Zastosowania indukcji elektromagnetycznej W tym i innych rozdziałach podaliśmy wiele przykładów wykorzystania przez współczesne społeczeństwo prawa Faradaya indukcji elektromagnetycznej. Obecnie omówimy kilka dalszych zastosowań tego prawa, dotyczących magnetycznego zapisu informacji. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej wykorzystywane jest w pracy niektórych komputerowych dysków twardych . W tego typu urządzeniach zapis informacji odbywa się na powierzchni obracającego się dysku pokrytej odpowiednią warstwą czynną. Pierwotnie odczyt zapisanych w ten sposób informacji odbywał się z wykorzystaniem zjawiska indukcji elektromagnetycznej. Obecnie większość danych zapisywana jest raczej w postaci cyfrowej niż analogowej – na obracającym się twardym dysku rejestrowane są ciągi logicznych zer i jedynek. Z tego względu w większości twardych dysków do odczytu informacji nie wykorzystuje się już zjawiska indukcji elektromagnetycznej, lecz zjawisko znane pod nazwą gigamagnetooporu (ang. giant magnetoresistance ). Gigamagnetoopór jest efektem olbrzymiej zmiany oporu elektrycznego – wywołanym zewnętrznym polem magnetycznym przyłożonym do cienkich, ułożonych naprzemiennie warstw ferromagnetyków i materiałów niemagnetycznych. Warto zaznaczyć, że jest to jeden z pierwszych, olbrzymich sukcesów nanotechnologii. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej wykorzystuje się także w pracy tzw. pasywnych tabletów graficznych , w których cyfrowe obrazy i rysunki tworzy się za pomocą specjalnie zaprojektowanego pióra. Wygląd przykładowego tabletu pasywnego przedstawia . Zasada działania tego typu urządzeń różni się od zasady funkcjonowania najczęściej używanych tabletów i telefonów z ekranem dotykowym. Pod widocznym na ekranem znajduje się siatka prostopadłych do siebie cienkich drucików, wzdłuż i w poprzek ekranu. Końcówka pióra wytwarza słabe pole magnetyczne. Podczas przesuwania końca pióra po ekranie zmieniające się pole magnetyczne indukuje w drucikach siłę elektromotoryczną. Powstający w ten sposób sygnał elektryczny jest następnie zamieniany przez układ elektroniczny tabletu na obraz rysowanej linii. W tabletach innych niż pasywne, pióro zaopatrzone jest we własne zasilanie bateryjne, bądź też rysowanie odbywa się z wykorzystaniem sygnałów optycznych. Kolejny przykład wykorzystania indukcji elektromagnetycznej – tablet graficzny ze specjalnie zaprojektowanym piórem. Z wykorzystaniem zjawiska indukcji elektromagnetycznej należy także łączyć charakterystyczny pasek widoczny na odwrocie karty kredytowej , której używamy w sklepie bądź wypłacając pieniądze z bankomatu. Ów pasek magnetyczny jest nośnikiem informacji zapisanych na karcie i działa na tej samej zasadzie co taśma magnetyczna używana do zapisu i odczytu obrazu oraz dźwięku. Odczyt informacji odbywa się za pomocą specjalnej głowicy przesuwającej się po powierzchni paska. Obejrzyj film , aby zobaczyć działanie latarki, w której wykorzystuje się indukcję elektromagnetyczną. Zmienny strumień pola wytwarzany przez magnes poruszający się dzięki pracy mięśni dłoni użytkownika indukuje w uzwojeniu prądnicy prąd elektryczny. Prąd ten ładuje kondensator, który, magazynując energię elektryczną, zasila żarówkę latarki nawet wtedy, gdy dłoń użytkownika nie napędza prądnicy. Korzyści z indukcji elektromagnetycznej czerpią także użytkownicy pojazdów elektrycznych i z napędem hybrydowym . Jednym z czynników ograniczających popularność samochodów napędzanych wyłącznie prądem elektrycznym jest pojemność stosowanych w nich akumulatorów. Pojemność ta jest wciąż zbyt mała, aby zasięg samochodów elektrycznych był porównywalny z zasięgiem w pełni zatankowanego samochodu z napędem spalinowym. Sposobem na jego zwiększenie jest systematyczne doładowywanie akumulatorów prądem wytwarzanym podczas każdego hamowania samochodu elektrycznego. Rozpędzony silnik generujący własną siłę przeciwelektromotoryczną działa wówczas jak prądnica ładująca akumulatory. Kolejną dziedziną współczesnych badań, w której z powodzeniem wykorzystuje się indukcję elektromagnetyczną, jest terapeutyczna przezczaszkowa stymulacja magnetyczna (ang. transcranial magnetic stimulation – TMS ). Pojawienie się szeregu zaburzeń psychicznych, w tym depresji i halucynacji, łączy się bowiem z występowaniem w mózgu obszarów o podwyższonej aktywności elektrycznej. Podczas zabiegu przezczaszkowej stymulacji magnetycznej takie obszary mózgu poddaje się działaniu szybkozmiennego, silnie zlokalizowanego pola magnetycznego. Przezczaszkowa stymulacja magnetyczna stanowi obecnie również dobrze opanowaną technikę diagnostyczną. Obejrzyj film na kanale YouTube, aby zobaczyć, w jaki sposób indukcja elektromagnetyczna przyczynia się do wytwarzania dźwięków w gitarach elektrycznych. Podsumowanie Indukcja elektromagnetyczna wykorzystywana jest do zapisu i odczytu informacji na komputerowych dyskach twardych. Kolejne przykłady zastosowań indukcji elektromagnetycznej znajdziemy w tabletach graficznych, pojazdach z napędem elektrycznym lub hybrydowym oraz w metodzie przezczaszkowej stymulacji magnetycznej. Najważniejsze wzory Strumień magnetyczny Φ B = ∬ S B → ⋅ n ̂  d S \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot \hat{n} \d S Prawo Faradaya ε = − d Φ B d t \epsilon = - \frac{\d \Phi_B}{\d t} Siła elektromotoryczna indukowana ruchem ε = B  l  v Siła elektromotoryczna indukowana w obwodzie elektrycznym ε = ∮ E → ⋅ d l → = − d Φ B d t \epsilon = \oint \vec{E} \cdot \d \vec{l} = - \frac{\d \Phi_B}{\d t} Siła elektromotoryczna wytwarzana w generatorze elektrycznym ε = N  B  S  ω  sin ω  t Zadania dodatkowe Na poniższym rysunku przedstawiono leżący w jego płaszczyźnie długi, prostoliniowy przewód oraz pojedynczy zwój w kształcie prostokątnej ramki. Przewód jest równoległy do dłuższych boków ramki i odległy o 0,5  m od bliższego boku. Oblicz szybkość zmiany natężenia prądu w przewodzie w chwili, w której indukowana w ramce siła elektromotoryczna wynosi 2  V . 3  A ∕ s . Dwie równoległe, odległe od siebie o 30  cm długie szyny stanowią część przewodu elektrycznego w kształcie litery U. Powierzchnia przewodu znajduje się w całości w jednorodnym, prostopadłym do niej polu magnetycznym. Wartość indukcji tego pola wynosi 2  T , a jej wektor zwrócony jest od płaszczyzny przewodu. Po szynach, w kierunku od łączącej je części przewodu, ślizga się ze stałą prędkością równą 1,5  cm ∕ s metalowy pręt o masie 500  g . Całkowita rezystancja pręta i przewodu wynosi 150  Ω . Określ kierunek i wartość indukowanego prądu; Wyznacz kierunek indukowanego prądu, gdy wektor indukcji magnetycznej zwrócony jest do płaszczyzny przewodu; Określ kierunek indukowanego prądu, gdy wektor indukcji magnetycznej zwrócony jest do płaszczyzny tego przewodu, a pręt porusza się w kierunku do części przewodu łączącej długie szyny. Pomiędzy biegunami elektromagnesu z rdzeniem w kształcie podkowy umieszczono kołową, przewodzącą pętlę o promieniu 1,5  cm i rezystancji 25  Ω . Pole magnetyczne wytwarzane przez elektromagnes jest jednorodne i prostopadłe do powierzchni pętli, a uzwojenie elektromagnesu zasilane jest prądem o zmieniającym się w czasie natężeniu. Przyjąwszy, że szybkość zmiany wartości indukcji magnetycznej pola elektromagnesu wynosi 100  mT ∕ s , wyznacz natężenie i kierunek prądu indukowanego w pętli. 2,83 ⋅ 10 − 4  A ; kierunek prądu wskazany na poniższym rysunku dotyczy rosnącego pola magnetycznego. Metalowy pręt o długości 25  cm umieszczono prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego o wartości indukcji równej 3  T . Wyznacz siłę elektromotoryczną indukowaną między końcami tego pręta, gdy pozostaje on w spoczynku; Wyznacz SEM, gdy pręt porusza się z prędkością 50  cm ∕ s w kierunku prostopadłym do jego długości i linii pola magnetycznego. Składającą się z 50 zwojów cewkę o powierzchni 10  cm 2 umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do jej płaszczyzny. Oblicz średnią wartość siły elektromotorycznej indukowanej w tej cewce podczas jej obrotu o kąt 180 ° w czasie 0,2  s . Wartość indukcji magnetycznej wynosi 0,75  T . 0,375  V . Dwuzwojową, wykonaną z giętkiego przewodu płaską pętlę umieszczono we wnętrzu długiego solenoidu. Solenoid, w którym płynie prąd o natężeniu I 0 , nawinięto z gęstością n zwojów na metr długości. Powierzchnia S tej pętli zmienia się wskutek rozciągania jej boków, przy czym podczas rozciągania płaszczyzna pętli jest zawsze prostopadła do osi solenoidu. Oblicz siłę elektromotoryczną indukowaną w pętli, jeżeli dane są: n = 500 , I 0 = 20  A , S = 20  cm 2 oraz d S ∕ d t = 100  cm 2 ∕ min . Przedstawiony na załączonym rysunku przewodzący pręt M  N porusza się wzdłuż metalowych szyn, odległych od siebie o 25  cm . Układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym, którego wektor indukcji o wartości 0,75  T zwrócony jest do płaszczyzny rysunku. Rezystancja pręta i szyn jest pomijalnie mała, natomiast rezystor włączony pomiędzy punktami P i Q ma opór równy 0,25  Ω . Wyznacz wartość i kierunek siły elektromotorycznej indukowanej w pręcie, jeżeli porusza się on w prawo z prędkością 5  m ∕ s ; Jakiej siły należy użyć, aby utrzymać podaną wartość prędkości pręta? Jaką pracę w jednostce czasu wykonuje powyższa siła? Oblicz moc wydzielaną w rezystorze. a. 0,94  V ; b. 0,7  N ; c. 3,52  J ∕ s ; d. 3,52  W . Wykonaną z drutu kołową pętlę o promieniu 10  cm zaopatrzono w pionową oś i umieszczono w jednorodnym, prostopadłym do tej osi polu magnetycznym o wartości indukcji wynoszącej 2  G („gauss”, 1  G = 10 -4  T \SI{1}{\gauss} = 10^{-4} \si{\tesla} ). Pętla obraca się wokół tej osi z częstotliwością 5  Hz . Wyprowadź wyrażenie opisujące zmianę w czasie strumienia magnetycznego przenikającego pętlę; Określ w funkcji czasu natężenie prądu płynącego w pętli, jeżeli jej rezystancja wynosi 10  Ω . Pole magnetyczne pomiędzy biegunami elektromagnesu z rdzeniem w kształcie podkowy jest jednorodne i ma symetrię walcową względem osi łączącej geometryczne środki tych biegunów. Na skutek zmiany natężenia prądu płynącego w elektromagnesie wartość indukcji pola magnetycznego zmienia się z szybkością d B ∕ d t . Określ natężenie pola elektrycznego w funkcji odległości r od osi łączącej bieguny elektromagnesu. E  r = d B ∕ d t ⋅ S ∕ 2  π  r . W długim solenoidzie o promieniu a nawiniętym z gęstością n zwojów na jednostkę długości płynie prąd zmienny o natężeniu opisanym funkcją I  t = I 0  sin ω  t , w której I 0 oraz ω są stałymi. Solenoid, w sposób pokazany na poniższym rysunku, otacza podwójna pętla wykonana z drutu. Promień pętli b jest większy od promienia solenoidu ( b > a ), a jej rezystancja jest równa R . Wyznacz natężenie i kierunek prądu indukowanego w tej pętli w chwili t = 0  s . Szeregowy silnik prądu stałego zasilany jest ze źródła prądu o napięciu 230  V . Rezystancja uzwojenia twornika tego urządzenia równa jest 20  Ω . W czasie pracy z nominalną prędkością obrotową natężenie prądu pobieranego przez silnik ze źródła zasilania wynosi 0,5  A , a w chwili rozruchu silnik pobiera prąd o natężeniu 2  A . Oblicz rezystancję uzwojenia wzbudzającego pole magnetyczne tego silnika; Oblicz siłę przeciwelektromotoryczną indukowaną w silniku podczas jego pracy z nominalną prędkością obrotową; Wyznacz siłę przeciwelektromotoryczną, jeżeli silnik pracuje z prędkością obrotową różną od nominalnej i pobiera prąd o natężeniu 1  A . a. R w + R t = 230  V ∕ 2  A = 115  Ω , zatem R w = 95  Ω ; b. I = ε z − ε p ∕ R w + R t , zatem ε p = 172,5  V ; c. ε p = 115  V . Sumaryczna rezystancja uzwojenia twornika i cewki wzbudzającej pole magnetyczne w silniku o konstrukcji szeregowej wynosi 6  Ω . Silnik ten, zasilany ze źródła prądu o napięciu 230  V i pracujący z nominalną prędkością obrotową, pobiera prąd o natężeniu 4  A . Oblicz indukowaną siłę przeciwelektromotoryczną; Oblicz natężenie prądu pobieranego przez silnik w chwili włączenia. W jaki sposób można uniknąć poboru tak dużego prądu? Zadania trudniejsze Miedzianemu przewodowi o długości L nadano kształt kołowej cewki o N zwojach. Płaszczyznę tej cewki przenika zmienny w czasie strumień magnetyczny. Przy jakiej wartości liczby N indukowana w cewce siła elektromotoryczna będzie maksymalna? Przy maksymalnej liczbie zwojów możliwych do wykonania z przewodu o danej długości. Miedziany arkusz o masie 0,5  kg spada w poziomym, jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji równej 1,5  T . Wartość końcowej prędkości tego spadku wynosi 2  m ∕ s . Oblicz wypadkową siłę magnetyczną działającą na arkusz poruszający się z końcową prędkością spadku; Opisz mechanizm powstawania tej siły; Oblicz moc wydzielaną w postaci ciepła Joule’a podczas ruchu arkusza z prędkością końcową. Okrągły miedziany dysk o promieniu 7,5  cm obraca się z prędkością 2400  obr ∕ min wokół osi przechodzącej przez środek tegoż dysku i prostopadłej do jego płaszczyzny. Dysk umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym, którego wektor indukcji B → jest równoległy do osi obrotu. Oblicz różnicę potencjałów pomiędzy obrzeżem dysku a jego osią, jeżeli wartość indukcji magnetycznej wynosi 1,2  T . 5,3  V . Przedstawiony na poniższym rysunku krótki pręt o długości a porusza się z prędkością v → , równolegle do nieskończonego przewodu, w którym płynie prąd o natężeniu I . Odległość bliższego końca pręta od tego przewodu wynosi b . Oblicz siłę elektromotoryczną indukowaną w pręcie. Przedstawiony na poniższym rysunku prostokątny obwód elektryczny zawierający rezystor o wartości R odsuwa się z prędkością v → od długiego, prostoliniowego przewodu, w którym płynie prąd o natężeniu I 0 . Wyprowadź równanie opisujące natężenie prądu indukowanego w obwodzie w funkcji odległości x pomiędzy przewodem a bliższym bokiem tego obwodu. Φ B = μ 0  I 0  a ∕ 2  π ⋅ ln 1 + b ∕ x \Phi_B = \mu_0 I_0 a / (2\pi) \cdot \ln (1+b/x) , ε = μ 0  I 0  a  b  v ∕ 2  π  x  x + b \epsilon = \mu_0 I_0 abv / [2\pi x (x+b)] , zatem I = μ 0  I 0  a  b  v ∕ 2  π  R  x  x + b I = \mu_0 I_0 abv / [2\pi Rx (x+b)] . Dwa nieskończenie długie solenoidy przecinają płaszczyznę obwodu elektrycznego w sposób pokazany na rysunku. Promienie solenoidów wynoszą odpowiednio 0,1  m i 0,2  m . Natężenie prądu płynącego w każdym z solenoidów zmienia się tak, że szybkość zmiany wartości indukcji magnetycznej d B ∕ d t = 0,5  T ∕ s . Oblicz natężenia prądów w każdym z rezystorów tego obwodu. Poniższy rysunek przedstawia ośmiozwojową cewkę ciasno nawiniętą wokół bocznej powierzchni długiego solenoidu. Solenoid nawinięto z gęstością 10 zwojów na centymetr długości, a jego promień wynosi 2  cm . W uzwojeniu solenoidu płynie prąd, którego natężenie rośnie w czasie zgodnie z funkcją I = I 0  1 − e − α  t , gdzie I 0 = 4  A i α = 2 ⋅ 10 − 2  s − 1 . Wyznacz siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce, gdy t = 0  s ; t = 10 2  s ; t ⟶ ∞ . a. 1,26 ⋅ 10 − 7  V ; b. 1,71 ⋅ 10 − 8  V ; c. 0  V . Poniżej przedstawiono długą prostokątną ramkę o szerokości a , długości b , masie m i rezystancji R . Ramka, początkowo spoczywająca przy granicy obszaru jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B → , pod działaniem stałej siły F → wnika w ten obszar. Wyznacz prędkość ramki w funkcji czasu. Belka o masie m , rezystancji R i przekroju kwadratowym ześlizguje się bez tarcia po bardzo długich, równoległych przewodzących szynach, jak przedstawiono na poniższym rysunku. Odległość pomiędzy szynami wynosi l , a ich końce u podnóża utworzonej w ten sposób równi pochyłej połączone są odcinkiem przewodu. Szyny nachylone są do poziomu pod kątem θ , a układ znajduje się w pionowym, jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B → . Wykaż, że zsuwająca się belka osiągnie graniczną prędkość v = m  g  R  sin θ ∕ B 2  l 2  cos 2 θ v = mgR\sin \theta /(B^2 l^2 \cos^2 \theta) ; Oblicz pracę wykonaną w jednostce czasu przez siłę ciężkości; Jaki będzie skutek odwrócenia wektora indukcji B → ? Przyjmij, że rezystancja szyn oraz łączącego je przewodu jest pomijalnie mała. a. v = m  g  R  sin θ ∕ B 2  l 2  cos 2 θ v = mgR\sin \theta /(B^2 l^2 \cos^2 \theta) ; b. m  g  v  sin θ ; c. Belka będzie się zsuwać z niezmienioną prędkością, a zaindukowany w niej prąd popłynie w przeciwnym kierunku. Poniższy rysunek przedstawia metalowy pierścień, którego wewnętrzny promień wynosi r 1 , a promień zewnętrzny równy jest r 2 . Pierścień obraca się z prędkością kątową ω wokół osi przechodzącej przez jego środek i umieszczony jest w jednorodnym, równoległym do tej osi polu magnetycznym o indukcji B → . Do wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni pierścienia przylegają szczotki, które połączono z woltomierzem. Co wskazuje woltomierz? Długi solenoid nawinięty z gęstością 10 zwojów na centymetr długości umieszczono współosiowo wewnątrz miedzianego pierścienia. Promień pierścienia wynosi 10  cm , a promień solenoidu jest równy 5  cm . Oblicz siłę elektromotoryczną indukowaną w pierścieniu, jeżeli natężenie prądu w solenoidzie I = 5  A i zmienia się w czasie z szybkością d I ∕ d t = 100  A ∕ s ; Oblicz SEM indukowaną w pierścieniu, jeżeli I = 2  A , przy niezmienionej wartości d I ∕ d t ; W obu przypadkach określ wartość natężenia pola elektrycznego wewnątrz tego pierścienia; Przyjmijmy, że pierścień przemieszczono względem solenoidu tak, że ich osie pozostają równoległe, ale nie pokrywają się, przy czym solenoid znajduje się nadal wewnątrz pierścienia. Jaka jest teraz wartość SEM indukowanej w tym pierścieniu? Czy możliwe jest obecnie obliczenie natężenia pola elektrycznego wewnątrz pierścienia w sposób taki, jak w części (c) zadania? a. B = μ 0  n  I , Φ B = B  A = μ 0  n  I  A , 9,9 ⋅ 10 − 4  V ; b. 9,9 ⋅ 10 − 4  V ; c. ε = ∮ E → ⋅ d l → , E = 1,6 ⋅ 10 − 3  V ∕ m ; d. 9,9 ⋅ 10 − 4  V ; e. Nie – z powodu braku symetrii walcowej problemu. Natężenie prądu w długim prostoliniowym przewodzie przedstawionym na załączonym rysunku zmienia się w czasie zgodnie z formułą I = I 0  sin ω  t , w której I 0 = 15  A , a ω = 100  π  rad ∕ s . Oblicz natężenie prądu indukowanego w prostokątnej ramce w chwili t = 0  s ; t = 2,1 ⋅ 10 − 3  s . Pięćsetzwojowa cewka o powierzchni 0,25  m 2 obraca się w ziemskim polu magnetycznym o wartości indukcji równej 5 ⋅ 10 − 5  T . Maksymalna wartość indukowanej w cewce siły elektromotorycznej wynosi wówczas 12  kV . Z jaką prędkością kątową obraca się cewka? Czy obliczona wartość jest możliwa do osiągnięcia? Który z warunków zadania powoduje taki wynik? a. 1,92 ⋅ 10 6  rad ∕ s = 1,83 ⋅ 10 7  obr ∕ min ; b. Obliczona prędkość kątowa jest bardzo duża i niemożliwa do osiągnięcia przy użyciu jakiegokolwiek urządzenia mechanicznego; c. Błędne założenie, że indukowane napięcie może osiągnąć wartość 12  kV . Wykonaną z drutu kołową pętlę o promieniu 10  cm zaopatrzono w pionową oś i umieszczono w jednorodnym, prostopadłym do tejże osi polu magnetycznym o wartości indukcji wynoszącej 2 ⋅ 10 − 4  T . Pętla obraca się wokół tej osi z częstotliwością 5  Hz . Wyprowadź wyrażenie opisujące zmianę w czasie strumienia magnetycznego przenikającego pętlę; Wyraź w funkcji czasu natężenie prądu płynącego w pętli, jeżeli jej rezystancja wynosi 10  Ω . W długim solenoidzie o promieniu a nawiniętym z gęstością n zwojów na jednostkę długości płynie prąd zmienny o natężeniu opisanym funkcją I  t = I 0  sin ω  t , w której I 0 oraz ω są stałymi. Solenoid otacza dwuzwojowa pętla wykonana z drutu o rezystancji R . Promień pętli b jest większy od promienia solenoidu ( b > a ). Wyznacz natężenie prądu indukowanego w tej pętli w chwili t = 0  s . I = 2  μ 0  π  a 2  I 0  n  ω ∕ R . Prostokątna miedziana ramka o masie równej 100  g i rezystancji wynoszącej 0,2  Ω znajduje się w obszarze jednorodnego pola magnetycznego. Pole magnetyczne jest prostopadłe do powierzchni tej ramki i równoległe do powierzchni Ziemi, jak przedstawiono na poniższym rysunku. W położeniu spoczynkowym dolna krawędź ramki znajduje się na granicy obszaru występowania pola magnetycznego, a w chwili t = 0  s ramka zaczyna opadać. Wyprowadź wyrażenie opisujące prędkość ramki w chwili, gdy opuszcza ona obszar pola; Oblicz czas, w którym ramka opuści obszar tego pola. Przyjmij następujące wartości liczbowe: a = 25  cm , b = 50  cm , B = 3  T , g = 9,8  m ∕ s 2 . Załóż, że wartość indukcji pola magnetycznego wzbudzanego prądu jest pomijalnie mała w stosunku do B = 3  T . Metalowy pręt o masie m może ślizgać się bez tarcia po dwóch równoległych szynach odległych od siebie o D . Układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji B 0 , prostopadłym do płaszczyzny, na której leżą szyny, jak przedstawiono na poniższym rysunku. Obie szyny połączone są na jednym z końców rezystorem, którego rezystancja jest znacznie większa niż rezystancja szyn i pręta. W pewnej chwili prętowi nadano prędkość początkową v 0 i stwierdzono następnie, że jego prędkość systematycznie spada. Oblicz odległość, którą przebędzie pręt do chwili zatrzymania się. Załóż, że wartość indukcji pola magnetycznego wzbudzanego prądu jest pomijalnie mała w stosunku do B 0 . L = m  R  v 0 ∕ B 2  D 2 . Zależne od czasu pole magnetyczne o indukcji B  t wypełnia cylindryczny obszar o promieniu R . Wewnątrz tego obszaru, na płaszczyźnie jego przekroju poprzecznego, w pewnej odległości od średnicy przekroju, umieszczono przewodzący pręt o długości 2  D , tak że końce pręta znajdują się na granicy obszaru pola. Wykaż, że siła elektromotoryczna pomiędzy końcami tego pręta opisana jest formułą: d B ∕ d t ⋅ D  R 2 − D 2 . Przyjmij, że pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny przekroju i jest do niej zwrócone. (Wskazówka: Aby znaleźć SEM pomiędzy końcami pręta, należy obliczyć całkę z natężenia pola elektrycznego po długości tegoż pręta. Pole elektryczne można określić, korzystając z postaci prawa Faradaya, znanego pod nazwą „prawa Ampère’a dla natężenia pola elektrycznego”).

Science


Wstęp Mata ładująca smartfon zawiera cewkę, która podłączona jest do źródła prądu zmiennego (czyli prądu, którego natężenie rośnie i maleje naprzemiennie). Zmienny prąd indukuje w smartfonie SEM, która powoduje ładowanie jego akumulatora. Zwróć uwagę, że czarny zasilacz z wtyczką zawiera transformator (omówiony w rozdziale Obwody prądu zmiennego ), który zmienia prąd z gniazdka tak, by mógł zostać wykorzystany do naładowania baterii w telefonie. Źródło: modyfikacja ilustracji „LG”/Flickr W rozdziale Indukcja elektromagnetyczna omówiliśmy, jak zmieniający się w czasie strumień magnetyczny indukuje SEM w obwodzie. We wcześniejszych obliczeniach strumień ten pochodził od zewnętrznego zmiennego pola magnetycznego. Zachodzi również zjawisko odwrotne – płynący przez obwód prąd wytwarza własne pole magnetyczne. W rodziale Ładunki elektryczne i pola zobaczyliśmy, że indukcja jest zjawiskiem, w którym w wyniku działania zmiennego strumienia pola magnetycznego w obwodzie pojawia się SEM. Omówiliśmy przykłady indukcji o różnej efektywności zastosowania. Bezprzewodowa mata ładująca smartfon (ang. smartphone ) na powyższej fotografii również działa dzięki indukcji. Czy można wskazać wielkość fizyczną wyrażającą, jak efektywne jest dane urządzenie? Odpowiedź brzmi „tak”, a taką wielkością jest indukcyjność. W niniejszym rozdziale przyjrzymy się zastosowaniom indukcji w urządzeniach elektronicznych oraz budowie obwodów zawierających cewki indukcyjne.

Science


Indukcyjność wzajemna Indukcyjność (ang. inductance ) jest zdolnością urządzenia do indukowania SEM w innym urządzeniu. Innymi słowy, jest to fizyczna wielkość opisująca efektywność danego urządzenia. Kiedy dwa obwody, przez które płynie prąd zmienny, znajdują się blisko siebie, strumień magnetyczny przechodzący przez każdy z nich również się zmienia. Jest to powodowane zmiennym natężeniem prądu i w drugim obwodzie. W efekcie w każdym z obwodów indukowana jest SEM przez zmianę natężenia w drugim. Nazywamy ją więc SEM indukcji wzajemnej, zjawisko z którym mamy do czynienia – indukcją wzajemną (ang. mutual inductance ), natomiast zdolność układu do wytwarzania SEM indukcji wzajemnej – indukcyjnością wzajemną (oznaczaną literą M ). Jako przykład rozważmy dwie ciasno nawinięte cewki ( ). Mają one odpowiednio N 1 i N 2 zwojów oraz płynie w nich prąd o natężeniu i 1 i i 2 . Strumień przechodzący przez jeden zwój cewki 2 indukowany przez pole magnetyczne cewki 1 wynosi Φ 21 , a strumień płynący przez jeden zwój cewki 1 indukowany polem magnetycznym od i 2 wynosi Φ 12 . Niektóre z linii pola magnetycznego indukowanego przez prąd płynący w cewce 1 przechodzą przez cewkę 2. Indukcyjność wzajemna (albo współczynnik indukcji wzajemnej) M 21 cewki 2 względem cewki 1 jest strumieniem płynącym przez N 2 zwojów cewki 2 indukowanym przez pole magnetyczne cewki 1, podzielonym przez natężenie prądu w cewce 1, czyli M 21 = N 2  Φ 21 i 1  . Podobnie indukcyjność wzajemna cewki 1 względem cewki 2 wynosi M 12 = N 1  Φ 12 i 2  . Analogicznie do pojemności indukcyjność wzajemna jest wielkością geometryczną. Zależy ona od kształtów i względnego położenia cewek, ale nie od natężeń prądów płynących w cewkach. Jednostką SI indukcyjności wzajemnej M jest henr (ang. henry ) oznaczany dużą literą H \si{\henry} . Nazwa ta pochodzi od nazwiska Josepha Henry’ego (1799–1878) , amerykańskiego fizyka, który niezależnie od Faradaya dokonał odkrycia indukcji elektromagnetycznej. Między jednostkami zachodzi równość 1  H = 1  V  s ∕ A . Na mocy oraz , możemy wykazać, że M 21 = M 12 . Zwykle przy zapisywaniu wzorów zawierających wzajemną indukcyjność będziemy więc pomijać indeksy M = N 2  Φ 21 i 1 = N 1  Φ 12 i 2  . Indukowaną w jednej i drugiej cewce SEM można określić, wstawiając indukcyjność wzajemną do wzoru na prawo Faradaya (ang. Faraday’s law ). Skoro N 2  Φ 21 jest całkowitym strumieniem płynącym przez cewkę 2 w wyniku prądu i 1 , otrzymujemy ε 2 = − d d t  N 2  Φ 21 = − d d t  M  i 1 = − M  d i 1 d t  , gdzie wykorzystaliśmy fakt, że wartość M jest stała, ponieważ geometria układu nie zmienia się w czasie. Podobnie możemy zapisać ε 1 = − M  d i 2 d t  . podkreśla wagę wcześniejszej obserwacji, że indukcyjność wzajemna ( M ) jest wielkością geometryczną. Wartość M w prosty sposób opisuje fizyczne własności elementów obwodu oraz pozwala na odrębne traktowanie topografii obwodu i dynamicznych wielkości, takich jak SEM i natężenie prądu. definiuje indukcję wzajemną jako własność obwodu, podczas gdy poprzednia definicja z odnosi się do strumienia pola magnetycznego, niezależnie od topografii obwodu. Czytelnik powinien zachować ostrożność, wyliczając SEM z i , gdyż wartości ε 1 i ε 2 nie uwzględniają wkładu do SEM pochodzącego od indukcyjności własnej. Zjawisko to omówione zostanie w dalszej części rozdziału. Wysoka wartość wzajemnej indukcyjności M nie zawsze jest pożądana. Dla transformatora przesyłowego istotna jest jak najwyższa indukcyjność wzajemna, ale dla urządzenia domowego, takiego jak pralka, SEM indukowana na jej metalowej obudowie może być niebezpieczna. Stanie się tak, gdy indukcyjność wzajemna między cewkami a obudową będzie wysoka. Jednym ze sposobów na obniżenie wzajemnej indukcyjności jest nawinięcie uzwojenia w przeciwnym kierunku, tak jak przedstawiono to na . Uzwojenie elementu grzewczego w pralce może być nawinięte w przeciwnych kierunkach. Wytworzone pola magnetyczne niwelują się, co znacznie zmniejsza indukcyjność względną z obudową pralki. Tej samej metody używa się na przykład w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów (ang. digital signal processing ). Ciąg zer i jedynek reprezentowany jest przez szybko zmieniającą się SEM w obwodzie. Wytwarza ona zmieniające się w czasie pole magnetyczne, które może indukować SEM w sąsiadujących przewodnikach. Jeśli taki przewodnik również przenosi cyfrowy sygnał, to może być on zakłócany, gdy indukowana SEM będzie wystarczająco wysoka, by zamienić ze sobą zera i jedynki, czego konsekwencje mogą być w najlepszym wypadku kłopotliwe, a w najgorszym – katastrofalne. Indukcyjność względna przedstawia cewkę o liczbie zwojów N 2 i promieniu R 2 otaczającą długi solenoid o długości l 1 , promieniu R 1 i liczbie zwojów N 1 . Jaka jest indukcyjność wzajemna tych dwóch cewek? Ile wynosi SEM indukowana w zewnętrznej cewce, jeśli N 1 = 500 zwojów, N 2 = 10 zwojów, R 1 = 3,1  cm , l 1 = 75  cm , a prąd w solenoidzie zmienia się w tempie 200  A ∕ s ? Długi solenoid otoczony cewką Strategia rozwiązania Poza solenoidem pole jest równe zero, a wewnątrz indukcja pola magnetycznego wynosi B 1 = μ 0  N 1  i 1 ∕ l 1 , zaś linie pola przebiegają równolegle do osi solenoidu. Znając wzór na pole B 1 , możemy wyznaczyć strumień pola magnetycznego przechodzącego przez zewnętrzną cewkę. Część (a) zadania rozwiążemy, wstawiając do wzór na strumień pola magnetycznego, a część (b) przez podstawienie danych do , co pozwoli na obliczenie indukowanej SEM. Rozwiązanie Strumień pola magnetycznego Φ 21 przez zewnętrzną cewkę wynosi Φ 21 = B 1  π  R 1 2 = μ 0  N 1  i 1 l 1  π  R 1 2  . Według indukcyjność wzajemna jest równa M = N 2  Φ 21 i 1 = N 2 i 1 ⋅ μ 0  N 1  i 1 l 1 ⋅ π  R 1 2 = μ 0  N 1  N 2  π  R 1 2 l 1  . Wstawiając dane z treści zadania do powyższego równania, otrzymujemy M = 4  π ⋅ 10 − 7  T  m ∕ A ⋅ 500 ⋅ 10  π ⋅ 0,031  m 2 0,75  m = 2,53 ⋅ 10 − 5  H  . Zatem, korzystając z , stwierdzamy, że SEM indukowana w zewnętrznej cewce wynosi ε 2 = − M  d i 1 d t = − 2,53 ⋅ 10 − 5  H ⋅ 200  A ∕ s = − 5,06 ⋅ 10 − 3  V  . Znaczenie Zauważmy, że indukcyjność wzajemna M wyznaczona w części (a) nie zależy od promienia R 2 zewnętrznej cewki. Przyczyną jest to, że poza wnętrzem solenoidu jego pole magnetyczne znika. Moglibyśmy policzyć M przez znalezienie strumienia pola magnetycznego indukowanego przez zewnętrzną cewkę w wewnętrznym solenoidzie. To podejście jest trudniejsze ze względu na skomplikowaną formę Φ 12 . Korzystając jednak z tego, że M 12 = M 21 , znajdujemy rozwiązanie tego problemu. Sprawdź, czy rozumiesz. Prąd o natężeniu i  t = 5  A ⋅ sin 120  π  rad ∕ s ⋅ t przepływa przez wewnętrzny solenoid z części (b) . Jaka jest maksymalna SEM indukowana na zewnętrznej cewce? 4,77 ⋅ 10 − 2  V . Podsumowanie Indukcyjność jest własnością urządzenia określającą jego zdolność do indukowania SEM w innym urządzeniu. Indukcyjność wzajemna występuje w dwóch urządzeniach, które indukują wzajemnie SEM. Zmiana natężenia prądu d i 1 ∕ d t w jednym obwodzie indukuje SEM ( ε 2 ) w drugim ε 2 = − M  d i 1 d t  , gdzie M jest indukcyjnością wzajemną między dwoma obwodami. Znak minus wynika z reguły Lenza. Podobnie zmiana natężenia prądu d i 2 ∕ d t w drugim obwodzie indukuje SEM ( ε 2 ) w pierwszym ε 1 = − M  d i 2 d t  , gdzie M jest tą samą indukcyjnością wzajemną, co w przypadku odwrotnego procesu. Pytania Wykaż, że N  Φ B ∕ i i ε ∕ d i ∕ d t , będące wzorami na indukcję własną, wyrażają się w tych samych jednostkach. Wb ∕ A = T  m 2 ∕ A = V  s ∕ A = V ∕ A ∕ s  . W induktorze o indukcyjności 10  H płynie prąd o natężeniu 20  A . Opisz, w jaki sposób można na nim zaindukować SEM o wartości 50  V . Układ zapłonowy w samochodzie zasilany jest baterią 12  V . Jak za pomocą takiego źródła prądu możemy generować wysokie napięcia? Prąd indukowany przez baterię 12  V płynie przez induktor, co generuje wysokie napięcie. Kiedy prąd płynący w cewce o wysokiej indukcyjności własnej jest nagle wyłączony przełącznikiem, na jego otwartych końcach pojawia się łuk elektryczny. Wyjaśnij dlaczego. Zadania Kiedy prąd w jednej cewce zmienia się w tempie 5,6  A ∕ s , w drugiej cewce indukowana jest SEM o wartości 6,3 ⋅ 10 − 3  V . Jaka jest indukcyjność wzajemna tych cewek? Podczas, gdy w jednej cewce indukowana jest SEM o wartości 9,7 ⋅ 10 − 3  V , natężenie prądu płynącego przez drugą zmienia się w tempie 2,7  A ∕ s . Ile wynosi indukcyjność wzajemna tych cewek? M = 3,6 ⋅ 10 − 3  H . Indukcyjność wzajemna dwóch położonych w pobliżu siebie cewek wynosi 32  mH . Jeśli natężenie prądu płynącego w jednej zanika zgodnie z równaniem i = i 0 e − α t , gdzie i 0 = 5  A a α = 2 ⋅ 10 3  s − 1 , to jaka SEM indukowana jest na drugiej natychmiast po rozpoczęciu zanikania prądu, a jaka po czasie t = 10 -3  s t = 10^{-3}\si{\second} ? Cewka zawierająca 40 zwojów otacza długi solenoid o polu przekroju poprzecznego 7,5 ⋅ 10 − 3  m 2 . Solenoid ma 0,5  m długości i ma 500 zwojów. Ile wynosi indukcyjność wzajemna tego układu? Zewnętrzna cewka zastąpiona jest cewką o 40 zwojach i promieniu trzy razy większym niż promień wewnętrznego solenoidu. Ile wynosi indukcyjność wzajemna w tym przypadku? a. 3,8 ⋅ 10 − 4  H ; b. 3,4 ⋅ 10 − 3  H . Solenoid o 600 zwojach ma 0,55  m długości i 4,2  cm średnicy. Wewnątrz umieszczono na stałe niewielką prostokątną pętlę o wymiarach 1,1  cm × 1,4  cm , tak że długa oś solenoidu jest prostopadła do powierzchni pętli. Jaka jest indukcyjność wzajemna tego układu? Jednorodnie nawinięta cewka o 1000 zwojach w kształcie torusa ma średni promień wynoszący 16  cm i pole przekroju poprzecznego 0,25  cm 2 . Druga cewka jest nawinięta jednorodnie na pierwszej i ma 750 zwojów. Pomijając niejednorodność pola magnetycznego wewnątrz torusa, wyznacz indukcyjność wzajemną tych dwóch cewek. M 21 = 2,3 ⋅ 10 − 5  H . Solenoid o N 1 zwojach ma długość l 1 i promień R 1 . Drugi mniejszy solenoid o N 2 zwojach, dłguości l 2 i promieniu R 2 umieszczony jest współosiowo w pierwszym. Jaka jest indukcyjność wzajemna tych solenoidów? henr (ang. henry ) jednostka indukcyjności, 1  H = 1  Ω  s indukcyjność (ang. inductance ) własność urządzenia określająca jego zdolność do indukowania SEM w innym urządzeniu indukcyjność wzajemna (ang. mutual inductance ) geometryczna wielkość określająca zdolność dwóch urządzeń do wzajemnego indukowania SEM

Science


Samoindukcja i cewki indukcyjne Zjawisko indukcji wzajemnej polega na indukowaniu SEM przez pole magnetyczne innego przewodnika, w którym płynie prąd. Ale czy wytworzone pole może mieć wpływ na prąd płynący w przewodniku, który je wytwarza? Owszem, a zjawisko to nosi nazwę samoindukcji. Cewki indukcyjne przedstawia niektóre linie pola wytwarzane przez prąd płynący w okrągłej pętli z drutu. Jeśli prąd jest stały, stały jest również strumień pola magnetycznego przechodzącego przez pętlę. Jeśli jednak natężenie prądu i zmieniałoby się w czasie, na przykład po zamknięciu przełącznika S , to strumień magnetyczny Φ B również by się zmienił. Tę sytuację opisuje prawo Faradaya, które mówi, że w obwodzie powstałaby SEM ε według wzoru ε = − d Φ B d t  . Natężenie pola magnetycznego przewodnika, w którym płynie prąd, jest wprost proporcjonalne do jego natężenia, wobec tego taka sama zależność zachodzi dla strumienia tego pola Φ B ∝ I  , Pętla z prądem wytwarza pole magnetyczne. Jeśli natężenie prądu I zmieniałoby się w czasie, strumień pola magnetycznego również by się zmieniał i indukowana byłaby SEM. co może być również zapisane w postaci Φ B = L  I  , gdzie stałą proporcjonalności L nazywamy indukcyjnością własną pętli (ang. self-inductance ). Gdybyśmy pętlę zastąpili cewką z N zwojami, równanie to przyjęłoby postać N  Φ B = L  I  . Według umownej konwencji, wynikającej z reguły prawej dłoni, Φ B jest dodatni. W takim razie L zawsze przyjmuje dodatnie wartości . Dla cewki o N zwojach, ε = − N  d Φ B ∕ d t . Możemy więc napisać wyrażenie na SEM w odniesieniu do indukcyjności własnej ε = − L  d i d t  . Korzystając z tego równania do wyznaczenia L , najłatwiej jest opuścić znaki ε i d i ∕ d t . Wtedy L zapiszemy jako L = ε d i ∕ d t  . Samoindukcja jest związana z polem magnetycznym wytwarzanym przez prąd, więc każdy przewodnik będzie posiadał indukcyjność własną. Oprócz pętli drutu może to być na przykład długi, prosty drut albo kabel koncentryczny. Ten ostatni jest powszechnie wykorzystywany w przesyłaniu cyfrowych sygnałów, na przykład sygnału telewizji kablowej, gdzie minimalizuje on zakłócenia. Zbudowany jest z dwóch długich cylindrycznych przewodników, przez które płynie prąd i których indukcyjność własna może mieć niepożądane skutki. Element obwodu wykazujący samoindukcję nazywany jest cewką indukcyjną (ang. inductor ). Na przedstawione jest jego schematyczne oznaczenie, a na poniżej widocznych jest kilka rodzajów cewek indukcyjnych stosowanych w obwodach. Schematyczne oznaczenie cewki indukcyjnej w obwodzie elektrycznym Kilka różnych cewek indukcyjnych. Każda z nich jest zwojem drutu, niezależnie od tego, czy jest obudowana, czy nie. Źródło: Windell Oskay Zgodnie z regułą Lenza znak minus w oznacza, że SEM samoindukcji zawsze przeciwdziała zmianom prądu. Gdy natężenie prądu płynącego z punktu A do punktu B w układzie na wzrasta, to indukowana SEM ma kierunek przeciwny do kierunku prądu. Natomiast jeśli natężenie prądu maleje, to SEM indukowana jest w kierunku zgodnym z kierunkiem prądu. W trzecim przypadku, gdy prąd płynący przez cewkę jest stały, nie indukuje się żadna SEM. Kierunek SEM samoindukcji reprezentowany jest na (a) i (b) przez wyimaginowaną baterię, która byłaby jej źródłem. SEM indukowana w cewce indukcyjnej zawsze przeciwdziała zmianom natężenia prądu. Można to sobie wyobrazić jako wyimaginowaną baterię wpiętą w obwód tak by raz zmniejszała, raz zwiększała płynący prąd. Przykładem codziennego zastosowania samoindukcji są czujniki montowane w jezdni, których zadaniem jest wykrycie obecności samochodu. Kiedy samochód najeżdża na pętlę indukcyjną (ang. induction loop ), chwilowo zwiększa się jej indukcyjność. Generuje to sygnał przekazywany do innego urządzenia, na przykład sygnalizacji świetlnej (ang. traffic lights ) lub stacji odcinkowego pomiaru prędkości. To samo zjawisko wykorzystane jest w detektorach metalu (ang. metal detector ) stosowanych przy kontroli bezpieczeństwa ( ). Cewki znajdujące się w bramce detektora działają jednocześnie jako nadajniki i odbiorniki pulsacyjnego sygnału. Obecność metalowego przedmiotu zmienia indukcyjność własną nadajnika i wpływa przez to na emitowany sygnał. Czułość detektora może być wykalibrowana w taki sposób, by wykryć metalowe przedmioty przenoszone przez osoby. Bramka bezpieczeństwa na lotnisku może nie tylko wykryć metal przenoszony przez osobę, ale także wskazać jego przybliżoną wysokość nad podłogą. Źródło: „Alexbuirds”/Wikimedia Commons Wysokie indukowane napięcia stosowane są w lampach błyskowych (ang. flash lamp ). Wewnątrz aparatu znajduje się bateria, kondensator, transformator zbudowany z dwóch cewek indukcyjnych i generator drgań elektrycznych. Oscylacje pola magnetycznego, pojawiające się ze względu na zmienny prąd, podbijają napięcie z baterii do wartości powyżej 1000 woltów. Kondensator zatrzymuje napięcie, które zostaje użyte do zasilenia lampy w chwili wyzwolenia migawki. Indukcyjność własna cewki Na ciasno nawiniętej cewce o 50 zwojach zmierzono zaindukowaną SEM o wartości 2  V , podczas gdy natężenie prądu zmieniało się jednostajnie od 0  A do 5  A w czasie 0,1  s . Ile wynosi indukcyjność własna cewki? Ile wynosi strumień na jeden zwój cewki przy natężeniu prądu 5  A ? Strategia rozwiązania W treści zadania zawarte są wszystkie dane potrzebne do znalezienia (a) indukcyjności własnej cewki i (b) strumienia na jeden zwój. W części (a) skorzystamy z , a w części (b) z . Rozwiązanie Z dokładnością do znaku z otrzymujemy L = ε d i ∕ d t = 2  V 5  A ∕ 0,1  s = 4 ⋅ 10 − 2  H  . Przekształcamy do postaci Φ B = L  i ∕ N i wstawiamy dane z zadania Φ B = 4 ⋅ 10 − 2  H ⋅ 5  A 50  zwojów = 4 ⋅ 10 − 3  Wb  . Znaczenie Wartości indukcyjności własnej i strumienia pola magnetycznego obliczone w punktach (a) i (b) są typowe dla współczesnych urządzeń. Jeśli natężenie prądu nie zmienia się w czasie, nie zmienia się także strumień oraz nie indukuje się SEM. Sprawdź, czy rozumiesz. Wyobraźmy sobie, że na prąd płynie z punktu B do A zamiast z A do B . W którym przypadku prąd jest rosnący, a w którym malejący, by indukowana była SEM zaznaczona na diagramach (a) i (b)? a. Malejący; b. Rosnący. Prąd płynie w przeciwnym kierunku niż na przedstawionych schematach. Aby otrzymać dodatnią wartość SEM po lewej stronie schematu (a), musimy zmniejszać prąd od prawej strony do lewej, co powoduje wzmocnienie SEM po lewej stronie schematu. Aby otrzymać dodatnią wartość SEM po prawej stronie schematu (b), musimy zwiększać prąd od prawej strony do lewej, co powoduje wzmocnienie SEM po prawej stronie schematu. Sprawdź, czy rozumiesz. Jednostajnie zmienny prąd ładowania indukuje SEM o wartości 10  V w cewce indukcyjnej o indukcyjności własnej 0,25  H . Jaka jest szybkość zmian natężenia prądu? 40  A ∕ s . Na skuteczne podejście do obliczania indukcyjności własnej cewki indukcyjnej składają się następujące kroki: Strategia rozwiązywania zadań: indukcyjność własna Załóż, że przez cewkę indukcyjną płynie prąd o natężeniu i . Wyznacz indukcję pola magnetycznego B → indukowanego przez prąd. Jeśli układ ma odpowiednią symetrię, możesz skorzystać z prawa Ampère’a. Oblicz strumień pola magnetycznego Φ B . Indukcyjność własną znajdziesz po wstawieniu Φ B do , L = N  Φ B ∕ i . Aby zademonstrować tę metodę, wyznaczymy teraz indukcyjność własną dwóch cewek indukcyjnych o różnej geometrii. Cylindryczny solenoid Rozważmy długi, cylindryczny solenoid o długości l , polu przekroju poprzecznego S i N zwojach. Założymy, iż jego długość jest tak duża w porównaniu ze średnicą, że pole wewnątrz jest jednorodne i wynosi B = μ 0  n  i . Jeśli przez uzwojenie płynie prąd o natężeniu i , to pole magnetyczne wytworzone w solenoidzie zapiszemy jako B = μ 0  N l  i  . Zatem strumień pola magnetycznego przenikającego przez jeden zwój wynosi Φ B = B  S = μ 0  N  S l  i  . Z , wyliczamy indukcyjność własną solenoidu L solenoid = N  Φ B i = μ 0  N 2  S l  . Jeśli n = N ∕ l jest liczbą zwojów na jednostkę długości, możemy zapisać w następujący sposób L = μ 0  N l 2  S  l = μ 0  n 2  S  l = μ 0  n 2  V  , gdzie V = S  l jest objętością solenoidu. Zauważmy, że indukcyjność własna solenoidu zależy jedynie od jego fizycznej budowy – liczby zwojów na jednostkę długości i objętości – a nie od natężenia pola magnetycznego albo natężenia prądu. Obserwacja ta jest prawdziwa dla wszystkich cewek indukcyjnych. Cewka nawinięta na prostokątny toroid przedstawia toroidalną cewkę o przekroju prostokątnym. Wewnętrzny i zewnętrzny promień cewki wynoszą odpowiednio R 1 i R 2 , a jej wysokość wynosi h . Wykorzystując prawo Ampère’a, podobnie jak zrobiliśmy to w obliczamy pole magnetyczne wewnątrz toroidu, którego przekrój jest kołem B = μ 0  N  i 2  π  r  , gdzie r oznacza odległość od centralnej osi toroidu. Ponieważ pole magnetyczne wewnątrz jest niejednorodne, strumień pola znajdziemy, całkując po polu przekroju bryły. Całkujemy po infinitezymalnych elementach powierzchni d a = h  d r ( ). Otrzymujemy zależność Φ B = ∬ B  d a = ∫ R 1 R 2 μ 0  N  i 2  π  r  h  d r = μ 0  N  h  i 2  π  ln R 2 R 1  . \Phi_B = \iint B \d a = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0 N I}{2\pi r} h \d r = \frac{\mu_0 N h I}{2\pi} \ln(\frac{R_2}{R_1})\text{.} Obliczanie indukcyjności własnej toroidu o przekroju prostokątnym Tak policzony strumień możemy wstawić do , by otrzymać indukcyjność własną naszej cewki L = N  Φ B i = μ 0  N 2  h 2  π  ln R 2 R 1  . L = \frac{N\Phi_B}{I} = \frac{\mu_0 N^2 h}{2\pi} \ln (\frac{R_2}{R_1}) \text{.} Tak jak się spodziewaliśmy, również tym razem indukcyjność własna zależy tylko od fizycznych właściwości cewki. Sprawdź, czy rozumiesz. Ciasno nawinięty solenoid z drutu o średnicy 0,1  cm ma pole przekroju 0,9  cm 2 i długość 40  cm . Oblicz jego indukcyjność własną; Prąd płynący przez solenoid jednostajnie spada z 10  A do 0  A w czasie 0,1  s . Ile wynosi indukowana SEM pomiędzy końcami cewki? a. 4,5 ⋅ 10 − 5  H ; b. 4,5 ⋅ 10 − 3  V . Sprawdź, czy rozumiesz. Ile wynosi strumień pola magnetycznego przenikającego przez jeden zwój solenoidu o indukcyjności własnej 8 ⋅ 10 − 5  H , gdy płynie przez niego prąd o natężeniu 3  A ? Załóż, że solenoid ma 1000 zwojów i jest zrobiony z drutu o średnicy 1  mm ; Ile wynosi pole przekroju poprzecznego tego solenoidu? a. 2,4 ⋅ 10 − 7  Wb ; b. 6,4 ⋅ 10 − 5  m 2 . Podsumowanie Zjawisko samoindukcji polega na indukowaniu się SEM w cewce indukcyjnej, przez którą płynie zmienny prąd ε = − L  d i d t  , gdzie L nazywane jest indukcyjnością własną cewki, a d i ∕ d t jest szybkością zmian natężenia płynącego przez nią prądu. Znak minus oznacza, że SEM przeciwdziała zmianom natężenia prądu zgodnie z regułą Lenza. Jednostką indukcyjności własnej jest henr ( H ), 1  H = 1  Ω  s . Indukcyjność własna solenoidu wynosi L = μ 0  N 2  S l  , gdzie N oznacza liczbę zwojów, S jest polem przekroju poprzecznego solenoidu, i jest jego dlugością, a μ 0 = 4  π  ⋅ 10 − 7  T  m ∕ A jest przenikalnością magnetyczną próżni. Indukcyjność własna toroidalnej cewki o przekroju prostokątnym wynosi L = μ 0 N 2 h 2 π ln R 2 R 1 , gdzie N jest liczbą zwojów, R 1 i R 2 są wewnętrznym i zewnętrznym promieniem toroidu, h jest jego wysokością, a μ 0 = 4  π ⋅ 10 − 7  T  m ∕ A jest przenikalnością magnetyczną próżni. Pytania Czy indukcyjność własna zależy od strumienia pola magnetycznego? Czy zależy od natężenia prądu płynącego przez przewód? Odnieś swoją odpowiedź do równania N  Φ B = L  i . Indukcyjność własna jest wprost proporcjonalna do strumienia pola magnetycznego i odwrotnie proporcjonalna do natężenia prądu. Jednak strumień pola zależy od natężenia prądu, więc te efekty się znoszą. Indukcyjność własna nie zależy wobec tego od natężenia prądu. Jeśli na cewce indukowana jest SEM, zależy ona jednak od szybkości zmian natężenia prądu. Czy indukcyjność własna ciasno nawiniętego solenoidu o długości 1  m jest różna od indukcyjności własnej na metr identycznego, ale nieskończonego solenoidu? Omów, jak wyznaczyć indukcyjność własną na jednostkę długości długiego, prostego drutu. Rozważ końce drutu jako części obwodu RL i wyznacz indukcyjność własną takiego obwodu. Indukcyjność własna cewki jest równa zero, jeśli nie płynie przez nią prąd. Prawda czy fałsz? Jaka jest relacja między indukcyjnością własną na jednostkę długości w pobliżu środka solenoidu i na jego końcach? Pole magnetyczne rozbiega się na końcach solenoidu, zatem strumień pola magnetycznego przez skrajny zwój jest niższy niż przez jeden z wewnętrznych. Zadania Kiedy natężenie prądu płynącego przez cewkę zmienia się jednostajnie od 0,1  A do 0,6  A , indukowana jest SEM o wartości 0,4  V . Jaka jest indukcyjność własna cewki? 0,24  H . W ilustracji poniżej natężenie płynącego prądu zwiększa się; zmniejsza się. Który z końców cewki ma w każdym przypadku wyższy potencjał elektryczny? Jaka jest szybkość zmian natężenia prądu w cewce o indukcyjności 0,3  H , jeśli indukowana SEM ma wartość 0,12  V ? 0,4  A ∕ s . Po wykonaniu zdjęcia z fleszem kondensator w lampie błyskowej rozładowuje się przez cewkę indukcyjną. W jakim czasie prąd o natężeniu 0,1  A musi zostać włączony lub wyłączony, aby wyindukować SEM o wartości 500  V w cewce o indukcyjności własnej 2  mH ? Natężenie prądu płynącego w cewce o indukcyjności własnej 2  H zmienia się zgodnie z równaniem i  t = 2  A ⋅ sin 120  π  s − 1 ⋅ t . Znajdź wyrażenie na SEM indukowaną w cewce. ε = 480  π  V ⋅ sin 120  π  s − 1 ⋅ t − π ∕ 2 . Solenoid o długości 50  cm zwinięty jest z 500 zwojów drutu. Przekrój poprzeczny cewki wynosi 2  cm 2 . Jaka jest indukcyjność własna solenoidu? Natężenie prądu płynącego przez cewkę o indukcyjności własnej 3  H zmienia się jednostajnie z szybkością d i ∕ d t = − 0,05  A ∕ s . Ile wynosi wyindukowana SEM? Opisz kierunek tej siły. 0,15  V . Kierunek pokrywa się z SEM, która wywołuje przepływ prądu. Natężenie prądu i  t płynącego przez cewkę o indukcyjności własnej 5  mH zmienia się w czasie tak, jak narysowano poniżej. Oporność cewki wynosi 5  Ω . Oblicz napięcie w cewce w czasie t = 2  ms , t = 4  ms , oraz t = 8  ms . Na centymetr długości cylindrycznego solenoidu o promieniu 1,5  cm przypada 100 zwojów. Zakładając, że solenoid jest nieskończenie długi, jaka jest jego indukcyjność własna na jednostkę długości? Jaka SEM indukowana jest na jednostkę długości, jeśli natężenie prądu płynącego przez solenoid zmienia się z szybkością 5  A ∕ s ? a. 0,089  H ∕ m ; b. 0,44  V ∕ m . Przyjmijmy, że toroidalna cewka o przekroju prostokątnym ma 2000 zwojów i indukcyjność własną 0,04  H . Ile wynosi stosunek wewnętrznego do zewnętrznego promienia cewki, jeśli h = 0,1  m ? Ile wynosi indukcyjność wzajemna na metr koncentrycznego kabla, którego wewnętrzny promień wynosi 0,5  mm , a zewnętrzny – 4  mm ? L ∕ l = 4,16 ⋅ 10 − 7  H ∕ m  . cewka indukcyjna (ang. inductor ) element obwodu elektrycznego wykazujący samoindukcję. Schematycznie przedstawiany jest jako nawinięty drut samoindukcja (ang. self-inductance ) zjawisko wytwarzania się SEM w urządzeniu, w którym płynie prąd

Science


Energia magazynowana w polu magnetycznym W polu elektrycznym pomiędzy okładkami kondensatora magazynowana jest energia. W analogiczny sposób energia może być gromadzona również w polu magnetycznym cewki indukcyjnej. Obliczenie tej energii jest możliwe przez scałkowanie gęstości energii pola magnetycznego (ang. magnetic energy density ) u B = B 2 2  μ 0 po odpowiedniej objętości. By zrozumieć, jak otrzymaliśmy to równanie, rozważmy długi, cylindryczny solenoid opisany w poprzedniej sekcji. W przybliżeniu nieskończonej cewki pole wewnątrz jest jednorodne i wynosi B = μ 0  n  I . Zmagazynowana energia również jest rozłożona w sposób jednorodny. Zapiszemy ją jako iloczyn gęstości energii pola magnetycznego i objętości cewki E L = u B  V = μ 0  n  I 2 2  μ 0 ⋅ S  l = 1 2  μ 0  n 2  S  l  I 2  . E_B = u_B V = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} \cdot S l = \frac12 \mu_0 n^2 S l I^2 \text{.} Wyznaczoną zależność podstawimy do , by otrzymać E L = 1 2  L  I 2  . E_B = \frac12 LI^2 \text{.} Równanie to, choć wyprowadzone dla szczególnego przypadku, słuszne jest dla każdej cewki indukcyjnej. Możemy to wykazać, rozważając cewkę indukcyjną o dowolnej geometrii, przez którą płynie prąd. W każdym momencie wartość indukowanej SEM jest równa ε = L  d i ∕ d t \epsilon = L \d i / \d t , więc moc absorbowana przez cewkę wynosi P = ε  i = L  d i d t  i  . Całkowitą energię zmagazynowaną w polu magnetycznym, gdy natężenie prądu rośnie od 0 \num{0} do I w czasie od 0 \num{0} do t , otrzymamy, całkując powyższe równanie E L = ∫ 0 t P  d t ′ = ∫ 0 t L  d i d t ′  i  d t ′ = L  ∫ 0 I i  d i = 1 2  L  I 2  . E_B = \int_0^t P\d t' = \int_0^t L \frac{\d i}{\d t'} i \d t' = L \int_0^I i \d i = \frac12 LI^2 \text{.} Indukcyjność własna kabla koncentrycznego Na przedstawione są dwa współosiowe cylindry o promieniach R 1 i R 2 . Wykorzystamy je, podobnie jak miało to miejsce w rozdziale Pojemność elektryczna , gdzie liczyliśmy pojemność takiego układu – jako uproszczony model kabla koncentrycznego (ang. coaxial cable ). W tym przykładzie wyznaczymy zmagazynowaną energię pola magnetycznego; indukcyjność własną na jednostkę długości kabla. (a) Koncentryczny kabel modelowo przedstawiamy jako dwa puste, cylindryczne przewodniki, przez które płynie prąd w przeciwnych kierunkach. (b) Pole magnetyczne pomiędzy przewodnikami można obliczyć z prawa Ampère’a zastosowanego do zaznaczonego pierścienia. (c) Energię pola magnetycznego na jednostkę długości znajdziemy, całkując po cylindrycznej powłoce o jednostkowej długości. Strategia rozwiązania Pole magnetyczne na zewnątrz i wewnątrz kabla koncentrycznego wyznaczymy z prawa Ampère’a. Wynik wstawimy do w celu policzenia gęstości energii. Następnym krokiem jest scałkowanie gęstości energii pomnożonej przez infinitezymalny element objętości. W ten sposób otrzymamy zmagazynowaną energię, a indukcyjność własną cewki wyznaczymy z . Rozwiązanie Pole magnetyczne między przewodnikami wyznaczamy z prawa Ampère’a (część (b) ), obliczając całkę krzywoliniową po pierścieniu o promieniu r , gdzie R 1 < r < R 2 . Ze względu na symetrię problemu, B → jest stałe wzdłuż krzywej całkowania. Mamy więc ∮ B → ⋅ d l → = B ⋅ 2  π  r = μ 0  I  , co daje nam B = μ 0  I 2  π  r  . Na zewnątrz kabla z prawa Ampère’a otrzymamy B = 0  T B=\SI{0}{\tesla} , gdyż wypadkowe natężenie prądu jest równe zero, gdy r > R 2 , podobnie jak byłoby to wewnątrz mniejszego cylindra dla r < R 1 . Cała energia pola magnetycznego zmagazynowana jest więc między cylindrami. Gęstość energii wynosi u B = B 2 2  μ 0 = μ 0  I 2 8  π 2  r 2  , a energia zawarta między powierzchniami cylindrycznymi o promieniach r i r + d  r i długości l wynosi d E L = μ 0  I 2 8  π 2  r 2 ⋅ 2  π  r  l  d r  . Zatem całkowita energia pola magnetycznego na jednostkę długości E L = ∫ E L  R 1 E L  R 2 d E L = ∫ R 1 R 2 μ 0  I 2 8  π 2  r 2 ⋅ 2  π  r  l  d r = μ 0  I 2  l 4  π  ln R 2 R 1  . E_B = \int_{E_B \apply (R_1)}^{E_B \apply (R_2)} \d E_B = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2} \cdot 2\pi r l \d r = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi} \ln(\frac{R_2}{R_1}) \text{.} Przypomnijmy E L = 1 2  L  I 2  , E_B = \frac12 L I^2 \text{,} w którym L jest indukcyjnością wzajemną koncentrycznego kabla o długości l . Porównując stronami powyższe dwa równania, otrzymujemy L l = μ 0 2  π  ln R 2 R 1  . \frac{L}{l} = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln (\frac{R_2}{R_1}) \text{.} Znaczenie Indukcyjność własna na jednostkę długości zależy od ilorazu promieni cylindrów. Indukcyjność zbiega do zera w granicy nieskończenie małego rozstawu przewodników w kablu ( R 1 = R 2 ). Możemy również zaobserwować, że energia pola magnetycznego na jednostkę długości jest wprost proporcjonalna do kwadratu natężenia prądu. Sprawdź, czy rozumiesz. Jaka ilość energii zmagazynowana jest na cewce indukcyjnej z , po tym jak natężenie prądu osiągnie maksymalną wartość? 0,5  J . Podsumowanie Energia zmagazynowana na cewce indukcyjnej wynosi E L = 1 2  L  I 2  . Indukcyjność własna na jednostkę długości kabla koncentrycznego wynosi L l = μ 0 2  π  ln R 2 R 1  . Pytania Wykaż, że L  I 2 ∕ 2 ma wymiar energii. Zadania W chwili, gdy prąd o natężeniu 0,2  A przepływa przez drucianą pętlę, energia zmagazynowana w jej polu magnetycznym wynosi 6 ⋅ 10 − 3  J . Jaka jest indukcyjność własna pętli? Toroidalna cewka o przekroju prostokątnym o 2000 zwojach i indukcyjności własnej 0,04  H ma wysokość h = 0,1  m . Ile wynosi prąd płynący przez nią, jeśli energia pola magnetycznego jest równa 2 ⋅ 10 − 6  J ? 0,01  A . Solenoid A jest nawinięty ciasno, podczas gdy między zwojami solenoidu B są przerwy równe średnicy drutu. Jeśli poza tym faktem solenoidy są identyczne, wyznacz stosunek zmagazynowanych w nich energii przy jednakowym natężeniu prądu przepływającym przez każdy z nich. Przez cewkę indukcyjną o indukcyjności własnej 10  H płynie prąd o natężeniu 20  A . Jaką ilość lodu w temperaturze 0  ° C mogłaby roztopić z wykorzystaniem energii zmagazynowanej w cewce (przyjmij c top = 334  J ∕ g c_{\text{top}} = \SI{334}{\joule\per\gram} dla lodu)? 6  g . Przez pętlę o indukcyjności własnej 3  H i oporze 100  Ω płynie stały prąd o natężeniu 2  A . Ile wynosi energia magnetyczna zmagazynowana w polu pętli? Ile wynosi energia rozpraszana na oporze pętli w ciągu jednej sekundy? Przez koncentryczny kabel o zewnętrznym przekroju pięciokrotnie większym od wewnętrznego płynie prąd o natężeniu 1,2  A . Ile wynosi wartość pola magnetycznego, która zostanie zmagazynowana na długości kabla 3  m ? E B = 7 ⋅ 10 − 7  J . gęstość energii pola magnetycznego (ang. magnetic energy density ) wartość energii przypadająca na jednostkę objętości zmagazynowanej w polu magnetycznym

Science


Obwody RL Obwód posiadający opór i indukcyjność własną nazywamy w skrócie obwodem RL. (a) przedstawia tego rodzaju obwód z następującymi elementami: opornikiem, cewką indukcyjną, baterią generującą stałą SEM oraz dwoma przełącznikami S 1 i S 2 . Przy zamkniętym przełączniku S 1 otrzymujemy obwód zawierający wszystkie elementy połączone szeregowo: baterię, cewkę i opornik, natomiast przy zamkniętym S 2 (i otwartym S 1 ) mamy obwód z odłączoną baterią. Te dwie sytuacje przedstawione są na (b) i (c). Obwód RL z przełącznikami S 1 i S 2 . Przedstawione są obwody otrzymane przez (b) zamknięcie S 1 i pozostawienie S 2 otwartym, (c) zamknięcie S 2 i pozostawienie S 1 otwartym. W momencie zamknięcia S 1 bateria zaczyna generować prąd płynący przez obwód. Gdybyśmy pominęli indukcyjność własną obwodu, natężenie natychmiast wzrosłoby do stałej wartości ε ∕ R . W opisywanej sytuacji w obwodzie pojawia się jendak dodatkowa SEM u L  t = − L ⋅ d i  t ∕ d t u_L \apply (t) = - L \cdot \d i\apply (t) / \d t , przeciwdziałająca nagłej zmianie prądu zgodnie z regułą Lenza. W rezultacie i  t i \apply (t) początkowo jest równe zero, a następnie rośnie asymptotycznie do wartości końcowej. Na mocy prawa Kirchoffa możemy zapisać ε − L  d i d t − i  R = 0  . \epsilon - L \frac{\d i}{\d t} - i R = 0 \text{.} Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na I  t . Zauważmy jego podobieństwo do równania wyprowadzonego wcześniej dla obwodu RC ( Obwody RC ). może być rozwiązane w analogiczny sposób, zastępując człony pojemnościowe indukcyjnymi, co da nam i  t = ε R  1 − e − R  t ∕ L = ε R  1 − e − t ∕ τ L  , gdzie τ L = L R \tau_L = \frac{L}{R} jest stałą czasową obwodu RL (ang. inductive time constant ). Zależność i  t wykreślona jest na (a). Zaczyna się w zerze, a kiedy t ⟶ ∞ dąży asymptotycznie do ε ∕ R . Indukowana SEM u L  t jest wprost proporcjonalna do d i ∕ d t , czyli nachylenia krzywej i  t . Wobec tego indukowana SEM zbiega w granicy bardzo długiego czasu do zera, a obwód staje się równoważny opornikowi podłączonemu do źródła SEM. Wykresy w funkcji czasu: (a) natężenia prądu i (b) SEM indukowanej w obwodzie przedstawionym na (b). Energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki jest równa u B = 1 2  L  I 2  . Maksymalna wartość zmagazynowanej energii wynosi L  ε ∕ R 2 ∕ 2 przy maksymalnym natężeniu wynoszącym ε ∕ R . Stała czasowa τ L mówi nam o szybkości wzrostu natężenia prądu do jego końcowej wartości. Natężenie prądu w czasie t = τ L wyliczymy z i  τ L = ε R  1 − e − 1 = 0,63  ε R  . Wynosi ono 63  % końcowej wartości ε ∕ R . Im mniejsza stała czasowa τ L = L ∕ R , tym szybsze są te zmiany. Zmienność w czasie indukowanej przez cewkę SEM możemy znaleźć, korzystając z tego, że u L  t = − L ⋅ d I ∕ d t i z u L  t = − L  d I d t = − ε  e − t ∕ τ L  . Jej wartość w zależności od czasu przedstawiona jest na (b). W chwili zamknięcia S 1 i otwarcia S 2 , SEM ma maksymalną wartość ε , gdyż d I ∕ d t jest wtedy największe. Następnie układ zbiega do stanu ustalonego, kiedy natężenie prądu przestaje się zmieniać. Wtedy też indukowana SEM zbiega do zera. Stała czasowa obwodu określa szybkość tych zmian. W chwili t = τ L wielkość indukowanej SEM wynosi u L  τ L = ε  e − 1 = 0,37  ε = 0,37  u L  0  s  . Po upływie czasu równego jednej stałej czasowej indukowane napięcie wynosi więc 37  % wartości początkowej. Im mniejsza stała czasowa, tym wyższa szybkość tych zmian. Po pewnym czasie natężenie prądu osiągnie w przybliżeniu swoją końcową wartość. W tym momencie zmieniamy pozycję obu przełączników, w efekcie otrzymując obwód przedstawiony na (c). Prąd płynący w obwodzie ma wtedy natężenie i  0  s = ε ∕ R . Z prawa Kirchoffa zapiszemy i  R + L  d i d t = 0  V  . Rozwiązanie tego równania przebiega podobnie jak dla rozładowującego się kondensatora. Natężenie prądu w chwili t zapisuje się równaniem i  t = ε R  e − t ∕ τ L  . Początkowo natężenie i  0  s = ε ∕ R , a następnie zanika, podczas gdy zużywana jest energia zmagazynowana na cewce indukcyjnej ( ). Zależność indukowanego SEM od czasu wynosi u L  t = ε  e − t ∕ τ L  . Początkowa SEM wynosi u L  0  s = ε i zbiega do zera, podobnie jak natężenie prądu i energia pola magnetycznego cewki L  I 2 ∕ 2 , która rozpraszana jest na oporze w postaci ciepła Joule’a. Zachowanie się natężenia prądu w obwodzie RL przedstawionym na (c). Indukowana SEM również zanika wykładniczo. Obwód RL ze źródłem SEM Rozważmy obwód przedstawiony na (a) z ε = 2  V , R = 4  Ω i L = 4  H . Przy zamkniętym przełączniku S 1 i otwartym S 2 – (b). Ile wynosi stała czasowa obwodu? Ile wynosi natężenie prądu w obwodzie i wielkość SEM indukowanej w cewce w chwilach czasu t = 0  s , t = 2  τ L oraz t ⟶ ∞ ? Strategia rozwiązania Stała czasowa może być obliczona z . Natężenie prądu płynącego przez cewkę indukcyjną i indukowana SEM znaleziona będzie z i . Rozwiązanie Stała czasowa dla tego obwodu wynosi τ L = L R = 4  H 4  Ω = 1  s  . Natężenie prądu w obwodzie rośnie zgodnie z i  t = ε R  1 − e − t ∕ τ L  . W chwili t = 0  s 1 − e − t ∕ τ L = 1 − 1 = 0 ⇒ i  0  s = 0  A  . 1 - e^{-t/\tau_L} = 1-1 = 0 \implies i\apply (\SI{0}{\second}) = \SI{0}{\ampere} \text{.} W chwili t = 2  τ L i  2  τ L = ε R  1 − e − 2 = 0,5  A ⋅ 0,86 = 0,43  A  . Natomiast w t ⟶ ∞ i  t ⟶ ∞ = ε R = 0,5  A  . Wartość indukowanej SEM maleje zgodnie z u L  t = ε  e − t ∕ τ L  . W chwilach czasu t = 0  s , t = 2  τ L i t ⟶ ∞ otrzymujemy u L  0  s = ε = 2  V  , u L  2  τ L = ε  e -2 = 0,27  V  , u L  t ⟶ ∞ = 0  V  . \begin{align} \abs{u_L \apply (\SI{0}{\second})} &= \epsilon = \SI{2}{\volt} \text{,} \\ \abs{u_L \apply (2\tau_L)} &= \epsilon e^{-2} = \SI{0,27}{\volt} \text{,} \\ \abs{u_L \apply (t \to \infty)} &= \SI{0}{\volt} \text{.} \end{align} Znaczenie Jeśli odstęp czasowy między pomiarami jest znacznie większy od stałej czasowej, nie zaobserwujemy wykładniczego zaniku albo wzrostu napięcia na cewce indukcyjnej i oporniku. Tak jak przedstawiono to na , mierzone napięcia szybko osiągają końcowe wartości. Jako źródło prądu do obwodu RL przyłączono generator napięcia prostokątnego. Na wykresach przedstawione jest zachowanie w czasie (a) napięcia źródła, (b) napięcia na cewce indukcyjnej, (c) napięcia na oporniku. Obwód RL bez źródła SEM Po osiągnięciu przez obwód z stanu ustalonego pozycja obu przełączników jest odwrócona i otrzymujemy obwód z wypiętą baterią – (c). Po jakim czasie natężenie prądu spadnie do połowy początkowej wartości? Po jakim czasie energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki indukcyjnej spadnie do 1  % wartości maksymalnej? Strategia rozwiązania Na oporze występującym w obwodzie rozpraszana będzie energia prądu, więc jego natężenie będzie teraz malało wykładniczo. W punktach (a) i (b) skorzystamy z tego samego wyrażenia na i  t , najpierw bezpośrednio wyliczając natężenie, a potem podstawiając do wyrażenia na energię zmagazynowaną w cewce. Rozwiązanie Po zmianie pozycji przełączników natężenie prądu zanika zgodnie z równaniem i  t = ε R  e − t ∕ τ L = i  0  s  e − t ∕ τ L  . W szukanym czasie natężenie prądu wynosi połowę początkowej wartości i  t = 0,5 ⋅ i  0  s ⇒ e − t ∕ τ L = 0,5  , i\apply (t) = \num{0,5} \cdot i\apply (\SI{0}{\second}) \implies e^{-t/\tau_L} = \num{0,5}\text{,} więc t = − ln 0,5 ⋅ τ L = 0,69 ⋅ 1  s = 0,69  s  , gdzie skorzystaliśmy ze stałej czasowej obliczonej w poprzednim przykładzie. Energia zmagazynowana w cewce indukcyjnej wynosi E L  t = 1 2  L ⋅ i  t 2 = 1 2  L ⋅ ε R ⋅ e − t ∕ τ L 2 = L  e 2 2  R 2 ⋅ e − 2  t ∕ τ L  . Energia spada do 1  % \SI{1}{\percent} wartości początkowej, otrzymujemy więc E L  t = 0,01 ⋅ E L  0  s  lub  L  e 2 2  R 2  e − 2  t ∕ τ L = 0,01 ⋅ L  e 2 2  R 2  . Po skróceniu i zlogarytmowaniu obu stron ostatniego równania otrzymujemy − 2  t τ L = ln 0,01  , zatem t = 1 2  τ L  ln 0,01  . Skoro τ L = 1  s , to energia zmagazynowana w cewce osiągnie 1  % początkowej wartości po czasie t = − 1 2 ⋅ 1  s ⋅ ln 0,01 = 2,3  s  . Znaczenie W obliczeniach przyjęliśmy, że przed przełączeniem przełączników S 1 i S 2 w obwodzie (b) ustaliła się maksymalna wartość natężenia prądu. W przeciwnym razie początkowe natężenie byłoby niższe i zanikałoby według tego samego równania. Sprawdź, czy rozumiesz. Wykaż, że R  C i L ∕ R mają wymiar czasu. Sprawdź, czy rozumiesz. Ile wynosi stała czasowa obwodu z (b), jeśli po czasie 5  s natężenie rośnie do 90  % maksymalnej wartości? Ile wynosi indukcyjność własna cewki, jeśli R = 20  Ω ? Po jakim czasie natężenie osiągnie 90  % maksymalnej wartości, jeśli R zwiększy się z 20  Ω do 100  Ω ? a. 2,2  s ; b. 43  H ; c. 1  s . Sprawdź, czy rozumiesz. Wykaż, że po ustaleniu się stanu obwodu z (b) różnica całkowitej energii wytworzonej przez baterię i rozproszonej na oporniku równa będzie energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki. Podsumowanie Kiedy połączymy szeregowo opornik, cewkę indukcyjną i źródło napięcia, zachowanie natężenia prądu w czasie opisywane jest równaniem (włączanie) i  t = ε R  1 − e − R  t ∕ L = ε R  1 − e − t ∕ τ L , a początkowe natężenie prądu wynosi I 0 = ε ∕ R . Charakterystyczna stała czasowa obwodu RL wynosi τ L = L ∕ R , gdzie L jest indukcyjnością własną, a R oporem. W czasie od 0 do τ L natężenie prądu rośnie od 0 do 0,632  I 0 \num{0,632}I_0 . Po zwarciu cewki z opornikiem prąd zanika według równania (wyłączanie) i  t = ε R  e − t ∕ τ L . W czasie od 0 do τ L natężenie prądu spada od 0 do 0,638  I 0 \num{0,638}I_0 . Pytania Na mocy reguły Lenza wyjaśnij, dlaczego początkowy prąd w obwodzie RL przedstawionym na (b) jest równy zero. Według reguły Lenza indukowany na cewce prąd przeciwdziała prądowi wytworzonemu przez baterię tak, że wypadkowe natężenie wynosi zero. Po osiągnięciu końcowego natężenia prądu ε ∕ R w obwodzie przedstawionym na (b), ile wynosi napięcie mierzone na cewce, a ile na oporniku? Czy czas, w którym natężenie prądu w obwodzie RL osiąga pewien ułamek I 0 , zależy od SEM baterii? Nie. Do biegunów baterii przyłączono końce cewki indukcyjnej. Czy natężenie prądu, który ustali się w obwodzie, i czas, po jakim to nastąpi, zależy od oporu wewnętrznego baterii? Po jakim czasie napięcie na cewce w obwodzie RL przedstawionym na (b) osiągnie maksymalną wartość? W t = 0  s , czyli w momencie zmiany pozycji przełącznika. Czy SEM indukowana na cewce wpiętej do tego obwodu może przewyższyć SEM źródła prądu? Jeśli SEM baterii zmniejszymy o połowę, jak zmieni się energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki indukcyjnej? Do 1 ∕ 4 maksymalnej wartości. Przez obwód RL o wysokiej stałej czasowej przepływa stały prąd. Po otwarciu obwodu między końcami przełącznika przeskakuje iskra. Dlaczego? Opisz, jak będzie się zmieniać prąd płynący przez oporniki R 1 i R 2 po zamknięciu obwodu. Początkowo I 1 = ε ∕ R 1 , a I 2 = 0  A . Po długim czasie I 1 = ε ∕ R 1 , a I 2 = ε ∕ R 2 . Omów możliwe zastosowania obwodów RL. Zadania Dla obwodu z ε = 12  V , L = 20  mH i R = 5  Ω . Wyznacz stałą czasową obwodu; początkowe natężenie prądu płynącego przez opornik; końcowe natężenie prądu płynącego przez opornik; natężenie prądu płynącego przez opornik w chwili t = 2  τ L ; napięcie na cewce i oporniku w chwili t = 2  τ L . Dla poniższego obwodu ε = 20  V , L = 4  mH i R = 5  Ω . Po osiągnieciu stanu ustalonego przy zamkniętym S 1 i otwartym S 2 pozycja obu przełączników zostaje zmieniona w chwili t = 0  s . Wyznacz natężenie prądu płynącego przez cewkę w t = 0  s ; t = 4 ⋅ 10 − 4  s . Napięcie na oporniku i cewce w chwili t = 4 ⋅ 10 − 4  s . a. 4  A ; b. 2,4  A ; c. Na oporniku: U R = 12  V , na cewce: U L = 7,9  V . Dla poniższego obwodu płynący prąd po 2  s osiąga 40  % swojej maksymalnej wartości. Jaka jest stała czasowa obwodu? Po jakim czasie od zamknięcia przełącznika S 1 w poniższym obwodzie natężenie prądu osiąga połowę wartości maksymalnej? Odpowiedź wyraź w zależności od stałej czasowej obwodu. 0,69  τ \num{0,69}\tau . Zapisz d I ∕ d t w momencie zamknięcia poniższego obwodu. Wykaż, że gdyby prąd rósł jednostajnie w tym tempie, osiągnąłby wartość ε ∕ R w t = τ L . Natężenie prądu płynącego w poniższym obwodzie osiąga połowę maksymalnej wartości w 1,75  ms po zamknięciu obwodu. Przy L = 250  mH wyznacz stałą czasową obwodu τ ; opór R . a. 2,52  ms ; b. 99,2  Ω . Wyznacz i 1 , i 2 i i 3 w chwili, gdy przełącznik S jest zamknięty; natężenia osiągnęły swoje maksymalne wartości; przełącznik jest otwarty po tym, jak obwód osiągnął stan ustalony. Dla poniższego obwodu ε = 50  V , R 1 = 10  Ω , R 2 = R 3 = 19,4  Ω i L = 2  mH , wyznacz wartości i 1 i i 2 w chwili zamknięcia obwodu; po długim czasie od zamknięcia obwodu; w chwili otwarcia obwodu, po długim czasie od otwarcia obwodu. a. i 1 = i 2 = 1,7  A ; b. i 1 = 2,73  A , i 2 = 1,36  A ; c. i 1 = 0  A , i 2 = 0,54  A ; d. i 1 = i 2 = 0  A . Dla poniższego obwodu znajdź natężenie prądu płynącego przez cewkę 2 ⋅ 10 − 5  s po otwarciu przełącznika. Wykaż, że całkowita energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki indukcyjnej wpiętej do poniższego obwodu L  i 2  0  s ∕ 2 Li^2 \apply (\SI{0}{\second}) / 2 równa jest całkowitej energii, która zostanie rozproszona na oporniku. stała czasowa obwodu RL (ang. inductive time constant ) charakterystyczny dla danego obwodu RL czas wynoszący L ∕ R związany z osiąganiem przez obwód stanu ustalonego

Science


Oscylacje obwodów LC Zarówno kondensatory, jak i cewki indukcyjne są urzędzeniami zdolnymi do magazynowania energii w ich polach elektrycznych (kondensator, ozn. C ) i magnetycznych (cewka, ozn. L ). Energia ta oscyluje między nimi, gdy są połączone w obwodzie, bez przyłożonej zewnętrznej SEM, pochodzącej na przykład z baterii. Koncepcje przedstawione w tej sekcji znajdują zastosowanie w ogólniejszych problemach transferu energii między polem elektrycznym i magnetycznym fali elektromagnetycznej, czyli światła. Rozważania zaczniemy od wyidealizowanego przypadku obwodu z zerowym oporem, czyli obwodu LC (ang. LC circuit ). Obwód LC przedstawiono schematycznie na . W chwili t = 0  s , cała energia obwodu zmagazynowana jest w polu elektrycznym kondensatora – (a). Ładunek zgromadzony w kondensatorze przed zamknięciem obwodu wynosi q 0 . Energię w kondensatorze zapiszemy wtedy równaniem E C = 1 2 ⋅ q 0 2 C  . Kiedy zamykamy obwód, kondensator zaczyna się rozładowywać, a w obwodzie zaczyna płynąć prąd. Ten indukuje pole magnetyczne w cewce, którego natężenie stopniowo rośnie, podczas gdy spada natężenie pola elektrycznego w kondensatorze. (a-d) Oscylacja zmagazynowanego ładunku z zaznaczonym kierunkiem przepływu prądu. (e) Wykresy przedstawiają przebieg zmian ładunku i natężenia prądu między elementami obwodu LC. Po pewnym czasie dojdzie do pełnego transferu energii. Kondensator zostanie całkowicie rozładowany, a cała energia zmagazynowana będzie w polu magnetycznym cewki – (b). Natężenie prądu osiąga teraz maksymalną wartość I 0 , a energię cewki można wyrazić wzorem E L = 1 2  L  I 0 2  . Pominęliśmy opór obwodu, zatem energia nie jest tracona w postaci ciepła Joule’a. Z tego wynika, że maksymalne energie zgromadzone na kondensatorze i na cewce muszą być sobie równe 1 2 ⋅ q 0 2 C = 1 2  L  I 0 2  . W dowolnej chwili czasu t , kiedy ładunek na kondensatorze wynosi q  t , a natężenie płynącego prądu i  t , całkowita energia E cał E_{\text{cał}} dana jest równaniem E cał  t = q 2  t 2  C + L  i 2  t 2  . E_{\text{cał}} \apply (t) = \frac{q^2 \apply (t)}{2C} + \frac{L i^2 \apply (t)}{2} \text{.} A ponieważ pomijamy rozpraszanie energii, to E cał = 1 2 ⋅ q 2 C + 1 2  L  i 2 = 1 2 ⋅ q 0 2 C = 1 2  L  I 0 2  . Cewka indukcyjna przeciwdziała zmianom natężenia prądu, więc ten nie przestaje płynąć, nawet gdy kondensator jest rozładowany. Po osiągnięciu maksymalnej wartości I 0 prąd i  t powoduje dalsze przemieszczanie się ładunku między okładkami kondensatora, ponownie go ładując z odwróconą biegunowością. Pole elektryczne kondensatora ponownie rośnie, podczas gdy pole magnetyczne cewki maleje. W rezultacie energia przekazywana jest z powrotem do kondensatora. Spełniona musi być zasada zachowania energii, więc maksymalny ładunek, który znajdzie się na kondensatorze, wynosi znowu q 0 . Jak widać jednak na (c), jego okładki naładowane są ładunkiem przeciwnego znaku niż miało to miejsce na początku. Po całkowitym naładowaniu energia natychmiast zaczyna być przekazywana do cewki aż do pełnego rozładowania – (d). Potem energia znów przepływa do kondensatora, a układ powraca do stanu początkowego. Prześledziliśmy jeden pełen okres oscylacji w obwodzie. Zachodzące drgania elektromagnetyczne są analogiczne do drgań mechanicznych masy zawieszonej na sprężynie. W drugim przypadku energia oscyluje między ciężarkiem, którego energia kinetyczna wynosi m  v 2 ∕ 2 , a sprężyną, której energia potencjalna równa jest k  x 2 ∕ 2 . Tak jak w przypadku obwodu LC założyliśmy zerowy opór, tak tutaj możemy założyć, że tarcie jest pomijalnie małe. W tej sytuacji oscylacje będą powtarzały się w nieskończoność. Założenia te nie sprawdzają się w praktyce. Rzeczywisty obwód zawsze będzie miał skończony opór, na którym tracona będzie energia. Dla układu mechanicznego wielkością analogiczną do natężenia prądu i  t = d q  t ∕ d t jest prędkość ciężarka v  t = d x  t ∕ d t . Całkowitą energię mechaniczną zapiszemy jako E = 1 2  m  v 2 + 1 2  k  x 2  . Analogia między poprzednim akapitem a jest ewidentna. Przechodząc z układu mechanicznego do elektromagnetycznego, zastępujemy po prostu m przez L , v przez i , k przez 1 ∕ C , a x przez q . Skorzystajmy z tego, że znamy już rozwiązanie mechanicznego oscylatora harmonicznego x  t = A ⋅ cos ω  t + ϕ  , gdzie ω = k ∕ m . Wobec tego ładunek zmagazynowany na kondensatorze w obwodzie LC dany jest analogicznym równaniem q  t = q 0 ⋅ cos ω  t + ϕ  , gdzie częstość kątowa oscylacji w obwodzie wynosi ω = 1 L  C  . Zapiszmy jeszcze wzór na natężenie prądu jako pochodną ładunku po czasie i  t = d q  t d t = − ω  q 0 ⋅ sin ω  t + ϕ  . Zachowanie w czasie q  t i i  t dla zerowego przesunięcia fazowego ϕ = 0 przedstawione jest na (e). Obwód LC W obwodzie LC indukcyjność własna cewki wynosi 2 ⋅ 10 − 2  H , a pojemność kondensatora 8 ⋅ 10 − 6  F . W chwili czasu t = 0  s cała energia zmagazynowana jest na kondensatorze naładowanym do 1,2 ⋅ 10 − 5  C . Ile wynosi częstość kątowa drgań w obwodzie? Ile wynosi maksymalny prąd płynący w obwodzie? Po jakim czasie kondensator rozładuje się całkowicie? Znajdźmy równanie na q  t . Strategia rozwiązania Częstość kątowa dana jest . Maksymalne natężenie prądu znajdziemy, korzystając z zasady zachowania energii dla obwodu ( ). Czas, w którym kondensator rozładuje się całkowicie, równy jest jednej czwartej pełnego okresu drgań, który łatwo obliczymy, znając częstość kątową. Wyrażenie na q  t znajdziemy, podstawiając początkowy ładunek na kondensatorze i częstość kątową do . Rozwiązanie Z wyliczamy częstość oscylacji ω = 1 L  C = 1 2 ⋅ 10 − 2  H ⋅ 8 ⋅ 10 − 6  F = 2,5 ⋅ 10 3  rad ∕ s  . Prąd płynący w obwodzie ma maksymalne natężenie, kiedy cała energia, wcześniej zmagazynowana w całości na kondensatorze, przeniesiona zostanie na cewkę. Z zasady zachowania energii 1 2  L  I 0 2 = 1 2 ⋅ q 0 2 C  , otrzymujemy I 0 = 1 L  C ⋅ q 0 = 2,5 ⋅ 10 3  rad ∕ s ⋅ 1,2 ⋅ 10 − 5  C = 3 ⋅ 10 − 2  A  . Innym sposobem znalezienia rozwiązania jest zastosowanie analogii do mechanicznego oscylatora harmonicznego i potraktowanie ładunku jako położenia, a natężenia prądu jako prędkości masy na sprężynie. Kondensator ulega całkowitemu rozładowaniu po jednej czwartej pełnego okresu drgań 1 4  T = 1 4 ⋅ 2  π ω = 1 4 ⋅ 2  π 2,5 ⋅ 10 3  rad ∕ s = 1 4 ⋅ 6,3 ⋅ 10 − 4  s  . Rozważmy początkowy stan układu. W chwili t = 0  s kondensator jest naładowany, więc q  0  s = q 0 . Po wstawieniu do otrzymamy q  0  s = q 0 = q 0  cos ϕ  . Zatem ϕ = 0 , a równanie na q  t ostatecznie przybiera postać q  t = 1,2 ⋅ 10 − 5  C ⋅ cos 2,5 ⋅ 10 3  rad ∕ s ⋅ t  . Znaczenie Zależność, z której skorzystaliśmy w punkcie (b), można również wyprowadzić z pełnego wyrażenia na energię układu w dowolnej chwili czasu, kiedy część energii zmagazynowana jest na kondensatorze, a część – na cewce. By otrzymać równość z , uwzględniamy stan w chwili, kiedy albo kondensator jest rozładowany, albo przez cewkę nie płynie prąd. Sprawdź, czy rozumiesz. Częstość kątowa drgań obwodu LC wynosi 2 ⋅ 10 3  rad ∕ s , natomiast L = 0,1  H . Ile wynosi pojemność kondensatora C ? W chwili czasu t = 0  s cała energia zmagazynowana jest na cewce. Ile wynosi wartość przesunięcia fazowego ϕ ? Do obwodu wpięto drugi kondensator równolegle do pierwszego. Ile wynosi częstość kątowa oscylacji tego obwodu? a. 2,5  µF ; b. π ∕ 2  rad albo 3  π ∕ 2  rad ; c. 1,4 ⋅ 10 3  rad ∕ s . Podsumowanie Energia przenoszona jest cyklicznie między kondensatorem a cewką indukcyjną w obwodzie LC z częstością kątową ω = 1 ∕ L  C \omega=1/\sqrt{LC} . Ładunek na kondensatorze i natężenie prądu w obwodzie dane są równaniami q  t = q 0  cos ω  t + ϕ  , q \apply (t) = q_0 \cos (\omega t + \phi) \text{,} i  t = − ω  q 0  sin ω  t + ϕ  . i \apply (t) = -\omega q_0 \sin (\omega t + \phi) \text{.} Pytania Czy prawa Kirchoffa stosują się do obwodów LC? Tak. Czy element obwodu może posiadać zarówno pojemność, jak i indukcyjność własną? Jakie własności determinują częstotliwość i amplitudę oscylacji energii w obwodzie LC? Początkowa energia określa amplitudę oscylacji. Częstotliwość drgań zależy od pojemności i indukcyjności własnej elementów obwodu. Zadania Kondensator o pojemności 5000  pF naładowano do napięcia 100  V , a następnie podłączono do cewki o indukcyjności własnej 80  mH . Wyznacz maksymalną energię zmagazynowaną w polu magnetycznym cewki; maksymalne natężenie prądu; częstotliwość drgań obwodu. Indukcyjność własna i pojemność elementów obwodu LC wynoszą 0,2  mH i 5  pF . Ile wynosi częstość kątowa drgań obwodu? ω = 3,2 ⋅ 10 − 7  rad ∕ s . Obwód LC z kondensatorem o pojemności 10  µF wykazuje oscylacje o częstotliwości 60  Hz . Ile wynosi indukcyjność własna cewki? Maksymalny ładunek kondensatora w obwodzie LC wynosi 2 ⋅ 10 − 6  C , a maksymalne natężenie prądu jest równe 8  mA . Ile wynosi okres oscylacji? Ile czasu upływa od momentu całkowitego rozładowania kondensatora do kolejnego pełnego naładowania? a. 7,9 ⋅ 10 − 4  s ; b. 4 ⋅ 10 − 4  s . W obwodzie LC L = 20  mH , a C = 1  µF . Ile wynosi częstotliwość drgań? Ile wynosi maksymalne natężenie prądu płynącego w obwodzie, jeśli maksymalne napięcie między okładkami kondensatora wynosi 50  V ? W obwodzie LC maksymalny ładunek zmagazynowany na kondensatorze wynosi q max . Rozważ sytuację, gdy energia jest rozdzielona równomiernie między pole elektryczne kondensatora i pole magnetyczne cewki. Wyznacz ładunek na kondensatorze i natężenie prądu płynącego przez cewkę w zależności od q max , L i C . q = q max ∕ 2 , I = q max ∕ 2  L  C . W pewnej chwili otwarto przełącznik S 1 i zamknięto przełącznik S 2 w obwodzie, którego schemat przedstawiono poniżej. Wyznacz częstotliwość powstałych oscylacji; maksymalny ładunek na kondensatorze; maksymalne natężenie prądu płynącego przez cewkę; energię elektromagnetyczną oscylacji. Obwód LC zainstalowany w odbiorniku radiowym zawiera cewkę o indukcyjności własnej 2,5  mH i kondensator o zmiennej pojemności. Jeśli odbiornik ma działać w całym paśmie AM od 540  kHz do 1600  kHz , jaki powinien być zakres możliwych pojemności kondensatora? C = 1 ∕ 4  π 2  f 2  L , f 1 = 540  kHz , C 1 = 3,5 ⋅ 10 − 11  F , f 2 = 1600  kHz , C 2 = 4 ⋅ 10 − 12  F . obwód LC (ang. LC circuit ) obwód zawierający cewkę indukcyjną i kondensator

Science


Obwody RLC Obwód RLC (ang. RLC circuit ) otrzymamy, jeśli rozważania z poprzedniej sekcji rozszerzymy o uwzględnienie skończonego oporu w obwodzie. Przyjmiemy, że opór podłączonych do obwodu urządzeń oraz przewodów tworzących połączenia możemy reprezentować w postaci pojedynczego opornika o oporze R . Powoduje on rozpraszanie energii z szybkością i 2  R po zamknięciu obwodu przedstawionego schematycznie na (a). Uprzednio naładowany kondensator zaczyna się rozładowywać. Zmiany zmagazynowanej w obwodzie energii opisuje równanie d E cał d t = q C ⋅ d q d t + L  i  d i d t = − i 2  R  , \frac{\d E_{\text{cał}}}{\d t} = \frac{q}{C} \cdot \frac{\d q}{\d t} + L i \frac{\d i}{\d t} = - i^2 R \text{,} gdzie i oraz q zależą od czasu. Uprościmy nieco powyższy zapis L  d 2 q d t 2 + R  d q d t + 1 C  q = 0  . (a) Obwód RLC. Oscylacje elektromagnetyczne mają swój początek w momencie zamknięcia obwodu. Zakładamy, że początkowo kondensator jest w pełni naładowany. (b) Zachowanie tłumionych oscylacji ładunku na kondensatorze q  t . Początkowy ładunek wynosi q 0 . To równanie jest analogiczne do równania ruchu masy zawieszonej na sprężynie z uwzględnieniem tłumienia m  d 2 x d t 2 + b  d x d t + k  x = 0  . Z tym równaniem po raz pierwszy spotkaliśmy się w rozdziale Drgania . Zobaczyliśmy tam, że rozwiązania mogą przyjmować trzy postacie, zależnie od wartości częstości kątowej nietłumionej sprężyny względem b ∕ 2  m . Układ może być tłumiony słabo ( k ∕ m > b ∕ 2  m ), krytycznie ( k ∕ m = b ∕ 2  m ) albo silnie ( k ∕ m < b ∕ 2  m ). Podstawiając L za m , R za b , 1 ∕ C za k i q za x w , przy założeniu 1 ∕ L  C > R ∕ 2  L otrzymujemy q  t = q 0  e − R  t ∕ 2  L ⋅ cos ω ′  t + ϕ  , gdzie częstość kątowa drgań dana jest wzorem ω ′ = 1 L  C − R 2  L 2  . Rozwiązanie odpowiadające słabemu tłumieniu przedstawione jest na (b). Amplituda oscylacji zmniejsza się, gdyż energia rozpraszana jest na oporniku. Doświadczalnego potwierdzenia można dokonać, mierząc napięcie na kondensatorze w różnych chwilach czasu. Napięcie pomnożone przez pojemność da nam q  t . Wypróbuj interaktywny generator obwodów (w języku angielskim) pozwalający na śledzenie zmian natężenia prądu i napięcia w czasie. Za jago pomocą możesz tworzyć obwody RLC o dowolnej topografii ze źródłami prądu stałego i zmiennego. Przejrzyj stronę zawierającą interaktywny applet Java (w języku angielskim), za pomocą którego będziesz mógł ćwiczyć rozwiązywanie zadań z obwodami prądu. Sprawdź, czy rozumiesz. W obwodzie RLC L = 5  mH , C = 6  µF i R = 200  Ω . Określ, czy obwód jest tłumiony słabo, krytycznie czy silnie; Jeśli początkowy ładunek na kondensatorze wynosi 3 ⋅ 10 − 3  C , jak dużo energii rozproszy się na oporniku do momentu wygaśnięcia oscylacji? a. Silnie; b. 0,75  J . Podsumowanie Zależność ładunku od czasu w słabo tłumionym obwodzie RLC opisuje równanie q  t = q 0  e − R  t ∕ 2  L ⋅ cos ω ′  t + ϕ  . Częstość kątowa w słabo tłumionym obwodzie RLC wynosi ω ′ = 1 L C − ( R 2 L ) 2 . Najważniejsze wzory Indukcyjność wzajemna względem strumienia pola M = N 2  Φ 21 i 1 = N 1  Φ 12 i 2 Indukcyjność wzajemna w obwodach ε 1 = − M  d i 2 d t Indukcyjność własna względem strumienia pola N  Φ B = L  i Indukcyjność własna względem SEM ε = − L  d i d t Indukcyjność własna solenoidu L solenoid = μ 0  N 2  S l Indukcyjność własna prostokątnego toroidu L toroid = μ 0  N 2  h 2  π  ln R 2 R 1 Energia zmagazynowana w cewce indukcyjnej E L = 1 2  L  i 2 Prąd w funkcji czasu w obwodzie RL i  t = ε R  1 − e − t ∕ τ L Stała czasowa obwodu RL τ L = L R Oscylacje ładunku w obwodzie LC q  t = q 0 ⋅ cos ω  t + ϕ Częstość kątowa obwodu LC ω = 1 L  C Oscylacje natężenia prądu w obwodzie LC i  t = − ω  q 0 ⋅ sin ω  t + ϕ Oscylacje ładunku w obwodzie RLC q  t = q 0  e − R  t ∕ 2  L ⋅ cos ω ′  t + ϕ Częstość kątowa obwodu RLC ω ′ = 1 L  C − R 2  L 2 Pytania Kiedy zewrzemy ze sobą dwa końce solenoidu, mogą pojawić się oscylacje, takie jak w obwodzie RLC. Wyjaśnij, skąd bierze się w takim obwodzie pojemność elektryczna. Jaki wpływ na obwód LC ma skończony opór przewodów? W efekcie otrzymujemy obwód RLC, w którym energia jest rozpraszana, co powoduje wygasanie amplitudy w tempie zależnym od wielkości oporu. Załóżmy, że chciałbyś zaprojektować obwód LC o częstotliwości 0,01  Hz . Z jakimi trudnościami mógłbyś się spotkać? Odbiornik radiowy z wbudowanym obwodem RLC można ustawić tak, by odbierał sygnał o wybranej częstotliwości bez zakłóceń z sygnałów o innych częstotliwościach. Jak zaprojektować taki obwód? Należy wybrać opór na tyle mały, żeby dostroić się do jednej stacji, ale na tyle duży, by nie było potrzebne zbyt precyzyjne strojenie. Indukcyjność własna albo pojemność takiego układu musi być zmienna. Z praktycznego punktu widzenia dużo łatwiej jest skonstruować kondensator o zmiennej pojemności. Zadania W oscylującym obwodzie RLC R = 5  Ω , L = 5  mH oraz C = 500  µF . Ile wynosi częstość kątowa oscylacji? W oscylującym obwodzie RLC L = 10  mH , C = 1,5  µF i R = 2  Ω . Ile czasu upłynie, zanim amplituda oscylacji spadnie do połowy swojej początkowej wartości? 6,9  ms . Opornik o jakim oporze musi zostać połączony z cewką o indukcyjności 200  mH , by oscylacje zanikły do 50  % swojej początkowej wartości po 50 cyklach? A o jakim, by zanikły do 0,1  % początkowej wartości po 50 cyklach? Zadania dodatkowe Wykaż, że indukcyjność własna na jednostkę długości nieskończonego, prostego, cienkiego drutu jest nieskończona. Dowód: Na zewnątrz B = μ 0  I ∕ 2  π  r ; Wewnątrz B = μ 0  I  r ∕ 2  π  a 2 , U = μ 0  I 2  l ∕ 4  π ⋅ 1 ∕ 4 + ln R ∕ a . Zatem 2  U ∕ I 2 = μ 0  l ∕ I 2 ⋅ 1 ∕ 4 + ln R ∕ a i L ⟶ ∞ L \to \infty . Przez dwa długie, równoległe druty płynie prąd w przeciwnych kierunkach. Promień każdego z drutów wynosi a , natomiast odległość między środkami drutów wynosi d . Pokaż, że jeśli pominiemy strumień pola magnetycznego wewnątrz durutów, indukcyjność własna drutów wynosi L = μ 0  l ∕ π ⋅ ln d − a ∕ a . Wskazówka: Znajdź strumień pola magnetycznego przez prostokąt o boku długości I umieszczony między drutami. Nastepnie skorzystaj z tego, że L = N  Φ ∕ I . Niewielka, prostokątna pętla z drutu umieszczona jest w płaszczyźnie wyznaczonej przez znacznie większą prostokątną pętlę. Dwa krótsze boki większej pętli są w takiej odległości od małej ramki, że mała pętla nie odczuwa ich pola magnetycznego. Ile wynosi względna indukcyjność tych dwóch pętli? M = μ 0  l ∕ π ⋅ ln d + a ∕ a . Cylindryczny solenoid nawinięty jest na żelazny rdzeń, którego podatność magnetyczna wynosi x . Korzystając z wykaż, że indukcyjność własna tego solenoidu wynosi L = 1 + x  μ 0  N 2  S ∕ l , gdzie l jest jego długością, S – polem przekroju poprzecznego, a N – liczbą zwojów. Solenoid z poprzedniego zadania nawinięto na żelazny rdzeń o podatności magnetycznej 4 ⋅ 10 3 . Ile wynosi indukcja pola magnetycznego wewnątrz rdzenia, jeśli przez solenoid płynie prąd o natężeniu 2  A ? Ile wynosi efektywne natężenie prądu powierzchniowego, którego źródłem są występujące w żelaznym rdzeniu pętle o rozmiarach atomu, w których płynie prąd? Ile wynosi indukcyjność własna solenoidu z rdzeniem? a. 100  T ; b. 2  A ; c. 0,5  H . Cewka o N = 3000 zwojach nawinięta na żelazny rdzeń w kształcie toroidu o przekroju prostokątnym o promieniu wewnętrznym R 1 = 7  cm , zewnętrznym R 2 = 9  cm , wysokości h = 3  cm i podatności magnetycznej 5,2 ⋅ 10 3 . Ile wynosi indukcyjność własna cewki? Ile wynosi pole magnetyczne w środku rdzenia, jeśli przez cewkę płynie prąd o natężeniu 2  A ? Ile wynosi efektywne natężenie prądu powierzchniowego? W czasie t = 0  s poniższy obwód został zamknięty przełącznikiem S . Wyznacz natężenie prądu płynącego przez baterię w chwili zamknięcia obwodu; po osiągnięciu przez obwód stanu ustalonego. a. 0  A ; b. 2,4  A . W obwodzie RLC R = 7  Ω , L = 10  mH i C = 3  µF . Początkowy ładunek na kondensatorze wynosi 8  µC przy zerowym prądzie. Oblicz ładunek na kondensatorze po pięciu cyklach oscylacji; po pięćdziesięciu cyklach. Prąd o natężeniu 100  A płynący przez cewkę o indukcyjności własnej 25  H wyłączony jest w czasie 1  ms . Ile wynosi napięcie przeciwdziałające wyłączeniu prądu? Co nierealnego jest w tym wyniku? Które założenie jest za to odpowiedzialne? a. 2,5 ⋅ 10 6  V ; b. Napięcie jest tak ogromne, że między końcami przełącznika wytworzyłby się łuk elektryczny, a prąd nie zostałby zredukowany tak szybko; c. Nierealne jest użycie takiej cewki indukcyjnej w celu wyłączenia prądu o tak wysokim natężeniu w tak krótkim czasie. Zadania Wewnętrzny przewód w kablu koncentrycznym ma promień a , a zewnętrzny – b . Prąd o natężeniu I płynie w wewnętrznym przewodzie w przeciwnym kierunku niż w zewnętrznym. Indukcyjność własna kabla zależeć będzie od tego, jak rozkłada się natężenie prądu w wewnętrznym przewodzie. Rozważ i porównaj ze sobą dwa skrajne przypadki: Niech prąd płynie tylko po powierzchni przewodu; Niech prąd płynie równomiernie przez cały przekrój poprzeczny przewodu. Załóż, że wewnętrzny przewód ma kształt litego cylindra, a zewnętrzny – cylindrycznej cienkiej powłoki. W obwodzie oscylacyjnym z tłumieniem energia jest rozpraszana na oporniku. Dobrocią ( Q ) nazywamy bezwymiarową stałą określającą odporność oscylatora na stratę energii wskutek tłumienia. Wykaż, że w obwodzie ze słabym tłumieniem energia zanika według równania d E cał ∕ d t = − 2  β  E cał \d E_{\text{cał}} / \d t = - 2 \beta E_{\text{cał}} ; Dobroć zdefiniowana jest jako stosunek początkowej energii do straty energii w kolejnym cyklu. Wykaż, że dobroć oscylatora ze słabym tłumieniem można wyrazić Q = E pocz ∕ Δ E na cykl = 1 ∕ R ⋅ L ∕ C Q = E_{\text{pocz}} / \prefop{\Delta} E_{\text{na cykl}} = 1/R \cdot \sqrt{L/C} . Znajdź natężenie prądu płynącego przez R 1 , R 2 i baterię w funkcji czasu po zamknięciu poniższego obwodu w chwili t = 0  s . Kwadratowa ramka o boku 2  cm umieszczona jest w odległości 1  cm od długiego przewodu, w którym płynie prąd, którego natężenie zmienia się jednostajnie z szybkością 3  A ∕ s . Korzystając z prawa Ampère’a, znajdź wzór na indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez przewód; Wyznacz strumień pola magnetycznego przez ramkę; Ile wynosi natężenie wyindukowanego w ramce prądu, jeśli jej opór równy jest 3  Ω ? a. d B ∕ d t = 6 ⋅ 10 − 6  T ∕ s ; b. Φ B = μ 0  a  I ∕ 2  π ⋅ ln a + b ∕ b ; c. 4  nA . Prostokątna ramka z miedzi ma masę 100  g i opór 0,2  Ω . Umieszczono ją w jednorodnym polu magnetycznym, którego linie przechodzą prostopadle przez ramkę i są równoległe do powierzchni Ziemi, tak że dolna krawędź ramki pokrywa się z dolną krawędzią obszaru, w którym pole magnetyczne jest niezerowe. W pewnym momencie ramka jest puszczona swobodnie i zaczyna spadać w kierunku Ziemi, tak jak przedstawiono to na rysunku poniżej. Znajdź szybkość poruszania się ramki w momencie, gdy jej cała powierzchnia znajdzie się poza obszarem, w którym działa pole magnetyczne; Po jakim czasie od chwili czasu t = 0  s , gdy została puszczona, opuści ona obszar działania pola magnetycznego? Załóż, że a = 25  cm , b = 50  cm , B = 3  T i g = 9,8  m ∕ s 2 oraz że indukcja pola magnetycznego pochodzącego od wyindukowanego prądu jest pomijalnie mała w porównaniu z B B . obwód RLC (ang. RLC circuit ) obwód zawierający opornik, cewkę indukcyjną i kondensator

Science


Wstęp Prąd używany w naszych domach to prąd zmienny (AC). Jest on przesyłany liniami przesyłowymi do lokalnych stacji transformatorowych, skąd trafia do naszych domów. Ten rozdział poświęcony jest zagadnieniu działania transformatora i temu, jak umożliwia on przesył prądu o bardzo wysokim napięciu przy minimalnych stratach na liniach. Prąd elektryczny dostarczany jest do naszych domów jako prąd zmienny (ang. alternating current , AC) liniami przesyłowymi wysokiego napięcia. Jak zostało to opisane w podrozdziale Transformatory , transformatory zmieniają amplitudę zmiennego napięcia na taką, której możemy używać na co dzień. Taka transformacja prądu pozwala na przesył energii pod bardzo wysokim napięciem, jednocześnie minimalizując straty wynikające z rezystancji linii przesyłowych, a następnie na dostarczenie jej do domów, już pod niższym i bezpieczniejszym napięciem. Ponieważ transformatory nie wywierają żadnego wpływu na stałe napięcia, takie możliwości są znacznie ograniczone przy zastosowaniu prądu stałego. W tym rozdziale użyjemy praw Kirchhoffa do analizy czterech prostych obwodów, w których płynie prąd zmienny. Omawialiśmy wcześniej użycie opornika, kondensatora i cewki w obwodzie z bateriami. Te same elementy są częściami obwodów prądu zmiennego. Ponieważ jednak wymagana jest obecność napięcia zmiennego, stałe źródło siły elektromotorycznej SEM, jakim jest bateria, musi zostać zamienione na źródło napięcia zmiennego, które wytwarza oscylującą siłę elektromotoryczną. W literaturze przyjęło się nazywać napięcie przykładane do danego elementu obwodu siłą elektromotoryczną, co ma swoje uzasadnienie historyczne (w 1791 roku Luigi Galvani (1737–1798) zauważył, że mięśnie martwej żaby kurczą się, jeśli znajdują się między dwoma różnymi metalami, gdzie istnieje niezerowe napięcie). Współcześnie wiadomo, że napięcie przyłożone do danego elementu elektrycznego (np. opornika) jest czynnikiem sprawczym wprowadzającym ładunki elektryczne w ruch. W tym sensie uzasadnione jest użycie terminu „siła elektromotoryczna” (SEM). Wpływ napięcia na układy biologiczne (jak mięśnie martwej lub żywej żaby) jest fascynującym i złożonym zagadnieniem. Wykracza jednak poza ramy tej książki.

Science


Źródła prądu zmiennego Większość przykładów przytaczanych do tej pory w tym podręczniku to w szczególności te z użyciem baterii, zawierające źródła stałonapięciowe. Oznacza to, że po pojawieniu się przepływu prądu jego natężenie pozostaje stałe. Prąd stały (ang. direct current , DC) to przepływ ładunku elektrycznego w jednym tylko kierunku i o stałym niezmiennym natężeniu. Jest to proces stacjonarny (proces ten ustala się w krótkim czasie w układzie i jest to proces równowagi dynamicznej). Wówczas mamy ustalenie się rozkładu potencjału i rozkładu natężenia prądu elektrycznego w układzie. Jednak najbardziej powszechne zastosowania prądu elektrycznego wykorzystują źródła napięcia zmiennego w czasie. Prąd zmienny (ang. alternating current , AC) to przepływ ładunku elektrycznego, którego natężenie i kierunek są periodycznie zmienne w czasie. Prąd zmienny wytwarzany jest jako konsekwencja działania zmiennej w czasie siły elektromotorycznej (zazwyczaj sinusoidalnie zmiennej), która z kolei wytwarzana jest w elektrowniach, jak opisano to w podrozdziale zatytułowanym Indukowane pola elektryczne . Jeśli w danym obwodzie istnieje źródło prądu zmiennego, którego siła elektromotoryczna oscyluje periodycznie, w szczególności sinusoidalnie, obwód taki nazywamy obwodem prądu zmiennego. Przykłady obejmują zarówno zastosowania komercyjne, jak i niekomercyjne, zaspokajające nasze szerokie potrzeby. Wartości napięcia i częstotliwości prądu zmiennego używanego powszechnie różnią się w poszczególnych krajach. W typowym gospodarstwie domowym różnica potencjałów pomiędzy dwoma wtykami w gniazdku elektrycznym oscyluje sinusoidalnie z częstotliwością 50  Hz lub 60  Hz i amplitudą wynoszącą od 156  V do 325  V , w zależności od miejsca zamieszkania. Najbardziej znanymi wartościami są jednak 220  V albo 230  V przy 50  Hz w Europie lub 120  V przy 60  Hz w USA. Wartości te, jak zostanie to wyjaśnione później, nie są wartościami szczytowymi (amplitudami), lecz skutecznymi (średnimi względem przenoszonej mocy), obserwowanymi w naszych gniazdkach po podłączeniu typowego woltomierza. przedstawia wykresy wartości napięcia i natężenia prądu względem czasu dla prądu stałego i prądu zmiennego dla Polski. (a) W przypadku elektrycznego prądu stałego wartości napięcia i natężenia są stałe przez cały czas. W praktyce zachodzi to od momentu ustabilizowania się przepływu ładunku (czyli momentu osiągnięcia stacjonarności procesu przepływu). (b) W przypadku prądu zmiennego wartości napięcia i natężenia prądu są funkcją czasu. Zadany przykład prezentuje przebieg prądu zmiennego o częstotliwości 50  Hz i czasu t w milisekundach, przebiegi napięcia i prądu są sinusoidalne i zgodne w fazie dla prostego obwodu rezystywnego. Częstotliwości i amplitudy napięcia prądu zmiennego mogą znacząco się różnić. Załóżmy, że do źródła zmiennego napięcia podłączymy rezystor i ustalimy, jak zmienia się w czasie napięcie wytworzone na nim i natężenie prądu płynącego przez niego. przedstawia schemat prostego obwodu ze źródłem zmiennego napięcia elektrycznego. Jak widać, napięcie oscyluje sinusoidalnie w czasie ze stałą częstotliwością na obu zaciskach zarówno źródła, jak i opornika. Tym samym napięcie prądu zmiennego (ang. AC voltage ) lub „napięcie wejściowe” może być dane wzorem u  t = U 0  sin ω  t  , gdzie u  t u\apply(t) to napięcie prądu w chwili t , U 0 to amplituda, natomiast ω jest częstością kołową wyrażoną w radianach na sekundę. W typowym gniazdku w Polsce U 0 = 325  V i ω = 100  π  rad ∕ s , zaś w Stanach Zjednoczonych U 0 = 156  V i ω = 120  π  rad ∕ s . Dla takiego prostego układu z rezystorem I = U ∕ R . Natężenie prądu zmiennego (ang. AC current ), oznaczające natężenie prądu oscylującego sinusoidalnie w czasie ze stałą częstotliwością, wyrażone jest więc zależnością i  t = I 0  sin ω  t  , gdzie i  t i\apply(t) to natężenie w chwili t , a I 0 to amplituda natężenia, równa I 0 = U 0 ∕ R . W tym przypadku napięcie i natężenie są ze sobą zgodne w fazie, co oznacza, że ich wykresy sinusoidalne mają w tych samych punktach szczyty i miejsca zerowe. Zmieniają się zgodnie (oba rosną i maleją w tym samym czasie), jak jest to widoczne na (b). We wszystkich równaniach w całym rozdziale zmienne pisane małą literą (np. i ) oznaczają wartości chwilowe, natomiast pisane wielką (np. I ) – amplitudy lub wartości skuteczne. Różnica potencjałów pomiędzy wyjściami źródła zmiennego napięcia oscyluje, więc wykresy sinusoidalne dla źródła i rezystora pokrywają się. Wzór matematyczny na wielkość u t to u t = U 0 sin ( ω t ) . Natężenie prądu w oporniku zmienia swój kierunek, dokładnie tak samo jak napięcie do niego przyłożone, ponieważ i  t = u  t ∕ R i \apply (t) = u \apply (t) / R ( R R jest wartością stałą, natomiast funkcje i  t i \apply (t) oraz u  t u \apply (t) posiadają ten sam kształt, ale różnią się amplitudą zmienności, a ta może być regulowana parametrem R R ). Jeśli tym opornikiem jest np. świetlówka, gaśnie ona i zapala się 100 razy na sekundę, ponieważ wartość prądu co chwilę jest równa zero. Migotanie o częstotliwości 100  Hz jest zbyt szybkie, aby ludzkie oko było w stanie je zauważyć. Jednak jeśli pomachasz swoją ręką przed twarzą, patrząc jednocześnie na świetlówkę, będziesz w stanie zauważyć efekt stroboskopowy. Sprawdź, czy rozumiesz. Ile wynosi odstęp czasowy pomiędzy sąsiadującymi miejscami zerowymi na wykresie napięcia od czasu dla źródła AC w USA? 8,3  ms \SI{8,3}{\milli\second} . Podsumowanie Prąd stały (DC) odnosi się do obwodów, w których napięcie źródła jest stałe w czasie. Prąd zmienny (AC) odnosi się do obwodów, w których napięcie źródła zmienia się w czasie, w szczególności sinusoidalnie lub jako suma sinusoidalnych sygnałów. Źródło napięcia w obwodzie prądu zmiennego dostarcza napięcia, które może zostać wyliczone z wykorzystaniem czasu, amplitudy napięcia (maksymalnego lub minimalnego) i częstości kołowej. W prostym obwodzie natężenie prądu elektrycznego można ustalić poprzez dzielenie napięcia elektrycznego przez opór elektryczny. Amplituda natężenia elektrycznego prądu zmiennego obliczana jest z wykorzystaniem amplitudy napięcia elektrycznego (ustalanej przez podzielenie amplitudy napięcia przez wielkość oporu elektrycznego), częstości kołowej i czasu. Pytania Jaka jest zależność pomiędzy częstotliwością a częstością kołową? Częstość kołowa jest równa częstotliwości pomnożonej przez 2  π . Zadania Napisz wyrażenie na napięcie wyjściowe źródła napięcia zmiennego, które wytwarza napięcie o amplitudzie 12  V i częstotliwości 200  Hz . natężenie prądu zmiennego (ang. AC current ) natężenie prądu, które oscyluje sinusoidalnie w czasie ze stałą częstotliwością napięcie prądu zmiennego (ang. AC voltage ) napięcie prądu, które oscyluje sinusoidalnie w czasie ze stałą częstotliwością prąd zmienny (AC) (ang. alternating current ) przepływ ładunku elektrycznego zmienny w czasie, który periodycznie zmienia swój kierunek i swoje natężenie prąd stały (DC) (ang. direct current ) przepływ ładunku elektrycznego w tylko jednym kierunku i niezmienny w czasie

Science