Równania Maxwella i fale elektromagnetyczne James Clerk Maxwell (1831–1879) był jednym z największych fizyków XIX wieku ( ). Pomimo swojej przedwczesnej śmierci znacząco przyczynił się do rozwoju kinetycznej teorii gazów, zrozumienia zjawiska widzenia kolorów czy natury pierścieni Saturna. Jednak jest on najbardziej znany ze względu na skonsolidowanie całej ówczesnej wiedzy o zjawiskach elektrycznych i magnetycznych. Dodając do niej również swoje pomysły i obserwacje, sformułował pełną i skończoną teorię zjawisk elektromagnetycznych, przedstawianą skrótowo w postaci równań Maxwella. James Clerk Maxwell – XIX-wieczny fizyk, który opracował teorię wyjaśniającą powiązania pomiędzy elektrycznością i magnetyzmem, a także prawidłowo przewidział, że światło widzialne jest rodzajem fal elektromagnetycznych. Poprawka Maxwella do praw elektryczności i magnetyzmu Cztery podstawowe prawa elektryczności i magnetyzmu zostały odkryte eksperymentalnie dzięki pracom takich fizyków, jak: Ørsted, Coulomb, Gauss czy Faraday. Maxwell odnalazł w tych wcześniejszych pracach pewne logiczne nieścisłości i zidentyfikował problem w postaci niekompletności prawa Ampère’a. Przypomnijmy sobie, że według prawa Ampère’a całka wektora indukcji magnetycznej wytworzonego przez prąd przepływający przez zamkniętą pętlę C jest proporcjonalna do natężenia prądu i przepływającego przez dowolną powierzchnię, której brzegiem jest ta pętla (mała litera oznacza, że wielkość zależna jest od czasu i  t = i ) ∮ C B → ⋅ d l → = μ 0  i  . Istnieje nieskończenie wiele powierzchni ograniczonych przez daną pętlę, a prawo Ampère’a według definicji z jest niezależne od wyboru powierzchni. Rozpatrzmy sytuację z . Źródło siły elektromotorycznej zostaje podłączone do kondensatora składającego się z dwóch równoległych płytek metalowych w taki sposób, że w przewodzie pojawia się prąd, którego natężenie zależy od czasu. Zastosujmy prawo Ampère’a do pętli C , przedstawionej na rysunku w chwili przed całkowitym naładowaniem kondensatora, a więc gdy i ≠ 0 . Natężenie prądu płynącego przez powierzchnię S 1 jest większe od zera, zaś przez powierzchnię S 2 równe zero ∮ C B → ⋅ d l → = μ 0  i dla  S 1 0 dla  S 2  . \oint_C \vec{B} \cdot \d \vec{s} = \left{ \begin{matrix} \mu_0 i & \text{dla } S_1 \\ 0 & \text{dla } S_2 \text{.} \end{matrix} \right. Jasne jest, że w takim sformułowaniu prawo Ampère’a nie działa. Nie jest to zaskoczeniem, gdyż prawo Ampère’a używane we wcześniejszych rozdziałach wymagało stałego przepływu ładunku. Tymczasem w naszym przykładzie natężenie prądu zmienia się w czasie i to niekoniecznie jednostajnie. Prądy płynące przez powierzchnię S 1 i przez powierzchnię S 2 nie są co do wartości równe, mimo że obie powierzchnie ograniczone są tą samą pętlą C . Jak można zatem zmodyfikować prawo Ampère’a, aby działało we wszystkich przypadkach? Maxwell zaproponował włączenie dodatkowego czynnika, nazywanego prądem przesunięcia, do rzeczywistego natężenia prądu i ∮ C B → ⋅ d l → = μ 0  i + i p  , gdzie prąd przesunięcia zdefiniowany jest jako i p = ε 0  d Φ E d t  . ε 0 jest tutaj przenikalnością elektryczną próżni (ang. permittivity of free space ), a Φ E jest strumieniem pola elektrycznego (ang. electric flux ) zdefiniowanym jako Φ E = ∬ powierzchnia  S E → ⋅ d S →  . Prąd przesunięcia (ang. displacement current ) jest czynnikiem odpowiadającym prawdziwemu prądowi z prawa Ampère’a. Jest on jednak wytwarzany przez zmienne pole elektryczne. Składnik ten opisuje wytwarzanie pola magnetycznego przez zmienne pole elektryczne, jak w przypadku faktycznego przepływu prądu. Jednak prąd przesunięcia wytwarza pole magnetyczne nawet wtedy, gdy nie płynie żaden rzeczywisty prąd. Gdy uwzględni się ten dodatkowy składnik, prawo Ampère’a przybiera postać ∮ C B → ⋅ d l → = μ 0  i + ε 0  μ 0  d Φ E d t i jest ono niezależne od wyboru powierzchni S , przez którą przepływa prąd. Możemy teraz przeanalizować zmodyfikowane prawo Ampère’a, aby potwierdzić, że działa ono bez względu na to, czy wybrana jest powierzchnia S 1 , czy S 2 z . Pole elektryczne E → , odpowiadające strumieniowi Φ E w , zlokalizowane jest pomiędzy okładkami kondensatora. Tym samym pole E → i prąd przesunięcia liczone dla powierzchni S 1 są równe zero, a przyjmuje postać ∮ C B → ⋅ d l → = μ 0  i  . Należy teraz wykazać, że dla powierzchni S 2 , przez którą nie przepływa żaden rzeczywisty prąd, obecność prądu przesunięcia spowoduje otrzymanie tej samej wartości μ 0  i dla prawej strony prawa Ampère’a. Dla powierzchni S 2 , równanie wygląda jak poniżej ∮ C B → ⋅ d l → = μ 0  d d t ε 0  ∬ powierzchnia  S 2 E → ⋅ d S →  . \oint_C \vec{B} \cdot \d \vec{s} = \mu_0 \dd t (\epsilon_0 \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A}) \text{.} Prawo Gaussa dla ładunków elektrycznych wymaga zastosowania powierzchni zamykającej pewną przestrzeń, przez co nie można go zastosować do samej tylko powierzchni S 1 ani samej tylko powierzchni S 2 . Jednak powierzchnia bryły utworzonej z połączenia powierzchni S 1 i S 2 z jest zamknięta, co oznacza, że można do niej zastosować prawo Gaussa. Ponieważ pole elektryczne przenikające przez powierzchnię S 1 jest równe zero, strumień tego pola również będzie zerowy. Tym samym ∯ powierzchnia  S 1 + S 2 E → ⋅ d S → = ∬ powierzchnia  S 1 E → ⋅ d S → + ∬ powierzchnia  S 2 E → ⋅ d S → ∯ powierzchnia  S 1 + S 2 E → ⋅ d S → = 0 + ∬ powierzchnia  S 2 E → ⋅ d S → = ∬ powierzchnia  S 2 E → ⋅ d S →  . \begin{multiline} \prefop{\u{222F}}_{\text{powierzchnia } S_1+S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} &= \iint_{\text{powierzchnia } S_1} \vec{E} \cdot \d \vec{A} + \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} \\ &= 0 + \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} = \iint_{\text{powierzchnia } S_2} \vec{E} \cdot \d \vec{A} \text{.} \end{multiline} ∯ powierzchnia  S 1 + S 2 E → ⋅ d S → = ∬ powierzchnia  S 1 E → ⋅ d S → + ∬ powierzchnia  S 2 E → ⋅ d S → = 0 + ∬ powierzchnia  S 2 E → ⋅ d S → = ∬ powierzchnia  S 2 E → ⋅ d S →  . Dzięki temu możemy zamienić w całkę po powierzchni S 2 na całkę po zamkniętej powierzchni Gaussa S 1 + S 2 , a następnie zastosować prawo Gaussa, aby otrzymać ∮ C B → ⋅ d l → = μ 0  d q d t = μ 0  i  . Widać więc, że zmodyfikowane prawo Ampère’a daje taki sam wynik dla powierzchni S 2 (dzięki poprawce od prądu przesunięcia) jak dla powierzchni S 1 (gdzie wynika on z oryginalnej postaci prawa). Prąd przesunięcia w ładującym się kondensatorze Kondensator o płasko-równoległych okładkach i pojemności C , którego okładki mają powierzchnię A i oddalone są od siebie o odległość d , podłączono do opornika R i baterii o napięciu U 0 . Przepływ prądu rozpoczyna się w chwili t = 0  s . Znajdźmy prąd przesunięcia pomiędzy okładkami kondensatora w chwili t . Na podstawie własności kondensatora znajdźmy prąd rzeczywisty i = d q ∕ d t i porównajmy rozwiązanie z oczekiwanym natężeniem prądu dla takiego obwodu RC. Strategia rozwiązania Należy wykorzystać równania do analizy obwodów RC ( Obwody prądu zmiennego ) oraz prawo Ampère’a z poprawką Maxwella. Rozwiązanie Napięcie pomiędzy okładkami w czasie t dane jest wzorem u C = q C = U 0  1 − e − t ∕ R  C  . Umówmy się, że oś z skierowana będzie od okładki dodatniej do okładki ujemnej. Wtedy składowa z -owa pola elektrycznego pomiędzy okładkami w funkcji czasu będzie równa E z  t = U 0 d  1 − e − t ∕ R  C  . Oznacza to, że składowa z -owa prądu przesunięcia i p pomiędzy okładkami wynosi i p = ε 0  A  ∂ E z  t ∂ t = ε 0  A  U 0 d ⋅ 1 R  C  e − t ∕ R  C = U 0 R  e − t ∕ R  C  , przy czym użyliśmy wzoru C = ε 0  A ∕ d dla pojemności kondensatora. Z wyrażenia na u C otrzymujemy, że ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora wynosi q = C  u C = C  U 0  1 − e − t ∕ R  C  . Natężenie prądu płynącego przez kondensator po zamknięciu obwodu jest tym samym równe i = d q d t = U 0 R  e − t ∕ R  C  . Ten prąd jest równy prądowi przesunięcia i p , obliczonemu w podpunkcie (a). Równania Maxwella Z uwzględnieniem poprawki prądu przesunięcia równania Maxwella otrzymują formę ∯ E → ⋅ d S → = q ε 0  (Prawo Gaussa), \prefop{\u{222F}} \vec{E} \cdot \d \vec{A} = \frac{q}{\epsilon_0} \text{ (Prawo Gaussa),} ∯ B → ⋅ d S → = 0  (Prawo Gaussa dla pola magnetycznego), \prefop{\u{222F}} \vec{E} \cdot \d \vec{A} = 0 \text{ (Prawo Gaussa dla pola magnetycznego),} ∮ E → ⋅ d l → = − d Φ B d t  (Prawo Faradaya), ∮ B → ⋅ d l → = μ 0  i + ε 0  μ 0  d Φ E d t  (Prawo Ampère’a-Maxwella). Kiedy wektory E → i B → zostaną wyliczone za pomocą powyższych czterech równań, wzór na siłę Lorentza (ang. Lorentz force equation ) ma następującą postać F → = q  E → + q  v → × B →  . Powyższe równanie pozwala na ustalenie, z jaką siłą pola te oddziałują na cząstkę o ładunku q , poruszającą się z prędkością v → . Siła Lorentza uwzględnia oddziaływanie obu tych pól na poruszający się w nich ładunek. Zarówno siły magnetyczne, jak i elektryczne były już omawiane we wcześniejszych rozdziałach. Równania Maxwella Prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest ładunkowi elektrycznemu q zamkniętemu wewnątrz tej powierzchni. Prawo Gaussa ( ) opisuje związek pomiędzy ładunkiem elektrycznym a polem, które on wytwarza. Konsekwencją tego związku jest charakter linii pola elektrycznego, które biegną od cząstek dodatnio naładowanych i kończą się na cząstkach ujemnie naładowanych, a linie w każdym punkcie wskazują kierunek pola elektrycznego. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Strumień indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest zero ( ). Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że linie pola magnetycznego są ciągłe – nie mają początku ani końca. Każda linia pola magnetycznego „wchodząca” do obszaru ograniczonego zamkniętą powierzchnią musi również go „opuścić”. Do tej pory nie odkryto żadnych źródeł pola magnetycznego analogicznych do źródeł pola elektrycznego, czyli monopoli magnetycznych – punktów, w których linie pola magnetycznego kończyłyby się (lub zaczynały) (patrz Pola magnetyczne i ich linie ). Prawo Faradaya Zmieniający się strumień indukcji magnetycznej indukuje siłę elektromotoryczną, a przez to pole elektryczne. Kierunek siły elektromotorycznej stara się zapobiec zmianom. Trzecie równanie Maxwella ( ) to sformułowanie prawa Faradaya, zawierające też regułę Lenza. Linie pola elektrycznego, indukowanego przez zmienne pole magnetyczne, mają kształt zamkniętych pętli, bez początku ani końca. Prawo Ampère’a-Maxwella Pola magnetyczne są generowane przez poruszające się ładunki lub przez zmieniający się strumień pola elektrycznego. To czwarte równanie Maxwella ( ) zawiera w sobie prawo Ampère’a i dodaje kolejne źródło pól magnetycznych – zmienne pola elektryczne. Równania Maxwella wraz ze wzorem na siłę Lorentza tworzą komplet praw opisujących zjawiska elektryczne i magnetyczne. Symetria, jaką Maxwell wprowadził tymi sformułowaniami matematycznymi, może nie być widoczna na pierwszy rzut oka. Prawo Faradaya stwierdza, że zmienne pole magnetyczne jest źródłem dla pola elektrycznego. Prąd przesunięcia, wprowadzony przez Maxwella, wyjaśnia, że zmienne pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego. Równania opisujące efekty zmienności pól elektrycznych i magnetycznych różnią się jedynie tam, gdzie brak monopoli magnetycznych spowodował wyzerowanie się niektórych czynników. Ta symetria w konsekwencjach zmian w polach magnetycznym i elektrycznym okaże się niezbędna do wyjaśnienia natury fal elektromagnetycznych. Późniejsze użycie teorii względności Einsteina do interpretacji pełnej i symetrycznej teorii Maxwella udowodniło, że siły elektryczne i magnetyczne to nie oddzielne siły, lecz są one przejawem tego samego oddziaływania – oddziaływania elektromagnetycznego. Oddziaływanie to i słabe oddziaływania jądrowe są podobnie ze sobą zunifikowane – jako oddziaływania elektrosłabe. Ta unifikacja sił była jedną z głównych motywacji dla prób połączenia wszystkich czterech podstawowych oddziaływań przyrody: grawitacyjnych, elektromagnetycznych, jądrowych silnych i jądrowych słabych w jedno oddziaływanie (patrz Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia ). Mechanizm rozchodzenia się fali elektromagnetycznej Aby dowieść, że postulowana przez Maxwella symetria jednoznacznie wskazuje na istnienie połączonych fal elektrycznych i magnetycznych rozchodzących się w przestrzeni, wyobraźmy sobie zmienne w czasie pole magnetyczne B → 0  t wytwarzane przez prąd zmienny o wysokiej częstotliwości, co pokazano na . Pole B → 0  t przedstawiono na nim za pomocą pojedynczej linii tego pola. Z prawa Faradaya wynika, że zmienne pole magnetyczne przepływające przez powierzchnię wytwarza zmienne w czasie pole elektryczne E → 0  t na granicy tej powierzchni. Źródło pola elektrycznego wytwarzanego jako konsekwencja prądu przesunięcia zachowuje się podobnie do źródła pola magnetycznego wytwarzanego jako skutek prawa Faradaya – wytwarza pole o liniach będących zamkniętymi pętlami. Jest to konsekwencja matematycznej symetrii występującej w równaniach opisujących indukowane pole elektryczne i indukowane pole magnetyczne. Na rysunku przedstawiono również pojedynczą linię pola E → 0  t . Wyindukowane zmienne pole E → 0  t wytwarza następnie pole magnetyczne B → 1  t zgodnie ze zmodyfikowanym prawem Ampère’a. To zmienne pole indukuje pole E → 1  t , które indukuje pole B → 2  t i tak dalej. Mamy zatem samopodtrzymujący się proces, który prowadzi do powstania zmiennego w czasie pola elektrycznego i magnetycznego w obszarach coraz to bardziej oddalonych od punktu początkowego. Proces ten może służyć jako wizualizacja mechanizmu rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w przestrzeni. Rysunek przedstawia, w jaki sposób pola E → i B → rozchodzą się w przestrzeni. W kolejnym podrozdziale przedstawimy matematycznie, jak równania Maxwella przewidują istnienie fal elektromagnetycznych, mogących poruszać się w przestrzeni bez obecności medium materialnego, i implikują równość prędkości tych fal z prędkością światła. Jeszcze przed publikacją prac Maxwella wykonywano eksperymenty, które wskazywały, że światło wykazuje naturę falową, jednak natura fal świetlnych pozostawała nieznana. W 1801 roku Thomas Young (1773–1829) pokazał, że gdy promień świetlny zostanie podzielony i przepuszczony przez dwie wąskie szczeliny, a następnie ponownie połączony, na ekranie uformuje się pewien wzór złożony z na przemian jasnych i ciemnych prążków. Young tłumaczył to zachowanie, zakładając, że światło złożone jest z fal, które – po przejściu przez szczeliny – dodają się w pewnych punktach konstruktywnie, a w pewnych punktach destruktywnie (patrz Interferencja ). Później Augustin Fresnel (1788–1827) przez drobiazgowe eksperymenty z wykorzystaniem interferencji i dyfrakcji światła, ugruntował przekonanie o falowej naturze światła, a ostatecznego dowodu dostarczył Léon Foucault (1819–1868) , mierząc prędkość światła w różnych ośrodkach i wykazując, że – wbrew teorii korpuskularnej – jest w nich mniejsza niż w próżni. Zatem wiadomym było, że światło jest falą. Maxwell zaś przewidział istnienie fal elektromagnetycznych rozchodzących się z prędkością światła. Wnioski nasunęły się same: światło musi być formą promieniowania elektromagnetycznego. Jednakowoż równania Maxwella pokazywały także, że fale elektromagnetyczne mogą też mieć inne częstotliwości i długości, nie tylko te świetlne. Maxwell wykazał, że promieniowanie elektromagnetyczne o takich samych własnościach fizycznych jak światło widzialne powinno istnieć dla dowolnej częstotliwości. Sprawdzenie i potwierdzenie swoich przewidywań pozostawił innym. Sprawdź, czy rozumiesz. Jeśli do zacisków rozładowanego kondensatora przyłożona i włączona zostanie siła elektromotoryczna, to kiedy wyindukowane przez prąd przesunięcia pole magnetyczne będzie miało najwyższą wartość? Pole magnetyczne osiąga najwyższą wartość od razu po włączeniu prądu. Natężenie prądu przesunięcia i natężenie pola magnetycznego indukowanego ten prąd są proporcjonalne do szybkości zmiany pola elektrycznego pomiędzy płytkami. Pole to osiąga najwyższą wartość, gdy płytki zaczynają się ładować. Obserwacje Hertza Niemiecki fizyk Heinrich Hertz (1857–1894) był pierwszą osobą, która wygenerowała i była w stanie wykryć pewien konkretny rodzaj fal elektromagnetycznych w warunkach laboratoryjnych. Począwszy od roku 1887 przeprowadził on serię eksperymentów, które nie tylko potwierdziły istnienie fal elektromagnetycznych, lecz także dowiodły, że rozchodzą się one z prędkością światła. Hertz używał zmiennoprądowego obwodu RLC (opornik-cewka-kondensator), który rezonuje dla znanej częstotliwości f 0 = 1 ∕ 2  π  L  C , podłączonego do drucianej pętli, jak pokazano na . Wysokie napięcie wyindukowane na szczelinie iskrownika powodowało wytworzenie się iskry, będącej widocznym dowodem przepływu prądu w obwodzie, i umożliwiało generację fal elektromagnetycznych. Po drugiej stronie swojego laboratorium Hertz umieścił drugą pętlę, połączoną z kolejnym obwodem RLC, który mógł być dostrajany (tak samo jak radioodbiornik) do tej samej częstotliwości rezonansowej co pierwszy obwód i tym samym służyć jako odbiornik fal elektromagnetycznych. Ta pętla również posiadała przerwę, w której wytwarzały się iskry, będące dowodem, że obwód odbiera fale elektromagnetyczne. Schemat aparatury wykorzystywanej przez Hertza w 1887 roku do generacji i detekcji fal elektromagnetycznych. Hertz badał też odbicie, załamanie i obrazy interferencyjne wygenerowanych przez siebie fal elektromagnetycznych, jeszcze mocniej potwierdzające falową naturę tego zjawiska. Na podstawie obrazów interferencyjnych był w stanie wyznaczyć długość fal i obliczyć prędkość ich rozchodzenia się, używając wzoru v = f  λ , gdzie v oznacza prędkość rozchodzenia się, f jest częstotliwością fali, a λ jej długością. Hertz mógł przez to niepodważalnie dowieść, że fale elektromagnetyczne poruszają się z prędkością światła. W układzie SI ku jego pamięci nazwano jego imieniem jednostkę częstotliwości – herc ( 1  Hz to 1 cykl na sekundę). Sprawdź, czy rozumiesz. Czy samo pole elektryczne mogłoby rozchodzić się przez próżnię jako fala bez obecności pola magnetycznego? Wyjaśnij swoją odpowiedź. Nie. Zmienne pole elektryczne zgodnie z Prawem Ampère’a-Maxwella będzie zawsze indukowało zmienne pole magnetyczne. Podsumowanie Hipoteza Maxwella o istnieniu fal elektromagnetycznych została wysnuta z jego sformułowania kompletnej i symetrycznej teorii elektryczności i magnetyzmu, znanej jako równania Maxwella. Cztery równania Maxwella, wraz ze wzorem na siłę Lorentza, opisują wszystkie główne prawa elektryczności i magnetyzmu. Pierwsze dwa to prawo Gaussa dla elektryczności i magnetyzmu, trzecie to prawo indukcji Faradaya (wraz z regułą Lenza), a czwarte – prawo Ampère’a z poprawką Maxwella. Symetria pomiędzy polami elektrycznym i magnetycznym, wprowadzona przez poprawkę Maxwella, tłumaczy mechanizm rozchodzenia się fal elektromagnetycznych, w których zmienne pole elektryczne wytwarza zmienne pole magnetyczne i vice versa. Mimo że wiadomo było, że światło jest falą, natura tych fal nie była zrozumiała przed ogłoszeniem teorii Maxwella. Równania Maxwella przewidziały nie tylko fale odpowiadające światłu widzialnemu, ale również fale dłuższe i krótsze od światła. Te teoretyczne rozważania zostały później potwierdzone eksperymentalnie przez Heinricha Hertza. Pytania Wytłumacz, jak prąd przesunięcia pomaga w wyjaśnieniu zachowania ciągłości przepływu prądu w obwodzie zawierającym kondensator. Ciągłość jest zapewniona przez to, że prąd płynący do kondensatora jest równy prądowi przesunięcia pomiędzy okładkami kondensatora. Opisz, jak będą wyglądać linie pola magnetycznego wyindukowanego wzdłuż krawędzi teoretycznego cylindra pokazanego na rysunku. Cylinder znajduje się w przestrzennie jednorodnym polu elektrycznym, którego wektor natężenia ma kierunek poziomy, zwrot w prawo i rosnącą wartość. Dlaczego łatwiej jest pokazać, że zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne niż że zmienne pole elektryczne indukuje pole magnetyczne? Pierwsza demonstracja wymaga tylko zaobserwowania przepływu prądu w przewodzie wystawionym na działanie zmiennego pola magnetycznego. Druga demonstracja wymaga ładunku poruszającego się z jednego miejsca do drugiego, czyli prądu zdolnego do wytworzenia zmiennego pola elektrycznego. Niełatwo jest oddzielić wkład do pola magnetycznego pochodzący od prądu przesunięcia od pola pochodzącego bezpośrednio od tego prądu. Zadania Pokaż, że indukcja pola magnetycznego w odległości r od osi układu dwóch równoległych, okrągłych płytek, wytworzonego przez ładunek q umieszczony na płytkach, wynosi: B ind = μ 0 ∕ 2  π  r ⋅ d q ∕ d t . B ind = μ 0 2  π  r  I ind = μ 0 2  π  r ⋅ ε 0  ∂ Φ E ∂ t = μ 0 2  π  r ⋅ ε 0  A d ⋅ ∂ E ∂ t = μ 0 2  π  r ⋅ ε 0  A d ⋅ d u d t = μ 0 2  π  r ⋅ ε 0  A d ⋅ 1 C ⋅ d u d t , a ponieważ C = ε 0  A ∕ d to B ind = μ 0 2  π  r ⋅ d q d t . Wyraź prąd przesunięcia dla kondensatora w funkcji pojemności tego kondensatora i szybkości zmiany napięcia na tym kondensatorze. Różnica potencjałów u = U 0  sin ω  t jest utrzymywana pomiędzy dwiema okrągłymi okładkami kondensatora płaskiego o pojemności C . Cienki przewód o oporze R łączy środki obu okładek i pozwala ładunkowi „przeciekać” z jednej okładki na drugą w czasie ładowania kondensatora. Znajdź wyrażenie na natężenie prądu „przecieku” i rezystora płynącego przez przewód. Użyj tego wyrażenia do znalezienia wyrażenia na natężenie prądu i rzeczywiste płynącego w przewodach podłączonych do kondensatora; Znajdź wartość prądu przesunięcia w przestrzeni pomiędzy okładkami kondensatora i pojawiającego się na skutek zmieniającego się pola elektrycznego; Porównaj i rzeczywiste z sumą prądu przesunięcia i p i prądu „przecieku” i rezystora i wyjaśnij, dlaczego zaobserwowana relacja ma sens fizyczny. a. i rezystora = U 0  sin ω  t ∕ R ; b. i p = C  U 0  ω  cos ω  t ; c. i rzeczywiste = i rezystora + d q ∕ d t = U 0  sin ω  t ∕ R + C  U 0 ⋅ d ∕ d t ⋅ sin ω  t = U 0  sin ω  t ∕ R + C  U 0  ω  cos ω  t , których suma to i rezystora plus i rzeczywiste , zgodnie z tym, jak prąd przesunięcia zapewnia ciągłość prądu. Załóż, że kondensator płaski pokazany na rysunku zbiera ładunek na okładkach w tempie 0,01  C ∕ s . Ile wynosi natężenie wytworzonego pola magnetycznego w odległości 10  cm od osi tego kondensatora? Różnica potencjałów i przyłożona pomiędzy okładkami kondensatora z poprzedniego zadania zwiększa się chwilowo w tempie 10 7  V ∕ s . Ile wynosi natężenie prądu przesunięcia pomiędzy okładkami, jeśli są one oddalone od siebie o 1  cm i mają pole powierzchni równe 0,2  m 2 ? 1,77 ⋅ 10 − 3  A . Kondensator płaski ma okładki o polu powierzchni równym A = 0,25  m 2 i oddalone od siebie o 0,01  m . Ile musi być równa częstość kołowa ω dla napięcia u = U 0  sin ω  t przy U 0 = 100  V , by wytworzyć pomiędzy okładkami kondensatora prąd przesunięcia o amplitudzie równej 1  A ? Napięcie pomiędzy dwiema okładkami kondensatora płaskiego, o polu powierzchni A = 800  cm 2 i oddalonymi od siebie o d = 2  mm , zmienia się sinusoidalnie, jak u = 15  mV ⋅ cos 150  t , gdzie t wyrażone jest w sekundach. Znajdź natężenie prądu przesunięcia pomiędzy tymi okładkami. i p = 7,97 ⋅ 10 − 10  A ⋅ sin 150  t . Napięcie pomiędzy dwiema okładkami kondensatora płaskiego, o polu powierzchni A i oddalonymi od siebie o d , zmienia się z czasem t , jak następuje: u = a  t 2 , gdzie a jest stałe. Znajdź natężenie prądu przesunięcia pomiędzy tymi okładkami. prąd przesunięcia (ang. displacement current ) dodatkowy składnik w prawie Ampère’a-Maxwella, który odpowiada za zmienne pole elektryczne wytwarzające pole magnetyczne, nawet gdy nie płynie żaden rzeczywisty prąd równania Maxwella (ang. Maxwell’s equations ) zbiór 4 równań, które składają się na spójną teorię elektromagnetyzmu, łączącą wszystkie aspekty oddziaływań elektromagnetycznych

Science


Płaskie fale elektromagnetyczne Fale mechaniczne wymagają ośrodka, aby móc się rozprzestrzeniać, np. struny, wody albo powietrza. Prawdopodobnie najważniejszą konsekwencją równań Maxwella jest przewidzenie istnienia połączonych pól elektrycznego i magnetycznego (sumarycznie pola elektromagnetycznego), mogących rozchodzić się w przestrzeni jako fale elektromagnetyczne. Ponieważ rozwiązania falowe równań Maxwella są poprawne również w próżni, fale elektromagnetyczne do rozchodzenia się nie wymagają obecności żadnego ośrodka. Ogólny opis fizyczny fali elektromagnetycznej wykracza poza zakres niniejszego podręcznika. Możemy jednak przeanalizować szczególny przypadek fal elektromagnetycznych, które rozchodzą się w próżni wzdłuż osi x danego układu odniesienia. Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w jednym kierunku Na fale elektromagnetyczne składa się pole elektryczne, zwyczajowo definiowane jako siła działająca na ładunek stacjonarny, przypadająca na jednostkę ładunku, oraz pole magnetyczne, zwyczajowo definiowane przez siłę działającą na poruszający się ładunek. Zakładamy, że indukcja pola magnetycznego zależna jest jedynie od współrzędnej x oraz czasu. M. in. składowa y pola elektrycznego ma postać E y  x t , a składowa z wektora indukcji pola magnetycznego B z  x t . Zakładamy również, że fala rozchodzi się w próżni, a więc nie występują żadne ładunki ani prądy – czynniki q i i w równaniach Maxwella zerują się. Poprzeczność fal elektromagnetycznych Przeanalizujmy najpierw, co prawo Gaussa dla pól elektrycznych mówi na temat kierunku rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Tworzymy powierzchnię Gaussa w postaci prostopadłościanu, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem o bokach l i Δ x , tak jak na . Ponieważ składowa y natężenia pola elektrycznego jest taka sama zarówno na górnej podstawie (oznaczonej jako Ściana 2), jak i na dolnej podstawie (oznaczonej jako Ściana 1) prostopadłościennej powierzchni Gaussa, wkłady od tych powierzchni do strumienia elektrycznego wzajemnie się znoszą. Powyższy argument jest też prawdziwy dla sumarycznego strumienia od składowej z przez Ścianę 3 i Ścianę 4. Tym samym każdy niezerowy strumień elektryczny przechodzący przez powierzchnię Gaussa musi pochodzić od składowej x natężenia pola elektrycznego. Ponieważ pole elektryczne nie jest w ogóle zależne od wartości y i z , to E x  x t jest stałe na całej ścianie frontowej o polu powierzchni A . Wartość natężenia pola elektrycznego na przeciwległej ścianie będzie więc też stała na całej jej powierzchni i wynosiła będzie E x  x + Δ x t . Stosujemy prawo Gaussa Φ E = − E x  x t  A + E x  x + Δ x t  A = q ε 0  , gdzie A = l ⋅ l jest powierzchnią ściany frontowej i ściany tylnej prostopadłościennej powierzchni Gaussa. Ładunek zamknięty wewnątrz tej powierzchni wynosi q = 0  C , więc strumień elektryczny tej składowej również wynosi 0, a z wynika, że E x  x t = E x  x + Δ x t dla każdego Δ x . Tym samym, jeśli składowa x pola elektrycznego jest różna od zera, to nie może ona być zależna od x . Jednorodne pole takiego rodzaju może być jedynie sztucznie dodane do biegnącej fali, na przykład gdy biegnie ona pomiędzy dwiema płaskorównoległymi, naładowanymi płytkami metalowymi. Taka składowa E x  x t nie byłaby częścią fali elektromagnetycznej biegnącej wzdłuż osi x , więc E x  x t = 0  V ∕ m dla tej fali. Oznacza to, że jedyne niezerowe składowe pola elektrycznego fali elektromagnetycznej to E y  x t i E z  x t , prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali i siebie nawzajem. Powierzchnia prostopadłościennego pudełka o wymiarach l ⋅ l ⋅ Δ x jest naszą powierzchnią Gaussa. Pokazane pole elektryczne pochodzi od fali elektromagnetycznej rozchodzącej się wzdłuż osi x . Argument ten jest też prawdziwy dla pola magnetycznego po zmianie E na B i zastosowaniu prawa Gaussa dla pola magnetycznego. Pokazuje to, że pole magnetyczne jest również prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Fala elektromagnetyczna jest tym samym falą poprzeczną z polem elektrycznym i magnetycznym, które oscylują prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej Możemy teraz zastosować równania Maxwella do rozważań dotyczących z poprzedniego podrozdziału, aby otrzymać równanie opisujące zależność pola E od zmiennego pola B i równanie opisujące zależność pola B od zmiennego pola E . Następnie połączyć te dwie zależności, by pokazać, jak pola E i B rozchodzą się w próżni z prędkością dokładnie odpowiadającą prędkości światła. Na początek stosujemy prawo Faradaya dla Ściany 3 powierzchni Gaussa, stosując metodę przedstawioną na . Ponieważ E x  x t = 0  V ∕ m , to ∮ E → ⋅ d s → = − E y  x t  l + E y  x + Δ x t  l  . Zakładając, że Δ x jest małe i podstawiając za E y  x + Δ x t E y  x + Δ x t = E y  x t + ∂ E y  x t ∂ x  Δ x  , otrzymujemy ∮ E → ⋅ d s → = ∂ E y  x t ∂ x ⋅ l  Δ x  . Stosujemy prawo Faradaya do Ściany 3 prostopadłościanu poprzez obliczenie ∮ E → ⋅ d s → wzdłuż krawędzi ściany zgodnie z zaznaczonym kierunkiem i zakładając, że pole B przenikające przez tę ścianę jest średnio równe wartości pola na środku ściany. Ponieważ Δ x jest małe, strumień magnetyczny przenikający przez Ścianę 3 można przybliżyć, używając wartości pola B na środku tej ściany, która wynosi B z  x + Δ x ∕ 2 t . Strumień pola B przez Ścianę 3 jest tym samym równy wartości pola B pomnożonej przez jej powierzchnię ∯ S B → ⋅ n →  d A = B z  x + Δ x 2 t  l  Δ x  . Z prawa Faradaya ∮ E → ⋅ d s → = − d d t  ∬ S B → ⋅ n →  d A  . Z i otrzymujemy ∂ E y  x t ∂ x  l  Δ x = − ∂ ∂ t  B z  x + Δ x 2 t  l  Δ x  . \frac{\partial E_y \apply (x,t)}{\partial x} l \prefop{\Delta} x = - \frac{\partial \text{}}{\partial t} [B_z \apply (x + \frac{\prefop{\Delta} x}{2},t)] l \prefop{\Delta} x \text{.} Obustronnie redukując czynnik l  Δ x i obliczając wartość wyrażenia w granicy Δ x = 0 , otrzymujemy wyrażenie ∂ E y  x t ∂ x = − ∂ B z  x t ∂ t  . Mogliśmy zastosować prawo Faradaya do Ściany 2 zamiast Ściany 3 z , aby otrzymać równanie ∂ E z  x t ∂ x = − ∂ B y  x t ∂ t  . Powyższe równania opisują przestrzenną zależność pola E od wytwarzającego je zmiennego w czasie pola B . Kolejno stosujemy prawo Maxwella-Ampère’a (przy i = 0  A ) dla tych samych ścian (Ściany 3 i Ściany 2) prostopadłościanu z . Używając ∮ B → ⋅ d s → = μ 0  ε 0  d d t  ∬ S E → ⋅ n →  d s do Ściany 3, a następnie do Ściany 2, otrzymujemy dwa równania ∂ B y  x t ∂ x = − ε 0  μ 0  ∂ E z  x t ∂ t  , ∂ B z  x t ∂ x = − ε 0  μ 0  ∂ E y  x t ∂ t  . Te równania opisują przestrzenną zależność pola B , wytwarzanego przez zmienne w czasie pole E . Następnie łączymy równania opisujące zmienne pole B wytwarzające pole E z równaniami opisującymi zmienne pole E wytwarzające pole B . Różniczkując obustronnie względem zmiennej x i podstawiając do niego , otrzymujemy ∂ 2 E y ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ E y ∂ x = − ∂ ∂ x ∂ B z ∂ t = − ∂ ∂ t ∂ B z ∂ x = ∂ ∂ t ε 0  μ 0  ∂ E y ∂ t \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \dd[\partial]{x} (\frac{\partial E_y}{\partial x}) = - \dd[\partial]{x} (\frac{\partial B_z}{\partial t}) = - \dd[\partial]{t} (\frac{\partial B_z}{\partial x}) = \dd[\partial]{t} (\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_y}{\partial t}) albo ∂ 2 E y ∂ x 2 = ε 0  μ 0  ∂ 2 E y ∂ t 2  . Powyższy wzór jest postacią ogólną równania falowego dla naszej fali jednowymiarowej. Ponieważ fala ta biegnie z pewną niezdefiniowaną prędkością c , można założyć, że składowe pól są funkcjami x − c  t dla fal biegnących w kierunku dodatnich wartości osi x . Oznacza to, że E y  x t = f  x − c  t  . Wykazanie, że i implikują równość 1 = ε 0  μ 0  c 2 pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie matematyczne z wykorzystaniem wzoru na pochodną funkcji złożonej. Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próżni jest zatem wyrażona przez przenikalność elektryczną i magnetyczną próżni c = 1 ε 0  μ 0  . W analogiczny sposób mogliśmy założyć falę elektromagnetyczną o składowych polach E z  x t i B y  x t . Te same rozważania, jedynie z użyciem i , również pokazałyby, że prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej musi wynosić c = 1 ∕ ε 0  μ 0 . Zagadnienie rozchodzenia się fal elektromagnetycznych zostało opublikowane przez Maxwella w roku 1873. Pokazał on w sposób znacznie bardziej ogólny niż powyższe rozważania, że fale elektromagnetyczne zawsze poruszają się w próżni z prędkością opisaną . Jeśli wyznaczymy wartość liczbową prędkości c , otrzymamy c = 1 8,85 ⋅ 10 − 12  C 2 ∕ N  m 2 ⋅ 4  π ⋅ 10 − 7  T ⋅ m ∕ A = 3 ⋅ 10 8  m ∕ s  , co jest równe prędkości światła (ang. speed of light ). Wyobraźmy sobie, jak bardzo podekscytowany musiał być Maxwell, gdy wyprowadził to równanie! Odkrył on powiązanie pomiędzy dwoma, zdawałoby się niezwiązanymi ze sobą, zjawiskami: falami elektromagnetycznymi i światłem. Sprawdź, czy rozumiesz. Równanie falowe zostało wyprowadzone przez: (1) wyznaczenie pola E wytwarzanego przez zmienne pole B ; (2) wyznaczenie pola B wytwarzanego przez zmienne pole E . Którym z równań Maxwella posłużyliśmy się w kroku (1), a którym – w kroku (2)? Krok 1. Prawo Faradaya; Krok 2. Prawo Ampère’a-Maxwella. Jak powiązane są ze sobą pola E i B Do tej pory zaobserwowaliśmy, że tempa zmian poszczególnych komponentów pól E i B są ze sobą powiązane, że fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi i że rozchodzą się z prędkością c . Pokażemy teraz, co równania Maxwella mówią o stosunku wartości pól E i B i o ich wzajemnych kierunkach. Rozważmy rozwiązania w postaci fal płaskich dla pola elektrycznego E y  x t = E 0  cos k  x − ω  t  . Dobraliśmy układ współrzędnych tak, by fala zawsze biegła w kierunku dodatnich wartości osi x , a czynnik fazowy tak, by maksymalne natężenie pola występowało w czasie t = 0  s . Usprawiedliwieniem rozważania jedynie fal sinusoidalnych i cosinusoidalnych i rozciągania wyników tych rozważań na przypadki ogólne jest twierdzenie Fouriera mówiące, że każdą falę, nawet prostopadłą funkcję schodkową, da się przedstawić jako superpozycję funkcji sinus i cosinus. W dowolnym punkcie przestrzeni pole E oscyluje sinusoidalnie z częstością kołową ω pomiędzy wartościami + E 0 i − E 0 i – analogicznie – pole B oscyluje sinusoidalnie z częstością kołową ω pomiędzy wartościami + B 0 i − B 0 . Amplitudą fali jest maksymalna wartość E y  x t . Okresem oscylacji T jest czas potrzebny na pojedynczą pełną oscylację. Częstotliwość f jest liczbą oscylacji w jednostce czasu i jest powiązana z częstością kołową ω wyrażeniem ω = 2  π  f . Długość fali λ to odległość pomiędzy dwoma kolejnymi ekstremami na wykresie oscylacji, a liczba falowa k to liczba długości fali przypadających na odcinek o długości 2  π , przy czym długość tego odcinka wyraża się w jednostkach odpowiadających długości fali. Wszystkie te wartości powiązane są ze sobą w taki sam sposób, jak w przypadku fal mechanicznych ω = 2  π  f  ,  f = 1 T  ,  k = 2  π λ  ,  c = f  λ = ω k  . Wiedząc, że rozwiązanie dla E y ma postać jak w , możemy ustalić wyrażenie na pole B odpowiadające tej składowej. Z składowa indukcji magnetycznej B z musi spełniać warunki ∂ B z ∂ t = − ∂ E y ∂ x  , ∂ B z ∂ t = − ∂ ∂ x  E 0  cos k  x − ω  t = k  E 0  sin k  x − ω  t  . ∂ B z ∂ t = − ∂ E y ∂ x  , ∂ B z ∂ t = − ∂ ∂ x  E 0  cos k  x − ω  t = k  E 0  sin k  x − ω  t  . Pole magnetyczne rozchodzi się z prędkością c w kierunku dodatniej półosi x , podobnie jak pole elektryczne. Zatem wartość B musi być funkcją k  x − c  t = k  x − ω  t . Tym samym dochodzimy, używając , do tego, że B z wynosi B z  x t = k ω  E 0  cos k  x − ω  t = 1 c  E 0  cos k  x − ω  t  . Wynik ten można też zapisać w postaci E y  x t = E 0  cos k  x − ω  t  , B z  x t = B 0  cos k  x − ω  t  , E y  x t = E 0  cos k  x − ω  t  , B z  x t = B 0  cos k  x − ω  t  , E y B z = E 0 B 0 = c  . Oznacza to, że maksima wartości natężenia pól E i B występują w tych samych chwilach i położeniach, a ich wartości zawsze pozostają w stałym stosunku do siebie, równym c . Fala płaska ma postać przedstawioną na . Rozwiązanie równań Maxwella dla fali płaskiej wymusza proporcjonalność pola B do pola E w każdym punkcie, z wzajemnymi kierunkami ukazanymi na rysunku. Wyznaczanie wartości indukcji B pola magnetycznego fali elektromagnetycznej Jaka jest maksymalna wartość indukcji pola magnetycznego fali elektromagnetycznej, dla której maksymalne natężenie pola elektrycznego ma wartość 1000  V ∕ m ? Strategia rozwiązania Aby znaleźć wartość B , musimy przekształcić względem B 0 B = E c  . Rozwiązanie W treści zadania dana została wartość E 0 , a c jest prędkością światła. Podstawiając te wartości pod wyrażenie na B 0 , otrzymujemy B = 1000  V ∕ m 3 ⋅ 10 8  m ∕ s = 3,33 ⋅ 10 − 6  T  . Znaczenie Wartość indukcji magnetycznej B jest mniejsza niż jedna dziesiąta natężenia względnie słabego pola magnetycznego Ziemi. Oznacza to, że stosunkowo silnemu polu elektrycznemu towarzyszy stosunkowo słabe pole magnetyczne. Zmienne pola elektryczne generują stosunkowo słabe pola magnetyczne. Połączone pola elektryczne i magnetyczne można wykryć w postaci fal elektromagnetycznych, jednak wymaga to wykorzystania zjawiska rezonansu, tak jak zrobił to Hertz. Obwód z taką samą naturalną częstotliwością rezonansową co fala elektromagnetyczna może zostać zmuszony do oscylacji. Każde radio i antena telewizyjna wykorzystują tę zasadę do odbierania i wzmacniania słabych fal elektromagnetycznych, jednocześnie ignorując wszystkie fale o częstotliwości innej od częstotliwości rezonansowych odbiorników. Sprawdź, czy rozumiesz. Do jakich wniosków doprowadziła nasza analiza równań Maxwella w odniesieniu do następujących własności płaskich fal elektromagnetycznych: wzajemne relacje pomiędzy kierunkami rozchodzenia się fali i oscylacji pól E i B ; prędkość rozprzestrzeniania się fal i jej zależność od częstotliwości; stosunek pomiędzy wartościami pól E i B indukowanych przez falę. a. Kierunek rozchodzenia się fali, kierunek oscylacji pola E i kierunek oscylacji pola B są do siebie prostopadłe; b. Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próżni jest równa prędkości światła w próżni c = 1 ∕ ε 0  μ 0 i jest niezależna od częstotliwości; c. Stosunek amplitud pól elektrycznego i magnetycznego wynosi E ∕ B = c . Wytwarzanie i wykrywanie fal elektromagnetycznych Przepływ stałego prądu elektrycznego wytwarza pole magnetyczne, które jest niezmienne w czasie i które nie rozprzestrzenia się dalej pod postacią fali. Jednak przyspieszające ładunki wytwarzają fale elektromagnetyczne. Ładunek elektryczny oscylujący w górę i w dół, prąd przemienny, czyli przepływ ładunku w przewodniku okresowo, na przemian w obu kierunkach, wytwarzają fale elektromagnetyczne o częstotliwości ich oscylacji. Pole elektromagnetyczne wokół anteny dipolowej (ang. dipole antenna ) zostało pokazane na . Nadajnik, który tu odgrywa rolę źródła energii, zmienia na przemian naładowanie dwóch połączonych z nim przewodników. Ciągle zmieniający się kierunek przepływu prądu przyspiesza ładunki w antenie, a to z kolei powoduje pojawienie się oscylującego pola elektrycznego w sąsiedztwie anteny. Zmienne pole elektryczne indukuje zmienne pole magnetyczne, które z kolei indukuje zmienne pole elektryczne, co w efekcie daje rozchodzącą się falę elektromagnetyczną. Częstotliwość tego promieniowania jest identyczna z częstotliwością źródła napięcia zmiennego, które przyspiesza ładunki w antenie. Oba przewodzące elementy anteny dipolowej są bardzo często zwykłymi, prostymi przewodami. Całkowita długość tych dwóch elementów jest zazwyczaj równa połowie długości fali, którą chcemy wyemitować (stąd też często stosowana nazwa alternatywna – antena półfalowa (ang. half-wave antenna )). Pozwala to na wytworzenie się w antenie fal stojących, co dodatkowo zwiększa wydajność emisji fal. Ruch oscylujących ładunków w antenie dipolowej wytwarza promieniowanie elektromagnetyczne. Na przedstawiono linie pola elektrycznego na płaszczyźnie przekroju poprzecznego. Pole magnetyczne jest prostopadłe do tej płaszczyzny. To pole elektromagnetyczne charakteryzuje się symetrią cylindryczną, z osią symetrii zgodną z osią dipola. Nie narysowano też linii pola blisko dipola, w celu większej przejrzystości. Warto też zauważyć, że wzór układający się z linii pola nie jest wcale jednakowy we wszystkich kierunkach. Najsilniejszy sygnał występuje w kierunku prostopadłym do osi anteny, podczas gdy w kierunku zgodnym z osią anteny sygnał jest zerowy. Sygnał wykrywany w dużej odległości od anteny pochodzi z pól elektrycznych i magnetycznych, indukujących się wzajemnie i rozchodzących się pod postacią fali elektromagnetycznej. W bardzo dużej odległości od anteny powierzchnie falowe (zbiory punktów o jednakowej fazie) fali elektromagnetycznej są prawie idealnie sferyczne. W jeszcze większych odległościach promieniowanie rozprzestrzenia się jak elektromagnetyczna fala płaska. Fale elektromagnetyczne unoszą energię ze źródła, zupełnie jak fale dźwiękowe unoszą energię z fali stojącej, wytworzonej na strunie gitarowej. Antena odbierająca sygnały elektromagnetyczne działa na odwrót. Rozprzestrzeniające się fale elektromagnetyczne natrafiają na antenę i indukują w niej prąd zmienny o częstotliwości zgodnej z częstotliwością fali elektromagnetycznej. Dzięki wzmacniaczowi selektywnemu układ wzbudza się jedynie dla dostrojonej częstotliwości rezonansowej, a pozostałe częstotliwości odrzuca. Elementy elektroniczne następnie wzmacniają sygnał wygenerowany przez poruszające się elektrony, a dalej konwertują go na sygnał audio i/lub wideo. Użyj tej symulacji , by zaobserwować, jak emitowane są fale radiowe. Możesz ręcznie „pomachać” elektronem w nadajniku albo ustawić, by oscylował automatycznie. Możesz wybrać, czy generowane pole ma być przedstawione w postaci wektorowej, czy w postaci linii pola. Wykres na paskach (widocznych po zaznaczeniu opcji „Electron positions”) przedstawia położenia elektronów w nadajniku i w odbiorniku. Podsumowanie Równania Maxwella przewidują, że kierunki oscylacji pól elektrycznego i magnetycznego oraz kierunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej są do siebie wzajemnie prostopadłe. Fala elektromagnetyczna jest więc falą poprzeczną. Natężenie pola elektrycznego i wartość indukcji magnetycznej fali elektromagnetycznej są powiązane ze sobą zależnością c = E ∕ B , która implikuje, że natężenie pola magnetycznego jest bardzo słabe w porównaniu z natężeniem pola elektrycznego. Przyspieszane ładunki wytwarzają fale elektromagnetyczne (np. oscylujące ładunki w przewodzie wytwarzają falę elektromagnetyczną o tej samej częstotliwości co częstotliwość oscylacji). Pytania Jeśli pole elektryczne fali elektromagnetycznej oscyluje wzdłuż osi z , a pole magnetyczne oscyluje wzdłuż osi x , to w jakim kierunku porusza się ta fala elektromagnetyczna? W której z sytuacji pokazanych na rysunku fala elektromagnetyczna wyindukuje w przewodzie prąd o wyższym natężeniu? Wyjaśnij swoją odpowiedź. W sytuacji (a), ponieważ pole elektryczne jest równoległe do przewodu i przyspiesza w nim elektrony. W której z sytuacji pokazanych na rysunku fala elektromagnetyczna wyindukuje w pętli prąd o wyższym natężeniu? Wyjaśnij swoją odpowiedź. Jakie warunki muszą zostać spełnione, by obwód, w którym prąd płynie tylko w jednym kierunku, emitował fale elektromagnetyczne? Stałe natężenie w obwodzie prądu stałego nie wytworzy fali elektromagnetycznej. Jeśli wartość natężenia prądu zmienia się przy zachowaniu stałego kierunku przepływu, przewód będzie generował fale elektromagnetyczne. Przykładem takiej generacji może być okresowe włączanie i wyłączanie przepływu prądu w obwodzie. Poniżej zaprezentowano wzór interferencyjny fal pochodzących z dwóch wież radiowych nadających ten sam sygnał. Wyjaśnij, w jaki sposób jest on podobny do wzoru interferencyjnego fal dźwiękowych emitowanych przez dwa głośniki. Czy to zjawisko mogłoby zostać wykorzystane do stworzenia anteny kierunkowej, która nadaje w konkretnym kierunku? Wyjaśnij swoją odpowiedź. Zadania Jeśli Słońce nagle by zgasło, nie wiedzielibyśmy o tym, dopóki światło słoneczne nie przestałoby do nas docierać. Jak długo pozostalibyśmy w nieświadomości, przy założeniu, że Słońce znajduje się w odległości 1,496 ⋅ 10 11  m od Ziemi? 499  s . Ile wynosi maksymalna wartość natężenia pola elektrycznego dla fali, dla której maksymalna wartość indukcji magnetycznej wynosi 5 ⋅ 10 − 4  T (czyli około 10 razy więcej niż ziemskie pole magnetyczne)? Pewna fala elektromagnetyczna ma częstotliwość równą 12  MHz . Ile wynosi długość tej fali w próżni? 25  m . Jeśli pola magnetyczne i elektryczne oscylują sinusoidalnie z częstotliwością f = 1  GHz f=\SI{1}{\giga\hertz} i w chwili t = 0  s , E = 0  V ∕ m i B = 0  T , to dla chwil różnych od 0 wartości E i B zmieniają się w następujący sposób: E = E 0  sin 2  π  f  t i B = B 0  sin 2  π  f  t . Kiedy wartości E i B ponownie wyniosą 0? Kiedy E i B osiągną najmniejsze (najbardziej ujemne) wartości? Ile wynosi okres drgań dla tych pól? Pole elektryczne pewnej fali elektromagnetycznej poruszającej się w próżni opisane jest równaniem E → = 5  V ∕ m ⋅ cos k  x − 6 ⋅ 10 9  s − 1 ⋅ t + 0,4 ⋅ j ̂ , gdzie k jest liczbą falową wyrażoną w radianach na metr, x jest wyrażone w metrach, a t w sekundach. Znajdź amplitudę; częstotliwość; długość fali; kierunek rozchodzenia się fali; indukowane pole magnetyczne. a. 5  V ∕ m ; b. 9,55 ⋅ 10 8  Hz ; c. 31,4  cm ; d. W kierunku dodatnim osi x ; e. B = 1,67 ⋅ 10 − 8  T ⋅ cos k  x − 6 ⋅ 10 9  s − 1 ⋅ t + 0,4 ⋅ k ̂ . Płaska fala elektromagnetyczna o częstotliwości 20  GHz porusza się w kierunku dodatnich wartości osi y w taki sposób, że pole E oscyluje w kierunku osi z . Amplituda oscylacji pola elektrycznego wynosi 10  V ∕ m , a wartość natężenia tego pola w chwili t = 0  s osiąga maksimum. Zapisz równanie tej fali opisujące natężenie jej pola elektrycznego; Znajdź równanie opisujące wyindukowane pole magnetyczne. Poniższe wyrażenia opisują falę elektromagnetyczną poruszającą się w kierunku dodatnich wartości osi y : E → = E 0  cos k  x − ω  t ⋅ j ̂ \vec{E} = E_0 \cos(kx-\omega t) \cdot \hat{j}  , B → = B 0  cos k  x − ω  t ⋅ k ̂ \vec{B} = B_0 \cos(kx-\omega t) \cdot \hat{k}  . Fala ta biegnie wewnątrz szerokiej rury o kołowym przekroju poprzecznym o promieniu R ; oś symetrii rury pokrywa się z osią y . Znajdź wyrażenie na prąd przesunięcia wewnątrz tej rury. I p = π  ε 0  ω  R 2  E 0  sin k  x − ω  t .

Science


Energia niesiona przez fale elektromagnetyczne Każdy, kto używał kiedykolwiek kuchenki mikrofalowej, wie, że fala elektromagnetyczna przenosi energię. Niekiedy jest to tak oczywiste, że nawet się nad tym nie zastanawiamy – jak w przypadku promieni słonecznych w gorący, lipcowy dzień. Czasami fala elektromagnetyczna przyjmuje bardziej subtelne formy – jak niewyczuwalna energia promieni gamma, które niszczą żywe komórki. Fale elektromagnetyczne dostarczają energię przez pola – elektryczne i magnetyczne. Pola te mogą wytwarzać siły i poruszać ładunkami w układzie, a w ten sposób wykonywać w tym układzie pracę. Jednak fala elektromagnetyczna niesie w sobie energię bez względu na to, czy została ona pochłonięta, czy też nie. Po wytworzeniu fala unosi ze sobą energię ze źródła. Jeśli część energii zostanie gdzieś pochłonięta, natężenia oscylujących pól maleją, a pozostała energia przenoszona jest dalej. Oczywistym jest, że im silniejsze są indukowane pola elektryczne i magnetyczne, tym większą pracę mogą one wykonać i tym większą energię niesie fala elektromagnetyczna. Dla takiej fali amplituda jest maksymalnym natężeniem pola elektrycznego lub magnetycznego ( ). Energia fali jest więc ściśle zależna od amplitudy. Energia niesiona przez falę zależna jest od amplitudy tej fali. Dla fal elektromagnetycznych dwukrotne zwiększenie wartości E i B powoduje czterokrotne zwiększenie gęstości energii u i strumienia energii u  c uc . W przypadku fali płaskiej, biegnącej w kierunku dodatnich wartości osi x z fazą dobraną tak, by maksymalne natężenie pola w początku układu współrzędnych przypadało na czas t = 0  s t = \SI{0}{\second} , pola elektryczne i magnetyczne muszą podlegać zależnościom E y  x t = E 0  cos k  x − ω  t  , B z  x t = B 0  cos k  x − ω  t  . Energia fali elektromagnetycznej w dowolnej chwili jest sumą energii pól elektrycznego i magnetycznego, a energia przypadająca na jednostkę objętości, nazywana też gęstością energii u , jest sumą gęstości energii pochodzących od pola elektrycznego i pola magnetycznego. Wyrażenia opisujące gęstość energii obu pól zostały wyprowadzone wcześniej ( u E w Pojemność elektryczna i u B w Indukcyjność ). Dodając te dwa wyrażenia, otrzymujemy u  x t = u E + u B = 1 2  ε 0  E 2 + 1 2  μ 0  B 2  . Równanie E = c  B = ε 0  μ 0 − 1 ∕ 2  B pokazuje też, że gęstość energii pola magnetycznego u B i gęstość energii pola elektrycznego u E są sobie równe, mimo że zmienne pole elektryczne generuje słabe pole magnetyczne. Ta równość gęstości energii obu pól prowadzi do równania u  x t = ε 0  E 2 = B 2 μ 0  . Gęstość energii przemieszcza się wraz z przemieszczającymi się polami elektrycznym i magnetycznym. Szybkość transportu energii możemy ustalić poprzez rozważenie małego odcinka czasu Δ t . Jak pokazano na , energia w objętości cylindra o długości c  Δ t i polu przekroju poprzecznego A przenika przez płaszczyznę poprzeczną w czasie Δ t . Energia u  A  c  Δ t zawarta w polach elektrycznym i magnetycznym fali elektromagnetycznej, w objętości A  c  Δ t , przenika przez powierzchnię A w czasie Δ t . Energia przenikająca przez powierzchnię A w czasie Δ t wynosi u ⋅ objętość = u  A  c  Δ t  . Energia przypadająca na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, przechodząca przez płaszczyznę prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali, nazywana gęstością strumienia energii (ang. energy flux ) i zapisywana jako S , może zostać obliczona przez podzielenie energii przez pole powierzchni A i czas Δ t S = energia przenikająca przez powierzchnię  A  w czasie  Δ t A  Δ t = u  c = ε 0  c  E 2 = 1 μ 0  E  B  . W bardziej ogólnym ujęciu gęstość strumienia energii przez dowolną powierzchnię zależy też od orientacji tej powierzchni. Aby uwzględnić tę orientację, wprowadza się wektor S → , nazywany wektorem Poyntinga (ang. Poynting vector ), zdefiniowany jako S → = 1 μ 0  E → × B →  . Wynik mnożenia wektorowego wektorów E → i B → jest również wektorem o kierunku prostopadłym do obu mnożników. Aby potwierdzić, że kierunek ten jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się, a nie jemu przeciwny, wróćmy do . Zwróćmy uwagę, że reguła Lenza i prawo Faradaya powodują, że dla rosnącego w czasie pola magnetycznego pole elektryczne musi być silniejsze w x niż w x + Δ x . W tym punkcie i tej chwili natężenie pola elektrycznego maleje więc ze wzrostem x . Proporcjonalność pomiędzy wartościami wektorów E → i B → wymusza, by natężenie pola elektrycznego rosło w czasie wraz z wartością indukcji pola magnetycznego. Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy fala rozchodzi się w prawą stronę diagramu, co z kolei implikuje, że wektor wynikowy S → = E → × B → ∕ μ 0 ma dokładnie ten sam kierunek i zwrot co kierunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej. Gęstość strumienia energii jest zależny od czasu, co można zobaczyć przez podstawienie u z do S  x t = c  ε 0  E 0 2  cos 2 k  x − ω  t  . S \apply (x,t) = c \epsilon_0 E_0^2 \cos^2 (kx- \omega t) \text{.} Ponieważ częstotliwość światła widzialnego jest bardzo wysoka, rzędu 10 14  Hz , gęstość strumienia energii dla światła widzialnego przenikający dowolną powierzchnię jest szybkozmienną funkcją czasu. Przez to niemal wszystkie urządzenia pomiarowe, włączając w to ludzkie oczy, są w stanie wykryć jedynie wartość uśrednioną po czasie. Taka średnia wartość gęstości strumienia energii to natężenie I energii elektromagnetycznej i jest ona równoważna mocy przypadającej na jednostkę powierzchni. Można ją wyliczyć przez uśrednienie funkcji cosinus w po jednym pełnym cyklu I = S śr = c  ε 0  E 0 2  1 T  ∫ 0 T cos 2 2  π  t T  d t  . I = S_{\text{śr}} = c \epsilon_0 E_0^2 \frac{1}{T} \int_0^T \cos^2(2 \pi \frac{t}{T}) \d t \text{.} Możemy albo obliczyć wartość powyższej całki, albo zauważyć, że sinus i cosinus różnią się jedynie przesunięciem w fazie, przez co średnia po pojedynczej oscylacji dla cos 2 x \cos^2 x będzie taka sama jak dla sin 2 x \sin^2 x . Wtedy otrzymujemy 〈 cos 2 x 〉 = 1 2 [ 〈 cos 2 x 〉 + 〈 sin 2 x 〉 ] = 1 2 〈 1 〉 = 1 2 , gdzie nawiasy ostre 〈 ⋯ 〉 oznaczają operację uśredniania po czasie. Zatem natężenie światła, biegnącego z prędkością c przez próżnię, będzie wynosić I = S śr = 1 2  c  ε 0  E 0 2  . Jest ono wyrażone przez amplitudę natężenia pola elektrycznego E 0 . Przekształcenia algebraiczne dają też zależność I = c B 0 2 2 μ 0 , gdzie B 0 jest amplitudą indukcji magnetycznej. Pomocne jest jeszcze jedno wyrażenie na I śr , przedstawione przy pomocy parametrów zarówno pola E , jak i pola B . Podstawiając dane z zależności E 0 = c B 0 do poprzedniego równania, otrzymujemy I = E 0  B 0 2  μ 0  . Możemy używać któregokolwiek z trzech powyższych wzorów zależnie od tego, który jest w danej chwili wygodniejszy, ponieważ są to tak naprawdę trzy wersje tej samej własności: energia fali jest zależna od kwadratu amplitudy. Ponadto, ponieważ równania te oparte są na założeniu, że fale elektromagnetyczne są falami sinusoidalnymi, to maksymalne natężenie jest dwukrotnie większe niż natężenie średnie I 0 = 2  I . Wiązka laserowa Wiązka laserowa z małego lasera laboratoryjnego zazwyczaj ma natężenie równe około 10 − 3  W ∕ m 2 . Zakładając, że wiązka ta złożona jest z fal płaskich, obliczmy amplitudy wielkości charakteryzujących pola elektryczne i magnetyczne w tej wiązce. Strategia rozwiązania Użyjemy równań na natężenie wiązki laserowej, wyrażone przez amplitudę natężenia pola elektrycznego, aby wyliczyć tę amplitudę. Rozwiązanie Z natężenie wiązki laserowej jest równe I = 1 2  c  ε 0  E 0 2  . Amplituda natężenia pola elektrycznego wynosi więc E 0 = 2 c  ε 0  I = 2 3 ⋅ 10 8  m ∕ s ⋅ 8,85 ⋅ 10 − 12  F ∕ m ⋅ 10 − 3  W ∕ m 2 = 0,87  V ∕ m  . Amplituda indukcji magnetycznej może być obliczona z B 0 = E 0 c = 2,9 ⋅ 10 − 9  T  . Pola żarówki Żarówka emituje światło o mocy 5  W . Ile wynosi średnie natężenie pola elektrycznego, a ile wartość indukcji magnetycznej tego światła w odległości 3  m od żarówki? Strategia rozwiązania Do obliczenia natężenia światła załóżmy, że żarówka emituje światło o mocy P izotropowo do wnętrza sfery o promieniu 3  m . Z natężenia światła możemy następnie wyliczyć amplitudę natężenia pola elektrycznego. Rozwiązanie Moc emitowana w postaci światła wynosi I = P 4  π  r 2 = c  ε 0  E 0 2 2  , E 0 = 2  P 4  π  r 2  c  ε 0 = 2  5  W 4  π ⋅ 3  m 2 ⋅ 3 ⋅ 10 8  m ∕ s ⋅ 8,85 ⋅ 10 − 12  C 2 ∕ N  m 2 = 5,77  V ∕ m  , B 0 = E 0 c = 1,92 ⋅ 10 − 8  T  . Znaczenie Natężenie I maleje jak kwadrat odległości, jeśli promieniowanie jest emitowane jednakowo we wszystkich kierunkach. Zasięg radia Nadajnik radiowy o mocy 60  kW na Ziemi wysyła sygnały do satelity odległego o 100  km ( ). Jeśli moc nadajnika wzrosłaby do 90  kW , to w jakiej odległości od źródła sygnał będzie generował pole o tej samej amplitudzie natężenia energii, zakładając, że sygnał wysyłany będzie w tym samym kierunku co poprzednio? W przestrzeni trójwymiarowej sygnał wysyłany przez źródło rozprzestrzenia się wewnątrz kąta bryłowego. Strategia rozwiązania Pole powierzchni, na którym rozpraszana jest moc sygnału kierunkowego, zwiększa się z kwadratem odległości, jak pokazano na . Powiększymy moc ( 90  kW / 60  kW ) razy, wartość pola powierzchni zwiększymy w podobny sposób, by zachować stosunek I = P ∕ A = c  ε 0  E 0 2 ∕ 2 . Następnie użyjemy proporcji pomiędzy powierzchnią A na rysunku a odległością podniesioną do kwadratu, by znaleźć odległość, dla której powierzchnia jest taka sama jak wyliczona wcześniej. Rozwiązanie Korzystając z proporcjonalności pola powierzchni do kwadratu odległości i przekształcając równanie, otrzymamy r 2 2 r 1 2 = A 2 A 1 = 90  W 60  W  , r 2 = 90 60 ⋅ 100  km = 122  km  . Znaczenie Zasięg nadajnika radiowego to maksymalna odległość pomiędzy nadajnikiem i odbiornikiem, która jeszcze pozwala na prawidłowy przebieg komunikacji. W przypadku braku zakłóceń, takich jak odbicia od przeszkód, natężenie podlega prawu odwrotnych kwadratów. Oznacza to, że podwojenie zasięgu wymaga czterokrotnego zwiększenia mocy nadajnika. Podsumowanie Energia niesiona przez falę elektromagnetyczną jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Dla fal elektromagnetycznych oznacza to, że ich natężenie wyrażone jest wzorem I = c  ε 0  E 0 2 ∕ 2 , gdzie I jest średnim natężeniem wyrażonym w W ∕ m 2 , a E 0 jest amplitudą pola elektrycznego oscylującego sinusoidalnie. Równoważnie, natężenie może zostać również wyrażone przez maksymalną wartość indukcji magnetycznej jako I = c  B 0 2 ∕ 2  μ 0 albo przez amplitudę pól magnetycznego i elektrycznego jako I = E 0  B 0 ∕ 2  μ 0 . Wszystkie trzy powyższe równania na I są równoważne. Pytania Dlaczego, gdy stoisz na dworze w pełnym Słońcu, czujesz energię światła słonecznego, ale nie czujesz pędu przenoszonego przez to światło? Ilość energii dostarczanej przez światło słoneczne (około 1000  W ∕ m 2 \SI{1000}{\watt\per\squared\metre} ) jest wystarczająca, by szybko spowodować zauważalną zmianę temperatury powierzchni, na którą światło pada. Ciśnienie wywierane na tę samą powierzchnię (około 3 ⋅ 10 − 7  N ∕ m 2 ) jest zbyt małe, abyśmy mogli je odczuć. Jak natężenie fali elektromagnetycznej zależy od natężenia pola elektrycznego? Jak zależy ono od natężenia pola magnetycznego? Jakie jest fizyczne znaczenie wektora Poyntinga? Jego wartość jest równa gęstości strumienia energii, a jego kierunek wskazuje na kierunek rozchodzenia się fali. Opisuje on kierunek przepływu energii fali elektromagnetycznej i ilość energii na jednostkę powierzchni, przenoszoną przez falę w jednostce czasu. Laser helowo-neonowy o mocy 2  mW emituje stały promień czerwonego światła o powierzchni przekroju poprzecznego równej 0,25  cm 2 . Zakładając, że wiązka nie rozbiega się znacząco, jak zmienia się wartość skuteczna natężenia pola elektrycznego w zależności od odległości od lasera? Wyjaśnij dlaczego. Zadania W słoneczny dzień pewien student wychodzi na dwór, trzymając soczewkę dwuwypukłą o promieniu 4  cm nad kartką papieru. Na papierze pojawia się jasna plamka o promieniu 1  cm (zamiast zwyczajowego punktowego ogniska). Jaki jest stosunek natężeń pola elektrycznego w jasnej plamce do pola nieskupionego światła słonecznego? Płaska fala elektromagnetyczna przemieszcza się w kierunku północnym. W pewnym momencie natężenie pola elektrycznego wynosi 6  V ∕ m , a jego wektor skierowany jest na wschód. Ile wynosi wartość indukcji magnetycznej i jaki jest zwrot jej wektora? Jego wartość skierowana jest w dół i ma wartość 2 ⋅ 10 − 8  T . Pole elektryczne fali elektromagnetycznej dane jest wyrażeniem E → = 6  mV ∕ m ⋅ sin 2  π  x 18  m − t 60  ns ⋅ j ̂  . \vec{E} = \SI{6}{\milli\volt\per\metre} \cdot \sin[2\pi (\frac{x}{\SI{18}{\metre}} - \frac{t}{\SI{60}{\nano\second}})]\cdot \hat{j} \text{.}  Zapisz wyrażenie opisujące pole magnetyczne tej fali i jej wektor Poyntinga. Pewna radiostacja nadaje na częstotliwości nośnej 760  kHz . Maksymalna wartość indukcji magnetycznej tej fali w odbiorniku w pewnej odległości od nadajnika wynosi 2,15 ⋅ 10 − 11  T . Ile wynosi w tym odbiorniku maksymalne natężenie pola elektrycznego tej fali? Jaka jest długość tej fali? a. 6,45 ⋅ 10 − 3  V ∕ m ; b. 394  m . Żarnik wewnątrz przezroczystej żarówki emituje światło widzialne o mocy 5  W . Załóż, że żarówka ma postać kuli o promieniu r 0 = 3  cm i oblicz, jaka ilość energii pochodzącej od światła widzialnego znajduje się wewnątrz żarówki. W jakiej odległości natężenie światła emitowanego przez 100-watową żarówkę jest takie samo jak natężenie światła emitowanego przez 75-watową żarówkę w odległości 10  m ? Załóż, że obie żarówki mają tą samą sprawność konwersji energii elektrycznej w energię świetlną. 11,5  m . Zwykła żarówka emituje jedynie 2,6  W mocy jako promieniowanie elektromagnetyczne. Ile będzie wynosić wartość skuteczna natężenia pola elektrycznego promieniowania emitowanego przez żarówkę w odległości 3  m od żarówki? 150-watowa żarówka emituje 5  % pobieranej energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego. Ile będzie wynosiła średnia wartość wektora Poyntinga w odległości 10  m od tej żarówki? 5,97 ⋅ 10 − 3  W ∕ m 2 . Mały laser helowo-neonowy emituje 2,5  mW mocy świetlnej. Jaka energia zawarta jest w promieniu światła o długości 1  m ? W najwyższych partiach ziemskiej atmosfery uśredniona po czasie wartość wektora Poyntinga związanego ze światłem słonecznym wynosi 1,4  kW ∕ m 2 . Ile wynoszą amplitudy natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej dla promieniowania o takim samym natężeniu? Ile wynosi całkowita moc emitowana przez Słońce? Przyjmij, że Ziemia znajduje się 1,5 ⋅ 10 11  m od Słońca, a światło słoneczne złożone jest całkowicie z fal płaskich. a. E 0 = 1027  V ∕ m , B 0 = 3,42 ⋅ 10 − 6  T ; b. 3,96 ⋅ 10 26  W . Pole magnetyczne elektromagnetycznej fali płaskiej, rozchodzącej się w próżni wzdłuż osi z , dane jest wyrażeniem B → = B 0  cos k  z + ω  t  j ̂ , gdzie B 0 = 5 ⋅ 10 − 10  T , a k = 3,14 ⋅ 10 − 2  m − 1 . Zapisz wyrażenie na natężenie pola elektrycznego związanego z tą falą; Ile wynosi częstotliwość tej fali i jej długość? Ile wynosi wartość uśrednionego wektora Poyntinga? Ile wynosi natężenie fali elektromagnetycznej, dla której amplituda natężenia pola elektrycznego to 125  V ∕ m ? 20,8  W ∕ m 2 . Załóż, że laser helowo-neonowy, zwyczajowo używany przez studentów na zajęciach laboratoryjnych, emituje moc 0,5  mW . Ile wyniesie natężenie światła w centrum plamki o średnicy 1  mm utworzonej przez taką wiązkę? Znajdź amplitudę indukcji magnetycznej dla tej wiązki; Znajdź amplitudę natężenia pola elektrycznego dla tej wiązki. Naziemny nadajnik radiowy w technologii AM emituje fale elektromagnetyczne o mocy 50  kW równomiernie we wszystkich kierunkach. Zakładając, że wszystkie fale radiowe padające na ziemię są całkowicie absorbowane i że atmosfera i inne obiekty nie powodują rozpraszania energii fal, ile będzie wynosiło natężenie tych fal w odległości 30  km od nadajnika? (Wskazówka: Na górną półkulę przypada połowa mocy nadajnika); Ile wynosi amplituda natężenia pola elektrycznego w tej odległości? a. 4,42 ⋅ 10 − 6  W ∕ m 2 ; b. 5,77 ⋅ 10 − 2  V ∕ m . Przyjmijmy, że maksymalne bezpieczne dla człowieka natężenie mikrofal wynosi 1  W ∕ m 2 . Jaka odległość będzie bezpieczna dla człowieka, jeśli z radaru „wycieka” jednorodnie we wszystkich kierunkach 10  W mocy promieniowania mikrofalowego? Załóż, że nie występują żadne odbicia ani absorpcje; Ile wynosi amplituda pola elektrycznego przy bezpiecznym natężeniu? Uniwersytecki talerz do komunikacji satelitarnej ma średnicę 2,5  m i służy do odbioru sygnału telewizyjnego o amplitudzie natężenia pola elektrycznego (dla pojedynczego kanału) równej 7,5  µV ∕ m (patrz niżej). Ile wynosi natężenie tej fali? Jaka jest moc odbierana przez tę antenę? Jaką moc emituje satelita, jeśli nadaje sygnał jednorodnie na całej powierzchni 1,5 ⋅ 10 13  m 2 (znaczna część Ameryki Północnej)? a. 7,47 ⋅ 10 − 14  W ∕ m 2 ; b. 3,66 ⋅ 10 − 13  W ; c. 1,12  W . Do pewnych zastosowań konstruuje się lasery zdolne do wytworzenia impulsu świetlnego o małym czasie trwania, ale bardzo dużym natężeniu. Lasery takie nazywa się impulsowymi. Używa się ich między innymi do inicjowania reakcji fuzji jądrowej. Takie lasery są zdolne do produkcji impulsów o amplitudzie pola elektrycznego równej 10 11  V ∕ m , trwających 1  ns . Ile wynosi amplituda indukcji magnetycznej w takim impulsie? Ile jest równe natężenie światła dla takiego impulsu? Ile wynosi energia dostarczana przez taki impuls do obszaru o polu powierzchni 1  mm 2 ? wektor Poyntinga (ang. Poynting vector ) wektor będący wynikiem mnożenia wektorowego pól elektrycznego i magnetycznego, który opisuje przepływ energii przez powierzchnię

Science


Pęd i ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego Przedmioty materialne składają się z naładowanych cząstek. Fale elektromagnetyczne padające na takie przedmioty działają na naładowane cząstki siłą Lorentza z . Siły te wykonują pracę nad cząstkami wchodzącymi w skład przedmiotów, zwiększając ich całkowitą energię, jak opisano to w poprzednim podrozdziale. Energia niesiona przez światło słoneczne powoduje tak przyjemne i znajome uczucie ciepła na twarzy w każdy słoneczny dzień. Znacznie mniej znaną własnością promieniowania elektromagnetycznego jest niezwykle małe ciśnienie, które promieniowanie to wytwarza przez oddziaływanie siłą w kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia się fali. Ta siła pojawia się, ponieważ fale elektromagnetyczne posiadają i mogą przekazywać pęd. Aby zrozumieć, skąd bierze się ten konkretny kierunek działania siły, wyobraźmy sobie płaskie fale elektromagnetyczne padające na metal, w którym ruch elektronów jest tłumiony przez opór metalu tak, że średni ruch elektronów jest zgodny w fazie z siłą go powodującą. Jest to sytuacja porównywalna do sytuacji obiektu poruszającego się z tarciem, który zatrzymuje się natychmiast, kiedy siła wymuszająca ruch zanika ( ). Gdy pole elektryczne kierowane jest w stronę dodatnich wartości osi y , elektrony poruszają się w kierunku ujemnych wartości tej osi, a pole magnetyczne skierowane jest ku dodatnim wartościom osi z . Stosując regułę prawej dłoni i uwzględniając ujemny ładunek elektronów, obserwujemy, że siła działająca na elektrony ze strony pola magnetycznego działa w kierunku dodatnich wartości osi x . Jest to też oczywiście kierunek rozchodzenia się fali, która indukuje działającą na elektrony siłę. Gdy pole elektryczne odwraca swój kierunek, podobnie dzieje się z polem magnetycznym, przez co siła nadal działa w tym samym kierunku. Równania Maxwella w połączeniu z siłą Lorentza przewidują istnienie ciśnienia promieniowania w sposób znacznie bardziej ogólny niż w omawianym przykładzie. Wzajemnie oddziałujące pola elektryczne i magnetyczne, indukowane przez falę elektromagnetyczną, wytwarzają siłę działającą w kierunku rozchodzenia się fali, jak przedstawiono to na przykładzie elektronów poruszających się w metalu i wysoce tłumionych przez jego opór. Maxwell przewidział, że fale elektromagnetyczne niosą ze sobą pęd. Obiekt pochłaniający falę elektromagnetyczną będzie doświadczał siły oddziałującej nań w kierunku rozchodzenia się pochłoniętej fali. Wartość tej siły powiązana jest z ciśnieniem promieniowania wywieranym na ten obiekt przez padającą falę. Siła będzie przy tym dwukrotnie większa, jeśli promieniowanie będzie odbijane, a nie absorbowane. Hipoteza Maxwella została udowodniona eksperymentalnie w roku 1903 przez Nicholsa i Hulla, którzy dokonali precyzyjnych pomiarów ciśnienia promieniowania z użyciem wagi skręceń (ang. torsion balance ). Schematyczny układ pomiarowy przedstawiony został na . Para zwierciadeł zawieszona została na cienkiej nitce i umieszczona wewnątrz szklanego pojemnika. Nicholsowi i Hullowi udało się uzyskać małe, ale mierzalne skręcenie całego układu w wyniku oświetlenia jednego ze zwierciadeł. Ze zmierzonego kąta skręcenia mogli oni ustalić wartość siły powodującej to skręcenie. Wartość tak wyznaczonej siły skręcającej była w pełni zgodna z przewidywaniami teoretycznymi dla ciśnienia promieniowania. Uproszczony schemat głównego elementu aparatury używanej przez Nicholsa i Hulla do precyzyjnych pomiarów ciśnienia promieniowania i potwierdzenia hipotezy Maxwella. Ciśnienie promieniowania (ang. radiation pressure ) p pr , wywierane przez falę elektromagnetyczną na doskonale absorbującą powierzchnię, okazuje się równe gęstości energii tej fali p pr = u  (idealny absorber). Jeśli materiał idealnie odbija promieniowanie, jak na przykład powierzchnia metaliczna, i kąt padania jest kątem prostym, to ciśnienie wywierane przez falę jest dwukrotnie większe, gdyż w czasie odbicia pęd fali padającej zmienia zwrot na przeciwny p pr = 2  u  (idealne zwierciadło). W celu sprawdzenia poprawności tych wyników możemy dokonać sprawdzenia jednostek u = J m 3 = N  m m 3 = N m 2 = Pa  . i są równaniami na ciśnienie chwilowe, ponieważ jednak gęstość energii jest ekstremalnie szybkozmienną funkcją czasu, zazwyczaj interesuje nas jedynie ciśnienie promieniowania uśrednione po czasie. Ciśnienie takie można wyrazić jako funkcję natężenia fali elektromagnetycznej p = ⟨ p pr ⟩ = { I / c idealny absorber 2 I / c idealne zwierciadło . Ciśnienie promieniowania jest niezwykle ważnym czynnikiem, niezbędnym do wyjaśnienia wielu zaobserwowanych zjawisk astronomicznych, włączając w to wygląd komet (ang. comets ) na ziemskim nieboskłonie. Komety są w gruncie rzeczy obiektami składającymi się z lodu, w którym tkwią kawałki kosmicznych skał, drobiny pyłu i zamarznięte gazy. Kiedy kometa zbliża się do Słońca, grzeje się w jego blasku, a jej powierzchnia zaczyna parować. Koma takiej komety to mglisty obszar bezpośrednio wokół jądra, składający się z uwolnionych gazów, drobinek skał i pyłu. Część tego uwolnionego gazu i pyłu formuje ogony komety. Zauważmy, że przedstawiona na kometa ma dwa oddzielne ogony. Warkocz jonowy (lub warkocz gazowy na ) złożony jest głównie ze zjonizowanego gazu. Jony te oddziałują elektromagnetycznie z wiatrem słonecznym (ang. solar wind ) będącym ciągłym strumieniem cząstek naładowanych, emitowanych ze Słońca. Siła oddziaływania wiatru słonecznego na zjonizowane gazy jest na tyle duża, że warkocz jonowy niemal zawsze skierowany jest „od Słońca”. Drugi warkocz składa się z cząsteczek pyłu. Ponieważ warkocz pyłowy jest obojętny elektrycznie, nie oddziałuje zupełnie z wiatrem słonecznym. Jednak wciąż wywierane jest na niego ciśnienie promieniowania, pochodzące od światła wysyłanego przez Słońce. Ciśnienie to, choć bardzo małe, jest wystarczająco silne, aby nieznacznie odchylić warkocz pyłowy od toru lotu komety. Odparowywanie jądra komety w wyniku ciepła pochodzącego od Słońca powoduje utworzenie się dwóch warkoczy, jak jest to widoczne na zdjęciu Komety ISON. Źródło: modyfikacja pracy E. Slawik – ESO Kometa Halleya 9 lutego 1986 roku kometa Halleya znajdowała się w punkcie jej orbity najbliższym Słońcu, czyli około 9 ⋅ 10 10  m od środka gwiazdy. Średnia moc promieniowania emitowanego przez Słońce wynosi 3,8 ⋅ 10 26  W . Obliczmy wartość ciśnienia promieniowania wywieranego na kometę w tym punkcie jej orbity. Załóżmy, że kometa odbija całe padające na nią promieniowanie. Załóżmy, że od komety oddziela się odłamek o masie 10  kg i polu przekroju poprzecznego 4 ⋅ 10 − 2  m 2 . Wyznaczmy wartość siły działającej na ten kawałek w związku z ciśnieniem promieniowania. Porównajmy tę siłę z siłą grawitacji wywieraną przez Słońce. Strategia rozwiązania Obliczymy natężenie promieniowania słonecznego dla danej odległości od Słońca i użyjemy tej wartości do wyliczenia ciśnienia promieniowania. Następnie skorzystamy z wyliczonej wartości promieniowania oraz podanego pola powierzchni komety i wyznaczymy wartość siły działającej na odłamek. Rozwiązanie Natężenie promieniowania słonecznego to średnia moc na jednostkę powierzchni. Dla danej odległości I = S śr = 3,8 ⋅ 10 26  W 4  π  9 ⋅ 10 10  m 2 = 3,7 ⋅ 10 3  W ∕ m 2  . Zakładając, że kometa odbija całe padające na nie promieniowania, z otrzymujemy p = 2  I c = 2 ⋅ 3,7 ⋅ 10 3  W ∕ m 2 3 ⋅ 10 8  m ∕ s = 2,5 ⋅ 10 − 5  N ∕ m 2  . Siła oddziałująca na odłamek wywołana promieniowaniem wynosi F = p  A = 2,5 ⋅ 10 − 5  N ∕ m 2 ⋅ 4 ⋅ 10 − 2  m 2 = 10 − 6  N  , podczas gdy siła grawitacji układu Słońce – odłamek wynosi F g = G  M  m r 2 = 6,67 ⋅ 10 − 11  N  m 2 ∕ kg 2 ⋅ 2 ⋅ 10 30  kg ⋅ 10  kg 9 ⋅ 10 10  m 2 = 0,16  N  . Znaczenie Siła oddziaływania grawitacyjnego Słońca na odłamek jest o wiele większa niż siła pochodząca od ciśnienia promieniowania. Po wykazaniu przez Maxwella, że światło przenosi zarówno pęd, jak i energię, naturalnie pojawił się innowacyjny pomysł – choć początkowo jedynie jako science-fiction. Wywnioskowano, że możliwe jest wyposażenie statku w duży, odbijający światło żagiel i użycie ciśnienia promieniowania jako napędu. Tak napędzany pojazd nie musiałby przenosić żadnego paliwa na pokładzie. Zamiast krótkich impulsów ciągu z silników rakietowych doświadczałby małej, ale stałej siły wywieranej przez ciśnienie promieniowania; przyspieszałby bardzo powoli, ale po pewnym czasie byłby zdolny osiągnąć ogromne prędkości. Jednak niezbędny do tego byłby pojazd o małej masie własnej i dużej powierzchni żagla słonecznego (ang. light sail ), by osiągnąć przyspieszenie o znaczeniu praktycznym. Gdy w latach sześćdziesiątych został uruchomiony amerykański program kosmiczny, agencja NASA zaczęła uważnie przyglądać się temu pomysłowi. Najświeższe udoskonalenia w dziedzinie napędu słonecznego zostały dokonane przez pozarządową organizację Planetary Society. Obecnie testowane jest użycie żagli słonecznych do napędzania małych pojazdów zbudowanych z tzw. CubeSatów – malutkich satelitów umieszczanych przez NASA na orbicie przy okazji innych startów. Taki projekt został zrealizowany również przez studentów z Politechniki Warszawskiej, którzy testowali możliwość deorbitacji za pomocą żagla słonecznego. Statek kosmiczny LightSail pokazany poniżej ( ) składa się z trzech CubeSatów połączonych ze sobą. Jego całkowita masa własna wynosi zaledwie około 5  kg , a jego rozmiar jest porównywalny z bochenkiem chleba. Żagiel wykonany został z bardzo cienkiej folii Mylar i rozkłada się, po uruchomieniu, do powierzchni 32  m 2 . Dwa małe CubeSaty umieszczone na orbicie przez Międzynarodową Stację Kosmiczną w maju 2016 roku. Żagle słoneczne otworzą się, gdy CubeSaty będą znajdować się w bezpiecznej odległości od ISS. Pierwszy statek LightSail został wystrzelony w roku 2015 w celu przetestowania systemu rozkładania żagla. Został umieszczony na niskiej orbicie okołoziemskiej przez rakietę Atlas-5 wykonującą inną, niepowiązaną z tym misję główną. Test zakończył się powodzeniem, jednak tarcie na niskiej orbicie okołoziemskiej było zbyt wielkie, by pojazd rozpoczął przyspieszanie dzięki padającemu na niego światłu. W końcu, zgodnie z założeniami, spłonął w atmosferze. Kolejny LightSail należący do Planetary Society wystrzelono w roku 2016. Ilustracja przedstawiająca pojazd w czasie lotu zamieszczona została na stronie internetowej Planetary Society. Przyspieszenie LightSail Natężenie światła słonecznego w odległości 1  AU (ang. Astronomical Unit – jednostki astronomicznej) wynosi 1370  W ∕ m 2 . Pojazd LightSail ma żagiel o całkowitym polu powierzchni równym 32  m 2 i masie całkowitej 5  kg . Obliczmy maksymalne przyspieszenie, jakie może osiągnąć LightSail , wykorzystując do przyspieszania ciśnienie promieniowania, gdy znajduje się w odległości ok. 1  AU od Słońca. Strategia rozwiązania Pojazd doświadcza maksymalnego przyspieszenia, kiedy otwarty żagiel skierowany jest bezpośrednio w stronę Słońca. Użyjemy natężenia światła do wyliczenia ciśnienia promieniowania, a następnie obliczymy wartość siły działającej na żagiel. Następnie – do obliczenia przyspieszenia – użyjemy II prawa dynamiki Newtona. Rozwiązanie Ciśnienie promieniowania powoduje powstanie siły równej F = p  A = 2  u  A = 2  I c  A = 2 ⋅ 1370  W ∕ m 2 ⋅ 32  m 2 3 ⋅ 10 8  m ∕ s = 2,92 ⋅ 10 − 4  N  . Przyspieszenie wynikające z tego ciśnienia wynosi a = F m = 2,92 ⋅ 10 − 4  N 5  kg = 5,8 ⋅ 10 − 5  m ∕ s 2  . Znaczenie Jeśli udałoby się utrzymać tak małe przyspieszenie przez jeden rok, pojazd osiągnąłby prędkość 1829  m ∕ s lub 6600  km ∕ h . Sprawdź, czy rozumiesz. Jak zmieniałaby się prędkość i przyspieszenie pojazdu napędzanego żaglem słonecznym w miarę oddalania się od Słońca w czasie podróży międzyplanetarnych? Jego przyspieszenie spadłoby, ponieważ siła wywierana przez promieniowanie jest proporcjonalna do natężenia światła słonecznego, malejącego z odległością. Wartość jego prędkości rosłaby jednak coraz wolniej, aż przestałaby się zmieniać, jeśli nie liczyć skutków grawitacji pochodzącej od Słońca i planet. Podsumowanie Fale elektromagnetyczne przenoszą pęd i wywierają ciśnienie promieniowania. Ciśnienie promieniowania fali elektromagnetycznej jest wprost proporcjonalne do gęstości energii tej fali. Ciśnienie promieniowania jest dwa razy większe od gęstości jej energii, jeśli fala jest odbijana, albo równe gęstości energii, jeśli fala jest absorbowana. Pytania Dlaczego ciśnienie promieniowania fali elektromagnetycznej odbijającej się od idealnego zwierciadła jest dwukrotnie większe od ciśnienia promieniowania fali elektromagnetycznej absorbowanej przez idealny absorber? Ciśnienie to siła przypadająca na jednostkę powierzchni, a siła jest równa przyrostowi pędu na jednostkę czasu. Zmiana pędu powierzchni (żagla) ma tę samą wartość, a przeciwny zwrot do zmiany pędu fali elektromagnetycznej. Przy odbiciu zmiana pędu fali jest dwa razy większa (od p p do − p -p ) niż przy absorpcji (od p p praktycznie do zera). Dlaczego wczesne zdjęcia zbliżającej się do Ziemi komety ISON, wykonane przez teleskop Hubble’a, pokazują jedynie małą rozmytą komę wokół jądra zamiast w pełni rozwiniętych dwóch ogonów, które widoczne były później (patrz rysunek poniżej; Źródło ilustracji: ESA, Hubble)? Odpowiedz na poniższe pytania. Jak zmieniłby się kierunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej, gdyby zamieniono z sobą kierunki oscylacji pola elektrycznego i magnetycznego? Co stałoby się, gdyby zwroty wektorów E → i B → zostały zamienione na przeciwne? a. Zgodnie z regułą prawej ręki kierunek przepływu energii ulegnie odwróceniu; b. Ta zmiana pozostawia wektor S → , a tym samym kierunek rozchodzenia się, bez zmian. Zadania 150-watowa żarówka emituje 5  % pobieranej energii w postaci fali elektromagnetycznej. Jakie ciśnienie wywiera promieniowanie na sferę o promieniu 10  m otaczającą żarówkę i absorbującą padające na nią promieniowanie? 1,99 ⋅ 10 − 11  N ∕ m 2 . Jakie ciśnienie wywiera promieniowanie emitowane przez 100-watową żarówkę na powierzchnię zwierciadła oddalonego o 3  m od żarówki, jeśli żarówka emituje promieniowanie o mocy 2,6  W w postaci światła? Mikroskopijna kulista cząstka kurzu o promieniu 2  µm i masie 10  µg porusza się w przestrzeni kosmicznej ze stałą prędkością 30  cm ∕ s . Fala świetlna biegnąca w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu cząsteczki kurzu pada na nią i zostaje zaabsorbowana. Zakładając, że do chwili zatrzymania cząstka porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym w czasie 1  s , oblicz średnią wartość amplitudy pola elektrycznego tej fali. F = m  a = p ⋅ π  r 2 , p = m  a ∕ π  r 2 = ε 0 ∕ 2 ⋅ E 0 2 , E 0 = 2  m  a ∕ ε 0  π  r 2 = 2 ⋅ 10 − 8  kg ⋅ 0,3  m ∕ s 2 ∕ 8,854 ⋅ 10 − 12  C 2 ∕ N  m 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 10 − 6  m 2 , E 0 = 7,34 ⋅ 10 6  V ∕ m . Styropianowa kulka o promieniu 2  mm i masie 20  µg ma być zawieszona w rurze próżniowej za sprawą ciśnienia promieniowania. Jakiego natężenia światła trzeba użyć, przy założeniu, że kulka całkowicie absorbuje padające światło? Przyjmij, że S → śr dla światła słonecznego dla punktu na powierzchni Ziemi jest równe 900  W ∕ m 2 . Ile wynosi średnia wartość siły pochodzącej od światła, działającej na latawiec powleczony materiałem odbijającym o powierzchni 0,75  m 2 , jeśli światło pada na niego prostopadle? Jak zmieni się rozwiązanie (a), jeśli powleczemy latawiec materiałem całkowicie absorbującym promieniowanie? a. 4,5 ⋅ 10 − 6  N ; b. Zmaleje do połowy ciśnienia, czyli 2,25 ⋅ 10 − 6  N . Światło słoneczne docierające do powierzchni Ziemi ma natężenie około 1  kW ∕ m 2 . Osoba opalająca się na plaży na leżaku ma skierowaną ku Słońcu powierzchnię ciała równą 0,8  m 2 . Jaka ilość energii dociera do ciała opalającej się osoby w ciągu sekundy? Jakie ciśnienie wywierane jest na ciało przez światło słoneczne, jeśli promieniowanie jest całkowicie absorbowane? Sferyczna cząstka o masie m i promieniu R znajdująca się w przestrzeni kosmicznej absorbuje światło o natężeniu I w czasie t . Jaką pracę wykonuje ciśnienie promieniowania nad tą cząstką, gdy przyspiesza ją ze stanu spoczynku, a światło jest całkowicie absorbowane? Ile energii niesionej przez falę elektromagnetyczną jest absorbowane przez cząstkę w tym czasie? a. W = 1 ∕ 2 ⋅ π 2  r 4 ∕ m  c 2 ⋅ I 2  t 2 ; b. E = π  r 2  I  t . ciśnienie promieniowania (ang. radiation pressure ) siła wywierana przez promieniowanie elektromagnetyczne na powierzchnię, podzielona przez pole tej powierzchni

Science