , I 2 = 1,52  mA , I 3 = − 1,48  mA ; c. P rozproszona = 0,92  mW , P rozproszona = 4,5  mW ; d. P dostarczona = 0,92  mW , P dostarczona = 4,5  mW . Rozważ obwód z rysunku poniżej. Oblicz: U bat  1 , I 2 i I 3 . Rozważ obwód z rysunku poniżej. Oblicz: U bat  1 , U bat  2 i R 4 . U bat  1 = 42  V , U bat  2 = 6  V , R 4 = 6  Ω . Rozważ obwód z rysunku poniżej. Oblicz: I 1 , I 2 , I 3 . Przyjrzyj się schematowi poniżej. Oblicz I 1 , I 2 , I 3 , I 4 i I 5 ; moc źródeł napięcia; moc rozpraszania energii na opornikach. a. I 1 = 1,5  A , I 2 = 2  A , I 3 = 0,5  A , I 4 = 2,5  A , I 5 = 2  A ; b. P dostarczona = I 2  U bat  1 + I 5  U bat  2 = 34  W ; c. P rozproszona = I 1 2  R 1 + I 2 2  R 2 + I 3 2  R 3 + I 4 2  R 4 = 34  W . Rozważ schemat obwodu przedstawiony poniżej. Zapisz trzy równania dla zaznaczonych oczek. Rozważ obwód pokazany poniżej. Wyznacz równania określające natężenia prądów w zależności od R i U bat . I 1 = 2  U bat ∕ 3  R I_1 = 2U_{\text{bat}} / (3R) , I 2 = I 3 = U bat ∕ 3  R I_2 = I_3 = U_{\text{bat}} / (3R) . Rozważ schemat obwodu z poprzedniego ćwiczenia. Napisz równania na moc dostarczania energii do układu przez źródła napięcia i moc rozpraszania energii przez oporniki w zależności od R i U bat . Dziecięca zabawka jest zasilana przez trzy baterie alkaliczne o SEM 1,58  V i wewnętrznych oporach 0,02  Ω , połączone szeregowo z suchym ogniwem węglowo-cynkowym o SEM 1,53  V i oporze wewnętrznym 0,1  Ω . Oporność obciążenia równa jest 10  Ω . Narysuj schemat obwodu zabawki uwzględniający jego zasilanie; Prąd o jakim natężeniu płynie w układzie? Ile wynosi moc energii dostarczanej do opornika obciążenia? Jak zmieni się opór wewnętrzny ogniwa suchego, jeśli się ono rozładuje i, gdy moc dostarczania przez nie energii do opornika obciążenia wyniesie tylko 0,5  W ? a. ; b. 0,617  A ; c. 3,81  W ; d. 18  Ω . Zastosuj pierwsze prawo Kirchhoffa do węzła B zaznaczonego na schemacie poniżej. Czy możesz uzyskać jakiekolwiek nowe informacje, jeśli zastosujesz regułę węzła w punkcie E ? Zastosuj drugie prawo Kirchhoffa do pętli A  F  E  D  C  B  A z poprzedniego przykładu. I 1  r 1 − ε 1 + I 1  R 4 + ε 4 + I 2  r 4 + I 2  r 3 − ε 3 + I 2  R 3 + I 1  R 1 = 0 . pierwsze prawo Kirchhoffa – zasada węzła (ang. junction rule ) suma natężeń prądów wpływających do węzła musi być równa sumie natężeń prądów wypływających z niego prawa Kirchhoffa (ang. Kirchhoff’s rules ) zestaw dwóch praw rządzących przepływem prądu i zmianami potencjału w obwodzie elektrycznym drugie prawo Kirchhoffa – zasada oczka (ang. loop rule ) algebraiczna suma spadków potencjału w dowolnym oczku (pętli) obwodu musi być równa zero

Science


Elektryczne przyrządy pomiarowe Prawo Ohma i prawa Kirchhoffa są przydatne do analizy i projektowania obwodów elektrycznych, ponieważ umożliwiają korzystanie z wyznaczonych spadków potencjału na poszczególnych elementach, natężenia płynącego prądu czy rezystancji elementów składających się na obwód elektryczny. Aby zmierzyć wartości tych parametrów, konieczne są odpowiednie przyrządy, które opisujemy poniżej. Woltomierze i amperomierze Woltomierze (ang. voltmeter ) służą do pomiaru napięcia (różnicy potencjałów), natomiast amperomierze (ang. ammeter ) umożliwiają pomiar natężenia prądu. Niektóre urządzenia pomiarowe w kokpitach samochodowych, aparatach cyfrowych, telefonach komórkowych czy wzmacniaczach są w rzeczywistości woltomierzami lub amperomierzami ( ). Wewnętrzna budowa najprostszych z tych mierników i sposób, w jaki są podłączone do monitorowanych przez nie systemów, dają głębszy wgląd w zastosowania połączeń szeregowych i równoległych. Wskaźnik poziomu paliwa (pierwszy z lewej) i wskaźnik temperatury (pierwszy z prawej) w tym volkswagenie z 1996 r. są w rzeczywistości woltomierzami, w których rejestrowane napięcie wyjściowe przeliczane jest na odpowiednie jednostki. Są one proporcjonalne do ilości benzyny w zbiorniku lub temperatury silnika. Źródło: Christian Giersing Pomiar natężenia prądu za pomocą amperomierza Aby zmierzyć natężenie prądu płynącego przez urządzenie lub element, należy szeregowo podłączyć do niego amperomierz. Stosuje się połączenie szeregowe, ponieważ przez obiekty połączone szeregowo przepływa prąd o takim samym natężeniu ( , gdzie amperomierz oznaczono symbolem A). (a) Gdy chcemy użyć amperomierza do pomiaru natężenia prądu płynącego przez dwa szeregowo połączone oporniki podłączone do źródła napięcia, wystarczy jedno urządzenie umieszczone szeregowo z tymi opornikami – w połączeniu szeregowym natężenie prądu płynącego przez poszczególne elementy jest takie samo. (b) Gdy dwa oporniki są połączone równolegle ze źródłem napięcia, potrzebujemy trzech urządzeń lub trzech niezależnych odczytów z amperomierza, aby zmierzyć natężenie prądu płynącego ze źródła napięcia i przez każdy z oporników. Amperomierz musi być połączony szeregowo z elementem, dla którego wyznaczamy natężenie prądu. Amperomierz musi mieć bardzo mały opór, będący ułamkiem mΩ . Jeżeli opór nie jest pomijalnie mały, umieszczenie amperomierza w obwodzie może zmienić równoważny opór obwodu i wpłynąć na natężenie mierzonego prądu. Ponieważ prąd przepływa przez miernik umieszczony w obwodzie, dla ochrony przed zbyt dużym natężeniem amperomierze zwykle wyposaża się w bezpieczniki. Pomiar napięcia za pomocą woltomierza Woltomierz podłączamy równolegle do każdego urządzenia, na którym mierzymy napięcie. Stosujemy połączenie równoległe, ponieważ na obiektach połączonych w ten sposób różnica potencjałów jest taka sama ( ; woltomierz oznaczono symbolem V). Aby zmierzyć różnicę potencjałów w tym obwodzie szeregowym, woltomierz (V) podłączamy równolegle do źródła napięcia lub któregokolwiek opornika. Zauważmy, że napięcie jest mierzone pomiędzy biegunem dodatnim a biegunem ujemnym źródła napięcia. Nie jest możliwe podłączenie woltomierza bezpośrednio do SEM z pominięciem oporu wewnętrznego. Ponieważ woltomierze podłącza się równolegle, muszą one mieć bardzo duży opór. Woltomierze cyfrowe zamieniają napięcie analogowe na wartość cyfrową, aby ją pokazać na cyfrowym wyświetlaczu ( ). Niedrogie woltomierze mają opory rzędu dziesiątek MΩ , natomiast bardzo precyzyjne urządzenia - rzędu dziesiątek GΩ . Wartość oporu może się zmieniać w zależności od aktualnego zakresu miernika. (a) Analogowy woltomierz wykorzystuje do pomiaru napięcia galwanometr. (b) Mierniki cyfrowe do pomiaru napięcia używają przetwornika analogowo-cyfrowego. Źródło (a) i (b): Joseph J. Trout Mierniki analogowe i cyfrowe W laboratorium fizycznym stosuje się dwa rodzaje mierników: analogowe i cyfrowe. Termin „analogowy” odnosi się do sygnałów lub danych reprezentowanych przez zmieniającą się w sposób ciągły wielkość fizyczną, taką jak napięcie lub natężenie prądu. Miernik analogowy (ang. analog meter ) wykorzystuje galwanometr, który jest cewką z drutu o małej rezystancji, umieszczoną w polu magnetycznym, z dołączoną wskazówką przemieszczającą się po skali. Prąd przepływa przez cewkę, powodując jej obrót. Aby używać galwanometru jako amperomierza, należy przyłączyć opornik o niewielkim oporze równolegle z cewką. Aby używać go jako woltomierza, należy przyłączyć opornik o dużym oporze szeregowo z cewką. Miernik cyfrowy (ang. digitalmeter ) wykorzystuje urządzenie nazywane przetwornikiem analogowo-cyfrowym i przedstawia natężenie prądu lub napięcie w postaci szeregu zer i jedynek, które są wykorzystywane do sterowania wyświetlaczem cyfrowym. Mierniki analogowe zostały w większości zastąpione przez mierniki cyfrowe. Sprawdź, czy rozumiesz. Mierniki cyfrowe są w stanie mierzyć prądy o mniejszym natężeniu niż mierniki analogowe wykorzystujące galwanometry. Jak wyjaśnić ich zdolność do dokładniejszego pomiaru napięcia i natężenia prądu w stosunku do mierników analogowych? Ponieważ mierniki cyfrowe wymagają prądu o mniejszym natężeniu w porównaniu do mierników analogowych, mają mniejszy wpływ na obwód elektryczny od mierników analogowych. Ich opór w trybie woltomierza może być znacznie większy niż miernika analogowego, a ich opór w trybie amperomierza może być znacznie mniejszy niż miernika analogowego. Spójrz na i oraz ich opisy w tekście. Aby sprawdzić swoją wiedzę na temat projektowania obwodów elektrycznych, w tym wirtualnym laboratorium możesz konstruować obwody elektryczne z oporników, źródeł napięcia, amperomierzy i woltomierzy. Omomierze Omomierz (ang. ohmmeter ) jest urządzeniem służącym do pomiaru oporu elementu obwodu lub urządzenia. Działanie omomierza opiera się na prawie Ohma. Tradycyjne omomierze zawierały wewnętrzne (wbudowane) źródło napięcia (np. baterię), które po podłączeniu do badanego elementu obwodu powodowało przepływ prądu przez ten element. Następnie galwanometr był wykorzystywany do pomiaru natężenia prądu, a opór był wyznaczany z prawa Ohma. Nowoczesne mierniki cyfrowe wykorzystują stałoprądowe źródło do przepuszczania prądu przez badany element, mierząc spadek potencjału na tym elemencie. W każdym przypadku opór jest mierzony za pomocą prawa Ohma ( R = U ∕ I ), gdzie napięcie jest znane i mierzy się natężenie prądu albo znane jest natężenie prądu i mierzy się napięcie. Element, którego opór jest mierzony, powinien być odizolowany od obwodu, w przeciwnym razie mierzony będzie równoważny opór obwodu. Omomierza nigdy nie powinno się podłączać do obwodu, do którego podłączone jest źródło napięcia i w którym płynie prąd. Może to spowodować uszkodzenie miernika. Podsumowanie Woltomierze służą do pomiaru napięcia, a amperomierze do pomiaru natężenia prądu. Mierniki analogowe są zbudowane na zasadzie połączenia opornika i galwanometru i umożliwiają analogowy odczyt natężenia prądu lub napięcia. Mierniki cyfrowe budowane są z wykorzystaniem przetworników analogowo-cyfrowych i zapewniają dyskretny (cyfrowy) pomiar natężenia prądu lub napięcia. Żeby zmierzyć całkowite napięcie, woltomierz umieszczamy równolegle do źródła napięcia. Musi on mieć dużą oporność, aby ograniczyć jego wpływ na obwód. Żeby zmierzyć całkowity prąd płynący przez fragment obwodu, amperomierz umieszczamy szeregowo. Musi on mieć małą rezystancję, aby ograniczyć jego wpływ na obwód. Standardowe woltomierze i amperomierze mają wpływ na obwód, do którego są podłączone, tak więc ich dokładność jest ograniczona. Omomierze służą do pomiaru oporu. Element obwodu, którego opór ma być zmierzony, powinien być odizolowany od obwodu (usunięty z niego). Pytania Co by się stało, gdybyś do badanego elementu podłączył woltomierz szeregowo? Woltomierz wniósłby duży opór połączony szeregowo z obwodem, co znacznie zmieniłoby sam obwód. Prawdopodobnie dałby odczyt, ale nie dawałby poprawnej wartości mierzonego oporu obwodu. Jaka jest zasada działania omomierza podczas pomiaru oporu opornika? Dlaczego nie wolno podłączać amperomierza bezpośrednio do źródła napięcia w taki sposób, jak pokazano poniżej? Amperomierz ma mały opór, tak więc prąd o dużym natężeniu dostarczany przez źródło może spowodować uszkodzenie miernika i/lub przegrzanie źródła napięcia. Zadania Załóż, że woltomierzem o oporze 1  kΩ , połączonym jak na schemacie poniżej, mierzysz napięcie na biegunach baterii alkalicznej o SEM równej 1,585  V i oporze wewnętrznym 0,1  Ω . Prąd o jakim natężeniu popłynie? Oblicz napięcie na biegunach źródła napięcia; Żeby sprawdzić, jak różnią się zmierzone napięcie na biegunach baterii i SEM, oblicz ich stosunki. amperomierz (ang. ammeter ) przyrząd do pomiaru natężenia prądu woltomierz (ang. voltmeter ) przyrząd do pomiaru napięcia (różnicy potencjałów)

Science


Obwody RC Gdy skorzystasz z lampy błyskowej aparatu fotograficznego, to później kilka sekund zajmuje ponowne naładowanie kondensatora zasilającego lampę. Uruchomienie lampy błyskowej rozładowuje kondensator w ułamku sekundy. Dlaczego ładowanie trwa dłużej niż rozładowywanie? Odpowiedzi na to pytanie oraz na kilka innych, które dotyczą ładowania i rozładowywania kondensatorów, udzielimy w tej części. Obwody elektryczne zawierające opór i pojemność Obwód RC (ang. RC circuit ) jest obwodem elektrycznym zawierającym opór i pojemność. Jak przedstawiono w rozdziale Pojemność elektryczna , kondensator to element elektryczny, który gromadzi ładunek elektryczny, magazynując energię w polu elektrycznym. (a) przedstawia prosty obwód RC składający się ze stałoprądowego (DC) źródła napięcia o SEM równej ε , opornika R , kondensatora C i przełącznika dwupozycyjnego. Obwód pozwala na ładowanie lub rozładowywanie kondensatora w zależności od pozycji przełącznika. Kiedy przełącznik znajduje się w położeniu A (sytuacja przedstawiona w części (b) rysunku), to kondensator się ładuje. Kiedy przełącznik zostaje przestawiony do położenia B , kondensator rozładowuje się przez opornik. (a) Obwód RC z wyłącznikiem dwupozycyjnym, stosowanym do ładowania i rozładowywania kondensatora. (b) Gdy przełącznik jest ustawiony w pozycji A , obwód sprowadza się do prostego połączenia szeregowego źródła napięcia, opornika, kondensatora i przełącznika. (c) Gdy przełącznik zostanie ustawiony w pozycji B , obwód sprowadza się do prostego połączenia szeregowego opornika, kondensatora i przełącznika. Źródło napięcia znajduje się poza obwodem. Ładowanie kondensatora Do zrozumienia procesu ładowania kondensatora możemy zastosować drugie prawo Kirchhoffa. Mamy równanie ε − U R − U C = 0 . Wykorzystajmy je do modelowania wartości ładunku na kondensatorze w funkcji czasu podczas jego ładowania. Pojemność definiujemy jako C = q ∕ U C , więc napięcie na kondensatorze wynosi U C = q ∕ C . Z prawa Ohma wyznaczmy spadek potencjału na oporniku U R = I  R , a prąd definiujemy jako I = d q ∕ d t ε − U R − U C = 0  , ε − I  R − q C = 0  , ε − R  d q d t − q C = 0  . Aby uzyskać równanie określające zależność wartości ładunku na kondensatorze od czasu, powyższe równanie różniczkowe należy scałkować ε − R  d q d t − q C = 0  , d q d t = ε  C − q R  C  , ∫ 0 q d q ε  C − q = 1 R  C  ∫ 0 t d t  . Dokonajmy podstawienia u = ε  C − q , więc d u = − d q . Dostajemy − ∫ 0 1 d u u = 1 R  C  ∫ 0 t d t  , ln ε  C − q ε  C = − 1 R  C  t  , ε  C − q ε  C = e − t R  C  . Po przekształceniach otrzymujemy równanie określające zależność wartości ładunku na kondensatorze od czasu podczas jego ładowania q  t = C  ε  1 − e − t R  C = Q  1 − e − t τ  . Wykres zależności ładunku na kondensatorze od czasu przedstawia (a). Po pierwsze, należy zauważyć, że gdy czas dąży do nieskończoności, to wyrażenie e − t ∕ R  C dąży do zera, więc ładunek zbliża się do maksymalnej wartości Q = C  ε . Jednostką iloczynu R  C jest sekunda, więc iloczyn ma wymiar czasu. Wielkość ta jest znana jako pojemnościowa stała czasowa (ang. time constant ) τ = R  C  . Gdy t = τ = R  C , ładunek równa się Q  1 − e − 1 = Q  1 − 0,368 = 0,632  Q (ładunku maksymalnego, Q = C  ε ). Zauważmy, że szybkość gromadzenia się ładunku na kondensatorze odpowiada nachyleniu stycznej do wykresu q  t w danym punkcie. Nachylenie stycznej do wykresu jest duże w chwili t = 0  s i maleje do zera wraz z upływem czasu. W miarę wzrostu ładunku na kondensatorze natężenie prądu płynącego przez opornik maleje, jak na (b). Natężenie prądu płynącego przez opornik można obliczyć, różniczkując równanie q  t i  t = d q d t = d d t C  ε  1 − e − t R  C  , i  t = C  ε ⋅ 1 R  C ⋅ e − t R  C = ε R ⋅ e − t R  C = I 0  e − t R  C  , i  t = I 0  e − t ∕ τ  . W chwili t = 0  s natężenie prądu płynącego przez opornik wynosi I 0 = ε ∕ R . Gdy czas dąży do nieskończoności, natężenie prądu spada do zera. W chwili t = τ natężenie prądu płynącego przez opornik osiąga wartość i  t = τ = I 0  e − 1 = 0,368  I 0 . (a) Ładunek na kondensatorze w funkcji czasu podczas ładowania; (b) natężenie prądu płynącego przez opornik w funkcji czasu; (c) napięcie na kondensatorze; (d) napięcie na oporniku. (c) i (d) pokazują napięcie odpowiednio na kondensatorze i na oporniku. Gdy ładunek na kondensatorze wzrasta, to natężenie prądu maleje, tak jak napięcie na oporniku u R  t = I 0  R  e − t ∕ τ = ε  e − t ∕ τ . Napięcie na kondensatorze wzrasta zgodnie z zależnością: u C  t = ε  1 − e − t ∕ τ . Rozładowywanie kondensatora Kiedy przełącznik na (a) ustawimy w pozycji B , obwód odpowiada temu z części (c) i naładowany kondensator może się rozładować przez opornik. Wykres ładunku na kondensatorze w zależności od czasu przedstawia (a). Jeśli zastosujemy drugie prawo Kirchhoffa do analizy obwodu w czasie, gdy kondensator się rozładowuje, otrzymamy równanie − u R − u C = 0 , które można sprowadzić do zależności I  R + q ∕ C = 0 . Po zastosowaniu definicji prądu otrzymamy d q ∕ d t ⋅ R = − q ∕ C , co po scałkowaniu da nam równanie na wartość ładunku na kondensatorze w funkcji czasu podczas jego rozładowywania q  t = Q  e − t ∕ τ  . Tutaj Q jest początkowym ładunkiem na kondensatorze, a τ = R  C stałą czasową obwodu. Jak pokazaliśmy na wykresie, wartość ładunku maleje wykładniczo od wartości początkowej do zera, gdy czas dąży do nieskończoności. Zależność natężenia prądu od czasu otrzymamy po scałkowaniu wyrażenia na ładunek i  t = − Q R  C  e − t ∕ τ  . Znak minus oznacza, że prąd przepływa w kierunku przeciwnym do kierunku prądu płynącego w czasie ładowania kondensatora. (a) i (b) przedstawiają wykresy odpowiednio ilości ładunku w funkcji czasu i natężenia prądu w funkcji czasu. Wykresy napięcia na kondensatorze i na oporniku w funkcji czasu przedstawiono w częściach (c) i (d) rysunku. Pamiętajmy, że ilość ładunku, natężenie prądu i wartość napięcia maleją wykładniczo do zera wraz z upływem czasu. (a) Ładunek na kondensatorze w funkcji czasu w miarę rozładowywania kondensatora; (b) natężenie prądu płynącego przez opornik w funkcji czasu; (c) napięcie na kondensatorze; (d) napięcie na oporniku. Teraz możemy wyjaśnić, dlaczego lampie błyskowej (ang. flash lamp ) aparatu fotograficznego, wspomnianej na początku tego rozdziału, ładowanie zajmuje dużo więcej czasu niż rozładowanie. Opór podczas ładowania jest znacznie większy niż podczas rozładowywania. Wewnętrzny opór źródła napięcia stanowi większość oporu podczas ładowania. W miarę starzenia się źródła napięcia rosnący opór wewnętrzny sprawia, że proces ładowania staje się jeszcze wolniejszy. Oscylator relaksacyjny Jednym z zastosowań obwodów RC jest pokazany poniżej oscylator relaksacyjny. Składa się on ze źródła SEM, opornika, kondensatora i lampy neonowej. Lampa neonowa działa jak obwód otwarty (nieskończony opór), dopóki różnica potencjałów na niej nie osiągnie określonego napięcia, wówczas zwiera obwód (opór staje się zerowy), a kondensator rozładowuje się przez lampę neonową, powodując jej świecenie. W pokazanym obwodzie źródło SEM ładuje kondensator, aż napięcie na kondensatorze wyniesie 80  V . Gdy to nastąpi, dochodzi do przebicia w neonie, co umożliwia rozładowanie kondensatora przez lampę, tworzy się jasny błysk. Po całkowitym rozładowaniu się kondensatora poprzez lampę neonową ponownie zaczyna się ładowanie i proces się powtarza. Jaki jest odstęp czasu między błyskami przy założeniu, że czas potrzebny do rozładowania kondensatora jest znikomy? Strategia rozwiązania Czas pomiędzy rozbłyskami można wyznaczyć z równania u C  t = ε  1 − e − t ∕ τ , gdzie τ = R + r  C . Rozwiązanie Błysk w lampie neonowej następuje, gdy napięcie na kondensatorze osiąga 80  V . Stała czasowa obwodu równa się τ = R + r  C = 101  Ω ⋅ 50 ⋅ 10 − 3  F = 5,05  s . Możemy więc z równania na napięcie obliczyć czas, po którym napięcie na kondensatorze osiągnie 80  V u C  t = ε  1 − e − t ∕ τ  , e − t ∕ τ = 1 − u C  t ε  , ln e − t ∕ τ = ln 1 − u C  t ε  , t = − τ  ln 1 − u C  t ε = 5,05  s ⋅ ln 1 − 80  V 100  V = 8,13  s  . Znaczenie Jednym z zastosowań oscylatora relaksacyjnego jest kontrola sterowania świateł sygnalizacyjnych, które migają z częstotliwością określoną przez wartości R i C . W powyższym przykładzie lampa neonowa miga co 8,13  s , czyli z częstotliwością f = 1 ∕ T = 1 ∕ 8,13  s = 0,55  Hz . Oscylator relaksacyjny ma wiele innych praktycznych zastosowań. Często stosuje się go w obwodach elektronicznych, w których lampę neonową zastąpił tranzystor lub urządzenie znane jako dioda tunelowa. Opis tranzystora i diody tunelowej wykracza poza zakres niniejszego rozdziału, ale można je traktować jako sterowane napięciem przełączniki. Zwykle są one otwarte, ale kiedy zastosuje się odpowiednie napięcie, przełącznik się zamyka i zaczyna przewodzić. Przełącznik można zastosować do: włączenia innego obwodu, włączenia świateł czy uruchomienia niewielkiego silniczka. Oscylator relaksacyjny można wykorzystać do obsługi kierunkowskazów w samochodzie lub wywoływania wibracji telefonu komórkowego. Obwody RC mają wiele zastosowań. Mogą być skutecznie wykorzystywane jako sterowniki: wycieraczek samochodowych, stymulatorów serca czy świateł stroboskopowych. Niektóre modele wycieraczek wykorzystują opornik o zmiennym oporze do sterowania częstotliwością ich pracy. Zwiększenie oporności powoduje wzrost stałej czasowej obwodu RC, co wydłuża czas pomiędzy kolejnymi wychyleniami wycieraczek. Innym zastosowaniem jest stymulator serca (ang. pacemaker ). Tętno jest zwykle kontrolowane za pomocą sygnałów elektrycznych, które powodują skurcze mięśnia sercowego i zmuszają do pompowania krwi. Kiedy bicie serca odbiega od normy (tętno jest zbyt wysokie lub zbyt niskie), stymulator może skorygować nieprawidłowości. Stymulatory mają czujniki, które monitorują ruch ciała i częstość oddechu, aby zwiększyć częstość akcji serca podczas wysiłku fizycznego, zaspokajając zwiększone zapotrzebowanie na krew i tlen. Czasowy obwód RC może być stosowany do kontroli czasu pomiędzy impulsami elektrycznymi wysyłanymi do serca. Wybiegając naprzód, do opisu obwodów AC ( Obwody prądu zmiennego ), napięcie przemienne (AC) zmienia się z określoną częstotliwością zgodnie z funkcją sinus. Okresowe zmiany napięcia (sygnału elektrycznego) są często rejestrowane przez naukowców. Te sygnały napięciowe mogą pochodzić z mikrofonu rejestrującego muzykę czy danych atmosferycznych zebranych przez radar. Czasami sygnały te zawierają niepożądane częstotliwości, określane jako „szum”. Filtry RC mogą być wykorzystywane do odfiltrowania niepożądanych częstotliwości. W elektronice popularne jest urządzenie znane jako „ układ czasowy 555 ” (ang. 555 timer ) pozwalające na sterowanie impulsami napięcia w czasie. Czasem pomiędzy impulsami steruje tam obwód RC. Są to tylko niektóre z niezliczonych zastosowań układów RC. Wycieraczki samochodowe Oscylator relaksacyjny steruje parą wycieraczek samochodowych. Obwód oscylatora relaksacyjnego składa się z kondensatora o pojemności 10  mF oraz opornika o zmiennym oporze nazywanego potencjometrem (oporowym). Pokrętło podłączone do regulowanego opornika umożliwia zmiany oporu między 0  Ω a 10  kΩ . Przełącznik sterowany napięciem podłączony jest do kondensatora. Przełącznik normalnie jest otwarty, ale gdy napięcie osiągnie 10  V , zamyka się, zasilając silnik elektryczny i umożliwiając rozładowanie kondensatora. Silnik powoduje jednokrotne wychylenie (zadziałanie) wycieraczek, po czym kondensator zaczyna ponownie się ładować. Jaka wartość oporu powinna być ustawiona na potencjometrze, aby pióra wycieraczek wycierały szybę co 10  s ? Strategia rozwiązania Opór można wyznaczyć z równania u wyj  t = U  1 − e − t ∕ τ , gdzie τ = R  C . Pojemność kondensatora, napięcie wyjściowe i napięcie źródła są dane. Rozwiązanie Napięcie wyjściowe (na kondensatorze) osiągnie 10  V , a różnica potencjałów między biegunami źródła wynosi 12  V . Pojemność kondensatora to 10  mF . Obliczmy wartość oporu u wyj  t = U  1 − e − t ∕ τ  , e − t ∕ R  C = 1 − u wyj  t U  , ln e − t ∕ R  C = ln 1 − u wyj  t U  , − t R  C = ln 1 − u wyj  t U  , R = − t C  ln 1 − u wyj  t ∕ U = − 10  s 10 ⋅ 10 -3  F ⋅ ln 1 − 10  V ∕ 12  V = 558,11  Ω  . \begin{align} u_{\text{wyj}} \apply (t) &= U (1 - e^{-t/\tau}) \text{,} \\ e^{-t/(RC)} &= 1 - \frac{u_{\text{wyj}}\apply (t)}{U} \text{,} \\ \ln (e^{-t/(RC)}) &= \ln[1 - \frac{u_{\text{wyj}}\apply (t)}{U}] \text{,} \\ - \frac{t}{RC} &= \ln[1 - \frac{u_{\text{wyj}}\apply (t)}{U}] \text{,} \\ R &= \frac{-t}{C \ln[1-u_{\text{wyj}}\apply (t) / U]} = \frac{-\SI{10}{\second}}{\SI{10e-3}{\farad} \cdot \ln[1-\SI{10}{\volt}/\SI{12}{\volt}]} = \SI{558,11}{\ohm} \text{.} \end{align} Znaczenie Wzrost oporności zwiększa opóźnienie pomiędzy kolejnymi wychyleniami wycieraczek. Jeżeli opór wynosi zero, wówczas wycieraczki pracują w sposób ciągły. Przy maksymalnym oporze okres pomiędzy kolejnymi wychyleniami wycieraczek wynosi t = − R  C  ln 1 − u wyj  t U = − 10 ⋅ 10 3  Ω ⋅ 10 ⋅ 10 -3  F ⋅ ln 1 − 10  V 12  V t = − R  C  ln 1 − u wyj  t U = 179,18  s = 2,98  min  . \begin{multiline} t &= -RC \ln(1- \frac{u_{\text{wyj}} \apply (t)}{U}) = -\SI{10e3}{\ohm} \cdot \SI{10e-3}{\farad} \cdot \ln(1-\frac{\SI{10}{\volt}}{\SI{12}{\volt}}) \\ &= \SI{179,18}{\second} = \SI{2,98}{\minute} \text{.} \end{multiline} t = − R  C  ln 1 − u wyj  t U = − 10 ⋅ 10 3  Ω ⋅ 10 ⋅ 10 -3  F ⋅ ln 1 − 10  V 12  V = 179,18  s = 2,98  min  . Obwód RC ma tysiące zastosowań. Może być stosowany nie tylko w układach czasowych, ale także do filtrowania niechcianych częstotliwości w obwodzie. Ma także zastosowanie w zasilaczach, na przykład komputerowych, gdzie pozwala zamienić napięcie przemienne (AC) w stałe (DC). Podsumowanie Obwód RC to obwód, który zawiera zarówno opornik, jak i kondensator. Pojemnościowa stała czasowa τ obwodu RC dana jest wzorem τ = R  C . Gdy początkowo nienaładowany ( q = 0  C w chwili t = 0  s ) kondensator połączony szeregowo z opornikiem ładuje się przez stałoprądowe źródło napięcia, jego ładunek asymptotycznie zbliża się do wartości maksymalnej. Podczas wzrostu ładunku kondensatora natężenie prądu w obwodzie maleje wykładniczo od swej początkowej wartości równej I 0 = ε ∕ R . Jeśli kondensator wstępnie naładowany ładunkiem Q zaczyna w chwili t = 0  s się rozładowywać za pośrednictwem opornika, wtedy jego ładunek maleje wykładniczo. W czasie rozładowania kondensatora prąd przepływa w kierunku przeciwnym do kierunku prądu płynącego podczas jego ładowania. Pytania Bateria, przełącznik, kondensator i lampa są połączone szeregowo. Opisz, co dzieje się z lampą, gdy przełącznik jest zamknięty. Podczas dokonywania pomiaru EKG ważne jest, aby mierzyć zmiany napięcia w małych odstępach czasu. Czas ten określa stała czasowa obwodu RC – nie są możliwe pomiary częstsze. W jaki sposób należy zmieniać R i C w obwodzie, aby umożliwić pomiary w określonych odstępach czasu? Pomiary można przyspieszyć poprzez zmniejszenie wartości stałej czasowej, czyli zastosowanie opornika o mniejszym oporze i/lub kondensatora o mniejszej pojemności. Należy zachować ostrożność przy zmniejszeniu oporu, ponieważ początkowe natężenie prądu zwiększa się, gdy opór maleje. Zadania Układ czasowy wycieraczek samochodowych zbudowany jest z zastosowaniem obwodu RC i wykorzystuje kondensator 0,5  µF oraz opornik regulowany. W jakim zakresie musi zmieniać się opór R , aby stała czasowa obwodu mogła się zmieniać od 2  s do 15  s ? Od 4  MΩ do 30  MΩ . Stymulator serca włącza się 72 razy na minutę i za każdym razem kondensator o pojemności 25  nF ładuje się (z baterii połączonej szeregowo z opornikiem) do 0,632 maksymalnego napięcia. Jaka jest wartość oporu? Długość trwania błysku lampy aparatu fotograficznego jest powiązana ze stałą czasową obwodu RC, która dla pewnego aparatu wynosi 0,1  µs . Ile wynosi pojemność kondensatora dostarczającego energię, jeżeli opór lampy błyskowej to 0,04  Ω podczas rozładowywania? Jaka jest stała czasowa ładowania kondensatora, jeśli opór równa się 800  kΩ ? a. 2,5  µF ; b. 2  s . Kondensatory o pojemnościach 2  µF i 7,5  µF można połączyć szeregowo lub równolegle. Podobnie oporniki o oporach 25  kΩ i 100  kΩ . Oblicz cztery możliwe wartości stałych czasowych obwodów, w których opory równoważne i pojemności równoważne połączone są szeregowo. Opornik o oporze 500  Ω , nienaładowany kondensator o pojemności 1,5  µF i źródło napięcia o SEM równej 6,16  V połączono szeregowo. Jakie jest początkowe natężenie prądu? Ile wynosi stała czasowa obwodu RC? Prąd o jakim natężeniu płynie po czasie odpowiadającym jednej stałej czasowej? Ile wynosi napięcie na kondensatorze po czasie odpowiadającym jednej stałej czasowej? a. 12,3  mA ; b. 7,5 ⋅ 10 − 4  s ; c. 4,53  mA ; d. 3,89  V . Zastosowany defibrylator ze względu na oporność pacjenta i swoją pojemność ma stałą czasową obwodu RC równą 10  ms . Ile wynosi oporność ścieżki przepływu prądu przez pacjenta, jeżeli defibrylator ma pojemność 8  µF ? (Można pominąć pojemność pacjenta i opór defibrylatora); Jeżeli początkowe napięcie wynosi 12  kV , to jak długo trzeba czekać na jego spadek do 600  V ? Monitor EKG musi mieć stałą czasową RC mniejszą niż 100  µs , aby mógł zmierzyć wahania napięcia w krótkich odstępach czasu. Jeśli opór obwodu (wynikający głównie z oporu elektrycznego klatki piersiowej pacjenta) wynosi 1  kΩ , to jaka jest maksymalna pojemność obwodu? Czy w praktyce trudno jest ograniczyć pojemność do wartości mniejszej niż stwierdzona w części (a)? a. 0,1  µF ; b. Nie, w praktyce nie jest trudne ograniczenie pojemności do wartości mniejszej niż 0,1  µF , ponieważ pojemność typowego kondensatora mieści się w przedziale od ułamków pikofarada ( pF ) do milifaradów ( mF ). Korzystając z dokładnej zależności wykładniczej, określ ile czasu potrzeba, aby naładować początkowo nienaładowany kondensator o pojemności 100  pF poprzez opornik o oporze 75  MΩ do 90  % napięcia końcowego. Jeśli chcesz zrobić zdjęcie pocisku poruszającego się z prędkością 500  m ∕ s , to bardzo krótki błysk światła wytworzony w obwodzie RC przez rozładowanie poprzez lampę błyskową może ograniczyć rozmycie. Jaki jest opór lampy błyskowej przy założeniu, że dopuszczalne jest przemieszczenie o 1  mm w czasie jednej stałej czasowej obwodu RC oraz że lampa błyskowa jest zasilana przez kondensator o pojemności 600  µF ? 3,33 ⋅ 10 − 3  Ω . obwód RC (ang. RC circuit ) obwód elektryczny złożony z opornika i kondensatora

Science