Proste obwody prądu zmiennego W tym podrozdziale zajmiemy się analizą prostych obwodów składających się ze źródła napięcia zmiennego podłączonego do trzech elementów: (1) opornika, (2) kondensatora i (3) cewki. Siła elektromotoryczna dostarczana przez źródło podana jest jako u  t = U 0  sin ω  t  , jak przedstawiono na , przy założeniu, że zaczynamy rejestrację przebiegu w czasie t = 0  s dla u = 0  V . Możliwe jest również wprowadzenie stałej fazowej, która „przesunie” wykres funkcji w przypadku rozpoczęcia pomiarów w innym punkcie przebiegu. Jest to przypadek podobny do omawianego w rozdziale Fale . Ponieważ wolno nam jednak dokonywać pomiarów w dowolnym momencie, możemy na razie pominąć ten stały czynnik fazowy. Napięcie w obwodzie i na poszczególnych elementach może być określane z zastosowaniem dwóch metod: (1) podejścia analitycznego, opartego na naszej wiedzy na temat obwodów i elementów elektronicznych wyrażonej w równaniach różniczkowych, które należy rozwiązać otrzymując przebiegi napięcia i natężenia prądu elektrycznego co jest podejściem najogólniejszym, albo (2) podejścia schematycznego dla przebiegów okresowych prądu elektrycznego i napięcia (napięcie i natężenie prądu są tutaj funkcjami periodycznymi) wyrażonego graficznie przez wskazy, które objaśnione zostanie w kolejnych podrozdziałach. (a) Przebieg wyjściowy u  t = U 0  sin ω  t generatora napięcia zmiennego. (b) Symbol używany dla źródła napięcia zmiennego w schemacie elektrycznym. Opornik Na początek zanalizujmy opornik podłączony do źródła napięcia zmiennego. Z prawa Ohma wynika, że napięcie na oporze z (a) wynosi u R  t = U 0  sin ω  t  , a natężenie prądu płynącego przez ten rezystor wynosi i R  t = u R  t R = U 0 R  sin ω  t = I 0  sin ω  t  . (a) Opornik podłączony do źródła napięcia zmiennego. (b) Wykresy natężenia prądu i R  t płynącego przez opornik i napięcia u R  t na nim. Obie wielkości są zgodne w fazie. W tym przypadku I 0 = U 0 ∕ R jest amplitudą zmiennego w czasie natężenia prądu. Wykresy i R  t i u R  t przedstawione zostały na (b). Obie krzywe osiągają maksima i minima w tym samym czasie, a więc oznacza to, że natężenie prądu płynącego przez opornik i napięcie prądu na oporniku są zgodne w fazie. Graficzne przedstawienie relacji fazowej pomiędzy natężeniem i napięciem prądu jest bardzo przydatne w analizie obwodów prądu zmiennego. Takie przedstawienie nazywane jest wykresem wskazowym (ang. phasor diagram ). Wykres wskazowy dla i R  t przedstawiony został na (a) z natężeniem prądu odłożonym na osi pionowej i . Strzałka (nazywana wskazem) obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ze stałą prędkością kątową ω , więc widoczna jest w jednej z chwil t . Jeśli długość wskazu odpowiada amplitudzie natężenia prądu I 0 , to rzut obracającego się wskazu na oś pionową wynosi i R  t = I 0  sin ω  t , co odpowiada wartości chwilowej natężenia prądu. Wykres wskazowy przedstawiający natężenie prądu płynącego przez opornik z . (b) Wykres wskazowy przedstawiający zarówno i R  t , jak i u R  t . Oś pionowa wykresu wskazowego może reprezentować zarówno natężenie, jak i napięcie prądu, w zależności od wskazu, który właśnie analizujemy. Ponadto możliwe jest przedstawienie kilku wielkości na tym samym wykresie wskazowym. Przykładowo na (b) pokazano natężenie prądu i R  t oraz u R  t . Ponieważ obie wielkości mają tę samą częstotliwość i są zgodne w fazie, ich wskazy mają ten sam kierunek i zwrot i obracają się z jednakową prędkością. Ponieważ obie wielkości mają tę samą częstotliwość i są zgodne w fazie, ich wskazy mają ten sam kierunek, a także zwrot i obracają się z jednakową prędkością kątową. Obracające się ze stałą prędkością kątową wskazy są konstrukcją matematyczną. To co jest mierzalne doświadczalnie to ich rzut na oś rzeczywistą (taki rzut jest wartością rzeczywistą w dwuwymiarowym układzie współrzędnych reprezentującym wszystkie możliwe liczby zespolone z = x + i  y z = x + iy , gdzie i 2 = -1 i^2 = -1 ). Każdy wskaz wyraża liczbę zespoloną z  t = z 0  sin ω  t − α + i  cos ω  t − α z \apply (t) = z_0 [\sin (\omega t - \alpha) + i \cos (\omega t - \alpha)] , gdzie z 0 z_0 , ω \omega i α \alpha są stałymi o wartościach rzeczywistych, a i i to jednostka urojona, której kwadrat jest liczbą -1 -1 . Koncepcja obracającego się wskazu wyrażonego analitycznie przez liczbę zespoloną z  t z \apply (t) jest po prostu innym sposobem przedstawienia drgań oscylatora harmonicznego, którego położenie jest sinusoidalnie zmiennie w czasie. Przykładowo można zauważyć, że obracający się pręt o długości L L w danej płaszczyźnie x y x\sep y ze stałą prędkością kątową ω \omega i zaczepiony w punkcie x = 0 y = 0 (x=0, y=0) można reprezentować drgania masy na sprężynie, kiedy nie występuje tarcie ( x  t = L  sin ω  t − α x \apply (t) = L\sin (\omega t - \alpha) ). Tak obracający się pręt jest wskazem z  t = L  sin ω  t − α + i  cos ω  t − α z \apply (t) = L[\sin(\omega t - \alpha) + i \cos (\omega t - \alpha)] . Stosowanie wskazów niesienie ukryte założenie, że zakładany przebieg zmienności napięcia i natężenia prądu elektrycznego cechuje się periodycznością czyli okresowością. Oczywiście tak jest w układach AC. Kondensator W celu wygodnego przedstawienia zjawisk okresowych będziemy stosowali liczby zespolone. Liczby zespolone mogą być reprezentowane jako dwuwymiarowe wektory. Zakładając sinusoidalną zmienność prądu elektrycznego i napięcia definiujemy I  ω = I 0  exp i  ω  t − t 0 oraz U  ω = U 0  exp i  ω  t − t 0 , gdzie I 0 to amplituda prądu elektrycznego będąca liczbą rzeczywistą, t 0 to pewna stała rzeczywista, ω to częstotliwość kołowa, a U 0 to amplituda napięcia będąca liczbą rzeczywistą. To, co mierzymy na przykład na oporniku, to część rzeczywista I  ω oraz U  ω . W pewnym sensie koncepcja wskazów jest uogólnieniem prawa Ohma, gdzie natężenie prądu elektrycznego I  ω (wyrażone przez wskaz) przepływającego przez dany element elektroniczny jest powiązane z napięciem U  ω (wyrażonym przez wskaz) przyłożonym do tego elementu: U  ω = Z  ω  I  ω . Tutaj Z  ω jest impedancją będącą uogólnieniem oporności elektrycznej ( Z  ω = R w przypadku opornika o oporze elektrycznym R i jest wyrażone liczbą zespoloną – posiada część rzeczywistą i urojoną). Jednak zarówno napięcie, jak i natężenie prądu są reprezentowane przez wskazy (dwuwymiarowe wektory, które są liczbami zespolonymi). Długości wskazów wyrażają amplitudę wielkości sinusoidalnie zmiennych. Jednak stosunek długości tych dwóch wskazów może zostać wyrażony przez rezystancję, ponieważ jeden z nich reprezentuje napięcie, a drugi natężenie prądu. Część rzeczywista ( Re ) impedancji to opór elektryczny ( R = Re Z ), a część urojona ( Im ) impedancji to reaktancja ( X = Im Z ). Rozpatrzmy teraz obwód z kondensatorem (ang. capacitor ) połączonym ze źródłem napięcia zmiennego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie na kondensatorze z (a) opisane jest jako u C  t = U 0  sin ω  t  . Pamiętamy, że ładunek zgromadzony w kondensatorze podlega zależności Q = C  U . Jest ona prawdziwa dla każdej chwili w cyklu prądu zmiennego. Oznacza to, że chwilową wartość ładunku w kondensatorze da się opisać zależnością q  t = C  u c  t = C  U 0  sin ω  t  . Natężenie prądu w obwodzie z definicji jest miarą przepływu ładunku na jednostkę czasu, więc natężenie prądu może opisywać tempo opuszczania (lub pojawiania się) ładunku w kondensatorze i C  t = d q  t d t = ω  C  U 0  cos ω  t = I 0  cos ω  t  , gdzie I 0 = ω  C  U 0 jest amplitudą natężenia prądu. Gdy zastosujemy zależność pomiędzy funkcją cosinus i sinus, czyli cos ω  t = sin ω  t + π ∕ 2 , chwilowa wartość natężenia prądu przyjmuje postać i C  t = I 0  sin ω  t + π 2  . Poprzez podzielenie U 0 przez I 0 otrzymamy wyrażenie podobne do prawa Ohma U 0 I 0 = 1 ω  C = X C  . Wielkość X C jest odpowiednikiem rezystancji (oporu) w obwodzie prądu stałego w kontekście stosunku napięcia do natężenia prądu w obwodzie. W związku z tym obie te wielkości mają wspólną jednostkę om oznaczaną Ω \si{\ohm} w odniesieniu do innych jednostek 1  Ω = 1  V ∕ 1  A \SI{1}{\ohm} = \SI{1}{\volt} / \SI{1}{\ampere} (jeden om to jeden wolt dzielony przez jeden amper). Pamiętaj jednak, że kondensator przechowuje i uwalnia energię elektryczną, podczas gdy opornik ją rozprasza. Wielkość X C nazywana jest reaktancją pojemnościową (ang. capacitive reactance ), kapacytancją (ang. capacitance ) lub oporem biernym pojemnościowym kondensatora . Jest ona odwrotnie zależna od częstotliwości źródła napięcia zmiennego – im wyższa częstotliwość, tym niższa reaktancja pojemnościowa i odwrotnie – im niższa częstotliwość, tym wyższa kapacytancja, co pozwala użyć kondensatora jako elementu odfiltrowującego składową stałą prądu elektrycznego. (a) Kondensator połączony szeregowo ze źródłem napięcia zmiennego. (b) Natężenie prądu i C  t płynącego przez kondensator i napięcie prądu u C  t na tym kondensatorze. Zauważ, że i C  t „wyprzedza” u C  t o π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} . Porównanie wyrażeń na u C  t i i C  t pozwala zauważyć, że występuje pomiędzy nimi przesunięcie fazowe o π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} . Gdy obie te wielkości zostaną umieszone razem na wykresie wskazowym, widać, że natężenie prądu osiąga amplitudę ćwierć cyklu (lub π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} ) wcześniej niż napięcie prądu. Pokazuje to (b). Wykres wskazowy dla kondensatora z (a). Wskaz natężenia prądu wyprzedza wskaz napięcia prądu o π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} , ale oba nadal obracają się z jednakową prędkością kątową. Do tej pory używaliśmy w naszych rozważaniach jedynie amplitud natężenia lub napięcia prądu ( I 0 i U 0 ). Gdy spróbujemy wyliczyć średnią wartość natężenia lub napięcia prądu, wynikiem będzie wartość zerowa. Jednak w opisie natężenia i napięcia prądu często używana jest alternatywna wartość, nazywana wartością skuteczną (ang. root mean square value, rms ). Proces wyliczania takiej wartości polega na wyliczeniu średniej kwadratowej, stąd jest to wartość niezerowa. Odbiorniki prądu zmiennego oznacza się zazwyczaj stosując wartości skuteczne, a nie amplitud. W dalszych rozważaniach wartości skuteczne oznaczane będą za pomocą indeksu dolnego „sk” tak jak np. I sk . Mimo że kondensator tak naprawdę przerywa obwód elektryczny (likwidując składową stałą prądu elektrycznego i pozostawiając składowe sinusoidalnie zmienne czyli z I  t = I 1 + I 0  sin ω  t − α I \apply (t) = I_1 + I_0 \sin (\omega t - \alpha) otrzymujemy I  t = I 0  sin ω  t − α I \apply (t) = I_0 \sin (\omega t - \alpha) ), natężenie skuteczne (ang. rms current ) prądu pojawia się w obwodzie, zawierającym źródło napięcia zmiennego. Ma ono wartość I sk = I 0 2  , gdzie I 0 jest amplitudą natężenia prądu w rozważanym obwodzie. Napięcie skuteczne na danym kondensatorze (ang. rms voltage ) w sytuacji sinusoidalnie zmiennego prądu wynosi U sk = U 0 2  , gdzie U 0 jest amplitudą napięcia w rozważanym obwodzie. Natężenie skuteczne pojawia się, ponieważ napięcie ciągle odwraca kierunki, ładując i rozładowując kondensator. W sytuacji, gdy częstotliwość płynącego prądu elektrycznego dąży do zera otrzymujemy napięcie stałe i wówczas X C dąży do nieskończoności, a wartość natężenia prądu elektrycznego będzie równa zero po naładowaniu się kondensatora. Dla bardzo wysokich częstotliwości reaktancja pojemnościowa kondensatora dąży do zera i nie opóźnia już przepływu prądu i możemy wówczas zapomnieć o istnieniu kondensatora zastępując go zwartym kablem w schemacie obwodowym. Cewka Ostatnim rozważanym elementem jest cewka podłączona do źródła napięcia zmiennego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie na cewce (ang. inductor ) L z (a) wynosi u L  t = U 0  sin ω  t  . Siła elektromotoryczna działająca na cewkę równa jest ε = − L ⋅ d i L  t ∕ d t (co wyraża prawo Faradaya i przy założeniu, że strumień pol magnetycznego generowany przez cewkę jest proporcjonalny do wielkości natężenia przepływającego prądu elektrycznego). Spadek potencjału na cewce wynosi u L  t = L ⋅ d i L  t ∕ d t , ponieważ suma napięć w całej pętli ma wynosić zero – napięcie wytworzone przez źródło musi zostać odłożone na cewce. Tym samym po podłączeniu cewki do źródła napięcia otrzymujemy d i L  t d t = U 0 L  sin ω  t  . (a) Cewka podłączona do źródła napięcia zmiennego. (b) Natężenie prądu i L  t płynącego przez cewkę i napięcie u L  t na niej. W tym przypadku i L  t jest opóźnione względem u L  t o π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} . Natężenie prądu i L  t wyznacza się poprzez obustronne scałkowanie powyższego wyrażenia. Ponieważ obwód nie posiada żadnego źródła stałej siły elektromotorycznej, nie istnieje w nim stałe natężenie prądu. Dzięki temu możemy przyjąć stałą całkowania, odpowiadającą wartości stałoprądowego natężenia prądu w obwodzie, za zero. Tym samym otrzymujemy i L  t = − U 0 ω  L  cos ω  t = U 0 ω  L  sin ω  t − π 2 = I 0  sin ω  t − π 2  , gdzie I 0 = U 0 ∕ ω  L . Relacja pomiędzy U 0 a I 0 może również zostać zapisana w postaci analogicznej do prawa Ohma U 0 I 0 = ω  L = X L  . Wielkość X L znana jest jako reaktancja indukcyjna (ang. inductive reactance ), induktancja (ang. inductance ) lub opór bierny indukcyjny cewki przed wywołany szybkością zmiany natężenia prądu elektrycznego w obwodzie wyrażone przez ω \omega . Jednostką impedancji indukcyjnej jest również om. Istotny jest tutaj fakt, że cewka przepuszcza jedynie składową stałą prądu elektrycznego w granicy dużych częstości ω \omega (w tym sensie cewka ma własność odwrotną do cechy kondensatora, który przepuszcza składowe zmienne prądu elektrycznego i zatrzymuje składowe stałe prądu elektrycznego). Zauważmy, że X L jest liniowo zależne od częstotliwości źródła napięcia zmiennego – wysoka częstotliwość powoduje pojawienie się wysokiej reaktancji indukcyjnej. Różnica fazy o wartości π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} pojawia się pomiędzy natężeniem prądu płynącego przez cewkę i napięciem prądu odłożonym na cewce. Z i wynika, że natężenie prądu jest opóźnione względem napięcia na cewce o π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} , czyli o ćwierć cyklu. Wykres wskazowy dla tego przypadku pokazuje . Wykres wskazowy dla cewki z . Wskaz natężenia prądu jest opóźniony względem wskazu napięcia o wartość π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} , ale oba nadal obracają się z jednakową prędkością kątową. Animacja obwodów prądu zmiennego wykonana przez University of New South Wales ( obwody prądu zmiennego ) przedstawia niektóre z zagadnień opisywanych w tym rozdziale. Ponadto zawiera ona wykresy przebiegów i wskazów, które ewoluują w czasie, co pozwala na lepsze zrozumienie zjawisk zachodzących w takich obwodach. Proste obwody prądu zmiennego Generator napięcia zmiennego wytwarza siłę elektromotoryczną o amplitudzie 10  V i częstotliwości f = 60  Hz . Wyznaczmy wartość napięcia odłożonego na elementach i wartość natężenia prądu płynącego przez elementy, gdy generator jest podłączony do opornika o oporze 100  Ω ; kondensatora o pojemności 10  µF ; cewki o indukcyjności 15  mH . Strategia rozwiązania Całkowite napięcie zmienne na każdym z elementów jest równe napięciu źródła. Możemy znaleźć wartość natężenia prądu przez znalezienie reaktancji X każdego z elementów i wykorzystanie zależności pomiędzy amplitudami I 0 = U 0 ∕ X . Rozwiązanie Napięcie na zaciskach generatora wynosi u  t = U 0  sin ω  t = 10  V ⋅ sin 120  π  t  , gdzie ω = 2  π  f = 120  π  rad ∕ s jest częstością. Ponieważ u  t jest jednocześnie napięciem na każdym z elementów, otrzymujemy u  t = u R  t = u C  t = u L  t = 10  V ⋅ sin 120  π  t  . Kiedy R = 100  Ω , amplituda natężenia prądu płynącego przez opornik wynosi I 0 = U 0 R = 10  V 100  Ω = 0,1  A  , i R  t = 0,1  A ⋅ sin 120  π  t  . Z kapacytancja wynosi X C = 1 ω  C = 1 120  π  rad ∕ s ⋅ 10 − 6  F = 265  Ω  , więc amplituda natężenia prądu elektrycznego będzie równa I 0 = U 0 X C = 10  V 256  Ω = 3,8 ⋅ 10 − 2  A  , i C  t = 3,8 ⋅ 10 − 2  A ⋅ sin 120  π  t + π 2  . Jak wynika z , induktancja wynosi X L = ω  L = 120  π  rad ∕ s ⋅ 15 ⋅ 10 − 3  H = 5,7  Ω  . Amplituda natężenia prądu elektrycznego jest wtedy równa I 0 = 10  V 5,7  Ω = 1,8  A  , a natężenie chwilowe wynosi i L  t = 1,8  A ⋅ sin 120  π  t − π 2  . Znaczenie Mimo że napięcie na każdym z elementów jest identyczne, amplitudy natężenia prądu różnią się między sobą w zależności od reaktancji elementu. Reaktancja każdego z elementów zależna jest od wartości oporności, pojemności i indukcyjności. Sprawdź, czy rozumiesz. Powtórz dla generatora napięcia zmiennego o amplitudzie 20  V i częstotliwości 100  Hz . a. 20  V ⋅ sin 200  π  t , 0,2  A ⋅ sin 200  π  t ; b. 20  V ⋅ sin 200  π  t , 0,13  A ⋅ sin 200  π  t + π ∕ 2 ; c. 20  V ⋅ sin 200  π  t , 2,10  A ⋅ sin 200  π  t − π ∕ 2 . Podsumowanie W przypadku opornika natężenie prądu płynącego przez niego i odłożone na nim napięcie są zgodne w fazie, a wówczas impedancja opornika wynosi R i jest liczbą rzeczywistą. W przypadku kondensatora (np. układu dwóch równoległych płytek metalu rozsuniętych i niedotykających siebie) poddanego działaniu zmiennego sinusoidalnie napięcia natężenie prądu przez niego płynącego wyprzedza w fazie napięcie na nim o ćwierć cyklu. Ponieważ kondensator przerywa obwód, gdy jest w pełni naładowany, ogranicza to natężenie prądu płynącego przez niego i zapewnia dodatkowy rodzaj oporu zmiennoprądowego (impedancji), nazywany tutaj kapacytancją (reaktancją pojemnościową) i wyrażany w jednostkach oporu elektrycznego (omach). W przypadku cewki (np. zwoju drutu nawiniętego na izolator), do której przyłożono sinusoidalnie zmienne napięcie, napięcie wyprzedza natężenie prądu w fazie o ćwierć cyklu. Opór cewki przed zmianami natężenia prądu jest wyrażony jako rodzaj reaktancji zmiennoprądowej. Jest to induktancja (reaktancja indukcyjna), mająca wymiar omów i zależna od częstotliwości źródła napięcia zmiennego. Pytania Wyjaśnij, dlaczego dla wysokich częstotliwości kondensator zachowuje się jak zwarty kabel w obwodzie (jego obecność można pominąć) , a cewkę można zastąpić przerwanym kablem? Zadania Oblicz reaktancję kondensatora o pojemności 5  µF dla częstotliwości 60  Hz ; 600  Hz ; 6000  Hz . a. 530  Ω ; b. 53  Ω ; c. 5,3  Ω . Ile wynosi pojemność kondensatora, którego kapacytancja dla częstotliwości 60  Hz jest równa 10  Ω ? Oblicz induktancję cewki o indukcyjności 5  mH dla częstotliwości 60  Hz ; 600  Hz ; 6000  Hz . a. 1,9  Ω ; b. 19  Ω ; c. 190  Ω . Ile wynosi indukcyjność cewki, której induktancja dla częstotliwości 60  Hz ma wartość 10  Ω ? Dla jakiej częstotliwości kapacytancja kondensatora o pojemności 20  µF jest równa induktancji cewki o indukcyjności 10  mH ? 360  Hz . Dla częstotliwości 1000  Hz induktancja cewki o indukcyjności 5  mH jest równa kapacytancji pewnego kondensatora. Ile wynosi pojemność tego kondensatora? Opornik o oporze 50  Ω podłączony jest do źródła o wzorze u  t = 160  V ⋅ sin 120  π  t . Zapisz wyrażenie na natężenie prądu płynącego przez ten opornik. i  t = 3,2  A ⋅ sin 120  π  t  . Do źródła o wzorze u  t = 160  V ⋅ sin 120  π  t podłączono kondensator o pojemności 25  µF . Ile wynosi kapacytancja tego kondensatora? Zapisz wyrażenie na natężenie prądu wypływającego ze źródła. Do źródła z poprzedniego zadania podłączono cewkę o indukcyjności 100  mH . Ile wynosi induktancja tej cewki? Zapisz wyrażenie na natężenie prądu płynącego przez tę cewkę. a. 38  Ω ; b. i  t = 4,24  A ⋅ sin 120  π  t − π ∕ 2 . kapacytancja (ang. capacitance ) opór kondensatora przed zmianami natężenia prądu induktancja (ang. inductance ) opór cewki przez zmianami natężenia prądu reaktancja pojemnościowa (ang. capacitive reactance ) patrz „ kapacytancja ” reaktancja indukcyjna (ang. inductive reactance ) patrz „ induktancja ” wartość skuteczna natężenia prądu (ang. rms current ) wartość średniej kwadratowej dla natężenia chwilowego prądu wartość skuteczna napięcia prądu (ang. rms voltage ) wartość średniej kwadratowej dla napięcia chwilowego prądu

Science


Obwody szeregowe RLC prądu zmiennego Obwód prądu zmiennego przedstawiony na nazywany jest szeregowym obwodem RLC (ang. RLC series circuit ). Obwód ten złożony jest z opornika, cewki i kondensatora podłączonych szeregowo do generatora napięcia zmiennego. Źródło dostarcza siły elektromotorycznej o wartości u  t = U 0  sin ω  t  . (a) Schemat szeregowego obwodu RLC. (b) Porównanie napięcia wyjściowego na generatorze z natężeniem prądu w obwodzie. Wartość przesunięcia fazowego ϕ zależy od wartości R , L i C . Ponieważ elementy połączone są ze sobą szeregowo, w każdej chwili przez każdy z nich przepływa prąd elektryczny o takim samym natężeniu. Podobna sytuacja zachodzi w przypadku szeregowo połączonych oporników, gdzie przez każdy element przepływa prąd o tym samym natężeniu i wytworzone napięcie jest sumą napięć odkładanych na poszczególnych elementach elektrycznych tak, że jest ono równe sile elektromotorycznej działającej na dany obwód. W obwodzie RLC napięcie jest funkcją czasu sinusoidalnie zmienną i tak jak w przypadku układu szeregowo połączonych oporników może być wyrażone przez dwuwymiarowy obracający się ze stałą prędkością kątową wektor czyli wskaz. Rzut tego wskazu na oś rzeczywistą wyraża mierzone napięcie. Suma wskazów napięciowych (wektorów reprezentowanych przez liczby zespolone) na wszystkich szeregowych elementach obwodu jest równa sile elektromotorycznej reprezentowanej także przez wskaz. Warto zdać sobie sprawę, że dodawanie liczb zespolonych to w istocie dodawanie wektorów dwuwymiarowych (np. wskazów). Ważne jest, że w szeregowym układzie RLC wskaz reprezentujący natężenie prądu jest jednakowy dla wszystkich elementów obwodu, analogicznie do sytuacji szeregowo połączonych oporników. Istotnie, fakt ten odwołuje się do zasady zachowania prądu elektrycznego powiązanej z zasadą zachowania ładunku elektrycznego. Przystąpmy zatem do systematycznej analizy obwodu RLC. Wcześniej założyliśmy, że przykładane napięcie (SEM) jest sinusoidalnie zmienne. Względna różnica faz w obwodzie RLC pomiędzy natężeniem prądu a siłą elektromotoryczną nie jest wartością oczywistą, gdy wszystkie trzy elementy mają wkład do różnicy faz. W konsekwencji opiszemy natężenie prądu wyrażeniem ogólnym i  t = I 0  sin ω  t − ϕ  , gdzie I 0 jest amplitudą natężenia prądu, a ϕ kątem fazowym (ang. phase angle ) pomiędzy natężeniem a napięciem prądu. Kąt fazowy jest zatem miarą tego, jak bardzo napięcie i natężenie prądu w obwodzie są ze sobą niezgodne w fazie co jest reprezentowane przez wskazy napięcia i natężenia prądu elektrycznego obrócone względem siebie przez ten kąt. Naszym zadaniem jest ustalenie wartości I 0 i ϕ . Wykres wskazowy przedstawiający i  t , u R  t , u C  t i u L  t będzie niezwykle pomocny w analizie tego obwodu. Jak przedstawiono to na , wskaz reprezentujący u R  t ma ten sam kierunek i zwrot co wskaz reprezentujący i  t , a jego amplituda wynosi U R = I 0  R . Wskaz u C  t jest opóźniony względem wskazu i  t o π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} , a jego amplituda wynosi U C = I 0  X C . Wskaz dla u L  t wyprzedza wskaz i  t o π ∕ 2  rad (\pi/2)\si{\radian} i jego amplituda jest równa U L = I 0  X L . Wykres wskazowy dla szeregowego obwodu RLC z . W każdej chwili napięcie przykładane na szeregowo połączone elementy wynosi u R  t + u L  t + u C  t = u  t odpowiada SEM produkowanej przez generator. Ponieważ składowa sumy wektorów jest równa sumie składowych tych wektorów (np. A + B y = A y + B y ; zmiana nie występuje gdy akceptujemy antyintuicyjne oznaczenia z i ), oznacza to, że rzut sumy wskazów na oś pionową jest równy sumie rzutów wszystkich wskazów składowych na oś pionową. Wynika z tego, że jeśli dodamy wektorowo wskazy przedstawiające u R  t , u C  t i u L  t (zmiana nie występuje gdy akceptujemy antyintuicyjne oznaczenia z i ), a następnie zrzutujemy wynik na oś pionową, otrzymamy u R  t + u L  t + u C  t = u  t = U 0  sin ω  t  . Suma wektorowa wskazów zaprezentowana została na . Wskaz będący wynikiem tej operacji posiada amplitudę równą U 0 i jest skierowany pod kątem ϕ względem wskazu u R  t (lub i  t ). Rzut wskazu wypadkowego na oś pionową jest równy u  t = U 0  sin ω  t . Z układu geometrycznego wskazów możliwe jest ustalenie nieznanych wartości I 0 oraz ϕ . Dla kąta fazowego ϕ = arc tg U L − U C U R = arc tg I 0  X L − I 0  X C I 0  R  , co po uproszczeniu czynnika I 0 przyjmuje postać ϕ = arc tg X L − X C R  . Co więcej, z twierdzenia Pitagorasa wynika, że U 0 = U R 2 + U L − U C 2 = I 0  R 2 + I 0  X L − I 0  X C 2 = I 0  R 2 + X L − X C 2  . Wskaz wypadkowy, będący wynikiem dodawania wskazów u R  t , u C  t i u L  t , jest równy wskazowi dla u  t = U 0  sin ω  t . Wskaz dla i  t (nieprzedstawiony na rysunku) jest ustawiony zgodnie ze wskazem dla u R  t . Wyrażenie na amplitudę natężenia prądu wyraża się zmiennoprądową wersją prawa Ohma I 0 = U 0 R 2 + X L − X C 2 = U 0 Z  , gdzie Z = R 2 + X L − X C 2 jest znane jako impedancja (ang. impedance ) lub zawada obwodu. Jej jednostką jest om i jest to zmiennoprądowy odpowiednik oporu elektrycznego w obwodzie stałoprądowym. Jest to wielkość opisująca sumaryczne efekty rezystancji, kapacytancji i induktancji ( ), będąca uogólnieniem oporu elektrycznego dla obwodów AC. Kondensatory mocy (ang. power capacitors ) używane są do wyrównania impedancji dla wypadkowej induktancji linii przesyłowych. Obwód RLC można porównać do samochodu jadącego po pofalowanej drodze ( ). Równoodległe wybrzuszenia powodują ruch koła w górę i w dół. Podobnie napięcie prądu w obwodzie RLC rośnie i maleje. Amortyzator zachowuje się jak impedancja obwodu, ograniczając amplitudę drgań. Energia w układzie jezdnym zmienia się nieustannie z energii kinetycznej na energię potencjalną zgromadzoną w sprężynie, podobnie do zmiany pomiędzy maksymalną amplitudą pola magnetycznego odpowiadającą maksymalnemu natężeniu prądu elektrycznego (kiedy energia elektromagnetyczna jest zgromadzoną w cewce w postaci pola magnetycznego), a natężeniem zerowym prądu elektrycznego (kiedy energia pola elektromagnetycznego jest zgromadzoną w kondensatorze w postaci pola elektrycznego). Amplituda ruchu koła osiąga maksimum, gdy wybrzuszenia drogi są najeżdżane z częstotliwością rezonansową, którą opisujemy dokładniej w podrozdziale Rezonans w obwodzie prądu zmiennego . W układzie jezdnym samochodu amortyzator tłumi ruch i rozprasza energię. Jest to bardzo podobne do rezystancji w obwodzie RLC. Masa i stała sprężystości sprężyny determinują częstotliwość rezonansową. Strategia rozwiązywania zadań: obwody prądu zmiennego Przy analizie obwodów zawierających oporniki, kondensatory i cewki pomocną techniką jest ustalenie reaktancji każdego z elementów (reaktancja to część urojona impedancji Im Z \prefop{Im} Z )i znalezienie reaktancji równoważnej. Wykorzystuje się do tego metody stosowane do znajdowania reaktancji równoważnej przedstawione wcześniej. Wskazy są doskonałą metodą do ustalenia, czy SEM obwodu ma dodatnią, czy ujemną fazę – czy wyprzedza inne wskazy, czy jest względem nich opóźniona. Użyj poniższych kroków do ustalenia SEM obwodu za pomocą wskazów: Narysuj wskazy dla napięcia na każdym z elementów: oporniku, kondensatorze i cewce, włącznie z kątem fazowym tych elementów. Jeśli w obwodzie są obecne zarówno kondensator, jak i cewka, znajdź wypadkowe napięcie ich wskazów – są sobie przeciwstawne. Znajdź wskaz równoważny sumie wskazu z kroku 2 i wskazu dla rezystora, używając trygonometrii lub składowych wskazów. Otrzymany w ten sposób wskaz równoważny będzie SEM obwodu. Szeregowy obwód RLC Generator napięcia zmiennego podłączony jest do szeregowego obwodu RLC i dostarcza napięcia o amplitudzie 0,1  V przy częstotliwości 200  Hz . Jeśli R = 4  Ω , L = 3 ⋅ 10 − 3  H , a C = 8 ⋅ 10 − 4  F , ile wynosi kapacytancja; induktancja; impedancja; amplituda natężenia prądu i ; różnica faz pomiędzy natężeniem prądu a SEM generatora? Strategia rozwiązania Reaktancję i impedancję w podpunktach (a)–(c) można znaleźć przez podstawienie danych kolejno do , i . Amplituda natężenia prądu wyznaczana jest z amplitudy napięcia i modułu impedancji. Przesunięcie fazowe SEM względem natężenia prądu wyliczane jest z arcus tangensa różnicy pomiędzy reaktancjami cewki i kondensatora podzielonej przez rezystancję. Rozwiązanie Z kapacytancja wynosi X C = 1 ω  C = 1 2  π ⋅ 200  Hz ⋅ 8 ⋅ 10 − 4  F = 0,995  Ω  . Z induktancja wynosi X L = ω  L = 2  π ⋅ 200  Hz ⋅ 3 ⋅ 10 − 3  H = 3,77  Ω  . Podstawiając wartości R , X C i X L do , otrzymujemy impedancję Z = 4  Ω 2 + 3,77  Ω − 0,995  Ω 2 = 4,87  Ω  . Amplituda natężenia prądu wynosi I 0 = U 0 Z = 0,1  V 4,87  Ω = 2,05 ⋅ 10 − 2  A  . Z różnica faz pomiędzy natężeniem prądu a SEM obwodu będzie równa ϕ = arc tg X L − X C R = arc tg 2,77  Ω 4  Ω = 0,607  rad  . Znaczenie Kąt fazowy ma dodatnią wartość, ponieważ reaktancja cewki jest wyższa niż reaktancja kondensatora. Sprawdź, czy rozumiesz. Znajdź napięcia na oporniku, kondensatorze i cewce z , używając u  t = U 0  sin ω  t jako napięcie wytwarzane przez generator. u R  t = U 0  R ∕ Z ⋅ sin ω  t − ϕ , u C  t = U 0  X C ∕ Z ⋅ sin ω  t − ϕ + π ∕ 2 = U 0  X C ∕ Z ⋅ cos ω  t − ϕ u_C \apply (t) = U_0 X_C / Z \cdot \sin (\omega t - \phi + \pi /2) = U_0 X_C / Z \cdot \cos (\omega t - \phi) , u L  t = U 0  X L ∕ Z ⋅ sin ω  t − ϕ + π ∕ 2 = U 0  X L ∕ Z ⋅ cos ω  t − ϕ u_L \apply (t) = U_0 X_L / Z \cdot \sin (\omega t - \phi + \pi /2) = U_0 X_L / Z \cdot \cos (\omega t - \phi) . Podsumowanie Szeregowy obwód RLC to opornik, cewka i kondensator podłączone szeregowo do źródła napięcia zmiennego. Gdy elementy elektroniczne są połączone szeregowo, w każdym momencie taki sam prąd elektryczny przepływa przez każdy z elementów obwodu. Odpowiednikiem zmiennoprądowym (AC) oporu elektrycznego znanym z obwodu elektrycznego prądu stałego jest impedancja, uwzględniająca wpływ oporników, cewek i kondensatorów na relację prąd elektryczny–napięcie elektryczne. Pojęcie impedancji stosuje się tylko w sytuacji obwodów AC i tam, gdzie mamy do czynienia z periodycznością SEM. Maksymalne natężenie prądu jest zdefiniowane zmiennoprądową wersją prawa Ohma. Jednostką impedancji jest om, a wyznacza się ją poprzez znalezienie wartości oporu, kapacytancji i induktancji. Pytania Czy w szeregowym obwodzie RLC napięcie na kondensatorze może być wyższe niż napięcie podawane przez źródło? Odpowiedzi udziel również dla napięcia na cewce. Tak – w obu przypadkach. Zadania Ile wynosi impedancja szeregowego połączenia opornika o oporze 50  Ω , kondensatora o pojemności 5  µF i kondensatora o pojemności 10  µF zasilonego prądem zmiennym o częstotliwości 2  kHz ? Opornik i kondensator podłączone są szeregowo do generatora napięcia zmiennego. SEM tego źródła dana jest wyrażeniem u  t = U 0  cos ω  t , gdzie U 0 = 120  V , ω = 120  π  rad ∕ s , R = 400  Ω i C = 4  mF . Ile wynosi impedancja tego obwodu? Jaka jest amplituda natężenia prądu płynącego przez rezystor? Zapisz wyrażenie na natężenie prądu płynącego przez ten rezystor; Zapisz wyrażenie na napięcie odłożone na oporniku i napięcie na kondensatorze. a. 70  Ω ; b. 0,16  A ; c. i R  t = 0,16  A ⋅ cos 120  π  t ; d. u R  t = 120  V ⋅ cos 120  π  t , u C  t = 120  V ⋅ cos 120  π  t − π ∕ 2 . Opornik i cewka podłączone są szeregowo do generatora napięcia zmiennego. SEM tego źródła dana jest wyrażeniem u  t = U 0  cos ω  t , gdzie U 0 = 120  V , a ω = 120  π  rad ∕ s ; dodatkowo R = 400  Ω i L = 1,5  H . Ile wynosi impedancja tego obwodu? Jaka jest amplituda natężenia prądu płynącego przez rezystor? Zapisz wyrażenie na natężenie prądu płynącego przez ten rezystor; Zapisz wyrażenie na napięcie odłożone na oporniku i napięcie na cewce. W szeregowym obwodzie RLC amplituda napięcia prądu wynosi 100  V , jego częstotliwość 500  Hz , R = 500  Ω , L = 2  H i C = 2  µF . Jaka jest impedancja obwodu? Ile jest równa amplituda natężenia prądu wypływającego ze źródła? Jeśli SEM źródła dana jest wyrażeniem u  t = 100  V ⋅ sin 1000  π  t , to jak natężenie prądu zależy od czasu? Oblicz wszystkie poprzednie wielkości dla pojemności kondensatora wynoszącej 0,20  µF . a. 690  Ω ; b. 0,15  A ; c. i  t = 0,15  A ⋅ sin 1000  π  t − 0,753 ; d. 1100  Ω , 0,092  A , i  t = 0,092  A ⋅ sin 1000  π  t + 1,09 . Szeregowy obwód RLC zasilany jest źródłem o amplitudzie napięcia 50  V i częstotliwości równej 500  Hz . R = 600  Ω , L = 30  mH i C = 0,05  µF . Jaka jest impedancja tego obwodu? Ile wynosi amplituda natężenia prądu płynącego w obwodzie? Ile równy jest kąt fazowy pomiędzy SEM źródła a natężeniem prądu? Ile wynosi dla poniższego obwodu całkowita impedancja; kąt fazowy pomiędzy natężeniem prądu a SEM? Zapisz wyrażenie na i  t . a. 5,7  Ω ; b. 29 ° \ang{29}\ ; c. i  t = 30  A ⋅ cos 120  π  t . impedancja (ang. impedance ) zmiennoprądowy odpowiednik oporu elektrycznego dla prądu stałego, wyrażony liczbą zespoloną, który mierzy sumaryczny efekt oporu, kapacytancji i induktancji kąt fazowy (ang. phase angle ) wielkość mówiąca, jak bardzo wskazy napięcia i natężenia prądu są niezgodne w fazie, czyli na ile są obrócone względem siebie; dla opornika ma wartość zero

Science


Moc w obwodzie prądu zmiennego Rozważamy tutaj obwody zawierające tylko pasywne elementy elektroniczne, takie jak opornik, cewka i kondensator, a niezawierające wzmacniacza operacyjnego (będącego aktywnym elementem elektronicznym). Elementy obwodu pasywnego rozpraszają moc zgodnie ze wzorem P = U  I P=UI , gdzie I jest natężeniem prądu elektrycznego płynącego przez element, a napięciem U U odłożonym na tym elemencie. Istotnie, w oporniku moc P P jest wydzielana w postaci ciepła, gdyż przepływ nośników ładunków czyli prąd elektryczny jest stowarzyszony z oddziaływaniem z centrami rozpraszania tego ładunku (obecny zawsze, gdy do opornika przyłożone jest niezerowe napięcie P = I 2  R = U 2 ∕ R ). Ponieważ zarówno natężenie prądu, jak i napięcie w obwodzie prądu zmiennego zależy od czasu, chwilowa moc p  t = u  t ⋅ i  t p\apply(t)=u\apply(t)\cdot i\apply(t) również jest zależna od czasu. W tym sensie możemy mówić o rozpraszaniu lub „generowaniu” mocy na oporniku, kondensatorze i cewce. Wykresy p  t dla różnych elementów obwodu przedstawione zostały na . Dla opornika i  t i u  t są zgodne w fazie, przez co zawsze mają ten sam znak (patrz ). Dla kondensatora albo cewki znak u  t ∕ i  t może zmieniać się w czasie z powodu niezerowej różnicy w fazie (patrz i ). W wyniku tego p  t w pewnych chwilach jest dodatnie, a w pewnych ujemne. Oznacza to, że elementy pojemnościowe i indukcyjne w niektórych warunkach wydzielają moc, a w innych ją pochłaniają. Wykresy mocy chwilowej dla różnych elementów obwodu. (a) Dla opornika P śr = I 0  U 0 ∕ 2 . Dla (b) kondensatora i dla (c) cewki P śr = 0 . (d) Dla źródła napięcia P śr = I 0  U 0 ⋅ cos ϕ ∕ 2 i może być większa od zera, mniejsza od zera lub równa zero, w zależności od wartości ϕ . Ponieważ moc chwilowa zmienia w czasie zarówno swoją wartość, jak i znak, rzadko kiedy ma ona znaczenie praktyczne. Prawie zawsze zainteresowani jesteśmy mocą uśrednioną w czasie, nazywaną mocą średnią. Jest ona zdefiniowana jako średnia po czasie mocy chwilowej dla pojedynczego cyklu P śr = 1 T  ∫ 0 T p  t  d t  , gdzie T = 2  π ∕ ω jest okresem oscylacji. Po podstawieniu u  t = U 0  sin ω  t i i  t = I 0  sin ω  t − ϕ powyższa całka przyjmuje postać P śr = I 0  U 0 T  ∫ 0 T sin ω  t − ϕ  sin ω  t  d t  . Używając zależności trygonometrycznej sin A − B = sin A  cos B − sin B  cos A , otrzymujemy P śr = I 0  U 0  cos ϕ T  ∫ 0 T sin ω  t  d t − I 0  U 0  sin ϕ T  ∫ 0 T sin ω  t 2  cos ω  t  d t  . Powyższe całki równe są 1 T  ∫ 0 T sin ω  t 2  d t = 1 2 i 1 T  ∫ 0 T sin ω  t  cos ω  t  d t = 0  . Tym samym średnia moc wydzielana w obwodzie jest równa P śr = 1 2  I 0  U 0  cos ϕ  . W zastosowaniach inżynierskich czynnik cos ϕ bywa często nazywany współczynnikiem mocy (ang. power factor ) i jest mnożnikiem określającym, o ile moc dostarczana do układu różni się od teoretycznego maksimum z powodu różnicy w fazie pomiędzy napięciem i natężeniem prądu. Dla opornika ϕ = 0 średnia moc wydzielana w obwodzie wynosi zatem P śr = 1 2  I 0  U 0  . Porównanie p  t i P śr pokazano na (d). Aby móc porównywać P śr = I 0  U 0 ∕ 2 z odpowiednikiem dla prądu stałego, używamy wartości skutecznych natężenia i napięcia prądu. Z definicji są one równe I sk = ⟨ i 2  t ⟩ i  U sk = ⟨ u 2  t ⟩  , gdzie ⟨ i 2  t ⟩ = 1 T  ∫ 0 T i 2  t  d t i ⟨ u 2  t ⟩ = 1 T  ∫ 0 T u 2  t  d t  . Podstawiając i  t = I 0  sin ω  t − ϕ oraz u  t = U 0  sin ω  t do powyższych wzorów, otrzymamy I sk = 1 2  I 0 i U sk = 1 2  U 0  . Możemy tym samym zapisać ostateczny wzór na średnią moc wydzielaną na rezystorze P śr = 1 2  I 0  U 0 = I sk  U sk = I sk 2  R  . Powyższe równanie dodatkowo wskazuje powód używania wartości skutecznych (napięcia AC czy natężenia prądu AC) zamiast amplitud napięcia i natężenia. Oba wyrażenia na średnią moc z są poprawne, ale to wyrażone z wykorzystaniem wartości skutecznych nie potrzebuje dodatkowego czynnika 1 ∕ 2 . Zmienne napięcia i natężenia są zazwyczaj opisywane za pomocą ich wartości skutecznych. Na przykład napięcie 230  V w gniazdku to wartość skuteczna. Amplituda takiego źródła wynosi 230  2  V = 325  V . Ponieważ większość mierników prądu zmiennego jest wyskalowana tak, by pokazywać wartości skuteczne, typowy miernik pokaże napięcie 230  V , gdy zmierzymy nim napięcie w gniazdku. Dla kondensatora i dla cewki kolejno ϕ = π ∕ 2 i ϕ = − π ∕ 2 . Ponieważ cos π ∕ 2 = cos − π ∕ 2 = 0 , z wynika, że średnia moc wydzielana na tych elementach wynosi P śr = 0 . Kondensatory i cewki pochłaniają energię z obwodu w trakcie połowy cyklu i w trakcie drugiej połowy oddają ją do obwodu. To zjawisko widoczne jest na (b) i (c), który pokazuje moc chwilową p  t oscylującą sinusoidalnie wokół zera. Kąt fazowy generatora napięcia zmiennego może mieć dowolną wartość. Jeśli cos ϕ > 0 , generator produkuje energię. Jeśli cos ϕ < 0 , źródło pochłania ją. Moc średnia wyrażona za pomocą wartości skutecznych równa będzie P śr = I sk  U sk  cos ϕ  . Dla źródła napięcia w obwodzie RLC tg ϕ = X L − X C R oraz cos ϕ = R R 2 + X L − X C 2 = R Z  . Oznacza to, że średnia moc źródła napięcia zmiennego wynosi P śr = I sk  U sk  cos ϕ = U sk Z  U sk  R Z = U sk 2  R Z 2  . Można to również zapisać jako P śr = I sk 2  R  , co oznacza, że moc wytwarzana przez źródło rozpraszana jest na oporniku. Prawo Ohma dla wartości skutecznych prądu zmiennego powstaje przez podzielenie napięcia skutecznego przez moduł impedancji obwodu. Moc wytwarzana przez generator Generator napięcia zmiennego wytwarzający SEM opisaną równaniem u  t = 4  V ⋅ sin 10 4  rad ∕ s ⋅ t podłączony jest do obwodu RLC, w którym L = 2 ⋅ 10 − 3  H , C = 4 ⋅ 10 − 6  F , a R = 5  Ω . Ile wynosi wartość skuteczna napięcia na generatorze? Ile wynosi impedancja obwodu? Ile wynosi średnia moc wydzielana w obwodzie? Strategia rozwiązania Wartość skuteczna napięcia równa jest amplitudzie napięcia podzielonej przez czynnik 2 . Induktancja obwodu zależy od oporu i reaktancji kondensatora i cewki. Średnia moc wydzielana w obwodzie może zostać wyliczona z , dokładniej z ostatniej jego postaci, ponieważ znamy impedancję obwodu Z , napięcie skuteczne U sk i opór R . Rozwiązanie Ponieważ U 0 = 4  V , napięcie skuteczne na generatorze jest równe U sk = 4  V 2 = 2,83  V  . Impedancja obwodu wynosi Z = R 2 + X L − X C 2 Z = 5  Ω 2 + 10 4  rad ∕ s ⋅ 2 ⋅ 10 -3  H − 1 10 4  rad ∕ s ⋅ 4 ⋅ 10 -6  F 2 1 ∕ 2 Z = 7,07  Ω  . \begin{multiline} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= [(\SI{5}{\ohm})^2 + (10^4 \si{\radian\per\second} \cdot \SI{2e-3}{\henry} - \frac{1}{10^4 \si{\radian\per\second} \cdot \SI{4e-6}{\farad}})^2]^{1/2} \\ &= \SI{7,07}{\ohm} \text{.} \end{multiline} Z = R 2 + X L − X C 2 = 5  Ω 2 + 10 4  rad ∕ s ⋅ 2 ⋅ 10 -3  H − 1 10 4  rad ∕ s ⋅ 4 ⋅ 10 -6  F 2 1 ∕ 2 = 7,07  Ω  . Z średnia moc wydzielana w obwodzie wynosi P śr = U sk 2  R Z 2 = 2,83  V 2 ⋅ 5  Ω 7,07  Ω 2 = 0,8  W  . Znaczenie Jeśli opór jest znacząco większy od reaktancji kondensatora lub cewki, średnia moc wydzielana w obwodzie jest opisana wzorem dla obwodu prądu stałego P = U 2 ∕ R , gdzie zamiast U występuje wartość skuteczna. Sprawdź, czy rozumiesz. Miernik prądu zmiennego, podłączony do wyjścia 45-hercowego generatora napięcia zmiennego, wyświetla wartość 7,07  V . Zapisz wyrażenie na SEM tego generatora. u  t = 10  V ⋅ sin 90  π  t . Sprawdź, czy rozumiesz. Pokaż, że napięcia skuteczne na oporniku, kondensatorze i cewce w obwodzie prądu zmiennego, gdzie natężenie prądu ma wartość I sk , wynoszą kolejno I sk  R , I sk  X C i I sk  X L . Ustal wartości tych napięć dla elementów obwodu RLC z . 2  V , 10  V , 8  V . Podsumowanie Średnią moc wydzielaną w obwodzie znajduje się poprzez pomnożenie wartości skutecznych napięcia i natężenia prądu. Prawo Ohma dla wartości skutecznych jest wyrażane przez podzielenie wartości skutecznej napięcia przez impedancję. W obwodzie prądu zmiennego (AC) definiuje się kąt fazowy pomiędzy natężeniem i napięciem prądu elektrycznego (które są dwuwymiarowymi wektorami, znanymi jako wskazy). Kąt fazowy jest liczbą rzeczywistą i parametryzuje liczbę zespoloną o module 1 . Jest ona równa ilorazowi impedancji (czyli uogólnionego oporu elektrycznego będącego liczbą zespoloną) i modułu impedancji (będącego liczbą rzeczywistą). Kąt fazowy wpływa na wartość średniej mocy dostarczanej do obwodu RLC. Współczynnik mocy ma wartości w zakresie ⟨ − 1 1 ⟩ . Pytania Dla jakiej wartości kąta fazowego ϕ pomiędzy napięciem podawanym przez źródło a natężeniem prądu w obwodzie średnia moc dostarczana do obwodu osiąga maksymalną wartość? Wyjaśnij różnicę pomiędzy średnią mocą a mocą chwilową. Moc chwilowa jest wartością mocy w danej chwili czasu. Średnia moc jest natomiast uśrednioną wartością mocy po jednym lub po kilku cyklach. Średnia moc dostarczona do obwodu wynosi zero. Mimo to obwód rozprasza dostarczoną moc. Wyjaśnij, jak to możliwe? Czy moc chwilowa dostarczana przez źródło napięcia zmiennego może być kiedykolwiek ujemna? Czy moc średnia może być ujemna? Moc chwilowa może być ujemna, ale średnia moc zawsze ma wartość nieujemną. Moc znamionowa opornika używanego w obwodzie prądu zmiennego odnosi się do maksymalnej średniej mocy rozpraszanej na tym oporniku bez uszkodzenia go. Jak odnosi się to do maksymalnej mocy chwilowej rozpraszanej przez ten opornik? Zadania SEM źródła napięcia zmiennego dana jest wyrażeniem u  t = U 0  sin ω  t , gdzie U 0 = 100  V , a ω = 200  π  rad ∕ s . Oblicz średnią moc wytwarzaną przez źródło podłączone do kondensatora o pojemności 20  µF ; cewki o indukcyjności 20  mH ; opornika o oporze 50  Ω . Oblicz wartość skuteczną natężenia prądu wypływającego ze źródła prądu zmiennego danego wyrażeniem u  t = U 0  sin ω  t , gdzie U 0 = 100  V , a ω = 200  π  rad ∕ s , podłączonego do kondensatora o pojemności 20  µF ; cewki o indukcyjności 20  mH ; opornika o oporze 50  Ω . a. 0,89  A ; b. 5,6  A ; c. 1,4  A . Cewka o indukcji 40  mH podłączona jest do źródła napięcia zmiennego o częstotliwości 60  Hz wytwarzającego napięcie o amplitudzie 50  V . Jeśli podłączymy woltomierz zmiennoprądowy do cewki, jakie napięcie wskaże? W szeregowym obwodzie RLC amplituda napięcia wynosi 100  V , a jego częstotliwość jest równa 500  Hz , kiedy R = 500  Ω , a L = 0,2  H . Wylicz średnią moc wydzielaną na oporniku dla następujących pojemności kondensatora: C = 2  µF ; C = 0,2  µF . a. 7,3  W ; b. 6,3  W . Źródło napięcia zmiennego o amplitudzie 10  V dostarcza 0,8  W mocy przy natężeniu prądu równym 2,5  A . Ile wynosi wartość kąta fazowego ϕ pomiędzy SEM a natężeniem prądu? W szeregowym obwodzie RLC impedancja wynosi 60  Ω , a współczynnik mocy równy jest 0,5 , z napięciem opóźnionym względem natężenia prądu. Czy aby zwiększyć wartość współczynnika mocy, do obwodu powinno się dołączyć kondensator czy cewkę? Jaka wartość pojemności lub indukcyjności podniesie współczynnik mocy do jedności? a. Cewkę; b. X L = 52  Ω . moc średnia (ang. average power ) uśredniona po czasie moc wydzielana w trakcie pojedynczego cyklu AC współczynnik mocy (ang. power factor ) wielkość mówiąca, ile razy dostarczana do układu moc jest mniejsza od maksymalnej możliwej mocy, w związku z różnicą faz pomiędzy napięciem i natężeniem prądu

Science


Rezonans w obwodzie prądu zmiennego W obwodzie RLC zawierającym szeregowo połączony opornik, kondensator, cewkę indukcyjną jak i zasilanym zmienną w czasie źródłem napięciowym jak jest to przedstawione na amplituda natężenia prądu elektrycznego wynosi wg I 0 = U 0 R 2 + ω  L − 1 ω  C 2  . Jeśli będziemy zmieniać częstotliwość źródła, jednocześnie utrzymując stałą amplitudę napięcia prądu, uzyskamy zmianę natężenia prądu elektrycznego w obwodzie. Wykres I 0 w funkcji ω przedstawiono na . Dla częstotliwości rezonansowej obwodu RLC ( ω 0 = 1 ∕ L  C \omega_0=\sqrt{1/(LC)} ) amplituda natężenia prądu osiąga maksymalną wartość. Zauważmy, że w sytuacji R = 0  Ω (nierealnej fizycznie, bo zawsze istnieje jakiś niezerowy opór elektryczny w układzie) możemy mieć nieskończenie wielki przepływ prądu dla ω 0 = 1 ∕ L  C \omega_0=\sqrt{1/(LC)} . Taka sytuacja będzie zachodziła, gdy siła elektromotoryczna mająca kołową częstość ω 0 będzie „pompować” energię do obwodu RLC (będzie systematycznie zwiększała się energia pola elektrycznego i magnetycznego) o częstości rezonansowej ω 0 tak, że natężenie prądu elektrycznego będzie stale rosnąć i osiągnie wartość nieskończoną (w praktyce bardzo dużą), co doprowadzi do zniszczenia obwodu. Warto tutaj odwołać się do analogii pomiędzy oscylatorem harmonicznym tłumionym a obwodem RLC z zewnętrzną siłą elektromotoryczną SEM będącą w istocie sinusoidalną (harmoniczną) siłą wymuszającą i odpowiadającą sinusoidalnej sile wymuszającej w oscylatorze mechanicznym. Możemy również rozważać niesinusoidalną siłę wymuszającą i wtedy należy pamiętać, że niesinusoidalną funkcję można zasadniczo skonstruować poprzez sumę sinusoidalnych funkcji. W rozdziale Drgania natknęliśmy się na podobny wykres jak w przypadku obwodu RLC i , gdzie przedstawiono amplitudę tłumionego oscylatora harmonicznego w zależności od częstotliwości sinusoidalnej siły napędzającej (patrz Drgania wymuszone ). To podobieństwo nie jest przypadkowe. Jak przedstawiono wcześniej, przez zastosowanie drugiego prawa Kirchhoffa do obwodu z L  d i d t + i  R + q C = U 0  sin ω  t albo L  d 2 q d t 2 + R  d q d t + 1 C  q = U 0  sin ω  t  , gdzie za i  t podstawiliśmy d q  t ∕ d t . i równania dla tłumionego ruchu harmonicznego ( Drgania tłumione ) pozwalają łatwo zauważyć, że zasilony obwód RLC jest elektrycznym odpowiednikiem napędzanego, tłumionego oscylatora harmonicznego. Częstotliwość rezonansowa f 0 (ang. resonant frequency ) obwodu RLC to taka częstotliwość, dla której amplituda natężenia prądu osiąga swoje maksimum, a obwód oscylowałby również po usunięciu generatora. Odpowiada to takiej częstości ω 0 = 2  π  f 0 , dla której impedancja Z z osiąga swoje minimum, albo sytuacji, kiedy ω 0  L = 1 ω 0  C  , z czego wynika, że ω 0 = 1 L  C  . Jest to wyrażenie opisujące rezonansową częstość kołową obwodu. Podstawiając ω 0 do , i , otrzymujemy ϕ = arc tg 0 = 0  ,  I 0 = U 0 ∕ R  ,  Z = R  . Oznacza to, że w warunkach rezonansu obwód RLC jest czysto rezystywny, z przyłożoną SEM i natężeniem prądu zgodnymi w fazie. Co w takim razie dzieje się z mocą w rezonansie? opisuje, jak średnia moc przesyłana z generatora napięcia zmiennego do obwodów RLC zależy od częstotliwości. Ponadto P śr osiąga maksimum wtedy, kiedy Z , zależące od częstotliwości, osiąga minimum, czyli kiedy X L = X C i Z = R . Oznacza to, że w rezonansie średnia moc wytwarzana przez źródło w szeregowym układzie RLC osiąga maksymalną wartość. Według to maksimum równe jest natomiast U sk 2 ∕ R . to typowy wykres zależności P śr od ω w obszarze maksimum mocy. Szerokość pasma (ang. bandwidth ) Δ ω piku rezonansowego jest zdefiniowana jako zakres częstości kołowych ω , dla których średnia moc P śr jest większa niż połowa maksymalnej wartości P śr . Stromość piku opisywana jest przy pomocy wielkości niemianowanej nazywanej dobrocią (ang. quality factor ) Q obwodu. Jest ona miarą tego, jak długo układ RLC może przechowywać zgromadzoną energię w postaci energii pola elektrycznego i energii pola magnetycznego czyli ile cyklów drgań pola elektrycznego musi upłynąć by układ RLC stracił przechowywaną energię Q = ω 0 Δ ω  , gdzie ω 0 jest rezonansową częstością kołową. Wysoka dobroć Q wskazuje na stromy pik rezonansowy. Dobroć Q zapisana za pomocą parametrów obwodu przyjmuje postać Q = ω 0  L R  . Podobnie jak natężenie prądu, średnia moc wydzielana w obwodzie RLC przez generator napięcia zmiennego osiąga amplitudę dla częstotliwości rezonansowej. Układ RLC o nieskończenie małym oporze elektrycznym będzie miał będzie miał nieskończenie dużą dobroć oznaczaną literą Q (będącą stosunkiem energii ulokowanej w statycznym polu elektrycznym do energii traconej w jednym cyklu) i wówczas będzie mógł przechowywać energię obecną w polu elektrycznym i magnetycznym (w kondensatorze i cewce) nieskończenie długo. Obwody rezonansowe są często używane jako filtry – do przepuszczania lub odrzucania („odfiltrowania”) wybranych zakresów częstotliwości. Energia z tych zakresów częstości trafia do obwodu RLC i tam ulega rozproszeniu. Osiąga się to poprzez zmianę wartości jednego z elementów, czyli przez „strojenie” obwodu do konkretnych częstotliwości rezonansowych. Na przykład w radiach odbiornik jest dostrojony do pożądanej stacji poprzez ustawienie częstotliwości rezonansowej obwodów radia do częstotliwości, na której nadaje ta stacja. Jeśli obwód filtrujący ma wysoką dobroć Q , będzie się on charakteryzował małą szerokością pasma, więc sygnał ze stacji o częstotliwościach nawet nieznacznie różnych od częstotliwości rezonansowej doświadczy wysokiej impedancji i nie zostanie przepuszczony przez obwód. Telefony komórkowe działają na podobnej zasadzie, korzystając z sygnałów o częstotliwościach wokół wartości 1  GHz , dostrajanych za pomocą obwodów kondensator-cewka. Jednym z najczęstszych zastosowań kondensatorów jest użycie ich w zmiennoprądowych obwodach czasowych, pracujących dla częstotliwości rezonansowej. Detektory metalu również działają na zasadzie zmiany częstotliwości rezonansowej spowodowanej obecnością metalu w pobliżu obwodu ( ). Kiedy detektor znajduje się w pobliżu kawałka metalu, samoindukcja jednej z cewek ulega zmianie. To powoduje przesunięcie częstotliwości rezonansowej całego obwodu zawierającego tą cewkę. Zmiana jest wykrywana przez urządzenie i przesyłana do nurka przez słuchawki. Rezonans w szeregowym obwodzie RLC Ile wynosi częstotliwość rezonansowa obwodu z ? Jeśli generator napięcia zmiennego zmieni częstotliwość pracy na tą z podpunktu (a), bez zmiany amplitudy napięcia wyjściowego, ile będzie wynosić amplituda natężenia prądu? Strategia rozwiązania Częstotliwość rezonansowa obwodu RLC obliczana jest z , wyprowadzonego z równości kapacytancji i induktancji. Ponieważ obwód ten znajduje się w stanie rezonansu, jego impedancja jest równa oporowi opornika. Amplituda natężenia prądu wyliczana jest z iloczynu napięcia prądu i impedancji. Rozwiązanie Częstotliwość rezonansową ustalamy z f 0 = 1 2  π  1 L  C = 1 2  π  1 3 ⋅ 10 − 3  H ⋅ 8 ⋅ 10 − 4  F = 1,03 ⋅ 10 2  Hz  . W rezonansie impedancja obwodu pochodzi jedynie od oporu opornika, więc amplituda natężenia prądu wynosi I 0 = 0,1  V 4  Ω = 2,5 ⋅ 10 − 2  A  . Znaczenie Jeśli obwód nie byłby dostrojony do częstotliwości rezonansowej, musielibyśmy ustalić całkowitą impedancję obwodu w celu wyznaczenia amplitudy natężenia prądu. Transfer mocy w szeregowym obwodzie RLC w rezonansie Jaka jest rezonansowa częstość kołowa obwodu RLC, jeśli R = 0,2  Ω , L = 4 ⋅ 10 − 3  H i C = 2 ⋅ 10 − 6  F ? Jeśli źródło napięcia zmiennego dostarcza napięcie o amplitudzie 4  V przy częstotliwości rezonansowej, to jaka jest średnia moc dostarczana przez nie do obwodu? Znajdźmy dobroć i szerokość pasma dla tego obwodu. Strategia rozwiązania Rezonansowa częstość kołowa wyliczana jest według . Średnia moc w obwodzie wyznaczana jest za pomocą napięcia skutecznego i rezystancji obwodu. Dobroć wyliczamy z przy znajomości częstotliwości rezonansowej. Do wyznaczenia szerokości pasma używamy i wyliczonej wcześniej dobroci. Rozwiązanie Rezonansowa częstość kołowa wynosi ω 0 = 1 L  C = 1 4 ⋅ 10 − 3  H ⋅ 2 ⋅ 10 − 6  F = 1,12 ⋅ 10 4  rad ∕ s  . Dla takiej częstości średnia moc dostarczana do obwodu osiąga maksymalną wartość, więc P śr = U sk 2 R = 1 2 ⋅ 4  V 2 0,2  Ω = 40  W  . Dobroć obwodu wynosić będzie Q = ω 0  L R = 1,12 ⋅ 10 4  rad ∕ s ⋅ 4 ⋅ 10 − 3  H 0,2  Ω = 224  . Z powyższego wynika, że szerokość pasma równa jest Δ ω = ω 0 Q = 1,12 ⋅ 10 4  rad ∕ s 224 = 50  rad ∕ s  . Znaczenie Jeśli pożądana jest mniejsza szerokość pasma, obwód musi mieć niższą rezystancję albo wyższą induktancję. Jednak niższa rezystancja powoduje wzrost mocy dostarczanej do obwodu, co nie zawsze jest korzystne. Czasami możemy bowiem przekroczyć maksymalną moc, dla której zaprojektowany został obwód. Sprawdź, czy rozumiesz. Dla obwodu z L = 2 ⋅ 10 − 3  H , C = 5 ⋅ 10 − 4  F i R = 40  Ω . Jaka jest częstotliwość rezonansowa? Jaka jest wartość impedancji tego obwodu w rezonansie? Jeśli amplituda napięcia wynosi 10  V , jak wygląda i  t w warunkach rezonansu? Częstotliwość pracy generatora została zmieniona na 200  Hz . Oblicz różnicę faz pomiędzy natężeniem prądu i SEM tego generatora. a. 160  Hz ; b. 40  Ω ; c. 0,25  A ⋅ sin 10 3 ⋅ t ; d. 0,023  rad . Sprawdź, czy rozumiesz. Jak zmieni się częstotliwość rezonansowa szeregowego obwodu RLC, kiedy następujące wielkości zostaną zwiększone czterokrotnie: kapacytancja; samoinduktancja; opór? a. Zmniejszy się o połowę; b. Zmniejszy się o połowę; c. Pozostanie bez zmian. Sprawdź, czy rozumiesz. Rezonansowa częstość kołowa szeregowego obwodu RLC wynosi 4 ⋅ 10 2  rad ∕ s . Źródło napięcia zmiennego działa z tą częstością i dostarcza średnią moc 2 ⋅ 10 − 2  W do obwodu. Opór obwodu równy jest 0,5  Ω . Zapisz wyrażenie na SEM tego generatora. u  t = 0,14  V ⋅ sin 4 ⋅ 10 2 ⋅ t  . Podsumowanie Dla częstotliwości rezonansowej kapacytancja równa jest induktancji. Pik na wykresie zależności średniej mocy w obwodzie RLC od częstości kołowej odpowiada częstości rezonansowej; stromość i szerokość tego piku znana jest jako szerokość pasma. Szerokość pasma połączona jest z bezwymiarową wielkością nazywaną dobrocią. Duża dobroć charakteryzuje ostry i wąski pik oraz niewielki opór elektryczny w obwodzie RLC. Zadania Wykonaj obliczenia i odpowiedz na pytanie. Oblicz rezonansową częstość kołową szeregowego obwodu RLC, w którym R = 20  Ω , L = 75  mH i C = 4  µF ; Co stanie się z wartością rezonansowej częstości kołowej, jeśli wartość R zostanie zmieniona na 300  Ω ? Częstotliwość rezonansowa szeregowego obwodu RLC wynosi 2 ⋅ 10 3  Hz . Jeśli indukcyjność tego obwodu jest równa 5  mH , ile wynosi jego pojemność? 1,3 ⋅ 10 − 7  F  . Odpowiedz na następujące pytania. Ile jest równa częstotliwość rezonansowa szeregowego obwodu RLC dla R = 20  Ω , L = 2  mH i C = 4  µF ? Ile jest równa impedancja tego obwodu w warunkach rezonansu? Dla szeregowego obwodu RLC R = 100  Ω , L = 150  mH , a C = 0,25  µF . Jeśli do tego obwodu podłączymy źródło napięcia zmiennego, dla jakiej częstotliwości na oporniku zostanie rozproszone maksimum mocy? Ile wynosi dobroć tego obwodu? a. 820  Hz ; b. 7,8 . Źródło zmiennego napięcia o amplitudzie 100  V i częstotliwości f zasila szeregowy obwód RLC z R = 100  Ω , L = 150  mH i C = 0,25  µF . Narysuj wykres natężenia prądu płynącego przez rezystor w funkcji częstotliwości f ; Przy pomocy wykresu ustal częstotliwość rezonansową tego obwodu. Odpowiedz na następujące pytania. Ile równa jest częstotliwość rezonansowa opornika R = 100  Ω , kondensatora C = 5  µF i cewki L = 2  H połączonych ze sobą szeregowo? Jeśli ten obwód podłączony zostanie do źródła napięcia zmiennego o amplitudzie 100  V , pracującego ze stałą częstotliwością, ile równa będzie moc produkowana przez źródło? Ile wynosi dobroć Q tego obwodu? Ile równa jest szerokość pasma tego obwodu? a. 50  Hz ; b. 50  W ; c. 13 ; d. 25  rad ∕ s . Załóżmy, że pewna cewka ma indukcyjność równą 20  H i induktancję wynoszącą 200  Ω . Jaką pojemność; rezystancję należy przyłączyć szeregowo do tej cewki, aby tak powstały obwód miał częstotliwość rezonansową równą 100  Hz i dobroć Q = 10 ? Generator napięcia zmiennego podłączono do pewnego odbiornika, którego wewnętrzne połączenia nie są znane. Znane są jedynie wartości natężenia i napięcia prądu, jak pokazano poniżej. Opierając się na podanych informacjach, jakie możesz wyciągnąć wnioski na temat właściwości elektrycznych podłączonego urządzenia i jego zapotrzebowania na moc? Kapacytancja jest większa od induktancji, ponieważ natężenie prądu „wyprzedza” napięcie prądu. Zużycie mocy wynosi 30  W . szerokość pasma (ang. bandwidth ) zakres częstości kołowych, dla których średnia moc jest większa niż połowa maksymalnej wartości dobroć (ang. quality factor ) bezwymiarowa wielkość opisująca stromość piku rezonansowego i szerokość pasma; duża dobroć definiuje stromy pik i małą szerokość pasma, co w praktyce oznacza zdolność obwodu RLC do przechowywania energii pola częstotliwość rezonansowa (ang. resonant frequency ) częstotliwość, przy której amplituda natężenia prądu osiąga wartość maksymalną, a obwód oscylowałby po odłączeniu od źródła napięcia przez pewien charakterystyczny czas

Science


Transformatory Prąd wytworzony w elektrowni ma stosunkowo niskie napięcie. Do przesyłania go na duże odległości ze względów praktycznych, o których piszemy poniżej, podnosi się jego napięcie do bardzo wysokich wartości (nawet do 500  kV ). W transformatorze zmianie napięcia towarzyszy zmiana natężenia prądu przy czym moc przesyłanego prądu jest stała (w idealnym transformatorze nie zachodzą straty mocy). Przypomnijmy, że moc jest iloczynem napięcia i natężenia prądu (czyli I  U = I sk 2  R IU=I^2_{\text{sk}}R ), dla uproszczenia pomijamy czynnik fazowy cos ϕ . Zatem taką samą moc ma zarówno prąd o niskim napięciu i wysokim natężeniu, jak i prąd o wysokim napięciu i niskim natężeniu. By uniknąć wysokich strat na oporze podczas przesyłania prądu na duże odległości, podnosi się napięcie, tym samym obniżając natężenie prądu. Jest to szczególnie istotne na wielokilometrowych liniach przesyłowych (ang. transmission lines ), takich jak na . Napięcie skuteczne prądu przesyłanego z elektrowni w którymś momencie musi zostać zamienione z 12  kV na 230  V , by mogło zostać bezpiecznie przesłane do sieci domowych. Wysokonapięciowe linie przesyłowe pozwalają przesyłać prąd o niskim natężeniu na ogromne odległości z wykorzystaniem podstacji. Zmienne (i niezbyt wysokie napięcia) są wytwarzane w elektrowniach. Następnie podwyższa się je z niskiego do wysokiego poziomu napięć i dopiero później przesyła liniami przesyłowymi. W takiej sytuacji zachodzą małe straty mocy w przypadku przesyłania energii elektrycznej na duże odległości. Potem SEM musi być obniżona do zatwierdzonych, bezpiecznych wartości (w zależności od kraju, od 100  V \SI{100}{\volt} do 240  V \SI{240}{\volt} ). Urządzenie, które dokonuje transformacji napięcia pomiędzy dwiema wartościami z użyciem indukcji elektromagnetycznej, nazywa się transformatorem (ang. transformer ) ( ). Transformatory wykorzystuje się m.in. do zamiany wysokich napięć w liniach przesyłowych na napięcie 220  V , używane w sieciach domowych. Źródło: modyfikacja pracy „Fortyseven”/Flickr Jak przedstawiono na , transformator w praktyce składa się z dwóch oddzielnych cewek nawiniętych na wspólny rdzeń ferromagnetyczny. Uzwojenie pierwotne posiada N P zwojów i podłączone jest do źródła napięcia zmiennego u P  t . Uzwojenie wtórne ma N W zwojów i podłączone jest do obciążenia R W . Główna zasada jest taka, że zmienny w czasie strumień pola magnetycznego generuje zmienne w czasie pole elektryczne, które jest widoczne w postaci zmiennego w czasie napięcia elektrycznego. Wykorzystujemy prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, znane od 1831 roku. W naszych rozważaniach zakładamy idealny przypadek transformatora, w którym wszystkie linie pola magnetycznego, czyli cały strumień, są zawarte w rdzeniu (ten sam strumień pola magnetycznego przepływa przez każdą z pętli uzwojenia wtórnego i pierwotnego). Pomijamy również straty z powodu histerezy magnetycznej, związanej z każdorazowym przemagnesowywaniem ferromagnetycznego rdzenia w cyklu, gdy SEM zmienia znak, a także ciepło wydzielane z powodu oporu w uzwojeniach i ciepło wydzielane z powodu prądów wirowych indukowanych w rdzeniu. Dobrze zaprojektowany transformator może mieć straty na poziomie 1  % \SI{1}{\percent} przesyłanej mocy. Nie jest to więc bezpodstawne założenie. Transformator podwyższający napięcie (więcej zwojów jest na uzwojeniu wtórnym niż na uzwojeniu pierwotnym). Obie cewki nawinięte są na ten sam rdzeń. W celu analizy obwodu z transformatorem najpierw rozważymy uzwojenie pierwotne. Napięcie wejściowe u P  t jest równe różnicy potencjałów indukowanej na uzwojeniu pierwotnym. Z prawa Faradaya wynika, że wyindukowana różnica potencjałów równa jest zawsze − N P ⋅ d Φ ∕ d t , gdzie Φ jest strumieniem pola magnetycznego przepływającego przez pojedynczą pętlę cewki. Tym samym u P  t = − N P  d Φ d t  . Analogicznie napięcie wyjściowe dostarczane do obciążenia musi być równe różnicy potencjałów wyindukowanej na uzwojeniu wtórnym. Ponieważ rozważany transformator jest wyidealizowany, strumień pola magnetycznego przez pojedynczą pętlę uzwojenia wtórego również wynosi Φ , więc u W  t = − N W  d Φ d t  . Korzystając z obu powyższych równań, otrzymujemy u W  t = N W N P  u P  t  . Tym samym przy odpowiednio dobranych wartościach N P i N W napięcie wejściowe u P  t może zostać podwyższone ( N W > N P ) lub obniżone ( N W < N P ) do napięcia wyjściowego u W  t . Zależność ta, często nazywana równaniem transformatora (ang. transformer equation ), ma postać U W U P = N W N P i pokazuje, że stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego na transformatorze równy jest stosunkowi liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym. Dla transformatora podwyższającego (ang. step-up transformer ), który zwiększa napięcie i zmniejsza natężenie prądu, ten stosunek jest większy od jedności. Dla transformatora obniżającego (ang. step-down transformer ), który zmniejsza napięcie i zwiększa natężenie prądu, stosunek będzie mniejszy od jedności. Jak wynika z zasady zachowania energii, moc dostarczona w dowolnym momencie przez napięcie u P  t do uzwojenia pierwotnego musi być równa mocy oddanej obciążeniu uzwojenia wtórego. Tym samym i P  t  u P  t = i W  t  u W  t  . Gdy podstawimy tę zależność do , otrzymamy wzór i W  t = N P N W  i P  t  . Kiedy napięcie jest podwyższane, natężenie maleje i vice versa. W końcu gdy podstawimy i W  t = u W  t ∕ R W do i , otrzymamy u P  t = i P  t  N P N W 2  R W  , co mówi nam, że z perspektywy napięcia wejściowego obwód uzwojenia wtórnego nie jest obciążony oporem R W , ale obciążeniem R P = N P N W 2  R W  . Przeprowadzona tu analiza oparta była na wartościach chwilowych napięcia i natężenia prądu. Jednak otrzymane powyżej zależności są prawdziwe zarówno dla wartości chwilowych, amplitud, jak i wartości skutecznych. Transformator obniżający napięcie Transformator na słupie elektrycznym obniża napięcie o wartości skutecznej 12  kV do 240  V . Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym? Jeśli wejściowe natężenie prądu na uzwojeniu pierwotnym transformatora wynosi 2  A , ile będzie ono wynosić na uzwojeniu wtórnym? Obliczmy moc traconą w czasie przesyłu energii, jeśli całkowity opór linii przesyłowej wynosi 200  Ω . Jaką wartość miałaby moc strat, jeśli linia przesyłowa działałaby pod napięciem 240  V zamiast 12  kV ? Skomentujmy wynik. Strategia rozwiązania Liczba zwojów została powiązana z napięciem w . Natężenie wyjściowe obliczamy z . Rozwiązanie Używając z wartościami skutecznymi U P i U W , otrzymamy N W N P = 240  V 12 ⋅ 10 3  V = 1 50  , co oznacza, że uzwojenie pierwotne ma 50-krotnie więcej zwojów niż uzwojenie wtórne. Z może być wyznaczona wartość skuteczna wyjściowego natężenia prądu I W I W = N P N W  I P  , co daje nam I W = N P N W  I P = 50 ⋅ 2  A = 100  A  . Moc strat na linii przesyłowej można wyliczyć jako P strat = I P 2  R = 2  A 2 ⋅ 200  Ω = 800  W  . Gdyby nie istniały transformatory, prąd elektryczny musiałby być przesyłany pod napięciem 240  V , by sieć domowa pracowała właściwie. Straty przesyłu wynosiłyby wtedy P strat = I W 2  R = 100  A 2 ⋅ 200  Ω = 2 ⋅ 10 6  W  . Tymczasem w czasie przesyłu energii zależy nam na minimalizacji strat z nim związanych. Oznacza to, że prąd przesyłany jest pod wysokim napięciem i dostosowywany do użytku przy pomocy transformatorów dopiero bezpośrednio przed przesłaniem do sieci domowych. Znaczenie Takie wykorzystanie transformatora obniżającego napięcie pozwala sieci domowej używającej napięcia 240  V pobierać prąd o natężeniu do 100  A . Dzięki temu możliwe jest zasilenie wielu urządzeń w domu. Sprawdź, czy rozumiesz. Transformator obniża napięcie ze 110  V do 9  V tak, że prąd o natężeniu 0,5  A dostarczany jest do dzwonka do drzwi. Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym do liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym? Jakie jest natężenie prądu w uzwojeniu pierwotnym? Ile wynosi obciążenie 110-woltowego źródła? a. 12 ; b. 0,042  A ; c. 2,6 ⋅ 10 3  Ω . Podsumowanie Elektrownie przesyłają prąd pod wysokim napięciem elektrycznym i przy małym natężeniu prądu elektrycznego, aby zminimalizować straty mocy na oporze omowym wydzielane w postaci ciepła dla wielokilometrowych linii przesyłowych. Transformatory używają indukcji magnetycznej do zamiany napięcia elektrycznego AC z jednej wartości na inną. W transformatorze napięcia odłożone na cewkach uzwojenia pierwotnego i wtórnego powiązane są ze sobą równaniem transformatora opierającym się na zasadzie zachowania strumienia pola magnetycznego w rdzeniu transformatora (brak wypływu pola magnetycznego na zewnątrz transformatora) oraz na prawie indukcji Faradaya. Natężenia prądu w uzwojeniach pierwotnym i wtórnym powiązane są z liczbą zwojów na pierwotnej i wtórnej cewce transformatora. Najważniejsze wzory Napięcie prądu zmiennego u  t = U 0  sin ω  t Natężenie prądu zmiennego i  t = I 0  sin ω  t Kapacytancja (impedancja kondensatora) U 0 I 0 = 1 ω  C = X C Wartość skuteczna napięcia prądu U sk = U 0 2 Wartość skuteczna natężenia prądu I sk = I 0 2 Induktancja U 0 I 0 = ω  L = X L Kąt fazowy obwodu prądu zmiennego ϕ = arc tg X L − X C R Zmiennoprądowe prawo Ohma i definicja impedancji (domyślnie dla AC) w odniesieniu do wskazów napięcia i natężenia prądu I 0 = U 0 Z Moduł impedancji (moduł liczby zespolonej) Z = R 2 + X L − X C 2 Średnia moc powiązana z elementem obwodu P śr = I 0  U 0 2 ⋅ cos ϕ Średnia moc wydzielana na oporniku R R P śr = I 0  U 0 2 = I sk  U sk = I sk 2  R Rezonansowa częstość kołowa obwodu ω 0 = 1 L  C Dobroć obwodu Q = ω 0 Δ ω Dobroć obwodu wyrażona w parametrach obwodu Q = ω 0  L R Równanie transformatora dla napięcia U W U P = N W N P Równanie transformatora dla natężenia I W = N P N W  I P Pytania Dlaczego linie przesyłowe działają przy bardzo wysokim napięciu, podczas gdy sieci domowe działają przy stosunkowo niskim napięciu? Straty termiczne są znacząco mniejsze, kiedy linia działa przy niskim natężeniu prądu i wysokim jego napięciu. Jak odróżnić uzwojenie pierwotne transformatora podnoszącego napięcie od uzwojenia wtórnego? Akumulatory w urządzeniu elektrycznym ładowane są przy użyciu adaptera podłączonego do gniazdka. Jaki jest cel użycia adaptera? Adapter zawiera w sobie transformator obniżający napięcie i podwyższający natężenie prądu, by dostosować te parametry do optymalnych dla akumulatora. Czy transformator będzie działał po podłączeniu do napięcia stałego? Dlaczego cewki uzwojenia pierwotnego i wtórnego są nawinięte na ten sam zamknięty, ferromagnetyczny rdzeń? Aby przez każdy zwój mógł przepłynąć ten sam zmienny strumień pola magnetycznego. Zadania Transformator podwyższający napięcie zaprojektowano tak, by napięcie wyjściowe na uzwojeniu wtórnym miało wartość skuteczną 2000  V przy zasilaniu uzwojenia pierwotnego linią o napięciu skutecznym 110  V . Jeśli uzwojenie pierwotne ma 100 zwojów, ile zwojów liczy uzwojenie wtórne tego transformatora? Jeśli przez opornik obciążający uzwojenie wtórne płynie prąd o natężeniu skutecznym równym 0,75  A , jakie natężenie prądu obserwowane jest w uzwojeniu pierwotnym? Transformator podwyższający napięcie, podłączony do 110-woltowej linii, używany jest jako źródło zasilania wodorowej lampy wyładowczej o napięciu znamionowym 5  kV . Rurka ma moc znamionową 75  W . Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym? Jakie są wartości skuteczne natężenia prądu płynącego przez uzwojenie pierwotne i uzwojenie wtórne? Ile wynosi wypadkowy opór „widziany” przez 110-woltowe źródło? a. 45  :  1 ; b. 0,68  A , 0,015  A ; c. 160  Ω . Źródło napięcia zmiennego produkuje moc 5  mW przy dostarczaniu prądu o natężeniu skutecznym 2  mA , kiedy podłączy się je do uzwojenia pierwotnego transformatora. Napięcie skuteczne na uzwojeniu wtórnym tego transformatora wynosi 20  V . Ile wynoszą napięcie prądu na uzwojeniu pierwotnym i natężenie prądu płynącego przez uzwojenie wtórne? Jaki jest stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym? Transformator używany jest do obniżenia napięcia ze 110  V do 9  V , do zasilania radia. Jeśli uzwojenie pierwotne ma 500 zwojów, ile zwojów posiada uzwojenie wtórne? Jeśli obwody radia pracują przy natężeniu prądu równym 500  mA , jakie jest natężenie prądu płynącego przez uzwojenie pierwotne? a. 41 zwojów; b. 40,9  A \SI{40,9}{\ampere} . Transformator podłączony do gniazdka o napięciu 110  V używany jest jako źródło napięcia do 12-woltowego modelu pociągu. Pociąg pobiera 50  W mocy. Jakie jest natężenie skuteczne prądu płynącego przez uzwojenie wtórne? Jakie jest natężenie skuteczne prądu w uzwojeniu pierwotnym? Ile wynosi stosunek liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym do uzwojenia wtórnego? Jaki jest opór obwodów modelu pociągu? Ile wynosi opór widziany przez gniazdko? Zadania dodatkowe SEM źródła napięcia zmiennego wyrażone jest wzorem u  t = U 0  sin ω  t , gdzie U 0 = 100  V , a ω = 200  π  rad ∕ s . Znajdź wyrażenie opisujące natężenie prądu płynącego przez kondensator o pojemności 20  µF ; cewkę o indukcyjności 20  µH ; opornik o oporze 50  Ω . a. i  t = 1,26  A ⋅ sin 200  π  t + π ∕ 2 ; b. i  t = 1,26  A ⋅ sin 200  π  t − π ∕ 2 ; c. i  t = 2  A ⋅ sin 200  π  t . Kondensator o pojemności 700  pF podłączony został do źródła napięcia zmiennego o amplitudzie 160  V i częstotliwości 20  kHz . Znajdź wartość kapacytancji tego kondensatora i wartość natężenia prądu płynącego przez niego; Jeśli częstotliwość ulegnie zmianie na 60  Hz przy zachowaniu amplitudy, ile wyniesie wtedy kapacytancja i natężenie prądu dla tego kondensatora? Cewka o indukcyjności 20  mH jest podłączona do źródła napięcia zmiennego o zmiennej częstotliwości i stałej amplitudzie równej 9  V . Ustal zawadę tego obwodu i maksymalne natężenie prądu w nim płynącego ustawionego na częstotliwość 20  kHz ; Dokonaj tych samych obliczeń dla częstotliwości 60  Hz . a. 2,5 ⋅ 10 3  Ω , 3,6 ⋅ 10 − 3  A ; b. 7,5  Ω , 1,2  A . Kondensator o pojemności 30  µF podłączony jest do 60-hercowego źródła napięcia zmiennego o amplitudzie 50  V . Ile wynosi maksymalny ładunek zgromadzony na kondensatorze? Ile wynosi maksymalne natężenie prądu płynącego przez kondensator? Jaka jest zależność fazowa pomiędzy ładunkiem zgromadzonym w kondensatorze a natężeniem prądu płynącego w obwodzie? Cewkę o indukcyjności 7  mH podłączono do 60-hercowego źródła napięcia zmiennego o amplitudzie 50  V . Ile wynosi maksymalne natężenie prądu płynącego przez cewkę? Jaka jest zależność fazowa pomiędzy natężeniem prądu płynącego przez cewkę a napięciem na niej odłożonym? a. 19  A ; b. 90 ° . Ile wynosi impedancja szeregowego obwodu RLC dla częstotliwości rezonansowej? Ile wynosi opór R w poniższym obwodzie, jeśli amplituda natężenia prądu w cewce wynosi 4,24  A ? 11,7  Ω . Źródło napięcia zmiennego o amplitudzie 100  V i częstotliwości 1  kHz zasila szeregowy obwód RLC, w którym R = 20  Ω , L = 4  mH i C = 50  µF . Znajdź natężenie skuteczne prądu w tym obwodzie; Ile wynoszą napięcia skuteczne na wszystkich trzech elementach obwodu? Ile jest równy kąt fazowy pomiędzy SEM i natężeniem prądu? Jaką moc produkuje źródło? Jaka jest moc rozpraszana na oporniku? W obwodzie RLC R = 200  Ω , L = 1  H , C = 50  µF , U 0 = 120  V , a f = 50  Hz . Jaką moc ma źródło napięcia w tym obwodzie? 36  W . W elektrowni produkowany jest prąd o natężeniu 100  A i napięciu 15  kV (wartości skuteczne). Następnie używa się transformatora do podwyższenia napięcia skutecznego do 150  kV przed przesłaniem prądu na linie przesyłowe. Jakie jest skuteczne natężenie prądu w liniach przesyłowych? Jeśli opór liniowy na jednostkę długości linii przesyłowej równy jest 8,6 ⋅ 10 − 8  Ω ∕ m , to jaka jest moc strat na jednostkę długości? Jaka byłaby moc strat na liniach przesyłowych, gdyby napięcie skuteczne na nich było równe 15  kV ? Rozważmy elektrownię położoną w odległości 25  km od miasta, do którego dostarcza 50  MW mocy. Linie przesyłowe wykonane są z aluminiowych kabli o polu przekroju poprzecznego równym 7  cm 2 . Wylicz wartość mocy strat na liniach przesyłowych, jeśli napięcie skuteczne na nich równe jest 200  kV ; 120  V . a. 5,9 ⋅ 10 4  W ; b. 1,64 ⋅ 10 11  W . Neony wymagają zasilania napięciem 12  kV do prawidłowej pracy. Do tego celu konieczne jest wykorzystanie transformatora do zamiany 220  V napięcia skutecznego z sieci elektrycznej na 12  kV napięcia skutecznego. Ile musi być równy stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym? Jakie jest maksymalne skuteczne natężenie prądu, który może przepłynąć przez ten neon, jeśli na uzwojeniu pierwotnym umieszczono bezpiecznik przerywający obwód przy natężeniu prądu 0,5  A ? Jaką moc pobiera ten neon, jeśli płynie przez niego maksymalne dopuszczalne przez bezpiecznik na uzwojeniu pierwotnym natężenie prądu? Zadania trudniejsze Uzwojenie pierwotne transformatora zasilane jest z linii przesyłowej o napięciu 335  kV . Stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do uzwojenia pierwotnego jest równy N W ∕ N P = 1000 . Ile wynosi napięcie na uzwojeniu wtórnym? Co jest nierealistyczne w tym wyniku? Jakie parametry byłyby lepsze? a. 335  MV ; b. Ten wynik jest zbyt wysoki, zdecydowanie powyżej napięcia przebicia powietrza dla realnych odległości; c. Napięcie wejściowe jest zbyt wysokie. Opornik o oporze 1,5  kΩ i cewka o indukcyjności 30  mH połączone są szeregowo w obwód, jak na obrazku poniżej, i podłączone do źródła prądu zmiennego o napięciu skutecznym 120  V i częstotliwości 60  Hz . Znajdź natężenie prądu płynącego w tym obwodzie; Znajdź spadki napięcia na oporniku i cewce; Znajdź impedancję tego obwodu; Znajdź wartość mocy rozpraszanej na oporniku; Znajdź wartość mocy rozpraszanej w cewce; Znajdź wartość mocy wytwarzanej przez źródło prądu. 20-omowy opornik, 50-mikrofaradowy kondensator i 30-milihenrowa cewka zostały połączone w obwód szeregowy ze źródłem napięcia zmiennego o amplitudzie 10  V i częstotliwości 125  Hz . Jaka jest impedancja tego obwodu? Ile wynosi amplituda natężenia prądu płynącego w tym obwodzie? Ile równy jest czynnik fazowy natężenia prądu? Czy wyprzedza, czy jest opóźniony względem napięcia prądu? Zapisz wyrażenia na napięcie odłożone na oporniku, kondensatorze i cewce oraz napięcie źródła jako funkcje czasu; Ile jest równy współczynnik mocy dla tego obwodu? Ile energii zużywa opornik w czasie 2,5  s ? a. 20  Ω ; b. 0,5  A ; c. 5,4 ° , opóźnione; d. u R  t = 9,96  V ⋅ cos 250  π  t + 5,4 ° , u C  t = 12,7  V ⋅ cos 250  π  t + 5,4 ° − 90 ° , u L  t = 11,8  V ⋅ cos 250  π  t + 5,4 ° + 90 ° , u źr  t = 10  V ⋅ cos 250  π  t ; e. 0,995 ; f. 6,25  J . Opornik o oporze 200  Ω , kondensator o pojemności 150  µF i cewka o indukcyjności 2,5  H zostały połączone szeregowo ze źródłem napięcia zmiennego o amplitudzie 10  V i częstości kołowej ω w obwód. Jaka jest wartość częstości rezonansowej ω R ? Ile równa jest amplituda natężenia, jeśli ω = ω R ? Ile równy jest czynnik fazowy natężenia prądu płynącego w obwodzie dla ω = ω R ? Czy wyprzedza on, czy jest opóźniony, czy jest w fazie względem napięcia? Zapisz wyrażenie na spadek napięcia na oporniku jako funkcję czasu dla ω = ω R ; Ile wynosi współczynnik mocy tego obwodu dla ω = ω R ? Ile energii zużywa opornik w czasie 2,5  s , jeśli ω = ω R ? Znajdź reaktancje dla podanych kondensatorów i cewek w obwodach prądu zmiennego z zadanymi częstotliwościami dla każdego przypadku: cewka o indukcyjności 2  mH w obwodzie o częstotliwości 60  Hz ; cewka o indukcyjności 2  mH w obwodzie o częstotliwości 600  Hz ; cewka o indukcyjności 20  mH w obwodzie o częstotliwości 6  Hz ; cewka o indukcyjności 20  mH w obwodzie o częstotliwości 60  Hz ; kondensator o pojemności 2  mF w obwodzie o częstotliwości 60  Hz ; kondensator o pojemności 2  mF w obwodzie o częstotliwości 600  Hz . a. 0,75  Ω ; b. 7,5  Ω ; c. 0,75  Ω ; d. 7,5  Ω ; e. 1,3  Ω ; f. 0,13  Ω . Impedancja wyjściowa wzmacniacza audio jest równa 500  Ω i nie jest zgodna z niskoimpedancyjnym, 8-omowym głośnikiem. Zostałeś poproszony o dopasowanie odpowiedniego transformatora, by impedancje zgadzały się. Transformatora o jakim stosunku liczby zwojów użyjesz i dlaczego? Wykorzystaj uproszczony schemat obwodu zaprezentowany poniżej. Udowodnij, że jednostką kapacytancji w układzie SI jest om. Udowodnij, że jednostką impedancji w układzie SI jest om. Jednostką reaktancji według wzoru jest rad  H ∕ s . W analizie jednostek radiany można pominąć bez konsekwencji. Henr da się również zapisać w postaci H = V  s ∕ A = Ω  s . Łącząc ze sobą oba wzory, widzimy, że jednostką reaktancji jest Ω . Cewka o indukcyjności 16  mH i induktancji 6  Ω jest podłączona do źródła napięcia zmiennego o zmiennej częstotliwości. Dla jakiej częstotliwości napięcie prądu na cewce będzie wyprzedzać w fazie natężenie prądu przez nią płynącego o 45 ° ? Szeregowy obwód RLC składa się z opornika o oporze 50  Ω , kondensatora o pojemności 200  µF oraz cewki o indukcyjności 120  mH i induktancji 20  Ω . W obwodzie znajduje się źródło, którego SEM ma wartość skuteczną równą 240  V i częstotliwość 60  Hz . Oblicz napięcie skuteczne na oporniku; kondensatorze; cewce. a. 156  V ; b. 42  V ; c. 154  V . Szeregowy obwód RLC składa się z 10-omowego opornika, 8-mikrofaradowego kondensatora i 50-milihenrowej cewki. Źródło w tym obwodzie dostarcza napięcia skutecznego 110  V przy zmiennej częstotliwości. Ile mocy produkuje to źródło, jeśli jego częstotliwość ustawiona jest na półtorej wartości częstotliwości rezonansowej? Poniżej przedstawiono dwa obwody, które działają jak filtry górnoprzepustowe. Napięciem wejściowym w obwodzie jest U wej , a napięciem wyjściowym U wyj . Udowodnij, że dla obwodu z kondensatorem U wyj U wej = 1 1 + 1 ω 2  R 2  C 2  , a dla obwodu z cewką U wyj U wej = ω  L R 2 + ω 2  L 2  . Udowodnij, że dla wysokich częstotliwości U wyj = U wej , a dla niskich częstotliwości U wyj ≈ 0  V . transformator obniżający napięcie (ang. step-down transformer ) transformator, który zmniejsza napięcie i zwiększa natężenie prądu transformator podwyższający napięcie (ang. step-up transformer ) transformator, który zwiększa napięcie i zmniejsza natężenie prądu transformator (ang. transformer ) urządzenie, które przekształca zmienny w czasie prąd elektryczny (AC) o danym napięciu w zmienny w czasie prąd (AC) o innym napięciu przy użyciu indukcji elektromagnetycznej równanie transformatora (ang. transformer equation ) równanie pokazujące, że stosunek liczby zwojów na uzwojeniu wtórnym do liczby zwojów na uzwojeniu pierwotnym równy jest stosunkowi napięcia wtórnego do napięcia pierwotnego

Science


Wstęp Ciśnienie światła słonecznego, przewidziane równaniami Maxwella, było jednym z czynników, które spowodowały utworzenie się ogona komety McNaughta. Źródło: modyfikacja pracy Sebastiana Deiries – ESO Widok nocnego nieba, ciepło promieni słońca, opalenizna, rozmowy przez telefon komórkowy i obraz złamania kości utworzony przez promienie Röntgena – wszystko to zawdzięczamy falom elektromagnetycznym. Prawie nie da się przecenić praktycznego wykorzystania tego rodzaju promieniowania – od roli w procesie widzenia, przez niezliczone zastosowania technologiczne, kończąc na jego wspaniałej zdolności do przenoszenia przez próżnię energii słonecznej, co umożliwiło powstanie i podtrzymanie życia na Ziemi. Istnienie fal elektromagnetycznych zostało przewidziane teoretycznie na długo przed tym, zanim ktokolwiek uświadomił sobie, że ich przejawem może być światło. W połowie XIX wieku James Clerk Maxwell sformułował teorię zespalającą wszystkie znane wtedy efekty magnetyczne i elektryczne. Równania Maxwella (ang. Maxwell’s equations ), będące matematycznym podsumowaniem jego teorii, pozwalały zakładać istnienie fal elektromagnetycznych, zdolnych do przemieszczania się z prędkością światła. Teoria ta przewidziała również właściwości tych fal oraz mechanizmy przenoszenia przez nie pędu i energii. Bardzo widowiskowym przykładem działania fal elektromagnetycznych są ogony komet, takich jak kometa McNaughta z . Energia niesiona przez światło słoneczne ogrzewa kometę, uwalniając z niej pył i gaz. Pęd światła działa na ten pył niewielką siłą, która nadaje ogonowi konkretny kształt – taki jak widać na zdjęciu. Strumień cząsteczek emitowanych przez Słońce, nazywany wiatrem słonecznym, tworzy zazwyczaj dodatkowy, drugi ogon. Szczegółowo zostanie to opisane w tym rozdziale. W pierwszej kolejności wyjaśnimy teorię Maxwella i pokażemy, jak pozwala ona wnioskować o istnieniu fal elektromagnetycznych. Następnie użyjemy jej do zbadania, czym właściwie są fale elektromagnetyczne, jak są wytwarzane i w jaki sposób przenoszą one energię i pęd. Podsumujemy ten rozdział przedstawiając kilka z wielu praktycznych zastosowań fal elektromagnetycznych.

Science