question stringlengths 17 1.92k | solution stringlengths 1 2.17k | answer stringlengths 0 210 | bloom_taxonomy listlengths 1 6 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าตัวเลขของ $k$ ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\[\frac{7}{x + y} = \frac{k}{x + z} = \frac{11}{z - y}.\] | โดยทั่วไป ถ้าเรามีเศษส่วน $\frac{a}{b} = \frac{c}{d},$ แล้ว
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}.\]เพื่อดูว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น ให้ $k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}.$ ดังนั้น $a = kb$ และ $c = kd,$ ดังนั้น
\[\frac{a + c}{b + d} = \frac{kb + kd}{b + d} = k.\]นำไปใช้ในที่นี้ เราได้
\[\frac{7}{x + y} = \frac{... | k = \boxed{18}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรี $x^2+4y^2=4$ และไฮเปอร์โบลา $x^2-m(y+2)^2 = 1$ สัมผัสกัน จงหาค่า $m$ | เราพยายามแก้สมการ $x^2+4y^2=4$ และ $x^2-m(y+2)^2=1$ พร้อมกัน เพื่อกำจัด $x$ เราสามารถลบสมการที่สองจากสมการแรกได้ ซึ่งจะได้ \[4y^2 + m(y+2)^2 = 3,\]หรือ \[(m+4)y^2 + (4m) y + (4m-3) = 0.\]เพื่อให้วงรีและไฮเปอร์โบลาสัมผัสกัน สมการนี้ต้องมีคำตอบสำหรับ $y$ เพียงคำตอบเดียว ดังนั้น เงื่อนไขจำเป็นต้องเป็นศูนย์: \[(4m)^2 - 4(... | $ rac{12}{13}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ และ $h$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $abcd = 4$ และ $efgh = 9.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[(ae)^2 + (bf)^2 + (cg)^2 + (dh)^2.\] | โดย AM-GM,
\begin{align*}
(ae)^2 + (bf)^2 + (cg)^2 + (dh)^2 &\ge 4 \sqrt[4]{(ae)^2 (bf)^2 (cg)^2 (dh)^2} \\
&= 4 \sqrt[4]{(abcdefgh)^2} \\
&= 24.
\end{align*}ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $(ae)^2 = (bf)^2 = (cg)^2 = (dh)^2,$ $abcd = 4,$ และ $efgh = 9.$ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนด $a = b = c = d = \sqrt{2}$ และ $e = f = g = ... | \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{x + y + z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x + y + z} = 9.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{9}.$ | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน
\[\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3} + \frac{E}{x + 4}\]สำหรับค่าคงที่บางค่า $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ และ $E.$ จงหา $A + B + C + D + E.$ | ลบส่วนของสมการ เราได้
\begin{align*}
1 &= A(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Bx(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Cx(x + 1)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Dx(x + 1)(x + 2)(x + 4) \\
&\quad + Ex(x + 1)(x + 2)(x + 3).
\end{align*}เราสามารถใช้เทคนิคการแก้สมการสำหรับค่าคงที่แต่ละตัวได้ หรือเราสามารถสังเกตว่าทั้งสองข้างของ... | A + B + C + D + E = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[f(a,b) = \left\{
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{array}{cl}
\dfrac{ab - a + 2}{2a} & \text{ถ้า $a + b \le 3$}, \\
\dfrac{ab - b - 2}{-2b} & \text{ถ้า $a + b > 3$}.
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\right.\]จงหา $f(2,1) + f(2,4)$. | เราได้ว่า
\[f(2,1) = \frac{2 \cdot 1 - 2 + 2}{4} = \frac{1}{2},\]และ
\[f(2,4) = \frac{2 \cdot 4 - 4 - 2}{-8} = -\frac{1}{4},\]ดังนั้น $f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}.$ | f(2,1) + f(4,2) = \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r$, $s$, และ $t$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-5x^2+6x=9$.
คำนวณ $\frac{rs}t + \frac{st}r + \frac{tr}s$. | เราสามารถเขียนสมการลูกบาศก์ใหม่ได้เป็น $x^3-5x^2+6x-9=0$. ก่อนอื่น เรามาพิจารณาความสัมพันธ์ที่สูตรของ Vieta ให้ไว้:
\begin{align*}
-(r+s+t) &= -5,\quad(\clubsuit) \\
rs+rt+st &= 6,\phantom{-}\quad(\textcolor{red}{\diamondsuit}) \\
-rst &= -9.\,\quad(\textcolor{red}{\heartsuit})
\end{align*}เราต้องการคำนวณ
$$\frac{rs}t ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดให้ $r$ เป็นคำตอบจริงบวกของสมการ $x^3 + \frac{2}{5} x - 1 = 0.$ จงหาค่าของ
\[r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb.\] | กำหนดให้ $S = r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb.$ แล้ว
\[r^3 S = r^5 + 2r^8 + 3r^{11} + 4r^{13} + \dotsb.\]ลบสมการนี้จาก $S = r^2 + 2r^5 + 3r^8 + 4r^{11} + \dotsb,$ เราได้
\[S (1 - r^3) = r^2 + r^5 + r^8 + r^{11} + \dotsb = \frac{r^2}{1 - r^3}.\]ดังนั้น,
\[S = \frac{r^2}{(1 - r^3)^2}.\]เนื่องจาก $r^3 + \frac{2}{5} ... | 1 - r^3 = \frac{2}{5} r. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้อสมการ
\[\frac{x}{x + 3} \ge 0.\]แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เราสามารถสร้างตารางเครื่องหมายได้ดังนี้:
\[
\begin{array}{c|ccc}
& x < -3 & -3 < x < 0 & 0 < x \\ \hline
x + 3 & - & + & + \\
x & - & - & + \\
\frac{x}{x + 3} & + & - & +
\end{array}
\]นอกจากนี้ $\frac{x}{x + 3} = 0$ สำหรับ $x = 0.$
ดังนั้น คำตอบคือ $x \in \boxed{(-\infty,-3) \cup [0,\infty)}.$ | x \in \boxed{(-\infty,-3) \cup [0,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $L(x) = x - \frac{x^2}{2}$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก กำหนด $a_n$ โดย
\[
a_n = L \Bigl( L \Bigl( L \Bigl( \cdots L \Bigl( \frac{17}{n} \Bigr) \cdots \Bigr) \Bigr) \Bigr),
\]โดยมี $n$ ครั้งของ $L$. ตัวอย่างเช่น,
\[
a_4 = L \Bigl( L \Bigl( L \Bigl( L \Bigl( \frac{17}{4} \Bigr) \Bigr) \Big... | สังเกตว่า $0 < L(x) < x$ สำหรับ $0 < x < 2.$ สมมติว่า $n$ มีค่ามากพอ, คือ $n \ge 9,$ เราได้ว่า $0 < a_n < \frac{17}{n} < 2.$
จาก $L(x) = x - \frac{x^2}{2},$ เราสามารถเขียนได้
\[\frac{1}{L(x)} = \frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} = \frac{2}{2x - x^2} = \frac{2}{x(2 - x)} = \frac{x + (2 - x)}{x(2 - x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}... | L = \boxed{\frac{34}{19}}. | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ $\omega$ เป็นรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของ $z^3 = 1.$ จงหาจำนวนคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็มที่ทำให้ $|a \omega + b| = 1.$ | เรามี $z^3 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0.$ เนื่องจาก $\omega$ ไม่ใช่จำนวนจริง $\omega$ สอดคล้องกับ
\[\omega^2 + \omega + 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง
\[\omega = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}.\]ให้ $\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}.$ แล้ว $|a \omega + b|^2 = 1.$ นอกจากนี้
\begin{align*}
|a \ome... | 6 | [
"Apply",
"Analyze"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4\]เหนือจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4 &= (x^2 + y^2 + 1 + 2x + 2y + 2xy) + (x^2 - 4x + 4) - 1 \\
&= (x + y + 1)^2 + (x - 2)^2 - 1.
\end{align*}ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{-1},$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x + y + 1 = 0$ และ $x - 2 = 0,$ หรือ $x = 2$ และ $y = -3.$ | y = -3. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[9x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 15 = 0.\]จงหาจำนวนรากตรรกยะที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของพหุนามนี้ | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวมีรูปแบบ $\pm \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ หาร 15 ลงตัว และ $b$ หาร 9 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ
\[\pm 1, \ \pm 3, \ \pm 5, \ \pm 15, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{5}{3}, \ \pm \frac{1}{9}, \ \pm \frac{5}{9}.\]ดังนั้น มีรากตรรกยะที่เป็นไปได้ $\boxed{16}$ ... | \boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกจาก 1 ถึง 600 (รวม) กี่จำนวนที่มีเลขโดด 5 อย่างน้อยหนึ่งหลัก (ตัวเลข 152 และ 553 เป็นตัวเลขที่ประกอบด้วยเลขโดด 5 อย่างน้อยหนึ่งหลัก แต่ 430 ไม่ใช่) | คำใบ้ "อย่างน้อย" บอกให้เราลองใช้การนับแบบเสริม -- เราจะนับจำนวนตัวเลขที่ไม่มีเลขโดด 5 เลย และลบออกจาก 600 เนื่องจากมีตัวเลข 600 ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 600
เพื่อสร้างตัวเลขที่ไม่มีเลขโดด 5 เลยที่น้อยกว่า 600 เราจะมีตัวเลือก 5 ตัวสำหรับตัวเลขหลักแรก: 0, 1, 2, 3 หรือ 4 (เราต้องจำไว้ว่าต้องรวม 600 ด้วย) เราสามารถใช้เลขโดดใด... | 600-405 = \boxed{195} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[b^2 f(a) = a^2 f(b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) \neq 0$ จงหา
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)}.\] | กำหนด $a = 5$ และ $b = 2$ จะได้
\[4f(5) = 25f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(5)}{f(2)} = \frac{25}{4}.$
กำหนด $a = 1$ และ $b = 2$ จะได้
\[4f(1) = f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(1)}{f(2)} = \frac{1}{4}.$ ดังนั้น
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \boxed{6}.\] | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A = (1,0)$ และ $B = (5,4).$ กำหนดให้ $P$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y^2 = 4x.$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $AP + BP.$ | สังเกตว่า $A$ เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา $y^2 = 4x,$ และไดเร็คทริกซ์คือ $x = -1.$ ดังนั้นโดยนิยามของพาราโบลา ระยะทางจาก $P$ ถึง $A$ เท่ากับระยะทางจาก $P$ ถึงเส้นตรง $x = -1.$ กำหนดให้ $Q$ เป็นจุดบน $x = -1$ ที่ใกล้กับ $P$ ที่สุด และกำหนดให้ $R$ เป็นจุดบน $x = -1$ ที่ใกล้กับ $B$ ที่สุด.
[asy]
unitsize(0.6 cm);
real upp... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2 - 6x$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของทุกจุดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน โดยการเติมกำลังสองของ $x$ เราจะได้
\[y = -3(x + 1)^2 + 3.\]เพื่อให้พีชคณิตง่ายขึ้น เราสามารถหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2$ เลื่อนพาราโบลาไปทางซ้าย 1 หน่วยเพื่อให้ได้ $y = -3(x + 1)^2$ และจากนั้นเลื่อนขึ้น 3 หน่วยเพื่อหาจุดโฟ... | \boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง และ $k$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ให้ทราบว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม $\binom{x}{k}$ ถูกนิยามโดยสูตร
\[
\binom{x}{k} = \frac{x(x - 1)(x - 2) \dots (x - k + 1)}{k!} \, .
\]คำนวณค่าของ
\[
\frac{\binom{1/2}{2014} \cdot 4^{2014}}{\binom{4028}{2014}} \, .
\] | $$\begin{aligned} \binom{1/2}{2014} &= \frac{(1/2)(1/2-1)(1/2-2)\dotsm(1/2-2014+1)}{2014!} \\
&= \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\dotsm(-4025/2)}{2014!} \\
&= \frac{(-1)(-3)\dotsm(-4025)}{(2014!)2^{2014}} \\
&= -\frac{(1)(3)\dotsm(4025)}{(2014!)2^{2014}} \cdot \frac{2\cdot4\cdot6\cdot\dots\cdot 4026}{2\cdot4\cdot6\cdot\dots\cd... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
สมมติว่าทั้งสี่จำนวน \[2 - \sqrt{5}, \;4+\sqrt{10}, \;14 - 2\sqrt{7}, \;-\sqrt{2}\]เป็นรากของพหุนามเดียวกันที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และไม่เท่ากับศูนย์ จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนาม | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุคของแต่ละรากทั้งสี่ต้องเป็นรากของพหุนามด้วย ดังนั้น พหุนามมีรากอย่างน้อย $4 \times 2 = 8$ ราก ดังนั้นดีกรีของมันต้องอย่างน้อย 8
สังเกตว่า สำหรับแต่ละจำนวนทั้งสี่ พหุนามกำลังสองเอกภาพที่มีจำนวนนั้นและสังยุคของมันจะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น พหุนามกำลั... | \boxed{8}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจุด $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงรีที่มีแกนเอก $\overline{AB}$ และแกนโท $\overline{CD}.$ จุด $F$ เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรี ถ้า $OF = 6$ และเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $OCF$ เท่ากับ 2 จงคำนวณผลคูณ $(AB)(CD).$ | กำหนด $a = OA = OB$ และ $b = OC = OD.$ แล้ว $a^2 - b^2 = OF^2 = 36.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
path ell = xscale(5)*yscale(3)*Circle((0,0),1);
pair A, B, C, D, F, O;
A = (5,0);
B = (-5,0);
C = (0,3);
D = (0,-3);
F = (4,0);
O = (0,0);
draw(ell);
draw(A--B);
draw(C--D);
draw(C--F);
draw(incircle(O,C,F));
label("$A$", ... | (AB)(CD) = \boxed{65}. | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
หนึ่งในรากของสมการ
\[ax^3 + 3x^2 + bx - 65 = 0,\]คือ $-2 - 3i,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหาว่ารากจริงของพหุนามลูกบาศก์นี้มีค่าเท่าใด | เนื่องจาก $-2 - 3i$ เป็นราก
\[a (-2 - 3i)^3 + 3 (-2 - 3i)^2 + b (-2 - 3i) - 65 = 0.\]เมื่อขยาย, เราได้
\[(-80 + 46a - 2b) + (36 - 9a - 3b)i = 0.\]ดังนั้น $-80 + 46a - 2b = 0$ และ $36 - 9a - 3b = 0.$ เมื่อแก้สมการ, เราพบว่า $a = 2$ และ $b = 6.$
พหุนามลูกบาศก์คือ $2x^3 + 3x^2 + 6x - 65 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(2... | \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จะมีจำนวนจริง $x_1,$ $x_2,$ $\dots,$ $x_n$ ที่สอดคล้องกับ
\begin{align*}
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n &= 1000, \\
x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + \dots + x_n^4 &= 512000.
\end{align*}จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^2 + x_2^2 + \dots + \dots + x_n^2) \ge (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 = 1000^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \ge \frac{1000^2}{n}.$
อีกครั้งโดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^4 + x_2^4 + \dots + \dots + x_n^4) \ge (x_1^2 + x_2^2 +... | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - 5x + 7 = 0.\]จงหาพหุนามเอกหน่วยใน $x$ ซึ่งมีรากเป็น $a - 2,$ $b - 2,$ และ $c - 2.$ | กำหนดให้ $y = x - 2.$ แล้ว $x = y + 2,$ ดังนั้น
\[(y + 2)^3 - 5(y + 2) + 7 = 0.\] 식을 간단히 하면 $y^3 + 6y^2 + 7y + 5 = 0.$ พหุนามที่สอดคล้องกันใน $x$ คือ $\boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}.$ | \boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้อสมการ
\[-4x^2 + 7x + 2 < 0.\] | สมการอสมการสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[-(4x + 1)(x - 2) < 0.\]ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}.$ | x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ บนเซตของจำนวนเต็มและสอดคล้องกับ \[f(n)= \begin{cases} n-3 & \mbox{if }n\ge 1000 \\ f(f(n+5)) & \mbox{if }n<1000. \end{cases}\]จงหา $f(84)$. | กำหนด (1) และ (2) เป็นส่วนที่สองของนิยามของ $f$ ตามลำดับ ถ้าเราเริ่มใช้คำจำกัดความของ $f$ เพื่อคำนวณ $f(84)$ เราใช้ (2) จนกว่าอาร์กิวเมนต์จะอย่างน้อย 1000: \[f(84) = f(f(89)) = f(f(f(94))) = \dots = f^N(1004)\](โดยที่ $f^N$ หมายถึงการประสาน $f$ กับตัวมันเอง $N$ ครั้ง สำหรับบางค่า $N$ ) จำนวน $84, 89, 94, \dots, 1004$ เ... | f^3(1004) = f(1004) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ช่องสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกถูกติดป้ายหมายเลขดังแสดงด้านล่าง
[asy]
unitsize(0.8 cm);
int i, j;
for (i = 0; i <= 8; ++i) {
draw((i,0)--(i,8));
draw((0,i)--(8,i));
}
for (i = 0; i <= 7; ++i) {
for (j = 0; j <= 7; ++j) {
label("$\frac{1}{" + string(i + 8 - j) + "}$", (i + 0.5, j + 0.5));
}}
[/asy]
เลือกช่องสี่... | หมายเลขแถว 1, 2, 3, $\dots,$ 8 จากบนลงล่าง ให้ $r_1$ เป็นหมายเลขแถวของช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกในหลักแรก (ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกช่องสี่เหลี่ยมที่ 5 ในหลักแรก $r_1 = 5.$) ดังนั้นป้ายของช่องสี่เหลี่ยมนั้นคือ $\frac{1}{r_1}.$
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $r_2$ เป็นหมายเลขแถวของช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกในหลักที่สอง ป้ายของมันคือ
\[\fra... | \boxed{1}. | [
"unknown"
] |
จงคำนวณ
$$\sum_{k=1}^{1000} k(\lceil \log_{\sqrt{2}}{k}\rceil- \lfloor\log_{\sqrt{2}}{k} \rfloor).$$ | สังเกตว่า \[\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor =
\begin{cases}1 & \text{ถ้า $x$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}, \\ 0 & \text{ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็ม}. \end{cases} \]ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ ใดๆ \[\lceil \log_{\sqrt{2}}{k}\rceil-\lfloor \log_{\sqrt{2}}{k}\rfloor=
\begin{cases}1 & \text{ถ้า $k$ ไม่เป็นกำลังเต็มของ $\sqrt{2}$}, \... | 0 \leq j \leq 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(1) = 1$ และ
\[f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s... | กำหนด $y = 0,$ เราได้
\[f(f(x)) = xf(0) + f(x)\]สำหรับทุก $x.$ โดยเฉพาะ $f(f(0)) = f(0).$
กำหนด $x = f(0)$ และ $y = 0,$ เราได้
\[f(f(f(0))) = f(0)^2 + f(f(0)).\]สังเกตว่า $f(f(f(0))) = f(f(0)) = f(0)$ และ $f(f(0)) = f(0),$ ดังนั้น $f(0) = f(0)^2 + f(0).$ จากนั้น $f(0)^2 = 0,$ ดังนั้น $f(0) = 0.$ ดังนั้น
\[f(f(x)) =... | n \times s = \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $p(x)$ มีเศษเหลือ $-1$ เมื่อหารด้วย $x - 1,$ มีเศษเหลือ 3 เมื่อหารด้วย $x - 2,$ และมีเศษเหลือ 4 เมื่อหารด้วย $x + 3.$ ให้ $r(x)$ เป็นเศษเหลือเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x - 1)(x - 2)(x + 3).$ จงหา $r(6).$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ $p(1) = -1,$ $p(2) = 3,$ และ $p(-3) = 4.$
เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$ เศษเหลือจะมีรูป $ax^2 + bx + c.$ ดังนั้น
\[p(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3) q(x) + ax^2 + bx + c\]สำหรับพหุนาม $q(x)$ บางตัว. เมื่อแทนค่า $x = 1,$ $x = 2,$ และ $x = -3$ เราได้
\begin{align*}
a + b + c &= p(1) = -1, ... | r(6) = \frac{21}{20} \cdot 6^2 + \frac{17}{20} \cdot 6 - \frac{29}{10} = \boxed{40}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $h(x),$ สำหรับค่า $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก โดย \[h(x) = \left\{\begin{aligned} \log_2 x & \quad \text{ if } \log_2 x \text{ is an integer} \\ 1 + h(x + 1) & \quad \text{ otherwise}. \end{aligned} \right.\] จงคำนวณค่า $h(100)$ | โดยใช้ส่วนที่สองของนิยาม เราได้ \[h(100) = 1 + h(101) = 2 + h(102) = 3 + h(103) = \dots = 28 + h(128).\] เนื่องจาก $128 = 2^7,$ เราใช้ส่วนแรกของนิยามเพื่อให้ได้ \[h(100) = 28 + 7 = \boxed{35}.\] | 35 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดกราฟของ $y = f(x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real func(real x) {
real y;
if (x >= -3 && x <= 0) {y = -2 - x;}
if (x >= 0 && x <= 2) {y = sqrt(4 - (x - 2)^2) - 2;}
if (x >= 2 && x <= 3) {y = 2*(x - 2);}
return(y);
}
int i, n;
for (i = -5; i <= 5; ++i) {
draw((i,-5)--(i,5),gray(0.7));
draw((-5... | กราฟของ $y = f(x) - 1$ ได้มาจากการนำกราฟของ $y = f(x)$ มาเลื่อนลง 1 หน่วย กราฟที่ถูกต้องคือ $\boxed{\text{C}}.$ | \boxed{\text{C}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = \frac{1}{3}\]มีคำตอบที่แตกต่างกัน 3 คำตอบ คือ $r,$ $s,$ และ $t.$ จงคำนวณค่าของ $r^3 + s^3 + t^3.$ | ให้รากของ $(x - \sqrt[3]{13})(x - \sqrt[3]{53})(x - \sqrt[3]{103}) = 0$ คือ $\alpha,$ $\beta,$ และ $\gamma.$ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= \alpha + \beta + \gamma, \\
rs + rt + st &= \alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma, \\
rst &= \alpha \beta \gamma + \frac{1}{3}.
\end{align*}เรามีกา... | 170 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดการดำเนินการแบบทวิภาค $\diamondsuit$ มีสมบัติว่า $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ และ $a\,\diamondsuit \,a=1$ สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ $a, b,$ และ $c$ (โดยที่ $\cdot$ แทนการคูณ) จงหาคำตอบของสมการ $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100.$ | กำหนดให้ $b = a$ และ $c = a,$ เราได้
\[a \, \diamondsuit \, (a \, \diamondsuit \, a) = (a \, \diamondsuit \, a) \cdot a,\]ซึ่งลดรูปเป็น $a \, \diamondsuit \, 1 = a$ สำหรับจำนวน $a$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ใดๆ
กำหนดให้ $c = b,$ เราได้
\[a \, \diamondsuit \, (b \, \diamondsuit \, b) = (a \, \diamondsuit \, b) \cdot b,\]ซึ่งล... | x = \boxed{\frac{25}{84}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ และ $t$ เป็นรากของสมการ $x^3 - 20x^2 + 18x - 7 = 0.$ จงหาค่าของ $\frac{r}{\frac{1}{r}+st} + \frac{s}{\frac{1}{s}+tr} + \frac{t}{\frac{1}{t}+rs}.$ | สังเกตว่า \[\frac{r}{\frac{1}{r}+st} = \frac{r^2}{1+rst} = \frac{r^2}{1+7} = \frac{r^2}{8},\]เนื่องจาก $rst=7$ ตามสูตรของ Vieta's. โดยการคำนวณที่คล้ายกัน เราได้ \[\frac{r}{\frac{1}{r}+st} + \frac{s}{\frac{1}{s}+tr} + \frac{t}{\frac{1}{t}+rs} = \frac{r^2+s^2+t^2}{8},\]ซึ่งเท่ากับ \[\frac{(r+s+t)^2 - 2(rs+st+tr)}{8}=\fra... | rst=7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC^{}_{}$ มี $AB=9^{}_{}$ และ $BC: AC=40: 41^{}_{}$. พื้นที่มากที่สุดที่สามเหลี่ยมนี้จะมีได้คือเท่าใด? | ให้ $BC = 40x$ และ $AC = 41x.$ โดยอสมการสามเหลี่ยม $x$ ต้องสอดคล้องกับ
\begin{align*}
9 + 40x &> 41x, \\
9 + 41x &> 40x, \\
40x + 41x &> 9.
\end{align*}อสมการข้อแรกบอกเราว่า $x < 9,$ อสมการข้อที่สองเป็นจริงเสมอ และอสมการข้อที่สามบอกเราว่า $x > \frac{1}{9}.$
ครึ่ง परिметрคือ $s = \frac{9 + 81x}{2},$ ดังนั้นโดยสูตรของ ... | \boxed{820}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $5(3-i)+3i(5-i)$. | $5(3-i) + 3i(5-i) = 15-5i + 15i - 3i^2 = 15 +10i -3(-1) = \boxed{18+10i}$. | 18 + 10i | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $t$ เป็นพารามิเตอร์ที่แปรค่าไปทั่วจำนวนจริงใดๆ พาราโบลาใดๆ ที่อยู่ในรูป
\[y = 3x^2 + tx - 2t\]ผ่านจุดคงที่ จงหาจุดคงที่นี้ | เพื่อหาจุดคงที่ เราต้องการกำจัด $t$ ในสมการ
\[y = 3x^2 + tx - 2t.\]เราสามารถทำได้โดยการแทน $x = 2.$ จะได้ $y = 3 \cdot 2^2 = 12,$ ดังนั้นจุดคงที่คือ $\boxed{(2,12)}.$ | \boxed{(2,12)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟ $y = 3(x-h)^2 + j$ และ $y = 2(x-h)^2 + k$ มีจุดตัดแกน $y$ เท่ากับ $2013$ และ $2014$ ตามลำดับ และแต่ละกราฟมีจุดตัดแกน $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกสองจุด จงหาค่า $h$ | แทน $x=0$ ในสมการทั้งสอง เราได้ \[2013 = 3h^2 + j \quad \text{และ} \quad 2014 = 2h^2 + k.\]แก้สมการหา $j$ และ $k$ เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น \[y = 3(x-h)^2 + (2013-3h^2) \quad \text{and} \quad y = 2(x-h)^2 + (2014-2h^2),\]หรือ \[y = 3x^2 - 6xh + 2013 = 3(x^2-2hx+671) \quad \text{ and } \quad y = 2x^2 - 4hx ... | h = \boxed{36}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor.
\](หมายเหตุ: $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$.) | เรามี \[
\left\lfloor \frac{2007! + 2004!}{2006! + 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left(2007 \cdot 2006 + \frac{1}{2005}\right)\cdot 2005!}{(2006+1)\cdot 2005!}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{2007\cdot 2006 + \frac{1}{2005}}{2007}\right\rfloor = \left\lfloor 2006 + \frac{1}{2005 \cdot 2007}\right\rfloor = ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[9x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 15 = 0.\]จงหาจำนวนของรากตรรกยะที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของพหุนามนี้ | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคืออยู่ในรูป $\pm \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ หาร 15 ลงตัว และ $b$ หาร 9 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ
\[\pm 1, \ \pm 3, \ \pm 5, \ \pm 15, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{5}{3}, \ \pm \frac{1}{9}, \ \pm \frac{5}{9}.\]ดังนั้น มีรากตรรกยะที่เป็นไปได้ $\boxed{1... | \boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $A = (1,0),$ $B = (4,3),$ และ $C = (p,q)$ เป็นสามจุดบนพาราโบลา $y = -x^2 + 6x - 5,$ โดยที่ $1 \le p \le 4.$ จงหาพื้นที่สูงสุดของสามเหลี่ยม $ABC.$ | เราทราบว่า $q = -p^2 + 6p - 5,$ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทเชือกลาย, พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ
\begin{align*}
&\frac{1}{2} |(1)(3) + (4)(-p^2 + 6p - 5) + (p)(0) - (0)(4) - (3)(p) - (-p^2 + 6p - 5)(1)| \\
&= \frac{1}{2} |-3p^2 + 15p - 12| \\
&= \frac{3}{2} |p^2 - 5p + 4| \\
&= \frac{3}{2} |(p - 1)(p - 4)|.
\end{align*}เนื่อง... | p = \frac{5}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $3x + 2y \le 7$ และ $2x + 4y \le 8.$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y.$ | หารอสมการที่สองด้วย 2 เราได้ $x + 2y \le 4.$ บวกอสมการแรก $3x + 2y \le 7$ เข้าไป เราได้
\[4x + 4y \le 11,\]ดังนั้น $x + y \le \frac{11}{4}.$
สมการเป็นจริงเมื่อ $x = \frac{3}{2}$ และ $y = \frac{5}{4}$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y$ คือ $\boxed{\frac{11}{4}}.$ | \boxed{\frac{11}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดสมการ
\[ax^3 + (a + 2b) x^2 + (b - 3a) x + (8 - a) = 0\]มีรากเป็น $-2$ และ 3 จงหาอีก 1 ราก | เนื่องจาก $-2$ และ 3 เป็นราก ดังนั้น
\begin{align*}
a(-2)^3 + (a + 2b) (-2)^2 + (b - 3a)(-2) + (8 - a) &= 0, \\
a(3)^3 + (a + 2b) 3^2 + (b - 3a)(3) + (8 - a) &= 0.
\end{align*}เมื่อแก้สมการจะได้ $a = \frac{8}{9}$ และ $b = -\frac{40}{27}.$ จากทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากคือ
\[-\frac{a + 2b}{a} = \frac{7}{3},\]ดังนั้นอี... | \frac{7}{3} - (-2) - 3 = \boxed{\frac{4}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{1}{x + 1} + \frac{6}{x + 5} \ge 1.\] | ลบ 1 จากทั้งสองข้างและนำทุกเทอมไปหารด้วยตัวหารร่วมกัน เราจะได้
\[\frac{-x^2 + x + 6}{(x + 1)(x + 5)} \ge 0.\]เทียบเท่ากับ
\[\frac{x^2 - x - 6}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบของเศษส่วนได้
\[\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสร้างตารางเครื่องหมายตามนั้น
\begin{tabular}{c|cccc|c} &$x-3$ &$x+2... | x = 3. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ มีสมบัติที่ค่าเฉลี่ยของรากของมัน ผลคูณของรากของมัน และผลรวมของสัมประสิทธิ์ของมันมีค่าเท่ากัน จุดตัดแกน y ของกราฟ $y = P(x)$ คือ 8 จงหาค่าของ $b$ | จุดตัดแกน y ของกราฟคือจุดที่ $x=0$ ที่จุดนี้ $P(x)=c$ ซึ่งเราทราบว่าเท่ากับ 8 ดังนั้น $c=8$ ผลคูณของรากของพหุนามที่กำหนดคือ $-\frac{c}{2}=-4$ ข้อปัญหาให้ว่าค่าเฉลี่ยของรากต้องเท่ากับ $-4$ ด้วย ดังนั้นผลรวมของรากทั้งสาม (นี่คือสมการลูกบาศก์) เท่ากับ $3 \cdot -4 = -12$ ผลรวมของรากยังเท่ากับ $-\frac{a}{2}$ ดังนั้น $a=24$ ... | b=\boxed{-38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามลูกบาศก์ที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 และ $r$ เป็นจำนวนจริง สองในรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองในรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกจำนวน จงหา $r$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือกำลัง
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางจำนวน
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทุกจำนวน
แทน $x$ ด้วย $r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x$ ด้... | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[\begin{aligned} a &= \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}, \\ b &= -\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}, \\ c&= \sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}, \\ d&=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}. \end{aligned}\]จงหาค่าของ $\left(\frac1a + \frac1b + \frac1c + \frac1d\right)^2.$ | เราหวังว่าจะมีการตัดทอนกัน เราคำนวณ $\frac{1}{a}+\frac{1}{d}$ ก่อน เนื่องจาก $a$ และ $d$ มีสองสัญลักษณ์ตรงข้าม: \[\begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{d}&=\frac{a+d}{ad} \\ &= \frac{(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6) + (-\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6)}{(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6)(-\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6)} \\ &= \frac{2\sqrt6}{(\sqrt6)^2-(\sqrt2+\... | $\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d\right)^2 = \boxed{\frac{96}{529}}.$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ
\[\frac{2 + 6}{4^{100}} + \frac{2 + 2 \cdot 6}{4^{99}} + \frac{2 + 3 \cdot 6}{4^{98}} + \dots + \frac{2 + 98 \cdot 6}{4^3} + \frac{2 + 99 \cdot 6}{4^2} + \frac{2 + 100 \cdot 6}{4}.\] | กำหนดให้
\[S = \frac{2 + 6}{4^{100}} + \frac{2 + 2 \cdot 6}{4^{99}} + \frac{2 + 3 \cdot 6}{4^{98}} + \dots + \frac{2 + 98 \cdot 6}{4^3} + \frac{2 + 99 \cdot 6}{4^2} + \frac{2 + 100 \cdot 6}{4}.\]แล้ว
\[4S = \frac{2 + 6}{4^{99}} + \frac{2 + 2 \cdot 6}{4^{98}} + \frac{2 + 3 \cdot 6}{4^{97}} + \dots + \frac{2 + 98 \cdot 6... | S = \boxed{200}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของรากที่ 2007 ของ $(x-1)^{2007}+2(x-2)^{2006}+3(x-3)^{2005}+\cdots+2006(x-2006)^2+2007(x-2007)$ | เนื่องจากสูตรของ Vieta's ถ้าเราทราบสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ และ $x^{2006}$ เราสามารถหาผลรวมของรากทั้งหมดได้ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ ง่ายต่อการหา -- คือ 1. โดยใช้ทฤษฎีบททวินามใน $(x-1)^{2007}$ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2006}$ คือ $-\tbinom{2007}{2006} + 2 = -2005$. ดังนั้น โดยสูตรของ Vieta's ผลรวมของรากทั้งหม... | \tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง หนึ่งในรากของสมการ
\[x^3 + ax^2 - x + b = 0\]คือ $1 - 2i.$ จงหาคู่ลำดับ $(a,b).$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากคือสังยุคของ $1 - 2i$ ซึ่งก็คือ $1 + 2i.$ ให้ $r$ เป็นรากที่สาม แล้วพหุนามคือ
\[(x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i)(x - r) = x^3 - (r + 2)x^2 + (2r + 5)x - 5r.\]ดังนั้น $2r + 5 = -1$ ดังนั้น $r = -3.$ แล้ว $a = -(r + 2) = 1$ และ $b = -5r = 15$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(1,1... | (a,b) = \boxed{(1,15)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาฟังก์ชันกำลังสอง $f(x) = x^2 + ax + b$ ที่สอดคล้องกับ
\[\frac{f(f(x) + x)}{f(x)} = x^2 + 1776x + 2010.\] | เรามีว่า
\begin{align*}
f(f(x) + x) &= f(x^2 + (a + 1) x + b) \\
&= (x^2 + (a + 1)x + b)^2 + a(x^2 + (a + 1) x + b) + b \\
&= x^4 + (2a + 2) x^3 + (a^2 + 3a + 2b + 1) x^2 + (a^2 + 2ab + a + 2b) x + (ab + b^2 + b).
\end{align*}เราสามารถเขียนได้เป็น
\begin{align*}
&x^4 + (2a + 2) x^3 + (a^2 + 3a + 2b + 1) x^2 + (a^2 + 2a... | f(x) = \boxed{x^2 + 1774x + 235}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวน $a,$ $b,$ $c,$ $d$ มีค่าเท่ากับ 1, 2, 3, 4 ในลำดับใดๆ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ
\[ab + bc + cd + da.\] | เราสามารถแยกตัวประกอบ $ab + bc + cd + da$ เป็น $(a + c)(b + d).$ จากนั้นโดย AM-GM,
\[(a + c)(b + d) \le \frac{[(a + c) + (b + d)]^2}{4} = \frac{10^2}{4} = 25.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = 1,$ $b = 2,$ $c = 4,$ และ $d = 3,$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{25}.$ | \boxed{25}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $k$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $k > 1$ และ
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n-1}{k^n} = \frac{13}{4}.\]จงหาค่าของ $k$. | กำหนด $$S =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n-1}{k^n} = \frac{4}{k} + \frac{9}{k^2} + \frac{14}{k^3} + \dotsb.$$นำ $k$ คูณทั้งสองข้าง จะได้
$$kS = 4 + \frac{9}{k} + \frac{14}{k^2} + \frac{19}{k^3} + \dotsb.$$นำสมการที่สองลบด้วยสมการที่หนึ่ง จะได้
$$\begin{aligned}(k-1)S &= 4 + \frac{5}{k} + \frac{5}{k^2} + \frac{5}{... | k = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a + b + c = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{(a + 2b) + (b + 2c) + (c + 2a)}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}},\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \ge \frac{9}{3a + 3b + 3c} = \frac{9}{3} = 3.\]ค่าเท่ากันเมื่อ $a = b = c = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าคงตัว $c$ ใดบ้าง กราฟของ $f(x) = \frac{x^2-x+c}{x^2+x-20}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเพียงเส้นเดียว?
กรุณาใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วนของเศษส่วนได้เป็น $$f(x) = \frac{x^2-x+c}{(x-4)(x+5)}.$$ดังนั้น กราฟของ $f(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=-5$ และ $x=4$ เว้นแต่จะมีตัวประกอบของ $x-4$ หรือ $x+5$ ในตัวเศษที่ยกเลิกตัวประกอบที่สอดคล้องกันในตัวส่วน (ในกรณีนี้จะมีรูที่จุดนั้นแทนที่จะเป็นเส้นกำลุ่ง) ดังนั้น เราต้องหา $c$ ที่ทำให้ $... | c = \boxed{-12 \text{ หรือ } -30}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)}.\] | ก่อนอื่น เราจะแยก $\frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)}$ ออกเป็นเศษส่วนย่อย ให้
\[\frac{2n + 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2}.\]แล้ว
\[2n + 1 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1).\]เมื่อ $n = 0,$ เราได้ $2A = 1,$ ดังนั้น $A = \frac{1}{2}.$
เมื่อ $n = -1,$ เราได้ $-B = -1,$ ดังนั้น $... | C = -\frac{3}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมวงหนึ่งอยู่ภายในพาราโบลาที่มีสมการ $y = x^2$ โดยสัมผัสกับพาราโบลาที่จุดสองจุด จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่สูงกว่าจุดสัมผัสเท่าใด? | ให้จุดสัมผัสจุดหนึ่งเป็น $(a,a^2).$ เนื่องจากสมมาตร จุดสัมผัสอีกจุดหนึ่งคือ $(-a,a^2).$ และเนื่องจากสมมาตร จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนแกน $y.$ ให้จุดศูนย์กลางเป็น $(0,b),$ และให้รัศมีเป็น $r.$
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func (real x) {
return(x^2);
}
pair A = (1,1), O = (0,3/2);
draw(Circle(O,sqrt(5)/2));
dra... | (a,a^2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $x$ สอดคล้องกับ $x^2 - 5x + 6 < 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $x^2 + 5x + 6.$ | อสมการ $x^2 - 5x + 6 < 0$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 2)(x - 3) < 0,$ ดังนั้นคำตอบคือ $2 < x < 3.$ เนื่องจาก $x^2 + 5x + 6$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนี้ เราได้ว่า
\[x^2 + 5x + 6 > 2^2 + 5 \cdot 2 + 6 = 20\]และ
\[x^2 + 5x + 6 < 3^2 + 5 \cdot 3 + 6 = 30.\]ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ของ $x^2 + 5x + 6$ คือ $\boxed{(20... | \boxed{(20,30)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการของเส้นกำเอียงเฉียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$ คืออะไร?
กรุณาใส่คำตอบในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์ดังนี้
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเ... | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม ซึ่งเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-17$ แล้วเหลือเศษ 14 และเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-13$ แล้วเหลือเศษ 6 จงหาเศษที่ได้เมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x-17)$ | เนื่องจากเราหารด้วยพหุนามกำลังสอง เศษที่ได้จะมีดีกรีมากที่สุด 1 ดังนั้นเศษที่ได้มีรูป $ax+b$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ ใดๆ เราสามารถเขียนได้ว่า
$$P(x) = (x-13)(x-17)Q(x) + ax+b$$โดยที่ $Q(x)$ คือผลหารเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x-17)$ เราสามารถกำจัดพจน์ $Q(x)$ ได้โดยการแทนค่า $x=13$ หรือ $x=17$ โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ... | \boxed{2x-20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $u_n$ เป็นพจน์ที่ $n$ ของลำดับ
\[1,\,\,\,\,\,\,2,\,\,\,\,\,\,5,\,\,\,\,\,\,6,\,\,\,\,\,\,9,\,\,\,\,\,\,12,\,\,\,\,\,\,13,\,\,\,\,\,\,16,\,\,\,\,\,\,19,\,\,\,\,\,\,22,\,\,\,\,\,\,23,\ldots,\]
โดยพจน์แรกเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 1 เป็นผลคูณของ 3, พจน์ถัดไปสองพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดสองจำนว... | สังเกตว่าความต่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันภายในกลุ่มจะเท่ากับ 3 เสมอ. ประการที่สอง เนื่องจากพจน์ทั้งหมดในกลุ่มที่มี $n$ พจน์สอดคล้องกับ $n$ โมดูโล 3 และพจน์ทั้งหมดในกลุ่มที่มี $n+1$ พจน์สอดคล้องกับ $n+1$ โมดูโล 3 ความต่างระหว่างพจน์แรกของกลุ่มที่มี $n+1$ พจน์และพจน์สุดท้ายของกลุ่มที่มี $n$ พจน์คือ 1. นี่หมายความว่าความต... | \boxed{5898}. | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามดีกรีสามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 และ $r$ เป็นจำนวนจริง สองรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหา $r$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ,
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางจำนวน
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทั้งหมด
แทน $x = r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x = r + 9$ เราไ... | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $a$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ
\[x^3 - ax^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0\]มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียวใน $x.$ | เขียนสมการใหม่ในรูปสมการกำลังสองของ $a,$ เราได้
\[a^2 - (x^2 + 2x) a + (x^3 - 1) = a^2 - (x^2 + 2x) a + (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.\]จากนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(a - (x - 1))(a - (x^2 + x + 1)) = 0.\]ดังนั้น รากหนึ่งของ $x$ คือ $x = a + 1.$ เราต้องการค่าของ $a$ ที่ทำให้
\[x^2 + x + 1 - a = 0\]ไม่มีรากจริง ในทาง... | a \in \boxed{\left( -\infty, \frac{3}{4} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ จงหาจำนวนพหุนาม $Q(x)$ ที่มีพหุนาม $R(x)$ ของดีกรี 3 ซึ่งทำให้ $P\left(Q(x)\right) = P(x)\cdot R(x)$ | พหุนาม $P(x)\cdot R(x)$ มีดีกรี 6 ดังนั้น $Q(x)$ ต้องมีดีกรี 2 ดังนั้น $Q$ จึงถูกกำหนดโดยสามลำดับ $(Q(1), Q(2),Q(3))$ เมื่อ $x = 1$, 2, หรือ 3 เราได้
\[0 = P(x)\cdot R(x) = P\left(Q(x)\right).\]ดังนั้น $(Q(1), Q(2), Q(3))$ คือหนึ่งใน 27 สามลำดับ $(i, j, k)$ โดยที่ $i$, $j$, และ $k$ สามารถเลือกได้จากเซต $\{1, 2, 3\}$.
... | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วม และ $\dfrac ab=\dfrac1{2^1}+\dfrac2{3^2}+\dfrac3{2^3}+\dfrac4{3^4}+\dfrac5{2^5}+\dfrac6{3^6}+\cdots$, โดยตัวเศษเพิ่มขึ้นทีละ $1$ และตัวส่วนสลับกันระหว่างกำลังของ $2$ และ $3$ โดยเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นทีละ $1$ สำหรับพจน์ถัดไป คำนวณ $a+b$.
| เราสามารถแยกผลบวกออกเป็นสองกลุ่มของจำนวนที่เราต้องการบวก: $\tfrac12 + \tfrac{3}{2^3} + \tfrac{5}{2^5} \cdots$ และ $\tfrac{2}{3^2} + \tfrac{4}{3^4} + \tfrac{6}{3^6} \cdots$
ให้ $X$ เป็นผลบวกของลำดับแรก ดังนั้นเราจึงมี\begin{align*} X &= \frac12 + \frac{3}{2^3} + \frac{5}{2^5} \cdots \\ \frac{X}{4} &= 0 + \frac{1}{2^3} +... | a+b = \boxed{689}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริง $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[a_n = a_{n - 1} a_{n + 1}\]สำหรับทุก $n \ge 2.$ ถ้า $a_1 = 1 + \sqrt{7}$ และ $a_{1776} = 13 + \sqrt{7},$ จงหาค่าของ $a_{2009}.$ | จากการเรียกซ้ำที่กำหนดให้,
\[a_{n + 1} = \frac{a_n}{a_{n - 1}}.\]กำหนด $a = a_1$ และ $b = a_2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_3 &= \frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}, \\
a_4 &= \frac{a_3}{a_2} = \frac{b/a}{b} = \frac{1}{a}, \\
a_5 &= \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/a}{b/a} = \frac{1}{b}, \\
a_6 &= \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/b}{1/a} = ... | a_7 = a_1, | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(xy) = \frac{f(x)}{y}\]สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(30) = 20$ จงหา $f(40)$. | กำหนด $x = 30$ และ $y = \frac{4}{3},$ เราได้
\[f(40) = \frac{f(30)}{4/3} = \frac{20}{4/3} = \boxed{15}.\] | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โรงละครแห่งหนึ่งมีหน้าต่างขายตั๋วเพียงแห่งเดียว มีวิธีการที่คน 6 คนสามารถเข้าแถวเพื่อซื้อตั๋วได้กี่วิธี? | เราต้องนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของคน 6 คน มี 6 วิธีในการเลือกคนแรกในแถว 5 วิธีในการเลือกคนคนที่สองในแถว และอื่นๆ ดังนั้นคำตอบคือ $6\cdot5\cdot 4\cdot 3\cdot2\cdot 1=\boxed{720}$ | 6\cdot5\cdot 4\cdot 3\cdot2\cdot 1=\boxed{720} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $x$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีสมบัติที่ $x+\tfrac1x = 3$ และกำหนด $S_m = x^m + \tfrac{1}{x^m}$ จงหาค่าของ $S_7$.
| เราสามารถคำนวณได้ว่า\[x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 3^2 -2 = 7.\]ในทำนองเดียวกัน,\[x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right) \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 3 \cdot 7 - 3 = 18\]และ\[x^4 + \dfrac{1}{x^4} = \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 -... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด สำหรับค่า $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราได้
\[2f\left(x\right) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 5x + 4\]
ให้ $S$ แทนผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x) = 2004$ คำนวณจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงกับ $S$ มากที่สุด | แทนค่า $\frac{1}{x}$ เราได้
\[2f\left(\frac 1x\right) + f\left(x\right) = \frac{5}{x} + 4\]
เราได้สมการสองสมการ ซึ่งเราสามารถกำจัด $f\left(\frac 1x\right)$ ออก (สมการแรกคูณด้วยสอง ลบด้วยสมการที่สอง):
\begin{align*} 3f(x) &= 10x + 4 - \frac 5x \\ 0 &= x^2 - \frac{3 \times 2004 - 4}{10}x + \frac 52\end{align*}
เห็นได้ชัด... | \left[\frac{3 \times 2004 - 4}{10}\right] = \boxed{601} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(x^2 + yf(z)) = xf(x) + zf(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x,$ $y,$ และ $z$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(5)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(5)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $x = y = 0,$ เราได้
\[f(0) = zf(0)\]สำหรับ $z$ ทั้งหมด ดังนั้น $f(0) = 0.$
กำหนด $y = 0,$ เราได้
\[f(x^2) = xf(x)\]สำหรับ $x$ ทั้งหมด
กำหนด $x = 0,$ เราได้
\[f(yf(z)) = zf(y).\]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ $y = 1,$ $f(f(z)) = zf(1).$
เนื่องจาก $f(x^2) = xf(x),$
\[f(f(x^2)) = f(xf(x)).\]แต่ $f(f(x^2)) = x^2 f(1)$ แ... | n \times s = \boxed{10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $n$ ให้
\[f(n) = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} + \frac{1}{4^n} + \dotsb.\]จงหา
\[\sum_{n = 2}^\infty f(n).\] | เราต้องการหาผลรวม
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dotsb \\
&+ \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \dotsb \\
&+ \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \dotsb \\
&+ \dotsb.
\end{align*}ผลรวมของจำนวนในหลักที่ $n$ เป็นอนุกรมเรขาอนันต์ โดยมีพจน์แรก $\frac{1}{(n + 1... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำนวณ
\[\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 2)}.\] | โดยการแยกตัวประกอบ
\[\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n + 2}.\]ดังนั้น
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 2)} &= \left( \frac{1/2}{1} - \frac{1/2}{3} \right) + \left( \frac{1/2}{2} - \frac{1/2}{4} \right) + \left( \frac{1/2}{3} - \frac{1/2}{5} \right) + \left( \frac{1/2}{4} - \frac{1/2}{6}... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ในลำดับจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนที่เรียงลำดับเพิ่มขึ้น จำนวนสามจำนวนแรกสร้างลำดับเลขคณิต จำนวนสามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต และจำนวนพจน์แรกและพจน์ที่สี่ต่างกัน 30 จงหาผลรวมของจำนวนทั้งสี่ | กำหนดให้จำนวนพจน์สามจำนวนแรกเป็น $a,$ $a+d,$ และ $a+2d$ โดยที่ $a$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วจำนวนพจน์ที่สี่คือ $a+30$ เนื่องจากจำนวนพจน์สามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต เราได้ \[(a+d)(a+30) = (a+2d)^2,\]หรือ \[a^2 + (30+d) a + 30d = a^2 + 4ad + 4d^2.\]แก้สมการหา $a$ เราได้ \[a = \frac{4d^2-30d}{30-3d} = \frac{2d(2... | 129 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวหารเฉพาะที่มากที่สุดของ $25^2+72^2$。 | $25^2+72^2=5^4+4\cdot 6^4$, และเราสามารถใช้ Sophie Germain Identity บนสิ่งนั้นได้
\[25^2+72^2=(5^2+2\cdot 6^2+2\cdot 5\cdot 6)(5^2+2\cdot 6^2-2\cdot 5\cdot 6)=157\cdot 37.\]
$\boxed{157}$ คือตัวหารเฉพาะที่มากที่สุด。 | \boxed{157} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อพหุนาม $x^{1000}$ หารด้วยพหุนาม $(x^2 + 1)(x + 1)$ | สังเกตว่า $(x^2 + 1)(x + 1)$ เป็นตัวประกอบของ $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) = x^4 - 1.$ เนื่องจาก
\[x^{1000} - 1 = (x^4 - 1)(x^{996} + x^{992} + x^{988} + \dots + x^8 + x^4 + 1),\]เศษที่เหลือเมื่อ $x^{1000}$ หารด้วย $(x^2 + 1)(x + 1)$ คือ $\boxed{1}.$ | \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรีมีจุดโฟกัสที่ $(0, 2)$ และ $(3, 0)$ มันมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด โดยจุดหนึ่งคือจุดกำเนิด จงหาจุดตัดแกน $x$ อีกจุด หนึ่ง เขียนคำตอบของคุณเป็นคู่ลำดับ | ผลรวมของระยะทางจาก $(0,0)$ ถึงจุดโฟกัสทั้งสองคือ $ 2 + 3 = 5.$ ตามนิยามของวงรี ผลรวมของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรีถึงจุดโฟกัสทั้งสองต้องเท่ากับ $5.$ ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $(x, 0)$ เป็นจุดตัดแกน $x$ อีกจุด หนึ่ง สูตรระยะทางจะให้ \[|x-3| + \sqrt{x^2+4} = 5.\]วาดวงรีออกมา เราจะเห็นว่า $x>3,$ ดังนั้นเราสามารถละทิ้งเครื... | \boxed{\left(\tfrac{15}{4},0\right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าจำนวน $a$ สอดคล้องกับสมการ $4 = a + a^{-1}.$ จงหาค่าของ $a^4 + a^{-4}?$ | ยกกำลังสองสมการ $4 = a+a^{-1},$ เราได้ \[16 = \left(a+a^{-1}\right)^2 = a^2 + 2a a^{-1} + a^{-2} = a^2 + 2 + a^{-2},\]ดังนั้น $14 = a^2 + a^{-2}.$ เพื่อหาค่าที่ต้องการ เรายกกำลังสองอีกครั้ง \[196 = a^4 + 2a^2 a^{-2} + a^{-4} = a^4 + 2 + a^{-4}.\]ดังนั้น $\boxed{194} = a^4 + a^{-4}.$ | \boxed{194} = a^4 + a^{-4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่ง $a^2 + b^2 + c^2 = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[2ab \sqrt{2} + 2bc.\] | กลยุทธ์ของเราคือการนำ $a^2 + b^2 + c^2$ มาแบ่งเป็นหลายๆ นิพจน์, นำ AM-GM ไปใช้กับแต่ละนิพจน์ และสร้างผลคูณของ $2ab \sqrt{2} + 2bc$ ขึ้นมา
เนื่องจากเราต้องการพจน์ของ $ab$ และ $bc$ หลังจากนำ AM-GM ไปใช้ เราจึงแบ่ง $a^2 + b^2 + c^2$ เป็น
\[(a^2 + kb^2) + [(1 - k)b^2 + c^2].\]โดย AM-GM,
\begin{align*}
a^2 + kb^2 &\ge 2 \s... | \boxed{\sqrt{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[xf(y) = yf(x)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(15) = 20$ จงหา $f(3)$. | กำหนด $y = 3$ และ $x = 15$ จะได้
\[15f(3) = 3f(15) = 60,\]ดังนั้น $f(3) = \boxed{4}$. | f(3) = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนหนึ่งของกราฟของ $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ แสดงไว้ $b$ มีค่าเท่าใด?
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func(real x) {
return((x + 1)*(x - 1)*(x - 2));
}
draw(graph(func,-1.1,1.5));
draw((-1.5,0)--(1.5,0),Arrows(6));
draw((0,-1)--(0,2.5),Arrows(6));
label("$x$", (1.5,0), E);
label("$f(x)$", (0,2.5), N);
dot("$(... | เรามี \[
0 = f(-1) = -a+b-c+d\]และ \[0 = f(1) = a+b+c+d,
\]ดังนั้น $b+d=0$. นอกจากนี้ $d=f(0) = 2$ ดังนั้น $b=\boxed{-2}$. | b=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y = x^2 - 9x + 25$ และ $B$ เป็นจุดบนเส้นตรง $y = x - 8$ จงหาความยาวระยะทาง $AB$ ที่สั้นที่สุด | กำหนดให้ $A = (a,a^2 - 9a + 25)$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y = x^2 - 9x + 25$ แล้วระยะทางจาก $A$ ถึงเส้นตรง $x - y - 8 = 0$ คือ
\begin{align*}
\frac{|a - (a^2 - 9a + 25) - 8|}{\sqrt{2}} &= \frac{|-a^2 + 10a - 33|}{\sqrt{2}} \\
&= \frac{|a^2 - 10a + 33|}{\sqrt{2}} \\
&= \frac{|(a - 5)^2 + 8|}{\sqrt{2}}.
\end{align*}เราจะเห็นว่... | \frac{8}{\sqrt{2}} = \boxed{4 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่สอดคล้องกับอสมการ
\[(n - 1)(n - 3)(n - 5) \dotsm (n - 97) < 0.\] | เราสามารถนับได้ว่ามีตัวประกอบ 49 ตัวในผลคูณที่กำหนดไว้ สำหรับ $n < 1,$ ตัวประกอบทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้นผลคูณเป็นลบ
จากนั้นสำหรับ $1 < n < 3,$ ตัวประกอบ $n - 1$ เปลี่ยนเครื่องหมาย และผลคูณกลายเป็นบวก สำหรับ $3 < n < 5,$ ผลคูณเปลี่ยนเครื่องหมายอีกครั้ง และผลคูณกลายเป็นลบ ดังนั้นอสมการเป็นจริงสำหรับ $n = 4.$
เมื่อดำเนินกา... | \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A,$ $R,$ $M,$ และ $L$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\begin{align*}
\log_{10} (AL) + \log_{10} (AM) &= 2, \\
\log_{10} (ML) + \log_{10} (MR) &= 3, \\
\log_{10} (RA) + \log_{10} (RL) &= 4.
\end{align*}จงหาค่าของผลคูณ $ARML.$ | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น
\begin{align*}
\log_{10} (A^2 ML) &= 2, \\
\log_{10} (RM^2 L) &= 3, \\
\log_{10} (AR^2 L) &= 4.
\end{align*}ดังนั้น $A^2 ML = 10^2,$ $RM^2 L = 10^3,$ และ $AR^2 L = 10^4.$ การคูณสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ $A^3 R^3 M^3 L^3 = 10^9$ ดังนั้น $ARML = 10^3 = \boxed{1000}.$ | ARML = 10^3 = \boxed{1000}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a > 0$ และ $P(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสอดคล้องกับ
\[P(1) = P(3) = P(5) = P(7) = a\]และ
\[P(2) = P(4) = P(6) = P(8) = -a.\]จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $a$? | ต้องมีพหุนาม $Q(x)$ บางตัวที่ทำให้ $$P(x)-a=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)Q(x).$$จากนั้น แทนค่า $2,4,6,8$ เราจะได้
$$P(2)-a=(2-1)(2-3)(2-5)(2-7)Q(2) = -15Q(2) = -2a,$$$$P(4)-a=(4-1)(4-3)(4-5)(4-7)Q(4) = 9Q(4) = -2a,$$$$P(6)-a=(6-1)(6-3)(6-5)(6-7)Q(6) = -15Q(6) = -2a,$$$$P(8)-a=(8-1)(8-3)(8-5)(8-7)Q(8) = 105Q(8) = -2a.$$นั่นคือ... | \boxed{ 315}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการของเส้นกำเอียงเฉียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$ คืออะไร?
กรุณาใส่คำตอบในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์ดังนี้
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเ... | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{12}$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $a_1 + a_2 + \dots + a_{12} = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_{12}) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \right) \ge (1 + 1 + \dots + 1)^2 = 12^2 = 144,\]ดังนั้น
\[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{12}} \ge 144.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a_i = \frac{1}{12}$ สำหรับทุก $i,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคื... | \boxed{144}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ดาวเคราะห์ชื่อซาเวียร์โคจรเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง เมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (ใกล้ดวงอาทิตย์) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 2 หน่วยดาราศาสตร์ (AU) และเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ที่สุด (อพพพ) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 12 AU เมื่อซาเวียร์อยู่ตรงกลางของวงโคจรดังแสดงในรูป ห่างจากดวงอาทิตย์กี่ AU?
[asy]
unitsiz... | ให้ $A$ เป็นจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, $B$ เป็นจุดห่างดวงอาทิตย์ที่สุด, $F$ เป็นจุดโฟกัสที่ดวงอาทิตย์อยู่, $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงรี และ $M$ เป็นตำแหน่งปัจจุบันของซาเวียร์
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, F, M, O;
path ell = xscale(2)*Circle((0,0),1);
A = (-2,0);
B = (2,0);
F = (-sqrt(3),0);
O = (0,0);
M = (0,-1);
... | MF = AO = \frac{14}{2} = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าของ $n$ ที่ทำให้ $n^2 + 2n + 1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $n^2 + 2n + 1$ ได้เป็น $(n + 1)^2$ ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์เสมอ ดังนั้น ค่าของ $n$ ที่ทำให้ $n^2 + 2n + 1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ คือ **ทุกจำนวนเต็มบวก** | ทุกจำนวนเต็มบวก | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาว $\log_4 27$ และ $\log_2 9.$ ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $h$ จงคำนวณ $4^h$ | ให้ $t = \log_4 3.$ แล้ว $\log_4 27 = 3 \log_4 3 = 3t,$ และ $\log_2 9 = \frac{\log_4 9}{\log_4 2} = \frac{2 \log_4 3}{1/2} = 4t.$ ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้มีด้านในอัตราส่วน $3:4:5,$ ดังนั้น $h = 5t = 5 \log_4 3 = \log_4 243.$ ดังนั้น $4^h = \boxed{243}.$ | 4^h = \boxed{243}. | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ว่า สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ ในโดเมนของมัน $1/x$ ก็อยู่ในโดเมนของมันเช่นกัน และ \[
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = x.
\]เซตของจำนวนจริงที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในโดเมนของ $f$ คือเซตใด?
(a) ${\{x\mid x\ne0\}}$
(b) ${\{x\mid x<0\}}$
(c) ${\{x\mid x>0\}}$
(d) ${\{x\mid x\ne-1\ \text{and... | เงื่อนไขของ $f$ บอกเป็นนัยว่า \[
x = f(x) + f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right)\]และ \[\frac{1}{x} = f\left(\frac{1}{x}\right) +
f\displaystyle\left(\frac{1}{1/x}\displaystyle\right) = f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right) + f(x).
\]ดังนั้น ถ้า $x$ อยู่ในโดเมนของ $f$ แล้ว $x = 1/x$ ดังนั้น... | \boxed{E} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุดยอดของไฮเปอร์โบลา $9x^2 + 54x - y^2 + 10y + 55 = 0.$ | จัดรูปสมการโดยการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y$ จะได้
\[9(x + 3)^2 - (y - 5)^2 = 1,\]ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
\[\frac{(x + 3)^2}{1/9} - \frac{(y - 5)^2}{1} = 1.\]ดังนั้น $a^2 = \frac{1}{9}$ และ $b^2 = 1,$ ดังนั้น $a = \frac{1}{3}.$ ดังนั้น ความยาวระหว่างจุดยอดคือ $2a = \boxed{\frac{2}{3}}.$ | 2a = \boxed{\frac{2}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $\left\lceil\sqrt{\frac{9}{4}}\right\rceil+\left\lceil\frac{9}{4}\right\rceil+\left\lceil\left(\frac{9}{4}\right)^2\right\rceil$. | สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $\left\lceil\frac{3}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{9}{4}\right\rceil+\left\lceil\frac{81}{16}\right\rceil$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{3}{2}$ คือ $2$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{9}{4}$ คือ $3$. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $\frac{81}{16}$ คือ $6$. ดังนั้น $2+3... | 2+3+6=\boxed{11} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ สอดคล้องกับ \[
f(x) + f(2x+y) + 5xy = f(3x - y) + 2x^2 + 1
\]สำหรับจำนวนจริง $x,y$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $f(10)$. | กำหนด $x = 10$ และ $y=5$ จะได้ $f(10) + f(25) + 250 = f(25) + 200 + 1$ จากนั้นเราจะได้ $f(10) = \boxed{-49}$.
$\text{หมายเหตุ:}$ โดยกำหนด $y = \frac x 2$ เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนี้คือ $f(x) = -\frac 1 2 x^2 + 1$ และสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการที่กำหนด | f(x) = -\frac 1 2 x^2 + 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $x$ สอดคล้องกับ $x^2 - 5x + 6 < 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $x^2 + 5x + 6.$ | อสมการ $x^2 - 5x + 6 < 0$ หาค่าได้เป็น $(x - 2)(x - 3) < 0,$ ดังนั้นคำตอบคือ $2 < x < 3.$ เนื่องจาก $x^2 + 5x + 6$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนี้ เราได้ว่า
\[x^2 + 5x + 6 > 2^2 + 5 \cdot 2 + 6 = 20\]และ
\[x^2 + 5x + 6 < 3^2 + 5 \cdot 3 + 6 = 30.\]ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ของ $x^2 + 5x + 6$ คือ $\boxed{(20,30)}.$ | \boxed{(20,30)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $19$ และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ $5$ จงหาผลคูณของสองจำนวนนั้น | ให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ ปัญหาจะถูกแปลเป็นระบบสมการดังนี้: \begin{align*}
x+y &= 19\\
x-y &= 5.
\end{align*} นำสมการทั้งสองบวกกันจะได้ $x+y+x-y = 24$ ซึ่งหมายความว่า $2x = 24$ ดังนั้น $x = 12$ ลบสมการทั้งสองจะได้ $(x+y)-(x-y) = 14$ ซึ่งหมายความว่า $2y = 14$ ดังนั้น $y = 7$ ผลคูณที่เราต้องการคือ $xy = 12\cdot7 =... | xy = 12\cdot7 =\boxed{84} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด \[P(x) = (2x^4 - 26x^3 + ax^2 + bx + c)(5x^4 - 80x^3 + dx^2 + ex + f),\]โดยที่ $a, b, c, d, e, f$ เป็นจำนวนจริง. สมมติว่าเซตของรากเชิงซ้อนทั้งหมดของ $P(x)$ คือ $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$ จงหา $P(6).$ | กำหนดให้ $Q(x)$ และ $R(x)$ แทนปัจจัยสองตัวทางด้านขวามือ ดังนั้น $P(x) = Q(x) \cdot R(x).$ โดยสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของ $Q(x)$ คือ $\tfrac{26}{2} = 13,$ และผลรวมของรากของ $R(x)$ คือ $\tfrac{80}{5} = 16$ (นับด้วย multiplicity). ดังนั้น ผลรวมของรากแปดตัวของ $P(x)$ คือ $13 + 16 = 29.$
แต่ละจำนวน $1, 2, 3, 4, 5$ ต้องเป็... | P(6) = 10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 1^3 = \boxed{2400}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ | ให้ระลึกว่า $\log_2 \frac{x}{y} = \log_2 x - \log_2 y$. นำเอกลักษณ์นี้ไปใช้กับแต่ละพจน์ในผลบวก เราพบว่าผลบวกเท่ากับ $(\log_2 2 - \log_2 1) + (\log_2 3 - \log_2 2) + \cdots + (\log_2 2010 - \log_2 2009)$. พจน์กลางส่วนใหญ่จะตัดกันออก; นิพจน์จะประเมินผลเป็น
\[\log_2 2010 - \log_2 1 = \log_2 2010.\]สังเกตว่า $2^{10} = 10... | \boxed{10} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นผลรวมของสัมประสิทธิ์จริงทั้งหมดของการ展开ของ ${(1+ix)}^{2009}$ จงหาค่าของ $\log_{2}(S)$? | โดยทฤษฎีบททวินาม,
\[(1 + ix)^{2009} = 1 + \binom{2009}{1} ix - \binom{2009}{2} x^2 - \binom{2009}{3} ix^3 + \binom{2009}{4} x^4 + \dotsb.\]นอกจากนี้,
\[(1 - ix)^{2009} = 1 - \binom{2009}{1} ix - \binom{2009}{2} x^2 + \binom{2009}{3} ix^3 + \binom{2009}{4} x^4 + \dotsb.\]นำสองสมการมาบวกกัน พจน์จินตภาพทั้งหมดจะตัดกันและเ... | \log_2 S = \boxed{1004}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.