Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia Gdy jesteś w ruchu, możesz sobie zadać podstawowe pytania: Gdzie się znajdujesz? W którym kierunku podążasz? Jak szybko tam zmierzasz? Odpowiedzi na te pytania wymagają od ciebie podania twojego położenia, przemieszczenia oraz średniej prędkości, a więc wielkości, które zdefiniujemy w tej sekcji. Położenie Aby opisać ruch ciała, musisz w pierwszej kolejności potrafić podać jego położenie w odniesieniu do wybranej osi układu współrzędnych ( x ): gdzie znajduje się ono w danej chwili czasu . Mówiąc precyzyjniej, musisz zdefiniować położenie ciała w wybranym układzie odniesienia, z którym zwiążesz pewien matematyczny układ współrzędnych. Układ odniesienia jest dowolnie wybranym układem osi, względem których mierzymy położenie i opisujemy ruch ciała. Najczęściej wybieramy w tym celu Ziemię (planetę) i względem spoczywających na Ziemi obiektów opisujemy ruch ciał. Mówimy wtedy często: ruch względem Ziemi (podłoża, gruntu, powierzchni itd.). Przykładowo, start rakiety możemy opisać w układzie związanym z Ziemią, tak jak ruch rowerzystki ze zdjęcia ( ) – jej położenie i prędkość – możemy podać względem budynków stojących przy ulicy, a więc związanych z Ziemią. Możemy też opisać ruch rowerzystki względem jadącej obok koleżanki – w tym przypadku układ odniesienia sam porusza się względem Ziemi. Aby opisać ruch pasażera samolotu na pokładzie, wybierzemy samolot jako układ odniesienia, a nie Ziemię. Bardziej szczegółowo dyskutujemy tę kwestię w ostatniej sekcji następnego rozdziału. Położenie ciała w ruchu jednowymiarowym podajemy najczęściej wzdłuż osi x . W dalszych sekcjach tego rozdziału, gdzie omawiamy spadek swobodny, wprowadzimy oś y . Ruch jednowymiarowy – po linii prostej – nazywamy też często ruchem prostoliniowym. Położenie rowerzystek można podać względem ulicy, budynków czy względem siebie nawzajem. Ich ruch można opisać poprzez położenie oraz przemieszczenie, w wybranym układzie odniesienia. Przemieszczenie Jeżeli jakieś ciało się porusza — np. nauczycielka przechodzi od lewej do prawej strony tablicy ( ) — to jej położenie się zmienia. Ta zmiana położenia nazywa się przemieszczeniem . Wyraz przemieszczenie jednoznacznie sugeruje ruch, czyli zmianę położenia – ciało się przemieściło lub doznało przemieszczenia. Tak jak położenie jest wartością liczbową x wzdłuż pewnej prostej, po której ciało może się poruszać, tak przemieszczenie jest różnicą położeń na tej prostej przed i po wykonaniu ruchu. Ponieważ przemieszczenie wyraźnie wskazuje na kierunek ruchu, jest wektorem i może być zarówno dodatnie, jak i ujemne, w zależności od wyboru dodatniego kierunku. Zazwyczaj wybieramy kierunek osi x w prawo jako dodatni (dodatni kierunek osi x ). Na ruch ciała może składać się wiele przemieszczeń, które w efekcie dają wypadkowe przemieszczenie. Jeśli za dodatni kierunek przyjmiemy kierunek w prawo, a nauczycielka przesuwa się najpierw o 2 m w prawo, a potem o 4 m w lewo, to składowe pojedyncze przemieszczenia wynoszą odpowiednio 2 m oraz ‒4 m. Całkowite przemieszczenie jest równe ‒2 m. Nauczycielka podczas lekcji przechodzi z jednej strony tablicy na drugą. Jej położenie względem Ziemi mierzymy współrzędną x . Przemieszczenie nauczycielki od położenia początkowego do końcowego, równe +2,0 m, zaznaczono strzałką o zwrocie w prawo. Przemieszczenie Przemieszczenie Δ x jest zmianą położenia ciała i obliczamy je jako różnicę położenia końcowego i początkowego: Δ x = x k − x 0 , gdzie Δ x jest przemieszczeniem, x k jest położeniem końcowym, a x 0 jest położeniem początkowym. Często położenie początkowe będziemy też oznaczać przez x p . Dużej litery greckiego alfabetu - delty ( Δ ) używamy do oznaczenia „zmiany” wielkości, której symbol zapisujemy po prawej stronie, np. Δ x oznacza zmianę położenia (położenie końcowe odjąć położenie początkowe). Zawsze obliczamy przemieszczenie od położenia końcowego x k , odejmując położenie początkowe x 0 . Zwróć uwagę na to, że przemieszczenie, w układzie jednostek SI podaje się w metrach, ale używamy często jednostek wielokrotnych i podwielokrotnych, a także innych jednostek metrycznych (jak np. mile, cale itd.). Pamiętaj, że jeśli w zadaniu i innych problemach masz do czynienia z jednostkami innymi niż metry, to zawsze możesz je zamienić na metry, i najczęściej tak należy zrobić (po szczegóły zajrzyj do Załącznika B ). Ciała w ruchu mogą doznawać kilku lub nawet całej serii przemieszczeń. W przykładzie powyżej nauczycielka najpierw przemieściła się o 2 m w prawo, od położenia x 0 = 0 m do położenia x 1 = 2 m . Następnie mogła wrócić do położenia x 2 = - 2 m , przechodząc 4 m w lewo. Jej pojedyncze przemieszczenia wynoszą +2 m oraz ‒4 m, odpowiednio, co wypadkowo daje przemieszczenie ‒2 m. Całkowite przemieszczenie Δ x całk definiujemy jako sumę pojedynczych przemieszczeń , co matematycznie ujmiemy w postaci wzoru Δ x całk = ∑ Δ x i , gdzie Δ x i są pojedynczymi składowymi przemieszczeniami. W przykładzie mieliśmy Δ x 1 = x 1 − x 0 = 2 m − 0 m = 2 m . Podobnie Δ x 2 = x 2 − x 1 = ( − 2 m ) − 2 m = − 4 m . W takim razie Δ x całk = Δ x 1 + Δ x 2 = 2 m − 4 m = − 2 m . Całkowite przemieszczenie wynosi 2 m + ( − 4 m ) = 2 m − 4 m = − 2 m w lewo lub, równoważnie, w kierunku ujemnym. Użyteczna jest również znajomość wartości przemieszczenia, czyli jego wielkości. Wartość przemieszczenia jest zawsze liczbą nieujemną (dodatnią lub równą zero). W przypadku jednowymiarowym obliczamy ją jako wartość bezwzględną. W przypadkach wielowymiarowych jest to długość wektora, która jest zawsze nieujemna. W naszym przykładzie wartość przemieszczenia całkowitego wynosi 2 m, a wartości przemieszczeń składowych wynoszą 2 m i 4 m. W ogólnym przypadku długość przemieszczenia nie powinna być mylona z drogą, jaką przebyło ciało. To jest częsty błąd, którego nie możesz popełniać. Droga przebyta w ruchu przez ciało, którą oznaczamy przez s całk , jest długością toru, po którym ciało się porusza między dwoma punktami. W przykładzie, który dyskutujemy, całkowita droga jest sumą długości wektorów przemieszczeń składowych: s całk = | Δ x 1 | + | Δ x 2 | = 2 m + 4 m = 6 m , Tak będzie też w każdym przypadku ruchu po linii prostej (w jednym wymiarze). Drogę znajdujemy jako sumę długości poszczególnych przemieszczeń i nigdy nie jest to wartość ujemna ani nawet równa zero, mimo iż przemieszczenie całkowite może być ujemne lub zerowe. Gdyby nauczycielka z przykładu powyżej wróciła w lewo w to samo miejsce ( x 2 = 0 m ), to jej przemieszczenie całkowite byłoby równe zero, podczas gdy droga, jaką pokonałaby w całym ruchu, wynosiłaby 4 m. W przypadku dwu- lub trójwymiarowym sprawa jest jeszcze bardziej złożona. Obliczenie drogi jako długości toru ruchu ciała, który może być przecież dowolną krzywą na płaszczyźnie lub w przestrzeni, jest ogólnie zadaniem trudnym. Przemieszczenie jest wektorem, którego długość zawsze łatwo znajdziemy, bo jest to długość odcinka między dwoma punktami. Wrócimy jeszcze do tego zagadnienia w dalszych sekcjach. Prędkość średnia Do dyskusji o kolejnych wielkościach fizycznych używanych w kinematyce musimy użyć nowej zmiennej, którą jest czas. Włączenie do naszego opisu zmiennej czasowej pozwala nie tylko stwierdzić, gdzie w przestrzeni znajduje się ciało (jakie jest jego położenie w danym momencie), ale także określić, jak szybko się porusza. O tym, jak szybko ciało porusza się w trakcie ruchu, mówi nam prędkość, czyli zmiana położenia w czasie. Każdemu położeniu x i ciała przyporządkujemy odpowiadający mu czas t i . Jeżeli nie interesują nas szczegóły o ruchu w danym momencie, najczęściej wystarczy podać średnią prędkość v – , aby określić jak szybko ciało się porusza. Jest to wielkość wektorowa, którą wyraża iloraz całkowitego przemieszczenia między dwoma punktami i czasu, w jakim to przemieszczenie nastąpiło. Ten czas nazywamy całkowitym czasem ruchu i oznaczamy Δ t . Prędkość średnia Jeżeli x 1 i x 2 są położeniami ciała w chwilach czasu t 1 i t 2 , to Prędkość średnia = v – = Przemieszczenie między dwoma punktami Całkowity czas ruchu między dwoma punktami , v – = Δ x Δ t = x 2 − x 1 t 2 − t 1 . Ważne jest, abyś pamiętał, że średnia prędkość jest wielkością wektorową i może być ujemna (skierowana przeciwnie do wybranej osi), w zależności od wartości położeń x 1 i x 2 . Oznaczenie v – , którego używamy, odnosi się jedynie do prędkości średniej (wektora i jego wartości). Roznoszenie ulotek Monika roznosi ulotki z informacjami o organizowanym przez nią kiermaszu książek. Wyrusza ze swojego domu i wrzuca ulotki do skrzynek na listy swoich sąsiadów, których domy stoją wzdłuż długiej, prostej ulicy, ale po pokonaniu 0,5 km w ciągu 9 min rozdaje wszystkie ulotki, które zabrała. Wraca więc do domu po kolejną partię, co zajmuje kolejne 9 min. Kontynuuje roznoszenie od miejsca, gdzie skończyła, i po 15 min dociera do punktu oddalonego o 1,0 km od jej domu. W drodze powrotnej mija dom i kieruje się do parku. Ten ostatni odcinek o długości 1,75 km pokonuje w 25 min. Jakie jest całkowite przemieszczenie Moniki od domu do parku? Jaka jest długość całkowitego przemieszczenia? Jaki jest wektor prędkości średniej Moniki? Jaką całkowitą drogę pokonała Monika? Jak wygląda wykres położenia Moniki w funkcji czasu? Szkic wszystkich etapów ruchu Moniki znajdziesz na . Szkic ruchów Moniki podczas roznoszenia ulotek. Strategia rozwiązania Ruch Moniki jest wieloetapowy, dlatego wygodnie będzie zebrać informacje o istotnych wielkościach fizycznych na każdym etapie w formie tabeli. Znamy czas i położenie po każdym etapie, więc łatwo znajdziemy przemieszczenie i czas trwania kolejnych etapów. Na podstawie tych informacji wyznaczymy całkowite przemieszczenie i prędkość średnią. Kierunek w prawo przyjmiemy za dodatni. Dom Moniki będzie punktem początkowym x 0 . Spójrzmy na poniższą tabelę. Czas t i (min) Położenie x i (km) Przemieszczenie Δ x i (km) t 0 = 0 x 0 = 0 Δ x 0 = 0 t 1 = 9 x 1 = 0,5 Δ x 1 = x 1 − x 0 = 0,5 t 2 = 18 x 2 = 0 Δ x 2 = x 2 − x 1 = −0,5 t 3 = 33 x 3 = 1,0 Δ x 3 = x 3 − x 2 = 1,0 t 4 = 58 x 4 = −0,75 Δ x 4 = x 4 − x 3 = −1,75 Rozwiązanie Na podstawie danych zebranych w powyższej tabeli obliczamy całkowite przemieszczenie ∑ i Δ x i = 0,5 k m − 0,5 k m + 1,0 k m − 1,75 k m = − 0,75 k m . Długość całkowitego przemieszczenia wynosi | − 0,75 k m | = 0,75 k m . Prędkość średnia = Całkowite przemieszczenie Całkowity czas = v – = − 0,75 k m 58 m i n = − 0,013 k m m i n . Całkowita droga pokonana przez Monikę (suma wartości bezwzględnych poszczególnych przemieszczeń) wynosi s całk = ∑ i | Δ x i | = 0,5 k m + 0,5 k m + 1,0 k m + 1,75 k m = 3,75 k m . Wykres zależności położenia Moniki w funkcji czasu jest przydatnym narzędziem do analizy jej ruchu. Przedstawiamy go na . Ten wykres przedstawia położenie Moniki w funkcji czasu. Średnią prędkość znajdziemy jako nachylenie prostej łączącej punkt początkowy z punktem końcowym. Znaczenie Całkowite przemieszczenie Moniki wynosi ‒0,75 km, co oznacza, że koniec jej wędrówki znajduje się w odległości 0,75 km od jej domu po lewej stronie (przeciwnie do kierunku roznoszenia ulotek). Prędkość średnią możemy rozumieć tak, że gdyby ktoś wyruszył spod domu Moniki w tym samym momencie co ona i szedł w kierunku parku (w lewo) ze stałą prędkością o wartości 0,013 km/min, to dotarłby do parku dokładnie w tym samym momencie co Monika, która po drodze przemierzyła wiele kilometrów. Zwróć uwagę, że gdyby Monika skończyła swoją wędrówkę w domu, to zarówno całkowite przemieszczenie, jak i prędkość średnia byłyby równe zero. Po drugie, całkowita droga, jaką pokonała Monika, to aż 3,75 km, podczas gdy długość przemieszczenia całkowitego wynosi tylko 0,75 km. Sprawdź, czy rozumiesz. Kolarz jedzie przez 3 km na zachód, a następnie zawraca i jedzie na wschód przez 2 km. Jakie jest jego przemieszczenie? Jaką drogę pokonał? Jaka jest wartość przemieszczenia kolarza? Przemieszczenie kolarza to Δ x = x k − x 0 = − 1 k m (przemieszczenie jest ujemne, bo jako kierunek dodatni przyjęliśmy wschód). Droga pokonana przez kolarza wynosi 3 k m + 2 k m = 5 k m . Długość przemieszczenia wynosi 1 km. Podsumowanie Kinematyka zajmuje się opisem ruchu bez rozważania na temat jego przyczyn. W tym rozdziale ograniczamy się do opisu ruchu po linii prostej w jednym wymiarze, który nazywamy także ruchem prostoliniowym. Przemieszczenie jest zmianą położenia ciała. Jednostką przemieszczenia oraz położenia w układzie SI jest metr. Przemieszczenie jest wektorem – ma kierunek i zwrot oraz wartość. Droga jest długością toru, czyli krzywej, po której ciało porusza się między dwoma położeniami. W ruchu prostoliniowym jest to długość odcinka i może być obliczona jako suma długości przemieszczeń składowych ruchu. Czas trwania ruchu ciała jest różnicą chwil, w których ciało znajdowało się w dwóch położeniach x 1 i x 2 , co określamy jako zmianę Δ t = t 2 − t 1 . Całkowity czas ruchu to różnica Δ t = t k − t 0 , gdzie t k jest chwilą końcową, a t 0 jest chwilą początkową. Chwilę początkową często przyjmujemy równą zero. Oznacza to, że zaczynamy nasz pomiar czasu w chwili rozpoczęcia ruchu. Prędkość średnia v – jest zdefiniowana jako całkowite przemieszczenie podzielone przez całkowity czas. Jeśli położenie i czas w dwóch punktach wynoszą x 1 , t 1 oraz x 2 , t 2 , to prędkość średnia między tymi punktami wynosi v – = Δ x Δ t = x 2 − x 1 t 2 − t 1 . Pytania Podaj przykład ruchu, w którym droga, przemieszczenie i jego długość są wyraźnie inne. Zdefiniuj i oblicz te wielkości w twoim przykładzie. Jedziesz samochodem na zakupy do miasta, a po zakupach odwiedzasz kolegę, który mieszka o dwa numery dalej od twojego domu. W jakich sytuacjach droga pokonana przez ciało jest równa długości jego przemieszczenia? Co jest jedynym możliwym przypadkiem, kiedy przemieszczenie i jego wartość są dokładnie takie same? Bakterie mogą poruszać się tam i z powrotem, używając wici (są to małe struktury przypominające rzęski lub ogonki, przy pomocy których bakteria może się odpychać i przemieszczać). Zaobserwowano, że szybkość (wartość prędkości) bakterii może wynosić nawet 50 μ m / s ( 50 ⋅ 10 − 6 m / s ). Całkowita droga, jaką w swoim ruchu może pokonać jedna bakteria, jest olbrzymia, podczas gdy jej wypadkowe przemieszczenie jest niewielkie. Dlaczego tak jest? Skoro bakteria porusza się nieustannie tam i z powrotem, jej poszczególne przemieszczenia się znoszą. W efekcie całkowite przemieszczenie jest małe. Podaj przykład urządzenia, które może służyć do pomiaru czasu. Zidentyfikuj, która jego cecha podlega zmianom, co może być wykorzystane do pomiaru czasu. Czy licznik samochodowy mierzy drogę, czy długość przemieszczenia? Drogę. W pewnym przedziale czasu średnia prędkość ciała wynosi zero. Co możesz powiedzieć o przemieszczeniu ciała w tym czasie? Zadania Rozważ układ współrzędnych, którego dodatni kierunek osi x jest pionowo do góry. Jakie jest położenie cząstki w miejscu (a) 5,0 m dokładnie ponad początkiem układu, oraz (b) 2,0 m poniżej początku układu? W chwili t = 0 samochód znajduje się 2,0 km na wschód od świateł, a w późniejszej chwili t = 6 m i n jest już 5,0 km za światłami, na zachód od skrzyżowania. Przyjmij, że początek układu współrzędnych znajduje się w miejscu ustawienia świateł oraz że dodatni kierunek osi x jest na wschód. Jakie są wektory położenia samochodu w tych dwóch sytuacjach? Jakie jest przemieszczenie samochodu pomiędzy chwilą początkową a końcową? a. x → 1 = − 2,0 m ⋅ i ^ , x → 2 = 5,0 m ⋅ i ^ ; b. 7,0 m na wschód. Połączenie Kraków Główny – Warszawa Centralna obsługiwane jest przez pociąg Pendolino. Odległość 293 km między stacjami pokonuje on w 2 godz. i 18 min. Z jaką średnią szybkością jedzie Pendolino na tej trasie? (Szybkość średnia jest stosunkiem całkowitej drogi i całkowitego czasu ruchu.) Położenie cząstki, poruszającej się wzdłuż osi x , zmienia się w czasie zgodnie z funkcją x ( t ) = 4 ,0 − 2 ,0 t m . W jakiej chwili czasu cząstka przecina początek układu współrzędnych? Jakiego przemieszczenia doznaje cząstka pomiędzy chwilami t = 3,0 s oraz t = 6,0 s ? t = 2,0 s ; x ( 6,0 s ) − x ( 3,0 s ) = − 8,0 m − ( − 2,0 m ) = − 6,0 m . Rowerzysta przez 20 min jedzie na wschód i przebywa drogę 8,0 km, po czym zawraca na zachód i przez 8 min pokonuje dystans 3,2 km. W końcu znowu jedzie na wschód na odległość 16 km, co zajmuje mu 40 min. Jakie jest całkowite przemieszczenie rowerzysty? Jaka jest jego prędkość średnia? 15 lutego 2013 roku nad Czelabińskiem w Rosji meteor (o jasności większej niż Słońce) wszedł w atmosferę ziemską i na wysokości ok. 23,5 km eksplodował. Świadkowe zdarzenia odczuli wyraźny podmuch gorąca, a fala uderzeniowa wybiła szyby w oknach wielu budynków. Fala uderzeniowa dotarła do powierzchni Ziemi po ok. 2 min 30 s. Oszacuj szybkość średnią fali. Porównaj wynik z szybkością dźwięku, która wynosi 343 m/s. v – = 156,7 m / s ; 45,7% wartości szybkości dźwięku. prędkość średnia (ang. average velocity ) przemieszczenie podzielone przez czas, w jakim ciało doznało przemieszczenia przemieszczenie (ang. displacement ) zmiana położenia ciała droga (ang. distance traveled ) długość ścieżki (toru krzywo- lub prostoliniowego), po której ciało się przemieszczało całkowity czas ruchu (ang. elapsed time ) różnica między czasem zakończenia ruchu i czasem początkowym zagadnienie kinematyki (ang. kinematics ) opis ruchu przez analizę takich wielkości fizycznych jak położenie, czas, prędkość i przyspieszenie położenie (ang. position ) miejsce w przestrzeni, gdzie w danej chwili znajduje się ciało całkowite przemieszczenie (ang. total displacement ) suma poszczególnych przemieszczeń, które zaszły w kolejnych chwilach czasu

Science


Prędkość chwilowa i szybkość średnia Do tej pory nauczyliśmy się, jak obliczać prędkość średnią ciała w ruchu od punktu początkowego do punktu końcowego. W rzeczywistych przypadkach fizycznych ciała najczęściej poruszają się w sposób ciągły, dlatego bardziej interesująca byłaby informacja o aktualnej prędkości ciała w danej chwili czasu i w danym punkcie jego ruchu. Potrafimy znaleźć prędkość ciała w dowolnym punkcie jego toru ruchu, używając do tego podstaw rachunku różniczkowego. Wiedza zawarta w tej sekcji rozdziału 3 jest bardzo ważna do lepszego zrozumienia kinematyki ruchu i będzie bardzo przydatna w dalszych częściach podręcznika. Prędkość chwilowa Wielkość mówiąca o tym, jak szybko ciało porusza się wzdłuż swojego toru ruchu w danym momencie, nazywa się prędkością chwilową (często po prostu prędkością). Jest to średnia prędkość ciała między dwoma punktami jego toru, ale w granicy, gdy czas i – w konsekwencji – przemieszczenie ciała między tymi punktami zmierzają do zera. Mówimy, że są nieskończenie małe lub infinitezymalne. Aby wyrazić powyższe stwierdzenie w sposób bardziej zmatematyzowany, musimy znać zależność położenia x od czasu t , a więc ciągłą funkcję x ( t ) . Przypomnijmy sobie wyrażenie na prędkość średnią między dwoma punktami: v ¯ = x ( t 2 ) − x ( t 1 ) / t 2 − t 1 . Żeby znaleźć wzór na prędkość chwilową, podstawimy t 1 = t oraz t 2 = t + Δ t i zażądamy, aby Δ t → 0 . Oznacza to, że przyrost czasu i zmiana położenia mają w granicy (łac. limes ) zdążać do zera. W takim razie definicja prędkości chwilowej, ujęta w postaci wzoru matematycznego, jest następująca: v t = lim Δ t → 0 x ( t + Δ t ) − x ( t ) Δ t = d x ( t ) d t . Prędkość chwilowa Prędkość chwilowa jest równa prędkości średniej w granicy czasu zdążającego do zera lub, równoważnie, jest to pochodna położenia x po czasie t . Czasem mówimy także, że prędkość (chwilowa) jest zmianą położenia w czasie. v t = d d t x t . Podobnie jak prędkość średnia, także i prędkość chwilowa jest wektorem o wymiarze metr na sekundę (m/s). Prędkość w pewnej chwili czasu t 0 jest tempem (szybkością) zmian funkcji położenia od czasu. Interpretacja geometryczna pochodnej pomaga nam dodatkowo zauważyć, że prędkość jest miarą nachylenia funkcji położenia od czasu x ( t ) w punkcie t 0 . Wykres przedstawiony na pokazuje, jak prędkość średnia v ¯ = Δ x / Δ t między dwiema chwilami zmierza do prędkości chwilowej w momencie t 0 , gdy Δ t dąży do zera. Prędkość chwilowa jest zaznaczona prostą przechodzącą przez punkt t 0 , która jest styczną do krzywej x ( t ) w punkcie t 0 . W tym konkretnym przypadku ta styczna ma zerowe nachylenie do osi poziomej, a więc wyznacza maksimum krzywej x ( t ) . Prędkość chwilowa w tym momencie jest więc zero. W innych punktach, np. t 1 , t 2 lub kolejnych, prędkość chwilowa jest różna od zera, bo nachylenia stycznych są niezerowe. Prędkości w tych punktach są dodatnie lub ujemne. Gdyby w punkcie t 0 krzywa miała minimum, to prędkość chwilowa także byłaby zero. Z tego wynika ciekawy wniosek, że prędkość chwilowa jest zero w punktach, gdzie funkcja położenia ma ekstremum (minimum lub maksimum). Na wykresie zależności położenia od czasu prędkość chwilowa jest nachyleniem stycznej do wykresu w danym punkcie. Prędkości średnie v ¯ = Δ x / Δ t = x k − x p / t k − t p między chwilami Δ t ' = t 6 − t 1 , Δ t '' = t 5 − t 2 oraz Δ t ''' = t 4 − t 3 są zaznaczone różnymi kolorami. W granicy Δ t → 0 prędkości średnie stają się prędkością chwilową w t = t 0 . Obliczanie prędkości na podstawie wykresu zależności położenia od czasu Na podstawie wykresu zależności położenia od czasu, , stwórz wykres zależności prędkości od czasu. Ciało porusza się w kierunku dodatnim, potem zatrzymuje się, by zawrócić i zatrzymać się w punkcie początkowym. (Zwróć uwagę, że powyższy wykres może być jedynie przybliżeniem rzeczywistego przypadku ruchu ciała. Zauważ, że ciało zatrzymuje się natychmiastowo – w miejscu – co w rzeczywistości wymagałoby użycia nieskończenie dużej siły. Pojęcie sił i ich wpływu na ruch dyskutujemy w rozdziale Zasady dynamiki Newtona .) Strategia rozwiązania Wykres składa się z trzech prostych odcinków w trzech przedziałach czasu. Dla każdego z nich znajdziemy prędkość jako nachylenie prostoliniowych odcinków, zmierzone za pomocą siatki. Rozwiązanie Przedział czasu od 0 s do 0,5 s: v – = Δ x / Δ t = ( 0,5 m − 0,0 m ) / ( 0,5 s − 0,0 s ) = 1,0 m / s Przedział czasu od 0,5 s do 1,0 s: v – = Δ x / Δ t = ( 0,5 m − 0,5 m ) / ( 1,0 s − 0,5 s ) = 0,0 m / s Przedział czasu od 1,0 s do 2,0 s: v – = Δ x / Δ t = ( 0,0 m − 0,5 m ) / ( 2,0 s − 1,0 s ) = − 0,5 m / s Wyniki nanosimy na wykres zależności prędkości od czasu – . Prędkość jest dodatnia w pierwszej fazie ruchu. Gdy ciało się zatrzymuje – spada do zera, a w ruchu z powrotem – jest ujemna. Znaczenie W przedziale czasu między 0 s a 5,0 s ciało oddala się od początku układu współrzędnych, przez co nachylenie położenia w funkcji czasu jest dodatnie. Oznacza to, że prędkość jest na tym odcinku dodatnia. W dowolnej chwili czasu z tego przedziału nachylenie położenia jest dodatnie i równe +1 m/s, co widać na . W kolejnym przedziale czasu, między 0,5 s a 1,0 s, położenie się nie zmienia i nachylenie wynosi zero. Od 1,0 s do 2,0 s ciało porusza się do tyłu, w stronę początku układu współrzędnych, przez co nachylenie jest −0,5 m/s. Ciało ma wtedy odwrotny kierunek ruchu oraz ujemną prędkość. Szybkość i szybkość średnia W codziennym życiu nie rozróżniamy pojęć prędkość oraz szybkość i używamy ich naprzemiennie. W fizyce jednak nie są to te same wielkości i znacząco się różnią. Prędkość jest wektorem, który poznaliśmy już przed chwilą. Ma kierunek, zwrot i wartość. Szybkość natomiast jest skalarem, nie ma kierunku ani zwrotu. W zadaniach będziemy najczęściej myśleć o wektorze, mówiąc prędkość, chociaż sformułowanie „samochód jedzie na wschód z prędkością 100 km/h” rozumiemy oczywiście jak „z prędkością o wartości 100 km/h i kierunku na wschód”. Szybkość średnią definiujemy jako stosunek całkowitej drogi i całkowitego czasu, w którym ta droga została pokonana: Szybkość średnia = v śr = Całkowita droga Całkowity czas = s całk t całk . Szybkość średnia niekoniecznie jest równa wartości prędkości średniej, którą liczymy jako iloraz długości całkowitego przemieszczenia i całkowitego czasu. Jeśli np. podróż zaczyna się i kończy w tym samym punkcie, to całkowite przemieszczenie ma wartość zero, a więc i prędkość średnia ma zerową wartość. Szybkość średnia w tej podróży jednak nie jest zero, bo całkowita droga w tej podróży jest niezerowa, może być nawet bardzo duża. Jeżeli chcielibyśmy wyruszyć w drogę do celu oddalonego o 300 km, gdzie chcemy dotrzeć na konkretną godzinę, to będziemy oczywiście zainteresowani szybkością średnią w naszym ruchu. Jednocześnie zawsze możemy policzyć (chwilową) szybkość jako długość prędkości chwilowej: Szybkość = | v ( t ) | . Jeśli jedna cząstka porusza się wzdłuż osi x z prędkością +7,0 m/s, a druga cząstka porusza się względem tej samej osi z prędkością −7,0 m/s, to obie cząstki mają różne prędkości, ale tę samą szybkość równą 7,0 m/s. W tabeli poniżej prezentujemy typowe szybkości niektórych ciał i zjawisk. Przykładowe szybkości różnych obiektów i zjawisk Szybkość m/s km/h Wędrówka kontynentów 10 −7 3,6 · 10 −7 Energiczny marsz 1,7 6,0 Rowerzysta 5 18 Bieg sprinterski 12,1 43,6 Ograniczenie prędkości poza obszarem zabudowanym 25 90 Oficjalny rekord szybkości na powierzchni Ziemi 341,1 1 228 Szybkość dźwięku na poziomie morza w warunkach normalnych* 343,2 1 235,2 Statek kosmiczny podczas wejścia w atmosferę 7 800 28 080 Prędkość ucieczki z Ziemi** 11 200 40 320 Średnia szybkość Ziemi na orbicie wokół Słońca 29 783 107 218,8 Prędkość światła w próżni 299 792 458 2 414 219 864,4 * Warunki normalne oznaczają temperaturę 20° i ciśnienie 1013,25 hPa. ** Prędkość ucieczki to taka prędkość, jaką należy nadać ciału, aby opuściło ono pole grawitacyjne Ziemi i już nie wróciło na jej powierzchnię. Obliczanie prędkości chwilowej Żeby obliczyć prędkość chwilową w danej chwili czasu, a także ogólną zależność prędkości od czasu, trzeba znać dokładną funkcję zależności położenia od czasu x ( t ) . Prędkość chwilowa jest pochodną położenia po czasie. Na razie skupimy się na postaci funkcji położenia od czasu typu wielomianu: x ( t ) = A t n , bo jest to funkcja stosunkowo łatwa do różniczkowania. d x ( t ) d t = n A t n − 1 . Przykład poniżej ilustruje, jak korzystać z . Prędkość chwilowa a prędkość średnia Położenie cząstki dane jest funkcją x ( t ) = ( 3,0 t + 0,5 t 3 ) m . Korzystając z i , oblicz szybkość średnią w chwili t = 2,0 s . Oblicz prędkość średnią cząstki pomiędzy chwilą 1,0 s oraz 3,0 s. Strategia rozwiązania pozwala obliczyć prędkość chwilową jako pochodną położenia po czasie. Zależność położenia od czasu jest, jak widzimy, funkcją wielomianową argumentu t . Dlatego użyjemy na pochodną wielomianu, aby znaleźć rozwiązanie. z poprzedniej sekcji użyjemy do obliczenia prędkości średniej. Rozwiązanie v ( t ) = d x ( t ) d t = ( 3,0 + 1,5 t 2 ) m / s . Podstawiając t = 2,0 s do tego równania otrzymujemy: v ( 2,0 s ) = [ 3,0 + 1,5 ⋅ ( 2,0 ) 2 ] m / s = 9,0 m / s . Żeby obliczyć prędkość średnią cząstki między chwilą 1,0 s i 3,0 s, musimy znaleźć wartości x ( 1,0 s ) oraz x ( 3,0 s ) : x ( 1,0 s ) = [ 3,0 ⋅ 1,0 + 0,5 ⋅ ( 1,0 ) 3 ] m = 3,5 m , x ( 3,0 s ) = [ 3,0 ⋅ 3,0 + 0,5 ⋅ ( 3,0 ) 3 ] m = 22,5 m . Wobec tego prędkość średnia wynosi v – = x ( 3,0 s ) − x ( 1,0 s ) 3,0 s − 1,0 s = 22,5 m − 3,5 m 3,0 s − 1,0 s = 9,5 m / s . Znaczenie W granicy przedziału czasu, potrzebnego do obliczenia v – , zmierzającego do zera, wartość prędkości średniej v – zbiega się coraz bardziej z wartością prędkości chwilowej v . Prędkość chwilowa a szybkość Rozważmy teraz ruch cząstki, w którym zależność położenia od czasu wynosi x ( t ) = ( 3,0 t − 3,0 t 2 ) m . Jaka jest prędkość cząstki w chwilach t = 0,25 s , t = 0,50 s oraz t = 1,0 s ? Jaka jest szybkość cząstki w tych chwilach? Strategia rozwiązania Prędkość chwilowa jest pochodną położenia po czasie, natomiast szybkość to wartość prędkości. Użyjemy i do obliczenia prędkości chwilowej. Rozwiązanie v ( t ) = d x ( t ) d t = ( 3,0 − 6,0 t ) m / s , v ( 0,25 s ) = 1,50 m / s , v ( 0,5 s ) = 0,0 m / s , v ( 1,0 s ) = − 3,0 m / s . Szybkość = | v ( t ) | , stąd | v ( 0,25 s ) | = 1,50 m / s , | v ( 0,50 s ) | = 0,0 m / s oraz | v ( 1,0 s ) | = 3,0 m / s . Znaczenie Prędkość jest wektorem i daje nam informację o kierunku, wskazując, czy cząstka porusza się w kierunku dodatnim lub kierunku ujemnym względem osi. Szybkość daje informację o prędkości. Lepiej zrozumiemy różnice między tymi wielkościami (położenie, prędkość i szybkość), rysując wykresy zależności od czasu ( ). Na wykresie (a) widzimy, że cząstka porusza się wzdłuż dodatniego kierunku osi do chwili t = 0,5 s , po czym zmienia kierunek ruchu. Tę zmianę kierunku zauważamy też na wykresie (b), gdzie w chwili równej 0,5 s wykres prędkości cząstki przechodzi przez zero a następnie wartości prędkości stają się ujemne. Po czasie równym 1,0 s cząstka dociera z powrotem do miejsca, z którego wystartowała. Prędkość cząstki w chwili 1,0 s jest nadal ujemna, bo cząstka dalej porusza się wzdłuż ujemnego kierunku osi x . Z kolei na wykresie (c) wartości są zawsze dodatnie – szybkość jest zawsze nieujemna w całym czasie trwania ruchu. Na podstawie rysunków możemy też zinterpretować prędkość jako nachylenie krzywej położenia w funkcji czasu. Nachylenie x ( t ) do momentu 0,5 s jest dodatnie, ale maleje do zera. Potem rośnie, ale po stronie ujemnych wartości. Taka analiza porównawcza wykresów położenia, prędkości i szybkości w funkcji czasu, jak powyższa, pomaga wychwycić ewentualne błędy w naszych obliczeniach. Wykresy muszą być spójne ze sobą, a gdy są poprawne, pomagają w interpretacji wyników. (a) Wykres położenia w funkcji czasu x ( t ) . (b) Wykres prędkości w funkcji czasu v ( t ) . Nachylenie funkcji położenia daje informację o prędkości. Pobieżne porównanie nachylenia stycznych na wykresie (a) w punktach 0,25 s, 0,5 s i 1,0 s z wielkością prędkości, w odpowiednich chwilach czasu wskazuje na poprawność naszych wyników. (c) Zależność szybkości od czasu | v ( t ) | . Szybkość ma zawsze wartości nieujemne (dodatnie lub zero). Sprawdź, czy rozumiesz. Położenie ciała w funkcji czasu wynosi x ( t ) = − 3 t 2 m . Jaką funkcją czasu jest prędkość cząstki? Czy prędkość jest zawsze dodatnia? Jakie są prędkość i szybkość w chwili t = 1,0 s ? Różniczkując x ( t ) po czasie, otrzymujemy v ( t ) = − 6 t m / s . Nie, bo czas jest zawsze nieujemny. Prędkość wynosi v ( 1,0 s ) = − 6 m / s , natomiast szybkość to | v ( 1,0 s ) | = 6 m / s . Podsumowanie Prędkość chwilowa jest ciągłą funkcją czasu i daje informację o wektorze prędkości cząstki w dowolnym punkcie i dowolnej chwili w jej ruchu. Możemy obliczyć prędkość chwilową jako pochodną po czasie zależności położenia od czasu. W efekcie otrzymujemy ogólną zależność funkcyjną v ( t ) , która w dalszej kolejności pozwala znaleźć prędkość w danej chwili czasu. Prędkość chwilowa jest wektorem i może być ujemna w zależności od przyjętego układu współrzędnych. Szybkość chwilowa (po prostu: szybkość) jest wartością prędkości chwilowej i jest zawsze nieujemna. W ruchu prostoliniowym jest to po prostu wartość bezwzględna prędkości. Szybkość średnia jest dana przez stosunek całkowitej drogi i całkowitego czasu potrzebnego do pokonania tej drogi. Nachylenie stycznej do krzywej zależności położenia od czasu w danym punkcie daje prędkość chwilową w tej chwili czasu. Pytania W fizyce wyraźnie rozróżniamy szybkość średnią od wartości prędkości średniej. Podaj przykład ilustrujący różnice między tymi wielkościami. Szybkość średnia jest równa całkowitej drodze podzielonej przez całkowity czas. Jeśli idziesz na spacer – wychodzisz z domu i do niego wracasz – twoja szybkość średnia jest pewną dodatnią liczbą. Ponieważ zaś: Prędkość średnia = Przemieszczenie/Całkowity czas, twoja prędkość średnia jest równa zero. Czy prędkościomierz w twoim samochodzie mierzy szybkość czy prędkość? Jeśli podzielisz wartość wskazywaną przez licznik twojego samochodu w podróży na wakacje przez całkowity czas jazdy, to obliczysz średnią szybkość czy wartość średniej prędkości? W jakiej sytuacji te dwie wielkości byłyby równe? Szybkość średnią. Obie wielkości są sobie równe, gdy samochód w ruchu po prostej nie zawróci. Jak są ze sobą związane prędkość chwilowa i szybkość chwilowa? Czym się różnią? Zadania Sarna nadbiega w stronę ulicy i dystans 20 m pokonuje w 5 s. Następnie zawraca tuż przez samochodem i odskakuje na 10 m w ciągu 3 s. Jaka jest średnia szybkość sarny? Jaka jest jej średnia prędkość? Na podstawie poniższego wykresu położenia od czasu narysuj wykres zależności prędkości od czasu. Na podstawie poniższego wykresu położenia od czasu narysuj wykres zależności prędkości od czasu. Mając do dyspozycji wykres zależności prędkości od czasu, narysuj zależność położenia od czasu. Położenie cząstki w czasie zmienia się jak x ( t ) = 5 t m . Jaką funkcją czasu jest prędkość cząstki? Narysuj wykresy zależności prędkości oraz położenia od czasu. Cząstka porusza się wzdłuż osi x zgodnie z równaniem x ( t ) = ( 10 t − 2 t 2 ) m . Jaka jest prędkość chwilowa cząstki w t = 2 s oraz t = 3 s ? Jaką szybkość ma cząstka w tych momentach? Jaką średnią prędkość ma cząstka pomiędzy t = 2 s i t = 3 s ? v ( t ) = ( 10 − 4 t ) m / s , v ( 2 s ) = 2 m / s , v ( 3 s ) = − 2 m / s ; | v ( 2 s ) | = 2 m / s , | v ( 3 s ) | = 2 m / s ; v – = 0 m / s . Niefizyczne rozwiązanie. Cząstka porusza się wzdłuż osi x zgodnie z równaniem położenia x ( t ) = ( 3 t 3 + 5 t ) m . W jakiej chwili czasu prędkość cząstki spada do zera? Czy ten wynik ma sens fizyczny? prędkość chwilowa (ang. instantaneous velocity ) prędkość cząstki w danej chwili czasu szybkość chwilowa (ang. instantaneous speed ) wartość bezwzględna prędkości chwilowej szybkość średnia (ang. average speed ) całkowita droga podzielona przez całkowity czas

Science


Przyspieszenie średnie i chwilowe Zagadnienie przyspieszenia dotyczy zarówno naszego życia codziennego, jak i szerokiego spektrum zjawisk w przestrzeni kosmicznej, czy mikroświata w skali subatomowej. W rozumieniu potocznym przyspieszać oznacza rozpędzać się, zwiększać szybkość. Doskonale to rozumiemy podczas jazdy samochodem. Przyspieszamy przy wciskaniu pedału gazu, z drugiej strony, gdy wciskamy pedał hamulca – zwalniamy, hamujemy, co też jest związane z pojęciem przyspieszenia. Im większe jest przyspieszenie, tym większa jest zmiana prędkości w danym przedziale czasu. Przyspieszenie jest powszechnym zjawiskiem w fizyce eksperymentalnej. W eksperymentach zderzeń cząstek elementarnych, z użyciem na przykład liniowego akceleratora, są one rozpędzane do olbrzymich prędkości i zderzane ze sobą. Wyniki zderzeń są badane i dostarczają informacji np. o budowie świata subatomowego lub początkach Wszechświata. Promieniowanie kosmiczne rozchodzące się w przestrzeni jest także złożone z cząstek przyspieszonych do wielkich energii we wnętrzu supernowych (wybuchające olbrzymie gwiazdy) lub w aktywnych jądrach galaktyk. Z punktu widzenia techniki ważne jest poznanie mechanizmów przyspieszania takich cząstek, aby móc konstruować osłony antyradiacyjne w statkach kosmicznych, które będą chronić ludzi i elektronikę przed wysoce przenikliwym promieniowaniem. Przyspieszenie średnie Formalna definicja przyspieszenia jest zbieżna z określeniami, które podaliśmy wyżej. Ujmijmy ją jednak w sposób matematyczny. Przyspieszenie średnie Przyspieszenie średnie jest zmianą wektora prędkości w pewnym przedziale czasu. W ruchu po linii prostej zapiszemy a ¯ = Δ v Δ t = v k − v 0 t k − t 0 , gdzie a ¯ jest wektorem przyspieszenia średniego , v jest wektorem prędkości, natomiast t jest czasem (kreska nad a jest oznaczeniem średniego przyspieszenia). Ponieważ przyspieszenie jest prędkością wyrażoną w jednostkach metr na sekundę, podzieloną przez czas, w sekundach, to jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu: m/s 2 . Dosłownie możemy rozumieć przyspieszenie jako miarę tego, o ile metrów na sekundę prędkość zmienia się w ciągu każdej sekundy. Przypomnij sobie, że prędkość jest wektorem – ma wartość oraz kierunek i zwrot. Zatem zmiana prędkości może oznaczać zmianę wartości prędkości (szybkości), ale też zmianę kierunku i zwrotu. Przykładowo, biegacz, który z szybkością 10 km/h biegnie na wschód, następnie zwalnia, zatrzymuje się i rusza w przeciwną stronę (na zachód) z szybkością również 10 km/h, doznał zmiany prędkości, mimo że wartość prędkości się nie zmieniła – w obu kierunkach jest taka sama. Zatem przyspieszenie występuje wtedy, gdy zmianie ulega wartość (zwiększa się lub zmniejsza) lub kierunek i zwrot prędkości, albo gdy wszystkie zmieniają się jednocześnie. Przyspieszenie jako wektor Przyspieszenie jest wektorem, którego kierunek jest równoległy do kierunku zmiany wektora prędkości Δ v . Ponieważ prędkość jest wektorem, może zmieniać się jej wartość lub kierunek i zwrot lub wszystkie naraz. W takim razie przyspieszenie jest zmianą wartości i/lub kierunku prędkości w czasie. Pamiętaj, że chociaż przyspieszenie ma kierunek zmiany prędkości, to nie zawsze jest zwrócone w kierunku ruchu. Gdy ciało hamuje w ruchu prostoliniowym, wektor przyspieszenia jest przeciwny do kierunku, w którym ciało się porusza. Takie przyspieszenie (o zwrocie przeciwnym do wektora prędkości, przeciwnie do ruchu) nazywamy często opóźnieniem – patrz . Rozumiemy je jednak jako przyspieszenie o zwrocie przeciwnym do kierunku ruchu, albo także jako ujemne przyspieszenie (piszemy jego wartość ze znakiem minus). Pociąg metra w Warszawie zwalnia, gdy wjeżdża na stację. Jego przyspieszenie jest zwrócone przeciwnie do kierunku ruchu. Wyrażenie opóźnienie może powodować wiele nieporozumień – nie jest to wektor i nie ma kierunku ani zwrotu względem wybranego układu współrzędnych – dlatego raczej nie będziemy go używać w naszej analizie, chyba że w klarownych sytuacjach. Przyspieszenie jest wektorem i względem osi układu współrzędnych może mieć dodatni lub ujemny znak, zależnie od naszego wyboru zwrotu osi. W przypadku pociągu na przyspieszenie ma przeciwny zwrot niż oś wybranego układu współrzędnych , dlatego powiemy, że pociąg doznaje ujemnego przyspieszenia. Jeżeli ciało będące w ruchu ma prędkość, której zwrot jest zgodny z kierunkiem ruchu ciała oraz doznaje stałego w czasie ujemnego przyspieszenia, to w końcu zatrzyma się i zawróci, a po odpowiednio długim czasie nawet minie z powrotem punkt początkowy – tym razem w ruchu w przeciwnym kierunku. Pokazuje to . Ciało poruszające się w prawo doznaje ujemnego przyspieszenia i hamuje, następnie zatrzymuje się i zawraca. Po odpowiednio długim czasie mija z powrotem punkt początkowy poruszając się w lewo. Obliczanie przyspieszenia średniego: Start konia wyścigowego Koń wyścigowy wypuszczony z boksu przyspiesza od zera do 15,0 m/s w czasie 1,80 s. Jakie jest jego średnie przyspieszenie? Koń wyścigowy przyspiesza po opuszczeniu bramki startowej. Strategia rozwiązania Naszkicujmy najpierw sytuację fizyczną i dokonajmy wyboru układu współrzędnych – . To zadanie jest na tyle proste, że nie musielibyśmy tego robić, ale taka wizualizacja zawsze pomaga w lepszym zrozumieniu problemu i poprawnym rozwiązaniu. Zauważ, że wybraliśmy wschód i północ jako dodatnie kierunki osi układu współrzędnych. W takim układzie prędkość jest ujemna – zakładamy bieg konia w lewo (na zachód). Na schemacie wizualizujemy problem fizyczny, dokonujemy wyboru układu współrzędnych i określamy, co jest niewiadomą do wyznaczenia. Na podstawie danych w zadaniu znajdziemy Δ v oraz Δ t i dzięki temu policzymy średnie przyspieszenie a ¯ = Δ v / Δ t = v k − v 0 / t k − t 0 . Rozwiązanie Wypiszmy najpierw dane podane w treści zadania: v 0 = 0 , v k = − 15,0 m / s (ujemny znak oznacza kierunek w lewo, na zachód), Δ t = 1,80 s . Teraz obliczmy zmianę prędkości konia. Ponieważ startuje on z prędkością początkową równą zero, to zmiana prędkości jest równa prędkości końcowej: Δ v = v k − v 0 = v k = − 15,0 m / s . Wreszcie możemy podstawić znane wielkości ( Δ v i Δ t ) do wzoru na nieznane przyspieszenie a – : a – = Δ v Δ t = − 15,0 m / s 1,80 s = − 8,33 m / s 2 . Znaczenie Ujemny znak przyspieszenia oznacza, że jest ono skierowane na zachód, w lewo. Jego wartość równa 8,33 m / s 2 mówi nam, że koń zwiększa swoją prędkość o 8,33 m/s w ciągu każdej sekundy, stale poruszając się w lewo. Zwróć uwagę, że obliczone przez nas przyspieszenie jest rzeczywiście średnie. Ruch konia nie jest płynny (powiemy: nie jest jednostajnie przyspieszony). Jak się dowiemy w dalszych rozdziałach, przyspieszenie o takiej wartości, działające na jeźdźca, wymagałoby zadziałania na niego siłą równą niemal jego ciężarowi. Sprawdź, czy rozumiesz. Protony są przyspieszane w akceleratorze liniowym od zera do 2,0 ⋅ 10 7 m / s w czasie 10 − 4 s . Jakie jest średnie przyspieszenie protonów? Podstawiając dane do wzoru na przyspieszenie średnie, otrzymujemy: a – = Δ v Δ t = 2,0 ⋅ 10 7 m / s − 0 m / s 10 4 s − 0 s = 2,0 ⋅ 10 11 m / s 2 . Przyspieszenie chwilowe Przyspieszenie chwilowe a , inaczej przyspieszenie w danej chwili czasu , definiujemy analogicznie do prędkości chwilowej z poprzedniej sekcji. Mianowicie obliczamy średnią prędkość między dwoma punktami odległymi w czasie o Δ t i żądamy, by Δ t zdążało do zera. W efekcie otrzymujemy pochodną po czasie funkcji prędkości v ( t ) . Właśnie taką wielkość nazywamy przyspieszeniem chwilowym i w sposób matematyczny wyrażamy jako a t = d d t v t . Zatem podobnie jak prędkość jest pochodną położenia po czasie, tak przyspieszenie definiujemy jako pochodną prędkości po czasie. Definicję tę możemy przedstawić graficznie, także w podobny sposób jak poprzednio. Na przyspieszenie chwilowe w chwili t 0 jest nachyleniem prostej stycznej do wykresu zależności prędkości od czasu w punkcie t 0 . Widzimy też, że przyspieszenie średnie a ¯ = Δ v / Δ t staje się przyspieszeniem chwilowym wraz z Δ t zmierzającym do zera. W części (a) rysunku widzimy, że przyspieszenie jest zero w punkcie, dla którego krzywa ma maksimum. Styczna ma w tym punkcie nachylenie równe zero. Także w części (b) widzimy, że styczna ma zerowe nachylenie w minimum. Tam także przyspieszenie wynosi zero. Rozumując odwrotnie, możemy powiedzieć, że zerowe wartości przyspieszenia są wyznacznikiem minimum lub maksimum zależności prędkości od czasu. Na wykresie prędkości od czasu przyspieszenie jest nachyleniem stycznej. (a) Przyspieszenia styczne a ¯ = Δ v / Δ t = v k − v 0 / t k − t 0 w przedziałach czasu Δ t = t 6 − t 1 , Δ t = t 5 − t 2 oraz Δ t = t 4 − t 3 . Gdy Δ t → 0 , przyspieszenie średnie staje się przyspieszeniem chwilowym w punkcie t 0 . Na rysunku (a) pokazano przyspieszenie w chwili odpowiadającej maksimum krzywej prędkości w funkcji czasu. Przyspieszenie, będące współczynnikiem nachylenia stycznej do krzywej, jest w tym punkcie równe zero. W każdym innym punkcie nachylenie stycznej byłoby różne od zera, zatem i przyspieszenie byłoby niezerowe. To samo przedstawiono na rysunku (b), ale dla punktu, w którym krzywa ma minimum. By lepiej zrozumieć graficzną interpretację przyspieszenia, rozważmy dwa przykłady. W pierwszym odwołamy się do znanej z wcześniejszych przykładów zależności prędkości od czasu ( ), by znaleźć zależność przyspieszenia od czasu. Liniowa zależność prędkości od czasu jest pokazana na (a). Odpowiednia zależność przyspieszenia od czasu została pokazana na (b). W tym prostym przykładzie prędkość w funkcji czasu jest linią prostą o stałym nachyleniu, dlatego przyspieszenie jest stałe. W następnym przykładzie zależność ta będzie bardziej złożona. (a, b) Zależność prędkości od czasu jest liniowa i ma stałe, ujemne nachylenie (a), które jest równe przyspieszeniu pokazanemu na rysunku (b). W przypadku gdy znamy funkcję opisującą zależność prędkości od czasu v ( t ) , możemy obliczyć przyspieszenie chwilowe a ( t ) w dowolnym momencie ruchu ciała, używając definicji ( ). Obliczanie przyspieszenia chwilowego Cząstka przyspiesza w swoim ruchu po prostej. Zależność funkcyjna prędkości od czasu jest następująca v ( t ) = ( 20 t − 5 t 2 ) m / s . Znajdź ogólny wzór zależności przyspieszenia od czasu. Znajdź prędkości chwilowe w momentach 1, 2, 3 oraz 5 s. Znajdź przyspieszenia chwilowe w momentach 1, 2, 3 oraz 5 s. Zinterpretuj wyniki z punktu (c) w kontekście wzajemnego kierunku wektorów prędkości i przyspieszenia. Strategia rozwiązania Zależność funkcyjną przyspieszenia od czasu znajdziemy poprzez różniczkowanie prędkości po czasie. Następnie obliczymy prędkości i przyspieszenia chwilowe w zadanych momentach. W części (d) musimy porównać znaki przyspieszeń i prędkości w kolejnych chwilach. Rozwiązanie a ( t ) = d v ( t ) d t = ( 20 − 10 t ) m / s 2 ; v ( 1 s ) = 15 m / s , v ( 2 s ) = 20 m / s , v ( 3 s ) = 15 m / s , v ( 5 s ) = − 25 m / s ; a ( 1 s ) = 10 m / s 2 , a ( 2 s ) = 0 m / s 2 , a ( 3 s ) = − 10 m / s 2 , a ( 5 s ) = − 30 m / s 2 ; W chwili t = 1 s , prędkość v ( 1 s ) = 15 m / s jest dodatnia i przyspieszenie jest także dodatnie, więc oba wektory są skierowane w tę samą stronę. Cząstka przyspiesza. W chwili t = 2 s prędkość wzrosła do v ( 2 s ) = 20 m / s , co odpowiada maksimum funkcji prędkości. W tym momencie przyspieszenie jest zerowe. Cząstka przez ten moment nie przyspiesza oraz nie zwalnia. W chwili t = 3 s prędkość wynosi v ( 3 s ) = 15 m / s oraz przyspieszenie jest ujemne. Prędkość cząstki spadła przy ujemnym przyspieszeniu. Oznacza to, że cząstka zwalnia (hamuje). W chwili t = 5 s prędkość jest równa v ( 5 s ) = − 25 m / s , przyspieszenie jest dalej ujemne, ale bardziej niż poprzednio. Pomiędzy chwilami t = 3 s oraz t = 5 s cząstka zwolniła do zera, a potem zaczęła poruszać się w przeciwną stronę z ujemną prędkością. Teraz cząstka z powrotem przyspiesza, ale w przeciwnym kierunku. Możemy te wyniki zilustrować na wykresie ukazanym na i w oparciu o metodę graficzną potwierdzić poprawność naszej analizy w punkcie (d). (a) Prędkość w funkcji czasu. Zaznaczono styczne w punktach odpowiadających chwilom 1, 2 i 3 s. Nachylenia prostych stycznych odpowiadają wielkościom przyspieszenia. W chwili t = 3 s prędkość jest dodatnia. W t = 5 s prędkość jest ujemna, co oznacza, że cząstka zmieniła kierunek ruchu. (b) Przyspieszenie w funkcji czasu. Porównując wartości przyspieszeń w punktach oznaczonych czarnymi kropkami z kątami nachylenia stycznych przechodzących przez odpowiadające punkty na wykresie prędkości widzimy pełną zgodność wyników. Znaczenie Dzięki jednoczesnym obliczeniom numerycznym oraz analizom graficznym prędkości i przyspieszenia możemy dowiedzieć się wiele o ruchu cząstki. Analiza numeryczna daje szczegółowe informacje o ruchu, przez co jest dobrym uzupełnieniem analizy graficznej. Miejsce zerowe funkcji przyspieszenia od czasu odpowiada maksimum (w przykładzie powyżej) zależności prędkości od czasu. Gdy przyspieszenie i prędkość mają zgodny zwrot, to cząstka przyspiesza. Gdy przyspieszenie maleje w czasie, zmierza do zera i w końcu zmienia znak, to prędkość osiąga swoje maksimum, po czym zaczyna maleć. Jeśli zaczekamy wystarczająco długo, także i prędkość zmieni znak, co oznacza, że cząstka zmienia kierunek swojego ruchu. Dobrym przykładem z życia sytuacji fizycznej, którą przed chwilą dyskutowaliśmy, mógłby być ruch samochodu, który rozpędza się do swojej prędkości maksymalnej, po czym zwalnia, zatrzymuje się i w końcu zawraca. Sprawdź, czy rozumiesz. Samolot ląduje od wschodu na pasie lotniska położonym równoleżnikowo. Scharakteryzuj przyspieszenie samolotu. Jeśli przyjmiemy kierunek wschodni jako dodatni, przyspieszenie samolotu jest ujemne, bo jego wektor skierowany jest w kierunku zachodnim (samolot hamuje). Ruch samolotu jest opóźniony. Kierunek przyspieszenia jest przeciwny do wektora prędkości i kierunku ruchu. Przyspieszenie wokół ciebie Prawdopodobnie jest ci bliskie doświadczenie przyspieszenia podczas jazdy samochodem, gdy np. wciskasz pedał hamulca przed światłami, albo w ruszającej do góry windzie. Jednak przyspieszeń doznają także takie obiekty wokół ciebie, z którymi nigdy nie masz bezpośredniego kontaktu. W zebraliśmy przykładowe wartości przyspieszeń różnych obiektów we Wszechświecie. Przykładowe wartości przyspieszenia różnych ciał Ciało doznające przyspieszenia Wartość przyspieszenia ( m/s 2 ) Szybki pociąg 0,25 Winda 2 Gepard 5 Ciało w spadku swobodnym przy powierzchni Ziemi, bez oporów powietrza 9,81 Statek kosmiczny podczas startu 29 Spadochroniarz w momencie otwarcia spadochronu 59 Odrzutowiec F16 wychodzący z nurkowania 79 Katapulta w samolocie myśliwskim 147 Szybki pocisk 982 Największe przyspieszenia wystrzeliwanych pocisków rakietowych 1 540 Skok pchły 3 200 Piłka baseballowa uderzona kijem 30 000 Zamykanie szczęk mrówki Odontomachus bauri 1 000 000 Proton w LHC 1,9 · 10 9 (Źródło: Wikipedia: Rzędy wielkości przyspieszeń) W powyższej tabeli widzimy, jak bardzo różnią się wartości przyspieszeń różnych ciał, zupełnie niezależnie od ich wielkości czy masy. Przyspieszenie może też bardzo zmieniać się w trakcie ruchu ciała. Dragster (samochód wyścigowy o olbrzymim przyspieszeniu) osiąga gigantyczne przyspieszenia, ale tylko przez krótką chwilę tuż po starcie, dalej porusza się prawie ze stałą prędkością. Średnie przyspieszenie dragstera może kompletnie różnić się od przyspieszenia chwilowego w różnych momentach wyścigu. Na porównujemy graficznie przyspieszenie średnie i chwilowe dla dwóch zupełnie odmiennych przypadków fizycznych. Wykres zależności przyspieszenia chwilowego od czasu dla dwóch ruchów prostoliniowych. (a) Przyspieszenie tylko nieznacznie zmienia się w czasie, ale zawsze pozostaje dodatnie. Średnie przyspieszenie obliczone dla całego czasu trwania ruchu jest niemal takie samo jak przyspieszenie chwilowe w dowolnym punkcie. (b) Przyspieszenie bardzo zmienia się w czasie. W tej sytuacji konieczne jest rozważanie małych przedziałów czasu (np. 0–1,0 s) o stałym lub niemal stałym przyspieszeniu, aby przyspieszenie średnie odpowiadało przyspieszeniu chwilowemu. Obliczone dla całego przedziału czasu przyspieszenie średnie byłoby niemal równe zero, podczas gdy przyspieszenie chwilowe jest całkiem duże w poszczególnych momentach. Dowiedz się więcej o wykresach położenia, prędkości i przyspieszenia dzięki zabawie ludzikiem sterowanym za pomocą myszki. Poruszaj ludzikiem do przodu lub do tyłu i obserwuj jak zmienia się jego położenie, prędkość i przyspieszenie na wykresie w funkcji czasu albo zadaj położenie, prędkość i przyspieszenie ludzika, a program wykona dla ciebie symulację ruchu ludzika. Odwiedź stronę i ucz się dzięki zabawie poruszającym się ludzikiem. Podsumowanie Przyspieszenie wyraża to, jak szybko zmienia się w czasie prędkość ciała. Przyspieszenie jest wektorem – ma kierunek, zwrot i wartość. Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu. Przyspieszenie może być wywołane zmianą wartości prędkości, ale też kierunku lub zwrotu albo wszystkich tych cech jednocześnie. Przyspieszenie chwilowe a ( t ) jest ciągłą funkcją czasu i podaje wielkość przyspieszenia w dowolnej chwili czasu w trakcie ruchu. Obliczamy je jako pochodną prędkości po czasie. Przyspieszenie chwilowe może też być zdefiniowane graficznie jako nachylenie stycznej do funkcji prędkości od czasu. Ujemne przyspieszenie (nazywane też opóźnieniem) jest przyspieszeniem w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu ciała. Pytania Czy jest możliwe, aby szybkość w ruchu po linii prostej była stała w chwili, gdy przyspieszenie jest różne od zera? Nie. W ruchu prostoliniowym występowanie stałej szybkości wymaga zerowego przyspieszenia. Czy jest możliwe, aby prędkość była stała, gdy przyspieszenie jest niezerowe? Wyjaśnij. Podaj przykład ruchu, w którym prędkość jest zero, mimo że przyspieszenie jest różne od zera. Piłka rzucona pionowo do góry ma zerową prędkość na wysokości maksymalnej, mimo że przyspieszenie jest niezerowe. Jeżeli pociąg metra, zbliżając się do stacji, porusza się w lewo (ma ujemną prędkość, bo przyjmujemy dodatni kierunek w prawo), to jaki jest kierunek jego przyspieszenia? Czy przyspieszenie jest dodatnie czy ujemne? W ruchu prostoliniowym używamy sformułowań „dodatni, ujemny” do określenia kierunku (np. ruchu lub wektora). Jaki jest znak przyspieszenia, które powoduje zmniejszenie wartości ujemnej prędkości (w ruchu w lewo)? A w przypadku dodatniej prędkości (ruch w prawo)? Dodatni. Ujemny. Gepard potrafi się rozpędzić do prędkości 30,0 m/s w czasie 7 s. Jakie jest jego przyspieszenie? Czy jest to przyspieszenie chwilowe czy średnie? a = 4,29 m / s 2 . Przyspieszenie średnie. Dr ppłk John Stapp był oficerem armii USA, który studiował wpływ ekstremalnych przyspieszeń na ludzkie ciało. 10 grudnia 1954 roku przeprowadził eksperyment, w którym zasiadając w saniach rakietowych, doznał przyspieszenia od spoczynku do prędkości 282 m/s (1015 km/h) w czasie 5,00 s, a następnie gwałtownie zahamował do zatrzymania tylko w 1,40 s. Oblicz jego przyspieszenie w kierunku ruchu, przyspieszenie przeciwne do kierunku ruchu. Wyraź wyniki poprzez wielokrotność g ( 9,81 m / s 2 ). Na podstawie poniższego wykresu zależności prędkości od czasu narysuj zależność przyspieszenia od czasu. Kierowca wyjeżdża z garażu z przyspieszeniem 1,40 m / s 2 . Po jakim czasie uzyska prędkość o wartości 2,00 m/s? Jeśli teraz wciśnie hamulec i po czasie 0,800 s zatrzyma się, to jakie będzie jego przyspieszenie? Rozważ rakietę balistyczną o zasięgu międzykontynentalnym, która może od stanu spoczynku osiągnąć prędkość suborbitalną 6,50 km/s w czasie 60,0 s (autentyczne dane techniczne rakiet są tajne). Jakie jest średnie przyspieszenie rakiety wyrażone w metrach na sekundę kwadratową oraz w jednostkach g ( 9,81 m / s 2 )? a = 11,1 g Samolot rozpędza się na pasie startowym przez 18 s ze stałym przyspieszeniem, a przy prędkości o wartości 60 m/s odrywa się od pasa. Jakie jest średnie przyspieszenie samolotu? przyspieszenie średnie (ang. average acceleration ) szybkość zmian prędkości w czasie przyspieszenie chwilowe (ang. instantaneous acceleration ) przyspieszenie w danej chwili czasu

Science


Ruch ze stałym przyspieszeniem Zapewne odgadłeś, że im większe jest przyspieszenie ciała (np. samochodu ruszającego ze skrzyżowania), tym większe jest jego przemieszczenie w czasie. Jak na razie jednak nie otrzymaliśmy żadnych równań, które wiązałyby ze sobą przemieszczenie czy położenie z przyspieszeniem. W tym podrozdziale wprowadzimy zestaw wygodnych równań do opisu położenia i prędkości ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem. Nazwiemy je równaniami ruchu . Ruch ze stałym przyspieszeniem nazywa się też ruchem jednostajnie zmiennym (przyspieszonym lub opóźnionym). Zaczniemy jednak od definicji przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia. Na początku rozważymy prosty przypadek ruchu pojedynczego ciała (zagadnienie jednociałowe), aby na końcu sekcji zająć się także bardziej złożonym ruchem dwóch ciał, nazywanym zagadnieniem pogoni (pościgu) i ucieczki dwóch ciał . Notacja Zacznijmy od pewnych uproszczeń z zapisie i oznaczeniach. Dużym ułatwieniem będzie, jeśli przyjmiemy czas początkowy równy zero – tak jakbyśmy włączali stoper dopiero w momencie rozpoczęcia obserwacji ruchu. W takim razie całkowity czas ruchu Δ t = t k − t 0 jest, wobec przyjętego warunku początkowego t 0 = 0 , równy Δ t = t k , czyli końcowemu wskazaniu stopera. Aby oznaczyć początkowe położenie i początkową prędkość, także użyjemy indeksu dolnego 0. W takim razie x 0 będzie początkowym położeniem , natomiast v 0 prędkością początkową . Do końcowych prędkości i położenia nie będziemy przypisywać żadnego indeksu. Wobec tego t będzie oznaczać czas końcowy , x będzie położeniem końcowym , a v będzie prędkością końcową . Taki wybór dodatkowo uprości oznaczenie całkowitego czasu ruchu Δ t = t , przemieszczenia Δ x = x − x 0 oraz zmiany prędkości Δ v = v − v 0 . Podsumowując, jeśli zastosujemy tę uproszczoną notację oraz przyjmiemy czas początkowy równy zero, otrzymamy Δ t = t , Δ x = x − x 0 , Δ v = v − v 0 , gdzie indeks dolny 0 oznacza wielkości początkowe (w chwili rozpoczęcia obserwacji), a brak indeksu dolnego oznacza wielkości końcowe (w chwili, gdy chcemy je obliczyć). Kolejnym ważnym uproszczeniem będzie przyjęcie, że przyspieszenie jest stałe . To założenie pozwoli uniknąć nam potrzeby używania rachunku różniczkowego do obliczania przyspieszenia chwilowego. Skoro przyspieszenie jest stałe w czasie, to przyspieszenie średnie jest zawsze równe przyspieszeniu chwilowemu, czyli a ¯ = a = const. W takim razie dla oznaczenia przyspieszenia w dowolnej chwili czasu użyjemy po prostu symbolu a . Założenie, że przyspieszenie jest stałe w trakcie ruchu, wcale nie ogranicza spektrum sytuacji fizycznych, które będziemy w stanie opisywać, ani też nie wpłynie na precyzję naszych rachunków. Po pierwsze, w ogromnej ilości przypadków przyspieszenie jest rzeczywiście stałe i nie zmienia się w trakcie ruchu. Po drugie, w wielu pozostałych przypadkach możemy poprawnie opisać ruch, przyjmując, że (stałe) przyspieszenie w danym ruchu jest po prostu równe przyspieszeniu średniemu. Wreszcie w przypadku, gdy przyspieszenie gwałtownie zmienia się w czasie, jak np. podczas przyspieszania i hamowania w celu zatrzymania samochodu, możemy taki ruch traktować jako kilka niezależnych od siebie ruchów, z których każdy zachodzi ze stałym przyspieszeniem. Przemieszczenie i położenie na podstawie prędkości Pierwsze dwa równania ruchu otrzymamy, wychodząc od definicji prędkości średniej: v ¯ = Δ x Δ t . Podstawiając nasze uproszczone definicje Δ x oraz Δ t , otrzymamy v ¯ = x − x 0 t . Wyliczamy stąd położenie x w dowolnej chwili czasu x = x 0 + v ¯ t , gdzie prędkość średnia wynosi v ¯ = v 0 + v 2 . Powyższe dwa równania składają się na pierwsze równanie ruchu jednostajnie zmiennego. Równanie v ¯ = v 0 + v / 2 wyraża fakt, że skoro przyspieszenie jest stałe, to prędkość średnia jest po prostu średnią arytmetyczną prędkości początkowej i końcowej. Fakt ten pokazano na . Na wykresie (a) przyspieszenie jest stałe, a więc prędkość rośnie jednostajnie (liniowo) w czasie. Prędkość średnia w 1-godzinnym przedziale czasu, od wartości 40 km/h do 80 km/h, wynosi 60 km/h, co jest średnią arytmetyczną: v – = v 0 + v 2 = 40 k m / h + 80 k m / h 2 = 60 k m / h . Na wykresie (b) przyspieszenie nie jest stałe. Przez większość czasu, w trakcie 1-godzinnego ruchu, prędkość ma wartość bliższą 80 km/h niż 40 km/h. Prędkość średnia jest więc większa niż w przypadku przedstawionym na wykresie (a). (a) Wykres prędkości w funkcji czasu w przypadku ruchu ze stałym przyspieszeniem od wartości początkowej v 0 do końcowej v . Prędkość średnia wynosi ( v 0 + v ) / 2 = 60 k m / h . (b) Wykres prędkości w funkcji czasu ze zmiennym przyspieszeniem. Prędkość średnia nie jest równa ( v 0 + v ) / 2 , lecz jest większa od 60  km / h . Obliczanie prędkości na podstawie przyspieszenia i czasu Wzór na prędkość w dowolnej chwili czasu (kolejne równanie ruchu) otrzymamy na podstawie definicji przyspieszenia średniego: a = Δ v Δ t . Pominęliśmy oznaczenie średniej , bo wciąż zakładamy stałe przyspieszenie. Podstawiając za Δ v i Δ t , otrzymamy a = v − v 0 t , a = const. Wyznaczamy stąd równanie prędkości v w dowolnej chwili czasu v = v 0 + a t , a = const. Obliczanie prędkości końcowej Samolot podchodzi do lądowania z prędkością 70,00 m/s i w momencie zetknięcia z płytą lotniska hamuje z przyspieszeniem 1,50 m / s 2 przez 40,0 s. Jaka jest prędkość końcowa samolotu? Strategia rozwiązania Ustalmy najpierw, jakie mamy dane: v 0 = 70 m / s , a = − 1,50 m / s 2 , t = 40 s . Następnie zastanówmy się, co jest niewiadomą. W tym przypadku jest to prędkość końcowa v k . Na końcu wybierzmy odpowiednie równanie ruchu. W tym celu zastanówmy się, które równanie wiąże naszą niewiadomą ze wszystkimi danymi. Jest to , czyli v = v 0 + a t . Rozwiązanie Podstawiamy dane do równania i otrzymujemy wynik: v = v 0 + a t = 70,0 m / s + ( − 1,50 m / s 2 ) ⋅ 40,0 s = 10,0 m / s . w schematyczny sposób pokazuje wektory prędkości i przyspieszenia w trakcie hamowania samolotu. Samolot ląduje z prędkością 70,0 m/s i hamuje do końcowej prędkości 10,0 m/s, z którą kołuje do terminala. Zauważ, że przyspieszenie jest ujemne, bo jego zwrot jest przeciwny do zwrotu prędkości (prędkość ma dodatnią wartość). Znaczenie Prędkość końcowa jest oczywiście o wiele niższa niż prędkość początkowa, czego oczekujemy podczas hamowania. Jest jednak ciągle dodatnia (spójrz na rysunek). Silniki odrzutowe samolotu są w stanie wytworzyć ciąg wsteczny, dzięki czemu samolot może się zatrzymać w miejscu, a nawet zacząć cofać. Wtedy prędkość byłaby ujemna, co jednak w naszym przypadku nie zachodzi. Oprócz tego, że równanie v = v 0 + a t jest bardzo użyteczne przy opisie parametrów ruchu ciał, pokazuje ono także relację między prędkością, przyspieszeniem i czasem. Na jego podstawie możemy np. stwierdzić, że: Wartość prędkości końcowej zależy od tego, jak duże jest przyspieszenie oraz przez jaki czas ciało go doznaje. Jeśli przyspieszenie ciała jest zero, to prędkość końcowa ciała jest równa prędkości początkowej ( v = v 0 ), czego się spodziewamy. Innymi słowy: jeśli przyspieszenie jest zerowe, to prędkość jest stała w czasie, i mamy do czynienia z ruchem jednostajnym. Jeśli a jest ujemne, to prędkość końcowa jest mniejsza od prędkości początkowej (ruch jest opóźniony). Wszystkie powyższe komentarze zgadzają się z naszą intuicją. Pamiętaj, że zawsze warto skonfrontować równania fizyczne (nie tylko kinematyczne) z naszą intuicją i doświadczeniami z życia, przez co możemy się przekonać, czy rzeczywiście poprawnie opisują one rzeczywistość. Obliczanie położenia końcowego w ruchu jednostajnie zmiennym Na podstawie dwóch wyprowadzonych powyżej równań ruchu otrzymamy teraz trzecie równanie, wiążące położenie ciała z przyspieszeniem w ruchu jednostajnie zmiennym. W przypadku ruchu po linii prostej będzie to też wzór na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym, o ile nie będziemy rozważać zmiany kierunku ruchu ciała. Wyjdźmy od równania v = v 0 + a t . Dodajmy teraz v 0 do obu stron równania i podzielmy je przez 2: v 0 + v 2 = v 0 + 1 2 a t . Lewa strona jest średnią prędkością, v 0 + v 2 = v – , przy założeniu stałego przyspieszenia. W takim razie v – = v 0 + 1 2 a t . To wyrażenie na v – podstawimy teraz do równania na przemieszczenie, które wyprowadziliśmy w tej sekcji jako pierwsze, mianowicie x = x 0 + v – t . Doprowadzi nas to do równania opisującego położenie końcowe ciała w dowolnej chwili w ruchu jednostajnie zmiennym x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 , a = const. Obliczanie przemieszczenia przyspieszającego ciała Wyścigowe dragstery mogą osiągać średnie przyspieszenie 26,0 m / s 2 . Załóżmy, że dragster z takim przyspieszeniem rusza ze startu i przyspiesza przez 5,56 s ( ). Jaki dystans pokona w tym czasie? Pilot amerykańskiej armii Tony Schumacher rozpoczyna wyścig dragsterów kontrolowanym „paleniem gumy”. (Źródło: Lt. Col. William Thurmond, dzięki uprzejmości U.S. Army.) Strategia rozwiązania Zacznijmy od schematycznego rysunku sytuacji fizycznej, . Naszym zadaniem jest znalezienie przemieszczenia, które jest w tym przypadku równe końcowemu położeniu x , jeśli przyjmiemy położenie początkowe x 0 równe zero. Położenie x 0 możemy rozumieć jako linię startową wyścigu. Możemy je przyjąć w dowolnym innym punkcie, ale najwygodniej będzie przypisać mu zerową wartość i każde położenie w dowolnym momencie liczyć względem niego. Gdy prawidłowo zdefiniujemy v 0 , a i t na podstawie treści zadania, będziemy mogli użyć równania x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 do obliczenia końcowego położenia dragstera. Schemat przyspieszającego dragstera. Rozwiązanie Sprawdźmy najpierw, czy mamy wszystkie potrzebne dane. Ponieważ dragster rusza z miejsca startu, to v 0 = 0 , natomiast przyspieszenie a równe 26,0 m / s 2 oraz czas ruchu t = 5,56 s są podane. Teraz możemy wstawić dane do wzoru na nieznane położenie: x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 . Skoro i położenie, i prędkość początkowe są równe zeru, równanie upraszcza się do x = 1 2 a t 2 . Wstawiamy wartości liczbowe za a i t , i otrzymujemy wynik x = 1 2 ⋅ 26,0 m / s 2 ⋅ ( 5,56 s ) 2 = 402 m . Znaczenie Jeśli przeliczymy wynik 402 m na mile (1 mila = 1609,344 m), to okaże się, że jest on równy ok. 1/4 mili, a więc odpowiada typowemu dystansowi, na jakim rozgrywa się wyścigi dragsterów. Zatem nasz wynik jest realny. Pokonanie 402 m w czasie tylko ok. 5,5 s jest imponującym wynikiem, jednak najmocniejsze dragstery potrafią osiągać nawet krótsze czasy. Gdyby dragster miał już na starcie niezerową prędkość początkową, musielibyśmy uwzględnić w równaniu opisującym położenie końcowe dodatkowy wyraz. Wtedy położenie końcowe (równe w tym przypadku drodze) byłoby znacznie większe. Czego więcej o ruchu możemy się dowiedzieć dzięki analizie równania x = x 0 + v 0 t + a t 2 / 2 ? Możemy wyciągnąć następujące wnioski: W ruchu z niezerowym przyspieszeniem położenie końcowe zależy od kwadratu całkowitego czasu ruchu. W dragster pokonuje tylko jedną czwartą całkowitej drogi w czasie równym połowie całkowitego czasu ruchu. Jeśli przyspieszenie jest zerowe, to prędkość średnia jest równa prędkości początkowej (prędkość się nie zmienia, v 0 = v ¯ ), a równanie x = x 0 + v 0 t + a t 2 / 2 upraszcza się do postaci x = x 0 + v 0 t znanej dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Obliczanie prędkości końcowej na podstawie drogi i przyspieszenia Wyprowadzimy teraz czwarte równanie kinematyczne, użyteczne w analizie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem. Będzie to równanie na prędkość końcową wyrażoną przez całkowite przemieszczenie i przyspieszenie, a otrzymamy je na podstawie trzech poprzednich. Wyliczmy zmienną t z równania na prędkość v = v 0 + a t : t = v − v 0 a . Podstawiając za czas oraz prędkość średnią v ¯ = v 0 + v / 2 do x = x 0 + v – t , otrzymujemy v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) , a = const. Obliczanie prędkości końcowej Oblicz prędkość końcową dragstera z , nie korzystając z informacji o czasie ruchu. Strategia rozwiązania Równanie v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) jest idealne do zastosowania w tym zadaniu, bo wiąże prędkość końcową z przyspieszeniem i przemieszczeniem, a nie zawiera czasu. Rozwiązanie Wypiszmy dane. Wiemy, że v 0 = 0 , bo dragster rusza z miejsca. Znamy też przemieszczenie x − x 0 = 402 m (jest to wynik otrzymany w ). Przyspieszenie dragstera zostało podane w treści zadania, a = 26,0 m / s 2 . Podstawiamy dane do równania v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) i wyliczamy v : v 2 = 0 m / s + 2 ⋅ 26,0 m / s 2 ⋅ 402 m . Zatem v 2 = 2,09 ⋅ 10 4 m 2 / s 2 , v = 2,09 ⋅ 10 4 m 2 / s 2 = 145 m / s . Znaczenie Prędkość 145 m/s (czyli 522 km/h) jest ogromna, ale i tak jeszcze daleka od rekordowych wyników dragsterów na torze o długości 1/4 mili. Zauważ, że po spierwiastkowaniu uwzględniliśmy tylko jedno rozwiązanie – dodatnie, odrzucając rozwiązanie ujemne. W ten sposób wyraziliśmy, że prędkość ma ten sam kierunek co wektor przyspieszenia w ruchu dragstera. Wnikliwa analiza równania v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) pomoże nam pogłębić nasze rozumienie zależności między wielkościami fizycznymi: Prędkość końcowa zależy od tego, jak duże jest przyspieszenie i na jakim dystansie ciało go doznaje. Przy takim samym przyspieszeniu samochód o dwukrotnie większej prędkości początkowej nie zatrzyma się po przejechaniu dwukrotnie dłuższej drogi. Droga hamowania będzie o wiele większa (dlatego właśnie wprowadza się strefy dodatkowego ograniczenia prędkości przy szkołach, przejściach dla pieszych itd.). Równania ruchu: zastosowanie W dalszej części nadal będziemy analizować ruch ciał w jednym wymiarze ze stałym przyspieszeniem, ale w nieco bardziej złożonych przykładach, wymagających większego żonglowania równaniami ruchu. Na przykładach tych poznamy także przydatne metody rozwiązywania zadań. Poniższe zestawienie zawiera wszystkie równania ruchu przydatne do rozwiązywania zadań z kinematyki ruchu prostoliniowego. Pamiętaj, że te równania nie są od siebie niezależne – jedne wyprowadzaliśmy na podstawie innych. W wielu przypadkach będziemy mieli dwie niewiadome w zadaniu, do znalezienia których będziemy musieli zapisać odpowiednie dwa równania. Generalnie do rozwiązania problemu o wielu niewiadomych potrzebujemy tylu równań, ile jest niewiadomych. Zestawienie kinematycznych równań ruchu (stałe a ) x = x 0 + v ¯ t v ¯ = v 0 + v 2 v = v 0 + a t x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) Zanim zajmiemy się rozwiązywaniem zadań w przykładach, przyjrzyjmy się bliżej, jak zachowuje się wartość przyspieszenia w skrajnych przypadkach wartości położenia i prędkości. Przekształcając , mamy a = v − v 0 t . Widzimy, że jeśli różnica prędkości końcowej i początkowej jest niewielka, to dla skończonego czasu przyspieszenie jest małe. W granicy prędkości końcowej równej prędkości początkowej przyspieszenie zdąża do zera. Przeciwnie, jeśli t → 0 przy skończonej różnicy prędkości, przyspieszenie rozbiega się do nieskończoności. Analogicznie przekształćmy , aby wyrazić zależność przyspieszenia od różnicy prędkości i położeń: a = v 2 − v 0 2 2 ( x − x 0 ) . Dla skończonej różnicy prędkości przyspieszenie staje się nieskończone, jeśli przemieszczenie zdąża do zera. Podobnie, przy skończonej różnicy położeń: końcowego i początkowego, przyspieszenie spada do zera, jeśli prędkość się nie zmienia. Droga hamowania samochodu Samochód może hamować na suchym asfalcie z przyspieszeniem o wartości 7,00 m / s 2 , natomiast na mokrym asfalcie jego przyspieszenie ma wartość tylko 5,00 m / s 2 . Znajdź drogę, po jakiej samochód się zatrzyma (drogę hamowania), na suchej oraz mokrej nawierzchni, jeśli zaczyna hamować przy prędkości 30,0 m/s (110 km/h). Powtórz obliczenia w sytuacji uwzględniającej czas reakcji kierowcy równy 0,500 s. Strategia rozwiązania Rysujemy schemat sytuacji fizycznej, . Aby wybrać odpowiednie do naszego zadania równania ruchu, wypiszemy dane i zidentyfikujemy szukane. Schemat ilustrujący ruch hamującego samochodu i drogę do zatrzymania. Rozwiązanie Mamy następujące dane: v 0 = 30,0 m / s , v = 0 , a = − 7,00 m / s 2 ( a jest ujemne, bo ma kierunek przeciwny do prędkości). Przyjmijmy położenie początkowe x 0 równe zero. Chcemy obliczyć przemieszczenie Δ x , czyli różnicę x - x 0 . Równaniem, którego użyjemy, jest v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) . To równanie jest najwygodniejsze, bo zawiera tylko jedną niewiadomą – właśnie tę, którą chcemy obliczyć, x . Wszystkie pozostałe wielkości znamy. Moglibyśmy użyć także innych równań ruchu do obliczenia x , ale zawierają one czas t , którego nie znamy. Musielibyśmy więc rozwiązywać układ dwóch równań na dwie niewiadome, co pociągałoby za sobą dodatkowe obliczenia. Przekształcamy równanie tak, aby wyliczyć x : x = x 0 + v 2 − v 0 2 2 a i podstawiamy dane: x = 0 m + ( 0 m / s ) 2 − ( 30,0 m / s ) 2 2 ⋅ ( − 7,00 m / s 2 ) . Zatem droga, jaką pokona samochód na suchej nawierzchni, wynosi x a = 64,3 m . Rozwiązanie tej części znajdziemy dokładnie tak samo, jak w przypadku części (a), z tym że przyspieszenie wynosi teraz − 5,00 m / s 2 . Wynik wynosi x b = 90,0 m . Droga hamowania na suchej i mokrej nawierzchni, liczona od momentu wciśnięcia hamulca przez kierowcę (a więc po upływie jego czasu reakcji), będzie taka jak obliczona w częściach (a) i (b). Aby obliczyć całkowitą drogę do zatrzymania, musimy obliczyć, jaki dystans samochód pokona w czasie reakcji kierowcy, a następnie dodać go do wyników z części (a) i (b). Zakładamy, że w czasie reakcji kierowcy samochód porusza się ze stałą szybkością 30,0 m/s. Parametry, jakie znamy w czasie trwania reakcji kierowcy, to: v – = 30,0 m / s , t reakcji = 0,500 s , a reakcji = 0 . Znowu przyjmijmy x 0 = 0 . Poszukujemy położenia x reakcji po czasie reakcji kierowcy. Użyjemy w tym celu równania x = x 0 + v ¯ t , w którym jedyną niewiadomą jest x . Wstawiając dane do tego równania, otrzymujemy: x = 0 m + 30,0 m / s ⋅ 0,500 s = 15,0 m . W takim razie całkowita droga hamowania, zarówno na suchej, jak i na mokrej nawierzchni, jest powiększona o drogę przebytą przez auto ze stałą prędkością w czasie reakcji kierowcy. Zakładamy tutaj, że po upływie 0,500 s kierowca natychmiastowo wciska hamulec i samochód od razu doznaje odpowiedniego przyspieszenia. Całkowita droga hamowania, obliczona jako x hamowania + x reakcji = x całkowita , wynosi w przypadku suchej nawierzchni: 64,3 m + 15,0 m = 79,3 m oraz w przypadku mokrej nawierzchni: 90,0 m + 15,0 m = 105 m ( ). Droga potrzebna do zahamowania samochodu znacząco różni się w zależności od stanu nawierzchni i czasu reakcji kierowcy. Na wykresie przedstawiono schemat hamowania samochodu od prędkości 30,0 m/s do zatrzymania, na suchej i mokrej nawierzchni, bez uwzględnienia oraz z uwzględnieniem czasu reakcji kierowcy równego 0,500 s. Znaczenie Otrzymane przez nas wartości liczbowe drogi hamowania wydają się być sensowne w przypadku samochodu rozpędzonego do dużej szybkości. Trudniej jest zatrzymać samochód na nawierzchni mokrej niż na suchej. Pouczającym wnioskiem jest to, że czas reakcji człowieka dość znacznie powiększa całkowitą drogę hamowania samochodu. Przyjęliśmy tutaj czas reakcji równy 0,500 s. Jest to całkiem sensowne założenie. Jeśli spróbujesz jak najszybciej kliknąć dwukrotnie na klawisz stopera, to zobaczysz, że w tym ekstremalnym przypadku twój czas reakcji raczej nie spada poniżej 0,100 s. Ważniejszym jednak wnioskiem jest to, że przećwiczyliśmy na tym przykładzie metodologię rozwiązywania zadań: od poprawnego zdefiniowania danych i szukanych do wyboru równania ruchu najbardziej odpowiedniego do naszego zadania. Pamiętaj, że potrzebujesz tylu równań, ile masz niewiadomych w zadaniu. Często istnieje kilka różnych sposobów rozwiązania. Także w tym przykładzie mogliśmy użyć innych równań, aby otrzymać prawidłowe wyniki. Rozwiązanie przedstawione tutaj jest jednak najszybsze. Obliczanie czasu ruchu Rozważmy sytuację, w której samochód, włączając się do ruchu na autostradzie, musi rozpędzić się na pasie rozbiegowym o długości 200,0 m. Jeżeli jego prędkość początkowa wynosi 10,0 m/s, a przyspieszenie to 2,00 m / s 2 , jak długo zajmie kierowcy włączanie się do ruchu? (Taka informacja mogłaby być użyteczna przy projektowaniu infrastruktury autostradowej przez inżynierów.) Strategia rozwiązania Najpierw zróbmy schematyczny rysunek sytuacji, . Mamy obliczyć czas t rozpędzania się samochodu. Tak jak poprzednio, zidentyfikujemy niewiadome i wybierzemy odpowiednie równanie ruchu, które pozwoli nam znaleźć czas t . Schemat rozpędzania samochodu na autostradowym pasie rozbiegowym. Rozwiązanie Samochód porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową i na znanej drodze. Wypiszmy wszystkie dane, które znamy z treści zadania: x 0 = 0 , v 0 = 10 m / s , a = 2,00 m / s 2 oraz x = 200,0 m . Potrzebujemy obliczyć czas t . Tym razem równanie x = x 0 + v 0 t + a t 2 / 2 będzie najbardziej odpowiednie, bo zawiera tylko jedną niewiadomą t , której właśnie szukamy. Zauważmy, że podstawiając dane do tego wzoru, otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą. Wstawiamy dane do równania: 200 m = 0 m + 10,0 m / s ⋅ t + 1 2 ⋅ 2,00 m / s 2 ⋅ t 2 , i upraszczamy je. Jednostki długości (metry) znikają, bo wystepują w tej samej potędze po obu stronach równania. Przyjmijmy, że czas mierzymy w sekundach, przez co możemy podstawić: t = t s , gdzie t jest bezwymiarową zmienną, a s jest jednostką czasu. Otrzymujemy: 200 = 10 t + t 2 . Po uporządkowaniu równania identyfikujemy odpowiednie parametry równania kwadratowego i korzystamy ze wzoru na jego pierwiastki, aby wyliczyć t : t 2 + 10  t − 200 = 0  , t = − b ± b 2 − 4  a  c 2  a  , \begin{align} t^2 + 10t - 200 = 0 \text{,} \\ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \text{,} \end{align} co prowadzi nas do dwóch rozwiązań t = 10,0 s oraz t = –20,0 s . Ujemny wynik jest niefizyczny, dlatego go odrzucamy (oznaczałby on, że zdarzenie miało miejsce 20 s, zanim rozpoczął się ruch). W takim razie rozwiązaniem jest t = 10,0 s . Znaczenie Zazwyczaj, gdy rozwiązujemy równanie kwadratowe, otrzymamy dwa rozwiązania. W niektórych przypadkach oba rozwiązania mogą mieć sens, wybór poprawnego zależy wtedy od prawidłowej interpretacji. W innych przypadkach (takich jak nasz w tym przykładzie) tylko jedno rozwiązanie ma sens fizyczny. Otrzymany przez nas wynik 10,0 s wydaje się być rozsądnym czasem rozpędzania samochodu włączającego się do ruchu na autostradzie. Sprawdź, czy rozumiesz. Rakieta kosmiczna startuje w przyspieszeniem 20 m/s 2 . Ile czasu zajmie rakiecie osiągnięcie prędkości 400 m/s? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musisz wybrać odpowiednie równanie ruchu, które pozwoli ci wyznaczyć t na podstawie danych a , v 0 oraz v : v = v 0 + a t . Następnie przekształć je do postaci umożliwiającej obliczenie czasu t : t = v − v 0 a = 400 m / s − 0 m / s 20 m / s 2 = 20 s . Przyspieszenie statku kosmicznego Statek kosmiczny opuszcza orbitę ziemską i kieruje się w stronę Księżyca. Przyspiesza w tempie 20 m / s 2 w ciągu 2 min, kiedy to pokonuje dystans 1000 km. Jakie są początkowa i końcowa prędkość statku podczas tego manewru? Strategia rozwiązania Mamy obliczyć dwie niewiadome: prędkość początkową oraz prędkość końcową. Patrząc na naszą listę kinematycznych równań ruchu, widzimy, że żadne nie da nam jednocześnie obu tych rozwiązań. Musimy więc najpierw wyliczyć jedną niewiadomą, przy użyciu jednego z równań, a następnie podstawić ją do kolejnego równania, by znaleźć tę drugą niewiadomą. Mamy więc do rozwiązania układ dwóch równań zawierających dwie niewiadome. Rozwiązanie Najpierw obliczymy v 0 , korzystając z równania x = x 0 + v 0 t + a t 2 / 2 x − x 0 = v 0 t + 1 2 a t 2 10 6 m = v 0 ⋅ 120,0 s + 1 2 ⋅ 20,0 m / s 2 ⋅ ( 120,0 s ) 2 v 0 = 7 133,3 m / s . Tak obliczone v 0 wstawimy teraz do równania v = v 0 + a t na nieznaną prędkość końcową: v = v 0 + a t = 7 133,3 m / s + 20,0 m / s 2 ⋅ 120,0 s = 9 533,3 m / s . Znaczenie Do opisu ruchu w jednym wymiarze używamy sześciu niezależnych wielkości, którymi są: przemieszczenie (równe położeniu końcowemu minus położenie początkowe), czas, prędkość (początkowa i końcowa) i przyspieszenie. W zadaniach mogą być podane dowolne ich kombinacje, dlatego nie zawsze możemy znaleźć rozwiązanie, po prostu wstawiając dane do równania i wyliczając niewiadomą. Czasem, jak w przykładzie, którym teraz się zajmowaliśmy, trzeba rozwiązać układ kilku równań ruchu jednocześnie. Dzięki podstawom, które dotąd poznaliśmy, możemy przejść do bardziej złożonych i ciekawych zagadnień kinematyki. W procesie dochodzenia do kinematycznych równań ruchu i stosowania ich do problemów fizycznych wypracowaliśmy także ogólne metody rozwiązywania zadań, które dają poprawne wyniki i możliwość interpretacji związków między wielkościami fizycznymi. Następnym stopniem zaawansowania problemów fizycznych z dziedziny kinematyki będzie zagadnienie ruchu wzajemnego dwóch ciał, które można nazwać zagadnieniem pogoni i ucieczki . Zagadnienie pogoni i ucieczki dwóch ciał Do tej pory zajmowaliśmy się ruchem tylko pojedynczych ciał. Nawet w przykładzie o dwóch samochodach zmniejszających prędkość aż do momentu zatrzymania na mokrym i suchym asfalcie zagadnienie traktowaliśmy jako odrębne ruchy poszczególnych samochodów. W zagadnieniu pogoni i ucieczki dwóch ciał , ruch obu ciał jest sprzężony – oznacza to, że niewiadome, których będziemy szukać, zależą od ruchu obu ciał jednocześnie. Aby rozwiązać taki problem, napiszemy równania ruchu dla każdego z ciał i rozwiążemy taki układ równań (sprzężonych) ze względu na niewiadomą. Zagadnienie w schematyczny sposób przedstawia . Przykładowa realizacja zagadnienia pogoni, gdzie samochód 2, jadący ze stałą prędkością, jest ścigany przez samochód 1, który porusza się ze stałym przyspieszeniem. Samochód 1 dogania samochód 2 po pewnym czasie. Czas i droga, po jakich samochód 1 dogoni samochód 2, zależą od początkowej odległości między samochodami oraz od prędkości początkowych obu samochodów i przyspieszenia samochodu 1. Oczywiście samochód 2 też może mieć swoje przyspieszenie, dzięki któremu może nawet zdołać uciec przed samochodem goniącym. Aby znaleźć drogę i czas, musimy zapisać kinematyczne równania ruchu dla obu ciał i je rozwiązać. Rozważmy następujący przykład. Gepard ścigający gazelę Gepard czeka przyczajony w zaroślach. W pewnej chwili dostrzega gazelę, nadbiegającą z szybkością 10  m / s , i w momencie, gdy ta mija geparda, gepard rzuca się za nią w pogoń, przyspieszając od zerowej prędkości początkowej w tempie 4 m / s 2 . Ile czasu zajmie gepardowi złapanie gazeli? Jakie jest całkowite przemieszczenie geparda i gazeli? Załóż, że gazela biegnie ciągle ze stałą szybkością (np. nie zauważyła pościgu geparda) oraz że zwierzęta biegną po prostej. Strategia rozwiązania Do rozwiązania zadania użyjemy zestawu równań ruchu ze stałym przyspieszeniem, które poznaliśmy wcześniej. Ponieważ mamy do czynienia z ruchem dwóch ciał, zapiszemy równania osobno dla każdego zwierzęcia. Równania te jednak będą ze sobą powiązane (mówimy: sprzężone) poprzez wspólny parametr, którym jest położenie końcowe obu zwierząt x (czyli droga, po jakiej gepard złapie gazelę) i czas pościgu t . Zakładamy dla obu zwierząt x 0 = 0 , zatem po czasie pościgu t rzeczywiście oba zwierzęta będą miały to samo położenie końcowe. Pomysł jest taki, że zapiszemy równania na położenia geparda i gazeli i przyrównamy je do siebie, aby obliczyć czas. Następnie do któregokolwiek z nich podstawiamy obliczoną wartość czasu i otrzymamy drogę. Rozwiązanie Równanie ruchu gazeli. Gazela porusza się ze stałą prędkością, która jest jej prędkością średnią w tym ruchu, bo nie występuje przyspieszenie. Użyjemy więc z położeniem początkowym x 0 = 0 : x = x 0 + v ¯ t = v ¯ t . Równanie ruchu geparda. Gepard przyspiesza ze spoczynku, więc jego ruch jest ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej. Dla niego zapiszemy więc , kładąc x 0 = 0 oraz v 0 = 0 : x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 = 1 2 a t 2 . Otrzymaliśmy układ dwóch równań ruchu dla każdego zwierzęcia osobno ze wspólnym parametrem, którym jest czas t . Porównujemy ze sobą oba położenia końcowe i obliczamy czas: v ‾  t = 1 2  a  t 2  , t = 2  v ‾ a  . \begin{align} \overline{v} t = \frac12 a t^2 \text{,} \\ t = \frac{2 \overline v}{a} \text{.} \end{align} Podstawiamy za średnią prędkość gazeli 10 m/s, a za przyspieszenie geparda 4 m / s 2 i wyliczamy czas t , po którym gepard dogoni gazelę: t = 2 v – a = 2 ⋅ 10 m / s 4 m / s 2 = 5 s . Aby teraz obliczyć całkowite przemieszczenie (równe dla gazeli i geparda), podstawimy obliczony czas do któregokolwiek z równań opisujących położenie. Oba powinny dać ten sam wynik. Przemieszczenie geparda: x = 1 2 a t 2 = 1 2 ⋅ 4 m / s 2 ⋅ ( 5 s ) 2 = 50 m . Przemieszczenie gazeli: x = v – t = 10 m / s ⋅ 5 s = 50 m . Tak jak się spodziewaliśmy, przemieszczenia są takie same. Znaczenie W tego typu zagadnieniach pogoni i ucieczki ważne jest, aby dokonać odpowiedniej analizy indywidualnego ruchu każdego z ciał i poprawnie zapisać jego kinematyczne równania ruchu. Trzeba też dobrze przemyśleć, jakie są parametry ruchu wspólne dla obu ciał. Sprawdź, czy rozumiesz. Rower porusza się ze stałą prędkością 10 m/s. Biegacz startuje ze spoczynku w momencie, gdy rower go mija, i po 30 s dogania rower. Z jakim przyspieszeniem poruszał się biegacz? a = 2 3 m / s 2 . Podsumowanie Gdy analizujesz prostoliniowy ruch ciała ze stałym przyspieszeniem, określ dobrze, jakie są dane i co masz obliczyć, następnie wybierz odpowiednie równanie ruchu i je rozwiąż ze względu na niewiadomą. W zależności od liczby niewiadomych musisz użyć jednego lub dwóch równań ruchu. W zagadnieniu pogoni i ucieczki dwóch ciał zawsze musisz zapisać dwa zestawy równań ruchu – dla każdego z ciał osobno – i zidentyfikować wspólne parametry. Pytania Jaka jest wymagana liczba znanych wielkości fizycznych, aby w ruchu jednowymiarowym móc obliczyć niewiadome na podstawie kinematycznych równań? Podaj dwa scenariusze problemów kinematycznych pojedynczego ciała, w których, mając trzy dane, musisz użyć dwóch równań ruchu, aby obliczyć niewiadome. 1. Dane są: przyspieszenie, czas ruchu i całkowite przemieszczenie, a do obliczenia mamy: początkową i końcową prędkość. 2. Znamy: prędkość końcową, czas i przemieszczenie, a do obliczenia są: prędkość początkowa i przyspieszenie. Zadania Cząstka porusza się po linii prostej ze stałą prędkością 30,0 m/s. Jakiego przemieszczenia doznaje ona do piątej sekundy ruchu? 150 m Cząstka porusza się ruchem prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem 30 m / s 2 . Jeżeli w czasie t = 0 , x = 0 i v = 0 , to jakie jest położenie cząstki w chwili t = 5 s ? Cząstka porusza się ruchem prostoliniowym z prędkością początkową 30 m/s i stałym przyspieszeniem 30 m / s 2 . Jakie jest jej przemieszczenie do chwili t = 5 s ? Jaka jest wtedy jej prędkość? 375 m; 150 m/s. Na podstawie wykresu położenia od czasu naszkicuj zależność prędkości od czasu. Podaj czas (lub czasy, np. t a , t b , t c itd.), gdy prędkość chwilowa ma największą wartość dodatnią. W jakich chwilach prędkość jest zero? W jakich jest ujemna? Narysuj zależność przyspieszenia od czasu, znając przebieg zależności prędkości od czasu. Określ czasy (np. t a , t b , t c itd.), dla których przyspieszenie ma największą dodatnią wartość. Kiedy przyspieszenie jest zero? Kiedy jest ujemne? Przyspieszenie ma największą wartość dodatnią w t a ; Przyspieszenie wynosi zero w t e oraz t h ; Przyspieszenie jest ujemne w t i , t j , t k , t l . Cząstka ma stałe przyspieszenie 6,0 m / s 2 . Jeśli jej prędkość początkowa ma wartość 2,0 m/s, to po jakim czasie przemieści się ona o 5,0 m? Jaką wtedy ma prędkość? W chwili t = 10,0 s cząstka porusza się w prawo z szybkością 5,0 m/s. Z kolei w chwili t = 20,0 s cząstka porusza się w lewo z szybkością 8,0 m/s. Zakładając stałą wartość przyspieszenia, określ przyspieszenie cząstki, prędkość początkową cząstki oraz moment czasu, kiedy cząstka zatrzymuje się i zawraca. a = − 1,3 m / s 2 ; v 0 = 18 m / s ; t = 13,8 s . Zawodnik łapie piłkę baseballową w rękawicę. Jeżeli opóźnienie piłki hamowanej w rękawicy wynosi 2,10 ⋅ 10 4 m / s 2 , a od chwili zetknięcia piłki z rękawicą do całkowitego jej zatrzymania upływa 1,85 ms ( 1 m s = 10 − 3 s ), to z jaką prędkością piłka wpadała do rękawicy? Kulka jest przyspieszana w lufie pistoletu w tempie 6,20 ⋅ 10 5 m / s 2 w czasie 8,10 ⋅ 10 − 4 s . Jaka jest prędkość wylotowa kulki (tzn. prędkość końcowa w ruchu przyspieszonym wewnątrz lufy)? v = 502,20 m / s . Niewielka kolejka podmiejska przyspiesza w tempie 1,35 m/s 2 . Jak długo zajmuje jej rozpędzenie się do swojej maksymalnej prędkości 80 km/h? Ta sama kolejka może hamować z przyspieszeniem o wartości 1,65 m/s 2 . Jak długo trwa zatrzymywanie kolejki rozpędzonej do prędkości maksymalnej? W sytuacjach awaryjnych motorniczy może użyć hamulca bezpieczeństwa, dzięki czemu kolejka od prędkości maksymalnej zatrzymuje się w 8,30 s. Jakie opóźnienie daje hamulec bezpieczeństwa? Podczas włączania się do ruchu na autostradzie samochód przyspiesza w tempie 2,40 m / s 2 przez 12,0 s od spoczynku. Naszkicuj tę sytuację. Wypisz wszystkie dane. Jaki dystans pokona samochód w czasie 12,0 s? Przy rozwiązywaniu, najpierw zdefiniuj niewiadomą, potem wybierz równanie ruchu, którego użyjesz, a następnie zapisz wszystkie kroki rozwiązania. Na końcu sprawdź zgodność jednostek i przeprowadź dyskusję fizycznej poprawności wyniku. Jaka jest prędkość końcowa samochodu? Rozwiąż to zadanie, wykonując te same kroki co w punkcie (c). Dane: a = 2,40 m / s 2 , t = 12,0 s , v 0 = 0 oraz x 0 = 0 ; x = x 0 + v 0 t + a t 2 / 2 = a t 2 / 2 = 2,40 m / s 2 ⋅ ( 12,0 s ) 2 / 2 = 172,80 m , wynik ten wydaje się być sensowny w rzeczywistej sytuacji fizycznej; v = 28,8 m / s Niefizyczny wynik Po minięciu linii mety biegaczka zwalnia od prędkości 9,00 m/s w tempie 2,00 m / s 2 . Jaki dystans pokona ona po czasie 5,00 s? Jaka jest wtedy jej prędkość końcowa? Oceń wyniki. Czy mają one sens fizyczny? Lewa komora serca wyrzuca krew do aorty, nadając jej prędkość 30,0 cm/s na dystansie 1,80 cm. Naszkicuj tę sytuację. Wypisz dane. Ile czasu trwa wyrzut krwi? Dokonaj rozwiązania z uwzględnieniem wszystkich kroków, tak jak w rozwiązanych w sekcji przykładach. Czy wynik jest sensowny w porównaniu z czasem skurczu serca, wyliczonym na podstawie typowego pulsu człowieka? Dane: v = 30,0 c m / s , x = 1,80 c m ; a = 250 c m / s 2 , t = 0,12 s ; Tak. W trakcie uderzenia krążka kijem do hokeja krążek przyspiesza od prędkości 8,00 m/s do 40,0 m/s wzdłuż tej samej prostej. Jeżeli uderzenie trwa 3,33 ⋅ 10 − 2 s (jest to czas trwania kontaktu kija z krążkiem), to na jakim dystansie krążek jest rozpędzany przy pomocy kija? Supersportowy motocykl (ścigacz) może przyspieszać od 0 do 100 km/h (26,8 m/s) w czasie tylko 3,90 s. Jakie jest średnie przyspieszenie motocykla? Jaką drogę pokonuje motocykl w tym czasie? 6,87 m / s 2 x = 52,26 m Pociąg towarowy ma stosunkowo małe przyspieszenie. Jaką prędkość końcową osiąga pociąg, który przyspiesza od prędkości początkowej 4,00 m/s w czasie 8,00 min z przyspieszeniem 0,0500 m / s 2 ? Jeśli pociąg hamuje z przyspieszeniem 0,550 m / s 2 , to ile czasu zajmie mu zatrzymanie się? Jaką drogę pokona w tym czasie? Rakieta z ładunkiem sztucznych ogni jest wystrzelona z ziemi i po pokonaniu 0,250 m ma już prędkość maksymalną o wartości 65,0 m/s, z którą wznosi się dalej. Oblicz przyspieszenie rakiety i czas jej lotu do uzyskania prędkości końcowej. a = 8 450 m / s 2 ; t = 0,0077 s . Łabędź energicznie macha skrzydłami i „biegnie” po wodzie, aby wzbić się z powietrze z tafli jeziora. Jeżeli poruszając się z przyspieszeniem 0,35 m / s 2 , musi on osiągnąć prędkość 6,00 m/s, aby unieść się w powietrze, to jaki dystans w poziomie pokona, zanim się wzbije do lotu? Ile czasu to trwa? Czaszka dzięcioła jest specjalnie skonstruowana tak, by chronić mózg ptaka przed dużymi przeciążeniami w trakcie energicznego uderzania w drzewo. Podczas pojedynczego uderzenia głowa dzięcioła zatrzymuje się od prędkości początkowej 0,600 m/s na dystansie tylko 2,00 mm. Znajdź wielkość przyspieszenia, jakiego doznaje głowa dzięcioła, i wyraź ją w metrach na sekundę kwadratową oraz w jednostkach g = 9,81 m / s 2 . Oblicz czas do zatrzymania. Ścięgna utrzymujące mózg w czaszce dzięcioła mogą się rozciągnąć tak, że droga hamowania głowy dzięcioła podczas jego pracy wydłuża się do 4,50 mm (mózg doznaje wtedy mniejszego przeciążenia). Jakie wtedy jest przyspieszenie wyrażone w jednostkach g ? a = 9,18 g ; t = 6,67 ⋅ 10 − 3 s ; a = − 40 m / s 2 = 4,08 g . Nieuważny napastnik wpada z szybkością 7,50 m/s na bramkarza drużyny przeciwnej i zatrzymuje się, odpychając go o 0,350 m. Jakiego doznaje wtedy przyspieszenia? Jaki czas trwa zderzenie? Podczas zrzutu samolotowego ładunek ląduje w lesie i zatrzymuje się na gałęziach drzew. Jeśli założyć, że szybkość ładunku w momencie zetknięcia z drzewami wynosi 54 m/s (194,4 km/h), a gałęzie hamują ładunek na drodze 3,0 m, to jakiego przyspieszenia on doznaje? Dane: x = 3 m , v = 0 , v 0 = 54 m / s . Chcemy obliczyć a , więc użyjemy : a = − 486 m / s 2 . Pociąg ekspresowy mija stację, na której się nie zatrzymuje. Wjeżdża na peron z prędkością 22,0 m/s i zwalnia ze stałym opóźnieniem 0,150 m / s 2 . Długość stacji to 210,0 m. Jaką szybkość ma pociąg, gdy opuszcza stację? Jak długo przód pociągu przejeżdża przez stację? Jeżeli długość pociągu wynosi 130,0 m, z jaką szybkością opuszcza stację ostatni wagon? Po jakim czasie koniec pociągu opuści stację? Niefizyczne rozwiązanie Dragster może rozpędzić się do swojej maksymalnej prędkości 145,0 m/s w czasie tylko 4,45 s. Oblicz średnie przyspieszenie dragstera. Oblicz prędkość końcową dragstera ruszającego od startu z obliczonym w (a) przyspieszeniem w wyścigu na 1/4 mili (402,0 m), nie korzystając z informacji o czasie. Dlaczego obliczona prędkość końcowa jest większa niż prędkość maksymalna dragstera? Wskazówka : Zastanów się, czy założenie stałego przyspieszenia na całej długości toru jest prawidłowe. Jeśli nie, to odpowiedz sobie na pytanie, czy przyspieszenie jest większe na początku czy na końcu i jak to wpływa na prędkość końcową. a = 32,58 m / s 2 ; v = 161,85 m / s ; v > v max , ponieważ założenie stałego przyspieszenia jest błędne. Dragster zmienia biegi podczas rozpędzania się, a na każdym wyższym biegu przyspieszenie jest mniejsze. Największe przyspieszenie jest więc na początku wyścigu, a na ostatnich metrach będzie już na pewno mniejsze niż 32,58 m / s 2 . W rezultacie prędkość końcowa będzie na pewno mniejsza niż obliczone 161,85 m / s . zagadnienie pogoni i ucieczki dwóch ciał (ang. two-body pursuit problem ) zagadnienie kinematyczne, w którym wspólną dla ruchu obu ciał niewiadomą obliczamy, rozwiązując układ dwóch sprzężonych równań ruchu, zapisanych dla każdego z ciał oddzielnie.

Science