Prawo Pascala i układy hydrauliczne W 1653 r. francuski filozof i uczony Blaise Pascal opublikował swój Traktat równowagi płynów , w którym przedstawił zasady statyki płynów. Płyn statyczny to taki, który nie jest w ruchu. Gdy płyn nie płynie, mówimy, że jest w równowadze statycznej. Jeżeli tym płynem jest woda, to mówimy, że znajduje się w równowadze hydrostatycznej (ang. hydrostatic equilibrium ). Dla płynów w równowadze statycznej wypadkowa siła na dowolną jego część musi wynosić zero, bo w przeciwnym przypadku płyn zacząłby się poruszać. Obserwacje Pascala, które później udowodniono eksperymentalnie, są podstawą dziedziny nauki zwanej hydrauliką (ang. hydraulics ). Jest ona jednym z największych osiągnięć współczesnej technologii mechanicznej. Pascal zauważył, że zmiana ciśnienia przyłożonego do płynu jest przekazywana bez strat w całej jego objętości i ostatecznie do ścian naczynia, w którym się on znajduje. Z tego powodu często więcej wiemy o ciśnieniu płynu niż o innych jego cechach fizycznych. Co więcej, z prawa Pascala wynika, że całkowite ciśnienie w danym punkcie płynu jest sumą ciśnień pochodzących z różnych źródeł. Dobrym przykładem jest ciśnienie na danej głębokości płynu, które zależy zarówno od samej głębokości, jak i od ciśnienia atmosferycznego. Prawo Pascala Zasada Pascala, znana również pod nazwą prawo Pascala (ang. Pascal’s principle ), stwierdza, że zmiana ciśnienia przyłożonego do płynu jest przekazywana bez strat do wszystkich jego części i ostatecznie do ścianek naczynia zawierającego płyn. Atomy, które mogą się swobodnie poruszać w naczyniu przekazują ciśnienie do wszystkich części płynu oraz do ścian naczynia. Dowolna zmiana ciśnienia jest przekazywana bez strat. Zwróćmy uwagę, że zasada ta nie mówi, że ciśnienie jest takie samo we wszystkich częściach. Nie jest to prawdą, na przykład dlatego, że ciśnienie płynu w pobliżu Ziemi zmienia się wraz z wysokością. Zasada ta odnosi się raczej do zmiany ciśnienia. Załóżmy, że umieścimy wodę w cylindrycznym pojemniku o wysokości H i polu przekroju A , na którego szczycie znajduje się ruchomy tłok o masie m ( ). Przyłożenie dodatkowego ciężaru M g do tłoka zwiększa ciśnienie na szczycie o M g / A , ponieważ ta dodatkowa siła jest przyłożona również do powierzchni A tłoka zamykającej cylinder: Δ p góra = M g A . Ciśnienie płynu zmienia się, gdy płyn zostanie poddany dodatkowemu ciśnieniu. (a) Ciśnienie na górną warstwę płynu jest inne niż ciśnienie na dolną warstwę. (b) Wzrost ciśnienia spowodowany przez dodanie ciężaru do tłoka jest taki sam w każdym punkcie płynu, na przykład p góra nowe − p góra = p dół nowe − p dół . Zgodnie z zasadą Pascala ciśnienie we wszystkich punktach wody zmienia się o tę samą wielkość M g / A . Zatem ciśnienie przy dnie również zwiększa się o M g / A . Ciśnienie przy dnie zbiornika stanowi sumę ciśnienia atmosferycznego, ciśnienia związanego z działaniem słupa płynu oraz ciśnienia wywieranego przez dodatkową masę. Zmiana ciśnienia przy dnie naczynia związana z dodatkową masą wynosi: Δ p dół = M g A . Ponieważ zmiany ciśnienia są takie same w każdym miejscu w płynie, nie potrzebujemy dodatkowych indeksów wskazujących, czy mówimy o dodatkowym ciśnieniu na górze, czy na dole naczynia: Δ p = Δ p góra = Δ p dół = Δ p wszędzie . Beczka Pascala dostarcza znakomitej demonstracji zasady Pascala. Obejrzyjcie następującą symulację doświadczenia Pascala z 1646 r., w którym zademonstrował on skutki zmieniającego się w płynie ciśnienia. Zastosowania zasady Pascala oraz układów hydraulicznych Układy hydrauliczne są podstawą działania hamulców samochodowych, podnośników hydraulicznych i wielu innych układów mechanicznych ( ). Typowy układ hydrauliczny złożony z dwóch wypełnionych płynem cylindrów, zamkniętych tłokami i połączonych rurą zwaną przewodem hydraulicznym. Skierowana w dół siła F → 1 przyłożona do lewego tłoka powoduje zmianę ciśnienia przekazywaną bez strat do wszystkich części płynu w naczyniu. Wywołuje to skierowaną ku górze siłę F → 2 działającą na prawy tłok. Siła ta jest większa niż F → 1 , ponieważ pole powierzchni prawego tłoka jest większe. Możemy wyprowadzić związek między siłami w tym prostym układzie hydraulicznym, stosując zasadę Pascala. Zwróćmy uwagę, że oba tłoki znajdują się na tej samej wysokości, więc nie ma różnicy ciśnień związanej z głębokością. Ciśnienie związane z siłą F 1 działającą na powierzchnię A 1 wynosi: p 1 = F 1 A 1 , zgodnie z definicją p = F A . Zgodnie z zasadą Pascala ciśnienie to zostaje przekazane bez strat do wszystkich punktów w płynie oraz do ścian naczynia. W związku z tym ciśnienie p 2 równe p 1 działa również przy drugim tłoku. Otrzymujemy p 1 = p 2 . Ponieważ jednak p 2 = F 2 / A 2 , otrzymujemy ostateczny wynik: F 1 A 1 = F 2 A 2 . Równanie to wiąże stosunki sił do powierzchni w dowolnym układzie hydraulicznym, pod warunkiem, że tłoki znajdują się na tej samej wysokości oraz że można pominąć tarcie obecne w układzie. Układy hydrauliczne mogą zwiększać lub zmniejszać przyłożoną do nich siłę. Aby zwiększyć siłę, ciśnienie przykłada się do większej powierzchni. Na przykład jeżeli siłę 100 N przyłożymy do lewego cylindra ( ), a prawy cylinder ma powierzchnię pięciokrotnie większą, to siła wyjściowa będzie wynosiła 500 N. Układy hydrauliczne działają analogicznie do dźwigni prostych, ale mają tę zaletę, że ciśnienie może być przekazywane nawet wzdłuż wymyślnie poskręcanych przewodów, w kilka miejsc jednocześnie. Przykładem takiego urządzenia jest podnośnik hydrauliczny (ang. hydraulic jack ). Używa się go do podnoszenia dużych ciężarów, na przykład w warsztatach do unoszenia samochodów. Podnośnik składa się z nieściśliwego płynu umieszczonego w U-kształtnej rurze zakończonej z obu stron ruchomymi tłokami. Mała siła przyłożona do małej powierzchni może zrównoważyć znacznie większą siłę przyłożoną po drugiej stronie do znacznie większej powierzchni ( ). (a) Działanie podnośnika hydraulicznego oparte jest na przyłożeniu sił ( F 1 , F 2 ) do nieściśliwego płynu w rurze o kształcie litery U przy użyciu ruchomych tłoków ( A 1 , A 2 ) z obu stron rury. (b) Podnośniki hydrauliczne są powszechnie używane w warsztatach do unoszenia samochodów, co umożliwia przeprowadzanie napraw i przeglądów. Używając zasady Pascala, możemy pokazać, że siła niezbędna do podniesienia samochodu jest mniejsza niż ciężar samochodu: F 1 = A 1 A 2 F 2 , gdzie F 1 jest siłą przyłożoną w celu podniesienia samochodu, A 1 polem poprzecznego przekroju miniejszego tłoka, A 2 polem przekroju poprzecznego większego tłoka, a F 2 ciężarem samochodu. Obliczanie siły na cylindry hamulcowe Rozważmy samochodowy układ hydrauliczny pokazany na . Załóżmy, że siłę 100 N przyłożono do pedału hamulca (działającego jako źródło siły hamującej), który działa na cylinder pedału hamulcowego (działający jako główny cylinder) przy użyciu dźwigni. Na cylinder została wywarta siła 500 N. Ciśnienie wytworzone na cylindrze pedału hamulcowego jest przekazywane do cylindrów hamulcowych przy czterech kołach pojazdu. Cylinder pedału hamulcowego średnicę 0,500 cm, a każdy z cylindrów hamulcowych przy kołach ma średnicę 2,50 cm. Oblicz wartość siły F 2 wytworzonej przy każdym z cylindrów hamulcowych przy kołach. Hamulce hydrauliczne wykorzystują zasadę Pascala. Kierowca naciska na pedał hamulca, działając wzmacnianą przez dźwignię prostą siłą, przekazywaną do układu hydraulicznego. Przy każdym z identycznych cylindrów hamulcowych przy kołach wytwarzane jest takie samo ciśnienie, i z tego powodu każdy z nich działa taką samą siłą F 2 na swoje koło. Kołowe przekroje poprzeczne cylindra pedału hamulcowego i cylindrów przy kołach przedstawiają odpowiednio przez A 1 oraz A 2 . Strategia rozwiązania Znamy siłę F 1 przyłożoną do cylindra pedału hamulcowego. Pole przekrojów poprzecznych A 1 oraz A 2 można obliczyć z podanych średnic. Do znalezienia siły możemy więc użyć następującej relacji F 2 : F 1 A 1 = F 2 A 2 . Dzięki przekształceniu algebraicznemu, otrzymujemy z jednej strony F 2 i podstawiamy znane wartości. Rozwiązanie Zasada Pascala zastosowana do układu hamulcowego zadana jest przez F 1 A 1 = F 2 A 2 : F 2 = A 2 A 1 F 1 = π r 2 2 π r 1 2 F 1 = ( 1,25 c m ) 2 ( 0,250 c m ) 2 ⋅ 500 N = 1.25 ⋅ 10 4 N Znaczenie Wartość ta to siła wywierana przez każdy z czterech cylindrów przy kołach. Zwróćmy uwagę, że przy kołach możemy zainstalować dowolna liczbę cylindrów. Jeżeli każdy z nich ma średnicę 2,50 cm, to będzie działał siłą 1 , 25 ⋅ 10 4 N . Prosty układ hydrauliczny jest przykładem maszyny prostej i w związku z tym może zwiększać siłę, ale nie może wykonywać większej pracy, niż praca wykonana nad nim. Praca to siła pomnożona przez drogę, na której działa siła, więc tłok cylindra przy kole pokonuje mniejszą drogę niż tłok przy pedale hamulcowym. Dodatkowo, im więcej kół dodamy, tym mniejszą drogę tłok cylindra przebędzie przy każdym z nich. Wiele układów hydraulicznych, takich jak system wspomagania hamowania lub układy hamulcowe w ciężkich maszynach, wykorzystuje pompy z zewnętrznym napędem, który wykonuje większość pracy w układzie. Sprawdź, czy rozumiesz Czy prasa hydrauliczna działałaby, gdyby zamiast cieczy użyto gazu? Tak, urządzenie nadal by działało, ale ponieważ gaz jest ściśliwy, działanie nie byłoby tak efektywne jak w przypadku cieczy. Po zadziałaniu siłą gaz zmniejszyłby swoją objętość, a jego temperatura by wzrosła. Z tego powodu z przewodów hamulcowych musi być usuwane powietrze. Podsumowanie Ciśnienie to siła na jednostkę powierzchni. Zmiana ciśnienia przyłożonego do zamkniętego płynu przekazywana jest bez strat do wszystkich części płynu i do ścian naczynia zawierającego ten płyn. Układ hydrauliczny zawiera zamknięty płyn używany do przekazywania sił. Pytania Załóżmy, że w układzie hydraulicznym główny cylinder znajduje się wyżej niż cylinder, którym steruje. Wyjaśnij, w jaki sposób wpłynie to na siłę generowaną przez cylinder, który jest kontrolowany. Zadania Jakie ciśnienie jest przekazywane w układzie rozważanym w ? Odpowiedź wyraź w atmosferach. 251 atm Z jaką siłą należy działać na główny cylinder podnośnika hydraulicznego, aby utrzymać duży samochód o ciężarze 2000 kg spoczywający na drugim cylindrze? Cylinder główny ma średnicę 2,00 cm, a drugi cylinder 24,0 cm. Po przyjęciu gospodarz zlewa pozostałości kilku butelek wina do jednego słoja. Następnie zatyka go korkiem o średnicy 2,00 cm. Wkłada korek do szyjki w taki sposób, aby stykał się on z winem, a następnie uderza dłonią, aby go lepiej osadzić. Gospodarz zaskoczony jest, gdy dno słoja odrywa się. Oblicz o ile większa siła została wywarta na dno słoja, jeżeli korek został wbity z siłą 120 N, a średnica dna słoja wynosiła 14,0 cm. siła większa o 5,76 ⋅ 10 3 N Układ hydrauliczny został zaprojektowany tak, aby działać siłą 100-krotnie większą niż siła, którą na niego zadziałano. (a) Jaki musi być stosunek pola cylindra, który jest kontrolowany, do pola cylindra głównego? (b) Jaki musi być stosunek ich średnic? (c) O jaki ułamek odległość przebyta przez tłok cylindra kontrolowanego jest mniejsza niż odległość przebyta przez tłok główny? Pomiń opory ruchu. Wykaż, że w układzie hydraulicznym praca wejściowa równa się pracy wyjściowej przy założeniu braku strat związanych z tarciem. W tym celu pokaż, że odległość, na której działa siła wyjściowa, jest zmniejszona o taki sam ułamek, o jaki zwiększono siłę wyjściową. Jaki wpływ miałoby tarcie w płynie i między częściami układu na siłę wyjściową? W jaki sposób zależałoby to od faktu, czy płyn się porusza, czy nie? Jeżeli układ się nie porusza, to tarcie nie będzie miało znaczenia. Wiemy, że w obecności tarcia pojawiają się straty: W o = W i − W f , więc praca wyjściowa byłaby mniejsza niż wejściowa. Innymi słowy, aby zniwelować tarcie, należy działać na tłok wejściowy z siłą większą niż obliczona. podnośnik hydrauliczny (ang. hydraulic jack ) maszyna prosta używająca cylindrów o różnych średnicach do przekazywania sił równowaga hydrostatyczna (ang. hydrostatic equilibrium ) stan, w którym płyn się nie porusza, czyli gdy jest statyczny prawo Pascala (ang. Pascal’s principle ) zmiana ciśnienia przyłożonego do płynu jest przekazywana bez strat do wszystkich części płynu i ostatecznie do ścianek obejmującego płyn naczynia

Science


Prawo Archimedesa i siła wyporu Niektóre obiekty po umieszczeniu w płynie unoszą się ku jego powierzchni dzięki istnieniu siły wyporu. Skąd bierze się ta siła? Dlaczego niektóre przedmioty się unoszą, a inne nie? Czy tonące przedmioty podlegają podobnej sile? Czy na twoje ciało również działa siła wyporu, czy jedynie balony z helem są wypierane przez atmosferę ziemską? (a) Nawet przedmioty, które toną, jak kotwica na rysunku, podlegają sile wyporu po ich zanurzeniu. (b) Gęstość okrętu podwodnego można zmieniać przez opróżnianie i napełnianie zbiorników balastowych, dzięki czemu może się on unosić na wodzie lub zanurzać, w zależności od decyzji załogi. (c) Napełnione helem balony napinają sznurki, do których są przyczepione, co pokazuje działanie siły wyporu. (Źródło (b) modyfikacja ilustracji dostarczonej przez Amerykańską Marynarkę Wojenną. Źródło (c) modyfikacja pracy „Crystl”/Flickr) Odpowiedzi na te pytania oraz na wiele innych oparte są na zjawisku zmiany ciśnienia w płynie wraz z głębokością. Oznacza to, że siła działająca ku górze na dół przedmiotu zanurzonego w płynie jest większa niż siła działająca na jego szczyt. Istnieje więc siła, zwana siłą wyporu (ang. buoyant force ), działająca ku górze na dowolny obiekt zanurzony w płynie ( ). Jeżeli siła wyporu jest większa niż ciężar obiektu, to unosi się on ku powierzchni płynu. Jeżeli siła wyporu równa się ciężarowi obiektu, to przedmiot pozostaje na tej samej głębokości. Siła wyporu jest zawsze obecna, niezależnie od tego, czy przedmiot pływa po powierzchni, tonie, czy jest zawieszony w płynie. Siła wyporu Siła wyporu to skierowana ku górze siła, działająca na każdy obiekt zanurzony w płynie. Ciśnienie wywołane ciężarem płynu zwiększa się z głębokością, ponieważ p = h p g . Ta zmiana ciśnienia powoduje powstanie skierowanej ku górze siły przyłożonej do spodu cylindra, większej niż siła przyłożona do jego szczytu. Ta różnica powoduje powstanie siły wyporu F W . (Siły poziome się znoszą.) Prawo Archimedesa Jaka jest wartość siły wyporu? Aby odpowiedzieć na to pytanie, zastanówmy się nad tym, co by się stało, gdyby usunąć znanurzony przedmiot z płynu jak na . Gdy w płynie nie ma przedmiotu, objętość, w której znajdował się wcześniej, jest zajmowana przez płyn o ciężarze w prz . Ten ciężar jest podtrzymywany przez otaczający płyn, więc siła wyporu musi być równa w prz , czyli ciężarowi płynu wypartego przez przedmiot. Prawo Archimedesa Siła wyporu działająca na zanurzony przedmiot równa się ciężarowi płynu, który jest wyparty przez ten przedmiot. W postaci równania prawo Archimedesa (ang. Archimedes’ principle ) przedstawia się następująco: F W = Q prz , gdzie F W jest siłą wyporu, a Q prz ciężarem płynu wypartego przez przedmiot. Prawo to nazwano imieniem greckiego matematyka i wynalazcy Archimedesa (287–212 p.n.e.) , który sformułował powyższą zasadę na długo przed powstaniem pojęcia siły. (a) Obiekt zanurzony w płynie doświadcza siły wyporu F W . Zacznie się on unosić, jeżeli F W będzie większa niż ciężar obiektu. Jeżeli F W jest mniejsza niż ciężar obiektu, to będzie on tonął. (b) Jeżeli usuniemy obiekt, to przestrzeń po nim zostanie zastąpiona wodą o ciężarze Q prz . Ponieważ ciężar ten musi być podtrzymywany przez otaczający płyn, siła wyporu musi być równa ciężarowi wypartego płynu. Prawo Archimedesa odnosi się do siły wyporu, która pojawia się, gdy ciało zostanie całkowicie lub częściowo umieszczone w wodzie. Siła związana z ciśnieniem płynu działa na ciało prostopadle do jego powierzchni. Innymi słowy siła związana z ciśnieniem na spodzie ciała jest skierowana ku górze, podczas gdy siła działająca na jego górę jest skierowana ku dołowi. Siły związane z ciśnieniem działające na boki są skierowane do wewnątrz ciała. Ponieważ spód zanurzonego ciała znajduje się na większej głębokości niż jego szczyt, ciśnienie na dolną część ciała jest większe niż ciśnienie na górną część, jak pokazano na . W związku z tym powstaje wypadkowa siła działająca na ciało ku górze. Ta siła nazywana jest siłą wyporu lub po prostu wypornością. Często podaje się, że Archimedes zakrzyknął Eureka (czyli znalazłem) po odkryciu zasady, która doprowadziła do sformułowania prawa Archimedesa. Mówi się, że wszystko zaczęło się od wanny. Aby zapoznać się z pełną historią, odwiedź NASA lub Scientific American . Gęstość a prawo Archimedesa Gruda gliny wrzucona do wody tonie, jednak jeżeli uformujemy z niej statek, to będzie on pływał. Z powodu swojego kształtu statek z gliny wypiera więcej wody niż gruda gliny i w związku z tym doświadcza większej siły wyporu, mimo że masy są identyczne. Ta sama zasada obowiązuje w przypadku stalowych statków. Średnia gęstość przedmiotu determinuje to, czy będzie on pływał, czy zatonie. Jeżeli jego średnia gęstość jest mniejsza niż gęstość otaczającego płynu, to będzie się on unosił w kierunku powierzchni. Dzieje się tak dlatego, że gęstszy płyn zawiera więcej masy w tej samej objętości, co pociąga za sobą jego większą wagę. Siła wyporu, równa ciężarowi wypartego płynu, jest większa niż ciężar obiektu. Podobnie obiekt o większej gęstości niż płyn zatonie. Rozmiar części obiektu zanurzonej w płynie zależy od tego, jaka jest jego gęstość względem płynu. Na rozładowany statek ma mniejszą gęstość i w związku z tym mniejsza jego część jest zanurzona w porównaniu z sytuacją, gdy statek jest załadowany. Możemy wyprowadzić wyrażenie określające, w jakiej części przedmiot jest zanurzony, rozważając te gęstości. Zanurzoną część możemy wyrazić stosunkiem zanurzonej objętości do pełnej objętości przedmiotu, czyli: zanurzona część = V zan V o = V pł V o . Zanurzona objętość równa jest objętości wypartego płynu, którą nazwiemy V pł . Możemy teraz uzyskać zależność między gęstościami, podstawiając ρ = m / V do tego wyrażenia. Otrzymujemy dzięki temu: V zan V o = m pł / ρ pł m o / ρ o , gdzie ρ o jest średnią gęstością obiektu, a ρ pł gęstością płynu. Ponieważ obiekt unosi się na powierzchni, jego masa oraz masa wypartego płynu muszą być takie same, więc skracają się w równaniu, dzięki czemu uzyskujemy: zanurzona część = ρ o ρ pł . Tej zależności można używać do pomiaru gęstości. Rozładowany statek (a) mniej zanurza się w wodzie niż załadowany (b). Obliczanie średniej gęstości Załóżmy, że 60-kilogramowa kobieta unosi się w wodzie słodkiej i 97,0% jej objętości znajduje się pod wodą, gdy jej płuca wypełnione są powietrzem. Jaka jest jej średnia gęstość? Strategia rozwiązania Możemy obliczyć gęstość tej osoby, rozwiązując równanie: zanurzona część = ρ o ρ pł ze względu na gęstość obiektu. Otrzymujemy: ρ o = ρ osoby = (zanurzona część) · ρ pł . Znamy zarówno rozmiar zanurzonej części, jak i gęstość wody, możemy więc obliczyć gęstość kobiety. Rozwiązanie Podstawiając znane wartości do wyrażenia na gęstość, otrzymujemy: ρ osoby = 0,970 ⋅ 10 3 k g m 3 = 970 k g m 3 . Znaczenie Gęstość kobiety jest mniejsza niż gęstość płynu – było to do przewidzenia w obliczu faktu, że unosi się ona na wodzie. Wiele obiektów lub substancji o niższej gęstości unosi się w płynach o wyższej gęstości: olej na wodzie, balon z gorącym powietrzem w atmosferze, kawałek korka w winie, góra lodowa w słonej wodzie czy gorący wosk w „lampie lawowej”. Mniej oczywistym przykładem są łańcuchy górskie unoszące się na położonej pod nimi gęstszej skorupie ziemskiej i płaszczu. Nawet stała powierzchnia Ziemi ma pewne własności płynów. Pomiar gęstości Jedna z najczęstszych technik określania gęstości pokazano na . (a) Moneta jest ważona w powietrzu. (b) Pomiar pozornego ciężaru zanurzonej w wodzie monety. Te dwa pomiary są wykorzystywane do obliczenia gęstości monety. Przedmiot, w tym przypadku monetę, ważymy najpierw w powietrzu, a następnie po zanurzeniu w płynie. Jeżeli znamy gęstość płynu, to możemy obliczyć również gęstość monety, co pozwala określić jej autentyczność. Tej samej techniki możemy użyć do obliczenia gęstości płynu, jeżeli znamy gęstość monety. Wszystkie powyższe obliczenia oparte są na prawie Archimedesa, które stwierdza, że siła wyporu działająca na przedmiot równa jest ciężarowi płynu przez ten przedmiot wypartego. Fakt ten z kolei oznacza, że obiekty pozornie tracą na wadze po zanurzeniu – wagę po zanurzeniu nazywamy wagą pozorną. Przedmiot doświadcza utraty wagi równej ciężarowi wypartego płynu. Inaczej mówiąc, na wadze szalkowej mierzącej masę pozorna utrata masy równa się masie wypartego płynu. Czyli pozorna utrata wagi równa jest wadze wypartego płynu, a pozorna utrata masy równa jest masie wypartego płynu. Podsumowanie Siła wyporu jest siłą wypadkową skierowaną ku górze, przyłożoną do dowolnego obiektu zanurzonego w dowolnym płynie. Jeżeli siła wyporu jest większa niż ciężar przedmiotu, to zacznie się on poruszać ku powierzchni, a później będzie się na niej unosił. Jeżeli siła wyporu jest mniejsza niż waga przedmiotu, to przedmiot zatonie. Jeżeli siła wyporu równa się masie przedmiotu, który jest w spoczynku, to pozostanie on na obecnej głębokości. Siła wyporu jest zawsze obecna i zawsze działa na przedmiot zanurzony całkowicie lub częściowo w płynie. Prawo Archimedesa stwierdza, że siła wyporu działająca na przedmiot równa się ciężarowi wypartego przez ten przedmiot płynu. Pytania Aby wyciągnąć korek z pełnej wanny, musimy zadziałać siłą większą niż przy wyciąganiu go z pustej wanny. Czy ten przykład przeczy prawu Archimedesa? Odpowiedź uzasadnij. Nie! Prawo Pascala mówi, że zmiana ciśnienia jest przekazywana do całej objętości płynu. Powodem, dla którego wyciągnięcie korka z pełnej wanny wymaga większej siły, jest ciężar wody nad korkiem. Czy płyny działają siłą wyporu w nieważkości, np. na promie kosmicznym? Odpowiedź uzasadnij. Czy ten sam statek będzie mniej zanurzony w wodzie słonej, czy w słodkiej? Odpowiedź uzasadnij. Siła wyporu równa się ciężarowi wypartego płynu. Im większa jest gęstość płynu, tym więcej trzeba go wyprzeć, aby uzyskać wagę obiektu, który po nim pływa. Ponieważ gęstość wody słonej jest większa niż słodkiej, to mniej wody słonej zostanie wypartej i statek będzie w niej mniej zanurzony. Szklane kulki wrzucone do częściowo wypełnionej wanny opadają na dno. Część ich ciężaru jest równoważona przez siłę wyporu, jednak siła wypadkowa na dno wanny zwiększa się dokładnie o wagę kulek. Wyjaśnij, dlaczego. Zadania Oblicz, jaka część lodu jest zanurzona, gdy pływa on po wodzie słodkiej. Gęstość wody w 0 °C jest prawie równa 1000 kg/m 3 , a gęstość lodu 992 kg/m 3 ? Jeżeli gęstość ludzkiego ciała wynosi 995 kg/m 3 , to jaka jego część będzie zanurzona podczas pływania w: (a) wodzie słodkiej (b) wodzie słonej o gęstości 1027 kg/m 3 ? a. zanurzone 99,5%; b. zanurzone 96,9% Pomiar masy kamienia w powietrzu daje wynik 540 g, a w wodzie jego pozorna masa wynosi 342 g. (a) Jaka masa wody została wyparta? (b) Jaka jest objętość kamienia? (c) Jaka jest jego średnia gęstość? Czy taka sama jak gęstość granitu? Prawa Archimedesa można użyć do obliczenia gęstości zarówno płynów, jak i ciał stałych. Załóż, że kawałek żelaza o masie 390,0 g, zmierzonej w powietrzu ma masę pozorną 350,5 g po całkowitym zanurzeniu w nieznanym płynie. (a) Jaką masę płynu wyparło żelazo? (b) Jaka jest objętość całego kawałka żelaza – użyj gęstości podanej w ? (c) Oblicz gęstość płynu i zidentyfikuj go. a. 39,5 g; b. 50 cm 3 ; c. 0,79 g/cm 3 ; alkohol etylowy (a) Oblicz siłę wyporu działającą na 2-litrowy balon z helem. (b) Wiedząc, że masa gumy, z której wykonano balon wynosi 1,50 g, oblicz pionową wypadkową siłę działającą na balon po spuszczeniu go ze sznurka. Pomiń objętość gumy. Jaka jest gęstość kobiety, która unosi się w wodzie słodkiej z 4,00 % objętości swojego ciała nad powierzchnią wody? (Można zmierzyć to, umieszczając ją w wycechowanym zbiorniku i sprawdzając, ile wody zostanie wypartej podczas pływania oraz podczas pełnego zanurzenia.) (b) Jaka część objętości kobiety znajdzie się nad wodą, gdy będzie się ona unosiła w wodzie słonej? a. 960 kg/m 3 ; b. 6,34%; mniejsze zanurzenie w wodzie słonej Masa mężczyzny wynosi 80 kg, a jego gęstość 955 k g / m 3 (nie licząc powietrza w płucach). (a) Oblicz jego objętość. (b) Znajdź siłę wyporu, z jaką działa na niego powietrze. (c) Jaki jest stosunek siły wyporu do jego wagi? Prosty kompas zbudowany jest w taki sposób, że umieszcza się niewielką sztabkę magnesu na korku pływającym po wodzie. (a) Jaka część nieobciążonego korka będzie zanurzona podczas unoszenia się na wodzie? (b) Jeżeli korek ma masę 10,0 g, a magnes 20,0 g, to jaka część korka będzie zanurzona? (c) Czy korek z magnesem będą w tej sytuacji pływały po alkoholu etylowym? a. 0,24; b. 0,68; c. tak, będą pływały w alkoholu etylowym. Jaki procent wagi żelaznej kotwicy będzie zrównoważony przez siłę wyporu, jeżeli zostanie ona zanurzona w słonej wodzie? Używając , udowodnij, że siła wyporu na cylinder jest równa ciężarowi wypartego płynu (prawo Archimedesa). Możesz założyć, że siła wyporu wynosi F 2 − F 1 i że pola powierzchni podstaw cylindra są równe A . Zwróć uwagę, że objętość cylindra (oraz wypartego przezeń płynu) równa jest ( h 2 − h 1 ) A . F wyp = F 2 − F 1 = p 2 A − p 1 A = ( p 2 − p 1 ) A = ( h 2 ρ pł g − h 1 ρ pł g ) A = ( h 2 − h 1 ) ρ pł g A , gdzie ρ pł = gęstość płynu F wyp = ( h 2 − h 1 ) A ρ pł g = V pł ρ pł g = m pł g = w pł Mężczyzna o masie 75,0 kg unosi się na wodzie słodkiej, przy czym nad wodą znajduje się 3,00% jego objętości, gdy jego płuca są puste, a 5,00% objętości, gdy są wypełnione powietrzem. Oblicz objętość powietrza w płucach – zwaną pojemnością płuc – w litrach. (b) Czy jest ona zgodna z twoimi przewidywaniami? prawo Archimedesa (ang. Archimedes’ principle ) siła wyporu działająca na obiekt równa jest ciężarowi wypartego płynu siła wyporu (ang. buoyant force ) wypadkowa siła skierowania ku górze, działająca na obiekt zanurzony w płynie, wywołana różnicami ciśnienia na różnych głębokościach

Science


Dynamika płynów W pierwszej części tego rozdziału zajmowaliśmy się statyką płynów, czyli płynami w spoczynku. Pozostała część rozdziału dotyczy dynamiki płynów, czyli badania ich w ruchu. Nawet najbardziej podstawowy ruch płynu może się okazać bardzo skomplikowany. Z tego powodu w wielu przykładach ograniczymy nasze rozważania do płynów idealnych (ang. ideal fluid ). Płyn idealny jest to płyn o pomijalnej lepkości (ang. viscosity ). Lepkość to miara wewnętrznego tarcia w płynie – omówimy ją bardziej szczegółowo w rozdziale Lepkość i turbulencja . W oparciu o kilka przykładów przeanalizujemy płyn nieściśliwy, to znaczy taki, w którym zmiana objętości wymaga ogromnej siły, czyli jego gęstość w całej objętości pozostaje stała. Cechy przepływu W dziedzinach takich jak meteorologia do zilustrowania przepływu płynu często używamy wektorów prędkości. Na przykład ruch powietrza w atmosferze podczas wiatru może być przedstawiony przez wektory wskazujące wartość i kierunek prędkości w dowolnym punkcie na mapie. prezentuje wektory prędkości opisujące wiatry podczas huraganu Artur w 2014 r. Naniesione wektory prędkości pokazują kierunki i wartości prędkości wiatrów w huraganie Artur. Zwróćmy uwagę na cyrkulację wiatru wokół oka huraganu. Wartości prędkości są największe w jego pobliżu. Kolory przedstawiają względne wirowości, czyli miarę wirowania wiatru. Inną metodą przedstawiania przepływu płynu jest linia prądu. Linia prądu oddaje drogę przebytą przez małą objętość płynu podczas przepływu. Prędkość jest zawsze styczna do linii prądu. Diagramy na używają linii prądu do zilustrowania dwóch przykładów płynu poruszającego się w rurze. Pierwszy wykazuje cechy przepływu laminarnego (ang. laminar flow ), reprezentowanego przez gładkie, równoległe linie prądu. Zwróćmy uwagę, że w przykładzie pokazanym w części (a) prędkość płynu jest największa w centrum i maleje w pobliżu ścian rury z powodu lepkości płynu i tarcia między ścianami a płynem. Jest to szczególny przypadek przepływu laminarnego, gdzie tarcie między płynem a rurą jest wysokie, nazywany przypadkiem warunków brzegowych bez poślizgu. Drugi diagram prezentuje przepływ turbulentny (ang. turbulent flow ), w którym linie prądu są nieregularne i zmienne w czasie. W przepływie turbulentnym trajektorie płynu są nieregularne, gdyż różne jego części mieszają się i tworzą małe, kołowe regiony przypominające wiry. Może się tak zdarzyć, gdy prędkość płynu osiągnie pewną prędkość krytyczną. (a) Przepływ laminarny można przedstawić jako warstwy płynu poruszające się po równoległych, regularnych trajektoriach. (b) W przepływie turbulentnym różne obszary płynu poruszają się wzdłuż nieregularnych, przecinających się trajektorii, co skutkuje występowaniem obszarów mieszania i wirami. Strumień i jego związek z prędkością Objętość płynu przepływającego w pewnym miejscu przez powierzchnię w jednostce czasu zwana jest strumieniem (ang. flow rate ) Q lub bardziej precyzyjnie, strumieniem objętościowym. Może być on zapisany jako: Q = d V d t , gdzie V jest objętością, a t upływem czasu. Na objętość cylindra wynosi A x , więc strumień objętościowy równy jest: Q = d V d t = d d t ( A x ) = A d x d t = A v . Strumień objętości to objętość płynu przepływająca w pewnym punkcie przez powierzchnię A w jednostce czasu. Tutaj zacieniony cylinder płynu przepływa przez powierzchnię w punkcie P w jednorodnej rurze w czasie t . Jednostką SI strumienia objętościowego jest m 3 /s , ale w powszechnym użyciu jest kilka innych jednostek, takich jak na litry na minutę (l/min). Zwróć uwagę, że litr (l) to 1/1000 m 3 lub 1000 c m 3 ( 10 − 3 m 3 lub 10 3 c m 3 ) . Strumień objętościowy i prędkość są powiązanymi, lecz różnymi od siebie wielkościami fizycznymi. Aby precyzyjnie odróżnić je od siebie, rozważmy strumień objętościowy w rzece. Im większa prędkość wody, tym większy strumień objętościowy rzeki, ale strumień zależy również od wymiarów i kształtu rzeki. Na przykład bystry strumień górski niesie znacznie mniej wody niż Amazonka w Brazylii. przedstawia strumień objętościowy. Wynosi on Q = d V / d t = A v , gdzie A jest polem przekroju rury, a v wartością prędkości. Szczegółowa relacja między strumieniem Q , a średnią prędkością v jest następująca: Q = A v , gdzie A jest polem przekroju, a v średnią prędkością. Mówi nam ona, że strumień jest wprost proporcjonalny zarówno do średniej prędkości płynu, jak i do pola przekroju rzeki, rury czy innego przewodu. Im grubszy przewód, tym większe pole jego przekroju. obrazuje sposób uzyskania powyższej relacji. Zacieniony cylinder ma objętość V = A x , która przepływa przez powierzchnię A w punkcie P w czasie t . kiedy podzielimy obie strony tej zależności przez t , otrzymujemy: V t = A x t . Zauważmy, że Q = V / t , a średnia prędkość wynosi v = x / t . Równanie upraszcza się do Q = A v . przedstawia płyn nieściśliwy płynący przez rurę o malejącym promieniu. Ponieważ jest on nieściśliwy, to ta sama jego ilość musi przepływać przez każdy przekrój rury w danym czasie, aby utrzymać ciągłość przepływu. Przepływ jest ciągły, ponieważ nie ma w nim żadnych źródeł ani odpływów, które dodają lub usuwają masę, więc masa wpływająca do rury musi być równa masie z niej wypływającej. W tym przypadku, ponieważ pole przekroju rury się zmniejsza, prędkość musi rosnąć. Ten sposób rozumowania można rozszerzyć i powiedzieć, że strumień musi być taki sam w każdym punkcie rury. W szczególności w dowolnych punktach 1 i 2: Q 1 = Q 2 , A 1 v 1 = A 2 v 2 . Wynik ten nosi nazwę równania ciągłości (ang. equation of continuity ) i obowiązuje w każdym nieściśliwym płynie (o stałej gęstości). Konsekwencje tego równania można zaobserwować, gdy woda wypływa z węża przez wąski otwór przy dyszy: za dyszą prędkość wody jest bardzo duża, co tak naprawdę jest powodem, dla którego taka właśnie jest budowa końcówki węża. Z drugiej strony, gdy rzeka wpływa do jednej strony rezerwuaru (np. jeziora), woda znacząco zwalnia. Prędkość ta wzrośnie, gdy woda będzie wypływała po drugiej stronie rezerwuaru. Innymi słowy, prędkość rośnie, gdy pole przekroju maleje, a maleje, gdy pole przekroju rośnie. Gdy rura się zwęża, ta sama objętość rozkłada się na większej długości. Aby ta sama objętość minęła powierzchnie w punktach 1 i 2 w tym samym czasie, prędkość musi być większa w punkcie 2. Proces ten jest odwracalny: jeżeli płyn porusza się w przeciwnym kierunku, jego prędkość maleje ze wzrostem szerokości rury. (Zwróć uwagę, że względne objętości obu cylindrów oraz odpowiadające im prędkości nie są narysowane w odpowiedniej skali.) Ponieważ ciecze są praktycznie nieściśliwe, równanie ciągłości obowiązuje dla nich wszystkich. Gazy można ścisnąć, więc równanie ciągłości należy stosować do nich ostrożnie, jeżeli pojawia się zjawisko sprężenia lub rozprężenia. Obliczenie prędkości płynu przy wylocie węża Dysza węża o średnicy 0,500 cm doczepiona jest do węża ogrodowego o promieniu 0,900 cm. Strumień objętościowy przez wąż i dyszę wynosi 0,500 l/s. Oblicz prędkość wody (a) w wężu i (b) przy wylocie. Strategia rozwiązania Aby obliczyć obie prędkości, możemy wykorzystać wyprowadzone zależności między strumieniem a prędkością. Do opisania węża użyjemy indeksu 1, a dla dyszy indeksu 2. Rozwiązanie Rozwiązujemy równanie na strumień ze względu na prędkość i używamy π r 1 2 , aby obliczyć pole przekroju węża. Otrzymujemy: v = Q A = Q π r 1 2 . Podstawiając wartości i dokonawszy odpowiednich konwersji jednostek, uzyskujemy: v = 0,500 l / s ⋅ 10 − 3 m 3 / l 3,14 ( 9,00 ⋅ 10 − 3 m ) 2 = 1,96 m s . Moglibyśmy powtórzyć te obliczenia, aby uzyskać prędkość przy wylocie v 2 , ale zamiast tego użyjemy równania ciągłości, aby spojrzeć na problem z innej perspektywy. Zgodnie z tym równaniem: A 1 v 1 = A 2 v 2 . Jeśli rozwiążemy ze względu v 2 i podstawimy π r 2 jako pole przekroju, uzyskamy: v 2 = A 1 A 2 v 1 = π r 1 2 π r 2 2 v 1 = r 1 2 r 2 2 v 1 . Po podstawieniu wartości dochodzimy do: v 2 = ( 0,900 c m ) 2 ( 0,250 c m ) 2 1,96 m s = 25,5 m s . Znaczenie Prędkość 1,96 m/s wydaje się prawidłowa dla wody wylatującej z węża bez wąskiej dyszy na końcu. Dysza powoduje przyspieszenie strumienia, kierując wodę przez otwór o mniejszej powierzchni. Rozwiązanie ostatniej części przykładu pokazuje, że prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia rury, co sprawia, że pojawiają się znaczące efekty, gdy promień się zmienia. Możemy na przykład zdmuchnąć świeczkę z dość dużej odległości układając usta w rurkę, podczas gdy dmuchając z otwartymi ustami, raczej się nam to nie uda. Zachowanie masy Szybkość przepływu płynu może być również opisana przez strumień masy (ang. mass flow rate ) lub inaczej masowe natężenie przepływu. Jest to szybkość, z jaką masa płynu przepływa przez powierzchnię w danym punkcie. Spójrzmy jeszcze raz na , lecz tym razem przyjrzyjmy się masie zawartej w zacienionej objętości. Masę tę można obliczyć z gęstości i objętości: m = ρ V = ρ A x . Strumień masy wynosi więc: d m d t = d d t ( ρ A x ) = ρ A d x d t = ρ A v , gdzie ρ jest gęstością, A polem przekroju, a v wartością prędkości. Pojęcie strumienia masy jest ważne w dynamice płynów i używane w rozwiązywaniu wielu problemów. Rozważmy na przykład . Rura na nim zaczyna się wlotem o polu powierzchni A 1 i zwęża się do wylotu o mniejszej powierzchni przekroju A 2 . Masa płynu wchodzącego do rury musi być równa masie płynu opuszczającego rurę. Z tego powodu prędkość przy wylocie ( v 2 ) jest większa niż prędkość przy wlocie ( v 1 ) . Wiedząc, że masa płynu wchodzącego do rury musi być równa masie płynu opuszczającego ją, możemy wyliczyć zależność między prędkością a polem powierzchni przekroju, zrównując szybkość zmiany masy wpływającej i wypływającej: ( d m d t ) 1 = ( d m d t ) 2 ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 . jest znane również jako równanie ciągłości w postaci ogólnej. Jeżeli gęstość płynu pozostaje stała w obszarze zmniejszającego się pola przekroju, innymi słowy jeżeli płyn jest nieściśliwy, to w równaniu ciągłości gęstości się skracają: A 1 v 1 = A 2 v 2 . Równanie ciągłości zzredukowaliśmy do postaci opisującej równość strumieni objętościowych: wchodzącego do rury oraz opuszczającego ją. Rozważania geometryczne pomocne w wyprowadzeniu równania ciągłości. Masa płynu wchodzącego do zacienionego obszaru musi być w każdej chwili taka sama jak masa płynu opuszczającego ten obszar, jeżeli płyn jest nieściśliwy. Podsumowanie Strumień objętościowy Q jest definiuje się jako objętość V przepływającą przez pole powierzchni w pewnym punkcie w czasie t lub Q = d V / d t , gdzie V jest objętością, a t czasem. Jednostką SI strumienia objętościowego jest m 3 /s, ale w powszechnym użyciu są również inne jednostki, takie jak l/min. Strumień objętościowy oraz prędkość są związane relacją Q = A v , gdzie A jest polem przekroju strumienia płynu, a v jego średnią prędkością. Równanie ciągłości mówi, że dla płynów nieściśliwych masa wpływająca do rury musi się równać masie wypływającej z niej. Pytania Wiele ilustracji w tekście prezentuje linie prądu. Wyjaśnij, dlaczego prędkość płynu jest największa tam, gdzie linie prądu są najbliżej siebie. (Podpowiedź: Rozważ zależność między prędkością płynu a polem przekroju, przez który przepływa płyn.) Rozważ dwie różne rury połączone z pojedynczą rurą o mniejszej średnicy. Płyn przepływa z szerszych rur do rury o mniejszej średnicy. Ponieważ płyn przepływa przez mniejszy przekrój, musi poruszać się szybciej – w tym samym miejscu linie prądu zbliżają się do siebie. Zadania Jaki jest średni strumień objętościowy wyrażony w cm 3 /s benzyny wpływającej do silnika samochodu, poruszającego się z prędkością 100 km/h, jeżeli średnie zużycie paliwa wynosi 10,0 km/l? 2,77 cm 3 /s Serce dorosłej osoby w spoczynku pompuje krew z wydajnością 5,00 l/min. (a) Przekształć tę liczbę na cm 3 /s . (b) Jaki jest strumień objętościowy wyrażony w m 3 /s ? Wodospady Huka na rzece Waikato są jedną z najczęściej odwiedzanych atrakcji turystycznych Nowej Zelandii. Średni strumień objętościowy rzeki wynosi około 300 000 l/s. W przełomie wodospadu rzeka zwęża się do szerokości 20 m i ma głębokość 20 m. (a) Jaka jest średnia prędkość rzeki w przełomie? (b) Jaka jest średnia prędkość rzeki za wodospadem, gdzie szerokość rzeki zwiększa się do 60 m, a średnia głębokość do 40 m? a. 0,75 m/s; b. 0,13 m/s (a) Oszacuj czas potrzebny do wypełnienia przydomowego basenu pływackiego o pojemności 80 000 l przy użyciu węża ogrodowego, dostarczającego 60 l/min. Ile czasu zajęłoby to zadanie, gdyby do basenu przekierować średniej wielkości rzekę o strumieniu 5000 m 3 /s ? Jaka jest prędkość wody w wężu strażackim o średnicy 9,00, cm dostarczającego 80,0 l/s? (b) Jaki strumień w metrach sześciennych na sekundę odpowiada tej sytuacji? (c) Czy odpowiedź byłaby inna, gdyby wodę słoną w wężu zastąpić wodą słodką? a. 12,6 m/s; b. 0,0800 m 3 /s ; c. nie, strumień objętościowy i prędkość nie zależą od gęstości płynu Woda przepływa z prędkością 2,00 m/s przez wąż o wewnętrznej średnicy 1,60 cm. (a) Jaki jest strumień objętościowy w litrach na sekundę? (b) Prędkość płynu przy dyszy tego samego węża wynosi 15,0 m/s. Jaka jest średnica dyszy? Udowodnij, że prędkość nieściśliwego płynu przez zwężenie, takie jak w rurce Venturiego, wzrasta o czynnik równy kwadratowi czynnika, o który wzrasta średnica. (Można również udowodnić twierdzenie odwrotne, dotyczące sytuacji, gdy płyn wpływa do rejonu o większej średnicy.) Jeżeli płyn jest nieściśliwy, to strumienie objętościowe po obu stronach będą takie same: Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 lub π d 1 2 4 v 1 = π d 2 2 4 v 2 ⇒ v 2 = v 1 d 1 2 d 2 2 = v 1 ( d 1 d 2 ) 2 Woda wypływa pionowo w dół z kranu o średnicy 1,80 cm z prędkością 0,500 m/s. (Z powodu konstrukcji kranu, nie ma różnic w prędkości na przekroju strumienia.) (a) Jaki jest strumień objętościowy wyrażony w cm 3 /s ? (b) Jaka jest średnica strumienia 0,200 m poniżej kranu? Pomiń efekty związane z napięciem powierzchniowym. strumień objętościowy (ang. flow rate ) o symbolu Q , to stosunek objętości V , która przepływa przez powierzchnię w pewnym punkcie, w czasie t , w jakim płyn przepływa, lub Q = d V / d t płyn idealny (ang. ideal fluid ) płyn o pomijalnej lepkości przepływ laminarny (ang. laminar flow ) typ przepływu płynu, podczas którego warstwy płynu się nie mieszają przepływ turbulentny (ang. turbulent flow ) typ przepływu płynów, podczas którego warstwy płynu mieszają się zawracając i tworząc wiry lepkość (ang. viscosity ) miara wewnętrznego tarcia w płynie

Science


Równanie Bernoulliego Jak pokazaliśmy na , gdy płyn wpływa do węższego kanału, jego prędkość rośnie. Oznacza to, że jego energia kinetyczna również wzrasta. Jest to związane z pracą wykonaną nad płynem podczas wtłaczania go do kanału. Pracę wykonuje również siła grawitacji, jeżeli płyn zmienia swoje położenie pionowe. Gdy kanał się zwęża, pojawia się różnica ciśnień. Powoduje powstanie to siły wypadkowej, ponieważ iloczyn ciśnienia i pola powierzchni równy jest sile, i to właśnie ona wykonuje pracę. Przypomnijmy sobie twierdzenie o pracy i energii: W wyp = 1 2 m v 2 − 1 2 m v 0 2 . Wykonana praca zwiększa energię kinetyczną płynu. W wyniku tego ciśnienie spada w szybko poruszającym się płynie niezależnie od tego, czy jest on zawarty w rurze, czy w innym przewodzie. Można wymienić wiele przypadków, gdy ciśnienie spada w szybko poruszającym się płynie. Na przykład zasłony prysznicowe mają ten nieprzyjemny zwyczaj, że wybrzuszają się w kierunku prysznica, gdy jest on włączony. Powodem jest to, że szybki strumień wody i powietrza wytwarza region niskiego ciśnienia wewnątrz osłoniętego zasłonami obszaru, podczas gdy ciśnienie po drugiej stronie nadal równe jest ciśnieniu atmosferycznemu. Ta różnica ciśnień powoduje powstanie siły wypadkowej, wpychającej zasłony do środka. Podobnie, gdy samochód wyprzedza ciężarówkę na autostradzie, kierowcy mają wrażenie, że oba samochody się przyciągają. Powód jest taki sam jak poprzednio: duża prędkość powietrza pomiędzy samochodem a ciężarówką powoduje powstanie obszaru niższego ciśnienia pomiędzy pojazdami, przez co oba są wpychane do środka przez ciśnienie na zewnątrz ( ). Efekt ten zaobserwowano już w połowie XIX w., kiedy to stwierdzono, że wymijające się pociągi, poruszające się w przeciwnych kierunkach, przechylają się niebezpiecznie ku sobie. Widok z góry samochodu wyprzedzającego ciężarówkę na autostradzie. Powietrze pomiędzy pojazdami porusza się w węższym kanale, więc jego prędkość wzrasta ( v 2 jest większe niż v 1 ), co sprawia, że ciśnienie pomiędzy nimi spada ( p i jest mniejsze niż p o ) . Większe ciśnienie po zewnętrznych stronach samochodów pcha je ku sobie. Zachowanie energii i równanie Bernoulliego Zastosowanie zasady zachowania energii do przepływu laminarnego bez tarcia doprowadziło do odkrycia bardzo użytecznego związku między ciśnieniem a prędkością przepływu w płynach. Związek ten nazywamy równaniem Bernoulliego (ang. Bernoulli’s equation ), od nazwiska Daniela Bernoulliego (1700–1782) , który opublikował wyniki swoich badań nad ruchem płynów w książce Hydrodynamica (1738). Rozważmy nieściśliwy płyn przepływający przez rurę o zmiennej średnicy i wysokości, jak pokazano na . Indeksy 1 i 2 na rysunku oznaczają dwie lokalizacje w rurze i przedstawiają zależność między polami przekrojów A , prędkością przepływu v , wysokością nad ziemią y oraz ciśnieniem p w każdym punkcie. Zakładamy tutaj, że gęstość w obu punktach jest taka sama – z tego powodu oznaczamy ją jako ρ bez indeksów i, ponieważ płyn jest nieściśliwy, objętości zacienionych obszarów muszą być równe. Rozważania geometryczne pomocne w wyprowadzeniu równania Bernoulliego. Zakładamy dodatkowo, że w płynie nie działają żadne siły lepkości, dlatego energia każdej jego części będzie zachowana. Aby wyprowadzić równanie Bernoulliego, najpierw obliczymy pracę wykonaną nad płynem: d W = F 1 d x 1 − F 2 d x 2 d W = p 1 A 1 d x 1 − p 2 A 2 d x 2 = p 1 d V − p 2 d V = ( p 1 − p 2 ) d V . Wykonana praca związana jest z zachowawczą siłą grawitacji i zmianą energii kinetycznej płynu. Zmiana energii kinetycznej płynu wynosi: d K = 1 2 m 2 v 2 2 − 1 2 m 1 v 1 2 = 1 2 ρ d V ( v 2 2 − v 1 2 ) . Zmiana energii potencjalnej jest następująca: d U = m g y 2 − m g y 1 = ρ d V g ( y 2 − y 1 ) . Równanie na energię można więc przekształcić do następującej postaci: d W = d K + d U ( p 1 − p 2 ) d V = 1 2 ρ d V ( v 2 2 − v 1 2 ) + ρ d V g ( y 2 − y 1 ) ( p 1 − p 2 ) d V = 1 2 ρ ( v 2 2 − v 1 2 ) + ρ g ( y 2 − y 1 ) . Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy równanie Bernoulliego: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2 . Zależność ta oznacza, że energia mechaniczna dowolnego elementu płynu zmienia się w wyniku pracy wykonanej nad tym elementem przez płyn znajdujący się poza nim. Wykonanie tej pracy powodowane jest przez ciśnienie zmieniające się wzdłuż toru przepływu płynu. Ponieważ oba punkty wybraliśmy dowolnie, równanie Bernoulliego możemy zapisać w postaci bardziej ogólnej jako zasadę zachowania wzdłuż toru przepływu płynu. Równanie Bernoulliego Dla nieściśliwego płynu bez tarcia, suma ciśnień statycznego i dynamicznego zachowana jest nie tylko w czasie, ale również wzdłuż linii prądu: p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = constant. Szczególną uwagę należy tu zwrócić na fakt, że w sytuacji dynamicznej ciśnienia na tej samej wysokości w różnych częściach płynu mogą być różne, jeżeli części te mają różną prędkość przepływu. Analiza równania Bernoulliego Zgodnie z równaniem Bernoulliego w małej objętości płynu wzdłuż toru jej ruchu poszczególne wielkości równania mogą się zmieniać, ale ich suma pozostanie stała. Równanie to jest tak naprawdę wygodną formą zapisu prawa zachowania energii w nieściśliwym płynie przy braku oporów ruchu. W ogólnej postaci równanie Bernoulliego ma trzy elementy, a jego zastosowanie jest bardzo szerokie. Aby lepiej je zrozumieć, rozważmy kilka szczegółowych przypadków ilustrujących i upraszczających jego znaczenie. Równanie Bernoulliego dla płynów statycznych Na początek rozważmy bardzo prostą sytuację, w której płyn jest statyczny, czyli v 1 = v 2 = 0 . Równanie Bernoulliego w tym przypadku przyjmuje postać: p 1 + ρ g h 1 = p 2 + ρ g h 2 . Możemy jeszcze bardziej je uprościć, podstawiając h 2 = 0 . (Możemy wybrać dowolną wysokość jako wysokość referencyjną i przypisać jej wartość zero. Często się tak robi w rozważaniach dotyczących siły grawitacji.) Wówczas otrzymujemy: p 2 = p 1 + ρ g h 1 . Równanie to mówi nam, że w płynach statycznych ciśnienie rośnie z głębokością. Gdy poruszamy się od punktu 1 do punktu 2 w płynie, głębokość rośnie o h 1 i w związku z tym p 2 jest większe niż p 1 o ρ g h 1 . W najprostszym przypadku p 1 wynosi zero na szczycie płynu i otrzymujemy znane już wyrażenie p = ρ g h . Przypomnijmy sobie, że p = ρ g h i Δ U g = − m g h . Równanie Bernoulliego potwierdza fakt, że zmiana ciśnienia spowodowana ciężarem płynu wynosi ρ g h . Pomimo tego, że wprowadziliśmy równanie Bernoulliego w celu opisania płynów w ruchu, zawiera ono wiele zasad, którymi zajmowaliśmy się wcześniej, badając płyny statyczne. Poziomy przepływ płynu Załóżmy, że płyn porusza się, ale jego głębokość pozostaje stała h 1 = h 2 . W tych warunkach równanie Bernoulliego przyjmuje postać: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . Sytuacje, w których przepływ płynu odbywa się na stałym poziomie są tak częste, że równanie to stanowi przedmiot osobnych rozważań, jest to jednak nadal to samo równanie Bernoulliego. (Zwróćmy ponownie uwagę, że opisuje ono ruch małego elementu płynu wzdłuż toru jego ruchu.) Równanie Bernoulliego w tej postaci podkreśla fakt, że w poruszającym się płynie ciśnienie spada, gdy wzrasta prędkość: jeżeli v 2 jest większe niż v 1 , to p 2 musi być mniejsze niż p 1 , aby równanie było spełnione. Obliczanie ciśnienia W , obliczyliśmy, że prędkość wody w wężu zwiększyła się z 1,96 m/s do 25,5 m/s podczas przechodzenia z węża do dyszy. Oblicz ciśnienie w wężu, wiedząc, że ciśnienie absolutne w dyszy wynosi 1,01 ⋅ 10 5 N / m 2 (równe ciśnieniu atmosferycznemu, jak być powinno) i zakładając przepływ bez oporów na stałej wysokości. Strategia rozwiązania Mamy tu do czynienia z przepływem na stałej głębokości, czyli możemy zastosować uproszczone równanie Bernoulliego. Użyjemy indeksu 1 dla wartości wewnątrz węża i 2 dla wartości w dyszy. Naszym zadaniem jest więc wyliczyć p 1 . Rozwiązanie Rozwiązanie prawa Bernoulliego dla przepływu poziomego ze względu na p 1 prowadzi do: p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 − 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ ( v 2 2 − v 1 2 ) . Podstawiając wartości, otrzymujemy: p 1 = 1,01 ⋅ 10 5 N m 2 + 1 2 10 3 k g m 3 [ ( 25,5 m s ) 2 − ( 1,96 m s ) 2 ] = 4,24 ⋅ 10 5 N m 2 . Znaczenie Tak jak się spodziewaliśmy, ciśnienie absolutne wewnątrz węża jest większe niż przy dyszy, ponieważ v jest większe niż w dyszy. Ciśnienie p 2 w dyszy musi być równe atmosferycznemu, ponieważ woda wytryskuje w kierunku atmosfery bez zmiany innych wartości. Zastosowania prawa Bernoulliego dla przepływu poziomego W wielu urządzeniach oraz sytuacjach codziennego życia odnajdujemy przypadki, w których płyn przepływa na stałej wysokości i które mogą być analizowane przy pomocy uproszczonego równania. Porywanie płynu Możliwość wykorzystania spadku ciśnienia w szybko poruszających się płynach do wprawiania materii w ruch zauważono już dawno temu. Większe ciśnienie na zewnątrz szybko poruszającego się płynu wpycha inne płyny w szybki strumień. Proces ten nazywany jest czasem porywaniem (ang. entrainment ) (w polskiej literaturze mówi się o „zasysaniu” lub „ssącym działaniu strugi”, jednak pojęcie „porywanie”, również używane, wydaje się tu zręczniejsze - przyp. tłum.). Urządzenia wykorzystujące porywanie, takie jak pompy do unoszenia wody na niskie wysokości, stosowane na przykład do osuszania bagien i innych nisko położonych obszarów, są w użytku od starożytności. Inne urządzenia wykorzystujące to zjawisko przedstawiono na . Urządzenia stosujące porywanie wykorzystują zwiększoną prędkość płynu do wytworzenia niższego ciśnienia, które porywa jeden rodzaj płynu do wnętrza drugiego. (a) Palnik Bunsena używa regulowanej dyszy, która porywa powietrze, aby regulować spalanie. (b) Po ściśnięciu gruszki atomizera, podmuch powietrza porywa kropelki perfum. (c) Powszechnie stosowany aspirator używa szybkiego strumienia wody do wytworzenia obszaru niskiego ciśnienia. Aspiratory mogą być używane jako pompy ssące w zastosowaniach dentystycznych i chirurgicznych lub do osuszania zalanej piwnicy czy wytworzenia niższego ciśnienia w zbiorniku. (d) Komin podgrzewacza wody jest tak zaprojektowany, aby porywał powietrze do wnętrza rury wychodzącej na zewnątrz pomieszczenia. Pomiar prędkości pokazuje dwa urządzenia, wykorzystujące prawo Bernoulliego do pomiaru prędkości płynu. Manometr w części (a) jest połączony z dwiema rurkami wystarczająco małymi, aby nie zaburzyć znacząco przepływu. Rurka z otworem skierowanym ku nadlatującemu płynowi wytwarza przed sobą martwy punkt, w którym prędkość wynosi zero ( v 1 = 0 ), podczas gdy prędkość płynu w pobliżu drugiej rurki, która ma otwór z boku, wynosi v 2 . Oznacza to, że równanie Bernoulliego: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 możemy zapisać jako: p 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . Czyli ciśnienie p 2 nad drugim otworem jest zmniejszone o ρ v 2 / 2 , więc płyn w manometrze podnosi się o h po stronie połączonej z drugim otworem i dodatkowo otrzymujemy: h ∝ 1 2 ρ v 2 2 . (Przypomnijmy, że symbol ∝ oznacza „proporcjonalny do”.) Rozwiązując ze względu na v 2 , zauważamy, że: v 2 ∝ h . Część (b) prezentuje wersję tego urządzenia powszechnie używaną do pomiaru prędkości płynów. Jest ono często wykorzystywane jako czujnik prędkości powietrza w samolotach. Pomiar prędkości oparty na równaniu Bernoulliego. (a) Do dwóch rurek, które są na tyle blisko i są na tyle małe, że nie zaburzają przepływu płynu, podłączono manometr. Rurka 1 ma otwór w kierunku poruszającego się płynu, przez co powstaje przed nim martwy punkt, w którym prędkość płynu wynosi zero. Rurka 2 ma otwór z boku, więc płyn ma tam prędkość v , co powoduje spadek ciśnienia w tym miejscu. Różnica ciśnień na manometrze wynosi ρ v 2 2 / 2 , więc h jest proporcjonalne do ρ v 2 2 / 2 . (b) Urządzenie tego typu nazywa się rurką Prandtla (ang. Prandtl tube ), określa się je również mianem rurki Pitota (choć w rzeczywistości rurka Prandtla jest udoskonaleniem rurki Pitota - przyp. tłum.). Wąż strażacki Wszystkie przedstawione dotychczas zastosowania równania Bernoulliego wykorzystywały założenia upraszczające, takie jak stała wysokość czy stałe ciśnienie. Kolejny przykład stanowi bardziej ogólne zastosowanie równania Bernoulliego, w którym zmieniają się zarówno ciśnienie, jak i prędkość oraz wysokość. Obliczanie ciśnienia: dysza węża strażackiego Węże strażackie używane w dużych pożarach mają wewnętrzną średnicę 6,40 cm ( ). Załóżmy, że strumień objętościowy w takim wężu ma wartośc 40,0 l/s, pod ciśnieniem manometrycznym równym 1,62 ⋅ 10 6 N / m 2 . Wąż sięga do wysokości 10,0 m wzdłuż drabiny i kończy się dyszą o wewnętrznej średnicy 3,00 cm. Jakie jest ciśnienie w dyszy? Ciśnienie w dyszy tego węża strażackiego jest mniejsze niż na poziomie Ziemi z dwóch powodów: po pierwsze woda musi zostać wyniesiona na wysokość dyszy, po drugie, przy dyszy zwiększa się jej prędkość. Pomimo tego spadku ciśnienia woda może wywierać znaczną siłę na przedmioty, w które uderza, dzięki swojej energii kinetycznej. Ciśnienie strumienia wody zrównuje się z atmosferycznym w momencie, gdy opuszcza ona dyszę. Strategia rozwiązania Ponieważ wysokość nie jest stała, musimy rozwiązać pełne równanie Bernoulliego ze względu na ciśnienie. Rozwiązanie Pełne równanie ma następującą postać: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2 gdzie indeks 1 odnosi się do warunków na poziomie ziemi, a indeks 2 do warunków przy dyszy. Na początku musimy znaleźć prędkości v 1 i v 2 . Ponieważ Q = A 1 v 1 , uzyskujemy: v 1 = Q A 1 = 40,0 ⋅ 10 − 3 m 3 / s π ( 3,20 ⋅ 10 − 2 m ) 2 = 12,4 m s . Podobnie obliczamy: v 2 = 56,6 m s . Jest to dość duża prędkość, dzięki której woda może dosięgnąć ognia. Podstawimy teraz zero za h 1 i rozwiążemy równanie Bernoulliego ze względu na p 2 : p 2 = p 1 + 1 2 ρ ( v 1 2 − v 2 2 ) − ρ g h 2 . Podstawiamy znane wartości i dochodzimy do: p 2 = 1,62 ⋅ 10 6 N m 2 + 1 2 ⋅ 10 3 k g m 3 ⋅ [ ( 12,4 m s ) 2 − ( 56,6 m s ) 2 ] − 10 3 k g m 3 ⋅ 9,80 m s 2 ⋅ 10,0 m = − 2900 N m 2 . Znaczenie Uzyskana wartość jest ciśnieniem manometrycznym, ponieważ wyjściowe ciśnienie również było podane względem ciśnienia atmosferycznego. W związku z tym ciśnienie za dyszą równa się ciśnieniu atmosferycznemu, gdyż woda wypływa do atmosfery bez zmiany innych warunków, w których się znajduje. Podsumowanie Równanie Bernoulliego mówi, że sumy po dwóch stronach poniższego równania są takie same w dowolnych dwóch punktach nieściśliwego płynu: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2 . Wiele zastosowań ma uproszczona wersja równania Bernoulliego, w której wysokość płynu jest stała. Składniki równania zawierające wysokość (lub głębokość h ) upraszczają się i w efekcie uzyskujemy p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 . Powyższa postać równania Bernoulliego ma wiele zastosowań, w tym dotyczące zjawiska porywania oraz pomiaru prędkości. Pytania Można sprawić, że woda z węża ogrodowego wytryśnie na znacznie większą odległość, jeśli częściowo zakryjemy jego wylot kciukiem. Wyjaśnij, dlaczego tak jest. W fontannach dekoracyjnych woda wytryskuje prawie pionowo, po czym strumień się poszerza ze wzrostem wysokości. Z drugiej strony, strumień wody wylatującej z kranu pionowo w dół się zwęża. Wyjaśnij, dlaczego tak się dzieje. Masa wody, która wpływa do pewnego elementu objętości, musi się równać masie opuszczającej ten element. Z równania ciągłości wiemy, że iloczyn prędkości i pola powierzchni musi pozostawać stały. ze względu na to, że gęstość wody się nie zmienia, to prędkość pomnożona przez pole przekroju w miejscu, w którym woda wchodzi do rozważanej objętości, musi być równa iloczynowi prędkości i pola przekroju w miejscu, gdzie woda go opuszcza. Ponieważ prędkość strumienia w fontannie maleje wraz z wysokością z powodu działania siły grawitacji, to powierzchnia jego przekroju musi rosnąć. Prędkość strumienia wody opuszczającego kran rośnie z odległością, dlatego powierzchnia jego przekroju musi maleć. Przyjrzyj się ponownie . Odpowiedz na następujące pytania. Dlaczego ciśnienie p o jest mniejsze niż atmosferyczne? Dlaczego p o jest większe niż p i ? Widoczna poniżej rurka ze zwężeniem, którego celem jest wywołanie porywania, nazywa się rurką Venturiego (ang. Venturi tube ). Są one powszechnie stosowane w gaźnikach i aspiratorach. W jaki sposób urządzenie tego typu wywołuje porywanie? Zgodnie z równaniem ciągłości, gdy rurka się zwęża, płyn musi przyspieszyć, a co za tym idzie, nad płynem wykonywana jest praca. W miejscu zwężenia ciśnienie maleje, co pociąga za sobą porywanie płynu poza strumieniem do wewnątrz zwężonej części rurki. Niektóre przewody kominowe mają kształt litery T, dzięki czemu górna, zakryta część pozwala wyciągać gazy nawet przy najlżejszym podmuchu wiatru. Wyjaśnij działanie takiej konstrukcji przy użyciu równania Bernoulliego dla przepływu poziomego. Czy istnieje maksymalna wysokość, na którą urządzenia wykorzystujące porywanie mogą wynieść płyn? Odpowiedź uzasadnij. Praca wykonana przez ciśnienie może być wykorzystana do zwiększenia energii kinetycznej oraz energii potencjalnej. Wraz ze wzrostem wysokości energia kinetyczna stanowi coraz mniejszą część całkowitej energii i ostatecznie osiągnie wartość zero. Jest to maksymalna wysokość, na którą można unieść płyn przy wykorzystaniu tej zasady. Czy łatwiej jest wystartować samolotem z wiatrem, czy pod wiatr? Zdarza się, że podczas cyklonów tropikalnych dachy wylatują w górę, a budynki eksplodują na zewnątrz po uderzeniu tornada. Użyj równania Bernoulliego dla przepływu poziomego do wyjaśnienia tych zjawisk. Ciśnienie na zewnątrz budynków spada, ponieważ powietrze porusza się tam z dużą prędkością. Większe ciśnienie wewnątrz budynku powoduje wyrzucenie dachu w górę lub eksplozję budynku na zewnątrz. Niebezpiecznie jest stać blisko torów, gdy przejeżdża po nich szybki pociąg. Wyjaśnij, dlaczego ciśnienie atmosferyczne będzie wpychało osobę stojącą przy torach w kierunku pociągu. Ciśnienie wody wewnątrz dyszy węża może być mniejsze od atmosferycznego z powodu efektu Bernoulliego. Wziąwszy pod uwagę energię wody, wyjaśnij w jaki sposób woda może się wydostać z węża, pokonując ciśnienie atmosferyczne. Woda wewnątrz węża się porusza, w związku z czym ma ona niezerową energię kinetyczną. Zostaje ona wykorzystana do wykonania pracy przeciwko różnicy ciśnień. Dawid opuścił szybę w oknie swojego samochodu podczas jazdy autostradą. Plastikowa torebka leżąca na podłodze wyleciała wtedy przez okno. Wyjaśnij dlaczego. Jakie trzy formy energii poruszającego się płynu są reprezentowane w równaniu Bernoulliego? (Zwróć uwagę, że te formy energii są zachowane, podczas gdy inne, takie jak energia cieplna i inne formy dyssypatywne, nie są obecne w tym równaniu.) Energia potencjalna związana z położeniem, energia kinetyczna związana z prędkością i praca wykonana przez różnicę ciśnień. Stary, gumowy kalosz pokazany na poniższym rysunku ma dwie dziury. Do jakiej maksymalnej wysokości może wytrysnąć woda z dziury 1? Jak prędkość wody wytryskującej z dziury 2 różni się od prędkości wody z dziury 1? Wyjaśnij, rozważając energię. Zadania Udowodnij, że ciśnienie można wyrazić w jednostkach energii na jednostkę objętości. F = p A ⇒ p = F A , [ p ] = N/m 2 = N · m/m 3 = J/m 3 = energia/objętość Masz do dyspozycji przyrząd do pomiaru prędkości płynu, taki jak pokazano na . O ile musi wzrosnąć prędkość wiatru, aby wartość h na manometrze się podwoiła? Czy wynik jest niezależny od poruszającego się płynu i od płynu w manometrze? Jeżeli rurka Pitota pokazuje ciśnienie 15,0 mmHg przy prędkości 200 km/h, to jakie ciśnienie pokaże przy prędkości 700 km/h na tej samej wysokości nad poziomem morza? −135 mmHg Co kilka lat wiatry w mieście Boulder w stanie Kolorado osiągają prędkości 45,0 m/s, gdy prąd strumieniowy opada w kierunku ziemi wczesną wiosną. Oblicz, posługując się równaniem Bernoulliego, jaka jest w przybliżeniu siła działająca na dach o powierzchni 220 m 2 ? Typowa gęstość powietrza dla Boulder wynosi 1,14 k g / m 3 , a średnie ciśnienie 8,89 ⋅ 10 4 N / m 2 . (Równanie Bernoulliego zakłada laminarność przepływu, więc uzyskany wynik można traktować wyłącznie jako wynik przybliżony, ponieważ w opisanej sytuacji pojawiają się znaczne turbulencje.) Jaki jest spadek ciśnienia związany z efektem Bernoulliego podczas przejścia wody z węża strażackiego o średnicy 9,00 cm do dyszy o średnicy 3,00 cm, jeżeli strumień objętościowy niesie 40,0 l/s? (b) Do jakiej maksymalnej wysokości powyżej dyszy może dolecieć woda? (Rzeczywista wysokość będzie znacznie mniejsza z powodu oporu powietrza.) a. 1,58 ⋅ 10 6 N / m 2 ; b. 163 m (a) Używając równania Bernoulliego, pokaż, że prędkość płynu v zmierzona w rurce Pitota, takiej jak na , dana jest przez v = ( 2 ρ ′ g h / ρ ) 1 / 2 , gdzie h jest wysokością płynu w manometrze, ρ ′ gęstością płynu w manometrze, ρ gęstością poruszającego się płynu, a g jest przyspieszeniem ziemskim. (Zwróć uwagę, że v jest faktycznie proporcjonalne do kwadratu h , jak napisano w rozdziale). (b) Oblicz v dla poruszającego się powietrza, jeżeli wysokość h na manometrze rtęciowym wynosi 0,200 m. Pojemnik z wodą ma pole przekroju A = 0,1 m 2 . Na szczycie wody spoczywa tłok (rysunek poniżej). 0,15 m powyżej podstawy pojemnika znajduje się odpływ, którego pole przekroju wynosi A s = 7,0 ⋅ 10 − 4 m 2 . (a) Jaka jest prędkość wody wylatującej z odpływu? (b) Jeżeli otwór odpływu znajduje się 1,5 m powyżej powierzchni, jak daleko od wylotu woda spadnie na ziemię? Pomiń wszystkie siły tarcia i inne siły dyssypatywne. a. v 2 = 3,28 m / s b. t = 0,55 s x = v t = 1,81 m Płyn o stałej gęstości przepływa przez redukcję (zwężenie) w rurze. Wyznacz równanie wyrażającą zmianę ciśnienia przy pomocy v 1 , A 1 , A 2 , oraz gęstości. równanie Bernoulliego (ang. Bernoulli’s equation ) równanie wynikające z zastosowania prawa zachowania energii do nieściśliwego płynu z pominięciem tarcia: p + 1 2 ρ v 2 + ρ g h = constant , w całej objętości płynu poziomy przepływ płynu (ang. Bernoulli’s principle ) przepływ płynu bez zmiany wysokości, zapisywany przez równanie Bernoulliego dla stałej wysokości: p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Science