Prawo Coulomba Doświadczenia z ładunkami elektrycznymi pokazały, że dwa ciała obdarzone ładunkami elektrycznymi działają na siebie siłą elektrostatyczną. Siła ta jest wprost proporcjonalna do ładunku każdego z ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. (Co ciekawe, siła ta nie zależy od masy ciał). Kierunek wektora siły pokrywa się z domyślną linią łączącą oba ciała, a jego zwrot jest określony za pomocą znaków ładunków. Przyjmijmy, że q 1 q 2 q_1, q_2 ładunki elektryczne dwóch ciał; r → 1 2 \vec{r}_{1\sep 2} wektor łączący ładunki q 1 i q 2 . Siła elektrostatyczna F → działająca na dany ładunek jest proporcjonalna zarówno do wielkości tego ładunku, jak i wielkości drugiego ładunku i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi F ∝ q 1  q 2 r 1 2 2  . Ta proporcjonalność przekształca się w równość po wprowadzeniu stałej proporcjonalności. Z przyczyn, które zostaną wyjaśnione w kolejnym podrozdziale, stała proporcjonalności, jaką stosujemy, składa się z kilku stałych. (Tę stałą omówimy wkrótce). Prawo Coulomba Siła elektrostatyczna (lub siła Coulomba , ang. Coulomb force ) pomiędzy dwoma naładowanymi elektrycznie cząsteczkami wynosi F → 1 2  r = 1 4  π  ε 0 ⋅ q 1  q 2 r 1 2 2  r ̂ 1 2  . Posługujemy się wartością bezwzględną iloczynu q 1  q 2 , ponieważ jeden z ładunków może być ujemny, a wartość siły jest zawsze dodatnia. Wektor jednostkowy (wersor) r ̂ wskazuje kierunek od ładunku q 1 do q 2 . Jeżeli q 1 oraz q 2 mają te same znaki, to wektor siły działającej na q 2 jest skierowany w stronę przeciwną do q 1 ; gdy mają znaki przeciwne, to siła działająca na q 2 jest skierowana w stronę q 1 ( ). Siła elektrostatyczna F → oddziaływania pomiędzy ładunkami punktowymi q 1 i q 2 oddalonymi o r jest wyrażona prawem Coulomba. Zauważmy, że trzecia zasada dynamiki (oddziaływania ciał są zawsze wzajemne) obowiązuje bez zmian – siła działająca na q 1 jest równa co do wartości i przeciwnie skierowana do siły, z jaką działa na q 2 . (a) Ładunki jednoimienne. (b) Ładunki różnoimienne. Ważne jest, aby pamiętać, że siła elektrostatyczna nie jest stała; zależy od odległości między dwoma ładunkami. Jeżeli ładunek próbny lub ładunek źródłowy (albo oba) przemieści się, to zmieni się r → i w konsekwencji zmieni się siła. Oznacza to, że bezpośrednie stosowanie zasad dynamiki Newtona może okazać się trudne, w zależności od zagadnienia, z jakim mamy do czynienia. Na ogół potrafimy to zrobić, jednak zazwyczaj szukamy najłatwiejszych sposobów obliczania interesujących nas wielkości fizycznych. (Zasada zachowania energii jest wybierana najczęściej). Na koniec, nowa stała ε 0 występująca w prawie Coulomba nazywana jest przenikalnością elektryczną wolnej przestrzeni lub (lepiej) przenikalnością elektryczną próżni (ang. permittivity of vacuum ). Stała ta ma bardzo istotne znaczenie fizyczne, które omówimy w kolejnym podrozdziale; w tym miejscu przyjmijmy, że to po prostu doświadczalnie wyznaczona stała proporcjonalności. Jej wartość (z dokładnością do trzech znaczących miejsc) wynosi około ε 0 = 8,85 ⋅ 10 -12  C 2 ∕ N  m 2  . Jednostki są niezbędne, aby siła w prawie Coulomba była prawidłowo wyrażona w niutonach ( N \si{\newton} ). Zauważmy, że w prawie Coulomba przenikalność elektryczna próżni stanowi tylko część stałej proporcjonalności. Dla udogodnienia często wprowadzamy stałą elektrostatyczną k = 1 4  π  ε 0 ≈ 8,99 ⋅ 10 9  N  m 2 ∕ C 2  . Siła działająca na elektron w atomie wodoru Atom wodoru składa się z pojedynczego protonu i pojedynczego elektronu. Proton ma ładunek + e , a elektron − e . W atomie będącym w stanie podstawowym elektron okrąża proton w najbardziej prawdopodobnej odległości 5,29 ⋅ 10 -11  m ( ). Obliczmy siłę, z jaką proton działa na elektron. Na rysunku przedstawiono schematycznie atom wodoru z zaznaczoną siłą działającą na elektron. Ten obrazek ma nam pozwolić obliczyć tę siłę; w rzeczywistości atom wodoru tak nie wygląda. Zobacz . Strategia rozwiązania W tym przykładzie traktujemy elektron i proton jako dwie obdarzone ładunkiem elektrycznym punktowe cząstki znajdujące się w podanej odległości; szukamy siły działającej na elektron. Zatem posłużymy się prawem Coulomba. Rozwiązanie Wartości ładunków elektrycznych i odległość między nimi wynoszą odpowiednio q 1 = + e = + 1,602 ⋅ 10 -19  C  , q 2 = − e = − 1,602 ⋅ 10 -19  C  , \begin{align} q_1 &= +e = + \SI{1,602e-19}{\coulomb} \text{,} \\ q_2 &= -e = - \SI{1,602e-19}{\coulomb} \text{,} \end{align} r = 5,29 ⋅ 10 -11  m  . r = \SI{5,29e-11}{\metre} \text{.} Siła działająca na elektron wynosi F = 1 4  π  ε 0 ⋅ e 2 r 2 = 1 4  π ⋅ 8,85 ⋅ 10 -12  C 2 ∕ N  m 2 ⋅ 1,602 ⋅ 10 -19  C 2 5,29 ⋅ 10 -11  m 2 F = 8,25 ⋅ 10 -8  N  . \begin{multiline} F &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{\abs{e}^2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \cdot \SI{8,85e-12}{\squared\coulomb\per\newton\per\squared\metre}} \cdot \frac{(\SI{1,602e-19}{\coulomb})^2}{(\SI{5,29e-11}{\metre})^2} \\ &= \SI{8,25e-8}{\newton} \text{.} \end{multiline} F = 1 4  π  ε 0 ⋅ e 2 r 2 = 1 4  π ⋅ 8,85 ⋅ 10 -12  C 2 ∕ N  m 2 ⋅ 1,602 ⋅ 10 -19  C 2 5,29 ⋅ 10 -11  m 2 = 8,25 ⋅ 10 -8  N  . Co do kierunku, to skoro ładunki obu cząsteczek są przeciwne, to siła jest przyciągająca; siła działająca na elektron jest zwrócona radialnie, wprost w stronę protonu w każdym punkcie orbity. Siłę można więc zapisać w postaci F → = 8,25 ⋅ 10 -8  N ⋅ r ̂  . Znaczenie W tym układzie trójwymiarowym elektron (a co za tym idzie i siła działająca na niego) może znajdować się w dowolnym miejscu umownej sfery wokół protonu. W tym klasycznym modelu atomu wodoru siła elektrostatyczna działająca na elektron jest siłą dośrodkową, utrzymującą elektron w ruchu po orbicie. Pamiętajmy jednak, że kwantowo-mechaniczny model wodoru (omawiany w rozdziale Mechanika kwantowa ) jest całkowicie inny. Sprawdź, czy rozumiesz. Jak zmieniłaby się sytuacja w powyższym przykładzie, gdyby elektron miał także ładunek dodatni? Siła byłaby skierowana na zewnątrz. Wiele ładunków źródłowych Analiza, którą przeprowadziliśmy dla dwóch cząsteczek, może być rozszerzona na dowolną ich liczbę – wystarczy, że powtórzymy nasze rozumowanie, biorąc po dwa ładunki za każdym razem. Zadajemy pytanie: jaka jest siła wywierana przez N ładunków (które określamy jako ładunki źródłowe) na inny ładunek punktowy (który określamy jako ładunek próbny)? Posługujemy się takimi pojęciami, bo stosujemy ładunek próbny do sprawdzenia wielkości siły generowanej przez ładunki źródłowe. Tak jak w przypadku sił, z którymi dotychczas mieliśmy do czynienia, wypadkowa siła działająca na ładunek próbny jest po prostu sumą wektorową poszczególnych sił elektrostatycznych wywieranych na ten ładunek przez poszczególne ładunki źródłowe. Zatem możemy obliczyć siłę wypadkową działającą na ładunek próbny Q , obliczając siłę pochodzącą od każdego ładunku źródłowego, biorąc za każdym razem jeden ładunek źródłowy i sumując potem te wszystkie siły (wektorowo). Ta możliwość prostego dodawania poszczególnych sił, którą określamy jako zasadę superpozycji (ang. principle of superposition ), jest jedną z najważniejszych właściwości siły elektrostatycznej. Wyrażamy to wzorem: F →  r = 1 4  π  ε 0  Q  ∑ i = 1 N q i r i 2  r ̂ i  . W tym wyrażeniu Q jest ładunkiem cząsteczki, która jest pod wpływem działania siły elektrostatycznej F → i znajduje się w położeniu r → względem początku układu współrzędnych; q i to N ładunków źródłowych, a wektory r → i = r i  r ̂ i opisują położenia tego ładunku względem położenia ładunku Q . Każdy z N wersorów jest skierowany od danego ładunku źródłowego do ładunku próbnego. Całość jest pokazana na . Zauważmy, że z punktu widzenia fizyki nie ma różnicy pomiędzy Q a q i ; różnica w nazewnictwie ma wyłącznie ułatwić analizę, a Q oznacza ładunek, dla którego wyznaczamy siłę nań działającą. Osiem ładunków źródłowych działających siłą na pojedynczy ładunek próbny Q . Każda z sił może być obliczona niezależnie od pozostałych siedmiu. To istota zasady superpozycji. (Zauważmy, że wektor siły F → i nie musi mieć takiego samego zwrotu jak wersor r ̂ i , może być zwrócony w przeciwną stronę − r ̂ i . Znaki ładunku źródłowego i ładunku próbnego decydują o zwrocie siły działającej na ładunek próbny). Mamy jednak pewien dylemat. Tak jak ładunki źródłowe działają siłą na ładunek próbny, to także ładunek próbny (zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona) działa na ładunki źródłowe siłą o takiej samej wartości, ale przeciwnie skierowaną. W wyniku tego działania każdy ładunek źródłowy zmieniałby położenie. Jednak zgodnie z siła wypadkowa działająca na ładunek próbny jest funkcją położenia, zatem podczas zmiany położenia siła wypadkowa działająca na ładunek próbny musi się zmienić, co z kolei powoduje zmianę siły i kolejną zmianę położeń. Wskutek tego cała analiza matematyczna staje się trudna do przeprowadzenia. Poznamy później metodę postępowania w takiej sytuacji, ale teraz przyjmujemy upraszczające założenie, że ładunki są zlokalizowane i ich położenia nie zmieniają się z czasem (ładunek próbny może się przemieszczać). Przy tym założeniu mamy do czynienia z dziedziną fizyki nazywaną elektrostatyką (ang. electrostatics ), gdzie określenie „statyka” odnosi się do stałego (statycznego) położenia ładunków źródłowych i wtedy też mówimy o sile elektrostatycznej (ang. electrostatic force ). Siła wypadkowa pochodząca od dwóch ładunków źródłowych Trzy małe, naładowane elektrycznie ciała są rozmieszczone, tak jak pokazano na . Ładunki q 1 i q 3 są zlokalizowane, q 2 może się przemieszczać. Mając dane q 1 = 2  e , q 2 = − 3  e i q 3 = − 5  e oraz wiedząc, że d = 2 ⋅ 10 -7  m , obliczmy wypadkową siłę działającą na ładunek środkowy q 2 . Każdy z ładunków źródłowych q 1 i q 3 działa siłą na q 2 . Strategia rozwiązania Posługujemy się prawem Coulomba. Z treści zadania wynika, że q 2 jest ładunkiem próbnym, zatem q 1 i q 3 są ładunkami źródłowymi. Zgodnie z zasadą superpozycji siła, z jaką każdy ładunek działa na q 2 , nie zależy od obecności innego ładunku. Dlatego zapisujemy siłę, z jaką każdy ładunek działa na q 2 , i następnie dodajemy je wektorowo. Rozwiązanie Mamy dane dwa ładunki źródłowe (  q 1 i q 3  ), ładunek próbny ( q 2  ), odległości (  r 2 1 i r 2 3  ), a pytamy o siłę. Korzystamy z prawa Coulomba i zasady superpozycji. Mamy do czynienia z dwiema siłami F → = F → 2 1 + F → 2 3 = 1 4  π  ε 0  q 2  q 1 r 2 1 2  j ̂ + − q 2  q 3 r 2 3 2  i ̂  . Nie możemy tak po prostu dodać tych dwóch sił, bo nie są zwrócone w tym samym kierunku: F → 2 3 jest zwrócona w kierunku − x , podczas gdy F → 2 1 jest zwrócona w kierunku + y . Wypadkowa siła, wyznaczona z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do jej składowych x i y jest równa F = F x 2 + F y 2  , gdzie F x = − F 23 = − 1 4  π  ε 0 ⋅ q 2  q 3 r 23 2 F x = − 8,99 ⋅ 10 9  N  m 2 ∕ C 2 ⋅ 4,806 ⋅ 10 -19  C ⋅ 8,01 ⋅ 10 -19  C 4 ⋅ 10 -7  m 2 = − 2,16 ⋅ 10 -14  N \begin{multiline} F_x &= -F_{23} = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_2q_3}{r^2_{23}} \\ &= - \SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\squared\coulomb} \cdot \frac{\SI{4,806e-19}{\coulomb} \cdot \SI{8,01e-19}{\coulomb}}{(\SI{4e-7}{\metre})^2} = -\SI{2,16e-14}{\newton} \end{multiline} F x = − F 23 = − 1 4  π  ε 0 ⋅ q 2  q 3 r 23 2 = − 8,99 ⋅ 10 9  N  m 2 ∕ C 2 ⋅ 4,806 ⋅ 10 -19  C ⋅ 8,01 ⋅ 10 -19  C 4 ⋅ 10 -7  m 2 = − 2,16 ⋅ 10 -14  N oraz F y = F 21 = 1 4  π  ε 0 ⋅ q 2  q 1 r 21 2 F y = 8,99 ⋅ 10 9  N  m 2 ∕ C 2 ⋅ 4,806 ⋅ 10 -19  C ⋅ 3,204 ⋅ 10 -19  C 2 ⋅ 10 -7  m 2 = 3,46 ⋅ 10 -14  N  . \begin{multiline} F_y &= F_{21} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_2q_1}{r^2_{21}} \\ &= \SI{8,99e9}{\newton\metre\squared\per\squared\coulomb} \cdot \frac{\SI{4,806e-19}{\coulomb} \cdot \SI{3,204e-19}{\coulomb}}{(\SI{2e-7}{\metre})^2} = -\SI{3,46e-14}{\newton} \text{.} \end{multiline} F y = F 21 = 1 4  π  ε 0 ⋅ q 2  q 1 r 21 2 = 8,99 ⋅ 10 9  N  m 2 ∕ C 2 ⋅ 4,806 ⋅ 10 -19  C ⋅ 3,204 ⋅ 10 -19  C 2 ⋅ 10 -7  m 2 = − 3,46 ⋅ 10 -14  N  . Stąd otrzymujemy F = F x 2 + F y 2 = 4,08 ⋅ 10 -14  N  , pod kątem ϕ = arc tg F y F x = arc tg 3,46 ⋅ 10 -14  N − 2,16 ⋅ 10 -14  N = − 58 °  , to znaczy 58 ° powyżej półosi − x , tak jak to pokazano na rysunku. Znaczenie Zauważmy, że gdy podstawialiśmy do obliczeń wartości ładunków, nie uwzględnialiśmy ujemnego znaku dla q 2 czy też q 3 . Przypomnijmy, że znak ujemny w przypadku wielkości wektorowych oznacza ich przeciwny zwrot. Jednak dla sił elektrostatycznych zwrot siły jest określony przez to, jakie są (jakiego znaku) oba oddziałujące ładunki; określamy zwroty sił, biorąc pod uwagę, czy znaki obu ładunków są takie same, czy przeciwne. Jeżeli, podstawiając do obliczeń wartości liczbowe, uwzględnimy także dla ładunków ujemnych ich ujemne znaki, to istnieje ryzyko, że otrzymamy przeciwny zwrot obliczanej siły. Tak więc najlepiej jest obliczyć wartość siły, biorąc do obliczeń wartości absolutne ładunków, a następnie wyznaczyć zwroty sił niezależnie. Warto również zauważyć, że w tym przykładzie nowy jest tylko pomysł sposobu obliczania sił elektrostatycznych, wszystko pozostałe (wyznaczanie siły na podstawie jej składowych, rozkład sił na składowe, wyznaczanie kierunku i zwrotu siły wypadkowej) jest takie samo jak w zadaniach wykorzystujących obliczanie siły, które rozwiązywaliśmy poprzednio. Sprawdź, czy rozumiesz. Co zmieniłoby się, gdyby wartość q 1 była ujemna? Siła wypadkowa byłaby skierowana 58  ° poniżej osi − x . Podsumowanie Prawo Coulomba pozwala obliczyć wartość siły działającej pomiędzy ładunkami punktowymi. Ma postać F → 1 2  r = 1 4  π  ε 0 ⋅ q 1  q 2 r 1 2 2  r ̂ 1 2  , gdzie q 2 i q 2 są dwoma ładunkami punktowymi oddalonymi od siebie o r 1 2 r_{1\sep 2} . Siła Coulomba jest oddziaływaniem fundamentalnym, gdyż większość ładunków jest związanych z cząsteczkami, które można traktować jako punktowe. To oddziaływanie odpowiada za wszystkie zjawiska elektrostatyczne i jest źródłem większości makroskopowych sił. Pytania Czy na prawo Coulomba wpłynęłoby przyjęcie, że ładunek elektronu jest dodatni? Jądro atomowe składa się z dodatnio naładowanych protonów i obojętnych elektrycznie neutronów. Jakie wnioski można wyciągnąć na temat sił działających pomiędzy tymi cząstkami, które utrzymują jądro w całości? Siły utrzymujące jądro w całości muszą być większe od elektrostatycznych sił, z jakimi odpychają się protony. Czy inne ładunki wpływają na siłę oddziaływania pomiędzy dwoma zlokalizowanymi ładunkami? Zadania Dwie punktowe cząsteczki obdarzone ładunkami + 3  µC i + 5  µC są utrzymywane w miejscu przez siły o wartości 3  N działające na każdy z nich. Narysuj siły działające na każdą z cząsteczek; Oblicz odległość między cząsteczkami. Dwa zlokalizowane ładunki + 3  µC i + 12  µC znajdują się w odległości 1  m od siebie, przy czym drugi z nich znajduje się po prawej stronie. Określ wartość, kierunek i zwrot siły wypadkowej działającej na ładunek − 2  nC , gdy jest on umieszczony w środku odcinka łączącego ładunki; pół metra w lewo od ładunku + 3  µC ; pół metra nad ładunkiem + 12  µC w kierunku prostopadłym do linii łączącej oba zlokalizowane ładunki. a. F 3 1 = 2,16 ⋅ 10 -4  N F_{3\sep 1} = \SI{2,16e-4}{\newton} w lewą stronę, F 3 2 = 8,63 ⋅ 10 -4  N F_{3\sep 2} = \SI{8,63e-4}{\newton} w prawą stronę, F wyp = 6,47 ⋅ 10 -4  N F_{\text{wyp}} = \SI{6,47e-4}{\newton} w prawą stronę; b. F 3 1 = 2,16 ⋅ 10 -4  N F_{3\sep 1} = \SI{2,16e-4}{\newton} w prawą stronę, F 3 2 = 0,96 ⋅ 10 -4  N F_{3\sep 2} = \SI{0,96e-4}{\newton} w prawą stronę, F wyp = 3,12 ⋅ 10 -4  N F_{\text{wyp}} = \SI{3,12e-4}{\newton} w prawą stronę; c. F → 3 1 = − 2,76 ⋅ 10 -5  N ⋅ i ̂ − 1,38 ⋅ 10 -5  N ⋅ j ̂ \vec{F}_{3\sep 1} = -\SI{2,76e-5}{\newton} \cdot \hat{i} - \SI{1,38e-5}{\newton} \cdot \hat{j} , F → 3 2 = − 8,53 ⋅ 10 -4  N ⋅ j ̂ \vec{F}_{3\sep 2} = - \SI{8,53e-4}{\newton} \cdot \hat{j} , F → wyp = − 2,76 ⋅ 10 -5  N ⋅ i ̂ − 8,77 ⋅ 10 -4  N ⋅ j ̂ \vec{F}_{\text{wyp}} = -\SI{2,76e-5}{\newton} \cdot \hat{i} - \SI{8,77e-4}{\newton} \cdot \hat{j} . Odległość między sąsiednimi jonami sodu i chloru w krysztale soli kuchennej wynosi 2,82 ⋅ 10 -10  m . Jaka jest siła wzajemnego przyciągania tych pojedynczo zjonizowanych atomów? Protony w jądrze atomowym znajdują się w odległości rzędu 10 -15  m od siebie. Z jaką siłą się odpychają? F = 230,7  N . Załóż, że zarówno Ziemia, jak i Księżyc są obdarzone ujemnym ładunkiem − Q . Traktujemy oba ciała jako punkty materialne posiadające punktowe ładunki. Jaki ładunek Q jest potrzebny do zrównoważenia grawitacyjnej siły przyciągania pomiędzy Ziemią i Księżycem? Czy odległość między Ziemią i Księżycem ma wpływ na odpowiedź? Spróbuj to wyjaśnić; Ile elektronów potrzeba do uzyskania takiego ładunku? Ładunki punktowe q 1 = 50  µC i q 2 = − 25  µC znajdują się w odległości 1  m od siebie. Jaka jest siła działająca na trzeci ładunek q 3 = 20  µC umieszczony w połowie odcinka pomiędzy ładunkami q 1 i q 2 ? F = 53,94  N . Gdzie powinniśmy umieścić ładunek q 3 z powyższego zadania, żeby siła wypadkowa nań działająca była równa zero? Dwie małe kulki, każda o masie 5  g , są zawieszone w jednym punkcie na jedwabnych nitkach długości 50  cm , tak jak na rysunku poniżej. Gdy kulki są naładowane takim samym ładunkiem Q , nitki odchylają się o 5 ° od pionu. Jaka jest wartość ładunku Q ? Jakie są znaki tych dwóch ładunków? Napięcie nici wynosi T = 0,049  N . Pozioma składowa napięcia wynosi 0,0043  N , d = 0,088  m , q = 6,1 ⋅ 10 -8  C . Ładunki mogą być dodatnie lub ujemne, ale oba muszą mieć ten sam znak. Ładunki punktowe Q 1 = 2  µC i Q 1 = 4  µC znajdują się w położeniach r → 1 = 4  m ⋅ i ̂ − 2  m ⋅ j ̂ + 5  m ⋅ k ̂  , r 2 → = 8  m ⋅ i ̂ + 5  m ⋅ j ̂ − 9  m ⋅ k ̂  . \begin{align} \vec{r}_1 &= \SI{4}{\metre} \cdot \hat{i} - \SI{2}{\metre} \cdot \hat{j} + \SI{5}{\metre} \cdot \hat{k} \text{,} \\ \vec{r_2} = \SI{8}{\metre} \cdot \hat{i} + \SI{5}{\metre} \cdot \hat{j} - \SI{9}{\metre} \cdot \hat{k} \text{.} \end{align} Z jaką siłą ładunek Q 2 działa na ładunek Q 1 ? Całkowity łączny ładunek dwóch małych kulek (tak małych, że ładunki mogą być traktowane jako ładunki punktowe) jest równy Q . Pokaż, że siła odpychania tych kulek jest największa, gdy każda kulka posiada ładunek równy Q ∕ 2 . Załóż, że odległość między kulkami jest dużo większa od ich promieni, tak że kulki mogą być traktowane jako ładunki punktowe. Przyjmijmy, że ładunek jednej z tych kulek jest równy r  Q , gdzie r jest ułamkiem z przedziału od 0 do 1. Licznik we wzorze Coulomba ma wtedy postać r  Q  1 − r  Q  , co równa się r − r 2  Q 2 . Wyznaczając maksimum tego członu równania, otrzymujemy 1 − 2  r = 0 ⇒ r = 1 ∕ 2 . Dwie małe, identyczne przewodzące, kulki odpychają się siłą 0,05  N , gdy znajdują się w odległości 0,25  m od siebie. Po tym, jak kulki zostały połączone przewodnikiem, który następnie usunięto, kulki odpychają się siłą 0,06  N . Jaki był początkowy ładunek na każdej z tych kulek? Ładunek q = 2  µC został umieszczony w punkcie P , tak jak pokazano na rysunku poniżej. Ile wynosi siła działająca na ładunek q ? Jeżeli przyjmiemy, że zwrot w prawo jest zwrotem dodatnim, a w konsekwencji zwrot w lewo jest zwrotem ujemnym, to F = − 0,05  N . Jaka jest wypadkowa siła elektrostatyczna działająca na ładunek umieszczony w prawym dolnym wierzchołku pokazanego na rysunku trójkąta? Dwie zlokalizowane cząstki, każda obdarzona ładunkiem 5 ⋅ 10 -6  C znajdują się 24  cm od siebie. Jaką siłą działają one na trzecią cząstkę posiadającą ładunek -2,5 ⋅ 10 -6  C , która znajduje się w odległości 13  cm od każdej z nich? Cząstki tworzą trójkąt o bokach 13  cm , 13  cm i 24  cm . Składowe x sił znoszą się, podczas gdy obie cząstki oddalone o 24  cm wnoszą swój przyczynek do składowej y siły. Oś y przechodząca przez trzeci ładunek, bedąca symetralną odcinka o długości 24  cm , wyznacza dwa trójkąty prostokątne o bokach 5  cm , 12  cm i 13  cm . F y = 2,56  N ma zwrot w kierunku − y , ponieważ siła jest przyciągająca. Siła wypadkowa od obu ładunków wynosi więc F → wyp = 5,12  N ⋅ j ̂ . Trzy ładunki q 1 = 2 ⋅ 10 -7  C , q 2 = − 4 ⋅ 10 -7  C i q 3 = − 10 -7  C znajdują się w wierzchołkach trójkąta pokazanego na rysunku poniżej. Jaka jest siła działająca na ładunek q 1 ? Jaka jest siła działająca na ładunek q znajdujący się w dolnym, prawym wierzchołku kwadratu pokazanego na rysunku? Przekątna kwadratu wynosi 2  a i w związku z tym dla składowych siły pochodzących od ładunku po przekątnej pojawia się czynnik cos θ = 1 ∕ 2 , F → wyp = k  q 2 ∕ a 2 + k  q 2 ∕ 2  a 2 ⋅ 1 ∕ 2  ⋅ i ̂ − k  q 2 ∕ a 2 + k  q 2 ∕ 2  a 2 ⋅ 1 ∕ 2  ⋅ j ̂ . Ładunki punktowe q 1 = 10  µC i q 2 = − 30  µC znajdują się w położeniach r 1 = 3  m ⋅ i ̂ − 4  m ⋅ j ̂ i r 2 = 9  m ⋅ i ̂ + 6  m ⋅ j ̂ . Jaka jest siła, z jaką ładunek q 2 działa na q 1 ? siła Coulomba (ang. Coulomb force ) inna nazwa siły elektrostatycznej prawo Coulomba (ang. Coulomb’s law ) równanie pozwalające obliczyć wektor siły elektrostatycznej działającej pomiędzy dwiema naładowanymi cząsteczkami siła elektrostatyczna (ang. electrostatic force ) wartość i zwrot oddziaływania przyciągającego lub odpychającego pomiędzy dwoma naładowanymi ciałami przy założeniu, że ładunki źródłowe są zlokalizowane, nie poruszają się elektrostatyka (ang. electrostatics ) dział fizyki zajmujący się badaniem naładowanych ciał, które się nie poruszają przenikalność elektryczna próżni (ang. permittivity of vacuum ) stała charakteryzująca siłę elektrostatyczną w próżni, nazywana również przenikalnością wolnej przestrzeni zasada superpozycji (ang. principle of superposition ) użyteczna reguła pozwalająca sumować siły pochodzące od wszystkich ładunków działających na dane ciało

Science


Pole elektryczne Jak dowiedzieliśmy się w poprzednim podrozdziale, wypadkowa siła działająca na ładunek próbny jest sumą wektorową wszystkich sił elektrostatycznych pochodzących od różnych ładunków źródłowych zlokalizowanych w swoich położeniach. Co się jednak stanie, gdy użyjemy innego ładunku próbnego, ładunku o innej wartości, innym znaku? Albo przypuśćmy, że mamy tuzin różnych ładunków próbnych, które chcemy wypróbować w tym samym położeniu? Wtedy musielibyśmy za każdym razem obliczać sumę sił od nowa. Na szczęście można zdefiniować wielkość fizyczną nazywaną natężeniem pola elektrycznego (ang. electric field ) (czasami nazywaną krótko polem elektrycznym), która jest niezależna od ładunku próbnego. Natężenie pola zależy wyłącznie od rozkładu ładunków źródłowych i raz wyznaczona pozwala na obliczanie siły działającej na dowolny ładunek próbny. Definicja natężenia pola elektrycznego Przypuśćmy, że mamy N ładunków źródłowych q 1 q 2 q 3 … q N q_1,q_2,q_3,\dots,q_N znajdujących się w położeniach r → 1  ,  r → 2  ,  r → 3  ,  …  ,  r → N , które działają N siłami elektrostatycznymi na ładunek próbny Q . Wypadkowa siła działająca na Q wynosi (zobacz: ) F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + … + F → N F → = 1 4  π  ε 0  Q  q 1 r 1 2  r ̂ 1 + Q  q 2 r 2 2  r ̂ 2 + Q  q 3 r 3 2  r ̂ 3 + … + Q  q N r N 2  r ̂ N F → = Q 4  π  ε 0  q 1 r 1 2  r ̂ 1 + q 2 r 2 2  r ̂ 2 + q 3 r 3 2  r ̂ 3 + … + q N r N 2  r ̂ N  . \begin{multiline} \vec{F} &= \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots + \vec{F}_N \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{Q q_1}{r^2_1} \hat{r}_1 + \frac{Q q_2}{r^2_2} \hat{r}_2 + \frac{Q q_3}{r^2_3} \hat{r}_3 + \dots + \frac{Q q_N}{r^2_N} \hat{r}_N) \\ &= \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{q_1}{r^2_1} \hat{r}_1 + \frac{q_2}{r^2_2} \hat{r}_2 + \frac{q_3}{r^2_3} \hat{r}_3 + \dots + \frac{q_N}{r^2_N} \hat{r}_N) \text{.} \end{multiline} F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + … + F → N = 1 4  π  ε 0  Q  q 1 r 1 2  r ̂ 1 + Q  q 2 r 2 2  r ̂ 2 + Q  q 3 r 3 2  r ̂ 3 + … + Q  q N r N 2  r ̂ N = Q 4  π  ε 0  q 1 r 1 2  r ̂ 1 + q 2 r 2 2  r ̂ 2 + q 3 r 3 2  r ̂ 3 + … + q N r N 2  r ̂ N  . Możemy to zapisać w postaci F → = Q  E →  , gdzie E → = 1 4  π  ε 0  q 1 r 1 2  r ̂ 1 + q 2 r 2 2  r ̂ 2 + q 3 r 3 2  r ̂ 3 + ⋯ + q N r N 2  r ̂ N lub krócej E →  P = 1 4  π  ε 0  ∑ i = 1 N q i r i 2  r ̂ i  . To wyrażenie definiuje natężenie pola elektrycznego w punkcie P = P  x y z wytworzonego przez N ładunków źródłowych. P jest punktem w przestrzeni, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego względem położeń r → i ładunków źródłowych ( ). Zauważmy, że dla sformułowania tego zagadnienia musieliśmy wprowadzić układ współrzędnych. Każdy z ośmiu ładunków źródłowych wytwarza pole elektryczne w każdym punkcie przestrzeni; wektory natężenia pola elektrycznego znajdują się w dowolnie wybranym punkcie P . Tak jak dla sił elektrostatycznych, zasada superpozycji ma zastosowanie do obliczania wypadkowego natężenia pola elektrycznego. Zauważmy, że, obliczając natężenie pola elektrycznego, nie odwołujemy się do ładunku próbnego. Dlatego użytecznym sposobem jest obliczenie w pierwszej kolejności natężenia pola elektrycznego, a potem wykorzystanie go do obliczenia siły działającej na dowolny ładunek próbny. Na różne ładunki próbne działają różne siły elektrostatyczne ( ), ale natężenie pola elektrycznego jest takie samo jak w . Mówiąc to, należy pamiętać, że nie ma różnicy między ładunkiem próbnym a ładunkiem źródłowym, to wyłącznie użyteczne nazewnictwo, oznaczenia dla potrzeb rozpatrywanego układu ładunków. Każdy ładunek wytwarza pole elektryczne (jest jego źródłem), jednak tak jak grawitacja ziemska nie wpływa na orbitę Ziemi, tak i na ładunek nie działa siła pochodząca od pola elektrycznego, które sam wytwarza. Ładunki podlegają tylko działaniu sił pochodzących od pól elektrycznych innych ładunków. Pod tym względem natężenie pola elektrycznego E → ładunku punktowego jest podobne do natężenia pola grawitacyjnego g → Ziemi; jeżeli obliczymy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punkcie przestrzeni, możemy ten wynik wykorzystać w dowolnej chwili do obliczenia siły działającej na dowolną masę umieszczoną w tym punkcie. W rzeczywistości jest to dokładnie to, co robimy, mówiąc, że natężenie pola grawitacyjnego Ziemi (w pobliżu powierzchni Ziemi) ma wartość 9,81  m ∕ s 2  , a następnie obliczamy wynikającą z tego siłę (tzn. ciężar) działającą na różne masy. Również ogólne wyrażenie na obliczanie g → w dowolnej odległości od środka Ziemi (tzn. nie tylko w pobliżu powierzchni Ziemi) jest bardzo podobne do wyrażenia na E → ∕ g → = G  M ∕ r 2 ⋅ r ̂ , gdzie G jest stałą proporcjonalności mającą takie samo znaczenie dla obliczania g → jak 1 ∕ 4  π  ε 0 ma dla obliczania E → . Wartość g → jest obliczana jeden raz, a następnie wykorzystywana przy rozwiązywaniu niezliczonej ilość zagadnień, zadań. Żeby zobaczyć więcej analogii, zwróć uwagę na jednostkę natężenia pola elektrycznego: na podstawie wyrażenia F = Q  E , jednostką E jest niuton na kulomb ( N ∕ C ), to znaczy pole elektryczne działa siłą na każdą jednostkę ładunku (ładunek jednostkowy). A teraz zwróćmy uwagę na jednostkę g . Na podstawie wyrażenia F = m  g jednostką g jest niuton na kilogram ( N ∕ kg ), to znaczy, że pole grawitacyjne działa na każdą jednostkę masy. Możemy powiedzieć, że natężenie pola grawitacyjnego Ziemi w pobliżu jej powierzchni wynosi 9,81  N ∕ kg . Co oznacza termin „pole”? Przypomnij sobie, że gdy uczyłeś się o grawitacji, termin „pole” miał tam ściśle określone znaczenie. W fizyce pole jest wielkością, której wartość zależy od (jest funkcją) położenia względem źródła pola. W przypadku pola elektrycznego z wynika, że wartość natężenia pola elektrycznego E → (wartość i zwrot) zależy od tego, gdzie w przestrzeni znajduje się punkt P względem położeń r → i ładunków źródłowych q i . Ponadto ze względu na to, że natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorową, to o polu elektrycznym mówimy jako o polu wektorowym (ang. vector field ; pole grawitacyjne jest też polem wektorowym). Natomiast pole, które ma w każdym punkcie przestrzeni przypisaną tylko wartość (wielkość skalarną), nazywamy polem skalarnym (ang. scalar field ). Temperatura panująca w pokoju jest przykładem pola skalarnego. Zasadniczo ma ona różną wartość w różnych miejscach w pokoju i jest wielkością skalarną, dlatego mówimy o niej jako o polu skalarnym. Podobnie jak to miało miejsce w przypadku pola grawitacyjnego wytwarzanego przez ciała posiadające masę, powinieneś wyobrazić sobie pole elektryczne ciała obdarzonego ładunkiem (ładunek źródłowy) jako niematerialny ośrodek (stan przestrzeni) otaczający ładunek źródłowy i rozciągający się zasadniczo do ± ∞ we wszystkich kierunkach. Pole elektryczne istnieje we wszystkich punktach przestrzeni. Wyrażając to inaczej, ładunek elektryczny ciała zmienia przestrzeń wokół niego tak, że wszystkie inne znajdujące się w przestrzeni naładowane ciała doznają działania siły elektrostatycznej wynikającej z umieszczenia w polu elektrycznym. Pole elektryczne opisuje więc mechanizm propagacji właściwości ładunku źródłowego na otaczający wszechświat. (Siły elektrostatyczne mają nieskończony zasięg). W następnych rozdziałach dowiemy się, że prędkość rozchodzenia się pól elektrycznych jest równa prędkości światła. Istnieje zasadniczy związek pomiędzy polem elektrycznym a światłem. Zasada superpozycji Przeprowadzone doświadczenia pokazują, że zasada superpozycji ma zastosowanie do pól. W naszym przypadku oznacza to, że zasadniczo możemy obliczyć całkowite natężenie pola elektrycznego wielu ładunków źródłowych, obliczając w punkcie P natężenie pola elektrycznego wyłącznie od ładunku q 1 , a następnie obliczając w punkcie P natężenie pola elektrycznego od ładunku q 2 oraz ignorując (i na tym polega ta zasada) obecność ładunku q 1 . Możemy powtórzyć tę procedurę, obliczając po kolei natężenie pola od każdego ładunku źródłowego, niezależnie od obecności innych ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego jest wtedy sumą wektorową wszystkich tych pól. I to stanowi sedno tego, co wyraża . W następnej części opiszemy, jak określić konfigurację pola elektrycznego pochodzącego z rozkładu ładunków źródłowych i jak ją przedstawić graficznie. Kierunek i zwrot pola elektrycznego pozwala wyznaczyć wartość natężenia pola elektrycznego, ale potrzebujemy też znać jego kierunek i zwrot. Przyjmujemy konwencję, że kierunek i zwrot każdego wektora natężenia pola elektrycznego są takie, jak kierunek i zwrot siły elektrostatycznej, która działałaby na umieszczony w tym polu dodatni ładunek próbny. Taki ładunek próbny będzie odpychany przez dodatni ładunek źródłowy (siła będzie zwrócona w kierunku od dodatniego ładunku źródłowego) i przyciągany przez ładunki ujemne (siła będzie skierowana w stronę ujemnego ładunku źródłowego). Kierunek pola elektrycznego Zgodnie z przyjętą konwencją, każdy wektor natężenia pola elektrycznego E → jest skierowany od ładunków dodatnich w stronę ładunków ujemnych. Uruchom program Electric Field of Dreams , wprowadź ładunki i zobacz, jak zachowują się one w polu elektrycznym. Włącz w programie zewnętrzne pole elektryczne i zmieniaj jego wartość i kierunek. Pole E atomu W zjonizowanym atomie helu najbardziej prawdopodobna odległość pomiędzy jądrem a elektronem wynosi r = 26,5 ⋅ 10 -12  m . Jakie pole elektryczne wytwarza jądro w punkcie, w którym znajduje się elektron? Strategia rozwiązania Zauważmy, że chociaż mówimy w zadaniu o elektronie, to nie bierzemy go pod uwagę przy obliczeniach. W zadaniu pytamy o natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez jądro, a nie o siłę, tak więc tylko jeden ładunek jest brany pod uwagę. Sam elektron to mylny trop, liczy się tylko jego odległość od jądra. Ponadto ponieważ odległość pomiędzy dwoma protonami w jądrze jest o wiele mniejsza od odległości elektronu od jądra, można potraktować te dwa protony jako pojedynczy ładunek + 2  e ( ). Na rysunku przedstawiono schematycznie atom helu. W rzeczywistości atom helu tak nie wygląda, ale ten obrazek jest pomocny do obliczenia natężenia pola elektrycznego, którego źródłem jest jądro. Rozwiązanie Natężenie pola elektrycznego obliczamy ze wzoru E → = 1 4  π  ε 0  ∑ i = 1 N q i r i 2  r ̂ i  . Ponieważ mamy tylko jeden ładunek źródłowy, wyrażenie upraszcza się do postaci E → = 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  r ̂  . W naszym przykładzie q = 2  e = 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 -19  C (bo mamy dwa protony) i dana jest odległość r . Podstawiwszy te wartości do wzoru na natężenie pola elektrycznego, otrzymujemy E → = q 4  π ⋅ 8,85 ⋅ 10 -12  C 2 ∕ N  m 2 ⋅ 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 -19  C 26,5 ⋅ 10 -12  m 2  r ̂ = 4,1 ⋅ 10 12  N ∕ C ⋅ r ̂  . \vec{E} = \frac{q}{4\pi \cdot \SI{8,85e-12}{\coulomb\squared\per\newton\per\metre\squared}} \cdot \frac{2\cdot \SI{1,6e-19}{\coulomb}}{(\SI{26,5e-12}{\metre})^2} \hat{r} = \SI{4,1e12}{\newton\per\coulomb} \cdot \hat{r} \text{.} Wektor E → jest zwrócony radialnie na zewnątrz od jądra we wszystkich kierunkach. Dlaczego? Ponieważ ładunek próbny umieszczony w tym polu elektrycznym przyspieszałby radialnie, uciekając od jądra (które też jest naładowane dodatnio); ponownie przyjmujemy konwencję, że zwrot wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany poprzez siłę, z jaką pole elektryczne działałoby na dodatni ładunek próbny. Natężenie pola elektrycznego E w punkcie leżącym nad dwoma identycznymi ładunkami Obliczmy natężenie pola elektrycznego (wielkość, kierunek i zwrot) w odległości z od punktu leżącego pośrodku między dwoma identycznymi ładunkami + q , które znajdują się w odległości d od siebie ( ). Sprawdźmy, czy wynik jest zgodny z tym, jakiego oczekiwalibyśmy dla z ≫ d . Obliczmy to samo, co w punkcie (a), z tą tylko różnicą, że po prawej stronie mamy teraz ładunek − q zamiast + q . Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego wytworzonego w punkcie P przez dwa identyczne ładunki. Ze względu na symetrię wypadkowe pole elektryczne jest w punkcie P skierowane wyłącznie pionowo. (Zauważmy, że nie jest to prawdą w punktach poza symetralną odcinka łączącego ładunki). Strategia rozwiązania Dodajemy wektorowo natężenia pól, zgodnie z . Zauważmy, że układ (i co za tym idzie pole elektryczne) jest symetryczny względem pionowej osi, w konsekwencji składowe poziome wektorów natężenia pola elektrycznego się znoszą. To upraszcza obliczenia. Ponadto musimy zadbać o to, żeby nasza odpowiedź była wyrażona tylko za pomocą wielkości danych w treści zadania: q , z , d , oraz stałych ( π  ,  ε 0 ). Rozwiązanie Dzięki symetrii, składowe poziome ( x ) pola E → się znoszą ( ) E x = 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  sin θ − 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  sin θ = 0  V ∕ m  . Zauważmy, że składowe poziome natężenia pola elektrycznego pochodzącego od tych dwóch ładunków znoszą się wzajemnie, podczas gdy składowe pionowe się dodają. Składowa pionowa ( z ) jest dana wyrażeniem E z = 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  cos θ + 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  cos θ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q r 2  cos θ  . Ponieważ nie istnieją inne składowe pola, to składowa pionowa przedstawia całkowite natężenie pola elektrycznego, które jest tym samym zwrócone w kierunku k ̂ . Warto zauważyć, że skorzystaliśmy w obliczeniach z zasady superpozycji (ang. principle of superposition ); obliczyliśmy natężenia pól elektrycznych niezależnie dla obu ładunków, a następnie dodaliśmy je. To, co teraz chcemy zrobić, to zastąpić w równaniu te wielkości, których nie znamy (takie jak r ) lub których nie można w łatwy sposób zmierzyć (jak cos θ ), wielkościami znanymi lub dającymi się zmierzyć. Z geometrii układu wynika, że r 2 = z 2 + d 2 2 oraz cos θ = z r = z z 2 + d 2 2 1 ∕ 2  k ̂  . Podstawiwszy, otrzymujemy E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q z 2 + d 2 2 ⋅ z z 2 + d 2 2 1 ∕ 2  k ̂  . \vec E \apply (z) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{2q}{z^2 + (\frac{d}{2})^2} \cdot \frac{z}{[z^2 + (\frac{d}{2})^2]^{1/2}} \hat k \text{.} E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q  z z 2 + d 2 2 3 ∕ 2  k ̂  . Gdy ładunki źródłowe są równe, ale różnoimienne, składowe pionowe znoszą się, ponieważ E z = 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  sin θ − 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  sin θ = 0  V ∕ m  , a dla składowej poziomej pola E → otrzymujemy E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  sin θ ⋅ i ̂ − 1 4  π  ε 0 ⋅ − q r 2  sin θ ⋅ i ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q  sin θ r 2  i ̂ E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q z 2 + d 2 2 2 ⋅ d 2 z 2 + d 2 2 1 ∕ 2  i ̂ \begin{multiline} \vec{E} \apply(z) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \sin \theta \cdot \hat{i} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{-q}{r^2} \sin \theta \cdot \hat{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2q \sin \theta}{r^2} \hat{i} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2q}{[z^2+(\frac{d}{2})^2]^2} \cdot \frac{\frac{d}{2}}{[z^2+(\frac{d}{2})^2]^{1/2}} \hat{i} \end{multiline} E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ q r 2  sin θ ⋅ i ̂ − 1 4  π  ε 0 ⋅ − q r 2  sin θ ⋅ i ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q  sin θ r 2  i ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q z 2 + d 2 2 2 ⋅ d 2 z 2 + d 2 2 1 ∕ 2  i ̂ i ostatecznie E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ q  d z 2 + d 2 2 3 ∕ 2  i ̂  . Znaczenie Powszechną i użyteczną praktyką sprawdzenia, czy otrzymany wynik jest poprawny, jest przetestowanie go w warunkach granicznych. W tym przykładzie sprawdzimy wyrażenie na natężenie pola elektrycznego dla przypadków: d = 0 , z ≫ d i z ⟶ ∞ , i potwierdzimy, że otrzymane wyrażenie odpowiada przewidywaniom fizyki. Zaczynamy od , wyrażającego natężenie pola elektrycznego dwóch identycznych ładunków. Widziane z daleka (tzn. dla z ≫ d ) dwa ładunki źródłowe zlewają się i widzimy pole elektryczne od pojedynczego ładunku 2  q . Jeżeli więc przyjmiemy, że z ≫ d  , to możemy pominąć wyraz d 2 w i otrzymamy lim d ⟶ 0 E → = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q  z z 2 3 ∕ 2  k ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q  z z 3  k ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  q z 2  k ̂  , co jest poprawnym wyrażeniem na natężenie pola elektrycznego w odległości z od ładunku 2  q . Jako następny przykład rozpatrujemy natężenie pola elektrycznego od równych, ale różnoimiennych ładunków ( ). Można pokazać (korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora), że dla d ≪ z ≪ ∞ , otrzymujemy E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ q  d z 3  i ̂  , który to wzór opisuje natężenie pola elektrycznego dipola, układu, który poznamy później (zauważmy, że w tym wzorze jednostki E → są poprawne, ponieważ jednostka d w liczniku skraca się z jedną nadmiarową jednostką z w mianowniku). Jeżeli z jest bardzo duże z ⟶ ∞ , to wtedy E ⟶ 0 , tak jak powinno; dwa ładunki zlewają się i wzajemnie znoszą. Sprawdź, czy rozumiesz. Jakie jest natężenie pola elektrycznego od pojedynczej, punktowej cząsteczki? E → = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ q ∕ r 2 ⋅ r ̂ . Skorzystaj z symulacji hokeja pola elektrycznego , spróbuj umieścić ładunek w bramce (zdobyć gola), umieszczając inne ładunki na boisku. Podsumowanie Pole elektryczne to właściwość przestrzeni wywołana obecnością ładunków elektrycznych. Za pośrednictwem pola elektrycznego ładunek źródłowy oddziałuje z ładunkiem próbnym. Natężenie pola elektrycznego, tak jak siła elektrostatyczna, spełnia zasadę superpozycji. Natężenie pola elektrycznego jest wektorem; z definicji jest zwrócone od ładunku dodatniego w stronę ładunku ujemnego. Pytania Czy podczas pomiaru pola elektrycznego moglibyśmy używać ujemnego ładunku próbnego zamiast dodatniego? Można stosować ładunek próbny dowolnego znaku, lecz umówiono się, że posługujemy się ładunkiem dodatnim. Podczas ładnej pogody pole elektryczne związane z wypadkowym ładunkiem Ziemi jest skierowane w dół. Czy Ziemia jest naładowana dodatnio, czy ujemnie? Jeżeli natężenie pola elektrycznego w punkcie znajdującym się na linii łączącej dwa ładunki wynosi zero, to co możemy powiedzieć o tych ładunkach? Ładunki są tego samego znaku. Dwa ładunki są umieszczone na osi x . Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że wypadkowe natężenie pola elektrycznego zawsze zeruje się w pewnym punkcie na osi x (innym niż nieskończoność)? Zadania Cząstka obdarzona ładunkiem 2 ⋅ 10 -8  C umieszczona w pewnym punkcie pola elektrycznego doświadcza działania skierowanej w górę siły o wartości 4 ⋅ 10 -6  N . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w tym punkcie? Gdyby ładunek q = 10 -8  C został umieszczony w tym punkcie, to jaka siła działałaby na niego? a. E = 2 ⋅ 10 -2  N ∕ C ; b. E = 2 ⋅ 10 -19  N . W pogodny dzień pole elektryczne w atmosferze Ziemi jest skierowane w dół i ma natężenie 100  N ∕ C . Porównaj siłę grawitacyjną z siłą elektrostatyczną, jaka działała na cząsteczkę kurzu o masie 2 ⋅ 10 -15  g , która posiada ładunek równy ładunkowi pojedynczego elektronu. Jakie jest przyspieszenie tej cząsteczki (podaj wartość, kierunek i zwrot)? Rozważmy przypadek elektronu, który znajduje się w odległości 10 -10  m od cząstki α ( q = 3,2 ⋅ 10 -19  C ). Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez cząstkę α w miejscu elektronu? Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez elektron w miejscu cząstki α? Jaka siła elektrostatyczna działa na cząstkę α, a jaka na elektron? a. E = 2,88 ⋅ 10 11  N ∕ C ; b. E = 1,44 ⋅ 10 11  N ∕ C ; c. F = 4,61 ⋅ 10 -8  N na cząstkę α, F = 4,61 ⋅ 10 -8  N na elektron. Każda z kulek pokazanych na rysunku poniżej ma ładunek q i masę m . Długość każdej z nitek wynosi l i w równowadze kulki są odchylone od siebie o kąt 2  θ . Jak θ zmienia się z q i l ? Udowodnij, że θ spełnia równość sin 2 θ  tg θ = q 2 ∕ 16  π  ε 0  m  g  l 2 \sin^2 (\theta) \tg (\theta) = q^2 / (\num{16} \pi \epsilon_0 m g l^2) . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie, w którym siła elektrostatyczna działająca na ładunek -2 ⋅ 10 -6  C wynosi 4 ⋅ 10 -6  N ⋅ i ̂ − 6 ⋅ 10 -6  N . E → = − 2  N ∕ C ⋅ i ̂ + 3  N ∕ C ⋅ j ̂ . Proton jest utrzymywany w powietrzu przez pole elektryczne przy powierzchni Ziemi. Jakie jest natężenie tego pola? Natężenie pola elektrycznego w pewnej chmurze burzowej wynosi 2 ⋅ 10 5  N ∕ C . Jakie jest przyspieszenie elektronu w tym polu elektrycznym? F = 3,204 ⋅ 10 -14  N , a = 3,517 ⋅ 10 16  m ∕ s 2 . Mały kawałek korka o masie 2  g został naelektryzowany ładunkiem 5 ⋅ 10 -7  C . Jakie powinno być natężenie pola elektrycznego, żeby utrzymać w stanie równowagi korek, na który działają siła grawitacji i siła elektrostatyczna? Jeżeli natężenie pola elektrycznego wynosi 100  N ∕ s w odległości 50  cm od punktowego ładunku q , to jaka jest wartość tego ładunku q ? q = 2,78 ⋅ 10 -9  C . Jakie jest natężenie pola elektrycznego protonu w miejscu pierwszej orbity Bohra atomu wodoru ( r = 5,29 ⋅ 10 -11  m )? Jaka siła działa na elektron na tej orbicie? Odpowiedz na poniższe pytania. Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez jądro atomu tlenu w punkcie oddalonym o 10 -10  m od jądra? Jaka siła działa w tym polu elektrycznym na inne jądro atomu tlenu umieszczone w tym punkcie? a. E = 1,15 ⋅ 10 12  N ∕ C ; b. F = 1,47 ⋅ 10 -6  N . Dwa ładunki punktowe: q 1 = 2 ⋅ 10 -7  C i q 2 = -6 ⋅ 10 -8  C , znajdują się w odległości 25  cm od siebie. Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie odległym o 5  cm od ładunku ujemnego na odcinku pomiędzy dwoma ładunkami? Jaka siła działałaby na elektron umieszczony w tym punkcie? Ładunki punktowe q 1 = 50  µC i q 2 = -25  µC są umieszczone w odległości 1  m od siebie. Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie w połowie odległości między nimi? Jaka siła działa na ładunek q 3 = 20  µC umieszczony w tym punkcie? Jeżeli q 2 znajduje się po prawej stronie q 1 , to wektor natężenia pola elektrycznego od obu ładunków jest skierowany w prawo. a. E = 2,7 ⋅ 10 6  N ∕ C ; b. F = 54  N . Czy można tak rozmieścić dwa ładunki punktowe q 1 = -2 ⋅ 10 -6  C oraz q 2 = 4 ⋅ 10 -6  C na osi x , żeby natężenie pola elektrycznego E = 0  V ∕ m w początku układu? Podaj przykładowe ustawienie tych ładunków. Ładunki punktowe q 1 = q 2 = 4 ⋅ 10 -6  C są umieszczone na osi x w położeniach x = -3  m i x = 3  m Jaki ładunek q należy umieścić w początku układu, żeby natężenie pola elektrycznego zerowało się w x y = 0  m 3  m (x,y)=(\SI{0}{\metre},\SI{3}{\metre}) ? Mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym o kątach 45  ° . Składowe x natężenia pola elektrycznego w punkcie y = 3  m się znoszą. Składowe y dają E  y = 3  m = 2,83 ⋅ 10 3  N ∕ C . W początku układu umieszczamy ujemny ładunek o wartości q = -2,83 ⋅ 10 -6  C . pole elektryczne (ang. electric field ) wielkość fizycznaktóra pozwala na obliczanie siły działającej na dowolny ładunek próbny i jest niezależna od ładunku próbnego superpozycja (ang. superposition ) podejście, w którym wypadkowe natężenie pola elektrycznego od układu wielu ładunków źródłowych wyznacza się jako sumę wektorową natężeń pól obliczonych dla każdego z ładunków z osobna

Science


Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego rozkładu ładunków Dotychczas mieliśmy do czynienia z dyskretnymi (ziarnistymi) rozkładami ładunku: tworzonymi przez pojedyncze punktowe cząstki. Inaczej jest, gdy mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku (ang. continuous charge distribution ), gdzie przynajmniej jeden wymiar jest niezerowy. Jeżeli mamy do czynienia z rozkładem ciągłym ładunku, a nie dyskretnym, możemy uogólnić definicję pola elektrycznego. Po prostu dzielimy ładunek na nieskończenie małe (różniczkowe) elementy i każdy z nich traktujemy jak ładunek punktowy. Zauważmy, że ze względu na to, że ładunek jest skwantowany, to naprawdę nie istnieje prawdziwie ciągły rozkład ładunku. Jednak w praktyce, ze względu na to, że całkowity ładunek wytwarzający pole elektryczne składa się z dużej liczby pojedynczych ładunków, możemy skutecznie pominąć ziarnistą naturę ładunku i rozpatrywać rozkład ładunku jako ciągły. To jest takie samo przybliżenie, jakie stosujemy, gdy rozpatrujemy wiadro z wodą, traktując ją jako ciągły płyn, a nie zbiór cząsteczek H 2 O. Naszym pierwszym krokiem jest zdefiniowanie gęstości rozkładu ładunku wzdłuż linii na powierzchni lub w objętości, tak jak pokazano na . Rozkład nieskończenie małych (różniczkowych) elementów ładunku dla (a) rozkładu liniowego ładunku, (b) naładowanej powierzchni oraz (c) ładunku objętościowego. Zauważmy, że (d) niektóre składowe całkowitego natężenia pola elektrycznego znoszą się, a pozostałe dają wypadkowe natężenie pola elektrycznego. Definicje gęstości ładunkowych: λ ≡ ładunek na jednostkę długości ( liniowa gęstość ładunku (ang. linear charge density )); jednostką jest kulomb na metr ( C ∕ m ); σ ≡ ładunek na jednostkę powierzchni ( powierzchniowa gęstość ładunku (ang. surface charge density )); jednostką jest kulomb na metr kwadratowy ( C ∕ m 2 ); ρ ≡ ładunek na jednostkę objętości ( objętościowa gęstość ładunku (ang. volume charge density )); jednostką jest kulomb na metr sześcienny ( C ∕ m 3 ). Dla liniowego, powierzchniowego i objętościowego rozkładu ładunku sumowanie w zastępujemy całką, a ładunek q i zastępujemy odpowiednio przez d q = λ  d l , σ  d S lub ρ  d V ładunek punktowy:  E →  P = 1 4  π  ε 0  ∑ i = 1 N q i r i 2  , \text{ładunek punktowy: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r^2_i} \text{,} liniowy rozkład ładunku:  E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2  r ̂  , \text{liniowy rozkład ładunku: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_{\text{po linii}} \frac{\lambda \d l}{r^2} \hat{r} \text{,} powierzchniowy rozkład ładunku:  E →  P = 1 4  π  ε 0  ∬ po powierzchni σ  d S r 2  r ̂  , \text{powierzchniowy rozkład ładunku: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{\text{po powierzchni}} \frac{\sigma \d S}{r^2} \hat{r} \text{,} objętościowy rozkład ładunku:  E →  P = 1 4  π  ε 0  ∭ po objętości ρ  d V r 2  r ̂  . \text{objętościowy rozkład ładunku: } \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iiint_{\text{po objętości}} \frac{\rho \d V}{r^2} \hat{r} \text{.} Wzory całkowe przedstawiają uogólnioną postać wyrażenia na natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego. Uwzględniają one i zawierają w sobie zasadę superpozycji. Sztuka korzystania z tych wzorów polega zazwyczaj na uwzględnieniu poprawnych wyrażeń na d l , d S lub d V , w zależności od rozpatrywanego przypadku, wyrażonych poprzez zmienną r , oraz właściwym sformułowaniu funkcji gęstości ładunku. Może być ona stała, może też zależeć od położenia. Zapamiętaj dokładnie znaczenie zmiennej r w tych równaniach: wyraża ona odległość pomiędzy nieskończenie małymi (różniczkowymi) elementami ładunku ( q i λ  d l σ  d S ρ  d V ) do określonego punktu P  x y z (punkt w przestrzeni, w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego). Nie należy jednak mylić tej zmiennej z wersorem r ̂ ; korzystamy z niego i z zapisu wektorowego E → do łatwego zapisania trzech całek. To znaczy, że można zapisać teraz w postaci E x  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2 x  , E y  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2 y  , E z  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2 z  . Pole elektryczne naładowanego pręta Obliczmy natężenie pola elektrycznego w odległości z od środka pręta o długości L , który jest naładowany jednorodnie ładunkiem o liniowej gęstości λ . Strategia rozwiązania Ponieważ mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku, umownie dzielimy pręt na nieskończenie małe, różniczkowe elementy o długości d l , każdy z nich obdarzony nieskończenie małą, różniczkową porcją ładunku d q = λ  d l . Następnie obliczamy cząstkowe (różniczkowe) natężenie pola elektrycznego od dwóch symetrycznie rozmieszczonych elementów pręta, korzystając z symetrii układu dla uproszczenia obliczeń ( ). Wreszcie, całkujemy po długości pręta (naprawdę po połowie długości, jak to wyjaśniamy poniżej) różniczkowe wyrażenie na natężenie pola elektrycznego, aby otrzymać wyrażenie na całkowite natężenie pola elektrycznego. Jednorodnie naładowany kawałek pręta. Natężenie pola elektrycznego w punkcie P może być wyznaczone według zasady superpozycji zastosowanej dla symetrycznie zlokalizowanych porcji ładunku i w wyniku operacji całkowania. Rozwiązanie Zanim przejdziemy do rozwiązania, zastanówmy się, jak wyobrażamy sobie pole elektryczne widziane z daleka? Ponieważ mamy do czynienia z prętem o skończonej długości, to z daleka naładowany pręt powinien być widziany jako ładunek punktowy. Sprawdzimy, czy wyrażenie, które otrzymamy, jest zgodne z naszymi przewidywaniami. Natężenie pola elektrycznego dla liniowego rozkładu ładunku jest dane wyrażeniem E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2  r ̂  . Z symetrii układu (nasz wybór dwóch identycznych różniczkowo małych fragmentów ładunku) wynika, że składowe poziome ( x ) natężenia pola elektrycznego znoszą się tak, że wypadkowe natężenie pola elektrycznego jest zwrócone w kierunku z . Sprawdźmy to. Całkowite natężenie pola elektrycznego E →  P jest sumą wektorową natężeń pól od każdych dwóch fragmentów ładunku (oznaczamy je E → 1 i E → 2 ) E →  P = E → 1 + E → 2 = E 1  x  i ̂ + E 1  z  k ̂ + E 2  x  − i ̂ + E 2  z  k ̂  . Ponieważ oba fragmenty ładunku są identyczne i są równo odległe od punktu P , w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego, to E 1  x = E 2  x  i te składowe się znoszą. Pozostaje więc E →  P = E 1  z  k ̂ + E 2  z  k ̂ = E 1  cos θ ⋅ k ̂ + E 2  cos θ ⋅ k ̂  . Te składowe też są równe, otrzymujemy więc E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 λ  d l r 2  cos θ ⋅ k ̂ + 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 λ  d l r 2  cos θ ⋅ k ̂ E →  P = 1 4  π  ε 0  ⋅ 2 ⋅ ∫ 0 L ∕ 2  λ  d x r 2  cos θ ⋅ k ̂  , \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{\lambda \d l}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{\lambda \d l}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{2 \lambda \d x}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} \text{,} \end{multiline} E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 λ  d l r 2  cos θ ⋅ k ̂ + 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 λ  d l r 2  cos θ ⋅ k ̂ = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 2  λ  d x r 2  cos θ ⋅ k ̂  , gdzie nasz różniczkowy, liniowy element d l jest w tym przykładzie równy d x , ponieważ całkujemy po liniowym rozkładzie ładunku wzdłuż osi x . (Całkujemy w granicach od 0 do L ∕ 2 , a nie od − L ∕ 2 do + L ∕ 2 , ponieważ, obliczając wypadkowe natężenie pola, uwzględniliśmy pola od dwóch różniczkowych elementów ładunku d q . Gdybyśmy więc całkowali po całej długości, to otrzymalibyśmy wynik zawyżony dwukrotnie). I tak otrzymaliśmy rozwiązanie. Jednak żeby obliczyć całkę, musimy wyeliminować wszystkie wielkości, które nie są dane. W tym przypadku zarówno r , jak i θ zmieniają się, gdy całkujemy po rozkładzie ładunku, są to więc zmienne, które musimy wyeliminować. Możemy to zrobić w analogiczny sposób, jak to wykonaliśmy dla układu dwóch ładunków punktowych, zauważając, że r = z 2 + x 2 1 ∕ 2 oraz cos θ = z r = z z 2 + x 2 1 ∕ 2  . Podstawiając, otrzymujemy E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 2  λ  d x z 2 + x 2 ⋅ z z 2 + x 2 1 ∕ 2  k ̂ E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 2  λ  z z 2 + x 2 3 ∕ 2  d x ⋅ k ̂ E →  P = 2  λ  z 4  π  ε 0 ⋅ x z 2  z 2 + x 2 ⋅ k ̂ , | 0 L ∕ 2 \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{2 \lambda \d x}{z^2+x^2} \cdot \frac{z}{(z^2+x^2)^{1/2}} \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{L/2} \frac{2 \lambda z}{(z^2+x^2)^{3/2}} \d x \cdot \hat{k} \\ &= \frac{2 \lambda z}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{x}{z^2 \sqrt{z^2+x^2}} \cdot \hat{k} \mid_0^{L/2} \text{,} \end{multiline} E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 2  λ  d x z 2 + x 2 ⋅ z z 2 + x 2 1 ∕ 2  k ̂ = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 L ∕ 2 2  λ  z z 2 + x 2 3 ∕ 2  d x ⋅ k ̂ = 2  λ  z 4  π  ε 0 ⋅ x z 2  z 2 + x 2 ⋅ k ̂ , | 0 L ∕ 2 co upraszcza się do postaci E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ λ  L z  z 2 + L 2 4  k ̂  . Znaczenie Zauważmy jeszcze raz, że wykorzystanie symetrii układu upraszcza zadanie. To bardzo częste podejście przy obliczaniu natężenia pola elektrycznego. Wyznaczenie natężenia pola elektrycznego od niesymetrycznego rozkładu ładunków wymaga obliczenia szeregu całek i może zaistnieć potrzeba przeprowadzenia obliczeń numerycznych za pomocą komputera. Sprawdź, czy rozumiesz. Jak zmieniłoby się podejście zaprezentowane powyżej w przypadku obliczania natężenia pola elektrycznego w punkcie znajdującym się w odległości z powyżej jednego z końców pręta? Nie będziemy teraz mogli skorzystać z zalet, jakie daje symetria układu. Będziemy musieli wyznaczyć osobno każdą z dwóch składowych natężenia pola elektrycznego, obliczając odpowiednie całki. Natężenie pola elektrycznego od nieskończenie długiego naładowanego drutu Obliczmy natężenie pola elektrycznego w odległości z powyżej nieskończenie długiego drutu naładowanego jednorodnie z gęstością liniową λ . Strategia rozwiązania To taki sam przypadek jak rozważany uprzednio, z tą różnicą, że granice całkowania wynoszą teraz od − ∞ do + ∞ . Rozwiązanie Ponownie składowe poziome się znoszą, otrzymujemy więc E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ − ∞ ∞ λ  d x r 2  cos θ ⋅ k ̂  , gdzie liniowy element różniczkowy d l jest równy d x , gdyż całkujemy po rozkładzie ładunków wzdłuż osi x . Ponownie cos θ = z r = z z 2 + x 2 1 ∕ 2  . Podstawiając, otrzymujemy E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ − ∞ ∞ λ  d x z 2 + x 2 ⋅ z z 2 + x 2 1 ∕ 2  k ̂ E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ − ∞ ∞ λ  z z 2 + x 2 3 ∕ 2  d x ⋅ k ̂ E →  P = λ  z 4  π  ε 0 ⋅ x z 2  z 2 + x 2 ⋅ k ̂ , | − ∞ ∞ \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2 \lambda \d x}{z^2+x^2} \cdot \frac{z}{(z^2+x^2)^{1/2}} \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2 \lambda z}{(z^2+x^2)^{3/2}} \d x \cdot \hat{k} \\ &= \frac{2 \lambda z}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{x}{z^2 \sqrt{z^2+x^2}} \cdot \hat{k} \mid_{-\infty}^{\infty} \text{,} \end{multiline} E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ − ∞ ∞ λ  d x z 2 + x 2 ⋅ z z 2 + x 2 1 ∕ 2  k ̂ = 1 4  π  ε 0  ∫ − ∞ ∞ λ  z z 2 + x 2 3 ∕ 2  d x ⋅ k ̂ = λ  z 4  π  ε 0 ⋅ x z 2  z 2 + x 2 ⋅ k ̂ , | − ∞ ∞ co upraszcza się do postaci E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  λ z  k ̂  . Znaczenie Nasze podejście do ciągłych rozkładów ładunków sprawdza się również w przypadku nieskończonych wymiarów tych rozkładów. Zauważmy, że w przypadku liniowego rozkładu ładunku o skończonej długości, gdy z ≫ L , wyraz z 2 w mianowniku jest dużo większy od L i upraszcza się do postaci E → ≈ 1 4  π  ε 0 ⋅ λ  L z 2  k ̂  . Jeżeli uwzględnimy, że λ  L = q jest całkowitym ładunkiem drutu, to otrzymujemy wyrażenie na natężenie pola elektrycznego od ładunku punktowego, czego oczekiwaliśmy. Z kolei w granicy L ⟶ ∞ otrzymujemy natężenie pola elektrycznego nieskończenie długiego, prostego drutu (ang. infinite straight wire ), tj. drutu, którego długość jest znacznie większa od jego pozostałych wymiarów i która jest także znacznie większa od odległości do punktu, w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  λ z  k ̂  . Ciekawym następstwem nieskończonego rozmiaru drutu jest to, że nie otrzymujemy typowej zależności r -2 , do której jesteśmy przyzwyczajeni. Będzie to jeszcze ciekawsze w przypadku naładowanej nieskończonej płaszczyzny. Natężenie pola elektrycznego naładowanego pierścienia Pierścień został jednorodnie naładowany z liniową gęstością ładunku λ , wyrażoną w jednostkach kulomb na metr (łuku). Obliczmy natężenie pola elektrycznego w punkcie na osi pierścienia. Strategia rozwiązania Posłużymy się tą samą metodą, jak w przypadku naładowanego drutu. Różnica polega na tym, że teraz mamy do czynienia z ładunkiem rozłożonym na pierścieniu. Dzielimy pierścień na nieskończenie małe elementy (fragmenty łuku) i stosujemy współrzędne biegunowe ( ). Układ i zmienne do obliczenia natężenia pola elektrycznego od naładowanego pierścienia. Rozwiązanie Natężenie pola elektrycznego naładowanego pierścienia jest dane ogólnym wyrażeniem E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2  r ̂  . Element łuku zawarty pomiędzy θ i θ + d θ ma długość R  d θ , zatem posiada ładunek równy λ  R  d θ  . Ten element znajduje się w odległości r = z 2 + R 2 od punktu P , a kąt wynosi cos ϕ = z ∕ z 2 + R 2 , tak więc natężenie pola elektrycznego jest dane jako E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2  r ̂ = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 2  π λ  R  d θ z 2 + R 2 ⋅ z z 2 + R 2  z ̂ E →  P = 1 4  π  ε 0 ⋅ λ  R  z z 2 + R 2 3 ∕ 2  z ̂ ⋅ ∫ 0 2  π d θ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  π  λ  R  z z 2 + R 2 3 ∕ 2  z ̂ E →  P = 1 4  π  ε 0 ⋅ q cał  z z 2 + R 2 3 ∕ 2  z ̂  . \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\text{po linii}} \frac{\lambda \d l}{r^2} \hat{r} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2 \pi} \frac{\lambda R \d \theta}{z^2+R^2} \cdot \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}} \hat{z} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{\lambda R z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \hat{z} \cdot \int_0^{2 \pi} \d \theta = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2 \pi \lambda R z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \hat{z} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_{\text{cał}} z}{(z^2+R^2)^{3/2}} \hat{z} \text{.} \end{multiline} E →  P = 1 4  π  ε 0  ∫ po linii λ  d l r 2  r ̂ = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 2  π λ  R  d θ z 2 + R 2 ⋅ z z 2 + R 2  z ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ λ  R  z z 2 + R 2 3 ∕ 2  z ̂ ⋅ ∫ 0 2  π d θ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  π  λ  R  z z 2 + R 2 3 ∕ 2  z ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ q cał  z z 2 + R 2 3 ∕ 2  z ̂  . Znaczenie Jak zwykle symetria układu upraszcza rozwiązanie, w tym przypadku dając prostą do obliczenia całkę. Ponadto gdy rozpatrzymy graniczny przypadek dla z ≫ R , to otrzymamy E → ≈ 1 4  π  ε 0 ⋅ q cał z 2 z ̂  , tak jak tego oczekiwaliśmy. Natężenie pola elektrycznego krążka Obliczmy natężenie pola elektrycznego jednorodnie naładowanej, okrągłej, cienkiej płyty (krążka) o promieniu R w odległości z od środka płyty ( ). Jednorodnie naładowany krążek. Tak jak w przypadku liniowego rozkładu ładunku natężenie pola elektrycznego powyżej środka krążka może być łatwo wyliczone ze względu na symetrię układu. Strategia rozwiązania Natężenie pola elektrycznego od powierzchniowego rozkładu ładunku jest dane przez E →  P = 1 4  π  ε 0  ∬ po powierzchni σ  d S r 2  r ̂  . \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{\text{po powierzchni}} \frac{\sigma \d S}{r^2} \hat{r} \text{.} Aby rozwiązać to zadanie, dzielimy powierzchnię na różniczkowe symetryczne paski, które odpowiadają kształtowi (symetrii) powierzchni, w tym przypadku są to pierścienie, tak jak pokazane na rysunku. I znów ze względu na symetrię składowe poziome znoszą się i natężenie pola elektrycznego jest zwrócone pionowo w kierunku ( k ̂ ). Składową pionową natężenia pola elektrycznego otrzymujemy w wyniku mnożenia przez cos θ , tak więc E →  P = 1 4  π  ε 0  ∬ po powierzchni σ  d S r 2  cos θ ⋅ k ̂  . \vec{E} \apply (P) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{\text{po powierzchni}} \frac{\sigma \d S}{r^2} \cos \theta \cdot \hat{k} \text{.} Tak jak uprzednio musimy wyrazić niewiadome wielkości pod całką w postaci danych. W tym przypadku d S = 2  π  r ′  d r ′  , \d S = 2\pi r' \d r' \text{,} r 2 = r ′ 2 + z 2  , r^2 = (r')^2 + z^2 \text{,} cos θ = z r ′ 2 + z 2  . \cos \theta = \frac{z}{\sqrt{(r')^2 + z^2}} \text{.} (Zwróćmy uwagę na dwa rożne symbole r występujące w zadaniu; r to odległość od różniczkowego elementu pierścienia do punktu P , w którym chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego, podczas gdy r ′ oznacza odległość od środka krążka do różniczkowego elementu pierścienia). Rozwiązanie Uwzględniwszy powyższe zależności, otrzymujemy E →  P = E →  z = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 R σ ⋅ 2  π  r ′  d r ′ ⋅ z r ′ 2 + z 2 3 ∕ 2 ⋅ k ̂ E →  P = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  π  σ  z ⋅ 1 z − 1 R 2 + z 2  k ̂ \begin{multiline} \vec{E} \apply(P) &= \vec{E} \apply(z) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^R \frac{\sigma \cdot 2 \pi r' \d r' \cdot z}{[(r')^2+z^2]^{3/2}} \cdot \hat{k} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot 2 \pi \sigma z \cdot (\frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}) \hat{k} \end{multiline} E →  P = E →  z = 1 4  π  ε 0  ∫ 0 R σ ⋅ 2  π  r ′  d r ′ ⋅ z r ′ 2 + z 2 3 ∕ 2 ⋅ k ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  π  σ  z ⋅ 1 z − 1 R 2 + z 2  k ̂ lub prościej E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  π  σ − 2  π  σ  z R 2 + z 2 k ̂  . Znaczenie Ponownie można pokazać (za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora), że dla z ≫ R wyrażenie sprowadza się do E →  z ≈ 1 4  π  ε 0 ⋅ σ  π  R 2 z 2 k ̂  , co jest wyrażeniem na natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego Q = σ  π  R 2  . Sprawdź, czy rozumiesz. Jak wyglądałby ten graniczny przypadek dla jednorodnie naładowanego prostokąta zamiast krążka? Ładunek punktowy byłby wtedy równy Q = σ  a  b , gdzie a i b są bokami prostokąta, a poza tym przypadek jest identyczny. Gdy R ⟶ ∞ , redukuje się do wyrażenia na natężenie pola elektrycznego nieskończonej, naładowanej płaszczyzny (ang. infinite plane ), tj. płaskiej płyty, której wymiary poprzeczne są dużo większe od jej grubości, a także dużo większe od odległości do miejsca, gdzie obliczamy natężenie pola elektrycznego E → = σ 2  ε 0 k ̂  . Zauważmy, że to natężenie pola jest stałe. To jest niespodziewany wynik będący następstwem nieskończonego rozmiaru płaszczyzny, ale tym wynikiem będziemy się jeszcze wielokrotnie posługiwać. Żeby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, wyobraźmy sobie, że znajdujemy się ponad tą nieskończoną płaszczyzną. Czy jej wygląd zmienia się wraz ze zmianą wysokości, z jakiej ją obserwujemy? Nie, ciągle widzimy płaszczyznę ciągnącą się do nieskończoności bez względu na to, jak bardzo jesteśmy od niej oddaleni. Ważne jest, aby pamiętać, że ma taką postać, ponieważ znajdujemy się powyżej płaszczyzny. Gdybyśmy się znajdowali poniżej, to natężenie pola elektrycznego byłoby zwrócone w kierunku − k ̂ . Natężenie pola elektrycznego dwóch nieskończonych płaszczyzn Wyznaczmy natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez dwie nieskończone płaszczyzny jednorodnie naładowane ładunkami równymi, ale o przeciwnych znakach ( ). Dwie naładowane nieskończone płaszczyzny. Zwróćmy uwagę na kierunek wektorów natężenia pola elektrycznego. Strategia rozwiązania Znamy już natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez pojedynczą nieskończoną płaszczyznę, możemy więc, korzystając z zasady superpozycji, wyznaczyć natężenie pola elektrycznego od dwóch płaszczyzn. Rozwiązanie Pole elektryczne jest zwrócone od dodatnio naładowanej płaszczyzny do ujemnie naładowanej płaszczyzny. Ponieważ gęstości powierzchniowe σ są równe i o przeciwnych znakach, to natężenia pola elektrycznego w obszarach na zewnątrz, poza płaszczyznami, się znoszą. Natomiast w obszarze pomiędzy płaszczyznami natężenia pól dodają się, dając E → = σ ε 0 i ̂  . Wersor i ̂ występuje we wzorze, bo na rysunku natężenie pola elektrycznego jest skierowane do + x . Znaczenie Układy, które można w przybliżeniu traktować jako dwie nieskończone płaszczyzny, są praktycznym źródłem jednorodnego pola elektrycznego. Sprawdź, czy rozumiesz. Jakie byłoby pole elektryczne wytworzone przez dwie dodatnio naładowane płaszczyzny o jednakowej gęstości powierzchniowej ładunku? Natężenie pola elektrycznego byłoby równe zero pomiędzy płaszczyznami i równe σ ∕ ε 0 wszędzie indziej. Podsumowanie Bardzo dużą liczbę ładunków możemy traktować jako ciągły rozkład ładunku, gdy konieczne jest całkowanie do wyliczenia natężenia pola. Typowymi przykładami są: rozkład jednowymiarowy (taki jak w drucie); posługujemy się liniową gęstością ładunku λ ; rozkład dwuwymiarowy (płyta metalowa); posługujemy się powierzchniową gęstością ładunku σ ; rozkład trójwymiarowy (kula metalowa); posługujemy się objętościową gęstością ładunku ρ . Teraz ładunek źródłowy jest różniczkowo małym fragmentem d q ładunku. Sposób obliczania d q zależy od rodzaju rozkładu ładunku d q = λ  d l  ,  d q = σ  d S  ,  d q = ρ  d V  . Kluczową dla obliczeń jest symetria rozkładu ładunku. Ważnymi szczególnymi przypadkami są te dotyczące pola elektrycznego nieskończonego drutu i nieskończonej płaszczyzny. Pytania Uzasadnij, dlaczego natężenie pola elektrycznego na zewnątrz nieskończonej naładowanej płaszczyzny jest stałe. Spodziewalibyśmy się, że w nieskończoności natężenie pola elektrycznego spada do zera, ale tak nie jest ze względu na to, że płaszczyzna ciągnie się do nieskończoności. Bez względu na to, gdzie się znajdujemy, widzimy nieskończoną płaszczyznę rozciągającą się we wszystkich kierunkach. Porównaj pola elektryczne od nieskończonej płaszczyzny ładunku, nieskończonej przewodzącej płyty i nieskończonych, przeciwnie naładowanych równoległych płyt. Wyraź pola elektryczne od nieskończenie naładowanej płyty i dwóch nieskończonych, naładowanych, równoległych płyt za pomocą pola elektrycznego nieskończonej płaszczyzny ładunku. Nieskończona naładowana płyta wytwarza wokół siebie pole elektryczne o natężeniu E = σ ∕ 2  ε 0 . Pole będzie skierowane do płyty, gdy jest ona naładowana ujemnie, a od płyty, gdy jest naładowana dodatnio. Natężenie pola elektrycznego układu dwóch równoległych płyt będzie równe zero pomiędzy płytami, gdy mają taki sam ładunek i E będzie równe E = σ ∕ ε 0 wszędzie na zewnątrz. Jeżeli ładunki mają przeciwne znaki, to sytuacja zmienia się na przeciwną, pole jest równe zero na zewnątrz płyt i E = σ ∕ ε 0 pomiędzy nimi. Ujemny ładunek został umieszczony w środku jednorodnie, dodatnio naładowanego pierścienia. Jak porusza się (o ile w ogóle) ten ładunek? Co się zmieni, gdy umieścimy ładunek na osi pierścienia, ale w punkcie innym niż środek pierścienia? Zadania Cienka przewodząca płyta o boku 1  m została naładowana ładunkiem − 2 ⋅ 10 -6  C . Na wysokości 1  cm , powyżej środka płyty, został umieszczony elektron. Jakie jest jego przyspieszenie? Oblicz wartość i wyznacz kierunek natężenia pola elektrycznego w odległości 2  m od długiego drutu naładowanego jednorodnie z liniową gęstością λ = 4 ⋅ 10 -6  C ∕ m . E →  z = 3,6 ⋅ 10 4  N ∕ C ⋅ k ̂ . Dwie cienkie przewodzące płytki każda o boku 25  cm są umieszczone równolegle w odległości 5  mm od siebie. Jakie będzie natężenie pola elektrycznego pomiędzy nimi, jeżeli 10 11 elektronów przeniesiemy z jednej płytki na drugą? Ilość ładunku na jednostkę długości pokazanego poniżej pręta jest równa λ . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie P ? Wskazówka: Rozwiąż zadanie, rozpatrując najpierw natężenie pola elektrycznego d E → w punkcie P , wytworzone przez mały fragment d x pręta, który ma ładunek równy d q = λ  d x . Następnie oblicz całkowite pole, całkując d E → po długości pręta. d E = λ  d x ∕ x + a 2 ⋅ 4  π  ε 0 , E = λ ∕ 4  π  ε 0 ⋅ 1 ∕ l + a − 1 ∕ a . Ładunek na jednostkę długości pokazanego poniżej drutu mającego kształt półkola wynosi λ . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie P ? Dwie cienkie naładowane płytki zostały umieszczone w odległości 2  cm od siebie. Bok każdej z płytek ma 2  cm , całkowity ładunek jednej z płytek wynosi 8  µC , a drugiej − 8  µC . Jaka jest powierzchniowa gęstość ładunku na wewnętrznej powierzchni każdej z płytek? Jakie jest natężenie pola elektrycznego pomiędzy płytkami? σ = 0,02  C ∕ m 2 , E = 2,26 ⋅ 10 9  N ∕ C . Cienka przewodząca płyta o boku 2  m obdarzona jest całkowitym ładunkiem -10  µC . Jakie jest natężenie pola elektrycznego 1  cm powyżej płyty? Jaka siła działa na elektron umieszczony w tym punkcie? Powtórz te obliczenia dla punktu znajdującego się 2  cm powyżej płyty; Jaką pracę wykonuje pole elektryczne, przemieszczając elektron z położenia 1  cm do położenia 2  cm powyżej płyty? Całkowity ładunek q jest jednorodnie rozmieszczony wzdłuż cienkiego, prostego pręta o długości L (rysunek poniżej). Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie P 1 , a jakie w P 2 ? W P 1 : E → = 1 4  π  ε 0 ⋅ λ  L y  y 2 + L 2 ∕ 4 ⋅ j ̂ = 1 4  π  ε 0 ⋅ q a ∕ 2 ⋅ a ∕ 2 2 + L 2 ∕ 4 ⋅ j ̂ = 1 π  ε 0 ⋅ q a  a 2 + L 2 . W P 2 : Umieść początek układu na końcu L . d E = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ λ  d x ∕ x + a 2 , E → = − q ∕ 4  π  ε 0  l ⋅ 1 ∕ l + a − 1 ∕ a  i ̂ . Ładunek jest rozmieszczony wzdłuż osi x ze stałą gęstością λ . Jaką pracę wykonuje pole elektryczne wytworzone przez ten ładunek, działając na elektron poruszający się wzdłuż osi y z punktu y = a do y = b ? Ładunek jest rozmieszczony wzdłuż całej osi x ze stałą gęstością λ x i wzdłuż całej osi y ze stałą gęstością λ y  . Oblicz wypadkowe natężenie pola elektrycznego w punkcie r → = a ⋅ i ̂ + b ⋅ j ̂ ; r → = c ⋅ k ̂ . a. E →  r → = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ 2  λ z ∕ a ⋅ i ̂ + 2  λ y ∕ b ⋅ j ̂ \vec{E} \apply (\vec{r}) = 1/(4\pi \epsilon_0) \cdot [2\lambda_z/a \cdot \hat{i} + 2\lambda_y / b \cdot \hat{j}] ; b. E →  r → = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ 2  λ z + λ y ∕ c ⋅ k ̂ \vec{E} \apply (\vec{r}) = 1/(4\pi \epsilon_0) \cdot 2(\lambda_z + \lambda_y)/c \cdot \hat{k} . Pręt został uformowany w kształcie łuku koła o kącie środkowym 2  θ (rysunek poniżej). Jeżeli pręt został jednorodnie naładowany całkowitym ładunkiem Q , to ile wynosi natężenie pola elektrycznego w punkcie P Proton przemieszcza się w polu elektrycznym o natężeniu E → = 200  N ∕ C ⋅ i ̂ . Jaka siła działa na proton i jakie jest jego przyspieszenie? Wykonaj te same obliczenia dla elektronu. a. F → = 3,2 ⋅ 10 -17  N ⋅ i ̂ , a → = 1,92 ⋅ 10 10  m ∕ s 2  ⋅ i ̂ ; b. F → = − 3,2 ⋅ 10 -17  N  ⋅ i ̂ , a → = − 3,51 ⋅ 10 13  m ∕ s 2  ⋅ i ̂ . Elektron i proton ruszają z miejsca przyspieszane tym samym jednorodnym polem elektrycznym o natężeniu 200  N ∕ C . Określ, jaką drogę muszą przebyć i ile czasu minie, zanim każda z cząstek uzyska energię kinetyczną równą 3,2 ⋅ 10 -16  J . Sferyczna kropelka wody o promieniu 25  µm posiada nadmiarowy ładunek 250 elektronów. Jakie musi być natężenie pionowo skierowanego pola elektrycznego niezbędne do zrównoważenia siły grawitacji działającej na kropelkę przy powierzchni Ziemi? m = 6,5 ⋅ 10 -11  kg , E = 1,6 ⋅ 10 7  N ∕ C . Proton wpada w jednorodne pole elektryczne wytworzone przez dwie naładowane płytki pokazane na rysunku poniżej. Natężenie pola elektrycznego jest równe 4 ⋅ 10 5  N ∕ C , a prędkość protonu, z jaką wpada w pole elektryczne wynosi 1,5 ⋅ 10 7  m ∕ s . Na jaką odległość d zostanie odchylony w dół proton w chwili, gdy wylatuje spomiędzy płytek? Poniżej pokazana jest kulka o masie 0,25  g naładowana ładunkiem 9 ⋅ 10 -10  C . Kulka jest przymocowana do końca bardzo cienkiej jedwabnej nitki o długości 5  cm . Drugi koniec nitki jest przymocowany do dużej, ustawionej pionowo, przewodzącej płyty naładowanej z gęstością ładunku 30 ⋅ 10 -6  C ∕ m 2 . O jaki kąt nitka odchyla się od pionu? E = 1,7 ⋅ 10 6  N ∕ C , F = 1,53 ⋅ 10 -3  N   T  cos θ = m  g   T  sin θ = q  E , tg θ = 0,62 ⇒ θ = 32  ° , wynik nie zależy od długości nitki. Dwa nieskończenie długie pręty, każdy naładowany jednorodnie z gęstością ładunku λ , są umieszczone równolegle do siebie i prostopadle do płaszczyzny rysunku. (Zobacz rysunek poniżej). Jakie jest natężenie pola elektrycznego w P 1 , a jakie w P 2 ? Dodatni ładunek jest rozmieszczony ze stałą liniową gęstością λ wzdłuż dodatniej osi x , od r do ∞ , i wzdłuż dodatniej osi y , od r do ∞ , i wzdłuż kolistego łuku 90  ° o promieniu r , jak pokazano na rysunku poniżej. Jakie jest natężenie pola elektrycznego w początku układu współrzędnych? Łuk: d E x ⋅ − i ̂ = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ λ  d s ∕ r 2 ⋅ cos θ ⋅ − i ̂ , E → x = λ ∕ 4  π  ε 0  r ⋅ − i ̂ , d E y ⋅ − i ̂ = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ λ  d s ∕ r 2 ⋅ sin θ ⋅ − j ̂ , E → y = λ ∕ 4  π  ε 0  r ⋅ − j ̂ ; Oś y : E → x = λ ∕ 4  π  ε 0  r ⋅ − i ̂ ; Oś x : E → y = λ ∕ 4  π  ε 0  r ⋅ − j ̂ , E → = λ ∕ 4  π  ε 0  r ⋅ − i ̂ + λ ∕ 4  π  ε 0  r ⋅ − j ̂ . Z odległości 10  cm proton został wystrzelony z prędkością v = 4 ⋅ 10 6  m ∕ s w kierunku dużej płyty, naładowanej dodatnio z gęstością ładunku σ = 2 ⋅ 10 -5  C ∕ m 2 . (Zobacz rysunek poniżej). Czy proton doleci do płyty? Jeżeli nie, to w jakiej odległości od płyty zawróci? Cząstka o masie m i ładunku − q porusza się po linii prostej w kierunku od zlokalizowanej cząstki posiadającej ładunek Q . Gdy odległość między cząstkami wynosi r 0 , to − q porusza się z prędkością v 0 . Skorzystaj z twierdzenia o pracy i energii do obliczenia maksymalnej odległości między ładunkami; Jakie założenie trzeba poczynić względem v 0 , żeby móc przeprowadzić te obliczenia? Jaka jest minimalna wartość prędkości v 0 , taka że − q ucieknie od Q ? a. W = 1 ∕ 2 ⋅ m ⋅ v 2 − v 0 2 , Q  q ∕ 4  π  ε 0 ⋅ 1 ∕ r − 1 ∕ r 0 = 1 ∕ 2 ⋅ m ⋅ v 2 − v 0 2 ⇒ r 0 − r = 4  π  ε 0 ∕ Q  q ⋅ 1 ∕ 2 ⋅ r  r 0  m ⋅ v 2 − v 0 2 ; b. r 0 − r jest ujemne, więc v 0 > v , r ⟶ ∞ i v ⟶ 0 : 4  π  ε 0 ∕ Q  q ⋅ − 1 ∕ r 0 = − 1 ∕ 2 ⋅ m  v 0 2 ⇒ v 0 = Q  q ∕ 2  π  ε 0  m  r 0 . ciągły rozkład ładunku (ang. continuous charge distribution ) ładunek źródłowy składający się z tak dużej liczby ładunków elementarnych, że powinien być traktowany raczej jako rozkład ciągły niż dyskretny nieskończona naładowana płaszczyzna (ang. infinite plane ) płaska płyta o rozmiarach wielokrotnie większych od jej grubości i wielokrotnie większych niż odległość do punktu, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego; to pole jest stałe nieskończenie długi, prosty drut (ang. infinite straight wire ) prosty drut, którego długość jest wielokrotnie większa od jego pozostałych wymiarów i wielokrotnie większa niż odległość do punktu, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego liniowa gęstość ładunku (ang. linear charge density ) ilość ładunku przypadająca na jednostkę długości jednowymiarowego rozkładu ładunku (szerokość i wysokość są wielokrotnie mniejsze niż jego długość); jednostką jest C ∕ m powierzchniowa gęstość ładunku (ang. surface charge density ) ilość ładunku przypadająca na jednostkę powierzchni dwuwymiarowego rozkładu ładunku (mała grubość); jednostką jest C ∕ m 2 objętościowa gęstość ładunku (ang. volume charge density ) ilość ładunku przypadająca na jednostkę objętości trójwymiarowego rozkładu ładunku; jednostką jest C ∕ m 3

Science


Linie pola elektrycznego Teraz, kiedy już umiemy obliczać natężenie pola elektrycznego, zajmiemy się zagadnieniem geometrii pola elektrycznego. Jak już wcześniej zaznaczyliśmy, nasz model przewiduje, że ładunek elektryczny (ładunek źródłowy) zmienia stan przestrzeni wokół siebie w taki sposób, że na umieszczony w tym obszarze inny ładunek elektryczny (ładunek próbny) działają siły elektryczne. Idea linii pola (ang. field lines ) elektrycznego i graficznego ich przedstawienia pozwala na wizualizację zmiany stanu przestrzeni, a tym samym na graficzne przedstawienie pola elektrycznego. W tym podrozdziale chcemy nauczyć cię przedstawiać graficznie geometrię pola elektrycznego, zatem omówimy szczegółowo kroki i reguły niezbędne do wykonania dokładnych i użytecznych rysunków pola elektrycznego. Trzeba pamiętać, że pola elektryczne wypełniają przestrzeń trójwymiarową. Chociaż w tym podręczniku umieszczonych jest kilka pseudotrójwymiarowych rysunków, to kilka z wykresów, które znajdziesz (zarówno w tym podrozdziale, jak i w następnych), to dwuwymiarowe rzuty lub przekroje. Pamiętajmy jednak, że mamy do czynienia z trójwymiarowym zjawiskiem. Punktem wyjścia jest stwierdzenie, że pole elektryczne ładunku źródłowego działa siłą na ładunek próbny umieszczony w tym polu. Z definicji wektory natężenia pola elektrycznego są zwrócone w tym samym kierunku co wektory siły elektrycznej (umownie) działającej na dodatni ładunek próbny umieszczony w polu elektrycznym ( ). Pole elektryczne dodatniego ładunku punktowego. Pokazana jest duża liczba wektorów natężenia pola. Jak w przypadku wszystkich wektorów ich długość jest proporcjonalna do wartości pola w każdym punkcie. (a) Pole w dwóch wymiarach. (b) Pole w trzech wymiarach. Narysowaliśmy wektory natężenia pola elektrycznego jednorodnie rozmieszczone wokół ładunku źródłowego. Ponieważ natężenie pola elektrycznego jest wektorem, to narysowane strzałki przedstawiają, w każdym punkcie przestrzeni, wartość i kierunek pola elektrycznego w danym punkcie. Jak zawsze długość strzałki odpowiada wartości natężenia pola w danym punkcie. Dla punktowego ładunku źródłowego długość wektora maleje z kwadratem odległości od ładunku źródłowego. Ponadto wektor natężenia pola jest skierowany radialnie na zewnątrz od ładunku źródłowego, ponieważ kierunek i zwrot natężenia pola elektrycznego są określone przez kierunek i zwrot siły, która działa na dodatni ładunek próbny. (Pamiętajmy, że pole elektryczne rozciąga się w trzech wymiarach, linie pola są również zwrócone od i do płaszczyzny rysunku). Ten wykres jest poprawny, ale przestaje być użyteczny, gdy rozkład ładunków źródłowych staje się bardziej złożony. Przykładowo przeanalizujmy wykres przedstawiający wektory natężenia pola elektrycznego dipola ( ). Pole elektryczne dipola. Nawet dla dwóch identycznych ładunków wykres natężenia pola elektrycznego staje się trudny do interpretacji. Istnieje jednak bardziej użyteczny sposób przedstawienia tej samej informacji. Zamiast rysowania dużej liczby coraz to mniejszych wektorów, połączymy je razem, tworząc (rysując) ciągłe linie, jak to pokazano na . (a) Wykres linii pola elektrycznego dodatniego ładunku punktowego. (b) Wykres linii pola elektrycznego dla dipola. Na obu rysunkach gęstość linii pola obrazuje natężenie pola elektrycznego. Wektory natężenia pola elektrycznego (niepokazane na rysunku) są styczne do linii pola w każdym punkcie. Chociaż może tego nie widać na pierwszy rzut oka, to te wykresy linii pola zawierają tę samą informację, co wykresy wektorów natężenia pola elektrycznego. Po pierwsze, kierunek pola w każdym punkcie jest kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego. Innymi słowami, w dowolnym punkcie przestrzeni wektor natężenia pola elektrycznego jest styczny do linii pola w tym punkcie. Strzałka na linii pola pokazuje zwrot pola. Jeżeli chodzi o wartość natężenia pola elektrycznego, to informuje o niej gęstość linii pola (ang. field line density ), to jest liczba linii pola przechodzących przez mały przekrój powierzchni prostopadły do pola elektrycznego, liczona na jednostkę powierzchni. Ta gęstość linii odpowiada wartości natężenia pola elektrycznego dla tego przekroju. Oznacza to, że gdy linie pola są blisko siebie (tzn. gęstość linii jest większa), to natężenie pola elektrycznego ma dużą wartość w tym punkcie. Gdy linie znajdują się daleko od siebie, to natężenie pola elektrycznego jest małe. obrazuje tę koncepcję. Linie pola przechodzą przez wirtualne powierzchnie. Chociaż liczba linii przechodzących przez każdą z powierzchni jest taka sama, to ponieważ powierzchnie są różne, także gęstość linii jest różna, co oznacza różną wartość natężenia pola elektrycznego w tych miejscach. Na ta sama liczba linii pola przechodzi przez obie powierzchnie ( S i S ′ ), ale powierzchnia S jest większa od powierzchni S ′ . Dlatego gęstość linii pola (liczba linii na jednostkę powierzchni) jest większa w miejscu S ′ , wskazując na to, że pole elektryczne jest silniejsze w miejscu S ′ niż w S . Zasady rysowania wykresów pola elektrycznego są następujące. Strategia rozwiązania: rysowanie linii pola elektrycznego Linie pola elektrycznego mają swój początek w ładunkach dodatnich lub biegną z nieskończoności, kończąc się na ładunkach ujemnych lub biegną do nieskończoności. Liczba linii wychodzących z ładunku lub wchodzących do ładunku jest proporcjonalna do wartości tego ładunku. Z ładunku 2  q będzie wychodzić dwa razy więcej linii niż z ładunku q . W każdym punkcie przestrzeni wektor natężenia pola elektrycznego jest styczny do linii pola elektrycznego w tym punkcie. Gęstość linii pola elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni jest proporcjonalna do (i dlatego odzwierciedla) wartości natężenia pola elektrycznego w tym punkcie. Linie pola elektrycznego nigdy się nie przecinają. Ponieważ linie pola elektrycznego pokazują kierunek pola w danym punkcie, to gdyby dwie linie przecinały się w tym punkcie, oznaczałoby to, że mamy do czynienia z polem elektrycznym skierowanym w dwie różne strony w jednym punkcie. To z kolei oznaczałoby, że (wypadkowa) siła działająca na ładunek próbny umieszczony w tym punkcie jest skierowana w różne strony. Ponieważ jest to z oczywistych powodów niemożliwe, to linie pola elektrycznego nie mogą się przecinać. Zawsze pamiętajmy, że rysowanie linii pola elektrycznego to wygodny sposób przedstawienia graficznego pola elektrycznego; same linie pola nie są wielkościami fizycznymi. Chociaż na podstawie linii pola można wywnioskować kierunek i natężenie pola elektrycznego, to czasami ich wykresy mogą być mylące. Na przykład linie reprezentujące pole elektryczne są z konieczności rysowane jako indywidualne, oddzielne linie, chociaż pole elektryczne istnieje w każdym punkcie przestrzeni. Na pokazane są linie pola dla trzech układów ładunków punktowych. Ponieważ ładunki w części (a) i (b) mają takie same wartości, to ta sama liczba linii wychodzi z każdego i wchodzi do każdego ładunku. Natomiast w części (c) narysowano trzy razy więcej linii wychodzących z ładunku + 3  q niż wchodzących do ładunku − q . Linie pola, które nie kończą się na ładunku − q , biegną z układu ładunków do nieskończoności. Trzy typowe wykresy linii pola elektrycznego. (a) Dipol. (b) Dwa identyczne ładunki. (c) Dwa ładunki o przeciwnych znakach i różnych wartościach. Czy potrafisz na podstawie wykresu powiedzieć, który ładunek jest największy? Zdolność sporządzania dokładnych wykresów pola elektrycznego jest ważną, użyteczną umiejętnością; pozwala w łatwy sposób oszacować, przewidzieć i w konsekwencji obliczyć natężenie pola elektrycznego ładunku źródłowego. Najłatwiej rozwijać tę umiejętność, korzystając z oprogramowania, które pozwala na definiowanie konfiguracji ładunków źródłowych, a potem wykreśla pole elektryczne. Zachęcamy do poszukania w Internecie takich programów komputerowych. Jeżeli wam to się uda, to spróbujcie wykonać kilka symulacji, aby poznać istotę konstruowania wykresów pola elektrycznego. Potem poćwiczcie rysowanie takich wykresów i sprawdźcie swoje wyniki z tymi otrzymanymi z programu komputerowego. Jednym z programów jest program rysujący linie pola elektrycznego „Ładunki i pola” dostępny na stronie PhET. Podsumowanie Wykresy pola elektrycznego pomagają przedstawić graficznie pole elektryczne ładunku źródłowego. Wartość natężenia pola elektrycznego jest proporcjonalna do gęstości linii pola. Wektory natężenia pola są styczne do linii pola w każdym punkcie. Pytania Czy ładunek punktowy, który może ruszyć z położenia spoczynkowego w polu elektrycznym, będzie poruszał się wzdłuż linii pola? Czy tak będzie w przypadku pola niejednorodnego? Tak; nie. W jakiej sytuacji, o ile w ogóle, tor ładunku nie będzie pokrywał się z linią pola? W jaki sposób doświadczalnie odróżnić pole elektryczne od pola grawitacyjnego? Na powierzchni Ziemi pole grawitacyjne jest zawsze skierowane do jej środka. Pole elektryczne może przenieść naładowaną cząstkę w kierunku innym niż do środka Ziemi. To świadczy o obecności pola elektrycznego. 10 linii pola przechodzi prostopadle przez kwadratową powierzchnię. Ile linii powinno przechodzić prostopadle przez tę powierzchnię, żeby odzwierciedlić pole elektryczne o dwa razy większym natężeniu? Jaki jest stosunek liczby linii pola elektrycznego wychodzących z ładunku 10  q do linii wychodzących z ładunku q ? 10. Zadania Które z pokazanych linii pola elektrycznego ładunku punktowego zostały błędnie narysowane? Wyjaśnij dlaczego. W tym zadaniu przećwiczymy rysowanie linii pola elektrycznego. Upewnij się, że rysunek dobrze odzwierciedla wartość i kierunek linii pola. Pamiętaj, że liczba linii pola wychodzących z ładunków lub wchodzących do ładunków jest proporcjonalna do ich wartości. Narysuj mapę linii pola elektrycznego dla dwóch ładunków + 20  µC i − 20  µC znajdujących się w odległości 5  cm od siebie; Narysuj mapę linii pola elektrycznego dla dwóch ładunków + 20  µC i + 20  µC znajdujących się w odległości 5  cm od siebie; Narysuj mapę linii pola elektrycznego dla dwóch ładunków + 20  µC i − 30  µC znajdujących się w odległości 5  cm od siebie. Narysuj linie pola elektrycznego dla układu trzech ładunków + 1  µC + 2  µC i − 3  µC zlokalizowanych w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku 2  cm . Dwa ładunki identyczne co do wartości, ale o przeciwnych znakach tworzą dipol elektryczny. Kwadrupol elektryczny jest utworzony przez dwa antyrównoległe dipole leżące na dwóch bokach kwadratu, tak jak na rysunku poniżej. Narysuj linie pola elektrycznego dla tego rozkładu ładunków. Załóż, że natężenie pola elektrycznego odosobnionego ładunku punktowego maleje z odległością jak 1 ∕ r 2 + δ , a nie jak 1 ∕ r 2 . Pokaż, że w tej sytuacji nie można narysować ciągłych linii pola, tak żeby ich liczba na jednostkę powierzchni była proporcjonalna do E . linie pola elektrycznego (ang. field lines ) gładkie, zazwyczaj zakrzywione linie, które obrazują kierunek natężenia pola elektrycznego gęstość linii pola elektrycznego (ang. field line density ) liczba linii pola na metr kwadratowy przechodzących przez wirtualną powierzchnię; ma na celu pokazanie natężenia pola elektrycznego w różnych punktach przestrzeni

Science


Dipole elektryczne Przeanalizowaliśmy i obliczyliśmy już pole elektryczne wytworzone przez dipol: układ dwóch równych ładunków o przeciwnych znakach, znajdujących się blisko siebie (w tym kontekście, „blisko” oznacza, że odległość d pomiędzy dwoma ładunkami jest wielokrotnie mniejsza niż odległość do punktu P , w którym obliczamy natężenie pola). Zobaczmy teraz, co stanie się z dipolem umieszczonym w zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E → . Zakładamy, że mamy do czynienia z trwałym dipolem (ang. permanent dipole ), które istnieje bez obecności pola elektrycznego i nie jest niszczony przez zewnętrzne pole elektryczne. Obrót dipola w polu elektrycznym Rozpatrzymy teraz tylko najprostszy przypadek, dotyczący jednorodnego pola elektrycznego. Przypuśćmy, że mamy do czynienia z sytuacją przedstawioną na , gdzie odległość między ładunkami traktujemy jak wektor d →  , skierowany od ładunku ujemnego do ładunku dodatniego. Siły działające na oba ładunki są sobie równe, ale przeciwnie skierowane, tak że nie ma siły wypadkowej działającej na dipol. Jednak działa moment siły M → = d → 2 × F → + + − d → 2 × F → − M → = d → 2 × + q  E → + − d → 2 × − q  E → M → = q  d → × E →  . \begin{multiline} \vec{M} &= (\frac{\vec{d}}{2} \times \vec{F}_{+})+(-\frac{\vec{d}}{2} \times \vec{F}_{-}) \\ &= [\frac{\vec{d}}{2} \times (+q \vec{E})] + [-\frac{\vec{d}}{2} \times (-q \vec{E})] \\ &= q \vec{d} \times \vec{E} \text{.} \end{multiline} M → = d → 2 × F → + + − d → 2 × F → − = d → 2 × + q  E → + − d → 2 × − q  E → = q  d → × E →  . Dipol w zewnętrznym polu elektrycznym. (a) Wypadkowa siła działająca na dipol wynosi zero, ale moment siły już nie. Na skutek tego dipol obraca się, ustawiając równolegle do zewnętrznego pola elektrycznego. (b) Moment dipolowy jest wygodną wielkością do opisania tego zjawiska. Wektor d → jest zwrócony w tym samym kierunku co wektor p → . Wielkość q  d → (wartość każdego ładunku pomnożona przez wektor odległości pomiędzy nimi) jest właściwością dipola; jej wartość określa moment siły, jaki działa na dipol w zewnętrznym polu elektrycznym. Dlatego definiujemy ten iloczyn jako nową wielkość nazywaną momentem dipolowym (ang. dipole moment ) dipola p → = q  d →  . Możemy teraz napisać M → = p → × E →  . \vec{M}=\vec{p}\times\vec{E}\text{.} Przypomnijmy, że moment siły zmienia prędkość kątową ciała, w tym przypadku dipola. Wynikiem jest więc obrót dipola (to znaczy zmiana kierunku wektora p → ), tak że jest on równoległy do kierunku zewnętrznego pola elektrycznego. Indukowany moment dipolowy (indukowany dipol) Atomy są z definicji obojętne elektrycznie; zawierają równe liczby ładunków dodatnich i ujemnych. Co więcej, ponieważ są symetryczne sferycznie, nie posiadają własnego wbudowanego momentu dipolowego tak, jak ma to miejsce w przypadku niesymetrycznych cząsteczek. Ale atom może zyskać taki moment po umieszczeniu go w zewnętrznym polu elektrycznym, ponieważ to pole działa siłami przeciwnie skierowanymi na dodatnie jądro atomowe i na ujemne elektrony otaczające jądro. W wyniku tego otrzymujemy nowy rozkład ładunku w atomie i w konsekwencji wyindukowany moment dipolowy (ang. induced dipole ) – . Moment dipolowy wyindukowany w obojętnym elektrycznie atomie przez zewnętrzne pole elektryczne. Wyindukowany moment dipolowy jest ułożony wzdłuż zewnętrznego pola elektrycznego. Ważne jest to, że tak jak w przypadku obrotu polarnej cząsteczki otrzymujemy na koniec moment dipolowy ustawiony równolegle do zewnętrznego pola elektrycznego. Na ogół wyindukowany moment dipolowy jest znacznie mniejszy od trwałego momentu dipolowego. Zauważmy, że w obu przypadkach, gdy dipol (obrócony lub wyindukowany) jest ustawiony wzdłuż pola elektrycznego, to zmniejsza natężenie tego pola E → wyp = E → zew + E → dipola w miejscach na zewnątrz dipola ( ). „Na zewnątrz” oznacza: w odległości większej niż odległość pomiędzy ładunkami dipola. To zjawisko ma kluczowe znaczenie dla kondensatorów, jak się o tym dowiemy w rozdziale Pojemność elektryczna . Wypadkowe pole elektryczne jest sumą wektorową pola dipola i pola zewnętrznego. Przypomnijmy, że już wyznaczyliśmy pole elektryczne dipola za pomocą . Jeżeli teraz wyrazimy je za pomocą momentu dipolowego, to otrzymamy E →  z = 1 4  π  ε 0 ⋅ p → z 3  . To pole jest pokazane na . Zauważmy, że w płaszczyźnie prostopadłej do osi dipola i w połowie odległości między ładunkami zwrot pola elektrycznego jest przeciwny do pola dipola i maleje wraz z oddalaniem się od osi dipola. Podobnie na osi dipola (ale poza nim) pole jest skierowane w tę sama stronę co pole dipola i ponownie maleje wraz z oddalaniem się od ładunków. Podsumowanie Jeżeli trwały dipol zostanie umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym, to w wyniku działania momentu siły zostanie on ustawiony zgodnie z kierunkiem tego pola. Jeżeli niespolaryzowany atom (lub cząsteczka) zostanie umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym, to zyskuje wyindukowany moment dipolowy, który jest zgodny z kierunkiem zewnętrznego pola. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego jest sumą wektorową natężenia pola zewnętrznego i pola dipola (trwałego lub wyindukowanego). Stopień polaryzacji jest opisany za pomocą momentu dipolowego dipola p → = q  d → . Najważniejsze wzory Prawo Coulomba F → 1 2  r = 1 4  π  ε 0 ⋅ q 1  q 2 r 1 2 2  r ̂ 1 2 Superpozycja (dodawanie) sił elektrostatycznych F →  r = Q 4  π  ε 0  ∑ i = 1 N q i r i 2  r ̂ i Siła elektryczna w polu elektrycznym F → = Q  E → Natężenie pola elektrycznego w punkcie P E →  P ≡ 1 4  π  ε 0  ∑ i = 1 N q i r i 2  r ̂ i Pole elektryczne nieskończonego drutu E →  z ≡ 1 4  π  ε 0 ⋅ 2  λ z  k ̂ Pole elektryczne nieskończonej płaszczyzny E → = σ 2  ε 0  k ̂ Moment dipolowy p → ≡ q  d → Moment siły działający na dipol umieszczony w zewnętrznym polu E → \vec{E} M → = p → × E → \vec{M}=\vec{p}\times\vec{E} Pytania Jakie są trwałe ustawienia dipola w zewnętrznym polu elektrycznym? Co się stanie, gdy dipol zostanie wytrącony z tych położeń? Zadania Rozważ dwa równe, ale o przeciwnych znakach ładunki pokazane na rysunku poniżej. Pokaż, że we wszystkich punktach na osi x , dla których x ≫ a , natężenie pola elektrycznego wynosi około E ≈ Q  a ∕ 2  π  ε 0  x 3 ; Pokaż, że we wszystkich punktach na osi y , dla których y ≫ a , natężenie pola elektrycznego wynosi około E ≈ Q  a ∕ π  ε 0  y 3 . E x = 0  V ∕ m , a. E y = 2  Q  a ∕ x 2 + a 2 3 ∕ 2 ⋅ 4  π  ε 0 , w przypadku kiedy x ≫ a to E ≈ Q  a ∕ 2  π  ε 0  x 3 ; b. E y = 4  Q  a  y ∕ y − a 2 ⋅ y + a 2 ⋅ 4  π  ε 0 , w przypadku kiedy y ≫ a to E ≈ Q  a ∕ π  ε 0  y 3 . Odpowiedz na poniższe pytania. Jaki jest moment dipolowy układu pokazanego powyżej? Jeżeli Q = 4  µC , to jaki moment siły działa na ten dipol w polu elektrycznym o natężeniu 4 ⋅ 10 5  N ∕ C  ⋅ i ̂ ? Jaki moment siły działa na ten dipol w polu elektrycznym o natężeniu − 4 ⋅ 10 5  N ∕ C  ⋅ i ̂ ? Jaki moment siły działa na ten dipol w polu elektrycznym o natężeniu ± 4 ⋅ 10 5  N ∕ C  ⋅ j ̂ ? Cząsteczka wody składa się z dwóch atomów wodoru związanych z jednym atomem tlenu. Kąt między dwoma wiązaniami wodór−tlen wynosi 105  ° (rysunek poniżej). Oblicz wypadkowy moment dipolowy cząsteczki wody, która została umieszczona w jednorodnym, poziomym polu elektrycznym o natężeniu 2,3 ⋅ 10 -8  N ∕ C (brakuje niektórych danych potrzebnych do rozwiązania zadania, musisz zorientować się, o jakie dane chodzi, i wyszukać je). Wypadkowy moment dipolowy jest sumą wektorową pojedynczych momentów dipolowych par O-H. Odległość O-H wynosi 0,9578 angstrema: p → = 1,889 ⋅ 10 -29  C  m  ⋅ i ̂ . Zadania dodatkowe Ładunki punktowe q 1 = 2  µC i q 2 = 4  µC znajdują się w r 1 = 4  m ⋅ i ̂ − 2  m ⋅ j ̂ + 2  m ⋅ k ̂ i w r 2 = 8  m ⋅ i ̂ + 5  m ⋅ j ̂ − 9  m ⋅ k ̂ . Z jaką siłą q 2 działa na q 1 ? Jaka siła działa na ładunek 5  µC pokazany poniżej? F → wyp = − 8,99 ⋅ 10 9 ⋅ 3 ⋅ 10 -6 ⋅ 5 ⋅ 10 -6 ∕ 3  m 2 − 8,99 ⋅ 10 9 ⋅ 9 ⋅ 10 -6 ⋅ 5 ⋅ 10 -6 ∕ 3  m 2 ⋅ i ̂ , − 8,99 ⋅ 10 9 ⋅ 6 ⋅ 10 -6 ⋅ 5 ⋅ 10 -6 ∕ 3  m 2 ⋅ j ̂ = − 0,06  N ⋅ i ̂ − 0,03  N ⋅ j ̂ . Jaka siła działa na ładunek 2  µN umieszczony w środku kwadratu pokazanego poniżej? Cztery naładowane cząstki są umieszczone w narożach równoległoboku, tak jak to pokazano na rysunku poniżej. Jeżeli q = 5  µC i Q = 8  µC , to jaka wypadkowa siła działa na ładunek q ? Ładunki Q i q tworzą trójkąt prostokątny o bokach 1  m i 3 + 3  m  . Ładunki 2  Q i q tworzą trójkąt prostokątny o bokach 1  m i 3  m  . F x = 0,036  N  , F y = 0,09  N , F → wyp = 0,036  N  ⋅ i ̂ + 0,09  N  ⋅ j ̂ . Ładunek Q jest zlokalizowany w początku układu współrzędnych, a drugi ładunek q przemieszcza się wzdłuż osi x , jak pokazano na rysunku poniżej. Jaką pracę nad ładunkiem q wykonuje pole elektryczne, gdy q przemieszcza się z x 1 do x 2 ? Ładunek q = − 2  µC rusza ze spoczynku z punktu odległego o 2  m od zlokalizowanego ładunku Q = 6  µC . Jaka jest energia kinetyczna ładunku q , gdy znajduje się on w odległości 1  m od Q ? W = 0,054  J . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie środkowym M przeciwprostokątnej trójkąta pokazanego na rysunku poniżej? Określ natężenie pola elektrycznego w punkcie P dla układów ładunków pokazanych na rysunku poniżej. a. E → = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ q ∕ 2  a 2 − q ∕ a 2 ⋅ i ̂ ; b. E → = 3 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ q ∕ a 2 ⋅ − j ̂ ; c. E → = 2 ∕ π  ε 0 ⋅ q ∕ a 2 ⋅ 1 ∕ 2 ⋅ − j ̂ . Odpowiedz na poniższe pytania. Jakie jest natężenie pola elektrycznego w dolnym, prawym narożniku kwadratu pokazanego na rysunku poniżej? Jaka siła działa na ładunek q umieszczony w tym punkcie? Następujące ładunki punktowe są rozmieszczone w narożach pokazanego poniżej prostokąta: q 1 = 2 ⋅ 10 -6  C , q 2 = − 2 ⋅ 10 -6  C , q 3 = 4 ⋅ 10 -6  C oraz q 4 = 10 -6  C . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w punkcie P ? E → = 6,4 ⋅ 10 6  N ∕ C ⋅ i ̂ + 1,5 ⋅ 10 7  N ∕ C ⋅ j ̂ . Trzy ładunki znajdują się w narożach równoległoboku, tak jak pokazano na rysunku poniżej. Jeżeli Q = 42  µC , to jakie jest natężenie pola elektrycznego w nieobsadzonym narożniku? Dodatni ładunek q rusza z punktu w początku prostokątnego układu współrzędnych i przemieszcza się pod wpływem pola elektrycznego o natężeniu E → = E 0 ⋅ 1 + x ∕ a ⋅ i ̂ . Jaka jest energia kinetyczna ładunku q , gdy przechodzi przez punkt o współrzednej x = 3  a ? F = q  E 0 ⋅ 1 + x ∕ a ⋅ W = 1 ∕ 2 ⋅ m ⋅ v 2 − v 0 2 , 1 ∕ 2 ⋅ m  v 2 = q  E 0 ⋅ 15  a ∕ 2  J . Cząstka o ładunku − q i masie m znajduje się w środku jednorodnie naładowanego pierścienia, którego całkowity ładunek wynosi Q , a promień równa się R . Cząstka zostaje przesunięta na niewielką odległość wzdłuż osi prostopadłej do płaszczyzny pierścienia i uwolniona. Zakładając, że cząstka może się poruszać tylko wzdłuż tej osi, pokaż, że cząstka wykonuje harmoniczne drgania z częstotliwością f = q  Q ∕ 4  π  ε 0  m  R 3 ∕ 2  π . Ładunek jest rozłożony równomiernie wzdłuż całej osi y z liniową gęstością λ y i wzdłuż dodatniej osi x od x = a do x = b z liniową gęstością λ x . Z jaką siłą działają na siebie te rozkłady ładunków? Natężenie pola elektrycznego drutu w x : E →  x = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ 2  λ y ∕ x ⋅ i ̂ , d F = λ y  λ x ∕ 2  π  ε 0 ⋅ ln b − ln a . Kolisty łuk, pokazany poniżej, posiada ładunek, na jednostkę długości λ = λ  cos θ , gdzie kąt θ jest mierzony od osi x . Jakie jest natężenie pola w początku układu? Oblicz natężenie pola elektrycznego w punkcie P na osi z od jednorodnie naładowanego pręta o długości L , ułożonego na osi x z jednym końcem w początku układu. d E x = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ λ  d x ∕ x 2 + a 2 ⋅ x ∕ x 2 + a 2 , E → x = λ ∕ 4  π  ε 0 ⋅ 1 ∕ L 2 + a 2 − 1 ∕ a ⋅ i ̂ , d E z = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ λ  d x ∕ x 2 + a 2 ⋅ x ∕ x 2 + a 2 , E → z = λ ∕ 4  π  ε 0  a ⋅ L ∕ L 2 + a 2 ⋅ k ̂ . Podstawiając z zamiast a , otrzymujemy E →  z = λ ∕ 4  π  ε 0 ⋅ 1 ∕ L 2 + z 2 − 1 ∕ z ⋅ i ̂ + λ ∕ 4  π  ε 0  z ⋅ L ∕ L 2 + z 2 ⋅ k ̂ . Ładunek przypadający na jednostkę długości cienkiego pręta pokazanego na rysunku poniżej wynosi λ  . Jak siła elektrostatyczna działa na ładunek punktowy q ? Rozwiąż to zadanie, biorąc najpierw pod uwagę siłę elektrostatyczną d F → działającą na q , której źródłem jest mały fragment d x pręta, posiadający ładunek λ  d x  . Następnie oblicz siłę wypadkową, całkując d F → po długości pręta. Ładunek przypadający na jednostkę długości cienkiego pręta, pokazanego poniżej, wynosi λ  . Jaka siła elektrostatyczna działa na ładunek punktowy q (zobacz poprzednie zadanie)? Siła wypadkowa działa tylko w kierunku y . Niech θ będzie kątem, który wektor łączący d x z q tworzy z osią x . Składowe w kierunku x znoszą się ze względu na symetrię układu, tak że pozostaje tylko składowa y siły. d F y = 1 ∕ 4  π  ε 0 ⋅ a  q  λ  d x ∕ x 2 + a 2 3 ∕ 2 , F y = 1 ∕ 2  π  ε 0 ⋅ q  λ ∕ a ⋅ l ∕ 2 l ∕ 2 2 + a 2 1 ∕ 2 . Ładunek przypadający na jednostkę długości cienkiego półkolistego drutu, pokazanego poniżej, wynosi λ . Jaka siła działa na ładunek punktowy q (zobacz poprzednie zadanie)? moment dipolowy (ang. dipole moment ) charakteryzuje dipol; iloczyn odległości pomiędzy przeciwnymi ładunkami i wartości tych ładunków wyindukowany moment dipolowy (wyindukowany dipol) (ang. induced dipole ) charakterystyczny dla atomu lub sferycznie symetrycznej cząsteczki; moment dipolowy (dipol) wygenerowany w wyniku działania przeciwnie skierowanych sił rozsuwających ładunki dodatnie i ujemne trwałe dipole (ang. permanent dipole ) charakterystyczne dla cząsteczek; dipol (moment dipolowy) istniejący w wyniku trwałego ułożenia naładowanych cząstek, które tworzą dipol

Science