Wstęp Wzory przypominające rozgałęzione drzewo wewnątrz przezroczystej płyty ze szkła akrylowego, nazywane figurą Lichtenberga dla upamiętnienia Georga Christopha Lichtenberga (1742–1799) , który badał je jako pierwszy. Powstają one w wyniku uszkodzenia struktury dielektryka przez silne pole elektryczne. Źródło: modyfikacja pracy Berta Hickmana Kondensatory to istotne elementy obwodów elektrycznych w wielu urządzeniach elektronicznych, takich jak rozruszniki serca, telefony komórkowe czy komputery. W niniejszym rozdziale omówimy ich właściwości, a w kolejnych poznamy ich zastosowania. Kondensatorów używa się do magazynowania energii elektrycznej i uwalniania jej w odpowiednim momencie. W połączeniu z innymi elementami obwodów kondensatory często tworzą filtr, który przepuszcza niektóre sygnały elektryczne, a blokuje inne. To dlatego uważane są za jedne z podstawowych części układów elektrycznych.

Science


Kondensatory i pojemność elektryczna Kondensator (ang. capacitor ) to urządzenie wykorzystywane do magazynowania ładunku elektrycznego i energii elektrycznej. Składa się z przynajmniej dwóch powierzchni przewodzących umieszczonych w pewnej odległości od siebie. Powierzchnie te czasem nazywa się elektrodami lub, precyzyjniej, okładkami kondensatora. Przestrzeń pomiędzy przewodnikami może wypełniać próżnia – wtedy kondensator nazywany jest próżniowym – zazwyczaj jednak znajduje się tam materiał izolujący zwany dielektrykiem (ang. dielectric ) lub izolatorem (ang. insulator ; więcej na temat dielektryków dowiemy się w następnych podrozdziałach). Ilość energii, jaką można zgromadzić w kondensatorze, określa wielkość nazywana pojemnością elektryczną (ang. capacitance ), którą omówimy jeszcze w tym podrozdziale. Kondensatory mają rozmaite zastosowania: od redukowania szumu w odbiornikach radiowych do magazynowania energii w defibrylatorach. Typowe kondensatory używane komercyjnie składają się z dwóch powierzchni przewodzących umieszczonych w niewielkiej odległości od siebie, tak jak na . Zazwyczaj między przewodnikami znajduje się dielektryk. Po podłączeniu nienaładowanego kondensatora do akumulatora różnica potencjałów na biegunach akumulatora powoduje przeniesienie ładunku Q z okładki dodatniej na ujemną. Kondensator jako całość pozostaje obojętny elektrycznie, ale na okładkach wytwarzają się ładunki + Q i − Q . Oba przedstawione kondensatory były nienaładowane, a następnie zostały podłączone do akumulatorów. Teraz mają na okładkach ładunki wynoszące odpowiednio + Q i − Q . (a) Kondensator płaski składa się z dwóch równoległych, przeciwnie naładowanych płytek o powierzchni S umieszczonych w odległości d od siebie. (b) W zwiniętym kondensatorze przewodzące okładki rozdziela dielektryk. Układ złożony z dwóch identycznych, równolegle ustawionych płytek przewodzących nazywa się kondensatorem płaskim (ang. parallel-plate capacitor ), . Natężenie pola elektrycznego w przestrzeni między okładkami wynosi E = σ ∕ ε 0 , gdzie σ oznacza gęstość powierzchniową ładunku na okładce (a więc σ to ładunek Q podzielony przez powierzchnię S okładki). Natężenie pola elektrycznego jest więc wprost proporcjonalne do Q . Ładunki gromadzą się na powierzchni okładek kondensatora. Linie pola elektrycznego w kondensatorze płaskim prowadzą od ładunków dodatnich do ujemnych. Natężenie pola elektrycznego w przestrzeni pomiędzy okładkami jest wprost proporcjonalne do wartości zgromadzonego ładunku. Kondensatory o różnych właściwościach fizycznych (na przykład kształcie i wielkości okładek) mogą magazynować różne ilości ładunku po przyłożeniu takiego samego napięcia U . Pojemność elektryczną kondensatora definiuje się jako stosunek maksymalnego ładunku Q , który może zgromadzić się w kondensatorze, do napięcia U przyłożonego do okładek. Innymi słowy, pojemność elektryczna jest maksymalnym ładunkiem przypadającym na 1  V napięcia C = Q U  . Jednostką pojemności elektrycznej w układzie SI jest farad ( F ), nazwany tak na cześć Michaela Faradaya (1791–1867) . Jako że pojemność elektryczna wyraża się jako ładunek przypadający na jednostkę napięcia, to jeden farad jest równy jednemu kulombowi podzielonemu przez jeden wolt, czyli 1  F = 1  C 1  V  . Zgodnie z definicją kondensator o pojemności 1  F jest w stanie zgromadzić ładunek 1  C (to bardzo dużo), kiedy różnica potencjałów pomiędzy okładkami wynosi zaledwie 1  V . Pojemność 1  F jest zatem wartością znaczną. Typowe pojemności elektryczne wahają się od pikofaradów ( 1  pF = 10 − 12  F ) przez mikrofarady ( 1  µF = 10 − 6  F ) do milifaradów ( 1  mF = 10 − 3  F ). Kondensatory mogą mieć różne kształty i wielkości ( ). Oto kilka typowych kondensatorów. Ich wielkość nie ma bezpośredniego przełożenia na pojemność elektryczną. Obliczanie pojemności elektrycznej Poniższa standardowa procedura pozwala obliczyć pojemność elektryczną pary zbliżonych do siebie powierzchni przewodzących. Strategia rozwiązywania zadań: obliczanie pojemności elektrycznej Załóż, że kondensator ma ładunek Q . Oblicz natężenie pola elektrycznego E → pomiędzy okładkami. Jeśli została zachowana symetria, rozwiązanie można uzyskać w oparciu o prawo Gaussa. Oblicz różnicę potencjałów między przewodnikami na podstawie równania V B − V A = − ∫ A B E → ⋅ d l →  , gdzie droga całkowania prowadzi od jednego przewodnika do drugiego. Wartość bezwzględna różnicy potencjałów wynosi więc U = V B − V A . Znając U , oblicz pojemność elektryczną bezpośrednio z . Aby zaprezentować zastosowanie tej procedury, obliczymy teraz pojemność elektryczną dla kondensatorów: płaskiego, kulistego i walcowego. We wszystkich przypadkach zakładamy, że mamy do czynienia z kondensatorami próżniowymi (pustymi), a więc że między okładkami nie ma żadnego dielektryka. Kondensator płaski Kondensator płaski ( ) składa się z dwóch identycznych płytek przewodzących, z których każda ma powierzchnię S , oddalonych od siebie o odległość d . Po przyłożeniu do nich napięcia U U na okładkach gromadzi się ładunek Q , tak jak to zaprezentowano na rysunku. Zależność pojemności elektrycznej kondensatora od S i d możemy oszacować na podstawie analizy własności siły Coulomba. Wiemy, że siła działająca między ładunkami rośnie wraz ze wzrostem ich wartości, a maleje wraz ze wzrostem odległości między nimi. Można się spodziewać, że im płytki są większe, tym więcej mogą zgromadzić ładunku. Zatem C powinno być większe dla wyższych wartości S . Analogicznie im bliżej siebie znajdują się płytki, tym silniej przyciągają się ładunki o przeciwnych znakach. C powinno więc rosnąć wraz z malejącą d . W kondensatorze płaskim dwie okładki o identycznej powierzchni S dzieli odległość d . Zdefiniujmy gęstość powierzchniową σ ładunku na okładce jako σ = Q A  . Z poprzednich rozdziałów wiemy, że dla niewielkich d pole elektryczne pomiędzy okładkami jest jednorodne (jeśli pominiemy efekty brzegowe na krawędziach okładek), a jego natężenie wynosi E = σ ε 0  , gdzie stała ε 0 to przenikalność elektryczna próżni równa 8,85 ⋅ 10 − 12  F ∕ m . Jednostka F ∕ m jest tożsama z wyrażeniem C 2 ∕ N  m 2 . Ponieważ pole elektryczne E → między okładkami jest jednorodne, różnica potencjałów wynosi U = E  d = σ  d ε 0 = Q  d ε 0  S  . Po podstawieniu powyższego wyniku do otrzymamy wzór na pojemność elektryczną kondensatora płaskiego w postaci C = Q U = Q Q  d ∕ ε 0  S = ε 0  S d  . Z powyższego wzoru wynika, że pojemność elektryczna kondensatora próżniowego zależy tylko od jego geometrii. Obowiązuje to w przypadku wszystkich kondensatorów, nie tylko kondensatorów płaskich: pojemność elektryczna nie zależy od Q ani od U . Kiedy zmienia się wartość ładunku, potencjał również ulega zmianie, tak aby stosunek Q ∕ U pozostał stały. Pojemność elektryczna i ładunek zgromadzony w kondensatorze płaskim Ile wynosi pojemność elektryczna pustego kondensatora płaskiego o metalowych okładkach o powierzchni 1  m 2 umieszczonych w odległości 1  mm od siebie? Jaki ładunek zgromadzi się na kondensatorze po przyłożeniu napięcia 3 ⋅ 10 3  V ? Strategia rozwiązania Aby obliczyć pojemność elektryczną C , wystarczy zastosować . Następnie można obliczyć ładunek na okładkach przy użyciu . Rozwiązanie Po wstawieniu podanych wartości do otrzymamy C = ε 0  S d = 8,85 ⋅ 10 − 12  F ∕ m ⋅ 1  m 2 10 − 3  m = 8,85 ⋅ 10 − 9  F = 8,85  nF  . Po przekształceniu i podstawieniu znanych wielkości otrzymamy Q = C  U = 8,85 ⋅ 10 -9  F ⋅ 3 ⋅ 10 3  V = 26,6  µC  . Q = CU = \SI{8,85e-9}{\farad} \cdot \SI{3e3}{\volt} = \SI{26,6}{\micro\coulomb} \text{.} Tak niewielki wynik pokazuje, jak trudno skonstruować urządzenie o dużej pojemności elektrycznej. Znaczenie Obliczona wielkość ładunku jedynie nieznacznie przekracza wartości typowe dla zastosowań elektrostatycznych. Ze względu na to, że powietrze traci właściwości dielektryczne w polu elektrycznym o natężeniu około 3  MV ∕ m , w analizowanym kondensatorze nie można zgromadzić większego ładunku przez zwiększenie napięcia. Kondensator płaski o pojemności 1  F Chcemy zbudować kondensator płaski o pojemności elektrycznej 1  F . Jaką powierzchnię powinny mieć jego okładki, jeśli odległość między nimi ma wynosić 1  mm ? Rozwiązanie W wyniku przekształcenia otrzymujemy S = C  d ε 0 = 1  F ⋅ 10 − 3  m 8,85 ⋅ 10 − 12  F ∕ m = 1,1 ⋅ 10 8  m 2  . Znaczenie Każda z kwadratowych okładek musiałaby mieć przekątną o długości 10  km . Wysyłanie studentów do magazynu laboratorium po jednofaradowy kondensator płaski było popularnym dowcipem, dopóki nie zaczęło nudzić jego pracowników. Sprawdź, czy rozumiesz. Pojemność kondensatora płaskiego wynosi 2  pF . Jaka jest odległość między okładkami, jeśli każda z nich ma powierzchnię 2,4  cm 2 ? 1,1 ⋅ 10 − 3  m . Sprawdź, czy rozumiesz. Wykaż, że σ ∕ U i ε 0 ∕ d mają te same jednostki. Kondensator kulisty Kolejnym typem kondensatora, którego pojemność elektryczną można łatwo obliczyć, jest kondensator kulisty ( ), nazywany również sferycznym. Składa się on z dwóch koncentrycznych, przewodzących sfer o promieniach R 1 (powłoka wewnętrzna) oraz R 2 (powłoka zewnętrzna). Na nich gromadzi się równy co do wartości ładunek o przeciwnych znakach, odpowiednio + Q i − Q . Z symetrii budowy wynika, że linie pola elektrycznego między okładkami skierowane są radialnie na zewnątrz. Natężenie pola możemy obliczyć przy użyciu prawa Gaussa dla sferycznej powierzchni o promieniu r , współśrodkowej z okładkami kondensatora. Całkowity ładunek zamknięty w powierzchni Gaussa wynosi + Q , a więc zachodzi równość ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = E ⋅ 4  π  r 2 = Q ε 0  . \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \text{.} Pole elektryczne pomiędzy przewodnikami wynosi więc E → = 1 4  π  ε 0 ⋅ Q r 2  r ̂  . Następnie podstawiamy E → do i całkujemy w kierunku radialnym od jednej okładki do drugiej U = ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = ∫ R 1 R 2 1 4  π  ε 0 ⋅ Q r 2  r ̂ ⋅ r ̂  d r = Q 4  π  ε 0  ∫ R 1 R 2 d r r 2 = Q 4  π  ε 0 ⋅ 1 R 1 − 1 R 2  . Różnica potencjałów pomiędzy okładkami w tym kondensatorze wynosi U = − V 2 − V 1 = V 1 − V 2 . Wynik ten podstawiamy do , aby obliczyć pojemność elektryczną kondensatora kulistego C = Q U = 4  π  ε 0 ⋅ R 1  R 2 R 2 − R 1  . Kondensator kulisty składa się z dwóch koncentrycznych sfer przewodzących. Warto pamiętać, że w przewodnikach ładunek zawsze gromadzi się na powierzchni. Pojemność elektryczna izolowanej kuli Obliczmy pojemność elektryczną pojedynczej izolowanej kuli przewodzącej o promieniu R 1 i porównajmy ją z dla R 2 ⟶ ∞ . Strategia rozwiązania Zakładamy, że ładunek zgromadzony na powierzchni kuli wynosi Q , i wykonujemy trzy działania opisane w strategii rozwiązywania zadań. Zakładamy również, że drugim przewodnikiem jest koncentryczna sfera o nieskończonym promieniu. Rozwiązanie Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz izolowanej, przewodzącej kuli wyraża . Wartość różnicy potencjałów między powierzchnią izolowanej sfery a nieskończonością wynosi U = ∫ R 1 + ∞ E → ⋅ d l → = Q 4  π  ε 0  ∫ R 1 + ∞ 1 r 2  r ̂ ⋅ r ̂  d r = Q 4  π  ε 0  ∫ R 1 + ∞ d r r 2 = 1 4  π  ε 0 ⋅ Q R 1  . Pojemność elektryczna izolowanej kuli wynosi więc C = Q U = Q ⋅ 4  π  ε 0  R 1 Q = 4  π  ε 0  R 1  . Znaczenie Ten sam wynik można uzyskać, przechodząc z do granicy dla R 2 ⟶ ∞ . Pojedyncza izolowana kula jest więc tożsama z kondensatorem kulistym, którego zewnętrzna okładka ma nieskończenie duży promień. Sprawdź, czy rozumiesz. Promień zewnętrznej okładki kondensatora kulistego jest pięć razy większy od promienia jego wewnętrznej okładki. Jakie są wymiary kondensatora, jeśli jego pojemność elektryczna wynosi 5  pF ? Promień okładki wewnętrznej: 3,59  cm ; promień okładki zewnętrznej: 17,98  cm . Kondensator walcowy Kondensator walcowy, nazywany również cylindrycznym, składa się z dwóch współosiowych przewodzących cylindrów ( ). Wewnętrzny cylinder o promieniu R 1 może być w środku pusty lub pełny. Zewnętrzny cylinder to powłoka o promieniu wewnętrznym R 2 . Zakładamy, że długość każdego z cylindrów wynosi l , a na wewnętrznej i zewnętrznej okładce znajdują się ładunki odpowiednio + Q i − Q . Kondensator walcowy składa się z dwóch współosiowych cylindrów z materiału przewodzącego. W tym przypadku zewnętrzna powierzchnia wewnętrznego cylindra jest naładowana dodatnio, a wewnętrzna powierzchnia zewnętrznego cylindra – ujemnie. Jeśli pominiemy efekty brzegowe, wektor natężenia pola elektrycznego występującego między przewodnikami jest skierowany radialnie na zewnątrz od osi cylindrów. Gdy zastosujemy powierzchnię Gaussa przedstawioną na , otrzymamy ∯ S E → ⋅ n ̂  d S = E ⋅ 2  π  r  l = Q ε 0  . \prefop{\u{222F}}_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S = E \cdot 2\pi r l = \frac{Q}{\epsilon_0} \text{.} Natężenie pola elektrycznego między cylindrami wynosi więc E → = 1 2  π  ε 0 ⋅ Q r  l  r ̂  . Symbol r ̂ oznacza wektor jednostkowy w kierunku radialnym dla walców. Po podstawieniu wyrażenia do otrzymamy różnicę potencjałów między cylindrami U = ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = Q 2  π  ε 0  l  ∫ R 1 R 2 1 r  r ̂ ⋅ r ̂  d r = Q 2  π  ε 0  l  ∫ R 1 R 2 d r r U = Q 2  π  ε 0  l ⋅ ln r | R 1 R 2 = Q 2  π  ε 0  l ⋅ ln R 2 R 1  , \begin{multiline} U &= \int_{R_1}^{R_2} \vec{E} \cdot \d \vec{l} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r}\hat{r} \cdot \hat{r} \d r = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{\d r}{r} \\ &= \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln r \mid_{R_1}^{R_2} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln (\frac{R_2}{R_1}) \text{,} \end{multiline} U = ∫ R 1 R 2 E → ⋅ d l → = Q 2  π  ε 0  l  ∫ R 1 R 2 1 r  r ̂ ⋅ r ̂  d r = Q 2  π  ε 0  l  ∫ R 1 R 2 d r r = Q 2  π  ε 0  l ⋅ ln r | R 1 R 2 = Q 2  π  ε 0  l ⋅ ln R 2 R 1  , \begin{multiline} U &= \int_{R_1}^{R_2} \vec{E} \cdot \d \vec{l} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r}\hat{r} \cdot \hat{r} \d r = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \int_{R_1}^{R_2} \frac{\d r}{r} \\ &= \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln r \mid_{R_1}^{R_2} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 l} \cdot \ln (\frac{R_2}{R_1}) \text{,} \end{multiline} gdzie d l → \d \vec{l} jest elementem drogi całkowania. Zatem pojemność elektryczna kondensatora walcowego wynosi C = Q U = 2  π  ε 0  l ln R 2 ∕ R 1  . Tak jak w pozostałych typach również w kondensatorze walcowym pojemność elektryczna zależy jedynie od jego geometrii. Istotnym zastosowaniem jest wyznaczanie pojemności elektrycznej przypadającej na jednostkę długości w kablu koncentrycznym (ang. coaxial cable ), który często stosuje się do przesyłania zmiennych w czasie sygnałów elektrycznych. Składa się on z dwóch współosiowych przewodników cylindrycznych rozdzielonych izolatorem. (W rozważaniach przyjęliśmy, że między przewodnikami jest próżnia, jednak jeśli przestrzeń pomiędzy okładkami kondensatora wypełnia dielektryk, to fizyczna strona zagadnienia pozostaje jakościowo niemal niezmieniona). Taka budowa kabla zabezpiecza sygnał elektryczny powstający wewnątrz przewodnika przed ewentualnym wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. W przewodnikach zewnętrznym i wewnętrznym prąd płynie w przeciwnych kierunkach, przy czym zewnętrzny przewodnik jest zazwyczaj uziemiony. Jak wynika z , pojemność kabla koncentrycznego przypadająca na jednostkę długości wynosi C l = 2  π  ε 0 ln R 2 ∕ R 1  . W praktycznych zastosowaniach należy pamiętać o tym, aby zawsze używać kabli o właściwym stosunku C ∕ l . Oznacza to wybór odpowiednich promieni przewodników oraz dzielącego je dielektryka. Sprawdź, czy rozumiesz. Po dostarczeniu ładunku 0,5  nC na okładki kondensatora walcowego zmierzono między nimi różnicę potencjałów i wyniosła ona 20  V . Jaka jest pojemność elektryczna układu? Jeśli cylindry mają długość 1  m , to jaki jest stosunek ich promieni? a. 25  pF ; b. 9 : 2 . Na przedstawiono kilka standardowych rodzajów kondensatorów. Zazwyczaj kondensator składa się z dwóch niewielkich kawałków folii metalowej rozdzielonych izolacją (patrz: część (b) ) i zamkniętych w powłoce ochronnej. Całość podłącza się do obwodów elektrycznych za pomocą dwóch metalowych wyprowadzeń. Izolatorami stosowanymi w kondensatorach są: mika, materiały ceramiczne, papier oraz nieprzywierająca powłoka teflonowa. Kolejnym powszechnie stosowanym typem kondensatora jest kondensator elektrolityczny (ang. electrolytic capacitor ). Składa się on z utlenionego metalu zanurzonego w smarze przewodzącym. Najważniejszą zaletą kondensatorów elektrolitycznych jest ich stosunkowo duża pojemność elektryczna. W niektórych aluminiowych kondensatorach tego typu dochodzi ona nawet do 1  F . Podczas ich używania należy zachować ostrożność, gdyż funkcjonują poprawnie tylko wtedy, kiedy napięcie na folii metalowej jest wyższe niż na powierzchni smaru przewodzącego. W przeciwnym przypadku warstwa tlenku pokrywająca przewodnik ulega zniszczeniu w reakcji elektrolizy. Tego rodzaju kondensatora nie można także podłączyć do źródła prądu przemiennego, gdyż generuje ono zmienną w czasie polaryzację, a więc do kondensatora przez połowę czasu docierałby prąd o niewłaściwej polaryzacji (patrz: Obwody prądu zmiennego ). Kondensator zmienny (ang. variable air capacitor ) ( ), nazywany też nastawnym lub strojeniowym, składa się z dwóch zespołów równoległych płytek. Jeden z nich jest nieruchomy (nazywa się go „stojanem” bądź „statorem”), drugi zaś (określany „rotorem”) jest przytwierdzony do obrotowego wału. Obracając wał, można zmieniać stopień nachodzenia płytek na siebie i w ten sposób regulować pojemność elektryczną układu. Mechanizm ten wykorzystywany jest w nadajnikach i odbiornikach radiowych. Zawsze kiedy nastawiamy w samochodzie radio na ulubioną stację, powinniśmy pamiętać o pojemności elektrycznej. W kondensatorze zmiennym pojemność elektryczną można regulować, zmieniając powierzchnię efektywną okładek. Źródło: modyfikacja pracy Robbie’ego Sproule’a Na przedstawiono symbole różnych typów kondensatorów stosowane na schematach układów elektrycznych. Zwróćmy uwagę, że przypominają one przekrój przez kondensator płaski. Najczęściej stosowany jest symbol przedstawiony na (a). W części (b) znajduje się symbol kondensatora elektrolitycznego, przy czym zagięta okładka oznacza wyprowadzenie podłączane do bieguna ujemnego akumulatora. Na (c) przedstawiono symbol kondensatora zmiennego. Symbole trzech rodzajów kondensatorów stosowane na schematach układów elektrycznych. (a) Najpowszechniej stosowany symbol. (b) Symbol kondensatora elektrolitycznego. (c) Symbol kondensatora zmiennego. Ciekawy przykład działania mechanizmu kondensatora zachodzi na poziomie biologii komórkowej, w błonie cytoplazmatycznej żywych komórek ( ). Odgradza ona komórkę od otoczenia, lecz przepuszcza do środka i na zewnątrz określone jony. Różnica potencjałów po dwóch stronach błony wynosi około 70  mV , a jej grubość od 7  nm do 10  nm . Jeśli potraktujemy błonę komórkową jako mikroskopijny kondensator, będziemy mogli wyliczyć minimalne natężenie pola elektrycznego na jej „okładkach” E = U d = 70 ⋅ 10 -3  V 10 ⋅ 10 -9  m = 7 ⋅ 10 6  V ∕ m = 7  MV ∕ m > 3  MV ∕ m  . E = \frac{U}{d} = \frac{\SI{70e-3}{\volt}}{\SI{10e-9}{\metre}} = \SI{7e6}{\volt\per\metre} = \SI{7}{\mega\volt\per\metre} > \SI{3}{\mega\volt\per\metre} \text{.} Takie pole elektryczne jest na tyle silne, by wytworzyć w powietrzu iskrę. Stężenia jonów są różne po obu stronach półprzepuszczalnej błony komórkowej. Dzięki mechanizmowi dyfuzji jony K + (potas) i Cl - (chlor) przemieszczają się we wskazanych kierunkach, dopóki siła Coulomba nie zatrzyma przepływu. W ten sposób po zewnętrznej stronie błony gromadzi się ładunek dodatni, a po wewnętrznej – ładunek ujemny, co wytwarza różnicę potencjałów na błonie komórkowej. Zazwyczaj nie przepuszcza ona jonów sodu Na + . Odwiedź stronę PhET Explorations: Capacitor Lab , aby dowiedzieć się więcej o działaniu kondensatorów. Zbadaj wpływ zmiany rozmiaru okładek oraz umieszczenia między nimi izolatora na pojemność elektryczną. Zmieniaj napięcie i przyglądaj się, jak na okładkach gromadzą się ładunki. Obserwuj pole elektryczne w kondensatorze. Zmierz napięcie i natężenie pola elektrycznego. Podsumowanie Kondensator to urządzenie zdolne do magazynowania ładunku elektrycznego i energii elektrycznej. Ilość ładunku, którą można zgromadzić na kondensatorze próżniowym, zależy od dwóch czynników: przyłożonego napięcia i właściwości kondensatora, to znaczy jego wymiarów i geometrii. Pojemność elektryczna kondensatora to parametr informujący o tym, jaki ładunek przypada na jednostkę różnicy potencjałów między jego okładkami. Pojemność elektryczna układu przewodników zależy od ich wzajemnego położenia oraz od właściwości fizycznych izolatora wypełniającego przestrzeń pomiędzy przewodnikami. Jednostką pojemności elektrycznej jest farad, przy czym 1  F = 1  C ∕ 1  V . Pytania Czy pojemność elektryczna urządzenia zależy od przyłożonego napięcia? Czy zależy od zgromadzonego ładunku? Nie; nie. Co należy zrobić, aby zwiększyć pojemność elektryczną kondensatora płaskiego: zbliżyć czy oddalić jego okładki? Czy zdanie: dla kondensatora o nienaładowanych okładkach pojemność elektryczna wynosi zero, jest prawdziwe, czy fałszywe? Fałsz. Jeśli okładki kondensatora mają różne powierzchnie, to czy po podłączeniu do akumulatora zbiorą się na nich takie same ładunki? Czy pojemność elektryczna kondensatora sferycznego zależy od tego, która z okładek jest naładowana dodatnio, a która ujemnie? Nie. Zadania Jaki ładunek zgromadzi się na okładkach kondensatora o pojemności 180  µF po przyłożeniu napięcia 120  V ? 21,6  mC . Jaki ładunek zgromadzi się na okładkach kondensatora o pojemności 8  pF po przyłożeniu napięcia 5,5  V ? Oblicz napięcie przyłożone do kondensatora o pojemności 2  µF , na którego okładkach zgromadził się ładunek 3,1  C . 1,55  V . Jakie napięcie należy przyłożyć do kondensatora o pojemności 8  nF , aby na okładkach zgromadził się ładunek 0,16  mC ? Jaką pojemność elektryczną musi mieć kondensator, aby przy napięciu 120  V na jego okładkach zgromadził się ładunek 3  µC ? 25  nF . Jaka jest pojemność elektryczna czaszy generatora Van de Graaffa, jeśli gromadzi się na niej ładunek 9  mC przy napięciu 12  MV ? Okładki pustego kondensatora płaskiego o pojemności 5  pF znajdują się w odległości 2  mm od siebie. Jaka jest powierzchnia każdej z nich? 1,1 ⋅ 10 − 3  m 2 . Okładki kondensatora próżniowego o pojemności 60  pF mają powierzchnię 0,01  m 2 . Ile wynosi odległość między nimi? Układ równoległych płytek przewodzących ma pojemność elektryczną 5  µF . Jaki ładunek należy do nich dodać, aby różnica potencjałów między nimi wzrosła o 100  V ? 500  µC . Oblicz pojemność elektryczną Ziemi, zakładając, że jest ona przewodzącą kulą o promieniu 6400  km . Pojemność elektryczna kondensatora walcowego na jednostkę długości wynosi 20  pF ∕ m . Oblicz, jaki jest stosunek promieni cylindrycznych okładek. 1:16. Próżniowy kondensator płaski ma pojemność 20  µF . Jaki ładunek musi uciec z jego okładek, aby napięcie pomiędzy nimi zmniejszyło się o 100  V ? pojemność elektryczna (ang. capacitance ) ilość ładunku przypadająca na 1  V napięcia kondensator (ang. capacitor ) urządzenie magazynujące ładunek i energię elektryczną dielektryk (ang. dielectric ) substancja izolująca używana do wypełniania przestrzeni pomiędzy okładkami kondensatora kondensator płaski (ang. parallel-plate capacitor ) układ dwóch identycznych, równoległych płyt przewodzących ustawionych w pewnej odległości od siebie

Science


Łączenie szeregowe i równoległe kondensatorów W wielu zastosowaniach wygodnie jest użyć więcej niż jednego kondensatora. Układ taki zachowuje się jak pojedynczy kondensator o innych właściwościach. Jego całkowita pojemność zależy od pojemności poszczególnych kondensatorów oraz od sposobu ich połączenia. Istnieją dwie podstawowe metody łączenia kondensatorów: łączenie szeregowe (ang. series combination ) i łączenie równoległe (ang. parallel combination ), dla których łatwo obliczyć pojemność zastępczą. Bardziej złożone układy można budować przez łączenie wielu kondensatorów szeregowo i równolegle. Łączenie szeregowe kondensatorów Na przedstawiono trzy kondensatory połączone w obwodzie w sposób szeregowy. Tak jak w przypadku pojedynczych kondensatorów pojemność zastępcza ich układu wiąże się z ładunkiem i napięciem zgodnie z . Po podłączeniu układu kondensatorów połączonych szeregowo do akumulatora o napięciu U na okładkach każdego z nich gromadzi się identyczny ładunek Q . Aby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, musimy pamiętać, że ładunek na okładce połączonej z dodatnim biegunem akumulatora wynosi + Q , a ładunek na okładce połączonej z biegunem ujemnym wynosi − Q . Następnie na pozostałych okładkach ładunki indukują się w taki sposób, aby ich całkowita suma w obwodzie oraz suma na każdej sąsiadującej parze okładek była równa zero. Spadek potencjału U 1 = Q ∕ C 1 na jednym kondensatorze nie musi być jednak równy spadkowi potencjału U 2 = Q ∕ C 2 na innym kondensatorze, ponieważ mogą one mieć różne pojemności elektryczne. Połączenie szeregowe dwóch lub większej liczby kondensatorów jest tożsame z pojedynczym kondensatorem (zastępczym), którego pojemność (zwana pojemnością zastępczą (ang. equivalent capacitance )) jest mniejsza od najmniejszej z pojemności łączonych kondensatorów. Ładunek na takim kondensatorze zastępczym równa się ładunkowi na każdym z kondensatorów w układzie. (a) Trzy kondensatory połączone szeregowo. Wielkość ładunku na każdej z okładek wynosi Q . (b) Układ kondensatorów w części (a) jest równoważny jednemu kondensatorowi o ładunku Q i o pojemności mniejszej od pojemności każdego z kondensatorów składowych. Wyrażenie na pojemność zastępczą układu można uzyskać na podstawie analizy napięcia na każdym z kondensatorów. Spadki potencjału na kondensatorach 1, 2 i 3 to odpowiednio U 1 = Q ∕ C 1 , U 2 = Q ∕ C 2 i U 3 = Q ∕ C 3 . Muszą się one sumować do napięcia na akumulatorze, co daje równość U = U 1 + U 2 + U 3  . Na kondensatorze zastępczym o ładunku Q i pojemności zastępczej C S napięcie wynosiłoby U . Po podstawieniu wyrażenia na U 1 , U 2 i U 3 , otrzymamy Q C S = Q C 1 + Q C 2 + Q C 3  . Po skróceniu przez ładunek Q otrzymamy wyrażenie na pojemność zastępczą C S trzech kondensatorów połączonych szeregowo 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3  . Wyrażenie to można uogólnić, by odnosiło się do dowolnej liczby kondensatorów połączonych szeregowo. Łączenie szeregowe Dla kondensatorów połączonych szeregowo odwrotność pojemności zastępczej jest równa sumie odwrotności pojemności kondensatorów składowych 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + ⋯ Pojemność zastępcza układu kondensatorów połączonych szeregowo Obliczmy pojemność zastępczą dla trzech kondensatorów połączonych szeregowo, wiedząc, że ich pojemności wynoszą 1  µF , 5  µF i 8  µF . Strategia rozwiązania Ponieważ układ składa się tylko z trzech kondensatorów, jego pojemność zastępczą możemy obliczyć z dla trzech składowych. Rozwiązanie Podane pojemności podstawiamy do 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 = 1 1  µF + 1 5  µF + 1 8  µF = 1,325 1  µF  . Następnie odwracamy wynik i otrzymujemy C S = 1  µF 1,325 = 0,755  µF  . C_{\text{S}} = \frac{\SI{1}{\micro\farad}}{\num{1,325}} = \SI{0,755}{\micro\farad} \text{.} Znaczenie Zauważmy, że dla układu kondensatorów połączonych szeregowo wypadkowa pojemność jest zawsze mniejsza niż najmniejsza z pojemności kondensatorów składowych. Łączenie równoległe kondensatorów Na (a) przedstawiono układ trzech kondensatorów połączonych równolegle. Jedna okładka każdego z nich podłączona jest do jednego bieguna akumulatora, druga zaś do drugiego. Ponieważ kondensatory są połączone równolegle, to na każdym z nich występuje takie samo napięcie U , jednakże zgromadzone ładunki mogą być różne. Aby obliczyć pojemność zastępczą C R układu, musimy uwzględnić fakt, że całkowity ładunek Q jest sumą ładunków na poszczególnych kondensatorach Q = Q 1 + Q 2 + Q 3  . Lewą stronę tego wyrażenia przekształcamy zgodnie z zależnością Q = C R  U dla układu jako całości. Po prawej stronie wykorzystujemy zależności Q 1 = C 1  U , Q 2 = C 2  U oraz Q 3 = C 3  U dla każdego z kondensatorów z osobna. W ten sposób otrzymujemy C R  U = C 1  U + C 2  U + C 3  U  . Po skróceniu przez U równanie to opisuje pojemność zastępczą układu trzech kondensatorów połączonych równolegle C R = C 1 + C 2 + C 3  . Łatwo uogólnić je do postaci dla dowolnej liczby kondensatorów połączonych równolegle. Łączenie równoległe Dla kondensatorów połączonych równolegle pojemność zastępcza jest sumą pojemności wszystkich kondensatorów C R = C 1 + C 2 + C 3 + ⋯ (a) Trzy kondensatory połączone równolegle. Każdy z nich jest podłączony bezpośrednio do akumulatora. (b) Ładunek na kondensatorze zastępczym stanowi sumę ładunków na poszczególnych kondensatorach. Pojemność zastępcza układu kondensatorów połączonych równolegle Obliczmy pojemność zastępczą dla trzech kondensatorów połączonych równolegle, wiedząc, że ich pojemności wynoszą 1  µF , 5  µF i 8  µF . Strategia rozwiązania Ponieważ układ składa się tylko z trzech kondensatorów, jego pojemność zastępczą możemy obliczyć z dla trzech składowych. Rozwiązanie Po podstawieniu podanych pojemności do otrzymamy C R = C 1 + C 2 + C 3 = 1  µF + 5  µF + 8  µF = 14  µF  . C_{\text{R}} = C_1 + C_2 + C_3 = \SI{1}{\micro\farad} + \SI{5}{\micro\farad} + \SI{8}{\micro\farad} = \SI{14}{\micro\farad} \text{.} Znaczenie Zauważmy, że dla układu kondensatorów połączonych równolegle pojemność jest zawsze większa niż pojemność każdego z kondensatorów składowych. Łączenie równoległe i szeregowe kondensatorów Układy kondensatorów to najczęściej zestawienia kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle, tak jak na . Aby obliczyć pojemność zastępczą takich układów, należy odszukać podukłady, w których występuje tylko jeden typ łączenia, i wyliczyć ich pojemności zastępcze. Następnie proces powtarza się aż do momentu, gdy będzie możliwe ustalenie pojemności zastępczej całego układu. Proces ten przedstawiono na poniższym przykładzie. (a) Układ składa się z kondensatorów łączonych zarówno szeregowo, jak i równolegle. (b) Kondensatory C 1 i C 2 są połączone szeregowo; ich pojemność zastępcza wynosi C S . (c) Kondensator zastępczy C S jest połączony równolegle z kondensatorem C 3 , a więc pojemność zastępcza całego układu C rw to suma C S i C 3 . Pojemność zastępcza układu kondensatorów Obliczmy pojemność zastępczą układu kondensatorów przedstawionego na . Odpowiedź zaokrąglimy do trzech miejsc po przecinku. Strategia rozwiązania Najpierw sprawdzamy, które kondensatory są połączone szeregowo, a które równolegle. Kondensatory C 1 i C 2 są połączone szeregowo. Ich kondensator zastępczy o pojemności C S jest połączony równolegle z kondensatorem C 3 . Rozwiązanie C 1 i C 2 są połączone szeregowo, zatem ich pojemność zastępczą C S możemy obliczyć z 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 = 1 1  µF + 1 5  µF = 1,2 1  µF ⇒ C S = 0,833  µF  . Kondensator zastępczy C S jest połączony równolegle z kondensatorem C 3 , zatem aby obliczyć pojemność zastępczą C rw C_{\text{rw}} dla całego układu, stosujemy C rw = C S + C 3 = 0,833  µF + 8  µF = 8,833  µF  . C_{\text{rw}} = C_{\text{S}} + C_3 = \SI{0,833}{\micro\farad} + \SI{8}{\micro\farad} = \SI{8,833}{\micro\farad} \text{.} Układ kondensatorów Obliczmy pojemność zastępczą C układu kondensatorów przedstawionego na , jeśli ich pojemności wynoszą C 1 = 12  µF , C 2 = 2  µF i C 3 = 4  µF . Obliczmy także ładunek i napięcie na każdym z kondensatorów, jeśli układ podłączony jest do napięcia 12  V . (a) Układ kondensatorów. (b) Równoważny układ dwóch kondensatorów. Strategia rozwiązania Najpierw należy obliczyć pojemność zastępczą C 23 równoległego połączenia kondensatorów C 2 i C 3 . Pojemność całkowita C jest wtedy pojemnością zastępczą szeregowo połączonych kondensatorów o pojemnościach C 1 i C 23 . Z równości C = Q ∕ U wyliczamy ładunki Q 1 , Q 2 i Q 3 oraz napięcia U 1 , U 2 i U 3 odpowiednio na kondensatorach o pojemnościach C 1 , C 2 i C 3 . Rozwiązanie Pojemność zastępcza dla kondensatorów C 2 i C 3 wynosi C 23 = C 2 + C 3 = 2  µF + 4  µF = 6  µF  . Cały układ trzech kondensatorów jest równoważny szeregowemu połączeniu dwóch kondensatorów C 1 i C 23 , a więc 1 C = 1 12  µF + 1 6  µF = 1 4  µF ⇒ C = 4  µF  . Rozważmy równoważny układ dwóch kondensatorów przedstawiony na (b). Kondensatory połączone są szeregowo, dlatego mają na okładkach równe ładunki Q 1 = Q 23 . Podłączone są do jednego źródła prądu, a więc 12  V = U 1 + U 23 = Q 1 C 1 + Q 23 C 23 = Q 1 12  µF + Q 1 6  µF ⇒ Q 1 = 48  µC  . Różnica potencjałów na okładkach kondensatora C 1 wynosi U 1 = Q 1 C 1 = 48  µC 12  µF = 4  V  . Ponieważ kondensatory C 2 i C 3 są połączone równolegle, napięcie jest na nich jednakowe U 2 = U 3 = 12  V − 4  V = 8  V  . Ładunki na nich wynoszą więc odpowiednio Q 2 = C 2  U 2 = 2  µF ⋅ 8  V = 16  µC  , Q 3 = C 3  U 3 = 4  µF ⋅ 8  V = 32  µC  . Znaczenie Zgodnie z przypuszczeniami ładunek na układzie połączonych równolegle kondensatorów C 2 i C 3 wynosi Q 23 = Q 2 + Q 3 = 48  µC . Sprawdź, czy rozumiesz. Oblicz pojemność zastępczą dla każdego z przedstawionych poniżej układów kondensatorów. Załóż, że C 1 = 1  pF , C 2 = 2  pF , C 3 = 4  pF i C 4 = 5  pF . Oblicz ładunek na każdym z kondensatorów przy założeniu, że każdy z układów podłączony jest do źródła prądu o różnicy potencjałów 12  V . a. C = 0,86  pF , Q 1 = 10  pC , Q 2 = 3,4  pC , Q 3 = 6,8  pC ; b. C = 2,3  pF , Q 1 = 12  pC , Q 2 = Q 3 = 16  pC ; c. C = 2,3  pF , Q 1 = 9  pC , Q 2 = 18  pC , Q 3 = 12  pC , Q 4 = 15  pC . Podsumowanie Dla układu kondensatorów połączonych szeregowo odwrotność pojemności zastępczej jest sumą odwrotności pojemności kondensatorów składowych. Dla układu kondensatorów połączonych równolegle pojemność zastępcza jest sumą pojemności kondensatorów składowych. Aby obliczyć pojemność zastępczą układu zawierającego szeregowe i równoległe połączenia kondensatorów, należy odszukać podukłady kondensatorów połączonych jednakowo i zastąpić je równoważnymi kondensatorami zastępczymi, aż cały układ zostanie zredukowany do jednego kondensatora zastępczego. Pytania Chcesz zgromadzić w baterii kondensatorów dużą ilość ładunku. Czy powinieneś połączyć je szeregowo, czy równolegle? Wyjaśnij dlaczego. Jakie są maksymalna i minimalna pojemność, które można uzyskać po połączeniu trzech kondensatorów o pojemności 1  µF ? 3  µF , 0,33  µF . Zadania Kondensator o pojemności 4  pF połączono szeregowo z kondensatorem o pojemności 8  pF , a następnie do ich układu przyłożono napięcie 400  V . Jaki ładunek zgromadzi się na każdym z kondensatorów? Jakie jest napięcie na każdym z kondensatorów? a. 1,07  nC ; b. 267  V , 133  V . Trzy kondensatory o pojemnościach C 1 = 2  µF , C 2 = 3  µF i C 3 = 6  µF połączono równolegle. Następnie do układu przyłożono napięcie 500  V . Oblicz napięcie oraz ładunek na każdym z kondensatorów. Oblicz całkowitą pojemność układu kondensatorów przedstawionego poniżej. 0,29  µF . Potrzebujesz układu kondensatorów o pojemności 0,75  F , ale masz jedynie kondensatory o pojemności 1,5  mF . Co najmniej ilu kondensatorów należy użyć, żeby osiągnąć pożądaną pojemność i jak należy je połączyć? 500 kondensatorów; należy je połączyć równolegle. Jakie pojemności zastępcze można uzyskać z połączenia kondensatora o pojemności 5  µF z kondensatorem o pojemności 8  µF ? 3,08  µF dla połączenia szeregowego i 13  µF dla połączenia równoległego. Oblicz pojemność zastępczą układu kondensatorów przedstawionego poniżej. Oblicz pojemność zastępczą układu kondensatorów przedstawionego poniżej. 11,4  µF . Kondensator o pojemności 40  pF naładowano tak, że napięcie na nim wynosiło 500  V . Następnie jego okładki połączono z okładkami nienaładowanego kondensatora o pojemności 10  pF . Oblicz początkowy ładunek na kondensatorze o pojemności 40  pF ; ładunek na każdym z kondensatorów po połączeniu; różnicę potencjałów na każdym z kondensatorów po połączeniu. Kondensator o pojemności 2  µF połączono szeregowo z kondensatorem o pojemności 4  µF i do układu przyłożono napięcie 1  kV . Następnie naładowane kondensatory odłączono od źródła prądu i połączono ze sobą okładkami o jednakowych znakach. Oblicz końcowe napięcie i ładunek na każdym z kondensatorów. 0,89  mC ; 1,78  mC ; 444  V . połączenie równoległe (ang. parallel combination ) sposób łączenia elementów obwodu elektrycznego, w którym wszystkie wejścia elementów są wspólnie podłączone do jednej strony obwodu, a wszystkie wyjścia wspólnie do drugiej strony obwodu połączenie szeregowe (ang. series combination ) sposób łączenia elementów obwodu elektrycznego, w którym elementy włączone są do obwodu jeden za drugim

Science


Energia zgromadzona w kondensatorze Większość z nas widziała filmy i seriale, w których lekarze używają defibrylatora, aby przywrócić prawidłową akcję serca, przepuszczając przez nie impuls elektryczny. Jeśli twórcy przywiązywali wagę do szczegółów, bohater mówi niekiedy do współpracownika: „daj mi 400 dżuli”. Energia dostarczana przez defibrylator zmagazynowana jest w kondensatorze i może być regulowana w zależności od potrzeb. Jej ilość często podaje się w jednostkach układu SI, czyli dżulach. Mniej dramatycznym zastosowaniem kondensatorów jest dostarczanie energii podczas ładowania baterii urządzeń mikroelektronicznych ( ). Kondensatory wykorzystuje się również jako źródło energii dla lamp błyskowych w aparatach. Kondensatory na płytce drukowanej opisane są kodem składającym się z litery „C” oraz liczby. Energia E C zgromadzona w kondensatorze jest energią potencjalną elektrostatyczną, a więc związaną z ładunkiem Q oraz napięciem U U pomiędzy okładkami. Naładowany kondensator magazynuje energię w polu elektrycznym między okładkami. Podczas jego ładowania pole to staje się coraz silniejsze. Po odłączeniu naładowanego kondensatora od akumulatora energia pozostaje w polu elektrycznym między okładkami. Żeby ustalić, jak energia może się wyrażać przez Q i U U , rozważmy przypadek naładowanego płaskiego kondensatora próżniowego. Przestrzeń między jego okładkami ma objętość S  d (pole okładek S pomnożone przez odległość d między nimi) i panuje w niej jednorodne pole elektryczne E → \vec{E} . Cała energia E C zgromadzona w kondensatorze zawiera się w tej przestrzeni. Gęstość energii (ang. energy density ) u E w tym obszarze to po prostu E C podzielone przez objętość S  d . Jeśli znamy gęstość energii, możemy obliczyć energię ze wzoru E C = u E  S  d . Z rozdziału Fale elektromagnetyczne (po przyswojeniu materiału dotyczącego równań Maxwella) dowiemy się, że gęstość energii u E w polu elektrycznym E → \vec{E} w próżni zależy jedynie od natężenia pola i wynosi u E = 1 2  ε 0  E 2  . Po pomnożeniu gęstości energii przez objętość między okładkami otrzymamy całkowitą energię zgromadzoną w kondensatorze płaskim E C = u E  S  d = 1 2  ε 0  E 2  S  d = 1 2  ε 0  U 2 d 2  S  d = 1 2  U 2  ε 0 ⋅ S d = 1 2  U 2  C  . E_C = u_E Ad = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 Ad = \frac{1}{2} \epsilon_0 \frac{U^2}{d^2} A d = \frac{1}{2} U^2 \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} = \frac{1}{2} U^2 C \text{.} W powyższym wyprowadzeniu wykorzystaliśmy fakt, że pole elektryczne między okładkami jest jednorodne, a więc E = U ∕ d oraz C = ε 0  S ∕ d . Ponieważ C = Q ∕ U , wynik ten możemy wyrazić w innych, równoważnych postaciach E C = 1 2  U 2  C = 1 2 ⋅ Q 2 C = 1 2  Q  U  . Wyrażenie z na energię zgromadzoną w kondensatorze płaskim jest w ogólności prawdziwe dla każdego typu kondensatora. Żeby to wykazać, weźmy dowolny nienaładowany kondensator. Podłączenie go do źródła prądu wytwarza różnicę potencjałów U = q ∕ C między jego okładkami. Na początku ładunek na okładkach wynosi q = 0  C . W miarę ładowania ilość ładunku na okładkach stopniowo rośnie, aż po pewnym czasie osiąga wartość Q . Teraz przeniesienie nieskończenie małego ładunku d q z okładki ujemnej na dodatnią wymaga wykonania nad d q pracy d W = U  d q = q ∕ C ⋅ d q . Praca ta przekształca się w energię magazynowaną w polu elektrycznym kondensatora. Całkowita praca wymagana do naładowania kondensatora do ładunku Q wynosi W = ∫ 0 W  Q d W = ∫ 0 Q q C  d q = 1 2 ⋅ Q 2 C  . Ponieważ nie określiliśmy geometrii kondensatora, powyższe równanie jest prawdziwe dla każdego jego typu. Całkowita praca W potrzebna, aby naładować kondensator, równa się energii potencjalnej E C zgromadzonej między okładkami, czyli E C = W . Jeśli ładunek wyrazimy w kulombach, potencjał w woltach, a pojemność elektryczną w faradach, to równanie da wartość energii w dżulach. Gdy wiemy, że energię zgromadzoną w kondensatorze wyraża wzór E C = Q 2 ∕ 2  C , możemy obliczyć gęstość energii u E w próżni pomiędzy okładkami naładowanego kondensatora płaskiego. Wystarczy, że podzielimy E C przez objętość S  d przestrzeni pomiędzy okładkami, pamiętając, że dla kondensatora płaskiego E = σ ∕ ε 0 E = \sigma / \epsilon_0 i C = ε 0  S ∕ d . Otrzymujemy więc zależność u E = E C S  d = Q 2 2  C ⋅ 1 S  d = Q 2 2  ε 0  S ∕ d ⋅ 1 S  d = 1 2  ε 0 ⋅ Q S 2 u E = σ 2 2  ε 0 = E  ε 0 2 2  ε 0 = ε 0 2  E 2  . \begin{multiline} u_E &= \frac{E_C}{Sd} = \frac{Q^2}{2C} \cdot \frac{1}{Sd} = \frac{Q^2}{2 \epsilon_0 S /d} \cdot \frac{1}{Sd} = \frac{1}{2 \epsilon_0} \cdot (\frac{Q}{S})^2 \\ &= \frac{\sigma^2}{2 \epsilon_0} = \frac{(E \epsilon_0)^2}{2 \epsilon_0} = \frac{\epsilon_0}{2} E^2 \text{.}\end{multiline} u E = E C S  d = Q 2 2  C ⋅ 1 S  d = Q 2 2  ε 0  S ∕ d ⋅ 1 S  d = 1 2  ε 0 ⋅ Q S 2 = σ 2 2  ε 0 = E  ε 0 2 2  ε 0 = ε 0 2  E 2  . Widzimy, że to wyrażenie na gęstość energii w kondensatorze płaskim pokrywa się z ogólnym wyrażeniem zawartym w . Moglibyśmy powtórzyć te obliczenia dla kondensatora kulistego, walcowego i innych typów, ale zawsze otrzymalibyśmy tę samą ogólną zależność z . Energia zgromadzona w kondensatorze Obliczmy energię zgromadzoną w układzie przedstawionym na (a), kiedy kondensatory są w pełni naładowane, a ich pojemności elektryczne wynoszą C 1 = 12  µF , C 2 = 2  µF i C 3 = 4  µF . Strategia rozwiązania Stosujemy , aby obliczyć wartości energii E C 1 E_{C\sep 1} , E C 2 E_{C\sep 2} i E C 3 E_{C\sep 3} zgromadzonych na kondensatorach o pojemnościach odpowiednio C 1 , C 2 i C 3 . Całkowita energia jest sumą tych wartości. Rozwiązanie Wiemy, że C 1 = 12  µF i U 1 = 4  V , C 2 = 2  µF i U 2 = 8  V , C 3 = 4  µF i U 3 = 8  V . Energie zgromadzone w kondensatorach wynoszą E C 1 = 1 2  C 1  U 1 2 = 1 2 ⋅ 12  µF ⋅ 4  V 2 = 96  µJ  , E C 2 = 1 2  C 2  U 2 2 = 1 2 ⋅ 2  µF ⋅ 8  V 2 = 64  µJ  , E C 3 = 1 2  C 3  U 3 2 = 1 2 ⋅ 4  µF ⋅ 8  V 2 = 128  µJ  . \begin{align} E_{C\sep 1} &= \frac{1}{2} C_1 U_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \SI{12}{\micro\farad} \cdot (\SI{4}{\volt})^2 = \SI{96}{\micro\joule} \text{,} \\ E_{C\sep 2} &= \frac{1}{2} C_2 U_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \SI{2}{\micro\farad} \cdot (\SI{8}{\volt})^2 = \SI{64}{\micro\joule} \text{,} \\ E_{C\sep 3} &= \frac{1}{2} C_3 U_3^2 = \frac{1}{2} \cdot \SI{4}{\micro\farad} \cdot (\SI{8}{\volt})^2 = \SI{128}{\micro\joule} \text{.} \end{align} Całkowita energia zgromadzona w układzie wynosi E C = E C 1 + E C 2 + E C 3 = 96  µJ + 64  µJ + 128  µJ = 288  µJ  . E_C = E_{C\sep 1} + E_{C\sep 2} + E_{C\sep 3} = \SI{96}{\micro\joule} + \SI{64}{\micro\joule} + \SI{128}{\micro\joule} = \SI{288}{\micro\joule} \text{.} Znaczenie Wynik ten można sprawdzić, obliczając energię zgromadzoną w pojedynczym kondensatorze o pojemności 4  µF , który, jak stwierdziliśmy wcześniej, jest równoważny układowi. Całkowite napięcie w układzie wynosi 12  V . Wyznaczona w ten sposób całkowita energia zgadza się z poprzednim wynikiem E C = 1 2  C  U 2 = 1 2 ⋅ 4  µF ⋅ 12  V 2 = 288  µJ  . E_C = \frac12 CU^2 = \frac12 \cdot \SI{4}{\micro\farad} \cdot (\SI{12}{\volt})^2 = \SI{288}{\micro\joule} \text{.} Sprawdź, czy rozumiesz. Różnica potencjałów między okładkami kondensatora o pojemności 5  pF wynosi 0,4  V . Jaka jest wartość energii zgromadzonej w kondensatorze? Ile razy zwiększy się wartość energii zgromadzonej w kondensatorze, jeśli różnica potencjałów między okładkami będzie wynosiła 1,2  V ? a. 4 ⋅ 10 − 13  J ; b. 9 razy. W przypadku nagłej niewydolności serca przenośne urządzenie elektroniczne nazywane automatycznym defibrylatorem zewnętrznym (ang. automated external defibrillator , AED) może uratować życie. Defibrylator ( ) przesyła do serca pacjenta duży ładunek w postaci krótkiego impulsu, zwanego wstrząsem elektrycznym, aby przywrócić naturalny rytm bicia serca, zakłócony przez arytmię. Atak serca może wystąpić w konsekwencji nieregularnych skurczów serca, zwanych migotaniem komór. Silny elektrowstrząs jest w stanie przerwać arytmię i pozwolić sercu powrócić do naturalnego rytmu skurczów. Defibrylatory są obecnie standardowym wyposażeniem karetek pogotowia. AED można również znaleźć w wielu miejscach publicznych. Są one przystosowane do używania przez osoby nieprzeszkolone. Zazwyczaj urządzenie samodzielnie diagnozuje rytm serca pacjenta, a następnie wysyła elektrowstrząs o odpowiednich energii i kształcie fali. Przed użyciem defibrylatora zwykle zaleca się przeprowadzenie resuscytacji krążeniowo-oddechowej. Automatyczne defibrylatory zewnętrzne znajdują się w wielu miejscach publicznych. Te przenośne urządzenia przekazują głosowe wskazówki dotyczące udzielania pomocy w kluczowych pierwszych minutach po ataku serca. Pojemność elektryczna defibrylatora Defibrylator uwalnia energię 4 ⋅ 10 2  J , rozładowując kondensator, na którym napięcie wynosi początkowo 10 4  V . Ile wynosi jego pojemność elektryczna? Strategia rozwiązania Z treści zadania znamy E C i U , a obliczyć mamy pojemność elektryczną C . Wyznaczamy C z i podstawiamy wartości. Rozwiązanie Przekształcamy wzór tak, aby otrzymać C , a następnie podstawiamy wartości i otrzymujemy C = 2 ⋅ E C U 2 = 2 ⋅ 4 ⋅ 10 2  J 10 4  V 2 = 8  µF  . Podsumowanie Kondensatory wykorzystuje się jako źródła energii dla wielu urządzeń, takich jak defibrylatory, lampy błyskowe czy urządzenia mikroelektroniczne, np. kalkulatory. Energia zmagazynowana w kondensatorze jest pracą wykonaną podczas jego ładowania począwszy od stanu, w którym na okładkach nie ma żadnego ładunku. Energia zawarta jest w polu elektrycznym pomiędzy okładkami i zależy od ilości ładunku oraz różnicy potencjałów pomiędzy nimi. Energia zmagazynowana w układzie kondensatorów jest sumą energii zgromadzonych w każdym z kondensatorów. Można ją również obliczyć jako energię zgromadzoną w kondensatorze zastępczym równoważnym układowi. Pytania Czy żeby zgromadzić jak największą energię w baterii kondensatorów, należy je połączyć szeregowo, czy równolegle? Wyjaśnij dlaczego. Zadania Jaka energia zgromadzi się w kondensatorze o pojemności 8  µF , jeśli różnica potencjałów między jego okładkami wynosi 6  V ? Kondensator o ładunku 2,5  µC podłączono do akumulatora o napięciu 6  V . Jaka energia zgromadzi się między okładkami? 7,5  µJ . Jaka energia gromadzi się w polu elektrycznym metalowej kuli o promieniu 2  m , utrzymywanej w potencjale 10  V ? Jaka energia zgromadzi się w kondensatorze o pojemności 10  µF w defibrylatorze, jeśli napięcie na jego okładkach wynosi 9 ⋅ 10 3  V ? Oblicz ładunek na okładkach kondensatora. a. 405  J ; b. 90  mC . Podczas operacji na otwartym sercu do defibrylacji wystarczy znacznie mniejsza energia, niż obliczona w poprzednim zadaniu. Jakie napięcie przyłożone jest w defibrylatorze do kondensatora o pojemności 8  µF , w którym zgromadzono energię 40  J ? Oblicz ładunek na okładkach kondensatora. Kondensator o pojemności 165  µF połączono ze źródłem prądu stałego. Jaka energia zgromadzi się w kondensatorze, jeśli do układu przyłożone zostanie napięcie 119  V ? 1,15  J . Dane są: akumulator 9  V oraz kondensatory o pojemnościach 2  µF i 7,4  µF . Oblicz ładunek i energię zgromadzone w układzie, jeśli kondensatory połączone są z akumulatorem szeregowo; Oblicz to samo dla kondensatorów połączonych równolegle. Pewien fizyk niepokoi się, że między dwiema metalowymi półkami regału na książki o drewnianym szkielecie może wytworzyć się wysokie napięcie, jeśli na półkach, na przykład w wyniku tarcia, zgromadzą się ładunki elektrostatyczne. Jaka jest pojemność elektryczna pustych półek, jeśli mają one powierzchnię 10 2  m 2 i znajdują się w odległości 0,2  m od siebie? Jakie napięcie wytworzy się między nimi, jeśli zgromadzi się na nich ładunek 2  nC o przeciwnych znakach? Aby udowodnić, że napięcie to nie jest niebezpieczne, oblicz energię zgromadzoną między półkami; W rzeczywistości półki mają 100 razy mniejszą powierzchnię niż rozważane, hipotetyczne półki. Czy fizyk ma powody do niepokoju? a. 4,43 ⋅ 10 − 12  F ; b. 452  V ; c. 4,52 ⋅ 10 − 7  J ; d. Nie. Kondensator płaski składa się z dwóch kwadratowych okładek o boku 25  cm ustawionych równolegle w odległości 1  mm od siebie. Przyłożono do niego napięcie 50  V . Bez odłączania napięcia okładki rozsunięto na odległość 2  mm . Jaka energia zgromadzi się w kondensatorze przed rozsunięciem okładek i po nim? Dlaczego energia maleje, skoro przy rozsuwaniu okładek została wykonana praca? Niech pojemność elektryczna kondensatora zmiennego będzie regulowana ręcznie w zakresie od 100  pF do 800  pF za pomocą pokrętła obracanego od 0 ° do 180 ° . Do kondensatora ustawionego na 180 ° (co odpowiada pojemności 800  pF ) przyłożono napięcie 500  V . Po naładowaniu kondensator odłączono od źródła prądu, a następnie pokrętło obrócono na 0 ° . Jeśli tarcie pokrętła jest pomijalnie małe, to ile pracy wymaga obrócenie go z pozycji 180 ° do pozycji 0 ° ? 0,7  mJ . gęstość energii (ang. energy density ) energia zgromadzona w kondensatorze podzielona przez objętość przestrzeni pomiędzy okładkami

Science


Kondensator z dielektrykiem Jak wspominaliśmy wcześniej, materiał izolujący, którym najczęściej jest dielektryk, umieszcza się pomiędzy okładkami kondensatora. Jego obecność wpływa na pojemność elektryczną. Aby zrozumieć dlaczego, przyjrzyjmy się eksperymentowi przedstawionemu na . Na początku kondensator próżniowy o pojemności C 0 jest ładowany przez akumulator do napięcia U 0 . Po całkowitym naładowaniu kondensatora akumulator zostaje odłączony. Na okładkach zgromadzony jest ładunek Q 0 , a różnica potencjałów między nimi wynosi U 0 . Teraz wyobraźmy sobie, że do kondensatora wsuwamy dielektryk, który całkowicie wypełnia przestrzeń między okładkami. Po takim zabiegu napięcie wskazywane przez woltomierz spadnie do wartości U . Można je zapisać jako ułamek napięcia początkowego U 0 , stosując współczynnik ε r ≥ 1 \epsilon_{\text{r}}\geq 1 U = 1 ε r  U 0  . Występująca w tym równaniu stała ε r nazywana jest względną przenikalnością elektryczną (ang. dielectric constant ), dawniej stałą dielektryczną materiału i zależy od rodzaju zastosowanego dielektryka. W następnym podrozdziale szczegółowo wyjaśnimy, dlaczego obecność dielektryka zmniejsza napięcie. Różne dielektryki mają różne względne przenikalności elektryczne (w następnym podrozdziale podamy tabelę wartości ε r dla typowych dielektryków). Po odłączeniu akumulatora ładunek nie może przepływać z okładek kondensatora do akumulatora. Wsunięcie dielektryka nie może więc mieć wpływu na ładunek zgromadzony na okładkach – nadal równa się on Q 0 . Pojemność elektryczna kondensatora z dielektrykiem musi więc wynosić C = Q 0 U = Q 0 U 0 ∕ ε r = ε r  C 0  . Powyższe równanie wskazuje, że pojemność elektryczna C 0 pustego kondensatora (kondensatora próżniowego) zwiększa się o czynnik ε r , kiedy całą przestrzeń pomiędzy okładkami wypełnia dielektryk. Zauważmy, że jest prawdziwe także dla kondensatora z próżnią, kiedy przyjmiemy ε r = 1 . Oznacza to, że względna przenikalność elektryczna określa, ile razy przenikalność elektryczna danego materiału jest większa od przenikalności elektrycznej próżni. (a) W pełni naładowany kondensator próżniowy ma napięcie U 0 i ładunek Q 0 (ładunki znajdują się na wewnętrznych powierzchniach okładek; na schemacie wskazaliśmy znak ładunku na każdej z nich). (b) Na początku (krok 1) odłączono kondensator. Następnie (krok 2) obojętny elektrycznie dielektryk o stałej dielektrycznej ε r \epsilon_{\text{r}} wsunięto między okładki naładowanego kondensatora. Pomiar woltomierzem wskazuje, że napięcie na kondensatorze spadło do wartości U = U 0 ∕ ε r . Schemat wskazuje znaki ładunków indukowanych na powierzchni dielektryka pomiędzy okładkami kondensatora. Zasada wyrażona w znajduje szerokie zastosowanie w przemyśle budowlanym ( ). Metalowe płytki w wykrywaczu profili działają jak okładki kondensatora. Wykrywacz przykłada się płaską stroną do ściany i przesuwa w kierunku poziomym. Kiedy urządzenie znajdzie się nad drewnianym słupkiem konstrukcyjnym, pojemność elektryczna kondensatora się zmienia, ponieważ drewno ma inną przenikalność elektryczną niż gipsowa ściana. Zmiana ta uruchamia sygnalizator, co pozwala wykryć słupek. Elektroniczny wykrywacz profili wykorzystuje się do znajdowania ukrytych pod ścianą drewnianych elementów konstrukcyjnych lub przewodów. Dielektryk wpływa również na energię elektryczną zgromadzoną w kondensatorze. Jeśli w kondensatorze próżniowym gromadzi się energia E C 0 E_{C\sep 0} , to w takim samym kondensatorze z dielektrykiem zgromadzi się energia E C pomniejszona o czynnik ε r E C = 1 2 ⋅ Q 2 C = 1 2 ⋅ Q 0 2 ε r  C 0 = 1 ε r  E C 0  . E_C = \frac12 \cdot \frac{Q^2}{C} = \frac12 \cdot \frac{Q_0^2}{\epsilon_{\text{r}} C_0} = \frac{1}{\epsilon_{\text{r}}} E_{C\sep 0} \text{.} Kiedy do naładowanego kondensatora próżniowego zbliżymy dielektryk, wówczas zareaguje on na pole elektryczne wytwarzane przez ładunki zgromadzone na okładkach. Tak jak dowiedzieliśmy się z rozdziału Ładunki i pola elektryczne , na powierzchni próbki indukują się ładunki. Nie są to jednak ładunki swobodne, jak w przewodniku, ponieważ w idealnym izolatorze takie nie występują. Ładunki indukowane na powierzchni dielektryka mają znak przeciwny do znaku ładunków swobodnych na sąsiadujących okładkach kondensatora. W rezultacie dielektryk jest wciągany między okładki, a energia potrzebna do wykonania pracy przy polaryzacji dielektryka między okładkami pochodzi ze zgromadzonej energii elektrycznej. Energia maleje więc zgodnie z . Dielektryk wsunięty do izolowanego kondensatora Kondensator próżniowy o pojemności 20  pF naładowano do różnicy potencjałów 40  V . Następnie akumulator odłączono, a całą przestrzeń między okładkami wypełniono kawałkiem teflonu o względnej przenikalności elektrycznej 2,1 ( ). Jakie są wartości początkowe i końcowe pojemności elektrycznej; ładunku na okładkach; różnicy potencjałów między okładkami; energii zgromadzonej w kondensatorze? Strategia rozwiązania Wiemy, że początkowa pojemność elektryczna to C 0 = 20  pF , a początkowa różnica potencjałów między okładkami to U 0 = 40  V . Wykorzystujemy i inne wzory, w których występuje pojemność elektryczna, a następnie podstawiamy dane. Rozwiązanie Pojemność elektryczna wzrasta do C = ε r  C 0 = 2,1 ⋅ 20  pF = 42  pF  . Bez dielektryka ładunek na okładkach wynosi Q 0 = C 0  U 0 = 20  pF ⋅ 40  V = 0,8  nC  . Ponieważ akumulator został odłączony przed wsunięciem dielektryka, ładunek na okładkach pozostaje bez zmian na poziomie 0,8  nC . Po wsunięciu dielektryka różnica potencjałów wynosi U = 1 ε r  U 0 = 1 2,1 ⋅ 40  V = 19  V  . Energia zgromadzona w kondensatorze bez dielektryka wynosi E C 0 = 1 2  C 0  U 0 2 = 1 2 ⋅ 20  pF ⋅ 40  V 2 = 16  nJ  . E_{C\sep 0} = \frac12 C_0U_0^2 = \frac12 \cdot \SI{20}{\pico\farad} \cdot (\SI{40}{\volt})^2 = \SI{16}{\nano\joule} \text{.} Z obliczamy, że energia zgromadzona w kondensatorze z wsuniętym dielektrykiem spada do E C = 1 ε r  E C 0 = 1 2,1 ⋅ 16  nJ = 7,6  nJ  . E_C = \frac{1}{\epsilon_{\text{r}}} E_{C\sep 0} = \frac{1}{\num{2,1}} \cdot \SI{16}{\nano\joule} = \SI{7,6}{\nano\joule} \text{.} Znaczenie Zauważmy, że obecność dielektryka znacznie zwiększa pojemność elektryczną. Efekt ten jest znacznie silniejszy niż przy zmianie geometrii kondensatora. Sprawdź, czy rozumiesz. Kiedy do izolowanego, naładowanego kondensatora wsunięto dielektryk, energia zgromadzona między okładkami spadła do 33  % wartości początkowej. Jaka jest względna przenikalność elektryczna dielektryka? Jak zmieniła się pojemność elektryczna kondensatora? a. 3; b. C = 3  C 0 . Podsumowanie Każdy dielektryk ma charakterystyczną względną przenikalność elektryczną ε r ≥ 1 \epsilon_{\text{r}}\geq 1 . Kiedy przestrzeń pomiędzy okładkami kondensatora całkowicie wypełnia dielektryk o względnej przenikalności elektrycznej ε r , pojemność elektryczna kondensatora próżniowego wzrasta o czynnik ε r . Kiedy przestrzeń pomiędzy okładkami kondensatora całkowicie wypełnia dielektryk o względnej przenikalności elektrycznej ε r , energia zgromadzona w izolowanym kondensatorze zmniejsza się o czynnik ε r . Pytania Omów, co by się stało, gdyby między okładki kondensatora wsunąć przewodzącą płytkę, a nie dielektryk. Pojemność elektryczna kondensatora wzrośnie. Omów, jak energia zgromadzona w naładowanym kondensatorze próżniowym zmienia się wraz z wsunięciem dielektryka, jeśli kondensator jest izolowany i nie zmienia się zgromadzony na nim ładunek; kondensator pozostaje podłączony do akumulatora i nie zmienia się różnica potencjałów między okładkami. Zadania Udowodnij, że dla danego dielektryka maksymalna energia, jaka może się zgromadzić w kondensatorze płaskim, jest wprost proporcjonalna do objętości dielektryka. Kondensator wypełniony próżnią wykonano z dwóch równoległych okładek oddalonych o 1  mm od siebie. Powierzchnia wewnętrzna każdej z nich wynosi 8  cm 2 . Jaka jest pojemność elektryczna takiego kondensatora? Jaka będzie pojemność elektryczna, jeśli przestrzeń między okładkami zostanie wypełniona dielektrykiem o względnej przenikalności elektrycznej równej 6? a. 7,1  pF ; b. 42,6  pF \SI{42,6}{\pico\farad} . Kondensator wykonano z dwóch koncentrycznych sfer, z których jedna ma promień 5  cm , a druga 8  cm . Jaka jest pojemność elektryczna takiego układu przewodników? Jaka byłaby pojemność elektryczna, gdyby przestrzeń pomiędzy okładkami wypełniona została dielektrykiem o względnej przenikalności elektrycznej równej 6? Kondensator płaski ma ładunek 9  µC i pojemność elektryczną 3  µF , kiedy wypełniony jest tylko powietrzem. Odległość między okładkami wynosi 2  mm . Zachowując stały ładunek na okładkach, do kondensatora wsunięto dielektryk o względnej przenikalności elektrycznej ε r = 5 w taki sposób, że wypełnił on całą przestrzeń pomiędzy okładkami. Załóż, że przenikalność elektryczna powietrza jest równa przenikalności elektrycznej próżni. Ile wynosi początkowa, a ile końcowa różnica potencjałów między okładkami kondensatora? Jakie pole elektryczne panuje w punkcie położonym wewnątrz kondensatora przed wsunięciem dielektryka i po jego wsunięciu? a. Przed: 3  V , po: 0,6  V ; b. Przed: 1500  V ∕ m , po 300  V ∕ m . Wewnętrzną powierzchnię niektórych błon komórkowych w organizmie człowieka pokrywa warstwa ładunków ujemnych. Niech gęstość powierzchniowa ładunku na zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni błony komórkowej wynosi ± 0,5 ⋅ 10 -3  C ∕ m 2 \text{}\pm \SI{0,5e-3}{\coulomb\per\metre\squared} , grubość błony komórkowej 5 ⋅ 10 − 9  m , a względna przenikalność elektryczna błony komórkowej ε r = 5,4 . Oblicz natężenie pola elektrycznego w ścianie komórkowej pomiędzy warstwami ładunku; Oblicz różnicę potencjałów po obu stronach błony. Po której stronie potencjał jest wyższy? Objętość typowej komórki w organizmie człowieka wynosi 10 − 16  m 3 . Oszacuj całkowitą energię zgromadzoną w polu elektrycznym w komórce tej wielkości, zakładając, że komórka ma kształt kuli. (Wskazówka: Oblicz objętość ściany komórkowej). Kondensator płaski z powietrzem między okładkami podłączono do akumulatora i naładowano. Następnie akumulator odłączono, a cały zgromadzony ładunek pozostał na okładkach. Pomiar woltomierzem wskazuje, że napięcie na kondensatorze wynosi 45  V . Po wsunięciu dielektryka w taki sposób, aby wypełniał on całą przestrzeń między okładkami, odczyt na woltomierzu spadł do 11,5  V . Jaka jest względna przenikalność elektryczna dielektryka? Załóż, że przenikalność elektryczna powietrza jest równa przenikalności elektrycznej próżni; Jakie będzie wskazanie na woltomierzu, jeśli dielektryk zostanie wysunięty częściowo, tak aby zajmował jedynie 1 ∕ 3 objętości między okładkami? a. 3,91 ; b. 22,8  V . względna przenikalność elektryczna (ang. dielectric constant ) współczynnik pokazujący, ile razy zwiększa się pojemność elektryczna kondensatora po wsunięciu danego dielektryka między okładki

Science


Mikroskopowy model dielektryka Wpływ dielektryka na pojemność elektryczną możemy lepiej zrozumieć, jeśli przyjrzymy się jego zachowaniu na poziomie molekularnym. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, każdą cząsteczkę można zaklasyfikować jako polarną (ang. polar ) lub apolarną (ang. nonpolar ). W izolowanych cząsteczkach apolarnych ładunki dodatnie i ujemne są rozłożone symetrycznie, natomiast w cząsteczkach polarnych rozkład ładunków jest nierównomierny ( ). Innymi słowy, cząsteczki polarne mają trwały elektryczny moment dipolowy (ang. electric-dipole moment ), a cząsteczki apolarne nie. Dla przykładu cząsteczka wody jest polarna, a cząsteczka tlenu – apolarna. Cząsteczki apolarne mogą nabrać właściwości cząsteczek polarnych w obecności zewnętrznego pola elektrycznego. Efekt ten nazywamy polaryzacją indukowaną (ang. induced polarization ). Schemat polaryzacji. W niespolaryzowanym atomie (lub cząsteczce) naładowana ujemnie chmura elektronów równomiernie rozkłada się wokół dodatnio naładowanego jądra atomowego (jąder), natomiast w spolaryzowanym atomie (lub cząsteczce) po jednej stronie przeważają ładunki dodatnie, a po drugiej ujemne. Układ jako całość pozostaje jednak obojętny elektrycznie. Polaryzacja może być spowodowana obecnością zewnętrznego pola elektrycznego. Niektóre cząsteczki i atomy mają jednak stałą polaryzację (są dipolami elektrycznymi) nawet w przypadku braku zewnętrznego pola elektrycznego. Takie cząsteczki i atomy nazywamy polarnymi. Na początku przyjrzyjmy się dielektrykowi złożonemu z cząsteczek polarnych. W sytuacji braku zewnętrznego pola elektrycznego dipole elektryczne skierowane są w losowych kierunkach, tak jak przedstawiono na (a). Kiedy jednak dielektryk zostanie umiejscowiony w zewnętrznym polu elektrycznym E → 0 , cząsteczki polarne ustawiają się zgodnie z liniami pola, tak jak pokazano to w części (b). Przeciwne ładunki sąsiadujących ze sobą dipoli w środku dielektryka wzajemnie się znoszą, więc staje się on obojętny elektrycznie (symbolizują to przerywane okręgi). Sytuacja zmienia się jednak tuż przy górnej i dolnej granicy dielektryka (w obszarach zaznaczonych prostokątami o przerywanych bokach), gdzie z powodu jednakowego ustawienia dipoli ładunki nie mają par, z którymi mogłyby się znieść. Powstałe w ten sposób indukowane ładunki powierzchniowe (ang. induced surface charges ) + Q i i − Q i wytwarzają dodatkowe pole elektryczne E → i , tak zwane indukowane pole elektryczne (ang. induced electrical field ), skierowane w przeciwnym kierunku niż pole zewnętrzne E → 0 , tak jak to przedstawiono w części (c) . Dielektryk złożony z cząsteczek polarnych: (a) w sytuacji braku zewnętrznego pola elektrycznego; (b) w obecności zewnętrznego pola elektrycznego E → 0 . Prostokąty o przerywanych bokach wskazują obszary bezpośrednio przylegające do okładek kondensatora. (c) Indukowane pole elektryczne E → i wewnątrz dielektryka wytworzone przez indukowane ładunki powierzchniowe Q i . Zauważmy, że tak naprawdę poszczególne cząsteczki nie są dokładnie równoległe do linii zewnętrznego pola elektrycznego z powodu fluktuacji termicznych. Ten sam efekt zachodzi, kiedy cząsteczki dielektryka są apolarne. W tym przypadku wytwarza się indukowany elektryczny moment dipolowy (ang. induced electric-dipole moment ), ponieważ zewnętrzne pole E → 0 powoduje rozsunięcie ładunków dodatnich i ujemnych w cząsteczce. Indukowane dipole cząsteczek apolarnych układają się zgodnie z liniami pola E → 0 , tak samo jak stałe dipole cząsteczek polarnych (co przedstawiono w części (b) ). Pole elektryczne w dielektryku jest więc osłabione niezależnie od tego, czy cząsteczki dielektryka są polarne, czy apolarne. Zatem kiedy przestrzeń pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego, takiego jak na (a), wypełnia dielektryk, pojawia się w nim pole elektryczne E → 0 wywołane ładunkiem swobodnym (ang. free charge ) Q 0 na okładkach kondensatora oraz pole elektryczne E → i pochodzące od ładunku indukowanego Q i na brzegach dielektryka. Wypadkowe pole elektryczne E → w dielektryku jest sumą wektorową tych dwóch pól (co przedstawiono w części (b) ) E → = E → 0 + E → i  . Wypadkowe pole elektryczne można interpretować jako pole elektryczne wytworzone przez ładunek efektywny (ang. effective charge ) Q 0 − Q i w kondensatorze. Pole elektryczne: (a) E → 0 w kondensatorze próżniowym; (b) E → w kondensatorze z dielektrykiem. W większości dielektryków wypadkowe pole elektryczne E → jest proporcjonalne do pola E → 0 wytworzonego przez ładunek swobodny kondensatora. Przy użyciu tych dwóch pól elektrycznych można zapisać definicję względnej przenikalności elektrycznej dielektryka ε r = E 0 E  . E → 0 i E → i mają przeciwne zwroty, dlatego natężenie E jest mniejsze niż natężenie E 0 , a zatem ε r > 1 . Po podstawieniu do i przekształceniu otrzymujemy następujące wyrażenie na pole elektryczne indukowane w dielektryku E → i = 1 ε r − 1  E → 0  . Kiedy natężenie zewnętrznego pola elektrycznego przekroczy pewną granicę, rozpoczyna się proces jonizacji cząsteczek dielektryka. Jonizacja to wytrącenie co najmniej jednego elektronu. Każdy taki elektron staje się swobodny i niezwiązany ze strukturą cząsteczkową lub atomową. W wyniku jonizacji dielektryk uzyskuje zdolność przewodnictwa elektrycznego, co pozwala na transport ładunków z jednej okładki kondensatora na drugą. Zjawisko to nosi nazwę przebicia elektrycznego (ang. dielectric breakdown ). przedstawia charakterystyczny kształt losowych ścieżek pozostawianych przez ładunek podczas przebicia elektrycznego izolatora. Wartość krytyczną E c natężenia pola elektrycznego, przy której cząsteczki izolatora ulegają jonizacji, nazywamy wytrzymałością dielektryczną (ang. dielectric strength ) materiału. Wytrzymałość dielektryczna ogranicza wielkość napięcia, jakie można przyłożyć do kondensatora przy danej odległości między okładkami. Na przykład wytrzymałość dielektryczna powietrza wynosi E c = 3  MV ∕ m , a więc dla kondensatora wypełnionego powietrzem o okładkach oddalonych od siebie o d = 1  mm maksymalna różnica potencjałów, jaką można bezpiecznie przyłożyć bez wywołania przebicia elektrycznego, wynosi U = E c  d = 3 ⋅ 10 6  V ∕ m ⋅ 10 − 3  m = 3  kV . Granica ta rośnie jednak do 60  kV , jeśli ten sam kondensator wypełnimy teflonem, którego wytrzymałość dielektryczna wynosi około 60  MV ∕ m . Ograniczenie ze względu na wytrzymałość dielektryczną sprawia, że maksymalny ładunek, jaki można zgromadzić na wyżej opisanym kondensatorze wypełnionym powietrzem, wynosi zaledwie Q 0 = ε r powietrze  C 0 ⋅ 3  kV Q_0 = \epsilon_{\text{r}}^{\text{powietrze}} C_0 \cdot \SI{3}{\kilo\volt} , a w przypadku kondensatora z teflonem ładunek może wynosić nawet Q = ε r teflon  C 0 ⋅ 60  kV = ε r teflon ⋅ Q 0 ε r powietrze ⋅ 3  kV ⋅ 60  kV Q = 20 ⋅ ε r teflon ε r powietrze  Q 0 = 20 ⋅ 2,1 1,000 59  Q 0 = 42  Q 0 , \begin{multiline} Q &= \epsilon_{\text{r}}^{\text{teflon}} C_0 \cdot \SI{60}{\kilo\volt} = \epsilon_{\text{r}}^{\text{teflon}} \cdot \frac{Q_0}{\epsilon_{\text{r}}^{\text{powietrze}} \cdot \SI{3}{\kilo\volt}} \cdot \SI{60}{\kilo\volt} \\ &= 20 \cdot \frac{\epsilon_{\text{r}}^{\text{teflon}}}{\epsilon_{\text{r}}^{\text{powietrze}}} Q_0 = 20 \cdot \frac{\num{2,1}}{\num{1,00059}} Q_0 = 42 Q_0 \text{,} \end{multiline} Q = ε r teflon  C 0 ⋅ 60  kV = ε r teflon ⋅ Q 0 ε r powietrze ⋅ 3  kV ⋅ 60  kV = 20 ⋅ ε r teflon ε r powietrze  Q 0 = 20 ⋅ 2,1 1,000 59  Q 0 = 42  Q 0 , czyli około 42 razy więcej. W przedstawiono typowe wartości względnej przenikalności elektrycznej oraz wytrzymałości dielektrycznej dla różnych materiałów. Zwróćmy uwagę, że względna przenikalność elektryczna ε r dla próżni wynosi dokładnie 1 (warunki w próżni stanowią punkt odniesienia), a dla powietrza w warunkach normalnych (ciśnienie normalne i temperatura pokojowa) osiąga wartości bliskie jedności. Wartości te są tak zbliżone, że właściwości kondensatora wypełnionego powietrzem są praktycznie takie same jak właściwości kondensatora próżniowego (z wyjątkiem odporności na przebicie elektryczne). Przykładowe wartości względnej przenikalności elektrycznej i względnej wytrzymałości dielektrycznej różnych substancji w temperaturze pokojowej. Substancja Względna przenikalność elektryczna ( ε r ) Wytrzymałość dielektryczna ( E c E_{\text{c}} [ ⋅ 10 6  V ∕ m \text{}\cdot10^6\si{\volt\per\metre} ]) Próżnia 1 ∞ Suche powietrze ( 1  atm ) 1,000 59 3 Teflon 2,1 60 – 173 Parafina 2,3 11 Olej silikonowy 2,5 10 – 15 Polistyren 2,56 19,7 Nylon 3,4 14 Papier 3,7 16 Szkło krzemionkowe 3,78 8 Szkło 4 – 6 9,8 – 13,8 Beton 4,5 – Bakelit 4,9 24 Diament 5,5 2000 Szkło borokrzemowe 5,6 14 Mika 6 118 Guma neoprenowa 6,7 15,7 – 26,7 Woda 80 – Kwas siarkowy 84 – 100 – Dwutlenek tytanu 86 – 173 – Tytanian strontu 310 8 Tytanian baru 1200 – 10 000 – Modyfikowany miedzią tytanian wapnia > 250 000 \prefop{>} \num{250000} – Mimo wysokich względnych przenikalności elektrycznych nie wszystkie wymienione w tabeli substancje są dobrymi izolatorami. Na przykład woda ma wysoką względną przenikalność elektryczną, wynoszącą około 80 . Składa się z cząsteczek polarnych, w których elektrony częściej znajdują się bliżej jąder tlenu niż jąder wodoru. Z tego powodu ma ona niewielki ładunek ujemny po stronie tlenu, a dodatni po stronie wodoru. Dzięki temu cząsteczka może się łatwo ustawić zgodnie z liniami zewnętrznego pola elektrycznego, co sprawia, że woda ma wysoką względną przenikalność elektryczną. Jednak polarne właściwości cząsteczek wody sprawiają też, że wiele substancji dobrze się w niej rozpuszcza, co ma niepożądany skutek polegający na tym, że nawet niewielka koncentracja jonów swobodnych w wodzie przewodzi prąd. Pole elektryczne i indukowany ładunek powierzchniowy Załóżmy, że odległość pomiędzy okładkami kondensatora z wynosi 2  mm , a powierzchnia każdej z okładek 4,5 ⋅ 10 − 3  m 2 . Obliczmy pole elektryczne między okładkami przed wsunięciem teflonu oraz po wsunięciu; ładunek powierzchniowy indukowany na brzegach teflonu. Strategia rozwiązania Jeśli chodzi o część (a), wiemy, że napięcie na kondensatorze próżniowym wynosi U 0 = 40  V , więc do obliczenia pola elektrycznego wykorzystujemy zależność U = E  d oraz . Znając natężenie pola elektrycznego, możemy w części (b) zastosować wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w pobliżu naładowanej okładki: E = σ ∕ ε 0 , gdzie σ jest jednorodną gęstością powierzchniową ładunku. Wykorzystujemy wartość ładunku swobodnego Q 0 = 8 ⋅ 10 − 10  C otrzymaną w . Rozwiązanie Pole elektryczne E 0 pomiędzy okładkami kondensatora próżniowego wynosi E 0 = U 0 d = 40  V 2 ⋅ 10 − 3  m = 2 ⋅ 10 4  V ∕ m  . Pole elektryczne E dla kondensatora z teflonem wynosi E = 1 ε r  E 0 = 1 2,1 ⋅ 2 ⋅ 10 4  V ∕ m = 9,5 ⋅ 10 3  V ∕ m  . Ładunek efektywny na okładkach kondensatora stanowi różnicę pomiędzy ładunkiem swobodnym Q 0 a ładunkiem indukowanym Q i . Ładunek efektywny jest związany z istnieniem pola elektrycznego w teflonie. Zatem E = 1 ε 0  σ = 1 ε 0 ⋅ Q 0 − Q i S  . Po przekształceniu tego równania możemy obliczyć Q i , które wynosi Q i = Q 0 − ε 0  S  E Q i = 8 ⋅ 10 -10  C − 8,85 ⋅ 10 -12  C 2 ∕ N  m 2 ⋅ 4,5 ⋅ 10 -3  m 2 ⋅ 9,5 ⋅ 10 3  V ∕ m Q i = 4,2 ⋅ 10 -10  C = 0,42  nC  . \begin{multiline} Q_{\text{i}} &= Q_0 - \epsilon_0 SE \\ &= \SI{8e-10}{\coulomb} - \SI{8,85e-12}{\coulomb\squared\per\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{4,5e-3}{\metre\squared} \cdot \SI{9,5e3}{\volt\per\metre} \\ &= \SI{4,2e-10}{\coulomb} = \SI{0,42}{\nano\coulomb} \text{.} \end{multiline} Q i = Q 0 − ε 0  S  E = 8 ⋅ 10 -10  C − 8,85 ⋅ 10 -12  C 2 ∕ N  m 2 ⋅ 4,5 ⋅ 10 -3  m 2 ⋅ 9,5 ⋅ 10 3  V ∕ m = 4,2 ⋅ 10 -10  C = 0,42  nC  . Dielektryk wsunięty do kondensatora podłączonego do akumulatora Po podłączeniu kondensatora próżniowego o pojemności elektrycznej C 0 do akumulatora o napięciu U 0 ładunek na okładkach wynosi Q 0 , a pole elektryczne E 0 . Między okładki kondensatora bez odłączania akumulatora wsunięto dielektryk o względnej przenikalności elektrycznej ε r , tak jak to przedstawiono na . Obliczmy pojemność elektryczną C , napięcie U i pole elektryczne E między okładkami po wsunięciu dielektryka. Określmy postać ładunku swobodnego Q zgromadzonego na okładkach kondensatora z dielektrykiem i ładunku indukowanego Q i na powierzchni dielektryka w zależności od początkowego ładunku na okładkach Q 0 . Między okładki naładowanego kondensatora wsunięto dielektryk bez odłączania akumulatora. Strategia rozwiązania Określamy znane wielkości: U 0 , C 0 , E 0 , ε r i Q 0 . Naszym zadaniem jest wyrażenie za ich pomocą szukanych wielkości. Rozwiązanie Pojemność elektryczna kondensatora z dielektrykiem wynosi C = ε r  C 0 . Ponieważ akumulator cały czas jest podłączony, różnica potencjałów pomiędzy okładkami nie zmienia się, a więc U = U 0 . Pole elektryczne w kondensatorze z dielektrykiem jest zatem takie samo jak w pustym kondensatorze, co bezpośrednio wynika z równości E = U d = U 0 d = E 0  . Dla kondensatora z dielektrykiem ładunek swobodny na okładkach wynosi Q = C  U = ε r  C 0  U 0 = ε r  C 0  U 0 = ε r  Q 0  . Pole elektryczne E w kondensatorze z dielektrykiem pochodzi z ładunku efektywnego Q − Q i (część (b) ). Ze względu na to, że E = E 0 , otrzymujemy Q − Q i ε 0  S = Q 0 ε 0  S  . Przekształciwszy powyższe równanie, otrzymujemy wyrażenie na ładunek indukowany Q i Q i = Q − Q 0 = ε r  Q 0 − Q 0 = ε r − 1  Q 0  . Znaczenie Zauważmy, że dla substancji o względnej przenikalności elektrycznej większej niż 2 ( ) ładunek indukowany na powierzchni dielektryka jest większy niż ładunek na okładkach kondensatora próżniowego. Odwrotnie jest w przypadku gazów, na przykład powietrza, których względna przenikalność elektryczna jest mniejsza od 2. Sprawdź, czy rozumiesz. Kontynuując rozważania z , wykaż, że energia zgromadzona w kondensatorze z dielektrykiem podłączonym do akumulatora wynosi E C = ε r  E C 0 E_C = \epsilon_{\text{r}} E_{C\sep 0} (a więc jest większa niż energia E C 0 E_{C\sep 0} kondensatora próżniowego pod tym samym napięciem). Porównaj ten wynik z zależnością E = E 0 ∕ ε r E = E_0 / \epsilon_{\text{r}} otrzymaną wcześniej dla izolowanego, naładowanego kondensatora. Sprawdź, czy rozumiesz. Powtórz obliczenia z dla przypadku, gdy dielektryk zostaje wsunięty do kondensatora przy podłączonym akumulatorze. a. C 0 = 20  pF , C = 42  pF ; b. Q 0 = 0,8  nC , Q = 1,7  nC ; c. U 0 = U C = 40  V ; d. E 0 = 16  nJ , E = 34  nJ . Podsumowanie Na powierzchniach dielektryka graniczących z okładkami po wsunięciu go między nie indukują się równe co do wartości ładunki o przeciwnych znakach. Wytwarzają one indukowane pole elektryczne skierowane przeciwnie do pola wytwarzanego przez ładunki swobodne na okładkach kondensatora. Względna przenikalność elektryczna jest stosunkiem natężenia pola elektrycznego w próżni do natężenia wypadkowego pola elektrycznego w dielektryku. Kondensator z dielektrykiem ma większą pojemność elektryczną niż kondensator próżniowy. Wytrzymałość dielektryczna izolatora jest wartością krytyczną natężenia pola elektrycznego, przy której jego cząsteczki zaczynają ulegać jonizacji. Dielektryk nabiera wtedy właściwości przewodzących i dochodzi do przebicia elektrycznego. Najważniejsze wzory Pojemność elektryczna C = Q U Pojemność elektryczna kondensatora płaskiego z próżnią C = ε 0  S d Pojemność elektryczna kondensatora kulistego z próżnią C = 4  π  ε 0  R 1  R 2 R 2 − R 1 Pojemność elektryczna kondensatora walcowego z próżnią C = 2  π  ε 0  l ln R 2 ∕ R 1 Pojemność elektryczna kondensatorów połączonych szeregowo 1 C S = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 + ⋯ Pojemność elektryczna kondensatorów połączonych równolegle C R = C 1 + C 2 + C 3 + ⋯ Gęstość energii u E = 1 2  ε 0  E 2 Energia zgromadzona w kondensatorze E C = 1 2  U 2  C = 1 2 ⋅ Q 2 C = 1 2  Q  U Pojemność elektryczna kondensatora z dielektrykiem C = ε r  C 0 Energia zgromadzona w izolowanym kondensatorze z dielektrykiem E C = 1 ε r  E C 0 E_C = \frac{1}{\epsilon_{\text{r}}} E_{C\sep 0} Względna przenikalność elektryczna ε r = E 0 E Indukowane pole elektryczne w dielektryku E → i = 1 ε r − 1  E → 0 Pytania Wyjaśnij różnicę między względną przenikalnością elektryczną a wytrzymałością dielektryczną. Wytrzymałość dielektryczna jest krytyczną wartością natężenia pola elektrycznego, po której przekroczeniu izolator zyskuje właściwości przewodzące; względna przenikalność elektryczna to stosunek pola elektrycznego w próżni do wypadkowego pola elektrycznego w dielektryku. Woda jest dobrym rozpuszczalnikiem, ponieważ ma dużą względną przenikalność elektryczną. Wyjaśnij tę zależność. Woda ma dużą względną przenikalność elektryczną. Wyjaśnij, dlaczego mimo to nie jest wykorzystywana w kondensatorach jako dielektryk. Ponieważ jest dobrym rozpuszczalnikiem i zawiera jony różnych substancji, przez co ma małą wytrzymałość dielektryczną. Wyjaśnij, dlaczego w niejednorodnym polu elektrycznym na cząsteczki dielektryka działa niezerowa siła wypadkowa, a w polu jednorodnym nie. Wyjaśnij, dlaczego względna przenikalność elektryczna substancji składających się z cząsteczek będących trwałymi dipolami elektrycznymi maleje wraz ze wzrostem temperatury. Kiedy energia ruchu termicznego jest wysoka (w wysokiej temperaturze), natężenie pola elektrycznego również musi być wysokie, aby dipole elektryczne ustawiły się zgodnie z liniami pola. Podaj powód, dla którego obecność dielektryka powoduje zwiększenie pojemności elektrycznej C w stosunku do kondensatora z powietrzem pomiędzy okładkami. Dlaczego dielektryk pozwala na przyłożenie do kondensatora wyższego napięcia U ? Wyjaśnij, w jaki sposób polarny charakter cząsteczek wody tłumaczy jej stosunkowo wysoką względną przenikalność elektryczną. Między okładkami kondensatora wypełnionego wilgotnym powietrzem iskry pojawiają się przy niższym napięciu niż wtedy, gdy powietrze jest suche. Omów, dlaczego tak się dzieje, biorąc pod uwagę polarny charakter cząsteczek wody. Zadania Dwie płaskie okładki z równymi co do wartości, przeciwnymi ładunkami rozdziela dielektryk o grubości 4  mm i względnej przenikalności elektrycznej równej 5 . Jeśli pole elektryczne w dielektryku wynosi 1,5  MV ∕ m , to jaka jest gęstość ładunku na okładkach kondensatora; gęstość ładunku indukowanego na powierzchniach dielektryka? Pole powierzchni okładek kondensatora płaskiego wypełnionego teflonem wynosi 50  cm 2 , a odległość między nimi 0,5  mm . Kondensator podłączono do akumulatora o napięciu 200  V . Oblicz ładunek swobodny na okładkach kondensatora; pole elektryczne w dielektryku; ładunek indukowany na powierzchniach dielektryka. a. 37  nC ; b. 0,4  MV ∕ m ; c. 19  nC . Oblicz pojemność kondensatora płaskiego, którego okładki mają powierzchnię 5  m 2 i rozdzielone są warstwą teflonu o grubości 0,1  mm . Jaka jest pojemność kondensatora płaskiego, którego okładki mają powierzchnię 1,5  m 2 i rozdzielone są warstwą gumy neoprenowej o grubości 0,02  mm ? Jaki ładunek gromadzi się na kondensatorze po przyłożeniu napięcia 9  V ? a. 4,4  µF ; b. 4 ⋅ 10 − 5  C . Na dwóch równoległych płytkach zgromadzone są równe co do wartości ładunki o przeciwnych znakach. Kiedy przestrzeń między nimi wypełniona jest próżnią, pole elektryczne wynosi E = 3,2 ⋅ 10 5  V ∕ m . Kiedy znajduje się tam dielektryk, wynosi ono E = 2,5 ⋅ 10 5  V ∕ m . Jaka jest gęstość powierzchniowa ładunku na każdej z powierzchni dielektryka? Ile wynosi jego względna przenikalność elektryczna? Dielektryk, który ma zostać wykorzystany w kondensatorze płaskim, ma względną przenikalność elektryczną 3,6 i wytrzymałość dielektryczną 1,6 ⋅ 10 7  V ∕ m . Kondensator musi mieć pojemność elektryczną 1,25  nF i wytrzymywać różnicę potencjałów 5,5  kV . Jakie jest minimalne pole powierzchni okładek kondensatora? 0,0135  m 2 . Po przyłożeniu napięcia do kondensatora o pojemności 360  nF wypełnionego powietrzem energia zgromadzona między okładkami wynosi 18,5  µJ . Bez odłączania napięcia do kondensatora wsunięto płytkę dielektryka, która całkowicie wypełniła przestrzeń między okładkami. W wyniku tej operacji zgromadzona energia wzrosła do 23,2  µJ . Jaka jest różnica potencjałów między okładkami kondensatora? Jaka jest względna przenikalność elektryczna dielektryka? Kondensator płaski ma okładki w kształcie kwadratu o boku 8  cm oddalone od siebie o 3,8  mm . Przestrzeń między nimi całkowicie wypełniają dwie kwadratowe płytki dielektryczne o boku 8  cm i grubości 1,9  mm każda. Jedna z płytek zbudowana jest ze szkła borokrzemowego, a druga z polistyrenu. Oblicz, ile energii elektrycznej może zgromadzić się w kondensatorze, jeśli różnica potencjałów między okładkami wynosi 86  V . 0,185  µJ . Zadania dodatkowe Kondensator składa się z dwóch płaskich, równoległych okładek oddalonych o 0,4  mm od siebie. Po dostarczeniu na nie ładunku 0,02  µC różnica potencjałów między nimi wynosi 250  V . Jaka jest pojemność elektryczna kondensatora? Jaka jest powierzchnia okładek? Jaki jest ładunek zgromadzony na okładkach, jeśli różnica potencjałów wynosi 500  V ? Jakie jest maksymalne napięcie, które można przyłożyć do okładek, tak aby natężenie pola elektrycznego między nimi nie przekroczyło 3  MV ∕ m ? Kondensator płaski wypełniony powietrzem wykonano z dwóch kwadratowych okładek o boku 25  cm ustawionych w odległości 1  mm od siebie. Podłączono go do akumulatora o napięciu 50  V i w pełni naładowano. Następnie odłączono akumulator i rozsunięto okładki na odległość 2  mm . Jaka jest pojemność elektryczna powstałego kondensatora? Jaki jest ładunek zgromadzony na każdej z okładek? Jakie jest natężenie pola elektrycznego między okładkami? a. 0,277  nF ; b. 27,7  nC ; c. 50  kV ∕ m . Niech pojemność elektryczna kondensatora zmiennego będzie regulowana ręcznie w zakresie od 100  pF do 800  pF za pomocą pokrętła obracanego od 0 ° do 180 ° . Do kondensatora ustawionego na 180 ° (co odpowiada pojemności 800  pF ) przyłożono napięcie 500  V . Po naładowaniu kondensator odłączono od źródła prądu, a następnie pokrętło obrócono na 0 ° . Jaki jest ładunek na kondensatorze? Jakie jest napięcie końcowe na kondensatorze? Ziemia może być traktowana jako kondensator kulisty, którego okładką z ładunkiem ujemnym jest jej powierzchnia, a okładką z ładunkiem dodatnim dolna warstwa jonosfery znajdująca się na wysokości około 70  km . Różnica potencjałów między nimi wynosi około 350 000  V . Oblicz pojemność elektryczną tego kondensatora; całkowity ładunek na kondensatorze; energię zgromadzoną w kondensatorze. a. 0,065  F ; b. 23 000  C ; c. 4  GJ . Kondensatory o pojemnościach 4  µF i 6  µF połączono równolegle i przyłożono do nich napięcie 600  V . Oblicz ładunek i napięcie na każdym z nich; Naładowane kondensatory odłączono od źródła prądu i od siebie nawzajem. Następnie połączono je z powrotem, spinając ze sobą okładki przeciwnych znaków. Oblicz końcowe wartości ładunku i napięcia na każdym z kondensatorów. Trzy kondensatory o pojemnościach 8,4  µF , 8,4  µF i 4,2  µF połączono szeregowo i przyłożono do nich napięcie 36  V . Jaki jest ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora o pojemności 4,2  µF ? Kondensatory odłączono od źródła prądu, nie rozładowując ich. Następnie połączono je równolegle, spinając okładki o jednakowych znakach ładunków. Jakie jest napięcie końcowe na każdym z kondensatorów? a. 75,6  µC ; b. 10,8  V . Kondensator płaski o pojemności elektrycznej 5  µF naładowano przy napięciu 12  V , po czym odłączono akumulator. Oblicz minimalną pracę potrzebną do trzykrotnego zwiększenia odległości między okładkami kondensatora. Jaka jest całkowita energia zgromadzona w polach elektrycznych kondensatorów przedstawionych na rysunku? Czy energia ta jest równa pracy wykonanej przez źródło prądu o napięciu 400  V podczas ładowania kondensatorów? a. 0,13  J ; b. Nie, część energii zostanie zużyta na nagrzewanie rezystancyjne elementów obwodu. Pewne opory występują zawsze, mimo że schemat układu nie zawiera oporników. Trzy kondensatory o pojemnościach 8,4  µF , 8,4  µF i 4,2  µF połączono szeregowo i przyłożono do nich napięcie 36  V . Jaka jest całkowita energia zgromadzona w układzie? Kondensatory odłączono od źródła prądu, nie rozładowując ich. Następnie połączono je równolegle, spinając okładki o jednakowych znakach ładunków. Jak zmieniła się całkowita energia zgromadzona w układzie? Kondensator o pojemności 8  µF połączono równolegle z innym kondensatorem, co dało całkowitą pojemność układu 5  µF . Jaka jest pojemność drugiego kondensatora? Dlaczego wynik wydaje się nieracjonalny? Które założenia są nieracjonalne bądź niespójne? a. − 3  µF ; b. Pojemność elektryczna kondensatora nie może być ujemna; c. Niewłaściwe jest założenie, że kondensatory połączono równolegle. Łączenie równoległe zawsze skutkuje zwiększeniem pojemności elektrycznej, a w zadaniu stwierdzono, że pojemność układu była mniejsza niż pojemność podanego kondensatora. Mogło to zajść tylko wtedy, gdy kondensatory połączono szeregowo. Uruchomienie silnika ciężarówki wymaga 9,6 ⋅ 10 3  J energii elektrycznej. Oblicz pojemność elektryczną kondensatora, który byłby w stanie zmagazynować taką energię przy napięcu 12  V ; Dlaczego wynik jest nieracjonalny? Które założenia są temu winne? Kondensator płaski ma okładki o powierzchni 4  m 2 rozdzielone warstwą nylonu o grubości 0,01  mm , na których zgromadził się ładunek 0,17  C . Jakie jest przyłożone napięcie? Dlaczego otrzymany wynik jest nieracjonalny? Które założenia są nieracjonalne lub niespójne? a. 14,2  kV ; b. Napięcie jest zbyt wysokie, ponad stukrotnie przekracza napięcie graniczne dla takiej warstwy nylonu; c. Podany ładunek jest zbyt duży i nie mógłby zgromadzić się w kondensatorze o takich wymiarach. Pewien dowcipniś podłączył do kondensatora o pojemności 80  µF napięcie 450  V , po czym z zaskoczenia rzucił naładowany kondensator ofierze. Palec chwytającego poparzyło wyładowanie elektryczne z kondensatora, które przeszło przez 0,2  g ciała. Oszacuj przyrost temperatury ciała. Czy należy domniemywać, że nie nastąpiło żadne termodynamiczne przejście fazowe? Zadania trudniejsze Kondensator kulisty tworzą dwie koncentryczne, sferyczne powierzchnie przewodzące rozdzielone próżnią. Wewnętrzna sfera ma promień 12,5  cm , a zewnętrzna – 14,8  cm . Do kondensatora przyłożono różnicę potencjałów 120  V . Jaka jest pojemność elektryczna kondensatora? Jakie jest natężenie pola elektrycznego w r = 12,6  cm , tuż ponad powierzchnią wewnętrznej sfery? Jakie jest natężenie pola elektrycznego w r = 14,7  cm , tuż pod powierzchnią zewnętrznej sfery? W kondensatorach płaskich pole elektryczne w przestrzeni między okładkami jest jednorodne. Czy jest to prawda również w przypadku kondensatorów kulistych? a. 89,6  pF ; b. 6,09  kV ∕ m ; c. 4,47  kV ∕ m ; d. Nie. Gdy wszystkie kondensatory przedstawione na rysunku były nienaładowane, a przełącznik S pozostawał otwarty, do układu przyłożono napięcie 300  V między punktami A i B . Jaka jest różnica potencjałów V E − V D ? Jaki jest potencjał w punkcie E po zamknięciu przełącznika? Jaki ładunek będzie przepływał przez przełącznik, kiedy zostanie on zamknięty? Układy elektroniczne z lampami błyskowymi używane w aparatach zawierają kondensator magazynujący energię wykorzystywaną do wytworzenia błysku. W pewnym tego typu układzie błysk trwa 1 675  s \frac{1}{675}\si{\second} , a średnia moc lampy wynosi w tym czasie 270  kW . Jeśli zamiana energii elektrycznej na światło odbywa się z wydajnością 95  % (reszta energii zostaje wyemitowana w postaci ciepła), to jaką energię musi zmagazynować kondensator na jeden błysk? Oblicz pojemność elektryczną kondensatora, jeśli różnica potencjałów między okładkami wynosi 125  V . a. 421  J ; b. 53,9  mF . Kondensator kulisty tworzą dwie koncentryczne, sferyczne powierzchnie przewodzące rozdzielone próżnią. Wewnętrzna sfera ma promień 4,2  cm , a zewnętrzna – 7,5  cm . Do kondensatora przyłożono różnicę potencjałów 80  V . Jaka jest gęstość energii w r = 4,3  cm , tuż ponad powierzchnią wewnętrznej sfery? Jaka jest gęstość energii w r = 7,4  cm , tuż pod powierzchnią zewnętrznej sfery? Metalową płytkę o grubości t przymocowano za pomocą plastikowych sztyftów pomiędzy okładkami kondensatora, tak jak to przedstawiono na rysunku. Wpływ sztyftów na pojemność elektryczną układu jest pomijalny. Powierzchnie obu okładek kondensatora oraz górna i dolna powierzchnia wsuniętej płytki wynoszą A . Jaka jest pojemność elektryczna układu? C = ε 0  S ∕ d 1 + d 2 . Kondensator płaski wypełniono dwoma dielektrykami w sposób przedstawiony na rysunku. Wykaż, że jeśli powierzchnia okładek wynosi S , a odległość między nimi d , to pojemność elektryczna kondensatora wyraża się przez: C = ε 0  S ∕ d ⋅ ε r 1 + ε r 2 ∕ 2 C = (\epsilon_0 S/d) \cdot (\epsilon_{\text{r}\sep 1} + \epsilon_{\text{r} \sep 2})/2 . Kondensator płaski wypełniono dwoma dielektrykami w sposób przedstawiony na rysunku. Wykaż, że jego pojemność elektryczna wynosi: C = 2  ε 0  S ∕ d ⋅ ε r 1  ε r 2 ∕ ε r 1 + ε r 2 C = (2\epsilon_0 S / d) \cdot (\epsilon_{\text{r}\sep 1} \epsilon_{\text{r} \sep 2}) / (\epsilon_{\text{r}\sep 1} + \epsilon_{\text{r} \sep 2}) . Należy rozważyć ten układ jako dwa równolegle połączone ze sobą kondensatory, wewnątrz których znajdują się dielektryki o różnych względnych przenikalnościach elektrycznych. Pojemność zastępczą możemy wtedy obliczyć ze wzoru C = C 1  C 2 ∕ C 1 + C 2 C = C_1C_2/(C_1+C_2) . Następnie po podstawieniu danych z zadania otrzymujemy C = ε 0  ε r 1 ⋅ 2  S ∕ d ⋅ ε 0  ε r 2 ⋅ 2  S ∕ d ∕ ε 0  ε r 1 ⋅ 2  S ∕ d + ε 0  ε r 2 ⋅ 2  S ∕ d C = (\epsilon_0 \epsilon_{r\sep 1} \cdot 2S/d \cdot \epsilon_0 \epsilon_{r\sep 2} \cdot 2S/d) / (\epsilon_0 \epsilon_{r\sep 1} \cdot 2S/d + \epsilon_0 \epsilon_{r\sep 2} \cdot 2S/d) . Doprowadza nas to do rozwiązania: C = 2  ε 0  S ∕ d ⋅ ε r 1  ε r 2 ∕ ε r 1 + ε r 2 C = (2\epsilon_0 S / d) \cdot (\epsilon_{r\sep 1} \epsilon_{r\sep 2}) / (\epsilon_{r\sep 1} + \epsilon_{r\sep 2}) . Okładki kondensatora płaskiego mają powierzchnię 12  cm 2 i znajdują się w odległości 2  mm od siebie. Przestrzeń pomiędzy nimi wypełnia polistyren. Oblicz maksymalne dopuszczalne w kondensatorze napięcie, które nie wywoła przebicia elektrycznego; Oblicz gęstość powierzchniową ładunku na powierzchni dielektryka dla napięcia otrzymanego w podpunkcie (a). przebicie elektryczne (ang. dielectric breakdown ) zjawisko zachodzące, kiedy izolator nabiera właściwości przewodzących pod wpływem silnego pola elektrycznego wytrzymałość dielektryczna (ang. dielectric strength ) wartość krytyczna natężenia pola elektrycznego, powyżej której cząsteczki izolatora zaczynają się rozpadać i nabiera on właściwości przewodzących indukowany elektryczny moment dipolowy (ang. induced electric-dipole moment ) moment dipolowy uzyskiwany przez cząsteczkę apolarną w polu elektrycznym indukowane pole elektryczne (ang. induced electrical field ) pole elektryczne wywołane obecnością ładunków indukowanych indukowane ładunki powierzchniowe (ang. induced surface charges ) ładunki pojawiające się na powierzchni dielektryka z powodu jego spolaryzowania

Science


Wstęp Obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego (MRI) (ang. magnetic resonance imaging ) wykorzystuje nadprzewodzące magnesy, co umożliwia obrazowanie z wysoką rozdzielczością bez narażania pacjenta na działanie promieniowania. Na zdjęciu po lewej przedstawiono kręgi w kręgosłupie człowieka. Białym kółkiem zakreślono miejsce, gdzie odległość między nimi jest zbyt mała z powodu uszkodzenia dysku. Na prawym zdjęciu przedstawiona jest aparatura do badań metodą rezonansu magnetycznego, otaczająca pacjenta ze wszystkich stron. Do pracy elektromagnesów niezbędny jest prąd elektryczny o dużym natężeniu. Źródło: modyfikacja pracy „digital cat”/Flickr W tym rozdziale omówimy przepływ prądu elektrycznego przez materiał, gdzie prąd elektryczny zdefiniujemy jako miarę przepływającego ładunku. Zajmiemy się także właściwością materiału zwaną rezystywnością. Rezystywność jest miarą tego, jak bardzo materiał utrudnia ładunkom przepływ. Pokażemy również, jak rezystywność zależy od temperatury. Zasadniczo dobre przewodniki, takie jak miedź, złoto czy srebro, mają niską rezystywność. Są też materiały zwane nadprzewodnikami, które mają zerową rezystywność w bardzo niskich temperaturach. Duża wartość natężenia prądu stanowi warunek pracy elektromagnesów. Nadprzewodniki wykorzystuje się do wytworzenia nadprzewodzących elektromagnesów, które są 10 razy silniejsze od konwencjonalnych. Nadprzewodzące elektromagnesy wykorzystuje się w aparaturze do rezonansu magnetycznego (MRI) (ang. magnetic resonance imaging ), służącej do obrazowania ludzkiego ciała z wysoką rozdzielczością. Rysunek otwierający rozdział przedstawia zdjęcie MRI kręgosłupa ludzkiego oraz urządzenie do wykonywania MRI. Nadprzewodzące magnesy mają również inne zastosowania. Przykładowo są elementem Wielkiego Zderzacza Hadronów (LHC) (ang. Large Hadron Collider ), służącego do zaginania toru ruchu protonów.

Science