question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ที่ทำการ ánhเชิงจากจำนวนเต็มไม่เป็นลบไปยังจำนวนจริง โดยที่ $f(1) = 1,$ และ
\[f(m + n) + f(m - n) = \frac{f(2m) + f(2n)}{2}\]สำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบ $m \ge n$ ทั้งหมด จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10).$ | กำหนด $m = n = 0,$ เราได้
\[2f(0) = f(0),\]ดังนั้น $f(0) = 0.$
กำหนด $n = 0,$ เราได้
\[2f(m) = \frac{f(2m)}{2}.\]ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดได้เป็น
\[f(m + n) + f(m - n) = 2f(m) + 2f(n).\]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำหนด $n = 1,$ เราได้
\[f(m + 1) + f(m - 1) = 2 + 2f(m),\]ดังนั้น
\[f(m + 1) = 2f(m) - f(m - ... | \boxed{100}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $F_n$ เป็นลำดับฟีโบนักชี โดย $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ และ $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ จงคำนวณ
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{F_n}{10^n}.\] | กำหนดให้ $S = \sum_{n = 0}^\infty \frac{F_n}{10^n}.$ แล้ว
\begin{align*}
S &= F_0 + \frac{F_1}{10} + \frac{F_2}{10^2} + \frac{F_3}{10^3} + \dotsb \\
&= \frac{F_0 + 1}{10} + \frac{F_1 + F_0}{10^2} + \frac{F_2 + F_1}{10^3} + \dotsb \\
&= \frac{1}{10} + \frac{F_0}{10} + \frac{F_1}{10^2} + \frac{F_2}{10^3} + \dotsb + \fra... | S = \boxed{\frac{10}{89}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของอสมการ \[\frac{(2x-7)(x-3)}{x} \ge 0.\] (แสดงคำตอบในรูปของช่วง) | ให้ $f(x)$ แทนปริมาณทางซ้ายมือ สร้างตารางเครื่องหมาย เราได้ \begin{tabular}{c|ccc|c} &$2x-7$ &$x-3$ &$x$ &$f(x)$ \\ \hline$x<0$ &$-$&$-$&$-$&$-$\\ [.1cm]$0<x<3$ &$-$&$-$&$+$&$+$\\ [.1cm]$3<x<\frac{7}{2}$ &$-$&$+$&$+$&$-$\\ [.1cm]$x>\frac{7}{2}$ &$+$&$+$&$+$&$+$\\ [.1cm]\end{tabular}ดังนั้น $f(x) > 0$ เมื่อ $0 < x < 3$ ... | x=\tfrac72. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - 4x + 5 = 0.$ จงคำนวณ
\[a^3 + a^4 b^2 + a^2 b^4 + b^3.\] | จากสูตรของ Vieta's, $a + b = 4$ และ $ab = 5.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a^3 + b^3 &= (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\
&= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab) \\
&= (a + b)((a + b)^2 - 3ab) \\
&= 4 \cdot (4^2 - 3 \cdot 5) \\
&= 4,
\end{align*}และ
\begin{align*}
a^4 b^2 + a^2 b^4 &= a^2 b^2 (a^2 + b^2) \\
&= (ab)^2 ((a + b)^2 - 2ab) \... | a^3 + a^4 b^2 + a^2 b^4 + b^3 = \boxed{154}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีองค์กรแห่งหนึ่งประกอบด้วยผู้นำ 5 คน และสมาชิกทั่วไปจำนวนหนึ่ง ทุกปี ผู้นำคนปัจจุบันจะถูกไล่ออกจากองค์กร จากนั้น สมาชิกทั่วไปแต่ละคนจะต้องหาสมาชิกใหม่ 2 คนเข้าร่วมเป็นสมาชิกทั่วไป และสุดท้าย จะมีคนใหม่ 5 คนได้รับเลือกจากภายนอกองค์กรเพื่อเป็นผู้นำ ในตอนเริ่มต้น มีผู้คน 15 คนในองค์กรทั้งหมด มีผู้คนทั้งหมดกี่คนในองค์กรห้... | ให้ $a_k$ แทนจำนวนคนในปีที่ $k$ (โดยเริ่มต้น $k=0$) คนอาจสังเกตได้ว่าหลังจากผู้นำถูกไล่ออก จะมีสมาชิกทั่วไป $a_k-5$ คน จากนั้น จะมีสมาชิกทั่วไป $3(a_k-5)$ คนหลังจากสมาชิกทั่วไปใหม่เข้าร่วม สุดท้าย หลังจากผู้นำคนใหม่ได้รับเลือกแล้ว เราจะมีจำนวนรวม $3(a_k-5)+5 = 3a_k-10$ คนในปีถัดไป คนอาจต้องการแก้สมการเวียนเกิดนี้โดย $a... | 5+2430=\boxed{2435} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คูณ $(2x^3-5y^2)(4x^6+10x^3y^2+25y^4)$ | ผลคูณที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ในรูป $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ซึ่งเป็นการแยกตัวประกอบของ $a^3-b^3$ สำหรับ $a=2x^3$ และ $b=5y^2$ ดังนั้น นิพจน์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6}$ | a^3-b^3=(2x^3)^3-(5y^2)^3=\boxed{8x^9-125y^6} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อพหุนาม $6x^3-15x^2+21x-23$ หารด้วย $3x-6$ แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | เนื่องจาก $3x - 6 = 3(x - 2)$ ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ เราสามารถหาเศษเหลือได้โดยการแทน $x = 2$ ดังนั้น เศษเหลือคือ
\[6 \cdot 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 21 \cdot 2 - 23 = 7\] | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ $2x^3 - x^2 + 4x + 10 = 0$ จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$ | จากสูตรของ Vieta เราทราบว่า \[\begin{aligned} a+b+c &= \frac12, \\ ab+bc+ca &= \frac42 = 2, \\ abc &= -\frac{10}2 = -5. \end{aligned}\]เรา squaring ทั้งสองข้างของ $a+b+c=\frac12,$ ซึ่งจะทำให้เกิดพจน์ $a^2+b^2+c^2$: \[(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = \frac14.\]แทนค่า $ab+bc+ca=2$ เราได้ \[a^2+b^2+c^2+2(2)=\frac14,... | ab+bc+ca=2, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[2 - \frac{1}{2x + 3} < 4.\] | สมการอสมการที่กำหนดเทียบเท่ากับ
\[\frac{1}{2x + 3} + 2 > 0,\]หรือ
\[\frac{4x + 7}{2x + 3} > 0.\]ถ้า $x < -\frac{7}{4},$ แล้ว $4x + 7 < 0$ และ $2x + 3 < 0,$ ดังนั้นอสมการเป็นจริง
ถ้า $-\frac{7}{4} < x < -\frac{3}{2},$ แล้ว $4x + 7 > 0$ และ $2x + 3 < 0,$ ดังนั้นอสมการไม่เป็นจริง
ถ้า $x > -\frac{3}{2},$ แล้ว $4x + 7 > 0... | 2x + 3 > 0, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ
\[\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}.\] | พิจารณาแต่ละพจน์อยู่ในรูป $x^4 + 324$ เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้: \[\begin{aligned} x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324) - 36x^2\\& = (x^2+18)^2 - 36x^2 \\& = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18) \\ &= (x(x-6)+18)(x(x+6)+18). \end{aligned}\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจะเท่ากับ \[\frac{(10\cdot4+18)(10\cdot16+18)(22\cdot16+18)(22\cdot28+... | 373 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าจริงบางค่าของ $a, b, c,$ และ $d_{},$ สมการ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ มีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงสี่ราก ผลคูณของรากสองรากนี้คือ $13+i$ และผลบวกของอีกสองรากคือ $3+4i,$ โดยที่ $i^2 = -1.$ จงหาค่า $b$. | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริงทั้งหมด รากที่ไม่ใช่จำนวนจริงทั้งสี่จะต้องมาเป็นคู่สังยุค ให้ $z$ และ $w$ เป็นรากสองรากที่คูณกันได้ $13+i$ เนื่องจาก $13+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง $z$ และ $w$ ไม่สามารถเป็นสังยุคของกันและกัน (เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนใดๆ คูณด้วยสังยุคของมันจะเป็นจำนวนจริง) ดังนั้น รากอีกสองรากจะต้องเป็น... | 51 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
พหุนาม $p(x)$ มีเศษเหลือ $-1$ เมื่อหารด้วย $x - 1,$ มีเศษเหลือ 3 เมื่อหารด้วย $x - 2,$ และมีเศษเหลือ 4 เมื่อหารด้วย $x + 3.$ ให้ $r(x)$ เป็นเศษเหลือเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x - 1)(x - 2)(x + 3).$ จงหา $r(6).$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ $p(1) = -1,$ $p(2) = 3,$ และ $p(-3) = 4.$
เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$ เศษเหลือจะมีรูป $ax^2 + bx + c.$ ดังนั้น
\[p(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3) q(x) + ax^2 + bx + c\]สำหรับพหุนาม $q(x)$ บางตัว. แทน $x = 1,$ $x = 2,$ และ $x = -3$ เราได้
\begin{align*}
a + b + c &= p(1) = -1, \\
4a + ... | r(6) = \frac{21}{20} \cdot 6^2 + \frac{17}{20} \cdot 6 - \frac{29}{10} = \boxed{40}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วงกลมวงหนึ่งอยู่ภายในพาราโบลาที่มีสมการ $y = x^2$ โดยสัมผัสพาราโบลาที่จุดสองจุด จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่สูงกว่าจุดสัมผัสเท่าใด | สมมติให้จุดสัมผัสจุดหนึ่งคือ $(a,a^2).$ เนื่องจากสมมาตร จุดสัมผัสอีกจุดคือ $(-a,a^2).$ และเนื่องจากสมมาตร จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนแกน $y.$ สมมติให้จุดศูนย์กลางคือ $(0,b),$ และให้รัศมีเท่ากับ $r.$
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func (real x) {
return(x^2);
}
pair A = (1,1), O = (0,3/2);
draw(Circle(O,sqrt(5)/2)... | (a,a^2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ $2^{(16^x)} = 16^{(2^x)}$ เพื่อหาค่า $x$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[16^{(2^x)} = (2^4)^{(2^x)} = 2^{4 \cdot 2^x}.\]ดังนั้น $2^{16^x} = 2^{4 \cdot 2^x},$ นั่นคือ
\[16^x = 4 \cdot 2^x.\]จากนั้นเราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
\[2^{4x} = 2^{x + 2},\]ดังนั้น $4x = x + 2.$ ดังนั้น $x = \boxed{\frac{2}{3}}.$ | x = \boxed{\frac{2}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับ $b_1, b_2, \ldots$ โดย $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, และ $b_{n+1} = b_n b_{n-1}$ จงคำนวณ $b_{20}$ | สังเกตว่าพจน์ $b_n$ ทุกพจน์จะเป็นกำลังของ 2 โดยเลขชี้กำลังจะเป็นผลบวกของเลขชี้กำลังของพจน์ก่อนหน้าสองพจน์ ดังนั้น จงสร้างลำดับ $a_1, a_2, \ldots$ โดย $a_1 = 0$, และ $a_2 = 1$, และ $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$ แน่นอน $a_{20}$ เท่ากับพจน์ที่ 19 ของลำดับฟีโบนักชี ซึ่งเท่ากับ 4181 ดังนั้น $b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4181... | b_{20} = 2^{a_{20}} = \boxed{2^{4181}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของผลบวก $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เราทราบว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]จากนั้น $2010 < 3M$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเกิดขึ้นได้ถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 67... | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนจริง และสมมติว่ารากของสมการ \[x^3 - 7x^2 + kx - m = 0\]เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสามจำนวน จงคำนวณ $k + m.$ | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของสมการคือ $7.$ นอกจากนี้ สามสิ่งที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันและผลรวมเท่ากับ $7$ คือ $\{1, 2, 4\}.$ เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าค่าสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ ในสามจำนวนคือ $7 - 1 - 2 = 4,$ และวิธีเดียวที่จะเลือกสามจำนวนใน $1, 2, 3, 4$ เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ $7$ คือการเลือก $1,$... | k+m = 14+8 = \boxed{22}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน
\[g(x) = \frac{x^3 + 11x - 2}{|x - 3| + |x + 1|}.\] | นิพจน์ถูกนิยามก็ต่อเมื่อส่วน $|x - 3| + |x + 1|$ ไม่เท่ากับ 0 เนื่องจากฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เสมอเป็นค่าบวก หรือศูนย์ ดังนั้น $|x - 3| + |x + 1| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $|x - 3|$ และ $|x + 1|$ เท่ากับ 0 ในทางกลับกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $x = 3$ และ $x = -1$ ชัดเจนว่า $x$ ไม่สามารถเป็นทั้ง 3 และ $-1$ ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นส่ว... | \boxed{(-\infty,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ที่เป็นค่าบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{2}\left( 3x^2-1\right) = \left( x^2-50x-10\right)\left( x^2+25x+5\right)$ | กำหนดให้ $a = x^2-50x-10$ และ $b = x^2+25x+5$ สมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[\frac{a+2b-1}{2} = ab,\]ดังนั้น $0=2ab-a-2b+1=(a-1)(2b-1)$. จากนั้น $a-1=x^2-50x-11=0$ หรือ $2b-1=2x^2+50x+9=0$. สมการแรกมีรากเป็นจำนวนจริงบวก $x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}}$ ในขณะที่สมการที่สองไม่มีราก | x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ สมมติว่าสมการ \[\frac{(x+a)(x+b)(x+12)}{(x+3)^2} = 0\]มีรากที่แตกต่างกัน 3 ราก ในขณะที่สมการ \[\frac{(x+2a)(x+3)(x+6)}{(x+b)(x+12)} = 0\]มีรากที่แตกต่างกัน 1 ราก จงคำนวณ $100a + b.$ | เราเริ่มต้นด้วยสมการแรก ค่าของ $x$ ใดๆ ที่ทำให้สมการแรกเป็นจริงจะต้องทำให้ \[(x+a)(x+b)(x+12) = 0\]เป็นจริงด้วย ดังนั้น รากที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวของสมการแรกคือ $-a,$ $-b,$ และ $-12.$ เนื่องจากสมการแรกมีรากที่แตกต่างกัน 3 ราก ดังนั้น $-a,$ $-b,$ และ $-12$ จะต้องแตกต่างกันทั้งหมด และต้องทำให้สมการแรกเป็นจริง นั่นหมา... | 156 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $w,$ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบซึ่งผลรวมเท่ากับ 100 จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ
\[wx + xy + yz.\] | เราได้ว่า
\[wx + xy + yz \le wx + xy + yz + zw = (w + y)(x + z).\]โดย AM-GM,
\[(w + y)(x + z) \le \left( \frac{(w + y) + (x + z)}{2} \right)^2 = 2500.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $w = x = 50$ และ $y = z = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{2500}.$ | \boxed{2500}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ที่เป็นค่าบวกซึ่งทำให้สมการ $\frac{1}{2}\left( 3x^2-1\right) = \left( x^2-50x-10\right)\left( x^2+25x+5\right)$ เป็นจริง | กำหนด $a = x^2-50x-10$ และ $b = x^2+25x+5$ สมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[\frac{a+2b-1}{2} = ab,\]ดังนั้น $0=2ab-a-2b+1=(a-1)(2b-1)$. ดังนั้น $a-1=x^2-50x-11=0$ หรือ $2b-1=2x^2+50x+9=0$ สมการแรกมีรากเป็นบวก $x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}}$ ในขณะที่สมการที่สองไม่มีราก | x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของค่าคงที่ $c$ ใดบ้างที่กราฟของ $f(x) = \frac{x^2-x+c}{x^2+x-6}$ มีเส้นกำลังแนวตั้งเพียงเส้นเดียว?
ใส่ค่าที่เป็นไปได้ของ $c$ ที่คั่นด้วยจุลภาค | เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วนล่างได้เป็น $f(x) = \frac{x^2-x+c}{(x-2)(x+3)}$ ดังนั้น กราฟของ $f(x)$ จะมีเส้นกำลังแนวตั้งที่ $x=2$ และ $x=-3$ เว้นแต่จะมีตัวประกอบของ $x-2$ หรือ $x+3$ ในตัวเศษที่ยกเลิกตัวประกอบที่สอดคล้องกันในส่วนล่าง (ในกรณีนี้จะมีรูที่จุดนั้นแทนที่จะเป็นเส้นกำลัง)
ตามทฤษฎีบทของตัวประกอบ ถ้า $x^2-x+c$ ม... | c = \boxed{-2 \text{ หรือ } -12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 5x - 6)$ เป็นผลคูณของพหุนามสองตัวที่ไม่ใช่พหุนาม상수 | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ และ $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).$ ดังนั้นพหุนามที่กำหนดคือ
\begin{align*}
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + (x^2 + 5x - 6) &= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + (x^2 + 5x - 6) \\
&= (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 5x - 6).
\end{align*}ให้ $y = x^2 + 5x.$ ดังนั้น
... | y = x^2 + 5x. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบทั้งหมดของสมการ $2^{|x|} + 3|x| = 18.$ | ถ้า $x$ เป็นคำตอบแล้ว $-x$ ก็เป็นคำตอบเช่นกัน ดังนั้นเราสามารถจับคู่คำตอบทั้งหมดเข้าด้วยกัน และผลรวมของมันคือ $\boxed{0}.$
ให้ $f(x) = 2^{|x|} + 3|x|.$ เนื่องจาก $f(0) = 0$ และ $f(4) = 28,$ สมการ $f(x) = 18$ มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบในช่วง $0 \le x \le 4.$ สิ่งนี้รับประกันว่าผลรวมที่โจทย์ต้องการนั้นไม่ใช่ผลรวมที่ "... | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ามีจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับศูนย์ $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ ซึ่ง $k$ เป็นรากของสมการทั้งสอง $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ และ $bx^3 + cx^2 + dx + a = 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ ที่คั่นด้วยจุลภาค | เรามี
\begin{align*}
ak^3 + bk^2 + ck + d &= 0, \\
bk^3 + ck^2 + dk + a &= 0.
\end{align*}คูณสมการแรกด้วย $k$ เราจะได้
\[ak^4 + bk^3 + ck^2 + dk = 0.\]ลบสมการ $bk^3 + ck^2 + dk + a = 0$ เราจะได้ $ak^4 = a.$ เนื่องจาก $a$ ไม่เท่ากับศูนย์ $k^4 = 1.$ ดังนั้น $k^4 - 1 = 0$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(k - 1)(k + 1)(k^2 + 1... | \boxed{1,-1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $xyz = 32.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2.\] | ก่อนอื่น $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2.$ โดย AM-GM,
\[x + 2y \ge 2 \sqrt{2xy},\]ดังนั้น $(x + 2y)^2 \ge 8xy.$ ดังนั้น,
\[x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 \ge 8xy + 2z^2.\]ถ้าเราใช้ AM-GM โดยตรงกับ $8xy$ และ $2z^2,$ โดยไม่สนใจค่าคงที่ เราจะได้เทอม $\sqrt{xyz^2}.$ แต่เงื่อนไขคือ $xyz = 32.$ ดังนั้นแทนที่จะทำแบบนั้น เราเขียน $8x... | \boxed{96}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ
\[\frac{\frac{2016}{1} + \frac{2015}{2} + \frac{2014}{3} + \dots + \frac{1}{2016}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2017}}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
\frac{2016}{1} + \frac{2015}{2} + \frac{2014}{3} + \dots + \frac{1}{2016} &= \frac{2017 - 1}{1} + \frac{2017 - 2}{2} + \frac{2017 - 3}{3} + \dots + \frac{2017 - 2016}{2016} \\
&= \frac{2017}{1} - 1 +\frac{2017}{2} - 1 + \frac{2017}{3} - 1 + \dots + \frac{2017}{2016} - 1 \\
&= \frac{... | 2017 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่ $f(0) = 1$ และ
\[f(xy) = f \left( \frac{x^2 + y^2}{2} \right) + (x - y)^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด จงหา $f(x).$ | กำหนดให้ $y = 0,$ เราได้
\[f(0) = f \left( \frac{x^2}{2} \right) + x^2.\]ดังนั้น $f(u) = 1 - 2u$ สำหรับ $u \ge 0$ ทั้งหมด
กำหนดให้ $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = f \left( \frac{x^2 + 1}{2} \right) + (x - 1)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{x^2 + 1}{2} + (x - 1)^2 = \boxed{1 - 2x}.\] | y = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $a^2 + ab + b^2 = 0.$ จงหาค่าของ
\[\frac{a^9 + b^9}{(a + b)^9}.\] | เนื่องจาก $a^2 + ab + b^2 = 0,$ $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 0.$ สมการนี้จะกลายเป็น $a^3 - b^3 = 0,$ ดังนั้น $a^3 = b^3.$
ดังนั้น $b^9 = a^9.$ นอกจากนี้,
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + ab + b^2) + ab = ab,\]ดังนั้น
\[(a + b)^3 = ab(a + b) = a(ab + b^2) = a(-a^2) = -a^3.\]ดังนั้น $(a + b)^9 = (-a^3)^3 = -a^9,$ ... | (a + b)^9 = (-a^3)^3 = -a^9, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $a,$ $b,$ $c,$ และ $d$ สอดคล้องกับ
\[a^2 + b^2 + c^2 + 1 = d + \sqrt{a + b + c - d}.\]จงหาค่า $d.$ | ให้ $x = \sqrt{a + b + c - d}.$ ดังนั้น $x^2 = a + b + c - d,$ ดังนั้น $d = a + b + c - x^2,$ และเราสามารถเขียนได้ว่า
\[a^2 + b^2 + c^2 + 1 = a + b + c - x^2 + x.\]แล้ว
\[a^2 - a + b^2 - b + c^2 - c + x^2 - x + 1 = 0.\]ทำการเติมกำลังสองใน $a,$ $b,$ $c,$ และ $x,$ เราได้
\[\left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( b - ... | $d = \frac{5}{4}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{6}\right)$ แล้วแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราสามารถทำได้ดังนี้
\[\left(\frac{2}{\cancel{3}}\right)\left(\frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\right)\left(\frac{\cancel{4}}{\cancel{5}}\right)\left(\frac{\cancel{5}}{6}\right)=\frac{2}{6}=\boxed{\frac{1}{3}}. \] | 1/3 | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $w^4-16$ ให้มากที่สุด โดยให้ตัวประกอบเป็นพหุนามเอกซ์พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $w^4$ และ 16 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสองได้: \[w^4-16=(w^2)^2 - 4^2 = (w^2-4)(w^2+4)\]. เรายังไม่เสร็จ! นิพจน์ $w^2 - 4$ ก็เป็นผลต่างกำลังสองเช่นกัน ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $w^2 - 4=(w-2)(w+2)$. ดังนั้นเราจึงมี \[w^4-16 = (w^2-4)(w^2+4) = \boxed{(w-2)(w+2)(w^... | w^2 - 4=(w-2)(w+2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y^2 + 2xy + 40|x|= 400$ แบ่งระนาบออกเป็นหลายบริเวณ จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบ | เพื่อจัดการกับพจน์ $|x|$ เราพิจารณา กรณีของเครื่องหมายของ $x$:
ถ้า $x \ge 0$ แล้วเราจะมี $y^2+2xy+40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y+40) = 400-y^2$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น \[2x(y+20) = (20-y)(y+20).\]ดังนั้น $y=-20$ หรือ $2x=20-y$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $y=20-2x$
ถ้า $x < 0$ แล้วเราจะมี $y^2+2xy-40x=400$ อีกครั้ง แ... | 40 \cdot 20 = \boxed{800} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^8 - 1$ ถูกแยกตัวประกอบเป็น
\[x^8 - 1 = p_1(x) p_2(x) \dotsm p_k(x),\]โดยที่แต่ละตัวประกอบ $p_i(x)$ เป็นพหุนามไม่คงตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $k.$ | โดยการนำสูตรผลต่างกำลังสองมาใช้ซ้ำๆ เราจะได้
\begin{align*}
x^8 - 1 &= (x^4 - 1)(x^4 + 1) \\
&= (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) \\
&= (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1).
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $x^4 + 1$ ได้อีกโดยใช้สูตรผลต่างกำลังสองอย่างชาญฉลาด:
\begin{align*}
x^4 + 1 &= x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 \\
&= (x^2 + 1)^2 - ... | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $xyz = \frac{2}{3}.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[x^2 + 6xy + 18y^2 + 12yz + 4z^2.\] | เราอาจจะพยายามนำทฤษฎีบท AM-GM มาใช้กับพจน์ทั้งห้าโดยตรง โดยไม่สนใจค่าคงตัว จะได้พจน์
\[\sqrt[5]{x^2 \cdot xy \cdot y^2 \cdot yz \cdot z^2} = \sqrt[5]{x^3 y^4 z^3}.\]วิธีนี้ไม่สำเร็จ เพราะเงื่อนไขคือ $xyz = \frac{2}{3}$ ดังนั้นเราต้องการกำลังของ $xyz.$ ดังนั้นเพื่อให้ได้กำลังของ $y$ เพิ่มขึ้น หนึ่งกำลังเมื่อเทียบกับ $x... | \boxed{18}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่าจำนวน $a$ สอดคล้องกับสมการ $4 = a + a^{ - 1}.$ จงหาค่าของ $a^{4} + a^{ - 4}?$ | ยกกำลังสองสมการ $4 = a+a^{-1},$ เราได้ \[16 = \left(a+a^{-1}\right)^2 = a^2 + 2a a^{-1} + a^{-2} = a^2 + 2 + a^{-2},\]ดังนั้น $14 = a^2 + a^{-2}.$ เพื่อหาค่าที่ต้องการ เรายกกำลังสองอีกครั้ง ได้ \[196 = a^4 + 2a^2 a^{-2} + a^{-4} = a^4 + 2 + a^{-4}.\]ดังนั้น $\boxed{194} = a^4 + a^{-4}.$ | \boxed{194} = a^4 + a^{-4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีสามคู่ของจำนวนจริง $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, และ $(x_3,y_3)$ ที่สอดคล้องกับสมการ $x^3-3xy^2=2005$ และ $y^3-3x^2y=2004$ ทั้งสองสมการ จงคำนวณ $\left(1-\frac{x_1}{y_1}\right)\left(1-\frac{x_2}{y_2}\right)\left(1-\frac{x_3}{y_3}\right)$ | จากสมการที่กำหนดให้
\[2004(x^3-3xy^2)-2005(y^3-3x^2y)=0.\]หารทั้งสองข้างด้วย $y^3$ และกำหนด $t=\frac{x}{y}$ จะได้
\[2004(t^3-3t)-2005(1-3t^2)=0.\]การตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าสมการลูกบาศก์นี้มีรากจริงสามราก เนื่องจากสามรากนี้เป็น $\frac{x_1}{y_1}$, $\frac{x_2}{y_2}$, และ $\frac{x_3}{y_3}$ เราจะต้องมี
\[2004(t^3-... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงคำนวณ \[ \left\lfloor \dfrac {2005^3}{2003 \cdot 2004} - \dfrac {2003^3}{2004 \cdot 2005} \right\rfloor,\]โดยที่ $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x.$ | ให้ $n = 2004,$ ดังนั้นนิพจน์จะกลายเป็น \[ \left\lfloor \frac{(n+1)^3}{(n-1)n} - \frac{(n-1)^3}{n(n+1)} \right\rfloor.\]เมื่อรวมเศษส่วนภายใต้ส่วนร่วม $(n-1)n(n+1),$ เราได้ \[\begin{aligned} \left\lfloor \frac{(n+1)^3}{(n-1)n} - \frac{(n-1)^3}{n(n+1)} \right\rfloor &= \left\lfloor \frac{(n+1)^4 - (n-1)^4}{(n-1)n(n+1)} \... | 8 < \frac{8(n^2+1)}{n^2-1} < 8.016 < 9, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคี่ $f(f(f(x)))$ เป็นฟังก์ชันคู่, คี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
ใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เรามีว่า
\[f(f(f(-x))) = f(f(-f(x)) = f(-f(f(x))) = -f(f(f(x))),\]ดังนั้น $f(f(f(x)))$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คี่}}$. | \boxed{\text{คี่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 6 ซึ่งสอดคล้องกับ
\[p(2^n) = \frac{1}{2^n}\]สำหรับ $n = 0,$ 1, 2, $\dots,$ 6 จงหาค่าของ $p(0)$ | กำหนดให้ $q(x) = xp(x) - 1.$ แล้ว $q(x)$ มีดีกรี 7 และ $q(2^n) = 0$ สำหรับ $n = 0,$ 1, 2, $\dots,$ 6 ดังนั้น
\[q(x) = c(x - 1)(x - 2)(x - 2^2) \dotsm (x - 2^6)\]สำหรับค่าคงที่ $c$ บางค่า
เราทราบว่า $q(0) = 0 \cdot p(0) - 1.$ แทน $x = 0$ ในสมการข้างต้น เราได้
\[q(0) = c(-1)(-2)(-2^2) \dotsm (-2^6) = -2^{21} c,\]ดังนั... | p(0) = \boxed{\frac{127}{64}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $t$ ที่เป็นบวก ซึ่งสอดคล้องกับ $ab = t-2i$ โดยที่ $|a|=2$ และ $|b|=\sqrt{26}$ | จากข้อมูลที่กำหนดให้เรารู้ว่า $|a| |b| = |ab| = 2\sqrt{26}$ เราสามารถเขียน $|ab| = |t-2i| = \sqrt{t^2 + 4}$ ได้เช่นกัน เมื่อเทียบกันจะได้ $$\sqrt{t^2 + 4} = 2\sqrt{26} \Rightarrow
t^2 + 4 = 104.$$ คำตอบที่เป็นบวกคือ $t = \boxed{10}$. | t = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[9x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 15 = 0.\]จงหาจำนวนรากตรรกยะที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของพหุนามนี้ | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวมีรูปแบบ $\pm \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ หาร 15 ลงตัว และ $b$ หาร 9 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ
\[\pm 1, \ \pm 3, \ \pm 5, \ \pm 15, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{5}{3}, \ \pm \frac{1}{9}, \ \pm \frac{5}{9}.\]ดังนั้น มีรากตรรกยะที่เป็นไปได้ $\boxed{16}$ ... | \boxed{16} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวนซึ่ง $x + y = 35.$ จงหาคู่ลำดับ $(x,y)$ ที่ทำให้ $x^5 y^2$ มีค่ามากที่สุด | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y &= \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \\
&\ge 7 \sqrt[7]{\left( \frac{x}{5} \right)^5 \left( \frac{y}{2} \right)^2} \\
&= 7 \sqrt[7]{\frac{x^5 y^2}{5^5 \cdot 2^2}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y = 35,$ เราได้
\[x^5 y^2 \le 5^7 \... | (x,y) = \boxed{(25,10)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[\frac{x - 4}{(x - 2)^2} < 0.\]แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | สังเกตว่า $(x - 2)^2 > 0$ สำหรับทุก $x \neq 2.$ ดังนั้น สำหรับ $x \neq 2,$ $\frac{x - 4}{(x - 2)^2}$ มีเครื่องหมายเดียวกับ $x - 4.$ ดังนั้น คำตอบคือ $x \in \boxed{(-\infty,2) \cup (2,4)}.$ | x \in \boxed{(-\infty,2) \cup (2,4)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2}) + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[(x + \sqrt{2})^3 + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ดังนั้น
\[(x + \sqrt{2})[(x + \sqrt{2})^2 + 1] = 0,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2}$ หรือ $(x + \sqrt{2})^2 = -1.$ สำหรับสมการหลัง
\[x + \sqrt{2} = \pm i,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2} \pm i.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}.$ | \boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}. | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
จงคำนวณค่าของ
\[\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}.\] | พิจารณาแต่ละพจน์อยู่ในรูป $x^4 + 324$ เราจะแยกตัวประกอบดังนี้: \[\begin{aligned} x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324) - 36x^2\\& = (x^2+18)^2 - 36x^2 \\& = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18) \\ &= (x(x-6)+18)(x(x+6)+18). \end{aligned}\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจึงเท่ากับ \[\frac{(10\cdot4+18)(10\cdot16+18)(22\cdot16+18)(22\cdot28+18) \d... | 373 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามซึ่ง
\[P(x) = P(0) + P(1) x + P(2) x^2\]และ $P(-1) = 1.$ จงหา $P(x).$ | แทนค่า $x = -1,$ $x = 1,$ และ $x = 2$ เราจะได้
\begin{align*}
1 = P(-1) &= P(0) - P(1) + P(2), \\
P(1) &= P(0) + P(1) + P(2), \\
P(2) &= P(0) + 2P(1) + 4P(2),
\end{align*}ตามลำดับ แก้ระบบสมการนี้สำหรับ $P(0),$ $P(1),$ และ $P(2)$ เราจะได้ $P(0) = -1,$ $P(1) = -1,$ และ $P(2) = 1,$ ดังนั้น
\[P(x) = \boxed{x^2 - x - 1}.\] | P(2) = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากตัวเลือกต่อไปนี้ ตัวใดมีค่ามากที่สุด? (เขียน A, B หรือ C) \[ A.\ \ \frac{2006}{2005}+\frac{2006}{2007} \qquad B.\ \ \frac{2006}{2007}+\frac{2008}{2007} \qquad C.\ \ \frac{2007}{2006}+\frac{2007}{2008} \] | โจทย์ข้อนี้แสดงให้เห็นว่าพีชคณิตสามารถทำให้การคำนวณเลขคณิตกระจ่างขึ้น การเปรียบเทียบปริมาณเหล่านี้โดยตรงนั้นเป็นเรื่องยุ่งยาก แทนที่จะทำเช่นนั้น เราสังเกตว่าตัวเลือกแรกและตัวเลือกที่สามมีรูปแบบเดียวกันคือ $\frac{n}{n-1}+\frac{n}{n+1}$ โดยที่ $n=2006$ และ $n=2007$ การเขียนนิพจน์นี้ใหม่ในรูปพีชคณิตจะได้ \[ \frac{n(n+1)}{... | \boxed{\text{A}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ सरल
\[\frac{1}{\log_{15} 2 + 1} + \frac{1}{\log_{10} 3 + 1} + \frac{1}{\log_6 5 + 1}.\] | โดยสูตรการเปลี่ยนฐาน
\begin{align*}
\frac{1}{\log_{15} 2 + 1} + \frac{1}{\log_{10} 3 + 1} + \frac{1}{\log_6 5 + 1} &= \frac{1}{\frac{\log 2}{\log 15} + 1} + \frac{1}{\frac{\log 3}{\log 10} + 1} + \frac{1}{\frac{\log 5}{\log 6} + 1} \\
&= \frac{\log 15}{\log 2 + \log 15} + \frac{\log 10}{\log 3 + \log 10} + \frac{\log 6... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ $|z| = 2.$ จงหาค่าระยะห่างที่มากที่สุดระหว่าง $(3 + 4i)z^3$ และ $z^5$ เมื่อพล็อตในระนาบเชิงซ้อน | เราต้องการเพิ่มค่าสูงสุดของ
\[|(3 + 4i)z^3 - z^5| = |z^3| |3 + 4i - z^2| = |z|^3 |3 + 4i - z^2| = 8 |3 + 4i - z^2|.\]换句话说，我们想要最大化 $3 + 4i$ 和 $z^2$ 之间的距离。
เนื่องจาก $|z| = 2,$ เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีรูปแบบ $z^2$ จะอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $|z|^2 = 4.$ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ จะมากที่สุดเมื่อ $z^2$ อยู่บนเส้นตร... | 8 \cdot 9 = \boxed{72}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จอห์นอายุน้อยกว่าพ่อ 24 ปี ผลรวมอายุของทั้งสองคนคือ 68 ปี จอห์นอายุเท่าไหร่ | ให้ $j$ แทนอายุของจอห์น และ $d$ แทนอายุของพ่อ เราพยายามที่จะหาค่าของ $j$ เราสามารถสร้างระบบสมการสองสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดไว้ ดังนี้
\begin{align*}
j &= d - 24 \\
j + d &= 68 \\
\end{align*}เราต้องการหา $j$ ดังนั้นเราต้องกำจัด $d$ จากสมการข้างต้น การเขียนสมการแรกใหม่เราได้ $d = j+24$ แทนค่านี้ลงในสมการที่สองเพื่อ... | \boxed{22} | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาพหุนามmonicดีกรี 4 ใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนาม | เราเริ่มต้นด้วยการสร้างพหุนามกำลังสองที่มี $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ และ $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ เป็นราก ผลบวกของรากคือ $\sqrt{2} +\sqrt{3}+\sqrt{2} -\sqrt{3}=2\sqrt{2}.$ ผลคูณของรากคือ $(\sqrt{2} +\sqrt{3})(\sqrt{2} -\sqrt{3})=2-3=-1.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ และ $\sqrt{2} -\sqrt{3}$ คือ $$x^2-2\s... | \sqrt{2} +\sqrt{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $2+\sqrt{3}$ เป็นรากของสมการ \[x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0\]และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ จงคำนวณค่า $b$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุค $2-\sqrt{3}$ ต้องเป็นรากของพหุนามเช่นกัน โดยสูตรของ Vieta ผลคูณของรากของพหุนามนี้เท่ากับ $-10$ และผลคูณของรากทั้งสองนี้คือ $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = 1$ ดังนั้นรากที่เหลือต้องเท่ากับ $\frac{-10}{1} = -10$ จากนั้นโดยสูตรของ Vieta อีกครั้ง เราได้ \[b = (-10)(2-\sqrt3) ... | \frac{-10}{1} = -10. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบที่น้อยที่สุดของสมการ $x^4-34x^2+225=0$ | เราต้องการแยกตัวประกอบทางซ้ายมือในรูป \[
(x^2-\boxed{\phantom{09}})(x^2-\boxed{\phantom{25}}).
\] จำนวนในวงเล็บต้องคูณกันได้ $225$ และบวกกันได้ $34$ เราเขียน $225=3\cdot3\cdot5\cdot5$ และลองคูณกันเป็นคู่ๆ จนกว่าจะพบว่า 9 และ 25 ตอบสนองเงื่อนไข จากนั้นเราแยกตัวประกอบต่อไปโดยใช้ผลต่างของกำลังสองและแก้สมการ \begin{align*}... | x=\boxed{-5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ
\[x^5 - x^2 - x - 1 = p_1(x) p_2(x) \dotsm p_k(x),\]โดยที่ $p_i(x)$ เป็นพหุนามไม่คงตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีดีกรีเป็น 1 ซึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกในจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $p_1(2) + p_2(2) + \dots + p_k(2).$ | เราสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการจับคู่ $x^5$ และ $-x,$ และ $-x^2$ และ $-1$:
\begin{align*}
x^5 - x^2 - x - 1 &= (x^5 - x) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^4 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^2 + 1)(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= (x^2 + 1)(x^3 - x - 1).
\end{align*}ถ้า $x^3 - x - 1$ แยกตัวประกอบได้อีก ก็ต้องมีตัวประกอบเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าม... | (2^2 + 1) + (2^3 - 2 - 1) = \boxed{10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)=\log_{2002} n^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $f(11)+f(13)+f(14)$ | เราได้ว่า
\begin{align*}
f(11) + f(13) + f(14) &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 + \log_{2002} 14^2 \\
&= \log_{2002} (11^2 \cdot 13^2 \cdot 14^2) \\
&= \log_{2002} 2002^2 \\
&= \boxed{2}.
\end{align*} | 2 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงคำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)}.\] | ก่อนอื่น เราจะแยก $ rac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)}$ เป็นเศษส่วนย่อย ให้
\[\frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2}.\]แล้ว
\[2n + 1 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1).\]เมื่อ $n = 0,$ เราได้ $2A = 1,$ ดังนั้น $A = \frac{1}{2}.$
เมื่อ $n = -1,$ เราได้ $-B = -1,$ ดังนั้น $B = ... | C = -\frac{3}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5... | กราฟของ $y = \frac{1}{2} f(x)$ ได้มาจากการนำกราฟของ $y = f(x)$ มาบีบอัดลงในแนวตั้งโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ $\frac{1}{2}.$ จากนั้นเราจะได้กราฟของ $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$ โดยเลื่อนขึ้นไปด้านบนสามหน่วย กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{C}}.$ | \boxed{\text{C}}. | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $(u_n)$ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ
\[u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\]และ $u_3=9$ และ $u_6=128$ แล้ว $u_5$ มีค่าเท่าใด? | ให้ $u_4 = a.$ แล้ว $u_5 = 2u_4 + u_3 = 2a + 9$ และ $u_6 = 2u_5 + u_4 = 2(2a + 9) + a = 5a + 18 = 128.$ แก้สมการหา $a,$ เราได้ $a = 22,$ ดังนั้น $u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}.$ | u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้อสมการ
\[\dfrac{x+1}{x+2}>\dfrac{3x+4}{2x+9}.\] | จากอสมการที่กำหนดให้
\[\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{3x + 4}{2x + 9} > 0,\]ซึ่งจะย่อให้เหลือ
\[-\frac{x^2 - x - 1}{(x + 2)(2x + 9)} > 0,\]หรือ
\[\frac{x^2 - x - 1}{(x + 2)(2x + 9)} < 0.\]คำตอบของ $x^2 - x - 1 = 0$ คือ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.$ เราสามารถเติมตารางเครื่องหมายได้ดังนี้:
\[
\begin{array}{c|ccccc}
& x <... | \frac{x^2 - x - 1}{(x + 2)(2x + 9)} < 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_2 \sin \theta_3 + \cos \theta_3 \sin \theta_4 + \cos \theta_4 \sin \theta_5 + \cos \theta_5 \sin \theta_1,\]สำหรับจำนวนจริง $\theta_1,$ $\theta_2,$ $\theta_3,$ $\theta_4,$ และ $\theta_5$ ทั้งหมด | จากอสมการเชิงสามเหลี่ยม $(x - y)^2 \ge 0$ สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด เราสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น
\[xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.\](ดูเหมือน AM-GM แต่เราต้องพิสูจน์สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะจำนวนไม่เป็นลบ)
ดังนั้น,
\begin{align*}
&\cos \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_2 \sin \theta_3 + \cos \theta_3 \... | \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนเต็มบวก $a$, $b$, $c$, และ $d$ สอดคล้องกับ $a > b > c > d$, $a + b + c + d = 2010$, และ $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010$. จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $a.$ | สังเกตว่า \[2010 = a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = (a-b)(a+b) + (c-d)(c+d).\]ถ้า $a-b > 1$ หรือ $c-d > 1$ แล้ว \[(a-b)(a+b) + (c-d)(c+d) > (a+b) + (c+d) = 2010,\]ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้นเราต้องมี $a-b=1$ และ $c-d=1.$ กล่าวคือ โดยการกำหนด $b=a-1$ และ $d=c-1$ เราได้ \[a+b+c+d = 2a+2c-2 = 2010 \implies a+c = 1006,\]และเราต้องมี... | a. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ \[\frac{x-1}{x-3} \ge 2.\](แสดงคำตอบในรูปของช่วง) | ลบ 2 จากทั้งสองข้าง เราได้ \[\frac{x-1}{x-3} - 2 \ge 0,\]หรือ \[\frac{x-1 - 2(x-3)}{x-3} = \frac{-x+5}{x-3} \ge 0.\]กลับด้านทั้งสองข้าง เราได้ \[\frac{x-5}{x-3} \le 0.\]กำหนดให้ $f(x) = \frac{x-5}{x-3},$ เราสร้างตารางเครื่องหมายด้วยปัจจัยสองตัว $x-5$ และ $x-3$: \begin{tabular}{c|cc|c} &$x-5$ &$x-3$ &$f(x)$ \\ \hline$x<... | \boxed{ (3, 5] }. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $x^2 + \frac{1}{x^2} = A,$ และ $x - \frac{1}{x} = B,$ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนบวก จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\frac{A}{B}.$ | สังเกตว่า
\[B^2 = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = A - 2,\]ดังนั้น
\[\frac{A}{B} = \frac{B^2 + 2}{B} = B + \frac{2}{B}.\]โดยอสมการ AM-GM,
\[B + \frac{2}{B} \ge 2 \sqrt{B \cdot \frac{2}{B}} = 2 \sqrt{2}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ (ซึ่งมี $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2... | \boxed{2 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 6x + y^2 - 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 4 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เรา $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 13 - c$ เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 4 หน่วย เราต้องมี $13 - c = 4^2$ ดังนั้น $c = \boxed{-3}$ | c = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับ $-1<r<1$ กำหนดให้ $S(r)$ แทนผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต \[12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .\]ให้ $a$ เป็นจำนวนระหว่าง $-1$ และ $1$ ซึ่งสอดคล้องกับ $S(a)S(-a)=2016$ จงหา $S(a)+S(-a)$ | โดยสูตรของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ \[S(r) = \frac{12}{1-r}.\]ดังนั้น เราได้รับว่า \[S(a)S(-a) = \frac{12}{1-a} \cdot \frac{12}{1+a} = \frac{144}{1-a^2} = 2016.\]แทนที่จะแก้หา $a$ ออกมาโดยตรง เราสังเกตว่า \[\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1-a} + \frac{12}{1+a}\\& = \frac{12(1-a)+12(1+a)}{1-a^2}\\& = \frac{24}{1-a^... | 336 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พาราโบลาหนึ่งมีจุดโฟกัส $(3,3)$ และไดเร็คทริกซ์ $3x + 7y = 21.$ จงแสดงสมการของพาราโบลาในรูป
\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0,\]โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นจำนวนเต็ม, $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $\gcd(|a|,|b|,|c|,|d|,|e|,|f|) = 1.$ | ให้ $(x,y)$ เป็นจุดบนพาราโบลา ระยะห่างจาก $(x,y)$ ถึงจุดโฟกัสคือ
\[\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2}.\]ระยะห่างจาก $(x,y)$ ถึงเส้นตรง $3x + 7y - 21 = 0$ คือ
\[\frac{|3x + 7y - 21|}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{|3x + 7y - 21|}{\sqrt{58}}.\]โดยนิยามของพาราโบลา ระยะทางเหล่านี้เท่ากัน ดังนั้น,
\[\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2} = \f... | \boxed{49x^2 - 42xy + 9y^2 - 222x - 54y + 603 = 0}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ส่วนโค้งของพาราโบลา $y = (x + 1)^2$ และ $x + 4 = (y - 3)^2$ ตัดกันที่สี่จุด จุดทั้งสี่นี้ nằmบนวงกลมที่มีรัศมี $r$ จงหา $r^2$ | บวกสมการ $y = (x + 1)^2$ และ $x + 4 = (y - 3)^2$ เข้าด้วยกัน จะได้
\[x + y + 4 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2.\](จุดใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองสมการ จะต้องสอดคล้องกับสมการนี้ด้วย)
ทำการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y$ จะได้
\[\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{13}{2}.\]ดังนั้น $r^2 = \bo... | r^2 = \boxed{\frac{13}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็ม $x$ ที่ทำให้อสมการ
\[x^2 + bx + 2 \le 0.\]เป็นจริงเพียง 3 จำนวน จงหาจำนวนค่าของ $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ | รากของสมการ $x^2 + bx + 2 = 0$ ที่สอดคล้องกันคือ
\[\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\](โปรดทราบว่ารากเหล่านี้ต้องเป็นจำนวนจริง มิฉะนั้น อสมการ $x^2 + bx + 2 \le 0$ จะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง) ดังนั้น คำตอบของอสมการ $x^2 + bx + 2 \le 0$ คือ
\[\frac{-b - \sqrt{b^2 - 8}}{2} \le x \le \frac{-b + \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\]ถ้าคว... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เส้นตรงที่มีจุดตัดแกน y ที่ $(0,5)$ ตัดวงรี $9x^2 + 16y^2 = 144$ จงหาความชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเส้นตรงนี้ | เส้นตรงอยู่ในรูป $y = mx + 5$ แทนค่าลงไปจะได้
\[9x^2 + 16(mx + 5)^2 = 144.\]展開จะได้
\[(16m^2 + 9) x^2 + 160mx + 256 = 0.\]เพื่อให้เส้นตรงและวงรีตัดกัน สมการกำลังสองนี้ต้องมีรากจริง ซึ่งหมายความว่า ตัวเลือกของมันไม่เป็นลบ:
\[(160m)^2 - 4(16m^2 + 9)(256) \ge 0.\]จะได้ $m^2 \ge 1$ ดังนั้น ความชันที่เป็นไปได้คือ $m \in \bo... | m \in \boxed{(-\infty,-1] \cup [1,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $p(x),$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ
\[p(x^3) - p(x^3 - 2) = [p(x)]^2 + 12\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกจำนวน | กำหนดให้
\[p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0,\]โดยที่ $a_n \neq 0.$ แล้ว
\begin{align*}
p(x^3) - p(x^3 - 2) &= a_n x^{3n} + a_{n - 1} x^{3n - 3} + \dotsb - a_n (x^3 - 2)^n - a_{n - 1} (x^3 - 2)^{n - 1} - \dotsb \\
&= a_n x^{3n} + a_{n - 1} x^{3n - 3} + \dotsb - a_n x^{3n} - 2na_n x^{3n - 3} - ... | p(x) = \boxed{6x^3 - 6}. | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ $w,$ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบ ซึ่งผลรวมของมันเท่ากับ 100 จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ
\[wx + xy + yz.\] | เราทราบว่า
\[wx + xy + yz \le wx + xy + yz + zw = (w + y)(x + z).\]โดย AM-GM,
\[(w + y)(x + z) \le \left( \frac{(w + y) + (x + z)}{2} \right)^2 = 2500.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $w = x = 50$ และ $y = z = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{2500}.$ | \boxed{2500}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x + y}{xyz}.\] | โดยอสมการ AM-HM
\[\frac{x + y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2xy}{x + y},\]ดังนั้น $\frac{x + y}{xy} \ge \frac{4}{x + y}.$ นั่นคือ
\[\frac{x + y}{xyz} \ge \frac{4}{(x + y)z}.\]โดยอสมการ AM-GM
\[\sqrt{(x + y)z} \le \frac{x + y + z}{2} = \frac{1}{2},\]ดังนั้น $(x + y)z \le \frac{1}{4}.$ นั่นคือ
\... | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่ง $x^4 + a^2$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็ม $x$ ใดๆ | สำหรับ $1 \le a \le 7,$ เราให้ค่าของ $x$ ซึ่ง $x^4 + a^2$ เป็นจำนวนเฉพาะ:
\[
\begin{array}{c|c|c}
a & x & a^4 + x^2 \\ \hline
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 5 \\
3 & 10 & 10009 \\
4 & 1 & 17 \\
5 & 2 & 41 \\
6 & 1 & 37 \\
7 & 20 & 160049
\end{array}
\]สำหรับ $a = 8,$
\begin{align*}
x^4 + a^2 &= x^4 + 64 \\
&= x^4 + 16x^2 + 64 - ... | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนจริง และสมมติว่ารากของสมการ \[x^3 - 7x^2 + kx - m = 0\]เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสามจำนวน จงคำนวณ $k + m.$ | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของสมการคือ $7.$ นอกจากนี้ สามสิ่งของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันที่มีผลรวมเท่ากับ $7$ คือ $\{1, 2, 4\}.$ เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าค่าที่มากที่สุดที่จำนวนเต็มใด ๆ ในสามจำนวนนี้สามารถมีได้คือ $7 - 1 - 2 = 4,$ และวิธีเดียวที่จะเลือกสามจำนวนใน $1, 2, 3, 4$ เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ $7$ คือ เลือก $1,$ ... | k+m = 14+8 = \boxed{22}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)}.\] | ก่อนอื่น เราจะแยก $\frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)}$ เป็นเศษส่วนย่อย โดยเขียน
\[\frac{2n - 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2}.\]จากนั้น $2n - 1 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1).$
เมื่อ $n = 0,$ เราได้ $-1 = 2A,$ ดังนั้น $A = -\frac{1}{2}.$
เมื่อ $n = -1,$ เราได้ $-3 = -B,$ ดั... | C = -\frac{5}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริงทั้งหมด $a$ ที่ทำให้สมการ
\[x^3 - ax^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0\]มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียวใน $x$. | เขียนสมการใหม่ในรูปสมการกำลังสองของ $a$ เราได้
\[a^2 - (x^2 + 2x) a + (x^3 - 1) = a^2 - (x^2 + 2x) a + (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.\]จากนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(a - (x - 1))(a - (x^2 + x + 1)) = 0.\]ดังนั้น รากหนึ่งของ $x$ คือ $x = a + 1.$ เราต้องการค่าของ $a$ ที่ทำให้
\[x^2 + x + 1 - a = 0\]ไม่มีรากจริง ในคำอื... | a \in \boxed{\left( -\infty, \frac{3}{4} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่งมีจำนวนเต็มบวก $x, y, z$ ที่สอดคล้องกับสมการ \[
n^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3x+3y+3z-6
\] | สมการที่กำหนดสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $n^2 = (x+y+z+1)^2+(x+y+z+1)-8$. กำหนด $r = x+y+z+1$ จะได้ $n^2 = r^2+r-8$. เห็นได้ชัดว่าหนึ่งในความเป็นไปได้คือ $n=r=\boxed{8}$ ซึ่งเป็นจริงเมื่อ $x=y=1, z=6$. ในทางกลับกัน สำหรับ $r > 8$ เราได้ $r^2 < r^2+r-8 < (r+1)^2.$ | r^2 < r^2+r-8 < (r+1)^2. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ \[\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x+2} = kx\]มีรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนちょうど 2 ราก จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | คูณทั้งสองข้างด้วย $(x+1)(x+2)$ จะได้ \[x(x+2) + x(x+1) = kx(x+1)(x+2),\]หรือ \[2x^2 + 3x = kx^3 + 3kx^2 + 2kx.\]จัดรูปใหม่เป็นสมการ \[0 = kx^3 + (3k-2)x^2 + (2k-3)x,\]หรือ \[0 = x(kx^2 + (3k-2)x + (2k-3)).\]เห็นได้ชัดว่า $x = 0$ เป็นรากของสมการนี้ รากอื่นๆ ทั้งหมดต้องสอดคล้องกับสมการ \[0 = kx^2 + (3k-2)x + (2k-3).\]ถ้... | k = \boxed{0,\tfrac32, 2i, -2i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{a + b}{c} + \frac{a + c}{b} + \frac{b + c}{a}.\] | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{a + b}{c} + \frac{a + c}{b} + \frac{b + c}{a} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}.\]โดย AM-GM,
\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} \ge 6 \sqrt[6]{\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{a}{b} \... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $*$ นิยามโดย
\[a * b = \frac{a - b}{1 - ab}.\]จงคำนวณ
\[1 * (2 * (3 * (\dotsb (999 * 1000) \dotsb))).\] | กำหนดให้ $x = 2 * (3 * ( \dotsb (999 * 1000) \dotsb ))).$ แล้ว
\[1 * (2 * (3 * (\dotsb (999 * 1000) \dotsb))) = 1 * x = \frac{1 - x}{1 - x} = \boxed{1}.\]เพื่อความรอบคอบ เราควรพิสูจน์ว่า $x \neq 1.$ ข้อนี้ให้ผู้อ่านพิสูจน์เอง | x \neq 1. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
วงกลมวงหนึ่งอยู่ภายในพาราโบลาที่มีสมการ $y = x^2,$ โดยสัมผัสกับพาราโบลาที่จุดสองจุด จงหาว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่สูงกว่าจุดสัมผัสเท่าใด | กำหนดให้จุดสัมผัสจุดหนึ่งเป็น $(a,a^2).$ โดยสมมาตร จุดสัมผัสอีกจุดหนึ่งคือ $(-a,a^2).$ โดยสมมาตร จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนแกน $y.$ กำหนดให้จุดศูนย์กลางเป็น $(0,b),$ และให้รัศมีเป็น $r.$
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func (real x) {
return(x^2);
}
pair A = (1,1), O = (0,3/2);
draw(Circle(O,sqrt(5)/2));
draw(grap... | (a,a^2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่ามากที่สุดของผลรวม $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d... | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ที่เป็นบวก ซึ่งทำให้สมการ $\frac{1}{2}\left( 3x^2-1\right) = \left( x^2-50x-10\right)\left( x^2+25x+5\right)$ เป็นจริง | กำหนด $a = x^2-50x-10$ และ $b = x^2+25x+5$ สมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[\frac{a+2b-1}{2} = ab,\]ดังนั้น $0=2ab-a-2b+1=(a-1)(2b-1)$ จากนั้น $a-1=x^2-50x-11=0$ หรือ $2b-1=2x^2+50x+9=0$ สมการแรกมีรากบวก $x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}}$ ในขณะที่สมการที่สองไม่มีราก | x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $r$ และ $s$ เป็นรากของ $p(x)=x^3+ax+b$ และ $r+4$ และ $s-3$ เป็นรากของ $q(x)=x^3+ax+b+240$ ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $b$ ที่คั่นด้วยจุลภาค | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของ $p(x)$ เท่ากับ 0 ดังนั้นรากที่สามคือ $t = -r - s.$ นอกจากนี้,
\[a = rs + rt + st.\]ผลรวมของรากของ $q(x)$ เท่ากับ 0 เช่นกัน ดังนั้นรากที่สามคือ $-(r + 4) - (s - 3) = -r - s - 1 = t - 1.$ นอกจากนี้,
\[a = (r + 4)(s - 3) + (r + 4)(t - 1) + (s - 3)(t - 1).\]ดังนั้น,
\[rs + rt + st = (r + 4... | \boxed{-330,90}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในตารางเวทมนตร์ ผลรวมของจำนวนทั้งสามในแถว คอลัมน์ หรือเส้นทแยงมุมใดๆ จะมีค่าเท่ากัน รูปแสดงด้านล่างแสดงจำนวน 4 จำนวนของตารางเวทมนตร์ จงหาค่าของ $x$.
[asy]
size(2cm);
for (int i=0; i<=3; ++i) draw((i,0)--(i,3)^^(0,i)--(3,i));
label("$x$",(0.5,2.5));label("$19$",(1.5,2.5));
label("$96$",(2.5,2.5));label("$1$",(0.5,1.5));... | กำหนดให้จำนวนที่เหลือเป็น $d, e, f, g, h,$ ดังแสดง: [asy]
size(2cm);
for (int i=0; i<=3; ++i) draw((i,0)--(i,3)^^(0,i)--(3,i));
label("$x$",(0.5,2.5));label("$19$",(1.5,2.5));
label("$96$",(2.5,2.5));label("$1$",(0.5,1.5));
label("$d$",(1.5,1.5));label("$e$",(2.5,1.5));
label("$f$",(0.5,0.5));label("$g$",(1.5,0.5));lab... | x = \boxed{200}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวน ซึ่งผลรวมของมันเท่ากับ 1 ถ้าไม่มีจำนวนใดที่มากกว่าสองเท่าของจำนวนอื่น ๆ แล้ว จงหาค่าต่ำสุดของผลคูณ $xyz.$ | กำหนดให้สามจำนวนนี้เป็น $x,$ $y,$ และ $z.$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $x \le y \le z.$ แล้ว $z \le 2x.$
สมมติว่า $z < 2x.$ ให้ $x_1 = \frac{x + z}{3}$ และ $z_1 = \frac{2x + 2z}{3}.$ แล้ว $z_1 = 2x_1,$ และ $x_1 + z_1 = x + z.$ (เราไม่เปลี่ยนค่าของ $y.$) สังเกตว่า
\begin{align*}
xyz - x_1 yz_1 &= y \left( xz - \fr... | \boxed{\frac{1}{32}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $w^4-16$ ให้มากที่สุด โดยที่ตัวประกอบเป็นพหุนามเอกซ์โมนิกที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $w^4$ และ 16 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสองได้: \[w^4-16=(w^2)^2 - 4^2 = (w^2-4)(w^2+4)\]. เรายังไม่เสร็จ! นิพจน์ $w^2 - 4$ ก็เป็นผลต่างของกำลังสองเช่นกัน ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $w^2 - 4=(w-2)(w+2)$. ดังนั้นเราจึงมี \[w^4-16 = (w^2-4)(w^2+4) = \boxed{(w-2)(w+... | w^2 - 4=(w-2)(w+2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
\[|z - 3i| + |z - 4| = 5.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม
\[|z - 3i| + |z - 4| = |z - 4| + |3i - z| \ge |(z - 4) + (3i - z)| = |-4 + 3i| = 5.\]แต่เราทราบว่า $|z - 3i| + |z - 4| = 5.$ วิธีเดียวที่ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ 4 และ $3i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(1 cm);
pair Z = interp((0,3),(4,0),0.6);
pair... | h = \boxed{\frac{12}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ สามจำนวนแรกสร้างลำดับเลขคณิต สามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต และจำนวนแรกและจำนวนที่สี่ต่างกัน 30 จงหาผลรวมของสี่จำนวนนั้น | กำหนดให้สามจำนวนแรกเป็น $a,$ $a+d,$ และ $a+2d$ โดยที่ $a$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก จากนั้นจำนวนที่สี่คือ $a+30.$ เนื่องจากสามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต เราจึงมี \[(a+d)(a+30) = (a+2d)^2,\]หรือ \[a^2 + (30+d) a + 30d = a^2 + 4ad + 4d^2.\]แก้สมการหา $a$ เราได้ \[a = \frac{4d^2-30d}{30-3d} = \frac{2d(2d-15)}{3(10-d)}.... | 129 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามกำลังสอง $P(x),$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง, สอดคล้องกับ
\[P(x^3 + x) \ge P(x^2 + 1)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหาผลบวกของรากของ $P(x).$ | ให้ $P(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\[a(x^3 + x)^2 + b(x^3 + x) + c \ge a(x^2 + 1)^2 + b(x^2 + 1) + c\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด. สิ่งนี้จะทำให้เป็น
\[ax^6 + ax^4 + bx^3 - (a + b)x^2 + bx - a - b \ge 0.\]สิ่งนี้แยกตัวประกอบเป็น
\[(x - 1)(x^2 + 1)(ax^3 + ax^2 + ax + a + b) \ge 0.\]สำหรับความไม่เท่ากันนี้จะต้องเป็นจริงส... | -\frac{b}{a} = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ มีจำนวนจริง $x_1,$ $x_2,$ $\dots,$ $x_n$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\begin{align*}
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n &= 1000, \\
x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + \dots + x_n^4 &= 512000.
\end{align*}จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^2 + x_2^2 + \dots + \dots + x_n^2) \ge (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 = 1000^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \ge \frac{1000^2}{n}.$
อีกครั้งโดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^4 + x_2^4 + \dots + \dots + x_n^4) \ge (x_1^2 + x_2^2 +... | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ มีรากเป็นจำนวนทั้งหมดดังนี้ \[1+\sqrt{2}, \; 2+\sqrt{3}, \;3+\sqrt{4},\; \dots, \;1000+\sqrt{1001}\] จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนามนี้ | เราทราบว่าถ้าพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ มีจำนวนอตรรกยะ $a + \sqrt{b}$ เป็นราก แล้วคอนจูเกตของรากที่เป็นรากที่สอง $a - \sqrt{b},$ ก็ต้องเป็นรากของพหุนามด้วย
สำหรับทุก $n = 1, 2, \ldots, 1000,$ จำนวน $n + \sqrt{n+1}$ เป็นรากของพหุนามที่กำหนด ดังนั้นเราคิดว่าแต่ละรากต้องมีรากคอนจูเกตที่สอดคล้องกัน ซึ่งจะให้รา... | \boxed{1970}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = x^2.$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน
เนื่องจากพาราโบลา $y = x^2$ สมมาตรรอบแกน $y$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(0,f).$ ให้ $y = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (0,1/4);
P = (1,1);
Q = (1,-1/4);
real parab (real x) {
... | \boxed{\left( 0, \frac{1}{4} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)$ นิยามสำหรับจำนวนเต็ม $x \ge 0,$ $f(1) = 1,$ และ
\[f(a + b) = f(a) + f(b) - 2f(ab)\]สำหรับจำนวนเต็ม $a,$ $b \ge 0$ ทั้งหมด จงคำนวณ $f(1986).$ | กำหนด $b = 0$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[f(a) = f(a) + f(0) - 2f(0),\]ดังนั้น $f(0) = 0.$
กำหนด $b = 1$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[f(a + 1) = f(a) + f(1) - 2f(a) = f(1) - f(a).\]แล้ว
\begin{align*}
f(a + 2) &= f(1) - f(a + 1) \\
&= f(1) - [f(1) - f(a)] \\
&= f(a).
\end{align*}ดังนั้น $f(1986) = f(1... | f(1986) = f(1984) = \dots = f(2) = f(0) = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบบวกของสมการ
\[\sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}}} = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}}}.\] | กำหนดให้
\[y = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}}}.\]แล้ว
\[y^3 = x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}} = xy,\]ดังนั้น $y^2 = x.$
กำหนดให้
\[z = \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}}}.\]แล้ว
\[z^3 = x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}} = x + z,\]ดังนั้น $z^3 - z = x.$
เนื่องจาก $z = y,$ $y^3 - y = x = y... | y | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[-1 < \frac{x^2 - 14x + 11}{x^2 - 2x + 3} < 1.\] | เราพิจารณาอสมการทั้งสองแยกกัน
อสมการทางซ้ายเทียบเท่ากับ
\[\frac{x^2 - 14x + 11}{x^2 - 2x + 3} + 1 > 0,\]หรือ
\[\frac{2x^2 - 16x + 14}{x^2 - 2x + 3} > 0.\]แล้ว
\[\frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 2x + 3} > 0.\]ตัวส่วน $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$ เป็นค่าบวกเสมอ
พหุนามกำลังสอง $(x - 1)(x - 7)$ เป็นค่าบวกอย่างแม่นยำเมื่อ $x <... | x > \frac{2}{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $P(z)=x^3+ax^2+bx+c$ โดยที่ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง มีจำนวนเชิงซ้อน $w$ ที่ทำให้รากของ $P(z)$ คือ $w+3i$, $w+9i$ และ $2w-4$ โดยที่ $i^2=-1$ จงหา $a+b+c$ | กำหนด $w = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง แล้วผลบวกของรากทั้งสามคือ
\[(w + 3i) + (w + 9i) + (2w - 4) = 4w - 4 + 12i = 4x + 4yi - 4 + 12i.\]จากสูตรของ Vieta ผลบวกของรากเท่ากับ $-a,$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $(4x - 4) + (4y + 12)i$ ต้องเป็นจำนวนจริง ซึ่งหมายความว่า $y = -3.$ ดังนั้น รากทั้งสามคือ $w + 3i = x,$ $... | a + b + c = \boxed{-136}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของนิพจน์ต่อไปนี้เท่ากับเท่าใด: $1 - 4 + 7 - 10 + 13 - \cdots - 46 + 49 - 52 + 55$ ? | จับคู่พจน์ทุก ๆ สองพจน์ เริ่มจากพจน์แรก เราจะเห็นว่าผลรวมของแต่ละคู่คือ $-3$ มี $(49+5)/6=9$ คู่ ดังนั้นผลรวมของคู่ทั้งหมดคือ $-3\cdot9=-27$ นำผลรวมนั้นบวกกับพจน์สุดท้ายของอนุกรม และค่าของนิพจน์ทั้งหมดคือ $-27+55=\boxed{28}$ | -27+55=\boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.