Pojęcie siły Kinematyka, zajmująca się matematycznym opisem ruchu, jest bardzo ważnym działem fizyki. Jednakże obejmuje ona wyłącznie opis ruchu ciała z uwzględnieniem funkcji położenia, prędkości i przyspieszenia. Dynamika (ang. dynamics ) z kolei jest działem fizyki pozwalającym na pełny opis ruchu ciała, rozważa przyczyny tego ruchu i analizuje siły działające na ciało w danym układzie. Do najważniejszych praw z zakresu dynamiki należą trzy zasady dynamiki, sformułowane przez Isaaca Newtona (1642–1727, ). Zasady te stanowią doskonały przykład uniwersalności i prostoty praw, które panują w przyrodzie i znajdują zastosowanie we wszystkich przypadkach ruchu, zarówno na Ziemi, jak i w kosmosie. Sformułowanie przez Newtona trzech zasad dynamiki było jednym z jego największych osiągnięć i przyczyniło się do jego wielkiej sławy w świecie nauki. Okres, w którym Newton opracował zasady dynamiki, uznawany jest za początek nowożytnej nauki. Dopiero dokonania fizyki współczesnej pokazują, iż prawa newtonowskie pozwalają tylko na opis ruchu ciał poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła, o rozmiarach znacząco większych niż rząd wielkości rozmiarów molekuł (około 10 − 9 m średnicy). Ograniczenia te determinują zakres stosowalności praw mechaniki klasycznej, podanych przez Newtona. Na początku XX wieku Albert Einstein (1879–1955) sformułował postulaty szczególnej teorii względności oraz, z udziałem wielu innych wielkich uczonych, prawa mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa pozwala na analizę układów bez ograniczeń znanych z klasycznej mechaniki newtonowskiej. Problematyka poruszona w niniejszym rozdziale oraz wszystkie te zagadnienia sprzed opracowania teorii względności, opisanej w rozdziale Teoria względności , dotyczą mechaniki opisanej przez Isaaca Newtona. Isaac Newton (1642–1727) opublikował swoją nadzwyczajną pracę Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w roku 1687. Zaproponował w niej pewne prawa, które po dziś dzień pozwalają na pełen opis ruchu ciał. Ponadto Newton przyczynił się do rozwoju teorii grawitacji oraz teorii opisujących zachowanie się światła i jego barw. Operacyjna definicja siły Dynamika pozwala na opis sił i, w konsekwencji, przyczyn ruchu ciał w przyrodzie. Aby lepiej objaśnić to zagadnienie, należy wprowadzić podstawową definicję siły. Pomóc w zrozumieniu pojęcia siły może wyobrażenie sobie dość prostej sytuacji, w której raz ciągniemy, a raz pchamy jakieś ciało. Czynności te można opisać, podając wielkość (wartość) oraz kierunek przyłożonej do ciała siły. Widać stąd, że mamy do czynienia z wektorem. Możemy więc zdefiniować siłę jako ilościowy opis czynności pchania lub ciągnięcia pewnego obiektu, uwzględniający odpowiednie cechy, takie jak wielkość przyłożonej siły bądź jej kierunek. Siła opisywana jest jako wektor lub jako wielokrotność pewnej siły jednostkowej. W przypadku czynności popychania bądź ciągnięcia ciała rozpatrywać należy wielkość przyłożonej siły oraz jej kierunek. Dla przykładu, działo wywiera ogromną siłę na wystrzeliwany w powietrze pocisk, w przeciwieństwie natomiast Ziemia wywiera bardzo niewielki nacisk na żyjącą na niej pchłę. Nasze codziennie doświadczenia pozwalają nam zrozumieć, jak wiele sił nas otacza. Gdy dwoje ludzi popycha trzeciego człowieka w różnych kierunkach, jak to pokazano na , całkowita siła będzie miała kierunek zgodny z tym oznaczonym jako F → wyp – siła wypadkowa. Siły, jak wszystkie wektory, oznaczane są jako strzałki, a ich dodawanie można wykonać za pomocą klasycznej metody dodawania geometrycznego wektorów lub z użyciem odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Zagadnienia te poruszono w rozdziale Wektory . (a) Schemat ukazujący sytuację, w której dwie łyżwiarki popychają trzecią. Siły przedstawione są oczywiście jako wektory oznaczone odpowiednio jako F → 1 i F → 2 , stąd też ich sumę stanowi wektor F → wyp . (b) Rysunek przedstawiający rozkład sił działających na trzecią łyżwiarkę. (b) ukazuje po raz pierwszy w niniejszym rozdziale diagram przedstawiający rozkład sił działających na ciało (ang. free body diagram ), uwzględniający wszystkie siły działające na analizowany obiekt. Jak widać, ciało przedstawiono jako pojedynczy punkt, do którego przyłożono siły, będące siłami zewnętrznymi (ang. external force ). Jedynie siły zewnętrzne są przyczyną ruchu danego obiektu. Wszelkie siły wewnętrzne w układzie są w tym przypadku zaniedbywane. Wyżej wspomniane siły zewnętrzne są wielkościami wektorowymi, mającymi zwrot od punktu przyłożenia analizowanego ciała na zewnątrz. Rysunki pokazujące rozkłady sił działających na ciała są niezwykle użyteczne w przypadku analizowania tych sił. Są szeroko stosowane w celu zrozumienia podstawowych praw dynamiki Newtona. Z pewnością spotkasz się z tego typu diagramami podczas studiowania zarówno tego rozdziału, jak i wielu innych działów fizyki. Schemat tworzenia tego typu diagramów z pewnością wyjaśni omówienie kilku podstawowych kroków. Przeanalizujemy to zagadnienie dokładniej w podrozdziale Rozkłady sił działających na ciało . Wskazówka dotycząca zagadnienia: Rozkład sił działających na ciało Narysuj obiekt, który analizujesz. Twój obiekt możesz potraktować jako punkt materialny, reprezentujący środek masy. Następnie umieść ten punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych x y . Przeanalizuj wszystkie możliwe siły działające na ciało, rysując je jako wektory z punktem przyłożenia w środku masy (w punkcie materialnym). Nie uwzględniaj jednak na rysunku siły wypadkowej oraz sił wywieranych przez obiekt na jego otoczenie. Rozłóż naniesione na diagram wektory sił na składowe wzdłuż odpowiednich osi układu współrzędnych x i y . Narysuj według omówionego schematu osobno rozkład sił działających na każde ciało w układzie. Przedstawmy powyższą strategię sporządzania diagramów z rozkładem sił działających na ciało ( ). Niektóre pojęcia użyte na poniższym rysunku zostaną bardziej szczegółowo opisane w dalszej części rozdziału. Na powyższym rysunku R → oznacza siłę reakcji podłoża, Q → to siła ciężkości, natomiast jako T → oznaczono siłę tarcia. Opisane powyżej kroki są w zupełności wystarczające, aby nauczyć cię rozwiązywania zagadnień związanych z rozkładem sił działających na ciało. Ostatnia część tego rozdziału wyjaśnia bardziej szczegółowo, jak rysować diagramy działających sił, co jest przydatne podczas rozwiązywania zadań rachunkowych. Dokładniejsza analiza pojęcia siły Siłę można zdefiniować ilościowo, posługując się wzorcem (jednostką) siły, tak jak odległość mierzona jest w jednostkach odnoszących się do pewnego ustalonego wzorca. Jedną z możliwości tego typu definicji siły jest rozciągnięcie sprężyny na pewną ustaloną odległość ( ) i przyjęcie siły powodującej powrót sprężyny do położenia równowagi za wzorzec siły. Wielkość wszystkich innych sił można wyrazić jako wielokrotność tego wzorca siły. Istnieje wiele innych możliwości i metod określenia jednostek siły. W dalszej części tego podrozdziału zostaną przedstawione inne alternatywne definicje siły. Siła wywierana przez rozciągniętą sprężynę może być uznana za wzorzec siły. (a) Sprężyna w stanie spoczynku, nierozciągnięta, ma długość x . (b) Po rozciągnięciu sprężyny o długość Δ x pojawia się siła F → r powodująca jej powrót do położenia równowagi. (c) Waga sprężynowa jako urządzenie pozwalające na zdefiniowanie wzorca siły. Siła F → r wywierana jest przez element przymocowany do haka. W sytuacji przedstawionej na rysunku siła ma wielkość sześciu jednostek (jest sześciokrotnością wzorca). Spróbujmy przeanalizować pojęcie siły nieco dokładniej. Wyobraźmy sobie sytuację, w której student fizyki siedzi przy stole, pracując ciężko nad zadaniem domowym ( ). Jak myślisz, jakie siły zewnętrzne działają na niego? Czy możemy poznać źródło tych sił? (a) Widoczne na rysunku siły działające na studenta wynikają głównie z jego oddziaływania z krzesłem, stołem i podłogą oraz z natury przyciągania grawitacyjnego. (b) Aby dobrze przeanalizować problem fizyczny z udziałem studenta, warto rozważyć wszystkie siły działające wzdłuż linii biegnącej przez jego tułów. Na rysunku pokazano dodatkowo rozkład sił działających na studenta. W większości sytuacji siły można podzielić na dwie grupy: siły kontaktowe i siły wynikające z działania pól zewnętrznych . Jak się łatwo domyślić, siły kontaktowe powstają przy bezpośrednim kontakcie rozpatrywanych ciał. Należy jednak pamiętać, że podział ten nie jest ścisły, bowiem siły kontaktowe wynikają głównie z oddziaływania elektromagnetycznego między atomami. Siły te oddziałują na obiekty poprzez zewnętrzne pole. Jednak dzięki temu podziałowi łatwiej będzie nam zrozumieć pojęcie siły. Dla przykładu, student na doświadcza działania sił kontaktowych, oznaczonych jako R → , F → oraz T → , które wywierane są przez stół na jego ręce, przez podłogę na jego stopy oraz przez krzesło na jego tułów. Na ciało mogą również działać siły związane z obecnością pola w obszarze, w którym znajduje się analizowany obiekt. W odróżnieniu od sił kontaktowych, siły wynikające z obecności pola nie wymagają bezpośredniego, fizycznego kontaktu z innym ciałem. Dopóki student znajduje się w obszarze ziemskiego pola grawitacyjnego, działa na niego siła ciężkości Q → . Wspomniane „pole” traktować można jako pewną właściwość przestrzeni, objawiającą się w formie sił, które w nim działają. Naukowcy twierdzą, że w naturze istnieją jedynie cztery rodzaje pól. Mowa tutaj o polu grawitacyjnym, elektromagnetycznym, oraz polach oddziaływań silnych (sił jądrowych) i słabych. Pola te omówione zostaną szerzej w dalszej części niniejszego podręcznika. Jak widać, siła ciężkości Q → na wynika z obecności pola grawitacyjnego. Dzięki temu polu zdefiniować można pojęcie ciężaru (ang. weight ) ciała. Siły działające w obecności pół elektromagnetycznych to głównie siły oddziaływań elektrostatycznych lub siły magnetyczne. Odpowiadają one m.in. za oddziaływania atomów w ciele stałym. Siły jądrowe i siły oddziaływań słabych są dominujące jedynie przy odległościach rzędu ( 10 − 15 m ). Ich zasięg jest tak mały, że żadne pole przez nie wywołane nie ma wpływu na makroskopowy świat mechaniki newtonowskiej. Siły kontaktowe są z reguły natury elektromagnetycznej. Podczas gdy łokieć studenta na pozostaje w kontakcie z blatem stołu, atomy skóry jego łokcia oddziałują elektromagnetycznie z atomami blatu stołu. Siła wypadkowa owego oddziaływania to widoczna na powyższym rysunku siła T → . Podobnie podczas przyklejania taśmy klejącej do kartki papieru atomy taśmy „przeplatają” się z tymi znajdującymi się w kartce papieru, czego skutkiem jest oddziaływanie elektromagnetyczne pomiędzy dwoma obiektami. Jednakże z punktu widzenia klasycznej mechaniki newtonowskiej natura oddziaływań elektromagnetycznych przy analizowaniu sił kontaktowych nie odgrywa istotnej roli. Siła jako wektor Jak wcześniej wspomniano, siła jest wielkością wektorową. Posiada wartość, kierunek i zwrot. Jednostką siły w układzie SI jest niuton (ang. newton ), oznaczany jako N. Siła 1 N jest to siła potrzebna, aby ciału o masie 1 kg nadać przyspieszenie 1 m/s 2 : 1 N = 1 kg ⋅ m/s 2 . Łatwo zapamiętać, czym jest niuton, utożsamiając taką wartość z ciężarem jabłka ( Q wynosi wówczas około 1 N). Niech siła działająca w przestrzeni dwuwymiarowej ma postać ogólną: F → = a i ^ + b j ^ , gdzie wektory i ^ i j ^ są tzw. wersorami (wektorami jednostkowymi) w kierunkach odpowiednio x i y . Z kolei w przestrzeni trójwymiarowej siła ma postać ogólną F → = a i ^ + b j ^ + c k ^ . Załóżmy, że pierwsza łyżwiarka na , znajdująca się po lewej stronie, pcha trzecią łyżwiarkę w kierunku poziomym, działając siłą 30,0 N w prawo. Oznaczmy tę siłę jako F → 1 = 30,0 i ^ N . Analogicznie, jeżeli druga łyżwiarka, znajdujący się z kolei po prawej stronie, pcha trzecią łyżwiarkę z siłą 40,0 N w kierunku pionowym (jak na rysunku), siłę tę oznaczmy jako F → 2 = 40,0 j ^ N . W rezultacie działania dwóch sił zewnętrznych trzecia łyżwiarka doznaje pewnego przyspieszenia. Wynikiem działania wyżej wymienionych sił zewnętrznych jest siła wypadkowa F → wyp , definiowana jako suma wektorowa wszystkich sił działających na ciało. Stąd też często można spotkać się z zapisem ∑ F → . F → wyp = ∑ F → = F → 1 + F → 2 + . . . Równanie to można stosować w stosunku do dowolnej liczby sił. Analizując dalej przykład dotyczący łyżwiarki, widzimy, że siła wypadkowa na nią działająca wynosi F → wyp = ∑ F → = F → 1 + F → 2 = ( 30,0 i ^ + 40,0 j ^ ) N . Przeciwprostokątna w trójkącie sił na jest właśnie wektorem siły wypadkowej. W celu znalezienia jej wartości (długości wektora siły wypadkowej) należy posłużyć się regułami opisanymi szerzej w rozdziale Wektory i obliczyć ją jako pierwiastek z sumy kwadratów poszczególnych działających sił zewnętrznych: F wyp = ( 30,0 N ) 2 + ( 40,0 N ) 2 = 50,0 N . Kierunek siły wypadkowej może określony być poprzez odpowiedni kąt: θ = arc tg F 2 F 1 = arc tg 40,0 30,0 = 53,1 °  , \theta = \arctg (\frac{F_2}{F_1}) = \arctg (\frac{\num{40,0}}{\num{30,0}}) = \ang{53,1} \text{,} mierzony względem dodatniej półosi x , jak to pokazano na (b) obrazującej rozkład sił działających na łyżwiarkę. Załóżmy, że w tym momencie dwie łyżwiarki działają na trzecią siłami odpowiednio F → 1 = ( 3,0 i ^ + 8,0 j ^ ) N i F → 2 = ( 5,0 i ^ + 4,0 j ^ ) N . Jaki jest wynik tego oddziaływania? Jaka jest siła wypadkowa? W celu obliczenia tej siły musimy posłużyć się regułami dodawania wektorów: F → wyp = F → 1 + F → 2 = ( 3,0 i ^ + 8,0 j ^ ) + ( 5,0 i ^ + 4,0 j ^ ) = ( 8,0 i ^ + 12,0 j ^ ) N. Sprawdź, czy rozumiesz. Znajdź wartość i kierunek siły wypadkowej działającej na łyżwiarkę w wyżej opisanym przypadku. 14 N , kąt 56 ∘ mierzony względem dodatniej półosi x Zapoznaj się z materiałem multimedialnym w celu dokładniejszego zrozumienia zagadnienia dodawania wektorów. Narysuj wektory na wykresie, modyfikuj ich długość i kąt między osiami i spróbuj je dodać. Wartość, kąt oraz poszczególne składowe wektorów mogą być wyświetlane w kilku formatach. Podsumowanie Dynamika to dział fizyki zajmujący się wyjaśnieniem, jak działające siły wpływają na ruch ciał, podczas gdy kinematyka jedynie opisuje z matematycznego punktu widzenia parametry ruchu. Siła może być związana z pchaniem lub ciągnięciem ciała, definiowana może być na wiele sposobów. Jest wielkością wektorową, ma więc kierunek, zwrot i długość. Siły zewnętrzne to dowolne siły z zewnątrz układu, działające na dany obiekt. Diagram ilustrujący rozkład sił działających na ciało pozwala na przejrzystą ich analizę. Jednostką siły w układzie SI jest niuton (1 N). Pytania Jakie własności można przypisać sile, aby móc potraktować ją jako wektor? Siła ma określony kierunek i wartość. Zadania Do drzewa przymocowano dwie liny i przyłożono do nich dwie siły działające w jednej płaszczyźnie: F → 1 = ( 2,0 i ^ + 4,0 j ^ ) N i F → 2 = ( 3,0 i ^ + 6,0 j ^ ) N . (a) Znaleźć siłę wypadkową w opisanym układzie; (b) Znaleźć wartość i kierunek siły wypadkowej. F → wyp = ( 5,0 i ^ + 10,0 j ^ ) N ; wartość siły wypadkowej to F wyp = 11 N , a jej kąt w stosunku do dodatniej półosi x to θ = 63 ∘ . Na słup telefoniczny działają trzy siły pochodzące od kabli przesyłowych do niego przymocowanych. Sytuację przedstawiono na poniższym rysunku. Są to siły wynoszące odpowiednio F → 1 = ( 300,0 i ^ + 500,0 j ^ ) , F → 2 = − 200,0 i ^ i F → 3 = − 800,0 j ^ . (a) Znaleźć siłę wypadkową działającą na słup; (b) Znaleźć kierunek i wartość siły wypadkowej. Dwoje nastolatków ciągnie liny przymocowane do drzewa. Kąt pomiędzy linami wynosi 30 , 0 ∘ . Dawid ciągnie linę, działając siłą o wartości 400,0 N, natomiast Stefania działa siłą o nieco mniejszej wartości: 300,0 N. Znaleźć siłę wypadkową w opisanym układzie w postaci jej składowych. Znaleźć wartości wartość siły wypadkowej działającej na drzewo oraz kąt, który tworzy ona z liną Dawida. Wektor siły wypadkowej to F → wyp = ( 660,0 i ^ + 150,0 j ^ ) N ; wartość siły wypadkowej wynosi F → wyp = 676,6 N , a jej kąt względem liny Dawida to θ = 12 , 8 ∘ . dynamika (ang. dynamics ) dział mechaniki zajmujący się opisem ruchu ciał pod działaniem sił siła zewnętrzna (ang. external force ) siła działająca na obiekt spoza przyjętego do analizy układu siła (ang. force ) wielkość fizyczna będąca miarą oddziaływań fizycznych między obiektami; jest wielkością wektorową, może być opisana jako wielokrotność odpowiednio zdefiniowanej jednostki i wzorca rozkład sił działających na ciało (ang. free body diagram ) rysunek zawierający wszystkie siły zewnętrzne działające na dany obiekt; z reguły obiekt obrazuje się jako punkt, a siły na niego działające jako wektory o odpowiednim zwrocie, kierunku i długości siła wypadkowa (ang. net external force ) suma wektorowa wszystkich sił działających na ciało niuton (ang. newton ) jednostka siły w układzie SI; 1 N to siła, która obiektowi o masie 1 kg nadaje przyspieszenie o wartości 1 m/s 2

Science


Pierwsza zasada dynamiki Newtona Obserwacje z życia codziennego wskazują, że spoczywające ciała pozostają w spoczynku, jeśli nie zostaną poddane jakiemuś działaniu, natomiast ciała będące w ruchu mają tendencje do zwolnienia i zatrzymania się, chyba że pojawi się jakaś zewnętrzna przyczyna, która utrzyma je w ruchu. Pierwsza zasada dynamiki Newtona (pierwsze prawo Newtona, prawo bezwładności) pozwoli nam lepiej zrozumieć te spostrzeżenia. Pierwsza zasada dynamiki Newtona Jeśli w pewnym układzie odniesienia ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, to na ciało to nie działają żadne siły lub wszystkie siły się równoważą. Taki układ odniesienia nazywamy inercjalnym. Zwróć uwagę na dość często powtarzający się czasownik „pozostaje”. Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi o zachowaniu (niezmienność) ruchu ciał. Trzeba właściwie rozumieć pojęcie „stałej prędkości”. Oznacza ono, że obiekt utrzymuje stały charakter swojego ruchu, ponieważ nie ulega zmianie ani wartość, ani kierunek jego prędkości. Pierwsze prawo Newtona częściowo obrazuje . (a) Rysunek przedstawia kij oraz krążek hokejowy. Jak widać, krążek pozostaje w spoczynku. Pozostaje w takim stanie dopóki nie pojawi się zewnętrzna siła, np. pochodząca od kija hokejowego, która nada mu prędkość. (b) Na rysunku tym pokazano krążek hokejowy podczas jego ruchu. Krążek kontynuuje ruch wzdłuż jednej prostej (ruch prostoliniowy) tak długo, dopóki nie pojawi się siła zewnętrzna powodująca zmianę jego prędkości. W tym przypadku, pomimo że siła tarcia krążka o lód jest stosunkowo niewielka, z czasem spowoduje jednak spowolnienie krążka. Pierwsza zasada dynamiki Newtona nie przeczy doświadczeniu, lecz stwierdza, że musi istnieć przyczyna jakiejkolwiek zmiany prędkości (zmiana wartości prędkości lub jej kierunku). Przyczyną tą jest zewnętrzna siła, którą zdefiniowaliśmy w poprzednim podrozdziale. Zauważmy, że obiekt przesuwający się po stole lub podłodze zwalnia z powodu istnienia w układzie siły tarcia działającej na ten przedmiot. Jeśli zjawisko tarcia zniknie, czy obiekt nadal będzie zwalniał? Pojęcie „przyczyny” i „skutku” ruchu ma kluczowe znaczenie przy dokładnym opisie tego, co dzieje się w różnych sytuacjach fizycznych. W tym celu warto rozważyć, co dzieje się z obiektem poruszającym się wzdłuż szorstkiej, poziomej powierzchni. Na powierzchni bardzo szorstkiej, obiekt zapewne bardzo szybko się zatrzyma. Jeśli natomiast rozpylimy na tej powierzchni talk, aby powierzchnia była znacznie gładsza, obiekt ten będzie przesuwał się dużo dalej. Idąc tym tropem, jeśli sprawimy, że powierzchnia stanie się bardziej gładka, na przykład smarując ją olejem, analizowany obiekt przesunie się dużo dalej niż w dwóch poprzednich sytuacjach. Stosując takie podejście w stosunku do powierzchni, na której tarcie jest zupełnie pomijalne, oraz ignorując wpływ sił oporu powietrza, możemy stwierdzić, że będzie się obiekt przesuwać wzdłuż linii prostej przez nieskończony czas. Zatem widać, że zjawisko tarcia jest przyczyną zwalniania ciał – zgodnie z pierwszym prawem Newtona. Obiekt na stole nie zatrzymałby się nigdy, gdyby tarcie zostało całkowicie wyeliminowane. Rozpatrzmy stół do gry w cymbergaja ( ). Gdy przepływ powietrza jest wyłączony, krążek znajdujący się na nim potrafi przebyć niewielką drogę, zanim tarcie spowoduje jego całkowite zatrzymanie się. Jednakże w obecności strumienia powietrza na blacie stołu mamy niemal pozbawioną tarcia powierzchnię, a krążek potrafi ślizgać się na bardzo duże odległości bez znaczących spowolnień wywołanych tarciem. Ponadto jeśli wiemy wystarczająco dużo na temat występującego na stole zjawiska tarcia, możemy dokładnie przewidzieć, jak szybko krążek zwolni bądź całkowicie się zatrzyma. Analiza gry w cymbergaja jest bardzo przydatna w celu zilustrowania zasad dynamiki Newtona. Bez strumienia powietrza zjawisko tarcia szybko spowalnia ruch krążka. Jednak gdy strumień powietrza zostanie włączony, kontakt pomiędzy krążkiem a stołem zostaje zminimalizowany – wówczas krążek może ślizgać się po stole na duże odległości. Pierwsza zasada dynamiki Newtona jest uniwersalnym prawem fizyki, znajdującym zastosowanie wszędzie, począwszy od obiektu poruszającego się po stole, poprzez satelitę krążącego na orbicie, a skończywszy na krwi wypompowywanej z serca. Na podstawie wielu różnych eksperymentów wykazano, że każda zmiana prędkości (jej wartości bądź kierunku) musi być spowodowana przez działanie siły zewnętrznej. Koncepcja powszechnie obowiązujących praw fizyki jest niezwykle ważna. Uniwersalność ich stosowania stanowi podstawową cechę wszystkich praw fizyki. Identyfikacja tychże praw jest niczym rozpoznawanie różnych wzorów panujących w naturze, na podstawie których możliwe jest odkrywanie następnych zasad. Włoski fizyk i astronom Galileusz, który jako pierwszy podjął ideę pierwszego prawa dynamiki Newtona, a następnie sam Newton, który to prawo doprecyzował, zadawali sobie podczas swoich prac badawczych fundamentalne pytanie: „Czym jest przyczyna?” Myślenie w kategoriach przyczyny i skutku zasadniczo różni się od podejścia do nauki powszechnego w starożytności, zwłaszcza w Grecji. Na pytanie: „Dlaczego tygrys ma paski?”, Arystoteles odpowiedziałby po prostu: „Bo taka jest natura tej bestii!”. Styl myślenia polegający na analizie zagadnień pod względem ich przyczynowości i skutkowości stanowi cenną zdolność do łączenia i wiązania obserwowanych zachowań z otaczającym światem. Grawitacja i bezwładność Niezależnie od skali analizowanego obiektu – czy są to cząsteczki, czy też cząstki subatomowe – dwa pojęcia pozostają niezwykle ważne: grawitacja oraz bezwładność. Oba te pojęcia wiążą się ściśle z masą obiektu. Masa jest miarą ilości materii zawartej w danym obiekcie fizycznym. Grawitacja to oddziaływanie obserwowane w obecności pól grawitacyjnych, przejawiające się jako przyciąganie jednej masy przez drugą. Ona właśnie sprawia, że człowiek może stąpać po powierzchni Ziemi. Miarą tego oddziaływania jest siła, nazywana ciężarem bądź siłą ciężkości. Pojęcie masy jest również mocno związane z bezwładnością (ang. inertia ), czyli zdolnością ciał do przeciwstawiania się zmianom w ich ruchu. Ciało dąży do zachowania stanu spoczynku – próbuje „oprzeć się” przyspieszeniom. Pierwsze prawo Newtona nazywane jest często prawem bezwładności . Wiadomo, że niektóre obiekty cechują się większą bezwładnością niż inne. Znacznie trudniej jest zmienić bądź zatrzymać ruch dużych, ciężkich głazów niż piłki do gry w koszykówkę. Dzieje się tak, ponieważ głaz ma znacznie większą masę niż piłka do koszykówki. Innymi słowy, bezwładność danego obiektu fizycznego może być mierzona poprzez jego masę. Związek między masą ciała a jego ciężarem opisana zostanie w dalszej części niniejszego rozdziału. Inercjalne układy odniesienia Pierwsze prawo Newtona mówi zatem, że: „Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym”. W ujęciu mechaniki newtonowskiej „ruch jednostajny prostoliniowy” oznacza ruch z pewną stałą prędkością, niezależną od czasu. W szczególnym przypadku może to być prędkość zerowa, czyli stan spoczynku danego ciała. Pierwsza zasada dynamiki Newtona stwierdza zatem, że prędkość obiektu pozostaje stała, jeśli działająca na ten obiekt siła wypadkowa wynosi 0. Pierwsza zasada dynamiki Newtona znajduje zastosowanie przy analizowaniu różnych typów układów odniesienia. Dzięki znajomości tej zasady można precyzyjnie zdefiniować tzw. inercjalny układ odniesienia (ang. inertial reference frame ). W zasadzie można doprowadzić do sytuacji, w której siła wypadkowa działająca na ciało jest równa zero. Jeśli prędkość danego ciała względem przyjętego układu odniesienia jest wtedy stała, to układ taki przyjęło się nazywać inercjalnym. Z definicji, inercjalny układ odniesienia to układ, w którym spełnione jest pierwsze prawo Newtona. Pierwsze prawo Newtona dotyczy ruchu ze stałej prędkością. Z tego faktu wywnioskować możemy następujące stwierdzenie: Inercjalny układ odniesienia Układ odniesienia poruszający się ze stałą prędkością względem pewnego układu inercjalnego jest również układem inercjalnym. Układ odniesienia poruszający się z przyspieszeniem względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia nie jest inercjalny. Czy inercjalne układy odniesienia są w naturze często spotykane? Okazuje się, że – w granicach niepewności pomiarowej – dowolny układ odniesienia, który pozostaje w spoczynku względem tzw. gwiazd stałych, czyli najbardziej odległych od Ziemi, jest inercjalny. Ponadto wszystkie układy odniesienia poruszające się jednostajnie względem układu związanego z gwiazdami stałymi są również inercjalne. Na przykład nieobracający się układ odniesienia związany ze Słońcem jest inercjalny, ponieważ jego prędkość względem gwiazd stałych nie zmienia się bardziej niż o 1 / 10 10 . Ziemia względem gwiazd stałych posiada pewne przyspieszenie, ponieważ obraca się wokół własnej osi oraz obraca się wokół Słońca. Zatem układ odniesienia związany z powierzchnią Ziemi nie jest już inercjalny. Jednak w przypadku większości zagadnień taki układ odniesienia można w przybliżeniu uznać za inercjalny, ponieważ przyspieszenie punktu znajdującego się na powierzchni Ziemi jest raczej niewielkie względem gwiazd stałych ( < 3,4 ⋅ 10 − 2 m/s 2 ). Dlatego też, jeśli nie zostanie zaznaczone inaczej, układ odniesienia związany z Ziemią będziemy uważać za inercjalny. Nie można uznać, że jeden konkretny typ układu odniesienia ma większe znaczenie niż inne. Dopóki analizuje się niepodważalne prawa przyrody, wszystkie inercjalne układy odniesienia są równoważne. Analizując zagadnienie, wybieramy inercjalny układ odniesienia, najdogodniejszy do rozwiązania danego problemu. Równowaga sił w układzie Pierwsze prawo Newtona mówi nam o stanie równowagi w danym układzie, w którym wszystkie siły działające na obiekty są zrównoważone. Wróćmy jeszcze do analizowanego w rozdziale Pojęcie siły przykładu łyżwiarki popychanej przez dwie pozostałe ( ). Wiemy, że siły F → 1 i F → 2 po dodaniu tworzą siłę wypadkową działającą na łyżwiarkę: F → R = F → wyp = F → 1 + F → 2 . W celu wytworzenia stanu równowagi w tym układzie należy przyłożyć do łyżwiarki taką siłę, aby siła wypadkowa na nią działająca się wyzerowała. Wartość tej siły musi być taka sama jak siły wypadkowej, lecz jej zwrot powinien być przeciwny do F → wyp , siła ta to zatem − F → wyp . W sytuacji łyżwiarki siły wypadkowa F → wyp wynosi ( 30,0 i ^ + 40,0 j ^ ) N . Zatem siła równoważąca siłę wypadkową powinna mieć postać − F → R = ( − 30,0 i ^ − 40,0 j ^ ) N . W zapisie wektorowym pierwsze prawo Newtona ma następującą postać: v → = const., gdy F → wyp = 0 → N . Powyższe równanie oznacza, że gdy siła wypadkowa działająca na ciało równa jest zeru, prędkość v → ciała jest stała. (Pamiętajmy, że słowo „stała” może oznaczać w tym przypadku również zerową prędkość). Pierwsze prawo Newtona jest stosunkowo proste i zrozumiałe. Na przykład, jeżeli samochód znajduje się w spoczynku, jedynymi siłami działającymi na niego są siła ciężkości oraz siła reakcji pochodząca od podłoża, a siły te się równoważą ( ). Wiadomo, że do zmiany stanu ruchu samochodu potrzebna jest niezerowa siła wypadkowa na niego działająca. Jeśli jednak samochód porusza się ze stałą, niezerową prędkością, to panuje powszechne, błędne przekonanie, że siła napędzająca samochód, pochodząca od silnika, ma większą wartość niż siła tarcia, która przeciwstawia się ruchowi auta do przodu. W rzeczywistości obie te siły mają taką samą wartość, lecz przeciwny zwrot. Na rysunku pokazano (a) zaparkowany samochód oraz (b) samochód poruszający się ze stałą prędkością. Jak można zastosować pierwsze prawo Newtona w przypadku zaparkowanego samochodu? Jaką wiedzę na temat siły wypadkowej daje nam informacja o stałej prędkości samochodu? Jak pierwsze prawo Newtona może znaleźć zastosowanie w analizie ruchu twojego samochodu? Prawa newtonowskie znajdują zastosowanie przy opisie wielu procesów fizycznych dotyczących sił i ruchu ciał, również sytuacji tak powszechnych, jak prowadzenie auta. (a) Zaparkowałeś swój samochód przed domem. Czy w tej sytuacji pierwsza zasada dynamiki Newtona może znaleźć swoje zastosowanie? Jeżeli tak, to dlaczego? (b) Jedziesz samochodem ze stałą prędkością wzdłuż ulicy. Czy w zaistniałej sytuacji pierwsza zasada dynamiki Newtona może znaleźć swoje zastosowanie? Jeżeli tak, to dlaczego? Strategia rozwiązania W przypadku (a) rozpatrujemy pierwsze prawo Newtona w odniesieniu do ciała spoczywającego; natomiast w podpunkcie (b) zastosować musimy drugą część pierwszej zasady dynamiki Newtona dotyczącej ciał poruszających się. Rozwiązanie Gdy twój samochód jest zaparkowany, wszystkie siły na niego działające muszą się równoważyć; suma wszystkich sił działających na samochód wynosi 0 N. Stąd, całkowita siła wypadkowa również się zeruje, co stanowi podstawę pierwszego prawa Newtona. Wówczas zarówno przyspieszenie, jak i prędkość samochodu wynoszą zero. Gdy twój samochód znajduje się w ruchu ze stałą prędkością wzdłuż ulicy, siła wypadkowa na niego działająca, zgodnie z pierwszym prawem Newtona, wynosi zero. Silnik samochodu powoduje działanie siły ciągu, skierowanej zgodnie ze zwrotem wektora prędkości, natomiast zjawisko tarcia między samochodem a jezdnią jest przyczyną działania siły skierowanej przeciwnie do wektora prędkości samochodu. Siły te mają tę samą wartość oraz kierunek, lecz przeciwny zwrot, stąd siła wypadkowa działająca na samochód wynosi zero. Samochód będzie kontynuował ruch wzdłuż ulicy ze stałą prędkością, dopóki nie pojawi się niezerowa siła wypadkowa. Należy sobie uświadomić, że występowanie zerowej siły wypadkowej działającej na obiekt oznacza, że obiekt ten porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, ze stałą prędkością, nie przyspieszając. Jak sądzisz, co stałoby się, gdyby auto zaczęło gwałtownie przyspieszać? To zagadnienie omówimy szerzej w kolejnym rozdziale niniejszego podręcznika. Znaczenie Jak pokazał powyższy przykład, istnieją dwa rodzaje równowagi w układach mechanicznych. W przypadku (a) samochód pozostawał w spoczynku, stan taki nazywamy równowagą statyczną . Przypadek (b) z kolei ukazuje samochód poruszający się z pewną stałą prędkością, w którym wszystkie siły są zrównoważone. Wówczas mowa jest o równowadze dynamicznej . (Omówimy tę problematykę bardziej szczegółowo w podrozdziale Równowaga statyczna i sprężystość ciał ). Zatem możliwe jest, aby dwie lub więcej sił działało na obiekt, który pozostaje w ruchu. Zerowa siła wypadkowa nie powoduje występowania w układzie niezerowego przyspieszenia. Sprawdź, czy rozumiesz. Skoczek spadochronowy otwiera swój spadochron i zaraz po tym zaczyna opadać na ziemię ze stałą prędkością. Jakie siły działają na skoczka? Która z tych sił jest większa? W kierunku pionowym działają dwie siły: siła ciężkości skierowana do dołu oraz siła oporu aerodynamicznego powietrza skierowana w górę. Żadna z nich nie jest większa od pozostałych. Siły te równoważą się, mają zatem tę samą wartość. Zapoznaj się z materiałem zawartym w symulacji w celu zrozumienia, jak siły zewnętrzne wpływają na ruch różnych obiektów. Postaraj się wyjaśnić te sytuacje przy pomocy diagramu pokazującego rozkład sił działających na obiekt. Zastosuj tego typu diagram w celu pokazania położenia, prędkości, przyspieszenia oraz wykresu sił działających na obiekt. Wyjaśnij, jak sporządzone przez ciebie wykresy będą ze sobą powiązane. Zaproponuj inne scenariusze sytuacji i spróbuj narysować wszystkie cztery wyżej wymienione wykresy. Podsumowanie Jak mówi pierwsza zasada dynamiki Newtona, zawsze musi istnieć przyczyna zmiany prędkości (zarówno jej wartości, jak i kierunku). To prawo znane jest również pod nazwą „zasady bezwładności”. Zjawisko tarcia objawia się w formie siły zewnętrznej powodującej zwolnienie poruszających się obiektów. Bezwładnością nazywamy dążenie obiektów do pozostawania w spoczynku lub w ruchu. Bezwładność ciał utożsamić można z ich masą. Jeśli w danym układzie odniesienia prędkość ciała, na które nie działają żadne siły jest stała, układ taki nazywamy inercjalnym. Oznacza to, że w inercjalnych układach odniesienia spełnione jest pierwsze prawo Newtona. Stan równowagi obiekt osiąga w momencie, gdy równoważą się wszystkie siły na niego działające. Zerowa siła wypadkowa działająca na obiekt skutkować może zarówno jego spoczynkiem, jak i ruchem ze stałą prędkością, bez przyspieszeń. Pytania Przyjmując układ odniesienia związany z Ziemią jako układ inercjalny, wskaż z którym z poniższych obiektów związany jest inercjalny układ odniesienia a z którym nie? Samochód poruszający się ze stałą prędkością; Samochód, który przyspiesza; Swobodnie spadająca kabina windy; Stacja kosmiczna poruszająca się na ziemskiej orbicie; Kabina windy opadająca ze stałą szybkością. Pewna kobieta przewoziła na przyjęcie szkolne pudełko pysznych babeczek. W pewnym momencie samochód znajdujący się przed nią gwałtownie się zatrzymał. Z tego powodu kobieta zmuszona była gwałtownie zahamować. Na szczęście miała zapięte pasy bezpieczeństwa, więc nie ucierpiała z powodu gwałtownego hamowania (jedynie się zdenerwowała). Niestety pudełko babeczek przeleciało podczas hamowania na deskę rozdzielczą samochodu i babeczki całkowicie się pogniotły. Czy potrafisz wyjaśnić, dlaczego tak się stało? Prędkość babeczek przed czynnością hamowania była taka sama, jak prędkość samochodu. Babeczki traktujemy jako osobne ciało poruszające się. Gdy samochód gwałtownie zahamował, babeczki nadal poruszały się do przodu, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona. Zadania Dwie siły F → 1 = 75,0 2 ( i ^ − j ^ ) N i F → 2 = 150,0 2 ( i ^ − j ^ ) N działają na pewien obiekt. Znajdź trzecią siłę F → 3 potrzebną do zrównoważenia dwóch pozostałych sił. Podczas czynności przesuwania kanapy po podłodze, Agnieszka i Joanna działają na kanapę siłami odpowiednio F → A i F → J . Siła wywierana przez Agnieszkę jest skierowana na północ, a jej wartość wynosi 130,0 N. Joanna z kolei działa siłą skierowaną o 32 ∘ na wschód od kierunku północnego, siłą o wartości 180,0 N. Znajdź wektor siły wypadkowej w rozkładzie na składowe; Znajdź wartość i kierunek wektora siły wypadkowej; Koledzy Agnieszki i Joanny, Dawid i Sylwia nie zgodzili się na przeniesienie kanapy. Jaką siłą F → DS powinni zadziałać na kanapę, by uniemożliwić jej przeniesienie? Podaj zarówno składowe siły, jak i jej wartość. F → wyp = ( 95,0 i ^ + 283,0 j ^ ) N ; wartość siły to 299 N, skierowana 71 ∘ na północny-wschód; F → DS = − ( 95,0 i ^ + 283,0 j ^ ) N bezwładność (ang. inertia ) cecha ciała polegająca na tym, że ciało dąży do zachowania stanu ruchu inercjalny układ odniesienia (ang. inertial reference frame ) układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające działaniu zewnętrznej siły, porusza się bez przyspieszenia zasada bezwładności (ang. law of inertia ) patrz: pierwsza zasada dynamiki Netwona pierwsza zasada dynamiki Newtona (ang. Newton's first law of motion ) Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (znane również pod nazwą zasady bezwładności)

Science


Druga zasada dynamiki Newtona Druga zasada dynamiki Newtona (drugie prawo Newtona, ang. Newton's second law of motion ) jest bardzo ściśle powiązana z pierwszą i podaje matematyczny opis związków przyczynowo-skutkowych między siłą a zmianami ruchu. Daje zatem możliwość ilościowego opisu sytuacji fizycznych i używana jest do obliczeń w sytuacjach, w których w układzie przyłożone są różne siły. Zanim zapiszemy drugie prawo Newtona w formie prostego równania matematycznego, pozwalającego na dokładne powiązanie siły i przyspieszenia ciała, musimy przypomnieć sobie pewne zagadnienia, o których wspominaliśmy wcześniej. Siła a przyspieszenie Na początku należy sobie uświadomić, co rozumiemy poprzez pojęcie zmiany ruchu. Otóż zmiana ruchu oznacza zmianę prędkości ciała. Zmiana prędkości świadczy o tym, że w układzie istnieje pewne przyspieszenie. Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że zewnętrzna siła wypadkowa powoduje zmiany ruchu ciał. Zatem niezerowa siła wypadkowa jest przyczyną występowania w układzie przyspieszenia . Zdefiniowaliśmy już siłę zewnętrzną w podrozdziale Pojęcie siły jako siłę działającą na obiekt lub układ, której źródło znajduje się poza obiektem. Przeanalizujmy to zagadnienie nieco dokładniej. Intuicyjnie odgadujemy, że słowo zewnętrzna oznacza, iż działa ona spoza układu. Na przykład na (a) analizowany układ to samochód z kierowcą siedzącym w środku. Dwie siły wywierane na samochód przez dwóch studentów na rysunku to właśnie siły zewnętrzne. Z kolei siły wewnętrzne to głównie siły oddziaływania pomiędzy elementami układu. I tak na przykład siła, którą kierowca działa na kierownicę samochodu, to siła wewnętrzna. Jedynie siły zewnętrzne wpływają na ruch samochodu, zgodnie z pierwszym prawem Newtona. (Wewnętrzne siły kompensują się, co zostanie dokładniej wyjaśnione w następnym rozdziale). Dlatego koniecznie jest określenie pewnych granic układu, zanim przystąpimy do analizowania, które siły są zewnętrzne. Często okazuje się to bardzo proste, lecz w niektórych układach fizycznych bywa to nieco trudniejsze. Pojęcie układu i określenie jego granic jest fundamentalne z punktu widzenia wielu dziedzin fizyki, podobnie jak prawidłowe stosowanie praw Newtona. Gdy na dany obiekt o określonej masie działają różne siły, skutkiem jest różne co do wartości jego przyspieszenie. (a) Dwóch studentów pcha samochód. Wszystkie siły zewnętrzne działające na samochód pokazano na rysunku. (b) Siły działające na samochód (na rysunku jako punkt materialny) pokazano w formie diagramu rozkładu sił, w celu ułatwienia analizy sytuacji. (c) Wóz holowniczy może zadziałać na samochód znacznie większą siłą zewnętrzną niż dwoje ludzi, nawet dorosłych. Wówczas wartość wektora przyspieszenia samochodu jest większa. W tej sytuacji widać, że różne siły działające na tę samą masę m skutkują występowaniem przyspieszenia o różnej wartości, zależnej od wielkości przyłożonej siły. Na (a) dwóch studentów pcha samochód, podczas gdy kierowca samochodu znajduje się w środku. Strzałki na rysunku reprezentują wszystkie siły zewnętrzne działające w układzie zawierającym samochód i kierowcę. Siłę ciężkości Q → układu samochód-kierowca oraz siłę reakcji od podłoża R → pokazano również na rysunku. Siły te się równoważą – układ nie porusza się z przyspieszeniem w kierunku pionowym. Wektor siły tarcia T → odzwierciedla zjawisko tarcia między kołami samochodu a jezdnią i skierowany jest w lewo, przeciwnie do kierunku ruchu (zjawisko tarcia omówimy nieco szerzej w kolejnym rozdziale). Na (b) siły te zostały do siebie dodane i rezultatem tego jest siła wypadkowa F → wyp . Diagram wszystkich sił działających na samochód wraz z kierowcą pokazano na tym samym rysunku. Punkt, do którego przyłożono siły, reprezentuje środek masy układu samochód-kierowca. Ponieważ obie siły skierowane są w prawo, wektory narysowano jako współliniowe. Z kolei na (c) widać znacznie większą siłę wypadkową, ponieważ samochód ciągnięty jest przez wóz holowniczy, a nie przez ludzi. Skutkuje to większym przyspieszeniem układu samochodu wraz z kierowcą ( a ′ > a a'>a ). Stwierdzenie, że wektor przyspieszenia posiada wartość proporcjonalną do przyłożonej siły wypadkowej oraz ten sam kierunek co siła, wydaje się bardzo rozsądne. To założenie zostało już wielokrotnie potwierdzone eksperymentalnie i pokazane m.in. w przykładzie na . Aby móc sformułować matematyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona, zapiszmy relację między przyspieszeniem a → a siłą wypadkową F → wyp . Widać, że zależność ta jest proporcjonalna: a → ∝ F → wyp , gdzie symbol ∝ oznacza proporcjonalność. Nawiązując do omówionej wcześniej definicji siły wypadkowej jako sumy wektorowej wszystkich sił działających na obiekt, często oznaczanej jako ∑ F → , możemy stwierdzić, że przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do zewnętrznej siły wypadkowej. Gdy obierzemy już układ, który chcemy przeanalizować, należy zidentyfikować wszystkie siły zewnętrzne, pomijając siły wewnętrzne działające w układzie. Jest to znaczne uproszczenie, pozwalające na pominięcie sił wewnętrznych działających między obiektami, jak i w samych obiektach, takich jak siły mięśni czy niezliczone siły oddziaływania międzycząsteczkowego. Właśnie to uproszczenie umożliwia rozwiązywanie problemów fizycznych z zakresu dynamiki nawet dla złożonych wewnętrznie układów. Przyspieszenie ciała jest także odwrotnie proporcjonalne do jego masy. Im większa masa danego ciała (i co za tym idzie, jego bezwładność), tym mniejsze przyspieszenie ciało zyskuje na skutek działania siły zewnętrznej. Pokazano to na rysunku . Określona siła wypadkowa działająca na piłkę do koszykówki skutkuje znacznie większym przyspieszeniem, niż gdyby tę samą siłę przyłożyć do znacznie cięższego samochodu osobowego. Omawianą proporcjonalność zapisać możemy jako a ∝ 1 m , gdzie m to masa obiektu, natomiast a oznacza wartość jego przyspieszenia. Doświadczenia fizyczne pokazały, że przyspieszenie ciała jest odwrotnie proporcjonalne do jego masy, a wprost proporcjonalnie do siły wypadkowej. Ta sama siła działa na ciała o różnych masach, nadając im różne przyspieszenia. (a) Koszykarz uderza piłkę do koszykówki (zaniedbano efekt siły ciężkości działającej na piłkę). (b) Ten sam człowiek działa na samochód osobowy identyczną siłą jak w przypadku piłki do koszykówki, czego skutkiem jest dużo mniejsze przyspieszenie samochodu, niż to miało miejsce w przypadku piłki. (c) Rozkład sił jest identyczny w obydwu przypadkach. Wykonanie szeregu diagramów sił działających na ciała w podrozdziale Rozkład sił działających na ciało pozwoli ci uzyskać doświadczenie w rozwiązywaniu wielu problemów fizycznych. Wiadomo, że przyspieszenie ciała zależy jedynie od siły wypadkowej działającej na ciało oraz masy ciała. Zestawiając pokazane powyżej proporcjonalności, możemy sformułować matematyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona . Druga zasada dynamiki Newtona Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej, ma również ten sam kierunek co siła, natomiast jest odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. Możemy to zapisać w formie równania: a → = F → wyp m , gdzie a → to przyspieszenie ciała, F → wyp oznacza siłę wypadkową, natomiast m to masa ciała. Często równanie to zapisuje się w nieco innej postaci F → wyp = ∑ F → = m a → , jednakże pierwsze z tych równań pozwala lepiej zrozumieć drugie prawo Newtona. Gdy rozpatrujemy jedynie wartości wektorów przyspieszenia i siły wypadkowej, powyższe równanie można przedstawić w prostszej formie: F wyp = m a . Druga zasada dynamiki Newtona określa prostą zależność przyczynowo-skutkową między trzema wielkościami, która nie sprowadzają się do ich definicji. Drugie prawo Newtona zostało bardzo dobrze zweryfikowane eksperymentalnie. Schemat rozkładu sił działających na ciało, omówiony w rozdziale Rozkład sił działających na ciało jest podstawą poprawnego sformułowania drugiego prawa Newtona dla danego zagadnienia. Jakie przyspieszenie może nadać człowiek kosiarce? Załóżmy, że siła wypadkowa (siła, z którą pchana jest kosiarka, minus siła tarcia) wywierana na kosiarkę wynosi 51 N, a jej kierunek jest równoległy do podłoża ( ). Masa kosiarki wynosi 24 kg. Jakie przyspieszenie uzyskała kosiarka? (a) Siła wypadkowa działająca na kosiarkę skierowana jest w prawą stronę i wynosi 51 N. Jak bardzo kosiarka przyspiesza? (b) Rozkład sił działających na kosiarkę. Strategia rozwiązania Zauważmy, że powyższy problem dotyczy tylko ruchu kosiarki w kierunku poziomym. Znana jest całkowita siła wypadkowa, reprezentowana przez pojedynczy wektor, jednakże możemy przejść do zapisu skalarnego i wówczas zastosować drugie prawo Newtona w postaci skalarnej. Dana jest: F wyp oraz masa m , więc przyspieszenie ciała można obliczyć bezpośrednio z równania: F wyp = m a . Rozwiązanie Wartość przyspieszenia a wynosi a = F wyp / m . Wstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy: a = 51 N 24 kg . Zastępujemy jednostkę 1 N jednostką kilograma pomnożonego przez metr na sekundę kwadrat: a = 51 kg ⋅ m/s 2 24 kg = 2,1 m/s 2 . Znaczenie Kierunek przyspieszenia jest taki sam, jak kierunek siły, która jest równoległa do podłoża. Jest to wynikiem wektorowej zależności wyrażonej w drugim prawie Newtona: wektor siły wypadkowej jest wielokrotnością wektora przyspieszenia. W analizowanym przykładzie z kosiarką nie podano wielu informacji na temat sił zewnętrznych działających w układzie. Jednakże spróbujmy co nieco o nich powiedzieć. Na przykład siła wywierana przez osobę naciskającą na kosiarkę musi być większa niż siła tarcia skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, ponieważ wiemy, że kosiarka poruszała się do przodu. Jeżeli chodzi o siły pionowe, muszą się one równoważyć, ponieważ przyspieszenie nie występuje w kierunku pionowym (kosiarka porusza się jedynie w kierunku poziomym). Znaleziona wartość przyspieszenia jest rozsądnie mała, lecz odpowiada sytuacji, w której jakaś osoba pcha po trawniku kosiarkę. Wysiłek nie potrwa długo, ponieważ osoba pchająca kosiarkę szybko osiągnie prędkość maksymalną. Sprawdź, czy rozumiesz Na początku XX wieku transatlantyk Titanic był jednym z największych na świecie statków pasażerskich. Miał masę równą 6,0 ⋅ 10 7 kg . Gdyby na statek zadziałano ogromną, wynoszącą 6 MN siłą ( 6,0 ⋅ 10 6 N ) , to jakie przyspieszenie osiągnąłby Titanic? 0,1 m/s 2 W poprzednim przykładzie z kosiarką założyliśmy jedynie działanie na kosiarkę poziomo skierowanej siły wypadkowej. Jednakże, w rzeczywistości na kosiarkę działa znacznie więcej sił. Siła ciężkości Q → (omówiona szerzej w podrozdziale Masa i ciężar ) ciągnie kosiarkę w dół, w stronę jądra Ziemi; takie oddziaływanie powoduje powstanie siły kontaktowej z podłożem. Wówczas Ziemia działa na kosiarkę siłą reakcji, skierowaną ku górze: R → , którą zdefiniowaliśmy w podrozdziale Rodzaje sił . Siły te równoważą się, zatem ciało nie podlega pionowemu przyspieszeniu. W następnym przykładzie pokażemy obie te siły. Natomiast teraz, nadal przy użyciu drugiego prawa Newtona, przeanalizuj przykład wielu sił działających na kosiarkę. Która siła jest większa? Samochód przedstawiony na porusza się ze stałą prędkością. Która siła jest większa: T → czy F → oporu ? Wyjaśnij dlaczego. Ten sam samochód porusza się z pewnym przyspieszeniem w prawo. Która siła jest większa: T → czy F → oporu ? Wyjaśnij dlaczego. Na rysunku (a) pokazano samochód poruszający się ze stałą prędkością, natomiast na rysunku (b) ten sam samochód poruszający się ze stałym przyspieszeniem w prawo. Jak przedstawiają się siły działające na samochód w obydwu przypadkach? (A) Jakie informacje dotyczące wartości wektorów siły tarcia i siły oporu daje nam to, że samochód porusza się ze stałą prędkością? (B) Jakie informacje dotyczące wartości wektorów siły tarcia i siły oporu daje nam to, że samochód porusza się ze stałym przyspieszeniem? Strategia rozwiązania Musimy rozpatrzyć zarówno pierwsze, jak i drugie prawo Newtona do rozwiązania tego problemu. Trzeba zdecydować, które prawo znajduje zastosowanie w każdym z tych dwóch przypadków. To pozwoli nam dobrze prześledzić relacje między działającymi w układzie siłami. Rozwiązanie Wartości obydwu sił są równe. Według pierwszej zasady dynamiki, gdy działająca na ciało siła wypadkowa wynosi zero, prędkość ciała jest stała. W tym przypadku wartość siły tarcia T → musi być większa niż siły oporu F → oporu . Jak głosi drugie prawo Newtona, niezerowa siła wypadkowa jest konieczna do występowania przyspieszenia ciała. Znaczenie Powyższe pytania mogą wydawać się trywialne, lecz udzielane na nie odpowiedzi niestety często są nieprawidłowe. Aby samochód lub jakikolwiek inny obiekt mógł się poruszać, musi podlegać przyspieszeniu od stanu spoczynku do określonej prędkości. Wymaga to, aby wartość siły tarcia kół o asfalt była większa niż siła oporu. Jednak, gdy samochód porusza się ze stałą prędkością, siła wypadkowa na niego działająca musi wynosić zero. W przeciwnym razie samochód dozna przyspieszenia (zwiększy swoją szybkość). Aby dobrze rozwiązywać problemy związane z dynamiką, warto najpierw sprawdzić czy ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub nie porusza się wcale. Wtedy, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona, siły działające na ciało się równoważą. Jak ciąg rakietowy przyspiesza sanie rakietowe? Przed lotami załogowymi w przestrzeni kosmicznej do testowania samolotów, sprzętu rakietowego i różnych efektów fizjologicznych występujących u ludzi przy poruszaniu się z bardzo dużymi prędkościami, używano sań rakietowych. Składały się one z platformy zamontowanej na jednej lub dwóch szynach i napędzanej kilkoma silnikami rakietowymi. Oblicz siłę ciągu każdej z czterech dysz silnika rakietowego (tzw. odrzutu , ang. thrust ) F , pokazanego na . Początkowe przyspieszenie komory rakietowej wynosi 49 m/s 2 , jej masa to 2100 kg, a siła tarcia w układzie wynosi 650 N. Komora rakiety doznaje siły odrzutu pochodzącej od dysz, skierowanej w prawo. Każda z dysz rakietowych wytwarza identyczną siłę ciągu F’. Zaniedbano wszystkie siły oddziaływania między komorą rakiety a osobą się w niej znajdującą. Strzałkę reprezentującą siłę tarcia ( T → ) narysowano większą niż przyjęta skala. Strategia rozwiązania Mimo iż w analizowanym układzie siły działają zarówno w kierunku pionowym, jak i poziomym, przyjmujemy, że siły pionowe się równoważą z powodu braku pionowego przyspieszenia. W układzie istotne są więc jedynie siły poziome i wówczas problem sprowadzony jest do jednego wymiaru. Kierunki sił oznaczone są znakami plus lub minus, przyjmując prawy kierunek jako dodatni. Zapoznaj się z diagramem zawierającym rozkład sił działających na rakietę ). Rozwiązanie W momencie gdy znamy masę obiektu, jego przyspieszenie, siły go napędzające oraz siłę tarcia, możliwe jest rozwiązanie tego zagadnienia poprzez wykorzystanie drugie prawa Newtona. Zgodnie z naszą definicją siła i przyspieszenie skierowane są w prawo, dlatego też musimy rozważyć jedynie wartości tych wielkości. Zacznijmy od podstawowego równania: F wyp = m a , gdzie F wyp to wartości siły całkowitej działającej w kierunku poziomym. Na podstawie rysunku możemy wywnioskować, że siły pochodzące od dysz rakietowych przyjmiemy ze znakiem plus, natomiast siłę tarcia ze znakiem minus. Siła wypadkowa wówczas wynosi F wyp = 4 F ′ − T . Wykorzystujemy drugie prawo Newtona F wyp = m a = 4 F ′ − T . Po prostych przekształceniach otrzymujemy wyrażenie na całkowitą siłę odrzutu pochodzącą od dysz 4 F ′ 4 F ′ = m a + T . Wstawiając znane wartości sił i przyspieszenia podanych w treści zadania, otrzymujemy: 4 F ′ = m a + T = ( 2 100 kg ) ( 49 m/s 2 ) + 650 N . Wynika z tego, że całkowita siła odrzutu silnika wynosi 4 F ′ = 1,0 ⋅ 10 5 N , a cząstkowa siła odrzutu każdej z dysz to wówczas: F ′ = 1,0 ⋅ 10 5 N 4 = 2,5 ⋅ 10 4 N . Znaczenie Bardzo wysoki wynik otrzymanej siły odrzutu rakiety może wydać się zaskakujący. Eksperymenty z udziałem ludzi i rakiet odrzutowych były przeprowadzone już na początku lat sześćdziesiątych, aby przetestować granice ludzkiej wytrzymałości w ekstremalnych warunkach. Tego typu układy projektowano w celu ochrony pilotów katapultujących się z myśliwców odrzutowych. Uzyskano prędkości nawet dochodzące do 1000 km/h, przyspieszenie układu wynosiło prawie 45 g ( g oznacza tutaj przyspieszenie grawitacyjne, wynoszące 9,81 m/s 2 ). Przyspieszenie będące 45-krotną wielokrotnością g to 45 ⋅ 9,8 m/s 2 , co w przybliżeniu wynosi 440 m/s 2 ). Obecnie nie wykonuje się prób z udziałem ludzi, jednak warto powiedzieć, że maksymalna prędkość osiągnięta sanie rakietowe to prawie 10 000 km/h! W tym przykładzie, podobnie jak w poprzednim, analizowany układ jest stosunkowo prosty. W dalszych przykładach zauważymy, że dobre zdefiniowanie analizowanego układu i jego wybór ma kluczowe znaczenie w rozwiązaniu problemu. Czasem problem nie jest wcale oczywisty. Drugie prawo Newtona jest czymś więcej niż tylko definicją; ukazuje fundamentalny związek między przyspieszeniem, siłą i masą obiektu. Prawo to może nam pomóc podejmować pewne decyzje. Każda z wielkości fizycznych pojawiających się w tym prawie może być zdefiniowana niezależnie, więc drugie prawo Newtona wyjaśnia nam prawdy podstawowe i uniwersalne o funkcjonowaniu natury. Sprawdź, czy rozumiesz. Samochód sportowy o masie 550 kg zderzył się z ciężarówką o masie 2200 kg. Podczas kolizji siła wypadkowa działająca na każdy z pojazdów jest w zasadzie siłą pochodzącą od drugiego pojazdu. Jeżeli wartość przyspieszenia ciężarówki wynosi 10 m/s 2 , jakie przyspieszenie osiągnął samochód sportowy? 40 m/s 2 Wektorowa forma drugiego prawa Newtona Omówiliśmy drugą zasadę dynamiki Newtona i sformułowaliśmy ją w formie wektorowego . To równanie wektorowe może być zapisane również w postaci trzech równań składowych: ∑ F → x = m a → x , ∑ F → y = m a → y , oraz ∑ F → z = m a → z . Drugie prawo Newtona opisuje, w jaki sposób ciało odpowiada mechanicznie na środowisko je otaczające. Wpływ środowiska zewnętrznego to nic innego jak siła wypadkowa F → wyp , odpowiedzią ciała jest przyspieszenie a → , przy czym odpowiedź ta jest odwrotnie proporcjonalna do masy m . W ogólności im większa jest masa ciała, tym jego odpowiedź na siłę zewnętrzną jest mniejsza. Dlatego też masa ciała jest miarą jego bezwładności co pokazaliśmy w podrozdziale Pierwsza zasada dynamiki Newtona . Siła i piłka nożna Piłkarz kopnął przez boisko piłkę o masie 400 g. Nadał piłce wówczas przyspieszenie a → = ( 3,00 i ^ + 7,0 j ^ ) m/s 2 . Znajdź: siłę działającą na piłkę; wartość i kierunek tej siły. Strategia rozwiązania Przyspieszenie zapisano w notacji wersorowej, gdzie wersory jednostkowe i ^ oraz j ^ definiują kierunek działania składowych przyspieszenia odpowiednio w kierunkach x i y . Rozwiązanie Zastosujmy drugie prawo Newtona: F → wyp = m a → = ( 0,400 kg ) [ ( 3,00 i ^ + 7,00 j ^ ) m/s 2 ] = ( 1,20 i ^ + 2,80 j ^ ) N . Wartość i kierunek siły wypadkowej F wyp : F wyp = 1,20  N 2 + 2,80  N 2 = 3,05  N  , θ = arc tg 2 80 1 20 = 66,8 °  . \begin{align} F_{\text{wyp}} &= \sqrt{(\SI{1,20}{\newton})^2 + (\SI{2,80}{\newton})^2} = \SI{3,05}{\newton} \text{,} \\ \theta &= \arctg (\frac{2,80}{1,20}) = \ang{66,8} \text{.} \end{align} Znaczenie Musimy pamiętać, że druga zasada dynamiki Newtona jest opisywana równaniem wektorowym. W przypadku (a) mnożymy wektor przez skalar, aby określić wypadkową siłę w postaci wektorowej. Zapis wektorowy siły wypadkowej daje nam jej zwartą reprezentację, jednakże nie mówi nam nic o jej wartości czy kierunku. W punkcie (b) z kolei określiliśmy faktyczną wartość działającej siły oraz kierunek, w którym działa. Masa samochodu Znajdź masę samochodu, jeśli działająca na niego siła wypadkowa o wartości 600,0 j ^ N powoduje przyspieszenie samochodu 0,2 j ^ m/s 2 . Strategia rozwiązania Z matematycznego punktu widzenia nie istnieje działanie dzielenia wektorów, dlatego też m = F → wyp / a → jest działaniem nieprawidłowym. Jednakże masa m jest skalarem, więc możemy zastosować skalarną postać drugiego prawa Newtona: m = F wyp / a . Rozwiązanie Zastosujmy relację m = F wyp / a , wstawiając odpowiednio długości wektorów przyspieszenia i siły wypadkowej: F wyp = 600,0 N i a = 0,2 m/s 2 . Zatem: m = F wyp a = 600,0 N 0,2 m/s 2 = 3 000 kg . Znaczenie Zarówno siła, jak i przyspieszenie były dane w formie wektorów, zapisanych za pomocą wersorów jednostkowych i ^ i j ^ , lecz zauważmy, że szukana masa jest wielkością skalarną, dlatego też nie zapisano jej z użyciem wersorów i ^ oraz j ^ . Wiele sił działających na cząstkę Cząstka o masie m = 4,0 kg poddana jest działaniu czterech sił o wartościach bezwzględnych odpowiednio F 1 = 10,0 N , F 2 = 40,0 N , F 3 = 5,0 N , F 4 = 2,0 N . Siły te działają w kierunkach przedstawionych na diagramie z . Jakie przyspieszenie ma analizowana cząstka? Cztery siły, zdefiniowane w układzie współrzędnych xy działają na cząstkę o masie 4 kg. Strategia rozwiązania Ponieważ układ jest dwuwymiarowy, należy narysować rozkład sił działających na cząstkę, uwzględniając rozkład sił na składowe. Po pierwsze siłę F → 1 należy rozłożyć na składowe wzdłuż osi x i y . Wówczas możemy zastosować drugie prawo Newtona osobno dla każdego z dwóch wyróżnionych kierunków. Rozwiązanie Rysujemy diagram sił, przedstawiony na . Następnie możemy zastosować drugie prawo Newtona. Rozpatrujemy wektory składowe sił osobno w kierunku x : ∑ F x = m  a x  , F 1 x - F 3 x = m  a x  , F 1  cos 30 ° - F 3 x = m  a x  , 10,00  N ⋅ cos 30 ° - 5,0  N = 4,0  kg ⋅ a x  , a x = 0,92  m / s 2  , i w kierunku y : ∑ F y = m  a y  , F 1 y + F 4 y - F 2 y = m  a y  , F 1  sin 30 ° + F 4 y - F 2 y = m  a y  , 10,00  N ⋅ sin 30 ° + 2,0  N - 40,0  N = 4,0  kg ⋅ a y  , a y = - 8,3  m / s 2  . Wynika z tego, że przyspieszenie cząstki wynosi: a → = ( 0,92 i ^ − 8,3 j ^ ) m/s 2 , jest ono zatem wektorem o długości 8,4 m/s 2 skierowanym pod kątem 276 ∘ do dodatniej półosi x . Znaczenie Można znaleźć liczne przykłady w życiu codziennym, kiedy mamy do czynienia z trzema lub więcej siłami działającymi na pojedynczy obiekt. Tak jest w przypadku mocujących na moście Golden Gate lub piłkarza, który jest popychany i blokowany przez trzech obrońców. Widzimy, że rozwiązanie tego przykładu stanowi jedynie rozszerzenie tych zagadnień, które już rozpatrywaliśmy. Sprawdź, czy rozumiesz. Na samochód osobowy działają siły zgodnie z poniższym rysunkiem. Masa samochodu wynosi 1000 kg. Pada deszcz, więc jezdnia jest bardzo śliska. Wówczas siłę tarcia możemy zaniedbać. (a) Jaka jest siła wypadkowa działająca na samochód? (b) Znajdź również przyspieszenie samochodu. Siła wypadkowa wynosi ( 159,0 i ^ + 770,0 j ^ ) N ; przyspieszenie samochodu to ( 0,1590 i ^ + 0,7700 j ^ ) m/s 2 . Drugie prawo Newtona a pęd ciała Newton sformułował swoje prawo również w odniesieniu do pędu ciała: „Szybkość zmian pędu ciała równa jest sile na nie działającej”. (Szybkość zmian rozumiana jest jako pochodna po czasie). Możemy to sformułowanie zapisać w formie równania: F → wyp = d p → d t . Oznacza to, że druga zasada dynamiki Newtona odnosi się do podstawowej kwestii ruchu: co powoduje zmianę ruchu obiektu? Pęd ciała został opisany przez Newtona jako pewien „parametr ilościowy ruchu”, czyli relacja łącząca prędkość obiektu i jego masę. Na użytek tego rozważania możemy zdefiniować pęd p → ciała jako iloczyn jego masy m i prędkości v → : p → = m v → . Ponieważ prędkość ciała jest wielkością wektorową, pęd również nią jest. Przykładowo, pociąg poruszający się z prędkością 10 m/s ma większy pęd niż wówczas, gdyby poruszał się z prędkością 2 m/s. Podstawiając definicję pędu do , opisującego siłę w zależności od pędu, otrzymujemy: F → wyp = d p → d t = d ( m v → ) d t , gdzie m to stała (masa), więc możemy zapisać powyższe równanie nieco inaczej: F → wyp = m d ( v → ) d t = m a → . Widzimy, że drugie prawo Newtona zapisane w funkcji pędu ciała, po odpowiednich przekształceniach matematycznych redukuje się do formy pokazanej wcześniej w niniejszym podrozdziale. Przeanalizuj przykłady pokazane w aplikacji siły w działaniu , zobacz, co się dzieje gdy ciągnięty jest wózek albo gdy pchana jest lodówka, skrzynia lub człowiek. Stwórz w aplikacji przykładana siła model sił w układzie i przeanalizuj, jak zachowują się obiekty. Zbadaj również sytuację w przypadku ciała na równi pochyłej i zobacz, jak to wpływa na ich ruch. Podsumowanie Siła zewnętrzna to taka, która działa na obiekt spoza przyjętego układu, w odróżnieniu od siły wewnętrznej, która jest wynikiem oddziaływania między obiektami wewnątrz danego układu. Druga zasada dynamiki Newtona mówi, że siła wypadkowa działająca na obiekt o danej masie jest wprost proporcjonalna do jego przyspieszenia. Drugie prawo Newtona opisuje również siłę wypadkową jako szybkość zmian pędu w czasie. Niezerowa siła wypadkowa powoduje występowanie w układzie niezerowego przyspieszenia. Pytania Dlaczego możemy zaniedbać podczas stosowania drugiego prawa Newtona siły utrzymujące zwartą strukturę materii analizowanego obiektu? Podrzucamy kamień pionowo do góry. W punkcie maksymalnej wysokości prędkość kamienia maleje do zera. Czy to oznacza, że w tym punkcie również wszystkie działające na kamień siły się zerują? Nie. Gdyby siła wypadkowa działająca na ciało wynosiła w tym punkcie zero, to chwilowo wynosząca zero prędkość ciała nie zmieniłaby się. Jest to nieprawda, ponieważ nie obserwujemy sytuacji, w której po osiągnięciu maksymalnej wysokości ciało „zawisa” w powietrzu. Zadania Andrzej, sprinter ważący 63 kg, startuje w wyścigu, osiągając przyspieszenie 4,200 m/s 2 . Jaka jest siła wypadkowa działająca na niego? Jeżeli sprinter, wspomniany w poprzednim zadaniu, przyspieszy na dystansie 20 m, po czym zacznie utrzymywać stałą prędkość i przebiegnie łączny dystans 100 m, to jaki będzie całkowity czas biegu sprintera? Biegnąc od momentu spoczynku, podczas przyspieszania sprinter w końcu osiągnie prędkość v = 12,96 m/s . Czas, w którym przyspieszał, znajdziemy z relacji: x = 20,00 m = 0 + 0,5 a t 1 2 lub inaczej t 1 = 3,086 s . W momencie, w którym zaczął utrzymywać stałą prędkość swojego ruchu, x 2 = v t 2 lub inaczej t 2 = x 2 / v = 80,00 m / 12,96 m/s = 6,173 s . Całkowity czas ruchu sprintera wynosi więc 9,259 s. Pracownik pralni pcha koszyk z praniem o masie 4,5 kg, działając na niego siłą 60 N. Oblicz przyspieszenie koszyka. Astronauci pracujący na orbicie znajdują się w stanie nieważkości. Do ustalenia masy astronautów stosuje się m.in. metodę, w której na astronautę wywiera się stałą siłę i mierzy się przyspieszenie, jakiego astronauta doznaje. Załóżmy, że na astronautę działa siła zewnętrzna 50 N, a zmierzone przyspieszenie astronauty wynosi 0,893 m/s 2 . Oblicz masę astronauty. Wywierając siłę na astronautę, statek kosmiczny, w którym astronauta się znajduje, doświadcza występowania siły o tej samej wartości, lecz przeciwnym zwrocie. Wykorzystaj tę wiedzę do znalezienia przyspieszenia całego układu (astronauta plus statek kosmiczny) mierzonego przez obserwatora znajdującego się blisko statku. Zastanów się, jak efekt ten może wpływać na pomiar przyspieszenia astronauty. Zaproponuj metodę, dzięki której można uniknąć efektu odrzutu w statku kosmicznym przy pomiarze masy astronauty. m = 56,0 kg ; a zmierzone = a astro + a stat , gdzie a stat = m astro a astro m stat ; Gdyby siła wywierana na astronautę mogłaby pochodzić z jakiegokolwiek innego źródła niż statek, nie doznawałby on odrzutu. Na siła wypadkowa o wartości 51 N działa na kosiarkę o masie 24 kg. Jeżeli siła tarcia pomiędzy kosiarką a trawą wynosi 24 N, jaka jest siła F wywierana przez człowieka na kosiarkę? Załóż, że kosiarka porusza się z prędkością 1,5 m/s, gdy siła F przestanie działać. Jak daleką drogę pokona kosiarka przed zatrzymaniem się? Sanie rakietowe przedstawione na poniższym rysunku zwalniają z opóźnieniem 196 m/s 2 . Jaka siła potrzebna jest do wywołania w układzie takiego opóźnienia? Załóż, że dysze rakietowe są wyłączone, a masa układu wynosi 2,1 ⋅ 10 3 kg. F wyp = 4,12 ⋅ 10 5 N Jeżeli sanie rakietowe z powyższego zadania startują jedynie z jedną działającą dyszą, jaka jest wartość ich przyspieszenia? Załóż, że masa sań wynosi 2,10 ⋅ 10 3 kg, siła odrzutu pojedynczej dyszy wynosi F ′ = 2,40 ⋅ 10 4 N , natomiast siła tarcia, skierowana przeciwnie do kierunku ruchu wynosi 650 N. (b) Dlaczego otrzymany wynik przyspieszenia nie stanowi 1/4 wartości uzyskane w przypadku wszystkich czterech działających dysz? Jakie jest opóźnienie sań rakietowych, jeżeli zmieniły swoją prędkość z 1000 km/h do 0 km/h w jedynie 1,1 s? (Takie opóźnienie spowodowało u człowieka tymczasową ślepotę i utratę przytomności). a = 253 m/s 2 Na dziecko znajdujące się w wózku dwoje innych dzieci działa siłami o kierunku poziomym, ale przeciwnych zwrotach. Pierwsze dziecko działa siłą o wartości 75 N, drugie o wartości 90 N, a siła tarcia w układzie wynosi 12 N. Masa trzeciego dziecka wraz z wózkiem to 23 kg. (a) Jaki należy rozpatrzyć układ, aby obliczyć przyspieszenie dziecka w wózku? (Rzuć okiem na diagram sił na poniższym rysunku). (b) Oblicz przyspieszenie dziecka. (c) Jakie będzie przyspieszenie dziecka w wózku, jeżeli siła tarcia w układzie wynosi 15 N? Motocykl wyścigowy potrafi osiągnąć przyspieszenie nawet do 3,50 m/s 2 przy prędkości 90 km/h. Przy tej prędkości siły przeciwdziałające tarciu i siłom oporu powietrza (działającym przeciwnie do kierunku ruchu) wynoszą prawie 400 N. Jaka jest wartość siły ciągu silnika motocyklowego, aby mógł on mimo działania tak dużych sił oporu, uzyskać przyspieszenie 3,50 m/s 2 ? Masa motocykla wraz z motocyklistą wynosi 245 kg. F wyp = F − T = m a ⇒ F = 1,26 ⋅ 10 3 N Samochód o masie 1000 kg zmienia swoją prędkość od 0 do 90 km/h w 10 s. (a) Jakie jest przyspieszenie samochodu? (b) Jaka jest siła wypadkowa działająca na samochód? Kierowca samochodu wspomnianego w poprzednim zadaniu zahamował, gdy samochód jechał z prędkością 90 km/h. Samochód zatrzymał się po przejechaniu drogi 40 m. Jaka była siła wypadkowa działająca na samochód podczas hamowania? v 2 = v 0 2 + 2 a x ⇒ a = − 7,80 m/s 2 F wyp = − 7,80 ⋅ 10 3 N Pasażer samochodu poruszający się z prędkością 1,00 ⋅ 10 2 km/h i ważący 80 kg ma zapięte pasy bezpieczeństwa. W pewnym momencie kierowca gwałtownie zahamował i auto zatrzymało się po przejechaniu drogi 45 m. Jaka siła była wywierana na pasażera przez pasy bezpieczeństwa podczas hamowania? Na cząstkę o masie 2 kg działa pojedyncza siła F → 1 = 18 i ^ N . Jakie jest przyspieszenie cząstki? Jeżeli cząstka zaczyna ruch od spoczynku, jaką drogę przebędzie przez pierwsze 5 s ruchu? F → wyp = m a → ⇒ a → = 9,0 i ^ m/s 2 ; Wartość przyspieszenia wynosi 9,0 m/s 2 , więc droga to x = 110 m . Załóżmy, że cząstka opisana w poprzednim zadaniu doświadcza również działania sił F → 2 = − 15,0 i ^ N i F → 3 = 6,0 j ^ N Jakie wówczas będzie przyspieszenie cząstki? Znajdź wartość przyspieszenia ciała o masie 5 kg przedstawionego na poniższym rysunku. ( 1,6 i ^ − 0,8 j ^ ) m/s 2 Na poniższym rysunku przedstawiono klocek spoczywający na poziomej płaszczyźnie. Tarcie między klockiem a podłożem zaniedbujemy. Jeżeli na klocek działają dwie siły o wartościach F = 30,0 N i M = 10,0 kg , jaka jest wartość przyspieszenia klocka? druga zasada dynamiki Newtona (ang. Newton's second law of motion ) Jeśli siły zewnętrzne działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

Science


Masa i ciężar ciała Masa i ciężar często używane są zamiennie podczas codziennej rozmowy. Mówi się na przykład o ciężarze ciała w kilogramach, zamiast we właściwych jednostkach – niutonach. W fizyce jest to jednak bardzo istotna różnica. Ciężar to efekt przyciągania ciała przez kulę ziemską. Wartość tego oddziaływania zależy od odległości od środka Ziemi. Masa, w przeciwieństwie do ciężaru, nie zmienia się w zależności od położenia w polu grawitacyjnym. Masa obiektu jest taka sama na Ziemi, na orbicie ziemskiej lub na powierzchni Księżyca. Jednostka siły Równanie F wyp = m a używane jest w celu definiowania siły wypadkowej w funkcji masy, położenia i czasu. Jak już wspomnieliśmy, jednostką siły w układzie SI jest niuton. Skoro F wyp = m a , to 1 N = 1 kg ⋅ m/s 2 . Ciężar ciała i siła grawitacji Gdy upuszczamy jakiś przedmiot, opada on z pewnym przyspieszeniem w kierunku środka kuli ziemskiej. Drugie prawo Newtona mówi, że siła wypadkowa działająca na obiekt jest odpowiedzialna za jego przyspieszenie. Jeżeli siły oporu powietrza są zaniedbywalne, całkowita siła wypadkowa działająca na ciało to siła oddziaływania grawitacyjnego między obiektem a kulą ziemską, nazywana siłą ciężkości (lub inaczej ciężarem ciała) (ang. weight ) Q → . Ciężar ciała jest wielkością wektorową, ponieważ posiada zdefiniowany kierunek; siła ta skierowana jest w dół , zgodnie z wektorem natężenia pola grawitacyjnego. Galileusz udowodnił, że przy braku sił oporu powietrza wszystkie ciała spadają swobodnie z tym samym przyspieszeniem, dziś oznaczanym symbolem g . Korzystając z teorii Galileusza oraz drugiego prawa Newtona, możemy wyprowadzić równanie na ciężar ciała. Rozpatrzmy obiekt o masie m opadający swobodnie w polu grawitacyjnym. Obiekt ten doświadcza jedynie obecności pionowej siły ciężkości (ciężaru) Q → . Druga zasada dynamiki Newtona mówi, że siła wypadkowa dana jest zależnością F → wyp = m a → . Całkowite przyspieszenie ciała wywołane polem grawitacyjnym wynosi g → , czyli a → = g → . Wstawiając jedno do drugiego otrzymać możemy wyrażenie na ciężar ciała. Ciężar Siła grawitacji działająca na daną masę to jej ciężar. Zapiszmy tą relację w formie wektorowej, gdzie Q → to siła ciężkości, a m to masa ciała: Q → = m g → . Przechodząc do formy skalarnej: Q = m g . Skoro g = 9,80 m/s 2 na powierzchni Ziemi, ciężar ciała o masie 1 kg wynosi 9,80 N: Q = m g = ( 1,00 kg ) ( 9,8 m/s 2 ) = 9,80 N . Kiedy jedyną zewnętrzną siłą działającą na obiekt jest jego ciężar, mówimy, że ciało swobodnie spada (ang. free fall ) w polu grawitacyjnym. Jednakże, gdy przedmioty spadają w polu ziemskim, nigdy nie jest to spadek swobodny, ponieważ zawsze istnieją pewne siły oporu ruchu, np. powietrza działającego na przedmiot. Przyspieszenie grawitacyjne g zależy nieznacznie od położenia nad powierzchnią Ziemi, więc siła ciężkości działająca na ciało zależy od jego położenia. Nie jest ona jedynie własnością danego ciała. Ciężar ciał zmienia się istotnie, gdy opuścimy Ziemię. Na przykład na Księżycu przyspieszenie grawitacyjne wynosi jedynie 1,7 m/s 2 . Obiekt o masie 1 kg doznaje na Ziemi działania siły ciężkości o wartości 9,8 N, natomiast na Księżycu jedynie 1,7 N. Najogólniejszą definicją siły ciężkości, czyli ciężaru ciała, jest siła oddziaływania tego ciała z najbliższym i dużym obiektem, takim jak Ziemia, Księżyc czy Słońce. Jest to najczęściej używana definicja siły ciężkości w fizyce. Różni się ona znacząco od definicji ciężaru używanej przez NASA czy media publiczne. Gdy mówią oni o „stanie nieważkości” albo „mikrograwitacji”, odnoszą się do zjawiska, które my określamy jako spadek swobodny. Będziemy używać podanej wyżej definicji ciężaru jako siły Q → , będącej wynikiem oddziaływania kuli ziemskiej z masą m , i będziemy rozróżniać spadek swobodny i faktyczną nieważkość. Pamiętaj, że masa i ciężar to dwie odrębne wielkości fizyczne, mimo że są sobie dość bliskie. Masa to pewna własność danego ciała, mówiąca o ilości materii w nim zawartej. Ilość materii zawartej w danym ciele określona jest przez liczbę tworzących je atomów i cząsteczek. Ponieważ ilość materii w danym ciele jest stała, w fizyce newtonowskiej masa jest parametrem stałym. Nie zmienia się więc reakcja ciała na przyłożoną siłę zewnętrzną. Natomiast ciężar zależy od przyspieszenia grawitacyjnego. Na przykład osoba znajdująca się w obniżeniu terenu, bliżej środka kuli ziemskiej, ma ciężar nieznacznie większy niż osoba ulokowana wysoko na wzniesieniu, mimo że mają taką samą masę. To bardzo kuszące, aby utożsamić definicje ciężaru i masy obiektu, ponieważ badane ciało najczęściej znajduje się przy powierzchni Ziemi, gdzie ciężar obiektu zmienia się bardzo nieznacznie w zależności od jego lokalizacji. Ponadto, trudno jest policzyć ilość i zidentyfikować wszystkie atomy i molekuły w danym obiekcie, więc masa ciała rzadko jest określana jako miara liczby molekuł w ciele. Jeśli weźmiemy pod uwagę sytuację, w której g → jest na Ziemi stałe, widzimy wówczas, że ciężar Q → jest wprost proporcjonalny do masy m . Skoro Q → = m g → , oznacza to, że im bardziej masywny jest obiekt, tym większy jego ciężar. Masa obiektu jest operacyjnie definiowana poprzez porównanie ze wzorcem kilograma, tak jak omówione to zostało w rozdziale Jednostki i pomiary . Porównując obiekt znajdujący się na Ziemi i Księżycu, zauważymy znaczne różnice w jego ciężarze, ale nie w masie. Dla przykładu, na Ziemi obiekt o masie 5 kg ma ciężar 49 N, natomiast na Księżycu, gdzie g wynosi 1,67 m/s 2 , ciężar ten to jedynie 8,4 N. Masa obiektu nie ulega zmianie i wynosi 5 kg zarówno na Księżycu, jak i na Ziemi. Porządkowanie pola uprawnego Rolnik oczyszcza swoje pole uprawne z kamieni. Podnosi kamień o ciężarze 180 N. Jaką siłą musi zadziałać na kamień, jeśli przyspieszenie kamienia wynosi 1,5 m/s 2 ? Strategia rozwiązania W treści zadania podano ciężar kamienia, dla którego musimy znaleźć siłę wypadkową. Musimy jednak znaleźć również masę kamienia, aby móc zastosować drugie prawo Newtona. Zatem konieczne jest skorzystanie z relacji: Q = m g w celu znalezienia masy kamienia. Rozwiązanie Jak widać na poniższym rysunku, żadne siły nie działają w kierunku poziomym, więc możemy skoncentrować się jedynie na analizie sił pionowych. Kierunek przyspieszenia kamienia oznaczono z boku rysunku. Ma to na celu uzmysłowienie, że obiekt przyspiesza do góry (więc zwrot siły wypadkowej jest skierowany w górę). Q = m  g  , m = Q g = 180 N 9,8 m / s 2 = 18 kg  , ∑ F = m  a  , F - Q = m  a  , F - 180 kg = 18 kg ⋅ 1,5 m / s 2  , F - 180 kg = 27 N  , F = 207 N = 210 N  (po zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących). Znaczenie Aby móc zastosować drugie prawo Newtona w celu rozwiązania zadania, czasami musimy użyć innych równanań, takich jak związek pomiędzy masą a ciężarem lub jedno z kinematycznych równań ruchu. Sprawdź, czy rozumiesz. Dla przypadku z , znajdź przyspieszenie kamienia, gdy rolnik działa na kamień siłą 230 N skierowaną w górę. a = 2,78 m/s 2 Czy umiałbyś uniknąć lądowania na kamienistym polu, zanim skończyłoby się paliwo w twojej rakiecie, tak jak zrobił to Neil Armstrong w 1969 roku? W linku klasyczna gra wideo znajdziesz pewien rodzaj gry wideo, w której możesz zasymulować rzeczywisty ruch lądownika, znając jego masę, siłę ciągu dysz rakietowych oraz grawitację Księżyca. W rzeczywistości sterowanie lądownikiem jest bardzo trudne. Zapoznaj się z symulacją , w której możesz zmieniać położenie Słońca, Ziemi, Księżyca czy stacji kosmicznych, aby zaobserwować wpływ na ich wzajemne oddziaływanie grawitacyjne i orbity. Zasymuluj różne rozmiary i odległości między różnymi ciałami niebieskimi. Zobacz, jak zachowa się układ po wyłączeniu grawitacji. Podsumowanie Masa jest miarą ilości materii w danym ciele. Ciężar ciała, czyli jego siła ciężkości, to wypadkowa siła działająca na ciało podczas spadku swobodnego. Ciała doznają przyspieszenia na skutek działania pola grawitacyjnego. Podczas spadku swobodnego na Ziemi ciała doznają również działania sił oporu powietrza. Dlatego też spadek swobodny jest tylko pewnym modelem (przybliżeniem). Rozróżniamy pomiędzy spadkiem swobodnym a stanem nieważkości. Definiujemy ciężar jako wynik działania pola grawitacyjnego na ciało w nim się znajdujące. Pytania Jaka jest zależność pomiędzy masą a ciężarem? Która z tych wielkości jest własnością ciała, a nie funkcją położenia w polu grawitacyjnym? Jaki jest ciężar astronauty o masie 70 kg znajdującego się w kosmosie, daleko od jakiegokolwiek ciała niebieskiego? Jaka jest jego masa w tym miejscu? Astronauta w kosmosie pozostaje w stanie nieważkości, ponieważ w jego pobliżu nie znajduje się żadne większe ciało (planeta bądź gwiazda) będące źródłem pola grawitacyjnego. Jego masa wynosi 70 kg niezależnie od miejsca, w którym się znajduje. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? Masa i ciężar to ta sama wielkość fizyczna, lecz wyrażona w innych jednostkach. Gdy ciało nie ma ciężaru, jego masa również musi być zerowa. Jeżeli ciężar danego ciała jest zmienny, zmienna musi być również jego masa. Masa i bezwładność ciała to pojęcia ze sobą niepowiązane. Ciężar ciała jest wielkością zawsze proporcjonalną do jego masy. Gdy znajdujesz się na Ziemi, twoje stopy działają na powierzchnię Ziemi siłą równą twojemu ciężarowi. Dlaczego na skutek tego kula ziemska nie doznaje przyspieszenia? Siła, którą działasz na kule ziemską (siła kontaktowa równa twojemu ciężarowi), jest bardzo mała. Masa Ziemi jest nieporównywalnie większa niż twoja. Dlatego też przyspieszenie kuli Ziemskiej w wyniku działania twojego ciężaru jest bardzo małe. Aby to zrozumieć, zastosuj drugie prawo Newtona w celu obliczenia przyspieszenia kuli ziemskiej, zakładając, że twój ciężar wynosi 600 N, a masa Ziemi to 6,00 ⋅ 10 24 kg . Jak można zapisać wartość przyspieszenia ziemskiego g → w formie wektorowej? Zadania Ciężar astronauty wraz z kombinezonem na Księżycu wynosi tylko 250 N. Jaki jest ciężar astronauty (w kombinezonie) na Ziemi? Jaka jest jego masa na Ziemi, a jaka na Księżycu? Q Księżyc = m g Księżyc m = 150 kg Q Ziemia = 1,5 ⋅ 10 3 N Masa astronauty w kombinezonie jest taka sama, niezależnie od tego, gdzie się znajduje, wynosi zawsze 150 kg . Załóżmy, że masa całkowicie obładowanego statku, którym astronauta opuszcza powierzchnię Księżyca, wynosi 1,00 ⋅ 10 4 kg. Siła ciągu dysz rakietowych wynosi 3,00 ⋅ 10 4 N. Oblicz wartość pionowego przyspieszenia statku podczas opuszczania Księżyca. Czy mógłby oderwać się od Ziemi? Jeżeli nie, to dlaczego? Jeżeli tak, oblicz wartość przyspieszenia statku podczas opuszczania Ziemi. Sanie rakietowe przyspieszają z przyspieszeniem równym 49,0 m/s 2 . Masa pasażera wynosi 75 kg. Oblicz poziomą wartość siły, z jaką pasażer w saniach działa na siedzenie. Porównaj tę siłę z ciężarem pasażera. Znajdź kierunek i wartość siły wypadkowej działającej na pasażera podczas ruchu sań. F h = 3,68 ⋅ 10 3 oraz Q = 7,35 ⋅ 10 2 N F h Q = 5 razy większe niż ciężar pasażera F wyp = 3 750 N θ = 11 , 3 ∘ względem kierunku poziomego Pomyśl jeszcze raz o saniach rakietowych z poprzedniego zadania. Załóż teraz, że zwalniają one z opóźnieniem 201 m/s 2 . W tym przypadku siła wywierana jest na pasażera przez pasy bezpieczeństwa. Siła o wartości 25 N działa na ciało o masie 2 kg w kierunku pionowym w górę. Jakie przyspieszenie uzyskało ciało? Q = 19,6 N F wyp = 5,40 N F wyp = m a ⇒ a = 2,70 m/s 2 Samochód o ciężarze 12 500 N przyspiesza od prędkości zerowej do 83 km/h w jedynie 5 s. Siła tarcia wynosi 1350 N. Znajdź siłę ciągu silnika samochodu. Ciało o masie 10 kg znajduje się w polu grawitacyjnym Ziemi o natężeniu g = 9,80 m/s 2 . Jaka siła wypadkowa działa na to ciało, jeśli nie występują żadne inne siły zewnętrzne? 98 N Strażak o masie m usłyszał syrenę strażacką, więc zjechał po rurze w dół z przyspieszeniem a (które ma mniejszą wartość niż g ). Napisz równanie pozwalające na obliczenie pionowej siły, którą strażak działa na rurę; Jeżeli jego masa wynosi 90 kg, a przyspieszenie, z którym zjeżdża po rurze, wynosi 5,00 m/s 2 , jaka jest wartość siły, którą strażak działa na rurę? Bejsbolista wykonuje pokaz swoich możliwości do reklamy telewizyjnej: łapie piłkę o masie 145 g upuszczoną z wysokości 60 m powyżej poziomu jego rękawicy. Udało mu się zatrzymać piłkę w czasie 0,01 s. Jaka jest siła wywierana przez rękawicę bejsbolisty na piłkę w momencie kontaktu? Pomiń opór powietrza. 497 N Na poniższym rysunku pokazano ułożenie Księżyca względem Ziemi i Słońca. Siła oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy Ziemią a Księżycem wynosi F Z K , natomiast między Księżycem a Słońcem F S K . Siły te są do siebie prostopadłe. Wartości tych sił wynoszą odpowiednio F Z K = 1,98 ⋅ 10 20 N oraz F S K = 4,36 ⋅ 10 20 N . Pozostałe siły zaniedbujemy. Wiedząc, że masa Księżyca wynosi 7,35 ⋅ 10 22 kg , wyznacz całkowite przyspieszenie Księżyca. spadek swobodny (ang. free fall ) swobodny ruch ciał pod wpływem działania jedynie siły ciężkości ciężar (ang. weight ) siła będąca wynikiem oddziaływania grawitacyjnego między kulą Ziemską a masą znajdująca się w jej polu grawitacyjnym

Science