Model cząsteczkowy gazu doskonałego W tym podrozdziale zajmujemy się badaniem cieplnych (termicznych) właściwości gazów. Słowo „gaz” pochodzi z języka flamandzkiego, w którym oznacza ono „chaos”. Po raz pierwszy zostało użyte przez siedemnastowiecznego chemika (także lekarza, fizjologa i alchemika) J. B. van Helmonta (1580–1644) w odniesieniu do par cieczy. Termin ten okazał się bardziej odpowiedni, niż można było wtedy przypuszczać, ponieważ gazy składają się z cząsteczek będących w nieustannym ruchu, przypadkowo zderzających się ze sobą. Ta losowość (przypadkowość) stanowi pomost pomiędzy poziomami mikroskopowym i makroskopowym układów wielu cząstek, przy czym przejście między poziomami jest znacznie prostsze dla gazów aniżeli dla cieczy i ciał stałych. Czym różnią się gazy od cieczy i ciał stałych? W normalnych warunkach, czyli takich, jakie nas otaczają, podstawowa różnica polega na tym, że cząsteczki w gazach są znacznie bardziej oddalone od siebie, niż to ma miejsce w ciałach stałych i cieczach. Ponieważ typowe odległości między cząsteczkami w gazie są duże w porównaniu z rozmiarami tych cząsteczek, jak to pokazano na , to siły, z jakimi cząsteczki oddziałują na siebie, uważa się za pomijalne, z wyjątkiem sytuacji, w których cząsteczki wchodzą w bezpośredni kontakt ze sobą podczas zderzeń. Ponadto, w temperaturach znacznie wyższych od temperatury wrzenia cieczy cząsteczki poruszają się z dużymi prędkościami, dzięki czemu gazy szybko się rozprężają, dążąc do wypełnienia całej dostępnej objętości. Przeciwnie, w cieczach i ciałach stałych cząsteczki znajdują się blisko siebie i ich zachowanie jest silnie ograniczone przez oddziaływania międzycząsteczkowe. Makroskopowe własności tych substancji istotnie zależą od sił międzycząsteczkowych, a ponieważ wiele cząsteczek oddziałuje ze sobą, to opis zachowania wielu ciał może być bardzo skomplikowany (zobacz rozdział Fizyka fazy skondensowanej ). Atomy (lub cząsteczki) w gazie zwykle znajdują się daleko od siebie. Ponieważ siły ich wzajemnego oddziaływania na tych odległościach są dostatecznie małe, to właściwości gazów zależą bardziej od liczby atomów (cząsteczek) w jednostce objętości oraz od temperatury aniżeli od rodzaju atomów (cząsteczek). Prawa gazów W poprzednim rozdziale poznaliśmy jedną z konsekwencji dużej odległości międzycząsteczkowej w gazach: gazy można łatwo sprężać. Z podrozdziału wynika, że współczynnik rozszerzalności objętościowej przyjmuje większe wartości dla gazów niż dla ciał stałych i cieczy. Te duże wartości oznaczają, że gazy rozprężają się lub sprężają bardzo szybko wraz ze zmianami temperatury. Dowiedzieliśmy się także, w podrozdziale o rozszerzalności cieplnej, że większość gazów rozpręża się w takim samym stopniu, czyli że posiada te same wartości współczynnika rozszerzalności objętościowej β . Powstaje pytanie: dlaczego wszystkie gazy zachowują się niemal tak samo, podczas gdy różne ciecze i różne ciała stałe cechuje szeroki zakres wartości współczynników rozszerzalności? Aby przenalizować, jak ciśnienie, objętość i temperatura gazu są powiązane ze sobą, rozważmy, co się dzieje, kiedy pompujemy powietrze do wnętrza pustej (opróżnionej) opony samochodowej. Początkowo jej objętość wzrasta proporcjonalnie do ilości wpompowanego powietrza – bez istotnego (znaczącego) wzrostu ciśnienia powietrza w oponie. Gdy opona osiągnie swój niemal pełny rozmiar, to jej ściany zaczną ograniczać możliwość dalszego zwiększania jej objętości. Jeżeli będziemy kontynuować pompowanie powietrza do opony, to nastąpi wzrost ciśnienia w oponie i wzrost temperatury gazu. Jeżeli samochód następnie wyjedzie na trasę, to opony będą podlegać zginaniu (gięciu), ich temperatura wzrośnie i nastąpi dalszy wzrost ciśnienia w oponach ( ). (a) Gdy powietrze jest pompowane do opróżnionej opony, to początkowo jej objętość wzrasta bez znaczącej zmiany ciśnienia we wnętrzu. (b) Kiedy opona jest wypełniona w odpowiednim stopniu, to jej ściany przeciwstawiają się dalszej ekspansji i ciśnienie w oponie rośnie wraz z wpompowywanym powietrzem. (c) Kiedy opona jest napompowana, to ciśnienie powietrza w jej wnętrzu rośnie wraz z jego temperaturą. Co oznacz również, że wraz ze wzrostem ciśnienia temperatura powietrza rośnie. Dane przedstawione na pochodzą z doświadczenia przeprowadzonego przez Roberta Boyle’a (1627–1691) i obrazują to, co obecnie nazywamy prawem Boyle’a-Mariotte’a (ang. Boyle’s law ): w stałej temperaturze i dla ustalonej liczby cząsteczek gazu ciśnienie bezwzględne gazu jest odwrotnie proporcjonalne do jego objętości. Warto przypomnieć, że ciśnienie bezwzględne jest rzeczywistym ciśnieniem mierzonym względem próżni, natomiast nadciśnienie to ciśnienie bezwzględne pomniejszone o ciśnienie otoczenia, którym najczęściej jest ciśnienie atmosferyczne – odwołaj się do rozdziału Mechanika płynów . Wykres na przedstawia tę zależność jako odwrotną proporcjonalność objętości i ciśnienia. Robert Boyle wraz ze swoim asystentem odkrył, że objętość gazu jest odwrotnie proporcjonalna do jego ciśnienia (w ustalonej temperaturze). Tutaj jego pomiary zostały wykreślone jako zależność objętości gazu V od odwrotności jego ciśnienia 1 / p ; z liniowości tego wykresu wynika odwrotna proporcjonalność tych wielkości. Liczby na osi rzędnych podają objętość za pomocą wysokości słupa powietrza (w jednostkach arbitralnych), znajdującego się w cylindrycznej, szklanej rurze. Rzeczywistą objętość można otrzymać, mnożąc podane wysokości przez pole przekroju poprzecznego tej szklanej rury, którego wartości jednak Boyle nie opublikował. Dane pochodzą z książki Boyle’a A Defence of the Doctrine Touching the Spring and Weight of the Air… , s. 60 http://bvpb.mcu.es/en/consulta/registro.cmd?id=406806 ( Obrona doktryny dotyczącej sprężystości i ciężaru powietrza… ). Na przedstawiono dane doświadczalne opublikowane przez Jacques’a Charles’a (1746–1823) , które pokazują prawo nazwane jego nazwiskiem – prawo Charles’a (ang. Charles’s law ). Prawo to stwierdza, że przy stałym ciśnieniu i dla ustalonej liczby cząsteczek objętość gazu jest wprost proporcjonalna do jego temperatury bezwzględnej. Dane doświadczalne pokazują, że przy ustalonym ciśnieniu objętość gazu jest w przybliżeniu proporcjonalna do jego temperatury. Linia najlepszego dopasowania w przybliżeniu przechodzi przez początek układu współrzędnych, przy czym należy pamiętać, że zgodnie z kinetyczną teorią gazów ruch cząsteczek w takich warunkach ustaje http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/history/charles.html . Zbliżone do prawa Charlesa jest prawo Gay-Lussaca (ang. Gay-Lussac’s law ), które stwierdza, że przy stałej objętości i dla ustalonej liczby cząsteczek ciśnienie gazu jest proporcjonalne do jego temperatury, co można zaobserwować podczas eksperymentu z oponą. Prawo to stanowi podstawę działania i konstrukcji termometru gazowego o stałej objętości, omówionego w poprzednim rozdziale. Prawdziwa historia odkrycia tych praw jest znacznie bardziej skomplikowana niż to, co zaprezentowaliśmy tutaj. Z wielu przeprowadzonych doświadczeń wynika, że dla gazów o małej gęstości, których cząsteczki zajmują pomijalnie mały ułamek objętości całkowitej gazu, znajdujących się w temperaturze znacznie powyżej punktu wrzenia cieczy, te proporcjonalności stanowią dobre przybliżenie ich własności. Nie jest zaskoczeniem, że przy ustalonych pozostałych wielkościach albo ciśnienie, albo objętość są proporcjonalne do liczby cząsteczek gazu. Większe zaskoczenie budzi fakt, że po sprowadzeniu tych proporcjonalności do pojedynczego równania współczynnik proporcjonalności okazuje się niezależny od składu gazu. Równanie to stosuje się do wszystkich gazów w granicy małych gęstości i wysokich temperatur; jest ono takie samo dla tlenu, helu czy też dla sześciofluorku uranu [fluorek uranu (VI)]. Gaz spełniający te warunki graniczne jest nazywany gazem doskonałym (ang. ideal gas ); podlega on równaniu stanu gazu doskonałego (ang. ideal gas law ) (nazywanego również równaniem Clapeyrona – Benoît Clapeyron (1799–1864) , fizyk i matematyk francuski; przyp. tłum.). Równanie stanu gazu doskonałego Równanie stanu gazu doskonałego stwierdza, że p  V = N  k B  T  , gdzie p jest ciśnieniem bezwzględnym gazu, V jest zajmowaną przez niego objętością, N jest liczbą cząsteczek w gazie, a T jest jego temperaturą bezwzględną (w kelwinach). Stała k B jest nazywana stałą Boltzmanna (ang. Boltzmann constant ) na cześć austriackiego fizyka Ludwika Boltzmanna (1844–1906) i posiada wartość k B = 1,38 ⋅ 10 -23  J / K  . Równanie stanu gazu doskonałego opisuje własności dowolnego gazu rzeczywistego, gdy jego gęstość jest wystarczająco mała lub gdy jego temperatura jest wystarczająco wysoka, tak aby znajdował się w stanie dalekim od skroplenia. Warunki te obejmują wiele praktycznych sytuacji. W następnym podrozdziale zobaczymy, dlaczego to prawo nie zależy od rodzaju gazu. Bardzo często równanie stanu gazu doskonałego stosuje się do opisu zachowania próbek gazu o ustalonej liczbie cząsteczek, np. do gazu znajdującego się w szczelnym zbiorniku. Jeżeli N jest stałe, to, wyliczając N z prawa gazu doskonałego, można przekonać się, że p  V / T musi być stałe. Fakt ten możemy zapisać w dogodnej postaci jako p 1  V 1 T 1 = p 2  V 2 T 2  , gdzie indeksy 1 i 2 odnoszą się do dwóch stanów tego gazu określonych w dwóch różnych chwilach czasu. Podkreślmy, że temperatura w powyższym równaniu musi być wyrażona w kelwinach, a ciśnienie musi być ciśnieniem bezwzględnym, które jest sumą nadciśnienia i ciśnienia atmosferycznego. Obliczanie zmian ciśnienia spowodowanych zmianami temperatury Przypuśćmy, że opona roweru została w pełni napompowana do ciśnienia bezwzględnego 7 ⋅ 10 5  Pa w temperaturze 18  ° C . Jakie będzie ciśnienie w tej oponie, jeżeli jej temperatura w upalny dzień wzrośnie do 35  ° C ? Załóżmy, że nie ma dostrzegalnych wycieków powietrza oraz zmian objętości opony. Strategia rozwiązania Ciśnienie w oponie zmienia się jedynie z powodu zmiany jej temperatury (od nagrzanej opony ogrzewa się powietrze w oponie do tej samej temperatury). Znamy ciśnienie początkowe p 0 = 7 ⋅ 10 5  Pa , temperaturę początkową t 0 = 18  ° C oraz temperaturę końcową t k = 35  ° C . Musimy obliczyć ciśnienie końcowe w oponie p k . Ponieważ liczba cząsteczek jest ustalona, to możemy skorzystać z równania p k  V k T k = p 0  V 0 T 0  . Ponieważ objętość opony jest stała, V k i V 0 przyjmują te same wartości i można je uprościć. Zatem p  V = N  k B  T  . Przekształcamy to równanie, wyznaczając p k p k = p 0  T k T 0  , gdzie temperaturę należy wstawić w kelwinach. Rozwiązanie Przeliczamy temperaturę ze stopni Celsjusza na kelwiny T 0 = 18  K + 273  K = 291  K  , T k = 35  K + 273  K = 308  K  . Podstawiamy wyznaczone wartości wielkości do równania p k = p 0  T k T 0 = 7 ⋅ 10 5  Pa ⋅ 308  K 291  K = 7,41 ⋅ 10 5  Pa  . Znaczenie Temperatura końcowa opony jest o ok. 6  % \SI{6}{\percent} (w skali Kelvina) wyższa od temperatury początkowej i w efekcie ciśnienie końcowe w oponie wzrasta również o 6  % \SI{6}{\percent} . Należy zapamiętać, że w równaniu stanu gazu doskonałego używa się bezwzględnego ciśnienia (zob. rozdział Mechanika płynów ) oraz temperatury bezwzględnej (zob. rozdział Temperatura i ciepło ). Wyznaczanie liczby cząsteczek w jednym metrze sześciennym gazu Ile cząsteczek znajduje się w typowej sytuacji stanu skupienia, takim jak gaz w oponie lub woda w szklance? Celem tych obliczeń jest zorientowanie się, jakiego rządu są typowe wartości N . Obliczmy liczbę cząsteczek powietrza pobieranego przez młodą osobę podczas jednego wdechu o objętości 500  ml w warunkach standardowych (ang. standard temperature and pressure, STP ), czyli w temperaturze 0  ° C i pod ciśnieniem 1  atm ( 1,01 ⋅ 10 5  Pa ; mamy zimę i młoda osoba znajduje się na dworze). Strategia rozwiązania Ponieważ mamy podane wartości ciśnienia, objętości i temperatury wdychanego powietrza, to, aby wyznaczyć liczbę cząsteczek N , możemy zastosować równanie stanu gazu doskonałego. Rozwiązanie Określamy wartości wielkości danych: T = 0  ° C = 273  K , p = 1,01 ⋅ 10 5  Pa , V = 500  ml , k B = 1,38 ⋅ 10 -23  J ∕ K k_{\text{B}} = \SI{1,38e-23}{\joule\per\kelvin} . Po wyznaczeniu N z równania stanu gazu doskonałego i podstawieniu danych, otrzymujemy N = p  V k B  T = 1,01 ⋅ 10 5  Pa ⋅ 5 ⋅ 10 -4  m 3 1,38 ⋅ 10 -23  J ∕ K ⋅ 273  K = 1,34 ⋅ 10 22  cząsteczek  . N = \frac{pV}{k_{\text{B}} T} = \frac{\SI{1,01e5}{\pascal} \cdot \SI{5e-4}{\metre\cubed}}{\SI{1,38e-23}{\joule\per\kelvin} \cdot \SI{273}{\kelvin}} = \SI{1,34e22}{\czasteczek} \text{.} Znaczenie Jak to określono w rozdziale Mechanika płynów , w układzie SI wymiarem paskala jest N ∕ m 2 \si{\newton\per\metre\squared} , więc Pa  m 3 = N  m = J \si{\pascal\metre\cubed} = \si{\newton\metre} = \si{\joule} . Wobec tego wyznaczona wartość N jest bezwymiarowa, czyli jest czystą liczbą, którą można by było – w zasadzie – wyznaczyć przez bezpośrednie zliczanie cząsteczek (precyzyjniej niż za pomocą technik pomiarowych). Ponieważ jest to liczba cząsteczek, to nazwa ta została wstawiona po wyznaczeniu wartości, jednak należy pamiętać, że nie jest to nazwa jednostki, lecz tylko informacja o znaczeniu tej liczby. Mole i liczba Avogadra Ze względu na niewyobrażalną wręcz liczbę cząsteczek w objętości przykładowo jednego litra powietrza, wygodniej, z praktycznego punktu widzenia, mierzyć liczność substancji (materii) w innych jednostkach niż za pomocą liczby cząsteczek. W układzie SI w tym celu stosuje się jednostkę, która została opracowana przez włoskiego naukowca Amadea Avogadrę (1776–1856) . (Korzystał on z hipotezy, że takie same objętości gazów pod stałym ciśnieniem i w stałej temperaturze zawierają takie same liczby cząsteczek, niezależnie od rodzaju gazu. Jak stwierdziliśmy wcześniej, hipoteza ta jest słuszna dla gazu doskonałego). Molem (ang. mole , w skrócie mol) nazywamy taką ilość danej substancji, która zawiera taką samą liczbę cząsteczek jak liczba atomów w dokładnie 12  g izotopu węgla 12 C. Liczba cząsteczek w jednym molu nazywana jest liczbą Avogadra (ang. Avogadro’s number ) N A , a obecnie wyznaczona jej wartość wynosi N A = 6,02 ⋅ 10 23  mol -1  . Możemy teraz napisać N = N A  n , gdzie n oznacza liczbę moli danej substancji. Liczba Avogadra określa relację między ilością substancji w gramach a liczbą protonów i neutronów w pewnym atomie lub cząsteczce (12 w atomie węgla 12 C), która w uogólnieniu określa jej masę. Wobec tego naturalne jest takie zdefiniowanie jednostki masy, aby masa danego atomu była w przybliżeniu równa jego liczbie protonów i neutronów. Taką jednostką, przyjętą do stosowania równolegle z jednostką układu SI, jest ujednolicona jednostka masy atomowej u \si{\atomicmassunit} (ang. unified atomic mass unit ), nazywana także daltonem . Właśnie atom węgla 12 C posiada masę dokładnie równą 12  u , co oznacza, że jego masa molowa M w gramach na mol jest liczbowo równa masie atomu węgla 12 C wyrażonej w u. Taka równoważność dotyczy każdej substancji. Mówiąc inaczej, N A służy nie tylko do zamiany liczby cząsteczek na mole, ale także do zamiany masy wyrażonej w u na gramy: 6,02 ⋅ 10 23  u = 1  g . Zobacz . Jak duży jest mol? Na poziomie makroskopowym liczba piłeczek pingpongowych równa liczbie Avogadra mogłaby pokryć Ziemię do wysokości ok. 40  km . Na ilustracji porównujemy tą wielkość z wysokością Mt. Everest liczoną względem poziomu morza ( 8848  m \SI{8848}{\metre} ). Wobec tego jeżeli m s oznacza masę próbki pewnej substancji, to m s = M  n (gdzie M jest masą molową tej substancji, a n liczbą jej moli; należy zwrócić uwagę na jednostki w tym wzorze – przyp. tłum.). Jeżeli natomiast m oznacza masę pojedynczej cząsteczki, to M = N A  m . Sprawdź, czy rozumiesz. Zalecana dzienna dawka witaminy B 3 (niacyny – C 6 NH 5 O 2 ) dla kobiet, które nie są w ciąży i nie karmią, wynosi 14  mg . Wyznacz liczbę cząsteczek niacyny w tej dawce. Najpierw musimy obliczyć masę molową (czyli masę jednego mola) niacyny. W tym celu mnożymy liczbę atomów każdego pierwiastka w cząsteczce przez jego masę molową i dodajemy wszystkie wyniki 6  moli węgla ⋅ 12  g ∕ mol + 5  moli wodoru ⋅ 1  g ∕ mol + 1  mol azotu ⋅ 24  g ∕ mol ⋅ 2  mole tlenu ⋅ 16  g ∕ mol \SI{6}{\molic}\cdot\SI{12}{\gram\per\mole}+\SI{5}{\molih}\cdot\SI{1}{\gram\per\mole}+\SI{1}{\moln}\cdot\SI{24}{\gram\per\mole}\cdot\SI{2}{\moleo}\cdot\SI{16}{\gram\per\mole} , otrzymując 123  g ∕ mol  . Następnie wyznaczamy liczbę moli niacyny w 14  mg , czyli n = 14  mg ∕ 123  g ∕ mol ⋅ 1  mg ∕ 1000  g = 1,14 ⋅ 10 -4  mol n = \SI{14}{\milli\gram} / (\SI{123}{\gram\per\mole}) \cdot \SI{1}{\milli\gram} / \SI{1000}{\gram} = \SI{1,14e-4}{\mole} . I wreszcie, używamy liczby Avogadra, aby obliczyć liczbę cząsteczek N = N A  n = 6,02 ⋅ 10 23  cząsteczek ∕ mol ⋅ 1,14 ⋅ 10 -4  g ∕ mol = 6,85 ⋅ 10 19  cząsteczek  . Sprawdź, czy rozumiesz. Gęstość powietrza w klasie ( p = 1  atm i t = 20  ° C ) wynosi 1,2  kg ∕ m 3 . Pod jakim ciśnieniem gęstość powietrza będzie wynosić 0,6  kg ∕ m 3 , jeżeli temperatura w klasie utrzymywana jest na stałym poziomie? Gęstość gazu można wyrazić jako iloczyn jego średniej masy cząsteczkowej oraz koncentracji jego cząsteczek N ∕ V . Z równania stanu gazu doskonałego, p  V = N  k B  T , widzimy, że N ∕ V = p ∕ k B  T . Wobec tego w stałej temperaturze, jeżeli gęstość i tym samym koncentracja cząsteczek maleją dwukrotnie, to ciśnienie gazu również musi zmaleć dwukrotnie, czyli p k = 0,5  atm . Wyrażenie równania stanu gazu doskonałego przy użyciu moli (liczności materii) Bardzo często spotyka się równanie stanu gazu doskonałego, w którym zamiast liczby cząsteczek N używa się liczby moli n w próbce. Zaczynamy od znanej postaci równania stanu gazu doskonałego p  V = N  k B  T  , a następnie mnożymy i dzielimy jego prawą stronę przez liczbę Avogadra N A . Daje to p  V = N N A  N A  k B  T  . Można zauważyć, że N ∕ N A jest równe liczbie moli n próbki substancji. Definiując uniwersalną stałą gazową (ang. universal gas constant ) R = N A  k B , otrzymujemy równanie stanu gazu doskonałego zawierające liczbę moli gazu (liczność materii). Równanie stanu gazu doskonałego (z użyciem liczby moli) Prawo gazu doskonałego z użyciem liczby moli n ma postać p  V = n  R  T  . W jednostkach układu SI R = N A  k B = 6,02 ⋅ 10 23  mol -1 ⋅ 1,38 ⋅ 10 -23  J ∕ K = 8,31  J ∕ mol  K  . Stałą gazową możemy podać też w jednostkach innych, niż podane wyżej R = 1,99  cal ∕ mol  K = 0,0821  l  atm ∕ mol  K  . Jednostki, w których podajemy wartość R należy dobierać do konkretnego problemu. Równanie stanu gazu doskonałego z użyciem koncentracji cząsteczek (dod. tłum.) Często również spotyka się równanie stanu gazu doskonałego, w którym zamiast liczby cząsteczek występuje ich koncentracja n V = N ∕ V . Dzieląc obustronnie przez objętość V , otrzymujemy p = n V  k B  T  . Gęstość powietrza w warunkach normalnych i w balonie latającym na gorące powietrze na gorące powietrze Obliczmy gęstość suchego powietrza w warunkach normalnych; balonie na gorące powietrze o temperaturze 120  ° C . Suche powietrze zawiera (molowo) w przybliżeniu 78% N 2 , 21% O 2 i 1% Ar. Strategia rozwiązania i rozwiązanie Mamy wyznaczyć gęstość, czyli masę przypadającą na metr sześcienny. Możemy zacząć od wyznaczenia masy molowej. Jeżeli mamy sto cząsteczek, z których 78 to cząsteczki azotu, 21 to cząsteczki tlenu i 1 to atom argonu, to średnia masa cząsteczki wynosi 78  m N 2 + 21  m O 2 + m Ar ∕ 100 lub jest sumą mas wszystkich składników pomnożonych przez odpowiednie współczynniki wagowe, tj: 0,78 \num{0,78} ; 0,21 \num{0,21} ; 0,01 \num{0,01} . To samo można zastosować do mas cząsteczkowych, co daje M = 0,78  M N 2 + 0,21  M O 2 + 0,01  M Ar = 29  g ∕ mol  . Teraz możemy wyznaczyć liczbę moli suchego powietrza przypadającą na metr sześcienny. Zastosujemy równanie stanu gazu doskonałego w postaci uwzględniającej liczbę moli p  V = n  R  T , gdzie p = 1  atm = 1,01 ⋅ 10 5  Pa , T = 293  K , V = 1  m 3 i R = 8,31  J ∕ mol  K . Wybrano taką właśnie postać uniwersalnej stałej gazowej, ponieważ wartości wszystkich danych są podane w jednostkach układu SI. Otrzymujemy n = p  V R  T = 1,01 ⋅ 10 5  Pa ⋅ 1  m 3 8,31  J ∕ mol  K ⋅ 293  K = 41,5  mol  . Zatem masa m s tego powietrza wynosi m s = M  n = 41,5  mol ⋅ 29  g ∕ mol = 1204  g = 1,204  kg  . Ostatecznie gęstość suchego powietrza w warunkach normalnych wynosi ρ = m s V = 1,204  kg 1  m 3 = 1,204  kg ∕ m 3  . Ciśnienie powietrza wewnątrz balonu też wynosi 1  atm , ponieważ spód balonu jest otwarty do atmosfery. Obliczenia są takie same, ale musimy wstawić wartość temperatury 120  ° C , czyli 393  K . Możemy powtórzyć obliczenia z punktu (a) lub zauważyć, że gęstość jest proporcjonalna do liczby moli, a ta z kolei jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury. Oznaczywszy indeksem 1 wartości dla suchego powietrza w warunkach normalnych, a indeksem 2 wartości dla gorącego powietrza, otrzymujemy ρ 2 = ρ 1  T 1 T 2 = 1,204  kg ∕ m 3 ⋅ 293  K 393  K = 0,898  kg ∕ m 3  . Znaczenie Stosując metodę podaną w podrozdziale Prawo Archimedesa i siła wyporu , możemy obliczyć, że wypadkowa siła działająca na objętość 2200  m 3 powietrza o temperaturze 120  ° C (znajdującą się w atmosferze o warunkach normalnych – przyp. tłum.) wynosi F wyporu − F g = ρ normalne  V  g − ρ gorące  V  g = 8,49 ⋅ 10 3  N , czyli wystarczy, żeby udźwignąć około 867  kg . Gęstość masy oraz gęstość molowa powietrza w warunkach normalnych, wyznaczone powyżej, są często używanymi wartościami. Korzystając z gęstości molowej, możemy łatwo wyznaczyć inną użyteczną wartość, czyli objętość molową w warunkach normalnych, która wynosi 22,4  l . Sprawdź, czy rozumiesz. Ciecze i ciała stałe posiadają gęstości w przybliżeniu 1000 razy większe od gęstości gazów. Wyjaśnij, jak z tego wynika, że odległości między cząsteczkami w gazach są w przybliżeniu 10 razy większe od rozmiarów tych cząsteczek. Gęstość ciała to jego masa podzielona przez jego objętość (albo masa jednostkowej objętości), natomiast objętość ciała jest proporcjonalna do jego charakterystycznego rozmiaru (w przypadku kuli – jej promienia) w trzeciej potędze. Tak więc, jeżeli odległość między cząsteczkami wzrasta o czynnik 10, to objętość przez nie zajmowana rośnie o czynnik 1000, a tym samym gęstość maleje o czynnik 1000. Ponieważ przyjęliśmy, że w cieczach i ciałach stałych cząsteczki stykają się ze sobą, to odległość między ich środkami jest porównywalna z ich charakterystycznym rozmiarem, natomiast w gazach odległość ta wzrasta o czynnik rzędu 10. Równanie stanu gazu doskonałego jest blisko powiązane z pojęciem energii: wypadkową jednostką wielkości po obu stronach są dżule. Prawa strona równania posiada postać N  k B  T . To wyrażenie w uogólnieniu określa całkowitą translacyjną energię kinetyczną (która, gdy omawiamy gazy, odpowiada energii przemieszczania/translacji cząsteczek, bez uwzględniania ich obrotów oraz drgań atomów wchodzących w ich skład) N cząsteczek w temperaturze bezwzględnej T , jak to pokażemy w następnym podrozdziale. Lewa strona równania stanu gazu doskonałego to iloczyn p V . Jak zauważyliśmy w przykładzie o liczbie cząsteczek w gazie doskonałym, iloczyn ciśnienia i objętości ma również wymiar energii. Energia gazu może ulec zmianie, gdy gaz wykonuje pracę podczas zwiększania swojej objętości, co analizowaliśmy w poprzednim rozdziale, a wielkość tej pracy jest powiązana z ciśnieniem gazu. Tego typu procesy występują w silnikach benzynowych, parowych i turbinach, jak to zobaczymy w następnym rozdziale. Strategia rozwiązywania zadań: równanie stanu gazu doskonałego Przeanalizuj sytuację, aby stwierdzić, czy stosowanie pojęcia gazu doskonałego jest uzasadnione. Większość gazów jest bliska w swoim fizycznym zachowaniu gazowi doskonałemu z wyjątkiem sytuacji, gdy znajdują się blisko punktu wrzenia lub gdy ich ciśnienie jest znacznie wyższe od ciśnienia atmosferycznego. Zrób listę wielkości, które są dane lub mogą być wyznaczone na podstawie treści zadania (rozpoznaj/zidentyfikuj znane wielkości – dane). Określ, co dokładnie należy wyznaczyć w zadaniu (rozpoznaj/zidentyfikuj nieznane wielkości – szukane). Wypisanie tej listy może być użyteczne. Określ, czy znana jest liczba cząsteczek gazu, czy też liczba jego moli, i zadecyduj, czy użyć prawa gazu doskonałego w postaci p  V = N  k B  T , gdzie N jest liczbą cząsteczek, czy też w postaci p  V = n  R  T , gdzie n oznacza liczbę moli. Wyraź znane wielkości w odpowiednich jednostkach układu SI (temperatura w kelwinach, ciśnienie w paskalach, objętość w metrach sześciennych, liczność substancji w molach lub w liczbie cząsteczek). Jeżeli wymiary wielkości danych są zgodne z określoną z pozaukładowych wartości uniwersalnej stałej gazowej R , to możesz pozostać przy tych jednostkach. Rozwiąż równanie gazu doskonałego pod kątem wielkości do wyznaczenia (wielkość nieznana – szukana). Może być konieczne wyznaczenie stosunku stanu końcowego do stanu początkowego, aby wyeliminować nieznane wielkości, które pozostają ustalone. Podstaw znane wartości wraz z jednostkami do odpowiedniego równania i oblicz wartość rozwiązania łącznie z jednostką. Przeanalizuj odpowiedź, aby sprawdzić, czy jest ona rozsądna: czy ma to sens? Równanie stanu gazu van der Waalsa Musimy ponownie przypomnieć, że równanie stanu gazu doskonałego jest równaniem przybliżonym. Jak można je ulepszyć? Takie ulepszenia zawiera równanie van der Waalsa (ang. van der Waals equation of state ), nazwane tak dla uczczenia holenderskiego fizyka Johannesa Diderika van der Waalsa (1837–1923) , gdzie uwzględnia się dwa czynniki. Po pierwsze, wzięte są pod uwagę siły przyciągania międzycząsteczkowego, które narastają wraz ze wzrostem gęstości i zmniejszają ciśnienie gazu – do ciśnienia dodaje się składnik proporcjonalny do kwadratu gęstości molowej pomnożony przez stałą dodatnią a . Po drugie, uwzględnia się objętość zajmowaną przez cząsteczki, którą można uznać za stałą – od objętości zajmowanej przez gaz odejmuje się objętość mola cząsteczek, oznaczoną przez stałą b , pomnożoną przez liczbę moli n , co daje rzeczywistą objętość dostępną dla poruszających się cząsteczek gazu. Stałe a i b wyznacza się doświadczalnie dla każdego rodzaju gazu. Postać równania stanu van der Waalsa jest następująca p + a  n V 2  V − n  b = n  R  T  . W granicy małych gęstości gazu (małe n ) składniki zawierające poprawki a i b stają się pomijalne i otrzymujemy równanie stanu gazu doskonałego, jak być powinno przy niskich gęstościach. Z drugiej strony, jeżeli V − n  b jest małe, co oznacza, że cząsteczki gazu znajdują się bardzo blisko siebie, to aby uzyskać tę samą wartość n R T , ciśnienie powinno być wyższe niż spodziewane w przypadku silnie sprężonych gazów. Jednakże wzrost ciśnienia jest niższy, niż to sugeruje powyższy argument, ponieważ przy dużych gęstościach składnik n ∕ V 2 staje się istotny. Dzięki temu, że jest on dodatni, takie same wartości n R T zapewnia niższy wzrost ciśnienia. Równanie van der Waalsa może być stosowane dla większości gazów i w szerokim zakresie warunków. Jak zobaczymy w następnym podrozdziale, przewiduje ono nawet przejście gaz–ciecz. Wykresy pV Ogólnie przyjmuje się, że można analizować własności substancji za pomocą wykresów (diagramów) p V (ang. pV diagram ), które są graficznym przedstawieniem zależności ciśnienia w danej substancji od jej objętości. Jeżeli substancje zachowują się jak gaz doskonały, to równanie stanu gazu doskonałego p  V = n  R  T opisuje związek między jego ciśnieniem i objętością. Na diagramach p V zazwyczaj wykreśla się tzw. izotermy, które są krzywymi przedstawiającymi p jako funkcję V przy ustalonych wartościach liczby cząsteczek i temperatury. Dla gazu doskonałego mamy p  V = const , co oznacza, że ciśnienie gazu wzrasta, gdy maleje jego objętość. Zależność tę przedstawia hiperbola. Jeżeli rozpatrzymy równanie stanu gazu typu van der Waalsa, to izotermy stają się jeszcze bardziej interesujące, jak to pokazuje . Mianowicie w wysokich temperaturach krzywe te są w przybliżeniu hiperbolami i reprezentują właściwości gazu idealnego w tychże temperaturach. Gdy jednak obniżymy temperaturę, to izotermy coraz mniej przypominają hiperbole – jest tak, ponieważ gaz nie zachowuje się jak gaz idealny. Izoterma odpowiadająca tzw. temperaturze krytycznej (ang. critical temperature ) T c posiada jeden charakterystyczny punkt, w którym nachylenie stycznej do izotermy jest zerowe (w tym przypadku jest to matematycznie rozumiany punkt przegięcia – przyp. tłum.). Izotermy odpowiadające niższym temperaturom nie maleją monotonicznie; każda z krzywych posiada garb, czyli w pewnym zakresie wartości objętości jej wzrost wywołuje wzrost ciśnienia. Wykresy p V dla pewnego gazu van der Waalsa w różnych temperaturach. Czerwone krzywe zostały obliczone dla temperatur wyższych od temperatury krytycznej, natomiast krzywe niebieskie dla temperatur niższych od niej. Na krzywych niebieskich występują pewne wahnięcia (zagięcia), w zakresie których objętość ( V ) wzrasta wraz ze wzrostem ciśnienia ( p ). Jest to sytuacja nierealna i powinna być skorygowana tak, jak to pokazuje . Źródło: „Eman”/Wikimedia Commons Takie zachowanie się gazu wydaje się całkowicie niefizyczne. Jednakże przebieg tych krzywych staje się zrozumiały, jeżeli weźmiemy pod uwagę przejście fazowe (ang. phase transition ) gaz–ciecz. Część krzywej z minimum lokalnym zastępuje się linią poziomą, na której ciśnienie pozostaje stałe przy wzroście objętości (przy stałej temperaturze). Takie zachowanie się substancji odpowiada jej wrzeniu lub skraplaniu. Jeżeli substancja osiąga temperaturę wrzenia przy odpowiednim ciśnieniu, to może zwiększyć swoją objętość, gdy część cieczy zamienia się w gaz, lub zmniejszyć objętość, gdy część gazu zamienia się w ciecz – i to bez zmiany temperatury lub ciśnienia układu gaz–ciecz. Na pokazano izotermy bardziej realistyczne niż te, które bazują na równaniu van der Waalsa. Stroma część tych krzywych, na lewo od obszaru przejścia fazowego, odpowiada fazie ciekłej, która jest mało ściśliwa – nawet niewielkie zmniejszenie objętości wymaga znacznego wzrostu ciśnienia. Płaska część krzywej odpowiada przejściu fazowemu gaz–ciecz; zaznaczony niebieski obszar odpowiada takim kombinacjom ciśnienia i objętości, przy których możliwe jest współistnienie gazu i cieczy. Wykresy p V . (a) Każda krzywa (izoterma) przedstawia zależność ciśnienia od objętości przy ustalonej temperaturze; wyższym temperaturom odpowiadają wyżej położone krzywe. Niżej położone krzywe nie są hiperbolami, ponieważ gaz przestaje być gazem doskonałym. (b) Powiększona część wykresu p V w obszarze niskich temperatur, gdzie występuje przejście fazowe gaz–ciecz. Pojęcie „pary” odpowiada fazie gazowej, która istnieje w temperaturze poniżej temperatury wrzenia. Izotermy odpowiadające temperaturom wyższym od T c nie przechodzą przez obszar przejścia fazowego ciecz-gaz. Wobec tego ciecze nie mogą istnieć powyżej temperatury krytycznej (opisanej w rozdziale Temperatura i ciepło ). Przy odpowiednio niskim ciśnieniu i powyżej temperatury krytycznej gęstość gazu jest zbliżona do gęstości cieczy, jednakże gaz nie ulega skropleniu. Przy wyższych ciśnieniach następuje przejście w stan stały. Dwutlenek węgla [tlenek węgla-(IV)], na przykład, nie ma fazy ciekłej w temperaturach powyżej 31  ° C . Ciśnieniem krytycznym nazywamy maksymalne ciśnienie, przy którym jeszcze może istnieć dana substancja w fazie ciekłej. Punkt na wykresie p  V odpowiadający temperaturze krytycznej i ciśnieniu krytycznemu nazywamy punktem krytycznym (o którym uczyliśmy się w rozdziale Temperatura i ciepło ). Przykładowe wartości temperatury krytycznej i ciśnienia krytycznego podano w . Krytyczne temperatury i ciśnienia dla różnych substancji. Substancja Temperatura krytyczna Ciśnienie krytyczne K ° C Pa atm woda (H 2 O) 647,4 374,3 22,12 ⋅ 10 6 219 dwutlenek siarki (SO 2 ) 430,7 157,6 7,88 ⋅ 10 6 78 amoniak (NH 3 ) 405,5 132,4 11,28 ⋅ 10 6 111,7 dwutlenek węgla (CO 2 ) 304,2 31,1 7,39 ⋅ 10 6 73,2 tlen (O 2 ) 154,8 − 118,4 5,08 ⋅ 10 6 50,3 azot (N 2 ) 126,2 − 146,9 3,39 ⋅ 10 6 33,6 wodór (H 2 ) 33,3 − 239,9 1,3 ⋅ 10 6 12,9 hel (He) 5,3 − 267,9 0,229 ⋅ 10 6 2,27 Podsumowanie Równanie stanu gazu doskonałego określa związek pomiędzy ciśnieniem gazu, jego objętością, liczbą cząsteczek i temperaturą. Mol dowolnej substancji zawiera liczbę cząsteczek równą liczbie atomów w dwunastogramowej próbce węgla-12 ( 12 C). Liczba cząsteczek w molu jest nazywana liczbą Avogadra N A N A = 6,02 ⋅ 10 23  mol -1  . Jeden mol danej substancji ma masę, która wyrażona w gramach jest numerycznie (liczbowo) równa jej masie wyrażonej w ujednoliconych jednostkach masy – wartości te dla pierwiastków można znaleźć w tablicy układu okresowego pierwiastków Mendelejewa. Równanie stanu gazu doskonałego można również zapisać, używając liczby moli gazu p  V = n  R  T  , gdzie n oznacza liczbę moli, a R jest uniwersalną stałą gazową R = 8,31  J ∕ mol  K  . Używanie równania stanu gazu doskonałego jest poprawne, gdy temperatura danego gazu jest istotnie wyższa od jego temperatury wrzenia. Równanie stanu gazu van der Waalsa może być stosowane, gdy temperatury gazu są bliższe jego temperaturze wrzenia, niż to ma miejsce dla równania stanu gazu doskonałego. Jeżeli temperatura i ciśnienie danej substancji są wyższe od jej temperatury krytycznej i jej ciśnienia krytycznego, to substancja ta w tych warunkach nie może istnieć w stanie ciekłym i mówimy, że znajduje się w stanie nadkrytycznym. Pytania Dwie cząsteczki H 2 mogą przereagować z jedną cząsteczką O 2 i wytworzyć dwie cząsteczki wody H 2 O. Ile moli cząsteczek wodoru potrzeba, aby całkowicie przereagował z jednym molem tlenu? 2 mole, gdyż cząsteczka wody zawiera dwa razy więcej atomów wodoru niż atomów tlenu. W jakich okolicznościach należy spodziewać się, że własności gazu będą istotnie różne od własności przewidywanych w modelu gazu doskonałego? Termometr gazowy o stałej objętości zawiera określoną ilość gazu. Która z własności gazu jest wykorzystywana jako wskaźnik temperatury? Ciśnienie. Napompuj balonik w temperaturze pokojowej. Następnie wstaw go na noc do lodówki. Co stanie się z balonikiem i dlaczego? W poprzednim rozdziale wyjaśniono zjawisko konwekcji swobodnej jako efekt działania sił wyporu na rozgrzaną ciecz. Wyjaśnij ruch w górę powietrza w płomieniu, wykorzystując równanie stanu gazu doskonałego. Płomień zawiera gorący gaz (ogrzany w procesie spalania). Ciśnienie gazu w płomieniu jest ciągle ciśnieniem atmosferycznym w stanie równowagi mechanicznej z otaczającym powietrzem (lub w przybliżeniu). Gęstość gorącego gazu jest proporcjonalna do koncentracji jego cząsteczek N ∕ V (niezależnie od różnic w składach gazu w płomieniu i otaczającego powietrza). Z równania stanu gazu doskonałego wynika, że N ∕ V = p ∕ k B  T , co oznacza, że gaz w płomieniu posiadający wyższą temperaturę ma mniejszą koncentrację cząsteczek niż otaczające go powietrze. Wobec tego gorący gaz w płomieniu ma mniejszą gęstość niż otaczające go powietrze i jest unoszony do góry przez siłę wyporu (zmiana składu gazu w płomieniu przy tak dużej różnicy temperatur nie ma większego znaczenia). Zadania Nadciśnienie w oponach samochodu wyprodukowanego w Gliwicach wynosi 2,5 ⋅ 10 5  N ∕ m 2 w temperaturze 35  ° C . Samochód ten jest eksportowany koleją na północ Norwegii. Jakie będzie nadciśnienie w tych oponach, jeżeli nocą temperatura na miejscu spadnie do − 40  ° C ? Załóż, że ilość powietrza w oponach się nie zmienia. Załóż, że ciśnienie gazu w rurze lampy jarzeniowej jest równe ciśnieniu atmosferycznemu, gdy temperatura lampy wynosi 20  ° C . Wyznacz nadciśnienie panujące w rurze ciepłej lampy, zakładając, że jej średnia temperatura wynosi 60  ° C (w przybliżeniu), i pomijając zmiany jej objętości spowodowane rozszerzalnością cieplną oraz wycieki gazu; Rzeczywiste ciśnienie gazu w rurze lampy jarzeniowej powinno być mniejsze od obliczonego w części (a) ze względu na rozprężanie (rozciąganie) szkła lampy. Czy efekt ten jest znaczący? a. 0,137  atm ; b. p g = 1  atm ⋅ T 2  V 1 ∕ T 1  V 2 . Z powodu rozszerzalności cieplnej lampy mamy V 1 ∕ V 2 = 0,9973 . Pomnożenie przez ten czynnik nie daje żadnej istotnej różnicy. Ludzie kupujący żywność w szczelnych torebkach często zauważają, że torebki te puchną, gdyż powietrze wewnątrz nich się rozszerza. Torebka precli została zapakowana pod ciśnieniem 1  atm i w temperaturze 22  ° C . Gdy została otwarta na letnim pikniku na Giewoncie w temperaturze 32  ° C , objętość powietrza w torebce była 1,38 razy większa od objętości oryginalnej. Jakie było ciśnienie powietrza? Ile moli zawartych jest w 0,05  g azotu – N 2 ( M = 28  g ∕ mol ); 10  g dwutlenku węgla – CO 2 ( M = 44  g ∕ mol )? Ile cząsteczek zawartych jest w każdej próbce gazu? a. 1,79 ⋅ 10 -3  mol ; b. 0,227  mol ; c. 1,08 ⋅ 10 21 cząsteczek azotu, 1,37 ⋅ 10 23 cząsteczek dwutlenku węgla. Sześcienny zbiornik o objętości 2  l zawiera 0,5  mol gazowego azotu o temperaturze 25  ° C . Jaką wartość ma siła, z jaką azot działa na jedną ze ścian zbiornika? Porównaj tę siłę z ciężarem azotu. Oblicz liczbę moli powietrza w płucach przeciętnego człowieka o objętości 2  l . Przyjmij, że powietrze ma temperaturę 37  ° C (temperatura ciała). Zauważ, że całkowita objętość płuc jest kilkakrotnie większa od objętości typowego wdechu podanej w . 7,84 ⋅ 10 -2  mol . Pewien pasażer samolotu startującego z lotniska położonego na poziomie morza posiadał w swoim żołądku 100  cm 3 powietrza. Jaka będzie objętość tego powietrza na wysokości podróżnej, jeżeli ciśnienie wewnątrz kabiny pasażerskiej spadło do 7,5 ⋅ 10 5  N ∕ m 2 ? Pewna firma dostarcza w butlach o objętości 43,8  l hel o nadciśnieniu 1,72 ⋅ 10 7  N ∕ m 2 . Ile balonów o objętości 4  l można napełnić taką ilością helu? Przyjmij, że ciśnienie helu w balonach wynosi 1,01 ⋅ 10 5  N ∕ m 2 oraz że temperatura helu w butli i w balonach wynosi 25  ° C . 1,87 ⋅ 10 3 balonów. Zgodnie z tym źródłem , atmosfera Wenus składa się objętościowo z 96,5% CO 2 oraz z 3,5% N 2 . Jaka jest gęstość atmosfery Wenus na jej powierzchni, gdzie panuje temperatura ok. 750  K oraz ciśnienie ok. 90  atm ? Za pomocą najlepszych (i kosztownych) systemów próżniowych można uzyskać najniższe ciśnienia rzędu 10 -7  N ∕ m 2 w temperaturze 20  ° C . Ile cząsteczek gazu znajduje się w 1  cm 3 w takich warunkach? 2,47 ⋅ 10 7 cząstek. Koncentracja cząsteczek gazu N ∕ V w pewnym miejscu przestrzeni kosmicznej w pobliżu naszej planety wynosi 10 11  m -3 , a ciśnienie jest równe 2,75 ⋅ 10 -10  Pa . Jaka temperatura panuje w tym miejscu? Opona rowerowa zawiera 2  l gazu o temperaturze 18  ° C i pod ciśnieniem bezwzględnym 7 ⋅ 10 5  N ∕ m 2 . Jakie będzie ciśnienie w tej oponie, jeżeli usuniemy z niej taką ilość powietrza, która pod ciśnieniem atmosferycznym zajmuje objętość 100  cm 3 ? Załóż, że temperatura opony i jej objętość się nie zmieniają. 6,95 ⋅ 10 5  Pa . W popularnym doświadczeniu butelkę po ogrzaniu zatyka się ugotowanym na twardo jajkiem, które jest nieco większe niż szyjka butelki. Kiedy butelka się ochładza, różnica ciśnień między jej wnętrzem i zewnętrzem wpycha jajko do środka butelki. Załóżmy, że butelka ma objętość 0,5  l , a temperatura w jej wnętrzu została podniesiona do 80  ° C przy stałym ciśnieniu 1  atm , gdyż butelka jest otwarta. Ile moli powietrza znajduje się w butelce? Zamykamy butelkę za pomocą jajka. Jakie będzie ciśnienie nadmiarowe wewnątrz butelki tuż przed wepchnięciem jajka do jej środka, jeżeli powietrze wewnątrz ochłodziło się do temperatury pokojowej 25  ° C ? Wysokociśnieniowa butla zawiera 50  l toksycznego gazu pod ciśnieniem 1,4 ⋅ 10 7  N ∕ m 2 i o temperaturze 25  ° C . Butla została ochłodzona do temperatury suchego lodu ( − 78,5  ° C ), aby zredukować ciśnienie i wielkość wycieku, co umożliwi jej bezpieczną naprawę. Jakie jest końcowe ciśnienie w butli po jej ochłodzeniu? Załóż, że wyciek gazu jest pomijalny i gaz nie ulega skropleniu; Jakie będzie ciśnienie końcowe, jeżeli jedna dziesiąta masy gazu wycieknie z butli podczas jej schładzania? Do jakiej temperatury należałoby schłodzić butlę, aby zredukować ciśnienie gazu do 1  atm ? Załóż, że gaz w butli się nie skrapla oraz nie ma wycieku gazu podczas schładzania; Czy schładzanie butli opisane w podpunkcie (c) można uznać za praktyczne rozwiązanie? a. 9,14 ⋅ 10 6  Pa ; b. 8,22 ⋅ 10 6  Pa ; c. 2,15  K ; d. Nie. Oblicz liczbę moli gazu o objętości 2  l , temperaturze 35  ° C i pod ciśnieniem 7,41 ⋅ 10 7  Pa . Oblicz grubość warstwy piłeczek pingpongowych pokrywających Ziemię, jeżeli ich liczba jest równa liczbie Avogadra. Każda piłeczka ma średnicę 3,75  cm . Załóż, że wolna przestrzeń między piłeczkami daje dodatkowy wkład w wysokości 25  % \SI{25}{\percent} ich objętości, a piłeczki nie są zgniatane pod własnym ciężarem. 40,7  km . Ile wynosi nadciśnienie w oponie samochodowej o objętości 30  l , zawierającej 3,6  mol gazu o temperaturze 25  ° C ? Jakie będzie nadciśnienie w tej oponie, jeżeli wpompujemy do niej powietrze o temperaturze 25  ° C oryginalnie zajmujące objętość 1  l pod ciśnieniem atmosferycznym? Temperatura i objętość opony się nie zmieniają. diagram pV (ang. pV diagram ) wykres zależności ciśnienia od objętości danej substancji, w szczególności gazu gaz doskonały (ang. ideal gas ) gaz rzeczywisty w granicy niskich gęstości i wysokich temperatur liczba Avogadra (ang. Avogadro’s number ) liczba cząsteczek w jednym molu substancji; N A = 6,02 ⋅ 10 23  cząstek ∕ mol mol (ang. mole ) miara liczności substancji; ilość substancji o masie równej jej masie cząsteczkowej wyrażonej w gramach równanie stanu gazu doskonałego (ang. ideal gas law ) prawo fizyczne określające związek między ciśnieniem, objętością, temperaturą i liczbą moli gazu w stanie dalekim od skraplania równanie stanu gazu van der Waalsa (ang. van der Waals equation of state ) równanie, zazwyczaj przybliżone, opisujące związek między ciśnieniem, objętością, temperaturą i liczbą cząsteczek (lub liczbą moli) gazu rzeczywistego stała Boltzmanna (ang. Boltzmann constant ) stała fizyczna, która określa związek energii z temperaturą, występuje w równaniu stanu gazu doskonałego; k B = 1,38 ⋅ 10 − 23  J ∕ K stan nadkrytyczny (ang. supercritical ) takie warunki dla płynu (wysoka temperatura i wysokie ciśnienie), w których nie może istnieć jego faza ciekła temperatura krytyczna (ang. critical temperature ) punkt na izotermie, w którym jej nachylenie wynosi zero (punkt przegięcia o zerowym nachyleniu – przyp. tłum.) uniwersalna stała gazowa (ang. universal gas constant ) stała fizyczna występująca w równaniu stanu gazu doskonałego z uwzględnieniem liczby moli; R = N A  k B = 8,31  J ∕ mol  K

Science


Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa cząsteczek Przeanalizowaliśmy pojęcia ciśnienia i temperatury, bazując na ich definicjach makroskopowych. Ciśnienie to siła podzielona przez powierzchnię, do której została przyłożon. Temperaturę mierzy się za pomocą termometru. Możemy lepiej zrozumieć te pojęcia dzięki kinetycznej teorii gazów (ang. kinetic theory of gases ), która wiąże makroskopowe własności gazów z ruchem cząsteczek, z jakich gazy są zbudowane. Na początek przyjmiemy dwa założenia o cząsteczkach gazu doskonałego: Mamy do czynienia z ogromną liczbą cząsteczek N – wszystkie cząsteczki są identyczne i każda posiada masę m . Cząsteczki podlegają prawom dynamiki Newtona i znajdują się w nieustannym ruchu, który jest przypadkowy i izotropowy, czyli nie zależy od kierunku. Innymi słowy, ruch cząsteczek jest równie prawdopodobny w każdym z kierunków. Aby wyprowadzić równanie stanu gazu doskonałego i znaleźć związek między mikroskopowymi wielkościami, takimi jak energia typowej cząsteczki, a wielkościami makroskopowymi, takimi jak temperatura, przeanalizujemy próbkę gazu doskonałego znajdującą się w zbiorniku o sztywnych ściankach, co do której przyjmiemy dwa kolejne założenia: Cząsteczki są znacznie mniejsze od średniej odległości między nimi, skąd wynika, że zajmowana przez nie objętość jest znacznie mniejsza od objętości zbiornika (która wynosi V ). Innymi słowy, zakładamy, że stała van der Waalsa b , czyli objętość jednego mola samych cząsteczek gazu, jest pomijalna w porównaniu z objętością jednego mola gazu znajdującego się w całym w zbiorniku. Cząsteczki doznają idealnie sprężystych zderzeń ze ściankami zbiornika i między sobą. Pozostałe siły działające na cząsteczki, włączając grawitację i siły przyciągania opisywane przez stałą van der Waalsa a , są pomijalne (założenie to jest niezbędne, aby było spełnione założenie o izotropowości ruchu cząsteczek). Do wyprowadzenia równania stanu gazu doskonałego, występowanie zderzeń między cząsteczkami nie jest niezbędne. Mimo zderzeń pomiędzy cząsteczkami, poruszającymi się przypadkowo, ich rozkład prędkości ciągle pozostaje przypadkowy. Ponadto jeżeli początkowy rozkład prędkości cząsteczek nie jest przypadkowy ani izotropowy, to zderzenia międzycząsteczkowe są tym czynnikiem, który taki rozkład przywraca. Musimy przyjąć kolejne założenia, które ułatwią obliczenia, ale nie wpłyną na końcowy wynik. Po pierwsze – założymy, że zbiornik jest prostopadłościanem. Po drugie – zaczniemy od rozpatrzenia gazu monoatomowego, którego cząsteczki zawierają pojedyncze atomy, jak hel. Następnie założymy, że atomy posiadają tylko energię kinetyczną ruchu postępowego, czyli, przykładowo, nie posiadają ani energii ruchów obrotowych, ani ruchów drgających. (Później omówimy zasadność tego założenia dla rzeczywistych gazów monoatomowych i uwolnimy się od niego, aby rozpatrzeć gazy dwuatomowe i wieloatomowe). Na pokazano zderzenie cząsteczki gazu ze ścianą zbiornika, w wyniku czego cząsteczka wywiera siłę na tę ścianę (zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona). Takie zderzenia są źródłem ciśnienia gazu. Gdy liczba cząsteczek gazu wzrasta, to liczba takich zderzeń, a w konsekwencji i ciśnienie, także wzrasta. Podobnie gdy średnia prędkość cząsteczek rośnie, to rośnie również ciśnienie. Gdy cząsteczki zderzają się ze sztywną ścianą, to składowa ich pędu prostopadła do ściany zmienia zwrot na przeciwny. Pewna siła jest więc wywierana na ścianę, tworząc ciśnienie. (Uwaga: ściana narysowana jest w perspektywie – przyp. red.) Przypadkowość ruchu cząsteczek gazu w zbiorniku powoduje, że liczba zderzeń cząsteczek z określonym fragmentem ściany w danym czasie fluktuuje. Jednakże, ponieważ ogromna liczba cząsteczek gazu zderza się ze ścianką zbiornika w krótkim czasie, występujące fluktuacje są bardzo drobne, stanowią zazwyczaj niemierzalny ułamek wartości średniej tej liczby zderzeń. Możemy porównać tę sytuację do działania kasyna, gdzie zakłady zawierane są przypadkowo i kasyno doznaje fluktuacji przychodów w ciągu minut lub godzin. Jednakże w długich okresach czasu, rzędu roku, zyski kasyna są bardzo bliskie wartościom średnim wynikającym z szans na wygraną. Zbiornik gazu zawiera nieporównywalnie więcej cząsteczek niż liczba graczy odwiedzających kasyno w ciągu roku i cząsteczki gazu w ciągu sekundy zderzają się nieporównywalnie częściej niż ci gracze zawierają swoje zakłady. Obliczenie średniej siły wywieranej przez cząsteczki na ścianki zbiornika prowadzi do równania stanu gazu doskonałego oraz do związku między temperaturą i energią kinetyczną cząsteczek. (Tak naprawdę należy przeprowadzić dwa uśrednienia: jedno po czasie, aby otrzymać średnią siłę wywieraną przez jedną cząsteczkę o danej prędkości, a następnie kolejne uśrednienie po cząsteczkach o różnych prędkościach, aby uzyskać średnią siłę wywieraną przez wszystkie cząstki). To podejście zostało zastosowane przez Daniela Bernoulliego (1700–1782) , który znany jest w fizyce przede wszystkim ze swoich prac nad przepływami płynów (hydrodynamiką). Niezwykłe, że Bernoulli wykonał tę pracę przed Daltonem i przedstawił pogląd, że materia zbudowana jest z atomów. pokazuje prostopadłościenny zbiornik wypełniony gazem oraz powiększony obraz zderzenia sprężystego cząsteczki gazu ze ścianą zbiornika z rozkładem wektora prędkości cząsteczki na składowe. Założyliśmy, że cząsteczka jest mała w porównaniu z parametrem separacji cząsteczek (średnią odległością między cząsteczkami) oraz, że jej oddziaływanie z innymi cząsteczkami można zignorować. Równanie stanu gazu doskonałego w tej postaci jest sprawdzalne eksperymentalnie. Ponieważ założyliśmy także, że ścianki zbiornika są sztywne i że cząsteczki są punktami materialnymi, to ich zderzenia ze ściankami są sprężyste (nie istnieją drogi ucieczki energii kinetycznej cząsteczki). W takim razie energia kinetyczna cząsteczki pozostaje stała i, konsekwentnie, wartości jej prędkości i pędu też pozostają stałe. To założenie nie zawsze jest spełnione, ale wyniki tego modelu można także otrzymać przy założeniu, że cząsteczki wymieniają energię i pęd ze ścianami zbiornika. Gaz w prostopadłościennym zbiorniku wywiera na jego ścianki ciśnienie (skierowane na zewnątrz). Cząsteczka zderzająca się ze sztywną ścianką zmienia zwrot składowej x wektora prędkości i wektora pędu. Kierunek ten jest prostopadły do ścianki. Składowe wektorów prędkości i pędu równoległe do osi y i z nie zmieniają się, co oznacza, że nie występują siły równoległe do ścianki. Jeżeli prędkość cząsteczki zmienia się w kierunku osi x , to jej pęd zmienia się od − m  v x do + m  v x . Wobec tego zmiana pędu cząsteczki wynosi Δ m  v = m  v x − − m  v x = 2  m  v x . Zgodnie z drugą zasadą dynamiki sformułowanej przy użyciu pędu w rozdziale Pęd i zderzenia , siła wywierana na i -tą cząsteczkę, gdzie i numeruje cząsteczki od 1 do N , wynosi F i = Δ p i Δ t = 2  m  v x i Δ t  , gdzie p wyjątkowo oznacza pęd cząsteczki, a nie ciśnienie gazu. Siła ta pojawia się tylko w czasie kontaktu cząsteczki ze ścianką zbiornika – w pozostałych chwilach czasu cząsteczki nie oddziałują ze ściankami ( Δ t w powyższym wzorze oznacza czas trwania zderzenia cząsteczki ze ścianką – przyp. tłum.). W czasie krótkiej chwili zderzenia siła oddziaływania między cząsteczką i ścianką jest relatywnie duża, ale to nie jest ta siła, której poszukujemy. My poszukujemy średniej siły oddziaływania cząsteczki ze ścianką zbiornika i aby ją wyznaczyć, musimy przyjąć, że Δ t jest średnim czasem między kolejnymi uderzeniami w tę ściankę. Innymi słowy, jest to przedział czasu, w którym spodziewamy się zaobserwować jedno uderzenie cząsteczki w tę ściankę zbiornika. Wówczas Δ t powinno być czasem, jakiego potrzebuje cząsteczka, aby dwukrotnie (tam i z powrotem) przebyć odległość między przeciwległymi ściankami zbiornika wzdłuż osi x . Oznaczmy tę odległość przez l . Ponieważ cząsteczka porusza się wzdłuż tej osi z prędkością v x , to Δ t = 2  l ∕ v x , co daje F i = 2  m  v x i 2  l ∕ v x i = m  v x i 2 l  . Jest to siła spowodowana uderzeniem jednej cząsteczki gazu. Aby wyznaczyć całkowitą siłę F wywieraną na ściankę, musimy zsumować wkłady pochodzące od wszystkich cząsteczek N F = ∑ i = 1 N F i = ∑ i = 1 N m  v x i 2 l = m l  ∑ i = 1 N v x i 2  . Wyrażenie to możemy przekształcić, korzystając z pojęcia wartości średniej, którą oznaczymy za pomocą kreski (belki) nad daną wielkością F = N  m l ⋅ 1 N  ∑ i = 1 N v x i 2 = N  m  v x 2 ‾ l  . Korzystniejsze byłoby wyrażenie zawierające wartość całkowitej prędkości cząsteczki v , a nie tylko jednej jej składowej. Zauważmy, że kwadrat całkowitej prędkości jest sumą kwadratów jej składowych, czyli v 2 ‾ = v x 2 ‾ + v y 2 ‾ + v z 2 ‾  . Na podstawie założenia o izotropowości rozkładów prędkości cząsteczek gazu trzy średnie po prawej stronie tej równości są sobie równe, a więc v 2 ‾ = 3  v x 2 ‾  . Podstawiwszy v x 2 ¯ \bar{v_x^2} do wyrażenia na siłę, otrzymujemy F = N  m  v 2 ‾ 3  l  . Ciśnienie wyraża się przez F ∕ S , gdzie S jest powierzchnią ścianki zbiornika p = F S = N  m  v 2 ‾ 3  S  l = N  m  v 2 ‾ 3  V  , gdzie V = S  l jest objętością zbiornika gazu. Otrzymujemy w ten sposób ważny wzór p  V = 1 3  N  m  v 2 ‾  . Porównując to równanie z równaniem p  V = N  k B  T , otrzymujemy 1 3  N  m  v 2 ‾ = N  k B  T  . Uprościwszy to równanie przez N i pomnożywszy przez 3 ∕ 2 , otrzymujemy wyrażenie na średnią energię kinetyczną cząsteczki gazu. Średnia energia kinetyczna cząsteczki gazu Średnia energia kinetyczna cząsteczki gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej gazu E ‾ k = 1 2  m  v 2 ‾ = 3 2  k B  T  . Równanie E ‾ k = 3 ∕ 2 ⋅ k B  T określa średnią energię kinetyczną cząsteczki gazu. Warto zauważyć, że energia ta zależy wyłącznie od temperatury gazu, a zwłaszcza nie zależy od masy cząsteczkowej ani też od ciśnienia. Przykładowo, jeżeli próbki helu i ksenonu, gazów o bardzo różnych masach cząsteczkowych, posiadają tę samą temperaturę, to średnia energia kinetyczna ich atomów ma tę samą wartość. Energią wewnętrzną (ang. internal energy ) układu termodynamicznego nazywamy sumę energii mechanicznych wszystkich cząsteczek, które tworzą ten układ. Możemy obecnie wyznaczyć wartość tej energii dla gazów monoatomowych. Dla takich gazów na energię ich atomów składa się tylko ich translacyjna energia kinetyczna (właśnie omawiana energia kinetyczna ich ruchu postępowego). Wobec tego, oznaczając energię wewnętrzną przez U , mamy U = N  E ‾ k lub U = 3 2  N  k B  T  . Często w równaniu tym zamiast liczby cząsteczek N używa się liczby moli n U = 3 2  n  R  T  . Z równania E ‾ k = 1 ∕ 2 ⋅ m  v 2 ‾ = 3 ∕ 2 ⋅ k B  T można wyznaczyć tzw. średnią prędkość kwadratową cząsteczek gazu doskonałego. Średnia prędkość kwadratowa cząsteczki gazu Średnią prędkością kwadratową (ang. root-mean square speed ) cząsteczki nazywamy v k = v 2 ‾ = 3  k B  T m  . Średnia prędkość kwadratowa nie jest średnią wartością prędkości ani prędkością najbardziej prawdopodobną cząsteczek gazu – te pojęcia zostaną omówione w podrozdziale Rozkład prędkości cząsteczek gazu doskonałego . Prędkość ta pozwala na łatwe oszacowanie prędkości cząsteczek na podstawie ich energii kinetycznej. W wyrażeniu tym często zamiast masy cząsteczki m używa się masy molowej gazu M (w kg ∕ mol ) v k = 3  R  T M  . Nadszedł czas, aby zrobić dygresję i odpowiedzieć na pytanie, które teraz się nasuwa: jeżeli w rozpatrywanym modelu zastąpimy punkty materialne rzeczywistymi atomami, to czy uwzględnienie ich energii kinetycznej ruchu obrotowego może zmienić otrzymany rezultat? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy odwołać się do mechaniki kwantowej ( Mechanika kwantowa ). Zgodnie z nią energia kinetyczna ruchu obrotowego nie może przyjmować dowolnych wartości – są one ograniczone do pewnego dyskretnego zbioru (skwantowane – przyp. tłum.), a najmniejsza wartość w tym zbiorze jest odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności. Z kolei momenty bezwładności atomów są bardzo małe, ponieważ niemal cała masa atomów skupiona jest w ich jądrach, których typowe promienie są mniejsze niż 10 -14  m . Wobec tego minimalna energia kinetyczna ruchu obrotowego atomu jest znacznie większa niż 1 ∕ 2 ⋅ k B  T i dla temperatur spotykanych w życiu codziennym dostępne energie nie są wystarczające, aby wprawić atom w ruch obrotowy. Wrócimy do tej dyskusji w następnej sekcji przy rozpatrywaniu gazów dwuatomowych i wieloatomowych. Wyznaczanie energii kinetycznej i prędkości cząsteczek gazu Ile wynosi wartość średniej energii kinetycznej cząsteczki gazu w temperaturze 20  ° C \SI{20}{\celsius} (temperatura pokojowa)? Wyznaczmy średnią prędkość kwadratową cząsteczki azotu (N 2 ) w powyższej temperaturze. Strategia rozwiązania Średnia energia kinetyczna cząsteczki gazu zależy wyłącznie od temperatury E ‾ k = 3 2  k B  T  . Przed podstawieniem danych należy temperaturę gazu wyrazić w kelwinach: T = 20  K + 273  K = 293  K . Średnią prędkość kwadratową wyraża równanie v k = v 2 ‾ = 3  k B  T m  , lecz najpierw musimy wyznaczyć masę cząsteczki azotu. Masę molową azotu znajdujemy w tablicach (np. w układzie okresowym pierwiastków), co daje m = M N A = 2 ⋅ 14,0067 ⋅ 10 -3  kg ∕ mol 6,02 ⋅ 10 23  mol -1 = 4,65 ⋅ 10 -26  kg  . Rozwiązanie Podstawiwszy wyznaczoną temperaturę do równania na średnią energię kinetyczną ruchu postępowego, otrzymujemy E ‾ k = 3 2  k B  T = 3 2 ⋅ 1,38 ⋅ 10 -23  J ∕ K ⋅ 293  K = 6,07 ⋅ 10 -21  J  . Podstawiwszy dane do równania na średnią prędkość kwadratową, otrzymujemy v k = 3  k B  T m = 3 ⋅ 1,38 ⋅ 10 -23  J ∕ K ⋅ 293  K 4,65 ⋅ 10 -26  kg = 511  m ∕ s  . Znaczenie Zauważmy, że średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki gazu nie zależy od rodzaju cząsteczki. Energia ta zależy tylko od temperatury bezwzględnej gazu. Rozpatrywana energia kinetyczna jest bardzo mała w porównaniu z energiami oddziaływań makroskopowych, dzięki czemu nie czujemy, gdy cząsteczki powietrza uderzają w naszą skórę. Jednocześnie energia ta jest znacznie większa od zmian energii potencjalnej w polu grawitacyjnym, gdy cząsteczki przemieszczają się, powiedzmy, między sufitem a podłogą w pokoju. Dlatego pominięcie energii grawitacyjnej w typowych stanach gazów jest uzasadnione. Obliczona średnia prędkość kwadratowa cząsteczek azotu okazała się zaskakująco duża. Te duże prędkości nie wywołują makroskopowych ruchów powietrza, ponieważ cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach z jednakowym prawdopodobieństwem (zgodnie z przyjętym założeniem). Średnia droga swobodna (średnia odległość pokonywana przez cząsteczkę między kolejnymi zderzeniami międzycząsteczkowymi, omawiana nieco dalej w tym podrozdziale) cząsteczek powietrza jest bardzo mała, co oznacza, że cząsteczki, mimo swej wielkiej prędkości, w jednostce czasu nie przemieszczają się zbyt daleko. Duża wartość średniej prędkości kwadratowej ma swoje odbicie w prędkości dźwięku, która w powietrzu wynosi ok. 340  m ∕ s w temperaturze pokojowej. Prędkość dźwięku wzrasta wraz z temperaturą i jest większa w gazach o niskich wartościach masy cząsteczkowej, jak hel (zob. ). (a) W zwykłym gazie wiele cząsteczek porusza się tak szybko, że w jednostce czasu zderzają się z innymi cząsteczkami miliardy razy. (b) Pojedyncze cząsteczki w niewielkich przedziałach czasu nie przemieszczają się zbyt daleko, ale zaburzenia, takie jak fale dźwiękowe, są przenoszone z prędkościami zbliżonymi do prędkości cząsteczek. Prędkość ucieczki atomów helu – wyznaczanie temperatury gazu Aby jakiś obiekt znajdujący się w górnych warstwach atmosfery (na wysokości 100  km ) mógł opuścić pole grawitacyjne Ziemi, musi poruszać się z prędkością 11,1  km ∕ s względem środka Ziemi (druga prędkość kosmiczna). W jakiej temperaturze średnia prędkość kwadratowa atomów helu będzie równa ich prędkości ucieczki? Strategia rozwiązania Należy rozpoznać wielkości dane i poszukiwane oraz określić, które równanie można zastosować, aby rozwiązać zadanie. Rozwiązanie Wielkości dane: prędkość ucieczki v = 11,1  km ∕ s . Wielkości poszukiwane: temperatura gazu T , a także masa atomu helu m . Określenie niezbędnych równań: W celu wyznaczenia masy atomów helu można wykorzystać dane z tablicy układu okresowego pierwiastków m = M N A  . Aby wyznaczyć poszukiwaną temperaturę, przekształcamy równanie 1 2  m  v 2 ‾ = 3 2  k B  T ⇒ T = m  v 2 ‾ 3  k B  . Podstawiamy wartości wielkości danych do równań i wyznaczamy wartości wielkości poszukiwanych m = M N A = 4,0026 ⋅ 10 -3  kg ∕ mol 6,02 ⋅ 10 23  mol -1 = 6,65 ⋅ 10 -27  kg , T = m  v 2 ‾ 3  k B = 6,65 ⋅ 10 -27  kg ⋅ 11,1 ⋅ 10 3  m ∕ s 2 3 ⋅ 1,38 ⋅ 10 -23  J ∕ K = 1,98 ⋅ 10 4  K  . Znaczenie Wyznaczona temperatura jest znacznie wyższa od temperatury atmosfery ziemskiej na dużych wysokościach, która wynosi około 250  K ( − 23  ° C lub − 10  ° F ). Niewielka liczba atomów helu może opuścić atmosferę, a kolejne atomy są tworzone w rozpadach promieniotwórczych na Ziemi (zob. rozdział Fizyka jądrowa ). Jednak przyczyną spadku liczby atomów helu jest to, że niewielka ich ilość posiada prędkości większe od prędkości ucieczki z Ziemi nawet w temperaturach pokojowych. Prędkość atomów helu zmienia się od zderzenia do zderzenia i w każdej chwili istnieje niewielka, ale niezerowa szansa na to, że prędkość atomu jest większa niż prędkość ucieczki. Ta szansa jest na tyle duża, aby w czasie istnienia Ziemi niemal wszystkie atomy helu, znajdujące się na dużych wysokościach w jej atmosferze, osiągnęły prędkość ucieczki i pokonały przyciąganie grawitacyjne Ziemi. Cięższe cząsteczki, jak tlen, azot i woda, posiadają mniejsze wartości średnich prędkości kwadratowych i w konsekwencji jest znacznie mniej prawdopodobne, aby prędkość którejś z nich przekroczyła wartość prędkości ucieczki. Faktycznie to prawdopodobieństwo jest tak małe, że aby znacząca liczba cięższych cząsteczek mogła opuścić atmosferę, potrzebne są miliardy lat. Efekty ucieczki atmosfery z Księżyca można zaobserwować na . Ponieważ przyciąganie grawitacyjne Księżyca jest znacznie słabsze, utracił on niemal całą swoją atmosferę. W ćwiczeniach do tego rozdziału porównywane są atmosfery Ziemi i innych ciał kosmicznych. Fotografia dowódcy Apollo 17 kierującego pojazdem księżycowym (Lunar Roving Vehicle – przyp. tłum.) wygląda tak, jakby została zrobiona nocą w świetle dużego reflektora. W rzeczywistości źródłem światła jest Słońce. Ponieważ przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jest małe (ok. 1 ∕ 6 przyspieszenia ziemskiego), to prędkość ucieczki z Księżyca jest także znacznie mniejsza. W efekcie cząsteczki gazów bardzo łatwo opuszczają Księżyc, pozostawiając go praktycznie bez atmosfery. Nawet w czasie księżycowego dnia niebo pozostaje czarne, ponieważ na Księżycu nie ma atmosfery gazowej rozpraszającej światło słoneczne. Źródło: Harrison H. Schmitt/NASA Sprawdź, czy rozumiesz. Jeżeli rozpatrzymy bardzo małe obiekty umieszczone w gazie, takie jak ziarenka pyłków kwiatowych, to liczba cząsteczek gazu uderzających w ich powierzchnię będzie również względnie mała. Czy należy się spodziewać, że ziarenka pyłku będą doznawać fluktuacji położenia spowodowanych statystycznymi fluktuacjami liczby cząsteczek uderzających w nie w danym przedziale czasu? Tak. Takie fluktuacje nieustannie mają miejsce dla każdego ciała o dowolnej wielkości umieszczonego w gazie. Ponieważ liczba cząsteczek w ciałach makroskopowych jest przeogromna, to fluktuacje stanowią drobny ułamek wszystkich zderzeń, wobec tego wielkości średnie omawiane w tym podrozdziale zmieniają się niedostrzegalnie. W uogólnieniu, wielkości fluktuacji są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka kwadratowego z liczby zderzeń, co oznacza, że dla niewielkich ciał mogą stać się istotne. Zostało to zaobserwowane w XIX wieku dla pyłków kwiatowych zanurzonych w wodzie i znane jest pod nazwą ruchów Browna. Ciśnienie pary nasyconej, ciśnienie parcjalne i prawo Daltona Ciśnienie jednego składnika gazu będącego mieszaniną różnych gazów, gdy wypełnia on całą dostępną objętość naczynia, nazywane jest ciśnieniem cząstkowym ( parcjalnym ) (ang. partial pressure ) gazu. Jeżeli co najmniej dwa gazy zostaną zmieszane, to w wyniku zderzeń międzycząsteczkowych osiągają stan równowagi (termodynamicznej); jest to proces analogiczny do zjawiska przewodzenia ciepła opisanego w rozdziale Temperatura i ciepło . Z teorii kinetycznej gazów wynika, że jeżeli gazy posiadają tę samą temperaturę, to ich cząsteczki posiadają tę samą średnią energię kinetyczną ruchu postępowego. Wobec tego każdy gaz w mieszaninie spełnia osobno równanie stanu gazu doskonałego i wywiera takie ciśnienie na ściany zbiornika jakby wypełniał go sam. Wynika stąd, że w mieszaninie gazów ciśnienie całkowite jest sumą ciśnień parcjalnych składników, założywszy, że spełniają one założenia modelu gazu doskonałego i nie zachodzą jakiekolwiek reakcje chemiczne między składnikami mieszaniny. Prawo to jest znane jako prawo Daltona ciśnień cząstkowych (ang. Dalton’s law of partial pressures ) na cześć angielskiego uczonego Johna Daltona (1766–1844) , który je sformułował. Prawo Daltona jest spójne z tym, że ciśnienia cząstkowe podlegają prawu Pascala. W mieszaninie gazów doskonałych w stanie równowagi termicznej liczba cząsteczek każdego gazu jest proporcjonalna do jego ciśnienia cząstkowego. Wynika to z równania stanu gazu doskonałego zastosowanego do każdego składnika z osobna w postaci p ∕ n = R  T ∕ V . Ponieważ prawa strona tego wyrażenia przyjmuje taką samą wartość dla każdego gazu o danej temperaturze i wypełniającego zbiornik o danej objętości, to lewa strona musi przyjmować również takie same wartości. Ciśnienie wywierane przez dany gaz wypełniający zbiornik nazywamy ciśnieniem cząstkowym. Prawo Daltona mówi, że ciśnienie całkowite jest sumą ciśnień cząstkowych wszystkich rodzajów gazów w zbiorniku. Dla dowolnych dwóch gazów w zbiorniku (oznaczanych przez 1 i 2) w stanie równowagi mamy p 1 ∕ n 1 = p 2 ∕ n 2 . Pojęcie ciśnienia cząstkowego ma szerokie zastosowanie w chemii, gdyż koncentracja cząsteczek gazu będąca funkcją tego ciśnienia określa szybkość reakcji chemicznych. Tutaj wspomnimy tylko, że ciśnienie parcjalne tlenu w płucach człowieka jest kluczowe dla życia i zdrowia. Oddychanie powietrzem zawierającym tlen o ciśnieniu cząstkowym poniżej 0,16  atm może prowadzić do zaburzeń koordynacji i zaburzeń emocjonalnych, w szczególności u ludzi niezaaklimatyzowanych do dużych wysokości. Jeszcze niższe ciśnienie cząstkowe O 2 prowadzi do poważniejszych konsekwencji; ciśnienie cząstkowe poniżej 0,06  atm szybko powoduje fatalne skutki – pojawiają się trwałe uszkodzenia w organizmie, nawet jeżeli dana osoba jest reanimowana. Jednak uczucie duszności spowodowane jest raczej wysoką koncentracją dwutlenku węgla we krwi niż niską zawartością tlenu. W takim wypadku jeżeli mały pokój lub gabinet jest wypełniony powietrzem o względnie niskiej zawartości tlenu, np. w wyniku nieszczelności butli gazowych przechowywanych w danym pomieszczeniu, to osoby tam przebywające nie mają poczucia duszności i mogą nagle doznać drgawek lub utracić przytomność bez żadnych ostrzegawczych objawów. Specjaliści od bezpieczeństwa kładą duży nacisk na zapobieganie takim zagrożeniom. Szczególnym przypadkiem ciśnienia cząstkowego jest ciśnienie pary nasyconej (ang. vapor pressure ), które jest ciśnieniem pary będącej w równowadze fazowej z cieczą (lub ciałem stałym w przypadku sublimacji). W dowolnej temperaturze ciśnienie cząstkowe wody w powietrzu nie może przekroczyć ciśnienia pary nasyconej wody w tej temperaturze, ponieważ po osiągnięciu tego ciśnienia woda wykrapla się z powietrza. Przykładem takiego skraplania się (kondensacji) jest rosa. Temperatura, w której następuje taka kondensacja dla powietrza, nazywana jest punktem rosy (ang. dew point ). Można ją łatwo wyznaczyć za pomocą powoli schładzanej metalowej kuli; punktem rosy jest temperatura kuli, przy której następuje wykroplenie się wody na jej powierzchni. Ciśnienia pary nasyconej wody w powietrzu w temperaturach istotnych w meteorologii zostały podane w . Ciśnienie pary nasyconej wody w różnych temperaturach. t ( ° C ) Ciśnienie pary nasyconej ( Pa ) 0 610,5 3 757,9 5 872,3 8 1073 10 1228 13 1497 15 1705 18 2063 20 2338 23 2809 25 3167 30 4243 35 5623 40 7376 Wilgotność względną w temperaturze T definiuje się jako f = ciśnienie parcjalne pary wodnej w powietrzu w temperaturze  T ciśnienie pary nasyconej w pobliżu powierzchni wody w temperaturze  T ⋅ 100  %  . Jeżeli wilgotność względna wynosi 100  % , to ciśnienie cząstkowe wody jest równe ciśnieniu pary nasyconej wody; innymi słowy powietrze jest nasycone wodą. Wyznaczanie wilgotności względnej Jaka jest wilgotność względna powietrza o temperaturze 25  ° C , jeżeli jego punkt rosy wynosi 15  ° C ? Strategia rozwiązania W powyższej tabeli odnajdujemy ciśnienie pary nasyconej w temperaturze powietrza i w temperaturze punktu rosy i obliczamy ich stosunek. Rozwiązanie f = ciśnienie parcjalne pary wodnej w temperaturze punktu rosy  15  ° C ciśnienie pary nasyconej wody w temperaturze  25  ° C ⋅ 100  % f = 1705  Pa 3167  Pa ⋅ 100  % = 53,8  %  . \begin{multiline} f &= \frac{\text{ciśnienie parcjalne pary wodnej w temperaturze punktu rosy } \SI{15}{\celsius}}{\text{ciśnienie pary nasyconej wody w temperaturze } \SI{25}{\celsius}} \cdot \SI{100}{\percent} \\ &= \frac{\SI{1705}{\pascal}}{\SI{3167}{\pascal}} \cdot \SI{100}{\percent} = \SI{53,8}{\percent} \text{.} \end{multiline} f = ciśnienie parcjalne pary wodnej w temperaturze punktu rosy  15  ° C ciśnienie pary nasyconej wody w temperaturze  25  ° C ⋅ 100  % = 1705  Pa 3167  Pa ⋅ 100  % = 53,8  %  . Znaczenie Wilgotność względna powietrza jest jednym ze składników określających warunki komfortu cieplnego człowieka. Wartość 53,8  % leży w zakresie od 40  % do 60  % , który zaleca się dla wilgotności względnej w pomieszczeniach zamkniętych. Jak stwierdzono w rozdziale Temperatura i ciepło , temperatura powietrza rzadko spada poniżej punktu rosy, ponieważ po osiągnięciu tego punktu (lub punktu szronienia, ang. frost point ) następuje kondensacja wody i jest uwalniana znaczna ilość ciepła utajonego tejże przemiany fazowej. Średnia droga swobodna i średni czas między zderzeniami Teraz przystąpimy do dokładniejszego rozpatrzenia zderzeń międzycząsteczkowych. Obliczymy tutaj średnią drogę swobodną (ang. mean free path ) λ , czyli średnią odległość przebywaną przez cząsteczkę między kolejnymi zderzeniami, oraz średni czas między tymi zderzeniami τ . Zakładamy, że wszystkie cząsteczki są kulami (sferami) o promieniu r , co oznacza, że dana cząsteczka dozna zderzenia z inną, jeżeli ich środki będą w odległości nie większej niż 2  r od siebie. Wobec tego możemy stwierdzić, że powierzchnia koła o tym promieniu, czyli 4  π  r 2 , jest przekrojem czynnym danej cząsteczki na zderzenie. Cząsteczka, przemieszczając się, obejmuje w swoim ruchu pewną objętość w kształcie walca o przekroju równym jej przekrojowi czynnemu. Średnią drogą swobodną tej cząsteczki nazywamy taką długość λ tego walca, dla której oczekiwana liczba innych cząsteczek w jego objętości będzie wynosić 1. Jeżeli pominiemy, chwilowo, ruch pozostałych cząsteczek, to ta oczekiwana liczba będzie równa iloczynowi koncentracji cząsteczek N ∕ V i objętości walca 4  π  r 2  λ , czyli N ∕ V ⋅ 4  π  r 2  λ = 1 , lub λ = V 4  π  r 2  N  . Uwzględnienie ruchu wszystkich cząsteczek utrudnia obliczenia, lecz do końcowego wyniku wprowadza tylko czynnik 2 (o taki jest większa średnia prędkość względna cząsteczek – przyp. tłum.), dając ostatecznie λ = V 4  2  π  r 2  N  . Dla gazu doskonałego możemy podstawić V ∕ N = k B  T ∕ p , co daje λ = k B  T 4  2  π  r 2  p  . Średni czas między zderzeniami (ang. mean free time ) można wyznaczyć, dzieląc średnią drogę swobodną przez charakterystyczną prędkość cząsteczek gazu, którą może być średnia prędkość kwadratowa τ = k B  T 4  2  π  r 2  p  v k  . Precyzyjniej rzecz ujmując, we wzorze tym zamiast średniej prędkości kwadratowej należy wstawić prędkość średnią; ponadto często zamiast promienia cząsteczek, które na ogół nie są przecież kulkami, używa się przekroju czynnego σ na zderzenie, otrzymujemy więc (przyp. tłum.) λ = k B  T 2  σ  p  ,  τ = k B  T 2  σ  p  v  . Wyznaczanie średniego czasu między zderzeniami Obliczmy średni czas między zderzeniami atomów argonu ( M = 39,9  g ∕ mol ) w temperaturze 0  ° C i pod ciśnieniem 1  atm . Przyjmijmy, że promień atomu argonu wynosi 1,7 ⋅ 10 -10  m . Rozwiązanie Rozwiązanie Należy określić wielkości dane oraz przekształcić ich wartości do jednostek układu SI. Otrzymujemy masę molową 0,0399  kg ∕ mol , temperaturę 273  K , ciśnienie 1,01 ⋅ 10 5  Pa oraz promień 1,7 ⋅ 10 -10  m . Obliczamy wartość średniej prędkości kwadratowej v k = 3  R  T ∕ M = 413  m ∕ s , a następnie podstawiamy dane do równania na średni czas między zderzeniami τ = k B  T 4  2  π  r 2  p  v k = 1,38 ⋅ 10 -23  J ∕ K ⋅ 273  K 4  2  π ⋅ 1,7 ⋅ 10 -10  m 2 ⋅ 1,01 ⋅ 10 5  Pa ⋅ 413  m ∕ s = 1,76 ⋅ 10 -10  s  . Znaczenie Możemy, co najwyżej, porównać otrzymany wynik z naszą intuicją o cząsteczkach w gazie, ale wyłania się stąd obraz cząsteczek zderzających się z ekstremalnie dużą częstością. Sprawdź, czy rozumiesz. Która średnia droga swobodna jest dłuższa: wody ciekłej czy pary wodnej w powietrzu? W cieczach cząsteczki znajdują się blisko siebie i nieustanne zderzają się ze sobą. W gazach niemal idealnych, jak powietrze w zwykłych warunkach, cząsteczki znajdują się znacznie dalej od siebie. Dlatego też średnia droga swobodna w powietrzu jest znacznie dłuższa niż w wodzie. Podsumowanie Teoria kinetyczna to atomowy opis gazów, cieczy i ciał stałych. Teoria ta modeluje własności materii, zakładając, że cząsteczki substancji znajdują się w nieustannym przypadkowym ruchu. W równaniu stanu gazu doskonałego można używać masy cząsteczki gazu oraz v k – średniej wartości kwadratów prędkości cząsteczek. Temperatura gazu jest proporcjonalna do średniej translacyjnej (ruchu postępowego) energii kinetycznej jego cząsteczek. Oznacza to, że średnia prędkość kwadratowa cząsteczek gazu pozostaje proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z temperatury i odwrotnie proporcjonalna do masy cząsteczki. W mieszaninie gazów każdy składnik wywiera ciśnienie równe ciśnieniu całkowitemu pomnożonemu przez udział molowy tego składnika w mieszaninie (ciśnienie parcjalne). Średnia droga swobodna (średnia odległość przebywana przez cząsteczkę między zderzeniami) oraz średni czas między zderzeniami są proporcjonalne do temperatury i odwrotnie proporcjonalne do gęstości molowej i do przekroju czynnego cząsteczki na zderzenie. Pytania Jaki jest związek między ciśnieniem wywieranym przez gaz i pędem cząsteczek, z których ten gaz się składa? Rozważ ten problem na poziomie molekularnym, biorąc pod uwagę własności cząsteczek. Porównaj średnią drogę swobodną cząsteczek, których stosunek promieni wynosi 2, a stosunek mas jest równy 8. Porównaj wartości ich średnich czasów między zderzeniami. Średnia droga swobodna jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia cząsteczki, tak więc maleje ona czterokrotnie. Średni czas między zderzeniami jest proporcjonalny do średniej drogi swobodnej i odwrotnie proporcjonalny do średniej prędkości kwadratowej, która z kolei jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z wartości masy cząsteczki. Daje to czynnik 8 w liczniku; i ostatecznie średni czas między zderzeniami maleje o czynnik 2 . Wyznacz średnią prędkość cząsteczek powietrza w pokoju, w którym się obecnie znajdujesz. Atmosfery Jowisza, Saturna, Urana i Neptuna zawierają znacznie więcej wodoru i helu niż atmosfera Ziemi. Wyjaśnij ten fakt, biorąc pod uwagę, że planety te posiadają znacznie większą masę niż Ziemia oraz że znajdują się znacznie dalej od Słońca niż Ziemia. Ponieważ planety te są bardziej masywne, ich grawitacja jest silniejsza oraz prędkości ucieczki są większe w stosunku do Ziemi. Ponadto, ponieważ planety te znajdują się dalej od Słońca, są chłodniejsze i prędkości cząsteczek w ich atmosferach, włączając cząsteczki wodoru i atomy helu, są mniejsze. Z połączenia tych faktów wynika, że niewielka liczba cząsteczek wodoru i atomów helu zdołała uciec z atmosfer planet zewnętrznych. Mechanika statystyczna stwierdza, że jeżeli gaz pozostaje w równowadze termodynamicznej z dużo większym układem (rezerwuarem) o temperaturze T , to fluktuacje wartości energii wewnętrznej tego gazu stanowią ułamek 1 ∕ N jej całkowitej wartości. Jak duże są wartości fluktuacji energii wewnętrznej jednego mola gazu? Czy jesteśmy uprawnieni do tego, aby je pomijać? Co jest bardziej niebezpieczne – szafa, w której przechowywane są butle z azotem, czy też szafa z butlami z dwutlenkiem węgla? Bardziej niebezpieczna jest szafa z dwutlenkiem węgla, gdyż jego nadmiar wywołuje uczucie duszności, a nadmiar azotu i niedomiar tlenu nie są tak szkodliwe. Zadania We wszystkich zadaniach w tym podrozdziale zakładamy, że rozpatrywane gazy są gazami doskonałymi. Tenisista uderza piłki tenisowe o masie 0,058  kg w kierunku ściany. Średnia wartość składowej prędkości piłki prostopadłej do ściany wynosiła 11  m ∕ s , piłki uderzały w ścianę średnio co 2,1  s i odbijały się z tą samą wartością składowej prostopadłej prędkości. Ile wynosi wartość średniej siły wywieranej na ścianę przez piłki? Ile wynosi średnie ciśnienie wywierane przez piłki na ścianę, jeżeli uderzają one w obszar o powierzchni 3  m 2 ? a. 0,61  N ; b. 0,2  Pa . Gracz znajdujący się w pomieszczeniu do racquetballa (gra podobna do squasha) o objętości V = 453  m 3 bez przerwy wybija wokół siebie zupełnie przypadkowo piłkę o masie m = 42  g . Średnia energia kinetyczna piłki wynosi 2,3  J . Ile wynosi średnia wartość v x 2 ? Czy ma znaczenie, w którym kierunku zostanie poprowadzona oś x ? Stosując metody przedstawione w tym rozdziale, oblicz średnie ciśnienie wywierane przez piłkę na ściany pomieszczenia; Dodatkowo, biorąc pod uwagę, że w tym zadaniu mamy tylko jedną „cząsteczkę”, wyjaśnij, które z głównych założeń przyjętych w podrozdziale Ciśnienie, temperatura i średnia prędkość kwadratowa nie jest tutaj spełnione? Pięciu rowerzystów jedzie z następującymi prędkościami: 5,4  m ∕ s , 5,7  m ∕ s , 5,8  m ∕ s , 6  m ∕ s , 6,5  m ∕ s . Ile wynosi ich średnia prędkość? Ile wynosi ich średnia prędkość kwadratowa? a. 5,88  m ∕ s ; b. 5,89  m ∕ s . Niektóre lampy jarzeniowe wypełnia się argonem. Ile wynosi średnia prędkość kwadratowa atomów argonu znajdujących się w pobliżu żarnika takiej lampy o temperaturze 2500  K ? Typowe wartości prędkości cząsteczek (średnie prędkości kwadratowe) są duże, nawet w niskich temperaturach. Ile wynosi średnia prędkość kwadratowa atomów helu w temperaturze 5  K , która o niecały stopień przewyższa jego temperaturę skraplania? 177  m ∕ s . Odpowiedz na poniższe pytania. Ile wynosi średnia energia kinetyczna w dżulach atomów wodoru na powierzchni Słońca o temperaturze 5500  ° C ? Ile wynosi średnia energia kinetyczna atomów helu w obszarze korony słonecznej o temperaturze 6 ⋅ 10 5  ° C ? Ile wynosi stosunek średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek azotu w temperaturze 300  K do ich energii potencjalnej w polu grawitacyjnym Ziemi, gdy znajdują się pod sufitem pokoju o wysokości 3  m , określonej względem podłogi tego pokoju? 4,54 ⋅ 10 3 . Ile wynosi całkowita translacyjna energia kinetyczna cząsteczek powietrza znajdującego się w pokoju o objętości 23  m 3 i temperaturze 21  ° C , jeżeli ciśnienie wynosi 9,5 ⋅ 10 5  Pa (pokój znajduje się na odpowiedniej wysokości)? Czy jeszcze jakieś dane są niezbędne, aby otrzymać rozwiązanie? Iloczyn ciśnienia i objętości próbki wodoru o temperaturze 0  ° C wynosi 80  J . Ile moli wodoru zawiera ta próbka? Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek wodoru w tej próbce? Ile będzie wynosić iloczyn ciśnienia i objętości tej próbki w temperaturze 200  ° C ? a. 0,0352  mol ; b. 5,65 ⋅ 10 -21  J ; c. 139  J . Ile wynosi nadciśnienie w zbiorniku zawierającym 4,86 ⋅ 10 4  mol azotu ściśniętego do objętości 6,56  m 3 , jeżeli średnia prędkość kwadratowa jego cząsteczek wynosi 514  m ∕ s ? Ile wynosi ciśnienie parcjalne tlenu w lodówce o objętości 0,623  m 3 , jeżeli średnia prędkość kwadratowa jego cząsteczek jest równa 465  m ∕ s ? Masa cząsteczkowa tlenu wynosi 32  g ∕ mol , a w lodówce znajduje się 5,71  mol tego gazu. 21,1  kPa . Prędkość ucieczki dowolnego obiektu z Ziemi wynosi 11,1  km ∕ s . W jakiej temperaturze średnia prędkość kwadratowa cząsteczek tlenu o masie molowej 32  g ∕ mol osiągnie wartość równą tej prędkości ucieczki? Prędkość ucieczki z Księżyca jest znacznie mniejsza od prędkości ucieczki z Ziemi i wynosi tylko 2,38  km ∕ s . W jakiej temperaturze cząsteczki wodoru (masa molowa 2,016  g ∕ mol ) mają średnią prędkość kwadratową równą prędkości ucieczki z Księżyca? 458  K . Fuzje jąder atomowych, źródło energii Słońca, bomb wodorowych i reaktorów termojądrowych, zachodzą znacznie częściej, gdy atomy posiadają bardzo duże wartości średniej energii kinetycznej – czyli w wysokich temperaturach. Przyjmijmy, że w eksperymencie termojądrowym potrzebne są atomy o średniej energii kinetycznej 6,4 ⋅ 10 -14  J . W jakiej temperaturze ją osiągają? Przypuśćmy, że typowa wartość średniej prędkości kwadratowej cząsteczek dwutlenku węgla (masa molowa 44  g ∕ mol ) w płomieniu wynosi 1350  m ∕ s . O jakiej temperaturze płomienia to świadczy? 3,22 ⋅ 10 3  K . Odpowiedz na poniższe pytania. Cząsteczki wodoru (masa molowa 2,016  g ∕ mol ) w pewnej próbce mają średnią prędkość kwadratową o wartości 193  m ∕ s . Ile wynosi temperatura tej próbki? Większość gazu w pobliżu Słońca to wodór atomowy (czyli H, a nie H 2 ). Gdy atomy wodoru osiągają temperaturę 1,5 ⋅ 10 7  K , to ich średnia prędkość kwadratowa staje się równa prędkości ucieczki ze Słońca. Ile wynosi ta prędkość ucieczki? Mamy dwa najważniejsze izotopy uranu: 235 U oraz 238 U; izotopy te mają niemal identyczne własności chemiczne, ale różnią się masami atomowymi. Tylko 235 U jest użyteczny w reaktorach atomowych. Rozdzielanie tych izotopów uranu nosi nazwę wzbogacania uranu (nazwa ta jest często spotykana w serwisach informacyjnych, gdyż, do tej pory proces ten wzbudza obawy, że niektóre kraje wykorzystują go do produkcji broni jądrowej). Jedną z technik wzbogacania jest dyfuzja gazów bazująca na różnicach prędkości cząsteczek gazowego sześciofluorku uranu UF 6 . Masy molowe 235 UF 6 i 238 UF 6 wynoszą odpowiednio 349  g ∕ mol i 352  g ∕ mol . Ile wynosi stosunek ich średnich prędkości kwadratowych? W jakiej temperaturze ich średnie prędkości kwadratowe różnią się o 1  m ∕ s ? Znając odpowiedzi na powyższe pytania, określ, czy ta technika jest trudna? a. 1,004 ; b. 764  K ; c. Jest to dość wysoka temperatura, ale możliwa do osiągnięcia. Jednakże na podstawie innych rozważań stwierdzono, że przeprowadzenie tego procesu w tej temperaturze jest kłopotliwe (ogólnie, wzbogacanie uranu za pomocą dyfuzji gazowej jest rzeczywiście trudne i wymaga wielokrotnego powtarzania procesu). Ciśnienie parcjalne dwutlenku węgla w płucach wynosi ok. 420  Pa , podczas gdy całkowite ciśnienie powietrza to 1  atm . Ile wynosi procentowa zawartość cząsteczek dwutlenku węgla w powietrzu płuc? Porównaj ten wynik z procentową zawartością dwutlenku węgla w atmosferze, która wynosi 0,033  % . Suche powietrze zawiera w przybliżeniu 78% azotu, 21% tlenu, 1% argonu (wszystko procenty molowe) oraz śladowe ilości innych gazów. Zbiornik o objętości 0,0498  m 3 zawiera sprężone suche powietrze o nadciśnieniu 154,675  kg ∕ cm 2 \SI{154,675}{\kilo\gram\per\centi\metre\squared} i o temperaturze 293  K . Ile moli tlenu znajduje się w tym zbiorniku? 65  mol . Wykonaj poniższe obliczenia. Używając danych z poprzedniego zadania, wyznacz masy azotu, tlenu i argonu w 1 molu suchego powietrza. Masy molowe wynoszą odpowiednio 28  g ∕ mol , 32  g ∕ mol i 39,9  g ∕ mol ; Suche powietrze zostało zmieszane z pentanem (C 5 H 12 , masa molowa 72,2  g ∕ mol ), który jest ważnym składnikiem benzyny, w stosunku masowym powietrze-paliwo wynoszącym 15:1 (typowym dla silników samochodowych). Wyznacz wartość ciśnienia cząstkowego pentanu w tej mieszaninie, jeżeli ciśnienie całkowite wynosi 1  atm . Wziąwszy pod uwagę, że powietrze zawiera 21% tlenu, wyznacz minimalne ciśnienie atmosferyczne, które zapewni relatywnie bezpieczne ciśnienie parcjalne tlenu wynoszące 0,16  atm ; Ile wynosi minimalne ciśnienie powietrza, przy którym ciśnienie parcjalne tlenu osiągnie śmiertelnie niski poziom 0,06  atm ? Ciśnienie powietrza na szczycie Mount Everestu ( 8848  m ) wynosi 0,334  atm . Dlaczego niektórzy ludzie wspinają się na szczyt bez masek tlenowych, podczas gdy inni, nawet po treningu na dużych wysokościach, muszą zawrócić? a. 0,76  atm ; b. 0,29  atm ; c. Ciśnienie na szczycie Mount Everestu tylko nieznacznie przewyższa śmiertelnie niski poziom. Wyznacz punkt rosy, jeżeli ciśnienie parcjalne pary wodnej wynosi 8,05  Tr (tor 1  Tr = 1  mmHg , 760  Tr = 1  atm = 101 325  Pa ); W pewien ciepły dzień w temperaturze 35  ° C temperatura punktu rosy wynosiła 25  ° C . Ile wynoszą w tych warunkach ciśnienie parcjalne pary wodnej w powietrzu oraz wilgotność względna? ciśnienie cząstkowe lub parcjalne (ang. partial pressure ) ciśnienie wywierane przez cząsteczki danego składnika mieszaniny gazów, gdyby tylko ten składnik wypełniał całą dostępną objętość ciśnienie pary nasyconej (ang. vapor pressure ) ciśnienie parcjalne pary, która jest w równowadze z fazą ciekłą (lub fazą stałą w przypadku sublimacji) tej samej substancji energia wewnętrzna (ang. internal energy ) suma energii mechanicznych wszystkich cząsteczek w tym układzie prawo Daltona ciśnień cząstkowych (ang. Dalton’s law of partial pressures ) prawo fizyczne, które stwierdza, że całkowite ciśnienie w gazie jest sumą ciśnień cząstkowych wszystkich składników gazu kinetyczna teoria gazów (ang. kinetic theory of gases ) teoria ta określa własności makroskopowe gazów na podstawie własności ruchów cząsteczek składających się na ten gaz średni czas między zderzeniami (ang. mean free time ) średni czas między kolejnymi zderzeniami cząsteczek w gazie średnia droga swobodna (ang. mean free path ) średnia droga przebywana przez cząsteczkę w gazie pomiędzy kolejnymi zderzeniami z innymi cząsteczkami średnia prędkość kwadratowa (ang. root-mean square speed ) pierwiastek kwadratowy ze średniej wartości kwadratów prędkości cząsteczek gazu

Science