Instalacja elektryczna w domu i bezpieczeństwo elektryczne Elektryczność powoduje dwa główne zagrożenia: termiczne i porażeniem prądem. Zagrożenie termiczne (ang. thermal hazard ) pojawia się, gdy prąd elektryczny o zbyt dużym natężeniu powoduje niepożądane efekty termiczne, takie jak pożar. Zagrożenie porażeniem (ang. shock hazard ) występuje, gdy prąd elektryczny przepływa przez człowieka. Stopień porażenia bywa różny. Może to być bolesne, ale poza tym nieszkodliwe doznanie, ale także może doprowadzić do zatrzymania akcji serca i w konsekwencji do śmierci. W części tej rozważymy od strony ilościowej te zagrożenia i dodatkowo wpływające na nie czynniki. Omówimy także systemy i urządzenia do zapobiegania zagrożeniom elektrycznym. Zagrożenie termiczne Moc elektryczna może spowodować niepożądany wzrost temperatury, kiedy energia elektryczna przekształca się w energię cieplną z szybkością przekraczającą bezpieczne rozpraszanie ciepła. Klasycznym tego przykładem jest zwarcie (ang. short circuit ), kiedy pomiędzy biegunami źródła napięcia powstaje dodatkowa ścieżka o niskiej rezystancji. Przykład zwarcia pokazano na . Toster jest podłączony do domowego gniazdka elektrycznego. Izolacja przewodów prowadzących do urządzenia uległa uszkodzeniu i z tego powodu obydwa przewody się stykają (zwierają). W konsekwencji energia cieplna może szybko podnieść temperaturę otaczających materiałów, stopić izolację i spowodować pożar. Na schemacie obwodu znajduje się symbol przedstawiający sinusoidalną krzywą zamkniętą w okrąg, oznacza on źródła napięcia zmiennego (AC). W takim źródle napięcie oscyluje pomiędzy dodatnią i ujemną wartością maksymalną. Do tej pory rozważaliśmy źródła napięcia stałego (DC), ale wiele z pojęć już omawianych odnosi się także do obwodów prądu przemiennego. Zwarcie jest dodatkowym i niepożądanym połączeniem o niskiej oporności między biegunami źródła napięcia. (a) Uszkodzona izolacja przewodów prowadzących do tostera umożliwia ich kontakt ze względu na mały opór r . Ponieważ P = U 2 ∕ r , energia w postaci ciepła wydziela się na oporze r tak szybko, że przewód ulega stopieniu i może dojść do zapalenia się izolacji. (b) Schemat zwartego obwodu. Inne poważne zagrożenie termiczne występuje, gdy przewody dostarczające energię do urządzenia są przeciążone. Przewody i urządzenia elektryczne są często kategoryzowane pod względem maksymalnego natężenia prądu, który może bezpiecznie przez nie przepływać. Określenie „przeciążenie” odnosi się do stanu, gdy natężenie przekracza dozwoloną wartość maksymalną. Moc, z jaką energia ulega rozproszeniu na przewodach zasilających podczas przepływu przez nie prądu, wynosi P = I 2  R p , gdzie R p to oporność przewodów, a I oznacza natężenie prądu płynącego przez przewody. Jeśli I lub R p ma zbyt dużą wartość, przewody się przegrzewają. Do ograniczenia prądów o zbyt dużym natężeniu wykorzystuje się bezpieczniki i wyłączniki instalacyjne. Niebezpieczeństwo porażenia prądem elektrycznym Porażenie prądem to fizjologiczna reakcja lub obrażenie spowodowane przepływem zewnętrznego prądu elektrycznego przez ciało. Wpływ porażenia prądem elektrycznym jest negatywny lub pozytywny. Gdy prąd o natężeniu powyżej 300  mA przepływa przez serce, może być śmiertelny. Zwykle do śmierci prowadzi migotanie komór serca – bardzo nieregularne skurcze wynikające z porażenia. Z drugiej strony ofiara ataku serca, u której występuje migotanie, może zostać uratowana przez porażenie prądem z defibrylatora. Skutki niepożądanego porażenia prądem mają różną skalę: nieznaczne doznanie w punkcie styku, ból, paraliż mięśni (utrata kontroli nad normalnym funkcjonowaniem mięśni występująca często jako niekontrolowany skurcz mięśni), trudności w oddychaniu, migotanie serca, a nawet śmierć. Paraliż mięśni może spowodować, że ofiara nie będzie w stanie oderwać się od źródła prądu. Głównymi czynnikami, od których zależy nasilenie objawów porażenia elektrycznego, są: Natężenie prądu I . Ścieżka przepływu prądu. Czas trwania przepływu prądu. Częstotliwość f płynącego prądu ( f = 0  Hz dla obwodów DC). Ze względu na dużą zawartość wody nasze ciała są stosunkowo dobrymi przewodnikami elektrycznymi. Niebezpieczeństwo występuje, gdy ciało pozostaje w kontakcie ze źródłem napięcia i jest jednocześnie uziemione. Termin „uziemione” określa możliwość odprowadzenia ładunków do dużego ich odbiornika, na przykład ziemi (stąd nazwa). Gdy istnieje bezpośrednia droga do niej, duże prądy będą przepływać przez części ciała o najmniejszym oporze do miejsca uziemienia (kontaktu z ziemią). Środkiem ostrożności stosowanym w wielu zawodach jest noszenie izolowanych butów. Ze względu na duży opór zapobiegają one przepływowi elektronów przez stopy do ziemi. Ilekroć pracujemy z narzędziami wymagającymi dużej mocy lub jakimkolwiek obwodem elektrycznym, musimy się upewnić, że nie stanowimy drogi dla ewentualnego przepływu prądu (zwłaszcza przez serce). Typowym środkiem ostrożności jest praca jedną ręką, zmniejszająca niebezpieczeństwo przepływu prądu przez serce. Prądy o bardzo małym natężeniu nieszkodliwie i nieodczuwalnie przepływają przez ciało. Zdarza się to regularnie bez naszej wiedzy. Próg odczuwania prądu wynosi tylko 1  mA , a choć nieprzyjemne, porażenia prądem o natężeniu poniżej 5  mA są najwyraźniej nieszkodliwe. Wiele reguł bezpieczeństwa przyjmuje 5  mA jako dopuszczalną wartość przepływającego prądu. Przy natężeniu prądu między 5  mA a 30  mA i wyższych prąd może stymulować trwałe skurcze mięśni, podobnie jak regularne impulsy nerwowe ( ). Bardzo duże prądy (o natężeniu powyżej 300  mA ) powodują, że serce i przepona ulegają skurczowi na czas przepływu. Zarówno serce, jak i oddech się zatrzymują. Do normy powracają zwykle, gdy porażenie ustaje. Prąd elektryczny może powodować skurcze mięśni o różnym działaniu. (a) Ofiara jest odrzucana do tyłu przez mimowolne skurcze mięśni, które prostują nogi i tors; (b) ofiara nie może puścić przewodu, który spowodował skurcz wszystkich mięśni dłoni. Te, które zginają palce, są silniejsze od tych, które palce prostują. Natężenie prądu to główny czynnik determinujący dotkliwość porażenia prądem. Większe napięcie jest bardziej niebezpieczne, ale ponieważ I = U ∕ R , dotkliwość działania prądu zależy od kombinacji napięcia i oporu. Na przykład osoba z suchą skórą ma oporność około 250  kΩ . Jeśli wejdzie w kontakt ze źródłem AC 230  V , to prąd o natężeniu I = 230  V 250  kΩ = 0,92  mA przepływa przez nią nieodczuwalnie. Ta sama osoba, ale z wilgotną skórą, może mieć oporność 20  kΩ , a te same 230  V wytwarza prąd o natężeniu 11,5  mA , czyli powyżej dopuszczalnego progu, który może być niebezpieczny. Bezpieczeństwo elektryczne: systemy i urządzenia (a) przedstawia schemat prostego obwodu prądu przemiennego (AC) bez funkcji bezpieczeństwa. W praktyce w inny sposób rozdziela się zasilanie. Nowoczesne gospodarstwa domowe i instalacje przemysłowe wymagają systemu trójprzewodowego (ang. three-wire system ), pokazanego schematycznie w części (b), na który składają się trzy izolowane druty: fazowy (gorący), neutralny i ochronny (uziemienie). Instalacja elektryczna ma też kilka funkcji bezpieczeństwa. Pierwszą z nich jest poznany wcześniej wyłącznik instalacyjny (ang. circuit breaker ), nazywany też bezpiecznikiem (ang. fuse ), zapobiegający przeciążeniu termicznemu. Drugą jest obudowa ochronna wokół urządzenia, taka jak w tosterze czy lodówce. Funkcja zabezpieczająca obudowy polega na uniemożliwieniu użytkownikowi dotknięcia odsłoniętych przewodów i kontaktu z obwodem elektrycznym, co pomaga zapobiec porażeniu. (a) Schemat prostego obwodu AC ze źródłem napięcia i jednym urządzeniem reprezentowanym przez opór R R . W tym obwodzie nie ma żadnych funkcji bezpieczeństwa. (b) System trójprzewodowy uziemia za pomocą tzw. przewodu neutralnego (tj. łączy z ziemią) źródło zasilania oraz użytkownika, zapewniając im potencjał zerowy oraz alternatywną drogę powrotną dla prądu płynącego przez ziemię. Obudowa urządzenia jest również uziemiona do potencjału zerowego. Wyłącznik instalacyjny lub bezpiecznik chroni przed przeciążeniem termicznym i jest połączony szeregowo z fazowym (gorącym) przewodem. Trzy połączenia z ziemią zaznaczono na (b). Przypomnijmy, że uziemienie jest ścieżką o małej rezystancji, bezpośrednio połączoną z ziemią. Dwa połączenia uziemiające na przewodzie neutralnym wymuszają, aby miał on zerowy potencjał w stosunku do ziemi, stąd jego nazwa. Przewód neutralny to ścieżka powrotna dla prądu, aby ten mógł zamknąć obwód. Ponadto dwa punkty uziemienia zapewniają alternatywną ścieżkę przez ziemię (która jest dobrym przewodnikiem), aby także zamknąć obwód. Złącze uziemiające bliższe źródła zasilania może być fizycznie umiejscowione w elektrowni, podczas gdy drugie znajduje się u użytkownika. Trzecie uziemienie jest podłączone do obudowy urządzenia poprzez żółto-zielony przewód uziemienia, zapewniając zerowy potencjał obudowy. Przewód fazowy (lub gorący) dostarcza napięcie i prąd niezbędne do działania urządzenia. przedstawia bardziej obrazową wersję sposobu podłączenia systemu trójprzewodowego za pomocą trójpunktowej wtyczki urządzenia. Standardowa wtyczka trójpunktowa (dwa bolce i gniazdo dla bolca uziemienia montowanego w gniazdku), którą można podłączyć tylko w jeden sposób, aby zapewnić prawidłowe funkcjonowanie układu trójprzewodowego. W celu identyfikacji przewodów tworzywo sztuczne, z którego wykonano ich izolację, jest kodowane określonym kolorem, ale kody te są różne w różnych krajach. Istotne jest, aby określić kod koloru w danym regionie. Zgodnie z polskimi normami: izolacja przewodu fazowego ma zwykle kolor czarny lub brązowy, przewód neutralny ma izolację koloru jasnoniebieskiego, a przewód ochronny (uziemienie) ma izolację żółto-zieloną. Specjalnie dla osób, które nie rozpoznają kolorów, powłoki izolacyjne czasem mają także oznaczenia paskowe. Uziemienie obudowy rozwiązuje więcej problemów. Najczęstszy z nich to zużycie (przetarcie) izolacji na przewodzie gorącym. Odsłonięty przewód umożliwia kontakt z obudową, jak na . Brak uziemienia może doprowadzić do poważnego porażenia elektrycznego. Jest to szczególnie niebezpieczne w kuchni, gdzie dobre połączenie z ziemią jest możliwe, np. przez rozlaną na podłodze wodę lub poprzez instalację wodną. Przy podłączonym uziemieniu wyłącznik instalacyjny zadziała, przerywając obwód, choć może to spowodować uszkodzenie urządzenia. Zużyta izolacja umożliwia kontakt przewodu gorącego z metalową obudową urządzenia. (a) Przerwane połączenie z ziemią może spowodować poważne obrażenia osoby porażonej. Urządzenie zaś może działać normalnie. (b) Przy prawidłowym uziemieniu zadziała wyłącznik, co może doprowadzić do uszkodzenia urządzenia. Wyłącznik różnicowoprądowy (ang. residual current circuit breaker – RCCB) jest urządzeniem zabezpieczającym, które można znaleźć we współczesnych instalacjach, zwłaszcza w obwodach zasilających kuchnię i łazienkę. Działa on na zasadzie indukcji elektromagnetycznej. Porównuje natężenia prądów w fazowych i neutralnych przewodach. Gdy nie są one równe, co występuje prawie zawsze, ponieważ natężenie prądu w przewodzie neutralnym jest mniejsze niż w fazowym, wtedy prąd, nazywany prądem upływu, powraca do źródła napięcia inną ścieżką niż przez przewód neutralny. Ta inna droga przepływu prądu stanowi zagrożenie. Wyłącznik różnicowoprądowy zazwyczaj przerywa obwód, jeśli natężenie prądu upływu przekracza 5  mA – maksymalną akceptowalną wartość natężenia prądu, która nie powoduje obrażeń. Nawet jeśli prąd upływu jest bezpiecznie odprowadzany do ziemi poprzez nieuszkodzony przewód uziemienia, to RCCB zadziała, co zmusi użytkownika do naprawy usterki. Podsumowanie Dwa rodzaje zagrożeń elektrycznych to: zagrożenie termiczne (wynikające z nadmiernego wydzielania energii) i porażenie (gdy prąd przepływa przez osobę). Systemy i urządzenia zabezpieczenia elektrycznego przeciwdziałają obu tym zagrożeniom. Nasilenie objawów porażenia zależy od: natężenia prądu, ścieżki jego przepływu, czasu trwania porażenia i częstotliwości prądu zmiennego. Wyłączniki i bezpieczniki przerywają przepływ prądu o zbyt dużym natężeniu, aby zapobiec zagrożeniom termicznym. Stosowanie kabli trójprzewodowych (fazowy – gorący, neutralny i ochronny – uziemiający) oraz uziemianie obudów urządzeń chroni przez zagrożeniem termicznym i porażeniem. Wyłącznik różnicowoprądowy (RCCB) rozłącza obwód po wykryciu, że prąd elektryczny z niego wypływający nie jest równy prądowi wpływającemu, zapobiegając w ten sposób porażeniu prądem. Najważniejsze wzory Napięcie na biegunach pojedynczego źródła napięcia U bat = ε − I  r Opór równoważny obwodu szeregowego R rw = R 1 + R 2 + R 3 + … + R N − 1 + R N = ∑ i = 1 N R i Opór równoważny obwodu równoległego R rw = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 + … + 1 R N − 1 + 1 R N − 1 = ∑ i = 1 N 1 R i − 1 Pierwsze prawo Kirchhoffa ∑ I wpływające = ∑ I wypływające Drugie prawo Kirchhoffa ∑ U = 0 Napięcie na biegunach N źródeł napięcia połączonych szeregowo U bat = ∑ i = 1 N ε i − I  ∑ i = 1 N r i = ∑ i = 1 N ε i − I  r rw Napięcie na biegunach N źródeł napięcia połączonych równolegle U bat = ε − I  ∑ i = 1 N 1 r i − 1 = ε − I  r rw Ładunek na kondensatorze podczas ładowania q  t = C  ε  1 − e − t R  C = Q  1 − e − t τ Pojemnościowa stała czasowa τ = R  C Natężenie prądu podczas ładowania kondensatora i  t = I 0  e − t ∕ τ Ładunek na kondensatorze podczas rozładowywania q  t = Q  e − t ∕ τ Natężenie prądu podczas rozładowywania kondensatora i  t = − Q R  C  e − t ∕ τ Pytania Dlaczego zwarcie nie jest niezbędne do powstania zagrożenia porażeniem? Nie zaleca się dotykania przełączników elektrycznych mokrymi rękami – najpierw powinny one zostać wysuszone. Nie zaleca się również gaszenia pożaru urządzeń elektrycznych wodą. Dlaczego? Nie tylko woda może przedostać się do wnętrza przełącznika i spowodować porażenie prądem, ale również opór ciała jest mniejszy, kiedy jest ono mokre. Zadania Jak duża moc energii elektrycznej ulega rozproszeniu w czasie zwarcia obwodu AC zasilanego napięciem 230  V , gdy zwarcie nastąpiło przez opór o wartości 0,25  Ω ? Prąd o jakim natężeniu wtedy popłynie? Źródło o jakim napięciu spowoduje moc rozproszonej energii elektrycznej o wartości 1,44  kW podczas zwarcia poprzez opór o wartości 0,1  Ω ? 12  V . Oblicz natężenie prądu, który przepłynie przez osobę, i określ prawdopodobny wpływ porażenia na nią, jeśli dotyka źródła AC 230  V , stojąc na gumowej macie, gdy całkowity opór wynosi 300  kΩ ; stojąc bosymi stopami na mokrej trawie, gdy jej opór wynosi tylko 4  kΩ . Podczas kąpieli osoba dotyka metalowej obudowy radia. Ścieżka przepływu prądu przez osobę do odpływu i uziemienia ma opór 4  kΩ . Jakie jest najmniejsze napięcie na obudowie radia mogące spowodować migotanie komór serca? 400  V . Człowiek niemądrze stara się wyciągnąć przypaloną kromkę chleba z tostera metalowym nożem do masła i styka się z napięciem 230  V AC. Nawet tego nie czuje, bo na szczęście ma na nogach buty na gumowych podeszwach. Jaka jest minimalna oporność ścieżki przepływu prądu przez tego człowieka? Podczas operacji prąd o natężeniu zaledwie 20  µA płynący bezpośrednio do serca może spowodować migotanie komór. Ile wynosi najmniejsze napięcie, które stwarza powyższe niebezpieczeństwo, jeśli opór odsłoniętego serca wynosi 300  Ω ? Czy odpowiedź sugeruje, że potrzebne są specjalne zabezpieczenia elektryczne? a. 6  mV ; b. Nie ma konieczności podjęcia dodatkowych środków ostrożności związanych z napięciem pochodzącym od muru. Jednakże możliwe jest generowanie napięć o porównywalnej wartości i pochodzących od ładunków statycznych zgromadzonych np. na rękawiczkach, więc pewne środki ostrożności są niezbędne. Ile wynosi oporność zwarcia, które uwalnia moc 96,8  kW w obwodzie zasilanym źródłem AC o napięciu 230  V ? Jaka byłaby średnia moc, gdyby napięcie AC wynosiło 120  V ? W celu przywrócenia normalnego funkcjonowania serca defibrylator przepuszcza prąd o natężeniu 10  A przez tors pacjenta w czasie 5  ms . Jaki ładunek przeszedł przez serce? Jakie napięcie zostało zastosowane, jeśli koszt energetyczny defibrylacji wyniósł 500  J ? Ile wynosił opór ścieżki, którą płynął prąd? O ile wzrosła temperatura w 8  kg tkanek objętych działaniem defibrylatora? a. 5 ⋅ 10 − 2  C ; b. 10  kV ; c. 1  kΩ ; d. 1,79 ⋅ 10 − 2  ° C . Zwarcie w przewodzie zasilającym urządzenie napięciem 230  V ma opór 0,5  Ω . Oblicz wzrost temperatury otaczających punkt zwarcia materiałów o masie 2  g , przyjmując, że ich ciepło właściwe wynosi 0,2  cal  g − 1  ° C − 1 , a wyłącznik bezpieczeństwa przerwał dopływ prądu po 0,5  s . Czy może to spowodować duże zniszczenia? Zadania dodatkowe Obwód zawiera baterię R20 (o napięciu na biegunach 1,5  V ), przełącznik, opornik 20  Ω i cztery kondensatory 20  mF połączone szeregowo. Jaka jest pojemność równoważna obwodu? Jaka jest stała czasowa RC? Po jakim czasie od zamknięcia przełącznika natężenie prądu zmniejszy się do 50  % wartości początkowej? a. C rw = 4  mF ; b. τ = 80  ms ; c. 55,45  ms . Obwód zawiera baterię R20 (o napięciu na biegunach 1,5  V ), przełącznik, opornik 20  Ω i trzy kondensatory 20  mF . Kondensatory są połączone ze sobą równolegle i wszystkie są połączone szeregowo z przełącznikiem, opornikiem i baterią. Ile wynosi pojemność równoważna obwodu? Jaka jest stała czasowa RC? O ile wcześniej przełącznik musi zostać zamknięty, zanim natężenie prądu zmniejszy się do 50  % wartości początkowej? Rozważ obwód przedstawiony poniżej. Źródło napięcia ma SEM równą ε = 30  V i wewnętrzny opór r = 1  Ω . Oblicz równoważny opór obwodu i natężenie prądu wypływającego ze źródła napięcia; Wyznacz natężenie prądu płynącego przez każdy z oporników; Oblicz spadek potencjału na każdym oporniku; Określ szybkość rozpraszania energii przez każdy opornik; Wyznacz całkowitą moc dostarczoną przez źródło napięcia. a. R rw = 20  Ω ; b. I r = 1,5  A , I 1 = 1  A , I 2 = 0,5  A , I 3 = 0,75  A , I 4 = 0,75  A , I 5 = 1,5  A ; c. U r = 1,5  V , U 1 = 9  V , U 2 = 9  V , U 3 = 7,5  V , U 4 = 7,5  V , U 5 = 12  V ; d. P r = 2,25  W , P 1 = 9  W , P 2 = 4,5  W , P 3 = 5,625  W , P 4 = 5,625  W , P 5 = 18  W ; e. P = 45  W . Kondensator domowej roboty składa się z 2 arkuszy folii aluminiowej o powierzchni 2  m 2 , oddzielonych papierem o grubości 0,05  mm o tej samej powierzchni i stałej dielektrycznej 3,7 . Kondensator ten połączono szeregowo z opornikiem 100  Ω , przełącznikiem i źródłem napięcia 6  V . Ile wynosi stała czasowa obwodu RC? Jakie jest początkowe natężenie prądu w obwodzie, gdy przełącznik jest zamknięty? Ile czasu trzeba, żeby natężenie prądu zmniejszyło się do jednej trzeciej swojej wartości początkowej? Z grafitowego ołówka o długości 5  cm i średnicy wkładu 0,05  mm student buduje opornik. Opór właściwy grafitu wynosi ρ = 1,38 ⋅ 10 − 5  Ω  m − 1 . Opornik ten student połączył szeregowo z przełącznikiem, kondensatorem o pojemności 10  mF i źródłem napięcia 0,5  V . Jaka jest stała czasowa obwodu RC? Ile wynosi spadek potencjału na ołówku sekundę po zamknięciu przełącznika? a. τ = − 1,38 ⋅ 10 − 5  Ω  m − 1 ⋅ 5 ⋅ 10 − 2  m ∕ 3,14 ⋅ 0,5 ⋅ 10 − 3 ∕ 2 2 ⋅ 10 ⋅ 10 − 3  F = 3,52  s ; b. U = 0,17  A ⋅ e − 1  s ∕ 3,52  s ⋅ 351,59  Ω = 4,55  V . Przedstawiony poniżej prosty obwód znany jest jako dzielnik napięcia. Symbol składający się z trzech poziomych linii reprezentuje uziemienie obwodu i może być zdefiniowany jako punkt o zerowym potencjale. Dzielnik napięcia powszechnie stosuje się w obwodach. Wystarczy pojedyncze źródło napięcia, aby zapewnić redukcję napięcia na oporniku obciążenia R L , jak pokazano w drugiej części rysunku. Jakie jest napięcie wyjściowe U wyj obwodu (a), gdy znane są R 1 , R 2 i U wej ? Jakie jest napięcie wyjściowe U wyj obwodu (b), gdy znane są R 1 , R 2 , R L i U wej ? Trzy oporniki o oporze 300  Ω każdy połączone są szeregowo z baterią AAA o pojemności 3  A  h (amperogodzin). Jak długo bateria może zasilać oporniki? Jak długo wytrzyma bateria, jeśli oporniki połączysz równolegle? a. t = 3  A  h ∕ 1,5  V ∕ 900  Ω = 1800  h ; b. t = 3  A  h ∕ 1,5  V ∕ 100  Ω = 200  h . Rozważ obwód, który składa się z rzeczywistej baterii o SEM równej ε i oporze wewnętrznym r , podłączonej do opornika o zmiennej rezystancji R . Jak powinno się dopasować opór opornika, aby napięcie na biegunach baterii było równe jej SEM? Jaki powinien być opór opornika, aby uzyskać z baterii prąd o maksymalnym natężeniu? Jaki powinien być opór opornika, aby uzyskać maksymalną moc baterii? Rozważ obwód pokazany poniżej. Jaką energię może przechowywać przez bardzo długi czas każdy kondensator po zamknięciu przełącznika? E p  1 = 1 ∕ 2 ⋅ C 1  U 1 2 = 80  mJ , E p  2 = 1 ∕ 2 ⋅ C 2  U 2 2 = 37,6  mJ . Rozważ obwód składający się z akumulatora o SEM równej ε i oporze wewnętrznym r , połączonego szeregowo z opornikiem R i kondensatorem C . Udowodnij, że całkowita energia dostarczana przez akumulator podczas ładowania wynosi ε 2  C . Rozważ obwód pokazany poniżej. Dane są napięcia między biegunami źródeł napięcia. Oblicz równoważny opór obwodu i natężenie prądu wypływającego z baterii; Oblicz natężenie prądu płynącego przez każdy opornik; Oblicz spadek potencjału na każdym oporniku; Oblicz moc energii elektrycznej rozpraszanej przez każdy opornik; Oblicz całkowitą moc dostarczoną przez źródła napięcia. a. R rw = 24  Ω ; b. I 1 = 1  A , I 2 = 0,67  A , I 3 = 0,33  A , I 4 = 1  A ; c. U 1 = 14  V , U 2 = 6  V , U 3 = 6  V , U 4 = 4  V ; d. P 1 = 14  W , P 2 = 4,04  W , P 3 = 1,96  W , P 4 = 4  W ; e. P = 24  W . Rozważ obwód pokazany poniżej. Jakie jest napięcie na biegunach źródła napięcia? Ile wynosi spadek potencjału na oporniku R 2 ? Rozważ obwód pokazany poniżej. Oblicz równoważny opór i natężenie prądu płynącego ze źródła napięcia, gdy przełącznik S 1 jest otwarty; Oblicz równoważny opór i natężenie prądu płynącego ze źródła napięcia, gdy przełącznik S 1 jest zamknięty. a. R rw = 12  Ω , I = 1  A ; b. R rw = 12  Ω , I = 1  A . Dwa oporniki, w tym jeden o oporze 145  Ω , połączono równolegle w celu uzyskania całkowitego oporu 150  Ω . Ile wynosi wartość drugiego oporu? Co jest niemożliwe w tym wyniku? Jakie założenia są niewłaściwe lub niespójne? Dwa oporniki, w tym jeden o oporze 900  kΩ , połączono szeregowo w celu uzyskania całkowitego oporu 0,5  MΩ . Ile wynosi wartość drugiego oporu? Co jest niemożliwe w tym wyniku? Jakie założenia są niewłaściwe lub niespójne? a. − 400  kΩ ; b. Opór nie może być ujemny; c. Założenie, że R rw < R 1 , jest niewłaściwe. Równoważny opór połączonych szeregowo oporników jest zawsze większy od poszczególnych oporów. Zastosuj pierwsze prawo Kirchhoffa w punkcie A schematu pokazanego poniżej. Zastosuj drugie prawo Kirchhoffa do oczka A  K  L  E  D  C  B  A ze schematu powyżej. ε 2 − I 2  r 2 + I 2  R 2 + I 1  R 5 + I 1  r 1 − ε 1 + I 1  R 1 = 0 . Wyznacz natężenia prądów w obwodzie z poprzedniego zadania. Pokazuj wyraźnie, jak postępujesz zgodnie ze schematem opisanym w Strategii rozwiązywania problemów: oporniki połączone szeregowo i równolegle . Rozważ obwód przedstawiony poniżej. Oblicz natężenie prądu płynącego przez każdy opornik; Sprawdź poprawność wyniku, analizując moc w obwodzie. a. I = 1,17  A ; b. P rozproszona = 23,4  W , P dostarczona = 23,4  W P_{\text{dostarczona}} = \SI{23,4}{\watt} . Migająca lampka w kolczyku działa w oparciu o układ RC i rozładowywanie kondensatora przez opornik. Efektywny czas błysku wynosi 0,25  s , i wytwarza się średnio 0,5  W , a średnie napięcie zasilania wynosi 3  V . Energia o jakiej wartości się wydziela? Jaki ładunek przepływa przez lampkę? Oblicz pojemność kondensatora; Ile wynosi oporność lampki? (Ponieważ podane są średnie wartości niektórych wielkości, kształt profilu impulsów nie jest potrzebny). Kondensator o pojemności 160  µF naładowany do 450  V jest rozładowywany przez opornik o oporze 31,2  kΩ . Oblicz pojemnościową stałą czasową obwodu RC; Oblicz wzrost temperatury opornika, przyjmując, że jego masa wynosi 2,5  g , a ciepło właściwe wynosi 1,67  kJ ∕ kg  ° C (zauważ, że większość energii cieplnej wytwarza się w krótkim czasie rozładowania); Oblicz uaktualnioną wartość oporu, zakładając, że opornik wykonano z czystego węgla; Czy ta zmiana oporu wydaje się znacząca? a. 4,99  s ; b. 3,87  ° C ; c. 3,11 ⋅ 10 4  Ω ; d. Nie, zmiana oporu nie wydaje się znacząca. Prawdopodobnie będzie niezauważalna. Zadania trudniejsze Niektóre lampy błyskowe zbudowane są z lampy wyładowczej, wymagającej wysokiego napięcia. Otrzymują wysokie napięcie poprzez ładowanie kondensatorów podłączonych równolegle, a następnie wewnętrznie zmieniają połączenie kondensatorów na szeregowe. Rozważ obwód, który wykorzystuje cztery baterie AAA połączone szeregowo do naładowania sześciu kondensatorów o pojemności 10  mF przez równoważny opór o wartości 100  Ω . Połączenia są następnie przełączane wewnętrznie, aby kondensatory były połączone szeregowo. Kondensatory rozładowują się przez lampę o oporze 100  Ω . Ile wynosi stała czasowa obwodu RC i początkowe natężenie prądu z baterii, gdy są one połączone równolegle? Jak długo trwa ładowanie kondensatorów do 90  % wartości napięcia na biegunach baterii? Jaka jest stała czasowa obwodu RC i początkowe natężenie prądu dla kondensatorów połączonych szeregowo przy założeniu, że rozładowują się przy 90  % pełnego naładowania? Ile czasu trzeba, aby natężenie prądu spadło do 10  % wartości początkowej? Rozważ obwód pokazany poniżej. Każda bateria ma SEM równą 1,5  V i opór wewnętrzny 1  Ω . Prąd o jakim natężeniu płynie przez zewnętrzny opornik o oporze 10  Ω ? Ile wynosi napięcie między biegunami każdej z baterii? a. 0,273  A ; b. U bat = 1,36  V . Mierniki analogowe wykorzystują galwanometr, który zasadniczo składa się z cewki wykonanej z drutu o małej rezystancji, wskaźnika i przymocowanej skali. Gdy prąd przepływa przez cewkę, wskaźnik się obraca; wychylenie wskaźnika jest proporcjonalne do natężenia prądu przepływającego przez cewkę. Jeśli opornik umieścimy równolegle do galwanometru, to można użyć go do budowy amperomierza. Rozważ galwanometr, który ma opór 25  Ω i przez który może płynąć prąd o maksymalnym natężeniu 50  µA . Galwanometr ma być użyty do budowy amperomierza do pomiaru prądu o natężeniu 10  A , jak pokazano poniżej. Pamiętaj, że amperomierz podłączamy szeregowo w obwodzie, w którym mierzymy natężenie prądu, więc całe 10  A musi przepływać przez miernik. Prąd o jakim natężeniu płynie przez opornik R P podłączony równolegle w mierniku? Ile wynosi napięcie na oporniku podłączonym równolegle? Jaki jest opór opornika równoległego? Mierniki analogowe wykorzystują galwanometr, który zasadniczo składa się z cewki wykonanej z drutu o małej rezystancji, wskaźnika i przymocowanej skali. Gdy prąd przepływa przez cewkę, wskaźnik się obraca; wychylenie wskaźnika jest proporcjonalne do natężenia prądu przepływającego przez cewkę. Jeśli opornik umieścimy szeregowo z galwanometrem, to można użyć go do budowy woltomierza. Rozważ galwanometr, który ma opór 25  Ω i przez który może płynąć prąd o maksymalnym natężeniu 50  µA . Galwanometr ma być użyty do budowy woltomierza do pomiaru napięcia 10  V , jak pokazano poniżej. Pamiętaj, że woltomierz podłączamy równolegle do elementu, który nas interesuje, więc miernik musi mieć dużą rezystancję lub będzie modyfikował prąd płynący przez ten element. Ile wynosi spadek potencjału na połączonym szeregowo oporniku R S ? Jaki jest opór opornika szeregowego? a. U S = U − I M  R M = 9,998 75  V ; b. R S = U S ∕ I M = 199,975  kΩ . Rozważ poniższy obwód. Oblicz I 1 , U 1 , I 2 i U 3 . Rozważ poniższy układ. Jaka jest pojemnościowa stała czasowa RC obwodu? Ile wynosi początkowe natężenie prądu w obwodzie, gdy przełącznik jest zamknięty? Po jakim czasie od zamknięcia przełącznika natężenie prądu spadnie o połowę w stosunku do swej wartości początkowej? a. τ = 3800  s ; b. 1,26  A ; c. 2633,96  s . Rozważ poniższy obwód. Ile wynosi początkowe natężenie prądu płynącego przez opornik R 2 , gdy przełącznik jest zamknięty? Prąd o jakim natężeniu płynie przez opornik R 2 długo po zamknięciu przełącznika, gdy kondensator jest całkowicie naładowany? Co się stanie, kiedy przełącznik zostanie otwarty po tym, jak był zamknięty przez jakiś czas? Jeśli przełącznik jest zamknięty przez okres wystarczający do pełnego naładowania kondensatora, a następnie zostanie otwarty, to po jakim czasie natężenie prądu płynącego przez opornik R 1 osiągnie połowę swej początkowej wartości? Rozważ nieskończenie długi łańcuch oporników pokazany poniżej. Ile wynosi opór (równoważny) między zaciskami A i B ? Wskazówka: Uzasadnij, że w przypadku baterii złożonej z nieskończonej liczby oporników, rozpatrywany tu opór zastępczy można wyznaczać ze wzoru R rw = 2  R + 1 ∕ R + 1 ∕ R rw -1 R_{\text{rw}} = 2R + (1/R + 1/R_{\text{rw}})^{-1} . Patrz pełne rozwiązanie podobnego zadania . R rw = 1 + 3  R . Rozważ poniższy obwód. Kondensator ma pojemność 10  mF . Przełącznik jest zamknięty przez długi czas, więc kondensator jest całkowicie naładowany. Ile wynosi natężenie prądu płynącego przez każdy opornik długo po zamknięciu przełącznika? Jakie jest napięcie na każdym oporniku długo po zamknięciu przełącznika? Ile wynosi napięcie na kondensatorze długo po zamknięciu przełącznika? Jaki jest ładunek na kondensatorze długo po zamknięciu przełącznika? Przełącznik zostaje otwarty. Kondensator rozładowuje się przez oporniki. Po jakim czasie natężenie prądu zmaleje do jednej piątej wartości początkowej? Grzałkę składającą się z nawiniętego drutu podłączaną do źródła o napięciu 230  V umieszczono w naczyniu z wodą. Urządzenie może zagotować jeden kubek wody ( 250  ml \SI{250}{\milli\litre} ) o temperaturze 20  ° C w 180  s . Kupujesz jedną do użytku w swoim pokoju w akademiku, ale martwisz się, że przeciążysz obwód i zadziała wyłącznik instalacyjny 10  A , 230  V , w który wyposażono instalację elektryczną w twoim pokoju. Masz w nim jeszcze cztery lampy żarowe 100  W i grzejnik o mocy 1600  W . Jaka jest moc znamionowa grzałki? Czy wyłącznik instalacyjny zadziała, gdy wszystkie urządzenia będą włączone? Czy po zamianie wszystkich żarówek na wykonane w technologii LED o mocy 18  W podłączenie wszystkich urządzeń spowoduje zadziałanie wyłącznika instalacyjnego? a. P grzałki = 1  filiżanka ⋅ 0,000 25  m 3 ∕ filiżanka ⋅ 1000  kg ∕ m 3 ⋅ 4186  J ∕ kg  ° C ⋅ 100  ° C − 20  ° C ∕ 180  s ≈ 465  W P_{\text{grzałki}} = \SI{1}{\fil} \cdot \SI{0,00025}{\metre\cubed\per\fil} \cdot \SI{1000}{\kilo\gram\per\metre\cubed} \cdot \SI{4186}{\joule\per\kilo\gram\per\celsius} \cdot (\SI{100}{\celsius} - \SI{20}{\celsius}) / \SI{180}{\second} \approx \SI{465}{\watt} ; b. I = 465  W ∕ 230  V + 4 ⋅ 100  W ∕ 230  V + 1600  W ∕ 230  V = 10,72  A . Tak, wyłącznik bezpieczeństwa zadziała; c. I = 465  W ∕ 230  V + 4 ⋅ 18  W ∕ 230  V + 1600  W ∕ 230  V = 9,29  A . Nie, wyłącznik bezpieczeństwa nie zadziała. Oblicz opór, który należy połączyć szeregowo z galwanometrem o oporze 25  Ω i czułości 50  µA (takim samym jak omawiany w zadaniach powyżej), aby umożliwić jego użycie jako woltomierza z zakresem równym 3000  V . Dołącz schemat układu do rozwiązania. Oblicz opór, który należy połączyć równolegle z galwanometrem o oporze 60  Ω i czułości 1  mA (takim samym jak omawiany w zadaniach powyżej), aby umożliwić jego użycie jako amperomierza z zakresem równym 25  A . Dołącz schemat układu do rozwiązania. 2,4 ⋅ 10 − 3  Ω . porażenie prądem elektrycznym (ang. shock hazard ) zagrożenie/niebezpieczeństwo związane z przepływem prądu przez ciało człowieka porażenie termiczne (ang. thermal hazard ) zagrożenie/niebezpieczeństwo związane z przepływem prądu o wysokiej mocy, wywołującym niezamierzone efekty cieplne (np. topienie się elementów obwodu czy pożar) system trójprzewodowy (ang. three-wire system ) obecnie używany ze względów bezpieczeństwa system instalacji elektrycznej, w którym na przewód doprowadzający prąd elektryczny składają się trzy przewody (izolowane druty): fazowy (gorący), neutralny i ochronny (uziemienie)

Science


Wstęp Przemysłowy elektromagnes może unieść tysiące kilogramów stali. Źródło: modyfikacja pracy „BedfordAl”/Flickr W kilku poprzednich rozdziałach poznawaliśmy siły i pola elektryczne, których źródłem są ładunki statyczne. Owe pola mogą przemieszczać inne ładunki swobodne, np. wywołując prąd elektryczny w obwodzie; jednak siły i pola elektryczne pochodzą z rozkładu ładunków statycznych. W tym rozdziale przekonamy się, że poruszający się ładunek elektryczny generuje siłę i pole innego rodzaju. Te dodatkowe siły i pola składają się na to, co zwykle nazywamy magnetyzmem. Zanim gruntownie zbadamy naturę magnetyzmu, opiszemy, czym są i jak się zachowują pola magnetyczne. Po dokładniejszym zapoznaniu się ze zjawiskami magnetycznymi, wyjaśnimy ich pochodzenie na poziomie atomowym i cząsteczkowym oraz omówimy związek między magnetyzmem a elektrycznością. Relacje elektryczności i magnetyzmu są fascynujące z teoretycznego punktu widzenia, ale mają także ogromne praktyczne znaczenie, czego przykładem jest przemysłowy elektromagnes przedstawiony na .

Science


Odkrywanie magnetyzmu Magnetyzm, choć znany był od czasów antycznej Grecji, zawsze pozostawał nieco tajemniczy. Ludzkość poznawała właściwości magnetyczne stopniowo, przez wiele setek lat, zanim kilku fizyków XIX wieku połączyło magnetyzm z elektrycznością. W tym rozdziale opiszemy efekt ich prac, którym jest odkrycie podstawowych praw rządzących zjawiskami magnetyzmu. Krótka historia magnetyzmu Magnetyki powszechnie stosowane są w przedmiotach codziennego użytku, takich jak zabawki, wieszaki, windy, dzwonki do drzwi czy komputery. Badania nad magnetykami pokazują, że wszystkie posiadają dwa rodzaje biegunów, jeden nazywany północnym (N) i drugi nazywany południowym (S). Jednoimienne bieguny magnetyczne odpychają się wzajemnie, a różnoimienne przyciągają (np. jeden typu N, a drugi typu S), natomiast oba typy przyciągają nienamagnesowane kawałki żelaza. Wspomnijmy, że nie można wyizolować pojedynczych biegunów magnetycznych. Każdy wycinek magnetyka, obojętnie jak mały, jeżeli posiada biegun północny, musi także posiadać południowy. Odwiedź stronę z interaktywną prezentacją magnetycznych biegunów: południowego i północnego. Przykładem magnesu jest igła kompasu (ang. compass needle ). To cienka płytka magnetyka zamocowana pośrodku w taki sposób, że może swobodnie obracać się w płaszczyźnie poziomej. Ziemia sama działa jak wielki magnes i powoduje ustawienie się bieguna południowego igły w stronę geograficznego bieguna północnego ( ). Biegun północny kompasu jest przyciągany w kierunku ziemskiego geograficznego bieguna północnego, ponieważ pole magnetyczne wytwarzane w pobliżu geograficznego bieguna północnego jest faktycznie zwrócone na południe. Niejasność wynika z faktu, że nazwa geograficzna „biegun północny” weszła do użycia (niewłaściwie) na określenie bieguna magnetycznego, który znajduje się w pobliżu bieguna północnego. Zatem nazwa „ północny biegun magnetyczny ” (ang. north magnetic pole ) jest faktycznie błędna i powinna brzmieć południowy biegun magnetyczny (ang. south magnetic pole ). (Odnotujmy, że orientacja ziemskiego pola magnetycznego nie jest permanentna, ale zmienia się, „odwraca się”, w długich przedziałach czasowych. W końcu magnetyczny biegun północny Ziemi znajdzie się w pobliżu jej geograficznego bieguna południowego.) Biegun północny igły kompasu ustawia się w kierunku południowego bieguna magnetycznego, co pokazuje obecną orientację pola magnetycznego wnętrza Ziemi. Ustawia się także w kierunku ziemskiego geograficznego bieguna północnego, ponieważ znajduje się on w pobliżu magnetycznego bieguna południowego. W 1819 r. duński fizyk Hans Oersted (1777–1851) podczas wykładu przeprowadzał prezentację dla studentów i zauważył, że igła kompasu poruszała się, ilekroć prąd płynął w znajdującym się niedaleko kompasu przewodniku. Dalsze badania tego zjawiska upewniły Oersteda, że prąd elektryczny może w jakiś sposób wywoływać siłę magnetyczną. Ogłosił to odkrycie w 1820 roku na spotkaniu Francuskiej Akademii Nauk. Wkrótce po tym wydarzeniu badania Oersteda zostały powtórzone i rozwinięte przez innych naukowców. Wśród mających największy wkład w poznanie natury magnetyzmu byli Jean-Baptiste Biot (1774–1862) oraz Félix Savart (1791–1841) , którzy badali siły wywierane na magnetyki przez prąd elektryczny, André-Marie Ampère (1775–1836) , który studiował wzajemne oddziaływanie przewodników, przez które przepływa prąd elektryczny, François Arago (1786–1853) , który zauważył, że żelazo można namagnesować za pomocą prądu, oraz Humphry Davy (1778–1829) , który odkrył, że magnes działa siłą na przewodnik z prądem. 10 lat po odkryciu Oersteda Michael Faraday (1791–1867) zaobserwował, że względny ruch magnesu i metalowego drutu indukuje prąd w tym przewodniku. Ta obserwacja pokazała nie tylko, że prąd powoduje efekty magnetyczne, ale także, że magnes może wytwarzać prąd elektryczny. Zobaczymy dalej, że nazwiska Biot, Savart, Ampère oraz Faraday łączą się z fundamentalnymi właściwościami elektromagnetyzmu. Potwierdzenia z różnorodnych eksperymentów doprowadziły Ampère’a do stwierdzenia, że prąd elektryczny jest źródłem wszystkich zjawisk magnetycznych. Żeby wyjaśnić zjawisko trwałego namagnesowania zasugerował, że materia zawiera mikroskopijne pętle prądu, które ustawiają się w określony sposób, gdy materiał zostaje namagnesowany. Dzisiaj wiemy, że trwałe namagnesowanie jest faktycznie wytwarzane przez ustawienie obracających się elektronów (spinów elektronów), co jest sytuacją podobną do zaproponowanej przez Ampère’a. Ten model trwałych magnesów Ampère rozwijał niemal cały wiek przed tym, zanim zrozumiano atomową naturę materii (w pełni kwantowo-mechaniczne podejście do magnetycznych momentów spinowych przedstawimy w rozdziałach Mechanika kwantowa oraz Struktura atomowa ). Współczesne zastosowania magnetyzmu Obecnie magnetyzm odgrywa ważną rolę w naszym życiu. Jego zrozumienie przez fizyków umożliwiło rozwój technologii, które wpływają zarówno na jednostki, jak i na społeczeństwa. Elektroniczny tablet w twojej torebce lub plecaku nie mógłby powstać bez zastosowania magnetyzmu i elektryczności w małej skali ( ). Odkryto, że niewielkie zmiany pola magnetycznego w cienkiej warstwie żelaza lub chromu powodują znacznie silniejsze zmiany w oporze elektrycznym, co nazywamy gigantycznym magnetooporem (ang. giant magnetoresistance ). Informacja może być zapisywana magnetycznie w oparciu o zwrot wektora namagnesowania warstwy żelaza. Za odkrycie gigantycznego magnetooporu i jego zastosowania do zapisu cyfrowego w 2007 roku Nagrodą Nobla z fizyki uhonorowano Alberta Ferta (ur. 1938) z Francji i Petera Grünberga (ur. 1939) z Niemiec. Rozwój technologii, takiej jak zapis komputerowy, nie byłby możliwy bez głębokiego zrozumienia magnetyzmu. Źródło: Klaus Eifert Wszystkie silniki elektryczne – do tak różnorodnych zastosowań jak chłodziarki, rozruszniki samochodowe, windy – zawierają magnetyki. Generatory mocy, czy to hydroelektryczne, czy to dynama do lampek rowerowych, wykorzystują magnesy. W urządzeniach do utylizacji odpadów wykorzystuje się magnesy do oddzielania żelaza od pozostałych odpadów. Od kilku lat trwają badania nad zastosowaniem elementów magnetycznych w przyszłościowym źródle energii, jakim jest fuzja jądrowa. Obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego (MRI) (ang. magnetic resonance imaging ), stało się ważnym narzędziem diagnostycznym w medycynie, a zastosowanie magnetyzmu do określania aktywności mózgu jest przedmiotem współczesnych prac badawczych. Lista zastosowań zawiera także: komputerowe twarde dyski, taśmy zapisujące, detektory wdychanego azbestu oraz lewitujące pociągi wysokich prędkości. Magnetyzm jest obecny w strukturze atomowych poziomów energetycznych, a także w ruchu promieni kosmicznych oraz pułapkowaniu cząstek naładowanych w pasach Van Allena otaczających Ziemię. Po raz kolejny widzimy, jak różnorakie zjawiska są ze sobą połączone za pomocą niewielkiej liczby leżących u ich podstaw zasad fizycznych. Podsumowanie W magnesach występują dwa typy biegunów magnetycznych, nazywanych północnymi biegunami magnetycznymi i południowymi biegunami magnetycznymi. Północne bieguny magnetyczne są tymi, które przyciąga do siebie ziemski, geograficzny biegun północny. Jednoimienne bieguny odpychają się, a różnoimienne bieguny się przyciągają. Prowadzone przez Oersteda i innych badania nad tym, w jaki sposób magnetyki reagują na prądy, stworzyły podstawy do wynalezienia współczesnych urządzeń elektronicznych, silników elektrycznych oraz technologii obrazowania magnetycznego. magnetyczny biegun północny (ang. north magnetic pole ) obecnie, gdy kompas wskazuje północ, wskazuje pobliże geograficznego bieguna północnego; jest to biegun południowy zastępczego magnesu, który wielokrotnie zamieniał się z biegunem północnym na przestrzeni istnienia Ziemi magnetyczny biegun południowy (ang. south magnetic pole ) obecnie, gdy kompas wskazuje południe, wskazuje pobliże geograficznego bieguna południowego; jest to biegun północny zastępczego magnesu, który zamieniał się z biegunem południowym, podobnie jak magnetyczny biegun północny

Science


Pola magnetyczne i ich linie Poniżej zebraliśmy wielkości opisujące zachowanie magnetyków i wymieniliśmy niektóre zastosowania właściwości magnetycznych. Chociaż w przyrodzie nie występują izolowane ładunki magnetyczne, to właściwość przyciągania się lub odpychania magnesów można określić w oparciu o pole magnetyczne. W tym podrozdziale zdefiniujemy pojęcie pola magnetycznego, określimy jego kierunek i zwrot w oparciu o tzw. regułę prawej dłoni oraz omówimy zagadnienie wyznaczania linii pola magnetycznego. Określanie pola magnetycznego Pole magnetyczne to stan przestrzeni wywołany istnieniem materii o właściwościach magnetycznych, np. magnesu lub poruszającego się ładunku elektrycznego; pole magnetyczne wytwarza siłę, która oddziałuje na poruszający się ładunek elektryczny. Wartość tej siły jest proporcjonalna do ładunku q , prędkości naładowanej cząstki v oraz wartości indukcji przyłożonego pola magnetycznego. Kierunek siły jest prostopadły zarówno do kierunku ruchu naładowanej cząstki, jak i do kierunku przyłożonego pola magnetycznego. Na podstawie tych obserwacji wyznaczamy indukcję pola magnetycznego (indukcję magnetyczną) B → \vec{B} za pośrednictwem siły magnetycznej F → (ang. magnetic force ) działającej na ładunek q poruszający się z prędkością v → proporcjonalną do iloczynu wektorowego prędkości i indukcji pola magnetycznego F → = q  v → × B →  . W ten sposób wyznaczamy indukcję pola magnetycznego B → – w oparciu o siłę działającą na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym. Wartość siły jest z definicji określona jako iloczyn wektorowy wektora prędkości oraz indukcji pola magnetycznego. Inaczej mówiąc, wartość siły spełnia relację F = q  v  B  sin θ  , gdzie θ oznacza kąt zawarty między wektorem prędkości a wektorem indukcji pola magnetycznego. Jednostką indukcji magnetycznej B w układzie SI jest tesla ( T ), której nazwa pochodzi od nazwiska wynalazcy Nikoli Tesli (1856–1943) . Jednostkę tę definiujemy następująco 1  T = 1  N ∕ A  m  . Czasami używa się mniejszej jednostki, nazywanej gaussem ( G ), gdzie 1  G = 10 − 4  T . Indukcja magnetyczna najsilniejszych magnetyków trwałych wynosi ok. 2  T , w elektromagnesach nadprzewodzących możliwe jest osiągnięcie 10  T i jeszcze większych wartości indukcji. Indukcja pola magnetycznego Ziemi na jej powierzchni wynosi tylko ok. 5 ⋅ 10 − 5  T lub 0,5  G . Strategia rozwiązywania zadań: wyznaczanie kierunku pola magnetycznego za pomocą reguły prawej dłoni Kierunek siły magnetycznej F → zwanej też siłą Lorentza jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez v → oraz B → , zgodnie z regułą prawej dłoni 1 (ang. right-hand rule-1 , RHR-1), co przedstawiono na . Ustaw palce prawej dłoni tak, aby zataczały krąg w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory prędkości i indukcji magnetycznej. Obracaj prawą dłoń od kierunku prędkości do kierunku indukcji magnetycznej, zakreślając mniejszy z możliwych kątów. Siła magnetyczna jest skierowana i zwrócona zgodnie z ustawieniem kciuka. W przypadku, gdy ładunek jest ujemny, zwrot siły jest przeciwny do tego, jaki wynikałby z zastosowania się do instrukcji zawartych w punktach 1-3. Pole magnetyczne wywiera siłę na poruszający się ładunek. Kierunek siły magnetycznej działającej na ładunek w ruchu jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez v → oraz B → i wynika z reguły prawej dłoni 1 (RHR-1), jak zostało to pokazane. Wartość siły jest proporcjonalna do q , v , B oraz sinusa kąta pomiędzy v → i B → . Siła magnetyczna nie oddziałuje na nieruchome ładunki. Występuje jednak siła magnetyczna działająca na ładunki poruszające się pod pewnym kątem do indukcji pola magnetycznego. Kiedy ładunki są w spoczynku, pole elektryczne przez nie wytwarzane nie wpływa na magnetyki. Jeżeli jednak ładunki się poruszają, wytwarzają pole magnetyczne, które działa siłą na inne magnetyki. Jeżeli ma miejsce ruch względny, wówczas pojawia się związek pomiędzy siłami elektryczną i magnetyczną – wpływają one na siebie nawzajem. Cząstka α poruszająca się w polu magnetycznym Cząstka α (jądro helu to układ złożony z dwóch protonów i dwóch neutronów czyli atom helu bez dwóch elektronów o ładunku q = 3,2 ⋅ 10 − 19  C ) porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 1,5  T . Indukcja pola magnetycznego jest równoległa do osi z prostokątnego układu współrzędnych ( ) i zwrócona w górę osi. Jaka siła magnetyczna działa na cząstkę α podczas jej ruchu w kierunku osi x – w górę osi, z prędkością 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ; w kierunku osi y – w dół osi, z prędkością 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ; w kierunku osi z – w górę osi, z prędkością 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ; z prędkością v → = 2 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ i ̂ − 3 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ j ̂ + 10 4  m ∕ s ⋅ k ̂ ? Siły magnetyczne działające na cząstkę α poruszającą się w jednorodnym polu magnetycznym. Indukcja pola jest taka sama na każdym z rysunków, ale prędkości są różne. Strategia rozwiązania Mamy następujące dane: ładunek, jego prędkość oraz wartość, kierunek i zwrot indukcji pola magnetycznego. Możemy zatem użyć równania F → = q  v → × B → lub równania F = q  v  B  sin θ do obliczenia wartości siły. Kierunek i zwrot siły określa RHR-1. Rozwiązanie Wyznaczanie kierunku i zwrotu rozpoczynamy z palcami prawej dłoni zwróconymi zgodnie ze zwrotem osi x . Zginamy palce tak, by wskazywały kierunek wektora indukcji magnetycznej. Kciuk powinien wskazywać zwrot przeciwny do zwrotu osi y . Tak otrzymane kierunek i zwrot siły magnetycznej powinny być zgodne z matematyczną formułą na obliczanie iloczynu wektorowego. Żeby obliczyć wartość siły, podstawiamy dane: ładunek, prędkość, indukcję pola magnetycznego, do wzoru definiującego siłę magnetyczną przy użyciu iloczynu wektorowego (należy pamiętać, że i ̂ × k ̂ = − j ̂ \hat{i} \times \hat{k} = - \hat{j} ) F → = q  v → × B → = 3,2 ⋅ 10 -19  C ⋅ 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ i ̂ × 1,5  T ⋅ k ̂ F → = − 2,4 ⋅ 10 -14  N ⋅ j ̂  . \begin{multiline} \vec{F} &= q \vec{v} \times \vec{B} = \SI{3,2e-19}{\coulomb} \cdot (\SI{5e4}{\metre\per\second} \cdot \hat{i}) \times (\SI{1,5}{\tesla} \cdot \hat{k}) \\ &= -\SI{2,4e-14}{\newton} \cdot \hat{j} \text{.} \end{multiline} F → = q  v → × B → = 3,2 ⋅ 10 -19  C ⋅ 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ i ̂ × 1,5  T ⋅ k ̂ = − 2,4 ⋅ 10 -14  N ⋅ j ̂  . Wyznaczanie kierunku i zwrotu rozpoczynamy z palcami prawej dłoni ułożonymi tak, by wskazywały zwrot przeciwny do zwrotu osi y . Obracamy palce, by zakreślały krąg w płaszczyźnie wyznaczonej przez kierunek indukcji magnetycznej, tak jak w rozwiązaniu poprzedniego problemu. Kciuk powinien wskazywać dół osi x . Otrzymane kierunek i zwrot powinny być zgodne z obliczeniem iloczynu wektorowego. Żeby obliczyć wartość siły, podstawiamy dane: ładunek, prędkość, indukcję pola magnetycznego oraz wersory wzdłuż których określone są wektory, do wzoru definiującego siłę magnetyczną przy użyciu iloczynu wektorowego (należy pamiętać, że j ̂ × k ̂ = i ̂ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} ) F → = q  v → × B → = 3,2 ⋅ 10 -19  C ⋅ − 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ j ̂ × 1,5  T ⋅ k ̂ F → = − 2,4 ⋅ 10 -14  N ⋅ i ̂  . \begin{multiline} \vec{F} &= q \vec{v} \times \vec{B} = \SI{3,2e-19}{\coulomb} \cdot (-\SI{5e4}{\metre\per\second} \cdot \hat{j}) \times (\SI{1,5}{\tesla} \cdot \hat{k}) \\ &= -\SI{2,4e-14}{\newton} \cdot \hat{i} \text{.} \end{multiline} F → = q  v → × B → = 3,2 ⋅ 10 -19  C ⋅ − 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ j ̂ × 1,5  T ⋅ k ̂ = − 2,4 ⋅ 10 -14  N ⋅ i ̂  . Alternatywna metoda polega na użyciu do wyznaczenia wartości siły. Można ją zastosować zarówno do części (a), jak i (b) zadania. Skoro prędkość jest prostopadła do indukcji magnetycznej, to kąt pomiędzy nimi wynosi 90 ° \ang{90}\ . Zatem wartość siły wynosi F = q  v  B  sin θ = 3,2 ⋅ 10 − 19  C ⋅ 5 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ 1,5  T ⋅ sin 90 ° = 2,4 ⋅ 10 − 14  N  . Skoro prędkość i indukcja magnetyczna są wzajemnie równoległe, to nie istnieje orientacja dłoni, która pozwoliłaby wyznaczyć kierunek siły. Tym samym siła działająca na nasz poruszający się ładunek wynosi zero. Potwierdza to obliczenie iloczynu wektorowego. Pomnożywszy wektorowo dwa wektory o tym samym kierunku, otrzymujemy wynik równy zero. Wyznaczanie kierunku i zwrotu rozpoczynamy z palcami prawej dłoni zwróconymi w dowolnym kierunku, musimy jednak obrócić je w kierunku zgodnym z kierunkiem indukcji magnetycznej. Obracając dłoń, zauważmy, że kciuk może wskazywać dowolny zwrot osi x lub y , ale nie wskazuje na żadną stronę osi z . Otrzymane kierunek i zwrot powinny być zgodne z obliczeniem iloczynu wektorowego. Żeby obliczyć wartość siły, podstawiamy dane: ładunek, prędkość, indukcję pola magnetycznego, do wzoru definiującego siłę magnetyczną przy użyciu iloczynu wektorowego F → = q  v → × B → F → = 3,2 ⋅ 10 -19  C ⋅ 2 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ i ̂ − 3 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ j ̂ F → = + 10 4  m ∕ s ⋅ k ̂ × 1,5  T ⋅ k ̂ F → = − 14,4 ⋅ 10 -15  N ⋅ i ̂ − 9,6 ⋅ 10 -15  N ⋅ j ̂ . \begin{multiline} \vec{F} &= q \vec{v} \times \vec{B} \\ &= \SI{3,2e-19}{\coulomb} \cdot (\SI{2e4}{\metre\per\second} \cdot \hat{i} - \SI{3e4}{\metre\per\second} \cdot \hat{j} + 10^4 \si{\metre\per\second} \cdot \hat{k}) \times (\SI{1,5}{\tesla} \cdot \hat{k}) \\ &= -\SI{14,4e-15}{\newton} \cdot \hat{i} - \SI{9,6e-15}{\newton} \cdot \hat{j} \text{.} \end{multiline} F → = q  v → × B → = 3,2 ⋅ 10 -19  C ⋅ 2 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ i ̂ − 3 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ j ̂ + 10 4  m ∕ s ⋅ k ̂ × 1,5  T ⋅ k ̂ = − 14,4 ⋅ 10 -15  N ⋅ i ̂ − 9,6 ⋅ 10 -15  N ⋅ j ̂ . Rozwiązanie możemy zapisać za pomocą wartości i kąta nachylenia w płaszczyźnie x  y F → = F x 2 + F y 2 = − 14,4 ⋅ 10 -15  N 2 + − 9,6 ⋅ 10 -15  N 2 = 1,7 ⋅ 10 -14  N  , \abs{\vec{F}} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(-\SI{14,4e-15}{\newton})^2+(-\SI{9,6e-15}{\newton})^2} = \SI{1,7e-14}{\newton} \text{,} θ = arc tg F y F x = arc tg − 9,6 ⋅ 10 -15  N − 14,4 ⋅ 10 -15  N = 34 °  . \theta = \arctg (\frac{F_y}{F_x}) = \arctg(\frac{-\SI{9,6e-15}{\newton}}{-\SI{14,4e-15}{\newton}}) = \ang{34} \text{.} Wartość siły możemy także obliczyć za pomocą . Prędkość w tym zadaniu ma jednak trzy składowe różne od zera. Składową z prędkości możemy pominąć, ponieważ jest równoległa do indukcji magnetycznej, a tym samym nie generuje siły. Wartość prędkości obliczamy z jej składowych x i y . Kąt pomiędzy rzutem prędkości na płaszczyznę x y a indukcją magnetyczną o kierunku osi z wynosi 90 ° . Zatem siłę obliczamy jako v → = 2 ⋅ 10 4  m ∕ s 2 + − 3 ⋅ 10 4  m ∕ s 2 = 3,6 ⋅ 10 4  m ∕ s  , \abs{\vec{v}} = \sqrt{(\SI{2e4}{\metre\per\second})^2+(-\SI{3e4}{\metre\per\second})^2} = \SI{3,6e4}{\metre\per\second} \text{,} F = q  v  B  sin θ = 3,2 ⋅ 10 -19  C ⋅ 3,6 ⋅ 10 4  m ∕ s ⋅ 1,5  T ⋅ sin 90 ° = 1,7 ⋅ 10 -14  N  . F=qvB\sin \theta = \SI{3,2e-19}{\coulomb} \cdot \SI{3,6e4}{\metre\per\second} \cdot \SI{1,5}{\tesla} \cdot \sin \ang{90} = \SI{1,7e-14}{\newton} \text{.} Jest to taka sama wartość siły, jak obliczona przy użyciu wektorów jednostkowych. Znaczenie Iloczyn wektorowy w tym wzorze prowadzi do trzeciego wektora, który musi być prostopadły do dwóch pozostałych. Inne wielkości fizyczne, takie jak moment pędu (patrz rozdział Moment pędu ), także wiążą ze sobą trzy wektory za pośrednictwem iloczynu wektorowego. Wspomnijmy, że typowe wartości sił w problemach z siłami magnetycznymi są znacznie większe niż wartości siły grawitacji. Dlatego w przypadku ładunku izolowanego siła magnetyczna ma dominujący wpływ na jego ruch. Sprawdź, czy rozumiesz. Powtórz poprzednie zadanie dla przypadku indukcji magnetycznej o kierunku osi x zamiast osi z . Sprawdź odpowiedź za pomocą RHR-1. a. 0  N ; b. 2,4 ⋅ 10 − 14  N ⋅ k ̂ ; c. 2,4 ⋅ 10 − 14  N ⋅ j ̂ ; d. 7,2 ⋅ 10 − 15  N ⋅ j ̂ + 2,2 ⋅ 10 − 15  N ⋅ k ̂ . Obrazowanie pól magnetycznych Obrazowanie pól magnetycznych za pomocą linii pola magnetycznego (ang. magnetic field lines ) jest bardzo przydatne przy wizualizacji jego natężenia i kierunku. Jak pokazano na , każda z linii tworzy zamkniętą pętlę, nawet jeżeli nie wszystkie pętle są w całości widoczne z powodu ograniczenia obszaru obejmowanego rysunkiem. Przyjmuje się, że linie pola wychodzą z bieguna północnego (N), zawracają do bieguna południowego (S) i docierają, przez płytkę magnetyczną, do punktu wyjścia – bieguna północnego. Wyznaczanie linii pola magnetycznego odbywa się w oparciu o kilka prostych reguł: Kierunek indukcji pola magnetycznego jest styczny do linii pola w każdym punkcie przestrzeni. Kompas wskazuje zawsze kierunek linii pola magnetycznego. Wartość indukcji magnetycznej pozostaje proporcjonalna do wzajemnej bliskości linii. Ściśle, jest ona proporcjonalna do liczby linii na jednostkę powierzchni prostopadłej do linii (nazywanej gęstością powierzchniową linii). Linie pola magnetycznego nie mogą się nigdy przecinać, co znaczy, że pole magnetyczne jest jednoznacznie określone w każdym punkcie przestrzeni. Linie pola magnetycznego są ciągłe, tworzą zamknięte pętle bez początku i końca. Są zorientowane od bieguna północnego do bieguna południowego. Ostatnia właściwość wiąże się z niemożnością odseparowania bieguna północnego od południowego. Jest to istotna różnica w stosunku do linii pola elektrycznego, które w ogólnym przypadku biorą początek w ładunkach dodatnich, a kończą się w ładunkach ujemnych lub w nieskończoności. Gdyby istniały izolowane ładunki magnetyczne (nazywane monopolami magnetycznymi (ang. magnetic monopoles ), linie pola magnetycznego miałyby swój początek i koniec w ładunkach magnetycznych. Linie pola magnetycznego określone są tak, aby kompas umieszczony w danym punkcie przestrzeni wskazywał kierunek linii w tym punkcie. Wartość indukcji pola magnetycznego jest proporcjonalna do wzajemnej bliskości (gęstości) linii. Gdyby przemierzyć wnętrze magnetyka, to linie pola utworzyłyby ciągłe, zamknięte pętle. Żeby zmieścić rysunki, na niektórych z nich zamknięcia pętli nie są widoczne, jednak przy dostatecznym powiększeniu obszaru rysunku zamknięcie pętli będzie widoczne. Podsumowanie Ładunki poruszające się w polu magnetycznym doznają działania siły wyznaczonej przez F → = q  v → × B → . Siła ta jest prostopadła do płaszczyzny utworzonej przez v → oraz B → . Kierunek i zwrot siły działającej na poruszający się ładunek są dane regułą prawej dłoni 1 (RHR-1): Ustawiamy palce w kierunku prędkości ładunku tak, by zakreślały okrąg w płaszczyźnie, na której leżą wektor prędkości i indukcji magnetycznej. Kciuk wskazuje kierunek i zwrot siły magnetycznej dla ładunków dodatnich. Pola magnetyczne można graficznie przedstawić za pomocą linii pola magnetycznego o następujących właściwościach: Indukcja magnetyczna jest styczna do linii pola magnetycznego. Wartość indukcji jest proporcjonalna do gęstości linii. Linie pola nie mogą się przecinać. Linie pola tworzą ciągłe, zamknięte pętle. Bieguny magnetyczne zawsze pojawiają się w parach: północny i południowy – nie jest możliwe odizolowanie ich od siebie. Pytania Omów podobieństwa i różnice między działaniem siły elektrycznej na ładunek a działaniem siły magnetycznej na ładunek. Oba zależą od pól. Siła elektryczna zależy od ładunku, a siła magnetyczna od prądu lub inaczej – od tempa przepływu ładunku. Odpowiedz na poniższe pytania. Czy jest możliwa sytuacja, w której siła magnetyczna działająca na poruszający się ładunek wynosi zero? Czy jest możliwe, że siła elektryczna działająca na poruszający się w polu elektrycznym ładunek wynosi zero? Czy jest możliwe, że wypadkowa sił, elektrycznej i magnetycznej, działających na poruszający się w obszarze obu pól równocześnie ładunek wynosi zero? Zadania Jakie są kierunek i zwrot siły magnetycznej działającej na ładunek dodatni poruszający się tak, jak pokazano w każdym z sześciu przypadków? a. W lewo; b. Za płaszczyznę rysunku; c. W górę; d. Brak siły; e. W prawo; f. W dół. Rozwiąż przykłady z poprzedniego zadania dla ładunku ujemnego. Jaki kierunek i zwrot ma prędkość ładunku ujemnego, który doświadcza działania przedstawionej siły magnetycznej w każdym z trzech przypadków, przy założeniu, że kierunek ruchu jest prostopadły do B ? a. W prawo; b. Za płaszczyznę rysunku; c. W dół. Rozwiąż przykłady z poprzedniego zadania dla ładunku dodatniego. Jaki kierunek i zwrot ma pole magnetyczne, które wytwarza siłę magnetyczną działającą na ładunek dodatni, jak to zostało pokazane w każdym z trzech przypadków, przy założeniu, że B → jest prostopadłe do v → ? a. Za płaszczyznę rysunku; b. W lewo; c. Od płaszczyzny rysunku. Rozwiąż przykłady z poprzedniego zadania dla ładunku ujemnego. Czasami samolot zbiera małe ładunki statyczne. Załóż, że odrzutowiec naddźwiękowy unosi ładunek 0,5  µC , lecąc na zachód z prędkością 660  m ∕ s nad ziemskim południowym biegunem pola magnetycznego, gdzie pole magnetyczne o indukcji 8 ⋅ 10 − 5  T jest zwrócone w górę. Jakie są kierunek, zwrot i wartość siły magnetycznej działającej na samolot? Określ, czy otrzymana wielkość wskazuje na znaczący, czy też na pomijalny efekt. a. 2,64 ⋅ 10 − 8  N ; b. Siła jest bardzo mała, co oznacza, że wpływ statycznych ładunków na samoloty jest pomijalny. Proton pochodzący z promieniowania kosmicznego poruszający się w kierunku Ziemi z prędkością 5 ⋅ 10 7  m ∕ s doświadcza działania siły magnetycznej 1,7 ⋅ 10 − 16  N . Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego, jeżeli kąt pomiędzy wektorem indukcji a wektorem prędkości protonu wynosi 45 ° ? Czy wartość otrzymana w części (a) pokrywa się z wielkością indukcji ziemskiego pola magnetycznego na powierzchni Ziemi? Omów wynik. Elektron poruszający się z prędkością 4 ⋅ 10 3  m ∕ s w polu magnetycznym o indukcji 1,25  T doświadcza działania siły magnetycznej 1,4 ⋅ 10 − 16  N . Jaki kąt tworzy wektor prędkości elektronu z kierunkiem pola magnetycznego? Poprawne są dwie odpowiedzi. 10,1 ° , 169,9 ° . Fizyk przeprowadzający czuły eksperyment chciałby ograniczyć siłę magnetyczną działającą na poruszający się w jego aparaturze ładunek do wielkości nie większej niż 10 − 12  N . Jaki największy ładunek może zostać użyty, jeżeli ma on poruszać się z maksymalną prędkością 30  m ∕ s w polu Ziemi? Zastanów się, czy byłoby trudne ograniczenie ładunku do mniejszej wartości niż wyznaczona w (a), porównując ją do typowych w elektrostatyce. Weź pod uwagę, że statyka często nie występuje. gauss (ang. gauss ) G , jednostka indukcji magnetycznej: 1  G = 10 − 4  T linie pola magnetycznego (ang. magnetic field lines ) ciągłe krzywe wskazujące kierunek pola magnetycznego; linie te są styczne do kierunków wskazań kompasu i zorientowane do magnetycznego bieguna południowego płytki magnesu siła magnetyczna (ang. magnetic force ) siła przyłożona do naładowanej cząstki przemierzającej pole magnetyczne reguła prawej dłoni 1 (ang. right-hand rule-1 ) wykorzystanie prawej dłoni do określenia kierunku i zwrotu siły magnetycznej albo kierunku i zwrotu prędkości naładowanej cząstki, albo indukcji magnetycznej tesla (ang. tesla ) jednostka indukcji magnetycznej układu SI: 1  T = 1  N ∕ A  m \SI{1}{\tesla} = \SI{1}{\newton\per\ampere\per\metre}

Science


Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym Na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym działa siła, gdy kierunek ruchu tej cząstki ma niezerową składową prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej (innymi słowy, siła nie działa na cząstkę poruszającą się w kierunku równoległym do wektora indukcji magnetycznej). Co się dzieje, gdy pole to jest jednorodne w całym obszarze ruchu naładowanej cząstki? Jaką trajektorię zakreśla cząstka? W tym podrozdziale omówimy ruch cząstki naładowanej poruszającej się po okręgu, a także innego rodzaju ruch, będący wynikiem wejścia cząstki w obszar pola magnetycznego. Przyjmiemy następującą konwencję dotyczącą oznaczania kierunku pola magnetycznego prostopadłego do płaszczyzny rysunku. Jeżeli indukcja pola magnetycznego jest zwrócona „od płaszczyzny rysunku”, przedstawiamy ją za pomocą kropki; jeżeli indukcja pola magnetycznego jest zwrócona „za płaszczyznę rysunku”, przedstawiamy ją za pomocą × . Najprostszym przypadkiem jest sytuacja, gdy cząstka naładowana porusza się prostopadle do linii jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B → \vec{B} ( ). Jeżeli pole to znajduje się w próżni, to stanowi ono dominujący czynnik determinujący ruch. Ponieważ siła magnetyczna jest prostopadła do kierunku ruchu, to naładowana cząstka przemieszcza się w polu magnetycznym po zakrzywionej trajektorii. Ruch po tej krzywej cząstka kontynuuje do momentu zatoczenia pełnego okręgu. Inne spojrzenie na ten problem wynika z faktu, że w tej sytuacji pole magnetyczne pozostaje zawsze prostopadłe do prędkości, dlatego siła magnetyczna nie wykonuje pracy nad naładowaną cząstką. Energia kinetyczna cząstki i wartość jej prędkości pozostają niezmienne. Pole wpływa na kierunek ruchu, ale nie na wartość prędkości. Ujemnie naładowana cząstka porusza się w płaszczyźnie rysunku w obszarze, gdzie pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny rysunku (reprezentowane przez małe × obrazujące „ogony” strzałek). Siła magnetyczna jest prostopadła do prędkości, więc prędkość zmienia kierunek, ale nie wartość. Efektem jest ruch jednostajny po okręgu (zauważmy, że z powodu ujemnego znaku ładunku siła jest zwrócona przeciwnie do kierunku określonego na podstawie reguły prawej dłoni). W tej sytuacji siła magnetyczna wnosi jedyny wkład do siły dośrodkowej F d = m  v 2 ∕ r . Ze względu na to, że prędkość jest prostopadła do pola magnetycznego, wartość siły magnetycznej sprowadza się do F = q  v  B . Ponieważ siła magnetyczna F jest siłą dośrodkową F d , otrzymujemy q  v  B = m  v 2 r  . Przekształcenie wzoru względem r prowadzi więc do oczywistego wzoru r = m  v q  B  . Niech r będzie promieniem krzywizny trajektorii naładowanej cząstki o masie m i ładunku q , poruszającej się z prędkością v prostopadłą do pola magnetycznego o indukcji B . Czas obiegu cząstki wokół trajektorii kołowej nazywamy okresem i równa się on przebytej odległości (długości okrążenia) podzielonej przez prędkość. W oparciu o ten fakt oraz możemy wyznaczyć okres ruchu jako T = 2  π  r v = 2  π v ⋅ m  v q  B = 2  π  m q  B  . Jeżeli prędkość nie jest prostopadła do pola magnetycznego, to możemy oddzielnie rozpatrywać każdą składową prędkości w relacji do kierunku pola magnetycznego. Składowa prędkości prostopadła do pola magnetycznego wytwarza siłę magnetyczną prostopadłą zarówno do tej prędkości, jak i do pola v ⊥ = v  sin θ  ,  v ∥ = v  cos θ  , gdzie θ jest kątem pomiędzy v oraz B . Składowa równoległa do pola magnetycznego prowadzi do jednostajnego ruchu wzdłuż prostej, co przedstawiono też w . Ruch wzdłuż równoległej określa nachylenie p helisy (linii śrubowej), które jest odległością pomiędzy sąsiadującymi zwojami. Odległość ta równa się składowej prędkości równoległej pomnożonej przez okres p = v ∥  T  . Rezultatem jest ruch po krzywej śrubowej , dalej nazywanej helisą (ang. helical motion ), co przedstawia poniższy rysunek. Naładowana cząstka porusza się z prędkością skierowaną inaczej niż pole magnetyczne. Składowa prędkości prostopadła do pola magnetycznego prowadzi do ruchu po okręgu, wzdłuż kierunku pola magnetycznego cząstka porusza się ruchem jednostajnym. Nachyleniem nazywamy poziomą odległość pomiędzy kolejnymi okręgami. Efektem jest ruch po helisie. Gdy naładowana cząstka przemieszcza się po trajektorii śrubowej, może wpaść w obszar, w którym pole magnetyczne nie jest jednorodne. Na przykład załóżmy, że cząstka przemieszcza się z obszaru silnego pola magnetycznego do obszaru słabszego pola, a potem wraca do obszaru silniejszego pola. Może ona zostać odbita, zanim wejdzie w obszar silniejszego pola magnetycznego. Jest to podobna sytuacja jak w przypadku fali sprężystej w łańcuchu cząstek, przemieszczającej się z obszaru bardzo lekkiego, cienkiego łańcucha w kierunku ściany i odbijającej się od niej. Jeżeli odbicie ma miejsce na obu końcach obszaru pola, cząstka jest pułapkowana w tzw. butelce magnetycznej (butelki magnetyczne stosuje się w badaniach nad antymaterią ). Pułapkowanie w polu magnetycznym cząstki ma miejsce w pasach promieniowania Van Allena (ang. Van Allen radiation belts ) otaczających Ziemię; są one częścią struktury ziemskiego pola magnetycznego. Pasy te zostały odkryte przez Jamesa Van Allena (1914–2006) podczas prób zmierzenia promieniowania kosmicznego (ang. cosmic rays ) na powierzchni Ziemi. Promieniowanie kosmiczne tworzą cząstki o wysokich energiach, pochodzące spoza Układu Słonecznego. Wspomniane próby zmierzenia promieniowania miały pomóc rozstrzygnąć, czy promieniowanie podobne jest do strumieni przepływu innych cząstek rejestrowanych na Ziemi. Van Allen zaobserwował, że z powodu obecności cząstek wychwytywanych w ziemskim polu magnetycznym, strumień promieniowania kosmicznego na powierzchni Ziemi jest znacznie wyższy niż w otwartej przestrzeni. Zorze (ang. aurorae ), w tym słynna aurora borealis (zorza polarna) na półkuli północnej ( ), są pięknymi pokazami światła emitowanego, gdy jony rekombinują (w najprostszym przypadku rekombinacja np. protonu i elektronu prowadzi do powstania atomu wodoru, co łączy się z uwolnieniem energii w postaci fotonu lub fotonów, tzn. światła; w ogólności mamy do czynienia z wychwytem elektronu przez jony innych pierwiastków i emisją światła rozmaitych barw) z elektronami wpadającymi do atmosfery po linii śrubowej, symetrycznej względem linii pola magnetycznego (jonami są głównie atomy tlenu i azotu, których wstępna jonizacja zachodzi w wyniku zderzeń z wysokoenergetycznymi cząstkami w atmosferze Ziemi). Zorze zaobserwowano także na innych planetach, na przykład na Jowiszu i Saturnie. (a) Pasy promieniowania Van Allena wokół Ziemi wychwytują jony wytwarzane przez promienie kosmiczne wpadające do ziemskiej atmosfery. (b) Przepiękny widok zorzy polarnej (łac. aurora borealis ), poświaty na północnym niebie powyżej Bear Lake, w pobliżu bazy sił powietrznych Eielson na Alasce. Kształtowane przez pole magnetyczne światło wytwarzają rozbłyskujące molekuły i jony tlenu oraz azotu. Źródło (b): modyfikacja pracy starszego kaprala USAF Joshuy Stranga Uginacz wiązki Pewna grupa badawcza zajmuje się krótko żyjącymi izotopami radioaktywnymi. Chce ona zaprojektować sposób transportu cząstek α (jąder helu) z miejsca ich powstania do miejsca, w którym ulegają one zderzeniom z innego typu materią, co prowadzi do powstania izotopu. Wiązka cząstek α ( m = 6,64 ⋅ 10 − 27  kg , q = 3,2 ⋅ 10 − 19  C ) ulega ugięciu o 90 ° w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 0,05  T ( ). Jakie powinny być kierunek i zwrot przyłożonego pola magnetycznego? Jak długo trwa przejście cząstek α przez obszar jednorodnego pola magnetycznego? Widok z góry na uginacz wiązki. Strategia rozwiązania Kierunek i zwrot pola magnetycznego wskazuje RHR-1. Palce prawej dłoni ustawiamy w kierunku v , a kciuk kierujemy i zwracamy zgodnie z siłą, w lewo. Wtedy, skoro cząstki α są naładowane dodatnio, wektor indukcji magnetycznej musi być zwrócony w dół. Okres obiegu cząstki α po okręgu możemy wyznaczyć korzystając z . Ponieważ cząstka przebywa tylko ćwierć okręgu, obliczymy czas ruchu po tej trajektorii po podzieleniu okresu przez 4. Rozwiązanie Na początek skoncentrujmy się na cząstce α wpadającej w pole w dolnej części rysunku. Najpierw ustawiamy kciuk w górę w płaszczyźnie rysunku. Żeby dłoń otwierała się w lewo, jak zwrócona jest siła dośrodkowa (siła magnetyczna), palce powinny leżeć w płaszczyźnie rysunku. Jest to ustawienie zgodne z indukcją przyłożonego pola magnetycznego. Okres obiegu naładowanej cząstki wzdłuż okręgu obliczamy przy użyciu danych w zadaniu: masy, ładunku i indukcji pola magnetycznego. Ostatecznie otrzymujemy T = 2  π  m q  B = 2  π ⋅ 6,64 ⋅ 10 − 27  kg 3,2 ⋅ 10 − 19  C ⋅ 0,05  T = 2,6 ⋅ 10 − 6  s  . W naszym zadaniu cząstka α przebywa jednak tylko ćwierć okręgu, co zabiera czas t = T 4 = 2,6 ⋅ 10 -6  s 4 = 6,5 ⋅ 10 -7  s  . t = \frac{T}{4} = \frac{\SI{2,6e-6}{\second}}{4} = \SI{6,5e-7}{\second} \text{.} Znaczenie Czas ten może być wystarczająco krótki, aby cząstka dotarła do materiału, który ma zostać zbombardowany, i (w zależności od długości czasu życia izotopu promieniotwórczego) aby zdążył on wyemitować kolejne cząstki α. Zwiększając indukcję pola magnetycznego w danym obszarze, moglibyśmy jeszcze skrócić ten czas. Droga, którą muszą pokonać cząstki, mogłaby być skrócona, ale to może nie być opłacalne w danych warunkach eksperymentalnych. Sprawdź, czy rozumiesz. Jednorodne pole magnetyczne o indukcji 1,5  T skierowane jest poziomo i zwrócone z zachodu na wschód. Jaka siła magnetyczna działa na proton w chwili, gdy porusza się on pionowo w dół w polu z prędkością 4 ⋅ 10 7  m ∕ s ? Porównaj tę siłę z ciężarem F g F_{\text{g}} protonu. a. 9,6 ⋅ 10 − 12  N zwrócona na południe; b. F g ∕ F = 1,7 ⋅ 10 -15 F_{\text{g}} / F = \num{1,7e-15} . Ruch po helisie w polu magnetycznym Proton wpada w jednorodne pole magnetyczne o indukcji 10 − 4  T z prędkością 5 ⋅ 10 5  m ∕ s . Pod jakim kątem należy skierować wektor indukcji magnetycznej do wektora prędkości, aby nachylenie helisy, którą jest trajektoria ruchu, było równe promieniowi tej helisy? Strategia rozwiązania Nachylenie helisy ruchu odpowiada składowej równoległej (osiowej) prędkości pomnożonej przez okres ruchu po okręgu, podczas gdy promień związany jest ze składową prostopadłą prędkości. Przyrównując wyrażenia na promień i nachylenie, wyliczamy wartość kąta pomiędzy wektorem indukcji magnetycznej a wektorem promienia – kąt θ . Rozwiązanie Nachylenie wyrażone jest przez , a okres przez , natomiast promień okręgu dany jest przez . Zauważmy, że prędkość w wyrażeniu na promień okręgu odnosi się tylko do jej składowej prostopadłej, która odpowiada za ruch po okręgu. Dlatego, żeby wyznaczyć nachylenie i promień, podstawiamy składową równoległą prędkości do równania na promień p = r  , v ∥ T = v ⊥ q  B  , v  cos θ ⋅ 2  π  m q  B = m  v  sin θ q  B  , 2  π = tg θ  , θ = 81 °  . p = r  , v ∥ T = v ⊥ q  B  , v  cos θ ⋅ 2  π  m q  B = m  v  sin θ q  B  , 2  π = tg θ  , θ = 81 °  . Znaczenie Gdyby kąt ten wynosił 0 ° , występowałaby tylko składowa równoległa prędkości i helisa nie powstałaby, ponieważ nie byłoby ruchu po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej. Gdyby kąt ten wynosił 90 ° , ruch odbywałby się po okręgu. Dla kątów innych niż 0 ° i 90 ° mamy do czynienia z ruchem po helisie. Podsumowanie Siła magnetyczna może stanowić siłę dośrodkową i powodować ruch cząstki naładowanej po trajektorii kołowej o promieniu r = m  v ∕ q  B . Okres ruchu cząstki naładowanej po okręgu w polu magnetycznym prostopadłym do płaszczyzny ruchu wynosi T = 2  π  m ∕ q  B . Ruch po helisie jest wynikiem sytuacji, w której prędkość naładowanej cząstki ma składową równoległą do pola magnetycznego oraz składową prostopadłą do pola magnetycznego. Pytania W danej chwili elektron i proton poruszają się z tymi samymi prędkościami w stałym polu magnetycznym. Porównaj siły magnetyczne działające na te cząstki. Porównaj ich przyspieszenia. Wartości sił magnetycznych działających na proton i elektron są takie same, skoro obie cząstki mają taki sam ładunek elektryczny. Ich zwroty są jednak przeciwne. Przyspieszenia są przeciwnie zwrócone, ale elektron ma większe przyspieszenie niż proton ze względu na mniejszą masę. Czy wzrost wartości indukcji jednorodnego pola magnetycznego, przez które przemieszcza się ładunek, oznacza zawsze wzrost siły magnetycznej działającej na ładunek? Czy zmiana zwrotu indukcji magnetycznej oznacza zawsze zmianę siły działającej na ładunek? Elektron przechodzi przez pole magnetyczne bez ugięcia trajektorii. Co możesz powiedzieć o tym polu magnetycznym? Pole magnetyczne musi być skierowane równolegle do prędkości, zwrócone tak samo lub przeciwnie. Jeżeli cząstka naładowana porusza się po prostej, to czy można stwierdzić, że pole magnetyczne nie występuje? Jak określić, który biegun elektromagnesu jest północny, a który południowy? Kompas ustawia się w kierunku północnego bieguna elektromagnesu. Zadania Elektron promieniowania kosmicznego porusza się z prędkością 7,5 ⋅ 10 6  m ∕ s prostopadle do ziemskiego pola magnetycznego na wysokości, na której indukcja pola wynosi 10 − 5  T . Jaki promień ma kołowa trajektoria zakreślana przez elektron? 4,27  m . Widzowie serialu Star Trek słyszeli o napędzie promu kosmicznego Enterprise opartym na antymaterii. Jedną z możliwości tak futurystycznego źródła energii jest gromadzenie naładowanych cząstek antymaterii w komorze próżniowej, w której krążą one w polu magnetycznym, a następnie ich uwalnianie następuje zgodnie z zapotrzebowaniem. Antymateria anihiluje zwykłą materię, wytwarzając czystą energię. Jaką indukcję powinno mieć pole magnetyczne, aby utrzymywać antyprotony poruszające się z prędkością 5 ⋅ 10 7  m ∕ s po trajektorii kołowej o promieniu 2  m ? Antyprotony mają tę samą masę co protony, ale ładunek przeciwnego znaku (ujemny); Czy taka wartość indukcji pola jest osiągalna przy użyciu dzisiejszych technologii, czy jest tylko futurystyczną wizją? Jon tlenu-16 o masie 2,66 ⋅ 10 − 26  kg porusza się z prędkością 5 ⋅ 10 6  m ∕ s prostopadle do indukcji magnetycznej 1,2  T , przez co przemieszcza się po łuku okręgu o promieniu 0,231  m . Jaki dodatni ładunek ma jon? Ile wynosi stosunek tego ładunku do ładunku elektronu? Dlaczego stosunek wyznaczony w (b) powinien być liczbą całkowitą? a. 4,8 ⋅ 10 − 19  C ; b. 3 ; c. Stosunek ten powinien być liczbą całkowitą, ponieważ ładunki są wielokrotnościami ładunku elektronu. Nie istnieją ładunki swobodne, których wartości byłyby mniejsze od tego ładunku elementarnego. Elektron w kineskopie telewizora (lampie promieniowania katodowego) porusza się z prędkością 6 ⋅ 10 6  m ∕ s w kierunku prostopadłym do pola magnetycznego Ziemi, którego indukcja wynosi 5 ⋅ 10 − 5  T . Jakie powinno być natężenie pola elektrycznego prostopadłego do ziemskiego pola magnetycznego, aby elektron poruszał się wzdłuż prostej? Jeżeli ma to miejsce pomiędzy płytami odległymi od siebie o 1  cm , to jakie napięcie pomiędzy nimi zostało przyłożone? (Zauważ, że telewizory są zwykle obudowane materiałem ferromagnetycznym, który ekranuje zewnętrzne pola magnetyczne i zabezpiecza przed koniecznością takiego korygowania trajektorii elektronu). Odpowiedz na poniższe pytania. Z jaką prędkością będzie poruszał się proton po trajektorii kołowej o takim samym promieniu jak promień trajektorii elektronu z poprzedniego zadania? Ile wynosiłby promień toru, gdyby prędkość protonu była taka sama jak prędkość elektronu? Ile wynosiłby promień, gdyby energia kinetyczna protonu była taka sama jak energia elektronu? Co by się stało, gdyby pęd był taki sam? a. 4,09 ⋅ 10 3  m ∕ s ; b. 7,83 ⋅ 10 3  m ; c. 1,75 ⋅ 10 5  m ∕ s , stąd 1,83 ⋅ 10 2  m ; d. 4,27  m . Za pomocą jakiego napięcia elektrony mogą zostać przyspieszone do prędkości 6 ⋅ 10 − 7  m ∕ s ? Oblicz promień krzywizny trajektorii protonu przyspieszanego w tym potencjale w polu o indukcji 0,5  T i porównaj go z promieniem krzywizny toru elektronu przyspieszanego w takim samym potencjale. Cząstka α ( m = 6,64 ⋅ 10 − 27  kg , q = 3,2 ⋅ 10 − 19  C ) porusza się wzdłuż okręgu o promieniu 25  cm w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 1,5  T . Jaką prędkość ma cząstka? Jaka jest jej energia kinetyczna wyrażona w elektronowoltach? Przez jaką różnicę potencjałów musi zostać przyspieszona, aby została jej nadana energia kinetyczna o takiej wartości? a. 1,8 ⋅ 10 7  m ∕ s ; b. 6,8 ⋅ 10 6  eV ; c. 6,8 ⋅ 10 6  V . Cząstka o ładunku q i masie m przyspieszana jest od stanu spoczynku przez różnicę potencjałów U , po czym napotyka na jednorodne pole magnetyczne o indukcji B . Jeżeli cząstka porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do B , to jaki jest promień jej kołowej orbity? promieniowanie kosmiczne (ang. cosmic rays ) strumień cząstek (zazwyczaj o dużej energii) będący mieszaniną cząstek elementarnych (elektronów, protonów, antyneutronów, neutrin i innych) i fotonów promieniowania elektromagnetycznego ruch po helisie (ang. helical motion ) złożenie ruchu po okręgu z ruchem prostoliniowym; wykonywany w obszarze pola magnetycznego przez naładowaną cząstkę, poruszającą się pod pewnym kątem do kierunku pola

Science


Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem Ładunki poruszające się w polu magnetycznym doświadczają działania siły magnetycznej (tzw. siła Lorentza). Jeżeli poruszają się one w przewodniku z prądem, tzn. jeżeli drut przewodzi prąd, to także drut doświadcza działania siły. Płynący w przewodniku prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne. Z drugiej strony jednak ładunki poruszające się w polu magnetycznym doznają działania siły magnetycznej. w tym podrozdziale zbadamy te zagadnienia dokładniej. Pola magnetyczne wytwarzane przez prądy elektryczne Omawiając historyczne odkrycia w magnetyzmie, wspomnieliśmy obserwację Oersteda mówiącą o tym, że drut przewodzący prąd elektryczny powodował odchylanie igły kompasu znajdującego się w jego pobliżu. Na tej podstawie ustalono zależność: prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne. (Związek pomiędzy elektrycznością i magnetyzmem omawiamy dokładnie w Źródła pola magnetycznego ). Igła kompasu w pobliżu przewodnika z prądem doświadcza działania siły magnetycznej, która ustawia ją stycznie do okręgu otaczającego przewodnik. Tym samym można wywnioskować, iż przewodnik z prądem wytwarza kołowe pętle pola magnetycznego. Do wyznaczenia kierunku i zwrotu pola magnetycznego wytwarzanego wokół przewodnika zastosujemy regułę prawej dłoni 2 (ang. right-hand rule-2 , RHR-2). Zgodnie z RHR-2, gdy kciuk ustawiony jest w kierunku przepływu prądu, pozostałe palce okrążające przewodnik wskazują zwrot wytworzonej indukcji magnetycznej – (a). Złożony schemat okręgów magnetycznych przedstawiony jest na (b), gdzie spadek wartości indukcji pola przy oddalaniu się od drutu przedstawiono za pomocą wzrastających odległości pomiędzy kolejnymi pętlami. (a) Gdy przewodnik z prądem leży w płaszczyźnie kartki, pole jest prostopadłe do niej. Zastosowane symbole wskazują zwrot wektora indukcji do wewnątrz (jako strzałkę widzianą od tyłu) oraz na zewnątrz (jako strzałkę widzianą od przodu). (b) Długi prostoliniowy przewodnik z prądem wytwarza pole magnetyczne z liniami tworzącymi kołowe pętle. Obliczanie siły magnetycznej Prąd elektryczny jest uporządkowanym przepływem ładunków elektrycznych. Przewodnik z prądem w polu magnetycznym musi więc doświadczać działania siły pochodzącej od tego pola. Żeby zbadać tę siłę, rozważmy nieskończenie mały fragment przewodnika, przedstawiony na . Długość i pole powierzchni przekroju poprzecznego tego fragmentu wynoszą odpowiednio d l i S , więc jego objętość to V = S ⋅ d l . Przewodnik wykonano z materiału, który zawiera n nośników ładunku na jednostkę objętości, zatem liczba nośników w rozważanym fragmencie wynosi n  S ⋅ d l . Jeżeli nośniki ładunku poruszają się z prędkością unoszenia v → d , to natężenie prądu I w przewodniku wynosi (patrz rozdział Prąd i rezystancja ) I = n  e  S  v d  . Siła magnetyczna działająca na pojedynczy nośnik ładunku to e  v → d × B → , więc suma sił magnetycznych d F → działających na n  S ⋅ d l nośników ładunku w danym fragmencie przewodnika wynosi d F → = n  S ⋅ d l ⋅ e  v → d × B →  . Możemy zdefiniować d l → \d \vec{l} jako wektor o długości d l , skierowany i zwrócony podobnie jak v → d , co pozwala zapisać powyższe wyrażenie jako d F → = n  e  S  v d  d l → × B → \d \vec{F} = neSv_{\text{d}} \d \vec{l} \times \vec{B} lub d F → = I  d l → × B →  . \d \vec{F} = I \d \vec{l} \times \vec{B} \text{.} Jest to siła magnetyczna działająca na dany fragment przewodnika. Zauważmy, że naprawdę jest to wypadkowa sił działających na same nośniki ładunku. Kierunek tej siły wyznacza RHR-1, zgodnie z którą zgięte palce prawej dłoni ustawiamy tak, by wskazywały kierunek przepływu prądu, a zatem również kierunek pola magnetycznego. Wtedy kciuk wskazuje kierunek i zwrot siły. Infinitezymalnie krótki odcinek przewodnika z prądem w polu magnetycznym. Aby określić siłę magnetyczną F → działającą na przewodnik o dowolnej długości i kształcie, musimy wykonać całkowanie po całym konturze przewodnika, co w przypadku prostoliniowego przewodnika sprowadza się do prostej relacji F → = I  l → × B →  . Jest to siła działająca na prostoliniowy przewodnik z prądem w jednorodnym polu magnetycznym. Równoważenie się sił grawitacji i magnetycznej działających na przewodzący prąd drut Drut o długości 50  cm i masie 10  g zawieszono w pozycji poziomej za pomocą pary elastycznych przewodów ( ). Następnie poddano go oddziaływaniu stałego pola magnetycznego o indukcji 0,5  T , skierowanego i zwróconego jak na rysunku. Jaką wartość i kierunek musi mieć prąd płynący w drucie, aby usunąć naprężenie w podtrzymujących go przewodach? (a) Przewodnik zawieszony w polu magnetycznym. (b) Schemat przewodnika jako bryły sztywnej, na którym F → \vec{F} oznacza siłę magnetyczną, działającą na przewodnik natomiast T → \vec{T} – naprężenia drutu. Strategia rozwiązania Zgodnie ze schematem bryły sztywnej z rysunku, naprężenia w podtrzymujących przewodach dążą do zera, gdy siły grawitacyjna i magnetyczna równoważą się wzajemnie. Stosując RHR-1, znajdujemy kierunek i zwrot siły magnetycznej – pionowo w górę. Możemy wyznaczyć natężenie prądu I , przyrównując obie siły. Rozwiązanie Porównajmy siłę ciężkości (ciężar) i siłę magnetyczną działające na przewodnik z prądem m  g = I  l  B  . Zatem I = m  g l  B = 0,01  kg ⋅ 9,8  m ∕ s 2 0,5  m ⋅ 0,5  T = 0,39  A  . Znaczenie Silne pole magnetyczne wytwarza znaczną siłę na odcinku przewodnika z prądem, przeciwdziała ona jego ciężarowi. Obliczanie siły magnetycznej działającej na przewodzący prąd drut Prostoliniowy przewodnik z prądem, ułożony wzdłuż osi y , przewodzi prąd 5  A płynący w kierunku dodatnim osi y . Jeżeli stałe pole magnetyczne o indukcji 0,3  T ustawione jest w kierunku dodatnim osi x , to jaką wartość ma siła magnetyczna na jednostkę długości przewodnika? Jeżeli stałe pole magnetyczne o indukcji 0,3  T jest odchylone pod kątem 30 ° od kierunku dodatniego osi x w kierunku dodatnim osi y , to jaka siła magnetyczna działa na jednostkę długości przewodnika? Strategia rozwiązania Siła magnetyczna działa na przewodnik w polu magnetycznym, danym przez F → = I  l → × B → . Ponieważ prąd i pole magnetyczne są wzajemnie prostopadłe, możemy uprościć wyrażenie na wartość siły oraz wyznaczyć kierunek i zwrot siły dzięki RHR-1. Kąt θ wynosi 90 ° , co oznacza, że sin θ = 1 . Poza tym możemy podzielić wyrażenie obustronnie przez długość, przenosząc ją w ten sposób na lewą stronę równania, aby otrzymać siłę na jednostkę długości. Iloczyn natężenia prądu i wektora długości zapisano przy użyciu wektorów jednostkowych, podobnie jak wektor indukcji magnetycznej. Po obliczeniu iloczynu wektorowego kierunek i zwrot są jednoznacznie określone przez wynikowy wektor jednostkowy. Rozwiązanie Wychodzimy z ogólnego wzoru na siłę magnetyczną działającą na przewodnik. Chcemy obliczyć siłę przypadającą na jednostkę długości, dlatego dzielimy wyrażenie obustronnie przez długość, przenosząc ją na lewą stronę równania. Wykorzystujemy zależność sin θ = 1 . Wtedy rozwiązaniem jest F = I  l  B  sin θ ⇒ F l = 5  A ⋅ 0,3  T = 1,5  N ∕ m  . F = IlB\sin \theta \implies \frac{F}{l} = \SI{5}{\ampere} \cdot \SI{0,3}{\tesla} = \SI{1,5}{\newton\per\metre} \text{.} Kierunek i zwrot: ustawiamy palce w kierunku dodatnim osi y i obracamy je na kierunek dodatni osi x . Kciuk wskaże kierunek i zwrot − k ̂ (-\hat{k}) . Tym samym przy określonych kierunku i zwrocie rozwiązaniem jest F → l = − 1,5  N ∕ m ⋅ k →  . Iloczyn natężenia prądu i wektora długości oraz wektor indukcji magnetycznej wyrażone są za pomocą wektorów jednostkowych. W takiej sytuacji obliczamy iloczyn wektorowy, aby obliczyć siłę F → = I  l → × B → = I  l  j ̂ × B → ⇒ F → l = I  j ̂ × B →  , \vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B} = Il\hat{j} \times \vec{B} \implies \frac{\vec{F}}{l} = I\hat{j} \times \vec{B} \text{,} F → l = 5  A ⋅ j ̂ × 0,3  T ⋅ cos 30 ° ⋅ i ̂ + 0,3  T ⋅ sin 30 ° ⋅ j ̂ = − 1,3  N ∕ m ⋅ k ̂  . \frac{\vec{F}}{l} = \SI{5}{\ampere} \cdot \hat{j} \times (\SI{0,3}{\tesla} \cdot \cos \ang{30} \cdot \hat{i} + \SI{0,3}{\tesla} \cdot \sin \ang{30} \cdot \hat{j}) = -\SI{1,3}{\newton\per\metre} \cdot \hat{k} \text{.} Znaczenie Pole magnetyczne o tak dużej indukcji wytwarza znaczącą siłę działającą na małej długości przewodnika. Im mniejszy jest kąt pomiędzy polem magnetycznym a kierunkiem prądu w drucie, tym mniejsza siła działająca na przewodnik, co widać z porównania rozwiązań części (a) i części (b). Sprawdź, czy rozumiesz. Prosty, giętki przewodnik miedziany umieszczony jest w polu magnetycznym zwróconym do płaszczyzny rysunku. Jeżeli prąd w przewodniku płynie w górę osi x , to w jaki sposób wygina się drut? W jaki sposób wygnie się przewodnik, jeżeli prąd popłynie w dół osi x ? a. Wygina się do góry; b. Wygnie się w dół. Siła działająca na kołową pętlę przewodnika z prądem Kołowa pętla z prądem, o promieniu R , przewodząca prąd I ustawiona jest w płaszczyźnie x y . Stałe, jednorodne pole magnetyczne przechodzi przez pętlę równolegle do osi y ( ). Wyznaczmy siłę magnetyczną działającą na górną połowę pętli, na dolną połowę pętli oraz wypadkową sił działających na pętlę. Pętla przewodnika z prądem w polu magnetycznym. Strategia rozwiązania Siłę magnetyczną działającą na górną połowę pętli należy zapisać za pomocą różniczek sił działających na każdy wycinek pętli. Całkując wszystkie przyrosty różniczkowe, wyznaczymy całkowitą siłę działającą na górną część pętli. Siłę działającą na dolną połowę pętli wyznacza się w podobny sposób, a wypadkowa sił jest sumą tych dwóch sił. Rozwiązanie Różniczką siły działającej na dowolny wycinek przewodnika wybrany z górnej części pierścienia jest d F = I  B  sin θ  d l  , gdzie θ jest kątem pomiędzy kierunkiem pola magnetycznego ( + y ) a wycinkiem przewodnika. Krzywizna każdego z różniczkowych wycinków ma ten sam promień, więc po zastosowaniu wzoru na długość łuku otrzymamy d l = R  d θ  , d F = I  B  R  sin θ  d θ  . W celu wyznaczenia siły działającej na część pętli całkujemy po kątach z górnej połowy okręgu, w granicach od 0 do π . To daje F = I  B  R  ∫ 0 π sin θ  d θ = I  B  R  − cos π + cos 0 = 2  I  B  R  . Po kątach z dolnej połowy okręgu całkujemy w granicach od π do 0 , co daje F = I  B  R  ∫ π 0 sin θ  d θ = I  B  R  − cos 0 + cos π = − 2  I  B  R  . Wypadkowa sił jest sumą obu tych wielkości i wynosi zero. Znaczenie Wypadkowa sił działających na dowolną zamkniętą pętlę w jednorodnym polu magnetycznym wynosi zero. Nawet jeśli na każdy wycinek pętli działa siła, to wypadkowa tych sił dla całego układu wynosi zero (zauważmy, że występuje wypadkowy moment sił działających na pętlę, który omówimy w następnym podrozdziale). Podsumowanie Prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne wokół przewodnika z prądem. Kierunek i zwrot wytwarzanego pola magnetycznego określa się przy użyciu reguły prawej dłoni 2, zgodnie z którą kciuk ustawia się na kierunek przepływu prądu, a pozostałe palce otaczające przewodnik wskazują kierunek i zwrot pola magnetycznego. Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem dana jest wzorem: F → = I  l → × B → , gdzie I jest natężeniem prądu, a l długością drutu umieszczonego w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B . Pytania Opisz błąd, który wyniknie z przypadkowego użycia lewej dłoni zamiast prawej przy wyznaczaniu kierunku i zwrotu siły magnetycznej. Czy w rozważaniach wyrażenia na siłę magnetyczną prędkość i pole magnetyczne są zawsze prostopadłe? Czy siła i prędkość są zawsze prostopadłe? Co z kierunkami siły i pola magnetycznego? Prędkość i pole magnetyczne mogą być wybrane w dowolnych kierunkach. Jeżeli występuje siła, prędkość jest prostopadła do niej. Pole magnetyczne jest także prostopadłe do siły, jeżeli ta występuje. Dlaczego magnes przysunięty w pobliże kineskopu telewizyjnego (promieni katodowych) zaburza obraz? Pole magnetyczne działa siłą na poruszające się w przewodniku elektrony. Co wywiera siłę na przewodnik? Siła działająca na drut jest wywierana przez zewnętrzne pole magnetyczne wytworzone przez inny drut lub magnes. Istnieją obszary, gdzie pole magnetyczne Ziemi jest prawie prostopadłe do jej powierzchni. Jakie problemy może to powodować, gdy używa się kompasu? Zadania Jaki kierunek i zwrot ma siła magnetyczna oddziałująca na prąd w każdym z sześciu przypadków? a. W lewo; b. Do płaszczyzny rysunku; c. W górę; d. Brak siły; e. W prawo; f. W dół. Jaki jest kierunek przepływu prądu, który doznaje działania zaznaczonej siły magnetycznej w każdym z trzech przypadków, przy założeniu, że prąd płynie prostopadle do B → ? Jaki kierunek i zwrot ma pole magnetyczne, które wytwarza zaznaczoną siłę magnetyczną oddziałującą na prądy w każdym z trzech przypadków, przy założeniu, że B → jest prostopadłe do prądu I ? a. Do płaszczyzny rysunku; b. W lewo; c. Od płaszczyzny rysunku. Jaka siła na metr jest wywierana na równiku na błyskawicę, która przewodzi 20 000  A prostopadle do ziemskiego pola o indukcji 3 ⋅ 10 − 5  T ? Jaki kierunek i zwrot ma siła, jeżeli prąd jest skierowany pionowo i zwrócony do góry, a pole Ziemi jest równoległe do jej powierzchni i zwrócone na północ? Przewód prądu stałego zasilający linię superszybkiej kolei przewodzi 1000  A pod kątem 30 ° do ziemskiego pola o indukcji 5 ⋅ 10 − 5  T . Ile wynosi siła magnetyczna działająca na 100  m przewodu? Omów praktyczne znaczenie wyniku lub jego brak. a. 2,5  N ; b. Oznacza to, że przewody zasilające linię superszybkiej kolei muszą być zakotwiczone (zamocowane na całej długości), żeby nie przemieszczały się pod wpływem siły wywołanej przez ziemskie pole magnetyczne. Przewodnik z prądem 30  A przebiega pomiędzy biegunami silnego magnesu w taki sposób, że jest prostopadły do pola magnesu i doświadcza w nim działania siły 2,16  N na długości 4  cm . Ile wynosi średnia wartość indukcji pola magnetycznego?

Science