Fale dźwiękowe Dźwięk słyszalny przez człowieka jest rozchodzącym się zaburzeniem ośrodka sprężystego, czyli falą mechaniczną o częstotliwości z zakresu 20 Hz – 20 kHz. Słuch jest percepcją dźwięku, podobnie jak wzrok jest percepcją światła widzialnego. W skali atomowej (mikroskopowej) dźwięk jest zaburzeniem atomów, który jest znacznie bardziej uporządkowany niż ich ruchy termiczne. W wielu przypadkach dźwięk jest falą okresową, a cząstki wykonują prosty ruch harmoniczny. W ten sposób fale dźwiękowe mogą powodować drgania i efekty rezonansowe ( ). Kieliszek rozbiła fala dźwiękowa o częstotliwości równej częstotliwości rezonansowej kieliszka (Źródło: „||read||”/Flickr) Ten film pokazuje fale na powierzchni kieliszka do wina, wytworzone fale akustyczne wygenerowane przez głośnik. Jeśli częstotliwość będzie się zbliżać do częstotliwości rezonansowej kieliszka, amplituda i częstotliwość będą wzrastać. W momencie osiągnięcia częstotliwości rezonansowej kieliszek ulegnie zniszczeniu. Głośnik wytwarza falę dźwiękową poprzez drgania membrany, powodując drgania cząsteczek powietrza. Na , głośnik drga ze stałą częstotliwością i stałą amplitudą, pobudzając do drgań cząsteczki powietrza znajdujące się w pobliżu. Membrana głośnika, drgając, przekazuje energię do powietrza, głównie w postaci energii cieplnej. Niewielka część energii głośnika powoduje sprężenia i rozrzedzenia otaczającego powietrza, prowadząc do lokalnych zmian ciśnienia powietrza. Zagęszczenia (ang. compression ), czyli obszary wysokiego ciśnienia, i rozrzedzenia (ang. rarefaction ), czyli obszary niskiego ciśnienia, rozprzestrzeniają się jako podłużne fale ciśnienia mające taką samą częstotliwość jak membrana. Zmiany te są falą dźwiękową. Fale dźwiękowe w powietrzu i w większości płynów są falami podłużnymi, ponieważ w gazach i płynach praktycznie nie występują siły ścinające. W ciałach stałych fale dźwiękowe mogą być poprzeczne i podłużne. (a) pokazuje zagęszczenia i rozrzedzenia ciśnienia powietrza oraz wykres zmian ciśnienia w funkcji odległości od głośnika. Gdy membrana głośnika przemieszcza się w kierunku zgodnym z dodatnim kierunkiem osi x , popycha cząsteczki powietrza, wytrącając je z położenia równowagi. Gdy membrana głośnika przemieszcza się w kierunku przeciwnym do dodatniego kierunku osi x , cząsteczki wracają do pozycji równowagi. Cząsteczki powietrza drgają w sposób harmoniczny wokół położenia równowagi, tak jak pokazano na (b). Zwróć uwagę, że fale dźwiękowe w powietrzu są podłużne. Na rysunku fala propaguje się w dodatnim kierunku osi x , a cząsteczki drgają wzdłuż kierunku, w którym fala się propaguje. (a) Wibrujący stożek głośnika, poruszający się w kierunku zgodnym z dodatnim kierunkiem osi x , spręża powietrze przed nim i rozrzedza powietrze za nim. Gdy głośnik wykonuje drgania, powoduje kolejne zagęszczenia i rozrzedzenia, które oddalają się od głośnika. Po wielu drganiach seria zagęszczeń i rozrzedzeń propaguje się z głośnika jako fala dźwiękowa. Czerwona krzywa przedstawia wartość ciśnienia powietrza w funkcji odległości od głośnika. Dla dźwięków cichych ciśnienie powietrza różni się nieznacznie od wartości ciśnienia atmosferycznego. Należy zauważyć, że zmiany ciśnienia powietrza opisane są funkcją sinusoidalną, a wartości maksymalne i minimalne funkcji korelują odpowiednio z zagęszczeniami i rozrzedzeniami powietrza. (b) Fale dźwiękowe mogą być również modelowane jako ruch cząsteczek powietrza. Niebieska krzywa pokazuje przesunięcie cząsteczek powietrza w funkcji położenia i jest opisana za pomocą funkcji cosinusoidalnej. Zwróćmy uwagę, że przesunięcie wynosi zero dla cząsteczek w położeniu równowagi i znajduje się pośrodku pomiędzy zagęszczeniami i rozrzedzeniami. Zagęszczenia powstają, gdy cząsteczki po obu stronach położenia równowagi przemieszczają się w stronę położenia równowagi. Rozrzedzenia natomiast powstają wtedy, gdy cząsteczki oddalają się od położenia równowagi. Modele opisujące dźwięk Dźwięk może być modelowany jako zmiany ciśnienia powietrza wokół wartości średniej: Δ p ( x , t ) = Δ p max sin ( k x ∓ ω t + ϕ ) , gdzie Δ p oznacza zmianę ciśnienia, Δ p max jest maksymalną zmianą ciśnienia powietrza, k = 2 π / λ jest liczbą falową, ω = 2 π / T = 2 π f jest częstością kołową, natomiast ϕ jest fazą początkową. Równanie to jest podobne do równania przedstawiającego falę periodyczną w rozdziale Fale . Prędkość dźwięku może być wyznaczona z zależności v = ω / k = λ / T . Fale dźwiękowe mogą być również modelowane za pomocą drgających cząsteczek powietrza. Wychylenie cząsteczek powietrza może być opisane funkcją cosinus: s ( x , t ) = s max cos ( k x ∓ ω t + ϕ ) . W powyższym równaniu s oznacza wychylenie, natomiast s max jest maksymalnym wychyleniem cząsteczek. Na rysunku nie pokazano amplitudy fali dźwiękowej, która maleje wraz z odległością od źródła na skutek rozpraszania energii. Natężenie fali maleje wraz ze wzrostem odległości od głośnika, podobnie jak to przedstawiono w rozdziale Fale . Energia fali jest również pochłaniana przez obiekty i przekształcana w energię termiczną na skutek zderzanie się cząsteczek powietrza. Ponadto podczas każdego sprężenia tylko część ciepła przekazywana jest do powietrza, a w trakcie procesu rozprężania jeszcze mniej ciepła jest przekazywana do powietrza. Skuteczność przekazywania ciepła z obszaru sprężenia do obszaru rozrzedzenia zależy od odległości pomiędzy tymi obszarami, co związane jest z długością fali. Długość fali, częstotliwość, amplituda i prędkość propagacji są ważnymi parametrami, które charakteryzują dźwięk, podobnie jak we wszystkich falach. Podsumowanie Dźwięk jest zaburzeniem ośrodka, które przemieszcza się od źródła. Słuch jest percepcją dźwięku. Dźwięk może być modelowany przez zmiany ciśnienia lub drgania cząsteczek ośrodka. Ludzkie ucho odbiera dźwięki z zakresu częstotliwości od 20 Hz do 20 kHz. Pytania Czym jest dźwięk, a czym jest słyszenie dźwięku. Dźwięk jest zaburzeniem ośrodka, które rozchodzi się od źródła. Słyszenie jest percepcją dźwięku. Będziesz się uczyć o tym, że światło jest falą elektromagnetyczną, która może propagować się w próżni. Czy dźwięk może rozchodzić się w próżni? Fale dźwiękowe mogą być modelowane jako zmiany ciśnienia. Dlaczego korzysta się z pojęcia „zmiana ciśnienia”, a nie „chwilowa wartość ciśnienia”? Przeanalizuj falę dźwiękową poruszającą się w powietrzu. Ciśnienie powietrza jest warunkiem równowagi, jest to zmiana ciśnienia powodowana przez falę dźwiękową. Zadania Rozważmy falę dźwiękową opisaną równaniem s ( x , t ) = 4 nm cos ( 3,66 m −1 x − 1256 s −1 t ) . Ile wynosi maksymalne wychylenie, częstotliwość, długość fali oraz prędkość rozchodzenia się fali dźwiękowej? s max = 4,00 nm , λ = 1,72 m , f = 200 Hz , v = 343,17 m/s Rozważmy falę dźwiękową poruszającą się w powietrzu opisaną równaniem s ( x , t ) = 6 n m cos  ( 54,93 m − 1 x − 18 840  s -1 t ) . Jaki jest najkrótszy czas, aby cząsteczka powietrza przemieściła się od 3 nm do –3 nm? Rozważmy falę ultradźwiękową o częstotliwości 5,00 MHz, która jest wykorzystywana do badania nieprawidłowości w tkance miękkiej. Jaka jest długość fali, jeśli porusza się ona w powietrzu z prędkością 343 m/s? Jeśli prędkość dźwięku w tkance wynosi 1800 m/s, jaka jest długość fali w tkance? a. λ = 68,60 μ m; b. λ = 360,00 μ m Fala dźwiękowa opisana jest zależnością Δ P = 1,80 P a sin  ( 55,41 m − 1 x − 18 840 s − 1 t ) . Ile wynosi maksymalna zmiana ciśnienia, długość i częstotliwość fali oraz prędkość dźwięku? Fala dźwiękowa opisana jest funkcją Δ P = 1,20 P a sin  ( k x − 6,28 ⋅ 10 4 s − 1 t ) , natomiast prędkość dźwięku w powietrzu wynosi v = 343,00 m/s . Ile wynosi liczba falowa dla fali dźwiękowej? Ile wynosi Δ P ( 3,00 m ; 20,00 s ) ? a. k = 183,09 m −1 ; b. Δ P = −1,11 Pa Wychylenie cząsteczki powietrza dla fali dźwiękowej opisane jest zależnością s ( x , t ) = 5 n m cos  ( 91,54 m − 1 x − 3140  s -1 t ) . Ile wynosi prędkość dźwięku? Jaka jest maksymalna prędkość cząsteczki powietrza w prostym ruchu harmonicznym? Ile wynosi maksymalne przyspieszenie drgań cząsteczek powietrza w prostym ruchu harmonicznym? Głośnik znajduje się przy otworze długiej poziomej rury. Głośnik generuje falę o częstotliwości f , wytwarzając falę dźwiękową, która porusza się w rurze. Fala w rurze porusza się z prędkością równą v = 340,00 m/s . Fala dźwiękowa opisana jest zależnością s ( x , t ) = s max cos ( k x − ω t + ϕ ) . W chwili czasu t = 0,00 s cząsteczka powietrza dla x = 3,5 m znajduje się w położeniu maksymalnego wychylenia, które wynosi 7,00 nm. W tym samym czasie wychylenie innej cząsteczki dla x = 3,7 m wynosi 3,00 nm. Jaka jest częstotliwość fali generowanej przez głośnik? s 1 = 7,00 nm, s 2 = 3,00 nm, k x 1 + ϕ = 0 rad k x 2 + ϕ = 1,128 rad k ( x 2 − x 1 ) = 1,128 rad, k = 5,64 m −1 λ = 1,11 m, f = 306,31 Hz Kamerton zostaje pobudzony do drgań i generuje dźwięk o częstotliwości 250 Hz. Miernik poziomu dźwięku znajduje się w odległości 34,00 m od kamertonu. Dźwięk dociera do miernika po czasie Δ t = 0,10 s . Maksymalne wychylenie widełek kamertonu wynosi 1,00 mm. Napisz funkcję opisującą falę dźwiękową. Fala dźwiekowa wytworzona jest przez przetwornik ultradźwiękowy. Poruszając się w powietrzu, może być opisana zależnością s ( x , t ) = 4,50 cos  ( 9,15 ⋅ 10 4 ⋅ x − 2 π ⋅ 5,00 ⋅ t ) , gdzie amplituda jest wyrażona w nm, wektor falowy w 1/m, a częstotliwość w MHz. Przetwornik wykorzystywany jest w nieinwazyjnych badaniach struktur belek stalowych. Prędkość dźwięku w belce stalowej wynosi v = 5950 m/s . Napisz zależność dla fali dźwiękowej poruszającej się w belce stalowej. k = 5,28 ⋅ 10 3 m s ( x , t ) = 4,50 n m cos  ( 5,28 ⋅ 10 3 m − 1 x − 2 π ⋅ 5,00 M H z ⋅ t ) Morświny emitują dźwięki, które wykorzystują do nawigacji. Jeśli długość wyemitowanej fali wynosi 4,5 cm, a prędkość dźwięku w wodzie wynosi v = 1530 m/s, to jaki jest okres fali? Nietoperze wykorzystują fale dźwiękowe do chwytania owadów. Nietoperze potrafią wykrywać dźwięki do 100 kHz. Jeśli fale dźwiękowe propagują się w powietrzu z prędkością v = 343 m/s , to jaka jest ich długość fali? λ = 3,43 mm Nietoperz emituje dźwięk o częstotliwości 100 kHz, a fala dźwiękowa porusza się w powietrzu z prędkością równą v = 343 m/s . Jeśli maksymalna różnica ciśnień wynosi 1,30 Pa, to jaka jest postać zależności opisującej falę dźwiękową, przy założeniu, że jest to funkcja sinusoidalna? (Załóż, że przesunięcie fazowe wynosi zero.) Jaki jest okres fali dźwiękowej? Przeanalizujmy przedstawiony wykres zmian ciśnienia, na którym pokazano zmiany ciśnienia dla t = 0,000 s (krzywa niebieska) oraz t = 0,005 s (krzywa czerwona). Ile wynosi długość, wychylenie, prędkość oraz okres fali? λ = 6,00 m s max = 2,00 m m v = 600 m / s T = 0,01 s Przeanalizujmy wykres z poprzedniego zadania. Pokazano na nim zmiany ciśnienia dla t = 0,000 s (krzywa niebieska) i t = 0,005 s (krzywa czerwona). Zakładając, że wychylenie cząstki dla czasu t = 0,00 s i położenia x = 0,00 m jest s ( 0,00 m , 0,00 s ) = 1,08 mm, napisz funkcję opisującą zmiany ciśnienia. Struna gitary drga z częstotliwością równą 100 Hz i emituje falę dźwiękową. Czy częstotliwość fali dźwiękowej jest równa częstotliwości drgań struny? Jeśli prędkość dźwięku wynosi v = 343 m/s , to jaka jest długość fali? (a) f = 100 Hz, (b) λ = 3,43 m słuch (ang. hearing ) percepcja dźwięku dźwięk (ang. sound ) propagujące zaburzenia ośrodka, które mogą być okresowe i mogą być modelowane jako zmiany ciśnienia powietrza lub drgania cząsteczek

Science


Prędkość dźwięku Dźwięk jak wszystkie fale propaguje się z określoną prędkością oraz posiada określoną częstotliwość (ang. frequency ) i długość (ang. wavelength ). Różnica między prędkością dźwięku a prędkością światła można zaobserwować, oglądając pokaz sztucznych ogni ( ). Błysk wybuchu można zaobserwować wcześniej niż usłyszeć jego dźwięk, co sugeruje, że dźwięk propaguje się z ograniczoną i mniejszą prędkością niż światło. Kiedy eksplodują fajerwerki, światło widzimy wcześniej niż słyszymy dźwięk, ponieważ propaguje się on wolniej niż światło. Różnicę między prędkościami światła i dźwięku można również zauważyć podczas wyładowań atmosferycznych. Być może wiesz, że licząc sekundy między zaobserwowanym przez ciebie błyskiem a usłyszanym grzmotem, możesz oszacować jak daleko uderzył piorun. Światło dociera do oka niemal błyskawicznie, a dźwięk na pokonanie kilometra potrzebuje około trzech sekund. Prędkość każdej fali zależy od jej częstotliwości i długości, zgodnie ze wzorem: v = f λ , gdzie v jest prędkością dźwięku, f jest częstotliwością, natomiast λ jest długością fali. Dla przypomnienia, z rozdziału Fale wynika, że długość fali jest odległością pomiędzy kolejnymi identycznymi punktami fali. Na powierzchni fali lub na strunie długość fali może być zmierzona pomiędzy dwoma kolejnymi punktami o tej samej wysokości i nachyleniu, na przykład pomiędzy dwoma kolejnymi grzbietami lub dwoma kolejnymi dolinami. Podobnie długość fali dźwiękowej jest odległością pomiędzy dwoma kolejnymi identycznymi punktami fali – na przykład pomiędzy dwoma identycznymi kolejnymi zagęszczeniami ( ). Częstotliwość fali dźwiękowej jest taka sama jak częstotliwość źródła i jest liczbą fal, które docierają do określonego punktu ośrodka w jednostce czasu. Fala dźwiękowa wyemitowana ze źródła, jakim jest kamerton drgający z częstotliwością f . Fala dźwiękowa o długości λ propaguje się z prędkością v . Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach pokazuje, że prędkość dźwięku zależy od tego jak szybko energia akustyczna może być przenoszona przez ośrodek. Z tego powodu wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w danym ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Ogólnie, prędkość dźwięku dla fali mechanicznej w ośrodku zależy od pierwiastka kwadratowego ilorazu sprężystości (ang. elasticity ) i bezwładności (ang. inertia ): v = sprężystość bezwładność . Fale dźwiękowe spełniają równanie falowe wyprowadzone w rozdziale Fale : ∂ 2 y ( x , t ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 . Dla przypomnienia, z rozdziału Fale wynika, że prędkość fali na strunie jest równa v = F T / μ , gdzie siłą sprężystości jest naprężenie struny F T , natomiast gęstość liniowa μ jest bezwładnością. W płynach prędkość dźwięku zależy od modułu sprężystości objętościowej i gęstości: v = K ρ . Prędkość dźwięku w ciele stałym zależy od modułu Younga (ang. Young’s modulus ) i gęstości ośrodka: v = E ρ . W gazie doskonałym (zobacz: Kinetyczna teoria gazów ) wzór na prędkość dźwięku jest następujący: v = κ R T K M , gdzie κ jest wykładnikiem adiabaty, R = 8,31 J / ( m o l ⋅ K ) jest stałą gazową, T K temperaturą bezwzględną w kelwinach, natomiast M jest masą cząsteczkową. W ogólnym przypadku im bardziej sztywny (mniej ściśliwy) ośrodek, tym wyższa prędkość dźwięku. Analogicznie częstotliwość prostego ruchu harmonicznego jest wprost proporcjonalna do sztywności drgającego obiektu określonego przez k , stałą sprężystości. Dalej, im większa jest gęstość ośrodka, tym mniejsza jest prędkość dźwięku. Wniosek ten jest analogiczny do faktu, że częstotliwość prostego ruchu harmonicznego jest odwrotnie proporcjonalna do m masy drgającego ciała. Prędkość dźwięku w powietrzu jest mała, ponieważ powietrze jest łatwo ściśliwe. Ponieważ ciecze i ciała stałe są bardzo sztywne i trudne do ściśnięcia, prędkość dźwięku w tych ciałach jest generalnie większa niż w gazach. Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach Ośrodek v (m/s) Gazy w temperaturze 0 ∘ C Powietrze 331 Dwutlenek węgla 259 Tlen 316 Hel 965 Wodór 1290 Ciecze w temperaturze 20 ∘ C Etanol 1160 Rtęć 1450 Woda 1480 Woda morska 1540 Ludzka tkanka 1540 Ciała stałe (fale podłużne lub objętościowe) Guma wulkanizowana 54 Polietylen 920 Marmur 3810 Szkło 5640 Ołów 1960 Aluminium 5120 Stal 5960 Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach. Ponieważ prędkość dźwięku zależy od gęstości materiału, a gęstość zależy od temperatury, istnieje zależność pomiędzy temperaturą ośrodka i prędkością rozchodzącego się w nim dźwięku. Prędkość dźwięku w powietrzu dana jest wzorem: v = 331 m s 1 + T C 273 ∘ C = 331 m s T K 273 K , gdzie temperatura T C dana jest w stopniach Celsjusza, a temperatura T K – w kelwinach. Prędkość dźwięku w gazach zależy od średniej prędkości cząsteczek gazu, v rms = 3 k B T / m , gdzie k B jest stałą Boltzmana ( 1,38 ⋅ 10 − 23 J / K ) , a m jest masą pojedynczej cząsteczki. Zwróć uwagę, że v jest prędkością propagacji koherentnego zaburzenia (fala), natomiast v rms opisuje prędkość cząsteczek poruszających się w różnych kierunkach. Z tego powodu uzasadnione jest stwierdzenie, że prędkość dźwięku w powietrzu powinna zależeć od pierwiastka kwadratowego z temperatury. Nie jest to silna zależność. Dla 0 ∘ C prędkość dźwięku wynosi 331 m/s, natomiast dla 20 ∘ C – 343 m/s, czyli niecałe 4 % przyrostu. pokazuje, w jaki sposób nietoperz wykorzystuje dźwięk do określenia odległości. Nietoperz wykorzystuje zjawisko echa do określenia odległości od zdobyczy. Czas dotarcia echa jest wprost proporcjonalny do odległości. Podobnie działa czujnik LIDAR (ang. Light Detection and Ranging ) stosowany w samochodach autonomicznych (bazuje na flach elektromagnetycznych). Wyprowadzenie wzoru na prędkość dźwięku w powietrzu Jak wcześniej wspomniano, prędkość dźwięku w ośrodku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. Wyprowadzenie zależności na prędkość dźwięku w powietrzu należy rozpocząć od masy przepływu i równania ciągłości omówionego w rozdziale Mechanika płynów . Rozważmy przepływ płynu przez rurę o przekroju poprzecznym A ( ). Masa w małej objętości rury o długości x jest równa iloczynowi gęstości i objętości m = ρ V = ρ A x . Natężenie masy przepływu jest równe: d m d t = d d t ( ρ V ) = d d t ( ρ A x ) = ρ A d x d t = ρ A v . Z równania ciągłości z rozdziału Mechanika płynów wynika, że masa przepływu wpływająca do objętości musi być równa masie przepływu wypływającej z objętości: ( ρ A v ) wpływająca = ( ρ A v ) wypływająca . Masa płynu w objętości jest równa iloczynowi objętości i gęstości, m = ρ V = ρ A x . Strumień masy jest pochodną masy po czasie. Rozważmy teraz dźwięk propagujący się w płynie. Weźmy infinitezymalnej grubości obszar ułożony wzdłuż powierzchni równego ciśnienia. Gęstość, temperatura i prędkość zmieniają się wzdłuż takiego obszaru o, odpowiednio, d ρ , d T oraz d v ( ). Fala dźwiękowa propaguje się przez objętość płynu. Gęstość, temperatura i prędkość płynu zmieniają się i są inne po obu stronach Z równania ciągłości wynika, że strumień masy wpływający do danej objętości jest równy strumieniowi wypływającemu z objętości. W takim przypadku ρ A v = ( ρ + d ρ ) A ( v + d v ) . Powyższe równanie można uprościć. Po obustronnym podzieleniu przez powierzchnię A i po uwzględnieniu, że mnożenie dwóch nieskończenie małych wielkości jest w przybliżeniu równe zero: d p ( d v ) ≈ 0 , otrzymujemy: ρ v = ( ρ + d ρ ) ( v + d v ) ρ v = ρ v + ρ ( d v ) + ( d ρ ) v + ( d ρ ) ( d v ) 0 = ρ ( d v ) + ( d ρ ) v ρ d v = − v d ρ . Wypadkowa siła wywierana na objętość płynu ( ) jest równa sumie sił po lewej i prawe stronie: F wyp = p d y d z − ( p + d p ) d y d z = p d y d z − p d y d z − d p d y d z = − d p d y d z m a = − d p d y d z . Fala dźwiękowa porusza się przez objętość płynu. Siła po każdej stronie jest równa iloczynowi ciśnienia i powierzchni. Przyspieszenie jest równe sile podzielonej przez masę, a masa jest równa iloczynowi gęstości i objętości, m = ρ V = ρ d x d y d z . Otrzymujemy zatem: m a = − d p d y d z a = − d p d y d z m = d p d y d z ρ d x d y d z = − d p ρ d x d v d t = − d p ρ d x d v = − d p ρ d x d t = − d p ρ 1 v ρ v d v = − d p . Z równania ciągłości ρ d v = − v d ρ , otrzymujemy: ρ  d v = - v  d ρ - v  d ρ  v = - d p v = d p d ρ Rozważmy falę dźwiękową poruszającą się w powietrzu. Podczas procesu sprężania i rozprężania gazu do układu nie jest dostarczane ani oddawane żadne ciepło. Proces, w którym nie występuje żadna wymiana ciepła z układem, nazywa się przemianą adiabatyczną. Jest ona szczegółowo opisana w rozdziale Pierwsze prawo termodynamiki , natomiast na tym etapie wystarczy stwierdzić, że dla procesu adiabatycznego p V κ = const, gdzie p jest ciśnieniem, V jest objętością, a κ jest stałą zależną od gazu. Dla powietrza κ = 1,40 . Gęstość jest równa iloczynowi liczby moli i masy molowej, podzielonej przez objętość, stąd objętość jest równa V = n M / ρ . Liczba moli i masa molowa są stałe i mogą być włączone do stałej, czyli otrzymujemy: p ( 1 / ρ ) κ = const. Obliczając logarytm naturalny z obu stron równania, dochodzimy do wyrażenia: ln p − κ ln ρ = const . Obliczając następnie pochodną po gęstości, otrzymujemy: ln  p − κ ln  ρ = const d d ρ ( ln  p − κ ln  ρ ) = d d ρ ( const ) 1 p d p d ρ − κ ρ = 0 d p d ρ = κ p ρ . Zakładając, że powietrze można uznać za gaz doskonały, możemy skorzystać z równania dla gazu doskonałego: p V = n R T = m M R T p = m V R T M = ρ R T M . W powyższym wzorze M oznacza masę molową powietrza: d p d ρ = κ p ρ = κ ( ρ R T M ) ρ = κ R T M . Ponieważ prędkość dźwięku jest równa v = d p / d ρ , dalej otrzymujemy: v = κ R T M . Należy zauważyć, że prędkość jest większa dla wyższych temperatur i mniejsza w przypadku cięższych gazów. Dla powietrza κ = 1,4 , M = 0,02897 k g / m o l i R = 8,31 J / ( m o l ⋅ K ) . Jeśli temperatura wynosi T C = 20 ∘ C ( T = 293 K ) , prędkość dźwięku jest równa v = 343 m/s . Wzór na prędkość dźwięku w powietrzu v = κ R T / M można uprościć do postaci, w której prędkość dźwięku jest funkcją temperatury bezwzględnej: v = κ R T M = κ R T M ( 273 K 273 K ) = ( 273 K ) κ R M T 273 K ≈ 331 m s T 273 K . Jedną z najważniejszych właściwości dźwięku jest fakt, że prędkość dźwięku jest prawie niezależna od częstotliwości. Ta niezależność jest z pewnością prawdziwa w przestrzeni otwartej, dla dźwięków z zakresu częstotliwości słyszalnych. Gdyby nie była prawdziwa, z pewnością można byłoby to zauważyć, np. w trakcie koncertu orkiestry marszowej na stadionie piłkarskim. Załóżmy, że dźwięki o wysokich częstotliwościach propagowałyby się szybciej – im dalej znajdujesz się od zespołu, tym dźwięki z instrumentów o niskich częstotliwościach są bardziej opóźnione od dźwięków o wysokich częstotliwościach. Tymczasem muzyka ze wszystkich instrumentów dociera w tym samym czasie, niezależnie od odległości, co oznacza, że dźwięki o różnych częstotliwościach muszą propagować się z podobną prędkością. Pamiętajmy, że: v = f λ . W danym ośrodku, w pewnych warunkach, v jest stałe, co oznacza, że istnieje zależność pomiędzy f a λ : im wyższa częstotliwość, tym krótsza długość fali ( ). W danym ośrodku fale propagują się z taką samą prędkością. Z tego powodu dźwięki o niskich częstotliwościach muszą mieć większe długości fal od dźwięków o wysokich częstotliwościach. Na rysunku dźwięki o niskich częstotliwościach są generowane przez membranę o większej średnicy ( głośnik niskotonowy (ang. woofer )), natomiast dźwięki o wyższych częstotliwościach – przez membranę o mniejszej średnicy ( głośnik wysokotonowy (ang. tweeter )). Obliczanie długości fal Oblicz długości fal dźwięków w temperaturze powietrza równej 30,0 ∘ C dla skrajnych częstotliwości określających zakres słyszalności 20 Hz i 20 000 Hz w temperaturze powietrza równej . Strategia rozwiązania Aby znaleźć długość fali na podstawie częstotliwości, możemy wykorzystać zależność v = f λ . Rozwiązanie Określ znane wielkości. Wielkość v dana jest wzorem: v = 331 m s T 273 K . Wyraź temperaturę w kelwinach, a następnie podstaw do wzoru: v = 331 m s 303 K 273 K = 348,7 m s . Rozwiąż zależność i wyznacz długość fali λ : λ = v f . Podstaw prędkość i dolną częstotliwość, aby otrzymać maksymalną długość fali: λ max =  348,7 m/s 20 Hz = 17 m . Podstaw prędkość i górną częstotliwość, aby otrzymać minimalną długość fali: λ min = 348,7 m/s 20,000 Hz = 0,017 m = 1,7 cm . Znaczenie Ponieważ iloczyn f i λ jest wielkością stałą, im niższa częstotliwość f , tym większa długość fali λ i odwrotnie. Prędkość dźwięku może się zmieniać, gdy dźwięk przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, ale zwykle częstotliwość pozostaje taka sama. Podobnie częstotliwość fali na strunie jest równa częstotliwości siły wymuszającej drgania struny. Jeśli v się zmienia i f pozostaje taka sama, wówczas długość fali λ musi się zmieniać. Wynika to ze wzoru v = f λ ; wyższa prędkość dźwięku to większa długość fali dla danej częstotliwości. Sprawdź, czy rozumiesz. Wyobraź sobie dwa wybuchy sztucznych ogni. Eksplozję jednego z nich widzisz i słyszysz w tym samym czasie. Jednak zanim usłyszysz wybuch drugiego fajerwerku, kilka milisekund wcześniej widzisz błysk wybuchu. Wytłumacz dlaczego. Dźwięk i światło propagują się ze skończoną prędkością, ale prędkość dźwięku jest mniejsza niż prędkość światła. Pierwszy wybuch występuje najprawdopodobniej bardzo blisko, przez co różnica w prędkości jest niezauważalna. Drugi wybuch występuje daleko, co sprawia, że światło widzisz wcześniej, niż usłyszysz dźwięk wybuchu. Chociaż fale dźwiękowe w powietrzu są falami podłużnymi, w ciele stałym poruszają się w postaci fal podłużnych i poprzecznych. Fale sejsmiczne (ang. seismic waves ), które są zasadniczo falami dźwiękowymi w skorupie ziemskiej wytwarzanymi przez trzęsienia ziemi, są ciekawym przykładem tego, jak prędkość dźwięku zależy od sztywności ośrodka. Trzęsienia ziemi wytwarzają zarówno fale podłużne, jak i poprzeczne, które poruszają się z różnymi prędkościami. Moduł sztywności granitu jest większy niż jego moduł ścinania. Z tego powodu prędkość fal podłużnych (P) w granicie podczas trzęsień ziemi jest znacznie większa niż prędkość fal poprzecznych (S). Oba rodzaje fal trzęsień ziemi przemieszczają się wolniej w mniej sztywnych materiałach, takich jak osady. Fale P mają prędkości od 4 do 7 km/s, a zakresy prędkości fal S wynoszą od 2 do 5 km/s. Fale P propagują się dalej niż fale S podczas przechodzenia przez skorupę ziemską. Czas pomiędzy falami P i S jest powszechnie używany do określenia odległości od ich źródła, od epicentrum trzęsienia ziemi. Ponieważ fale S nie przechodzą przez ciekły rdzeń (brak modułu sztywności), a fale P załamują się na granicy płaszcz-jądro, tworzą się dwa obszary cienia. Trzęsienia ziemi wytwarzają zarówno fale podłużne (fale P), jak i fale poprzeczne (fale S), które poruszają się z różnymi prędkościami. Oba rodzaje fal przemieszczają się z różnymi prędkościami w różnych obszarach Ziemi, ale ogólnie fale poprzeczne (P) propagują się szybciej niż fale poprzeczne (S). Fale poprzeczne (S) nie propagują się przez płynny rdzeń, który tworzy strefę cienia. Gdy fale dźwiękowe oddalają się od głośnika lub od epicentrum trzęsienia ziemi, ich moc na jednostkę powierzchni maleje. Z tego powodu dźwięk w pobliżu głośnika jest bardzo głośny i staje się coraz cichszy wraz ze wzrostem odległości od głośnika. Fakt ten wyjaśnia również, dlaczego w epicentrum trzęsienia ziemi może wystąpić ogromna ilość szkód, a w obszarach odległych od epicentrum można jedynie odczuć wstrząsy. Moc na jednostkę powierzchni znana jest jako natężenie. W następnym rozdziale zostanie omówione, jak natężenie zależy od odległości od źródła. Podsumowanie Prędkość dźwięku zależy od rodzaju i stanu ośrodka. W ciałach ciekłych, z powodu braku sił ścinających, fale dźwiękowe są podłużne. W ciałach stałych mogą rozchodzić się fale podłużne i poprzeczne. W powietrzu prędkość dźwięku zależy od temperatury T zgodnie ze wzorem v = 331 m s T K 273 K = 331 m s 1 + T C 273 ∘ C . Prędkość v jest taka sama dla wszystkich częstotliwości i długości fal dźwiękowych w powietrzu. Pytania Jak wibracje akustyczne atomów różnią się od ruchu termicznego? Czy zmienia się częstotliwość lub długość fali, gdy dźwięk przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, w którym jest inna prędkość propagacji? Wyjaśnij odpowiedź. Częstotliwość nie zmienia się, gdy fala dźwiękowa przechodzi z jednego ośrodka do drugiego. Ponieważ prędkość zmienia się, a częstotliwość nie, długość fali również musi się zmienić. Podobnie jest dla oscylatora harmonicznego lub dla fali na strunie. Popularnym trikiem jest wdychanie helu i mówienie z wysoką częstotliwością, śmiesznym głosem. Wytłumacz to zjawisko. Być może stosowałeś akustyczny dalmierz do określenia odległości obiektów, wykorzystujący przetwornik akustyczny. Jaka jest zasada działania takiego urządzenia? Przetwornik wysyła falę dźwiękową, która odbija się od przedmiotu i mierzy jej czas powrotu. Ponieważ prędkość dźwięku jest stała, odległość do obiektu może zostać odnaleziona przez pomnożenie prędkości dźwięku oraz połowy zmierzonego przedziału czasowego. Akustyczny dalmierz omawiany w poprzednim pytaniu często wymaga kalibracji. Podczas kalibracji program pyta o temperaturę pokojową. Jak myślisz, dlaczego wymagana jest temperatura pomieszczenia? Zadania Gdy ukłuje się sopranistkę, potrafi ona wydać dźwięk o częstotliwości 1200 Hz. Jaka jest długość fali, jeśli prędkość dźwięku wynosi 345 m/s? Jaką częstotliwość ma dźwięk o długości fali 0,10 m, gdy prędkość dźwięku wynosi 340 m/s? f = 3400 Hz Oblicz prędkość dźwięku, którego fala dźwiękowa ma częstotliwość 1500 Hz i długość 0,221 m. Ile wynosi prędkość dźwięku w ośrodku, w którym częstotliwość fali akustycznej wynosi 100 kHz, a jej długość 5,96 cm? Jaka to może być substancja? Sprawdź w . v = 5,96 ⋅ 10 3 m s ; stal (wartość z ) Pokaż, że prędkość dźwięku w temperaturze 20,0 ∘ C w powietrzu wynosi 343 m/s , jak pokazano w tekście. Temperatura powietrza na Saharze może sięgnąć 56,0 ∘ C (ok. 134 ∘ F ). Ile wynosi prędkość dźwięku w powietrzu w takiej temperaturze? v = 363 m s Delfiny generują dźwięki w powietrzu i wodzie. Jaki jest stosunek długości fali dźwiękowej w powietrzu do jej długości w wodzie morskiej? Załóż, że temperatura powietrza wynosi 20,0 ∘ C . Echo z sonaru powraca do łodzi podwodnej po 1,20 s od momentu wygenerowania. Jaka jest odległość od obiektu, od którego fala się odbiła? Załóż, że łódź podwodna znajduje się w oceanie, a nie w wodzie słodkiej. Δ x = 924 m Jeśli sonar łodzi podwodnej może mierzyć czasy echa z dokładnością do 0,01 s, to jaka jest najmniejsza różnica w odległościach, które może wykryć? Załóż, że łódź podwodna znajduje się w oceanie, a nie w słodkiej wodzie. Omów ograniczenia, które dotyczą rozdzielczości systemu sonarowego, pozwalającego wykrywać rozmiary i kształty obiektów tworzących echo. Fale ultradźwiękowe są często wykorzystywane w nieinwazyjnych metodach badań. Na przykład metoda taka może być wykorzystana do wykrywania usterek konstrukcyjnych w belkach stalowych typu I stosowanych w budownictwie. Rozważmy belkę stalową typu I o długości 10,00 m o przekroju poprzecznym pokazanym poniżej. Ciężar belki typu I wynosi 3846,50 N. Jaka byłaby prędkość dźwięku w belce typu I? ( Y stal = 200 GPa , β stal = 159 GPa ) . V = 0,05 m 3 m = 392,5 kg ρ = 7850 kg/m 3 v = 5047,54 m/s Podczas pokazu sztucznych ogni fizyk rejestruje czasy, po których widzi wybuch i słyszy dźwięk wybuchu. Zmierzona różnica wynosi 0,400 s. W jakiej odległości nastąpił wybuch, jeśli temperatura powietrza wynosi 24,0 ° C oraz zaniedba się czas dotarcia światła wybuchu do fizyka? Wyznacz odległość, w jakiej nastąpił wybuch, uwzględniając prędkość światła. Zauważ, że odległość jest nieznacznie większa. Podczas uroczystości 4 lipca fajerwerk M80 eksploduje na ziemi, tworząc jasny rozbłysk i głośny huk. Temperatura powietrza w nocy wynosi T F = 90,0 ∘ F . Dwóch obserwatorów widzi błysk oraz słyszy dźwięk wybuchu. Pierwszy obserwator usłyszał dźwięk wybuchu po 1,00 sekundzie od momentu zauważenia błysku wybuchu. Drugi obserwator usłyszał dźwięk wybuchu po 3,00 sekundach od momentu zauważenia wybuchu. Linie widzenia pomiędzy dwoma obserwatorami tworzą kąt prosty, jak pokazano poniżej. Jaka jest odległość Δ x pomiędzy obserwatorami? T C = 35 ∘ C , v = 351,58 m / s Δ x 1 = 35,16 m , Δ x 2 = 52,74 m Δ x = 63,39 m Gęstość próbki wody wynosi ρ = 998,00 kg/m 3 , natomiast moduł sprężystości objętościowej K = 2,15 GPa . Ile wynosi prędkość propagacji w tej próbce? Złóżmy, że nietoperz wykorzystuje echo do lokalizacji swojej ofiary znajdującej się w odległości 3,00 m od niego ( ). Oblicz czas dotarcia echa dla temperatur 5,00 ∘ C i 35,0 ∘ C . Ile wynosi procentowa niepewność w lokalizacji owada przez nietoperza? Omów znaczenie tej niepewności i tego, co może utrudniać lokalizację przez nietoperza. W praktyce nietoperz nadal korzysta z echolokacji, eliminując większość trudności i innych efektów, jak np. ruch ofiary. t 5,00 ° C = 0,0180 s , t 35,0 ° C = 0,0171 s ; % niepewności = 5,00 % ; Ta niepewność mogłaby zdecydowanie stwarzać trudności nietoperzom, gdyby nie mogły wykorzystywać dźwięku do złapania zdobyczy. 5% niepewność może być różnicą pomiędzy schwytaniem zdobyczy za szyję lub klatkę piersiową, co oznacza, że może nie chwycić swojej zdobyczy.

Science


Natężenie dźwięku W cichym lesie możesz czasami usłyszeć pojedynczy spadający na ziemię liść. Natomiast, kiedy kierowca samochodu ma włączone radio, nie słychać nawet tego, co mówi osoba siedząca obok ( ). Wszyscy jesteśmy świadomi, co to jest głośność dźwięków i że głośność związana jest z tym, jak energicznie wibruje źródło. Duży poziom hałasu jest niebezpieczny dla słuchu, dlatego tak ważne jest, aby osoby pracujące w warunkach przemysłowych stosowały ochronniki słuchu. Wielkością fizyczną, która opisuje fale dźwiękowe, niezależnie od tego, czy są one z zakresu słyszalnego czy nie, jest natężenie dźwięku. Hałas na zakorkowanych ulicach, tak jak np. w Delhi, sprawia, że trudno usłyszeć innych, z wyjątkiem sytuacji, gdy krzyczą. (Źródło: „Lingaraj G J”/Flickr) W rozdziale Fale zdefiniowaliśmy natężenie jako moc przenoszoną przez falę przypadającą na jednostkę powierzchni. Moc określa, jak szybko energia jest przenoszona przez falę. Natężenie fali I określone jest przez wzór: I = P A , gdzie P jest mocą przepływającą przez powierzchnię A . W układzie SI jednostką natężenia fali jest W/m 2 . Jeśli założymy, że fala dźwiękowa jest kulista oraz że nie ma żadnych strat związanych z procesami termicznymi, wówczas rozchodząca się fala ma coraz większą powierzchnię i z tego powodu spada jej natężenie. Powierzchnia sfery wynosi A = 4 π r 2 . Jeśli fala rozchodzi się od r 1 do r 2 , wówczas energia również przechodzi przez większą powierzchnię: P 1 = P 2 I 1 4 π r 1 2 = I 2 4 π r 2 2 ; I 2 = I 1 ( r 1 r 2 ) 2 . Natężenie maleje, gdy fala oddala się od źródła. Gdy podwoisz odległość od źródła, natężenie fali maleje do 1/4: I 2 = I 1 ( r 1 r 2 ) 2 = I 1 ( r 1 2 r 1 ) 2 = 1 4 I 1 . Mówiąc o natężeniu fali dźwiękowej, rozważamy uśrednioną w czasie moc, określoną przez wielkość 〈 P 〉 podzieloną przez powierzchnię: I = 〈 P 〉 A . Natężenie fali jest proporcjonalne do zmian kwadratu ciśnienia i odwrotnie proporcjonalne do gęstości i prędkości. Rozważmy fragment ośrodka, w którym rozchodzi się fala dźwiękowa w czasie t , tak jak pokazano na . Niezaburzony obszar ośrodka o objętości V = A Δ x zaznaczono na niebiesko. Fala dźwiękowa przemieszcza się w ośrodku w czasie t w wyniku czego analizowany fragment ośrodka przemieszcza się i rozszerza, tak jak zaznaczono na rysunku linią przerywaną. Zmiana objętości wynosi Δ V = A Δ s = A ( s 2 − s 1 ) , gdzie s 1 jest odległością, o jaką przemieściła się krawędź tylna, a s 2 krawędź czołowa obszaru. Na rysunku s 2 > s 1 i objętość obszaru się zwiększa, ale objętość obszaru może się także zmniejszać ( s 2 < s 1 ) , w zależności od tego, która część fali dźwiękowej (zagęszczenie lub rozrzedzenie) przemieszcza się przez obszar. Położenie krawędzi ograniczających obszar, przez który przechodzi fala dźwiękowa może ulec zmianie, podobnie jak objętość tego obszaru. Jeśli s 2 > s 1 , objętość się zwiększa, a ciśnienie zmniejsza. Jeśli s 2 < s 1 , objętość się zmniejsza, natomiast ciśnienie się zwiększa. Zmiana objętości wynosi: Δ V = A Δ s = A ( s 2 − s 1 ) = A ( s ( x + Δ x , t ) − s ( x , t ) ) . Względna różnica objętości jest równa zmianie objętości podzielonej przez objętość początkową: d V V = lim Δ x → 0 A [ s ( x + Δ x , t ) − s ( x , t ) ] A Δ x = ∂ s ( x , t ) ∂ x . Względna różnica objętości związana jest ze zmianami ciśnienia przez współczynnik sprężystości objętościowej (ang. bulk modulus ) K = − Δ p ( x , t ) d V / V . Należy pamiętać, że znak minus jest niezbędny, ponieważ zmiana objętości przeciwstawia się zmianom ciśnienia. Zmiana ciśnienia jest równa Δ p ( x , t ) = − K d V V = − K ∂ s ( x , t ) ∂ x . Jeśli fala dźwiękowa jest opisywana funkcją cosinus, to wychylenie, jak pokazano w , jest równe s ( x , t ) = s max cos ( k x ∓ ω t + ϕ ) , a ciśnienie może być wyznaczone z zależności: Δ p ( x , t ) = − K d V V = − K ∂ s ( x , t ) ∂ x = K k s max sin  ( k x − ω t + ϕ ) = Δ p m a x sin  ( k x − ω t + ϕ ) . Natężenie fali dźwiękowej jest równe mocy na jednostkę powierzchni, natomiast moc jest równa iloczynowi siły i prędkości, I = P / A = F v / A = p v . W tym przypadku prędkość jest prędkością drgań ośrodka, a nie prędkością fali dźwiękowej. Prędkość ośrodka jest równa szybkości zmian przemieszczenia (wychylenia): v ( x , t ) = ∂ ∂ t s ( x , t ) = ∂ ∂ t ( s max cos ( k x − ω t + ϕ ) ) = s max ω sin ( k x − ω t + ϕ ) . Stąd natężenie przyjmuje postać: I = Δ p ( x , t ) v ( x , t ) = K k s max sin ( k x − ω t + ϕ ) [ s max ω sin ( k x − ω t + ϕ ) ] = K k ω s max 2 sin 2 ( k x − ω t + ϕ ) . Aby znaleźć uśrednione w czasie natężenie w czasie jednego okresu T = 2 π / ω dla położenia x , całkujemy w przedziale czasu T, otrzymując I = K k ω s max 2 / 2 . Korzystajac z zależności Δ p max = K k s max , v = K / ρ oraz v = ω / k , otrzymujemy: I = K k ω s max 2 2 = K 2 k 2 ω s max 2 2 K k = ω ( Δ p max ) 2 2 ( ρ v 2 ) k = v ( Δ p max ) 2 2 ( ρ v 2 ) = ( Δ p max ) 2 2 ρ v . Powyższa zależność oznacza, że natężenie fali dźwiękowej związane jest z kwadratem jej amplitudy: I = ( Δ p max ) 2 2 ρ v . W powyższym wzorze Δ p max oznacza zmianę ciśnienia lub amplitudę ciśnienia w paskalach (Pa), tzn. N/m 2 . Energia (podobnie jak energia kinetyczna m v 2 / 2 ) drgającego fragmentu ośrodka (powietrza) w wyniku propagującej się fali dźwiękowej jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali. W równaniu ρ jest gęstością ośrodka, w którym propaguje się fala dźwiękowa, w jednostce kg/m 3 , natomiast v jest prędkością dźwięku w ośrodku, wyrażoną w m/s. Zmiana ciśnienia jest reprezentowana przez jego amplitudę, co oznacza, że I zmienia się tak jak ( Δ p ) 2 . Zależność ta jest zgodna z faktem, że fala dźwiękowa wytwarzana jest w wyniku drgań. Słyszenie i poziomy natężenia dźwięku Jak stwierdzono wcześniej w niniejszym rozdziale, słyszenie oznacza percepcję dźwięku. Mechanizm słyszenia obejmuje kilka ciekawych aspektów fizycznych. Fala dźwiękowa, która dociera do naszego ucha, jest falą zmian ciśnienia powietrza. Ucho jest przetwornikiem (ang. transducer ), który zamienia falę dźwiękową na szereg impulsów elektrycznych, w sposób bardziej skomplikowany niż w przypadku mikrofonu. pokazuje anatomię ucha. Anatomia ucha. Ucho zewnętrzne przenosi dźwięk do błony bębenkowej. Dla częstotliwości 2000 Hz – 5000 Hz (w zakresie dźwięków ludzkiej mowy) w zewnętrznym przewodzie słuchowym następuje rezonacja słupa powietrza. Dzięki temu ucho człowieka jest wyjątkowo dobrze dostosowane do odbierania ludzkiej mowy. Ucho środkowe zamienia dźwięk na drgania mechaniczne, a następnie dostarcza te drgania do ślimaka. Obejrzyj film , aby dowiedzieć się więcej na temat mechanizmu działania układu słuchowego. Zakres natężeń, które ucho ludzkie może odbierać, zależy od częstotliwości dźwięku, ale w ogólnym przypadku zakres ten jest bardzo szeroki. Progowa wartość natężenia, które może być słyszalne, wynosi I 0 = 10 −12 W/m 2 . Ból odczuwalny jest dla natężenia I ból = 1 W/m 2 . Ponieważ jednak ucho ludzie rejestruje natężenie logarytmiczne, wygodniej jest stosować skalę Bela. Poziom natężenia dźwięku (ang. sound intensity level ) β , mierzony w decybelach (ang. decibel ), o natężeniu I w watach na metr kwadratowy, definiuje się jako: β = 10 log 10  ( I I 0 ) [ d B ] , gdzie I 0 = 10 −12 W/m 2 jest progową wartością natężenia, odpowiadającą jest wartością progową dla normalnie słyszącej osoby, odpowiadającą natężeniu dźwięku o częstotliwości 1000 Hz. Bardziej powszechne jest stosowanie poziomu natężenia dźwięku w dB niż w W/m 2 . Sposób percepcji dźwięku przez ucho ludzkie może być dokładniej opisany przez logarytm natężenia dźwięku niż przez samo natężenie dźwięku. Ponieważ β definiuje się jako stosunek, jest to wielkość bezwymiarowa, która określa poziom dźwięku (level) w odniesieniu do wartości progowej ( 10 − 12 W / m 2 ) . Jednostka decybel oznacza, że w definicji tej wielkości logarytm ze stosunku natężeń pomnożony jest przez 10. Nazwa bel pochodzi od Alexandra Grahama Bella (1847–1922) , wynalazcy telefonu. Poziom natężenia dźwięku dla natężenia progowego: 10 −12 W/m 2 wynosi β = 0 d B , ponieważ log 10  1 = 0 . pokazuje poziomy w decybelach oraz natężenia w watach na metr kwadratowy dla niektórych znanych dźwięków. Ucho jest tak czułe, że rejestruje jedną trylionową wata na metr kwadratowy, a jeszcze bardzie imponujące jest to, że powierzchnia błony bębenkowej wynosi ok. 1 cm 2 , co oznacza, że dla progu słyszenia pada na nią dźwięk o mocy 10 −16 W . Cząsteczki powietrza przy takim natężeniu fali dźwiękowej drgają na długości mniejszej niż średnica cząsteczki, a zmiany ciśnienia są mniejsze niż 10 −9 atm . Porównanie poziomów natężenia w dB i W/m 2 Poziom natężenia dźwięku β (dB) Natężenie I ( W/m 2 ) Przykład/efekt 0 1 ⋅ 10 − 12 Próg słyszenia dla częstotliwości 1000 Hz 10 1 ⋅ 10 − 11 Szelest liści 20 1 ⋅ 10 − 10 Szept w odległości 1 m 30 1 ⋅ 10 − 9 Cichy dom 40 1 ⋅ 10 − 8 Normalny dom 50 1 ⋅ 10 − 7 Normalne biuro, cicha muzyka 60 1 ⋅ 10 − 6 Normalna rozmowa 70 1 ⋅ 10 − 5 Hałaśliwe biuro, duże natężenie ruchu samochodowego 80 1 ⋅ 10 − 4 Głośne radio, klasa szkolna 90 1 ⋅ 10 − 3 Wewnątrz samochodu ciężarowego, uszkodzenia słuchu powodowane długą ekspozycją na hałas W wielu krajach urzędy odpowiedzialne za ochronę zdrowia zalecają, aby wartość 85 dB nie była przekraczana w trakcie 8-godzinnego dnia pracy w przypadku braku ochronników słuchu. 100 1 ⋅ 10 − 2 Głośny zakład przemysłowy, syrena w odległości 30 m, uszkodzenia słuchu powodowane 8-godzinną ekspozycją na hałas 110 1 ⋅ 10 − 1 Uszkodzenia słuchu powodowane 30-minutową ekspozycją na hałas 120 1 Głośny koncert rockowy, młot pneumatyczny w odległości 2 m, próg bólu 140 1 ⋅ 10 2 Samolot odrzutowy w odległości 30 m, silny ból, utrata słuchu 160 1 ⋅ 10 4 Zniszczenie błony bębenkowej Analiza przedstawionych w wartości lub pozwala zauważyć, że każdy wzrost natężenia o 10 razy oznacza przyrost poziomu natężenia o 10 dB. Na przykład dźwięki o poziomie natężenia 90 dB i 60 dB różnią się o 1000 razy w wielkości natężenia. Z kolei jeśli jeden dźwięk jest o 10 7 razy głośniejszy w natężeniu, oznacza to, że jest o 70 dB głośniejszy ( ). Stosunki natężeń i odpowiadające im różnice w poziomie natężeń dźwięku I 2 / I 1 β 2 − β 1 2,0 3,0 dB 5,0 7,0 dB 10,0 10,0 dB 100,0 20,0 dB 1000,0 30,0 dB Obliczanie poziomów natężenia dźwięku Oblicz poziom natężenia dźwięku dla fali dźwiękowej rozchodzącej się w powietrzu w temperaturze 0 °C gdy amplituda ciśnienia wynosi 0,656 Pa. Strategia rozwiązania Mamy daną wartość Δ p , co pozwala nam obliczyć I , wykorzystując zależność I = ( Δ p ) 2 2 ρ v w . Korzystając z I , możemy obliczyć β bezpośrednio z definicji β = 10 log 10  ( I / I 0 ) [dB]. Rozwiązanie Określ znane wielkości: Dźwięk propaguje się z prędkością 331 m/s w powietrzu o temperaturze 0 ∘ C . Gęstość powietrza wynosi 1,29 kg/m 3 dla normalnego ciśnienia atmosferycznego w temperaturze 0 ∘ C . Podstaw otrzymane wartości oraz amplitudę ciśnienia do wzoru I = ( Δ p ) 2 2 ρ v : I = ( Δ p ) 2 2 ρ v = ( 0,656 P a ) 2 2 ⋅ 1,29 k g / m 3 ⋅ 331 m / s = 5,04 ⋅ 10 − 4 W / m 2 . Podstaw wartość I oraz znaną wartość I 0 do wzoru β = 10 log 10  ( I / I 0 ) [dB]. Oblicz poziom natężenia dźwięku w decybelach: 10 log 10  ( 5,04 ⋅ 10 8 ) = 10 ⋅ 8,70 d B = 87 d B . Znaczenie Natężenie dźwięku, które wynosi 87 dB, jest pięć razy większe od natężenia 80 dB. Zmiany poziomu natężenia dźwięku Pokaż, że jeśli dźwięk jest dwukrotnie głośniejszy od innego, jego poziom natężenia jest o 3 dB wyższy. Strategia rozwiązania Dany jest stosunek dwóch natężeń dźwięku 2:1. Należy wyznaczyć różnicę w poziomach natężeń dźwięku w decybelach. Zadanie możemy rozwiązać, wykorzystując własności logarytmów. Rozwiązanie Określ znane wielkości: Stosunek dwóch natężeń wynosi 2 do 1 czyli I 2 I 1 = 2,00 . Chcemy pokazać, że różnica w poziomach natężeń wysnosi 3 dB, czyli: β 2 − β 1 = 3 dB. Zwróć uwagę, że log 10 b − log 10 a = log 10 ( b a ) . Skorzystaj z definicji β , aby otrzymać β 2 − β 1 = 10 log 10  ( I 2 I 1 ) = 10 log 10  ( 2,00 ) = 10 ⋅ 0,301 d B . A zatem, β 2 − β 1 = 3,01 dB . Znaczenie Zauważ, że ponieważ dany jest stosunek I 2 / I 1 a nie rzeczywiste wartości natężeń, to otrzymany wynik jest prawdziwy dla wszystkich natężeń, których stosunek jest równy 2. Na przykład dźwięk o poziomie 56,0 dB jest dwukrotnie bardziej intensywny niż dźwięk o poziomie 53,0 dB, a dźwięk o poziomie natężenia 97,0 dB jest o połowę mniej intensywny niż dźwięk o poziomie natężenia 100 dB i tak dalej. Sprawdź, czy rozumiesz. Podaj przykłady dźwięków o poziomach 10 dB, 50 dB oraz 100 dB. 10 dB: szelest liści; 50 dB: normalne biuro; 100 dB: głośna fabryka Słyszenie i wysokość dźwięku Ucho ludzkie posiada ogromny zakres wrażliwości na zjawiska dźwiękowe. Potrafi dostarczyć nam szereg informacji – takich jak wysokość, głośność i kierunek rozchodzenia się dźwięku. Percepcja częstotliwości to rejestrowanie wysokości dźwięku (ang. pitch ). Zwykle ludzie mają doskonałą względną zdolność oceny wysokości dźwięku i potrafią rozróżnić dwa dźwięki o odmiennych częstotliwościach różniących się od siebie o ok. 0,3%. Na przykład dźwięki o częstotliwościach 500 i 501,5 Hz są wyraźnie dla człowieka różne. Nuty (ang. musical notes ) są symbolicznym zapisem dźwięków o określonej częstotliwości. Percepcja natężenia oznacza rejestrowanie dźwięków o różnej głośności (ang. loudness ). Można już usłyszeć różnicę ok. 1 dB. Głośność nie jest związana wyłącznie z natężeniem. Na percepcje głośności ma wpływ częstotliwość dźwięku. Dźwięki o wysokich i niskich częstotliwościach wydają się mniej głośne, ponieważ ucho ludzkie jest mniej na nie wrażliwe. Kiedy skrzypce grają środkowe C, to nie można tego dźwięku pomylić z tym samym dźwiękiem granym na fortepianie. Powodem jest to, że każdy instrument wytwarza charakterystyczny zbiór częstotliwości i natężeń. Tę kombinację częstotliwości oraz natężeń nazywamy zwykle barwą dźwięku (ang. timbre ). Barwa dźwięku jest wynikiem wielu odbić, rezonansów i superpozycji fal w instrumencie. Jednostka nazywana fonem (ang. phon ) jest wykorzystywana do określenia wrażenia głośności w postaci numerycznej. Fon różni się od decybela, ponieważ opisuje percepcję głośności (wielkość subiektywną), podczas gdy decybel jest jednostką wielkości fizycznej – natężenia. pokazuje zależność głośności od natężenia (lub poziomu natężenia) w funkcji częstotliwości. Przedstawione krzywe to krzywe równej głośności. Parametrem każdej krzywej jest głośność. Dźwięki znajdujące się na danej krzywej odbierane są przez typowego słuchacza jako jednakowo głośne. Krzywe powstały na podstawie badań percepcji głośności dźwięków przeprowadzanych na dużej grupie ludzi. Analizowane dźwięki miały różne częstotliwości i poziomy natężenia. Dla częstotliwości 1000 Hz fony są równe decybelom. Zależność głośności w fonach od poziomu ciśnienia akustycznego (w decybelach) dla osób normalnie słyszących – dźwięki znajdujące się na danej krzywej odbierane są jako tak samo głośne. Dla częstotliwości 1000 Hz fony są równe decybelom. Pomiary głośności Jaka jest głośność w fonach dźwięku o częstotliwości 100 Hz, którego poziom natężenia wynosi 80 dB? Ile wynosi poziom natężenia dźwięku o częstotliwości 4000 Hz, którego głośność wynosi 70 fonów? Dla jakiego poziomu natężenia dźwięk o częstotliwości 8000 Hz ma taką samą głośność jak dźwięk o częstotliwości 200 Hz i poziomie 60 dB? Strategia rozwiązania Do rozwiązania tego przykładu powinien być wykorzystany wykres na . Aby znaleźć głośność danego dźwięku, musisz znać jego częstotliwość i poziom natężenia, znaleźć ten punkt na siatce kwadratowej, a następnie interpolować krzywą głośności, aby wyznaczyć głośność sygnału. Po wyznaczeniu tego punktu można określić poziom natężenia z osi pionowej. Rozwiązanie Określ znane wielkości: Siatka kwadratowa na wykresie głośności w fonach i poziomu natężenia dźwięku w decybelach – obie wielkości fizyczne: dźwięk o częstotliwości 100 Hz i poziomie 80 dB leży w połowie pomiędzy krzywymi głośności 70 i 80 fonów. Wyznaczona głośność – 75 fonów. Określ znane wielkości: dźwięk o częstotliwości 4000 Hz i głośności 70 fonów. Przesuwaj się wzdłuż krzywej 70 fonów, aż osiągniesz 4000 Hz. Punkt ten leży poniżej 70 dB i wynosi 67 dB. Wyznaczony poziom natężenia – 67 dB. Znajdź dźwięk o częstotliwości 200 Hz i poziomie natężenia 60 dB. Znajdź głośność – szukany punkt znajduje się tuż powyżej krzywej 70 fonów, a jego głośność wynosi 51 fonów. Znajdź poziom natężenia dźwięku na krzywej 51 fonów – 63 dB. Znaczenie Powyższe odpowiedzi, jak wszystkie informacje z , obarczone są niepewnością rzędu kilku fonów lub kilku decybeli, które są częściowo związane z trudnością w interpolacji, a przede wszystkim z niepewnością w krzywych równej głośności. Sprawdź, czy rozumiesz. Opisz, jak amplituda związana jest z głośnością dźwięku. Amplituda jest wprost proporcjonalna do wrażenia głośności. Jeśli amplituda wzrasta, wzrasta również rejestrowana głośność. W rozdziale przedstawiliśmy charakterystykę dźwięków i ich percepcję. Poniżej dowiemy się, jak powstają dźwięki emitowane przez instrumenty muzyczne lub przez aparat mowy człowieka. Podsumowanie Natężenie I = P / A dla fali dźwiękowej jest takie samo jak zdefiniowane wcześniej dla innych fal, gdzie P jest mocą przepływającą przez powierzchnię A . W układzie SI jednostką natężenia I jest watt na metr kwadratowy. Natężenie fali dźwiękowej jest również związane z amplitudą ciśnienia Δ p : I = ( Δ p ) 2 2 ρ v , gdzie ρ jest gęstością ośrodka, w którym propaguje się fala, a v w jest prędkością dźwięku w ośrodku. Poziom natężenia dźwięku w decybelach definiuje się jako: β = 10 log 10  ( I I 0 ) [ d B ] , gdzie I 0 = 10 −12 W/m 2 jest natężeniem progowym. Percepcja natężenia wiąże się z głośnością i jest wyrażana w fonach. Pytania Sześciu członków w zespole pływania synchronicznego nosi zatyczki do uszu, aby chronić się przed ciśnieniem wody na większej głębokości, ale nadal mogą oni słyszeć muzykę i wykonać perfekcyjne figury w wodzie. Pewnego dnia zostali poproszeni o opuszczenie basenu, aby zespół nurkowy mógł ćwiczyć nurkowanie, i próbowali ćwiczyć na macie. Wydawało się im, że teraz mają znacznie większe trudności w wykonywaniu swoich ćwiczeń. Dlaczego tak było? Wkładki uszne zmniejszają natężenie dźwięku zarówno w wodzie, jak i na lądzie, ale naukowcy ds. marynarki wojennej odkryli, że dźwięk pod wodą jest rejestrowany przez wyrostki sutkowate, które znajdują się za uchem. Społeczność zaniepokojona jest planem wprowadzenia pociągu z obrzeża do centrum miasta. Aktualny poziom natężenia dźwięku, nawet jeśli stacja rozrządowa jest ekranowana, wynosi 70 dB w centrum miasta. Burmistrz zapewnia społeczność, że na terenie śródmieścia poziom dźwięku będzie większy o 30 dB. Czy mieszkańcy powinni być zaniepokojeni? Dlaczego? Zadania Ile wynosi natężenie dźwięku w watach na metr kwadratowy dźwięku o poziomie 85,0 dB? Nalepka ostrzegawcza na kosiarce informuje, że generuje ona hałas na poziomie 91,0 dB. Ile wynosi natężenie tego hałasu w watach na metr kwadratowy? 1,26 ⋅ 10 − 3 W / m 2 Amplituda ciśnienia dla fali dźwiękowej propagującej się w powietrzu wynosi 0,5 Pa. Jakie jest natężenie fali? Jaki jest poziom natężenia fali dźwiękowej z poprzedniego zadania? 85 dB Ile wynosi poziom natężenia dźwięku w dB generowany przez słuchawki, które wytwarzają natężenie równe 4,00 ⋅ 10 − 2 W / m 2 ? Jaki jest poziom natężenia dźwięku, który jest dwukrotnie bardziej intensywny niż dźwięk o poziomie natężenia równym 90,0 dB? Jaki jest poziom natężenia dźwięku, którego natężenie stanowi jedną czwartą natężenia dźwięku 90,0 dB?' a. 93 dB; b. 83 dB Ile wynosi natężenie dźwięku o poziomie o 7,00 dB niższym od dźwięku o natężeniu równym 4,00 ⋅ 10 − 9 W / m 2 ? Ile wynosi natężenie dźwięku o poziomie 3,00 dB wyższym od dźwięku o natężeniu równym 4,00 ⋅ 10 − 9 W / m 2 ? Osoby z dobrym słuchem mogą rejestrować dźwięki o poziomie –8,00 dB przy częstotliwości 3000 Hz. Ile wynosi natężenie tego dźwięku w watach na metr kwadratowy? 1,58 ⋅ 10 − 13 W / m 2 Jeśli duża mucha lecąca w odległości 3,0 m od ciebie generuje hałas wynoszący 40,0 dB, to jaki poziom hałasu generuje 1000 much w tej odległości, zakładając, że zakłócenia nie mają znaczącego wpływu? Zestawy audio 10 samochodów znajdujących się na obwodzie koła generują poziom natężenia dźwięku równy 120 dB w środku koła. Jaki jest średni poziom natężenia dźwięku jednego zestawu audio, przy założeniu, że pomijamy zjawisko interferencji? Dziesięciokrotny spadek natężenia jest równy redukcji poziomu natężenia dźwięku o 10 dB: 120 dB − 10 dB = 110 dB . Amplituda fali dźwiękowej jest mierzona pod względem maksymalnego ciśnienia. O jaki współczynnik wzrasta amplituda fali dźwiękowej, jeśli poziom natężenia dźwięku wzrasta o 40,0 dB? Jeśli poziom natężenia dźwięku wynosi 0 dB przy 1000 Hz, odpowiada maksymalnemu ciśnieniu (amplitudy dźwięku) równemu 10 −9 atm , to ile wynosi maksymalne ciśnienie dla dźwięku o poziomie 60 dB? Ile wynosi maksymalne ciśnienie dla dźwięku o poziomie 120 dB? Wiemy, że poziom 60 dB odpowiada współczynnikowi 10 6 , o który wzrasta natężenie. Dlatego I ∝ X 2 ⇒ I 2 I 1 = ( X 2 X 1 ) 2 , czyli X 2 = 10 − 6 atm . 120 dB odpowiada współczynnikowi 10 12 , o który wzrasta ⇒ 10 − 9 a t m ⋅ ( 10 12 ) 1 / 2 = 10 − 3 a t m . 8-godzinna ekspozycja na hałas o poziomie natężenia dźwięku równym 90,0 dB może spowodować uszkodzenie słuchu. Jaka energia w dżulach dociera do błony bębenkowej o średnicy 0,800 cm? Dźwięk jest skuteczniej przenoszony do stetoskopu przez bezpośredni kontakt, a nie przez powietrze, a następnie jest wzmocniony przez skoncentrowanie się na mniejszym obszarze bębenka. Rozsądne jest założenie, że dźwięk jest przenoszony do stetoskopu 100 razy skuteczniej w porównaniu z transmisją przez powietrze. Jakie jest w takim przypadku wzmocnienie w decybelach przez stetoskop, który zbiera dźwięk z powierzchni 15,0 cm 2 i koncentruje go do dwóch błon bębenkowych o całkowitej powierzchni równej 0,900 cm 2 z efektywnością 40,0 % ? 28,2 dB Pomimo niskiej efektywności głośniki mogą wytwarzać głośne dźwięki przy zaskakująco małej energii. Oblicz pobór mocy potrzebny, aby uzyskać poziom natężenia dźwięku o wartości 90,0 dB w przypadku głośnika o średnicy 12,0 cm, który ma skuteczność 1,00 % . Otrzymana wartość to poziom natężenia dźwięku tuż przy głośniku. Współczynnik równy 10 -12 w zakresie natężeń, w którym ucho może rejestrować, od wartości progowej aż do wartości, która może spowodować w krótkim czasie uszkodzenie słuchu, jest naprawdę niezwykłe. Gdybyś mógł mierzyć odległości w tym samym zakresie jednym przyrządem, przy czym najmniejsza odległość, którą mógłbyś zmierzyć, wynosiłaby 1 mm, to jaką największą odległość mógłbyś zmierzyć? 1 ⋅ 10 6 k m Jakie są najbliższe częstotliwości, które przeciętna osoba może odróżnić od częstotliwości 500 Hz? Dźwięki nie są jednocześnie prezentowane. Czy możesz powiedzieć, że twój współlokator wzmocnił dźwięk w telewizorze, jeśli jego średni poziom natężenia dźwięku zmienił się od 70 do 73 dB? 73 dB − 70 dB = 3 dB ; Taka zmiana poziomu hałasu jest łatwo zauważalna. Jeśli pewna kobieta potrzebuje wzmocnienia 5 ⋅ 10 5 razy większego od natężenia progowego umożliwiającego jej słyszenie dla wszystkich częstotliwości, to ile wynosi jej całkowita utrata słuchu? Zauważ, że mniejsze wzmocnienie jest odpowiednie dla dźwięków o większym natężeniu, aby uniknąć dalszego uszkodzenia słuchu od poziomu powyżej 90 dB. Osoba ma próg słyszenia o 10 dB powyżej normalnego progu przy częstotliwości 100 Hz i 50 dB powyżej normalnego progu przy częstotliwości 4000 Hz. O ile większe natężenie powinien mieć dźwięk o częstotliwości 100 Hz niż dźwięk o częstotliwości 4000 Hz, jeśli dla tej osoby oba dźwięki są ledwie słyszalne? Natężenie tonu o częstotliwości 100 Hz musi być 2,5 raza większe od natężenia tonu o częstotliwości 4000 Hz, aby oba były słyszalne przez tą osobę. głośność (ang. loudness ) percepcja natężenia dźwięku nuty (ang. musical notes ) symbol umożliwiający notację dźwięku muzycznego, określający jego wysokość i czas trwania fon (ang. phon ) jednostka głośności wysokość dźwięku (ang. pitch ) percepcja częstotliwości dźwięku poziom natężenia dźwięku (ang. sound intensity level ) bezwymiarowa wielkość określająca poziom dźwięku w odniesieniu do wielkości progowej poziom ciśnienia akustycznego (ang. sound pressure level ) logarytm ze stosunku kwadratu ciśnienia akustycznego odniesionego do kwadratu akustycznego ciśnienia odniesienia barwa dźwięku (ang. timbre ) mieszanina wielu składowych częstotliwościowych o różnych natężeniach przetwornik (ang. transducer ) urządzenie, które zamienia energię sygnału w energię mierzalną, np. mikrofon zamieniający energię fali akustycznej w energię sygnału elektrycznego

Science


Tryby drgań fali stojącej Interferencja to nakładanie się dwóch lub więcej fal w przestrzeni. Może ona prowadzić do wzajemnego wzmacniania fal (interferencja konstruktywna) lub wygaszania (interferencja destruktywna). W rzeczywistości wyjaśnienie „czym jest fala” wymaga obserwacji interferencji. Ponieważ dźwięk jest falą, spodziewamy się, że będzie ulegał interferencji. Interferencja fal dźwiękowych W rozdziale Fale rozważaliśmy interferencję fal przesuniętych w fazie. Wyznaczyliśmy funkcję opisującą falę wypadkową, która była superpozycją fal y 1 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) i y 2 ( x , t ) = A sin ( k x − ω t ) i wynosiła: y ( x , t ) = 2 A cos  ( ϕ 2 ) sin  ( k x − ω t + ϕ 2 ) . Jeśli fale, które początkowo mają takie same fazy przebędą różne odległości, ich fazy zaczną się różnić. Fale dźwiękowe są doskonałym przykładem fal przesuniętych w fazie na skutek różnicy w długości dróg propagacji. Jak wcześniej stwierdziliśmy, fale dźwiękowe można zasadniczo modelować jako fale podłużne, gdzie cząsteczki powietrza drgają wokół położenia równowagi, lub jako zmiany ciśnienia powietrza. Gdy fale opuszczają głośnik, propagują się jako fale sferyczne ( ). Konstruktywna interferencja fal jest wynikiem dodawania tzw. grzbietów i dolin interferujących ze sobą fal. Destruktywna interferencja zachodzi wówczas, gdy grzbietowi jednej fali odpowiada dolina drugiej i odwrotnie. Gdy fale dźwiękowe wygenerowane są przez głośnik, propagują się w postaci fal sferycznych. Na rysunku przedstawiono dwa głośniki, które generują taki sam sygnał tonalny. W efekcie otrzymujemy punkty o wysokim natężeniu, które są wynikiem dodawania dwóch tzw. grzbietów (zagęszczenia) i dwóch tzw. dolin (rozrzedzenia). Interferencja destruktywna jest wynikiem nakładania grzbietów i dolin. Punkty na rysunku, w których występuje konstruktywna interferencja, są wynikiem nakładania się fal o takiej samej fazie. Punkty, w których występuje destruktywna interferencja, ( ) są wynikiem kombinacji fal o różnych fazach. Dwa głośniki są podłączone do jednego generatora sygnałowego. Fale dźwiękowe wygenerowane przez głośniki są w fazie i mają jedną, taką samą częstotliwość. Fale dźwiękowe interferują ze sobą. Gdy spotykają się dwa grzbiety lub dwie doliny, następuje konstruktywna interferencja, zaznaczona niebieskimi i czerwonymi punktami. Gdy spotykają się grzbiety fali z dolinami, wówczas prowadzi to do destrukcyjnej interferencji (zaznaczona czarnymi punktami). Różnica faz zależy od różnicy dróg propagacji pojedynczych fal. Dwie identyczne fale pokonują różne drogi propagacji do punktu P. (a) Różnica pomiędzy długościami dróg propagacji odpowiada długości fali i prowadzi do powstania konstruktywnej interferencji, co oznacza podwojenie amplitudy oryginalnego sygnału. (b) Różnica pomiędzy długościami dróg propagacji jest mniejsza niż jedna długość fali, ale większa niż połowa długości fali, w efekcie amplituda wypadkowej fali jest większa od zera ale mniejsza niż amplituda oryginalnej amplitudy. (c) Różnica pomiędzy długościami dróg propagacji odpowiada połowie długości fali, co oznacza powstanie destruktywnej interferencji i w konsekwencji amplituda wypadkowej fali wynosi zero. Różnica faz w każdym punkcie związana jest z różnicą pomiędzy długościami dróg propagacji każdej z fal. Kiedy różnica ta jest równa wielokrotności długości fali Δ r = | r 2 − r 1 | = n λ , gdzie n = 0,1,2,3 , … , wówczas fale mają taką samą fazę i ulegają wzmocnieniu. Gdy różnica długości dróg propagacji jest równa wielokrotności połowy długości fali Δ r = | r 2 − r 1 | = n λ 2 , gdzie n = 1,3,5 , … , wówczas fale są przesunięte w fazie o 180 ∘ ( π r a d ) i w konsekwencji otrzymujemy interferencję destruktywną. Punkty te mogą być określone za pomocą miernika natężenia dźwięku. Interferencja fal dźwiękowych Dwa głośniki znajdują się w odległości 5 m od siebie i są pobudzane generatorem sygnałowym o nieznanej częstotliwości. Student z miernikiem poziomu dźwięku oddalił się o 6 m od głośników i przesunął się o 2 m w kierunku drugiego miernika i znalazł pierwsze minimum poziomu natężenia dźwięku, jak pokazano poniżej. Jaka jest częstotliwość sygnału generowanego przez generator? Załóżmy, że prędkość dźwięku wynosi v = 343,00 m/s . Strategia rozwiązania Prędkość fali jest równa v = λ / T = λ f . Częstotliwość jest zatem równa f = v / λ . Minimalna wartość natężenia dźwięku wskazuje destruktywną interferencję i pierwsze minimum pojawia się, jeśli różnica pomiędzy drogami propagacji obu fal wynosi Δ r = λ / 2 , co może być wyznaczone z geometrii układu. Rozwiązanie Znajdź minimalną długość propagacji dla każdego z głośników. r 1 = ( 6,00 m ) 2 + ( 2,00 m ) 2 = 6,32 m, r 2 = ( 6,00 m ) 2 + ( 3,00 m ) 2 = 6,71 m Wykorzystaj różnicę długości dróg propagacji, aby określić długość fali. Δ r = | r 2 − r 1 | = | 6,71 m − 6,32 m | = 0,39 m λ = 2 Δ r = 2 ⋅ 0,39 m = 0,78 m Wyznacz częstotliwość sygnału. f = v λ = 343,00 m/s 0,78 m = 439,74 Hz Znaczenie Jeśli punkt P byłby punktem, w którym natężenie dźwięku byłoby maksymalne, długość drogi propagacji byłaby wielokrotnością długości fali. Sprawdź, czy rozumiesz. Jeśli orkążasz dwa głośniki grające muzykę, dlaczego nie zauważasz miejsc, w których muzyka jest bardzo głośna lub bardzo cicha, to znaczy gdzie jest interferencja konstruktywna, a gdzie destruktywna? W przykładzie dwa głośniki wytwarzały dźwięki o takiej samej częstotliwości. Muzyka ma różne częstotliwości i długości fali. Kwestia przesunięcia fazy z powodu różnic w długościach dróg propagacji jest bardzo ważna. Możesz porównać to zagadnienie w rozdziałach Interferencja oraz Fotony i fale materii , w którym dyskutujemy o tym, w jaki sposób Thomas Young zastosował tę metodę w swoim słynnym eksperymencie z dwiema szczelinami, aby udowodnić, że światło ma analogiczne właściwości. Redukcja hałasu dzięki interferencji przedstawia pomysłowe zastosowanie interferencji w celu wyeliminowania hałasu. Badano również możliwość zastosowania aktywnych metod redukcji hałasu (ang. noise reduction ) w większej skali w samolotach pasażerskich. Interferencję destruktywną otrzymuje się po wykonaniu szybkiej analizy elektronicznej, dzięki której drugi zagłuszający dźwięk jest przesunięty w fazie o 180 ∘ w stosunku do zagłuszanego. Wówczas grzbiety i doliny obu dźwięków są ułożone przeciwnie do siebie. Fale dźwiękowe w ośrodkach ciekłych są falami ciśnienia i są zgodne z prawem Paskala (patrz rozdział Prawo Pascala i układy hydrauliczne ). To znaczy ciśnienia z dwóch różnych źródeł dodają się i odejmują podobnie jak liczby proste. Z tego powodu dodatnie i ujemne połówki sinusoidalnych zmian ciśnienia dodają się i w konsekwencji zmniejszają wypadkowe ciśnienie, co oznacza mniejsze natężenie dźwięku. Oczywiście możliwa jest interferencja całkowicie destruktywna, ale tylko w skrajnym przypadku. W konsekwencji, przy stosowaniu tej metody, możliwa jest redukcja hałasu o 30 dB i więcej. Słuchawki zaprojektowane w celu redukcji hałasu z wykorzystaniem destruktywnej interferencji, tzn. działające poprzez dodanie sygnału odwróconego w fazie w stosunku do sygnału oryginalnego. Na ilustracji przedstawiono wyidealizowaną sytuację, gdy wygenerowany dźwięk jest przesunięty w fazie dokładnie o 180 ° . W rzeczywistości występuje minimalne opóźnienie spowodowane czasem potrzebnym na analizę zagłuszanego dźwięku. Słuchawki takie mogą być bardziej skuteczne niż stosowanie prostego pasywnego tłumienia w ochronnikach słuchu. Takie słuchawki stosowane były w celu redukcji hałasu silników u pilotów samolotu Voyager w 1986 roku. Sprawdź, czy rozumiesz. Opisz, czym różnią się aktywne słuchawki redukujące hałas w stosunku od klasycznych słuchawek blokujących dźwięk zewnętrzny. Normalne słuchawki blokują tylko fale dźwiękowe. Słuchawki redukujące hałas stosują interferencję destruktywną w celu zmniejszenia głośności dźwięków zewnętrznych. Gdzie możemy zaobserwować interferencję dźwięku? Wszystkie dźwięki rezonansowe, takie jak dźwięki instrumentów muzycznych, są wynikiem konstruktywnych i destruktywnych interferencji. Tylko drgania o częstotliwościach rezonansowych dodają się i w wyniku tego powstają fale stojące. Natomiast inne interferują destruktywnie i się znoszą. Rezonans w rurze jednostronnie zamkniętej Jak stwierdzono w rozdziale Fale , fale stojące (ang. standing wave ) są wynikiem sumowania dwóch fal poruszających się w przeciwnych kierunkach. Gdy dwie identyczne fale sinusoidalne poruszają się w przeciwnych kierunkach, opisuje się je zależnościami: y 1 ( x , t ) = A sin  ( k x − ω t ) oraz y 2 ( x , t ) = A sin  ( k x + ω t ) . Gdy te dwie interferują, wówczas powstaje fala stojąca: y R ( x , t ) = 2 A sin  ( k x ) cos  ( ω t ) . Rezonans (ang. resonance ) może powstać w wyniku nałożenia na fale warunków brzegowych. W rozdziale Fale wykazaliśmy, że rezonans może powstać na naciągniętej strunie, przy założeniu symetrycznych warunków brzegowych, tj. przy założeniu węzłów na obu końcach. Węzły zdefiniowano jako punkty, w których struna się nie porusza. Okazało się, że przyjęcie symetrycznych warunków brzegowych spowodowało, że niektóre częstotliwości rezonują, powodując powstanie fal stojących, podczas gdy inne interferują destruktywnie. Fale dźwiękowe mogą rezonować na przykład w rurze, przy czym częstotliwości, dla których występuje rezonans, zależą od warunków brzegowych. Załóżmy, że mamy rurę z jednej strony zamkniętą, a z drugiej otwartą. Jeśli trzymamy kamerton (ang. tuning fork ) w pobliżu otwartej strony rury, dźwięk propaguje się wewnątrz rury i odbija się od jej końca. Odbity dźwięk posiada taką samą częstotliwość i długość fali jak dźwięk oryginalny, przy czym porusza się w przeciwnym kierunku. Na końcu rury cząsteczki powietrza mają bardzo mało miejsca, aby wykonywać drgania, co skutkuje powstaniem węzła. Na końcu otwartej części rury cząsteczki powietrza mają dużą swobodę, by wykonywać drgania, i dla odpowiednich częstotliwości tworzy się wówczas strzałka. W przeciwieństwie do symetrycznych warunków brzegowych na strunie, gdzie powstają fale stojące, warunki brzegowe dla rury jednostronnie otwartej są niesymetryczne – węzeł na końcu zamkniętej rury i strzałka na końcu otwartej. Jeśli kamerton ma odpowiednią częstotliwość, słup powietrza w rurze rezonuje bardzo mocno, ale dla większości częstotliwości rezonuje bardzo słabo. Oznacza to, że słup powietrza w rurze ma swoją częstotliwość własną. Rozważmy najniższą częstotliwość, dla której powietrze w rurze wpadnie w rezonans i w konsekwencji powstanie głośny dźwięk. Przy zamkniętej części rury powstanie węzeł, natomiast przy otwartej – strzałka – tak jak to pokazano na . Rezonans powietrza w rurze jednostronnie zamkniętej powodowany przez kamerton drgający z najniższą częstotliwością, powodującą powstanie rezonansu (częstotliwość podstawowa). Węzeł powstaje na końcu zamkniętej części rury, a strzałka przy stronie otwartej. Fala stojąca posiada węzeł na końcu zamkniętej części rury oraz strzałkę na końcu otwartej części. Odległość pomiędzy węzłem i strzałką wynosi jedną czwartą długości fali, co odpowiada długości rury, czyli λ 1 = 4 L . Taki sam rezonans może powstać w wyniku drgań pobudzających na końcu zamkniętej części rury ( ). Najlepiej rozważać drgania własne słupa powietrza w rurze, niezależnie od sposobu ich wywołania. Taka sama fala stojąca może powstać w rurze, jeśli pobudzimy do drgań powietrze w rurze w pobliżu zamkniętej części rury Biorąc pod uwagę, że maksymalne drgania powietrza możliwe są przy otwartym końcu rury, a żadne na zamkniętym końcu, w rurze mogą rezonować także inne fale o krótszej długości, tak jak pokazano na . Na rysunku fala stojąca ma długość równą 3/4 długości fali 3 λ 3 / 4 = L , co daje λ 3 = 4 L / 3 . Dalsza analiza pokazuje, że wewnątrz rury powstają rezonanse dla jeszcze krótszych długości fal. Najniższa częstotliwość, dla której występuje rezonans, nazywa się częstotliwością podstawową (ang. fundamental frequency ), natomiast wszystkie wyższe częstotliwości rezonansowe nazywane są alikwotami (ang. overtones ). Wszystkie częstotliwości rezonansowe są wielokrotnością częstotliwości podstawowej i są wspólnie nazywane harmonicznymi (ang. harmonics ). Częstotliwość podstawowa jest pierwszą harmoniczną, pierwszy alikwot jest drugą harmoniczną itd. pokazuje częstotliwość podstawową i pierwsze trzy alikwoty (pierwsze cztery harmoniczne) w rurze jednostronnie zamkniętej. Inny rezonans w rurze jednostronnie zamkniętej. Fala stojąca ma największe wychylenie na końcu otwartej strony rury i brak wychylenia przy zamkniętym końcu rury. Długość fali jest krótsza i wynosi 3/4 λ ′ równej długości rury i stąd λ ′ = 4 L / 3 . Wyższa częstotliwość rezonansowa nazywa się pierwszym alikwotem. Częstotliwość podstawowa i trzy najniższe alikwoty dla rury jednostronnie zamkniętej. Dla wszystkich częstotliwości maksymalne wychylenie występuje na końcu otwartej rury, a ich brak – na końcu zamkniętej. W rurze jednostronnie zamkniętej rezonans występuje dla następujący długości fal: λ n = 4 n L , gdzie n = 1,3,5 , … Spójrzmy teraz na wzór dla częstotliwości rezonansowych dla prostej rury jednostronnie zamkniętej. Częstotliwość podstawowa dla długości fali λ = 4 L jest związana z prędkością dźwięku daną wzorem: v = f λ . Rozwiązując powyższe równanie, można wyznaczyć f , która wynosi: f = v λ = v 4 L , gdzie v jest prędkością dźwięku w powietrzu. Podobnie dla pierwszego alikwota λ = 4 L / 3 (patrz ) otrzymujemy: f 3 = 3 v 4 L = 3 f 1 . Ponieważ f 3 = 3 f 1 , pierwszy alikwot nazywamy trzecią harmoniczną. Postępując analogicznie, dochodzimy do wzoru, który można uogólnić za pomocą jednej zależności. Częstotliwości rezonansowe w rurze jednostronnie otwartej występują dla: f n = n v 4 L , dla n = 1,3,5 , … , gdzie f 1 jest częstotliwością podstawową, f 3 jest pierwszym alikwotem itd. Interesujące jest to, że częstotliwości rezonansowe zależą od prędkości dźwięku oraz od temperatury. Zależność ta stwarza odczuwalny problem np. dla organów w starych nieogrzewanych kościołach (katedrach). Z tego powodu muzycy przed koncertem trzymają instrumenty dęte w pomieszczeniu o temperaturze pokojowej a nie na mrozie. Rezonans w rurze obustronnie otwartej Innym źródłem powstawania fal stojących jest rura obustronnie otwarta. W tym przypadku warunki brzegowe są symetryczne – na obu końcach powstają strzałki. Rezonanse w rurze obustronnie otwartej mogą być analizowane w podobny sposób jak w przypadku rury jednostronnie zamkniętej. Słupy powietrza w rurach obustronnie otwartych posiadają maksymalne wychylenie na obu końcach ( ). Fale stojące pokazano na rysunku 8. Częstotliwości rezonansowe w rurze obustronnie otwartej, zawierające częstotliwość podstawową i pierwsze trzy alikwoty. We wszystkich przypadkach maksymalne przesunięcie (ciśnienie, wychylenie) pojawia się na obu końcach rury, dając inne częstotliwości podstawowe niż w przypadku rury jednostronnie zamkniętej. W rurze obustronnie otwartej rezonans występuje dla następujących długości fal: λ n = 2 n L , dla n = 1,2,3 , … Uwzględniając fakt, że na obu końcach rury obustronnie otwartej występują maksymalne wychylenia drgającego słupa powietrza oraz korzystając z możemy wyznaczyć częstotliwości rezonansowe rury obustronnie otwartej: f n = n v 2 L , dla n = 1,2,3 , … , gdzie f 1 jest częstotliwością podstawową, f 2 jest pierwszym alikwotem, f 3 jest drugim alikwotem itd. Należy zauważyć, że dla rury obustronnie otwartej częstotliwości rezonansowe są dwukrotnie większe niż dla rury jednostronnie otwartej. Oba typy rur różnią się też zestawem (widmem) alikwot. Zauważ, że rura obustronnie otwarta ma symetryczne warunki brzegowe, podobnie jak struna zaczepiona z obu stron, jak to było przedstawione w rozdziale Fale . Wzory na długości fal i częstotliwości rezonansowe instrumentu strunowego są takie same jak w i . Prędkość fali na strunie (patrz rozdział Fale ) wynosi v = F T / μ . Powietrze wokół obustronnie otwartej rury wibruje z takimi samymi częstotliwościami jak w przypadku struny, wytwarzając dźwięki o takich samych częstotliwościach. Fala dźwiękowa porusza się z prędkością dźwięku i długością fali równą v = λ f . Sprawdź, czy rozumiesz. W jaki sposób wykorzystać strzałki i węzły fal stojących do określenia długości rury jednostronnie zamkniętej? Kiedy rura rezonuje z częstotliwością własną, węzły znajdują się na zamkniętym końcu rury, a strzałki znajdują się przy otwartym końcu. Długość rury wynosi jedną czwartą długości fali. Zatem jeśli znamy długość fali, możemy określić długość rury. Obejrzyj film demonstrujący fale dźwiękowe. Sprawdź, czy rozumiesz. Widzisz dwa instrumenty muzyczne, których nie potrafisz zidentyfikować. Jeden z nich gra wysokotonowe dźwięki, a drugi niskotonowe. W jaki sposób możesz odpowiedzieć na pytanie, który jest który, bez usłyszenia ich? Porównaj ich wymiary. Instrumenty wysokotonowe są zwykle mniejsze od niskotonowych, ponieważ generują fale o mniejszych długościach. Podsumowanie Dźwięki niepożądane mogą być zredukowane poprzez zastosowanie destruktywnej interferencji. Dźwięk ma takie same właściwości rezonansu i interferencji jak te zdefiniowane dla fal. W słupach powietrza najniższa częstotliwość rezonansowa nazywa się częstotliwością podstawową, a wszystkie wyższe częstotliwości rezonansowe nazywane są alikwotami. Wszystkie te częstotliwości nazywamy harmonicznymi. Pytania Dostajesz dwa instrumenty dęte o identycznej długości. Jeden jest otwarty na obu końcach, drugi jest zamknięty na jednym końcu. Który z nich jest w stanie wygenerować najniższą częstotliwość? Długość fali podstawowej w rurze obustronnie otwartej wynosi 2 L , podczas gdy długość fali w rurze z jednej strony otwartej, a z drugiej strony zamkniętej wynosi 4 L . Rura jednostronnie otwarta ma mniejszą częstotliwość podstawową, przy założeniu, że prędkość dźwięku jest taka sama w obu rurach. Jaka jest różnica pomiędzy alikwotem a harmoniczną? Czy wszystkie harmoniczne są alikwotami? Czy wszystkie alikwoty są harmonicznymi? Dwie identyczne rury obustronnie otwarte znajdują się w różnych pomieszczeniach. W pomieszczeniu A , temperatura wynosi T = 20 ∘ C , a w pomieszczeniu B , temperatura wynosi T = 25 ∘ C . Głośnik przymocowany jest do końca każdej rury, powodując, że rury rezonują z częstotliwością podstawową. Czy częstotliwość jest taka sama w obu rurach? Która rura ma wyższą częstotliwość? Długość fali w każdej rurze jest dwa razy większa od długości rury. Częstotliwość zależy od długości fali i prędkości dźwięku. Częstotliwość w pomieszczeniu B jest wyższa, ponieważ prędkość dźwięku jest wyższa z powodu wyższej temperatury. Zadania Długość rury obustronnie otwartej wynosi 1 m. (a) Jaka jest częstotliwość podstawowa, jeśli prędkość dźwięku wynosi 344 m/s? (b) Jaka jest częstotliwość drugiej harmonicznej? Ile wynosi długość rury, której częstotliwość podstawowa wynosi 176 Hz, a częstotliwość pierwszego alikwota 352 Hz, jeśli prędkość dźwięku wynosi 343 m/s? 0,974 m W zewnętrznym przewodzie słuchowym zachodzi rezonans podobnie jak w rurze jednostronnie otwartej. Jeśli zakres długości przewodów słuchowych wynosi od 1,80 do 2,60 cm, to ile wynosi zakres częstotliwości własnych tych przewodów? Załóżmy, że temperatura powietrza wynosi 37,0 ∘ C i jest taka sama jak temperatura ciała. Oblicz częstotliwość pierwszego alikwota w przewodzie słuchowym, który rezonuje jak rura jednostronnie zamknięta o długości 2,40 cm. Załóżmy, że temperatura powietrza wynosi 37,0 ∘ C . Czy ucho jest szczególnie wrażliwe na taką częstotliwość? (Rezonans kanału słuchowego jest bardziej skomplikowany przez jego nieregularny kształt, który tutaj zignorujemy). 11,0 kHz; Ucho nie jest szczególnie wrażliwe na tę częstotliwość, dlatego nie słyszymy alikwotów związanych z kanałem słuchowym. Proste przybliżenie generacji głosu polega na uznaniu kanałów i dróg oddechowych za rurę rezonującą jednostronnie zamkniętą. Jaka jest częstotliwość podstawowa, jeśli rura ma długość 0,240 m, przy temperaturze powietrza wynoszącej 37,0 ∘ C ? Jaka byłaby ta częstotliwość, gdyby osoba wymieniła powietrze na hel? Przyjmijmy dla helu taką samą zależność od temperatury. Rura o długości 4,0 m, z jednej strony zamknięta, a z drugiej otwarta znajduje się w pomieszczeniu, w którym temperatura wynosi T = 22 ∘ C . Głośnik zdolny do wytwarzania zmiennych częstotliwości, który służy do wywołania rezonansu, umieszczono przy otwartym końcu. Jaka jest długość fali i częstotliwość podstawowa? Jaka jest częstotliwość i długość fali pierwszego alikwotu? a. v = 344,08 m/s, λ 1 = 16,00 m, f 1 = 21,51 Hz; b. λ 3 = 5,33 m, f 3 = 64,56 Hz Rura o długości 4,0 m, z obu stron otwarta, znajduje się w pomieszczeniu, w którym temperatura wynosi T = 25 ° C . Głośnik zdolny do wytwarzania zmiennych częstotliwości, który służy do wywołania rezonansu, umieszczono przy otwartym końcu. Jaka jest długość fali i częstotliwość podstawowa? Jaka jest częstotliwość i długość fali pierwszego alikwotu? Nylonowa struna gitarowa jest rozciągnięta pomiędzy dwoma punktami odległymi od siebie o 2,00 m. Liniowa gęstość masy struny wynosi μ = 7,20 g/m , a jej siła naciągu wynosi 160,00 N. Struna znajduje się w pobliżu rury obustronnie otwartej o długości L . Struna zostaje szarpnięta i rura zaczyna rezonować dla n = 3 . Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Jaka jest długość rury? v struna = 149,07 m/s, λ 3 = 1,33 m, f 3 = 112,08 Hz λ 1 = v f 3 , L = 1,53 m Widełki kamertonu o częstotliwości 512 Hz uderzono i umieszczono obok rury z ruchomym tłokiem, tworzącej rezonator o zmiennej długości. Tłok jest przesuwany w dół rury i rezonans otrzymujemy, gdy tłok znajduje się w odległości 115,50 cm od otwartego końca. Następny rezonans otrzymujemy, gdy tłok jest 82,50 cm od otwartego końca. Jaka jest prędkość dźwięku w rurze? W jakiej odległości tłoka od otwartego końca rury otrzymamy następny rezonans? Studenci w laboratorium fizyki proszeni są o znalezienie długości kolumny powietrznej w rurze jednostronnie zamkniętej, dla której częstotliwość podstawowa wynosi 256 Hz. Studenci trzymają rurę w pionie i napełniają ją wodą, a następnie wypuszczają wodę do momentu pojawienia się pierwszego rezonansu. Jaka jest temperatura powietrza, jeśli rezonans ma miejsce dla rury bez wody o długości 0,336 m? Dla jakiej długości studenci zaobserwują drugi rezonans (pierwszy alikwot)? a. 22 ∘ C ; b. 1,01 m częstotliwość podstawowa (ang. fundamental frequency ) najniższa częstotliwość rezonansowa harmoniczne (ang. harmonics ) termin odnoszący się do częstotliwości podstawowej oraz alikwotów alikwoty (ang. overtones ) wszystkie częstotliwości rezonansowe wyższe od podstawowej

Science


Źródła dźwięków muzycznych Niektóre instrumenty muzyczne – instrumenty dęte drewniane, mosiężne, organy piszczałkowe – można modelować jako rury z symetrycznymi warunkami brzegowymi (ang. tubes with symmetrical boundary conditions ), obustronnie otwartymi lub zamkniętymi ( ). Inne instrumenty mogą być modelowane jako rury z niesymetrycznymi warunkami brzegowymi (ang. tubes with anti-symmetrical boundary conditions ), z jednej strony otwarte, a z drugiej zamknięte ( ). Niektóre instrumenty muzyczne mogą być modelowane jako rury obustronnie otwarte. Niektóre instrumenty muzyczne mogą być modelowane jako rury jednostronnie zamknięte. Częstotliwości rezonansowe powstają na skutek rozchodzenia się fal podłużnych w rurach i ich interferencji z falami odbitymi, poruszającymi się w przeciwnych kierunkach. Organy piszczałkowe składają się z różnych piszczałek (rur) o określonych długościach, w celu wytworzenia różnych częstotliwości. Fale są wynikiem sprężania powietrza, które może się następnie rozprężać w rurach. Nawet w otwartych rurach niektóre odbicia pojawią się w wyniku oddziaływania końców rury z ciśnieniem atmosferycznym na zewnątrz rury. Strzałki nie występują dokładnie przy otworze rury, ale zależą od promienia rury. Fale nie propagują się w pełni, dopóki nie znajdą się poza otwartym końcem rury, a dla cienkościennej rury należy dodać korektę końcową. Ta korekcja końcowa jest około 0,6 razy większa od promienia rury i powinna być dodana do długości rurki. Muzycy grający na instrumentach takich jak flet czy obój zmieniają długość rury poprzez otwieranie i zamykanie otworów palcami. Na puzonie długość rury można zmieniać za pomocą rury przesuwnej. Trąbki posiadają określoną długość i mogą generować dźwięki o określonych częstotliwościach. Częstotliwość podstawowa i alikwoty mogą występować dla różnych kombinacji. Na przykład środkowe C na trąbce wyraźnie różni się od środkowego C na klarnecie, chociaż oba instrumenty są zmodyfikowanymi wersjami rury jednostronnie zamkniętej. Częstotliwość podstawowa jest taka sama (i najczęściej o największym natężeniu), ale alikwoty i ich kombinacje są różne. To sprawia, że różne instrumenty muzyczne (jak również ludzkie głosy) posiadają cechy charakterystyczne, niezależnie od tego, czy dźwięki wywołują słupy powietrza, struny, komory dźwiękowe czy bębny. W rzeczywistości np. nasza mowa jest wyznaczana przez kształt wnęki utworzonej przez gardło i usta w celu otrzymania odpowiedniej częstotliwości podstawowej i alikwotów. Na przykład można tworzyć proste wnęki rezonansowe (ang. resonant cavities ) w celu rezonowania dźwięków samogłosek ( ). U chłopców w okresie dojrzewania krtań rośnie i zmienia się kształt wnęki rezonansowej, co powoduje różnicę w dominujących częstotliwościach u kobiet i mężczyzn. Gardło i usta formują słup powietrza z jednej strony zamknięty, który rezonuje w odpowiedzi na wibracje aparatu głosowego. Widmo alikwotów i ich natężenie zmieniają się wraz z ukształtowaniem ust i położeniem języka, tworząc różne dźwięki. Aparat głosowy może być zastąpiony przez drgającą membranę i zrozumienie mowy jest w dalszym ciągu możliwe. Różnice w podstawowych kształtach anatomicznych układu gardła i jamy ustnej sprawiają, że mamy do czynienia z różnymi głosami. Wyznaczanie długości rury o częstotliwości podstawowej 128 Hz Jaką długość powinna mieć rura jednostronnie zamknięta w dniu, w którym temperatura powietrza wynosi 22,0 ∘ C , jeśli jej częstotliwość podstawowa wynosi 128 Hz? Jaka jest częstotliwość czwartego alikwota? Strategia rozwiązania Długość rury L można wyznaczyć z zależności f n = n  v / 4  L , ale wcześniej należy wyznaczyć prędkość dźwięku v . Rozwiązanie Określ znane wielkości: częstotliwość podstawowa wynosi 128 Hz, a temperatura powietrza wynosi 22,0 ∘ C . Skorzystaj ze wzoru f n = n  v / 4  L , aby wyznaczyć częstotliwość podstawową ( n = 1 ), f 1 = v 4 L . Przekształć równanie do postaci: L = v 4 f 1 . Oblicz prędkość dźwięku, korzystając ze wzoru v = 331 m / s T / 273 K , v = 331 m s 295 K 273 K = 344 m s . Podstaw wartości prędkości dźwięku oraz częstotliwości do wyrażenia na L . L = v 4 f 1 = 344 m / s 4 ⋅ 128 H z = 0,672 m Określ znane wielkości: dla pierwszego alikwota n = 3 , dla drugiego alikwota n = 5 , dla trzeciego alikwota n = 7 i dla czwartego alikwota n = 9 . Podstaw wartość dla czwartego alikwota do wzoru f n = n  v / 4  L f 9 = 9 v 4 L = 9 f 1 = 1,15 kHz . Znaczenie Wiele instrumentów dętych to zmodyfikowane rury wyposażone w otwory, zawory i inne urządzenia służące do zmiany długości słupa powietrza rezonansowego, a tym samym częstotliwości generowanego dźwięku. Rury, z których zbudowane są róg lub tuba, muszą być bardzo długie, by wytwarzały niskie częstotliwości. Ze względów praktycznych rury zwijane są więc w pętle. Niezależnie od tego, w jaki sposób pojawiają się alikwoty, czy w prostej rurze, czy w instrumencie muzycznym, dźwięk zależy od tego, w jaki sposób następuje stymulowanie drgań oraz jaki jest kształt rezonatora. Na przykład puzon nie wytwarza podstawowej częstotliwości, tylko alikwoty. Jeśli mamy dwie rury z taką samą częstotliwością podstawową, ale jedna z nich jest jednostronnie zamknięta, a druga obustronnie otwarta, ich dźwięki brzmią inaczej, ponieważ mają różne alikwoty. Na przykład środkowe C grane na rurze otwartej brzmiałoby głośniej, ponieważ ma parzyste i nieparzyste wielokrotności częstotliwości podstawowej. Zamknięta rura ma tylko nieparzyste wielokrotności. Rezonans Rezonanse powstają w różnych układach, np. strunach, słupach powietrznych, atomach. W poprzednich rozdziałach powiedzieliśmy, że rezonans powstaje w wyniku pobudzenia układu siłą wymuszającą z częstotliwością równą częstotliwości podstawowej. Amplituda tych drgań gwałtownie rośnie, aż do momentu, gdy prawo Hooke’a dla tego układu przestanie obowiązywać. Przykładem tego jest np. dźwięk celowo zniekształcony w niektórych rodzajach muzyki rockowej. Instrumenty dęte wykorzystują rezonans słupa powietrza do wzmocnienia tonów generowanych przez usta lub drgające trzciny. Inne instrumenty wykorzystują rezonans do wzmocnienia dźwięków w bardzo sprytny sposób. prezentuje skrzypce i gitarę, które mają pudła rezonansowe, ale o różnych kształtach, co sprawia, że mają różną strukturę alikwotów. Wibrująca struna generuje dźwięk, który rezonuje w pudle rezonansowym, wzmacniając w ten sposób dźwięk i tworząc efekty, które nadają instrumentowi charakterystyczną barwę. Im bardziej skomplikowany jest kształt pudła rezonansowego, tym większa jest jego zdolność do rezonowania w szerokim zakresie częstotliwości. Marimba, którą przedstawiono na , wykorzystuje kotły lub gurdy poniżej drewnianych listew, aby wzmocnić ich dźwięki. Rezonans kotła może być regulowany przez dolanie wody. Instrumenty strunowe takie jak skrzypce (a) lub gitary (b) wykorzystują rezonans w swoich pudłach rezonansowych w celu wzmocnienia i wzbogacenia dźwięku wygenerowanego przez struny. Mostek i progi pozwalają skierować dźwięk drgającej struny do pudła rezonansowego i powietrza. (Źródło: praca Feliciano Guimaresa (a); praca Steva Snodgrassa (b)) Rezonans był używany w instrumentach muzycznych od czasów prehistorycznych. Marimba wykorzystuje gurdy jako komory rezonansowe wzmacniające dźwięk. (Źródło: „APC Events”/Flickr) W naszych rozważaniach podkreślaliśmy zastosowanie rezonansu i fal stojących, ale teorie te odnoszą się do każdego układu mającego cechy falowe. Drgające struny na przykład rezonują i posiadają częstotliwości podstawowe i alikwoty podobne do słupa powietrza. Bardziej subtelne są drgania atomów na skutek natury falowej elektronów. Ich orbity mogą być postrzegane jako fale stojące, które mają częstotliwość podstawową (stan podstawowy) i alikwoty (stan wzbudzenia). To fascynujące, że charakterystyka fal ma zastosowanie w szerokim zakresie układów fizycznych. Podsumowanie Niektóre instrumenty muzyczne można modelować jako rury o symetrycznych warunkach brzegowych: otwarte na obu końcach lub zamknięte na obu końcach. Inne instrumenty muzyczne można modelować jako rury o niesymetrycznych warunkach brzegowych: zamknięte na jednym końcu i otwarte na drugim. Niektóre instrumenty, takie jak organy rurkowe, mają kilka rur o różnych długościach. Instrumenty takie jak flet generują dźwięki, zmieniając długość rury przez zamknięcie otworów wzdłuż rury. Puzon zmienia długość rury za pomocą prowadnicy. Instrumenty strunowe wytwarzają dźwięk przy użyciu drgającej struny z węzłami na każdym końcu. Powietrze wokół struny oscyluje z częstotliwością struny. Zależności dla częstotliwości struny są takie same jak dla rury o symetrycznych warunkach brzegowych, przy czym długość rury jest zastąpiona przez długość struny, a prędkość przez zależność v = F T / μ . Pytania W jaki sposób dźwięk gitary jest o wiele bardziej intensywny od dźwięku struny naprężonej na prostym kiju? Rozważ trzy rury o tej samej długości ( L ) . Rura A jest obustronnie otwarta, rura B jest obustronnie zamknięta, a rura C ma jeden koniec otwarty a drugi zamknięty. Jeśli prędkość dźwięku jest taka sama w każdej z trzech rur, w której rurze mogą być wytwarzane najniższe częstotliwości podstawowe? W których rurach można uzyskać najwyższą częstotliwość podstawową? Podczas rezonansu dla częstotliwości podstawowej długość fali dla rury C wynosi 4 L , a rury A i B wynosi 2 L . Częstotliwość jest równa f = v / λ . Rura C posiada najniższą częstotliwość, a rury A i B mają takie same częstotliwości podstawowe, wyższe niż rura C . Rura A ma długość L i jest obustronnie otwarta. Rura B ma długość L / 2 i ma jeden koniec otwarty, a jeden zamknięty. Załóżmy, że prędkość dźwięku jest taka sama w obu rurach. Które z harmonicznych w każdej rurze będą sobie równe? Struna jest rozciągnięta pomiędzy dwoma punktami w odległości L . Siła naciągu struny oraz liniowa gęstość masy struny jest taka, że prędkość fali w strunie wynosi v = 343 m/s . Rura z symetrycznymi warunkami brzegowymi ma długość L , a prędkość dźwięku w rurze wynosi v = 343 m/s . Co można powiedzieć o częstotliwościach harmonicznych na strunie i w rurze? Co jeśli prędkość na strunie wynosiła v = 686 m/s ? Do momentu, gdy warunki brzegowe są symetryczne, częstotliwości wynoszą f n = n v 2 L . Ponieważ prędkość jest taka sama w każdej rurze, częstotliwości są takie same. Jeśli prędkość fali została podwojona na strunie, częstotliwość na strunie byłaby dwukrotnie większa niż częstotliwość w rurze. Zadania Jeśli instrument dęty, na przykład tuba, ma częstotliwość podstawową 32,0 Hz, jakie są jego pierwsze trzy alikwoty? Instrument jest zamknięty na jednym końcu. (Alikwoty prawdziwej tuby są bardziej złożone niż w tym przykładzie, ponieważ jest to rura stożkowa). Jakie są pierwsze trzy alikwoty fagota o częstotliwości podstawowej 90,0 Hz? Jest on otwarty na obu końcach. (Alikwoty prawdziwego fagota są bardziej złożone niż w tym przykładzie, ponieważ jego podwójna piszczałka sprawia, że działa podobnie jak rura jednostronnie zamknięta). pierwszy alikwot = 180 Hz; drugi alikwot = 270 Hz; trzeci alikwot = 360 Hz. Jaką długość musi mieć flet, aby jego częstotliwość podstawowa wynosiła 262 Hz (ta częstotliwość odpowiada środkowemu C na skali równomiernie temperowanej) w ciągu dnia, w którym temperatura powietrza wynosi 20,0 ∘ C ? Flet jest obustronnie otwarty. Jaką długość powinien mieć obój, aby wygenerować dźwięk o częstotliwości podstawowej 110 Hz w dniu, w którym prędkość dźwięku wynosi 343 m/s? Obój jest otwarty na obu końcach. 1,56 m Wyznacz długość rury organowej zamkniętej na jednym końcu, która generuje częstotliwość podstawową 256 Hz przy temperaturze powietrza 18,0 ∘ C . Ile wynosi częstotliwość podstawowa dla 25,0 ∘ C ? Rura organowa ( L = 3,00 m ) jest obustronnie zamknięta. Oblicz długości fal i częstotliwości pierwszych trzech rezonansów. Załóż, że prędkość dźwięku wynosi v = 343,00 m/s . Rura ma symetryczne warunki brzegowe; λ n = 2 n L , f n = n v 2 L , n = 1,2,3 λ 1 = 6,00 m , λ 2 = 3,00 m , λ 3 = 2,00 m f 1 = 57,17 Hz , f 2 = 114,33 Hz , f 3 = 171,50 Hz Rura organowa ( L = 3,00 m ) jest zamknięta z jednej strony. Oblicz długości i częstotliwości dla pierwszych trzech rezonansów. Załóżmy, że prędkość dźwięku wynosi v = 343,00 m/s . Dźwięk o częstotliwości 2,00 kHz generowany jest przez drgającą strunę dla n = 6 . Liniowa gęstość masy struny wynosi μ = 0,0065 kg/m , a długość struny 1,50 m. Ile wynosi siła naciągu struny? λ 6 = 0,5 m v = 1000 m/s F T = 6500 N Rozważmy dźwięk w rurze przedstawionej poniżej. Temperatura powietrza wynosi T C = 30,00 ∘ C . Ile wynosi długość fali, prędkość fali i częstotliwość tego dźwięku? Student trzyma pręt laboratoryjny o długości 80,00 cm, w odległości jednej czwartej od końca słupa. Pręt laboratoryjny wykonany jest z aluminium. Student uderza młotkiem w pręt laboratoryjny. Pręt rezonuje z najniższą możliwą częstotliwością. Ile wynosi ta częstotliwość? f = 6,40 kHz Struna w skrzypcach ma długość 24,00 cm i masę 0,860 g. Częstotliwość podstawowa struny wynosi 1,00 kHz. Jaka jest prędkość fali na strunie? Ile wynosi siła naciągu struny? Ile będzie wynosił stosunek częstotliwości dźwięku generowanego przez instrument dęty, jeśli temperatura powietrza zmienia się od 10,0 ∘ C do 30,0 ∘ C ? Oblicz stosunek częstotliwości dla tych dwóch temperatur. 1,03 lub 3 %

Science