Trzecia zasada dynamiki Newtona Kilka rozdziałów wcześniej zdefiniowaliśmy siłę jako wynik na przykład pchania bądź ciągnięcia ciała. Jednakże gdy dobrze się zastanowisz, zauważysz, że czynności te nigdy nie pozostają bez pewnej odpowiedzi. Gdy naciskasz na ścianę, ściana działa na ciebie tą samą siłą, lecz o zwrocie przeciwnym. To przybliża nas do zrozumienia trzeciej zasady dynamiki Newtona , nazywanej też trzecim prawem Newtona (ang. Newton's third law of motion ). Trzecia zasada dynamiki Newtona Jeżeli jedno ciało działa na drugie pewną siłą, to drugie ciało działa na pierwsze siłą o takim samym kierunku i wartości, lecz przeciwnym zwrocie. Matematycznie, jeżeli ciało A działa siłą F → na ciało B , wówczas jednocześnie ciało B , działa na ciało A siłą − F → . Wektorowo można to zapisać jako F → AB = − F → BA . Trzecia zasada dynamiki Newtona opisuje pewną symetrię w układach mechanicznych. Siły zawsze występują parami – jedno ciało nie może działać z jakąkolwiek siłą na drugie, nie doświadczając tej samej siły ze strony drugiego ciała. Czasami trzecie prawo Newtona potocznie nazywamy „prawem akcji i reakcji”, gdzie wywierana siła jest nazywana akcją, a siła doświadczana przez ciało jako konsekwencja jest reakcją. Trzecie prawo Newtona ma praktyczne zastosowanie w analizowaniu pochodzenia sił i pozwala zrozumieć, które siły są w danym układzie traktowane jako zewnętrzne. Możemy łatwo zauważyć w codziennych sytuacjach konsekwencje działania trzeciego prawa Newtona. Wyobraźmy sobie pływaczkę odbijającą się od ściany basenu ( ). Odpycha się ona stopami od ściany basenu i płynie w kierunku przeciwnym do zwrotu siły, z którą, odbijając się, zadziałała na ścianę. Podczas odbijania ściana basenu reaguje na stopy pływaczki siłą o zwrocie przeciwnym, lecz równej wartości. Na pierwszy rzut okawydaje się, że siły te się równoważą. Jednak tak się nie dzieje, ponieważ działają one na różne układy . W wyżej wymienionej sytuacji dostrzec możemy dwa odrębne układy: pływaczkę oraz ścianę. Jeżeli chcemy przeanalizować jedynie zachowanie pływaczki, tak jak pokazano to na poniższym rysunku, wówczas F ściana-stopy oznacza siłę wywieraną przez ścianę na stopy pływaczki. Siła ta wpływa na ruch pływaczki, stąd też zwrot tej siły jest taki sam, jak kierunek jej przyspieszenia. Z kolei siła F stopy-ściana działa na ścianę, a nie na układ, którego ruch badamy. Dlatego też siła F stopy-ściana nie wpływa bezpośrednio na ruch pływaczki i nie równoważy siły F ściana-stopy . Pływaczka działa na ścianę siłą o zwrocie przeciwnym niż kierunek, w którym chce popłynąć. Z kolei siła reakcji ma zwrot zgodny z pożądanym kierunkiem płynięcia. Na poniższym rysunku ( ) zamieszczono również diagram sił działających na pływaczkę. Jak widać, nie uwzględniliśmy na nim siły, z którą pływaczka działa na ściankę basenu F stopy-ściana . Pływaczka działa na ścianę siłą, w wyniku czego zaczyna przyspieszać, przy czym zwrot przyspieszenia jest przeciwny do zwrotu działającej na ścianę siły. Innymi słowy, siła wypadkowa działająca na pływaczkę ma zwrot przeciwny niż zwrot siły F stopy-ściana . Dzieje się tak z powodu trzeciego prawa Newtona, zgodnie z którym siła F ściana-stopy ma tą samą wartość i kierunek, lecz przeciwny zwrot niż siła F stopy-ściana i powoduje ruch pływaczki w lewą stronę. Diagram ukazujący rozkład sił działających na pływaczkę zawiera, jak widać, jedynie siłę F ściana-stopy , siłę ciężkości Q oraz siłę wyporu F wyporu . Siła wyporu oraz siła ciężkości równoważą się, więc pływaczka nie doznaje przyspieszenia w kierunku pionowym. Łatwo znaleźć również inne przykłady zastosowania trzeciej zasady dynamiki Newtona: Gdy profesor przechodzi w czasie wykładu przed tablicą, wywiera siłę na podłogę. Podłoga z kolei działa na niego siłą reakcji, nadając mu przyspieszenie naprzód. Samochód przyspiesza do przodu, ponieważ ziemia popycha naprzód koła samochodu w wyniku działania siły reakcji na koła „odpychające w tył” ziemię. Dowodem na to jest fakt, że gdy samochód gwałtownie przyspiesza na żwirze, widoczny jest odrzut ziarenek żwiru w tył, przeciwnie do kierunku ruchu samochodu. Rakiety poruszają się naprzód, wyrzucając z dysz dużą ilość gazu z bardzo dużą prędkością. Oznacza to, że rakieta wywiera dużą siłę wsteczną na gaz w komorze spalania w silniku; dlatego też gaz wywiera dużą siłę reakcji na rakietę. Ta siła reakcji, która popycha ją do przodu w odpowiedzi na siłę wsteczną, nazywa się odrzutem (ang. thrust ). Istnieje powszechnie błędne przekonanie, że ruch rakiety jest wywołany oddziaływaniem z podłożem lub z powietrzem znajdującym się tuż za rakietą. Tak naprawdę rakiety poruszają się sprawniej w próżni, gdzie mogą łatwiej wyrzucać z dysz gazy spalinowe. Helikoptery utrzymują się w powietrzu „popychając” powietrze w dół, i doświadczając siły reakcji skierowanej w górę. Ptaki i samoloty latają, działając na powietrze siłą o zwrocie przeciwnym niż siła reakcji, wpływająca na ich ruch naprzód. Skrzydła ptaków działają na powietrze siłą o kierunku zarówno poziomym, jak i pionowym, aby móc unieść ptaka nad ziemią i spowodować lot do przodu. Ośmiornica porusza się w wodzie dzięki temu, że wyrzuca za siebie wodę z jamy w swoim ciele; Podobny napęd ma skuter wodny. Gdy człowiek działa na linę siłą zwróconą w dół, lina odpowiada siłą reakcji skierowaną z kolei w górę, powodując ruch człowieka właśnie w górę ( ). Gdy wspinacz górski ciągnie linę w dół, ona z kolei w wyniku działania siły reakcji ciągnie wspinacza w górę. W związku z trzecim prawem dynamiki podkreślić trzeba dwie ważne kwestie. Pierwsza z nich to to, że siła wywierana na układ oraz siła reakcji mają zawsze tą samą wartość, lecz przeciwny zwrot. Z kolei druga dotyczy tego, że siły działają na dwa zupełnie osobne układy: siła wywierana przez układ A działa na układ B , czego skutkiem jest działanie siły reakcji ze strony układu B na układ A . Innymi słowy, te dwie siły działają na dwa odrębne układy, a zatem nie równoważą się. Rozpatrzmy sytuację na . Na podstawie trzeciego prawa Newtona można stwierdzić, że skoro krzesło działa na studenta siłą N → , to student działa na krzesło siłą − N → . Równocześnie działa on odpowiednio na podłogę i stół siłami − F → i − T → . Ziemia, działając na studenta siłą ciężkości Q → , powoduje to, że on z kolei działa na Ziemię siłą o przeciwnym zwrocie − Q → . Gdy zezłoszczony student uderzy pięścią w stół, dozna bólu w wyniku działania siły reakcji wywieranej przez stół na jego pięść. Osoba, która chodzi lub biegnie po ulicy, jest doskonałym przykładem działania trzeciego prawa Newtona. Na przykład biegacz przedstawiony na działa na podłoże siłą skierowaną w tył i w dół, czego skutkiem jest siła o zwrocie przeciwnym, napędzająca jego ruch naprzód. Biegacz podczas biegu ulicznego doświadcza działania trzeciej zasady dynamiki Newtona. (a) Siła pochodząca od biegacza skierowana jest w dół i w lewo, w stronę podłoża. (b) Siła reakcji od podłoża napędza ruch biegacza, dzięki czemu biegnie on do przodu. Siły działające na obiekty pozostające w spoczynku Na przedstawiono sytuację, w której paczka leży na wadze. Siły działające na paczkę to siła reakcji pochodząca od platformy wagi S → , o zwrocie w górę, oraz siła pochodząca od oddziaływania grawitacyjnego z Ziemią Q → . Siły reakcji, wywierane przez paczkę to odpowiednio − S → oraz − Q → . Ponieważ paczka znajduje się w spoczynku (jej przyspieszenie wynosi zero), zastosowanie drugiego prawa Newtona prowadzi nas do wniosku, że: S → + Q → = m  a → = 0 →  , więc: S → = - Q →  , Na podstawie wskazania wagi możemy uzyskać informacje na temat ciężaru paczki. Nie jest to jednak w istocie wartość jej ciężaru. Wskazanie wagi dotyczy pomiaru siły − S → działającej na jej powierzchnię. Gdy układ doznaje pewnych przyspieszeń, wówczas siły S → i − Q → nie będą zrównoważone. Zagadnienie to zostanie dokładniej wyjaśnione w podrozdziale Zastosowanie zasad dynamiki Newtona . (a) Rysunek pokazujący siły, wraz z siłami reakcji, działające na paczkę znajdującą się na wadze. Siła Q → to ciężar paczki, natomiast S → to siła reakcji pochodząca od podłoża. (b) Rysunek układów odizolowanych: paczki znajdującej się na wadze, oraz paczki znajdującej się na Ziemi. W układach tych siły akcji i reakcji całkowicie się równoważą. Poruszający się układ: dobór odpowiedniego układu do analizy Nauczycielka fizyki pcha wózek z układem pokazowym podczas lekcji ( ). Masa nauczycielki wynosi 65 kg, masa wózka pokazowego to 12 kg, a sprzęt na wózku waży 7 kg. Oblicz przyspieszenie wózka, wiedząc, że nauczycielka pcha wózek, działając na podłogę siłą 150 N. Łączna siła oporu ruchu, wliczając siłę tarcia i oporu powietrza, wynosi 24 N. Nauczycielka fizyki pcha wózek ze sprzętem pokazowym. Długość wektorów sił na rysunku odzwierciedla wartości sił, oprócz wektora siły tarcia T → . Układ 1 jest odpowiedni do analizy tego przykładu, ponieważ pytanie dotyczy ruchu całej grupy obiektów. Jedynie siły F → podł i T → to siły zewnętrzne działające na układ 1 w kierunku ruchu wózka. Wszystkie inne siły równoważą się albo działają na inny układ. Układ 2 będzie odpowiedni dla następnego przykładu. Tu F → prof jest siłą zewnętrzną, która pojawi się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona. Zauważ, ze rozkłady sił działających na ciała w układach 1 i 2 różnią się od siebie. Strategia rozwiązania Potraktujmy układ 1, w którym znajduje się nauczycielka, wózek i sprzęt demonstracyjny, jako jeden przyspieszający punkt. Na oznaczono to jako układ 1. Nauczycielka pcha do przodu wózek, działając na podłogę siłą wsteczną F stopy wynoszącą 150 N. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki podłoga wywiera na układ 1 siłę reakcji F podł o wartości 150 N, skierowaną do przodu. Ponieważ ruch jest w poziomie, nie musimy uwzględniać siły ciężkości oraz pionowej siły reakcji pochodzącej od podłoża. Wówczas zagadnienie sprowadza się do jednowymiarowego opisu ruchu. Siła tarcia T skierowana jest przeciwnie do kierunku ruchu wózka, ma zatem zwrot przeciwny niż siła F podł Nie uwzględniamy również sił F prof oraz F wóz , ponieważ są to siły wewnętrzne. Siły F stopy też nie bierzemy pod uwagę, ponieważ działa ona na podłogę, a nie na elementy analizowanego układu 1. Skoro zdefiniowaliśmy już wszystkie zewnętrzne siły działające na układ 1, możemy zastosować drugie prawo Newtona do obliczenia przyspieszenia. Popatrz na rozkład sił działających na układ 1, pokazany na rysunku. Rozwiązanie Drugie prawo Newtona brzmi: a = F wyp m . Na podstawie przeprowadzonej dyskusji zewnętrzna siła wypadkowa w układzie 1 ( ) wynosi F wyp = F podł − T = ( 150,0 − 24,0 ) N = 126 N . Masa całkowita elementów układu 1 wynosi: m = ( 65,0 + 12,0 + 7,0 ) kg = 84 kg . Zatem znając wartość siły wypadkowej F wyp i masę całkowitą układu m , możemy znaleźć przyspieszenie: a = F wyp m = 126 N 84 kg = 1,5 m/s 2 . Znaczenie Żadna z sił wewnętrznych, działających w układzie 1, jak np. siła wywierana przez dłonie nauczycielki na wózek, nie ma wpływu na siłę wypadkową działającą na ten układ. Siły te tworzą pary sił równej wartości, lecz mają przeciwne zwroty, a zatem się równoważą: siła, z jaką nauczycielka pcha na wózek, powoduje występowanie tak samo dużej siły, z którą wózek działa na nauczycielkę, lecz mającej przeciwny zwrot. W tym wypadku obie siły działają na ten sam układ 1, więc równoważą się. Widzimy więc, że siły wewnętrzne (pomiędzy częściami układu) równoważą się. Wybranie do analizy układu oznaczonego na rysunku jako 1 było kluczowe w rozwiązaniu tego problemu. Siły działające na wózek: wybór innego układu do analizy Oblicz siłę, z jaką nauczycielka działa na wózek na , korzystając z danych z poprzedniego przykładu. Strategia rozwiązania Jeżeli określimy analizowany układ jako wózek wraz ze sprzętem pokazowym na nim się znajdującym (układ 2 na ), to całkowita siła wypadkowa w układzie 2 będzie różnicą siły, z jaką nauczycielka pcha wózek, i siły tarcia. Siła F prof , z jaką nauczycielka popycha wózek to w układzie 2 siła zewnętrzna, podczas gdy z punktu widzenia układu 1 była traktowana jako wewnętrzna. Dlatego też w układzie 2, to właśnie ta siła wchodzi do równania opisującego drugie prawo Newtona. Rozwiązanie Aby znaleźć wartość siły F prof zastosujmy drugie prawo Newtona, a = F wyp m . Wartość zewnętrznej siły wypadkowej w układzie 2 możemy znaleźć, korzystając z relacji: F wyp = F prof − T . Znajdujemy z powyższego równania F prof : F prof = F wyp + T . Wartość siły tarcia T jest podana w treści zadania, więc musimy jeszcze obliczyć wartość siły wypadkowej F wyp . Jest to proste, ponieważ zarówno masa, jak i przyspieszenie układu 2 są znane. Zastosujmy więc drugą zasadę dynamiki Newtona: F wyp = m a , gdzie masa całkowita układu drugiego wynosi 19 kg ( m = ( 12,0 + 7,0 ) kg ), a przyspieszenie a = 1,5 m/s 2 . Zatem: F wyp = m a = ( 19,0 kg ) ( 1,5 m/s 2 ) = 29 N . Teraz możemy już znaleźć wartość poszukiwanej siły: F prof = F wyp + T = ( 29 + 24 ) N = 53 N . Znaczenie Obliczona siła okazała się znacznie niższa niż 150 N, a tyle właśnie wyniosła wartość siły wstecznej między nauczycielką a podłogą. Jak widać, nie cała siła 150 N jest wywierana przez nauczycielkę na wózek, część z niej powoduje przyspieszenie nauczycielki. Wybór elementów analizowanego układu to ważna rzecz przy rozwiązywaniu problemów fizycznych. Sprawdź, czy rozumiesz. Dwa klocki spoczywają na poziomej powierzchni tak, jak pokazano na poniższym rysunku. Masy klocków wynoszą odpowiednio m 1 = 2,0 kg , m 1 = 6,0 kg . Przyłożona siła wynosi 24 N. Znajdź przyspieszenie układu klocków. Załóż, że klocki zostały odseparowane. Jaką należałoby przyłożyć siłę, aby drugi klocek o masie 6 kg miał takie samo przyspieszenie, jak układ klocków w podpunkcie (a)? 3,0 m/s 2 ; 18 N Przejrzyj materiał wideo , aby zobaczyć przykłady występowania sił akcji i reakcji w różnych układach. Obejrzyj materiał wideo , aby przeanalizować zastosowania praw Newtona i różne siły wewnętrzne i zewnętrzne działające w układach. Podsumowanie Trzecie prawo Newtona odzwierciedla prostą symetrię przyrody: układ doznaje siły o tej samej wartości i kierunku, co siła wywierana na otoczeniu, lecz o przeciwnym zwrocie. Dwie symetryczne, przeciwnie zwrócone siły nie równoważą się, jeżeli działają na dwa różne układy. Pary sił związane z „akcją i reakcją” w układzie występują na przykład w przypadku, gdy pływak odpycha się stopami od ściany basenu, podczas lotu helikoptera, czy gdy ośmiornica porusza się w wodzie. Ruch rakiet, samolotów i samochodów również stanowi doskonały przykład działania trzeciego prawa Newtona. Dobór odpowiedniego układu do analizy pozwala na poprawne zrozumienie fizyki danego układu oraz rozwiązanie zagadnień dotyczących ruchu. Pytania Zidentyfikuj siły akcji i reakcji w następujących układach: (a) Ziemia oddziałująca z Księżycem; (b) chłopiec kopie piłkę; (c) rakieta wznosi się w górę z pewnym przyspieszeniem; (d) samochód przyspiesza do przodu; (e) skoczek podczas skoku wzwyż; (f) pocisk wylatujący z lufy pistoletu. Akcja: Ziemia wywiera siłę na Księżyc, reakcja: Księżyc odpowiada siłą reakcji, „popychając” Ziemię; akcja: chłopiec działa siłą na piłkę, reakcja: piłka wywiera siłę reakcji na stopę; akcja: rakieta wypuszcza gaz z dysz rakietowych; reakcja: gaz działa siłą reakcji, co powoduje ruch rakiety do przodu, w przeciwną stronę; samochód działa siłą wsteczną na podłoże, reakcja: podłoże działa siłą reakcji skierowaną w drugą stronę, powodując ruch samochodu do przodu; akcja: skoczek działa na podłoże siłą skierowaną w dół, reakcja: podłoże popycha do góry człowieka, powodując jego ruch w górę; pistolet wypycha pocisk z lufy, reakcja: pocisk, działając siłą reakcji na lufę, powoduje ruch lufy do tyłu. Załóżmy, że trzymasz w ręku filiżankę kawy. Zidentyfikuj wszystkie siły działające na filiżankę oraz odpowiadające im siły reakcji. Dlaczego podczas wystrzału ze strzelby doznaje ona odrzutu? Komora działa bezodrzutowego jest otwarta po obu stronach. Opisz jak trzecie prawo Newtona stosuje się do wystrzału z takiego działa. Czy można bezpiecznie stać w niedużej odległości za takim działem podczas wystrzału? Strzelba (utrzymywana przez nią łuska naboju) wywiera ogromną siłę na kulę, aby ją wyrzucić na zewnątrz. Reakcją na tę siłę jest siła, którą kula wywiera na strzelbę (łuskę) w przeciwnym kierunku. W strzelbie otwartej po jednej stronie, łuska nie jest zatrzymywana, a zatem, gdy kula zostanie popchnięta do przodu, łuska jest poddana działaniu siły reakcji, która prowadzi do wyrzucenia jej z drugiego końca lufy. Nie można więc stać za bezodrzutową strzelbą. Zadania Jaka zewnętrzna siła wypadkowa działa na pocisk o masie 1100 kg wystrzelony z okrętu, który podczas wystrzału doznaje przyspieszenia 2,40 ⋅ 10 4 m/s 2 ? Jaka jest wartość siły wywieranej na okręt przez pocisk i dlaczego? F wyp = 2,64 ⋅ 10 7 N ; Siła wywierana na pokład statku to również 2,64 ⋅ 10 7 N , skierowana jest przeciwnie do kierunku ruchu pocisku po wystrzale. Bardzo odważny, jednak nie dość dobrze wyszkolony zawodnik rugby jest przepychany przez gracza z przeciwnej drużyny siłą z 800 N. Masa słabszego zawodnika wraz z kombinezonem do rugby wynosi 90 kg. Zawodnik ten w wyniku pchnięcia doznaje przyspieszenia skierowanego w tył o wartości 1,20 m/s 2 . Jaka jest wartość siły tarcia między przegrywającym zawodnikiem a murawą? Jaka jest wartość siły powodującej ruch wygrywającego zawodnika do przodu, jeśli jego masa wynosi 110 kg? Na poniższym rysunku przedstawiono sytuację, w której podręcznik do historii leży na podręczniku do podstaw fizyki. Rozkład sił działających na obydwa obiekty pokazano z boku rysunku. Ciężar podręczników wynosi odpowiednio 14 N (podręcznik do historii) oraz 18 N (podręcznik do fizyki). Powiąż siły działające na każdą z książek z symbolami z podwójnym indeksem (np. siła kontaktowa, z jaką książka do historii działa na książkę do fizyki to F → HF ) oraz określ wartości tych sił i wytłumacz, jak to zrobiłeś. Siłę ciężkości podręcznika do historii, definiowaną jako jej oddziaływanie z polem grawitacyjnym Ziemi, zapiszmy jako F → ZH = − 14 j ^ N . Oprócz tego książka oddziałuje jedynie z podręcznikiem do fizyki. Ponieważ przyspieszenie książki do historii wynosi zero, siła wypadkowa na nią działająca również jest zerowa, co możemy zapisać jako: F → FH + F → ZH = 0 → , gdzie F → FH to siła wywierana przez podręcznik z fizyki na ten od historii. Dlatego też F → FH = − F → ZH = − ( − 14 j ^ ) N = 14 j ^ N . Założyliśmy w zadaniu, że podręcznik do fizyki działa na podręcznik do historii siłą 14 N skierowaną w górę. Jeżeli chodzi o podręcznik do fizyki, działają na niego trzy siły: F → ZP pochodząca od oddziaływania grawitacyjnego, F → HF pochodząca od podręcznika do historii oraz F → SF jako siła reakcji od stołu. Gdy ciężar podręcznika do fizyki wynosi 18 N, wówczas siła F → EP = − 18 j ^ N . Na podstawie trzeciego prawa Newtona możemy zapisać, że F → HF = − F → FH , więc łatwo znaleźć siłę F → HF = − 14 j ^ N . Drugie prawo Newtona, zastosowane do obliczenia siły wypadkowej działającej na podręcznik do fizyki wygląda tak: ∑ F → = 0 → , lub inaczej F → SF + F → ZF + F → HF = 0 → , tak więc F → SF = − ( − 18 j ^ ) − ( − 14 j ^ ) = 32 j ^ N . Zatem na podstawie powyższych rozważań można powiedzieć, że stół wywiera siłę reakcji działającą na książkę do fizyki o wartości 32 N. Aby rozwiązać to zagadnienie, musieliśmy skorzystać zarówno z drugiego, jak i trzeciego prawa Newtona. Ciężarówka zderza się z samochodem. W czasie zderzenia jedynymi istotnymi siłami są siły wzajemnego oddziaływania zderzających się pojazdów. Załóżmy, że masa samochodu wynosi 550 kg a masa ciężarówki 2200 kg. Wartość przyspieszenia ciężarówki w czasie zderzenia to 10 m/s 2 . Znajdź przyspieszenie samochodu. trzecia zasada dynamiki Newtona (ang. Newton's third law of motion ) W inercjalnym układzie odniesienia siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, lecz przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia. odrzut (ang. thrust ) siła reakcji powodująca ruch ciała do przodu w reakcji na siłę wsteczną

Science


Rodzaje sił Istnieje bardzo wiele rodzajów sił, jak choćby siły parcia, ciągu, odrzutu czy ciężaru. W ogólności, siły pogrupowano w kategoriach w zależności od ich pochodzenia, tego jak działają w danych układach i jaki wywołują efekt. Wiele z tych kategorii zostanie przedyskutowane w niniejszym rozdziale wraz z omówieniem ciekawych przykładów występowania tych sił. Przeprowadzona zostanie dyskusja różnych sytuacji fizycznych. Rodzaje sił: siły nacisku, naciągu i inne Znajomość różnych rodzajów sił będzie bardzo przydatna przy dalszym rozważaniu problemów ruchu ciał. Mówimy tutaj o siłach nacisku, naciągu, tarcia czy siłach sprężystości. Siły nacisku Ciężar (często nazywany również siłą ciężkości) to siła, która działa nieprzerwanie na obiekt w polu grawitacyjnym. Musi być ona zrównoważona przez inną siłę, przeciwnie skierowaną, aby ciało to swobodnie nie opadło, np. w przypadku, gdy trzymasz przedmiot nad ziemią. Przypadek taki pokazano na (a). Jak to się dzieje jednak, że obiekty nieożywione, jak np. stół, utrzymują na swojej powierzchni masę w pozycji nieruchomej (patrz (b))? Kiedy na stole znajduje się worek z karmą dla psów, stół nieco ugina się pod jego ciężarem. Z pewnością byłoby to bardziej zauważalne, gdyby worek ten został umieszczony na stole z dykty, lecz nawet solidny dębowy stół odkształca się, gdy jest do niego przyłożona siła. Jeśli obiekt nie jest odkształcony w taki sposób, że granice sprężystości zostają przekroczone, będzie on wywierać siłę przywracającą do położenia równowagi, podobnie jak odkształcona sprężyna (lub trampolina). Im większy jest stopień odkształcenia ciała, tym większa jest siła przywracająca je do stanu początkowego. Toteż gdy masę umieścimy na stole, jego blat będzie się deformował do momentu, gdy siła przywracająca dorówna sile ciężkości masy umieszczonej na stole. W tym momencie siła wypadkowa w układzie wynosi zero i masa na stole jest nieruchoma. W przypadku stołu układ reaguje stosunkowo szybko, a linia ugięcia jest niewielka, lecz w istocie jest to ten sam efekt, który obserwuje w przypadku obciążonej trampoliny. (a) Osoba trzymająca nad stołem worek z karmą dla psów zmuszona jest działać na worek siłą F → o wartości równej ciężarowi worka Q → , lecz przeciwnie skierowaną. W wyniku tego działania worek nie opada swobodnie na blat stołu. (b) Stół z dykty ulega ugięciu, gdy położy się na nim ciężki worek z karmą dla psów. Siły sprężystości stołu rosną w miarę ugięcia, aż osiągną wartość siły nacisku R → równoważącej ciężar worka. Należy zauważyć, że w układzie musi działać skierowana w górę siła, równoważąca ciężar podpieranej masy (w tym przypadku worka z karmą dla psów) – a jej źródłem może być dźwigający masę człowiek albo przedmiot (tutaj: stół). Jeśli siła podtrzymująca ciężar jest prostopadła do powierzchni kontaktu między obciążeniem a podporą, siła ta jest określana jako siła nacisku lub siła reakcji podłoża i zwykle oznaczana symbolem R → . Siła reakcji podłoża działa zawsze prostopadle do jego powierzchni. Oznacza to, że siła taka, działająca na ciało spoczywające na poziomym stole może być zapisana jako wektor: R → = − m g → . Skalarnie powyższe równanie wygląda następująco: R = m g . Siła reakcji podłoża może być mniejsza niż siła ciężkości działająca na dany obiekt, jeśli obiekt znajduje się na nachylonej powierzchni. Ciężar na równi pochyłej Rozpatrzmy przykład narciarza zjeżdżającego po stoku narciarskim, tak jak pokazano to na . Jego masa wraz ze sprzętem wynosi 60 kg. (a) Jakie jest przyspieszenie narciarza, gdy zaniedbamy siłę tarcia? (b) Jakie przyspieszenie uzyska narciarz, jeżeli siła tarcia wynosi 45 N? Ponieważ przyspieszenie narciarza jest równoległe do powierzchni stoku, łatwo jest przeanalizować dynamikę jego ruchu, przyjmując obrócony układ współrzędnych jak na rysunku. Siła R → jest prostopadła do stoku, siła T → to siła równoległa do stoku, a siła ciężkości Q → rozkłada się na dwie składowe, Q y i Q x . Strzałka na rysunku, którą oznaczono siłę Q → , jest przekreślona wężykiem, aby zaznaczyć, że została zastąpiona przez swoje składowe. Z kolei siła R → równoważy siłę Q y , więc w kierunku prostopadłym do równi układ nie doznaje przyspieszenia. Jednakże siła tarcia T jest mniejsza niż Q x , dlatego narciarz porusza się w dół stoku z przyspieszeniem o kierunku równoległym do stoku. Strategia rozwiązania Jest to problem dwuwymiarowy, ponieważ nie wszystkie siły działające na narciarza na stoku w analizowanym układzie są do siebie równoległe. Należy zastosować podobne podejście, które wykorzystaliśmy już w przypadku układów dwuwymiarowych w kinematyce. Na początku należy wybrać wygodny do rozwiązania zadania układ współrzędnych i zrzutować wektory na jego osie, tworząc dwa osobne równania ruchu do rozwiązania. Najbardziej wygodnym układem współrzędnych jest taki, który ma jedną współrzędną równoległą do stoku i drugą do niego prostopadłą (ruchy wzdłuż wzajemnie prostopadłych osi są niezależne). Zastosujemy oznaczenia odpowiednio x i y dla kierunku równoległego i prostopadłego. Taki wybór osi upraszcza bardzo to zagadnienie, ponieważ ruch narciarza nie ma składowej w kierunku prostopadłym do stoku. Siła tarcia stanowi siłę oporu w tym ruchu i jest zawsze równoległa do stoku. Siła Q x jest równoległa do stoku i ma zwrot zgodny z kierunkiem ruchu narciarza. Problem ten możemy łatwo rozwiązać, tworząc dwa osobne równania Newtona dotyczące sił działających w dwóch osobnych kierunkach x i y . Rozwiązanie Wartość składowej siły ciężkości równoległej do stoku wynosi Q x = Q sin  25 ∘ = m g sin  25 ∘ , natomiast składowa prostopadła do stoku to: Q y = Q cos  25 ∘ = m g cos  25 ∘ . a. Zaniedbajmy siłę tarcia w układzie. Ponieważ przyspieszenie całkowite narciarza ma kierunek równoległy do stoku, wystarczy, że przeanalizujemy wszystkie siły działające w tym kierunku. Siły prostopadłe do stoku zerują się, narciarz nie ma przecież przyspieszenia w kierunku y. Siły równoległe do równi to składowa siły ciężkości równoległa do stoku Q x oraz siła tarcia T . Zastosujmy drugą zasadę dynamiki Newtona, aby utworzyć równanie sił jedynie w kierunku poziomym: a x = F wypx m , gdzie F wyp x = Q X − m g sin  25 ∘ , zakładając chwilowo, że tarcie jest zaniedbywalne. Zatem a x = F wyp x m = m  g  sin 25 ° m = g  sin 25 ° = 9,81 m / s 2 ⋅ 0,4226 = 4,14 m / s 2 , to poszukiwane przyspieszenie narciarza. b. Uwzględniamy znaną wartość siły tarcia oraz jej kierunek równoległy do stoku. Wypadkowa siła działająca na narciarza w kierunku x wynosi: F wyp x = Q x − T . Wstawiając obliczoną siłę wypadkową w kierunku x do równania wyrażającego drugie prawo Newtona a x = F wyp x / m , , otrzymujemy a x = F wyp x m = Q x − T m = m g sin  25 ∘ − T m . Podstawiając znane z treści zadania wartość otrzymujemy a x = ( 60,0 kg ) ( 9,81 m/s 2 ) ( 0,4226 ) − 45,0 N 60,0 kg , a stąd wartość przyspieszenia narciarza: a x = 3,39 m/s 2 , co stanowi wartość przyspieszenia skierowanego równolegle do równi pochyłej, gdy uwzględnia się siłę tarcia o wartości 45 N. Znaczenie Gdy siła tarcia jest uwzględniana, przyspieszenie ciała zsuwającego się z równi pochyłej ma mniejszą wartość niż wtedy, gdy to tarcie zaniedbujemy. Przy zaniedbaniu zjawiska tarcia, przyspieszenie ciała zsuwającego się z równi wynosi a = g sin  θ , niezależnie od masy tego ciała. Jak już wcześniej omówiono, wszystkie obiekty opadają swobodnie w polu grawitacyjnym z tym samym przyspieszeniem tylko wtedy, gdy zaniedbamy wpływ sił oporu powietrza. Analogicznie, wszystkie ciała, niezależnie od masy, zsuwają się z tym samym przyspieszeniem (dla tego samego kąta nachylenia równi), jeśli zaniedbamy zjawisko tarcia między ciałem a równią. Gdy ciało spoczywa nieruchomo na równi pochyłej o kącie nachylenia θ , siła ciężkości działająca na to ciało rozkłada się na dwie składowe: prostopadłą do powierzchni Q y oraz równoległą do powierzchni Q x ( ). Siła normalna do powierzchni stoku to R → i ma taką samą wartość jak składowa prostopadła siły ciężkości, lecz przeciwny zwrot. Z kolei składowa Q x nadaje ciału przyspieszenie w dół równi. Obiekt spoczywający na równi pochyłej o kącie nachylenia θ . Bądź uważny podczas rozkładania siły ciężkości na jej składowe. Gdy równia posiada kąt nachylenia θ , wówczas wartości składowych wynoszą odpowiednio: Q x = Q sin  θ = m g sin  θ oraz Q y = Q cos  θ = m g cos  θ . Zastosujmy równanie opisujące drugie prawo Newtona, aby zapisać wyrażenie na reakcji działającą na ciało spoczywające na równi pochyłej: R = m g cos  θ . Zamiast uczyć się powyższych równań na pamięć, naucz się je wyprowadzać. W tym celu narysuj prostokąt rozpięty przez składowe siły ciężkości. Wektor siły ciężkości leży na jego przekątnej. Kąt nachylenia równi θ równy jest kątowi między wektorami Q i Q y , co wynika z podobieństwa trójkątów. Mając tę wiedzę i stosując odpowiednie zależności trygonometryczne, możemy łatwo wyznaczyć składowe siły Q: cos θ = Q y Q ⇒ Q y = Q  cos θ = m  g  cos θ  , sin θ = Q x Q ⇒ Q x = Q  sin θ = m  g  sin θ  . Sprawdź, czy rozumiesz. Siła o wartości 1150 N działa równolegle do rampy, na którą wciągany jest sejf ważący 250 kg. Załóż, że między sejfem a rampą nie ma tarcia, a kąt nachylenia równi wynosi 17 ∘ . Jakie jest przyspieszenie sejfu podczas wsuwania, jeżeli nie uwzględnimy tarcia? Jeżeli uwzględnimy siłę tarcia o wartości 120 N między sejfem a rampą, jakie przyspieszenie uzyska wówczas sejf? 1,7 m/s 2 ; 1,3 m/s 2 Siły naciągu Siłą naciągu (ang. tension ) nazywamy siłę powstającą na skutek reakcji na zewnętrzną siłę napinającą. W praktyce jest to siła, z którą rozciągane jest elastyczne długie ciało, np. sznurek bądź nić. Elastyczne elementy, takie jak sznurek, lina, łańcuch, drut lub kabel, wywierają siłę naciągu skierowaną równolegle do ich długości, siła przenoszona przez nie jest naprężeniem o kierunku równoległym do łącznika. Rozważmy sens następującego zdania: „Nie możesz popchnąć liny”. Siła naciągu zawsze skierowana jest do zewnątrz odcinka liny. Rozpatrzmy osobę trzymającą pewien obiekt zawieszony na sznurku. Sytuację tę pokazano na . Gdy obiekt ważący 5 kg znajduje się w spoczynku, jego przyspieszenie całkowite wynosi zero (ponieważ działa na niego zerowa siła wypadkowa). Jedyne siły zewnętrzne działające na obiekt to jego siła ciężkości oraz siła naciągu sznura. Zatem: F wyp = N − Q = 0 , gdzie N i Q to wartości odpowiednio siły naciągu sznura i siły ciężkości obiektu. Znaki przy siłach świadczą o ich przeciwnych zwrotach. Zgodnie z drugim prawem Newtona dla tego układu, siła naciągu sznurka równoważy siłę ciężkości analizowanej masy: N = Q = m g . Dlatego w przypadku obiektu o masie 5 kg zawieszonego na sznurze (traktując sznur jako nieważki) możemy zapisać: N = m g = ( 5,00 kg ) ( 9,81 m/s 2 ) = 49,0 N . Gdybyśmy przecięli kawałek sznura i zamiast niego umieścili sprężynę, uległaby ona rozciągnięciu o długość odpowiadającą sile 49 N. Pozwoliłoby to na bezpośrednią obserwację siły naciągu sznura. Doskonale giętki element (tj. niewymagający jakiejkolwiek siły, by go zgiąć), np. sznur, przenosi siłę naciągu N → , jest ona zawsze równoległa do rozciągniętego sznura (patrz powyższy rysunek). Zgodnie z trzecim prawem Newtona sznur wywiera siły identyczne co do wartości, lecz przeciwnie skierowane (zaniedbując masę sznura). Naciąg między sznurem a ręką jest w każdym punkcie liny taki sam, więc jeśli się zna siłę naciągu liny w jednym z jej punktów, wyznaczyć można siłę naciągu w każdym innym punkcie. Elastyczne obiekty są powszechnie stosowane do przenoszenia sił wzdłuż lub wokół różnych elementów, jak ma to miejsce na przykład w przypadku ludzkich ścięgien czy linki hamulca rowerowego. Gdy tarcie w układzie nie występuje, naprężenia przenoszone są bez strat. Zmienia się jedynie kierunek siły, pozostaje on zawsze równoległy do giętkiego elementu, tak jak pokazano to na . (a) Ścięgna palców przenoszą siły N od mięśni dłoni do palców, zwykle zmieniając kierunek sił, a nie ich wartość. (b) Linka hamulca rowerowego przenosi siłę naciągu N od dźwigni hamulcowej umieszczonej na kierownicy aż do samego hamulca przy kole. Tak jak w przypadku mięśni, kierunek sił ulega zmianie, ale ich wartość się nie zmienia. Jakie siły działają podczas spaceru po linie? Oblicz siłę naciągu liny, po której spaceruje linoskoczek o masie 70 kg, jak pokazano na . Linoskoczek o masie 70 kg idąc po linie powoduje jej odchylenie od położenia poziomego o 5 , 0 ∘ . Analizowany układ stanowi punkt, w którym na poniższym rysunku stoi obecnie linoskoczek. Strategia rozwiązania Jak widać na , lina ugięła się pod ciężarem spacerującego po niej linoskoczka. Dlatego siła naciągu po każdej stronie linoskoczka ma składową skierowaną w górę, przez co może go podtrzymywać na linie. Siły to wielkości wektorowe, reprezentowane przez strzałki, które mają ten sam kierunek, co siły, a długości proporcjonalne do ich wielkości. Jedyne siły zewnętrzne działające na linoskoczka to Q → i dwie siły naciągu liny: N → L (po lewej od linoskoczka) i N → R (po jego prawej stronie). Ciężar liny możemy uznać podczas rozwiązywania tego zadania za zaniedbywalny. Wypadkowa siła w układzie wynosi zero, bo układ znajduje się w równowadze. Możemy za pomocą trygonometrii znaleźć poszczególne siły naciągu liny. Na samym początku warto zauważyć, że wartości sił naciągu liny po lewej i prawej stronie linoskoczka są takie same. Wiemy to, ponieważ nie występuje w układzie przyspieszenie mające kierunek poziomy, a jedyne siły działające w tym kierunku to N → L i N → R . Składowe poziome tych sił równoważą się. Kiedy mamy do rozwiązania problem dwuwymiarowy, w którym nie wszystkie wektory są do siebie równoległe, najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest wybranie wygodnego dla nas układu współrzędnych i zrzutowanie wektorów na zdefiniowane osie. W tym przypadku najlepszy układ współrzędnych ma jedną poziomą oś ( x ) oraz jedną pionową ( y ). Rozwiązanie Na początku konieczne jest rozłożenie każdej z sił naciągu liny na wektory składowe. Dzięki temu będziemy mogli stworzyć dwa nowe diagramy pokazujące nam rozkłady sił odpowiednio w kierunkach x i y (jak na ). Przy rozłożeniu wektorów sił na składowe pionowe i poziome, poszczególne składowe wzdłuż danej osi muszą się kompensować, ponieważ linoskoczek pozostaje w stanie równowagi. Niewielki kąt ugięcia liny świadczy o tym, że siła naciągu N jest znacznie większa niż ciężar linoskoczka Q . Rozpatrzmy jedynie poziome składowe sił naciągu (tj. wzdłuż osi x ): F wyp x = N R x − N L x . Zewnętrzna siła wypadkowa w kierunku poziomym F wyp x = 0 , dopóki linoskoczek znajduje się w stanie równowagi. Więc: F wyp x = 0 = N R x - N L x  , N L x = N R x  . Rzućmy okiem na . Można zastosować wzory trygonometryczne w celu obliczenia wartości poszczególnych składowych N L oraz N R : cos 5,0 ° = N L x N L ⇒ N L x = N L  cos 5,0 °  , cos 5,0 ° = N R x N R ⇒ N R x = N R  cos 5,0 °  . Przyrównując do siebie N L x i N R x N L cos  5 , 0 ∘ = N R cos  5 , 0 ∘ , otrzymujemy: N L = N R = N , Teraz rozpatrzmy składowe pionowe siły naciągu liny (oznaczone z indeksem y ). Jak już wspomniano, człowiek stojący na linie jest w stanie równowagi, więc F wyp = 0 . Na podstawie diagramu pokazującego rozkład sił działających na skoczka można wywnioskować, że F wyp y = N L y + N R y − Q = 0. Podobnie, jak poprzednim razem, możemy użyć zależności trygonometrycznych aby znaleźć relację między N L y , N R y i T . Analizując składowe poziome sił naciągu, dowiedzieliśmy się, że N L = N R = T . Zatem: sin 5,0 ° = N L y N L ⇒ N L y = N L  sin 5,0 °  , sin 5,0 ° = N R y N R ⇒ N R y = N R  sin 5,0 °  . Teraz możemy podstawić znane wartości N L y i N R y do wyrażenia na siłę wypadkową w kierunku pionowym: F wyp = N L y + N R y - Q = 0  , F wyp = N  sin 5,0 ° + N  sin 5,0 ° - Q = 0  , 2  N  sin 5,0 ° - Q = 0  , 2  N  sin 5,0 ° = Q  . Wynika z tego, że: N = Q 2 sin  5 , 0 ∘ = m g 2 sin  5 , 0 ∘ , Zatem szukana siła naciągu liny wynosi: N = ( 70,0 kg ) ( 9,80 m/s 2 ) 2 ( 0,0872 ) , co po obliczeniach daje wartość: N = 3 930 N . Znaczenie Pionowa składowa siły naciągu liny działa jak siła, która „podtrzymuje” ciężar linoskoczka. Otrzymana wartość siły naciągu liny okazała się prawie sześć razy większa niż ciężar linoskoczka, wynoszący około 686 N. Ponieważ dla małych kątów ugięcia lina pozostaje w pozycji prawie poziomej, składowa pionowa siły naciągu stanowi jedynie niewielki procent całej siły naciągu liny. Bardzo duże są wartości składowych poziomych sił naciągu, ich zwroty są przeciwne i siły te równoważą się. Zatem większa część siły naciągu liny nie jest zużywana na podtrzymanie linoskoczka na linie. W celu osiągnięcia dużych wartości sił naciągu, należy działać siłą w kierunku prostopadłym do liny, na przykład tak, jak pokazano na . Jak widać w , siła ciężkości linoskoczka jest siłą prostopadłą do liny. Widzimy również, że siła naciągu liny jest zależna od ciężaru linoskoczka według relacji N = Q 2 sin  θ . Możemy zastosować to wyrażenie do obliczenia siły naciągu N elementu elastycznego, wywołanej działaniem prostopadłej siły ( F ⊥ ) przyłożonej w środku geometrycznym elementu: N = F ⊥ 2 sin  θ . Kąt nachylenia liny do poziomu wynosi θ . W tym przypadku N rośnie wówczas, gdy kąt θ się zmniejsza. Zatem nawet niewielki ciężar spowoduje ugięcie giętkiej liny. Nieskończenie duża siła naciągu skutkowałaby zerowym kątem ugięcia liny ( θ = 0 i sin θ = 0 ). Na przykład przedstawia sytuację, w której konieczne jest wyciągnięcie za pomocą liny samochodu z bagna. Za każdym razem, gdy samochód porusza się do przodu, linkę holowniczą naciąga się na tyle mocno, aby utrzymywać ją w formie wyprostowanej. Siła naciągu liny wynosi: N = F ⊥ 2 sin  θ , i skoro kąt θ jest bardzo mały, to siła naciągu linki holowniczej N jest duża. Sytuacja ta wydaje się analogiczna do tej z linoskoczkiem, z wyjątkiem tego, że tutaj naprężenia przenoszone są głównie do samochodu i drzewa, nie zaś w punkcie, gdzie przyłożona została siła F ⊥ do linki. Możemy wytworzyć duże wartości siły naciągu liny, czym spowodujemy spore przemieszczenie samochodu, działając na linę siłą prostopadłą do niej, jak pokazano na powyższym rysunku. Sprawdź, czy rozumiesz. Jeden koniec linki holowniczej o długości 3 metrów jest przymocowany do dużego drzewa w pobliżu samochodu. Drugi koniec przyczepiony został do samochodu, który niefortunnie ugrzązł w bagnie. Motocyklista ciągnie linę w jej geometrycznym środku, odchylając ją o 25 cm od położenia równowagi. Jeżeli działa on siłą prostopadłą do liny, wynoszącą 200 N, wyznacz siłę wywieraną na samochód w bagnie. 6,0 ⋅ 10 2 N W podrozdziale Zastosowanie praw dynamiki Newtona , przedyskutujemy sytuacje fizyczne i układy, w których występują siły naciągu. Rozpatrzymy podobne przypadki, jak te analizowane powyżej, a także rozszerzymy je o układy niesymetryczne. Siła tarcia Tarcie jest siłą występującą w układach ruchomych, przeciwstawiającą się ruchowi ciała. Wyobraź sobie obiekt znajdujący się w spoczynku na płaszczyźnie. Siła wypadkowa działającą na obiekt musi wynosić zero, zatem siła ciężkości i siła reakcji powierzchni muszą się równoważyć. Jeśli powierzchnia jest nachylona pod pewnym kątem, jak ma to miejsce na przykład na równi pochyłej, siła reakcji równoważy jedną ze składowych siły ciężkości – prostopadła do powierzchni równi. Jeśli obiekt spoczywający na równi nie zsuwa się z niej, składowa równoległa siły ciężkości równoważona jest przez przeciwnie skierowaną siłę tarcia. Zjawisko tarcia wraz z przykładami jest omówione bardziej szczegółowo w następnym rozdziale. Siły sprężystości Sprężystość ciał to własność związana z odzyskiwaniem pierwotnego kształtu po usunięciu sił zewnętrznych wywołujących odkształcenie. Ciało odzyskuje swój kształt, ponieważ w układzie działa siła sprężystości, która powoduje powrót do położenia równowagi. Ma ona zwrot przeciwny niż kierunek wychylenia. Relacja między siłą sprężystości a wychyleniem została sformułowana w prawie Hooke’a. W matematycznej formie wygląda to następująco: F → = − k x → . Współczynnik proporcjonalności k w prawie Hooke’a to tzw. stała sprężystości układu. Siła sprężystości ma kierunek równoległy do wychylenia, a zwrot przeciwny do wektora przemieszczenia obiektu (patrz ). Przemieszczenie obiektu sprężystego musi być mierzone od punktu początkowego x = 0 , gdy sprężyna jest nienaprężona. Sprężyna na powyższym rysunku wywiera na bloczek siłę proporcjonalną do jej odkształcenia, gdy jest ściskana czy rozciągana. Jednak gdy sprężyna znajduje się w stanie spoczynku (nie jest ściśnięta ani nie rozciągnięta), nie wywiera żadnej siły na bloczek. (b) Sprężynę ściśnięto o Δ x → 1 , w efekcie wywiera ona siłę przywracającą położenie równowagi − k Δ x → 1 , skierowaną w prawo (c) Sprężynę rozciągnięto o Δ x → 2 , siła sprężystości − k Δ x → 2 skierowana jest wówczas w lewo. Siły rzeczywiste i inercjalne układy odniesienia Istnieje w przyrodzie wiele typów sił: niektóre z nich to siły rzeczywiste, natomiast inne to siły pozorne. Siły rzeczywiste mają jakieś zdefiniowane fizyczne pochodzenie, na przykład przyciąganie grawitacyjne. W przeciwieństwie do nich siły pozorne pojawiają się w przypadkach, gdy obserwator znajduje się w układzie odniesienia doznającym przyspieszenia czyli nieinercjalnym. Układ ten może obracać się (jak np. karuzela) lub posiadać przyspieszenie liniowe (jak np. zwalniający samochód). Ciekawym przykładem może być to, że jeśli satelita porusza się na północ nad półkulą północną Ziemi, to obserwatorowi stojącemu na Ziemi będzie się wydawało, że doświadcza on działania siły skierowanej na zachód, która nie ma żadnej fizycznej przyczyny. Ziemia obraca się na wschód i względem satelity porusza się na wschód. W układzie odniesienia związanym z Ziemią wygląda to tak, jakby siła wywierana na satelitę skierowana na zachód, lub pogwałcona zostałaby pierwsza zasada dynamiki Newtona. Siły pozorne możemy identyfikować, zadając sobie pytanie: „Jaka jest w danym przypadku siła reakcji?”. Gdy nie możemy jej wskazać, to siła jest pozorna. W przykładzie z satelitą krążącym nad Ziemią siłą reakcji musiałaby być siła wywierana na Ziemię, skierowana na wschód. Inercjalny układ odniesienia to taki, w którym wszystkie siły są rzeczywiste, bądź -równoważnie - taki, w którym zasady dynamiki Newtona mają prostą postać podaną w tym rozdziale. Prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół własnej osi jest na tyle niewielka, że można Ziemię traktować jako inercjalny układ odniesienia. Aby zaobserwować siły pozorne związane z ruchem obrotowym Ziemi, należy przeprowadzić bardzo dokładne pomiary. Na przykład modele obrazujące zachowanie się pogody czy też prądów oceanicznych często wymagają dokładnych obliczeń i uwzględnienia efektów niewielkich odstępstw od praw Newtona ( ). Huragan Fran został zaobserwowany w okolicach południowo-wschodniego wybrzeża Stanów Zjednoczonych we wrześniu 1996 roku. Zwróć uwagę na charakterystyczne „oko” huraganu w jego centrum. Jest to efekt występowania w układzie siły Coriolisa, powodującej odchylenie toru ruchu obiektów w układzie odniesienia obracającym się, takim jak Ziemia. Kluczowym kryterium pozwalającym zaklasyfikować analizowany układ jako inercjalny jest brak przyspieszenia lub obrotu względem znanego, nieruchomego układu odniesienia. Jeśli nie zostanie zaznaczone inaczej, wszystkie zagadnienia rozważane w tym podręczniku analizowane będą w układach inercjalnych. Siły omawiane w ramach niniejszego rozdziału są siłami rzeczywistymi, lecz nie są to jedyne siły rzeczywiste. Siły działające podczas podnoszenia przedmiotów lub siła odrzutu są bardziej skomplikowanymi siłami rzeczywistymi. Czy można powiedzieć, że jedne siły są bardziej podstawowe niż inne? Czy niektóre z nich stanowią przejawy tej samej siły? Odpowiedź na oba pytania brzmi: tak, a więcej dowiesz się, studiując zagadnienia z zakresu fizyki współczesnej. Przeanalizuj różne rodzaje ruchów i sił w za pomocą symulacji . Wykonaj symulacje, zmieniając parametry sił i ruchu przedmiotów codziennego użytku. Przeanalizuj również zależności sił, energii czy pracy. Wykonaj ćwiczenie, polegające na ściskaniu i rozciąganiu sprężyny, jak to pokazano w materiale interaktywnym , i przeanalizuj relacje między siłami, stałymi sprężystości i zmianami ich długości. Spróbuj zasymulować również sytuację, w której dwie sprężyny połączymy szeregowo i równolegle. Podsumowanie Gdy ciało spoczywa na poziomej powierzchni, doznaje działania siły reakcji od strony powierzchni, która równoważy siłę ciężkości ciała. Siła ta często nazywana jest siłą nacisku. Gdy ciało spoczywa na powierzchni nie poruszającej się z przyspieszeniem, siła reakcji zawsze równoważy siłę ciężkości ciała spoczywającego na tej powierzchni. Gdy ciało spoczywa na równi pochyłej o kącie nachylenia θ , siła ciężkości działająca na ciało rozkłada się na składowe: prostopadłą oraz równoległą do powierzchni równi. Siła rozciągająca działająca wzdłuż elastycznego elementu takiego jak kabel bądź lina nazywa się siłą naciągu. Gdy ciało zawieszone jest nieruchomo na linie, siła naciągu liny równoważy ciężar zawieszonego na niej ciała. Gdy obiekt przyspiesza, siła naciągu liny może okazać się większa niż ciężar tego obiektu. Analogicznie podczas zwalniania, naciąg liny okaże się mniejszy niż siła ciężkości. Siła tarcia występuje w układzie, w którym obiekty się poruszają. Ma zwrot przeciwny do kierunku ruchu ciała i kierunek równoległy do podłoża. Jest to siła oporu ruchu. Siła wywierana przez sprężynę podlega prawu Hooke’a. Wartość tej siły jest proporcjonalna do odkształcenia ciała i sprężyny względem jej długości swobodnej oraz do stałej sprężystości sprężyny. Rzeczywiste siły w układzie mają fizyczne źródło, w odróżnieniu od sił pozornych, które występują w układach odniesienia doznających zmiany prędkości – układach nieinercjalnych. Pytania Na dywanie w mieszkaniu stoi stół. Na stole położono książkę. Na który element układu podłoga wywiera siłę nacisku? Cząstka porusza się w prawo. Czy siła działająca na nią może być skierowana w lewo? Jeżeli tak, jak zachowa się cząstka? Czy siła na nią działająca może być skierowana w dół? Jeżeli tak, to dlaczego? Tak, siła może być skierowana w lewo. Wówczas cząstka dozna opóźnienia i będzie stopniowo spowalniać swój ruch. Tak, siła może być skierowana w dół. Przykładem jest ciężar cząstki. Mimo tego, cząstka może poruszać się w prawo. Zadania Złamana noga jest umocowana na szpitalnym wyciągu, jak pokazano na poniższym rysunku. Która część rysunku powinna służyć do obliczenia siły wywieranej na unieruchomioną nogę? Jaka jest siła naciągu liny? Na rysunku siłę naciągu oznaczono jako N → , a Q → to ciężar elementu powodującego naciąg liny w układzie. a. Rozkład sił działających na pierścień mocujący nogę to: b. N = m g , F = 2 N cos  θ = 2 m g cos  θ Załóżmy, że zamiast kości piszczelowej zostałaby unieruchomiona kość udowa w układzie z linami i krążkami, jak pokazano na poprzednim rysunku. Jak można byłoby zwiększyć siłę naciągu drutu w układzie przy użyciu tego samego ciężaru? Dwie drużyny dziewięcioosobowe postanowiły zabawić się w przeciąganie liny. Każdy z zawodników pierwszej drużyny ma masę 68 kg i działa siłą 1350 N skierowaną poziomo. Natomiast każdy zawodnik drugiej drużyny ma masę 73 kg i działa siłą 1365 N. Jaka będzie wartość przyspieszenia układu podczas przeciągania liny i która drużyna wygra? Jaka będzie siła naciągu liny w obszarze między drużynami? F wyp = M a , F 1 = 1 350 N , F 2 = 1 365 N 9 ( F 2 − F 1 ) = 9 ( m 1 + m 2 ) a , m 1 = 68 kg , m 2 = 73 kg a = 0,11 m/s 2 . Wygra więc drużyna złożona z cięższych zawodników. N − 9 F 1 = 9 m ⊥ a ⇒ N = 9 m ⊥ a + 9 F 1 = 1,2 ⋅ 10 4 N Jakie siły działają na Jolę, ważącą 45 kg gimnastyczkę, ze strony trampoliny, aby nadać jej przyspieszenie 7,50 m/s 2 ? Odpowiedź nie zależy od prędkości gimnastyczki. Oblicz siłę naciągu pionowej nici pajęczej, jeżeli masa pająka, który wisi na niej nieruchomo, wynosi 2,00 ⋅ 10 − 5 kg . Oblicz siłę naciągu poziomej nici pajęczej, jeżeli pająk znajduje się w środku nici i pozostaje w bezruchu. Nić ugina się pod pająkiem pod kątem 12 ∘ do poziomu. Porównaj obie siły naciągu obliczone w tym zadaniu. N = 1,96 ⋅ 10 − 4 N ; N ′ = 4,71 ⋅ 10 − 4 N N ′ N = 2,40 Karol, ważący 60 kg gimnastyk, wspina się po linie. (a) jaka jest siła naciągu liny w momencie, gdy gimnastyk wspina się ze stałą prędkością? Jaka jest siłą naciągu liny, gdy gimnastyk wspina się z przyspieszeniem wynoszącym 1,50 m/s 2 ? Wyprowadź wyrażenie na zależność siły naciągu N i siły F ⊥ , przyłożonej prostopadle w środku liny zaczepionej w dwóch końcach: N − F ⊥ / 2 sin  θ . F y wyp = F ⊥ − 2 N sin  θ = 0 F ⊥ = 2 N sin  θ N = F ⊥ 2 sin  θ Rozpatrz sytuację pokazaną na . Kierowca, aby wydostać z bagna samochód, działa na środek liny siłą prostopadłą o wartości 610 N, odchylając ją o 1 m od położenia równowagi. Odległość kierowcy od samochodu to wówczas 6 m. Jaka jest siła naciągu liny N ? Ptak o masie 26 g siedzi na środku przewodu telefonicznego. Udowodnij, że siłę naciągu przewodu można obliczyć, używając zależności N = m g 2 sin  θ . Oblicz wartość siły naciągu, gdy θ = 5 ∘ oraz θ = 0 , 5 ∘ . Załóż, że odchylone części przewodu są prostoliniowe. patrz 1,5 N 15 N Jeden koniec liny od długości 30 m jest przymocowany do drzewa. Drugi koniec przymocowany jest do samochodu, który niestety utknął w bagnie. Motocyklista ciągnie środek liny, z siłą prostopadłą do liny o wartości 80 N, odchylając ją o 2 m od położenia równowagi. Znajdź siłę wywieraną na samochód. Rozpatrz sytuację, w której dziecko ważone jest za pomocą wagi pokazanej na poniższym rysunku. Jaka jest masa dziecka i koszyka, jeżeli waga wskazała 55 N? Jaka jest siła naciągu N 1 w elemencie, który mocuje koszyk z dzieckiem do wagi? Jaka jest siła naciągu N 2 w elemencie, który mocuje wagę do sufitu, jeśli masa wagi wynosi 0,500 kg? Wykonaj rysunek sytuacji wraz z zaznaczeniem sił w układzie. Zaniedbaj masy elementów mocujących. 5,6 kg 55 N N 2 = 60,0 N Jaką siłę należy przyłożyć do skrzyni ważącej 100 kg, aby wciągnąć ją w górę równi pochyłej o kącie nachylenia 30 ∘ , jeżeli nie uwzględnimy tarcia, a przyspieszenie skrzyni podczas wciągania wynosi 2,0 m/s 2 ? Blok ważący 2 kg znajduje się na idealnie gładkiej powierzchni, która nachylona jest pod kątem 30 ∘ do poziomu. Jakie jest przyspieszenie bloku podczas zsuwania się z równi oraz siła, którą równia wywiera na blok? Jaką siłę należałoby przyłożyć do bloku w kierunku równoległym do powierzchni równi, aby blok mógł zsuwać się ruchem jednostajnym? 4,9 m/s 2 , 17 N 9,8 N prawo Hooke’a (ang. Hooke’s law ) prawo mechaniki klasycznej związane ze sprężystością ciał, mówi ono, że każde odkształcenie bądź wychylenie ciała z położenia równowagi pod wpływem siły jest proporcjonalne do tej siły siła nacisku reakcji (ang. normal force ) siła równoważąca ciężar danego ciała; jest prostopadła do powierzchni kontaktu dwóch ciał; siła ta jest wywierana przez powierzchnię dążącą do utrzymania na niej niezerowego ciężaru siła naciągu (ang. tension ) siła rozciągająca, działająca wzdłuż rozciągliwego elementu, takiego jak kabel czy lina

Science


Rozkłady sił działających na ciała Istotnym krokiem rozwiązania zagadnienia fizycznego z zakresu dynamiki jest rozpatrzenie wszystkich sił działających na analizowany element układu. W niniejszym podrozdziale zbadamy wiele sytuacji, aby nauczyć się, jak przeprowadzić taką analizę w sposób graficzny. Pamiętaj, że rysunek sił działających na ciało powinien uwzględniać jedynie siły zewnętrzne. Analizowane sytuacje mogą dotyczyć ciał spoczywających bądź poruszających się ruchem jednostajnym, gdzie stosujemy pierwsze prawo Newtona ( F wyp = 0 ), lub ciał przyspieszających ( F wyp ≠ 0 ). W podrozdziale Pojęcie siły sformułowaliśmy podstawowe zasady tworzenia diagramu ilustrującego rozkład siły działających na dane ciało. W tym podrozdziale omówimy to zagadnienie bardziej szczegółowo. Tworzenie diagramów sił działających na analizowany element układu Zapoznaj się z kilkoma zasadami rysowania diagramów sił działających na ciało: Narysuj analizowany przez ciebie obiekt (to może być bardzo schematyczny rysunek). Możesz zacząć od zakreślenia badanego obiektu (ciała), aby skupić uwagę na siłach działających na to ciało. Jeżeli traktujesz ciało jako punktowe (jego kształt i wielkość są nieistotne), to możesz zobrazować je jako punkt, zwykle wygodnie jest umieścić badane ciało w początku układu współrzędnych x y . Narysuj wszystkie działające na to ciało siły, uwzględniając ich wartość, kierunek i zwrot. Uwzględnij każdy typ sił, który analizowaliśmy w poprzednich podrozdziałach. Pamiętaj jednak, te siły, które ciało wywiera na swoje otoczenie, oraz siły wewnętrzne nie powinny zostać uwzględnione. Nadaj teraz swojemu diagramowi bardziej szczegółową formę, rozkładając siły na składowe x i y (jest to bardzo przydatne przy rozwiązywania zagadnień z wykorzystaniem pierwszej i drugiej zasady dynamiki). Dokonując tego rozkładu przekreślaj wyjściową siłę wężykiem, aby pamiętać, że nie należy już jej brać pod uwagę (została w sposób całkowicie równoważny zastąpiona przez swoje składowe). Jeżeli w układzie znajduje się więcej niż jedno ciało, narysuj diagram sił osobno dla każdego z nich w ten sam sposób. Uwaga: Jeżeli układ ma pewne przyspieszenie, nie nanosimy go bezpośrednio na diagram sił działających na ciało. Możemy zaznaczyć je w formie wektora obok naszego rysunku. Warto użyć innego koloru, by zaznaczyć, że wektor przyspieszenia nie jest częścią rozkładu sił. Zastosujmy to podejście do przykładu znajdującego się na rysunku (a), pokazującego sanie znajdujące się na płaszczyźnie. Na rysunku (b), pokazaliśmy rysunek rozkładu sił działających na sanie zarówno bez (b), jak i z rozłożeniem (c) siły P na składowe wzdłuż osi x - i y . (a) Poruszające się sanie; (b) rozkład sił działających na sanie; (c) ten sam rozkład uwzględniający rozłożoną na składowe siłę P. Klocki na równi pochyłej Narysuj rozkład sił działających na ciała A i B na równi pochyłej, jak pokazano na . Strategia rozwiązania Zastosujmy do rozwiązania tego zagadnienia metodą opisaną wyżej. Rozwiązanie Na początku zaczniemy analizować jedynie obiekt A na (a). Klocek ten zaznaczono szarą obwódką i oznaczono jako A. (a) Rozkład sił działających na element A układu. (b) Diagram sił działających na obiekt B. Porównując oba rysunki widzimy, że siła tarcia skierowana jest na nich w przeciwne strony. Dzieje się tak, ponieważ ciało A doświadcza siły, która pcha je w prawo, przez co siła tarcia musi być zwrócona w lewą stronę. W przypadku ciała B, siła ta zwrócona jest odwrotnie. Siła tarcia zawsze ma zwrot przeciwny do kierunku ruchu. Rozpatrzmy wszystkie siły działające na ciała na równi. Siła ciężkości działa na każde z nich i jest skierowana w dół, prostopadle do podstawy równi. Siła naciągu pochodząca od sznura, który wciąga w górę równi dwa klocki, zaznaczona została od obiektu w górę równi, równolegle do jej powierzchni. Klocek A posiada jedną powierzchnię styczną z klockiem B, dlatego też doświadcza działania siły prostopadłej do powierzchni styku. Źródłem tej siły jest obiekt B. Ponieważ obiekt B dąży do zsunięcia się z równi, obiekt A będzie się przemieszczał względem niego w górę. Siła tarcia T BA jest więc skierowana w dół. Klocek B doświadcza działania dwóch sił nacisku. Jedna z nich pochodzi od kontaktu z równią pochyłą ( R B ), a druga z kontaktu z klockiem A ( R AB ). Działą też na niego siła tarcia T B skierowana w górę równi, równolegle do niej. Widoczna na rysunku siła tarcia T AB wynika z kontaktu dwóch klocków ze sobą. Zwrot tej siły jest taki sam, jak siły T B . Znaczenie Każdy z analizowanych obiektów w układzie został zakreślony na szaro. Gdy pierwszy raz podchodzisz do zagadnienia związanego z analizą rozkładu sił działających na ciała, zakreślanie kolejnych ciał może ci znacząco pomóc w odseparowaniu od siebie elementów układu. Dzięki temu zauważysz, które siły są rzeczywiście zewnętrzne i istotne, a które pochodzą z wewnątrz układu. Dwa złączone klocki Przyłożono siłę do dwóch złączonych ze sobą klocków, jak pokazano na rysunku. Strategia rozwiązania Narysuj rozkład sił działających na każdy z klocków. Zastosuj trzecie prawo Newtona, aby zauważyć, co dzieje się na styku dwóch ciał. Rozwiązanie Znaczenie Siła A → 21 to siła reakcji wywierana przez klocek 2 na 1. Z kolei siła A → 12 to siła reakcji wywierana przez klocek 1 na 2. Klocek na stole Na stole spoczywa klocek, jak na poniższym rysunku. Przez nieważki bloczek przerzucono nieważką nić, którą połączono klocek na stole z drugim klockiem, swobodnie wiszącym w powietrzu. Klocek drugi o masie m 2 , na który działa siła ciężkości, powoduje występowanie w układzie przyspieszenia. Strategia rozwiązania Załóżmy, że nić jest nieważka i nierozciągliwa. Wówczas nie musimy traktować jej jako osobny obiekt w układzie. Narysujmy diagramy sił działających na dwa klocki. Rozwiązanie Znaczenie Każdy z klocków ma przyspieszenie odpowiednio a → 1 i a → 2 . Jako że nić jest nierozciągliwa, obydwa klocki mają to samo przyspieszenie, a → 1 = a → 2 . Zatem rozwiązując to zagadnienie, możemy przyspieszenie liniowe układu nazwać po prostu a → . Tworzymy dwa diagramy sił, osobno dla każdego z klocków. Umożliwi to znalezienie siły naciągu nici N poprzez rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Ponieważ nić traktujemy jako nieważką, siła naciągu nici jest jednakowa na całej jej długości. Sprawdź, czy rozumiesz. (a) Narysuj wszystkie siły działające na obydwie masy pokazane na poniższym rysunku. (b) Wykonaj podobny rysunek, rozkładając siły ciężkości dwóch ciał na równi na wektory składowe. Użyj układów współrzędnych z osiami x wzdłuż równi. ; Zapoznaj się z symulacją aby przeanalizować, jak siły zewnętrzne wpływają na ruch obiektów. Skorzystaj z rysunków zawierających rozkłady sił działających na te ciała. Możesz również narysować wykresy pokazujące zależności prędkości i przyspieszenia ciała. Wyjaśnij, jak te zależności są ze sobą powiązane. Podsumowanie Aby wykonać diagram z rozkładem sił działających na ciało, narysuj wszystkie siły zewnętrzne działające na analizowany obiekt i rozłóż wektory sił na składowe wzdłuż osi x i y . Należy wykonać osobny diagram dla każdego obiektu występującego w układzie. Rysunek z rozkładem sił działających na obiekt jest niezwykle pomocny w przypadku rozwiązywania problemów dynamicznych. Stosujemy go przy rozwiązywaniu zagadnień w oparciu o zasady dynamiki Newtona. Najważniejsze wzory Siła wypadkowa zewnętrzna F → wyp = ∑ F → = F → 1 + F → 2 + . . . Pierwsze prawo Newtona v → = const, gdy F → wyp = 0 → N Drugie prawo Newtona, zapis wektorowy F → wyp = ∑ F → = m a → Drugie prawo Newtona, zapis skalarny F wyp = m a Drugie prawo Netwona, zapis wektorowy przy rozkładzie sił na składowe ∑ F → x = m a → x , ∑ F → y = m a → y oraz ∑ F → z = m a → z Drugie prawo Newtona wyrażone za pomocą pędu F → wyp = d p → d t Definicja siły ciężkości, zapis wektorowy Q → = m g → Definicja siły ciężkości, zapis skalarny Q = m g Trzecie prawo Newtona F → AB = − F → BA Siła reakcji podłoża dla obiektu spoczywającego na równi poziomej, zapis wektorowy R → = − m g → Siła reakcji podłoża dla obiektu spoczywającego na równi poziomej, zapis skalarny R = m g Siła reakcji podłoża dla obiektu spoczywającego na równi pochyłej, zapis wektorowy R = m g ⋅ cos  θ Siła naciągu w układzie masy m zawieszonej na linie, zapis skalarny N = Q = m g Pytania Po narysowaniu wszystkich sił działających na ciało, co w następnej kolejności powinniśmy zrobić, aby rozwiązać w pełni zagadnienie? W przypadku książki spoczywającej na równi, jak wiele sił powinniśmy nanieść na rysunek będący diagramem sił działających na książkę? Opisz te siły. To dwie siły: siła ciężkości książki oraz siła reakcji od podłoża (siła nacisku). Gdyby książka wspomniana w poprzednim pytaniu spadała swobodnie, jak wiele sił działałoby wówczas na książkę? Narysuj wszystkie siły i opisz je. Zadania Piłka o masie m wisi przyczepiona do sprężyny. Zidentyfikuj wszystkie siły w układzie. Narysuj rozkład sił działających na piłkę. Samochód porusza się po ulicy w kierunku poziomym. Narysuj diagram sił na niego działających. Pamiętaj o uwzględnieniu siły tarcia. Biegacz biegnie po bieżni, jak pokazano na rysunku. Stwórz diagram sił działających na biegacza. Przyłóż wektory sił do środka jego ciała. Uwzględnij ciężar. Stwórz podobny diagram, rozkładając siły na wektory składowe w układzie współrzędnych x y . Światła uliczne wiszą na dwóch linach, jak pokazano na poniższym rysunku. Narysuj rozkład wszystkich sił działających w tym układzie. Zadania Ciągniki kosmiczne wywierają dwie niewielkie siły F → 1 = − 2,40 i ^ − 6,10 j ^ N i F → 2 = 8,50 i ^ − 9,70 j ^ N na asteroidę. Znajdź siłę wypadkową działającą na asteroidę; Znajdź kierunek i wartość siły wypadkowej; Jeżeli masa asteroidy wynosi 125 kg, jakie jest jej przyspieszenie? Znajdź kierunek i wartość przyspieszenia asteroidy. Dwie siły o wartościach 25 i 45 N działają na obiekt. Ich kierunki różnią się o kąt 70 ∘ . Wartość przyspieszenia obiektu to 10,0 m/s 2 . Jaka jest masa obiektu? 5,90 kg Siła o wartości 1600 N działa równolegle do rampy, pchając do przodu pianino o masie 300 kg. Rampa nachylona jest do poziomu pod kątem 20 ∘ . Znajdź przyspieszenie pianina podczas wciągania go po rampie. Jaka jest prędkość pianina na wysokości 4 m ponad ziemią? Narysuj wszystkie siły działające na nurka w różnych momentach po wejściu do wody. W przypadku pływaka, który wskakuje do wody, siła oporu powietrza podczas wyskoku jest pomijalnie mała. Masa pływaka wynosi 80 kg, a wysokość, z której skoczył, wynosi 10 m. Trzy sekundy po wskoczeniu do wody zatrzymał się. Jaka średnia siła działała w tym momencie na pływaka ze strony wody? Znajdź wyrażenie opisujące wartość siły wypadkowej potrzebnej, aby zatrzymać samochód o masie m poruszający się z prędkością v 0 , wiedząc, że zatrzymał się po przejechaniu odległości x . Znajdź wartość siły wypadkowej wiedząc, że masa samochodu wynosi 1050 kg, prędkość początkowa to 40 km/h, a samochód zatrzymał się po przejechaniu 25 m. F wyp = m ( v 2 − v 0 2 ) 2 x ; 2590 N Łódka ma masę 1,50 ⋅ 10 3 kg i porusza się do przodu pod wpływem siły 2,00 ⋅ 10 3 N działającej w kierunku na wschód. Wiatr wieje w kierunku 45 ∘ na północny wschód, a jego siła wynosi 3,00 ⋅ 10 3 N. Znajdź kierunek i wartość przyspieszenia łódki. Znajdź przyspieszenie ciała o masie 10,0 kg pokazanego na poniższym rysunku. F → wyp = ( 4,05 i ^ + 12,0 j ^ ) N F → wyp = m a → ⇒ a → = ( 0,405 i ^ + 1,20 j ^ ) m/s 2 Ciało o masie 2,0 kg porusza się wzdłuż osi x , uzyskując prędkość 3,0 m/s, w chwili pokazanej na poniższym rysunku. Jakie jest przyspieszenie ciała? Jaka będzie prędkość ciała 10 s później? Jaką drogę pokona ciało po 10 s? Siła F → B ma wartość dwa razy większą niż F → A . Znajdź kierunek przyspieszenia ciała, przedstawionego na poniższym rysunku. F → wyp = F → A + F → B F → wyp = A i ^ + ( − 1,41 A i ^ − 1,41 A j ^ ) F → wyp = A ( − 0,41 i ^ − 1,41 j ^ ) θ = 254 ∘ Ciało o masie 1 kg poddano działaniu sił F → A , F → B , oraz m g → . Jeżeli ciało porusza się w lewo z przyspieszeniem o wartości 0,20 m/s 2 , jakie są wartości sił F → A i F → B ? Rysunek poniżej przedstawia ciało o masie 1,0 kg pod działaniem sił F → A , F → B i m  g → . Znajdź F → A i F → B , jeśli ciało ma przyspieszenie 20  m / s 2 skierowane w lewo. Samochód o masie m porusza się wzdłuż osi x . Siła działająca na niego sprawia, że jego prędkość zmienia się wraz z położeniem x zgodnie z równaniem v = k x 2 , gdzie k to pewna stała. Znajdź siłę działającą na samochód w funkcji jego położenia. F = 2 k m x ; Na początku oblicz pochodną prędkości, aby otrzymać przyspieszenie ciała a = 2 k x . Później przyspieszenie wstaw do wyrażenia opisującego drugie prawo Newtona: F = m a = m ( 2 k x ) = 2 k m x . Siła o wartości 7,0 N przyłożona została do ciała o masie 1 kg spoczywającego na równi pochyłej. Równia nachylona jest pod kątem 20 ∘ . Tarcie między ciałem a równią zaniedbujemy. Znajdź przyspieszenie ciała. Znajdź przyspieszenie zakładając, że w układzie występuje siła tarcia o wartości 1,9 N. Dwa pudełka, A i B, są początkowo w spoczynku. Pudełko A spoczywa na równi poziomej, natomiast pudełko B spoczywa na równi pochyłej nachylonej pod kątem θ . Napisz wyrażenia opisujące siły reakcji podłoża działające na pudełka. Porównaj te dwie siły. Która z nich jest większa i dlaczego? Jeżeli kąt nachylenia równi wynosi 10 ∘ , która z sił jest większa? W przypadku pudełka A, N A = m g , a w przypadku pudełka B N B = m g ⋅ cos  θ ; b. N A > N B ponieważ dla θ < 90 ∘ cos  θ < 1 N A > N B gdy θ = 10 ∘ Ciało o masie 250,0 g zostało przyczepione do sprężyny i zawieszone pionowo nad ziemią. Sprężyna pod wpływem ciężaru ciała wydłużyła się o 6,00 cm. Jak bardzo rozciągnęłaby się sprężyna, gdyby zawisło na niej ciało o masie 530,0 g? Ciało o ciężarze 15,0 N zawieszono na dwóch identycznych sprężynach o stałej sprężystości 20  N / m , jak pokazano na poniższym rysunku. Jaka jest siła naprężenia sprężyny A? Jakie jest wydłużenie sprężyny A? 8,66 N; 0,433 m Ciało o masie 30,0 kg spoczywa na równi pochyłej o kącie nachylenia 60 ∘ . Ciało to przymocowane jest do sprężyny, która wydłużyła się o 5,0 cm. Jaka jest stała sprężystości sprężyny? Przy budowie domu stolarze wyciągają gwoździe z dużego pudełka. Pudełko jest przymocowane do sprężyny, aby zmierzyć zużycie gwoździ. Na początku dnia, sprężyna była wydłużona o 50 cm, a na końcu o 30 cm. Ile procent gwoździ zostało zużytych tego dnia? 0,40 lub inaczej 40% Do ciała o masie M = 5,00 kg znajdującego się na równi pochyłej o kącie nachylenia 30 ∘ przyłożono siłę F = 65,0 N jak na poniższym rysunku, przez co ciało poruszało się w górę równi. Tarcie między ciałem a równią należy zaniedbać. Jakie jest przyspieszenie ciała? Dwie siły przyłożono do ciała o masie 5,0 kg, na skutek czego ciało uzyskało przyspieszenie 2,0 m/s 2 w kierunku dodatniej półosi y . Jeżeli jedna z sił działa w kierunku dodatniej półosi x i ma wartość 12 N, to jaka jest wartość drugiej siły? 16 N Dwie masy przerzucono przez nieważki bloczek i połączono nieważką i nierozciągliwą nicią. Jedna z mas jest większa niż druga ( m 2 > m 1 ). Narysuj wszystkie siły działające na każdą z mas. Zadania dodatkowe Jeżeli dwie motorówki holują trzecią, niesprawną motorówkę (jak pokazano na poniższym rysunku), trzecia motorówka będzie poruszać się w kierunku działania siły wypadkowej. (a) Narysuj diagram sił działających na trzecią motorówkę. Załóż brak sił oporu ruchu. (b) Czy uwzględniłeś wszystkie siły zaznaczone na rysunku rysując diagram sił? Dlaczego? Nie wszystkie siły powinny zostać naniesione na taki diagram; siła F → R nie została naniesiona, ponieważ jest wypadkową sił F → 1 i F → 2 . Ciało o masie 10,0 kg porusza się na wschód z prędkością 15,0 m/s. W pewnym momencie przez 2 s działa na nie siła, w wyniku czego ciało zmienia kierunek ruchu na północny wschód, nadal z prędkością 15,0 m/s. Jaki był kierunek i wartość średniej siły działającej na to ciało? 25 czerwca 1983 roku sportowiec niemiecki Udo Beyer pchnął kulę o masie 7,26 kg na odległość 22,22 m, ustanawiając ówczesny rekord świata. Jeżeli pchnięcie nastąpiło na wysokości 2,2 m, a kąt wyrzutu to 45 , 0 ∘ , jaka była prędkość początkowa wyrzutu? Jeżeli podczas wyrzutu z dłoni Beyera kula przyspieszała na dystansie 1,2 m, jaka była siła wypadkowa na nią działająca? 14,1 m/s 601 N Ciało o masie m porusza się w kierunku poziomym. Położenie ciała zmienia się z czasem zgodnie z relacją x ( t ) = a t 4 + b t 3 + c t , gdzie a , b , i c to pewne stałe. Znaleźć przyspieszenie ciała; Znaleźć zależność siły od czasu. Ciało o masie m ma prędkość początkową v 0 skierowaną w stronę dodatniej półosi x . Do ciała przyłożono stałą siłę F w czasie t , aż prędkość ciała zmalała do zera. Siła ta działała na to ciało nadal, aż do momentu, w którym prędkość ciała wyniosła − v 0 . Zapisz wyrażenie opisujące drogę ciała od podanych parametrów. F m t 2 Prędkości ciała o masie 3,0 kg po czasie odpowiednio t = 6,0 s i t = 8,0 s wynoszą ( 3,0 i ^ − 6,0 j ^ + 4,0 k ^ ) m/s i ( − 2,0 i ^ + 4,0 k ^ ) m/s . Wiedząc, że ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem, znajdź działającą na nie siłę wypadkową. Astronauta o masie 120 kg znajduje się w saniach rakietowych, które przemieszczają się wzdłuż równi pochyłej. Składowa pozioma przyspieszenia rakiety to 5,0 m/s 2 , natomiast składowa pionowa wynosi 3,8 m/s 2 . Znajdź wartość siły działającej na astronautę w rakiecie. Pamiętaj o sile grawitacji. 936 N Dwie siły działają na obiekt o masie 5,0 kg, w wyniku czego uzyskuje on przyspieszenie 2,0 m/s 2 w kierunku dodatniej półosi y . Jeżeli jedna z tych sił działa kierunku dodatniej osi x i ma wartość 12 N, jaka jest wartość drugiej siły? Załóżmy, że oglądasz mecz piłki nożnej z helikoptera znajdującego się nad boiskiem. Dwóch piłkarzy jednocześnie kopnęło piłkę. Masa piłki wynosi 420 g. Pierwszy z piłkarzy zadziałał na piłkę siłą o wartości 162 N skierowaną pod kątem 9 , 0 ∘ na północ od kierunku zachodniego. W tym samy momencie siła od drugiego piłkarza wynosiła 215 N i miała kierunek 15 ∘ na wschód od kierunku południowego. Znajdź przyspieszenie piłki i zapisz wektor w notacji wersorowej (za pomocą wersorów i ^ i j ^ ). a → = ( − 248 i ^ − 433 j ^ ) m/s 2 Obiekt o masie 10,0 kg wisi na sprężynie o stałej sprężystości 535 N/m. Znajdź wydłużenie sprężyny. (Załóż, że g = 9,80 m/s 2 .) Ozdoba w kształcie dwóch kostek do gry o masie 0,0502 kg zawieszona została przy lusterku wstecznym samochodu. Kostki wiszą na dwóch gumkach. Samochód porusza się ze stałym przyspieszeniem, a kostki wiszą pod kątem 3 , 20 ∘ do pionu. Znajdź wartość przyspieszenia samochodu. 0,548 m/s 2 W cyrku osiołek ciągnie sanie, na których znajduje się mały klaun. Siła ciągu to ( 2,48 i ^ + 4,33 j ^ ) N . W pewnym momencie sanie zaczyna ciągnąć koń, pomagając nieszczęsnemu osiołkowi, działa on na sanie siłą ( 6,56 i ^ + 5,33 j ^ ) N . Masa sań wynosi 575 kg. Znajdź wektor siły wypadkowej i zapisz go w notacji wersorowej dla przypadku, gdy sanie ciągną dwa zwierzęta jednocześnie; znajdź przyspieszenie sań; znajdź prędkość sań po 6,5 s ruchu. Zabawka umieszczana nad dziecięcym łóżeczkiem składa się z elastycznej linki oraz zwierzaków plastikowych, zawieszonych na lince w różnych jej miejscach. Sytuację przedstawiono na poniższym rysunku. Każda z figurek ma masę m , a odległość między miejscami ich umocowania na lince wynosi d i jest stała. Między linką i podporą na łóżeczku utworzył się kąt θ . Środkowy segment ma kierunek poziomy (patrz rysunek). Sąsiednie segmenty tworzą z poziomem kąt ϕ (patrz rysunek). Oznaczmy siły naciągu w kolejnych segmentach nici (od góry) jako N 1 , N 2 oraz N 3 . Znajdź wyrażenia na siły naciągu nici w każdym jej fragmencie w funkcji kątów podanych w treści zadania. Znajdź zależność wiążącą kąty ϕ i θ . Jaka jest wartość kąta ϕ , jeżeli kąt θ = 5 , 10 ∘ ? Znajdź odległość x między końcami w funkcji długości d oraz kąta θ . N 1 = 2 m g sin  θ , N 2 = m g sin  ( arctg ( 1 2 tg θ ) ) , N 3 = 2 m g tg θ ϕ = arctg ( 1 2 tg θ ) 2 , 56 ∘ x = d ( 2 cos  θ + 2 cos  ( arctg ( 1 2 tg θ ) ) + 1 ) Pocisk karabinu ma masę 10,0 g i porusza się w prawo z prędkością 350 m/s. Trafia w cel, duży worek z piaskiem, wbijając się do środka na głębokość 34,0 cm. Znajdź kierunek i wartość siły hamującej pocisk wewnątrz worka. Ciało poddane jest działaniu trzech sił: F → 1 = ( − 3,00 i ^ + 2,00 j ^ ) N , F → 2 = ( 6,00 i ^ − 4,00 j ^ ) N oraz F → 3 = ( 2,00 i ^ + 5,00 j ^ ) N . Przyspieszenie ciała wynosi 4,23 m/s 2 . Znajdź wektor przyspieszenia ciała w funkcji jego masy m . Znajdź masę ciała. Znajdź prędkość ciała po 5 s ruchu, jeśli początkowo było on w spoczynku. Znajdź składowe wektora prędkości po 5 s ruchu. a → = ( 5,00 m i ^ + 3,00 m j ^ ) m/s 2 1,38 kg 21,2 m/s v → = ( 18,1 i ^ + 10,9 j ^ ) m/s 2 W akceleratorze cząstek proton ma masę 1,67 ⋅ 10 − 27 kg i prędkość początkową 2,00 ⋅ 10 5 m/s . Proton ten porusza się po linii prostej i po przebyciu drogi 10,0 cm jego prędkość wynosi 9,00 ⋅ 10 5 m/s . Zakładając, że przyspieszenie protonu jest stałe, znajdź wartość siły wypadkowej działającej na proton. Dron o masie 1,5 kg leci bezpośrednio nad zamarzniętym jeziorem z prędkością 3,00 i ^ m/s . Po 10,0 s lotu jego prędkość zmieniła się do wartości ( 9,00 i ^ + 4,00 j ^ ) m/s . Zakładając, że w kierunku poziomym działa na niego stała siła powodująca zmianę jego prędkości, znajdź (a) składowe siły i (b) wartość tej siły. ( 0,900 i ^ + 0,600 j ^ ) N 1,08 N

Science


Wstęp Samochody wyścigowe biorące udział w rajdach osiągają często prędkości przekraczające 300 km/h. W ostatnich latach wyścigi samochodowe zyskały bardzo na popularności. Gdy samochody na zakręcie poruszają się po torze krzywoliniowym, ich koła również szybko się obracają. Koła wykonują wiele pełnych obrotów, podczas gdy samochód wykona jedynie część jednego obrotu (po łuku). Jak opisalibyśmy prędkości, przyspieszenia i siły działające w tym przypadku? Jaka siła chroni samochód przed wypadnięciem z zakrętu czy uderzeniem w bandę ochronną? Co wywołuję tę siłę? Dlaczego tory są otoczone bandami ochronnymi? Odpowiedzi na te i na inne pytania związane z zasadami dynamiki Newtona znajdziecie w niniejszym rozdziale.

Science