Pole magnetyczne pętli z prądem W przewodzie w kształcie okrągłej pętli o promieniu R leżącym na płaszczyźnie x z płynie prąd o natężeniu I (zob. ). Wyznacz pole magnetyczne tego prądu w dowolnym punkcie P leżącym na osi pętli. Wyznaczanie pola magnetycznego w punkcie P leżącym wzdłuż osi pętli z prądem. W celu wyznaczenia pola magnetycznego możemy użyć prawa Biota-Savarta. Najpierw rozpatrzymy dowolne fragmenty przewodu położone po przeciwnych stronach pętli. W rezultacie – stosując rachunek wektorowy – wykażemy jakościowo, że kierunek wypadkowego pola magnetycznego tych fragmentów jest zgodny z kierunkiem osi przechodzącej przez środek pętli. Prawo Biota-Savarta zastosujemy do wyprowadzenia wyrażenia opisującego poszukiwane pole. Niech punkt P będzie odległy o y od środka pętli. Stosując regułę prawej dłoni, stwierdzamy, że w punkcie P przyczynek d B → do indukcji pola magnetycznego – wytwarzany przez element prądu I  d l → – nachylony jest do osi y pod kątem θ , jak to wykazano na . Element I  d l → jest równoległy do osi x układu współrzędnych, a wektor r ̂ leży na płaszczyźnie y z – oba wektory są zatem prostopadłe. Można w związku z tym przyjąć, że d B = μ 0 4  π ⋅ I  d l  sin θ r 2 = μ 0 4  π ⋅ I  d l y 2 + R 2  , ponieważ r 2 = y 2 + R 2 . Rozpatrzmy teraz przyczynek d B → ′ , wytwarzany przez element prądu I  d l → ′ , położony na pętli – dokładnie naprzeciw elementu I  d l → . Wartość przyczynku d B → ′ jest także dana , ale wektor ten – nachylony również pod kątem θ – znajduje się tym razem pod osią y układu współrzędnych. Składowe wektorów d B → i d B → ′ prostopadłe do osi y znoszą się więc wzajemnie, a do obliczenia wypadkowego pola magnetycznego wystarczy jedynie uwzględnić ich składowe zgodne z kierunkiem osi y . Uogólniając, możemy przyjąć, że składowe przyczynków prostopadłe do osi pętli znoszą się parami. W punkcie P mamy zatem B → = ∫ d B  cos θ ⋅ j ̂ = μ 0  I 4  π  ∫ cos θ  d l y 2 + R 2 ⋅ j ̂  . Zauważmy teraz, że w przypadku wszystkich elementów I  d l → rozpatrywanej pętli współrzędna y , promień R oraz wartość funkcji cos θ pozostają stałe, przy czym cos θ = R y 2 + R 2  . Podstawiając przytoczoną zależność do , stwierdzamy, że poszukiwana indukcja pola magnetycznego w punkcie P wynosi B → = μ 0  I  R 4  π  y 2 + R 2 3 ∕ 2  ∫ d l ⋅ j ̂ = μ 0  I  R 2 2  y 2 + R 2 3 ∕ 2  j ̂ (w obliczeniach wykorzystaliśmy, że ∫ d l = 2  π  R ). Jak stwierdziliśmy w poprzednim rozdziale, zamknięta pętla z prądem tworzy dipol magnetyczny o momencie magnetycznym (ang. magnetic moment ) μ → = I  A  n ̂ . W rozpatrywanym przypadku A = π  R 2 oraz n ̂ = j ̂ ; powyższe wyrażenie możemy więc zapisać w postaci B → = μ 0  μ 2  π  y 2 + R 2 3 ∕ 2  j ̂  . \vec{B} = \frac{\mu_0 \mu}{2\pi (y^2 + R^2)^{3/2}} \hat{j} \text{.} Podstawiając w y = 0 , obliczamy indukcję pola magnetycznego w środku pętli B → = μ 0  I 2  R  j ̂  . Na podstawie tego równania, w przypadku płaskiej cewki o n zwojach przypadających na jednostkę długości, stwierdzamy że B → = μ 0  n 2  π  R 3  μ →  . \vec{B} = \frac{\mu_0 n}{2\pi R^3} \vec{\mu} \text{.} Zauważmy teraz, że gdy y ≫ R , upraszcza się do postaci reprezentującej pole magnetyczne dipola B → = μ 0 2  π  y 3  μ →  . \vec{B} = \frac{\mu_0}{2\pi y^3} \vec{\mu} \text{.} Obliczenie indukcji pola magnetycznego kołowej pętli z prądem w punktach nie leżących na jej osi wymaga przeprowadzenia dość skomplikowanych rachunków. Nie będziemy ich zatem tutaj przytaczać, przedstawiając jedynie stosowne wyniki. Kształt linii pola magnetycznego przedstawia . Zauważmy, że jedna z tych linii pokrywa się z osią pętli; jest to linia, którą właśnie wyznaczyliśmy. Zwróćmy też uwagę, że w pobliżu pętli pola są prawie kołowe – podobnie jak linie pola długiego, prostoliniowego przewodu. Szkic linii pola magnetycznego kołowej pętli z prądem. Pole magnetyczne pomiędzy dwiema pętlami Przez każdą z dwóch kołowych pętli przepływa prąd o natężeniu 10  mA , przy czym kierunki tego prądu są przeciwne, jak przedstawiono na . Promień pierwszej pętli R = 50  cm , a promień drugiej 2  R = 100  cm . Wyznacz wartość indukcji wypadkowego pola magnetycznego w punkcie P , jeżeli jest on odległy o 0,25  cm od płaszczyzny pierwszej pętli i o 0,75  cm od płaszczyzny drugiej z nich. Przez dwie pętle o różnych promieniach płynie w przeciwnych kierunkach prąd o tym samym natężeniu. Indukcja wypadkowego pola magnetycznego w punkcie P jest zerowa. Strategia rozwiązania Indukcję pola magnetycznego w punkcie P opisuje . Ponieważ prąd w cewkach płynie w przeciwnych kierunkach, wypadkowe pole magnetyczne będzie różnicą pól wytwarzanych przez każdą z nich. Poszukiwaną indukcję wyznaczymy, podstawiając do stosownego wzoru wartości określone w treści zadania. Rozwiązanie Wypadkową indukcję pola magnetycznego w zadanym punkcie wyznaczamy, wykorzystując . Do wyrażenia reprezentującego różnicę wartości indukcji magnetycznej podstawiamy następnie dane liczbowe występujące w zadaniu. W rezultacie możemy napisać, że B = μ 0  I  R 1 2 2  y 1 2 + R 1 2 3 ∕ 2 − μ 0  I  R 2 2 2  y 2 2 + R 2 2 3 ∕ 2 B = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 0,01  A ⋅ 0,5  m 2 2  0,25  m 2 + 0,5  m 2 3 ∕ 2 − 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 0,01  A ⋅ 1  m 2 2  0,75  m 2 + 1  m 2 3 ∕ 2 B = 5,77 ⋅ 10 -9  T  , wektor zwrócony w prawo. \begin{multiline} B &= \frac{\mu_0 I R_1^2}{2(y_1^2 + R_1^2)^{3/2}} - \frac{\mu_0 I R_2^2}{2(y_2^2 + R_2^2)^{3/2}} \\ &= \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{0,01}{\ampere} \cdot (\SI{0,5}{\metre})^2}{2[(\SI{0,25}{\metre})^2 + (\SI{0,5}{\metre})^2]^{3/2}} - \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{0,01}{\ampere} \cdot (\SI{1}{\metre})^2}{2[(\SI{0,75}{\metre})^2 + (\SI{1}{\metre})^2]^{3/2}} \\ &= \SI{5,77e-9}{\tesla} \text{, wektor zwrócony w prawo.} \end{multiline} B = μ 0  I  R 1 2 2  y 1 2 + R 1 2 3 ∕ 2 − μ 0  I  R 2 2 2  y 2 2 + R 2 2 3 ∕ 2 = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 0,01  A ⋅ 0,5  m 2 2  0,25  m 2 + 0,5  m 2 3 ∕ 2 − 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 0,01  A ⋅ 1  m 2 2  0,75  m 2 + 1  m 2 3 ∕ 2 = 5,77 ⋅ 10 -9  T  , wektor zwrócony w prawo. Znaczenie Typowe cewki Helmholtza składają się z pętli o jednakowych promieniach, które zasilane są prądem płynącym w tym samym kierunku. W związku z tym w punkcie pośrodku odległości między cewkami otrzymuje się silne, jednorodne pole magnetyczne. Pole magnetyczne o rozkładzie wytwarzanym przez cewki Helmholtza stosuje się także w tzw. pułapkach (butelkach) magnetycznych, służących do czasowego utrzymywania – w zadanym obszarze – naładowanych cząstek, o czym mówimy szerzej w rozdziale Siły i pola magnetyczne . Sprawdź, czy rozumiesz. W jakiej odległości od punktu P powinna znaleźć się pierwsza z pętli z poprzedniego zadania, aby wartość indukcji wypadkowego pola magnetycznego mierzona w tym punkcie była zerowa? 0,608  m . Podsumowanie Wartość indukcji pola magnetycznego w środku kołowej pętli o promieniu R , przewodzącej prąd o natężeniu I dana jest równaniem B = μ 0  I ∕ 2  R . Zwrot wektora indukcji określa drugi wariant reguły prawej dłoni. Pytania Czy pole magnetyczne pętli z prądem jest jednorodne? Jak zmieni się długość zawieszonej swobodnie sprężyny po przepuszczeniu przez nią prądu elektrycznego? Sprężyna ulegnie skróceniu, ponieważ północny biegun magnetyczny każdego z jej zwojów będzie przyciągany przez południowy biegun następnego zwoju. Dwie koncentryczne kołowe pętle o różnych średnicach przewodzą prąd w tym samym kierunku. Opisz siłę działającą na wewnętrzną pętlę. Zadania Indukcja pola magnetycznego w środku kołowej pętli, w której płynie prąd o natężeniu 6  A , wynosi 2 ⋅ 10 − 4  T . Oblicz promień pętli. 0,019  m . Z ilu zwojów musi składać się płaska, kołowa cewka o promieniu 20  cm , aby przy zasilaniu jej prądem o natężeniu 0,85  A wartość indukcji pola magnetycznego w jej środku wynosiła 4 ⋅ 10 − 4  T ? Płaska, kołowa cewka składa się z 20 zwojów. Promień cewki wynosi 10  cm , a natężenie płynącego przez nią prądu jest równe 0,5  A . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w środku cewki. 6,28 ⋅ 10 − 5  T . Przez kołową pętlę o promieniu R płynie prąd o natężeniu I . W którym punkcie osi pętli natężenie pola magnetycznego jest równe połowie wartości natężenia pola zmierzonej w środku osi? Dwie płaskie kołowe cewki – składające się z N zwojów o promieniu R – zostały zamontowane wzdłuż wspólnej osi w taki sposób, że są do siebie równoległe, a odległość między nimi wynosi d . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie pośrodku tej osi, jeżeli przez każdą cewkę – w tym samym kierunku – płynie prąd o natężeniu I . B = μ 0  I  R 2 ∕ d ∕ 2 2 + R 2 3 ∕ 2 . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w środku którejkolwiek cewki z poprzedniego zadania.

Science


Prawo Ampère’a Podstawową własnością statycznego pola magnetycznego jest to, że – w przeciwieństwie do pola elektrostatycznego – nie jest ono zachowawcze. Przypomnijmy: w polu zachowawczym praca wykonywana podczas przemieszczania cząstki nie zależy od toru, po którym cząstka się porusza, a jedynie od jej początkowego i końcowego położenia. Pola magnetycznego prawidłowość ta nie dotyczy; istnieje natomiast zależność między indukcją magnetyczną a natężeniem prądu, który to pole wytwarza. Zależność ta, wyrażona za pomocą całki krzywoliniowej wektora indukcji B → , znana jest jako prawo Ampère’a (ang. Ampère’s law ). Co więcej, z prawa Ampere'a wynika wspomniane wcześniej prawo Biota-Savarta. Na poniższym przykładzie przedstawiamy zależność między nimi. przedstawia dowolną płaszczyznę prostopadłą do nieskończonego prostoliniowego przewodu, w którym – w kierunku od tej płaszczyzny – płynie prąd o natężeniu I . Linie pola magnetycznego są koncentrycznymi okręgami, w środku których znajduje się przewód, i zwrócone są one w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Na wstępie rozpatrzmy całkę ∮ B → ⋅ d l → , obliczaną wzdłuż zamkniętych konturów M i N . Zauważmy, że kontur M obejmuje przewód z prądem, podczas gdy kontur N tego przewodu nie obejmuje. Ponieważ linie pola magnetycznego są okręgami, iloczyn skalarny B → ⋅ d l → można zastąpić iloczynem wartości indukcji B i długości rzutu I na okrąg przechodzący przez element d l → . Jeżeli promień tego szczególnego okręgu jest równy r , długość rzutu wynosi r  d θ . Możemy więc zapisać, że B → ⋅ d l → = B  r  d θ  . Prąd o natężeniu I płynie w długim, prostoliniowym przewodzie, w kierunku od płaszczyzny rysunku. Całka ∮ d θ wynosi 2  π w przypadku konturu M ; w przypadku całkowania po konturze N jej wartość wynosi zero. Podstawiając za B → wyrażenie , otrzymujemy ∮ B → ⋅ d l → = ∮ μ 0  I 2  π  r ⋅ r  d θ = μ 0  I 2  π  ∮ d θ  . Zauważmy teraz, że całkowanie po konturze M , który okrąża przewód z prądem, daje wynik: ∮ M d θ = 2  π . Zatem ∮ M B → ⋅ d l → = μ 0  I  . Z kolei kontur N przebiega zarówno przez dodatnie (zakreślane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), jak i ujemne (zakreślane zgodnie z ruchem wskazówek zegara) elementy d θ – patrz . Ponieważ kontur ten jest zamknięty, ∮ N d θ = 0 . Oznacza to, że w przypadku konturu N ∮ N B → ⋅ d l → = 0  . Prawo Ampère’a otrzymujemy, uogólniając powyższe wyniki. Prawo Ampère’a W przypadku dowolnego zamkniętego konturu rozpiętego na płaszczyźnie przecinanej przez przewód z prądem o natężeniu I ∮ B → ⋅ d l → = μ 0  I  . W powyższym wzorze I jest całkowitym natężeniem prądu, przecinającym dowolną otwartą powierzchnię S ograniczoną konturem całkowania. W obliczeniach uwzględniamy zatem jedynie prąd obejmowany przez ten kontur. W celu określenia znaku danego prądu I układamy palce prawej dłoni wzdłuż konturu tak, aby wskazywały one kierunek całkowania (zob. ). Jeśli prąd przecina powierzchnię S w kierunku wskazanym przez wyciągnięty kciuk, przypisujemy mu znak „plus”. Gdy prąd płynie w kierunku przeciwnym, przypisujemy mu znak „minus”. Strategia rozwiązania – stosowanie prawa Ampère’a Aby obliczyć indukcję pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd płynący w przewodzie lub przewodach, wykonaj następujące kroki: Określ symetrię prądu w przewodzie lub przewodach. W przypadku jej braku zastosuj prawo Biota-Savarta. Na podstawie drugiego wariantu reguły prawej dłoni wyznacz kierunek pola magnetycznego wytwarzanego przez przewód (przewody). Wybierz zamknięty kontur całkowania w taki sposób, aby w każdym jego punkcie wartość indukcji pola magnetycznego była stała bądź równa zero. Wyznacz wypadkowe natężenie prądu I wyp objętego konturem. Oblicz całkę krzywoliniową ∮ B → ⋅ d l → wzdłuż zamkniętego konturu. Przyrównaj całkę ∮ B → ⋅ d l → do iloczynu μ 0  I wyp , a otrzymane równanie rozwiąż względem B → . Zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego przewodu z prądem Zastosujemy prawo Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego wytwarzanego przez nieskończenie długi, cienki i prostoliniowy przewód, w którym płynie prąd o niezmiennym w czasie natężeniu I (zob. ). Składowe, na które można rozłożyć wektor indukcji pola magnetycznego B → wytwarzanego przez prąd o natężeniu I – płynący od płaszczyzny rysunku. Składowe radialne są równe zero w każdym punkcie linii pola, ponieważ wektor indukcji pola magnetycznego jest styczny do linii. Strategia rozwiązania Rozpatrzmy dowolną płaszczyznę prostopadłą do przewodu z prądem płynącym od płaszczyzny rysunku. Jak pokazano na , na płaszczyźnie, w dowolnym punkcie okręgu o promieniu r , w którego środku znajduje się przewód, wektor indukcji pola magnetycznego można rozłożyć na składowe B → r \vec{B}_r i B → θ \vec{B}_{\theta} . Ponieważ pole magnetyczne ma symetrię walcową względem przewodu, wartości B r i B θ są takie same w każdym punkcie okręgu. Z symetrii tego pola wynika również, że radialne linie pola – jeśli istnieją – muszą być zwrócone do przewodu lub od przewodu. W tym przypadku składowa radialna wektora indukcji jest równa zero, zatem również B → r ⋅ d l → = 0 . Możemy więc zastosować do obliczeń prawo Ampère’a – obierając kontur całkowania w postaci okręgu, przedstawionego na . Rozwiązanie Wzdłuż obranego konturu całkowania wektor B → jest stały i równoległy do elementu d l → . Możemy więc zapisać, że ∮ B → ⋅ d l → = B θ  ∮ d l = B θ ⋅ 2  π  r  . Prawo Ampère’a redukuje się zatem do postaci B θ ⋅ 2  π  r = μ 0  I  . Ostatecznie – ponieważ B θ jest jedyną składową wektora indukcji B → – możemy w powyższym wyrażeniu pominąć indeks dolny, otrzymując B = μ 0  I 2  π  r  . Wynik ten zgadza się z uzyskanym wcześniej na podstawie prawa Biota-Savarta. Znaczenie Prawo Ampère’a sprawdza się, gdy znajdziemy taki kontur całkowania, wzdłuż którego wynik iloczynu skalarnego B → ⋅ d l → można łatwo uprościć, np. gdy kąt między wektorami jest stały (najlepiej równy 0 lub 90 stopni). Prawo to bez trudności zastosujemy w przypadku nieskończenie długiego przewodu, obierając kontur całkowania w kształcie okręgu obiegającego przewód. Stałą indukcję pola magnetycznego można wówczas wyłączyć przed symbol całki. Zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia pola magnetycznego przewodu z prądem przedstawia długi, prostoliniowy przewód o promieniu a , przez którego przekrój poprzeczny płynie – równomiernie rozłożony – prąd o natężeniu I 0 . Znajdź indukcję pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz tego przewodu. (a) Widok przewodu o promieniu a , w którym płynie prąd o natężeniu I 0 . (b) Przekrój poprzeczny tego samego przewodu z zaznaczonym promieniem a oraz konturem Ampère’a o promieniu r . Strategia rozwiązania przedstawia geometrię zagadnienia. Zauważmy jednak, że natężenie prądu objętego konturem całkowania zależy od tego, czy kontur ten znajduje się na zewnątrz, czy wewnątrz przewodu. W drugim przypadku kontur całkowania nie obejmuje całego przekroju poprzecznego przewodu, przez który płynie prąd. Rozwiązanie W przypadku dowolnego kołowego konturu o promieniu r , współśrodkowego z przewodem ∮ B → ⋅ d l → = ∮ B  d l  cos 0 ° = B  ∮ d l = B ⋅ 2  π  r  . \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = \oint B \d l \cos \ang{0} = B \oint \d l = B \cdot 2\pi r \text{.} Na podstawie prawa Ampère’a powyższa całka równa jest całkowitemu natężeniu prądu płynącego przez dowolną powierzchnię ograniczoną konturem całkowania. Rozpatrzmy najpierw kołowy kontur całkowania, położony wewnątrz przewodu ( r ≤ a ) – jak przedstawia część (a) . Stosując prawo Ampère’a, musimy wyznaczyć natężenie I prądu płynącego przez powierzchnię przekroju poprzecznego przewodu ograniczoną konturem całkowania. Natężenie I równe jest gęstości prądu J pomnożonej przez wartość powierzchni przekroju poprzecznego przewodu wewnątrz konturu. Ponieważ prąd jest równomiernie rozłożony w przewodzie, jego gęstość wewnątrz konturu całkowania równa jest gęstości prądu w całym przekroju przewodu, wynoszącej I 0 ∕ π  a 2 . Tak więc natężenie prądu I płynącego przez przekrój ograniczony konturem całkowania dane jest wzorem I = π  r 2 π  a 2  I 0 = r 2 a 2  I 0  . Możemy wykorzystać powyższy iloraz w dalszych rozważaniach, ponieważ w naszym zadaniu gęstość prądu J jest stała na całej powierzchni przekroju poprzecznego przewodu. Zatem gęstość prądu w części przekroju przewodu objętej konturem całkowania jest równa gęstości prądu w jego całkowitym przekroju. Z prawa Ampère’a otrzymujemy B ⋅ 2  π  r = μ 0 ⋅ r 2 a 2  I 0  . Z podanego wzoru wynika, że wewnątrz przewodu wartość indukcji pola magnetycznego wynosi B = μ 0  I 0 2  π ⋅ r a 2  , dla  r ≤ a  . B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi} \cdot \frac{r}{a^2} \text{, dla } r \leq a \text{.} Na zewnątrz przewodu indukcję pola magnetycznego opisuje wyrażenie B = μ 0  I 0 2  π  r  , dla  r > a  . B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r} \text{, dla } r > a \text{.} Zauważmy, że wyrażenie to jest tożsame z zależnością, którą otrzymaliśmy w poprzednim przykładzie, obliczając pole magnetyczne nieskończonego, cienkiego przewodu. Wykres wartości indukcji pola magnetycznego w funkcji odległości od osi przewodu przedstawia . Zależność od promienia wartości indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd o natężeniu I 0 , płynący w długim, prostoliniowym przewodzie o promieniu a . Znaczenie Otrzymane wyniki wskazują, że wewnątrz grubego przewodu indukcja pola magnetycznego rośnie proporcjonalnie do odległości od środka jego przekroju poprzecznego. Indukcja przyjmuje wartości od zera do wartości B = μ 0  I 0 ∕ 2  π  r , znanej z przypadku pola magnetycznego cienkiego przewodu. Na zewnątrz przewodu obserwujemy spadek wartości indukcji – niezależnie od tego, czy przewód jest gruby, czy cienki. Podobny rezultat otrzymamy, stosując prawo Gaussa do obszaru o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego. Zauważmy jednak, że prawo Gaussa dotyczy jednorodnego rozkładu ładunku, a w omawianym przypadku prawo Ampère’a odnosi się do obszaru o jednorodnym rozkładzie gęstości prądu elektrycznego. W konsekwencji spadek wartości indukcji pola magnetycznego na zewnątrz grubego przewodu podobny jest do spadku natężenia pola elektrycznego na zewnątrz liniowo rozłożonego ładunku. Oba przypadki charakteryzują się bowiem tą samą geometrią i są niezależne od rozkładu ładunku lub prądu elektrycznego – o ile odpowiednie ładunki lub prądy znajdują się wewnątrz konturu całkowania. Wykorzystanie prawa Ampère’a z dowolnymi konturami całkowania Zastosuj prawo Ampère’a do obliczenia całki w układach prądu i konturów całkowania przedstawionych na . Układy prądu i kontury całkowania do . Strategia rozwiązania Prawo Ampère’a stanowi, że ∮ B → ⋅ d l → = μ 0  I , gdzie I jest całkowitym natężeniem prądu przepływającego przez zamknięty kontur. Najszybszym sposobem określenia wartości całki jest obliczenie iloczynu μ 0  I poprzez ustalenie wypadkowego natężenia prądu przepływającego przez kontur całkowania. Znaki każdego prądu określimy, układając prawą dłoń wzdłuż konturu tak, aby palce wskazywały kierunek całkowania. Prąd będziemy uważali za dodatni, jeżeli będzie on przepływał w kierunku wskazanym przez wyciągnięty kciuk. Suma natężeń prądu przepływającego przez kontur ku dołowi ( 2  A + 5  A ) równa się sumie natężeń prądu przepływającego przez kontur ku górze ( 3  A + 4  A ). Wypadkowe natężenie prądu jest zatem równe zero, a więc ∮ B → ⋅ d l → = 0  T  m  . \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = \SI{0}{\tesla\metre} \text{.} Jedynym prądem, który musimy wziąć pod uwagę, jest ten o natężeniu 2  A , ponieważ jest to jedyny prąd przepływający przez kontur całkowania. Prąd ten przepływa ku dołowi, a więc na podstawie reguły prawej dłoni przypisujemy mu dodatnią wartość (znak plus). Otrzymujemy zatem ∮ B → ⋅ d l → = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2  A = 2,51 ⋅ 10 -6  T  m  . \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{2}{\ampere} = \SI{2,51e-6}{\tesla\metre} \text{.} Na podstawie reguły prawej dłoni stwierdzamy, że kierunki prądu przepływającego przez kontur ku dołowi są dodatnie. Suma natężeń prądu płynącego ku dołowi wynosi 7  A + 5  A = 12  A , a natężenie prądu płynącego ku górze wynosi − 3  A . W rezultacie całkowite natężenie prądu wynosi 9  A , a tym samym ∮ B → ⋅ d l → = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 9  A = 5,65 ⋅ 10 -6  T  m  . \oint \vec{B} \cdot \d \vec{l} = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{9}{\ampere} = \SI{5,65e-6}{\tesla\metre} \text{.} Znaczenie Jeżeli przewody z prądem skręcimy ze sobą tak, że natężenia prądu płynącego do danego konturu całkowania będą równe natężeniom prądu wypływającego z tego konturu – wypadkowe natężenie tychże prądów będzie zerowe. Wokół przewodów nie powstanie zatem pole magnetyczne. Z tego względu przewody tworzące kabel elektryczny położone są blisko siebie. Wówczas prąd płynący do podłączonego urządzenia i z niego wypływający znoszą się i wypadkowe natężenie wewnątrz konturu Ampère’a rozpiętego wokół tych przewodów jest zerowe. W związku z powyższym przewody z prądem w tymże kablu nie będą wytwarzały rozproszonego (zakłócającego) pola magnetycznego. Sprawdź, czy rozumiesz. Rozważ zastosowanie prawa Ampère’a do obliczenia indukcji pola magnetycznego prostoliniowego przewodu o skończonej długości oraz kołowej pętli z prądem. Dlaczego prawo Ampère’a jest w tych przypadkach bezużyteczne? Prawo Ampère’a jest bezużyteczne, ponieważ w tych przypadkach – ze względu na brak symetrii prądu – całkowanie po konturach Ampère’a byłoby bardzo trudne. Podsumowanie Pole magnetyczne wytwarzane przez prąd elektryczny płynący wzdłuż dowolnej drogi jest sumą (bądź całką) pól – przyczynków do indukcji pola magnetycznego wytwarzanych przez elementy prądu rozmieszczone wzdłuż tej drogi. Wartość i kierunek wektora indukcji poszczególnych przyczynków pola oblicza się tak, jak w przypadku prostoliniowego przewodu. Przedstawiony sposób myślenia prowadzi do uogólnionego związku pomiędzy natężeniem prądu a indukcją pola magnetycznego – znanego jako prawo Ampère’a. Prawo Ampère’a można wykorzystać do określenia pola magnetycznego cienkiego lub grubego przewodu z prądem, stosując wygodny do obliczeń kontur całkowania. Otrzymane rezultaty obliczeń zgodne są z wynikami uzyskanymi z zastosowaniem prawa Biota-Savarta. Pytania Czy prawo Ampère’a jest słuszne w przypadku dowolnych zamkniętych konturów całkowania? Dlaczego nie jest ono zwykle użyteczne do obliczeń pola magnetycznego? Prawo Ampère’a jest słuszne w przypadku dowolnych zamkniętych konturów całkowania. Nie jest ono jednak użyteczne przy braku symetrii pola magnetycznego, którą można by wykorzystać do uproszczenia obliczeń, przyjmując odpowiedni kontur całkowania. Zadania Prąd o natężeniu I płynie wokół prostokątnej ramki przedstawionej na załączonym rysunku. Oblicz wartość całki ∮ B → ⋅ d l → wzdłuż konturów A , B , C oraz D . a. μ 0  I ; b. 0; c. μ 0  I ; d. 0. Określ wartość całki ∮ B → ⋅ d l → w każdym z przypadków przedstawionych na załączonym rysunku. W cewce, której przekrój podłużny przedstawia załączony rysunek, płynie prąd o natężeniu I . Cewka składa się z N zwojów rozmieszczonych równomiernie na jej długości l . Określ wartość całki ∮ B → ⋅ d l → w przypadkach konturów całkowania widocznych na rysunku. a. 3  μ 0  I ; b. 0; c. 7  μ 0  I ; d. − 2  μ 0  I . W nadprzewodzącym drucie o średnicy 0,25  cm płynie prąd o natężeniu 1000  A . Wyznacz indukcję pola magnetycznego w pobliżu tego drutu. W długim, prostoliniowym przewodzie o promieniu R płynie prąd o natężeniu I . Prąd jest równomiernie rozłożony w przekroju poprzecznym przewodu. W jakiej odległości od osi przewodu wartość indukcji pola magnetycznego będzie maksymalna? W odległości równej promieniowi R . Załączony rysunek przedstawia przekrój poprzeczny długiego, wydrążonego, cylindrycznego przewodnika o promieniu wewnętrznym r 1 = 3  cm i promieniu zewnętrznym r 2 = 5  cm . Prąd o natężeniu 50  A , rozłożony równomiernie w przekroju poprzecznym przewodnika, płynie w stronę płaszczyzny rysunku. Oblicz indukcję pola magnetycznego w odległościach r = 2  cm , r = 4  cm oraz r = 6  cm od osi przewodu. W długim, jednolitym, cylindrycznym przewodniku o promieniu 3  cm płynie prąd o natężeniu 50  A . Prąd rozłożony jest równomiernie w przekroju poprzecznym przewodnika. Narysuj wykres wartości indukcji pola magnetycznego w funkcji odległości radialnej r od środka przewodnika. Poniższy rysunek przedstawia fragment długiego, cylindrycznego kabla koncentrycznego (ang. coaxial cable ). Prąd o natężeniu I wpływa do wewnętrznego przewodu kabla i wypływa jego zewnętrznym przewodem. Wyznacz indukcję pola magnetycznego w obszarach, w których r ≤ r 1 r \leq r_1 ; r 2 ≥ r > r 1 r_2 \geq r > r_1 ; r 3 ≥ r > r 2 r_3 \geq r > r_2 ; r > r 3 r > r_3 . prawo Ampère’a (ang. Ampère’s law ) prawo fizyczne stwierdzające, że całka krzywoliniowa indukcji pola magnetycznego wokół prądu elektrycznego jest proporcjonalna do jego natężenia

Science


Solenoidy i toroidy Solenoidy i toroidy są dwoma najczęściej spotykanymi i najbardziej użytecznymi urządzeniami, w których wykorzystuje się zjawiska elektromagnetyzmu. W tej czy innej formie solenoidy są częścią składową licznych przyrządów, zarówno wielkich, jak i miniaturowych. W niniejszym rozdziale zbadamy wytwarzane przez nie pole magnetyczne. Solenoidy Solenoidem (ang. solenoid ) nazywamy cewkę utworzoną poprzez nawinięcie długiego przewodu wzdłuż linii śrubowej. Solenoidy są powszechnie używane w badaniach eksperymentalnych, w których konieczne jest wykorzystywanie pola magnetycznego. Solenoid zasadniczo łatwo jest wykonać, a w pobliżu jego środka pole magnetyczne jest w dobrym przybliżeniu jednorodne, natomiast wartość indukcji tego pola – wprost proporcjonalna do natężenia płynącego w solenoidzie prądu. przedstawia solenoid składający się z N zwojów nawiniętych ciasno na długości L . W przewodzie tworzącym solenoid płynie prąd o natężeniu I . Liczba zwojów solenoidu przypadająca na jego jednostkową długość wynosi N ∕ L – stąd liczba zwojów małej długości d y solenoidu to N ∕ L ⋅ d y , a natężenie przepływającego przez nią prądu ma wartość d I = N  I L  d y  . Obliczymy na wstępie indukcję pola magnetycznego w punkcie P wskazanym na . Punkt ten leży na osi solenoidu, w środku jego długości. W tym celu podzielimy solenoid na cienkie warstwy o grubości d y , traktując każdą z nich jak pętlę z prądem. A zatem symbol d I oznacza natężenie prądu płynącego w każdej warstwie. Indukcję pola magnetycznego d B → wytwarzanego przez prąd o natężeniu d I znajdziemy, wykorzystując i . Napiszemy wówczas d B → = μ 0  R 2  d I 2  y 2 + R 2 3 ∕ 2  j ̂ = μ 0  I  R 2  N 2  L  j ̂ ⋅ d y y 2 + R 2 3 ∕ 2 (w powyższym równaniu zastąpiliśmy d I , stosując ). Sumaryczną indukcję pola magnetycznego w punkcie P określimy, całkując d B → po całej długości solenoidu. Całkowanie będzie łatwiejsze, gdy zmienną niezależną y zastąpimy kątem θ . Posługując się , zauważmy, że sin θ = y y 2 + R 2  . (a) Solenoid jest długim przewodem, nawiniętym wzdłuż linii śrubowej. (b) Pole magnetyczne w punkcie P na osi solenoidu jest wypadkowym polem, wytwarzanym przez wszystkie pętle z prądem. Różniczkując obustronnie powyższe wyrażenie, otrzymujemy cos θ  d θ = − y 2 y 2 + R 2 3 ∕ 2 + 1 y 2 + R 2 1 ∕ 2  d y = R 2  d y y 2 + R 2 3 ∕ 2  . Podstawiając powyższą zależność do równania opisującego d B → , możemy napisać, że B → = μ  I 0  N 2  L  j ̂  ∫ θ 1 θ 2 cos θ  d θ = μ  I 0  N 2  L  sin θ 2 − sin θ 1  j ̂  . Wyprowadzony wzór określa indukcję pola magnetycznego wzdłuż centralnej osi solenoidu o skończonej długości. Szczególnym zainteresowaniem cieszy się jednak solenoid o nieskończonej długości, w przypadku którego L ⟶ ∞ . W praktyce nieskończenie długim nazwiemy solenoid, którego długość jest znacznie większa od jego promienia ( L ≫ R ). W tym przypadku θ 1 = − π ∕ 2 oraz θ 2 = π ∕ 2 . Wówczas, na podstawie , indukcja pola magnetycznego wzdłuż podłużnej osi solenoidu wynosi B → = μ 0  I  N 2  L  j ̂ ⋅ sin π 2 − sin − π 2 = μ 0  I  N L  j ̂ lub B → = μ 0  n  I  j ̂  . W powyższym wzorze n oznacza liczbę zwojów solenoidu na jednostkę jego długości (gęstość uzwojenia). Kierunek wektora B → określa reguła prawej dłoni: ułóż palce zgodnie z kierunkiem przepływu prądu, a kciuk wskaże kierunek pola magnetycznego wewnątrz solenoidu. Obliczymy teraz wartość indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie wewnątrz nieskończonego solenoidu. W tym celu wykorzystamy otrzymane powyżej wyniki oraz prawo Ampère’a. Rozpatrzmy zamknięty kontur przedstawiony na . Wzdłuż boku 1 indukcja pola B → jest stała (pole jest jednorodne), a jej wektor równoległy do linii konturu. Natomiast dla pozostałych elementów konturu wektor indukcji B → jest z kolei albo prostopadły do boków 2 i 4 konturu, albo równy zero. Boki 2 i 4 nie wnoszą zatem wkładu do całki krzywoliniowej w prawie Ampère’a (ze względu na wartość cos π ∕ 2 = cos − π ∕ 2 = 0 ). Wzdłuż boku 3 wektor indukcji B → = 0 , gdyż pole magnetyczne na zewnątrz solenoidu nie istnieje. Otaczając solenoid dowolnym zamkniętym konturem, stwierdzimy, że prąd w odpowiadających sobie fragmentach uzwojenia solenoidu płynie w przeciwnych kierunkach. Wypadkowe natężenie prądu przepływającego wewnątrz takiego konturu jest zatem równe zero, co – na mocy prawa Ampère’a – oznacza zerową indukcję pola magnetycznego. W rezultacie bok 3 konturu także nie wnosi wkładu do rozpatrywanej całki krzywoliniowej. Możemy więc zapisać, że ∮ B → ⋅ d l → = ∫ 1 B → ⋅ d l → = B  l  . Kontur całkowania rozpatrywany przy zastosowaniu prawa Ampère’a do obliczenia indukcji pola magnetycznego nieskończonego solenoidu. Ponieważ liczba zwojów solenoidu na jego jednostkową długość wynosi n , sumaryczne natężenie prądu przepływającego przez powierzchnię ograniczoną konturem jest równe n  l  I . W rezultacie z prawa Ampère’a otrzymujemy, że B  l = μ 0  n  l  I  , a więc wewnątrz solenoidu B = μ 0  n  I  . Otrzymany wynik jest zgodny z wyrażeniem wyprowadzonym wcześniej dla indukcji B wzdłuż podłużnej osi solenoidu. Jednak w rozpatrywanym obecnie przypadku położenie boku 1 konturu całkowania jest dowolne, zatem powyższe równanie opisuje pole magnetyczne w każdym punkcie wewnątrz nieskończonego solenoidu. Możemy teraz otoczyć konturem całkowania cały solenoid i zbadać przy pomocy prawa Ampère’a pole magnetyczne na zewnątrz zwojnicy. Taki kontur zawierać będzie prąd płynący w przeciwnych kierunkach – a więc wypadkowe natężenie prądu w jego wnętrzu będzie równe zero. Zgodnie z prawem Ampère’a zerowe natężenie prądu wewnątrz konturu oznacza zerową wartość indukcji pola magnetycznego. Wobec tego w punktach, których odległości od osi solenoidu są większe od jego promienia, pole magnetyczne nie istnieje. Pacjent podlegający badaniu z wykorzystaniem obrazowania magnetycznym rezonansem jądrowym (ang. magnetic resonace imaging – MRI ) zostaje położony na stole wsuwanym w środek dużego solenoidu, zdolnego do wytwarzania bardzo silnych pól magnetycznych (kilka tesli). Uzwojenia solenoidów wytwarzających tak wysokie pola wykonuje się z materiałów nadprzewodzących i zasila prądami o znacznym natężeniu. Wielkie pole magnetyczne używane jest do zmiany orientacji spinów protonów w ciele pacjenta. Czas, w którym spiny zostają uporządkowane polem bądź relaksują (powracają do pierwotnej orientacji), jest wielkością charakterystyczną dla różnych tkanek. Analizując ten czas, można się przekonać, czy struktura tkanek jest właściwa ( ). W urządzeniu do magnetycznego rezonansu jądrowego bardzo silne pole magnetyczne jest wytwarzane przez cylindryczny solenoid otaczający pacjenta. Źródło: Liz West Pole magnetyczne wewnątrz solenoidu Solenoid tworzy 300 zwojów przewodu nawiniętego wokół cylindra o średnicy 1,2  cm i długości 14  cm . Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz solenoidu w pobliżu jego środka? W uzwojeniu płynie prąd o natężeniu 0,41  A . Strategia rozwiązania Ponieważ znamy liczbę zwojów oraz długość solenoidu, możemy określić liczbę zwojów przypadającą na jednostkę jego długości. Zatem wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz solenoidu i w pobliżu jego środka dana jest . Na zewnątrz solenoidu pole magnetyczne jest zerowe. Rozwiązanie Liczba zwojów przypadająca na jednostkę długości wynosi n = 300  zwojów 0,14  m = 2,14 ⋅ 10 3  zwojów ∕ m  . Indukcja pola magnetycznego wewnątrz solenoidu ma wartość B = μ 0  n  I = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2,14 ⋅ 10 3  zwojów ∕ m ⋅ 0,41  A = 1,1 ⋅ 10 -3  T  . B = \mu_0 n I = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI{2,14e3}{\zwojow\per\metre} \cdot \SI{0,41}{\ampere} = \SI{1,1e-3}{\tesla} \text{.} Znaczenie Otrzymany wynik jest słuszny jedynie wtedy, gdy długość solenoidu jest znacznie większa niż jego średnica. Powyższy przykład spełnia ten warunek. Sprawdź, czy rozumiesz. Dany jest solenoid składający się z 1000 zwojów nawiniętych na długości 50  cm , w którym płynie prąd o natężeniu 1  A . Oblicz stosunek wartości indukcji pola magnetycznego otrzymanej ze wzoru dla solenoidu skończonego do wartości indukcji ze wzoru dla solenoidu nieskończonego przy kącie θ równym 85 ° ; 89 ° . a. 1,003 82 ; b. 1,000 15 . Toroidy Toroid jest cewką w kształcie obwarzanka, utworzoną z jednego odcinka ciasno nawiniętego przewodu – jak przedstawiono w części (a) . Określmy wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz toroidu składającego się z N zwojów, w którym płynie prąd o natężeniu I . (a) Toroid jest ciasno nawiniętą cewką w kształcie obwarzanka. (b) Toroid nawinięty luźno nie ma symetrii walcowej. (c) Symetria ciasno nawiniętego toroidu jest z dobrym przybliżeniem symetrią walcową. (d) Ciasno nawinięta cewka toroidalna oraz kilka konturów całkowania obranych w celu zastosowania prawa Ampère’a. Nasze rozważania rozpoczniemy, zakładając cylindryczną symetrię toroidu wokół jego osi O  O ′ . W rzeczywistości założenie to nie jest w pełni słuszne, na co wskazuje część (b) . Wynika z niej bowiem, że rozmieszczenie zwojów toroidalnej cewki względem punktów (na przykład P 1 , P 2 i P 3 ) dowolnie obranych na kołowym konturze o środku na osi O  O ′ nie jest jednakowe. Opisana niejednorodność traci jednak znaczenie, gdy toroid jest ciasno nawinięty, co przedstawia część (c) . Symetria takiego toroidu jest wówczas z dobrym przybliżeniem cylindryczna. Z uwagi na cylindryczną symetrię pole magnetyczne w każdym punkcie dowolnego kołowego konturu o środku na osi O  O ′ musi być do niego styczne, a wartość jego indukcji – stała. W związku z tym w przypadku każdego z konturów D 1 , D 2 i D 3 , przedstawionych w części (d) , możemy napisać, że ∮ B → ⋅ d l → = B ⋅ 2  π  r  . Prawo Ampère’a wiąże powyższą całkę z wypadkowym natężeniem prądu przepływającego przez dowolną powierzchnię ograniczoną konturem całkowania. W przypadku konturów leżących poza toroidem przez odpowiednie powierzchnie nie płynie żaden prąd (kontur D 1 ) bądź wybrany prąd, płynący w jednym kierunku, jest całkowicie kompensowany przez prąd płynący w kierunku przeciwnym (kontur D 3 ). W związku z tym wypadkowe natężenie prądu płynącego przez powierzchnie ograniczone tymi konturami jest zerowe, czyli ∮ B ⋅ 2  π  r = 0  , stąd B = 0  (poza toroidem). Wyprowadzając powyższą równość, założyliśmy, że poszczególne zwoje toroidu mają kształt kołowych pętli. Jednak uzwojenie rzeczywistego toroidu jest bardziej linią śrubową niż zespołem kołowych przewodów. W rezultacie poza toroidem stwierdzamy obecność niewielkiego pola magnetycznego. Rozpatrując kontur całkowania leżący wewnątrz toroidu (kontur D 2 ), zauważamy, że prąd płynący w uzwojeniu przecina ograniczoną tym konturem powierzchnię N razy, dając wypadkową wartość jego natężenia równą N  I . Z prawa Ampère’a wynika wówczas, że B ⋅ 2  π  r = μ 0  N  I  , stąd B = μ 0  N  I 2  π  r  (wewnątrz toroidu). W przypadku uzwojenia przedstawionego na kierunek wektora indukcji magnetycznej jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Odwrócenie kierunku przepływu prądu w uzwojeniu spowoduje uzyskanie przeciwnego zwrotu wektora indukcji pola. Pole magnetyczne wewnątrz toroidu nie jest jednorodne, gdyż wartość jego indukcji zmienia się zgodnie z funkcją 1 ∕ r , gdzie r jest odległością od osi O  O ′ . Zmiana ta jest jednak pomijalnie mała, o ile centralny promień R (równy wartości średniej promieni: wewnętrznego i zewnętrznego) jest znacznie większy niż promień przekroju poprzecznego r uzwojenia toroidu. Wartość indukcji magnetycznej można wówczas obliczyć na podstawie wzoru, podstawiając R = r . Podsumowanie Wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz solenoidu wynosi B = μ 0  n  I  , gdzie n jest liczbą zwojów przypadających na jego jednostkową długość. Pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest wysoce jednorodne – zarówno pod względem wartości indukcji, jak i kierunku linii. Wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz toroidu wynosi B = μ 0  N  I 2  π  r  , gdzie N jest liczbą zwojów. Pole magnetyczne wewnątrz toroidu nie jest jednorodne i zmienia się z odległością zgodnie z funkcją 1 ∕ r . Pytania Czy pole magnetyczne wewnątrz toroidu jest zupełnie jednorodne, czy prawie jednorodne? Wyjaśnij, dlaczego B → = 0  T wewnątrz długiej, pustej rury miedzianej, przewodzącej prąd elektryczny w kierunku równoległym do jej osi. Czy B → = 0  T także na zewnątrz tej rury? Zgodnie z prawem Ampère’a brak prądu we wnętrzu konturu całkowania oznacza brak pola magnetycznego. Ponieważ prąd płynący w miedzianej rurze można otoczyć zewnętrznym konturem całkowania, na zewnątrz rury pole magnetyczne może nie być równe zero. Zadania Liczba zwojów na metr długości solenoidu wynosi 2000 . Zakładając, że w uzwojeniu solenoidu płynie prąd o natężeniu 5,2  A , oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w jego wnętrzu. B = 1,3 ⋅ 10 − 2  T . Liczba zwojów solenoidu na centymetr jego długości wynosi 12. Jakie musi być natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu, aby w jego wnętrzu indukcja magnetyczna miała wartość 2 ⋅ 10 − 2  T ? Ile zwojów na centymetr długości należy nawinąć, aby tak wykonany solenoid wytwarzał w swoim wnętrzu pole magnetyczne o indukcji 2 ⋅ 10 − 3  T ? Przyjmij, że natężenie prądu w uzwojeniu wynosi 2  A . Około ośmiu zwojów na centymetr. Solenoid pokazany na rysunku składa się z 500 zwojów, ma długość 40  cm i średnicę 3  cm . Zakładając, że w uzwojeniu solenoidu płynie prąd o natężeniu 4  A , wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie na jego osi, znajdującym się w środku solenoidu; w odległości 10  cm od jednego z jego końców; w odległości 5  cm od jednego z jego końców. Porównaj uzyskane wyniki z obliczeniami w przypadku solenoidu nieskończenie długiego. Wyznacz wartość indukcji magnetycznej w punkcie położonym na centralnej osi, na początku półnieskończonego solenoidu. Wskazówka: Przyjmij, że na początku solenoidu x = 0 , a w jego końcu x ⟶ ∞ x \to \infty . B = 1 ∕ 2 ⋅ μ 0  n  I . Długość solenoidu wynosi 15  cm , a jego średnica 4  cm . Zakładając, że liczba zwojów solenoidu na metr długości wynosi n , a natężenie płynącego w nim prądu jest równe I , oszacuj błąd przybliżenia wartości indukcji w jego środku, określonego wzorem B = μ 0  n  I . W solenoidzie, którego liczba zwojów na centymetr długości wynosi 25, płynie prąd o natężeniu I . We wnętrzu solenoidu, prostopadle do jego osi, po okręgu o promieniu 2  cm porusza się elektron. Oblicz natężenie prądu I , jeżeli prędkość elektronu wynosi 2 ⋅ 10 5  m ∕ s . 0,0181  A . W toroidzie o 250 zwojach płynie prąd o natężeniu 20  A . Wewnętrzny promień toroidu wynosi 8  cm , a jego zewnętrzny promień wynosi 9  cm . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego tego toroidu przy r = 8,1  cm , r = 8,5  cm i r = 8,9  cm . Dany jest toroid o 500 zwojach i przekroju poprzecznym będącym kwadratem o boku 3  cm . Wewnętrzny promień toroidu wynosi 25  cm , a w jego uzwojeniu płynie prąd o natężeniu 2  A . Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w środku przekroju poprzecznego tego toroidu. 0,0008  T . solenoid (ang. solenoid ) cienki przewód zwinięty w cewkę, wytwarzający pole magnetyczne w przypadku przepływu przezeń prądu elektrycznego toroid (ang. toroid ) cewka w kształcie torusa, ściśle owinięta jednym odcinkiem przewodu

Science


Magnetyzm materii Dlaczego niektóre materiały mają właściwości magnetyczne, a inne nie? Dlaczego pewne substancje ulegają namagnesowaniu w polu magnetycznym, a niektóre pozostają oporne? Aby odpowiedzieć na te pytania, musimy zrozumieć magnetyzm materii na poziomie mikroskopowym. W atomie każdy elektron porusza się po swojej orbicie. Poruszające się w ten sposób elektrony tworzą pętle z prądem, a więc dipole magnetyczne, ponadto elektron ma własny moment magnetyczny. Wypadkowy moment magnetyczny danego atomu jest sumą wektorową momentów magnetycznych ( μ ) poszczególnych dipoli. Wartości μ atomów kilku pierwiastków chemicznych podano w . Zauważmy, że wypadkowy moment dipolowy niektórych atomów jest równy zero oraz że typowe wartości niezerowych momentów dipolowych są rzędu 10 − 23  A  m 2 . Momenty magnetyczne niektórych atomów. Atom Moment magnetyczny ( 10 − 24  A  m 2 ) H 9,27 He 0 Li 9,27 O 13,9 Na 9,27 S 13,9 Próbka materii zawiera w przybliżeniu 10 26 atomów i jonów, z których każdy posiada własny moment magnetyczny. Bez zewnętrznego pola magnetycznego dipole magnetyczne są zorientowane przypadkowo – jednakowe ich liczby zwrócone są ku górze i dołowi, w lewo i prawo itd. W konsekwencji wypadkowy moment magnetyczny tejże próbki równa się zero. Jednakże po umieszczeniu próbki w polu magnetycznym dipole będą dążyć do ustawienia się wzdłuż linii tego pola (zob. ). Sposób tego ustawienia określa zachowanie się próbki w polu magnetycznym. Na tej podstawie materię dzielimy na paramagnetyczną, ferromagnetyczną lub diamagnetyczną. W materiale paramagnetycznym (ang. paramagnetic material ) jedynie niewielka część dipoli magnetycznych ustawia się wzdłuż linii przyłożonego pola. Ponieważ każdy z dipoli generuje własne pole magnetyczne, na skutek ich uporządkowania wytwarzane jest dodatkowe pole, które wzmacnia to przyłożone do próbki. Jeśli w polu magnetycznym umieścimy materiał ferromagnetyczny (ang. ferromagnetic material ), jego dipole magnetyczne ulegną także takiemu uporządkowaniu. Co więcej, dipole będą się wzajemnie blokowały, powodując trwałe namagnesowanie próbki – nawet po usunięciu jej z pola magnetycznego lub po zmianie kierunku tego pola. Takie trwałe namagnesowanie jest charakterystyczne dla materiałów ferromagnetycznych, ale nie materiałów paramagnetycznych. Z kolei substancje diamagnetyczne składają się z atomów nieposiadających wypadkowego momentu dipolowego. Jednak po umieszczeniu materiału diamagnetycznego (ang. diamagnetic material ) w polu magnetycznym powstaną w nich dipolowe momenty magnetyczne, skierowane przeciwnie do przyłożonego pola. Wytworzone w ten sposób sumaryczne pole próbki będzie skierowane przeciwnie do zewnętrznego pola magnetycznego. Omówimy teraz bardziej szczegółowo każdy z materiałów. Materiały paramagnetyczne Załóżmy dla uproszczenia rozważań, że cylindryczna, długa próbka materiału szczelnie wypełnia długi, ciasno nawinięty solenoid. Jeżeli w solenoidzie nie płynie prąd, dipole magnetyczne w próbce są zorientowane przypadkowo – nie generując wypadkowego pola magnetycznego. Po włączeniu prądu pole magnetyczne solenoidu oddziałuje na dipole momentem obrotowym, zmierzającym do ich ustawienia zgodnie z tym polem. Konkurencyjne w stosunku do porządkującego działania momentu obrotowego są zderzenia termiczne, dążące do przywrócenia przypadkowej orientacji dipoli. Udział tych dwóch procesów w orientowaniu dipoli można oszacować, porównując wartości związanych z nimi energii. Na podstawie wiadomo, że różnica energii dipola magnetycznego ustawionego zgodnie z polem magnetycznym i energii dipola zorientowanego przeciwnie do tego pola wynosi U B = 2  μ  B . Przyjmując μ = 9,3 ⋅ 10 − 24  A  m 2 (wartość w przypadku atomu wodoru) oraz B = 1  T , otrzymujemy U B = 1,9 ⋅ 10 − 23  J  . Energia termiczna w temperaturze 27  ° C przypadająca na jeden atom wynosi z kolei U T ≈ k B  T = 1,38 ⋅ 10 − 23  J ∕ K ⋅ 300  K = 4,1 ⋅ 10 − 21  J  , co stanowi wartość około 220 razy większą niż wartość U B . Jest więc jasne, że energie przekazywane podczas zderzeń termicznych mogą istotnie zaburzyć proces porządkowania dipoli magnetycznych. W związku z powyższym jedynie niewielka część dipoli w danej chwili ustawia się zgodnie z zewnętrznym polem. Prostą ilustrację procesu porządkowania dipoli przedstawiają cztery części . Część (a) prezentuje przypadkową orientację dipoli w próbce paramagnetycznej umieszczonej w solenoidzie (niewidocznym na rysunku), w którym nie płynie prąd. Przypadkowa orientacja dipoli powoduje, że związany z próbką ich wypadkowy moment magnetyczny równa się zero. Po przyłożeniu zewnętrznego pola następuje częściowe uporządkowanie dipoli – jak wynika z części (b) . Zauważmy, że składowa wypadkowego magnetycznego momentu dipolowego, prostopadła do zewnętrznego pola, znika. Opisaną sytuację obrazuje część (c) , na którym przedstawiono zbiór dipoli magnetycznych w pełni zgodnych z zewnętrznym polem. Traktując wspomniane dipole jak pętle z prądem, możemy przyjąć, że ich uporządkowanie odpowiada pewnemu prądowi płynącemu przy powierzchni próbki – na co wskazuje część (d) rysunku. Ów fikcyjny powierzchniowy prąd wytwarza własne pole magnetyczne, które wzmacnia pole solenoidu. Proces porządkowania w materiale paramagnetycznym wypełniającym solenoid (niepokazany na rysunku). (a) W nieobecności zewnętrznego pola dipole są zorientowane przypadkowo. (b) Po przyłożeniu pola następuje częściowe uporządkowanie dipoli. (c) Równoważna reprezentacja dipoli z części (b). (d) Prądy wewnątrz próbki znoszą się, pozostawiając pewien efektywny prąd powierzchniowy – wytwarzający pole magnetyczne podobne do pola solenoidu. Indukcję całkowitego pola magnetycznego wewnątrz materiału możemy wyrazić jako B → = B → 0 + B → m  , gdzie B → 0 reprezentuje pole wytwarzane przez prąd I 0 płynący w solenoidzie, a B → m – pole prądu powierzchniowego I m płynącego wokół próbki. Zauważmy teraz, że indukcja B → m jest zwykle proporcjonalna do indukcji B → 0 , co wyrazimy za pomocą wzoru B → m = χ  B → 0  , w którym χ jest tzw. podatnością magnetyczną (ang. magnetic susceptibility ). Wartości podatności magnetycznej χ niektórych materiałów paramagnetycznych zebrano w . Ponieważ uporządkowanie dipoli magnetycznych w paramagnetykach jest bardzo słabe, wartości χ są również bardzo niewielkie. Łącząc ze sobą i , otrzymujemy B → = B → 0 + χ  B → 0 = 1 + χ  B 0 →  . W przypadku próbki umieszczonej w nieskończonym solenoidzie powyższe równanie przybiera postać B = 1 + χ  μ 0  n  I  . Z otrzymanego równania wynika, że umieszczenie materiału paramagnetycznego we wnętrzu solenoidu wzmacnia jego pole o współczynnik ( 1 + χ ). Ponieważ χ jest bardzo małe, wzmocnienie pola jest niewielkie. Wielkość μ = 1 + χ  μ 0 nosi nazwę przenikalności magnetycznej (ang. magnetic permeability ). Wprowadzając współczynnik μ , w przypadku wypełnionego solenoidu możemy zapisać w postaci B = μ  n  I  . Podatności magnetyczne niektórych materiałów. Materiały paramagnetyczne χ Materiały diamagnetyczne χ Aluminium 2,2 ⋅ 10 − 5 Bizmut − 1,7 ⋅ 10 − 5 Wapń 1,4 ⋅ 10 − 5 Węgiel (diament) − 2,2 ⋅ 10 − 5 Chrom 3,1 ⋅ 10 − 4 Miedź − 9,7 ⋅ 10 − 6 Magnez 1,2 ⋅ 10 − 5 Ołów − 1,8 ⋅ 10 − 5 Tlen gazowy ( 1  atm ) 1,8 ⋅ 10 − 6 Rtęć − 2,8 ⋅ 10 − 5 Tlen ciekły ( 90  K ) 3,5 ⋅ 10 − 3 Wodór gazowy ( 1  atm ) − 2,2 ⋅ 10 − 9 Wolfram 6,8 ⋅ 10 − 5 Azot gazowy ( 1  atm ) − 6,7 ⋅ 10 − 9 Powietrze ( 1  atm ) 3,6 ⋅ 10 − 7 Woda − 9,1 ⋅ 10 − 6 Materiały diamagnetyczne Pole magnetyczne zawsze indukuje w atomie dipol magnetyczny. Utworzony w ten sposób dipol oraz jego pole magnetyczne są zwrócone przeciwnie do przyłożonego pola. W materiałach paramagnetycznych i ferromagnetycznych istnienie takich indukowanych dipoli magnetycznych jest maskowane przez znacznie silniejsze, trwałe dipole atomów. Jednak w materiałach diamagnetycznych, których atomy nie posiadają trwałych magnetycznych momentów dipolowych, można zaobserwować istnienie dipoli indukowanych. Zjawiska magnetyczne w materiałach diamagnetycznych możemy opisać, stosując model stworzony dla materiałów paramagnetycznych. Jednak w przypadku diamagnetyków fikcyjny prąd powierzchniowy płynie w kierunku przeciwnym do prądu w solenoidzie, a podatność magnetyczna χ jest ujemna. Wartości podatności χ kilku materiałów diamagnetycznych również przedstawiono w . Lewitacja w polu magnetycznym Powszechnie występującą substancją diamagnetyczną jest woda, główny składnik organizmów żywych. Przeprowadzono eksperymenty na żabach i myszach, w których zaobserwowano, że zwierzęta umieszczone w rozbieżnym polu magnetycznym, lewitowały. Działo się tak, ponieważ cząsteczki wody zawarte w organizmach były wypychane z niejednorodnego pola magnetycznego. Stan nieważkości pojawiał się, gdy równoważyły się siły magnetyczna i ciężkości. Materiały ferromagnetyczne Z materiałów ferromagnetycznych, takich jak żelazo i jego stopy, wytwarzane są powszechnie spotykane magnesy trwałe. Jak wykazują eksperymenty, w substancjach ferromagnetycznych występują niewielkie obszary zwane domenami magnetycznymi (ang. magnetic domains ). Typowe objętości tych domen zmieniają się w przedziale od 10 − 12  m 3 do 10 − 8  m 3 i zawierają one od około 10 17 do 10 21 atomów. Wewnątrz domeny na skutek pewnego oddziaływania atomów, zwanego oddziaływaniem wymiennym, pomiędzy atomami dipole magnetyczne są trwale zwrócone w tym samym kierunku. Oddziaływanie wymienne, którego opis wymaga użycia mechaniki kwantowej, jest na tyle silne, że w temperaturze pokojowej nie może być zniwelowane nawet przez pobudzenie termiczne atomów. W rezultacie każda domena posiada własny wypadkowy magnetyczny moment dipolowy. W przypadku niektórych substancji oddziaływanie wymienne jest słabsze i są one ferromagnetykami jedynie w niższych temperaturach. Jeżeli domeny wewnątrz próbki ferromagnetycznej są zorientowane przypadkowo, jak pokazano na rysunku, próbka nie posiada wypadkowego magnetycznego momentu dipolowego. Mówimy wówczas, że próbka jest nienamagnesowana. Przyjmijmy teraz, że próbką nienamagnesowanego ferromagnetyka wypełniliśmy wnętrze solenoidu. Po włączeniu pola magnetycznego solenoidu o indukcji B → 0 momenty dipolowe domen obracają się, ustawiając się po części równolegle do wektora indukcji pola, jak pokazano na . Dodatkowo uporządkowane domeny rosną kosztem domen nieuporządkowanych. Łącznym efektem tych procesów jest powstanie wypadkowego magnetycznego momentu dipolowego ferromagnetyka, skierowanego wzdłuż linii przyłożonego pola magnetycznego. Ów wypadkowy moment magnetyczny jest znacznie większy niż w przypadku próbki paramagnetycznej, a uporządkowanie składających się z wielkiej liczby atomów domen nie zostaje zniszczone przez pobudzenie termiczne. W konsekwencji pole magnetyczne wywołane uporządkowaniem domen jest stosunkowo silne. (a) W nienamagnesowanej próbce ferromagnetycznej (np. żelaza) orientacja domen jest przypadkowa. Strzałki reprezentują ustawienie dipoli magnetycznych wewnątrz domen. (b) W zewnętrznym polu magnetycznym orientacja domen ulega pewnemu uporządkowaniu. (c) Domeny pojedynczego kryształu niklu. Białe linie, uzyskane poprzez posypanie kryształu sproszkowanym tlenkiem żelaza, wskazują granice domen. W temperaturze pokojowej jedynie pięć pierwiastków zawiera domeny magnetyczne, decydujące o ich właściwościach ferromagnetycznych. Są to: żelazo, kobalt, nikiel, gadolin i dysproz. Ferromagnetykami są także liczne stopy tychże pierwiastków. Właściwości materiałów ferromagnetycznych można opisać za pomocą związków „paramagnetycznych”: oraz . Jednakże wartości podatności magnetycznej χ ferromagnetyków są rzędu 10 3 do 10 4 i zależą od historii oddziałującego na nie pola magnetycznego. Typowy wykres wartości B (indukcji całkowitej) w funkcji B 0 (indukcji przyłożonego pola magnetycznego) w przypadku początkowo nienamagnesowanego kawałka żelaza pokazano na . Przykładowe wartości liczbowe są następujące: (1) przy B 0 = 1 ⋅ 10 − 4  T , B = 0,6  T , oraz χ = 0,6 ∕ 10 -4 − 1 ≈ 6 ⋅ 10 6 \chi = \num{0,6} / 10^{-4} -1 \approx 6\cdot 10^6 ; (2) przy B 0 = 6 ⋅ 10 − 4  T , B = 1,5  T , oraz χ = 1,5 ∕ 6 ⋅ 10 − 4 − 1 ≈ 2,5 ⋅ 10 3 . Indukcja magnetyczna B w wyżarzonej próbce żelaza w funkcji indukcji przyłożonego pola B 0 . Jeżeli indukcja B 0 zmienia się w pewnym przedziale, przyjmując wartości dodatnie i ujemne, obserwowane zmiany B przebiegają w sposób przedstawiony na . Zauważmy, że ta sama wartość indukcji B 0 (odpowiadająca tej samej wartości natężenia prądu w solenoidzie) może wytworzyć indukcję magnetyczną B o różnych wartościach. Istotnie, indukcja B wytworzona w ferromagnetyku pewnym przyłożonym polem o wartości indukcji B 0 zależy od historii magnetycznej próbki. Zjawisko to nosi nazwę histerezy (ang. hysteresis ), a krzywa przedstawiona na rysunku – pętli histerezy (ang. hysteresis loop ). Zauważmy, że B nie znika, gdy B 0 = 0  T – to znaczy, gdy prąd w solenoidzie zostaje wyłączony. Żelazo pozostaje namagnesowane, co oznacza, że staje się magnesem trwałym. Typowa pętla histerezy ferromagnetyka. Podczas pierwszego magnesowania pętla przebiega wzdłuż krzywej pomiędzy punktami 0 oraz a . Część pętli, po zmniejszeniu wartości i późniejszej zmianie kierunku indukcji B 0 , jest zgodna z krzywą a - b . Po zwiększeniu wartości i ponownej zmianie kierunku B 0 pętla podąża po drodze b - a . Podobnie jak w przypadku próbki paramagnetycznej z częściowe uporządkowanie domen w ferromagnetyku jest równoważne pewnemu prądowi, płynącemu wokół jego powierzchni. W związku z tym magnes sztabkowy można utożsamiać ze ściśle nawiniętym solenoidem. Prąd powierzchniowy ferromagnetyka będzie wówczas odpowiadał znacznemu prądowi, płynącemu w uzwojeniu solenoidu. Jak wynika z , taki model sprawdza się całkiem dobrze – linie pola magnetycznego magnesu sztabkowego i solenoidu są zaskakująco podobne. przedstawia także sposób określania biegunów magnesu sztabkowego. Linie pola magnetycznego na zewnątrz magnesu biegną od bieguna północnego (N) do południowego (S) tworząc pętle, podczas gdy we wnętrzu magnesu są skierowane od bieguna S do bieguna N. Porównanie pól magnetycznych solenoidu i magnesu sztabkowego. Materiały ferromagnetyczne znajdziemy w komputerowych dyskach twardych i innych urządzeniach do trwałego przechowywania danych ( ). Materiał użyty w twardych dyskach zwany jest zaworem spinowym i składa się z ułożonych naprzemiennie cienkich warstw metali: ferromagnetyka (uporządkowanego zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym) oraz materiału antyferromagnetycznego, w którym każdy atom uporządkowany jest przeciwnie względem uporządkowania atomów warstwy sąsiedniej. Stwierdzono, że przyłożenie do zaworu spinowego zewnętrznego pola magnetycznego powoduje znaczącą zmianę jego oporu elektrycznego. Ta olbrzymia zmiana umożliwia szybki i pewny zapis lub odczyt informacji, przy wykorzystaniu prądu elektrycznego. Wnętrze twardego dysku. Srebrna tarcza jest nośnikiem, natomiast mała głowica, widoczna na wierzchu tarczy, służy do zapisu i odczytu informacji. Żelazny rdzeń we wnętrzu cewki Długą cewkę nawinięto ściśle na żelazny rdzeń, którego krzywą magnesowania przedstawiono na rysunku. Przyjmując, że na centymetr długości cewki przypada 20 zwojów oraz że natężenie prądu I 0 wynosi 2  A , oblicz wartość indukcji pola B 0 przyłożonego do jej rdzenia; Jaka jest wypadkowa indukcja pola magnetycznego odpowiadającego temu natężeniu prądu? Ile w tym przypadku wynosi podatność magnetyczna rdzenia? Strategia rozwiązania Indukcję pola magnetycznego solenoidu obliczamy, stosując ; Korzystając z wykresu, odczytujemy wartość indukcji wypadkowego pola magnetycznego, odpowiadającą danemu natężeniu prądu; Wartość podatności magnetycznej obliczamy z . Rozwiązanie Indukcja przyłożonego do rdzenia pola wytwarzanego przez cewkę wynosi B 0 = μ 0  n  I 0 = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A ⋅ 2000  m -1 ⋅ 0,2  A = 5 ⋅ 10 -4  T  . B_0 = \mu_0 n I_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{2000}{\per\metre} \cdot \SI{0,2}{\ampere} = \SI{5e-4}{\tesla} \text{.} Z wykresu krzywej magnesowania na odczytujemy, że wyznaczonej powyżej wartości odpowiada B = 1,4  T . Zauważmy, że wartość indukcji pola wewnętrznego uporządkowanych atomów znacznie przewyższa indukcję zewnętrznego pola przyłożonego do rdzenia. Wartość podatności magnetycznej obliczamy zgodnie z poniższym wzorem χ = B B 0 − 1 = 1,4  T 5 ⋅ 10 − 4  T − 1 = 2,8 ⋅ 10 3  . Znaczenie Podatności magnetyczne ferromagnetyków mają wartości rzędu 10 3 , co zgadza się z wynikami naszych obliczeń. Wartości podatności paramagnetyków są ułamkowe, więc indukcja przyłożonego pola cewki jest znacznie większa niż indukcja pola magnetycznego wytwarzanego przez materiał rdzenia. Sprawdź, czy rozumiesz. Powtórz obliczenia z , przyjmując I 0 = 0,04  A . a. 10 − 4  T ; b. 0,6  T ; c. 6 ⋅ 10 3 . Podsumowanie W zależności od ich zachowania się w zewnętrznym polu magnetycznym materiały dzielimy na paramagnetyczne, diamagnetyczne i ferromagnetyczne. Uporządkowanie dipoli magnetycznych paramagnetyków w kierunku zgodnym z zewnętrznym polem magnetycznym jest jedynie częściowe. Oznacza to dodatnią podatność magnetyczną. W próbce pozostają jedynie niezerowe prądy powierzchniowe, wytwarzające pole magnetyczne analogiczne do pola solenoidu. W materiałach diamagnetycznych indukowane zewnętrznym polem magnetycznym dipole skierowane są przeciwnie do tego pola. Oznacza to ujemną podatność magnetyczną. W materiałach ferromagnetycznych występują grupy dipoli, zwane domenami, które ustawiają się zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym. Jednakże w przeciwieństwie do paramagnetyków po usunięciu zewnętrznego pola materiały ferromagnetyczne pozostają namagnesowane. Efekt takiego namagnesowania w stosunku do wartości indukcji zewnętrznego pola magnetycznego zwany jest histerezą. Najważniejsze wzory Przenikalność magnetyczna próżni μ 0 = 4  π ⋅ 10 -7  T  m ∕ A \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\si{\tesla\metre\per\ampere} Wartość przyczynku do indukcji pola magnetycznego, pochodząca od elementu prądu d B = μ 0 4  π ⋅ I  d l  sin θ r 2 Prawo Biota-Savarta B = μ 0 4  π  ∫ I  d l → × r ̂ r 2 B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{I\d \vec{l} \times \hat{r}}{r^2} Wartość indukcji pola magnetycznego w odległości R od długiego prostoliniowego przewodu z prądem o natężeniu I B = μ 0  I 2  π  R Wartość siły (na jednostkę długości przewodu) działającej pomiędzy dwoma równoległymi przewodami w próżni, znajdującymi się w odległości r od siebie F l = μ 0  I 1  I 2 2  π  r Wartość indukcji pola magnetycznego w środku kołowej pętli o promieniu R z prądem o natężeniu I B = μ 0  I 2  R Prawo Ampère’a ∮ B → ⋅ d l → = μ 0  I Wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz solenoidu o gęstości uzwojenia n B = μ 0  n  I Wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz toroidu składającego się z N zwojów B = μ 0  N  I 2  π  r Podatność magnetyczna μ = 1 + χ  μ 0 Wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz solenoidu z rdzeniem z materiału paramagnetycznego B = μ  n  I Pytania Materiał diamagnetyczny umieszczono w pobliżu magnesu trwałego. Co stanie się z tym materiałem? Czy przecięcie magnesu sztabkowego na dwie części spowoduje uzyskanie jednego magnesu z odosobnionym biegunem północnym i drugiego – posiadającego odosobniony biegun południowy? Odpowiedź uzasadnij. Przecięcie magnesu sztabkowego spowoduje powstanie dwóch magnesów – posiadających własne bieguny: północny i południowy. W przyrodzie nie występują monopole magnetyczne ani pojedyncze bieguny magnetyczne. Zadania Indukcja pola magnetycznego w rdzeniu wypełnionego powietrzem solenoidu wynosi 1,5  T . O ile zmaleje wartość tej indukcji po odpompowaniu powietrza z rdzenia przy niezmienionym natężeniu prądu w uzwojeniu solenoidu? Solenoid zawierający n = 1000 zwojów przypadających na metr długości, zasilany prądem o natężeniu I = 5  A , wyposażony jest w ferromagnetyczny rdzeń. Jaka jest wartość podatności χ materiału rdzenia, jeżeli indukcja magnetyczna B we wnętrzu solenoidu wynosi 2  T ? 317,31 . Prąd o natężeniu 20  A płynie w solenoidzie zawierającym 2000 zwojów na metr długości. Oblicz wartość indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu, jeżeli jego rdzeń stanowi próżnia; wypełniono ciekłym tlenem o temperaturze 90  K . Wartość dipolowego momentu magnetycznego atomu żelaza wynosi około 2,1 ⋅ 10 − 23  A  m 2 . Oblicz maksymalną wartość magnetycznego momentu dipolowego domeny zawierającej 10 19 atomów żelaza; Jakie musi być natężenie prądu płynącego w pojedynczej kołowej pętli przewodu o średnicy 1  cm , aby wytworzyć moment dipolowy o takiej wartości? a. 2,1 ⋅ 10 − 4  A  m 2 ; b. 2,7  A . Załóżmy, że w toroidzie z rdzeniem stalowym, którego χ = 4 ⋅ 10 3 , chcemy wytworzyć pole o indukcji magnetycznej równej 1,2  T . Średni promień toroidu wynosi 15  cm , a jego uzwojenie liczy 500 zwojów. Jakie jest wymagane natężenie prądu? Prąd o natężeniu 1,5  A płynie w uzwojeniu dużego, cienkiego solenoidu, nawiniętego z gęstością 200 zwojów na metr. Oblicz wartość indukcji magnetycznej wewnątrz solenoidu, jeżeli jest on wypełniony żelazem o χ = 3 ⋅ 10 3 . 0,18  T . Długość solenoidu z rdzeniem żelaznym wynosi 25  cm , a jego uzwojenie liczy 100 zwojów przewodu. Solenoid ten, zasilany prądem o natężeniu 10  A , wytwarza w swoim wnętrzu pole magnetyczne o wartości indukcji 2  T . Ile wynosi podatność magnetyczna żelaza przy takim natężeniu prądu? Czy indukcja magnetyczna wewnątrz rdzenia powróci do wartości 2  T , jeśli prąd zostanie wyłączony, a następnie osiągnie wartość równą 10  A ? Zadania dodatkowe Trzy długie, prostoliniowe, równoległe przewody zostały rozmieszczone jak na załączonym rysunku. W każdym z przewodów płynie prąd o natężeniu 20  A . Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie P . B = 6,93 ⋅ 10 − 5  T . Prąd o natężeniu I płynie w przewodzie w kształcie kwadratowej ramki o boku a . Oblicz indukcję pola magnetycznego w punkcie P odległym o z od środka kwadratu – jak na poniższym rysunku. Na załączonym rysunku przedstawiono długi, prostoliniowy przewód, w którym płynie prąd o natężeniu 10  A . Jaka siła działa na elektron poruszający się z szybkością 2 ⋅ 10 5  m ∕ s równolegle do przewodu w chwili, gdy odległość elektronu od jego osi wynosi 20  cm ? Opisz jakościowo późniejszy ruch tego elektronu. 3,2 ⋅ 10 − 19 ; ruch odbywa się po łuku w kierunku od przewodu. Rysunek przedstawia prąd płynący wzdłuż cienkiego, nieskończonego arkusza. Natężenie prądu przypadające na jednostkę długości arkusza i wyrażone w amperach na metr wynosi j . Udowodnij, stosując prawo Biota-Savarta, że po obu stronach arkusza B = μ 0  j ∕ 2 . Jaki jest kierunek wektora B → po każdej ze stron arkusza? Wykorzystaj prawo Ampère’a do obliczenia tego pola. Wykorzystując wyniki poprzedniego zadania, oblicz indukcję pola magnetycznego pomiędzy, ponad i pod parą nieskończonych arkuszy, pokazanych na załączonym rysunku; Powtórz obliczenia, zakładając, że kierunek prądu w dolnym arkuszu został odwrócony. a. nad i pod arkuszami B = μ 0  j , w środku B = 0  T ; b. nad i pod arkuszami B = 0  T , w środku B = μ 0  j . Często zakłada się, że pole magnetyczne jest jednorodne w pewnym obszarze i zerowe poza nim. Wykaż, że przedstawiona na załączonym rysunku sytuacja, w której indukcja pola magnetycznego gwałtownie maleje do zera, nie jest w rzeczywistości możliwa. Wskazówka: Zastosuj prawo Ampère’a, wykorzystując kontur całkowania wskazany na rysunku. Określ związek pomiędzy procentową zmianą wartości indukcji pola magnetycznego mierzoną w poprzek tarczy toroidu a procentową zmianą odległości radialnej od osi tegoż toroidu. d B ∕ B = − d r ∕ r . Wykaż, że w granicznym przypadku centralnego promienia toroidu, dążącego do nieskończoności, wyrażenie opisujące indukcję pola magnetycznego tego toroidu redukuje się do wzoru na indukcję magnetyczną nieskończonego solenoidu. Toroid, którego wewnętrzny promień wynosi 20  cm , a zewnętrzny równy jest 22  cm , został jednowarstwowo owinięty przewodem o średnicy 0,25  mm . Ile zwojów liczy uzwojenie tegoż toroidu? Jaka jest wartość indukcji pola magnetycznego w centrum toroidu, jeżeli w jego uzwojeniu płynie prąd o natężeniu 2  A ? a. 52 778 zwojów; b. 0,1  T . Rozważ element przewodu d l → , przyjmując, że d l → , I  d l → = J →  A  d l = J →  d v , gdzie A oraz d v oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego oraz objętość tego elementu. Wykorzystując podane związki, prawo Biota-Savarta oraz zależność J → = n  e  v → , wykaż, że indukcja pola magnetycznego poruszającego się ładunku punktowego o wartości q opisana jest wzorem B → = μ 0 ∕ 4  π ⋅ q  v → × r ̂ ∕ r 2 . Urządzeniem, służącym do wytwarzania pola magnetycznego o wysokiej jednorodności w ograniczonym obszarze przestrzeni są cewki Helmholtza. Jest to układ dwóch równoległych kołowych zwojnic o wspólnej osi przechodzącej przez ich środki. Cewki połączone są tak, że płyną w nich prądy o takim samym natężeniu I . Każda z cewek o promieniu R składa się z N zwojów, przy czym R jest także odległością między tymi cewkami. Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie na osi z , pokazanej na załączonym rysunku; Wykaż, że d B ∕ d z oraz d 2 B ∕ d z 2 są równe zero w punkcie z = 0 (zerowanie się obu pochodnych oznacza, że w pobliżu z = 0 indukcja magnetyczna zmienia się jedynie nieznacznie). B 1  x = μ 0  I  R 2 ∕ 2  R 2 + z 2 3 ∕ 2 . Ładunek o wartości 4  μ  C został równomiernie rozłożony wokół pierścienia o średnicy 0,2  m , wykonanego z izolatora. Pierścień obraca się, wykonując 2 ⋅ 10 4  obr ∕ min wokół osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do płaszczyzny pierścienia. Oblicz indukcję pola magnetycznego w środku tego pierścienia. Cienki, nieprzewodzący dysk o promieniu R może się swobodnie obracać wokół osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do płaszczyzny dysku. Dysk naładowany jest jednorodnie ładunkiem o całkowitej wartości równej q . Przyjmując, że dysk obraca się ze stałą prędkością kątową ω , oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w jego środku. B = μ 0  σ  ω ∕ 2 ⋅ R . Rozważ dysk z poprzedniego zadania: oblicz wartość indukcji magnetycznej w punkcie na centralnej osi dysku położonym w odległości y ponad jego płaszczyzną. Rozważając osiowe pole magnetyczne o indukcji B v = μ 0  I  R 2 ∕ 2  y 2 + R 2 3 ∕ 2 , wytwarzane przez kołową pętlę przedstawioną poniżej, oblicz całkę ∫ − a a B y  d y . Wykaż także, że lim a ⟶ ∞ ∫ − a a B y  d y = μ 0  I ; Czy można wywnioskować o wartości tej granicy bez obliczania wartości całki? Wskazówka: Przeanalizuj załączony rysunek. Oblicz odpowiednią pochodną. Gęstość prądu w długim, cylindrycznym przewodzie przedstawionym na poniższym rysunku zmienia się wraz z odległością r od środka tego przewodu zgodnie z funkcją J = c  r , gdzie c oznacza pewną stałą. Jakie jest natężenie prądu płynącego w przewodzie? Jaka jest indukcja pola magnetycznego, wytwarzanego przez ten prąd, jeżeli r < R r < R oraz gdy r ≥ R ? Długi, prosty, cylindryczny przewodnik zawiera cylindryczną wnękę, której oś znajduje się w odległości a od osi przewodnika, jak pokazano na załączonym rysunku. Gęstość prądu w przewodniku opisana jest równaniem J → = J 0  k ̂ , gdzie J 0 jest stałą, a k ̂ leży na osi tego przewodnika. Oblicz indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie P wewnątrz wnęki. W tym celu należy dokonać superpozycji pola pełnego cylindrycznego przewodnika o promieniu R 1 , w którym płynie prąd o gęstości J → , i pola pełnego cylindrycznego przewodnika o promieniu R 2 z prądem o gęstości J → . Następnie należy wykorzystać fakt, że odpowiednie azymutalne wektory jednostkowe określone są wyrażeniami: θ ̂ 1 = k ̂ × r ̂ 1 . Należy wykazać w ten sposób, że w dowolnym punkcie wnęki indukcja pola magnetycznego określona jest za pomocą stałej B → = 1 ∕ 2 ⋅ μ 0  J 0  k ̂ × a ̂ . W podanym wzorze wektory a → = r → 1 − r → 2 oraz r → 1 = r 1  r ̂ 1 określają położenie punktu P względem środka przewodnika, a wektor r → 2 = r 2  r ̂ 2 – położenie tego punktu względem środka wnęki. Przeprowadź stosowne wyprowadzenie. Pomiędzy dwoma końcami magnesu w kształcie podkowy pole magnetyczne jest jednorodne, jak pokazano na rysunku. Linie pola magnetycznego zakrzywiają się jednak w miarę oddalania się od krawędzi magnesu. Wykaż za pomocą prawa Ampère’a, że linie pola muszą się zakrzywiać oraz że wskutek tego zakrzywienia pole magnetyczne słabnie. Wykaż, że wartości indukcji pola magnetycznego cienkiego przewodu oraz pętli z prądem w nieskończonej od nich odległości zerują się. Wartości indukcji magnetycznej, wyrażone odpowiednimi wzorami, zmierzają do zera, gdy występujące w nich odległości radialne dążą do nieskończoności. W obszarze, w którym występuje stałe pole magnetyczne o równoległych liniach, zaznaczonych na rysunku ciągłymi strzałkami, określono kontur Ampère’a, przedstawiony linią przerywaną. Oblicz iloczyn B → ⋅ d l → na każdym z boków tego konturu, a następnie wartość całki ∮ B → ⋅ d l → po pełnym konturze. Czy możliwe jest znalezienie konturu Ampère’a, przy którym obliczenia byłyby łatwiejsze? Czy otrzymane w obu przypadkach wyniki będą ze sobą zgodne? W bardzo długim, cienkim, cylindrycznym przewodzie o promieniu R płynie prąd o gęstości J . Gęstość prądu w przekroju poprzecznym przewodu nie jest stała i w punkcie odległym o r od jego środka jest określona wzorem J = J 0 ⋅ r ∕ R , w którym J 0 jest stałą. Znajdź wartość indukcji magnetycznej pola w punkcie na zewnątrz przewodu; w punkcie wewnątrz przewodu. Zapisz odpowiedź, używając natężenia prądu I płynącego w przewodzie. a. B = μ 0  J 0  R 2 ∕ 3  r = μ 0  I ∕ 2  π  r ; b. B = μ 0  J 0  r 2 ∕ 3  R = μ 0  I  r 2 ∕ 2  π  R 3 . W bardzo długim, cylindrycznym przewodzie o promieniu a wykonano okrągły otwór o promieniu b . Środek otworu jest odległy o d od środka przewodu. W przewodzie, w kierunku od płaszczyzny rysunku, płynie jednorodny prąd o natężeniu I . Oblicz wartość indukcji magnetycznej w punkcie na krawędzi otworu położonym najbliżej środka grubego przewodu; w dowolnym punkcie wewnątrz otworu; w dowolnym punkcie na zewnątrz przewodu. Pole magnetyczne wewnątrz torusa. Rozpatrz torus o kwadratowym przekroju poprzecznym, którego wewnętrzny promień wynosi a , natomiast zewnętrzny równy jest b . Na torusie nawinięto równomiernie N zwojów izolowanego cienkiego przewodu, który podłączono do akumulatora wytwarzającego w uzwojeniu prąd o natężeniu I . Zakładając, że prąd na górnej i dolnej powierzchni toroidu ma kierunek radialny oraz że prąd na jego wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni bocznej płynie w kierunku pionowym, wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz toroidu w funkcji odległości radialnej r od jego osi. B = μ 0  N  I ∕ 2  π  r . Dane są dwie długie, koncentryczne rury miedziane. Wewnętrzny promień rury wewnętrznej wynosi a , natomiast zewnętrzny równy jest b . Promienie wewnętrzny i zewnętrzny rury zewnętrznej wynoszą odpowiednio c i d . Długość każdej z rur wynosi L . Rury podłączono do akumulatora o napięciu U , a następnie odłączono od niego. Po odłączeniu akumulatora obie rury wprawiono w ruch obrotowy w tym samym kierunku, wokół ich wspólnej osi, nadając im prędkość kątową o wartości ω radianów na sekundę. Znajdź indukcję pola magnetycznego w punkcie wewnątrz przestrzeni ograniczonej rurą wewnętrzną, gdy r ≤ a ; w punkcie pomiędzy rurami, to znaczy gdy b < r < c ; w punkcie na zewnątrz rur, jeżeli r ≥ d r \geq d . Q = U  C , C = 2  π  ε 0  L ∕ ln c ∕ b . Zadania trudniejsze Załączony rysunek przedstawia płaski, nieskończenie długi pas o szerokości a , w którym płynie prąd o natężeniu I – równomiernie rozłożony w jego przekroju poprzecznym. Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie P leżącym na płaszczyźnie arkusza w odległości x od jednej z jego krawędzi. Sprawdź otrzymane rozwiązanie w granicznym przypadku a ⟶ ∞ . B = μ 0  I ∕ 2  π  x . Dany jest, przedstawiony na załączonym rysunku, prostokątny fragment płaszczyzny x y . Hipotetyczny prąd płynący wzdłuż osi z wytwarza pole magnetyczne o indukcji B → = C  x ∕ y 2 ⋅ i ̂ + 1 ∕ y ⋅ j ̂ . Wykorzystując prawo Ampère’a, oblicz natężenie prądu płynącego przez ten prostokąt. Nieprzewodzący, wykonany z twardej gumy, okrągły dysk o promieniu R został równomiernie naładowany tak, że powierzchniowa gęstość jego ładunku wynosi σ . Dysk wprawiono w ruch obrotowy wokół jego osi z , nadając mu prędkość kątową ω . Wyznacz wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie na osi dysku w odległości h metrów od jego środka; Określ wartość liczbową indukcji pola magnetycznego, jeżeli: powierzchniowa gęstość ładunku σ = 1  C ∕ m 2 , R = 20  cm , h = 2  cm oraz ω = 400  rad ∕ s . Otrzymany wynik porównaj z wartością indukcji pola magnetycznego Ziemi, wynoszącą około 0,5 gaussa. a. B = μ 0  σ  ω ∕ 2 ⋅ 2  h 2 + R 2 ∕ R 2 + h 2 − 2  h ; b. B = 4,09 ⋅ 10 − 5  T , 82  % wartości indukcji ziemskiego pola magnetycznego. materiały diamagnetyczne (ang. diamagnetic material ) materiały, których dipole magnetyczne ustawiają się przeciwnie do zewnętrznego pola magnetycznego; po usunięciu pola materiały te pozostają nienamagnesowane materiały ferromagnetyczne (ang. ferromagnetic material ) materiały zawierające spontanicznie namagnesowane obszary (domeny); po usunięciu pola materiały te są nadal namagnesowane histereza (ang. hysteresis ) niejednoznaczna zależność indukcji magnetycznej wewnątrz substancji magnetycznej od zewnętrznego pola magnetycznego, wynikająca z nieodwracalności procesów przemagnesowania podatność magnetyczna (ang. magnetic susceptibility ) stosunek wartości indukcji pola magnetycznego wewnątrz materiału do wartości indukcji magnetycznej pola przyłożonego do materiału w danej chwili; dodatnie podatności są charakterystyczne dla paramagnetyków i ferromagnetyków (uporządkowanych zgodnie z zewnętrznym polem), ujemne podatności – dla diamagnetyków (uporządkowanych przeciwnie do zewnętrznego pola) materiały paramagnetyczne (ang. paramagnetic material ) materiały, których dipole magnetyczne ustawiają się zgodnie z kierunkiem przyłożonego pola magnetycznego; po usunięciu pola materiał nie jest namagnesowany domeny magnetyczne (ang. magnetic domains ) spontaniczne namagnesowane obszary w ferromagnetykach, w których momenty magnetyczne są uporządkowane

Science


Wstęp Czarny pasek, widoczny na odwrocie kart kredytowych i innych kart, na których przechowuje się dane, jest bardzo cienką warstwą materiału magnetycznego, będącą nośnikiem informacji. Aby odczytać i zapisać informacje na tego rodzaju karcie, należy ją ręcznie przeciągnąć w szczelinie czytnika. Bankomat z kolei wyposażony jest w mechanizm automatycznie wciągający kartę w głąb urządzenia odczytującego. Zjawisko fizyczne leżące u podstaw takiej metody przechowywania danych nosi nazwę indukcji elektromagnetycznej i jest przedmiotem rozważań w niniejszym rozdziale. Rozpatrywaliśmy już pola elektryczne, wytwarzane przez nieruchome układy ładunków, oraz pola magnetyczne – wytwarzane przez prąd stały. Zjawiska elektromagnetyczne nie mają jednak charakteru wyłącznie statycznego. W przypadku większości interesujących zastosowań elektromagnetyzmu mamy bowiem do czynienia z procesami niestacjonarnymi. Aby zbadać niektóre z tych procesów, musimy odrzucić dotychczasowe założenie o niezależności zjawisk elektromagnetycznych od czasu i dopuścić w rozważaniach, że odpowiednie pola są zmienne w czasie. W tym rozdziale i kilku następnych dostrzeżesz piękną symetrię obecną w zachowaniu się zmiennych w czasie pól elektrycznych i magnetycznych. W ujęciu matematycznym symetrię tę reprezentuje dodatkowy człon w równaniu będącym prawem Ampère’a oraz kolejne, podstawowe równanie elektromagnetyzmu – zwane prawem Faradaya. Omówimy także, w jaki sposób ruch przewodu w polu magnetycznym powoduje powstanie siły elektromotorycznej bądź napięcia elektrycznego. Na zakończenie opiszemy zastosowania tychże praw – na przykład w pokazanym na zdjęciu czytniku kart.

Science


Prawo Faradaya Pierwsze owocne doświadczenia dotyczące zjawisk wywołanych zmiennymi w czasie polami magnetycznymi przeprowadził w roku 1831 Michael Faraday (1791–1867) . Jeden z jego wczesnych eksperymentów przedstawia galwanometr ( ). Zgodnie z tym rysunkiem zmiana pola magnetycznego w cewce wywołana wsuwaniem bądź wysuwaniem magnesu sztabkowego powoduje indukowanie się siły elektromotorycznej (SEM) (ang. electromagnetic force ). Znak siły elektromotorycznej zmienia się na przeciwny przy zmianie kierunku ruchu magnesu oraz przy odwróceniu jego biegunów. Analogiczne efekty zaobserwujemy, poruszając cewką względem magnesu – w powstawaniu SEM istotny jest bowiem względny ruch obu obiektów. Siła elektromotoryczna będzie tym większa, im ów względny ruch będzie szybszy. SEM nie powstanie, gdy położenie magnesu względem cewki będzie stacjonarne. Ruch magnesu względem cewki powoduje powstanie siły elektromotorycznej, jak pokazano w częściach (a)–(d). Ta sama SEM powstaje, gdy cewka porusza się względem magnesu. Krótkotrwała SEM występuje tylko w czasie trwania ruchu – przy czym im większa jest jego szybkość, tym większa jest wartość siły elektromotorycznej. SEM nie powstaje, gdy magnes i cewka pozostają względem siebie w spoczynku – patrz rysunek (e). Faraday odkrył także, że podobne zjawisko występuje w układzie dwóch obwodów elektrycznych – zmiana natężenia prądu w jednym z nich indukuje prąd w drugim obwodzie, znajdującym się w jego pobliżu. Na przykład w chwili zamknięcia wyłącznika w obwodzie 1, przedstawionym w części (a) , wskazówka amperomierza w obwodzie 2 wychyla się na chwilę, co oznacza, że w obwodzie tym został zaindukowany krótkotrwały impuls prądu. Wskazówka amperomierza szybko powraca do pozycji wyjściowej, w której pozostaje. Otwarcie w pewnej chwili wyłącznika w obwodzie 1 powoduje w obwodzie 2 powstanie kolejnego krótkotrwałego impulsu prądu, płynącego w kierunku przeciwnym do zaobserwowanego poprzednio. (a) Zamknięcie wyłącznika w obwodzie 1 powoduje wytworzenie krótkotrwałego impulsu prądu w obwodzie 2. (b) Gdy wyłącznik pozostaje zamknięty, w obwodzie 2 prąd nie płynie. (c) Otwarcie wyłącznika ponownie powoduje przepływ krótkotrwałego prądu w obwodzie 2, jednak w kierunku przeciwnym do zaobserwowanego poprzednio. Faraday uznał, że w obu eksperymentach prąd w obwodzie zawierającym amperomierz płynął jedynie wtedy, gdy w przestrzeni obejmowanej przez ten obwód następowała zmiana pola magnetycznego. Istotnie – ruch magnesu pokazanego na rysunku powodował zmianę pola w pobliżu przewodzącej pętli. Podobnie, na skutek włączania i wyłączania prądu w obwodzie 1, jego pole magnetyczne oddziałujące na obwód 2 się zmieniało. Wyniki tych i innych eksperymentów z zastosowaniem zmiennych w czasie pól magnetycznych umożliwiły Faradayowi sformułowanie następującego prawa: Prawo Faradaya Wartość ε indukowanej siły elektromotorycznej jest równa zmianie wartości strumienia magnetycznego Φ B , przypadającej na jednostkę czasu, wziętej ze znakiem minus. Powstanie SEM (lub napięcia elektrycznego) jest więc skutkiem dowolnej zmiany wielkości pola magnetycznego oddziałującego na cewkę albo zmiany położenia względem powierzchni, obejmowanej przez tę cewkę. Strumień magnetyczny (ang. magnetic flux ) jest miarą liczby linii pola magnetycznego przechodzącego przez daną powierzchnię – jak pokazano na . Zauważmy, że podana definicja jest analogiczna do omawianej wcześniej definicji strumienia pola elektrycznego. Wyrażając strumień magnetyczny za pomocą poniższej całki Φ B = ∬ S B → ⋅ n ̂  d S  , \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot \hat{n} \d S \text{,} siłę elektromotoryczną (lub napięcie), indukowaną w przewodniku bądź cewce, znajdujących się w obszarze zmiennego w czasie strumienia magnetycznego możemy zapisać jako ε = − d d t ∬ S B → ⋅ n ̂  d S = − d Φ B d t  . \epsilon = - \dd{t} \iint_S \vec{B} \cdot \hat{n} \d S = - \frac{\d \Phi_B}{\d t} \text{.} Znak minus oznacza kierunek, w którym płynie prąd wywołany działaniem indukowanej SEM. Kierunek ten można jednak znacznie łatwiej określić, stosując tak zwaną regułę Lenza, którą teraz pokrótce omówimy. Strumień magnetyczny jest określony liczbą linii pola przecinających powierzchnię S – zdefiniowaną za pomocą jej wektora jednostkowego n ̂ . Jeżeli wektory jednostkowy powierzchni n ̂ oraz indukcji pola magnetycznego B → są do siebie równoległe lub antyrównoległe (jak na rysunku), strumień magnetyczny dla danych wartości powierzchni i indukcji magnetycznej jest maksymalny. Część (a) na przedstawia obwód elektryczny wraz z powierzchnią S rozpiętą na tym obwodzie. Zauważmy, że S jest powierzchnią otwartą. Można wykazać, że w celu obliczenia strumienia Φ B możliwe jest wykorzystanie dowolnej otwartej powierzchni rozpiętej na tym obwodzie. Na przykład strumień Φ B będzie taki sam przy różnych powierzchniach S 1 S 2 … S_1, S_2, \dots przedstawionych w części (b) na . (a) Obwód elektryczny z rozpiętą powierzchnią S . Fragment płaszczyzny ograniczony przez ten obwód nie należy do powierzchni S . (b) Trzy dowolne otwarte powierzchnie rozpięte na tym samym obwodzie – wartość strumienia Φ B jest w ich przypadku taka sama. W układzie SI jednostką strumienia magnetycznego jest weber ( Wb \si{\weber} ) 1  Wb = 1  T  m 2  . Powyższa definicja bywa wykorzystywana do wyrażenia indukcji pola magnetycznego – wówczas zamiast tesli używa się weberów na metr kwadratowy ( Wb ∕ m 2 ). W wielu praktycznych zastosowaniach rozpatrywany obwód elektryczny składa się z nawiniętych ciasno N zwojów (patrz ). W tym przypadku na każdy z N zwojów tego obwodu oddziałuje ten sam strumień magnetyczny. Wypadkowy strumień, przechodzący przez wszystkie zwoje cewki, równy jest więc iloczynowi liczby N i strumienia przenikającego pojedynczy zwój. Prawo Faradaya przyjmuje wówczas postać ε = − d d t N  Φ B = − N  d Φ B d t  . \epsilon = - \dd{t} (N\Phi_B) = - N \frac{\d \Phi_B}{\d t} \text{.} Kwadratowa cewka w zmiennym polu magnetycznym przedstawia kwadratową cewkę o boku l = 0,25  m składającą się z N = 200 ściśle nawiniętych zwojów. Rezystancja (opór) cewki R = 5  Ω . Cewkę umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym, którego linie są prostopadłe do jej płaszczyzny i którego indukcja maleje z szybkością d B ∕ d t = − 0,04  T ∕ s . Jaka jest SEM indukowana w cewce? Jakie jest natężenie prądu płynącego w cewce? Kwadratowa cewka składająca się z N zwojów została umieszczona w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B → . Wektor B → \vec{B} jest prostopadły do płaszczyzny cewki i zwrócony ku dołowi rysunku. Strategia rozwiązania Wektor jednostkowy powierzchni n ̂ jest z założenia prostopadły do płaszczyzny cewki. Zwrot wektora n ̂ warto obrać tak, aby wskazywał dół rysunku. Wektor jednostkowy powierzchni n ̂ będzie wówczas równoległy do wektora indukcji pola magnetycznego B → . Wyznaczenie strumienia magnetycznego sprowadzi się zatem do obliczenia iloczynu wartości indukcji magnetycznej i pola powierzchni ramki. Ponieważ pole to jest niezmienne, jedyną wielkością zależną od czasu pozostaje indukcja pola magnetycznego. Oznacza to, że symbol pola powierzchni ramki można wynieść przed operator różniczkowania po czasie. Na zakończenie, znając wartość indukowanej SEM i stosując prawo Ohma, obliczymy natężenie prądu płynącego w cewce. Rozwiązanie Strumień przenikający jeden zwój cewki wynosi Φ B = B  S = B  l 2  . Korzystając z prawa Faradaya, możemy teraz obliczyć SEM. Problem znaku siły elektromotorycznej omówimy w następnym podrozdziale poświęconym regule Lenza ε = − N  d Φ B d t = N  l 2  d B d t = 200 ⋅ 0,25  m 2 ⋅ 0,04  T ∕ s = 0,5  V  . \abs{\epsilon} = \abs{-N \frac{\d \Phi_B}{\d t}} = Nl^2 \frac{\d B}{\d t} = \num{200} \cdot (\SI{0,25}{\metre})^2 \cdot \SI{0,04}{\tesla\per\second} = \SI{0,5}{\volt} \text{.} Natężenie prądu indukowanego w cewce wynosi I = ε R = 0,5  V 5  Ω = 0,1  A  . Znaczenie Gdyby nie można było pominąć zmian pola powierzchni cewki w czasie, jego symbolu nie moglibyśmy wynieść przed operator różniczkowania. Pamiętajmy, że cewka tworzy zamknięty obwód elektryczny. Skutkiem pojawienia się w cewce indukowanego prądu jest niewielka ilość ciepła ogrzewającego jej uzwojenie – do momentu, w którym pole magnetyczne nie przestałoby się zmieniać. Wzrost temperatury uzwojenia cewki powoduje zatem niewielki wzrost pola jej powierzchni. Sprawdź, czy rozumiesz. Uzwojenie ściśle nawiniętej cewki liczy 50 zwojów, jego całkowita rezystancja równa jest 40  Ω , a promień cewki wynosi 4  cm . Z jaką szybkością musi zmieniać się indukcja magnetyczna pola prostopadłego do płaszczyzny tej cewki, aby moc wytworzonego w jej uzwojeniu ciepła Joule’a wynosiła 2  mW ? 1,1  T ∕ s . Podsumowanie Strumień magnetyczny przez pewną zamkniętą powierzchnię definiuje się jako liczbę linii pola magnetycznego przecinających pole powierzchni S określonej przez jej jednostkowy wektor. Jednostką strumienia magnetycznego jest weber, przy czym 1  Wb = 1  T  m 2 . Wartość SEM indukowanej w zwartej cewce, której powierzchnię przecina zmienny w czasie strumień magnetyczny, określona jest prawem Faradaya. Stały w czasie strumień magnetyczny nie powoduje indukowania się w cewce siły elektromotorycznej. Pytania Nieruchoma cewka znajduje się w zmiennym w czasie polu magnetycznym. Czy SEM indukowana w cewce zależy od chwilowej wartości indukcji pola magnetycznego? Nie, wartość SEM zależy jedynie od szybkości zmian pola magnetycznego. Jaką korzyść w eksperymentach Faradaya przyniosłoby użycie cewek składających się z wielu zwojów? Pierścień miedziany oraz pierścień wykonany z drewna, oba o tych samych rozmiarach, umieszczono w polach magnetycznych tak, że zmiana w czasie przecinających je strumieni magnetycznych jest taka sama. Porównaj pola elektryczne oraz natężenia prądów indukowane w obu pierścieniach. Pola elektryczne indukowane w obu pierścieniach są takie same. Siła elektromotoryczna indukowana w pierścieniu miedzianym jest jednak znacznie większa ze względu na jego przewodnictwo elektryczne, znacznie lepsze niż przewodnictwo pierścienia drewnianego. Omów czynniki decydujące o wartości SEM indukowanej w zwartej, przewodzącej pętli. Odpowiedz na poniższe pytania. Czy wartość SEM indukowanej w obwodzie elektrycznym zależy od jego rezystancji? Czy natężenie indukowanego prądu zależy od rezystancji obwodu? a. Nie; b. Tak. W jaki sposób zmiana promienia pętli D, pokazanej na poniższym rysunku, wpłynęłaby na zmianę wartości indukowanej w niej siły elektromotorycznej? Założ, że odległość pętli C i D jest znacznie mniejsza niż ich promienie. Czy w obwodzie elektrycznym, przez który przenika strumień magnetyczny, możliwe jest zaindukowanie się SEM w chwili, gdy strumień ten równy jest zero? Tak, jeśli w poprzedniej (infinitezymalnej) chwili czasu wartość strumienia magnetyczna była różna od zera. Innymi słowy, pochodna strumienia magnetycznego po czasie powinna mieć niezerową wartość w punkcie t = 0  s t=\SI{0}{\second} . Czy siła elektromotoryczna zawsze dąży do zmniejszenia strumienia magnetycznego przechodzącego przez obwód elektryczny? W jaki sposób należy umieścić w zmiennym polu magnetycznym płaską pętlę z drutu, aby nie indukowała się w niej siła elektromotoryczna? Pętlę należy umieścić tak, aby linie pola magnetycznego były prostopadłe do wektora jednostkowego powierzchni pętli. Odpowiada to równoległemu ułożeniu linii pola w stosunku do powierzchni pętli. Normalna do płaszczyzny jednozwojowej przewodzącej pętli skierowana jest pod kątem θ do jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B → . Powierzchnia pętli oraz jej położenie względem pola magnetycznego nie zmieniają się. Wykaż, że SEM indukowaną w pętli opisuje wyrażenie ε = d B ∕ d t ⋅ S  cos θ , w którym S jest polem jej powierzchni. Zadania Średnica cewki składającej się z 50 zwojów wynosi 15  cm . Cewkę umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji 0,5  T w taki sposób, że jej płaszczyzna jest prostopadła do linii tego pola. Oblicz SEM indukowaną w cewce, jeżeli pole magnetyczne zanika równomiernie w czasie 0,1  s ; 1  s ; 60  s . Powtórz obliczenia z powyższego zadania, przyjąwszy, że czas zaniku pola magnetycznego wynosi 0,1  s , a płaszczyzna cewki zorientowana jest względem linii tego pola pod kątem 30 ° ; 60 ° ; 90 ° . a. 3,8  V ; b. 2,2  V ; c. 0  V . Kwadratowa ramka o boku 6  cm wykonana jest z przewodu miedzianego o średnicy 1  mm . Oblicz natężenie prądu w ramce, jeżeli wartość indukcji pola magnetycznego, prostopadłego do jej powierzchni zmienia się z szybkością 5  mT ∕ s . Pole magnetyczne przecinające kołową pętlę o promieniu 10  cm zmienia się w czasie w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Pole jest prostopadłe do płaszczyzny pętli. Narysuj wykres wartości SEM indukowanej w tej pętli w funkcji czasu. ε = − d Φ B ∕ d t = − d B  S ∕ d t = − S  d B ∕ d t \epsilon = - \d \Phi_B / \d t = - \d (BS) / \d t = -S\d B/ \d t , pole powierzchni równe jest S = π  r 2 = π  0,1  m 2 = 3,14 ⋅ 10 -2  m 2 S = \pi r^2 = \pi (\SI{0,1}{\metre})^2 = \SI{3,14e-2}{\metre\squared} , zatem B = 1,5  mT ∕ s ⋅ t B = \SI{1,5}{\milli\tesla\per\second} \cdot t , stąd ε = − 3,14 ⋅ 10 -2  m 2 ⋅ 1,5  mT ∕ s = − 47  mV \epsilon = -\SI{3,14e-2}{\metre\squared} \cdot \SI{1,5}{\milli\tesla\per\second} = -\SI{47}{\milli\volt} , dla 0  ms ≤ t < 2  ms \SI{0}{\milli\second} \leq t < \SI{2}{\milli\second} , B = 3  mT B = \SI{3}{\milli\tesla} , stąd ε = − 3,14 ⋅ 10 -2  m 2 ⋅ 0  mT ∕ s = 0  mV \epsilon = -\SI{3,14e-2}{\metre\squared} \cdot \SI{0}{\milli\tesla\per\second} = \SI{0}{\milli\volt} , dla 2  ms ≤ t < 5  ms \SI{2}{\milli\second} \leq t < \SI{5}{\milli\second} , B = − 3  mT ∕ s ⋅ t + 18  mT B = -\SI{3}{\milli\tesla\per\second} \cdot t + \SI{18}{\milli\tesla} , stąd ε = − 3,14 ⋅ 10 -2  m 2 ⋅ − 3  mT ∕ s = 94  mV \epsilon = -\SI{3,14e-2}{\metre\squared} \cdot (-\SI{3}{\milli\tesla\per\second}) = \SI{94}{\milli\volt} , dla 5  ms ≤ t ≤ 6  ms \SI{5}{\milli\second} \leq t \leq \SI{6}{\milli\second} . Na poniższym rysunku przedstawiono jednozwojową prostokątną cewkę. Wartość indukcji magnetycznej w dowolnym punkcie wewnątrz tej cewki zmienia się w czasie zgodnie z równaniem B = B 0  e − α  t , gdzie B 0 = 0,25  T oraz α = 200  Hz . Przyjąwszy, że rezystancja cewki wynosi 2  Ω , oblicz wartość natężenia prądu płynącego w cewce w czasie t = 0,001  s ; t = 0,002  s ; t = 2  s . Jaka byłaby odpowiedź do poprzedniego zadania, gdyby cewka składała się z 20 nawiniętych ściśle zwojów? Każda z otrzymanych wartości będzie dwudziestokrotnie większa. Pole przekroju poprzecznego długiego solenoidu o n = 10 zwojach na centymetr długości wynosi 5  cm 2 . Solenoid ten otoczony jest cewką składającą się z pięciu zwojów. Po odłączeniu zasilania solenoidu natężenie prądu w jego uzwojeniu maleje do zera w czasie 0,05  s . Oblicz średnią wartość SEM zaindukowanej w cewce, jeżeli przed wyłączeniem zasilania natężenie prądu w solenoidzie wynosiło 0,25  A . Prostokątna ramka z drutu o bokach a i b położona jest w płaszczyźnie x y , jak przedstawiono na poniższym rysunku. Wnętrze ramki przenika zależne od czasu pole magnetyczne, którego indukcję opisuje wzór B →  t = C  x  cos ω  t ⋅ i ̂ + y  sin ω  t ⋅ k ̂  , \vec{B} \apply (t) = C [x \cos (\omega t) \cdot \hat{i} + y \sin (\omega t) \cdot \hat{k}] \text{,} przy czym B →  t wyrażone jest w teslach. Określ wartość siły elektromotorycznej indukowanej w pętli w funkcji czasu. n ̂ = k ̂ , d Φ B = C  y  sin ω  t  d x  d y , Φ B = C  a  b 2  sin ω  t ∕ 2 , ε = − C  a  b 2  ω  cos ω  t ∕ 2 . Indukcja pola magnetycznego prostopadłego do jednozwojowej pętli o średnicy 10  cm maleje od wartości 0,5  T do zera. Pętla ta wykonana jest z drutu miedzianego, którego średnica wynosi 2  mm . Oblicz ładunek przepływający przez przewodnik w czasie zmiany indukcji pola magnetycznego. prawo Faradaya (ang. Faraday’s law ) zmiana strumienia magnetycznego przechodzącego przez zamknięty obwód powoduje powstanie w nim indukowanej siły elektromotorycznej indukowana siła elektromotoryczna (ang. induced EMF ) krótkotrwały impuls napięcia generowany w przewodniku lub cewce wskutek ruchu w polu magnetycznym strumień magnetyczny (ang. magnetic flux ) miara liczby linii pola magnetycznego przecinających daną powierzchnię

Science