Prędkość fali na naprężonej strunie Prędkość fali zależy od właściwości ośrodka. Przykładowo, prędkość fali rozchodzącej się wzdłuż struny gitary oraz długość tej fali określają częstotliwość wytwarzanego dźwięku. Struny gitary mają różne grubości i są wykonywane z materiałów o różnych własnościach. Mówimy, że mają różne gęstości liniowe (ang. linear density ). Gęstość liniową definiuje się jako masę przypadającą na jednostkę długości: μ = masa struny długość struny = m l . W tym rozdziale będziemy się zajmować jedynie strunami, które mają stałą gęstość liniową. W takim przypadku, to masa Δ m krótkiego odcinka struny Δ x wynosi Δ m = μ Δ x . Przykładowo jeśli długość struny wynosi 2,00 m, a jej masa 0,06 kg, to gęstość liniowa równa się μ = 0,06 k g / 2,00 m = 0,03 k g / m . Jeśli od struny odetniemy odcinek o długości 1,00 mm, wówczas masa tego odcinka będzie równa Δ m = μ Δ m = 0,03 k g / m ⋅ 0,001 m = 3,00 ⋅ 10 − 5 k g . Naprężenie strun gitary można zmieniać za pośrednictwem obrotowych wrzecion, zwanych kołkami, wokół których nawinięte są struny. Gęstości liniowe oraz naciągu strun gitary stanowią o prędkości fali rozchodzącej się wzdłuż struny oraz o częstotliwości wytwarzanego dźwięku. Częstotliwość ta jest proporcjonalna do prędkości fali. Prędkość fali na naprężonej strunie Aby przekonać się, w jaki sposób prędkość fali na strunie zależy od jej naprężenia i liniowej gęstości, rozważmy rozchodzący się wzdłuż niej impuls ( ). Kiedy struna znajduje się w położeniu równowagi, naprężenie struny F T jest stałe. Rozważmy krótki odcinek struny o masie równej Δ m = μ Δ x . Odcinek ten znajduje się w położeniu równowagi, a naprężenia działające na każdy z jego końców odcinka są równe co do wartości, ale mają przeciwne zwroty. Odcinek struny poddany naprężeniu F T . Znajduje się on w stanie równowagi statycznej, a naprężenia działające na każdy jego koniec są równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Jeśli szarpniemy naciągniętą strunę, wzdłuż niej powstanie fala poprzeczna, która będzie się rozchodzić w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x , co pokazano na . W celach poglądowych zaznaczono rozważany powyżej odcinek. Wykonuje on drgania w płaszczyźnie prostopadłej do ruchu fali pod wpływem działania siły sprężystości, ale nie przemieszcza się wzdłuż osi x . Naprężenia F T są przyłożone do obu końców odcinka i skierowane wzdłuż osi x . Siły te są stałe i niezależne od położenia oraz czasu. Naciągniętą strunę szarpnięto, co spowodowało wytworzenie impulsu, biegnącego wzdłuż struny w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x . Załóżmy, że wychylenie struny z położenia równowagi jest małe. Siła wypadkowa działająca na rozważany odcinek jest skierowana wzdłuż struny i stanowi sumę jej naprężenia oraz siły sprężystości. Składowe x naprężenia równoważą się, dlatego do wyliczenia siły wypadkowej rozważamy jedynie składowe y . Wartość składowej x siły naprężenia struny oznaczono jako F T ( ). Składową y siły naciągu wyliczymy, jeśli zauważymy, że tg  θ 1 = − F 1 / F T i tg  θ 2 = − F 2 / F T . Tangens kąta θ ( tg  θ ) jest równy nachyleniu funkcji w danym punkcie, co można obliczyć po prostu jako pochodną cząstkową y po x w tym punkcie. Stosunek F 1 / F T ma wartość ujemną w punkcie x 1 , a F 2 / F T jest równe nachyleniu w punkcie x 2 : F 1 F T = − ( ∂ y ∂ x ) x 1 i F 2 F T = ( ∂ y ∂ x ) x 2 . Siła wypadkowa działająca na rozważany odcinek może być zapisana jako: F wypadkowa = F 1 + F 2 = F T [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 − ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] . Na mocy drugiej zasady dynamiki Newtona siła wypadkowa równa się iloczynowi masy i przyspieszenia. Gęstość liniowa struny μ jest to masa przypadająca na jednostkę długości struny, a masa odcinka struny wynosi μ Δ x , stąd otrzymujemy: F T [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 − ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] = Δ m a , F T [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 − ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] = μ Δ x ∂ 2 y ∂ t 2 . Po podzieleniu przez F T Δ x i przyjęciu, że Δ x dąży do zera, mamy: [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 − ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] Δ x = μ F T ∂ 2 y ∂ t 2 lim Δ x → 0 [ ( ∂ y ∂ x ) x 2 − ( ∂ y ∂ x ) x 1 ] Δ x = μ F T ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = μ F T ∂ 2 y ∂ t 2 . Przypomnijmy, że liniowe równanie falowe ma postać: ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Stąd: 1 v 2 = μ F T . Po wyliczeniu v z powyższej zależności przekonamy się, że prędkość fali na strunie zależy od naprężenia i gęstości liniowej. Prędkość fali na naprężonej strunie Prędkość impulsu, podobnie jak i fali, na naprężonej strunie możemy wyliczyć z równania: | v | = F T μ , gdzie F T jest naprężeniem struny, a μ masą przypadającą na jednostkę długości struny. Prędkość fali na strunie gitary W gitarze sześciostrunowej struna wysokiego E ma gęstość liniową μ wysokie E = 3,09 ⋅ 10 − 4 k g / m , natomiast struna niskiego E ma gęstość μ niskie E = 5,78 ⋅ 10 − 3 k g / m (a). Jaka będzie prędkość wytworzonej fali, jeżeli uderzymy strunę wysokiego E, o naprężeniu 56,40 N? (b) Gęstość liniowa struny niskiego E jest w przybliżeniu 20 razy większa niż gęstość liniowa struny wysokiego E. Czy naprężenie struny niskiego E powinno być większe, czy mniejsze od naprężenia struny wysokiego E, jeśli fale biegnące wzdłuż każdej ze strun mają taką samą prędkość? Jakie są przybliżone wartości naprężeń? (c) Oblicz, jakie byłoby naprężenie struny niskiego E, gdyby prędkości obu dźwięków były takie same. Strategia rozwiązania Prędkość fali można obliczyć z gęstości liniowej i naciągu v = F T μ . Z równania v = F T μ wynika, że jeżeli gęstość liniowa wzrośnie 20 razy, to naciąg powinien wzrosnąć także 20 razy. Znając prędkość i gęstość liniową, można obliczyć naprężenie F T = μ v 2 . Rozwiązanie Oblicz prędkość fali z równania: v = F T μ = 56,5 N 3,09 ⋅ 10 − 4 k g / m = 427,23 m s . Naprężenie powinno się zwiększyć 20 razy. Byłoby zatem nieco mniejsze niż 1128 N. Oblicz naprężenie z równania: F T = μ v 2 = 5,78 ⋅ 10 − 3 k g / m ⋅ ( 4,27 m / s ) 2 = 1055,00 N . Podana wartość została oszacowana z błędem 7 % . Znaczenie Struny gitary sześciostrunowej (wysokie e1, h, g, d, a oraz E) po uderzeniu drgają z częstotliwościami: 329,63 Hz; 246,94 Hz; 196,00 Hz; 146,83 Hz; 110,00 Hz oraz 82,41 Hz. Częstotliwości zależą od prędkości fali na strunie i długości fali. Struny mają różne gęstości liniowe i są strojone przez zmianę ich naciągu. W podrozdziale Interferencja fal przekonamy się, że długość fali zależy od długości struny i warunków brzegowych. Aby zagrać dźwięk inny niż standardowy, należy zmienić długość struny przez jej dociśnięcie do progu. Sprawdź, czy rozumiesz. Prędkość fali na strunie zależy od naprężenia i gęstości liniowej masy. Jak zmieni się prędkość fali na strunie, jeśli podwoimy wartość naprężenia? Ponieważ prędkość fali na strunie jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego naprężenia podzielonego przez liniową gęstość, to prędkość fali w naszym przypadku musi wzrosnąć o 2 . Prędkość fal w cieczach Prędkość fali na strunie zależy od pierwiastka kwadratowego z naprężenia podzielonego przez masę przypadającą na jednostkę długości. Ogólnie rzecz ujmując, prędkość fali w ośrodku zależy od własności sprężystych ośrodka i jego bezwładności: | v | = sprężystość bezwładność . Sprężystość ośrodka oznacza zdolność jego cząsteczek do osiągania stanu równowagi po zaburzeniu. Bezwładność oznacza opór, jaki cząsteczki stawiają wobec zmian prędkości. Prędkość fali podłużnej w płynie zależy od jego gęstości i modułu sprężystości objętościowej: v = K ρ . Moduł sprężystości objętościowej (moduł Helmholtza) definiuje się jako K = − Δ p Δ V V 0 , gdzie Δ p oznacza zmianę ciśnienia, a mianownik wyraża stosunek zmiany objętości do objętości początkowej, natomiast ρ ≡ m V oznacza masę przypadającą na jednostkę objętości. Przykładowo dźwięk jest falą mechaniczną, która może się rozchodzić w płynie lub ciele stałym. Prędkość dźwięku w powietrzu przy ciśnieniu atmosferycznym, wynoszącym 1,013 ⋅ 10 5 P a , oraz w temperaturze 20 ° C wynosi v s ≈ 343,00 m/s . Ponieważ gęstość zależy od temperatury, prędkość dźwięku w powietrzu zależy od temperatury powietrza. Będziemy to zagadnienie omawiali w rozdziale Dźwięk . Podsumowanie Prędkość fali na strunie zależy od gęstości liniowej struny i jej naprężenia. Gęstość liniowa to masa przypadająca na jednostkę długości struny. Ogólnie prędkość dźwięku zależy od pierwiastka kwadratowego stosunku własności sprężystych ośrodka i jego bezwładności. Prędkość dźwięku w powietrzu w temperaturze T = 20 ° C wynosi w przybliżeniu v s = 343,00 m/s . Pytania Ile razy wzrośnie prędkość fali na strunie, jeżeli naprężenie struny zwiększy się czterokrotnie? Prędkość fali jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z naciągu, a zatem wzrośnie dwukrotnie. Czy dźwięk porusza się szybciej w wodzie słonej niż w słodkiej, jeśli temperatury obu są takie same, a dźwięk biegnie po ich powierzchni? ρ słodka ≈ 1000 k g m 3 , ρ słona ≈ 1030 k g m 3 , K słodka = 2,15 ⋅ 10 9 P a , K słona = 2,34 ⋅ 10 9 P a Struny gitary mają różne liniowe gęstości masy. Jeśli strunę o niższej gęstości i strunę o wyższej gęstości poddamy tym samym naprężeniom, to wzdłuż której z nich powstanie fala o większej prędkości? Ponieważ prędkość fali na strunie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z liniowej gęstości masy, prędkość będzie większa na strunie o niższej gęstości liniowej masy. Poniżej pokazano trzy fale, które wytworzono na strunie w różnych chwilach czasu. Naprężenia strun są stałe. (a) Uporządkuj fale pod względem ich długości. (b) Uporządkuj fale pod względem ich częstotliwości. Linie trakcji elektrycznej rozmieszczone pomiędzy dwoma słupami czasami ulegają zerwaniu na skutek silnych podmuchów wiatru. Prędkość fali na takiej linii zależy od jej naprężenia. Co jest jego źródłem? Naprężenie drutu wynika z ciężaru kabla elektrycznego. Dwie struny różniące się liniowymi gęstościami masy połączono w jedną strunę. Koniec struny o większej gęstości liniowej przytwierdzono do ściany. Koniec o mniejszej gęstości student trzyma w ręku. Następnie student uderzył ręką koniec struny, wytwarzając falę. Gdyby naprężenie struny było stałe w całej jej długości, to czy prędkość fali w obu fragmentach struny byłaby identyczna? Zadania Fala poprzeczna rozchodzi się wzdłuż struny o długości 5,00 m z prędkością 30,00 m/s. Struna poddana jest naprężeniu 10,00 N. Ile wynosi masa struny? Drut miedziany ma gęstość ρ = 8920 kg/m 3 , jego promień wynosi 1,20 mm, a długość L . Poddano go naprężeniu 10,00 N i wzdłuż niego wytworzono falę poprzeczną. (a) Jaka jest liniowa gęstość masy drutu? (b) Jaka jest prędkość fali rozchodzącej się wzdłuż drutu? a. μ = 0,040 k g / m , b. v = 15,75 m/s Struna fortepianu ma liniową gęstość masy μ = 4,95 ⋅ 10 − 3 k g / m . Ile powinno wynosić naprężenie struny, aby prędkość fali wyniosła 500,00 m/s? Struna o liniowej gęstości masy μ = 0,0060 kg/m jest przymocowana do sufitu. Do jej swobodnego końca przywiązano odważnik o masie 20 kg. Struna została uderzona i wzdłuż niej powstała fala. Oszacuj prędkość tej fali. v = 180 m/s Sznur ma liniową gęstość masy μ = 0,0075 kg/m , a jego długość wynosi 3 m. Został on szarpnięty i w ciągu 0,20 s fala dobiegła do jego końca. Jakie jest naprężenie sznura? Struna ma długość 3,00 m, a jej masa wynosi 5,00 g. Poddano ją naprężeniu 500,00 N i wytworzono wzdłuż niej impuls. Ile czasu potrzeba, aby przemieścił się on wzdłuż struny? v = 547,723 m/s , Δ t = 5,48 ms Fala dźwiękowa rozchodzi się w azocie w warunkach normalnych. Zakładając, że gęstość ρ = 1,25 kg/m 3 , a moduł sprężystości objętościowej wynosi K = 1,42 ⋅ 10 5 P a , oblicz prędkość dźwięku. Jaka jest w przybliżeniu prędkość dźwięku w powietrzu o temperaturze T = 28 ° C ? v s = 347,56 m/s Fala poprzeczna rozchodzi się wzdłuż struny poddanej naprężeniu 7,00 N z prędkością 20,00 m/s. Jakie powinno być naprężenie struny, aby prędkość fali była równa 25,00 m/s? Dwie struny są zamocowane pomiędzy dwoma palami, jak pokazano na poniższym rysunku. Pale są odległe o 2,00 m. Każdą strunę poddano naprężeniu 600,00 N. Struna 1 ma liniową gęstość μ 1 = 0,0025 kg/m , a struna 2 μ 2 = 0,0035 kg/m . Na końcach z każdej strony generowane są fale poprzeczne, tak jak pokazano na rysunku. Ile czasu musi upłynąć, aby się spotkały? v 1 t + v 2 t = 2,00 m , t = 1,69 ms Dwie struny zamocowano do dwóch pali, jak pokazano na rysunku powyżej. Odległość między palami wynosi 2,00 m. Gęstość liniowa każdej struny wynosi μ 1 = 0,0025 kg/m , naprężenie struny 1 wynosi 600,00 N, a struny 2 700,00 N. Fale poprzeczne są generowane na obu końcach strun, jak pokazano na rysunku. Ile potrzeba czasu, aby się spotkały? Dźwięk e 1 fortepianu ma częstotliwość f = 393,88 H z . Jaka będzie prędkość fali na strunie i jej długość, jeśli struna o liniowej gęstości masy μ = 0,012 kg/m zostanie poddana sile naciągu o wartości 1000,00 N? v = 288,68 m/s , λ = 0,73 m Dwie fale poprzeczne poruszają się wzdłuż struny. Prędkość każdej z nich wynosi v = 30,00 m/s . Wykres wychylenia w funkcji położenia dla chwili czasu t = 0,00 s przedstawiono na poniższym rysunku. (a) Ile wynoszą długości tych fal? (b) Ile wynoszą ich częstotliwości? (c) Jaka jest maksymalna prędkość w kierunku pionowym dla każdej z fal? Fala sinusoidalna rozchodzi się wzdłuż struny o liniowej gęstości masy μ = 0,060 kg/m . Maksymalna prędkość fali w kierunku pionowym to v y max = 0,30 cm/s . Fala jest opisana rozwiązaniem równania falowego y ( x , t ) = A sin ( 6,00 m −1 x − 24,00 s −1 t ) . (a) Jaka jest amplituda fali? (b) Jakie jest naprężenie struny? a. A = 0,0125 cm; b. F T = 0,96 N Prędkość fali poprzecznej na strunie wynosi v = 60,00 m/s , natomiast naciąg struny wynosi F T = 100,00 N . Jakie powinno być naprężenie struny, by prędkość fali wzrosła do v = 120,00 m/s?

Science


Energia i moc fali Wszystkie fale przenoszą energię, co czasami możemy zaobserwować bezpośrednio. Trzęsienia ziemi są w stanie doszczętnie zniszczyć całe miasta ( ). Hałas może uszkodzić komórki nerwowe narządu słuchu, co powoduje trwały ubytek słuchu. Ultradźwięki pomocne są w leczeniu nadwerężonych mięśni. Wiązka laserowa może być użyta do zniwelowania komórek nowotworowych. Fale wodne podmywają plaże. Zniszczenia spowodowane trzęsieniem ziemi to namacalny dowód na to, że fale przenoszą energię. Magnituda (dawniej skala Richtera), w której mierzy się siłę wstrząsu, jest skalą logarytmiczną uwzględniającą zarówno amplitudę wstrząsu, jak i energię, jaką wstrząs przenosi. W tym rozdziale poznamy wzory, które ilościowo opisują energię fal. Mają one fundamentalne znaczenie dla wszystkich pozostałych fal, które poznamy podczas kursu fizyki. Energia fal Energia fali zależy od jej amplitudy i częstotliwości, co udowadniają liczbne przykłady. Trzęsienia ziemi o dużych amplitudach powodują znaczne zniszczenia. Głośne dźwięki mają dużą amplitudę i wytwarzane są przez źródła o większej amplitudzie drgań niż w przypadku dźwięków o mniejszej amplitudzie. Wysokie fale morskie niszczą wybrzeże w dużo większym stopniu niż niskie fale. Tymczasem powróćmy do przypadku mewy siedzącej na powierzchni wody, omawianego wcześniej w tym rozdziale ( ). Ptak wykonuje drgania pod wpływem ruchu falowego, co powoduje zmiany jej energii potencjalnej. Im większa amplituda fali, tym większa zmiana energii potencjalnej mewy. Jeśli przyjmiemy, że fala jest pakietem energii, to okaże się, że fala o wysokiej częstotliwości może dostarczyć więcej takich pakietów w jednostce czasu niż fala o niskiej częstotliwości. Pokażemy, że średnie tempo transportu energii przez falę mechaniczną jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy oraz kwadratu częstotliwości. Jeśli dwie fale mechaniczne mają te same amplitudy, ale jedna z nich ma częstotliwość równą podwojonej częstotliwości drugiej, to fala o wyższej częstotliwości może przenosić energię cztery razy szybciej. Zauważmy, że choć szybkość transportu energii przez falę mechaniczną jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości fali, to dla fali elektromagnetycznej szybkość transportu pozostaje proporcjonalna do kwadratu amplitudy, ale jest niezależna od częstotliwości. Moc fal Rozważmy sinusoidalną falę na drgającej strunie, pokazaną na . Pręt jest wprawiany w drgania przy pomocy specjalnego urządzenia, zwanego oscylatorem. Pręt połączony jest ze struną o jednorodnej gęstości masy, dzięki czemu struna jest również wprawiana w drgania, które wytwarzają wzdłuż niej falę sinusoidalną. Innymi słowy, pręt wytwarza energię, która rozchodzi się wzdłuż struny. Rozważmy element struny o masie Δ m ( ). Ponieważ energia rozchodzi się wzdłuż struny, to każdy jej element drga z tą samą częstotliwością, z jaką rozchodzi się fala. Każdy element struny może być opisany za pomocą modelu prostego oscylatora harmonicznego. Ponieważ struna ma stałą gęstość liniową μ = Δ m / Δ x , każdy odcinek struny ma masę Δ m = μ Δ x . Oscylator wprawia w drgania pręt, a ten następnie wprawia w drgania połączoną z nim strunę. Wskutek drgań struny powstaje fala, która przemieszcza się wzdłuż pręta z prędkością v . Prędkość fali zależy od naprężenia struny i jej liniowej gęstości masy. Odcinek struny o masie Δ m wykonuje drgania o częstotliwości równej częstotliwości fali. Całkowita energia mechaniczna fali to suma energii kinetycznej i potencjalnej. Energia kinetyczna K = 1 2 m v 2 każdego odcinka struny o długości Δ x wynosi Δ K = 1 2 ( Δ m ) v y 2 . Każdy odcinek wykonuje drgania w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Jeśli liniowa gęstość masy jest stała, to energia kinetyczna każdego odcinka struny o długości Δ x wynosi: Δ K = 1 2 ( μ Δ x ) v y 2 . Napiszmy równanie różniczkowe, przyjmując, że długość odcinka struny dąży do zera: d K = lim Δ x → 0 1 2 ( μ Δ x ) v y 2 = 1 2 ( μ d x ) v y 2 . Dla fali sinusoidalnej o częstości kołowej ω położenie każdego odcinka można opisać jako y ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) . Każdy odcinek struny wykonuje drgania z prędkością v y = ∂ y ( x , t ) ∂ t = − A ω cos ( k x − ω t ) . Energia kinetyczna każdego odcinka struny wynosi: d K = 1 2 ( μ d x ) ( − A ω cos  ( k x − ω t ) ) 2 , = 1 2 ( μ d x ) A 2 ω 2 cos 2  ( k x − ω t ) . Fala może mieć długość równą wielokrotności długości fali. Aby dokonać normalizacji energii, rozważmy energię kinetyczną przypadającą na jednostkę długości fali. Taka energia kinetyczna może być policzona jako całka po długości fali: d K = 1 2 ( μ d x ) ( A 2 ω 2 cos 2  ( k x ) , K = ∫ 0 λ d K = ∫ 0 λ 1 2 μ A 2 ω 2 cos 2  ( k x ) d x = 1 2 μ A 2 ω 2 ∫ 0 λ cos 2  ( k x ) d x , K λ = 1 2 μ A 2 ω 2 [ 1 2 x + 1 4 k sin  ( 2 k x ) ] 0 λ = 1 2 μ A 2 ω 2 [ 1 2 λ + 1 4 k sin  ( 2 k λ ) − 1 4 k sin  ( 0 ) ] , K λ = 1 4 μ A 2 ω 2 λ . Fala ma również energię potencjalną. Podobnie jak w przypadku masy wykonującej drgania na sprężynie, dla fal również mówimy o sile zachowawczej. Powoduje ona, że odcinek sprężyny wychylony z położenia równowagi powraca do niego. Energię potencjalną dla takiego odcinka możemy wyliczyć, jeśli znamy stałą sprężystości. W rozdziale Drgania dowiedzieliśmy się, że energia potencjalna zmagazynowana w sprężynie wynosi U = 1 2 k s x 2 , gdzie położenie równowagi definiowane jest jako: x = 0,00 m . Gdy masa zawieszona na sprężynie wykonuje proste drgania harmoniczne, częstość kołowa wynosi ω = k s / m . Stała sprężystości wynosi k s = Δ m ω 2 . Energia potencjalna odcinka sprężyny wynosi: Δ U = 1 2 k s x 2 = 1 2 Δ m ω 2 x 2 . Zwróćmy uwagę, że k s jest stałą sprężystości, a nie liczbą falową k = 2 π / λ . Możemy użyć powyższego równania, aby wyliczyć ilość energii przypadającą na jednostkę długości fali. Całkując po odcinku o długości równej długości fali, wyliczymy energię potencjalną przypadającą na długość fali: d U = 1 2 k s x 2 = 1 2 μ ω 2 x 2 d x , U λ = 1 2 μ ω 2 A 2 ∫ 0 λ cos 2  ( k x ) d x = 1 4 μ A 2 ω 2 λ . Energia potencjalna przypadająca na jednostkę długości fali równa się energii kinetycznej przypadającej na jednostkę długości fali. Całkowita energia przypadająca na jednostkę długości fali to suma energii potencjalnej i kinetycznej: E λ = U λ + K λ , E λ = 1 4 μ A 2 ω 2 λ + 1 4 μ A 2 ω 2 λ = 1 2 μ A 2 ω 2 λ . Uśrednioną w czasie moc sinusoidalnej fali mechanicznej, przez którą należy rozumieć średnią szybkość przenoszenia energii przez falę, możemy obliczyć, jeśli podzielimy całkowitą energię przez czas przekazywania energii. Jeśli prędkość fali sinusoidalnej jest stała, to dla jednostkowej długości fali czas ten jest równy okresowi fali. Zatem dla fali sinusoidalnej uśredniona w czasie moc to energia podzielona przez okres. Długość fali podzielona przez okres to prędkość. P średnie = E λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 v . Zwróćmy uwagę, że uśredniona w czasie moc fali sinusoidalnej jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali i do kwadratu częstości kołowej fali. Przypomnijmy sobie, że częstość kołowa wynosi ω = 2 π f , zatem moc fali mechanicznej jest również proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości fali. Moc dostarczana do struny przez oscylator Rozważmy dwumetrową strunę o masie 70,00 g połączoną z oscylatorem, jak pokazano na . Jej naprężenie wynosi 90,0 N. Po włączeniu, oscylator wytwarza drgania o częstotliwości 60 Hz, które wywołują sinusoidalną falę na strunie. Amplituda fali wynosi 4,00 cm, a prędkość jest stała. Ile wynosi uśredniona w czasie moc dostarczana fali? Strategia rozwiązania Moc dostarczana fali powinna być równa uśrednionej w czasie mocy fali na strunie. Znamy masę struny m s , długość struny L s oraz jej naprężenie F T . Prędkość fali na strunie możemy wyliczyć z liniowej gęstości masy i naprężenia. Struna drga z częstotliwością równą częstotliwości drgań oscylatora, co pozwala obliczyć częstość kołową. Rozwiązanie Zacznijmy od wzoru na uśrednioną w czasie moc fali sinusoidalnej na strunie: P = 1 2 μ A 2 ω 2 v . Amplituda jest podana. Musimy obliczyć liniową gęstość masy struny, częstość kołową fali na strunie i jej prędkość. Musimy obliczyć liniową gęstość, aby wyliczyć potem prędkość fali: μ = m s L s = 0,070 k g 2,00 m = 0,035 k g m . Prędkość fali możemy obliczyć na podstawie gęstości liniowej i naprężenia struny: v = F T μ = 90,00 N 0,035 k g / m = 50,71 m s . Częstość kołową możemy obliczyć z częstotliwości: ω = 2 π f = 2 π ⋅ 60 1 s = 376,80 1 s . Obliczamy uśrednioną w czasie moc: P = 1 2 μ A 2 ω 2 v = 1 2 ⋅ 0,035 k g m ⋅ ( 0,040 m ) 2 ⋅ ( 376,8 1 s ) 2 ⋅ 50,71 m s = 201,59 W . Znaczenie Uśredniona w czasie moc fali sinusoidalnej jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali i kwadratu częstości kołowej fali. Tak jest dla większości fal mechanicznych. Jeśli albo częstość kołowa, albo amplituda fali ulegną podwojeniu, wówczas moc wzrośnie czterokrotnie. Uśredniona w czasie moc fali na strunie jest również proporcjonalna do prędkości sinusoidalnej fali na strunie. Jeśli prędkość wzrośnie dwa razy, to poprzez czterokrotny wzrost naprężenia moc również wzrośnie dwukrotnie. Sprawdź, czy rozumiesz. Czy uśredniona w czasie moc fali sinusoidalnej na strunie jest proporcjonalna do liniowej gęstości struny? Na pierwszy rzut oka wydaje się, że uśredniona w czasie moc fali sinusoidalnej na strunie jest proporcjonalna do liniowej gęstości struny, ponieważ P = 1 2 μ A 2 ω 2 v , a prędkość fali zależy od gęstości liniowej. Jeśli zastąpimy prędkość fali przez F T / μ , to okaże się, że moc jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z naprężenia i do pierwiastka kwadratowego z liniowej gęstości masy: P = 1 2 μ A 2 ω 2 v = 1 2 μ A 2 ω 2 F T μ = 1 2 A 2 ω 2 μ F T . Wyrażenia na energię fali i uśrednioną w czasie moc dotyczą fali sinusoidalnej na strunie. Generalnie energia fali mechanicznej i jej moc są proporcjonalne do kwadratu amplitudy i kwadratu częstości kołowej (a zatem również do kwadratu częstotliwości). Inną ważną wielkością jest natężenie fali. Fale mogą być skupione lub rozrzedzone. Przykładowo fale sejsmiczne potrafią rozchodzić się na bardzo duże odległości. Im bardziej oddalą się od źródła, tym mniejszych dokonają zniszczeń. Odległość, na jaką oddaliła się fala, pozwala obliczyć powierzchnię, przez którą przechodzi. Znając powierzchnię, możemy wyliczyć natężenie (ang. intensity ) oznaczane I , czyli moc przypadającą na jednostkę powierzchni: I = P A , gdzie P jest mocą, jaką przenosi fala, przechodząc przez powierzchnię A . Podana definicja jest prawdziwa dla każdego zagadnienia, w którym zachodzi transport energii. W układzie SI jednostką natężenia jest W / m 2 . Wiele fal występujących w przyrodzie to fale koncentryczne, które rozchodzą się od źródła w postaci powierzchni sferycznych. Na przykład głośnik zamocowany na słupie wytwarza fale kuliste. Chociaż fale dźwiękowe będziemy omawiać w następnym rozdziale, to już tutaj chcemy zasygnalizowac, że im dalej znajdujemy się od głośnika, tym dźwięk dochodzący do naszych uszu jest słabszy. Im większą odległość pokona fala, tym jej promień fali zakreśli większą powierzchnię A = 4 π r 2 . Natężenie fali kulistej wynosi zatem: I = P 4 π r 2 . Jeśli nie ma rozpraszania, energia pozostaje stała w trakcie ruchu fali kulistej, ale jej natężenie zmniejsza się w miarę oddalania się fali od źródła, ponieważ wzrasta jej powierzchnia. W przypadku ruchu dwuwymiarowej fali kulistej jej obwód się powiększa, ponieważ wzrasta promień. Jeśli wrzucimy kamień do sadzawki, wokół źródła zaczną rozchodzić się koncentryczne fale. W miarę wzrostu odległości od ich źródła natężenie się zmniejsza proporcjonalnie do 1 / r a nie 1 / r 2 . Podsumowanie Energia i moc fali są proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali i kwadratu częstości kołowej fali. Uśredniona w czasie moc fali sinusoidalnej na strunie wynosi: P średnia = 1 2 μ A 2 ω 2 v , gdzie μ jest liniową gęstością masy struny, A amplitudą fali, ω częstością kołową fali, a v prędkością fali. Natężenie definiuje się jako moc przypadającą na jednostkę powierzchni. Dla fali kulistej powierzchnia wynosi A = 4 π r 2 , a natężenie I = P 4 π r 2 . Gdy fala oddala się od źródła, to energia zostaje zachowana, ale natężenie się zmniejsza, gdyż powierzchnia fali wzrasta. Pytania Rozważ naprężoną strunę o stałej liniowej gęstości masy. Siła zewnętrzna powoduje powstanie na niej fali o znanej częstości kołowej i amplitudzie. Jeśli częstotliwość siły zewnętrznej zmniejszy się o połowę, to jak zmieni się uśredniona w czasie moc przenoszona przez tę falę? Uśredniona w czasie moc wynosi P = E λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 v . Jeśli częstotliwość lub amplituda zmniejszą się o połowę, to moc zmniejszy się czterokrotnie. Amplituda koncentrycznej fali na wodzie zmniejsza się w miarę wzrostu odległości od punktu, w którym wrzucono kamień. Wyjaśnij dlaczego. W przypadku poprzecznej fali ruch struny zachodzi w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Jak to możliwe, że energia jest przenoszona wzdłuż struny? Ponieważ odcinek struny porusza się w kierunku wertykalnym i wywiera nacisk na sąsiadujące z nim odcinki struny, przenosząc energię. Energia słoneczna ogrzewa te miejsca na kuli ziemskiej, które w ciągu dnia zwrócone są do Słońca. Dlaczego na biegunach jest zimno, podczas gdy na równiku jest ciepło? Natężenie fali kulistej zmniejsza się w miarę oddalania się jej od źródła. Jeśli w pobliżu źródła natężenie wynosi I 0 , to w jakiej odległości od źródła fala będzie miała natężenie 9 razy mniejsze? Natężenie fali kulistej wynosi: I = P 4 π r 2 , i jeśli energia nie jest rozpraszana, to natężenie na odcinku 3-metrowym zmniejszy się 9 razy. Zadania Struna o długości 5 m i masie 90 g jest poddana naprężeniu 100 N. Wzdłuż niej rozchodzi się fala, którą możemy opisać równaniem: y  x t = 0,01  m y  x t = ⋅ sin 0,40  m -1 ⋅ x − 1170,12  s -1 ⋅ t . Jaka moc przypada na jednostkę długości fali? v = 74,54 m/s, P λ = 91,85 W Ultradźwięk o natężeniu 1,5 ⋅ 10 2 W / m 2 jest wytwarzany przez głowicę ultrasonografu, za pomocą którego możemy dokonać obrazowania prostokątnego fragmentu ciała ludzkiego o wymiarach 3,00 cm na 5,0 cm. Jaka jest moc wyjściowa ultradźwięku? Głośnik niskiej częstotliwości ma powierzchnię A = 0,05 m 2 i wytwarza 1 W mocy akustycznej. (a) Jakie jest natężenie dźwięku w jego pobliżu? (b) Jeśli od głośnika dźwięki rozchodzą się równomiernie we wszystkich kierunkach, to w jakiej odległości od niego słyszalny będzie dźwięk o natężeniu 0,1 W/m 2 ? a. I = 20,0 W/m 2 ; b. I = P A , A = 10,0 m 2 A = 4 π r 2 , r = 0,892 m Ile razy należy zwiększyć amplitudę fali, żeby zwiększyć jej natężenie 50 razy? Do pomiaru natężenia światła słonecznego używa się miernika, którego powierzchnia 100 cm 2 rejestruje promieniowanie o mocy 6,50 W. Podaj zarejestrowane natężenie w ( W/m 2 ). I = 650 W/m 2 Energia słoneczna, która dociera do powierzchni Ziemi, ma natężenie 1400 W/m 2 . Jak dużo czasu potrzeba, aby dostarczyć energię 1,8 ⋅ 10 9 J na powierzchnię 1,00 m 2 ? Przypuśćmy, że dysponujemy urządzeniem, które odzyskuje moc z fal morskich. Moc ta jest proporcjonalna do natężenia fal. Jeśli dziennie urządzenie wytwarza 10,0 kW mocy z fal o wysokości 1,20 m, to ile wytoworzy mocy z fali o wysokości 0,600 m? P ∝ E ∝ I ∝ X 2 ⇒ P 2 P 1 = ( X 2 X 1 ) 2 P 2 = 2,50 kW Panele słoneczne przetwarzają energię słoneczną na energię elektryczną z wydajności 10,0 %. Jeśli średnie natężenie światła słonecznego w dzień wynosi 70,00 W/m 2 , to jaką powierzchnię powinien mieć panel, żeby wytworzyć energię elektryczną o mocy 100 W? (b) Ile wynosi maksymalny koszt paneli, jeśli inwestycja musi się zwrócić po 2 latach, a korzysta się z nich 10 h dziennie? Załóż, że 1 kW energii kosztuje 50 groszy. Dźwięk dochodzący do mikrofonu tworzy na ekranie oscyloskopu sinusoidę. Jeśli natężenie oryginalnego dźwięku, wynoszące 2,00 ⋅ 10 − 5 W / m 2 , uległo wzmocnieniu, a amplituda wzmocnionego dźwięku wzrosła o 30,0 % , to jakie jest natężenie wzmocnionego dźwięku? I ∝ X 2 ⇒ I 1 I 2 = ( X 1 X 2 ) 2 ⇒ I 2 = 3,38 ⋅ 10 − 5 W / m 2 Struna ma masę 0,30 kg i długość 4,00 m. Jeśli jej naprężenie wynosi 50,00 N, a sinusoidalna fala indukowana na strunie ma amplitudę 2,00 cm, to jaka jest jej częstotliwość, jeśli średnia moc wynosi 100,00 W? Wzdłuż struny ( μ = 0,05 kg/m ) została wygenerowana fala sinusoidalna. Równanie falowe dla takiej fali ma postać: y ( x , t ) = A sin ( 20,93 m −1 x − ω t ) . Jaka jest częstotliwość i amplituda fali? f = 100,00 Hz , A = 1,10 cm Struna została poddana naprężeniu F T . Energia jest przenoszona przez falę na strunie w tempie P 1 , a częstotliwość tej fali wynosi f 1 . Jak zmieni się tempo przenoszenia energii P 2 w porównaniu z P 1 , jeśli naprężenie wzrośnie dwukrotnie? Uderzono kamerton o częstotliwości 250 Hz. Natężenie dźwięku wynosi I 1 w odległości 1,00 m od źródła. (a) Ile wynosi natężenie dźwięku w odległości 4,00 m od źródła? (b) Jak daleko od kamertonu słychać dźwięk o natężeniu równym 1/10 natężenia dźwięku w punkcie położonym bardzo blisko źródła? a. I 2 = 0,063 I 1 ; b. I 1 4 π r 1 2 = I 2 4 π r 2 2 r 2 = 3,16 m Głośnik jest zasilany napięciem U = 120,00 V , a płynący w nim prąd ma natężenie I = 10,00 A . Moc wynosi P = I U . Aby przetestować głośnik, na jego wejście podano sygnał o przebiegu sinusoidalnym. Zakładając, że dźwięk jest falą kulistą i cała energia dostarczona do głośnika zostaje zamieniona na energię akustyczną, oblicz, jak daleko od głośnika słychać dźwięk o natężeniu 3,82 W/m 2 ? Energia fali, która powstała na powierzchni sadzawki, jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. W przypadku, gdy odległość fali od źródła wynosi 6,00 m, amplituda fali wynosi 0,1 cm. Ile wynosiłaby amplituda dla odległości fali od źródła równej 2,00 m? 2 π r 1 A 1 2 = 2 π r 2 A 2 2 , A 1 = ( r 2 r 1 ) 1 / 2 A 1 = 0,17 m natężenie fali (ang. intensity ) I moc przypadająca na jednostkę powierzchni

Science


Interferencja fal Do tej pory zajmowaliśmy się falami mechanicznymi rozchodzącymi się w ośrodku, nie uwzględniając tego, co się stanie, jeśli fala napotka granicę ośrodka lub jeśli napotka inną falę, rozchodzącą się w tym samym ośrodku. Fala, która napotka granicę ośrodka, może ulec całkowitemu lub częściowemu odbiciu od niej. Na przykład jeśli staniemy w pewnej odległości od urwiska i krzykniemy, to usłyszymy dźwięk odbity od urwiska, czyli echo. Fale rozchodzące się w tym samym ośrodku mogą ze sobą oddziaływać. Jeśli do sadzawki wpadną dwa kamienie w niewielkiej odległości od siebie, to fale, które się utworzą, nałożą się na siebie. To zjawisko nazywamy interferencją. W tym rozdziale zajmiemy się nim bardziej szczegółowo, wykazując, że zjawisko to różni się od zagadnień punktu materialnego czy bryły sztywnej. Później, gdy będziemy zajmować się fizyką współczesną, zobaczymy, że dopiero gdy badamy materię na poziomie atomowym, możemy zauważyć podobieństwa między falami a cząstkami. Odbicie i transmisja Fala rozchodząc się w ośrodku i napotyka jego granicę, ulega odbiciu. Fala, która biegnie w kierunku granicy ośrodka, to fala padająca, natomiast fala, która odbiła się od granicy, to fala odbita. Sposób, w jaki odbija się od granicy ośrodka, zależy od warunków brzegowych, a dokładnie od tego, czy granica jest ustalona i wynosi zero, czy może przyjmować dowolne wartości ( ). Przez ustalone warunki brzegowe (ang. fixed boundary condition ) rozumiemy sytuację, gdy granica ośrodka nie ma swobody ruchu. Analogicznie, swobodne warunki brzegowe (ang. free boundary condition ) oznaczają sytuację, gdy granica ośrodka może zmieniać swoje położenie. (a) Jeden koniec struny jest ustalony i nie ma swobody ruchu. Fala biegnąca wzdłuż struny, napotykając ustalone warunki brzegowe , po odbiciu zmienia fazę o 180 ∘ ( π r a d ) w porównaniu z fazą fali padającej. (b) Jeden koniec struny jest zamocowany do drążka o pomijalnej masie, przy czym drążek ma swobodę ruchu. Fala rozchodząca się wzdłuż struny, napotykając swobodne warunki brzegowe , odbija się i zmienia fazę o 0 ∘ ( 0 r a d ) w porównaniu z fazą fali padającej. (a) prezentuje sytuację dla ustalonych warunków brzegowych. Jeden koniec struny jest przytwierdzony do ściany, co zapobiega przemieszczaniu się ośrodka (tu: struny). Amplituda fali odbitej jest równa amplitudzie fali padającej, ale faza fali odbitej różni się o 180 ∘ ( π r a d ) od fazy fali padającej. Zmianę fazy możemy objaśnić, korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, zgodnie z którą jeśli ciało A działa na ciało B , wówczas ciało B oddziałuje na ciało A siłą o takiej samej wartości, ale skierowaną przeciwnie. Kiedy fala padająca napotyka przeszkodę w postaci ściany, to siła, z jaką struna oddziałuje na ścianę, ma przeciwny zwrot do siły, z jaką ściana oddziałuje na strunę. Zwróćmy uwagę, że grzbiet fali padającej odpowiada dolinie fali odbitej i vice versa . (b) pokazuje z kolei swobodne warunki brzegowe. Koniec struny jest zamocowany do drążka o pomijalnej masie, przez co struna ma swobodę ruchu. Również i w tym przypadku fala padająca odbija się od granicy ośrodków, ale w takich warunkach fale odbita i padająca mają zgodne fazy. Fala, padając na granicę ośrodków, działa na drążek siłą, która powoduje jego przyspieszenie. Maksymalne wychylenie drążka równa się amplitudzie fali. Następnie drążek wraca do położenia równowagi pod wpływem siły sprężystości struny. Jak pokazano na rysunku, położenie grzbietu fali padającej odpowiada położeniu grzbietu fali odbitej. Analogicznie położenie doliny fali padającej odpowiadałoby położeniu doliny fali odbitej. Amplitudy fali padającej i odbitej są sobie równe. Czasami jednak granica ośrodka nie jest ani ustalona, ani swobodna. Na (a) przedstawiono sytuację, w której struna o małej liniowej gęstości masy jest połączona ze struną o większej liniowej gęstości masy. Wówczas oprócz fali odbitej i fali padającej występuje dodatkowo fala przechodząca, która jest w zgodnej fazie z falą padającą. Amplitudy fal przechodzącej i odbitej są mniejsze niż amplituda fali padającej. Jeśli naprężenia obu strun są równe, wówczas fala rozchodzi się szybciej w strunie o niższej liniowej gęstości masy. Fale biegnące wzdłuż dwóch typów strun: pogrubioną linią zaznaczono falę biegnącą wzdłuż struny o większej liniowej gęstości masy, a cieńszą linią zaznaczono falę wzdłuż struny o mniejszej liniowej gęstości. Obie struny poddano takim samym naprężeniom. Fala biegnąca wzdłuż struny o niższej gęstości liniowej porusza się szybciej niż fala biegnąca wzdłuż struny o wyższej gęstości. (a) Jeśli fala przechodzi z ośrodka o mniejszej gęstości liniowej do ośrodka o większej gęstości, to faza fali odbitej różni się o 180 ∘ ( π r a d ) od fazy fali padającej, a faza fali przechodzącej jest zgodna z fazą fali padającej. (b) Gdy fala przechodzi z ośrodka o większej gęstości liniowej do ośrodka o mniejszej gęstości, fazy fali odbitej i przechodzącej są zgodne z fazą fali padającej. Na (b) struna o dużej liniowej gęstości masy jest połączona ze struną o małej liniowej gęstości. Faza fali odbitej w takim przypadku jest zgodna z fazą fali padającej. Pojawia się również fala przechodząca o fazie zgodnej z fazą fali padającej. Amplitudy fal przechodzącej i odbitej są mniejsze niż amplituda fali padającej. Jeśli naprężenia obu strun są jednakowe, fala rozchodzi się szybciej w strunie o niższej gęstości masy. Superpozycja i interferencja Większość fal występujących w przyrodzie to jednak bardziej skomplikowane, zjawiska. Większość ciekawych fal mechanicznych stanowią kombinacje dwóch lub większej liczby fal rozchodzących się w tym samym ośrodku. Aby nauczyć się je analizować, musimy poznać zagadnienie superpozycji fal. Rozważmy dwa impulsy o takiej samej amplitudzie, które biegną naprzeciwko siebie w tym samym ośrodku, jak pokazano na . W efekcie fale pokryją się, w wyniku czego powstanie fala o amplitudzie dwa razy większej, a następnie fale zaczną biec w przeciwnych kierunkach. Zjawisko to nazywa się interferencją (ang. interference ). Impulsy biegną naprzeciwko siebie i ulegają interferencji. Pojęcie interferencji odnosi się do sytuacji, kiedy fale nałożą się na siebie. Aby prześledzić zjawisko interferencji, posłużymy się zasadą superpozycji fal. Dla fal mechanicznych zasada superpozycji (ang. superposition ) mówi, że jeśli co najmniej dwie fale biegnące nałożą się na siebie w tym samym punkcie, to wypadkowe położenie cząstki ośrodka w tym punkcie jest algebraiczną sumą położeń tego punktu dla każdej fali z osobna. Zasadę superpozycji można stosować dla fal na strunie, fal dźwiękowych, fal na powierzchni wody i innych. Fale elektromagnetyczne także jej podlegają, ale w ich przypadku nie dodaje się położeń punktu ośrodka, lecz natężenia pól elektrycznego i magnetycznego. Fale, które nie podlegają zasadzie superpozycji, to fale nieliniowe. W tym rozdziale mówimy tylko o falach liniowych, w szczególności sinusoidalnych. W celu wyjaśnienia zasady superpozycji posłużymy się liniowym równaniem falowym. W podrozdziale Matematyczny opis fal zdefiniowaliśmy falę liniową jako falę, której reprezentacją matematyczną jest liniowe równanie falowe. W przypadku fali poprzecznej na strunie, na którą działa siła sprężystości o charakterze liniowym, ma ono postać: ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Każda funkcja falowa y ( x , t ) = y ( x ∓ v t ) , której argument jest funkcją liniową ( x ∓ v t ) , jest rozwiązaniem liniowego równania falowego. Jeśli funkcje falowe y 1 ( x , t ) i y 2 ( x , t ) są rozwiązaniami liniowych równań falowych, to suma dwóch funkcji y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) jest również rozwiązaniem liniowego równania falowego. Na fale mechaniczne, które spełniają zasadę superpozycji, zwykle narzucone jest ograniczenie, że amplitudy muszą być małe w stosunku do długości fali. Jeśli amplituda byłaby zbyt duża, to ośrodek uległby takiemu odkształceniu, że siła sprężystości przestałaby być liniowa. Fale mogą ulegać interferencji konstruktywnej lub destruktywnej. Na pokazano dwie identyczne fale sinusoidalne, które mają takie same fazy. (a) i (b) przedstawia dwie fale liniowe, natomiast na (c) pokazano falę wypadkową utworzoną w wyniku algebraicznego dodania tych fal. Zarówno grzbiety, jak i doliny obu fal leżą w tych samych miejscach. W takim przypadku zachodzi wzmacnianie , inaczej interferencja konstruktywna (ang. constructive interference ), w wyniku czego powstaje fala o amplitudzie dwukrotnie większej niż amplitudy fal wyjściowych, ale o tej samej długości. przedstawia dwie takie same fale, których fazy różnią się o 180 ∘ . W takim przypadku zachodzi wygaszanie , inaczej interferencja destruktywna (ang. destructive interference ). (a) i (b) przedstawia dwie wyjściowe fale, natomiast (c) pokazuje falę, która jest wynikiem superpozycji dwóch fal. Ponieważ położenie grzbietu jednej fali odpowiada położeniu doliny drugiej, amplituda fali wypadkowej wynosi zero, innymi słowy w przypadku wygaszania fala znika. Wzmacnianie interferencyjne dwóch fal prowadzi do powstania fali o dwukrotnie większej amplitudzie, lecz o tej samej długości. Wygaszanie dwóch fal, których fazy różnią się o 180 ∘ ( π r a d ) , prowadzi do powstania fali o zerowej amplitudzie. Gdy fale liniowe ulegają interferencji, fala wypadkowa jest algebraiczną sumą fal składowych, jak zaprezentowaliśmy to przy okazji omawiania zasady superpozycji. Fakt ten zilustrowano na , gdzie widzimy dwie fale (zaznaczone liniami niebieską i czerwoną) oraz falę wypadkową (zaznaczoną linią czarną). Gdy dwie fale rozchodzące się w tym samym ośrodku interferują ze sobą, to wychylenie fali wypadkowej w każdym punkcie jest sumą algebraiczną fal składowych. Na rysunku widzimy dwie fale (linie czerwona i niebieska) dodane do siebie oraz falę wypadkową (linia czarna). Mogą one reprezentować dowolne rodzaje fal liniowych, na przykład fale powstające na powierzchni sadzawki, fale na strunie, dźwięk, fale elektromagnetyczne. Superpozycja większości fal prowadzi do powstania efektów, które są kombinacją interferencji konstruktywnej i destruktywnej, przy czym efekt zależy od miejsca i czasu obserwacji. Dźwięki wytwarzane przez wieżę stereo w jednym miejscu są głośne, a w innych ciche. Oznacza to, że w niektórych miejscach zachodzi interferencyjne wzmacnianie, a w innych osłabianie. Wieża stereo ma co najmniej dwa głośniki. Dźwięki wytwarzane przez każdy z nich mogą odbijać się od ścian. Wszystkie fale odbite interferują ze sobą, a fala wypadkowa jest ich superpozycją. Rozważyliśmy kilka przykładów, w których superpozycji ulegały fale podobne do siebie. Na prezentujemy przykład superpozycji dwóch różnych fal, gdzie po dodaniu zaburzeń obu otrzymujemy falę wypadkową. Superpozycja fal nieidentycznych prowadzi zarówno do wzmacniania, jak i do osłabiania interferencyjnego. W przypadkach, gdy co najmniej dwie fale mechaniczne interferują ze sobą, obraz interferencyjny utworzony przez falę wypadkową może być dość skomplikowany, nieposiadający żadnych rozpoznawalnych cech. To właśnie ta złożoność powoduje, że dźwięk brzmi ciekawie i chcemy go słuchać. Innym wartym wspomnienia przykładem superpozycji są fale stojące, które są wytwarzane przez fale biegnące w różnych kierunkach. Fale stojące omówimy w następnym podrozdziale. Spróbuj wykorzystać tę symulację , aby wytworzyć fale. Jako źródła możesz użyć cieknącego kranu, głośnika lub lasera. Aby utworzyć wzór interferencyjny, musisz użyć drugiego źródła fali lub pary szczelin. Do obserwacji możesz wybrać jedno źródło lub dwa źródła. W przypadku symulacji z wykorzystaniem dwóch źródeł możesz zaobserwować wzór interferencyjny, jaki powstanie na skutek dodawania się fal o różnych częstotliwościach i amplitudach. Superpozycja fal sinusoidalnych o różnych fazach Wiele przypadków, z którymi mamy do czynienia w fizyce, dotyczy dwóch fal sinusoidalnych o tych samych amplitudach, liczbach falowych i częstościach kołowych, ale różnych fazach : y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) , y 2 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) . Jeśli te dwie fale rozchodzą się w tym samym ośrodku, to fala wypadkowa, która powstaje wskutek superpozycji, ma postać: y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) + A sin ( k x − ω t ) . Jeśli zastosujemy tożsamość trygonometryczną: sin u + sin v = 2 sin ( u + v 2 ) cos ( u − v 2 ) , gdzie u = k x − ω t + ϕ i v = k x − ω t , to fala wypadkowa przyjmie postać: y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) + A sin ( k x − ω t ) = 2 A sin ( ( k x − ω t + ϕ ) + ( k x − ω t ) 2 ) cos ( ( k x − ω t + ϕ ) − ( k x − ω t ) 2 ) = 2 A sin ( k x − ω t + ϕ 2 ) cos ( ϕ 2 ) . Powyższe równanie można też zapisać jako: y R ( x , t ) = [ 2 A cos ( ϕ 2 ) ] sin ( k x − ω t + ϕ 2 ) . Fala wypadkowa ma tę samą liczbę falową i tę samą częstość kołową co fala pierwotna. Jej amplituda wynosi A R = 2 A cos  ( ϕ / 2 ) , a faza początkowa równa się połowie fazy początkowej fali pierwotnej. Przykłady fal, które różnią się jedynie fazą, zostały pokazane na . Fale zaznaczone na niebiesko i czerwono mają te same amplitudy, liczby falowe i częstości kołowe, ale różne fazy. Oznacza to, że mają te same okresy, długości i częstotliwości. Fala zaznaczona na czarno jest wynikiem superpozycji tych dwóch fal. Gdy różnica faz tych fal wynosi zero, wówczas są one w zgodnych fazach, a fala wypadkowa ma tę samą liczbę falową i częstość kołową, natomiast jej amplituda równa się dwukrotnej amplitudzie fal wyjściowych (patrz: (a)). Jest to przykład wzmacniania interferencyjnego. Jeśli różnica faz wynosi 180 ∘ , to wynikiem interferencji jest wygaszanie (patrz: (c)). Fala wypadkowa ma amplitudę równą zero. Przy każdej innej różnicy faz powstaje fala o liczbie falowej i częstości kołowej równych tym parametrom obu fal padających. Faza początkowa fali wypadkowej wynosi ϕ / 2 , a jej amplituda 2 A cos ( ϕ / 2 ) . Przykłady pokazano na (b) i (d). Superpozycja dwóch fal o tych samych amplitudach, długościach, częstotliwościach, ale różnych fazach. Fala czerwona jest opisana funkcją falową y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) , natomiast fala niebieska funkcją y 2 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) . Na czarno zaznaczono falę będącą wynikiem dodania tych dwóch fal. Różnice faz fal wynoszą: (a) 0,00 rad , (b) π / 2 rad, (c) π rad, (d) 3 π / 2 rad . Podsumowanie Superpozycja oznacza dodawanie wychyleń fal. Wzmacnianie interferencyjne występuje, gdy superpozycji ulegną dwie identyczne fale, które są w zgodnych fazach. Osłabianie interferencyjne występuje, gdy superpozycji ulegną dwie identyczne fale, których fazy różnią się o 180 ∘ ( π r a d ) . Amplituda fali, która powstaje w wyniku superpozycji dwóch fal sinusoidalnych różniących się tylko fazą, zależy od różnicy faz. Pytania Fala padająca rozchodzi się wzdłuż struny zamocowanej do ściany z prędkością v . Fala odbija się od końca struny. Opisz falę odbitą. Struna o długości 2,00 m i liniowej gęstości masy μ = 0,006 kg/m jest połączona z końcem struny o długości 2,00 m i liniowej gęstości masy μ = 0,012 kg/m . Koniec struny o wyższej gęstości przytwierdzono do ściany, natomiast swobodny koniec struny o niższej liniowej gęstości masy student trzyma w ręku w taki sposób, by naprężenie obu strun było takie samo. Opisz zjawiska zachodzące na granicy obu strun w przypadku gdy student wytworzył impuls wzdłuż struny. Na granicy strun impuls padający powoduje powstanie impulsu odbitego oraz impulsu przechodzącego. Impuls odbity będzie w przeciwnej fazie w stosunku do impulsu padającego, pobiegnie z tą samą prędkością, co impuls padający, ale w przeciwnym kierunku. Impuls przechodzący pobiegnie w tym samym kierunku co impuls padający, z prędkością równą połowie prędkości impulsu padającego. Impuls przechodzący będzie w fazie z impulsem padającym. Zarówno impuls odbity, jak i impuls przechodzący będą miały amplitudy mniejsze niż amplituda impulsu padającego. Dwóch studentów trzyma końce długiej struny. Każdy z nich wytwarza falę sinusoidalną na swoim końcu. Fale poruszają się w przeciwnych kierunkach. Jak będzie wyglądała fala, która jest wynikiem nałożenia się obu fal w punkcie odpowiadającym połowie długości struny. Wiele zagadnień omawianych w tym rozdziale może mieć zastosowanie do fal innych niż mechaniczne. W elektronice mamy do czynienia z falami przedstawionymi na poniższym rysunku. Taka fala może zostać utworzona przez urządzenie zwane konwerterem analogowo-cyfrowym, które przekształca ciągły sygnał napięcia na sygnał dyskretny. Jaki będzie wynik superpozycji takich dwóch sygnałów? Każdy z dwóch końców struny o stałej liniowej gęstości masy jest trzymany przez studenta. Naprężenie struny jest stałe. Każdy student wytwarza falę poprzez rozhuśtanie struny. (a) Czy jest możliwe, aby fale miały równe prędkości? (b) Czy fale mogą mieć różne częstotliwości? (c) Czy fale mogą mieć różne długości? Zadania Rozważ dwie fale sinusoidalne biegnące wzdłuż struny, opisane jako: y 1 ( x , t ) = 0,3 m sin ( 4 m −1 x + 3 s −1 t ) i y 2 ( x , t ) = 0,6 m sin ( 8 m −1 x − 6 s −1 t ) . Jakie jest wychylenie fali wypadkowej utworzonej w wyniku interferencji tych dwóch fal w punkcie x = 0,5 m w chwili t = 0,2 s? Rozważ dwie fale sinusoidalne biegnące wzdłuż struny, opisane przez równania: y 1 ( x , t ) = 0,3 m sin ( 4 m −1 x + 3 s −1 t + π 3 ) i y 2 ( x , t ) = 0,6 m sin ( 8 m −1 x − 6 s −1 t ) . Jakie jest wychylenie fali wypadkowej utworzonej w wyniku interferencji tych dwóch fal w punkcie x = 1,0 m w chwili t = 3,0 s? y ( x , t ) = 0,76 m Rozważ dwie fale sinusoidalne biegnące wzdłuż struny, opisane jako: y 1 ( x , t ) = 0,3 m sin ( 4 m −1 x − 3 s −1 t ) i y 2 ( x , t ) = 0,3 m sin ( 4 m −1 x + 3 s −1 t ) . Podaj funkcję falową fali wypadkowej. (Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości sin ( u ± v ) = sin u cos v ± cos u sin v .) Dwie fale sinusoidalne biegną w tym samym ośrodku w tych samych kierunkach. Ich amplitudy wynoszą 3,00 cm, długości 5,20 m, a okresy 6,52 s. Faza początkowa jednej z nich wynosi ϕ . Jaka jest faza fali wyjściowej o amplitudzie 5,00 cm? (Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości sin u + sin v = 2 sin ( u + v 2 ) cos ( u − v 2 ) .) A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , ϕ = 1,17 rad Dwie fale sinusoidalne biegną w tym samym ośrodku zgodnie ze zwrotem osi x . Obie mają amplitudy równe 6,00 cm, długości 4,3 m, okresy 6,00 s, a faza początkowa jednej z nich wynosi ϕ = 0,50 rad . Jakie jest wychylenie fali wypadkowej w chwili t = 3,15 s i w punkcie x = 0,45 m ? Dwie fale sinusoidalne biegną przez ośrodek wzdłuż osi x . Obie mają amplitudy równe 7,00 cm, liczby falowe k = 3,00 m −1 , częstości kołowe ω = 2,50 s −1 i okresy równe 6,00 s, a jedna ma fazę początkową równą ϕ = π / 12 r a d . Jakie jest wychylenie fali wypadkowej w chwili t = 2,00 s i położeniu x = 0,53 m? y R = 1,90 cm Rozważ dwie fale, rozchodzące się w tym samym ośrodku: y 1 ( x , t ) i y 2 ( x , t ) . Różnią się one jedynie fazą. (a) Podaj wartość fazy w radianach, jeśli amplituda fali wypadkowej stanowi 1,75 amplitudy fal składowych. (b) Podaj wartość fazy w stopniach. (c) Wyraź fazę poprzez długości składowych fal. Dwie fale sinusoidalne, które różnią się jedynie fazą, biegną w tym samym kierunku. Równanie falowe fali wypadkowej ma postać y R ( x , t ) = 0,70 m sin ( 3,00 m −1 x − 6,28 s −1 t + π 4 ) . Ile wynoszą: częstości kołowe, liczby falowe, amplitudy i fazy fal składowych? ω = 6,28 s −1 , k = 3,00 m −1 , ϕ = π 8 rad A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , A = 0,37 m Dwie fale sinusoidalne, które różnią się jedynie fazą, biegną w tym samym kierunku. Równanie falowe fali wypadkowej wynosi y R ( x , t ) = 0,35 cm sin ( 6,28 m −1 x − 1,57 s −1 t + π 4 ) . Ile wynoszą: okresy, długości, amplitudy i fazy poszczególnych fal? Rozważ dwie funkcje falowe: y 1 ( x , t ) = 4,00 m sin ( π m −1 x − π s −1 t ) i y 2 ( x , t ) = 4,00 m sin ( π m −1 x − π s −1 t + π 3 ) . (a) Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, narysuj wykresy funkcji falowych oraz funkcji falowej, która jest wynikiem superpozycji tych dwóch funkcji falowych w funkcji położenia ( 0,00 ≤ x ≤ 6,00 m ) dla chwili czasu t = 0,00 s . (b) Ile wynoszą długości fali i amplitudy fal pierwotnych? (c) Ile wynoszą długość i amplituda fali wypadkowej? a. b. λ = 2,0 m , A = 4 m , c. λ R = 2,0 m , A R = 6,93 m Rozważ dwie funkcje falowe: y 2 ( x , t ) = 2,00 m sin ( π 2 m −1 x − π 3 s −1 t ) i y 2 ( x , t ) = 2,00 m sin ( π 2 m −1 x − π 3 s −1 t + π 6 ) . (a) Sprawdź, czy y R = 2 A cos ( ϕ 2 ) sin ( k x − ω t + ϕ 2 ) jest rozwiązaniem dla fali, która powstała w wyniku superpozycji tych dwóch fal. Utwórz tabelkę, której kolumny odpowiadają x , y 1 , y 2 , y 1 + y 2 i y R = 2 A cos ( ϕ 2 ) sin ( k x − ω t + ϕ 2 ) . Wylicz wartości dla x zmieniającego się w zakresie od 0 do 12 m, którymi posłużysz się do narysowania wykresów dla wszystkich czterech fal. Rozważ dwie funkcje falowe, które różnią się jedynie fazą: y 1 ( x , t ) = A cos ( k x − ω t ) i y 2 ( x , t ) = A cos ( k x − ω t + ϕ ) . Korzystając z tożsamości trygonometrycznych cos u + cos v = 2 cos ( u − v 2 ) cos ( u + v 2 ) oraz cos ( − θ ) = cos ( θ ) , oblicz równanie falowe fali, która jest wynikiem ich superpozycji. Czy równanie falowe, które uzyskałeś, jest dla ciebie zaskoczeniem? y R ( x , t ) = 2 A cos ( ϕ 2 ) cos ( k x − ω t + ϕ 2 ) ; wynik ten nie jest zaskoczeniem, ponieważ cos ( θ ) = sin ( θ + π 2 ) . wzmacnianie interferencyjne (ang. constructive interference ) zjawisko występujące, gdy dwie fale osiągną określony punkt dokładnie w tej samej chwili, t.j. grzbiety i doliny obu fal mają to samo położenie wygaszanie interferencyjne (ang. destructive interference ) zjawisko występujące, gdy dwie identyczne fale mają przeciwne fazy w tym samym punkcie, tj. gdy grzbiet jednej fali odpowiada dolinie drugiej ustalone warunki brzegowe (ang. fixed boundary condition ) warunki charakteryzujące się tym, że granica ośrodka nie może zmienić swojego położenia swobodne warunki brzegowe (ang. free boundary condition ) warunki charakteryzujące się tym, że granica ośrodka może zmienić swoje położenie interferencja (ang. interference ) nakładanie się dwóch lub większej liczby fal w tym samym punkcie i w tej samej chwili superpozycja (ang. superposition ) zjawisko, które występuje, gdy conajmniej dwie fale spotykają się w tym samym punkcie

Science


Fale stojące i rezonans W tym rozdziale zajmowaliśmy się już falami biegnącymi, które przenosiły energię z jednego miejsca w inne. W pewnych warunkach fale mogą jednak odbijać się tam i z powrotem, przybierając charakter fal stacjonarnych, nazywanych falami stojącymi (ang. standing wave ). Inny ciekawy efekt to rezonans (ang. resonance ). W rozdziale Drgania zdefiniowaliśmy rezonans jako zjawisko, w którym siła wymuszająca o niewielkiej amplitudzie może spowodować ruch o dużej amplitudzie. Przykładem jest dziecko huśtające się na huśtawce, co da się opisać jako wahadło fizyczne. Popchnięcia o małej amplitudzie, jakie stosuje rodzic, huśtając dziecko, powodują ruch huśtawki o dużej amplitudzie. Zjawisko rezonansu może mieć korzystne znaczenie, czego przykładem jest powstawanie dźwięków w instrumentach strunowych. Może jednak też mieć niszczący potencjał, czego przykładem jest zawalenie się budynków podczas trzęsienia Ziemi. W przypadku fal stojących fale o stosunkowo dużej amplitudzie tworzą się w wyniku superpozycji fal o mniejszych amplitudach. Fale stojące Czasami fale nie przemieszczają się. Na pokazano eksperyment, który możemy wykonać w domu. Miskę z mlekiem stawiamy na obudowie zwykłego wiatraka. Drgania, które wiatrak wytwarza, spowodują powstanie kulistych fal stojących w mleku. Takie fale powstają w wyniku superpozycji dwóch lub więcej fal biegnących ( ), które są identyczne, ale przemieszczają się w przeciwnych kierunkach. Fale te nakładają się na siebie, a zaburzenia się dodają. Jeśli mają one takie same amplitudy i długości, możemy zaobserwować naprzemiennie występujące efekty wzmacniania i osłabiania interferencyjnego. Fala wypadkowa wygląda tak, jakby stała w miejscu, stąd nazwa fala stojąca. Fale stojące zostały utworzone na powierzchni mleka w misce, umieszczonej na obudowie wiatraka. Drgania wiatraka powodują, że powierzchnia mleka drga. Kolejne obrazy fali sinusoidalnej. Fala czerwona porusza się w kierunku ujemnej półosi osi x , a fala niebieska biegnie w kierunku zgodnym z kierunkiem dodatniej półosi x . Fala wypadkowa została zaznaczona czarną linią. Rozważając falę wypadkową w punktach o współrzędnych x = 0 m , 3 m , 6 m , 9 m , 12 m , 15 m , możemy zauważyć, że fala wypadkowa zawsze ma w tych punktach wartość zero, niezależnie od czasu. Punkty te nazywa się węzłami. Pomiędzy każdymi dwoma węzłami występuje strzałka, czyli miejsce, w którym drgania ośrodka osiągają amplitudę równą sumie amplitud poszczególnych fal. Rozważmy dwie identyczne fale, które biegną w przeciwnych kierunkach. Pierwsza fala opisana jest równaniem falowym y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) , natomiast druga równaniem y 2 ( x , t ) = A sin ( k x + ω t ) . Fale interferują ze sobą, tworząc falę wypadkową: y ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) , y ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) + A sin ( k x + ω t ) . Zapis ten możemy uprościć, korzystając z tożsamości trygonometrycznej: sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , gdzie α = k x i β = ω t , co daje wyrażenie: y ( x , t ) = A [ sin ( k x ) cos ( ω t ) − cos ( k x ) sin ( ω t ) + sin ( k x ) cos ( ω t ) − cos ( k x ) sin ( ω t ) ] , upraszczające się do: y ( x , t ) = 2 A sin  ( k x ) cos  ( ω t ) . Zauważmy, że fala wypadkowa jest sinusoidalną funkcją położenia pomnożonego przez funkcję cosinus, której argumentem jest czas. Wykres y ( x , t ) w funkcji x dla różnych chwil czasu przedstawiono na . Fala oznaczona czerwoną linią porusza się w kierunku przeciwnym do zwrotu osi x , fala oznaczona niebieską linią – w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x , a fala oznaczona czarną linią jest sumą obu fal. Nakładanie się fal czerwonej i niebieskiej prowadzi do naprzemiennych efektów wzmacniania i osłabiania interferencyjnego. Początkowo, w chwili t = 0 , te dwie fale mają zgodne fazy, a fala wypadkowa ma amplitudę równą dwukrotności amplitudy fal wyjściowych. Fale mają również zgodne fazy w chwili t = T / 2 . Tak naprawdę fale mają zgodne fazy w chwilach równych każdej całkowitej wielokrotności połowy okresu: t = n T 2 , gdzie n = 0,1 , 2,3 … ( zgodne fazy ) . Dla innych chwil czasu fazy tych dwóch fal różnią się o 180 ∘ ( π r a d ), a fala wypadkowa jest równa zero. Ma to miejsce dla: t = 1 4 T , 3 4 T , 5 4 T , … , n 4 T , gdzie n = 1,3 , 5 , … ( przeciwne fazy ) . Zwróćmy uwagę, że w niektórych punktach x fali wypadkowej wychylenie jest równe zero, niezależnie od tego, czy fale składowe są w fazie zgodnej czy w przeciwnej. Te punkty to węzły (ang. node ). Zastanówmy się, kiedy się one pojawiając. Rozważmy rozwiązanie, które jest sumą obu fal składowych: y ( x , t ) = 2 A sin  ( k x ) cos  ( ω t ) . Położenie węzłów znajdziemy, jeśli ustalimy, w których punktach funkcja sinus przyjmuje wartości równe zero. sin  ( k x ) = 0 k x = 0 , π , 2 π , 3 π , … 2 π λ x = 0 , π , 2 π , 3 π , … x = 0 , λ 2 , λ , 3 λ 2 , ⋯ = n π 2 , gdzie n = 0,1 , 2,3 , … Istnieją również punkty, w których y przyjmuje wartości między y = ± A . Te punkty to strzałki (ang. antinode ). Ich położenie znajdziemy, ustalając dla jakich wartości x spełniony jest warunek: sin ( k x ) = ± 1 . sin  ( k x ) = ± 1 k x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 … 2 π λ x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 … x = λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 , ⋯ = n λ 4 , gdzie n = 1,3 , 5 , … Fala wypadkowa pokazana jest na . Powstała ona z nałożenia się dwóch identycznych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Falę wypadkową można opisać funkcją sinus, jej węzły występują w punktach odpowiadających całkowitym wielokrotnościom długości fali. Strzałki to punkty, w których wychylenia są równe y = ± 2 A z uwagi na to, że funkcja cos ( ω t ) przyjmuje wartości między ± 1 . Fala wypadkowa nie porusza się wzdłuż osi x , mimo iż powstała z dwóch fal, z których jedna biegła w kierunku zgodnym, a druga w kierunku przeciwnym do zwrotu osi x . pokazuje kilka możliwych fal wypadkowych. Węzły oznaczone zostały czerwonymi kropkami, a strzałki niebieskimi. Gdy dwie identyczne fale biegną w przeciwnych kierunkach, fala wypadkowa jest falą stojącą. Węzły powstają w punktach odpowiadających całkowitym wielokrotnościom połowy długości fali. Strzałki z kolei odpowiadają nieparzystym wielokrotnościom 1/4 długości fali. Odpowiadające takim punktom wychylenia są równe y = ± A . Węzły zostały oznaczone czerwonymi kropkami, a strzałki niebieskimi. Popularnym przykładem fal stojących są fale wytwarzane w strunowych instrumentach muzycznych. Gdy szarpniemy strunę, impulsy biegną w przeciwnych kierunkach. Koniec struny jest zamocowany na stałe, zatem węzły powstają w punktach odpowiadających punktom brzegowym takiego układu. Można w nich regulować częstości rezonansowe struny. Zjawisko rezonansu na strunie instrumentu możemy zaobserwować, posługując się układem pokazanym na . Zestaw laboratoryjny do prezentacji fal stojących na strunie. Na każdym końcu struny o stałej liniowej gęstości masy tworzą się węzły. Oba punkty graniczne struny odległe są o L . Odważnik zapewnia naprężenie struny, prędkość fali na strunie jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z naprężenia podzielonego przez liniową gęstość masy. Zestaw laboratoryjny przedstawia sprężynę połączoną z oscylatorem, który powoduje drgania struny z częstotliwością f . Drugi koniec struny jest przerzucony przez bloczek, wzdłuż którego struna porusza się bez tarcia. Wiszący pionowo koniec struny obciążono odważnikiem, który zapewnia stałe jej naprężenie. Struna ma stałą liniową gęstość masy (masa przypadająca na jednostkę długości) μ , a prędkość, z jaką fala biegnie wzdłuż struny, wynosi v = F T / μ = m g / μ ( ). Symetryczne warunki brzegowe (na każdym końcu struny powstaje węzeł) wyznaczają możliwe częstotliwości, które pobudzają strunę do drgań. Wolno zwiększając częstotliwość od zera, otrzymujemy pierwszy mod n = 1 , co pokazano na . Pierwszy mod, nazywany też podstawowym lub pierwszą harmoniczną, odpowiada fali o długości równej połowie długości fali, a zatem długość fali jest równa podwojonej odległości pomiędzy węzłami λ 1 = 2 L . Częstotliwość podstawowa (ang. fundamental frequency ) lub pierwsza harmoniczna wynosi: f 1 = v λ 1 = v 2 L , gdzie prędkość fali równa się v = F T / μ . Wzrost częstotliwości przy stałym naprężeniu struny prowadzi do drugiej harmonicznej, czyli n = 2 . Ten mod odpowiada jednostkowej długości fali λ 2 = L , a częstotliwość równa się podwojonej częstotliwości podstawowej: f 2 = v λ 2 = v L = 2 f 1 . Fale stojące powstają wzdłuż struny o długości L . Na każdym końcu powstaje węzeł. Węzły określają możliwe częstotliwości, które pobudzają strunę. W celach poglądowych amplituda drgań jest stała. Obraz fali stojącej na strunie to tzw. mod podstawowy. W warunkach laboratoryjnych możemy zmniejszyć amplitudę fali, a zwiększyć częstotliwość. Dwa kolejne mody, tj. trzecia i czwarta harmoniczna, odpowiadają długościom fali λ 3 = 2 L / 3 i λ 4 = 2 L / 4 . Są one wzbudzane przez częstotliwości f 3 = 3 v 2 L = 3 f 1 i f 4 = 4 v 2 L = 4 f 1 . Częstotliwości wyższe niż f 1 nazywa się nadtonami (ang. overtone ). Wyrażenia na długość fali i częstotliwość mają postać: λ n = 2 n L , gdzie n = 1,2 , 3 , … f n = n v 2 L = n f 1 , gdzie n = 1,2 , 3 , … Różne konfiguracje fali stojącej, które można utworzyć wzdłuż struny, przedstawione na , nazywa się modami normalnymi (ang. normal mode ); używa się też zwrotu mody własne lub drgania własne . Generujące je częstości to częstości normalne lub własne. Podsumowując, częstotliwość, która wytwarza pierwszy mod normalny, to częstotliwość podstawowa (lub pierwsza harmoniczna). Każda częstotliwość wyższa od podstawowej to nadton. Częstotliwość, która odpowiada n = 2 , to pierwszy nadton (lub druga harmoniczna). Częstotliwość odpowiadająca n = 3 to drugi nadton (lub trzecia harmoniczna) itd. Relacje przedstawione przez i wynikają z równania falowego dla struny, na której końcach powstają węzły lub strzałki. Kiedy na obu końcach struny są takie same warunki, wówczas mówimy o symetrycznych warunkach brzegowych. Fale stojące na strunie Rozważmy strunę o długości L = 2,00 m , której jeden koniec jest połączony z oscylatorem o regulowanej częstotliwości, jak pokazano na . Fale biegną wzdłuż struny i odbijają się w miejscu, gdzie występuje bloczek. Struna ma stałą liniową gęstość masy μ = 0,006 kg/m . Drugi koniec struny jest przerzucony przez bloczek o pomijalnej masie, wzdłuż którego struna porusza się bez tarcia. Koniec struny jest obciążony odważnikiem o masie 2,00 kg, który zapewnia stałe naprężenie struny. (a) Jaka jest prędkość fal wzdłuż struny? (b) Narysuj fale stojące odpowiadające trzem pierwszym modom i opisz rysunki, podając długość fali. (c) Podaj częstotliwości, które spowodują powstanie trzech pierwszych modów. Struna połączona z oscylatorem o regulowanej częstotliwości. Strategia rozwiązania Prędkość fali możemy obliczyć ze wzoru v = F T / μ . Naprężenie pochodzi od obciążnika na końcu struny. Postać fal stojących zależy od warunków brzegowych. Na każdym końcu struny musi powstać węzeł. Pierwszy mod odpowiada połowie długości fali. Drugi obliczymy, gdy dodamy do pierwszego połowę długości fali. Jest to najprostszy sposób, aby na końcach struny powstały węzły. Przykładowo jeśli dodamy 1/4 długości fali, to na końcu struny powstanie strzałka, a wtedy warunki brzegowe nie będą spełnione. Sytuację taką przedstawia . Ponieważ prędkość fali równa się długości fali pomnożonej przez częstotliwość, to częstotliwość obliczymy jako prędkość fali podzieloną przez jej długość. (a) Rysunek przedstawia drugi mod struny, który spełnia warunki brzegowe, zgodnie z którymi na obu końcach struny powstają węzły. (b) Ta sytuacja jest niedopuszczalna, gdyż nie zostałby utworzony mod normalny ze względu na niespełnienie warunków brzegowych. Na jednym końcu występuje węzeł, a na drugim strzałka. Rozwiązanie Wychodzimy ze wzoru na prędkość fali na strunie. Naprężenie obliczymy w oparciu o znaną masę odważnika. Liniowa gęstość struny jest podana. Szybkość wynosi: v = F T μ = m g μ = 2 k g ⋅ 9,8 m / s 2 0,006 k g / m = 57,15 m s . Pierwszy normalny mod, przy którym mamy węzły na obu końcach struny, odpowiada połowie długości fali. Następne dwa mody możemy obliczyć, dodając połowę długości fali. Częstotliwości pierwszych trzech modów możemy obliczyć ze wzoru f = v w / λ . f 1 = v w λ 1 = 57,15 m/s 4,00 m = 14,29 Hz f 2 = v w λ 2 = 57,15 m/s 2,00 m = 28,58 Hz f 3 = v w λ 3 = 57,15 m/s 1,333 m = 42,87 Hz Znaczenie Trzy mody w tym przykładzie mogły powstać dzięki temu, że utrzymywano stałe naprężenie struny, a częstotliwość drgań można było zmieniać. Stałe naprężenie struny powoduje, że fala rozchodzi się ze stałą prędkością. Takie same mody moglibyśmy utworzyć, utrzymując stałą częstotliwość drgań, a zmieniając prędkość fali (przez zmianę masy odważnika). Wykorzystaj symulację , aby zaobserwować widmo modów normalnych dla jedno- lub dwuwymiarowego układu sprzężonych oscylatorów. Możesz zmieniać liczbę odważników i warunki początkowe. Dla układu jednowymiarowego obejrzyj falę poprzeczną i podłużną. Sprawdź, czy rozumiesz. Wzory na długość fali i częstotliwość modów fali, które można utworzyć na strunie, mają postać: λ n = 2 n L , gdzie n = 1,2 , 3 , … , oraz f n = n v 2 L = n f 1 , gdzie n = 1,2 , 3 , … Wzory te zostały wyprowadzone przy założeniu, że na obu końcach strun występują symetryczne warunki brzegowe. Powyższe mody zostały otrzymane dla dwóch identycznych fal, ale biegnących w przeciwnych kierunkach, wzdłuż odcinka o długości L , na którego obu końcach powstają węzły. Czy te wzory są prawdziwe dla sytuacji, gdy na obu końcach odcinka powstają strzałki? Omów postać modów normalnych dla ośrodka o swobodnych warunkach brzegowych. Nie przejmuj się, jeśli w tej chwili nie jesteś w stanie wyobrazić sobie takiego ośrodka, rozważ jedynie dwie fale sinusoidalne wzdłuż odcinka o długości L , na którego końcach tworzą się strzałki. Tak, równania są prawdziwe dla symetrycznych warunków brzegowych, gdzie na obu końcach tworzą się strzałki. Mody normalne dla trzech pierwszych modów pokazano poniżej. Linią przerywaną zaznaczono położenie równowagowe ośrodka. Zauważ, że pierwszy mod odpowiada połowie długości fali. Drugi mod odpowiada jednej długości fali, a trzeci odpowiada 1,5 długości fali. Otrzymaliśmy wyniki podobne jak dla struny, na której obu końcach znajdują się węzły. Równania dla symetrycznych warunków brzegowych są prawdziwe zarówno dla stałych, jak i dla swobodnych warunków brzegowych. Powrócimy do tych rozważań w następnym rozdziale, omawiając fale dźwiękowe w otwartych rurach. Swobodne warunki brzegowe, które omówiliśmy w ostatniej sekcji mogą być trudne do wyobrażenia. Jak może wyglądać taki układ, którego jeden koniec jest swobodny i może wykonywać drgania? Na pokazano dwie możliwe konfiguracje metalowego pręta (czerwona linia) podpartego w dwóch punktach (podparcia narysowano na niebiesko). Na (a) pręt jest podparty na obu końcach. Mówimy tu o ustalonych warunkach brzegowych. Przy pewnych częstotliwościach pręt można wprawić w rezonans. Powstanie fala stojąca o długości równej długości pręta, a na obu końcach pręta powstaną węzły. Na (b) pręt jest podparty w punktach, odległych od każdego końca o 1/4 długości pręta. Na obu końcach pręta występują swobodne warunki brzegowe. Przy pewnych częstotliwościach pręt wpada w rezonans, powstaje fala stojąca o długości równej długości pręta, a na obu końcach pręta powstają strzałki. Jeśli nie wiesz, jak zmierzyć długość fali, przypomnij sobie, że mierzy się ją pomiędzy dwoma najbliższymi, identycznymi punktami ( ). (a) Pręt metalowy o długości L (czerwony) jest zamocowany na obu końcach (punkty podparcia są zaznaczone niebiesko) na obu końcach. Gdy pręt zostaje pobudzony, to przy pewnych częstotliwościach zacznie rezonować. Długość powstałej fali, będzie równa długości pręta a na obu jego końcach utworzone zostaną węzły. (b) Ten sam metalowy pręt o długości L (czerwony) został podparty w punktach oddalonych od każdego końca o 1/4 jego długości. Przy odpowiednich częstotliwościach pręt wpada w rezonans. Powstała w jego wyniku fala stojąca ma długość równą długości pręta, a na obu jego końcach powstają strzałki. Długość fali można zmierzyć pomiędzy dwoma identycznymi punktami. Dla fali na strunie oznacza to punkty o tych samych wychyleniach i nachyleniach. (a) Długość fali zmierzono pomiędzy dwoma najbliższymi punktami o zerowych wychyleniach, nachylenie jest dodatnie i przyjmuje wartość maksymalną. (b) Długość fali zmierzono pomiędzy dwoma identycznymi punktami, w których wychylenia są maksymalne, a nachylenia równe zero. Zwróćmy uwagę, że zagadnienie fal stojących może ulec komplikacji. Na (a) pokazano mod n = 2 fali stojącej. Odpowiadająca mu długość fali wynosi L . W takim przypadku może też powstać mod n = 1 fali stojącej o długości równej 2 L . Czy możliwe jest otrzymanie modu n = 1 dla konfiguracji przedstawionej na (b)? Odpowiedź brzmi: nie. W takim przypadku muszą być spełnione dodatkowe warunki brzegowe. Ponieważ pręt jest podparty w punktach odległych o 1/4 swojej długości od każdego końca, w tych miejscach musi pojawić się węzeł, a to ogranicza możliwe mody powstałych fal stojących. Rozważ, czy inne mody fal stojących są możliwe. Zauważ przy tym, że jeśli układ został wprawiony w drgania, które nie prowadzą do rezonansu, to drgania mogą występować, ale ich amplituda jest mniejsza niż amplituda drgań rezonansowych. W inżynierii mechanicznej stosuje się dźwięki wytwarzane przez drgające części złożonych układów mechanicznych, aby zdiagnozować problemy występujące w takich układach. Przypuśćmy, że jakaś część samochodu rezonuje z częstotliwością równą częstotliwości drgań silnika samochodu, powodując niepożądane drgania w samochodzie. Może to spowodować szybkie zniszczenie silnika. Inżynierowie rejestrują dźwięki wytwarzane przez silnik, następnie stosują procedurę zwaną analizą Fouriera, aby określić częstotliwości wytwarzanych dźwięków, co pozwala ostatecznie wykryć, która część samochodu ulega rezonansowi. Problem można rozwiązać, zmieniając skład chemiczny materiału użytego do produkcji tej części lub jej długość. W świecie fizyki możemy znaleźć wiele innych przykładów rezonansu fal stojących. Jednym z nich może być powietrze wewnątrz rury, w instrumentach muzycznych, takich jak flety, które pobudzone do rezonansu, stają się źródłem przyjemnych dla ucha dźwięków. Zagadnieniem tym zajmiemy się w rozdziale Dźwięk . Są też przypadki, w których rezonans może być przyczyną problemów. Skutki trzęsień Ziemi to przykłady działania rezonansu, powstawania fal stojących, a także wzmacniania i wygaszania interferencyjnego. Jeśli budynek zacznie drgać przez kilka sekund z częstotliwością odpowiadającą częstotliwości jego drgań własnych, doprowadzi to do rezonansu, wskutek czego budynek runie. Określone wymiary budynku mogą spełniać warunki do powstania fal stojących, przez co budowle o danej wysokości ulegają zniszczeniu, a inne pozostają nienaruszone. Ważna jest również wielkość dachu. Często hale gimnastyczne, hipermarkety i kościoły ulegają zniszczeniu w większym stopniu niż pojedyncze budynki. Dachy o większej powierzchni podparte jedynie na krawędziach ulegają rezonansowi przy częstotliwościach równych częstotliwości trzęsienia Ziemi, przez co dochodzi do ich zawalenia. Ponieważ fale sejsmiczne biegną wzdłuż powierzchni Ziemi i odbijają się od gęstszych skał, w pewnych miejscach dochodzi do wzmocnienia interferencyjnego. Dlatego też nieraz obszary położone niedaleko od epicentrum wstrząsu nie doznają większych strat, natomiast bardziej odległe zostają zburzone. Podsumowanie Fala stojąca jest wynikiem superpozycji dwóch fal. Amplituda fali stojącej zmienia się w każdym punkcie, ale fala taka się nie rozchodzi. Węzły to punkty fali stojącej mające amplitudę równą zero. Strzałki to punkty fali stojącej o maksymalnej amplitudzie. Mody normalne fali na strunie są możliwymi falami stojącymi. Najniższa częstotliwość, która prowadzi do powstania fali stojącej, to częstotliwość podstawowa (fundamentalna). Wyższe częstotliwości wytwarzające fale stojące, to nadtony. Najważniejsze wzory Prędkość fali v = λ T = λ f Liniowa gęstość masy μ = masa struny długość struny Prędkość fali lub impulsu na strunie poddanej naprężeniu | v | = F T μ Prędkość fali w płynie v = Β ρ Fala wypadkowa powstała w wyniku superpozycji dwóch identycznych fal sinusoidalnych różniących się fazą y R ( x , t ) = 2 A cos  ( ϕ 2 ) sin  ( k x − ω t + ϕ 2 ) Liczba falowa k ≡ 2 π λ Szybkość fali v = ω k Fala okresowa y ( x , t ) = A sin ( k x ∓ ω t + ϕ ) Faza fali k x ∓ ω t + ϕ Liniowe równanie fali ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v w 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 Moc fali przypadająca na jedną długość fali P średnia = E λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T = 1 2 μ A 2 ω 2 v Natężenie I = P A Natężenie fali kulistej I = P 4 π r 2 Równanie fali stojącej y ( x , t ) = 2 A sin  ( k x ) cos  ( ω t ) Długość fali dla symetrycznych warunków brzegowych λ n = 2 n L , n = 1,2 , 3 , … Częstotliwość dla symetrycznych warunków brzegowych f n = n  v 2  L = n  f 1  , dla  n = 1 2 3 … f_n = n \frac{v}{2L} = n f_1\text{, dla } n = 1,2,3,\dots Pytania Producent ciężarówek zauważył, że rozpora silnika przedwcześnie ulega zużyciu. Inżynier ustalił, że wpada ona w rezonans przy pewnych częstotliwościach silnika. Jakie dwie cechy rozpory można zmodyfikować, aby usunąć problem? Długość i/lub gęstość, wówczas rozpora nie będzie rezonowała z silnikiem. Dlaczego dachy kościołów częściej ulegają zniszczeniom podczas trzęsień Ziemi niż budynki mieszkalne? Pocieranie palcem brzegu kieliszka z winem może go wprawić w rezonans. Wyjaśnij dlaczego. Podczas takiego pocierania następuje przekazanie energii szkłu. Przy pewnych częstotliwościach powstają w kieliszku fale stojące. Kieliszek wpada w rezonans, a wibracje powodują wytworzenie dźwięku. Klimatyzatory umieszcza się czasami na dachach domów. Sporadycznie mogą one powodować, że na górnych piętrach domu słyszalne jest buczenie. Dlaczego? Jak można ograniczyć to zjawisko? Rozważmy falę stojącą, opisaną równaniem y ( x , t ) = 4,00 cm sin ( 3 m −1 x ) cos ( 4 s −1 t ) . Czy w punkcie x = 0,00 m powstaje węzeł czy strzałka? Jeśli fala stojąca jest opisana przez równanie y ( x , t ) = 4,00 cm sin ( 3 m −1 x + π 2 ) cos ( 4 s −1 t ) , to czy w punkcie x = 0,00 m powstanie węzeł czy strzałka? W przypadku równania y ( x , t ) = 4,00 cm sin ( 3 m −1 x ) cos ( 4 s −1 t ) wystąpi węzeł, ponieważ gdy x = 0,00 m , sin ( 3 m −1 ( 0,00 m ) ) = 0,00 , więc y ( 0,00 m , t ) = 0,00 m w każdej chwili. W przypadku równania y ( x , t ) = 4,00 cm sin ( 3 m −1 x + π 2 ) cos ( 4 s −1 t ) powstanie strzałka, gdyż x = 0,00 m , sin ( 3 m −1 ( 0,00 m ) + π 2 ) = + 1,00 ,więc y ( 0,00 m , t ) wykonuje drgania w zakresie pomiędzy + A i − A , a funkcja cosinus zmienia się w zakresie +1 i −1. Zadania Fala biegnąca wzdłuż sprężynki Slinky, którą rozciągnięto na 4 m przebiega odległość tam i z powrotem w ciągu 2,4 s. (a) Jaka jest prędkość fali? (b) Przy pomocy tej samej sprężynki rozciągniętej na tę sama długość wytworzono falę stojącą, która ma trzy strzałki i cztery węzły. Jaka jest częstotliwość drgań sprężynki? Struna o długości 2 m jest zamocowana z dwóch stron i poddana takiemu naprężeniu, że wzdłuż niej biegnie fala z prędkością równą v w = 50,00 m/s . Ile wynosi długość fali i częstotliwości trzech pierwszych modów normalnych? λ n = 2,00 n L , f n = v λ n λ 1 = 4,00 m , f 1 = 12,5 Hz λ 2 = 2,00 m , f 2 = 25,00 Hz λ 3 = 1,33 m , f 3 = 37,59 Hz Rozważ układ eksperymentalny pokazany na rysunku poniżej. Długość odcinka struny między oscylaorem a bloczkiem wynosi L = 1,00 m . Liniowa gęstość masy struny to μ = 0,006 kg/m . Oscylator może wykonywać drgania o dowolnej częstotliwości. Masa odważnika wynosi 2,00 kg. (a) Ile wynosi długość fali i częstotliwość modu n = 6 ? (b) Struna powoduje drgania powietrza wokół siebie. Jaka jest długość fali dźwięku, jeśli prędkość dźwięku wynosi v s = 343,00 m/s? Kabel o liniowej gęstości masy μ = 0,2 kg/m rozpięto między dwoma słupami. Jego naprężenie wynosi 500,00 N. Odległość między słupami to 20 m. Wiatr wprawił kabel w rezonans i wzdłuż niego powstała fala stojąca o długości 4,5 m. Temperatura powietrza wynosi T = 20 ° C . Ile wynosi częstotliwość i długość podmuchu? v = 158,11 m/s, λ = 4,44 m, f = 35,61 Hz λ s = 9,63 m Rozważ pręt o długości L , który zamocowano na środku. W miejscu zamocowania musi powstać węzeł, jak pokazano poniżej. Narysuj dwa pierwsze mody normalne dla pręta wykonującego drgania rezonansowe. Oblicz długości fal i częstotliwości, które powodują rezonans pręta. Rozważ dwie funkcje falowe y ( x , t ) = 0,30 cm sin ( 3 m −1 x − 4 s −1 t ) i y ( x , t ) = 0,30 cm sin ( 3 m −1 x + 4 s −1 t ) . Napisz funkcję falową dla fali stojącej, która jest ich wypadkową. y ( x , t ) = [ 0,60 cm sin ( 3 m −1 x ) ] cos ( 4 s −1 t ) Struna o długości 2,40 m i masie 7,50 g poddana jest naprężeniu 160 N. Oba jej końce są zamocowane, a ona sama została wprawiona w drgania. (a) Jaka jest prędkość fali na strunie? Struna została wprawiona w drgania rezonansowe z taką częstotliwością, przy której utworzona została fala stojąca o długości 1,20 m. (b) Jaka jest częstotliwość drgań wymuszających, które wprawiły strunę w rezonans? Struna o gęstości liniowej masy 0,0062 kg/m i długości 3,00 m została wprawiona w drgania rezonansowe o modzie n = 100 . Naprężenie struny wynosi 20,00 N. Ile wynosi długość i częstotliwość fali? λ 100 = 0,06 m v = 56,8 m / s , f n = n f 1 , n = 1,2 , 3 , … f 100 = 947 H z Struna o liniowej gęstości masy 0,0075 kg/m i długości 6,00 m została wprawiona w drgania rezonansowe o modzie n = 4 przez drgania wymuszające o częstotliwości 100,00 Hz. Jakie jest naprężenie struny? Dwie fale sinusoidalne o identycznych długościach i amplitudach biegną w przeciwnych kierunkach wzdłuż struny, tworząc falę stojącą. Liniowa gęstość masy struny wynosi μ = 0,075 kg/m , a naprężenie F T = 5,00 N . Interwał czasowy pomiędzy wygaszeniami interferencyjnymi to Δ t = 0,13 s . Ile wynosi długość fali? T = 2 Δ t , v = λ T , λ = 2,12 m Struna zamocowana na obu końcach ma długość 5,00 m i masę 0,15 kg. Naprężenie struny wynosi 90 N. Struna wykonuje drgania tak, że powstaje fala stojąca o częstotliwości podstawowej. (a) Jaka jest prędkość fali na strunie? (b) Podaj długość fali stojącej. (c) Ile wynosi okres fali stojącej? Jeden koniec struny jest zamocowany. Masa struny wynosi 0,0090 kg, a jej długość 3,00 m. Poddano ją naprężeniu 200,00 N. Struna jest wprawiana w drgania przez źródło o regulowanej częstotliwości tak, aby wzdłuż niej mogły powstawać fale stojące. Podaj długości fal i częstotliwości dla czterech pierwszych modów fali stojącej. λ 1 = 6,00 m , λ 2 = 3,00 m , λ 3 = 2,00 m , λ 4 = 1,50 m v = 258,20 m/s = λ f f 1 = 43,03 Hz , f 2 = 86,07 Hz , f 3 = 129,10 Hz , f 4 = 172,13 Hz Częstotliwości dwóch kolejnych modów fali na strunie wynoszą 258,36 Hz i 301,42 Hz. Jaka jest kolejna częstotliwość, większa niż 100,00 Hz, przy której powstaje fala stojąca? Struna o długości 3,50 m i liniowej gęstości masy μ = 0,005 kg/m jest zamocowana na obu końcach i poddana naprężeniu 90,00 N. Wzdłuż niej powstała fala stojąca mająca 6 węzłów i 5 strzałek. Ile wynoszą prędkość, długość, częstotliwość i okres fali stojącej? v = 134,16 ms , λ = 1,4 m , f = 95,83 Hz , T = 0,0104 s Falę sinusoidalną wytworzono wzdłuż struny o długości 1,5 m. Oba jej końce są zamocowane. Fala odbija się od punktów zamocowania. Amplituda wynosi 4,00 cm, a prędkość rozchodzenia się 175 m/s. Wzdłuż struny powstaje mod rezonansowy n = 6 . Napisz równanie fali stojącej dla tego przypadku. Zadania dodatkowe Ultrasonograf stosowany w medycynie wykorzystuje fale dźwiękowe o częstotliwościach niesłyszalnych dla człowieka. Jeśli częstotliwość wytwarzanego przez niego dźwięku wynosi f = 30 kHz, to jaka jest długość fali powstającej w kości, jeśli prędkość dźwięku w kości wynosi v = 3000 m/s? λ = 0,10 m Poniżej pokazano wykres funkcji falowej dla t = 0,00 s i t = 2,00 s . Linia przerywana prezentuje funkcję falową w chwili t = 0,00 s , a linia ciągła w chwili t = 2,00 s . Oblicz amplitudę, długość, prędkość i okres fali. Prędkość światła w powietrzu wynosi w przybliżeniu v = 3,00 ⋅ 10 8 m / s , a w szkle v = 2,00 ⋅ 10 8 m / s . Czerwone światło laserowe o długości λ = 633,00 nm pada na powierzchnię szkła, częściowo przechodząc do niego. Częstotliwość światła w powietrzu jest taka sama jak w szkle. (a) Jaka jest częstotliwość światła? (b) Ile wynosi długość fali światła w szkle? a. f = 4,74 ⋅ 10 14 H z ; b. λ = 422 nm Stacja radiowa nadaje fale radiowe o częstotliwości 101,7 MHz. Przemieszczają się one w powietrzu w przybliżeniu z prędkością równą prędkości światła w próżni. Ile wynosi długość fali radiowej? Plażowicz wchodzi do wody i zauważa, że sześć grzbietów periodycznej fali przepływa w ciągu 1 min. Odległość między grzbietami wynosi 16,00 m. Jaka jest długość fali, częstotliwość, okres i prędkość? λ = 16,00 m , f = 0,10 Hz , T = 10,00 s , v = 1,6 m/s Drgania kamertonu powodują powstanie dźwięku o częstotliwości 512 Hz. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi v = 343,00 m/s w temperaturze 20,00 ° C . Ile wynosi długość fali dźwiękowej ? Motorówka płynie w poprzek jeziora z prędkością v b = 15,00 m/s . Zawraca co 0,50 s, ponieważ płynie zawsze w kierunku przeciwnym do kierunku rozchodzenia się fali. Ile wynoszą prędkość i długość fali? λ = ( v b + v ) t b , v = 3,75 m/s, λ = 3,00 m Wykorzystaj liniowe równanie falowe dla pokazania, że prędkość fali opisanej funkcją falową y ( x , t ) = 0,20 m sin ( 3,00 m −1 x + 6,00 s −1 t ) wynosi v = 2,00 m/s . Ile wynosi długość i prędkość fali? Dane są funkcje falowe y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) i y 2 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) , gdzie ϕ ≠ π 2 . Wykaż, że y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) jest rozwiązaniem liniowego równania falowego, gdzie v = ω ∕ k v = \omega / k . ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ t 2 = − A ω 2 sin ( k x − ω t ) − A ω 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ x 2 = − A k 2 sin ( k x − ω t ) − A k 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 − A ω 2 sin ( k x − ω t ) − A ω 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) = ( 1 v 2 ) ( − A k 2 sin ( k x − ω t ) − A k 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) ) v = ω k Fala poprzeczna na strunie jest opisana równaniem falowym y ( x , t ) = 0,1 m sin ( 0,15 m −1 x + 1,5 s −1 t + 0,2 ) . (a) Oblicz prędkość fali. (b) Określ położenie na osi y , prędkość w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu fali oraz przyspieszenie w kierunku prostopadłym do ruchu fali odcinka struny, którego środek zajmuje położenie x = 0,40 m w chwili t = 5,0 s . Fal sinusoidalna biegnie wzdłuż naprężonej struny o liniowej gęstości masy równej μ = 0,060 kg/m . Wartość przyspieszenia fali w kierunku pionowym wynosi a y max = 0,90 cm/s 2 , a amplituda 0,40 m. Struna została poddana naprężeniu równemu F T = 600,00 N . Fala biegnie przeciwnie do zwrotu osi x . Napisz równanie fali. y ( x , t ) = 0,40 m sin ( 0,015 m −1 x + 1,5 s −1 t ) Fala poprzeczna na strunie ( μ = 0,0030 kg/m ) jest opisana równaniem y ( x , t ) = 0,30 m sin ( 2 π 4,00 m ( x − 16,00 m s t ) ) . Ile wynosi naprężenie struny? Fala poprzeczna na poziomej strunie ( μ = 0,0060 kg/m ) jest opisana równaniem y ( x , t ) = 0,30 m sin ( 2 π 4,00 m ( x − v w t ) ) . Strunę poddano naprężeniu 300,00 N. Jakie są: prędkość, liczba falowa i częstość kołowa fali? v = 223,61 m/s , k = 1,57 m −1 , ω = 142,43 s −1 Student wykorzystał dalmierz dźwiękowy, aby określić odległość od ściany. Urządzenie emituje fale dźwiękowe, które odbijają się od ściany i powracają. Droga tam i z powrotem jest pokonywana przez dźwięk w czasie 0,012 s. Dalmierz został skalibrowany w temperaturze pokojowej T = 20 ° C , ale temperatura podczas pomiaru wynosiła T = 23 ° C . Ile wynosi dokładność pomiaru odległości spowodowana kalibracją w takich warunkach? Fala na strunie jest wytwarzana przez oscylator, który wykonuje drgania o częstotliwości 100,00 Hz i amplitudzie 1,00 cm. Urządzenie jest zasilane napięciem 12,00 V i prądem o natężeniu 0,20 A oraz pobierana moc P = I V . Załóż, że oscylator zamienia energię elektryczną w energię drgań z wydajnością 90 % . Długość struny wynosi 3,00 m, a jej naprężenie 60,00 N. Ile wynosi liniowa gęstość masy? P = 1 2 A 2 ( 2 π f ) 2 μ F T μ = 2,00 ⋅ 10 − 4 k g / m Fala biegnąca wzdłuż struny jest opisana równaniem falowym y ( x , t ) = 3,00 cm sin ( 8,00 m −1 x + 100,00 s −1 t ) . Strunę o liniowej gęstości masy μ = 0,008 kg/m . poddano naprężeniu równemu 50,00 N. Jaka jest średnia moc, którą przenosi ta fala? Fala poprzeczna na strunie ma długość 5,0 m, okres 0,02 s i amplitudę 1,5 cm. Średnia moc przenoszona przez tę falę wynosi 5,00 W. Ile wynosi naprężenie struny? P = 1 2 μ A 2 ω 2 λ T , μ = 0,0018 kg/m (a) Jakie jest natężenie wiązki laserowej, używanej do zniszczenia tkanki nowotworowej, jeśli 90,0 % zaabsorbowanej fali dostarcza 500 J energii do powierzchni w kształcie koła o średnicy 2,00 mm w czasie 4,00 s? (b) Porównaj to natężenie z natężeniem światła słonecznego i zastanów się nad skutkami, jakie wystąpiłyby, gdyby światło laserowe o obliczonym natężeniu wpadło do oka. Zwróć uwagę, że rozwiązanie zależy od czasu ekspozycji. Rozważ dwie periodyczne funkcje falowe y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) i y 2 ( x t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) . (a) Dla jakich wartości ϕ fala, która powstanie w wyniku ich superpozycji, będzie miała amplitudę równą 2 A ? (b) Dla jakich wartości ϕ fala, która powstanie w wyniku superpozycji, będzie miała amplitudę równą zero? a. A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , cos ( ϕ 2 ) = 1 , ϕ = 0,2 π , 4 π ,... ; b. A R = 2 A cos ( ϕ 2 ) , cos ( ϕ 2 ) = 0 , ϕ = 0 , π , 3 π , 5 π ... Rozważ dwie periodyczne funkcje falowe y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) i y 2 ( x , t ) = A cos ( k x − ω t + ϕ ) . (a) Dla jakich wartości ϕ fala, która powstaje w wyniku ich superpozycji, ma amplitudę równą 2 A ? (b) Dla jakich wartości ϕ amplituda fali wypadkowej będzie równa zero? Dolina o wymiarach 10,00 m na 0,10 m na 0,10 m jest częściowo wypełniona wodą. Na obu jej końcach na powierzchni wody powstają fale o małych amplitudach, wytwarzane przez wiosła poruszające się prostym ruchem harmonicznym. Wychylenia fal są opisane przez równania falowe y 1 ( x , t ) = 0,3 m sin ( 4 m −1 x − 3 s −1 t ) i y 2 ( x , t ) = 0,3 m cos ( 4 m −1 x + 3 s −1 t − π 2 ) . Jakie jest równanie fali wypadkowej, która powstanie, gdy obie fale się spotkają, ale zanim dobiegną do brzegów doliny (należy założyć, że w dolinie są tylko dwie fale i pominąć odbicia)? Sprawdź poprawność obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym. (Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości sin ( u ± v ) = sin u cos v ± cos u sin v i cos ( u ± v ) = cos u cos v ∓ sin u sin v .) y R ( x , t ) = 0,6 m sin ( 4 m −1 x ) cos ( 3 s −1 t ) Sejsmograf rejestruje fale S i P wstrząsu odległe o 20,00 s od siebie. Jeśli obie fale biegną po tej samej drodze ze stałymi prędkościami v S = 4,00 km/s i v P = 7,50 km/s , to jak daleko znajduje się epicentrum wstrząsu? Rozważ poniższą sytuację. Klocek o masie 20,00 kg spoczywa na równi pochyłej. Pomiędzy nim a równią nie występuje tarcie. Kąt nachylenia równi wynosi 45 ° . Do klocka przytwierdzono strunę o liniowej gęstości masy μ = 0,025 kg/m . Przechodzi ona przez bloczek, wzdłuż którego porusza się bez tarcia. Do drugiego końca struny przymocowano odważnik o masie m . Układ znajduje się w stanie równowagi statycznej. Na strunie została wytworzona fala, która biegnie wzdłuż niej. (a) Ile wynosi masa odważnika m ? (b) Jaka jest prędkość fali na strunie? a. ( 1 ) F T − 20,00 kg ( 9,80 m/s 2 ) cos 45 ° = 0 ( 2 ) m ( 9,80 m/s 2 ) − F T = 0 m = 14,14 kg ; b. F T = 138,57 N v = 67,96 m/s Rozważ superpozycję trzech funkcji falowych y ( x , t ) = 3,00 cm sin ( 2 m −1 x − 3 s −1 t ) , y ( x , t ) = 3,00 cm sin ( 6 m −1 x + 3 s −1 t ) i y ( x , t ) = 3,00 cm sin ( 2 m −1 x − 4 s −1 t ) . Jakie jest wychylenie fali wypadkowej w punkcie x = 3,00 m w chwili t = 10,0 s? Struna ma masę 150 g i długość 3,4 m. Jeden jej koniec struny został przymocowany do ściany laboratorium, a drugi połączono ze sprężyną o stałej sprężystości równej k s = 100 N/m . Swobodny koniec sprężyny przytwierdzono do drugiej ściany. Naprężenie struny utrzymuje sprężyna. Odległość między ścianami jest taka, że sprężyna ulega rozciągnięciu o 2,00 cm. Struna została szarpnięta i wzdłuż niej przebiegł impuls. Jaka jest jego prędkość? F T = 12 N, v = 16,49 m/s Fala stojąca powstaje na strunie poddanej naprężeniu 70,0 N z dwóch identycznych sinusoidalnych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Struna jest zamocowana w punktach x = 0,00 m i x = 10,00 m . Węzły powstają w punktach x = 0,00 m, 2,00 m, 4,00 m, 6,00 m, 8,00 m i 10,00 m. Amplituda fali stojącej wynosi 3,00 cm. W ciągu 0,10 s strzałki wykonują jedno pełne drgnienie. (a) Jakie są długości obu fal sinusoidalnych, które utworzyły falę stojącą? (b) Ile wynoszą maksymalna prędkość i przyspieszenie struny w kierunku prostopadłym do ruchu fali poprzecznej w punktach, w których występują strzałki? Struna o długości 4 m i liniowej gęstości masy μ = 0,006 kg/m . jest poddana stałemu naprężeniu. Dwie częstotliwości rezonansowe struny wynoszą 400 Hz i 480 Hz, pomiędzy nimi nie występują żadne inne częstotliwości rezonansowe. (a) Jakie są długości fal tych dwóch modów rezonansowych? (b) Ile wynosi naprężenie struny? a. f n = n v 2 L , v = 2 L f n + 1 n + 1 , n + 1 n = 2 L f n + 1 2 L f n , 1 + 1 n = 1,2 , n = 5 λ n = 2 n L , λ 5 = 1,6 m , λ 6 = 1,33 m ; b. F T = 245,76 N Zadania trudniejsze Drut miedziany o promieniu 200 μm ma długość 5,0 m. Poddano go naprężeniu 3000 N i lekko rozciągnięto. Został szarpnięty i wzdłuż niego rozszedł się impuls. Jaka jest prędkość rozchodzenia się impulsu? Załóż, że podane warunki są niezmienne: ρ = 8,96 g / c m 3 , Y = 1,1 ⋅ 10 11 N / m . Impuls biegnie wzdłuż osi x i może być opisany funkcją falową y ( x , t ) = 4,00 m ⋅ e − ( x + ( 2,00 m / s ) ⋅ t 1,00 m ) 2 . (a) Jakie są kierunek i prędkość impulsu (b) Jaką drogę fala przebiegnie w czasie 3,00 s? (c) Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, narysuj wykres funkcji falowej w chwilach równych t = 0,00 s i t = 3,00 s . Sprawdź poprawność obliczeń w punkcie (b). a. Ruch w kierunku ujemnych wartości x z prędkością v = 2,00 m/s . b. Δ x = −6,00 m; c. Struna o liniowej gęstości masy μ = 0,0085 kg/m jest podparta na obu końcach. Odważnik o masie 5,0 kg został przymocowany do struny, jak pokazano poniżej. Jeśli impuls wytworzono wzdłuż odcinka A struny, to ile wynosi prędkość tego impulsu wzdłuż odcinka A , a ile wzdłuż odcinka B ? Rozważ dwie funkcje falowe y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) i y 2 ( x , t ) = A sin ( k x + ω t + ϕ ) . Podaj funkcję falową, która jest wynikiem interferencji tych dwóch fal. (Wskazówka: sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β i ϕ = ϕ 2 + ϕ 2 .) sin ( k x − ω t ) = sin ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) − cos ( k x + ϕ 2 ) sin ( ω t + ϕ 2 ) sin ( k x − ω t + ϕ ) = sin ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) + cos ( k x + ϕ 2 ) sin ( ω t + ϕ 2 ) sin ( k x − ω t ) + sin ( k x + ω t + ϕ ) = 2 sin ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) y R = 2 A sin ( k x + ϕ 2 ) cos ( ω t + ϕ 2 ) Funkcja falowa, opisująca falę stojącą ma postać y R ( x , t ) = 6,00 cm sin ( 3,00 m −1 x + 1,20 rad ) cos ( 6,00 s −1 t + 1,20 rad ) . Jakie są funkcje falowe fal, których interferencja prowadzi do powstania powyższej fali? Narysuj te dwie funkcje falowe i ich sumę dla chwili t = 1,00 s . Rozważ dwie funkcje falowe y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) i y 2 ( x , t ) = A sin ( k x + ω t + ϕ ) . Funkcja falowa fali wypadkowej, która powstanie po ich dodaniu ma postać y R = 2 A sin  ( k x + ϕ / 2 ) cos  ( ω t + ϕ / 2 ) . Rozważ przypadek dla A = 0,03 m −1 , k = 1,26 m −1 , ω = π s −1 i ϕ = π / 10 . (a) Gdzie znajdują się trzy pierwsze węzły fali stojącej, która od punktu zero biegnie w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x ? (b) Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, narysuj wykresy tych dwóch funkcji falowych i funkcji falowej fali wypadkowej dla chwili t = 1,00 s . sin ( k x + ϕ 2 ) = 0 , k x + ϕ 2 = 0 , π , 2 π , 1,26 m −1 x + π 20 = π , 2 π , 3 π x = 2,37 m , 4,86 m , 7,35 m ; strzałka (ang. antinode ) punkt, w którym amplituda fali stojącej jest maksymalna częstotliwość podstawowa (ang. fundamental frequency ) najniższa częstotliwość, która może wygenerować falę stojącą węzeł (ang. node ) punkt, w którym struna jest nieruchoma czyli, węzły są punktami, w których wychylenia fali stojącej wynoszą zero mod podstawowy (ang. normal mode ) najprostsza możliwa konfiguracja fali stojącej na strunie nadton (ang. overtone ) częstotliwość, która generuje falę stojącą, wyższa niż częstotliwość podstawowa fala stojąca (ang. standing wave ) fala, która odbija się tam i z powrotem w ograniczonej przestrzeni

Science


Wstęp Słuch jest ważnym ludzkim zmysłem, który pozwala słyszeć dźwięki w zakresie częstotliwości od 20 Hz do 20 kHz. Jednak inne żywe gatunki mają bardzo różne zakresy słyszenia. Na przykład nietoperze emitują dźwięki w paśmie ultradźwiękowym powyżej 20 kHz. Mogą one wykrywać okoliczne owady dzięki słyszeniu echa odbitego od obiektów (echolokacja). Ultradźwięki są ważne w wielu zastosowaniach, w tym do wykrywania wewnętrznych struktur ludzkiego ciała. Ultradźwięki są również użyteczne w przemyśle spożywczym do nieinwazyjnego badania jakości żywności (Źródło: modyfikacja pracy Angella Williamsa) Dźwięk jest przykładem fali mechanicznej, drganiem cząstek (na przykład cząsteczek powietrza), które można odczuć jako zmiany ciśnienia. Fala dźwiękowa przemieszcza się w powietrzu i w innych ośrodkach jako drgania cząstek. Normalny słuch ludzki obejmuje imponujący zakres częstotliwości od 20 Hz do 20 kHz. Dźwięki poniżej 20 Hz nazywane są infradźwiękami, natomiast dźwięki o częstotliwościach powyżej 20 kHz – ultradźwiękami. Niektóre zwierzęta, takie jak np. nietoperz pokazany na , mogą słyszeć dźwięki w zakresie ultradźwięków. Wiele pojęć omówionych w rozdziale Fale ma również zastosowanie w badaniach nad dźwiękiem. Na przykład, gdy fala napotyka na swojej drodze granicę dwóch ośrodków, w których dźwięk rozchodzi się z różnymi prędkościami, następuje odbicie i załamanie fali. Ultradźwięki mają wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki, techniki i medycyny. Ultradźwięki stosuje się między innymi w przemyśle, do badania grubości powłok materiałowych bez ich uszkadzania, czy w medycynie, do obrazowania płodu w łonie matki bez stwarzania zagrożenia dla zdrowia. W późniejszej części tego rozdziału omówiono efekt Dopplera, który może być wykorzystany do określenia prędkości przepływu krwi w tętnicy i mierzenia prędkości wiatru w systemach pogodowych.

Science