Prąd elektryczny Do tej pory rozważaliśmy głównie ładunki statyczne. Gdy ładunki poruszają się, ich przyspieszanie jest efektem pola elektrycznego wytworzonego przez różnicę potencjałów. Pole elektryczne wykonuje pracę nad poruszającym się ładunkiem. Jego energia potencjalna maleje w trakcie ruchu, a energia kinetyczna wzrasta. Mimo że ruch ładunków nie jest uwarunkowany obecnością jakiegokolwiek ośrodka, to większość tego rozdziału będzie związana z zagadnieniem przepływu ładunków w pewnym ośrodku. Prędkość, z jaką ładunki przepływają przez dany punkt, czyli liczba ładunków w czasie, to natężenie prądu elektrycznego. Gdy ładunki przepływają przez pewien ośrodek, natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia, rodzaju materiału ośrodka, przez który przepływają, oraz stanu tego materiału. Szczególnie interesujący jest ruch ładunków w przewodzącym drucie. W poprzednim rozdziale ładunki były przyspieszane przez siłę powstałą w polu elektrycznym, w wyniku czego malała ich energia potencjalna, a rosła – kinetyczna. W tym rozdziale będziemy rozpatrywać przypadek, gdy pomimo siły powstałej dzięki polu elektrycznemu w przewodniku ładunki nie przyspieszają, ale oddają energię do materiału. Stałą prędkość ładunków w przewodniku nazywamy prędkością dryfu. Analogicznie zachowują się ciała spadające w atmosferze w polu grawitacyjnym Ziemi. Oddają one energię kinetyczną cząsteczkom otaczającego powietrza i ostatecznie ich prędkość ulega stabilizacji. Jeśli kiedykolwiek braliście udział w szkoleniu z bezpieczeństwa lub pierwszej pomocy, na pewno słyszeliście o przypadku wstrząsu elektrycznego. Jest on skutkiem natężenia przepływającego prądu, a nie napięcia. Od natężenia prądu zależy wielkość urazu w ciele człowieka. Natężenie prądu mierzy się w jednostkach nazwanych amperami; na bezpiecznikach w domu i samochodzie można znaleźć oznaczenia amps (albo ampery). Czym jest amper i jaką wielkość fizyczną opisuje? Definicja natężenia prądu i ampera Natężenie prądu elektrycznego definiuje się jako prędkość przepływu ładunków. Gdy jest ono duże, takie jak niezbędne do pracy lodówki, wiele ładunków przepływa przez przewód w krótkim czasie. Jeśli natężenie prądu jest małe, jak w przypadku kalkulatora, niewiele ładunków przepływa przez obwód w długim czasie. Prąd elektryczny Średnie natężenie prądu elektrycznego I jest prędkością przepływu ładunków I śr = Δ Q Δ t  , gdzie Δ Q jest wartością ładunku przepływającego przez daną powierzchnię w czasie Δ t ( ). Jednostką natężenia prądu w układzie SI jest amper (ang. ampere ) oznaczany jako A , nazwany na cześć francuskiego fizyka André-Marie Ampère’a (1775–1836) . We wzorze I = Δ Q ∕ Δ t , 1  A jest zdefiniowany jako ładunek 1  C przepływający przez daną powierzchnię w czasie 1  s 1  A = 1  C ∕ s  . \SI{1}{\ampere} = \SI{1}{\coulomb\per\second} \text{.} Chwilowe natężenie prądu elektrycznego, lub też natężenie prądu elektrycznego (ang. electric current ), jest pochodną po czasie przepływającego ładunku i wyznacza się je jako granicę ze średniej wartości natężenia prądu elektrycznego przy Δ t ⟶ 0 I = lim Δ t ⟶ 0 Δ Q Δ t = d Q d t  . Na większości urządzeń elektrycznych, takich jak bezpieczniki czy wyłączniki instalacji elektrycznej, znajdują się oznaczenia wskazujące natężenie prądu (w amperach), niezbędne do poprawnej pracy. Prędkość przepływających ładunków określa się jako natężenie prądu elektrycznego. 1  A to przepływ ładunku o wartości 1  C w ciągu 1  s . Prąd o natężeniu 1  A oznacza przepłynięcie 6,25 ⋅ 10 18 elektronów przez powierzchnię S S w ciągu 1  s . Obliczanie średniego natężenia prądu Głównym zadaniem akumulatora znajdującego się w samochodzie jest włączenie rozrusznika (ang. electric starter motor ), który z kolei uruchamia silnik. Uruchomienie samochodu wymaga dużego natężenia prądu pobranego z baterii. Gdy silnik zostanie włączony, urządzenie zwane alternatorem przejmuje rolę dostawcy prądu elektrycznego, niezbędnego do pracy pojazdu oraz ładowania baterii. Ile wynosi średnie natężenie prądu elektrycznego, gdy akumulator samochodowy wprawia w ruch 720  C ładunku w czasie 4  s podczas uruchamiania pojazdu? Ile zajmie wypłynięcie z baterii ładunku 1  C ? Strategia rozwiązania Ponieważ znamy wartość ładunku i czasu, możemy wykorzystać definicję średniego natężenia prądu, opisaną wzorem I = Δ Q ∕ Δ t , aby obliczyć je w punkcie (a). W punkcie (b) znamy średnie natężenie prądu, możemy więc ponownie skorzystać z definicji I = Δ Q ∕ Δ t , aby obliczyć czas niezbędny do przepływu 1  C ładunku z baterii. Rozwiązanie Podstawienie podanych wartości ładunku i czasu do definicji średniego natężenia prądu daje I = Δ Q Δ t = 720  C 4  s = 180  C ∕ s = 180  A  . Aby obliczyć czas Δ t , należy przekształcić związek I = Δ Q ∕ Δ t i podstawić podane wartości ładunku i natężenia prądu Δ t = Δ Q I = 1  C 180  C ∕ s = 5,56 ⋅ 10 -3  s = 5,56  ms  . \prefop{\Delta} t = \frac{\prefop{\Delta} Q}{I} = \frac{\SI{1}{\coulomb}}{\SI{180}{\coulomb\per\second}} = \SI{5,56e-3}{\second} = \SI{5,56}{\milli\second} \text{.} Znaczenie Wysoka wartość natężenia prądu świadczy o dużym ładunku przemieszczającym się w krótkim czasie. Prądy w rozrusznikach są wystarczająco duże, aby przezwyciężyć bezwładność silnika. Duże natężenie prądu jest niezbędne, aby w krótkim czasie doprowadzić duży ładunek. Wysokie natężenie prądu jest konieczne, aby dostarczyć dużą ilość energii wymaganej do uruchomienia silnika. Wyznaczanie chwilowego natężenia prądu Rozważmy ładunek, poruszający się przez przekrój przewodu dany wzorem Q  t = Q max  1 − e − t ∕ τ , gdzie Q max – maksymalna wartość ładunku tj. wartość uzyskana gdy t ⟶ ∞ t \to \infty , podana w kulombach, natomiast τ to stała czasowa dana w sekundach ( ). Jakie będzie natężenie prądu w przewodzie? Wykres zależności ładunku poruszającego się przez przekrój przewodu od czasu. Strategia rozwiązania Natężenie prądu płynącego przez przekrój możemy obliczyć ze wzoru I = Δ Q ∕ Δ t . Zauważmy, że gdy na wykresie wartość ładunku rośnie do wartości Q max , jej pochodna maleje i dąży do zera wraz z upływającym czasem ( ). Rozwiązanie Pochodną można obliczyć z zależności d d x  e u = e u  d u d x  , I = d Q d t = d d t  Q max  1 − e − t ∕ τ = Q max τ  e − t ∕ τ  . Wykres zależności natężenia prądu przepływającego przez przewód od czasu. Znaczenie Natężenie prądu przepływającego przez przewód maleje wykładniczo, jak pokazano na . W kolejnych rozdziałach będziemy rozważać natężenie prądu zależne od czasu w trakcie ładowania i rozładowywania kondensatora przez rezystor. Powinniśmy pamiętać, że kondensator gromadzi ładunek. O rezystorach dowiemy się więcej w podrozdziale Model przewodnictwa w metalach . Sprawdź, czy rozumiesz. Żeby wykonać obliczenia niezbędne do zdania egzaminu z fizyki, używa się kalkulatora, który najczęściej zasila małe ogniwo słoneczne. Natężenie prądu zużywanego przez kalkulator jest bardzo małe, równe 0,3  mA . Ile czasu zajmie wypłynięcie ładunku 1  C z ogniwa słonecznego? Czy ogniwo słoneczne może zostać użyte do zasilania rozrusznika silnika spalinowego w samochodzie? Czas potrzebny na przepłynięcie ładunku o wartości 1  C wynosi Δ t = Δ Q ∕ I = 1  C ∕ 0,3 ⋅ 10 − 3  C ∕ s = 3,33 ⋅ 10 3  s , czyli trochę mniej niż 1  h . To zupełnie inna wartość niż 5,55  ms w przypadku akumulatora. Kalkulator zużywa bardzo małą ilość energii niezbędnej do pracy, w przeciwieństwie do rozrusznika samochodowego. Istnieje wiele powodów, dla których w samochodach używa się akumulatorów, a nie baterii słonecznych. Oprócz oczywistego faktu, że pojazd nie zawsze ma dostęp do źródła światła, współczesne ogniwa słoneczne nie są w stanie zapewnić dużej wartości natężenia prądu wymaganego do uruchomienia silnika. Ogniwa słoneczne można zastosować do ładowania baterii, co wymaga o wiele mniej energii w stosunku do energii niezbędnej do uruchomienia silnika i pracy innych urządzeń, takich jak grzejnik czy klimatyzator. Współczesne samochody zasilane przy pomocy ogniw słonecznych pracują, używając silnika elektrycznego zamiast spalinowego. Sprawdź, czy rozumiesz. Na wyłącznikach instalacyjnych w domach są podane wartości natężenia prądu, zwykle w przedziale od 10  A do 30  A . Wyłączników takich używa się do zabezpieczenia mieszkańców przed niebezpieczeństwem, a urządzenia przed uszkodzeniem związanym ze zbyt dużym natężeniem prądu. Jednego 15-amperowego wyłącznika instalacyjnego można użyć do zabezpieczenia kilku urządzeń w salonie, natomiast jeden 20-amperowy zabezpiecza lodówkę w kuchni. Jakie wnioski można wyciągnąć co do natężenia prądu w różnych urządzeniach domowych? Całkowity prąd potrzebny wszystkim urządzeniom w salonie (kilka lamp, telewizor, laptop) ma mniejsze natężenie niż prąd wykorzystywany przez lodówkę. Prąd w obwodzie W poprzednich paragrafach zdefiniowaliśmy natężenie prądu jako przepływ ładunku przez przekrój poprzeczny w jednostce czasu. Aby ładunek mógł przepływać przez takie urządzenia jak żarówka pokazana na , musi istnieć zamknięta droga (czyli obwód , ang. circuit ) od dodatniej do ujemnej elektrody. Rozważmy prosty obwód składający się z akumulatora samochodowego, włącznika, przedniej lampy i przewodów zapewniających prądowi drogę pomiędzy elementami. Ładunek musi opuścić dodatnią elektrodę baterii, przepłynąć przez elementy i dotrzeć do ujemnej elektrody. Włącznik służy do kontrolowania obwodu. Część (a) rysunku pokazuje prosty obwód składający się z akumulatora, włącznika, przewodów łączących elementy i lampy. Część (b) rysunku przedstawia schemat (ang. schematic ) obwodu. Jest on graficzną prezentacją obwodu i bardzo przydaje się w wizualizacji najważniejszych cech obwodu. W schematach używa się standardowych symboli reprezentujących elementy obwodu, natomiast linie ciągłe odpowiadają przewodom łączącym elementy. Baterię przedstawia szereg długich i krótkich linii ilustrujących ogniwo Volty. Lampa to kółko z pętlą w środku, reprezentującą włókno żarówki. Włącznik (klucz) to dwa punkty z przewodzącą poprzeczką do ich połączenia. Przewody łączące elementy to linie ciągłe. Schemat w części (c) pokazuje kierunek płynącego prądu, gdy obwód jest zamknięty. (a) Prosty obwód elektryczny z lampą, akumulatorem oraz włącznikiem. Gdy obwód jest zamknięty, nieprzerwana ścieżka pozwala na przepływ prądu przez przewody podłączone do elektrod baterii. (b) Na schemacie baterię reprezentują równoległe linie, które przypominają pierwszy projekt baterii. Dłuższa linia to elektroda dodatnia. Przewody są przedstawione jako linie ciągłe. Otwarty włącznik to dwa punkty z linią, która może je połączyć. Lampa to kółko zawierające włókno, tak jak w żarówce. (c) Kiedy włącznik jest zamknięty, obwód również jest zamknięty, co sprawia, że prąd przepływa od dodatniej elektrody baterii do ujemnej. Gdy włącznik na (c) jest zamknięty, ścieżka przepływu ładunków jest kompletna, od dodatniej elektrody baterii, przez włącznik, lampę i do ujemnej elektrody. Zwróćmy uwagę, że prąd przepływa w kierunku od dodatniej do ujemnej elektrody. Kierunek umowny prądu (ang. conventional current ) jest taki sam jak kierunek ruchu dodatniego ładunku: od dodatniej elektrody do ujemnej. Jednak w niektórych materiałach również ładunki ujemne lub jednocześnie dodatnie i ujemne mogą się poruszać. W metalowych przewodach prąd przenoszą elektrony, to znaczy, że poruszają się ładunki ujemne. W roztworach jonowych, takich jak słona woda, zarówno dodatnie, jak i ujemne ładunki są w ruchu. Taka sytuacja występuje również w komórkach nerwowych. Generator Van de Graaffa, używany do badań jądrowych, produkuje prąd dodatnich ładunków, takich jak protony. W Wielkim Zderzaczu Hadronów znajdującym się w Europejskiej Organizacji Badań Jądrowych (CERN, ang. European Organization for Nuclear Research ) na granicy Szwajcarii i Francji zderzają się wiązki protonów i antyprotonów poruszające się w przeciwnych kierunkach. Protony są ładunkami dodatnimi, więc ich prąd ma kierunek zgodny z kierunkiem ruchu tych cząstek. Natomiast antyprotony mają ujemny ładunek, więc ich prąd ma zwrot przeciwny do kierunku ich ruchu. Przyjrzyjmy się bliżej prądowi przepływającemu przez przewód na . Przedstawia on ruch naładowanych cząstek, które stanowią prąd. Fakt, że umownie kierunek prądu wyznaczają dodatnie ładunki, zawdzięczamy naukowcowi i politykowi Benjaminowi Franklinowi (1706–1790) . Ponieważ w tym czasie nie odkryto jeszcze cząstek wchodzących w skład atomu (proton, elektron, neutron), Franklin uważał, że prąd elektryczny przepływa od materiału, który ma więcej „płynu elektrycznego”, do materiału, który ma go mniej. Materiał z większą ilością „płynu elektrycznego” został przez niego nazwany „dodatnim”, analogicznie „ujemnym” nazwał materiał, który miał mniej „płynu elektrycznego”. Przypuszczał, że prąd będzie przepływał z materiału z większą ilością „płynu elektrycznego” – dodatniego materiału – do ujemnego. Franklin nazwał kierunek przepływu prądu dodatnim przepływem. To myślenie było niezwykle odważne jak na człowieka, który nic nie wiedział o budowie atomu. Prąd I jest prędkością, z jaką przepływają ładunki przez powierzchnię S S , taką jak przekrój poprzeczny przewodu. Umownie prąd płynie w kierunku zgodnym z kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego. (a) Ładunki dodatnie poruszają się zgodnie z kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego, czyli takim samym jak umowny kierunek prądu. (b) Ładunki ujemne poruszają się przeciwnie do zwrotu wektora natężenia pola elektrycznego. Umowny kierunek prądu jest przeciwny do kierunku ruchu ujemnych ładunków. Ruch elektronów czasami nazywa się przepływem elektrycznym. Już wiemy, że materiał jest naładowany dodatnio, gdy ma więcej protonów niż elektronów, a ujemnie, gdy ma więcej elektronów niż protonów. W przewodnikach przepływ prądu wynika z przepływu elektronów z materiału naładowanego ujemnie do naładowanego dodatnio, jednak ze względów historycznych przyjmujemy kierunek prądu zgodny z kierunkiem przepływu dodatnich ładunków od dodatniej elektrody do ujemnej. Niezwykle ważnym jest pamiętanie o tym, że warunkiem koniecznym przepływu prądu jest istnienie w przewodniku pola elektrycznego ( ). W poprzednich rozdziałach rozważaliśmy ładunki statyczne, które szybko rozmieszczały się na powierzchni przewodnika, aby zrównoważyć zewnętrzne pole elektryczne i doprowadzić do stanu równowagi. W obwodzie elektrycznym ładunki nigdy nie osiągną takiego stanu ze względu na zewnętrzne źródło napięcia elektrycznego, takie jak bateria. Energię niezbędną do poruszania ładunków dostarcza źródło napięcia elektrycznego, jakim jest bateria. Mimo że pole elektryczne odpowiada za ruch ładunków w przewodniku, praca przez nie wykonana na ładunkach nie zwiększa ich energii kinetycznej. Pokażemy, że pole elektryczne utrzymuje stałą prędkość dryfu ładunków elektrycznych. Podsumowanie Średnie natężenie prądu elektrycznego I śr jest prędkością przepływu ładunków, daną wzorem I śr = Δ Q ∕ Δ t , gdzie Δ Q jest ilością ładunku przepływającego przez powierzchnię w czasie Δ t . Chwilowa wartość natężenia prądu elektrycznego (lub natężenie prądu I ) jest prędkością przepływu ładunków. Jeśli zastosujemy granicę, gdy czas dąży do zera, otrzymamy I = d Q ∕ d t , gdzie d Q ∕ d t jest pochodną ładunku po czasie. Kierunek konwencjonalnego prądu jest kierunkiem przepływu dodatnich ładunków. W prostym stałoprądowym (DC) obwodzie prąd płynie od dodatniej elektrody baterii do ujemnej. Jednostką natężenia prądu w układzie SI jest amper ( A ), gdzie 1  A = 1  C ∕ s . Prąd to przepływ swobodnych ładunków, takich jak elektrony, protony czy jony. Pytania Czy przewód, przez który płynie prąd, może być neutralny, to znaczy jego wypadkowy ładunek jest równy zero? Wyjaśnij. Gdy przez przewód płynie prąd, ładunki wpływają przez dodatnią elektrodę źródła napięcia i wypływają przez ujemną, co powoduje że całkowity ładunek pozostaje równy zero podczas przepływu prądu. Pojemność akumulatorów samochodowych określa się w amperogodzinach ( A  h ). Jaką wielkość fizyczną mierzy się w tych jednostkach: napięcie, natężenie prądu, ładunek, energię, moc, ...? Podczas pracy z obwodami elektrycznymi wysokiej mocy zaleca się, kiedy to tylko możliwe, pracę na jedną rękę albo z ręką w kieszeni. Z czego wynika ta sugestia? Używanie jednej ręki zmniejsza ryzyko zamknięcia obwodu i uniemożliwia przepływ prądu przez organizm, zwłaszcza przez serce. Zadania Generator Van de Graaffa jest jednym z pierwszych akceleratorów cząstek i może zostać użyty do przyspieszania cząstek takich jak protony czy elektrony. Mogłeś widzieć jego zastosowanie, gdy był używany do postawienia włosów lub wytwarzania ogromnych iskier. Innym zastosowaniem generatora Van de Graaffa jest wytwarzanie promieniowania X poprzez bombardowanie twardego metalowego celu przez wiązkę nośników ładunku. Rozważ wiązkę protonów o energii 1  keV oraz natężeniu prądu 5  mA , wyprodukowaną przez generator. Jaka jest prędkość protonów? Ile protonów jest wytwarzanych w każdej sekundzie? a. v = 4,28 ⋅ 10 5  m ∕ s ; b. Δ q = 5 ⋅ 10 − 3  C , liczba protonów wynosi 3,13 ⋅ 10 16 . Monitor kineskopowy (CRT, ang. cathode ray tube ) jest urządzeniem, które produkuje skupioną wiązkę elektronów w próżni. Elektrony uderzają w szklany ekran pokryty fosforem, co powoduje powstanie jasnego punktu. Pozycja jasnego punktu na ekranie może być regulowana poprzez zakrzywianie wiązki elektronów przy użyciu pola elektrycznego, magnetycznego lub obydwu. Monitory kineskopowe były powszechnie używane w telewizorach, wyświetlaczach komputerowych czy oscyloskopach, natomiast nowsze urządzenia wykorzystują wyświetlacze ciekłokrystaliczne (LCD, ang. liquid crystal display ) lub plazmowe. Wciąż jednak możesz się natknąć na monitory kineskopowe w twojej dziedzinie nauki. Rozważ monitor kineskopowy ze średnim natężeniem prądu wiązki elektronowej 25  µA . Jak dużo elektronów uderza w ekran w każdej sekundzie? Ile elektronów przepływa przez punkt przewodu w ciągu 3  s , jeśli płynie w nim prąd o stałym natężeniu I = 4  A ? I = Δ Q ∕ Δ t , Δ Q = 12  C , liczba elektronów wynosi 7,46 ⋅ 10 15 . Przez przewodnik płynie prąd, którego natężenie maleje wykładniczo z czasem, według zależności I = I 0  e − t ∕ τ , gdzie I 0 = 3  A jest wartością natężenia prądu w chwili początkowej t = 0  s , a τ = 0,5  s to stała czasowa. Jaki ładunek przepływa przez przewodnik pomiędzy t = 0  s a t = 3  τ ? Ładunek przepływający przez przewodnik jest opisany wzorem Q = 4  mC ∕ s 4 ⋅ t 4 − 1  mC ∕ s ⋅ t + 6  mC  . Ile wynosi natężenie prądu w czasie t = 3  s ? I  t = 16  mC ∕ s 4 ⋅ t 3 − 1  mC ∕ s , I  3  s = 0,431  A . Natężenie prądu płynącego przez przewodnik jest opisane wzorem I  t = I max  sin 2  π ⋅ 60  Hz ⋅ t . Zapisz zależność ładunku w funkcji czasu. Ładunek na kondensatorze w obwodzie jest dany wzorem Q  t = Q max  cos ω  t + ϕ . Jaka jest zależność natężenia prądu płynącego w tym obwodzie od czasu? I  t = − I max  sin ω  t + ϕ . amper (ang. ampere ) jednostka natężenia prądu w układzie SI; 1  A = 1  C ∕ s obwód (ang. circuit ) zamknięta ścieżka, przez którą płynie prąd elektryczny umowny kierunek prądu (ang. conventional current ) prąd przepływa przez obwód od dodatniej elektrody baterii do ujemnej natężenie prądu elektrycznego (ang. electric current ) prędkość przepływu ładunków, I = d Q ∕ d t schemat (ang. schematic ) graficzna reprezentacja obwodu z wykorzystaniem standardowych oznaczeń komponentów oraz linii ciągłych jako przewodów je łączących

Science


Model przewodnictwa w metalach Gdy elektrony poruszają się w przewodzie, nie mają stałej prędkości, nie przemieszczają się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oddziałują i zderzają się z atomami oraz innymi swobodnymi elektronami w przewodniku. Poruszają się po torze w kształcie zygzaka i dryfują przez przewód. Warto również zauważyć, że chociaż mówimy o kierunku prądu, to jego natężenie jest wielkością skalarną. Gdy mówimy o natężeniu prądu jako szybkości poruszania się ładunków bardziej poprawne jest rozważanie gęstości natężenia prądu. Pod koniec rozdziału bliżej przyjrzymy się tej kwestii. Prędkość dryfu Sygnały elektryczne przenoszone są bardzo szybko. Rozmowy telefoniczne, możliwe dzięki przepływowi prądu przez przewody na dalekie odległości, nie mają zauważalnych opóźnień. Światło włącza się od razu po przełączeniu kontaktu. Większość sygnałów elektrycznych przenoszonych przez prąd porusza się z prędkością rzędu 10 8  m ∕ s , co jest znaczącym ułamkiem prędkości światła. Co ciekawe, pojedyncze ładunki, które tworzą prąd elektryczny, poruszają się średnio o wiele wolniej, zazwyczaj dryfując z prędkością rzędu 10 − 4  m ∕ s . Jak pogodzić te dwie wielkości i co one nam mówią o standardowych przewodnikach? Duża prędkość przesyłania sygnałów elektrycznych wynika z nagłej siły oddziaływania pomiędzy ładunkami. Gdy swobodny elektron wpływa do przewodu, tak jak na , popycha inne ładunki do przodu na skutek występowania sił odpychania pomiędzy nimi. Poruszające się ładunki popychają kolejne wzdłuż przewodu. Ze względu na występowanie sił odpychania między elektronami gęstość ładunków w układzie nie może łatwo ulec zwiększeniu, więc sygnał jest przekazywany momentalnie. Powstająca elektryczna fala uderzeniowa porusza się wzdłuż układu nieomal z prędkością światła. Ten szybko poruszający się sygnał, czyli fala uderzeniowa, to zmiana pola elektrycznego zachodząca w krótkim odcinku czasu. Gdy ładunki wpływają do przewodnika, taka sama ich ilość musi go opuścić. Siły odpychające pomiędzy ładunkami powodują, że bardzo trudno zwiększyć gęstość ładunku w objętości. Gdy jeden ładunek wpływa, inny prawie natychmiast wypływa, niosąc ze sobą sygnał. Dobre przewodniki mają dużą liczbę swobodnych nośników ładunków. W metalach są to swobodne elektrony (dobre przewodniki elektryczne są przeważnie także dobrymi przewodnikami ciepła, ponieważ duża liczba swobodnych elektronów może przenosić energię cieplną tak samo jak przenosi prąd). pokazuje, jak swobodne elektrony poruszają się w zwykłym przewodniku. Odległość, jaką pokonuje elektron pomiędzy zderzeniami z atomami i innymi elektronami, jest bardzo mała. Droga elektronu wydaje się zupełnie losowa, tak jak ruch atomów w gazie. Jednak istniejące pole elektryczne w przewodniku powoduje dryf elektronów w pokazanym kierunku (przeciwnym do kierunku wektora natężenia pola elektrycznego, ponieważ są to ładunki ujemne). Prędkość dryfu (ang. drift velocity ) v → d jest średnią prędkością swobodnych ładunków. To wielkość dosyć mała z powodu dużej liczby swobodnych nośników. Jeśli oszacujemy gęstość (koncentrację) swobodnych elektronów w przewodniku, będziemy w stanie obliczyć prędkość dryfu dla danego natężenia prądu. Im większa gęstość prądu, tym mniejsza prędkość wymagana dla takiego samego natężenia prądu. Swobodne elektrony poruszają się w przewodniku i zderzają z pozostałymi elektronami oraz innymi cząstkami. Pokazana została typowa droga elektronu. Średnia prędkość swobodnych nośników nazywa się prędkością dryfu v → d , która dla elektronów ma zwrot przeciwny do kierunku wektora natężenia pola elektrycznego. Zderzenia, które odpowiadają za przekazywanie energii wzdłuż przewodnika, wymagają ciągłego dostarczania energii, aby płynący prąd się nie zmieniał. Swobodne elektrony podczas zderzeń z atomami w przewodniku przekazują im energię. Pole elektryczne wykonuje pracę nad elektronami podczas ich przemieszczania się, jednak nie wpływa ona na zwiększenie ich energii kinetycznej (ani prędkości). Energia kinetyczna jest przekazywana atomom w przewodniku, co powoduje wzrost jego temperatury. Ciągłe dostarczanie energii jest konieczne do podtrzymania przepływu prądu stałego (wyjątkiem są nadprzewodniki, które przewodzą stały prąd i nie potrzebują dostarczania im energii – to doskonała oszczędność energii). W przewodnikach, które nie są nadprzewodnikami, dostarczanie energii może być wykorzystywane tak jak we włóknie żarówki ( ). Jest ono konieczne do podgrzania włókna żarówki, które zaczyna świecić. Budowa żarówki jest bardzo prosta. Żarnik wolframowy umieszcza się w szklanej bańce, w której wytworzono niską próżnię. Jedna końcówka żarnika jest przymocowana do gwintu z materiału przewodzącego. Druga końcówka jest podłączona do drugiego styku na spodzie żarówki. Obydwa styki są rozdzielone izolatorem. Prąd przypływający przez żarnik powoduje wzrost jego temperatury do momentu zaświecenia. Takie żarówki mają bardzo małą wydajność ze względu na straty cieplne. W 2009 r. rozpoczęto w Polsce proces zastępowania tradycyjnych żarówek energooszczędnymi lampami, np. lampami opartymi na diodach LED oraz świetlówkami kompaktowymi (CFL) (ang. compact fluorescent lamps ). Źródło: modyfikacja pracy Serge Saint Wyrażenie na zależność między prądem a prędkością dryfu można uzyskać, rozważając liczbę swobodnych nośników w objętości przewodu, jak pokazano na . Liczba swobodnych elektronów przypadająca na jednostkę objętości, czyli ich gęstość (koncentracja), jest oznaczana symbolem n , gdzie n jest liczbą ładunków podzieloną przez objętość. Wielkość n zależy od materiału przewodnika. Jeśli zaznaczony obszar ma objętość S  v d  d t Sv_{\text{d}} \d t , to liczba swobodnych nośników wynosi n  S  v d  d t nSv_{\text{d}} \d t . Ładunek d Q w tym kawałku przewodu wynosi q  n  S  v d  d t qnSv_{\text{d}}\d t , gdzie q jest ładunkiem każdego nośnika. (Ładunek elektronu wynosi q = 1,6 ⋅ 10 − 19  C ). Natężenie prądu to ładunek przenoszony w czasie; jeśli wszystkie ładunki, które początkowo znajdowały się w tym fragmencie przewodu, wypłyną z niego w czasie d t , to natężenie prądu będzie wynosiło I = d Q d t = q  n  S  v d  . I = \frac{\d Q}{\d t} = qnSv_{\text{d}} \text{.} Po przekształceniu wzoru v d = I n  q  S  , v_{\text{d}} = \frac{I}{nqS} \text{,} gdzie v d jest prędkością dryfu, n gęstością swobodnych ładunków, S S przekrojem poprzecznym przewodu, a I jest natężeniem prądu płynącego przez przewód. Każdy z nośników ma ładunek q i porusza się z prędkością dryfu v d . Wszystkie ładunki w zaznaczonym kawałku przewodu wypływają w czasie d t i mają prędkość dryfu v d . Zauważmy, że prędkość dryfu nie wyczerpuje tematu ruchu ładunków. Prędkość elektronu jest czasami większa niż prędkość dryfu. Dodatkowo nie wszystkie elektrony w przewodniku mogą się poruszać swobodnie, i właśnie te, które mogą się poruszać, poruszają się szybciej lub wolniej niż prędkość dryfu. Co zatem rozumiemy przez swobodne elektrony? Atomy w metalowych przewodnikach są upakowane w strukturze krystalicznej. Niektóre elektrony są wystarczająco daleko od jąder atomowych, aby nie odczuwać przyciągania tak mocno jak elektrony znajdujące się bliżej jądra. To właśnie są elektrony swobodne. Nie są związane z pojedynczym atomem, lecz mogą poruszać się pomiędzy nimi w morzu elektronów. Gdy zostaje przyłożone pole elektryczne, wówczas swobodne elektrony przyspieszają. Podczas poruszania zderzają się z atomami w sieci oraz innymi elektronami, generując energię cieplną, co powoduje grzanie się przewodnika. W izolatorach ułożenie atomów i struktura krystaliczna nie pozwalają na istnienie swobodnych elektronów. Jak wiemy, moc elektryczna zwykle dostarczana jest do sprzętu i urządzeń przez sferyczny przewód wykonany z przewodzącego materiału (miedź, aluminium, srebro, złoto), który jest w postaci pojedynczego drutu lub linki splecionej z wielu pojedynczych cienkich drutów. Rozmiar przewodu decyduje o maksymalnym natężeniu płynącego prądu. Im większy promień, tym większy prąd może płynąć. Mimo że przenoszenie prądu zależy od średnicy drutu, jego rozmiar nie jest opisywany przez tę wielkość. Zwykle sprzedaje się przewody opisane jednostką AWG (ang. american wire gauge ). Przewody produkuje się metodą przeciągania materiału przez kołowe formy zwane cięgłami do drutów. Aby wykonać cieńsze przewody, druty są przeciągane przez coraz mniejsze formy. W przeszłości AWG drutu było związane z liczbą procesów jego przeciągania. Z tego powodu większe AWG oznacza mniejszą średnicę. W Stanach Zjednoczonych został opracowany standardowy system AWG . Przewody w gospodarstwach domowych są wykonane z drutu od 10  AWG ( 2,588  mm średnicy) do 14  AWG ( 1,628  mm średnicy). Przyrząd do pomiaru AWG drutu przedstawia . Przyrząd do pomiaru rozmiaru drutu elektrycznego. Jak można zauważyć, większa wartość AWG oznacza cieńszy drut. Obliczanie prędkości dryfu w przewodzie Obliczmy prędkość dryfu elektronów w miedzianym przewodzie o średnicy 2,053  mm ( 12  AWG ), przez który płynie prąd o natężeniu 20  A . Przyjmijmy, że liczba swobodnych elektronów równa się liczbie atomów w miedzi. (Przewody w gospodarstwach domowych są najczęściej wykonane z miedzianego drutu o średnicy 2,053  mm , dla którego maksymalne natężenie przepływającego prądu wynosi 20  A ). Gęstość miedzi to 8,8 ⋅ 10 3  kg ∕ m 3 , natomiast jej masa atomowa – 63,54  g ∕ mol . Strategia rozwiązania Możemy obliczyć prędkość dryfu przy użyciu wzoru I = n  q  S  v d . Natężenie prądu wynosi I = 20  A , natomiast q = 1,6 ⋅ 10 − 19  C to ładunek elektronu. Powierzchnię przekroju poprzecznego przewodu można obliczyć ze wzoru S = π  r 2 , gdzie r to połowa średnicy. Dana średnica wynosi 2,053  mm , więc r ma wartość 1,0265  mm . Dane są również gęstość miedzi: 8,8 ⋅ 10 3  kg ∕ m 3 , oraz jej masa atomowa: 63,54  g ∕ mol . Możemy wykorzystać te dwie wielkości oraz liczbę Avogadra: 6,02 ⋅ 10 23  atomów ∕ mol , do wyznaczenia n , czyli liczby swobodnych elektronów na 1  m 3 (koncentracji elektronów). Rozwiązanie Najpierw policzymy gęstość swobodnych elektronów w miedzi. Na jeden swobodny elektron przypada jeden atom. Liczba swobodnych elektronów równa się liczbie atomów. Gęstość liczby elektronów n , tj. liczbę elektronów na 1  m 3 , możemy obliczyć z zależności n = 1  elektron 1  atom ⋅ 6,02 ⋅ 10 23  atomów 1  mol ⋅ 1  mol 63,54  g ⋅ 1000  g 1  kg ⋅ 8,8 ⋅ 10 3  kg 1  m 3 n = 8,34 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3  . \begin{multiline} n &= \frac{\SI{1}{\elektron}}{\SI{1}{\atom}} \cdot \frac{\SI{6,02e23}{\atomow}}{\SI{1}{\mole}} \cdot \frac{\SI{1}{\mole}}{\SI{63,54}{\gram}} \cdot \frac{\SI{1000}{\gram}}{\SI{1}{\kilo\gram}} \cdot \frac{\SI{8,8e3}{\kilo\gram}}{\SI{1}{\metre\cubed}} \\ &= \SI{8,34e28}{\elektronow\per\metre\cubed} \text{.} \end{multiline} n = 1  elektron 1  atom ⋅ 6,02 ⋅ 10 23  atomów 1  mol ⋅ 1  mol 63,54  g ⋅ 1000  g 1  kg ⋅ 8,8 ⋅ 10 3  kg 1  m 3 = 8,34 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3  . Powierzchnia przekroju poprzecznego przewodu wynosi S = π  r 2 = π  2,05 ⋅ 10 − 3  m 2 2 = 3,3 ⋅ 10 − 6  m 2  . Po przekształceniu wzoru I = n  q  S  v d otrzymujemy zależność na prędkość dryfu v d = I n  q  S = 20  A 8,34 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3 ⋅ − 1,6 ⋅ 10 -19  C ⋅ 3,3 ⋅ 10 -6  m 2 v d = − 4,54 ⋅ 10 -4  m ∕ s  . \begin{multiline} v_{\text{d}} &= \frac{I}{nqS} = \frac{\SI{20}{\ampere}}{\SI{8,34e28}{\elektronow\per\metre\cubed} \cdot (-\SI{1,6e-19}{\coulomb}) \cdot \SI{3,3e-6}{\metre\squared}} \\ &= -\SI{4,54e-4}{\metre\per\second} \text{.} \end{multiline} v d = I n  q  S = 20  A 8,34 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3 ⋅ − 1,6 ⋅ 10 -19  C ⋅ 3,3 ⋅ 10 -6  m 2 = − 4,54 ⋅ 10 -4  m ∕ s  . Znaczenie Znak minus wskazuje na to, że ujemne ładunki poruszają się przeciwnie do kierunku prądu. Mała wartość prędkości dryfu (rzędu 10 − 4  m ∕ s ) potwierdza, że sygnał porusza się ok. 10 12 rzędów razy szybciej (ok. 10 8  m ∕ s ) niż ładunki, które go przenoszą. Sprawdź, czy rozumiesz. W prędkość dryfu została policzona dla miedzianego przewodu o średnicy 2,053  mm ( 12  AWG ), przenoszącego prąd o natężeniu 20  A . Czy prędkość dryfu zmieni się dla przewodu o średnicy 1,628  mm ( 14  AWG ), przenoszącego prąd o takim samym natężeniu? Średnica przewodu 14  AWG jest mniejsza niż 12  AWG . Prędkość dryfu jest odwrotnie proporcjonalna do powierzchni przekroju poprzecznego, więc prędkość dryfu będzie większa dla drutu 14  AWG niż 12  AWG przenoszących prąd o takim samym natężeniu. Liczba elektronów na 1  m 3 będzie taka sama. Gęstość prądu Mimo że niezwykle wygodnie jest przypisywać natężeniu prądu znak dodatni lub ujemny, aby określić kierunek jego przepływu, to jest to wielkość skalarna, I = d Q ∕ d t . Czasami niezbędne jest opisywanie dokładnego ruchu ładunku, a nie wyłącznie ogólnego kierunku. W takich przypadkach należy rozważać skorzystanie z gęstości prądu, J → , która jest wielkością wektorową. Gęstość prądu (ang. current density ) oznacza ładunek przepływający przez nieskończenie małą powierzchnię, podzielony przez tę powierzchnię. Ta wielkość uwzględnia miejscową wartość i kierunek przepływającego ładunku, które zmieniają się w kolejnych punktach. Jednostką gęstości prądu jest amper na metr kwadratowy, natomiast kierunek jest zdefiniowany na podstawie kierunku przepływu dodatnich ładunków przez powierzchnię. Związek między natężeniem prądu a jego gęstością przedstawia . Przepływ bardzo małego prądu przez powierzchnię d  S → można opisać wzorem d I = J → ⋅ d S → = J  d S  cos θ  , gdzie θ to kąt pomiędzy wektorem jednostkowym powierzchni a wektorem gęstości prądu. Całkowite natężenie prądu przepływającego przez powierzchnię d S → można wyznaczyć poprzez całkowanie po powierzchni S S I = ∬ S J → ⋅ d S →  . I = \iint_S \vec{J} \cdot \d \vec{S} \text{.} Można rozważyć wartość gęstości prądu, która jest stosunkiem natężenia prądu i powierzchni J = I S = n  q  S  v d S = n  q  v d  . Z tego wynika, że gęstość prądu równa się J → = n  q  v → d . Jeśli q jest dodatnie, to v → d ma taki sam zwrot jak zwrot wektora natężenia pola elektrycznego E → . Jeśli q jest ujemne, to v → d ma zwrot przeciwny do E → . Z tego wynika, że kierunek gęstości prądu J → ma taki sam zwrot jak zwrot wektora natężenia pola elektrycznego E → . Gęstość prądu J → jest zdefiniowana jako prąd przepływający przez nieskończenie mały przekrój poprzeczny, podzielony przez jego powierzchnię. Kierunek wektora gęstości prądu jest taki sam jak kierunek wektora prędkości ładunków dodatnich, natomiast wartość równa się stosunkowi natężenia prądu do nieskończenie małej powierzchni. Obliczanie gęstości prądu w przewodzie Natężenie prądu dostarczonego do lampy ze 100-watową żarówką wynosi 0,87  A . W lampie użyto miedzianego przewodu o średnicy 2,588  mm . Obliczmy wartość gęstości prądu. Strategia rozwiązania Gęstość prądu to stosunek prądu przepływającego przez nieskończenie mały przekrój poprzeczny. Możemy policzyć wartość gęstości prądu przy użyciu wzoru J = I ∕ S . Natężenie prądu wynosi 0,87  A . Obliczona powierzchnia przekroju poprzecznego to S = 5,26  mm 2 . Rozwiązanie Gęstość prądu obliczymy, wykorzystując dane natężenie prądu I = 0,87  A oraz powierzchnię S = 5,26  mm 2 J = I S = 0,87  A 5,26 ⋅ 10 − 6  m 2 = 1,65 ⋅ 10 5  A ∕ m 2  . Znaczenie Gęstość prądu w przewodzie zależy od natężenia prądu przepływającego oraz powierzchni przekroju poprzecznego. Jeśli natężenie prądu jest stałe, to gęstość prądu maleje, gdy rośnie średnica przewodu. Sprawdź, czy rozumiesz. Gęstość prądu jest wprost proporcjonalna do natężenia prądu oraz odwrotnie proporcjonalna do powierzchni. Jeżeli gęstość prądu w przewodzie rośnie, to jak będzie się zachowywać prędkość dryfu ładunków? Wartość gęstości prądu w przewodzie wzrasta wraz ze wzrastającym natężeniem prądu. Prędkość dryfu jest odwrotnie proporcjonalna do natężenia prądu ( v d = n  q  S ∕ I ). Z tego wynika, że prędkość dryfu będzie maleć. Jakie znaczenie ma gęstość prądu? Jej wartość jest wprost proporcjonalna do natężenia prądu, natomiast natężenie prądu to liczba ładunków przepływających przez przekrój poprzeczny na sekundę. Ładunki poruszają się w przewodniku dzięki sile elektrycznej wynikającej z obecności pola elektrycznego. Jest ono wytwarzane, gdy do przewodnika przykłada się napięcie. W podrozdziale Prawo Ohma zastosujemy związek między gęstością prądu a polem elektrycznym, żeby rozważać zależności między natężeniem prądu w przewodniku a napięciem do niego przyłożonym. Podsumowanie Prąd płynący w przewodniku zależy głównie od ruchu swobodnych elektronów. Gdy do przewodnika zostanie przyłożone pole elektryczne, swobodne elektrony nie poruszają się ani ze stałą prędkością, ani w jednym kierunku. Natomiast poruszają się prawie losowo z powodu zderzeń z innymi elektronami oraz atomami. Mimo że elektrony poruszają się ruchem prawie losowym, to po przyłożeniu pola elektrycznego do przewodnika ich całkowita prędkość może być zdefiniowana za pośrednictwem prędkości dryfu. Gęstość prądu jest wielkością wektorową zdefiniowaną jako stosunek natężenia prądu płynącego przez nieskończenie małą powierzchnię do tej powierzchni. Natężenie prądu można wyznaczyć, posługując się gęstością prądu I = ∬ S J → ⋅ d S →  . I = \iint_S \vec{J} \cdot \d \vec{S} \text{.} Żarówka to żarnik zamknięty w szklanej bańce, w której występuje słaba próżnia. Prąd, płynąc przez żarnik, powoduje, że energia elektryczna zamienia się w światło oraz ciepło. Pytania Żarówki są wypierane przez bardziej wydajne diody elektroluminescencyjne i świetlówki kompaktowe. Czy są jakieś dowody na to, że zwykłe żarówki nie są energooszczędne? Czy energia może być zamieniana na coś innego niż światło? Podkreśliliśmy wcześniej, że ruch elektronów wydaje się niemal losowy, gdy pole elektryczne jest przyłożone do przewodnika. Co sprawia, że on nie jest całkowicie losowy, jak w przypadku ruchu molekuł w gazie? Mimo że elektrony zderzają się z atomami i innymi elektronami w przewodzie, przemieszczają się od ujemnej elektrody do dodatniej. Dryfują w jednym kierunku. Cząsteczki gazu poruszają się w losowych kierunkach. Modelem używanym do przedstawiania obwodów elektrycznych jest woda płynąca przez rurę. W tym modelu źródło napięciowe jest przedstawiane jako pompa, która pompuje wodę przez rury łączące elementy obwodu. Czy model płynącej wody to adekwatna reprezentacja obwodu elektrycznego? W czym elektrony i przewody są podobne do cząsteczek wody i rur, a czym się różnią? W żarówkach jest słaba próżnia. Dlaczego? W początkowych latach używania żarówek wypompowywano z nich powietrze, aby zmniejszyć ilość ciepła przenoszonego przez gaz do szklanej bańki. Uciekające ciepło powodowało chłodzenie się żarnika, co zwiększało ilość energii potrzebnej do jego zaświecenia. Jednocześnie ten zabieg chroni szklaną bańkę przed zbyt wysoką temperaturą. Podczas ogrzewania się szkła zwiększa ono swoje wymiary, natomiast podczas chłodzenia się kurczy. Takie zmiany rozmiarów mogą doprowadzić do pęknięcia bańki szklanej, skracając żywotność żarówki. Wiele współczesnych żarówek jest wypełnionych gazem obojętnym. Aby zapobiec zapaleniu się żarnika, często usuwa się tlen z wnętrza bańki. Gdy wczesne żarniki zostały zamienione na bardziej wydajne, wykonane z wolframu, okazało się, że atomy wolframu poddane tak wysokiej temperaturze wyparowują. Dzięki obecności atomów gazu obojętnego, z którymi zderzają się atomy wolframu, osadzają się one z powrotem na żarniku. Zadania Przez aluminiowy przewód o średnicy 1,628  mm ( 14  AWG ) płynie prąd o natężeniu 3  A . Jaka jest całkowita wartość gęstości ładunku w drucie? Jaka jest prędkość dryfu elektronów? Jaka byłaby prędkość dryfu elektronów w drucie o takich samych wymiarach, ale wykonanym z miedzi? Gęstość miedzi wynosi 8,96  g ∕ cm 3 , a gęstość aluminium równa się 2,7  g ∕ cm 3 . Masa molowa aluminium to 26,98  g ∕ mol , a masa molowa miedzi to 63,5  g ∕ mol . Załóż, że na każdy atom metalu przypada jeden swobodny elektron. Natężenie prądu wiązki elektronowej o promieniu 1  mm 2 wynosi I = 50  µA . Ile wynosi wartość gęstości prądu w tej wiązce? J = 15,92  A ∕ m 2 . Wysokoenergetyczny akcelerator produkuje wiązkę protonów o średnicy r = 0,9  mm . Natężenie prądu w wiązce jest stałe i wynosi I = 9  µA . Gęstość ładunku wynosi n = 6 ⋅ 10 11 protonów na 1  m 2 . Jaka jest gęstość prądu w wiązce? Ile wynosi prędkość dryfu cząstek w wiązce? Ile czasu potrzeba na wyemitowanie 10 10 protonów przez akcelerator? Rozważ drut o kołowym przekroju poprzecznym o promieniu R = 3  mm . Gęstość prądu jest opisana wzorem J = c  r 2 = 5 ⋅ 10 6  A ∕ m 4 ⋅ r 2 . Ile wynosi natężenie prądu płynącego przez wewnętrzną część drutu od środka do r = 0,5  R ? I = 40  mA . Natężenie prądu wytwarzanego przez wiązkę elektronów o promieniu 1  mm 2 wynosi I = 50  µA . Ile wynosi wartość gęstości prądu w tej wiązce? Natężenie prądu dostarczanego do klimatyzatora wynosi 4  A . Jest on zasilany przez drut o średnicy 2,588  mm ( 10  AWG ). Gęstość ładunku wynosi n = 8,48 ⋅ 10 28  elektronów ∕ m 3 . Oblicz gęstość prądu; prędkość dryfu. a. J = 7,6 ⋅ 10 5  A ∕ m 2 ; b. v d = 5,6 ⋅ 10 − 5  m ∕ s . gęstość prądu (ang. current density ) stosunek przepływu ładunków przez przekrój poprzeczny do powierzchni tego przekroju prędkość dryfu (ang. drift velocity ) prędkość ładunku podczas chaotycznego ruchu w przewodniku, gdzie doświadcza wielu zderzeń, uśredniona wzdłuż długości drutu podzielonej przez czas, który zajmuje mu pokonanie tej odległości

Science


Rezystywność i rezystancja Co jest źródłem prądu elektrycznego? Możemy przywołać mnóstwo urządzeń, takich jak baterie, generatory, gniazdka ścienne, które są niezbędne, aby płynął prąd. Wszystkie one wytwarzają różnicę potencjałów, czyli są źródłami napięcia. Gdy źródło napięcia jest podłączone do przewodnika, na jego końcach pojawia się różnica potencjałów U , która powoduje powstanie pola elektrycznego. Z kolei to pole wywiera siłę na swobodne ładunki, co powoduje powstanie prądu. Wartość natężenia prądu zależy nie tylko od wielkości przyłożonego napięcia, ale również od parametrów materiału, przez który on płynie. Materiał może stawiać opór przepływającym ładunkom. Miarą tego oporu jest wielkość zwana rezystywnością (lub opornością). Rezystywność można traktować analogicznie do tarcia pomiędzy dwoma materiałami utrudniającego ich ruch. Rezystywność Gdy napięcie jest przyłożone do przewodnika, wówczas powstaje pole elektryczne. Jego natężenie oznaczamy E → . Ładunki zaczynają się poruszać pod wpływem siły działającej na nie w polu elektrycznym. Gęstość prądu J → , która jest wynikiem tego ruchu, zależy od natężenia elektrycznego oraz właściwości materiału. Ta zależność może być bardzo skomplikowana. W niektórych materiałach, również metalach w określonej temperaturze gęstość prądu jest w przybliżeniu wprost proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego. W takim przypadku gęstość prądu można opisać wzorem J → = σ  E →  , gdzie σ to przewodność elektryczna (ang. electrical conductivity ). Przewodność elektryczna analogicznie do przewodności cieplnej jest miarą zdolności materiału do przewodzenia i transmitowania prądu. Przewodniki mają większą przewodność elektryczną niż izolatory. Przewodność elektryczna to σ = J ∕ E , co oznacza, że jej jednostką jest σ = J E = A ∕ m 2 V ∕ m = A V  m  . Zdefiniujemy jednostkę nazwaną om (ang. ohm ), oznaczaną dużą grecką literą omega Ω . Została ona tak nazwana na cześć Georga Simona Ohma, o którym będziemy jeszcze mówili w tym rozdziale. Oznaczenia Ω używa się, aby nie mylić jej z cyfrą 0. Jeden om jest równy jednemu voltowi na jeden amper: 1  Ω = 1  V ∕ 1  A . Jednostką przewodności elektrycznej jest więc Ω  m − 1 . Przewodność to wewnętrzna właściwość materiału. Kolejną jest rezystywność (ang. resistivity ) lub inaczej rezystywność elektryczna. Rezystywność materiału określa to, jak bardzo opiera się on przepływowi prądu elektrycznego. Oznacza się ją małą grecką literą ρ . Ta wielkość jest odwrotnością przewodności elektrycznej ρ = 1 σ  . Jednostką rezystywności w układzie SI jest om pomnożony przez metr ( Ω  m ). Oporność możemy zdefiniować jako zależność między polem elektrycznym a gęstością prądu ρ = E J  . Im większa rezystywność, tym większe pole elektryczne jest potrzebne do wytworzenia tej samej wartości gęstości prądu. Im mniejsza jest rezystywność, tym większą wartość gęstości prądu wytwarza takie samo pole elektryczne. Dobre przewodniki mają dużą przewodność oraz małą rezystywność. Dobre izolatory mają małą przewodność, natomiast dużą rezystywność. przedstawia wartości rezystywności oraz przewodności dla różnych materiałów. Rezystywność i przewodność przykładowych materiałów w 293  K \SI{293}{\kelvin} . Materiał Przewodność σ Ω  m − 1 Rezystywność ρ ( Ω  m ) Współczynnik temperaturowy α ( ° C − 1 ) Przewodniki Srebro 6,29 ⋅ 10 7 1,59 ⋅ 10 − 8 3,8 ⋅ 10 -3 \num{3,8e-3} Miedź 5,95 ⋅ 10 7 1,68 ⋅ 10 − 8 3,9 ⋅ 10 -3 \num{3,9e-3} Złoto 4,10 ⋅ 10 7 2,44 ⋅ 10 − 8 3,4 ⋅ 10 -3 \num{3,4e-3} Glin 3,77 ⋅ 10 7 2,65 ⋅ 10 − 8 3,9 ⋅ 10 -3 \num{3,9e-3} Wolfram 1,79 ⋅ 10 7 5,60 ⋅ 10 − 8 4,5 ⋅ 10 -3 \num{4,5e-3} Żelazo 1,03 ⋅ 10 7 9,71 ⋅ 10 − 8 6,5 ⋅ 10 -3 \num{6,5e-3} Platyna 0,94 ⋅ 10 7 10,6 ⋅ 10 − 8 3,9 ⋅ 10 -3 \num{3,9e-3} Stal 0,50 ⋅ 10 7 20,0 ⋅ 10 − 8 Ołów 0,45 ⋅ 10 7 22,0 ⋅ 10 − 8 Manganin (stop Cu, Mn, Ni) 0,21 ⋅ 10 7 48,2 ⋅ 10 − 8 2 ⋅ 10 -6 \num{2e-6} Konstantan (stop Cu, Ni) 0,20 ⋅ 10 7 49,0 ⋅ 10 − 8 3 ⋅ 10 -5 \num{3e-5} Rtęć 0,10 ⋅ 10 7 98,0 ⋅ 10 − 8 9 ⋅ 10 -4 \num{9e-4} Chromonikielina (stop Ni, Fe, Cr) 0,10 ⋅ 10 7 100 ⋅ 10 − 8 4 ⋅ 10 -4 \num{4e-4} Półprzewodniki Wartości silnie zależne od ilości oraz rodzajów domieszek. Węgiel (czysty) 2,86 ⋅ 10 4 \num{2,86e4} 3,5 ⋅ 10 − 5 − 5 ⋅ 10 -4 -\num{5e-4} Węgiel 2,86 − 0,17 ⋅ 10 4 (\num{2,86} - \num{0,17}) \cdot 10^4 3,5 − 60 ⋅ 10 − 5 − 5 ⋅ 10 -4 -\num{5e-4} German (czysty) 1,67 \num{1,67} 600 ⋅ 10 − 3 − 4,8 ⋅ 10 -2 -\num{4,8e-2} German 1000 − 1,67 \num{1000} - \num{1,67} 1 − 600 ⋅ 10 − 3 − 5 ⋅ 10 -2 -\num{5e-2} Krzem (czysty) 4,35 ⋅ 10 -4 \num{4,35e-4} 2300 − 7,5 ⋅ 10 -2 -\num{7,5e-2} Krzem 10 − 4,35 ⋅ 10 -4 10 - \num{4,35e-4} 0,1 − 2300 − 7 ⋅ 10 -2 -\num{7e-2} Izolatory Bursztyn 2 ⋅ 10 − 15 5 ⋅ 10 14 Szkło 10 − 9 − 10 − 14 10 9 − 10 14 Szkło akrylowe < 10 −13 > 10 13 Mika 10 − 11 − 10 − 15 10 11 − 10 15 Kwarc (przetopiony) 2 ⋅ 10 − 15 75 ⋅ 10 16 Guma (twarda) 10 − 13 − 10 − 16 10 13 − 10 16 Siarka 10 − 15 10 15 Teflon TM < 10 −13 > 10 13 Drewno 10 − 8 − 10 − 11 10 8 − 10 11 Materiały wymienione w tabeli zostały podzielone pod względem wielkości rezystywności na przewodniki, półprzewodniki oraz izolatory. Przewodniki mają najmniejszą rezystywność, natomiast izolatory największą; rezystywność półprzewodników mieści się pomiędzy tymi wartościami. W przewodnikach gęstość swobodnych nośników zależy od ich rodzaju, ale zawsze jest duża, natomiast większość ładunków w izolatorach jest związana z atomami i nie może się swobodnie poruszać. Sytuacja w półprzewodnikach jest pośrednia. Mają dużo mniej swobodnych nośników niż przewodniki, ale ich właściwości sprawiają, że liczba nośników zależy od typu i zawartości domieszek. Te wyjątkowe właściwości sprawiają, że półprzewodniki są wykorzystywane we współczesnej elektronice, o czym dokładnie opowiemy w dalszych rozdziałach. Gęstość prądu, rezystancja i pole elektryczne w przewodzie Obliczmy gęstość prądu, rezystancję oraz pole elektryczne w 5-metrowym miedzianym przewodzie o średnicy 2,053  mm ( 12  AWG ), w którym płynie prąd o natężeniu I = 10  mA . Strategia rozwiązania Aby uzyskać gęstość prądu, najpierw obliczymy powierzchnię przekroju poprzecznego przewodu, która wynosi S = 3,31  mm 2 . Następnie skorzystamy z definicji gęstości prądu J = I ∕ S . Rezystancję wyliczymy, wykorzystując długość drutu L = 5  m , powierzchnię oraz rezystywność miedzi ρ = 1,68 ⋅ 10 − 8  Ω  m i wiedząc, że R = ρ ⋅ L ∕ S . Rezystywność oraz gęstość prądu wykorzystamy do obliczenia pola elektrycznego. Rozwiązanie Najpierw policzymy gęstość prądu J = I S = 10 ⋅ 10 − 3  A 3,31 ⋅ 10 − 6  m 2 = 3,02 ⋅ 10 3  A ∕ m 2  . Rezystancja drutu wynosi R = ρ  L S = 1,68 ⋅ 10 − 8  Ω  m ⋅ 5  m 3,31 ⋅ 10 − 6  m 2 = 0,025  Ω  . Ostatecznie policzymy natężenie pola elektrycznego E = ρ  J = 1,68 ⋅ 10 − 8  Ω  m ⋅ 3,02 ⋅ 10 3  A ∕ m 2 = 5,07 ⋅ 10 − 5  V ∕ m  . Znaczenie Ten wynik pokazuje, że miedź to bardzo dobry materiał do produkcji przewodów elektrycznych ze względu na małą rezystancję. Zwróćmy uwagę na fakt, że gęstość prądu oraz natężenie pola elektrycznego nie są zależne od długości przewodu, w przeciwieństwie do napięcia, które zależy od tej wielkości. Sprawdź, czy rozumiesz. Miedzianych przewodów używa się zarówno w gospodarstwach domowych, jak i w liniach przesyłowych z kilku powodów. Miedź ma najwyższą przewodność elektryczną, więc również najmniejszą rezystywność ze wszystkich metali nieszlachetnych. Równie ważnym parametrem jest wytrzymałość na rozciąganie, która jest miarą wielkości siły powodującej rozerwanie materiału. Wytrzymałość na rozciąganie materiału oznacza maksymalne naprężenie, jakie może zostać przyłożone, zanim materiał pęknie. W przypadku miedzi parametr ten osiąga bardzo wysoką wartość 2 ⋅ 10 8  N ∕ m 2 . Trzeci istotny parametr to ciągliwość, czyli miara podatności materiału na odkształcenia, takie jak wyciąganie drutu. Miedź ma dużą wartość ciągliwości. Podsumowując, aby dany przewodnik był dobrym kandydatem na materiał na przewód elektryczny, musi charakteryzować się niską rezystywnością, wysoką wytrzymałością na rozciąganie oraz dużą ciągliwością. Jakich innych materiałów używa się do produkcji przewodów i jakie są ich zalety i wady? Srebro, złoto oraz aluminium są również używane do produkcji przewodów. Wszystkie cztery materiały mają dużą przewodność, srebro ma największą. Wszystkie cztery są też ciągliwe oraz mają dużą wytrzymałość na rozciąganie (chociaż nie tak dużą jak miedź). Oczywistą wadą srebra oraz złota jest ich wysoka cena, jednak są one używane do specjalnych zastosowań, takich jak okablowanie głośników. Złoto najlepiej nadaje się do łączenia elementów obwodu elektrycznego, ponieważ się nie utlenia. Przewody aluminiowe mają wady. Aluminium ma wyższą rezystywność niż miedź, więc potrzebne są przewody o większych średnicach, aby rezystancja na jednostkę długości była podobna jak dla miedzi. Nie jest to dużym problemem ze względu na niskie ceny aluminium. Przewody aluminiowe nie mają tak dużej wytrzymałości na rozciąganie ani ciągliwości jak miedź, jednak te wartości są wystarczające. Istnieją pewne problemy, jakie należy wziąć pod uwagę, używając aluminiowych przewodów. Aluminium ma wyższy współczynnik rozszerzalności termicznej niż miedź, co może prowadzić do utraty kontaktu oraz groźby pożaru. Utlenione aluminium nie przewodzi prądu, co również może stanowić problem. Przy przewodach aluminiowych muszą być stosowane specjalne elementy, takie jak specjalne kontakty elektryczne, które mogą pracować z takimi przewodami. Obejrzyj interaktywną symulację , aby dowiedzieć się, jak przekrój poprzeczny, długość i rezystywność przewodu wpływają na jego rezystancję. Zmieniaj te wielkości, używając suwaków, i zwróć uwagę, czy rezystancja rośnie, czy maleje. Temperaturowa zależność rezystywności Wróćmy do i przyjrzyjmy się kolumnie „Współczynnik temperaturowy”. Rezystywność niektórych materiałów bardzo silnie zależy od temperatury. W niektórych, na przykład w miedzi, rośnie ona wraz z temperaturą. W zasadzie w większości przewodzących metali parametr ten zwiększa się wraz z temperaturą. Podwyższenie temperatury zwiększa amplitudę drgań atomów w strukturze metali, co utrudnia przepływ elektronów. W innych materiałach, takich jak węgiel, rezystywność spada ze wzrastającą temperaturą. W metalach ta zależność jest liniowa i może być opisana równaniem ρ ≈ ρ 0  1 + α  T − T 0  , gdzie ρ to rezystywność materiału w temperaturze T , α to współczynnik temperaturowy materiału, a ρ 0 to rezystywność w temperaturze T 0 ; zwykle zakłada się, że T 0 = 293  K T_0 = \SI{293}{\kelvin} . Zauważmy, że w współczynnik temperaturowy α dla półprzewodników jest ujemny, co oznacza, że ich rezystywność maleje wraz ze wzrostem temperatury (należy zauważyć, że podane współczynniki temperaturowe są prawdziwe dla półprzewodników jedynie w wąskim zakresie temperatur, w okolicach temperatury pokojowej; rezystywność półprzewodników jest bowiem silną wykładniczą funkcją temperatury, w odróżnieniu od metali, dla których zależność ta ma charakter liniowy). Półprzewodniki lepiej przewodzą prąd w wyższych temperaturach, ponieważ wzbudzenia termiczne zwiększają liczbę swobodnych ładunków, które są nośnikami prądu. Zależność ρ od temperatury wiąże się także z typem i liczbą domieszek w półprzewodnikach. Rezystancja Rozważymy teraz rezystancję przewodu albo elementu obwodu elektrycznego. Określa ona, jak trudno jest przepłynąć prądowi przez przewód lub element, i zależy od rezystywności. Rezystywność to właściwość materiału wykorzystywanego do produkcji przewodów lub innych elementów elektrycznych, natomiast rezystancja to właściwość przewodu lub elementu. Żeby policzyć rezystancję, rozważymy kawałek przewodu o powierzchni przekroju poprzecznego S A , długości L L oraz rezystywności ρ \rho . Baterię podłączono do przewodnika, zapewniając różnicę potencjałów U między jego końcami ( ). Jest ona źródłem pola elektrycznego, które wywołuje przepływ prądu zgodnie ze wzorem E → = ρ  J → \vec{E} = \rho \vec{J} . Różnica potencjałów (napięcie) dostarczana z baterii jest przyłożona do przewodnika o powierzchni przekroju poprzecznego S oraz długości L . Natężenie pola elektrycznego wzdłuż kawałka przewodnika równa się stosunkowi napięcia do długości przewodu, E = U ∕ L , natomiast gęstość prądu jest równa stosunkowi natężenia prądu do powierzchni przekroju czynnego, J = I ∕ S . Wykorzystując te informacje oraz wiedząc, że natężenie pola elektrycznego pozostaje proporcjonalne do rezystywności oraz gęstości prądu, możemy udowodnić, że natężenie prądu jest proporcjonalne do przyłożonego napięcia E = ρ  J  , E = \rho J \text{,} U L = ρ  I S  , \frac{U}{L} = \rho \frac{I}{S} \text{,} U = ρ  L S  I  . U = \rho \frac{L}{S} I \text{.} Rezystancja Stosunek napięcia do natężenia prądu nazywa się rezystancją (ang. resistance , lub oporem) R R ≡ U I  . Rezystancja cylindrycznego kawałka przewodnika równa się rezystywności materiału pomnożonej przez długość przewodnika i podzielonej przez powierzchnię przekroju poprzecznego R ≡ U I = ρ  L S  . Jednostką rezystancji jest om ( Ω ). Przy danym napięciu płynie tym mniejszy prąd im większa jest rezystancja. Rezystory Typowym elementem w obwodach elektrycznych jest rezystor. Używa się go do ograniczania przepływającego prądu lub zapewnienia spadku napięcia. Na pokazane są symbole używane do oznaczania rezystorów na schematach obwodów elektrycznych ustalone przez Amerykański Instytut Normalizacyjny (ANSI) (ang. American National Standard Institute ) oraz Międzynarodową Komisję Elektrotechniczną (IEC) (ang. International Electrotechnical Commission ). W Polsce i Europie stosuje się system IEC, natomiast w Stanach Zjednoczonych – system ANSI. Symbole używane do oznaczania rezystorów w obwodach elektrycznych. (a) Standard ANSI. (b) Standard IEC. Zależność rezystancji od materiału oraz kształtu Rezystor może być zaprojektowany jako walec o powierzchni przekroju poprzecznego S i długości L oraz wykonany z materiału o rezystywności ρ ( ). Rezystancja rezystora wynosi R = ρ ⋅ L ∕ S . Model rezystora jako jednorodnego walca o długości L i powierzchni przekroju poprzecznego S . Jego rezystancja wobec przepływającego prądu jest analogiczna do oporu stawianego przez rurę przepływającej cieczy. Im dłuższy walec, tym większa rezystancja. Im większa powierzchnia przekroju poprzecznego S , tym mniejsza rezystancja. Materiałem najpowszechniej wykorzystywanym do produkcji rezystorów jest węgiel. Węglową ścieżkę nawija się na ceramiczny rdzeń, do którego przyłącza się dwa miedziane wyprowadzenia. Innym rodzajem są rezystory wykonane z metalowej warstwy, która również ma ceramiczny rdzeń. Ścieżki są wykonane z tlenków metali, które mają właściwości półprzewodnikowe, podobnie jak węgiel. Miedziane doprowadzenia przyłącza się do końców rezystora. Następnie rezystor jest malowany i oznaczany. Posiada on cztery kolorowe paski, takie jak pokazane na . Wiele rezystorów wygląda tak, jak przedstawiono powyżej. Cztery paski są używane do identyfikacji rezystora. Dwa pierwsze reprezentują dwie pierwsze cyfry wartości rezystancji rezystora. Trzeci kolor to mnożnik. Czwarty kolor oznacza tolerancję. Rezystor przedstawiony na rysunku ma rezystancję 20 ⋅ 10 5  Ω ± 10  % . Zakres rezystancji to kilka rzędów wielkości. Niektóre izolatory ceramiczne, używane do wspomagania linii energetycznych, mają rezystancję na poziomie 10 12  Ω i więcej. Suchy człowiek może mieć rezystancję między ręką a stopą rzędu 10 5  Ω , natomiast rezystancja ludzkiego serca to ok. 10 3  Ω . Metrowy miedziany przewód o dużej średnicy ma rezystancję 10 − 5  Ω , a nadprzewodniki w niskich temperaturach mają rezystancję równą zero. Jak widać, parametr ten zależy od kształtu i materiału obiektu. Rezystancja przedmiotu zależy również od temperatury, ponieważ R 0 jest odwrotnie proporcjonalne do ρ . Dla walca, jak już wiemy, R = ρ ⋅ L ∕ S , więc jeśli L i S nie zmieniają się wraz z temperaturą, to R ma taki sam współczynnik temperaturowy jak ρ . (Badania dotyczące współczynnika rozszerzalności liniowej pokazują, że jest on o dwa rzędy mniejszy niż typowy współczynnik temperaturowy rezystywności, z czego wynika, że wpływ temperaturowy L oraz S jest blisko dwa rzędy mniejszy niż ρ ). A zatem R = R 0  1 + α  Δ T jest temperaturową zależnością rezystancji przedmiotu, gdzie R 0 to początkowa rezystancja (zwykle w temperaturze 20  ° C ), a R to rezystancja po zmianie temperatury o Δ T . Rezystancję zakodowaną kolorem na rezystorze zwykle mierzy się w temperaturze T = 20  ° C . Działanie wielu termometrów opiera się na zależności temperaturowej rezystancji ( ). Jeden z najczęściej używanych rodzajów termometrów działa w oparciu o termistor, półprzewodnikowy kryształ o silnej zależności rezystancji od mierzonej temperatury, którą chcemy poznać. Urządzenie jest małe, więc bardzo szybko wchodzi w równowagę termiczną z dotykaną częścią ciała. Te powszechnie używane termometry działają na zasadzie automatycznego pomiaru zależnej od temperatury rezystancji termistora. Obliczanie rezystancji Mimo że należy zachować szczególną ostrożność przy stosowaniu zależności ρ = ρ 0  1 + α  Δ T oraz R = R 0  1 + α  Δ T dla zmian temperatur większych niż 100  ° C , dla wolframu to równanie sprawdza się dobrze również dla dużych zmian temperatury. Wolframowy żarnik w temperaturze 20  ° C ma rezystancję 0,35  Ω . Jaka będzie jego rezystancja, gdy temperatura wzrośnie do 2850  ° C ? Współczynnik temperaturowy znajdziesz w tabeli powyżej. Strategia rozwiązania Użyjemy wprost równania R = R 0  1 + α  Δ T , wiedząc, że początkowa rezystancja żarnika wynosi R 0 = 0,35  Ω , a zmiana temperatury Δ T = 2830  ° C . Rozwiązanie Rezystancję gorącego żarnika R można obliczyć, wstawiając znane wielkości do powyższego równania R = R 0  1 + α  Δ T = 0,35  Ω ⋅ 1 + 4,5 ⋅ 10 -3  ° C -1 ⋅ 2830  ° C = 4,8  Ω  . Znaczenie Rezystancja zmienia się o rząd wielkości, gdy żarnik grzeje się do wysokiej temperatury. Pamiętając o tym, że natężenie prądu zależy od rezystancji żarnika oraz przyłożonego napięcia, należy zauważyć, że w żarniku zastosowanym w żarówce początkowo płynący prąd będzie miał większe natężenie niż po nagrzaniu się żarnika do temperatury świecenia. Sprawdź, czy rozumiesz. Tensometr, pokazany na rysunku poniżej, jest elektrycznym urządzeniem do pomiaru naprężeń. Składa się on z elastycznego izolatora, na którym znajdują się ścieżki z przewodzącej folii. Rezystancja folii zmienia się, gdy podkładka ulega rozciągnięciu. Jak zmienia się rezystancja tensometru? Czy na odczyt tensometru ma wpływ zmiana temperatury? Ścieżki z folii rozciągają się razem z podkładką i stają się dłuższe oraz cieńsze. Skoro rezystancję wyznacza się z R = ρ ⋅ L ∕ S , rośnie ona, gdy ścieżki z folii są rozciągane. Gdy temperatura się zmienia, zmienia się także rezystywność ścieżek, co powoduje zmianę rezystancji. Sposobem na obejście tego problemu jest użycie dwóch tensometrów, jednego jako odniesienia, a drugiego jako przyrządu pomiarowego. Jednakże obydwa urządzenia muszą mieć taką samą temperaturę. Rezystancja kabla koncentrycznego Długie kable mogą się zachowywać jak anteny, zbierając elektroniczny szum, pochodzący od innych urządzeń. Kabli koncentrycznych używa się w urządzeniach, które wymagają eliminacji zakłóceń, m.in. w gospodarstwach domowych w kablach telewizyjnych oraz połączeniach audiowizualnych. Kabel koncentryczny zawiera przewodzący rdzeń o promieniu r wew otoczony przez drugi, zewnętrzny koncentryczny przewodnik o promieniu r zew ( ). Przestrzeń pomiędzy nimi zwykle wypełnia izolator, taki jak tworzywo polietylenowe, w rezultacie jedynie znikoma ilość prądu przenika pomiędzy dwoma przewodnikami. Wyznacz rezystancję kabla koncentrycznego o długości L . Kable koncentryczne składają się z dwóch przewodników rozdzielonych izolatorem. Są zwykle stosowane jako kable telewizyjne i do innych połączeń audiowizualnych. Strategia rozwiązania Nie możemy zastosować wprost równania R = ρ ⋅ L ∕ S . Natomiast rozważymy koncentryczne cylindryczne powłoki o grubości d r i scałkujemy. Rozwiązanie Najpierw wyprowadzimy wyrażenie na d R , a następnie scałkujemy je w granicach od r wew do r zew d R = ρ S  d r = ρ 2  π  r  L  d r  , \d R = \frac{\rho}{S} \d r = \frac{\rho}{2 \pi r L} \d r \text{,} R = ∫ r wew r zew d R = ∫ r wew r zew ρ 2  π  r  L  d r = ρ 2  π  L  ∫ r wew r zew d r r = ρ 2  π  L  ln r zew r wew  . R = \int_{r_{\text{wew}}}^{r_{\text{zew}}} \d R = \int_{r_{\text{wew}}}^{r_{\text{zew}}} \frac{\rho}{2 \pi r L} \d r = \frac{\rho}{2\pi L} \int_{r_{\text{wew}}}^{r_{\text{zew}}} \frac{\d r}{r} = \frac{\rho}{2\pi L} \ln \frac{r_{\text{zew}}}{r_{\text{wew}}} \text{.} Znaczenie Rezystancja kabla koncentrycznego zależy od jego długości, wewnętrznego i zewnętrznego promienia oraz rezystywności materiału rozdzielającego przewodniki. Ze względu na to, że rezystancja nie jest nieskończona, zawsze dochodzi do przenikania pomiędzy dwoma przewodnikami. Powoduje ono osłabienie sygnału przesyłanego przez kabel. Sprawdź, czy rozumiesz. Rezystancja między dwoma przewodnikami w kablu koncentrycznym zależy od rezystywności materiału oddzielającego je, długości kabla oraz promieni obu przewodników. Gdybyś projektował kabel koncentryczny, to w jaki sposób rezystancja pomiędzy dwoma przewodnikami zależałaby od tych wielkości? Im większa długość, tym mniejsza rezystancja. Im większa rezystywność, tym większa rezystancja. Im większa różnica między promieniem zewnętrznym a wewnętrznym, tym większy stosunek pomiędzy tymi wielkościami i większa rezystancja. Jeśli chcesz zmaksymalizować rezystancję, wybór tych wielkości będzie zależał od zastosowań. Jeśli kabel musi być elastyczny, wybór materiałów będzie bardziej ograniczony. Obejrzyj symulację , aby dowiedzieć się, jak przyłożone napięcie oraz rezystancja materiału, przez który przepływa prąd, wpływają na jego natężenie. Możesz również zobaczyć, jak zderzenia elektronów i atomów wpływają na temperaturę materiału. Podsumowanie Jednostką rezystancji jest om ( Ω ), związany z woltem i amperem zależnością 1  Ω = 1  V ∕ A . Rezystancja R walca o długości L i powierzchni przekroju czynnego S wynosi R = ρ ⋅ L ∕ S , gdzie ρ to rezystywność materiału. Wartości ρ w podzielono na trzy grupy i przypisano je do trzech rodzajów materiałów: przewodników, półprzewodników i izolatorów. Temperatura wpływa na rezystywność; dla małych zmian temperatury Δ T rezystywność wynosi ρ = ρ 0  1 + α  Δ T , gdzie ρ 0 jest początkową rezystywnością, natomiast α to temperaturowy współczynnik rezystywności. Rezystancja R elementów również zmienia się z temperaturą: R = R 0  1 + α  Δ T , gdzie R 0 to rezystancja początkowa, natomiast R to rezystancja po zmianie temperatury. Pytania Spadek I  R wzdłuż rezystora oznacza, że wzdłuż niego następuje zmiana potencjału (napięcia). Czy występuje również zmiana natężenia prądu przepływającego przez rezystor? Wyjaśnij. Czy domieszki w materiałach półprzewodnikowych wymienionych w dostarczają swobodnych ładunków? (Wskazówka: Zbadaj wartość rezystywności dla każdego półprzewodnika i określ, czy niedomieszkowany półprzewodnik ma wyższą, czy niższą przewodność). Dla węgla rezystywność rośnie wraz ze wzrostem ilości domieszek, ponieważ spada liczba swobodnych ładunków. W krzemie i germanie domieszki obniżają rezystywność, czyli w materiale jest więcej swobodnych ładunków. Czy rezystancja przedmiotu zależy od drogi, którą płynie prąd? Rozważ jako przykład prostopadłościan. Czy jego rezystancja będzie taka sama wzdłuż i wszerz? Jeśli przewody aluminiowy oraz miedziany o jednakowej długości mają taką samą rezystancję, to który z nich ma większą średnicę? Dlaczego? Miedź ma mniejszą rezystywność niż aluminium, więc przy takich samych długościach drutów miedziany musi mieć mniejszą średnicę. Zadania Prąd o jakim natężeniu płynie przez żarówkę latarki zasilanej napięciem 3  V , jeśli jej rezystancja po nagrzaniu wynosi 3,6  Ω ? Oblicz efektywną rezystancję kalkulatora kieszonkowego, który ma 1,35-woltową baterię oraz płynie przez niego prąd o natężeniu 0,2  mA . R = 6,75  kΩ . Jakie napięcie jest konieczne, by działała lampka kontrolna na odtwarzaczu DVD, mająca rezystancję 140  Ω , jeśli przepływa przez nią prąd o natężeniu 25  mA ? Ile wynosi rezystancja 20-metrowego kawałka miedzianego przewodu o średnicy 2,053  mm ( 12  AWG )? R = 0,1  Ω . Średnica miedzianego przewodu 0  AWG wynosi 8,252  mm . Oblicz rezystancję przewodu o długości 1  km używanego do przesyłania energii elektrycznej. Jak długi powinien być żarnik wolframowy w żarówce o średnicy 0,1  mm , jeśli ma mieć rezystancję 0,2  Ω w temperaturze 20  ° C ? R = ρ ⋅ L ∕ S , L = 3  mm . Ołowiany pręt o długości 30  cm ma rezystancję 5  µΩ . Jaki jest jego promień? Oblicz stosunek pomiędzy średnicami przewodów aluminiowego i miedzianego, jeśli mają taką samą rezystancję w przeliczeniu na jednostkę długości (tak jak w przypadku przewodów w gospodarstwach domowych). R Al ∕ L Al R Cu ∕ L Cu = ρ Al ∕ π  D Al ∕ 2 2 ρ Cu ∕ π  D Cu ∕ 2 2 = ρ Al ∕ ρ Cu ⋅ D Cu ∕ D Al 2 = 1 ⇒ D Al ∕ D Cu = ρ Al ∕ ρ Cu . Jakie natężenie ma prąd przepływający przez pręt z czystego krzemu o średnicy 2,54  cm i o długości 20  cm , do którego przyłożono napięcie 10 3  V (takie pręty są wykorzystywane jako detektory cząstek nuklearnych)? Odpowiedz na poniższe pytania. Do jakiej temperatury należy podgrzać drut miedziany, który miał początkowo temperaturę 20  ° C , aby podwoić jego rezystancję, pomijając temperaturowe zmiany rozmiarów? Czy to może się przydarzyć w gospodarstwach domowych w zwykłych okolicznościach? a. R = R 0  1 + α  Δ T , 2 = 1 + α  Δ T , Δ T = 256,4  ° C , T = 276,4  ° C ; b. W normalnych okolicznościach to nie powinno się wydarzyć. Rezystor wykonany z przewodu chromonikielinowego jest używany w takich przypadkach, gdy rezystancja nie może się zmieniać o więcej niż 1  % \SI{1}{\percent} od swojej pierwotnej wartości w temperaturze 20  ° C . W jakim zakresie temperatur może być stosowany? Z jakiego materiału wykonano rezystor, którego rezystancja jest w temperaturze 100  ° C o 40  % \SI{40}{\percent} większa niż w temperaturze 20  ° C ? R = R 0  1 + α  Δ T , α = 0,006  ° C − 1 , żelazo. Urządzenia elektroniczne zaprojektowane w taki sposób, aby pracowały w przedziale temperatur od − 10  ° C do 55  ° C , wykorzystują rezystory wykonane z czystego węgla. Jak bardzo zmienia się ich rezystancja w tym zakresie temperatur? Odpowiedz na poniższe pytania. Z jakiego materiału wykonano drut, jeśli przy długości 25  m oraz średnicy 0,1  mm ma rezystancję 77,7  Ω w temperaturze 20  ° C ? Jaka jest jego rezystancja w temperaturze 150  ° C ? a. R = ρ ⋅ L ∕ S , ρ = 2,44 ⋅ 10 − 8  Ω  m , złoto; b. R = ρ ⋅ L ∕ S ⋅ 1 + α  Δ T , R = 2,44 ⋅ 10 − 8  Ω  m ⋅ 25  m ∕ π  0,1 ⋅ 10 − 3  m 2 2 ⋅ 1 + 0,0034  ° C − 1  150  ° C − 20  ° C , R = 112  Ω . Jeśli założysz, że temperaturowy współczynnik rezystywności jest stały, jaki będzie procentowo największy spadek rezystancji drutu konstantanowego od temperatury 20  ° C ? Rezystancja miedzianego drutu wynosi 0,5  Ω w temperaturze 20  ° C , natomiast rezystancja drutu wykonanego z żelaza wynosi 0,525  Ω w tej samej temperaturze. W jakiej temperaturze te dwa materiały będą miały taką samą rezystancję? R Fe = 0,525  Ω , R Cu = 0,5  Ω , α Fe = 0,0065  ° C − 1 , α Cu = 0,0039  ° C − 1 , R Fe = R Cu , R 0  Fe  1 + α Fe  T − T 0 = R 0  Cu  1 + α Cu  T − T 0 , R 0  Fe ∕ R 0  Cu ⋅ 1 + α Fe  T − T 0 = 1 + α Cu  T − T 0 , T = 2,91  ° C . przewodność elektryczna (ang. electrical conductivity ) miara zdolności materiału do przewodzenia lub transmitowania elektryczności om (ang. ohm ) jednostka rezystancji elektrycznej, 1  Ω = 1  V ∕ A rezystancja (ang. resistance ) właściwość elektryczna, która utrudnia przepływ prądu elektrycznego; dla materiałów omowych jest to stosunek między napięciem a prądem, R = U ∕ I rezystywność (ang. resistivity ) właściwość materiałowa, niezależna od rozmiaru oraz kształu, wprost proporcjonalna do rezystancji, oznaczana ρ

Science


Prawo Ohma W tym rozdziale rozważaliśmy dotąd trzy wielkości elektryczne: natężenie prądu, napięcie oraz rezystancję. Okazuje się, że w wielu materiałach zachodzi prosta zależność między tymi wielkościami, nazywana prawem Ohma. Natomiast wiele innych nie wykazuje tej zależności, więc pomimo swojej nazwy nie jest to prawo powszechne, jak prawa Newtona czy termodynamiki. Tę zależność wykorzystuje się do obliczeń dotyczących tylko tych materiałów, które spełniają prawo Ohma. Prawo Ohma Natężenie prądu płynącego przez większość materiałów jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia U . Niemiecki fizyk Georg Simon Ohm (1787–1854) był pierwszym, który doświadczalnie wykazał, że natężenie prądu w metalowym przewodzie jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia I ∝ U  . Ten ważny związek jest podstawą prawa Ohma (ang. Ohm’s law ). Może on być rozumiany jako związek przyczynowo-skutkowy, gdzie napięcie jest przyczyną, a płynący prąd – skutkiem. To prawo empiryczne, co znaczy, że zjawisko to da się zaobserwować doświadczalnie, tak jak tarcie. Liniowa zależność nie zawsze występuje. Każdy materiał i urządzenie, które spełniają prawo Ohma, czyli gdy natężenie prądu jest proporcjonalne do napięcia, nazywamy materiałem lub elementem omowym (ang. ohmic ). Natomiast materiał, który nie spełnia tej zależności, nosi nazwę materiału nieomowego (ang. nonohmic ). Doświadczenie Ohma W pracy opublikowanej w 1827 r. Georg Ohm opisał doświadczenie, w którym zmierzył przyłożone napięcie oraz natężenie prądu płynącego przez proste obwody elektryczne zawierające przewody o różnych długościach. Podobny eksperyment przedstawia . Obserwuje się w nim natężenie prądu płynącego przez rezystor, które jest wynikiem przyłożonego napięcia. W tym prostym obwodzie rezystor połączono szeregowo z baterią. Napięcie mierzy się woltomierzem, który jest podłączony równolegle do rezystora. Natężenie prądu mierzy się amperomierzem, który musi być połączony szeregowo z rezystorem. Układ eksperymentalny wykorzystywany do określenia, czy rezystor jest omowy, czy nieomowy. (a) Gdy bateria jest podłączona i prąd płynie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, a wielkości odczytywane na amperomierzu i woltomierzu przyjmują wartości dodatnie. (b) Gdy bateria jest podłączona i prąd płynie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a wielkości odczytywane na amperomierzu i woltomierzu osiągają wartości ujemne. W zmodernizowanej wersji pierwotnego doświadczenia Ohma wykonuje się kilka pomiarów natężenia prądu dla różnych wartości przyłożonego napięcia. Gdy bateria jest podłączona tak jak na (a), prąd płynie w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Odczyty z amperomierza i woltomierza są dodatnie. Czy zachowanie prądu zmieni się, gdy będzie on płynął w przeciwną stronę? Aby zmienić kierunek przepływu prądu, można zamienić elektrody baterii. W takim przypadku odczyty z amperomierza i woltomierza będą ujemne, a kierunek prądu przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Wyniki takiego doświadczenia przedstawiono na . Rezystor umieszczono w obwodzie z baterią. Przyłożone napięcie zmienia się o 1  V w zakresie od − 10  V do + 10  V . Wykres pokazuje zależność między napięciem a natężeniem prądu dla typowego eksperymentu. W tym eksperymencie napięcie przyłożone do rezystora zmienia się o 1  V w zakresie od − 10  V do + 10  V . Mierzone są: napięcie przyłożone do rezystora oraz natężenie prądu płynącego przez rezystor. Na wykresie pokazano zależność między napięciem a natężeniem prądu, która w przybliżeniu ma charakter liniowy. Nachylenie prostej to rezystancja, czyli stosunek napięcia do natężenia prądu. Wynik nazywa się prawem Ohma (ang. Ohm’s law ) U = I  R  , gdzie U to napięcie mierzone w woltach przyłożone do badanego elementu, I to natężenie prądu płynącego przez ten element w amperach, natomiast R to rezystancja w omach. Jak już wcześniej powiedziano, każde urządzenie, w którym występuje liniowa zależność między napięciem a natężeniem prądu, nazywa się urządzeniem omowym. Wynika z tego, że rezystor jest elementem omowym. Pomiar rezystancji Węglowy rezystor w temperaturze pokojowej ( 20  ° C ) został podłączony do baterii 9  V . Następnie zmierzono natężenie prądu, które wyniosło 3  mA . Jaka jest rezystancja mierzonego rezystora w omach? Jeśli temperatura rezystora zostanie zwiększona do 60  ° C w wyniku jego grzania, to jakie będzie natężenie prądu przepływającego przez rezystor? Strategia rozwiązania Rezystancję można obliczyć przy użyciu prawa Ohma. Mówi ono, że U = I  R , więc rezystancja zostanie wyznaczona ze wzoru R = U ∕ I . Rezystancja zależy od temperatury, więc po podgrzaniu rezystora wyniesie R = R 0  1 + α  Δ T . Natężenie prądu można obliczyć przy użyciu przekształconego prawa Ohma I = U ∕ R . Rozwiązanie Wykorzystując prawo Ohma, przekształcamy wzór, aby wyznaczyć rezystancję w temperaturze pokojowej R = U I = 9  V 3 ⋅ 10 − 3  A = 3 ⋅ 10 3  Ω = 3  kΩ  . Rezystancję w temperaturze 60  ° C obliczymy przy użyciu R = R 0  1 + α  Δ T ; współczynnik temperaturowy dla węgla wynosi α = − 0,0005  ° C − 1 R = R 0  1 + α  Δ T = 3 ⋅ 10 3  Ω ⋅ 1 − 0,0005  ° C -1 ⋅ 60  ° C − 20  ° C = 2,94  kΩ  . Natężenie prądu płynącego przez podgrzany rezystor wynosi I = U R = 9  V 2,94 ⋅ 10 3  Ω = 3,06 ⋅ 10 − 3  A = 3,06  mA  . Znaczenie Zmiana temperatury o 40  ° C spowodowała zmianę natężenia prądu o 2  % . Nie wydaje się ona duża, jednak zmiana właściwości elektrycznych może istotnie wpłynąć na obwód elektryczny. Z tego powodu wiele urządzeń elektronicznych, na przykład komputery, wyposaża się w wentylatory odprowadzające ciepło wytworzone przez elementy w obwodach elektrycznych. Sprawdź, czy rozumiesz. Napięcie dostarczane do naszych domów zmienia się według zależności U  t = U max  sin 2  π  f  t . Jeśli do rezystora jest przyłożone takie napięcie, to czy prawo Ohma U = I  R wciąż będzie dla niego spełnione? Tak, prawo Ohma jest spełnione. W każdym momencie natężenie prądu wynosi I  t = U  t ∕ R , więc natężenie prądu też jest zależne od czasu: I  t = U max ∕ R ⋅ sin 2  π  f  t . Obejrzyj, jak wygląda relacja w prawie Ohma w prostym obwodzie. Zmieniając napięcie oraz rezystancję, możesz zobaczyć, jak zmienia się natężenie prądu zgodnie z prawem Ohma. Rozmiar symboli w równaniu zmienia się wraz ze zmieniającymi się wielkościami w obwodzie. W nieomowych urządzeniach nie występuje liniowy związek pomiędzy napięciem a natężeniem prądu. Jednym z takich elementów jest dioda półprzewodnikowa. Dioda (ang. diode ) to element obwodu, który pozwala na przepływ prądu tylko w jednym kierunku. Prosty obwód elektryczny składający się z baterii, diody oraz rezystora przedstawia . Chociaż w tym rozdziale nie będziemy się zajmować teorią pracy diody, możemy omówić ten element jako przykład urządzenia nieomowego. Dioda jest urządzeniem półprzewodnikowym, które pozwala na przepływ prądu tylko w kierunku przewodzenia. Oznacza to, że na anodzie znajduje się wyższy potencjał niż na katodzie. Zależność natężenia prądu od napięcia dla diody przedstawia . Zwróćmy uwagę na to, że dla diody pokazana jest zależność natężenia prądu od napięcia, podczas gdy dla rezystora była to zależność napięcia od natężenia. Dioda składa się z dwóch elementów: anody oraz katody. Gdy do anody podłączony jest ujemny potencjał, a do katody dodatni, tak jak w części (a), dioda zostaje spolaryzowana w kierunku zaporowym. W takim przypadku ma ona bardzo dużą rezystancję, więc w obwodzie płynie prąd o bardzo małym natężeniu, bliskim zero. Podczas wzrostu napięcia przyłożonego do diody prąd się nie zmienia do momentu, gdy napięcie osiągnie wartość napięcia przebicia i dioda zacznie przewodzić prąd, jak pokazano na . Gdy kierunek prądu i podłączenia baterii zostaną odwrócone, do anody będzie podłączony potencjał dodatni, a do katody ujemny, dioda zostanie spolaryzowana w kierunku przewodzenia. Dioda krzemowa zaczyna przewodzić prąd, gdy napięcie przekroczy 0,7  V . Rezystancja diody jest bliska zero (w obwodzie niezbędny jest rezystor, bez niego płynąłby prąd o bardzo dużym natężeniu). Jak widać na związek między napięciem a natężeniem prądu nie jest liniowy. Oznacza to, że dioda nie jest urządzeniem omowym. Gdy napięcie przyłożone do diody jest ujemne i ma małą wartość, przez diodę przepływa prąd o bardzo małym natężeniu. Gdy osiągnie ono wartość napięcia przebicia, dioda zaczyna przewodzić. Gdy napięcie na diodzie jest dodatnie oraz większe od pewnej granicznej wartości zależnej od jej rodzaju, zaczyna ona przewodzić. Gdy napięcie się zwiększa, zwiększa się również natężenie prądu, jednak napięcie na diodzie zawsze jest bliskie tej granicznej wartości (dla diody krzemowej to ok. 0,7  V ). Prawo Ohma zwykle przedstawia się jako U = I  R , pierwotnie było przedstawiane w ujęciu mikroskopowym jako zależność gęstości prądu od przewodności oraz natężenia pola elektrycznego. To podejście sugeruje, że proporcjonalność U ∝ I wynika z prędkości dryfu swobodnych elektronów w metalu będącej efektem przyłożonego pola elektrycznego. Jak wspomniano wcześniej, gęstość prądu pozostaje wprost proporcjonalna do natężenia przyłożonego pola elektrycznego. Przeformułowanie prawa Ohma przypisuje się Gustavowi Kirchhoffowi, o którym będzie mowa w następnym rozdziale. Podsumowanie Prawo Ohma jest empirycznym związkiem między natężeniem prądu, napięciem a rezystancją dla typowych elementów obwodu, takich jak rezystory. Nie ma zastosowania w innych urządzeniach, takich jak diody. Jedną z postaci prawa Ohma jest związek między natężeniem prądu I , napięciem U a rezystancją R w prostym obwodzie U = I  R . Inną postacią prawa Ohma w ujęciu mikroskopowym jest J = σ  E . Pytania W podrozdziale Obliczanie natężenia na podstawie potencjału rezystancja została zdefiniowana jako R ≡ U ∕ I . W tym rozdziale rozważaliśmy prawo Ohma, które przeważnie przedstawia się jako U = I  R . Te równania wyglądają podobnie. Jaka jest różnica między definicją rezystancji a prawem Ohma? Poniżej przedstawiono wynik eksperymentu, w którym do czterech urządzeń podłączono napięcie. Zmieniano jego wartość i mierzono natężenie prądu. Które z tych urządzeń jest omowe? Urządzenie B cechuje się liniową zależnością między napięciem a natężeniem prądu, więc jest urządzeniem omowym. Natężenie prądu I płynącego przez omowy materiał mierzy się, gdy jest przykładane napięcie U . Ile wynosi natężenie prądu, gdy wartość napięcia zostanie zwiększona do 2  U (załóż, że zmiany temperatury materiału są pomijalne)? Jakie jest przyłożone napięcie, gdy natężenie prądu wynosi 0,2  I (załóż, że zmiany temperatury materiału są pomijalne)? Jak zmieni się natężenie prądu, jeśli napięcie będzie stałe, a temperatura materiału znacząco wzrośnie? Zadania Rezystor o rezystancji 2,2  kΩ podłączono do baterii R20 ( 1,5  V ). Jakie natężenie ma prąd płynący przez ten rezystor? Rezystor o rezystancji 250  kΩ połączono szeregowo z dwiema bateriami R20 ( 1,5  V każda), które dają napięcie 3  V . Producent twierdzi, że rezystory mają rezystancję w granicach 5% od wartości znamionowej. Jakie jest możliwe minimalne i maksymalne natężenie prądu płynącego przez rezystor? R min = 2,375 ⋅ 10 5  Ω , I min = 12,63  µA , R max = 2,625 ⋅ 10 5  Ω , I max = 11,43  µA . Rezystor podłączono szeregowo do zasilacza 20  V . Zmierzone natężenie prądu wyniosło 0,5  A . Jaką rezystancję ma ten rezystor? Rezystor umieszczono w obwodzie z regulowanym źródłem napięcia. Wartości napięcia na rezystorze oraz natężenia przepływającego prądu są przedstawione poniżej. Oszacuj rezystancję rezystora. R = 100  Ω . Tabela poniżej przedstawia pomiary natężenia prądu oraz przyłożonego napięcia na próbce materiału. Narysuj wykres, używając tych danych. Zakładając, że materiał jest omowy, oszacuj rezystancję. I ( A ) U ( V ) 0 3 2 23 4 39 6 58 8 77 10 100 12 119 14 142 16 162 dioda (ang. diode ) nieomowy element obwodu elektrycznego, który pozwala na przepływ prądu tylko w jednym kierunku prawo Ohma (ang. Ohm’s law ) empiryczna zależność mówiąca o proporcjonalności pomiędzy natężeniem prądu I a różnicą potencjałów U ; jest często zapisywane jako U = I  R , gdzie R to rezystancja omowy (ang. ohmic ) rodzaj materiału, który spełnia prawo Ohma, to znaczy, że spadek napięcia na elemencie równa się iloczynowi natężenia prądu oraz rezystancji nieomowy (ang. nonohmic ) rodzaj materiału, który nie spełnia prawa Ohma

Science