Energia potencjalna układu W podrozdziale Praca pokazaliśmy, że praca wykonana przez siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się w pobliżu powierzchni Ziemi nie jest zależna od toru ruchu, a zależy jedynie od różnicy położeń: końcowego i początkowego. Istnienie takiej zależności pozwala nam na wprowadzenie nowego, innego niż kinetyczna rodzaju energii – energii potencjalnej (ang. potential energy ). W kolejnych sekcjach tego rozdziału będziemy rozważać różne formy energii potencjalnej. Energia potencjalna: podstawy W rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach analizowaliśmy ruch ciała w rzucie ukośnym podobny do tego przedstawionego na , gdzie zawodnik kopie piłkę. W tym przykładzie zignorujemy siły tarcia i opór powietrza. Podczas wznoszenia się piłki praca sił grawitacji ma znak ujemny, ponieważ przesunięcie pionowe piłki jest dodatnie (piłka się unosi), natomiast siła grawitacji jest skierowana w dół. Zauważmy, że piłka spowalnia w trakcie ruchu w górę, aż do momentu osiągnięcia najwyższego punktu swojego lotu. Ta „utracona” energia kinetyczna jest zamieniana na energię potencjalną grawitacji układu piłka-Ziemia. Gdy piłka opada w kierunku Ziemi, praca ma znak dodatni, ponieważ zarówno siła, jak i przesunięcie są skierowane w dół. Piłka przyspiesza, co przekłada się na wzrost energii kinetycznej. Energia jest zatem zamieniana z energii potencjalnej grawitacji z powrotem na kinetyczną. W trakcie lotu piłki w górę i w dół energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną grawitacji i na odwrót. W oparciu o ten przykład możemy zdefiniować różnicę energii potencjalnej w punktach A i B jako pracę wykonaną przez pewną siłę wziętą ze znakiem minus: Δ E p A B = E p B − E p A = − W A B . Wzór definiuje różnicę energii potencjalnej (ang. potential energy difference ), a nie wartość bezwzględną energii. W związku z tym, aby wyznaczyć energię potencjalną w danym punkcie, powinniśmy porównać ją z wartością energii w punkcie, w którym jest ona znana. Punkt ten nazywamy punktem odniesienia. Oznaczając punkt odniesienia przez r → 0 możemy powyższy wzór zapisać następująco: Δ E p = E p ( r → ) − E p ( r → 0 ) . Punkt odniesienia r → 0 , w którym energia potencjalna ma znaną, standardową wartość, jest dobierany w taki sposób, aby jak najbardziej uprościć rozpatrywane zagadnienie. Należy pamiętać, że niezależnie od tego, w jaki sposób go określono w trakcie rozwiązywania danego problemu fizycznego, należy konsekwentnie trzymać się tego wyboru. Istnieje kilka ogólnie przyjętych sposobów wyboru wartości odniesienia dla energii potencjalnej. Na przykład najniższe położenie w danym układzie jest zazwyczaj uznawane za zero dla energii potencjalnej grawitacji. Innym sposobem określenia zerowej energii jest umieszczenie ciała w punkcie jak najbardziej (nieskończenie) oddalonym, gdzie wartość siły oddziaływania można przyjąć za równą zero. Przy takim wyborze, przyjmując energię równą zero w r → 0 , zmianę energii potencjalnej można po prostu wyrazić jako energię potencjalną w danym punkcie Δ E p = E p ( r → ) . Jeśli nie ma sił tarcia ani oporu powietrza, to zmiana energii kinetycznej piłki jest równa zmianie energii potencjalnej grawitacji. To stwierdzenie można uogólnić na dowolny typ energii potencjalnej: Δ E k A B = Δ E p A B . Przeanalizujmy następujące przykłady, w których przyjęliśmy zero energii potencjalnej grawitacji w różnych punktach. Podstawowe właściwości energii potencjalnej Cząstka porusza się wzdłuż osi x pod wpływem siły przyciągającej określonej równaniem F = − a x 2 , gdzie a = 3 N/m 2 . (a) Jaka jest różnica energii potencjalnej przy przemieszczeniu cząstki z x A = 1 m do x B = 2 m ? (b) Oblicz energię potencjalną cząstki w x = 1 m , wiedząc, że energia potencjalna w x = 0 m wynosi 0,5 J. Strategia rozwiązania (a) Różnica energii potencjalnej jest równa wartości wykonanej pracy wziętej ze znakiem minus, tak jak określa to . W poprzednim rozdziale praca została zdefiniowana poprzez iloczyn skalarny siły i wektora przemieszczenia. Cząstka porusza się w kierunku dodatnim x , zatem iloczyn skalarny sprowadza się się do zwykłego iloczynu wartości wektorów ( i ^ ⋅ i ^ = 1 ). Żeby wyznaczyć pracę, musimy obliczyć całkę w określonych granicach. Po scałkowaniu możemy określić pracę oraz energię kinetyczną. (b) Energia potencjalna (w stosunku do znanej energii odniesienia w x = 0 ) to całka nieoznaczona, taka sama jak ta przedstawiona w części (a), ze stałą całkowania określoną poprzez . Następnie, poprzez wstawienie wartości x do wzoru na energię potencjalną obliczamy jej wartość w x = 1 m . Rozwiązanie Praca wykonana przez siłę podczas przesunięcia cząstki z położenia x do x + d x w jednym wymiarze wynosi: d W = F → ⋅ d r → = F d x = − a x 2 d x . Podstawiając to wyrażenie do , otrzymujemy: Δ E p = − W = ∫ x 1 x 2 a x 2 d x = 1 3 ⋅ 3 N m 2 ⋅ [ x 3 ] 1 m 2 m = 7 J . Całka nieoznaczona pozwalająca wyznaczyć energię potencjalną z przykładu (a) jest równa: E p ( x ) = 1 3 a x 3 + const. , zakładamy, że stała całkowania wynosi E p ( 0 ) = 0 , 5 J . Stąd energia potencjalna w odniesieniu do zera w punkcie x = 0 wyrażona jest jako E p ( x ) = 1 3 a x 3 + 0 , 5 J . Energia potencjalna w x = 1 m wynosi: E p ( 1 m ) = 1 3 ⋅ 3 N m 2 ⋅ ( 1 m ) 3 + 0 , 5 J = 1 , 5 J . Znaczenie W tym jednowymiarowym przykładzie każda funkcja, którą możemy scałkować niezależnie od drogi, jest zachowawcza. Zauważ, w jaki sposób zastosowaliśmy definicję różnicy energii potencjalnej w celu wyznaczenia energii potencjalnej w odniesieniu do zera w wybranym punkcie. Przeanalizuj też wartości energii, które można wyznaczyć na podstawie podpunktu (b) (np. E p ( 1 m ) = 1 J oraz E p ( 2 m ) = 8 J ) w odniesieniu do różnicy wyznaczonej na podstawie (a). Sprawdź, czy rozumiesz. W ile będzie wynosić wartość energii potencjalnej w x = 1 m oraz x = 2 m , jeśli zero energii przyjmiemy w x = 1,5 m ? Wykaż, że różnica energii potencjalnych w tych dwóch punktach ciągle wynosi 7 J. 4 , 63 J − ( − 2 , 83 J ) = 7 , 00 J Układy wielu cząstek Rozpatrywany układ może zawierać wiele cząstek (lub w ogólności ciał fizycznych). Różnica energii potencjalnej będzie wtedy wyrażona poprzez wziętą z minusem pracę, wykonaną przez siły grawitacyjne lub sprężystości, które, jak to zobaczymy w następnych częściach rozdziału, są siłami zachowawczymi. Różnica energii potencjalnej zależy tylko i wyłącznie od końcowej różnicy położenia cząstek i od pewnych parametrów charakteryzujących oddziaływanie (np. masa w przypadku grawitacji albo stała sprężystości występująca w prawie Hooke'a). Zapamiętaj, że energia potencjalna jest właściwością związaną z oddziaływaniami pomiędzy różnymi ciałami w układzie, a nie własnością pojedynczego obiektu. Jest to szczególnie istotne w przypadku rozpatrywania sił elektrostatycznych. Natomiast w przykładach rozpatrywanych poniżej elementy układu są tak olbrzymie (jak Ziemia w porównaniu do ciała znajdującego się na jej powierzchni) albo małe (jak nieważka sprężyna), że zmiany, którym ulegają, są nieistotne w naszych rozważaniach. Rodzaje energii potencjalnej Dla każdego rodzaju oddziaływania zachowawczego w układzie możesz wprowadzić odpowiadającą mu energię potencjalną. Całkowita energia potencjalna układu jest równa sumie wszystkich rodzajów energii potencjalnej. Można je do siebie dodawać, ponieważ są to wielkości skalarne. Przeanalizujmy teraz pewne wybrane zagadnienia dla szczególnych rodzajów energii omawianej w rozdziale Praca . Najpierw rozważmy każdą z działających sił oddzielnie, a potem łącznie. Energia potencjalna grawitacji w pobliżu powierzchni Ziemi Rozważmy układ składający się z Ziemi oraz jednej lub większej liczby cząsteczek w pobliżu jej powierzchni (albo innego rodzaju ciał, których masa jest znikoma w porównaniu do masy planety). Siła grawitacji działająca na każdą cząsteczkę (albo ciało) na powierzchni jest skierowana pionowo w dół, a jej wartość obliczamy ze wzoru F g = m g . Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona każda cząstka, na którą działa siła grawitacji, wynikająca z przyciągania cząstki przez Ziemię, działa na Ziemię siłą o takiej samej wartości, ale o przeciwnym zwrocie. Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona możemy wyznaczyć przyspieszenie związane z siłą, z jaką każda cząstka działa na Ziemię. Przyspieszenie Ziemi jest równe sile oddziaływania (czyli w tym przypadku ciężarowi cząstki m g ) podzielonej przez masę Ziemi. Masa planety jest bardzo duża w porównaniu do masy cząsteczki, a więc przyspieszenie Ziemi jest bardzo małe. Ruch Ziemi wynikający z tego oddziaływania może zostać pominięty. W rozpatrywanym układzie (grupy cząstek znajdujących się w pobliżu powierzchni Ziemi) na wszystkie cząstki działa jednorodna siła grawitacji naszej planety. W podrozdziale Praca pokazaliśmy, że praca wykonywana nad ciałem przez siłę grawitacyjną Ziemi (w pobliżu jej powierzchni) zależy od jego masy, przyspieszenia ziemskiego i różnicy wysokości, którą ciało pokonało podczas swojego ruchu (tak jak przedstawiono to w ). Z definicji, praca jest różnicą energii potencjalnej w polu grawitacyjnym Ziemi, wziętą ze znakiem minus, opisaną poniższym wzorem: Δ E p graw = − W graw A B = m g ( y B − y A ) . Zatem energia potencjalna grawitacji (ang. gravitational potential energy ) w pobliżu powierzchni Ziemi jest opisana wzorem: E p ( y ) = m g y + const. W powyższym równaniu wybór stałej jest dowolny (może być taki jak ten opisany w ), jednakże najwygodniej jest przyjąć zero energii potencjalnej w y = 0 , czyli w najniższym możliwym położeniu rozpatrywanego układu. Nie skacz – masz ogromny potencjał (w postaci energii potencjalnej)! (Źródło: Andy Spearing) Energia potencjalna grawitacji turysty Szczyt wzgórza Great Blue Hill w Milton (Massachusetts) ma wysokość 195 m, licząc od poziomu morza, a od podstawy – 147 m ( ) (Przez rdzennych Amerykanów szczyt jest określany mianem Massachusett i tego słowa osadnicy europejscy zaczęli używać jako nazwy dla okolicznych obszarów). Turysta o masie 75 kg wspina się na szczyt wzgórza. Jaka jest energia potencjalna turysty (w odniesieniu do energii, jaką miałby on znajdując się na wysokości podstawy wzgórza, którą traktujemy jako poziom odniesienia) w momencie, gdy turysta znajduje się: na wysokości podstawy wzgórza; na szczycie; na wysokości poziomu morza? Szkic profilu wzgórza Great Blue Hill w Milton (Massachusetts). Na rysunku zaznaczono rozpatrywane poziomy. Strategia rozwiązania Najpierw musimy przyjąć początek osi y i określić wartość odniesienia dla energii potencjalnej. W tym przypadku za początek układu współrzędnych należy przyjąć podstawę wzgórza oraz założyć, że energia potencjalna wynosi zero dla y = 0 . Następnie energię potencjalną turysty na danej wysokości należy obliczyć w odniesieniu do przyjętego punktu. Rozwiązanie Wybierzmy początek osi y na wysokości podstawy. W tym punkcie przyjmiemy energię potencjalną równą zero. Takie założenie sprawi, że stała całkowania ze wzoru na energię potencjalną będzie równa zero: E p ( podstawa ) = E p ( 0 ) = 0 k J . Szczyt znajduje się na wysokości y = 147 m nad podstawą, więc: E p ( szczyt ) = E p ( 147 m ) = m g h = 75 k g ⋅ 9 , 8 m s 2 ⋅ 147 m = 108 k J . Poziom morza znajduje się na wysokości y = 147 m − 195 m = −48 m , a zatem: E p ( poziom morza ) = E p ( − 48 m ) = m g h = 75 k g ⋅ 9 , 8 m s 2 ⋅ ( − 48 m ) = − 35 , 3 k J . Znaczenie Przedstawiliśmy użyteczność oraz , a także wyznaczyliśmy wartości energii potencjalnej, które są racjonalne z fizycznego punktu widzenia. Energia potencjalna grawitacji jest największa na szczycie oraz najmniejsza na poziomie morza. Siła grawitacji wykonuje pracę – również kiedy się wspinasz! Praca sił grawitacji ma wtedy wartość ujemną i w porównaniu do pracy wykonywanej przez twoje mięśnie jest nieznacząca. Niemniej jednak ta praca istnieje! Podobnie w drodze w dół – twoje mięśnie też wykonują pracę, ale o ujemnym znaku. Wartości liczbowe energii potencjalnej zależą od punku odniesienia, natomiast różnica energii potencjalnej, która ma większy sens fizyczny, już nie. Zauważ, że przedstawia różnicę, której wartości liczbowe nie zależą od początku układu współrzędnych. Sprawdź, czy rozumiesz. Jakie są wartości energii potencjalnej grawitacji turysty na wysokości szczytu, podstawy wzgórza i poziomu morza w sytuacji, gdy zero energii potencjalnej przyjmiemy na poziomie morza? 35,3 kJ, 143 kJ, 0 kJ Energia potencjalna sprężystości W podrozdziale Praca wykazaliśmy, że praca wykonana przez idealną sprężynę, w jednym wymiarze, zależy wyłącznie od stałej sprężystości i kwadratu przemieszczenia (w odniesieniu do nierozciągniętej sprężyny), tak jak przedstawia to . Wyznaczona praca jest wynikiem własności prawa Hooka, a nie cech charakterystycznych sprężyny (z wyjątkiem stałej sprężystości) czy ciała, które do niej dołączono. W związku z tym możemy zdefiniować pojęcie różnicy energii potencjalnej sprężystości (ang. elastic potential energy ) jako pracę wykonaną przez siłę sprężystości wziętą ze znakiem minus. Wyrażenie możemy wyprowadzić już teraz, zanim poddamy analizie układ, w którym takie oddziaływania występują: Δ E p = − W A B = 1 2 k ( x B 2 − x A 2 ) . W powyższym równaniu A oznacza punkt, z którego ciało rozpoczęło ruch, a B końcowy punkt ruchu. Energia potencjalna związana z tą różnicą opisana jest wzorem: E p ( x ) = 1 2 k x 2 + const. Jeśli siła sprężystości jest jedyną siłą działającą w rozpatrywanym układzie, to najprościej jest przyjąć zero energii potencjalnej w x = 0 , czyli wtedy, gdy sprężyna jest nierozciągnięta. W takiej sytuacji stała z wynosi zero. (W przypadku gdy na ciało działa więcej sił, przyjęcie innego punktu zerowego może być wygodniejsze.) Energia potencjalna sprężyny Układ składa się ze sprężyny o długości wynoszącej w stanie nierozciągniętym 20 cm i stałej sprężystości 4 N/cm. (a) Jaką energię potencjalną posiada rozciągnięta sprężyna o długości 23 cm? (b) Jaką energię potencjalną posiada rozciągnięta sprężyna o długości 26 cm? Strategia rozwiązania Energia potencjalna nierozciągniętej sprężyny wynosi zero, a więc możemy użyć ze stałą równą zero. Przyjmijmy, że x to odkształcenie, czyli różnica pomiędzy długością sprężyny rozciągniętej i sprężyny nierozciągniętej. Zatem dla sprężyny rozciągniętej możemy użyć wartości x , aby obliczyć wartość energii potencjalnej. Rozwiązanie Odkształcenie sprężyny wynosi x = 23 cm − 20 cm = 3 cm , więc związana z nim energia potencjalna jest równa E p = 1 2 k x 2 = 1 2 ⋅ 4 N c m ⋅ ( 3 c m ) 2 = 0 , 18 J . Sprężyna jest odkształcona na długość x = 26 cm − 20 cm = 6 cm , zatem energia potencjalna wynosi E p = 1 2 k x 2 = 1 2 ⋅ 4 N c m ⋅ ( 6 c m ) 2 = 0 , 72 J . Wzrost energii w porównaniu do podpunktu (a) jest równy 0,54 J. Znaczenie Obliczenie energii potencjalnej sprężystości na podstawie wymaga rozwiązania równania dla danych długości sprężyny. Skoro energia potencjalna zależy od x 2 , to jej wartość dla ściskania (ujemny x ) jest taka sama jak dla rozciągania (dodatni x ) sprężyny. Sprawdź, czy rozumiesz. Kiedy długość sprężyny w zmienia się z 22,0 cm do pewnej wartości końcowej, energia potencjalna sprężystości zmienia się o −0,0800 J . Znajdź długość końcową. 22,8 cm. Nierozciągnięta sprężyna ma długość 0,02 m (patrz: początek przykładu). Znając długość nierozciągniętej sprężyny, możemy obliczyć, że końcowe odkształcenie sprężyny wynosi 0,028 m. Stąd długość sprężyny jest sumą długości nierozciągniętej i odkształcenia, czyli 22,8 cm. Energia potencjalna grawitacji i sprężystości Masa zawieszona na sprężynie to przykład prostego, jednowymiarowego układu, uwzględniającego zarówno oddziaływania sprężyste, jak i grawitacyjne. Drugi koniec sprężyny jest przymocowany tak, jak to przedstawiono na . Układ pionowy masa-sprężyna; oś y jest skierowana w górę. Początkowo masa znajduje się w położeniu równowagi, a następnie odciągnięta zostaje w dół do położenia y min . Po uwolnieniu sprężyny rozpoczyna się ruch drgający wokół położenia równowagi. Rozpocznijmy od rozważenia energii potencjalnej grawitacji tego układu. Załóżmy, że sprężyna jest nieważka, a jedynie układ ciężarek – Ziemia uzyskuje lub traci energię potencjalną. Musimy zdefiniować punkt odniesienia dla funkcji energii potencjalnej przedstawionej w . Poziom podłoża w zadaniach związanych z polem grawitacyjnym Ziemi jest często uznawany za najwygodniejszy wybór. Jednakże w tym przypadku przyjęcie zera energii w najniższym punkcie ruchu, czyli h = 0 , będzie bardziej korzystne. Zauważ, że wybór jest dowolny i dla innego punktu odniesienia rozwiązanie zadania i tak dałoby ten sam wynik. Musimy też zdefiniować punkt odniesienia dla energii potencjalnej sprężystości zgodnie z . Położenie równowagi jest punktem matematycznie najdogodniejszym do przyjęcia zera energii potencjalnej sprężystości. Przyjmując powyższe założenia, każdą z energii potencjalnych oraz energię kinetyczną możemy zapisać w odniesieniu do trzech punktów krytycznych układu: (1) najniższe położenie ciężarka, (2) położenie równowagi układu masa-sprężyna oraz (3) najwyższy punkt osiągany przez ciało. Zauważmy, że energia całkowita układu musi być zachowana, a zatem poszczególne postacie energii przekształcają się w siebie nawzajem. Wynik rozważań przedstawiono w . Energie składowe w układzie pionowym masa-sprężyna Energia potencjalna grawitacji Energia potencjalna sprężystości Energia kinetyczna (3) Najwyższy punkt 2 m g y min 1 2 k y 2 min 0 (2) Równowaga m g y min 0 1 2 m v 2 (1) Najniższy punkt 0 1 2 k y 2 min 0 Skoczek na bungee (ang. bungee jumper ) zamienia swoją energię potencjalną grawitacji na początku ruchu na energię potencjalną sprężystości na końcu. Energia potencjalna układu pionowego masa-sprężyna Ciężarek o ciężarze 12 N jest zawieszony na sprężynie o stałej sprężystości 6,0 N / m , tak jak przedstawiono na . Następnie ciężarek jest odchylony na odległość 5,0 cm od położenia równowagi i puszczony swobodnie. Jaka jest różnica energii potencjalnej sprężystości pomiędzy nowym położeniem i położeniem równowagi? Jaka jest różnica energii potencjalnej grawitacji pomiędzy tymi położeniami? Jaka jest energia kinetyczna ciężarka, kiedy przechodzi on przez położenie równowagi? Strategia rozwiązania W części (a) i (b) musimy znaleźć różnicę energii potencjalnej, więc możemy skorzystać odpowiednio z i . Każde z tych równań pozwala obliczyć energię w odniesieniu do określonego położenia, co podkreśla fakt, że energia potencjalna zawsze jest obliczana w stosunku do jakiegoś punktu odniesienia. Wybierając punkty odniesienia, takie jak omawiano poprzednio, czyli minimum energii potencjalnej grawitacji w najniższym punkcie ruchu, a minimum energii sprężystości w położeniu równowagi układu masa-sprężyna, możemy obliczyć odpowiednie różnice energii. W części (c) należy zwrócić uwagę na różnicę dwóch rodzajów energii potencjalnej: grawitacji i sprężystości. Dzięki niej możemy obliczyć energię kinetyczną, ponieważ w rozważanym układzie nie ma tarcia, a energia całkowita musi zostać zachowana. Rozwiązanie Punkt odniesienia dla energii potencjalnej sprężystości znajduje się w położeniu równowagi, zatem różnicę energii potencjalnej sprężystości wyznaczamy jako Δ E p spr = 0 − 1 2 k y min 2 = − 1 2 ⋅ 6 , 0 N m ⋅ ( 5 , 0 c m ) 2 = − 0 , 75 J . W związku z tym, że minimum energii potencjalnej grawitacji przypada w najniższym położeniu, możemy ją wyznaczyć w następujący sposób: Δ E p graw = m g y − 0 = 12 N ⋅ 5 , 0 c m = 0 , 60 J . Ciężarek odciągnięto w dół, nadając mu energię potencjalną sprężystości, równą 0,75 J . Energia potencjalna grawitacji potrzebna do wzniesienia go na wysokość 5,0 cm wynosi 0,60 J. Pozostała energia musi być zatem równa energii kinetycznej w położeniu równowagi. Możemy znaleźć jej wartość poprzez : Δ E k = − ( Δ E p spr + Δ E p graw ) = − ( − 0 , 75 J + 0 , 60 J ) = 0 , 15 J . Znaczenie Chociaż energia potencjalna jest zawsze liczona względem jakiegoś punktu, rozwiązanie powyższego problemu jest niezależne od wyboru tego punktu. Sprawdź, czy rozumiesz. Załóżmy, że masa w jest w równowadze, a ty odciągasz ciężarek w dół o 3 cm więcej niż w rozważanym uprzednio przykładzie (czyli całkowite wydłużenie wynosi 8,0 cm ). Energia potencjalna sprężystości wzrasta, ponieważ rozciągasz ją bardziej, ale energia potencjalna grawitacji maleje, ponieważ ciężarek znajduje się dalej od położenia równowagi niż poprzednio. Czy sumaryczna energia potencjalna rośnie, maleje czy pozostaje bez zmian? Musi wzrosnąć, ponieważ siła była skierowana w dół, czyli praca została wykonana, aby odciągnąć ciężarek. Wykonana praca będzie równa wzrostowi całkowitej energii potencjalnej układu. Wyświetl symulację , aby dowiedzieć się więcej o zasadzie zachowania energii na przykładzie skatera. Buduj tory, rampy i skocznie dla skatera, wyświetlaj wskazania energii kinetycznej, potencjalnej oraz tarcia w trakcie jego ruchu. Możesz zabrać skatera na inne planety, a nawet w przestrzeń kosmiczną! Zestawienie wartości różnych energii występujących we wszechświecie zebrano w po to, by pokazać przykłady typowych wartości energii związanych z pewnymi zjawiskami. Część wartości obliczono na podstawie energii kinetycznej, a inne bazują na różnego rodzaju wielkościach energii potencjalnej (ale nie będziemy ich omawiać w tym miejscu). Energie różnych obiektów i zjawisk Obiekt lub zjawisko Energia w dżulach Wielki Wybuch 1 , 0 ⋅ 10 68 Roczne światowe zużycie energii 4 , 0 ⋅ 10 20 Duża bomba termojądrowa (9 megaton) 3 , 8 ⋅ 10 16 Niewielka rozszczepieniowa bomba atomowa (np. jak ta zrzucona na Hiroszimę; 10 kiloton) 4 , 2 ⋅ 10 13 1 baryłka ropy naftowej 5 , 9 ⋅ 10 9 1 tona trotylu 4 , 2 ⋅ 10 9 1 galon benzyny (ok. 4 litry) 1 , 2 ⋅ 10 8 Zalecana dzienna dawka spożycia dla dorosłego człowieka 1 , 2 ⋅ 10 7 Samochód o masie 1000 kg i prędkości 90 km/h 3 , 1 ⋅ 10 5 Piłka tenisowa o prędkości 100 km/h 22 Komar ( 10 −2 g o prędkości 0,5 m/s) 1 , 3 ⋅ 10 − 6 Pojedynczy elektron w kineskopie telewizora 4 , 0 ⋅ 10 − 15 Energia potrzebna do zerwania jednego łańcucha DNA 1 , 0 ⋅ 10 − 19 Podsumowanie W układzie z pojedynczym ciałem różnica energii potencjalnej jest równa ujemnej pracy wykonanej przez siły działające na cząstkę w trakcie jej przemieszczania się z jednego miejsca na drugie. Skoro jedynie różnica energii potencjalnej ma sens fizyczny, to zero energii może być przyjęte w dowolnym, wygodnym dla obliczeń punkcie odniesienia. Energia potencjalna w polu grawitacyjnym Ziemi, w pobliżu powierzchni planety oraz energia potencja sprężystości wynikająca z prawa Hooke'a są odpowiednio liniową i kwadratową funkcją położenia. Pytania Energia kinetyczna układu musi zawsze być większa lub równa zeru. Czy ta zasada obowiązuje również w przypadku energii potencjalnej? Odpowiedź uzasadnij. Energia potencjalna układu może być ujemna, ponieważ jest to wartość liczona względem pewnego określonego punktu. Siła uzyskana dzięki trampolinie jest zachowawcza przy założeniu, że tarcie wewnętrzne jest pomijalne. Przyjmując to założenie, opisz zmiany energii potencjalnej pływaka, który się z niej wybija. Swoje rozważania przeprowadź od momentu wejścia pływaka na skocznię do momentu, w którym jego stopy odrywają się od trampoliny tuż przed skokiem do wody. Opisz zmianę energii potencjalnej grawitacji i przemiany energii oszczepu, zaczynając od momentu, w którym lekkoatleta podnosi oszczep, do momentu wbicia się oszczepu w ziemię po prawidłowo wykonanym rzucie. Jeśli punkt odniesienia jest przyjęty na poziomie podłoża, to energia potencjalna wzrasta do momentu osiągnięcia maksimum lotu, po czym zmniejsza się wraz z opadaniem oszczepu. Całkowita zmiana energii potencjalnej w tym ruchu wynosi zero, z wyjątkiem sytuacji, w której oszczep ma punkt ciężkości poniżej punktu, z którego został wyrzucony. Dwie piłki nożne o tej samej masie zostały wyrzucone z poziomu powierzchni Ziemi z tą samą prędkością, ale pod różnymi kątami. Piłka A została kopnięta pod bardzo małym kątem względem powierzchni, a piłka B niemalże pod kątem prostym. Porównaj dla piłek A i B: (a) początkową energię kinetyczną, (b) zmianę energii potencjalnej grawitacji od poziomu gruntu do najwyższego punktu. Czy energia w części (a) ma inną wartość niż w (b)? Wyjaśnij, dlaczego tak jest. Jaki jest główny czynnik mający wpływ na prędkość ciała, które zsuwa się bez tarcia z równi pochyłej przy założeniu, że jedyna praca wykonana została przez siły grawitacji? Różnica wysokości pomiędzy położeniem początkowym i końcowym (na poziomie gruntu) ciała. Dwie osoby obserwują liść spadający z drzewa. Pierwsza stoi na drabinie, a druga na ziemi. Jeśli każda z tych osób miałaby porównać energię liścia, to czy te dwie osoby podałyby taką samą, czy różną wartość poszczególnych energii w trakcie lotu? Rozważ: energię kinetyczną liścia, zmianę energii potencjalnej grawitacji, końcową wartość energii potencjalnej. Zadania Korzystając z danych z , oblicz, ile łańcuchów DNA można rozerwać, wykorzystując energię jednego elektronu z telewizora kineskopowego. (Obecność elektronów w telewizorze dawnego typu powodowała powstawanie promieniowania rentgenowskiego, które miało działanie kancerogenne. Późniejsze wersje telewizorów kineskopowych posiadały specjalne ekranowanie, które pochłaniało promieniowanie, zanim mogło ono dotrzeć do odbiorców.) 40000 Jeśli możliwe byłoby wykorzystanie energii bomb fuzyjnych do zasilenia światowych systemów energetycznych, to ile 9-megatonowych bomb byłoby potrzeba, aby zaspokoić roczne zapotrzebowanie świata na energię elektryczną (użyj danych z )? Kamera o ciężarze 10 N odpadła z drona unoszącego się na wysokości 20 m i spada swobodnie. Jaka jest zamiana energii potencjalnej związana z upadkiem kamery, jeśli za punkt zera energii potencjalnej przyjmiemy poziom gruntu? poziom, na jakim unosi się dron? Jaka jest wartość energii potencjalnej kamery, zanim odpadnie z drona? Jaka jest wartość energii potencjalnej kamery po tym, jak zderza się z ziemią? Dla dwóch ostatnich podpunktów przyjmij zero energii potencjalnej w punkcie, w którym przebywa obserwator, czyli w budynku na wysokości 30 m nad ziemią. a. −200 J ; b. −200 J ; c. −100 J ; d. −300 J Pasażer upuścił kamień o masie 50 g z pokładu statku na wysokości 70,0 m od poziomu lustra wody. Osoba stojąca na pomoście 3,0 m nad poziomem wody trzyma sieć, w którą zamierza złapać kamień. Jaką pracę wykonują siły grawitacji na kamieniu w trakcie jego lotu? Jaka jest zmiana energii potencjalnej grawitacji podczas lotu? Jeśli przyjmiesz punkt odniesienia z zerową energią potencjalną na poziomie lustra wody, jaka będzie wartość energii potencjalnej w momencie upuszczenia kamienia? Jaka będzie jej wartość w chwili, gdy kamień wpadnie w sieć? Co się stanie, jeśli przyjmiemy, że energia potencjalna na poziomie lustra wody wynosi 30,0 J? Oblicz wartości dla pytań postawionych w (c) oraz (d), przyjmując nowy punkt odniesienia. Kocia zabawka w kształcie kulki ma masę 15 g i zostaje wyrzucona prosto w górę z prędkością początkową 3 m/s . Przyjmij, że opór powietrza jest pomijalny. Ile wynosi energia kinetyczna kulki w momencie wyrzutu? Ile wynosi praca wykonana przez siły grawitacji podczas lotu wznoszącego zabawki? Jaka jest zmiana energii potencjalnej grawitacji w tej części ruchu? Jeśli zero energii potencjalnej jest przyjęte na wysokości wyrzucającej ręki, jaka jest energia potencjalna w momencie, kiedy zabawka osiąga maksymalną wysokość? Jeśli punkt odniesienia dla energii przyjmiemy w punkcie maksymalnej wysokości, to jaka będzie energia potencjalna w momencie, gdy zabawka opuszcza rękę? Oblicz maksymalną wysokość, na jaką może wznieść się kulka. a. 0,068 J ; b. −0,068 J ; c. 0,068 J ; d. 0,068 J ; e. −0,068 J ; f. 46 cm energia potencjalna (ang. potential energy ) jest to funkcja położenia, energia posiadana przez ciało w odniesieniu do rozpatrywanego układu fizycznego różnica energii potencjalnej (ang. potential energy difference ) praca wzięta z minusem wykonana podczas przemieszczenia ciała pomiędzy dwoma punktami w przestrzeni

Science


Siły zachowawcze i niezachowawcze Do tej pory w rozdziale Energia potencjalna i zasada zachowania energii każdorazowa konwersja energii kinetycznej i potencjalnej spełniała zasadę zachowania energii. Prawo działało niezależnie od drogi przebytej przez ciało, tzn. mogliśmy analizować ciało w dowolnych dwóch punktach ruchu i suma jego energii potencjalnej i kinetycznej w obu punktach była sobie równa. Jest to cecha charakterystyczna sił zachowawczych (ang. conservative force ). W zagadnieniach analizowanych w poprzedniej sekcji mieliśmy do czynienia właśnie z takimi siłami, przykładami których są siły grawitacji i sprężystości. W analizie ruchu piłki na całkowita energia mechaniczna nigdy się nie zmieniała, zarówno wtedy, gdy ciało zwiększało swoją energię potencjalną podczas wznoszenia, jak i odwrotnie, gdy zmniejszało ją podczas lotu opadającego. Siły niezachowawcze (ang. non-conservative force ) mają inne właściwości. Są to siły rozpraszające (dyssypatywne), których przykładami są tarcie oraz opory powietrza. Oddziaływania takiego rodzaju prowadzą do rozproszenia energii, czyli nieodwracalnej przemiany energii, której potem nie można odzyskać. Praca sił niezachowawczych jest zależna od przebytej drogi. Siła zachowawcza Praca wykonana przez siłę zachowawczą nie zależy od drogi. Innymi słowy praca siły zachowawczej jest taka sama dla każdej drogi biegnącej pomiędzy dwoma położeniami: W A B droga 1 = ∫ A B droga 1 F → zach ⋅ d r → = W A B droga 2 = ∫ A B droga 2 F → zach ⋅ d r → . Natomiast praca siły niezachowawczej zależy od drogi przebytej przez ciało. Można zatem powiedzieć, że praca wykonana przez siły zachowawcze na drodze zamkniętej (pętli) jest równa zero: W droga zamk. = ∮ E → zach ⋅ d r → = 0. W korzystamy z notacji, w której okrąg w znaku całki oznacza całkowanie po krzywej zamkniętej – jest to sposób zapisu często spotykany w podręcznikach z zakresu fizyki i techniki. oraz są równoważne, ponieważ każda droga zamknięta jest sumą dwóch dróg: przebytą z punktu A do B oraz w drugą stronę od B do A . Praca obliczona wzdłuż drogi od B do A to ujemna wartość pracy obliczonej wzdłuż drogi od A do B , gdzie A i B to dowolne dwa punkty leżące na konturze drogi zamkniętej: 0 = ∫ F → zach ⋅ d r → = ∫ A B droga 1 F → zach ⋅ d r → + ∫ B A droga 2 F → zach ⋅ d r → = ∫ A B droga 1 F → zach ⋅ d r → − ∫ A B droga 2 F → zach ⋅ d r → = 0. Definicja siły zachowawczej zakłada, że wykonana przez nią praca po dowolnej drodze pomiędzy A i B jest taka sama, ale w celu obliczenia całki trzeba dokonać wyboru jakiejś konkretnej drogi. Jak w takim razie ustalić, czy siła jest zachowawcza, czy nie? Aby tego dokonać, musimy zauważyć, że praca jest niezależna od drogi, jeśli przyczynek (czyli bardzo mały przyrost danej wielkości) do pracy F → ⋅ d r → jest taki, że jego różniczka zupełna (ang. exact differential ) jest równa różniczce zupełnej energii kinetycznej d W wyp = m v → ⋅ d v → = d ( m v 2 / 2 ) . Podobna zależność obowiązuje dla równoważności pracy i energii, co zostało pokazane w podrozdziale Zasada zachowania energii mechanicznej . Istnieje aparat matematyczny, który pozwala sprawdzić, czy przyczynek do pracy wynikający z działania danej siły jest równy różniczce zupełnej energii kinetycznej, i tym samym wykazać, że siła jest zachowawcza. Zastosowanie tego aparatu wymaga jedynie różniczkowania, co jest względnie prostą operacją matematyczną. Przy rozpatrywaniu zagadnienia w dwóch wymiarach, warunki, które muszą być spełnione, aby równanie F → ⋅ d r → = F x d x + F y d y było różniczką zupełną energii kinetycznej, są następujące: d F x d y = d F y d x . Praca wykonana przez siłę opisaną w jest zależna od drogi. Zatem siła F x = 5 N m ⋅ y oraz F y = 10 N m ⋅ x . Stąd: d F x d y = 5 N m ≠ d F y d x = 10 N m , co świadczy o tym, że mamy do czynienia z siłą niezachowawczą. Czy jesteśmy w stanie zaproponować, co należałoby zmienić, aby sprawić, by omawiana siła była siłą zachowawczą? Siła wytworzona przez koło cierne jest niezachowawcza, ponieważ praca przez nią wykonana zależy od liczby wykonanych obrotów, a zatem jest zależna od drogi. Zachowawcza czy niezachowawcza? Która z następujących sił działających w dwóch wymiarach jest zachowawcza, a która nie? Załóż, że a i b to stałe o odpowiednich jednostkach: a x y 3 ⋅ i ^ + a y x 3 ⋅ j ^ , a [ ( y 2 / x ) ⋅ i ^ + 2 y ln  ( x / b ) ⋅ j ^ ] , a x ⋅ i ^ + a y ⋅ j ^ x 2 + y 2 Strategia rozwiązania Zastosuj warunek opisany w , czyli oblicz pochodne cząstkowe każdej z sił. Jeśli pochodna po x składowej y danej siły jest równa pochodnej po y składowej x , to siła jest zachowawcza. Dzieje się tak, ponieważ przy spełnieniu tego warunku niezależnie od drogi energia potencjalna tej siły przy danym przesunięciu zawsze zapewni taki sam wynik. Rozwiązanie d F x d y = d ( a x y 3 ) d y = 3 a x y 2 i d F y d x = d ( a y x 3 ) d x = 3 a y x 2 – ta siła nie jest zachowawcza. d F x d y = d ( a y 2 / x ) ) d y = 2 a y x i d F y d x = d ( 2 a y ln  ( x / b ) ) d x = 2 a y x – więc jest to siła zachowawcza. d F x d y = d ( a x / ( x 2 + y 2 ) ) d y = − a x ( 2 y ) ( x 2 + y 2 ) 2 = d F y d x = d ( a y / ( x 2 + y 2 ) ) d x – tu także jest to siła zachowawcza. Znaczenie Warunki przedstawione w bazują na pochodnych funkcji po dwóch zmiennych. W trzech wymiarach można wprowadzić podobne warunki, ale wymagają one obliczenia większej liczby pochodnych. Sprawdź, czy rozumiesz. Dwuwymiarowa siła zachowawcza przyjmuje wartość zero na osi x i y oraz spełnia warunek d F x / d y = d F y / d x = ( 4 N / m 3 ) x y . Jaka jest wartość siły w punkcie x = y = 1 m? 2,83 N Zanim skończymy rozważania w tej sekcji, zauważmy, że siły niezachowawcze nie są związane z istnieniem żadnej energii potencjalnej, ponieważ przemiana energetyczna związana z ich działaniem dąży do bezpowrotnego rozproszenia (utraty) energii, która nie może zostać zamieniona z powrotem na pracę. Natomiast energia potencjalna jest zdefiniowana poprzez pracę sił zachowawczych. zawiera pracę wyrażoną jako całkę z iloczynu skalarnego siły i przemieszczenia. W wyniku całkowania otrzymuje się pracę oraz różnicę energii potencjalnej. Przypomnijmy, że całkowanie jest działaniem przeciwnym do różniczkowania. Równie dobrze możemy obliczyć pochodną energii potencjalnej po przesunięciu, aby otrzymać siłę. Przyczynek do energii potencjalnej jest to iloczyn skalarny siły zachowawczej i przyczynku przemieszczenia. d E p = − F → ⋅ d l → = − F l d l . W powyższym równaniu dokonaliśmy wyboru reprezentacji przemieszczenia w dowolnym kierunku poprzez d l → , ponieważ nie chcieliśmy ograniczać się do żadnego wyróżnionego układu odniesienia. Następnie przekształciliśmy wzór tak, aby wyrazić iloczyn skalarny jako iloczyn składowej siły F l działającej w kierunku l i minimalnego przyrostu przemieszczenia d l . Obie wielkości są skalarami, więc możemy podzielić równanie obustronnie przez d l , by otrzymać: F l = − d E p d l . Na podstawie tego równania widzimy zależność pomiędzy siłą i energią potencjalną z nią związaną. Składowa siły zachowawczej w wyróżnionym kierunku jest równa ujemnej pochodnej energii potencjalnej po przemieszczeniu. W przypadku jednowymiarowym, np. wzdłuż osi x , przyjmuje postać F → = F x ⋅ i ^ = − ∂ E p ∂ x ⋅ i ^ . W dwóch wymiarach: F → = F x ⋅ i ^ + F y ⋅ j ^ = − ∂ E p ∂ x ⋅ i ^ − ∂ E p ∂ y ⋅ j ^ . W omawianym równaniu zastosowano pochodne cząstkowe. Jeśli funkcja jest zależna od wielu zmiennych, aby znaleźć jej różniczkę zupełną należy obliczyć pochodne cząstkowe po każdej zmiennej. Obliczając pochodną cząstkową po danej zmiennej, pozostałe zmienne traktujemy jako stałe. W przypadku trójwymiarowym do powyższego równania dodajemy trzeci, analogiczny człon dla składowej z i w efekcie otrzymujemy równanie, w którym siła jest to ujemny gradient energii potencjalnej. Na razie nie będziemy analizować układów trójwymiarowych. Siła wynikająca z energii potencjalnej będącej funkcją przemieszczenia do potęgi czwartej Energia potencjalna cząstki poruszającej się wzdłuż osi x dana jest wzorem: E p = 1 4 c x 4 , gdzie c = 8 N/m 3 . Całkowita energia cząstki w położeniu x = 0 m wynosi 2 J i nie podlega działaniu żadnej siły niezachowawczej. Znajdź: położenia, w których energia kinetyczna wynosi zero oraz wartości siły w tych położeniach. Strategia rozwiązania Stosunkowo łatwo jest znaleźć położenia, w których E k = 0 J , jeśli zauważymy, że zgodnie z zasadą zachowania energii całkowita energia mechaniczna w tej sytuacji składa się tylko i wyłącznie z energii potencjalnej. Możemy użyć , aby wyznaczyć siłę w położeniach wyznaczonych w poprzednim podpunkcie. Rozwiązanie Całkowita energia mechaniczna układu jest równa 2 J i w położeniu, w którym energia kinetyczna wynosi zero, jest równa energii potencjalnej 2 J = 1 4 ⋅ 8 N m 3 ⋅ x f 4 . Rozwiązując równanie, znajdziemy x f = ± 1 m . Z , F x = − d E p d x = − c x 3 . Stąd obliczając siłę w punktach ± 1 m , otrzymujemy F → = − 8 N m 3 ⋅ ( ± 1 m ) 3 ⋅ i ^ = ± 8 N ⋅ i ^ . W obu położeniach wartość siły wynosi 8 N i jest zwrócona w kierunku początku układu współrzędnych. Wynika to z tego, że potencjał ma charakter siły zawracającej. Znaczenie Obliczanie siły na podstawie energii potencjalnej jest matematycznie prostsze niż wyprowadzenie energii potencjalnej przy znanej sile, ponieważ różniczkowanie funkcji jest zazwyczaj prostsze niż całkowanie. Sprawdź, czy rozumiesz. Wyznacz siły działające na cząstkę w , przyjmując, że energia kinetyczna jest równa 1 J w x = 0 . F = 4 , 8 N , skierowana w stronę początku układu współrzędnych. Podsumowanie Siła zachowawcza to taka, której praca nie jest zależna od drogi. Równoważnie: siła jest zachowawcza, jeśli praca po krzywej zamkniętej jest równa zero. Siła niezachowawcza to siła, której praca zależy od drogi. Przyczynek do pracy wykonanej przez siłę zachowawczą jest różniczką zupełną energii kinetycznej. Z tej zależności wynika równanie różniczkowe, które muszą spełniać siły zachowawcze. Każda składowa siły zachowawczej w wyróżnionym kierunku jest równa ujemnej pochodnej energii potencjalnej po danej współrzędnej kierunkowej. Pytania Jaki jest sens fizyczny siły niezachowawczej? Jest to siła, która powoduje rozproszenie energii układu w ten sposób, że nie da się jej zamienić z powrotem na pracę. Zabawkowa rakieta zrobiona z butelki została wystrzelona pionowo w górę z prędkością początkową 30 m/s . Zakładając, że opory powietrza można pominąć, butelka uniosłaby się na wysokość około 46 m . Jednakże rakieta wznosi się jedynie na wysokość 35 m , po czym spada na ziemię. Co jest tego przyczyną? Wyjaśnij, dając jedynie jakościową odpowiedź. Zewnętrzna siła działa na cząsteczkę podczas jej przemieszczania się z jednego punktu do drugiego i z powrotem. Na cząstkę działają jedynie siły zachowawcze. Czy energia potencjalna i kinetyczna cząsteczki zmieni się w wyniku tego przemieszczenia? Zmiana energii kinetycznej jest równa pracy wypadkowej. W związku z tym, że siły zachowawcze są niezależne od drogi, po powrocie do punktu wyjścia energia potencjalna i kinetyczna będą miały takie same wartości jak przed rozpoczęciem ruchu. Podczas przemieszczania energia całkowita jest zachowana, ale zarówno kinetyczna, jak i potencjalna będą zmieniać swoje wartości. Zadania Siła F ( x ) = 3 , 0 N m ⋅ x − 1 działa na cząstkę podczas jej ruchu w dodatnim kierunku osi x . (a) Ile wynosi praca tej siły podczas przemieszczenia z x = 2,0 m do x = 5 , 0 m ? (b) Przyjmując typowy punkt odniesienia dla energii potencjalnej, czyli zero dla x = ∞ , oblicz energię potencjalną tej siły. Siła F ( x ) = − 5 , 0 N / m 2 ⋅ x 2 + 7 , 0 N / m ⋅ x działa na cząstkę. (a) Jaka praca zostanie wykonana przy przesunięciu z x = 2,0 m do x = 5,0 m ? (b) Przyjmując typowy punkt odniesienia dla energii potencjalnej, czyli zero dla x = ∞ , oblicz energię potencjalną tej siły. a. −120 J ; b. 120 J Oblicz siłę związaną z energią potencjalną daną wzorem E p ( x ) = − a / x + b / x 2 . Energia potencjalna oddziaływań pomiędzy dwoma atomami w cząsteczce dwuatomowej jest zazwyczaj wyrażona funkcją E p ( x ) = a / x 12 – b / x 6 , gdzie przez x wyrażono odległość pomiędzy atomami. (a) Jaka jest odległość separacji atomów, czyli taka, w której energia potencjalna przyjmuje lokalne minimum (nie w x = ∞ )? (b) Jaka jest wartość siły działającej na atomy znajdujące się w tym położeniu? (c) Jak zmienia się siła w funkcji odległości po przekroczeniu minimum lokalnego energii potencjalnej? a. ( 2 a / b ) 1 / 6 ; b. 0 ; c. ∼ x –7 Cząstka o masie 2,0 kg porusza się pod wpływem działania siły F ( x ) = 3 N m 1 / 2 / x . Jeśli prędkość cząstki dla x = 2,0 m wynosi v = 6,0 m/s, to ile wynosi prędkość dla x = 7,0 m ? Cząstka o masie 2,0 kg porusza się pod wpływem działania siły F ( x ) = − 5 , 0 N / m 2 ⋅ x 2 + 7 , 0 N / m ⋅ x . Jeśli prędkość cząstki dla x = −4,0 m wynosi v = 20,0 m/s, to ile wynosi prędkość dla x = 4,0 m ? 14 m / s Skrzynia na kółkach jest pchana bez strat energii wynikających z tarcia pomiędzy podłogą wagonu a skrzynią (patrz rysunek). Wagon porusza się – dla obserwatora stojącego na zewnątrz – w prawo ze stałą prędkością v 0 . Jeśli w momencie przyłożenia siły F (na początku ruchu) skrzynia znajdowała się w stanie spoczynku względem wagonu, to bazując na zasadzie równoważności pracy i energii, możemy stwierdzić, że F d = m v 2 / 2 , gdzie d i v to odpowiednio przemieszczenie i prędkość końcowa skrzyni liczone względem wagonu. Jakie przemieszczenie d ′ skrzyni zaobserwuje obserwator znajdujący się na zewnątrz pociągu? Ile wynosi prędkość początkowa i końcowa skrzyni, v 0 ′ oraz v ′ , zmierzona przez obserwatora? Wykaż, że F d ′ = m ( v ′ ) 2 / 2 − m ( v 0 ′ ) 2 / 2 oraz że praca jest równa zmianie energii kinetycznej w obu układach odniesienia. siła zachowawcza (ang. conservative force ) siła, której praca nie zależy od drogi przebytej przez ciało różniczka zupełna (ang. exact differential ) to różniczka, w której oblicza się sumę pochodnych funkcji po wszystkich zmiennych siła niezachowawcza (ang. non-conservative force ) siła, której praca zależy od drogi przebytej przez ciało

Science


Zasada zachowania energii W tej części rozwiniemy i przeanalizujemy to, co wyprowadziliśmy w sekcji Energia potencjalna układu , gdzie przekształciliśmy zasadę równoważności pracy i energii w opis przemiany energii kinetycznej w potencjalną i na odwrót. Doprowadzi nas to do dyskusji nad fundamentalnym prawem fizyki, jakim jest zasada zachowania energii mechanicznej. W dalszych częściach książki, w których będziecie zmagać się z różnymi problemami fizyki, zobaczycie, jak można uogólnić to prawo na więcej typów energii i przemian pomiędzy nimi. Ostatnia część tego rozdziału będzie wstępem do rozważań o różnych rodzajach energii. Pojęcia takie jak „wielkości zachowane” oraz „zasady zachowania” mają szczególne znaczenie w fizyce, ale znaczenie tych słów różni się od potocznego rozumienia (podobnie można stwierdzić o powszechnym i naukowym znaczeniu pojęcia „praca”). Potocznie możemy powiedzieć, że pewną ilość wody „zachowujemy”, gdy jej nie używamy lub oszczędzamy. Woda jest zbudowana z cząsteczek składających się z dwóch atomów wodoru oraz jednego tlenu. Połącz te trzy atomy, a uzyskasz wodę, natomiast rozerwanie wiązania doprowadzi do jej zniszczenia. W świecie nauki wielkość zachowana (ang. conserved quantity ) to taka, która – jeśli jest rozpatrywana dla całego układu fizycznego – pozostaje niezmienna i/lub jest zamieniana na inną formę danej wielkości w takiej samej ilości. Wielkość zachowana może też być przekazywana do innego układu (wtedy jej ilość się zmieni), ale zawsze odbywa się to w mierzalnych, kontrolowanych ilościach. Wielkość zachowana może ulec przemianie w inną postać, ale nie może być tworzona lub anihilowana. Stąd wynika, że nie ma zasady zachowania wody w fizyce. Układ z pojedynczą cząsteczką lub ciałem Rozważmy układ z jedną cząsteczką lub ciałem. Wracając do przypomnijmy, że najpierw rozdzieliliśmy wszystkie siły działające na cząstkę na zachowawcze i niezachowawcze, a następnie zapisaliśmy pracę dla każdej z nich zgodnie z założeniami zasady równoważności pracy i energii. Zamieniliśmy pracę wykonywaną przez siły zachowawcze na zmianę energii potencjalnej cząstki i powiedzieliśmy, że możemy ją zamienić na energię kinetyczną, z czego uzyskaliśmy . Zapiszmy zatem omawiane uprzednio równanie, pomijając środkowy krok. Zdefiniujmy sumę energii kinetycznej i potencjalnej ( E k + E p = E ) jako energię mechaniczną (ang. mechanical energy ) cząsteczki. Zasada zachowania energii Energia mechaniczna E cząsteczki jest stała dopóty, dopóki nie pojawi się siła zewnętrzna (spoza układu) lub siła wewnętrzna niezachowawcza, która na nią oddziałuje. W przypadku sił niezachowawczych zmiana energii mechanicznej jest równa pracy wykonanej przez te siły: W niezach A B = Δ ( E k + E p ) A B = Δ E A B . Pierwsze z powyższych stwierdzeń definiuje pojęcie zasady zachowania energii (ang. energy conservation ) cząstki, na którą nie działają siły niezachowawcze. Klasyczna cząstka (omawiana tutaj) stanowi punkt masowy, który jest nierelatywistyczny i podlega zasadom dynamiki Newtona. W podrozdziale Teoria względności zobaczymy, że zasada zachowania energii jest prawdziwa także dla cząstek relatywistycznych, ale do wyjaśnienia tego potrzebne są pewne poprawki do definicji energii. W niektórych przypadkach wygodniej jest przyjąć, że praca wykonywana przez siły niezachowawcze jest równa zeru, ponieważ albo zakładamy, że nie ma takich sił, albo przesunięcie jest równoległe do powierzchni. Zapisujemy zatem: W niezach A B = Δ ( E k + E p ) A B = Δ E A B . W takim przypadku zasada zachowania energii jest wyrażona w następujący sposób: energia mechaniczna cząsteczki nie ulega zmianie, jeśli siły niezachowawcze, które mogą na nią oddziaływać, wykonują zerową pracę. Zrozumienie idei zasady zachowania energii jest o wiele ważniejsze niż zapamiętanie konkretnego równania, które ją wyraża. Strategia rozwiązywania zadań: zasada zachowania energii Zidentyfikuj ciało lub ciała, które należy rozpatrzeć (czyli układ fizyczny). Często w zagadnieniach związanych z wykorzystaniem zasady zachowania energii rozpatruje się więcej niż jedno ciało. Znajdź wszystkie siły działające na ciało (lub ciała). Określ, czy siły wykonujące pracę są zachowawcze. Jeśli siła niezachowawcza wykonuje pracę, to energia mechaniczna nie jest zachowana. Układ musi zostać przeanalizowany pod kątem pracy sił niezachowawczych, tj. . Dla każdej siły zachowawczej wykonującej pracę przyjmij odpowiedni punkt odniesienia dla energii potencjalnej. Punkty odniesienia dla różnych rodzajów energii potencjalnej nie muszą być wyznaczone w tym samym miejscu. Zastosuj zasadę zachowania energii mechanicznej, przyjmując, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała w każdym punkcie układu. Wahadło matematyczne Punkt materialny o masie m jest zawieszony na nieważkiej nici o długości 1,0 m przyczepionej jednym końcem do sufitu, tworząc wahadło matematyczne, tak jak przedstawiono na . Wahadło odchylono od położenia równowagi o 30 ° , po czym puszczono swobodnie. Jaka jest prędkość punktu w momencie, w którym przekracza ono najniższy punkt toru ruchu? Punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici tworzy wahadło matematyczne. Układ przedstawiono w momencie uwolnienia wahadła oraz zaznaczono pewne wielkości przydatne w analizie ruchu. Strategia rozwiązania Zaczynając od kroku pierwszego przedstawionej wcześniej strategii rozwiązywania zadań, musimy rozpocząć od określenia, ilu ciał dotyczy zagadnienie. Rozważany problem dotyczy jedynie układu cząstka-Ziemia. Następnie zauważamy, że siła grawitacji, która jest zachowawcza, jest jedyną działającą na cząstkę. W zagadnieniu pomijamy opory powietrza, a siła naciągu nici jest prostopadła do przemieszczenia, a zatem jej praca jest równa zero. Wynika z tego, że energia mechaniczna w układzie jest zachowana i na podstawie dana wzorem 0 = Δ ( E k + E p ) . Ruch rozpoczyna się poprzez wytrącenie ciała ze stanu spoczynku (wahadło puszczono swobodnie), a więc wzrost energii kinetycznej jest równy energii kinetycznej w najniższym punkcie albo, ujmując to inaczej, zmianie energii potencjalnej (którą możemy obliczyć, bazując na geometrii). W kroku czwartym dokonujemy wyboru punktu odniesienia dla energii potencjalnej w najniższym punkcie toru ruchu. Ostatni krok polega na przyrównaniu sumy energii w najwyższym punkcie do sumy w najniższym punkcie i obliczeniu prędkości. Rozwiązanie Pomijając siły niezachowawcze, zasadę zachowania energii z uwzględnieniem jedynie punktów startowego i końcowego możemy zapisać jako: E k p + E p p = E k k + E p k . Ruch rozpoczyna się od spoczynku, a zatem początkowa energia kinetyczna jest równa zeru. Natomiast w najniższym punkcie toru przyjmujemy, że energia potencjalna jest zerowa. Nasze równania upraszczają się do postaci: 0 + m g h = 1 2 m v 2 + 0 v = 2 g h . Wysokość, na jakiej znajduje się punkt materialny na początku ruchu, nie jest dana bezpośrednio w treści zadania. Można ją wyprowadzić poprzez zastosowanie zasad trygonometrii i dwóch danych: długości wahadła oraz kąta wychylenia początkowego. Na rysunku pionową przerywaną linią oznaczono długość wahadła, a wysokość, na jakiej znajduje się ciało – poprzez h . Pozostałą część długości wahadła x = L − h można obliczyć, korzystając z zależności trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, poprzez: cos  θ = x L , x = L cos  θ . Z powyższych ustaleń można wyprowadzić równanie na h : x + h = L L cos θ + h = L h = L − L cos θ = L ( 1 − cos θ ) . Uzyskaną wielkość podstawiamy do równania wynikającego z początkowych rozważań dotyczących energii i możemy wyznaczyć prędkość: v = 2 g L ( 1 − cos  θ ) = 2 ⋅ 9 , 8 m s 2 ⋅ 1 m ⋅ ( 1 − cos  30 ∘ ) = 1 , 62 m s . Znaczenie Wyznaczyliśmy prędkość, korzystając bezpośrednio z zasady zachowania energii, bez potrzeby rozwiązywania równania różniczkowego dla ruchu wahadła (zobacz Drgania ). Inaczej możemy to przedstawić poprzez wykresy słupkowe energii całkowitej (ang. bar graphs of total energy ). Na początku punkt materialny ma jedynie energię potencjalną, ponieważ znajduje się w najwyższym położeniu. W momencie gdy ciało przechodzi przez położenie najniższe, cała energia potencjalna jest zamieniana na kinetyczną. Możemy zatem wyobrazić sobie, jakim przemianom podlega energia, gdy ciało przechodzi przez położenia pośrednie ( ). Zmiany energii w trakcie ruchu punktu z najniższego położenia i z powrotem do najwyższego możemy odczytać na poniższych diagramach od (c), poprzez (b), do (a). Wykresy słupkowe przedstawiające energię całkowitą ( E ), potencjalną ( E p ) oraz kinetyczną ( E k ) ciała w różnych położeniach. (a) Całkowita energia układu równa się energii potencjalnej, a energia kinetyczna jest równa zero, co jest charakterystyczne dla maksymalnego wychylenia. (b) Punkt materialny jest w połowie drogi pomiędzy maksymalnym i minimalnym położeniem, a więc energia kinetyczna jest równa potencjalnej, a ich suma – energii całkowitej. (c) Ciało jest w najniższym położeniu, energia kinetyczna osiąga maksimum i jest równa energii całkowitej, natomiast energia potencjalna jest zerowa. Sprawdź, czy rozumiesz. W jakiej odległości od położenia równowagi znajduje się wahadło z poprzedniego przykładu, jeśli jego prędkość jest równa 0,81 m / s ? 0,033 m Opór powietrza spadającego ciała W momencie, gdy helikopter unosi się na wysokości 1 km , odrywa się od niego panel spodni i pikuje w kierunku ziemi ( ). Masa panelu wynosi 15 kg , a podczas zderzenia z podłożem jego prędkość wynosi 45 m / s . Ile energii mechanicznej ulega rozproszeniu w wyniku działania oporów powietrza podczas opadania panelu? Panel helikoptera odrywa się i spada swobodnie, aż do momentu, w którym osiąga prędkość maksymalną 45 m/s. Ile energii zostało rozproszone na skutek występowania oporów powietrza? Strategia rozwiązania Krok 1: W układzie jest rozpatrywane tylko jedno ciało. Krok 2: Zarówno siła grawitacji, jak i oporu powietrza działają na ciało, tak jak określono to w treści zadania. Krok 3: Siła grawitacji jest zachowawcza, jednakże niezachowawcze siły oporu również wykonują pracę nad spadającym panelem. W związku z tym musimy użyć zasady zachowania energii wyrażonej , aby wyznaczyć wartość rozproszonej energii: Δ E rozp = | W niezach | = | Δ ( E k + E p ) sf | . Krok 4: Początkowa energia kinetyczna w y s = 1 km wynosi zero. Przyjmijmy zero energii potencjalnej na wysokości podłoża. Krok 5: Praca sił niezachowawczych, czyli energia rozproszona przez opory powietrza, jest równa różnicy całkowitej energii mechanicznej początku i końca ruchu. Rozwiązanie Energia mechaniczna, która uległa rozproszeniu przez opory powietrza, jest sumą algebraiczną przyrostu energii kinetycznej i straty energii potencjalnej. Zatem możemy obliczyć tę sumę poprzez: Δ E rozp = | E k k − E k p + E p k − E p p | = | 1 2 ⋅ 15 k g ⋅ ( 45 m s ) 2 − 0 + 0 − 15 k g ⋅ 9 , 8 m s 2 ⋅ 1000 m | = 130 k J . Znaczenie Znaczna część początkowej energii mechanicznej panelu ( E p s ) , 147 kJ, została rozproszona. Zauważ, że zdołaliśmy wyznaczyć energię rozproszoną, nie znając sił oporu, a jedynie wiedząc, że są dyssypatywne. Sprawdź, czy rozumiesz. Pewnie sobie przypominasz, że pomijając opory powietrza, w rzucie pionowym czas, jaki potrzebuje wyrzucone ciało, aby osiągnąć maksimum położenia, jest równy czasowi, jaki potrzebuje ciało aby spaść do punktu wyrzutu. Załóżmy teraz, że nie możemy pominąć oporów, tak jak w . Czy czas, w którym ciało się wznosi, jest (a) większy, (b) mniejszy czy (c) taki sam jak czas opadania? Wyjaśnij. b. Przy danej wysokości energia potencjalna grawitacji jest zawsze taka sama, natomiast energia kinetyczna jest mniejsza w ruchu w dół, ponieważ siła oporu powietrza jest dyssypatywna i wykonuje ujemną pracę. W związku z tym, dla każdej wysokości prędkość w ruchu w dół jest mniejsza niż prędkość ruchu w górę, a zatem czas opadania jest dłuższy od czasu wznoszenia. W powyższych przykładach za pomocą zasady zachowania energii byliśmy w stanie obliczyć prędkość ciała jedynie we wskazanych punktach ruchu. Należy zauważyć, że metoda analizy ruchu ciał bazująca na zachowaniu energii jest o wiele potężniejszym narzędziem. Bardziej zaawansowane metody teorii mechaniki pozwalają obliczyć pełną zależność czasową ruchu cząstki. Często lepszym modelem matematycznym ruchu jest model opierający się na analizie energii kinetycznej i potencjalnej niż ten bazujący na rozpisaniu sił działających na ciało (jest to widoczne szczególnie dobrze w przypadku opisu kwantowo-mechanicznego cząstek takich jak elektrony czy atomy). Możemy przedstawić najprostsze cechy takiego podejścia energetycznego do ruchu za pomocą analizy cząstki poruszającej się w jednym wymiarze i posiadającej energię potencjalną E p ( x ) , na którą nie działają siły niezachowawcze. oraz definicja prędkości mówią nam, że: E k = 1 2 m v 2 = E − E p ( x ) v = d x d t = 2 ( E − E p ( x ) ) m . Rozdzielmy zmienne x oraz t i obliczmy całkę w granicach od czasu początkowego t = 0 do dowolnie przyjętego momentu czasu t : t = ∫ 0 t d t = ∫ x 0 x d x 2 ( E − E p ( x ) ) / m . Jeśli obliczymy całkę z , to będziemy mogli wyrazić x w funkcji t . Stałe przyspieszenie Zastosuj energię potencjalną opisaną wzorem E p ( x ) = − E ( x / x 0 ) , gdzie E > 0 , w , aby obliczyć położenie x ciała w funkcji czasu t . Strategia rozwiązania Wiemy jak energia potencjalna zmienia się wraz ze zmianą x , a więc możemy podstawić E p ( x ) w i obliczyć całkę po to by znaleźć x . W wyniku takiej procedury otrzymujemy wyrażenie na x w funkcji energii E , masy m oraz położenia początkowego x 0 . Rozwiązanie Po wykonaniu dwóch pierwszych kroków z powyższej strategii, uzyskamy: t = ∫ x 0 x d x ( 2 E / m x 0 ) ( x 0 − x ) = 1 ( 2 E / m x 0 ) | −2 ( x 0 − x ) | x 0 x = − 2 ( x 0 − x ) ( 2 E / m x 0 ) . Rozwiązawszy równanie ze względu na x , otrzymujemy x ( t ) = x 0 − ( E / m x 0 ) t 2 / 2 . Znaczenie Położenie jako funkcja czasu, dla założonego potencjału, wyraża jednowymiarowy ruch ze stałym przyspieszeniem a = ( E / m x 0 ) rozpoczynający się w x 0 . Otrzymany wynik nie jest zaskakujący, ponieważ przedstawiona energia potencjalna odpowiada działaniu stałej siły F = − d E p / d x = E / x 0 odpowiadającej przyspieszeniu a = F / m . Sprawdź, czy rozumiesz. Jaką wartość energii potencjalnej E p ( x ) należy wstawić do , aby ciało o masie 1 kg i energii mechanicznej 1 J poruszało się ze stałą prędkością? stałej – E p ( x ) = − 1 J Przeanalizujemy jeszcze inny, bardziej adekwatny przykład zastosowania , gdy rozpatrzymy pozostałe wnioski wypływające z wyrażenia opisującego energię potencjalną cząstki. Układy wielu ciał Układy fizyczne zazwyczaj zawierają więcej niż jedno ciało. Niemniej jednak zasada zachowania energii, na przykład taka jak w albo , jest podstawowym prawem fizyki i jest prawdziwa dla każdego układu. Musimy jedynie pamiętać o uwzględnieniu energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich cząstek oraz pracy wszystkich sił niezachowawczych działających na nie. Lepiej jest odłożyć dalszą dyskusję na tę chwilę, gdy nauczymy się więcej na temat dynamiki układów zbudowanych z wielu cząstek, np. w rozdziałach Pęd i zderzenia , Obroty wokół stałej osi czy Moment pędu . Podsumowanie Wielkość zachowana to wielkość fizyczna, która pozostaje stała, niezależnie od przebytej drogi. Jednym ze sposobów wyrażenia równoważności pracy i energii jest stwierdzenie, że zmiana całkowitej energii mechanicznej cząstki jest równa pracy wykonanej na niej przez siły niezachowawcze. Jeśli siła niezachowawcza nie wykonuje pracy i nie działają siły zewnętrzne, to energia mechaniczna cząstki pozostaje stała. Jest to twierdzenie zachowania energii mechanicznej i oznacza, że całkowita energia mechaniczna cząstki nie zmienia się. W ruchu w jednym wymiarze, w którym energia mechaniczna jest stała, a energia potencjalna znana, położenie cząstki w funkcji czasu może zostać wyznaczone na podstawie zasady zachowania energii. Pytania Czy podczas zsuwania się ciała po równi pochyłej praca sił tarcia zależy od prędkości początkowej ciała? Podaj odpowiedź także dla przypadku, w którym ciało zsuwa się po zakrzywionej powierzchni. Przeanalizuj następujący przypadek. Samochód znajdujący się w stanie spoczynku zaczyna swój ruch, przy czym działa na niego siła tarcia. W początkowej fazie ruchu samochód przyspiesza, jadąc w dół. Po pokonaniu krótkiego odcinka (patrz poniżej) kończy się mu benzyna, więc kierowca pozwala samochodowi staczać się na luzie w dół. W trakcie swojej trasy pojazd pokonuje niewielkie wzniesienie. Następnie samochód dotacza się do stacji benzynowej, gdzie zatrzymuje się, żeby zatankować. Określ rodzaje energii oraz ich przemiany w trakcie ruchu pojazdu. Energia potencjalna grawitacji samochodu zmienia się wraz z jego ruchem w dół wzgórza, ponieważ zmniejsza się jego wysokość. Część jego energii ulegnie rozproszeniu w wyniku działania siły tarcia. Pozostała energia potencjalna ulegnie przemianie w energię kinetyczną, powodując wzrost prędkości auta. Ostatecznie samochód się zatrzymuje i cała jego energia kinetyczna jest rozproszona poprzez pracę wykonaną przez hamulce. Upuszczona piłka odbija się do połowy wysokości, z której została puszczona. Omów przemiany energii zachodzące w tym ruchu. „Równanie E = E p + E k to szczególny przypadek zasady równoważności pracy i energii.” Wyjaśnij to stwierdzenie. Stwierdzenie mówi, że energia całkowita układu E jest zachowana dopóty, dopóki nie ma sił niezachowawczych działających na ciało. Pokazy, w których prezentuje się ruch drgający kuli zawieszonej na linie przyczepionej na suficie, są często prezentowane podczas wykładów z fizyki. Profesor wychyla kulę z położenia równowagi i przytrzymuje ją tuż przy swoim nosie, tak jak pokazano poniżej. Następnie puszcza kulę swobodnie, a ona zaczyna poruszać się w tę i z powrotem. Czy kula uderzy go w nos w swojej drodze powrotnej? Co profesor stara się nam przekazać poprzez tę demonstrację? Dziecko podskakuje na łóżku, osiągając coraz większą wysokość z każdym skokiem. Wyjaśnij, w jaki sposób dziecko zwiększa swoją maksymalną energię potencjalną po każdym wyskoku. Pracą mięśni swoich nóg. Czy siła niezachowawcza może zwiększać energię mechaniczną układu? Pomijając opory powietrza, o ile wyżej musimy wznieść ciało, aby dwukrotnie zwiększyć prędkość, z jaką zderzy się z ziemią? Musimy wznieść ciało czterokrotnie wyżej. Pudełko zrzucono na sprężynę w stanie równowagi. Sprężyna ulega ściśnięciu pod wpływem ciężaru pudełka, po czym pozostaje w spoczynku. Załóżmy, że układ masa-sprężyna jest w pozycji pionowej. Czy musimy w rozważaniach tego układu uwzględnić zmianę energii potencjalnej grawitacji pudełka, jeżeli rozpatrujemy proces ściskania sprężyny? Zadania Chłopiec wyrzuca pionowo w górę kulkę o masie 0,25 kg z prędkością początkową 20 m / s . Kiedy piłka wraca do chłopca, ma prędkość równą 17 m / s . Jaką pracę wykonały siły oporu powietrza w trakcie trwania tego ruchu? 14 J Mysz o masie 200 g wpada do sztolni o głębokości 100 m osiągając prędkość końcową 8,0 m/s. Jaką pracę wykonały siły oporu w trakcie spadku myszy? Wykorzystując tylko zasadę zachowania energii i zakładając brak sił oporu, wykaż, że kamień rzucony pionowo z mostu na wysokości 20 m nad poziomem wody z prędkością początkową 15,0 m/s uderzy w taflę z prędkością 24,8 m/s niezależnie od zwrotu prędkości początkowej. ( Podpowiedź: pokaż, że E k s + E p s = E k f + E p f .) Dowód powyższego równania jest rozwiązaniem zadania. Piłka o masie 1,0 kg buja się na linie o długości 2,0 m. W najniższym położeniu piłka porusza się z prędkością 10 m/s. Ile wynosi prędkość w najwyższym położeniu? Ile wynosi siła naprężenia liny w najniższym i najwyższym położeniu? Pomijając zagadnienia związane z tarciem, dodatkową siłą mięśni rąk i nóg oraz inne czynniki, skok o tyczce możemy rozważyć jako konwersję energii kinetycznej biegnącego atlety w energię potencjalną podczas skoku. Jeśli skoczek ma wznieść się na wysokość 4,8 m, to jaką prędkość musi osiągnąć w trakcie rozbiegu? 9,7 m / s Tarzan biegnący z prędkością 9,0 m / s łapie lianę zwisającą swobodnie z drzewa. Jak wysoko może wznieść się na lianie? Czy długość pnącza ma znaczenie w tym rozważaniu? Załóż, że cięciwa w łuku oddziałuje na strzałę siłą sprężystości (taką samą jak w prawie Hooke'a). Podczas celowania łucznik naciąga cięciwę, cofając strzałę o 50 cm, i trzyma ją w tej pozycji z siłą 150 N . Jeśli masa pocisku wynosi 50 g , a cięciwę uznajemy za nieważką, jaką prędkość osiągnie strzała zaraz po wystrzeleniu? 39 m / s Narciarz o masie 100 kg biegnie po poziomym gruncie z prędkością 8,0 m/s , po czym trafia na wzniesienie o wysokości 1,8 m, tak jak przedstawiono to na rysunku poniżej. Jeśli narciarz postanowi pokonać górkę siłą rozpędu, to jaka będzie jego prędkość na szczycie? Siły tarcia można pominąć. Ile będzie wynosić jego prędkość, jeśli uwzględnimy siłę tarcia wynoszącą 80 N? Sanie o masie 70 kg zsuwają się w dół równi o długości 80 m nachylonej pod kątem 10 ° do poziomu. Po zjeździe sanie pokonują 20 m w poziomie i zaczynają ruch pod górę pod kątem 8 ° . Sanie przemieszczają się o dalsze 80 m, po czym zatrzymują się. Ile wyniesie praca wykonana przez siły tarcia? 1900 J Dziewczynka na desce skateboardowej (masa całkowita 40 kg) porusza się z prędkością 10 m/s u podstawy rampy. Rampa jest nachylona pod kątem 20 ° do podłoża. Jeśli dziewczynka wjechała 14,2 m pod górę, zanim się zatrzymała, to ile wynosiła wypadkowa siła tarcia? Piłeczka baseballowa o masie 0,25 kg w wyniku uderzenia kijem uzyskała prędkość 40 m/s. Gdy wpada na trybuny w odległości 120 m od bazy, ma prędkość 30 m/s. Przy założeniu, że piłka wylądowała 20 m ponad poziomem boiska, oblicz, jaką pracę wykonały siły oporu powietrza. 151 J Mały ciężarek o masie m przesuwa się bez tarcia po trasie z pętlą przedstawioną na rysunku poniżej. Jeśli prędkość początkowa ciężarka wynosi A , to jaka jest prędkość B ? Ile wynosi siła nacisku ciężarka na tor w punkcie B ? Nieważka sprężyna w działku sprężynowym ma stałą sprężystości równą k = 12 N/cm . Pocisk o masie 15 g zostaje wystrzelony pionowo w górę na wysokość 5,0 m ponad lufę. Oblicz, jak mocno ściśnięta była sprężyna przed wystrzałem. 3,5 cm Piłeczka jest przywiązana do nitki i wprowadzona w pionowy ruch obrotowy, bez tarcia. Wykaż, że naprężenie nici w najniższym położeniu przewyższa naprężenie w położeniu najwyższym o ośmiokrotność ciężaru piłki. Załóż, że prędkość piłki w najwyższym położeniu jest prawie równa zeru i że układ nie zawiera dodatkowych, zewnętrznych źródeł energii. wielkość zachowana (ang. conserved quantity ) to taka, która nie może być tworzona lub anihilowana, ale może ulegać przemianom pomiędzy różnymi formami zasada zachowania energii (ang. energy conservation ) energia całkowita odizolowanego układu jest stała energia mechaniczna (ang. mechanical energy ) suma energii kinetycznej i potencjalnej

Science


Wykresy energii potencjalnej Interpretacja wykresów energii potencjalnej (ang. potential energy diagram ) w funkcji położenia jest źródłem wielu przydatnych informacji na temat właściwości mechanicznych układu. Najprostszym przykładem jest przypadek jednowymiarowy, gdzie energia może być przedstawiona w postaci prostego wykresu, np. E p ( x ) w funkcji x . W układach, w których ruch odbywa się w więcej niż jednym wymiarze, procedura jest bardziej skomplikowana, ale analogiczna. Nasze rozważania ograniczymy do ruchu w jednym wymiarze. Rozważania zaczniemy od ciała spadającego swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi, pomijając przy tym siły oporu. Energia mechaniczna układu jest zachowana, E = E k + E p , a energia potencjalna, przyjmując zero na poziomie podłoża, jest dana wzorem E p ( y ) = m g y (zauważ, że jest to równanie linii prostej o nachyleniu m g ). Na wykresie przedstawionym na oś odciętych reprezentuje wysokość y nad poziomem gruntu, a rzędnych energię ciała. Wykres energii ciała spadającego swobodnie. Linia pozioma oznaczona dla energii E reprezentuje stałą, całkowitą energię mechaniczną ciała, podczas gdy przykładową energię kinetyczną i potencjalną dla wybranej wysokości y A oznaczono odpowiednio E k A i E p A . Zauważmy, że energia całkowita dzieli się na kinetyczną i potencjalną, a proporcja ich podziału zmienia się wraz z wysokością. Energia kinetyczna nie może przyjmować wartości ujemnych, a więc energia potencjalna osiąga maksimum dla najwyższego położenia, gdzie uzyskuje wartość energii całkowitej, której nie może przekroczyć. Zatem: E k = E − E p ≥ 0 E p ≤ E . Jeśli przyjmiemy punkt odniesienia dla energii potencjalnej równej zero w y 0 , to możemy wyrazić energię potencjalną E p jako m g y . Przekształcając równanie względem y otrzymujemy: y ≤ E m g = y max . Za pomocą tego wyrażenia pokazaliśmy, że całkowita energia podzielona przez ciężar ciała ( m g ) określa maksymalną wysokość y max . W najwyższym położeniu energia kinetyczna oraz prędkość wynoszą zero, więc jeśli ciało przemieszczało się w górę, to w tym punkcie jego prędkość zmieni wartość z dodatniej na ujemną, zatem y max to punkt zwrotny opisywanego ruchu. Na wysokości podłoża, y 0 = 0 , energia potencjalna jest równa zero, natomiast energia kinetyczna oraz prędkość osiągają maksimum: E p 0 = 0 = E − E k 0 E = E k 0 = 1 2 m v 0 2 v 0 = ± 2 E m . Prędkość maksymalna ± v 0 oznacza prędkość początkową potrzebną do wzniesienia się na wysokość y max oraz prędkość końcową, po upadku z tej wysokości. Wszystkie te informacje można odczytać z wykresu przedstawionego powyżej. Rozważmy układ masa-sprężyna umieszczony na nieruchomej, poziomej płaszczyźnie, po której układ porusza się bez tarcia, w taki sposób, że siła grawitacji oraz siła reakcji podłoża nie wykonują żadnej pracy ( ). Jest to układ jednowymiarowy, w którym energia mechaniczna E jest stała. Energia potencjalna jest obliczana względem położenia równowagi nierozciągniętej sprężyny, czyli dla x = 0 , zatem E p ( x ) = k x 2 / 2 . (a) Suwak umieszczony pomiędzy dwoma sprężynami na torze z poduszką powietrzną jako przykład poziomego układu masa-sprężyna. (b) Wykres energii potencjalnej sporządzony dla omawianego układu. Z przedstawionego powyżej wykresu możemy odczytać takie same informacje, jak w przypadku spadku swobodnego. Niemniej jednak w układzie masa-sprężyna siła działająca na ciało ma zmienną wartość, co pozwoli nam poszerzyć wiedzę. Dla spadku swobodnego jesteśmy w stanie przewidzieć część informacji, jak na przykład zakres ruchu oraz maksima przesunięć czy prędkości, analizując graniczne wartości energii kinetycznej 0 ≤ E k ≤ E . Punkt zwrotny (ang. turning point ) ruchu występuje, gdy E k = 0 lub E p = E . Oznacza to, że dla układu, w którym mamy do czynienia z energią potencjalną sprężystości, istnieją dwa takie położenia: x max = ± 2 E k . Ruch suwaka jest zatem ograniczony pomiędzy punktami zwrotnymi − x max ≤ x ≤ x max . To stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej (dodatniej) wartości E , ponieważ funkcja energii potencjalnej nie jest ograniczona ze względu na x . Z tego względu oraz z uwagi na swój kształt, krzywa E p ( x ) jest nazywana nieskończoną studnią potencjału. Na dnie studni potencjału x = 0 , E p = 0 , natomiast energia kinetyczna osiąga maksimum, czyli E k = E , a więc v max = ± 2 E / m . Z analizy nachylenia stycznej do krzywej energii potencjalnej można również uzyskać informacje o siłach działających na suwak oraz o jego przyspieszeniu. Pokazaliśmy wcześniej, że nachylenie stycznej do krzywej (czyli pochodna tej funkcji) wzięte ze znakiem minus jest równe sile sprężystości, co w tym przypadku jest tożsame z siłą wypadkową, a więc wielkością proporcjonalną do przyspieszenia ciała. Dla x = 0 nachylenie stycznej, a zatem zarówno siła, jak i przyspieszenie są równe zero, więc jest to punkt równowagi (ang. equilibrium point ). Pochodna ze znakiem minus, obliczona po obu stronach równowagi, określa siłę, która będzie dążyć do przywrócenia ciała do położenia równowagi. W tym przypadku wyznaczona w ten sposób siła jest dana wzorem F = ± k x , a więc położenie równowagi jest stabilne; taką siłę nazywamy przywracającą. Oznacza to, że E p ( x ) osiąga minimum w punkcie równowagi. Jeśli siła po dowolnej stronie równowagi ma kierunek zgodny z przesunięciem liczonym od tego położenia, to równowaga jest niestabilna, a krzywa E p ( x ) posiada w tym miejscu punkt przegięcia albo lokalne maksimum. Wykres energii potencjalnej zależnej od wyższych potęg przemieszczenia Energia potencjalna cząstki poruszającej się wzdłuż osi x jest dana relacją E p ( x ) = 2 ( x 4 − x 2 ) , w której E p wyrażono w dżulach (J), a x w metrach. Na cząstkę nie działają żadne siły niezachowawcze, więc ich energia mechaniczna jest stała i wynosi E = −0,25 J . Czy ruch cząstki jest ograniczony i jeśli tak, to w jakim zakresie wartości x ? Czy istnieją jakiekolwiek położenia równowagi i jeśli tak, to czy są one stabilne, czy nie? Strategia rozwiązania Rozwiązanie najlepiej zacząć od wykreślenia energii potencjalnej w funkcji x . Funkcja przyjmuje wartość zero w początku układu współrzędnych i początkowo maleje zarówno dla dodatnich, jak i ujemnych wartości x ( x 2 jest większe niż x 4 dla x < 1 ). Po osiągnięciu pewnej wartości funkcja zaczyna rosnąć i dla odpowiednio dużych wartości bezwzględnych położenia przechodzi przez zero i zaczyna przybierać wartości dodatnie. Nasz wykres, tak jak przedstawiono na , powinien przypominać podwójną studnię potencjału, gdzie położenie zerowe znaleziono z warunku E p ( x ) = 0 i z ekstremami ustalonymi na podstawie pochodnych pierwszego i drugiego rzędu. Wykres energii potencjalnej w ruchu jednowymiarowym, w którym energia jest funkcją położenia do czwartej oraz do drugiej potęgi. Dozwolone wartości x dla przykładu (a) możemy odnaleźć, jeśli wiemy, że energia kinetyczna nie przyjmuje wartości ujemnych, oraz znamy wartość energii całkowitej. Położenia równowagi w przykładzie (b) i ich stabilność wyznaczamy poprzez badanie własności funkcji energii potencjalnej w pobliżu ekstremów. Musimy przy tym określić zwrot sił działających w pobliżu ekstremum (pamiętajmy, że punkt równowagi jest stabilny, tylko jeśli funkcja posiada w nim lokalne minimum). Wystarczy rzut oka na wykres, żeby jakościowo odpowiedzieć na pytania. To właśnie dlatego wykresy energii potencjalnej są tak przydatne. Zauważmy, że istnieją dwa zakresy, w których ruch jest dozwolony ( E > E p ) oraz trzy punkty równowagi (nachylenie d E p / d x = 0 ), z których jedno jest niestabilne ( d 2 E p / d x 2 < 0 ) , a dwa stabilne ( d 2 E p / d x 2 > 0 ) . Rozwiązanie Aby znaleźć dozwolony zakres x , stosujemy warunek: E k = E − E p = − 1 4 − 2 ( x 4 − x 2 ) ≥ 0. Jeśli równanie zapiszemy w taki sposób, aby otrzymać kwadrat różnicy, rachunek uprości się do rozwiązania nierówności 2 ( x 2 − 1 / 2 ) 2 ≤ 1 / 4 , której rozwiązanie przyjmuje postać: 1 2 − 1 8 ≤ x 2 ≤ 1 2 + 1 8 . Stąd uzyskamy zakresy x p ≤ x ≤ x R oraz − x R ≤ x ≤ − x p , gdzie x p = 0,38 i x R = 0,92 (w metrach). W celu znalezienia położeń równowagi musimy rozwiązać równanie: d E p d x = 8 x 3 − 4 x = 0 i znajdujemy punkty x = 0 oraz x = ± x Q , gdzie x Q = 1 / 2 = 0,707 (metry). Druga pochodna ma następującą postać: d 2 E p d x 2 = 24 x 2 − 4 i osiąga wartość ujemną dla x = 0 , co określa lokalne maksimum funkcji, czyli równowaga jest niestabilna. Natomiast w punktach x = ± x Q druga pochodna przyjmuje wartość dodatnią, co oznacza, że jest to lokalne minimum, a więc mamy do czynienia z równowagą stabilną. Znaczenie Cząstka w omawianym przykładzie może oscylować w jednym z dwóch dozwolonych zakresów ruchu, ale nie ma wystarczającej energii, by opuścić studnię potencjału, w której początkowo się znalazła. Zasada zachowania energii mechanicznej w powiązaniu z zależnościami pomiędzy energią kinetyczną i prędkością oraz energią potencjalną i siłą umożliwiają nam pozyskanie bardzo wielu zarówno jakościowych, jak i ilościowych informacji na temat ruchu cząstki. Wystarczy nam do tego odpowiednio przygotowany wykres energii potencjalnej. Sprawdź, czy rozumiesz. Powtórz przyjmując całkowitą energię mechaniczną ciała równą + 0,25 J . a. Tak, ruch jest dozwolony dla −1,055 m ≤ x ≤ 1,055 m ; b. takie same jak w poprzednim przypadku. Przed zakończeniem tej sekcji poćwiczmy jeszcze trochę metodę odnajdywania zależności położenia od czasu na podstawie energii potencjalnej cząstki dla przypadku jednowymiarowego układu masy na sprężynie przedstawionego w poprzednich częściach działu. Drgania sinusoidalne Znajdź x ( t ) poruszającej się cząstki o energii mechanicznej E > 0 i energię potencjalnej danej poprzez E p ( x ) = k x 2 / 2 . Załóż, że cząstka zaczyna ruch ze spoczynku w czasie t = 0 . Strategia rozwiązania Podejmujemy takie same kroki jak w . Podstaw E p do i wyłącz stałe takie jak m czy k . Oblicz całkę funkcji i rozwiąż równanie ze względu na położenie, które jest teraz funkcją czasu. Rozwiązanie Podstawmy energię potencjalną do i oblicz całkę, korzystając z aplikacji znalezionej w Internecie: t = ∫ x 0 x d x ( k / m ) ( 2 E / k − x 2 ) = m k [ arcsin  ( x 2 E / k ) − arcsin  ( x 0 2 E / k ) ] . Z warunków brzegowych wynika, że dla t = 0 energia kinetyczna jest równa zero, a potencjalna wynosi k x 0 2 / 2 = E . Na podstawie tego równania widzimy, że x 0 / 2 E / k = ± 1 , czyli arcsin  ( ± 1 ) = ± 90 ∘ . Teraz możemy rozwiązać równanie ze względu na x : x ( t ) = 2 E k sin  ( k m ⋅ t ± 90 ∘ ) = ± 2 E k cos  ( k m ⋅ t ) . Znaczenie We wcześniejszej części działu określiliśmy układ masa-sprężyna jako przykład oscylatora harmonicznego. Tutaj wykazaliśmy, że oscylator harmoniczny drga sinusoidalnie, a jego maksymalne wychylenie jest równe 2 E / k (takie krańcowe wychylenie nazywamy amplitudą drgań). Możemy również zauważyć, że ilość pełnych cykli drgań na jednostkę czasu wynosi ( 1 / 2 π ) k / m (ten parametr nazywamy częstotliwością). Dalsze rozważania na temat ruchu drgającego przeprowadzimy w rozdziale Drgania . Sprawdź, czy rozumiesz. Znajdź x ( t ) układu masa-sprężyna przedstawionego w , zakładając, że ciało zaczyna ruch w x 0 = 0 dla t = 0 . Jaka jest prędkość początkowa ciała? x ( t ) = ± ( 2 E / k ) sin [ ( k / m ) t ] oraz v 0 = ± ( 2 E / m ) Podsumowanie Interpretacja wykresu energii potencjalnej dla ruchu w jednym wymiarze pozwala nam otrzymać jakościowe oraz, w niektórych przypadkach, ilościowe informacje o ruchu. Punkt zwrotny to taki, w którym energia potencjalna zrównuje się z energią całkowitą, a energia kinetyczna jest zerowa, co oznacza, że w tym punkcie dochodzi do zmiany zwrotu wektora prędkości. Ujemne nachylenie stycznej do krzywej energii potencjalnej ciała jest równe składowej siły zachowawczej działającej na ciało w tym kierunku. W położeniu równowagi nachylenie stycznej wynosi zero, a o równowadze mówimy, że jest stabilna, jeśli w tym punkcie funkcja energii potencjalnej ma lokalne minimum. Zadania Tajemnicza siła o wartości 10 N działa poziomo na wszystko. Siła jest zawsze zwrócona w stronę ściany znajdującej się w wielkiej hali. Wyznacz energię potencjalną ciała, na którą działa ta siła, w funkcji odległości x od ściany. Załóż, że energia potencjalna w położeniu, w którym znajduje się ściana, wynosi zero. 10 x przy założeniu, że oś x rozpoczyna się w położeniu ściany i jest skierowana na zewnątrz. Siła F ( x ) = −4,0 x (wyrażona w niutonach) działa na ciało o masie 1,0 kg. Dla x = 3,5 m prędkość ciała wynosi 4,0 m/s. Ile wynosi prędkość w x = 2,0 m? Cząstka o masie 4,0 kg porusza się wzdłuż osi x pod wpływem działania siły F ( x ) = − c x 3 , gdzie c = 8,0 N/m 3 . Prędkość cząstki w punkcie x A = 1,0 m wynosi 6,0 m/s. Ile wynosi prędkość dla x B = −2,0 m ? 4,6 m/s Siła działająca na cząstkę o masie 2,0 kg zmienia się wraz ze zmianą położenia zgodnie z wzorem F ( x ) = −3,0 x 2 ( x w metrach, F ( x ) w niutonach). Prędkość cząstki w położeniu x = 2,0 m wynosi 5,0 m/s. Oblicz energię mechaniczną cząstki, przyjmując punkt odniesienia dla energii potencjalnej: w początku układu współrzędnych; w x = 4,0 m . Oblicz prędkość cząstki dla x = 1,0 m . Wykonaj ten podpunkt dla obu wcześniej przyjętych punktów odniesienia. Cząstka o masie 4,0 kg porusza się wzdłuż osi x i działa na nią siła, której funkcję przedstawiono graficznie poniżej. Prędkość cząstki w x = 0 wynosi v = 6,0 m/s . Wyznacz prędkość dla x = 2,0 m, x = 4,0 m, x = 10,0 m. Czy cząstka zawraca w jakimkolwiek położeniu i porusza się z powrotem w kierunku początku układu współrzędnych? Powtórz część (d) zakładając, że v = 2 , 0 m / s w x = 0 . a. 5,6 m/s; b. 5,2 m/s; c. 6,4 m/s; d. nie; e. tak Ciało o masie 0,50 kg porusza się wzdłuż osi x . Zależność pomiędzy energią potencjalną a położeniem przedstawia wykres poniżej. Ile wynosi siła działająca na ciało w x = 2, 5, 8 oraz 12 m? Zakładając, że całkowita energia mechaniczna E ciała wynosi −6,0 J, wskaż minimalną i maksymalną wartość x . Jak zmienią się te położenia, jeśli E = 2,0 J? Załóż, że E = 16 J , i oblicz prędkość w położeniach wymienionych w (a). Naszkicuj wykres funkcji energii potencjalnej E p ( x ) = k x 2 / 2 + A e − α x 2 , gdzie k , A i α to stałe. Ile wynosi wartość siły związanej z tą energią potencjalną? Załóż, że cząstka o masie równej m porusza się z prędkością v a w położeniu x = a . Wykaż, że cząstka nie może przekroczyć punktu w początku układu współrzędnych, chyba że spełniony jest warunek: A ≤ m v a 2 + k a 2 2 ( 1 − e − α a 2 ) . Na potrzeby rysowania wykresu przyjęto, że k = 0 , 02 , A = 1 , α = 1 ; F = k x − α x A e − α x 2 ; Energia potencjalna w położeniu x = 0 musi być mniejsza niż suma energii kinetycznej i potencjalnej w położeniu x = a lub inaczej A ≤ m v 2 / 2 + k a 2 / 2 + A e − α x 2 . Rozwiązanie nierówności ze względu na A prowadzi do warunku przedstawionego w zadaniu. punkt równowagi (ang. equilibrium point ) położenie, w którym siła zachowawcza, będąca w założeniu siłą wypadkową, wyznaczona na podstawie nachylenia stycznej do krzywej energii potencjalnej jest równa zero wykres energii potencjalnej (ang. potential energy diagram ) wykres energii potencjalnej cząstki w funkcji położenia punkt zwrotny (ang. turning point ) położenie, w którym prędkość cząstki, w przypadku ruchu w jednym wymiarze, zmienia znak

Science