Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości Model ciała sztywnego to przykład wyidealizowanego obiektu, który nie ulega deformacji pod wpływem sił zewnętrznych. Jest on bardzo użyteczny przy analizie układów mechanicznych, a wiele obiektów fizycznych jest sztywnych w szerokim zakresie warunków. Stopień, w jakim obiekt może być postrzegany jako sztywny, zależy od właściwości fizycznych materiału, z którego został wykonany. Na przykład piłeczka do ping-ponga z tworzywa sztucznego jest krucha, a piłka tenisowa z gumy jest elastyczna, gdy działa na nią siła zgniatająca. Jednak w innych okolicznościach obie mogą odbijać się jak ciała sztywne. Podobnie projektant protez kończynowych, może przybliżać mechanikę kończyn ludzkich, modelując je jako ciała sztywne, jednakże rzeczywiste połączenia kości i tkanek są elastyczne. W dalszej części, przejdziemy od sił wpływających na ruch obiektu do tych, które wpływają na kształt obiektu. Zmiana kształtu spowodowana działaniem siły nazywana jest deformacją (ang. deformation ). Znane są nawet bardzo małe siły, powodujące deformację. Ulegają jej obiekty fizyczne lub ośrodki pod wpływem sił zewnętrznych, na przykład zgniatania, ściskania, (ro)zrywania, skręcania, ścinania czy rozciągania. W języku fizyki dwa terminy opisują siły na obiektach podlegających deformacji: naprężenie (ang. stress ) i odkształcenie (ang. strain ). Naprężenie to wielkość opisująca wartość sił powodujących deformację. Jest ono ogólnie definiowane jako siła na jednostkę powierzchni . Kiedy siły oddziałują na przedmiot i powodują jego wydłużenie, podobnie jak przy rozciąganiu elastycznej taśmy (gumy), takie naprężenie nazywamy naprężeniem rozciągającym (ang. tensile stress ). Kiedy siły powodują ściskanie przedmiotu, wówczas mówimy o naprężeniu ściskającym (ang. compressive stress ). Kiedy obiekt jest ściskany ze wszystkich stron, jak okręt podwodny w głębi oceanu, nazywamy to naprężeniem objętościowym (ang. bulk stress ). W innych sytuacjach działające siły, nie będąc ani rozciągającymi, ani ściskającymi, wciąż powodują zauważalne deformacje. Na przykład, kiedy trzymasz książkę ściśle między dłońmi, a następnie jedną ręką, naciskasz i odciągasz przednią okładkę od siebie, a drugą ręką naciskasz i pociągasz tylną okładkę w kierunku do siebie. Wówczas, gdy siły odkształcające działają stycznie do powierzchni obiektu, nazywamy je siłami ścinającymi, a naprężenie, które powodują, nazywamy naprężeniem ścinającym (ang. shear stress ). Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal (Pa). Gdy siła 1 N naciska na powierzchnię 1 m 2 naprężenie wynosi 1 Pa: jeden paskal = 1 Pa = 1 N 1 m 2 . W systemie brytyjskim jednostką naprężenia jest psi, co oznacza funt na cal kwadratowy ( l b / i n 2 ) . Inną jednostką używaną często w przypadku naprężenia objętościowego jest atmosfera (atm). Współczynniki konwersji to: 1 p s i = 6895 P a oraz 1 P a = 1,45 ⋅ 10 − 4 p s i 1 a t m = 1,013 ⋅ 10 5 P a = 14,7 p s i . Obiekt lub ośrodek pod wpływem naprężania ulega deformacji. Wielkość, która opisuje tę deformację, nazywa się odkształceniem. Odkształcenie podawane jest albo jako względna zmiana długości (dla naprężeń rozciągających), albo jako zmiana objętości (dla naprężeń objętościowych) lub geometrii (dla naprężeń ścinających). Dlatego odkształcenie jest wartością bezwymiarową. Odkształcenie pod wpływem naprężenia rozciągającego nazywamy odkształceniem rozciągającym (ang. tensile strain ) (lub liniowym), odkształcenie pod wpływem naprężenia objętościowego nazywa się odkształceniem objętościowym (ang. bulk strain ), a spowodowane naprężeniem ścinającym - odkształceniem ścinającym (ang. shear strain ). Im większe naprężenie, tym większe odkształcenie, jednakże zależność między odkształceniem a naprężeniem nie musi być liniowa. Tylko gdy naprężenie jest wystarczająco małe, odkształcenie powodowane naprężeniem pozostaje wprost proporcjonalne do wartości naprężenia. Stałą proporcjonalności w tym stosunku nazywamy modułem sprężystości (ang. elastic modulus ). W zakresie liniowej zależności dla małych wartości naprężeń, ogólny związek między naprężeniem a odkształceniem to: naprężenie = (moduł sprężystości) · (odkształcenie). Jak widać z analizy wymiarowej tego związku, moduł sprężystości ma tę samą jednostkę fizyczną co naprężenie, ponieważ odkształcenie jest bezwymiarowe. Widzimy też z , że gdy obiekt charakteryzuje się dużą wartością modułu sprężystości, to efekt naprężenia jest niewielki. Z drugiej strony, niewielki moduł sprężystości oznacza, że naprężenie powoduje duże odkształcenie i zauważalne deformacje. Na przykład naprężenie na taśmie gumowej powoduje większe odkształcenie niż to samo naprężenie na taśmie stalowej o tych samych wymiarach, ponieważ moduł sprężystości gumy jest o dwa rzędy wielkości mniejszy niż moduł sprężystości stali. Moduł sprężystości dla naprężenia rozciągającego nazywa się modułem Younga (ang. Young’s modulus ), dla naprężenia objętościowego - modułem Helmholtza (ang. bulk modulus , inaczej moduł sprężystości objętościowej , moduł odkształcalności objętościowej albo moduł ściśliwości ), a dla naprężenia ścinającego - modułem Kirchhoffa (ang. shear modulus , inaczej moduł sprężystości poprzecznej , moduł odkształcalności postaciowej albo moduł ścinania ). Zauważmy, że zależność między naprężeniem a odkształceniem to obserwowalny związek mierzony w laboratorium. Moduły sprężystości dla różnych materiałów mierzy się w różnych warunkach fizycznych, takich jak zmienna temperatura, i zbiera w tabelach danych inżynierskich ( ). Są one cennymi danymi dla przemysłu i osób zaangażowanych w prace inżynieryjne i budowlane. W następnej części omówimy relacje naprężenie - odkształcenie w pełnym zakresie wartości naprężeń, aż do punktu zerwania (pęknięcia), tj. poza granicą zależności liniowej reprezentowaną przez . Natomiast na końcu tej sekcji omówimy granicę zależności linowej wyrażoną . Materiał moduł Younga E (· 10 10 Pa) moduł Helmholtza K (· 10 10 Pa) moduł Kirchhoffa G (· 10 10 Pa) Glin 7,0 7,5 2,5 Kość (rozciąganie) 1,6 0,8 8,0 Kość (ściskanie) 0,9 Mosiądz 9,0 6,0 3,5 Cegła 1,5 Beton 2,0 Miedź 11,0 14,0 4,4 Szkło (kron) 6,0 5,0 2,5 Granit 4,5 4,5 2,0 Włosy (ludzkie) 1,0 Drewno twarde 1,5 1,0 Żelazo 21,0 16,0 7,7 Ołów 1,6 4,1 0,6 Marmur 6,0 7,0 2,0 Nikiel 21,0 17,0 7,8 Polistyren 3,0 Jedwab 6,0 Nić pajęcza 3,0 Stal 20,0 16,0 7,5 Aceton 0,07 Etanol 0,09 Gliceryna 0,45 Rtęć 2,5 Woda 0,22 Naprężenie i odkształcenie rozciągające lub ściskające oraz moduł Younga Rozciąganie lub ściskanie występuje wtedy, gdy dwie antyrównoległe siły o równej wartości działają na obiekt wzdłuż tylko jednego z jego wymiarów w taki sposób, że nie porusza się on. Taką sytuację przedstawia . Pręt jest rozciągany lub ściskany przez parę sił działających wzdłuż jego długości, przyłożonych prostopadle do przekroju poprzecznego. Efektem wypadkowym działania takich sił jest zmiana długości pręta z pierwotnej L 0 przed pojawieniem się sił, na nową L – pod wpływem działania sił. Zmiana ta Δ L = L − L 0 może być albo wydłużeniem (gdy L jest większe niż pierwotna długość L 0 ) albo skróceniem (gdy L jest mniejsze niż pierwotna długość L 0 ). Naprężenie i odkształcenie rozciągające występują, gdy siły rozciągają obiekt, powodując jego wydłużenie, a zmiana długości Δ L jest dodatnia. Naprężenie i odkształcenie ściskające pojawiają się, gdy siły ściskają obiekt i powodują jego skrócenie, a zmiana długości Δ L jest ujemna. W każdej z tych sytuacji definiujemy naprężenie jako stosunek siły odkształcającej F ⊥ do przekroju poprzecznego A odkształconego obiektu. Symbol F ⊥ , który rezerwujemy dla siły odkształcającej, oznacza, że ta siła działa prostopadle do przekroju poprzecznego obiektu. Siły działające równolegle do niego nie zmieniają długości obiektu. Definicja naprężenia rozciągającego to: naprężenie rozciągające = F ⊥ A . Odkształcenie rozciągające jest miarą deformacji obiektu pod wpływem naprężeń rozciągających i definiuje się je jako względną zmianę długości obiektu, gdy doświadcza on naprężenia rozciągającego: odkształcenie rozciągające = Δ L L 0 . Naprężenie i odkształcenie ściskające są określone odpowiednio tymi samymi wzorami, tj. oraz . Jedyną różnicą w stosunku do rozciągania jest to, że w przypadku naprężeń i odkształceń ściskających przyjmujemy bezwzględne wartości prawych stron obu równań. Jeśli obiekt jest rozciągany lub ściskany, wypadkowa siła na ten obiekt wynosi zero, ale deformuje się on zmieniając swoją pierwotną długość L 0 . (a) Rozciąganie: pręt jest wydłużony o Δ L . (b) Ściskanie: pręt jest skrócony o Δ L . W obu przypadkach siła odkształcająca działa wzdłuż długości pręta i prostopadle do jego przekroju poprzecznego. W liniowym zakresie małych naprężeń obszar przekroju poprzecznego pręta się nie zmienia. Moduł Younga E jest modułem sprężystości, gdy odkształcenie zostaje spowodowane naprężeniem rozciągającym lub ściskającym i określa je . Dzieląc to równanie przez odkształcenie rozciągające, otrzymujemy wzór na moduł Younga: E = naprężenie rozciągające odkształcenie rozciągające = F ⊥ / A Δ L / L 0 = F ⊥ A L 0 Δ L . Naprężenie ściskające w kolumnie Rzeźba o ciężarze 10 000 N spoczywa na poziomej powierzchni u szczytu pionowej kolumny o wysokości 6 m ( ). Powierzchnia przekroju poprzecznego kolumny wynosi 0 ,2 m 2 i wykonana jest z granitu o gęstości 2 700 kg/m 3 . Oblicz naprężenie ściskające (ang. compressive stress ) w przekroju znajdującym się 3 m poniżej górnej części kolumny i wartości odkształcenia ściskającego górny 3-metrowy odcinek kolumny. Kolumna Nelsona na Trafalgar Square w Londynie, Wielka Brytania. (Źródło: modyfikacja pracy Cristiana Bortesa) Strategia rozwiązania Najpierw obliczmy ciężar 3-metrowego górnego odcinka kolumny. Siła działająca na przekrój poprzeczny usytuowany w odległości 3 m od góry to suma ciężaru fragmentu kolumny i masy rzeźby. Mając siłę normalną, używamy , aby wyliczyć naprężenie. Żeby obliczyć odkształcenie ściskające, odczytujemy wartość modułu Younga dla granitu z i przekształcamy . Rozwiązanie Objętość fragmentu kolumny o wysokości h = 3 m i powierzchni przekroju A = 0,2 m 2 to: V = A h = 0,2 m 2 ⋅ 3 m = 0,6 m 3 . Z gęstością granitu ρ = 2,7 · 10 3 kg/m 3 masa fragmentu kolumny to: m = ρ V = 2,7 ⋅ 10 3 k g / m 3 ⋅ 0,6 m 3 = 1,6 ⋅ 10 3 k g . Ciężar fragmentu kolumny to: F k = m g = 1,6 ⋅ 10 3 k g ⋅ 9,81 m / s 2 = 1,57 ⋅ 10 4 N . Ciężar rzeźby F r = 1 ⋅ 10 4 N , więc normalna siła na powierzchnię przekroju poprzecznego znajdującą się 3 m poniżej rzeźby to: F ⊥ = F k + F r = ( 1,57 + 1 ) ⋅ 10 4 N = 2,57 ⋅ 10 4 N . Dlatego naprężenie to: naprężenie = F ⊥ A = 2,57 ⋅ 10 4 N 0,2 m 2 = 1,285 ⋅ 10 5 P a = 128,5 k P a . Moduł Younga dla granitu E = 4,5 ⋅ 10 10 P a = 4,5 ⋅ 10 7 k P a . Dlatego odkształcenie ściskające w tym położeniu wynosi: odkształcenie = naprężenie E = 128,5 k P a 4,5 ⋅ 10 7 k P a = 2,85 ⋅ 10 − 6 . Znaczenie Zwróćmy uwagę, że normalna siła działająca na pole przekroju kolumny nie jest stała na całej jej długości, ale zmienia się od swojej najmniejszej wartości na górze do największej wartości na dole kolumny. Jeśli zatem kolumna ma jednolity przekrój poprzeczny na całej długości, to naprężenie jest największe u jej podstawy. Sprawdź, czy rozumiesz. Oblicz naprężenie i odkształcenie ściskające u podstawy kolumny Nelsona. 207 kPa ; 4,6 · 10 −6 Rozciąganie pręta Stalowy pręt o długości 2 m i przekroju poprzecznym 0,3 cm 2 jest częścią pionowego wspornika utrzymującego platformę o masie 550 kg, zawieszoną na dolnym końcu tego pręta. Oblicz jest naprężenie rozciągające w pręcie i jego wydłużenie pod wpływem naprężenia, ciężar pomiń. Strategia rozwiązania Najpierw obliczamy naprężenie rozciągające w pręcie wywołane ciężarem platformy zgodnie z . Potem przekształcamy , aby znaleźć wydłużenie pręta, używając L 0 = 2 m . Z moduł Younga dla stali to E = 2 ⋅ 10 11 P a . Rozwiązanie Podstawienie wartości liczbowych do równań daje nam F A = 550  kg ⋅ 9,81  m / s 2 3 ⋅ 10 -5  m = 1,8 ⋅ 10 8  Pa  , Δ L = F A ⋅ L 0 E = 1,8 ⋅ 10 8  Pa ⋅ 2  m 2 ⋅ 10 11  Pa = 1,8 ⋅ 10 -3  m = 1,8  mm  . Znaczenie Podobnie jak w przykładzie z kolumną także tutaj naprężenie rozciągające nie jest jednolite wzdłuż całego pręta. W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, jeśli uwzględnimy ciężar pręta, to okaże się, że naprężenie w nim jest największe na górze, a najmniejsze na dole. Sprawdź, czy rozumiesz. Drut o długości 2 m rozciąga się o 1 mm przy obciążeniu. Jakie jest odkształcenie rozciągające w drucie? 5 · 10 −4 Obiekty często doświadczają naprężeń ściskających i rozciągających jednocześnie ( ). Przykładem może być długa półka zastawiona ciężkimi książkami, która ugina się w środku pod ich ciężarem. Górna powierzchnia półki podlega naprężeniu ściskającemu, a dolna naprężeniu rozciągającemu. Podobnie długie i ciężkie belki uginają się pod własnym ciężarem. (a) Obiekt, uginając się w dół, doświadcza naprężeń rozciągających (rozciągania) w górnej części i naprężeń ściskających (ściskania) w dolnej części. (b) Zawodnicy podnoszący ciężary często chwilowo uginają żelazne sztangi podczas podnoszenia, tak jak w konkursie olimpijskim w 2012 roku. (Źródło: modyfikacja pracy Oleksandra Kocherzhenko) Ciężkie pudełko spoczywa na stole stojącym na trzech nogach. Obejrzyj demonstrację i przesuń pudełko, aby zobaczyć, jaki jest wpływ na ściskanie (lub rozciąganie) w nogach, gdy pudełko zmienia swoją pozycję. Naprężenie i odkształcenie objętościowe oraz moduł Helmholtza (moduł sprężystości objętościowej) Kiedy zanurzamy się w wodzie, czujemy siłę naciskającą na każdą część ciała ze wszystkich stron. To, czego doświadczamy, jest to naprężenie objętościowe, czyli ciśnienie. Naprężenie objętościowe zawsze ma tendencję do zmniejszania objętości otoczonej powierzchnią zanurzonego obiektu. Siły ściskania zawsze są prostopadłe do powierzchni zanurzonego obiektu ( ). Efektem ich działania jest zmniejszenie objętości zanurzonego obiektu o wielkość Δ V w porównaniu z objętością V 0 obiektu przy braku naprężeń objętościowych. Ten rodzaj odkształcenia nazywa się odkształceniem objętościowym i określa go zmiana objętości w stosunku do pierwotnej objętości: odkształcenie objętościowe = Δ V V 0 . Objętość obiektu pod rosnącym naprężeniem objętościowym zawsze ulega zmniejszeniu. Równe siły działają prostopadle do powierzchni ze wszystkich stron. Efektem jest zmniejszenie objętości o wielkość Δ V w porównaniu z pierwotną wielkością V 0 . Odkształcenie objętościowe wynika z naprężenia objętościowego, czyli normalnej do powierzchni siły F ⊥ naciskającej na powierzchnię A zanurzonego obiektu. Ta wielkość fizyczna oraz ciśnienie p są zdefiniowane jako: ciśnienie = p ≡ F ⊥ A . Bardziej szczegółowo ciśnienie w płynach omówimy w rozdziale Mechanika płynów . Ważną cechą ciśnienia jest to, że stanowi ono wielkość skalarną i nie ma żadnego określonego kierunku, tzn. działa ono tak samo we wszystkich możliwych kierunkach. Kiedy zanurzymy rękę w wodzie, odczujemy, że na każdą powierzchnię dłoni (górną, dolną, boczną, między palcami) działa ciśnienie o takiej samej wartości. Jest to zwiększenie ciśnienia Δ p ponad to, co czujemy kiedy dłoń nie jest zanurzona w wodzie. Kiedy ręka nie jest zanurzona, odczuwamy ciśnienie normalne (ang. normal pressure ) p 0 1 atm, które służy jako punkt odniesienia. Naprężeniem objętościowym jest wzrost ciśnienia Δ p ponad poziom normalny p 0 . Kiedy wzrasta naprężenie objętościowe, odpowiednio zwiększa się odkształcenie objętościowe, zgodnie z . Stała proporcjonalności w tym stosunku nazywa się modułem Helmholtza (inaczej modułem sprężystości objętościowej lub modułem odkształcalności objętościowej) K : K = naprężenie objętościowe odkształcenie objętościowe = − Δ p Δ V / V 0 = − Δ p V 0 Δ V . Znak minus, który pojawia się w wprowadzono dla spójności, aby moduł K był wielkością dodatnią. Należy zauważyć, że jest on konieczny, ponieważ wzrost ciśnienia o Δ p (dodatnia wartość) zawsze powoduje spadek objętości o Δ V , a zmniejszenie objętości jest wielkością ujemną. Odwrotność modułu Helmholtza nazywa się współczynnikiem sprężystości objętościowej bądź współczynnikiem ściśliwości (ang. compressibility ) β : β = 1 K = − Δ V / V 0 Δ p . Określenie ściśliwość jest stosowane w odniesieniu do płynów (gazów i cieczy). Współczynnik ściśliwości opisuje zmianę objętości płynu w jednostce wzrostu ciśnienia. Ciecz charakteryzująca się dużym współczynnikiem ściśliwości jest stosunkowo łatwa do sprężania (ściskania). Przykładowo ściśliwość wody to 4,64 ⋅ 10 − 5 a t m − 1 , a ściśliwość acetonu 1,45 ⋅ 10 − 4 a t m − 1 Oznacza to, że przy podwyższeniu ciśnienia o 1 atm względny spadek objętości jest blisko trzykrotnie większy dla acetonu niż dla wody. Prasa hydrauliczna W prasie hydraulicznej na 250 l oleju podlega zwiększeniu ciśnienia do 160 atm. Ściśliwość oleju to 2 ⋅ 10 − 5 a t m − 1 , oblicz odkształcenie objętościowe i bezwzględny spadek objętości oleju, gdy urządzenie pracuje. Gdy mały tłok prasy hydraulicznej przemieszcza się w dół, ciśnienie w oleju przenosi się przez całą jego objętość do dużego tłoka. Niewielka siła przyłożona do małego tłoka powoduje powstanie siły nacisku o dużej wartości wywieranej przez duży tłok na podnoszony lub ściskany obiekt. Urządzenie działa jak mechaniczna dźwignia. Strategia rozwiązania Przekształcamy , aby znaleźć odkształcenie objętościowe. Objętość początkowa to V 0 = 250 l . Rozwiązanie Wstawiwszy wartości do równania, otrzymujemy: odkształcenie objętościowe = Δ V V 0 = Δ p K = β Δ p = 2 ⋅ 10 –5 a t m − 1 ⋅ 160 a t m = 0,0032 , odpowiedź : Δ V = 0,0032 V 0 = 0,0032 ⋅ 250 l = 0,78 l . Znaczenie Zauważmy, że ze względu na to, że ściśliwość wody jest 2,32 razy większa od ściśliwości oleju, zmiana substancji roboczej w prasie hydraulicznej w tym przykładzie na wodę spowodowałaby zwiększenie naprężenia objętościowego i zmiany objętości o 2,32 razy. Sprawdź, czy rozumiesz. Siła normalna działająca na każdą powierzchnię kostki stalowej o objętości 1 m 3 zmienia się o 1 ⋅ 10 7 N , oblicz wynikową zmianę objętości tej kostki. 63 ml Naprężenie i odkształcenie ścinające oraz moduł Kirchhoffa Koncepcje naprężenia i odkształcenia ścinającego dotyczą jedynie ciał stałych. Budynki i płyty tektoniczne to przykłady obiektów, narażonych na naprężenia ścinające. Zasadniczo pojęcia te nie dotyczą płynów. Odkształcenie ścinające występuje, gdy do przeciwległych powierzchni ciała stałego przyłożone są stycznie dwie równoległe przeciwnie skierowane siły o równej wartości, nie powodujące odkształcenia w kierunku poprzecznym do kierunku siły, jak w typowym przykładzie naprężenia ścinającego przedstawionym na . Odkształcenie ścinające charakteryzuje się stopniowym przesunięciem Δ x warstw w kierunku stycznym do sił działających. Przesunięcie Δ x zachodzi w poprzecznym kierunku wzdłuż pewnej odległości L 0 . Odkształcenie ścinające to stosunek największego przesunięcia Δ x do poprzecznej odległości L 0 : odkształcenie ścinające = Δ x L 0 . Odkształcenie ścinające jest spowodowane naprężeniem ścinającym. To ostatnie wywołują siły równoległe do powierzchni. Wartość siły F ∥ na pole powierzchni A , gdzie przykładana jest siła ścinająca, stanowi miarę naprężeń ścinających: naprężenie ścinające = F ∥ A . Modułem Kirchhoffa (inaczej moduł ścinania, moduł sztywności, moduł odkształcalności postaciowej albo moduł sprężystości poprzecznej) jest stała proporcjonalności w , określona przez stosunek naprężenia do odkształcenia. Moduł Kirchhoffa powszechnie oznacza się jako G : G = naprężenie ścinające odkształcenie ścinające = F ∥ / A Δ x / L 0 = F ∥ A L 0 Δ x . Obiekt pod wpływem naprężenia ścinającego: dwie antyrównoległe siły o takich samych wartościach są przykładane stycznie do przeciwległych powierzchni obiektu. Linia przerywana przedstawia odkształcenie. Nie ma zmiany w kierunku poprzecznym do sił działających i poprzeczna długość L 0 pozostaje taka sama. Odkształcenie ścinające charakteryzuje się stopniowym przesunięciem Δ x warstw w kierunku stycznym do sił. Stary regał na książki Osoba sprzątająca stara się przesunąć ciężki regał z książkami na dywanik, naciskając (popychając) stycznie do powierzchni górnej półki. Jedyny zauważalny efekt tego wysiłku jest podobny do pokazanego na i znika on, gdy osoba sprzątająca przestaje naciskać. Regał ma 180 cm wysokości i 90 cm szerokości oraz cztery półki o głębokości 30 cm. Wszystkie są częściowo zastawione książkami. Całkowity ciężar szafki i książek wynosi 600 N. Jeśli dana osoba naciska na górną półkę siłą 50 N, wówczas przemieszcza ją poziomo o 15 cm w stosunku do nieruchomej półki. Oblicz moduł Kirchhoffa regału. Strategia rozwiązania Jedynymi istotnymi informacjami są wymiary regału, wartość siły stycznej i przesunięcie, które powoduje ta siła. Zapisujemy F ∥ = 50 N , Δ x = 15 cm , L 0 = 180 cm , oraz A = 30 c m ⋅ 90 c m = 2700 c m 2 i używamy do obliczenia modułu Kirchhoffa. Rozwiązanie Podstawiwszy liczby do równania, otrzymamy moduł Kirchhoffa: G = F | | A ⋅ L 0 Δ x = 50 N 2 700 cm 2 ⋅ 180 cm 15 cm = 2 9 ⋅ 10 4 N m 2 = 20 9 ⋅ 10 3 Pa = 2,222 kPa . Możemy również wyliczyć naprężenie i odkształcenie, odpowiednio: F ∥ A = 50 N 2700 cm 2 = 5 27 kPa = 185,2 Pa Δ x L 0 = 15 cm 180 cm = 1 12 = 0,083 . Znaczenie Jeśli w tym przykładzie osoba sprzątająca nacisnęłaby zbyt mocno na półkę, to spowodowane naciskiem ścinanie mogłoby zniszczyć regał. Mechanizm ścinania w znacznym stopniu odpowiada za awarie wypełnionych ziemią zapór i wałów oraz ogólnie powstawanie osuwisk. Sprawdź, czy rozumiesz. Wyjaśnij, dlaczego koncepcje modułu Younga i moduł Kirchhoffa nie mają zastosowania do płynów. Płyny mają inne właściwości mechaniczne niż ciała stałe; ciecze płyną Podsumowanie Siły zewnętrzne działające na ciało (lub ośrodek) powodują odkształcenie, czyli zmianę wielkości i kształtu. Wartość sił odkształcających wyrażana jest przez naprężenie, które w układzie SI mierzy się w jednostce ciśnienia (paskal). Stopień deformacji pod wpływem naprężeń wyraża odkształcenie, które jest bezwymiarowe. W przypadku małych naprężeń związek między nim a odkształceniem pozostaje liniowy. Moduł sprężystości jest stałą proporcjonalności w tym liniowym związku. Odkształcenie rozciągające (lub ściskające) jest reakcją przedmiotu lub ośrodka na naprężenia rozciągające (lub ściskające). W tym przypadku moduł sprężystości nazywa się modułem Younga. Naprężenie rozciągające (lub ściskające) powoduje wydłużenie (lub skrócenie) przedmiotu albo ośrodka i jest wywołane zewnętrznymi siłami działającymi wzdłuż tylko jednego kierunku, prostopadle do przekroju poprzecznego. Odkształcenie objętościowe jest reakcją przedmiotu lub ośrodka na naprężenie objętościowe. W tym przypadku moduł sprężystości nazywa się modułem Helmholtza albo modułem sprężystości objętościowej. Naprężenie objętościowe zmienia objętość obiektu lub ośrodka i jest spowodowane siłami działającymi na ciało ze wszystkich kierunków, prostopadle do jego powierzchni. Współczynnik sprężystości objętościowej obiektu lub ośrodka jest odwrotnością jego modułu sprężystości objętościowej. Odkształcenie ścinające to odkształcenie obiektu lub ośrodka pod wpływem naprężeń ścinających. Moduł Kirchhoffa (ścinania) jest w tym przypadku modułem sprężystości. Naprężenie wywołują siły działające wzdłuż dwóch równoległych powierzchni obiektu. Pytania Uwaga: O ile nie zaznaczono inaczej, masy drutów, drążków, prętów i innych elementów należy pominąć. Moduły sprężystości wybranych materiałów podane są w . Dlaczego wiewiórka skacze z gałęzi drzewa na ziemię i ucieka bez uszczerbku na zdrowiu, podczas gdy człowiek przy takim upadku mógłby złamać kości? W kontakcie z ziemią naprężenie w kończynach wiewiórki jest mniejsze niż naprężenie w ludzkich kończynach. Kiedy szklana butelka wypełniona octem jest ogrzewana, zarówno ocet, jak i szkło się rozszerzają, ale ocet znacznie bardziej niż szkło. Butelka pęknie, jeśli zostanie napełniona całkowicie. Wyjaśnij, w jaki sposób przestrzeń powietrza nad octem zapobiega rozerwaniu butelki. Cienki drut rozciągnięty pomiędzy dwoma gwoździami w ścianie służy do podtrzymywania dużego obrazu. Czy bardziej prawdopodobne jest, że się zerwie, gdy jest mocno naciągnięty, czy gdy jest luźniejszy i bardziej się ugina? mocno naciągnięty Przeanalizuj ponownie związek pomiędzy naprężeniem a odkształceniem. Czy można znaleźć jakiekolwiek podobieństwa między tymi dwiema wielkościami? Jakiego rodzaju naprężenie stosujesz, gdy naciskasz na końce drewnianego drążka, a jakie gdy ciągniesz za jego końce? ściskające; rozciągające Czy naprężenie ściskające może być przyłożone do gumowej taśmy? Czy moduł Younga może mieć ujemną wartość? Jak jest w przypadku modułu Helmholtza? nie Jeśli hipotetyczny materiał ma ujemny moduł Helmholtza, to co się stanie, gdy go ściśniesz? Omów, w jaki sposób możesz zmierzyć współczynnik ściśliwości cieczy. Zadania Grafit ołówkowy ma moduł Younga wynoszący 1 ⋅ 10 9 N / m 2 . Oblicz zmianę długości wkładu w automatycznym ołówku, jeśli naciśniesz go z siłą 4 N. Wkład ma średnicę 0,5 mm i długość 60 mm. 0,3 mm Anteny telewizyjne to najwyższe sztuczne konstrukcje na Ziemi. W 1987 roku, fizyk o wadze 72 kg ze sprzętem o masie 400 kg był na szczycie anteny o wysokości 610 m w celu przeprowadzenia eksperymentów grawitacyjnych. O ile antena została ściśnięta, jeśli założymy, że jest ona równoważna stalowemu cylindrowi o promieniu 0,15 m? O ile 65-kilogramowy wspinacz górski rozciągnie nylonową linę o średnicy 0,8 cm, gdy wisi w odległości 35 m poniżej występu skalnego? (Dla nylonu E = 1,35 ⋅ 10 9 P a. ) 9 cm Podczas zamarzania objętość wody wzrasta o 9,05%. Jaką siłę na jednostkę powierzchni pojemnika wywiera woda, gdy zamarza? Rolnik wytwarzający sok winogronowy wypełnia szklaną butelkę po brzegi i mocno ją zakręca. Sok przy ogrzewaniu rozszerza się bardziej niż szkło, w taki sposób, że jego objętość wzrasta o 0,2%. Zakładając, że butelka nie pęknie, oblicz siłę wywieraną na centymetr kwadratowy jej powierzchni, jeśli moduł Helmholtza soku wynosi 1,8 ⋅ 10 9 N / m 2 4 · 10 2 N/cm 2 Krążek międzykręgowy kręgosłupa jest poddawany działaniu siły ścinającej 600 N. Oblicz jego odkształcenie ścinające, przy użyciu modułu ścinania 1 · 1 0 9 N/m 2 . Krążek międzykręgowy jest równoważny cylindrowi o wysokości 0,7 cm i średnicy 4 cm. Kręgi kręgosłupa są poddawane działaniu siły ścinającej 500 N. Oblicz odkształcenie ścinające, traktując kręg jako cylinder o wysokości 3 cm i średnicy 4 cm. Odnieś ten wynik do uzyskanego w poprzednim zadaniu. Czy problemy z kręgosłupem częściej występują w krążkach czy w kręgach? 0,149 μm Oblicz, jakiej siły używa stroiciel aby rozciągnąć stalową strunę fortepianową o 8 mm, jeśli na początku ma ona długość 1,35 m, a jej średnica wynosi 0,85 mm. Aluminiowy wydrążony maszt o wysokości 20 m jest równoważny pod względem wytrzymałości pełnemu cylindrowi o średnicy 4 cm. Silny wiatr ugina go tak samo, jak pozioma siła 900 N przyłożona do szczytu. Jak daleko w bok wygnie się górna część masztu? 0,57 mm Drut miedziany o średnicy 1 cm rozciąga się o 1%, kiedy podnosi ładunek z przyspieszeniem 2 m/s 2 . Jaki jest ciężar ładunku? W miarę wiercenia otworów każdy nowy odcinek rury podtrzymuje ciężar własny i ciężar rury oraz wiertła pod sobą. Oblicz wydłużenie nowej 6-metrowej stalowej rury, która podtrzymuje wiertło o masie 100 kg i rurę o długości 3 km o gęstości liniowej 20 kg/m. Potraktuj rurę jako pełny cylinder o średnicy 5 cm. 8,59 mm Duży jednolity pręt stalowy o gęstości ρ = 7,8 g/cm 3 ma 2 m długości i średnicę 5 cm. Jest on przymocowany do betonowej podłogi pionowo. Jaki będzie normalny nacisk w przekroju poprzecznym pręta zlokalizowany w odległości: (a) 1 m od dolnego końca, (b) w odległości 1,5 m od dolnego końca? Na nylonowej linie wisi 90-kilogramowy wspinacz i rozciąga ją o 25 cm. Jeśli lina miała pierwotnie 30 m długości, a jej średnica wynosi 1 cm, to jaki jest współczynnik Younga dla nylonu? 1,35 ⋅ 10 9 P a Pręt podtrzymujący most podwieszany ma długość 25 m. Jeśli wykonano go ze stali, to jaka powinna być jego średnica, aby nie rozciągnął się więcej niż 1 cm, podczas przejazdu przez most samochodu ciężarowego o masie 25 ton? Załóż, że pręt podtrzymuje cały ciężar samochodu. Drut miedziany ma długość 1 m, a jego średnica wynosi 1 mm. Jeśli wisi pionowo, to jaką masę należy dodać do jego swobodnego końca, żeby rozciągnąć go o 3 mm? 259 N Ciężar 100 N przymocowano do wolnego końca metalowego drutu, wiszącego z sufitu. Gdy dodany zostanie drugi ciężar 100 N, wówczas drut rozciągnie się o 3 mm. Średnica i długość przewodu to odpowiednio 1 mm i 2 m. Jaki jest moduł Younga metalu wykorzystanego do produkcji tego drutu? Moduł Helmholtza materiału wynosi 1 · 10 11 N/m 2 . O jaką względną wartość zmieni się objętość kawałka tego materiału, gdy naprężenie zwiększy się o 10 7 N/m 2 ? Załóż, że siła przykładana jest do powierzchni równomiernie. 0,01% Normalne siły o wartości 1 ⋅ 10 6 N są przykładane równomiernie do kulistej powierzchni, otaczającej objętość cieczy. Powoduje to zmniejszenie promienia z 50 cm do 49,995 cm. Jaki jest moduł Helmholtza cieczy? Linoskoczek wytwarza naprężenie 3,94 ⋅ 10 3 N w linie rozpostartej pomiędzy dwoma słupami oddalonymi od siebie o 15 m. Ma ona średnicę 0,5 cm, gdy nie jest rozciągnięta. Jeśli linoskoczek znajdzie się na środku pomiędzy słupami, lina utworzy kąt 5 ∘ do poziomu. O ile to naprężenie rozciągnie stalową linę? 1,44 cm Używając gumki ołówkowej, wywiera się siłę pionową o wartości 6 N w odległości 2 cm od połączenia gumki z ołówkiem. Ołówek ma średnicę 6 mm i jest trzymany pod kątem 20 ∘ do poziomu. (a) O ile ołówek wygnie się prostopadle do swojej długości? (b) Ile wyniesie odkształcenie ściskające wzdłuż ołówka? Normalne siły są przykładane równomiernie do powierzchni kulistej objętości wody o promieniu 20 cm. Jeśli ciśnienie na powierzchni wzrośnie o 200 MPa, to jaki będzie promień kuli? 0,63 cm moduł Helmholtza (moduł sprężystości objętościowej lub moduł odkształcalności objętościowej) (ang. bulk modulus ) moduł sprężystości objętościowej, który charakteryzuje ściśliwość substancji; im większe K tym mniejsza ściśliwość odkształcenie objętościowe (ang. bulk strain ) odkształcenie pod wpływem naprężenia objętościowego podawane jako względna zmiana objętości naprężenie objętościowe (ang. bulk stress ) naprężenie wywołane siłami ściskającymi we wszystkich kierunkach współczynnik sprężystości objętościowej bądź współczynnik ściśliwości (ang. compressibility ) odwrotność modułu sprężystości objętościowej (modułu Helmholtza) odkształcenie ściskające (ang. compressive strain ) odkształcenie, które występuje w przypadku, gdy siły obciążają przedmiot, powodując jego skrócenie naprężenie ściskające (ang. compressive stress ) naprężenie spowodowane siłami ściskającymi tylko w jednym kierunku moduł sprężystości (ang. elastic modulus ) stała proporcjonalności w liniowym związku między naprężeniem a odkształceniem w układzie SI wyrażana w paskalach ciśnienie normalne (ang. normal pressure ) ciśnienie 1 atm, służy jako punkt odniesienia dla poziomu ciśnienia paskal (Pa) (ang. pascal ) w układzie SI jednostka naprężenia i ciśnienia ciśnienie (ang. pressure ) siła działająca (naciskająca) na powierzchnię w kierunku normalnym do powierzchni, naprężenie w płynach moduł Kirchhoffa (moduł sprężystości poprzecznej, moduł odkształcalności postaciowej lub moduł ścinania) (ang. shear modulus ) moduł sprężystości dla naprężenia ścinającego odkształcenie ścinające (ang. shear strain ) odkształcenie spowodowane naprężeniem ścinającym naprężenie ścinające (ang. shear stress ) naprężenie spowodowane siłami ścinającymi odkształcenie (ang. strain ) bezwymiarowa wielkość, która wyraża stopień deformacji przedmiotu lub medium pod wpływem naprężenia naprężenie (ang. stress ) wielkość informująca o sile powodującej deformację, określona jako siła działająca na powierzchnię odkształcenie rozciągające (ang. tensile strain ) odkształcenie przy rozciąganiu, wyrażone jako względna zmiana długości, występująca, gdy siły rozciągają obiekt, powodując jego wydłużenie naprężenie rozciągające (ang. tensile stress ) naprężenie spowodowane siłami rozciągającymi tylko w jednym kierunku, występujące, gdy siły rozciągają obiekt, powodując jego wydłużenie moduł Younga (ang. Young’s modulus ) moduł sprężystości dla naprężenia rozciągającego lub ściskającego

Science


Sprężystość i plastyczność Dlaczego stałą proporcjonalności między naprężeniem a odkształceniem nazywamy modułem sprężystości? Co to znaczy, że obiekt ma być sprężysty i jak opisujemy jego zachowanie? Sprężystość to tendencja ciał stałych i materiałów do powrotu do pierwotnego kształtu, gdy siły zewnętrzne (obciążenie nimi) powodujące deformację przestają oddziaływać. Obiekt jest sprężysty (ang. elastic ), jeśli powraca do pierwotnego rozmiaru i kształtu, gdy obciążenie ustaje. Fizyczne czynniki powodujące sprężystość są różne w różnych materiałach i zależą od ich mikroskopowej struktury. Przykładowo sprężystość polimerów i kauczuków wynika z rozciągania łańcuchów polimerowych pod wpływem działającej siły. Z kolei, sprężystość metali warunkują zmiany rozmiaru i kształtu komórek sieci krystalicznej (które tworzą strukturę metali) pod wpływem sił zewnętrznych. Dwa parametry określające sprężystość każdego materiału to moduł sprężystości i granica sprężystości . Duży moduł sprężystości jest typowy dla materiałów trudnych do zdeformowania, czyli wymagających dużego obciążenia w celu osiągnięcia znacznego odkształcenia, np. stalowej taśmy. Mały moduł sprężystości jest typowy dla materiałów łatwo ulegających deformacji pod wpływem obciążenia, np. taśmy gumowej. Jeśli naprężenie spowodowane obciążeniem staje się zbyt duże, wówczas nawet po ustąpieniu obciążenia materiał nie powraca już do pierwotnego kształtu i wielkości, ale odkształca się trwale do innego kształtu i wielkości, ulega trwałemu zdeformowaniu. Granica sprężystości (ang. elastic limit ) to taka wartość naprężeń, po której przekroczeniu materiał przestaje być sprężysty i ulega trwałemu zdeformowaniu. Nasze postrzeganie sprężystości materiału zależy zarówno od sprężystości, jak i od modułu sprężystości. Na przykład wszystkie kauczuki i gumy charakteryzują się niskim modułem sprężystości i wysoką granicą sprężystości, dlatego są łatwe do rozciągnięcia, a ich wydłużenie jest duże. Wśród materiałów o identycznej granicy sprężystości najbardziej sprężysty jest ten o najniższym module sprężystości. Gdy obciążenie wzrasta od zera, powstałe naprężenie jest wprost proporcjonalne do odkształcenia w sposób podany przez , ale tylko, gdy naprężenie nie przekracza pewnej wartości granicznej. Dla wartości naprężeń w tym zakresie liniowej proporcjonalności zachowanie sprężyste możemy opisać analogicznie do prawa Hooke’a dla sprężyny. Zgodnie z nim, wartość rozciągnięcia sprężyny pod wpływem siły jest wprost proporcjonalna do wartości siły. Natomiast siła reakcji sprężyny pod wpływem wydłużenia jest wprost proporcjonalna do tego wydłużenia. W ten sam sposób deformacja materiału spowodowana obciążeniem jest wprost proporcjonalna do obciążenia, a powstałe naprężenie jest wprost proporcjonalne do odkształcenia. Granica liniowości (lub granica proporcjonalności) (ang. linearity limit , proportionality limit ) to największa wartość naprężeń, powyżej której naprężenie przestaje być wprost proporcjonalne do odkształcenia. Poza nią związek między naprężeniem a odkształceniem nie jest już liniowy. Kiedy naprężenie przekracza granicę liniowości, ale pozostaje w granicach sprężystości, zachowanie jest wciąż sprężyste, ale związek między naprężeniem a odkształceniem staje się nieliniowy. W przypadku naprężeń przekraczających granicę sprężystości materiał wykazuje zachowanie plastyczne (ang. plastic behavior ), czyli odkształca się nieodwracalnie i nie powraca do pierwotnego kształtu i rozmiaru, nawet po ustąpieniu obciążenia. Gdy naprężenie wzrasta stopniowo poza granicę sprężystości, materiał ulega deformacji plastycznej. W materiałach gumopodobnych ze wzrostem naprężenia następuje wzrost odkształcenia, co oznacza, że stają się one coraz trudniejsze do rozciągania i przerywają się po osiągnięciu punktu zerwania. Materiały plastyczne (ciągliwe), takie jak metale, cechują się stopniowym zmniejszaniem naprężeń przy wzrastającym odkształceniu, co oznacza, że łatwiej je zdeformować, gdy wartości naprężenia i odkształcenia zbliżają się do punktu zerwania. Mechanizmy mikroskopowe odpowiedzialne za plastyczność materiałów różnią się w zależności od materiału. Możemy wyznaczyć zależność między naprężeniem a odkształceniem na wykresie naprężenie-odkształcenie (ang. stress-strain diagram ). Każdy materiał ma własną charakterystyczną krzywą naprężenie-odkształcenie. Typowy wykres dla plastycznego metalu podlegającego obciążeniu pokazano na . Na tej ilustracji odkształcenie jest względnym wydłużeniem (narysowano nie w skali). Kiedy obciążenie stopniowo wzrasta, zachowanie liniowe (czerwona linia) rozpoczynające się w punkcie bez obciążenia (początek układu) kończy się na granicy liniowości (proporcjonalności) w punkcie H . W przypadku dalszego wzrostu obciążenia powyżej punktu H relacja naprężenie-odkształcenie staje się nieliniowa, ale pozostaje sprężysta. Na rysunku obszar nieliniowy znajduje się między punktami H i E . Coraz większe obciążenia przesuwają naprężenia ku granicy sprężystości E , gdzie kończy się sprężyste zachowanie i rozpoczyna odkształcenie plastyczne. Poza granicą sprężystości, gdy obciążenie ustaje, na przykład w punkcie P , materiał odkształca się do nowego kształtu i rozmiaru wzdłuż zielonej linii. Oznacza to, że jest on trwale odkształcony i nie powraca do pierwotnego kształtu i wielkości, gdy naprężenie staje się zerowe. Materiał ulega odkształceniom plastycznym w przypadku dużych obciążeń powodujących naprężenia wykraczające poza granicę sprężystości w punkcie E . Pozostaje plastycznie odkształcony, aż naprężenie osiągnie punkt pęknięcia (punkt zerwania). Za nim nie ma już jednej próbki materiału, więc wykres się kończy. Dla kompletności tego opisu jakościowego należy powiedzieć, że granice liniowości, sprężystości i plastyczności oznaczają zakres wartości, a nie jeden wyraźny punkt. Typowy wykres naprężeń i odkształceń dla metalu pod wpływem obciążenia. Wykres kończy się w punkcie zerwania. Strzałki wskazują kierunek zmian pod wpływem stale rosnącego obciążenia. Punkty H i E są odpowiednio granicą liniowości (proporcjonalności) i granicą sprężystości. Pomiędzy punktami H i E wykres ma charakter nieliniowy. Zielona linia wychodząca z P przedstawia reakcję metalu po ustaniu obciążenia. Odkształcenie trwałe ma wartość odkształcenia w punkcie, w którym zielona linia przecina oś poziomą. Wartość naprężenia w punkcie zerwania nazywa się naprężeniem niszczącym (lub naprężeniem zerwania ) (ang. breaking stress , ultimate stress ). Materiały o podobnych właściwościach sprężystych, np. dwa metale, mogą mieć bardzo różne naprężenia zrywające: dla glinu wynosi ono 2,2 ⋅ 10 8 P a , a dla stali może przyjmować tak wysokie wartości jak 20 ⋅ 10 8 P a , w zależności od rodzaju. Możemy szybko oszacować, na podstawie , że w przypadku prętów o przekroju poprzecznym 5 c m 2 obciążenie zrywające dla wykonanego z aluminium wynosi 110 kN, a dla stalowego jest blisko 9 razy większe. Podsumowanie Obiekt lub ośrodek jest sprężysty, jeśli powraca do pierwotnego kształtu i wielkości, gdy zanika naprężenie. W odkształceniach sprężystych o wartościach naprężeń mniejszych od granicy proporcjonalności naprężenie jest wprost proporcjonalne do odkształcenia. Gdy wykracza ono poza granice proporcjonalności, odkształcenie jest ciągle sprężyste, ale staje się nieliniowe do granicy sprężystości. Przedmiot lub materiał jest plastyczny, gdy naprężenie przekracza granicę. W obszarze plastyczności, gdy zanika naprężenie nie powraca do pierwotnego rozmiaru lub kształtu, ale trwale się odkształca. Zachowanie plastyczne kończy się w punkcie zerwania. Najważniejsze wzory Warunek równowagi sił ∑ i F → i = 0 → Warunek równowagi momentów sił ∑ i M → i = 0 → Liniowa relacja pomiędzy naprężeniem i odkształceniem naprężenie = (moduł sprężystości) · odkształcenie moduł Younga E = naprężenie rozciągające odkształcenie rozciągające = F ⊥ A ⋅ L 0 Δ L moduł Helmholtza K = naprężenie objętościowe odkształcenie objętościowe = − Δ p ⋅ V 0 Δ V moduł Kirchhoffa G = naprężenie ścinające odkształcenie ścinające = F | | A ⋅ L 0 Δ x Pytania Uwaga: O ile nie zaznaczono inaczej, masy drutów, drążków, prętów i innych elementów należy pominąć. Moduły sprężystości wybranych materiałów podane są w . Co to oznacza, że żyłka wędkarska ma wytrzymałość 4 kg? Pręty stalowe są powszechnie umieszczane przed wylaniem betonu. Jaki jest cel tego działania? Działa jak "zbrojenie", zwiększając zakres wartości naprężenia, zanim struktura osiągnie punkt zerwania. Zadania Jednolita lina o przekroju poprzecznym 0,5 cm 2 przerywa się, gdy osiąga naprężenie rozciągające 6 ⋅ 10 6 N / m 2 . (a) Jakie jest maksymalne obciążenie, które można podnieść powoli przy stałej prędkości przy użyciu liny? (b) Jakie jest maksymalne obciążenie, które można podnieść przy użyciu liny z przyspieszeniem 4 m / s 2 ? Jeden koniec pionowego metalowego drutu o długości 2 m i średnicy 1 mm przymocowano do sufitu, a drugi koniec do szalki o ciężarze 5 N, jak pokazano poniżej. Położenie wskaźnika nad talerzem wynosi 4 cm. Następnie na szalkę nakładano odważniki, a pozycję wskaźnika zapisywano w przedstawionej tabeli. Narysuj zależność naprężenia od odkształcenia dla tego drutu, a następnie użyj uzyskanej krzywej do określenia modułu Younga i granicy proporcjonalności dla tego metalu. Jaki to może być metal? Obciążenie dodane (razem z szalką) (N) Odczyt na skali (cm) 0 4,000 15 4,036 25 4,073 35 4,109 45 4,146 55 4,181 65 4,221 75 4,266 85 4,316 Drut aluminiowy o gęstości ρ = 2,7 g / c m 3 wisi z sufitu pionowo. Jak długi musi być drut, aby naprężenie na górnym końcu osiągnęło granicę proporcjonalności, która wynosi 8 ⋅ 10 7 N / m 2 ? Zadania dodatkowe Współczynnik tarcia statycznego pomiędzy gumką ołówka a blatem stołu wynosi μ s = 0,8 . Jeśli siłę F → przyłożymy wzdłuż osi ołówka jak pokazano poniżej, to przy jakim minimalnym kącie ołówek nie będzie się ślizgać? Pomiń ciężar ołówka. arctg  ( 1 / μ s ) = 51 , 3 ∘ Ołówek leży w narożniku, jak pokazano poniżej. Zaostrzony koniec dotyka gładkiej pionowej powierzchni, a koniec gumki dotyka szorstkiej poziomej podłogi. Współczynnik tarcia statycznego między gumką a podłogą wynosi μ s = 0,8 . Środek masy ołówka znajduje się w odległości 9 cm od końca gumki i 11 cm od ostrza ołówka. Oblicz minimalny kąt θ , dla którego ołówek się nie osunie. Jednolita 4-metrowa deska o ciężarze 200 N opiera się o narożnik ściany, jak pokazano poniżej. Nie ma tarcia pomiędzy nią a narożnikiem ściany. (a) Oblicz siły, które narożnik i podłoga wywierają na deskę. (b) Jaki powinien być minimalny współczynnik tarcia statycznego między podłogą a deską, aby zapobiec ześlizgnięciu się deski? a. na narożniku 66,7 N pod kątem 30 ∘ do poziomu; na podłodze 192,4 N pod kątem 60 ∘ do poziomu; b. μ s = 0,577 40-kilogramowy chłopiec skacze z wysokości 3 m, ląduje na jednej nodze i jest w spoczynku w 0,1 s po uderzeniu o ziemię. Załóż, że dochodzi do spoczynku ze stałym opóźnieniem. Jeśli całkowite pole przekroju poprzecznego jego kości w nogach tuż nad kostkami wynosi 3 c m 2 , to jakie jest w nich naprężenie ściskające? Kości nóg mogą ulec złamaniu, gdy są narażone na naprężenie większe niż 1,7 ⋅ 10 8 P a . Czy chłopcu zagraża złamanie? Dwa cienkie pręty, jeden ze stali, a drugi z aluminium, są połączone końcami. Każdy z nich ma długość 2 m i przekrój poprzeczny 9,1 m m 2 . Siłę rozciągającą 10 000 N przyłożono na każdym końcu połączenia. Oblicz: naprężenie w każdym pręcie; odkształcenie w każdym pręcie; wydłużenie każdego pręta. 1,1 ⋅ 10 9 N / m 2 ; 5,5 · 10 −3 ; 11 mm, 31,4 mm Dwa pręty, jeden z miedzi, a drugi ze stali, mają te same wymiary. Jeśli pręt miedziany rozciąga się o 0,15 mm pod pewnym naprężeniem, to jak bardzo rozciąga się pręt stalowy pod takim samym naprężeniem? Zadania trudniejsze Siłę poziomą F → przyłożono do jednolitej kuli w kierunku do jej środka, jak pokazano poniżej. Znajdź taką wartość tej siły, aby kula pozostała w statycznej równowadze. Jaka jest siła tarcia między pochylnią a kulą? F = Mg tg θ ; f = 0 Gdy silnik jest zamontowany na uchwycie przegubowym, widocznym poniżej, jego ciężar można użyć do utrzymania naprężenia w pasie napędowym. Gdy silnik nie pracuje, naprężenia N 1 oraz N 2 są równe. Całkowita masa platformy i silnika wynosi 100 kg, a średnica koła pasowego napędu 16 c m . Oblicz dla wyłączonego silnika: (a) naprężenie w pasie, (b) siłę działającą na połączenie przegubowe w punkcie C . Załóż, że środek masy platformy razem z silnikiem znajduje się w środku silnika. Dwa koła A i B o masach m i 2 m odpowiednio, są połączone jednorodnym prętem o masie m / 2 jak pokazano poniżej. Koła mogą się swobodnie obracać na pochyłych powierzchniach. Określ kąt, który pręt tworzy z poziomem, gdy układ jest w stanie równowagi. ( Wskazówka: Na pręcie działa pięć sił, tj. dwa ciężary kół, dwie normalne siły reakcji w miejscach, w których koła stykają się z równiami, oraz ciężar pręta.) z poziomem θ = 42 , 2 ∘ oraz α = 17 , 8 ∘ ze stromą stroną równi. Odważniki stopniowo są dokładane na szalkę, aż koło o masie M i promieniu R zostanie wciągnięte na przeszkodę o wysokości d , jak pokazano poniżej. Jaka musi być minimalna masa odważników z szalką, aby to osiągnąć? Żeby podnieść łopatę z ziemią, ogrodnik naciska w dół na jej końcu i podciąga w górę w odległości l 2 od końca, jak pokazano poniżej. Ciężar łopaty to m g i jest on przyłożony w punkcie przyłożenia F → 2 . Obliczyć wartości sił F → 1 i F → 2 jako funkcje l 1 , l 2 , m g i ciężaru F ł ładunku. Dlaczego odpowiedź nie zależy od kąta θ , który łopata tworzy z poziomem? F ł ( l 1 / l 2 − 1 ) ; F ł l 1 / l 2 + m g Jednolity pręt o długości 2 R i masie M jest dołączony do małego pierścienia C i spoczywa na powierzchni cylindra o promieniu R jak pokazano poniżej. Jeśli pierścień może przesuwać się bez tarcia wzdłuż prowadnicy pionowej, znajdź kąt θ , przy którym pręt jest w stanie równowagi. Słup pokazany poniżej znajduje się przy załomie 90 ∘ w linii energetycznej i dlatego jest poddawany większym siłom ścinającym niż słupy w prostych częściach linii. Naprężenie każdej liny wynosi 4 ⋅ 10 4 N pod pokazanymi kątami. Słup ma wysokość 15 m, średnicę 18 cm i można przyjąć, że ma połowę wytrzymałości twardego drewna. Oblicz: względne skrócenie słupa; jak bardzo się ugina i w jakim kierunku; naprężenie drutu w odciągu wystarczające, by utrzymać słup prosto, jeśli odciąg jest przymocowany do szczytu słupa pod kątem 30 ∘ do pionu. Odciąg jest w przeciwnym kierunku do załomu (ugięcia). 1,1 mm; 6,6 mm w prawo; 1,11 · 10 5 N naprężenie zerwania (niszczące) (ang. breaking stress , ultimate stress ) wartość naprężenia w punkcie zerwania sprężystość (ang. elastic ) cecha obiektu, który powraca do pierwotnego rozmiaru i kształtu, gdy obciążenie nie oddziałuje granica sprężystości (ang. elastic limit ) wartość naprężenia, powyżej której materiał przestaje być sprężysty i ulega trwałemu zdeformowaniu granica liniowości (lub granica proporcjonalności) (ang. linearity limit , proportionality limit ) największa wartość naprężenia, poza którą nie jest ono już wprost proporcjonalne do odkształcenia zachowanie plastyczne (ang. plastic behavior ) materiał odkształca się nieodwracalnie, nie powraca do swojego oryginalnego kształtu i rozmiaru, gdy obciążenie przestaje oddziaływać i naprężenie znika wykres naprężenie-odkształcenie (ang. stress-strain diagram ) wykres przedstawiający zależność między naprężeniem a odkształceniem charakterystycznym dla danego materiału

Science


Wstęp Obserwowalna część Wszechświata składa się z miliardów galaktyk, które istnieją dzięki sile grawitacji. Grawitacja jest także odpowiedzialna za produkcję energii przez wszystkie gwiazdy, inicjując reakcje termojądrowe w nich zachodzące. To dzięki niej Słońce ogrzewa Ziemię, a światło galaktyk widoczne jest z ogromnych odległości. Większość punktów widocznych na zdjęciu nie przedstawia pojedynczych gwiazd lecz całe galaktyki. (Źródło: modyfikacja zdjęcia udostępnionego przez NASA) W rozdziale tym poznamy naturę siły grawitacji na przykładzie obiektów tak małych, jak my sami oraz układów tak masywnych jak całe galaktyki. Pokażemy, w jaki sposób siła grawitacji oddziałuje na obiekty na Ziemi oraz na ruch samego Wszechświata. Grawitacja jest siłą działającą na odległość, czyli siłą dzięki której różne obiekty oddziałują na siebie bez fizycznego kontaktu. Wartość tej siły zanika dopiero w nieskończonej odległości od obiektu ją wytwarzającego. Ziemia oddziałuje siłą grawitacyjną na Ciebie, podobnie jak czyni to nasze Słońce, Droga Mleczna oraz miliardy galaktyk, takich jak te przedstawione na powyższym zdjęciu. Galaktyki te są tak odległe, że nie możemy ich zobaczyć gołym okiem.

Science


Prawo powszechnego ciążenia Na początku przyjrzymy się historii badań nad grawitacją, uwzględniając szczególnie te zjawiska, które przez tysiące lat inspirowały filozofów i naukowców do poszukiwania ich wyjaśnień. Następnie przeanalizujemy najprostszą formę prawa powszechnego ciążenia i pokażemy, jak należy je stosować. Historia teorii grawitacji Pierwsi filozofowie zastanawiali się, dlaczego ciała mają naturalną tendencję do spadania na ziemię. Arystoteles (384–322 p.n.e.) wierzył, że z natury skała szuka Ziemi, a ogień z natury szuka niebios. Brahmagupta (598~665) postulował, że Ziemia jest kulą i wszystkie ciała pozostają do niej w naturalnym powinowactwie, spadając w kierunku jej środka niezależnie od tego, gdzie się znajdują. Ruch Słońca, Księżyca i planet także był badany przez tysiące lat. Ruchy te z zadziwiającą dokładnością zostały opisane przez Ptolemeusza (100~170), którego teoria geocentryczna (wszystkie ciała niebieskie krążą wokół Ziemi) przedstawiała trajektorię planet, jako punktów krążących po mniejszych okręgach (epicyklach), których środki z kolei krążą po większych okręgach (deferentach) wokół Ziemi. Aż do XVII wieku brak było jednak jasnych wywodów, w których ktokolwiek powiązałby ruch ciał niebieskich z ruchem ciał spadających na Ziemię. Mikołaj Kopernik (1473–1543) jest powszechnie uznawany za pierwszą osobę, która sprzeciwiła się geocentrycznemu systemowi Ptolemeusza, sugerując system heliocentryczny, w którym to Słońce jest w centrum Układu Słonecznego. Idea ta została poparta przez niesamowicie precyzyjne pomiary ruchu planet dokonane gołym okiem przez Tychona Brahe (1546–1601) oraz ich analizę przeprowadzoną przez Johannesa Keplera (1571–1630) i Galileusza (1564–1642). Kepler pokazał, że planety poruszają się po elipsach (pierwsze z jego praw omawiane w podrozdziale Prawa Keplera ), a Robert Hooke (1635–1703) (ten sam, który sformułował prawo Hooke’a dotyczące sprężystości) intuicyjnie zasugerował, że ruchy te wynikają z przyciągania planet przez Słońce. Jednak to Isaac Newton (1642–1727) powiązał przyspieszenie ciał w pobliżu powierzchni Ziemi z przyspieszeniem dośrodkowym Księżyca na orbicie okołoziemskiej. Na koniec w podrozdziale Teoria grawitacji Einsteina , przyjrzymy się teorii względności zaproponowanej przez Alberta Einsteina (1879–1955) w 1916 roku. Jego teoria wywodzi się z zupełnie innego podejścia, w którym grawitacja wynika z faktu, że masa zakrzywia czas i przestrzeń. W konsekwencji jego teoria dała początek wielu niezwykłym przewidywaniom, z których zasadniczo wszystkie zostały potwierdzone w ciągu wielu dziesięcioleci po jej opublikowaniu (jednym z tych przewidywań jest także detekcja fal grawitacyjnych, pochodzących z połączenia się dwóch czarnych dziur w roku 2015). Prawo powszechnego ciążenia Newton zauważył, że ciała przy powierzchni Ziemi (znajdujące się w odległości R Z od środka Ziemi) spadają swobodnie z przyspieszeniem g a przyspieszenie dośrodkowe Księżyca, znajdującego się w odległości około 60 R Z , jest około 60 2 razy mniejsze niż g . Mógł to wyjaśnić zakładając, że pomiędzy dowolnymi dwoma ciałami istnieje siła, której wartość jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał, podzielonego przez kwadrat odległości między nimi. Dzisiaj wiemy, że odwrotna proporcjonalność do kwadratu odległości jest powszechna w przyrodzie dla źródeł punktowych. Siła, pochodząca od dowolnego źródła punktowego, rozkłada się równomiernie na powierzchni kuli o promieniu r , której środek znajduje się w punkcie, w którym zlokalizowane jest źródło. Powierzchnia tej kuli jest proporcjonalna do r 2 . W późniejszych rozdziałach zobaczymy tę samą zależność od odległości dla elektrostatycznej siły kulombowskiej. Prawo powszechnego ciążenia Prawo powszechnego ciążenia (ang. Newton’s law of universal gravitation ) można wyrazić jako F → 12 = G m 1 m 2 r 2 r ^ 12 , gdzie F → 12 jest siłą działająca na ciało 1 ze strony ciała 2, G jest stałą grawitacji, m 1 jest masą ciała 1, m 2 jest masą ciała 2, r jest odległością między tymi ciałami, a r ^ 12 jest wektorem jednostkowym o zwrocie skierowanym od ciała 1 do ciała 2. Jak widać na , wektor F → 12 jest skierowany od ciała 1 do ciała 2 i reprezentuje siłę przyciągania między ciałami. Równy co do wartości, ale o przeciwnym zwrocie, wektor F → 21 reprezentuje siłę grawitacji wywieraną na ciało 2 przez ciało 1. Siła grawitacji działająca wzdłuż prostej łączącej środki mas dwóch ciał. Te dwie równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane siły odzwierciedlają trzecią zasadę dynamiki Newtona, która była omawiana wcześniej. Należy zwrócić uwagę, że ściślej rzecz ujmując, odnosi się do mas punktowych — cała masa zlokalizowana jest w jednym punkcie. Jednak wzór ten można zastosować także do dowolnych ciał o symetrii sferycznej, gdzie r jest odległością między środkami mas tych ciał. W wielu przypadkach równanie to można zastosować także dla niesymetrycznych ciał, jeśli tylko odległość między nimi jest wystarczająco duża w porównaniu do ich rozmiarów. Wówczas można przyjąć, że r jest odległością między środkami mas tych ciał. W takim przypadku ciała te możemy traktować jak obiekty punktowe. Doświadczenie Cavendisha Prawie wiek później, po tym jak Newton ogłosił prawo powszechnego ciążenia, Henry Cavendish (1731–1810) wyznaczył stałą proporcjonalności G , przeprowadzając żmudny eksperyment. Skonstruował on urządzenie podobne do przedstawionego na . W stanie równowagi, dwie sztywno zamocowane duże masy umieszczone są symetrycznie w pobliżu dwóch mniejszych mas zawieszonych na skrętnej nici. Przyciąganie grawitacyjne między masami powoduje skręcenie nici, którego wartość można zmierzyć. Stała G nazywana jest uniwersalną stałą grawitacji (ang. universal gravitational constant ), a jej wartość wyznaczona przez Cavendisha wynosi G = 6,67 ⋅ 10 − 11 N ⋅ m 2 / k g 2 . Określenie „uniwersalna” bierze się stąd, że naukowcy uważają, iż stała ta odnosi się do wszystkich mas niezależnie od ich składu oraz że ma ona tę samą wartość w całym Wszechświecie. Wartość stałej G jest niezwykle mała, co świadczy o tym, że siła grawitacji jest bardzo słaba. Siła przyciągania między ciałami o masie tak małej jak nasze ciała, czy nawet budynki, jest nieprawdopodobnie mała. Na przykład dwa ciała o masie 1 kg oddalone od siebie o 1 metr oddziałują na siebie siłą 6,7 ⋅ 10 − 11 N . Jest to ciężar typowego ziarnka pyłku kwiatowego. Cavendish wykorzystywał urządzenie podobne do przedstawionego na rysunku, aby zmierzyć przyciąganie grawitacyjne między dwiema kulami ( m ), powieszonymi na skrętnej nici i dwiema nieruchomymi kulami ( M ). Jest to typowy eksperyment przeprowadzany w laboratoriach studenckich. Wbrew pozorom jest on jednak dość wymagający. Pojazdy przejeżdżające na zewnątrz laboratorium mogą powodować wibracje, które skutecznie zakłócą pomiar siły grawitacji. Pomimo że grawitacja jest najsłabszą z czterech podstawowych sił przyrody, jej działanie utrzymuje nas na Ziemi, powoduje ruch planet po orbitach wokół Słońca, ruch Słońca wokół środka masy naszej galaktyki oraz łączy od kilku milionów galaktyk w gromady galaktyk. Grawitacja jest siłą formującą Wszechświat. Strategia rozwiązywania zadań: prawo powszechnego ciążenia Aby określić ruch powodowany przez siłę grawitacji, wykonaj następujące kroki: Określ dwie masy, pomiędzy którymi chcesz znaleźć siłę grawitacji. Narysuj rysunek, zaznaczając siły działające na każde z ciał i oznacz odległość między ich środkami mas. Zastosuj drugą zasadę dynamiki Newtona do każdej z mas, aby wyznaczyć, w jaki sposób będą się one poruszać. Zderzenie na orbicie Rozważmy przypadek dwóch prawie sferycznych pojazdów kosmicznych znajdujących się na pewnej orbicie wokół Ziemi, każdy o masie 9000 kg i średnicy 4 m. Początkowo znajdują się one w spoczynku względem siebie, a odległość między ich środkami mas wynosi 10 m. (Jak zobaczymy w podrozdziale Prawa Keplera , oba pojazdy orbitują wokół Ziemi z tą samą prędkością i oddziałują ze sobą prawie tak samo, jakby znajdowały się w przestrzeni kosmicznej). Wyznacz siłę grawitacji działającą między nimi i ich przyspieszenie początkowe. Oszacuj przez jaki czas będą one dryfować razem, i jak szybko będą poruszać się w momencie zderzenia. Strategia rozwiązania Skorzystamy z prawa powszechnego ciążenia, by wyznaczyć siłę działającą między nimi, a następnie użyjemy drugiej zasady dynamiki Newtona, by znaleźć przyspieszenie każdego z pojazdów. Do oszacowania założymy, że ich przyspieszenie jest stałe i użyjemy równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego z rozdziału Ruch prostoliniowy , aby znaleźć czas trwania ruchu i ich prędkość w momencie kolizji. Rozwiązanie Wartość siły grawitacji między pojazdami wynosi: | F → 12 | = F 12 = G m 1 m 2 r 2 = 6,67 ⋅ 10 − 11 N ⋅ m 2 k g ⋅ 9000 k g ⋅ 9000 k g ( 10 m ) 2 = 5,4 ⋅ 10 − 5 N . Przyspieszenie początkowe każdego z pojazdów wynosi: a = F m = 5,4 ⋅ 10 − 5 N 9000 k g = 6 ⋅ 10 − 9 m s 2 . Średnica pojazdów wynosi 4 m, więc pojazdy przemieszczają się od odległości 10 m do 4 m ku sobie, czyli każdy z nich przebywa dystans 3 m. Analogiczne obliczenia do przeprowadzonych powyżej, gdy pojazdy oddalone są od siebie o 4 m, dają wartość przyspieszenia wynoszącą 3,8 ⋅ 10 − 8 m / s 2 , a więc średnia tych dwóch wartości wynosi 2,2 ⋅ 10 − 8 m / s 2 . Zakładając stałe przyspieszenie o takiej wartości oraz przyjmując prędkość początkową pojazdów względem siebie równą zero, to pojazdy zderzą się z prędkością daną równaniem: v 2 = v 0 2 + 2 a ( x − x 0 ) , gdzie v 0 = 0 m / s , więc: v = 2 ⋅ 2,2 ⋅ 10 − 8 m s 2 ⋅ 3 m = 3,6 ⋅ 10 − 4 m s . Następnie, korzystając z równania v = v 0 + a t , znajdujemy t = v / a = 1,63 ⋅ 10 4 s , czyli około 4,6 godziny. Znaczenie Powyższe obliczenia, włączając wyznaczoną na początku siłę grawitacji, mają charakter jedynie szacunkowy, gdyż pojazdy tylko w przybliżeniu są sferycznie symetryczne. Uwidaczniają one jednak fakt, że siła ta jest niewiarygodnie mała. Astronauci podczas prac w przestrzeni kosmicznej, nawet na obiekcie tak masywnym jak Międzynarodowa Stacja Kosmiczna (ang. International Space Station (ISS) ), muszą być z nią stale połączeni, jak pokazuje . Przyciąganie grawitacyjne nie mogłoby uchronić astronauty przed odlotem w otwartą przestrzeń kosmiczną, nawet przy najmniejszym, przypadkowym odepchnięciu się od stacji. Zdjęcie pokazuje Edwarda White’a przywiązanego do statku podczas spaceru kosmicznego w trakcie misji Gemini 4. (Źródło: NASA) Sprawdź, czy rozumiesz. Co dzieje się z siłą grawitacji i przyspieszeniem w trakcie, gdy pojazdy spadają na siebie? Czy oszacowana przez nas prędkość w momencie kolizji będzie większa czy mniejsza? Co się stanie, jeśli masy pojazdów nie będą identyczne? Czy wówczas siły grawitacji działające między pojazdami będą takie same czy różne? A ich przyspieszenie – będzie takie samo czy inne? Siła grawitacji działająca na każdy z pojazdów ze strony drugiego wzrasta, z odwrotnością kwadratu odległości między nimi, gdy zbliżają się do siebie. Podobnie dzieje się z przyspieszeniem. Na przykład, jeżeli odległość między pojazdami zmniejszy się o połowę, siła grawitacji i przyspieszenie wzrosną czterokrotnie. Nasza średnia jest dokładna tylko dla liniowo rosnącego przyspieszania, podczas gdy przyspieszenie w rzeczywistości rośnie szybciej. Więc oszacowana przez nas prędkość jest zaniżona. Z trzeciego prawa dynamiki Newtona wynika, że siły grawitacji między dowolnymi dwoma ciałami muszą być takie same (akcja = reakcja). Natomiast przyspieszenie każdego z ciał byłoby różne, w przypadku gdyby miały one różne masy. Oddziaływanie grawitacyjne między dwoma ciałami o masach porównywalnych z masą pojazdów kosmicznych jest naprawdę niewielkie. Jednak wpływ grawitacji, jaki Ziemia wywiera na ciebie, jest na tyle istotny, że upadek na ziemię nawet z wysokości tylko kilku metrów może być niebezpieczny. W następnym podrozdziale przyjrzymy się sile grawitacji przy powierzchni Ziemi. Przyciąganie grawitacyjne pomiędzy galaktykami Wyznacz przyspieszenie naszej galaktyki, Drogi Mlecznej , wynikające z obecności najbliższej nam galaktyki o podobnych rozmiarach, galaktyki Andromedy ( ). Przybliżona masa każdej z galaktyk wynosi 800 miliardów mas Słońca, a odległość między nimi wynosi 2,5 miliona lat świetlnych. (Zauważ, że masa galaktyki Andromedy nie jest tak dobrze znana. Uważa się, że jej masa jest nieco większa niż masa naszej galaktyki.) Każda z tych galaktyk ma średnicę wynoszącą w przybliżeniu 100 000 lat świetlnych ( 1 rok świetlny = 9,5 ⋅ 10 15 m ) . Galaktyki oddziałują grawitacyjnie na ogromnych odległościach. Galaktyka Andromedy jest galaktyką spiralną położoną najbliżej Drogi Mlecznej. Galaktyki te zbliżają się do siebie i w przyszłości dojdzie do ich zderzenia. (Źródło: Boris Štromar) Strategia rozwiązania Podobnie jak w poprzednim przykładzie skorzystamy z prawa powszechnego ciążenia, aby wyznaczyć siłę przyciągania grawitacyjnego między tymi galaktykami, a następnie wykorzystamy drugą zasadę dynamiki Newtona, aby obliczyć przyspieszenie Drogi Mlecznej. Obie galaktyki możemy traktować jako masy punktowe, gdyż odległość miedzy nimi jest 25 razy większa niż ich rozmiary. Masa Słońca (patrz Dodatek D ) wynosi 2 ⋅ 10 30 k g . Rok świetlny to jednostka odległości stosowana w astronomii równa odległości, jaką światło pokonuje w próżni w czasie jednego roku, wynosząca 9,5 ⋅ 10 15 m . Rozwiązanie Wartość siły grawitacji wynosi: F 12 = G m 1 m 2 r 2 = 6,67 ⋅ 10 − 11 N ⋅ m 2 k g 2 ⋅ ( 800 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 30 k g ) 2 ( 2,5 ⋅ 10 6 ⋅ 9,5 ⋅ 10 15 m ) 2 = 3 ⋅ 10 29 N . Przyspieszenie Drogi Mlecznej jest równe: a = F m = 3 ⋅ 10 29 N 800 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 30 k g = 1,9 ⋅ 10 − 13 m s 2 . Znaczenie Czy ta wartość przyspieszenia nie wydaje ci się zadziwiająco mała? Jeśli początkowo galaktyki były względem siebie w spoczynku, to będą przyspieszały bezpośrednio w swoim kierunku, w punkcie odpowiadającym środkowi masy galaktyk. Oszacujmy czas, po jakim dojdzie do zderzenia. Początkowe przyspieszenie jest rzędu ~ 10 −13 m/s 2 stąd na podstawie wzoru v = a t możemy zobaczyć, że każda z galaktyk potrzebuje ~ 10 13 s , aby osiągnąć prędkość 1 m/s , a wówczas zbliżą się one do siebie tylko o − 0,5 ⋅ 10 13 m . Jest to odległość o dziewięć rzędów mniejsza niż początkowa odległość między nimi. W rzeczywistości takie ruchy galaktyk są bardziej złożone. Wymienione dwie galaktyki, wraz z około 50 innymi mniejszymi galaktykami, są związane grawitacyjnie w lokalną gromadę galaktyk. Nasza lokalna gromada galaktyk jest związana grawitacyjnie z innymi gromadami galaktyk, tworząc tzw. supergromadę galaktyk. Wszystko to jest częścią wielkiego kosmicznego tańca, który pokazano na , a jego przyczyną jest grawitacja. Według obliczeń wykonanych w przykładzie oraz na podstawie obserwacji Wszechświata prowadzonych przez astronomów, nasza galaktyka zderzy się z galaktyką Andromedy za około 4 miliardy lat. (Źródło: NASA) Podsumowanie Wszystkie ciała przyciągają się ku sobie dzięki sile grawitacji, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy nimi. Sferycznie symetryczne ciała można traktować tak, jakby cała ich masa była zlokalizowana w ich środku. Niesymetryczne ciała można traktować tak, jakby ich cała masa była skoncentrowana w ich środku masy, pod warunkiem, że ich odległość od innych ciał jest duża w porównaniu z ich rozmiarami. Pytania Działanie na odległość, jakie występuje w przypadku grawitacji, było kiedyś uważane za nielogiczne, a zatem nieprawdziwe. Co jest ostatecznym wyznacznikiem prawdy w nauce i dlaczego oddziaływanie na odległość ostatecznie zaakceptowano? Za ostateczny wyznacznik prawdy uznaje się zgodność z doświadczeniem. Teoria pola została opracowana, aby wyjaśnić, w jaki sposób siła wywierana jest przez ciała niebędące w fizycznym kontakcie. Dotyczy to zarówno siły grawitacji, jak i sił elektrostatycznych oraz magnetycznych, które oddziałują z prędkością światła. Dopiero od XX wieku jesteśmy w stanie stwierdzić, że oddziaływanie nie jest przekazywane natychmiastowo. W prawie powszechnego ciążenia Newtona zakłada się, że siła jest wprost proporcjonalna do iloczynu dwóch mas ( ~ m 1 m 2 ). Chociaż wszystkie założenia naukowe muszą być doświadczalnie zweryfikowane, to czy można podać argumenty, dlaczego tak musi być? (Możesz rozważyć proste przykłady, w których jakakolwiek inna postać tego prawa prowadziłaby do sprzecznych wyników). Zadania Oblicz wartość siły grawitacji występującej pomiędzy dwiema sferycznymi, stalowymi kulkami, z których każda ma masę 5 kg, a ich środki oddalone są od siebie o 15 cm. 7,4 ⋅ 10 − 8 N Oblicz siłę grawitacji pomiędzy dwoma zapaśnikami sumo o masach 220 kg i 240 kg, gdy są oni zwarci w uścisku i środki ich mas są oddalone od siebie o 1,2 m. Astrologowie przywiązują dużą wagę do położenia planet w momencie urodzenia dziecka. Jedyną znaną siłą, jaką inne planety wywierają na Ziemię jest siła grawitacji. Oblicz siłę grawitacji, jaką wywiera ojciec obecny przy porodzie swojego dziecka, stojąc 0,2 m od niego w momencie urodzenia. Przyjmij masę ojca wynoszącą 100 kg, a noworodka 4,2 kg. Oblicz, z jaką siłą oddziałuje wówczas na dziecko Jowisz, przyjmując, że jest on akurat najbliżej Ziemi, a więc jego odległość od noworodka wynosi 6,29 ⋅ 10 11 m . Masa Jowisza wynosi m J = 1,9 ⋅ 10 27 k g . Jaki jest stosunek siły grawitacji wywieranej na dziecko przez ojca, w porównaniu do tej wywieranej przez Jowisza? Zauważ, że także inne obiekty w pokoju i budynku szpitala oddziałują na dziecko z siłą grawitacji o podobnej wartości jak ojciec. (Z przymrużeniem oka: oczywiście, może istnieć nieodkryta dotąd siła, która wywiera oddziaływanie na noworodki. Jednak naukowcy najpierw muszą się przekonać, że istnieją jakieś jej skutki, oraz że, to właśnie ta nieznana siła je wywołuje). a. F o = 7,01 ⋅ 10 − 7 N b. F J = 1,35 ⋅ 10 − 6 N F o F J = 0,521 Góra znajdująca się w odległości 10 km od turysty oddziałuje na niego siłą grawitacji równą co do wartości 2% jego ciężaru. Oblicz masę góry. Porównaj otrzymaną wartość masy góry z masą Ziemi. Czy otrzymany wynik jest racjonalny? Jakie założenia są nieracjonalne lub niespójne? (Zauważ, że dokładne pomiary mogą stosunkowo łatwo wykryć wpływ pobliskich gór i zmian lokalnej geologii na siłę grawitacji). Międzynarodowa Stacja Kosmiczna ma masę około 370 000 kg. Jaka jest wartość siły grawitacji z jaką przyciąga ona ubranego w skafander kosmiczny astronautę o masie 150 kg, znajdującego się w odległości 20 m od jej środka masy? Uważasz, że obliczona przez ciebie wartość siły jest dokładna? Źródło ilustracji: ©ESA–David Ducros 9,25 ⋅ 10 − 6 N ; Wartość ta jest mało dokładna, gdyż Międzynarodowa Stacja Kosmiczna nie jest symetryczna, a już tym bardziej nie ma symetrii sferycznej. Asteroida Toutatis przeleciała w pobliżu Ziemi w 2006 roku, w odległości równej czterokrotnej odległości między Ziemią a Księżycem. Było to najbliższe zbliżenie się tej asteroidy do Ziemi, z jakim będziemy mieli do czynienia aż do 2069 roku. Oblicz z jaką siłą oddziaływała ona na Ziemię w chwili największego zbliżenia? Przyjmij masę asteroidy równą 5 ⋅ 10 13 k g . Ile wynosiło przyspieszenie Ziemi spowodowane przelotem asteroidy Toutatis (patrz poprzednie zadanie) podczas ich największego zbliżenia? Ile wynosiło wówczas przyspieszenie asteroidy Toutatis wywołane przez Ziemię? 1,41 ⋅ 10 − 15 m / s 2 ; 1,69 ⋅ 10 − 4 m / s 2 prawo powszechnego ciążenia (ang. Newton’s law of gravitation ) każde dwa ciała przyciągają się siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości pomiędzy nimi, wzdłuż prostej łączącej środki ich mas uniwersalna stała grawitacji (ang. universal gravitational constant ) stała reprezentująca wielkość oddziaływania grawitacyjnego, której wartość uważana jest za niezmienną w całym Wszechświecie

Science


Grawitacja przy powierzchni Ziemi W tym podrozdziale pokażemy, w jaki sposób stosuje się prawo powszechnego ciążenia na powierzchni planety i jak łączy się ono z tym, czego dowiedzieliśmy się wcześniej o spadku swobodnym. Zbadamy także efekty grawitacyjne wewnątrz ciał kulistych. Ciężar ciała Przypomnijmy, że przyspieszenie swobodnie spadających ciał przy powierzchni Ziemi wynosi około g = 9,8 m/s 2 . Siła, która jest źródłem tego przyspieszenia, nazywana jest siłą ciężkości lub potocznie ciężarem ciała. Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona ma ona wartość m g . Siła ta występuje niezależnie od tego, czy ciało spada swobodnie, czy nie. Teraz już wiemy, że ciężar jest to siła grawitacji działająca pomiędzy ciałem o masie m i Ziemią. Podstawiając m g w miejsce wartości siły F → 12 w prawie powszechnego ciążenia, m za m 1 oraz M Z za m 2 , otrzymujemy równanie: m g = G m M Z r 2 , gdzie r jest odległością między środkiem masy Ziemi i danego ciała. Średni promień Ziemi wynosi około 6370 km. W związku z tym dla ciał znajdujących się kilka kilometrów nad powierzchnią Ziemi możemy przyjąć r = R Z ( ). Masa ciała m skraca się po obu stronach równania, dając: g = G M Z r 2 . Równanie to tłumaczy, dlaczego wszystkie ciała spadają na Ziemię z tym samym przyspieszeniem, niezależnie od ich masy. Zignorowaliśmy fakt, że także Ziemia uzyskuje pewne przyspieszenie w kierunku spadającego na nią ciała, jednak uproszczenie to jest poprawne, jeśli tylko masa ciała jest zaniedbywalna w porównaniu z masą Ziemi. Możemy przyjąć, że odległość między środkiem masy Ziemi i obiektem na jej powierzchni jest równa promieniowi Ziemi pod warunkiem, że rozmiar tego obiektu jest dużo mniejszy niż promień Ziemi. Masa Ziemi i Księżyca Czy zastanawiałeś się kiedykolwiek, w jaki sposób wyznaczono masę Ziemi? Na pewno nie można jej po prostu położyć na wadze. Wartość przyspieszenia ziemskiego g oraz promień Ziemi zostały zmierzone dość precyzyjnie wieki temu. Korzystając ze znanych wartości g , R Z i , wyznacz masę Ziemi. Określ wartość przyspieszenia grawitacyjnego g na Księżycu. Skorzystaj ze znanej długości promienia Księżyca równej 1700 km (wartość ta także została wyznaczona z dużą dokładnością wieki temu) i załóż, że Księżyc ma taką samą średnią gęstość jak Ziemia, wynoszącą 5500 kg/m 3 . Strategia rozwiązania Znając wartość przyspieszenia ziemskiego g i promień Ziemi R Z , możemy użyć do wyznaczenia masy Ziemi M Z . Aby wyznaczyć przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu musimy znać jego masę. Do wyznaczenia masy Księżyca wykorzystamy założenie o równej średniej gęstości Ziemi i Księżyca oraz związku między stosunkiem mas a stosunkiem promieni Ziemi i Księżyca. Rozwiązanie Przekształcając , otrzymujemy: M Z = g R Z 2 G = 9,8 m / s 2 ⋅ ( 6,37 ⋅ 10 6 m ) 2 6,67 ⋅ 10 − 11 N ⋅ m 2 / k g 2 = 5,95 ⋅ 10 24 k g . Objętość kuli jest proporcjonalna do sześcianu jej promienia, więc, korzystając z definicji gęstości, otrzymujemy proporcję: M K M Z = R K 3 R Z 2 → M K = ( 1,7 ⋅ 10 6 m ) 3 ( 6,37 ⋅ 10 6 m ) 3 ⋅ 5,95 ⋅ 10 24 k g = 1,1 ⋅ 10 23 k g . Następnie, używając =, możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu: g K = G M K R K 2 = 6,67 ⋅ 10 − 11 N ⋅ m 2 k g 2 ⋅ 1,1 ⋅ 10 23 k g ( 1,7 ⋅ 10 6 m ) 2 = 2,5 m s 2 . Znaczenie Kiedy w 1798 roku Cavendish wyznaczył wartość stałej grawitacji G , można było obliczyć masę Ziemi. (W rzeczywistości był to ostateczny cel eksperymentu Cavendisha). Wyznaczona powyżej wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu jest nieprawidłowa. W rzeczywistości średnia gęstość Księżyca wynosi jedynie 3340 kg/m 3 , a w związku z tym przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni ma wartość g K = 1,6 m / s 2 . Newton próbował zmierzyć masę Księżyca przez porównanie wpływu Słońca z wpływem Księżyca na pływy oceaniczne występujące na Ziemi. Otrzymana przez niego wartość była jednak dwukrotnie zaniżona. Najdokładniejsze wartości przyspieszenia grawitacyjnego i masy Księżyca pochodzą z obserwacji ruchu statków kosmicznych, które orbitowały wokół Księżyca. Masa Księżyca może jednak być określona precyzyjnie, bez konieczności podróży na niego. Ziemia i Księżyc poruszają się wokół wspólnego środka masy, a dokładne pomiary astronomiczne pozwalają określić jego lokalizację. Stosunek masy Księżyca do masy Ziemi jest równy stosunkowi odległości między ich wspólnym środkiem masy, a środkiem Księżyca do odległości między ich środkiem masy, a środkiem Ziemi. W dalszej części rozdziału zobaczymy, że także masa innych ciał niebieskich może zostać wyznaczona na podstawie pomiaru okresu obiegających je satelitów. Jednak zanim Cavendish wyznaczył wartość stałej grawitacji G , masy wszystkich ciał niebieskich były nieznane. Grawitacja ponad powierzchnią Ziemi Ile wynosi wartość g na wysokości 400 km ponad powierzchnią Ziemi, na której orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna? Strategia rozwiązania Na podstawie wartości M Z oraz podstawiając w tym wypadku r = R Z + 400 k m , użyjemy , by obliczyć wartość g . Z otrzymujemy: g = G M Z r 2 = 6,67 ⋅ 10 − 11 N ⋅ m 2 k g 2 ⋅ 5,96 ⋅ 10 34 k g ( 6,37 ⋅ 10 6 m + 400 ⋅ 10 3 m ) 2 = 8,67 m s 2 . Znaczenie Często możemy zobaczyć filmy, na których astronauci na stacji kosmicznej znajdują się pozornie w stanie nieważkości, chociaż oczywiście działa na nich siła grawitacji. Porównując obliczoną właśnie wartość g z wartością przyspieszenia ziemskiego na powierzchni Ziemi ( 9,8 m/s 2 ), zauważymy, że astronauci na Międzynarodowej Stacji Kosmicznej nadal mają 88% swojego ciężaru. Wydaje się jedynie, że znajdują się oni w stanie nieważkości, ponieważ w rzeczywistości spadają oni swobodnie. Powrócimy do tej kwestii w podrozdziale Orbity satelitów i ich energia . Sprawdź, czy rozumiesz. Jak zmieni się twój ciężar na ostatnim piętrze drapacza chmur w porównaniu do tego, jaki masz na jego pierwszym piętrze? Czy uważasz, że inżynierowie muszą brać pod uwagę zmianę wartości g podczas projektowania wysokich budynków? Nawet najwyższe budynki na świecie mają wysokość mniejszą niż 1 km. Wartość g jest proporcjonalna do kwadratu odległości od środka Ziemi. Z prostej proporcji możemy obliczyć, że zmiana g na wysokości 1 km ponad powierzchnią Ziemi jest mniejsza niż 0,0001% w stosunku do wartości przy samej powierzchni naszej planety. W związku z tym nie ma potrzeby uwzględniać tej zmiany przy projektowaniu konstrukcji wysokich budynków. Pole grawitacyjne jest równaniem skalarnym, określającym zależność wartości przyspieszenia grawitacyjnego jako funkcję odległości od środka masy ciała, będącego źródłem tego przyspieszenia. Możemy jednak zachować postać wektorową siły grawitacji w , i zapisać przyspieszenie w postaci wektorowej jako: g → = G M r 2 r ^ . Określamy wówczas pole wektorowe reprezentowane przez wektor g → jako pole grawitacyjne (ang. gravitational field ), którego źródłem jest masa M . Możemy przedstawić to pole tak, jak pokazano na . Linie na rysunku są skierowane wzdłuż promienia w kierunku źródła pola grawitacyjnego i są symetrycznie rozmieszczone wokół masy. Trójwymiarowa reprezentacja pola grawitacyjnego wokół masy M . Należy pamiętać, że linie są równomiernie rozłożone we wszystkich kierunkach. (Sześcian został dodany jedynie w celu ułatwienia wizualizacji.) Podobnie jak w przypadku dowolnego pola wektorowego, kierunek wektora g → w każdym punkcie jest równoległy do linii pola grawitacyjnego, a jego długość w każdym z punktów jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między tymi liniami. Inaczej mówiąc, wartość pola w każdym obszarze jest proporcjonalna do liczby linii pola, które przechodzą przez jednostkową powierzchnię, czyli do gęstości linii pola. Ponieważ linie te są równomiernie rozmieszczone we wszystkich kierunkach (jednorodne pole centralne), to ich liczba na jednostkę powierzchni w odległości r od ciała jest równa całkowitej liczbie linii sił pola, podzielonej przez pole powierzchni kuli o promieniu r , które z kolei jest proporcjonalne do r 2 . Dlatego też powyższy rysunek doskonale obrazuje prawo odwrotności kwadratów, a dodatkowo wskazuje kierunek pola. Przedstawiając pole w taki sposób, mówimy, że masa m oddziałuje z polem grawitacyjnym, którego źródłem jest masa M . Koncepcja pól będzie bardzo pomocna w późniejszych rozdziałach dotyczących elektromagnetyzmu. Ciężar pozorny: wykazanie ruchu obrotowego Ziemi W podrozdziale Zastosowania praw Newtona dowiedzieliśmy się, że na ciała poruszające się ze stałą prędkością po okręgu działa przyspieszenie dośrodkowe, skierowane wzdłuż promienia w kierunku środka tego okręgu. Oznacza to, że musi istnieć wypadkowa siła skierowana do środka okręgu. Ponieważ wszystkie ciała na powierzchni Ziemi poruszają się po okręgu z okresem wynoszącym 24 godziny, to musi istnieć wypadkowa siła dośrodkowa, działająca na każde z nich skierowana w kierunku środka tego okręgu. O sile dośrodkowej, a nie odśrodkowej, mówimy tylko wtedy, gdy obserwator zewnętrzny, nie znajdujący się na Ziemi, stwierdza, że tą siłą dośrodkową jest w istocie realna siła grawitacji. O sile i przyspieszeniu odśrodkowym może mówić obserwator znajdujący się na Ziemi, czyli odczuwający siłę odśrodkową bezwładności. Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy ciało o masie m znajduje się na równiku i jest zawieszone na wadze sprężynowej ( ). Na ciało działa siła F → s skierowana w górę od środka Ziemi. Waga sprężynowa wskazuje wartość tej siły, zwanej pozorną siłą ciężkości lub ciężarem pozornym ciała. Siła ciężkości ( m g ) skierowana jest w kierunku środka Ziemi. Gdyby Ziemia się nie obracała, to przyspieszenie dośrodkowe byłoby równe zero i w konsekwencji także wypadkowa siła dośrodkowa byłaby równa zero, a w rezultacie otrzymalibyśmy F s = m g . Takie byłoby wówczas wskazanie wagi. Na równiku przyspieszenie dośrodkowe a d ma ten sam kierunek co siła grawitacji. Na szerokości geograficznej φ , kąt pomiędzy a d a siłą grawitacji jest równy φ . Wartość a d maleje ze wzrostem szerokości geograficznej, jak funkcja cos φ . W przypadku obracającej się Ziemi, suma tych sił musi zapewnić występowanie przyspieszenia dośrodkowego a d . Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona, otrzymujemy: ∑ F = F s − m g = m a d , gdzie a d = − v 2 r . Należy zwrócić uwagę, że przyspieszenie odśrodkowe a d , odczuwane przez obserwatora na Ziemi, ma ten sam kierunek i przeciwny zwrot niż siła ciężkości. Prędkość liniowa w ruchu po okręgu v jest prędkością ciała na równiku, a wtedy r jest równe R Z . Prędkość tę możemy łatwo obliczyć, zauważając, że ciała na równiku pokonują odległość równą obwodowi Ziemi w czasie 24 godzin. Użyjmy w tym celu alternatywnego wyrażenia na a d z podrozdziału Ruch w dwóch i trzech wymiarach . Przypomnijmy, że prędkość liniowa jest związana z prędkością kątową ω zależnością v = r ω . Stąd otrzymujemy a d = − r ω 2 . Przekształcając i podstawiając w miejsce r = R Z , pozorna siła ciężkości na równiku wynosi: F s = m ( g − R Z ω 2 ) . Prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi jest taka sama na całej jej powierzchni i wynosi: ω = 2 π r a d 24 ⋅ 3600 s = 7,27 ⋅ 10 − 5 r a d s . Podstawiając wartości w miejsce R Z oraz ω , otrzymujemy wartość przyspieszenia odśrodkowego, odczuwanego przez obserwatora na Ziemi, która wynosi R Z ω 2 = 0,0337 m / s 2 . Stanowi ono jedynie 0,34% wartości przyspieszenia grawitacyjnego, więc jest to naprawdę niewielka poprawka. Pozorna siła ciężkości równa zero Jak szybko Ziemia musiałaby się kręcić, aby wartość pozornej siły ciężkości działającej na ciała na równiku była równa zero? Jak długo trwałby wówczas dzień? Strategia rozwiązania Do podstawimy wartość ciężaru pozornego ( F s ) równą zero i wyznaczymy odpowiadającą temu wartość przyspieszenia odśrodkowego. Stąd wyznaczymy prędkość liniową, jaką miałyby wówczas ciała na ziemskim równiku. Następnie wyznaczymy długość dnia, wiedząc, że jest to czas potrzebny na jeden pełny obrót Ziemi. Rozwiązanie Z mamy ∑ F = F s − m g = m a d , zakładając F s = 0 , otrzymujemy g = a d . Używając wyrażenia na a d i podstawiając wartości promienia Ziemi i przyspieszenia ziemskiego dostajemy: a d = v 2 r = g v = g r = 9,80 m / s 2 ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 m = 7,91 ⋅ 10 3 m s . Okres obrotu Ziemi T jest to czas potrzebny na jeden pełny obrót Ziemi. W związku z tym prędkość liniowa ciała na równiku jest równa obwodowi okręgu, po którym porusza się ciało, czyli w tym przypadku obwodowi Ziemi, podzielonemu przez T . Dostajemy więc: v = 2 π r T T = 2 π r v = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 m 7,91 ⋅ 10 3 m / s = 5,06 ⋅ 10 3 s . Jest to czas około 84 minut. Znaczenie W dalszej części rozdziału zobaczymy, że wyznaczona tu wartości pierwszej prędkości kosmicznej v = g r = G M Z / R Z jest równa prędkości orbitalnej (tzw. pierwszej prędkości kosmicznej). Z uwagi na obecność atmosfery ziemskiej, a tym samym opór powietrza, ruch satelitów nie jest możliwy w pobliżu powierzchni Ziemi. Z pewnością mogą się one jednak poruszać już na wysokości kilkuset kilometrów nad Ziemią. Przypadek większych szerokości geograficznych Przy zbliżaniu się do biegunów a d → 0 i na samych biegunach F s = m g , tak samo jak w przypadku braku ruchu obrotowego Ziemi. Dla każdej innej szerokości geograficznej φ , sytuacja jest bardziej skomplikowana. Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane w kierunku zaznaczonego na rysunku punktu P , a wówczas promień okręgu r = R Z cos  φ . Suma wektorowa siły ciężkości i ciężaru pozornego musi być skierowana do punktu P . Różnica ta jest mała i znacznie wyolbrzymiona na rysunku. W konsekwencji siła F → s nie ma już kierunku wzdłuż promienia od środka Ziemi, lecz jest nieznacznie odchylona (niewidoczne na rysunku). Ciężarek zawieszony na linie będzie zawsze wyznaczał pion także wzdłuż tego odchylonego kierunku. Wszystkie budynki na Ziemi są ustawione także wzdłuż odchylonego kierunku, a nie wzdłuż promienia Ziemi. W przypadku najwyższych budynków odchylenie to na ich szczycie wynosi około 1 metra. Warto również zauważyć, że Ziemia nie jest idealną sferą. Jej wnętrze jest częściowo ciekłe, a to zwiększa wybrzuszenie Ziemi na równiku z powodu ruchu obrotowego. Promień Ziemi jest około 30 km większy w kierunku równika w porównaniu z kierunkiem do biegunów. Jako ćwiczenie pozostawiamy porównanie siły grawitacji na biegunach i na równiku za pomocą . Różnica wynikająca z innej długości promienia Ziemi jest porównywalna z różnicą wynikającą z ruchu obrotowego i ma taki sam znak. Wydaje się, że naprawdę można się „schudnąć” przenosząc się do tropików. Grawitacja z dala od powierzchni Zaczęliśmy nasze rozważania bez podania dowodu na to, że prawo powszechnego ciążenia ma zastosowanie do sferycznie symetrycznych ciał, gdzie można przyjąć, że cała masa takiego ciała zlokalizowana jest w jego środku. Ponieważ wywodzi się z , jest ono także poprawne dla sferycznie symetrycznie rozłożonej masy, ale oba równania są poprawne tylko dla r ≥ R Z . Jak widzieliśmy w , 400 km nad powierzchnią Ziemi, gdzie orbituje Międzynarodowa Stacja Kosmiczna, wartość g wynosi 8,67 m/s 2 . (Dalej zobaczymy, że jest to także wartość przyspieszenia dośrodkowego stacji, czyli takiego, które rejestruje obserwator będący z dala od stacji. Astronauta na stacji odczuwa takie samo co do wartości przyspieszenie, jednak jest ono skierowane na zewnątrz orbity i nazywa się przyspieszeniem odśrodkowym). Dla promienia r < R Z , i nie są poprawne. Jednak możemy wyznaczyć wartość g dla tych przypadków, korzystając z prawa Gaussa. Jest ono potężnym narzędziem matematycznym, które będziemy badać bardziej szczegółowo w dalszej części kursu. Konsekwencją zastosowania prawa Gaussa do grawitacji jest fakt, że tylko część masy ciała, znajdująca się wewnątrz kuli o promieniu r , jest źródłem siły grawitacji. Podobnie jak poprzednio możemy przyjąć, że ta część masy ciała także znajduje się w jego środku. Efekt grawitacyjny części masy ciała, znajdującej się na zewnątrz promienia r , znosi się. Występują tu dwa bardzo ciekawe przypadki szczególne. W przypadku kulistych planet o stałej gęstości, część ich masy zlokalizowanej wewnątrz promienia r jest równa gęstości pomnożonej przez objętość kuli o promieniu r . Masę tę można traktować jako zlokalizowaną w środku planety. Gdy podstawimy w miejsce M Z tylko tę jej część, która znajduje się wewnątrz kuli o promieniu r , wtedy M = ρ ⋅ ( objętość kuli ) i w miejsce R Z podstawiamy r , przybiera postać: g = G M Z R Z 2 = G ρ 4 3 π r 3 r 2 = 4 3 G ρ π r . Wartość przyspieszenia grawitacyjnego g , i w związku z tym także twój ciężar, malałyby liniowo w miarę zbiliżania się do środka dziury wydrążonej wydrążonej w kulistej planecie. Po dotarciu do jej środka byłbyś nieważki, ponieważ masa planety przyciągała by cię jednakowo we wszystkich kierunkach ku jej powierzchni. W rzeczywistości gęstość Ziemi nie jest stała, podobnie jak i cała Ziemia nie jest ciałem stałym. pokazuje zależność g wynikającą z prawa Gaussa, przy założeniu stałej gęstości Ziemi, oraz bardziej rzeczywistą zależność opartą na szacunkach gęstości Ziemi, pochodzących z danych sejsmicznych. Dla r < R Z , wartość przyspieszenia grawitacyjnego g w przypadku stałej gęstości przedstawiono za pomocą zielonej linii. Niebieska linia przedstawia profil g wyznaczony na podstawie sejsmologicznego modelu Ziemi, który jest bardziej zbliżony do rzeczywistego profilu przyspieszenia grawitacyjnego wewnątrz Ziemi. Drugi ciekawy przypadek dotyczy życia na planecie zbudowanej w formie kulistej powłoki. Ten scenariusz został zaproponowany w wielu opowiadaniach science fiction. Pomijając istotne problemy inżynierskie, powłoka może być zbudowana z zadanym promieniem i masie całkowitej dobranych tak, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego g na powierzchni powłoki jest taka sama jak na Ziemi. Czy wiesz, co by się stało, gdybyś zjeżdżał w windzie do wnętrza powłoki, gdzie nie byłoby żadnej masy między tobą i jej środkiem? Jakie korzyści wynikałyby z tego faktu, w przypadku podróżowania na duże odległości pomiędzy dwoma punktami na powierzchni powłoki? Jaki efekt by się pojawił, jeśli planeta by się obracała? Podsumowanie Ciężar ciała wynika z przyciągania grawitacyjnego między Ziemią i tym ciałem. Pole grawitacyjne jest reprezentowane przez linie pola grawitacyjnego. Określają one kierunek siły grawitacji, a odległość między liniami określa natężenie pola grawitacyjnego. Z powodu występowania przyspieszenia dośrodkowego, wynikającego z ruchu obrotowego Ziemi, ciężar pozorny i siła ciężkości są różne. Pytania Czy inżynierowie muszą uwzględniać ruch obrotowy Ziemi podczas budowania wysokich drapaczy chmur w przypadku, gdy nie są one zlokalizowane na równiku lub w pobliżu biegunów? Przyspieszenie dośrodkowe wynikające z ruchu obrotowego Ziemi nie jest skierowane równolegle do kierunku działania siły grawitacji. Dlatego prawidłowa linia pionu budynku nie jest skierowana w kierunku środka Ziemi równolegle do jej promienia. Jednak inżynierowie używają poziomic lub niwelatorów geodezyjnych, które reagują zarówno na działanie siły grawitacji, jak i siły dośrodkowej. Nie muszą więc zwracać szczególnej uwagi na to, w jakim punkcie na powierzchni Ziemi jest wznoszony budynek. Zadania (a) Oblicz masę Ziemi na podstawie znajomości przyspieszenia grawitacyjnego na biegunie północnym, wynoszącego 9,832 m/s 2 oraz długości promienia Ziemi na biegunie równego 6356 km. (b) Porównaj otrzymaną wartość z danymi podawanymi przez NASA, gdzie masa Ziemi wynosi 5,9726 ⋅ 10 24 k g . Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Księżyca? Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Marsa? Masa Marsa wynosi 6,418 ⋅ 10 23 k g , a jego promień ma długość 3,38 ⋅ 10 6 m . a. 1,62 m/s 2 ; b. 3,75 m/s 2 Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Słońca. Ile razy wzrósłby twój ciężar, gdybyś stanął na powierzchni Słońca? (Nieważne, że to niemożliwe). Masa ciała wynosi 15 kg. Ile wynosi jego ciężar na Ziemi? Ile wynosi jego ciężar na Księżycu? Ile wynosi jego masa na Księżycu? Ile wynosi jego ciężar w otwartej przestrzeni kosmicznej, z dala od jakichkolwiek ciał niebieskich? Ile wynosi jego masa w tym punkcie? a. 147 N; b. 25,5 N; c. 15 kg; d. 0; e. 15 kg Na pewnej planecie, której promień ma długość 1,2 ⋅ 10 7 m , przyspieszenie grawitacyjne wynosi 18 m/s 2 . Oblicz masę tej planety. Średnica Saturna wynosi 1,2 ⋅ 10 8 m , a jego średnia gęstość wynosi 0,69 g/cm 3 . Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Saturna. 12 m/s 2 Średnica Merkurego wynosi 4,88 ⋅ 10 6 m , a przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchi wynosi 3,78 m/s 2 . Oblicz masę Merkurego. Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni pewnej planety jest trzy razy większe niż na powierzchni Ziemi. Gęstość tej planety jest dwukrotnie większa niż gęstość Ziemi. Ile wynosi długość promienia tej planety, w stosunku do długości promienia Ziemi? 3 R Z / 2 Ciało na powierzchni pewnej planety waży 10 razy więcej niż na powierzchni Ziemi. Oblicz, jaki jest stosunek masy tej planety do masy Ziemi zakładając, że promień tej planety jest równy promieniowi Ziemi. ciężar pozorny (ang. apparent weight ) ciężar ciała z uwzględnieniem nieinercjalności układu odniesienia pole grawitacyjne (ang. gravitational field ) pole wektorowe, które otacza masę wytwarzająca to pole; pole jest reprezentowane przez linie pola, kierunek siły grawitacji jest styczny do linii pola, a wielkość (lub siła pola) jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między liniami pola; inne ciała reagują na przyspieszenie wytwarzane przez to pole

Science