Teoria grawitacji Einsteina Prawo powszechnego ciążenia wyjaśnia wiele faktów obserwacyjnych, które dostrzegliśmy w naszym Układzie Słonecznym. Rzeczywiście, same prawa Newtona wystarczyły, aby precyzyjnie wysłać każdy pojazd kosmiczny w podróż. Tory asteroid przecinających orbitę Ziemi i większości innych ciał niebieskich mogą być także dokładnie określone przy użyciu jedynie praw Newtona. Niemniej jednak, wiele zjawisk wykazało rozbieżność od tego, co przewidują prawa Newtona. Są to m.in. precesja orbity Merkurego i sposób, w jaki grawitacja oddziałuje ze światłem. W tym podrozdziale zapoznamy się z innym sposobem podejścia do grawitacji. Rewolucja w podejściu W 1905 roku Albert Einstein (1879–1955) opublikował szczególną teorię względności (ang. Theory of Special Relativity ). Teoria ta została omówiona szczegółowo w rozdziale Teoria względności , więc powiemy w tym miejscu o niej tylko kilka słów. W teorii tej, prędkość żadnego ciała nie może przekroczyć prędkości światła — jest ona swoistym ograniczeniem prędkości w całym Wszechświecie. Ten prosty fakt został zweryfikowany w niezliczonych eksperymentach. Niesie on jednak ze sobą fundamentalne konsekwencje — przestrzeń i czas nie są absolutne. Dwie osoby poruszające się względem siebie nie zgadzają się co do wyniku pomiaru długości poruszających się obiektów oraz upływającego czasu. Prawie wszystkie prawa mechaniki, których nauczyłeś się w poprzednich rozdziałach, pomimo że są wyjątkowo dokładne nawet przy prędkościach rzędu wielu tysięcy kilometrów na sekundę, zaczynają zawodzić, gdy prędkość ciała zbliża się do prędkości światła. To ograniczenie wartości prędkości we Wszechświecie było również wyzwaniem dla nieodłącznego założenia prawa powszechnego ciążenia, że grawitacja jest siłą działającą na odległość (ang. action-at-a-distance force ). Oznacza to, że bez kontaktu fizycznego, każda zmiana położenia jednego ciała jest natychmiastowo przekazywana do wszystkich innych ciał. Założenie to nie wywodzi się z żadnej pierwszej zasady, a teoria Newtona po prostu nie rozwodzi się nad tym problemem. (Podobnie zakładano w przypadku sił elektromagnetycznych. Można śmiało powiedzieć, że większość naukowców nie czuło się w pełni pogodzonych z koncepcją siły działającej na odległość). W prawie powszechnego ciążenia ( ) pojawia się również drugie założenie. Zakłada się, że masy występujące w tym prawie są dokładnie takie same, jak te stosowane w drugiej zasadzie dynamiki Newtona F → = m a → . Poczyniliśmy to założenie w wielu naszych wyprowadzeniach w tym rozdziale. Ponownie, nie ma żadnej podstawowej zasady stwierdzającej, że tak musi być, ale wyniki doświadczalne są zgodne z tym założeniem. W kolejnej (1916 r.) ogólnej teorii względności (ang. Theory of General Relativity ) Einstein, rozwiązał oba te problemy. Jego teoria opisuje geometrię czasoprzestrzeni (ang. space-time geometry ) oraz to, jak masa (i przyspieszenie) oddziałują z czasoprzestrzenią i jak ją zakłócają. Nie jest to na pewno teoria sił grawitacyjnych. Matematyka stosowana w ogólnej teorii względności wykracza poza zakres tego kursu, ale możemy zapoznać się z kilkoma podstawowymi zasadami wynikającymi z tej teorii oraz ich konsekwencjami. Zasada równoważności Einstein doszedł po części do ogólnej teorii względności, zastanawiając się, dlaczego ktoś, kto spada swobodnie nie czuje swojej wagi. Powszechnie mówi się, że astronauci na orbicie Ziemi są w stanie nieważkości pomimo faktu, że grawitacja Ziemi jest tam wciąż stosunkowo silna. W ogólnej teorii względności Einsteina nie ma żadnej różnicy pomiędzy spadkiem swobodnym i przebywaniem w stanie nieważkości. Jest to tak zwana zasada równoważności (ang. Principle of Equivalence ). Równie zaskakującym następstwem tej zasady jest fakt, że nie ma różnicy między jednorodnym polem grawitacyjnym i jednostajnym przyspieszeniem w przypadku braku grawitacji. Skupmy się na tym ostatnim stwierdzeniu. Chociaż doskonale jednorodne pole grawitacyjne istnieje tylko teoretycznie, możemy korzystać z takiego przybliżenia do opisu pól rzeczywistych. W każdym laboratorium na Ziemi pole grawitacyjne g → jest w zasadzie jednorodne. Następstwem tego stwierdzenia jest fakt, że wszystkie eksperymenty fizyczne wykonywane w ziemskim laboratorium dadzą takie same wyniki, jak te wykonywane w laboratorium znajdującym się w przestrzeni kosmicznej, z dala od wszystkich innych mas, poruszającym się z przyspieszeniem a = g a=g . przedstawia tę ideę. Zgodnie z zasadą równoważności wyniki wszystkich doświadczeń przeprowadzonych w jednorodnym polu grawitacyjnym w laboratorium są identyczne z wynikami takich samych eksperymentów, przeprowadzonych w jednostajnie przyspieszającym laboratorium. Jak to możliwe, że te dwie pozornie zasadniczo różne sytuacje są takie same? Odpowiedź wynika z faktu, że grawitacja nie jest siłą działającą między dwoma ciałami, lecz jest wynikiem oddziaływania każdego ciała z efektami, jakie inne ciała wywierają na czasoprzestrzeń go otaczającą. Jednorodne pole grawitacyjne i ruch jednostajnie przyspieszony mają dokładnie taki sam wpływ na czasoprzestrzeń. Geometryczne podejście do teorii grawitacji Geometria euklidesowa zakłada, że przestrzeń jest płaska. Jej najpowszechniej znane cechy to: linia prosta jest najkrótszą odległością pomiędzy dwoma punktami, suma kątów każdego trójkąta wynosi 180 stopni, a linie równoległe nigdy się nie przecinają. Geometrie nieeuklidesowe to takie, w których co najmniej jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej nie jest spełniony. Nie były one przedmiotem dokładnych badań aż do XIX wieku, więc nie dziwi nas fakt, że przestrzeń euklidesowa występuje we wszystkich prawach Newtona. Ogólna teoria względności kwestionuje tę długo obowiązującą koncepcję. Tylko pusta przestrzeń jest płaska. Obecność masy — lub energii, gdyż teoria względności nie odróżnia tych dwóch wielkości, zakrzywia czas i przestrzeń, czyli czasoprzestrzeń wokół niej. Ruch każdego innego ciała posiadającego masę jest po prostu reakcją na zakrzywienie czasoprzestrzeni. jest dwuwymiarowym przedstawieniem ciała o mniejszej masie, krążącego wokół ciała o większej masie, w reakcji na zakrzywienie przestrzeni, wynikające z obecności tej większej masy. Na bardziej precyzyjnym, jednak równocześnie bardziej skomplikowanym, a tym samym mniej czytelnym rysunku, widzielibyśmy również przestrzeń zakrzywioną przez orbitującą masę i wówczas obie masy byłyby w ruchu (wokół ich wspólnego środka masy), w reakcji na całkowite zakrzywienie przestrzeni. Zauważ, że rysunek ten pomaga tylko zobrazować ideę. W rzeczywistości są to zakrzywienia trójwymiarowej przestrzeni i czasu. Nie widzimy tych zakrzywień tak, jak widzielibyśmy dołki pod kulami. Obserwujemy je tylko dzięki starannym pomiarom ruchu ciał i światła w przestrzeni. Mniejsza masa orbitująca w zakrzywionej przez większą masę czasoprzestrzeni. W rzeczywistości każda masa i energia zakrzywiają czasoprzestrzeń. Dla słabych pól grawitacyjnych wyniki uzyskiwane przy zastosowaniu ogólnej teorii względności Einsteina nie różnią się znacząco od tych uzyskanych na podstawie prawa powszechnego ciążenia Newtona. W przypadku silnych pól grawitacyjnych wyniki różnią się i to właśnie ogólna teoria względności daje poprawne rezultaty. Różnicę tę możemy zauważyć nawet w stosunkowo słabym polu grawitacyjnym Słońca w odległości orbity Merkurego. Począwszy od połowy XIX wieku zaczęto wykonywać dokładne pomiary eliptycznej orbity Merkurego. Chociaż jego orbita jest eliptyczna, to ruch Merkurego jest dodatkowo skomplikowany przez fakt, że położenia peryhelium i aphelium elipsy powoli się przemieszczają. Większość tej precesji wynika z grawitacyjnego oddziaływania innych planet, ale niewielki jej składnik nie mógł być obliczony na podstawie praw Newtona. W pewnym momencie szukano nawet towarzyszącej mu planety, która wyjaśniłaby tę różnicę. Jednak ogólna teoria względności poprawnie przewiduje przeprowadzone pomiary. Od tego czasu wykonano wiele pomiarów, takich jak zakrzywienie promienia światła w obecności dużych obiektów, takich jak Słońce, które potwierdziły, że ogólna teoria względności jest w pełni poprawna. Zamkniemy tę dyskusję pewnym końcowym stwierdzeniem. Mówiliśmy o zakrzywieniu czasoprzestrzeni lub zakrzywieniu przestrzeni i czasu. Zarówno w ogólnej, jak i w szczególnej teorii względności wymiar czasu jest równorzędny z każdym wymiarem przestrzennym (różniący się w obu teoriach jedynie bliskim jedności czynnikiem skali). W pobliżu bardzo dużej masy nie tylko przestrzeń się zakrzywia, ale też upływ czasu jest rozciągnięty i spowolniony. Omówimy te efekty dokładniej w dalszej części rozdziału. Czarne dziury Teoria grawitacji Einsteina jest wyrażona jednym pozornie prosto wyglądającym równaniem tensorowym (tensor to uogólnienie skalara i wektora), które mówi, w jaki sposób masa zakrzywia czasoprzestrzeń wokół niej. Jedno z rozwiązań tego równania prowadzi do jednego z najbardziej fascynujących przewidywań tej teorii: istnienia czarnej dziury (ang. black hole ). Powstanie czarnych dziur polega na tym, że jeśli dany obiekt jest wystarczająco gęsty, to zapada się pod wpływem własnej grawitacji i jest otoczony horyzontem zdarzeń (ang. event horizon ). Cokolwiek znajdzie się w jego wnętrzu, nie może uciec spod wpływu przyciągania grawitacyjnego czarnej dziury. Nazwa „czarna dziura” została wymyślona przez astronoma Johna Wheelera (1911–2008) w 1969 roku. Wynika ona z faktu, że nawet światło nie może uciec spod wpływu przyciągania grawitacyjnego takiego obiektu. Karl Schwarzschild (1873–1916) był pierwszą osobą, która zauważyła ten fakt w 1916 roku, ale w owym czasie uważano go głównie za matematyczną osobliwość. Co zaskakujące, idea masywnego ciała, z którego światło nie może uciec, pochodzi z XVIII wieku. Niezależnie John Michell (1724–1793) i Pierre Simon de Laplace (1749–1827) wykorzystali prawo powszechnego ciążenia, aby pokazać, że światło próbujące opuścić powierzchnię wystarczająco masywnej gwiazdy nie może uciec z jej powierzchni. Ich praca opierała się na fakcie, że prędkość światła została zmierzona przez Ole Rømera (1644–1710) w 1676 roku. Zauważył on rozbieżności w otrzymanych danych, dotyczących okresu orbitalnego obiegu księżyca Io wokół Jowisza. Rømer zdał sobie sprawę, że różnice te wynikają ze względnej pozycji Ziemi i Jowisza w różnym czasie, i na tej podstawie mógł wyznaczyć prędkość światła. Michell i Laplace zrozumieli, że skoro światło ma skończoną prędkość, może istnieć wystarczająco duża gwiazda, taka że prędkość ucieczki z jej powierzchni może być większa od prędkości światła. Wówczas światło zawsze powróciłoby z powrotem do gwiazdy. Obserwatorzy znajdujący się wystarczająco daleko od największych gwiazd nie byliby więc w stanie w ogóle ich zobaczyć, chociaż widzieliby mniejsze gwiazdy z tej samej odległości. Przypomnijmy, że w podrozdziale Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego , okazało się, że prędkość ucieczki, określona przez , jest niezależna od masy ciała m opuszczającego ciało o dużej masie M . Mimo że natura światła nie była wtedy jeszcze w pełni zrozumiała, masa światła, o ile w ogóle byłaby niezerowa, i tak nie miała znaczenia. W związku z tym powinno obowiązywać także dla światła. Podstawiając prędkość światła c w miejsce prędkości ucieczki, otrzymujemy: v u = c = 2 G M R . Musimy jedynie podstawić odpowiednie wartości R i M , tak aby prędkość ucieczki przekroczyła wartość c i w konsekwencji światło nie będzie mogło opuścić takiego ciała. Michell stwierdził, że jeśli gwiazda ma gęstość naszego Słońca i promień, który wykracza poza orbitę Marsa, wtedy światło nie będzie mogło uciec z jej powierzchni. Przypuszczał również, że nadal będziemy w stanie wykryć taką gwiazdę dzięki oddziaływaniu grawitacyjnemu, jakie wywierałaby ona na ciała znajdujące się w jej pobliżu. Był to wnikliwy wniosek, ponieważ właśnie w taki sposób wykrywamy obecnie istnienie takich obiektów. Choć jeszcze nikt nie odwiedził i nigdy nie odwiedzi żadnej czarnej dziury, dowody na ich istnienie stały się tak oczywiste, że prawie żaden astronom nie wątpi w ich istnienie. Zanim przyjrzymy się niektórym z tych dowodów, zwrócimy naszą uwagę z powrotem na rozwiązanie Schwarzschilda równania tensorowego ogólnej teorii względności. Z tego rozwiązania wynika charakterystyczny promień, nazywany promieniem Schwarzschilda (ang. Schwarzschild radius ) ( R S ) . Dowolna masa M zapadnie się do osobliwości, jeśli tylko ściśnie się ją do tego stopnia, że jej promień będzie mniejszy niż promień Schwarzschilda. Wówczas wszystko, co znajdzie się w objętości kuli o tym promieniu, nie będzie mogło jej opuścić. Wewnątrz R S , strzałka czasu kieruje wszystko do osobliwości. (W ogólnym sensie matematycznym osobliwość występuje, gdy wartość funkcji dąży do nieskończoności. W tym przypadku jest to punkt w przestrzeni o zerowej objętości i skończonej masie. Stąd gęstość masy i energia pola grawitacyjnego stają się nieskończone). Promień Schwarzschilda dany jest równaniem: R S = 2 G M c 2 . Przyglądając się naszemu równaniu na prędkość ucieczki, zauważymy, że kiedy v u = c , to daje ono dokładnie taki sam wynik. Jest to jednak tylko czysty przypadek spowodowany kilkoma błędnymi założeniami w teorii klasycznej. Jednym z tych założeń jest użycie niewłaściwego wyrażenia na energię kinetyczną w przypadku światła. Zobaczmy zatem, jak gęste musi być ciało, aby zapadło się pod wpływem własnej grawitacji i zamieniło się w czarną dziurę. Wyznaczanie promienia Schwarzschilda Oblicz długość promienia Schwarzschilda dla Słońca i Ziemi. Porównaj gęstość jądra atomowego z gęstością ściśniętej równomiernie masy Ziemi do objętości ograniczonej promieniem Schwarzschilda. Gęstość jądra atomowego wynosi około 2,3 ⋅ 10 17 k g / m 3 . Strategia rozwiązania W naszych obliczeniach skorzystamy z . Potrzebujemy tylko mas Ziemi i Słońca, które znajdziemy w danych astronomicznych podanych w Dodatku D . Rozwiązanie Podstawiając masę Słońca M S , otrzymujemy: R S = 2 G M S c 2 = 2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 − 11 N ⋅ m 2 / k g 2 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30 k g ( 3 ⋅ 10 8 m / s ) 2 = 2,95 ⋅ 10 3 m . Jest to średnica o długości tylko około 6 km. Jeśli użyjemy masy Ziemi M Z , otrzymamy R S = 8,85 ⋅ 10 − 3 m . Jest to średnica mniejsza niż 2 cm! Jeśli spakowalibyśmy masę Ziemi w kulę o promieniu R S = 8,85 ⋅ 10 − 3 m , jej gęstość wynosiłaby: ρ = M Z V = 5,97 ⋅ 10 24 k g 4 3 π ( 8,85 ⋅ 10 − 3 m ) 3 = 2,06 ⋅ 10 30 k g m 3 . Znaczenie Gwiazda neutronowa (ang. neutron star ) to, poza czarną dziurą, najgęstszy znany obiekt we Wszechświecie. Gwiazda neutronowa składa się z neutronów. Jej gęstość jest równa gęstości jądra atomowego. Jak wiele czarnych dziur, uważa się ją za pozostałość po supernowych — gwiazdach, które wybuchają pod koniec swego życia. Aby utworzyć czarną dziurę z Ziemi, musimy ją ścisnąć do gęstości trzynastu rzędów wielkości, większych od gęstości gwiazdy neutronowej. Ten proces wymagałby niewyobrażalnej siły. Nie istnieje żaden znany mechanizm, który mógłby spowodować, że obiekt wielkości Ziemi stanie się czarną dziurą. W przypadku Słońca, powinieneś być w stanie wykazać, że musiałoby być ono skompresowane do gęstości tylko około 80 razy większej od gęstości jądra atomowego. (Uwaga: Gdy masa jest ściśnięta w kulę o promieniu Schwarzschilda, ogólna teoria względności mówi, że zapadnie się ona do osobliwości. Obliczenia te pokazują jedynie gęstość, którą musimy osiągnąć, aby zainicjować ten proces). Sprawdź, czy rozumiesz. Porównaj gęstość potrzebną, aby Ziemia stała się czarną dziurą z tą, która jest potrzebna do takiej zmiany w przypadku Słońca. Jakie wnioski można wyciągnąć z tego porównania – odnośnie do tego, co byłoby konieczne do utworzenia czarnej dziury? Czy spodziewasz się, że we Wszechświecie jest wiele czarnych dziur o małej masie? Biorąc pod uwagę niezwykle dużą gęstość potrzebną, by ścisnąć ciało wielkości Ziemi do czarnej dziury, nie spodziewamy się we Wszechświecie tak małych czarnych dziur. Nawet ciało z masą naszego Słońca musiało być sprasowane do gęstości 80 razy większej od gęstości gwiazdy neutronowej. Uważa się, że gwiazdy tej wielkości nie mogą stać się czarnymi dziurami. Jednak gwiazdy o masach równych kilku masom Słońca mogą zapaść się pod wpływem własnej grawitacji do czarnej dziury pod koniec swego życia. Jak pokażemy później, uważa się, że czarne dziury powszechnie występują w centrach galaktyk. Te galaktyczne czarne dziury mają zwykle masę wielu milionów gwiazd. Horyzont zdarzeń Okrąg o promieniu Schwarzschilda nazywany jest horyzontem zdarzeń czarnej dziury. Zauważyliśmy, że zarówno przestrzeń, jak i czas są rozciągnięte w pobliżu masywnych obiektów, takich jak czarne dziury. pokazuje ten wpływ na przestrzeń. Jej zakrzywienie wywoływane przez nasze Słońce jest w zasadzie niewielkie i zostało wyolbrzymione dla czytelności rysunku. Rozważmy przypadek gwiazdy neutronowej, opisaną w . Chociaż zakrzywienie czasoprzestrzeni na powierzchni gwiazdy neutronowej jest bardzo duże, jej promień jest wciąż większy niż promień Schwarzschilda. Obiekty o dużej prędkości mogą wciąż uciec z jej powierzchni. Jeśli gwiazda neutronowa zyska wystarczająco dużo dodatkowej masy, to w rezultacie zapadnie się zmniejszając swoją objętość tak, że jej promień będzie krótszy od promienia Schwarzschilda. Kiedy tak się stanie, cała masa zostanie nieuchronnie wciągnięta do osobliwości. Przestrzeń na poniższym rysunku jest rozciągnięta do nieskończoności. Czas jest również rozciągnięty do nieskończoności. Gdy obiekty spadają na horyzont zdarzeń, widzimy, że zbliżają się one coraz wolniej, ale nigdy nie osiągną horyzontu zdarzeń. Jako obserwatorzy zewnętrzni nigdy nie zobaczymy, aby obiekty przechodziły przez horyzont zdarzeń — faktycznie, czas rozciąga się coraz bardziej tak, że zatrzymuje się na horyzoncie zdarzeń. Odwiedź stronę internetową , aby obejrzeć animację tych zakłóceń przestrzeni. Zakrzywienie przestrzeni staje się coraz bardziej widoczne wokół coraz większych mas. Gdy gęstość masy osiągnie poziom krytyczny, tworzy się czarna dziura i struktura czasoprzestrzeni zostaje rozdarta. Krzywizna przestrzeni jest największa na powierzchni każdego z trzech pierwszych ciał pokazanych na rysunku, lecz jest ona skończona. Krzywizna następnie zmniejsza się (nie pokazano) do zera podczas przemieszczania się do środka ciała. W przypadku czarnej dziury jest inaczej. Krzywizna staje się nieskończona: powierzchnia zapada się do osobliwości, a stożek czasoprzestrzeni rozciąga się do nieskończoności. (Uwaga: rysunki te w żaden sposób nie zachowują skali.) Dowody istnienia czarnych dziur Dopiero w latach sześćdziesiątych XX wieku, kiedy odkryto pierwszą gwiazdę neutronową, zainteresowanie istnieniem czarnych dziur ponownie wzrosło. Dowody na istnienie czarnych dziur opierają się na kilku typach obserwacji, takich jak analiza promieniowania rentgenowskiego układów podwójnych, soczewkowanie grawitacyjne światła pochodzącego z odległych galaktyk oraz ruch widocznych ciał wokół ich niewidzialnych partnerów. Skupimy się na tych ostatnich obserwacjach, ponieważ odnoszą się one do tego, czego nauczyliśmy się w tym rozdziale. Światło nie może uciec z czarnej dziury, abyśmy ją mogli zobaczyć. Możemy jednak zaobserwować efekty oddziaływania grawitacyjnego czarnej dziury na otaczające ją ciała. Najbliższe, a być może także najbardziej dramatyczne, dowody na istnienie czarnej dziury znajdują się w centrum Drogi Mlecznej. Grupa z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles (UCLA) zajmująca się badaniem galaktyk, wykorzystując dane uzyskane przez teleskopy Kecka znajdujące się na Hawajach, określiła orbitę kilku gwiazd poruszających się w pobliżu centrum naszej galaktyki. Niektóre z tych danych są pokazane na . Na podstawie pomiarów okresów orbitalnych i rozmiarów orbit tych gwiazd szacuje się, że orbitują one wokół obiektu, którego masa jest równa około 4 milionom mas Słońca. Zwróćmy uwagę, że masa ta musi znajdować się w obszarze ograniczonym przez przecinające się eliptyczne orbity gwiazd. Obszar ten zmieściłby się wewnątrz orbity Merkurego, ale w widmie światła widzialnego nic w tym miejscu nie widać. Trajektorie gwiazd krążących wokół masy znajdującej się w centrum Drogi Mlecznej. Na podstawie ich ruchu szacuje się, że czarna dziura w centrum galaktyki ma masę równą około 4 milionom mas Słońca. (Źródło: UCLA Galactic Center Group – W.M. Keck Observatory Laser Team) Fizyka powstawania i ewolucji gwiazd jest dobrze znana. Podstawowym źródłem energii, dzięki któremu gwiazdy świecą, jest ich własna grawitacja inicjująca fuzję termojądrową. Im bardziej masywna jest gwiazda, tym jaśniej świeci i tym krócej żyje. Obiekt zajmujący bardzo mały obszar, którego masa jest 4 miliony razy większa od masy Słońca i którego nie można zobaczyć, nie ma żadnego innego logicznego wytłumaczenia jak to, że w istocie jest on czarną dziurą. Obserwacje pozagalaktyczne sugerują, że obecność czarnych dziur jest powszechna w centrach galaktyk. Odwiedź stronę internetową UCLA Galactic Center Group , by poznać więcej szczegółów na temat promieniowania X emitowanego przez układy podwójne oraz na temat soczewkowania grawitacyjnego. Odwiedź także tę stronę internetową , by zobaczyć trójwymiarową wizualizację gwiazd krążących w pobliżu centrum naszej galaktyki. Animacja znajduje się w dolnej części tej strony. 10 kwietnia 2019 roku astronomowie z międzynarodowego projektu EHT ( Event Horizon Telescope ) zaprezentowali pierwsze na świecie zdjęcie czarnej dziury. Supermasywna czarna dziura z znajduje się w centrum galaktyki M87 oddalonej o 55 milionów lat świetlnych od Ziemi. Pomimo jej dużych rozmiarów żaden pojedynczy teleskop nie byłby stanie wykonać takiego zdjęcia, ponieważ czarna dziura oglądana z Ziemi ma mały rozmiar kątowy. Dlatego wykorzystano do tego 8 radioteleskopów rozmieszczonych w różnych miejscach na całej planecie. Metoda ta nosi nazwę interferometrii wielkobazowej (ang. very long baseline interferometry ), w której obraz powstaje na podstawie zebranych przez wiele teleskopów sygnałów radiowych (wraz z dokładnym czasem ich rejestracji). W ten sposób uzyskano kątową zdolność rozdzielczą wynoszącą 20 mikrosekund łuku. Gdyby ludzie oko posiadało taką rozdzielczość, to podczas lotu samolotem moglibyśmy podejrzeć nagłówki w gazecie leżącej na trawie. Zdjęcie supermasywnej czarnej dziury, która znajduje się w centrum galaktyki M87. Zdjęcie wykonano przy pomocy Teleskopu Horyzontu Zdarzeń ( Event Horizon Telescope − EHT ), który składa się 8 z niezależnych radioteleskopów rozmieszczonych na całej planecie. (Źródło: Event Horizon Telescope Collaboration) Jeśli chcesz dowiedzieć się jak interpretować zdjęcie czarnej dziury to obejrzyj krótki film na ten temat. Ciemna materia Gwiazdy krążące wokół samego centrum naszej galaktyki dostarczają silnych dowodów na to, że znajduje się tam czarna dziura, ale orbity gwiazd oddalonych od jej środka sugerują występowanie również innego, intrygującego zjawiska, obserwowanego pośrednio. Przypomnijmy sobie z podrozdziału Grawitacja przy powierzchni Ziemi , że w celu obliczenia siły grawitacji, wywieranej przez ciało sferycznie symetryczne na inne masy, przyjmujemy, iż cała jego masa znajduje się w centrum takiego ciała. Podobnie możemy potraktować całkowitą masę, która znajduje się wewnątrz obszaru ograniczonego orbitą dowolnej gwiazdy w naszej galaktyce. Zakładamy po prostu, że cała ta masa znajduje się w centrum dysku Drogi Mlecznej. Możemy oszacować tę masę sumując masy wszystkich widocznych gwiazd w tym obszarze, a następnie dodając do tego wyniku masę czarnej dziury w centrum. Gdy to zrobimy, zauważymy, że prędkość orbitalna gwiazd jest zdecydowanie za duża, aby była spowodowana taką ilością materii. przedstawia prędkość orbitalną gwiazd w zależności od ich odległości od środka Drogi Mlecznej. Niebieska linia reprezentuje prędkości, jakich można się spodziewać na podstawie naszego oszacowania masy, podczas gdy zielona krzywa odzwierciedla dane pomiarowe. Najwyraźniej dużej części materii nie widzimy. Szacuje się, że materii, której nie widać, jest pięciokrotnie więcej niż tej, którą możemy obserwować. Nazwano ją ciemną materią (ang. dark matter ). Ponadto profil prędkości nie odzwierciedla oczekiwanego rozkładu widocznych gwiazd. Nie tylko szacunkowa masa całkowita materii jest niezgodna z danymi, ale jej oczekiwany rozkład także jest niezgodny z obserwacją. Zjawisko to nie dotyczy jedynie naszej galaktyki, ale wydaje się cechą wszystkich galaktyk. Problem ten został po raz pierwszy zauważony w latach trzydziestych XX wieku, kiedy mierzono ruch galaktyk w obrębie klastrów. Okazało się, że poruszały się one wokół środka masy tych klastrów szybciej, niż wskazywałyby na to szacunki ich widocznej masy. Niebieska krzywa wskazuje oczekiwaną prędkość orbitalną gwiazd w Drodze Mlecznej wyznaczoną na podstawie masy gwiazd, które możemy zobaczyć. Zielona krzywa wskazuje, że rzeczywiste prędkości gwiazd są większe, co sugeruje obecność dodatkowej materii, której nie można zobaczyć. (Źródło: modyfikacja pracy Matthew Newby) Istnieją dwie dominujące koncepcje na temat tego, czym może być ta materia — WIMP i MACHO. WIMP (ang. Weakly Interacting Massive Particles ) są to słabo oddziałujące masywne cząstki. Cząstki te (neutrina są jednym z przykładów) oddziałują bardzo słabo ze zwykłą materią, a więc są bardzo trudne do wykrycia. MACHO (ang. Massive Astrophysical Compact Halo Object ) to masywne zwarte obiekty halo (np. gwiazdy neutronowe, brązowe karły), które składają się ze zwykłej materii barionowej, takiej jak neutrony i protony. Emitują one bardzo mało promieniowania, a więc są trudne do wykrycia przy użyciu współczesnej techniki obserwacyjnej. Z oboma pomysłami związane są nierozwiązane dotąd problemy i trzeba przeprowadzić wiele dalszych badań, aby ostatecznie rozwiązać te kwestie. Podsumowanie Zgodnie z ogólną teorią względności grawitacja jest wynikiem zakrzywienia czasoprzestrzeni wywołanym przez masę i energię. Zasada równoważności mówi, że nie ma różnicy między spadkiem swobodnym i stanem nieważkości lub przyspieszeniem w jednorodnym polu grawitacyjnym i jednostajnym przyspieszeniem przy braku grawitacji. Masa i przyspieszenie zakrzywiają czasoprzestrzeń i w pewnych warunkach są one nierozróżnialne. Czarne dziury, będące skutkiem grawitacyjnego zapadnięcia się masywnych obiektów, są osobliwością otoczoną horyzontem zdarzeń, którego promień jest proporcjonalny do ich masy. Dowody na istnienie czarnych dziur wciąż są poszlakowe, ale ilość tych dowodów jest ogromna. Najważniejsze wzory Prawo powszechnego ciążenia F → 12 = G m 1 m 2 r 2 r ^ 12 Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi g = G M Z r 2 Grawitacyjna energia potencjalna nad powierzchnią Ziemi U = − G M Z m r Zasada zachowania energii 1 2 m v 1 2 − G M m r 1 = 1 2 m v 2 2 − G M m r 2 Druga prędkość kosmiczna lub prędkość ucieczki v u = 2 G M R Prędkość orbitalna v orb = G M Z r Okres orbitalny T = 2 π r 3 G M Z Energia na orbicie kołowej E = E K + U = − G m M Z 2 r Równanie krzywych stożkowych α r = 1 + e cos θ Trzecie prawo Keplera Τ 2 = 4 π 2 G M a 3 Promień Schwarzschilda R S = 2 G M c 2 Pytania Zasada równoważności mówi, że wszystkie eksperymenty wykonane w laboratorium, znajdującym się w jednorodnym polu grawitacyjnym, nie różnią się od eksperymentów wykonanych w laboratorium, które nie znajduje się w polu grawitacyjnym, ale porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, jeśli tylko w obu przypadkach przyspieszenie ma taką samą wartość. Rozważ, co stanie się z wiązką lasera, biegnącą na pewnej wysokości idealnie poziomo do podłogi przyspieszającego laboratorium. (Spójrz na to z punktu widzenia obserwatora znajdującego się poza laboratorium.) W którym miejscu przeciwległej ściany względem położenia lasera uderzy wiązka? Jaki wypływa stąd wniosek o wpływie pola grawitacyjnego na światło? Czy zmienia coś fakt, że światło nie posiada masy? Jeśli laboratorium przyspiesza „do góry” to promień lasera trafi w przeciwną ścianę poniżej położenia lasera. Wiązka lasera obniży się względem laboratorium. Możemy oczekiwać, że to samo nastąpi w polu grawitacyjnym. Brak masy światła nie ma w tym przypadku znaczenia, tak samo jak przyspieszenie ciała spadającego w polu grawitacyjnym nie zależy od masy ciała. Gdy człowiek zbliża się do promienia Schwarzschilda czarnej dziury, obserwator zewnętrzny widzi, jak wszystkie procesy tej osoby (tętno, zegarek itp.) spowalniają i wreszcie zatrzymują się, gdy osiąga ona horyzont zdarzeń. Natomiast osoba wpadająca do czarnej dziury nie widzi żadnych zmian w szybkości zachodzących w niej procesów. Przypomnijmy, że prędkość światła jest taka sama dla wszystkich obserwatorów. Jaki wniosek można z tego wyciągnąć na temat przestrzeni w pobliżu czarnej dziury? Zadania Jaka jest długość promienia Schwarzschilda czarnej dziury w centrum naszej galaktyki, jeśli ma ona masę równą 4 milionom mas Słońca? 1,19 ⋅ 10 7 k m Ile lat świetlnych wynosiłaby długość promienia Schwarzschilda, gdyby Droga Mleczna licząca 100 miliardów gwiazd zapadła się tworząc czarną dziurę? Wynik porównaj z odległością naszego Słońca od centrum galaktyki, która wynosi około 26 000 lat świetlnych. Zadania dodatkowe Gwiazda neutronowa jest zimną, zapadniętą pod wpływem własnej grawitacji gwiazdą o gęstości równej gęstości jądra atomowego. Typowa gwiazda neutronowa ma masę dwa razy większą od masy Słońca i promień 12 km. Jaki byłby ciężar astronauty o masie 100 kg stojącego na jej powierzchni? Jaki wypływa stąd wniosek o możliwości odwiedzenia gwiazdy neutronowej? 1,85 ⋅ 10 14 N ; Nie rób tego! W jakiej odległości od środka Ziemi musi znajdować się ciało, aby działająca na nie wypadkowa siła grawitacji Ziemi i Księżyca była równa zero? Podstawienie równych wartości obu sił skutkuje dwoma wynikami otrzymanymi z rozwiązania równania kwadratowego. Czy rozumiesz, dlaczego z równania otrzymałeś dwa wyniki, ale tylko jedna z tych odległości ma sens fizyczny? W jakiej odległości od środka Słońca musi znajdować się statek kosmiczny, aby działająca na niego wypadkowa siła grawitacji Ziemi i Słońca była równa zero? 1,49 ⋅ 10 8 k m Oblicz wartość przyspieszenia grawitacyjnego g na powierzchni Ziemi, gdyby nastąpiły następujące zmiany jej własności: całkowita masa wzrosłaby dwukrotnie, a promień zmniejszyłby się o połowę; gęstość masy by się podwoiła, a długość promienia pozostałaby niezmieniona; gęstość masy zmniejszyłaby się o połowę, a całkowita masa pozostałaby bez zmian. Załóżmy, że możesz komunikować się z mieszkańcami planety w innym układzie słonecznym. Mówią ci oni, że średnica i masa ich planety wynoszą odpowiednio 5 ⋅ 10 3 k m oraz 3,6 ⋅ 10 23 k g . Dowiadujesz się także, że rekord skoku wzwyż wynosi u nich 2 m. Biorąc pod uwagę fakt, że ten rekord jest bliski ziemskiemu rekordowi skoku wzwyż wynoszącemu 2,4 m, co mógłbyś powiedzieć na temat sprawności fizycznej swoich pozaziemskich przyjaciół? Wartość g na ich planecie wynosi 2,4 m/s 2 , czyli jest w przybliżeniu czterokrotnie mniejsza niż wartość przyspieszenia ziemskiego. Na pewno są oni więc słabymi skoczkami. Załóżmy, że zmierzyłeś swój ciężar na równiku pewnej planety i okazało się, że jest on tylko połową twojego ciężaru na jej biegunie. Masa i średnica tej planety są takie same, jak w przypadku Ziemi. Jaki jest okres obrotu tej planety? Czy w obliczeniach powinieneś uwzględnić kształt tej planety? Ciało o masie 100 kg zostało zważone na biegunie północnym i na równiku za pomocą wagi sprężynowej. Jakie było jej wskazanie w tych dwóch punktach? Załóż, że g = 9,83 m/s 2 na biegunie. Wskazanie wagi wynosi 983 N na biegunie i 980 N na równiku. Oblicz prędkość potrzebną do ucieczki z Układu Słonecznego, startując z powierzchni Ziemi. Nie uwzględniaj wpływu innych ciał oraz faktu, że Ziemia porusza się po swojej orbicie. [ Wskazówka: Nie można użyć . Skorzystaj z i uwzględnij energię potencjalną oddziaływania grawitacyjnego zarówno Ziemi, jak i Słońca.] Rozważ poprzednie zadanie i tym razem uwzględnij fakt, że prędkość Ziemi na orbicie wokół Słońca wynosi 29,8 km/s. Jaka prędkość względem Ziemi będzie potrzebna i w jakim kierunku należy opuścić Ziemię, by opuścić nasz Układ Słoneczny? Jaki będzie kształt trajektorii? Prędkość ucieczki nadal wynosi 43,6 km/s. Startując z Ziemi w kierunku stycznym do jej prędkości orbitalnej, trzeba osiągnąć prędkość 43,6 km/s − 29,8 km/s = 13,8 km/s względem Ziemi. Energia całkowita jest równa zero, więc trajektoria jest parabolą. Kometa znajduje się w odległości 1,5 j.a. od Słońca i porusza się z prędkością 24,3 km/s. Czy jest ona związana grawitacyjnie ze Słońcem? Pewna asteroida znajduje się w odległości 2 j.a. od Słońca i porusza się z prędkością 15,5 km/s. Jej peryhelium znajduje się w odległości 0,4 j.a. od Słońca. Ile wynosi jej prędkość w tym punkcie? 44,9 km/s Odpady kosmiczne, pozostawione na orbicie stare satelity i ich wyrzutnie stają się zagrożeniem dla innych satelitów. Oblicz prędkość orbitalną satelity znajdującego się 900 km nad powierzchnią Ziemi. Załóżmy, że swobodny nit znajduje się na orbicie o tym samym promieniu, która przecina orbitę satelity pod kątem 90 ∘ . Ile wynosi prędkość nitu względem satelity tuż przed uderzeniem? Jeśli masa nitu wynosi 0,5 g, i po zderzeniu pozostaje on w satelicie, to ile energii wydziela się w trakcie zderzenia? (Załóż, że prędkość satelity po zderzeniu nie zmienia się znacznie, ponieważ jego masa jest znacznie większa niż masa nitu.) Satelita o masie 1000 kg znajduje się na orbicie kołowej wokół Ziemi. Promień orbity satelity jest równy dwukrotności promienia Ziemi. Ile wynosi odległość satelity od środka Ziemi? Oblicz energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą satelity. 1,3 ⋅ 10 7 m ; Energie odpowiednio są równe: 1,56 ⋅ 10 10 J ; 3,12 ⋅ 10 10 J ; − 1,56 ⋅ 10 10 J Po tym, jak Ceres został uznany za planetę karłowatą, przyjmujemy, że największą znaną asteroidą jest Vesta. Jej masa wynosi 2,67 ⋅ 10 20 k g , a średnica mieści się w przedziale od 578 km do 458 km. Zakładając, że Vesta jest w przybliżeniu sferycznie symetryczna, a jej promień wynosi 260 km, oblicz przybliżoną prędkość ucieczki z jej powierzchni. Oblicz, ile wynosiłby okres orbitalny sondy kosmicznej krążącej po orbicie kołowej na wysokości 10 km nad powierzchnią asteroidy Vesta? Skorzystaj z danych podanych w poprzednim zadaniu. Dlaczego, delikatnie mówiąc, obliczenia te są bezużyteczne? Zakładając sferyczny kształt asteroidy i przyjmując długość jej średniego promienia równą 260 km otrzymujemy wartość okresu orbitalnego satelity wynoszącą 6,24 ⋅ 10 3 s , czyli około 1,7 godziny. W rzeczywistości nie można założyć, że Vesta ma kształt kuli. Musisz znajdować się powyżej jej największego wzniesienia (prawie 290 km od jej środka), by w ogóle można było mówić o orbicie. Co więcej, asferyczny kształt asteroidy zakłóciłby bardzo szybko ruch satelity po orbicie, więc obliczenie to nie byłoby dokładne nawet dla dalszej orbity. Obliczmy prędkość orbitalną naszego Układu Słonecznego wokół centrum Drogi Mlecznej. Załóżmy, że masa wszystkich ciał, znajdujących się wewnątrz objętości ograniczonej promieniem równym naszej odległości od środka galaktyki, wynosi około 100 miliardów mas Słońca. Nasza odległość od centrum Drogi Mlecznej wynosi 26 000 lat świetlnych. Na podstawie informacji z poprzedniego zadania oblicz, jaką prędkość trzeba osiągnąć, aby uciec z oddziaływania grawitacyjnego Drogi Mlecznej z naszej obecnej pozycji (tzw. czwartą prędkość kosmiczną)? Czy musiałbyś zwrócić uwagę na ustawienie kierunku prędkości statku kosmicznego, względem prędkości orbitalnej Ziemi w momencie startu? 323 km/s; Nie, w tym przypadku musisz zwrócić uwagę na kierunek prędkości orbitalnej Układu Słonecznego. Jeśli kierunek twojej prędkości w chwili startu byłby zgodny z kierunkiem prędkości orbitalnej Układu Słonecznego wokół środka galaktyki, to musiałbyś osiągnąć prędkość wynoszącą tylko około 323 km/s − 228 km/s = 95 km/s . Mimośród orbity kołowej w równaniu krzywych stożkowych ( ) jest równy zero. Na tej podstawie oraz korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona zastosowanej do przyspieszenia dośrodkowego wykaż, że wartość α w wynosi α = L 2 G M m 2 , gdzie L jest momentem pędu orbitującego ciała. Wartość α jest stała i opisana tym wyrażeniem niezależnie od rodzaju orbity. Pokaż, że gdy wartość mimośrodu w równaniu krzywych stożkowych ( ) jest równa jeden, to tor ciała jest parabolą. Aby to wykazać przejdź z układu współrzędnych biegunowych, r θ , do kartezjańskiego układu współrzędnych x y i pokaż, że równanie to ma ogólną postać równania paraboli w układzie kartezjańskim, czyli x = a y 2 + b y + c . Podstawiając e = 1 , otrzymujemy α r = 1 + cos θ → α = r + r cos θ = r + x ; stąd r 2 = x 2 + y 2 = ( α − x ) 2 . Rozwijając i szeregując zmienne otrzymujemy x = 1 −2 α y 2 + α 2 . Korzystając z techniki przedstawionej w podrozdziale Orbity satelitów i ich energia pokaż, że dwie masy m 1 i m 2 , poruszające się po orbitach kołowych wokół ich wspólnego środka masy mają całkowitą energię równą E K + U = E K 1 + E K 2 − G m 1 m 2 r = − G m 1 m 2 2 r . Wyraźnie pokazaliśmy energię kinetyczną obu mas. ( Wskazówka: Promienie orbit tych mas wynoszą odpowiednio r 1 i r 2 , a r = r 1 + r 2 . Uważaj, aby nie pomylić promienia występującego we wzorze na przyspieszenie dośrodkowe, z promieniem występującym we wzorze na siłę grawitacji). Znając odległość peryhelium p i aphelium q orbity eliptycznej ciała, pokaż, że jego prędkość w peryhelium, v p , jest dana równaniem v p = 2 G M S ( q + p ) q p . ( Wskazówka: Skorzystaj z zasady zachowania momentu pędu, by powiązać prędkości v p i v q , a następnie podstaw tę zależność do równania zasady zachowania energii). Z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy zależność p v p = q v q i wstawiamy ją do równania zasady zachowania energii, z której wyznaczamy v p . Odległość peryhelium komety P/1999 R1 od Słońca wynosi 0,0570 j.a., a odległość jej aphelium wynosi 4,99 j.a.. Wykorzystując wyniki z poprzedniego zadania, oblicz jej prędkość w aphelium.( Wskazówka: Prędkość wyznaczona w poprzednim zadaniu określa prędkość ciała w peryhelium. Skorzystaj z symetrii zagadnienia, aby napisać wyrażenie na prędkość tej komety w aphelium. Alternatywnie możesz wyznaczyć tę prędkość analogicznie jak w poprzednim zadaniu). Zadania trudniejsze Przez środek idealnie sferycznej i pozbawionej atmosfery planety, o jednorodnej gęstości i promieniu R , przekopano tunel. Korzystając z wyrażenia na g podanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi pokaż, że ciało o masie m wrzucone do tunelu będzie poruszało się ruchem harmonicznym. Wyprowadź wzór na okres drgań masy m i pokaż, że jest on równy okresowi ruchu ciała po orbicie o promieniu równym promieniowi tej planety. g = 4 3 G ρ π r → F = m g = [ 4 3 G m ρ π ] r . Z równania F = d 2 r d t 2 , otrzymujemy d 2 r d t 2 = [ 4 3 G ρ π ] r , gdzie pierwszy czynnik jest równy ω 2 . Stąd T = 2 π ω = 2 π 3 4 G ρ π i podstawiając ρ = M 4 π r 3 / 3 , otrzymujemy to samo wyrażenie, co na okres ruchu ciała po orbicie o promieniu R . Korzystając ze sposobu pokazanego w podrozdziale Grawitacja przy powierzchni Ziemi , znajdź zależność g jako funkcję odległości r od środka powłoki kulistej planety. Załóż, że powłoka ma stałą gęstość ρ , jej promień wewnętrzny na długość R wew , a promień zewnętrzny ma długość R zew . Znajdź zależność g ( r ) zarówno dla R wew < r < R zew , jak i dla r < R wew . Zakładając, że we wnętrzu powłoki planety jest próżnia, opisz jak wyobrażasz sobie podróż przez jej wnętrze. Pokaż, że prędkość polowa ciała na orbicie kołowej o promieniu r wokół gwiazdy o masie M wynosi Δ S Δ t = 1 2 G M r . Czy to wyrażenie daje prawidłową wartość prędkości polowej Ziemi wokół Słońca? Podstawiając masę Słońca i promień orbity ziemskiej otrzymujemy wartość 2,24 ⋅ 10 15 m 2 / s . Wartość π R ZS 2 / ( 1 rok ) (czyli pole powierzchni objęte orbitą Ziemi podzielone przez czas pełnego obiegu Ziemi wokół Słońca) jest taka sama. Pokaż, że okres orbitalny dwóch ciał o masach m 1 i m 2 , znajdujących sie na orbitach kołowych o promieniach równych odpowiednio r 1 i r 2 , wokół ich wspólnego środka masy jest dany równaniem T = 2 π r 3 G ( m 1 + m 2 ) , gdzie r = r 1 + r 2 . ( Wskazówka: Ciała poruszają się po orbitach o promieniach odpowiednio r 1 i r 2 , gdzie r = r 1 + r 2 . Użyj wyrażenia na środek masy, aby powiązać oba promienie i zauważ, że oba ciała muszą mieć równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane pędy. Zacznij od związku łączącego okres obiegu z obwodem i prędkością orbitalną dla jednego z ciał. Wykorzystaj wynik z poprzedniego zadania, podstawiając pęd w wyrażeniach na energię kinetyczną). Pokaż, że dla małych zmian wysokości h , takich że h ≪ R Z , redukuje się do wyrażenia Δ U = m g h . Δ U = U 2 − U 1 = − G M Z m r 2 + G M Z m r 1 = G M Z m r 2 − r 1 r 2 r 1 , gdzie h = r 2 − r 1 . Jeśli h ≪ R Z , to r 2 r 1 ≈ R Z 2 i po podstawieniu otrzymujemy Δ U = G M Z m h R Z 2 = m G M Z R Z 2 h , gdzie wyrażenie G M Z / R Z 2 jest definicją g . Na podstawie , narysuj wszystkie siły działające na wahadło matematyczne o masie m znajdujące się na szerokości geograficznej φ. Zapisz równanie ruchu wahadła, przyjmując kierunek jednej współrzędnej w stanie równowagi zgodny z kierunkiem przyspieszenia dośrodkowego (do punktu P na rysunku) i drugą współrzędną prostopadłą do niego. Udowodnij, że kąt odchylenia wahadła ε , zdefiniowany jako kąt pomiędzy nicią wahadła a kierunkiem promienia Ziemi, jest wyrażony wzorem tg  ( φ + ε ) = g g − ω 2 R Z tg  φ , gdzie ω jest prędkością ruchu obrotowego Ziemi. Załóż, że Ziemia jest idealną kulą. Ile wynosi kąt odchylenia wahadła na szerokości geograficznej 45 stopni? Pokaż, że siła pływowa wywierana na małe ciało o masie m , zdefiniowana jako różnica sił grawitacyjnych działających na bliższą i dalszą źródłu pola grawitacyjnego część tego ciała, dana jest równaniem F pływowa = 2 G M m R 3 Δ r , gdzie R jest odległością małego ciała o masie m od ciała o masie M będącego źródłem pola grawitacyjnego, Δ r jest średnicą małego ciała i Δ r ≪ R . Wyobraź sobie, że wpadasz w czarną dziurę znajdującą się w centrum naszej galaktyki w ten sposób, że jesteś skierowany stopami ku osobliwości. Czarna dziura ma masę równą 4 milionom mas Słońca. Ile wynosiłaby siła pływowa pomiędzy twoją głową a twoimi stopami w momencie, gdy znalazłbyś się na promieniu Schwarzschilda (horyzoncie zdarzeń) czarnej dziury? Załóż, że nogi i głowa mają masę 5,0 kg i są oddalone od siebie o 2 m. Czy przeżyłbyś przejście przez horyzont zdarzeń? Znajdź różnicę działających sił, F pływowa = 2 G M m R 3 Δ r ; Podstawiając długość promienia Schwarzschilda czarnej dziury (wyznaczyliśmy go we wcześniejszych zadaniach) i jej masę otrzymujemy w tym przypadku wartość siły pływowej równą 9,5 ⋅ 10 − 3 N . Nawet byś tego nie zauważył! Oblicz zmiany prędkości wymagane do wykonania manewru transferowego Hoffmana Δ v Ziemi i Δ v Marsa w trakcie podróży z Ziemi na Marsa. Skorzystaj z by obliczyć prędkości orbitalne dla prawie kołowych orbit Ziemi i Marsa. Na podstawie i energii całkowitej na orbicie eliptycznej (której długość półosi wielkiej wynosi a ), danej równaniem E = − G m M s 2 a , oblicz prędkości na orbicie transferowej na Ziemi (znajdującej się w peryhelium elipsy) i na Marsie (znajdującym się w aphelium elipsy). Różnica prędkości Δ v w każdym z tych punktów jest szukaną prędkością konieczną do wejścia na orbitę transferową na Ziemi i zejścia z niej na Marsie. siła działająca na odległość (ang. action-at-a-distance force ) rodzaj siły wywieranej bez kontaktu fizycznego czarna dziura (ang. black hole ) ciało o wystarczająco dużej gęstości masy, aby zapadło się, tworząc osobliwość otoczoną horyzontem zdarzeń horyzont zdarzeń (ang. event horizon ) obszar w pobliżu czarnej dziury o promieniu równym promieniowi Schwarzschilda, z którego żadne ciało, a nawet światło, nie może uciec gwiazda neutronowa (ang. neutron star ) najgęstszy znany obiekt – poza czarną dziurą geometria nieeuklidesowa (ang. non-Euclidean geometry ) geometria zakrzywionej przestrzeni opisująca zależności pomiędzy kątami i liniami na powierzchni sfery, hiperboloidy itp. zasada równoważności (ang. Principle of Equivalence ) część ogólnej teorii względności, która stwierdza, że nie ma różnicy między spadkiem swobodnym a stanem nieważkości lub jednorodnym polem grawitacyjnym i jednostajnym przyspieszeniem promień Schwarzschilda (ang. Schwarzschild radius ) promień krytyczny (RS) skojarzony z każdą masą o takiej własności, że jeśliby ścisnąć tę masę w obszar o promieniu mniejszym niż promień Schwarzschilda, masa ta zapadnie do osobliwości, a wszystko co znajdzie się wewnątrz obszaru o tym promieniu nie może uciec spod wpływu przyciągania grawitacyjnego R S czasoprzestrzeń (ang. space-time ) pojęcie czasoprzestrzeni polega na tym, że czas jest kolejną współrzędną, która jest traktowana w taki sam sposób, jak każda współrzędna przestrzenna; w równaniach, które opisują zarówno szczególną, jak i ogólną teorię względności czas pojawia się w tym samym kontekście, co współrzędne przestrzenne ogólna teoria względności (ang. Theory of General Relativity ) teoria Einsteina dotycząca grawitacji i układów odniesienia poruszających się ruchem przyspieszonym; w teorii tej grawitacja jest wynikiem zakrzywienia czasoprzestrzeni przez masę i energię; teoria ta jest często nazywana teorią grawitacji Einsteina

Science


Wstęp Zaprezentowana mapa rozkładu ciśnień (prawy obrazek) i zdjęcie satelitarne (lewy) zostały wykorzystane do stworzenia modelu trajektorii i skutków przejścia huraganu Artur nad Wschodnim Wybrzeżem Stanów Zjednoczonych w lipcu 2014 r. Modele komputerowe wykorzystują równania na siły i energie do przewidywania tworzących się wzorców pogodowych. Naukowcy numerycznie całkują równania zależne od czasu, łącznie z równaniami bilansu energetycznego dla promieniowania słonecznego w zakresie fal długich i krótkich, aby uzyskać model zmian stanu atmosfery. Mapa rozkładu ciśnień została stworzona przy pomocy modelu Weather Research Forecasting Model , opracowanego przez Narodowe Centrum Badań Atmosferycznych ( National Center for Atmospheric Research ). Kolory reprezentują wysokość powierzchni o ciśnieniu 850 mbar. (Żródło: panel lewy – modyfikacja pracy przygotowanej przez Narodowe Centrum Badań Atmosferycznych; panel prawy – modyfikacja pracy przygotowanej przez NLR Monterey Meteorology Division, The National Oceanic and Atmospheric Administration ) Wyobraź sobie, że spacerujesz po plaży nad Morzem Bałtyckim. Powietrze pachnie morską solą, a Słońce ogrzewa twoje ciało. Nagle w twoim telefonie pojawia się powiadomienie: nadchodzi sztorm – 12 stopni w skali Beauforta. Zderzenie powietrza polarnego i podzwrotnikowego doprowadziło do spadku ciśnienia o 30 hPa. W efekcie przewidywane są obfite opady deszczu, porywisty wiatr, przekraczający 120 km/h oraz olbrzymie zniszczenia. Przygotowując się do szybkiego wyjazdu, zastanawiasz się, w jaki sposób tak niewielki spadek ciśnienia mógł doprowadzić do tak drastycznej zmiany pogody. Ciśnienie jest zjawiskiem fizycznym odpowiedzialnym nie tylko za pogodę. Zmiany ciśnienia sprawiają, że uszy się zatykają i odtykają ze słyszalnym „pyknięciem” podczas startu samolotu. Zmiany ciśnienia sprawiają też, że nurkowie mogą zapaść na bardzo poważną, czasami nawet śmiertelną, chorobę kesonową, której przyczyną jest rozpuszczanie się na dużych głębokościach azotu w wodzie zawartej w ciele i powrót do stanu gazowego po wypłynięciu nurka na powierzchnię. Z ciśnieniem jest związane zjawisko zwane wyporem, które sprawia, że balony na gorące powietrze unoszą się, a statki utrzymują na wodzie. Zanim w pełni zrozumiemy, jaką rolę odgrywa ciśnienie w tych zjawiskach, musimy omówić stany skupienia materii oraz pojęcie gęstości.

Science


Płyny, gęstość i ciśnienie Materia najczęściej występuje w postaci ciał stałych, cieczy lub gazów. Są one znane jako trzy podstawowe stany skupienia materii (ang. phases of matter ). W tym podrozdziale przyjrzymy się szczegółowo każdemu z nich. Cechy ciał stałych Ciała stałe są sztywne i mają konkretne kształty oraz określone objętości. Ich atomy lub cząstki znajdują się blisko siebie i oddziałują ze sobą znacznymi siłami. Ciała stałe przyjmują postać określoną przez rodzaje tych oddziaływań pomiędzy molekułami. Mimo że rzeczywiste ciała stałe nie są nieściśliwe, to zmiana ich kształtu wymaga zadziałania dużą siłą. W niektórych przypadkach oddziaływania między molekułami mogą sprawić, że cząstki zorganizują się w sieć, jak pokazano na . Strukturę tej trójwymiarowej sieci można przedstawić przy pomocy cząstek powiązanych ze sobą sztywnymi więzami (przedstawionymi jako sztywne sprężyny), które umożliwiają ruch w ograniczonym zakresie. Nawet duża siła powoduje jedynie małe przesunięcia między atomami lub cząsteczkami tej sieci, a ciało stałe zachowuje swój kształt. Ciała stałe opierają się również siłom ścinającym (są to siły przyłożone równolegle do powierzchni, jak opisano to w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość .) Cechy płynów Ciecze (ang. liquids ) i gazy (ang. gases ) są uważane za płyny (ang. fluids ), ponieważ poddają się siłom ścinającym, podczas gdy ciała stałe (ang. solids ) im się opierają. Podobnie jak w przypadku ciał stałych, cząsteczki płynu są związane z sąsiadującymi cząsteczkami, ale łączy je znacznie mniej więzów. Cząsteczki płynów nie są zaczepione w konkretnym miejscu i mogą się przemieszczać względem siebie. Odległości między cząsteczkami są podobne do odległości w ciałach stałych, więc ciecze również mają określoną objętość, ale ich kształt zależy od naczynia, w którym się znajdują. Cząsteczki gazów nie są wzajemnie powiązane i odległości między nimi mogą być bardzo duże. Poruszają się one w taki sposób, aby wypełnić cały pojemnik, w którym się znajdują, dlatego gazy nie mają ani konkretnego kształtu, ani określonej objętości ( ). (a) Atomy w ciałach stałych zawsze są w ścisłym kontakcie ze swoimi sąsiadami i utrzymują je w miejscu siły przedstawione tutaj w postaci sprężyn. (b) Atomy w cieczach również pozostają w kontakcie ze sobą nawzajem, ale mogą się przesuwać względem siebie. Siły między atomami mocno przeciwdziałają próbom ściśnięcia płynu (c) Atomy w gazie mogą się poruszać swobodnie, a odległości między nimi są duże. Gaz musi być trzymany w zamkniętym pojemniku, aby zapobiec jego swobodnemu rozprężaniu oraz ucieczce. Ciecze łatwo ulegają deformacji po przyłożeniu siły i nie powracają do swojego oryginalnego kształtu, gdy przestanie ona działać. Dzieje się tak, ponieważ atomy lub cząsteczki w cieczach mogą się przesuwać i zmieniać położenie względem sąsiadujących cząsteczek. Innymi słowy, ciecze płyną (są więc rodzajem płynu), a ich molekuły utrzymują się razem w wyniku wzajemnych oddziaływań. Gdy ciecz znajduje się w pojemniku bez pokrywy, to pozostanie w nim. Atomy są ciasno upakowane, więc ciecze, podobnie jak ciała stałe, przeciwstawiają się próbom ściśnięcia, a do zmiany ich objętości potrzebna jest ogromna siła. W przeciwieństwie do cieczy odległości między atomami w gazach są bardzo duże i w związku z tym siły między nimi są niewielkie, z wyjątkiem sytuacji zderzenia atomów. Cechy te sprawiają, że względnie łatwo je ścisnąć oraz mogą one płynąć (z tego powodu uznajemy je za płyny). Gazy, inaczej niż ciecze, szybko uciekają z otwartego pojemnika. W tym rozdziale zarówno gazy jak i ciecze nazywamy płynami, rozróżniając je tylko w sytuacjach, gdy zachowują się odmiennie. Istnieje jeszcze inna faza materii, zwana plazmą (ang. plasma ), która występuje w bardzo wysokich temperaturach. W takich warunkach molekuły rozpadają się na atomy, a te na naładowane ujemnie elektrony oraz naładowane dodatnio protony. Stan ten nie będzie szczegółowo opisywany w tym rozdziale, ponieważ ma właściwości odmienne od pozostałych trzech stanów skupienia, z powodu silnych oddziaływań elektrycznych między ładunkami. Gęstość Załóżmy, że kawałek mosiądzu i kawałek drewna mają dokładnie tę samą masę. Dlaczego po wrzuceniu ich do zbiornika z wodą drewno będzie się unosiło, a mosiądz zatonie ( )? Dzieje się tak, ponieważ mosiądz ma gęstość większą, a drewno mniejszą niż woda. (a) Kawałek mosiądzu i kawałek drewna mają ten sam ciężar i masę, ale kawałek drewna ma znacznie większą objętość. (b) Gdy umieścimy je w akwarium z wodą, mosiądz zatonie, a drewno będzię się unosiło na jej powierzchni. (Na obu ilustracjach widać ten sam kawałek drewna – na rysunku (a) został on obrócony na bok, aby zmieścił się na wadze.) Gęstość jest ważną cechą substancji. Musimy ją znać, aby, na przykład, móc powiedzieć, czy obiekt będzie pływał po powierzchni płynu, czy zatonie. Gęstość Średnia gęstość (ang. density ) substancji lub przedmiotu jest zdefiniowana jako masa przypadająca na jednostkę objętości: ρ = m V gdzie grecka litera ρ (rho) oznacza gęstość, m jest masą, a V objetością. Jednostką SI gęstości jest kg/m 3 . podaje kilka przykładowych wartości. Jednostką układu CGS (Centymetr, Gram, Sekunda) gęstości jest gram na centymetr sześcienny ( g/cm 3 ), gdzie: 1 g c m 3 = 1000 k g m 3 . System metryczny został zaprojektowany w taki sposób, aby woda miała gęstość 1 g/cm 3 , co równoważne jest 10 3 kg/m 3 . Dlatego podstawowa jednostka masy, czyli kilogram, została zdefiniowana jako 1000 mL wody, która ma objętość 1000 cm 3 . Gęstości niektórych substancji Ciała stałe ( 0.0 ° C ) Ciecze ( 0.0 ° C ) Gazy ( 0.0 ° C , 101.3 kPa) Substancja ρ ( k g / m 3 ) Substancja ρ ( k g / m 3 ) Substancja ρ ( k g / m 3 ) Aluminium 2,70 ⋅ 10 3 Benzen 8,79 ⋅ 10 2 Powietrze 1,29 ⋅ 10 0 Kość 1,90 ⋅ 10 3 Krew 1,05 ⋅ 10 3 Dwutlenek węgla 1,98 ⋅ 10 0 Mosiądz 8,44 ⋅ 10 3 Alkohol etylowy 8,06 ⋅ 10 2 Tlenek węgla 1,25 ⋅ 10 0 Beton 2,40 ⋅ 10 3 Benzyna 6,80 ⋅ 10 2 Hel 1,80 ⋅ 10 − 1 Miedź 8,92 ⋅ 10 3 Gliceryna 1,26 ⋅ 10 3 Wodór 9,00 ⋅ 10 − 2 Korek 2,40 ⋅ 10 2 Rtęć 1,36 ⋅ 10 4 Metan 7,20 ⋅ 10 − 2 Powierzchnia Ziemi 3,30 ⋅ 10 3 Oliwa z oliwek 9,20 ⋅ 10 2 Azot 1,25 ⋅ 10 0 Szkło 2,60 ⋅ 10 3 Podtlenek azotu 1,98 ⋅ 10 0 Złoto 1,93 ⋅ 10 4 Tlen 1,43 ⋅ 10 0 Granit 2,70 ⋅ 10 3 Żelazo 7,86 ⋅ 10 3 Ołów 1,13 ⋅ 10 4 Drewno dębowe 7,10 ⋅ 10 2 Drewno sosnowe 3,73 ⋅ 10 2 Platyna 2,14 ⋅ 10 4 Polistyren 1,00 ⋅ 10 2 Wolfram 1,93 ⋅ 10 4 Uran 1,87 ⋅ 10 3 Jak łatwo zauważymy, przyglądając się , gęstość obiektu może pomóc w określeniu jego składu. Na przykład gęstość złota jest 2,5 razy większa niż gęstość żelaza, którego gęstość jest z kolei 2,5 razy większa niż gęstość glinu. Gęstość informuje nas również o stanie skupienia materii oraz jej strukturze. Zauważmy, że gęstości cieczy i ciał stałych są w przybliżeniu porównywalne, co doskonale potwierdza, że ich atomy pozostają w ścisłym kontakcie. Gęstości gazów są znacznie mniejsze niż gęstości cieczy i ciał stałych, ponieważ atomy gazów znajdują się w dużych odległościach od siebie. Gęstości gazów podaje się w tak zwanych warunkach normalnych, czyli temperaturze normalnej 0,0 ° C i pod normalnym ciśnieniem 101,3 kPa. Istnieje silna zależność między gęstością a temperaturą i ciśnieniem. Gęstości ciał stałych i płynów przedstawia się w normalnej temperaturze 0,0 ° C , a ich wartości zwykle rosną wraz ze spadkiem temperatury. pokazuje gęstość wody w różnych stanach skupienia oraz temperaturach. Rośnie ona ze spadkiem temperatury i osiąga maksimum przy 4,0 ° C , a następnie zmniejsza się ze spadkiem temperatury poniżej 4,0 ° C . Ta cecha gęstości wody wyjaśnia, dlaczego lód tworzy się na powierzchni wody. Gęstości wody Substancja ρ ( k g / m 3 ) Lód ( 0 °C ) 9,170 ⋅ 10 2 Woda ( 0 ° C ) 9,998 ⋅ 10 2 Woda ( 4 ° C ) 1,000 ⋅ 10 3 Woda ( 20 ° C ) 9,982 ⋅ 10 2 Woda ( 100 ° C ) 9,584 ⋅ 10 2 Para ( 100 ° C, 101.3 kPa ) 1,670 ⋅ 10 2 Woda morska ( 0 ° C ) 1,030 ⋅ 10 3 Gęstość substancji nie musi być stała w jej objętości. Jeżeli jest stała w całej objętości, to mówimy, że substancja jest jednorodna ( homogeniczna ) (ang. homogeneous substance ). Przykładem może być jednolity pręt metalowy. Dla takiej substancji gęstość jest stała w objętości, a gęstość każdej próbki ma taką samą wartość jak średnia. Jeżeli gęstość substancji nie jest stała, to nazywamy ją niejednorodną ( heterogeniczną ) (ang. heterogeneous substance ). Kawałek sera szwajcarskiego to przykład substancji heterogenicznej, ponieważ zawiera ona zarówno lity ser, jak i wypełnione gazem przestrzenie. Gęstość w konkretnym punkcie substancji niejednorodnej nazywamy gęstością lokalną i podajemy jako funkcję położenia: ρ = ρ ( x , y , z ) ( ). Gęstość może się zmieniać w obrębie mieszanki niejednorodnej. Gęstość lokalną możemy obliczyć, dzieląc masę interesującego nas fragmentu przez jego objętość. Gęstość lokalną można otrzymać jako granicę średniej gęstości w małej objętości, której wymiary dążą do zera: ρ = lim Δ V → 0 Δ m Δ V , gdzie ρ jest gęstością, m masą, a V objętością. Ponieważ jedną z cech gazów jest duża ściśliwość, ich gęstości zmieniają się z temperaturą w znaczący sposób, natomiast gęstości cieczy, jako substancji względnie nieściśliwych, nie zależą znacznie od temperatury. Z tego powodu gęstości cieczy często traktujemy jako stałe, równe ich średnim gęstościom. Gęstość jest własnością wymiarową, więc gdy porównujemy gęstości dwóch substancji, musimy wziąć pod uwagę również jednostki. Dlatego do porównywania gęstości stosujemy inną, bezwymiarową cechę nazywaną gęstością względną. Definiujemy ją jako iloraz gęstości materiału i gęstości wody w temperaturze 4,0 °C pod ciśnieniem 1 atm, czyli 1000 kg/m 3 : gęstość względna = gęstość materiału gęstość wody . Do porównania stosujemy gęstość wody, wynoszącą 1 g/cm 3 , ponieważ używamy jej też w definicji kilograma. Bezwymiarowość gęstości względnej umożliwia jej stosowanie w porównaniach między różnymi materiałami, bez konieczności uwzględniania jednostek ich gęstości. Na przykład, gęstość glinu wynosi 2,7 g/cm 3 (2700 kg/m 3 ), a gęstość względna 2,7, niezależnie od użytych jednostek. Gęstość właściwa jest szczególnie użyteczna w kontekście unoszenia, które omówimy w dalszych częściach tego rozdziału. Ciśnienie Bez wątpienia słyszeliście słowo „ciśnienie” w odniesieniu do krwi (wysokie lub niskie ciśnienie krwi) oraz do pogody (układy wysokiego i niskiego ciśnienia). Są to jednak tylko dwa z wielu przykładów ciśnienia płynów. (Przypomnijmy sobie, że wprowadziliśmy pojęcie ciśnienia w rozdziale Równowaga statyczna i sprężystość , w kontekście ich naprężenia.) Ciśnienie Ciśnienie ( p ) definiujemy jako wartość siły normalnej do powierzchni F na jednostkę powierzchni A , do której siła jest przyłożona, czyli: p = F A . Ciśnienie (ang. pressure ) w konkretnym punkcie definiujemy jako siłę d F , z jaką płyn działa na nieskończenie małey element powierzchni d A , zawierający ten punkt, z czego otrzymujemy p = d F / d A . Siła może wywoływać różne efekty w zależności od pola powierzchni, na którą działa. Na przykład siła przyłożona do powierzchni 1 mm 2 wywiera 100 razy większe ciśnienie niż ta sama siła przyłożona do powierzchni 1 cm 2 . Z tego powodu ostra igła przebija skórę po przyłożeniu niewielkiej siły, ale przyłożenie tej samej siły przy pomocy palca skóry nie narusza ( ). (a) Osoba ukłuta palcem może się zdenerwować, ale siła ukłucia nie będzie miała żadnego trwałego efektu. (b) Ta sama siła przyłożona do powierzchni równej powierzchni naostrzonej części igły wystarcza do przebicia skóry. Zwróćmy uwagę, że chociaż siła jest wektorem, ciśnienie jest skalarem. Dzieje się tak dlatego, że ciśnienie definiujemy jako wielkość proporcjonalna do wartości składowej siły prostopadłej do powierzchni. Jednostką SI ciśnienia jest paskal (Pa). Nazwano ją tak na cześć francuskiego matematyka i fizyka Blaise'a Pascala (1623–1662): 1 P a = 1 N m 2 . Jednak używamy jeszcze kilku innych jednostek ciśnienia – omówimy je w dalszej części tego rozdziału. Zmiany ciśnienia z głębokością w płynie o stałej gęstości Ciśnienie zdefiniowane dla wszystkich stanów materii, jest szczególnie istotne dla płynów. W tym kontekście ważną ich cechę stanowi fakt, że nie stawiają one znaczącego oporu siłom działającym równolegle do powierzchni płynu. Cząsteczki płynu przemieszczają się pod wpływem takiej siły. Siła prostopadła przyłożona do powierzchni ściska i rozpręża płyn. Gdy spróbujemy ścisnąć płyn, stwierdzimy, że siła reakcji w każdym punkcie wewnątrz skierowana jest na zewnątrz, równoważąc siłę przyłożoną do cząsteczek na powierzchni płynu. Rozważmy płyn o stałej gęstości pokazany na . Ciśnienie na dnie naczynia wywołane jest ciśnieniem atmosferycznym ( p 0 ) i ciśnieniem związanym z ciężarem płynu. Ciśnienie pochodzące od płynu równe jest jego ciężarowi podzielonemu przez pole powierzchni. Ciężar płynu to jego masa pomnożona przez przyspieszenie grawitacyjne. Spód tego naczynia podpiera cały ciężar płynu w nim zawartego. Ściany pionowe nie mogą wywierać na płyn siły skierowanej ku górze (ponieważ nie może on stawiać oporu siłom stycznym), więc spód naczynia musi równoważyć cały ciężar płynu. Ponieważ gęstość jest stała, ciężar możemy obliczyć przy użyciu gęstości: Q = m g = ρ V g = ρ A h g . Ciśnienie na dnie naczynia jest więc równe sumie ciśnienia atmosferycznego (ang. atmospheric pressure ) oraz ciężaru płynu podzielonego przez powierzchnię spodu naczynia: p = p 0 + ρ A h g A = p 0 + ρ h g . To równanie jest spełnione tylko do głębokości, do której płyn ma stałą gęstość. Ciśnienie na pewnej głębokości dla płynu o stałej gęstości Ciśnienie na pewnej głębokości dla płynu o stałej gęstości równe jest sumie ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia wywieranego przez ciężar płynu, czyli: p = p 0 + ρ h g , gdzie p jest ciśnieniem na rozważanej głębokości, p 0 ciśnieniem atmosferycznym, ρ gęstością płynu, g przyspieszeniem ziemskim, a h głębokością. Tama Trzech Przełomów zbudowana na rzece Jangcy w środkowych Chinach w roku 2008 stworzyła ogromny rezerwuar wodny, co spowodowało wysiedlenie ponad miliona osób. (Źródło: „Le Grand Portage”/Flickr) Jaką siłę musi wytrzymać tama? Rozważmy ciśnienie i siłę działające na tamę utrzymującą rezerwuar wodny ( ). Załóżmy, że tama ma 500 m szerokości, a woda ma głębokość 80,0 m, u podstawy tamy, jak pokazano poniżej. (a) Jakie jest średnie ciśnienie na tamę spowodowane naporem wody? (b) Oblicz siłę wywieraną na tamę. Średnie ciśnienie p spowodowane naporem wody jest ciśnieniem na średniej głębokości h = 40,0 m , ponieważ ciśnienie rośnie ono liniowo z głębokością. Siła wywierana na tamę przez wodę równa się średniemu ciśnieniu pomnożonemu przez powierzchnię styku: F = p A . Rozwiązanie Średnie ciśnienie wywołane ciężarem płynu wynosi: p = h ρ g . Podstawiając gęstość wody z i przyjmując, że h jest średnią głębokością, wynoszącą 40,0 m, otrzymujemy: p = 40,0 m ⋅ 10 3 k g m 3 ⋅ 9,80 m s 2 = 3,92 ⋅ 10 5 N m 2 = 392 k P a . Wcześniej obliczyliśmy wartość p . Pole powierzchni tamy wynosi: A = 80,0 m ⋅ 500 m = 4,00 ⋅ 10 4 m 2 , czyli F = 3,92 ⋅ 10 5 N m 2 ⋅ 4,00 ⋅ 10 4 m 2 = 1,57 ⋅ 10 10 N . Znaczenie Mimo że siła ta wydaje się ogromna, to jest ona niewielka w porównaniu z ciężarem wody w rezerwuarze ( 1,96 ⋅ 10 13 N ). W rzeczywistości stanowi ona jedynie 0,0800% tego ciężaru. Sprawdź, czy rozumiesz: Czy tamę trzeba byłoby przeprojektować, gdyby rezerwuar w obejmował dwa razy większą powierzchnię, ale miał tę samą głębokość? Ciśnienie obliczone w części (a) naszego przykładu jest całkowicie niezależne od szerokości i długości jeziora; zależy jedynie od jego średniej głębokości u podstawy tamy. Zwróćmy uwagę, że na diagramie pokazano, jak grubość tamy zwiększa się wraz ze wzrostem głębokości, aby zrównoważyć coraz większą siłę związaną z narastającym ciśnieniem. Ciśnienie w płynie statycznym w jednorodnym polu grawitacyjnym Płyn statyczny (ang. static fluid ) to płyn, który nie jest w ruchu. W dowolnym punkcie wewnątrz niego, ciśnienie we wszystkich kierunkach musi być takie samo, bo w przeciwnym przypadku punkt ten zacząłby przyspieszać w odpowiedzi na działającą siłę wypadkową. Ciśnienie w dowolnym punkcie płynu statycznego zależy jedynie od głębokości. Jak powiedzieliśmy wcześniej, ciśnienie w płynach w pobliżu powierzchni Ziemi zmienia się wraz z głębokością, w związku ze zmieniającym się ciężarem płynu ponad pewnym poziomem. W powyższym przykładzie założyliśmy, że gęstość jest stała i że średnia gęstość płynu dobrze oddaje gęstość lokalną. Jest to rozsądne przybliżenie dla płynów takich jak woda, na które musi działać duża siła, żeby zmienić ich objętość. Na przykład w basenie pływackim gęstość jest w przybliżeniu stała, a wodę na dnie tylko w niewielkim stopniu ściska woda znajdująca się powyżej. Jednak jeśli będziemy się poruszali w górę atmosfery, zetkniemy się z zupełnie inną sytuacją. Gęstość powietrza zaczyna zmieniać się istotnie już w niewielkiej odległości od powierzchni Ziemi. Aby wyprowadzić wzór na zmianę ciśnienia z głębokością w zbiorniku zawierającym płyn o gęstości ρ na powierzchni Ziemi, musimy rozpocząć od założenia, że gęstość płynu nie jest stała. Na płyn znajdujący się głębiej działają większe siły niż na ten znajdujący się w pobliżu powierzchni, co wynika z dodatkowego ciężaru płynu położonego powyżej. Z tego powodu ciśnienie obliczone na konkretnej głębokości jest inne niż ciśnienie obliczone przy założeniu stałej gęstości. Wyobraźmy sobie cienki element płynu na głębokości h , jak pokazano na . Niech ma on pole powierzchni przekroju poprzecznego A oraz wysokość Δ y . Siły działające na ten element związane są z ciśnieniem p ( y ) powyżej i ciśnieniem p ( y + Δ y ) poniżej jego położenia. Ciężar samego elementu pokazany jest na oddzielnym rysunku. Siły działające na element masy wewnątrz płynu. Ciężar elementu pokazany jest na oddzielnym rysunku. Ponieważ element płynu pomiędzy y a y + Δ y nie przyspiesza, siły muszą się równoważyć. W kartezjańskim układzie współrzędnych, którego oś y jest skierowana ku górze, uzyskujemy następujące równanie ruchu elementu y : p ( y + Δ y ) A − p ( y ) A − g Δ m = 0 ( Δ y < 0 ) . Zwróćmy uwagę, że gdyby ten element miał niezerową składową przyspieszenia wzdłuż osi y , prawa strona nie wynosiłaby zero, lecz równałaby się iloczynowi masy i przyspieszenia w kierunku y . Masę elementu możemy zapisać przy pomocy gęstości płynu i objętości elementu: Δ m = | ρ A Δ y | = − ρ A Δ y ( Δ y < 0 ) . Po wstawieniu wyrażenia na Δ m do , a następnie podzieleniu obu stron przez A Δ y , otrzymujemy: p ( y + Δ y ) − p ( y ) Δ y = − ρ g . Przechodząc do granicy nieskończenie cienkiego elementu Δ y → 0 , uzyskujemy następujące równanie różniczkowe, które opisuje zmianę ciśnienia w płynie: d p d y = − ρ g . Równanie to pokazuje, że szybkość zmiany ciśnienia w płynie wraz z głębokością jest proporcjonalna do gęstości tego płynu. Rozwiązanie powyższego równania zależy od tego, czy gęstość ρ jest stała, czy zmienia się wraz z głębokością, innymi słowy zależy od funkcji ρ ( y ) . Jeżeli zakres analizowanych głębokości nie jest zbyt duży, to możemy przyjąć założenie o stałej gęstości. Jeżeli zakres ten jest wystarczająco duży, aby ciśnienie znacząco się zmieniało, tak jak w przypadku atmosfery, to nastąpi znacząca zmiana gęstości wraz ze zmianą głębokości. W takim przypadku nie możemy przyjąć założenia o stałej gęstości. Ciśnienie w płynie o stałej gęstości Użyjmy , aby wyprowadzić wzór na ciśnienie na głębokości h liczonej od powierzchni zbiornika dla płynu, dla którego możemy założyć stałą gęstość, na przykład wody. Musimy scałkować w granicach od y = 0 , gdzie ciśnienie jest ciśnieniem atmosferycznym p 0 , do y = − h : ∫ p 0 p d p = ∫ 0 − h − ρ g d y p − p 0 = ρ g h p = p 0 + ρ g h . Oznacza to, że ciśnienie na pewnej głębokości płynu znajdującego się na powierzchni Ziemi jest równe ciśnieniu atmosferycznemu ρ g h , jeżeli gęstość płynu jest stała na całej wysokości, jak pokazaliśmy wcześniej. Zwróćmy uwagę, że ciśnienie w płynie zależy jedynie od głębokości liczonej od powierzchni płynu, niezależnie od kształtu pojemnika. W związku z tym w pojemniku, w którym płyn może się przemieszczać swobodnie, pozostaje on na tym samym poziomie w każdej części pojemnika niezależnie od jego kształtu, jak pokazano to na . Jeżeli płyn może przemieszczać się swobodnie pomiędzy częściami pojemnika, podnosi się do tej samej wysokości w każdej części. W zaprezentowanym pojemniku ciśnienie na dole każdej kolumny jest takie samo – gdyby było inaczej, to płyn przemieszczałby się do momentu wyrównania ciśnień. Zmiany ciśnienia atmosferycznego wraz z wysokością Zmiany ciśnienia atmosferycznego wraz z wysokością są szczególnie interesujące. Zakładając, że temperatura powietrza jest stała i że termodynamiczne prawo gazów doskonałych stanowi dobre jego przybliżenie, możemy obliczyć zmiany ciśnienia atmosferycznego wraz z wysokością. (Prawo gazów doskonałych omawiamy w późniejszym rozdziale, ale zakładamy, że Czytelnik zna je ze szkoły średniej.) Niech p ( y ) oznacza ciśnienie atmosferyczne na wysokości y . Gęstość ρ na wysokości y , temperatura T w skali Kelvina (K) oraz masa m cząsteczek powietrza są powiązane z ciśnieniem całkowitym na mocy prawa gazów doskonałych w następujący sposób: p = ρ k B T m , gdzie k B jest stałą Boltzmanna o wartości 1,38 ⋅ 10 − 23 J / K . Być może spotkaliście się z prawem gazów doskonałych w postaci p V = n R T , gdzie n jest liczbą moli, a R stałą gazową. Tutaj to samo prawo zostało zapisane w innej postaci, z zastosowaniem gęstości ρ zamiast objętości V . Jeżeli ciśnienie p zmienia się wraz z wysokością, to podobnie zmienia się gęstość ρ . Po podstawieniu gęstości z prawa gazów doskonałych szybkość zmiany ciśnienia z wysokością przedstawimy jako: d p d y = − p m g k B T , gdzie stałe zostały zebrane w nawiasie. Po zastąpieniu tych stałych jednym symbolem α , równanie przyjmuje znacznie prostszą postać: d p d y = − α p d p p = − α d y ∫ p 0 p ( y ) d p p = ∫ 0 y − α d y [ ln  p ] p 0 p ( y ) = [ − α y ] 0 y ln  p − ln  p 0 = − α y ln  ( p p 0 ) = − α y , z czego otrzymujemy rozwiązanie: p ( y ) = p 0 e − α y . Widzimy, że ciśnienie atmosferyczne spada wykładniczo wraz z wysokością, ponieważ oś y skierowana jest ku górze, a y przyjmuje wartości dodatnie dla warstw atmosfery powyżej poziomu morza. Ciśnienie spada o 1 / e , gdy wysokość zmienia się o 1 / α , co daje nam fizyczną interpretację α . Stała 1 / α jest współczynnikiem charakteryzującym zmiany ciśnienia wraz z wysokością, nazywanym współczynnikiem strat ciśnienia. Możemy uzyskać przybliżoną wartość α , jeśli użyjemy masy cząsteczki azotu jako przybliżenia cząsteczki powietrza. W temperaturze 27 °C, , czyli 300 K, obliczamy: α = − m g k B T = 4,8 ⋅ 10 − 26 k g ⋅ 9,81 m / s 2 1,38 ⋅ 10 − 23 J / K ⋅ 300 K = 1 8800 1 m Czyli na każde 8800 m ciśnienie powietrza spada o 1 / e lub w przybliżeniu o jedną trzecią. Daje nam to jedynie ogólne pojęcie tego, co się dzieje naprawdę, ponieważ w naszych obliczeniach przyjęliśmy zarówno stałą temperaturę, jak i stałą wartość g na całej rozważanej wysokości, tymczasem żadne z tych założeń nie jest w rzeczywistości spełnione. Kierunek ciśnienia w płynie Ciśnienie w płynie nie ma kierunku, ponieważ jest wartością skalarną, natomiast siły wywoływane przez nie mają wyraźnie określone kierunki: zawsze są przyłożone prostopadle do dowolnej powierzchni. Powodem tego jest fakt, że płyn nie może się opierać siłom ścinającym ani sam ich wywierać. W związku z tym w płynie statycznym znajdującym się w naczyniu siła na jego ściany jest skierowana prostopadle do powierzchni wewnętrznej. Podobnie ciśnienie oddziałuje prostopadle do powierzchni dowolnego przedmiotu umieszczonego w płynie. przedstawia ciśnienie wywierane przez powietrze na ściany opony oraz przez wodę na ciało pływaka. (a) Sprężone powietrze wewnątrz opony oddziałuje siłami prostopadłymi do wszystkich powierzchni, z którymi jest w kontakcie. Strzałki przedstawiają kierunki i wartości sił w różnych punktach. (b) Siła wywierana przez wodę jest prostopadła do wszystkich powierzchni pływaka, ponieważ wpłynęłaby w miejsce przez niego zajmowane, gdyby go tam nie było. Strzałki przedstawiają kierunki i wartości sił wywieranych na pływaka w różnych miejscach. Podsumowanie Płyn to stan skupienia materii poddający się siłom bocznym lub ścinającym. Ciecze i gazy są płynami. Statyka płynów to dziedzina fizyki zajmująca się nieruchomymi płynami. Gęstość substancji lub obiektu, to jego masa na jednostkę objętości. Definiujemy ją jako ρ = m / V . Jednostką SI gęstości jest kg/m 3 . Ciśnienie to wartość składowej prostopadłej siły na jednostkę powierzchni, do której jest przyłożona, p = F / A . Jednostką SI ciśnienia jest paskal: 1 Pa = 1 N/m 2 . Ciśnienie wywołane ciężarem cieczy o stałej gęstości dane jest przez p = ρ g h , gdzie p jest ciśnieniem, h głębokością cieczy, na której mierzymy ciśnienie, ρ gęstością cieczy, a g przyspieszeniem ziemskim. Pytania Które z poniższych substancji są płynami w temperaturze pokojowej i pod ciśnieniem atmosferycznym: powietrze, rtęć, woda, szkło? Rtęć i woda są cieczami w temperaturze pokojowej i pod ciśnieniem atmosferycznym. Powietrze jest gazem w temperaturze pokojowej i pod ciśnieniem atmosferycznym. Szkło jest amorficznym (niekrystalicznym) stałym materiałem w temperaturze pokojowej. Dawniej uważano, że szkło może płynąć, ale bardzo powoli. Źródłem tej teorii była obserwacja starych szyb, które są grubsze na dole. W tej chwili wiadomo, że ta teoria jest błędna. Dlaczego gazy łatwiej sprężyć niż ciecze i ciała stałe? Wyjaśnij, w jaki sposób gęstość powietrza zmienia się z wysokością nad poziomem morza. Gęstość powietrza zmniejsza się wraz z wysokością nad poziomem morza. Dla kolumny powietrza o stałej temperaturze gęstość zmniejsza się wykładniczo wraz z wysokością. Jest to dość dobre oszacowanie, ale ponieważ temperatura naprawdę zmienia się z wysokością, to stwierdzenie to pozostaje tylko przybliżeniem. Obrazek pokazuje szklankę zawierającą wodę z lodem wypełnioną po krawędź. Czy woda się wyleje, gdy lód się stopi? Uzasadnij swoją odpowiedź. W jaki sposób ciśnienie jest związane z ostrością noża i jego zdolnością do przecinania? Ciśnienie to siła podzielona przez powierzchnię. Jeżeli nóż jest ostry, to siła przyłożona do powierzchni tnącej rozkłada się na mniejszej powierzchni niż w przypadku tępego noża. Oznacza to, że ciśnienie będzie większe w przypadku ostrego noża, co zwiększa jego zdolność cięcia. Dlaczego siła wywierana przez płyn statyczny jest zawsze prostopadła do powierzchni? Wyobraź sobie, że w odległym miejscu w pobliżu bieguna północnego, kawałek lodu pływa po jeziorze. W pobliżu jeziora lodowiec o takiej samej objętości jak lód w jeziorze jest umieszczony na lądzie. Jeżeli globalne ocieplenie doprowadzi do stopienia obu kawałków lodu, a stopniały lód trafi do jeziora, który z kawałków sprawi, że poziom wody bardziej się podniesie? Odpowiedź uzasadnij. Jeżeli dwa kawałki lodu mają taką samą objętość, to po stopieniu pozostanie po nich taka sama ilość wody. Lodowiec spowoduje wzrost poziomu jeziora, gdy dostanie się do niego stopiona woda. Ponieważ część pływającego lodu jest już zanurzona w wodzie, to już w tej chwili, przed stopieniem, poziom jeziora jest podniesiony. W balecie, taniec en pointe (na czubkach palców) jest znacznie trudniejszy niż zwykły taniec czy chodzenie. Wyjaśnij, dlaczego tak jest, używając pojęcia ciśnienia. Ciśnienie atmosferyczne wywiera dużą siłę (równą ciężarowi atmosfery powyżej twojego ciała – około 10 t) na górną część twojego ciała, podczas gdy leżysz na plaży i się opalasz. Dlaczego jesteśmy w stanie się podnieść? Ciśnienie działa na twoje ciało z każdego kierunku, jeśli nie jesteś w próżni. Dlaczego spadek ciśnienia atmosferycznego z wysokością jest szybszy niż liniowy? Ilustracja pokazuje, jak worki z piaskiem umieszczone dookoła przecieku na zewnątrz wałów przeciwpowodziowych są w stanie efektywnie zatrzymać wodę pod wałem. Wyjaśnij, w jaki sposób niewielka ilość wody wewnątrz kolumny z worków jest w stanie zrównoważyć ogromną ilość wody przed wałem. Ponieważ poziom rzeki jest bardzo wysoki, woda zaczęła przeciekać pod wałem. Worki z piaskiem umieszczono wokół przecieku, a woda utrzymywana przez nie podnosi się do takiego samego poziomu jak woda w rzece – w tym momencie poziom wody przestaje wzrastać. Poziom wody wewnątrz ogrodzenia z worków zwiększa się do czasu, gdy wysokość kolumny zrówna się z poziomem wody przed wałem. Czy istnieje siła wypadkowa działająca na tamę pochodząca od ciśnienia atmosferycznego? Odpowiedź uzasadnij. Czy ciśnienie atmosferyczne dodaje się do ciśnienia gazu w sztywnym pojemniku? A w balonie do zabawy? Ogólniej: kiedy ciśnienie atmosferyczne nie ma wpływu na całkowite ciśnienie płynu? Ciśnienie atmosferyczne nie wpływa na ciśnienie gazu w sztywnym pojemniku, ale wpływa na ciśnienie wewnątrz balonu. Ogólnie, ciśnienie atmosferyczne wpływa na ciśnienie płynu, chyba że płyn ten znajduje się w sztywnym pojemniku. Można stłuc mocną butelkę wina uderzając w korek ręką i wbijając go do butelki, pod warunkiem, że korek styka się bezpośrednio z płynem wypełniającym butelkę – pomiędzy korkiem a płynem nie może być powietrza. Wyjaśnij, dlaczego butelka pęka tylko wtedy, gdy nie ma powietrza pomiędzy korkiem a płynem. Zadania Złoto jest ciałem stałym sprzedawanym na uncje (31,103 g). Jaka jest objętość jednej uncji czystego złota? 1,610 c m 3 Rtęć dostarcza się w pojemnikach zawierających 34,5 kg metalu. Jaka jest objętość w litrach takiej ilości rtęci? Jaka jest masa głębokiego wdechu powietrza o objętości 2,00 l? Omów wpływ takiego wdechu na objętość i gęstość twojego ciała. Masa wynosi 2,58 g. Objętość twojego ciała zwiększa się o objętość powietrza we wdechu. Średnia gęstość maleje, gdy bierzesz głęboki wdech, ponieważ gęstość powietrza jest znacznie mniejsza od niej. Prostą metodą obliczania gęstości obiektu jest pomiar masy, a następnie pomiar objętości poprzez zanurzenie tego ciała w wycechowanym zbiorniku. Jaka jest gęstość skały o masie 240 g, która wypiera 89,0 cm 3 wody? (Zwróć uwagę, że dokładność tej techniki w praktycznych zastosowaniach jest mniejsza niż dokładność innych technik opartych na prawie Archimedesa.) Załóżmy, że masz kubek do kawy o przekroju kołowym i pionowych ściankach (o stałym promieniu). Jaki jest jego promień wewnętrzny, jeżeli zawiera 375 g kawy, gdy wypełniono go do wysokości 7,50 cm? Załóż, że kawa ma taką samą gęstość jak woda. 3,99 cm Prostokątny zbiornik paliwa może pomieścić 50,0 kg benzyny. (a) Jaka jest głębokość zbiornika, jeżeli jego szerokość wynosi 0,500 m, a długość 0,900 m? (b) Zastanów się, czy ma on wymiary pozwalające zamontować go w samochodzie osobowym. Zgniatarka śmieci zgniata zawartość do 0,350 pierwotnej objętości. Pomijając masę wydalonego powietrza, oblicz o jaki czynnik zwiększyła się gęstość śmieci? 2,86 razy Puszka o masie 2,50 kg może pomieścić 20,0 l benzyny. Jaka jest gęstość wypełnionej puszki, jeśli uwzględnimy objętość zajmowaną zarówno przez stal, jak i przez benzynę? Jaka jest gęstość 18-karatowego złota, które jest mieszanką 18 części złota, 5 części srebra i 1 częścią miedzi? (Części te dotyczą masy, a nie objętości.) Załóż, że jest to prosta mieszanka o średniej gęstości, równej średniej ważonej gęstości jej części. 15,6 g/cm 3 Ostrze gwoździa wywiera ogromne ciśnienie po uderzeniu młotkiem, ponieważ działa dużą siłą na małej powierzchni. Jaką siłą należałoby zadziałać na gwóźdź o ostrzu o średnicy 1,00 mm, aby wytworzyć ciśnienie 3,00 ⋅ 10 9 N / m 2 ? (Tak wysokie ciśnienie jest możliwe, ponieważ młotek uderzający w gwóźdź zostaje wyhamowany na bardzo krótkim odcinku.) Szklana rurka zawiera rtęć. Jaka powinna być wysokość kolumny rtęci, aby wytworzyć ciśnienie równe 1 atm? 0,760 m = 76,0 cm = 760 mm Największą głębię oceaniczną na Ziemi można znaleźć w Rowie Mariańskim w pobliżu Filipin. Oblicz ciśnienie wywołane przez ocean na jego dno, wiedząc, że głębokość wynosi 11,0 km i zakładając stałą gęstość wody na całej głębokości. Udowodnij, że jednostką SI h ρ g jest N/m 2 . Przeprowadź dowód. Jakie ciśnienie wywierane jest na dno pojemnika z gazem, który ma szerokość 0,500 m, długość 0,900 m i może pomieścić 50,0 kg benzyny? Tamy używane są do spiętrzania rzek. Tama ma wysokość H = 12 m i szerokość W = 10 m . Załóż, że gęstość wody wynosi ρ = 1000 kg/m 3 . (a) Oblicz wypadkową siłę na tamę. (b) Dlaczego grubość tamy rośnie wraz z głębokością? a. ciśnienie na wysokości H : p = 7,06 ⋅ 10 6 N b. Ciśnienie zwiększa się ze wzrostem głębokości, więc tama musi być szersza na dole, aby wytrzymać większe ciśnienie. gęstość (ang. density ) masa na jednostkę objętości substancji lub obiektu płyny (ang. fluids ) ciecze i gazy; stan płynny poddaje się siłom ścinającym ciśnienie (ang. pressure ) siła na jednostkę powierzchni wywierana prostopadle do powierzchni, na którą działa gęstość względna (ang. specific gravity ) iloraz gęstości obiektu do gęstości płynu (zwykle wody)

Science


Pomiar ciśnienia W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na obliczanie zmian ciśnienia w płynie, który pozostaje w równowadze hydrostatycznej. Obliczenia te są bardzo użyteczne, ponieważ pomiary ciśnienia są bardzo istotne, zarówno w codziennym życiu, jak i w zastosowaniach naukowych i technicznych. W tym rozdziale przedyskutujemy różne metody pomiaru ciśnienia oraz podawania wyników. Ciśnienie manometryczne a ciśnienie absolutne Załóżmy, że ciśnienie na manometrze butli do nurkowania pokazuje wartość 3000 psi, co w przybliżeniu odpowiada 207 atm. Gdy otworzymy zawór, powietrze zaczyna uciekać, ponieważ ciśnienie wewnątrz butli jest większe niż ciśnienie atmosferyczne na zewnątrz. Będzie to trwało do momentu, gdy ciśnienie w butli zrówna się z ciśnieniem atmosferycznym. W tym momencie manometr wskaże wartość zero, mimo że ciśnienie wewnątrz butli będzie wynosiło 1 atm, czyli takie jak na zewnątrz. Większość mierników ciśnienia (manometrów), tak jak manometr na butli do nurkowania, jest skalibrowana w taki sposób, że wskazują wartość zero pod ciśnieniem atmosferycznym. Ciśnienie odczytane z takiego manometru nazywamy ciśnieniem manometrycznym (ang. gauge pressure ) i jest to wartość ciśnienia względem atmosferycznego. Gdy ciśnienie wewnątrz zbiornika jest większe niż ciśnienie atmosferyczne, manometr wskazuje wartość dodatnią. Niektóre mierniki zaprojektowano w taki sposób, aby mogły wskazywać ciśnienie ujemne. Na przykład wiele eksperymentów fizycznych musi być przeprowadzanych w komorze próżniowej, czyli sztywnym zbiorniku, z którego wypompowano powietrze. Ciśnienie wewnątrz komory próżniowej jest niższe niż ciśnienie atmosferyczne, więc manometr wskazuje ciśnienie ujemne. Ciśnienie atmosferyczne (ang. atmospheric pressure ), które nie jest uwzględniane w ciśnieniu manometrycznym, wchodzi w skład ciśnienia absolutnego (ang. absolute pressure i dodaje się je do ciśnienia każdego płynu nieumieszczonego w sztywnym, szczelnym pojemniku. Ciśnienie absolutne Ciśnienie absolutne, inaczej ciśnienie bezwzględne, jest sumą ciśnienia manometrycznego i ciśnienia atmosferycznego: p abs = p g + p atm gdzie p abs jest ciśnieniem absolutnym, p g ciśnieniem manometrycznym, a p atm ciśnieniem atmosferycznym. Na przykład, jeżeli ciśnienie manometryczne dla opony wynosi 34 psi, to ciśnienie absolutne wynosi 34 psi + 14,7 psi ( p atm w psi), czyli 48,7 psi (co odpowiada 336 kPa). Ciśnienie absolutne płynów nie może być ujemne. Płyny mogą wypychać, ale nie mogą wciągać (zasysać), więc najniższa wartość ciśnienia absolutnego to zero (ujemne ciśnienie absolutne odpowiada ciągnięciu [zasysaniu]). Tak więc najniższe możliwe ciśnienie manometryczne wynosi p g = − p atm (dzięki czemu p abs wynosi zero). Nie ma teoretycznie ograniczenia górnej wartości ciśnienia manometrycznego. Pomiar ciśnienia Wiele urządzeń mierzy ciśnienie: od manometrów samochodowych po urządzenia do pomiaru ciśnienia krwi. Wiele innych mierników ciśnienia używa się do pomiaru ciśnienia płynów – w tej części omówimy niektóre z nich. Dowolna wielkość zmieniająca się wraz z ciśnieniem w znany nam sposób może zostać wykorzystania do skonstruowania miernika ciśnienia. Jedne z najbardziej rozpowszechnionych typów mierników, tensometry, wykorzystują zmiany kształtu materiału pod wpływem ciśnienia, inne, pojemnościowe mierniki ciśnienia, działają na zasadzie pomiaru pojemności elektrycznej pod wpływem spowodowanych ciśnieniem zmian kształtu, jeszcze inne, piezoelektryczne mierniki ciśnienia, mierzą zmiany napięcia na materiale piezoelektrycznym, powstałe w wyniku różnych ciśnień przyłożonych do różnych jego części, a jonowe mierniki, mierzą ciśnienie za pośrednictwem jonizacji cząsteczek w komorach próżniowych pod bardzo niskimi ciśnieniami. Różne mierniki ciśnienia stosuje się w różnych sytuacjach fizycznych. Na podano kilka przykładów. (a) Mierniki używane do pomiaru i monitorowania ciśnienia w butlach gazowych. Sprężone gazy mają wielorakie zastosowania przemysłowe i medyczne. (b) Wiele różnych mierników ciśnienia w oponach, umożliwia utrzymanie optymalnego ciśnienia w oponach ze względu na ładunek i warunki na drodze. (c) Miernik jonizacyjny jest bardzo czułym urządzeniem do monitorowania ciśnienia gazów w systemach zamkniętych. Cząsteczki neutralnego gazu zostają zjonizowane, dzięki czemu uwalniają się elektrony, a powstały w ten sposób prąd przekłada się na odczyt ciśnienia. Mierników jonizacyjnych często używa się w zastosowaniach przemysłowych opartych na systemach próżniowych. Manometry Jedna z najważniejszych klas mierników ciśnienia wykorzystuje fakt, że waga płynu o stałej gęstości dana jest wyrażeniem p = h ρ g . Rurka w kształcie litery U, pokazana na , jest przykładem manometru (ang. manometer ); w części (a) oba końce rurki są otwarte na oddziaływanie ciśnienia atmosferycznego w dół jednakowo z obu stron, co prowadzi do zniesienia się efektów oddziaływania. Z kolei manometr z tylko jedną częścią otwartą na działanie ciśnienia atmosferycznego jest idealnym urządzeniem do pomiaru ciśnienia manometrycznego. Ciśnienie manometryczne dane wyrażeniem p g = h ρ g można uzsykać przez pomiar h . Na przykład załóżmy, że jedną ze stron wygiętej w kształt litery U rurki połączono z obszarem o pewnym ciśnieniu p abs , takim jak balon w części (b) ilustracji lub próżniowo zamknięty słoik z orzeszkami ziemnymi pokazany w części (c). Ciśnienie jest przekazywane bez strat do manometru, przez co poziomy płynu przestają być równe. W części (b) ciśnienie p abs jest większe niż ciśnienie atmosferyczne, podczas gdy w części (c) p abs jest mniejsze od ciśnienia atmosferycznego. W obu przypadkach p abs różni się od ciśnienia atmosferycznego o wielkość h ρ g , gdzie ρ jest gęstością płynu w manometrze. W części (b) ciśnienie p abs może podtrzymać kolumnę płynu na o wysokości h , więc wywierane ciśnienie p abs musi być większe niż ciśnienie atmosferyczne (ciśnienie manometryczne p g jest dodatnie). W części (c) ciśnienie atmosferyczne może utrzymać kolumnę płynu o wysokości h , więc ciśnienie p abs jest mniejsze niż atmosferyczne o h ρ g (ciśnienie manometryczne p g jest ujemne). Jedna strona otwartego manometru jest otwarta na działanie ciśnienia atmosferycznego. (a) Wysokość płynu musi być taka sama po obu stronach, gdyż w przeciwnym przypadku ciśnienie wywierane przez obie strony na dno nie będzie równe i ciecz przepłynie w kierunku niższego poziomu. (b) Dodatnie ciśnienie manometryczne p g = h ρ g przekazywane do jednej części manometru może utrzymać kolumnę płynu o wysokości h . (c) Podobnie jak w poprzednich przypadkach ciśnienie atmosferyczne jest większe niż ujemne ciśnienie manometryczne p g o wielkość h ρ g . Sztywność i szczelność słoika zapobiegają przekazywaniu ciśnienia atmosferycznego do orzeszków. Barometry Manometry do pomiaru ciśnienia zwykle zbudowane są z rurki w kształcie litery U wypełnionej płynem (często rtęcią). Barometr (ang. barometer ) (patrz ) jest urządzeniem mającym zwykle pojedynczą kolumnę rtęci do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Barometr, wynaleziony przez włoskiego matematyka i fizyka, Evangelistę Torricellego (1608–1647) w 1643 r., składa się ze szklanej rurki zamkniętej z jednej strony i wypełnionej rtęcią. Taką rurkę odwraca się i umieszcza w zbiorniku z rtęcią. Urządzenie mierzy ciśnienie atmosferyczne lub bardziej precyzyjnie ujmując manometryczne, ponieważ w rurce nad rtęcią tworzy się prawie idealna próżnia. Wysokość słupa rtęci spełnia warunek h ρ g = p atm . Gdy ciśnienie atmosferyczne się zmienia, rtęć się podnosi lub opada. Instytucje podające prognozy pogody dokładnie monitorują zmiany ciśnienia atmosferycznego (często nazywanego ciśnieniem barometrycznym), gdyż podnosząca się rtęć zwykle sygnalizuje poprawę pogody, a opadająca jej pogorszenie. Barometr może być również użyty jako wysokościomierz, ponieważ średnie ciśnienie atmosferyczne zmienia się wraz z wysokością nad poziomem morza. Barometry rtęciowe i manometry są tak powszechne, że do pomiaru ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia krwi używa się jednostki milimetr słupa rtęci (mmHg). Barometr rtęciowy mierzy ciśnienie atmosferyczne. Ciśnienie związane z ciężarem słupa rtęci h ρ g , równa się ciśnieniu atmosferycznemu. Ciśnienie atmosferyczne może podnieść rtęć do wysokości h , powyżej której ciśnienie wynosi zero. Wysokość płynu w otwartej rurce U-kształtnej U-kształtną, otwartą z obu stron rurkę wypełnia ciecz o gęstości ρ 1 do wysokości h z obu stron ( ). Następnie do jednego ramienia rurki wlano ciecz o gęstości ρ 2 < ρ 1 wskutek czego ciecz 2 osiadła na cieczy 1. Wysokości słupów cieczy w obu ramionach rurki są różne. Wysokość od strony cieczy 2 mierzona od styku dwóch substancji wynosi h 2 , a wysokość od strony cieczy 1 mierzona od styku dwóch substancji wynosi h 1 . Wyprowadź wzór na różnicę tych wysokości. Dwa płyny o różnych gęstościach w rurce U-kształtnej. Strategia rozwiązania Ciśnienie w punktach leżących na tej samej wysokości po obu stronach rurki U-kształtnej musi być takie samo, jeżeli oba punkty znajdują się w tej samej cieczy. Z tego powodu rozważymy dwa punkty na tym samym poziomie w obu ramionach rurki: jeden z nich leży na styku cieczy po stronie cieczy 1, a drugi to punkt w ramieniu po stronie cieczy 2 znajdujący się na tej samej wysokości co styk cieczy w pierwszym ramieniu. Ciśnienie w każdym punkcie jest wywierane przez ciśnienie atmosferyczne oraz ciężar płynu nad tym punktem. ciśnienie na stronę z cieczą 1 = p 0 + ρ 1 g h 1 ciśnienie na stronę z cieczą 2 = p 0 + ρ 2 g h 2 Rozwiązanie Ponieważ oba punkty znajdują się w cieczy 1 i są położone na tej samej wysokości, ciśnienie w nich musi być takie samo. Z tego powodu mamy: p 0 + ρ 1 g h 1 = p 0 + ρ 2 g h 2 . Z tego otrzymujemy: ρ 1 h 1 = ρ 2 h 2 . Oznacza to, że różnica wysokości po obu stronach rurki wynosi: h 2 − h 1 = ( 1 − p 1 p 2 ) h 2 . Jeżeli podstawimy p 2 = p 1 , to otrzymamy h 2 = h 1 , co jest oczywiście zgodne z naszymi założeniami: jeżeli obie strony mają tę samą gęstość, to będą miały tę samą wysokość. Sprawdź, czy rozumiesz: Rtęć jest bardzo niebezpieczną substancją. Dlaczego twoim zdaniem jest używa się jej w barometrach zamiast innych, bardziej bezpiecznych substancji, na przykład wody? (Od roku 2007 produkcja nowych urządzeń zawierających rtęć jest zabroniona ze względu na jej toksyczność - przyp. tłum.) Gęstość rtęci jest 13,6 razy większa niż gęstość wody. Potrzeba w przybliżeniu 76 cm słupka rtęci, aby zmierzyć ciśnienie 1 atm, podczas gdy dla wody wysokość ta wynosiłaby w przybliżeniu 10 m. Jednostki ciśnienia Jak wspomniano wcześniej, jednostką SI ciśnienia jest paskal (Pa) (ang. pascal ): 1 P a = 1 N m 2 . Oprócz paskala w powszechnym użyciu jest wiele innych jednostek ( ). W meteorologii ciśnienie atmosferyczne często wyraża się w milibarach (mbar), przy: 1000 m b a r = 1 ⋅ 10 5 P a Milibar jest dla meteorologów wygodną jednostką, ponieważ średnie ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza wynosi 1,013 ⋅ 10 5 P a = 1013 m b a r = 1 a t m . Wykorzystując równania wyprowadzone w rozważaniach dotyczących ciśnienia na pewnej głębokości w płynie, możemy je podać w milimetrach słupa rtęci. Ciśnienie na dnie kolumny rtęci o wysokości 760 mm w temperaturze 0 °C w pojemniku, z którego górnej części usunięto powietrze jest równe 1 atm. W laboratoriach fizyki próżniowej naukowcy często używają innej jednostki, tora (Tr) (ang. torr ), nazwanej tak na cześć Torricellego, który, jak wcześniej wspomnieliśmy, wynalazł barometr rtęciowy. 1 Tr jest równy ciśnieniu 1 mmHg. Podsumowanie jednostek ciśnienia Jednostka Definicja Jednostka SI: paskal 1 Pa = 1 N/m 2 Jednostka imperialna (brytyjski system miar): funt na cal do kwadratu ( l b / i n 2 , inaczej psi) 1 p s i = 7,015 ⋅ 10 3 P a Inne jednostki ciśnienia 1 a t m = 760 m m H g = 1,013 ⋅ 10 5 P a = 14,7 p s i = 29,9 i n H g = 1013 m b a r 1 bar = 10 5 Pa 1 T r = 1 m m H g = 122,39 P a Podsumowane Ciśnienie manometryczne to ciśnienie mierzone względem ciśnienia atmosferycznego. Ciśnienie absolutne to suma ciśnienia manometrycznego i ciśnienia atmosferycznego. Otwarte manometry rurkowe zbudowane są z rurki w kształcie litery U, której jeden koniec jest zawsze otwarty. Używa się ich do pomiaru ciśnienia. Barometr rtęciowy to urządzenie mierzące ciśnienie atmosferyczne. Jednostką SI ciśnienia jest paskal (Pa), ale w powszechnym użyciu jest jeszcze kilka innych jednostek. Pytania Wyjaśnij, dlaczego płyny sięgają tego samego poziomu w manometrze, jeżeli oba końce rurki są otwarte, nawet jeżeli ich średnice pozostają różne. Ciśnienie atmosferyczne wiąże się z ciężarem powietrza ponad miejscem, w którym jest mierzone. Ciśnienie, czyli siła przez powierzchnię, będzie takie samo na tej wysokości atmosfery. Zadania Oblicz ciśnienie manometryczne i absolutne dla balonu i słoika z orzeszkami ziemnymi pokazanych na , założywszy, że manometr podłączony do balonu wykorzystuje wodę, a manometr podłączony do słoika wykorzystuje rtęć. Wyraź wynik w centymetrach słupka wody dla balonu i w milimetrach słupka rtęci dla słoika, przyjmując h = 0,0500 m dla każdego z nich. Jak wysoki musiałby być manometr wypełniony wodą, aby zmierzyć bardzo wysokie ciśnienie krwi, wynoszące 300 mmHg? 4,08 m Przy założeniu, że opony roweru są doskonale elastyczne i podpierają wagę roweru oraz kolarza jedynie ciśnieniem powietrza, oblicz pełną powierzchnię opony stykającą się z ziemią, jeżeli rower i kolarz mają łączną masę 80 kg, a ciśnienie manometryczne w oponach wynosi. 3,5 ⋅ 10 5 P a . ciśnienie absolutne (ang. absolute pressure ) suma ciśnienia manometrycznego i atmosferycznego ciśnienie manometryczne (ang. gauge pressure ) ciśnienie względem ciśnienia atmosferycznego

Science