Wahadła Bez wahadła nie byłoby zabytkowych zegarów. Te proste mechanizmy nadal są w powszechnym użyciu. Wahadło może być np. stosowane do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego. Dla małych kątów wychyleń wahadło zachowuje się jak oscylator harmoniczny. Wahadło matematyczne Wahadło matematyczne jest zdefiniowane jako masa punktowa (ciężarek) zawieszona na nierozciągliwej, nieważkiej nici o długości d ( ). Jedynymi siłami działającymi na masę są siła grawitacji i naprężenie nici. Wahadło na rysunku znajduje się w maksymalnym wychyleniu i nie działają na nie siły związane z ruchem obrotowym. Nieważkość nici oznacza, że jej masa jest zaniedbywalnie mała w porównaniu do masy ciężarka. Na wahadło matematyczne składają się ciężarek o masie skupionej w punkcie i nierozciągliwa nić o zaniedbywalnej masie. Liniowe przemieszczenie z położenia równowagi jest równe długości łuku s . Na rysunku pokazane są również siły działające na ciężarek. Prostopadła składowa siły wypadkowej − m g sin θ działa w kierunku położenia równowagi ciężarka. Rozważmy moment siły działającej na ciężarek. Jest on związany ze składową siły wypadkowej działającej stycznie do łuku. Moment siły to długość nici d pomnożona przez siłę wypadkową, która działa prostopadle do promienia łuku. Znak minus wskazuje, że moment siły działa w kierunku przeciwnym do przemieszczenia kątowego: M = − d m g sin  θ I ε = − d m g sin  θ I d 2 θ d t 2 = − d m g sin  θ m d 2 d 2 θ d t 2 = − d m g sin  θ d 2 θ d t 2 = − g d sin  θ . Rozwiązanie tego równania różniczkowego wymaga złożonych rachunków i wykracza poza zakres tego rozdziału. Warto zauważyć, że dla małych kątów (mniej niż 15 stopni), sin θ i θ różnią się mniej niż 1%, co pozwala na zastosowanie przybliżenia sin θ ≈ θ . Kąt θ opisuje położenie wahadła. W przybliżeniu dla małych kątów θ możemy uprościć równanie różniczkowe do postaci: d 2 θ d t 2 = − g d sin  θ ≈ − g d  θ . Ze względu na to, że równanie to ma tę samą postać co równanie ruchu harmonicznego, łatwo jest zaproponować rozwiązanie. Częstość kołowa wynosi: ω = g d , a okres drgań to: T = 2 π d g . Okres drgań wahadła matematycznego zależy więc wyłącznie od jego długości i przyspieszenia grawitacyjnego. Nie mają na niego wpływu ani masa ciężarka, ani amplituda maksymalnego kąta w zakresie do około 15 ° . Dlatego też zegary mechaniczne wykorzystujące wahadło mogą precyzyjnie odmierzać czas. Warto podkreślić wpływ g na T . Jeżeli długość wahadła jest dokładnie znana, to można je zastosować do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego tak jak w poniższym przykładzie. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego na postawie pomiaru okresu wahadła Jaka jest wartość przyspieszenia grawitacyjnego w danym miejscu pomiarowym, jeśli wahadło o długości 75 cm ma okres drgań 1,7357 s? Strategia rozwiązania Naszym celem jest wyznaczenie g ; wartości znane to okres drgań T i długość wahadła d . Z zależności T = 2 π d g możemy wyznaczyć g , jeśli założymy, że kąt maksymalnego odchylenia jest mniejszy niż 15 ∘ . Rozwiązanie Zależność T = 2 π d g podnieś do kwadratu i wyznacz wzór na g : g = 4 π 2 d T 2 Podstaw podane wartości do wzoru: g = 4 π 2 0,75 m ( 1,7357 s ) 2 Wyznacz wartość g : g = 9,8281 m s 2 Znaczenie Przedstawiona metoda wyznaczania przyspieszenia ziemskiego może być bardzo dokładna, jeśli wykonamy pomiary przy maksymalnym kącie o wartości poniżej 0,5 ∘ . Dzięki temu błąd spowodowany przybliżeniem sin θ ≈ θ będzie mniejszy. Sprawdź, czy rozumiesz. Inżynier zbudował dwa wahadła. Oba podwieszono pod sufitem pomieszczenia i zastosowano do tego linki o małym przekroju. Każdy z ciężarków zawisł 2 cm nad podłogą. Pierwsze wahadło ma masę 10 kg, a drugie 100 kg. Oba wychylono o kąt 12 ∘ . Opisz ruch wahadeł. Ruch wahadeł będzie identyczny, ponieważ masa ciężarka nie wpływa na ruch wahadła matematycznego. Okres drgań zależy jedynie od długości wahadła i od przyspieszenia ziemskiego. Wahadło fizyczne Każde ciało może oscylować jak wahadło. Rozważmy kubek do kawy wiszący na haczyku w spiżarni. Jeśli kubek zostanie wytrącony z położenia równowagi, to zacznie wykonywać oscylacje tam i z powrotem (podobnie jak wahadło) aż do chwili, gdy drgania ulegną wygaszeniu. Wahadło matematyczne opisano jako układ składający się z masy punktowej i nici. Natomiast wahadło fizyczne to dowolne ciało, którego oscylacje są podobne do wahadła matematycznego, ale które nie może być opisane jako masa punktowa na nici, ponieważ jego równanie ruchu musi uwzględnić rozkład masy. W wahadle matematycznym siła grawitacji działa na środek ciężarka, natomiast w wahadle fizycznym – na środek masy (ŚM) ciała. Ciało oscyluje wokół punktu O . Rozważmy ciało o złożonym kształcie tak jak pokazano na . Wahadłem fizycznym może być dowolne ciało, które oscyluje jak wahadło, ale nie można go opisać jako masę punktową na nitce. Siła grawitacji działa na środek masy (ŚM), a jej składowa prostopadła do ramienia d odpowiada za oscylacje ciała. Znak minus dla tej składowej oznacza, że jej kierunek jest przeciwny do narastającego kąta θ . Gdy wahadło fizyczne zawiesimy w punkcie, tak, by miało ono swobodę obrotu, to obrót ten będzie zachodził pod wpływem momentu siły przyłożonej do ŚM, a konkretnie składowej siły grawitacji, działającej stycznie do ruchu ŚM. Wartość tej składowej siły grawitacji wynosi − m g sin θ , a ujemny znak wynika z kierunku działania siły, który jest przeciwny do kierunku narastania kąta wychylenia. Moment siły opisuje wyrażenie τ → = r → × F → , a więc wartość ta jest równa iloczynowi długości ramienia oraz składowej stycznej działającej siły: | τ | = r F sin θ . d oznacza długość ramienia liczoną od punktu zawieszenia wahadła do ŚM. By opisać ruch drgającego ciała, zacznijmy od wyznaczenia wypadkowego momentu siły. Zauważmy, że podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego, oscylacje przebiegają w zakresie małych kątów. Możemy więc założyć, że sin θ ≈ θ . Zgodnie z opisem ruchu obrotowego ciała względem ustalonej osi obrotu ( Obroty wokół stałej osi )ustalmy, że wypadkowy moment siły jest równy iloczynowi momentu bezwładności I = ∫ r 2 d m oraz przyspieszenia kątowego ε , gdzie ε = d 2 θ / d t 2 : I α = M w y p = − d m g sin  θ . Jeśli zastosujemy przybliżenie małych kątów i przeprowadzimy proste przekształcenia, otrzymamy: I ε = − d m g θ I d 2 θ d t 2 = − d m g θ d 2 θ d t 2 = − m g d I θ . Po raz kolejny otrzymujemy równanie różniczkowe, które przedstawia drugą pochodną przemieszczenia kątowego względem czasu jako iloczyn pewnej ujemnej stałej − m g d / I razy wartość kąta θ . Rozwiązaniem tego równania jest: θ ( t ) = Θ cos ( ω t + ϕ ) , gdzie Θ to maksymalne przesunięcie kątowe. Częstość kołowa wynosi: ω = m g d I , a wartość okresu drgań wahadła fizycznego określa wzór: T = 2 π I m g d . Zauważmy, że dla wahadła matematycznego moment bezwładności wynosi I = ∫ r 2 d m = m d 2 , a wyrażenie na okres drgań upraszcza się do postaci T = 2 π d / g . Ograniczenie efektu kołysania wieżowca W warunkach silnych podmuchów wiatru lub fali sejsmicznej konstrukcja drapacza chmur może oscylować z amplitudą około dwóch metrów i z częstotliwością około 20 Hz. Istnieją zaawansowane rozwiązania inżynierskie polegające na zastosowaniu wahadła fizycznego zainstalowanego na szczycie wieżowca. Wówczas w sytuacji, kiedy wieżowiec przechyla się na prawo, wahadło to wykonuje wahnięcie w przeciwną stronę, co wygasza efekt kołysania konstrukcji. Jeśli przyjmiemy, że oscylacje mają częstotliwość 0,50 Hz, będziemy mogli zaprojektować wahadło w postaci długiego pręta o masie 100 ton, zbudowane z materiałów o stałej gęstości z punktem obrotu znajdującym się na końcu pręta (rysunek poniżej). Jaka powinna być długość ramienia wahadła? Strategia rozwiązania Naszym zadaniem jest wyznaczenie długości ramienia wahadła fizycznego. Musimy najpierw znaleźć wartość momentu bezwładności ramienia, a następnie zastosować wzór na okres drgań wahadła fizycznego. Rozwiązanie Znajdź moment bezwładności pręta o długości L i masie M dla ŚM: 1 12 M L 2 Użyj twierdzenia Steinera dla momentu bezwładności bryły sztywnej względem osi obrotu: I = I ŚM + L 4 2 M = 1 12 M L 2 + 1 4 M L 2 = 1 3 M L 2 Okres drgań wahadła fizycznego wynosi T = 2 π I / ( m g d ) . Jeśli podstawimy wyrażenie na moment bezwładności pręta, będziemy mogli wyznaczyć długość ramienia L : T = 2 π I M g d = 2 π 1 3 M L 2 M g ⋅ 1 2 L = 2 π 2 L 3 g ; L = 3 2 g ( T 2 π ) 2 = 3 2 ⋅ 9,8 m s 2 ⋅ ( 2 s 2 π ) 2 = 1,49 m . Znaczenie Jest wiele sposobów na redukcję oscylacji wieżowca, m.in. dobór odpowiedniego kształtu budynku, zastosowanie kilku wahadeł fizycznych lub masowego tłumika drgań. Wahadło torsyjne Wahadło torsyjne składa się z bryły sztywnej zawieszonej na lekkim drucie ( ). Na skutek początkowego skręcenia wahadła o mały kąt (o maksymalnej wartości Θ ) możemy obserwować drgania swobodne wahadła polegające na oscylacjach w zakresie kątów pomiędzy ( θ = + Θ ) a ( θ = − Θ ) . Moment siły wywołuje naprężenie skręcające drutu (nici), które dąży do przywrócenia bryły do położenia równowagi. Wahadło torsyjne składa się ze sztywnej bryły (np. tarczy) zawieszonej na drucie. Bryła wykonuje oscylacje w zakresie kątów od θ = + Θ do θ = − Θ . Moment siły jest proporcjonalny do wartości kąta θ M = − κ θ . Stałą κ (kappa) nazywamy momentem kierującym i jest to współczynnik charakteryzujący dany drut. Znak minus oznacza, że moment siły działa w kierunku przeciwnym do zwiększania kąta skręcenia wahadła. Wypadkowy moment siły jest równy momentowi bezwładności razy przyspieszenie kątowe: I d 2 θ d t 2 = − κ θ d 2 θ d t 2 = − κ I θ . Równanie to wskazuje, że druga pochodna kąta względem czasu równa się ujemnej stałej pomnożonej przez wartość kąta. Ten wzór jest bardzo podobny do równania d 2 x / d t 2 = − k x / m dla ruchu harmonicznego, w którym okres drgań klocka na sprężynie opisano zależnością T = 2 π m / k . Wobec tego okres drgań wahadła torsyjnego może zostać wyrażony w postaci: T = 2 π I κ . Jednostka momentu kierującego ma wymiar [ κ ] = N ⋅ m = ( k g ⋅ m / s 2 ) ⋅ m = k g ⋅ m 2 / s 2 , natomiast jednostką miary momentu bezwładności jest [ I ] = kg·m 2 , z czego widać, że jednostką okresu drgań jest sekunda. Pomiar momentu kierującego drutu Pręt ma długość L = 0,30 m i masę 4 kg . Drut przyłączono do ŚM pręta, a cały układ podwieszono do sufitu ( ). Pręt skręcono o kąt 10 stopni od położenia równowagi i puszczono swobodnie. Pręt wykonuje drgania o okresie 0,5 s . Jaka jest wartość momentu kierującego κ ? (a) Drut z prętem podwieszony do sufitu. (b) Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności pręta. Strategia rozwiązania Naszym celem jest wyznaczenie momentu kierującego drutu. Najpierw musimy obliczyć moment bezwładności pręta. Rozwiązanie Znajdź moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez ŚM według wzoru: I Ś M = ∫ x 2 d m = ∫ − L 2 L 2 x 2 λ d x = λ [ x 3 3 ] − L 2 L 2 = λ 2 L 3 24 = M L 2 L 3 24 = 1 12 M L 2 . Wyznacz moment kierujący, stosując wzór na okres drgań: T = 2 π I κ κ = I ( 2 π T ) 2 = 1 12 M L 2 ( 2 π T ) 2 = 1 12 ⋅ 4 k g ⋅ ( 0,3 m ) 2 ⋅ ( 2 π 0,5 s ) 2 = 4,73 N ⋅ m . Znaczenie Podobnie jak w przypadku współczynnika sprężystości w układzie klocka ze sprężyną, im większy jest moment kierujący, tym krótszy okres drgań oscylatora. Podsumowanie Ciało o masie m zawieszone na nieważkiej nici o długości d tworzy wahadło matematyczne, którego drgania są ruchem harmonicznym przy amplitudzie kąta nie przekraczającej 15 ∘ . Okres drgań wahadła opisuje wzór T = 2 π d / g , gdzie d jest długością nici a g – przyspieszeniem ziemskim. Okres drgań wahadła fizycznego można wyznaczyć ze wzoru T = 2 π I / ( m g d ) , jeśli znamy moment bezwładności. Odległość pomiędzy osią obrotu a środkiem masy wynosi L . Okres drgań wahadła torsyjnego określa wzór T = 2 π I / κ , wymagana jest więc znajomość momentu bezwładności wahadła i momentu kierującego drutu. Pytania Zegary wahadłowe odmierzają prawidłowo czas dzięki odpowiedniej regulacji długości wahadła. Załóżmy, że przeprowadzasz się do innego miasta, gdzie przyspieszenie ziemskie jest nieco większe. Czy w nowym miejscu powinieneś skrócić czy wydłużyć wahadło, aby twój zegar właściwie odmierzał czas? Odpowiedź uzasadnij. Wieżowy zegar wahadłowy działa w oparciu o pomiar okresu drgań wahadła. Wiosną zegar działa bardzo precyzyjnie, ale latem lub zimą długość wahadła się zmienia. Większość materiałów pod wpływem wzrostu temperatury rozszerza się. Czy wobec tego latem zegar przyspiesza, czy zwalnia? Jak jest zimą? Okres wahadła wynosi T = 2 π d / g . Wiosną jedno drganie trwa dokładnie jedną sekundę. Latem długość wahadła rośnie, a więc okres ulega wydłużeniu i trwa dłużej niż sekundę. Zatem wahadło wykonuje mniej niż 60 drgań na minutę i zegar się spóźnia. Natomiast zimą się spieszy. Rejestrowane położenie ciała można opisać funkcją sinus lub cosinus przy zastosowaniu odpowiedniej wartości przesunięcia fazowego. Jeśli jest możliwość wyboru, to której funkcji użyjesz? Przyjmij, że przesunięcie fazowe wynosi zero, a wybrana funkcja to sinus, i opisz następujące parametry: początkowe położenie ciała, prędkość i przyspieszenie. Jaką postać mają te wzory, kiedy zastosujesz funkcję cosinus? Zadania Jaką długość ma wahadło o okresie drgań 0,500 s? Niektórzy uważają, że wahadło o okresie drgań 1 s może być poruszane "siłą umysłu", czyli bez fizycznej ingerencji (tzw. psychokineza), ponieważ taki okres drgań zgadza się z przeciętnym tętnem człowieka. Bez względu na prawdziwość tej tezy, oblicz długość takiego wahadła. 24,8 cm Jaki jest okres drgań wahadła o długości 1 m? Ile czasu potrzebuje dziecko na huśtawce na wykonanie wahnięcia w tę i z powrotem (jedno pełne drganie), jeśli jego środek ciężkości znajduje się 4 m poniżej punktu zawieszenia? 4,01 s Wahadło w zegarze z kukułką ma długość 5 cm. Jaka jest częstotliwość drgań wahadła? Dwie papugi siedzą razem na huśtawce, a ich łączny środek masy znajduje się 10 cm poniżej punktu zawieszenia. Podaj częstotliwość oscylacji huśtawki. 1,58 s Wahadło, które ma okres 3,00000 s w miejscu, gdzie przyspieszenie ziemskie wynosi 9,79 m/s 2 przeniesiono do miejsca, w którym przyspieszenie g wynosi 9,82 m/s 2 . Jaki jest okres drgań wahadła w nowym miejscu? W oparciu o relację pomiędzy okresem drgań i przyspieszeniem ziemskim wyjaśnij, dlaczego tak wiele cyfr znaczących jest potrzebnych do wyznaczenia wartości okresu drgań. Wahadło o okresie drgań 2,00000 s w jednym miejscu ( g = 9,80 m/s 2 ) zostało przeniesione do nowego miejsca, w którym okres drgań wynosi 1,99796 s. Wyznacz przyspieszenie ziemskie w nowym miejscu. 9,82002 m/s 2 Jaki jest wpływ podwojenia długości wahadła na okres drgań? Oceń wpływ zmniejszenia długości wahadła o 5 % na okres drgań. wahadło fizyczne (ang. physical pendulum ) dowolne ciało sztywne o złożonej budowie, które można wprawić w drgania kątowe jak wahadło matematyczne wahadło matematyczne (ang. simple pendulum ) masa skupiona w punkcie, zawieszona na nieważkiej nici wahadło torsyjne (ang. torsional pendulum ) ciało zawieszone na drucie, które na skutek skręcenia drutu wykonuje drgania kątowe

Science


Drgania tłumione W otaczającym nas świecie obserwowane drgania rzadko mają postać ruchu harmonicznego, ponieważ zwykle siła oporu tłumi drgania, co przy braku siły podtrzymującej prowadzi do stopniowego wygaszania oscylacji. Omówimy więc przykłady tłumienia drgań harmonicznych i odpowiednio zmodyfikujemy równania ruchu, aby opisać ten bardziej uogólniony przypadek drgań. Po szarpnięciu struny gitarowej obserwujemy zanik jej drgań w czasie kilku sekund. Aby huśtawka kontynuowała oscylacje, musimy ją popychać ( ). Choć często możemy stworzyć takie warunki, w których siły oporu i inne siły niezachowawcze można zaniedbać, przypadki swobodnych, nietłumionych drgań są rzadkie. Bywają też sytuacje, kiedy drgania są czymś niepożądanym i celowo staramy się je tłumić jak np. w przypadku amortyzatorów w samochodach. Jeśli chcemy huśtać się na huśtawce, musimy wykonywać odpowiednie ruchy ciała w celu kompensacji strat energii wynikających z obecności sił oporu ośrodka i sił tarcia. (Źródło: Bob Mical). przedstawia klocek o masie m przymocowany do sprężyny o współczynniku sprężystości k . Klocek podniesiono do położenia A 0 , które jest początkową amplitudą, a następnie puszczono go swobodnie. Klocek wykonuje drgania wokół położenia równowagi w cieczy o lepkości η , a kolejne uzyskiwane wartości amplitudy maleją wraz z upływem czasu. Jest to typowy wykres dla układu ze słabym tłumieniem. Ten zanik oscylacji wywołują siły oporu ośrodka, a więc siły niezachowawcze, których działanie powoduje tworzenie różnych form energii termicznej kosztem energii oscylatora (obniżenie energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości). W warunkach słabego tłumienia okres i częstotliwość drgań są podobne do odpowiednich wartości w swobodnym oscylatorze harmonicznym. Ciężarek zawieszony na sprężynie wykonuje drgania w cieczy o lepkości η . Wartość okresu drgań pozostaje stała, ale amplitudy kolejnych oscylacji zmniejszają się na skutek tłumienia drgań przez lepki ośrodek. Rozważmy działanie sił na ciężarek, który ma masę m . Należy zauważyć, że siła ciężkości działająca na ten ciężarek jest kompensowana zmianą położenia równowagi, co już omawialiśmy w rozdziale. Na siłę wypadkową wpływa zarówno siła sprężystości związana ze sprężyną, jak i siła oporu ośrodka ( F O ) . Jeśli maksymalna prędkość drgającego ciężarka jest mała, to siła oporu ośrodka jest proporcjonalna do prędkości ciała i działa przeciwnie do kierunku ruchu ciężarka ( F O = − b v ) . W tych warunkach wypadkowa siła działająca na ciężarek o masie m wynosi: m a = − b v − k x . Możemy zapisać ten wzór w postaci równania różniczkowego: m d 2 x d t 2 + b d x d t + k x = 0. Aby zaproponować rozwiązanie tego równania różniczkowego, przeanalizujmy wykres położenia ciężarka względem czasu przedstawiony na . Krzywa ta przypomina funkcję cosinus, która ma postać funkcji wykładniczej A 0 e − α t , gdzie α = b 2 m . Rozwiązaniem jest: x  t = A 0  e − b 2  m  t  cos ω  t + ϕ  . x\apply (t) = A_0 e^{-\frac{b}{2m} t } \cos (\omega t + \phi) \text{.} Rozwiązanie to spełnia równanie różniczkowe, a udowodnienie tego pozostawiamy jako ćwiczenie. W tym celu wyznacz pierwszą i drugą pochodną względem czasu i wstaw je do . Możemy również stwierdzić, że jest rozwiązaniem, jeśli: ω = k m − ( b 2 m ) 2 . Przypomnijmy, że częstość kołowa ω 0 drgań oscylatora harmonicznego nietłumionego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu ze współczynnika sprężystości sprężyny podzielonemu przez masę ciężarka. Wartość ta może być traktowana jako częstotliwość własna (naturalna częstość kołowa drgań), którą opisuje wzór: ω 0 = k m . Natomiast w przypadku drgań tłumionych częstość kołowa wynosi: ω = ω 0 2 − ( b 2 m ) 2 . Położenie względem czasu dla ciężarka zawieszonego na sprężynie drgającego w cieczy jako ośrodku tłumiącym drgania. Zauważmy, że krzywa ma postać funkcji cosinus z obwiednią o charakterze funkcji wykładniczej. Kiedy zaczęliśmy opisywać ruch harmoniczny tłumiony, stwierdziliśmy, że tłumienie musi być małe. Pojawiają się więc dwa pytania: dlaczego tłumienie powinno być małe i jak to dokładnie opisać? Jeśli stopniowo zwiększamy wartość tłumienia w układzie, to okres i częstotliwość drgań będą się zmieniać. Ze względu na to, że siła oporu ośrodka działa przeciwnie do kierunku ruchu, to ruch drgający spowolni się (wypadkowa siła działająca na ciężarek jest mniejsza). Częstość kołową opisuje wzór: ω = k m − ( b 2 m ) 2 . Gdy współczynnik oporu b wzrasta, k m − ( b 2 m ) 2 maleje i ostatecznie osiąga wartość zero, gdy b = 4 m k . Dalsze zwiększenie b powoduje, że k m − ( b 2 m ) 2 przyjmuje ujemną wartość, a k m − ( b 2 m ) 2 jest liczbą zespoloną. W przypadku bardzo dużego tłumienia układ nie wykazuje oscylacji i powoli zmierza do położenia równowagi. przedstawia czasowy przebieg przemieszczenia oscylatora harmonicznego dla różnych wartości współczynnika tłumienia. Kiedy współczynnik tłumienia b jest mały b < 4 m k , układ wykonuje drgania z tłumieniem podkrytycznym , zgodnie z krzywą (a), amplituda w kolejnych chwilach ruchu zmniejsza się wykładniczo. Wiele oscylatorów wykazuje drgania z tłumieniem podkrytycznym, m.in. drgający klocek na sprężynie. Choć współczynnik tłumienia jest małą wartością, to w końcu drgania zanikają i klocek osiąga stan bezruchu. Jeśli współczynnik tłumienia wynosi b = 4 m k , to zachodzi tłumienie krytyczne , a zachowanie układu przedstawia krzywa (b). W tych warunkach układ nie oscyluje, ale asymptotycznie zbliża się do położenia równowagi w jak najkrótszym czasie. Możliwie najszybszy zanik niepożądanych drgań bywa kwestią niezwykle ważną, a przykładem układu z tłumieniem krytycznym są amortyzatory w samochodzie. Z kolei krzywa (c) na przedstawia układ z tłumieniem nadkrytycznym , dla którego b > 4 m k . Początkowe wychylenie przy tłumieniu nadkrytycznym z czasem zanika. Położenie względem czasu dla układu składającego się z masy i sprężyny w lepkiej cieczy. (a) Jeśli tłumienie jest małe ( b < 4 m k ) , masa oscyluje i powoli zmniejsza się amplituda drgań ze względu na utratę energii na skutek działania sił niezachowawczych. Przypadkiem granicznym jest (b) kiedy współczynnik tłumienia wynosi dokładnie ( b = 4 m k ) . (c) Gdy tłumienie jest bardzo duże ( b > 4 m k ) , masa nie oscyluje po początkowym wychyleniu, ale wolno zmierza do położenia równowagi. Tłumienie krytyczne bywa cechą pożądaną, ponieważ taki układ potrafi bardzo szybko powrócić do stanu równowagi i pozostaje w tym stanie. Ponadto jeśli do układu z tłumieniem krytycznym przyłożymy stałą siłę, to uzyska on nowe położenie równowagi w możliwie najkrótszym czasie bez efektu przekraczania tego położenia i bez oscylacji wokół nowego położenia równowagi. Sprawdź, czy rozumiesz. Dlaczego swobodne, nietłumione oscylatory harmoniczne są rzadko spotykane? Na ruch obiektu często wpływa tarcie, które powoduje tłumienie drgań oscylatora harmonicznego. Podsumowanie W oscylatorach harmonicznych tłumionych działają siły niezachowawcze, które powodują dyssypację energii. Tłumienie krytyczne powoduje, że układ możliwie najszybciej, asymptotycznie wraca do położenia równowagi. Układ drgający z tłumieniem podkrytycznym wykonuje drgania wokół położenia równowagi. Układ z tłumieniem nadkrytycznym osiąga stan równowagi wolniej niż ten z tłumieniem krytycznym. Pytania Podaj przykład oscylatora harmonicznego tłumionego (są one bardziej rozpowszechnione niż swobodne oscylatory harmoniczne). Amortyzator w samochodzie. Samochód przejeżdżający przez próg zwalniający wpada w drganie. Opisz przebieg drgań z tłumieniem: a) nadkrytycznym b) podkrytycznym c) krytycznym. W większości oscylatorów harmonicznych zachodzi tłumienie i w nieobecności siły wymuszającej drgania ulegają wygaszeniu. Wyjaśnij to. Druga zasada termodynamiki mówi, że nie można zbudować maszyny poruszającej się bez końca. W końcu uporządkowany ruch zanika i układ powraca do stanu równowagi. Zadania Oscylator słabo tłumiony wykonuje drgania, a w każdym kolejnym cyklu amplituda tych drgań jest mniejsza o 3,0 % . Jaki procent energii mechanicznej oscylatora jest tracony w każdym cyklu? 9%. tłumienie krytyczne (ang. critically dampened ) tłumienie powodujące możliwie najszybszy powrót oscylatora do stanu równowagi, przy czym w ruchu tym nie występują oscylacje wokół położenia równowagi częstotliwość własna (ang. natural angular frequency ) częstotliwość drgań swobodnego oscylatora harmonicznego tłumienie nadkrytyczne (ang. overdampened ) tłumienie skutkujące powolnym powrotem oscylatora do stanu równowagi, przy czym oscylacje wokół stanu równowagi nie występują tłumienie podkrytyczne (ang. underdampened ) tłumienie powodujące zanik kolejnych amplitud drgań aż do zera

Science


Drgania wymuszone Zaśpiewaj głośno jakiś dźwięk przy fortepianie ( ) z odseparowanymi tłumikami strun. W odpowiedzi instrument wyda identyczny dźwięk, ponieważ struny o częstotliwościach takich jak twój głos będą w rezonansie z wygenerowaną przez ciebie falą akustyczną. To dobry przykład pokazujący, że struny fortepianu najłatwiej zmusić do drgań z częstotliwościami własnymi. W tym podrozdziale opiszemy sytuację z przyłożeniem siły wymuszającej do oscylatora harmonicznego. Działanie siły wymuszającej zwiększa energię układu przy pewnej częstotliwości, niekoniecznie tej samej, co częstotliwość drgań własnych oscylatora. Warto przypomnieć, że częstotliwość drgań własnych oscylatora jest to częstotliwość swobodnych drgań układu zachodzących w nieobecności zarówno siły wymuszającej, jak i oporu ośrodka. Możesz wprawić w wibracje struny fortepianowe, działając na nie falą dźwiękową swojego głosu. Większość z nas bawiła się zabawkami składającymi się z ciała zawieszonego na elastycznej gumce, a więc układami podobnymi do pokazanego na . Wyobraź sobie, że palec na rysunku jest twoim palcem. Początkowo trzymasz palec w bezruchu i możesz stwierdzić, że kulka wykonuje drgania w górę i w dół. Możesz też zauważyć słabe tłumienie drgań. Jeśli powoli zaczniesz poruszać palcem w górę i w dół, kulka będzie podążać za palcem, a drgania będą miały małą amplitudę. Jeżeli następnie zwiększysz częstotliwość ruchu palca, to kulka zareaguje oscylacjami z rosnącą amplitudą drgań. Jeśli będziesz wymuszać drgania kulki z częstotliwością drgań własnych oscylatora, wówczas ich amplituda przy każdej kolejnej oscylacji będzie coraz większa. Zjawisko wprowadzenia układu w drgania o częstotliwości równej częstotliwości drgań własnych oscylatora nazywa się rezonansem . W sytuacji, kiedy występują drgania wymuszone, mówimy że układ rezonuje . Kiedy częstotliwość wymuszania drgań jest stopniowo zwiększana powyżej częstotliwości rezonansowej, amplituda drgań kulki ulega zmniejszeniu. W warunkach, gdy twój palec oscyluje bardzo szybko, oscylacje kulki praktycznie zanikają. Kulka na gumce drga w odpowiedzi na ruchy palca, na którym ją zawieszono. Jeśli palec porusza się z częstotliwością taką jak częstotliwość drgań własnych f 0 kulki, to uzyskujemy rezonans przejawiający się gwałtownym wzrostem amplitudy drgań kulki. Przy wyższych i niższych częstotliwościach ruchu palca energia jest przekazywana kulce mniej efektywnie, przez co kulka ma mniejszą amplitudę drgań. Przeprowadźmy proste doświadczenie. Przymocujmy klocek o masie m do sprężyny zanurzonej w naczyniu z lepką cieczą. To podobny układ do omawianego już wcześniej oscylatora harmonicznego tłumionego. Tym razem zamiast podwieszać swobodny koniec sprężyny do sztywnego zawieszenia, przymocujmy ją do tarczy napędzanej przez silnik o zmiennej częstotliwości obrotów. Silnik rotuje z prędkością kątową ω . Obracająca się tarcza dostarcza energię do układu poprzez wykonanie pracy na skutek działania siły wymuszającej F w y m = F 0 sin  ( ω t ) na sprężynę. Układ eksperymentalny pokazano na . Obracająca się tarcza napędzana silnikiem o zmiennej prędkości wymusza ruch oscylatora tłumionego. Możemy przeanalizować ruch klocka o masie m , stosując drugą zasadę dynamiki Newtona ( F → w y p = m a → ) . Proponowane równanie różniczkowe jest podobne do równania dla oscylatora harmonicznego tłumionego, przy czym dodano człon związany z siłą wymuszającą: − k x − b d x d t + F 0 sin  ( ω t ) = m d 2 x d t 2 . Kiedy oscylator zaczyna wykonywać drgania pod wpływem okresowej siły wymuszającej, początkowy ruch klocka może wydawać się przebiegiem chaotycznym, dlatego stan ten nazywamy przejściowym. Po pewnym czasie drgania oscylatora stabilizują się, a ruch klocka staje się periodyczny (stan ustalony). W warunkach stabilizacji rozwiązanie równania różniczkowego można przedstawić jako: x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Pozostaje w ramach ćwiczenia udowodnić, że to rozwiązanie spełnia równanie różniczkowe. Po wyznaczeniu pierwszej i drugiej pochodnej przemieszczenia względem czasu x ( t ) i podstawieniu ich do równania różniczkowego możemy stwierdzić, że x ( t ) = A sin ( ω t + ϕ ) jest rozwiązaniem, jeśli amplituda drgań wynosi: A = F 0 m 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + b 2 ω 2 , gdzie ω 0 = k / m jest częstością kołową własną układu klocka na sprężynie. Przypomnijmy, że częstość kątowa, a co za tym idzie i częstotliwość siły wymuszającej, może być regulowana kontrolką silnika. Zatem amplituda drgań klocka zależy od częstotliwości siły wymuszającej. Ponadto im mniejsza wartość mianownika, tym większe wychylenie klocka od położenia równowagi. Aby wyznaczyć maksymalną amplitudę drgań należy więc znaleźć taką częstość, zwaną częstością rezonansową ω rez \omega_{\text{rez}} , dla której mianownik przyjmuje minimum. W tym celu wyznaczamy pochodną funkcji pod pierwiastkiem i przyrównujemy ją do zera: d d ω m 2  ω 0 2 − ω 2 2 + b 2  ω 2 = 0  , m 2 ⋅ 2  ω 0 2 − ω 2 ⋅ − 2  ω + b 2 ⋅ 2  ω = 0  , 2  ω  − 2  m 2  ω 0 2 − ω 2 + b 2 = 0  . \begin{align} \dd{\omega} (m^2 (\omega_0^2 - \omega^2)^2 +b^2 \omega^2) &= 0 \text{,} \\ m^2 \cdot 2(\omega_0^2 - \omega^2) \cdot (-2\omega) + b^2 \cdot 2 \omega &= 0 \text{,} \\ 2 \omega (-2m^2 (\omega_0^2 - \omega^2) + b^2) &= 0 \text{.}\end{align} Jednym z rozwiązań powyższego równania jest ω = 0 \omega = 0 . Oznaczałoby to, że wartość siły wymuszającej pozostaje stała wraz z upływem czasu, co jest sprzeczne z naszymi założeniami. Dlatego też to rozwiązanie należy odrzucić i skupić się na drugim czynniku równania: − 2  m 2  ω 0 2 − ω 2 + b 2 = 0  , ω 0 2 − ω 2 = b 2 2  m 2  , ω 2 = ω 0 2 − b 2 2  m 2  . \begin{align} -2m^2 (\omega_0^2 - \omega^2) + b^2 &= 0 \text{,} \\ \omega_0^2 - \omega^2 &= \frac{b^2}{2m^2} \text{,} \\ \omega^2 = \omega_0^2 - \frac{b^2}{2m^2} \text{.} \end{align} Odrzucamy ujemne rozwiązanie i otrzymujemy wzór na częstość rezonansową: ω rez = ω 0 2 − b 2 2  m 2  . \omega_{\text{rez}} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{b^2}{2m^2}} \text{.} Amplituda drgań klocka będzie największa, kiedy częstość drgań siły wymuszającej będzie równa częstości rezonansowej. W celu wyznaczenia maksymalnej wartości wychylenia od położenia równowagi należy do podstawić : A max = F 0 b  ω 0 2 − b 2 4  m 2  . A_{\text{max}} = \frac{F_0}{b\sqrt{\omega_0^2 - \frac{b^2}{4m^2}}} \text{.} przedstawia wykres amplitudy drgań oscylatora tłumionego w funkcji częstotliwości periodycznej siły wymuszającej drgania. Każda z trzech krzywych została wykreślona dla innej wartości współczynnika tłumienia. Szczególnie wysokie maksima obserwuje się dla układów z minimalnym udziałem tłumienia, co przekłada się na mniejsze straty energetyczne ze względu na opór ośrodka. Zauważmy, że amplituda drgań rośnie, gdy współczynnik tłumienia maleje, a w granicy nieobecności tłumienia ( b = 0 ) amplituda drgań przyjmuje wartość nieskończoności. Zauważmy również, że siła wymuszająca o małej amplitudzie może spowodować odpowiedź oscylatora w postaci bardzo dużych amplitud drgań. Zjawisko to znane jest jako rezonans. Często przytaczanym przykładem rezonansu jest rodzic popychający dziecko na huśtawce. Kiedy dziecko chce się huśtać wyżej, rodzic nie próbuje popchnąć huśtawki z rozbiegu, przykładając ogromną jednorazową siłę w bardzo krótkim czasie. Stosuje raczej strategię kolejnych, małych pchnięć huśtawki z odpowiednią częstotliwością, a amplituda wahnięć huśtawki stopniowo wzrasta. Jest to rozsądniejsze rozwiązanie. Amplituda oscylatora harmonicznego w funkcji częstotliwości siły wymuszającej drgania. Krzywe reprezentują oscylator o tej samej częstotliwości własnej drgań, ale o różnych współczynnikach tłumienia. Rezonans występuje, gdy częstotliwość siły wymuszającej jest bliska częstotliwości własnej oscylatora. Największą wartość amplitudy drgań obserwuje się przy minimalnej wartości współczynnika tłumienia. Krzywa jest też najwęższa w warunkach najmniejszego tłumienia. Warto zauważyć, że szerokości krzywych rezonansowych pokazanych na zależą od współczynnika tłumienia: im mniejsze tłumienie, tym krzywa jest węższa. Zatem w warunkach małego tłumienia częstotliwość siły wymuszającej musi być dobrana bardzo precyzyjnie, aby uzyskać rezonans. Na przykład radio ma obwód składający się z rezystora, kondensatora i cewki. Obwód ten cechuje wąska krzywa rezonansowa oraz możliwość strojenia częstotliwości, co przekłada się na selektywny wybór częstotliwości stacji radiowej. Dobroć układu zdefiniowana jest jako stosunek własnej częstości kołowej oscylatora do szerokości krzywej rezonansowej ( Q = ω 0 / Δ ω ) , tak jak pokazano na . W warunkach słabego tłumienia parametr dobroci wynosi Q ≈ ω 0 m / b . Parametr dobroci układu zdefiniowano jako częstość własną układu ω 0 podzieloną przez szerokość krzywej Δ ω w połowie amplitudy. Opisane cechy drgań wymuszonych znajdują zastosowanie w wielu układach. Na przykład obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego jest szeroko stosowanym narzędziem diagnostyki medycznej, w którym to jądra atomowe (głównie wodoru) rezonują z falami radiowymi (rzędu 100 MHz). We wszystkich tych przypadkach sprawność transferu energii od źródła siły wymuszającej do oscylatora jest najwyższa w warunkach rezonansu. przedstawia zdjęcie słynnego mostu Tacoma, który jest jednym z najgłośniejszych przypadków niszczącej siły drgań wymuszonych. Inny przykład to most Millennium w Londynie, który z tego samego powodu trzeba było na krótko zamknąć w celu oceny zniszczeń spowodowanych zjawiskiem rezonansu. Przed ponownym otwarciem trzeba było przebudować konstrukcję mostu. W 1940 r. most w Tacoma w stanie Waszyngton uległ zniszczeniu. Przyczyną był wiejący od oceanu zmienny wiatr, który choć słabszy od huraganu, wprowadził most w oscylacje przy częstotliwości rezonansowej. Gdy kable nośne uległy zerwaniu, współczynnik tłumienia spadł, co spowodowało jeszcze większą amplitudę oscylacji i doprowadziło do zawalenia całej konstrukcji. Sprawdź, czy rozumiesz. Jedna ze słynnych sztuczek magicznych polega na rozbijaniu głosem kryształowego kielicha. Wyjaśnij ten efekt, posługując się pojęciami rezonansu i częstotliwości własnej układu. Magik powinien zaśpiewać dźwięk o częstotliwości zgodnej z częstotliwością drgań własnych kielicha. Skierowanie fali dźwiękowej na kielich pobudza go do drgań w rezonansie z częstotliwością fali dźwiękowej. W tych warunkach kielich wpada w drgania o dużej amplitudzie i jeśli śpiew będzie wystarczająco głośny – rozpada się na kawałeczki. Podsumowanie Częstotliwość własna układu to częstotliwość, w której układ oscyluje swobodnie, o ile nie działa na niego siła wymuszająca ani siły oporu ośrodka. Rezonans w oscylatorze harmonicznym zachodzi pod wpływem periodycznej siły wymuszającej działającej z taką częstotliwością, jak częstotliwość rezonansowa układu. W tych warunkach obserwujemy drgania rezonansowe o dużej amplitudzie. Amplituda drgań wymuszonych w pobliżu rezonansu jest tym wyższa, im słabsze jest tłumienie. Wzrost tłumienia układu powoduje poszerzenie krzywej amplitudowej w odpowiedzi na częstotliwość siły wymuszającej. Najważniejsze wzory Relacja pomiędzy częstotliwością a okresem drgań f = 1 T Położenie w ruchu harmonicznym przy ϕ = 0 x ( t ) = A cos ( ω t ) Przemieszczenie w ruchu harmonicznym x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) Prędkość w ruchu harmonicznym v ( t ) = − A ω sin ( ω t + ϕ ) Przyspieszenie w ruchu harmonicznym a ( t ) = − A ω 2 cos ( ω t + ϕ ) Maksymalne przemieszczenie (amplituda) w ruchu harmonicznym x max = A Maksymalna prędkość w ruchu harmonicznym | v max | = A ω Maksymalne przyspieszenie w ruchu harmonicznym | a max | = A ω 2 Częstość kołowa w układzie drgającego klocka na sprężynie w ruchu harmonicznym ω = k m Okres drgań układu drgającego klocka na sprężynie w ruchu harmonicznym T = 2 π m k Częstotliwość drgań układu drgającego klocka na sprężynie w ruchu harmonicznym f = 1 2 π k m Całkowita energia układu drgającego klocka na sprężynie w ruchu harmonicznym E c a ł k o w i t a = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2 Prędkość drgającego klocka na sprężynie w ruchu harmonicznym v = ± k m ( A 2 − x 2 ) Składowa x promienia obracającego się dysku x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) Składowa x prędkości krawędzi obracającego się dysku v ( t ) = − v max sin ( ω t + ϕ ) Składowa x przyspieszenia krawędzi obracającego się dysku a ( t ) = − a max cos ( ω t + ϕ ) Różniczkowe równanie ruchu wahadła matematycznego d 2 θ d t 2 = − g L θ Częstość kołowa dla wahadła matematycznego ω = g L Okres drgań wahadła matematycznego T = 2 π L g Częstość kołowa wahadła fizycznego ω = m g L I Okres drgań wahadła fizycznego T = 2 π I m g L Okres drgań wahadła torsyjnego T = 2 π I κ Równanie różniczkowe ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego m d 2 x d t 2 + b d x d t + k x = 0 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego z tłumieniem podkrytycznym x ( t ) = A 0 e − b 2 m t cos ( ω t + ϕ ) Własna częstość kołowa układu klocka na sprężynie ω 0 = k m Częstość kołowa oscylatora harmonicznego z tłumieniem podkrytycznym ω = ω 0 2 − ( b 2 m ) 2 Równanie różniczkowe ruchu oscylatora harmonicznego z drganiami wymuszonymi w obecności tłumienia − k x − b d x d t + F 0 sin  ( ω t ) = m d 2 x d t 2 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego z drganiami wymuszonymi i tłumieniem x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) Amplituda drgań w układzie z drganiami wymuszonymi i tłumieniem A = F o m 2 ( ω o 2 − ω 2 ) 2 + b 2 ω 2 Pytania Dlaczego w czasie przemarszu przez most żołnierze otrzymują rozkaz „Dowolny krok!”, aby nie szli "w nogę"? Czy uważasz, że w świecie rzeczywistym istnieje przykład oscylatora harmonicznego, który jest całkowicie wolny od tłumienia? Spróbuj utworzyć listę pięciu przykładów dla ruchu harmonicznego swobodnego i drugą listę oscylatorów harmonicznych z tłumieniem. Która lista była prostsza do przygotowania? Każdy ruch harmoniczny jest ruchem harmonicznym tłumionym, ale w pewnych układach tłumienie może być bardzo słabe i można je zaniedbać. Tłumienie jest spowodowane przez siły tarcia i siły oporu. Można przytoczyć pięć następujących przykładów ruchu drgającego tłumionego: (1) masa oscylująca pionowo na sprężynie (drgania zanikają), (2) amortyzatory w samochodach (tłumią niepożądane drgania), (3) wahadło w zegarze mechanicznym (stosuje się ciężarki w celu zwiększenia energii oscylatora), (4) dziecko na huśtawce (wychylenia ustaną jeśli nie będziemy popychać dziecka) (5) kula drgająca w misce (w końcu przestaje drgać i osiąga położenie równowagi trwałej). Nawet zastosowanie próżni dla układu masy na sprężynie nie sprawi, że układ stanie się oscylatorem nietłumionym, ponieważ w sprężynie obecne są kanały dyssypacji energii. Tak więc tłumienie można ograniczyć, ale nie można go wyeliminować. W celu przeprowadzenia diagnostyki silnika samochodowego inżynierowie stosują wibroakustyczne metody pomiarowe. Niepożądane drgania mogą generować dźwięk, który jest głośny i uciążliwy dla kierowcy, a część silnika może ulec przedwczesnemu zużyciu. Załóżmy, że w problemowe drgania dotyczą części silnika o długości L zrobionej z materiału o masie M . Co można zrobić, aby ten problem wyeliminować? Zadania Ile energii muszą rozproszyć amortyzatory w samochodzie o masie 1200 kg w celu wygaszenia drgania, którego początkowa prędkość przy przejściu przez położenie równowagi wynosi 0,800 m/s? Załóż, że samochód całkowicie wraca do pierwotnej pozycji. Jeśli samochód ma układ zawieszenia o współczynniku sprężystości 5 · 10 4 N/m , to ile energii muszą rozproszyć amortyzatory, aby wygasić drganie z początkowym maksymalnym przemieszczeniem 0,075 m? 141 J. Jak bardzo rozciągnie się w pionie sprężyna o współczynniku sprężystości 40,0 N/m, jeśli zawiesimy masę 0,500 kg tak, że będzie ona w bezruchu? b) Policz, jaki jest na tym odcinku ubytek energii potencjalnej grawitacji dla masy 0,500 kg. c) Część energii potencjalnej grawitacji przekształcono w energię potencjalną sprężystości. Policz więc energię potencjalną sprężystości dla tego układu i porównaj ze stratą energii potencjalnej grawitacji. Wyjaśnij, co odpowiada za powstałą różnicę. Na powierzchni horyzontalnej ciało o masie 0,750 kg połączono ze sprężyną o współczynniku sprężystości 150 N/m. Tarcie statyczne zachodzi pomiędzy ciałem a powierzchnią ze współczynnikiem tarcia 0,100. Określ maksymalne rozciągnięcie sprężyny, przy którym masa nie będzie się poruszać. Jeśli ciało wykonuje drgania z początkową amplitudą dwukrotnie wyższą niż odległość znaleziona powyżej i współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,085, to jaka jest całkowita droga przebyta przez ciało aż do zatrzymania? Załóż, że ruch zaczyna się w położeniu amplitudy. 4,90 · 10 −3 m ; 1,15 · 10 −2 m. Zadania dodatkowe Wisząca pionowo sprężyna początkowo miała swoją naturalną długość. Następnie do sprężyny przyczepiono ciało o masie m . Ciało puszczone swobodnie zaczyna wykonywać drgania w górę i w dół. Amplituda drgań jest więc odległością pomiędzy nowym położeniem równowagi układu a położeniem równowagi sprężyny bez przyłączonej masy. a) Pokaż, że w najniższym położeniu układu sprężyna działa na ciało skierowaną do góry siłą o wartości 2,00 m g . b) Załóż, że sprężyna o współczynniku sprężystości 10,0 N/m, zwisa pionowo, a położenie wolnego końca sprężyny wynosi 0,00 m. Gdzie znajduje się nowe położenie równowagi po przyłączeniu do sprężyny ciała o masie 0,25 kg? c) Dla układu opisanego we wstępie zadania znajdź amplitudę drgań ciała wprawionego w ruch, jeśli współczynnik sprężystości wynosi 10 N/m i ciało ma masę 0,25 kg. d) Wyznacz maksymalną prędkość ciała. Zawodniczka przed skokiem z trampoliny porusza się ruchem harmonicznym. Jej masa ciała wynosi 55,0 kg, a okres drgań 0,800 s. Następnym zawodnikiem jest mężczyzna, dla którego okres drgań wynosi 1,05 s. Jaka jest jego masa, jeśli zaniedbamy masę trampoliny? 94,7 kg. Pusta trampolina wykonuje drgania w górę i w dół ruchem harmonicznym z częstotliwością 4,00 Hz. Efektywna masa trampoliny wynosi 10,0 kg. Jaka jest częstotliwość zawodnika o masie 75,0 kg na tej trampolinie? Urządzenie pokazane na poniższej fotografii zabawia małe dzieci. Maluch umieszczony w specjalnej uprzęży wykonuje oscylacje na sprężynie podwieszonej do framugi drzwi. Jeśli sprężyna rozciąga się o 0,250 m gdy dziecko ma masę 8,0 kg, to jaki jest jej współczynnik sprężystości? Jaki jest okres drgań dziecka na sprężynie? Jaka jest maksymalna prędkość dziecka przy amplitudzie oscylacji 0,200 m? Źródło ilustracji: Lisa Doehnert 314 N/m; 1,00 s; 1,25 m/s. Do jednego z końców sprężyny o k = 100 N/m , którą można ściskać i rozciągać, przymocowano ciało o masie 5 k g . Ciało spoczywa na stole. Drugi koniec sprężyny zakotwiczono w ścianie. Położenie równowagi traktuje się jako zerową wartość położenia. Student przesuwa ciało w położenie x = 4,0 cm i puszcza je swobodnie. Ciało wykonuje drgania w ruchu harmonicznym, poruszając się bez tarcia po stole. a) Napisz równania ruchu ciała. b) Znajdź położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w chwili t = 3,00 s . Wahadło matematyczne przetransportowano z Ziemi na Księżyc. Przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi 1,63 m/s 2 . Jaka jest relacja pomiędzy okresami drgań wahadła w tych dwóch miejscach? Okres drgań wahadła na Księżycu jest 2,45 razy dłuższy niż na Ziemi. Jak szybko zegar wahadłowy będzie odmierzał czas na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi 1,63 m/s 2 , jeśli ten sam zegar na Ziemi dokładnie odmierza czas? Znajdź rzeczywisty czas (w godzinach) odpowiadający 1 godzinie odmierzonej przez zegar na Księżycu. Jeśli zegar wahadłowy spieszy się o 5,00 s na dzień, to jaka musi być względna zmiana długości wahadła, aby działał perfekcyjnie? Długość wahadła musi wzrosnąć o 0,0116%. Na przymocowanej do sufitu lince o długości 1 m wisi ciało o masie 2 kg. Wystrzelono pocisk o masie 100 g, który przy prędkości 20 m/s zderza się sprężyście z tym ciałem. Napisz równanie ruchu dla drgającego wahadła, zaniedbując opory powietrza. Na przymocowanej do sufitu lince o długości 1 m wisi ciało o masie 2 kg. Wystrzelono pocisk o masie 100 g, który przy prędkości 20 m/s zderza się niesprężyście z tym ciałem, w wyniku czego pocisk i ciało przylegają do siebie. Napisz równanie ruchu dla drgającego wahadła, zaniedbując opory powietrza. θ = 0,31 r a d ⋅ sin  ( 3,13 s − 1 ⋅ t ). U dziadka stoi zegar, którego wahadło ma temperaturę T = 20 ° C , długość L 0 = 1 m oraz masę M . Wahadło to w przybliżeniu jest prętem oscylującym wokół jednego końca. W jakim stopniu (procentowo) zmieni się okres drgań wahadła, jeśli temperatura podniesie się o 10 ° C ? Załóż, że długość wahadła zmienia się liniowo wraz z temperaturą według wzoru L = L 0 ( 1 + α Δ T ) , a pręt jest mosiężny o α = 18 ⋅ 10 − 6 ∘ C − 1 . Klocek o masie 2 kg leży na stole bez tarcia. Sprężynę o współczynniku sprężystości 100 N/m przyczepiono z jednej strony do klocka, a z drugiej do ściany. Na klocku położono dodatkowy klocek o masie 0,5 kg. Dolny klocek delikatnie przesunięto do położenia x = + A i puszczony wolno. Statyczny współczynnik tarcia pomiędzy klockami wynosi 0,45. Jaki jest okres drgań układu? Jaka jest możliwie maksymalna amplituda drgań układu, przy której górny klocek (0,5 kg) nie uległ jeszcze zsunięciu z dolnego? 0,99 s; 0,11 m. Zadania trudniejsze Zawieszenie linowe mocujące most oscyluje z efektywnym współczynnikiem sprężystości 1,00 · 10 8 N/m . a) Jaka jest potrzebna energia, aby wprowadzić układ w drgania o amplitudzie 0,1 m? b) Jeśli żołnierze maszerują przez most synchronicznie w cyklu odpowiadającym częstotliwości własnej mostu i w każdej sekundzie zwiększają energię o 1,00 · 10 4 J , to ile potrzeba czasu, aby most zwiększył amplitudę drgań z 0,100 m do 0,500 m? 25 października 1964 roku w trakcie sztormu na Bałtyku podmuchy wiatru w Trójmieście osiągały prędkość 162 km/h. Obecnie inżynierowie przygotowują projekt wieżowca, którego konstrukcja będzie niewrażliwa na takie podmuchy. Na szczycie budynku zostanie zainstalowane ciało o masie 4 · 10 5 kg zawieszone na sprężynach z możliwością regulacji współczynnika sprężystości. Jest to układ tłumika masowego o takiej samej częstotliwości jak częstotliwość drgań budynku, a więc w warunkach silnych wiatrów ciało to będzie wprowadzane w oscylacje zamiast budynku. Jaki musi być efektywny współczynnik sprężystości, aby tłumik masowy oscylował z okresem drgań równym 2 s? Jaka energia jest zmagazynowana w sprężynach dla przemieszczenia 2 m z położenia równowagi? 3,95 · 10 6 N/m ; 7,90 · 10 6 J. W atmosferze w warunkach równowagi stabilnej (kiedy temperatura wzrasta wraz z wysokością) małe objętości powietrza mogą wykonywać drgania w górę i w dół na skutek siły zwrotnej zapewnionej przez siłę wyporu powietrza. Częstotliwość drgań cząstek powietrza jest miarą stabilności atmosfery. Zakładając, że przyspieszenie cząstki powietrza można opisać jako ∂ 2 z ′ ∂ t 2 = g ρ 0 ∂ ρ ( z ) ∂ z z ′ , wykaż, że z ′ = z 0 ′ e t − N 2 jest rozwiązaniem, gdzie N jest częstotliwością Brunta-Vaisali. Pamiętaj, że w warunkach stabilnej atmosfery gęstość maleje wraz z wysokością, a małe objętości powietrza wykonują drgania w górę i w dół. Rozważ potencjał van der Waalsa U ( r ) = U o [ ( R o r ) 12 − 2 ( R o r ) 6 ] stosowany do opisywania oddziaływania dwóch cząsteczek z minimum energii potencjalnej przy r = R o . Znajdź wzór na siłę jako funkcję odległości r . Następnie załóż, że przemieszczenia są małe ( r = R o + r ′ ) i użyj wzoru dwumianowego Newtona: 1 + n n = 1 + n  x + n  n − 1 2 !  x 2 1 + n n + n  n − 1  n − 2 3 !  x 3 + …  , aby pokazać, że w przybliżeniu małych wychyleń siła ta zachowuje się analogicznie do prawa Hooke’a. F ≈ − constant ⋅ r ′ Zegar wahadłowy dokładnie odmierzał czas, ale pewnego dnia, dokładnie w południe, długość wahadła uległa zmianie o 1,000 %. Jaki czas wskaże zegar 24 godziny później? Przeprowadź obliczenia z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, mając też na uwadze, że w odpowiedzi powinny się znaleźć dwa wyniki. Sprężyny w samochodzie terenowym działają jak pojedyncza sprężyna o współczynniku sprężystości 1,30 · 10 5 N/m . O jaki dystans obniży się zawieszenie samochodu przy obciążeniu go ładunkiem o masie 1000 kg? Jeśli samochód ma cztery identyczne sprężyny, to ile wynosi współczynnik sprężystości każdej z nich? 7,54 cm; 3,25 · 10 4 N/m. rezonans (ang. resonance ) duża amplituda drgań wytworzonych w układzie na skutek działania siły wymuszającej o małej amplitudzie i częstotliwości równej częstotliwości rezonansowej oscylatora

Science


Wstęp Z badań nad odnawialnymi źródłami energii wywodzi się koncepcja boi wytwarzającej prąd elektryczny. Opracowano wiele wersji tego urządzenia. Model pokazany na rysunku przekształca energię ruchu boi w płaszczyźnie pionowej (tj. w górę i w dół) i poziomej (tj. z boku na bok) w energię ruchu obrotowego. W ten sposób uruchomiony zostaje generator prądu elektrycznego. Energia elektryczna magazynowana jest w baterii. W tym rozdziale zajmiemy się fizyką ruchu falowego. Skupimy się na falach mechanicznych, które są zaburzeniami rozchodzącymi się za pośrednictwem ośrodka materialnego, takiego jak powietrze lub woda. Podobnie jak w przypadku ruchu harmonicznego prostego, opisanego w poprzednim rozdziale, energia fal przenoszona za pośrednictwem ośrodka materialnego jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Fale powstające na powierzchni wody są falami poprzecznymi, a ich energia rozchodzi się w płaszczyźnie poziomej, podczas gdy cząsteczki wody poruszają się w górę i w dół pod wpływem sił sprężystości. Boja, której schemat pokazano na rysunku powyżej, jest używana do wytwarzania elektryczności z energii fal oceanicznych. Fale rozchodzące się po powierzchni oceanu wprawiają boję w ruch pionowy, a jego energia zostaje przekształcona w energię ruchu obrotowego. Ruch obrotowy uruchamia wirnik w generatorze prądu elektrycznego, ten zaś ładuje baterie, które są używane jako stałe źródło prądu przez końcowego odbiorcę. Testy tego modelu przeprowadziła amerykańska marynarka wojenna w ramach projektu mającego zapewnić dostawy energii elektrycznej do sieci ochrony wybrzeża. Wynik był pozytywny, badany model dostarczał energię o mocy średnio 350 W. Co więcej, boja okazała się odporna na trudne warunki atmosferyczne, na przykład w 2011 r. przetrwała huragan Irene u wybrzeży New Jersey. Zagadnienia omawiane w tym rozdziale będą podstawą wielu innych, ciekawych tematów, m.in. dotyczących procesów przekazywania informacji i koncepcji mechaniki kwantowej.

Science


Fale biegnące W rozdziale Drgania przekonaliśmy się, że ruch drgający jest ważnym rodzajem ruchu, ponieważ pozwala wyjaśnić wiele zjawisk fizycznych. Jest on istotny również dlatego, że drgania wytwarzają fale, a te z kolei odgrywają fundamentalną rolę w całej fizyce. Wiele pojęć i wzorów, które poznaliśmy w rozdziale poświęconym drganiom, można zastosować również do ruchu falowego ( ). Gdy słyszymy słowo „fala”, zwykle pierwszym obrazem, który pojawia się w naszych myślach, jest fala morska. Mają one wiele cech wspólnych z falami, które będziemy tu omawiać, jednak mechanizm ich powstawania jest dość złożony, a jego opisanie wybiega poza zakres tego rozdziału. Fale morskie mają charakter nieliniowy, dlatego zastosowanie do nich prostych koncepcji przedstawionych w tym rozdziale, choć wydaje się naturalne, to nie odda w pełni ich natury. (Źródło: Steve Jurvetson) Rodzaje fal Pojęcie fala (ang. wave ) oznacza zaburzenie, które rozchodzi się od miejsca, w którym powstało. Wyróżnia się trzy podstawowe typy fal: mechaniczne, elektromagnetyczne i fale materii. Fale mechaniczne (ang. mechanical waves ) podlegają zasadom dynamiki Newtona i wymagają obecności ośrodka materialnego, czyli substancji, w której mogą się rozchodzić. Gdy ośrodek ulega odkształceniu, wówczas pojawiają się w nim siły sprężystości. Fale mechaniczne przenoszą energię i pęd, nie przenosząc przy tym masy. Przykładami fal mechanicznych są fale na wodzie, fale dźwiękowe i fale sejsmiczne. Ośrodkiem dla fal na wodzie jest woda, natomiast dla fal dźwiękowych zwykle jest to powietrze, ale mogą się one rozchodzić również w innych ośrodkach. Zagadnienie to dokładniej omówimy w rozdziale Dźwięk . W przypadku fal na powierzchni wody zaburzenie może powstać na przykład na skutek wrzucenia do niej kamienia lub pod wpływem ruchów ciała pływaka. Natomiast dla fal dźwiękowych wspomniane zaburzenia to zmiany ciśnienia powietrza, które mogą być skutkiem drgań membrany głośnika lub wibracji kamertonu (w obu przypadkach przez zaburzenia rozumiemy drgania cząstek ośrodka). Dla fal mechanicznych energia i pęd są przenoszone wraz z przemieszczaniem się fali, tymczasem ich masa drga wokół położenia równowagi (to zagadnienie omówimy w podrozdziale Energia i moc fali ). Trzęsienia Ziemi generują fale sejsmiczne, z którymi wiąże się kilka typów zaburzeń, w tym zniekształcenia powierzchni Ziemi i zaburzenia ciśnień pod jej powierzchnią. Fale sejsmiczne przemieszczają się w ośrodkach stałych i ciekłych tworzących Ziemię. W tym rozdziale skupimy się jednak na falach mechanicznych. Fale elektromagnetyczne (ang. electromagnetic waves ) są związane z drganiami pól elektrycznych i magnetycznych i nie wymagają obecności ośrodka. Popularne przykłady tego rodzaju fal to: promieniowanie γ , promieniowanie rentgenowskie, promieniowanie ultrafioletowe, światło widzialne, promieniowanie podczerwone, mikrofale i fale radiowe. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z prędkością światła v = c = 2,99792458 ⋅ 10 8 m / s , tak jak światło docierające do powierzchni Ziemi z przestrzeni kosmicznej. Wykazują równiez pewne podobieństwa do fal mechanicznych. Zagadnienie to zostanie omówione szczegółowo w rozdziale Fale elektromagnetyczne . Fale materii (ang. matter waves ) są kluczowym zagadnieniem działu fizyki znanego jako mechanika kwantowa. Są one związane z takimi cząstkami jak protony, elektrony, neutrony i inne występujące w przyrodzie cząstki elementarne. Teoria, według której każda cząstka materialna ma właściwości falowe, została po raz pierwszy sformułowana przez Louisa de Broglie’a w 1924 roku. Fale materii zostaną omówione w rozdziale Fotony i fale materii . Fale mechaniczne W oparciu o przykład fal mechanicznych można okreslić wielkości wspólne dla wszystkich rodzajów fal, takie jak amplituda, długość, okres, częstotliwość i energia. Pełną charakterystykę fal możemy podać przy zastosowaniu zaledwie kilku zasad. Najprostsze fale mechaniczne są powtarzalne i charakteryzują się prostym ruchem harmonicznym. Te proste fale harmoniczne możemy opisać korzystając z funkcji sinus i cosinus. Dla przykładu rozważmy uproszczoną falę na powierzchni wody pokazaną na . W odróżnieniu od skomplikowanych fal oceanicznych, w przypadku fal na powierzchni wody cząsteczki wody wykonują ruch w płaszczyźnie pionowej, natomiast zaburzenie rozchodzi się w płaszczyźnie poziomej. Pokazana na mewa, siedząca na powierzchni wody jest wprawiana w proste drgania harmoniczne w górę i w dół. Fala rozchodząca się po powierzchni wody charakteryzuje się obecnością grzbietów (najwyższy punkt fali) i dolin (najniższy punkt fali). Czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego ruchu drgającego w górę i w dół nazywa się okresem fali T . Częstotliwość fali to liczba fal przebiegających przez dowolny punkt w jednostce czasu i wynosi f = 1 / T . Okres może być wyrażony w dowolnej jednostce czasu, zwykle jednak jest to sekunda; natomiast częstotliwość zwykle podaje się w hercach (Hz), gdzie 1 Hz = 1 s −1 . Długość fali (ang. wavelength ) oznacza się grecką literą lambda ( λ ) i można ją podawać w metrach, centymetrach i innych jednostkach długości. Długość fali mierzy się pomiędzy dwoma podobnymi punktami ośrodka o tej samej wysokości i wychyleniu. Na zmierzono odległość między dwoma najbliższymi grzbietami fali (czyli zmierzono długość fali). Zgodnie z tym, co wspomnieliśmy wcześniej, okres to czas jednego pełnego drgania. Okres to także czas, w którym fala pokona odcinek drogi o długości równej jednej długości fali. Amplituda fali (ang. wave amplitude ) oznaczana A jest maksymalnym wychyleniem ośrodka z położenia równowagi. Na położenie równowagi oznaczono linią przerywaną. Odpowiada ono poziomowi, na jakim utrzymywałaby się powierzchnia wody, gdyby ruch falowy nie występował. Ponieważ nasza fala jest symetryczna, + A jest odległością grzbietu od położenia równowagi, a − A – odległością doliny od położenia równowagi. Amplitudę można wyrażać w metrach, centymetrach lub innych jednostkach długości. Fale rozchodzące się na powierzchni wody wprawiają siedzącą na powierzchni wody mewę w ruch harmoniczny prosty w górę i w dół. Długość fali wynosi λ i odpowiada odległości pomiędzy sąsiadującymi identycznymi punktami fali. Amplituda fali A jest maksymalnym wychyleniem fali z położenia równowagi (położenie równowagi oznaczono linią przerywaną). W tym przykładzie cząsteczki ośrodka poruszają się w górę i w dół, podczas gdy zaburzenie rozchodzi się równolegle do powierzchni z prędkością v . Na rysunku fala na wodzie rozchodzi się w ośrodku z prędkością v → . Prędkość fali (ang. wave velocity ) to iloraz odległości, jaką fala pokonuje i czasu trwania ruchu. Z kolei szybkość fali (ang. wave speed ) jest wartością prędkości rozchodzenia się fali, przy czym w polskiej literaturze zwykle prędkości i szybkości fali nie rozróżnia się. Można to zapisać w postaci równania: v = λ T = λ f . Ta fundamentalna zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. Dla fal na wodzie v jest prędkością rozchodzenia się fali powierzchniowej, dla dźwięku v – jest prędkością dźwięku, a dla światła widzialnego – prędkością światła. Fale poprzeczne i podłużne Wiemy już, że prosta fala mechaniczna składa się z okresowych zaburzeń, które rozchodzą się od jednego punktu ośrodka do drugiego. Na (a) fala rozchodzi się w płaszczyźnie poziomej, natomiast zaburzenie ośrodka zachodzi w płaszczyźnie pionowej. Taką falę nazywamy falą poprzeczną (ang. transverse wave ). Fala poprzeczna może się rozchodzić w dowolnym kierunku, ale zaburzenie ośrodka zachodzi w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Z kolei dla fali podłużnej (ang. longitudinal wave ) zaburzenie zachodzi w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. (b) pokazuje przykładową falę podłużną. Wielkość zaburzenia odpowiada amplitudzie fali A , która jest całkowicie niezależna od szybkości rozchodzenia się fali v . (a) W przypadku fal poprzecznych ośrodek drga w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. W pokazanym przykładzie sprężyna poruszana jest w płaszczyźnie pionowej, natomiast fala biegnie w prawo w płaszczyźnie poziomej. (b) W przypadku fali podłużnej ośrodek drga w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Powoduje to drganie sprężyny tam i z powrotem, podczas gdy fala biegnie w prawo. Prosta graficzna reprezentacja fal przedstawionych na (b) jest pokazana na . (a) przedstawia początkowy kształt sprężyny, zanim jeszcze wzdłuż niej powstała fala. Punkt, który będzie nas interesował, oznaczono granatową kropką (b)-(g) przedstawia odwzorowanie ruchu sprężyny w odstępach czasu, co 1/4 okresu, w których sprężyna porusza się tam i z powrotem wzdłuż osi x ze stałą częstotliwością. Zaburzenia ośrodka są widoczne jako naprzemienne wydłużenia i skrócenia odległości między zwojami sprężyny. Należy zauważyć, że punkt zaznaczony granatową kropką wykonuje drgania wokół położenia równowagi w zakresie odległości odpowiadających A , gdy fala podłużna przemieszcza się ze stałą prędkością wzdłuż osi x . Odległość A jest amplitudą fali. Współrzędna y położenia kropki nie zmienia się w trakcie rozchodzenia się fali wzdłuż sprężyny. Długość fali została zmierzona na (d). Zależy ona od jej prędkości i częstotliwości siły wymuszającej. (a) Prosta graficzna prezentacja odcinka naprężonej sprężyny pokazanego na (b) w chwili początkowej. Punkt, który będziemy śledzić, został oznaczony granatową kropką. (b)-(g). Fala podłużna generowana jest przez drgania końca sprężyny tam i z powrotem wzdłuż osi x . Fala podłużna o długości λ przemieszcza się wzdłuż sprężyny w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x z prędkością v . W celach poglądowych sposób odmierzania długości fali przedstawiono na (d). Należy zauważyć, że interesujący nas punkt porusza się tam i z powrotem w zakresie odległości odpowiadających A . Fale mogą być poprzeczne, podłużne lub stanowić kombinację obu tych typów. Przykładami fal poprzecznych są fale powstające na strunach instrumentów muzycznych lub na powierzchni wody. Fale dźwiękowe rozchodzące się w powietrzu lub wodzie są falami podłużnymi. W ich przypadku zaburzenia ośrodka to okresowe zmiany ciśnienia, które rozchodzą się w płynie. Płyny nie mają wytrzymałości na ścinanie, dlatego też rozchodzące się w nich fale dźwiękowe są falami podłużnymi. Dźwięki rozchodzące się w ciałach stałych mogą mieć zarówno składową podłużną, jak i poprzeczną. Trzęsienia Ziemi generują fale sejsmiczne, które również mają te dwie składowe. Są one nazywane odpowiednio falą typu P (lub składową dylatacyjną) oraz falą typu S (lub składową torsyjną). Składowe te posiadają ważne cechy indywidualne, np. rozchodzą się z różnymi prędkościami. Za trzęsienia Ziemi mogą również odpowiadać fale powierzchniowe, podobne do fal powstających na powierzchni wody. Również fale oceaniczne mają składowe podłużne i poprzeczne. Fale na sznurze Student wziął sznur o długości 30,00 m i przymocował jeden koniec do ściany w laboratorium fizycznym. Następnie, uchwyciwszy wolny koniec w taki sposób, by utrzymywać stałe naprężenie sznura, zaczął nim poruszać w górę i w dół z częstotliwością 2,00 Hz, generując fale mechaniczne. Maksymalne wychylenie końca sznura wynosiło 20,00 cm. Pierwsza fala uderzyła w ścianę po upływie 6,00 s od chwili jej powstania.(a) Ile wynosi prędkość fali? (b) Ile wynosi okres fali? (c) Jaka jest długość fali? Strategia rozwiązania Prędkość fali można obliczyć dzieląc przebytą odległość przez czas. Okres fali jest odwrotnością częstotliwości siły wymuszającej. Znając prędkość fali i okres można obliczyć jej długość v = λ / T . Rozwiązanie Pierwsza fala przebyła 30,00 m w ciągu 6,00 s: v = 30,00 m 6,00 s = 5,00 m s . Okres fali jest równy odwrotności częstotliwości: T = 1 f = 1 2,00 s −1 = 0,50 s . Długość fali jest równa iloczynowi prędkości i okresu: λ = v T = 5,00 m s ⋅ 0,50 s = 2,50 m . Znaczenie Częstotliwość fali równa się częstotliwości siły wymuszającej wytwarzającej tę falę. Sprawdź, czy rozumiesz. Szarpnięcie struny gitary wytwarza drgania, na skutek czego wzdłuż niej rozchodzi się fala. Wibracje struny powodują, że cząsteczki powietrza zaczynają drgać, tworząc falę dźwiękową, o częstotliwości równiej częstotliwości drgań struny. Czy długość fali dźwiękowej jest zawsze równa długości fali rozchodzącej się wzdłuż struny? Długość fali zależy od jej częstotliwości i prędkości. Częstotliwość fali dźwiękowej jest równa częstotliwości fali przemieszczającej się wzdłuż struny. Długość fali dźwiękowej i długość fali przemieszczającej się wzdłuż struny są równe tylko wtedy, gdy prędkości tych fal są takie same, co nie jest regułą. Jeśli prędkość dźwięku jest różna od prędkości fali rozchodzącej się wzdłuż struny, to długości fal też są różne. Prędkość fali dźwiękowej będzie omówiona w rozdziale Dźwięk . Cechy charakterystyczne fal Mechaniczna fala poprzeczna rozchodzi się ze stałą prędkością w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x (jak pokazano na ) (a). Ośrodek wykonuje drgania w zakresie od + A do − A wokół położenia równowagi. Wykres na (a) przedstawia zależność wychylenia sprężyny ( y ) w funkcji położenia ( x ), przy czym zwrot osi x jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali. Linią przerywaną pokazano wychylenie sprężyny w funkcji położenia x w chwili t = 0,00 s . Linia ciągła pokazuje zależność y od x dla t = 3,00 s . (a) Oblicz długość i amplitudę fali. (b) Znajdź prędkość rozchodzenia się fali. (c) Oblicz okres i częstotliwość fali. Fala poprzeczna w dwóch różnych chwilach t . Strategia rozwiązania Amplitudę i długość fali można odczytać z wykresu. Ponieważ prędkość jest stała, prędkość fali można obliczyć dzieląc odległość jaką fala przebyła przez czas potrzebny na przebycie tej odległości. Okres można obliczyć z v = λ T , a częstotliwość z f = 1 T . Rozwiązanie Długość fali (fioletowa strzałka) i amplitudę (zielona strzałka) odczytujemy z wykresu na (b). Długość fali wynosi λ = 8,00 cm , natomiast amplituda równa się A = 6,00 cm . Cechy charakterystyczne omawianych fal. Odległość, jaką fala przebyła w czasie od chwili t = 0,00 s do chwili t = 3,00 s można odczytać z wykresu. Zwróćmy uwagę na czerwoną strzałkę, która pokazuje odległość jaką przebył grzbiet w ciągu 3 s. Wynosi ona 8,00 cm − 2,00 cm = 6,00 cm . Prędkość wynosi: v = Δ x Δ t = 8,00 c m − 2,00 c m 3,00 c m − 0,00 c m = 2,00 c m s . Okres obliczamy z zależności T = λ v = 8,00 cm 2,00 cm/s = 4,00 s , natomiast częstotliwość f = 1 T = 1 4,00 s = 0,25 Hz . Znaczenie Zauważmy, że długość fali można obliczyć na podstawie położenia na wykresie dwóch kolejnych punktów o tym samym nachyleniu. Należy wybrać takie punkty, które są najwygodniejsze do dalszych obliczeń. Sprawdź, czy rozumiesz. Prędkość rozchodzenia się mechanicznych fal poprzecznych lub podłużnych może być stała, jeśli zaburzenie przemieszcza się w ośrodku. Czy prędkość drgań cząsteczek ośrodka dla fali poprzecznej jest także stała? Fala poprzeczna może przemieszczać się w ośrodku ze stałą prędkością, ale cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu fali. Jeśli fala przemieszcza się zgodnie ze zwrotem osi x , cząstki ośrodka drgają wzdłuż osi y . Zatem prędkość ośrodka nie jest stała (prędkość drgań cząsteczek ośrodka i ich przyspieszenie mogą być opisane przy wykorzystaniu modelu prostego ruchu harmonicznego masy zawieszonej na sprężynie). Podsumowanie Fala jest zaburzeniem ośrodka, które rozchodzi się z prędkością v . Długość fali λ to odległość pomiędzy sąsiednimi identycznymi punktami fali. Prędkość i długość fali zależą od częstotliwości i okresu, zgodnie z równaniem v = λ T = λ f . Fale mechaniczne wymagają obecności ośrodka i podlegają zasadom dynamiki Newtona. Fale elektromagnetyczne są zaburzeniami pola elektrycznego i magnetycznego i nie wymagają ośrodka. Fale materii mają fundamentalne znaczenie dla mechaniki kwantowej i są związane z protonami, elektronami, neutronami i innymi cząstkami występującymi w przyrodzie. Dla fali poprzecznej kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali, natomiast w przypadku fali podłużnej kierunek rozchodzenia się fali jest równoległy do kierunku drgań cząstek ośrodka. Pytania Podaj po jednym przykładzie fali poprzecznej i fali podłużnej. Jaki jest kierunek rozchodzenia się fali, a jaki drgań ośrodka w każdym z podanych przykładów? Fala rozchodząca się wzdłuż struny gitary jest falą poprzeczną. Zaburzenie struny porusza się prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. Dźwięk wytwarzany przez strunę jest falą podłużną. Zaburzenie powietrza przemieszcza się równolegle do kierunku rozchodzenia się fali. Sinusoidalna fala poprzeczna ma długość 2,80 m. W czasie 0,10 s punkt o współrzędnej x leżący wzdłuż struny przemieszcza się z położenia maksymalnego y = 0,03 m do położenia równowagi y = 0 . Ile wynoszą: okres, częstotliwość i prędkość fali? Wyjaśnij różnicę między prędkością rozchodzenia się fali a częstotliwością fali mechanicznej. Która z tych wielkości wpływa na długość fali i w jaki sposób? Szybkość rozchodzenia się fali to szybkość jej rozchodzenia się w ośrodku. Jeśli jest stała, to można obliczyć ją z równania v = λ T = λ f . Częstotliwość to liczba fal, przechodzących przez dany punkt w jednostce czasu. Długość fali jest wprost proporcjonalna do prędkości fali i odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości. Rozważ naprężoną sprężynę. Wzdłuż niej mogą powstawać zarówno fale poprzeczne, jak i podłużne. Jak wytworzyć każdy typ fal? Rozważ falę wytworzoną na sprężynie poruszanej ręką w górę i w dół. Czy długość takiej fali zależy od drogi, którą pokonuje ręka? Nie, odległość, jaką pokonuje ręka, wyznacza amplitudę fali. Długość fali zależy od częstotliwości ruchu ręki w górę i w dół oraz od szybkości fali. Sinusoidalna fala poprzeczna, która powstała na naprężonej sprężynie ma okres T . Każdy odcinek sprężyny porusza się prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. Amplituda ruchu sprężyny wynosi A . Czy drgania każdego odcinka mają okres równy okresowi drgań fali? Jaka będzie odpowiedź na to pytanie, jeśli amplitudę fali poprzecznej podwoimy, a okres pozostawimy bez zmiany? Fala elektromagnetyczna, przykładowo światło, nie wymaga ośrodka. Czy jesteś w stanie podać przykład potwierdzający to stwierdzenie? Światło słoneczne dociera do Ziemi, biegnąc przez przestrzeń kosmiczną, gdzie panuje próżnia. Zadania Burze na Bałtyku mogą powodować powstawanie fal, które przemieszczają się do wybrzeża oddalonego o 12 km. Jak długo trwa ten ruch, jeśli prędkość fali wynosi 15,0 m/s? Fale w basenie przemieszczają się z prędkością 0,75 m/s. Na jednym końcu basenu stoi człowiek, który uderza ręką powierzchnię wody, obserwując falę, która biegnie do przeciwległego końca basenu, odbija się od niego i wraca po upływie 30,00 s. Ile wynosi długość basenu? 2 d = v t ⇒ d = 11,25 m Powiewy wiatru tworzą na oceanie falę o długości 5,00 cm, poruszającą się z prędkością 2,00 m/s. Jaka jest jej częstotliwość? Ile razy w ciągu minuty łódka kołysze się na powierzchni wody, jeśli powstała w wyniku tego fala ma długość 40,0 m i rozchodzi się z prędkością 5,00 m/s? v = f λ , stąd f = 0,125 Hz, zatem N = 7,50 razy Harcerze na obozie potrząsają mostem linowym, który właśnie przekroczyli i obserwują fale o wysokości 8,00 m. Jaka będzie prędkość rozchodzenia się fal, jeśli będą potrząsać mostem dwa razy na sekundę? Jaka jest długość fali, którą wytwarzasz w basenie, uderzając rękoma z częstotliwością 2,00 Hz, jeśli fale rozchodzą się z prędkością 0,800 m/s? v = f λ ⇒ λ = 0,400 m Jaka jest długość fali sejsmicznej, która powoduje drgania o częstotliwości 10,0 Hz i przenosi się do miejsca odległego o 84,0 km w ciągu 12,0 s? Fale radiowe transmitowane z prędkością v = c ≈ 3 ⋅ 10 8 m / s przez sondę kosmiczną Voyager mają długość 0,120 m. Jaka jest ich częstotliwość? v = f  λ ⇒ f = 2,50 ⋅ 10 9 H z Ludzkie ucho jest w stanie rozróżniać dźwięki, które dochodzą do każdego ucha z osobna z opóźnieniem 0,34 ms. (a) Przypuśćmy, że źródło dźwięku o niskiej częstotliwości znajduje się na prawo od osoby, której uszy są oddalone od siebie w przybliżeniu o 18 cm, a prędkość dźwięku wynosi ok. 340 m/s. Jak długi jest interwał czasu między chwilą, w której dźwięk dobiega do prawego ucha, a chwilą, w której dźwięk dobiega do lewego ucha? (b) Załóż, że ta sama osoba nurkuje i źródło dźwięku o niskiej częstotliwości znajduje się z prawej strony nurka. Jak długi jest interwał czasu w tym przypadku, jeśli prędkość dźwięku w wodzie wynosi 1500 m/s? (c) Co jest istotne dla interwałów czasu w obu tych sytuacjach? (a) Sejsmografy dokonują pomiaru czasu wystąpienia trzęsienia Ziemi z dokładnością do 0,100 s. W celu oszacowania położenia epicentrum wstrząsu geologowie porównują czasy nadejścia fal S i P, które poruszają się z różnymi prędkościami. Jeśli fale prędkości fal S i P wynoszą odpowiednio 4,00 km/s i 7,20 km/s, to z jaką precyzją możemy obliczyć położenie epicentrum? (b) Fale sejsmiczne z wnętrza Ziemi powstające podczas detonowania bomb jądrowych mogą być użyte do zlokalizowania miejsca przeprowadzenia próby i wykrycia sprawcy naruszenia zakazu wykonywania takich testów. Oceń granice dokładności obliczeń do części (a). (a) Fala typu P jest szybsza od fali typu S o v = 3,20 km/s; , stąd Δ d = 0,320 km . (b) Ponieważ dokładność pomiaru odległości jest mniejsza niż 1 km, to nasza odpowiedź na pytanie do części (a) wydaje się nie ograniczać wykrywania prób jądrowych. Jednak jeśli prędkości są nieznane, wówczas niepewność związana z pomiarem odległości wzrośnie i utrudni identyfikację źródła fali sejsmicznej. Harcerka odbywa 10-kilometrowy marsz, żeby zdobyć odznakę. Podczas marszu zauważa klif w pewnej odległości od niej. Pragnąc obliczyć czas potrzebny na dojście do klifu i wiedząc, że prędkość dźwięku wynosi w przybliżeniu 343 m/s, krzyczy i zauważa, że echo wraca po upływie mniej więcej 2,00 s. Jeśli dziewczynka jest w stanie pokonać 1,00 km w ciągu 10 minut, to ile czasu zajmie jej dotarcie do klifu? Inżynier ds. zapewnienia jakości w firmie produkującej patelnie dostał polecenie sprawdzenia jakości nowej linii patelni z powłoką zapobiegającą przywieraniu. Powłoka powinna mieć grubość 1,00 mm. Jedna z dostępnych metod polega na zmierzeniu grubości powłoki przy pomocy śruby mikrometrycznej. Jednak wymaga ona zerwania powłoki z patelni, jest zatem inwazyjna dla produktu. Inżynier zdecydował się zastosować metodę nieinwazyjną, w której generator wytwarza ultradźwięki o częstotliwości f = 25 kHz . Ultradźwięki były przepuszczane przez badaną powłokę, następnie odbijały się one od powierzchni metalu i ulegały interferencji z falami biegnącymi. Mierzono czas przejścia fali przez powłokę. Długość fali ultradźwiękowej w powłoce wyniosła 0,076 m. Jaki powinien być czas przejścia fali przez powłokę, jeśli ma ona prawidłową grubość (1,00 mm)? v = 1900 m/s Δ t = 1,05 μs fala podłużna (ang. longitudinal wave ) fala, w której zaburzenie rozchodzi się równolegle do kierunku przemieszczania się fali fala mechaniczna (ang. mechanical wave ) fala, która podlega zasadom dynamiki Newtona i wymaga obecności ośrodka materialnego fala poprzeczna (ang. transverse wave ) fala, w której zaburzenie rozchodzi się prostopadle do kierunku ruchu fali fala (ang. wave ) zaburzenie, które rozchodzi się z miejsca powstania i przenosi energię prędkość fali (ang. wave velocity ) prędkość, z jaką przemieszcza się zaburzenie; nazywana również prędkością propagacji fali szybkość fali (ang. wave speed ) wartość prędkości fali długość fali (ang. wavelength ) odległość pomiędzy najbliższymi identycznymi punktami fali

Science


Matematyczny opis fal W poprzednim rozdziale opisywaliśmy fale okresowe, definiując takie wielkości jak: długość, okres, amplituda oraz prędkość fali. Fale jednak możemy też opisać, rozważając ruch cząstek ośrodka, przez który fala przechodzi. Położenie cząstek ośrodka można określić za pomocą tzw. funkcji falowej (ang. wave function ). Pozwala ona określić nie tylko położenie, ale także prędkość i przyspieszenie cząstek ośrodka, przez który biegnie fala w dowolnej chwili. Impulsy Impuls (ang. pulse ) oznacza falę wytworzoną przez pojedyncze zaburzenie ośrodka. Impuls ma stałą amplitudę i rozchodzi się ze stałą prędkością. Z uwagi na stałą prędkość droga, którą pokonuje w czasie Δ t , wynosi Δ x = v Δ t ( ). W chwili t = 0 impuls znajduje się w położeniu x = 0 , a jego amplituda wynosi A . Podczas ruchu impuls zachowuje stały kształt, przebywając drogę Δ x = v Δ t w czasie Δ t . Opis sinusoidalnej fali jednowymiarowej za pomocą modelu funkcji falowej Rozważmy strunę poddaną stałemu naprężeniu F T , której jeden koniec jest unieruchomiony, a drugi – swobodny – jest wprawiany w drgania w zakresie między y = + A a y = − A . pokazuje obrazy fali w kolejnych chwilach równych wielokrotnościom 1/8 części okresu, przy czym w położeniu wyjściowym zostało już wykonane jedno pełne drganie ( t = T ) . Obrazy fali poprzecznej przemieszczającej się wzdłuż struny poddanej stałemu naprężeniu. Fala powstała w chwili t = T , a kolejne obrazy pokazują ją w chwilach co 1 8 T . Kolorowymi kropkami zaznaczono punkty odniesienia na strunie. Tym samym kolorem zaznaczono punkty, które znajdują się w odległości równej jednej długości fali od siebie. Zauważmy, że każdy zaznaczony na kolorowo punkt struny wykonuje proste drgania harmoniczne w górę i w dół w zakresie pomiędzy y = + A a y = − A , natomiast okres wynosi T . Fala biegnąca wzdłuż struny jest sinusoidalna i przemieszcza się w prawo wraz z upływem czasu. W tym miejscu przypomnijmy znaną nam z algebry definicję, zgodnie z którą, jeżeli f ( x ) jest dowolną funkcją, to f ( x − d ) oznacza tę samą funkcję, ale przesuniętą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x o odległość d . Funkcja f ( x + d ) oznacza zaś tę samą funkcję przesuniętą w kierunku przeciwnym do zwrotu osi x o odległość d . Chcemy zdefiniować funkcję falową, która określi położenie y dla każdego punktu x struny w dowolnie wybranej chwili t . Jeżeli popatrzymy na pierwszy obraz fali na , to zauważymy, że współrzędną y struny dla wartości odciętych z przedziału od x = 0 do x = λ możemy opisać przy użyciu funkcji sinus. Fala przemieszcza się wzdłuż struny o jedną długość fali w czasie równym jednemu okresowi, jak możemy zauważyć na drugim obrazie. Z tego wynika, że fala porusza się ze stałą prędkością, równą v = λ / T . Przypominamy, że funkcja sinus jest funkcją kąta θ i przyjmuje wartości pomiędzy + 1 a −1 , a jej okres wynosi 2 π rad ( ). Jednakże współrzędne y cząstek ośrodka, a zarazem funkcji falowej, przybierają wartości pomiędzy + A a − A , a okres takiej funkcji równa się λ . Funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału od + 1 do −1 , a jej okres wynosi 2 π rad. Aby opisać falę przy użyciu funkcji okresowej, rozważmy stosunek kąta do położenia: θ x = 2 π λ , θ = 2 π λ x . Po zastosowaniu θ = 2 π x / λ i pomnożeniu funkcji sinus przez amplitudę A możemy obliczyć postać funkcji opisującej położenie y struny w zależności od położenia x : y ( x ) = A sin ( 2 π λ x ) . Fala przemieszcza się wzdłuż struny w kierunku osi x ze stałą prędkością v i pokonuje odcinek v t w czasie t . Funkcję falową definiuje się jako: y ( x , t ) = A sin ( 2 π λ ( x − v t ) ) . Wygodnie jest zapisywać funkcję falową w bardziej zwartej postaci. Po pomnożeniu przez 2 π λ otrzymujemy następujące równanie: y ( x , t ) = A sin ( 2 π λ x − 2 π λ v t ) . Wielkość 2 π λ definiuje się jako liczbę falową (ang. wave number ). Symbolem liczby falowej jest k , a jej jednostką jest m −1 : k ≡ 2 π λ Jak pamiętamy z rozdziału Drgania , termin częstość kołowa definiuje się jako ω = 2 π / T . Drugi wyraz w definicji funkcji falowej przyjmie zatem postać: 2 π λ v t = 2 π λ ( λ T ) t = 2 π T t = ω t . Funkcja falowa dla prostej fali harmonicznej na strunie uprości się do: y ( x , t ) = A sin ( k x ∓ ω t ) , gdzie A oznacza amplitudę, k = 2 π / λ jest liczbą falową, ω = 2 π / T częstość kołową, znak minus ( – ) oznacza falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x , a znak plus ( + ) falę biegnącą przeciwnie do zwrotu osi x . Prędkość fali wynosi: v = λ T = λ T ( 2 π 2 π ) = ω k . Wróćmy do naszych rozważań na temat masy zawieszonej na sprężynie. Położenie masy było opisywane jako x ( t ) = A cos ( ω t + ϕ ) . Kąt ϕ to przesunięcie fazowe, które uwzględnia sytuację, gdy początkowe położenie masy jest inne niż x = + A , a początkowa prędkość jest inna niż v = 0 . Z tych samych powodów funkcja falowa zawiera fazę początkową. Funkcja falowa ma postać: y ( x , t ) = A sin ( k x ∓ ω t + ϕ ) Argument funkcji sinus: ( k x ∓ ω t + ϕ ) nazywa się fazą (ang. phase ), gdzie ϕ jest fazą początkową (lub przesunięciem fazowym) funkcji falowej. Znak wyrażenia ω t zależy od kierunku rozchodzenia się fali. Niech ujemny znak dla fali z fazą początkową równą 0 ( ϕ = 0 ) . Faza fali wynosi k x − ω t . Rozważmy punkt, odpowiadający grzbietowi fali. Grzbiet pojawi się wtedy, gdy sin ( k x − ω t ) = 1,00 , tj. gdy k x − ω t = n π + π 2 , dla dowolnej całkowitej wartości n . Przykładowo jeden z grzbietów pojawia się dla k x − ω t = π / 2 . Gdy fala biegnie, rośnie wartość czasu i x musi również wzrosnąć, tak aby faza była równa π / 2 . Z tego wynika, że znak minus oznacza falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x . Przeanalizujmy drugą sytuację, tj. gdy k x + ω t = π / 2 . Wraz ze wzrostem wartości czasu, x musi zmaleć, aby faza była równa π / 2 . Znaku plus używa się dla fal biegnących przeciwnie do zwrotu osi x . Podsumowując, y ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) oznacza falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x , a y ( x , t ) = A sin ( k x + ω t + ϕ ) falę biegnącą w przeciwną stronę. opisuje prostą harmoniczną funkcję falową. Funkcja falowa może być zapisana jako f ( x , t ) = f ( x − v t ) . Jeszcze w tym rozdziale dowiemy się, że jest ona rozwiązaniem równania falowego. Zauważmy, że zapis y ( x , t ) = A cos ( k x + ω t + ϕ ′ ) też jest zasadny, ponieważ odnosi się do przypadku ϕ ′ = ϕ − π / 2 . Strategia rozwiązywania zadań: szukanie charakterystyk funkcji falowych Aby obliczyć amplitudę, długość fali, okres i częstotliwość fali sinusoidalnej, należy zapisać funkcję falową w postaci y ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) . Amplitudę można odczytać bezpośrednio z równania i wynosi ona A . Okres fali można obliczyć z częstości kołowej T = 2 π ω . Częstotliwość można obliczyć przy użyciu: f = 1 T . Długość fali można wyznaczyć, korzystając z liczby falowej λ = 2 π k . Cechy charakterystyczne fali biegnącej wzdłuż struny Fala poprzeczna biegnąca wzdłuż struny ma postać: y ( x , t ) = A sin  ( k x − ω t ) = 0,2 m ⋅ sin  ( 6,28 m − 1 ⋅ x − 1,57 s − 1 ⋅ t ) Oblicz amplitudę, długość fali, okres i prędkość fali. Strategia rozwiązania Wszystkie te wielkości można obliczyć na podstawie stałych zawartych w równaniu lub z relacji łączących te wielkości. Rozwiązanie Amplitudę, liczbę falową i częstość kołową można odczytać bezpośrednio z równania falowego: y ( x , t ) = A sin  ( k x − ω t ) = 0,2 m ⋅ sin  ( 6,28 m − 1 ⋅ x − 1,57 s − 1 ⋅ t ) ( A = 0,2 m; k = 6,28 m −1 ; ω = 1,57 s −1 ) Długość fali obliczamy przy użyciu znanej liczby falowej: k = 2 π λ . λ = 2 π k = 2 π 6,28 m −1 = 1,0 m . Okres fali można wyliczyć na podstawie częstości kołowej: ω = 2 π T . T = 2 π ω = 2 π 1,57 s −1 = 4 s . Prędkość fali obliczamy przy wykorzystaniu liczby falowej i częstości kołowej. Kierunek rozchodzenia się fali można określić na podstawie znaku wyrażenia k x ∓ ω t . Znak ujemny sugeruje, że fala biegnie w kierunku zgodnym z kierunkiem osi x : | v | = ω k = 1,57 s − 1 6,28 m − 1 = 0,25 m s Znaczenie Wszystkie powyższe wielkości są zawarte w równaniu falowym. Zauważmy, że prędkość fali jest jej prędkością w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Przedstawienie wychylenia ośrodka y w funkcji położenia x dla dwóch różnych chwil czasu: t = 0,00 s oraz t = 0,80 s pozwala na graficzną wizualizację fali ( ). Wykres wychylenia fali y w funkcji położenia x . Linia przerywana przedstawia falę w chwili t = 0,00 s , a linia ciągła falę w chwili t = 0,80 s . Ponieważ prędkość fali jest stała, to odległość jaką fala pokonuje równa się iloczynowi prędkości i odcinka czasu. Czarna kropka wskazuje punkt, który będzie pomocny przy obliczeniu przemieszczenia fali. Cząstki ośrodka poruszają się w górę i w dół, podczas gdy fala przemieszcza się w prawo. W przykładzie przedstawionym powyżej mamy do czynienia z falą poprzeczną, która porusza się w płaszczyźnie poziomej, podczas gdy cząstki ośrodka drgają w górę i w dół, prostopadle do kierunku ruchu fali. Na pokazano ruch cząstki ośrodka, której położenie wynosi x = 0,60 m w funkcji czasu. Zauważmy, że cząstki ośrodka przyjmują położenia y = + 0,20 m i y = −0,20 m po upływie każdych 4,0 s. Wykres wychylenia fali y w funkcji czasu t dla położenia x = 0,6 m . Ośrodek wykonuje drgania w zakresie wartości od y = + 0,20 m do y = −0,20 m w ciągu każdego okresu. Okres możemy zmierzyć na podstawie położenia dwóch najbliższych punktów o tych samych amplitudach i identycznych prędkościach ( ∂ y / ∂ t ) . Prędkość możemy obliczyć na podstawie tangensa kąta nachylenia wykresu y = f ( t ) . Zauważmy, że dla czasów t = 3,00 s i t = 7,00 s , wychylenia i prędkości są takie same. Okres drgań wynosi 4,00 s. Sprawdź, czy rozumiesz. Powyższa funkcja falowa została obliczona przy zastosowaniu funkcji sinus. Czy można było użyć funkcji cosinus? Tak, funkcja cosinus jest równa przesuniętej w fazie funkcji sinus i obie mogą być używane do stworzenia równania falowego. To warunki początkowe decydują o tym, której funkcji użyjemy. Na wychylenie początkowe fali wynosi y ( x = 0,00 ; t = 0,00 ) = 0 , następnie wychylenie wzrasta i osiąga maksimum odpowiadające grzbietowi fali. Jeśli wychylenie początkowe w chwili początkowej byłoby równe amplitudzie fali y ( x = 0,00 ; t = 0,00 ) = + A , wówczas wygodniejsze jest użycie funkcji cosinus. Prędkość i przyspieszenie ośrodka Jak widzieliśmy w prędkość fali jest stała i oddaje prędkość fali rozchodzącej się w ośrodku, a nie prędkość cząsteczek, które go tworzą. Drobiny wykonują drgania wokół położenia równowagi wtedy, gdy fala rozchodzi się w ośrodku. W przypadku fali poprzecznej, która rozchodzi się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x , cząstki wykonują drgania w górę i w dół, wzdłuż osi y , w kierunku prostopadłym do ruchu fali. Prędkość cząsteczek ośrodka nie jest stała, co oznacza występowanie przyspieszenia. Prędkość tę, która jest prostopadła do prędkości fali w przypadku fal poprzecznych, można obliczyć z pochodnej cząstkowej funkcji falowej. Należy wtedy potraktować wszystkie zmienne jako stałe, z wyjątkiem zmiennej, której pochodną obliczamy. Dla pochodnej cząstkowej po czasie t zmienna x jest traktowana jako stała. W tym ćwiczeniu szukamy prędkości poprzecznej w danym punkcie, czyli wartość x się nie zmienia. Mamy zatem: y ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) v y ( x , t ) = ∂ y ( x , t ) ∂ t = ∂ ∂ t ( A sin ( k x − ω t + ϕ ) ) = − A ω cos ( k x − ω t + ϕ ) = − v y max cos ( k x − ω t + ϕ ) . Maksymalna prędkość ośrodka wynosi | v y max | = A ω . Z tą zależnością spotkaliśmy się już w rozdziale Drgania . Przyspieszenie ośrodka obliczymy przy użyciu pochodnej cząstkowej prędkości po czasie: a y ( x , t ) = ∂ v y ∂ t = ∂ ∂ t ( − A ω cos ( k x − ω t + ϕ ) ) = − A ω 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) = − a y max sin ( k x − ω t + ϕ ) . Maksymalne przyspieszenie wynosi | a y max | = A ω 2 . Cząsteczki ośrodka wykonują drgania harmoniczne proste. Równanie falowe Obliczyliśmy już prędkość cząsteczki ośrodka w punkcie x przy użyciu pochodnej cząstkowej współrzędnej y po czasie. Dla fali poprzecznej prędkość ta jest prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali. Przyspieszenie możemy wyznaczyć, obliczając drugą pochodną położenia po czasie (lub pierwszą pochodną prędkości po czasie): a y ( x , t ) = ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 ( A sin ( k x − ω t + ϕ ) ) = − A ω 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) . Rozważmy teraz pochodną cząstkową po zmiennej x , gdzie czas jest wielkością stałą. Pierwsza pochodna cząstkowa opisuje nachylenie fali w punkcie x , w chwili t : nachylenie = ∂ y ( x , t ) ∂ x = ∂ ∂ x ( A sin ( k x − ω t + ϕ ) ) = A k cos ( k x − ω t + ϕ ) . Druga pochodna cząstkowa informuje nas, jak nachylenie fali zmienia się w zależności od położenia. Innymi słowy opisuje krzywiznę fali, którą rozumiemy jako: krzywizna = ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ 2 x ( A sin ( k x − ω t + ϕ ) ) = − A k 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) . Stosunek przyspieszenia i krzywizny prowadzi do bardzo ważnej w fizyce zależności, nazywanej liniowym równaniem falowym (ang. linear wave equation ): v = ω / k . Nazywa się ono też równaniem drgającej struny. ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = − A ω 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) − A k 2 sin ( k x − ω t + ϕ ) = ω 2 k 2 = v 2 , ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . jest liniowym równaniem falowym, jednym z najważniejszych równań w fizyce i inżynierii. Choć tutaj zostało ono użyte dla fali poprzecznej, ma ono również zastosowanie do fal podłużnych. Równanie to odnosi się do fali sinusoidalnej, lecz można go także użyć do obliczenia impulsu i każdej innej fali y ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) . Określenie „liniowe równanie falowe” związane jest z liniowym charakterem sił sprężystości działających w ośrodku. Jeśli dwie funkcje falowe są rozwiązaniami liniowego równania falowego, wówczas suma obu tych funkcji jest również rozwiązaniem równania falowego. Weźmy dwie fale poprzeczne, które rozchodzą się w tym samym ośrodku wzdłuż osi x . Zauważmy, że poszczególne fale mogą być opisane funkcjami falowymi y 1 ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) i y 2 ( x , t ) = g ( x ∓ v t ) , które są rozwiązaniami liniowych równań falowych, a zatem są liniowymi funkcjami falowymi. Suma tych funkcji falowych jest również funkcją falową: y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) + g ( x ∓ v t ) . Rozważmy liniowe równanie falowe: ∂ 2 ( f + g ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 ( f + g ) ∂ t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ x 2 = 1 v 2 [ ∂ 2 f ∂ t 2 + ∂ 2 g ∂ t 2 ] . Ten przykład pokazuje, że jeśli dwie liniowe funkcje falowe dodamy algebraicznie, wtedy wypadkowa funkcja falowa też będzie spełniać liniowe równanie falowe. Określa ona wychylenie ośrodka w każdym punkcie wzdłuż osi x . Jeśli dwie fale liniowe znajdują się w tym samym ośrodku, to mogą ulegać interferencji. Jeśli obie są opisywane liniowymi funkcjami falowymi, to należy je do siebie dodać, aby znaleźć równanie falowe fali wypadkowej, utworzonej w wyniku interferencji. Wychylenie ośrodka w każdym punkcie jest algebraiczną sumą wychyleń spowodowanych przez każdą falę z osobna. Idąc o krok dalej, załóżmy że funkcje falowe y 1 ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) i y 2 ( x , t ) = g ( x ∓ v t ) są rozwiązaniami równań falowych, a A i B są stałymi. Wtedy suma: A y 1 ( x , t ) + B y 2 ( x , y ) jest także rozwiązaniem równania falowego. Ta własność jest znana jako zasada superpozycji (ang. superposition ). Interferencja i superpozycja są szczegółowo omawiane w podrozdziale Interferencja fal . Interferencja fal na strunie Wyobraź sobie długą strunę, której każdy koniec trzyma inny student. Student A wprawia koniec struny w drgania, wytwarzając falę opisywaną równaniem: y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) . Student B wytwarza falę o dwukrotnie większej częstotliwości. Obie fale poruszają się z takimi samymi prędkościami v = ω / k oraz interferują, tworząc falę wypadkową, którą opisuje równanie: y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) . Oblicz prędkość fali wypadkowej, posługując się równaniami falowymi: ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Strategia rozwiązania Najpierw napisz równanie falowe dla fali, którą utworzył student B. Zauważ, że częstość kołowa drugiej fali jest dwa razy większa niż częstość pierwszej fali ( 2 ω ). Ponieważ prędkości obu fal są takie same, liczba falowa drugiej fali jest dwa razy większa niż pierwszej fali ( 2 k . Napisz równanie falowe dla fali wypadkowej, która jest sumą obu napisanych wcześniej funkcji falowych. Oblicz drugą pochodną cząstkową po położeniu i po czasie. Korzystając z równania falowego, oblicz prędkość fali wypadkowej. Rozwiązanie Napisz równanie falowe drugiej fali: y 2 ( x , t ) = A sin ( 2 k x + 2 ω t ) . Napisz równanie fali wypadkowej: y R ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) + A sin ( 2 k x + 2 ω t ) . Oblicz pochodne cząstkowe: ∂ y R ( x , t ) ∂ x = − A k cos ( k x − ω t ) + 2 A k cos ( 2 k x + 2 ω t ) , ∂ 2 y R ( x , t ) ∂ 2 x = − A k 2 sin ( k x − ω t ) − 4 A k 2 sin ( 2 k x + 2 ω t ) , ∂ y R ( x , t ) ∂ t = − A ω cos ( k x − ω t ) + 2 A ω cos ( 2 k x + 2 ω t ) , ∂ 2 y R ( x , t ) ∂ 2 t = − A ω 2 sin ( k x − ω t ) − 4 A ω 2 sin ( 2 k x + 2 ω t ) . Oblicz prędkość fali wypadkowej, korzystając z równania falowego: ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 , − A k 2 sin ( k x − ω t ) − 4 A k 2 sin ( 2 k x + 2 ω t ) = 1 v 2 ( − A ω 2 sin ( k x − ω t ) − 4 A ω 2 sin ( 2 k x + 2 ω t ) ) , k 2 ( − A sin ( k x − ω t ) − 4 A sin ( 2 k x + 2 ω t ) ) = ω 2 v 2 ( − A sin ( k x − ω t ) − 4 A sin ( 2 k x + 2 ω t ) ) , k 2 = ω 2 v 2 , | v | = ω k . Znaczenie Prędkość wypadkowej fali jest równa prędkości fali pierwotnej v = ω / k . W następnym podrozdziale pokażemy, że prędkość prostej fali harmonicznej na strunie zależy od naprężenia struny i masy przypadającej na jednostkę jej długości. Nie powinno być zatem zaskoczeniem, że prędkości fal składowych i prędkość fali wypadkowej są takie same. Sprawdź, czy rozumiesz. Równanie fali ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 jest prawdziwe dla każdej fali w postaci y ( x , t ) = f ( x ∓ v t ) . W poprzednim rozdziale stwierdziliśmy, że funkcja cosinus może być użyta również do opisu prostej mechanicznej fali harmonicznej. Sprawdź, czy funkcja: y ( x , t ) = 0,50 m ⋅ cos  ( 0,20 π m − 1 ⋅ x − 4,00 π s − 1 ⋅ t + π 10 ) jest rozwiązaniem równania falowego.! Fala o amplitudzie A = 0,5 m , długości λ = 10,00 m i okresie T = 0,50 s jest rozwiązaniem równania falowego. Prędkość fali v = 20,00 m/s . Każde zaburzenie, które spełnia równanie falowe, może rozchodzić się jako fala wzdłuż osi x z prędkością v . Jest to prawdziwe dla fali na strunie, fal dźwiękowych, elektromagnetycznych oraz innego typu fal. Podsumowanie Fala jest drganiem (wielkości fizycznej), które rozchodzi się w ośrodku, czemu towarzyszy przenoszenie energii, które odbywa się w kierunku zgodnym z kierunkiem prędkości fali. Cząstki ośrodka mogą drgać w różny sposób, np. w górę i w dół, tam i z powrotem, na boki wokół położenia równowagi. Fala sinusoidalna w chwili t = 0,00 s może być przedstawiona jako funkcja położenia. Przykładami takich funkcji są: y ( x ) = A sin ( k x + ϕ ) oraz y ( x ) = A cos ( k x + ϕ ) . Przyjmijmy, że znamy funkcję falową zależną jedynie od położenia x opisującą falę w danej chwili. Ruch impulsu lub innej fali rozchodzącej się ze stałą prędkością może być opisany tą samą funkcją, jeśli zastąpimy x wyrażeniem x ∓ v t . Znak minus oznacza ruch w prawo, a plus - w przeciwnym kierunku. Funkcja falowa dana jest równaniem: y ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) , gdzie k = 2 π / λ jest liczbą falową, ω = 2 π / T jest częstością kołową, a ϕ fazą początkową. Fala rozchodzi się ze stałą prędkością v w , a cząstki ośrodka drgają wokół położenia równowagi. Stałą prędkość fali możemy wyliczyć z równania v = λ / T = ω / k . Pytania Jeśli poruszałbyś końcem sprężyny w górę i w dół 10 razy na sekundę, to jakie byłyby częstotliwość i okres sinusoidalnej fali utworzonej na sprężynie? Gdybyś poruszał końcem naprężonej sprężyny w górę i w dół z częstotliwością f , mógłbyś utworzyć sinusoidalną falę poprzeczną wzdłuż sprężyny. Czy liczba falowa zależy od częstotliwości, z jaką potrząsałbyś sprężyną? Długość fali jest równa iloczynowi prędkości fali i częstotliwości, a liczba falowa równa się k = 2 π / λ . Zatem liczba falowa zależy od częstotliwości oraz prędkości rozchodzenia się fali. Czy prędkość drgań poprzecznych naprężonej struny, wzdłuż której rozchodzi się sinusoidalna fala poprzeczna, zależy od prędkości rozchodzenia się fali? W tym rozdziale rozważaliśmy fale, których prędkość jest stała. Czy dla ośrodka można mówić o przyspieszeniu? Gdy fala rozchodzi się w ośrodku, to ośrodek porusza się prostym ruchem harmonicznym, którego prędkość jest inna w każdej chwili, zatem można mówić tu o przyspieszeniu cząstek ośrodka. Przyspieszenie jest tu wynikiem działania sił sprężystości w kierunku przeciwnym do wychylenia. Po wrzuceniu kamyka do sadzawki możemy zauważyć powstawanie koncentrycznych fal zamiast pojedynczej fali. Czy potrafisz to wyjaśnić? Zadania Impuls może być opisany jako pojedyncze zaburzenie falowe, które przenosi się przez ośrodek. Rozważ impuls, który w chwili t = 0,00 s jest opisany równaniem y ( x ) = 6,00 m 3 x 2 + 2,00 m 2 , a którego położenie wynosi x = 0,00 m . Impuls rozchodzi się z prędkością v = 3,00 m/s zgodnie ze zwrotem osi x . (a) Ile wynosi amplituda impulsu? (b) Podaj równanie impulsu jako funkcję położenia i czasu. (c) Jakie jest położenie impulsu w chwili t = 5,00 s ? Fala poprzeczna na strunie jest opisana funkcją falową y ( x , t ) = 0,2 c m ⋅ sin  ( 2,0 m − 1 ⋅ x − 3,0 s − 1 ⋅ t + π 16 ) . Jakie jest wychylenie struny względem położenia równowagi dla x = 4,0 m w chwili t = 10,0 s ? y ( x , t ) = −0,037 cm Rozważ funkcję falową y ( x , t ) = 3,0 c m ⋅ sin  ( 0,4 m − 1 ⋅ x − 2,0 s − 1 ⋅ t + π 10 ) . Podaj okres, długość, prędkość i fazę początkową tej fali. Dane jest równanie impulsu: y  x t = exp -2,77  2,00  x − 2,00  m ∕ s ⋅ t 5,00  m 2 y\apply(x,t) = \exp(\num{-2,77}(\frac{\num{2,00}(x - \SI{2,00}{\metre\per\second} \cdot t)}{\SI{5,00}{\metre}})^2)  Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, narysuj wykres wychylenia ośrodka y w funkcji położenia x . Przedstaw zależności (na tym samym wykresie) dla chwil czasu t = 0,00 s oraz t = 3,00 s . Jakie będzie położenie impulsu w chwili t = 3,00 s ? Impuls przesunie się o Δ x = 6,00 m . W chwili t = 0,00 s fala jest opisana funkcją falową, która zależy od położenia. Równanie ma postać: y ( x ) = 0,30 m ⋅ sin  ( 6,28 m − 1 ⋅ x ) . Fala pokonuje odcinek 4,00 m w czasie 0,50 s w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x . Napisz równanie falowe jako funkcję położenia i czasu. Fala jest opisana funkcją y ( x , t ) = 0,25 m ⋅ sin  ( 0,3 m − 1 ⋅ x − 0,9 s − 1 ⋅ t + π 3 ) . Oblicz: (a) amplitudę, (b) liczbę falową, (c) częstość kołową, (d) prędkość fali, (e) fazę początkową, (f) długość fali, (g) okres fali. a. A = 0,25 m ; b. k = 0,3 m −1 ; c. ω = 0,9 s −1 ; d. v = 3,0 m/s ; e. ϕ = π / 3 rad ; f. λ = 20,93 m ; g. T = 6,98 s Fala na powierzchni wody ma amplitudę 0,6 m, a odległość pomiędzy sąsiednimi dolinami fali wynosi 8,00 m. Fala rozchodzi się z prędkością 1,5 m/s w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x . W chwili czasu t = 0 wychylenie wynosi zero, a v y jest dodatnie. (a) Zakładając, że jest to fala sinusoidalna, podaj postać równania fali. (b) W arkuszu kalkulacyjnym narysuj przebieg fali dla chwil czasu t = 0,00 s oraz t = 2,00 s na tym samym wykresie. Sprawdź, czy fala pokonuje odległość 3,00 m w czasie 2,00 s. Fala jest przedstwiona funkcją falową: y ( x , t ) = 0,30 m ⋅ sin  [ 2 π 4,50 m ( x − 18,00 m s ⋅ t ) ] . Podaj amplitudę, długość, szybkość, okres i częstotliwość tej fali. A = 0,30 m , λ = 4,50 m , v = 18,00 m/s , f = 4,00 Hz , T = 0,25 s Podłużna fala na strunie jest opisana funkcją falową y ( x , t ) = 0,50 c m ⋅ sin  ( 1,57 m − 1 ⋅ x − 6,28 s − 1 ⋅ t ) . (a) Jaka jest prędkość tej fali? (b) Jaka jest wartość maksymalnej prędkości wychyleń struny w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu fali? Pływak zauważył, że jednego dnia fale na powierzchni morza były okresowe i przypominały falę sinusoidalną. Oszacował, że pionowa odległość pomiędzy grzbietem a doliną fali wynosi około 0,45 m, a odległość pomiędzy dwoma grzbietami 1,8 m. Naliczył 12 fal w ciągu każdych 2 min. Napisz prostą funkcję falową opisującą tę falę. y ( x , t ) = 0,23 m sin ( 3,49 m −1 x − 0,63 s −1 t ) Rozważ falę opisaną funkcją falową y ( x , t ) = 0,3 m sin ( 2,00 m −1 x − 628,00 s −1 t ) . (a) Ile grzbietów przebiegnie przez punkt, w którym stoi obserwator, w ciągu 2,00 min? (b) Jak daleko przemieści się fala w tym czasie? Rozważ dwie fale opisane funkcjami falowymi y 1 ( x , t ) = 0,50 m sin ( 2 π 3,00 m x + 2 π 4,00 s t ) i y 2 ( x , t ) = 0,50 m sin ( 2 π 6,00 m x − 2 π 4.00 s t ) . Podaj podobieństwa i różnice między nimi. Mają te same częstotliwości i okresy. Poruszają się w przeciwnych kierunkach, a y 2 ( x , t ) ma dwa razy większą długość niż y 1 ( x , t ) i porusza się z prędkością dwa razy mniejszą. Rozważ dwie fale opisane funkcjami falowymi: y 1 ( x , t ) = 0,20 m sin ( 2 π 6,00 m x − 2 π 4,00 s t ) oraz y 2 ( x , t ) = 0,20 m cos ( 2 π 6,00 m x − 2 π 4,00 s t ) . Podaj podobieństwa i różnice między tymi falami. Prędkość fali poprzecznej na strunie wynosi 300,00 m/s, jej długość 0,50 m, a amplituda 20,00 cm. Jaki czas jest potrzebny, aby cząstka na strunie przebyła odległość 5,00 km? Każda cząstka ośrodka pokonuje odległość 4 A w czasie jednego okresu. Okres można wyliczyć, dzieląc prędkość przez długość fali: t = 10,42 s . liniowe równanie fali (ang. linear wave equation ) równanie opisujące falę, która jest wynikiem liniowych sił sprężystości działających w ośrodku; każda funkcja będąca rozwiązaniem równania falowego opisuje falę biegnącą w kierunku zgodnym ze zwrotem osi x lub w kierunku przeciwnym do zwrotu osi x ze stałą prędkością v impuls (ang. pulse ) pojedyncze zaburzenie, które przemieszcza się przez ośrodek, przenosząc energię, ale nie przenosząc masy funkcja falowa (ang. wave function ) model matematyczny opisujący położenie cząstki ośrodka liczba falowa (ang. wave number ) 2 π λ

Science