Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem W silnikach elektrycznych (ang. electrical motors ) najpowszechniej stosowane są siły magnetyczne działające na przewodniki z przepływającym przez nie prądem. Znajdują się w nich pętle przewodnika w polu magnetycznym. Podczas przepływu prądu przez przewodnik pole magnetyczne wytwarza moment sił działających na przewodnik, co powoduje obrót wału. W procesie tym energia elektryczna ulega przekształceniu w pracę mechaniczną. Gdy powierzchnia obejmowana przez pętlę zostanie obrócona przez pole magnetyczne, kierunek przepływu prądu zmieni się na przeciwny, tak aby zachować stałość momentu sił działających na nią ( ). Zmiana kierunku prądu dokonuje się za pośrednictwem komutatora (przełącznika) i szczotek. Komutator (ang. commutator ) jest ustawiony tak, aby zmieniać kierunek przepływu prądu w określonych chwilach dla zachowania ciągłości pracy (ruchu) silnika. W typowym komutatorze występują trzy obszary braku kontaktu i martwe punkty, w których chwilowy moment sił działających na pętlę wynosi zero. Szczotki, dociskane do komutatora, wytwarzają kontakt elektryczny pomiędzy częściami komutatora podczas jego ruchu obrotowego. Uproszczona wersja silnika elektrycznego prądu stałego. (a) Prostokątna pętla przewodnika umieszczona jest w polu magnetycznym. Siły działające na nią w pobliżu biegunów magnetycznych (N oraz S) są zwrócone przeciwnie, co wynika z reguły prawej dłoni 1. Zatem moment sił działających na pętlę powoduje jej obrót do pozycji widocznej na rysunku (b). (b) Szczotki stykają się teraz z segmentami komutatora w taki sposób, że prąd nie płynie przez pętlę. Moment sił działających na pętlę nie występuje, ale ruch obrotowy pętli jest kontynuowany dzięki początkowej prędkości obrotowej nadanej pętli podczas fazy (a). Do czasu odwrócenia się pętli prąd znowu popłynie przez przewodnik, ale tym razem w przeciwnym kierunku i proces z fazy (a) zostanie powtórzony. Umożliwi to ciągły ruch obrotowy pętli. W jednorodnym polu magnetycznym pętla przewodnika z prądem, taka jak w silniku, doświadcza działania sił i momentów sił. pokazuje prostokątną pętlę przewodnika I , o bokach długości a oraz b . Pętla znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji: B → = B  j ̂ . Siła magnetyczna działająca na prostych odcinkach przewodzącego prąd drutu długości l jest dana przez I  l → × B → . Żeby obliczyć wypadkową sił działających na pętlę, należy zastosować to równanie do każdego z czterech jej boków. Siła działająca na bok 1 to F → 1 = I  a  B  sin 90 ° − θ ⋅ i ̂ = I  a  B  cos θ ⋅ i ̂  , gdzie kierunek i zwrot wyznaczono za pomocą RHR-1. Prąd wzdłuż boku 3 płynie w przeciwnym kierunku niż wzdłuż boku 1, więc F → 3 = − I  a  B  sin 90 ° + θ ⋅ i ̂ = − I  a  B  cos θ ⋅ i ̂  . Prądy wzdłuż boków 2 i 4 są prostopadłe do B → , a siły wypadkowe działające na nie są równe F → 2 = I  b  B  k ̂  ,  F → 4 = − I  b  B  k ̂  . Możemy więc wyznaczyć wypadkową sił działających na pętlę F → wyp = ∑ i = 1 4 F → i = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4 = 0  N  . \vec{F}_{\text{wyp}} = \sum_{i=1}^4 \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 = \SI{0}{\newton} \text{.} Mimo że wynik ten ( F wyp = 0  N F_{\text{wyp}} = \SI{0}{\newton} ) otrzymaliśmy dla pętli prostokątnej, to jest on znacznie bardziej ogólny i pozostaje w mocy dla dowolnego kształtu pętli przewodzących prąd, zatem nie występuje wypadkowa sił działających na pętlę z prądem w jednorodnym polu magnetycznym. (a) Prostokątna pętla z prądem w jednorodnym polu magnetycznym znajduje się pod wpływem wypadkowego momentu sił, ale nie wypadkowej sił. (b) Widok z boku. Żeby wyznaczyć moment sił działających na pętlę z prądem na , rozważmy najpierw F 1 i F 3 . Ponieważ mają one ten sam kierunek, równe wartości i przeciwne zwroty, rzuty sumy ich momentów na dowolną oś wynoszą zero (zobacz: Obrót wokół ustalonej osi ). Zatem jeżeli występuje (nieznikający) moment sił działających na pętlę, to musi pochodzić od F 2 i F 4 . Obliczmy rzuty momentów sił na oś przechodzącą przez punkt O na (b) i na prostopadłą do płaszczyzny rysunku. Punkt O znajduje się w odległości x od boku 2 i w odległości a − x od boku 4 pętli. Ramiona momentów sił F 2 i F 4 są długości odpowiednio x  sin θ i a − x  sin θ , wypadkowy moment sił działających na pętlę wynosi M → wyp = ∑ i = 1 4 M → i = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4 M → wyp = F 2  x  sin θ ⋅ i ̂ − F 4  a − x  sin θ ⋅ i ̂ M → wyp = − I  b  B  x  sin θ ⋅ i ̂ − I  b  B  a − x  sin θ ⋅ i ̂  . \begin{multiline} \vec{M}_{\text{wyp}} &= \sum_{i=1}^{4} \vec{M}_i = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3 + \vec{M}_4 \\ &= F_2 x \sin \theta \cdot \hat{i} - F_4 (a-x) \sin \theta \cdot \hat{i} \\ &= -IbBx \sin \theta \cdot \hat{i} - IbB(a-x) \sin \theta \cdot \hat{i} \text{.} \end{multiline} M → wyp = ∑ i = 1 4 M → i = M → 1 + M → 2 + M → 3 + M → 4 = F 2  x  sin θ ⋅ i ̂ − F 4  a − x  sin θ ⋅ i ̂ = − I  b  B  x  sin θ ⋅ i ̂ − I  b  B  a − x  sin θ ⋅ i ̂  . Wyrażenie upraszczamy do M → = − I  S  B  sin θ ⋅ i ̂  , \vec{M} = - ISB \sin \theta \cdot \hat{i} \text{,} gdzie S = a  b oznacza pole powierzchni pętli. Zauważmy, że otrzymany moment sił nie zależy od x , tym samym nie zależy od położenia punktu O w płaszczyźnie pętli z prądem. W konsekwencji pętla doznaje działania takich samych momentów sił pochodzących od pola magnetycznego przy obrotach wokół dowolnych osi, leżących w płaszczyźnie pętli i równoległych do osi x . Zamkniętą pętlę z prądem często traktuje się jako dipol magnetyczny (ang. magnetic dipole ), a wyrażenie I  S określa się jako wartość jego magnetycznego momentu dipolowego (ang. magnetic dipole moment ) μ . Dokładniej, magnetyczny moment dipolowy jest wektorem zdefiniowanym jako μ → = I  S  n ̂  , gdzie n ̂ jest wektorem jednostkowym, prostopadłym do płaszczyzny pętli ( ). Kierunek i zwrot n ̂ określa się przy pomocy RHR-2 – jeżeli zgięte palce prawej dłoni wskazują kierunek przepływu prądu przez pętlę, to kciuk pokazuje kierunek i zwrot n ̂ . Jeżeli pętla zawiera N zwojów przewodnika, to magnetyczny moment dipolowy jest równy odpowiedniej wielokrotności μ → = N  I  S  n ̂  . Za pomocą magnetycznego momentu dipolowego moment sił działających na pętlę z prądem w jednorodnym polu magnetycznym może być prosto wyrażony jako iloczyn wektorowy M → = μ → × B →  . Zależność ta jest zachowana dla dowolnego kształtu płaskiej pętli z prądem. Przy użyciu analogicznego rachunku, jak wykonany w Pojemność elektryczna dla dipola elektrycznego, energię potencjalną dipola magnetycznego wyznaczymy jako E p = − μ → ⋅ B →  . Siły i momenty sił działających na pętlę przewodzącą prąd Kołowa pętla o promieniu 2  cm przewodzi prąd o natężeniu 2  mA . Ile wynosi wartość jej magnetycznego momentu dipolowego? Jeżeli moment dipolowy jest zorientowany pod kątem 30 ° do kierunku wektora indukcji (jednorodnego) pola magnetycznego o wartości 0,5  T , to ile wynosi wartość momentu sił w takim przypadku i jaka jest jego energia potencjalna? Strategia rozwiązania Moment dipolowy zdefiniowano za pomocą iloczynu natężenia prądu i pola powierzchni pętli. Pole powierzchni pętli może być obliczone jako pole koła. Moment sił działających na pętlę i energię potencjalną można obliczyć po wyznaczeniu momentu magnetycznego, indukcji pola magnetycznego i kąta orientacji momentu względem pola. Rozwiązanie Moment magnetyczny μ obliczymy, mnożąc natężenie prądu przez pole powierzchni kołowej pętli π  r 2 μ = I  S = 2 ⋅ 10 − 3  A ⋅ π ⋅ 0,02  m 2 = 2,5 ⋅ 10 − 6  A  m 2  . Moment sił i energię potencjalną wyznaczymy, identyfikując moment magnetyczny, indukcję pola magnetycznego i kąt pomiędzy ich wektorami. Wykonujemy następujące obliczenia M = M → = μ → × B → = μ  B  sin θ = 2,5 ⋅ 10 -6  A  m 2 ⋅ 0,5  T ⋅ sin 30 ° M = M → = 6,3 ⋅ 10 -7  N  m  , \begin{multiline} M &= \abs{\vec{M}} = \abs{\vec{\mu} \times \vec{B}} = \mu B \sin \theta = \SI{2,5e-6}{\ampere\metre\squared} \cdot \SI{0,5}{\tesla} \cdot \sin \ang{30} \\ &= \SI{6,3e-7}{\newton\metre} \text{,} \end{multiline} M = M → = μ → × B → = μ  B  sin θ = 2,5 ⋅ 10 -6  A  m 2 ⋅ 0,5  T ⋅ sin 30 ° = 6,3 ⋅ 10 -7  N  m  , E p = − μ → ⋅ B → = − μ  B  cos θ = − 2,5 ⋅ 10 -6  A  m 2 ⋅ 0,5  T ⋅ cos 30 ° = − 1,1 ⋅ 10 -6  J  . E_{\text{p}} = - \vec{\mu} \cdot \vec{B} = - \mu B \cos \theta = -\SI{2,5e-6}{\ampere\metre\squared} \cdot \SI{0,5}{\tesla} \cdot \cos \ang{30} = -\SI{1,1e-6}{\joule} \text{.} Znaczenie Zagadnienie momentu magnetycznego na poziomie atomowym omówimy w następnym rozdziale. Reorientacja momentu magnetycznego za pomocą pola magnetycznego stanowi podstawę działania urządzeń takich jak silniki magnetyczne. W rezultacie przełączanie zewnętrznego pola magnetycznego powoduje stały ruch obrotowy pętli, która dąży do ustawienia się w stosunku do pola tak, aby minimalizować energię potencjalną. Sprawdź, czy rozumiesz. Jak powinien być zorientowany względem pola magnetycznego moment dipolowy, aby wytworzyć maksymalny moment sił w danym polu magnetycznym; nadać dipolowi maksymalną energię? a. Prostopadle; b. Równolegle (energia najbardziej ujemna) lub antyrównolegle (energia najbardziej dodatnia). Podsumowanie Wypadkowa sił działających na przewodzącą prąd płaską pętlę dowolnego kształtu w jednorodnym polu magnetycznym wynosi zero. Wypadkowy moment M sił działających na przewodzącą prąd pętlę dowolnego kształtu w jednorodnym polu magnetycznym wyraża się wzorem M → = μ → × B → , gdzie μ → jest magnetycznym momentem dipolowym, a B → indukcją pola magnetycznego. Magnetyczny moment dipolowy μ równa się iloczynowi liczby zwojów drutu N , natężenia przepływającego przez przewodnik prądu I oraz pola powierzchni pojedynczego zwoju S : μ → = N  I  S  n ̂ . Zadania Odpowiedz na poniższe pytania. O ile procent maleje moment sił działających na silnik, gdy jego magnes trwały traci 5  % swojej siły (namagnesowania)? O ile procent należy zwiększyć natężenie prądu, aby przywrócić pierwotne wartości momentu sił? a. M = N  I  S  B , więc M maleje o 5  % , gdy B maleje o 5  % ; b. Zwiększyć o 5,26  % . Odpowiedz na poniższe pytania. Jaką wartość ma maksymalny moment sił działających na kwadratową pętlę drutu o 150 zwojach i długości boku 18  cm , przez którą płynie prąd o natężeniu 50  A , w polu magnetycznym o indukcji 1,6  T ? Jaką wartość ma moment sił, jeżeli θ równa się 10,9 ° ? Wyznacz natężenie prądu, który musi płynąć przez pętlę, aby wytworzyć maksymalny moment sił 9  N  m . Pętla zawiera 50 kwadratowych zwojów o długości boku 15  cm i znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 0,8  T . 10  A . Oblicz indukcję pola magnetycznego, działającego na kwadratową pętlę o 200 zwojach i długości boku 20  cm , koniecznego do wywołania maksymalnego momentu sił 300  N  m w czasie, gdy przez pętlę płynie prąd o natężeniu 25  A . Skoro wyrażenie na moment sił działających na przewodzącą prąd pętlę ma postać M = N  I  S  B  sin θ , to jednostka N  m musi być równa jednostce A  m 2  T . Zweryfikuj to. A  m 2 ⋅ T = A  m 2 ⋅ N A  m = N  m \si{\ampere\metre\squared} \cdot \si{\tesla} = \si{\ampere\metre\squared} \cdot \frac{\si{\newton}}{\si{\ampere\metre}} = \si{\newton\metre} . Przy jakiej wartości kąta θ moment sił działających na pętlę z prądem wyniesie 90  % wartości maksymalnej; 50  % wartości maksymalnej; 10  % wartości maksymalnej? Proton ma własny moment magnetyczny, związany z jego spinem. Indukcja pola jest podobna do wytworzonej przez kołową pętlę o promieniu 0,65 ⋅ 10 − 15  m z prądem o natężeniu 1,05 ⋅ 10 4  A . Wyznacz maksymalny moment siły działającej na proton w polu o indukcji 2,5  T . (Dla małej cząstki jest to znaczny moment siły). 3,48 ⋅ 10 − 26  N  m . Kołowa pętla o 200 zwojach i promieniu 50  cm jest ustawiona pionowo, a jej oś symetrii leży na linii wschód–zachód. Prąd 100  A krąży w pętli w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara – patrząc od wschodu. Ziemskie pole magnetyczne jest w tym miejscu równoległe do podłoża, a jego indukcja ma wartość 3 ⋅ 10 − 5  T . Jakie są kierunek, zwrot i wartość momentu sił działających na pętlę? Czy można zastosować takie urządzenie w charakterze silnika? Powtórz zadanie poprzednie dla przypadku pętli leżącej poziomo na podłożu, z prądem krążącym w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, patrząc z góry, w miejscu, gdzie ziemskie pole magnetyczne jest zwrócone na północ, ale pod kątem 45 ° w dół do płaszczyzny horyzontu, a jego indukcja ma wartość 6 ⋅ 10 − 5  T . 0,666  N  m . dipol magnetyczny (ang. magnetic dipole ) zamknięta pętla przewodnika z przepływającym prądem lub para biegunów magnetycznych w przypadku gdy rozmiary źródła, pętli lub pary biegunów, są traktowane jako niewielkie (w granicy – znikające) magnetyczny moment dipolowy (ang. magnetic dipole moment ) iloczyn natężenia prądu oraz pola powierzchni przewodnika, oznaczane także jako μ silnik (prądu stałego) (ang. motor (DC) ) pętla drutu w polu magnetycznym; gdy prąd przepływa przez pętlę, pole magnetyczne wywiera na nią moment sił, co powoduje obrót wału; w procesie tym energia elektryczna ulega przetworzeniu w pracę mechaniczną

Science


Efekt Halla W 1879 r. Edwin Herbert Hall (1855–1938) opracował eksperyment pozwalający ustalić znak przeważających w danym materiale nośników ładunku. Z perspektywy historycznej był to pierwszy eksperyment umożliwiający zademonstrowanie faktu, że ładunek nośników w większości metali jest ujemny. Odwiedź tę stronę , aby uzyskać więcej informacji na temat efektu Halla. Przeanalizujemy efekt Halla (ang. Hall effect ), śledząc ruch elektronu swobodnego wzdłuż metalowej taśmy o szerokości l w stałym polu magnetycznym ( ). Elektrony poruszają się z lewa na prawo tak, że siła magnetyczna, której działania doznają, dociska je do dolnej krawędzi taśmy, co skutkuje powstaniem pola elektrycznego E zwróconego w dół. Koncentracja ładunku na obu krawędziach taśmy narasta do momentu, gdy siła elektryczna działająca na elektrony w danym kierunku zostanie zrównoważona przez siłę magnetyczną działającą na nie w kierunku przeciwnym. Równowaga zostaje osiągnięta, gdy e  E = e  v d  B  , gdzie e jest wartością ładunku elektronu, v d prędkością unoszenia elektronów, a E natężeniem pola elektrycznego wytworzonego przez rozdzielone ładunki. W rezultacie rozwiązania tego równania na prędkość unoszenia otrzymujemy v d = E B  . W efekcie Halla różnica potencjałów pomiędzy górną a dolną krawędzią metalowej taśmy powstaje, gdy tory poruszających się ładunków uginane są przez pole magnetyczne. (a) Efekt Halla dla nośników ładunku ujemnego. (b) Efekt Halla dla nośników ładunku dodatniego. Przypadek, w którym pola elektryczne i magnetyczne są wzajemnie prostopadłe, nazywamy przypadkiem skrzyżowanych pól. Jeżeli pola te wytwarzają równe i przeciwnie zwrócone siły działające na naładowaną cząstkę o prędkości umożliwiającej wyrównanie się tych sił, wówczas cząstki te są w stanie przemieszczać się przez cały aparat, nazywany rozdzielaczem prędkości (ang. velocity selector ), bez ugięcia, tzn. wzdłuż linii prostej. Prędkość ta jest przedstawiona na . Naładowana cząstka o każdej innej prędkości przesyłana przez ten sam obszar pól byłaby odchylana przez siłę magnetyczną lub siłę elektryczną. Powróćmy do efektu Halla; jeżeli natężenie prądu w taśmie wynosi I , to z rozdziału Prąd i rezystancja wiemy, że I = n  e  v d  S  , gdzie n jest liczbą nośników ładunku podzieloną przez objętość, S polem powierzchni przekroju poprzecznego taśmy. Złożenie równań na v d oraz I prowadzi do I = n  e ⋅ E B ⋅ S  . Pole E jest związane z różnicą potencjałów U pomiędzy krawędziami taśmy podzieloną przez odległość E = U l  . Wielkość U nazywamy napięciem Halla i mierzymy ją za pomocą woltomierza. Ostatecznie równania dla I oraz E prowadzą do U = I  B  l n  e  S  , gdzie górna krawędź taśmy na jest dodatnia względem dolnej krawędzi. Możemy też złożyć oraz , aby otrzymać wyrażenie na napięcie Halla w zależności od indukcji pola magnetycznego U = B  l  v d  . A co się stanie, gdy nośniki ładunku będą dodatnie, jak na ? Dla natężenia prądu o tej samej wartości I wartość U jest nadal dana przez . Jednak górna krawędź jest teraz ujemna w stosunku do dolnej. Zatem mierząc znak U , możemy określić znak większościowych nośników ładunku w metalu. Pomiary napięcia Halla pokazują, że elektrony są dominującymi nośnikami ładunku w większości metali. Jednak w niektórych, takich jak wolfram i beryl, oraz w licznych półprzewodnikach ładunki większościowe są dodatnie. Okazuje się, że przewodzenie dodatnich ładunków wywołuje migracja brakujących elektronów z opuszczonych węzłów sieci (nazywanych dziurami) na jony. Przewodzenie dziur przeanalizujemy w dalszej części Fizyka fazy skondensowanej . Efekt Halla można wykorzystać do pomiaru pola magnetycznego. Jeżeli materiał o znanej gęstości (koncentracji) nośników ładunku n umieścimy w polu magnetycznym i zmierzymy napięcie U , to indukcję pola będziemy mogli wyznaczyć z . W laboratoriach badawczych, gdzie pola elektromagnesów wykorzystywanych do precyzyjnych pomiarów muszą być niezwykle trwałe, powszechnie korzysta się z sondy Halla jako części układu elektronicznego, która kontroluje pole. Rozdzielacz prędkości Wiązka elektronów wpada do rozdzielacza prędkości ze skrzyżowanymi polami magnetycznym i elektrycznym odpowiednio o indukcji 2  mT i natężeniu 6 ⋅ 10 3  N ∕ C . Jaką prędkość musi mieć wiązka elektronów, aby przechodziła przez obszar skrzyżowanych pól bez uginania trajektorii? Jeżeli pole elektryczne jest wyłączone, to ile wynosi przyspieszenie wiązki elektronów? Jaki jest promień okręgu, wzdłuż którego wiązka będzie się poruszała w tej sytuacji? Strategia rozwiązania Wiązka elektronów nie ulega ugięciu pod wpływem pól magnetycznego i elektrycznego, jeżeli odpowiadające im siły się równoważą. Na podstawie faktu równoważenia się sił obliczamy prędkość niezaburzonej wiązki. W przypadku nieobecności pola elektrycznego tylko siła magnetyczna występuje w równaniu Newtona, którego używamy do wyznaczenia przyspieszenia. Ostatecznie promień trajektorii wyznaczamy w oparciu o rozwiązanie równania Newtona z siłą magnetyczną opisujące ruch po okręgu. Rozwiązanie Prędkość niezaburzonej wiązki elektronów w skrzyżowanych polach obliczamy z v d = E B = 6 ⋅ 10 3  N ∕ C 2 ⋅ 10 − 3  T = 3 ⋅ 10 6  m ∕ s  . Przyspieszenie obliczamy z wypadkowej sił pochodzących od pola magnetycznego, równej iloczynowi masy i przyspieszenia. Wartością przyspieszenia jest m  a = q  v  B ⇒ a = q  v  B m  , ma = qvB \implies a = \frac{qvB}{m} \text{,} a = 1,6 ⋅ 10 -19  C ⋅ 3 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ 2 ⋅ 10 -3  T 9,1 ⋅ 10 -31  kg = 1,1 ⋅ 10 15  m ∕ s 2  . a = \frac{\SI{1,6e-19}{\coulomb} \cdot \SI{3e6}{\metre\per\second} \cdot \SI{2e-3}{\tesla}}{\SI{9,1e-31}{\kilo\gram}} = \SI{1,1e15}{\metre\per\second\squared} \text{.} Promień trajektorii uzyskujemy z przyrównania siły magnetycznej do siły dośrodkowej ruchu po okręgu ( ) jako r = m  v q  B = 9,1 ⋅ 10 − 31  kg ⋅ 3 ⋅ 10 6  m ∕ s 1,6 ⋅ 10 − 19  C ⋅ 2 ⋅ 10 − 3  T = 8,5 ⋅ 10 − 3  m  . Znaczenie Jeżeli prędkości elektronów w wiązce są większe lub mniejsze niż odpowiedź w części (a), to w wypadkowej sił wywieranych na te elektrony przeważa siła magnetyczna albo siła elektryczna. Dlatego przechodzą wyłącznie elektrony o tej szczególnej wartości prędkości. Napięcie Halla w płytce srebra ukazuje płytkę srebra o przekroju 1  cm na 0,2  cm . Przewodzi ona prąd 100  A z lewej na prawą stronę w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 1,5  T . Założywszy gęstość elektronów w srebrze n = 5,9 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3 , obliczmy napięcie Halla pomiędzy krawędziami. Schemat wyznaczania napięcia Halla w płytce srebra umieszczonej w polu magnetycznym. Strategia rozwiązania Większość nośników ładunku stanowią elektrony, polaryzację napięcia Halla przedstawiamy na rysunku. Wartość napięcia Halla obliczamy przy użyciu U = I  B  l n  e  S  . Rozwiązanie Żeby obliczyć napięcie Halla, musimy znać wartości prądu płynącego przez materiał i indukcji magnetycznej oraz długość przewodnika i pole jego przekroju, a także liczbę nośników ładunku. Skoro wszystkie wielkości są dane, napięcie Halla obliczamy jako U = I  B  l n  e  S = 100  A ⋅ 1,5  T ⋅ 10 − 2  m 5,9 ⋅ 10 38  elektronów ∕ m 3 ⋅ 1,6 ⋅ 10 − 19  C ⋅ 2 ⋅ 10 − 5  m 2 = 7,9 ⋅ 10 − 6  V  . Znaczenie Napięcie Halla jest bardzo małe i należy zachować ostrożność przy eksperymentach na wrażliwym sprzęcie, niezbędnym do tych pomiarów. Sprawdź, czy rozumiesz. Sonda Halla składa się z miedzianej ( n = 8,5 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3 ) taśmy o szerokości 2  cm i grubości 0,1  cm . Ile wynosi pole magnetyczne, gdy I = 50  A , a napięcie Halla równe jest 4  µV ; 6  µV ? a. 1,1  T ; b. 1,6  T . Podsumowanie Prostopadłe pola, elektryczne i magnetyczne, wywierają równe co do wartości, przeciwnie zwrócone siły, przy szczególnej prędkości wchodzących w ich obszar cząstek, tym samym działają jak rozdzielacz prędkości. Prędkość ładunków przelatujących bez uginania toru oblicza się za pomocą wzoru v d = E ∕ B v_{\text{d}} = E / B . Efekt Halla można wykorzystać do pomiaru znaku większościowych nośników ładunku w metalach, a także do pomiaru indukcji pola magnetycznego. Pytania Napięcie Halla jest znacznie większe dla słabych przewodników niż dla dobrych przewodników. Dlaczego? W słabych przewodnikach koncentracja nośników ładunku n jest niższa, co jest związane z wyższym napięciem Halla, zgodnie ze wzorem wyrażającym efekt Halla. W dobrych przewodnikach koncentracja nośników ładunku jest wyższa, zatem napięcie Halla – niższe. Zadania Miedziana taśma znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 2,5  T . Zmierzone natężenie pola elektrycznego Halla wynosi 1,5 ⋅ 10 − 3  V ∕ m . Jaka jest prędkość unoszenia elektronów przewodnictwa? Założywszy, że n = 8 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3 i że pole powierzchni przekroju poprzecznego taśmy wynosi 5 ⋅ 10 − 6  m 2 , oblicz natężenie prądu w taśmie; Ile wynosi współczynnik Halla n  q -1 (nq)^{-1} ? Wymiary przekroju poprzecznego miedzianej taśmy to 2  cm na 2  mm . Przewodzi ona prąd 100  A i umieszczona jest w polu magnetycznym o indukcji B = 1,5  T . Jaką wartość i polaryzację przyjmuje napięcie Halla w miedzianej taśmie? 5,8 ⋅ 10 − 7  V . Wartości natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej w rozdzielaczu prędkości wynoszą odpowiednio 1,8 ⋅ 10 5  V ∕ m i 0,08  T . Jaką prędkość musi mieć proton, aby przejść przez rozdzielacz? Oblicz także prędkości konieczne do przejścia przez cząstki α oraz przez pojedynczo zjonizowany atom s O 16 . Naładowana cząstka porusza się w rozdzielaczu prędkości ze stałą prędkością, E = 10 4  N ∕ C oraz B = 0,25  T . Gdy pole elektryczne zostaje wyłączone, cząstka porusza się wzdłuż okręgu o promieniu 3,33  mm . Wyznacz stosunek ładunku do masy cząstki. 4,8 ⋅ 10 7  C ∕ kg . Odczyt z sondy Halla wynosi 1,5  µV dla prądu 2  A , gdy jest ona umieszczona w polu magnetycznym o indukcji 1  T . Ile wynosi indukcja pola magnetycznego w obszarze odczytu, gdy wynosi on 2  µV dla prądu 1,7  A ? efekt Halla (ang. Hall effect ) wytwarzanie poprzecznego napięcia w przewodniku z prądem przez zewnętrzne pole magnetyczne rozdzielacz prędkości (ang. velocity selector ) aparat, w którym skrzyżowane pola elektryczne i magnetyczne wytwarzają równej wartości, przeciwnie zwrócone siły, działające na naładowaną cząstkę o określonej prędkości; cząstka ta porusza się przez obszar rozdzielacza prędkości tak, jak cząstka swobodna, podczas gdy cząstki poruszające się z innymi prędkościami są uginane w aparacie

Science


Zastosowania sił i pól magnetycznych Możliwość manipulowania cząstkami naładowanymi i ich rozróżniania pozwala na pogłębione badania nad budową materii. Na początku rozważymy spektrometr masowy, aby przekonać się, jak rozróżniać jony dzięki znajomości ilorazu ich ładunku i masy. Następnie omówimy działanie cyklotronów jako urządzeń do rozpędzania naładowanych cząstek w celu uzyskania bardzo wysokich energii. Spektrometr masowy Spektrometr masowy (ang. mass spectrometer ) jest urządzeniem, które rozdziela jony o różnych wartościach stosunku ładunku i masy. Jedną z jego wersji, spektrometr masowy Bainbridge’a, przedstawiamy poniżej ( ). Jony wytworzone przez źródło najpierw przepuszcza się przez rozdzielacz prędkości, w którym siła magnetyczna jest równoważona przez siłę elektryczną. Wszystkie jony na wyjściu mają takie same prędkości v = E ∕ B , ponieważ jony z innymi prędkościami na wejściu są rozpraszane przez większą z sił, elektryczną lub magnetyczną, i ostatecznie wykluczane z udziału w kolejnym etapie. Następnie jony wpadają w jednorodne pole magnetyczne o indukcji B → 0 \vec{B}_0 , gdzie podążają wzdłuż kołowego toru o promieniu R danym przez . Promień mierzy się za pomocą detektora cząstek ustawionego tak, jak pokazano na rysunku. Schemat spektrometru masowego Bainbridge’a przedstawia trajektorię naładowanych cząstek opuszczających źródło, przechodzących przez rozdzielacz prędkości, w którym zrównoważone są siły elektryczna i magnetyczna, wpadających w obszar jednorodnego pola magnetycznego, gdzie są one ostatecznie rejestrowane. Związek pomiędzy stosunkiem ładunku do masy q ∕ m a promieniem R określa złożenie i q m = E B  B 0  R  . Ponieważ większość jonów jest naładowana pojedynczym ładunkiem elementarnym ( q = 1,6 ⋅ 10 − 19  C ), mierzone wartości R mogą zostać użyte do wyznaczenia mas jonów przy użyciu powyższego równania. Współczesne instrumenty pozwalają wyznaczyć masy z dokładnością 10 − 8 . Ciekawe jest zastosowanie spektrometru jako części układu do detekcji bardzo małych wypływów w aparaturze badawczej. W laboratoriach niskich temperatur urządzenie znane jako chłodziarka roztworu wykorzystuje mieszaninę 3 He, 4 He i innych kriogeników do osiągnięcia temperatur znacznie poniżej 1  K . Działanie chłodziarki ulega znacznemu spowolnieniu, gdy dojdzie do choćby najmniejszej nieszczelności. Dlatego przed schłodzeniem do pożądanej temperatury chłodziarkę poddaje się testowi szczelności. Niewielką ilość helu w postaci gazowej wtłacza się do komór chłodziarki, podczas gdy wybraną (pozornie) izolowaną komorę łączy się z pompą wysokiej próżni wyposażoną dodatkowo w spektrometr masowy. Ogrzana struga jonizuje atomy helu odprowadzane przez pompę. Detekcja tych jonów w spektrometrze świadczy o nieszczelności pomiędzy dwiema komorami chłodziarki roztworu. W połączeniu z chromatografią gazową spektrometry masowe są szeroko stosowane do identyfikacji nieznanych substancji. Podczas gdy chromatografia gazowa rozbija substancję, spektrometr masowy oddziela powstające zjonizowane cząstki. Technikę tę stosują biegli do ustalania przyczyn pożarów na podstawie szczątków, organy ścigania do identyfikacji narkotyków, służby ochrony do identyfikacji materiałów wybuchowych; ma ona także liczne zastosowania medyczne. Cyklotron Cyklotron (ang. cyclotron ) wynalazł Ernest Orlando Lawrence (1901–1958) jako urządzenie do przyspieszania cząstek naładowanych (zwykle protonów, deuteronów lub cząstek α) dla osiągania wielkich energii kinetycznych rzędu kilkunastu MeV \si{\mega\electronvolt} . Cząstki te używane są w eksperymentach zderzeń jądrowych i do produkcji izotopów radioaktywnych. Cyklotron przedstawia . Cząstki przemieszczają się pomiędzy dwiema płaskimi, półcylindrycznymi metalowymi komorami D1 i D2, nazywanymi D (ang. dees ). D znajdują się wewnątrz większego metalowego zbiornika, a cała aparatura umieszczana jest pomiędzy biegunami elektromagnesu, który wytwarza jednorodne pole magnetyczne. Z dużego zbiornika odprowadzone jest powietrze, dzięki czemu cząstki nie tracą energii ani nie są rozpraszane w wyniku zderzeń z cząstkami powietrza. Komory D połączone są ze źródłem napięcia wysokiej częstotliwości wytwarzającym zmienne pole elektryczne w niewielkim obszarze pomiędzy nimi. Ponieważ komory wykonane są z metalu, ich wnętrza pozostają ekranowane (chronione przed wnikaniem pola elektrycznego). Wnętrze cyklotronu. Podczas gdy przyłożone jest jednorodne pole magnetyczne, protony krążą, przemieszczając się pomiędzy komorami D, i zwiększają swoją energię, przechodząc przez szczelinę pomiędzy komorami. Załóżmy, że dodatnio naładowana cząstka wpada do szczeliny pomiędzy komorami D, przy czym potencjał komory D2 jest dodatni i mierzony względem potencjału komory D1. Wówczas cząstka ulega przyspieszeniu w kierunku poprzecznym do szczeliny i dociera do komory D1 po uzyskaniu energii kinetycznej q  U , gdzie U jest uśrednioną różnicą potencjałów pomiędzy komorami D. Podczas gdy cząstka znajduje się wewnątrz D1, działa na nią wyłącznie jednorodne pole magnetyczne B → elektromagnesu, zatem porusza się ona po okręgu o promieniu r = m  v q  B z okresem ruchu T = 2  π  m q  B  . Okres zmieniającego się napięcia jest tak dobrany w stosunku do T , aby podczas ruchu cząstki po okręgu we wnętrzu komory D1 w czasie T ∕ 2 polaryzacja komór D ulegała odwróceniu. Gdy cząstka ponownie wchodzi w obszar szczeliny, potencjał D1 jest dodatni względem potencjału D2, a cząstka jest ponownie przyspieszana w kierunku poprzecznym do szczeliny, uzyskując energię kinetyczną q  U . Następnie cząstka dociera do D2, krąży po nieco większym okręgu i opuszcza D2 po spędzeniu w niej czasu T ∕ 2 . Proces ten jest powtarzany do czasu, gdy orbita cząstki zetknie się z brzegiem komór D. W tym momencie cząstka (w rzeczywistości wiązka cząstek) zostaje odprowadzona z cyklotronu i użyta do przeprowadzenia wybranego eksperymentu. Działanie cyklotronu opiera się na fakcie, że w jednorodnym polu magnetycznym okres ruchu orbitalnego cząstki nie zależy od jego promienia ani od energii kinetycznej cząstki. W konsekwencji okres źródła zmiennego napięcia należy dobrać do jednej tylko wielkości, danej przez . Przy takim ustawieniu pole elektryczne przyspiesza cząstki za każdym razem, gdy znajdą się one pomiędzy komorami D. Jeżeli maksymalny promień orbity w cyklotronie wynosi R , to z maksymalna prędkość krążącej cząstki o masie m i ładunku q wynosi v max = q  B  R m  . Zatem jej energia kinetyczna po uwolnieniu z cyklotronu wynosi E k max = 1 2  m  v max 2 = q 2  B 2  R 2 2  m  . E_{\text{k }\sep \text{max}} = \frac{1}{2} mv_{\text{max}}^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2 m} \text{.} Maksymalna energia kinetyczna osiągana w cyklotronach tego typu wynosi w przybliżeniu 30  MeV . Powyżej tej energii efekty relatywistyczne stają się istotne, co powoduje wzrost okresu ruchu orbitalnego ze wzrostem jego promienia. Przy energiach do kilkuset megaelektronowoltów efekty relatywistyczne można skompensować przez wprowadzenie stopniowego wzrostu wartości indukcji magnetycznej ze wzrostem promienia orbity. Jednak dla wyższych energii do przyspieszania cząstek konieczne jest zastosowanie znacznie bardziej wyszukanych metod. Cząstki przyspieszane są do bardzo dużych energii za pomocą akceleratorów liniowych albo synchrotronów. Akcelerator liniowy przyspiesza cząstki w sposób ciągły przy użyciu pola elektrycznego fali elektromagnetycznej, która przemieszcza się wzdłuż długiej rury próżniowej. Liniowy akcelerator znajdujący się na Uniwersytecie Stanforda (ang. Stanford Linear Accelerator Center , SLAC) ma długość ok. 3,3  km i przyspiesza elektrony i pozytony (dodatnio naładowane elektrony) do energii 50  GeV . Synchrotron obecnie uzyskiwanych energii należy do Europejskiej Organizacji Badań Jądrowych CERN ( Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire , o sposobie jego działania możesz dowiedzieć się np. z tego filmu ) i znajduje się na granicy szwajcarsko-francuskiej w pobliżu Genewy. Ostatnio CERN znalazło się w centrum uwagi dzięki potwierdzeniu odkrycia bozonu Higgsa (zobacz: Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia ). Synchrotron ten może przyspieszać wiązki ok. 10 13 protonów do energii ok. 7  TeV \SI{7}{\tera\electronvolt} . Przyspieszanie cząstek α w cyklotronie Cyklotron użyty do przyspieszenia cząstek α ( m = 6,64 ⋅ 10 − 27  kg , q = 3,2 ⋅ 10 − 19  C ) ma promień 0,5  m i znajduje się w polu magnetycznym 1,8  T . Jaki jest okres obiegu cząstek α? Ile wynosi ich maksymalna energia kinetyczna? Strategia rozwiązania Okres obiegu jest w przybliżeniu równy odległości pokonywanej wzdłuż okręgu podzielonej przez prędkość. Uwzględniwszy, że przyłożona siła magnetyczna jest siłą dośrodkową, możemy wyprowadzić wzór na okres. Energia kinetyczna może być wyznaczona z prędkości maksymalnej wiązki, odpowiadającej maksymalnemu promieniowi ruchu wewnątrz cyklotronu. Rozwiązanie Jeśli wiemy, ile wynoszą masa, ładunek i indukcja magnetyczna, możemy obliczyć okres T = 2  π  m q  B = 2  π ⋅ 6,64 ⋅ 10 − 27  kg 3,2 ⋅ 10 − 19  C ⋅ 1,8  T = 7,3 ⋅ 10 − 8  s  . Jeśli znamy ładunek, indukcję magnetyczną, promień trajektorii oraz masę, możemy obliczyć maksymalną energię kinetyczną E k max = 1 2  m  v max 2 = q 2  B 2  R 2 2  m = 3,2 ⋅ 10 -19  C 2 ⋅ 1,8  T 2 ⋅ 0,5  m 2 2 ⋅ 6,64 ⋅ 10 -27  kg E k max = 6,2 ⋅ 10 -12  J = 39  MeV  . \begin{multiline} E_{\text{k max}} &= \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = \frac{q^2B^2R^2}{2m} = \frac{(\SI{3,2e-19}{\coulomb})^2 \cdot (\SI{1,8}{\tesla})^2 \cdot (\SI{0,5}{\metre})^2}{2 \cdot \SI{6,64e-27}{\kilo\gram}} \\ &= \SI{6,2e-12}{\joule} = \SI{39}{\mega\electronvolt} \text{.} \end{multiline} E k max = 1 2  m  v max 2 = q 2  B 2  R 2 2  m = 3,2 ⋅ 10 -19  C 2 ⋅ 1,8  T 2 ⋅ 0,5  m 2 2 ⋅ 6,64 ⋅ 10 -27  kg = 6,2 ⋅ 10 -12  J = 39  MeV  . Sprawdź, czy rozumiesz. Masz zaprojektować cyklotron tak, aby przyspieszał protony do uzyskania przez nie energii kinetycznej o wartości 20  MeV przy użyciu pola magnetycznego o indukcji 2  T . Ile musi wynosić promień cyklotronu w takim przypadku? 0,32  m . Podsumowanie Spektrometr masowy jest urządzeniem, które w wyniku przepuszczenia jonów przez rozdzielacz prędkości, a następnie przez jednorodne pole magnetyczne, rozdziela je ze względu na iloraz ich ładunku oraz masy. Cyklotrony stosuje się do przyspieszania cząstek naładowanych do wysokich energii kinetycznych na skutek działania pól elektrycznego i magnetycznego. Najważniejsze wzory Siła działająca na ładunek w polu magnetycznym F → = q  v → × B → Wartość siły magnetycznej F = q  v  B  sin θ Promień trajektorii cząstki w polu magnetycznym r = m  v q  B Okres ruchu cząstki w polu magnetycznym T = 2  π  m q  B Siła działająca na przewodnik z prądem w jednorodnym polu magnetycznym F → = I  l → × B → Magnetyczny moment dipolowy μ → = N  I  S  n ̂ Moment sił działających na pętlę z prądem M → = μ → × B → Energia dipola magnetycznego E p = − μ → ⋅ B → Prędkość unoszenia w skrzyżowanych polach elektrycznym i magnetycznym v d = E B Potencjał Halla U = I  B  l n  e  S Potencjał Halla w zależności od prędkości unoszenia U = B  l  v d Stosunek ładunku do masy w spektrometrze masowym q m = E B  B 0  R Maksymalna prędkość cząstki w cyklotronie v max = q  B  R m Pytania Opisz, jaką rolę w cyklotronie odgrywa pole elektryczne i pole magnetyczne. Zadania Fizyk projektuje cyklotron do przyspieszania protonów do prędkości równej jednej dziesiątej wartości prędkości światła. Indukcja pola magnetycznego ma wartość 1,5  T . Wyznacz okres ruchu obrotowego protonu po okręgu; maksymalny promień orbity protonu. a. 4,4 ⋅ 10 − 8  s ; b. 0,21  m . Indukcja pola magnetycznego i natężenie pola elektrycznego w rozdzielaczu prędkości spektrometru masowego Bainbridge’a mają wartości odpowiednio B = 0,5  T oraz E = 1,2 ⋅ 10 5  V ∕ m , a indukcja pola magnetycznego rozdzielającego jony wynosi B 0 = 0,75  T . Strumień jonów Li naładowanych pojedynczym ładunkiem elementarnym porusza się wzdłuż łuku okręgu o promieniu 2,32  cm . Jaką masę mają jony Li? Indukcja pola magnetycznego w cyklotronie ma wartość 1,25  T , a maksymalny promień orbity protonu jest równy 0,4  m . Jaką energię kinetyczną mają protony opuszczające cyklotron? Ile wynosi wartość tej energii wyrażona w megaelektronowoltach? Jaką różnicę potencjałów musiałby pokonać proton, aby osiągnąć energię kinetyczną o tej wartości? Ile wynosi okres źródła zmiennego napięcia użytego do przyspieszania protonów? Powtórz obliczenia dla cząstek α. a. 1,92 ⋅ 10 − 12  J ; b. 12  MeV ; c. 12  MeV ; d. 52  ns ; e. 1,92 ⋅ 10 − 12  J , 12  MeV , 12  MeV , 104  ns . Spektrometr masowy zastosowano do odseparowania zwykłego tlenu-16 od cząsteczek tlenu-18 (występującego znacznie rzadziej) uwolnionych z próbki starego lodu arktycznego (względna obfitość tych izotopów tlenu jest związana z warunkami temperaturowymi tworzenia się lodu). Stosunek mas jonów obu tych izotopów wynosi 16 do 18, masa tlenu-16 to 2,66 ⋅ 10 − 26  kg , a jony obu typów są naładowane pojedynczym ładunkiem elementarnym i przelatują z prędkością 5 ⋅ 10 6  m ∕ s w polu magnetycznym o indukcji 1,2  T . Jak odległe od siebie są punkty końcowe ich trajektorii po przebyciu półokręgu? Potrójnie naładowane jony uranu-235 i uranu-238 są oddzielane od siebie w spektrometrze masowym. (Rzadziej występujący w przyrodzie uran-235 stosuje się jako paliwo w reaktorach jądrowych). Masy jonów są równe odpowiednio 3,9 ⋅ 10 − 25  kg i 3,95 ⋅ 10 − 25  kg , poruszają się one z prędkością 3 ⋅ 10 5  m ∕ s w polu o indukcji 0,25  T . Jak oddalone są od siebie punkty końcowe ich trajektorii po przebyciu półokręgu? Czy uważasz tę odległość pomiędzy trajektoriami za wystarczająco dużą do praktycznego oddzielania uranu-235 od uranu-238? a. 2,5 ⋅ 10 − 2  m ; b. Zdecydowanie tak; odległość 2,5  cm pomiędzy trajektoriami jest wystarczająco duża do oddzielenia 235 U od 238 U. Zadania dodatkowe Oblicz wartość siły magnetycznej działającej na hipotetyczną cząstkę o ładunku 10 − 19  C poruszającą się z prędkością 6 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ i ̂ w polu magnetycznym o indukcji 1,2  T ⋅ k ̂ . Rozwiąż poprzednie zadanie dla zmienionej indukcji pola magnetycznego: 0,4  T ⋅ i ̂ + 1,2  T ⋅ k ̂ . − 7,2 ⋅ 10 − 15  N ⋅ j ̂ . Elektron wpada w obszar jednorodnego pola magnetycznego o indukcji 0,5  T ⋅ i ̂ + 0,8  T ⋅ k ̂ z prędkością 3 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ i ̂ + 4 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ j ̂ . Jaka siła działa na niego? Masa i ładunek kropli wody wynoszą odpowiednio 10 − 4  g oraz 2 ⋅ 10 − 8  C . Jeżeli kropla ma początkową prędkość poziomą 5 ⋅ 10 5  m ∕ s ⋅ i ̂ , to jakiej indukcji pole magnetyczne będzie podtrzymywać jej ruch w danym kierunku? Dlaczego musimy uwzględnić tu grawitację? 9,8 ⋅ 10 − 5  T ⋅ j ̂ ; siły magnetyczna i grawitacyjna muszą się wzajemnie równoważyć, aby była utrzymywana równowaga dynamiczna. Rozważ cztery przypadki ruchu protonu, takie jak na rysunku poniżej. Dla każdego z nich wyznacz siłę magnetyczną działającą na proton w zależności od wartości e , v 0 oraz B 0 . Elektron o energii kinetycznej 2000  eV przelatuje pomiędzy równoległymi płytami odległymi od siebie o 1  cm , pomiędzy którymi utrzymywana jest różnica potencjałów 300  V . Ile powinna wynosić indukcja jednorodnego pola magnetycznego B , aby elektron poruszał się wzdłuż linii prostej (pomiędzy płytami)? Przyjmij, że E i B są wzajemnie prostopadłe. 1,13 ⋅ 10 − 3  T . Cząstka α ( m = 6,64 ⋅ 10 − 27  kg , q = 3,2 ⋅ 10 − 19  C ) poruszająca się z prędkością v → = 2 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ i ̂ − 4 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ k ̂  , \vec{v} = \SI{2e6}{\metre\per\second} \cdot \hat{i} - \SI{4e6}{\metre\per\second} \cdot \hat{k} \text{,} wpada w obszar, w którym obecne jest pole elektryczne i magnetyczne E → = 5 ⋅ 10 4  V ∕ m ⋅ i ̂ − 2 ⋅ 10 4  V ∕ m ⋅ j ̂  , \vec{E} = \SI{5e4}{\volt\per\metre} \cdot \hat{i} - \SI{2e4}{\volt\per\metre} \cdot \hat{j} \text{,} B → = 10 -2  T ⋅ i ̂ + 4 ⋅ 10 -2  T ⋅ k ̂  . \vec{B} = 10^{-2}\si{\tesla} \cdot \hat{i} + \SI{4e-2}{\tesla} \cdot \hat{k} \text{.} Jaka siła działa na nią w chwili początkowej? Elektron poruszający się z prędkością v → \vec{v} v → = 4 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ i ̂ + 3 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ j ̂ v → = + 2 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ k ̂ wpada w obszar występowania jednorodnych pól: elektrycznego i magnetycznego. Indukcja pola magnetycznego dana jest przez B → = 1 ⋅ 10 -2  T ⋅ i ̂ − 2 ⋅ 10 -2  T ⋅ j ̂ B → = + 4 ⋅ 10 -2  T ⋅ k ̂ Jeżeli elektron przemieszcza się w tym obszarze wzdłuż linii prostej, to jakie jest pole elektryczne? 1,6 ⋅ 10 5  V ∕ m ⋅ i ̂ − 1,4 ⋅ 10 5  V ∕ m ⋅ j ̂ − 1,1 ⋅ 10 5  V ∕ m ⋅ k ̂ . W pewnej chwili elektron mający energię kinetyczną 10  keV porusza się z zachodu na wschód. Składowa pozioma indukcji ziemskiego pola magnetycznego wynosi 1,8 ⋅ 10 − 5  T i jest zwrócona na północ, a składowa pionowa wynosi 5 ⋅ 10 − 5  T i jest zwrócona w dół. Wzdłuż jakiej trajektorii porusza się elektron? Jaki jest promień krzywizny trajektorii? Powtórz obliczenia z rozwiązania poprzedniego zadania dla protonu o identycznej energii kinetycznej. a. Ruch po okręgu, w płaszczyźnie kierunków poziomego i pionowego; b. 1,61 ⋅ 10 − 14  N ⋅ j ̂ − 0,58 ⋅ 10 − 14  N ⋅ k ̂ . Ile powinna wynosić indukcja pola magnetycznego, aby ograniczyć orbitę protonu poruszającego się z prędkością 4 ⋅ 10 6  m ∕ s do okręgu o promieniu 10  cm ? Elektron i proton poruszają się z jednakowymi prędkościami w płaszczyźnie prostopadłej do jednorodnego pola magnetycznego. Porównaj promienie i okresy ich orbit. Masa protonu jest większa od masy elektronu, dlatego promień i okres orbity protonu są większe. Proton i cząstka α o identycznych energiach kinetycznych poruszają się w płaszczyźnie prostopadłej do jednorodnego pola magnetycznego. Porównaj okresy ich orbit. Jon naładowany pojedynczym ładunkiem elementarnym potrzebuje 2 ⋅ 10 − 3  s na wykonanie ośmiu okrążeń wzdłuż okręgu w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji 2 ⋅ 10 − 2  T . Ile wynosi masa jonu? 1,3 ⋅ 10 − 25  kg . Cząstka poruszająca się pionowo w dół z prędkością 6 ⋅ 10 6  m ∕ s wpada w jednorodne pole magnetyczne skierowane poziomo i zwrócone ze wschodu na zachód. Jeżeli cząstka jest początkowo odchylana na północ, to jej ładunek jest dodatni czy ujemny? Jeżeli B = 0,25  T i stosunek ładunku do masy ( q ∕ m ) cząstki wynosi 4 ⋅ 10 7  C ∕ kg , to jaki jest promień jej trajektorii? Ile wynosi prędkość cząstki, jeśli czas trwania jej ruchu w obszarze działania pola to 10 − 5  s ? Ile wynosi prędkość ruchu cząstki, jeśli zwiększymy ten czas do 2  s ? Proton, deuteron i cząstka α są przyspieszane przez tę samą różnicę potencjałów. Następnie wpadają w takie samo pole magnetyczne i poruszają się prostopadle do niego. Oblicz stosunki promieni ich kołowych trajektorii. Załóż, że m d = 2  m p oraz m α = 4  m p . 1:0, 707:1. Pojedynczo naładowany jon porusza się w jednorodnym polu magnetycznym 7,5 ⋅ 10 − 2  T , przebywając 10 okrążeń w ciągu 3,47 ⋅ 10 − 4  s . Zidentyfikuj ten jon. Dwie cząstki mają takie same pędy, ale ładunek cząstki S jest czterokrotnie większy od ładunku cząstki B . Jeżeli obie cząstki poruszają się w płaszczyźnie prostopadłej do jednorodnego pola magnetycznego, to jaki jest stosunek R S ∕ R B promieni ich kołowych orbit? 1 ∕ 4 . Jednorodne pole magnetyczne o wartości indukcji B jest skierowane równolegle do osi z . Proton wpada w to pole z prędkością v → = 4 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ j ̂ + 3 ⋅ 10 6  m ∕ s ⋅ k ̂ i przemieszcza się po trajektorii śrubowej o promieniu 5  cm . Ile wynosi B ? Ile trwa jedno okrążenie po linii śrubowej? W którym miejscu znajdzie się proton po 5 ⋅ 10 − 7  s od momentu wejścia w obszar pola? Elektron poruszający się z prędkością 5 ⋅ 10 − 6  m ∕ s wpada w pole magnetyczne, którego indukcja tworzy kąt 75 ° z osią x i ma wartość 0,2  T . Oblicz nachylenie (odległość pomiędzy pętlami helisy); promień trajektorii. a. 2,3 ⋅ 10 − 4  m ; b. 1,37 ⋅ 10 − 4  T . Mierzący 0,75  m odcinek kabla dostarczającego prąd do rozrusznika silnika samochodu tworzy kąt 60 ° z ziemskim polem 5,5 ⋅ 10 − 5  T . Jakie jest natężenie prądu, gdy kabel doznaje działania siły 7 ⋅ 10 − 3  N ? Jeżeli przesuniesz drut pomiędzy biegunami silnego magnesu w kształcie podkowy, poddając 5  cm jego długości działaniu pola o indukcji 1,75  T , to jaka siła będzie wywierana na ten odcinek drutu? Jaki jest kąt pomiędzy drutem przewodzącym prąd o natężeniu 8  A a polem o indukcji 1,2  T , w którym znajduje się drut, jeżeli 50  cm drutu doznaje działania siły magnetycznej 2,4  N ? Jaka siła zadziała na drut, jeżeli zostanie on obrócony tak, aby utworzyć kąt 90 ° z polem? a. 30 ° ; b. 4,8  N . Odcinek drutu o długości 1  m leży wzdłuż osi x i przewodzi prąd o natężeniu 2  A . Znajduje się on w obszarze pola magnetycznego o indukcji 3 ⋅ 10 − 3  T ⋅ i ̂ + 4 ⋅ 10 − 3  T ⋅ k ̂ . Wyznacz siłę magnetyczną działającą na ten odcinek drutu. Odcinek długiego na 5  m , prostoliniowego przewodnika z prądem 10  A , znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 8 ⋅ 10 − 3  T . Oblicz wielkość siły działającej na ten fragment drutu, jeżeli kąt pomiędzy wektorem indukcji i kierunkiem przepływu prądu wynosi 45 ° ; 90 ° ; 0 ° ; 180 ° . a. 0,283  N ; b. 0,4  N ; c. 0  N ; d. 0  N . Elektromagnes wytwarza pole magnetyczne o indukcji 1,5  T w cylindrycznym obszarze o promieniu 6  cm . Prostoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu 25  A przechodzi przez to pole tak, jak pokazano na rysunku. Jaka siła magnetyczna jest wywierana na drut? Pętla z prądem przedstawiona na rysunku leży w płaszczyźnie rysunku, podobnie jak pole magnetyczne. Wyznacz wypadkową sił i wypadkowy moment sił działających na pętlę, jeżeli I = 10  A oraz B = 1,5  T . 0  N , 0,01  N  m . Kołowa cewka o promieniu 5  cm składa się z pięciu zwojów i przewodzi prąd 5  A . Jeżeli cewka znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 5  T , to jaki maksymalny moment sił jest na nią wywierany? Kołowa cewka z drutu o przekroju 5  cm składa się z 20 zwojów i przewodzi prąd 2  A . Cewka leży w polu magnetycznym o indukcji 0,5  T , skierowanym równolegle do płaszczyzny podstawy cewki. Ile wynosi moment magnetyczny cewki? Jaki jest moment sił działających na cewkę? a. 0,31  A  m 2 ; b. 0,16  N  m . Przewodząca prąd cewka w polu magnetycznym doświadcza działania momentu sił o wartości 75  % maksymalnego możliwego momentu sił. Jaki kąt tworzą wektor indukcji pola magnetycznego i normalna do płaszczyzny podstawy cewki? Prostokątna pętla 4  cm na 6  cm przewodzi prąd 10  A . Ile wynosi magnetyczny moment dipolowy pętli? 0,024  A  m 2 . Kołowa cewka złożona z 200 zwojów ma promień 2  cm . Prąd o jakim natężeniu musi płynąć przez cewkę, żeby wytworzyć magnetyczny moment dipolowy 3  A  m 2 ? Działania jakiego maksymalnego momentu sił będzie doznawać cewka w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 5 ⋅ 10 − 2  T ? Jeżeli kąt pomiędzy μ oraz B wynosi 45 ° , to jaką wartość ma moment sił działających na cewkę? Ile wynosi magnetyczna energia potencjalna cewki przy tym jej ustawieniu? Prąd przepływający przez kołową pętlę z drutu o promieniu 10  cm wynosi 5  A . Oblicz magnetyczny moment dipolowy pętli; Jaki moment sił wywierany jest na pętlę, gdy znajduje się ona w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 0,2  T , takim że μ oraz B są ustawione do siebie pod kątem 30 ° ? Jaką energię potencjalną ma dipol przy tym ustawieniu? a. 0,16  A  m 2 ; b. 0,016  N  m ; c. 0,028  J . Drut o długości 1  m zwinięty jest w płaską pętlę. Pętla przewodzi prąd 5  A i umieszczona jest w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 0,25  T . Działania jakiego maksymalnego momentu siły doznaje pętla, jeżeli ma kształt kwadratu? A jakiego, jeżeli ma kształt okręgu? Pod jakim kątem odchylenia od kierunku B należy ustawić normalną kołowej cewki, aby moment sił działających na nią był równy maksymalnemu momentowi sił działających na cewkę kwadratową? Rozważ elektron krążący po kołowej orbicie o promieniu r . Udowodnij, że wartość magnetycznego momentu dipolowego μ oraz momentu pędu L elektronu są ze sobą związane poprzez μ ∕ L = e ∕ 2  m \mu / L = e / (2m) . Z definicji magnetycznego momentu dipolowego otrzymujemy μ = I ⋅ S = Δ Q ∕ Δ t ⋅ S = e ∕ T ⋅ π  r 2 = e ∕ 2  π  r ∕ v ⋅ π  r 2 = e  v  r ∕ 2 \mu = I\cdot S = \prefop{\Delta} Q / \prefop{\Delta} t \cdot S = e/T \cdot \pi r^2 = e / (2\pi r / v) \cdot \pi r^2 = evr/2 . Z kolei moment pędu równy jest L → = r → × p → ⇒ L = r  p = r  m  v \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \implies L = rp = rmv . Otrzymujemy zatem μ ∕ L = e  v  r ∕ 2 ∕ r  m  v = e ∕ 2  m \mu / L = (evr/2)/(rmv) = e/(2m) . Efekt Halla zastosowano do wyznaczenia znaku ładunku jego nośników w próbce półprzewodnika. Próbkę umieszczono pomiędzy biegunami magnesu w taki sposób, że indukcja pola magnetycznego zwrócona jest ku górze. Przez prostokątną próbkę ustawioną poziomo przepuszczono prąd. Gdy prąd płynie w kierunku na wschód, wówczas na północnej stronie próbki pomiar wskazuje wyższy potencjał niż na południowej. Stwierdź, czy nośniki ładunku są dodatnio, czy ujemnie naładowane. Dla miedzi koncentracja nośników ładunku wynosi 8,47 ⋅ 10 28 elektronów na 1  m 3 . Jakie napięcie Halla zostanie zmierzone w płytce miedzi o rozmiarach 3  cm × 2  cm × 1  cm (długość x szerokość x wysokość), z płynącym przez nią prądem o natężeniu 1,5  A , umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji 2,5  T , prostopadłym do boku płytki 3  cm × 2  cm ? 4,65 ⋅ 10 − 7  V . Efekt Halla zastosowano do wyznaczenia koncentracji ładunku nośników w pewnym nieznanym materiale. Napięcie Halla 40  µV przy natężeniu prądu 3  A zmierzono w polu magnetycznym o indukcji 3  T dla prostokątnej próbki o długości 2  cm , szerokości 1,5  cm i wysokości 0,4  cm . Wyznacz koncentrację nośników ładunku. Udowodnij, że napięcie Halla pomiędzy bokami drutów z tego samego materiału przewodzących prądy o identycznych natężeniach i pod działaniem tego samego pola magnetycznego jest odwrotnie proporcjonalne do ich średnic. Wskazówka: rozważ, w jaki sposób prędkość unoszenia zależy od średnicy drutu. Ponieważ U = B  l  v d , gdzie długość jest dwukrotnością promienia, l = 2  r , I = n  q  S  v d , v d = I ∕ n  q  S = I ∕ n  q  π  r 2 , zatem U = B ⋅ 2  r ⋅ I ∕ n  q  π  r 2 = 2  I  B ∕ n  q  π  r ∝ 1 ∕ r ∝ 1 ∕ d . Napięcie Halla jest odwrotnie proporcjonalne do średnicy drutu. W rozdzielaczu prędkości w spektrometrze masowym stosuje się pole magnetyczne o indukcji 0,1  T . Pole elektryczne o jakim natężeniu jest niezbędne, aby oddzielić cząstki o prędkości 4 ⋅ 10 6  m ∕ s ? Jakie jest napięcie pomiędzy płytami, jeżeli są one oddalone od siebie o 1  cm ? Oblicz promień krzywizny trajektorii protonu o energii 25  MeV poruszającego się prostopadle do pola cyklotronu o indukcji 1,2  T . 6,92 ⋅ 10 7  m ∕ s , 0,602  m . Nieracjonalne wyniki. Do niemechanicznego miernika przepływu wody wykorzystano pole magnetyczne o indukcji 0,5  T ustawione w poprzek rury dostarczającej wodę do domu; miernik rejestruje napięcie Halla. Wyznacz prędkość przepływu wody przez rurę o średnicy 3  cm , jeżeli napięcie Halla wynosi 60  mV ; Jakie byłoby napięcie Halla przy tej samej prędkości przepływu w przypadku rury o średnicy 10  cm w takim samym polu magnetycznym? Nieracjonalne wyniki. Naładowana cząstka o masie 6,64 ⋅ 10 − 27  kg (takiej jak masa atomu helu) poruszająca się z prędkością 8,7 ⋅ 10 5  m ∕ s prostopadle do pola magnetycznego o indukcji 1,5  T zatacza okrąg o promieniu 16  mm . Jaki ładunek ma cząstka? Co jest nieprawdopodobnego w tym rezultacie? Z jakich założeń to wynika? a. 2,4 ⋅ 10 − 19  C ; b. Niecałkowita wielokrotność e ; c. Należy założyć, że wszystkie ładunki są wielokrotnościami e . Nieracjonalne wyniki. Wynalazca chce wytworzyć napięcie 120  V , przemieszczając drut o długości 1  m prostopadle do ziemskiego pola o indukcji 5 ⋅ 10 − 5  T . Wyznacz prędkość, z którą należy przesuwać drut; Co jest nieprawdopodobnego w tym rezultacie? Z jakich założeń to wynika? Nieracjonalne wyniki. Sfrustrowany z powodu niskiego napięcia Halla otrzymanego w pomiarach przepływu krwi fizyk medyczny decyduje się zwiększyć przyłożone pole magnetyczne tak, aby otrzymać napięcie wyjściowe 0,5  V , przy przepływie krwi z prędkością 30  cm ∕ s przez żyłę o średnicy 1,5  cm . Jakiej indukcji pola magnetycznego potrzebuje? Co jest nieprawdopodobnego w tym rezultacie? Z jakich przesłanek to wynika? a. B = 5  T ; b. Bardzo duży magnes; c. Zastosowanie bardzo wysokiego napięcia. Zadania trudniejsze Cząstka o ładunku + q i masie m porusza się z prędkością v → 0 w kierunku dodatnim osi y i przecina w pewnej chwili oś x w x = R . Ładunek ujemny − Q unieruchomiony jest na początku układu współrzędnych i występuje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B → 0 zorientowane w kierunku dodatnim osi z . Okazuje się, że cząstka zatacza okrąg o promieniu R dookoła ładunku − Q . Wyznacz B → 0 . Proton o prędkości v = 6 ⋅ 10 5  m ∕ s wpada w obszar jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B = 0,5  T pod kątem 30 ° do kierunku pola magnetycznego. W obszarze pola magnetycznego proton zakreśla linię śrubową o promieniu R i nachyleniu p (odległość pomiędzy pętlami). Oblicz R oraz p . R = m  v  sin θ ∕ q  B , p = 2  π  m ∕ e  B ⋅ v  cos θ . Trajektoria cząstki zakrzywia się, gdy przechodzi ona przez obszar niezerowego pola magnetycznego, przy czym jej prędkość się nie zmienia. Jest to bardzo przydatne do sterowania wiązką w akceleratorach cząstek. Rozważ proton o prędkości 4 ⋅ 10 6  m ∕ s wpadający w obszar jednorodnego pola magnetycznego o indukcji 0,2  T i szerokości 5  cm . Pole magnetyczne jest prostopadłe do prędkości cząstki. Ugięciu o jaki kąt ulegnie trajektoria protonu? Wskazówka: cząstka wylatuje w kierunku stycznym do pewnego okręgu. W pewnym obszarze niejednorodnego pola magnetycznego składowe wektora indukcji magnetycznej są następujące: B x = 0 , B y = 0 i B z = a  x , gdzie a jest stałą. W pewnej chwili t drut o długości L przewodzący prąd o natężeniu I ustawiony jest wzdłuż osi x i umieszczony pomiędzy początkiem układu współrzędnych i x = L . Wyznacz wypadkową sił magnetycznych działających na drut w tej chwili. I  a  L 2 ∕ 2 . Podłużny miedziany pręt o masie m i długości L zawieszono na dwóch sprężynach o takich samych współczynnikach sprężystości k . Jednorodne pole magnetyczne o indukcji B 0 skierowane prostopadle do pręta i sprężyn (wchodzące za płaszczyznę rysunku) występuje w obszarze fragmentu miedzianego pręta o długości w . Końce pręta podłączono za pomocą giętkich miedzianych drutów do biegunów baterii o napięciu U . Wyznacz zmianę długości sprężyn po tym, jak prąd o natężeniu I rozpocznie przepływ wzdłuż miedzianego pręta w kierunku wskazanym na rysunku. (Pomiń wszystkie siły działające na giętkie przewody). Dołączony rysunek przedstawia początkowy etap pomiaru masy jonów za pomocą spektrometru masowego. Jon o masie m i ładunku + q znajduje się w stanie spoczynku w źródle S – w komorze, w której następuje wyładowanie gazu. Jon jest przyspieszany przez różnicę potencjałów U przysp i może wchodzić w obszar stałego pola magnetycznego o indukcji B → 0 . W obszarze jednorodnego pola magnetycznego jon porusza się wzdłuż okręgu i uderza w kliszę fotograficzną w odległości x od punktu wejścia. Wyprowadź wyrażenie na masę m w zależności od B 0 , q , U przysp oraz x . m = q  B 0 2  x 2 ∕ 8  U przysp . Drut zwinięto w okrąg o promieniu R i przymocowano do przechodzącego przez środek okręgu wspornika. Oba końce drutu stykają się ze szczotką, która jest podłączona do źródła stałego napięcia. Całą strukturę umieszczono pomiędzy biegunami magnesu w taki sposób, że możemy traktować pole magnetyczne działające na drut jako jednorodne. W układzie odniesienia o początku w środku pierścienia indukcja pola magnetycznego ma postać B x = B 0 , B y = B z = 0 , a pierścień obraca się dookoła osi z . Oblicz moment sił działających na pierścień w sytuacji, gdy nie leży on w płaszczyźnie x z . Długi i sztywny drut rozłożony wzdłuż osi x przewodzi prąd 0,4  A w kierunku dodatnim osi x . Drut znajduje się w obszarze działania pola magnetycznego o indukcji B → = 2  i ̂ + 5  x 2  j ̂ , gdzie x wyrażone jest w metrach, a B w militeslach. Oblicz wypadkową sił magnetycznych działających na drut pomiędzy x = 2  m a x = 4  m . 0,01  N . Okrągła pętla drutu obejmująca powierzchnię 10  cm 2 przewodzi prąd o natężeniu 25  A . W pewnej chwili pętla znajduje się w płaszczyźnie x y i zostaje poddana działaniu pola magnetycznego o indukcji B → = 2 ⋅ 10 -3  T ⋅ i ̂ + 6 ⋅ 10 -3  T ⋅ j ̂ + 8 ⋅ 10 -3  T ⋅ k ̂  . \vec{B} = \SI{2e-3}{\tesla} \cdot \hat{i} + \SI{6e-3}{\tesla} \cdot \hat{j} + \SI{8e-3}{\tesla} \cdot \hat{k} \text{.} Patrząc z góry na płaszczyznę x y , prąd płynie w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Jaki magnetyczny moment dipolowy ma pętla z prądem? Ile wynosi moment sił działających na pętlę w tym czasie? cyklotron (ang. cyclotron ) urządzenie służące do przyspieszania cząstek naładowanych do wielkich energii kinetycznych komory D (ang. dees ) stosowane w cyklotronach duże, metalowe komory w kształcie litery D, przez które przepływa przyspieszany strumień naładowanych cząstek spektrometr masowy (ang. mass spectrometer ) urządzenie, które rozdziela jony w zależności od ich stosunku ładunku do masy

Science


Wstęp Zewnętrzny dysk twardy podłączony do komputera służy do szybkiego, magnetycznego zapisu i odczytu odpowiednio zakodowanych informacji. Taki sposób wykorzystania pola magnetycznego okazał się kluczowy dla rozwoju urządzeń cyfrowych. Źródło: zmodyfikowane przez „Miss Karen” /Flickr W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że obdarzona ładunkiem elektrycznym, poruszająca się cząstka wytwarza pole magnetyczne. Taki związek między zjawiskami elektryczności i magnetyzmu stanowi fundament rozwoju większości dziedzin techniki wykorzystywanych w nowoczesnym społeczeństwie, z telefonią, telewizją, techniką komputerową i Internetem włącznie. W niniejszym rozdziale, stosując prawo Biota–Savarta, zbadamy mechanizm generowania pól magnetycznych przez prądy elektryczne o dowolnych rozkładach. Następnie sprawdzimy, w jaki sposób przewody z prądem wytwarzają pole magnetyczne. Wyznaczymy także siły magnetyczne, z jakimi oddziałują na siebie dwa takie przewodniki. Będziemy również badać momenty sił wywierane przez pola magnetyczne pętli z przewodnika, przez który przepływa prąd. Otrzymane rezultaty uogólnimy, formułując ważne prawo elektromagnetyzmu, zwane prawem Ampère’a. Omówimy także działanie solenoidów i toroidów, będących przykładami urządzeń wytwarzających pole magnetyczne, do konstrukcji których wykorzystuje się pętle przewodzące prąd. Na zakończenie pogrupujemy materię spotykaną w przyrodzie – stosując kryterium zachowania się tejże materii w zewnętrznym polu magnetycznym.

Science


Prawo Biota-Savarta Z lektury poprzednich rozdziałów wiemy już, że dowolne ciało obdarzone masą jest źródłem pola grawitacyjnego. Z polem tym oddziałuje z kolei każdy inny obiekt posiadający masę i umieszczony w zasięgu tego ciała. Analogiczną prawidłowość obserwujemy w przypadku pola elektrycznego wytwarzanego przez dowolny, nieruchomy ładunek elektryczny. Ponieważ poruszający się ładunek elektryczny, a więc prąd elektryczny, także oddziałuje z polem magnetycznym – możemy słusznie przypuszczać, że jest on również źródłem pola magnetycznego. Prawo Biota-Savarta (ang. Biot-Savart law ) jest w istocie równaniem umożliwiającym wyznaczenie wartości i kierunku wektora indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez przepływający prąd elektryczny. Jest to prawo empiryczne, nazwane na cześć dwóch uczonych, którzy sformułowali je, badając oddziaływanie pomiędzy prostoliniowym przewodem z prądem a magnesem trwałym. Zgodnie z nim w dowolnym punkcie P ( ) wektor indukcji pola magnetycznego d B → , wytwarzanego przez element przewodu o długości d l → przewodzącego prąd I , określony jest wzorem d B → = μ 0 4  π ⋅ I  d l → × r ̂ r 2  . Element długości przewodnika d l → , przez który płynie prąd I , wytwarza w punkcie P pole magnetyczne o indukcji d B → , określonej prawem Biota-Savarta. Występująca w równaniu stała μ 0 jest przenikalnością magnetyczną próżni (ang. permeability of free space ). Jej wartość w układzie SI wynosi μ 0 = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A  . \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \text{.} Wektor d l → określa nieskończenie mały element długości przewodu; kierunek tego wektora (przyjęty na jako dodatni) jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu o natężeniu I . Symbol r oznacza odległość elementu d l → od punktu P , natomiast wektor jednostkowy r ̂ jest skierowany od elementu d l → do tegoż punktu. Kierunek wektora indukcji pola magnetycznego d B → (prostopadły do płaszczyzny ) wynika z własności iloczynu wektorowego d l → × r ̂ , przy czym jego zwrot określa reguła prawej dłoni. Wartość indukcji d B → dana jest wyrażeniem d B = μ 0 4  π ⋅ I  d l  sin θ r 2  , w którym θ jest kątem pomiędzy kierunkami wektorów d l → i r ̂ . Zauważmy, że gdy θ = 0 , to z powyższego wzoru otrzymamy d B → = 0 . Oznacza to, że pole magnetyczne wytwarzane przez element prądu I  d l → nie zawiera składowej równoległej do wektora d l → . Pole magnetyczne wytworzone przez skończony przewód z prądem znajdziemy, całkując równanie wzdłuż jego długości. Otrzymamy w ten sposób często spotykaną postać prawa Biota-Savarta. Prawo Biota-Savarta Wektor indukcji pola magnetycznego B → , wytwarzanego przez przewód z prądem o skończonej długości, określony jest wyrażeniem B → = μ 0 4  π  ∫ I  d l → × r ̂ r 2  , przy czym całkowanie w powyższym wzorze przebiega po długości przewodu. Zauważmy, że omawiana całka jest całką wektorową, a więc przyczynki do sumarycznego wektora indukcji pochodzące od poszczególnych elementów prądu mogą mieć różne kierunki. Oznacza to, że obliczenie całki we wzorze jest często trudne, nawet przy względnie nieskomplikowanej geometrii przewodu. W takim przypadku zaleca się następujące postępowanie: Strategia rozwiązania: stosowanie prawa Biota-Savarta Przekonaj się, że prawo Biota-Savarta jest optymalnym narzędziem rozwiązania danego zagadnienia. Jeżeli dostrzegasz symetrię układu wektorów B → oraz d l → , lepszym narzędziem może się okazać prawo Ampère’a. Narysuj element przewodu d l → i wektor jednostkowy r ̂ . Pamiętaj, że kierunek wektora d l → musi być zgodny z kierunkiem przepływu prądu przez przewód oraz że wektor r ̂ musi leżeć na prostej łączącej element d l → z punktem, w którym chcesz obliczyć indukcję pola. Oblicz iloczyn wektorowy d l → × r ̂ . Zgodnie z prawem Biota-Savarta kierunek i zwrot otrzymanego w ten sposób wektora wyznaczają orientację w przestrzeni poszukiwanego wektora indukcji pola magnetycznego. Wykorzystaj , podstawiając wartości występujących w nim wielkości. Zauważ, że wszystkie wielkości, które są stałe na rozpatrywanej długości przewodu, mogą być zapisane przed symbolem całki. W celu sprawdzenia kierunku obliczanego wektora indukcji pola magnetycznego zastosuj regułę prawej dłoni. Jeżeli do tej pory określona została jedynie wartość wektora indukcji, uzupełnij otrzymane wyniki o wyznaczony kierunek tego wektora. Obliczanie pól magnetycznych krótkich odcinków przewodów z prądem Przez pionowy przewód przepływa prąd o natężeniu 2  A . Oblicz indukcję pola magnetycznego wytwarzanego przez krótki wycinek tego przewodu o długości 1  cm w punkcie P położonym w odległości 1  m od przewodu w kierunku osi x układu współrzędnych ( ). Należy przyjąć, że pole wytwarzane przez pozostałą część przewodu zostało wyeliminowane dzięki zastosowaniu odpowiedniego ekranu magnetycznego. Przez krótki wycinek pionowego przewodu przepływa prąd o natężeniu I . Jaka jest indukcja pola magnetycznego w odległości x od tego wycinka? Strategia rozwiązania Indukcję pola magnetycznego w punkcie P możemy wyznaczyć, wykorzystując prawo Biota-Savarta. Ponieważ długość rozpatrywanego pojedynczego wycinka przewodu jest bardzo mała w porównaniu z odległością x , operacji całkowania we wzorze Biota-Savarta można nie przeprowadzać, zastępując całkę równoważną jej sumą – w tym celu długość fragmentu d l oznaczymy przez Δ l . Zauważmy przy okazji, że jeżeli Δ l jest małe w stosunku do x , odległość dowolnego fragmentu rozpatrywanego wycinka od punktu P jest w przybliżeniu taka sama. Kąt θ na obliczymy, stosując definicję funkcji tangens. Indukcję pola magnetycznego w punkcie P wyznaczymy, podstawiając do uzyskanego wyrażenia odpowiednie wartości liczbowe. Rozwiązanie Kąt pomiędzy wektorami Δ l → oraz r ̂ znajdujemy z zależności trygonometrycznych, przyjmując wartości odległości l oraz x takie jak w treści zadania θ = arc tg 1  m 0,01  m = 89,4 °  . Wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie P , obliczona z prawa Biota-Savarta, wynosi więc B = μ 0 4  π ⋅ I  Δ l  sin θ r 2 = 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2  A ⋅ 0,01  m ⋅ sin 89,4 ° 1  m 2 = 2 ⋅ 10 -9  T  . B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{I \prefop{\Delta} l \sin \theta}{r^2} = 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \frac{\SI{2}{\ampere} \cdot \SI{0,01}{\metre} \cdot \sin \ang{89,4} }{(\SI{1}{\metre})^2} = \SI{2e-9}{\tesla} \text{.} Na podstawie reguły prawej dłoni oraz prawa Biota-Savarta stwierdzamy, że wektor indukcji jest zwrócony w głąb rysunku, prostopadle do jego płaszczyzny. Znaczenie Opisane przybliżenie jest dobre, gdy długość fragmentu przewodu jest mała w porównaniu z jego odległością od punktu, w którym wyznaczamy pole. W przeciwnym wypadku należy wykorzystać całkową postać prawa Biota-Savarta, przy czym całkowanie musi przebiegać po całej długości rozpatrywanego fragmentu przewodu. Sprawdź, czy rozumiesz. W jakiej odległości powinien znajdować się punkt P z powyższego , aby mierzona w nim indukcja pola magnetycznego była równa połowie obliczonej wartości? 1,41  m . Obliczanie pola magnetycznego przewodu w kształcie łuku okręgu Przez przewód w kształcie łuku okręgu o promieniu R i dowolnym kącie środkowym θ przepływa prąd o natężeniu I ( ). Oblicz indukcję pola magnetycznego w punkcie P znajdującym się w środku tego łuku. Przewód w kształcie łuku okręgu, przez który przepływa prąd o natężeniu I . Zaznaczono wektory: radialny r → oraz d l → , związany z elementem przewodu. Strategia rozwiązania Indukcję pola magnetycznego w punkcie P wyznaczymy, korzystając z prawa Biota-Savarta. Zauważmy, że kierunki wektorów: radialnego oraz związanego z elementem przewodu, są w dowolnym punkcie łuku prostopadłe, więc mnożenie wektorowe możemy łatwo zastąpić równoważnym mu w tym przypadku iloczynem wartości wektorów. Zauważmy także, że długość drogi pokonywanej wzdłuż łuku jest iloczynem wartości jego promienia i wartości kąta θ wyrażonej w radianach. Indukcję pola magnetycznego możemy teraz łatwo obliczyć, wyłączając odpowiednie stałe przed symbol całki. Rozwiązanie Najpierw przypomnijmy równanie wyrażające prawo Biota-Savarta B → = μ 0 4  π  ∫ I  d l → × r ̂ r 2  . Całkując wzdłuż łuku, stwierdzamy, że wszystkie przyczynki do badanego pola mają w środku łuku ten sam kierunek: od rysunku, prostopadle do jego płaszczyzny – wystarczy więc obliczyć wartość wektora indukcji. Ponieważ wektory r → oraz d l → są prostopadłe, mnożenie wektorowe możemy łatwo zastąpić równoważnym mu iloczynem. Wówczas długość wektora r → zastępujemy symbolem R . Wyrażając długość elementu łuku zależnością d l = r  d θ , otrzymujemy B = μ 0 4  π  ∫ I  r  d θ R 2  . Ponieważ natężenie prądu i promień łuku pozostają stałe wzdłuż całego przewodu, odpowiadające im symbole możemy wyłączyć przed symbol całki. Pozostaje więc jedynie całkowanie po kącie B = μ 0  I 4  π  R  ∫ d θ  . Wartość kąta środkowego łuku zmienia się od 0 do θ , zatem wynik całkowania ma postać B = μ 0  I  θ 4  π  R  . Znaczenie Jak wykazano w poprzednim rozdziale, kierunek wektora indukcji magnetycznej w punkcie P wynika z reguły prawej dłoni. Jeżeli pole magnetyczne wytwarzane jest przez układ przewodu o kształcie łuku i innych przewodów, musimy oddzielnie wyznaczyć przyczynki do pola magnetycznego pochodzące od każdego ze składników układu, a odpowiadające im wektory – dodać. Należy przy tym zwracać uwagę na kierunek i zwrot każdego z wektorów. Sprawdź, czy rozumiesz. Pętla przewodu, przez którą przepływa prąd o natężeniu I , ma kształt pełnego okręgu o promieniu R . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w jej środku. μ 0  I ∕ 2  R . Podsumowanie Wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód z prądem można wyznaczyć, stosując prawo Biota-Savarta. Element prądu I  d l → w odległości r od siebie wytwarza pole magnetyczne. Pytania Jakie są zalety i wady prawa Biota-Savarta przy obliczaniu pól magnetycznych? Zaletą prawa Biota-Savarta jest to, że sprawdza się ono w przypadku wyznaczania pól magnetycznych pętli z prądem, natomiast jako wada postrzegany jest często długi czas obliczeń. Opisz pole magnetyczne wytwarzane przez dwa przewody ciasno skręcone ze sobą i podłączone do zacisków źródła siły elektromotorycznej. W jaki sposób rozstrzygnąć, czy przewód jest nieskończony? Przewód możemy uważać za nieskończony, jeżeli wartość kąta θ między początkowym wycinkiem przewodu d l → a promieniem r → jest w przybliżeniu zerowa. Akceptowalna dokładność tego przybliżenia zależy od założonej dokładności wyniku obliczeń pola. Przez dwa przewody kołowe płyną w tym samym kierunku prądy o jednakowym natężeniu, przy czym średnica pierwszej pętli jest dwukrotnie większa od średnicy drugiej. Porównaj pola magnetyczne wytwarzane w środku każdej z pętli. Zadania Prąd o natężeniu 10  A płynie przez przewód pokazany na rysunku. Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez zaznaczony na rysunku fragment przewodu o długości 0,5  mm mierzona w punkcie A ; w punkcie B ? Prąd o natężeniu 10  A płynie przez przewód w kształcie kwadratowej ramki o boku równym 20  cm . Każdy z wierzchołków ramki zwarty jest dodatkowym odcinkiem przewodu o długości 0,01  cm , jak pokazano na rysunku. Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w środku pętli. 10 − 8  T . Wyznacz indukcję pola magnetycznego wytwarzanego w punkcie P , jak na rysunku. Przez przewód płynie prąd o natężeniu I . Załączony rysunek ukazuje przewód w kształcie pętli składającej się z dwóch koncentrycznych łuków okręgów oraz dwóch prostopadłych, ułożonych radialnie odcinków prostoliniowych. Wyznacz indukcję pola magnetycznego w punkcie P . B = μ 0  I ∕ 8 ⋅ 1 ∕ a − 1 ∕ b , wektor skierowany jest prostopadle od płaszczyzny rysunku. Znajdź indukcję pola magnetycznego w środku C prostokątnej pętli przewodu przedstawionego na załączonym rysunku. Dwa długie przewody, z których jeden zaopatrzono w półkoliste wygięcie o promieniu R , położone są jak na załączonym rysunku. Zakładając, że przez oba przewody płynie prąd o natężeniu I , oblicz odległość ich prostoliniowych fragmentów, przy której indukcja pola magnetycznego w punkcie P będzie zerowa. Rozstrzygnij, czy prąd w przewodzie prostoliniowym musi wówczas płynąć w górę, czy w dół rysunku. a = 2  R ∕ π . Prąd w przewodzie po prawej stronie musi płynąć w górę rysunku. prawo Biota-Savarta (ang. Biot-Savart law ) równanie określające w danym punkcie przestrzeni wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód z prądem przenikalność magnetyczna próżni (ang. permeability of free space ) uniwersalna stała fizyczna wiążąca wartość indukcji magnetycznej z natężeniem prądu będącym źródłem tego pola

Science


Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem Zastanówmy się, jakiego natężenia prądu potrzeba do wytworzenia pola magnetycznego o znacznej indukcji, na przykład równej indukcji pola ziemskiego? Wiadomo, że napowietrzne linie energetyczne wytwarzają pola magnetyczne mogące zakłócać wskazania kompasów. Rzeczywiście, gdy w roku 1820 Oersted odkrył, że prąd płynący przez przewód powoduje odchylanie igły magnetycznej, w doświadczeniach nie używał prądów o wyjątkowo dużych natężeniach. W jaki sposób kształt przewodów, przez który płynie prąd, wpływa na kształt wytwarzanego pola magnetycznego? Na to i inne pytania, które pojawią się w kolejnych rozdziałach, możemy odpowiedzieć, stosując prawo Biota-Savarta. ukazuje odcinek nieskończenie długiego, prostoliniowego przewodu, przez który płynie prąd o natężeniu I . Wyznaczmy indukcję pola magnetycznego w punkcie P odległym o R od tego przewodu. Odcinek cienkiego, nieskończenie długiego przewodu z prądem. Zmienna niezależna θ przyjmuje granice θ 1 i θ 2 . Obliczenia rozpocznijmy, rozpatrując pole magnetyczne wytworzone przez element prądu I  d x → . Stosując pierwszą regułę prawej dłoni, opisaną w poprzednim rozdziale, stwierdzamy, że w przypadku każdego elementu prądu wzdłuż długości przewodu wektor d x → × r ̂ zwrócony jest od płaszczyzny rysunku. Tak więc w punkcie P przyczynki do indukcji pola pochodzące od wszystkich elementów prądu mają te same kierunki. Oznacza to, że wypadkowe pole w tym punkcie możemy wyznaczyć, obliczając skalarną sumę tychże przyczynków. Podstawiając: d x → × r ̂ = d x ⋅ 1 ⋅ sin θ , zgodnie z prawem Biota-Savarta otrzymujemy B = μ 0 4  π  ∫ I  sin θ  d x r 2  . Zauważmy teraz, że nieskończenie długi przewód jest symetryczny względem punktu O . Oznacza to, że zamiast całkować w granicach od minus do plus nieskończoności, możemy w obliczeniach przyjąć granice od zera do nieskończoności, a otrzymany wynik pomnożyć przez dwa. Wykorzystując oraz odpowiednie zależności geometryczne, wielkości r oraz sin θ , wyrazimy teraz w funkcji x oraz R , zapisując r = x 2 + R 2 oraz sin θ = R x 2 + R 2  . Po podstawieniu powyższych wyrażeń do całka na indukcję pola magnetycznego przyjmuje postać B = μ 0  I 2  π  ∫ 0 ∞ R  d x x 2 + R 2 3 ∕ 2  . Obliczenie całki prowadzi do wyrażenia B = μ 0  I 2  π  R  x x 2 + R 2 1 ∕ 2 0 ∞  . Uwzględniając granice całkowania, otrzymujemy ostatecznie B = μ 0  I 2  π  R  . Linie pola magnetycznego mają kształt okręgów, przez których środki przechodzi przewód, przy czym okręgi leżące na dowolnej płaszczyźnie prostopadłej do przewodu są identyczne. Ponieważ wartość indukcji pola magnetycznego maleje wraz z odległością od przewodu, odstępy pomiędzy poszczególnymi liniami pola muszą wraz z tą odległością odpowiednio rosnąć. Kierunek pola można określić, stosując drugą postać reguły prawej dłoni (ang. right-hand rule ), co przedstawiono na . Jeśli uchwycić przewód prawą dłonią tak, aby kciuk wskazywał kierunek przepływu prądu, palce będą obejmować przewód w kierunku zgodnym z wektorem B → . Grupa linii pola magnetycznego wokół nieskończenie długiego przewodu z prądem. Kierunek wektora B → określa się za pomocą jednego z wariantów reguły prawej dłoni. Kierunek linii pola magnetycznego można zaobserwować doświadczalnie, wykorzystując szereg małych igieł magnetycznych, rozmieszczonych na okręgu o niewielkim promieniu, przez którego środek przechodzi przewód, co przedstawiono na (a). Jeśli w przewodzie nie płynie prąd, igły będą wskazywać kierunek pola magnetycznego Ziemi. Po włączeniu prądu o dużym natężeniu igły ustawią się stycznie do tego okręgu. Kształt linii pola można także zbadać za pomocą drobnych opiłków żelaznych, rozsypanych równomiernie na poziomej płaszczyźnie, jak ukazuje (b). Pole magnetyczne przewodu spowoduje wówczas ułożenie się opiłków wzdłuż obwodów współśrodkowych okręgów. Kształt linii pola magnetycznego długiego przewodu można uwidocznić: (a) za pomocą małych igieł magnetycznych, (b) używając drobnych opiłków żelaznych. Obliczanie pola magnetycznego trzech przewodów Trzy przewody rozmieszczono w wierzchołkach kwadratu ( ). Przez każdy z przewodów przepływa prąd o natężeniu 2  A w kierunku do płaszczyzny rysunku. Wiedząc, że długość boku wynosi 1  cm oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w ostatnim wierzchołku kwadratu (punkt P ). Przez trzy przewody przepływa prąd w kierunku do płaszczyzny rysunku. Obliczamy indukcję pola magnetycznego w czwartym wierzchołku kwadratu. Strategia rozwiązania W zadanym punkcie P wyznaczamy wartość indukcji pól magnetycznych wytwarzanych przez każdy z przewodów (tj. przyczynki do całkowitej indukcji magnetycznej w punkcie B ). Odległość po przekątnej kwadratu obliczamy, stosując twierdzenie Pitagorasa. Następnie określamy kierunki wektorów indukcji magnetycznej, stanowiących wspomniane przyczynki do pola, rysując okrąg o środku w wierzchołku, w którym znajduje się przewód przechodzący przez punkt P . Kierunek wektora indukcji magnetycznej, pochodzącej od wybranego przewodu jest styczny do narysowanego okręgu. Na zakończenie przeprowadzimy odpowiednie działania na wyznaczonych w powyższy sposób wektorach. Rozwiązanie Przyczynki do indukcji pola magnetycznego w punkcie P pochodzące od przewodów nr 1 i 3 mają taką samą wartość B 1 = B 3 = μ 0  I 2  π  R = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2  A 2  π ⋅ 0,01  m = 4 ⋅ 10 -5  T  . B_1 = B_3 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{2}{\ampere}}{2 \pi \cdot \SI{0,01}{\metre}} = \SI{4e-5}{\tesla} \text{.} Odległość punktu P od przewodu nr 2 jest nieco większa, wobec tego wartość pochodzącego od niego przyczynku wynosi B 2 = μ 0  I 2  π  R  2 = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2  A 2  π ⋅ 0,014 14  m = 3 ⋅ 10 -5  T  . B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi R \sqrt{2}} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{2}{\ampere}}{2\pi \cdot \SI{0,01414}{\metre}} = \SI{3e-5}{\tesla} \text{.} Wektory każdego z wyznaczonych przyczynków przedstawiono na rysunku. W punkcie P składowa wektora indukcji wzdłuż osi x pochodzi od przyczynku wytwarzanego przez przewód nr 3 oraz składowej wzdłuż osi x przyczynku przewodu nr 2 B wyp  x = − 4 ⋅ 10 − 5  T − 2,83 ⋅ 10 − 5  T ⋅ cos 45 ° = − 6 ⋅ 10 − 5  T  . Podobnie składowa wzdłuż osi y pochodzi od przyczynku przewodu nr 1 oraz składowej wzdłuż osi y przyczynku przewodu nr 2 B wyp  y = − 4 ⋅ 10 − 5  T − 2,83 ⋅ 10 − 5  T ⋅ sin 45 ° = − 6 ⋅ 10 − 5  T  . Ostatecznie wartość wypadkowego wektora indukcji magnetycznej wynika z wartości obu składowych B wyp = B wyp x 2 + B wyp y 2 = − 6 ⋅ 10 -5  T 2 + − 6 ⋅ 10 -5  T 2 = 8,48 ⋅ 10 -5  T  . B_{\text{wyp}} = \sqrt{B_{\text{wyp }\sep x}^2 + B_{\text{wyp }\sep y}^2} = \sqrt{(-\SI{6e-5}{\tesla})^2 + (-\SI{6e-5}{\tesla})^2} = \SI{8,48e-5}{\tesla} \text{.} Znaczenie Równe wartości przyczynków do indukcji pola magnetycznego wzdłuż osi x i y wynikają z zależności geometrycznych występujących w zadaniu. Mogą one być jednak różne, zależnie od wartości natężeń prądów i rozmieszczenia rozpatrywanych przewodów. Bez względu na otrzymane w rachunkach wartości liczbowe, wypadkową indukcję pola w żądanym punkcie należy wyznaczać, operując składowymi odpowiednich wektorów. Sprawdź, czy rozumiesz. Rozważ układ przewodów, jak w powyższym przykładzie, zachowując kierunki i wartości prądów w przewodach nr 1 i 3. Jakie musi być natężenie i kierunek przepływu prądu w przewodzie nr 2, aby jego pole magnetyczne kompensowało pole pozostałych dwóch przewodów, dając wypadkową indukcję w punkcie P równą zero? Prąd o natężeniu 4  A płynący od płaszczyzny rysunku. Podsumowanie Wartość indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd płynący w długim, prostoliniowym przewodzie dana jest wzorem B = μ 0  I ∕ 2  π  R , w którym I jest natężeniem prądu, R – najmniejszą odległością od przewodu, μ 0 = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} – przenikalnością magnetyczną próżni. Kierunek pola magnetycznego długiego, prostoliniowego przewodu określa drugi wariant reguły prawej dłoni: jeżeli kciuk prawej dłoni wskazuje kierunek przepływu prądu, palce będą obejmować przewód zgodnie z kierunkiem linii wytwarzanego pola. Pytania Jak należy zorientować względem siebie długie, prostoliniowe przewody, aby wypadkowa siła magnetyczna działająca pomiędzy nimi była zerowa? Wskazówka: Jaka orientacja przewodów spowoduje, że nie będą one oddziaływały na siebie własnym polem magnetycznym? Kierunki prądów w poszczególnych przewodach muszą być do siebie prostopadłe. Zadania Typowa wartość natężenia prądu błyskawicy wynosi 10 4  A . Oszacuj wartość indukcji pola magnetycznego w odległości 1  m od tej błyskawicy. Wartość indukcji pola magnetycznego w odległości 50  cm od długiego, cienkiego, prostoliniowego przewodu wynosi 8  µT . Jakie jest natężenie prądu płynącego przez przewód? 20  A . Linia energetyczna rozpięta na wysokości 7  m nad ziemią przewodzi prąd o natężeniu 500  A . Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego linii mierzona na powierzchni gruntu dokładnie pod przewodami? Wynik porównaj z wartością indukcji pola magnetycznego Ziemi. Przez długi, prostoliniowy, poziomy przewód płynie ze strony lewej na prawą prąd o natężeniu 20  A . Zakładając, że przewód umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji równej 4 ⋅ 10 − 5  T , skierowanym pionowo w dół, wyznacz wypadkową indukcję pola w odległości 20  cm nad i pod przewodem. W obu przypadkach wartość indukcji pola wynosi 4,5 ⋅ 10 − 5  T . Przez dwa długie, równoległe przewody pokazane na załączonym rysunku płynie w tym samym kierunku prąd o różnych natężeniach. Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie P , jeżeli I 1 = 10  A , a I 2 = 20  A ? Poniższy rysunek ukazuje dwa długie, prostoliniowe, wzajemnie równoległe, poziome przewody, odległe od siebie o 2  a . Przez oba przewody w tym samym kierunku płynie prąd o natężeniu I . Jaka jest wartość i kierunek wektora indukcji pola magnetycznego w punkcie P 1 ; w punkcie P 2 ? a. Wypadkowa indukcja jest zerowa; b. wartość B = 3  μ 0  I ∕ 8  π  a , przy czym pole skierowane jest do płaszczyzny rysunku. Powtórz obliczenia z poprzedniego zadania, zakładając przeciwny kierunek przepływu prądu w niższym przewodzie. Rozpatrz przestrzeń pomiędzy przewodami z poprzedniego zadania. W jakiej odległości od górnego przewodu wypadkowa wartość indukcji pola magnetycznego osiąga maksimum? Załóż, że prądy przepływają w przeciwnych kierunkach, a ich natężenia są jednakowe. Wartość indukcji pola magnetycznego jest minimalna w odległości a od górnego przewodu, to jest w połowie odległości między tymi przewodami.

Science


Oddziaływanie magnetyczne dwóch równoległych przewodów z prądem Ponieważ prądy wytwarzają pola magnetyczne, dość silnie oddziałujące na poruszające się ładunki elektryczne, być może spodziewasz się, że między dwoma przewodami, przez które płynie prąd, działa siła o znacznej wartości. Zjawisko to zostało wykorzystane w definicji jednostki natężenia prądu – ampera. Być może zaskoczy cię, że siła ta ma związek z procesem wypalania się styków wielkich rozłączników podczas przerywania silnoprądowych obwodów elektrycznych. Siłę magnetyczną działającą pomiędzy dwoma długimi, prostoliniowymi, równoległymi przewodami, odległymi od siebie o r , znajdziemy, wykorzystując wiadomości podane w poprzednich rozdziałach. Takie przewody przedstawiono na , ponadto zaznaczono płynące w nich prądy, pole magnetyczne wokół jednego z nich oraz siłę wytwarzaną przez to pole – oddziałującą na drugi z przewodów. Rozpatrzmy pole magnetyczne wytwarzane przez pierwszy przewód oraz siłę, z jaką oddziałuje on na drugi przewód, oznaczoną jako F 1 2 . Indukcja pola magnetycznego, wytworzonego w odległości r przez prąd o natężeniu I 1 wynosi B 1 = μ 0  I 1 2  π  r  . (a) Pole magnetyczne wytwarzane przez długi, prostoliniowy przewód – zgodnie z drugim wariantem reguły prawej dłoni – jest prostopadłe do przewodu doń równoległego. (b) Widok z góry na parę przewodów równoległych, przedstawiający pole magnetyczne wytwarzane przez pierwszy przewód. Zwrot siły wskazuje na to, że przewody przyciągają się, jeżeli płyną w nich prądy w tym samym kierunku, natomiast w przypadku prądów płynących w przeciwnych kierunkach – przewody te będą się odpychały. Pole magnetyczne pierwszego przewodu jest jednorodne i do niego prostopadłe. Zatem siłę F → 1 2 , z którą pierwszy przewód oddziałuje na przewód drugi, o długości l , określa wzór F = I  l  B  sin θ przy sin θ = 1 F 1 2 = I 2  l  B 1  . W analogiczny sposób prąd o natężeniu I 2 , płynący w przewodzie drugim, staje się źródłem pola magnetycznego o indukcji B 2 , działającego na przewód pierwszy. To z kolei generuje siłę F → 2 1 działającą na przewód pierwszy z racji przepływu prądu w przewodzie drugim (zwróć uwagę na zmianę kolejności indeksów dolnych w stosunku do poprzedniej sytuacji). Siła ta w przypadku zgodności kierunków prądów jest siłą przyciągającą w kierunku przewodu drugiego. Siły działające na oba przewody mają równe wartości, możemy więc wartość siły F 1 2 zastąpić symbolem F (zauważmy, że F → 1 2 = − F → 2 1 ). Ponieważ przewody są bardzo długie, wygodnie jest dalej rozważać wielkość F ∕ l , to jest wartość siły odniesioną do jednostkowej ich długości. Podstawiając wyrażenie na B 1 do powyższego równania, po przekształceniach otrzymujemy F l = μ 0  I 1  I 2 2  π  r  . Stosunek F ∕ l oznacza, jak już wspomnieliśmy, wartość siły działającej pomiędzy równoległymi przewodami z prądem o natężeniu I 1 oraz I 2 , odległymi o l , odniesioną do jednostkowej ich długości. Przewody przyciągają się, gdy prąd płynie w tym samym kierunku, a odpychają, gdy kierunki przepływu prądów są przeciwne. Opisywana siła decyduje o tzw. efekcie skurczu magnetycznego (ang. pinch effect ), obserwowanym w plazmie, np. w łuku elektrycznym. Siła magnetyczna występuje bowiem niezależnie od tego, czy ładunek elektryczny płynie w przewodzie, czy na przykład w gazie. Istotne jest jedynie, aby całkowita gęstość ładunku elektrycznego była równa zero; w przeciwnym przypadku magnetyczne przyciąganie ładunków zostanie zdominowane przez ich kulombowskie odpychanie. W przypadku łuku elektrycznego, w którym ładunki poruszają się po torach równoległych, siła magnetyczna dociska je do siebie tak, że kanał ich przepływu staje się wąski. W przypadku wielkich rozłączników, które znajdziesz w najbliższej rozdzielni energetycznej, skurcz magnetyczny może wywołać łuk elektryczny powstający przy otwieraniu obwodów przewodzących. Skutkuje to koncentracją, pomiędzy ich stykami, znacznego prądu, powodującego wypalenie w nich dziur, a nawet zapłon całych urządzeń. Siła działająca pomiędzy przewodami z prądem elektrycznym leży u podstaw definicji jednostki jego natężenia – ampera (ang. ampere ). Zauważmy, że w przypadku długich, równoległych przewodów odległych od siebie o 1  m , z których każdy przewodzi prąd o natężeniu jednego ampera – wartość siły przypadającej na 1  m ich długości wynosi F l = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 1  A 2 2  π ⋅ 1  m = 2 ⋅ 10 -7  N ∕ m  . \frac{F}{l} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot (\SI{1}{\ampere})^2}{2\pi \cdot \SI{1}{\metre}} = \SI{2e-7}{\newton\per\metre} \text{.} Ponieważ wartość μ 0 z definicji wynosi dokładnie 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} i ponieważ 1  T = 1  N ∕ A  m , siła przypadająca na jeden metr długości ma wartość dokładnie 2 ⋅ 10 − 7  N ∕ m , co jest podstawą definicji ampera. Nieskończenie długie przewody są jednak niepraktyczne, więc zamiast nich stosuje się tzw. wagę prądową, zaopatrzoną w cewki (zwojnice) oddalone od siebie o kilka centymetrów. Waga służy do pomiaru siły oddziaływania między cewkami; na podstawie jej wskazań określa się wartość natężenia prądu płynącego przez zwojnice. Powyższa idea stanowi jednocześnie podstawę metody pomiaru wartości ładunku elektrycznego, wyrażonego w kulombach (ang. coulomb ). Istotnie, natężeniu prądu o wartości jednego ampera odpowiada przepływ ładunku o wartości jednego kulomba w czasie jednej sekundy: 1  C = 1  A  s . Warto zaznaczyć, że w przypadku pomiaru natężeń prądu i ładunków metoda wykorzystująca wyznaczanie siły oddziaływania pomiędzy przewodami należy do najdokładniejszych. Obliczanie sił działających na przewody Na przedstawiono dwa przewody z jednakowym prądem o natężeniu 5  mA , płynącym od jego płaszczyzny. Pierwszy z nich umieszczono w punkcie o współrzędnych ( 0  cm , 3  cm ), a drugi w punkcie ( 4  cm , 0  cm ). Wyznacz siłę oddziaływania magnetycznego przewodu pierwszego na drugi i drugiego na pierwszy – przypadającą na jednostkę długości każdego z nich. Rozmieszczenie dwóch przewodów z prądem płynącym od płaszczyzny rysunku. Strategia rozwiązania Każdy z przewodów wytwarza własne pole magnetyczne i jednocześnie znajduje się w polu magnetycznym przewodu sąsiedniego. Odległość między przewodami, którą wykorzystamy do obliczenia siły przypadającej na jednostkę długości, jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta, w którego wierzchołkach znajdują się przewody. Ponieważ oba prądy płyną w tym samym kierunku, siły zwrócone są w kierunku każdego z przewodów wzdłuż przeciwprostokątnej. Rozwiązanie Odległość między przewodami znajdujemy, obliczając długość przeciwprostokątnej trójkąta r = 3  cm 2 + 4  cm 2 = 5  cm  . Wartość siły przypadającej na jednostkę długości obliczymy, wykorzystując znane natężenia prądu w przewodach F l = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 5 ⋅ 10 -3  A 2 2  π ⋅ 5 ⋅ 10 -2  m = 10 -10  N ∕ m  . \frac{F}{l} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot (\SI{5e-3}{\ampere})^2}{2\pi \cdot \SI{5e-2}{\metre}} = 10^{-10}\si{\newton\per\metre} \text{.} Siła F → 1 2 , wytwarzana przez pierwszy przewód, działa przyciągająco na drugi. Do określenia jej orientacji w przestrzeni niezbędna jest znajomość poszczególnych składowych. Kąt zawarty pomiędzy przeciwprostokątną trójkąta a bokiem poziomym trójkąta wynosi θ = arc tg 3  cm 4  cm = 36,9 °  . Wektor jednostkowy siły ma więc postać cos 36,9 ° ⋅ i ̂ − sin 36,9 ° ⋅ j ̂ = 0,8  i ̂ − 0,6  j ̂  . Ostatecznie wektor siły, którą pierwszy przewód oddziałuje na drugi, odniesionej do jednostkowej długości, ma współrzędne F → 1 2 l = 10 − 10  N ∕ m ⋅ 0,8  i ̂ − 0,6  j ̂ = 8 ⋅ 10 − 11  N ∕ m ⋅ i ̂ − 6 ⋅ 10 − 11  N ∕ m ⋅ j ̂  . Siła F → 2 1 , którą drugi przewód działa na pierwszy, przypadająca na jednostkową długość, jest wektorem przeciwnym do wyznaczonego powyżej F → 2 1 l = − 8 ⋅ 10 − 11  N ∕ m ⋅ i ̂ + 6 ⋅ 10 − 11  N ∕ m ⋅ j ̂  . Znaczenie Rozważane przewody wytwarzają pola magnetyczne o jednakowej wartości indukcji, przy czym w punktach, w których te przewody się znajdują, pola te skierowane są przeciwnie. Siły wzajemnego oddziaływania przewodów będą miały zawsze jednakową wartość i będą przeciwnie skierowane – niezależnie od tego, czy indukcje obu pól będą posiadały jednakowe, czy różne wartości (trzecia zasada dynamiki Newtona). Sprawdź, czy rozumiesz. Przez dwa przewody płynie, w kierunku od płaszczyzny rysunku, prąd o natężeniach odpowiednio 2  mA i 3  mA . Pierwszy przewód znajduje się w punkcie o współrzędnych ( 0  cm , 5  cm ), a drugi w punkcie ( 12  cm , 0  cm ). Wyznacz wartość siły na jednostkę długości wzajemnego oddziaływania magnetycznego tych przewodów. Wartość obu sił na jednostkę długości wynosi 9,23 ⋅ 10 − 12  N ∕ m . Podsumowanie Wartość siły oddziaływania między dwoma równoległymi, odległymi o r przewodami, w których płynie prąd o natężeniach I 1 oraz I 2 – odniesiona do ich jednostkowej długości – dana jest wzorem: F ∕ l = μ 0  I 1  I 2 ∕ 2  π  r . Przewody przyciągają się, gdy prąd płynie w tym samym kierunku, a odpychają, gdy kierunki przepływu prądu są przeciwne. Pytania Porównaj i znajdź różnice pomiędzy polem elektrycznym nieskończonej, naładowanej linii a polem magnetycznym nieskończonego przewodu, w którym płynie prąd. Czy wartość wektora indukcji B → , mierzona w punktach leżących na wybranej linii pola magnetycznego, jest stała? Linia pola magnetycznego łączy punkty o jednakowej wartości indukcji pola magnetycznego, natomiast drugi wariant reguły prawej dłoni pozwala na wyznaczenie kierunku pola w dowolnym punkcie przestrzeni. Zadania Dane są dwa długie, prostoliniowe, równoległe przewody, odległe od siebie o 25  cm . Wyznacz wartość siły magnetycznej, przypadającej na metr ich długości, zakładając, że przez oba przewody w tym samym kierunku płynie prąd o natężeniu 50  A ; Czy przewody przyciągają się, czy odpychają? Co się stanie, gdy prąd w tych przewodach popłynie w przeciwnych kierunkach? Dane są dwa długie, prostoliniowe, równoległe przewody – odległe od siebie o 10  cm . Przez pierwszy z nich płynie prąd o natężeniu 2  A , przez drugi – prąd o natężeniu 5  A . Wyznacz wartość oraz kierunek siły przypadającej na jednostkę długości, jaką pierwszy przewód oddziałuje na drugi przewód; Wyznacz wartość i kierunek siły, gdy prąd popłynie w tę samą stronę. a. F ∕ l = 2 ⋅ 10 − 5  N ∕ m , od drugiego przewodu; b. F ∕ l = 2 ⋅ 10 − 5  N ∕ m , do drugiego przewodu. Dwa długie, równoległe przewody zawieszono na linkach o długości 5  cm , jak pokazano na załączonym rysunku. Masa przypadająca na jednostkę ich długości wynosi 30  g ∕ m , a przez oba przewody – w przeciwnych kierunkach – płynie prąd o jednakowym natężeniu. Oblicz natężenia prądu, jeżeli kąty utworzone przez linki w punktach zawieszenia, mierzone względem pionu, wynoszą 6 ° . Obwód elektryczny z prądem o natężeniu I zawiera dwa długie, równoległe odcinki przewodów, w których prąd płynie w przeciwnych kierunkach. Znajdź pole magnetyczne w punkcie P , odległym o a od pierwszego przewodu i o b od drugiego z nich – jak to wynika z rysunku. B = μ 0  I ∕ 2  π ⋅ 1 ∕ b 2 − 1 ∕ a 2 , pole skierowane wzdłuż przeciwprostokątnej. Przez nieskończony prostoliniowy przewód, przedstawiony na poniższym rysunku, przepływa prąd o natężeniu I 1 . W prostokątnej ramce, której dłuższe boki są równoległe do tego przewodu, płynie prąd o natężeniu I 2 . Określ wartość i kierunek siły działającej na ramkę – wywołanej polem magnetycznym przewodu.

Science