Reguła Lenza Kierunek prądu elektrycznego w przewodzącej pętli, wywołanego indukowaną siłą elektromotoryczną, wynika ze znaku SEM, przeciwnego do znaku pochodnej po czasie strumienia magnetycznego przecinającego pętlę. Kierunek tego prądu można jednak zwykle wyznaczyć w nieco prostszy sposób – stosując prawo zwane regułą Lenza (ang. Lenz’s law ). Treść reguły Lenza, nazwanej na cześć jej odkrywcy, Heinricha Lenza (1804–1865) , sformułujemy następująco: Reguła Lenza Kierunek indukowanej siły elektromotorycznej jest taki, że wywołany przez nią prąd zawsze przeciwdziała zmianie strumienia pola magnetycznego, która tę siłę generuje. Należy zaznaczyć, że niezależnie od Lenza powyższe prawo sformułował także Faraday. Regułę Lenza możemy również rozpatrywać, stosując zasadę zachowania energii. Jeżeli wsunięcie magnesu do cewki powoduje przepływ prądu, to oczywiste jest, że energia tego prądu musi pochodzić z określonego źródła. Zasada zachowania energii zostanie zatem spełniona, jeśli przyjąć, że indukowany prąd wytwarza własne pole magnetyczne, które przeciwdziała wzrostowi strumienia pola magnetycznego w cewce na skutek wprowadzania magnesu. Wówczas, wprowadzając magnes, wykonujemy pewną pracę nad układem, równą energii wytwarzanego prądu. Jeżeli pole magnetyczne cewki z prądem nie przeciwdziałałoby zmianie strumienia magnetycznego w cewce, wsuwanie magnesu generowałoby tenże prąd bez nakładu pracy. Wówczas potencjalna energia elektryczna w układzie powstawałaby znikąd, co jest sprzeczne z zasadą zachowania energii. Aby wyznaczyć indukowaną siłę elektromotoryczną ε , musimy na wstępie określić strumień magnetyczny Φ B , a następnie obliczyć jego pochodną po czasie d Φ B ∕ d t . Wartość siły elektromotorycznej będzie wówczas dana równaniem ε = d Φ B ∕ d t . Znak siły elektromotorycznej określimy na podstawie reguły Lenza. Powyższe postępowanie zilustrujemy podanymi poniżej przykładami, w których stosowany będzie następujący tok rozumowania. Strategia rozwiązywania zadań: reguła Lenza Aby wykorzystać regułę Lenza do wyznaczenia kierunków indukowanych pól magnetycznych, prądów i sił elektromotorycznych: Wykonaj szkic rozpatrywanego układu – przedstaw na nim interesujące cię kierunki. Określ kierunek wektora B → indukcji magnetycznej pola przyłożonego do układu. Ustal, czy strumień magnetyczny tego pola rośnie, czy maleje. Wyznacz kierunek wektora B → indukowanego pola magnetycznego. Pamiętaj, że indukowane pole magnetyczne dąży do wzmocnienia malejącego strumienia lub przeciwdziała wzmocnieniu strumienia rosnącego. Zatem, w zależności od charakteru zmiany strumienia magnetycznego, indukowane pole magnetyczne dodaje się lub odejmuje od pola przyłożonego do układu. Korzystając z reguły prawej dłoni 2 (ang. right-hand rule-2 , RHR-2) – patrz rozdział Siły i pola magnetyczne – wyznacz kierunek przepływu indukowanego prądu I , który wytwarza indukowane pole magnetyczne o indukcji B → . Pamiętaj, że kierunek (lub znak) indukowanej SEM będzie wtedy zgodny z kierunkiem przepływu tego umownego prądu. Zastosujmy teraz regułę Lenza do układu przedstawionego na (a). Na wstępie umówmy się, że stronę zamkniętej przewodzącej pętli, po której znajduje się zbliżający się do niej magnes sztabkowy, nazwiemy czołem (frontem) pętli. Wtedy przeciwną stronę pętli nazwiemy jej tyłem. W czasie ruchu bieguna północnego magnesu w kierunku pętli gęstość linii pola tego magnesu w kierunku od frontu do tyłu pętli rośnie. Oznacza to wzrost wartości strumienia magnetycznego przecinającego pętlę, co powoduje powstanie w pętli indukowanego prądu elektrycznego. Zgodnie z regułą Lenza kierunek tego indukowanego prądu musi być taki, aby jego własne pole magnetyczne przeciwdziałało zmianie strumienia magnetycznego wywołanej przybliżaniem się magnesu do pętli. Zatem zaindukowany prąd płynie tak, że linie pola magnetycznego skierowane są od tyłu do frontu pętli. Wykorzystując drugi wariant reguły prawej dłoni, skieruj wyprostowany kciuk przeciwnie do linii pola magnesu (kciuk zwrócony będzie wówczas w kierunku magnesu). Kierunek przepływu indukowanego prądu widziany od frontu pętli wskażą wówczas palce obejmujące pętlę; jest on przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Kierunek indukowanego prądu możemy także wyznaczyć, traktując pętlę jak elektromagnes, którego pole przeciwdziała przybliżaniu się bieguna północnego magnesu sztabkowego. Prąd w takim elektromagnesie musi płynąć jak na rysunku, ponieważ czoło pętli, położone bliżej magnesu, będzie wówczas jej biegunem północnym. Zmiana strumienia magnetycznego spowodowana zbliżaniem magnesu sztabkowego do przewodzącej pętli indukuje w niej prąd elektryczny. (a) Zbliżający się biegun północny indukuje prąd, którego kierunek widziany od strony magnesu jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. (b) Zbliżający się biegun południowy indukuje prąd płynący zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Na (b) przedstawiono magnes zbliżający się biegunem południowym w kierunku przewodzącej pętli. W tym przypadku strumień pola magnesu przenikający pętlę także rośnie, ponieważ rośnie gęstość linii pola w kierunku od tyłu pętli do jej frontu. Aby przeciwdziałać temu wzrostowi, w pętli indukuje się prąd wytwarzający własne pole magnetyczne. Linie tego pola, przecinające powierzchnię pętli, zwrócone są w kierunku od jej frontu ku tyłowi. Prąd zaindukowany w pętli-elektromagnesie płynie w takim kierunku, że od strony zbliżającego się magnesu czoło pętli stanowi jej biegun południowy – odpychający biegun południowy tego magnesu. Stosując regułę prawej dłoni, należy zwrócić wyciągnięty kciuk w kierunku od magnesu sztabkowego. Palce dłoni obejmą wówczas pętlę zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to znaczy z kierunkiem indukowanego prądu. Inny przykład obrazujący regułę Lenza przedstawiono na . W układzie tym otwarcie wyłącznika powoduje spadek natężenia prądu zasilającego solenoid , a więc spadek strumienia magnetycznego przenikającego jego zwoje. W konsekwencji w uzwojeniu solenoidu zostanie zaindukowana SEM, która musi przeciwdziałać wywołującej ją zmianie – zanikowi prądu. W rezultacie SEM, której biegunowość zaznaczono na rysunku, indukuje w obwodzie prąd. Kierunek tego prądu jest zgodny z kierunkiem prądu płynącego w układzie przed otwarciem wyłącznika. Ów indukowany prąd może wytworzyć łuk elektryczny, widoczny pomiędzy stykami wyłącznika podczas ich rozwierania. (a) Solenoid podłączony do źródła siły elektromotorycznej. (b) Otwarcie wyłącznika W przerywa przepływ prądu, powodując zaindukowanie się SEM w uzwojeniu solenoidu. (c) SEM indukowana w uzwojeniu cewki wytwarza różnicę potencjałów pomiędzy ostrzami prętów widocznych na zdjęciu. Różnica ta jest na tyle duża, że pomiędzy ostrzami powstaje łuk elektryczny. Sprawdź, czy rozumiesz. Określ kierunek prądu indukowanego w przedstawionej na poniższym rysunku pętli z drutu. Rozważ przypadki, gdy magnes wnika w płaszczyznę pętli; przechodzi przez tę płaszczyznę; opuszcza ją. a. Z punktu widzenia widocznego na rysunku obserwatora podczas zbliżania się tego magnesu biegunem S w kierunku pętli prąd płynie zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara; b. Prąd ten maleje do zera, gdy magnes znajduje się centralnie w płaszczyźnie pętli i ją mija; c. Gdy ten magnes oddala się od pętli (biegunem N), prąd płynie ponownie zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Sprawdź, czy rozumiesz. Sprawdź kierunki indukowanych prądów zaznaczonych na . Kołowa cewka w zmiennym polu magnetycznym Pole magnetyczne o indukcji B → , zwróconej od płaszczyzny ( ), skierowane jest prostopadle do powierzchni kołowej cewki o promieniu r = 0,5  m . Pole ma symetrię walcową względem środka cewki, przy czym wartość jego indukcji – malejącą wykładniczo z czasem t – opisuje równanie B = 1,5  T ⋅ e − 5  s − 1  t , w którym B wyrażone jest w teslach, a t w sekundach. Obliczmy SEM indukowaną w cewce w chwilach: t 1 = 0  s , t 2 = 5 ⋅ 10 − 2  s oraz t 3 = 1  s . Określmy natężenie prądu w cewce w wymienionych chwilach, przyjmując, że jej rezystancja wynosi 10  Ω . Kołowa cewka w malejącym polu magnetycznym. Strategia rozwiązania Ponieważ pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny cewki, a wartość jego indukcji jest taka sama w dowolnym miejscu tej cewki, to iloczyn skalarny wektora indukcji B → oraz wektora jednostkowego powierzchni n ̂ można zastąpić zwykłym iloczynem ich wartości. Indukcję magnetyczną można następnie wynieść przed symbol całki. Strumień magnetyczny będzie wówczas określony iloczynem wartości tej indukcji oraz pola powierzchni cewki. W celu wykorzystania prawa Faradaya do wyznaczenia wartości SEM musimy obliczyć pochodną z funkcji wykładniczej po czasie. Natężenie prądu określimy, stosując prawo Ohma. Rozwiązanie Ponieważ wektor B → jest prostopadły do płaszczyzny cewki, strumień magnetyczny wyrażony jest wzorem Φ B = B  π  r 2 = 1,5  T ⋅ e − 5  s -1  t ⋅ π ⋅ 0,5  m 2 = 1,2  Wb ⋅ e − 5  s -1  t  . \Phi_B = B\pi r^2 = \SI{1,5}{\tesla} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t} \cdot \pi \cdot (\SI{0,5}{\metre})^2 = \SI{1,2}{\weber} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t} \text{.} Na podstawie prawa Faradaya indukowana SEM wynosi ε = d Φ B d t = d d t 1,2  Wb ⋅ e − 5  s -1  t = 6  V ⋅ e − 5  s -1  t  . \abs{\epsilon} = \abs{\frac{\d \Phi_B}{\d t}} = \abs{\dd{t} (\SI{1,2}{\weber} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t})} = \SI{6}{\volt} \cdot e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{5}{\per\second} t} \text{.} Ponieważ wektor B → jest zwrócony od płaszczyzny rysunku, a wartość reprezentowanej nim indukcji magnetycznej maleje w czasie, to patrząc z góry na rysunek, stwierdzamy, że indukowany w cewce prąd musi płynąć w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Oznacza to, że wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez ten prąd jest także zwrócony od płaszczyzny rysunku. W chwilach t 1 , t 2 , t 3 SEM zwrócona jest przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara, a jej wartości wynoszą ε  t 1 = 6  V ε  t 2 = 4,7  V ε  t 3 = 0,04  V  . \epsilon \apply (t_1) = \SI{6}{\volt}, \epsilon \apply (t_2) = \SI{4,7}{\volt}, \epsilon \apply (t_3) = \SI{0,04}{\volt} \text{.} Odpowiadające powyższym wartościom natężenia prądu obliczymy, stosując prawo Ohma I  t 1 = ε  t 1 R = 6  V 10  Ω = 0,6  A  , I \apply (t_1) = \frac{\epsilon \apply (t_1)}{R} =\frac{\SI{6}{\volt}}{\SI{10}{\ohm}} = \SI{0,6}{\ampere} \text{,} I  t 2 = ε  t 2 R = 4,7  V 10  Ω = 0,47  A  , I \apply (t_2) = \frac{\epsilon \apply (t_2)}{R} =\frac{\SI{4,7}{\volt}}{\SI{10}{\ohm}} = \SI{0,47}{\ampere} \text{,} I  t 3 = ε  t 3 R = 0,04  V 10  Ω = 4 ⋅ 10 -3  A = 4  mA  . I \apply (t_3) = \frac{\epsilon \apply (t_3)}{R} =\frac{\SI{0,04}{\volt}}{\SI{10}{\ohm}} = \SI{4e-3}{\ampere} = \SI{4}{\milli\ampere} \text{.} Znaczenie Siła elektromotoryczna wytwarzana jest przez zmieniający się w czasie strumień magnetyczny. Aby obliczyć indukowaną SEM, wystarczy wykorzystać pochodną po czasie funkcji opisującej zmianę tego strumienia. Zmienne pole magnetyczne wewnątrz solenoidu Natężenie prądu płynącego przez uzwojenie solenoidu, zawierające n = 2000 zwojów na metr jego długości, zmienia się z szybkością d I ∕ d t = 3  A ∕ s (wiadomości dotyczące solenoidów znajdują się w Źródła pola magnetycznego ). Długość solenoidu wynosi 50  cm , a średnica jego przekroju poprzecznego jest równa 3  cm . Małą cewkę składającą się z N = 20 zwojów, ciasno zwiniętych w koło o średnicy 1  cm , umieszczono w centrum solenoidu w taki sposób, że płaszczyzna cewki jest prostopadła do jego podłużnej osi. Wyznaczmy SEM indukowaną w cewce. Przyjmijmy, że w przypadku tak umiejscowionej cewki solenoid można uważać za nieskończony. Strategia rozwiązania Pole magnetyczne w centrum solenoidu jest jednorodne, a wartość jego indukcji B = μ 0  n  I . Ponieważ linie pola magnetycznego są równoległe do podłużnej osi solenoidu, to strumień przenikający małą cewkę jest maksymalny. Zatem strumień magnetyczny przenikający cewkę jest iloczynem wartości indukcji pola magnetycznego solenoidu i pola powierzchni cewki. Prawo Faradaya zawiera pochodną po czasie strumienia magnetycznego. Obliczając tę pochodną, należy zauważyć, że jedyną wielkością zależną od czasu jest natężenie prądu – symbole pozostałych wielkości można wynieść przed operator różniczkowania. Ostateczną wartość SEM indukowanej w cewce otrzymamy po uwzględnieniu liczby zwojów cewki. Rozwiązanie Ponieważ wartość indukcji magnetycznej solenoidu B = μ 0  n  I , to strumień magnetyczny przecinający każdy ze zwojów małej cewki wynosi Φ B = μ 0  n  I ⋅ π  d 2 4  , gdzie d jest średnicą cewki. Na podstawie prawa Faradaya SEM indukowana w cewce jest równa ε = N  d Φ B d t = N  μ 0  n ⋅ n  d 2 4 ⋅ d I d t ε = 20 ⋅ 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2000  m -1 ⋅ π ⋅ 0,01  m 2 4 ⋅ 3  A ∕ s = 1,2 ⋅ 10 -5  V  . \begin{multiline} \abs{\epsilon} &= \abs{N \frac{\d \Phi_B}{\d t}} = \abs{N \mu_0 n \cdot \frac{nd^2}{4} \cdot \frac{\d I}{\d t}} \\ &= 20 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{2000}{\per\metre} \cdot \frac{\pi \cdot (\SI{0,01}{\metre})^2}{4} \cdot \SI{3}{\ampere\per\second} = \SI{1,2e-5}{\volt} \text{.} \end{multiline} ε = N  d Φ B d t = N  μ 0  n ⋅ n  d 2 4 ⋅ d I d t = 20 ⋅ 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2000  m -1 ⋅ π ⋅ 0,01  m 2 4 ⋅ 3  A ∕ s = 1,2 ⋅ 10 -5  V  . Znaczenie Włączenie prądu zasilającego pionowy solenoid, przedstawiony na , powoduje wzrost jego strumienia magnetycznego i powstanie w metalowym pierścieniu siły elektromotorycznej. Zaindukowana SEM przeciwdziała zmianie strumienia – w rezultacie pierścień zostaje wystrzelony pionowo w górę. Skaczący pierścień. Włączenie prądu zasilającego pionowy solenoid powoduje zaindukowanie się w metalowym pierścieniu prądu elektrycznego. Narastające pole magnetyczne solenoidu powoduje wyrzucenie pierścienia z solenoidu. Odwiedź stronę , aby obejrzeć demonstrację skaczącego pierścienia przygotowaną przez Instytut Technologiczny w Massachusetts ( Massachusetts Institute of Technology , MIT). Podsumowanie Reguła Lenza umożliwia określenie kierunków indukowanych pól magnetycznych, prądów oraz sił elektromotorycznych. Zgodnie z regułą Lenza kierunek indukowanej siły elektromotorycznej jest zawsze taki, że przeciwdziała ona zmianie strumienia magnetycznego, która tę siłę indukuje. Pytania Poniższy rysunek przedstawia okrągłe przewodzące pętle. Są one umieszczone współosiowo, równolegle względem siebie i prostopadle do płaszczyzny rysunku. Określ kierunek prądu indukowanego w pętli D po zamknięciu wyłącznika W; po otwarciu wyłącznika W. Patrząc od strony obwodu: a. Kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara; b. Kierunek przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Północny biegun magnesu porusza się w kierunku miedzianej pętli – jak przedstawiono na poniższym rysunku. Czy spoglądając na pętlę z góry, stwierdzimy, że zaindukowany w niej prąd krąży zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, czy przeciwnie? Poniższy rysunek przedstawia przewodzący pierścień w różnych fazach ruchu względem obszaru, w którym występuje pole magnetyczne. Określ kierunek SEM indukowanej w pierścieniu w każdej z pozycji przedstawionych na tym rysunku. Podczas wnikania dysku w obszar pola indukowana SEM wytwarza w nim prąd przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Dopóki dysk pozostaje w obszarze pola, strumień magnetyczny nie zmienia się i prąd nie płynie. Podczas opuszczania obszaru pola przez dysk indukowany w nim prąd jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Wykaż, że jednostki ε oraz d Φ B ∕ d t są takie same. Ustal kierunek indukowanego prądu w każdym z przypadków przedstawionych na poniższym rysunku. Przyjmij, że pierścień obserwowany jest od strony magnesu. Kierunki widziane od strony magnesu: a. oraz d. Przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara; b., c. oraz e. Zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara; f. Brak prądu. Zadania Wykonany z drutu pojedynczy zwój o promieniu 50  mm spoczywa na płaszczyźnie prostopadłej do jednorodnego przestrzennie pola magnetycznego. W odstępie czasu równym 0,1  s indukcja pola wzrosła liniowo od wartości 200  mT do 300  mT . Wyznacz SEM zaindukowaną w pętli; Określ kierunek prądu indukowanego w pętli, jeżeli pole magnetyczne zwrócone jest od płaszczyzny, na której ona spoczywa. a. 7,8 ⋅ 10 − 3  V ; b. Patrząc zgodnie z polem magnetycznym, kierunek prądu przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Po włączeniu pola magnetycznego strumień przenikający dwudziestozwojową cewkę zmienia się w czasie zgodnie z funkcją Φ B = 5  mWb ∕ s 2 ⋅ t 2 − 2  mWb ∕ s ⋅ t  , \Phi_B = \SI{5}{\milli\weber\per\second\squared} \cdot t^2 - \SI{2}{\milli\weber\per\second} \cdot t \text{,} przy czym t wyrażone jest w sekundach. Cewka znajduje się na poziomej płaszczyźnie, a wektor jednostkowy jej powierzchni zwrócony jest ku górze. Wyznacz zależność od czasu SEM indukowanej w cewce. Określ kierunek indukowanego prądu, gdy t = 0  s ; t = 0,1  s ; t = 1  s ; t = 2  s . Strumień magnetyczny przecinający pętlę przedstawioną na poniższym rysunku zmienia się w czasie zgodnie z funkcją Φ B = 2  mWb ⋅ sin 2  π ⋅ 60  s -1 ⋅ t  e − 3  s -1 ⋅ t  , \Phi_B = \SI{2}{\milli\weber} \cdot \sin(2\pi \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{60}{\per\second} \cdot t) e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{3}{\per\second} \cdot t} \text{,} przy czym t t wyrażone jest w sekundach. Określ wartość i kierunek natężenia prądu płynącego przez rezystor o wartości 5  Ω w chwili t = 0  s ; t = 2,17 ⋅ 10 − 2  s ; t = 3  s . a. 150  mA ku dołowi rysunku; b. 232  mA ku górze rysunku; c. 0,093  mA ku dołowi rysunku. Zastosuj regułę Lenza do określenia kierunku prądu indukowanego w każdym z poniższych przykładów. reguła Lenza (ang. Lenz’s law ) kierunek indukowanej siły elektromotorycznej jest taki, że siła ta przeciwdziała zmianie strumienia magnetycznego, który ją wytwarza; właściwość tę reprezentuje znak minus w prawie Faradaya

Science


Siła elektromotoryczna wywołana ruchem Wartość strumienia magnetycznego zależy od trzech czynników: wartości indukcji pola magnetycznego, wielkości powierzchni, którą przecinają linie tego pola, oraz orientacji linii pola względem tej powierzchni. Zatem zmiana którejkolwiek z tych wielkości spowoduje zmianę strumienia magnetycznego. Dotychczas rozważaliśmy jedynie przypadki, w których zmiana strumienia następowała wskutek zmiany wartości indukcji pola magnetycznego. Obecnie rozpatrzymy pozostałe możliwości: zmianę wielkości powierzchni przenikanej przez linie pola magnetycznego oraz zmianę orientacji danej powierzchni względem tego pola. Na przedstawiono przykłady tego rodzaju zmian. W części (a) strumień przenikający przez prostokątną ramkę wzrasta w miarę jej wnikania w obszar pola magnetycznego. W części (b) strumień przenikający obracającą się ramkę zmienia się wraz z kątem θ . (a) Strumień magnetyczny zmienia się w miarę wnikania ramki w obszar pola magnetycznego. (b) Strumień magnetyczny zmienia się na skutek obrotu ramki w polu magnetycznym. Warto zauważyć, że obserwowana przez nas przyczyna zmiany strumienia magnetycznego zależy od obranego układu odniesienia. Na przykład, będąc w spoczynku względem poruszających się ramek przedstawionych na , stwierdzilibyśmy, że zmiana strumienia magnetycznego następuje wskutek zmiany wartości indukcji pola. Wówczas w części (a) w naszym układzie współrzędnych pole przemieszcza się ze strony lewej na prawą, a w części (b) – pole magnetyczne się obraca. Zmianę strumienia magnetycznego, przenikającego cewkę poruszającą się w określonym układzie współrzędnych, możemy często opisać w innym układzie współrzędnych, w którym wspomniana cewka spoczywa, a zmienia się indukcja pola magnetycznego. Złożoność problemów związanych z opisem w takim układzie wykracza jednak poza ramy niniejszego podręcznika. Takich trudności możemy uniknąć, pozostając zawsze w tak zwanym laboratoryjnym układzie współrzędnych (będącym w spoczynku względem pomieszczenia laboratorium), w którym zmiany strumienia magnetycznego zachodzą na skutek zmiany indukcji pola lub zmiany przenikanej przez to pole powierzchni. Rozważmy obecnie przedstawiony na układ, w którym przewodzący pręt, umieszczony na przewodzących szynach, zamyka obwód elektryczny z rezystorem R . Ponieważ pręt może poruszać się swobodnie w kierunku poziomym, pole powierzchni ograniczonej przez obwód M N O P M \sep N \sep O \sep P zależy od położenia pręta i wynosi l  x . Zauważmy teraz, że powierzchnia obwodu jest prostopadła do linii pola magnetycznego. Zatem, obliczając wartość strumienia magnetycznego przenikającego tę powierzchnię, całkę w możemy zastąpić iloczynem wartości indukcji magnetycznej i pola powierzchni obwodu. Otrzymamy wówczas Φ B = B  l  x  . Ponieważ B i l są stałe, a wartość prędkości przewodzącego pręta v = d x ∕ d t , indukowaną SEM obliczymy, przekształcając prawo Faradaya ( ) do następującej postaci ε = − d Φ B d t = B  l  d x d t = B  l  v  . \abs{\epsilon} = \abs{- \frac{\d \Phi_B}{\d t}} = Bl \frac{\d x}{\d t} = Blv \text{.} Natężenie prądu indukowanego w obwodzie obliczymy, dzieląc SEM przez rezystancję w tym obwodzie I = B  l  v R  . Kierunek zaindukowanej SEM jest oczywiście zgodny z regułą Lenza, o czym możemy się przekonać, analizując . Powyższe obliczenia wywołanej ruchem siły elektromotorycznej nie dotyczą wyłącznie pręta poruszającego się po przewodzących szynach. Obierając za punkt wyjścia iloczyn wektorowy F → = q  v → × B → \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} , możemy bowiem wykazać, że prawo ε = − d Φ B ∕ d t pozostaje prawdziwe w przypadku dowolnej zmiany strumienia wywołanej ruchem przewodnika. W podrozdziale Prawo Faradaya stwierdziliśmy z kolei, że SEM indukowana zmiennym w czasie strumieniem magnetycznym opisana jest zależnością identyczną do wymienionej powyżej – zwaną prawem Faradaya. Zatem prawo Faradaya dotyczy dowolnej zmiany strumienia – wywołanej albo zmianą wartości indukcji pola magnetycznego, albo ruchem, albo też kombinacją tych czynników. Przewodzący pręt porusza się w prawo ze stałą prędkością. Wywołana jego ruchem zmiana strumienia magnetycznego indukuje w obwodzie prąd elektryczny. Rozważając zagadnienie z perspektywy zasady zachowania energii, zauważamy, że moc siły przyłożonej do pręta F → a jest równa F a  v , a moc tracona w rezystorze wynosi I 2  R . Ponieważ pręt porusza się ze stałą prędkością, to siła F a musi zrównoważyć siłę magnetyczną F = I  l  B F = IlB działającą na pręt przewodzący prąd o natężeniu I . Moc wytwarzana w obwodzie wynosi więc P = F a  v = I  l  B  v = B  l  v R ⋅ l  B  v = l 2  B 2  v 2 R  . Moc rozproszona wynosi z kolei P = I 2  R = B  l  v R 2  R = l 2  B 2  v 2 R  . Moc wytwarzana i moc tracona w układzie są równe, co oznacza spełnienie zasady zachowania energii. Na opisanej powyżej zasadzie działa tzw. działo szynowe (ang. rail gun ). Mianem tym określamy elektromagnetyczną wyrzutnię pocisków, której konstrukcję, podobną do układu z , przedstawia . Jak wynika z przedstawionego schematu, przewodzący pręt został zastąpiony przeznaczonym do wystrzelenia pociskiem (lub innym rodzajem amunicji). Zauważmy teraz, że dotychczas omawialiśmy SEM indukowaną ruchem. Jednak w przypadku działa szynowego spadek wartości strumienia w przestrzeni pomiędzy szynami wywołany jest szybkim wyłączaniem lub tłumieniem pola magnetycznego. Ów spadek strumienia indukuje prąd płynący w pręcie (zwanym zworą), do którego przytwierdzony jest pocisk. Przepływ prądu powoduje powstanie siły magnetycznej, która wypycha pręt ku przodowi działa. Działa szynowe nie są jednak szeroko stosowane w technice wojskowej. Przyczyną są wysokie koszty ich produkcji oraz wymagane duże natężenia prądów. Istotnie, by wytworzyć energię wystarczającą do skutecznej pracy działa jako broni, przez szyny powinien płynąć prąd o natężeniu bliskim miliona amperów! Prąd płynący w szynach wytwarza siłę magnetyczną wypychającą przewodzący pocisk. Stosując prawo Faradaya, indukowaną ruchem siłę elektromotoryczną (ang. motionally induced EMF ) możemy obliczyć nawet wtedy, gdy w polu magnetycznym nie występuje zamknięty obwód elektryczny. Musimy po prostu wyobrazić sobie pewną powierzchnię, której granice zawierają poruszający się przewodnik, obliczyć Φ B , a następnie, na podstawie prawa Faradaya, wyznaczyć SEM. Na przykład, zgodnie z , poruszający się pręt może stanowić jeden z boków wyimaginowanego prostokąta przedstawionego na tymże rysunku za pomocą linii przerywanych. Ponieważ powierzchnia prostokąta równa jest l  x , strumień magnetyczny Φ B = B  l  x . Różniczkując przytoczone równanie obustronnie po czasie, otrzymujemy d Φ B d t = B  l  d x d t = B  l  v  . \frac{\d \Phi_B}{\d t} = Bl \frac{\d x}{\d t} = Blv \text{.} Powyższe wyrażenie jest tożsame z wyprowadzonym wcześniej wzorem opisującym różnicę potencjałów pomiędzy końcami ruchomego pręta. Stosując wyimaginowany prostokąt, możemy wykorzystać prawo Faradaya do obliczenia wartości SEM indukowanej w poruszającym się pręcie. Wartości sił elektromotorycznych wywołanych ruchem w ziemskim polu magnetycznym nie są zwykle bardzo duże. W przeciwnym razie bylibyśmy w stanie zarejestrować napięcie indukowane w metalowym pręcie (na przykład śrubokręcie) podczas jego zwyczajnego ruchu. Na przykład w rezultacie prostych obliczeń SEM indukowanej w pręcie o długości 1  m , poruszającym się z szybkością 3  m ∕ s prostopadle do ziemskiego pola magnetycznego, otrzymujemy ε = B  l  v = 5 ⋅ 10 − 5  T ⋅ 1  m ⋅ 3  m ∕ s = 150  µV  . Powyższa niewielka wartość jest zgodna z wynikami licznych pomiarów. Istnieje jednak spektakularny wyjątek. W latach 1992 i 1996 prowadzono próby wykorzystania promu kosmicznego do wytwarzania znacznych sił elektromotorycznych. Wykorzystywano w tym celu satelitę, prowadzonego przez prom na przewodzącej uwięzi o długości 20  km – jak pokazano na . Przy prędkości orbitalnej w ziemskim polu magnetycznym otrzymywano wówczas SEM o wartości 5  kV . Indukowana SEM mogłaby być użyta do przetworzenia części energii kinetycznej i potencjalnej promu na energię elektryczną, o ile możliwe byłoby utworzenie zamkniętego obwodu elektrycznego. Funkcję ścieżki powrotnego przepływu prądu zamykającej obwód pełniła stacjonarna jonosfera. Przypomnijmy, że jonosferę tworzy atmosfera ziemska – rozrzedzona i częściowo zjonizowana na wysokościach orbitalnych (jej przewodnictwo elektryczne jest skutkiem procesu jonizacji). Jonosfera pełni tutaj funkcję analogiczną do roli nieruchomych szyn i zwory (rezystora) z – zamykających obwód elektryczny. Siła magnetyczna F = I  l  B  sin θ , będąca źródłem oporu stawianego prądowi płynącemu w kablu, wykonuje w tym eksperymencie pracę, która pomniejsza energię kinetyczną oraz potencjalną promu i umożliwia ich przemianę w energię elektryczną. Oba eksperymenty zakończyły się niepowodzeniem. W pierwszym z nich kabel zaplątał się i mógł zostać rozciągnięty zaledwie na odległość kilkuset metrów. W drugim kabel zerwał się tuż przed pełnym rozciągnięciem. Działanie satelity na uwięzi ilustruje . Wykorzystanie powodowanej ruchem siły elektromotorycznej jako źródła energii elektrycznej dla promów kosmicznych stało się zachętą do przeprowadzenia eksperymentu z satelitą na uwięzi. Przewidywano, że w uwięzi o długości 20  km , poruszającej się z prędkością orbitalną w ziemskim polu magnetycznym, zaindukuje się SEM o wartości 5  kV . Ścieżkę powrotnego przepływu prądu zamykającą obwód elektryczny miała tworzyć stacjonarna jonosfera. Obliczenie wartości SEM wywołanej ruchem obiektu na orbicie Obliczmy SEM indukowaną w przewodniku o długości 20  km , poruszającym się z prędkością orbitalną równą 7,8  km ∕ s prostopadle do ziemskiego pola magnetycznego o wartości indukcji 5 ⋅ 10 − 5  T . Strategia rozwiązania Jest to doskonały przykład wykorzystania równania na wartość SEM indukowanej ruchem: ε = B  l  v . Rozwiązanie Podstawiwszy powyższe dane do równania ε = B  l  v , otrzymujemy ε = B  l  v = 5 ⋅ 10 − 5  T ⋅ 2 ⋅ 10 4  m ⋅ 7,8 ⋅ 10 3  m ∕ s = 7,8 ⋅ 10 3  V  . Znaczenie Powyższa wartość przekraczająca 5  kV jest napięciem możliwym do osiągnięcia w omawianym eksperymencie. W rzeczywistości jednak orbitalny ruch uwięzi nie odbywa się prostopadle do pola magnetycznego Ziemi. Wartość 7,8  kV jest maksymalną SEM, odpowiadającą kątowi θ = 90 ° , gdy sin θ = 1 . Metalowy pręt obracający się w polu magnetycznym Część (a) przedstawia metalowy pręt O  S obracający się w płaszczyźnie poziomej wokół punktu O . Pręt ślizga się wzdłuż przewodu w kształcie łuku okręgu P  S  T , którego promień wynosi r . Układ znajduje się w stałym polu magnetycznym o indukcji B → , skierowanym od płaszczyzny rysunku. Przyjąwszy, że pręt obraca się ze stałą prędkością kątową ω , wyznaczmy natężenie prądu I w zamkniętej pętli O  P  S  O . Przyjmijmy, że rezystor R reprezentuje całkowitą rezystancję tej pętli. Obliczmy pracę wykonaną w jednostce czasu do obrócenia pręta i wykażmy, że jest ona równa mocy traconej w rezystorze. (a) Koniec obracającego się w płaszczyźnie poziomej metalowego pręta ślizga się wzdłuż przewodu w kształcie łuku okręgu. (b) Kierunek prądu indukowanego w pręcie. (c) Siła magnetyczna działająca na infinitezymalny fragment prądu. Strategia rozwiązania Strumień magnetyczny równy jest iloczynowi wartości indukcji pola magnetycznego i pola powierzchni zakreślonego przez pręt O  S (część (a) ) przy obrocie o kąt θ ( S = r 2  θ ∕ 2 ). Obliczając SEM z prawa Faradaya, zauważmy, że wszystkie wielkości poza kątem θ nie zależą od czasu i że ω = d θ ∕ d t . Pamiętajmy, że praca wykonana w jednostce czasu zależy od iloczynu momentu siły i prędkości kątowej. Moment siły wyznaczymy, określając siłę działającą na element pręta i obliczając całkę tej siły po całej jego długości. Rozwiązanie Z geometrii układu wynika, że pole powierzchni pętli O  P  S  O wynosi S = r 2  θ ∕ 2 . Zatem strumień pola magnetycznego przenikającego pętlę określony jest wyrażeniem Φ B = B  S = B  r 2  θ 2  . Obliczając pochodną po czasie i podstawiając ω = d θ ∕ d t , otrzymujemy ε = − d Φ B d t = B  r 2  ω 2  . \abs{\epsilon} = \abs{-\frac{\d \Phi_B}{\d t}} = B \frac{r^2 \omega}{2} \text{.} Podzieliwszy powyższe wyrażenie przez rezystancję R , wyznaczymy natężenie indukowanego w niej prądu I = ε R = B  r 2  ω 2  R  . I = \frac{\abs{\epsilon}}{R} = B \frac{r^2 \omega}{2R} \text{.} Ze wzrostem kąta θ wzrasta strumień wektora indukcji magnetycznej B → przez powierzchnię pętli. Aby przeciwdziałać temu wzrostowi, pole magnetyczne wytworzone przez zaindukowany prąd w obszarze ograniczonym pętlą musi być zwrócone do płaszczyzny rysunku. Zatem, jak przedstawiono na (b), prąd płynie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Ruch obrotowy pręta wywołany jest działającym nań momentem siły. Ponieważ pręt obraca się ze stałą prędkością kątową, ów moment siły jest równy co do wartości i przeciwnie skierowany do momentu siły magnetycznej. Siła magnetyczna działa na prąd płynący w pręcie wskutek umieszczenia go w zewnętrznym polu magnetycznym. Wartość tej siły w odniesieniu do infinitezymalnego odcinka o długości d x , przedstawionego w części (c) , wynosi d F = I  B  d x \d F = IB \d x . Wartość momentu siły magnetycznej działającego na ów odcinek opisuje zatem wyrażenie d M B = x  d F = I  B  x  d x  . \d M_B = x \d F = IBx \d x \text{.} Całkowity moment siły magnetycznej działający na pręt wynosi więc M B = ∫ 0 r d M B = I  B  ∫ 0 r x  d x = 1 2  I  B  r 2  . M_B = \int_0^r \d M_B = IB \int_0^r x \d x = \frac{1}{2} IBr^2 \text{.} Moment siły obracający pręt jest równy co do wartości i przeciwnie skierowany do momentu siły M B M_B , a praca wykonana przy obrocie pręta o kąt d θ wynosi M  d θ . Zatem pracę wykonaną nad prętem w jednostce czasu opisuje wzór d W d t = M  d θ d t = 1 2  I  B  r 2 ⋅ d θ d t = 1 2 ⋅ B  r 2  ω 2  R  B  r 2 ⋅ ω = B 2  r 4  ω 2 4  R  . \frac{\d W}{\d t} = M \frac{\d \theta}{\d t} = \frac{1}{2} IBr^2 \cdot \frac{\d \theta}{\d t} = \frac{1}{2} \cdot B\frac{r^2\omega}{2R} Br^2 \cdot \omega = \frac{B^2r^4\omega^2}{4R} \text{.} Moc rozproszona w rezystorze wynosi z kolei P = I 2  R , a więc P = B  r 2  ω 2  R 2  R = B 2  r 4  ω 2 4  R  . Widzimy zatem, że P = d W d t  . P = \frac{\d W}{\d t} \text{.} Moc rozproszona w rezystorze jest więc równa pracy, jaką w jednostce czasu należy wykonać, aby obrócić pręt. Znaczenie Alternatywnym sposobem obliczenia wartości indukowanej SEM przy wykorzystaniu prawa Faradaya jest zastąpienie całkowania po czasie całkowaniem po zmiennej przestrzennej, przy czym wynik obliczeń nie ulega zmianie. W tym celu zauważmy, że bezwzględna wartość indukowanej ruchem SEM wynosi ε = ∫ B  v  d l  . W powyższej całce prędkość v można zastąpić iloczynem prędkości kątowej i promienia wodzącego. Zastępując elementarną długość pręta przez d r , otrzymujemy ε = B  ∫ 0 l v  d r = B  ω  ∫ 0 l r  d r = 1 2  B  ω  l 2  , \abs{\epsilon} = B \int_0^l v \d r = B\omega \int_0^l r \d r = \frac{1}{2} B \omega l^2 \text{,} a więc wynik jest zgodny z uzyskanym uprzednio. Prostokątna cewka obracająca się w polu magnetycznym Prostokątną cewkę o powierzchni S , składającą się z N zwojów, umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B → = B  j ̂ , co przedstawia . Cewka obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół osi z , przechodzącej przez jej środek. Wyprowadźmy wyrażenie opisujące SEM indukowaną w tej cewce. Prostokątna cewka obracająca się w jednorodnym polu magnetycznym. Strategia rozwiązania Zgodnie z rysunkiem kąt pomiędzy normalną do powierzchni cewki (wektor n ̂ ) a wektorem indukcji pola magnetycznego B → wynosi θ . Ponieważ wektor B → rzutuje się na wektor jednostkowy powierzchni n ̂ , iloczyn skalarny B → ⋅ n ̂ można zastąpić składową wektora indukcji, zależną od cosinusa kąta θ . Wartości indukcji magnetycznej i pole powierzchni pętli są stałe w czasie, co upraszcza i przyspiesza całkowanie. Indukowaną SEM oblicza się na podstawie prawa Faradaya. Rozwiązanie Gdy cewka ustawiona jest tak, że kąt pomiędzy wektorem normalnym n ̂ a wektorem indukcji magnetycznej B → wynosi θ , strumień magnetyczny przez pojedynczy zwój tej cewki wynosi Φ B = ∬ S B → ⋅ n ̂  d S = B  S  cos θ  . \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot \hat{n} \d S = BS \cos \theta \text{.} Na podstawie prawa Faradaya SEM indukowana w cewce równa jest ε = − N  d Φ B d t = N  B  S  sin θ ⋅ d θ d t  . \epsilon = - N \frac{\d \Phi_B}{\d t} = NBS \sin \theta \cdot \frac{\d \theta}{\d t} \text{.} Stałą w czasie prędkość kątową określa zależność ω = d θ ∕ d t . Kąt θ zmienia się w czasie zgodnie z funkcją ω  t . Zmianę kąta można zatem zastąpić wyrażeniem ω  d t . W rezultacie indukowana SEM zmienia się sinusoidalnie w czasie zgodnie z zależnością ε = ε 0  sin ω  t  , w której ε 0 = N  B  S  ω . Znaczenie Jeżeli wartości indukcji magnetycznej bądź pole powierzchni pętli byłyby również zależne od czasu, symboli ich nie można byłoby wynieść przed symbol różniczkowania. Rezultat obliczeń byłby wówczas bardziej skomplikowany niż przedstawione powyżej rozwiązanie. Warto wspomnieć, że podany przykład ilustruje zasadę działania generatora elektrycznego. Wyczerpujące omówienie problemu zawiera rozdział Zastosowania praw Newtona . Sprawdź, czy rozumiesz. Poniższy rysunek przedstawia pręt o długości l , obracający się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara wokół osi przechodzącej przez punkt O . Obrót pręta wywołany jest momentem siły m  g → . Założywszy, że pręt znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B → oraz że jego prędkość kątowa wynosi ω , oblicz SEM indukowaną pomiędzy jego końcami. Który z końców pręta ma wyższy potencjał? ε = B  l 2  ω ∕ 2 . Potencjał punktu O jest wyższy niż potencjał punktu S . Sprawdź, czy rozumiesz. Pręt o długości 10  cm porusza się z szybkością 10  m ∕ s , prostopadle do pola magnetycznego o indukcji 1,5  T . Oblicz różnicę potencjałów pomiędzy końcami tego pręta. 1,5  V . Podsumowanie Siła elektromotoryczna ε , indukowana w przewodzie poruszającym się ze stałą prędkością v w polu magnetycznym, którego indukcja ma wartość B , określona jest formułą ε = B  l  v . Generowana ruchem siła elektromotoryczna, przeciwstawiająca się zmianie strumienia magnetycznego, jest źródłem indukowanej SEM, którą opisuje prawo Faradaya. Pytania Magnes sztabkowy spada swobodnie pod wpływem siły ciężkości – wzdłuż osi długiej rury wykonanej z miedzi. Pomijając opór powietrza, rozstrzygnij, czy istnieje jakakolwiek siła, która przeciwdziałałaby spadkowi magnesu. Jeżeli tak – czy magnes osiągnie prędkość graniczną, przy której siła grawitacji zrównoważy tę siłę? Wokół geograficznego bieguna północnego (lub południowego bieguna magnetycznego) linie ziemskiego pola magnetycznego są niemal pionowe. Założywszy, że samolot w tym regionie leci na północ, rozstrzygnij, która część jego skrzydła naładuje się dodatnio, a które ujemnie. Ładunki dodatnie zgromadzą się na zachodniej części skrzydła (po lewej stronie pilota), podczas gdy ładunki ujemne zostaną wypchnięte do wschodniej części skrzydła (po prawej stronie pilota). W rezultacie końce lewej części skrzydła naładują się dodatnio, a prawej części – ujemnie. Pętla wykonana z drutu przesuwa się (nie wykonując ruchu obrotowego) w jednorodnym polu magnetycznym. Czy w pętli zaindukuje się siła elektromotoryczna? Zadania Samochód wyposażony w antenę o długości 1  m jedzie z prędkością równą 100  km ∕ h w rejonie, w którym pozioma składowa indukcji ziemskiego pola magnetycznego ma wartość 5,5 ⋅ 10 − 5  T . Jaka jest maksymalna możliwa wartość SEM indukowanej w antenie wskutek ruchu samochodu? 0,0015  V . Przedstawiona na poniższym rysunku prostokątna pętla składająca się z N zwojów porusza się w prawo ze stałą szybkością v → , opuszczając bieguny wielkiego elektromagnesu. Założywszy, że pole magnetyczne między nabiegunnikami tego elektromagnesu jest jednorodne i pomijalne poza nimi, wyznacz SEM zaindukowaną w pętli; Co wykonuje pracę, której skutkiem jest ta SEM? Załóżmy, że pole magnetyczne z poprzedniego zadania oscyluje w czasie zgodnie z zależnością B = B 0  sin ω  t . Jaka będzie SEM indukowana w pętli, jeżeli jej przedni bok znajduje się w odległości d od prawej granicy obszaru pola magnetycznego? ε = − B 0  l  d  ω  cos ω  t . Powierzchnia cewki o 1000 zwojów wynosi 25  cm 2 . Cewka ta w czasie równym 0,01  s zostaje obrócona z położenia, w którym jej płaszczyzna była prostopadła do ziemskiego pola magnetycznego, do położenia, w którym płaszczyzna ta jest równoległa do pola Ziemi. Przyjmując, że wartość ziemskiej indukcji magnetycznej wynosi 6 ⋅ 10 − 5  T , oblicz średnią wartość SEM zaindukowanej w tej cewce. W obwodzie elektrycznym przedstawionym na poniższym rysunku pręt ślizga się ze stałą prędkością v → wzdłuż przewodzących szyn. Wektor prędkości znajduje się w płaszczyźnie szyn, a jego kierunek tworzy z szynami kąt θ . Jednorodne pole magnetyczne o indukcji B → zwrócone jest od płaszczyzny rysunku. Określ SEM zaindukowaną w tym pręcie. ε = B  l  v  cos θ . Pokazany na poniższym rysunku pręt porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji B = 0,5  T ze stałą prędkością o wartości v = 8  m ∕ s . Oblicz różnicę potencjałów między końcami tego pręta. Który z końców pręta ma wyższy potencjał? Pręt o długości 25  cm porusza się z prędkością 5  m ∕ s w płaszczyźnie prostopadłej do pola magnetycznego o indukcji 0,25  T . Pręt, wektor prędkości oraz wektor indukcji magnetycznej są do siebie wzajemnie prostopadłe, co przedstawiono na poniższym rysunku. Oblicz wartość siły magnetycznej oddziałującej na elektron w pręcie; natężenie pola elektrycznego w pręcie; różnicę potencjałów między końcami pręta; wartość prędkości pręta, jeżeli wymieniona różnica potencjałów wynosi 1  V . a. 2 ⋅ 10 -19  N \SI{2e-19}{\newton} ; b. 1,25  V ∕ m ; c. 0,3125  V ; d. 16  m ∕ s . Rezystancja przypadająca na jednostkę długości przedstawionych na załączonym rysunku: szyn, zwory łączącej ich końce oraz ruchomego pręta wynosi 2  Ω ∕ cm . Pręt porusza się w lewo z szybkością v = 3  m ∕ s . Przyjmując, że obwód ten znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = 0,75  T , oblicz natężenie prądu w obwodzie, gdy a = 8  cm ; a = 5  cm . Określ także kierunek przepływu tego prądu. Przedstawiony poniżej pręt porusza się w prawo z szybkością v = 3  m ∕ s po szynach o zerowym oporze elektrycznym. Zakładając, że obwód ten znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = 0,75  T , oblicz natężenie prądu płynącego przez pięcioomowy rezystor. Rozstrzygnij, czy prąd ten płynie w kierunku zgodnym z kierunkiem, czy przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. 0,018  A , kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Poniższy rysunek przedstawia przewodzący pręt ślizgający się po metalowych szynach. Urządzenie umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 0,25  T zwróconym do płaszczyzny tego rysunku. Przyłożona do pręta siła F → powoduje, że porusza się on w prawo ze stałą prędkością równą 5  m ∕ s . Założywszy, że jedyną rezystancję w tym obwodzie stanowi dwuomowy rezystor widoczny na rysunku, oblicz SEM zaindukowaną w obwodzie; natężenie indukowanego prądu, określając, czy płynie on zgodnie z kierunkiem ruchu, czy przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara; wartość siły F → ; moc siły F → oraz moc rozproszoną w rezystorze. indukowana ruchem siła elektromotoryczna (ang. motionally induced EMF ) napięcie wytwarzane na skutek ruchu przewodnika w polu magnetycznym

Science


Indukowane pola elektryczne Fakt indukowania się sił elektromotorycznych w obwodach elektrycznych oznacza, że nad swobodnymi elektronami w przewodach została wykonana praca. Co może wykonać tę pracę? Wiemy już, że nie jest to ani bateria elektryczna, ani pole magnetyczne. Obecność baterii w obwodzie nie jest bowiem konieczna, aby zaindukować w nim prąd elektryczny. Pola magnetyczne z kolei nigdy nie wykonują pracy nad poruszającymi się ładunkami elektrycznymi. Odpowiedź na powyższe pytanie brzmi: pracę nad elektronami wykonuje pole elektryczne E → indukowane w przewodach. To praca wykonana przez pole E → w celu pełnego obiegu jednostkowego ładunku elektrycznego w zamkniętym obwodzie równa jest indukowanej SEM ε = ∮ E → ⋅ d l →  , przy czym całkowanie przebiega po konturze wokół obwodu elektrycznego. Stosując pojęcie indukowanego pola elektrycznego (ang. induced electric field ), prawo Faradaya możemy zapisać w postaci ∮ E → ⋅ d l → = − d Φ B d t  . \oint \vec{E} \cdot \d \vec{l} = - \frac{\d \Phi_B}{\d t} \text{.} Pomiędzy polem elektrycznym indukowanym zmiennym strumieniem magnetycznym a polem elektrostatycznym wytwarzanym przez stacjonarny rozkład ładunku występuje jednak istotna różnica. Indukowane pole elektryczne nie jest bowiem zachowawcze, ponieważ wypadkowa praca tego pola nad przemieszczeniem ładunku po zamkniętym konturze jest niezerowa. Pole elektrostatyczne jest z kolei zachowawcze, gdyż jego praca po zamkniętym konturze jest równa zero. Zatem potencjał elektryczny można określić jedynie dla pól elektrostatycznych; nie można go zdefiniować dla elektrycznych pól indukowanych. Różnicę pomiędzy wymienionymi dwoma typami pól elektrycznych ilustrują poniższe równania ∮ E → ⋅ d l → ≠ 0  V  , pole indukowane, ∮ E → ⋅ d l → = 0  V  , pole elektrostatyczne. \begin{matrix} \oint \vec{E} \cdot \d \vec{l} \neq \SI{0}{\volt}\text{,} &\text{ pole indukowane,} \\ \oint \vec{E} \cdot \d \vec{l} = \SI{0}{\volt}\text{,} &\text{ pole elektrostatyczne.} \end{matrix} Wyniki naszych rozważań możemy podsumować, łącząc przedstawione wyżej równania ε = ∮ E → ⋅ d l → = − d Φ B d t  . \epsilon = \oint \vec{E} \cdot \d \vec{l} = - \frac{\d \Phi_B}{\d t} \text{.} Pole elektryczne indukowane w kołowej cewce Wyznaczmy wartości natężenia pola elektrycznego indukowanego w cewce z i w trzech podanych w nich chwilach czasu. Strategia rozwiązania Z uwagi na walcową symetrię problemu całka z natężenia pola elektrycznego upraszcza się do iloczynu wartości tego natężenia i długości obwodu koła. Ponieważ znamy już indukowaną SEM, natężenie indukowanego pola elektrycznego wyznaczymy, wiążąc wyrażenie na SEM ze wspomnianą całką poprzez prawo Faradaya. Rozwiązanie Wartość natężenia pola elektrycznego indukowanego w cewce jest stała na danej powierzchni cylindrycznej. Postawione zadanie możemy zatem rozwiązać analogicznie do problemu prawa Ampère’a dla przypadku cylindrycznych przewodników. Ponieważ wektor E → jest styczny do cewki, to ∮ E → ⋅ d l → = ∮ E  d l = 2  π  r  E  . Z powyższego wyrażenia, po uwzględnieniu , otrzymujemy E = ε 2  π  r  . Kierunek siły elektromotorycznej ε jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara; także w tym kierunku krąży wokół cewki wektor natężenia pola E → . Wartości natężenia pola E są następujące E  t 1 = 6  V 2  π ⋅ 0,5  m = 1,9  V ∕ m  , E \apply (t_1) = \frac{\SI{6}{\volt}}{2\pi \cdot \SI{0,5}{\metre}} = \SI{1,9}{\volt\per\metre} \text{,} E  t 2 = 4,7  V 2  π ⋅ 0,5  m = 1,5  V ∕ m  , E \apply (t_2) = \frac{\SI{4,7}{\volt}}{2\pi \cdot \SI{0,5}{\metre}} = \SI{1,5}{\volt\per\metre} \text{,} E  t 3 = 0,04  V 2  π ⋅ 0,5  m = 0,013  V ∕ m  . E \apply (t_3) = \frac{\SI{0,04}{\volt}}{2\pi \cdot \SI{0,5}{\metre}} = \SI{0,013}{\volt\per\metre} \text{.} Znaczenie Zmiana strumienia magnetycznego przenikającego obwód elektryczny indukuje w nim niezachowawcze pole elektryczne. Pole elektryczne wywołuje w tymże obwodzie przepływ prądu elektrycznego. Powstaje jednak pytanie, czy niezachowawcze pole elektryczne zostanie zaindukowane, gdy d B ∕ d t = 0  T ∕ s i gdy obwód elektryczny, na który oddziałuje to pole, nie zostanie zamknięty. W wymienionym przypadku zagadnienie należy rozpatrywać tak, jakby obwód był zamknięty. Pola niezachowawcze indukują się bowiem zawsze, jeśli tylko d Φ B ∕ d t ≠ 0  Wb ∕ s \d \Phi_B / \d t \neq \SI{0}{\weber\per\second} , niezależnie od tego, czy obwód elektryczny jest zamknięty, czy otwarty. Elektryczne pola niezachowawcze zawsze spełniają . Na przykład po usunięciu kołowej cewki przedstawionej na pole elektryczne występujące w punkcie swobodnej przestrzeni odległym o r = 0,5  m pozostanie zwrócone przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara, a wartość jego natężenia nadal będzie wynosiła 1,9  V ∕ m przy t = 0  s , 1,5  V ∕ m przy t = 5 ⋅ 10 − 2  s itd. Występowanie indukowanych pól elektrycznych nie jest więc ograniczone do przypadków przewodów w obwodach elektrycznych. Pole elektryczne indukowane zmianą pola magnetycznego solenoidu Część (a) przedstawia długi solenoid o promieniu R , zawierający n zwojów na jednostkę długości. Natężenie prądu w tym solenoidzie maleje w czasie, zgodnie z funkcją I = I 0  e − α  t . Wyznaczmy wartość natężenia indukowanego pola elektrycznego w punkcie odległym o r od centralnej osi solenoidu, jeżeli r > R ; r < R (por. część (b) ). Określmy kierunek pola indukowanego w obu przypadkach. Załóżmy, że w obszarze, w którym rozpatrujemy pole, słuszne jest przybliżenie nieskończenie długiego solenoidu. (a) Natężenie prądu w długim solenoidzie maleje wykładniczo z czasem. (b) Przekrój poprzeczny solenoidu widziany od jego lewej strony. Przekrój wykonano w pobliżu środka solenoidu. Zauważmy, że pole elektryczne indukuje się wewnątrz i na zewnątrz solenoidu. Strategia rozwiązania Korzystając z formuły opisującej indukcję pola magnetycznego we wnętrzu nieskończonego solenoidu oraz z prawa Faradaya, obliczymy wartość indukowanej SEM. Z uwagi na cylindryczną symetrię problemu całka z natężenia pola elektrycznego upraszcza się do iloczynu wartości tego natężenia i długości obwodu konturu całkowania. Następnie, korzystając z otrzymanych wyników, wyznaczymy poszukiwane natężenie pola. Rozwiązanie Obszar występowania pola magnetycznego jest ograniczony do wnętrza solenoidu, przy czym wartość indukcji tego pola wynosi B = μ 0  n  I = μ 0  n  I 0  e − α  t  . Zatem strumień magnetyczny przenikający przez kołowy kontur całkowania, którego promień r jest większy od promienia solenoidu R , wynosi Φ B = B  S = μ 0  n  I 0  π  R 2  e − α  t  . Wektor natężenia indukowanego pola elektrycznego E → jest styczny do konturu całkowania. Z uwagi na cylindryczną symetrię układu wartość natężenia pola jest stała wzdłuż tego konturu. Otrzymujemy zatem ∮ E → ⋅ d l → = − d Φ B d t  , E ⋅ 2  π  r = − d d t μ 0  n  I 0  π  R 2  e − α  t = α  μ 0  n  I 0  π  R 2  e − α  t  , E = α  μ 0  n  I 0  R 2 2  r  e − α  t  , dla  r > R  . \begin{align} \abs{\oint \vec{E} \cdot \d \vec{l}} &= \abs{- \frac{\d \Phi_B}{\d t}} \text{,} \\ E \cdot 2\pi r &= \abs{- \dd{t} (\mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t})} = \alpha \mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t} \text{,} \\ E &= \frac{\alpha \mu_0 n I_0 R^2}{2r}e^{-\alpha t} \text{, dla } r>R \text{.} \end{align} W przypadku konturu całkowania o promieniu r mniejszym od promienia solenoidu strumień pola magnetycznego Φ B = B  π  r 2 . Zatem E ⋅ 2  π  r = − d d t μ 0  n  I 0  π  r 2  e − α  t = α  μ 0  n  I 0  π  r 2  e − α  t  , E \cdot 2\pi r = \abs{- \dd{t} (\mu_0 n I_0 \pi r^2 e^{-\alpha t})} = \alpha \mu_0 n I_0 \pi r^2 e^{-\alpha t} \text{,} a wartość natężenia indukowanego pola w odnośnym punkcie wynosi E = α  μ 0  n  I 0  r 2  e − α  t  , dla  r < R  . E = \frac{\alpha \mu_0 n I_0 r}{2} e^{-\alpha t} \text{, dla } r<R \text{.} Pole magnetyczne zwrócone jest do płaszczyzny rysunku, jak pokazano w jego części (b). Jeżeli którykolwiek z kołowych konturów całkowania pokrywałby się z przewodzącymi pierścieniami, kierunki indukowanych w nich prądów, zgodnie z regułą Lenza, byłyby tożsame ze wskazanymi na rysunku. Kierunek indukowanego pola elektrycznego byłby identyczny. Znaczenie W części (b) zadania zauważmy, że moduł wektora natężenia pola E E wewnątrz solenoidu rośnie wraz z odległością r od jego osi i maleje jak 1 ∕ r na zewnątrz tegoż solenoidu, jak pokazano na . Wartość natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości r od osi solenoidu. Jeżeli r < R , to natężenie pola elektrycznego rośnie liniowo; gdy r > R , to natężenie pola maleje proporcjonalnie do wartości 1 ∕ r . Sprawdź, czy rozumiesz. Przyjmij, że cewka występująca w nie jest kołowa, lecz ma kształt kwadratu. Rozstrzygnij, czy równanie można wykorzystać do obliczenia indukowanej SEM; wartości natężenia indukowanego pola elektrycznego. a. Tak; b. Tak, jednak ze względu na brak symetrii pomiędzy polem elektrycznym a kształtem cewki funkcja występująca pod całką ∮ E → ⋅ d l → będzie bardziej skomplikowana i nie będzie mogła być uproszczona w sposób podany w odnośnym przykładzie. Sprawdź, czy rozumiesz. Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego z w chwili t = 0  s , jeżeli r = 6  cm , R = 2  cm , n = 2000 zwojów na metr, I 0 = 2  A oraz α = 200  s − 1 . 3,4 ⋅ 10 − 3  V ∕ m . Sprawdź, czy rozumiesz. Przedstawione na poniższym rysunku zmienne w czasie pole magnetyczne jest ograniczone do widocznego na nim cylindrycznego obszaru. Wskaż kontury całkowania, wzdłuż których ε = ∮ E → ⋅ d l → ≠ 0  V . P 1 , P 2 , P 4 . Sprawdź, czy rozumiesz. Długi solenoid o polu przekroju poprzecznego równym 5  cm 2 został nawinięty z gęstością wynoszącą 25 zwojów na centymetr jego długości. Solenoid ten umieszczono w środku nawiniętej ściśle cewki o promieniu 25  cm , utworzonej z 10 ciasno nawiniętych zwojów przewodu – jak przedstawiono na poniższym rysunku. Oblicz SEM indukowaną w cewce, jeżeli natężenie prądu w solenoidzie maleje z szybkością d I ∕ d t = − 0,2  A ∕ s ; Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego indukowanego w cewce. a. 3,1 ⋅ 10 − 6  V ; b. 2 ⋅ 10 − 7  V ∕ m . Podsumowanie Zmieniający się strumień magnetyczny indukuje pole elektryczne. Zmieniający się strumień magnetyczny oraz indukowane pole elektryczne wiąże, opisana prawem Faradaya, indukowana siła elektromotoryczna. Pytania Czy praca, którą należy wykonać, aby znajdującemu się w polu magnetycznym spoczywającemu prętowi nadać prędkość v , jest większa niż odpowiadająca tej prędkości energia kinetyczna pręta? Dlaczego? Wartość pracy przewyższa wartość energii kinetycznej pręta o wartość pracy wykonanej w celu przeciwdziałania indukowanej SEM. Przedstawiony na poniższym rysunku miedziany arkusz umieszczono częściowo w polu magnetycznym. Przemieszczanie arkusza w prawo powoduje powstanie siły przeciwdziałającej temu ruchowi i ciągnącej ten arkusz w lewo. Wyjaśnij, jaki efekt wywoła przemieszczanie arkusza w lewo. Zadania Cewkę składającą się z 50 zwojów o średnicy 15  cm umieszczono w przestrzennie jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji 0,5  T w taki sposób, że jej płaszczyzna jest prostopadła do linii tego pola. Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego indukowanego w cewce, przyjmując, że indukcja pola magnetycznego maleje do zera w czasie równym 0,1  s . Założ, że pole magnetyczne ma symetrię cylindryczną względem podłużnej osi cewki. 4,67  V ∕ m . Pole magnetyczne przenikające prostopadle kołową pętlę o promieniu 10  cm zmienia się w czasie w sposób przedstawiony na załączonym rysunku. Zakładając walcową symetrię indukowanego pola elektrycznego względem centralnej osi cewki, narysuj wykres jego natężenia w funkcji czasu. Natężenie prądu I w długim solenoidzie o promieniu R , którego liczba zwojów na metr długości wynosi n , zmienia się w czasie zgodnie z pochodną d I ∕ d t . Wyznacz wartość natężenia indukowanego pola elektrycznego w funkcji odległości r od podłużnej osi tego solenoidu. Wewnątrz solenoidu: B = μ 0  n  I oraz ∮ E → ⋅ d l → = π  r 2  μ 0  n ⋅ d I ∕ d t \oint \vec{E} \cdot \d \vec{l} = \pi r^2 \mu_0 n \cdot \d I / \d t , więc E = μ 0  n  r ∕ 2 ⋅ d I ∕ d t E = \mu_0 nr/2 \cdot \d I / \d t . Na zewnątrz solenoidu: E ⋅ 2  π  r = π  R 2  μ 0  n ⋅ d I ∕ d t E \cdot 2\pi r = \pi R^2 \mu_0 n \cdot \d I / \d t , więc E = μ 0  n  R 2 ∕ 2  r ⋅ d I ∕ d t . Oblicz wartość natężenia indukowanego pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz solenoidu z poprzedniego zadania, jeżeli I = I 0  sin ω  t . W przedstawionym na poniższym rysunku kołowym obszarze o promieniu R panuje przestrzennie jednorodne pole magnetyczne o indukcji B → . W chwili t = 0  s wartość indukcji tego pola B = 1  T , przy czym w czasie 30  s maleje ona do zera ze stałą szybkością. Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego w obszarach, w których r ≤ R oraz r > R r > R w odnośnym 30-sekundowym przedziale czasu; Zakładając, że R = 10  cm , oblicz pracę wykonaną przez pole elektryczne do jednokrotnego przemieszczenia protonu po obwodzie okręgu o promieniu 5  cm , zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara; Jaką pracę musi wykonać pole elektryczne, aby jednokrotnie przemieścić proton po obwodzie okręgu o dowolnym promieniu r > R r > R w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara? Przyjmijmy, że w chwili, w której B = 0,5  T , proton poruszający się z prędkością v = 5 ⋅ 10 6  m ∕ s wpada w punkcie A w obszar pola magnetycznego przedstawionego na poniższym rysunku. Oblicz wartości sił: elektrycznej i magnetycznej, działających na proton w tej chwili. a. E wew = r ∕ 2 ⋅ d B ∕ d t E_{\text{wew}} = r/2 \cdot \d B / \d t , E zew = R 2 ∕ 2  r ⋅ d B ∕ d t E_{\text{zew}} = R^2/(2r) \cdot \d B / \d t ; b. W = 4,19 ⋅ 10 − 23  J ; c. W = − π  R 2  e ⋅ d B ∕ d t = 1,05 ⋅ 10 -21  J W = -\pi R^2 e \cdot \d B / \d t = \SI{1,05e-21}{\joule} ; d. F m = 4 ⋅ 10 -13  N F_{\text{m}} = \SI{4e-13}{\newton} , F e = 2,7 ⋅ 10 -22  N F_{\text{e}} = \SI{2,7e-22}{\newton} . Wartość indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie wewnątrz cylindrycznego obszaru przedstawionego na poniższym rysunku maleje od 1  T do zera w czasie 20  s . Wyznacz kierunek i wartość wektora natężenia pola elektrycznego w funkcji r , tj. odległości od geometrycznego środka tego obszaru. Natężenie prądu w długim solenoidzie o promieniu 3  cm zmienia się w czasie z szybkością 2  A ∕ s 2 \si{\ampere\per\second} . Solenoid ten otoczony jest kołową pętlą przewodu o promieniu 5  cm i rezystancji 2  Ω . Oblicz natężenie prądu indukowanego w tej pętli. 7,1  µA . Natężenie prądu w długim solenoidzie o średnicy 3  cm nawiniętym z gęstością 20 zwojów na centymetr długości zmienia się w czasie z szybkością 2  A ∕ s 2 \si{\ampere\per\second} . Oblicz natężenie pola elektrycznego w odległości 4  cm od środka tego solenoidu. indukowane pole elektryczne (ang. induced electric field ) pole wytworzone przez zmieniający się w czasie strumień magnetyczny

Science


Prądy wirowe Z informacji zamieszczonych w podrozdziale Siła elektromotoryczna wywołana ruchem wiadomo, że wywołana ruchem siła elektromotoryczna indukuje się, gdy przewodnik przemieszcza się w polu magnetycznym albo gdy pole magnetyczne porusza się względem przewodnika. Prąd wywołany w przewodniku przez wspomnianą SEM nazywamy prądem wirowym (ang. eddy current ). Tłumienie magnetyczne Prądy wirowe mogą być źródłem znacznego oporu przeciw wywołującemu je ruchowi. Zjawisko to nazywane jest tłumieniem magnetycznym (ang. magnetic damping ). Rozpatrzmy teraz przedstawiony na ciężarek wahający się między biegunami silnego magnesu (jest to kolejna z bardzo popularnych demonstracji fizycznych). W części (a) widzimy, że jeżeli ciężarek wykonany jest z metalu, to gdy wnika on w obszar pola i opuszcza je, podlega działaniu znacznej siły oporu, szybko tłumiącej jego ruch. Jeżeli jednak ciężarek ma postać metalowej płytki zaopatrzonej w szczeliny, jak w części (b) , to efekt tłumienia wywołany polem magnesu będzie znacznie słabszy. Efektu tłumienia ruchu ciężarka wykonanego z izolatora nie dostrzeżemy ( (c)). Dlaczego siła oporu działa przy ruchu ciężarka w obu kierunkach? Czy efekt tłumienia magnetycznego ma jakiekolwiek zastosowanie? Typowy układ do prezentacji tłumienia magnetycznego wywołanego prądami wirowymi. (a) Ruch metalowego wahadła pomiędzy biegunami magnesu jest silnie tłumiony wskutek działania prądów wirowych. (b) Efekt tłumienia ruchu jest słaby, gdy metalowe wahadło zaopatrzone jest w szczeliny, co oznacza, że działanie prądów wirowych jest ograniczone. (c) Efekt magnetycznego tłumienia ruchu nieprzewodzącego wahadła nie występuje, ponieważ prądy wirowe są niezmiernie słabe. obrazuje powstawanie prądów wirowych w metalowej płytce podczas wnikania jej w obszar pola magnetycznego i opuszczania przez nią obszaru pola. W obu przypadkach płytka podlega działaniu siły hamującej jej ruch. Podczas wnikania płytki do pola z lewej strony rysunku przecinający ją strumień magnetyczny wzrasta, wzbudzając (zgodnie z prawem Faradaya) prąd wirowy, płynący (zgodnie z regułą Lenza) w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Zauważmy, że jedynie prawa połowa pętli z prądem znajduje się w polu magnetycznym, a zatem zgodnie z pierwszym wariantem reguły prawej dłoni na pętlę tę działa zwrócona w lewo, niezrównoważona siła. Gdy płytka całkowicie wniknie w obszar jednorodnego pola i pozostanie w nim, strumień magnetyczny będzie stały w czasie i prąd wirowy nie powstanie. Podczas opuszczania obszaru pola z prawej strony rysunku strumień magnetyczny maleje, wzbudzając prąd wirowy płynący w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Ruch płytki będzie ponownie hamowany, tym razem przez siłę działającą w lewo. Analogiczna analiza ruchu płytki ze strony prawej ku lewej pozwala stwierdzić, że jest on również tłumiony podczas wnikania płytki w obszar pola i podczas opuszczania tego obszaru. Szczegółowy obraz metalowej płytki poruszającej się między biegunami magnesu. Podczas wnikania płytki w obszar pola i opuszczania tego obszaru zmieniający się strumień magnetyczny wzbudza prąd wirowy. Siła magnetyczna oddziałująca na pętlę z prądem przeciwdziała ruchowi płytki. Opór magnetyczny i prąd wirowy nie występują, gdy płytka znajduje się całkowicie w obszarze jednorodnego pola. Gdy metalowa płytka wnikająca w obszar pola zaopatrzona jest w szczeliny ( ), zmiana strumienia magnetycznego także powoduje powstanie siły elektromotorycznej. Tym razem skutki działania SEM są słabsze, ponieważ obecność szczelin ogranicza wielkość pętli z prądem. Ponadto prądy w sąsiadujących ze sobą pętlach płyną w przeciwnych kierunkach i efekty tych prądów się znoszą. Jeżeli płytka wykonana jest z materiału izolacyjnego, prądy wirowe są niezmiernie słabe – tłumienie magnetyczne ruchu izolatorów jest więc znikome. W celu uniknięcia prądów wirowych w różnego rodzaju przewodnikach powinny być one zaopatrzone w szczeliny lub składać się z cienkich warstw materiału przewodzącego przedzielonych izolującymi powłokami. Prądy wirowe indukowane w metalowej płytce ze szczelinami wnikającej w obszar pola magnetycznego tworzą małe pętle. Siły działające na pętle wzajemnie się znoszą i tłumienie magnetyczne jest bliskie zero. Zastosowania tłumienia magnetycznego Przykład wykorzystania tłumienia magnetycznego znajdziemy w konstrukcji czułych wag laboratoryjnych. Aby osiągnąć maksymalną czułość i dokładność wagi, jej elementy muszą współpracować z możliwie małym tarciem; minimum tarcia oznacza jednak bardzo długi czas wahań elementów urządzenia. Zastosowanie magnetycznego tłumienia drgań jest w takim przypadku prostym i idealnym rozwiązaniem, ponieważ występująca siła oporu jest proporcjonalna do prędkości wahań i zanika przy prędkości równej zero. Zatem oscylacje wagi są szybko tłumione, po czym siła tłumiąca zanika, pozwalając wadze osiągnąć wysoką czułość ( ). W przypadku większości konstrukcji tłumik ma postać przewodzącego dysku poruszającego się w stałym polu magnetycznym. Tłumik magnetyczny prezentowanej czułej wagi spowalnia jej wahania. Ponieważ zgodnie z prawem Faradaya szybkie zmiany strumienia magnetycznego oznaczają silne efekty indukcji elektromagnetycznej, tłumienie jest największe przy dużych wahaniach wagi i staje się zerowe, gdy ruch ten zanika. Ponieważ prądy wirowe i efekt tłumienia magnetycznego występują jedynie w przypadku przewodników, w sortowniach odpadków do oddzielania metali od innych materiałów można użyć magnesów. Jak pokazano na , śmieci zrzucane są wzdłuż rampy, pod której powierzchnią znajduje się silny magnes. Tłumienie magnetyczne spowalnia ruch materiałów przewodzących i zawarte w odpadkach niemetale poruszają się szybciej, co umożliwia ich oddzielenie. Metoda jest skuteczna w przypadku wszelkich metali, nie tylko ferromagnetyków. Ferromagnetyki można natomiast odseparować od innych materiałów, działając magnesem na odpadki pozostające w spoczynku. Siłę oporu magnetycznego można wykorzystać do oddzielenia metali od pozostałych odpadków. Siłę tę wytwarza silny magnes umieszczony pod powierzchnią rampy; wzbudza on w zsuwających się metalach prądy wirowe. Ruch odpadków niemetalicznych nie jest spowalniany. Kolejnymi ważnymi zastosowaniami prądów wirowych są wykrywacze metali (ang. metal detectors ), systemy hamulcowe pociągów (ang. braking systems ) i spotykanych w wesołych miasteczkach kolejek górskich. Przedstawiony na przenośny wykrywacz metali składa się z cewki stanowiącej uzwojenie pierwotne, w której płynie prąd zmienny, oraz cewki uzwojenia wtórnego, w której prąd jest indukowany. Prąd wirowy, wzbudzany w metalowym przedmiocie znajdującym się w pobliżu detektora, wywołuje zmianę natężenia prądu indukowanego w uzwojeniu wtórnym urządzenia. Wystąpienie tej zmiany powoduje wysłanie przez detektor charakterystycznego sygnału – na przykład przenikliwego szumu. Żołnierz w Iraku używa wykrywacza metali do poszukiwania ukrytych materiałów wybuchowych i broni. Źródło: Armia Stanów Zjednoczonych Hamulce wykorzystujące prądy wirowe są bezpieczniejsze od pozostałych systemów, ponieważ czynniki, takie jak deszcz, nie wpływają na ich działanie, a hamowanie jest bardziej płynne. Za pomocą prądów wirowych nie można jednak zatrzymać pojazdu, ponieważ wytwarzana przez nie siła hamująca maleje ze spadkiem prędkości. Prędkość pojazdu można zatem zmniejszyć, na przykład z 20  m ∕ s do 5  m ∕ s – ale do całkowitego wyhamowania niezbędny jest inny typ hamulca. Przykładowo, w hamulcach kolejek górskich powszechnie stosuje się silne magnesy, wykonane z pierwiastków ziem rzadkich, takie jak magnesy neodymowe. Na przedstawiono rzędy magnesów, wykorzystanych w takim systemie hamulcowym. Pojazd zaopatrzony jest w metalowe płetwy (zawierające zwykle miedź) przenikające pole magnetyczne i hamujące go w ten sam sposób, w jaki tłumiony jest ruch wahadła przedstawionego na . Poziome rzędy magnesów z pierwiastków ziem rzadkich w systemie magnetycznego hamowania kolejki górskiej. Źródło: Stefan Scheer Prądy wirowe wykorzystuje się także w kuchennych płytach indukcyjnych. Pod powierzchnią takiej płyty znajdują się elektromagnesy wytwarzające szybkozmienne pole magnetyczne. Pole magnetyczne indukuje prądy wirowe w dnie stojącego na płycie garnka, rozgrzewając go wraz z zawartością. Indukcyjne płyty kuchenne są wysoce efektywne i charakteryzują się krótkim czasem reakcji na sterowanie. Aby prądy wirowe mogły powstać, dno garnka musi być wykonane z przewodnika – takiego jak żelazo czy stal. Podsumowanie Prądami wirowymi nazywamy pętle z prądem, indukowanym w poruszających się przewodnikach. Prądy wirowe mogą wytwarzać znaczne siły oporu, używane do magnetycznego tłumienia ruchu. Prądy wirowe stosuje się w wykrywaczach metali, hamulcach pociągów i kolejek górskich w wesołych miasteczkach, a także w kuchennych płytach indukcyjnych. Pytania Przewodzący arkusz leży na płaszczyźnie prostopadłej do pola magnetycznego o indukcji B → . Źródło pola znajduje się pod płaszczyzną. Jeżeli B → oscyluje z wysoką częstotliwością, a arkusz wykonany jest z przewodnika o małej rezystywności, to pole magnetyczne w obszarze ponad arkuszem jest efektywnie ekranowane. Wyjaśnj dlaczego. Czy przewodzący arkusz osłaniałby tenże obszar przed statycznymi polami magnetycznymi? Efekt ekranowania zmiennego pola magnetycznego przez przewodzący arkusz występuje dzięki indukowanej w nim sile elektromotorycznej. Indukowana SEM wytwarza bowiem pole magnetyczne przeciwstawiające się zmianom pola magnetycznego pochodzącego ze źródła pod arkuszem. W rezultacie w obszarze ponad arkuszem wypadkowe pole magnetyczne jest zerowe. Jeżeli źródło wytwarzałoby statyczne pole magnetyczne, to SEM nie indukowałaby się w arkuszu, ponieważ do jej wytworzenia niezbędny jest zmienny w czasie strumień magnetyczny. Zatem statyczne pole magnetyczne nie będzie ekranowane. Efekt hamowania magnetycznego można osiągnąć, przykładając silne pole magnetyczne do metalowego dysku przymocowanego do obracającej się osi. W jaki sposób pole magnetyczne spowalnia ruch obrotowy dysku? Czy hamulec działałby, gdyby dysk zamiast z metalu wykonany był z plastiku? Cewka przemieszcza się przez obszar pola magnetycznego w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Pole jest jednorodne we wnętrzu zaznaczonego kwadratu i nie występuje poza nim. Określ kierunek indukowanego prądu oraz kierunek i zwrot siły magnetycznej działającej na cewkę w każdej z jej wskazanych pozycji. a. Brak indukowanego prądu, brak siły magnetycznej; b. Prąd indukowany zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, siła magnetyczna zwrócona w lewo; c. Brak indukowanego prądu, brak siły magnetycznej; d. Prąd indukowany przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara, siła magnetyczna zwrócona w prawo; e. Brak indukowanego prądu, brak siły magnetycznej. tłumienie magnetyczne (ang. magnetic damping ) efekt wywołany siłą oporu, wytwarzaną przez prądy wirowe prąd wirowy (ang. eddy current ) pętla z prądem, wytworzona w przewodniku przez wywołaną ruchem siłę elektromotoryczną

Science


Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna Z pomocą prawa Faradaya możemy zrozumieć istotę wielu ważnych zjawisk oraz poznać zasadę działania wielu niezwykle przydatnych urządzeń. W niniejszym podrozdziale omówimy dwa z nich. Generatory elektryczne Generatory elektryczne (ang. electric generator ) służą do wytwarzania indukowanej siły elektromotorycznej. W tego typu urządzeniach cewkę umieszczoną w polu magnetycznym wprawia się w ruch obrotowy, co wywołuje efekt opisany pokrótce w rozdziale Siła elektromotoryczna wywołana ruchem . Opiszemy teraz bardziej szczegółowo pracę prądnicy (ang. generator ). Posłużymy się w tym celu poniższym przykładem. Wyznaczenie siły elektromotorycznej indukowanej w cewce prądnicy Przedstawiona na cewka prądnicy wykonuje jedną czwartą obrotu (od kąta 0 ° \ang{0}\ do 90 ° \ang{90}\ ) w czasie równym 5  ms . Cewka składa się ze 120 zwojów w kształcie okręgu o promieniu 5  cm i umieszczona jest w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 0,8  T . Obliczmy indukowaną SEM. Gdy cewka generatora wykonuje jedną czwartą obrotu, wartość strumienia magnetycznego Φ B zmienia się od maksymalnej do zerowej, indukując SEM. Strategia rozwiązania Indukowaną SEM obliczymy, stosując prawo Faradaya ε = − N  d Φ B d t  . \epsilon = - N \frac{\d \Phi_B}{\d t} \text{.} Analogiczny problem omawialiśmy już w . Zgodnie z zamieszczonym tam rysunkiem rzut wektora normalnego powierzchni n ̂ na wektor indukcji pola magnetycznego opisany jest funkcją cos θ , występującą w definicji iloczynu skalarnego. Wartości indukcji pola magnetycznego oraz powierzchnia cewki są stałe w czasie, co istotnie ułatwia obliczenia. Na podstawie prawa Faradaya indukowana SEM wynosi ε = N  B  S  sin θ ⋅ d θ d t  . \epsilon = NBS \sin \theta \cdot \frac{\d \theta}{\d t} \text{.} Rozwiązanie Z treści zadania wiemy, że N = 120 , B = 0,8  T , θ = 90 ° , oraz że d θ ∕ d t = 90 ° ∕ 5  ms = π ∕ 2 ∕ 5  ms = π ∕ 10  ms \d \theta / \d t = \ang{90} / \SI{5}{\milli\second} = (\pi /2) / \SI{5}{\milli\second} = \pi / \SI{10}{\milli\second} . Powierzchnia cewki wynosi z kolei S = π  r 2 = 3,14 ⋅ 0,05  m 2 = 7,85 ⋅ 10 − 3  m 2  . Indukowana SEM jest zatem równa ε = 120 ⋅ 0,8  T ⋅ 7,85 ⋅ 10 -3  m 2 ⋅ sin 90 ° ⋅ π 10 -2  s ≈ 237  V  . \epsilon = 120 \cdot \SI{0,8}{\tesla} \cdot \SI{7,85e-3}{\metre\squared} \cdot \sin \ang{90} \cdot \frac{\pi}{10^{-2}\si{\second}} \approx \SI{237}{\volt} \text{.} Znaczenie Otrzymana średnia wartość SEM ma znaczenie praktyczne: jest bowiem bliska 230  V , czyli napięciu domowej sieci elektrycznej. Obliczona w powyższym przykładzie wartość SEM jest uśredniona po jednej czwartej obrotu cewki. Obliczmy teraz SEM w dowolnej chwili czasu. Zmienia się ona wraz z kątem pomiędzy liniami pola magnetycznego a normalną do płaszczyzny cewki. Rozpatrzmy w tym celu siłę elektromotoryczną indukowaną ruchem obrotowym prostokątnej ramki o szerokości w i wysokości l , umieszczonej w jednorodnym polu magnetycznym ( ). Prądnica składająca się z pojedynczej prostokątnej ramki obracającej się ze stałą prędkością kątową w jednorodnym polu magnetycznym generuje siłę elektromotoryczną zmieniającą się sinusoidalnie w czasie. Zauważmy, że konstrukcja prądnicy jest podobna do budowy silnika elektrycznego. Pamiętajmy jednak, że wytworzenie prądu wymaga wprawienia jej osi w ruch obrotowy – odwrotnie niż w przypadku silnika, którego oś obraca się po włączeniu zasilania. Ładunki elektryczne w przewodzie ramki poruszają się w polu magnetycznym, a więc oddziałuje na nie siła magnetyczna. Zauważmy jednak, że prąd elektryczny wytwarzany jest jedynie w pionowych częściach ramki, gdyż siła działająca na ładunki jest w tych częściach równoległa do przewodu. W części górnej i dolnej siła magnetyczna działa prostopadle do przewodu i prąd nie powstaje. Aby wyznaczyć SEM, wystarczy więc rozpatrzyć jedynie boczne fragmenty ramki. Indukowana ruchem SEM określona jest wyrażeniem ε = B  l  v , o ile wektor prędkości v → jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej B → (patrz ). W rozpatrywanym przypadku kąt pomiędzy wektorami v → i B → wynosi θ , zatem zgodnie z rysunkiem prostopadła do B → składowa wektora prędkości równa jest v  sin θ . W rezultacie SEM indukowane w każdym z bocznych fragmentów ramki dane są wzorem ε = B  l  v  sin θ , a ich kierunki są zgodne. Sumaryczna SEM indukowana w ramce wynosi więc ε = 2  B  l  v  sin θ  . Powyższe wyrażenie, jakkolwiek słuszne, nie przedstawia SEM w funkcji czasu. Aby obliczyć tę zależność, załóżmy, że ramka obraca się ze stałą prędkością kątową ω . Kąt θ związany jest z prędkością kątową funkcją θ = ω  t , zatem ε = 2  B  l  v  sin ω  t  . Zauważmy teraz, że wartość prędkości liniowej v związana jest z prędkością kątową zależnością v = ω  r . W omawianym przypadku r = w ∕ 2 i v = w ∕ 2 ⋅ ω , stąd ε = 2  B  l  w 2  ω  sin ω  t = B  S  ω  sin ω  t  , gdzie S = l  w jest polem powierzchni pętli. W związku z tym SEM indukowana w cewce prądnicy utworzonej z N zwojów o powierzchni S i obracającej się ze stałą prędkością kątową ω w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B jest opisana wzorem ε = N  B  S  ω  sin ω  t  , który można przepisać w postaci ε = ε 0  sin ω  t  , gdzie ε 0 = N  B  S  ω  . Ponieważ maksimum wartości funkcji sin ω  t wynosi jeden, symbol ε 0 oznacza maksymalną wartość (amplitudę) generowanej siły elektromotorycznej. Zauważmy, że częstotliwość oscylacji SEM wynosi f = ω ∕ 2  π oraz że ich okres T = 1 ∕ f = 2  π ∕ ω , co przedstawia zawierający wykres SEM w funkcji czasu. Rozumiemy już teraz, dlaczego napięcie w sieci prądu zmiennego ma przebieg sinusoidalny. Siła elektromotoryczna wytworzona w generatorze jest przesyłana do żarówki za pomocą widocznego układu pierścieni i szczotek. Zamieszczony wykres przedstawia SEM prądnicy w funkcji czasu, przy czym symbol ε 0 oznacza jej wartość maksymalną (amplitudę). Okres przebiegu T = 1 ∕ f = 2  π ∕ ω , gdzie f jest jego częstotliwością. Zależność ε 0 = N  B  S  ω , opisująca amplitudę SEM, ma istotne znaczenie. Wynika z niej, że napięcie wytwarzane przez prądnicę jest tym większe, im większa jest liczba i powierzchnia zwojów jej cewki oraz im silniejsze jest pole magnetyczne. Co ciekawe, wartość SEM rośnie także ze wzrostem prędkości kątowej ω , czyli wtedy, gdy oś generatora obraca się szybciej. Można to łatwo dostrzec w przypadku prądnic rowerowych – przynajmniej ich tańszych modeli. Na przedstawiono schemat prądnicy generującej tętniący (pulsujący) prąd stały. Aby uzyskać prąd stały o mniejszych tętnieniach, można wykorzystać bardziej wyrafinowane układy wielu cewek i dzielonych pierścieni kontaktowych. Jednak w celu wytworzenia prądu pozbawionego tętnień zwykle nie stosuje się rozwiązań mechanicznych, lecz specjalne urządzenia elektroniczne. Prądnica wyposażona w dzielone pierścienie zwane komutatorami wytwarza tętniący (pulsujący) prąd stały. Wygląd rzeczywistych generatorów elektrycznych różni się zasadniczo od wyglądu prądnic na rysunkach w bieżącym podrozdziale, chociaż zasada ich działania pozostaje taka sama. Źródłem energii mechanicznej obracającej się cewki może być spadająca woda (hydroelektrownie), para wodna wytwarzana poprzez spalanie paliw kopalnych lub energia kinetyczna wiatru. przedstawia widok częściowy turbiny parowej: para wodna przepływa między łopatkami turbiny, połączonymi z wałem obracającym cewki we wnętrzu generatora. Przetwarzanie energii mechanicznej jest podstawowym sposobem produkcji energii elektrycznej przesyłanej do naszych domów za pomocą sieci energetycznej. Turbina parowa wraz z generatorem. Para wodna, wytwarzana przez spalanie węgla, uderza w łopaty turbiny i obraca jej wałem sprzężonym z wałem generatora. Wygląd prądnic przedstawionych w obecnym rozdziale jest bardzo zbliżony do wyglądu omawianych wcześniej silników elektrycznych. Nie jest to kwestią przypadku, gdyż silnik, którego oś wprawiono w ruch obrotowy, staje się generatorem prądu. Warto wspomnieć, że w niektórych wczesnych modelach samochodów rozrusznik pełnił także funkcję prądnicy. Pracę silnika w roli generatora elektrycznego opiszemy poniżej. Siła przeciwelektromotoryczna Wiemy już, że prądnice przetwarzają energię mechaniczną w elektryczną, a silniki – energię elektryczną w mechaniczną. Nie powinno więc dziwić, że konstrukcja obu urządzeń jest w istocie jednakowa. W silniku elektrycznym prąd płynie przez umieszczoną w polu magnetycznym pętlę z drutu. W rezultacie pole magnetyczne generuje moment siły działający na tę pętlę, powodując obrót osi (wału) silnika. Zatem prąd elektryczny dostarczany do silnika jest źródłem pracy mechanicznej, o czym pisaliśmy w podrozdziale Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem . Warto zajrzeć do tego rozdziału przed dalszą lekturą. Obrót cewki silnika w polu magnetycznym wywołuje zmianę strumienia magnetycznego przenikającego tę cewkę. W rezultacie w jej uzwojeniu indukuje się (opisana prawem Faradaya) siła elektromotoryczna. Obracająca się cewka powoduje więc, że silnik działa jednocześnie jak prądnica – niezależnie od tego, czy obrót wywołany jest czynnikiem zewnętrznym (np. działaniem pasa napędowego na osi urządzenia), czy jest on efektem normalnej pracy tego silnika. Ponieważ, zgodnie z regułą Lenza, siła elektromotoryczna przeciwdziała wszelkim wywołującym ją zmianom, SEM generowana przez silnik przeciwdziała SEM źródła jego zasilania. Indukowaną w uzwojeniu SEM nazywamy siłą przeciwelektromotoryczną silnika (ang. back EMF ), co przedstawia . Na powyższym schemacie uzwojenie silnika prądu stałego reprezentuje rezystor R . Siłę przeciwelektromotoryczną reprezentuje SEM o zmiennej wartości, włączona przeciwnie do SEM napędzającej silnik. Siła przeciwelektromotoryczna jest zerowa, gdy silnik nie obraca się, i wzrasta proporcjonalnie do jego prędkości kątowej. Napięcie na zaciskach cewki silnika jest różnicą pomiędzy napięciem źródła jego zasilania a wartością siły przeciwelektromotorycznej. W chwili włączenia silnika siła przeciwelektromotoryczna jest zerowa – zatem jego uzwojenie otrzymuje pełne napięcie zasilania. W konsekwencji, tuż po włączeniu silnika, gdy jego wał jeszcze się nie obraca, natężenie prądu czerpanego ze źródła zasilania jest maksymalne. W miarę wzrostu prędkości obrotowej silnika rośnie jego siła przeciwelektromotoryczna. Ponieważ siła ta działa przeciwnie do SEM napędzającej silnik – obniża się napięcie na zaciskach jego uzwojenia, a także natężenie prądu pobieranego ze źródła zasilania. Powyższy efekt można dostrzec w wielu codziennych sytuacjach. Przykładowo, w chwili włączenia odkurzacza, lodówki lub pralki – żarówki zasilane z tego samego obwodu instalacji domowej na krótko przygasają. Przyczyną tego jest, opisany przez wyrażenie I  R , spadek napięcia na przewodach instalacji, wywołany dużym natężeniem prądu pobieranego przez silnik. W chwili włączenia natężenie prądu pobieranego przez silnik jest większe niż w czasie jego pracy z normalną prędkością obrotową. Po mechanicznym obciążeniu silnika jego wał obraca się wolniej, siła przeciwelektromotoryczna maleje, a wzrasta natężenie pobieranego prądu (przykładem może być praca silnika jadącego pod górę wózka inwalidzkiego). Jeśli prędkość obrotowa silnika jest zbyt niska, nadmierne natężenie prądu może przegrzać jego uzwojenie, a nawet wywołać zapłon tego uzwojenia – na skutek mocy wydzielonej na jego rezystancji ( P = I 2  R ). W przeciwnym przypadku, gdy silnik pracuje bez mechanicznego obciążenia – jego prędkość kątowa ω systematycznie wzrasta. Wzrost ten trwa dopóty, dopóki siła przeciwelektromotoryczna będzie w przybliżeniu równa SEM napędzającej silnik. Wówczas energia dostarczana do silnika zużywana jest wyłącznie na pokonanie oporów tarcia. Prądy wirowe, wzbudzane w żelaznych rdzeniach cewek silników, są przyczyną kłopotliwych strat energii. Aby zmniejszyć te straty do minimum, rdzenie wykonuje się zwykle w postaci pakietu cienkich, wzajemnie izolowanych elektrycznie płytek żelaznych. Obecność warstw izolujących, nanoszonych techniką laminowania, jedynie nieznacznie pogarsza magnetyczne właściwości rdzenia, mocno ograniczając rezystancyjne nagrzewanie się uzwojenia silnika. Rozpatrzmy na przykład uzwojenie silnika przedstawione na schemacie z . Przyjmijmy, że rezystancja zastępcza uzwojenia zasilanego siłą elektromotoryczną o wartości 48  V równa jest 0,4  Ω . Tuż po włączeniu natężenie prądu pobieranego przez to uzwojenie wynosi I = U R = 48  V 0,4  Ω = 120  A  , zatem wartość mocy, rozproszonej w postaci ciepła, P = I 2  R = 5,76  kW . Załóżmy teraz, że w normalnych warunkach pracy silnika siła przeciwelektromotoryczna jest równa 40  V . Wówczas, przy roboczej prędkości obrotowej tego silnika, całkowite napięcie na jego uzwojeniu U = 48  V − 40  V = 8  V , a natężenie prądu pobieranego I = U R = 8  V 0,4  Ω = 20  A  . Zatem przy normalnym obciążeniu silnika moc rozproszona w uzwojeniu P = I  U = 160  W . Otrzymana wartość mocy nie stanowi zagrożenia dla silnika, natomiast obliczona wcześniej wartość 5,76  kW wydzielana w dłuższym czasie spowodowałaby spalenie się jego uzwojenia. Praca szeregowego silnika prądu stałego przedstawia schemat obwodu elektrycznego szeregowego silnika prądu stałego. Całkowita rezystancja uzwojenia wzbudzającego pole magnetyczne R w i uzwojenia twornika R t tego silnika wynosi R w + R t = 6  Ω . Po podłączeniu do źródła siły elektromotorycznej o wartości ε z = 230  V silnik pracujący ze stałą prędkością kątową pobiera prąd o natężeniu I = 5  A . Obliczmy siłę przeciwelektromotoryczną ε p indukowaną w obracającej się cewce twornika. Obliczmy moc mechaniczną dostarczaną przez silnik. Wyznaczmy moc rozpraszaną (traconą) na rezystancji jego uzwojeń. Ile wynosi moc źródła siły elektromotorycznej ε z zasilającej urządzenie? Założywszy, że pod wpływem obciążenia mechanicznego prędkość obrotowa tego silnika zmalała tak, że pobiera on prąd o natężeniu I = 10  A , powtórzmy obliczenia wyszczególnione w punktach od (a) do (d). Schemat obwodu elektrycznego szeregowego silnika prądu stałego. Strategia rozwiązania Siłę przeciwelektromotoryczną obliczymy, znajdując różnicę pomiędzy siłą elektromotoryczną źródła zasilania a spadkiem napięcia wywołanym przepływem prądu przez rezystancje uzwojeń silnika. Poszukiwaną moc uzyskamy, wykorzystując znane wzory – adekwatne do treści zadania. Rozwiązanie Prąd o natężeniu 5  A płynie w uzwojeniach, których sumaryczna rezystancja wynosi 6  Ω , zatem siła przeciwelektromotoryczna wynosi ε p = ε z − I  R w + R t = 230  V − 5  A ⋅ 6  Ω = 200  V  . Ponieważ natężenie prądu w uzwojeniach wynosi 5  A , to dostarczana przez silnik moc mechaniczna wynosi P m = ε p  I = 200  V ⋅ 5  A = 10 3  W  . Moc rozpraszana w uzwojeniach wynosi P r = I 2  R w + R t = 5  A 2 ⋅ 6  Ω = 0,15 ⋅ 10 3  W  . P_{\text{r}} = I^2 (R_{\text{w}} + R_{\text{t}}) = (\SI{5}{\ampere})^2 \cdot \SI{6}{\ohm} = \SI{0,15e3}{\watt} \text{.} Prąd o natężeniu 5  A czerpany jest ze źródła SEM o wartości 230  V , więc jego moc wynosi P z = ε z  I = 230  V ⋅ 5  A = 1,15 ⋅ 10 3  W  . Powtórzywszy powyższe obliczenia przy wartości prądu I = 10  A , otrzymamy ε p = 170  V P m = 1,7 ⋅ 10 3  W P r = 0,6 ⋅ 10 3  W P z = 2,3 ⋅ 10 3  W  . \epsilon_{\text{p}} = \SI{170}{\volt}, P_{\text{m}} = \SI{1,7e3}{\watt}, P_{\text{r}} = \SI{0,6e3}{\watt}, P_{\text{z}} = \SI{2,3e3}{\watt} \text{.} W ostatnim przypadku silnik obraca się wolniej, zatem dostarczana przez niego moc mechaniczna oraz moc źródła siły elektromotorycznej są większe niż obliczone w punktach (a)-(d). Znaczenie Zauważmy, że otrzymane wartości mocy równoważą się: P z = P m + P r P_{\text{z}} = P_{\text{m}} + P_{\text{r}} . Podsumowanie W generatorze elektrycznym (prądnicy), w cewce obracającej się w jednorodnym polu magnetycznym, indukuje się zmienna w czasie siła elektromotoryczna o wartości opisanej funkcją: ε = N  B  S  ω  sin ω  t , w której N jest liczbą zwojów cewki, B – wartością indukcji pola magnetycznego, S A – polem powierzchni pojedynczego zwoju. Wartość szczytowa (amplituda) SEM prądnicy wynosi ε 0 = N  B  S  ω . Siła elektromotoryczna indukuje się w dowolnej cewce, której strumień magnetyczny zmienia się w czasie, np. na skutek ruchu obrotowego tej cewki. W przypadku silników SEM indukowana w obracającej się cewce nosi nazwę siły przeciwelektromotorycznej, gdyż jej wartość odejmuje się od wartości SEM zasilającej urządzenie. Zadania Równanie ε = ε 0  sin ω  t opisuje siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce obracającej się w jednorodnym polu magnetycznym. Z ilu zwojów musi składać się cewka, aby indukowana SEM osiągnęła amplitudę ε 0 = 230  V , jeżeli ω = 100  π  rad ∕ s ? Przyjmij, że powierzchnia jednego zwoju cewki wynosi 0,1  m 2 , a wartość indukcji pola magnetycznego równa się 0,1  T . 73 zwoje. Składająca się z 20 zwojów cewka w kształcie kwadratu o boku 15  cm obraca się w polu magnetycznym o wartości indukcji 0,05  T . Oblicz prędkość kątową tej cewki, jeżeli amplituda indukowanej w niej SEM wynosi 30  mV . Składająca się z 60 zwojów cewka w kształcie prostokąta o wymiarach 0,15  m × 0,4  m obraca się z prędkością 3000  obr ∕ min w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji równej 0,75  T . Wyznacz w funkcji czasu wartość siły elektromotorycznej indukowanej w tej cewce; Wyznacz w funkcji czasu wartość mocy mechanicznej niezbędnej do utrzymania prędkości obrotowej cewki na poziomie 3000  obr ∕ min , jeżeli cewkę obciążono rezystorem o wartości 1000  Ω ; Powtórz obliczenia z punktu (b), zakładając, że opór rezystora wynosi 2000  Ω . a. ω = 100  π  rad ∕ s , ε = 850  V ⋅ sin 100  π  rad ∕ s ⋅ t \epsilon = \SI{850}{\volt} \cdot \sin (100\pi \si{\radian\per\second} \cdot t) ; b. P = 720  W ⋅ sin 2 100  π  rad ∕ s ⋅ t P = \SI{720}{\watt} \cdot \sin^2 (100\pi \si{\radian\per\second} \cdot t) ; c. P = 360  W ⋅ sin 2 100  π  rad ∕ s ⋅ t P = \SI{360}{\watt} \cdot \sin^2 (100\pi \si{\radian\per\second} \cdot t) . Składająca się z 200 zwojów cewka twornika prądnicy prądu zmiennego ma kształt kwadratu o boku 20  cm . Przy prędkości obrotowej równej 3000  obr ∕ min amplituda (wartość szczytowa) indukowanej w tej cewce siły elektromotorycznej wynosi 230  V . Oblicz częstotliwość SEM; Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego, w którym obraca się ta cewka. Induktor Webera jest stosunkowo prostym przyrządem służącym do pomiaru indukcji pola magnetycznego. Ma on postać okrągłej cewki z dobrze przewodzącego prąd drutu wprawianej ręcznie (np. za pomocą napędu korbowego) w ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez jedną z jej średnic. Konstrukcja induktora umożliwia dowolne ustawienie płaszczyzny cewki względem zewnętrznego pola magnetycznego. Induktor Webera wykorzystywany do wykrywania i demonstracji ziemskiego pola magnetycznego nazywany jest induktorem ziemskim. Załóżmy, że do składającej się z N zwojów cewki opisanego induktora podłączono galwanometr balistyczny, czyli przyrząd, który mierzy wartość przepływającego przezeń ładunku elektrycznego. Cewkę induktora umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B → w taki sposób, że linie pola są prostopadłe do jego płaszczyzny. Następnie cewkę obrócono o kąt równy 180 ° , mierząc jednocześnie galwanometrem wartość całkowitego ładunku Q . Przyjąwszy, że sumaryczna rezystancja cewki induktora oraz galwanometru wynosi R , określ związek pomiędzy B i Q ; W jaki sposób przekonać się, czy pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny tej cewki? a. Q jest proporcjonalne do B ; b. Wartość Q zależy od orientacji pola względem płaszczyzny cewki. Maksymalna wartość ładunku oznacza, że pole jest prostopadłe, natomiast wartość zerowa – że pole jest równoległe. Cewka induktora opisanego w poprzednim zadaniu składa się z 40 zwojów wykonanych z przewodu miedzianego. Średnica cewki wynosi 3  cm , a jej rezystancja wraz z rezystancją przyłączonego galwanometru równa się 0,2  Ω . Obracając cewkę umieszczoną w polu magnetycznym o indukcji B → o kąt 180 ° , stwierdzono, że przez galwanometr balistyczny przepłynął ładunek o wartości 0,09  C . Określ wartość indukcji pola magnetycznego przyjmując, że w chwili początkowej linie pola były prostopadłe do płaszczyzny cewki; Jakie będą wskazania galwanometru podczas obrotu cewki o kąt 90 ° ? Silnik o konstrukcji szeregowej zasilany jest ze źródła prądu o napięciu 230  V . Rezystancja uzwojenia wzbudzającego pole magnetyczne tego silnika wynosi 160  Ω , a rezystancja uzwojenia twornika równa się 20  Ω . W czasie pracy silnika z nominalną prędkością obrotową wartość wytwarzanej siły przeciwelektromotorycznej osiąga 150  V . Oblicz natężenie prądu pobieranego przez ten silnik w chwili rozruchu. Przyjąwszy, że silnik pracuje z nominalną prędkością obrotową, wyznacz natężenie pobieranego prądu; moc źródła zasilania; moc mechaniczną dostarczaną przez silnik; moc rozpraszaną na obu rezystancjach. 1,28  A ; a. 0,44  A ; b. 100  W ; c. 66  W ; d. 34  W . Mały szeregowy silnik prądu stałego zasilany jest z akumulatora samochodowego o napięciu 12  V . W czasie pracy z nominalnym obciążeniem silnik pobiera prąd o natężeniu 4  A . Gdy twornik silnika ulegnie zacięciu i nie może się obracać, natężenie pobieranego prądu wzrasta do 24  A . Oblicz siłę przeciwelektromotoryczną wytwarzaną podczas normalnej pracy tego silnika. siła przeciwelektromotoryczna (ang. back EMF ) SEM wytwarzana przez pracujący silnik elektryczny na skutek ruchu obrotowego jego twornika w zewnętrznym polu magnetycznym; wartość siły przeciwelektromotorycznej odejmuje się od wartości SEM źródła zasilania silnika wartość maksymalna (amplituda) SEM (ang. peak EMF ) maksymalna wartość SEM wytwarzanej przez prądnicę generator elektryczny (prądnica elektryczna) (ang. electric generator ) urządzenie przetwarzające energię mechaniczną w energię elektryczną – przez wytwarzanie siły elektromotorycznej w cewce, wirującej w zewnętrznym polu magnetycznym

Science