Praca W fizyce praca (ang. work ) oznacza jedną z możliwych form energii. O pracy mówimy wtedy, gdy siła działająca na dane ciało powoduje jego przemieszczenie. Siła może zależeć od przemieszczenia, a przemieszczenie może następować na dowolnej drodze pomiędzy dwoma punktami. Na początku zdefiniujmy nieskończenie mały przyrost pracy (energii) d W związany z działaniem siły F → na nieskończenie małej drodze (odpowiadającej nieskończenie małemu przemieszczeniu) d r → . Wówczas możemy zapisać iloczyn skalarny tych dwóch wektorów w następujący sposób: d W = F → ⋅ d r → = | F → | | d r → | cos  θ . W celu wyznaczenia całkowitej wartości pracy działającej na całkowitej drodze, odpowiadającej całkowitemu przemieszczeniu, należy dodać do siebie wszystkie dyskretne wartości pracy odpowiadające nieskończenie małym przyrostom przemieszczenia. Praca wykonana przez działającą siłę Pracę całkowitą wyraża całka w postaci: W AB = ∫ droga A B F → ⋅ d r → . Wektory odpowiedzialne za wykonanie pracy przedstawiono na . Wektory związane z wykonaniem pracy pomiędzy punktami A i B . Nieskończenie mała wartość pracy może zostać wyznaczona jako iloczyn skalarny nieskończenie małego przemieszczenia oraz działającej siły. Najprościej jest zapisać w tym przypadku iloczyn skalarny jako iloczyn długości wektorów oraz cosinus kąta pomiędzy nimi. Oczywiście możemy równie dobrze rozpisać ten iloczyn za pomocą zależności z rozdziału Wektory . W prostokątnym układzie współrzędnych wykonamy to przy zastosowaniu współrzędnych kartezjańskich x i y , zaś we współrzędnych biegunowych użyjemy r i φ . Z kolei w układzie trójwymiarowym pracę trzeba będzie wyrazić za pomocą składowych x , y , z . Podsumowując, równanie dla dowolnej wykonywanej przez siłę pracy można zapisać za pomocą dowolnych składowych, gdyż z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, jaki układ wybierzesz. Wynik będzie zawsze taki sam. Przypomnijmy, że wartość wektora siły pomnożona przez cosinus kąta pomiędzy tym wektorem a kierunkiem przemieszczenia stanowi składową wektora siły w tym kierunku. Składowa ta może być dodatnia, ujemna bądź wynosić zero zależnie od kąta pomiędzy wektorem siły a kierunkiem przemieszczenia. W rezultacie praca również może przyjmować wartości dodatnie, ujemne bądź być równa zero zależnie od kierunku przyłożenia siły i jej zwrotu. Maksymalna praca jest wykonywana wtedy, kiedy wektor siły jest równoległy do wektora przemieszczenia ( cos θ = ± 1 ), a wynosi zero, kiedy jest on do przemieszczenia prostopadły ( cos θ = 0 ). Jednostka pracy może być zdefiniowana jako iloczyn jednostki siły (niutona) i przemieszczenia (metra), N ⋅ m . Jednostkę tę nazywamy dżulem (ang. joule ), oznaczamy ją literą J. Praca stałej siły oraz praca sił kontaktowych Najprostszym przypadkiem pracy jest praca wykonana przez siłę o stałej wartości, zwrocie i kierunku. W tym przypadku siłę jako stałą możemy wyciągnąć przed znak całki i wyliczyć całkę tylko z przemieszczenia, które jest zależne wyłącznie od punktu początkowego A i końcowego B , a nie od drogi, na której działała siła. Możemy zapisać takie równanie jako: W A B = F → ⋅ ∫ A B d r → = F → ⋅ ( r → B − r → A ) = | F → | | r → B − r → A | cos  θ . Można to również zapisać we współrzędnych kartezjańskich (przyjmując siłę jako stałą): W A B = ∫ droga A B F → ⋅ d r → = ∫ droga A B ( F x d x + F y d y + F z d z ) = F x ∫ A B d x + F y ∫ A B d y + F z ∫ A B d z = F x ( x B − x A ) + F y ( y B − y A ) + F z ( z B − z A ) = F → ⋅ ( r → B − r → A ) . (a) pokazuje osobę przykładającą stałą siłę F → do rączki kosiarki do trawy, która tworzy kąt θ z poziomem. Poziome przemieszczenie kosiarki jest równe d → . Praca wykonana przez kosiarkę jest równa W = F → ⋅ d → = F d cos  θ (wartość poziomej siły skalarnie pomnożona przez przemieszczenie). Praca siły stałej. (a) Osoba popycha kosiarkę ze stałą siłą. Składowa siły równoległa do przemieszczenia wykonuje pracę zgodnie z równaniem. (b) Osoba trzyma walizkę, nie wykonuje pracy, ponieważ przemieszczenie jest równe zero. (c) Osoba trzyma walizkę w ręce i przemieszcza się, praca jest również równa zero, ponieważ cos θ wynosi zero. (b) ukazuje osobę trzymającą walizkę. Osoba ta musi przykładać siłę skierowaną w górę równą sile ciężkości działającej na walizkę. Pomimo działania siły praca w tym wypadku jest równa zeru, ponieważ nie ma żadnego przemieszczenia. Dlaczego więc czujemy się zmęczeni, trzymając jakiś obiekt w miejscu, jeżeli nie wykonujemy pracy? Odpowiedzią na to pytanie jest fakt, że w naszej ręce dochodzi do skurczu włókien mięśniowych, chociaż mięśnie nie wykonują zewnętrznej pracy. Ponadto mięśnie inne niż mięśnie ręki działają, aby utrzymać daną pozycję ręki, a część obciążenia przenosi się również na kości i ścięgna. Osoba na (c) porusza się w kierunku poziomym ze stałą prędkością. Praca działającej siły również wynosi zero, ponieważ kąt pomiędzy wektorem przemieszczenia a działającą siłą wynosi 90 ∘ ( F → jest prostopadłe do d → ), a więc cos  90 ∘ = 0 . Obliczanie pracy potrzebnej do przesunięcia kosiarki Ile pracy zostaje wykonane przy pchaniu kosiarki do trawy ( (a)) jeżeli mężczyzna przykłada siłę 75,0 N pod kątem 35 ∘ do poziomu na odcinku 25,0 m ? Strategia rozwiązania Obliczamy pracę podstawiając wartości do wzoru na pracę W = F d cos θ . Siła, kąt i przemieszczenie są dane, więc tylko W jest niewiadomą. Rozwiązanie Równanie, z którego obliczamy pracę, zapisujemy w postaci: W = F d cos θ . Podstawiając dane wartości: W = 75,0 N ⋅ 25,0 m ⋅ cos  35,0 ∘ = 1,54 ⋅ 10 3 J . Znaczenie Pomimo tego, że wartość ta wydaje się duża, w rozdziale Energia potencjalna i zasada zachowania energii zobaczymy, że odpowiada to spaleniu ledwie 1/6 grama tłuszczu. Kiedy kosisz trawę, poza siłą wywieraną przez ciebie, na kosiarkę działają jeszcze inne siły: siła reakcji podłoża i siła ciężkości. Weźmy pod uwagę te siły. Dla każdego ciała poruszającego się przemieszczenie d r → jest styczne do powierzchni. Siła reakcji podłoża (siła nacisku) R → jest prostopadła do podłoża, stąd praca wykonywana przez tę siłę jest równa zeru. d W R = R → ⋅ d r → = 0. W takim przypadku siła reakcji podłoża nigdy nie wykonuje pracy. Zauważ, że jeżeli przemieszczenie d r → miałoby składową prostopadłą do podłoża, to obiekt albo by się oderwał od niego, albo przez nie przebił. Oczywiście w przypadku, kiedy ciało nie jest bryłą sztywną bądź pojedynczą cząstką, powierzchnia może spowodować jego odkształcenie, ale o tym dowiesz się w kolejnym rozdziale. Jedną z sił działających na ciało przy kontakcie z podłożem jest tarcie, T → . Dla ciał poruszających się po płaszczyźnie wektor siły tarcia kinetycznego T → k ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora d r → , więc praca wykonywana przez tę siłę jest ujemna. Jeżeli wartość siły T → k jest stała, praca siły (ang. work done by a force ) tarcia jest dana dzięki zależności: W k = ∫ A B T → k ⋅ d r → = − T k ∫ A B d r = − T k | l A B | , gdzie | l A B | jest drogą przebytą przez ciało (przy założeniu ruchu prostoliniowego). Zauważ, że jeżeli praca wykonywana przez siłę ma wartość ujemną, często mówimy, że jest wykonywana przeciw danej sile. Jednakże w przypadku siły tarcia statycznego praca wykonywana przez tę siłę może mieć wartość zarówno dodatnią, jak i ujemną. Kiedy chodzisz, na twoją stopę działają siły tarcia, na skutek czego stopa doznaje przyspieszenia. W przypadku kiedy jedziesz samochodem, siła tarcia kinetycznego czy oporów powietrza powoduje zmniejszenie jego przyspieszenia, a z kolei siła tarcia statycznego działająca na koła powoduje ich ruch obrotowy. Dzięki siłom tarcia możesz w taki sposób wyciągnąć dywan spod jakiegoś przedmiotu, że przedmiot będzie się poruszał do tyłu względem dywanu, za to do przodu względem podłogi - w tym przypadku wektor siły tarcia kinetycznego ma taki sam zwrot jak wektor przemieszczenia, więc praca w układzie współrzędnych związanych z podłogą będzie dodatnia. Ważne jest, aby każdy przypadek przeanalizować oddzielnie. Przesuwanie kanapy Zdecydowałeś się na przeniesienie kanapy w inne miejsce w pokoju. Siła przyłożona do kanapy wynosi 1 kN, a współczynnik tarcia wynosi 0,6. Najpierw przesuwasz kanapę 3 m równolegle do ściany, a następnie 1 m prostopadle do ściany (z A do B na ). Ile wyniosła w tym przypadku praca siły tarcia kinetycznego? Nie spodobało ci się nowe miejsce kanapy i przesuwasz ją do jej początkowego położenia (z B do A na ). Ile w tym przypadku wynosiła wykonana praca? Schemat zmian położenia kanapy. Strategia rozwiązania Wartość siły tarcia kinetycznego możemy wyznaczyć jako iloczyn siły normalnej do podłoża i współczynnika tarcia, T k = μ k R . Zatem wykonana praca wynosi: W T = − T k d , gdzie d jest odcinkiem, o który przesunięto kanapę. Rozwiązanie Praca siły tarcia wynosi: W = − 0.6 ⋅ 1 k N ⋅ ( 3 m + 1 m ) = − 2,4 k J . Długość przeciwprostokątnej trójkąta utworzonego przez odcinki, o które przesuwano kanapę, jest równa 10 m , więc całkowita wartość pracy przeciw sile tarcia kinetycznego wynosi: W = 0,6 ⋅ 1 k N ⋅ ( 3 m + 1 m + 10 m ) = 4,3 k J . Znaczenie Pomimo tego, że kanapa znalazła się z powrotem w tym samym miejscu, praca wykonana nie wyniosła zero. Dlaczego? Ponieważ siła tarcia jest tzw. siłą niezachowawczą; o takich siłach będziemy mówić w kolejnym rozdziale. Sprawdź, czy rozumiesz. Czy siła tarcia jest stała dla każdej wybranej drogi, na której działała? Nie, tylko wartość tej siły pozostawała stała. Zmieniał się jej kierunek zgodnie ze zmianą kierunku i zwrotu wektora przemieszczenia. Inną siłą wspomnianą w przykładzie z kosiarką była siła ciężkości m g , która ma stałą wartość izawsze jest skierowana pionowo w dół. Zatem praca siły ciężkości może zostać wyznaczona jako iloczyn skalarny jej wektora i wektora przemieszczenia. Czasami warto zapisać wektor siły za pomocą jej składowych wzdłuż poszczególnych osi x , y i z . W prostokątnym prawoskrętnym układzie współrzędnych zapisujemy ją jako − m g j ^ , więc praca siły ciężkości na drodze od A do B wynosi: W graw A B = − m g j ^ ⋅ ( r → B − r → A ) = − m g ( y B − y A ) . Praca wykonana przez stałą siłę grawitacji zależy tylko od ciężaru ciała oraz różnicy wysokości (przemieszczenia), na której ta siła działa. Wartość pracy siły grawitacji przy ruchu w górę jest ujemna ( y B > y A ), innymi słowy to ty wykonujesz prace podnosząc przedmiot. W przypadku ruchu w dół praca jest dodatnia ( y B < y A ). Zdejmowanie książki z półki Rozważmy sytuację, w której (a) zdejmujesz książkę o ciężarze 20 N z półki znajdującej się na wysokości 1  m powyżej blatu stołu, następnie przenosisz ją poziomo 3 m i odkładasz na stół ( ). Jaką pracę wykonała siła grawitacji w tym ruchu? (b) Po skończonym czytaniu odkładasz książkę na półkę. Jaką pracę przeciw sile grawitacji wykonujesz? Rzut pokazujący tor ruchu książki w zadaniu. Strategia rozwiązania Musimy wiedzieć, że wartość pracy zależy tylko od ciężaru książki i od różnicy wysokości W A B = − m g ( y B − y A ) . Teraz przeanalizujmy zmianę wysokości w (a) i (b). Rozwiązanie Jako że książka leży na półce i ruch odbywa się w dół, to y B − y A = − 1 m , a stąd wynika, że: W = − 20 N ⋅ ( − 1 m ) = 20 J . Jako że książka wróciła na półkę, różnica wysokości wynosi zero, a zatem W = 0 J . Znaczenie W przeciwieństwie do tarcia z , praca siły grawitacji działającej na krzywej zamkniętej wynosi zero. Takie siły nazywamy siłami zachowawczymi. Sprawdź, czy rozumiesz. Czy siła grawitacji jest zawsze stała? Nie, jest stała tylko w pobliżu powierzchni Ziemi. Praca zmiennej siły W ogólności siła i jej wartość może zmieniać się w różnych punktach przestrzeni. Infinitezymalna (nieskończenie mała) praca wykonana przez zmienną siłę może być opisana za pomocą składowych tej siły oraz odpowiadających im przemieszczeń zgodnie z zależnością: d W = F x d x + F y d y + F z d z . W tym przypadku siła jest wyrażana jako funkcja położenia, natomiast przemieszczenie zależy od równania opisującego drogę, na której dana siła działa. (W tym przypadku pracę d W wyrażamy za pomocą współrzędnych kartezjańskich, ale w wielu przypadkach inne układy współrzędnych mogą lepiej opisywać daną sytuację). opisuje pracę jako całkę liniową i tak też potraktujemy ją w omawianym przypadku. Praca siły działającej na torze krzywoliniowym Ciało porusza się po paraboli o równaniu y = 0,5 m − 1 ⋅ x 2 od punktu w początku układu współrzędnych A = ( 0 m , 0 m ) do punktu o współrzędnych B = ( 2 m , 2 m ) na skutek działania siły F → = 5 N / m ⋅ y i ^ + 10 N / m ⋅ x j ^ ( ). Oblicz wykonaną pracę. Paraboliczny tor ruchu ciała. Strategia rozwiązania Składowe siły są dane jako funkcje odpowiednio x i y . Wyrażamy zatem funkcję przemieszczenia y i d y w zależności od x i d x . y = 0,5  m -1 ⋅ x 2 ⇒ d y = 2 ⋅ 0,5  m -1 ⋅ x  d x  . y = \SI[per-mode=reciprocal]{0,5}{\per\metre} \cdot x^2 \implies \d y = 2 \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{0,5}{\per\metre} \cdot x \d x \text{.} Teraz możemy wykonać całkowanie tylko po zmiennej x . Rozwiązanie Nieskończenie mała wartość pracy wynosi: d W = F x d x + F y d y = 5 N / m ⋅ y d x + 10 N / m ⋅ x d y = 5 N / m ⋅ 0,5 m − 1 ⋅ x 2 d x + 10 N / m ⋅ 2 ⋅ 0,5 m − 1 ⋅ x 2 d x = 12,5 N / m 2 ⋅ x 2 d x . Całka z x 2 to x 3 / 3 , więc: W = ∫ 0 m 2 m 12,5 N / m 2 ⋅ x 2 d x = 12,5 N / m 2 ⋅ [ x 3 3 ] 0 m 2 m = 12,5 N / m 2 ⋅ 8 m 3 3 = 33,3 J . Znaczenie Takie całkowanie nie jest trudne. Pamiętaj, żeby jak w powyższym przykładzie wyrażać pracę za pomocą odpowiednich funkcji, dla których łatwo policzyć daną całkę. Sprawdź, czy rozumiesz. Wyznacz pracę, tak jak w przypadku , ale dla drogi opisanej funkcją y = ( 0,25 m −2 ) x 3 , wykonaną pomiędzy punktami A = ( 0,0 ) i B = ( 2 m, 2 m ) . W = 35 J W podano, że aby wyznaczyć pracę, najłatwiej sprowadzić równanie do równania jednej zmiennej. Zwykle jest więcej niż jeden sposób, żeby to zrobić. Dla najłatwiej przeprowadzić całkowanie po zmiennej x , ale równie dobrze można to zrobić po zmiennej y . Otrzymujemy wtedy następującą zależność: x = y / ( 0,5 m −1 ) = ( 2 m ) y i d x = ( 2 m ) · 1 2 d y / y = d y / ( 2 m −1 ) y . Składowe siły są opisane za pomocą zmiennej y : F x = ( 5 N/m ) y i F y = ( 10 N/m ) x = ( 10 N/m ) ( 2 m ) y , wtedy nieskończenie mała praca wynosi: d W = F x  d x + F y  d y d W = 5  N ∕ m ⋅ y 2,0  m -1 ⋅ y  d y + 10  N ∕ m ⋅ 2  m ⋅ y  d y d W = 5  N ⋅ m − 1 ∕ 2 ⋅ 1 2 + 2  2  y  d y = 17,7  N ⋅ m − 1 ∕ 2 ⋅ y 1 ∕ 2  d y \begin{multiline} \d W &= F_x \d x + F_y \d y \\ &= \frac{\SI{5}{\newton\per\metre} \cdot y}{\sqrt{\SI[per-mode=reciprocal]{2,0}{\per\metre} \cdot y}} \d y + \SI{10}{\newton\per\metre} \cdot \sqrt{\SI{2}{\metre} \cdot y} \d y \\ &= \SI[inter-unit-product = ⋅]{5}{\newton\metre}^{-1/2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\sqrt{2}) \sqrt{y} \d y = \SI[inter-unit-product = ⋅]{17,7}{\newton\metre}^{-1/2} \cdot y^{1/2} \d y \end{multiline} d W = F x  d x + F y  d y = 5  N ∕ m ⋅ y 2,0  m -1 ⋅ y  d y + 10  N ∕ m ⋅ 2  m ⋅ y  d y = 5  N ⋅ m − 1 ∕ 2 ⋅ 1 2 + 2  2  y  d y = 17,7  N ⋅ m − 1 ∕ 2 ⋅ y 1 ∕ 2  d y Całka z y 1 / 2 wynosi 2 y 3 / 2 / 3 , wartość pracy na drodze z A do B wynosi: W = ∫ 0 m 2 m 17,7 0 N ⋅ m − 1 / 2 ⋅ y 1 / 2 d y = 17,7 N ⋅ m − 1 / 2 ⋅ 2 3 ⋅ ( 2 m ) 3 / 2 = 33,3 J . Tak jak można było oczekiwać, wynik przy takim podejściu okazuje się identyczny jak wcześniejszy. Jeden z ważnych i często omawianych rodzajów siły stanowi siła sprężystości dla idealnej sprężyny spełniającej prawo Hooke’a (ang. Hooke’s law ) F → = − k Δ x → , gdzie k jest stałą sprężystości sprężyny, a Δ x → = x → − x → równ jest odkształceniem liniowym sprężyny ( Zasady dynamiki Newtona ). Pamiętaj, że punkt równowagi tylko wówczas jest tym samym punktem co położenie dla nierozciągniętej sprężyny, gdy nie działają na nią żadne siły bądź działające siły się równoważą. Gdy chcemy obliczyć pracę wykonaną przez siłę sprężystości, wybieramy oś x wzdłuż sprężyny w taki sposób, aby jej wydłużenie przyjmowało dodatnią wartość (jak pokazano na ), początek układu obieramy w położeniu równowagi x równ = 0 . Tak przyjęty układ współrzędnych pozwala nam opisać siłę tylko za pomocą składowej x , czyli F x = − k x . Wówczas praca przy rozciąganiu sprężyny z x A do x B wynosi: W spr A B = ∫ A B F x d x = − k ∫ A B x d x = − k [ x 2 2 ] A B = − 1 2 k ( x B 2 − x A 2 ) . (a) Sprężyna w położeniu równowagi, (b) przy wydłużaniu i (c) przy ściskaniu. Zauważ, że W A B zależy tylko od punktu końcowego i początkowego A i B , natomiast nie zależy od drogi pomiędzy tymi punktami. Kolejną interesującą informacją na temat jest to, że dla jednowymiarowego przypadku wykonana praca jest równa polu powierzchni pod krzywą dla zależności F x . Pamiętamy, że dla przypadku jednowymiarowego całka odpowiada sumie nieskończenie małych przyrostów f ( x ) d x , co może być zaprezentowane graficznie, jak na . Natomiast w przypadku siły sprężystości równanie F = − k x przedstawia funkcję liniową ze współczynnikiem sprężystości − k , zależną od zmiennej x (patrz ). Krzywa reprezentująca funkcję f ( x ) , na której zaznaczono pole odpowiadające nieskończenie małemu przyrostowi f ( x ) d x oraz pole odpowiadające sumie tych przyrostów – całce z f ( x ) od x 1 do x 2 . Wykres zależności siły sprężystości od wydłużenia x f ( x ) = − k x , na którym zaznaczono obszary pod krzywą odpowiadające wartościom pracy dla przemieszczeń x A i x B przy różnych zwrotach siły sprężystości. Praca siły sprężystości Praca potrzebna do rozciągnięcia idealnej sprężyny o 6 cm wynosi 0,54 J (zgodnie z równaniem z (b)). Ile wynosi stała sprężystości k dla tej sprężyny? Jaką pracę trzeba wykonać, aby rozciągnąć sprężynę o kolejne 6 cm? Strategia rozwiązania Praca potrzebna do rozciągnięcia sprężyny jest wykonywana przeciwko sile sprężystości w , więc: W = 1 2 k ( x B 2 − x A 2 ) . Dla (a) x A = 0 c m i x B = 6 c m , dla (b) x A = 6 c m i x B = 12 c m . W (a) wykorzystujemy znaną pracę i wyznaczamy k , które w części (b) wykorzystujemy do wyznaczenia pracy. Rozwiązanie W = 0,54 J = 1 2 k [ ( 6 c m ) 2 − ( 0 c m ) 2 ] , więc k = 3 N / c m . W = 1 2 ⋅ 3 N / c m ⋅ [ ( 12 c m ) 2 − ( 6 c m ) 2 ] = 1,62 J . Znaczenie Praca nie zależy od drogi, lecz od różnicy wartości wyrażenia k x 2 / 2 dla położenia początkowego i końcowego. Zauważ, że praca potrzebna do rozciągnięcia sprężyny od 0 do 12 cm jest cztery razy większa od pracy potrzebnej do rozciągnięcia sprężyny od 0 do 6 cm, ponieważ praca jest zależna od kwadratu wydłużenia: k x 2 / 2 . Sprawdź, czy rozumiesz. Sprężyna w została ściśnięta o 6 cm (względem położenia równowagi). Czy praca wykonana przez sprężynę jest dodatnia czy ujemna? Jaka jest jej wartość? Siła sprężystości jest przeciwna do zmiany długości, więc praca jest ujemna. 0,54 J. Podsumowanie Nieskończenie mały przyrost pracy jest wyznaczany jako iloczyn skalarny siły wykonującej pracę i nieskończenie małego przemieszczenia. Praca siły działającej na skończonej drodze jest równa całce z nieskończenie małych przyrostów pracy na tej drodze. Praca wykonana przeciwko danej sile jest ujemna. Praca siły grawitacji jest równa iloczynowi ciężaru ciała i różnicy wysokości odpowiadającej przemieszczeniu ciała. Praca siły sprężystości zależy tylko od stałej sprężystości i zmiany długości sprężyny. Pytania Podaj przykład, kiedy coś, co nazywamy pracą w życiu codziennym, nie jest nią w sensie fizycznym. Czy w tym przypadku energia jest przekazywana lub zmieniana w inną formę? Jeżeli tak, wyjaśnij, jak to możliwe bez wykonywania pracy. Przykładem może być „pchanie” ściany. Pomimo tego, że tracona jest energia, nie jest ona przekazywana, więc w konsekwencji nie ma przemieszczenia, a zatem nie ma wykonywanej pracy. Podaj przykład, w którym zachodzi zmiana położenia przedmiotu oraz działa siła, a nie jest to praca. Wyjaśnij, czemu tak jest. Opisz sytuację, kiedy pomimo przyłożonej siły nie jest wykonywana praca. Wyjaśnij dlaczego. Kiedy przebijesz się przez ścianę, nadal przykładasz siłę, ale nie występuje już przesunięcie. Czy w ruchu po okręgu (dla v=const) siła dośrodkowa wykonuje pracę? Podrzucasz piłkę i łapiesz ją dokładnie na tej samej wysokości, z której ją wyrzuciłeś. Jaką pracę wykonała w tym przypadku siła grawitacji? Całkowite przemieszczenie wynosi zero, więc nie wykonuje pracy. Dlaczego trudniej robić „brzuszki” na pochyłej ławeczce niż na prostej? (Zobacz rysunek.) Jako młody człowiek Tarzan wspinał się do swojego domu na drzewie. Kiedy się zestarzał, postanowił zbudować schody. Skoro praca siły grawitacji jest niezależna od drogi, co zyskał na zbudowaniu schodów? Dzięki schodom Tarzan nie będzie musiał wydatkować energię szybko, ale stopniowo. Zadania Pracę o jakiej wartości wykonuje sprzedawca, przesuwając poziomo po stole puszkę z groszkiem na odcinku 0,600 m, używając siły 5,00 N? 3,00 J Osoba ważąca 75,0 kg wspina się po schodach na wysokość 2,50 m. Wyznacz wykonaną pracę. Oblicz pracę wykonywaną przy wciąganiu windy o masie 1500 kg na wysokość 40 m ze stałą prędkością, jeśli siła oporów ruchu wynosi 100  N . Jaką pracę wykonuje siła grawitacji? Jaka praca jest wykonywana przy wciąganiu windy? 593 kJ; –589 kJ; 0 J. Samochód przejeżdża 108 km z prędkością 30,0 m/s, zużywając 8 litrów benzyny. Tylko 30% energii paliwa jest zużywane na utrzymanie stałej prędkości. (Wartość opałowa benzyny wynosi 35 MJ/l.) Ile wynosi siła napędowa samochodu? Jeżeli siła jest wprost proporcjonalna do prędkości, to jaką ilość paliwa spalimy na trasie 108 km utrzymując prędkość 28,0 m/s? Oblicz pracę, którą wykona mężczyzna o masie 85,0  kg , wpychając pudło na odległość 4,00 m w górę pochylni o kącie nachylenia 20,0 ∘ względem płaszczyzny poziomej (patrz rysunek). Mężczyzna przykłada siłę 500 N wzdłuż równi i wpycha pudło ze stałą prędkością. Pamiętaj, aby uwzględnić pracę wpychania pudła oraz pracę wspinania się po pochylni. 3,14 kJ Jaką pracę wykonuje chłopiec, ciągnąc wózek na odległość 30 m? Przyjmij brak siły tarcia pomiędzy wózkiem a podłożem. Klient pcha wózek na zakupy na odcinku 20,0 m ze stałą prędkością. Siła tarcia wynosi 35,0 N. Wózek jest pchany siłą pod kątem 25,0 ∘ względem poziomu. Jaką pracę wykonuje siła tarcia? Jaką pracę wykonuje siła grawitacji? Jaką pracę wykonuje klient? Wykorzystując zasadę zachowania energii, wyznacz siłę, jaką działa klient na wózek. Jaka jest całkowita praca wykonana „nad” wózkiem? –700 J; 0 J; 700 J; 38,6 N; 0 J. Ekipa ratunkowa opuszcza ocalonego człowieka o masie 90,0 kg ze stałą prędkością w dół zbocza o nachyleniu 60 , 0 ∘ (jak pokazano na rysunku). Współczynnik tarcia wynosi 0,1. Ile pracy wykona siła tarcia przy opuszczaniu ocalonego o 30 m wzdłuż zbocza? Ile pracy wykona lina, na której jest opuszczany? Jaką pracę wykonuje siła grawitacji? Ile wynosi całkowita praca? Ze stałą siłą 20 N na odcinku 5 m popychana jest mała kulka. Ile wynosi wykonana praca? 100 J Zabawka jest ciągnięta 6 metrów wzdłuż prostoliniowego toru. Siła działająca wynosi 20 N i jest skierowana pod kątem 37 ∘ względem poziomu. Ile wynosi praca w tym ruchu? Pudło o masie 5 kg leży na poziomym stole. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi μ K = 0,50 . Ciągnięto pudło na odcinku 10 cm. Znajdź pracę: siły, z którą ciągnięto pudełko, siły tarcia, siły wypadkowej. 2,45 J; – 2,45 J; 0 N. Pudło o masie 3,5 kg leży na poziomym stole. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi μ K = 0,7 . Ciągnięto pudło na odcinku 45 cm. Znajdź pracę: siły, z którą ciągnięto pudełko, siły tarcia, siły wypadkowej. Sanie o całkowitej masie 50 kg ciągnięte są na odcinku 20 metrów ( μ K = 0,20 ) ze stałą prędkością skierowaną pod kątem 25 ∘ względem poziomu. Oblicz: pracę przyłożonej siły, pracę siły tarcia, pracę całkowitą. 2,22 kJ; −2,22 kJ; 0 J. Jaką pracę wykonuje siła F ( x ) = ( − 2,0 / x ) N przy ruchu cząstki z x = 2,0 m do x = 5,0 m Jaką pracę przeciwko sile grawitacji wykona się przy wnoszeniu walizki o masie 5 kg na dach Empire State Building? Budynek ten ma wysokość 380 metrów. 18,6 kJ. Przy rozciągnięciu sprężyny o 10 cm wykonuje się pracę 500 J. Jaka jest stała sprężystości tej sprężyny? Lina do bungee jest to w zasadzie gumowy pas, który może rozciągnąć się czterokrotnie w stosunku do swojej początkowej długości. Współczynnik sprężystości takiej taśmy jest zmienny w zależności do tego, jak jest rozciągnięta (sprawdź artykuł: Paul G, Menz, The Physics of Bungee Jumping , "The Physics Teacher", nr 31, listopad 1993, s. 483–487). Przyjmijmy, że długość początkowa (nierozciągniętej liny) wynosi l 0 , a jej wydłużenie x = l − l 0 (patrz rysunek). Przyjmijmy, że dla 0 ⩽ x ⩽ 4,88 m , współczynnik sprężystości wynosi k 1 = 204 N / m , a dla 4,88 m ⩽ x k 2 = 111 N / m (pamiętaj, że funkcja F x jest liniowa). Jakie jest naprężenie liny rozciągniętej o 16,7 m (maksymalne rozciągnięcie dla danego skoku)? Jaka praca została wykonana przy takim skoku? Źródło ilustracji: Graeme Churchard 2,32 kN; 22,0 kJ. Lina jest rozciągana pod wpływem działania siły F ( x ) = k 1 x + k 2 x 3 , gdzie x jest długością, o którą rozciąga się lina, k 1 = 204 N / m i k 2 = − 0,233 N / m . Ile pracy musi zostać wykonane, aby rozciągnąć linę o 16,7 m? Inżynierowie modelują wartość siły sprężystości dla liny bungee równaniem: F ( x ) = a [ x + 9 m 9 m − ( 9 m x + 9 m ) 2 ] , gdzie x wyraża wzdłużne rozciągnięcie liny, zaś a jest stałą. Jeżeli potrzeba 22 kJ, aby rozciągnąć linę o 16,7 m, wyznacz wartość stałej a . 835 N. Cząstka porusza się na płaszczyźnie x y pod działaniem siły F → ( x , y ) = 50 N ⋅ m 2 x i ^ + y j ^ ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 , gdzie x i y wyrażone są w metrach. Oblicz pracę, którą wykona ta siła na odcinku pomiędzy punktami ( 3 m , 4 m ) i ( 8 m , 6 m ) . Cząstka porusza się po krzywej y ( x ) = 10 m ⋅ [ 1 + cos  ( 0,1 m − 1 ⋅ x ) ] , od punktu x = 0 m do x = 10 π m , pod wpływem stycznej siły o zmiennej wartości F ( x ) = 10 N ⋅ sin  ( 0,1 m − 1 ⋅ x ) . Jaką pracę wykonała siła? 257 J. praca (ang. work ) jest wykonywana wtedy, kiedy działająca siła powoduje przemieszczenie ciała praca siły (ang. work done by a force ) całka z iloczynu skalarnego siły działającej i nieskończenie małego przemieszczenia

Science


Energia kinetyczna Możemy przypuszczać, że im większa prędkość ciała, w tym większym stopniu dane ciało może oddziaływać na inne. Nie zależy to od kierunku wektora prędkości, a tylko od jego wartości. W końcu XVII wieku została wprowadzona w fizyce wielkość opisująca idealnie sprężyste zderzenie dwóch ciał w przypadku, gdy jedno przed zderzeniem jest w spoczynku. Pierwsze ciało się zatrzymuje, natomiast drugie porusza się z taką samą prędkością, z jaką poruszało się pierwsze (takie samo zjawisko możecie zaobserwować, grając w bilard lub obserwując kołyskę Newtona). Pojęcie opisujące takie zderzenie nazwano energią ruchu. W XVIII wieku wprowadzono określenie energia kinetyczna (ang. kinetic energy ) do opisu energii ciał pozostających w ruchu. Pamiętając ten historyczny opis możemy teraz zdefiniować w ujęciu klasycznym energię kinetyczną jako pojęcie fizyczne. Kiedy mówimy o ujęciu „klasycznym”, mamy na myśli takie, które nie bierze pod uwagę zależności relatywistycznych, tzn. właściwych dla prędkości bliskich prędkości światła. Opis takich zjawisk znajdziecie w rozdziale Teoria względności . Jako że omawiane przez nas ciała (lub układy) mają różny stopień skomplikowania, zacznijmy od zdefiniowania energii kinetycznej dla cząstki o masie m . Energia kinetyczna Energia kinetyczna ruchu postępowego jest równa iloczynowi masy m i kwadratu prędkości v podzielonemu przez 2: E = 1 2 m v 2 . Jeśli mamy więcej niż jedną cząstkę, to energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej wszystkich cząstek: E = ∑ 1 2 m v 2 . Możemy zapisać równanie opisujące energię kinetyczną również za pomocą pędu ( p → = m v → ), zamiast za pomocą masy i prędkości. Skoro v = p / m , uzyskujemy zależność: E = 1 2 m ( p m ) 2 = p 2 2 m , która opisuje energię kinetyczną dla jednej cząstki o pędzie p . Czasem taki zapis jest bardziej wygodny niż ten z . Jednostką energii kinetycznej jest, tak jak w przypadku innych form energii, dżul (J). Energia kinetyczna ciała (a) Jaka jest energia kinetyczna sportowca o masie ciała 80 kg, biegnącego z prędkością 10 m/s? (b) Krater Chicxulub znajdujący się na półwyspie Jukatan jest największym na Ziemi kraterem powstałym podczas zderzenia. Najprawdopodobniej powstał na skutek uderzenia asteroidy z prędkością 22 km/s, które uwolniło 4,2 ⋅ 10 23 J energii kinetycznej. Jaka była masa tej asteroidy? (c) W reaktorach jądrowych neutrony termiczne poruszają się z prędkością około 2,2 km/s. Jaka jest energia kinetyczna takich cząstek? Strategia rozwiązania Aby rozwiązać zadanie, wykorzystamy . Masę neutronu można znaleźć w tablicach fizycznych. Rozwiązanie Nie zapomnij o zamianie jednostek na podstawowe jednostki układu SI! E = 1 2 ⋅ 80 k g ⋅ ( 10 m / s ) 2 = 4,0 k J , m = 2 E v 2 = 2 ⋅ 4,2 ⋅ 10 23 J ( 22 k m / s ) 2 = 1,7 ⋅ 10 15 k g , E = 1 2 ⋅ 1,68 ⋅ 10 − 27 k g ⋅ ( 2,2 k m / s ) 2 = 4,1 ⋅ 10 − 21 J . Znaczenie W tym przykładzie pokazaliśmy, że energia kinetyczna zależy od masy i prędkości, oraz że energia ta może przyjmować bardzo różne wartości. W zależności od tego, jak duża jest wartość energii, stosujemy różne jednostki. Energia wyznaczona w punkcie (b) może być porównana do energii wyzwalanej w eksplozji dynamitu (TNT) czy też nuklearnej, przy czym 1 m e g a t o n a = 4,18 ⋅ 10 15 J . W przypadku powstania krateru Chicxulub energia kinetyczna to sto milionów megaton. Z kolei w przypadku energii cząstek elementarnych wyrażamy ją w elektronowoltach 1 e V = 1,6 ⋅ 10 − 19 J . Energia termiczna w przypadku (c) wynosi 1/40 elektronowolta. Sprawdź, czy rozumiesz. Samochód i ciężarówka poruszają się z taką samą energią kinetyczną. Przyjmijmy, że ciężarówka ma masę większą niż samochód. Które ma większą prędkość? Jeśli poruszają się z tą samą prędkością, to które ma większą energię kinetyczną? samochód; ciężarówka Jako że prędkość jest wielkością względną, zależną od przyjętego układu odniesienia, wartość energii kinetycznej również zależy od przyjętego układu. Musimy o tym pamiętać, ponieważ często tylko od dobrania odpowiedniego układu odniesienia zależy, czy nasze obliczenia będą proste, czy też trudne. Możemy wybrać układ związany z poruszającym się ciałem bądź układ związany z nieruchomym obserwatorem. Opis równań ruchu w różnych układach odniesienia możecie znaleźć w rozdziale Ruch w dwóch i trzech wymiarach . Energia kinetyczna w różnych układach odniesienia Człowiek ważący 75 kilogramów porusza się w wagonie kolejowym z prędkością 1,5 m/s względem wagonu, zaś pociąg porusza się z prędkością 15 m/s względem torów. Ile wynosi energia kinetyczna człowieka w układzie odniesienia związanym z wagonem? Ile wynosi ona w układzie związanym z torami? Ile wynosi ona w układzie poruszającym się wraz z człowiekiem? Strategia rozwiązania Jako że mamy dane wartości prędkości, możemy wykorzystać zależność 1 2 m v 2 , aby wyznaczyć wartość energii kinetycznej w poszczególnych przypadkach. Jednakże musimy pamiętać, że w przypadku (a) prędkość człowieka jest podana względem wagonu, w przypadku (b) względem torów, zaś w (c) wynosi zero. Jeśli oznaczymy układ odniesienia związany z wagonem jako W, związany z torami jako T, a z człowiekiem jako C, to otrzymamy zależność w postaci: v → CT = v → CW + v → WT . Zakładamy, że przejście w wagonie leży w tej samej linii co tory, ale zwrot wektorów prędkości nie został podany w zadaniu, więc przeanalizujmy wszystkie przypadki ( ). v CT = v WT ± v CW . Możliwe zwroty prędkości człowieka poruszającego się w wagonie: (a) w stronę przodu wagonu i (b) w stronę tyłu wagonu. Rozwiązanie E = 1 2 ⋅ 75,0 k g ⋅ ( 1,50 m / s ) 2 = 84,4 J , v CT = 15,0 m / s ± 1,50 m / s . W związku z tym mamy dwie poprawne odpowiedzi: E = 1 2 ⋅ 75,0 k g ⋅ ( 13,5 m / s ) 2 = 6,83 k J , i E = 1 2 ⋅ 75,0 k g ⋅ ( 16,5 m / s ) 2 = 10,2 k J , W tym układzie prędkość człowieka v C = 0 m / s , E = 0 J . Znaczenie Jak mogliśmy zauważyć, wartość energii kinetycznej zależy od układu odniesienia, w którym jest rozpatrywana. Jednakże musimy pamiętać o tym, że nie może ona nigdy przyjąć wartości ujemnych (ponieważ prędkość podniesiona do kwadratu nie może przyjąć wartości ujemnej). Sprawdź, czy rozumiesz. Płyniesz łodzią wiosłową wzdłuż brzegów rzeki. Twoja energia kinetyczna w układzie odniesienia związanym z brzegami rzeki ma mniejszą wartość niż wyznaczona w układzie związanym z płynącą wodą. Czy wiosłujesz zgodnie, czy przeciwnie do prądu rzeki? Przeciwnie. Energia kinetyczna pojedynczej cząstki ma charakter jednostkowy, ale energia kinetyczna układu cząstek może być podzielona na wiele różnych rodzajów w zależności od analizowanego układu oraz sposobu, w jaki się on porusza. Przykładem może być układ cząstek, które poruszają się z tą samą prędkością. Jako że porusza się on ruchem postępowym, to jego energia kinetyczna też ma taki charakter. Jeżeli obiekt bądź cząstka wykonuje ruch obrotowy, ich energia kinetyczna jest również energią kinetyczną ruchu obrotowego, a w przypadku ruchu drgającego – energią kinetyczną ruchu drgającego. Energia kinetyczna chaotycznego ruchu atomów może być nazywana również energią termiczną. Pojęcia te będą pojawiały się w kolejnych rozdziałach książki, ale bez względu na nazwę musimy pamiętać, że są to różne rodzaje energii kinetycznej, tj. energii związanej ściśle z ruchem. Określenia opisujące energię kinetyczną Gracz wykonuje podanie ze środka pola. Piłka do koszykówki waży 624 gramy. Podanie trwało 2 sekundy i zostało wykonane na odległość 15 metrów. Jaka jest wartość energii kinetycznej piłki? Powietrze w piłce ma średnią masę atomową 29 u i średnią prędkość 500 m/s (względem piłki). Średnia ilość cząsteczek w piłce wynosi 3 ⋅ 10 23 . Cząsteczki poruszają się ruchem losowym. Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząstek względem piłki? Jak szybko musiałaby się poruszać piłka względem boiska, aby mieć taką samą energię kinetyczną jak cząsteczki powietrza w podpunkcie (b)? Strategia rozwiązania W punkcie (a) wykorzystaj znaną prędkość i masę, aby wyznaczyć wartość energii kinetycznej E = 1 2 m v 2 . W punkcie (b) zamień jednostki atomowe na kilogramy i ponownie wykorzystaj znany wzór E = 1 2 m v 2 , aby wyznaczyć średnią energię cząstki gazu względem piłki. Potem pomnóż wynik przez liczbę cząstek. W punkcie (c) podstaw wartość energii wyznaczonej w punkcie (b) i masę piłki w punkcie (a) do wzoru E = 1 2 m v 2 , a następnie wyznacz v . Rozwiązanie Prędkość piłki w kierunku poziomym jest równa 7,5 m/s, zatem energia kinetyczna jej ruchu postępowego wynosi: 1 2 ⋅ 0,624 k g ⋅ ( 7,5 m / s ) 2 = 17,6 J . Średnia energia cząsteczki gazu w piłce: 1 2 ⋅ 29 u ⋅ 1,66 ⋅ 10 − 27 k g / u ⋅ ( 500 m / s ) 2 = 6,02 ⋅ 10 − 21 J . Całkowita energia kinetyczna układu cząsteczek: 3 ⋅ 10 23 ⋅ 6,02 ⋅ 10 − 21 J = 1,80 k J . v = 2 ⋅ 1,8 k J 0,624 k g = 76,0 m / s . Znaczenie W części (a) wyznaczyliśmy energię kinetyczną ruchu postępowego obiektu, którym była piłka względem otoczenia – boiska. Gdyby piłka się obracała, musielibyśmy uwzględnić również energię kinetyczną ruchu obrotowego. W części (b) wyznaczyliśmy tak naprawdę energię wewnętrzną (termiczną) gazu znajdującego się w piłce. Zauważ, że wartość tej energii jest 100 razy większa niż energii kinetycznej ruchu postępowego piłki z punktu (a). Żeby piłka przy takiej samej masie osiągnęła tak dużą energię kinetyczną jak w punkcie (b) musiałaby ona poruszać się niemal 10 razy szybciej. Podsumowanie Dla ciał poruszających się z prędkościami nierelatywistycznymi energia kinetyczna ruchu postępowego jest wyrażana jako 0,5 razy iloczyn masy i kwadratu prędkości ciała. Całkowita energia kinetyczna układu ciał poruszających się jest równa sumie energii kinetycznych wszystkich ciał w tym układzie. Wartość energii kinetycznej zależy od obranego układu odniesienia, zawsze przyjmuje wartości dodatnie i może być określana różnymi pojęciami w zależności od rodzaju ruchu ciała. Pytania Cząstka o masie m porusza się z prędkością daną zależnością v x i ^ + v y j ^ + v z k ^ . Czy jej energia kinetyczna jest dana zależnością w postaci: m ( v x 2 i ^ + v y 2 j ^ + v z 2 k ^ ) / 2 ? Jeśli nie, to jakie jest prawidłowe wyrażenie opisujące jej energię kinetyczną? Jedna cząstka ma masę m , natomiast druga masę 2 m . Prędkość drugiej cząstki wynosi v , a pierwszej 2 v . Jaki jest stosunek energii kinetycznych tych cząstek? Pierwsza cząstka ma energię kinetyczną 4 ⋅ 1 2 m v 2 , z kolei druga 2 ⋅ 1 2 m v 2 , czyli energia kinetyczna pierwszej cząstki jest dwa razy większa niż drugiej. Człowiek upuszcza kulkę o masie m 1 z wysokości h , kulka uderza o podłoże, mając energię E . Następnie upuszczona zostaje kulka o masie m 2 z wysokości 2 h i uderza w ziemię, mając taką samą energię jak pierwsza kulka. Jaki jest stosunek masy kulek? Zadania Porównaj wartość energii kinetycznej ciężarówki o masie 20 ton, poruszającej się z prędkością 110 km/h i ważącego 80 kg astronauty poruszającego się po orbicie z prędkością 27 500 km/h. Jak szybko musi się poruszać słoń o masie 3 ton, aby mieć taką samą energię kinetyczną jak ważący 65 kg sprinter poruszający się z prędkością 10 m/s? 1,47 m/s; Oszacuj wartość energii kinetycznej lotniskowca o masie 90 000 ton, poruszającego się z prędkością 30 węzłów. (Wskazówka: 1 węzeł to 1 mila morska na godzinę.) Oblicz energię kinetyczną: samochodu o masie 2 ton poruszającego się z prędkością 100,0 km/h; biegacza o masie 80 kg poruszającego z prędkością 10 m/s; elektronu o masie 9,1 ⋅ 10 − 31 k g poruszającego się z prędkością 2,0 ⋅ 10 7 m / s . 772 kJ; 4,0 kJ; 1,8 ⋅ 10 − 16 J . Ciało o masie 5 kg posiada energię kinetyczną taką samą, jak inne ciało o masie 8 kg. Jaki jest stosunek prędkości tych ciał? Pocisk ważący 8 gramów porusza się z prędkością 800  m / s . Wyznacz energię kinetyczną pocisku. Ile wynosiłaby energia kinetyczna pocisku, gdyby jego prędkość zmalała o połowę? 2,6 kJ; 640 J. energia kinetyczna (ang. kinetic energy ) energia ciał będących w ruchu, równa połowie iloczynu masy ciała i kwadratu jego prędkości

Science


Zasada zachowania energii mechanicznej Omówiliśmy sposoby obliczania pracy wykonanej przez siły działające na cząstkę, ale jak praca przekłada się na ruch cząstki? Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona suma wszystkich sił działających na ciało określa jego pęd (jego ruch). W związku z tym powinniśmy wziąć pod uwagę wszystkie siły działające na ciało czy też po prostu wprowadzić pojęcie pracy wypadkowej (ang. net work ), a następnie ocenić, jak będzie ona wpływać na ruch ciała. Rozważmy pracę wypadkową będącą wynikiem działania siły wypadkowej, powodującą nieskończenie małe przemieszczenie cząstki: d W wyp = F → wyp ⋅ d r → . Z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że: F → wyp = m ( d v → / d t ) , więc d W wyp = m ( d v → / d t ) ⋅ d r → . W celu dokonania opisu matematycznego musimy wyrazić pracę poprzez odpowiednią różniczkę (np. d t ) w następujący sposób: d W wyp = m d v → d t ⋅ d r → = m d v → ⋅ d r → d t = m v → ⋅ d v → . W powyższym równaniu za prędkość podstawiliśmy pierwszą pochodną przemieszczenia po czasie, zapisując w ten sposób iloczyn skalarny w bardziej czytelny sposób ( ). W celu ułatwienia obliczeń, zamiast wykonywać całkowanie wielkości wektorowych, zapiszmy wartość iloczynu skalarnego za pomocą składowych oraz wykonajmy całkowanie od A do B (punkty na trajektorii cząstki). Wynik tej całki wyznacza nam wartość pracy wypadkowej: W wyp A B = ∫ A B ( m v x d v x + m v y d y + m v z d z ) = 1 2 m | v x 2 + v y 2 + v z 2 | A B = | 1 2 m v 2 | A B = E B − E A . W trzecim kroku wykorzystaliśmy fakt, że suma kwadratów składowych wektora odpowiada kwadratowi długości wektora. Na koniec wykorzystaliśmy definicję energii kinetycznej. Równanie to opisuje w sposób matematyczny zasadę równoważności pracy i energii (ang. work–energy theorem ) ( ), która jest szczególnym przypadkiem zasady zachowania energii. Równoważność pracy i energii Praca wypadkowa jest równa różnicy energii kinetycznych ciała: W wyp = E B − E A . Konie ciągną obciążenie podczas zawodów w ramach festynu. Praca wykonywana przez konie jest wykorzystywana do zmiany energii kinetycznej ciągniętego obiektu. (Źródło: “Jassen”/ Flickr) Zgodnie z zasadą zachowania energii, kiedy dane ciało zwalnia, zmniejsza się jego energia kinetyczna, co odpowiada ujemnej wartości pracy, która została wykonana przez siły działające na to ciało. Kiedy ciało przyspiesza, praca ma wartość dodatnią. Kiedy wyznaczamy wartość pracy wypadkowej, musimy uwzględnić wszystkie siły działające na ciało, a nie brać pod uwagę tych, które nie działają na ciało. W przeciwnym wypadku dostaniemy błędny wynik. Dzięki zastosowaniu prawa o równoważności pracy i energii (oraz ogólnej formy zasady zachowania energii) jesteśmy w stanie rozwiązywać zadania/problemy w dużo prostszy sposób niż za pomocą rozwiązywania równań opartych na drugiej zasadzie dynamiki Newtona. Na przykład w rozdziale Zasady dynamiki Newtona wyznaczyliśmy prędkość ciała ślizgającego się bez tarcia przy użyciu drugiej zasady dynamiki Newtona (poprzez wykorzystanie przyspieszenia ciała w postaci g ). v końc 2 = v pocz 2 + 2 g ( s końc − s pocz ) sin θ , gdzie s jest przemieszczeniem. Możemy to samo zagadnienie rozwiązać przy pomocy zasady zachowania energii. Jako że tylko dwie siły działają na ciało – siła grawitacji oraz siła sprężystości podłoża (która nie wykonuje żadnej pracy), cała praca jest wykonywana przez siłę grawitacji. Zatem: W wyp = W graw = − m g ( y końc − y pocz ) , gdzie y ma wartość dodatnią w przyjętym układzie odniesienia. Praca, zgodnie z zasadą zachowania energii, będzie równa energii kinetycznej nabytej przez ciało: − m g ( y końc − y pocz ) = 1 2 m ( v końc 2 − v pocz 2 ) . Z zależności trygonometrycznych mamy: ( y końc − y pocz ) = ( s końc − s pocz ) sin θ . Zatem widać, że wyznaczona obydwoma sposobami prędkość jest taka sama. Co zyskujemy dzięki wykorzystaniu zasady zachowania energii przy rozwiązywaniu zadań? Dla ruchu bez tarcia na płaszczyźnie może niewiele, ale w przypadku kiedy tor ruchu jest krzywą, bądź kiedy działa tarcie, zastosowanie zasady zachowania energii w rozwiązywaniu zadań znacznie upraszcza rachunki. Często zastosowanie równań wynikających z drugiej zasady Newtona może prowadzić do obliczeń matematycznie bardzo skomplikowanych. Strategia rozwiązywania zadań: zasada zachowania energii mechanicznej Zaznacz siły działające na ciało w danym układzie odniesienia. Uwzględniając odpowiednie znaki, wyznacz pracę wykonywaną przez wszystkie siły działające na ciało w tym układzie odniesienia. Zsumuj wszystkie wartości pracy wyznaczone w poprzednim punkcie. Przyrównaj wyznaczoną pracę całkowitą do końcowej energii kinetycznej ciała w omawianym układzie odniesienia. Wyznacz wartość szukaną. Sprawdź poprawność swojej odpowiedzi. Jeżeli praca wykonana nad ciałem będzie wynosiła zero, znaczy to, że ciało będzie poruszać się ze stałą prędkością bądź będzie pozostawać w spoczynku. Jeżeli wykonana nad ciałem praca ma wartość dodatnią, to ciało poruszać się będzie ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem dodatnim, jeżeli ujemną, to z przyspieszeniem ujemnym (tzn. ruchem jednostajnie opóźnionym). „Pętla śmierci” Zabawkowy samochodzik porusza się bez tarcia po tzw. ”pętli śmierci” o promieniu R . Z jakiej wysokości (względem podstawy pętli) musi rozpocząć ruch samochodzik, aby przebyć całą pętlę, nie odrywając się od niej w żadnym jej punkcie? Ruch bez tarcia na tzw. „pętli śmierci”. Na jakiej wysokości musi rozpocząć się ruch, aby ciało nie oderwało się od toru? Strategia rozwiązania Na oznaczono siły działające na ciało. Jedyną siłą wykonującą pracę w tym układzie jest siła grawitacji – wykonuje ona pracę dodatnią. Z zasady zachowania energii prędkość ciała w punkcie znajdującym się na wysokości 2R będzie zależna od początkowej wysokości: m g ( y 1 − y 2 ) = 1 2 m v 2 2 . Zapisując siły działające na ciało w najwyższym punkcie pętli otrzymujemy zależność w postaci: a 2R = F m = N + m g m = v 2 2 R . Aby ciało nie oderwało się od toru, musi na nie działać siła o dodatniej wartości N > 0 . Podstawiając v 2 2 i N do poprzednio opisanej zależności, otrzymamy rozwiązanie. Rozwiązanie Otrzymujemy zależność: N = − m g R + m v 2 2 R = − m g R + 2 m g ( y 1 − 2 R ) R > 0 ⟹ y 1 > 5 2 R . Znaczenie Źródłem siły dośrodkowej pojawiającej się w ruchu ciała w pętli jest siła grawitacji oraz siła reakcji podłoża (toru). Odpowiednia składowa siły grawitacji powoduje spowolnienie bądź przyspieszenie ruchu ciała. Kiedy dziecko bawi się samochodzikami na takim torze, ustala wysokość, z której należy wystartować samochodzik, metodą prób i błędów. My teraz możemy to wyznaczyć za pomocą zasady zachowania energii i to bez wykorzystywania rachunku różniczkowego. Sprawdź, czy rozumiesz. Załóżmy, że promień pętli w wynosi 15 cm, a ruch rozpoczyna się na wysokości 45 cm. Jaką prędkość będzie miał samochodzik w najwyższym punkcie pętli? 3 m / s . Sprawdź na stronie Carleton College , jak wygląda kolejka górska (tzw. rollercoaster) z „pętlą śmierci”. W sytuacji, w której rodzaj ruchu ciała jest znany, ale jedna bądź więcej sił działających na ciało nie ma podanej wartości, możesz wykorzystać zasadę zachowania energii, aby je wyznaczyć. Praca zależy od siły oraz przesunięcia, więc na ich podstawie możemy znaleźć szukane wielkości. Wyznaczenie siły oporów ruchu Pocisk kalibru 0,22 LR ma masę 2,60 g i prędkość wylotową 335 m/s. Może on przebić osiem sosnowych desek, których grubość wynosi 1,90 cm. Ile wynosi średnia siła oporów ruchu pocisku (patrz: )? Opory ruchu spowodowane oddziaływaniem z deską wpływają na energię kinetyczną pocisku. Strategia rozwiązania Możemy przyjąć, że opory ruchu działające na pocisk powodują zmianę jego energii kinetycznej odpowiadającej pracy siły oporów ruchu, tj. wartości iloczynu siły oporów ruchu pomnożonej przez odległość, na którą wbił się pocisk. Całkowita grubość układu ośmiu desek będzie równa 8 ⋅ 1,90 c m = 15,2 c m . Rozwiązanie Wykorzystując zasadę zachowania energii: W wyp = − F śr Δ s stop = − E pocz , więc: F śr = 1 2 m v 2 Δ s stop = 1 2 ⋅ 2,6 ⋅ 10 − 3 k g ⋅ ( 335 m / s ) 2 0,152 m = 960 N . Znaczenie Moglibyśmy wykorzystać do rozwiązania tego zadania równania wynikające z zasad dynamiki Newtona, ale zastosowanie zasady zachowania energii jest w tym wypadku dużo prostsze. Opis fizyki zderzenia pocisku z drewnianym klockiem można znaleźć w anglojęzycznym artykule Asifa Shakura [“Bullet-Block Science Video Puzzle.” The Physics Teacher (January 2015) 53(1): 15–16]. Jeżeli pocisk jest wystrzelony bezpośrednio w środek klocka, wytraca całą energię kinetyczną i wbija się na większą głębokość niż w przypadku strzału w inne miejsce. Zgodne z zasadą zachowania energii im mniejsza strata energii kinetycznej pocisku, tym mniejsza głębokość, na którą się wbija. Więcej na ten temat dowiesz się z rozdziału Moment siły . Wybróbuj aplikację PhET simulation nazywającą się the ramp , czyli pochylnia. Sprawdź, jak zmiana działającej siły wpływa na energię kinetyczną ciała. Podsumowanie Ze względu na to, że siła wypadkowa, zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia, tj. pierwszej pochodnej prędkości po czasie, całkowita praca wykonana nad cząstką w ruchu będzie odpowiadać zmianie jej energii kinetycznej. Jest to zasada równoważności pracy i energii kinetycznej - szczególny przypadek zasady zachowania energii mechanicznej. Możesz wykorzystać tę zasadę do rozwiązywania zadań w sposób dużo prostszy niż z wykorzystaniem zasad dynamiki Newtona. Pytania Człowiek pokazany na rysunku kosi trawnik, przykładając siłę do kosiarki. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pchanie kosiarki zwiększało energię kinetyczną kosiarki, a jakie, aby zmniejszało? Kosiarka zwiększałaby energię dla − 90 ∘ < θ < 90 ∘ i traciła dla 90 ∘ < θ < 270 ∘ . W przypadku ruchu z tarciem oczywiście kosiarka zmniejszałaby swoją energię na przeciwdziałanie sile tarcia, ale zakładamy w tym przypadku, że tarcie jest pomijalnie małe. Praca wykonana nad układem zwiększa jego energię całkowitą. Praca wykonana przez układ zmniejsza jego energię. Podaj przykłady ilustrujące te twierdzenia. Dwie kulki o masach m i 2 m zostają upuszczone z wysokości h . Porównaj ich energie kinetyczne w momencie uderzenia w ziemię. Załóż, że praca wykonana przez siły oporu ruchu wynosi zero. Energia kinetyczna drugiej kulki będzie dwa razy większa niż pierwszej. Porównaj pracę potrzebną do przyspieszenia ciała o masie 2000 kg z 30,0 do 40,0 km/h z pracą potrzebną do zmiany jego prędkości z 50,0 do 60,0 km/h. Biegniesz ze stałą prędkością. Czy wykonujesz jakąś pracę względem środowiska cię otaczającego i vice versa ? Jeżeli nie przyjmiesz założenia, że w danej sytuacji nie ma tarcia, to zawsze wykonujesz dodatnią pracę, żeby przeciwdziałać pracy siły tarcia działającej na ciebie. W przypadku stałej prędkości praca wypadkowa w takim układzie wynosi zero. Dwie siły zwiększają dwukrotnie prędkość cząstki o początkowej energii kinetycznej 1 J. Jedna z tych sił wykonuje pracę równą 4 J. Jaką pracę wykonuje druga siła? Zadania Oblicz siłę potrzebną do zatrzymania na odcinku 120 metrów samochodu o masie 950 kg poruszającego się z prędkością 90 km/h. Jaka będzie ta siła, jeżeli zatrzymanie nastąpi na odcinku 2 metrów, na skutek zderzenia z betonową ścianą? Jaki będzie stosunek tych dwóch sił? Zderzaki samochodowe są tak zaprojektowane, aby przeciwdziałać siłom działającym przy zderzeniu z nieruchomym obiektem z prędkością 4 km/h (1,1 m/s). Wyznacz, jaka średnia siła działa na zderzak, który ulega odkształceniu o 0,2 metra w trakcie zderzenia samochodu o masie 900 kg ze ścianą, jeśli samochód ma początkową prędkość 1,1 m/s. 2,72 kN. Rękawice bokserskie są wyścielone miękkim materiałem, aby zmniejszyć siłę uderzenia. Wyznacz siłę działającą przy uderzeniu w twarz przeciwnika, jeżeli rękawica ulega w jego trakcie odkształceniu o 7,50 cm przy ciosie zadanym ręką o masie 7 kg poruszającą się z prędkością 10 m/s. Oblicz, ile wynosiłaby siła uderzenia, gdyby nie stosowano rękawic, a pięść uległaby odkształceniu tylko o 2 cm. Przyjmij, że masa rękawicy w pierwszym przypadku była pomijalna. Przeanalizuj wpływ rękawic na siłę uderzenia. Czy przy zastosowaniu rękawic wyrządzamy mniejszą krzywdę przeciwnikowi niż bez nich? Stosując podejście uwzględniające zasady dotyczące energii, wyznacz średnią siłę, jaką działa sprinter o masie 60 kg na tor, aby przyspieszyć z 2 do 8 m/s na odcinku 25 metrów, jeżeli całkowite siły oporu wiatru, którym się przeciwstawia, wynoszą 30 N. 102 N. Pudło o masie 5,0 kg jest ciągnięte z przyspieszeniem 2,0 m / s 2 po płaszczyźnie; współczynnik tarcia pomiędzy pudłem a podłożem wynosi μ k = 0,50 Wyznacz pracę, jaką na odcinku 10 cm wykonuje: siła przyłożona do pudła, siła tarcia, siła wypadkowa. Jaka jest zmiana energii kinetycznej pudła w tym ruchu? Stała pozioma siła o wartości 10 N działa na wózek o masie 20 kg. Jaka będzie prędkość wózka po przejechaniu 8,0 m? Zakładamy, że wózek porusza się bez tarcia. 2,8 m/s. Ile będzie wynosiła prędkość w poprzednim zadaniu, jeżeli siła będzie przyłożona do wózka pod kątem 45 ∘ względem poziomu? Porównaj pracę potrzebną do zatrzymania skrzyni o masie 100 kg, zsuwającej się z prędkością 1,0 m/s i pocisku o masie 8,0 g przemieszczającego się z prędkością o prędkości 500 m/s. W ( pocisk ) = 20 · W ( skrzynia ) . Wóz wraz z pasażerami stoi na szczycie wzgórza. Zostaje popchnięty i zsuwa się 100 metrów wzdłuż zbocza, które jest nachylone pod kątem 10 ∘ w stosunku do poziomu. Jaka jest prędkość wozu po przejechaniu 100 metrów? Przyjmij, że ruch odbywa się bez tarcia. Pocisk o masie 8 g poruszający się z prędkością 800 m/s wbija się w drewniany klocek na głębokość 20 cm. Jaka jest średnia siła oporów ruchu? Przyjmij, że masa klocka jest dużo większa niż masa pocisku (po zderzeniu pozostaje on w spoczynku). 12,8 kN. Klocek o masie 2 kg zostaje wepchnięty na równię pochyłą o kącie nachylenia 37 ∘ względem poziomu z prędkością 10 m/s. Współczynnik tarcia klocka o równię wynosi μ k = 0,30 . Oblicz, jaką odległość od początku równi przebędzie klocek do momentu zatrzymania. Po zatrzymaniu się klocek zaczął się zsuwać w dół równi. Jaką uzyska prędkość u podnóża równi? ( Wskazówka: Zauważ, że dla ruchu w górę i w dół tylko siła tarcia wykonuje pracę.) 3-kilogramowy klocek dociska o 8,0 cm nieważką sprężynę o współczynniku sprężystości 4,5 ⋅ 10 3 N / m . Po uwolnieniu klocka przesuwa się o 2 m i zatrzymuje na skutek działania sił tarcia. Jaki jest współczynnik tarcia klocka o podłoże? 0,25. Klocek o masie 200 g zsuwa się z punktu A do punktu B , gdzie uzyskana prędkość wynosi v B = 8,0 m / s , a następnie porusza się po poziomej płaszczyźnie i zatrzymuje się w punkcie C . (Patrz rysunek.) Ile wynosi w tym ruchu praca sił tarcia? Ile wynosi współczynnik tarcia klocka o podłoże na odcinku poziomym? Ciało zsuwa się z równi pochyłej bez tarcia, a następnie po zjechaniu z niej porusza się z tarciem po torze poziomym i zatrzymuje się po 5 sekundach ruchu, przebywszy 60 metrów. Jaka jest prędkość ciała na dole równi pochyłej? Jaka jest wysokość równi? 24 m/s; 29,4 m. Ciało o masie 100 g zsuwa się ze zbocza pokazanego na rysunku, uzyskując na samym dole prędkość 4  m / s . Jaka była praca sił tarcia? Pocisk z przebija na wylot drzwi o grubości jednej deski. Jaka jest prędkość pocisku po przebiciu drzwi? 310 m/s. Sanie zsuwają się z górki o kącie nachylenia 22 ∘ względem poziomu. Po zsunięciu się o 75 metrów wzdłuż zbocza ich prędkość wynosiła 14 m/s. Jaki był współczynnik tarcia sanek o podłoże? praca wypadkowa (ang. net work ) praca wszystkich sił działających na ciało zasada równoważności pracy i energii (ang. work–energy theorem ) praca wypadkowa sił działających na ciało jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała

Science


Moc Pojęcie pracy jest związane z siłą oraz przemieszczeniem, natomiast zasada równoważności pracy i energii kinetycznej wiąże ze sobą pracę wykonaną nad ciałem i jego energię kinetyczną. Żadne ze wspomnianych pojęć bezpośrednio nie wiąże się z czasem, jednakże wiemy z doświadczenia, że czasami ważne jest, w jakim czasie wykonana jest dana praca. We wstępie do rozdziału umieszczono zdjęcie sprinterek, z których każda wykonuje taką samą pracę na tym samym odcinku, ale w różnym czasie – i to czas właśnie jest w tym przypadku najistotniejszy. Aby powiązać ze sobą pracę i czas, w którym została wykonana, używamy nowego pojęcia – mocy. Jako że praca może być funkcją czasu, wprowadzono termin mocy średniej (ang. average power ) jako skończoną wartość pracy wykonanej w skończonym czasie: P śr = Δ W Δ t . Możemy więc zdefiniować pojęcie mocy chwilowej, często określanej po prostu jako moc (ang. power ). Moc Moc jest definiowana jako nieskończenie mała praca wykonana w nieskończenie krótkim czasie: P = d W d t . Jeżeli moc jest stała w danym przedziale czasu, to średnia moc jest równa mocy chwilowej. Wtedy pracę możemy zapisać jako W = P Δ t . Jeżeli praca ma wartość zmienną w czasie, to jej wartość jest wyrażana jako całka w postaci: W = ∫ P d t . Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej opisuje zamianę jednej formy energii na drugą. Analogicznie pojęcie mocy opisuje szybkość takiej zamiany. Jednostką energii (pracy) w układzie SI jest dżul (1 J), więc zgodnie z definicją mocy jednostką mocy jest dżul na sekundę czyli wat: 1 J / s = 1 W . Inną często spotykaną (szczególnie w technice) jednostką jest koń mechaniczny: 1 K M = 746 W . Podciąganie się na drążku Rekrut ważący 80 kg wykonuje 10 podciągnięć na drążku w 10 sekund ( ). Jaka jest średnia moc uwalniana przez jego mięśnie? ( Wskazówka: Aby rozwiązać to zadanie, musisz dokonać rozsądnych przybliżeń.) Jaka moc wyzwalana jest w przypadku wykonania przez rekruta 10 podciągnięć w 10 sekund? Strategia rozwiązania Praca przeciwko sile grawitacji przy ruchu z góry w dół na odcinku Δ y może zostać zapisana w postaci m g Δ y . (Jeśli będziesz wykonywał w trakcie podciągania ruch w dół ze stałą prędkością, siła Twoich mięśni będzie działała również przeciwko sile grawitacji.) Zatem praca wykonana podczas całego ruchu (w górę i w dół) wynosi: 2 m g Δ y . Przyjmijmy, że Δ y = 2 f t ≈ 60 c m . Przyjmijmy również, że ręce stanowią 10% masy ciała i nie są podnoszone w trakcie podciągania się. Przy tych założeniach możemy wyznaczyć pracę wykonaną w trakcie 10 podciągnięć i wyznaczyć moc wyzwoloną w ciągu 10 sekund. Rozwiązanie Uwzględniając wcześniejsze założenia otrzymujemy: P śr = 10 ⋅ 2 ⋅ ( 0,9 ⋅ 80 k g ) ⋅ 9,8 m / s 2 ⋅ 0,6 m 10 s = 850 W . Znaczenie Wynik ten odpowiada mocy wydzielonej przy standardowych ćwiczeniach wysiłkowych. Odpowiada to mocy trochę większej niż jeden koń mechaniczny ( 1 K M = 746 W ). Sprawdź, czy rozumiesz: Oszacuj moc wydzielaną przy podnoszeniu sztangi o masie 150 kg na wysokość 2 m w czasie 3 s. 980 W. Moc związaną z wprowadzeniem ciała w ruch można wyrazić poprzez siłę działają na to ciało. Jeżeli siła F → działa na ciało, które zostaje przemieszczone o d r → w czasie d t , to moc będzie równa: P = d W d t = F → ⋅ d r → d t = F → ⋅ d r → d t = F → ⋅ v → , gdzie v → jest prędkością ciała. Zależność jest prawdziwa przy założeniu, że siła F → jest stała w czasie. Moc samochodu poruszającego w górę zbocza Jaka musi być minimalna moc silnika samochodu o masie 1200 kg, aby wjechać pod górę zbocza o nachyleniu 15% z prędkością 90 km/h ( )? Przyjmij, że 25% mocy samochodu jest wykorzystywane do przeciwdziałania siłom oporu ruchu. Chcemy obliczyć moc silnika samochodu wjeżdżającego pod górę ze stałą prędkością. Strategia rozwiązania Przy stałej prędkości zmiana energii kinetycznej równa jest zero, w związku z tym cała wykonana praca jest wykorzystywana do przeciwdziałania sile grawitacji i siłom oporu ruchu. Z założeń zadania wiemy, że 75% mocy jest wykorzystywane tylko do przeciwdziałania sile grawitacji. Moc ta jest równa m g → ⋅ v → = m g v sin  θ , gdzie θ jest kątem nachylenia zbocza. Nachylenie zbocza odpowiada zależności tg  θ = 0,15 . Rozwiązanie Na podstawie wcześniej prowadzonych zależności otrzymujemy: 0,75 P = m g v sin  ( arctg  0,15 ) , lub P = 1200 ⋅ 9,8  N / 3,6  s ⋅ sin 8,53 ° 0,75 = 58  kW  , co odpowiada 78 KM. Znaczenie Wartość obliczona odpowiada mocy silnika małego samochodu. Zauważ jednak, że wyznaczona wartość odpowiada tylko i wyłącznie ruchowi samochodu, a nie uwzględnia mocy traconej np. na ciepło. Aby samochód faktycznie mógł poruszać się w świecie rzeczywistym, moc jego silnika musiałaby być znacznie większa. Podsumowanie Moc wyraża szybkość zmian pracy w czasie. Wyznaczamy ją jako pochodną pracy po czasie. Z kolei aby wyznaczyć pracę, znając wartość mocy, musimy obliczyć całkę z mocy w funkcji czasu. Moc możemy też wyznaczyć jako iloczyn skalarny prędkości i siły działającej na ciało. Najważniejsze wzory Praca wykonana przez siłę na nieskończenie małym odcinku d W = F → ⋅ d r → = | F → | | d r → | cos  θ Praca wykonana na odcinku z A do B W A B = ∫ droga A B F → ⋅ d r → Praca stałej siły tarcia W T = − m g μ k | l A B | Praca wykonana przeciwko sile grawitacji na odcinku z A do B W graw A B = − m g ( y B − y A ) Praca ściskania/rozciągania sprężyny od długości A do B W spręż A B = − 1 2 k ( x B 2 − x A 2 ) Energia kinetyczna (nierelatywistyczna) E = 1 2 m v 2 = p 2 2 m Równoważność pracy i energii kinetycznej W wyp = E B − E A Definicja mocy P = d W d t Moc jako iloczyn skalarny prędkości i siły P = F → ⋅ v → Pytania Większość sprzętów gospodarstwa domowego jest oceniana za pomocą poboru mocy w watach. Czy zaklasyfikowanie pod tym względem zależy od tego, czy sprzęty te są włączone, czy też nie zależy? (Czy jeżeli są wyłączone, to znaczy, że mają moc równą zero?) Odpowiedz na to pytanie uwzględniając definicję mocy. Sprzęt gospodarstwa domowego jest oceniany na podstawie mocy pobieranej w stosunkowo małym czasie. Nie ma znaczenia, jak długo jest włączony, istotna jest tylko energia pobierana przez nie w jednostce czasu. Wyjaśnij, czemu zużycie energii jest wyrażane w kilowatogodzinach? Jaki jest związek pomiędzy tą jednostką a dżulem? W trakcie wyładowania elektrostatycznego, takiego jak przy zdejmowaniu poliestrowego swetra czy przy grze w koszykówkę, moc może sięgnąć kilkuset kilowatów. Jak to możliwe, że nie dzieje nam się przy tym większa krzywda? Wyładowanie jest krótkotrwałe, więc energia przekazana do naszego ciała jest niewielka. Czy praca potrzebna do podniesienia przedmiotu zależy od czasu, w którym to zrobimy? A moc? Czy moc może przyjmować wartości ujemne? Jeśli siła działająca na ciało ma zwrot przeciwny do wektora prędkości ciała, to moc może być ujemna. Czy żarówka o mocy 50 W może zużywać więcej energii niż kuchenka o mocy 1000 W? Odpowiedź uzasadnij. Zadania Człowiek o dobrej sprawności fizycznej może wytworzyć do 100 W mocy, np. zasilając silnik elektryczny przez pedałowanie jak na rowerze. Zakładając, że taki silnik przetwarzałby energię bezstratnie: ile osób byłoby potrzebnych, aby zasilić suszarkę o mocy 4 kilowatów do ubrań? ile osób byłoby potrzebnych, aby zastąpić elektrownię wytwarzającą 800 MW mocy? 40; 8 milionów Jaki jest koszt pracy zegara o mocy 3 W przez rok, zakładając cenę 0,50 zł za k W h ? Klimatyzator zużywa 15,0 kW mocy. Jaki jest koszt użytkowania klimatyzatora w Kalifornii przez 3,00 h dziennie przez 30,0 dni jeżeli koszt k W h wynosi 0,50 zł? 675 zł. Jaki jest roczny koszt użytkowania urządzenia, które zużywa 100 k W h mocy dziennie? Jaką ilość energii zużywa ono rocznie (w dżulach)? Jaka jest średnia moc człowieka który wykonuje pracę 6,00 ⋅ 10 6 J przez 8,00 h? Ile czasu zajmie takiemu człowiekowi podniesienie 2000 kg cegieł na platformę znajdującą się na wysokości 1,50 m? (Pomiń masę człowieka.) 208 W; 141 s Motocykl o masie 500 kg przyspiesza od zera do 110  m / s na odcinku 400 metrów. Średnia siła tarcia na tym odcinku wynosiła 1200 N. Jaka jest średnia moc silnika motocykla, jeżeli przyspieszenie do 110  m / s zajęło mu 7,3 sekundy? Ile czasu będzie potrzebował samochód o masie 850 kg i mocy 40 KM, aby uzyskać prędkość 15 m/s przy założeniu, że zaniedbujemy tarcie? Ile czasu zajmie przyspieszenie do tej prędkości, jeżeli samochód będzie wjeżdżał pod górkę o wysokości 3 metrów? 3,20 s; 4,04 s. Znajdź moc silnika windy, która unosi ciężar 2500 kg na wysokość 35,0 m w 12,0 s, jednocześnie przyspieszając od 0 do 4,00 m/s. Dla tej windy przeciwwaga wynosi 10 000 kg, więc pomimo tego, że tylko 2500 kg jest podnoszone na wysokość h, to przyspieszenie dotyczy również przeciwwagi. Jaki jest koszt pracy windy, jeżeli jednostkowy koszt k W h wynosi 0,50 zł? Jak długo zajmie samolotowi o masie 1,50 ⋅ 10 5 k g i mocy silników 100 MW uzyskanie prędkości 250 m/s i wysokości 12,0 km, jeżeli opory ruchu są pomijalnie małe? Jeżeli zajęłoby to 900 s, to jaka byłaby moc silników? Zakładając, że moc się nie zmieniła, ile wynosiły siły oporów ruchu, jeżeli zajęłoby to aż 1200 s? ( Wskazówka: Musisz wyznaczyć odcinek, który przebędzie samolot ze stałym przyspieszeniem przez 1200 sekund.) 224 s; 24,8 MW; 49,7 kN. Oblicz moc potrzebną, aby 950-kilogramowy samochód wjechał pod górkę o kącie nachylenia wynoszącym 2,00 ∘ ze stałą prędkością 30,0 m/s, przeciwstawiając się sile wiatru wynoszącej 600 N. Mężczyzna o masie 80 kg wbiega po schodach na wysokość 20 metrów w czasie 10 sekund. Jaka była moc potrzebna, żeby tego dokonać? Jeżeli wydajność ciała mężczyzny wynosiła 25%, to jaka była jego moc całkowita? 1,57 kW; 6,28 kW. Człowiek z poprzedniego zadania wykorzystuje w przybliżeniu energię równą 1,05 ⋅ 10 7 J (2500 kalorii) dziennie, zachowując stałą masę ciała. Jaka jest średnia moc człowieka w ciągu dnia? Porównaj to z mocą potrzebną do wbiegania po schodach. Elektron w lampie kineskopowej przyspiesza od zera do prędkości 8,4 ⋅ 10 7 m / s na odcinku 2,5 cm. Jaka moc jest dostarczana do elektronu w czasie potrzebnym na przemieszczenie się elektronu o 1,0 cm? 6,83 μ W . Węgiel jest wywożony z kopalni na powierzchnię z głębokości 50 metrów przez windę wyposażoną w silnik o mocy 500 W. Ile węgla wywożone jest w ciągu minuty na powierzchnię? Zaniedbaj opory ruchu. Dziewczynka ciągnie wózek o masie 15 kg po płaskim chodniku, przykładając siłę o wartości 10 N pod kątem 37 ∘ do poziomu. Przyjmij, że tarcie zaniedbujemy, a prędkość początkowa wynosi zero. Jaka jest moc wyzwolona w tym ruchu w ciągu 2,0 s? Jaka jest jej moc chwilowa (ang. instantaneous power ) dla t = 2,0 s ? 8,51 J; 8,51 W. Typowy silnik samochodowy ma sprawność wynoszącą 25%. Przyjmij średnią moc ważącego 1000 kg samochodu jako 140 KM. Jaki jest maksymalny kąt nachylenia wzgórza, pod które taki samochód podjedzie ze stałą prędkością wynoszącą 50 km/h, jeżeli siły oporu ruchu wynosiły 300 N? Biegnąc z prędkością 13 km/h, osoba ważąca 70 kg zużywa mniej więcej 850 W mocy. Zakładając, że proces konwersji mocy ma sprawność 25%, ustal, jaką moc musi zużyć człowiek wbiegający ze stałą prędkością pod górę o kącie nachylenia 5,0 ∘ względem poziomu. Załóż, że w obu przypadkach działają takie same opory ruchu. 1,7 kW. Zadania dodatkowe Wózek przebywa odległość D po płaskiej, poziomej powierzchni na skutek działania siły F skierowanej pod kątem θ względem poziomu. Na wózek działają również siły grawitacji ( Q ), reakcji podłoża ( F R 1 ) i ( F R 2 ) oraz tarcia tocznego F T 1 i F T 2 (jak pokazano na rysunku). Jaką pracę wykonują poszczególne siły? Na cząstkę działają różne siły, z których jedna (stała w czasie) może być opisana zależnością: F → 1 = 3 N ⋅ i ^ + 4 N ⋅ j ^ . W rezultacie przemieszcza się ona wzdłuż osi x od x = 0 m do x = 5 m w pewnej chwili czasu. Jaką pracę wykonała siła F → 1 w tym czasie? 15 N ⋅ m . Na cząstkę działają różne siły, z których jedna (stała w czasie) może być opisana zależnością: F → 1 = 3 N ⋅ i ^ + 4 N ⋅ j ^ . W rezultacie przemieszcza się ona wzdłuż osi x od x = 0 m do x = 5 m , a następnie wzdłuż osi y od y = 0 m do y = 6 m . Jaką pracę wykonała siła F → 1 w tym czasie? 39 N ⋅ m . Na cząstkę działa siła, której wartość zależy od punktu położenia. Siła ta dana jest zależnością: F → 1 = 2 y ⋅ i ^ + 3 x ⋅ j ^ . Oblicz pracę, jaką wykona ta siła przy przesunięciu cząstki o 5 metrów w prawo w stosunku do punktu przecięcia osi współrzędnych. Chłopiec ciągnie wózek o masie 5 kg przez pewną chwilę czasu, przykładając siłę 20 N pod kątem 30 ∘ względem poziomu. Wózek przebywa odległość 12 metrów. Oblicz pracę, jaką wykonał chłopiec. Jaka byłaby praca wykonana przez chłopca, gdyby siła była przyłożona poziomo, a nie pod kątem? Ruch odbywa się bez tarcia. 208 N ⋅ m ; 240 N ⋅ m . Skrzynia o masie 200 kg musi zostać przetransportowana z parteru na trzecie piętro. Tragarze najpierw mogą wjechać windą na trzecie piętro, a następnie przesunąć skrzynię po podłodze do właściwego mieszkania lub najpierw przesunąć skrzynię do punktu C , użyć windy, a następnie przesunąć skrzynię o krótszy niż wcześniej odcinek do mieszkania. Problemem jest to, że podłoga na trzecim piętrze jest dużo bardziej chropowata niż na parterze. Zakładając, że współczynnik tarcia pomiędzy skrzynią a podłogą na parterze wynosi 0,1, a na trzecim piętrze 0,3, znajdź pracę potrzebną do przetransportowania skrzyni z punktu A do E . Przyjmij, że tragarze muszą użyć takiej siły, aby skrzynia poruszała się ze stałą prędkością. Uwaga: Praca wykonywana przez windę przeciwko sile grawitacji nie wlicza się do rachunków, bo nie jest wykonywana przez tragarzy. Krążek hokejowy o masie 0,17 kg porusza się po powierzchniach o różnym współczynniku tarcia, zależnym od położenia. Dla ruchu wzdłuż osi x współczynnik tarcia dany jest zależnością: μ ( x ) = 0,1 + 0,05 x . Znajdź pracę siły tarcia na odcinku (a) od x = 0 m do x = 2 m , i (b) od x = 2 m do x = 4 m . − 0,9 N ⋅ m ; − 0,83 N ⋅ m . Pionowa siła o wartości 20 N pozwala na podnoszenie ze stałą prędkością pudełka o masie 5 kg po równi pochyłej. Ruch odbywa się bez tarcia, a zmiana wysokości, na której znajduje się pudełko wynosiła 3 metry. Jaką pracę wykonała siła grawitacji przy tym ruchu? Jaką pracę wykonała praca wypadkowa? Jaką pracę wykonała siła działająca na klocek? Pudło o masie 7 kg jest przesuwane bez tarcia po poziomej podłodze z prędkością 1,7 m/s i zderza się z nieważką sprężyną, która na skutek zderzenia ulega ściśnięciu o 23 cm. Jaka jest energia kinetyczna pudła przed zderzeniem? Oblicz pracę wykonaną przez siłę sprężystości sprężyny. Wyznacz współczynnik sprężystości sprężyny. 10 J; 10 J; 380 N/m. Samochód porusza się po poziomej drodze. Współczynnik tarcia pomiędzy oponami a podłożem wynosi 0,55. Kawałek gruzu nagle spada przed samochodem, na skutek czego kierowca nagle wciska hamulec. To z kolei powoduje nagłe zatrzymanie się go na drodze 30,5 metrów, co można zaobserwować za pomocą śladów na jezdni. Kiedy policjant obejrzał ślady, dał kierowcy mandat za przekroczenie dozwolonej prędkości 13,4 m/s. Czy miał rację? Skrzynia jest pchana po poziomej chropowatej powierzchni. Kiedy działające na nią siły przestaną działać, zwolni i w końcu się zatrzyma. Jeżeli skrzynia o masie 50 kg poruszająca się z prędkością początkową 8 m/s zatrzyma się po czasie 10 sekund, to jaka jest moc siły tarcia w tym ruchu? 160 J/s Przyjmijmy, że pozioma siła o wartości 20 N jest potrzebna, aby skrzynia o masie 50 kg poruszała się ze stałą prędkością 8 m/s. Jaka jest moc działającej siły? Przyspieszenie w tym ruchu wynosi zero pomimo tego, że na skrzynię działa siła 20 N. Co się w takim układzie dzieje z pracą siły działającej na skrzynię? Nasiona spadają pionowo w dół z szybkością nasypową 10 kg/s na pas transmisyjny poruszający się z prędkością 2 m/s. Jaka siła jest potrzebna, aby pas poruszał się ze stałą prędkością? Jaka jest minimalna moc uzyskiwana z silnika napędzającego ten pas? 10 N; 20 W. Rowerzysta wjeżdża pod górkę o kącie nachylenia 5 ∘ z prędkością 8 m/s. Jeżeli jego masa wraz z rowerem wynosi 80 kg, to jaką musi on generować moc, aby to zrobić? Zadania trudniejsze Rysunek pokazuje 40 kilogramową skrzynię wpychaną na odległość 8 metrów po równi pochyłej o kącie nachylenia 30 ∘ pod działaniem siły F → działającej równoległe względem podstawy równi. Współczynnik tarcia skrzyni o równię wynosi μ k = 0,40 \mu_{\text{k}} = \num{0,40} . Oblicz pracę siły przyłożonej do skrzyni, siły tarcia, siły grawitacji oraz siły wypadkowej. Przy ruchu skrzyni w górę: 3,46 kJ; −1,89 kJ; −1,57 kJ; 0 N; Przy ruchu w dół: −0,39 kJ; −1,18 kJ; 1,57 kJ; 0 N. Jaka byłaby praca siły tarcia w poprzednim zadaniu, jeżeli współczynnik tarcia skrzyni o powierzchnię równi zmalałby w taki sposób, że pod działaniem takiej samej poziomo skierowanej siły po przebyciu 8 metrów jej prędkość wynosiłabym 5 m/s? Siła F ( x ) zależy od położenia tak jak pokazano na rysunku. Znajdź pracę tej siły przy zmianie położenia cząstki z x = 1,0 m do x = 5,0 m 8,0 J. Wyznacz pracę siły z wykonaną pomiędzy tymi samymi punktami A = ( 0 m , 0 m ) i B = ( 2 m , 2 m ) wzdłuż łuku o promieniu 2 m i środku promienia krzywizny w punkcie ( 0 m , 2 m ) . Oblicz całkowitą drogę, używając współrzędnych kartezjańskich. ( Wskazówka: Będziesz potrzebować tablicy całek.) Rozwiąż poprzednie zadanie, korzystając ze współrzędnych biegunowych. 35,7 J. Wyznacz pracę siły z , wykonaną pomiędzy tymi samymi punktami A = ( 0 m , 0 m ) i B = ( 2 m , 2 m ) , wzdłuż łuku o promieniu 2 m i środku promienia krzywizny w punkcie ( 2 m , 0 m ) . Oblicz całkowitą drogę, używając współrzędnych kartezjańskich. ( Wskazówka: Będziesz potrzebować tablicy całek.) Rozwiąż poprzednie, zadanie korzystając ze współrzędnych biegunowych. 24,3 J. Stała moc P dostarczana jest przez silnik do samochodu o masie m . Wykaż, że w przypadku gdy zaniedbujemy siły oporów ruchu, odległość, którą pokonuje on od momentu rozpoczęcia ruchu w czasie t , jest dana wyrażeniem s = ( 8 P / 9 m ) 1 / 2 t 3 / 2 . Załóżmy, że opór powietrza nie zależy od prędkości samochodu. Kiedy samochód porusza się z prędkością 15 m/s, silnik dostarcza do jego kół moc 20 KM. Ile wynosi moc dostarczana do kół przy prędkości 30 m/s? Ile energii jest potrzebne, aby przejechać 10  km tym samochodem z prędkością 15 m/s, a ile z prędkością 30 m/s? Możemy założyć, że silnik posiada sprawność 25%. Odpowiedz na pytanie (b), nie uwzględniając pierwszego założenia i przyjmując, że opór powietrza jest wprost proporcjonalny do prędkości. 40 KM; 39,8 MJ; 80 KM, 79,6 MJ przy 30 m/s. Załóż, że sprężyna z (a) ma masę M (gęstość liniowa sprężyny jest stała). Lewy koniec sprężyny jest zamocowany na stałe do ściany, natomiast prawy w pozycji równowagi x = 0 m porusza się z prędkością v na kierunku x . Jaka jest całkowita energia kinetyczna sprężyny? ( Wskazówka: Najpierw napisz wyrażenie opisujące energię kinetyczną nieskończenie małej masy sprężyny d m w odniesieniu do masy całej sprężyny i jej długości w położeniu równowagi oraz długości sprężyny, a następnie oblicz odpowiednią całkę.) średnia moc (ang. average power ) stosunek pracy do czasu, w którym została wykonana moc (ang. power ) (także: moc chwilowa) stosunek nieskończenie małej wartości pracy do nieskończenie małego czasu, w którym została wykonana

Science


Wstęp Zdjęcie przedstawia fragment rzeźby „Kulkowa Machina” autorstwa George'a Rhoadsa. Kulka w tym układzie jest podnoszona, kręci się, spada, odbija i zderza z różnymi elementami toru. W trakcie tej podróży energia kinetyczna kulki zmienia się w określony, przewidywalny sposób, który zależy od jej położenia i oddziaływania z innymi obiektami. (Źródło: modyfikacja pracy Rolanda Tanglao) W dziele George'a Rhoadsa ruch kulek jest bezpośrednim wynikiem spełnienia zasady zachowania energii. Zasada zachowania energii łączy interakcje pomiędzy kulkami ze zmianą energii kinetycznej oraz jej konwersją na inne formy energii. W tym rozdziale wprowadzimy pojęcie energii potencjalnej i wyjaśnimy jego znaczenie w kontekście ruchu mechanicznego. Pozwoli nam to na sformułowanie zasady zachowania energii i zastosowanie jej w prostych układach, co w znaczącym stopniu ułatwia ich rozwiązanie. Końcowa część rozdziału dotycząca różnych źródeł energii pozwoli nam zrozumieć reguły konwersji jednego rodzaju energii w drugą. W dalszych częściach książki zasada zachowania będzie, wraz z rosnącą złożonością poruszanych zagadnień, stosowana w coraz bardziej szczegółowy sposób.

Science