Dudnienia Badania o muzyce dostarczają wielu przykładów superpozycji fal oraz konstruktywnej i destrukcyjnej interferencji. Jest niewiele przykładów muzyki wykonywanej przez jedno źródło, generujące jedną częstotliwość przez dłuższy czas. Prawdopodobnie zgodzisz się z tym, że pojedyncza częstotliwość grana przez dłuższy czas jest nudna i irytująca, podobnie jak dźwięk silnika samolotu czy głośnego wentylatora. Muzyka jest przyjemna i ciekawa dzięki mieszaniu się różnych częstotliwości różnych instrumentów i głosów. Ciekawym zjawiskiem, które występuje w wyniku konstruktywnej i destrukcyjnej interferencji dwóch lub więcej częstotliwości dźwięku, jest zjawisko dudnień (ang. beats ). Jeśli dwa dźwięki różnią się częstotliwością, fala wypadkowa może być zapisana jako: y 1 = A cos  ( k 1 x − 2 π f 1 t ) oraz y 2 = A cos  ( k 2 x − 2 π f 2 t ) . Wykorzystując znany z trygonometrii wzór cos u + cos v = 2  cos u + v / 2  cos u - v / 2 , a następnie ustalając położenie punktu odniesienia x = 0 m w przestrzeni, możemy wyznaczyć punkt w przestrzeni, w którym występuje superpozycja dwóch fal dźwiękowych, która jest równa: y ( t ) = 2 A cos ( 2 π f średnia t ) cos ( 2 π ( | f 2 − f 1 | 2 ) t ) , gdzie częstotliwość dudnień (ang. beat frequency ) jest równa: f dudnienia = | f 2 − f 1 | . Dudnienia powstałe na skutek konstruktywnej i destrukcyjnej interferencji dwóch fal dźwiękowych różniących się częstotliwościami. Dudnienia te mogą być pożyteczne dla stroicieli fortepianów. Widełki stroikowe są pobudzone do drgań, podobnie jak dźwięk na fortepianie. Gdy stroiciel dostraja struny fortepianu, słyszy dudnienia o malejącej częstotliwość wynikające z wyrównywania częstości struny z częstotliwością generowaną przez widełki stroikowe. Znajdź częstotliwość dudnień pomiędzy dwoma kamertonami Jaka jest częstotliwość dudnień, gdy dwa kamertony o częstotliwości 256 Hz i 512 Hz pobudzone są jednocześnie? Strategia rozwiązania Częstotliwość dudnień jest równa różnicy dwóch częstotliwości. Rozwiązanie Korzystamy z f dudnienia = | f 2 − f 1 | : | f 2 − f 1 | = 512 H z − 256 H z = 256 H z . Znaczenie Częstotliwość dudnień jest modułem różnicy dwóch częstotliwości. Częstotliwość ujemna nie miałaby sensu. Sprawdź, czy rozumiesz. Co się stanie, jeśli więcej niż dwie częstotliwości będą interferować? Przeanalizuj trzy częstotliwości. Zadanie to można łatwo zrozumieć, korzystając z wykresu pokazanego poniżej. Jak widać, wytwarzane są dudnienia, ale o bardziej złożonym charakterze. Badanie superpozycji różnych fal ma wiele interesujących zastosowań poza badaniami dźwięku. W dalszych rozdziałach omówimy właściwości falowe cząstek. Cząstki mogą być modelowane jako „pakiety falowe”, które wynikają z superpozycji różnych fal, a cząstka porusza się z „prędkością grupową” pakietu falowego. Podsumowanie Gdy dwie fale dźwiękowe o zbliżonych częstotliwościach interferują, powstają dudnienia o częstotliwości równej wartości bezwzględnej z różnicy tych dwóch częstotliwości. Pytania Dwa głośniki podłączone są do generatora sygnałowego o zmiennej częstotliwości. Głośnik A generuje dźwięk o częstotliwości 1,00 kHz, a głośnik B – ton o częstotliwości 1,10 kHz. Częstotliwość dudnień wynosi 0,10 kHz. Jaka będzie częstotliwość dudnień, jeśli częstotliwości obu głośników będą dwa razy wyższe? Zdrapano etykietę z widełek stroikowych, a musisz znać ich częstotliwość. Na podstawie wielkości widełek stroikowych można podejrzewać, że jego częstotliwość wynosi około 250 Hz. Znajdź widełki stroikowe o częstotliwości 250 Hz i 270 Hz. Kiedy uderzysz widełki o częstotliwości 250 Hz i widełki o nieznanej częstotliwości, zostanie wygenerowana częstotliwość 5 Hz. Kiedy uderzysz widełki stroikowe o częstotliwości 270 Hz, częstotliwość dudnień wyniesie 15 Hz. Jaka jest nieznana częstotliwość? Częstotliwość nieznanych widełek stroikowych wynosi 255 Hz. Jeśli wykorzystano tylko widełki stroikowe o częstotliwości 250 Hz, słyszenie częstotliwości dudnień jest ograniczone do częstotliwości 245 Hz lub 255 Hz. W odniesieniu do poprzedniego pytania, jeśli miałbyś tylko widełki stroikowe o częstotliwości 250 Hz, czy mógłbyś znaleźć rozwiązanie problemu określenia nieznanej częstotliwości? Samochód wyprodukowany na specjalne zamówienie ma dwie rury wydechowe, które generują dźwięki o podobnej częstotliwości. Faktycznie generują sygnały o częstotliwości 263,8 i 264,5 Hz. Ile wynosi częstotliwość dudnień? Częstotliwość dudnień wynosi 0,7 Hz. Zadania Jakie są częstotliwości dudnień: (a) Jeśli nuty A i C grane są razem (częstotliwości 220 i 264 Hz)? (b) Jeśli nuty D i F odtwarzane są razem (częstotliwości 297 i 352 Hz)? (c) Jeśli wszystkie cztery dźwięki grane są razem? Ile wynoszą częstotliwości dudnień, jeśli młotek fortepianowy uderzy trzy struny, które generują częstotliwości 127,8, 128,1 i 128,3 Hz? f B = | f 1 − f 2 | | 128,3 Hz − 128,1 Hz | = 0,2 Hz; | 128,3 Hz − 127,8 Hz | = 0,5 Hz; | 128,1 Hz − 127,8 Hz | = 0,3 Hz Tuner fortepianowy rejestruje dudnienia co 2,00 s dla dźwięków generowanych przez widełki stroikowe o częstotliwości 264,0 Hz i pojedynczą strunę w pianinie. Jakie są dwie możliwe częstotliwości struny? Dwie identyczne struny, o takiej samej długości równej 2,00 m i liniowej gęstości masy równej μ = 0,0065 kg/m, są przymocowane na obu końcach. Siła naciągu dla struny A wynosi 120,00 N. Natomiast siła naciągu dla struny B wynosi 130,00 N. Obie struny zostają szarpnięte i generują dźwięk dla modu n = 10 . Ile wynosi częstotliwość dudnień? v A = 135,87 m/s, v B = 141,42 m/s, λ A = λ B = 0,40 m Δ f = 15,00 Hz Stroiciel fortepianowy używa widełek stroikowych o częstotliwości 512 Hz. Uderza w kamerton oraz w klawisz fortepianu i słyszy częstotliwość dudnień 5 Hz. Następnie naciąga strunę fortepianu i powtarza procedurę. Ponownie słyszy częstotliwość dudnień 5 Hz. Co się stało? Struna, dla której liniowa gęstość masy wynosi μ = 0,0062 kg/m , jest rozciągnięta pomiędzy dwoma słupkami oddalonymi od siebie 1,30 m. Siła naciągu struny wynosi 150,00 N. Struna drga i generuje falę dźwiękową. Widełki stroikowe o częstotliwości 1024 Hz pobudzone są do drgań, a częstotliwość dudnień pomiędzy dwoma źródłami wynosi 52,83 Hz. Jakie są możliwe częstotliwości i długości fali struny? v = 155,54 m/s, f struny = 971,17 Hz, n = 16,23 f struny = 1076,83 Hz, n = 18,00 Częstotliwość wynosi 1076,83 Hz, a długość fali 0,14 m. Samochód ma dwie rury, jedna emitująca częstotliwość 199 Hz, a druga emitująca częstotliwość 203 Hz. Jaka jest częstotliwość dudnień? Młoteczek fortepianu uderza w dwie struny, wytwarzając dudnienia o częstotliwości 1,50 Hz. Jedna ze strun nastrojona jest na częstotliwość 260,00 Hz. Jakie częstotliwości może mieć druga struna? f 2 = f 1 ± f B = 260,00 Hz ± 1,50 Hz, i stąd f 2 = 261,50 Hz or f 2 = 258,50 Hz Dwa kamertony o częstotliwościach 460 i 464 Hz są uderzane równocześnie. Jaka będzie średnia częstotliwość, którą można usłyszeć, i jaka będzie częstotliwość dudnień? Silniki w samolocie odrzutowym wytwarzają średnią częstotliwość dźwięku wynoszącą 4100 Hz przy częstotliwości dudnień wynoszącej 0,500 Hz. Jakie są poszczególne częstotliwości tych silników? f średnia = f 1 + f 2 2 ; f B = f 1 − f 2 ( załóż, że f 1 > f 2 ) f średnia = ( f B + f 2 ) + f 2 2 ⇒ f 2 = 4099,750 H z f 2 = 4100,250 H z Trzy klawisze fortepianu (F, Fis i G) są uderzane równocześnie, generując częstotliwości 349, 370 i 392 Hz. Jakie częstotliwości dudnień są wytwarzane przez tą dysonansową kombinację? częstotliwość dudnień (ang. beat frequency ) częstotliwość fali wytwarzanej przez fale dźwiękowe, które różnią się częstotliwością w niewielkim zakresie dudnienia (ang. beats ) konstruktywna i destruktywna interferencja dwóch lub więcej częstotliwości

Science


Efekt Dopplera Rejestrowana przez obserwatora zmiana częstotliwości sygnału zbliżającej się i oddalającej się karetki pogotowia albo hałasu wytwarzanego przez głośny motocykl są typowymi przykładami efektu Dopplera (ang. Doppler effect ). Po pierwsze, głośność dźwięku wzrasta, kiedy karetka zbliża się, i maleje, gdy karetka się oddala. Częstotliwość dźwięku syreny, który dociera do ucha obserwatora, rośnie, gdy karetka się zbliża, i maleje, gdy karetka się oddala, także wtedy, gdy syrena generuje dźwięk o stałej częstotliwości. Zmiany są najbardziej odczuwalne, gdy karetka mija obserwatora. Im szybciej karetka się porusza, tym większa jest zmiana częstotliwości syreny. To charakterystyczne przesunięcie częstotliwości słyszymy również dla poruszających się samochodów, samolotów, pociągów. Efekt Dopplera jest to zmiana odbieranej częstotliwości dźwięku w wyniku ruchu źródła dźwięku lub obserwatora. Dla przykładu, jeśli jedziesz pociągiem i mijasz syrenę ostrzegawczą, wówczas usłyszysz przesunięcie częstotliwości tej syreny w stronę niższych częstotliwości. Zmiana częstotliwości spowodowana względnym ruchem źródła i obserwatora nazywa się przesunięciem Dopplera (ang. Doppler shift ). Efekt Dopplera i przesunięcie Dopplera nazwano tak od nazwiska austriackiego fizyka i matematyka Christiana Andreasa Dopplera (1803–1853) , który przeprowadzał eksperymenty z ruchomymi źródłami i obserwatorami. Doppler badał muzyków grających w otwartym pociągu, a także grających obok torów kolejowych, gdy pociąg przejeżdżał. Ich muzykę obserwowano zarówno w pociągu, jak i poza nim, mierząc przy tym zmiany częstotliwości. Co jest przyczyną przesunięcia Dopplera? pokazuje fale dźwiękowe wygenerowane przez stacjonarne i poruszające się źródło dźwięku w nieruchomej masie powietrza. Każde zaburzenie rozchodzi się sferycznie od punktu, z którego zostało wyemitowane. Jeśli źródło jest nieruchome, to wszystkie powierzchnie sferyczne, które reprezentują punkty zagęszczeń powietrza, są współśrodkowe, a obserwatorzy stacjonarni znajdujący się po obu stronach słyszą dźwięk o takiej samej długości i częstotliwości fali, jaki został wyemitowany przez źródło (przypadek (a)). Jeśli źródło się porusza, sytuacja jest inna. Każde zaburzenie powietrza pochodzi z określonego punktu, z którego zostało wyemitowane, ale punkt ten przemieszcza się. Ruch punktu emisji powoduje, że powierzchnie fazowe są bliżej siebie przed punktem emisji i bardziej oddalone od siebie po drugiej stronie. W ten sposób długość fali jest krótsza w kierunku, w którym źródło się porusza (z prawej strony przypadku (b)) i dłuższa w kierunku przeciwnym (po lewej stronie przypadku (b)). Jeśli obserwator się porusza, jak to pokazano w przypadku (c), to częstotliwość rejestrowanych zmian ciśnienia powietrza także się zmienia. Obserwator poruszający się w kierunku źródła odbiera je z wyższą częstotliwością, a osoba, która oddala się od źródła, która oddala się – rejestruje niższą częstotliwość. Dźwięki wygenerowane przez źródło rozchodzą się sferycznie we wszystkich kierunkach. (a) Jeśli źródło i obserwatorzy oraz atmosfera są nieruchome, długości fal oraz częstotliwości są takie same we wszystkich kierunkach i dla obu obserwatorów. (b) Dźwięki wyemitowane przez poruszające się w prawą stronę źródło rozchodzą się we wszystkich kierunkach. Długość fali zmniejsza się i w konsekwencji częstotliwość wzrasta w kierunku ruchu źródła. W ten sposób obserwator znajdujący się po prawej stronie źródła usłyszy dźwięk o wyższej częstotliwości. Przeciwnie, obserwator po drugiej stronie źródła dźwięku usłyszy dźwięk o niższej częstotliwości, ponieważ długość fali wzrasta. (c) Taki sam efekt występuje, gdy obserwatorzy poruszają się względem źródła dźwięku. Ruch w kierunku źródła dźwięku powoduje zwiększenie częstotliwości, gdyż obserwator z prawej strony przechodzi przez większą liczbę grzbietów fal niż wówczas, gdyby był nieruchomy. Ruch w przeciwnym kierunku (oddalanie się od źródła) zmniejsza częstotliwość, obserwator z lewej strony pokonuje mniejszą liczbę grzbietów fal. Wiemy, że długość fali i częstotliwość związane są zależnością v = f λ , gdzie v jest prędkością dźwięku. Dźwięk rozchodzi się w ośrodku i ma taką samą prędkość v , niezależnie od tego, czy źródło dźwięku się porusza, czy nie. Zatem f pomnożone przez λ jest stałe. Ponieważ obserwator z prawej strony z przypadku (b) odbiera falę o krótszej długości, jej częstotliwość jest wyższa. Podobnie obserwator z lewej strony odbiera falę o dłuższej długości, a zatem słyszy dźwięk o niższej częstotliwości. Taka sama sytuacja występuje w przypadku (c). Wyższą częstotliwość odbiera obserwator poruszający się w stronę źródła, a niższą obserwator oddalający się od źródła. W ogólnym przypadku względny ruch przybliżający źródło i obserwatora zwiększa odbieraną częstotliwość. Względny ruch oddalający obniża częstotliwość. Im większa względna prędkość, tym efekt większy. Efekt Dopplera występuje nie tylko dla dźwięku, ale dla każdej fali, w której występuje względny ruch pomiędzy obserwatorem a źródłem. Przesunięcia Dopplera występują na przykład na częstotliwościach akustycznych, optycznych i mechanicznych (falach wodnych). Przesunięcie Dopplera może być wykorzystane do wyznaczenia prędkości, np. w diagnostyce medycznej, gdy ultradźwięki odbijają się od krwi. Względne prędkości gwiazd i galaktyk są wyznaczane na podstawie przesunięcia częstotliwości światła odbitego od tych obiektów i mówią wiele na temat początków Wszechświata. Współczesna fizyka została wzbogacona obserwacjami wykorzystującymi przesunięcia Dopplera. Opis odbieranej częstotliwości na skutek przesunięcia Dopplera Rozważmy dwóch nieruchomych obserwatorów X i Y na , zlokalizowanych po obu stronach nieruchomego źródła dźwięku. Każdy obserwator słyszy taką samą częstotliwość, równą tej generowanej przez stacjonarne źródło. Nieruchome źródło dźwięku emituje fale akustyczne o stałej częstotliwości f s i stałej długości fali λ s oraz prędkości dźwięku v . Dwóch nieruchomych obserwatorów X i Y , po każdej stronie źródła, rejestrują częstotliwość f o = f s i długości fali λ o = λ s . Rozważmy teraz nieruchomego obserwatora X z ruchomym źródłem oddalającym się od obserwatora ze stałą prędkością v s < v ( ). Dla czasu t = 0 źródło emituje falę dźwiękową, zaznaczoną na czarno. Fala ta porusza się z prędkością v . Pozycję fali dźwiękowej dla każdego przedziału czasu T s pokazano liniami przerywanymi. Po jednym okresie źródło przesunęło się o Δ x = v s T s i emituje drugą falę dźwiękową, która porusza się z prędkością dźwięku. Źródło kontynuuje swój ruch oraz emituje fale dźwiękowe, co pokazano przy pomocy okręgów 3 i 4. Zwróć uwagę, że gdy fale są wyemitowane ze źródła, posiadają centrum w miejscu powstania. Źródło poruszające się ze stałą prędkością v s oddala się od obserwatora X . Ruchome źródło wysyła fale dźwiękowe o stałej częstotliwości f s , stałej długości fali λ s , z prędkością dźwięku v . Migawki źródła w przedziale czasu T s są pokazane jako źródło oddalające się od nieruchomego obserwatora X . Linie ciągłe reprezentują pozycje fal dźwiękowych po czterech okresach od początku emisji. Linie przerywane są wykorzystane do pokazania pozycji fal dla każdego przedziału czasu. Obserwator słyszy dźwięk o długości fal λ o = λ s + Δ x = λ s + v s T s . Korzystając z faktu, że długość fali jest równa prędkości pomnożonej przez okres, a okres jest odwrotnością częstotliwości, możemy wyprowadzić wzór na obserwowaną częstotliwość: λ o = λ s + Δ x v T o = v T s + v s T s v f o = v f s + v s f s = v + v s f s f o = f s ( v v + v s ) . Gdy źródło oddala się od obserwatora, rejestrowana częstotliwość jest niższa niż częstotliwość sygnału wygenerowanego przez źródło. Rozważmy teraz poruszające się źródło ze stałą prędkością v s przemieszczające się w kierunku stacjonarnego obserwatora Y , co pokazano na . Długość fali rejestrowanej przez obserwatora Y wynosi λ o = λ s − Δ x = λ s − v s T s . Wykorzystując fakt, że długość fali jest równa prędkości pomnożonej przez okres, a okres jest odwrotnością częstotliwości, możemy wyprowadzić zależność na odbieraną częstotliwość: λ o = λ s − Δ x v T o = v T s − v s T s v f o = v f s − v s f s = v − v s f s f o = f s ( v v − v s ) . Kiedy źródło się porusza i obserwator jest nieruchomy, rejestrowana przez niego częstotliwość jest równa: f o = f s ( v v ∓ v s ) , gdzie f o jest częstotliwością rejestrowaną przez nieruchomego obserwatora, f s jest częstotliwością sygnału wygenerowanego przez poruszające się źródło, v jest prędkością dźwięku, v s jest stałą prędkością, z jaką porusza się źródło dźwięku, znak minus oznacza źródło przybliżające się do obserwatora, a znak plus oddalające się od obserwatora. Co się dzieje, jeśli obserwator porusza się, a źródło jest nieruchome? Jeśli obserwator przesuwa się w kierunku źródła stacjonarnego, obserwowana częstotliwość jest większa niż częstotliwość źródła. Jeśli obserwator oddala się od źródła stacjonarnego, obserwowana częstotliwość jest niższa niż częstotliwość źródła. Rozważmy obserwatora X na , który przemieszcza się w kierunku źródła stacjonarnego z prędkością v o . Źródło emituje sygnał o stałej częstotliwości f s i stałym okresie T s . Obserwator słyszy pierwszą falę wyemitowaną przez źródło. Jeśli obserwator byłby nieruchomy, czas dla jednej długości fali dźwięku do przejścia powinien być równy okresowi źródła T s . Ponieważ obserwator porusza się w stronę źródła, czas na przebycie jednej długości fali jest mniejszy niż T s i wynosi T o = T s − Δ t . Dla czasu t = 0 obserwator rozpoczyna ruch, spotykając czoło fali i poruszając się dalej w kierunku następnego czoła fali skraca czas jej spotkania. Długość fali obserwatora jest równa długości fali ze źródła, pomniejszonej przez dystans pokonany przez obserwatora. Stąd długość fali ze źródła jest równa odległości przebytej przez obserwatora plus odległość, jaką fala dźwiękowa przebyła do momentu spotkania z obserwatorem: λ s = v T o + v o T o v T s = ( v + v o ) T o v ( 1 f s ) = ( v + v o ) ( 1 f o ) f o = f s ( v + v o v ) . Stacjonarne źródło dźwięku emituje falę dźwiękową o stałej częstotliwości f s , stałej długości fali λ s , która porusza się ze stałą prędkością v . Obserwator X porusza się w stronę źródła dźwięku ze stałą prędkością v o . Na rysunku przedstawiono początkową i końcową pozycję obserwatora X . Obserwator X rejestruje częstotliwość wyższą niż częstotliwość źródłowa. Linie ciągłe pokazują pozycję fali dla t = 0 . Linie przerywane pokazują pozycje fal dla czasu t = T o . Jeśli obserwator oddala się od źródła ( ), rejestrowana częstotliwość może być wyznaczona z: λ s = v T o − v o T o v T s = ( v − v o ) T o v ( 1 f s ) = ( v − v o ) ( 1 f o ) f o = f s ( v − v o v ) . Stacjonarne źródło emituje falę dźwiękową o stałej częstotliwości f s , stałej długości fali λ s , która porusza się z prędkością dźwięku v . Obserwator Y oddala się od źródła ze stałą prędkością v o , a na rysunku pokazano początkowe i końcowe położenie obserwatora Y . Obserwator Y odbiera częstotliwość mniejszą od częstotliwości źródła. Linie ciągłe pokazują położenie fal dla t = 0 . Linie przerywane pokazują położenie dla t = T o . Zależności dla obserwatora poruszającego się w kierunku nieruchomego źródła i oddalającego się od tego źródła mogą być połączone w jedno równanie: f o = f s ( v ± v o v ) , gdzie f o jest odbieraną częstotliwością, f s jest częstotliwością źródłową, a v jest prędkością dźwięku, a v o jest prędkością obserwatora. Znak dodatni dotyczy sytuacji, gdy obserwator przybliża się do źródła, a znak minus, gdy się oddala. i mogą być uogólnione jedną zależnością. Znak dodatni w liczniku dotyczy przypadku, gdy obserwator porusza się w stronę źródła itd., patrz : f o = f s ( v ± v o v ∓ v s ) , Przesunięcie Dopplera f o = f s ( v ± v o v ∓ v s ) Nieruchomy obserwator Obserwator poruszający się w stronę źródła Obserwator oddalający się od źródła Źródło nieruchome f o = f s f o = f s ( v + v o v ) f o = f s ( v − v o v ) Źródło poruszające się w stronę obserwatora f o = f s ( v v − v s ) f o = f s ( v + v o v − v s ) f o = f s ( v − v o v − v s ) Źródło oddalające się od obserwatora f o = f s ( v v + v s ) f o = f s ( v + v o v + v s ) f o = f s ( v − v o v + v s ) gdzie f o jest rejestrowaną częstotliwością, f s jest częstotliwością źródłową, v jest prędkością dźwięku, v o oznacza prędkość obserwatora, v s jest prędkością źródła, znak plus oznacza przybliżanie się, a znak minus oddalanie. Efekt Dopplera związany jest z ruchem, dlatego film dobrze wizualizuje efekty związane z poruszającym się obserwatorem lub źródłem dźwięku. Ten film pokazuje przypadki ruchomego źródła i stacjonarnego obserwatora oraz poruszającego się obserwatora i stacjonarnego źródła. Omówiono również efekt Dopplera dla fal świetlnych. Obliczanie efektu Dopplera Załóżmy, że pociąg, który ma sygnał (klakson) o częstości 150 Hz, porusza się z prędkością 35,0 m/s w dzień, w którym prędkość dźwięku wynosi 340 m/s. Jaką częstotliwość odbiera osoba stojąca przy torach, gdy pociąg się zbliża i gdy się oddala? Jaką częstotliwość obserwuje inżynier podróżujący pociągiem? Strategia rozwiązania Aby wyznaczyć rejestrowaną częstotliwość dla przypadku (a), należy wykorzystać zależność f o = f s  v / v ∓ v s , ponieważ źródło znajduje się w ruchu. Znak minus dotyczy zbliżającego się pociągu, a znak plus – oddalającego się pociągu. W przypadku (b) występują dwa przesunięcia Dopplera: jedno związane z poruszającym się źródłem, i drugie związane z poruszającym się obserwatorem. Rozwiązanie Podstaw znane wartości do wzoru f o = f s  v / v ∓ v s : f o = f s ( v v − v s ) = 150 H z ⋅ 340 m / s 340 m / s − 35,0 m / s . Oblicz częstotliwość odbieraną przez nieruchomego obserwatora, gdy pociąg się zbliża: f o = 150 H z ⋅ 1,11 = 167 H z . Wykorzystaj tą samą zależność ze znakiem plus, aby wyznaczyć częstotliwość rejestrowaną przez nieruchomego obserwatora dla przypadku, gdy pociąg się oddala: f o = f s ( v v + v s ) = 150 H z ⋅ 340 m / s 340 m / s + 35,0 m / s . Oblicz drugą częstotliwość: f o = 150 H z ⋅ 0,907 = 136 H z . Określ znane wielkości: Wydaje się, że inżynier pociągu usłyszy taką samą częstotliwość sygnału jak tę wyemitowaną przez klakson, ponieważ względne prędkości pomiędzy nimi wynoszą zero. Względem ośrodka (powietrze) prędkości wynoszą v s = v o = 35,0 m/s . Pierwsze przesunięcie Dopplera związane jest z poruszającym się obserwatorem, natomiast drugie z poruszającym się źródłem. Skorzystaj z poniższej zależności: f o = [ f s ( v ± v o v ) ] ( v v ∓ v s ) . Wielkość w nawiasie kwadratowym przedstawia przesunięcie Dopplera związane z poruszającym się obserwatorem. Czynnik po prawej opisuje efekt związany z ruchem źródła. Ponieważ inżynier w pociągu porusza się w kierunku do klaksonu, musimy wykorzystać znak plus dla v o , ale ponieważ klakson porusza się w kierunku przeciwnym (od inżyniera), wykorzystujemy również znak plus dla v s . Jednak pociąg przewozi zarówno inżyniera, jak i klakson z taką samą prędkością, tj. v s = v o . W efekcie otrzymujemy f o : f o = f s . Znaczenie Dla przypadku, gdy źródło i obserwator nie poruszają się razem, wyznaczone wartości są prawidłowe, gdy źródło (w tym przypadku pociąg) jest wystarczająco daleko, aby uznać, że ruch źródła i obserwatora odbywa się w linii łączącej źródło i obserwatora. W obu przypadkach przesunięcie jest znaczące i łatwo zauważalne. Zauważ, że przesunięcie wynosi 17 Hz dla ruchu zbliżającego i 14 Hz dla oddalającego się. Przesunięcia nie są więc symetryczne. W przypadku inżyniera jadącego w pociągu oczekujemy, że nie ma zmian częstotliwości, ponieważ źródło i obserwator poruszają się razem. Jest to zgodne z naszym doświadczeniem. Na przykład nie ma przesunięcia Dopplera w częstotliwości głosów w rozmowie między kierowcą a pasażerem na motocyklu. Ludzie rozmawiający, gdy wiatr przenosi powietrze między nimi, również nie obserwują przesunięcia Dopplera. Kluczowym momentem jest tutaj to, że źródło i obserwator nie poruszają się względem siebie nawzajem. Sprawdź, czy rozumiesz. Opisz sytuację ze swojego życia, gdy efekt Dopplera może pomóc ci podczas jazdy samochodem lub gdy poruszasz się w pobliżu drogi. Jeśli jadę i słyszę efekt Dopplera związany z syreną pogotowia, byłbym w stanie powiedzieć, kiedy karetka się zbliża, a także zauważyć moment mijania. Pomogłoby mi to wiedzieć, czy muszę się zatrzymać i pozwolić przejechać karetce pogotowia. Efekt Dopplera i przesunięcie Dopplera mają wiele ważnych zastosowań w nauce i inżynierii. Na przykład przesunięcie dopplerowskie w ultrasonografie może być wykorzystane do pomiaru prędkości krwi, a policja wykorzystuje przesunięcie Dopplera w radarze (mikrofale) do pomiaru prędkości samochodów. W meteorologii przesunięcie dopplerowskie służy do śledzenia ruchu chmur burzowych; taki „Radar Dopplerowski” może określić prędkość i kierunek deszczu lub śniegu we froncie pogodowym. W astronomii możemy zbadać światło emitowane przez odległe galaktyki i określić ich prędkość względem naszej. Kiedy galaktyki oddalają się od nas, widmo ich światła zostaje przesunięte w kierunku niższych częstotliwości, a więc zwiększa się długość fali – jest to tak zwane przesunięcie ku czerwieni (ang. red shift ). Takie informacje z odległych galaktykach pozwoliły nam oszacować wiek Wszechświata (od Wielkiego Wybuchu) na około 14 miliardów lat. Podsumowanie Efekt Dopplera to zmiana rejestrowanej częstotliwości dźwięku w wyniku ruchu zarówno źródła, jak i obserwatora. Rzeczywista zmiana częstotliwości nazywa się przesunięciem Dopplera. Pytania Czy przesunięcie Dopplera jest rzeczywiste, czy jest to tylko iluzja sensoryczna? Troje obserwatorów stacjonarnych rejestruje przesunięcie dopplerowskie, związane z poruszającym się ze stałą prędkością źródłem. Obserwatorzy zlokalizowani są w sposób pokazany poniżej. Który obserwator obserwuje najwyższą częstotliwość? Który obserwator będzie obserwował najniższą częstotliwość? Co można powiedzieć o częstotliwości obserwowanej przez obserwatora 3? Obserwator 1 odbiera najwyższą częstotliwość. Obserwator 2 rejestruje najniższą częstotliwość. Obserwator 3 usłyszy wyższą częstotliwość od częstotliwości źródła, ale niższą od częstotliwości odbieranej przez obserwatora 1, gdy źródło się zbliża, oraz niższą częstotliwość niż częstotliwość źródła, ale wyższą niż częstotliwość obserwowana przez obserwatora 2, gdy źródło oddala się od obserwatora 3. Poniżej przedstawiono źródło stacjonarne i poruszających się obserwatorów. Opisz częstotliwość odbieraną przez obserwatorów dla tego układu. Przed 1980 r. do tworzenia prognozy pogody wykorzystywano radar konwencjonalny. W latach 60. zaczęto eksperymentować z radarem Dopplera. Jak myślisz, jaka jest zaleta używania takiego radaru? Radar Dopplera pozwala nie tylko wykrywać odległość do burzy, ale również określać prędkość i kierunek, w którym burza się przemieszcza. Zadania Jaką częstotliwość odbiera osoba obserwująca nadjeżdżającą karetkę pogotowia, która porusza się z prędkością 110 km/h, emitującą stały dźwięk o częstotliwości 800 Hz? Prędkość dźwięku w tym dniu wynosi 345 m/s. Jaką częstotliwość odbiera ta osoba po przejeździe karetki pogotowia? 878 Hz; 735 Hz Na pokazie lotniczym samolot leci wprost na widzów z prędkością 1200 km/h, emitując dźwięk o częstotliwości 3500 Hz. W tym dniu prędkość dźwięku wynosi 342 m/s. Jaką częstotliwość rejestrują obserwatorzy? Jaką częstotliwość odbiorą, gdy samolot będzie się oddalał? Jaką częstotliwość odbiera mysz tuż przed złapaniem jej przez lecącego z prędkością 25,0 m/s jastrzębia, emitującego dźwięk o częstotliwości 3500 Hz? Prędkość dźwięku wynosi 331 m/s. 3,79 ⋅ 10 3 H z Widz na paradzie słyszy dźwięk o częstotliwości 888 Hz od zbliżającego się trębacza, który gra nutę o częstotliwości 880 Hz. Z jaką prędkością zbliża się muzyk, jeśli prędkość dźwięku wynosi 338 m/s? Pociąg podmiejski, zbliżając się do przejścia, generuje dźwięk klaksonu o częstotliwości 200 Hz. Prędkość dźwięku wynosi 335 m/s. Obserwator oczekujący na przejściu rejestruje dźwięk o częstotliwości 208 Hz. Jaka jest prędkość pociągu? Jaką częstotliwość odbierze obserwator, gdy pociąg będzie się oddalał? 12,9 m/s; 193 Hz Czy można usłyszeć przesunięcie częstotliwości, generowane podczas uderzenia widełek stroikowych z prędkością 10,0 m/s w dniu, w którym prędkość dźwięku wynosi 344 m/s? Aby odpowiedzieć na to pytanie, oblicz współczynnik, o który przesuwa się częstotliwość, i sprawdź, czy jest on większy niż 0,3%. Dwa orły lecą prosto na siebie, pierwszy z prędkością 15,0 m/s, a drugi z prędkością 20,0 m/s. Oba generują pisk, pierwszy o częstotliwości 3200 Hz, a drugi o częstotliwości 3800 Hz. Jakie częstotliwości rejestrują, jeśli prędkość dźwięku wynosi 330 m/s? Pierwszy orzeł słyszy częstotliwość 4,23 ⋅ 10 3 H z . Drugi orzeł słyszy częstotliwość 3,56 ⋅ 10 3 H z . Student A biegnie korytarzem z prędkością v o = 5,00 m/s, trzymając widełki stroikowe generujące dźwięk o częstotliwości 1024 Hz w stronę betonowej ściany. Prędkość dźwięku wynosi v = 343 m/s . Student B stoi przy ścianie. (a) Jaką częstotliwość usłyszy student B ? (b) Ile wynosi częstotliwość dudnień słyszanych przez studenta A ? Karetka pogotowia generująca dźwięk syreny o częstotliwości f = 1,0 k H z zbliża się do miejsca wypadku. Karetka porusza się z prędkością 70,0 km/h. Pielęgniarka zbliża się do tego miejsca z przeciwnego kierunku, biegnąc z prędkością v o = 7,0 m / s . Jaką częstotliwość odbiera pielęgniarka? Załóż, że prędkość dźwięku wynosi v = 343 m / s . v s = 19,44 m/s f o = 1,08 kHz Częstotliwość syreny karetki pogotowia, która się zbliża do ciebie, wynosi 900 Hz. Stoisz na rogu i słyszysz dźwięk o częstotliwości 960 Hz. Jaka jest prędkość, z którą porusza się karetka pogotowia (w km/h), jeśli prędkość dźwięku wynosi v = 340,0 m/s? Jaka jest minimalna prędkość, z jaką źródło musi się poruszać w twoją stronę, aby można byłoby usłyszeć, że jego częstotliwość jest przesunięta w stronę wyższych częstotliwości? To znaczy jaka prędkość powoduje zmianę częstości o 0,3%, w dniu kiedy prędkość dźwięku wynosi 331 m/s? Słyszalne przesunięcie częstotliwości pojawia się, gdy f obs / f s ≥ 1,003 ; f obs = f s v v − v s ⇒ f obs f s = v v − v s ⇒ v s = 0,990 m/s efekt Dopplera (ang. Doppler effect ) zmiana rejestrowanej przez obserwatora częstotliwości dźwięku w wyniku ruchu źródła dźwięku lub obserwatora przesunięcie Dopplera (ang. Doppler shift ) rzeczywista zmiana częstotliwości spowodowana względnym ruchem źródła dźwięku i obserwatora

Science


Fale uderzeniowe Omawiając efekt Dopplera ruchomego źródła i obserwatora stacjonarnego, rozważaliśmy tylko przypadki, w których źródło poruszało się z prędkością mniejszą od prędkości dźwięku. Przypomnijmy, że odbierana częstotliwość sygnału generowanego przez poruszające się w stronę obserwatora źródło wynosi f o = f s  v / v - v s . Gdy prędkość źródła dźwięku zbliża się do prędkości dźwięku, rejestrowana przez obserwatora częstotliwość wzrasta. Zgodnie ze wzorem, jeśli źródło porusza się z prędkością dźwięku, mianownik jest równy zero, co sugeruje, że odbierana częstotliwość jest nieskończona. Jeśli źródło porusza się z prędkością większą niż prędkość dźwięku, rejestrowana częstotliwość jest ujemna. Co to może oznaczać? Co się dzieje, gdy prędkość źródła zbliża się do prędkości dźwięku? Kiedyś niektórzy naukowcy uważali, że powstaje wtedy, na skutek konstruktywnej interferencji, fala dźwiękowa o tak dużych wartościach ciśnienia, że oznaczałoby to brak możliwości, aby samolot przekroczył prędkość dźwięku, ponieważ ciśnienie to wystarczyłoby do zniszczenia samolotu. Ale dziś samoloty zwykle latają z prędkością wyższą niż prędkość dźwięku. 28 lipca 1976 kapitan Eldon W. Joersz oraz major George T. Morgan przelecieli samolotem SR-71 Blackbird #61-7958 z prędkością 3529,60 km/h, czyli liczba Macha wynosiła 2,85. Liczba Macha (ang. Mach number ) jest równa prędkości źródła podzielonej przez prędkość dźwięku: M = v s v . Przekonasz się, że najbardziej interesujące zjawiska występują wtedy, gdy prędkość źródła zbliża się do prędkości dźwięku i ją przekracza. Efekt Dopplera i wysoka prędkość Co się dzieje z dźwiękiem wytwarzanym przez ruchome źródło, na przykład przez samolot odrzutowy, który zbliża się lub nawet przekracza prędkość dźwięku? Odpowiedź na to pytanie dotyczy nie tylko dźwięku, lecz także wszystkich innych fal. Załóżmy, że samolot odrzutowy zbliża się do ciebie, emitując dźwięk o częstotliwości f s . Im większa jest prędkość samolotu v s , tym większe jest przesunięcie dopplerowskie i wyższa rejestrowana częstotliwość f o ( ). Ze względu na przesunięcie dopplerowskie, gdy ruchome źródło zbliża się do obserwatora stacjonarnego, odbierana częstotliwość jest wyższa niż częstotliwość źródłowa. Im szybciej porusza się źródło, tym wyższa jest rejestrowana częstotliwość. Na rysunku źródło dla przypadku (b) porusza się szybciej niż źródło dla przypadku (a). Pokazane są cztery chwile czasowe, pierwsze trzy przedstawione jako linie przerywane. (c) Jeśli źródło porusza się z prędkością dźwięku, każda fala oddziałuje z poprzednią, a obserwator słyszy je w tym samym momencie. Gdy v s zbliża się do prędkości dźwięku, f o dąży do nieskończoności, ponieważ mianownik f o = f s  v / v ∓ v s dąży do zera. Dla prędkości dźwięku ten wynik oznacza, że każda kolejna fala oddziałuje z poprzednią, ponieważ źródło porusza się z prędkością dźwięku. Obserwator odbiera je wszystkie w tym samym momencie, więc częstotliwość jest nieskończona (diagram na (c)). Fale uderzeniowe i uderzenia dźwiękowe Jeśli źródło porusza się z prędkością większą niż prędkość dźwięku, obserwator usłyszy dźwięk dopiero, gdy źródło go minie. Wtedy docierający z opóźnieniem dźwięk zbliżającego się źródła, miesza się z dźwiękiem generowanym przez oddalające się źródło. Na wskutek nałożenia się tych fal zachodzi ciekawe zjawisko – powstaje fala uderzeniowa ( ). Fale dźwiękowe generowane przez źródło propagują się z większą prędkością niż prędkość dźwięku rozprzestrzeniającego się sferycznie z punktu, w którym został wygenerowany, przy czym źródło oddala się od każdej z tych fal. Konstruktywna interferencja wzdłuż przedstawionych linii (w rzeczywistości stożka w trzech wymiarach) sprawia, że powstaje fala uderzeniowa (ang. sonic boom ). Im wyższa prędkość źródła, tym mniejszy kąt θ . Konstruktywna interferencja fal dźwiękowych docierających równocześnie do linii pokazanych na rysunku (stożek w trzech wymiarach). Ta superpozycja tworzy zakłócenie zwane falą uderzeniową (ang. shock wave ). Konstruktywna interferencja dźwięku występuje, gdy obiekt porusza się z prędkością większą niż prędkość dźwięku. Wewnątrz stożka występuje destruktywna interferencja, przez co natężenie dźwięku jest znacznie mniejsze niż na powierzchni fali uderzeniowej. Kąt fali uderzeniowej można znaleźć na podstawie geometrii zjawiska. W czasie t źródło przesunęło się o v s t , fala dźwiękowa przemieściła się z tego samego punktu na odległość v t , a kąt może być wyznaczony z zależności sin θ = v t v s t = v v s . Liczbę Macha definiuje się jako v s / v , co oznacza, że sinus kąta jest odwrotnością liczby Macha, sin θ = v v s = 1 M . Z pewnością słyszałeś określenie grom dźwiękowy (ang. sonic boom ). Powszechnym i błędnym wyobrażeniem jest to, że grom dźwiękowy występuje, gdy samolot przekracza barierę dźwięku; tzn. przyspiesza do prędkości większej niż prędkość dźwięku. W rzeczywistości grom dźwiękowy występuje, gdy fala uderzeniowa dociera do powierzchni ziemi. Samolot tworzy dwie fale uderzeniowe, przednią i tylną ( ). Podczas oglądania transmisji telewizyjnej z lądowań statków kosmicznych można było często usłyszeć dwa wyraźne huki. Były one odseparowane od siebie o czas potrzebny na dotarcie obu fal do określonego punktu. Obserwatorzy na ziemi często nie widzą samolotu tworzącego grom dźwiękowy, ponieważ znika on, zanim fala uderzeniowa dotrze do nich, co pokazano na rysunku. Jeśli samolot leci na niskiej wysokości, ciśnienie gromu dźwiękowego może być niszczące, może na przykład wybić szyby. Ze względu na niszczycielskie działanie gromu dźwiękowego loty samolotów ponaddźwiękowych są zabronione nad terenami zaludnionymi. Dwa gromy dźwiękowe, których doświadczyli obserwatorzy stojący na ziemi, tworzone są przez przód i ogon samolotu. Falę dźwiękową propagującą się nad powierzchnią ziemi można usłyszeć w momencie, gdy samolot już minął obserwatorów. Fale uderzeniowe są przykładem szerszego zjawiska nazywanego falami dziobowymi. Fala dziobowa (ang. bow wave ), taka jaką pokazano na , tworzona jest, gdy źródło fali porusza się z większą prędkością niż prędkość fali. Fale wodne rozprzestrzeniają się w postaci kręgów od punktu, w którym się tworzą, a fala dziobowa ma kształt litery „V”, i podąża za źródłem. Bardziej skomplikowany kształt (łuk) tworzony jest, gdy cząstka elementarna przemieszcza się przez ośrodek szybciej niż prędkość światła w tym ośrodku. (W próżni maksymalna prędkość światła wynosi c = 3,00 ⋅ 10 8 m / s w wodzie prędkość światła jest bliska 0,75 c ). Jeśli cząstka powoduje emisję światła podczas swojego ruchu, to światło rozprzestrzenia się w postaci stożka pod kątem zależnym od prędkość cząstki, jak pokazano na . Taką falę dziobową nazywa się promieniowaniem Czerenkowa (ang. Cherenkov radiation ) i jest to zjawisko często obserwowane w fizyce cząstek elementarnych. Fala dziobowa utworzona przez kaczkę. Konstruktywna interferencja tworzy dużą falę, podczas gdy wewnątrz fali dziobowej występują stosunkowo małe fale, co jest spowodowane destruktywną interferencją. (Źródło: Horia Varlan) Niebieski blask w tym reaktorze badawczym to promieniowanie Czerenkowa, wywołane przez cząstki elementarne poruszające się z prędkościami większymi niż prędkość światła w wodzie (Źródło: Urząd Dozoru Jądrowego USA (ang. U.S. Nuclear Regulatory Commission )). Podsumowanie Liczba Macha jest równa prędkości źródła dźwięku podzielonej przez prędkość dźwięku M = v s v . Gdy źródło dźwięku porusza się z prędkością większą niż prędkość dźwięku, powstaje fala uderzeniowa w wyniku interferencji fal dźwiękowych. Uderzenie dźwiękowe jest falą o dużym natężeniu propagującym się nad powierzchnią ziemi. Kąt fali uderzeniowej można wyznaczyć z zależności sin θ = v v s = 1 M . Fala dziobowa jest wytwarzana, gdy obiekt porusza się z prędkością większą niż prędkość fali mechanicznej w ośrodku, na przykład łódź poruszająca się po wodzie. Najważniejsze wzory Ciśnienie fali dźwiękowej Δ P = Δ P max sin ( k x ∓ ω t + ϕ ) Przemieszczenie drgających cząsteczek – fala s ( x , t ) = s max cos ( k x ∓ ω t + ϕ ) Prędkość fali v = f λ Prędkość dźwięku w płynach v = β ρ Prędkość dźwięku w ciałach stałych v = Y ρ Prędkość dźwięku w gazie doskonałym v = γ R T M Prędkość dźwięku w powietrzu jako funkcja temperatury powietrza v = 331 m s T K 273 K = 331 m s 1 + T C 273 ° C Spadek natężenia dźwięku ze wzrostem odległości I 2 = I 1 ( r 1 r 2 ) 2 Średnie w czasie natężenie dźwięku I = 〈 P 〉 A Natężenie dźwięku I = ( Δ p max ) 2 2 ρ v Poziom natężenia dźwięku β = 10 log 10  ( I I 0 ) [ d B ] Długości fal, dla których występuje rezonans, w rurze jednostronnie zamkniętej λ n = 4 n L , n = 1,3,5 ,… Częstotliwości, dla których występuje rezonans, w rurze jednostronnie zamkniętej f n = n v 4 L , n = 1,3,5 ,… Długości fal, dla których występuje rezonans, w rurze obustronnie otwartej λ n = 2 n L , n = 1,2,3 ,… Częstotliwości, dla których występuje rezonans, w rurze obustronnie otwartej f n = n v 2 L , n = 1,2,3 ,… Częstotliwość dudnień powstałych z dwóch fal o różnych częstotliwościach f dudnienia = | f 2 − f 1 | Rejestrowana częstotliwość dla nieruchomego obserwatora i poruszającego się źródła f o = f s ( v v ∓ v s ) Rejestrowana częstotliwość dla poruszającego się obserwatora i nieruchomego źródła f o = f s ( v ± v o v ) Przesunięcie Dopplera dla rejestrowanej częstotliwości f o = f s ( v ± v o v ∓ v s ) Liczba Macha M = v s v Sinus kąta uformowanego przez falę uderzeniową sin θ = v v s = 1 M Pytania Jaka jest różnica pomiędzy falą uderzeniową a uderzeniem dźwiękowym? Z uwagi na względy dotyczące efektywności związanej z falą dziobową, naddźwiękowe samoloty transportowe muszą utrzymywać prędkość przelotową, która jest stałym ułamkiem prędkości dźwięku (stała liczba Macha). Jeśli samolot wleci z ciepłego powietrza w chłodniejsze powietrze, powinien zwiększyć czy zmniejszyć prędkość? Wyjaśnij swoją odpowiedź. Prędkość dźwięku spada wraz ze spadkiem temperatury powietrza. Liczba Macha jest równa M = v s / v , co oznacza, że samolot powinien zmniejszyć prędkość. Gdy usłyszysz uderzenie dźwiękowe, często nie widzisz samolotu, który je wywołał. Dlaczego? Zadania Liczba Macha samolotu lecącego na wysokości 7500 metrów wynosi 1,50, a prędkość dźwięku wynosi v = 343 m/s . Jak daleko od nieruchomego obserwatora będzie znajdował się samolot, gdy usłyszy on uderzenie dźwiękowe? Liczba Macha odrzutowca lecącego na wysokości 8,5 km wynosi 2,0, a prędkość dźwięku wynosi v = 340 m/s . Jak długo po tym, jak odrzutowiec przeleci, stacjonarny obserwator usłyszy uderzenie dźwiękowe? θ = 30 , 02 ∘ v s = 680,0 m / s tg  θ = y v s t , t = 21,65 s Kąt fali uderzeniowej z przodu myśliwca wynosi θ = 70 ∘ . Samolot leci z prędkością 1200 km/h. Jaka jest prędkość dźwięku? Liczba Macha lecącego samolotu wynosi 1,2. Obserwator znajdujący się na powierzchni ziemi słyszy uderzenie dźwiękowe 15,0 sekund po minięciu samolotu. Na jakiej wysokości leci samolot? Załóż, że prędkość dźwięku wynosi v w = 343 m/s . sin  θ = 1 M , θ = 56 , 47 ∘ y = 9,31 k m Wystrzelony pocisk porusza się z prędkością 1342 km/h. Załóż, że prędkość dźwięku wynosi v = 340 m/s . Jaki jest kąt powstałej fali uderzeniowej? Głośnik umieszczony jest przy otworze długiej poziomej rury. Głośnik generuje dźwięk o częstotliwości f , który rozchodzi się wewnątrz rury. Fala propaguje się w rurze z prędkością v = 340 m/s . Falę dźwiękową można opisać funkcją falową postaci s ( x , t ) = s max cos ( k x − ω t + ϕ ) . Dla t = 0 s cząsteczka powietrza dla x = 2,3 m posiada maksymalne wychylenie, które wynosi 6,34 nm. W tym samym czasie inna cząsteczka dla x = 2,7 m posiada wychylenie równe 2,30 nm. Jakie jest równanie falowe dla fali dźwiękowej, liczba falowa, częstotliwość kątowa oraz początkowe przesunięcie fazowe? s 1 = 6,34 nm s 2 = 2,30 nm k x 1 + ϕ = 0 rad k x 2 + ϕ = 1,20 rad k ( x 2 − x 1 ) = 1,20 rad k = 3,00 m −1 ω = 1019,62 s −1 s 1 = s max cos ( k x 1 − ϕ ) ϕ = 5,66 rad s ( x , t ) = 6,30 nm cos ( 3,00 m −1 x − 1019,62 s −1 t + 5,66 ) Liczba Macha poruszającego się samolotu, który jest źródłem fali uderzeniowej, wynosi 1,2. (a) Jaka jest prędkość samolotu w metrach na sekundę? (b) Jaki jest kąt, z jakim porusza się fala uderzeniowa? Zadania dodatkowe Rura o długości 0,80 m jest otwarta z obu stron. Temperatura powietrza wynosi 26 ∘ C . Powietrze w rurze drga na skutek drgań wywoływanych przez głośnik podłączony do generatora sygnałowego. Jakie są długości fali i częstotliwości pierwszych dwóch fonów fal dźwiękowych, które rezonują w rurze? v s = 346,4 m/s ; λ n = 2 n L f n = v s λ n λ 1 = 1,6 m f 1 = 216,5 Hz λ 2 = 0,8 m f 2 = 433,0 Hz Rura wypełniona wodą ma zawór na dole, aby umożliwić wypływ wody. Przy wypływie wody z rury zmienia się długość L kolumny powietrznej. Przy otworze rury umieszcza się widełki stroikowe o częstotliwości 1024 Hz. Woda jest usuwana z rurki do momentu, gdy n = 5 rezonującej fali dźwiękowej. Jaka jest wysokość kolumny powietrza, jeśli temperatura powietrza w pomieszczeniu wynosi 18 ∘ C? Przeanalizuj poniższy rysunek. Długość struny pomiędzy generatorem a kołem pasowym wynosi L = 1,0 m . Liniowa gęstość masy struny wynosi μ = 0,006 kg/m . Generator strunowy może drgać z dowolną częstotliwością. Masa obciążająca wynosi 2,00 kg. Jak jest długość fali i częstotliwość dla n = 6 ? Struna pobudza do drgań powietrze znajdujące się w pobliżu struny. Jaka jest długość fali dźwiękowej, jeśli prędkość dźwięku wynosi v s = 343 m/s ? λ 6 = 0,40 m v = 57,15 m s f 6 = 142,89 Hz λ s = 2,40 m Wczesne eksperymenty z przesunięciem dopplerowskim przeprowadzono z wykorzystaniem zespołu grającego muzykę w pociągu. Trębacz na ruchomym płaskim wagonie gra nutę 320 Hz. Częstotliwość sygnału dźwiękowego słyszanego przez nieruchomego obserwatora stojącego na peronie wynosi 350 Hz. Ile wynosi prędkość, z jaką porusza się platforma wagonowa w km/h? Temperatura powietrza wynosi T C = 22 ∘ C . Dwa samochody poruszające się w swoją stronę generują dźwięk klaksonu o częstotliwości f s = 800 H z . Pojazd A porusza się z prędkością 65 mph, a pojazd B z prędkością 75 mph. Ile wynosi częstotliwość dudnień słyszanych przez obu kierowców? Temperatura powietrza wynosi T C = 22 ∘ C . v = 344,08 m / s v A = 29,05 m / s , v B = 33,52 m / s , f A = 961,18 H z , f B = 958,89 H z , f A dudnienia = 161,18 H z , f B dudnienia = 158,89 H z . Student A biegnie za studentem B. Student A trzyma widełki stroikowe o częstotliwości 1024 Hz, a student B trzyma widełki stroikowe o częstotliwości 1000 Hz. Student A biegnie z prędkością v A = 5 m/s , a student B z prędkością v B = 6 m/s . Ile wynoszą częstotliwości dudnień, które słyszą studenci? Prędkość dźwięku wynosi v = 343 m/s . Załóżmy, że poziom dźwięku ze źródła wynosi 75 dB, a następnie spada do 52 dB. Częstotliwość dźwięku wynosi 600 Hz. Wyznacz (a) początkowe i (b) końcowe natężenie dźwięku oraz (c) początkową i (d) końcową amplitudę fali. Temperatura powietrza wynosi T C = 24 ∘ C , a gęstość powietrza jest równa ρ = 1,184 kg/m 3 . v = 345,24 m s ; a. I = 31,62 μW m 2 ; b. I = 0,16 μW m 2 ; c. s max = 104,39 μm ; d. s max = 7,43 μm Przesunięcie Dopplera dla radaru Dopplerowskiego wyznacza się z zależności f = f R ( 1 + v c 1 − v c ) , gdzie f R jest częstotliwością radaru, f jest częstotliwością rejestrowaną przez radar, c jest prędkością światła, a v jest prędkością mierzonego obiektu. Jaka jest częstotliwość dudnień rejestrowana przez radar, przy założeniu, że prędkość obiektu jest dużo mniejsza niż prędkość światła? Nieruchomy obserwator słyszy dźwięk o częstotliwości 1000 Hz w miarę zbliżania się źródła i częstotliwość 850 Hz wtedy, gdy źródło się oddala. Źródło porusza się ze stałą prędkością 100 km/h. Jaka jest temperatura powietrza? f A f D = v + v s v − v s , ( v − v s ) f A f D = v + v s , v = 342,59 m / s T C = 19,46 ∘ C Flet gra nutę o częstotliwości 600 Hz. Flet może być modelowany jako rura obustronnie otwarta. Muzyk grający na flecie zmienia jej długość, korzystając ze swoich palców. Jaka jest długość rury, jeśli jest to częstotliwość podstawowa? Zadania dodatkowe Obserwator stoi przy jednym z dwóch głośników, oddalonych od siebie o dystans d , i następnie porusza się wzdłuż prostej linii, pokonując odległość x . Porusza się prostopadle do obu głośników, aż do momentu, gdy obserwator usłyszy pierwsze maksymalne natężenie dźwięku. Prędkość dźwięku wynosi v , a częstotliwość f . Jak daleko od głośnika znajduje się obserwator? x 2 + d 2 − x = λ , x 2 + d 2 = ( λ + x ) 2 x 2 + d 2 = λ 2 + 2 x λ + x 2 , d 2 = λ 2 + 2 x λ x = d 2 − ( v f ) 2 2 v f Rozważmy dudnienia pokazane poniżej. Jest to wykres ciśnienia w funkcji czasu dla x = 0 m . Fala porusza się z prędkością v = 343 m/s . Ile dudnień występuje na sekundę? Ile razy fala oscyluje na sekundę? Napisz równanie fali dla ciśnienia w funkcji czasu. Dwa głośniki generujące dźwięki o takiej samej częstotliwości znajdują się w odległości d od siebie. Zaznaczamy promień łuku R , od środka linii łączącej oba głośniki, tak jak pokazano to poniżej. W jakich punktach wystąpią maksima? W jakich punktach będą minima? a. Dla maksimów Δ r = d sin θ d sin θ = n λ n = 0 , ± 1 , ± 2 .... , θ = sin −1 ( n λ d ) n = 0 , ± 1 , ± 2 .... b. Dla minimów, Δ r = d sin θ d sin θ = ( n + 1 2 ) λ n = 0 , ± 1 , ± 2 .... θ = sin −1 ( ( n + 1 2 ) λ d ) n = 0 , ± 1 , ± 2 .... Długość struny wynosi 1,5 m, liniowa gęstość masy μ = 0,008 kg/m, a siła naciągu wynosi 120 N. Jeśli temperatura powietrza wynosi T = 22 ∘ C , to jaka powinna być długość rury obustronnie otwartej, aby otrzymać taką samą częstotliwość dla n = 3 ? Struna ( μ = 0,006 k g / m ; L = 1,50 m ) jest zamocowana na obu końcach, a siła naciągu wynosi 155 N. Struna oscyluje dla modu n = 10 i generuje dźwięk. W pobliżu drgają widełki stroikowe, generując dudnienia o częstotliwości 23,76 Hz. Jaka jest częstotliwość dźwięku struny? Jaka jest częstotliwość widełek stroikowych, jeśli częstotliwość widełek jest niższa? Jaka powinna być siła naciągu struny, aby częstotliwość dudnień wynosiła zero? v str = 160,73 m s , f str = 535,77 Hz ; f wid = 512 Hz ; f wid = n F T μ 2 L , F T = 141,56 N Liniowa gęstość masy struny wynosi μ , długość L , a siła naciągu F T . Struna drga dla modu n z częstotliwością f . Wyznacz stosunek Δ f / f dla małej zmiany siły naciągu. Liniowa gęstość masy struny wynosi μ = 0,007 kg/m, długość L = 0,70 m, a siła naciągu wynosi F T = 110 N . Struna drga dla modu n = 3 . Jaka jest częstotliwość tych drgań? Wykorzystaj wynik otrzymany w poprzednim zadaniu, aby wyznaczyć zmianę częstotliwości w wyniku wzrostu siły naciągu o 1,00 % . f = 268,62 Hz ; Δ f ≈ 1 2 Δ F T F T f = 1,34 Hz Głośnik podłączony do generatora sygnałowego jest wykorzystany do badań nad rezonansem w rurze. Częstotliwość sygnałów generowanych przez generator może być zmieniana w zakresie od 1000 Hz do 1800 Hz. Najpierw analizowana jest rura obustronnie otwarta o długości 0,75 m. Temperatura powietrza w pomieszczeniu wynosi T F = 85 ∘ F . (a) Jakie mody normalne mogą być analizowane? Ile wynoszą częstotliwości i długości ich fal? Następnie rura o długości 0,75 m zostaje zamknięta na jednym końcu. (b) Jakie mody mogą być analizowane? Jakie są ich długości fal i częstotliwości? Długość struny skrzypiec wynosi 23 cm i waży ona 0,9 g. Siła naciągu struny wynosi 850 N. Temperatura powietrza w pomieszczeniu wynosi T C = 24 ∘ C . Struna zostaje szarpnięta i drga z modem równym n = 9 . Jaka jest prędkość dźwięku na strunie? Jaka jest długość fali generowanego dźwięku? Jaka jest częstotliwość drgań struny? Jaka jest częstotliwość dźwięku generowanego przez strunę? Jaka jest długość fali generowanego dźwięku? v = 466,07 m / s ; λ 9 = 51,11 mm ; f 9 = 9,12 kHz ; f dźwięku = 9,12 kHz ; λ powietrza = 37,86 mm fala dziobowa (ang. bow wave ) zakłócenia w kształcie litery v powstałe w sytuacji, gdy źródło dźwięku porusza się szybciej niż prędkość fali fala uderzeniowa (ang. shock wave ) fala, która jest wytwarzana, gdy źródło dźwięku porusza się szybciej niż prędkość dźwięku grom dźwiękowy (ang. sonic boom ) głośny hałas, który występuje jako fala uderzeniowa podczas propagacji przy powierzchni ziemi

Science


Jednostki Jednostki stosowane w fizyce (jednostki podstawowe wyróżniono tłustym drukiem) Wielkość fizyczna Symbol Jednostka Wymiar jednostki (za pomocą jednostek podstawowych) Przyspieszenie a → \vec a m ∕ s 2 \si{\metre\per\second\squared} m ∕ s 2 \si{\metre\per\second\squared} Liczność materii n n mol mol \si{\mole} Kąt θ ϕ φ \theta , \phi, \varphi radian ( rad \si{\radian} ) Przyspieszenie kątowe ε → \vec{\epsilon} rad ∕ s 2 \si{\radian\per\second\squared} s -2 \si[per-mode=reciprocal]{\per\second\squared} Częstość kołowa ω \omega rad ∕ s \si{\radian\per\second} s -1 \si[per-mode=reciprocal]{\per\second} Moment pędu L → \vec L kg ⋅ m 2 ∕ s \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second} kg ⋅ m 2 ∕ s \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second} Prędkość kątowa ω → \vec{\omega} rad ∕ s \si{\radian\per\second} s -1 \si[per-mode=reciprocal]{\per\second} Pole powierzchni A S A, S m 2 \si{\metre\squared} m 2 \si{\metre\squared} Liczba atomowa Z Z Pojemność elektryczna C c C, c farad ( F \si{\farad} ) A 2 ⋅ s 4 ∕ kg ⋅ m 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\squared\second\four\per\kilo\gram\per\metre\squared} Ładunek elektryczny q Q e q,Q,e kulomb ( C \si{\coulomb} ) A ⋅ s \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\second} Gęstość ładunku: liniowa λ \lambda C ∕ m \si{\coulomb\per\metre} A ⋅ s ∕ m \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\second\per\metre} powierzchniowa σ \sigma C ∕ m 2 \si{\coulomb\per\metre\squared} A ⋅ s ∕ m 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\second\per\metre\squared} objętościowa ρ \rho C ∕ m 3 \si{\coulomb\per\metre\cubed} A ⋅ s ∕ m 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\second\per\metre\cubed} Przewodność elektryczna właściwa σ \sigma Ω -1 ⋅ m -1 \si[per-mode=reciprocal, inter-unit-product = ⋅]{\per\ohm\per\metre} A 2 ⋅ s 3 ∕ kg ⋅ m 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\squared\second\cubed\per\kilo\gram\per\metre\cubed} Natężenie prądu I i I, i amper A \si{\ampere} Gęstość prądu J → A ∕ m 2 \si{\ampere\per\metre\squared} A ∕ m 2 \si{\ampere\per\metre\squared} Gęstość ρ \rho kg ∕ m 3 \si{\kilo\gram\per\metre\cubed} kg ∕ m 3 \si{\kilo\gram\per\metre\cubed} Względna przenikalność elektryczna ε r \epsilon_{\text{r}} Moment dipolowy p → C ⋅ m \si[inter-unit-product = ⋅]{\coulomb\metre} A ⋅ s ⋅ m \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\second\metre} Natężenie pola elektrycznego E → \vec E N ∕ C \si{\newton\per\coulomb} kg ⋅ m ∕ A ⋅ s 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\per\ampere\per\second\cubed} Strumień elektryczny Φ E \mathrm{Φ}_E N ⋅ m 2 ∕ C \si[inter-unit-product = ⋅]{\newton\metre\squared\per\coulomb} kg ⋅ m 3 ∕ A ⋅ s 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\cubed\per\ampere\per\second\cubed} Siła elektromotoryczna ε \epsilon wolt ( V \si{\volt} ) kg ⋅ m 2 ∕ A ⋅ s 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\ampere\per\second\cubed} Energia E E k E p U E, E_{\text{k}}, E_{\text{p}}, U dżul ( J \si{\joule} ) kg ⋅ m 2 ∕ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second\squared} Entropia S S J ∕ K \si{\joule\per\kelvin} kg ⋅ m 2 ∕ s 2 ⋅ K \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second\squared\per\kelvin} Siła F → \vec F niuton ( N \si{\newton} ) kg ⋅ m ∕ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\per\second\squared} Częstotliwość f ν f, \nu herc ( Hz \si{\hertz} ) s -1 \si[per-mode=reciprocal]{\per\second} Ciepło Q Q dżul ( J \si{\joule} ) kg ⋅ m 2 ∕ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second\squared} Indukcyjność L L henr ( H \si{\henry} ) kg ⋅ m 2 ∕ A 2 ⋅ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\ampere\squared\per\second\squared} Długość: l L l, L metr m \si{\metre} Przemieszczenie Δ x Δ r → \prefop{\Delta} x, \prefop{\Delta} \vec r odległość d h d, h położenie x y z r → x, y, z, \vec r Moment magnetyczny μ → \vec{\mu} J ∕ T \si{\joule\per\tesla} A ⋅ m 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\metre\squared} Indukcja magnetyczna B → \vec B tesla ( T = Wb ∕ m 2 \si{\tesla} = \si{\weber\per\metre\squared} ) kg ∕ A ⋅ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\per\ampere\per\second\squared} Strumień indukcji mangnetycznej Φ B \mathrm{Φ}_B weber ( Wb \si{\weber} ) kg ⋅ m 2 ∕ A ⋅ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\ampere\per\second\squared} Masa m M m, M kilogram kg \si{\kilo\gram} Molowe ciepło właściwe C C J ∕ mol ⋅ K \si[inter-unit-product = ⋅]{\joule\per\mole\per\kelvin} kg ⋅ m 2 ∕ s 2 ⋅ mol ⋅ K \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second\squared\per\mole\per\kelvin} Moment bezwładności I I kg ⋅ m 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared} kg ⋅ m 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared} Pęd p → \vec p kg ⋅ m ∕ s \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\per\second} kg ⋅ m ∕ s \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\per\second} Okres T T s \si{\second} s \si{\second} Przenikalność magnetyczna próżni μ 0 \mu_0 N ∕ A 2 = H ∕ m \si{\newton\per\ampere\squared} = \si{\henry\per\metre} kg ⋅ m ∕ A 2 ⋅ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\per\ampere\squared\per\second\squared} Przenikalność elektryczna próżni ε 0 \epsilon_0 C 2 ∕ N ⋅ m 2 = F ∕ m \si[inter-unit-product = ⋅]{\coulomb\squared\per\newton\per\metre\squared} = \si{\farad\per\metre} A 2 ⋅ s 4 ∕ kg ⋅ m 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\ampere\squared\second\four\per\kilo\gram\per\metre\cubed} Potencjał V V wolt ( V = J ∕ C \si{\volt} = \si{\joule\per\coulomb} ) kg ⋅ m 2 ∕ A ⋅ s 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\ampere\per\second\cubed} Moc P P wat ( W = J ∕ s \si{\watt} = \si{\joule\per\second} ) kg ⋅ m 2 ∕ s 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second\cubed} Ciśnienie p p paskal ( Pa = N ∕ m 2 \si{\pascal} = \si{\newton\per\metre\squared} ) kg ∕ m ⋅ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\per\metre\per\second\squared} Opór R R om ( Ω = V ∕ A \si{\ohm} = \si{\volt\per\ampere} ) kg ⋅ m 2 ∕ A 2 ⋅ s 3 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\ampere\squared\per\second\cubed} ciepło właściwe c c J ∕ kg ⋅ K \si[inter-unit-product = ⋅]{\joule\per\kilo\gram\per\kelvin} m 2 ∕ s 2 ⋅ K \si[inter-unit-product = ⋅]{\metre\squared\per\second\squared\per\kelvin} Szybkość v v m ∕ s \si{\metre\per\second} m ∕ s \si{\metre\per\second} Temperatura T T kelwin K \si{\kelvin} Czas t t sekunda s \si{\second} Moment siły M → \vec{M} N ⋅ m \si[inter-unit-product = ⋅]{\newton\metre} kg ⋅ m 2 ∕ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second\squared} Prędkość v → \vec v m ∕ s \si{\metre\per\second} m ∕ s \si{\metre\per\second} Objętość V V m 3 \si{\metre\cubed} m 3 \si{\metre\cubed} Długość fali λ \lambda m \si{\metre} m \si{\metre} Praca W W dżul ( J = N ⋅ m \si{\joule} = \si[inter-unit-product = ⋅]{\newton\metre} ) kg ⋅ m 2 ∕ s 2 \si[inter-unit-product = ⋅]{\kilo\gram\metre\squared\per\second\squared}

Science


Przeliczanie jednostek Jednostki długości m cm km 1 metr 1 10 2 10 − 3 1 centymetr 10 − 2 1 10 − 5 1 kilometr 10 3 10 5 1 1 cal 2,540 ⋅ 10 − 2 2,540 2,540 ⋅ 10 − 5 1 stopa 0,3048 30,48 3,048 ⋅ 10 − 4 1 mila 1609 1,609 ⋅ 10 5 1,609 1 angstrem 10 − 10 10 − 8 10 − 13 1 fermi 10 − 15 10 − 13 10 − 18 1 rok świetlny 9,460 ⋅ 10 17 9,460 ⋅ 10 12 9,460 ⋅ 10 15 cal stopa mi 1 metr 39,37 3,281 6,214 ⋅ 10 − 4 1 centymetr 0,3937 3,281 ⋅ 10 − 2 6,214 ⋅ 10 − 6 1 kilometr 3,937 ⋅ 10 4 3,281 ⋅ 10 3 0,6214 1 cal 1 8,333 ⋅ 10 − 2 1,578 ⋅ 10 − 5 1 stopa 12 1 1,894 ⋅ 10 − 4 1 mila 6,336 ⋅ 10 4 5280 1 Powierzchnia 1 cm 2 = 0,155 cala 2 1 m 2 = 10 4 cm 2 = 10,76 stopy 2 1 cal 2 = 6,452 cm 2 1 stopa 2 = 144 cale 2 = 0,0929 m 2 Objętość 1 litr = 1000 cm 3 = 10 −3 m 3 = 0,03531 stopy 3 = 61,02 cala 3 1 stopa 3 = 0,02832 m 3 = 28,32 litr = 7,477 galon USA 1 g a l o n U S A = 3,788 l i t r Jednostki czasu s min h dzień rok 1 sekunda 1 1,667 ⋅ 10 − 2 2,778 ⋅ 10 − 4 1,157 ⋅ 10 − 5 3,169 ⋅ 10 − 8 1 minuta 60 1 1,667 ⋅ 10 − 2 6,944 ⋅ 10 − 4 1,901 ⋅ 10 − 6 1 godzina 3600 60 1 4,167 ⋅ 10 − 2 1,141 ⋅ 10 − 4 1 dzień 8,640 ⋅ 10 4 1440 24 1 2,738 ⋅ 10 − 3 1 rok 3,156 ⋅ 10 7 5,259 ⋅ 10 5 8,766 ⋅ 10 3 365,25 1 Prędkość m/s cm/s stopa/s mi/h 1 m/s 1 10 2 3,281 2,237 1 cm/s 10 − 2 1 3,281 ⋅ 10 − 2 2,237 ⋅ 10 − 2 1 stopa/s 0,3048 30,48 1 0,6818 1 mi/h 0,4470 44,70 1,467 1 Przyspieszenie 1 m/s 2 = 100 cm/s 2 = 3,281 stopy/s 2 1 cm/s 2 = 0,01 m/s 2 = 0,03281 stopy/s 2 1 stopa/s 2 = 0,3048 m/s 2 = 30,48 cm/s 2 1 m i l a / ( h ⋅ s ) = 1,467 s t o p y / s 2 Jednostki masy kg g slug u (atomowa jednostka masy) 1 kilogram 1 10 3 6,852 ⋅ 10 − 2 6,024 ⋅ 10 26 1 gram 10 − 3 1 6,852 ⋅ 10 − 5 6,024 ⋅ 10 23 1 slug 14,59 1,459 ⋅ 10 4 1 8,789 ⋅ 10 27 1 u 1,661 ⋅ 10 − 27 1,661 ⋅ 10 − 24 1,138 ⋅ 10 − 28 1 1 tona 1000 Siła N dyna lb (funt- siła) 1 N 1 10 5 0,2248 1 dyna 10 − 5 1 2,248 ⋅ 10 − 6 1 Ib 4,448 4,448 ⋅ 10 5 1 Jednostki ciśnienia Pa dyna/cm 2 atm cmHg lb/cal 2 *Przyspieszenie ziemskie wynosi 9,80665 m / s 2 , a temperatura wynosi 0 ∘ C 1 Pa 1 10 9,869 ⋅ 10 − 6 7,501 ⋅ 10 − 4 1,450 ⋅ 10 − 4 1 dyna/cm 2 10 − 1 1 9,869 ⋅ 10 − 7 7,501 ⋅ 10 − 5 1,450 ⋅ 10 − 5 1 atm 1,013 ⋅ 10 5 1,013 ⋅ 10 6 1 76 14,70 1 cmHg* 1,333 ⋅ 10 3 1,333 ⋅ 10 4 1,316 ⋅ 10 − 2 1 0,1934 1 lb/cal 2 6,895 ⋅ 10 3 6,895 ⋅ 10 4 6,805 ⋅ 10 − 2 5,171 1 1 bar 10 5 1 torr 1 (mmHg) Jednostki pracy, energii i ciepła J erg ft.lb (stopofunt- siła) 1 J 1 10 7 0,7376 1 erg 10 − 7 1 7,376 ⋅ 10 − 8 1 ft.lb 1,356 1,356 ⋅ 10 7 1 1 eV 1,602 ⋅ 10 − 19 1,602 ⋅ 10 − 12 1,182 ⋅ 10 − 19 1 cal 4,186 4,186 ⋅ 10 7 3,088 1 BTU 1,055 ⋅ 10 3 1,055 ⋅ 10 10 7,779 ⋅ 10 2 1 kWh 3,600 ⋅ 10 6 eV cal (kaloria) Btu (angielska jednostka ciepła) 1 dżul 6,242 ⋅ 10 18 0,2389 9,481 ⋅ 10 − 4 1 erg 6,242 ⋅ 10 11 2,389 ⋅ 10 − 8 9,481 ⋅ 10 − 11 1 ft.lb 8,464 ⋅ 10 18 0,3239 1,285 ⋅ 10 − 3 1 eV 1 3,827 ⋅ 10 − 20 1,519 ⋅ 10 − 22 1 cal 2,613 ⋅ 10 19 1 3,968 ⋅ 10 − 3 1 Btu 6,585 ⋅ 10 21 2,520 ⋅ 10 2 1 Moc 1 W = 1 J/s Angielski koń parowy hp (ang. horse power); stopofunt- siła na sekundę ft·lbf/s (ang. foot pound-force per second) 1 hp = 746 W = 550 ft · lb/s Angielska jednostka ciepła na godzinę Btu/h (ang. British thermal unit per hour) 1 Btu/h = 0,293 W Kąt 1 r a d = 57 , 30 ∘ = 180 ∘ / π 1 ∘ = 0,01745 r a d = π / 180 r a d 1 obrót = 360 ∘ = 2 π r a d 1 obrót / m i n = 0,1047 r a d / s

Science


Najważniejsze stałe fizyczne Najważniejsze stałe fizyczne Wielkość Symbol Wartość atomowa jednostka masy u \si{\atomicmassunit} 1,660 539 066 60(50) ⋅ 10 -27  kg \SI{1,660538782+-0,000000083e-27}{\kilo\gram} 931,494 102 42(28)  MeV ∕ c 2 \SI{931,494028+-0,000023}{\mega\electronvolt} / c^2 liczba Avogadra N A N_{\text{A}} 6,022 140 76 ⋅ 10 23  mol -1 \SI[per-mode=reciprocal]{6,02214179+-0,00000030e23}{\per\mole} (dokładna wartość) magneton Bohra μ B = e  ℏ 2  m e \mu_{\text{B}} = \frac{e\hbar}{2m_{\text{e}}} 9,274 010 0783(28) ⋅ 10 -24  J ∕ T \SI{9,27400915+-0,00000023e-24}{\joule\per\tesla} promień Bohra a 0 = ℏ 2 m e  e 2  k e a_0 = \frac{\hbar^2}{m_{\text{e}} e^2 k_{\text{e}}} 5,291 772 109 03(80) ⋅ 10 -11  m \SI{5,2917720859+-0,0000000036e-11}{\metre} stała Boltzmanna k B k_{\text{B}} = \frac{R}{N_{\text{A}}} 1,380 649 ⋅ 10 -23  J ∕ K \SI{1,3806504+-0,0000024e-23}{\joule\per\kelvin} (dokładna wartość) komptonowska długość fali λ C = h m e  c \lambda_{\text{C}} = \frac{h}{m_{\text{e}} c} 2,426 310 238 67(73) ⋅ 10 -12  m \SI{2,4263102175+-0,0000000033e-12}{\metre} stała elektrostatyczna k e = 1 4  π  ε 0 k_{\text{e}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} 8,987 551 7923(14) ⋅ 10 9  N ⋅ m 2 ∕ C 2 \num{8,987551788}\dots \cdot 10^9 \si[inter-unit-product = ⋅]{\newton\metre\squared\per\coulomb\squared} masa deuteronu m d m_{\text{d}} 3,343 583 7724(10) ⋅ 10 -27  kg \SI{3,34358320+-0,00000017e-27}{\kilo\gram} 2,013 553 212 745(40)  u \SI{2,013553212724+-0,000000000078}{\atomicmassunit} 1875,612 942 57(57)  MeV ∕ c 2 \SI{1875,612859}{\mega\electronvolt} / c^2 masa elektronu m e m_{\text{e}} 9,109 383 7015(28) ⋅ 10 -31  kg \SI{9,10938215+-0,00000045e-31}{\kilo\gram} 5,485 799 090 65(16) ⋅ 10 -4  u \SI{5,4857990943+-0,0000000023e-4}{\atomicmassunit} 0,510 998 950 00(15)  MeV ∕ c 2 \SI{0,510998910+-0,000000013}{\mega\electronvolt} / c^2 elektronowolt eV \si{\electronvolt} 1,602 176 634 ⋅ 10 -19  J \SI{1,602176487+-0,000000040e-19}{\joule} (dokładna wartość) ładunek elementarny e e 1,602 176 634 ⋅ 10 -19  C \SI{1,602176487+-0,000000040e-19}{\coulomb} (dokładna wartość) stała gazowa R R 8,314 462 618  …  J ∕ mol ⋅ K \SI[inter-unit-product = ⋅]{8,314472+-0,000015}{\joule\per\mole\per\kelvin} (dokładna wartość) stała grawitacji G G 6,674 30(15) ⋅ 10 -11  N ⋅ m 2 ∕ kg 2 \SI[inter-unit-product = ⋅]{6,67428+-0,00067e-11}{\newton\metre\squared\per\kilo\gram\squared} masa neutronu m n m_{\text{n}} 1,674 927 498 04(95) ⋅ 10 -27  kg \SI{1,674927211+-0,000000084e-27}{\kilo\gram} 1,008 664 915 95(49)  u \SI{1,00866491597+-0,00000000043}{\atomicmassunit} 939,565 420 52(54)  MeV ∕ c 2 \SI{939,565346+-0,000023}{\mega\electronvolt} / c^2 magneton jądrowy μ N = e  ℏ 2  m p \mu_{\text{N}} = \frac{e \hbar}{2 m_{\text{p}}} 5,050 783 746(15) ⋅ 10 -27  J ∕ T \SI{5,05078324+-0,00000013e-27}{\joule\per\tesla} przenikalność magnetyczna próżni μ 0 \mu_0 1,256 637 062 12(19) ⋅ 10 -6 T ⋅ m ∕ A 4\pi \cdot 10^{-7} \si[inter-unit-product = ⋅]{\tesla\metre\per\ampere} przenikalność elektryczna próżni ε 0 = 1 μ 0  c 2 \epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2} 8,854 187 8128(13) ⋅ 10 − 12 C 2 / ( N ⋅ m 2 ) stała Plancka h h 6,626 070 15 ⋅ 10 -34  J ⋅ s \SI[inter-unit-product = ⋅]{6,62607015e-34}{\joule\second} (dokładna wartość) zredukowana stała Plancka / stała Diraca ℏ = h 2  π \hbar = \frac{h}{2\pi} 1,054 571 817  … ⋅ 10 -34  J ⋅ s \num{1,054571817}\dots\cdot 10^{-34} \si[inter-unit-product = ⋅]{\joule\second} (dokładna wartość) masa protonu m p m_{\text{p}} 1,672 621 923 69(51) ⋅ 10 -27  kg \SI{1,672621637+-0,000000083e-27}{\kilo\gram} 1,007 276 466 621(53)  u \SI{1,00727646677+-0,00000000010}{\atomicmassunit} 938,272 088 16(29)  MeV ∕ c 2 \SI{938,272013+-0,000023}{\mega\electronvolt} / c^2 stała Rydberga R H R_{\text{H}} 1,097 373 156 8160(21) ⋅ 10 7  m -1 \SI[per-mode=reciprocal]{1,0973731568527+-0,0000000000073e7}{\per\metre} prędkość światła w próżni c c 2,997 924 58 ⋅ 10 8  m ∕ s \SI{2,99792458e8}{\metre\per\second} (dokładna wartość) Uwaga: Podane wartości stałych zostały zarekomendowane w 2018 r. przez Konwent Danych dla Nauki i Technologii CODATA, na podstawie dopasowania wartości uzyskanych na drodze eksperymentalnej za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Wartości podane w nawiasach są niepewnościami dwóch ostatnich cyfr. Przydatne wartości iloczynów stałych: h  c = 12 400  eV ⋅ Å = 1240  eV ⋅ nm = 1240  MeV ⋅ fm hc = \SI[inter-unit-product = ⋅]{12400}{\electronvolt\angstrom} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{1240}{\electronvolt\nano\metre} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{1240}{\mega\electronvolt\femto\metre} ℏ  c = 1973  eV ⋅ Å = 197,3  eV ⋅ nm = 197,3  MeV ⋅ fm \hbar c = \SI[inter-unit-product = ⋅]{1973}{\electronvolt\angstrom} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{197,3}{\electronvolt\nano\metre} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{197,3}{\mega\electronvolt\femto\metre} k e  e 2 = 14,4  eV ⋅ Å = 1,44  eV ⋅ nm = 1,44  MeV ⋅ fm k_{\text{e}} e^2 = \SI[inter-unit-product = ⋅]{14,4}{\electronvolt\angstrom} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{1,44}{\electronvolt\nano\metre} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{1,44}{\mega\electronvolt\femto\metre} k B  T = 0,025 85  eV  , przy temperaturze  T = 300  K = 26,85  ° C k_{\text{B}} T = \SI{0,02585}{\electronvolt} \text{, przy temperaturze } T = \SI{300}{\kelvin} = \SI{26,85}{\celsius}

Science


Dane astronomiczne Dane astronomiczne Obiekt niebieski Odległość od Słońca (w milionach km) Okres obiegu po orbicie Okres obrotu na równiku Mimośród orbity Słońce − − 27 dni − Merkury 57,9 88 dni 59 dni 0,206 Wenus 108,2 224,7 dni 243 dni 0,007 Ziemia 149,6 365,26 dni 23 h 56 min 4 s 0,017 Mars 227,9 687 dni 24 h 37 min 23 s 0,093 Jowisz 778,4 11,9 lat 9 h 50 min 30 s 0,048 Saturn 1426,7 29,56 lat 10 h 14 min 0,054 Uran 2871,0 84,0 lat 17 h 14 min 0,047 Neptun 4498,3 164,8 lat 16 h 0,009 Księżyc ziemski 149,6 (0,386 od Ziemi) 27,3 dni 27,3 dni 0,055 Obiekt niebieski Średnica na równiku (km) Masa (Masa Ziemi = 1) Gęstość (g/cm 3 ) Słońce 1 392 000 333 000,00 1,4 Merkury 4879 0,06 5,4 Wenus 12 104 0,82 5,2 Ziemia 12 756 1,00 5,5 Mars 6794 0,11 3,9 Jowisz 142 984 317,83 1,3 Saturn 120 536 95,16 0,7 Uran 51 118 14,54 1,3 Neptun 49 528 17,15 1,6 Księżyc ziemski 3476 0,01 3,3 Inne dane: Masa Ziemi: 5,97 ⋅ 10 24 k g Masa Księżyca: 7,36 ⋅ 10 22 k g Masa Słońca: 1,99 ⋅ 10 30 k g

Science


Wzory matematyczne Równanie kwadratowe Jeżeli a  x 2 + b  x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 a \neq 0 ), wtedy x = − b ± b 2 − 4  a  c 2  a x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} . Geometria Trójkąt o podstawie b b i wysokości h h : Powierzchnia = 1 2  b  h \prefop{=} \frac12 b h Koło o promieniu r r : Obwód = 2  π  r \prefop{=} 2 \pi r Pole powierzchni = π  r 2 \prefop{=} \pi r^2 Kula o promieniu r : Pole powierzchni = 4  π  r 2 \prefop{=} 4 \pi r^2 Objętość = 4 3  π  r 3 \prefop{=} \frac43 \pi r^3 Walec o promieniu r i wysokości h h : Pole powierzchni bocznej = 2  π  r  h \prefop{=} 2 \pi r h Objętość = π  r 2  h \prefop{=} \pi r^2 h Trygonometria Tożsamości trygonometryczne sin θ = 1 cosec θ \sin \theta = \frac{1}{\prefop{cosec} \theta} cos θ = 1 sec θ \cos \theta = \frac{1}{\prefop{sec} \theta} tg θ = 1 ctg θ \tg \theta = \frac{1}{\ctg \theta} sin 90 ° − θ = cos θ \sin (\ang{90} - \theta) = \cos \theta cos 90 ° − θ = sin θ \cos (\ang{90} - \theta) = \sin\theta tg 90 ° − θ = ctg θ \tg (\ang{90} - \theta) = \ctg\theta sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 sec 2 θ − tg 2 θ = 1 \cos^2 \theta - \tg^2 \theta = 1 tg θ = sin θ cos θ \tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} sin α ± β = sin α  cos β ± cos α  sin β \sin (\alpha \pm \beta) = \sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \cos (\alpha) \sin (\beta) cos α ± β = cos α  cos β ∓ sin α  sin β \cos (\alpha \pm \beta) = \cos (\alpha) \cos (\beta) \mp \sin (\alpha) \sin (\beta) tg α ± β = tg α ± tg β 1 ∓ tg α  tg β \tg (\alpha \pm \beta) = \frac{\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg (\alpha) \tg (\beta)} sin 2  θ = 2  sin θ  cos θ \sin(2\theta) = 2 \sin (\theta) \cos (\theta) cos 2  θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2  cos 2 θ − 1 = 1 − 2  sin 2 θ \cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta sin α + sin β = 2  sin α + β 2  cos α − β 2 \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2}) cos α + cos β = 2  cos α + β 2  cos α − β 2 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2}) Trójkąty Twierdzenie sinusów: a sin α = b sin β = c sin γ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} Twierdzenie cosinusów: c 2 = a 2 + b 2 − 2  a  b  cos γ c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \gamma Twierdzenie Pitagorasa: c 2 = a 2 + b 2 c^2 = a^2 + b^2 Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe Wzór dwumianowy: a + b n = a n + n 1 !  a n − 1  b + n  n − 1 2 !  a n − 2  b 2 + … + n  n − 1 2 !  a 2  b n − 2 + n 1 !  a  b n − 1 + b n = ∑ k = 0 n n k  a n − k  b k \begin{multiline} (a+b)^n &= a^n + \frac{n}{1!} a^{n-1} b + \frac{n (n-1)}{2!} a^{n-2} b^2 + \dots + \frac{n(n-1)}{2!} a^2 b^{n-2} + \frac{n}{1!} a b^{n-1} + b^n \\ &= \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^{k}\end{multiline} 1 ± x n = 1 ± n  x 1 ! + n  n − 1  x 2 2 ! ± … = ∑ k = 0 n ± 1 k  n k  x k  , dla  x < 1 (1\pm x)^n = 1 \pm \frac{nx}{1!} + \frac{n(n-1)x^2}{2!} \pm \dots = \sum_{k=0}^n ( \prefop{\pm} 1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k \text{, dla } \abs{x} < 1 1 ± x − n = 1 ∓ n  x 1 ! + n  n + 1  x 2 2 ! ∓ … = ∑ k = 0 ∞ ∓ 1 k  k + n − 1 k  x k  , dla  x < 1 (1\pm x)^{-n} = 1 \mp \frac{nx}{1!} + \frac{n(n+1)x^2}{2!} \mp \dots = \sum_{k=0}^{\infty} ( \prefop{\mp} 1)^k \begin{pmatrix} k+n-1 \\ k \end{pmatrix} x^k \text{, dla } \abs{x} < 1 sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k  x 2  k + 1 2  k + 1 ! \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k  x 2  k 2  k ! \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} tg x = x + x 3 3 + 2  x 5 15 + …  , dla  x < π 2 \tg x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots \text{, dla } \abs{x} < \frac{\pi}{2} e x = 1 + x + x 2 2 ! + … = ∑ k = 0 ∞ x k k ! e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} ln 1 + x = x − x 2 2 + x 3 3 − … = ∑ k = 1 ∞ -1 k + 1  x k k  , dla  x < 1 \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} \text{, dla } \abs{x} < 1 Pochodne d d x a  f  x = a  d d x f  x \dd{x} [af \apply (x)] = a \dd{x} f \apply (x) d d x f  x + g  x = d d x f  x + d d x g  x \dd{x} [f \apply (x) + g \apply (x)] = \dd{x} f \apply (x) + \dd{x} g \apply (x) d d x f  x  g  x = f  x  d d x g  x + g  x  d d x f  x \dd{x}[f\apply (x) g \apply (x)] = f \apply (x) \dd{x} g \apply (x) + g \apply (x) \dd{x} f \apply (x) d d x f  u = d d u f  u ⋅ d u d x \dd{x} f \apply (u) = \dd{u} f \apply (u) \cdot \frac{\d u}{\d x} d d x x m = m  x m − 1 \dd{x} x^m = m x^{m-1} d d x sin x = cos x \dd{x} \sin x = \cos x d d x cos x = − sin x \dd{x} \cos x = - \sin x d d x tg x = 1 cos 2 x \dd x \tg x = \frac{1}{\cos^2 x} d d x ctg x = − 1 sin 2 x \dd x \ctg x = - \frac{1}{\sin^2 x} d d x sec x = tg x  sec x \dd x \prefop{sec} x = \tg (x) \prefop{sec} (x) d d x cosec x = − ctg x  cosec x \dd x \prefop{cosec} x = - \ctg (x) \prefop{cosec} (x) d d x e x = e x \dd x e^x = e^x d d x ln x = 1 x \dd x \ln x = \frac{1}{x} d d x arc sin x = 1 1 − x 2 \dd x \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d d x arc cos x = − 1 1 − x 2 \dd x \arccos x = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d d x arc tg x = 1 1 + x 2 \dd x \arctg x = \frac{1}{1+x^2} Całki ∫ a  f  x  d x = a  ∫ f  x  d x \int a f \apply (x) \d x = a \int f \apply (x) \d x ∫ f  x + g  x  d x = ∫ f  x  d x + ∫ g  x  d x \int [f \apply (x) + g \apply (x)] \d x = \int f \apply (x) \d x + \int g \apply (x) \d x ∫ x m  d x = x m + 1 m + 1  , dla  m ≠ 1 ln x  , dla  m = 1 \int x^m \d x = \left{ \begin{matrix*}[l] \frac{x^{m+1}}{m+1}\text{,} &\text{dla } m\neq 1 \\ \ln \abs{x} \text{,} &\text{dla } m=1 \end{matrix*} \right. ∫ sin x  d x = − cos x \int \sin x \d x = - \cos x ∫ cos x  d x = sin x \int \cos x \d x = \sin x ∫ tg x  d x = − ln cos x \int \tg x \d x = - \ln \abs{\cos x} ∫ sin 2 a  x  d x = x 2 − sin 2  a  x 4  a \int \sin^2 (ax) \d x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a} ∫ cos 2 a  x  d x = x 2 + sin 2  a  x 4  a \int \cos^2 (ax) \d x= \frac{x}{2} + \frac{\sin (2ax)}{4a} ∫ sin a  x  cos a  x  d x = − cos 2  a  x 4  a \int \sin (ax) \cos (ax) \d x = - \frac{\cos(2ax)}{4a} ∫ e a  x  d x = 1 a  e a  x \int e^{ax} \d x = \frac{1}{a} e^{ax} ∫ x  e a  x  d x = e a  x a 2  a  x − 1 \int x e^{ax} \d x = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) ∫ ln a  x  d x = x  ln a  x − x \int \ln (ax) \d x = x \ln (ax) - x ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a  arc tg x a \int \frac{\d x}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctg (\frac{x}{a}) ∫ d x a 2 − x 2 = 1 2  a  ln x + a x − a \int \frac{\d x}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \abs{\frac{x+a}{x-a}} ∫ d x a 2 + x 2 = arcsinh x a = ln x a + x a 2 + 1 \int \frac{\d x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \prefop{arcsinh} (\frac{x}{a}) = \ln \abs{\frac{x}{a} + \sqrt{(\frac{x}{a})^2 + 1}} ∫ d x a 2 − x 2 = arc sin x a \int \frac{\d x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin (\frac{x}{a}) ∫ a 2 + x 2  d x = x 2  a 2 + x 2 + a 2 2  arcsinh x a \int \sqrt{a^2 + x^2} \d x = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \prefop{arcsinh} (\frac{x}{a}) ∫ a 2 − x 2  d x = x 2  a 2 − x 2 + a 2 2  arc sin x a \int \sqrt{a^2 - x^2} \d x = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin (\frac{x}{a})

Science


Alfabet grecki Alfabet grecki Nazwa Wielka litera Mała litera Nazwa Wielka litera Mała litera alfa Α \mathrm{Α} α \mathrm{α} ni Ν \mathrm{Ν} ν \mathrm{ν} beta Β \mathrm{Β} β \mathrm{β} ksi Ξ \mathrm{Ξ} ξ \mathrm{ξ} gamma Γ \mathrm{Γ} γ \mathrm{γ} omikron Ο \mathrm{Ο} ο \mathrm{ο} delta Δ \mathrm{Δ} δ \mathrm{δ} pi Π \mathrm{Π} π \mathrm{π} epsilon Ε \mathrm{Ε} ε \mathrm{ε} ro Ρ \mathrm{Ρ} ρ \mathrm{ρ} dzeta Ζ \mathrm{Ζ} ζ \mathrm{ζ} sigma Σ \mathrm{Σ} σ \mathrm{σ} eta Η \mathrm{Η} η \mathrm{η} tau Τ \mathrm{Τ} τ \mathrm{τ} theta Θ \mathrm{Θ} θ \mathrm{θ} ipsylon Υ \mathrm{Υ} υ \mathrm{υ} jota Ι \mathrm{Ι} ι \mathrm{ι} fi Φ \mathrm{Φ} ϕ \mathrm{ϕ} kappa Κ \mathrm{Κ} κ \mathrm{κ} chi Χ \mathrm{Χ} χ \mathrm{χ} lambda Λ \mathrm{Λ} λ \mathrm{λ} psi Ψ \mathrm{Ψ} ψ \mathrm{ψ} mi Μ \mathrm{Μ} μ \mathrm{μ} omega Ω \mathrm{Ω} ω \mathrm{ω}

Science


Dedication and Preface This 10th edition of Organic Chemistry is dedicated to the memory of my son, Peter McMurry, who passed away in 2019 after a lifelong struggle with Cystic Fibrosis (CF). He was brilliant, strong, and truly the kindest person I have ever known. Peter McMurry 12/10/1968 – 12/12/2019 Just about every first-year medical student at New York Presbyterian Hospital/Columbia Medical Center knew and admired Peter, who was asked every year to meet and speak with incoming students about his experiences as a patient. He always enjoyed talking to the students, kidding them about their having had to take organic chemistry in college, and asking them if anyone recognized his last name from their O-Chem textbook. If Peter were still alive, I have no doubt that he would want me to work on this 10th edition with a publisher that would give the book away free to students rather than with one that would charge a large amount. So that is what I have done. To make this possible, I am not receiving any payment for this book, and generous supporters have not only covered the production costs but have also made a donation to the Cystic Fibrosis Foundation to help find a cure for this terrible disease. Anything that readers of this book might donate in Peter’s memory to the Cystic Fibrosis Foundation would also be much appreciated. John McMurry Welcome to Organic Chemistry: A Tenth Edition , an OpenStax resource. This textbook was written to increase student access to high-quality learning materials, maintaining highest standards of academic rigor at little to no cost. About OpenStax OpenStax is part of Rice University, which is a 501(c)(3) nonprofit charitable corporation. Our mission is to make an amazing education accessible for all. Through our partnerships with philanthropic organizations and our alliance with other educational resource companies, we’re breaking down the most common barriers to learning. Because we believe that everyone should and can have access to knowledge. About OpenStax resources Customization Organic Chemistry: A Tenth Edition is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 (CC BY-NC-SA) license, which means that you can non-commercially distribute, remix, and build upon the content, as long as you provide attribution to OpenStax and its content contributors, under the same license. Because our books are openly licensed, you are free to use the entire book or pick and choose the sections that are most relevant to the needs of your course. Feel free to remix the content by assigning your students certain chapters and sections in your syllabus, in the order that you prefer. You can even provide a direct link in your syllabus to the sections in the web view of your book. Instructors also have the option of creating a customized version of their OpenStax book. The custom version can be made available to students in low-cost print or digital form through their campus bookstore. Visit the Instructor Resources section of your book page on OpenStax.org for more information. Art attribution In Organic Chemistry: A Tenth Edition , photos contain attribution to their creator, rights holder, host platform, and/or license within the caption. Photos may be reused for non-commercial purposes and with the same attribution to their original source. To maximize readability and content flow, illustrations do not include attribution in the text. When re-using or redistributing illustrations, please use the following attribution: Copyright Rice University, OpenStax, under CC BY-NC-SA 4.0 license. Errata All OpenStax textbooks undergo a rigorous review process. However, like any professional-grade textbook, errors sometimes occur. Since our books are web based, we can make updates periodically when deemed pedagogically necessary. If you have a correction to suggest, submit it through the link on your book page on OpenStax.org. Subject matter experts review all errata suggestions. OpenStax is committed to remaining transparent about all updates, so you will also find a list of past and pending errata changes on your book page on OpenStax.org. Format You can access this textbook for free in web view or PDF through OpenStax.org, and for a low cost in print. The web view is the recommended format because it is the most accessible – including being WCAG 2.0 AA compliant – and most current. Print versions are available for individual purchase, or they may be ordered through your campus bookstore. From the author—About Organic Chemistry: A Tenth Edition Organic Chemistry: A Tenth Edition , like previous editions, is intended for a two-semester introductory organic chemistry course. I recognize that many students in this course are biology or pre-med majors so, when appropriate, I bring in biological examples. Color is used consistently through the texts and illustrations. Problems are categorized (see below) and vary in level. My goal is to be as economical as possible with changes so that the overall length of Organic Chemistry does not increase. Changes to the tenth edition I continue to review every word and every explanation, updating many small details and improving problems where needed. My aim is always to refine the features that made earlier editions so successful, while adding new ones. Reviewer comments are also extensively considered during the reviewer process. All the problems in every chapter are also reviewed for clarity. The detailed list of changes will be available upon publication at the OpenStax website. However, the following is a list of the major changes made to the tenth edition. Chapter 6 Polar Reactions are now covered before Radical Reactions Chapter 17 Section 17.5: Added newly discovered reaction of Grignard reagents with carboxylic acids to prepare ketones Chapter 18 Section 18.7: Added coverage of ionophores Chapter 19 Section 19.5: Added coverage of alpha-keto acid hydrates Chapter 21 Section 21.3: Added synthesis of amides by reaction of carboxylic acids and amines using (1-Ethyl-3-(3-dimethylaminopropylcarbodiimide (EDEC) Chapter 26 Section 26.7: Added synthesis of amides by reaction of carboxylic acids and amines using (1-Ethyl-3-(3-dimethylaminopropylcarbodiimide (EDEC) Section 26.8: Updated details for solid phase peptide synthesis Chapter 30 Section 30.8: Increased coverage of Cope rearrangement Section 30.8: New coverage of Oxy Cope reaction Chapter 31 Section 31.6: Discuss intramolecular olefin metathesis use in ring-closing Chemistry Matters : Discuss intramolecular olefin metathesis use in ring-closing Coverage and scope Organic Chemistry: A Tenth Edition , like previous editions, is intended for a two-semester introductory organic chemistry course. The tenth edition retains the functional group approach of prior editions and the table of contents is retained. Pedagogical foundation and features “Why This Chapter?” is a brief section that appears before the introduction to every chapter and tells students why the material about to be covered is important. Worked Examples includes a strategy and a detailed solution and is followed by problems for students to try on their own. The tenth edition has more than 1800 in-text and end-of-chapter problems. Visualizing Chemistry Problems occur at the end of each chapter. The problems offer students an opportunity to see chemistry in a different way by visualizing molecules rather than by simply interpreting structural formulas. Mechanism Problems are grouped together at the end of each chapter. Summaries and Key Terms lists help students by outlining the key concepts of each chapter. Summaries of Reactions at the ends of appropriate chapters bring together the key reactions from the chapter in one complete list. Comprehensive art program The art program is designed to enhance students’ understanding of concepts through clear, effective illustrations, diagrams, and photographs. About the author John E. McMurry John E. McMurry is a Professor Emeritus in the Department of Chemistry and Chemical Biology at Cornell University. He holds an A.B. degree from Harvard University and a Ph.D. from Columbia University. McMurry has authored over 100 research papers and is well-known for his contributions to the field of chemistry, particularly the development of the McMurry reaction. This reaction involves the coupling of two molecules of ketone or aldehyde to produce an alkene when treated with titanium(III) chloride and a reducing agent like Zn(Cu). The McMurry reaction has found extensive use in the laboratory synthesis of complex organic molecules and in the commercial synthesis of various drugs by the pharmaceutical industry. McMurry was elected a Fellow of the American Association for the Advancement of Science in 1985 and received a Max Planck Society Research Award in 1991. Apart from his scientific contributions, McMurry is also a prolific author in the field of chemistry education. He has written 45 undergraduate chemistry textbooks, which have been translated into 12 languages and used worldwide. Among his notable works, Organic Chemistry , first published in 1984, stands as his most popular textbook. Reviewers Mohammed Abrar Alam, Arkansas State University Pamela Auburn, Lone Star College Han Baocheng, University of Wisconsin-Whitewater David Bergbreiter, Texas A&M University Alfredo Castro, Felician University Alice Cherestes, McGill University Daniel Collins, Texas A&M University Evon Ford, Community College of Baltimore County Kevin Francis, Texas A&M University-Kingsville Micheal Fultz, West Virginia State University Mariusz Gajewski, Arkansas Tech University Bryant Gilbert, Zane State College Stewart Hart, University of the Ozarks Alaa Hashim, University of South Florida Kjir Hendrickson, Arizona State University Paul Hudrlik, Howard University Ekaterina Kadnikova, Hamline University Bee Kelley, University of Arkansas at Pine Bluff Nicholas Leadbeater, University of Connecticut Thomas Lectka, Johns Hopkins University Saundra McGuire, Louisiana State Univeristy Evy McUmber, Southwestern College Ellen Moore, University of Missouri Jennifer Muzyka, Centre College Jacqueline Nikles, University of Alabama at Birmingham Allyn Ontko, Arkansas State University Justin P'Pool, Franklin College Phuong-Truc Pham, Penn State Scranton Vijayakumar Ramalingam, SUNY Polytechnic Institute Jia Sheng, University at Albany, State University of New York Ike Shibley, Penn State Berks Jason Tien, GPCR Therapeutics, Inc. Coran Watanabe, Texas A&M University Zhou Zhou, Queensborough Community College Additional resources Diversity and Inclusion Modules Developed independently of this textbook by Dr. Rhett Smith (Clemson University), this resource is a unique website linked to Organic Chemistry: A Tenth Edition . This resource is free for instructors and students to use if they so choose. The website is mapped to Organic Chemistry: A Tenth Edition to provide a more complete, diverse, and inclusive picture of the development and current state of organic chemistry research. The figures whose work is highlighted in this online resource include historical figures from the developmental years of chemistry as well as researchers still active in the community. Each lesson currently consists of a brief introduction followed by a one-page description of the highlighted researcher and their work as it relates to relevant course topics. This is then followed by links to additional readings or videos about the life and research of the highlighted individual as well as quiz questions. The site also integrates into your learning management system (LMS). Study Guide and Student Solutions Manual Authored by Susan McMurry, the Student Study Guide and Student Solutions Manual are now separate items. Both the Study Guide and Student Solutions Manual, for the first time, will also be openly licensed and free for students in digital formats. Both resources have been updated to reflect the changes in the text and revised to meet accessibility standards. Additional resources can be found by going to the instructors resource page for this text . Academic integrity Academic integrity builds trust, understanding, equity, and genuine learning. While students may encounter significant challenges in their courses and their lives, doing their own work and maintaining a high degree of authenticity will result in meaningful outcomes that will extend far beyond their college career. Faculty, administrators, resource providers, and students should work together to maintain a fair and positive experience. We realize that students benefit when academic integrity ground rules are established early in the course. To that end, OpenStax has created an interactive to aid with academic integrity discussions in your course. attribution: Copyright Rice University, OpenStax, under CC BY 4.0 license Visit our academic integrity slider . Click and drag icons along the continuum to align these practices with your institution and course policies. You may then include the graphic on your syllabus, present it in your first course meeting, or create a handout for students. At OpenStax we are also developing resources supporting authentic learning experiences and assessment. Please visit this book’s page for updates. For an in-depth review of academic integrity strategies, we highly recommend visiting the International Center of Academic Integrity (ICAI) website at https://academicintegrity.org/ . Community Hubs OpenStax partners with the Institute for the Study of Knowledge Management in Education (ISKME) to offer Community Hubs on OER Commons—a platform for instructors to share community-created resources that support OpenStax books, free of charge. Through our Community Hubs, instructors can upload their own materials or download resources to use in their own courses, including additional ancillaries, teaching material, multimedia, and relevant course content. We encourage instructors to join the hubs for the subjects most relevant to your teaching and research as an opportunity both to enrich your courses and to engage with other faculty. To reach the Community Hubs, visit www.oercommons.org/hubs/openstax. Technology partners As allies in making high-quality learning materials accessible, our technology partners offer optional low-cost tools that are integrated with OpenStax books. To access the technology options for your text, visit your book page on OpenStax.org.

Science


Why This Chapter? The enzyme HMG–CoA reductase, shown here as a so-called ribbon model, catalyzes a crucial step in the body’s synthesis of cholesterol. Understanding how this enzyme functions has led to the development of drugs credited with saving millions of lives. (credit: image from the RCSB PDB (rcsb.org) of PBD ID 1HW9 (E.S. Istvan, J. Deisenhofer) (2001) Structural mechanism for statin inhibition of HMG-CoA reductase Science 292: 1160–1164/RCSB PDB, CC BY 1.0) We’ll ease into the study of organic chemistry by first reviewing some ideas about atoms, bonds, and molecular geometry that you may recall from your general chemistry course. Much of the material in this chapter and the next is likely to be familiar to you, but it’s nevertheless a good idea to make sure you understand it before moving on. What is organic chemistry, and why should you study it? The answers to these questions are all around you. Every living organism is made of organic chemicals. The proteins that make up your hair, skin, and muscles; the DNA that controls your genetic heritage; the foods that nourish you; and the medicines that heal you are all organic chemicals. Anyone with a curiosity about life and living things, and anyone who wants to be a part of the remarkable advances taking place in medicine and the biological sciences, must first understand organic chemistry. Look at the following drawings for instance, which show the chemical structures of some molecules whose names might be familiar to you. Although the drawings may appear unintelligible at this point, don’t worry. They’ll make perfectly good sense before long, and you’ll soon be drawing similar structures for any substance you’re interested in. Historically, the term organic chemistry dates to the mid-1700s, when it was used to mean the chemistry of substances found in living organisms. Little was known about chemistry at that time, and the behavior of the “organic” substances isolated from plants and animals seemed different from that of the “inorganic” substances found in minerals. Organic compounds were generally low-melting solids and were usually more difficult to isolate, purify, and work with than high-melting inorganic compounds. By the mid-1800s, however, it was clear that there was no fundamental difference between organic and inorganic compounds. The only distinguishing characteristic of organic compounds is that all contain the element carbon. Organic chemistry , then, is the study of carbon compounds. But why is carbon special? Why, of the more than 197 million presently known chemical compounds, do almost all of them contain carbon? The answers to these questions come from carbon’s electronic structure and its consequent position in the periodic table ( ). As a group 4A element, carbon can share four valence electrons and form four strong covalent bonds. Furthermore, carbon atoms can bond to one another, forming long chains and rings. Carbon, alone of all elements, is able to form an immense diversity of compounds, from the simple methane, with one carbon atom, to the staggeringly complex DNA, which can have more than 100 million carbons. Carbon, hydrogen, and other elements commonly found in organic compounds are shown in the colors typically used to represent them. Not all carbon compounds are derived from living organisms, however. Modern chemists have developed a remarkably sophisticated ability to design and synthesize new organic compounds in the laboratory—medicines, dyes, polymers, and a host of other substances. Organic chemistry touches the lives of everyone. Its study can be a fascinating undertaking.

Science


Atomic Structure: The Nucleus As you might remember from your general chemistry course, an atom consists of a dense, positively charged nucleus surrounded at a relatively large distance by negatively charged electrons ( ). The nucleus consists of subatomic particles called neutrons , which are electrically neutral, and protons , which are positively charged. Because an atom is neutral overall, the number of positive protons in the nucleus and the number of negative electrons surrounding the nucleus are the same. A schematic view of an atom. The dense, positively charged nucleus contains most of the atom’s mass and is surrounded by negatively charged electrons. The three-dimensional view on the right shows calculated electron-density surfaces. Electron density increases steadily toward the nucleus and is 40 times greater at the blue solid surface than at the gray mesh surface . Although extremely small—about 10 –14 to 10 –15 meter (m) in diameter—the nucleus nevertheless contains essentially all the mass of the atom. Electrons have negligible mass and circulate around the nucleus at a distance of approximately 10 –10 m. Thus, the diameter of a typical atom is about 2 × 10 –10 m, or 200 picometers (pm), where 1 pm = 10 –12 m. To give you an idea of how small this is, a thin pencil line is about 3 million carbon atoms wide. Although most chemists throughout the world use the International System (SI) of units and describe small distances in picometers, many organic chemists and biochemists in the United States still use the unit angstrom (Å) to express atomic distances, where 1 Å = 100 pm = 10 –10 m. As you probably did in your general chemistry course, however, we’ll stay with SI units in this book. A specific atom is described by its atomic number ( Z ) , which gives the number of protons (or electrons) it contains, and its mass number ( A ) , which gives the total number of protons and neutrons in its nucleus. All the atoms of a given element have the same atomic number: 1 for hydrogen, 6 for carbon, 15 for phosphorus, and so on; but they can have different mass numbers depending on how many neutrons they contain. Atoms with the same atomic number but different mass numbers are called isotopes . The element carbon, for instance, has three isotopes that occur naturally, with mass numbers of 12, 13, and 14. Carbon-12 has a natural abundance of 98.89%, carbon-13 has a natural abundance of 1.11%, and carbon-14 has only a negligible natural abundance. The weighted-average of an element’s naturally occurring isotopes is called atomic weight and is given in unified atomic mass units (u) or daltons (Da) where 1 u or 1 Da is defined as one twelfth the mass of one atom of carbon-12. Thus, the atomic weight is 1.008 u for hydrogen, 12.011 u for carbon, 30.974 u for phosphorus, and so on. Atomic weights of all elements are given in the periodic table in .

Science


Atomic Structure: Orbitals How are the electrons distributed in an atom? You might recall from your general chemistry course that, according to the quantum mechanical model , the behavior of a specific electron in an atom can be described by a mathematical expression called a wave equation —the same type of expression used to describe the motion of waves in a fluid. The solution to a wave equation is called a wave function , or orbital , and is denoted by the lowercase Greek letter psi ( ψ ). When the square of the wave function, ψ 2 , is plotted in three-dimensional space, an orbital describes the volume of space around a nucleus that an electron is most likely to occupy. You might therefore think of an orbital as looking like a photograph of the electron taken at a slow shutter speed. In such a photo, the orbital would appear as a blurry cloud, indicating the region of space where the electron has been. This electron cloud doesn’t have a sharp boundary, but for practical purposes we can set the limits by saying that an orbital represents the space where an electron spends 90% to 95% of its time. What do orbitals look like? There are four different kinds of orbitals, denoted s, p, d, and f, each with a different shape. Of the four, we’ll be concerned primarily with s and p orbitals because these are the most common in organic and biological chemistry. An s orbital has a spherical shape, with the nucleus at its center; a p orbital has a dumbbell shape with two parts, or lobes ; and four of the five d orbitals have a cloverleaf shape with four lobes, as shown in . The fifth d orbital is shaped like an elongated dumbbell with a doughnut around its middle. Representations of s, p, and d orbitals. An s orbital is spherical, a p orbital is dumbbell-shaped, and four of the five d orbitals are cloverleaf-shaped. Different lobes of p orbitals are often drawn for convenience as teardrops, but their actual shape is more like that of a doorknob, as indicated. The orbitals in an atom are organized into different layers around the nucleus called electron shells , which are centered around the nucleus and have successively larger size and energy. Different shells contain different numbers and kinds of orbitals, and each orbital within a shell can be occupied by two electrons. The first shell contains only a single s orbital, denoted 1 s, and thus holds only 2 electrons. The second shell contains one 2 s orbital and three 2 p orbitals and thus holds a total of 8 electrons. The third shell contains a 3 s orbital, three 3 p orbitals, and five 3 d orbitals, for a total capacity of 18 electrons. These orbital groupings and their energy levels are shown in . Energy levels of electrons in an atom. The first shell holds a maximum of 2 electrons in one 1 s orbital; the second shell holds a maximum of 8 electrons in one 2 s and three 2 p orbitals; the third shell holds a maximum of 18 electrons in one 3 s , three 3 p , and five 3 d orbitals; and so on. The two electrons in each orbital are represented by five up and down arrows, ⇅ . Although not shown, the energy level of the 4 s orbital falls between 3 p and 3 d . The three different p orbitals within a given shell are oriented in space along mutually perpendicular directions, denoted p x , p y , and p z . As shown in , the two lobes of each p orbital are separated by a region of zero electron density called a node . Furthermore, the two orbital regions separated by the node have different algebraic signs, + and −, in the wave function, as represented by the different colors in and . As we’ll see in Section 1.11 , these algebraic signs for different orbital lobes have important consequences with respect to chemical bonding and chemical reactivity. Shapes of the 2 p orbitals. Each of the three mutually perpendicular, dumbbell-shaped orbitals has two lobes separated by a node. The two lobes have different algebraic signs in the corresponding wave function, as indicated by the different colors.

Science