Źródła energii W tym rozdziale zajmowaliśmy się energią. Nauczyliśmy się, że może ona przyjąć różne formy i ulegać przemianom. Temat energii jest poruszany bardzo często, zarówno w kontekście spraw codziennych, jak i w naukowym. Dzieje się tak, ponieważ energia występuje we wszystkich procesach fizycznych. Powinno być już jasne, że wiele problemów najłatwiej zrozumieć albo przedstawić za pomocą rozważań energetycznych. Żaden z dotychczasowych uznanych eksperymentów fizycznych nie podważa zasady zachowania energii. Prace eksperymentalne, które początkowo zdawały się przeczyć tej regule, w ostateczności prowadziły do odkrycia nowych form energii. Jakie są rodzaje energii? Większość z nich omówimy w dalszych rozdziałach (zobacz także ), ale kilka przypadków rozważymy już teraz: Cząstki i atomy będące składowymi wszystkich ciał są w ciągłym ruchu. Polega on na złożeniu losowych drgań, a energia kinetyczna związana z tym ruchem nazywana jest energią cieplną (ang. thermal energy ). Jak sama nazwa wskazuje, jest ona związana z temperaturą ciała. Zauważmy, że energia cieplna może być przenoszona z miejsca na miejsce, np. poprzez przewodnictwo cieplne, konwekcję lub radiację. W takich przypadkach mówimy o transporcie ciepła . Energia elektryczna (ang. electrical energy ) jest bardzo popularnym rodzajem energii i wykorzystujemy ją do wykonania pracy w wielu praktycznych zastosowaniach. Paliwa, czyli na przykład benzyna lub jedzenie, zawierają w sobie energię chemiczną (ang. chemical energy ). Jest to forma energii potencjalnej wynikającej z wiązań i budowy cząsteczkowej danej substancji. Energia chemiczna może zostać zamieniona na cieplną, np. poprzez utlenienie. Reakcje chemiczne mogą też prowadzić do powstawania energii elektrycznej, tak jak ma to miejsce w bateriach. Natomiast energia elektryczna może być zamieniona na cieplną lub świetlną w urządzeniach takich jak grzejnik elektryczny czy żarówka. Światło widzialne jest jedną z form fali elektromagnetycznych, które są związane z pewną energią promieniowania (ang. radiant energy ). Do tego rodzaju energii zaliczamy fale radiowe, podczerwone (IR), nadfioletowe (UV), rentgenowskie oraz gamma. Wszystkie ciała posiadające energię cieplną wypromieniowują energię w postaci fal elektromagnetycznych. Energia jądrowa (ang. nuclear energy ) powstaje w wyniku reakcji i procesów, w których dochodzi do zamiany masy na energię. Energia jądrowa ulega przemianie w energię promieniowania Słońca czy cieplną w reaktorach jądrowych, która potem jest zamieniana na elektryczną w turbinach parowych. Wszystkie rodzaje energii mogą ulegać przemianie jedna w drugą i, do pewnego stopnia, mogą być zamieniane na pracę mechaniczną. Energia, którą zużywamy, ma różne formy. Możemy je zamieniać na inne poprzez odpowiednie procesy. Będziemy analizować wiele z tych procesów w następnych rozdziałach. (Źródło: „Słońce” EIT SOHO Consortium, ESA, NASA; Żródło: „ogniwa słoneczne” „kjkolb”/Wikimedia Commons; źródło: „palnik gazowy” Steven Depolo) Procesy przemiany energii z jednego rodzaju w drugi zachodzą nieustannie w otaczającym nas świecie. Energia chemiczna pożywienia jest zamieniana na energię cieplną poprzez metabolizm, a energia świetlna – w chemiczną poprzez fotosyntezę. Inny rodzaj konwersji energii ma miejsce w ogniwach fotowoltaicznych. Światło słoneczne padające na ogniwa podlega przemianie na elektryczność, która potem może być wykorzystana do napędzania silników lub ogrzewania wody. W innym przykładzie energia chemiczna zgromadzona w węglu jest przekształcana podczas spalania w piecu na energię cieplną, którą potem wykorzystuje się do zamiany wody w parę wodną. Para wodna ulega rozprężeniu wraz ze wzrostem temperatury, a zatem część energii cieplnej zamienia się w mechaniczną. Energia mechaniczna gazu napędza turbinę, która w ten sposób wytwarza prąd elektryczny. W omawianych przykładach niecałą energię początkową udaje się zamienić w formę końcową, ponieważ część energii jest zawsze przekazywana otoczeniu (np. poprzez rozproszenie). Energia jest bardzo ważna w każdym aspekcie życia ludzkiego. Żyjemy w świecie pełnym współzależności i dostęp do odpowiedniej ilości niezawodnych zasobów energetycznych jest kluczowy dla wzrostu ekonomicznego i utrzymania jakości życia ludzkiego na odpowiednim poziomie. Podstawowe rodzaje źródeł energii przedstawiono na . Rozróżniono na nim dwa podstawowe rodzaje źródeł: odnawialne (ang. renewable energy source ) oraz nieodnawialne (ang. non-renewable energy source ), a także przedstawiono dalszy, bardziej szczegółowy ich podział. Odnawialne źródła energii (OŹE) są uzupełniane poprzez procesy naturalnie przebiegające w środowisku w czasie dużo krótszym niż czas trwania cywilizacji, która zamierza z nich korzystać. Nieodnawialne źródła energii są zużywane i nie mogą zostać odnowione, bądź czas do tego potrzebny jest zbyt długi. Światowe zużycie energii z podziałem na jej źródła. Udział odnawialnych źródeł energii (OŹE) stale rośnie i osiąga już 19% całkowitej produkcji. Najważniejszym źródłem energii nieodnawialnej dla naszej cywilizacji są paliwa kopalne (ang. fossil fuels ), takie jak węgiel, ropa naftowa czy gaz ziemny. Z tego źródła powstaje około 81% zużywanej globalnie energii. Podczas spalania paliwa zachodzą reakcje chemiczne, które przekształcają energię potencjalną wiązań chemicznych w energię cieplną oraz nowe związki chemiczne będące produktami reakcji. Powstałe ciepło może zostać wykorzystane do ogrzewania budynków lub do zasilania maszyn i instalacji parowych. Silniki spalinowe oraz odrzutowe zamieniają część energii spalania, poprzez gwałtowne rozprężanie gazów, w energię mechaniczną. Do wytworzenia energii elektrycznej zazwyczaj wykorzystuje się energię związaną z rozprężaniem pary wodnej, która np. w silnikach turbinowych transformowana jest w pracę mechaniczną. Uzyskanej energii mechanicznej używa się potem do obracania uzwojeń przewodnika w polu magnetycznym, co prowadzi do powstania prądu przemiennego. Energia jądrowa to inny rodzaj energii nieodnawialnej pokazanej na , która dostarcza 3% światowego zapotrzebowania. Reakcje jądrowe uwalniają energię poprzez zamianę energii potencjalnej jądra atomowego na energię cieplną, podobnie jak w przypadku reakcji chemicznych. Uzyskane ciepło może być przekazywane lub przekształcane na inne formy w sposób analogiczny, jak w przypadku paliw kopalnych. Niepożądanym skutkiem ubocznym spalania paliw kopalnych jest uwalniany do atmosfery dwutlenek węgla, jeden z czynników wywołujących globalne ocieplenie. Natomiast wyzwaniem dla energii jądrowej są zagadnienia związane z bezpieczeństwem eksploatacji i utylizacji materiałów promieniotwórczych. Kolejny problem związany z energią nieodnawialną wiąże się z faktem, że jej źródła są ograniczone. Co więcej, obserwacja procesów rozwoju cywilizacyjnego pozwala przewidywać dalsze zwiększenie ich zużycia, tak, że może zabraknąć ich w ciągu następnych kilkuset lat. Aby przeciwdziałać tym zagrożeniom, duży nacisk kładzie się na badania i rozwój OŹE. W prace te zaangażowanych jest wielu naukowców z całego świata. Cztery z wymienionych na źródeł energii odnawialnej bazują na surowcu pochodzenia roślinnego (ciepło i elektryczność z biomasy, etanol oraz biodiesel). Konwersja energii z tych źródeł opiera się na takich samych procesach, jak w przypadku paliw kopalnych. Pozostałe najważniejsze rodzaje OŹE to: energetyka wodna, wiatrowa, słoneczna oraz źródła geotermalne. Energetyka wodna (ang. hydropower ) bazuje na przemianie energii potencjalnej grawitacji mas wody na energię kinetyczną, która towarzyszy spadkowi z wysokości. Spadająca woda wykonuje pracę, napędzając przeznaczone do tego celu turbiny, które energię mechaniczną zamieniają na elektryczną. Inny rodzaj energetyki związanej z poruszającymi się masami wody, energia prądów morskich, pływów i falowania, znajduje się na wczesnym etapie rozwoju i nie jest wykorzystywany na szeroką skalę. Energia wiatrowa (ang. wind power ) natomiast również wykorzystuje energię kinetyczną przepływu mas powietrza do zasilania młynów, napędzania żaglówek albo do zamiany na energię elektryczną. Wnętrze Ziemi skrywa skumulowane ogromne zasoby energii cieplnej, której część jest pozostałością procesu formowania się planety (energia potencjalna grawitacji zamieniona na ciepło), a część pochodzi z promieniowania występującego w pewnego rodzaju minerałach (jest to forma naturalnej energii jądrowej). Minie bardzo długi czas, zanim ta energia geotermalna (ang. geothermal energy ) zostanie oddana do otaczającej nas przestrzeni kosmicznej, a z uwagi na długość trwania cywilizacji ludzkiej oraz jej zapotrzebowanie na energię – to źródło uznawane jest za trwałe i niemalże nieskończone. Źródłem energii słonecznej (ang. solar power ) są fale elektromagnetyczne wypromieniowywane przez naszą gwiazdę. Większość tej energii występuje w postaci światła widzialnego i podczerwonego. Odpowiednio dobrane materiały mogą absorbować fale elektromagnetyczne i zamieniać ich energię, na przykład na ciepło, które może być wykorzystane do ogrzania wody albo, w formie skoncentrowanej, do produkcji pary wodnej i wytwarzania z niej energii elektrycznej ( ). W innym procesie fizycznym, zwanym efektem fotoelektrycznym, energia fali elektromagnetycznej może być zamieniana bezpośrednio na elektryczność. Stosuje się w tym celu materiały fotowoltaiczne (zob. ogniwa słoneczne fotowoltaiczne na ). Niektóre instalacje solarne wykorzystują soczewki albo lustra do skupiania wiązki światła i konwersji skupionej wiązki na energię – są to elektrownie słoneczne CSP przedstawione na . Instalacje ogniw fotowoltaicznych w skali przemysłowej są budowane w rejonach świata o dużym nasłonecznieniu po to, by wytwarzać energię elektryczną. (Źródło: Sarah Swenty) Ważne jest, żeby na zakończenie tego rozdziału powiedzieć kilka słów o głównych aspektach rozważań energetycznych. Tak jak wspomnieliśmy wcześniej, zasada zachowania energii jest bardzo przydatnym prawem stosowanym w analizie zagadnień fizycznych. Nie można jej udowodnić na podstawie podstawowych praw fizyki, ale jest to dobre narzędzie, jako że odstępstw od niej nigdy nie udało się wykazać naukowo. Zasada zachowania energii mówi nam, że całkowita energia izolowanego układu pozostaje stała. Należy przy tym pamiętać, że w dyskursie publicznym o energii mówi się w trochę inny sposób, w szczególności jeśli chodzi o kwestię oszczędzania energii. O oszczędzaniu energii mówi się wtedy, kiedy chcemy zmniejszyć ilość energii zużywanej przez odbiorcę indywidualnego lub ich grupę (np. poprzez obniżenie temperatury w pokojach, rzadsze korzystanie z transportu samochodowego). Innym aspektem tego zjawiska jest próba bardziej skutecznej przemiany energii w danym procesie (np. efektywniejsze systemy ogrzewania, samochody spalające mniej benzyny, bardziej oszczędne oświetlenie). Natomiast zgodnie z zasadą zachowania energii w układzie zamkniętym energia nigdy nie jest niszczona ani wytwarzana. Nie możemy jej zatem w tym sensie „oszczędzić” ani nawet „wytworzyć”. Zagadnienie dotyczy głównie efektywności konwersji i wykorzystania form energii, które są dla nas przydatne. Z punktu widzenia fizycznego problem dotyczy bardziej energii rozproszonej, np. ciepła, którego nie można wykorzystać w postaci pracy. Szerzej zagadnienia związane z przemianami energii i ciepła omówimy w rozdziałach dotyczących termodynamiki. Podsumowanie Energia może być przekazywana pomiędzy układami oraz przekazywana lub zamieniana z jednego rodzaju na inny. Podstawowymi formami energii są: kinetyczna, potencjalna, cieplna oraz elektromagnetyczna. Odnawialne źródła energii, jak sama nazwa wskazuje, mogą zostać odnowione przez naturalne procesy w krótkim czasie. Przykładami są wiatr, woda, źródła geotermalne oraz energia słoneczna. Nieodnawialne źródła energii to takie, które są zużywane i nie mogą zostać odnowione lub ich regeneracja trwa bardzo długo (w porównaniu do np. życia ludzkiego). Przykładami są: paliwa kopalne oraz energia jądrowa. Najważniejsze wzory Różnica energii potencjalnej Δ E p A B = E p B − E p A = − W A B Energia potencjalna w odniesieniu do punktu o zerowej energii potencjalnej Δ E p = E p ( r → ) − E p ( r → 0 ) Energia potencjalna grawitacji w pobliżu powierzchni Ziemi E p ( y ) = m g y + const. Energia potencjalna sprężystości E p ( x ) = 1 2 k x 2 + const. Praca wykonana przez siły zachowawcze po drodze zamkniętej W droga zamk. = ∮ F → zach ⋅ d r → = 0 Warunek dla siły zachowawczej rozpatrywanej w dwóch wymiarach d F x d y = d F y d x Siła zachowawcza jako ujemna pochodna energii potencjalnej F l = − d E p d l Zasada zachowania energii przy braku sił niezachowawczych 0 = W niezach A B = Δ ( E k + E p ) A B = Δ E A B Zadania W filmie animowanym Pocahontas główna bohaterka skacze z klifu, żeby pokazać swój ulubiony rodzaj rozrywki. (a) Zakładając, że bierze rozbieg z prędkością 3,0 m/s, a jej prędkość końcowa przy styku z powierzchnią wody wynosi 20,0 m/s, oblicz wysokość klifu. Opory powietrza można pominąć. (b) Jeśli wyskoczyła z klifu bez rozpędu, to jaka będzie jej prędkość końcowa? W reality show Niesamowity wyścig uczestnik ma za zadanie strzelić arbuzem o masie 12 kg z procy i trafić w wyznaczony cel. Proca jest naciągnięta na odległość 1,5 m od położenia równowagi, a sam owoc znajduje się wtedy na poziomie gruntu. Podczas wystrzału, w chwili oderwania od procy, arbuz znajduje się na wysokości 0,3 m nad ziemią. Cel, w który uderza pocisk, znajduje się na ziemi w odległości 10 metrów od procy. Oblicz stałą sprężystości procy. 8700 N/m W serii filmów Powrót do przyszłości , samochód sportowy DeLorean o masie 1230 kg rozwija prędkość 142 km/h, aby móc przenieść się do przyszłości. (a) Jaka jest energia kinetyczna DeLoreana? (b) Sprężynę o jakiej stałej sprężystości należy użyć, aby zatrzymać DeLoreana na dystansie 0,1 m? W filmie Igrzyska śmierci Katniss Everdeen wystrzeliła strzałę o masie 0,0200 kg z poziomu podłoża, po to by przebić jabłko znajdujące się na scenie. Stała sprężystości łuku wynosi 330 N/m, a cięciwa została naciągnięta na odległość 0,55 m. Owoc znajduje się na wysokości 5 m. Z jaką prędkością strzała (a) opuszcza łuk, (b) uderza w jabłko? a. 70,6 m/s; b. 69,9 m/s W kompilacji wideo „Top Fail” , zawierającej filmy amatorskie z różnymi zabawnymi sytuacjami, dwie kobiety biegną naprzeciw siebie, po czym zderzają się, trzymając w rękach piłki do pilatesu. Każda z kobiet ma masę 50 kg (włączając piłkę) i jedna z nich biegnie z prędkością 2,0 m/s, a druga 1,0 m/s. Ile wynosi całkowita energia kinetyczna układu? Jeśli energia jest zachowana po zderzeniu i każda piłka ma masę 2 kg, to jaka będzie prędkość odbitych piłek odlatujących w stronę kamery? W kreskówce Struś pędziwiatr szybko rozprężająca się sprężyna wyrzuca kojota prosto w skałę. Wydłużenie sprężyny wynosi 5 m, a masa i prędkość kojota odpowiednio 20 kg i 15 m/s. Ile wynosi stała sprężystości sprężyny? Jeśli kojot zostałby wyrzucony pionowo w górę, to jak wysoko by doleciał, zakładając, że nie działają na niego żadne siły niezachowawcze? a. 180 N/m; b. 11 m W znanej scenie z filmu Forrest Gump tytułowy bohater przebiega przez całe Stany Zjednoczone. Zakładając, że biegnie ze stałą prędkością 3 m/s, wyjaśnij, czy potrzebuje zużywać więcej energii w trakcie biegu pod górkę czy w dół, i dlaczego? W filmie Monty Python i Święty Graal krowę wystrzelono z katapulty znajdującej się na zamkowym murze. Zero dla energii potencjalnej przyjęto na poziomie gruntu. Stała sprężystości katapulty wynosi 1 , 1 ⋅ 10 4 N / m , a odchylenie od położenia równowagi jest równe 0,5 m. Jeśli mur zamku ma wysokość 9,1 m, a krowa masę 110 kg, to: Ile wynosi energia potencjalna krowy na szczycie muru? Jaka jest wartość energii potencjalnej sprężystości przed wystrzałem? Jaka jest prędkość krowy tuż przed uderzeniem w ziemię? a. 9 , 8 ⋅ 10 3 J ; b. 1 , 4 ⋅ 10 3 J ; c. 14 m/s Narciarz o masie 60,0 kg i prędkości początkowej 12,0 m/s wjeżdża na górkę o wysokości 2,50 m. Znajdź końcową prędkość, wiedząc, że współczynnik tarcia pomiędzy nartami i śniegiem wynosi 0,80. Jak wysoko pod górkę może wjechać samochód z wyłączonym silnikiem, jeśli praca wykonana przez siły tarcia jest pomijalnie mała, a jego prędkość początkowa wynosi 110 km/h? Jeśli samochód o masie 750 kg i, tej samej, co w punkcie (a) prędkości początkowej wjeżdża na wysokość 22 m, to jaka część jego energii została zamieniona na ciepło? Ile wynosi średnia siła tarcia wzgórza, jeśli kąt nachylenia wzgórza wynosi 2,5 ° względem poziomu? a. 47,6 m; b. 1 , 88 ⋅ 10 5 J ; c. 373 N Pociąg metra o masie 5 , 00 ⋅ 10 5 k g zostaje wyhamowany od prędkości 0,500 m/s do zatrzymania na drodze 0,400 m poprzez duży zderzak sprężynowy. Jaka jest stała sprężystości k zderzaka? Drążek pogo ma sprężynę o stałej sprężystości 2 , 5 ⋅ 10 4 N / m , której maksymalne ściśnięcie wynosi 12,0 cm. Na jaką maksymalną wysokość, licząc od położenia równowagi, może wyskoczyć dziecko, jeśli całkowita masa dziecka i drążka wynosi 40 kg? 33,9 cm Ciężarek o masie 500 g jest przyczepiony do sprężyny o stałej k równej 80 N/m (zobacz rysunek poniżej). Drugi koniec sprężyny jest przymocowany do ściany. Ciężarek spoczywa na równi pochyłej nachylonej pod kątem 30 ° do poziomu. Współczynnik tarcia pomiędzy ciężarkiem a równią wynosi 0,20. Ciężarek popchnięto tak, że sprężyna skurczyła się o 10 cm, a następnie pozwolono całości układu poruszać się swobodnie. Ile wynosi energia potencjalna w momencie ściśnięcia sprężyny? Wyznacz prędkość ciężarka w momencie, w którym przelatuje on przez punkt równowagi. Określ położenie maksymalnego wychylenia ciężarka w górę równi. Ciężarek o masie 200 g przyczepiono do nieważkiej sprężyny o stałej sprężystości 100 N/cm. Drugi koniec sprężyny przymocowano do sufitu. Układ początkowo znajduje się w stanie spoczynku, w którym położenie ciężarka oznaczono symbolem O . Załóżmy, że zero energii potencjalnej ciężarka przypada właśnie w tym punkcie, zarówno dla siły sprężystości, jak i grawitacji. Ciężarek odciągnięto na odległość 5 cm od stanu spoczynku, po czym pozwolono mu na swobodny ruch. Ile wynosi wypadkowa energia potencjalna ciężarka w najniższym punkcie ruchu? Jaka jest wypadkowa energia potencjalna w położeniu O ? Jaka jest prędkość ciężarka w momencie, w którym przekracza położenie O ? Jak wysoko ponad punkt O wzniesie się ciężarek? a. 0,0269 J; b. E p = 0 ; c. 1,11 m/s; d. 4,96 cm W akcjach promocyjnych często stosuje się działka strzelające koszulkami T-shirt, aby przekazać je uczestnikom wydarzenia. Przyjmij, że działko wystrzeliwuje T-shirt z prędkością 5,00 m/s ze sceny na wysokości 3,00 metrów nad ziemią. Jaką prędkość będzie miała koszulka w momencie, w którym łapie ją osoba mająca dłonie na wysokości (a) 1 metra oraz (b) 4 metrów nad ziemią? Pomiń siły oporu powietrza. Dziecko o wadze 32 kg skacze na trampolinie. Trampolina oddziałuje na nie siłą sprężystości, działającą jako siła przywracająca. Stała sprężystości trampoliny wynosi 5000 N/m. W najwyższym punkcie podskoku dziecko znajduje się 1 m nad poziomem powierzchni trampoliny. Jakie jest maksymalne odchylenie płachty trampoliny w momencie lądowania dziecka? Pomiń zjawisko ugięcia nóg oraz pracę mięśni dziecka. 42 cm Poniżej narysowano ciężarek o masie m 1 znajdujący się na równi pochyłej odchylonej od poziomu o kąt θ . Ciężarek połączono nieważką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek i przyczepiono do zwisającego swobodnie ciężarka o masie m 2 . Ruch nici odbywa się bez tarcia. Jeśli m 1 i m 2 znajdują się na wysokości h oraz m 2 ≫ m 1 to: Jaka jest energia potencjalna grawitacji całego układu? Jaka jest końcowa energia kinetyczna? Zadania dodatkowe Nieważka sprężyna o stałej k = 200 N/m zwisa z sufitu. Ciało o masie 2,0 kg przyczepiono do swobodnego końca sprężyny i pozwolono na swobodny ruch. Jeśli ciężarek rozciąga sprężynę o 17 cm, zanim zawróci i zacznie się poruszać w górę, to ile wynosi praca sił tarcia podczas opadania? 0,44 J Cząstka o masie 2,0 kg porusza się pod wpływem siły F ( x ) = − x 2 ⋅ 5 N / m 2 + x ⋅ 7 N / m . Załóżmy, że siły tarcia również działają na ciało. Jeśli na początku ruchu ciała w punkcie x = −4,0 m jego prędkość wynosi 0,0 m/s, a w punkcie x = 4,0 m 9,0 m/s, to ile wynosi praca wykonana przez siły tarcia na tym odcinku? Ciężarek 2 przedstawiony poniżej przesuwa się bez tarcia, podczas gdy ciężarek 1 spada. Oba ciężarki połączone są nieważką, nierozciągliwą nicią przerzuconą przez nieważki bloczek, po którym lina porusza się bez tarcia. Oblicz prędkość bloczków po pokonaniu przez nie drogi równej 2,0 m. Załóż, że ruch rozpoczyna się ze stanu spoczynku. Dane: m 1 = 2,0 kg oraz m 2 = 4,0 kg . 3,6 m/s Punkt materialny o masie m znajdujący się początkowo w stanie spoczynku zaczyna się zsuwać po powierzchni kuli o promieniu R bez tarcia (zobacz poniżej). Wykaż, że ciało odrywa się od kuli w momencie gdy θ = arccos  ( 2 / 3 ) . Tajemnicza siła działa na wszystkie cząstki wzdłuż wyróżnionego kierunku i zawsze jest skierowana w stronę pewnego punktu P . Wartość siły zależy od sześcianu odległości od tego punktu, czyli F ∝ r 3 , gdzie r to oddalenie cząstki od punktu P . Przyjmijmy, że b jest współczynnikiem proporcjonalności takim, że wartość siły dana jest wzorem F = b r 3 . Wyznacz energię potencjalną cząstki związaną z działaniem tej siły w odległości D od punktu P , przy założeniu, że w położeniu P energia potencjalna wynosi zero. b D 4 / 4 Ciało o masie 10 kg rozpoczyna ruch z punktu A i ześlizguje się w dół równi pochyłej o kącie nachylenia 30 ° , po czym zderza się z nieważką sprężyną umieszczoną poza równią na poziomym podłożu (zobacz niżej). Stała sprężystości sprężyny wynosi 500 N/m i odchyla się ona od równowagi w momencie uderzenia o 0,75 m. Wysokość równi wynosi 2 m, natomiast ruch odbywa się bez tarcia tylko na powierzchni płaskiej. Jaką prędkość ma ciało na dole równi? Ile wynosi praca sił tarcia wykonana w trakcie ruchu ciała po równi? Ciało odbija się od sprężyny. Jaka jest prędkość ciała w momencie, gdy wraca ono na początek równi? Na jaką wysokość powróci ciało po odbiciu? Poniżej przedstawiono małą kulkę o masie m , przyczepioną do liny o długości a . Kołek wbito w ścianę w odległości h poniżej punktu zaczepienia liny. Jeśli kulka rozpoczyna swój ruch w momencie, gdy lina jest wychylona o kąt prosty od pionu, wykaż, że h musi być większe niż 3 a / 5 , żeby kulka mogła wykonać pełne okrążenie wokół kołka. Należy to wykazać. Ciężarek najpierw zsuwa się z równi pochyłej, a po pokonaniu wysokości h pokonuje krótką drogę w poziomie (bez tarcia) i wypada z rampy umieszczonej na wysokości H nad ziemią. Oblicz zasięg lotu D w zależności od h , H i g . Ciężarek o masie m zsuwa się z równi bez tarcia. Następnie uderza w drugi ciężarek o masie M przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości k (zobacz poniżej). Ciężarki sklejają się i dalej poruszają się wspólnie. Wyznacz ściśnięcie sprężyny w funkcji m , M , h , g i k w momencie, w którym układ wraca do równowagi. Oblicz utratę energii kinetycznej związaną z połączeniem się dwóch ciężarków. a. 2 m 2 g h k ( m + M ) ; b. m M g h m + M Ciężarek o masie 300 g przyczepiono do sprężyny o stałej sprężystości 100 N/m. Drugi koniec sprężyny przyczepiono do ściany. Układ znajduje się na poziomej platformie, po której ciężarek porusza się swobodnie bez tarcia. Sprężynę ściśnięto o 12 cm od położenia równowagi, po czym uwolniono. Jaką wartość energii potencjalnej miał układ w trakcie ściśnięcia? Oblicz prędkość ciężarka w momencie, gdy przechodzi on przez położenie równowagi. Wyznacz prędkość ciężarka po pokonaniu przez niego drogi 20 cm, licząc od położenia początkowego. Ciężarek o masie 0,200 kg przyczepiono do sprężyny o stałej sprężystości 100 N/m. Układ umieszczono na stole, po którym ruch odbywa się bez tarcia, drugi koniec sprężyny umocowano na ścianie po lewej stronie. Sprężynę ściśnięto o 10,0 cm. Znajdź prędkość, gdy ciężarek przechodzi przez położenie równowagi, 5,00 cm w lewo od punktu (a), 5,00 cm w prawo od (a). a. 2,24 m / s ; b. 1,94 m / s ; c. 1,94 m / s Narciarz zaczyna zsuwać się ze zbocza. Jaka będzie prędkość narciarza po pokonaniu 20 m wysokości zbocza? Opór powietrza i tarcie można pominąć. Powtórz poprzednie zadanie, ale tym razem zakładając, że praca wykonana przez siły oporu nie może być pominięta. Niech praca oporu powietrza na odcinku od A do B wynosi −2000 J. Praca wykonana przez siły oporu jest ujemna, ponieważ siły oporu są skierowane przeciwnie do przesunięcia. Masa narciarza wynosi 50 kg. Jaka jest jego prędkość w punkcie B (zakładając, że pokonana wysokość jest taka sama jak w poprzednim zadaniu)? 18 m/s Dwa ciała reagują ze sobą siłą zachowawczą. Wykaż, że energia mechaniczna odizolowanego układu dwóch ciał będzie wtedy zachowana. ( Podpowiedź: Rozpocznij od trzeciego prawa Newtona i definicji pracy po to, by wyprowadzić wzór na pracę wykonaną przez każde z ciał.) W parku rozrywki wagonik porusza się po torze przedstawionym poniżej. Wyznacz prędkość wagonika w A , B oraz C . Zauważ, że praca sił tarcia jest równa zero ze względu na to, że siła tarcia jest skierowana zawsze prostopadle do promienia obracających się kółek pojazdu. v A = 24 m/s; v B = 14 m/s; v C = 31 m/s Kula stalowa o masie 200 g jest przyczepiona do nieważkiej nici o długości 2,00 m zwisającej z sufitu. Całość tworzy wahadło, które wychylono pod kątem 30 ° od pionu, po czym puszczono, pozwalając na ruch swobodny. Opór powietrza można pominąć. Wyznacz prędkość kuli w położeniu (a) najniższym w pionie, (b) wychylonym pod kątem 20 ° oraz (c) 10 ° . Krążek hokejowy o masie 300 g leci w poprzek pokrytego lodem stawu. Zanim go uderzono, znajdował się w stanie spoczynku. Poprzez uderzenie nadano mu prędkość równą 40 m/s. Krążek zatrzymuje się po pokonaniu drogi 30 m. Opisz zmianę energii ciała w czasie i podaj wartości liczbowe pracy i energii. Oblicz wartość wypadkowej siły tarcia. a. Strata energii wynosi 240 N m ; b. F = 8 N Pocisk o masie 2 kg wystrzelono z prędkością 20 m/s pod kątem 30 ° do poziomu. Oblicz początkową energię całkowitą pocisku, przyjmując za punkt odniesienia dla energii grawitacji – punkt wystrzału. Oblicz energię kinetyczną w najwyższym możliwym położeniu lotu. Oblicz energię potencjalną w tym samym punkcie. Oblicz maksymalną wysokość. Porównaj wynik z rozwiązaniem zadania metodą kinetyczną. Pocisk artyleryjski wystrzelono, mierząc w cel umieszczony na wysokości 200 m nad ziemią. Kiedy pocisk znajduje się na wysokości 100 m, ma prędkość 100 m/s. Jaką ma prędkość w chwili uderzenia w cel? Pomiń opory powietrza. 89,7 m/s Ile wynosi energia rozproszona człowieka o masie 60 kg spadającego ze stałą prędkością na odległości 15 metrów? Pudełko o całkowitej energii 50 J ślizga się bez tarcia po powierzchni. Przedmiot uderza w sprężynę, którą ściska, wychylając ją o 25 cm z położenia równowagi. Jeśli to samo pudełko poruszałoby się z tarciem, to ściśnięcie sprężyny byłoby równe 15 cm. Jaka ilość energii została rozproszona podczas ruchu z tarciem? 32 J nieodnawialne źródło energii (ang. non-renewable energy source ) źródło energii, które nie może zostać odnowione i jest zużywane przez działalność ludzką odnawialne źródło energii (ang. renewable energy source ) źródło energii, które jest uzupełniane przez procesy naturalne w czasie dużo krótszym niż czas trwania cywilizacji ludzkiej

Science


Wstęp Pojęcia pędu, impulsu (popędu siły) oraz środka masy są kluczowe dla prawidłowego odbicia piłki przez bejsbolistę. Jeżeli niewłaściwie oceni te wielkości, jego frustracja spowodowana porażką może zakończyć się połamaniem kija. (Źródło: zmodyfikowane przez „Cathy T”/Flickr) Pojęcia pracy i energii oraz twierdzenie o równoważności pracy i energii są niezwykle istotne z dwóch powodów. Po pierwsze – są użyteczne pod względem rachunkowym, umożliwiając łatwiejszą analizę złożonych układów fizycznych w porównaniu z ich badaniem wprost z praw mechaniki Newtona (np. w przypadku działania siły zmiennej). Po drugie – stwierdzenie, że całkowita energia układu pozostaje stała, oznacza, że układ może ewoluować tylko w taki sposób, by pozostała ona zachowana. Innymi słowy – układ nie może podlegać przypadkowym przemianom, może zmieniać się tylko w sposób zgodny z zasadą zachowania energii. W tym rozdziale zapoznamy się z pędem – kolejną wielkością „zachowaną” tj. nieulegającą zmianie w układzie, przy spełnieniu pewnych warunków. Poznamy także regułę pędu i popędu , która nakłada dodatkowe ograniczenia na możliwości ewolucji układu w czasie. Zasada zachowania pędu okaże się z kolei bardzo przydatna w zrozumieniu zjawisk zderzeń, jak to zilustrowano na powyższym zdjęciu. Jest ona równie ważna, pomocna i przydatna, jak twierdzenie o równoważności pracy i energii.

Science


Pęd Z rozważań na temat energii kinetycznej wynika, że do pełnego zrozumienia opisu ruchu obiektu musimy znać zarówno jego masę, jak i prędkość ( E k = m v 2 / 2 ). Pojęcie energii kinetycznej, jakkolwiek użyteczne, niewiele mówi o kierunku ruchu ciała, czyli o kierunku i zwrocie jego prędkości. W tym podrozdziale zdefiniujemy wielkość fizyczną, która zawierać będzie także informację o kierunku ruchu. Wielkością tą jest pęd (ang. momentum z łac. movimentum = ruch), oznaczany symbolem p → . Podobnie jak energia kinetyczna, pęd - zależąc od masy i prędkości ciała – charakteryzuje „ilość” jego ruchu. Pęd Pęd p → ciała jest iloczynem jego masy m i prędkości v → . Pęd jest wektorem o kierunku i zwrocie zgodnym z wektorem prędkości: p → = m v → . Kierunki i zwroty wektorów prędkości i pędu piłki są jednakowe. Ponieważ masa piłki wynosi ok. 0,5 kg, a pęd jest iloczynem masy i prędkości – długość wektora pędu równa jest w przybliżeniu połowie długości wektora prędkości. (Źródło: modyfikacja pracy Ben Sutherland) Jak wynika z , pęd - podobnie jak prędkość – jest wielkością wektorową. Odróżnia to pęd od energii kinetycznej i czyni go szczególnie użytecznym przy ocenie, czy ruch obiektu podlega łatwej ( ) czy trudnej zmianie ( ). Prędkości cząsteczek gazu mogą być bardzo duże – w temperaturze 20 ∘ C średnia prędkość cząsteczek powietrza wynosi około 500 m/s, czyli 1800 km/h. Ze względu na niewielkie masy cząsteczek gazu – zmiana ich pędu w zderzeniach ze sobą lub ze ściankami naczynia następuje niezwykle szybko. Supertankowiec przewożący ogromne ilości ropy naftowej ma niemal 400 metrów długości, ponad 60 metrów szerokości, masę 500 tysięcy ton i rozwija prędkość do 30 km/h. Ze względu na znaczną bezwładność zmiana stosunkowo niewielkiej prędkości statku wymaga długiego czasu – rzędu kilkunastu do kilkudziesięciu minut. (Źródło: zmodyfikowane przez „the_tahoe_guy”/Flickr) W odróżnieniu od energii kinetycznej, pęd obiektu zależy w jednakowym stopniu od jego masy i prędkości. Jak się później przekonamy, studiując termodynamikę, średnia prędkość cząsteczki powietrza w temperaturze pokojowej wynosi około 500 m/s. Przy średniej masie cząsteczki równej 5 ⋅ 10 − 26 k g jej pęd p cz = 5 ⋅ 10 − 26 k g ⋅ 500 m / s = 2,5 ⋅ 10 − 23 k g ⋅ m / s . Dla porównania, typowy samochód o masie 1400 kg, jadący z prędkością 15 m/s – tj. 54 km/h – posiada pęd p s = 1400 k g ⋅ 15 m / s = 2,1 ⋅ 10 4 k g ⋅ m / s . Obie wartości pędów różnią się o 27 rzędów wielkości, czyli kwadryliard razy! Podsumowanie Ruch ciała zależy od jego masy i prędkości. Pęd jest wielkością fizyczną służącą do opisu ruchu – bardzo użyteczną zarówno w obliczeniach, jak i rozważaniach teoretycznych. Pęd jest iloczynem masy i prędkości ciała. Jednostką pędu w układzie SI jest kg·m/s. Pytania Dwa ciała – lżejsze i cięższe – posiadają taki sam pęd. Które z nich ma większą energię kinetyczną? Wiedząc, że E k = m v 2 / 2 oraz że p = m v , łatwo można wyprowadzić związek między energią kinetyczną i pędem: E k = p 2 / 2 m . Jeżeli więc pęd obu ciał jest jednakowy, ciało o mniejszej masie będzie posiadało większą energię kinetyczną. Jaka będzie odpowiedź, gdy ciało lżejsze i cięższe mają taką samą energię kinetyczną? Które z nich ma większy pęd? Pęd ciała cięższego jest większy. Zadania Słoń kontra myśliwy Oblicz pęd słonia o masie 2 ton pędzącego w kierunku myśliwego z prędkością v s = 7,5 m / s . Oblicz stosunek pędu słonia do pędu lotki ze środkiem usypiającym, jeżeli masa tejże lotki wynosi m p = 0,04 k g , a prędkość v p = 600 m / s . Jaki jest pęd myśliwego o masie 90 kg biegnącego z prędkością 7,4 m / s ? Łyżwiarka o masie 40 kg porusza się bez tarcia z prędkością 5 m/s względem ziemi, trzymając w rękach pudełko o masie 5 kg. Wyznacz pęd pudełka względem ziemi. Wyznacz pęd pudełka względem ziemi, gdy łyżwiarka położy je w czasie jazdy na gładkim lodzie. 25 k g ⋅ m / s ; tyle samo co w przypadku a. Samochód o masie 2000 kg jedzie na wschód ze stałą prędkością 10 m/s. Jaki jest pęd samochodu? Masa Ziemi wynosi 5,97 ⋅ 10 24 k g , a średni promień orbity wokół Słońca jest równy 1,5 ⋅ 10 11 m . Oblicz średni pęd Ziemi. 1,78 ⋅ 10 29 k g ⋅ m / s . Ilość opadów podczas ulewnego deszczu w ciągu 1 godziny na powierzchnię 10 k m 2 wynosiła 1 cm. Jaki pęd można przypisać masie deszczu, który spadł w ciągu jednej sekundy tej ulewy? Przyjmij wartość końcową prędkości kropli deszczu jako 10 m/s. Jaka jest średnia wartość pędu lawiny niosącej warstwę śniegu o grubości 40 cm z powierzchni 100 m × 500 m , na odległość równą 1 km, w czasie 5,5 s? Przyjmij gęstość masy śniegowej równą 350 k g / m 3 . 1,3 ⋅ 10 9 k g ⋅ m / s . Jaka jest średnia wartość pędu sprintera o masie 70 kg, który przebiegł dystans 100 m w czasie 9,65 s? pęd (ang. momentum ) miara „ilości ruchu” ciała, wektor iloczynu masy i prędkości ciała, zorientowany tak samo, jak prędkość ciała

Science


Popęd siły i zderzenia W poprzedniej sekcji zdefiniowaliśmy pęd obiektu, będący iloczynem jego masy i prędkości. Tym samym, jeżeli na skutek działania siły następuje zmiana prędkości ciała – zmienia się także jego pęd. To wskazuje na relację między pędem i siłą. Celem tego podrozdziału jest zbadanie i opisanie tejże relacji. Załóżmy, że do pewnego ciała przez pewien czas przyłożono siłę. Oczywiście im większa siła, tym większej zmiany pędu ciała się spodziewamy. Podobnie im dłuższy czas działania siły, tym większa będzie zmiana pędu, jak pokazuje . Zatem wartość zmiany pędu będzie proporcjonalna zarówno do wartości działającej siły, jak i do czasu jej działania. Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do czasu działania siły. Na dolnym rysunku ta sama siła działa przez czas dwukrotnie dłuższy niż na górnym, powodując dwukrotnie większą zmianę pędu. Zgodnie z regułami matematyki, jeżeli dana wielkość jest jednocześnie proporcjonalna do dwóch lub więcej wielkości, to jest proporcjonalna do ich iloczynu. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywamy popędem siły lub impulsem (ang. impulse ), bądź też impulsem siły i oznaczamy symbolem J → . Popęd siły (impuls siły) Niech F → oznacza siłę działającą na ciało przez krótki (różniczkowy) przedział czasu d t ( ). Popęd siły, wywieranej na ciało zdefiniowany jest jako d J → = F → d t . Siła wywierana na piłeczkę tenisową przez rakietę w przedziale czasu d t wytwarza popęd siły o kierunku i zwrocie identycznym z kierunkiem i zwrotem wektora tejże siły. Całkowity popęd siły w przedziale czasu od chwili początkowej t 0 do końcowej t 1 wynosi J → = ∫ t 0 t 1 d J → = ∫ t 0 t 1 F → d t . Z i wynika, że siła działająca przez infinitezymalnie krótki przedział czasu d  t , wywiera infinitezymalny popęd d J → . Całkowity popęd siły zdefiniowany jest jako suma (ściślej: całka) owych infinitezymalnych wielkości. Do obliczenia popędu siły na podstawie , konieczna jest znajomość tejże siły w funkcji czasu F ( t ) , co często nie jest możliwe. Możliwe jest jednak wyznaczenie poszukiwanej wielkości na podstawie wartości średniej funkcji dla danego przedziału zmiennej niezależnej. Przypomnijmy w tym miejscu, że wartość średnią f śr funkcji f ( x ) w przedziale zmiennej niezależnej Δ x = x 1 − x 0 obliczamy jako f śr = 1 Δ x ∫ x 0 x 1 f ( x ) d x . W przypadku siły F , będącej funkcją czasu, otrzymujemy: F → śr = 1 Δ t ∫ t 0 t 1 F → ( t ) d t . A zatem, na podstawie , mamy J → = F → śr Δ t . Widać więc, że można obliczyć popęd siły nawet nie znając dokładnej postaci zależności siły od czasu, jeżeli znana jest jej wartość średnia w analizowanym przedziale. Odwracając tok myślenia, możemy stwierdzić, że jeżeli z pomiarów lub obliczeń znany jest popęd siły, możliwe jest wyznaczenie wartości średniej siły działającej na ciało w danym przedziale czasu. Chcąc wyznaczyć popęd siły, możemy skorzystać z , stosując podstawienie F → ( t ) = m a → ( t ) J → = ∫ t 0 t 1 F → ( t ) d t = m ∫ t 0 t 1 a → ( t ) d t = m [ v → ( t 1 ) − v → ( t 0 ) ] . W przypadku siły niezależnej od czasu, jej wartość średnia i chwilowa są jednakowe: F → śr = F → = m a → , co pozwala na uproszczenie powyższego równania do postaci J → = m a → Δ t = m [ v → ( t 1 ) − v → ( t 0 ) ] , zatem J → = m Δ v → . Warto zauważyć, że całkowa postać jest słuszna także w przypadku siły niezależnej od czasu – wówczas jej symbol można wynieść przed całkę, co jest tożsame z obliczeniem siły średniej. Z łatwością przechodzimy więc do zapisu w postaci . Krater meteorytowy w Arizonie (Krater Barringera) Około 50 tys. lat temu w północnej Arizonie (USA) ogromny, liczący ok. 50 m średnicy meteoryt uderzył w powierzchnię Ziemi z prędkością ok. 1,28 ⋅ 10 4 m/s . W następstwie zderzenia powstał istniejący do dziś krater o średnicy ok. 1200 m, głębokości 170 m, z obrzeżem wypiętrzonym na wysokość 45 m ponad otaczającą go pustynię ( ). Typowa gęstość meteorytów, zawierających głównie żelazo i nikiel, wynosi 7 970 k g /m 3 . Korzystając ze wzoru na popęd siły, wyznacz siłę średnią oraz maksymalną siłę, jaką meteoryt działał na powierzchnię Ziemi podczas zderzenia. Krater Barringera (ang. Barringer Crater ) we Flagstaff w Arizonie. Jest to najlepiej zbadany i jeden z najlepiej zachowanych kraterów uderzeniowych na Ziemi, zidentyfikowany w roku 1903 przez amerykańskiego geologa i przemysłowca Daniela Barringera jako krater meteorytowy. (Źródło: „Shane.torgerson”/Wikimedia Commons). Strategia rozwiązania Rozwiązanie zadania stanie się łatwiejsze, jeżeli – odwracając problem – obliczymy siłę, z jaką Ziemia oddziaływała na meteoryt, zatrzymując go. Siła ta, na mocy III zasady dynamiki Newtona, będzie co do wartości równa sile, z którą meteoryt uderzył w Ziemię, natomiast w ujęciu wektorowym – będzie zwrócona przeciwnie i przyłożona do środka masy meteorytu. Korzystając z danych w treści zadania i zakładając dla ułatwienia kulisty kształt meteorytu oraz czas jego zderzenia z Ziemią wynoszący maksymalnie 2 s – możemy zastosować i wyznaczyć najpierw popęd siły. Następnie skorzystamy z relacji pomiędzy siłą i popędem siły ( ) i określimy średnią wartości siły podczas zderzenia. W kolejnym kroku wybierzemy funkcję reprezentującą zależność siły od czasu, z wyznaczymy wartość średnią tejże siły i przekształcimy do postaci wyrażenia na siłę średnią. Otrzymane w ten sposób rozwiązanie opisywać będzie wartości siły maksymalnej. Rozwiązanie Oznaczmy kierunek pionowy ku górze jako kierunek osi + y (kierunek ten we wzorach oznaczony będzie wersorem osi + j ^ ). Dla uproszczenia przyjmijmy, że meteoryt spadał na Ziemię dokładnie pionowo, na co wskazuje symetryczny kształt krateru uderzeniowego. W tej sytuacji prędkość początkowa meteorytu posiada wyłącznie składową pionową skierowaną w dół: v → 0 = − v 0 j ^ , zaś siła, jaką Ziemia wywiera na meteoryt, skierowana jest w górę: F → ( t ) = + F ( t ) j ^ . W chwili upadku sytuacja przedstawia się więc jak na rysunku poniżej: Średnia wartość siły podczas zderzenia związana jest z popędem siły relacją: F → śr = J → Δ t . Z otrzymujemy zatem F → śr = m Δ v → Δ t . Masa meteorytu jest równa iloczynowi jego gęstości i objętości: m = ρ V . Zakładając kulisty kształt meteorytu, jego objętość wyrażamy wzorem: V = 4 3 π R 3 . Możemy obliczyć wówczas, że F → śr = ρ V Δ v → Δ t = ρ 4 3 π R 3 Δ t [ v → ( t 1 ) − v → ( t 0 ) ] . Z treści zadania wynika, że prędkość początkowa meteorytu wynosiła − 1,28 ⋅ 10 4 m / s ⋅ j ^ , a jego prędkość końcowa była równa zeru. Przyjmujemy dodatkowo, że czas zderzenia meteorytu z Ziemią wynosił Δ t = t max − t 0 = 2 s . Zatem średnia siła, z jaką Ziemia działała na meteoryt podczas zderzenia, wynosi F → śr = 7 970 k g / m 3 ⋅ 4 3 π ⋅ ( 25 m ) 3 2 s ⋅ [ 0 m / s − ( − 1,28 ⋅ 10 4 m / s ⋅ j ^ ) ] = 3,33 ⋅ 10 12 N ⋅ j ^ . i jest skierowana ku górze. Zauważmy, że tak samo skierowany jest wektor zmiany prędkości meteorytu Δ v → . W następnym kroku obliczamy siłę maksymalną. Popęd siły związany jest z funkcją siły zależnością: J → = ∫ t 0 t max F → ( t ) d t . Należy teraz przyjąć pewną postać funkcji, która będzie spełniała logiczne skądinąd założenia, że siła była maksymalna w chwili uderzenia meteorytu o Ziemię (w chwili t 0 = 0 ), a następnie gwałtownie zmalała do zera w przedziale czasu równym 2 s. Funkcją, która spełnia powyższe warunki ma postać: F ( t ) = F max e − t 2 2 τ 2 . (parametr τ określa, jak szybko funkcja maleje do zera). Siłę średnią wyliczamy, korzystając ze wzoru: F śr = 1 Δ t ∫ t 0 t max F max e − t 2 2 τ 2 d t , gdzie Δ t = t max − 0 s = 2 s . Ponadto przyjmijmy, że τ = t max / e (jest to częste podstawienie, jak przekonasz się w następnych rozdziałach). Po scałkowaniu powyższego wyrażenia otrzymujemy: F śr = 0,458 F max = 3,33 ⋅ 10 12 N . Siła maksymalna wynosi zatem F max = 7,27 ⋅ 10 12 N . Pełen zapis funkcji siły hamującej ruch meteorytu ma więc postać: F → ( t ) = 7,27 ⋅ 10 12 N ⋅ e − t 2 8 s 2 ⋅ j ^ , natomiast siła, którą meteoryt działał na Ziemię – na mocy III zasady dynamiki Newtona – jest wyrażona wzorem: F → ( t ) = − 7,27 ⋅ 10 12 N ⋅ e − t 2 8 s 2 ⋅ j ^ , który stanowi odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu. Znaczenie Przebieg otrzymanej funkcji zawiera bardzo cenne informacje. Na pokazano zależność funkcji F oraz siły średniej F śr od czasu. Wykres zależności F śr (linia czerwona) i F (linia niebieska) od czasu w przypadku zderzenia meteorytu z Ziemią. Pola powierzchni pod wykresami są jednakowe i liczbowo równe wartości popędu siły udzielonego Ziemi podczas zderzenia. Zauważmy, że pola pod wykresami pokolorowano. Warto pamiętać, że pole pod wykresem danej funkcji jest równe wartości całki z tej funkcji, obliczonej w oznaczonych granicach. Dla wykresu stałej siły F śr , pole to jest prostokątem, którego wartość odpowiada iloczynowi F ś r Δ t i na mocy związku pomiędzy średnią siłą a popędem siły wynosi J . W przypadku wykresu siły F ( t ) , na mocy , całka ta również wynosi J . Zatem oba pola są równe i oba reprezentują wartość popędu siły udzielonego Ziemi przez meteoryt podczas dwusekundowego zderzenia. Średnia siła rzędu 10 12 N wydaje się ogromna i rzeczywiście taka jest. Jednak w przypadku obiektu tak ciężkiego jak Ziemia – jest ona w zasadzie ledwo zauważalna. Istotnie, jeśli wyliczyć z II zasady dynamiki Newtona przyspieszenie Ziemi spowodowane działaniem tejże siły, otrzymamy wartość zupełnie niemierzalną: a → = − F → śr M z = − 3,33 ⋅ 10 12 N ⋅ j ^ 5,97 ⋅ 10 24 k g = − 5,6 ⋅ 10 − 13 m / s 2 ⋅ j ^ . Uderzenie meteorytu spowodowało jednak powstanie fali sejsmicznej, która zostałaby zarejestrowana przez współczesne detektory. Korzyści ze znajomości pojęcia popędu siły Samochód jadący z prędkością 27 m/s uderza w budynek. Zderzenie to powoduje zatrzymanie samochodu w czasie 1 s. Kierowca o ciężarze 860 N chroniony jest przez system pasów bezpieczeństwa (ang. seatbelt ) o zmiennym napięciu oraz poduszkę powietrzną (ang. airbag ) ( ). W rezultacie kierowca zderza się z napiętym pasem i poduszką, a nie z budynkiem. Poduszka i pasy redukują jego prędkość tak, że zatrzymuje się on faktycznie po ok. 2,5 s. Jaka średnia siła działa na kierowcę podczas zderzenia? Bez pasów i poduszki czas zderzenia kierowcy z kierownicą wynosiłby ok. 0,2 s. Działania jakiej siły doświadczyłby wówczas kierowca? Ruch samochodu i kierowcy chwilę przed i chwilę po zderzeniu ze ścianą. Kierowca poddany zostaje działaniu ogromnej siły hamującej, działającej przeciwnie do ruchu − F → , wywołanej napięciem pasów i zderzeniem z poduszką. Ostatecznie wytraca on swoją prędkość do zera (siła w kierunku „do przodu”, wynikająca z działania oparcia fotela, jest znacznie mniejsza niż wymienione i zostanie pominięta w dalszej części zadania). Strategia rozwiązania Znany jest ciężar kierowcy, jego początkowa i końcowa prędkość oraz czas zderzenia. W zadaniu niewiadomą jest siła, zatem i na popęd siły wydają się być użyteczne. Rozwiązanie Oznaczmy kierunek ruchu pojazdu jako + x (kierunek ten we wzorach oznaczony będzie wersorem osi + i ^ ). Wiemy, że J → = F → śr Δ t , oraz J → = m Δ v → . Z przyrównania obu równań otrzymujemy: F → śr Δ t = m Δ v → . Chcąc wyznaczyć masę człowieka, gdy znany jest jego ciężar, skorzystamy z zależności Q = m g : m = 860 N 9,8 m / s 2 = 87,6 k g . Wiedząc, że Δ v → = v → 1 − v → 0 oraz że prędkość końcowa kierowcy wynosi zero, wyznaczamy siłę jako: F → śr = m Δ t [ v → 1 − v → 0 ] = 87,8 k g 2,5 s ( 0 m / s − 27 m / s ⋅ i ^ ) = − 948 N ⋅ i ^ . Znak minus wskazuje, że działająca na kierowcę siła, spowalnia go. Wartość tej siły wynosi około 1,1 ciężaru kierowcy. Wykonując analogiczne obliczenia dla przedziału czasu równego 0,20 s (zderzenie bez udziału pasów i poduszki), otrzymujemy: F → śr = 87,8 k g 0,2 s ( 0 m / s − 27 m / s ⋅ i ^ ) = − 11 853 N ⋅ i ^ . Jej wartość jest 14 razy większa niż ciężar kierowcy. To ogromna różnica! Znaczenie Rozwiązując powyższe zadanie, mogliśmy się przekonać, jak ważną rolę odgrywa poduszka powietrzna w redukowaniu sił działających na człowieka podczas zderzenia. Z tego powodu już od początku lat 90. ubiegłego wieku wyposażenie samochodów osobowych w takie poduszki stało się wymogiem w Europie, Azji i Stanach Zjednoczonych. Pamiętajmy, że niezależnie od zastosowania poduszki – zmiana pędu podczas zderzenia jest jednakowa. Użycie poduszki powietrznej sprawia jednak, że siła działająca na człowieka staje się ewidentnie mniejsza! Rola popędu siły (impulsu) Ponieważ impuls to efekt działania siły w określonym przedziale czasu, jego skutkiem jest wywołanie zmian w ruchu ciała. Przypomnijmy : J → = m Δ v → . Ponieważ znany nam już iloczyn m v → definiuje pęd, iloczyn m Δ v → oznacza zmianę pędu, co prowadzi do relacji zwanej regułą pędu i popędu (ang. impulse-momentum theorem ). reguła pędu i popędu Popęd siły (impuls) udzielony układowi powoduje zmianę pędu tegoż układu. Zmiana ta jest równa działającemu impulsowi: J → = Δ p → . Regułę pędu i popędu obrazuje poniższy . Ilustracja zasady pędu i popędu. (a) Piłce poruszającej się z prędkością początkową v → 0 i początkowym pędem p → 0 przekazany został impuls siły J → . (b) Impuls dodaje się wektorowo do posiadanego już przez piłkę pędu początkowego. (c) Impuls równa się zatem zmianie pędu: J → = Δ p → . (d) Po przekazaniu popędu piłka porusza się z nowym pędem p → 1 i nową prędkością v → 1 . Zwróćmy w tym miejscu uwagę na dwie istotne cechy reguły pędu i popędu: Impuls jest wielkością wektorową; efekt zadziałania impulsu − 10 N ⋅ s ⋅ i ^ będzie inny niż impulsu + 10 N ⋅ s ⋅ i ^ , gdyż wywoła zupełnie inną zmianę w ruchu, np. hamowanie albo przyspieszanie ciała. Impuls nie jest źródłem pędu; powoduje natomiast zmianę pędu danego obiektu. Należy zatem rozumieć go zawsze jako różnicę wektorów pędu końcowego i początkowego tegoż obiektu (oraz pamiętać o znakach poszczególnych wektorów!). Reguła pędu i popędu najczęściej wykorzystywana jest do wyznaczania działającej siły lub obliczania zmiany prędkości ciała wskutek działania tejże siły. Strategia rozwiązywania zadań: reguła pędu i popędu Typowa strategia rozwiązywania zadań na podstawie tej reguły obejmuje trzy kroki: Wyraź impuls jako iloczyn siły i czasu jej działania. Wyraź impuls jako zmianę pędu m Δ v . Przyrównaj obie zależności i wyznacz poszukiwane wielkości. Podróż statkiem Enterprise Znany z serialu Star Trek statek kosmiczny Enterprise korzysta z fikcyjnego napędu WARP, w którym wykorzystuje się reakcję materii z antymaterią. Wytworzona w ten sposób energia nadaje statkowi impuls umożliwiający kultowe dla tematyki science-fiction „przechodzenie w nadświetlną”. „Panie Sulu, proszę nas stąd zabrać, 1/4 impulsu naprzód!” – tą komendą kapitan statku Enterprise ( ) nakazywał rozpędzenie statku ze stanu spoczynku do prędkości końcowej równej 1/4 prędkości światła w próżni, czyli v 1 = 1 / 4 ⋅ 3,0 ⋅ 10 8 m/s . Przyjmując, że statek dokonał tego w ciągu 60 s, wyznacz siłę rozpędzającą statek. Strategia rozwiązania Poszukując siły, znamy prędkość początkową i końcową statku, a tym samym ich różnicę i czas potrzebny do dokonania danej zmiany prędkości. Naturalne jest tu skorzystanie z reguły pędu i popędu, jednak do obliczenia pędu potrzebna nam będzie znajomość masy statku. Przyjmijmy więc, że wynosi ona 2 ⋅ 10 9 k g . Rozwiązanie Ponieważ kierunek ruchu statku reprezentuje tylko jeden wymiar, wystarczy nam analiza samych wartości wektorów, a zatem skalarna postać reguły pędu i popędu, danej , zostanie zapisana jako: Δ p = m Δ v = J , gdzie J = F Δ t . Łącząc oba równania, otrzymujemy: F Δ t = m Δ v . Przekształcając powyższe równanie do postaci siły, napiszemy, że: F = m Δ t ( v → 1 − v → 0 ) = 2 ⋅ 10 9 k g 60 s ( 7,5 ⋅ 10 7 m / s − 0 m / s ) = 2,5 ⋅ 10 15 N . Znaczenie Siła, którą wyznaczyliśmy, jest niewyobrażalnie duża. Oczywiste jest, że takiego ruchu nie przeżyłby żaden z pasażerów statku, podobnie jak powstałych naprężeń nie wytrzymałoby jego wyposażenie. Na szczęście Enterprise zawiera „wewnętrzny system tłumienia”. Pozostawiamy wyobraźni czytelników, na jakiej zasadzie on działa… Sprawdź, czy rozumiesz. W lotnictwie i medycynie lotniczej przyjmuje się, że maksymalne przyspieszenie, jakie człowiek może przeżyć (i to przez zaledwie kilka sekund) – wynosi 10 g , gdzie g = 9,8 m / s 2 . Związane jest to z działającymi na ciało przeciążeniami powodującymi kompresję jego narządów wewnętrznych oraz utrudnienia przepływu krwi i pracy serca. Przyjmując wartość 10 g jako przyspieszenie średnie, oblicz czas potrzebny na rozpędzenie statku Enterprise do prędkości 1/4 ⋅ c . Do osiągnięcia prędkości końcowej v 1 = 1 / 4 ⋅ 3,0 ⋅ 10 8 m / s przy stałej wartości przyspieszenia 10 g potrzeba czasu Δ t , który otrzymamy po przekształceniu wzoru definiującego przyspieszenie średnie: 10 g = v 1 Δ t , Δ t = v 1 10 g = 0,25 ⋅ 3 ⋅ 10 8 m / s 10 ⋅ 9,8 m / s 2 = 7,6 ⋅ 10 5 s = 8,8 d o b y . Upuszczenie telefonu komórkowego Pewien model telefonu komórkowego pierwotnie miał być wyposażony w ekran dotykowy wykonany z szafiru, jednak niemal w ostatniej chwili zdecydowano się na zastosowanie utwardzonego szkła. Przyczyną była mała odporność szafiru na pęknięcia podczas upadku. Oblicz, jaka siła działa na ten telefon podczas upadku i zderzenia z ziemią. Strategia rozwiązania Siła powodująca uszkodzenie telefonu podczas uderzenia o podłogę wynika ze zmiany pędu zachodzącej w bardzo krótkim czasie. Rozwiązanie opieramy więc na regule pędu i popędu. Obliczamy impuls, szacujemy czas zderzenia i korzystamy z tych danych do wyznaczenia średniej wartości siły. Na wstępie wskazane jest przyjęcie rozsądnych oszacowań dotyczących czasu zderzenia i wysokości, z jakiej spada telefon, jak również danych producenta na temat masy i rozmiarów telefonu. Po pierwsze – przyjmijmy, że telefon spada z wysokości odpowiadającej klatce piersiowej dorosłego człowieka o przeciętnym wzroście. Po drugie – załóżmy, że telefon wypada człowiekowi np. z ręki lub kieszeni, zatem jego prędkość początkowa wynosi zero. Po trzecie – ustalmy, że po zderzeniu z podłożem nie odbija się od niego lub odbija w zaniedbywalnym stopniu. Rozwiązanie Ustalmy oś y jako skierowaną pionowo do góry. Przyjęta wcześniej typowa wysokość, z której spada telefon, to wysokość klatki piersiowej dorosłego człowieka, czyli h = 1,5 m , a jego prędkość początkowa v 0 = 0 m / s ⋅ j ^ . Średnia siła działająca na telefon związana jest ze zmianą pędu (impulsem) wynikającą z gwałtownego zahamowania telefonu wskutek zderzenia z podłożem i wynosi: F → śr = J → Δ t . Impuls J → jest równy zmianie pędu, J → = Δ p → , więc F → śr = Δ p → Δ t . Zmianę pędu telefonu możemy wyrazić jako: Δ p → = m Δ v → . W tym miejscu warto poświęcić chwilę wartościom prędkości telefonu na różnych etapach jego ruchu oraz ich oznaczeniom: v → 0 – prędkość początkowa telefonu na wysokości h ( v → 0 = 0 m / s ⋅ j ^ ) , v → 1 – prędkość telefonu tuż przed zderzeniem z podłożem, v → 2 – prędkość końcowa telefonu po zderzeniu z podłożem. przedstawia wymienione prędkości w poszczególnych fazach lotu telefonu. (a) Początkowa prędkość telefonu w chwili wypuszczenia z ręki jest równa zeru. (b) Tuż przed uderzeniem o podłogę prędkość telefonu wynosi v → 1 i wiemy o niej na razie tylko tyle, że będzie skierowana w dół − j ^ . (c) Bezpośrednio po odbiciu od ziemi prędkość telefonu wynosi v → 2 . Początkowo prędkości tej również nie znamy, ale wiemy, że będzie ona skierowana w górę, + j ^ . Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami zmianę pędu telefonu podczas jego zderzenia z podłogą wyrażamy równaniem: m Δ v → = m ( v → 2 − v → 1 ) . Ponieważ założyliśmy, że pomijamy efekt odbicia od podłogi, przyjmujemy prędkość v → 2 równą zeru, zatem m  Δ v → = m  0  m ∕ s − − v 1 ⋅ j ̂ = m  v 1 ⋅ j ̂  . m \prefop{\Delta} \vec v = m [0\si{\metre\per\second} - (-v_1 \cdot \hat j)] = mv_1 \cdot \hat j \text{.} Prędkość aparatu tuż przed uderzeniem w podłogę możemy wyznaczyć z zależności kinematycznych lub z zasady zachowania energii mechanicznej. Tutaj skorzystamy z drugiej metody, ale oczywiście wskazane jest, aby czytelnik wykonał obliczenia również na podstawie odpowiednich zależności kinematycznych dla ruchu jednostajnie przyspieszonego – przekonując się, że uzyskany wynik będzie taki sam. Na wstępie ustalamy poziom odniesienia, dla którego energia potencjalna będzie wynosiła zero. Naturalnym wyborem jest poziom podłogi, względem którego mierzymy wysokość położenia telefonu. Wówczas, zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej: E 0 = E 1 , E k 0 + E p0 = E k1 + E p1 , 1 2 m v 0 2 + m g h 0 = 1 2 m v 1 2 + m g h 1 . Jeśli wysokość początkowa telefonu nad podłogą wynosi h 0 = h , wysokość w chwili uderzenia h 1 = 0 , a prędkość początkowa v 0 = 0 , równanie powyższe przyjmuje postać m g h = 1 2 m v 1 2 , v 1 = 2 g h . Wobec tego m Δ v → = + m 2 g h . Formułę tę podstawiamy do wyrażenia na siłę: F → śr = Δ p → Δ t = m Δ v → Δ t = + m v 1 Δ t j ^ = + m 2 g h Δ t j ^ . Ostatnią rzeczą wymagającą oszacowania jest czas zderzenia. Powszechnie stosowanym sposobem jest obliczenie, ile czasu obiekt potrzebowałby na przebycie drogi równej swojej własnej długości. Skoro prędkość telefonu tuż przed uderzeniem w ziemię wynosi 5,4 m/s, a jego długość równa jest 0,14 m, obliczony z zależności kinematycznych dla ruchu jednostajnego czas zderzenia wynosi 0,026 s. Zatem siła średnia działająca na telefon i powodująca jego uszkodzenie podczas uderzenia o ziemię wynosi F → śr = 0,172 k g ⋅ 2 ⋅ 9,81 m / s 2 ⋅ 1,5 m 0,026 s j ^ = 36 N ⋅ j ^ . Znaczenie Ciężar telefonu to 0,172 k g ⋅ 9,81 m / s 2 = 1,68 N , natomiast siła, której zostaje poddany podczas upadku, jest 20 razy większa. Sprawdź, czy rozumiesz. Co stanie się w sytuacji, gdy telefon odbija się od podłogi? Czy odbicie zwiększyłoby wartość siły, zmniejszyło ją, czy też pozostałaby ona niezmieniona? Gdyby telefon odbijał się od podłogi z taką samą prędkością, z którą w nią uderzał v → 2 = v 1 j ^ , zmiana pędu podczas zderzenia byłaby równa Δ p → = m Δ v → = m [ v 1 j ^ − ( − v 1 j ^ ) ] = 2 m v 1 j ^ . Z reguły pędu i popędu wynika więc, że jest to wartość dwukrotnie większa w porównaniu z sytuacją bez odbicia. Pęd i siła W omówionym otrzymaliśmy istotny związek: F → śr = Δ p → Δ t . Pokazuje on, że średnia siła działająca na ciało jest równa zmianie pędu ciała, którą ta siła wywołuje, podzielonej przez przedział czasu, w którym zmiana nastąpiła. Powyższa zależność jest szczególnie użyteczna w opisie zderzeń, kiedy czas zderzenia Δ t jest mały, ale możliwy do zmierzenia; typowe wartości to dziesiętne lub nawet tysięczne części sekundy. Do tej grupy należą na przykład: zderzenie samochodu, kopnięcie piłki lub zderzenia cząstek w skali subatomowej. W przypadku pędu zmieniającego się w sposób ciągły (na skutek siły zmieniającej się także w sposób ciągły) omawiana zależność jest również bardzo użyteczna. Zagęszczając krok na skali czasu, czyli przechodząc do granicy Δ t → d t , przekształcamy do postaci różniczkowej: F → = d p → d t . Oznacza to, że szybkość zmian pędu układu (pęd okazuje się funkcją czasu) jest równa sile wypadkowej działającej na układ (mogącej być również funkcją czasu). Powyższe równanie nie jest niczym innym, jak drugą zasadą dynamiki Newtona zapisaną z użyciem pędu, a nie przyspieszenia. To właśnie tę relację przedstawił Newton w swoich Principia Mathematica , operując jednak pojęciem „porcji ruchu” zamiast „pędem”. Jeżeli masa układu pozostaje stała, przekształca się do znanej postaci II zasady dynamiki Newtona. Możemy to w prosty sposób wykazać, podstawiając do powyższego wzoru definicję pędu: F → = d ( m v → ) d t = m d v → d t = m a → . Założenie stałości masy pozwala na wyniesienie symbolu m przed operator pochodnej. Gdyby owa masa nie była stała, nie moglibyśmy tego uczynić i należało by poprzestać na z użyciem pędu. Widoczna jest tu korzyść płynąca z zapisu siły jako zmiany pędu w czasie: możliwy jest opis układów o zmiennej zarówno prędkości, jak i masie. Tego typu zagadnienie omawia się szczegółowo, analizując ruch rakiety. druga zasada dynamiki wyrażona przy pomocy pędu Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa szybkości zmian pędu układu pod wpływem działania tychże sił: F → = d p → d t . Jak już wspomniano, dopuszcza zmienność masy w układzie, o czym przekonamy się podczas analizy zasady działania silnika odrzutowego . Oczywiście równanie to jest również bardzo użyteczne, gdy masa układu pozostaje stała, co pokazuje następujący przykład. Obliczamy siłę: Venus Williams i jej serw W turnieju tenisowym French Open w roku 2007 Venus Williams podczas serwu ustanowiła światowy rekord prędkości w rozgrywkach kobiet, nadając piłce tenisowej prędkość równą 58 m/s, to jest 209 km/h. Jaką średnią siłą zadziałała wówczas rakieta zawodniczki na piłkę o masie 0,057 kg? Przyjmijmy, że prędkość piłki natychmiast po odbiciu wynosiła 58 m/s i była skierowana poziomo (patrz: ) oraz że czas kontaktu piłki z rakietą tenisową wynosił 5 ms. Końcowa prędkość piłki tenisowej wynosi v → 1 = 58 m / s ⋅ i ^ . Strategia rozwiązania Problem jest zagadnieniem jednowymiarowym, ponieważ piłka w chwili uderzenia nie posiada składowej pionowej prędkości. Pamiętajmy jednak, że w rzeczywistości serwis rozpoczyna się od podrzucenia piłki pionowo w górę i uderzenia w piłkę opadającą. Prędkość pionowa piłki jest jednak zaniedbywalnie mała w porównaniu z prędkością nadawaną podczas uderzenia w płaszczyźnie poziomej. Przywołajmy teraz drugie prawo Newtona, wyrażające znany związek między siłą i pędem: F → = d p → d t . Ponieważ masa piłki jest stała, zmianę pędu piłki wyrażamy jako Δ p = m Δ v = m ( v 1 − v 0 ) , przy czym ze względu na jednowymiarowość ruchu – możemy tutaj użyć zapisu skalarnego. W omawianym przykładzie dana jest prędkość piłki po odbiciu oraz czas jej zderzenia z rakietą, zatem do określenia siły ze wzoru F = Δ p / Δ t , niezbędne jest obliczenie zmiany pędu Δ p . Rozwiązanie Aby obliczyć zmianę pędu, podstawmy do powyższego wyrażenia posiadane dane: Δ p = m ( v 1 − v 0 ) = 0,057 k g ⋅ ( 58 m / s − 0 m / s ) = 3,3 k g ⋅ m / s . Zatem wielkość siły zewnętrznej nadającej piłce prędkość poziomą wynosi F = Δ p Δ t = 3,3 k g ⋅ m / s 0,005 s = 660 N . Znaczenie Wyznaczona wartość jest średnią siłą, jaką wywarła rakieta Venus Williams na piłkę podczas tego błyskawicznego uderzenia (dla porównania, na piłkę działa także siła ciężkości równa 0,57 N, ale nie jest ona związana z działaniem rakiety). Problem ten można było oczywiście równie dobrze rozwiązać, wyznaczając najpierw przyspieszenie piłki z równania F = m a . Podsumowanie Jeżeli przez pewien przedział czasu na ciało działa siła, to ciało to doznaje zmiany pędu (impulsu) lub, innymi słowy, udzielony mu zostaje popęd siły. Impuls ten jest równy zmianie pędu ciała. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa sił zewnętrznych działających na dany układ jest równa szybkości zmiany pędu, który wywołała. Pytania Czy możliwe jest, aby małą siłą wywołać znaczniejszą zmianę pędu danego ciała niż siłą większą? Odpowiedź uzasadnij. Tak. Impuls jest iloczynem siły i przedziału czasu jej działania J → = F → Δ t , zatem mała siła działająca przez długi czas może wytworzyć większy popęd niż siła duża, ale krótkotrwała. Dlaczego upadek z wysokości 10 metrów na beton jest dużo bardziej niebezpieczny niż upadek do wody? Jaka siła zewnętrzna jest odpowiedzialna za zmianę pędu samochodu jadącego po płaskiej drodze? Ruch samochodu możliwy jest dzięki obecności siły tarcia działającej poziomo, stycznie do kół w punkcie ich kontaktu z podłożem. W ten sposób samochód obracającymi się kołami „odpycha” drogę do tyłu (a właściwie Ziemię, działając stycznie do jej powierzchni), a droga „pcha” go do przodu. Ponieważ masa samochodu jest nieporównywalnie mniejsza od masy Ziemi, to właśnie samochód zostaje wprawiony w ruch i obserwujemy jego zmianę prędkości i pędu, natomiast ruch obrotowy Ziemi pozostaje niezaburzony. Kulkę z plasteliny oraz piłeczkę tenisową o takiej samej masie rzucono w kierunku ściany z takimi samymi prędkościami. Czy któreś ciało doświadczy większej zmiany pędu na skutek zderzenia, czy też impuls będzie w obu przypadkach jednakowy? Odpowiedź uzasadnij. Zadania Człowiek o masie 75 kg jadący samochodem z prędkością 20 m/s wjeżdża w przyczółek mostu (rysunek). Oblicz średnią siłę działającą na człowieka, kiedy uderza on w deskę rozdzielczą, która ulega wgnieceniu na głębokość 1 cm. Oblicz średnią siłę działającą na człowieka, kiedy uderza w poduszkę powietrzną, która ulega wgnieceniu na głębokość 15 cm. a. 1,5 MN; b. 0,1 MN. Z podróżami w przestrzeń kosmiczną wiąże się wielkie ryzyko zderzenia z tzw. śmieciami kosmicznymi, czyli odpadkami dawnych obiektów wprowadzonych na orbitę. Szacuje się, że kilka tysięcy takich śmieci jest na tyle dużych, by mógł wykryć je radar, natomiast olbrzymią część stanowią bardzo małe obiekty, takich jak np. lecące z ogromną prędkością płatki farby. Jaką siłę wywiera taki płatek o masie 0,1 mg, gdy uderza w okno rakiety ze względną prędkością 4 km/s? Przyjmij, że zderzenie trwa 60 ns. Wycieczkowiec o masie 10 7 k g uderza w molo z prędkością 0,750 m/s i zatrzymuje się po przebyciu drogi równej 6 m (rujnując statek, molo i stan portfela kapitana holownika, odpowiedzialnego za pilotowanie do portu). Korzystając z reguły pędu i popędu oblicz średnią siłę uderzenia w molo. ( Wskazówka: oblicz najpierw czas potrzebny do zatrzymania statku przy założeniu stałej wartości siły hamującej). 4,69 ⋅ 10 5 N . Oblicz końcową prędkość zawodnika rugby ważącego 110 kg, który biegnąc z prędkością początkową równą 8,0 m/s, zderza się czołowo ze słupkiem bramki i doznaje działania siły hamującej o wartości 1,76 ⋅ 10 4 N w czasie 55 ms. Strumień wody o natężeniu 50 kg/s, wydostający się z prędkością 42 m/s ze skierowanego poziomo węża strażackiego, skierowano na pionową ścianę. Oblicz siłę wywieraną na ścianę, zakładając, że wskutek zderzenia składowa pozioma pędu zostaje zredukowana do zera. 2,1 ⋅ 10 3 N . Młotek o masie 0,45 kg uderza w gwóźdź z prędkością 7 m/s, skierowaną poziomo. Młotek wytraca prędkość do zera, a gwóźdź zostaje wbity w deskę na głębokość 1 cm. Przyjmując, że przyspieszenie układu młotek-gwóźdź jest stałe: Oblicz czas trwania zderzenia. Oblicz średnią siłę działającą na gwóźdź. Jaki jest pęd (wyrażony jako funkcja czasu) ciała o masie 5 kg, poruszającego się z prędkością v → ( t ) = ( 2 ⋅ i ^ + 4 t ⋅ j ^ ) m / s ? Jaka siła wypadkowa działa na to ciało? p → ( t ) = ( 10 ⋅ i ^ + 20 t ⋅ j ^ ) k g ⋅ m / s ; F → = 20 N ⋅ j ^ . Na rysunku przedstawiono zależność od czasu składowej poziomej siły działającej na piłkę golfową o masie 46 g. Wyznacz składową x popędu siły dla przedziałów czasu: ⟨ 0 m s , 50 m s ⟩ , ⟨ 50 m s , 100 m s ⟩ . Wyznacz składową x zmiany pędu piłki dla przedziałów czasu: ⟨ 0 m s , 50 m s ⟩ , ⟨ 50 m s , 100 m s ⟩ . Krążek hokejowy o masie 150 g ślizga się bez tarcia po płaskim stole w kierunku + x z prędkością 10 m/s. Nagle, w ciągu 1,5 s, uderzono w niego siłą o wartości 5 N skierowaną prostopadle do kierunku ruchu (wzdłuż stołu - kierunek + y ). Znajdź składowe oraz zmianę pędu tuż po uderzeniu. p x = 1,5 k g ⋅ m / s , p y = 7,5 k g ⋅ m / s . Piłka o masie 250 g została rzucona z prędkością początkową 25 m/s pod kątem 30 ∘ do poziomu. Pomijając opory ruchu, wyznacz pęd piłki po czasie równym 0,2 s. (Wskazówka: znajdź najpierw składowe pędu i przeanalizuj ich zachowanie w obecności siły ciężkości działającej na piłkę podczas lotu). popęd siły (impuls) (ang. impulse ) efekt działania siły przez określony przedział czasu. Może on być bardzo mały, np. podczas zderzenia, ale może też być dowolnie długi reguła pędu i popędu (ang. impulse-momentum theorem ) zmiana pędu układu jest równa popędowi siły, udzielonemu temu układowi

Science


Zasada zachowania pędu Zacznijmy od przypomnienia trzeciej zasady dynamiki Newtona: jeżeli dwa ciała o masach m 1 i m 2 oddziałują ze sobą (tzn. wywierają na siebie siłę), to jest to zawsze oddziaływanie wzajemne, czyli siła, jaką ciało 2 działa na ciało 1, jest równa co do wartości i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało 1 działa na ciało 2. Oznaczając przez F → 21 siłę wywieraną przez ciało 2 na ciało 1 oraz przez F → 12 siłę wywieraną przez ciało 1 na ciało 2, trzecią zasadę dynamiki zapiszemy jako: F → 21 = − F → 12 , m 1 a → 1 = − m 2 a → 2 . Zauważmy, że siły te się wzajemnie nie redukują, ponieważ przyłożone zostały do dwóch różnych obiektów: siła F → 21 działa na ciało 1, a siła F → 12 na ciało 2. Zwróćmy dodatkowo uwagę, że chociaż wartości tychże sił są jednakowe, to jednak efekt ich działania w postaci przyspieszenia ciała – już nie! Ciało cięższe będzie miało mniejsze przyspieszenie, co oznacza, że jego prędkość będzie zmieniała się niż wolniej niż prędkość ciała lżejszego: d v → 1 d t ≠ d v → 2 d t . Wartość iloczynu masy i zmiany prędkości w czasie pozostanie jednak stała: m 1 d v → 1 d t = − m 2 d v → 2 d t . Zauważmy, że w następstwie wzajemnego oddziaływania ciała doznają zmiany prędkości d v i . Ponadto, jeżeli czas trwania oddziaływania wynosi d t – w czasie tym następuje zmiana prędkości jednocześnie obu ciał. Załóżmy chwilowo, że masy obu ciał nie ulegają zmianie podczas oddziaływania (nieco później zrezygnujemy z tego warunku). W takim przypadku obie masy możemy umieścić pod znakiem pochodnej: d d t ( m 1 v → 1 ) = − d d t ( m 2 v → 2 ) , i zastąpić iloczyny pędem: d p → 1 d t = − d p → 2 d t . Szybkości zmian pędów obu ciał są więc jednakowe co do wartości. Jakkolwiek masy oraz zmiany prędkości w czasie tychże ciał mogą być różne, szybkości zmian iloczynów m i v → pozostaną sobie równe. Fizycznie oznacza to, że podczas oddziaływania mas m 1 i m 2 oba ciała doznają zmiany pędu, jednakowej co do wartości, ale o przeciwnym znaku. Na przykład pęd pierwszego ciała może wzrosnąć, a to oznacza, że pęd drugiego ciała zmalał dokładnie o tyle samo. W związku z powyższym zapiszmy poprzednie w postaci: d p → 1 d t + d p → 2 d t = 0. Wynika z niego, że podczas oddziaływania pęd pierwszego i drugiego ciała ulega zmianie, ale zmiany te wzajemnie się znoszą i całkowita zmiana pędu tego układu wynosi zero. Równanie powyższe można jeszcze zapisać następująco: d d t ( p → 1 + p → 2 ) = 0 , co prowadzi do wniosku, że całkowity pęd układu, będący wektorową sumą pędów jego elementów – nie zmienia się w czasie, a więc jest stały: p → 1 + p → 2 = const . Jak pokazano na , całkowity pęd układu przed i po oddziaływaniu pozostaje jednakowy. Przed zderzeniem (lewa część rysunku) dwie kule bilardowe posiadają pędy p → 1 i p → 2 . Całkowity pęd układu jest sumą wektorową obu pędów, oznaczoną na rysunku jako czerwony wektor p → sum . Po zderzeniu (prawa strona rysunku) obie kule bilardowe posiadają już inne pędy, p → 1 ′ i p → 2 ′ , ale ich suma wektorowa się nie zmieniła, co ilustruje taki sam jak poprzednio wektor p → sum ′ . Uogólniając omawiany przypadek do układu N ciał, otrzymujemy p → 1 + p → 2 + p → 3 + … + p → N = const , ∑ j = 1 N p → j = const . Powyższe równanie jest definicją całkowitego (wypadkowego) pędu układu zawierającego N oddziałujących obiektów – a jednocześnie stwierdzeniem, że całkowity pęd tegoż układu jest stały w czasie albo, inaczej mówiąc: zachowany. prawa zachowania Jeżeli dana wielkość fizyczna nie zmienia się w czasie, to mówimy, że jest ona zachowana. Kiedy pęd jest zachowany? Aby pęd układu nie zmieniał się w czasie, układ ten musi spełniać dwa warunki: Masa układu podczas oddziaływania musi pozostać stała. Podczas oddziaływania ciał między sobą możliwa jest wprawdzie wymiana masy między nimi, ich sklejenie lub rozpad na drobniejsze elementy, ale masa całkowita układu (suma mas jego elementów) musi pozostać stała. [ d m d t ] układu = 0. Tym samym, jeśli jedno ciało zwiększyło masę na skutek oddziaływania, to masa innych elementów układu musiała zmaleć. Wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ musi być równa zeru. Elementy układu podczas ruchu lub zderzenia bądź eksplozji oddziałują ze sobą. Jednak siły tego wzajemnego oddziaływania są siłami wewnętrznymi, wzajemnymi i w ten sposób każda z nich ma swoją siłę wzajemną, wynikającą z III zasady dynamiki – o takiej samej wartości, ale przeciwnym zwrocie. Zatem zmiana pędu jednego elementu układu równoważy się (sumuje wektorowo, dając zero) ze zmianą pędu innego elementu układu. Tym samym, siły wewnętrzne nie są w stanie zmienić całkowitego pędu układu, ponieważ poszczególne zmiany pędów jego elementów wzajemnie się znoszą. Gdy jednak występuje niezrównoważona siła zewnętrzna, działająca na układ (np. siła grawitacji lub tarcia), wówczas wpływa ona na pęd układu jako całości. Mówiąc krótko: pęd układu może ulegać zmianie tylko pod wpływem sił zewnętrznych. Chcąc, aby w naszym układzie pęd był wielkością zachowaną, musimy spełnić warunek F → zewn = 0 → . Każdy układ ciał, który spełnia powyższe wymagania, nazywamy układem zamkniętym (ang. closed system ) lub izolowanym . Zasadę tę w bardziej syntetycznej postaci wyraża zapis przytoczony poniżej. prawo zachowania pędu Całkowity pęd układu zamkniętego jest zachowany: ∑ j = 1 N p → j = const. Powyższe stwierdzenie nosi nazwę zasady zachowania pędu (ang. law of conservation of momentum ). Wespół z zasadą zachowania energii stanowi ona jedną z fundamentalnych praw fizyki. Słuszność tejże zasady potwierdzają wszystkie obserwacje eksperymentalne – dotyczące każdego zjawiska, przebiegającego w każdej skali: począwszy od ruchu galaktyk, po oddziaływanie maleńkich kwarków tworzących protony i neutrony. W układzie zamkniętym całkowity jego pęd nie ulega zmianie. Zauważmy teraz, że chociaż układ fizyczny może podlegać działaniom sił zewnętrznych, aby pęd tegoż układu pozostawał stały – siły te muszą się zrównoważyć. Wówczas wypadkowa sił zewnętrznych będzie równa zeru i tylko w tej sytuacji pęd układu nie będzie ulegał zmianie w czasie. Co rozumiemy przez „układ”? Układ (ang. system ) (w rozumieniu fizyki, a ściślej – mechaniki) to zbiór obiektów, których ruch analizujemy (czy to w ujęciu kinematyki, czy dynamiki). Jeśli opisujemy proces odbijania się piłki od podłoża, prawdopodobnie interesuje nas ruch piłki, a nie ruch Ziemi, zatem naszym układem jest po prostu piłka. Jeżeli analizujemy proces zderzenia dwóch samochodów, układ fizyczny tworzą oba samochody ( ). Analizowany układ stanowią dwa poruszające się samochody. Należy pamiętać, że zawartość tegoż układu (ściślej, jego łączna masa) pozostaje niezmieniona przed, podczas i po zderzeniu. Strategia rozwiązywania zadań: zasada zachowania pędu Sposób wykorzystania zasady zachowania pędu można przedstawić w czterech krokach, przy czym pierwszy z nich ma znaczenie zasadnicze: Zidentyfikuj układ zamknięty dla analizowanego problemu (sprawdź, czy całkowita masa układu jest zachowana podczas zdarzenia oraz czy wypadkowa sił działających na układ jest równa zeru). Zapisz równanie przedstawiające całkowity pęd układu przed zdarzeniem (eksplozją, zderzeniem). Zapisz analogiczne równanie dla tego układu po zdarzeniu. Przyrównaj oba równania i wyznacz poszukiwaną niewiadomą. Modelowe zderzenie dwóch ciał Zjawiska zderzeń często bada się za pomocą dwóch wózków poruszających się bez tarcia po torze prostoliniowym, np. torze powietrznym. Do wózków, na ich końcach, doczepione są magnesy, tak aby po zderzeniu wózki złączyły się ( ). Pierwszy wózek ma masę 675 g i porusza się w prawo z prędkością 0,75 m/s; drugi wózek o masie 500 g, porusza się z prędkością 1,33 m/s, także w prawo. Jaka jest prędkość obu wózków po zderzeniu? Wózki na torze zderzają się i „sklejają” po zderzeniu. Strategia rozwiązania Wiemy, że nastąpiło zderzenie. Znamy masy i prędkości wózków przed zderzeniem, szukamy prędkości obu wózków „sklejonych” po zderzeniu. Można spodziewać się, że znajdzie tu zastosowanie zasada zachowania pędu. Trzeba jednak sprawdzić, czy spełnione są oba warunki dotyczące zastosowania tejże zasady, tzn. czy nasz układ jest układem zamkniętym. Trzeba zatem przekonać się, czy masa układu jest zachowana oraz czy wypadkowa działających nań sił zewnętrznych równa jest zeru. Układ, w skład którego wchodzą oba wózki, spełnia kryteria układu zamkniętego. Suma mas obu wózków pozostaje niezmieniona, a siły wzajemnego oddziaływania tychże wózków – są siłami wewnętrznymi układu i nie zmieniają jego pędu. Na każdy z wózków w kierunku pionowym działają siły grawitacji, równoważone jednak przez siły reakcji toru. Siły zewnętrzne działające na układ znoszą się więc – ich wypadkowa równa jest zeru. Rozwiązanie Zasadę zachowania pędu przedstawia równanie: p → przed = p → po . Pęd układu przed zderzeniem zawiera tylko składowe wzdłuż osi x : p → przed = m 1 v 1 i ^ + m 2 v 2 i ^ . Pęd układu po zderzeniu jest pędem obu złączonych mas: p → po = ( m 1 + m 2 ) v → 3 . Przyrównując oba pędy, napiszemy: ( m 1 + m 2 ) v → 3 = m 1 v 1 i ^ + m 2 v 2 i ^ , stąd v → 3 = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 i ^ . Podstawiając dane, otrzymujemy: v → 3 = 0,675 k g ⋅ 0,75 m / s + 0,5 k g ⋅ 1,33 m / s 1,175 k g i ^ = 0,997 m / s ⋅ i ^ . Znaczenie Opisana powyżej metoda postępowania stosuje się do wszystkich obiektów, niezależnie od ich skali czy rozmiaru. Pamiętajmy na przykład, że pęd i zasada jego zachowania mają szczególne znaczenie nawet przy oddziaływaniu fotonów. Ponieważ foton nie posiada masy, jego pęd definiowany jest inaczej niż w przypadku obiektów materialnych (przekonamy się o tym nieco później, studiując zagadnienia fizyki kwantowej). Sprawdź, czy rozumiesz. Załóżmy, że lżejszy wózek porusza się w lewo. Jaki byłby wówczas znak prędkości końcowej? Ponieważ lżejszy wózek porusza się z prędkością 1,33 m/s skierowaną w lewo, jego pędowi należy przypisać znak minus – pęd ten skierowany jest bowiem przeciwnie do dodatniej półosi x . Wówczas zasadę zachowania pędu będzie wyrażało równanie ( m 1 + m 2 ) v → 3 = m 1 v 1 i ^ − m 2 v 2 i ^ , v → 3 = m 1 v 1 − m 2 v 2 m 1 + m 2 i ^ . Zatem v → 3 = 0,675 k g ⋅ 0,75 m / s − 0,5 k g ⋅ 1,33 m / s 1,175 k g i ^ = − 0,135 m / s ⋅ i ^ . Prędkość końcowa jest ujemna, co oznacza, że wózki po zderzeniu poruszają się w lewo. Skacząca „superpiłka” Poniższy przykład wskazuje, że definiowanie analizowanego układu wymaga pewnej ostrożności. „Superpiłka” o masie 0,25 kg spada z wysokości h = 1,50 m nad podłogą. Odbija się od niej bez straty energii, osiągając wysokość, z której spadła ( ). Jakiej zmiany pędu doznała piłka podczas odbicia od podłogi? Jakiej zmiany pędu doznała Ziemia wskutek odbicia się piłki od podłogi? Jaka jest zmiana prędkości Ziemi na skutek tego odbicia? „Superpiłka” rozpoczyna spadek z wysokości (chwila t 0 ), uderza o podłogę ( t 1 ), odbija się ( t 2 ) i wraca na poprzednią wysokość ( t 3 ). Strategia rozwiązania Ponieważ rozważamy ruch piłki i zmianę jej pędu, uznajmy na wstępie, że nasz układ stanowi wyłącznie piłka. Oczywiście układ ten nie jest zamknięty. Na piłkę działa bowiem niezrównoważona siła zewnętrzna – skierowana w dół siła grawitacji, a w chwili kontaktu piłki z podłożem – siła reakcji. Nie możemy więc skorzystać z zasady zachowania pędu. Możemy jednak po prostu obliczyć pęd piłki tuż przed zderzeniem oraz jej pęd tuż po zderzeniu, a następnie obliczyć ich różnicę. Znamy masę piłki, więc do wyznaczenia pędów potrzebne nam będą prędkości. Rozwiązanie Zagadnienie jest jednowymiarowe i określone wzdłuż osi pionowej, przy czym kierunek ku górze traktujemy jako dodatni. Przyjmijmy następujące oznaczenia: p 0 - wartość pędu piłki w chwili początkowej t 0 . Ponieważ spadek piłki jest swobodny, pęd ten jest równy zeru. p 1 - wartość pędu piłki w chwili t 1 , tuż przed uderzeniem o podłogę. p 2 - wartość pędu piłki w chwili t 2 , tuż po odbiciu się od podłogi. Zmiana pędu piłki wynosi: Δ p → = p → 2 − p → 1 = p 2 j ^ − ( − p 1 j ^ ) = ( p 1 + p 2 ) j ^ . Prędkość piłki tuż przed uderzeniem w podłogę można wyznaczyć bądź z zasady zachowania energii mechanicznej, bądź na podstawie reguł kinematyki. Zastosujmy pierwszą z tychże metod, postępując analogicznie do przykładu spadającego telefonu z poprzedniego rozdziału. Warto też rozwiązać nasze zagadnienie drugim sposobem i sprawdzić, czy prowadzi on do identycznych wyników. Wyznaczymy na wstępie prędkości piłki, tuż przed uderzeniem o podłoże, znając jej prędkość początkową w chwili t 0 ( v 0 = 0 ) , wysokość h oraz przyspieszenie ziemskie g . Energia mechaniczna jest zawsze sumą energii kinetycznej i potencjalnej w danej chwili. W polu grawitacyjnym Ziemi energia mechaniczna jest zachowana, co oznacza, że: E 0 = E 1 , E p 0 + E k 0 = E p 1 + E k 1 , m g h 0 + 1 2 m v 0 2 = m g h 1 + 1 2 m v 1 2 . Wstawiając do ostatniego równania wysokość początkową piłki nad podłogą h 0 = h , wysokość w chwili uderzenia h 1 = 0 oraz prędkość v 0 = 0 , otrzymujemy: m g h = 1 2 m v 1 2 , stąd v 1 = 2 g h . Analizując zwrot wektora, prędkość v → 1 zapiszemy jako ujemną, czyli skierowaną w dół: v → 1 = − 2 g y ⋅ j ^ = − 5,4 m / s ⋅ j ^ . p → 1 = − 0,25 k g ⋅ ( − 5,4 m / s ) ⋅ j ^ = − 1,4 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Przyjrzyjmy się teraz pewnej symetrii procesu opadania piłki i jej wznoszenia. Przed odbiciem piłka rozpoczyna ruch z wysokości 1,5 m z prędkością równą zeru i nabiera pędu pod wpływem siły ciężkości – aż do chwili uderzenia o ziemię. W drodze powrotnej, po odbiciu – piłka rozpoczyna ruch z pewną „porcją ruchu”, czyli pędem. Pęd piłki następnie maleje i staje się równy zeru, gdy piłka ponownie znajdzie się na wysokości 1,5 m. Możemy więc stwierdzić, że mamy do czynienia z lustrzanym odbiciem, symetrią obu faz ruchu. Zatem, w celu wyznaczenia prędkości v 2 , ułożylibyśmy równania analogiczne do powyższych, zastępując dolne indeksy 0 oraz 1 liczbami 2 oraz 3. Wówczas wartość prędkości piłki tuż po odbiciu byłaby równa wartości prędkości v 1 , a wartość pędu po odbiciu spełniałaby równość p 2 = p 1 , przy czym jego wektor byłby skierowany ku górze: p → 2 = − p → 1 = 1,4 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Ostatecznie zmiana pędu wskutek odbicia piłki wynosi Δ p → = p → 2 − p → 1 = 1,4 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ − ( − 1,4 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ ) = 2,8 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Jakiej zmiany pędu doznaje Ziemia wskutek uderzenia piłki o podłogę? Instynktowna odpowiedź brzmiałaby zapewne „zero – Ziemia jest zbyt wielka w porównaniu z małą piłką, aby zderzenie mogło zmienić jej pęd” albo „więcej niż zero, ale zaniedbywalnie mało”. Obie odpowiedzi nie są jednak prawdziwe. Istotnie, jeśli zdefiniujemy nasz układ jako „Superpiłka plus Ziemia”, będzie to już układ zamknięty. Siła przyciągania Ziemia-piłka jest w nim bowiem siłą wewnętrzną i całkowita zmiana pędu tegoż układu jest równa zeru. W tej sytuacji zmiana pędu Ziemi wynosi − Δ p → : Δ p → Z = − 2,8 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Jak zmieni się prędkość Ziemi po zderzeniu? Tym razem nasze przeczucie i odpowiedź „zero lub prawie zero” są prawdopodobnie słuszne: Δ v → Z = Δ p Z M Z = – 2,8 k g ⋅ m / s 5,97 ⋅ 10 24 k g j ^ = − 4,7 ⋅ 10 − 25 m / s ⋅ j ^ . Taka zmiana prędkości jest rzeczywiście niezauważalna. Znaczenie Należy sobie uświadomić, że odpowiedź w podpunkcie c nie dotyczy prędkości, ale zmiany prędkości Ziemi – są to dwie zupełnie różne wielkości. Aby przekonać się, jak niewielka jest wartość otrzymana powyżej – wyobraźmy sobie, że poruszamy się z taką właśnie prędkością. Wówczas przebycie odcinka o długości średnicy atomu wodoru zajęłoby nam… 7 milionów lat! Sprawdź, czy rozumiesz. Czy zmiana pędu piłki byłaby większa, taka sama, czy też mniejsza, gdyby wskutek zderzenia piłka spoczęła na podłodze, nie odbijając się? Jeżeli piłka się nie odbija, jej końcowy pęd p → 2 wynosi zero, więc: Δ p → = p → 2 − p → 1 = 0 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ − ( − 1,4 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ ) = 1,4 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Krążki hokejowe Dwa krążki hokejowe o takich samych masach, wynoszących 15 g położono na płaskim, gładkim lodzie. Czerwony krążek pozostaje w spoczynku, a krążkowi niebieskiemu nadano prędkość 2,5 m/s, skierowaną w lewo ( ), tak by uderzył on centralnie w krążek czerwony. Po zderzeniu krążek czerwony przesuwa się w lewo, także z prędkością 2,5 m/s. Jaka będzie prędkość krążka niebieskiego? Zderzenie dwóch krążków hokejowych na lodzie. Górny rysunek odpowiada sytuacji na chwilę przed zderzeniem, a dolny – tuż po zderzeniu. Wypadkowa sił zewnętrznych wynosi zero. Strategia rozwiązania Rozważamy zderzenie dwóch ciał o znanych masach i prędkościach początkowych; ponadto znana jest prędkość jednego z nich po zderzeniu. Wykorzystanie zasady zachowania pędu wydaje się być dobrą strategią. Zdefiniuj układ jako zawierający oba krążki. Gładkość lodu zapewnia brak tarcia, siłę ciężkości równoważy siła reakcji podłoża – układ jest więc układem zamkniętym. Zanim przejdziesz do rozwiązania, zastanów się, jaką odpowiedź wskazuje intuicja. Zero, 2,5 m/s w lewo, 2,5 m/s w prawo, 1,25 m/s w lewo, 1,25 m/s w prawo. Inną wartość? Rozwiązanie Zdefiniujmy kierunek osi + x jako poziomy w prawo. Zasada zachowania pędu przedstawia się wówczas następująco: p → przed = p → po , m v 1 c i ^ + m v 1 n i ^ = m v 2 c i ^ + m v 2 n i ^ . Przed zderzeniem prędkość krążka czerwonego wynosi zero, a wektor prędkości krążka niebieskiego ma postać − v 1 n i ^ = − 2,5 m / s ⋅ i ^ . Zatem: − m v 1 n i ^ = m v 2 c i ^ + m v 2 n i ^ , − v 1 n i ^ = v 2 c i ^ + v 2 n i ^ . Ponieważ v 2 c = − 2,5 m / s ⋅ i ^ , z ostatniego równania otrzymujemy: − 2,5 m / s ⋅ i ^ = − 2,5 m / s ⋅ i ^ + v 2 n i ^ , v 2 n i ^ = 0. Znaczenie Wykazaliśmy właśnie, że krążki podczas zderzenia wymieniły się pędami. Krążek niebieski przekazał cały pęd krążkowi czerwonemu. Jest to typowe dla zderzeń obiektów o jednakowych masach. Sprawdź, czy rozumiesz. Nawet gdyby w układzie działała siła tarcia, nadal moglibyśmy skorzystać w rozwiązaniu z zasady zachowania pędu. Potrzebne byłyby jednak dodatkowe dane. Czy wiesz jakie? Zgodnie z zasadą pędu i popędu, działająca siła przyczynia się do zmiany pędu układu, przekazując impuls J → = Δ p → . Jeżeli J → = 0 , mamy do czynienia z ruchem bez tarcia. Jeżeli siła tarcia jest różna od zera i wynosi F → śr , powoduje zmianę pędu (impuls) J → = F → śr Δ t . Wówczas, zamiast p → przed = p → po otrzymamy: F → śr Δ t = Δ p → = p → po − p → przed Lądowanie Philae 12 listopada 2014 roku Philae – lądownik Europejskiej Agencji Kosmicznej został osadzony na powierzchni komety 67P/Czurimow-Gierasimienko ( ). Podczas lądowania lądownik ten odbijał się jednak dwa razy od powierzchni komety i osiadł na niej dopiero za trzecim razem. Oblicz, jak zmieniła się prędkość tejże komety na skutek pierwszego odbicia. Artystyczna wizja lądowania lądownika Philae na powierzchni komety. (Źródło: zmodyfikowany przez „DLR German Aerospace Center”/Flickr) Ustalmy kierunek osi + y pionowo w górę, a y = 0 niech oznacza współrzędną powierzchni komety. Przyjmijmy także, że: Masa komety 67P: M k = 1,0 ⋅ 10 13 k g , Przyspieszenie grawitacyjne komety: a → = − 5,0 ⋅ 10 − 3 m / s 2 ⋅ j ^ , Masa lądownika: M Ph = 96 k g , Prędkość początkowa osiadania lądownika: v → 1 = − 1,0 m / s ⋅ j ^ , Prędkość lądownika po pierwszym odbiciu: v → 2 = 0,38 m / s ⋅ j ^ , Czas zderzenia lądownika z kometą: Δ t = 1,3 s , Strategia rozwiązania Szukamy odpowiedzi na pytanie, jak zmieniła się prędkość komety, choć poza masą i przyspieszeniem grawitacyjnym nie mamy o tej komecie żadnych informacji. Wiemy jednak, że lądownik Philae uderzył w kometę i odbił się od jej powierzchni – co wskazuje, że można zastosować zasadę zachowania pędu. Jeżeli jako układ fizyczny zdefiniujemy parę „Philae plus kometa”, wypadkowa sił zewnętrznych będzie równa zeru i pęd całkowity tegoż układu pozostanie zachowany (pomijamy wpływ oddziaływania grawitacyjnego ze Słońcem). Wówczas, obliczając zmianę pędu lądownika podczas odbicia, wyznaczymy równocześnie zmianę pędu komety, a z nią wiąże się bezpośrednio zmiana prędkości komety. Rozwiązanie Niech p → 1 oznacza pęd lądownika tuż przed uderzeniem o powierzchnię komety, a p → 2 jego pęd bezpośrednio po zderzeniu. Wówczas: p → 1 = M Ph v → 1 = 96 k g ⋅ ( − 1,0 m / s ⋅ j ^ ) = − 96 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ , p → 2 = M Ph v → 2 = 96 k g ⋅ 0,38 m / s ⋅ j ^ = 36,5 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Zmiana pędu lądownika podczas zderzenia wynosi: Δ p Ph = p → 2 − p → 1 = 36,5 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ − ( − 96,0 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ ) = 132,5 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Zwróćmy uwagę, jak ważną rolę w naszym rozwiązaniu odgrywają znaki pędu początkowego i końcowego, odzwierciedlane przez znaki wektorów. Przejdźmy teraz do komety. Ponieważ pęd układu jest zachowany, zmiana pędu komety jest równa zmianie pędu lądownika, wziętej z przeciwnym znakiem (obie zmiany dodane do siebie dadzą zero). Zatem: Δ p → k = − Δ p → Ph = − 132,5 k g ⋅ m / s ⋅ j ^ . Wobec tego zmiana prędkości komety wynosi: Δ v → k = Δ p → k M k = − 132,5 k g ⋅ m / s 1,0 ⋅ 10 13 k g = − 1,33 ⋅ 10 − 11 m / s ⋅ j ^ . Znaczenie Obliczona wartość jest bardzo mała – zaledwie jedna stumiliardowa część metra na sekundę, tym niemniej nie całkiem równa zeru. Sprawdź, czy rozumiesz. Wartości zmian pędu lądownika Philae oraz komety 67P będą jednakowe. Czy impulsy udzielone Philae i komecie także będą jednakowe? Co można powiedzieć o siłach oraz zmianie energii kinetycznej każdego z ciał? Impuls jest de facto zmianą pędu ciała, zatem lądownik oraz kometa doświadczą działania impulsów o równej wartości, różniących się jedynie zwrotem. Średnią siłę wyliczamy z kolei wykorzystując regułę pędu i popędu – jako iloraz zmiany pędu i przedziału czasu potrzebnego na jej wywołanie. Podobnie jak poprzednio, wartości siły okazują się być jednakowe dla obu ciał, ale zwroty wektorów są przeciwne. Natomiast zmiana energii kinetycznej lądownika jest znacząco różna od zmiany energii kinetycznej komety, co z łatwością można wykazać na podstawie danych zadania i otrzymanej już wartości Δ v → k Podsumowanie Zgodnie z prawem zachowania pędu pęd układu zamkniętego jest stały w czasie (jest zachowany). Układ zamknięty (izolowany) to taki układ, w którym suma mas jego elementów jest stała, a wypadkowa sił zewnętrznych nań działających wynosi zero. Całkowity pęd układu jest zachowany tylko wtedy, gdy jest on zamknięty. Pytania Kiedy pęd układu jest zachowany? Pęd układu jest zachowany, gdy podczas oddziaływania jego masa pozostaje stała, a wypadkowa sił zewnętrznych działających na tenże układ jest równa zero. Czy pęd układu może być zachowany, jeżeli działają na niego siły zewnętrzne? Jeśli tak – pod jakimi warunkami? Jeśli nie – dlaczego? Wyjaśnij w kontekście pojęcia pędu i zasad Newtona, jak obecność oporu powietrza podczas ruchu samochodu przyczynia się do rozpędzania cząsteczek powietrza w kierunku jego ruchu. Aby nadać cząsteczkom powietrza przyspieszenie w kierunku ruchu samochodu, pojazd musi wywierać na nie siłę F → = d p → / d t . Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że cząsteczki powietrza wywierają na samochód siłę o tej samej wartości, ale o przeciwnym zwrocie. Jest to właśnie siła przeciwstawiająca się ruchowi samochodu, wytwarzająca w efekcie opór powietrza. Czy element układu może posiadać pęd, podczas gdy pęd układu jako całości jest równy zeru? Odpowiedź uzasadnij. Czy sprinter przyspieszający bezpośrednio po starcie z bloków startowych może być traktowany jako układ zamknięty? Odpowiedź uzasadnij. Nie – sprinter nie jest układem zamkniętym, ponieważ działa na niego niezerowa siła zewnętrzna bloków, pchająca jego stopy. O układzie zamkniętym mówilibyśmy, gdyby został on poszerzony o bloki startowe. Wówczas siła reakcji bloków byłaby siłą wewnętrzną – będącą odpowiedzią na nacisk stóp sprintera. Rakieta w przestrzeni kosmicznej, w której nie występuje grawitacja – przyspiesza poprzez wyrzucanie gorącego gazu z dyszy silników. Czy można ją traktować jako układ zamknięty? Odpowiedź uzasadnij. Zadania Łączenie wagonów kolejowych w skład pociągu polega na ich kontrolowanym zderzaniu na wspólnym torze. Dwa wagony, pierwszy o masie 1,5 ⋅ 10 5 k g i prędkości v → 1 = 0,3 m / s ⋅ i ^ , oraz drugi o masie 1,1 ⋅ 10 5 k g i prędkości v → 2 = − 0,12 m / s ⋅ i ^ – złączono ze sobą. Wyznacz prędkość wagonów po złączeniu. v → 3 = 0,122 m / s ⋅ i ^ . Dwa jednakowe krążki hokejowe zderzają się sprężyście na lodowisku. Krążek pierwszy jest początkowo w spoczynku, a krążek drugi posiada prędkość początkową 6 m/s skierowaną w lewo. Po zderzeniu krążek niebieski zmienia kierunek ruchu i oddala się pod kątem 30 ∘ względem pierwotnego kierunku ruchu. Jaka jest prędkość krążka pierwszego po zderzeniu? Poniższy rysunek przedstawia pocisk o masie 200 g lecący poziomo z prędkością 400 m/s i wbijający się w blok o masie 1,5 kg, pozostający początkowo w spoczynku na gładkim blacie. Po uderzeniu w blok pocisk utkwił w nim i wraz z blokiem przemieszczał się po blacie. Jaka jest wartość i kierunek prędkości układu „blok plus pocisk” po zderzeniu? Jaka jest wartość i kierunek wektora impulsu, który blok wywiera na pocisk? Jaka jest wartość i kierunek wektora impulsu, jaki pocisk wywiera na blok? Jeżeli na zmianę prędkości pocisku z 400 m/s do końcowej prędkości wspólnego ruchu potrzeba 3 ms – jaka jest średnia wartość siły wzajemnego oddziaływania pocisku i bloku? 47 m/s poziomo w prawo; 70,6 N · s poziomo w lewo; 70,6 N ⋅ s poziomo w prawo; Wartość siły wynosi 2,35 ⋅ 10 4 N Dziecko o masie 20 kg, jadące w wagoniku o masie 4,0 kg z prędkością 3,3 m/s, upuszcza piłkę o masie 1,0 kg. Jaka będzie prędkość dziecka i wagonika po wyrzuceniu piłki? Maszyna do kładzenia nawierzchni drogowej o masie własnej 4 ton załadowana jest żwirem o masie 1000 kg i porusza się z prędkością 2,5 m/s wyrzucając ładunek z prędkością 0,5 m/s. Jaka będzie prędkość maszyny, gdy zrzuci ona nagle ładunek na naprawianą drogę? 3,1 m/s. Wyjaśnij zjawisko odrzutu armaty po wystrzeleniu kuli armatniej. Para łyżwiarska jedzie w tym samym kierunku, przy czym łyżwiarka jedzie z przodu partnera z prędkością 5,5 m/s, a łyżwiarz za nią z prędkością 6,2 m/s. Gdy łyżwiarz dogania łyżwiarkę, podnosi ją, działając wyłącznie siłą skierowaną pionowo. Przyjmując, że jest on o połowę cięższy od partnerki (ważącej 50 kg), oblicz ich wspólną prędkość. 5,9 m/s. Dwutonowy wagon towarowy przejeżdża z prędkością 4,4 m/s pod pasem transmisyjnym, wsypującym ziarno bezpośrednio do wagonu. Jaką maksymalną masę ładunku można załadować do wagonu, aby prędkość jego ruchu nie spadła poniżej 3 m/s? układ zamknięty (izolowany) (ang. closed system ) układ obejmujący jedno lub więcej ciał, w którym łączna masa obiektów nie ulega zmianie oraz wypadkowa sił zewnętrznych nań działających wynosi zero zasada zachowania pędu (ang. law of conservation of momentum ) całkowity pęd układu zamkniętego nie może ulec zmianie układ (ang. system ) ciało lub zbiór ciał, których ruch podlega analizie; układ zdefiniowany na początku analizy problemu musi być traktowany konsekwentnie w dalszym ciągu rozważań

Science