Cyfry znaczące przedstawia dwa przedmioty służące do pomiaru masy. W laboratoriach fizycznych waga szalkowa została prawie zupełnie wyparta przez wagę elektroniczną, której wskazania są dokładniejsze i bardziej precyzyjne. Ale co właściwie oznaczają słowa dokładne i precyzyjne ? Czy to nie to samo? W tym podrozdziale zajmiemy się procesem dokonywania oraz zapisywania pomiarów. (a) Waga szalkowa służy do porównywania mas różnych obiektów. Na jednej szalce kładzie się obiekt o nieznanej masie, a na drugiej obiekt, którego masę znamy. Jeśli wskaźniki obu stron wagi zrównają się w położeniu równowagi, oznacza to, że porównywane masy są równe. Obiektami, których masy znamy, są zazwyczaj odważniki o standardowych masach takich jak 1 g, 10 g i 100 g. (b) Wiele wag mechanicznych, takich jak waga szalkowa, zostało zastąpionych przez wagi elektroniczne, które zazwyczaj są dokładniejsze. Za pomocą wagi mechanicznej można określić masę z dokładnością do jednej dziesiątej grama, podczas gdy wiele wag elektronicznych dokonuje pomiaru z dokładnością do jednej tysięcznej grama. (Źródło (a) Serge Melki; źródło (b) Karel Jakubec) Dokładność i precyzja pomiaru Nauka opiera się na obserwacji i na przeprowadzonych doświadczeniach – a więc na pomiarach. Dokładność (ang. accuracy ) mówi, jak bardzo pomiar zbliżony jest do zaakceptowanej wartości referencyjnej. Załóżmy, że chcemy zmierzyć wysokość kartki papieru A4. Na opakowaniu napisano, że ma ona 29,7 cm wysokości. Mierzymy wysokość kartki trzykrotnie i otrzymujemy kolejno 29,8 cm, 29,6 cm i 30,0 cm. Te pomiary są dość dokładne, ponieważ są bardzo zbliżone do wartości referencyjnej równej 29,7 cm. Jeżeli natomiast uzyskalibyśmy pomiar równy 32 cm, nie byłby on dokładny i oznaczałby popełnienie tzw. błędu grubego podczas pomiaru. Zauważ, że aby mówić o dokładności, musimy wiedzieć, jaka jest wartość referencyjna. Precyzja (ang. precision ) pomiaru określa, jak bardzo różnią się od siebie niezależne pomiary wykonywane w tych samych warunkach. Wróćmy do przykładu z kartką papieru. Jednym ze sposobów określenia precyzji jest obliczenie różnicy między największą a najmniejszą wartością pomiaru. W tym przypadku najmniejszą otrzymaną wartością było 29,6 cm, a największą, poprawną 30,0 cm, więc różnica między nimi równa jest 0,4 cm. Pomiary te są względnie precyzyjne, ponieważ ich wartości nie różnią się od siebie znacznie. Jednak pomiary 26,5 cm, 29,1 cm i 31,3 cm nie byłyby zbyt precyzyjne, ponieważ różnica między nimi jest znaczna. Zauważ, że aby określić precyzję, potrzebne są jedynie wyniki pomiarów, nie musimy wiedzieć, jaka jest wartość referencyjna. Pomiary przedstawione w przykładzie z kartką papieru są dokładne oraz precyzyjne, ale zdarza się, że dokładne pomiary nie są precyzyjne lub że precyzyjne pomiary nie są dokładne. Załóżmy, że przy pomocy urządzenia GPS próbujesz znaleźć położenie restauracji. Wyobraź sobie, że restauracja znajduje się na mapie z naniesionym wzorem tarczy strzelniczej (restauracja znajduje się w jej środku), a każda próba zlokalizowania jej przez GPS oznaczana jest czarną kropką. Jak widać, na (a) pomiary GPS są od siebie oddalone, ale wszystkie znajdują się względnie blisko środka tarczy. Jest to równoznaczne z małą precyzją i dużą dokładnością systemu pomiarowego. Na (b) pomiary są położone blisko siebie, ale wszystkie są oddalone od środka tarczy. Świadczy to o dużej precyzji i małej dokładności systemu pomiarowego. Przy pomocy urządzenia GPS próbujemy odnaleźć restaurację znajdującą się na samym środku tarczy. Czarne punkty pokazują poszczególne próby zlokalizowania restauracji. a) Punkty znajdują się w sporej odległości od siebie, ale wszystkie dość blisko restauracji, co świadczy o wysokiej dokładności. b) Punkty znajdują się blisko siebie, co świadczy o wysokiej precyzji, ale położone są daleko od restauracji, co z kolei świadczy o niskiej dokładności. (Źródło: Dark Evil) Dokładność, precyzja, niepewność i błąd pomiaru Precyzja pomiarów związana jest z niepewnością pomiarową (ang. uncertainty ), a dokładność z błędem pomiaru (ang. discrepancy ), czyli rozbieżnością między dobrze znaną wartością referencyjną a obliczoną. Niepewność określa, jak bardzo poszczególne pomiary różnią się między sobą ze względu na statystyczny charakter czynności pomiarowych. Błąd pomiaru to różnica między wartością zmierzoną a wartością oczekiwaną, dzięki znajomości znanego standardu. Istnieje wiele różnych metod obliczania niepewności – wybór odpowiedniej z nich zależy od problemu. Czasami należy obliczyć różnicę między największą a najmniejszą zmierzoną wartością, czasem trzeba znać wartość odchylenia standardowego pomiarów. Jeśli pomiary nie są zbyt precyzyjne, niepewność pomiarowa jest wysoka. Jeśli z kolei nie są dokładne, to podczas pomiarów popełniany jest, mniej lub bardziej świadomie, duży błąd pomiarowy. Wróćmy raz jeszcze do przykładu z mierzeniem długości kartki papieru: nasze pomiary były równe 29,8 cm, 29,6 cm i 30,0 cm, podczas gdy na opakowaniu podano wartość 29,7 cm. Możemy obliczyć średnią arytmetyczną z uzyskanych pomiarów. W takim przypadku otrzymamy 29,8 cm, a za niepewność pomiaru będzie można przyjąć 29,8 cm - 29,7 cm = 0,1 cm – wartość ta stanowi wymierną reprezentację dokładności. W analizowanym przypadku niepewność pomiaru wyniesie 30,0 cm - 29,6 cm = 0,4 cm. Powiemy wówczas, że długość kartki papieru to 29,8 cm plus minus 0,4 cm. Niepewność pomiaru A często zapisuje się jako Δ A (czytaj „delta A ”), a więc wynik pomiaru należy zapisać w następujący sposób: A ± Δ A . Powiemy zatem, że długość kartki papieru jest równa 29,8 cm ± 0,4 cm. Błąd pomiaru wynosi 0,1 cm i jest mniejszy od niepewności pomiaru równej 0,4 cm. W związku z tym możemy powiedzieć, że wartość zmierzona jest zgodna z wartością referencyjną z określoną dokładnością. Oto niektóre z czynników mogących mieć wpływ na wzrost niepewności pomiarowej: ograniczenia urządzeń pomiarowych; umiejętności osoby dokonującej pomiaru; nieregularny kształt mierzonego obiektu; wszystkie inne czynniki mające wpływ na wynik (są one w dużym stopniu zależne od sytuacji). W omawianym przypadku czynniki mogłyby być następujące: podziałka linijki ma dokładność do 1 mm, osoba dokonująca pomiaru ma słaby wzrok, na jednym końcu skala linijki jest wytarta, krawędź kartki jest z jednej strony dłuższa. W każdym przypadku w celu określenia precyzji pomiaru musi zostać obliczona niepewność. Jeśli znamy wartość referencyjną, warto również obliczyć różnicę bezwzględną (lub względną) pomiędzy otrzymaną wartością średnią (zmierzoną) a wartością referencyjną. Niepewność względna Niepewność pomiarową można przedstawić również jako procent zmierzonej wartości. Jeśli pomiar A obarczony jest niepewnością Δ A , to niepewność względną (ang. relative uncertainty ) definiuje się jako Niepewność względna = Δ A A · 100 % . Obliczanie niepewności względnej: siatka jabłek W pewnym sklepie spożywczym jabłka pakowane są w siatki po 5 kg. Powiedzmy, że w ciągu miesiąca kupiliśmy cztery siatki jabłek i za każdym razem ważyliśmy je. Wyniki pomiarów były następujące: Tydzień 1.: 4,8 kg Tydzień 2.: 5,3 kg Tydzień 3.: 4,9 kg Tydzień 4.: 5,4 kg Możemy stwierdzić, że średnia wartość jest jedna i wynosi ( 5,1 ± 0,6 ) k g . Jaka jest niepewność względna wagi siatki jabłek? Strategia rozwiązania Zauważ, że średnia waga siatki jabłek A jest równa 5,1 kg. Niepewność pomiarowa Δ A jest równa 0,6 kg. W celu wyznaczenia niepewności względnej korzystamy z równania: Niepewność względna = Δ A A · 100% . Rozwiązanie Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy: Niepewność względna = Δ A A ⋅ 100% = 0,6 k g 5,1 k g ⋅ 100% ≈ 11,76% ≈ 12% . Znaczenie Możemy wywnioskować, że średnia waga siatki jabłek jest równa 5,1 kg z niepewnością względną wynoszącą 12%. Zauważ, że niepewność względna jest bezwymiarowa – jednostki masy Δ A = 0,6 k g oraz A = 5,1 k g skróciły się. Sprawdź, czy rozumiesz. Trener szkolnej sekcji biegów kupił nowy stoper. Według instrukcji niepewność stopera wynosi ± 0,05 s . Biegający w tej sekcji uczniowie na dystansie 100 m uzyskują wyniki od 11,49 s do 15,01 s. Na ostatnich zawodach zwycięzca przebiegł ten dystans w 12,04 s, a zdobywca drugiego miejsca w 12,07 s. Czy nowy stoper przyda się trenerowi? Dlaczego tak lub dlaczego nie? Nie, stoper się nie przyda. Jego niepewność pomiarowa jest zbyt duża, by móc poprawnie zmierzyć czas uzyskiwany przez biegacza na takim dystansie. Niepewność w obliczeniach Wszystkie obliczenia oparte na pomiarach różnych wielkości obarczone są jakąś niepewnością. Na przykład pole powierzchni podłogi obliczone na podstawie długości i szerokości ma niepewność, ponieważ mają ją również długość i szerokość. Jak duża jest niepewność wartości obliczanej poprzez mnożenie lub dzielenie? Jeżeli pomiary, z których korzystasz podczas obliczeń, mają małe niepewności (nie większe niż kilka procent), w celu obliczenia niepewności wyniku możesz skorzystać z metody dodawania niepewności procentowych (ang. method of adding percents ). Według tej metody wyrażona w procentach niepewność wartości, obliczonej na podstawie mnożenia lub dzielenia, jest sumą wyrażonych w procentach niepewności poszczególnych wartości użytych podczas obliczeń . Jeśli na przykład podłoga ma długość równą 4,00 m oraz szerokość równą 3,00 m, a wartości te obarczone są odpowiednio niepewnością 2% i 1%, to pole powierzchni tej podłogi jest równe 12,0 m 2 , a niepewność pomiaru wynosi 3%. (Wartość niepewności możemy przedstawić też jako 0,36 m 2 , ponieważ 12,0 m 2 ⋅ 0,03 = 0,36 m 2 , co zaokrąglamy do 0,4 m 2 , ponieważ wartość pola powierzchni podłogi podana jest z dokładnością do jednej dziesiątej metra). Precyzja przyrządów pomiarowych i cyfry znaczące Ważnym czynnikiem wpływającym na precyzję pomiaru jest używany przez nas przyrząd. Ogólnie rzecz biorąc, precyzyjny przyrząd powinien umożliwiać dokonywanie pomiarów z dokładnością do bardzo małych wartości. Przy pomocy zwykłej linijki możemy dokonywać pomiarów z dokładnością do 1 mm, podczas gdy pomiary dokonane przy pomocy suwmiarki mogą charakteryzować się dokładnością do 0,02 mm. Suwmiarka jest przyrządem bardziej precyzyjnym, ponieważ umożliwia wykrycie bardzo małych różnic w długości. Im bardziej precyzyjny przyrząd, tym wyższa precyzja pomiaru. Wynik pomiaru należy zapisać tak, aby liczba cyfr po przecinku zgadzała się z liczbą cyfr wskazywanych przez przyrząd pomiarowy. Jeżeli mierzymy długość pręta przy pomocy zwykłej linijki, możemy stwierdzić, że ma on długość 36,7 cm. Nie możemy zapisać wartości 36,71 cm, ponieważ nasz przyrząd pomiarowy nie ma wystarczającej precyzji, aby mierzyć obiekty z dokładnością do setnych części centymetra. Należy zauważyć, że ostatnia cyfra musiała w jakiś sposób zostać oszacowana przez osobę dokonującą pomiaru. Jeżeli osoba mierząca wspomniany pręt przy pomocy linijki widzi, że jego długość zawiera się między 36,6 cm a 36,7 cm, musi ona oszacować wartość cyfry po przecinku. Zasada cyfr znaczących (ang. significant figures ) mówi, że ostatnia cyfra pomiaru jest pierwszą cyfrą obarczoną niepewnością pomiarową . Aby określić liczbę cyfr znaczących, należy policzyć kolejne cyfry wartości. Na przykład wartość 36,7 cm składa się z trzech cyfr, co oznacza, że ma trzy cyfry znaczące. Liczba cyfr znaczących jest związana z precyzją przyrządu pomiarowego. Zera Podczas omawiania zagadnienia cyfr znaczących należy szczególnie skupić się na zerach. Zera w liczbie 0,053 nie są cyframi znaczącymi, ponieważ nie wpływają na wartość, otaczają jedynie przecinek. Liczba 0,053 ma dwie cyfry znaczące. Zera w liczbie 10,053 są cyframi znaczącymi – liczba ta ma pięć cyfr znaczących. Zera w liczbie 1300 mogą, ale nie muszą być cyframi znaczącymi – zależy to od sposobu zapisu. Mogą one oznaczać, że wartość liczby jest znana do ostatniej cyfry, mogą także być cyframi wypełniającymi. 1300 może mieć więc dwie, trzy lub cztery cyfry znaczące. Aby uniknąć niejednoznaczności, powinniśmy skorzystać z notacji wykładniczej. 1300 możemy zapisać jako 1,3 · 10 3 , 1,30 · 10 3 lub 1,300 · 10 3 w zależności od tego, czy ma dwie, trzy czy cztery cyfry znaczące. Zera są cyframi znaczącymi, chyba że służą jedynie jako cyfry wypełniające . Cyfry znaczące w obliczeniach Jeżeli podczas obliczeń operujemy na pomiarach o różnym stopniu precyzji, liczba cyfr znaczących wyniku nie może być większa niż liczba cyfr znaczących pomiaru o najmniejszej precyzji . Wyróżniamy dwie zasady: jedną dla mnożenia i dzielenia, a drugą dla dodawania i odejmowania. Jeśli chodzi o mnożenie i dzielenie, wynik powinien mieć taką samą liczbę cyfr znaczących jak wartość pomiaru o najniższym stopniu precyzji . Jeśli znamy promień koła, możemy obliczyć jego pole powierzchni, korzystając ze wzoru A = π r 2 . Sprawdźmy, ile cyfr znaczących ma wartość pola koła, którego promień jest równy r = 1,2 m (ma dwie cyfry znaczące). Używając kalkulatora o ośmiocyfrowym wyświetlaczu, otrzymalibyśmy A = π r 2 = 3,141 592 7 … ⋅ ( 1,2 m ) 2 = 4,523 893 4 m 2 . Jednak wartość promienia podana jest z dokładnością do dwóch cyfr znaczących, co oznacza, że otrzymany wynik należy zaokrąglić: A = 4,5 m 2 , mimo tego, że π podane jest z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących. W przypadku dodawania lub odejmowania wynik nie może mieć więcej cyfr po przecinku niż najmniej precyzyjny pomiar. Załóżmy, że w sklepie spożywczym kupujemy 7,56 kg ziemniaków – ważymy je przy pomocy wagi o precyzji 0,01 kg. W naszym laboratorium przy pomocy wagi o precyzji 0,001 kg odmierzamy 6,052 kg ziemniaków i zostawiamy je tam. Następnie wracamy do domu, skąd zabieramy 13,7 kg ziemniaków, zważonych przy pomocy wagi łazienkowej o precyzji 0,1 kg. Ile kilogramów ziemniaków mamy i ilu cyfr znaczących powinniśmy użyć przy formułowaniu odpowiedzi? Masę otrzymujemy dzięki prostemu dodawaniu i odejmowaniu: 7,56  kg − 6,052  kg + 13,7  kg = 15,208  kg  . (\SI{7,56}{\kilo\gram} - \SI{6,052}{\kilo\gram}) + \SI{13,7}{\kilo\gram} = \SI{15,208}{\kilo\gram} \text{.} Po dokonaniu obliczeń znajdujemy pomiar o najniższej precyzji: 13,7 kg. Wartość ta podana jest z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, a więc wynik końcowy również powinien być podany z taką dokładnością. Zaokrąglamy otrzymany wcześniej wynik do części dziesiętnych i uzyskujemy 15,2 kg. Cyfry znaczące w tym podręczniku Większość liczb w tej książce podawana jest z dokładnością do trzech cyfr znaczących. Poza tym wszystkie wartości przedstawiane w danym przykładzie mają odpowiednią liczbę cyfr znaczących. Na przykład wynik podawany jest z dokładnością do trzech cyfr znaczących, ponieważ wartość początkowa również miała taką dokładność. Jeśli wartość początkowa ma mniej cyfr znaczących, wynik również będzie miał ich mniej. Liczba cyfr znaczących jest również odpowiednio dobrana do sytuacji. W przypadku niektórych dziedzin, zwłaszcza w optyce, potrzebne są liczby o wysokim stopniu precyzji. Jeżeli podana jest dokładna wartość liczby, jak na przykład 2 we wzorze na obwód koła, C = 2 π r , nie ma ona wpływu na liczbę cyfr znaczących wyniku. Przeliczniki, takie jak na przykład 100 c m = 1 m , są uznawane za wartości dokładne i również nie mają wpływu na liczbę cyfr znaczących wyniku. Podsumowanie Dokładność pomiaru pozwala ocenić, w jakim stopniu uzyskana wartość zbliżona jest do wartości referencyjnej. Różnicę między tymi wartościami nazywamy błędem pomiaru. Precyzja pomiaru pozwala ocenić stopień zgodności kolejnych zmierzonych wartości. Precyzja pomiaru jest związana z niepewnością pomiarową. Precyzja przyrządu pomiarowego zależy od tego, jaka jest najmniejsza różnica między pomiarami. Im mniejsza różnica, tym bardziej precyzyjny przyrząd. Cyfry znaczące określają precyzję przyrządu pomiarowego. W przypadku mnożenia lub dzielenia zmierzonych wartości wynik końcowy nie może mieć więcej cyfr znaczących niż wartość o najniższym stopniu precyzji. W przypadku dodawania lub odejmowania zmierzonych wartości liczba cyfr po przecinku wyniku końcowego nie może być większa niż liczba cyfr po przecinku wartości o najniższym stopniu precyzji. Najważniejsze wzory Niepewność względna Niepewność względna = Δ A A · 100% Pytania Opisz następujące związki. Opisz związek między precyzją i niepewnością pomiaru. Opisz związek między dokładnością a błędem pomiaru. Niepewność pomiarowa stanowi ilościową reprezentację precyzji. Błąd pomiaru stanowi ilościową reprezentację dokładności. Zadania Rozważmy równanie 4000 / 400 = 10,0 . Co można powiedzieć o liczbie cyfr znaczących dzielnej i dzielnika, jeśli wiadomo, że liczba cyfr znaczących wyniku jest poprawna? Przypuśćmy, że ważysz się na wadze łazienkowej. Wskazuje ona pomiar 65 kg z niepewnością względną równą 3%. Jaka jest niepewność pomiarowa twojej wagi (w kilogramach)? 2 kg Miarka dobrej jakości może wskazywać pomiar z niepewnością równą 0,50 cm na każde 20 m. Podaj niepewność względną. Serce niemowlęcia bije w tempie 130 ± 5 uderzeń na minutę. Jaka jest niepewność względna tego pomiaru? 4% Przypuśćmy, że serce człowieka bije średnio w tempie 72,0 uderzeń na minutę. Ile uderzeń wykona serce w ciągu: 2,0 lat; 2,00 lat; 2,000 lat. Puszka zawiera 375 ml coli. Ile napoju zostanie po wypiciu 308 ml? 67 ml Z dokładnością do ilu cyfr znaczących powinny zostać przedstawione wyniki następujących obliczeń? 106,7 ⋅ 98,2 / ( 46,210 ⋅ 1,01 ) ; ( 18,7 ) 2 ; 1,60 ⋅ 10 − 19 ⋅ 3712 . Ile cyfr znaczących występuje w liczbach 99 i 100? Jeżeli niepewność pomiarowa każdej z liczb jest równa 1, jakie są ich niepewności względne? Z której metody określania dokładności lepiej skorzystać w tym przypadku: cyfr znaczących czy niepewności względnej? Liczba 99 ma 2 cyfry znaczące; 100 ma 3 cyfry znaczące; 1,00%; niepewności względnej. Jeśli niepewność pomiarowa Twojego prędkościomierza jest równa 2,0 km/h przy wskazaniu 90 km/h, jaka jest niepewność względna? Jeśli niepewność względna jest taka sama przy wskazaniu 60 km/h, z jaką największą i najmniejszą prędkością możesz wtedy jechać? Ciśnienie krwi człowieka jest równe ( 120 ± 2 ) m m H g . Podaj niepewność względną. Jaka jest niepewność pomiaru 80 mm Hg przy takiej samej niepewności względnej? 2%; 1 mm Hg. Pewna osoba mierzy sobie puls, licząc uderzenia serca przez 30 s. Jeżeli w ciągu ( 30,0 ± 0,5 ) s naliczyła 40 ± 1 uderzeń, jaka jest prędkość bicia jej serca oraz niepewność pomiarowa w uderzeniach na minutę? Oblicz pole powierzchni koła o średnicy 3,102 cm. 7,557 c m 2 Określ liczbę cyfr znaczących w następujących wynikach pomiarów: 0,0009; 15 450,0; 6 · 10 3 ; 87,990; 30,42. Wykonaj obliczenia i przedstaw wynik przy pomocy odpowiedniej liczby cyfr znaczących. Pewna kobieta ma dwie torby o wadze 13,5 kg i jedną o wadze 10,2 kg. Jaka jest całkowita waga toreb? Siła F działająca na ciało jest równa jego masie m pomożonej przez jego przyspieszenie a . Jeśli przyspieszenie wózka o masie 55 kg jest równe 0,0255 m / s 2 , jaka siła działa na ten wózek? (Jednostką siły jest niuton opisywany symbolem N.) 37,2 kg; ponieważ liczba toreb jest wartością dokładną, nie ma ona wpływu na cyfry znaczące; 1,4 N; wartość początkowa 55 kg przedstawiona jest przy pomocy dwóch cyfr znaczących, więc wynik również musi być przedstawiony przy pomocy dwóch cyfr znaczących. dokładność (ang. accuracy ) określa, jak bardzo pomiar zbliżony jest do wartości referencyjnej błąd pomiaru (ang. discrepancy ) różnica między wartością zmierzoną a wartością oczekiwaną lub znanym standardem metoda dodawania niepewności procentowych (ang. method of adding percents ) niepewność względna wartości obliczonej na podstawie mnożenia lub dzielenia jest sumą niepewności względnych poszczególnych wartości użytych podczas obliczeń niepewność względna (ang. relative uncertainty ) stosunek niepewności pomiaru do wartości tego pomiaru; przedstawiana jest w procentach precyzja (ang. precision ) określa, w jakim stopniu różnią się od siebie kolejne pomiary wykonywane w tych samych warunkach cyfry znaczące (ang. significant figures ) ich liczba świadczy o precyzji pomiaru niepewność pomiarowa (ang. uncertainty ) liczba mówiąca o tym, jak bardzo poszczególne pomiary różnią się między sobą

Science


Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki Rozwiązywanie zadań tekstowych jest konieczne, aby osiągnąć wprawę. (Źródło: „scui3asteveo”/Flickr) Umiejętność rozwiązywania zadań jest niezbędna, jeśli chcemy zrozumieć fizykę. Co więcej, umiejętność zastosowania praw fizyki – reprezentowanych zazwyczaj przez wzory – do danej sytuacji stanowi istotną formę wiedzy. Jest to forma o wiele bardziej przydatna niż znajomość definicji. Zdolności analityczne oraz zdolność rozwiązywania problemów mogą być pomocne, kiedy spotkamy się z nową sytuacją, podczas gdy definicje nie zawierają rozwiązania dla każdego możliwego scenariusza. Zdolności analityczne przydają się zarówno podczas rozwiązywania problemów opisanych w tym rozdziale, jak i w codziennym życiu. Pewnie zdajemy sobie sprawę z tego, że trudno jest znaleźć rozwiązanie zadania bez pewnej dozy kreatywności i intuicji. Nie istnieje algorytm, który zadziała w każdej sytuacji. Kreatywność oraz intuicja rozwijają się wraz z doświadczeniem. Kiedy nabierze się wprawy, podstawowe problemy rozwiązuje się niemal automatycznie. Można podczas czytania rozwiązywać przykłady znajdujące się w tekście. Można też rozwiązywać zadania znajdujące się na końcu podrozdziału – najlepiej zacząć od tych prostszych, co doda nam pewności siebie, a następnie próbować rozwiązywać coraz trudniejsze. Z czasem zaczniemy dostrzegać znaczenie fizyki w otaczającym nas świecie i będziemy mogli stosować jej prawa w sytuacjach, z którymi spotkamy się w codziennym życiu, tak jak opisano to w wielu miejscach w tej książce. Chociaż nie ma prostego algorytmu, który pozwoliłby rozwiązać każdy problem, opisana poniżej metoda ułatwia proces szukania rozwiązania i sprawia, że staje się on bardziej zrozumiały. Trzy etapy, które możemy wyróżnić podczas stosowania tej metody, to stworzenie strategii rozwiązania, rozwiązanie i sprawdzenie. Metoda ta jest stosowana podczas prezentowania rozwiązań zadań w tym podręczniku. Teraz przedstawimy każdy etap po kolei. Strategia rozwiązywania zadań Strategia jest początkowym etapem rozwiązania zadania. Należy rozważyć, na czym dokładnie polega problem i zaproponować strategię, umożliwiającą znalezienie rozwiązania. Poniższe rady mogą być pomocne podczas planowania strategii: Analiza sytuacji pomoże ci stwierdzić, które prawa fizyki są istotne w danym zagadnieniu . Warto na początku stworzyć prosty plan . Często trzeba zdecydować, którą opcję wybrać – możesz to zaznaczyć na swoim planie. Kiedy już stwierdzisz które prawa fizyki odgrywają rolę w rozważanym zagadnieniu, prościej będzie ci znaleźć i zastosować wzory opisujące te prawa. Zastosowanie odpowiedniego wzoru jest kluczowe, ale powinieneś pamiętać, że wzory stanowią jedynie reprezentację zasad fizyki, praw przyrody czy też związków zachodzących między różnymi wielkościami fizycznymi. Jeżeli nie zrozumiesz zagadnienia, uzyskanie wyniku na niewiele się zda. Stwórz listę danych oraz informacji, które możesz wywnioskować na podstawie treści zadania . Problemy często przedstawione są w bardzo zwięzły sposób i na pierwszy rzut oka możemy nie wiedzieć, co jest dane. W tym przypadku plan może być również bardzo przydatny. Zidentyfikowanie danych jest szczególnie ważne podczas stosowania fizyki w codziennych sytuacjach. Jeśli czytamy, że obiekt zatrzymał się, oznacza to, że jego prędkość jest równa zero. Poza tym poprzez zastosowanie układu współrzędnych możemy przyjąć, że początkowy czas oraz położenie były równe zero. Zastanów się, czego szukasz (wypisz szukane wielkości) . Szczególnie w przypadku problemów złożonych nie zawsze jest oczywiste jakie wielkości i w jakiej kolejności powinniśmy znaleźć. Stworzenie listy pomoże nam uporać się z tym problemem. Zastanów się, które wielkości fizyczne pomogą ci w znalezieniu rozwiązania . Jako że prawa fizyki często przedstawiane są w postaci równań matematycznych, pomocna może być lista znanych i nieznanych wartości. W najprostszym przypadku równanie zawiera tylko jedną niewiadomą – co oznacza, że wartości wszystkich pozostałych zmiennych są znane. Obliczenie wartości niewiadomej jest wtedy bardzo łatwe. Jeśli równanie zawiera więcej niewiadomych, konieczne jest rozwiązanie innych równań. W pewnych przypadkach, aby znaleźć szukaną wartość, należy najpierw obliczyć kilka innych. Bardzo istotne jest wtedy pamiętanie o prawach fizyki – w przeciwnym przypadku możemy zagubić się w gąszczu wzorów. Aby uzyskać wynik końcowy, być może będziesz musiał użyć dwóch (lub więcej) różnych wzorów. Rozwiązanie Rozwiązanie to ten etap, w którym wykonywane są obliczenia. Podstaw dane wraz z jednostkami do wzoru, aby uzyskać wynik . Skorzystaj z algebry, analizy matematycznej, geometrii lub arytmetyki, zależnie, od tego, czego potrzebujesz, aby znaleźć szukane wartości. Podczas obliczeń nie możesz zapominać o jednostkach. Ten etap jest bardzo ważny – to w nim uzyskujemy wyniki liczbowe wraz z jednostkami. Pamiętaj jednak, że to jedynie jedna trzecia całego procesu rozwiązywania zadania – istnieją również dwa inne etapy. Sprawdzenie Kiedy już otrzymasz wyniki obliczeń, możesz pomyśleć, że to koniec rozwiązywania zadania. Musisz jednak pamiętać, że fizyka to nie matematyka. Z punktu widzenia fizyki matematyka jest narzędziem pozwalającym zrozumieć naturę otaczającego nas świata. Dlatego po wykonaniu obliczeń powinieneś dokonać sprawdzenia: Sprawdź jednostki. Jeśli uzyskane w odpowiedzi jednostki są niepoprawne, wtedy będziesz musiał naprawić ten błąd, cofając się do poprzedniego etapu. Jednym ze sposobów na usunięcie tego błędu jest sprawdzenie jednostek we wszystkich użytych wcześniej wzorach. Bądź jednak uważny, gdyż prawidłowa jednostka wartości poszukiwanej nie oznacza jej poprawnej wartości liczbowej. Zastanów się, czy wynik jest zgodny z logiką. Czy to ma sens? Ten krok jest niezwykle ważny – celem fizyki jest opisywanie świata zgodnie z rzeczywistością. Aby stwierdzić, czy uzyskany wynik ma sens, sprawdź jego wartość, znak oraz jednostkę. Wartość powinna być zbliżona do wartości oszacowanej. Należy porównać ją z innymi wartościami innych, podobnych wielkości. Znak zazwyczaj zawiera informację o zwrocie wielkości wektorowej i powinien być zgodny z oczekiwaniami. Im więcej zadań rozwiążesz, tym szybciej wyrobisz w sobie intuicję, która pomoże ci trafnie ocenić, czy uzyskany wynik ma sens. Na tym etapie wracamy do postrzegania zagadnienia w sposób konceptualny. Jeśli zamiast ograniczać się do mechanicznego rozwiązania zadania potrafisz ocenić, czy odpowiedź ma sens, oznacza to, że naprawdę zrozumiałeś zagadnienie. Zastanów się, czy z odpowiedzi można wyciągnąć wnioski. Co to oznacza? Ten podpunkt jest konsekwencją pytania: „Czy to ma sens?”. Fizyka próbuje wytłumaczyć otaczający nas świat, a zadania z zakresu fizyki rozwiązujemy, aby dowiedzieć się, jak funkcjonuje przyroda. Jeżeli stwierdzisz, że uzyskana przez ciebie odpowiedź ma sens, powinieneś zastanowić się, co ciekawego ta odpowiedź mówi ci o świecie. Nawet jeśli dana odpowiedź nie wydaje ci się interesująca, możesz zastanowić się nad sposobem, w jaki do niej doszedłeś. Czy sposób ten można by wykorzystać, aby uzyskać odpowiedź na pytanie, które cię interesuje? W dużej mierze dzięki odpowiedziom na takie pytania nauka wciąż posuwa się naprzód. Podsumowanie W tym podręczniku stosuje się trzy kolejne etapy rozwiązywania zadań z zakresu fizyki. Są to: Strategia rozwiązania zadania : Zdecyduj, które prawa fizyki związane są z zagadnieniem i zaplanuj strategię wykorzystującą te prawa. Rozwiązanie : Wykonaj niezbędne obliczenia. Pamiętaj o jednostkach. Sprawdzenie : Sprawdź rozwiązanie; zastanów się, czy jednostki i znak są poprawne oraz czy uzyskana wartość ma sens. Wyciągnij wnioski. Pytania Jakie informacje są potrzebne, aby stwierdzić za pomocą których wzorów można znaleźć rozwiązanie problemu? Co powinieneś zrobić kiedy uzyskasz już wynik obliczeń? Upewnić się, że uzyskana wartość ma sens oraz wyciągnąć wnioski. Zadania dodatkowe Dane jest równanie y = m t + b . Wymiarem y jest długość, a wymiarem t czas, nastomiast m oraz b są stałymi. Jakie są wymiary (jednostki) wielkości w układzie SI a) m oraz b) b ? Dane jest równanie s = s 0 + v 0 t + a 0 t 2 / 2 + j 0 t 3 / 6 + S 0 t 4 / 24 + c t 5 / 120, gdzie s to długość, a t to czas. W jakich jednostkach układu SI wyrażone są następujące wielkości: s 0 ; v 0 ; a 0 ; j 0 ; S 0 ; c ? [ s 0 ] = L , jednostka to metr (m); [ v 0 ] = LT −1 , jednostka to metr na sekundę (m/s); [ a 0 ] = LT −2 , jednostka to metr na sekundę do kwadratu ( m/s 2 ); [ j 0 ] = LT −3 , jednostka to metr na sekundę do potęgi trzeciej ( m/s 3 ); [ S 0 ] = LT −4 , jednostka to m/s 4 ; [ c ] = LT −5 , jednostka to m/s 5 . Prędkościomierz w samochodzie ma niepewność względną równą 5%. W jakim zakresie może mieścić się rzeczywista prędkość, jeśli prędkościomierz wskazuje 90 km/h? Przedstaw uzyskany zakres w milach na godzinę. 1 km = 0,6214 mil. Biegacz ukończył maraton (42,188 km) w czasie 2 h 30 min 12 s. Dystans jest obarczony niepewnością 25 m, a czas niepewnością równą 1 s. Oblicz niepewność względną dystansu. Oblicz niepewność względną uzyskanego czasu. Jaka była średnia szybkość biegacza (w metrach na sekundę)? Jaka jest niepewność średniej szybkości? 0,059%; 0,01%; 4,681 m/s; 0,07%, 0,003 m/s. Boki małego prostopadłościennego pudełka mierzą ( 1,80 ± 0,1 ) c m , ( 2,05 ± 0,02 ) c m oraz ( 3,1 ± 0,1 ) c m . Oblicz objętość tego pudełka oraz jej niepewność w centymetrach sześciennych. Kiedy w krajach Zjednoczonego Królestwa używano jednostek niemetrycznych, masę mierzono w funtach (1 funt to 0,4539 kilograma). Jeśli jednostka funta obarczona jest niepewnością równą 0,0001 kg, jaka jest jej niepewność względna? Na podstawie wyznaczonej niepewności względnej określ jaka masa w funtach ma niepewność równą 1 kg? 0,02%; 10 4 funtów. Długość i szerokość prostokątnego pokoju są równe ( 3,955 ± 0,005 ) m oraz ( 3,050 ± 0,005 ) m . Oblicz wartość pola powierzchni pokoju oraz jej niepewność w metrach kwadratowych. Znajdujący się w silniku samochodowym tłok o średnicy ( 7,500 ± 0,002 ) c m spręża znajdujący się w cylindrze gaz przesuwając się o ( 3,250 ± 0,001 ) c m . O ile zmniejsza się objętość gazu (w centymetrach sześciennych)? Oblicz niepewność pomiarową tej objętości. 143,6 c m 3 ; 0,2 c m 2 , czyli 0,14%. Zadania trudniejsze Bomba atomowa po raz pierwszy została zdetonowana 16 lipca 1945 roku podczas testu Trinity, około 300 km na południe od Los Alamos. W 1947 roku rząd Stanów Zjednoczonych odtajnił nagranie z tego wydarzenia. Na podstawie tego nagrania brytyjski fizyk G. I. Taylor ustalił prędkość, z jaką rozprzestrzeniała się eksplozja. Dzięki analizie wymiarowej mógł następnie określić ilość energii uwolnionej podczas eksplozji. W tamtym czasie była to informacja tajna, w związku z czym Taylor opublikował wyniki swojej analizy dopiero w roku 1950. Możesz spróbować sam odtworzyć przebieg przeprowadzonych przez Taylora obliczeń. a. Opierając się na intuicji będącej wynikiem wieloletniego doświadczenia, Taylor uznał, że promień r obszaru objętego eksplozją zależny był od czasu t , który upłynął od wybuchu, gęstości powietrza ρ oraz energii początkowej eksplozji E . W oparciu o te założenia stwierdził, że r = k E a ρ b t c , gdzie k jest bezwymiarową stałą, natomiast a , b oraz c są nieznanymi wykładnikami. Wiedząc, że [ E ] = M L 2 T − 2 , określ wartości wykładników tak, aby równanie było wymiarowo spójne. Wskazówka : Zauważ, że po przekształceniu wzoru uzyskamy k = r E − a ρ − b t − c oraz że [ k ] = 1 . b. Po zapoznaniu się z danymi dotyczącymi środków wybuchowych generujących dużą ilość energii, Taylor stwierdził, że opracowany przez niego wzór jest poprawny, jeśli stała k ma wartość 1,03. Na podstawie nagrania Taylor mógł określić wiele wartości r i związanych z nimi wartości t . Na przykład stwierdził, że po 25,0 ms promień obszaru objętego eksplozją był równy 130,0 m. Skorzystaj z podanych tu wartości, aby obliczyć całkowitą energię uwolnioną podczas eksplozji, w dżulach (J). Przyjmij, że średnia gęstość powietrza jest równa 1,25 k g / m 3 . Wskazówka : Aby obliczyć energię w dżulach, musisz się upewnić, że wszystkie wartości, na jakich operujesz, podane są w podstawowych jednostkach układu SI. Energia uwolniona podczas dużych eksplozji często wyrażana jest w tonach trotylu. 1 t trotylu to około 4,2 GJ. Przedstaw wynik uzyskany w poprzednim zadaniu w podpunkcie b. w kilotonach trotylu. Porównaj swoją odpowiedź z wartością 10 kt trotylu, którą oszacował Enrico Fermi wkrótce po tym, jak zobaczył eksplozję z dystansu, który uznał za bezpieczny (podobno Fermi umieścił na ziemi kawałki papieru tuż przed tym jak, dotarła do niego fala uderzeniowa, co pozwoliło mu zaobserwować, jak daleko kawałki te zostały przeniesione). Celem tego ćwiczenia jest pokazanie, że cała idea spójności wymiarów wynika z tego, że nie można dodać do siebie różnych rzeczy. Jeżeli na analizie matematycznej uczyłeś się o szeregach potęgowych, to wiesz, że standardowe funkcje matematyczne, takie jak funkcje trygonometryczne, logarytmiczne lub eksponencjalne, można przedstawić jako nieskończone sumy postaci ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ⋯ , gdzie a n jest bezwymiarową stałą, n przyjmuje wartości n = 0,1,2 , ⋯ , a x jest argumentem funkcji (jeżeli nie przerabiałeś jeszcze szeregów potęgowych, po prostu zaufaj nam). Wykorzystaj ten fakt, aby wytłumaczyć dlaczego definicja spójności wymiarów sprowadza się tylko do tego, aby wszystkie składniki w równaniu miały ten sam wymiar. Wzór ten sugeruje, że argumenty standardowych funkcji matematycznych powinny być bezwymiarowe, a więc tego ostatniego warunku nie trzeba zawierać w definicji spójności wymiarowej. Jako że argument w każdym wyrazie ciągu potęgowego podnoszony jest do innej potęgi, jedynym sposobem, aby zachować spójność wymiarów, jest używanie argumentów, które są liczbami niemianowanymi. Załóżmy, że x = L a M b T c . Oznacza to, że x n = x n = L a n M b n T c n . Jeżeli x = x n , wtedy a n = a , b n = b i c n = c dla każdego n . Jest to możliwe, tylko jeśli a = b = c = 0 .

Science


Wstęp Drogowskazy zawierają informacje o odległościach i kierunkach, w jakich znajdują się różne miejscowości. Odległość, nazywana w fizyce drogą, jest wielkością skalarną. Jeśli chcemy dostać się w dane miejsce, nie wystarczy, że wiemy, jak daleko się ono znajduje, musimy znać również kierunek, w którym trzeba się udać w stosunku do bieżącego położenia. Kierunek oraz odległość tworzą wektor, nazywany wektorem przemieszczenia, możemy więc powiedzieć, że drogowskazy zawierają informacje o wektorach przemieszczenia. (Źródło: modyfikacja pracy „studio tdes”/Flickr) Wektory stanowią ważne zagadnienie w fizyce oraz inżynierii. Wiele podstawowych wielkości fizycznych to wielkości wektorowe. Należą do nich m.in.: przemieszczenie, prędkość, siła, wektor pola elektrycznego oraz wektor pola magnetycznego. Obliczenie ich iloczynu wektorowego pozwala na zdefiniowanie kolejnych wielkości wektorowych, takich jak moment obrotowy lub moment pędu. Poprzez obliczenie iloczynu skalarnego wielkości wektorowych możemy uzyskać wielkości skalarne, takie jak na przykład energia. Krótko mówiąc, wektory w fizyce pełnią tak podstawową funkcję, jak zdania w literaturze. Wektory reprezentowane są w przestrzeni euklidesowej jedno-, dwu- lub trójwymiarowej jako strzałki. Wektory można dodawać, odejmować lub mnożyć. Rachunek wektorowy odgrywa znaczącą rolę w wielu dziedzinach fizyki. W tym rozdziale skupimy się na jego zastosowaniach w działach takich jak mechanika oraz elektryczność i magnetyzm.

Science


Skalary i wektory Wiele wielkości fizycznych można opisać, podając liczbę oraz odpowiednią jednostkę. Możemy powiedzieć na przykład „lekcja trwa 45 minut”, „bak w moim samochodzie ma pojemność 65 l” lub „odległość między tymi słupami to 100 m”. Wielkości, które można określić w ten sposób, nazywamy wielkościami skalarnymi (ang. scalar quantity ). Skalar oznacza liczbę. Czas, masa, droga, długość, objętość, temperatura oraz energia są przykładami wielkości skalarnych . Wielkości skalarne przedstawiane przy pomocy tych samych jednostek mogą być dodawane lub odejmowane tak jak pozostałe liczby. Na przykład lekcja, która skończy się 10 min przed czasem, będzie trwała 45 m i n − 10 m i n = 35 m i n . Całkowita energia zawarta w bananie, który ma 90 kalorii, oraz w pączku, który ma 200 kalorii, jest równa 90 c a l + 200 c a l = 290 c a l . W wyniku mnożenia wielkości skalarnej przez liczbę otrzymamy tę samą liczbę, choć o innej wartości. Przykładowo, jeśli zjedzone przez nas wczoraj śniadanie miało 200 kalorii, a to, które zjedliśmy dziś, było 4 razy bardziej kaloryczne, to energia dzisiejszego śniadania była równa 4 ⋅ 200 c a l = 800 c a l . Wielkości skalarne mogą być mnożone lub dzielone przez siebie nawzajem. Wynikiem takich działań są pochodne wielkości skalarne. Jeśli pociąg przebywa drogę 100 km w ciągu 1,0 h, oznacza to, że jedzie ze średnią szybkością 100 km / 1,0 h = 100 km/h = 27,8 m/s , gdzie szybkość jest pochodną wielkością skalarną, otrzymaną w wyniku dzielenia drogi przez czas. Do opisu wielu wielkości fizycznych nie wystarczą jednak liczba i jednostka. Jeśli straż przybrzeżna wysyła jednostkę ratunkową, nie wystarczy, że zna odległość od miejsca, z którego wysłano sygnał SOS, musi również znać kierunek, z którego ten sygnał dochodzi. Wielkości fizyczne, które opisuje się, podając liczbę jednostek (długość) oraz kierunek, nazywamy wielkościami wektorowymi (ang. vector quantity ). Należą do nich przemieszczenie, prędkość, siła oraz moment siły. Wielkości wektorowe reprezentowane są przez obiekty matematyczne zwane wektorami (ang. vector ) ( ). Wektory można dodawać lub odejmować, można je również mnożyć przez skalar lub przez inny wektor, natomiast dzielenie wektora przez skalar to mnożenie przez odwrotność skalara. Wektor rysujemy od punktu zaczepienia (nazywanego też początkiem wektora) do punktu końcowego (nazywanego też końcem wektora) oznaczonego grotem strzałki. Moduł wektora jest równy jego długości – jest to liczba dodatnia. (Źródło: modyfikacja pracy Cate Sevilla) Na początku zapoznamy się z metodą graficzną dodawania i odejmowania wektorów – pomoże ci to zrozumieć podstawowe pojęcia i nauczyć się odpowiedniego sposobu myślenia. W rzeczywistości podczas rozwiązywania zadań korzysta się z metod analitycznych, o czym wkrótce się przekonamy. Metody analityczne są dokładniejsze, a wykonywane w ich przypadku obliczenia bardzo proste. Aby odróżnić wielkości skalarne od wektorowych, przyjmiemy, że pochylona litera ze strzałką u góry oznacza wektor. Na przykład drogę równą 2,0 km, a więc wielkość skalarną, zapiszemy jako d = 2,0 k m , natomiast przemieszczenie w konkretnym kierunku, równe 2,0 km zapiszemy jako d → , ponieważ jest to wielkość wektorowa. Wyobraź sobie, że jesteś z przyjacielem na kempingu i mówisz mu, że odkryłeś fantastyczne miejsce do wędkowania, 6 km od twojego namiotu. Jeśli nie powiesz, w jakim kierunku od obozowiska znajduje się to miejsce, twój przyjaciel najprawdopodobniej go nie znajdzie, ponieważ nie podając kierunku określiłeś jedynie okrąg, na którego obwodzie znajduje się to miejsce. Możesz powiedzieć na przykład „Idź 6 km na północny wschód od mojego namiotu”. Krótko mówiąc, musisz podać dwie informacje — odległość (6 km) oraz kierunek (północny wschód). Przemieszczenie jest to ogólne pojęcie opisujące zmianę położenia , jak na przykład podczas wędrówki z namiotu do miejsca wędkowania. Przemieszczenie jest przykładem wielkości wektorowej. Jeśli idziesz od namiotu (położenie A ) do jeziora (położenie B ), jak przedstawiono na , wektor D → , reprezentujący Twoje przemieszczenie (ang. displacement ), przedstawia się za pomocą strzałki z początkiem w punkcie A i końcem w punkcie B . Grot strzałki oznacza koniec wektora. Kierunek strzałki jest kierunkiem wektora przemieszczenia D → . Długość strzałki przedstawia moduł (ang. magnitude ) D wektora D → . W tym przypadku jest to D = 6 k m . Ponieważ moduł wektora jest jego długością, a więc liczbą dodatnią, moduł można również zapisać, obejmując symbol wektora wartością bezwzględną: D ≡ | D → | . Aby rozwiązać zadanie dotyczące wektorów graficznie, musimy narysować wektor D → w odpowiedniej skali. Jeśli przyjmiemy, że jedna jednostka długości (1 km) na rysunku będzie odpowiadała długości u = 2 c m , wektor przemieszczenia będzie miał całkowitą długość d = 6 u = 6 ⋅ 2 c m = 12 c m , jak widzimy na . Zauważ, że użyliśmy różnych symboli, aby oznaczyć moduł wektora ( D = 6 k m ) oraz długość jego reprezentacji graficznej ( d = 12 c m ). Wektor przemieszczenia z początkiem w punkcie A (w obozowisku) oraz końcem w punkcie B (przy jeziorze) obrazuje strzałka o początku w punkcie A oraz końcu w punkcie B . Przemieszczenie jest takie samo dla każdej z dróg (reprezentowanych na rysunku przez inne strzałki) łączącej punkty A oraz B . Jeśli przyjmiemy, że 2 cm oznaczają 1 jednostkę przemieszczenia (w tym przypadku 1 km), to przesunięcie D → o module 6 km należy przedstawić graficznie za pomocą strzałki o długości 12 cm. Przypuśmy, że twój przyjaciel idzie z obozowiska znajdującego się w punkcie A do jeziora znajdującego się w punkcie B , a następnie z powrotem: z jeziora znajdującego się w B do obozowiska znajdującego się w A . Moduł wektora przemieszczenia D → A B z A do B jest równy modułowi wektora przemieszczenia D → B A z B do A (w obu przypadkach jest równy 6 km), możemy więc zapisać, że D A B = D B A . Jednak wektor D → A B nie jest równy wektorowi D → B A , ponieważ wektory te mają inny zwrot: D → A B ≠ D → B A . Na wektor D → B A miałby początek w punkcie B , a koniec w punkcie A , co oznacza, że D → B A wskazuje na południowy-zachód, zatem kąt między wektorem D → A B i D → B A wynosi 180 ∘ . Mówimy, że wektor D → B A oraz wektor D → A B są wektorami przeciwnymi (ang. antiparallel vectors ). Zależność tę zapisujemy: D → A B = − D → B A , gdzie minus oznacza kierunek przeciwny. Wektory zwrócone w tym samym kierunku nazywamy wektorami zgodnie skierowanymi (ang. parallel vectors ), co oznacza, że mają one ten sam zwrot . Dwa wektory o tym samym zwrocie A → oraz B → są równe, co zapisujemy A → = B → , wtedy i tylko wtedy, kiedy ich moduły są równe | A → | = | B → | . Równe są także wektory o różnych punktach zaczepienia, o ile mają taki sam kierunek, zwrot i moduł. Dwa wektory o zwrotach różniących się o 90 ∘ to wektory ortogonalne (ang. orthogonal vectors ), czyli wektory prostopadłe. Relacje między wektorami pokazano na . Zależności między dwoma wektorami A → i B → . (a) A → ≠ B → , ponieważ A ≠ B . (b) A → ≠ B → , ponieważ mają różne zwroty oraz A ≠ B . (c) A → ≠ − A → , ponieważ ich zwroty są różne (mimo tego, że | A → | = | − A → | = A ). (d) A → = B → , ponieważ mają takie same zwroty oraz równe moduły. A = B (e) A → ≠ B → , ponieważ ich kierunki są różne; ich kierunki różnią się o 90 ∘ , czyli są to wektory ortogonalne. Sprawdź, czy rozumiesz. Dwie łodzie motorowe o nazwach „Alicja” i „Beata” poruszają się po jeziorze. Na podstawie poniższych informacji określ, czy ich wektory prędkości są równe, czy nie. „Alicja” porusza się na północ z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na zachód z prędkością 6 węzłów. „Alicja” porusza się na zachód z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na zachód z prędkością 3 węzłów. „Alicja” porusza się na północny wschód z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na południe z prędkością 3 węzłów. „Alicja” porusza się na północny wschód z prędkością 6 węzłów, a „Beata” porusza się na południowy zachód z prędkością 6 węzłów. „Alicja” porusza się na północny wschód z prędkością 2 węzłów, a „Beata” znajduje się bliżej brzegu i porusza się na północny wschód z prędkością 2 węzłów. nie są równe, ponieważ są ortogonalne; nie są równe, ponieważ mają różne moduły; nie są równe, ponieważ mają różne moduły i kierunki; nie są równe, ponieważ mają przeciwne zwroty; równe. Rachunek wektorowy w jednym wymiarze Wektory mogą być mnożone przez skalar, dodawane lub odejmowane od innych wektorów. Pokażemy te działania na przykładzie wyprawy na ryby, który przedstawiliśmy już na . Wektory przemieszczenia podczas wyprawy na ryby. (a) Postój w punkcie C podczas wędrówki z obozowiska (punkt A ) nad jezioro (punkt B ). (b) Powrót po zgubioną skrzynkę (punkt D ). (c) Zakończenie wędrówki nad jeziorem. Przypuśćmy, że twój przyjaciel wyrusza z punktu A (z obozowiska) i idzie w kierunku punktu B (jeziora), ale w pewnym momencie robi postój w punkcie C , znajdującym się w trzech czwartych drogi między punktem A a punktem B ( (a)). Jaki jest jego wektor przemieszczenia D → A C , kiedy znajduje się w punkcie C ? Wiemy, że jeśli przejdzie całą drogę do punktu B , jego wektor przemieszczenia o początku w punkcie A jest równy D → A B , jego moduł jest równy D A B = 6 k m , a kierunek wektora to północny wschód. Jeśli przejdzie 0,75 drogi, utrzymując kierunek północno-wschodni, to będąc w punkcie C , musi znajdować się 0,75 D A B = 4,5 k m od obozowiska w punkcie A . Oznacza to, że wektor przemieszczenia, kiedy znajduje się on w punkcie C , ma moduł równy D A C = 4,5 k m = 0,75 D A B i jest równoległy do wektora przemieszczenia D → A B . Można to przedstawić za pomocą poniższego równania wektorowego (ang. vector equation ): D → A C = 0,75 D → A B . W równaniu wektorowym po obu stronach znaku równości znajdują się wektory. Powyższe równanie jest przykładem mnożenia wektora przez dodatni skalar (liczbę) α = 0,75 . Wynikiem D → A C mnożenia jest nowy wektor o tym samym kierunku i zwrocie co wektor D → A B . Wynikiem mnożenia wektora A → przez liczbę dodatnią α jest nowy wektor B → o tym samym kierunku oraz zwrocie co wektor A → : B → = α A → . Moduł | B → | nowego wektora oblicza się uwzględniając moduł | A → | oryginalnego wektora. Ukazuje to poniższe równanie skalarne (ang. scalar equation ): B = | α | A . W równaniu skalarnym po obu stronach znaku równości znajdują się liczby. jest równaniem skalarnym, ponieważ moduły wektorów są liczbami (dodatnimi). Jeśli skalar α występujący w wektorowym jest ujemny , to moduł | B → | nowego wektora wciąż obliczamy z , ale zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora A → . Dokładne zasady przedstawione zostały na (a) na dwóch przykładach, gdzie długość wektora A → wynosi 1,5 jednostki. Kiedy α = 2 , nowy wektor B → = 2 A → ma długość B = 2 A = 3,0 jednostki (jest dwa razy dłuższy) i ma taki sam zwrot oraz kierunek, co pierwszy wektor. Kiedy α = −2 , nowy wektor C → = − 2 A → ma długość C = | − 2 | A = 3,0 jednostki (jest dwa razy dłuższy) i ma ten sam kierunek co pierwszy wektor, lecz przeciwny zwrot. Rachunek wektorowy w jednym wymiarze. (a) Mnożenie przez skalar. (b) Dodawanie dwóch wektorów ( R → jest sumą wektorów A → i B → ). (c) Odejmowanie dwóch wektorów ( D → jest różnicą wektorów A → i B → ). Teraz załóżmy, że twój przyjaciel wędkarz wyrusza z punktu A i idzie w kierunku punktu B , ale po drodze zauważa, że zgubił skrzynkę z przyborami wędkarskimi. Wraca więc do punktu C (w trzech czwartych drogi między punktem A a punktem B ), gdzie zrobił postój, bo pamięta, że tam na pewno jeszcze miał ją przy sobie. Zawraca więc i idzie w kierunku obozowiska. Znajduje skrzynkę leżącą przy ścieżce 1,2 km od punktu C , w punkcie D (zobacz (b)). Jaki jest jego wektor przemieszczenia D → A D , jeśli skrzynka znajdowała się w punkcie D ? Jaki jest jego wektor przemieszczenia D → D B od punktu D do jeziora? Już wcześniej stwierdziliśmy, że w punkcie C jego wektor przesunięcia jest równy D → A C = 0,75 D → A B . Po wznowieniu marszu w punkcie C wędkarz idzie na południowy zachód (w kierunku obozowiska), co oznacza, że jego wektor przemieszczenia D → C D o początku w punkcie C i końcu w punkcie D ma zwrot przeciwny do wektora D → A B . Jego moduł | D → C D | jest równy D C D = 1,2 k m = 0,2 D A B , a więc jego drugi wektor przemieszczenia jest równy D → C D = − 0,2 D → A B . Jego całkowite przemieszczenie D → A D względem obozu jest sumą wektorów (ang. vector sum ) przemieszczenia: wektora D → A C (od obozu do miejsca postoju) oraz wektora D → C D (od miejsca postoju do miejsca, w którym znalazł zgubioną skrzynkę): D → A D = D → A C + D → C D . Jeśli wektory znajdujące się po prawej stronie są znane, możemy znaleźć sumę D → A D w następujący sposób: D → A D = D → A C + D → C D = 0,75 D → A B − 0,2 D → A B = ( 0,75 − 0,2 ) D → A B = 0,55 D → A B . Kiedy twój przyjaciel dotrze wreszcie nad jezioro (do punktu B ), wektor jego przemieszczenia D → A B z punktu A będzie sumą wektorów przemieszczenia D → A D z punktu A do punktu D oraz wektora przemieszczenia D → D B z punktu D do docelowego punktu nad jeziorem D → A B = D → A D + D → D B ( (c)). Oznacza to, że wektor jego przemieszczenia D → D B będzie różnicą wektorów (ang. difference of two vectors ): D → D B = D → A B − D → A D = D → A B + ( − D → A D ) . Zauważ, że różnica dwóch wektorów jest po prostu sumą wektora, który jest pierwszym jej składnikiem, oraz wektora o zwrocie przeciwnym. Drugim składnikiem jest wektor − D → A D (który ma zwrot przeciwny niż wektor D → A D ). Jeśli podstawimy do , otrzymamy drugi wektor przemieszczenia: D → D B = D → A B − D → A D = D → A B − 0,55 D → A B = ( 1,0 − 0,55 ) D → A B = 0,45 D → A B . Wynik oznacza, że twój przyjaciel przeszedł D D B = 0,45 D A B = 0,45 ⋅ 6,0 k m = 2,7 k m od punktu, w którym znalazł zgubioną skrzynkę, do punktu docelowego nad jeziorem. Jeśli wektory A → i B → są do siebie równoległe, tak jak w przykładzie z wyprawą na ryby, to wektory będące ich sumą R → = A → + B → i różnicą D → = A → − B → również są do nich równoległe – mają ten sam kierunek. Dodawanie i odejmowanie wektorów możemy przedstawić graficznie, rysując je z zachowaniem skali, tak jak przedstawiono na . Aby narysować wektor będący sumą wektorów A → i B → o tym samym kierunku i zwrocie, rysujemy je jeden za drugim, łącząc punkt początkowy jednego z nich z punktem końcowym drugiego ( (b)). Moduł wektora wynikowego jest sumą modułów wektorów składowych: R → = A → + B → . Zwrot wektora wynikowego jest taki sam jak zwrot wektorów składowych. Kiedy wektor A → ma zwrot przeciwny do wektora B → , rysujemy je, łącząc ze sobą punkty końcowe ( (c)) lub początkowe. Moduł wektora będącego różnicą wektorów jest wartością bezwzględną D = | A − B | różnicy modułów wektorów składowych. Zwrot wektora wynikowego D → jest taki sam jak zwrot wektora składowego o większym module. Ogólnie rzecz biorąc, niezależnie od liczby wymiarów przestrzeni, możemy dodawać dowolną liczbę wektorów w dowolnej kolejności, ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne (ang. commutative ), A → + B → = B → + A → , oraz łączne (ang. associative ), ( A → + B → ) + C → = A → + ( B → + C → ) . Mnożenie przez skalar jest rozdzielne (ang. distributive ) względem dodawania: α 1 A → + α 2 A → = ( α 1 + α 2 ) A → . Z cechy rozdzielności mnożenia względem dodawania korzystamy w i . Podczas dodawania wielu wektorów w jednym wymiarze przydatne jest pojęcie wektora jednostkowego (ang. unit vector ). Wektor jednostkowy oznaczać będziemy przez pochyloną literę z daszkiem, jak na przykład u ^ . Jego moduł jest równy jeden, a sam wektor nie jest opisywany przez żadną jednostkę, więc | u ^ | = u = 1 . Jedyną rolą wektora jednostkowego jest ustalenie kierunku. Na przykład zamiast mówić, że wektor D → A B ma moduł równy 6,0 km i kierunek północno-wschodni, możemy posłużyć się wektorem jednostkowym u ^ o kierunku północno-wschodnim i zapisać D → A B = 6,0 k m ⋅ u ^ . Kierunek południowo-zachodni wskazywany jest wtedy przez wektor jednostkowy − u ^ . Przemieszczenie o 6,0 km w kierunku południowo-zachodnim możemy zapisać w następujący sposób: D → B A = − 6,0 k m ⋅ u ^ . Wędrująca biedronka Długa drewniana miarka stoi oparta o ścianę w laboratorium fizycznym. Jej koniec, oznaczony wartością 200 cm, dotyka podłogi. Biedronka ląduje na wartości 100 cm i zaczyna się przemieszczać wzdłuż miarki. Najpierw przechodzi 15 cm w stronę podłogi, następnie 56 cm w stronę ściany, a później znowu 3 cm w stronę podłogi. Następnie zatrzymuje się na chwilę, przechodzi 25 cm w stronę podłogi i 19 cm w stronę ściany, po czym zatrzymuje się ( ). Znajdź wektor przemieszczenia biedronki i ustal jej końcowe położenie na miarce. Strategia rozwiązania Jeśli przyjmiemy, że kierunek wektora jednostkowego u ^ wskazuje w stronę podłogi, to kierunek ten oznaczymy przez + u ^ , a kierunek od podłogi w górę przez − u ^ . Możemy wyróżnić pięć wektorów przemieszczenia biedronki: D → 1 = 15  cm ⋅ + u ̂  , D → 2 = 56  cm ⋅ − u ̂  , D → 3 = 3  cm ⋅ + u ̂  , D → 4 = 25  cm ⋅ + u ̂  , D → 5 = 19  cm ⋅ − u ̂  . \begin{align} \vec D_1 &= \SI{15}{\centi\metre} \cdot (+\hat u) \text{,} \\ \vec D_2 &= \SI{56}{\centi\metre} \cdot (-\hat u) \text{,} \\\vec D_3 &= \SI{3}{\centi\metre} \cdot (+\hat u) \text{,} \\\vec D_4 &= \SI{25}{\centi\metre} \cdot (+\hat u) \text{,} \\ \vec D_5 &= \SI{19}{\centi\metre} \cdot (-\hat u) \text{.} \end{align} Całkowity wektor przemieszczenia D → jest sumą wszystkich wektorów przemieszczenia. Pięć wektorów przemieszczenia biedronki. Zauważ, że na tym schemacie moduły poszczególnych wektorów nie zachowują skali. (Źródło: modyfikacja pracy „Persian Poet Gal”/Wikimedia Commons) Rozwiązanie Suma wszystkich wektorów przemieszczenia jest następująca: D → = D → 1 + D → 2 + D → 3 + D → 4 + D → 5 = 15 c m ⋅ ( + u ^ ) + 56 c m ⋅ ( − u ^ ) + 3 c m ⋅ ( + u ^ ) + 25 c m ⋅ ( + u ^ ) + 19 c m ⋅ ( − u ^ ) = ( 15 c m − 56 c m + 3 c m + 25 c m − 19 c m ) ⋅ u ^ = − 32 c m ⋅ u ^ . W powyższych obliczeniach korzystamy z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania przedstawionego w . Wynik interpretujemy w następujący sposób: punkt zaczepienia wektora całkowitego przemieszczenia znajduje się w punkcie oznaczonym 100 cm (w miejscu wylądowania biedronki). Wektor skierowany jest w stronę ściany. Na dotykającym ściany końcu miarki znajduje się wartość 0 cm, a więc biedronka po zakończeniu wędrówki znajduje się w punkcie wyznaczonym przez proste odejmowanie 100 c m − 32 c m = 68 c m . Sprawdź, czy rozumiesz. Nurek jaskiniowy wpływa do długiego podwodnego tunelu. Kiedy jego przemieszczenie względem początku tunelu jest równe 20 m, przypadkowo upuszcza aparat fotograficzny, ale zauważa to dopiero po przepłynięciu kolejnych 6 m. Kiedy zauważa brak aparatu, zawraca i przepływa 10 m, nie może go jednak znaleźć i decyduje się zakończyć nurkowanie. Jak daleko znajduje się od początku tunelu? Przyjmując, że wektor zwrócony na zewnątrz tunelu ma wartość dodatnią, jaki jest jego wektor przemieszczenia? 16 m ; D → = − 16 m ⋅ u ^ . Rachunek wektorowy w dwóch wymiarach Wektory leżące na płaszczyźnie, to znaczy w przestrzeni dwuwymiarowej, mogą być mnożone przez skalar, dodawane oraz odejmowane od innych wektorów, zgodnie z zasadami przedstawionymi w , , oraz . Jednak dodawanie wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej jest bardziej skomplikowane niż dodawanie w jednym wymiarze. Wektory można dodawać metodą graficzną, korzystając z zasad geometrii, lecz aby obliczyć zwrot, kierunek i moduł wektora wypadkowego, potrzebna będzie trygonometria. Metoda graficzna często wykorzystywana jest w nawigacji ( ). Podczas konstrukcji wektorów z zachowaniem skali potrzebne ci będą dwie linijki, ekierka, kątomierz, ołówek oraz gumka do ścierania. Wektory przemieszczenia dodawane są na mapach za pomocą metody graficznej. Podczas graficznego dodawania wektorów na płaszczyźnie stosujemy metodę równoległoboku (ang. parallelogram rule ). Załóżmy, że dwa wektory A → i B → znajdują się w przypadkowych pozycjach przedstawionych na . Jeden z wektorów należy przesunąć tak, aby punkt zaczepienia obu wektorów był wspólny. Następnie od punktu końcowego wektora A → prowadzimy odcinek równoległy do wektora B → , a od punktu końcowego wektora B → prowadzimy odcinek równoległy do wektora A → (odcinki te na oznaczone są liniami przerywanymi). W ten sposób tworzymy równoległobok. Rysujemy przekątną zawierającą punkt zaczepienia wektorów. Przekątna ta jest sumą R → dwóch wektorów: R → = A → + B → ( (a)). Druga przekątna równoległoboku jest różnicą dwóch wektorów D → = A → − B → , co przedstawiono na (b). Zauważ, że punkt końcowy wektora będącego różnicą wektorów jest wspólny z punktem końcowym wektora A → . Metoda równoległoboku dodawania dwóch wektorów. Przesuń jeden z wektorów w taki sposób, aby punkt zaczepienia (oznaczony kropką) obu wektorów był wspólny. Skonstruuj równoległobok, którego dwoma bokami będą wektory, a pozostałymi dwoma odcinki do nich równoległe (oznaczone na rysunku linią przerywaną). (a) Wektor o tym samym punkcie zaczepienia, jaki mają dodawane wektory, pokrywający się z przekątną równoległoboku, to suma wektorów R . Moduł R sumy wektorów nie jest równy sumie modułów dodawanych wektorów. (b) Przekątna łącząca punkty końcowe wektorów tworzy wektor będący różnicą wektorów D → = A → − B → . Punkt początkowy wektora D → powinien być wspólny z punktem końcowym wektora B → , a punkt końcowy wektora D → powinien być wspólny z punktem końcowym wektora A → . Moduł D różnicy wektorów nie jest równy różnicy modułów odejmowanych wektorów. Zgodnie z regułą równoległoboku moduł sumy wektorów ani moduł różnicy wektorów nie mogą być obliczone poprzez dodawanie, ani odejmowanie modułów wektorów A i B , ponieważ długość przekątnej równoległoboku nie jest równa sumie ani różnicy długości boków. Jeśli chcemy znaleźć wartość modułów | R → | i | D → | , musimy posłużyć się trygonometrią, co może prowadzić do skomplikowanych obliczeń. Istnieją dwa sposoby na ich obejście. Jednym z nich jest wykorzystanie współrzędnych wektorów, co zaprezentujemy w następnym podrozdziale. Drugi sposób, którym zajmiemy się teraz, polega na narysowaniu wektorów z zachowaniem skali, tak jak robią to nawigatorzy, i zmierzeniu długości i kierunku uzyskanego wektora. Jeśli musimy dodać do siebie trzy lub więcej wektorów, postępujemy zgodnie z metodą równoległoboku, dodając do siebie pary wektorów, aż otrzymamy wektor będący sumą wszystkich sum. Na przykład jeśli chcemy dodać trzy wektory, najpierw znajdujemy sumę wektorów numer 1 i numer 2, a następnie tę sumę dodajemy do wektora numer 3. Kolejność dodawania poszczególnych wektorów jest bez znaczenia, ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne i łączne (zobacz i ). Zanim sformułujemy zasadę wynikającą z metody równoległoboku, spójrzmy na przykład przedstawiony poniżej. Wyobraź sobie, że planujesz podróż do Ameryki, aby odwiedzić swoją rodzinę mieszkającą na Florydzie. Wyruszasz ze stolicy stanu Tallahassee. Najpierw zamierzasz odwiedzić wujka w Jacksonville, złożyć wizytę kuzynce w Daytona Beach, wspólnie zwiedzić Orlando, zobaczyć cyrk w Tampie, a na końcu odwiedzić University of Florida w Gainesville. Przebytą przez ciebie trasę można przedstawić przy pomocy pięciu wektorów przemieszczenia A → , B → , C → , D → i E → , na zaznaczonych kolorem czerwonym. Jaki będzie wektor twojego przemieszczenia w chwili, kiedy dotrzesz do Gainesville? Całkowite przemieszczenie jest sumą wszystkich pięciu wektorów przemieszczenia i można je znaleźć, cztery razy stosując metodę równoległoboku. Wiemy jednak, że wektor przemieszczenia ma swój punkt początkowy (Tallahassee) oraz punkt końcowy (Gainesville), a więc wektor całkowitego przemieszczenia można narysować od razu, łącząc Tallahassee z Gainesville (zielony wektor na ). Jeśli cztery razy zastosujemy metodę równoległoboku, uzyskany przez nas wektor sumy R → będzie pokrywał się z zielonym wektorem: R → = A → + B → + C → + D → + E → . Przez czterokrotne zastosowanie metody równoległoboku otrzymujemy wektor sumy R → = A → + B → + C → + D → + E → , zaznaczony na rysunku kolorem zielonym. Rysowanie wektora będącego sumą wielu wektorów można uprościć poprzez łączenie punktów końcowych i początkowych wektorów (ang. tail-to-head geometric construction ). Załóżmy, że chcemy narysować wektor sumy R → czterech wektorów A → , B → , C → , D → ( (a)). Wybieramy którykolwiek z czterech wektorów i zaczepiamy inny wektor w punkcie końcowym wektora pierwszego. Następnie wybieramy kolejny wektor i zaczepiamy go w punkcie końcowym wektora drugiego. W ten sposób łączymy wszystkie wektory ( ). Wektor sumy R → rysujemy, łącząc punkt początkowy pierwszego wektora z punktem końcowym ostatniego wektora. Punkt końcowy wektora sumy pokrywa się z punktem końcowym ostatniego wektora. Kolejność łączenia wektorów jest dowolna, ponieważ dodawanie jest przemienne i łączne. Metoda łączenia punktów końcowych i początkowych wektorów pozwala na znalezienie sumy wektorów R → = A → + B → + C → + D → . (a) Cztery wektory o różnych modułach i kierunkach. (b) Połączenie punktów końcowych i początkowych wektorów; wektor sumy rysujemy, łącząc punkt początkowy pierwszego wektora z punktem końcowym ostatniego wektora. Konstrukcja sumy wektorów Moduły wektorów przemieszczenia A → , B → i C → na są równe A = 10,0 , B = 7,0 i C = 8,0 , a ich kąty nachylenia do poziomu są równe α = 35 ∘ , β = − 110 ∘ i γ = 30 ∘ . Wartości modułów podane są w centymetrach. Zastosuj odpowiednią skalę i użyj linijki oraz kątomierza, aby znaleźć sumy następujących wektorów: R → = A → + B → , D → = A → − B → , S → = A → − 3 B → + C → . Wektory użyte w oraz w zadaniu „Sprawdź, czy rozumiesz”. Strategia rozwiązania zadania „Znalezienie wektora” oznacza znalezienie jego modułu oraz kąta nachylenia do poziomu. Należy narysować, z zachowaniem skali, wektory znajdujące się po prawej stronie znaku równości, po czym dokonać konstrukcji szukanego wektora. Wartość modułu i kąta nachylenia należy odczytać przy pomocy linijki i kątomierza. Dla podpunktów (a) i (b) stosujemy metodę równoległoboku, w podpunkcie (c) łączymy punkty końcowe i początkowe wektorów. Rozwiązanie W podpunktach (a) i (b) łączymy punkty początkowe wektorów B → i A → , jak na , i tworzymy równoległobok. Krótsza przekątna tego równoległoboku jest sumą A → + B → . Dłuższa przekątna równoległoboku to różnica A → − B → . Za pomocą linijki mierzymy długości przekątnych, a za pomocą kątomierza mierzymy kąty nachylenia. Moduł wektora R → jest równy R = 5,8 c m , a kąt θ R ≈ 0 ∘ . Moduł wektora D → jest równy D = 16,2 c m , a kąt nachylenia θ D = 49 , 3 ∘ , jak pokazano na . Zastosowanie metody równoległoboku w celu znalezienia (a) sumy wektorów (wektor czerwony) (b) różnicy wektorów (wektor niebieski). Aby rozwiązać zadanie z podpunktu (c), do wektora − 3 B → przyłączamy kolejne wektory (punkty początkowe łącząc z punktami końcowymi, tak jak na . Kolejność, w jakiej połączymy wektory, jest bez znaczenia, ale zachowanie skali jest niezwykle ważne. Następnie rysujemy wektor S → , łącząc punkt początkowy pierwszego wektora z punktem końcowym ostatniego wektora. Przy pomocy linijki mierzymy długość wektora S → – jego moduł jest równy S = 36,9 c m . Przy pomocy kątomierza mierzymy kąt nachylenia θ S = 52,9 ∘ . Rozwiązanie przedstawiono na . Rozwiązanie podpunktu (c) przez łączenie punktów końcowych i początkowych wektorów (znalezienie zielonego wektora S → ). Sprawdź, czy rozumiesz. Wybierz odpowiednią skalę oraz użyj linijki i kątomierza w celu znalezienia wektora G → = A → + 2 B → − F → (wektory A → , B → i F → przedstawiono na ). G = 28,2 c m , θ G = 291 ∘ . Powtórz wiadomości o dodawaniu wektorów i zobacz kalkulator wektorów oraz tę symulację . Podsumowanie Wielkość wektorowa to wielkość, która ma moduł, zwrot oraz kierunek, jak na przykład przemieszczenie lub prędkość. Wielkości wektorowe reprezentowane są przez wektory. Graficzną reprezentacją wektora jest strzałka. Długość strzałki odpowiada modułowi wektora, który jest liczbą dodatnią. Kierunek wektora na płaszczyźnie określony jest przez kąt, jaki wektor tworzy z pewnym kierunkiem odniesienia. Kierunek wektora jest wielkością skalarną. Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy ich moduły, kierunki oraz zwroty są równe. Wektory zgodne mają ten sam kierunek i zwrot, ale mogą mieć różne moduły. Wektory przeciwne mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. Kierunki wektorów ortogonalnych różnią się od siebie o 90 ∘ . W wyniku mnożenia wektora przez skalar (różny od jedności) uzyskujemy wektor o innej długości. Mnożenie przez skalar będący liczbą dodatnią nie zmienia zwrotu wektora. Mnożenie przez liczbę ujemną zmienia zwrot wektora – wynikiem tego jest wektor przeciwny do wektora początkowego. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania. Wektory można dzielić przez skalary, ale nie można ich dzielić przez wektory. Wektory mogą być dodawane do innych wektorów, nie mogą jednak być dodawane do skalarów. Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne. Graficzne dodawanie dwóch wektorów realizujemy, stosując metodę równoległoboku. Graficzne dodawanie większej liczby wektorów realizujemy, łącząc kolejno punkty końcowe i początkowe wektorów. Pytania Według prognozy pogody temperatura ma spaść do − 5 ∘ . Czy temperatura jest wielkością wektorową czy skalarną? Wytłumacz. skalarną Wzrost człowieka, wysokość Mt. Everestu, prędkość muchy, wiek Ziemi, temperatura wrzenia wody, cena książki, populacja światowa, przyspieszenie grawitacyjne – które z wymienionych wielkości to wektory? Podaj przykład wektora wraz z jego modułem, jednostką i zwrotem. możliwe różne odpowiedzi Jakie są cechy wspólne wektorów i skalarów? Jakie są między nimi różnice? Przypuśmy, że chcesz dodać do siebie dwa wektory A → i B → . Jaki powinien być kąt między nimi, aby moduł wektora sumy był jak największy? Jaka jest maksymalna możliwa wartość modułu wektora sumy? Jaki powinien być kąt między nimi, aby moduł wektora sumy był jak najmniejszy? Jaka jest najmniejsza możliwa wartość modułu wektora sumy? powinny być równoległe; suma modułów; powinny być przeciwnie skierowane; zero Czy wielkość skalarną można dodać do wielkości wektorowej? Czy suma dwóch wektorów o różnych modułach może być równa zero? Czy suma trzech wektorów o różnych modułach może być równa zero? Wyjaśnij dlaczego. tak; tak Czy drogomierz wskazuje wielkość skalarną czy wektorową? Biegacz bierze udział w wyścigu na 10 000 m na bieżni o długości 400 m. Jakie jest jego przemieszczenie? Czy to przemieszczenie może być równe zero? Wyjaśnij dlaczego. zero, tak Moduł wektora jest równy zero. Czy należy określić jego zwrot? Wyjaśnij dlaczego. Czy moduł wektora może być liczbą ujemną? nie Czy moduł wektora przemieszczenia cząstki może być większy niż przebyty przez nią dystans? Jeśli dwa wektory są równe, co możesz powiedzieć o ich składowych? Co możesz powiedzieć o ich modułach? A o ich zwrotach i kierunkach? są równe; są równe; są takie same Jeśli suma trzech wektorów jest równa zero, w jaki sposób są one rozmieszczone na płaszczyźnie? Zadania Nurek powoli zanurza się w głąb oceanu. Jego pozycja w pionie względem znajdującej się na powierzchni wody łódki zmienia się kilkakrotnie. Po raz pierwszy zatrzymuje się 9,0 m od łódki. Ma problem z wyrównaniem ciśnienia, więc wynurza się o 3,0 m, a następnie zanurza się 12,0 m głębiej, gdzie zatrzymuje się po raz drugi. Wynurza się o 4,0 m, następnie zanurza o 18,0 m, wynurza o 7,0 m i znów zanurza, tym razem o 24,0 m. Tam zatrzymuje się i czeka na kolegę. Zakładając, że wektor zwrócony w kierunku powierzchni jest wektorem dodatnim, wyraź wektor przemieszczenia nurka w kierunku pionowym przy pomocy wektora jednostkowego. Jaka jest odległość nurka od łódki? h → = − 49 m ⋅ u ^ , 49 m . Na obozie szkolnym urządzono zawody w przeciąganiu liny. 15 uczniów jednocześnie ciągnie linę, próbując przeciągnąć znajdujący się na jej środku węzeł na jedną ze stron. Dwóch uczniów ciągnie w prawo z siłą 196 N, czterech uczniów ciągnie w lewo z siłą 98 N, pięciu uczniów ciągnie w lewo z siłą 62 N, trzech uczniów ciągnie w prawo z siłą 150 N, a jeden uczeń ciągnie w lewo z siłą 250 N. Zakładając dodatni zwrot w prawo, wyraź przemieszczenie węzła przy pomocy wektora jednostkowego. Jaka siła działa na węzeł? Jaki jest jej kierunek? Przypuśćmy, że idziesz 18,0 m na zachód, a następnie 25,0 m na północ. Jak daleko jesteś od punktu początkowego i jaki jest kierunek wektora twojego przemieszczenia? Rozwiąż za pomocą metody graficznej. 30,8 m, 35 , 7 ∘ na zachód od igły wskazującej kierunek północny Użyj metody graficznej, aby znaleźć następujące wektory: A → + B → , C → + B → , D → + F → , A → − B → , D → − F → , A → + 2 F → , A → − 4 D → + 2 F → . Kurier zabiera przesyłki z poczty, jedzie 40 km na północ, następnie 20 km na zachód, 60 km na północny wschód i 50 km na północ, po czym zatrzymuje się na obiad. Przy pomocy metody graficznej znajdź wektor jego przemieszczenia. 134 km, 80 ∘ . Pies podróżnik ucieka z domu, biegnie 3 przecznice na wschód, 2 przecznice na północ, 1 przecznicę na wschód i 2 przecznice na zachód. Przyjmując, że przecznica to około 100 m, jak daleko od domu i w jakim kierunku znajduje się pies? Użyj metody graficznej. Rozbitek planuje uciec z bezludnej wyspy, buduje więc tratwę i wypływa na morze. Wiatr jest bardzo zmienny, więc tratwa znoszona jest w różnych kierunkach: najpierw 2,50 km 45 , 0 ∘ na północ od kierunku zachodniego, następnie 4,70 km 60 , 0 ∘ na południe od kierunku wschodniego, 1,30 km 25 , 0 ∘ na południe od kierunku zachodniego, 5,10 km na wschód, 1,70 km 5 , 0 ∘ na wschód od kierunku północnego, 7,20 km 55 , 0 ∘ na południe od kierunku zachodniego i 2,80 km 10 , 0 ∘ na północ od kierunku wschodniego. Metodą graficzną określ końcowe położenie rozbitka względem wyspy. 7,34 km, 63 , 5 ∘ na południe od kierunku wschodniego Mały samolot leci 40,0 km pod kątem 60 ∘ na północ od kierunku wschodniego, a następnie 30,0 km pod kątem 15 ∘ na północ od kierunku wschodniego. Użyj metody graficznej, aby określić odległość samolotu od punktu startowego oraz kierunek jego przemieszczenia. Turysta idzie ze schroniska nad jezioro oddalone od niego w linii prostej o 5,0 km. Użyj metody równoległoboku, aby określić przemieszczenie turysty w kierunku północnym i przemieszczenie w kierunku wschodnim, których suma jest całkowitym przemieszczeniem. Gdyby turysta szedł zygzakiem, tylko na północ i tylko na wschód, to ile kilometrów musiałby przejść, aby dotrzeć nad jezioro? 3,8 km w kierunku wschodnim; 3,2 km w kierunku północnym; 7,0 km Geodeta mierzy szerokość rzeki płynącej prosto na północ w następujący sposób: rozpoczyna w punkcie leżącym naprzeciwko rosnącego po drugiej stronie rzeki drzewa i przechodzi 100 m wzdłuż rzeki, tworząc w ten sposób podstawę trójkąta. Następnie mierzy kąt między podstawą trójkąta a odcinkiem łączącym drzewo z punktem, w którym obecnie się znajduje, i stwierdza, że kąt ten jest równy 35 ∘ . Jak szeroka jest rzeka? Pewien człowiek przeszedł 6,0 km w kierunku wschodnim, a następnie 13,0 km w kierunku północnym. Znajdź przemieszczenie oraz kierunek przemieszczenia tego człowieka przy pomocy metody graficznej. 14,3 km, 65 ∘ . Moduły dwóch wektorów przemieszczenia są równe A = 20 m i B = 6 m . Jaka jest najmniejsza i największa możliwa wartość sumy wektorów R → = A → + B → ? wektory przeciwne (ang. antiparallel vectors ) dwa wektory, których zwroty różnią się o 180 ° łączność (ang. associative ) kolejność wyrazów w działaniu może być dowolna przemienność (ang. commutative ) wyrazy mogą podlegać działaniu w dowolnej kolejności różnica dwóch wektorów (ang. difference of two vectors ) suma wektora pierwszego i wektora o zwrocie przeciwnym do wektora drugiego przemieszczenie (ang. displacement ) zmiana położenia rozdzielność (ang. distributive ) iloczyn pewnej liczby przez sumę składników jest równy sumie składników pomnożonych przez tę liczbę moduł (ang. magnitude ) długość wektora wektory ortogonalne (ang. orthogonal vectors ) wektory, których kąty skierowane różnią się o 90 ∘ , inaczej wektory prostopadłe reguła równoległoboku (ang. parallelogram rule ) reguła, według której dokonuje się konstrukcji sumy wektorów na płaszczyźnie wektory zgodne (ang. parallel vectors ) wektory o tych samych kątach skierowanych skalar (ang. scalar ) liczba; w fizyce jednoznaczne z wielkością skalarną równanie skalarne (ang. scalar equation ) równanie, w którym po obu stronach znaku równości znajdują się liczby wielkość skalarna (ang. scalar quantity ) wielkość fizyczna, którą można określić jedynie za pomocą liczby i odpowiedniej jednostki konstrukcja wektora sumy (ang. tail-to-head geometric construction ) sposób graficzny dodawania wektorów polegający na łączeniu punktów końcowych i początkowych kolejnych wektorów wektor jednostkowy (ang. unit vector ) wektor o module równym jeden, nie posiada on jednostki, służy jedynie do określenia kierunku wektor (ang. vector ) obiekt matematyczny o określonym module, kierunku i zwrocie równanie wektorowe (ang. vector equation ) równanie, w którym po obu stronach znaku równości znajdują się wektory wielkość wektorowa (ang. vector quantity ) wielkość fizyczna reprezentowana przez wektor (moduł, kierunek i zwrot) w fizyce jednoznaczna z wektorem suma wektorów (ang. vector sum ) wektor powstały w wyniku dodawania dwóch lub więcej wektorów

Science