+| 平衡常数 |
+van't Hoff 方程或$Planck-Laar$方程 |
+
+| 微分式 |
+积分式 |
+
+| $a_{A.x}/f_{A}$ |
+$\text {din}\left(f_{A}/a_{A,s}\right)=1$ |
+$f_{A}=f_{A}^{*}a_{A,x}-\ln a_{A}=\Delta f_{A}/f_{A}^{*}$ |
+
+| $a_{A}$ |
+$\left(\partial \ln a_{A}/\partial T\right)_{p}=\Delta _{n}^{1}H_{m,A}/RT^{2}$ |
+$-\ln a_{A}=\left(\Delta _{n}^{1}H_{m,A}^{*}/R\right)\left(1/T-1/T_{L,A}\right)$ |
+
+| $a_{A}$ |
+$\left(\partial \ln a_{Λ}/\partial T\right)_{p}=-\Delta _{1}^{8}H_{m,Λ}/RT^{2}$ |
+$-\ln a_{A}=(\Delta FH_{m,A}^{*}/R)(1/T_{b,A}-1/T)$ |
+
+| $a_{A}$ |
+$\left(\partial \ln a_{A}/\partial p\right)_{T}=-V_{m,A}^{*,1}/RT$ |
+$-\ln a_{A}=(p_{A}-p_{A}^{*})V_{m,A}^{*1}/RT$ |
+
+
+由表 6.9.1 可知,平衡法用了最简捷的办法导出了依数性的公式,再经过合理的近似处理,可得到四种依数性之间的关系。
+
+$- \ln x_1 = x_2 = \frac{\Delta_{\mathrm{f}}^{\mathrm{g}} H_{\mathrm{m}}^{*}}{R T_{\mathrm{b}}^{2}} \Delta T_{\mathrm{b}} = \frac{\Delta_{\mathrm{v}}^{\mathrm{l}} H_{\mathrm{m}}^{*}}{R T_{\mathrm{f}}^{2}} \Delta T = \frac{V_{\mathrm{A}}^{* - 1}}{R T} = \frac{\Delta p_{\mathrm{A}}}{p_{\mathrm{A}}^{*}} \quad (6.9.1)$
+
+式(6.9.1)反应的稀溶液四种依数性都是溶液内在性质在不同条件下的表现,由平衡条件和化学势等温式不难推得。
+
+$V_{A}\Pi = RT\ln(p_{A}^{*}/p_{A})$ (6.9.2)
+
+式(6.9.2)说明：渗透压是为使溶剂A之蒸气压提高到与纯A相同时所需施加于溶液之外压力。
+
+依数性提供了由易测性质求难测性质的途径，如可测定相变焓或化合物的相对分子质量，不过较为精确的方法属渗透压法，对于293 K、0.001 mol·kg$^{-1}$溶液的依数性数值对比如下：
+
+蒸气压降低$Δp≈3×10^{-2}\ \text{Pa}$, 凝固点降低$ΔT≈0.002\ \text{K}$, 渗透压$Π=2.4\ \text{kPa}$。
+
+尽管渗透压较易测量,但从技术上得到一份理想的半透膜并不是易事,高分子合成化学之发展提供了合成满足特种需要的半透膜的可能性。
+
+## §6.10 三组分体系相平衡热力学
+
+## 6.10.1 分配定律与串级萃取
+
+大量实验证明，在一定温度和压力下，物质A在两种互不相溶液体中溶解，且分子形态相同，在稀溶液时，A在两种液相中的平衡浓度之比等于常数，这就是稀溶液的分配定律。若$x_{A}^{\alpha}, x_{A}^{\beta}$分别为物质A在$\alpha$和$\beta$相中的摩尔分数，则
+
diff --git a/markdowns/education_chemistry_00071.md b/markdowns/education_chemistry_00071.md
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..8e9b291aae465d9671b7569c0697bac1bb4bf950
--- /dev/null
+++ b/markdowns/education_chemistry_00071.md
@@ -0,0 +1,66 @@
+$T_{\mathrm{m}}$,现证明如下。
+
+设宇宙的膨胀是绝热的，则热力学第一定律为 dU = -pdV，其根据为选一个典型区，虽有外界，但宇宙处处均匀，故可代表整个宇宙，设 $p_{r}$ 为辐射压，n 为粒子数密度，m 为粒子的静质量，并设 $\rho$ 为密度，c 为光速。现将分别从粒子与辐射两个方面来证明。
+
+粒子
+
+能量密度：$\epsilon_m = \rho_m c^2$
+
+物态方程：$\varepsilon_{\mathrm{m}} - nmc^{2} = \frac{3}{2} nkT_{\mathrm{m}}$
+
+$p_{\mathrm{m}}=nkT_{\mathrm{m}}$
+
+辐射
+
+能量密度：$\epsilon_{r}=\rho_{r}c^{2}$
+
+物态方程：$p_{r} = \frac{1}{3} \varepsilon_{r}\quad(7.10.1)$
+
+绝热膨胀下的粒子：
+
+$$
+\begin{aligned}
+\mathrm { d } U _ { \mathrm { m } } & = \mathrm { d } \left( \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \varepsilon _ { \mathrm { m } } \right) \\
+& = - n k T _ { \mathrm { m } } \mathrm { d } \left( \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \right)
+\end{aligned}
+$$
+
+$d(R^3 \epsilon_m) = -nkT_md(R^3)$
+
+$d(R^3nmc^2) + d(R^3 \cdot \frac{3}{2}nkT_m) = -nkT_m\,d(R^3)$
+
+因为粒子数守恒 $dN = d\left(\frac{4}{3}\pi R^3 n\right) = 0$
+
+故 $n \propto R^{-3}$, 且 $m$、$c$ 为常数, 可得
+
+$\frac{3}{2}R^{3}nd(T_{m})=-nT_{m}d(R^{3})$
+
+$\frac{3}{2}\frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{m}}}{T_{\mathrm{m}}}=-\frac{\mathrm{d}R^{3}}{R^{3}}$
+
+$T_{m}\propto\frac{1}{R^{2}}\quad(7.10.2)$
+
+绝热膨胀下的辐射：
+
+$dU_{r}=d\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\epsilon_{r}\right)=-p_{r}d\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\right)$
+
+$R^3 d\epsilon_r + \epsilon_r d(R^3) = -\frac{1}{3} \epsilon_r d(R^3)$
+
+$\frac{\mathrm{d}\epsilon_{r}}{\epsilon_{r}}=-\frac{4}{3}\frac{\mathrm{d}(R^{3})}{R^{3}}$
+
+$\varepsilon_{t} \propto \frac{1}{R^{4}}$
+
+因为 $\varepsilon_{r}\propto T_{r}^{4}$ (辐射热力学)
+
+$T_{r}\propto\frac{1}{R}\quad(7.10.3)$
+
+根据式(7.10.2)及式(7.10.3),随着宇宙的膨胀, $R$ 增大,辐射温度将降低,且反比于宇宙的尺度因子 $R$, 粒子的温度 $T_{\mathrm{m}}$ 也将降低,但反比于宇宙的尺度因子 $R$ 的平方。
+
+由上不难得到，即使开始时 $T_r = T_m$，但宇宙膨胀使 $R$ 增加，$T_r$ 下降得慢，$T_m$ 下降得快，致使 $T_r > T_m$，意即宇宙膨胀使本来温度相等的状态变为温度不均的状态。这与热力学第二定律预言的完全相反。于是可说，宇宙的膨胀使宇宙免于热死。
+
+以上论证中导致 $T_r \neq T_m$ 的结论是把粒子与辐射
+
+
+| 标准摩尔内能函数 |
+$U_{m}^{O}(T)-U_{m}^{O}(0K)=RT^{2}\left(\frac {\partial \ln q^{0}}{\partial T}\right)_{V}$ |
+
+| 标准摩尔熵 |
+$S_{m}^{\ominus }(T)=R\ln \frac {q^{0}e}{L}+RT(\frac {\partial \ln q^{0}}{\partial T})_{V}$ |
+
+| 标准摩尔 Helmholtz 自由能函数 |
+$\frac {F_{m}^{\ominus }(T)-U_{m}^{\ominus }(0K)}{T}=-R\ln \frac {q^{0}e}{L}$ |
+
+| 标准摩尔焓函数 |
+$H_{m}^{0}(T)-H_{m}^{0}(0K)=RT[(\frac {\partial \ln q^{0}}{\partial \ln T})_{V}+(\frac {\partial \ln q^{0}}{\partial \ln V})_{T}]$ |
+
+| 标准摩尔Gibbs 自由能函数 |
+$\frac {G_{m}^{0}(T)-H_{m}^{0}(0K)}{T}=-R[\ln \frac {q^{0}e}{L}-(\frac {\partial \ln q^{0}}{\partial \ln V})_{T}]$ |
+
+| 标准摩尔等容热容 |
+$C_{V,m}^{\ominus }(T)=2RT(\frac {\partial \ln q^{\ominus }}{\partial T})V+RT^{2}(\frac {\partial ^{2}\ln q^{\ominus }}{\partial T^{2}})_{V}$ |
+
+| 标准摩尔等压热容 |
+$C_{p,m}^{m}(T)=C_{V,m}^{0}(T)+R$ |
+
+
+最后指出,在统计力学中,配分函数 $q$ 是 $T$、$V$ 为自然变量的特性函数。
+
+从表 10.3.1 可见,热力学第二定律状态函数的统计表述形式与粒子是定域子或离域子有关。如果我们定义体系的配分函数 Q 为
+
+则有
+
+$Q = \Omega e^{-\frac{E}{k_{\mathrm{B}}T}}$ (10.3.10)
+
+$Q_{\text{定域子}} = q^N \quad(10.3.11)$
+
+$Q_{\text{离域子}} = \left( \frac{qe}{N} \right)^N \quad (10.3.12)$
+
+这样，用 Q 表示热力学函数，其表观形式对定域子或离域子就无差别，当然这时 Q 是不同的。
+
+在这一节的最后，我们还有条件对于任何独立子体系证明 Lagrange 乘因子 $\beta$ 的取值。在 §9.8 中，我们曾以求单原子一维平动的平均能为例证明 $\beta = \frac{1}{k_B T}$。对于任何独立子（即 $E = \sum_i n_i \varepsilon_i$）体系的封闭且只做体积功的微变过程，热力学指出
+
+$dS = \frac{1}{T}dE + \frac{p}{T}dV$
+
+因此
+
+$\left({\frac{\partial S}{\partial E}}\right)_{V}={\frac{1}{T}}$
+
diff --git a/markdowns/education_chemistry_00074.md b/markdowns/education_chemistry_00074.md
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..4f37024edc45e7771fa5f3773e350d5909d07cb5
--- /dev/null
+++ b/markdowns/education_chemistry_00074.md
@@ -0,0 +1,49 @@
+$$\begin{aligned} (C_V)_\nu &= (C_p)_\nu = 2Nk_B T \frac{d \ln q_\nu}{dT} + Nk_B T^2 \frac{d^2 \ln q_\nu}{dT^2} \\
+& = Nk_B \left( \frac{\theta_\nu}{T} \right)^2 \frac{e^{\theta_\nu / T}}{(e^{\theta_\nu / T} - 1)^2} \end{aligned}$$
+
+双原子分子的振动特征温度一般都很高(见表 10.8.1)，表明振动能级间距较大，占据激发能级的分子数较少。
+
+表 10.8.1 某些双原子分子的振动特征温度
+
+