Procesy termodynamiczne Podczas rozwiązywania problemów z mechaniki izolujemy rozpatrywane ciało, analizujemy siły zewnętrzne, które na nie oddziałują oraz używamy zasad Newtona, aby przewidzieć jego zachowanie. W termodynamice postępujemy podobnie. Zaczynamy od zidentyfikowania części świata, którą chcemy zbadać; tę część nazywamy układem (na początku tego rozdziału zdefiniowaliśmy układ jako wszystko, co posiada interesujące nas właściwości termodynamiczne; może być to pojedynczy atom lub cała Ziemia). Po wybraniu układu ustalamy, w jaki sposób oddziałuje na niego środowisko lub otoczenie. Ostatecznie badamy termiczne własności układu, stosując zasady termodynamiki. Termiczne własności układu opisane są za pomocą zmiennych termodynamicznych (ang. thermodynamic variables ). Dla gazu doskonałego tymi zmiennymi są ciśnienie, objętość, temperatura i liczba cząsteczek lub moli gazu. Różne typy układów są zwykle charakteryzowane różnymi zbiorami zmiennych. Przykładowo zmienne termodynamiczne dla gumki recepturki to napięcie, długość, temperatura i masa. Stan układu może się zmienić na skutek oddziaływań ze środowiskiem. Zmiana układu może być szybka bądź powolna, duża lub mała. Sposób, w jaki układ zmienia się, przechodząc ze stanu początkowego do stanu końcowego, nazywa się procesem termodynamicznym (ang. thermodynamic process ). Dla celów analitycznych warto podzielić procesy na kwazistatyczne i niekwazistatyczne , co teraz wyjaśnimy. Procesy kwazistatyczne i niekwazistatyczne Proces kwazistatyczny (ang. quasi-static process ) to taki idealny lub wymyślony proces, w którym zmiana stanu zachodzi nieskończenie powoli, tak że w każdej chwili możemy uznać, iż układ znajduje się w równowagowym stanie termodynamicznym ze sobą i swoim środowiskiem. Rozważmy teraz przykład podgrzewania 1  kg wody od temperatury 20  ° C do 21  ° C przy stałym ciśnieniu równym 1  atm . W celu bardzo wolnego podgrzania wody możemy umieścić zbiornik z wodą w wielkiej wannie, którą będziemy powoli podgrzewać w taki sposób, że jej temperatura zacznie rosnąć nieskończenie wolno od 20  ° C do 21  ° C . W tym przypadku temperatura wody w zbiorniku będzie wzrastała w sposób kwazistatyczny. Z kolei jeśli włożymy zbiornik z 1  kg wody o temperaturze 20  ° C bezpośrednio do wanny o temperaturze 21  ° C , to temperatura wody w zbiorniku gwałtownie wzrośnie do 21  ° C w sposób niekwazistatyczny. Procesy kwazistatyczne zachodzą na tyle wolno, że układ pozostaje w równowagowym stanie termodynamicznym w każdej chwili, mimo że zmienia się w czasie. Równowagowy stan termodynamiczny układu jest potrzebny do poprawnego określenia wartości wielkości makroskopowych, takich jak temperatura i ciśnienie układu, dla każdej chwili procesu. W związku z tym procesy kwazistatyczne mogą być przedstawiane jako dobrze zdefiniowane drogi w przestrzeni stanów układu. Z faktu, że procesy kwazistatyczne nie mogą być tak naprawdę eksperymentalnie zrealizowane dla jakiejkolwiek skończonej zmiany układu, wynika, że wszystkie procesy zachodzące w przyrodzie są niekwazistatyczne. Przykłady procesów kwazistatycznych i niekwazistatycznych (ang. non-quasi-static processes ) pokazane są na . Mimo że wszystkie skończone zmiany muszą w zasadzie na jakimś etapie zajść niekwazistatycznie, można sobie wyobrazić wykonywanie nieskończenie wielu procesów kwazistatycznych odpowiadających danemu procesowi niekwazistatycznemu. W tym rozdziale skupimy się głównie na procesach kwazistatycznych, ponieważ w przeciwieństwie do tych drugich mogą być badane analitycznie. Widzieliśmy już wcześniej, że w procesie kwazistatycznym praca wykonywana przez gaz dana jest wzorem p  d V . Procesy kwazistatyczny i niekwazistatyczny między stanami A i B pewnego gazu. W procesie kwazistatycznym droga procesu między stanami A i B może być narysowana na wykresie stanu, ponieważ wszystkie stany pośrednie są znane. W procesie niekwazistatycznym stany pośrednie między stanami A i B nie są znane i dlatego droga procesu nie może być narysowana. Proces może podążać przerywaną linią, tak jak na rysunku, lub przebiegać zupełnie inną drogą. Procesy izotermiczne Proces izotermiczny (ang. isothermal process ) jest zmianą stanu układu przy stałej temperaturze. Proces ten możemy osiągnąć poprzez utrzymywanie układu w stanie równowagi termicznej za pomocą dużego termostatu. Przypomnijmy, że termostat to idealny, nieskończenie duży układ, którego temperatura się nie zmienia. W praktyce temperatura skończonego termostatu jest kontrolowana poprzez dodawanie lub usuwanie w razie potrzeby skończonej ilości energii. Biorąc pod uwagę poniższą ilustrację procesu izotermicznego, rozważmy przypadek cylindra z gazem oraz z ruchomym tłokiem, zanurzonego w wielkim zbiorniku z wodą, którego temperatura pozostaje stała. Tłok może się swobodnie poruszać, a więc ciśnienie wewnątrz, p wew jest równoważone przez ciśnienie z zewnątrz p zew oraz przez pewne obciążenie na tłoku, jak na . Rozszerzanie układu o stałej temperaturze. Usunięcie obciążników prowadzi do zaburzenia równowagi działających sił i w efekcie tłok się unosi. Wraz z podnoszeniem się tłoka temperatura jest chwilowo obniżona, co powoduje, że ciepło przepływa z termostatu do układu. Tak więc energia potrzebna do podniesienia tłoka pochodzi z termostatu. Kiedy obciążniki zostaną usunięte, następuje zaburzenie równowagi sił działających na tłok. Niezerowa siła całkowita działająca na tłok powoduje podnoszenie się tłoka, co prowadzi do wzrostu objętości układu. Rozszerzanie się gazu ochładza go do niższej temperatury. Powoduje to przepływ ciepła z termostatu aż do wyrównania się temperatur. Jeśli obciążniki są usuwane nieskończenie małymi krokami, ciśnienie układu będzie spadać nieskończenie wolno. Tym oto sposobem proces izotermiczny może być przeprowadzony kwazistatycznie. Ten izotermiczny proces na wykresie p V jest reprezentowany przez łuk rozpoczynający się w punkcie A , a kończący się w punkcie B , jak widać na . W przypadku gazu doskonałego droga procesu izotermicznego jest hiperbolą, ponieważ dla takiego gazu przy stałej temperaturze p ∝ V − 1  . Izotermiczne rozszerzanie ze stanu oznaczonego jako A do innego stanu oznaczonego jako B na wykresie zależności p  V . Krzywa reprezentuje zależność między ciśnieniem a objętością dla gazu doskonałego o stałej temperaturze. Proces izotermiczny badany w tym rozdziale zachodzi kwazistatycznie, ponieważ aby był izotermiczny przy zmianie objętości, musimy być w stanie określić temperaturę układu w każdej chwili, co jest możliwe tylko dla układu będącego bez przerwy w równowagowym stanie termicznym. Układ musi wyjść ze stanu równowagowego, aby się zmienić, jednak dla procesów kwazistatycznych przyjmujemy, że proces jest przeprowadzany nieskończenie małymi krokami tak, że te odchylenia od stanu równowagowego mogą być krótkotrwałe i bardzo małe. Inne procesy kwazistatyczne, o których należy wspomnieć w przypadku gazów, to procesy izobaryczne i izochoryczne. Proces izobaryczny (ang. isobaric process ) to taki, w którym ciśnienie układu się nie zmienia, a proces izochoryczny (ang. isochoric process ) to proces, w którym objętość nie ulega zmianie. Procesy adiabatyczne W procesie adiabatycznym (ang. adiabatic process ) układ jest oddzielony od swojego środowiska. Dlatego mimo że stan układu się zmienia, ciepło nie może przepłynąć do układu ani z niego wypłynąć, jak widać na . Proces adiabatyczny może być przeprowadzony zarówno kwazistatycznie jak i niekwazistatycznie. Kiedy układ się rozszerza adiabatycznie, musi wykonywać pracę nad otoczeniem, a więc jego energia musi spadać, co znajduje odbicie w spadającej temperaturze układu. Rozszerzanie adiabatyczne prowadzi do obniżenia temperatury, natomiast sprężanie adiabatyczne prowadzi do jej wzrostu. Rozszerzanie adiabatyczne omówimy ponownie w podrozdziale Proces adiabatyczny dla gazu doskonałego . Tłok w odizolowanym naczyniu z gorącym, sprężonym gazem zostaje uwolniony. Tłok się podnosi, objętość układu rośnie, a ciśnienie i temperatura maleją. Część energii wewnętrznej zamienia się w pracę. Jeśli rozszerzanie zachodzi w ramach czasowych, podczas których ilość ciepła wymienianego przez układ można zaniedbać, proces jest nazywany adiabatycznym. Podczas idealnego procesu adiabatycznego ciepło ani nie przepływa do układu, ani z niego nie odpływa. Procesy kołowe Mówimy, że układ przechodzi proces kołowy zwany też cyklem (ang. cyclic process ), jeśli końcowy stan układu jest taki sam jak początkowy. Zatem właściwości układu, takie jak temperatura, ciśnienie, objętość, energia wewnętrzna, nie zmieniają się podczas pełnego cyklu Δ  U = 0  J  . Kiedy do procesu kołowego zastosujemy pierwszą zasadę termodynamiki, otrzymamy prosty związek między ciepłem dodanym do układu a pracą wykonaną przez układ podczas cyklu Q = W ( proces kołowy ) . Procesy termodynamiczne dzielimy również ze względu na to, czy są odwracalne, czy nie. Proces odwracalny (ang. reversible process ) to taki, którego drogę można odwrócić w wyniku małych zmian zmiennych termodynamicznych. Taki proces musi więc być kwazistatyczny. Zauważmy jednak, że proces kwazistatyczny niekoniecznie jest odwracalny, ponieważ może on obejmować siły dyssypatywne. Przykładowo, jeśli wystąpi tarcie między tłokiem a ściankami cylindra zawierającego gaz, to stracona w jego wyniku energia uniemożliwi odwrócenie procesu i powrót do początkowego stanu systemu. Omówiliśmy kilka rodzajów procesów termodynamicznych: Proces izotermiczny, podczas którego temperatura pozostaje stała. Proces adiabatyczny, podczas którego ciepło ani nie przepływa do układu, ani z niego nie odpływa. Proces izobaryczny, podczas którego ciśnienie układu się nie zmienia. Proces izochoryczny, podczas którego objętość układu się nie zmienia. Istnieje sporo innych procesów, które nie pasują do żadnej z tych czterech kategorii. Odwiedź stronę , aby zobaczyć wykres p  V twojego własnego procesu. Sprawdź, czy potrafisz obliczyć wartości przewidywane przez symulację dla ciepła, pracy czy zmiany energii wewnętrznej układu. Podsumowanie Termiczne własności układu opisane są za pomocą zmiennych termodynamicznych. Dla gazu doskonałego zmienne te to: ciśnienie, objętość, temperatura oraz liczba cząsteczek lub moli gazu. Dla układu będącego w równowagowym stanie termodynamicznym zmienne termodynamiczne są ze sobą powiązane przez równanie stanu. Rezerwuar ciepła (termostat) jest tak duży, że kiedy wymienia ciepło z innymi układami, jego temperatura się nie zmienia. Proces kwazistatyczny jest tak wolny, że układ, w którym on zachodzi, jest zawsze w równowagowym stanie termodynamicznym. Proces odwracalny to taki, którego drogę można odwrócić. Podstawowe typy procesów termodynamicznych to izotermiczny, w którym temperatura układu jest stała; adiabatyczny, w którym ciepło ani nie przepływa do układu, ani z niego nie odpływa; izobaryczny, w którym ciśnienie układu jest stałe; izochoryczny, w którym objętość układu jest stała. Konsekwencje pierwszej zasady termodynamiki dla procesów termodynamicznych: izotermicznego: Δ  U = 0  J , Q = W ; adiabatycznego: Q = 0  J , Δ  U = − W ; izobarycznego: Δ  U = Q − W ; izochorycznego: W = 0  J , Δ U = Q \prefop{\Delta} U = Q . Pytania Kiedy gaz rozpręża się izotermicznie, wykonuje pracę. Jakie jest źródło energii potrzebnej do wykonania tej pracy? Układ musi mieć dostęp do rezerwuaru ciepła, co pozwoli ciepłu przepływać do układu. Jeśli ciśnienie i objętość układu są dane, to czy temperatura zawsze może być ustalona? Proces izotermiczny musi być bardzo powolny. Wyjaśnij dlaczego. Czy to samo tyczy się procesów izobarycznych i izochorycznych? Odpowiedź uzasadnij. Proces izotermiczny musi być wolny, aby przekazywane ciepło zapewniało stałość temperatury. Dla procesów izobarycznych i izochorycznych układ również musi być w stanie równowagi termicznej, czyli zmiany wielkości termodynamicznych również muszą być powolne. Zadania Dwa mole jednoatomowego gazu doskonałego o ciśnieniu 50  MPa i objętości 5  l rozprężono izotermicznie do podwójnej objętości (krok 1). Później ochłodzono izochorycznie do ciśnienia 1  MPa (krok 2). Temperatura w tym procesie spadła. Następnie gaz został sprężony izotermicznie z powrotem do objętości 5  l , jednak jego ciśnienie osiągnęło wartość 2  MPa (krok 3). Ostatecznie gaz został podgrzany izochorycznie i powrócił do stanu początkowego (krok 4). Narysuj cztery powyższe procesy na wykresie p  V ; Znajdź całkowitą pracę wykonaną przez gaz. Rozważ przejście ze stanu A do B w dwuetapowym procesie. Najpierw ciśnienie jest zmniejszane z 3  MPa w stanie A do 1  MPa , przy utrzymaniu stałej objętości 2  l , poprzez ochłodzenie układu. Osiągnięty stan pośredni oznaczmy jako C . Następnie układ jest ogrzewany pod stałym ciśnieniem, aż uzyska objętość równą 6  l , osiągając tym samym stan B . Oblicz ilość pracy wykonanej na drodze A  C  B ; Oblicz ilość ciepła wymienionego przez układ podczas przejścia ze stanu A do B drogą A  C  B ; Porównaj zmianę energii wewnętrznej dla adiabatycznego przejścia A  B ze zmianą energii dla dwuetapowego procesu A  B na drodze A  C  B . a. 1660  J ; b. − 2730  J ; c. Zmiana energii wewnętrznej nie zależy od procesu. Rozważ cylinder z ruchomym tłokiem, zawierający n moli gazu doskonałego. Cały przyrząd jest zanurzony w termostacie o stałej temperaturze T podanej w kelwinach. Tłok jest powoli popychany tak, że ciśnienie gazu zmienia się kwazistatycznie od p 1 do p 2 przy stałej temperaturze T . Wyprowadź wzór na pracę wykonaną przez gaz, używając n , R , T , p 1 oraz p 2 . Gaz doskonały rozpręża się izotermicznie wzdłuż drogi A  B i wykonuje przy tym pracę 700  J , co przedstawiono poniżej na wykresie. Następnie gaz rozpręża się adiabatycznie wzdłuż drogi B  C i wykonuje pracę 400  J . Podczas powrotu do stanu A wzdłuż drogi C  A gaz oddaje do otoczenia 100  J ciepła. Ile ciepła wymienia gaz wzdłuż drogi A  B ? Ile pracy jest wykonywanej na gazie wzdłuż drogi C  A ? a. 700  J ; b. 500  J . Rozważ procesy A  B i B  C z wykresu poniżej, w których dostarczamy do układu odpowiednio 3600  J i 2400  J ciepła. Oblicz pracę w każdym z procesów: A  B , B  C , A  D i D  C ; Oblicz zmianę energii wewnętrznej dla procesów A  B i B  C ; Oblicz różnicę między energiami wewnętrznymi stanów C i A ; Oblicz całkowite ciepło dostarczane do układu podczas procesu A  D  C ; Czy korzystając z podanych informacji, można ustalić, ile ciepła dostarczono do układu w procesie A  D ? Odpowiedź uzasadnij. Dwa mole gazowego helu są umieszczone w cylindrycznym zbiorniku z tłokiem. Gaz ma temperaturę pokojową 25  ° C i ciśnienie 3 ⋅ 10 5  Pa . Objętość gazu wzrasta dwukrotnie, gdy ciśnienie z zewnątrz jest zmniejszane przy utrzymaniu temperatury pokojowej. Oblicz pracę, jaką nad układem wykonuje czynnik zewnętrzny; Oblicz ciepło wymienione przez gaz i sprawdź czy gaz oddaje, czy pobiera ciepło. Załóż, że gaz zachowuje się jak gaz doskonały. a. − 3400  J ; b. Gaz pobiera 3400  J . W przewodzącym ciepło zbiorniku z ruchomym tłokiem znajduje się n n moli jednoatomowego gazu doskonałego. Zbiornik z gazem umieszczono w wielkim termostacie o temperaturze T 1 . Gaz ma możliwość osiągnięcia stanu równowagowego. Po tym, jak go osiągnie, ciśnienie wywierane na tłok zmniejszy się tak, że gaz zacznie się rozprężać przy stałej temperaturze. Proces zachodzi kwazistatycznie, aż ciśnienie osiągnie 4 ∕ 3 początkowego ciśnienia p 1 . Oblicz zmianę energii wewnętrznej gazu; pracę wykonaną przez gaz; ciepło wymienione przez gaz i pokaż czy gaz pobiera, czy oddaje ciepło. proces adiabatyczny (ang. adiabatic process ) proces, podczas którego ciepło ani nie przepływa do układu, ani z niego nie odpływa proces kołowy (ang. cyclic process ) proces, w którym końcowy stan układu jest taki sam jak początkowy proces izobaryczny (ang. isobaric process ) proces, podczas którego ciśnienie układu się nie zmienia proces izochoryczny (ang. isochoric process ) proces, podczas którego objętość układu się nie zmienia proces izotermiczny (ang. isothermal process ) proces, podczas którego temperatura układu pozostaje stała proces odwracalny (ang. reversible process ) proces, który może być odwrócony tak, że zarówno układ, jak i środowisko powrócą do swojego początkowego stanu proces termodynamiczny (ang. thermodynamic process ) sposób, w jaki stan układu może się zmieniać przy przejściu ze stanu początkowego do końcowego

Science


Pojemność cieplna gazu doskonałego Ciepło właściwe oraz molową pojemność cieplną omówiliśmy już w rozdziale Temperatura i ciepło ; jednak nie rozpatrywaliśmy procesu, w którym ciepło jest dostarczane do układu. Zrobimy to w tej części rozdziału. Na początku zbadamy proces, w którym układ ma stałą objętość, a później porównamy to z sytuacją, w której układ ma stałe ciśnienie i pokażemy, jak ciepła właściwe dla tych procesów są ze sobą powiązane. Zacznijmy od rozpatrzenia , na którym znajdują się dwa pojemniki, A oraz B , każdy zawierający 1  mol tego samego rodzaju gazu doskonałego o temperaturze T i o objętości V . Jedyna różnica między tymi pojemnikami polega na tym, że tłok na górze pojemnika A nie może się ruszać, podczas gdy ten na górze pojemnika B może. Na tłoki działa stałe zewnętrzne ciśnienie p . Rozważmy, co się stanie, gdy temperatura gazu w każdym z pojemników będzie powoli rosła do T + d T dzięki dostarczaniu ciepła. Pojemniki różnią się jedynie możliwością ruchu tłoka. Tłok na górze pojemnika A nie może się ruszać, podczas gdy ten na górze pojemnika B może. Na tłoki działa stałe zewnętrzne ciśnienie p . Tłok pojemnika A nie może się przemieszczać, a więc objętość gazu się nie zmieni. Dlatego też gaz nie wykonuje pracy i z pierwszej zasady termodynamiki mamy d U = d Q − d W = d Q  . Fakt, że ciepło jest wymieniane przy stałej objętości, zapisujemy jako d Q = C V  d T  , gdzie C V to molowa pojemność cieplna przy stałej objętości (ang. molar heat capacity at constant volume ) gazu. Dodatkowo dla tego konkretnego procesu d U = d Q , więc d U = C V  d T  . Równanie to otrzymujemy, zakładając, że objętość gazu jest stała. Jednak energia wewnętrzna jest funkcją stanu zależącą jedynie od temperatury gazu doskonałego. Dlatego z d U = C V  d T wynika zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego dla każdego procesu, w którym następuje zmiana temperatury d T . Kiedy gaz w pojemniku B jest podgrzewany, rozszerza się, przesuwając ruchomy tłok oraz wykonując pracę d W = p  d V . W tym przypadku ciepło jest dostarczone przy stałym ciśnieniu i możemy zapisać d Q = C p  d T  , gdzie C p to molowa pojemność cieplna przy stałym ciśnieniu (ang. molar heat capacity at constant pressure ) gazu. Co więcej, gaz doskonały rozszerza się przy stałym ciśnieniu, a zatem d p  V = d R  T  , co możemy przekształcić do p  d V = R  d T  . Ostatecznie, używając wyrażeń na d Q oraz p  d V dla pierwszej zasady termodynamiki, otrzymujemy d U = d Q − p  d V = C p − R  d T  . Znaleźliśmy więc d U zarówno dla procesu izochorycznego, jak i izobarycznego. Ponieważ energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury, d U musi być takie samo dla obu procesów. Dlatego C V  d T = C p − R  d T  , oraz C p = C V + R  . było oparte tylko na równaniu stanu gazu doskonałego. W konsekwencji równanie to jest w przybliżeniu prawidłowe dla wszystkich rozrzedzonych gazów: jednoatomowych, jak He, dwuatomowych, jak O 2 , czy wieloatomowych, jak CO 2 lub NH 3 . W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że molowa pojemność cieplna gazu doskonałego o stałej objętości to C V = d 2  R  , gdzie d to liczba stopni swobody cząsteczek w układzie. pokazuje molowe pojemności cieplne pewnych rozrzedzonych gazów doskonałych. Pojemności cieplne gazów rzeczywistych są nieco wyższe niż te przewidziane przez wyrażenia na C V i C p , dane w . Oznacza to, że wibracje cząsteczek wieloatomowych mają znaczący wpływ na pojemność cieplną, nawet w temperaturze pokojowej. Niemniej jednak różnica między molowymi pojemnościami cieplnymi, C p − C V , jest bardzo zbliżona do R , nawet dla gazów wieloatomowych. Molowe pojemności cieplne rozrzedzonych gazów doskonałych Rodzaj cząsteczek Gaz C p ( J ∕ mol  K ) C V ( J ∕ mol  K ) C p − C V ( J ∕ mol  K ) Jednoatomowa Doskonały 5 2  R = 20,79 3 2  R = 12,47 R = 8,31 Dwuatomowa Doskonały 7 2  R = 29,10 5 2  R = 20,79 R = 8,31 Wieloatomowa Doskonały 4  R = 33,26 3  R = 24,94 R = 8,31 Podsumowanie Dla gazu doskonałego molowa pojemność cieplna przy stałym ciśnieniu C p jest dana przez C p = C V + R = d  R ∕ 2 + R C_p = C_V + R= dR/2 + R , gdzie d to liczba stopni swobody każdej cząsteczki/jednostki układu. Gaz rzeczywisty ma molową pojemność cieplną nieco wyższą niż molowa pojemność cieplna odpowiedniego gazu doskonałego, C p ≈ C V + R  . Pytania Większość substancji rozszerza się na skutek podgrzewania. Godnym uwagi wyjątkiem jest woda w temperaturze między 0  ° C a 4  ° C , która zmniejsza objętość podczas podgrzewania. Która wartość w przypadku wody w tym zakresie temperaturowym jest większa, C p czy C V ? Zazwyczaj pojemność C p jest większa niż C V , ponieważ gdy następuje rozszerzanie układu przy stałym ciśnieniu, układ wykonuje pracę nad otoczeniem. Z tego wynika, że ciepło może zamienić się w energię wewnętrzną i pracę. Gdy objętość jest stała, całe ciepło zamienia się w energię wewnętrzną. W rozpatrywanym przypadku woda kurczy się podczas podgrzewania, więc jeśli dostarczymy ciepło przy stałym ciśnieniu, to praca jest wykonywana nad wodą przez otoczenie i dlatego C p jest mniejsza niż C V . Dlaczego dla gazów mamy dwa ciepła właściwe, C p i C V , a dla ciał stałych tylko jedno? Zadania Temperatura jednoatomowego gazu doskonałego wzrosła o 8  K . Ile wynosi zmiana energii wewnętrznej 1  mola \SI{1}{\mola} tego gazu, jeśli jego objętość się nie zmienia? 100  J . Dla wzrostu temperatury o 10  ° C przy stałej objętości, ile ciepła pobiera 3  mole \SI{3}{\molee} rozrzedzonego gazu jednoatomowego; 0,5  mola \SI{0,5}{\mola} rozrzedzonego gazu dwuatomowego; 15  moli \SI{15}{\moli} rozrzedzonego gazu wieloatomowego? Jeśli początkowa temperatura gazów z poprzedniego zadania jest równa 300  K , to ile wynoszą ich energie wewnętrzne po pobraniu ciepła? a. 370  J ; b. 100  J ; c. 500  J . Rozważ sytuację, w której mamy 0,4  mola \SI{0,4}{\mola} rozrzedzonego dwutlenku węgla o ciśnieniu 0,5  atm i objętości 50  l . Ile wynosi energia wewnętrzna tego gazu? Gdy dostarczamy powoli 400  J ciepła do 10  moli \SI{10}{\moli} jednoatomowego gazu doskonałego, to jego temperatura wzrasta o 10  ° C . Ile wynosi praca wykonywana na tym gazie? 850  J . 1  mol \SI{1}{\mol} rozrzedzonego gazu dwuatomowego o początkowej objętości równej 10  l rozszerza się pod stałym ciśnieniem 2  atm podczas powolnego podgrzewania. Jeśli temperatura gazu wzrasta o 10  K , a ciepło dostarczone podczas tego procesu wynosi 400  J , to jaka będzie objętość końcowa gazu? molowa pojemność cieplna przy stałym ciśnieniu (ang. molar heat capacity at constant pressure ) określa stosunek ilości ciepła dodanego/usuniętego do zmiany temperatury podczas pomiaru przy stałym ciśnieniu molowa pojemność cieplna przy stałej objętości (ang. molar heat capacity at constant volume ) określa stosunek ilości ciepła dodanego/usuniętego do zmiany temperatury podczas pomiaru przy stałej objętości

Science


Proces adiabatyczny gazu doskonałego Podczas adiabatycznego sprężania gazu doskonałego ( Q = 0  J ) praca jest wykonywana na gazie i jego temperatura wzrasta. Z kolei podczas adiabatycznego rozprężania (ang. adiabatic expansion ) to gaz wykonuje pracę i jego temperatura spada. Sprężania adiabatyczne (ang. adiabatic compression ) w rzeczywistości występują w cylindrach samochodu, gdzie sprężanie mieszanki paliwowo-powietrznej zachodzi tak szybko, że mieszanka nie ma czasu na wymianę ciepła ze swoim otoczeniem. Podczas sprężania praca jest wykonywana na mieszance i dlatego jej temperatura znacznie wzrasta. Wzrost temperatury może być tak wielki, że może dojść do zapłonu nawet bez udziału iskry. Samoczynne zapłony źle wpływają na pracę silnika, powodując tzw. stukanie silnika. Ponieważ temperatura zapłonu rośnie wraz z liczbą oktanową benzyny, jeden ze sposobów obejścia powyższego problemu to używanie wysokooktanowego paliwa. Inny interesujący proces adiabatyczny to rozprężanie swobodne gazu. pokazuje dwukomorowy, izolowany termicznie zbiornik. Komory oddzielone są membraną, a w jednej z komór znajduje się gaz. Kiedy membrana zostanie przekłuta, gaz zacznie gwałtownie przechodzić do pustej komory zbiornika, gdzie będzie się swobodnie rozprężać. Ponieważ gaz rozpręża się „do próżni” ( p = 0  Pa ), nie wykonuje pracy. Dodatkowo rozprężanie jest adiabatyczne, ponieważ zbiornik jest izolowany termicznie. Gdy Q = 0  J i W = 0  J , to według pierwszej zasady termodynamiki początkowa i końcowa energia wewnętrzna są takie same, czyli Δ  U = 0  J . Po przekłuciu membrany gaz w lewej komorze rozpręża się. Jeśli gaz jest doskonały, energia wewnętrzna zależy wyłącznie od temperatury. Dlatego też kiedy gaz doskonały rozpręża się swobodnie, jego temperatura się nie zmienia. Kwazistatyczne rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego jest pokazane na , który przedstawia izolowany cylinder zawierający 1  mol gazu doskonałego. Gaz rozpręża się kwazistatycznie na skutek usuwania pojedynczych ziarenek piasku z góry tłoka. Kiedy gaz rozpręży się o d V , zmiana jego temperatury wynosi d T . Praca wykonywana przez gaz podczas rozprężania jest równa d W = p  d V , a d Q = 0  J , ponieważ cylinder jest izolowany. Na podstawie zmiana energii wewnętrznej gazu wynosi d U = C V  d T . Stosując pierwszą zasadę termodynamiki, otrzymujemy C V  d T = 0  J − p  d V = − p  d V  , więc d T = − p  d V C V  . Kiedy pojedyncze ziarenka piasku są usuwane z tłoka, gaz rozpręża się adiabatycznie i kwazistatycznie w izolowanym zbiorniku. Dla 1  mola \SI{1}{\mola} gazu doskonałego mamy d p  V = d R  T  , a więc p  d V + V  d p = R  d T oraz d T = p  d V + V  d p R  . Mamy teraz dwa wzory na d T . Po przyrównaniu ich otrzymujemy C V  V  d p + C V + R  p  d V = 0  J  . Teraz podzielmy to równanie przez p  V i podstawmy C p = C V + R . Zostaje nam wtedy C V  d p p + C p  d V V = 0  J  , co przekształca się do d p p + κ  d V V = 0  , gdzie κ to stosunek molowych pojemności cieplnych κ = C p C V  . Zatem ∫ d p p + κ  ∫ d V V = 0 i ln p + κ  ln V = const. Ostatecznie, korzystając z ln A x = x  ln A oraz ln A  B = ln A + ln B , możemy to zapisać jako p  V κ = const. To równanie musi być spełnione dla gazu doskonałego w kwazistatycznym procesie adiabatycznym. Przykładowo, jeśli gaz doskonały ulega kwazistatycznemu przejściu adiabatycznemu ze stanu o ciśnieniu p 1 i objętości V 1 do stanu o ciśnieniu p 2 i objętości V 2 musi być spełnione równanie p 1  V 1 κ = p 2  V 2 κ  . Warunek z dla procesu adiabatycznego może być zapisany za pomocą innych par zmiennych termodynamicznych w wyniku połączenia ich z równaniem stanu gazu doskonałego. Otrzymamy wtedy p 1 − κ  T κ = const oraz T  V κ − 1 = const. Odwracalne rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego jest pokazane na wykresie p  V na . Nachylenie krzywej w każdym punkcie wynosi d p d V = d d V ( const V κ ) = − κ p V . Kwazistatyczne rozprężanie adiabatyczne oraz izotermiczne gazu doskonałego. Krzywa przerywana pokazana na wykresie p  V reprezentuje rozprężanie izotermiczne, w którym T (a więc również p  V ) jest stałe. Nachylenie krzywej będzie przydatne podczas rozważania drugiej zasady termodynamiki w następnym rozdziale. To nachylenie wynosi d p d V = d d V n R T V = − p V . Krzywa izotermiczna nie opada tak gwałtownie jak krzywa adiabatyczna, ponieważ κ > 1 . Sprężanie gazu doskonałego w silniku samochodowym Opary benzyny są wtłaczane do cylindra silnika samochodowego, gdy tłok jest w dolnym położeniu. Temperatura, ciśnienie i objętość powstałej mieszanki paliwowo-powietrznej wynoszą odpowiednio 20  ° C , 10 5  N ∕ m 2 i 240  cm 3 . Mieszanka jest następnie sprężana adiabatycznie do objętości 40  cm 3 . Zauważmy, że w rzeczywistości sprężanie w silniku samochodowym jest niekwazistatyczne, ale dla uproszczenia przyjmijmy, że proces ten zachodzi kwazistatycznie. Ile wynosi ciśnienie i temperatura mieszanki po sprężeniu? Ile pracy wykona mieszanka podczas sprężania? Strategia rozwiązania Z założenia, że rozważany proces jest kwazistatycznym sprężaniem adiabatycznym gazu doskonałego, mamy p  V κ = const oraz p  V = n  R  T . Poszukiwana praca może być obliczona z W = ∫ V 1 V 2 p  d V . Rozwiązanie Dla sprężania adiabatycznego mamy p 2 = p 1  V 1 V 2 κ  , a więc po sprężeniu ciśnienie mieszanki będzie wynosić p 2 = 10 5  N ∕ m 2 ⋅ 240 ⋅ 10 − 6  m 3 40 ⋅ 10 − 6  m 3 1,40 = 1,23 ⋅ 10 6  N ∕ m 2  . Z równania stanu gazu doskonałego temperatura mieszanki po sprężeniu będzie wynosić T 2 = p 2  V 2 p 1  V 1  T 1 = 1,23 ⋅ 10 6  N ∕ m 2 ⋅ 40 ⋅ 10 − 6  m 3 10 5  N ∕ m 2 ⋅ 240 ⋅ 10 − 6  m 3 ⋅ 293  K = 600  K = 328  ° C  . Praca wykonana przez mieszankę podczas sprężania wynosi W = ∫ V 1 V 2 p  d V  . Korzystając z warunku z dla procesu adiabatycznego, możemy zapisać: p jako K ∕ V κ , gdzie K = p 1  V 1 κ = p 2  V 2 κ . Dlatego praca jest równa W = ∫ V 1 V 2 K V κ d V = K 1 − κ  1 V 2 κ − 1 − 1 V 1 κ − 1 = 1 1 − κ  p 2  V 2 κ V 2 κ − 1 − p 1  V 1 κ V 1 κ − 1 W = 1 1 − κ  p 2  V 2 − p 1  V 1 W = 1 1 − 1,4  1,23 ⋅ 10 6  N ∕ m 2 ⋅ 40 ⋅ 10 -6  m 3 − 10 5  N ∕ m 2 ⋅ 240 ⋅ 10 -6  m 3 W = − 63  J  . \begin{multiline} W &= \int_{V_1}^{V_2} \d V = \frac{K}{1-\kappa}(\frac{1}{V^{\kappa-1}_{2}} - \frac{1}{V^{\kappa-1}_1}) = \frac{1}{1-\kappa}(\frac{p_2 V_2^{\kappa}}{V_2^{\kappa-1}} - \frac{p_1 V_1^{\kappa}}{V_1^{\kappa-1}}) \\ &= \frac{1}{1-\kappa}(p_2 V_2 - p_1 V_1) \\ &= \frac{1}{1-\num{1,4}}(\SI{1,23e6}{\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{40e-6}{\metre\cubed} - 10^5\si{\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{240e-6}{\metre\cubed}) \\ &= -\SI{63}{\joule} \text{.} \end{multiline} W = ∫ V 1 V 2 d V = K 1 − κ  1 V 2 κ − 1 − 1 V 1 κ − 1 = 1 1 − κ  p 2  V 2 κ V 2 κ − 1 − p 1  V 1 κ V 1 κ − 1 = 1 1 − κ  p 2  V 2 − p 1  V 1 = 1 1 − 1,4  1,23 ⋅ 10 6  N ∕ m 2 ⋅ 40 ⋅ 10 -6  m 3 − 10 5  N ∕ m 2 ⋅ 240 ⋅ 10 -6  m 3 = − 63  J  . \begin{multiline} W &= \int_{V_1}^{V_2} \d V = \frac{K}{1-\kappa}(\frac{1}{V^{\kappa-1}_{2}} - \frac{1}{V^{\kappa-1}_1}) = \frac{1}{1-\kappa}(\frac{p_2 V_2^{\kappa}}{V_2^{\kappa-1}} - \frac{p_1 V_1^{\kappa}}{V_1^{\kappa-1}}) \\ &= \frac{1}{1-\kappa}(p_2 V_2 - p_1 V_1) \\ &= \frac{1}{1-\num{1,4}}(\SI{1,23e6}{\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{40e-6}{\metre\cubed} - 10^5\si{\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{240e-6}{\metre\cubed}) \\ &= -\SI{63}{\joule} \text{.} \end{multiline} Znaczenie Ujemna wartość wykonanej pracy wskazuje, że to tłok wykonuje pracę na mieszance paliwowo-powietrznej. Mieszanka będzie wykonywać pracę na tłoku w cyklu rozprężania. Podsumowanie Krzywa kwazistatyczneego rozprężania adiabatycznego gazu doskonałego opada gwałtowniej niż krzywa rozprężania izotermicznego. Rzeczywiste rozprężanie może być adiabatyczne, rzadko kwazistatyczne. Najważniejsze wzory Równanie stanu dla układu zamkniętego f  p V T = 0 Praca całkowita dla skończonej zmiany objętości W = ∫ V 1 V 2 p  d V Energia wewnętrzna układu (średnia energia całkowita) U = ∑ i E ‾ k i + E ‾ p i Energia wewnętrzna jednoatomowego gazu doskonałego U = n  N A ⋅ 3 2  k B  T = 3 2  n  R  T Pierwsza zasada termodynamiki Δ  U = Q − W Molowa pojemność cieplna przy stałym ciśnieniu C p = C V + R Stosunek molowych pojemności cieplnych κ = C p ∕ C V Warunek dla gazu doskonałego w kwazistatycznym procesie adiabatycznym p  V κ = const Pytania Czy κ może być mniejsze od 1 ? Nie, musi być zawsze większe od 1 . Dla którego stanu skupienia κ będzie większe, dla gazu czy ciała stałego? Odpowiedź uzasadnij. Gaz doskonały w trakcie procesu izotermicznego nie zmienia swojej energii wewnętrznej, ponieważ zależy ona tylko od temperatury. Czy poprawne będzie więc stwierdzenie, że dla gazu doskonałego proces izotermiczny nie różni się od procesu adiabatycznego? Odpowiedź uzasadnij. Podczas procesu adiabatycznego może zajść zmiana temperatury, ale nie ma wymiany ciepła. Podczas procesu izotermicznego nie ma zmiany temperatury, ale może następować wymiana ciepła. Czy gaz wykonuje pracę, kiedy rozpręża się adiabatycznie? Jeśli tak, jakie jest źródło energii potrzebnej do wykonania tej pracy? Zadania Jednoatomowy gaz doskonały ulega kwazistatycznemu rozprężaniu adiabatycznemu, podczas którego jego objętość wzrasta dwukrotnie. Jak zmieni się ciśnienie tego gazu? Ciśnienie zmniejszy się o 0,31 swojej wartości początkowej. Gaz doskonały pod ciśnieniem 0,5  atm i o objętości 10  l ulega kwazistatycznemu sprężaniu adiabatycznemu, aż jego ciśnienie osiągnie 3  atm , a objętość 2,8  l . Czy gaz jest jednoatomowy, dwuatomowy czy wieloatomowy? W poniższej tabeli znajdują się wyniki pomiarów ciśnienia i objętości rozrzedzonego gazu, ulegającego kwazistatycznemu rozprężaniu adiabatycznemu. Narysuj wykres zależności p od V i za jego pomocą ustal, ile będzie wynosić κ . p ( atm ) V ( l ) 20 1 17 1,1 14 1,3 11 1,5 8 2 5 2,6 2 5,2 1 8,4 κ = 1,4 \kappa = \num{1,4} Jednoatomowy gaz doskonały o temperaturze 300  K rozprężył się adiabatycznie i odwracalnie tak, że osiągnął dwa razy większą objętość. Ile wynosi jego końcowa temperatura? Dwuatomowy gaz doskonały o temperaturze 80  K powoli sprężył się adiabatycznie i odwracalnie tak, że osiągnął dwa razy mniejszą objętość. Ile wynosi jego końcowa temperatura? 84  K . Dwuatomowy gaz doskonały o temperaturze 80  K powoli sprężył się adiabatycznie tak, że osiągnął jedną trzecią początkowej objętości. Ile wynosi jego końcowa temperatura? Porównaj, co się dzieje z energią wewnętrzną gazu doskonałego dla kwazistatycznego rozprężania adiabatycznego i dla kwazistatycznego rozprężania izotermicznego. Co się stanie z temperaturą gazu doskonałego podczas rozprężania adiabatycznego? Podczas rozprężania adiabatycznego gaz wykonuje mniej pracy i nie ma przepływu ciepła, dlatego końcowa energia wewnętrzna jest niższa niż w przypadku rozprężania izotermicznego, w którym gaz zarówno wykonuje pracę, jak i następuje przepływ ciepła. Podczas rozprężania adiabatycznego temperatura spadnie. Temperatura n moli gazu doskonałego zmieniła się z T 1 na T 2 podczas kwazistatycznej przemiany adiabatycznej. Pokaż, że praca wykonana przez gaz jest dana wzorem W = n  R κ − 1  T 1 − T 2  . Rozrzedzony gaz rozpręża się kwazistatycznie tak, że osiąga trzy razy większą objętość. W którym przypadku końcowe ciśnienie gazu będzie większe: dla rozprężania izotermicznego czy adiabatycznego? Czy odpowiedź zależy od tego, czy gaz jest jednoatomowy, dwuatomowy, czy wieloatomowy? Dla procesu izotermicznego ciśnienie końcowe będzie większe i nie zależy to od rodzaju gazu. Gaz doskonały rozpręża się adiabatycznie od objętości 2 ⋅ 10 − 3  m 3 do 2,5 ⋅ 10 − 3  m 3 . Jeśli początkowe ciśnienie i temperatura wynosiły odpowiednio 5 ⋅ 10 5  Pa i 300  K , jakie będą ich końcowe wartości? Załóż, że κ = 5 ∕ 3 dla tego gazu; Podczas procesu izotermicznego gaz doskonały rozpręża się od 2 ⋅ 10 − 3  m 3 do 2,5 ⋅ 10 − 3  m 3 . Jeśli początkowe ciśnienie i temperatura wynosiły odpowiednio 5 ⋅ 10 5  Pa i 300  K , jakie będą końcowe wartości ciśnienia i temperatury tego gazu? Podczas procesu adiabatycznego gazu doskonałego jego ciśnienie, objętość i temperatura zmieniają się tak, że wyrażenie p  V κ jest stałe. W temperaturze pokojowej dla gazu jednoatomowego, takiego jak hel, κ = 5 ∕ 3 , a dla gazu dwuatomowego, jak na przykład wodoru, κ = 7 ∕ 5 . Narysuj wykres, na którym będą dwie izotermy jednego mola helu oraz proces adiabatyczny łączący te izotermy. Potraktuj hel jako gaz doskonały. T 1 = 500  K , V 1 = 1  l i T 2 = 300  K . Dwa mole jednoatomowego gazu doskonałego, takiego jak hel, zostały sprężone adiabatycznie i odwracalnie ze stanu początkowego o ciśnieniu 3  atm i objętości 5  l do stanu końcowego o ciśnieniu 4  atm . Oblicz objętość i temperaturę stanu końcowego; Oblicz temperaturę początkową gazu; Oblicz pracę wykonaną przez gaz podczas tego procesu; Oblicz zmianę energii wewnętrznej gazu. Zadania dodatkowe Rozważ procesy przedstawione poniżej. Podczas etapów A  B i B  C odpowiednio 3600  J i 2400  J ciepła jest pobrane przez układ. Oblicz pracę wykonaną podczas każdego z procesów A  B , B  C , A  D i D  C ; Oblicz zmianę energii wewnętrznej w procesach A  B i B  C ; Oblicz różnicę między energiami wewnętrznymi stanów C i A ; Oblicz całkowitą ilość ciepła pobranego przez układ podczas procesu A  D  C ; Czy na podstawie podanych informacji możesz obliczyć ciepło pobrane podczas procesu A  D ? Odpowiedź uzasadnij. a. W A  B = 0  J , W B  C = 2026  J , W A  D = 810 4  J , W D  C = 0  J ; b. Δ  U A  B = 3600  J , Δ  U B  C = 3700  J ; c. Δ  U A  C = 3974  J ; d. Q A  D  C = 4784  J ; e. Nie, ponieważ ciepło jest pobierane w obu częściach drogi A  D  C : zarówno A  D , jak i D  C . Nie ma wystarczających informacji, aby obliczyć, ile ciepła jest pobierane w każdym odcinku drogi A  D  C z osobna. Opona samochodowa zawiera 0,038  m 3 powietrza o ciśnieniu 2,2 ⋅ 10 5  Pa . O ile więcej energii wewnętrznej ma ten gaz w porównaniu do gazu o takiej samej objętości i ciśnieniu równym normalnemu ciśnieniu atmosferycznemu? Balon wypełniono helem o ciśnieniu 0,2  atm i objętości 10  l . O ile większa jest energia wewnętrzna helu w balonie niż w przypadku, gdyby panowało tam ciśnienie atmosferyczne? 300  J . Para napędzająca lokomotywę parową jest przekazywana przy stałym ciśnieniu, wyższym od atmosferycznego o 1,75 ⋅ 10 6  N ∕ m 2 , do tłoka o promieniu 0,2  m . Obliczając p  Δ  V , znajdź pracę wykonywaną przez parę, podczas gdy tłok przesunie się o 0,8  m . Zauważ, że jest to wartość całkowitej pracy, ponieważ korzystamy z różnicy ciśnień; Następnie znajdź pracę poprzez obliczenie wywartej siły i pomnożenie jej przez przebyty dystans. Czy odpowiedź jest taka sama jak w podpunkcie (a)? Ręczna pompka do opon ma tłok o średnicy 2,5  cm i o maksymalnym wychyleniu 30  cm . Ile pracy wykonujesz w jednym ruchu pompką, jeśli średnio ciśnienie w pompce jest wyższe od atmosferycznego o 2,4 ⋅ 10 5  N ∕ m 2 ? Jaką średnio siłą działasz na tłok, pomijając tarcie i siłę grawitacji? a. 59,5  J ; b. 170  N . Oblicz całkowitą pracę silnika cieplnego wzdłuż drogi A  B  C  D  A przedstawionej poniżej. Jaka jest całkowita praca silnika cieplnego wzdłuż drogi A  B  D  A z poprzedniego zadania z linią z B do D ? Dlaczego praca ta jest mniejsza od pracy wzdłuż drogi A  B  C  D  A ? 2,4 ⋅ 10 3  J . Pięć moli jednoatomowego gazu doskonałego w cylindrze o temperaturze 27  ° C zostało rozprężone izotermicznie z 5  l do 10  l . Jaka była zmiana energii wewnętrznej? Ile pracy wykonał gaz podczas tego procesu? Ile ciepła zostało pobrane przez gaz? Cztery mole jednoatomowego gazu doskonałego w cylindrze o temperaturze 27  ° C zostały rozprężone przy stałym ciśnieniu równym 1  atm tak, że objętość gazu wzrosła dwukrotnie. Jaka była zmiana energii wewnętrznej? Ile pracy wykonał gaz podczas tego procesu? Ile ciepła zostało pobrane przez gaz? a. 15 000  J ; b. 10 000  J ; c. 25 000  J . Hel został ochłodzony z 20  ° C do 10  ° C poprzez rozprężenie z 40  atm do 1  atm . Jeśli było 1,4  mola \SI{1,4}{\mola} helu, to jaka będzie końcowa objętość helu? Jaka była zmiana energii wewnętrznej? Podczas procesu adiabatycznego tlen w zbiorniku został sprężony wzdłuż drogi, która może być opisana ciśnieniem p podanym w atmosferach, jako funkcją objętości V ; p = 3  atm ⋅ V ∕ V 0 − 1 2 , gdzie V 0 = 1  l . Początkowe i końcowe wartości objętości wynosiły odpowiednio 2  l i 1,5  l . Oblicz, jaka praca była wykonana nad gazem. 78  J . Cylinder zawierający 3  mole \SI{3}{\molee} jednoatomowego gazu doskonałego został podgrzany przy stałym ciśnieniu 2  atm . Temperatura gazu zmieniła się z 300  K do 350  K w skutek rozprężenia. Oblicz pracę wykonaną nad gazem; przez gaz. Cylinder zawierający 3  mole \SI{3}{\molee} azotu został podgrzany przy stałym ciśnieniu 2  atm . Temperatura gazu zmieniła się z 300  K do 350  K w skutek rozprężenia. Oblicz pracę wykonaną nad gazem; przez gaz, a. − 1220  J ; b. 1220  J . 2  mole \SI{2}{\molee} dwuatomowego gazu doskonałego, takiego jak tlen, zostały sprężone adiabatycznie i odwracalnie ze stanu 3  atm  ,  5  l (\SI{3}{\atm}\text{, }\SI{5}{\litre}) do stanu o ciśnieniu 4  atm . Oblicz objętość i temperaturę gazu w stanie końcowym; Oblicz temperaturę gazu w stanie początkowym; Oblicz pracę wykonaną przez gaz podczas tego procesu; Oblicz zmianę energii wewnętrznej. Przyjmij, że w podanych warunkach C V = 5  R ∕ 2 C_V = 5R/2 i C p = C V + R dla dwuatomowego gazu doskonałego. Izolowany zbiornik zawiera 1,5  mola \SI{1,5}{\mola} argonu o ciśnieniu 2  atm . Początkowo gaz zajmuje 5  l . W skutek rozprężania adiabatycznego ciśnienie gazu maleje do 1  atm . Oblicz objętość i temperaturę gazu w stanie końcowym; Oblicz temperaturę gazu w stanie początkowym; Oblicz pracę wykonaną przez gaz podczas procesu; Oblicz zmianę energii wewnętrznej gazu. a. 7,6  l , 61,6  K ; b. 81,3  K ; c. 3,63 l · atm = 367 J ; d. − 367  J . Zadania trudniejsze Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego zajmuje 10 − 2  m i ma ciśnienie 2 ⋅ 10 5  N ∕ m 2 . Jaka jest temperatura gazu? Gaz ulega kwazistatycznemu sprężaniu adiabatycznemu, aż jego objętość spadnie do 5 ⋅ 10 − 3  m 3 . Jaka będzie końcowa temperatura gazu? Ile pracy będzie wykonanej nad gazem podczas sprężania? Jaka będzie zmiana energii wewnętrznej gazu? Jeden mol gazu doskonałego znajduje się początkowo w komorze o objętości 10 − 2  m 3 i temperaturze 27  ° C . Ile jest ciepła dostarczanego do gazu podczas powolnego rozprężania izotermicznego skutkującego podwojeniem objętości gazu? Załóż, że gaz podwaja swoją objętość poprzez powolne zmniejszanie temperatury przy stałym ciśnieniu i następnie rozprężaniu izobarycznym. Ile wynosi wymiana ciepła dla tego przypadku? Oblicz ilość wymienionego ciepła, gdy gaz podwaja swoją objętość poprzez kwazistatyczne rozprężanie i później izochoryczne zmniejszanie ciśnienia. a. 1700  J ; b. 1200  J ; c. 2400  J . Pocisk o masie 10  g , lecący poziomo z prędkością 200  m ∕ s , uderza i wbija się w gumową kulę o masie 2  kg . Ile energii mechanicznej zostanie rozproszonej podczas tego zderzenia? Zakładając, że C V dla kuli oraz pocisku wynosi 3  R , oblicz wzrost temperatury układu spowodowany zderzeniem. Przyjmij, że masa cząsteczkowa układu wynosi 200  g ∕ mol . Izolowany cylinder ukazany na rysunku poniżej jest zamknięty z dwóch stron i zawiera izolowany tłok, który może przesuwać się po łożyskach bez tarcia. Tłok ten dzieli wnętrze cylindra na dwie komory. W pierwszej komorze znajduje się gaz A, a w drugiej gaz B. Początkowo obie komory mają objętość równą 5 ⋅ 10 − 2  m 3 i zawierają jednoatomowy gaz doskonały o temperaturze 0  ° C i ciśnieniu 1  atm . Ile moli gazu znajduje się w każdej z komór? Do gazu A dostarczono powoli ciepło Q , co spowodowało zwiększenie objętości tego gazu i sprężenie gazu B w drugiej komorze. Końcowe ciśnienie w obu komorach jest równe 3  atm . Ustal, jakie są końcowe objętości obu gazów, korzystając z faktu, że sprężanie gazu B było adiabatyczne; Jakie są końcowe temperatury obu gazów? Ile jest równe Q ? a. 2,2  mol ; b. V A = 6,7 ⋅ 10 − 2  m 3 , V B = 3,3 ⋅ 10 − 2  m 3 ; c. T A = 2400  K , T B = 397  K ; d. 26 000  J . W silniku Diesla do zapłonu paliwa nie potrzeba świecy zapłonowej. Powietrze w cylindrze jest sprężane adiabatycznie, co prowadzi do przekroczenia temperatury zapłonu. Gdy powietrze ma minimalną objętość, następuje wtrysk paliwa do cylindra. Załóż, że w cylindrze początkowo znajduje się powietrze o temperaturze 20  ° C , a objętość cylindra jest równa V 1 . Powietrze to jest następnie sprężane adiabatycznie i kwazistatycznie do temperatury 600  ° C i objętości V 2 . Jeśli κ = 1,4 , to ile wynosi stosunek V 1 ∕ V 2 ? (Uwaga: w rzeczywistym silniku Diesla sprężanie nie jest kwazistatyczne). rozprężanie adiabatyczne (ang. adiabatic expansion ) szybko zachodzący proces, podczas którego bez wymiany ciepła z otoczeniem gaz wykonuje pracę, a jego temperatura maleje sprężanie adiabatyczne (ang. adiabatic compression ) szybko zachodzący proces, podczas którego nad gazem wykonywana jest praca, a jego temperatura rośnie

Science


Wstęp Ksenonowy silnik jonowy z Jet Propulsion Laboratory (Laboratorium Napędu Odrzutowego) bazuje na odrzucie naładowanych i rozpędzanych elektromagnetycznie cząstek widocznych w postaci słabej niebieskiej poświaty. Silnik jonowy to pierwsze niechemiczne urządzenie używane jako główne źródło napędu statku kosmicznego. Dzięki pierwszej zasadzie termodynamiki wiemy, że jedyne procesy, które mogą zachodzić, to te zachowujące energię. Nie może to być jednak jedyne ograniczenie stawiane przez naturę, ponieważ wiele pozornie możliwych procesów termodynamicznych, które zachowywałyby energię, nie zachodzi. Przykładowo, gdy dwa ciała są w kontakcie termicznym, ciepło nigdy nie płynie z ciała zimniejszego do cieplejszego, mimo że nie jest to zabronione przez pierwszą zasadę termodynamiki. Dlatego też muszą istnieć jakieś inne (dodatkowe) zasady termodynamiki, opisujące zachowanie układów fizycznych. Jedną z nich jest druga zasada termodynamiki , która ogranicza możliwe przemiany energii. Energia nie może spontanicznie przechodzić z jednego ciała do drugiego, tak samo jak nie możemy przenieść ciepła z ciała zimniejszego do cieplejszego bez wykonania pracy. Nie możemy wyodrębnić śmietanki z kawy bez procesu chemicznego, który zmieniłby właściwości fizyczne układu lub jego otoczenia. Nie możemy użyć energii wewnętrznej zawartej w powietrzu do napędzania samochodu lub energii oceanu, aby napędzić statek bez zakłócenia otoczenia tych ciał. W rozdziale Pierwsza zasada termodynamiki zaczęliśmy nasze rozważania od humorystycznego sformułowania tejże zasady wymyślonego przez C. P. Snow’a (1905–1980) , „nie możesz wygrać”. Sparafrazował on również drugą zasadę termodynamiki jako „nie możesz nawet zremisować, chyba że na zewnątrz jest bardzo zimno”. Nie można przekształcić 100  % energii termicznej w pracę, chyba że temperatura wynosi 0  K . Zaczniemy od rozpatrzenia procesów spontanicznych i wytłumaczenia, dlaczego niektóre procesy wymagają pracy, nawet jeśli nie jest ona konieczna dla spełnienia zasady zachowania energii.

Science


Procesy odwracalne i nieodwracalne Rozważmy przypadek gazu doskonałego zamkniętego w połowie izolowanego termicznie zbiornika. Gaz jest oddzielony ścianką od drugiej połowy zbiornika, w której jest próżnia. Jeśli szybko usuniemy kawałek z jej środka, gaz rozpręży się i wypełni cały zbiornik, tak jak pokazano na . Gaz rozprężający się z połowy zbiornika na jego całość (a) przed i (b) po tym, jak kawałek rozdzielającej go ścianki zostanie usunięty. Początkowo w prawej części zbiornika jest próżnia. Na gaz nie działa żadna siła, więc nie oczekujemy, że rozprężając się, wykonał on jakąkolwiek pracę – czyli W = 0  J . Zbiornik jest odizolowany termicznie od otoczenia, a więc nie będzie żadnej wymiany ciepła między układem a otoczeniem, mamy więc Q = 0  J . Z pierwszej zasady termodynamiki wnioskujemy zatem o braku zmiany energii wewnętrznej układu Δ U = Q − W = 0  J  . W przypadku gazu doskonałego, jeśli energia wewnętrzna się nie zmieni, temperatura pozostanie stała. Dlatego równanie stanu gazu doskonałego daje nam końcowe ciśnienie gazu, p = n  R  T ∕ V = p 0 ∕ 2 , gdzie p 0 to ciśnienie gazu przed rozprężaniem. Objętość jest podwojona, a ciśnienie zmniejszone o połowę. Poza tym nic innego się nie zmienia podczas rozprężania. Zastanówmy się, czy wszystkie cząsteczki mogą po jakimś czasie powrócić do tej połowy zbiornika, w której były na początku? Intuicja podpowiada nam, że jest to bardzo mało prawdopodobne, mimo że nic, czego się do tej pory dowiedzieliśmy, nie wyklucza możliwości wystąpienia takiej sytuacji. Tak naprawdę pytamy o to, czy rozprężanie gazu jest odwracalne . Proces odwracalny (ang. reversible process ) to taki proces, po zajściu którego układ i środowisko mogą powrócić do stanu początkowego, idąc wstecz po drodze termodynamicznej procesu. Warunkiem koniecznym dla procesu odwracalnego jest kwazistatyczność. Zauważmy, że dość łatwo jest przywrócić początkowy stan układu; znacznie trudniejsze jest jednoczesne odtworzenie pierwotnego stanu otoczenia. W przypadku gazu doskonałego z omawianego ostatnio przykładu możemy wtłoczyć gaz z powrotem do komory oraz przywrócić jego temperaturę i ciśnienie w wyniku odebrania mu części ciepła. Problemem będzie wykonanie powyższych czynności bez jednoczesnej zmiany otoczenia układu. Innymi słowy, układ powróciłby do stanu początkowego po tej samej drodze termodynamicznej. Proces odwracalny to w rzeczywistości proces idealny, który rzadko kiedy zachodzi. Możemy sprawić, że niektóre procesy będą zbliżone do odwracalnych i wykorzystać te procesy odwracalne jako punkt odniesienia. W rzeczywistości prawie wszystkie procesy są nieodwracalne i zwykle niektóre właściwości otoczenia są zmieniane podczas przywracania stanu początkowego układu. Rozprężanie gazu doskonałego, jak już przed chwilą wspomnieliśmy, jest procesem nieodwracalnym, ponieważ nie jest to nawet proces kwazistatyczny, co wiąże się z nieosiąganiem stanu równowagowego w żadnym momencie rozprężania. Z mikroskopowego punktu widzenia ewolucja cząstki opisywanej przez drugą zasadę dynamiki Newtona może się cofać, jeśli odwrócimy bieg czasu. W termodynamice mamy do czynienia z makroskopowym układem złożonym z 10 23 atomów lub cząsteczek, miedzy którymi zachodzą liczne kolizje. Zderzenia sprawiają, że nie jest możliwe odtworzenie trajektorii pojedynczych cząsteczek. Przykładowo możemy oszacować szansę na powrót wszystkich cząsteczek gazu do początkowej połowy zbiornika, ale czas oczekiwania równy aktualnemu wiekowi Wszechświata nie wystarczyłby, aby zaobserwować to zdarzenie chociaż raz. Proces nieodwracalny (ang. irreversible process ) to prawie każdy rzeczywisty proces, z którym mamy do czynienia. Układ i jego środowisko nie mogą jednocześnie wrócić do swoich początkowych stanów. Ze względu na to, że tak właśnie dzieje się w naturze, proces taki jest nazywany naturalnym. Oznaką procesu nieodwracalnego jest skończony gradient pomiędzy stanami występującymi w procesie. Przykładowo, kiedy ciepło przepływa z jednego ciała do drugiego, występuje skończona różnica temperatur (gradient) pomiędzy tymi dwoma ciałami. Co ważniejsze, w każdym momencie procesu układ najpewniej nie jest w stanie równowagowym ani nawet w stanie, który można dobrze zdefiniować. Zjawisko to nazywa się nieodwracalnością (ang. irreversibility ). Spójrzmy na inny przykład nieodwracalności w procesach termicznych. Rozważmy dwa ciała będące w kontakcie termicznym: jedno o temperaturze T 1 , a drugie o temperaturze T 2 > T 1 , jak pokazuje . Spontaniczny przepływ ciepła z ciała o wyższej temperaturze T 2 do ciała o niższej temperaturze T 1 . Z własnego doświadczenia wiemy, że ciepło przepływa z cieplejszego ciała do zimniejszego. Przykładowo, kiedy trzymamy w dłoniach kawałki lodu, czujemy zimno, ponieważ ciepło opuszcza nasze dłonie, przepływając do lodu. Z drugiej strony, kiedy trzymamy jedną końcówkę metalowego pręta, podczas gdy druga znajduje się nad ogniem, zaczniemy odczuwać ciepło. Wszystkie wspomniane doświadczenia dotyczące przepływu ciepła potwierdzają poniższą zasadę: Druga zasada termodynamiki (sformułowanie Clausiusa) Ciepło nigdy nie przepływa spontanicznie z ciała zimniejszego do cieplejszego. Powyższe stwierdzenie jest jednym z kilku sposobów sformułowania drugiej zasady termodynamiki. Jego autorem jest niemiecki fizyk Rudolf Clausius (1822–1888) . Słowo „spontanicznie” oznacza tutaj, że żaden inny czynnik z zewnątrz nie wpłynął na przepływ ciepła. Wprowadzimy później kilka innych znanych sformułowań drugiej zasady termodynamiki, które są sobie równoważne. Wszystkie one implikują nieodwracalność spontanicznego przepływu ciepła między makroskopowymi ciałami składającymi się z dużej liczby atomów lub cząsteczek. Zarówno procesy izotermiczne, jak i adiabatyczne, przedstawione na wykresie p  V w rozdziale Pierwsza zasada termodynamiki , są w zasadzie odwracalne, gdyż układ jest zawsze w stanie równowagowym i może się poruszać w przód i w tył wzdłuż podanych krzywych. Inne krzywe p  V również mogą reprezentować procesy wyidealizowane. podsumowuje najczęściej spotykane procesy odwracalne. Elementarne procesy termodynamiczne. Proces Stała wielkość i wynikający fakt Izobaryczny Stałe ciśnienie W = p  Δ V Izochoryczny Stała objętość W = 0  J Izotermiczny Stała temperatura Δ T = 0  K Adiabatyczny Nie ma przepływu ciepła Q = 0  J Podsumowanie Proces odwracalny to ten, w którym zarówno układ, jak i jego środowisko mogą wrócić do swoich stanów początkowych, podążając odwrotną drogą. Proces nieodwracalny to ten, w którym układ i środowisko nie mogą jednocześnie wrócić do swoich stanów początkowych. Nieodwracalność każdego naturalnego procesu wynika z drugiej zasady termodynamiki. Pytania Podaj przykład procesu zachodzącego w przyrodzie jak najbardziej zbliżonego do procesu odwracalnego. Jednymi z możliwych rozwiązań są: ruchy bez tarcia, ograniczone sprężanie i rozprężanie, wymiana energii w formie ciepła na skutek nieskończenie małych różnic temperatur, przepływ prądu przez przewodnik o zerowej rezystancji. Zadania Zbiornik zawiera 111  g chloru gazowego (Cl 2 ) o temperaturze 82  ° C i ciśnieniu bezwzględnym 5,7 ⋅ 10 5  Pa . Temperatura powietrza na zewnątrz zbiornika wynosi 20  ° C . Masa molowa Cl 2 jest równa 70,9  g ∕ mol . Jaka jest objętość zbiornika? Ile wynosi energia wewnętrzna gazu? Ile pracy wykona gaz, jeśli temperatura i ciśnienie w zbiorniku spadną do odpowiednio 31  ° C i 3,8 ⋅ 10 5  Pa na skutek nieszczelności zbiornika? Mol jednoatomowego gazu doskonałego o temperaturze 0  ° C i ciśnieniu 1  atm został podgrzany i poddany rozprężaniu izobarycznemu. W efekcie jego objętość wzrosła trzykrotnie. Jaki jest przepływ ciepła w tym procesie? 4,53 ⋅ 10 3  J . Mol gazu doskonałego pod ciśnieniem 4  atm i o temperaturze 298  K zwiększa swoją objętość dwukrotnie w procesie izotermicznym. Jaką pracę wykonuje gaz? Po swobodnym rozprężaniu, które doprowadziło do czterokrotnego wzrostu objętości, mol dwuatomowego gazu doskonałego został sprężony izobarycznie z powrotem do swej początkowej objętości i ochłodzony do temperatury początkowej. Jaka jest minimalna ilość ciepła, którą oddał gaz w końcowej fazie przywracania do początkowego stanu? 4,5  p  V 0 . sformułowanie drugiej zasady termodynamiki według Clausiusa (ang. Clausius statement of the second law of thermodynamics ) ciepło nigdy nie przepływa spontanicznie z ciała zimniejszego do cieplejszego nieodwracalność (ang. irreversibility ) cecha procesów naturalnych proces nieodwracalny (ang. irreversible process ) proces, po którym układ oraz jego środowisko nie mogą być jednocześnie przywrócone do swoich początkowych stanów proces odwracalny (ang. reversible process ) proces, w którym zarówno układ, jak i środowisko teoretycznie mogą wrócić do swoich oryginalnych stanów

Science


Silniki cieplne Silnik cieplny (ang. heat engine ) to urządzenie, które pobiera ciepło ze źródła i zamienia je w energię mechaniczną, używaną następnie do różnych celów. Dobrym przykładem jest silnik parowy w lokomotywie, w którym zachodzi przemiana energii cieplnej na mechaniczną, potrzebną do napędzania pociągu. Nasuwa nam się teraz pytanie na temat konstrukcji i zastosowań silników cieplnych. Przykładowo, jaki maksymalny procent pobieranego ciepła może być użyty do wykonania pracy? Okazuje się, że aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy skorzystać z drugiej zasady termodynamiki. Druga zasada termodynamiki może być sformułowana na kilka sposobów. Jedno ze sformułowań, znane jako sformułowanie Calsiusa, mówi o spontanicznym przepływie ciepła. Kilka innych opiera się na pojęciu silnika cieplnego. Przy analizowaniu silników cieplnych i połączonych z nimi urządzeń, np. chłodziarki czy pompy ciepła, musimy pamiętać o konwencji znaków dla ciepła i pracy. Dla wygody przyjmiemy, że symbole Q c , Q z i W oznaczają ilość wymienionego ciepła i wykonanej pracy bez względu na to, od czego ciepło zostało pobrane i co wykonało pracę. W celu określenia kierunku przepływu ciepła oraz tego, czy praca została wykonana przez układ, czy na układzie, spojrzymy na odpowiednie znaki przed symbolami i na zwroty strzałek na schematach. Przyjmijmy, że silnik cieplny jest zbudowany pomiędzy źródłem ciepła (rezerwuar o wysokiej temperaturze lub ciepły rezerwuar) a chłodnicą (rezerwuar o niskiej temperaturze lub zimny rezerwuar). Schemat takiego układu znajduje się na . Silnik pobiera ciepło Q c ze źródła ciepła ( ciepłego rezerwuaru , ang. hot reservoir ) o temperaturze T c podanej w kelwinach, używa części tej energii do wykonania pracy użytecznej W , a następnie oddaje pozostałą energię w formie ciepła Q z do chłodnicy ( zimnego rezerwuaru , ang. cold reservoir ) o temperaturze T z podanej w kelwinach. Elektrownie oraz silniki o spalaniu wewnętrznym to przykłady silników cieplnych. Elektrownie parowe/konwencjonalne (ang. power plant ) wykorzystują parę wodną powstałą przy wysokiej temperaturze do napędzania turbin zasilających generatory elektryczne, wypompowując przy tym ciepło do atmosfery lub pobliskiego zbiornika wodnego, pełniącego rolę chłodnicy. W silniku o spalaniu wewnętrznym (ang. internal combustion engine ) gorąca mieszanka paliwowo-powietrzna używana jest do wypychania tłoka, a ciepło odprowadza się do atmosfery w podobny sposób. Schematyczne przedstawienie silnika cieplnego. Energia przepływa z ciepłego rezerwuaru do zimnego rezerwuaru, wykonując przy tym pracę. W rzeczywistości istnieje wiele różnych modeli silników cieplnych, m.in. silnik o spalaniu wewnętrznym, powszechnie używany w samochodach, lub silnik o spalaniu zewnętrznym, np. silnik parowy używany w lokomotywach parowych. przedstawia zdjęcie działającej elektrowni atomowej. Atmosfera wokół reaktorów odgrywa rolę zimnego rezerwuaru, a ciepło wytworzone na skutek reakcji jądrowych dostarczane jest do ciepłego rezerwuaru. Ciepło wypompowane z elektrowni atomowych przechodzi do chłodni kominowych, skąd jest uwalniane do atmosfery. Silniki cieplne działają dzięki temu, że czynnik roboczy przechodzi pewien cykl przemian. W elektrowniach cieplnych czynnikiem roboczym (ang. working substance ) jest woda, która będąc początkowo w stanie ciekłym, przechodzi następnie w stan gazowy i służy do napędzania turbiny, a ostatecznie zostaje skondensowana z powrotem do stanu ciekłego. Jak w przypadku wszystkich czynników roboczych w procesach cyklicznych, po tym, jak woda wróci do swojego stanu początkowego, rozpoczyna na nowo ten sam cykl. Na razie przyjmijmy, że cykle silnika cieplnego są odwracalne, więc nie ma strat energii na skutek tarcia lub innych nieodwracalnych procesów. Załóżmy, że silnik na przechodzi jeden cykl. Q c , Q z i W reprezentują w nim odpowiednio ciepło źródła, ciepło chłodnicy i wykonaną pracę. Stany początkowy i końcowy są takie same, dlatego w wyniku tego procesu nie dochodzi do zmiany energii wewnętrznej Δ U = 0  J . Stąd, korzystając z pierwszej zasady termodynamiki, mamy W = Q − Δ U = Q c − Q z − 0  J  , czyli W = Q c − Q z  . Istotnym parametrem silnika cieplnego jest jego sprawność ( e ) (ang. efficiency ), która mówi nam, jaki jest stosunek wykonanej przez silnik pracy do dostarczonego do silnika ciepła podczas jednego cyklu. Wzór na sprawność silnika jest następujący: e = W zew ∕ Q wew . W przypadku silnika cieplnego pracującego między dwoma rezerwuarami dostarczamy Q c i otrzymujemy W . Korzystamy z w celu wyprowadzenia końcowego wzoru na sprawność silnika e = W Q c = 1 − Q z Q c  . Kosiarka spalinowa Pewna kosiarka ma sprawność na poziomie 25  % i średni pobór mocy równy 3  kW . Ile wynosi średnia praca podczas używania kosiarki przez jedną minutę? Ile wynosi minimalna ilość traconego ciepła podczas używania kosiarki przez jedną minutę? Strategia rozwiązania Korzystając z podanej średniej mocy, możemy obliczyć wykonaną pracę w podanej jednostce czasu. Następnie wyliczamy minimalną stratę ciepła, używając podanej sprawności silnika. Q z = Q c  1 − e , gdzie Q c = Q z + W . Rozwiązanie Średnia praca wykonywana przez kosiarkę w ciągu minuty wynosi W = P  Δ t = 3 ⋅ 10 3 ⋅ 60 ⋅ 1  J = 180  kJ  . Minimalna ilość traconego ciepła określona jest wzorem Q z = Q c  1 − e = Q z + W  1 − e  , co prowadzi do Q z = W  1 e − 1 = 180 ⋅ 1 0,25 − 1  kJ = 540  kJ  . Znaczenie Wraz ze wzrostem sprawności maleją straty ciepła. Dzięki temu można ograniczyć ilość ciepła emitowanego do atmosfery i środowiska. Podsumowanie Praca wykonana przez silnik cieplny to różnica między ciepłem dostarczonym z ciepłego rezerwuaru a ciepłem oddanym do zimnego rezerwuaru, czyli W = Q c − Q z . Stosunek wykonanej pracy do ciepła dostarczonego z ciepłego rezerwuaru nazywany jest sprawnością silnika, czyli e = W ∕ Q c = 1 − Q z ∕ Q c . Pytania Podaj praktyczne uzasadnienie wzoru na sprawność silnika cieplnego, W ∕ Q c . Zadania Silnik o sprawności 0,4 wykonuje pracę 200  J podczas jednego cyklu. Oblicz ilość ciepła dostarczanego do silnika i stratę ciepła. Podczas wykonywania pracy 100  J silnik odprowadza 50  J ciepła. Jaka jest sprawność tego silnika? 0,667 . Silnik o sprawności 0,3 pobiera 500  J ciepła podczas jednego cyklu. Ile pracy wykonuje podczas jednego cyklu? Ile ciepła odprowadza podczas jednego cyklu? Pewien silnik podczas jednego cyklu odprowadza 100  J a pobiera 125  J ciepła. Jaka jest sprawność tego silnika? Ile pracy wykonuje podczas jednego cyklu? a. 0,556 ; b. 125  J . Temperatura zimnego rezerwuaru wynosi 300  K . Silnik o sprawności wynoszącej 0,3 pobiera 400  J ciepła podczas jednego cyklu. Ile pracy wykonuje podczas jednego cyklu? Ile ciepła odprowadza podczas jednego cyklu? Temperatura ciepłego rezerwuaru podana w kelwinach jest dwa razy większa od temperatury zimnego rezerwuaru, a praca wykonywana przez silnik podczas jednego cyklu jest równa 50  J . Oblicz sprawność tego silnika; ciepło pobierane przez silnik; ilość ciepła traconego. a. 0,5 ; b. 100  J ; c. 50  J . Elektrownia węglowa zużywa 100 000  kg węgla w ciągu godziny i wytwarza 500  MW mocy. Jeśli ciepło spalania węgla wynosi 30  MW ∕ kg , to jaka jest sprawność tej elektrowni? zimny rezerwuar (ang. cold reservoir ) zbiornik ciepła usuwanego z silnika sprawność (ang. efficiency ) stosunek pracy wykonanej przez silnik do ciepła dostarczonego do silnika z ciepłego rezerwuaru silnik cieplny (ang. heat engine ) urządzenie zamieniające ciepło na pracę ciepły rezerwuar (ang. hot reservoir ) źródło ciepła dostarczanego do silnika

Science


Chłodziarki i pompy ciepła W poprzednim rozdziale opisywaliśmy cykle silnika będące procesami odwracalnymi. Każda sekwencja etapów mogła być bez problemu wykonana w odwrotnej kolejności. Teraz będziemy rozważać specjalne typy silników cieplnych, które działają w odwrotnym kierunku. Przykładami takich silników są chłodziarka (ang. refrigerator ) i pompa ciepła (ang. heat pump ). W przypadku chłodziarki ciepło jest pobierane z zimnego rezerwuaru, a w przypadku pompy ciepła dostarczane do ciepłego rezerwuaru. Najpierw omówimy chłodziarkę ( ), której głównym celem jest obniżenie temperatury jakiegoś ciała do temperatury niższej od temperatury jego otoczenia. Silnik ten pobiera ciepło z zimnego rezerwuaru. Zimnym rezerwuarem dla chłodziarki jest przestrzeń wewnątrz chłodziarki, a w przypadku klimatyzatora przestrzeń wewnątrz budynku. Schemat chłodziarki lub pompy ciepła. Strzałka z podpisem W symbolizuje pracę dostarczaną do układu. Chłodziarka (lub pompa ciepła) pobiera ciepło Q z z zimnego rezerwuaru o temperaturze T z , oddaje ciepło Q c do ciepłego rezerwuaru o temperaturze T c , a praca wykonywana na czynniku roboczym silnika to W , jak pokazano na schemacie. Jednostką obu temperatur jest kelwin. W przypadku lodówki ciepło jest odbierane z żywności wewnątrz lodówki i następnie przekazywane do otoczenia. Praca potrzebna do działania lodówki, za którą potem płacimy rachunki, wykonywana jest przez silniczek przemieszczający czynnik chłodzący. Schemat lodówki znajduje się na . Schemat działania lodówki. Chłodziwo o temperaturze wrzenia niższej niż temperatura zamarzania wody przepływa cyklicznie przez kolejne elementy (na schemacie zgodnie ze wskazówkami zegara). Ciepło pobierane jest z lodówki w parowniku, gdzie chłodziwo jest odparowywane. Następnie chłodziwo ulega sprężeniu i przepompowywane jest do skraplacza, w którym oddaje ciepło do otoczenia. Sprawność lub współczynnik wydajności K ch (ang. coefficient of performance ) urządzenia chłodniczego to stosunek ciepła usuniętego z ciepłego rezerwuaru do pracy wykonanej przez czynnik roboczy w jednym cyklu pracy K ch = Q z W = Q z Q c − Q z  . Zauważ, że użyliśmy zasady zachowania energii, W = Q c − Q z , w końcowym kroku obliczeń. Z kolei sprawność lub współczynnik wydajności K p pompy ciepła to stosunek dostarczonego ciepła do pracy wykonanej przez czynnik roboczy w jednym cyklu i wynosi K p = Q c W = Q c Q c − Q z  . Ponownie użyliśmy wzoru na zachowanie energii w powyższym równaniu. Podsumowanie Chłodziarka i pompa ciepła to silniki cieplne działające w odwrotnym kierunku. Zadaniem chłodziarki jest usuwanie ciepła z zimnego rezerwuaru ze współczynnikiem wydajności K ch . Zadaniem pompy ciepła jest dostarczanie ciepła do ciepłego rezerwuaru ze współczynnikiem wydajności K p . Pytania Co się stanie z temperaturą w kuchni, jeśli drzwi lodówki pozostaną otwarte? Temperatura powietrza w kuchni wzrośnie, ponieważ ciepło emitowane za lodówką jest większe niż chłodzenie z wnętrza lodówki. Czy sprawność silnika odwracalnego może być większa niż 1 ? Czy współczynnik wydajności chłodziarki odwracalnej może być mniejszy niż 1 ? Zadania Chłodziarka ma współczynnik wydajności równy 3 . Jeśli jeden cykl pracy chłodziarki wymaga 200  J , to ile ciepła jest usuwane z zimnego rezerwuaru podczas jednego cyklu? Ile ciepła jest emitowane do ciepłego rezerwuaru podczas jednego cyklu? a. 600  J ; b. 800  J . Podczas jednego cyklu chłodziarka usuwa 500  J ciepła z zimnego rezerwuaru i oddaje 800  J do ciepłego rezerwuaru. Jaki jest współczynnik wydajności? Ile pracy potrzeba do wykonania jednego cyklu tego silnika? Chłodziarka emituje 80  J ciepła podczas jednego cyklu, a jej współczynnik wydajności wynosi 6 . Ile ciepła pobiera z zimnego rezerwuaru podczas jednego cyklu silnika? Ile pracy potrzebuje do działania podczas jednego cyklu silnika? a. 69  J ; b. 11  J . współczynnik wydajności (ang. coefficient of performance ) miara efektywności chłodziarki lub pompy ciepła pompa ciepła (ang. heat pump ) urządzenie, które dostarcza ciepło do ciepłego rezerwuaru chłodziarka (ang. refrigerator ) urządzenie, które pobiera ciepło z zimnego rezerwuaru

Science


Sformułowania drugiej zasady termodynamiki W tym rozdziale przedstawiliśmy już sformułowanie Clausiusa drugiej zasady termodynamiki, oparte na nieodwracalności swobodnego przepływu ciepła. Wspomnieliśmy wtedy, że druga zasada termodynamiki bywa również ujmowana na kilka innych, równoważnych sposobów. Z punktu widzenia działania silników cieplnych może być przedstawiona następująco: Druga zasada termodynamiki (sformułowanie Kelvina) Niemożliwe jest przekształcenie ciepła z pojedynczego źródła w pracę bez żadnego efektu ubocznego. Powyższe zdanie znane jest jako sformułowanie Kelvina drugiej zasady termodynamiki (ang. Kelvin statement of the second law of thermodynamics ). Opisuje ono niemożliwy do zbudowania „silnik idealny” znany również pod pojęciem perpetuum mobile (ang. perfect engine ), taki jak na (a). Zauważmy, że końcowa część sformułowania, „bez żadnego efektu ubocznego”, nakłada spore ograniczenia. Przykładowo silnik przekształcający całe pobierane ciepło w pracę musi przy tym wykonywać pełne cykle. Jeśli tego nie zrobi, czynnik roboczy w silniku nie będzie w swoim początkowym stanie, czyli zajdzie „efekt uboczny”. Innym przykładem jest zbiornik z gazem, który może pochłaniać ciepło z ciepłego rezerwuaru i wykonywać pracę w procesie izotermicznym, polegającą na przesuwaniu tłoka. Gdyby gaz miał wrócić do swego stanu początkowego (wykonać pełen cykl), musiałby oddać ciepło i zostać sprężony. Sformułowanie Kelvina nawiązuje do znanego problemu inżynieryjnego. Pomimo rozwoju technologicznego nie jesteśmy w stanie skonstruować silnika cieplnego o stuprocentowej sprawności. Pierwsza zasada termodynamiki nie wyklucza możliwości skonstruowania silnika idealnego. Druga stwierdza, że jest to niemożliwe. (a) „Idealny silnik cieplny” przekształca całe dostarczane ciepło w pracę. (b) „Chłodziarka idealna” transportuje ciepło z zimnego rezerwuaru do ciepłego rezerwuaru bez dodatkowej pracy dostarczanej do silnika. Oba urządzenia są w rzeczywistości niemożliwe do skonstruowania. Możemy pokazać, że sformułowania Kelvina i Clausiusa są równoważne, jeśli przyjmiemy, że dwa ciała ze sformułowania Clausiusa to zimny rezerwuar i ciepły rezerwuar. Wtedy twierdzenie Clausiusa ma postać: Nie można zbudować takiej chłodziarki, która by przenosiła ciepło z zimnego rezerwuaru do ciepłego rezerwuaru bez pomocy z zewnątrz. Według sformułowania Clausiusa ciepło nie może spontanicznie przechodzić od zimniejszego do cieplejszego ciała, co możemy dostrzec w naszym codziennym życiu. Transfer ciepła w kierunku wzrastającej temperatury zawsze wymaga dodatkowej energii z zewnątrz. „Chłodziarka idealna” (ang. perfect refrigerator ) pokazana na (b), pracująca bez pomocy z zewnątrz, jest niemożliwa do skonstruowania. W celu udowodnienia równoważności sformułowań Kelvina i Clausiusa pokażemy, że gdy jedno ze sformułowań jest fałszywe, drugie również będzie nieprawdziwe. Na początek przyjmijmy, że sformułowanie Clausiusa jest fałszywe, dzięki czemu chłodziarka idealna z (b) jest możliwa do skonstruowania. Chłodziarka pobiera ciepło Q z zimnego rezerwuaru o temperaturze T z i przenosi je w całości do ciepłego rezerwuaru o temperaturze T c . Rozważmy teraz rzeczywisty silnik cieplny pracujący w tym zakresie temperatur. Pobiera on ciepło Q + Δ Q z ciepłego rezerwuaru, wykonuje pracę W i oddaje ciepło Q do zimnego rezerwuaru. Z pierwszej zasady termodynamiki mamy W = Q + Δ Q − Q = Δ Q . Urządzenia opisane powyżej pokazane są na . Całkowita ilość ciepła pobieranego z ciepłego rezerwuaru to Δ Q , a praca wykonywana na jakimś innym ciele – W . Między silnikiem a zimnym rezerwuarem nie ma przepływu ciepła. Z równania W = Δ Q wynika, że połączenie chłodziarki idealnej z prawdziwym silnikiem cieplnym daje nam idealny silnik cieplny, co zaprzecza sformułowaniu Kelvina. Dlatego też, jeśli sformułowanie Clausiusa jest fałszywe, to sformułowanie Kelvina również. Połączenie chłodziarki idealnej z rzeczywistym silnikiem cieplnym daje nam idealny silnik cieplny, ponieważ W = Δ Q . Stosując drugą zasadę termodynamiki, udowodnimy teraz dwie ważne właściwości silników cieplnych, działających między dwoma rezerwuarami. Pierwsza właściwość brzmi: dowolny silnik z obiegiem odwracalnym, działający między dwoma rezerwuarami ma sprawność większą niż jakikolwiek silnik z obiegiem nieodwracalnym, działający między tymi samymi rezerwuarami . Druga właściwość jest następująca: wszystkie silniki o obiegu odwracalnym, działające między dwoma tymi samymi rezerwuarami, mają taką samą sprawność . Aby to udowodnić, rozważmy dwa silniki, D i E, przedstawione na (a), które działają między wspólnymi rezerwuarami o temperaturach T c i T z . Przyjmijmy, że obieg silnika D jest odwracalny, a silnik E jest hipotetycznym silnikiem z obiegiem nieodwracalnym i ma większą sprawność niż silnik D. Jeśli oba silniki wykonują tę samą ilość pracy W na cykl, to korzystając z , mamy Q c > Q c ′ . Następnie, stosując pierwszą zasadę termodynamiki, otrzymujemy Q z > Q z ′ . (a) Dwa niesparowane silniki D i E, działające między tymi samymi rezerwuarami. (b) Dwa sparowane silniki D i E, gdzie D działa w obiegu odwrotnym. Załóżmy, że cykl silnika D jest odwrócony tak, że silnik działa jak chłodziarka oraz że silniki są ze sobą sparowane tak, iż praca wykonywana przez E jest używana do napędzania D, jak pokazano na (b). Q c > Q c ′ i Q z > Q z ′ , stąd rezultat każdego cyklu jest równy spontanicznemu przepływowi ciepła z zimnego do ciepłego rezerwuaru, a na taki proces nie pozwala druga zasada termodynamiki. Początkowe założenie musi być więc błędne i nie można zbudować nieodwracalnego silnika takiego jak E, który miałby większą sprawność niż odwracalny silnik D. Teraz dość łatwo jest udowodnić, że sprawności wszystkich silników z obiegiem odwracalnym, działających między tymi samymi rezerwuarami, są równe. Załóżmy, że D i E są silnikami z obiegiem odwracalnym. Jeśli są sparowane tak, jak na (b), sprawność silnika E nie może być większa od sprawności D, bo w przeciwnym razie druga zasada termodynamiki byłaby naruszona. To rozumowanie pokazuje, że sprawność silnika D nie może być większa od sprawności E. Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że wszystkie silniki z obiegiem odwracalnym, działające między tymi samymi rezerwuarami, mają te same sprawności. Sprawdź, czy rozumiesz. Jaka jest sprawność idealnego silnika cieplnego? Jaki jest współczynnik wydajności idealnej chłodziarki? Silnik idealny miałby Q z = 0 , co prowadzi do e = 1 − Q z ∕ Q c = 1 . Chłodziarka idealna potrzebowałaby zerowej pracy, W = 0 , co prowadzi do K ch = Q z ∕ W ⟶ ∞ . Sprawdź, czy rozumiesz. Pokaż, że Q c − Q c ′ = Q z − Q z ′ dla hipotetycznego silnika z (b). Z prawej części silnika mamy W = Q c ′ − Q z ′ Z lewej części silnika mamy Q c = Q z + W . Dlatego też W = Q c ′ − Q z ′ = Q c − Q z . Podsumowanie Sformułowanie drugiej zasady termodynamiki według Kelvina: niemożliwe jest przekształcenie ciepła z pojedynczego źródła w pracę bez żadnego efektu ubocznego. Sformułowania Kelvina i Clausiusa są równoważne. Pytania Pokazaliśmy, że jeśli sformułowanie Clausiusa jest fałszywe, to takie musi być też sformułowanie Kelvina. Pokaż, że odwrotne stwierdzenie również jest prawdziwe: jeśli sformułowanie Kelvina jest fałszywe, to sformułowanie Clausiusa także jest fałszywe. Jeśli połączymy silnik idealny i rzeczywistą chłodziarkę z silnikiem przekształcającym ciepło Q z ciepłego rezerwuaru w pracę W = Q , aby napędzać chłodziarkę, to ciepło oddane do ciepłego rezerwuaru przez chłodziarkę będzie wynosić W + Δ Q , co w rezultacie da chłodziarkę idealną, która przenosi ciepło Δ Q z zimnego rezerwuaru do ciepłego rezerwuaru bez żadnego efektu ubocznego. Dlaczego nie wykorzystujemy ciepła z oceanu do napędzania transatlantyków albo ciepła z atmosfery do napędzania samolotów? Omów praktyczne wady i zalety pomp ciepła i ogrzewania elektrycznego. Pompy ciepła mogą efektywnie wydobywać ciepło z ziemi w chłodne dni lub usuwać ciepło z domu w cieplejsze dni. Z drugiej strony pompy ciepła są kosztowne, wymagają konserwacji i nie pracują wydajnie, gdy różnica temperatury w domu i na zewnątrz jest bardzo duża. Koszt zakupu ogrzewania elektrycznego jest znacznie niższy niż w przypadku pompy ciepła, ale koszt użytkowania może być wyższy, jeśli sporo ogrzewamy i cena prądu jest wysoka. Energia wytwarzana przez pompę ciepła jest większa niż energia potrzebna do jej działania. Dlaczego to stwierdzenie nie narusza pierwszej zasady termodynamiki? Rozważ, dlaczego elektrownie atomowe wydają się mniej wydajne od elektrowni cieplnych, biorąc pod uwagę jedynie temperatury ich funkcjonowania. Reaktor jądrowy wymaga niższej temperatury do pracy, więc jego wydajność nie będzie tak duża, jak wydajność elektrowni cieplnej. W argumencie tym nie uwzględnia się, że ilość energii wytwarzanej w jednej reakcji jądrowej jest znacznie wyższa od energii wytwarzanej podczas spalania paliw kopalnych. Gaz doskonały, mogący rozprężać się swobodnie, przechodzi ze stanu p 1  ,  V 1 do stanu p 2  ,  V 2 . Czy możliwe jest przedstawienie tego procesu na wykresie p  V ? Odpowiedź uzasadnij. sformułowanie drugiej zasady termodynamiki według Kelvina (ang. Kelvin statement of the second law of thermodynamics ) niemożliwe jest przekształcenie ciepła z pojedynczego źródła w pracę bez żadnego efektu ubocznego silnik idealny (ang. perfect engine ) silnik przekształcający ciepło w pracę ze sprawnością 100  % chłodziarka (pompa ciepła) idealna (ang. perfect refrigerator (heat pump) ) chłodziarka (pompa ciepła), która usuwa (oddaje) ciepło bez wykonania pracy nad układem

Science


Cykl Carnota Na początku lat 20. XIX wieku Sadi Carnot (1786–1832) , francuski inżynier, zainteresował się poprawą sprawności ówczesnych silników cieplnych. W 1824 roku badania doprowadziły go do zaproponowania hipotetycznego cyklu pracy, posiadającego największą możliwą sprawność między danymi rezerwuarami. Cykl ten znany jest teraz jako cykl Carnota (ang. Carnot cycle ). Silnik oparty na tym cyklu określa się silnikiem Carnota (ang. Carnot engine ). Cykl Carnota jest bardzo ważny z różnych powodów. Z praktycznego punktu widzenia reprezentuje on odwracalny model dla elektrowni cieplnej oraz dla chłodziarki lub pompy ciepła. Ważne jest również jego znaczenie teoretyczne, ponieważ przyczynił się do powstania kolejnego znaczącego sformułowania drugiej zasady termodynamiki. W cykl Carnota zaangażowane są tylko dwa rezerwuary, dlatego razem z drugą zasadą termodynamiki może być wykorzystywany do zdefiniowania skali temperatury absolutnej, która będzie całkowicie niezależna od rodzaju substancji, dla której mierzona jest temperatura. Jeśli czynnikiem roboczym jest gaz doskonały, to kolejne etapy pracy silnika Carnota przedstawione na są następujące: Rozprężanie izotermiczne. Gaz znajduje się w termicznym kontakcie z ciepłym rezerwuarem o temperaturze T c i pobiera ciepło Q c z tego rezerwuaru. Gaz rozpręża się izotermicznie, wykonując przy tym pracę W 1 . Energia wewnętrzna U gazu doskonałego zależy jedynie od temperatury, dlatego zmiana energii wewnętrznej Δ U = 0  J . Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki, Δ U = Q − W , otrzymujemy ilość ciepła pobieranego przez gaz Q c = W 1 = n  R  T c  ln V N V M  . Cztery procesy termodynamiczne silnika Carnota. Zakładamy, że czynnikiem roboczym jest gaz doskonały, którego droga termodynamiczna opisana przez procesy 1–4 pokazana jest na . Całkowita praca wykonywana przez gaz w cyklu silnika Carnota to pole na wykresie ograniczone krzywą 1–2–3–4. Rozprężanie adiabatyczne . Gaz jest izolowany i może kontynuować rozprężanie, wykonując przy tym pracę W 2 . Rozprężanie jest adiabatyczne, więc temperatura gazu spada, w tym przypadku od T c do T z . Z faktu, że p  V κ = constant , oraz z równania stanu dla gazu doskonałego, p  V = n  R  T , otrzymujemy T  V κ − 1 = constant  , czyli T c  V N κ − 1 = T z  V O κ − 1  . Sprężanie izotermiczne . Gaz jest w kontakcie termicznym z zimnym rezerwuarem o temperaturze T z i ulega sprężaniu izotermicznemu. Podczas tego procesu praca W 3 wykonywana jest na gazie i oddaje on Q z ciepła do zimnego rezerwuaru. Rozumowanie z etapu 1. doprowadza nas do Q z = n  R  T z  ln V O V P  , gdzie Q z to ciepło oddawane do rezerwuaru przez gaz. Sprężanie adiabatyczne . Gaz jest izolowany termicznie i wraca do swego stanu początkowego w wyniku sprężania. W tym procesie praca W 4 wykonywana jest na gazie. Sprężanie jest adiabatyczne, dlatego temperatura gazu wzrasta, tym razem od T z do T c . Wykorzystując rozumowanie z etapu 2., otrzymujemy T z  V P κ − 1 = T c  V M κ − 1  . Całkowita praca wykonywana przez gaz w silniku Carnota jest dana przez W = W 1 + W 2 − W 3 − W 4  . Praca jest równa polu ograniczonemu przez pętlę pokazaną na wykresie p  V ( ). Ze względu na to, że początkowy i końcowy stan układu są takie same, zmiana energii wewnętrznej gazu musi być równa zero, czyli Δ U = 0  J . Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy W = Q − Δ U = Q c − Q z − 0  , oraz W = Q c − Q z  . Aby znaleźć sprawność tego silnika, najpierw dzielimy Q z przez Q c Q z Q c = T z T c ⋅ ln V O V P ln V N V M  . Kiedy adiabatyczną stałą z etapu 2. podzielimy przez tę z etapu 4., otrzymujemy V O V P = V N V M  . Podstawiając to do równania na Q z ∕ Q c , dostajemy Q z Q c = T z T c  . Ostatecznie, korzystając z , otrzymujemy sprawność silnika Carnota, w którym czynnikiem roboczym jest gaz doskonały e = 1 − T z T c  . Silnik niekoniecznie musi przechodzić cykl Carnota. Jednak wszystkie silniki pracują w następujący sposób: pobierają ciepło z ciepłego rezerwuaru, wykonują pracę oraz oddają ciepło do zimnego rezerwuaru. To prowadzi nas do pytania: czy wszystkie silniki z obiegiem odwracalnym, działające między dwoma tymi samymi rezerwuarami mają tę samą sprawność? Odpowiedź na to pytanie wynika z drugiej zasady termodynamiki omówionej wcześniej: Wszystkie silniki z obiegiem odwracalnym mają tę samą sprawność . A także, jak można się spodziewać, wszystkie silniki rzeczywiste, działające między dwoma tymi samymi rezerwuarami, mają mniejszą sprawność niż silniki z obiegiem odwracalnym, działające między tymi samymi dwoma rezerwuarami, co także jest konsekwencją drugiej zasady termodynamiki. Na wykresie p  V z widzimy cykl idealnej chłodziarki Carnota, czyli silnika Carnota pracującego w odwrotną stronę. Chłodziarka pobiera ciepło Q z z zimnego rezerwuaru o temperaturze T z , podczas gdy gaz rozpręża się izotermicznie. Następnie gaz ulega sprężaniu adiabatycznemu, aż jego temperatura osiągnie T c , po którym nastąpi sprężanie izotermiczne, skutkujące odrzuceniem ciepła Q c do ciepłego rezerwuaru o temperaturze T c . Na koniec cyklu gaz rozpręża się adiabatycznie, przez co jego temperatura spada do T z . Praca wykonywana na gazie w jednym cyklu chłodziarki Carnota to pole na wykresie ograniczone krzywą 1–2–3–4. Praca wykonywana na gazie doskonałym jest równa polu ograniczonemu pętlą na wykresie p  V . Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy wzór na pracę W = Q c − Q z  . Przyjmując rozumowanie podobne do stosowanego w przypadku silnika Carnota, otrzymujemy Q z T z = Q c T c  . Wykorzystując , mamy K ch = T z T c − T z dla współczynnika wydajności chłodziarki Carnota z gazem doskonałym. W podobny sposób możemy wyprowadzić wzór na współczynnik wydajności pompy ciepła Carnota K p = Q c Q c − Q z = T c T c − T z  . Wyprowadziliśmy już równania dla sprawności silnika Carnota oraz współczynników wydajności chłodziarki Carnota i pompy ciepła Carnota, zakładając, że dla obu urządzeń czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Okazuje się, że te równania są bardziej ogólne, niż mogłoby nam się wydawać. Wykażemy wkrótce, iż oba są poprawne bez względu na substancję użytą jako czynnik roboczy. Carnot podsumował swoje badania nad silnikiem cieplnym i cyklami termodynamicznymi sformułowaniem znanym jako twierdzenie Carnota (ang. Carnot’s principle ): Twierdzenie Carnota Nie istnieje silnik pracujący między dwoma rezerwuarami o stałych temperaturach, który miałby większą sprawność od silnika odwracalnego, działającego między tymi samymi rezerwuarami. Twierdzenie to może być uważane za kolejne sformułowanie drugiej zasady termodynamiki i można wykazać jego równoważność ze sformułowaniami Kelvina i Clausiusa. Silnik Carnota Silnik Carnota ma sprawność 0,6 , a temperatura zimnego rezerwuaru jest równa 300  K . Jaka jest temperatura ciepłego rezerwuaru? Jeśli silnik wykonuje pracę 300  J na cykl, to ile ciepła jest pobierane z ciepłego rezerwuaru podczas jednego cyklu? Ile ciepła jest oddawane do zimnego rezerwuaru w jednym cyklu? Strategia rozwiązania Dzięki temu, że sprawność cieplna silnika Carnota jest zależna od temperatury, możemy znaleźć temperaturę ciepłego rezerwuaru. Następnie, używając definicji sprawności i wartości pracy wykonywanej przez silnik, obliczamy ciepło pobrane przez silnik. Ostatecznie zasada zachowania energii mówi nam, ile ciepła musi zostać oddane do zimnego rezerwuaru. Rozwiązanie Korzystając z wyrażenia e = 1 − T z ∕ T c , mamy 0,6 = 1 − 300  K T c  , więc temperatura ciepłego rezerwuaru jest równa T c = 300  K 1 − 0,6 = 750  K  . Sprawność silnika według definicji to e = W ∕ Q , dlatego ciepło pobrane z ciepłego rezerwuaru w jednym cyklu wynosi Q c = W e = 300  J 0,6 = 500  J  . Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki, otrzymujemy ilość ciepła oddawanego do zimnego rezerwuaru Q z = Q c − W = 500  J − 300  J = 200  J  . Znaczenie Silnik Carnota ma największą możliwą sprawność przekształcania ciepła w pracę między dwoma rezerwuarami, ale nie musi to oznaczać, że sprawność ta jest równa 100  % . Wraz ze wzrostem różnicy temperatur ciepłego i zimnego rezerwuaru wzrasta sprawność silnika Carnota. Pompa ciepła Carnota Pompa ciepła Carnota działa między temperaturą na zewnątrz równą 0  ° C a temperaturą w pomieszczeniu 20  ° C . Jaką pracę musi pobrać silnik, jeśli ciepło dostarczane do wnętrza domu wynosi 30  kJ ? Strategia Zakładamy, że pompa ciepła w zadaniu jest pompą ciepła Carnota, więc jej współczynnik wydajności dany jest przez K p = Q c ∕ W = T c ∕ T c − T z . Dzięki temu możemy obliczyć ilość potrzebnej pracy W , korzystając z podanego w zadaniu ciepła Q c . Rozwiązanie Ilość potrzebnej pracy otrzymujemy z W = Q c K p = Q c ⋅ T c − T z T c = 30  kJ ⋅ 293  K − 273  K 293  K = 2  kJ  . Znaczenie W zadaniu tym należy zauważyć, że ilość potrzebnej pracy zależy nie tylko od dostarczanego ciepła, ale również od różnicy temperatur wnętrza i otoczenia budynku. Zależność sprawności silnika od temperatury na zewnątrz sprawia, że takie pompy ciepła są niepraktyczne w rejonach, gdzie temperatura na zewnątrz jest znacznie niższa niż temperatura w środku. Pod względem kosztów energii pompa ciepła (ang. heat pump ) jest bardzo ekonomiczna, jeśli chodzi o ogrzewanie budynków ( ). Rozważmy dla porównania ogrzewanie poprzez bezpośrednie przekształcanie energii elektrycznej w ciepło za pomocą oporowego urządzenia grzejnego. W tym przypadku jedna jednostka energii elektrycznej dostarcza co najwyżej jedną jednostkę ciepła, czyli mniej niż w przypadku pomp ciepła. Niestety pompy ciepła mają też swoje wady. Koszt zakupu takiej pompy jest dość wysoki w porównaniu do oporowych urządzeń grzejnych, a ich współczynnik wydajności zmniejsza się wraz ze spadkiem temperatury na zewnątrz. W rzeczywistości już dla temperatur zewnętrznych poniżej − 10  ° C ilość ciepła dostarczanego przez pompę jest mniejsza niż energia potrzebna do działania. Zdjęcie pompy ciepła znajdującej się na zewnątrz budynku. Zdjęcie zostało zrobione w obszarze o ciepłym klimacie, gdzie używanie takiej pompy ciepła jest opłacalne. Źródło: modyfikacja zdjęcia Petera Stevensa Sprawdź, czy rozumiesz. Silnik Carnota działa między rezerwuarami o temperaturach 400  ° C i 30  ° C . Jaka jest sprawność tego silnika? Silnik wykonuje pracę 5  J na cykl. Ile ciepła na cykl jest pobierane z ciepłego rezerwuaru? Ile ciepła jest dostarczane do zimnego rezerwuaru w jednym cyklu? Jaka temperatura zimnego rezerwuaru skutkowałaby najmniejszą sprawnością, a jaka największą? a. e = 1 − T z ∕ T c = 0,55 ; b. Q c = e  W = 9,1  J ; c. Q z = Q c − W = 4,1  J ; d. − 273  ° C , 400  ° C . Sprawdź, czy rozumiesz. Chłodziarka Carnota działa między dwoma rezerwuarami, których temperatury wynoszą odpowiednio 0  ° C i 25  ° C . Jaki jest współczynnik wydajności chłodziarki? Jeśli podczas jednego cyklu na czynniku roboczym wykonywana jest praca 200  J , ile ciepła na cykl zostaje pobrane z zimnego rezerwuaru? Ile ciepła na cykl zostało dodane do ciepłego rezerwuaru? a. K ch = T z ∕ T c − T z = 10,9 ; b. Q z = K ch  W = 2,18  kJ ; c. Q c = Q z + W = 2,38  kJ . Podsumowanie Silnik Carnota ma największa sprawność ze wszystkich silników z obiegiem odwracalnym działających między dwoma rezerwuarami. Twierdzenie Carnota jest kolejnym sposobem sformułowania drugiej zasady termodynamiki. Pytania Co należy zrobić z temperaturami rezerwuarów, aby zwiększyć sprawność silnika Carnota? W celu zwiększenia sprawności silnika należy zwiększyć temperaturę ciepłego rezerwuaru i zmniejszyć temperaturę zimnego rezerwuaru. Zależności te pokazane są na . Jak skonstruować silnik Carnota o stuprocentowej sprawności? Jakiego rodzaju procesy termodynamiczne występują w cyklu Carnota? Procesy adiabatyczne i izotermiczne. Zadania Chłodziarka Carnota działa między rezerwuarami o temperaturach − 73  ° C i 270  ° C . Jaka jest sprawność tego silnika? 2 . Chłodziarka Carnota działa między rezerwuarami o temperaturach T z i T c . Oblicz ilość pracy potrzebnej do pobrania ciepła 1  J z zimnego rezerwuaru pod warunkiem, że T z = 7  ° C , T c = 27  ° C ; T z = − 73  ° C , T c = 27  ° C ; T z = − 173  ° C , T c = 27  ° C ; T z = − 273  ° C , T c = 27  ° C . Temperatura zimnego rezerwuaru jest równa 300  K , a temperatura ciepłego rezerwuaru 600  K . Jeśli silnik pobiera 100  J z ciepłego rezerwuaru na cykl, to ile pracy wykonuje podczas jednego cyklu? 50  J . Chłodziarka Carnota napędzana silnikiem o mocy 500  W działa między rezerwuarami o temperaturach − 5  ° C i 30  ° C . Ile ciepła na sekundę jest pobierane z wnętrza chłodziarki? Ile ciepła na sekundę jest oddawane do otoczenia chłodziarki? Narysuj cykl Carnota na wykresie zależności temperatury od objętości. Pompa ciepła Carnota działa między temperaturami 0  ° C i 20  ° C . Ile ciepła jest dostarczane do wnętrza domu przy wykonaniu przez pompę pracy 1  J ? Silnik Carnota działający między rezerwuarami o temperaturach 20  ° C i 200  ° C pobiera 1000  J ciepła z ciepłego rezerwuaru. Jaka jest maksymalna ilość pracy wykonywanej w jednym cyklu tego silnika? Ile ciepła na cykl jest oddawane do zimnego rezerwuaru w przypadku maksymalnej pracy z poprzedniego podpunktu? a. 900  J ; b. 100  J . Załóżmy, że silnik Carnota może działać między dwoma rezerwuarami jako silnik cieplny lub chłodziarka. Jaka jest zależność między współczynnikiem wydajności chłodziarki a sprawnością silnika cieplnego? Silnik Carnota jest używany do mierzenia temperatury ciepłego rezerwuaru. Silnik działa między ciepłym rezerwuarem, a rezerwuarem zawierającym wodę, będącą w punkcie potrójnym. Jeśli na cykl 400  J jest pobierane z ciepłego rezerwuaru, podczas gdy 200  J jest oddawane do drugiego rezerwuaru, to jaka będzie temperatura ciepłego rezerwuaru? Jeśli na cykl 400  J jest pobierane z drugiego rezerwuaru, podczas gdy 200  J jest oddawane do ciepłego rezerwuaru, to jaka będzie jego temperatura? a. 546  K ; b. 137  K . Jaka jest minimalna praca wymagana do działania chłodziarki, jeśli pobiera ona 50  J ciepła na cykl z wnętrza zbiornika o temperaturze − 10  ° C i oddaje ciepło do otoczenia o temperaturze 25  ° C ? cykl Carnota (ang. Carnot cycle ) cykl składający się z dwóch izoterm o temperaturach dwóch rezerwuarów oraz z dwóch adiabat łączących izotermy silnik Carnota (ang. Carnot engine ) silnik cieplny Carnota, chłodziarka lub pompa ciepła pracujące w cyklu Carnota twierdzenie Carnota (ang. Carnot’s principle ) twierdzenie opisujące sprawność lub wydajność urządzenia cieplnego pracującego w cyklu Carnota: nie istnieje silnik pracujący między dwoma rezerwuarami o danych temperaturach, który miałby większą sprawność od silnika odwracalnego, działającego między tymi samymi rezerwuarami

Science