Lepkość i turbulencje W rozdziale Zastosowania praw Newtona , gdzie wprowadziliśmy pojęcie tarcia, przekonaliśmy się, że przedmiot ślizgający się po podłodze z pewną prędkością początkową, na który nie działa żadna siła wypadkowa, zatrzyma się po pewnym czasie z powodu działania siły tarcia. Siła tarcia zależy od rodzaju materiałów, które są w kontakcie, i jest proporcjonalna do siły normalnej. W tym samym rozdziale omówiliśmy również opór powietrza i pokazaliśmy, że jest on proporcjonalny do prędkości przy małych prędkościach, a przy dużych - do kwadratu prędkości. W tym rozdziale dowiemy się więcej o siłach tarcia działających w płynach podczas ich ruchu. Na przykład na płyn przepływający przez rurę działa siła tarcia między nim a ścianami rury. Tarcie pojawia się również pomiędzy różnymi warstwami płynu. Te siły oporu zmieniają sposób, w jaki płyn porusza się przez rurę. Lepkość i przepływ laminarny Kiedy nalewasz sok do szklanki, płyn porusza się swobodnie i szybko. Ale kiedy wlewasz miód na kromkę chleba, przepływa on powoli i przykleja się do łyżki czy słoika. Różnicę powoduje tarcie, zarówno wewnątrz płynu, jak i pomiędzy płynem a jego otoczeniem. Tę cechę płynów nazywamy lepkością. Sok ma małą lepkość, a miód - dużą. Precyzyjna definicja lepkości wykorzystuje pojęcie laminarności, czyli przepływu nieturbulentnego. pokazuje schematycznie, czym różni się przepływ laminarny od turbulentnego. Podczas przepływu laminarnego warstwy płynu poruszają się bez mieszania, a w przypadku przepływu turbulentnego warstwy się mieszają i mogą pojawić się obszary, w których wystąpią znaczne prędkości w kierunku innym niż wypadkowy przepływ. (a) W przypadku przepływu laminarnego nie dochodzi do mieszania się warstw. Zwróćmy uwagę, że lepkość sprawia, iż warstwy płynu pociągają się nawzajem, podobnie jak dzieje się to z warstwami stałymi. Prędkość w pobliżu dolnej części przepływu ( v b ) jest mniejsza niż w pobliżu powierzchni ( v t ), ponieważ w tym przypadku powierzchnia pojemnika zawierającego płyn jest na spodzie. (b) Przeszkoda w pojemniku powoduje przepływ turbulentny, który miesza płyn. W takiej sytuacji występuje więcej oddziaływań, płyn zostaje podgrzany i pojawiają się większe opory niż w przypadku przepływu laminarnego. Turbulencja (ang. turbulence ) to taki przepływ, w którym warstwy płynu się mieszają, tworząc zawirowania i zwroty w przepływie. Są dwa główne powody turbulencji: pierwszym jest przeszkoda o ostrych końcach, taka jak kran, która powoduje turbulencje przez wprowadzenie do przepływu prędkości do niego prostopadłych; drugim powodem jest duża prędkość. Przy dużej prędkości płynu oddziaływanie między sąsiadującymi warstwami oraz ich otoczeniem może powodować wiry i zawracanie płynu. Na prędkość przyspieszającego dymu dochodzi do momentu, w którym zaczynają się tworzyć wiry z powodu tarcia między dymem a otaczającym go powietrzem. Dym unosi się równomiernie przez pewien czas, a później zaczynają w nim powstawać wiry. Równomierna część przepływu jest laminarna, natomiast w części z wirami obserwujemy turbulencje. Dym unosi się szybciej w obszarze przepływu laminarnego niż w obszarze przepływu turbulentnego, co oznacza, że turbulencja powoduje większe opory ruchu. (Źródło: „Creativity103”/Flickr) przedstawia pomiar lepkości w płynie. Płyn, którego lepkość chcemy zmierzyć, umieszczamy pomiędzy dwiema równoległymi płytkami. Dolna jest umocowana do podłoża, podczas gdy górna porusza się w prawo, pociągając ze sobą płyn. Warstwa płynu w kontakcie z którąś z tych płytek nie porusza się względem niej, więc górna warstwa ma prędkość v , a dolna pozostaje w spoczynku. Każda kolejna warstwa od góry wywiera siłę na warstwę poniżej, próbując pociągnąć ją ze sobą, co wywołuje powstawanie ciągłej zmiany prędkości od v aż do 0, jak pokazano na rysunku. Podczas pomiaru należy zwracać uwagę, aby przepływ był laminarny, czyli aby warstwy się nie mieszały. Ruch zaprezentowany na rysunku przypomina ciągły ruch ścinający. Płyny mają zerową wytrzymałość na ścinanie, więc szybkość, z jaką odpowiadają na siłę ścinającą, jest związana z tymi samymi czynnikami geometrycznymi A oraz L , jak deformacja ścinająca w ciałach stałych. Na diagramie płyn jest początkowo w spoczynku. Warstwa płynu w kontakcie z poruszającą się płytką doznaje przyspieszenia i zaczyna się poruszać z powodu tarcia między nimi. Następna warstwa jest w kontakcie z poruszającą się warstwą. Ponieważ pojawia się tarcie pomiędzy tymi dwiema warstwami, ta warstwa również doznaje przyspieszenia. Sytuacja ta powtarza się aż do osiągnięcia dna płynu. Pomiar lepkości dla przepływu laminarnego między dwiema płytkami o polu powierzchni A . Dolna płytka jest przymocowana do podłoża. Gdy górna płytka zostaje wprawiona w ruch, pociąga za sobą płyn. Aby utrzymywać górną płytkę z w ruchu jednostajnym z prędkością v , potrzebna jest siła F . Eksperymenty wykazały, że siła ta zależy od czterech czynników. Pierwszym z nich jest wymóg prostej proporcjonalności F do v (jest tak do czasu aż prędkość nie wzrośnie do wartości, po której zaczynają występować turbulencje - w tym momencie zaczyna być potrzebna znacznie większa siła, a jej zależność od v staje się znacznie bardziej skomplikowana). Po drugie, F musi być proporcjonalna do pola powierzchni płytki A . Ten związek wydaje się naturalny, ponieważ A jest wprost proporcjonalne do ilości przepływającego płynu. Po trzecie, F jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między płytkami L . Ten związek również wydaje się naturalny: L działa jak ramię dźwigni – im dłuższe ramię, tym mniejsza siła jest potrzebna. Po czwarte, F jest wprost proporcjonalna do współczynnika lepkości (ang. coefficient of viscosity ), η . Im większa lepkość, tym większa siła jest potrzebna. Powyższe związki mogą być podsumowane przy pomocy następującego równania: F = η v A L . Równanie to jest definicją współczynnika lepkości płynu η . Po jego rozwiązaniu ze względu na η otrzymujemy: η = F L v A , czyli definicję współczynnika lepkości płynu uzyskaną przez rozważenie procedury jego pomiaru. Jednostką SI lepkości jest N ⋅ m / [ ( m / s ) m 2 ] = ( N / m 2 ) s lub P a ⋅ s . podaje współczynniki lepkości dla różnych płynów. Wartość lepkości różni się między płynami o wiele rzędów wielkości. Zgodnie z oczekiwaniami lepkości gazów są znacznie niższe niż w przypadku cieczy i często zależą od temperatury. Współczynniki lepkości różnych płynów Płyn Temperatura ( °C) Lepkość η ( Pa ⋅ s ) Powietrze 0 0,0171 20 0,0181 40 0,0190 100 0,0218 Amoniak 20 0,00974 Dwutlenek węgla 20 0,0147 Hel 20 0,0196 Wodór 0 0.0090 Rtęć 20 0,0450 Tlen 20 0,0203 Para wodna 100 0,0130 Woda ciekła 0 1,792 20 1,002 37 0,6947 40 0,653 100 0,282 Krew 20 3,015 37 2,084 Plazma krwi 20 1,810 37 1,257 Alkohol etylowy 20 1,20 Metanol 20 0,584 Olej (ciężki, maszynowy) 20 660 Olej (silnikowy, SAE 10) 30 200 Oliwa z oliwek 20 138 Gliceryna 20 1500 Miód 20 2000–10000 Syrop klonowy 20 2000–3000 Mleko 20 3,0 Olej kukurydziany 20 65 Przepływ laminarny płynu w rurze. Prawo Poiseuille’a Co jest przyczyną przepływu? Odpowiedź na to pytanie nie zaskakuje – przepływ powoduje różnica ciśnień. Tak naprawdę istnieje bardzo prosta relacja między przepływem horyzontalnym a ciśnieniem. Strumień Q ma kierunek od wyższego ciśnienia do niższego. Im większa różnica ciśnień pomiędzy dwoma punktami, tym większy strumień. Relację tę możemy wyrazić następująco: Q = p 2 − p 1 R , gdzie p 1 i p 2 są ciśnieniami w dwóch różnych miejscach, takich jak końce rury, a R jest oporem stawianym przepływowi. Opór R zawiera wszystkie elementy, które wpływają na przepływ, za wyjątkiem ciśnienia. Na przykład R jest większe w rurze długiej niż w krótkiej. Im większa lepkość płynu, tym większa wartość R . Turbulencje znacznie podwyższają wartość R , a zwiększenie średnicy rury ją zmniejsza. Jeżeli lepkość wynosi zero, to tarcie wynosi zero i opory stawiane przepływowi są również zerowe. Porównując przepływ płynu nielepkiego z przepływem płynu lepkiego, widzimy, że ( ) płyn lepki ma największą prędkość w centrum przepływu, co wynika z tarcia o ściany rury. Efekt działania lepkości możemy zaobserwować w palniku Bunsena (część (c) rysunku), pomimo niewielkiej gęstości gazu ziemnego. (a) Jeżeli płyn przepływający w rurze ma pomijalną lepkość, wówczas prędkość jest taka sama w całej rurze. (b) Gdy lepki płyn przepływa przez rurę, to jego prędkość przy ścianach wynosi zero i rośnie stopniowo w miarę zbliżania się do środka rury, gdzie osiąga maksymalną wartość. (c) Kształt płomienia w palniku Bunsena wynika z profilu prędkości w rurze. (Źródło: modyfikacja zdjęcia Jasona Woodheada) Opór R stawiany laminarnemu przepływowi nieściśliwego płynu o lepkości η przez poziomą rurę o jednorodnym promieniu r i długości l , opisuje równanie: R = 8 η l π r 4 . Równanie to nazywa się prawem Poiseuille’a (ang. Poiseuille’s law ) na cześć francuskiego uczonego J. L. Poiseuille'a (1797–1869) , który je wyprowadził, próbując wyjaśnić przepływ krwi w ciele. Przeanalizujmy równanie Poiseuille’a na R i przekonajmy się, czy jest ono intuicyjne. Widzimy, że opór jest wprost proporcjonalny zarówno do lepkości płynu η , jak i do długości rury l . Oba te elementy bezpośrednio wpływają na tarcie doświadczane przez płyn – im większa jest wartość któregoś z nich, tym większy opór i mniejszy strumień. Promień r rury wpływa na opór, co również jest intuicyjne, ponieważ im większy promień, tym większy strumień (przy zachowaniu pozostałych parametrów). Zaskakuje jednak fakt, że r jest podniesione do potęgi czwartej. Wykładnik ten oznacza, że zmiana promienia rury ma ogromny wpływ na opór. Na przykład dwukrotne zwiększenie promienia zmniejsza opór 2 4 = 16 -krotnie. Jeśli połączymy Q = ( p 2 − p 1 ) / R z R = 8 η l / ( π r 4 ) uzyskamy następujące równanie na strumień: Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l . To równanie opisuje przepływ laminarny w rurze. Nazywane jest często prawem Poiseuille’a dla przepływu laminarnego lub po prostu prawem Poiseuille’a ( ). Prawo Poiseuille'a stosuje się do laminarnego nieściśliwego płynu o lepkości η przez rurę o długości l i promieniu r . Płyn porusza się od większego ciśnienia do mniejszego. Strumień Q jest wprost proporcjonalny do różnicy ciśnień p 2 − p 1 , a odwrotnie proporcjonalny do długości rury l i lepkości płynu η . Strumień wzrasta z promieniem o czynnik r 4 . Wykorzystanie strumienia: układy klimatyzacji Układ klimatyzacji zaprojektowano tak, aby dostarczał powietrze pod ciśnieniem manometrycznym 0,054 Pa w temperaturze 20 ° C . Powietrze jest przesyłane izolowanym przewodem o przekroju kołowym, którego średnica wynosi 18,00 cm. Ma on długość 20 m i wylot w pomieszczeniu, gdzie panuje ciśnienie atmosferyczne 101,30 kPa. Ma ono długość 12 m, szerokość 6 m i wysokość 3 m. (a) Jaki jest strumień objętościowy przepływający przez rurę, zakładając przepływ laminarny? (b) Oszacuj, ile czasu trzeba, aby całkowicie wymienić powietrze w pokoju. (c) Robotnicy decydują się oszczędzić trochę pieniędzy przez użycie przewodu o średnicy 9,00 cm. Jaki będzie strumień w tym przypadku? Strategia rozwiązania Jeśli przyjmiemy przepływ laminarny, prawo Poiseuille’a mówi, że: Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l = d V d t Musimy porównać promienie przewodu przed redukcją i po redukcji strumienia. Zauważmy, że znamy średnicę przewodu, więc, aby obliczyć promień, musimy podzielić ją przez 2. Rozwiązanie Jeśli założymy stałą różnicę ciśnień i użyjemy lepkości η = 0,0181 mPa ⋅ s , otrzymujemy: Q = 0,052 P a ⋅ 3,14 ⋅ ( 0,09 m ) 4 8 ⋅ 0,0181 ⋅ 10 − 3 P a ⋅ s ⋅ 20 m = 3,84 ⋅ 10 − 3 m 3 s . Załózmy stały przepływ Q = d V d t ≈ Δ V Δ t Δ t = Δ V Q = 12 m ⋅ 6 m ⋅ 3 m 3,84 ⋅ 10 − 3 m 3 / s = 5,63 ⋅ 10 4 = 15,63 h . Stosujemy założenia przepływu laminarnego, dzięki czemu z prawa Poiseuille’a uzyskujemy: Q = 0,054 P a ⋅ 3,14 ⋅ ( 0,045 m ) 4 8 ⋅ 0,0181 ⋅ 10 − 3 P a ⋅ s ⋅ 20 m = 2,4 ⋅ 10 − 4 m 3 s . Widzimy więc, że redukcja promienia przewodu o połowę, zmniejszy strumień do 6,25% początkowej wartości. Znaczenie Ogólnie, w przypadku przepływu laminarnego, zmniejszenie promienia ma bardziej odczuwalne konsekwencje, niż zwiększenie jego długości. Jeżeli zostanie ona zwiększona przy zachowaniu pozostałych warunków, to strumień maleje o: Q A Q B = ( p 2 − p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 − p 1 ) π r B 4 8 η l B = l B l A Q B = l A l B Q A . Dwukrotne zwiększenie długości zmniejsza strumień do połowy początkowej wartości. Jeżeli promień zostanie zmniejszony, a wartości pozostałych zmiennych pozostaną takie same, to strumień zmaleje o znacznie większy czynnik. Q A Q B = ( p 2 − p 1 ) π r A 4 8 η l A ( p 2 − p 1 ) π r B 4 8 η l B = ( r A r B ) 4 Q B = ( r B r A ) 4 Q A Zmniejszenie promienia o połowę zmniejsza strumień do jednej szesnastej początkowego strumienia. Przepływ i opory jako przyczyny spadków ciśnienia Ciśnienie wody w domach i mieszkaniach bywa mniejsze podczas zwiększonego jej zużycia, na przykład w gorące, słoneczne dni. Spadek ciśnienia następuje w głównej magistrali wodociągowej, przed dotarciem wody do pojedynczych mieszkań. Rozważmy sytuację [pokazaną na , czyli przepływ w głównej magistrali. Przekształcając równania na strumień, możemy zrozumieć, dlaczego ciśnienie wody dopływającej do mieszkania p 1 spada podczas zwiększonego zapotrzebowania: Q = p 2 − p 1 R p 2 – p 1 = R Q . W tym przypadku p 2 to ciśnienie wody przy przepompowni, a R to opór w głównej magistrali wodociągowej. Podczas zwiększonego zużycia strumień Q ma dużą wartość. Oznacza to, że różnica p 2 − p 1 również musi być duża, dlatego p 1 musi zmaleć. Przepływ i jego opory powodują spadek ciśnienia z p 2 do p 1 . Równanie p 2 − p 1 = R Q jest spełnione zarówno dla przepływu laminarnego, jak i dla turbulentnego. Podczas zwiększonego zużycia w głównej magistrali występuje znaczący spadek ciśnienia i ciśnienie p 1 wody dostarczanej użytkownikowi jest znacznie mniejsze niż ciśnienie p 2 wytworzone przy stacji wodociągowej. Jeżeli przepływ jest mały, spadek ciśnienia jest pomijalny i p 2 ≈ p 1 . Aby przeanalizować spadek ciśnienia pojawiający się w bardziej złożonych systemach, w których promień nie jest wszędzie taki sam, możemy również użyć p 2 − p 1 = R Q . Opór jest znacznie większy w miejscach zwężenia, takich jak zmiany w obrębie tętnicy wieńcowej. Dla konkretnego strumienia Q , spadek ciśnienia jest największy w tym miejscu, w którym przewód jest najwęższy. Właśnie w ten sposób kurek kontroluje przepływ wody. Dodatkowo R jest znacznie zwiększony przez turbulencje, więc przewężenia je wywołujące znacznie zmniejszają ciśnienie poniżej. Płytka miażdżycowa w tętnicy zmniejsza ciśnienie, a co za tym idzie także przepływ, zarówno przez zwiększenie oporu, jak i wytwarzanie turbulencji. Pomiar turbulencji Parametr zwany liczbą Reynoldsa (ang. Reynolds number ) R e może powiedzieć nam, czy przepływ ma charakter laminarny, czy turbulentny. Dla przepływu w rurze o stałej średnicy liczbę Reynoldsa definiujemy jako: R e = 2 ρ v r η (przepływ w rurze) gdzie ρ jest gęstością płynu, v jego prędkością, η jego lepkością, a r promieniem rury. Liczba Reynoldsa to wielkość bezwymiarowa. Doświadczenia pokazały, że R e jest związane z powstawaniem turbulencji. Dla R e poniżej około 2000 przepływ jest laminarny. Dla R e powyżej 3000 przepływ jest turbulentny. Dla wartości R e pomiędzy około 2000 a 3000 przepływ jest niestabilny, czyli bywa laminarny, ale małe przeszkody czy zaburzenia na powierzchni płynu mogą sprawić, że stanie się on turbulentny. Przepływ może również oscylować losowo pomiędzy przepływem laminarnym a turbulentnym. Przepływ płynu o liczbie Reynoldsa pomiędzy 2000 a 3000 stanowi dobry przykład zachowania chaotycznego. System jest chaotyczny, jeżeli jego zachowanie jest tak czułe na zmianę pewnego czynnika, że niezwykle trudno je przewidzieć. Przewidzenie, czy przepływ płynu o liczbie Reynoldsa w tym zakresie jest laminarny, czy turbulentny okazuje się trudne, choć nie niemożliwe, z powodu wyjątkowo dużego wpływu czynników, takich jak nierówności powierzchni czy przeszkody, na rodzaj przepływu. Niewielka zmiana w jednym czynniku ma nieproporcjonalnie duży (czyli nieliniowy) wpływ na własności przepływu. Zastosowanie strumienia: przepływ turbulentny czy przepływ laminarny W obliczyliśmy, że strumień objętościowy systemu klimatyzacyjnego wynosi Q = 3,84 ⋅ 10 − 3 m 3 / s Te obliczenia zakładały przepływ laminarny. (a) Czy założenie to było prawidłowe? (b) Przy jakiej wartości prędkości przepływ stałby się turbulentny? Strategia rozwiązania Aby określić, czy przepływ powietrza przez układ klimatyzacyjny jest laminarny, musimy po pierwsze obliczyć jego prędkość. W tym celu możemy się posłużyć: Q = A v = π r 2 v . Następnie możemy obliczyć liczbę Reynoldsa, używając poniższego równania, i sprawdzić, czy zawiera się ona w zakresie przepływu laminarnego: R e = 2 ρ v r η . Rozwiązanie Podstawienie podanych wartości prowadzi do: v = Q π r 2 = 3,84 ⋅ 10 − 3 m 3 / s 3,14 ⋅ ( 0,09 m ) 2 = 0,15 m s R e = 2 ρ v r η = 2 ⋅ 1,23 k g / m 3 ⋅ 0,15 m / s ⋅ 0,09 m 0,0181 ⋅ 10 − 3 P a ⋅ s = 1835. Ponieważ liczba Reynoldsa wynosi 1835 < 2000, przepływ jest laminarny, a nie turbulentny. Założenie lainarności przepływu okazało się prawidłowe. Aby obliczyć maksymalną prędkość powietrza, przy której przepływ będzie laminarny, obliczmy liczbę Reynoldsa. R e = 2 ρ v r η ≤ 2000 v = 2000 ⋅ 0,0181 ⋅ 10 − 3 P a ⋅ s 2 ⋅ 1,23 P a ⋅ s ⋅ 0,09 m = 0,16 m s . Znaczenie Podczas przekazywania płynu z jednego miejsca w drugie korzystnie jest ograniczyć turbulencje. Pociąga ona za sobą straty energii, gdyż jej część, która w zamyśle miała służyć transportowi płynu, ulega rozproszeniu w miejscach, w których tworzą się wiry. W tym przypadku układ klimatyzacyjny będzie mniej wydajny, gdy prędkość powietrza przekroczy 0,16 m/s, ponieważ przy niej zaczną się pojawiać turbulencje. Podsumowanie Przepływ laminarny charakteryzuje się brakiem mieszania poruszających się warstw płynu. Turbulencja cechuje się wirami i zwrotami prędkości, które mieszają warstwy płynu. Lepkość płynu η jest spowodowana tarciem wewnętrznym w płynie. Przepływ pozostaje proporcjonalny do różnicy ciśnień i odwrotnie proporcjonalny do oporu: Q = p 2 − p 1 R . Spadek ciśnienia powodują zarówno przepływ, jak i opory, określa go równanie: p 2 – p 1 = R Q . Liczba Reynoldsa R e pomaga stwierdzić, czy przepływ jest laminarny, czy turbulentny. Wynosi ona: R e = 2 ρ v r η . Dla R e poniżej około 2000 przepływ jest laminarny. Dla R e powyżej około 3000 przepływ jest turbulentny. Dla wartości R e pomiędzy 2000 a 3000 może być albo jednego typu, albo drugiego, albo wykazywać cechy obu. Najważniejsze wzory Gęstość próbki przy stałej gęstości ρ = m V Ciśnienie p = F A Ciśnienie na głębokości h w płynie o stałej gęstości p = p 0 + ρ g h Zmiana ciśnienia z wysokością w płynie o stałej gęstości d p d y = − ρ g Ciśnienie absolutne p abs = p g + p atm Zasada Pascala F 1 A 1 = F 2 A 2 Strumień objętościowy Q = d V d t Równanie ciągłości (przy stałej gęstości) A 1 v 1 = A 2 v 2 Równanie ciągłości (postać ogólna) ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 Równanie Bernoulliego p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = constant Lepkość η = F L v A Prawo oporu Poiseuille’a R = 8 η l π r 4 Prawo Poiseuille’a Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l Pytania Wyjaśnij, dlaczego lepkość w cieczy maleje z temperaturą. Innymi słowy, wyjaśnij w jaki sposób wzrost temperatury może zmniejszyć skutki siły spójności w płynie. Wyjaśnij również, dlaczego lepkość gazu zwiększa się wraz z temperaturą, czyli w jaki sposób wzrost temperatury wpływa na zwiększenie liczby zderzeń między atomami i cząsteczkami. Kiedy wiosłujemy w górę rzeki, najkorzystniej jest tak sterować łódką czy kajakiem, aby płynąć możliwie najbliżej brzegu. Z kolei podczas spływu z prądem najkorzystniej jest być blisko środka rzeki. Wyjaśnij dlaczego. Woda w środku strumienia porusza się szybciej niż woda w pobliżu brzegów ze względu na siły oporu występujące pomiędzy wodą a brzegiem oraz pomiędzy warstwami płynu. W pobliżu brzegu jest zwykle również więcej turbulencji, które spowalniają wodę. Podczas gdy wiosłujemy pod prąd, woda pcha nas w przeciwnym kierunku, więc najkorzystniej jest być blisko brzegu, aby zminimalizować tę siłę. Podczas poruszania się z prądem, woda pcha łódkę, zwiększając jej prędkość, więc korzystniej jest być w środku strumienia, aby zmaksymalizować ten efekt. Urządzenia hydrauliczne w mieszkaniach zwykle zawierają wypełnione wodą rury w pobliżu kranów (patrz: rysunek poniżej). Wyjaśnij, do czego są one potrzebne i jak działają. Ultrasonografia dopplerowska może być używana do pomiaru prędkości krwi w ciele. Jeżeli w tętnicy znajduje się częściowe zwężenie, to gdzie należy oczekiwać największej prędkości krwi: w miejscu zwężenia czy za nim? Jakie są powody większego oporu w miejscu zwężenia? Prędkość będzie większa w miejscu zwężenia, a mniejsza za zwężeniem. Opór zwiększa się z powodu zmniejszenia wielkości otworu oraz turbulencji, która zostanie stworzona przez zwężenie. Oba efekty sprawiają, że prędkość płynu spada. Odpływy zlewów często mają zamontowane części, takie jak zaprezentowane na rysunku poniżej, w celu zwiększenia szybkości przepływu wody. Jak one działają? Zadania (a) Oblicz siłę opóźniającą spowodowaną lepkością warstwy powietrza pomiędzy wózkiem a poziomym torem powietrznym, mając do dyspozycji następujące informacje: temperatura powietrza 20 °C , prędkość wózka 0,400 m/s, jego pole powierzchni 2,5 ⋅ 10 − 2 m 2 i grubość warstwy powietrza 6,00 ⋅ 10 − 5 m . (b) Jaki jest iloraz tej siły do ciężaru wózka, którego masa wynosi 0,300 kg? a. 3,02 ⋅ 10 − 3 N ; b. 1,03 ⋅ 10 − 3 Tętniczki (małe tętnice) prowadzące do organu mogą się kurczyć w celu zmniejszenia dopływu krwi. Aby wyłączyć organ, dopływ krwi do niego musi zmniejszyć się do 1,00% pierwotnej wartości. O ile muszą się skurczyć tętniczki? Dla sferycznej cząsteczki spadającej z prędkością graniczną w płynie siła grawitacji jest równoważona przez tarcie i siłę wyporu. Siła wyporu równa się ciężarowi wypartego płynu. Zwykle zakłada się, że siła tarcia dana jest przez prawo Stokesa, F s = 6 π r η v . Pokaż, że prędkość graniczna zadana jest przez v = 2 R 2 g 9 η ( ρ s − ρ 1 ) , gdzie R jest promieniem sfery, ρ s jej gęstością, ρ 1 gęstością płynu, a η współczynnikiem lepkości. Wykorzystując równania z poprzedniego problemu, oblicz lepkość oleju silnikowego, w którym stalowa kulka o promieniu 0,8 mm spada z prędkością graniczną równą 4,32 cm/s. Gęstości kulki i oleju wynoszą odpowiednio 7,86 i 0,88 g/ml. Skoczek spadochronowy osiągnie prędkość graniczną, gdy opór powietrza zrówna się z jego wagą. Dla skoczka o dużej powierzchni, turbulencja jest ważnym czynnikiem przy dużych prędkościach. Tarcie w takim przypadku jest w przybliżeniu proporcjonalne do kwadratu prędkości. Przy założeniu, że wynosi ono F D = ρ A v 2 / 2 i zrównawszy tę siłę z ciężarem skoczka, oblicz prędkość graniczną dla skoczka spadającego z rozpostartymi rękami i nogami równolegle do ziemi. 40 m/s (a) Wykaż, że 5-procentowy spadek promienia powoduje 19-procentowy spadek strumienia przepływu laminarnego przez rurę, przy zachowaniu wartości pozostałych zmiennych. (b) Jaki wzrost strumienia spowoduje wzrost promienia o 5,00%, zakładając, że pozostałe zmienne się nie zmieniły? Gdy lekarze diagnozują zatory tętnicze, mówią o redukcji przepływu (strumienia). Jeżeli strumień w tętnicy został zredukowany przez skrzep do 10,0% swojej normalnej wartości, a średnia różnica ciśnień wzrosła o 20,0%, to o ile promień średnicy został zmniejszony przez skrzep? 0,537 r ; promień został zmniejszony do 53,7% swojej normalnej wielkości Wytrysk ropy naftowej w szybie wiertniczym wyrzuca ją na wysokość 25,0 m przez rurę o średnicy 0,100 m. Pomijając opór powietrza, ale uwzględniając opór rury i zakładając przepływ laminarny, oblicz ciśnienie przy wejściu do 50-metrowej rury, przez którą wylatuje ropa. Załóż, że gęstość ropy naftowej wynosi 900 kg/m 3 , a jej lepkość 1,00 N ⋅ s / m 2 (lub 1,00 Pa ⋅ s ). Zauważ, że musisz wziąć pod uwagę ciśnienie 50-metrowej kolumny ropy w rurze. Beton jest pompuje się z betoniarki do miejsca, w którym zostanie wylany. Strumień ma wartość 200 l/min i płynie przez przewód o długości 50,0 m i średnicy 8,00 cm, a ciśnienie przy pompie wynosi 8,00 ⋅ 10 6 N / m 2 . (a) Oblicz opór w przewodzie. (b) Jaka jest lepkość betonu, przy założeniu, że przepływ jest laminarny? (c) Jaka moc została dostarczona, jeśli miejsce, do którego pompuje się beton, znajduje się na tym samym poziomie co pompa? Możesz pominąć moc potrzebną do zwiększenia prędkości betonu. a. 2,40 ⋅ 10 9 N ⋅ s / m 5 ; b. 48,3 N ⋅ s / m 2 ; c. 2,67 ⋅ 10 4 W Wykaż, że przepływ ropy w trakcie wytrysku z szybu jest laminarny dla wypływu na wysokość 25 m przez rurę o średnicy 0,100 m. Pionowo ustawiona rura ma długość 50 m. Załóż, że gęstość ropy to 900 kg/m 3 , a jej lepkość 1,00 N ⋅ s / m 2 (czyli 1,00 Pa ⋅ s ). Oblicz liczbę Reynoldsa dla przepływu wody przez; (a) dyszę o promieniu 0,250 cm oraz (b) wąż ogrodowego o promieniu 0,900 cm z dołączoną dyszą. Strumień przez wąż i dyszę wynosi 0,500 l/s. Czy przepływ w tych elementach może być laminarny? a. dysza: v = 25,5 m / s R e = 1,27 ⋅ 10 5 > 2000 ⇒ przepływ nie jest laminarny b. wąż: v = 1,96 m / s R e = 35 100 > 2000 ⇒ przepływ nie jest laminarny Wąż strażacki ma wewnętrzną średnicę 6,40 cm. Załóż, że przepływ w nim wynosi 40,0 l/s przy początkowym ciśnieniu manometrycznym równym 1,62 ⋅ 10 6 N / m 2 . Wąż wzniesiony jest do wysokości 10,0 m na drabinie i kończy się dyszą o średnicy 3,00 cm. Oblicz liczby Reynoldsa dla przepływu w wężu strażackim oraz w dyszy i pokaż, że w obu przypadkach musi on być turbulentny. Przy jakim strumieniu może pojawić się turbulencja w rurze z wodą o średnicy 0,200 m? Załóż temperaturę wody równą 20 °C . 3,16 ⋅ 10 − 4 m 3 / s Zadania dodatkowe Przed powstaniem cyfrowych urządzeń zapisujących dane, takich jak pamięć w telefonie komórkowym, muzykę nagrywano na dyskach winylowych z wyciętymi rowkami o zmiennej głębokości. Gramofon używał igły, która poruszała się wzdłuż rowków, mierząc ich głębokość. Ciśnienie wywierane przez gramofon na igłę jest zaskakująco duże. Jeżeli odpowiednik masy 1,00 g jest utrzymywany przez igłę, której czubek ma promień 0,200 mm, to jakie ciśnienie w paskalach jest wywierane na płytę? Wieże ciśnień gromadzą wodę ponad poziomem, na którym znajdują się użytkownicy, dla potrzeb zwiększonego zużycia, eliminując potrzebę stosowania pomp o dużej wydajności. Jak wysoko ponad poziomem, na którym są użytkownicy, musi znajdować się woda, aby wytworzyć ciśnienie manometryczne równe 3,00 ⋅ 10 5 N / m 2 ? 30,6 m Ciecz wodnista w ludzkim oku działa siłą 0,300 N na rogówkę o powierzchni 1,10 c m 2 . Jakiemu ciśnieniu w mmHg odpowiadają te wartości? (a) Przelicz odczyt normalnego ciśnienia krwi wynoszącego 120/80 mmHg na niutony na metr kwadratowy, nie używając przelicznika, tylko wykorzystując relację pomiędzy ciśnieniem a ciężarem płynu ( p = h ρ g ) . (b) Wyjaśnij, dlaczego ciśnienie krwi noworodka powinno być mniejsze niż u osoby dorosłej. Zwróć uwagę na wysokość, na jaką krew musi być pompowana. a. p 120 = 1,60 ⋅ 10 4 N / m 2 p 80 = 1,07 ⋅ 10 4 N / m 2 b. Ponieważ noworodek mierzy zwykle około 50 cm, podczas gdy osoba dorosła około 175 cm, ciśnienie krwi u noworodka powinno być mniejsze niż u osoby dorosłej. W przypadku noworodka mamy do czynienia ze słupem cieczy o maksymalnej wysokości 50 cm, więc ciśnienie powinno być mniejsze. Szybkowary znane są od ponad 300 lat, choć ich użycie znacznie się zmniejszyło w ostatnich latach (wczesne modele miały tę paskudną cechę, że zdarzało im się wybuchać). Jaką siłą muszą działać zatrzaski utrzymujące pokrywę szybkowaru, jeżeli średnica pokrywy wynosi 25,0 cm , a ciśnienie manometryczne wewnątrz niego ma wartość 300 atm? Pomiń wagę pokrywy. Kości ptaków mają puste przestrzenie, co zmniejsza ciężar i jednocześnie powoduje, że mają znacznie mniejszą gęstość niż kości innych zwierząt. Załóż, że ornitolog waży ptasią kość w powietrzu i w wodzie i stwierdza, że jej masa wynosi 45,0 g, a masa pozorna, po zanurzeniu, 3,60 g (załóż, że kości są hermetyczne). (a) Jaką masę wody wyparła kość? (b) Jaka jest objętość kości? (c) Jaka jest jej średnia gęstość? a. 41,4 g; b. 41,4 cm 3 ; c. 1,09 g/cm 3 . Oczywiście nie jest to gęstość kości w każdym jej miejscu. Puste przestrzenie mają gęstość w przybliżeniu 1,29 ⋅ 10 − 3 g / c m 3 , a lita kość będzie znacznie gęstsza. W pomiarze przez zanurzenie gęstości ciała kobiety stwierdzono, że jej masa wynosi 62,0 kg w powietrzu, a pozorna masa w wodzie 0,0850 kg po całkowitym zanurzeniu, poprzedzonym całkowitym wydechem. (a) Jaką masę wody wyparło ciało kobiety? (b) Jaka jest jej objętość? (c) Oblicz jej gęstość. (d) Jeżeli pojemność jej płuc wynosi 1,75 l, czy byłaby w stanie unosić się na wodzie bez poruszania kończynami, gdyby jej płuca były wypełnione powietrzem? Niektóre ryby mają gęstość trochę mniejszą niż gęstość wody i muszą działać siłą (pływać), żeby pozostać pod wodą. Jaką siłą musi działać garnik wielki o masie 85,0 kg, aby pozostać pod wodą (morską), jeżeli gęstość jego ciała wynosi 1015 kg/m 3 ? 8,21 N Ludzki układ krążenia ma w przybliżeniu 1 ⋅ 10 9 naczyń włosowatych. Każde z nich ma średnicę około 8 μ m . Przy założeniu, że rzut serca wynosi 5 l/min, oblicz średnią prędkość przepływu krwi przez każde z tych naczyń. Strumień krwi przez naczynie włosowate o promieniu 2,00 ⋅ 10 – 6 m wynosi 3,80 ⋅ 10 9 c m 3 / s . (a) Jaka jest prędkość przepływu krwi? (b) Przy założeniu, że cała krew znajdująca się w ciele przepływa przez naczynia włosowate, ile z nich potrzeba, aby przepuścić strumień o wartości 90,0 cm 3 /s ? a. 3,02 ⋅ 10 − 2 c m / s . (Tak mała prędkość daje czas na dyfuzję materii pomiędzy krwią a komórkami.) b. 2,37 ⋅ 10 10 naczyń włosowatych. (Ta wielka liczba jest przeszacowana, ale ma w przybliżeniu prawidłowy rząd wielkości.) Lewa komora serca osoby dorosłej w spoczynku pompuje krew o strumieniu 83,0 cm 3 /s , zwiększając jej ciśnienie o 110 mmHg, prędkość od 0,0 cm/s do 30,0 cm/s, a wysokość o 5,00 cm. (Wszystkie wartości są uśrednione po pełnej ewolucji serca.) Oblicz całkowitą moc lewej komory. Zwróć uwagę, że większość tej mocy jest używana do podniesienia ciśnienia krwi. Pompa używana do osuszania piwnic, które są poniżej poziomu wód gruntowych, osusza zalaną piwnicę strumieniem 0,750 l/s, z ciśnieniem wyjściowym 3,00 ⋅ 10 5 N / m 2 . (a) Woda wlewa się do węża o wewnętrznej średnicy 3,00 cm i wznosi do poziomu 2,50 m powyżej pompy. Jakie jest ciśnienie w tym punkcie? (b) Wąż przechodzi ponad fundamentem i opada o 0,500 m, a następnie rozszerza się do średnicy 4,00 cm. Jakie ciśnienie panuje w tym miejscu? Możesz pominąć straty związane z tarciem w obu częściach zadania. a. 2,76 ⋅ 10 5 N / m 2 ; b. P 2 = 2,81 ⋅ 10 5 N / m 2 Roztwór glukozy podaje się dożylnie strumieniem 4,00 cm 3 /min . Jaki będzie strumień, jeżeli glukozę zamienimy na krew, która ma tę samą gęstość co glukoza, ale jej lepkość jest 2,50 razy większa? Wszystkie pozostałe wartości pozostają takie same. Mała tętnica ma długość 1,1 ⋅ 10 − 3 m i promień 2,5 ⋅ 10 − 5 m . Jeżeli spadek ciśnienia w tej tętnicy wynosi 1,3 kPa, to jaki jest w niej strumień? (Załóż, że temperatura wynosi 37 °C ). 8.7 ⋅ 10 − 2 m m 3 / s Angioplastyka to technika, w której tętnice częściowo zablokowane przez płytkę miażdżycową rozszerza się, aby zwiększyć przepływ krwi. O ile trzeba powiększyć promień tętnicy, aby 10-krotnie zwiększyć przepływ krwi? Załóż, że płytka miażdżycowa zmniejsza promień naczynia krwionośnego do 90,0% początkowej wartości, a organizm kompensuje to zwężenie zwiększeniem różnicy ciśnień wzdłuż tego naczynia, aby utrzymać stały przepływ. (a) O ile musi wzrosnąć różnica ciśnień? (b) Gdyby przeszkoda dodatkowo powodowała turbulencje, to jaki wpływ miałyby one na strumień? a. 1,52; b. Turbulencja zmniejszyłaby strumień krwi, i skompensowanie tego zjawiska wymagałoby jeszcze większej różnicy ciśnień, co doprowadziłoby do wyższego ciśnienia krwi w ciele. Zadania trudniejsze Ciśnienie na tamę pokazaną we wcześniejszym rozdziale zwiększa się wraz z głębokością. W związku z tym pojawia się moment siły działający na tamę. Oblicz wypadkowy moment siły działającej na tamę. Temperatura atmosfery nie jest zawsze stała i może rosnąć lub maleć z wysokością. W statycznej atmosferze, gdy mieszanie pionowe jest pomijalne, temperatura zmniejsza się z szybkością w przybliżeniu równą 6,5 K na km. Wielkość tej zmiany temperatury ze wzrostem wysokości znana jest jako gradient pionowy Γ (Symbol ten to wielka grecka litera gamma.) Załóż, że ciśnienie na powierzchni Ziemi wynosi p 0 = 1,013 ⋅ 10 5 P a , temperatura T = 293 K , a gradient pionowy − Γ = 6,5 K / k m . Oszacuj ciśnienie 3,0 km powyżej powierzchni Ziemi. p = 0,99 ⋅ 10 5 P a Okręt podwodny osiadł na mieliźnie i jego górny właz znajduje się na głębokości 25,0 m poniżej powierzchni wody. Oblicz siłę potrzebną do otwarcia włazu od wewnątrz przy założeniu, że jest on kołowy i ma średnicę 0,450 m. Ciśnienie atmosferyczne wewnątrz okrętu wynosi 1,00 atm. Czasami pnie drzew pływają po jeziorze w pozycji pionowej, ponieważ jeden z końców nasiąknął wodą i stał się cięższy niż drugi. Jaka jest średnia gęstość pnia o jednorodnej średnicy, który pływa zanurzony jednym końcem, a 20% jego wysokości wystaje ponad wodę? 800 kg/m 3 Powszechnie wiadomo, że oszuści sprzedają pokryte złotem sztabki wolframowe jako sztabki złote poniżej ceny złota, ale znacznie powyżej ceny wolframu. Z jaką dokładnością należy zmierzyć masę takiej sztaby w wodzie i w powietrzu, aby można było stwierdzić, czy jest to prawie czysty wolfram, czy czyste złoto? Objętość wnętrza domu odpowiada objętości prostopadłościanu o wymiarach 13,0 m szerokości na 20,0 m długości na 2,75 m wysokości. Dom ogrzewa grzejnik gazowy z nawiewem. Jego główny przewód wentylacyjny ma średnicę 0,300 m. Jaka jest średnia prędkość powietrza w przewodzie, jeżeli w ciągu 15 min całe powietrze w domu przechodzi przez grzejnik? 11,2 m/s Wąż ogrodowy o średnicy 2,0 cm został użyty do napełnienia wiadra, które ma objętość 0,10 m 3 . Na napełnienie wiadra potrzeba 1,2 min. Do węża doczepiona jest regulowana dysza, dzięki której można zmniejszyć średnicę otworu, co zwiększy prędkość wody. Wąż jest równoległy do powierzchni Ziemi na wysokości 1,0 m, a średnica otworu dyszy jest zmniejszana tak długo, aż strumień wody doleci do grządki odległej o 3,0 m. (a) Jaki jest strumień objętościowy wody przez dyszę, gdy średnica wynosi 2,0 cm? (b) Jaka jest prędkość wody wylatującej z węża? (c) Jaka musi być prędkość wody, aby strumień mógł dolecieć do grządki odległej o 3,0 m? (d) Jaka musi być średnica otworu dyszy, aby woda mogła dolecieć do grządki? Często przytaczana zasada projektowania samolotów mówi, że skrzydła powinny generować około 1000 N siły nośnej na 1 m 2 skrzydła. (Fakt, że skrzydła mają stronę wierzchnią i spodnią, nie podwaja tej powierzchni.) (a) Podczas startu samolot porusza się z prędkością 60,0 m/s, więc prędkość powietrza względem spodu skrzydła wynosi 60,0 m/s. Jak szybko musi się poruszać powietrze ponad górną częścią skrzydła, aby wywołać idealną siłę nośną, jeśli jego gęstość na poziomie morza wynosi 1,29 kg/m 3 ? (b) Jak szybko musi się poruszać powietrze nad górną powierzchnią skrzydła podczas lotu z prędkością przelotową 245 m/s na wysokości, na której gęstość powietrza wynosi jedną czwartą gęstości na poziomie morza? (Zwróć uwagę, że nie jest to cała siła nośna samolotu – część z niej pochodzi z korpusu samolotu, część z odrzutu silników itd. Dodatkowo równanie Bernoulliego daje jedynie przybliżoną odpowiedź, gdyż powietrze, opływając skrzydła, wywołuje turbulencje.) a. 71,8 m/s; b. 257 m/s Dwie rury o stałej średnicy wychodzą z przepompowni i wyrzucają wodę z drugiej strony przez otwarty na ciśnienie atmosferyczne koniec (patrz: rysunek poniżej). Woda wchodzi pod ciśnieniem 2 atm i z prędkością v 1 = 1,0 m / s . Jedna z rur opada o 10 m na swojej długości. Jaka jest prędkość wody wylatującej z każdej z tych rur? Płyn początkowo płynie przez rurę strumieniem 100 cm 3 /s . Aby zilustrować czułość strumienia na różne czynniki oblicz strumień powstały pod wpływem następujących zmian, przy pozostałych zmiennych o poprzednich wartościach. (a) Różnica ciśnień wzrasta o czynnik 1,50. (b) Użyto innego płynu o 3,0 razy większej lepkości. (c) Rurę zastąpiono inną, o 4,00 razy większej długości. (d) Rurę zastąpiono rurą o średnicy 0,100 oryginalnej średnicy. (e) Rurę zastąpiono jeszcze inną rurą o promieniu 0,100 oryginalnego promienia i o długości o połowę mniejszej przy podniesieniu ciśnienia o 1,50. a. 150 cm 3 /s ; b. 33,3 cm 3 /s ; c. 25,0 cm 3 /s ; d. 0,0100 cm 3 /s ; e. 0,0300 cm 3 /s Podczas maratonu przepływ krwi u biegaczki rośnie do 10-krotności jej przepływu spoczynkowego. Lepkość jej krwi zaś spada do 95,0% normalnej wartości, a różnica ciśnień wzdłuż układu krwionośnego wzrasta o 50,0%. O ile średnio zwiększą się promienie jej naczyń krwionośnych? W lecie, wcześnie rano, gdy zużycie w sąsiedztwie jest niskie, woda dostarczana do domu przez magistralę wodociągową ma ciśnienie 3,00 ⋅ 10 5 N / m 2 . Wytwarza ono strumień 20,0 l/min w wężu ogrodowym. W późniejszej porze ciśnienie na przyłączu dochodzącym do domu spada i strumień w tym samym wężu wynosi jedynie 8,00 l/min. (a) Jakie ciśnienie jest teraz dostarczane do domu, jeśli opór się nie zmienił? (b) O ile strumień w magistrali wodociągowej musiał się zwiększyć, aby doprowadzić do takiego spadku dostarczonego ciśnienia? Ciśnienie na wejściu magistrali wodociągowej wynosi 5,00 ⋅ 10 5 N / m 2 , a początkowy strumień wynosi 200 l/min. (c) Ilu więcej pojawiło się użytkowników, jeśli każdy z nich z rana zużywa 20,0 l/min? a. 1,20 ⋅ 10 5 N / m 2 ; b. Strumień w magistrali wzrósł o 90%. c. Z rana było w zaokrągleniu o 38 użytkowników więcej. Benzynę z rafinerii przesyła się do dużych odbiorców podziemnym rurociągiem. Strumień wynosi 3,00 ⋅ 10 − 2 m 3 / s , lepkość benzyny w rurociągu wynosi 1,00 ⋅ 10 − 3 N ⋅ s / m 2 , a jej gęstość 680 kg/m 3 . (a) Jaką minimalną średnicę musi mieć rurociąg, aby liczba Reynoldsa była poniżej 2000? (b) Jaką różnicę ciśnień należy utrzymywać pomiędzy początkiem a końcem każdego kilometra rurociągu, aby utrzymać ten strumień? prawo Poiseuille’a (ang. Poiseuille’s law ) strumień laminarnego przepływu nieściśliwego płynu w rurze: Q = ( p 2 − p 1 ) π r 4 8 η l prawo oporu Poiseuille’a (ang. Poiseuille’s law for resistance ) opór stawiany laminarnemu przepływowi nieściśliwego płynu w rurze: R = 8 η l π r 4 liczba Reynoldsa (ang. Reynolds number ) bezwymiarowy parametr, który może pomóc określić, czy przepływ jest laminarny, czy turbulentny turbulencja (ang. turbulence ) przepływ płynu, w którym jego warstwy mieszają się w wyniku powstania wirów i zwrotów prędkości

Science


Wstęp Zdjęcie po lewej stronie przedstawia budynek Comcast Center o wysokości około 305 metrów, który góruje nad panoramą Filadelfii w stanie Pensylwania. Górne piętra wieżowca mogą ulegać oscylacjom bocznym z powodu aktywności sejsmicznej i podmuchów wiatru. Natomiast po prawej stronie, znajduje się schematyczny rysunek przedstawiający przestrajalny masowy tłumik drgań w postaci kolumn z wodą o objętości 1100 m 3 . Zainstalowany na szczycie budynku układ zmniejsza amplitudę jego drgań. Analizę drgań rozpoczynamy od oscylacji układów takich jak wahadła i sprężyny. Chociaż układy te mogą wydawać się dość proste, mają wiele praktycznych zastosowań. Interesującym przykładem jest Comcast Center w Filadelfii o wysokości około 305 metrów. Wysoki budynek można traktować jak odwrócone wahadło fizyczne, w którym najwyższe piętra odchylają się na skutek drgań sejsmicznych lub podmuchów wiatru. W budynku Comcast zastosowano masowy tłumik drgań (ang. mass damper ) w celu zmniejszenia amplitudy jego oscylacji. Jest to umieszczony na szczycie zbiornik o objętości 1100 m 3 z kolumnami wypełnionymi wodą. Kształt litery U sprawia, że woda w zbiorniku oscyluje z częstotliwością odpowiadającą częstotliwości drgań własnych budynku. Tłumienie zachodzi dzięki przegrodom regulującym wielkość turbulencji w przepływie wody.

Science


Ruch harmoniczny Przy szarpnięciu struny gitary uzyskujemy trwający dość długo dźwięk o stałym tonie ( ). Struna wykonuje drgania wokół położenia równowagi. Cykl jednego pełnego drgania rozpoczyna się w położeniu początkowym. Stąd struna przemieszcza się do jednego ze skrajnych położeń, po czym wędruje do drugiego skrajnego położenia i wreszcie powraca do położenia początkowego, kończąc tym samym cykl. Ruch periodyczny (ang. periodic motion ) definiujemy jako powtarzającą się zmianę położenia w regularnych odstępach czasu. Przykładami mogą być: ruch struny gitary lub dziecko, które rozbujało się na huśtawce. W tym podrozdziale przedstawiamy podstawowe cechy drgań wraz z ich opisem matematycznym. Struna gitarowa po szarpnięciu wykonuje drgania periodyczne (okresowe) w górę i w dół. Struna wywołuje drgania otaczających cząsteczek powietrza i wytwarza fale dźwiękowe. (Źródło: Yutaka Tsutano) Okres i częstotliwość drgań W ruchu periodycznym okresem (ang. period ), oznaczanym T , nazywamy czas wykonania jednego pełnego drgania. Za jednostkę okresu przyjmujemy zazwyczaj sekundę, ale może być on wyrażony w innej jednostce czasu (np. minuta, godzina,…). Słowo „okres” oznacza też czas trwania jakiegoś zdarzenia, które może się powtarzać (ale nie musi). W tym podrozdziale zajmiemy się przede wszystkim ruchem okresowym, który z definicji jest ruchem powtarzalnym. Pojęciem ściśle związanym z okresem jest częstotliwość. Częstotliwość (ang. frequency ), oznaczaną f , określa się jako liczbę zdarzeń na jednostkę czasu. Dla ruchu periodycznego częstotliwość to liczba drgań (oscylacji) w jednostce czasu. Zależność między częstotliwością i okresem określa następujący wzór: f = 1 T . W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). 1 Hz określa się jako jeden cykl na sekundę : 1 Hz = 1 cykl sekunda albo 1 Hz = 1 s = 1 s −1 . Cykl to jedno pełne drgnienie (ang. pulse ). Ustalenie częstotliwości fal stosowanych w ultrasonografii (USG) Urządzenia ultradźwiękowe lekarze wykorzystują w celu obrazowania i badania narządów wewnętrznych ludzkiego ciała. Aparat USG emituje fale dźwiękowe o wysokiej częstotliwości, które odbijają się od narządów. Rejestracja i obróbka komputerowa danych pozwala uzyskać obraz, który następnie analizuje lekarz. Aby określić częstotliwość drgań, możemy zastosować wzór podany powyżej. Rozważmy urządzenie USG generujące ultradźwięki z oscylacjami o okresie 0,400 μ s . Jaka jest częstotliwość tych drgań? Strategia rozwiązania Mamy już podany okres drgań ( T ), zatem musimy wyznaczyć częstotliwość ( f ). Rozwiązanie Podstawmy 0,400 μ s w miejsce T we wzorze f = 1 T : f = 1 T = 1 0,400 ⋅ 10 − 6 s . co daje: f = 2,50 ⋅ 10 6 H z . Znaczenie Ta częstotliwość dźwięku jest znacznie wyższa niż najwyższa częstotliwość, jaką człowiek może usłyszeć (zakres słyszalności dźwięków u człowieka wynosi od 20 Hz do ok. 20 000 Hz), dlatego falę tę nazywamy ultradźwiękową. Drgania generowane przez urządzenia USG o tak wysokiej częstotliwości umożliwiają nieinwazyjną diagnostykę medyczną, np. obserwację płodu w łonie matki. Charakterystyka ruchu harmonicznego Bardzo powszechnym ruchem periodycznym jest ruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion ). Układem, który swobodnie oscyluje i wykonuje ruch harmoniczny, jest oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator ). Ruch harmoniczny W ruchu harmonicznym przyspieszenie układu, a więc i siła wypadkowa, są proporcjonalne do przemieszczenia i skierowane są w kierunku położenia równowagi. Dobrym przykładem ruchu harmonicznego jest klocek o masie m przymocowany do nieważkiej sprężyny i poruszający się po powierzchni bez tarcia, tak jak pokazano na . Masa wykonuje drgania wokół położenia równowagi, a siła wypadkowa działająca na obiekt jest równa sile wywieranej przez sprężynę. Siła ta spełnia prawo Hooke’a F s = − k x , zgodnie z treścią poprzedniego rozdziału. Jeżeli siłę wypadkową można opisać przez prawo Hooke'a i nie zachodzi tłumienie (spowalniające ruch ze względu na tarcie lub inną siłę niezachowawczą), to oscylator harmoniczny wykonuje drgania. Zakres wartości przemieszczeń po obu stronach względem położenia równowagi jest podobny, tak jak pokazano na . Maksymalne przemieszczenie względem położenia równowagi nazywamy amplitudą ( A ). Jednostki amplitudy i przesunięcia są takie same, ale zależą od rodzaju drgań. W przypadku klocka na sprężynie jednostki amplitudy i przemieszczenia wyraża się w metrach. Dobrym przykładem oscylatora harmonicznego jest klocek przymocowany do sprężyny. Drugi koniec sprężyny przytwierdzono do ściany. Klocek porusza się po powierzchni bez tarcia. Położenie masy, gdy sprężyna nie jest ani rozciągnięta ani ściśnięta, oznaczono jako x = 0 . Położenie to określa również stan równowagi. (a) Klocek przesunięto do położenia x = A , po czym swobodnie go puszczono. (b) Klocek przyspiesza i przemieszcza się w kierunku przeciwnym do zwrotu x i osiąga maksymalną ujemną prędkość w punkcie x = 0 . (c) Klocek kontynuuje ruch w ujemnym kierunku x , zmniejszając swoją prędkość aż do zatrzymania się w punkcie x = − A . (d) Klocek, poruszając się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x , przyspiesza i osiąga maksymalną prędkość w punkcie x = 0 . (e) Klocek kontynuuje ruch w kierunku dodatnim i zatrzymuje się w punkcie x = A . Ruch harmoniczny klocka ma amplitudę A i okres drgań T . Maksymalna prędkość klocka występuje, gdy przechodzi on przez punkt równowagi. Zastosowanie sztywniejszej sprężyny skróciłoby okres T drgań. Przy zwiększeniu masy klocka nastąpiłoby wydłużenie okresu T drgań. W ruchu harmonicznym okres T i częstotliwość f drgań oscylatora harmonicznego nie zależą od amplitudy drgań, np. struna gitary oscyluje z taką samą częstotliwością zarówno przy mocnym, jak i delikatnym szarpnięciu. Dwa ważne czynniki wpływają na okres drgań oscylatora harmonicznego: współczynnik sprężystości i masa układu drgającego. Układ z dużą wartością współczynnika sprężystości ( k ) ma krótszy okres drgań. Dzięki temu można, np. odpowiednio wybrać sztywność trampoliny. Im bardziej sztywna, tym szybciej oscyluje, a jej okres drgań jest krótszy. Okres zależy również od masy układu drgającego. Im układ ma większą masę, tym dłuższy jest okres drgań (np. ludzie o dużej masie oscylują na trampolinie z niższą częstotliwością niż ci o mniejszej masie). W rzeczywistości masa m i współczynnik sprężystości k są jedynymi czynnikami, które wpływają na okres i częstotliwość drgań w ruchu harmonicznym. Aby wyprowadzić wyrażenie na okres i częstotliwość drgań, musimy najpierw zdefiniować i przeanalizować równania ruchu. Równania opisujące ruch harmoniczny Przyjrzyjmy się klockowi przymocowanemu do sprężyny i poruszającemu się po stole bez tarcia ( ). Położenie równowagi (miejsce, w którym sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani ściśnięta) oznaczono jako x = 0 . W położeniu równowagi siła wypadkowa wynosi zero. Klocek przymocowano do sprężyny i umieszczono na stole, po którym może poruszać się bez tarcia. Położenie równowagi dla sprężyny nieodkształconej oznaczono jako x = 0 . Przesuwamy klocek do położenia x = + A , wykonując przy tym pracę, a następnie go puszczamy. Maksymalną wartość położenia x ( A ) nazywamy amplitudą ruchu drgającego. Klocek zaczyna oscylować w zakresie pomiędzy x = + A a x = − A , gdzie A to amplituda ruchu, a T to okres drgań. Okres to czas trwania jednej oscylacji (cyklu). przedstawia ruch klocka, który wykonał półtora drgania (cyklu) od momentu zwolnienia. pokazuje wykres położenia klocka w funkcji czasu. Przebieg położenia w funkcji czasu możemy opisać funkcją cosinus o amplitudzie A i okresie T . Wartości funkcji cos θ powtarzają się co każdą wielokrotność 2 π , natomiast ruch klocka – co jeden okres T . Zauważmy, że wartości funkcji cos  ( 2 π t / T ) powtarzają się dla każdej chwili t będącej wielokrotnością okresu drgań. Maksimum wartości funkcji cosinus wynosi jeden, dlatego konieczne jest pomnożenie tej funkcji przez amplitudę A . x ( t ) = A cos ( 2 π T t ) = A cos ( ω t ) . Przypomnijmy, że w rozdziale opisującym ruch po okręgu częstość kątową określiliśmy jako ω = d θ / d t . W rozważanym przypadku wartość okresu drgań jest stała, a więc częstość kątową (kołową) definiuje się jako 2 π podzielone przez wartość okresu drgań ω = 2 π / T . Klocek umieszczono na stole i przymocowano do jednego końca sprężyny. Drugi koniec sprężyny przymocowano do ściany. Klocek porusza się bez tarcia. Położenie równowagi, dla którego siła wypadkowa równa się zero, oznaczono jako x = 0 m . Przesuwamy klocek do położenia w punkcie x = + A , następnie puszczamy go swobodnie. Masa oscyluje w zakresie położeń pomiędzy x = + A a x = − A . Siłę wypadkową działającą na klocek pokazano w postaci wektora. Wykres położenia klocka z w funkcji czasu. Przebieg położenia można modelować funkcją okresową taką jak sinus albo cosinus. Wyrażenie przedstawiające położenie jako funkcję czasu x ( t ) = A cos ( ω t ) jest dobrym modelem opisującym sytuację, w której położenie klocka w chwili początkowej t = 0,00 s jest równe amplitudzie A , a prędkość początkowa wynosi zero. Przykładowe dane eksperymentalne najprawdopodobniej wykażą, że położenie masy w chwili początkowej t = 0,00 s nie jest równe amplitudzie, a prędkość początkowa jest różna od zera. Rozważmy zbiór danych zebranych przez studenta w laboratorium dla 10 sekund ruchu, który przedstawiono na . Dane przedstawiają położenie klocka przymocowanego do sprężyny. Student rejestrował dane w laboratorium, posługując się dalmierzem akustycznym. Dane dla chwili t = 0,00 s pokazują, że początkowe położenie klocka wynosi x ≈ − 0,80 cm ≠ 3,00 cm , zatem początkowe położenie nie jest równe amplitudzie x 0 = + A . Prędkość jest pochodną przemieszczenia względem czasu, stąd można ją obliczyć z nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie. W chwili początkowej wartość kąta nachylenia stycznej nie jest równa zeru, więc prędkość nie wynosi v = 0,00 m/s w chwili t = 0,00 s . Dane na można opisywać funkcją periodyczną taką jak funkcja cosinus, którą na wykresie przesunięto w prawo. To przesunięcie znane jest jako przesunięcie fazowe i zwykle oznacza się je grecką literą fi ( ϕ ) . Przemieszczenie jako funkcję czasu dla danego klocka na sprężynie opisuje wzór: x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Ten uogólniony wzór opisuje ruch harmoniczny, gdzie t oznacza czas mierzony w sekundach, ω jest częstością kołową mierzoną w radianach na sekundę ( r a d / s ) , A jest amplitudą mierzoną w metrach lub centymetrach, a ϕ jest przesunięciem fazowym wyrażonym w radianach ( ). Należy zauważyć, że skoro funkcje sinus i cosinus różnią się jedynie o przesunięcie fazowe, to ruch harmoniczny może być modelowany zarówno przy użyciu funkcji cosinus, jak i sinus. (a) Funkcja cosinus. (b) Funkcja cosinus przesunięta w prawo o kąt o wartości ϕ . Kąt ϕ określa przesunięcie fazowe funkcji. Prędkość wykonującej ruch harmoniczny masy na sprężynie można wyznaczyć na podstawie pochodnej przemieszczenia względem czasu: v ( t ) = d x d t = d d t ( A cos  ( ω t + ϕ ) ) = − A ω sin  ( ω t + ϕ ) = − v m a x sin  ( ω t + ϕ ) . Ze względu na to, że funkcja sinus zmienia się w zakresie od -1 do +1, to prędkość maksymalna jest iloczynem amplitudy i częstości kątowej ( v m a x = A ω ). Maksymalna prędkość występuje podczas przejścia przez położenie równowagi ( x = 0 ) , kiedy masa porusza się w kierunku x = + A . Maksymalną prędkość w kierunku przeciwnym osiąga się w położeniu równowagi ( x = 0 ) , kiedy masa porusza się w kierunku x = − A i wynosi − v max . Przyspieszenie masy na sprężynie można wyznaczyć z pochodnej prędkości względem czasu: a ( t ) = d v d t = d d t ( − A ω sin  ( ω t + ϕ ) ) = − A ω 2 cos  ( ω t + ϕ ) = − a m a x cos  ( ω t + ϕ ) . Wprowadziliśmy oznaczenie a max = A ω 2 . W położeniu x = − A przyspieszenie ciała osiąga maksymalną wartość bezwzględną, która wynosi − a max . Podsumowanie wzorów opisujących ruch harmoniczny Podsumowując, ruch drgający masy na sprężynie może być opisywany następującymi równaniami: x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) v ( t ) = − v max sin ( ω t + ϕ ) a ( t ) = − a max cos ( ω t + ϕ ) x max = A v max = A ω a max = A ω 2 . W tym przypadku A jest amplitudą ruchu, T jest okresem drgań, ϕ jest przesunięciem fazowym, a ω = 2 π T = 2 π f jest częstością kołową ruchu klocka. Wyznaczanie wyrażeń opisujących ruch klocka na sprężynie Klocek o masie 2 kg umieszczono na idealnie gładkiej powierzchni, a tarcie nie wpływa na ruch klocka. Sprężynę o współczynniku sprężystości k = 32,00 N / m przymocowano do klocka, a jej przeciwny koniec przyczepiono do ściany. Sprężyna może ulec skróceniu lub rozciągnięciu. Położenie równowagi układu oznaczono jako x = 0,00 m . Praca wykonana nad klockiem powoduje jego przesunięcie do położenia x = + 0,02 m . Klocek puszczono swobodnie, powodując jego oscylacje w zakresie wartości przemieszczeń pomiędzy x = + 0,02 m a x = −0,02 m . Okres drgań wynosi 1,57 s. Wyznacz wyrażenia opisujące ruch. Strategia rozwiązania Najpierw wyznaczamy wartość częstości kołowej. Przesunięcie fazowe jest zerowe, ϕ = 0,00 rad , ponieważ ruch klocka zaczyna się w położeniu x = A = + 0,02 m . Po wyznaczeniu częstości kątowej możemy określić maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia klocka. Rozwiązanie Częstość kątową możemy wyznaczyć, a następnie użyć do wyliczenia maksymalnych wartości prędkości i przyspieszenia: ω = 2 π 1,57 s = 4,00 1 s v m a x = A ω = 0,02 m ⋅ 4,00 1 s = 0,08 m s a m a x = A ω 2 = 0,02 m ⋅ ( 4,00 1 s ) 2 = 0,32 m s 2 . Możemy więc zapisać następujące wyrażenia opisujące ruch masy: x ( t ) = A cos  ( ω t + ϕ ) = 0,02 m ⋅ cos  ( 4,00 1 s ⋅ t ) v ( t ) = − v m a x sin  ( ω t + ϕ ) = − 0,08 m s ⋅ sin  ( 4,00 1 s ⋅ t ) a ( t ) = − a m a x cos  ( ω t + ϕ ) = − 0,32 m s 2 ⋅ cos  ( 4,00 1 s ⋅ t ) . Znaczenie Dla dowolnej chwili ruchu drgającego możemy określić położenie, prędkość i przyspieszenie. Ważne jest, aby przy korzystaniu z kalkulatora ustalić tryb rad (radiany) jako jednostkę miary kąta. Okres i częstotliwość drgań masy na sprężynie Jedną z cech ruchu harmonicznego klocka umocowanego do sprężyny jest to, że częstość kołowa, a więc okres i częstotliwość drgań, zależą tylko od masy i współczynnika sprężystości, a nie od innych czynników (np. od amplitudy drgań). Możemy więc skorzystać z prawa Hooke’a i drugiej zasady dynamiki Newtona F → = m a → , aby znaleźć wzory na częstość kołową, częstotliwość i okres drgań. Przyjrzyjmy się klockowi na sprężynie poruszającemu się po powierzchni bez tarcia. Na masę działają trzy siły: siła ciężkości, siła normalna i siła sprężystości. Siły, które działają prostopadle do powierzchni, to siła ciężkości i siła normalna, mające jednakowe wartości i przeciwne kierunki, a ich suma wynosi zero. Jedyną siłą, która działa równolegle do powierzchni, jest siła sprężystości, a więc siła wypadkowa jest równa sile wywieranej przez sprężynę na klocek: F x = − k x m a = − k x m d 2 x d t 2 = − k x d 2 x d t 2 = − k m x . Podstawiając i w miejsce x i a otrzymujemy: − A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) = − k m A cos ( ω t + ϕ ) . Po wyłączeniu podobnych członów wyznaczamy częstość kołową: ω = k m . Częstość kołowa zależy jedynie od współczynnika sprężystości i masy klocka, a nie od amplitudy drgań. Wykorzystując wzór na częstość kołową ω = 2 π / T otrzymujemy wzór na okres drgań: T = 2 π m k . Okres drgań zależy tylko od masy klocka i współczynnika sprężystości. Im większa masa, tym dłuższy okres, a im sztywniejsza sprężyna, tym okres jest krótszy. Częstotliwość opisuje wzór: f = 1 T = 1 2 π k m . Drgania pionowe Zgodnie z do sprężyny zawieszonej pionowo przymocowano klocek. Zauważmy, że siła grawitacji zmienia położenie równowagi układu. Na klocek działają dwie siły: ciężar i siła sprężystości. Siła ciężkości jest stała, a siła sprężystości zmienia się wraz ze zmianą długości sprężyny. Klocek wykonuje ruch harmoniczny. Sprężynę zawieszono pod sufitem. Po przyłączeniu klocka masa znajduje się w nowym położeniu równowagi; w punkcie tym siła ciężkości jest zrównoważona siłą sprężystości. (a) Sprężyna zwisa z sufitu; położenie równowagi oznaczono jako y o . (b) Masa, którą zamocowano na sprężynie, osiąga nowe położenie równowagi ( y 1 = y o − Δ y ), kiedy siła działająca na klocek równa się sile ciężkości. (c) Diagram dwóch sił działających na masę: siły ciężkości i siły sprężystości. Gdy klocek osiąga położenie równowagi tak jak na , wartość siły sprężystości jest równa wartości siły ciężkości działającej na klocek F wyp = F s − m g = 0 , gdzie: − k ( − Δ y ) = m g . Z rysunku możemy wywnioskować, że zmiana położenia wynosi Δ y = y 0 − y 1 , a zatem otrzymujemy: k ( y 0 − y 1 ) − m g = 0 . Jeżeli klocek przesuniemy w płaszczyźnie pionowej, a następnie powoli puścimy, to będzie oscylować wokół nowego położenia równowagi. Jak pokazano na , jeżeli położenie klocka określono w funkcji czasu, to dane tworzą funkcję okresową. Jeśli klocek przesuniemy do pozycji y , to siła wypadkowa wyniesie F wyp = k ( y − y 0 ) − m g = 0 . Dla położenia równowagi zachodzi zależność m g = k Δ y = k y 0 − k y 1 , a zatem: F wyp = k y − k y 0 − ( k y 0 − k y 1 ) = − k ( y − y 1 ) . Przypominamy, że y 1 jest położeniem równowagi, które możemy określić względem dowolnego punktu, może więc przykładowo wynosić 0 m . Wówczas siła wypadkowa wyniesie: F w y p = − k y m d 2 y d t 2 = − k y . Jest to więc zależność analogiczna do tej, którą wcześniej znaleźliśmy dla horyzontalnie drgającej masy na sprężynie. Działanie stałej siły grawitacji spowodowało jedynie zmianę położenia punktu równowagi. W związku z tym końcowe rozwiązanie powinno mieć taką samą postać jak dla klocka drgającego w poziomie: y ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Zauważmy też, że ruch możemy opisać funkcją cosinus lub sinus, ponieważ te dwie funkcje różnią się jedynie o wartość przesunięcia fazowego. Podobnie równania określające prędkość i przyspieszenie klocka drgającego pionowo mają postać identyczną jak wzory dla ruchu horyzontalnego. Wykresy y ( t ) , v ( t ) i a ( t ) w funkcji czasu t dla pionowych drgań kuli na sprężynie. Siłę wypadkową działającą na kulę można opisać prawem Hooke'a, więc kula porusza się ruchem harmonicznym. Należy zauważyć, że początkowe położenie osiąga wartość maksymalną A ; v jest początkowo zerowa, a następnie staje się ujemna, kiedy kula porusza się w dół. Początkowe przyspieszenie jest ujemne, następnie kula przesuwając się do położenia równowagi, osiąga zerową wartość przyspieszenia. Podsumowanie Ruch periodyczny to powtarzające się drgania. Czas wykonania jednego pełnego drgnienia to okres T , liczba drgań na jednostkę czasu definiuje zaś częstotliwość f . Obie wielkości są związane relacją f = 1 T . Ruch harmoniczny jest ruchem drgającym układu, w którym siła zwrotna zmienia się wraz z przemieszczeniem i działa w kierunku do niego przeciwnym. Maksymalne przemieszczenie to amplituda A . Dla oscylatora harmonicznego częstość kołowa ω , okres drgań T i ich częstotliwość f są odpowiednio określone wzorami ω = k / m , T = 2 π m / k i f = k / m / ( 2 π ) , gdzie m jest masą klocka a k – współczynnikiem sprężystości sprężyny. W oscylatorze harmonicznym przemieszczenie jest funkcją czasu określoną wzorem x ( t ) = A cos  ( 2 π t / T + ϕ ) = A cos  ( ω t + ϕ ) . Prędkość jest wyrażona relacją v ( t ) = − A ω sin ( ω t + ϕ ) = − v max sin ( ω t + ϕ ) , gdzie v m a x = A ω = A k / m . Przyspieszenie określa wzór a ( t ) = − A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) = − a max cos ( ω t + ϕ ) , gdzie a m a x = A ω 2 = A k / m . Pytania Jakie warunki należy spełnić, aby zachodził ruch harmoniczny? Siła zwrotna musi być proporcjonalna do przemieszczenia i działać w kierunku położenia równowagi. Ruch odbywa się bez siły oporu lub tarcia. Częstotliwość oscylacji nie zależy od amplitudy drgań. Odpowiedz na poniższe pytania. Jeśli częstotliwość drgań w układzie nie jest stała, to czy te drgania są ruchem harmonicznym? Czy możesz podać przykłady ruchu okresowego, w których częstotliwość zależy od amplitudy drgań? Podaj przykład oscylatora, w którym częstotliwość jest niezależna od amplitudy drgań. Przykłady: masa przymocowana do sprężyny poruszająca się na stole bez tarcia, masa zwisająca na sprężynie, wahadło matematyczne z małą amplitudą wychylenia. W tych przypadkach ruch drgający odbywa się z częstotliwością niezależną od amplitudy. Wyjaśnij, dlaczego zakłada się, że ciało wykonane ze sztywnego materiału będzie drgać z większą częstotliwością niż ciało zbudowane z bardziej miękkiego materiału. Mijając na autostradzie ciężarówkę z przyczepą, zauważasz, że przyczepa wolno kołysze się w górę i w dół. Co jest bardziej prawdopodobne: przyczepa jest mocno obciążona czy prawie pusta? Wyjaśnij to. Częstotliwość drgań przyczepy wzrasta wraz z pierwiastkiem kwadratowym ze współczynnika sprężystości i maleje wraz ze wzrostem pierwiastka kwadratowego z masy. Należy więc wywnioskować, że przyczepa jest znacznie obciążona. Zauważ, że na współczynnik sprężystości nie ma wpływu to, czy przyczepa jest pusta, czy obciążona. Niektórzy tuningują samochody, m.in. przez obniżenie zawieszenia. Czy powinni zainstalować sztywniejsze amortyzatory? Wyjaśnij swoją odpowiedź. Zadania Udowodnij, że zastosowanie równania x ( t ) = A sin ( ω t + ϕ ) będzie też prowadzić do tego samego wzoru na okres drgań układu masy na sprężynie. Dlaczego zagadnienie to analizowaliśmy, korzystając z funkcji cosinus? Dowód. Jaki jest okres drgań prądu w sieci elektrycznej, jeśli częstotliwość wynosi 50,0 Hz? Jeśli w czasie wykonywania intensywnych ćwiczeń twoje tętno wynosi 150 uderzeń na minutę, to ile trwa jedno uderzenie serca wyrażone w sekundach? 0,4 s/uderzenie. Wyznacz częstotliwość kamertonu, który wykonuje jedno pełne drganie w czasie 2,50 · 10 −3 s . Stroboskop generuje błysk co 8,00 ⋅ 10 − 5 s . Jaka jest częstotliwość błysków? 12,500 Hz. Opona ma wzór bieżnika z poprzecznymi rowkami umieszczonymi co 2 cm. Każdy rowek odpowiada za pojedyncze drganie. Jaka jest częstotliwość tych drgań, jeśli samochód porusza się z prędkością 30 m/s? Każdy tłok w silniku generuje impuls dźwiękowy co drugi obrót wału korbowego. Jak szybko porusza się samochód wyścigowy wyposażony w ośmiocylindrowy silnik, jeśli emituje on dźwięk o częstotliwości 750 Hz, a wał korbowy wykonuje 2000 obrotów na kilometr drogi? Ile obrotów na minutę wykonuje silnik? 340 km/h; 11,3 ⋅ 10 3 obr/min. Mechaniczny zegar z kukułką odmierza czas na podstawie drgań masy na sprężynie. Masa ta może być ozdobną figurką, np. aniołkiem. Jak należy dobrać współczynnik sprężystości, aby uzyskać okres 0,5 s dla masy 0,015 kg? Przyłączona do sprężyny masa m 0 zwisa pionowo. Zostaje ona podniesiona nieco do góry i puszczona swobodnie. Wykonuje oscylacje z częstotliwością f 0 . Jeśli zastąpimy ją inną masą o wartości dziewięciokrotnie wyższej i powtórzymy eksperyment, to o jaką krotność zmieni się częstotliwość f 0 drgań? f = 1 3 f 0 Masa 0,5 kg zawieszona na sprężynie wykonuje drgania z okresem 1,50 s. O ile musimy zwiększyć masę drgającego ciała, aby uzyskać okres drgań równy 2 s? Z jaką dokładnością powinna być dobrana masa w poprzednim zadaniu, jeśli chcemy, aby okres drgań nie był dłuższy niż 2,01 s ani krótszy niż 1,99 s? Podaj oczekiwany procentowy błąd względny przy doborze masy i określ dopuszczalny zakres masy ciężarka. 0,009 kg; 2%. amplituda (ang. amplitude ) maksymalne przemieszczenie ciała z położenia równowagi w czasie ruchu oscylacyjnego położenie równowagi (ang. equilibrium position ) pozycja oscylatora, kiedy sprężyna jest nieodkształcona tzn. ani nie jest rozciągnięta, ani ściśnięta współczynnik sprężystości (ang. force constant ) parametr charakteryzujący sprężynę, zdefiniowany jako stosunek siły przyłożonej do sprężyny do uzyskanego przemieszczenia częstotliwość (ang. frequency ) liczba zdarzeń okresowych przypadająca na jednostkę czasu drgnienie (ang. oscillation ) pojedyncza lub powtarzalna zmiana wielkości fizycznej, polegająca na przejściu z jednej skrajnej wartości do drugiej i z powrotem ruch periodyczny (ang. periodic motion ) ruch cyklicznie powtarzający się w równych odstępach czasu okres (ang. period ) czas trwania jednego pełnego drgnienia w ruchu drgającym przesunięcie fazowe (ang. phase shift ) kąt wyrażony w radianach stosowany w funkcji cosinus lub sinus, aby przesunąć funkcję na lewo lub na prawo, w celu dopasowania funkcji do danych zarejestrowanych dla ruchu oscylatora harmonicznego ruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion ) ruch drgający układu, gdzie siła zwrotna jest proporcjonalna do przemieszczenia i działa na ciało w kierunku położenia równowagi oscylator harmoniczny (ang. simple harmonic oscillator ) układ, który drga w RH, gdzie siła zwrotna jest proporcjonalna do przemieszczenia i działa na ciało w kierunku położenia równowagi

Science


Energia w ruchu harmonicznym Aby odkształcić ciało, musimy wykonać pracę. Innymi słowy niezależnie od tego, czy chcemy szarpnąć strunę gitary, czy skrócić amortyzator w samochodzie, musimy zadziałać siłą z pewnej odległości. Jeśli jedynym rezultatem tego działania jest deformacja ciała i wykonana praca nie przekształca się w energię termiczną, energię fali dźwiękowej lub energię kinetyczną, to wykonana praca magazynuje się w zdeformowanym obiekcie jako pewna forma energii potencjalnej. Przyjrzyjmy się klockowi połączonemu ze sprężyną, poruszającemu się ruchem harmonicznym po stole bez tarcia. Możemy zdefiniować energię potencjalną dla tego układu, ponieważ siła sprężystości jest siłą zachowawczą (opisaną w rozdziale dotyczącym energii potencjalnej sprężystości i zasady zachowania energii). Energię potencjalną stanowi energia zmagazynowana w sprężynie, gdy sprężyna jest odkształcona (rozciągnięta lub skrócona). Klocek może wykonywać drgania w jednym wymiarze w obecności siły sprężystości działającej równolegle do osi ruchu: W = ∫ x p x k F x d x = ∫ x p x k − k x d x = [ − 1 2 k x 2 ] x p x k = − [ 1 2 k x k 2 − 1 2 k x p 2 ] = − [ E psprk − E psprp ] = − Δ E pspr . Położenie równowagi oznaczone jako x i = 0,00 m jest położeniem, dla którego energia zmagazynowana w sprężynie równa się zeru. Gdy sprężynę rozciągniemy lub skrócimy o odległość x , to energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie wyniesie: E pspr = 1 2 k x 2 . Energia i oscylator harmoniczny Aby opisać energię oscylatora harmonicznego, musimy wziąć pod uwagę wszystkie formy energii. Zastanówmy się nad klockiem połączonym ze sprężyną, który oscyluje w ruchu harmonicznym, przesuwając się po powierzchni bez tarcia. Energia potencjalna zmagazynowana w odkształconej sprężynie wynosi: E pspr = 1 2 k x 2 . W oscylatorze harmonicznym energia zmienia się z energii kinetycznej drgającej masy E k = m v 2 / 2 w energię potencjalną E pspr = k x 2 / 2 zmagazynowaną w sprężynie. W przypadku, gdy w ruchu harmonicznym układu masy i sprężyny nie występują siły dyssypacji, całkowita energia układu jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Zasadę zachowania energii w tym układzie opisano poniżej. To podejście będzie słuszne dla wszystkich oscylatorów harmonicznych, w tym również dla przypadków, gdzie kluczową rolę odgrywa siła grawitacji. Przyjrzyjmy się , która przedstawia oscylujący klocek przymocowany do sprężyny. Przy braku tłumienia w ruchu harmonicznym energia przechodzi całkowicie z jednej formy w drugą w czasie, kiedy układ wykonuje drgania. W tym prostym przykładzie ruchu klocka na sprężynie po powierzchni bez tarcia w chwili początkowej cała energia magazynuje się w sprężynie. Energię tę nazywamy energią potencjalną sprężystości . Kiedy klocek zaczyna się poruszać, energia potencjalna sprężystości przekształca się w energię kinetyczną, a w położeniu równowagi w całości staje się energią kinetyczną klocka. Następnie energia kinetyczna z powrotem przekształca się w energię potencjalną sprężystości, gdy sprężyna jest rozciągana lub ściskana. W skrajnych położeniach prędkość klocka wynosi zero, a więc energia kinetyczna też jest równa zeru. Cykl przemian się powtarza. Zrozumienie zasady zachowania energii w tych cyklach pozwala zrozumieć zagadnienia omawiane w dalszej części podrozdziału, a także wyjaśnia ruch harmoniczny polegający na oscylacjach ładunku w obwodzie typu LC. Przemiana energii w ruchu harmonicznym dla klocka przymocowanego do sprężyny. Ruch odbywa się bez tarcia powierzchniowego. (a) Gdy masa znajduje się w położeniu x = + A , cała energia magazynuje się w sprężynie jako energia potencjalna sprężystości E p s p r = k A 2 / 2 . Energia kinetyczna jest równa zeru, ponieważ prędkość masy wynosi zero. (b) Gdy klocek porusza się w kierunku x = − A , masa przechodzi przez położenie x = 0 . W tym momencie sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani skrócona, więc energia zmagazynowana w sprężynie wynosi zero. W położeniu x = 0 całkowita energia jest energią kinetyczną E k = m ( − v m a x ) 2 / 2 . (c) Masa kontynuuje ruch, aż osiągnie położenie x = − A , w którym klocek zatrzymuje się, a następnie zaczyna się poruszać w kierunku x = + A . W położeniu x = − A całkowita energia magazynuje się jako energia potencjalna sprężystości E p s p r = k ( − A ) 2 / 2 . Energia kinetyczna klocka jest równa zero. (d) Kiedy masa przechodzi przez położenie x = 0 , energia kinetyczna wynosi E k = m v m a x 2 / 2 , a energia potencjalna sprężystości jest zerowa. (e) Masa wraca do położenia x = + A , gdzie E k = 0 i E p s p r = k A 2 / 2 . Rozważmy , która przedstawia wartości energii w poszczególnych punktach ruchu drgającego klocka. Podczas gdy całkowita energia pozostaje wartością stałą, zmieniają się w czasie udziały energii kinetycznej klocka i energii potencjalnej zmagazynowanej w sprężynie: E całkowita = E pspr + E k = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 . Ruch klocka na sprężynie to ruch harmoniczny, który określają wyrażenia na położenie x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) i prędkość v ( t ) = − A ω sin ( ω t + ϕ ) . Korzystając z tych wyrażeń, zależności trygonometrycznej cos 2 θ + sin 2 θ = 1 i relacji ω = k / m , możemy wyznaczyć energię całkowitą układu: E całkowita = 1 2 k A 2 cos 2  ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 ω 2 sin 2  ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2  ( ω t + ϕ ) + 1 2 m A 2 k m sin 2  ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 cos 2  ( ω t + ϕ ) + 1 2 k A 2 sin 2  ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 ( cos 2  ( ω t + ϕ ) + sin 2  ( ω t + ϕ ) ) = 1 2 k A 2 . Energia całkowita klocka i sprężyny jest równa sumie energii potencjalnej sprężystości zmagazynowanej w sprężynie oraz energii kinetycznej klocka i wzrasta wraz z kwadratem amplitudy drgań E całkowita = k A 2 / 2 . Energia całkowita układu jest stała w czasie. Warto zauważyć, że energia kinetyczna klocka zmienia się w czasie tak jak kwadrat funkcji sinus, natomiast energia potencjalna sprężystości zmienia się jak kwadrat funkcji cosinus. Niemniej jednak całkowita energia układu jest stała i zwiększa się wraz z kwadratem amplitudy drgań. przedstawia czasowe zależności energii potencjalnej sprężystości i energii kinetycznej oraz energię całkowitą układu klocka i sprężyny. Pokazano również wykresy położenia i prędkości klocka w funkcji czasu. W chwili czasu t = 0 s położenie klocka jest równe amplitudzie przesunięcia, energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie jest równa E p s p r = k A 2 / 2 , siła sprężystości działająca na klocek jest maksymalna i ma zwrot przeciwny do zwrotu osi x ( F S = − k A ) . Prędkość i energia kinetyczna klocka w chwili t = 0 s mają wartości zerowe. W chwili t = 0 s klocek zwolniono, co dało początek ruchowi drgającemu. Wykres energii kinetycznej, energii potencjalnej sprężystości i energii całkowitej układu w ruchu harmonicznym. Pokazano również wykresy położenia i prędkości w funkcji czasu. Całkowita energia układu jest stała, ale następuje zmiana udziałów energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości. Kiedy energia kinetyczna osiąga wartość maksymalną, to energia potencjalna sprężystości wynosi zero. Dzieje się tak w chwilach, gdy prędkość klocka jest maksymalna i masa znajduje się w położeniu równowagi. Natomiast energia potencjalna sprężystości osiąga maksimum, gdy prędkość klocka wynosi zero. Całkowita energia stała w czasie jest sumą energii kinetycznej klocka oraz energii potencjalnej zmagazynowanej w sprężynie. Oscylacje względem położenia równowagi Powyżej rozważaliśmy energię układu w ruchu harmonicznym w funkcji czasu. Przeanalizujmy teraz energię oscylatora harmonicznego jako funkcję położenia klocka. przedstawia wykres energii układu względem położenia klocka poruszającego się ruchem harmonicznym. Wykres energii kinetycznej (czerwony), energii potencjalnej (niebieski) i energii całkowitej (zielony) oscylatora harmonicznego. Siłę opisano wyrażeniem F = − d E p o t / d x . Położenie równowagi oznaczono czarną kropką, w którym siła sprężystości jest równa zeru. Siła ta jest dodatnia, gdy x < 0 , ujemna gdy x > 0 , a równa zeru, gdy x = 0 . Kształt krzywej energii potencjalnej sprężystości na przypomina miskę. Gdy kulę umieścimy w misce, to osiągnie stan równowagi w najniższym punkcie naczynia ( x = 0 ) . Dzieje się tak dlatego, że siła zwrotna jest skierowana do położenia równowagi. To położenie równowagi określa też minimum energii potencjalnej . Gdy kulę wytrącimy z położenia równowagi do nowego położenia ( x = + A ) , to wykona ona drgania wokół położenia równowagi. Na wykresie energii potencjalnej wartość siły możemy znaleźć dla dowolnego położenia jako tangens kąta nachylenia krzywej w punkcie x wzięty z przeciwnym znakiem ( F = − d E p o t / d x ) . Ze względu na to, że siłę po obu stronach położenia równowagi skierowano w kierunku tego punktu, równowagę tę nazywamy trwałą (stabilną). Położenia x = A i x = − A nazywamy punktami zwrotnymi . (Patrz: Energia potencjalna i zasada zachowania energii ). Musimy też pamiętać o stabilności , ponieważ jeśli położenie równowagi jest trwałe, to niewielkie zakłócenie działające na kulę, która początkowo znajduje się w punkcie równowagi trwałej ( x = 0 ), wywoła oscylacje kuli względem tego punktu. Siła działająca na kulę będzie skierowana w kierunku położenia równowagi trwałej. Natomiast w przypadku kuli znajdującej się w położeniu równowagi nietrwałej (niestabilnej, chwiejnej), nawet lekkie wychylenie z położenia równowagi spowoduje, że nie wróci już samoistnie do tego położenia równowagi. Rozważmy przykład kuli i miski. Jeśli miskę ustawimy dnem do podłoża, to nawet lekko wychylona kula będzie oscylować wokół trwałego punktu równowagi. Jeśli jednak naczynie odwrócimy dnem do góry, a kulę starannie położymy dokładnie w najwyższym punkcie, to może ona przez pewien czas utrzymać stan równowagi, gdyż działająca siła wypadkowa wyniesie zero. Wystarczy jednak delikatne wychylenie, by zainicjować stoczenie się kuli ze szczytu miski. Dzieje się tak dlatego, że siły działające po obu stronach punktu równowagi są skierowane od tego punktu. Punkt na szczycie miski znajduje się więc w stanie równowagi nietrwałej. pokazuje trzy sytuacje. Pierwsza z nich przedstawia położenie równowagi trwałej, któremu odpowiada minimum energii potencjalnej (a); druga to punkt równowagi nietrwałej położony w maksimum energii potencjalnej (b); ostatnia sytuacja również dotyczy położenia równowagi nietrwałej, ponieważ jedynie siła po prawej stronie działa na kulę w kierunku położenia równowagi (c). Przykłady położeń równowagi: (a) trwałe położenie równowagi, (b) i (c) nietrwałe położenia równowagi. Procedura ustalenia, czy dane położenie równowagi jest trwałe czy nietrwałe, może być sformalizowana. Rozważmy krzywą energii potencjalnej pokazaną na . Siła może zostać oszacowana na podstawie analizy nachylenia wykresu. Wartość siły jest określona wzorem F = − d E p o t / d x . W punkcie (a), gdy x < 0 m , siła jest dodatnia. Gdy x > 0 m , siła ta jest ujemna. Wobec tego punkt przy x = 0 m jest położeniem trwałym. W (b), gdy x < 0 m , siła jest ujemna. Gdy x > 0 m , siła jest również ujemna, więc punkt przy x = 0 m jest nietrwałym położeniem. Dwa przykłady krzywej energii potencjalnej. Siła w danym punkcie jest równa ujemnej wartości tangensa kąta nachylenia krzywej w tym położeniu. (a) Wykres energii potencjalnej dla trwałego położenia równowagi. (b) Wykres energii potencjalnej dla nietrwałego położenia równowagi. Położenie to nazywa się czasem półstabilnym, ponieważ siła działająca dla położeń x > 0 m jest zwrócona w kierunku punktu x = 0 m . Koncepcja trwałego położenia równowagi znajduje praktyczne zastosowanie w opisie siły działającej pomiędzy dwoma obojętnymi atomami lub cząsteczkami. Gdy dwa atomy znajdują się w bliskim sąsiedztwie i są oddzielone kilkoma średnicami atomowymi, mogą wystąpić siły przyciągania. Jednym z przykładów sił przyciągania pomiędzy dwoma atomami są siły van der Waalsa. W przypadku dalszego zbliżania atomów, tak że ich powłoki elektronowe będą się nakładać, pojawią się siły odpychające. Siła oddziaływania pomiędzy dwoma atomami nie jest liniowa i nie można jej opisać przez układ dwóch mas odseparowanych sprężyną, ale atomy w cząsteczce mogą oscylować wokół punktu równowagi, jeśli przesuną się tylko trochę poza ten punkt. Na skutek działania sił przyciągających i odpychających atomy wykonują drgania. Szczegółowa dyskusja na temat oddziaływań międzyatomowych wykracza poza zakres tego rozdziału, ale warto wiedzieć, że drgania atomów odbywają się wzdłuż krzywej energii potencjalnej Lennarda-Jonesa 6-12 : E p o t ( x ) = 4 ε [ ( σ x ) 12 − ( σ x ) 6 ] . Wykres tej funkcji pokazano na . Dwa parametry ε i σ wyznaczono na podstawie danych doświadczalnych. Krzywa energii potencjalnej Lennarda-Jonesa dla układu dwóch obojętnych atomów. Jeżeli energia układu nie jest zbyt wysoka, to układ wykonuje drgania w pobliżu położenia równowagi pomiędzy dwoma punktami zwrotnymi. Na wykresie można zauważyć, że krzywa energii potencjalnej Lennarda- Jonesa ma pewne podobieństwa do krzywej energii potencjalnej przedstawionej na dla oscylatora harmonicznego. Na krzywej potencjału Lennarda-Jonesa znajduje się położenie równowagi, dla którego energia potencjalna jest minimalna i siła działająca po obu stronach punktu równowagi skierowana jest w stronę tego punktu (tzw. siła zwrotna). Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do oscylatora harmonicznego, kształt krzywej energii potencjalnej Lennarda-Jonesa nie jest symetryczny. Wynika to z faktu, że siła działająca pomiędzy atomami nie jest funkcją liniową względem położenia x , tzn. nie spełnia prawa Hooke'a tak, jak siła sprężystości. Atomy mogą wykonywać drgania wokół stanu równowagi x m i n , ponieważ gdy x < x m i n , siła jest dodatnia, natomiast gdy x > x m i n , siła jest ujemna. Zauważmy, że gdy x zbliża się do zera, to nachylenie krzywej jest dość strome i tangens kąta nachylenia jest wartością ujemną, a to oznacza, że siła ma dużą wartość i jej zwrot jest zgodny ze zwrotem osi x . Można więc wywnioskować, że siła ta odpycha atomy od siebie. Z kolei dla położeń przyjmujących coraz większe wartości x , nachylenie staje się mniej strome, siła ma coraz mniejszą wartość, a jej zwrot jest przeciwny do zwrotu osi x . Wobec tego jeśli układ ma wystarczająco dużo energii, to atomy mogą ulec rozdzieleniu. Możemy też obliczyć siły międzycząsteczkowe z funkcji energii potencjalnej. Zauważmy, że siła różni się od tej z prawa Hooke'a ( F = − k x ) , ale znając dwumian Newtona: ( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n − 1 ) 2 ! x 2 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ , siłę tę można w przybliżeniu obliczyć z prawa Hooke'a. Prędkość i zasada zachowania energii Wróćmy do układu klocka i sprężyny z . W chwili, gdy klocek zostaje wytrącony ze stanu spoczynku przy x = A , zaczyna poruszać się w kierunku położenia równowagi. Energia potencjalna sprężystości zmniejsza się, a prędkość i energia kinetyczna klocka wzrastają. W chwili t = T / 4 klocek osiąga położenie równowagi x = 0 m , gdzie zarówno siła działająca na klocek, jak i energia potencjalna są wartościami zerowymi. W położeniu równowagi klocek osiąga maksymalną ujemną prędkość o wartości v = − A ω . Energia kinetyczna jest najwyższa i wynosi E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m A 2 ω 2 = 1 2 k A 2 . W tej chwili siła działająca na klocek wynosi zero, ale pęd klocka powoduje kontynuację ruchu w kierunku punktu x = − A . W czasie dalszego ruchu klocka działa na niego siła o zwrocie zgodnym ze zwrotem osi x , a wartości prędkości i energii kinetycznej maleją. Energia potencjalna wzrasta wraz ze skracaniem się sprężyny. W chwili t = T / 2 klocek osiąga położenie x = - A . W tym położeniu prędkość i energia kinetyczna są wartościami zerowymi. Siła sprężystości działająca na klocek wynosi F = k A , natomiast energię potencjalną zmagazynowanej w sprężynie wyrażono wzorem E p s p r = k A 2 / 2 . Podczas drgań klocka energia całkowita jest stała i równa sumie energii potencjalnej i energii kinetycznej układu: E całkowita = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2 . Można więc wyznaczyć wzór na prędkość klocka dla każdego położenia w ruchu harmonicznym: | v | = k m ( A 2 − x 2 ) . Energia w oscylatorze harmonicznym wzrasta wraz z kwadratem amplitudy drgań. Rozważając różne układy drgające, często można się przekonać, że ich energia również jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań. Sprawdź, czy rozumiesz. Zaproponuj sposób zmniejszenia maksymalnej prędkości oscylatora harmonicznego. Możesz zwiększyć masę obiektu drgającego. Innym sposobem może być zmniejszenie amplitudy drgań lub użycie sprężyny o mniejszym współczynniku sprężystości. Podsumowanie Najprostszy rodzaj drgań dotyczy układów, które można opisać prawem Hooke’a: F = − k x , gdzie F jest siłą zwrotną, x jest przemieszczeniem z położenia równowagi lub deformacją, a k jest współczynnikiem sprężystości układu. W układzie opisywanym prawem Hooke’a energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście wynosi E p s p r = k x 2 / 2 . Energia całkowita w oscylatorze harmonicznym jest stała w czasie i dzielona pomiędzy energię potencjalną sprężystości i energię kinetyczną: E całkowita = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2 = const . Wartość prędkości jako funkcję położenia dla oscylatora harmonicznego określa zależność: | v | = k m ( A 2 − x 2 ) Pytania Opisz przykładowy układ ze zmagazynowaną energią potencjalną sprężystości. W samochodzie energię potencjalną sprężystości możemy zaobserwować, gdy ściskamy lub rozciągamy amortyzator. W niektórych butach do biegania energia potencjalna sprężystości przechowuje się w ściśliwej podeszwie buta. W skoku o tyczce energia potencjalna sprężystości gromadzi się w tyczce na skutek jej ugięcia. Na podstawie analizy energii układu uzasadnij, w jaki sposób siły dyssypacyjne takie jak tarcie, zmniejszają amplitudę kolejnych drgań oscylatora harmonicznego. Wyjaśnij również, w jaki sposób mechanizm napędowy może zrekompensować te straty energii (takim układem jest np. zegar wahadłowy). Temperatura ziemskiej atmosfery oscyluje między maksimum (ok. południa) a minimum (przed wschodem słońca). Czy Twoim zdaniem atmosfera jest w stanie równowagi trwałej czy nietrwałej? Cały system jest stabilny. Okresowo tę stabilność mogą naruszać burze, ale siła napędowa zapewniana przez Słońce przywraca atmosferę do stanu równowagi. Zadania Paczkę z rybami zawieszono na wadze sprężynowej. Jaki jest współczynnik sprężystości, jeśli przy masie paczki równej 10 kg sprężyna rozciąga się o 8 cm? Ile waży ryba, która rozciąga sprężynę o 5,50 cm? Kreski podziałki zostały naniesione co pół kilograma. Jak daleko od siebie leżą kreski? W boksie olimpijskim górny limit dla zawodnika wagi ciężkiej wynosi 91 kg. Przy rutynowym sprawdzeniu wagi stwierdzono, że szalka pod wpływem masy 120 kg obniża się o 0,75 cm i że waga funkcjonuje zgodnie z prawem Hooke’a. Jaki jest współczynnik sprężystości wagi? Jeśli bokser staje na wadze i szalka obniża się o 0,48 cm, to czy zawodnik ten mieści się w kategorii wagi ciężkiej? a. 1,57 · 10 5 N/m ; b. 77 k g , zawodnik mieści się w limicie wagowym kategorii wagi ciężkiej. Niektóre pistolety typu BB do wystrzału kulki wykorzystują tłok sprężynowy. Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny tłoka o masie 0,05 kg, tak aby przy początkowym ściśnięciu sprężyny o 0,15 m tłok ten osiągnął prędkość maksymalną 20,0 m/s. Jaką siłę należy przyłożyć do sprężyny, aby osiągnąć takie skrócenie? Drążków pogo używa się najczęściej jako zabawek i służą do skakania przy użyciu sprężyny. Kiedy człowiek o masie 80 kg stanie na drążku pogo, sprężyna ulega skróceniu o 0,120 m. Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny? Czy sprężyna będzie ulegała większemu ściśnięciu podczas skakania? 6,53 · 10 3 N/m ; Tak, w momentach gdy człowiek znajdzie się w najniższym punkcie swojego ruchu, wówczas sprężyna będzie maksymalnie ściśnięta. Jeśli zawiesimy na sprężynie masę 0,3 kg, długość tej sprężyny wyniesie 0,2 m, a przy zawieszonej masie 1,95 kg ta długość to 0,75 m. Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny? Jaka jest długość sprężyny nieobciążonej? Współczynnik sprężystości liny nylonowej wynosi 1,40 · 10 4 N/m . Na linie wisi amator wspinaczki górskiej. Jaka jest częstotliwość oscylacji wspinacza na linie, jeśli sumaryczna jego masa, wraz z ekwipunkiem, wynosi 90 kg? O ile rozciągnie się lina, zanim zahamuje jego upadek, jeśli długość luzu liny (czyli wolnego spadania wspinacza) wynosi 2 m? ( Wskazówka: zastosuj zasadę zachowania energii). Rozwiąż ponownie oba zagadnienia w sytuacji, kiedy wspinacz wisi na dwukrotnie dłuższej linie z tego samego materiału. a. 1,99 Hz; b. 50,2 cm; c. 1,40 Hz; 71 cm. energia potencjalna sprężystości (ang. elastic potential energy ) energia potencjalna zmagazynowana w układzie na skutek zniekształcenia elementu sprężystego, np. na skutek rozciągnięcia sprężyny siła zwrotna (ang. restoring force ) siła działająca w kierunku położenia równowagi oscylatora stan trwałej równowagi (ang. stable equilibrium point ) położenie w którym wypadkowa siła działająca na ciało wynosi zero, a w przypadku małego przemieszczenia ciała pojawia się siła zwrotna, która działa w kierunku położenia równowagi

Science


Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu Jednym ze sposobów na opisanie ruchu harmonicznego jest analiza jednostajnego ruchu po okręgu zgodnie z . Marker (drewniany kołek) przymocowano do tarczy, która obraca się ze stałą częstością kątową. pokazuje ten dysk z markerem w rzucie bocznym. Umieszczenie lampy nad tarczą powoduje, że marker tworzy cień. Położenie cienia w punkcie x = 0 oznacza, że pozycja markera jest najniższa lub najwyższa. Dla dysku o promieniu r = A obracającego się ze stałą prędkością kątową, cień oscyluje między położeniami x = + A i x = - A . Wyobraźmy sobie klocek na sprężynie umieszczony tak, jak pokazano na . Obracający się ze stałą częstością kątową kołek rzuca cień, który porusza się ruchem harmonicznym. Światło skierowano na dysk w ten sposób, że kołek tworzy cień. Klocek na sprężynie porusza się ruchem harmonicznym. Jeśli dysk obraca się z odpowiednią częstością kątową, to cień kołka może poruszać się identycznie jak klocek. Jeśli nie ma dyssypacji energii z powodu działania sił niezachowawczych, klocek i cień będą synchronicznie oscylować. Na rysunku przedstawiono cztery migawki dla różnych chwil tego ruchu. (a) Koło startuje przy θ = 0 ∘ , a cień kołka znajduje się (podobnie jak klocek) w położeniu x = + A . (b) Rotujący dysk tworzy kąt θ = ω t , natomiast cień kołka znajduje się pomiędzy x = + A a x = 0 . (c) Dysk obraca się o kąt θ = 90 ∘ , podczas gdy klocek i jego cień osiągają położenie x = 0 . (d) Dysk kontynuuje ruch, a cień śledzi jego położenie. Jeśli dysk obraca się z odpowiednią częstością kątową, to cień przesuwa się tak samo jak klocek. Położenie cienia możemy opisać równaniem: x ( t ) = A cos  ( ω t ) . Przypomnijmy, że klocek przymocowany do sprężyny nie porusza się ze stałą prędkością. Z jaką częstością kątową musi się obracać koło, aby cień zawsze padał na klocek? Tę wartość częstości kątowej opisano zależnością 2 π razy częstotliwość drgań ( ω = 2 π f ) . przedstawia podstawowe zależności pomiędzy jednostajnym ruchem po okręgu a ruchem harmonicznym. Kołek leży na obwodzie dysku w odległości A od środka dysku. Oś x określa linia położona równolegle do podłoża i przecinająca dysk na pół. Oś y (niepokazana) jest określona przez linię prostopadłą do podłoża, która dzieli tarczę na lewą i prawą część. Środkiem dysku jest punkt ( x = 0 , y = 0 ) . Rzuty położenia kołka na oś x wyznaczają położenie cienia, który porusza się ruchem harmonicznym analogicznie jak klocek na sprężynie. Rysunek przedstawia migawkę z ruchu, kiedy cień przemieszcza się w lewo z prędkością v . Prędkość styczna kołka na okręgu jest równa v m a x klocka na sprężynie. Składowa x prędkości kołka jest równa prędkości klocka na sprężynie. Kołek porusza się ruchem jednostajnym po okręgu ze stałą prędkością kątową ω . Rzut kołka na oś x wykonuje ruch harmoniczny. Pokazano również wektor prędkości kołka na okręgu: v max i jego rzut v na oś x . Warto zauważyć, że trójkąt tworzony przez wektory prędkości jest podobny do trójkąta przemieszczeń. Za pomocą możemy przeanalizować prędkość cienia tworzonego przez kołek, który porusza się po okręgu z prędkością v max = A ω . Cień przemieszcza się z prędkością równą horyzontalnej składowej prędkości kołka: v = − v max sin ( ω t ) . Wynika z tego, że przyspieszenie wynosi: a = − a max cos ( ω t ) . Sprawdź, czy rozumiesz. Jak stwierdzić, czy ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu? Opisz, w jaki sposób można wykazać ruch harmoniczny tego ciała. Butelkę z keczupem można postawić na obrotowym stoliku i wprawić go w ruch obrotowy. Oświetlenie butelki z boku lampą spowoduje, że na ścianie zobaczymy jej cień poruszający się ruchem harmonicznym. Podsumowanie Rozważ dysk o promieniu A poruszający się ze stałą prędkością kątową ω . Punkt na krawędzi dysku porusza się ze stałą prędkością styczną v max = A ω . Rzut promienia na oś x opisuje wzór x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) , gdzie ϕ jest przesunięciem fazowym. Z kolei składowa x prędkości stycznej to v ( t ) = − A ω sin ( ω t + ϕ ) . Pytania Czy analogię pomiędzy ruchem harmonicznym a ruchem ciała po okręgu można wykazać także dla układu ciężarka umocowanego na sprężynie zwisającego pionowo z sufitu? Odpowiedź uzasadnij. Czy lepiej jest zastosować do opisu ruchu funkcję sinus czy cosinus? Masa przymocowana do sprężyny wykonuje drgania na powierzchni stołu bez tarcia. Jeśli maksymalna prędkość masy zostałaby zwiększona, to który z parametrów obracającego się dysku należałoby zmienić? Maksymalna prędkość masy na sprężynie wynosi v max = A ω , a częstość kołowa jest niezależna od amplitudy drgań. Zatem to amplituda drgań musi ulec zwiększeniu. Skoro odpowiada jej promień okręgu, wobec tego to ten parametr dysku powinien zostać zwiększony. Zadania Oscylacje masy na sprężynie w układzie pionowym można również opisać za pomocą obracającego się dysku z markerem. Zamiast świecących pionowo w dół lamp umocowanych horyzontalnie w linii nad dyskiem, można ustawić lampy pionowo, a ich światło skierować na bok obracającego się dysku z markerem. W ten sposób można uzyskać na ścianie plamkę cienia, która będzie się poruszać w górę i w dół. Napisz wzory opisujące ruch plamki, przyjmując że jej położenie w chwili t = 0 s wynosi y = 0 m , a następnie plamka porusza się w kierunku dodatnich wartości osi y . Nowoczesny mechanizm zegara wykorzystuje masę 0,01 kg oscylującą na sprężynie o współczynniku sprężystości 1,25 N/m. Jaka jest maksymalna prędkość ciała wykonującego drgania w zakresie od -3 cm do +3 cm względem położenia równowagi? Ile dżuli energii kinetycznej ma ciało w chwili najwyższej prędkości? 0,335 m / s ; 5,61 ⋅ 10 − 4 J. Piła szablasta wykorzystuje obroty silnika do wprawienia brzeszczotu w ruch posuwisto-zwrotny w lewo-prawo; mechanizm jarzmowy przedstawia poniższy rysunek. Oszacuj maksymalną prędkość brzeszczotu podczas jego przemieszczania się, jeśli tarcza silnika obraca się z częstotliwością 60 Hz i ma promień 3 cm. O zachodzie słońca student stoi na skraju karuzeli o promieniu 2 m , która obraca się pięć razy na minutę. Student rzuca cień na pobliski budynek. Napisz równanie dla położenia cienia. Napisz równanie prędkości cienia. x ( t ) = 2 m ⋅ cos  ( 0,52 s − 1 ⋅ t ) ; v ( t ) = − 1,05 m / s ⋅ sin  ( 0,52 s − 1 ⋅ t ).

Science