Siła dośrodkowa W rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach analizowaliśmy podstawy ruchu po okręgu. Ciało poruszające się po torze kołowym, jak na przykład samochody wyścigowe przedstawione na początku tego rozdziału, musi posiadać przyspieszenie, ponieważ ciągle zmienia się kierunek wektora jego prędkości. Wykazaliśmy, że przyspieszenie skierowane do środka okręgu, zwane przyspieszeniem dośrodkowym , jest wyrażone wzorem: a d = v 2 r gdzie v oznacza prędkość ciała skierowaną stycznie w punkcie do toru ruchu ciała. Jeśli znamy prędkość kątową ciała ω , możemy wykorzystać następującą zależność: a d = r ω 2 . Przyspieszenie kątowe opisuje szybkość, z jaką ciało pokonuje zakręt, wyrażoną w rad/s. Przyspieszenie, o którym była mowa, działa wzdłuż promienia krzywizny toru i nazywane jest również przyspieszeniem normalnym lub radialnym. Przyspieszenie powstaje zawsze na skutek działania jakiejś siły. Przyspieszenie dośrodkowe może zostać wywołane przez dowolną siłę lub układ sił działających na ciało. Przykładami mogą być siła naciągu liny wahadła, siła grawitacji wywierana przez Ziemię na Księżyc, tarcie między łyżworolkami a podłożem, siła wywierana na samochód na zakręcie, czy też siła wywierana na obiekty w wirówce. Każda siła wypadkowa wywołująca jednostajny ruch po okręgu nazywana jest siłą dośrodkową (ang. centripetal force ). Jest ona zawsze skierowana wzdłuż promienia krzywizny toru, podobnie jak przyspieszenie dośrodkowe. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona siła jest iloczynem masy i przyspieszenia: F wyp = m a . W jednostajnym ruchu po okręgu przyspieszenie jest równe przyspieszeniu dośrodkowemu: a = a d . Stąd wartość siły dośrodkowej F d wynosi: F d = m a d . Podstawiając wyrażenie na przyspieszenie dośrodkowe a d ( a d = v 2 / r ; a d = r ω 2 ) , otrzymujemy dwa równania na siłę dośrodkową F d pokazujące jej zależność od masy, prędkości, prędkości kątowej i promienia krzywizny: F d = m v 2 r ; F d = m r ω 2 . Oba równania wyrażają to samo, więc możemy je stosować zamiennie. Siła dośrodkowa F → d jest zawsze prostopadła do toru i skierowana jest do środka jego krzywizny, ponieważ a → d jest prostopadłe do prędkości i skierowane do środka krzywizny toru. Zwróć uwagę, że jeśli przekształcisz pierwsze wyrażenie tak, aby obliczyć r , otrzymasz: r = m v 2 F d . Oznacza to, że w przypadku danej masy i prędkości duża siła dośrodkowa powoduje mały promień krzywizny, jak to zostało przedstawione na . Siła dośrodkowa jest prostopadła do wektora prędkości i wywołuje jednostajny ruch po okręgu. Im większa jest siła dośrodkowa F d , tym mniejszy jest promień krzywizny r toru, zaś gdy siła dośrodkowa F d jest mniejsza, to promień krzywizny r ′ jest większy (przy założeniu tej samej prędkości v ). Jaki powinien być współczynnik tarcia, aby bezpiecznie pokonać zakręt? (a) Oblicz siłę dośrodkową wywieraną na auto o masie 900,0 kg, które pokonuje zakręt o promieniu krzywizny 500,0 m z prędkością 25,00 m/s. (b) Zakładając, że zakręt jest płaski, oblicz minimalny współczynnik tarcia statycznego pomiędzy oponami i drogą, aby auto nie wpadło w poślizg ( ). Samochód odjeżdża od obserwatora i skręca w lewo na płaskiej powierzchni. Siła dośrodkowa powodująca zakrzywienie toru powstaje na skutek działania siły tarcia pomiędzy oponami i podłożem. Aby auto nie wypadło z drogi, potrzebny jest odpowiednio duży współczynnik tarcia. Wówczas samochód będzie poruszał się po torze kołowym o założonym promieniu krzywizny. Strategia rozwiązania Wiemy, że F d = m v 2 / r . Zatem F d = m v 2 r = 900 , 0 k g ⋅ ( 25 , 00 m / s ) 2 500 , 0 m = 1125 N . pokazuje siły działające na samochód na płaskim zakręcie. Tarcie skierowane w lewo chroni auto przed poślizgiem, a ponieważ tarcie jest jedyną siłą działającą w płaszczyźnie poziomej, to tarcie w tym przypadku jest równe sile dośrodkowej. Wiemy, że maksymalna siła tarcia statycznego (przy której koła się obracają, a nie ślizgają) jest równa μ s R , gdzie μ s jest współczynnikiem tarcia statycznego, a R jest siłą normalną. Siła normalna co do wartości jest równa ciężarowi samochodu na płaszczyźnie poziomej, więc R = m g . Zatem siła dośrodkowa w tym przypadku jest równa F d = T = μ s R = μ s m g . Otrzymaliśmy w ten sposób zależność pomiędzy siłą dośrodkową i współczynnikiem tarcia. Korzystając z zależności F d = m v 2 r , otrzymujemy m v 2 r = μ s m g . Przekształcając to równanie tak, aby obliczyć μ s , dochodzimy do zależności μ s = v 2 r g . Podstawiając wielkości dane w treści zadania, obliczamy wartość współczynnika tarcia statycznego μ s = ( 25 , 00 m / s ) 2 500 , 0 m ⋅ 9 , 80 m / s 2 = 0 , 13. Znaczenie Współczynnik tarcia obliczony w zadaniu jest dużo mniejszy od wartości zazwyczaj wymienianych jako współczynnik tarcia między oponą a asfaltem. Jeśli współczynnik ten byłby większy niż 0,13, to samochód nadal pokonywałby zakręt, ponieważ tarcie statyczne jest siłą zdolną przyjmować wartości mniejsze lub równe μ s R . Większy współczynnik tarcia pozwoliłby również na pokonanie zakrętu z większą prędkością, zaś gdyby współczynnik ten był mniejszy, to bezpieczna prędkość byłaby niższa niż 25 m/s. Zwróć uwagę, że współczynnik tarcia nie zależy od masy, co oznacza, że pokonanie zakrętu bez poślizgu na płaskiej powierzchni nie będzie zależne od tego, jak ciężkie jest auto. Nieco inaczej sytuacja wygląda w przypadku, gdy zakręt jest nachylony a nie płaski. Wówczas siła normalna będzie mniejsza. Dokładniej opiszemy to w następnym przykładzie. Sprawdź, czy rozumiesz. Samochód poruszający się z prędkością 96,8 km/h pokonuje zakręt o promieniu krzywizny 182,9 m na płaskiej, polnej drodze. Ile musi wynosić współczynnik tarcia, aby samochód nie wpadł w poślizg i nie wypadł z drogi? 0,40 Profilowany zakręt Rozważmy teraz ruch po wyprofilowanym (pochylonym) zakręcie (ang. banked curve ), gdzie nachylenie drogi pomaga nam ten zakręt pokonać ( ). Im większy jest kąt pochylenia drogi θ , tym szybciej możesz przejechać przez zakręt. Tory wyścigowe dla rowerów, jak również dla samochodów, często mają stromo pochylone zakręty. Idealnie wyprofilowany zakręt to taki, który mógłbyś przejechać z daną prędkością bez udziału tarcia pomiędzy oponami a podłożem. Wyprowadźmy zatem wzór na kąt pochylenia drogi θ w przypadku takiego idealnie wyprofilowanego zakrętu. Auto na pochyłym zakręcie oddala się od obserwatora i skręca w lewo. Dla idealnie nachylonego zakrętu (ang. ideal banking ) wypadkowa sił zewnętrznych jest równa sile dośrodkowej (bez udziału tarcia). Składowe siły normalnej R w kierunku poziomym i pionowym muszą być równe odpowiednio sile dośrodkowej i ciężarowi samochodu. W sytuacji, w której siły nie są równoległe, najlepiej jest rozważyć składowe wzdłuż prostopadłych osi – w tym przypadku w kierunku pionowym i poziomym. przedstawia rozkład sił działających na samochód na gładkim, pochyłym zakręcie. Jeśli kąt θ jest optymalny, to wypadkowa sił zewnętrznych jest równa sile dośrodkowej. Na samochód działają dwie siły zewnętrzne: ciężar Q → oraz siła normalna prostopadła do drogi R → . (Gładka powierzchnia może wywierać jedynie siłę prostopadłą do powierzchni - czyli siłę normalną). Suma tych dwóch sił daje siłę wypadkową, która skierowana jest poziomo do środka krzywizny zakrętu i ma wartość m v 2 / r . Ponieważ siła ta jest pozioma, używamy układu współrzędnych z pionowymi i poziomymi osiami. Tylko siła normalna ma składową poziomą, więc pełni ona rolę siły dośrodkowej: R sin θ = m v 2 r . Skoro samochód nie odrywa się od powierzchni drogi, to wypadkowa sił działających w pionie musi być równa zero. Oznacza to, że pionowe siły bądź ich składowe muszą być równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Z wynika, że jedynymi siłami działającymi w pionie są: składowa pionowa siły normalnej R cos  θ oraz siła ciężkości. Muszą być one równe co do wartości, zatem N cos θ = m g . Teraz możemy powiązać te dwa równania, aby wyznaczyć R i otrzymać wyrażenie na θ . Przekształćmy drugie równanie do postaci R = m g / cos  θ i podstawmy do pierwszego równania. Wówczas otrzymamy: m g sin θ cos θ = m v 2 r m g tg θ = m v 2 r tg θ = v 2 r g . Za pomocą funkcji odwrotnej do tangensa (arcus tangens) wyznaczamy wyrażenie na wartość kąta w postaci: θ = arctg ( v 2 r g ) . Wyrażenie to pomaga zrozumieć, jaki jest związek pomiędzy θ i v oraz r . Duża wartość kąta θ występuje dla dużych prędkości v i małego promienia krzywizny r . Oznacza to, że drogi muszą być stromo nachylone, aby można było ostre zakręty pokonywać z dużą prędkością. Dodatkowo pomocne okazuje się tarcie, które pozwala pokonywać zakręt z większą prędkością niż w przypadku gładkiej powierzchni drogi. Zwróć uwagę, że θ nie zależy od masy pojazdu. Jaka jest idealna szybkość, aby pokonać stromo nachylony, wąski zakręt? Zakręty na torach wyścigowych są często bardzo stromo pochylone. Taka geometria zakrętu w połączeniu z tarciem kół o asfalt oraz odpowiednio stabilną konstrukcją samochodu pozwala pokonywać zakręty z bardzo dużą prędkością. Dla zobrazowania tej zależności oblicz prędkość, z jaką można przejechać gładki zakręt o promieniu krzywizny 100,0 m nachylony pod kątem 31 ∘ . Strategia rozwiązania Zauważmy, że wszystkie wielkości potrzebne do obliczenia kąta nachylenia idealnie wyprofilowanego zakrętu są dane. W związku z tym wystarczy, że przekształcimy to równanie tak, aby otrzymać z niego zależność na szukaną prędkość. Rozwiązanie Zaczynając od tg θ = v 2 r g , po przekształceniu otrzymujemy równanie v = r g tg θ . Wiedząc, że tg  31 ∘ = 0 , 609 , otrzymujemy następującą wartość liczbową: v = 100 , 0 m ⋅ 9 , 80 m s 2 ⋅ 0 , 609 = 24 , 4 m s . Znaczenie Wartość ta odpowiada prędkości 165 km/h, z jaką można pokonywać raczej stromo nachylone i ostre zakręty. Uwzględnienie dodatkowo tarcia opon o podłoże pozwala znacząco zwiększyć dopuszczalną prędkość. Samoloty również przechylają się, gdy wykonują zakręt. Siła nośna działa pod kątem prostym do powierzchni skrzydeł. Gdy samolot przechyla się, uzyskuje większą siłę nośną niż wymagana na tej wysokości. Pionowa składowa siły nośnej równoważy ciężar samolotu, zaś pozioma składowa jest przyczyną jego przyspieszenia dośrodkowego. Kąt przechylenia jest oznaczony na za pomocą symbolu θ . Analiza sił przebiega tu w sposób analogiczny jak w zadaniu z samochodem pokonującym stromy zakręt. Podczas wykonywania zakrętu składowa pozioma siły nośnej nie jest zrównoważona żadną inną siłą i staje się przyczyną przyspieszenia dośrodkowego. Z kolei składowa pionowa równoważy ciężar samolotu. Kąt przechylenia samolotu jest oznaczony jako θ . Porównaj graficzny rozkład sił działających na samolot z rozkładem sił przedstawionych na . Uruchom symulację i przyłącz się do biedronki , by wraz z nią odkrywać ruch po okręgu. Zakręć karuzelą, wybierając stałą prędkość kątową lub stałe przyspieszenie kątowe. Sprawdź, jak ruch obrotowy wpływa na położenie x y , prędkość i przyspieszenie biedronki, posługując się odpowiednimi wykresami i wektorami. Warunkiem istnienia ruchu po okręgu jest działanie tzw. siły dośrodkowej, która skierowana jest wzdłuż promienia, do wewnątrz toru kołowego. Uproszczony model karuzeli obrazuje tę siłę. Siły bezwładności, układy nieinercjalne i siła Coriolisa Co mają ze sobą wspólnego: start samolotu odrzutowego, pokonywanie zakrętu samochodem, jazda na karuzeli i ruch obrotowy cyklonu tropikalnego? W każdej sytuacji występują siły bezwładności, które wydają się wynikać z ruchu, ponieważ układ odniesienia obserwatora przyspiesza lub obraca się. Zapewne większość ludzi stwierdzi, że podczas startu samolotu pasażerowie są wciskani w fotel, ponieważ samolot przyspiesza wzdłuż pasa startowego. Z kolei fizyk patrzący na sytuację z zewnątrz stwierdzi, że pasażer pozostaje nieruchomy, podczas gdy fotel naciska na człowieka. Jeszcze powszechniej znane są doznania pojawiające się, kiedy kierowca samochodu wykonuje ostry zakręt – na przykład w prawo, jak to zostało przedstawione na . Osoba kierująca czuje, jakby była wyrzucana w lewo względem samochodu i wciskana w drzwi auta. Jeśli na tylnym siedzeniu znajduje się jakiś przedmiot, np. piłka, to zacznie ona turlać się w lewo względem siedzenia. Z kolei fizyk obserwujący sytuację z zewnątrz stwierdziłby, że piłka porusza się po linii prostej, zaś to samochód porusza się w prawo. (a) Piłka turla się w lewo, kiedy kierowca wykonuje skręt w prawą stronę. Jest to siła inercjalna wynikająca z wybrania samochodu jako układu odniesienia. (b) W układzie odniesienia związanym z Ziemią, piłka porusza się po linii prostej, przestrzegając pierwszej zasady dynamiki Newtona, zaś samochód porusza się w prawo. Nie występuje siła działająca na piłkę skierowana w lewo w stosunku do Ziemi. Możemy pogodzić te punkty widzenia, sprawdzając użyte układy odniesienia. Skupmy się na osobie w aucie. Pasażerowie instynktownie używają samochodu jako układu odniesienia, a fizycy chętniej będą odnosić się do Ziemi. Fizyk dokonuje takiego wyboru, ponieważ Ziemia jest niemal inercjalnym układem odniesienia, w którym wszystkie siły mają zidentyfikowane pochodzenie fizyczne. W takim układzie odniesienia zasady dynamiki Newtona przyjmują formę przedstawioną w rozdziale Zasady dynamiki Newtona . Samochód stanowi nieinercjalny układ odniesienia (ang. non-inertial frame of reference ), ponieważ porusza się on z niezerowym przyspieszeniem względem układu inercjalnego (Ziemi). Siła wyczuwana przez pasażerów i skierowana w lewo nazywana jest siłą bezwładności (ang. inertial force ), nie mającą fizycznego pochodzenia (jest spowodowana bezwładnością pasażera, a nie fizyczną przyczyną, taką jak napięcie, tarcie lub grawitacja). Samochód, a także kierowca, faktycznie przyspieszają w prawo. Fizyk wybiera dowolny układ odniesienia najbardziej dogodny dla analizowanej sytuacji. Może równie dobrze uwzględnić siły bezwładności i drugą zasadę dynamiki Newtona, jeśli takie podejście jest wygodniejsze, na przykład dla ciał fizycznych na karuzeli lub na obracającej się planecie. Nieinercjalne (przyspieszane) układy odniesienia stosuje się wówczas, gdy jest to użyteczne w odniesieniu do analizowanego zagadnienia. W dyskusji o ruchu astronauty w kosmosie, który przemieszcza się z prędkością zbliżoną do prędkości światła, należy rozważyć różne układy odniesienia, z czego zdasz sobie sprawę podczas rozważań na temat szczególnej teorii względności. Wyobraźmy sobie jazdę na szybko obracającej się karuzeli ( ). Wybieramy karuzelę jako układ odniesienia, ponieważ obraca się on razem z nami. W tym nieinercjalnym układzie odniesienia czujemy działanie siły bezwładności, która wyrzuca nas na zewnątrz. Jednak jest to wyłącznie siła pozorna. Potocznie nazywamy ją siłą odśrodkową (nie mylić z siłą dośrodkową). W układzie odniesienia związanym z Ziemią nie ma siły, która chciałaby cię wyrzucić na zewnątrz, gdyż siła odśrodkowa to twór czysto umowny. Owszem, musisz kurczowo trzymać się karuzeli, ale po to, by poruszać się po okręgu i nie wypaść z niego po linii prostej do przodu. (a) Dziecko na karuzeli czuje, jakby było z niej wyrzucane. Siła bezwładności jest czasami mylnie nazywana siłą odśrodkową w celu wyjaśnienia ruchu jeźdźca w obracającym się układzie odniesienia. (b) W inercjalnym układzie odniesienia, zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, bezwładność unosi jeźdźca po linii prostej stycznie do toru (cień jeźdźca pokazuje przypadek, gdy F wyp = 0 ). Siła F dośrodkowa jest niezbędna, aby zakrzywiać tor ruchu. Ruch po okręgu oraz siły bezwładności skutecznie wykorzystuje się w wirówkach ( ). Wirówka bardzo szybko obraca próbką w probówce. Z punktu widzenia obserwatora w obracającym się układzie odniesienia siła bezwładności wyrzuca cząstki na zewnątrz, przyspieszając ich osiadanie. Im większa jest prędkość kątowa, tym większa jest siła odśrodkowa. Jednakże tak naprawdę to bezwładność kieruje cząstki wzdłuż linii stycznej do okręgu, podczas gdy probówka jest kierowana po torze kołowym za pomocą siły dośrodkowej. Wirówki wykorzystują bezwładność do wykonywania swoich zadań. Cząsteczki w osadach płynnych osadzają się, ponieważ ich bezwładność unosi je na zewnątrz od osi obrotu. Duża prędkość kątowa wirówki przyspiesza sedymentację. Ostatecznie cząstki stykają się z ściankami rurki testowej, które następnie dostarczają siłę dośrodkową potrzebną do poruszania się po okręgu o stałym promieniu. Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeśli ciało się porusza w obracającym się układzie odniesienia. Na przykład jeśli puścisz piłkę bezpośrednio ze środka karuzeli, jak przedstawiono na . Piłka porusza się po linii prostej w stosunku do Ziemi (zakładając pomijalne tarcie) i po torze zakrzywionym w prawo w stosunku do karuzeli. Osoba stojąca obok karuzeli widzi piłkę poruszającą się prosto, zaś pod nią kręcącą się karuzelę. W układzie odniesienia związanym z karuzelą wyjaśniamy zakrzywienie toru piłki w prawo, stosując siłę bezwładności zwaną siłą Coriolisa (ang. Coriolis force ). Siła Coriolisa może być użyta w tym układzie odniesienia, aby wyjaśnić, dlaczego obiekty poruszają się po zakrzywionych torach i tym samym pozwala na stosowanie zasad dynamiki Newtona w nieinercjalnych układach odniesienia. Gdy spoglądamy z góry na ruch obrotowy karuzeli w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zauważamy, że piłka przesuwana prosto od środka w stronę krawędzi porusza się po torze zakrzywionym w prawo. Osoba przesuwa piłkę od punktu A do punktu B. Oba punkty obracają się do pozycji A' i B' w tym samym czasie, gdy piłka porusza się po zakrzywionym torze w obracającym się układzie odniesienia i po linii prostej w układzie odniesienia związanym z Ziemią. Do tej pory uważaliśmy Ziemię za inercjalny układ odniesienia, nie troszcząc się wcale lub niewiele o skutki spowodowane jej obrotem. Istnieją jednak takie skutki i nie można ich pominąć - na przykład w stosunku do zjawisk pogodowych. Większość konsekwencji obrotu Ziemi może być jakościowo rozumiana przez analogię z karuzelą. Gdyby spojrzeć z góry na biegun północny, Ziemia obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, podobnie jak karuzela na . Podobnie jak na karuzeli, każdy ruch na półkuli północnej Ziemi doświadcza działania siły Coriolisa na prawo. Odwrotnie dzieje się na półkuli południowej. Tam siła jest skierowana w lewo. Ponieważ prędkość kątowa Ziemi jest mała, siła Coriolisa jest znikoma, ale dla ruchów w dużej skali, takich jak wiatr, prądy powietrzne, ten efekt jest znaczący. Siła Coriolisa powoduje, że huragany na półkuli północnej obracają się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, podczas gdy cyklony tropikalne na półkuli południowej obracają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. (Określenia huragan, tajfun i tropikalna burza to specyficzne dla regionu nazwy cyklonów, które są systemami burzowymi charakteryzującymi się ośrodkami niskiego ciśnienia, silnymi wiatrami i deszczami). pomaga wyjaśnić, jak się to odbywa. Powietrze płynie w kierunku dowolnego obszaru niskiego ciśnienia. Jako że tropikalne cyklony zawierają szczególnie niskie ciśnienia, wiatr dociera do ich środka lub do centrum systemu pogodowego o niskim ciśnieniu. Na półkuli północnej te wewnętrzne wiatry są odchylane w prawo, jak pokazano na rysunku, wytwarzając obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara na powierzchni dowolnych stref niskiego ciśnienia. Niskie ciśnienie na powierzchni wiąże się z unoszącym się powietrzem, co powoduje również chłodzenie i tworzenie się chmur. Sprawia to, że charakterystyczne obrazy niskociśnieniowe są często dobrze widoczne z kosmosu. Z drugiej strony, cyrkulacja powietrza w strefach wysokiego ciśnienia jest zgodna z ruchem wskazówek zegara na półkuli południowej, ale jest mniej widoczna, ponieważ wysokie ciśnienie wiąże się z opadającym powietrzem, wywołując czyste, bezchmurne niebo. (a) Obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara huraganu na półkuli północnej jest główną konsekwencją siły Coriolisa. (b) Bez siły Coriolisa powietrze wpłynęłoby prosto do strefy niskiego ciśnienia, jaka występuje w tropikalnych cyklonach. (c) Siła Coriolisa zakrzywia kierunek wiatru w prawo, powodując obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. (d) Wiatr wypływający ze strefy wysokiego ciśnienia jest również odchylany w prawo, powodując obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara. (e) Przeciwny kierunek obrotów jest wytwarzany przez siłę Coriolisa na półkuli południowej, co prowadzi do tropikalnych cyklonów. (rysunki a i e: zmodyfikowane na podstawie materiałów NASA). Ruch obrotowy cyklonów tropikalnych i zakrzywiony tor ruchu piłki na karuzeli można wyjaśnić bezwładnością i obrotem układu, w którym te obiekty znajdują się pod spodem. Jeśli wykorzystywane są układy nieinercjalne, należy znaleźć siłę bezwładności, taką jak siła Coriolisa, aby wyjaśnić zakrzywiony tor ruchu. Nie ma żadnego możliwego do zidentyfikowania fizycznego źródła istnienia tych sił bezwładności. W inercjalnym układzie odniesienia bezwładność wyjaśnia tor ruchu, a żadna siła nie ma niezidentyfikowanego źródła. Każdy z tych poglądów pozwala opisać przyrodę, ale obserwacja prowadzona w inercjalnym układzie odniesienia jest najprostsza w tym sensie, że wszystkie siły mają swoje źródła i są łatwe do wyjaśnienia. Podsumowanie Siła dośrodkowa F → d jest siłą skierowaną do środka toru kołowego, po którym porusza się ciało. Jest ona prostopadła do prędkości liniowej i ma wartość F d = m a d . Obracające się i przyspieszane układy odniesienia nazywamy nieinercjalnymi. Siły bezwładności, takie jak siła Coriolisa, są bardzo pomocne, aby wyjaśnić ruch w tego typu układach. Jednakże są tzw. siłami pozornymi, tzn. są pojęciami czysto teoretycznymi, pozwalającymi na rozważanie zasad dynamiki Newtona w układach poruszających się z przyspieszeniem. Pytania Jeśli chcesz zmniejszyć naprężenia (związane z siłą dośrodkową) w oponach używanych do jazdy z dużą prędkością, użyjesz opon o dużej czy małej średnicy? Wyjaśnij swoją decyzję. Zdefiniuj siłę dośrodkową. Czy dowolny typ siły (na przykład napięcie, siła grawitacji, tarcie itd.) może być siłą dośrodkową? Czy dowolna kombinacja tych sił może stanowić siłę dośrodkową? Siła dośrodkowa jest definiowana jako dowolna siła wypadkowa powodująca jednostajny ruch po torze kołowym. Siła dośrodkowa nie jest nowym rodzajem siły. Odnosi się ona do jakiejkolwiek siły, która utrzymuje ciało w ruchu po okręgu. Siła ta może być naprężeniem, grawitacją, tarciem, przyciąganiem elektrycznym, normalną siłą lub jakąkolwiek inną siłą. Jakakolwiek ich kombinacja może być źródłem siły dośrodkowej, na przykład siła dośrodkowa działająca na kulkę na nitce obracaną w płaszczyźnie pionowej w jej najwyższym położeniu jest wynikiem zarówno naciągu nici, jak i ciężaru. Jeśli siła dośrodkowa skierowana jest „do środka”, to dlaczego czujesz „wyrzucanie” na zewnątrz, gdy samochód pokonuje zakręt? Wyjaśnij. Kierowcy wyścigowi zazwyczaj „ścinają” zakręt, jak to zostało przedstawione poniżej (tor 2). Wyjaśnij, dlaczego pozwala to pokonywać zakręt z większą prędkością? Kierowca, który „ścina” zakręt (tor 2) porusza się po torze o łagodniejszej krzywiźnie i większym promieniu. Jeśli kierowca zbyt szybko wejdzie w zakręt po torze nr 2, wyślizgnie się z toru. Kluczem jest utrzymanie maksymalnej wartości tarcia statycznego. Kierowca dąży do utrzymania maksymalnej prędkości i maksymalnego tarcia. Rozważmy równanie siły dośrodkowej: F d = m v 2 / r gdzie v jest szybkością a r jest promieniem krzywizny toru. Zatem zwiększając promień krzywizny toru (zmniejszając 1 / r ) zmniejszamy siłę, jaką opony muszą wywierać na drogę. Oznacza to, że możemy zwiększyć prędkość v . Patrząc na to z punktu widzenia kierowcy na torze 1 możemy to wyjaśnić w ten sposób: im ostrzejszy jest skręt, tym mniejsza jest krzywizna toru. Im mniejszy promień krzywizny, tym większa jest wymagana siła dośrodkowa. Jeśli siła dośrodkowa nie byłaby wywierana, to efektem byłby poślizg auta. Wiele parków rozrywki ma kolejki górskie, których tory tworzą pionowe pętle, jak pokazano poniżej. Ze względów bezpieczeństwa wagoniki są mocowane do szyn w taki sposób, aby nie mogły spaść. Jeśli samochód wjedzie na szczyt z odpowiednią prędkością v 0 , to sama grawitacja dostarczy siłę dośrodkową. Jaka inna siła działa i jaki jest jej kierunek, jeśli: (a) wagonik pokonuje najwyższy punkt toru szybciej niż v 0 ? (b) wagonik pokonuje najwyższy punkt toru wolniej niż v 0 ? Co powoduje, że woda jest usuwana z ubrań podczas wirowania? Bęben wirówki wywiera siłę dośrodkową na ubrania (zawierające krople wody), aby utrzymać je w ruchu po okręgu. Gdy kropla wody trafi do jednego z otworów w bębnie, będzie poruszać się po torze stycznym do okręgu i zostanie wyrzucona poza bęben. Narciarz zakreśla okrąg. Jaka siła odpowiada za zakrzywienie toru jego ruchu? Wykorzystaj diagram sił, aby uzasadnić odpowiedź. Wyobraźmy sobie dziecko jeżdżące na karuzeli, siedzące na koniku w połowie odległości między środkiem karuzeli a jej brzegiem. Trzyma ono pojemnik śniadaniowy na woskowanym papierze, więc tarcie między papierem z pojemnikiem i karuzelą jest znikome. Po jakiej krzywej będzie poruszać się pojemnik, jeśli dziecko go upuści? Jeśli poruszający się pojemnik pozostawia ślad na kurzu leżącym na karuzeli, to która krzywa reprezentuje ten ślad: prosta, zakrzywiona w prawo czy zakrzywiona w lewo? Odpowiedź uzasadnij. Jeśli nie ma tarcia, to nie występuje siła dośrodkowa. Oznacza to, że pojemnik będzie poruszał się wzdłuż ścieżki stycznej do okręgu, czyli ścieżki B . Ślad na kurzu będzie prosty. Jest to konsekwencja pierwszej zasady dynamiki Newtona. Czy czujesz, że jakaś siła „wyrzuca” cię na zewnątrz, kiedy pokonujesz zakręt, który jest idealnie wyważony dla twojego samochodu przy zadanej prędkości? Jaki jest kierunek siły, jaką fotel samochodowy wywiera na ciebie? Załóżmy, że ciężarek porusza się po torze kołowym na gładkim stole, jak pokazano na rysunku. W układzie odniesienia związanym z Ziemią nie ma siły odśrodkowej wyrzucającej masę z dala od środka obrotu, ale jest siła rozciągająca strunę, za pomocą której masa jest przymocowana do gwoździa. Używając pojęć związanych z siłą dośrodkową i trzecią zasadą dynamiki Newtona, wyjaśnij, jaka siła napina strunę, identyfikując jej fizyczne pochodzenie. Aby utrzymać ruch po okręgu konieczne jest działanie siły dośrodkowej, którą zapewnia gwóźdź na środku. Trzecia zasada dynamiki Newtona wyjaśnia to zjawisko. Siłą sprawczą (akcji) jest siła wywierana na masę przez strunę. Siłą reakcji jest siła wywierana przez masę na strunę. To właśnie siła reakcji powoduje, że struna jest napięta. Kiedy spłukujesz wodę w toalecie lub przepłukujesz zlewozmywak, woda (i inne materiały) obracają się wokół wewnątrz rury spustowej, przemieszczając się w dół. Zakładając brak początkowego ruchu obrotowego i przepływ początkowo po linii prostej w stronę rury, wyjaśnij, co powoduje obrót i jaki ma on kierunek na półkuli północnej. (Należy zwrócić uwagę, że jest to niewielki efekt, a w większości toalet obrót jest spowodowany przez kierunkowe dysze wodne.) Czy kierunek obrotów byłby odwrócony, gdyby woda została skierowana w górę rury spustowej? Samochód pokonuje zakręt na oblodzonym fragmencie drogi o bardzo małym współczynniku tarcia kinetycznego. Samochód zjeżdża z drogi. Opisz tor ruchu samochodu, gdy opuszcza drogę. Ponieważ tarcie opon o podłoże wywołuje siłę dośrodkową, a tarcie jest bliskie 0, to gdy samochód wjeżdża w lód, będzie poruszał się linii prostej stycznej to toru. Jest to zgodne z pierwszą zasadą dynamiki Newtona. Powszechnym błędnym wyobrażeniem jest to, że samochód będzie podążał po torze zakrzywionym. Podczas korzystania z jednej z atrakcji w parku rozrywki śmiałkowie wchodzą do dużej pionowej beczki i stoją pod ścianą na poziomej podłodze. Beczka jest wprawiana w ruch obrotowy, a podłoga opada. Ludzie czują się tak, jakby przypięto ich do ściany. Nie opadają w pionie, mimo że podłoga uciekła im spod nóg. Jest to siła bezwładności wyczuwana i używana przez śmiałków do wyjaśnienia zjawiska w obracającym się układzie odniesienia związanym z beczką. Wyjaśnij w inercjalnym układzie odniesienia (Ziemia jest prawie takim układem), co przytrzymuje ludzi przy ścianie i zidentyfikuj wszystkie działające siły. Dwaj przyjaciele toczą dyskusję. Anna mówi, że satelita na orbicie wykonuje spadek swobodny, ponieważ ciągle zbliża się do Ziemi. Tomek mówi, że satelita na orbicie nie wykonuje swobodnego spadku, ponieważ przyspieszenie grawitacyjne nie wynosi 9 , 80 m / s 2 . Z kim się zgadzasz i dlaczego? Anna ma rację. Satelita wykonuje spadek swobodny do Ziemi, nawet jeśli grawitacja jest słabsza na wysokości satelity i g nie jest równe 9,80 m/s 2 . Spadek swobodny nie zależy od wartości przyspieszenia ziemskiego g . Na przykład można doświadczyć spadku swobodnego również na Marsie, skacząc np. z Olympus Mons (najwyższy wulkan w Układzie Słonecznym). Nieinercjalny układ odniesienia umieszczony w centrum Słońca jest prawie idealnym układem inercjalnym. Dlaczego prawie? Dlaczego nie jest to po prostu układ inercjalny? Zadania Dziecko o masie 22 kg siedzi na karuzeli, która obraca się z prędkością 40 obr./min. Ile wynosi siła dośrodkowa wywierana na dziecko, jeśli siedzi ono w odległości 1,25 m od osi obrotu? Ile wynosi siła dośrodkowa wywierana na dziecko, jeśli karuzela obraca się z prędkością 3 obr./min, a dziecko siedzi w odległości 8 m od osi obrotu? Porównaj każdą z sił z ciężarem dziecka. a. 483 N; b. 17,4 N; c. 2,24, 0,0807 Oblicz siłę dośrodkową na końcu łopatki (o długości 100 m) w turbinie wiatrowej. Prędkość obrotowa łopatki wynosi 0,5 obr./s, zaś masa jest równa 4 kg. Jaki jest idealny kąt nachylenia zakrętu na drodze szybkiego ruchu, którego promień krzywizny wynosi 1,2 km, a ograniczenie prędkości jest równe 105 km/h. Zakładamy, że wszystkie samochody jadą z taką właśnie prędkością. 4 , 14 ∘ Z jaką prędkością powinno się pokonywać zakręt o promieniu krzywizny 100 m nachylony pod kątem 20 , 0 ∘ ? Jaki jest promień krzywizny zakrętu na torze bobslejowym nachylonego pod kątem 75 , 0 ∘ i pokonywanego z prędkością 30,0 m/s, zakładając, że jest on idealnie wyprofilowany? Oblicz przyspieszenie dośrodkowe. Czy Twoim zdaniem jest ono duże? 24,6 m; 36,6 m/s 2 ; 3,73 raza większe od g Jazda na rowerze polega m.in. na pochyleniu się pod właściwym kątem przy pokonywaniu zakrętu, jak widać poniżej. By być stabilnym, siła wywierana przez ziemię musi leżeć na linii przechodzącej przez środek ciężkości. Siłę nacisku na koło rowerowe można rozłożyć na dwie prostopadłe składowe: tarcie równoległe do drogi (zapewnia siłę dośrodkową) i pionową siłę normalną (która musi równać się ciężarowi układu). Wykaż, że θ (zdefiniowane jak na rysunku) jest związane z prędkością v i promieniem krzywizny r zakrętu w ten sam sposób, jak to było wykazane dla idealnie wyprofilowanego zakrętu: θ = arctg ( v 2 / r g ) . Oblicz θ podczas pokonywania zakrętu o promieniu krzywizny 30,0 m z prędkością 12,0 m/s. Jeśli auto pokonuje zakręt z prędkością mniejszą niż wskazana dla danej geometrii zakrętu, konieczne jest istnienie tarcia, aby uchronić auto przed ześlizgnięciem się do wewnętrznej części zakrętu (problem ten występuje np. na oblodzonych, krętych, górskich drogach). Oblicz, jaką prędkość powinien mieć samochód, by bez problemu przejechać przez zakręt o promieniu krzywizny 100,0 m nachylony pod kątem 15 ∘ . Jaki jest minimalny współczynnik tarcia konieczny, by utrzymać auto na drodze, jeśli pokonuje ono ten sam zakręt z prędkością 20,0 km/h? a. 16,2 m/s; b. 0,234 Nowoczesne kolejki górskie mają pętle o kształcie jak na rysunku poniżej. Promień krzywizny pętli jest mniejszy na górze pętli niż na bokach, więc skierowane w dół przyspieszenie dośrodkowe na górze pętli będzie większe niż przyspieszenie ziemskie. Dzięki temu pasażerowie będą mocno wciskani w fotele w tym miejscu. Jaka jest prędkość kolejki górskiej na szczycie pętli, jeśli promień krzywizny wynosi 15,0 m, a skierowane w dół przyspieszenie dośrodkowe jest równe 1 , 5 g ? Dziecko o masie 40,0 kg siedzi w wagoniku kolejki górskiej. Wagonik wjeżdża w górę pętli o promieniu 7,00 m. W punkcie A prędkość wagonika wynosi 10,0 m/s, zaś w punkcie B jest ona równa 10,5 m/s. Załóżmy, że dziecko nie trzyma się wagonika, ani nie zapięło pasów bezpieczeństwa. Jaką siłę wywiera fotel w wagoniku na dziecko w punkcie A? Jaką siłę wywiera fotel w wagoniku na dziecko w punkcie B? Jaka minimalna prędkość jest potrzebna, aby utrzymać dziecko w wagoniku podczas przejeżdżania przez punkt A? a. 179 N; b. 290 N; c. 8,3 m/s W modelu Bohra dla atomu wodoru w stanie podstawowym elektron porusza się po orbicie kołowej wokół jądra. Promień orbity wynosi 5 , 28 ⋅ 10 − 11 m , a prędkość elektronu jest równa 2 , 18 ⋅ 10 6 m / s . Masa elektronu wynosi 9 , 11 ⋅ 10 − 31 k g . Jaka siła działa na elektron? Tory kolejowe tworzą zakręt o promieniu krzywizny 500,0 m i są nachylone pod kątem 5 , 0 ∘ . Dla pociągów jadących z jaką prędkością zostały te tory zaprojektowane? 20,7 m/s Akcelerator cząstek w CERN-ie tworzy okrąg o obwodzie 7,0 km. Ile wynosi przyspieszenie protonów ( m = 1 , 67 ⋅ 10 − 27 k g ) , które poruszają się w akceleratorze z prędkością stanowiącą 5 % wartości prędkości światła? (Prędkość światła wynosi v = 3 , 00 ⋅ 10 8 m / s .) Jaka siła jest wywierana na protony? Auto przejeżdża przez płaski zakręt o promieniu 65 m. Jeśli współczynnik tarcia statycznego między drogą i kołami samochodu wynosi 0,70, to z jaką maksymalną prędkością może to auto pokonać zakręt, nie wpadając w poślizg? 21 m/s Pochylony zakręt na autostradzie jest wyprofilowany tak, aby móc go pokonać z prędkością 90,0 km/h. Promień krzywizny wynosi 310 m. Jaki jest kąt nachylenia zakrętu? pochylony zakręt (ang. banked curve ) zakręt, który ma jeden z krańców podniesiony względem poziomu po to, by ułatwiać pojazdom pokonanie go bez wpadania w poślizg siła dośrodkowa (ang. centripetal force ) każda wypadkowa siła wywołująca jednostajny ruch ciała po okręgu siła Coriolisa (ang. Coriolis force ) siła bezwładności wywołująca odchylenie toru ruchu obiektu z punktu widzenia obracającego się układu odniesienia idealne nachylenie zakrętu (ang. ideal banking ) takie nachylenie zakrętu, które umożliwia jego pokonanie przez wykorzystywanie siły tarcia; siła dośrodkowa równoważy wypadkową siłę działającą na ciało (ciało osiąga wtedy prędkość maksymalną) siła bezwładności (ang. inertial force ) siła, która nie jest rzeczywista, a jedynie wprowadzono ją, aby można było rozważać zasady dynamiki Newtona w układach poruszających się z przyspieszeniem układ nieinercjalny (ang. non-inertial frame of reference ) układ poruszający się z przyspieszeniem

Science


Siła oporu i prędkość graniczna Innym przykładem interesującej siły, którą spotykamy w życiu codziennym, jest siła oporu wywierana na ciała poruszające się w płynie (czyli cieczy lub gazie). Na przykład czujesz działanie siły oporu, kiedy przesuwasz otwartą dłoń pod wodą. Podobny efekt odczuwasz, gdy próbujesz przesunąć otwartą dłoń w trakcie silnego wiatru. Im szybciej poruszasz ręką, tym trudniej jest wykonać ten ruch. Poczujesz mniejszą siłę oporu, jeśli obrócisz dłoń „na płasko”, tzn. tak, aby jak najmniejsza powierzchnia dłoni musiała przechodzić przez ośrodek (wodę, powietrze). Zmniejszysz wówczas powierzchnię zwróconą w kierunku ruchu. Siły oporu Podobnie jak tarcie, siła oporu (ang. drag force ) zawsze przeciwstawia się ruchowi ciała. Jednakże w przeciwieństwie do tarcia siła oporu jest proporcjonalna do pewnej funkcji prędkości ciała w danym płynie. Funkcja ta jest skomplikowana i zależy od kształtu obiektu, jego wielkości, prędkości i płynu, w jakim obiekt się znajduje. Dla większości dużych obiektów, takich jak rowerzyści czy samochody, które nie poruszają się zbyt wolno, wartość siły oporu F op jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała. Zależność tą można zapisać matematycznie jako F op ∝ v 2 . Jeśli uwzględnimy również inne czynniki, to pełne wyrażenie przyjmie postać: F op = 1 2 C ρ S v 2 , gdzie C współczynnikiem oporu ośrodka, S jest polem przekroju poprzecznego ciała (polem przekroju prostopadłego do kierunku wektora prędkości ciała), zaś ρ jest gęstością ośrodka (płynu). (Przypomnijmy, że gęstość jest ilorazem masy przez objętość.) Równanie to może również zostać zapisane w uogólnionej formie jako F op = b v 2 , gdzie b jest stałą równą 0,5 C ρ S . Warto zwrócić uwagę, że wykładnik potęgi prędkości jest równy 2 wówczas, gdy zakładamy ruch ciała z dużą prędkością. Natomiast, jak to zostanie wykazane w rozdziale Mechanika płynów , dla małych cząstek poruszających się wolno w płynie wykładnik potęgi prędkości jest równy 1. Siła oporu Siła oporu F op jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała. Matematycznie można to zapisać następująco: F op = 1 2 C ρ S v 2 , gdzie C jest współczynnikiem oporu , S jest przekrojem poprzecznym ciała, zaś ρ jest gęstością cieczy. Sportowcy oraz projektanci pojazdów wyścigowych dążą do tego, żeby zmniejszyć siłę oporu i w konsekwencji skrócić czas potrzebny na przejechanie okrążenia w wyścigu ( ). W tym celu nadają swoim pojazdom aerodynamiczne (opływowe) kształty, które pomagają zredukować siłę oporu, a tym samym zmniejszyć zużycie paliwa w pojeździe. Posiadanie aerodynamicznego kształtu jest kluczowym zagadnieniem dla wielu pojazdów: od samochodów wyścigowych po sanie bobslejowe, gdyż pomaga osiągnąć najwyższe prędkości. Na przykład bobsleje zazwyczaj mają kształt pocisku ze zwężającymi się statecznikami. (Źródło: “U.S. Army”/Wikimedia Commons) Wartość współczynnika oporu C jest wyznaczana empirycznie, zazwyczaj przy użyciu tunelu aerodynamicznego ( ). Naukowcy NASA testują modele samolotów w tunelach aerodynamicznych. (Źródło: NASA/Ames) Współczynnik oporu może się zmieniać wraz z prędkością, ale załóżmy tutaj, że jest stały. prezentuje wartości przykładowych współczynników oporu dla wybranych obiektów. Zwróć uwagę, że jest to wielkość bezwymiarowa. Przy prędkościach autostradowych ponad 50% mocy samochodu jest zużywane do pokonywania oporu powietrza. Najbardziej oszczędna z punktu widzenia zużycia paliwa jest prędkość rzędu 70–80 km/h. Z tego powodu w latach 70-tych XX wieku podczas kryzysu paliwowego maksymalna prędkość na autostradach wynosiła 90 km/h. Typowe wartości współczynników oporu C Obiekt C Płat aerodynamiczny 0,05 Toyota Camry 0,28 Ford Focus 0,32 Honda Civic 0,36 Ferrari Testarossa 0,37 Dodge Ram Pickup 0,43 Sfera 0,45 Hummer H2 SUV 0,64 Spadochroniarz (spadający stopami do dołu) 0,70 Rower 0,90 Spadochroniarz (spadający płasko poziomo) 1,0 Okrągły płaski talerz 1,12 W świecie sportu prowadzone są badania mające na celu zminimalizowanie oporu. Zmieniane są wymiary piłeczek do golfa, przeprojektowywane są ubrania dla sportowców. Rowerzyści, pływacy i niektórzy biegacze zakładają pełne kombinezony. Na olimpiadzie w Sydney w 2000 roku Australijka Cathy Freeman zdobyła złoty medal, biegając w kombinezonie na dystansie 400 m. Na olimpiadzie w Pekinie w 2008 roku wielu sportowców też używało takich kombinezonów. Mogą mieć one ogromne znaczenie dla bicia rekordów świata ( ). Wielu czołowych pływaków i rowerzystów goli włosy na ciele. Ta pozornie mała zmiana może dać różnicę milisekund, które wpłyną na zdobycie złota zamiast srebra. Kombinezony pływackie, takie jak LZR Racer Suit, kiedy udostępniono je do sprzedaży w 2008 roku, miały wpływ na ustanawianie wielu rekordów świata. Gładsza powierzchnia zewnętrzna oraz ściśnięta sylwetka zapewniają siłę oporu mniejszą o co najmniej 10%. (Źródło: NASA/Kathy Barnstorff) Prędkość graniczna Ciekawe obserwacje związane z drugą zasadą dynamiki Newtona można poczynić, gdy rozważa się ruch ciał, na które działa siła oporu. Na przykład rozważ ruch spadochroniarza spadającego pod wpływem siły ciężkości. Działają na niego dwie siły: grawitacji i oporu (pomijając znikomą siłę wyporu). Skierowana pionowo w dół siła ciężkości pozostaje stała, niezależnie od prędkości ruchu skoczka. Jednakże wraz ze wzrostem prędkości spadochroniarza rośnie siła oporu tak długo, dopóki nie zrówna się ona co do wartości z jego ciężarem. Wówczas siła wypadkowa będzie równa 0. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona zerowa siła wypadkowa oznacza, że ruch spadochroniarza będzie jednostajny (nie występuje przyspieszenie). To z kolei oznacza, że skoczek osiągnął prędkość graniczną (ang. terminal speed ) ( v gr ) . Jako że F op jest proporcjonalna do kwadratu prędkości, to cięższy spadochroniarz musi spadać szybciej, aby siła oporu F op zrównała się z ciężarem. Przeprowadźmy zatem przykładową analizę ilościową. W momencie osiągnięcia prędkości granicznej F wyp = m g − F op = m a = 0 . Zatem: m g = F op . Wykorzystując wyrażenie na siłę oporu, otrzymujemy zależność: m g = 1 2 C ρ S v gr 2 . Przekształcając to równanie tak, aby obliczyć prędkość graniczą, otrzymujemy wzór: v gr = 2 m g ρ C S . Przyjmijmy, że gęstość powietrza jest równa ρ = 1,21 kg/m 3 . Spadochroniarz o masie 75 kg spadający głową w dół ma średni przekrój poprzeczny równy S = 0,18 m 2 , zaś współczynnik oporu jest równy C = 0,70 . Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy prędkość graniczną spadku skoczka spadochronowego: v gr = 2 ⋅ 75 k g ⋅ 9 , 80 m / s 2 1 , 21 k g / m 2 ⋅ 0 , 70 ⋅ 0 , 18 m 2 = 98 m s = 350 k m h . Oznacza to, że spadochroniarz o masie 75 kg pikujący głową w dół (minimalizujący powierzchnię, na którą działa siła oporu), osiąga prędkość graniczną równą ok. 350 km/h. W pozycji poziomej z rozpostartymi kończynami („na orła”) prędkość ta maleje do ok. 200 km/h, ponieważ większa jest powierzchnia działania siły oporu. Prędkość graniczna ponadto bardzo znacząco by zmalała, jeśli skoczek otworzyłby spadochron. Prędkość graniczna spadochroniarza Znajdź prędkość graniczną skoczka spadochronowego o masie 85 kg spadającego poziomo z rozpostartymi kończynami („na orła”). Strategia rozwiązania Przy prędkości granicznej F wyp = 0 . Zatem siła oporu działająca na skoczka musi być równa sile ciężkości. Podstawiając wzór na siłę oporu, otrzymujemy m g = ρ C S v 2 / 2 . Rozwiązanie Prędkość graniczna v gr może zostać zapisana w postaci: v gr = 2 m g ρ C S = 2 ⋅ 85 k g ⋅ 9 , 80 m / s 2 1 , 21 k g / m 2 ⋅ 1 , 0 ⋅ 0 , 70 m 2 = 44 m s . Znaczenie Wynik ten jest zgodny z wartością v gr obliczoną wcześniej. Spadochroniarz o masie 75 kg pikujący głową w dół osiągnął prędkość graniczną v gr = 98 m / s . Ważył mniej, ale miał mniejszy przekrój poprzeczny, więc działająca na niego siła oporu powietrza była mniejsza. Sprawdź, czy rozumiesz. Oblicz prędkość graniczną spadochroniarza o masie 50 kg spadającego w pozycji „na orła”. 34 m/s Analiza spadku obiektów o różnych rozmiarach pozwala zaobserwować kolejną zależność dla siły oporu powietrza. Jeśli spadniesz z gałęzi znajdującej się na wysokości 5 m nad powierzchnią ziemi najprawdopodobniej zrobisz sobie krzywdę (być może złamiesz kość). Jednak wiewiórka wykonuje takie spadki nieustannie – i nic jej się nie dzieje. Ty nie zdążysz osiągnąć prędkości granicznej na tak krótkim dystansie, podczas gdy wiewiórka da radę. Ciekawy cytat na temat związku między rozmiarem ciała zwierzęcia a prędkością graniczną można znaleźć w eseju brytyjskiego biologa J. B. S. Haldane’a, zatytułowanym On Being the Right Size (pol. Mając odpowiedni rozmiar ): „Dla myszy i innych małych zwierząt [grawitacja] nie jest niebezpieczna. Możesz zrzucić myszkę w dół szybu kopalni o głębokości ok. 1000 m (1000 jardów), a ta po upadku dozna tylko lekkiego szoku i odejdzie, pod warunkiem, że ziemia będzie dość miękka. Szczur zginie, człowiek się połamie, koń zostanie rozsmarowany na ziemi. Opór stawiany przez powietrze podczas spadku jest proporcjonalny do powierzchni spadającego ciała. Podziel długość, szerokość i wysokość zwierzęcia na dziesięć. Wówczas jego ciężar zostanie pomniejszony 1000 razy, podczas gdy pole przekroju poprzecznego tylko 100 razy. Zatem opór spadania w przypadku małych zwierząt jest dziesięć razy większy niż siła napędowa spadku.” Wykorzystywana przez nas wcześniej kwadratowa zależność siły oporu od prędkości nie sprawdza się, jeśli mamy do czynienia z obiektami bardzo małymi, poruszającymi się bardzo wolno lub jeśli ruch odbywa się w ośrodku gęstszym niż powietrze. Wówczas zauważymy, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (zależność liniowa). Zależność tę wyraża prawo Stokesa: Prawo Stokesa Na ciało o symetrii kulistej spadające w danym ośrodku działa siła oporu równa: F s = 6 π r η v , gdzie r jest promieniem kuli, η jest lepkością ośrodka, zaś v jest prędkością ruchu ciała. Dobry przykład stosowalności prawa Stokesa stanowi ruch mikroorganizmów, pyłków i kurzu. Ponieważ obiekty te są bardzo małe, widzimy, że poruszają się one bez niczyjej pomocy ze stałą (graniczną) prędkością. Prędkość graniczna dla bakterii o rozmiarze ok. 1 μ m może wynosić ok. 2 μ m / s . Aby poruszać się z większą prędkością wiele z bakterii używa wici, czyli organelli w kształcie małych ogonków napędzanych za pomocą małych „silniczków” wewnątrz komórki. Osady jeziorne poruszają się z większą prędkością graniczną (równą ok. 5 μ m / s ), jednak dotarcie do dna po osadzeniu na powierzchni jeziora może w tym przypadku trwać kilka dni. Jeśli porównamy zwierzęta lądowe z tymi, które żyją w wodzie, możemy zauważyć, jak bardzo siła oporu wpłynęła na ich rozwój ewolucyjny. Ryby, delfiny, nawet wieloryby mają opływowe kształty po to, by minimalizować działającą na nie siłę oporu. Ptaki, a szczególnie gatunki migrujące, które pokonują długie dystanse, również mają charakterystyczne, opływowe kształty, np. wydłużone szyje. Stada ptaków formują w locie figury na kształt ostrza ( ). U ludzi opływowy kształt prezentują np. plemniki, które muszą pokonywać dalekie odcinki drogi przy małym nakładzie energii. W trakcie długich lotów migracyjnych gęsi tworzą formacje w kształcie litery V. Kształt ten pomaga zmniejszyć opór powietrza i tym samym zredukować ilość energii zużywanej przez poszczególne ptaki. Ponadto kształt ten ułatwia komunikację między ptakami. (Źródło: “Julo”/Wikimedia Commons) Obejrzyj film prezentujący obiekty znajdujące się w jednorodnym strumieniu powietrza wytworzonym przez wentylator. Oblicz liczbę Reynoldsa oraz współczynnik oporu. Analiza zależnych od prędkości sił oporu i tarcia Kiedy ciało przesuwa się po powierzchni, siła tarcia jest w przybliżeniu stała i równa μ k R . Jednakże siła oporu działająca na ciało przesuwające się w cieczy lub gazie nie jest już tak prosta do opisania. W ogólności ta siła oporu będzie skomplikowaną funkcją prędkości ruchu ciała. Jednakże w uproszczonych sytuacjach, takich jak ruch ciała w cieczy po linii prostej z umiarkowaną prędkością, siła oporu może być przybliżona następującą zależnością: T op = − b v , gdzie b jest stałą, której wartość zależy od kształtu i rozmiaru ciała oraz od właściwości cieczy, zaś v jest prędkością ciała. Empiryczne przykłady, dla których równanie to jest słuszne, to np. ruch motorówki po wodzie czy powolny spadek małych obiektów w wodzie. Rozważmy spadek obiektu w cieczy. Rozkład sił działających na to ciało wraz z zaznaczonym kierunkiem ruchu w dół jest przedstawiony na . Zastosowanie drugiej zasady dynamiki Newtona dla sił w kierunku pionowym (zakładamy, że siła wyporu jest znacznie mniejsza od siły grawitacji, dlatego możemy ją pominąć) prowadzi do równania różniczkowego: m g − b v = m d v d t , gdzie d v / d t jest przyspieszeniem ciała. Gdy v rośnie, siła oporu − b v również rośnie tak długo, aż zrównoważy się z m g . Wówczas nie będzie występowało przyspieszenie, a prędkość ruchu będzie stała i będzie to tzw. prędkość graniczna v gr . Zatem z poprzedniego równania otrzymujemy zależność: m g − b v gr = 0 , więc v gr = m g b . Rozkład sił działających na ciało spadające w ośrodku stawiającym opór. Możemy również wyprowadzić wzór prezentujący prędkość ruchu obiektu v w dowolnej chwili czasu. W tym celu musimy scałkować przedstawione uprzednio równanie różniczkowe: d v g − b v / m = d t . Przy założeniu warunków brzegowych takich, że v = 0 w czasie t = 0 , możemy określić granice całkowania: ∫ 0 v d v ~ g − b v ~ / m = ∫ 0 t d t ~ . Po scałkowaniu otrzymujemy zależność: − m b ln  ( g − b m v ~ ) | 0 v = t ~ | 0 t , gdzie v ~ i t ~ są nowymi zmiennymi całkowania. Podstawienie wartości do granic całkowania daje ostateczną zależność: − m b [ ln  ( g − b m v ) − ln  g ] = t . Z własności logarytmów wiemy, że ln  A − ln  B = ln  ( A / B ) , oraz że z równania ln  ( A / B ) = x wynika zależność e x = A / B . Po uwzględnieniu tych zależności równanie upraszcza się do postaci: g − ( b v / m ) g = e − b t / m , a po przekształceniu: v = m g b ( 1 − e − b t / m ) . Zwróć uwagę, że gdy t → ∞ , v → m g / b = v gr , czyli do prędkości granicznej. Położenie ciała w dowolnej chwili czasu może zostać znalezione poprzez całkowanie wyrażenia na prędkość v . Pamiętając, że v = d y / d t , otrzymujemy: d y = m g b ( 1 − e − b t / m ) d t . Przyjmując y = 0 w chwili czasu t = 0 , uzyskujemy zależność: ∫ 0 y d y ~ = m g b ∫ 0 t ( 1 − e − b t ~ / m ) d t ~ , która po obliczeniu wartości całki sprowadza się do postaci: y = m g b t + m 2 g b 2 ( e − b t / m − 1 ) . Wpływ siły oporu na ruch motorówki Motorówka porusza się po jeziorze z prędkością v 0 , jednak jej silnik nagle przestaje pracować. W związku z tym motorówka stopniowo zwalnia pod wpływem siły oporu T op = − b v . Znajdź wyrażenie opisujące prędkość i położenie łódki w funkcji czasu. Jeśli łódka zmniejsza prędkość od 4,0 m/s do 1,0 m/s w ciągu 10 s, to jak daleko zdąży ona popłynąć, zanim się zatrzyma? Rozwiązanie Gdy silnik przestaje pracować, jedyną siłą działającą na motorówkę w kierunku poziomym jest T op = − b v , więc z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika zależność: m d v d t = − b v , którą po rozdzieleniu zmiennych możemy również zapisać jako d v v = − b m d t . Zakładając, że prędkość początkowa jest równa v 0 w czasie t równym 0 oraz że prędkość po czasie t jest równa v , możemy scałkować to wyrażenie: ∫ 0 v d v ~ v ~ = − b m ∫ 0 t d t ~ . Zatem ln v v 0 = − b m t . Skoro z zależności ln  A = x wynika e x = A , możemy napisać v = v 0 e − b t / m . Podstawiając do wzoru definicję prędkości chwilowej, otrzymujemy d x d t = v 0 e − b t / m , a po przekształceniu mamy: d x = v 0 e − b t / m d t . Zakładając położenie początkowe równe 0, możemy dokonać całkowania w następujących granicach: ∫ 0 x d x ~ = v 0 ∫ 0 t e − b t ~ / m d t ~ , z czego wynika: x = − m v 0 b e − b t ~ / m | 0 t = m v 0 b ( 1 − e − b t / m ) . Gdy czas rośnie, e − b t / m → 0 , motorówka dąży do osiągnięcia swojego położenia końcowego: x max = m v 0 b . Mimo że z wyrażenia tego wynika, że łódka potrzebuje nieskończonego czasu do osiągnięcia położenia x max , to w praktyce zatrzymuje się ona po rozsądnym czasie. Na przykład dla t = 10 m / b , mamy v = v 0 e − 10 ≈ 4 , 5 ⋅ 10 − 5 v 0 , zaś położenie w tym przypadku jest równe x = x max ( 1 − e − 10 ) ≈ 0 , 99995 x max . Stąd wniosek, że prędkość i położenie faktycznie osiągnęły swoje wartości maksymalne. Przy prędkościach v 0 = 4,0 m/s i v = 1 , 0 m / s mamy 1 , 0 m / s = 4 , 0 m / s ⋅ e − ( b / m ) ⋅ 10 s , więc ln  0 , 25 = − ln  4 , 0 = − b m ⋅ 10 s i b m = 1 10 ln 4,0 s -1 = 0,14 s -1 . Teraz końcowe położenie motorówki, czyli takie, po którym łódź się zatrzyma, jest równe: x max = m v 0 b = 4,0 m/s 0,14 s −1 = 29 m . Znaczenie W obu poprzednich przykładach określaliśmy wartości końcowe. Prędkość graniczna jest taka sama jak prędkość końcowa, która odpowiada prędkości spadającego obiektu po relatywnie długim czasie. Podobnie położenie końcowe odpowiada drodze, jaką pokona ciało po relatywnie długim czasie. Ze względu na charakterystykę zaniku eksponencjalnego czas potrzebny na osiągnięcie którejkolwiek z tych wartości w rzeczywistości nie jest bardzo długi (a na pewno nie jest nieskończony). Sprawdź, czy rozumiesz. Załóżmy, że siła oporu powietrza działająca na spadochroniarza może być wyrażona równaniem T = − b v 2 . Jeśli graniczna wartość prędkości skoczka o masie 100 kg wynosi 60 m/s, to jaka jest wartość b? 0,27 kg/m Podsumowanie Siły oporu działające na ciało poruszające się w płynie przeciwstawiają się temu ruchowi. Dla większych obiektów (takich jak piłka baseballowa) poruszających się w powietrzu, siła oporu zależy od współczynnika oporu (typowe wartości znajdują się w ), przekroju poprzecznego i gęstości płynu. W przypadku małych obiektów (takich jak bakterie) poruszających się w ośrodku gęstszym (np. w wodzie), siła oporu jest wyrażona za pomocą prawa Stokesa. Najważniejsze wzory Wartość tarcia statycznego T s ≤ μ s N Wartość tarcia kinetycznego T k = μ k N Siła dośrodkowa F d = m v 2 r lub F d = m r ω 2 Kąt nachylenia idealnie wyprofilowanego zakrętu tg θ = v 2 r g Siła oporu F op = 1 2 C ρ S v 2 Prawo Stokesa F s = 6 π r η v Pytania Pływacy i rowerzyści startujący w zawodach ubierają się w specjalne kombinezony. Wymień zalety i wady takich kombinezonów. Zalety używania kombinezonu: (1) zmniejsza siłę oporu działającą na sportowca, dzięki czemu łatwiej jest mu się poruszać; (2) kombinezon jest ciasny, dzięki czemu zmniejsza pole przekroju poprzecznego sportowca (nawet mała zmiana może mieć istotny wpływ na uzyskany wynik w zawodach). Wady używania kombinezonu: (1) skoro kombinezon jest ciasny, to może wywoływać ucisk i utrudniać oddychanie; (2) utrudniona jest wymiana ciepła z otoczeniem, przez co przy długotrwałym stosowaniu, sportowiec może się przegrzać. Do opisu siły oporu działającej na obiekt poruszający się w płynie używaliśmy dwóch wyrażeń. W jednym siła oporu była wprost proporcjonalna do prędkości, a w drugim do kwadratu prędkości. Dla jakich rodzajów ruchu poszczególne wyrażenia znajdują zastosowanie? Podczas ruchu samochodu olej i benzyna wyciekają na powierzchnię drogi. Jaki wpływ na możliwość kontrolowania ruchu samochodu będzie miał wyciek, a jaki padający delikatnie deszcz? Czy intensywny opad deszczu będzie stanowił jakąś różnicę? Olej posiada mniejszą gęstość niż woda, więc będzie osiadał na powierzchni warstwy podczas opadów delikatnego deszczu. Tworzy to bardzo niebezpieczną powłokę o zmniejszonym współczynniku tarcia, przez co samochód może łatwiej wpaść w poślizg. Podczas intensywnego deszczu krople oleju zostają rozproszone, co nie wpływa tak istotnie na ruch samochodu. Dlaczego wiewiórka jest w stanie zeskoczyć na ziemię z wysokiej gałęzi, nie robiąc sobie krzywdy, podczas gdy człowiek wykonując ten sam skok najparwdopodobniej złamie sobie którąś z kości? Zadania Prędkość graniczna człowieka spadającego w powietrzu zależy od jego masy i pola przekroju poprzecznego podczas spadania. Oblicz prędkość graniczną spadochroniarza o masie 80 kg pikującego głową w dół, jeśli jego pole przekroju poprzecznego wynosi 0,140 m 2 . Wynik wyraź zarówno w m/s jak i km/h. 115 m/s lub 414 km/h Dwóch skoczków spadochronowych – jeden o masie 60 kg i drugi o masie 90 kg wyskakują z samolotu na wysokości 6 , 00 ⋅ 10 3 m . Obaj pikują głową w dół. Sam przyjmij założenia dotyczące pola ich przekrojów poprzecznych, a następnie oblicz prędkość graniczną każdego z nich. Ile czasu będzie spadał każdy z nich do momentu kontaktu z ziemią (przyjmując, że czas potrzebny na osiągnięcie prędkości granicznej jest stosunkowo krótki). Wartości liczbowe w zadaniu wyrażaj z dokładnością do trzech miejsc znaczących. Wiewiórka o masie 560 g i polu przekroju poprzecznego 930 cm 2 spada z drzewa o wysokości 5,0 m na ziemię. Oblicz jej prędkość graniczną (przyjmij współczynnik oporu dla skoczka spadochronowego spadającego poziomo). Jeśli z takiej samej wysokości spadłby człowiek o masie 56 kg, to jaka byłaby jego prędkość przed zderzeniem z ziemią (zakładamy brak wpływu oporu powietrza na tak krótkim dystansie)? v gr = 25 m/s; v 2 = 9,9 m/s Aby utrzymać stałą prędkość, siła ciągu silnika musi równoważyć się oporu i siłę tarcia kół o podłoże (tarcie toczne). (a) Ile wynosi siła oporu działająca na Toyotę Camry odpowiednio przy prędkości 70 km/h i 100 km/h? Przyjmujemy, że pole przekroju poprzecznego jest równe 0,70 m 2 ) (b) Ile wynosi siła oporu działająca na Hummera H2 poruszającego się z tymi samymi prędkościami, tzn. 70 km/h lub 100 km/h? Pole przekroju poprzecznego wynosi 2,44 m 2 . Wartości liczbowe w zadaniu wyrażaj z dokładnością do trzech miejsc znaczących. Ile razy wzrośnie siła oporu działająca na samochód, jeśli zwiększy on prędkość od 65 k m / h do 110 k m / h ? ( 110 65 ) 2 = 2,86 raza Oblicz prędkość, jaką mogą osiągnąć sferyczne krople deszczu spadające z wysokości 5,00 km w dwóch przypadkach: z pominięciem wpływu oporu powietrza, z uwzględnieniem oporu powietrza. Przyjmij średnicę kropli równą 4 m m i gęstość równą 1 ⋅ 10 3 k g / m 3 . Wychodząc z prawa Stokesa udowodnij, że jednostką lepkości jest k g / ( m ⋅ s ) . Prawo Stokesa ma następującą postać: F s = 6 π r η v . Przekształcając równanie tak, aby otrzymać lepkość uzyskamy: η = F s / ( 6 π r v ) . Rachunek jednostek tego wyrażenia prowadzi do następującej zależności: [ η ] = k g / ( m ⋅ s ) . Oblicz prędkość graniczną, jaką osiągnie sferyczna bakteria o średnicy 2,00 μm opadająca w wodzie. Przyjmij gęstość bakterii równą 1 , 10 ⋅ 10 3 k g / m 3 . Prawo Stokesa opisuje proces sedymentacji cząstek w cieczy i można je wykorzystać do obliczania lepkości ośrodka. Cząsteczki w cieczy szybko osiągają prędkość graniczną. Można zatem obliczyć, ile czasu potrzeba, aby cząsteczki pokonały konkretną drogę, a następnie z prawa Stokesa obliczyć lepkość cieczy. Wyobraź sobie stalową kulkę z łożyska kulkowego (o gęstości 7 , 8 ⋅ 10 3 k g / m 3 i średnicy 3,0 mm) opadającą w oleju silnikowym. W ciągu 12 s pokonała ona dystans 0,60 m. Oblicz lepkość oleju. 0 , 76 k g / ( m ⋅ s ) Załóżmy, że siła oporu tarcia działająca na spadochroniarza może być opisana za pomocą wzoru T op = − b v 2 . Jeśli prędkość graniczna skoczka o masie 50,0 kg wynosi 60,0 m/s, to jaka jest wartość b ? Mały diament o masie 10,0 g spada z ucha pływaczki i wpada do wody osiągając prędkość graniczną 2,0 m/s. Zakładając, że siła oporu tarcia T op = − b v , ile wynosi b ? Jaką drogę zdąży przebyć diament, zanim osiągnie prędkość równą 90% swojej prędkości granicznej? a. 0,049 kg/s; b. 0,57 m Jaka jest prędkość końcowa samochodu początkowo jadącego z prędkością 50,0 km/h, który zwalnia z opóźnieniem 0,400 m/s 2 przez 50 s? Załóż, że współczynnik tarcia jest równy 1,0. Co jest nieracjonalnego w tym wyniku? Która z przesłanek jest nieracjonalna lub które przesłanki są sprzeczne? Kobieta o masie 75 kg stoi na wadze łazienkowej w windzie, która przyspiesza od prędkości równej 0 m/s do 30,0 m/s w ciągu 2,00 s. Oblicz, jakie jest wskazanie wagi i porównaj wynik z ciężarem kobiety. Co jest nieracjonalnego w tym wyniku? Która z przesłanek jest nieracjonalna lub które przesłanki są sprzeczne? 1860 N, 2,53; Siła 1860 N to ok. 2 razy więcej niż spodziewamy się doświadczać w typowej windzie. Siła oddziaływania w typowej windzie jest obliczona przy założeniu, że w ciągu 2 s winda zdąży zwiększyć prędkość tylko do wartości 4,5 m/s. Końcowa prędkość dana w zadaniu osiągana w ciągu 2 s jest ogromna (30,0 m/s to przecież 108 km/h!). Oznacza to, że przyspieszenie windy jest nieracjonalnie duże. Oblicz minimalny współczynnik tarcia potrzebny, aby auto mogło bezpiecznie pokonać płaski zakręt o promieniu krzywizny 50,0 m z prędkością 30,0 m/s. Co jest nieracjonalnego w tym wyniku? Która z przesłanek jest nieracjonalna lub które przesłanki są sprzeczne? Jeśli masa ciała przedstawionego na rysunku poniżej jest równa 5,50 kg, to ile wynosi naciąg struny 1? 189 N Jeśli w układzie przedstawionym na rysunku F = 60 , 0 N oraz M = 4 , 00 k g , to ile wynosi przyspieszenie wiszącego ciała? Przyjmijmy, że wszystkie powierzchnie są gładkie. Jeśli masa każdego z ciał przedstawionych na rysunku poniżej jest równa 6,0 kg, to ile wynosi naciąg struny łączącej te ciała? Wszystkie powierzchnie są gładkie, a bloczek nieważki i nieruchomy. 15 N Mała sonda kosmiczna jest uwalniana ze stacji kosmicznej. Masa sondy jest równa 20,0 kg i zawiera 90,0 kg paliwa. Startuje ona z dalekiej przestrzeni kosmicznej, z początku układu współrzędnych ulokowanego na stacji kosmicznej i spala paliwo w tempie 3,00 kg/s. Siła ciągu silnika jest stała i wynosi 120,0 N. Znajdź wyrażenie na masę sondy w funkcji czasu pomiędzy 0 a 30 sekundą, zakładając, że silnik rozpoczyna spalanie paliwa w chwili t=0. Jaka jest prędkość sondy po 15,0 sekundach? Jakie jest położenie sondy po 15,0 sekundach, jeśli startowała ona z początku przyjętego układu współrzędnych? Znajdź wyrażenie na położenie sondy w funkcji czasu dla t>30,0s. Wypełniony do połowy kosz na śmieci o masie 3,0 kg jest pchany pod górkę o nachyleniu 40,0° ze stałą prędkością pod wpływem siły równej 26 N skierowanej w górę, równolegle do zbocza. Na górce występuje tarcie. Jaka musiałaby być wartość siły skierowanej w górę, równolegle do zbocza, aby podczas zjeżdżania w dół kosz poruszał się ze stałą prędkością? 12 N Dziecko o masie 6,0 kg zjeżdża ze stałą prędkością ze zjeżdżalni o kącie nachylenia 35° przy działaniu siły 34 N skierowanej w górę, równolegle do powierzchni ślizgawki. Ile wynosi współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy dzieckiem a zjeżdżalnią? Zadania dodatkowe Dwie barki są połączone za pomocą nieważkiej liny. Masa barki z przodu wynosi 2 , 00 ⋅ 10 3 k g , zaś masa barki z tyłu jest równa 3 , 00 ⋅ 10 3 k g . Holownik ciągnie barkę z przodu, używając poziomej siły równej 20 , 0 ⋅ 10 3 N . Siły tarcia działające na barki wynoszą 8 , 00 ⋅ 10 3 N i 10 , 0 ⋅ 10 3 N , odpowiednio dla barki z przodu i z tyłu. Oblicz wypadkowe przyspieszenie barek oraz siłę naciągu łączącej je liny. a x = 0,40 m/s 2 i T = 11 , 2 ⋅ 10 3 N Jeśli zamienilibyśmy miejscami barki z poprzedniego zadania, tzn. barka o masie 3 , 00 ⋅ 10 3 k g byłaby ciągnięta za pomocą holownika z siłą 20 , 0 ⋅ 10 3 N , to jakie byłoby przyspieszenie barek oraz siła naciągu łączącej je liny? Obiekt o masie m porusza się wzdłuż osi x . Zależność jego położenia od czasu opisuje wyrażenie x ( t ) = p t 3 + q t 2 gdzie p i q są stałe. Znajdź siłę wypadkową działającą na ciało w dowolnej chwili czasu t . m ( 6 p t + 2 q ) Helikopter o masie 2 , 35 ⋅ 10 4 k g znajduje się w położeniu opisanym wektorem r → ( t ) = i ^ ⋅ 0 , 020 t 3 + j ^ ⋅ 2 , 2 t − k ^ ⋅ 0 , 060 t 2 . Znajdź wypadkową siłę działającą na helikopter po t = 3 , 0 s . Na początkowo stojący samochód elektryczny o masie m w chwili t = 0 zaczyna działać siła zmienna w czasie F → ( t ) . Składowe tej siły wynoszą F x ( t ) = p + n t i F y ( t ) = q t , gdzie p , q i n są stałe. Znajdź położenie r → ( t ) oraz prędkość v → ( t ) jako funkcje zależne od czasu. Przyjmij początkowe położenie samochodu w początku układu współrzędnych. v → ( t ) = ( p t m + n t 2 2 m ) i ^ + ( q t 2 2 ) j ^ i r → ( t ) = ( p t 2 m + n t 3 6 m ) i ^ + ( q t 2 60 m ) j ^ Cząstka o masie m spoczywa w początku przyjętego układu współrzędnych. Cząstka jest w równowadze. W chwili t = 0 do cząstki zostaje przyłożona siła F → ( t ) zmienna w czasie, której składowe wynoszą F x ( t ) = p t i F y ( t ) = n + q t , gdzie p , q i n są stałe. Znajdź położenie r → ( t ) i prędkość v → ( t ) jako funkcje zależne od czasu. Ciało o masie 2,0 kg ma prędkość równą i ^ ⋅ 4 , 0 m / s w czasie t = 0 . Na ciało zaczyna działać stała siła równa i ^ ⋅ 2 , 0 N + j ^ ⋅ 4 , 0 N i działa nieprzerwanie przez 3,0 sekundy. Ile wynosi prędkość ciała po tym czasie? 9,2 m/s Ciało o masie 1,5 kg ma przyspieszenie równe i ^ ⋅ 4 , 0 m / s 2 + j ^ ⋅ 3 , 0 m / s 2 . Działają na nie dwie siły. Jeśli jedna z tych sił jest równa i ^ ⋅ 2 , 0 N + j ^ ⋅ 1 , 4 N , to ile wynosi druga siła? Pudło zostaje rzucone na taśmę transportową poruszającą się z prędkością 3 , 4 m / s . Jeśli współczynnik tarcia pomiędzy pudłem i taśmą wynosi 0,27, to jak długo potrwa, zanim pudło przesunie się bez poślizgu? 1,3 s Na rysunku przedstawiono ciężarek o masie 10 kg, na który działa poziomo skierowana siła F → o wartości 200,0 N. Współczynnik tarcia kinetycznego między powierzchniami będącymi w kontakcie wynosi 0,50. Znajdź przyspieszenie ciężarka. Dwa ciężarki (jeden o masie m 1 = 4 , 0 k g , i drugi o masie m 2 = 8 , 0 k g są połączone nicią przerzuconą przez nieważki bloczek umieszczony na szczycie równi pochyłej. Współczynnik tarcia pomiędzy ciężarkiem o masie m 1 i równią pochyłą wynosi μ k = 0 , 40 . Ile wynosi przyspieszenie układu? 5,4 m/s 2 Student usiłuje przesunąć małą lodówkę o masie 30,0 kg do swojego pokoju w akademiku. W chwili nieuwagi lodówka ześlizguje się ze stałą prędkością w dół po powierzchni nachylonej pod kątem 35 ∘ do poziomu, podczas gdy student działa siłą równą 25 N skierowaną w górę równolegle do nachylenia powierzchni. Ile wynosi współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy lodówką i powierzchnią pochyłą? Skrzynia o masie 100  kg \SI{100}{\kilo\gram} leży na chropowatej powierzchni równi pochyłej nachylonej pod kątem 37 ∘ do poziomu. Do skrzyni przymocowana jest nieważka lina, której drugi koniec sięga do szczytu równi. W pewnym momencie skrzynia zaczyna się ześlizgiwać w dół równi. Współczynnik tarcia kinetycznego stanowi 80% współczynnika tarcia statycznego. Ile wynosi współczynnik tarcia statycznego? Z jaką maksymalną siłą można ciągnąć linę, aby nie poruszyć skrzyni? Jeśli przyłożymy choć odrobinę większą siłę, to skrzynia zacznie wjeżdżać w górę równi. Z jakim przyspieszeniem będzie się wówczas poruszać? Jaka musiałaby być siła naciągu liny, aby skrzynia poruszała się ze stałą prędkością? Jeśli skrzynia zostanie bardzo delikatnie pchnięta i zacznie się zsuwać w dół równi, to jakie będzie jej przyspieszenie w tym kierunku? Jaką siłą trzeba ciągnąć skrzynię w górę równi, aby nie zjechała w dół, gdy została delikatnie pchnięta? a. 0,60; b. 1200 N; c. 1,2 m/s 2 i 1080 N; d. −1,2 m/s 2 ; e. 120 N Samochód jedzie z dużą prędkością na autostradzie, gdy nagle kierowca gwałtownie hamuje. Koła zostają zablokowane (przestają się obracać), na skutek czego na jezdni pozostaje ślad hamowania o długości 32,0 m. Jeśli współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy oponami i drogą jest równy 0,550, a przyspieszenie było stałe w trakcie hamowania, to jak szybko poruszał się samochód, zanim koła zostały zablokowane na skutek hamowania? Skrzynia o masie 50 kg zsuwa się poziomo z naczepy samochodu ciężarowego jadącego z prędkością 100 km/h. Znajdź wartość współczynnika tarcia kinetycznego pomiędzy drogą i skrzynią, jeśli skrzynia po upadku na drogę sunie się jeszcze przez 50 m, po czym się zatrzymuje. Prędkość początkowa skrzyni jest taka sama jak prędkość ciężarówki, czyli 100 km/h. 0,789 Sanki o masie 15 kg są ciągnięte poziomo po pokrytej śniegiem powierzchni za pomocą siły przyłożonej do liny nachylonej pod kątem 30 ∘ do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego sanek i śniegu wynosi 0,20. Jeśli przyłożona siła ma wartość 33 N, to jakie jest przyspieszenie poziome sanek? Ile musiałaby wynosić ta siła, aby sanki poruszały się ze stałą prędkością? Kulka o masie 30 g zawieszona na końcu struny wykonuje obroty w płaszczyźnie pionowej. Promień zataczanego okręgu wynosi 25,0 cm. Prędkość kulki jest równa 200,0 cm/s. Znajdź siłę naciągu struny: w najwyższym położeniu, w najniższym położeniu, w odległości 12,5 cm od osi obrotu ( r = 12,5 cm ) . a. 0,186 N; b. 774 N; c. 0,48 N Kulka o masie 0,50 kg zaczyna poruszać się po okręgu w płaszczyźnie x y . Jej położenie opisuje wektor r → ( t ) = i ^ ⋅ 4 cos  ( 3 t ) + j ^ ⋅ 4 sin  ( 3 t ) gdzie r jest wyrażone w metrach, a t w sekundach. Znajdź wyrażenia na prędkość i przyspieszenie kulki w funkcji czasu. Wykaż, że wektor przyspieszenia w każdym momencie jest skierowany do środka okręgu (i tym samym reprezentuje przyspieszenie dośrodkowe). Znajdź wyrażenie na siłę dośrodkową w funkcji czasu. Kaskader jeździ na rowerze po wewnętrznej stronie cylindra o promieniu 12 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami i ścianą wynosi 0,68. Znajdź najmniejszą wartość prędkości kaskadera konieczną, aby bezpiecznie wykonać pokaz kaskaderski. 13 m/s Kiedy ciało o masie 0,25 kg jest przyłączane do pionowej, nieważkiej sprężyny, ta rozciąga się o 5,0 cm względem statycznej długości (4,0 cm). Ciało i sprężyna są umieszczone na poziomej, gładkiej powierzchni i wprawione w ruch obrotowy względem osi obrotu znajdującej się na drugim końcu sprężyny. Prędkość obrotowa wynosi 2,0 obr./s. Jakie będzie teraz rozciągnięcie sprężyny? Wagony kolejowe muszą pokonać zakręt o promieniu krzywizny równym 500,0 m nachylony pod kątem 5 ∘ . Dla pociągów jadących z jaką prędkością został ten zakręt zaprojektowany? 20,7 m/s Ciężarek wisi pionowo na lince przyczepionej do sufitu wagonu kolejowego. Wagon zaczyna poruszać się po torze krzywoliniowym o promieniu 300,0 m z prędkością 90,0 km/h. O jaki kąt względem położenia równowagi odchyli się ciężarek z linką? Samolot leci z prędkością 120 m/s i w celu wykonania skrętu pochyla się pod kątem 30 ∘ . Jego masa wynosi 2 , 50 ⋅ 10 3 k g . Ile wynosi siła nośna? Jaki jest promień skrętu samolotu? a. 28300 N; b. 2540 m Położenie cząstki jest dane za pomocą wyrażenia: r → ( t ) = A ( i ^ cos  ω t + j ^ sin  ω t ) , gdzie ω jest stałe. (a) Wykaż, że cząstka porusza się po okręgu o promieniu A . (b) Oblicz d r → / d t i wykaż, że szybkość cząstki jest stała i równa A ω . (c) Określ d 2 r → / d t 2 i wykaż, że przyspieszenie a jest równe A ω 2 . (d) Oblicz siłę dośrodkową działającą na cząstkę. Wskazówka : W przykładach (b) i (c) pomocne będzie użycie zależności ( d / d t ) cos  ω t = − ω sin  ω t i ( d / d t ) sin  ω t = ω cos  ω t . Dwa ciężarki połączone struną są ciągnięte po poziomej powierzchni za pomocą siły przyłożonej do jednego z ciężarków, jak przedstawiono na rysunku poniżej. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy ciężarkami a powierzchnią jest równy 0,25. Jeśli każdy z ciężarków ma przyspieszenie 2,0 m/s 2 skierowane w prawo, to ile wynosi wartość przyłożonej siły F ? 25 N Rozważ sytuację przedstawioną na rysunku poniżej. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy powierzchnią i większym ciężarkiem jest równy 0,20, a współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy powierzchnią i mniejszym ciężarkiem wynosi 0,30. Jeśli siła F = 10 N , a masa M = 1 , 0 k g , to ile wynosi siła naciągu struny łączącej ciężarki? Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy powierzchnią i ciężarkami na rysunku wynosi μ k . Jeśli masa M = 1 , 0 k g , znajdź przyspieszenie każdego z ciężarków. a = F 4 − μ k g Dwa ciężarki położone jeden na drugim, jak przedstawiono na rysunku, spoczywają na gładkiej powierzchni. Pomiędzy ciężarkami działa tarcie (współczynnik tarcia równy μ ). Do górnego ciężarka przyłożona jest zewnętrzna siła działająca pod kątem θ do poziomu. Ile maksymalnie może wynosić siła F , aby ciężarki mogły być pchane jednocześnie, a nie przesuwały się względem siebie? Pudło spoczywa na poziomej naczepie samochodu dostawczego. Współczynnik tarcia pomiędzy pudłem a naczepą jest równy 0,24. Jak daleko zdąży odjechać samochód w ciągu 3,0 s od momentu startu, jeśli porusza się ze stałym, poziomym przyspieszeniem, a skrzynia podczas tego ruchu się nie przesunie? 14 m Na rysunku przedstawiono podwójną równię pochyłą, na szczycie której umieszczono bloczek. Współczynnik tarcia na równi po lewej wynosi 0,30, zaś na równi po prawej 0,16. Oblicz przyspieszenie połączonych ze sobą wózków. Zadania trudniejsze W jednym z kolejnych rozdziałów dowiesz się, że ciężar ciała zmienia się w zależności od wysokości zgodnie z równaniem: Q = m g r 0 2 / r 2 , gdzie r 0 jest promieniem Ziemi, a r jest odległością od środka Ziemi. Jeśli ciało zostaje wystrzelone z powierzchni Ziemi pionowo z prędkością v 0 , to jak wygląda wyrażenie na prędkość ciała w zależności od jego położenia r ? ( Wskazówka: skorzystaj z przekształconej zależności: a d r = v d v .) v = v 0 2 − 2 g r 0 ( 1 − r 0 r ) Duża wirówka, jak ta przedstawiona na zdjęciu, używana jest do poddawania kandydatów na astronautów działaniu przyspieszenia podobnego do tego, jakie powstaje podczas startu rakiety i jej powrotu do atmosfery. (a) Przy jakiej prędkości kątowej wartość przyspieszenia dośrodkowego osiąga 10 g , jeśli astronauta znajduje się w odległości 15,0 m od osi obrotu? (b) Kapsuła astronauty wisi na osi przegubu na końcu ramienia, dzięki czemu kapsuła może się odchylać na zewnątrz podczas obrotu (jak na zdjęciu). O jaki kąt θ względem poziomu odchyli się kapsuła, jeśli przyspieszenie dośrodkowe wynosi 10 g ? ( Wskazówka: Ramię przykłada siłę dośrodkową i utrzymuje ciężar kapsuły. Narysuj rozkład sił działających na kapsułę, aby prawidłowo zlokalizować położenie kąta θ .) Samochód o masie 1000,0 kg jedzie po poziomej drodze z prędkością 100,0 km/h, po czym gwałtownie hamuje. Oblicz długość drogi hamowania, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego opon o asfalt wynosi 0,500. Pomiń wpływ oporu powietrza. ( Wskazówka: skoro interesuje nas przebyta droga, a nie czas hamowania, to x będzie zmienną niezależną, a nie t . W celu wykonania obliczeń przekształć następujące zależności: d v / d t = ( d v / d x ) ⋅ ( d x / d t ) = v d v / d x .) 78,7 m Samolot lecący z prędkością 200 m / s wykonuje zakręt w czasie 4,0 min. Jaki powinien być kąt przechylenia samolotu? O ile procent wzrośnie subiektywny ciężar pasażerów? Spadochroniarz znajduje się na wysokości 1520 m. Po 10 sekundach swobodnego spadku otwiera spadochron i stwierdza, że działająca na niego siła oporu powietrza F op jest wprost proporcjonalna do prędkości F op = − b v , gdzie b jest stałe i v jest prędkością spadku. Jeśli b = 0 , 750 , a masa skoczka wynosi 82,0 kg, znajdź: prędkość skoczka w momencie otwarcia spadochronu, drogę przebytą przez skoczka do momentu otwarcia spadochronu, prędkość graniczną po otwarciu spadochronu, czas spadania skoczka do momentu otwarcia spadochronu. a. 53,9 m/s; b. 328 m; c. 4,58 m/s; d. 257 s Mała kulka o masie 4,00 g zaczyna poruszać się pod wpływem siły grawitacji w czasie t = 0 w butelce wypełnionej szamponem. Prędkość graniczna wynosi 2 cm/s. Znajdź wartość współczynnika b w równaniu v = m g b ( 1 − e − b t / m ) , wartość siły oporu w momencie, gdy kulka osiąga prędkość graniczną. Kierujący łódką motorową wraz z motorówką są w spoczynku na jeziorze. Ich łączna masa wynosi 200,0 kg. Siła ciągu silnika motorówki wynosi 40,0 N w kierunku ruchu pojazdu, a siła oporu wody jest równa 2 v , gdzie v jest prędkością motorówki. Oblicz: prędkość motorówki po czasie t ; prędkość końcową (prędkość po bardzo długim czasie). a. v = 20,0 ( 1 − e −0,01 t ) ; b. v konc = 20 m/s siła oporu (ang. drag force ) siła, która przeciwstawia się ruchowi ciała w płynie; w przeciwieństwie do zwykłego tarcia siła oporu zależy od prędkości ruchu ciała prędkość graniczna (ang. terminal speed ) stała prędkość osiągana przez spadające ciało wówczas, gdy ciężar tego ciała jest równoważony przez skierowaną przeciwnie siłę oporu

Science


Wstęp Sprinterka wyzwala swoją maksymalną moc, aby wykonać jak największą pracę w jak najkrótszym czasie, kiedy jej stopa dotyka podłoża. Dzięki temu nie zwalnia w trakcie wyścigu. Odpychanie się od twardego podłoża powoduje powstanie siły reakcji, która umożliwia jej wygraną. (Źródło: modyfikacja pracy Marie-Lan Nguyen) W tym rozdziale omawiamy podstawowe pojęcia fizyczne oraz prawa, które są związane z dowolnym ruchem we Wszechświecie. Nie będziemy mówili tylko o pojęciu siły czy o ruchu zmiennym jak w rozdziałach poprzednich 4 i 5 , lecz o innych pojęciach fizycznych. Tymi pojęciami będą: praca, energia kinetyczna oraz moc. Wyjaśnimy, jak te wielkości fizyczne zależą wzajemnie od siebie i czym jest zasada zachowania energii. Zastosowanie zasad dynamiki Newtona zwykle wymaga użycia rachunku różniczkowego, który opisuje zależność pomiędzy siłą działającą na ciało a jego przyspieszeniem. Często rozwiązanie analityczne takiego układu równań jest trudne bądź wręcz niemożliwe do znalezienia; wymaga długich obliczeń matematycznych lub symulacji komputerowych. W takim przypadku najbardziej odpowiednim podejściem jest zastosowanie bardziej ogólnych praw, takich jak zasada zachowania energii, które mogą dostarczyć odpowiedzi na wiele pytań, jednocześnie upraszczając obliczenia. Na przykład zastosowanie zasady zachowania energii w przypadku wyznaczenia siły działającej na cząstkę poruszającą się po dowolnej trajektorii w dowolnym jej punkcie jest możliwe bez większych problemów.

Science