Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Algebraische Geometrie, Zahlentheorie], Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-"Zahlen"., Die als Heegner-Punkte bezeichneten Lösungen der quadratischen Gleichung sind komplexe Zahlen mit ausschließlich positivem Imaginärteil. Beispielsweise ist die Zahl formula_1 ein Heegner-Punkt, da sie den positiven Imaginärteil formula_2 besitzt und die Gleichung formula_3 erfüllt. Die Lösungen werden verwendet, um Punkte zu erzeugen, die die komplizierteren Gleichungen von Modulkurven oder elliptischen Kurven erfüllen. Der Mehrwert dieser Methode liegt darin, dass Heegner-Punkte anhand der quadratischen Gleichung einfach bestimmt werden können. Die damit erzeugten Punkte geben letztlich einige Auskunft über Fragestellungen aus der Zahlentheorie. Kurt Heegner verwendete sie, um Fragen der Zerlegung von Zahlen in elementarere multiplikative Bausteine nachzugehen, die analog zur Theorie der Primzahlen sind., Indirekt sind Heegner-Punkte in Ideen involviert, die Kreiszahl formula_4 auf viele Stellen nach dem Komma zu ermitteln. Sie sind ein Ausgangspunkt für den Chudnovsky-Algorithmus, mit dessen Hilfe bis heute (Stand 2023) über 100 Billionen Dezimalstellen von formula_5 berechnet wurden., Besondere Prominenz erhalten Heegner-Punkte im Themenkreis rund um die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik. Sie spielten die Schlüsselrolle bei der Frage, warum diese bis heute im Allgemeinen unbewiesene Hypothese nur in ganz bestimmten Fällen mit den bisher errungenen Erkenntnissen bewiesen werden konnte. Dies sind genau die Fälle, in denen die zugehörigen elliptischen Kurven – dies sind die Gegenstände der Vermutung – einen „unmittelbaren Bezug“ zu Heegner-Punkten haben. Über die Betrachtung unendlich vieler Heegner-Punkte gleichzeitig, sogenannter Heegner-Systeme, konnte Victor Kolyvagin in Kombination mit Resultaten von Benedict Gross und Don Zagier im Jahr 1988 zeigen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer im Falle der analytischen Ränge formula_6 und formula_7 wahr ist., Bis heute gelten Heegner-Punkte als Objekte mathematischen Interesses, auch bei der Verwendung von Algorithmen, also rechnerischen Verfahren. Wichtige Beiträge zu deren Erforschung lieferten Bryan Birch, Henri Darmon, Peter Swinnerton-Dyer, Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen, Victor Kolyvagin, Barry Mazur, Heinrich Weber, Zhang Wei, Don Zagier und Shou-Wu Zhang., Grundlegende Einordnung., Über Kurven und rationale Punkte., Eine algebraische Kurve ist im Prinzip eine große Familie von Punkten, die alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Ein Beispiel ist die Gleichung formula_8 (formula_9 wird lediglich mit sich selbst "multipliziert" und anschließend wird 1 vom Ergebnis "subtrahiert"), die genau von formula_10 gelöst wird. Somit bildet die Familie formula_11 die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen., Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius1 und Mittelpunktformula_12 in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte formula_13 gegeben ist, welche die Relation formula_14 erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung formula_14 einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde., Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa formula_16 auf dem Kreis, da, ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, dass ihre Koordinaten durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis formula_14 liegen. Zum Beispiel ist formula_16 "kein" rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind formula_20, da, aber auch formula_22 sowie formula_23. Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen formula_24 mit formula_25. Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele "primitive" pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist, siehe dazu auch in den Artikel Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden., Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar., Elliptische Kurven., Bei Weitem nicht so zugänglich sind sogenannte elliptische Kurven (über den rationalen Zahlen), die allgemein in der Form formula_26 mit rationalen Zahlen formula_27 beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine "quadratische" Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine "kubische" Gleichung (also mit Termen "hoch 3"). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten formula_28 und formula_29 über eine Verknüpfung formula_30 einen neuen rationalen Punkt formula_31 berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von "endlicher Ordnung" und schließt einen endlichen Zyklus, d.h., irgendwann tritt die Situation formula_32 ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch formula_33 ist. In diesem Fall sagt man, dass formula_34 "unendliche Ordnung" hat. Gelegentlich spricht man bei Punkten endlicher Ordnung auch von "trivialen" und bei welchen mit unendlicher Ordnung auch von "nicht-trivialen" Punkten., Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich, zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von Bedeutung und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen "allgemeinen" Algorithmus, der endlich viele rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe "alle anderen" rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die "starke" Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern). Jedoch können "Heegner-Punkte" in manchen Fällen dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte zu erzeugen., Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können. Elliptische Kurven haben nämlich das Geschlecht formula_35 und nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht formula_36 mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht formula_37 stets nur endlich viele rationale Punkte haben können. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt., Parametrisierung von elliptischen Kurven., Die Eigenschaft einer elliptischen Kurve, über den komplexen Zahlen ein Donut zu sein, kann dadurch erklärt werden, wie sich diese parametrisieren lässt., Eine Parametrisierung ist eine Abbildung von einem „einfachen“ Parameterobjekt in ein „kompliziertes“ Zielobjekt, mit dessen Hilfe durch Einsetzen von beliebigen Eingaben (Parametern) des Parameterobjekts beliebige nicht-triviale Teile des Zielobjekts erzeugt werden können. Mit „einfach“ ist gemeint, dass das Parameterobjekt in erster Linie ein „bekanntes Parameterobjekt“ ist, über das genügend Wissen vorhanden ist und aus dessen Vorrat nun nacheinander Werte eingesetzt werden, um damit ein anderes (unbekanntes, komplizierteres oder strukturell anspruchsvolleres) Objekt aufzubauen. Oft handelt es sich sowohl bei den Ein- als auch bei den Ausgaben um Punkte, die in ihrer Kollektion ein geometrisches Objekt darstellen., Ein Beispiel einer Parametrisierung ist die des Kreises: Das „einfache“ Parameterobjekt ist hierbei das Intervall formula_38, also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, über dessen Inhalt wir kanonisch verfügen, und das „komplizierte“ Zielobjekt der Kreis, wobei eine mögliche Abbildung, ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist formula_40 unabhängig von der Eingabe formula_41, womit aufgrund der Periodizität und Stetigkeit von Sinus und Kosinus der gesamte Kreis erzeugt wird. Nutzt man die Veranschaulichung der "komplexen Zahlen" formula_42 (mit reellen Zahlen formula_43) als "Punkte" formula_44, vereinfacht sich die Parametrisierung zu, Für den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und der komplexen Exponentialfunktion siehe auch Eulersche Formel. Aus geometrischer bzw. topologischer Sicht wird das Intervall formula_38, ein „Faden“ mit einer Längeneinheit, an beiden Enden genommen und zu einem Kreis zusammengeschlossen., Das Besondere an der Kreisparametrisierung ist, dass sie von einer transzendenten Funktion generiert wird, nämlich formula_47. Dabei bedeutet "transzendent," dass es kein allgemeines Prinzip gibt, die Funktionswerte formula_48 durch "endlich viele" Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen oder Divisionen aus den Eingaben formula_49 und: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Funktionentheorie], In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von „ganz, vollständig“ und „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich formula_1 heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von formula_1 komplex differenzierbar ist., Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals "reeller" Funktionen gelten dabei weiterhin für "komplexe" Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19.Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20.Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik., Durch die Möglichkeit der Linearisierung in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs formula_1 können für holomorphe Funktionen formula_4, wobei formula_5 die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, sehr fruchtbare Resultate hervorgebracht werden. Anschaulich kann die mathematische Rechenvorschrift formula_6 in der Nähe jedes Wertes formula_7 ihres Definitionsbereichs formula_1 sehr gut durch die lineare Funktion formula_9 angenähert werden. Die Annäherung ist dabei so gut, dass sie für die lokale Analyse der Funktion bzw. der Rechenvorschrift ausreicht. Das Symbol formula_10 bezeichnet dabei die komplexe Ableitung von formula_11 in formula_7. Auch wenn diese Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet, dass man die betreffende Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal durch Polynome annähern kann, also unter Verwendung nur der vier Grundrechenarten, wobei zur Konstruktion dieser Polynome nur die Ableitungen der Funktion in einem einzigen Punkt, dem "Entwicklungspunkt", benötigt werden. Besonders bei transzendenten holomorphen Funktionen, wie Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen (etwa Sinus und Kosinus) und Logarithmen, aber auch bei Wurzelfunktionen, ist dies eine sehr nützliche Eigenschaft, etwa dann, wenn man diese Funktionen und ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt gut versteht. Dabei ist zu beachten, dass die genannten Funktionen natürliche Fortsetzungen von den reellen in die komplexen Zahlen besitzen., Hintergrund der Begriffsstärke der Holomorphie ist, dass die Differenzierbarkeit im Komplexen auf einer offenen „Fläche“ statt nur einem offenen Intervall gelten muss. Dabei müssen beim Grenzübergang zum Differentialquotienten unendlich viele Richtungen (alle Kombinationen aus Nord, Ost, West und Süd) betrachtet werden– eine höhere Anforderung als nur die beiden Richtungen „positiv“ und „negativ“ auf dem "reellen" Zahlenstrahl. Im Laufe des 19. und 20.Jahrhunderts wurde darauf aufbauend im Rahmen der Funktionentheorie ein eigener Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe wie Ableitung, Differenzenquotient und Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften zum Tragen. Dies betrifft das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken in der Integrationstheorie oder auch das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen., In vielen Teilgebieten der Mathematik bedient man sich der starken Eigenschaften holomorpher Funktionen, um Probleme zu lösen. Beispiele sind die analytische Zahlentheorie, in der über holomorphe Funktionen auf Zahlen rückgeschlossen wird, sowie die komplexe Geometrie oder auch die theoretische Physik. Besonders im Rahmen der Theorie der Modulformen nehmen holomorphe Funktionen eine wichtige Position ein, wobei tiefe Verbindungen zur Darstellungstheorie und zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können. Gleich zwei Millennium-Probleme der Mathematik, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und die Riemannsche Vermutung, drehen sich um das Nullstellenverhalten gewisser holomorpher Funktionen., Einführung., Komplexe Zahlen., Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. "imaginärer Zahlen". Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung formula_13. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl formula_14 mit der Eigenschaft formula_15 hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden., Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl formula_16 ist von der Form formula_17 mit reellen Zahlen formula_18 und formula_19. Geht man formula_18 Schritte in „reelle Richtung“ und formula_19 Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl formula_22 mit dem Punkt formula_23 in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird formula_18 als Realteil und formula_19 als Imaginärteil von formula_16 bezeichnet., Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel formula_15 vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel formula_28, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:, Dabei entsteht der Term formula_30 beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt formula_31. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:, Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen formula_5, genau wie die reellen Zahlen formula_34, einen Körper bilden., Komplexe Funktionen., Die Holomorphie ist eine Eigenschaft komplexer Funktionen. Dabei stellt eine Funktion ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen formula_35 und formula_36 über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen formula_37 müssen die Regel erfüllen, dass "jedem" Element aus formula_35 "genau ein" Element in formula_36 zugeordnet wird., Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion formula_40., "Reelle" Funktionen induzieren Tabellendaten der Form formula_41, wobei die Eingabewerte formula_18 den Definitionsbereich von formula_11 durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten formula_18 und formula_45 in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, "alle" Werte formula_46 aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen formula_47 zu Punkten formula_23 in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion., Für "komplexe" Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist. Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“., Die Darstellung komplexer Funktionen durch Kolorierung ist besonders zur Hervorhebung von Null- oder Polstellen sowie anderer Singularitäten einer Funktion üblich. Die Software Wolfram Mathematica bietet seit Version 12 ein entsprechendes Werkzeug an., Im Englischen trägt eine solche Art der Visualisierung die Bezeichnung "domain coloring". Diese wurde von Frank Farris geprägt. Es gab viele frühere Verwendungen von Farbe zur Visualisierung komplexer Funktionen, typischerweise die Zuordnung von Argumenten (Phasen) zu Farbtönen. Larry Crone verwendete die Methode in den späten 1980er Jahren. Die Technik der Verwendung kontinuierlicher Farbe zur Abbildung von Punkten des Definitionsbereiches in die Zielmenge wurde 1999 von George Abdo und Paul Godfrey verwendet, und farbige Raster wurden in Grafiken von Doug Arnold benutzt, die er auf 1997 datiert. Menschen, die farbenblind sind, können jedoch Schwierigkeiten haben, solche Diagramme zu interpretieren, wenn sie mit Standard-Farbkarten erstellt werden. Dieses Problem kann möglicherweise durch die Erstellung alternativer Versionen unter Verwendung von Farbkarten behoben werden, die in den Farbraum passen, der für Menschen mit Farbenblindheit erkennbar ist. Zum Beispiel kann eine Farbkarte, die auf Blau/Grau/Gelb basiert, für Menschen mit vollständiger Deuteranopie besser lesbar sein als das herkömmliche Schaubild, das auf Blau/Grün/Rot basiert., Von reeller zu komplexer Differenzierbarkeit., Da mit komplexen Zahlen im Wesentlichen genau wie mit reellen Zahlen gerechnet werden kann, stellt sich die Frage, inwieweit sich die reelle Analysis, mit Begriffen wie Funktionen, Ableitung oder auch Integral, auf die komplexen Zahlen ausweiten lässt., Im Reellen ist eine Funktion formula_49 in einem Punkt formula_50 differenzierbar, wenn sie dort "linearisiert" werden kann. Das bedeutet, dass sie sich um formula_50 herum sehr ähnlich zu einer linearen Funktion formula_52 verhält. Es gilt also für sehr kleine Werte formula_53 die Approximation formula_54, wobei man mit formula_55 auch formula_56 erhält. Um die Begriffe „Linearisierung“, „sehr ähnlich: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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With density of 1.24 g/cc. Find weight for a 15 cm^3 of volume

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PH中和过程的数学模型

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PH中和过程的数学模型的的推导

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se eu tenho um baralho com 30 cartas, uma de cada tipo, e eu aumento o tamanho desse baralho para 40, com as mesmas caracteristicas, qual a chance que eu passo a ter de pegar uma carta especifica

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Answer the following questions using concepts from logarithmic and exponential functions: 1. A retirement account is opened with an initial deposit of $8,500 and earns 8.12% interest compounded monthly. What will the account be worth in 20 years? What if the deposit was calculated using simple interest? Could you see the situation in a graph? From what point one is better than the other? 2. Graph the function f(x)=5(o.5)^{-x} and its reflection about the line y=x on the same axis, and give the x-intercept of the reflection. Prove that a^x=e^{x lna} . 3. How long will it take before twenty percent of our 1,000-gram sample of uranium-235 has decayed? The decay equation is A(t)=A_0e^{Kt} , where t is the time for the decay, and K is the characteristic of the material. Suppose T is the time it takes for half of the unstable material in a sample of a radioactive substance to decay, called its half-life. Prove that K= \frac{ln0.5}{T} . What is K for the uranium-235? Show the steps of your reasoning. (T = 703,800,000 years)

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how to count logloss? give me simple example with numbers and explanation

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В 90% случаев урожай составляет 130 шт. В оставшихся 10% - 160 шт. Рассчитай средний урожай

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From categorical to numerical

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Из одной кучи руды добывается 1,5 железа и 4 камня. Железо стоит 0,02, камень стоит 0,0002. При работе расходуется 10 кирок. Рассчитай коэффициент выгоды к затраченным киркам (выгода/кирки)

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Clasificar los siguientes números decimales y escribir, si es posible, su fracción generatriz: (a) 1,85 (b) 0,0084 (c) 1,66666... (d) 3, 69 (e) 2,5636363... (f) 1,254 ⌢ (g) 4,999... (h) 3,79 ⌢ (i) 4,3727227222...

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the concept of place value in TEACHING AND ASSESSING MATHEMATICS FOR UPPER PRIMARY (Intermediate) at the upper primary level

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El número de alumnos por año que ingresas a las escuelas tiene media 600 con un desvío estándar de 300. Si se toma una muestra aleatoria de 25 escuelas, ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea inferior a 550?

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Dreiecksgeometrie], Die Malfatti-Kreise, später bekannt als Malfattisches Problem, sind benannt nach Gianfrancesco Malfatti, der 1803 ihre Konstruktion angab. Bestimmt sind die "Malfatti-Kreise" –unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks– durch drei Kreise in einem Dreieck mit der Eigenschaft, dass jeder die beiden anderen Kreise von außen und zwei Dreiecksseiten von innen berührt., Malfatti nahm fälschlich an, dass diese Eigenschaft der Kreise das Problem löse, drei Kreise überschneidungsfrei so in ein Dreieck zu packen, dass sie maximalen Flächeninhalt haben. Warum die "Malfatti-Kreise" dieses sogenannte "Malfatti’sche Maximierungsproblem", sprich die maximale Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise, nicht lösen, lässt sich z.B. leicht an einem langen schmalen rechtwinkligen Dreieck erkennen., Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:, Dabei steht formula_4 für den Inkreisradius und formula_5 für den halben Dreiecksumfang. formula_6 ist der Inkreismittelpunkt und formula_7 sind die drei Winkelhalbierenden., Geschichtliches., Das ursprüngliche Malfatti-Problem bezog sich auf eine Aufgabe aus der Stereotomie, deren vermeintliche Lösung Malfatti 1802 fand und 1803 in der "Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze" in seinem Artikel "Memoria sopra un problema stereotomico" veröffentlichte. Zu Beginn seines Artikels formuliert Malfatti dazu die Aufgabenstellung., Frei übersetzt lautet sie:, In seinem Artikel "Memoria sopra un problema stereotomico" weist Malfatti auch darauf hin, dass diese stereotomische Aufgabe auf ein Problem der Flächengeometrie reduzierbar ist. Er definiert die Lage der Kreise, die dem Dreieck einbeschrieben sind, heute als Malfatti-Kreise bezeichnet, folgendermaßen:, Freie Übersetzung, Das wurde allerdings 1992 von W. A. Salgaller und G. A. Los widerlegt, die zeigten, dass die Lösung stattdessen dadurch erreicht wird, jeweils in aufeinanderfolgenden Schritten einen Kreis mit dem größten Flächeninhalt einzubeschreiben– im Folgenden beschrieben im Abschnitt "Konstruktion nach Salgaller und Los"., Bereits 1687 wurde das Malfatti-Konstruktionsproblem von Jakob I Bernoulli in einem Spezialfall gelöst (gleichschenkliges Dreieck) und später gaben Jakob Steiner auf rein geometrischem Weg und Alfred Clebsch Lösungen, Letzterer mit elliptischen Funktionen (1857, Crelle’s Journal). Auch der Japaner Ajima Naonobu gab 30 Jahre vor Malfatti im Rahmen japanischer Architektur eine Lösung. Dass die Konstruktion von Malfatti das Malfatti-Problem nicht in allen Fällen löste, zeigten schon Lob und Richmond 1930 mithilfe gleichseitiger Dreiecke sowie Howard W. Eves 1965 durch Untersuchungen anhand schmaler und langer Dreiecke. Im Jahr 1967 wurde sogar von Michael Goldberg in einem Aufsatz gezeigt, dass Malfattis Konstruktion dies in keinem Fall tut. Hierfür erbrachten, wie bereits oben erwähnt, Salgaller und Los 1992 die Lösung. Die Begründung von Salgaller und Los war aber nicht vollständig und auf reine numerische rechnerische Argumenten in manchen Schwerpunkten basiert (wie bei Goldberg 1967). Im Juni 2022 hat Giancarlo Lombardi dazu den ersten geometrisch-analytischen Beweis durchgeführt und somit die Lösung erledigt., Freie Übersetzung (Teil der Zusammenfassung), Geometrische Konstruktionen., Ingmar Lehmann erläutert 2003 diverse Lösungen des Malfatti-Problems in seiner Analyse "Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung". Im Folgenden werden daraus vier Methoden im Einzelnen beschrieben., Konstruktion nach Malfatti., Variante mit vorherigen Berechnungen, Dazu leitet Lehmann mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Ähnlichkeit von Dreiecken drei Gleichungen her, deren Lösungen die Tangentenabschnitte formula_8 und formula_9 liefern., Es werden noch folgende Beziehungen berücksichtigt:, darin bedeuten die Bezeichnungen, Mit den entsprechend eingesetzten Werten ist es jetzt möglich, eine sogenannte "Hilfsstrecke formula_13" mit der Länge formula_14 zu bestimmen, dann gilt für die oben beschriebenen "Tangentenabschnitte", Wird in der Formel für formula_14 der Faktor formula_18 den Summanden einzeln zugeordnet, ist damit eine sehr einfache und platzsparende geometrische Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) darstellbar., Konstruktionsbeschreibung, Nach dem Zeichnen eines z.B. ungleichseitigen Dreiecks formula_20 mit den Seitenlängen formula_21 und formula_22 wird der Mittelpunkt des Inkreises formula_6 mithilfe der drei Winkelhalbierenden formula_24 und formula_25 bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken formula_26 und formula_27 Es folgt das Fällen des Lots von formula_6 auf die Strecke formula_29 mit dem Fußpunkt formula_30 und das Ziehen des Inkreises formula_31 um formula_6 mit dem Radius formula_33 Das Fällen der Lote von formula_6 auf formula_35 mit dem Fußpunkt formula_36 sowie von formula_6 auf formula_38 mit dem Fußpunkt formula_39 schließt sich an., Nun wird die Länge formula_14 der Hilfsstrecke formula_13 folgendermaßen auf einer Zahlengeraden ermittelt. Zuerst werden die Streckenhälften formula_42 und formula_43 addiert, aus deren Summe die Streckenhälften formula_44 und formula_45 subtrahiert und schließlich zum erhaltenen Rest der halbe Inkreisradius formula_46 addiert., Weiter geht es mit dem Bestimmen der Mittelpunkte der Malfatti-Kreise. Die Hilfsstrecke formula_47 sprich formula_48 mit dem Zirkel abgreifen und jeweils auf die drei Winkelhalbierenden formula_24 und formula_25 ab dem Inkreismittelpunkt formula_6 übertragen; dies ergibt die Punkte formula_52 und formula_53 Ab den Punkten formula_54 und formula_55 einen Kreisbogen bis auf die Dreieckseite formula_22 und ab formula_57 einen Kreisbogen bis auf formula_58 geschlagen, ergibt die Punkte formula_59 und formula_60 Es folgt das Errichten dreier Lote von den Fußpunkten formula_59 und formula_62 auf die betreffenden Winkelhalbierenden formula_24 und formula_64 somit ergeben sich die gesuchten Mittelpunkte formula_65 und formula_66, Um die Berührungspunkte formula_67 und formula_68 zu erhalten, sind noch drei Lote von den Mittelpunkten formula_65 und formula_70 auf die Dreieckseiten formula_71 und nochmals formula_72 zu fällen. Abschließend die Malfatti-Kreise formula_73 und formula_74 mit den Radien formula_75 und formula_76 einzeichnen und man erhält deren letzten drei Berührungspunkte formula_77 und formula_78, Somit sind die drei Malfatti-Kreise formula_73 und formula_74 mit ihren "neun möglichen" Berührungspunkten formula_81 und formula_82 konstruiert., Konstruktion nach Steiner-Petersen., Jakob Steiner brachte 1826 die Malfatti-Kreise in Verbindung mit den Inkreisen aus drei Teildreiecken, die deswegen als Konstruktionselement für die Malfatti-Kreise verwendet werden können. Steiner formulierte dazu den Satz:, Hierbei ist zu betonen, dass die von Steiner erwähnten Tangenten an die Malfatti-Kreise im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierenden von formula_83 sind, sondern deren Spiegelbilder an den Verbindungsgeraden zweier Inkreismittelpunkte der Teildreiecke., Julius Petersen fand im Jahr 1879 eine elementargeometrische Lösung (Variante ohne vorherige Berechnungen) des Konstruktionsproblems von Malfatti, die im Folgenden dargestellt ist., Konstruktionsbeschreibung, Es ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit vorteilhaft, die Konstruktion in drei Hauptschritten, (1)–(3), darzustellen. Dabei werden nur die relevanten Konstruktionselemente vom ersten in den zweiten bzw. vom zweiten in den dritten Hauptschritt übernommen., (1) Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke formula_84 und formula_85, Nach dem Zeichnen eines z.B. ungleichseitigen Dreiecks formula_20 mit den Seitenlängen formula_21 und formula_22 wird der Mittelpunkt des Inkreises formula_6 mithilfe der drei Winkelhalbierenden formula_24 und formula_25 bestimmt. Die Inkreismittelpunkte formula_92 und formula_93 der Teildreiecke formula_84 und formula_95 erhält man wieder als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden, z.B. durch Vierteln der Winkel formula_96 und formula_97, Es folgt das Fällen des Lots von formula_98 auf die Strecke formula_29 mit dem Fußpunkt formula_100 und das Ziehen des Inkreises formula_101 um formula_98 mit dem Radius formula_103 Das Fällen der Lote von formula_104 auf formula_35 mit dem Fußpunkt formula_106 sowie von formula_93 auf formula_38 mit dem Fußpunkt formula_109 und das Einzeichnen der letzten beiden Inkreise formula_110 und formula_111 um ihre Mittelpunkte formula_104 bzw. formula_113 schließen sich an., (2) Konstruktion der drei Tangenten formula_114 und formula_115, Es geht weiter mit dem Verbinden der Punkte formula_109 mit formula_117 der Halbierung der Strecke formula_118 in formula_119 und dem Einzeichnen des Thaleskreises formula_120 Er schneidet den Inkreis formula_101 in den Punkten formula_122 und formula_123 Nun zieht man die erste Tangente vom Punkt formula_109 durch den Berührungspunkt formula_125 des Inkreises formula_126 bis sie die Dreieckseite formula_72 in formula_128 schneidet., Im Anschluss daran wird formula_100 mit formula_104 verbunden, die Strecke formula_131 in formula_132 halbiert und der Thaleskreis formula_133 eingezeichnet. Er schneidet den Inkreis formula_110 in den Punkten formula_135 und formula_136 Das Einzeichnen der zweiten Tangente vom Punkt formula_100 durch formula_138 bis sie die Dreieckseite formula_72 in formula_140 schneidet, liefert den Schnittpunkt formula_141 Da formula_142 auch ein Punkt auf der dritten Tangente sein muss, bedarf es zu deren Bestimmung nur noch einer Linie von formula_106 durch formula_142 bis auf die Dreieckseite formula_22 und den Schnittpunkt formula_146 Somit ist auch die dritte Tangente formula_115 ermittelt., (3) Konstruktion der Malfatti-Kreise formula_73 und formula_74, Zunächst wird im Dreieck formula_150 die Winkelhalbierende formula_151 vom Punkt formula_109 bis auf die Winkelhalbierende formula_153 eingezeichnet; dabei ergibt sich der Mittelpunkt formula_154 des ersten Malfatti-Kreises. Es folgt das Fällen des Lots von formula_154 auf die Strecke formula_38 mit dem Fußpunkt formula_157 und das Ziehen des ersten Malfatti-Kreises formula_158 um formula_154 mit dem Radius formula_160 Das Fällen der Lote von formula_154 auf formula_35 mit dem Fußpunkt formula_163 sowie von formula_154 auf die Tangente formula_165 mit dem Fußpunkt formula_166 schließt sich an. Die darauf folgende Linie ab formula_154 durch formula_166 bis auf die Winkelhalbierende formula_169 erzeugt den Mittelpunkt formula_170 Nach dem Einzeichnen des zweiten Malfatti-Kreises formula_171 um formula_172 mit dem Radius formula_173 werden die Lote von formula_172 auf formula_38 mit dem Fußpunkt formula_176 von formula_172 auf formula_29 mit dem Fußpunkt formula_179 sowie von formula_172 auf die Tangente formula_181 mit dem Fußpunkt formula_182 gefällt. Die darauf folgende Linie ab formula_172 durch formula_182 bis auf die Winkelhalbierende formula_185 erzeugt den Mittelpunkt formula_66 Nun folgt das Einzeichnen des dritten Malfatti-Kreises formula_74 um formula_70 mit dem Radius formula_189, Um die Berührungspunkte formula_190 und formula_191 zu erhalten, bedarf es noch zweier gefällter Lote vom Mittelpunkt formula_70 auf formula_193 von formula_70 auf formula_35 und der Verbindung des Punktes formula_154 mit formula_66, Somit sind die drei Malfatti-Kreise formula_73 und formula_74 mit ihren ": Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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What is the meaning of the magnification factor r in double integrals in polar coordinates? Group of answer choices It is the area of a smaller polar rectangle, divided by the area of the corresponding small rectangle in the , plane, in the limit as the size goes to zero. It is the area of a small rectangle in the r, plane, divided by the area of the corresponding small polar rectangle, in the limit as the size goes to zero. Neither of the above.

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Diagramm, Logikkalkül], Existential Graphs (die deutschen Übersetzungen „existenzielle Graphen“ und „Existenzgraphen“ sind nicht sehr gebräuchlich) sind ein logisches System des US-amerikanischen Logikers und Philosophen Charles Sanders Peirce. Sie umfassen sowohl eine eigene graphische Schreibweise (Notation) für logische Aussagen als auch einen logischen Kalkül, d.h. (im Wesentlichen) ein formales System von Schlussregeln, mit denen bestehende Aussagen so umgeformt werden können, dass daraus neue Aussagen entstehen, die aus ersteren folgen., Einleitung., Peirce empfand die algebraische Schreibweise (d.h. Formelschreibweise) der Logik, vor allem die der zu seinen Lebzeiten noch sehr neuen, von ihm selbst wesentlich mitentwickelten Prädikatenlogik philosophisch als unbefriedigend, weil den Formelzeichen ihre Bedeutung durch bloße Konvention zukomme. Im Gegensatz dazu strebte er eine Schreibweise an, bei der die Zeichen ihre Bedeutung buchstäblich in sich tragen – in der Begrifflichkeit seiner Zeichentheorie: ein System ikonischer Zeichen, die den bezeichneten Gegenständen und Relationen ähneln oder gleichen., So war die Entwicklung eines ikonischen, graphischen und –wie er beabsichtigte– damit intuitiven und leicht erlernbaren logischen Systems ein Projekt, das Peirce zeitlebens beschäftigte. Nach mindestens einem abgebrochenen Ansatz –den „Entitative Graphs“– entstand schließlich von 1896 an das geschlossene System der Existential Graphs. Obwohl von ihrem Schöpfer als klar überlegenes und intuitiveres System betrachtet, waren sie als Schreibweise und als Kalkül ohne größeren Einfluss auf die Geschichte der Logik; zurückgeführt wird das einerseits darauf, dass Peirce zu diesem Thema nur wenig publizierte und die veröffentlichten Texte nicht sehr verständlich geschrieben seien; und andererseits darauf, dass die lineare Formelschreibweise in der Hand von Fachleuten das weniger aufwändig handhabbare Werkzeug sei. So wurden die Existential Graphs nur wenig beachtet oder als unhandliche Schreibweise angesehen., Zu besserem Verständnis führten ab 1963 Arbeiten von DonD.Roberts und J.JayZeman, in denen Peirce’ graphische Systeme systematisch untersucht und dargestellt wurden. Eine praktische Rolle spielt heute allerdings nur eine moderne Anwendung, die 1976 von John F. Sowa eingeführten Begriffsgraphen, die in der Informatik zur Wissensrepräsentation verwendet werden. Als Forschungsgegenstand treten die Existential Graphs im Zusammenhang mit einem wachsenden Interesse an graphischer Logik wieder vermehrt in Erscheinung, was sich auch in Versuchen äußert, die von Peirce angegebenen Schlussregeln durch intuitivere zu ersetzen., Das Gesamtsystem der Existential Graphs setzt sich aus drei aufeinander aufbauenden Teilsystemen zusammen, den Alphagraphen, den Betagraphen und den Gammagraphen. Die Alphagraphen sind ein rein aussagenlogisches System. Auf sie aufbauend entstehen als echte Erweiterung die Betagraphen, ein prädikatenlogisches System der ersten Stufe. Die bis heute nicht vollständig erforschten und von Peirce nicht vollendeten Gammagraphen werden als Weiterentwicklung der Alpha- und Betagraphen verstanden. Bei geeigneter Interpretation decken die Gammagraphen Prädikatenlogik höherer Stufe sowie Modallogik ab. Noch 1903 begann Peirce mit einem neuen Ansatz, den „Tinctured Existential Graphs,“ mit denen er die bisherigen Systeme der Alpha-, Beta- und Gammagraphen ablösen und deren Ausdrucksstärke und Leistungsfähigkeit in einem einzigen neuen System vereinen wollte. Wie die Gammagraphen blieben die „Tinctured Existential Graphs“ unvollendet., Als Kalküle sind die Alpha- und Betagraphen sowohl korrekt (d.h., alle als Alpha- bzw. Betagraphen herleitbaren Ausdrücke sind aussagen- bzw. prädikatenlogisch semantisch gültig) als auch vollständig (d.h., alle aussagen- bzw. prädikatenlogisch semantisch gültigen Ausdrücke sind als Alpha- bzw. Betagraphen herleitbar)., Die Wahl der Bezeichnung „Existential Graphs“ begründet Peirce damit, dass der einfachste sinnvolle und wohlgeformte Betagraph eine Existenzaussage trifft. Peirce verwendet diese Bezeichnung erstmals Ende 1897; zuvor spricht er von „positive logical graphs“ oder einfach von seinem System logischer Diagramme., Der vorliegende Artikel behandelt die Alpha- und Betagraphen als den vollendeten und am besten erforschten Teil von Peirce’ System. Darüber hinausgehende Informationen bieten die in der Literaturliste genannten Werke., Alphagraphen., Notation der Alphagraphen., Atomare Aussagen, d.h. solche Aussagen, die ihrerseits nicht aus anderen Aussagen zusammengesetzt sind, werden –wie in der Aussagenlogik üblich– durch Buchstaben ausgedrückt; zum Beispiel kann die atomare Aussage „Es regnet“ durch den Buchstaben „P“ ausgedrückt werden. Die Konjunktion mehrerer –atomarer oder nicht atomarer– Aussagen wird durch ihr Nebeneinanderschreiben ausgedrückt. Um zu sagen, dass zwei Aussagen P und Q wahr sind, schreibt man daher „PQ“., Neben der Konjunktion umfasst das System die Negation. Sie wird ausgedrückt, indem der zu verneinende Ausdruck –egal ob einfach oder zusammengesetzt– von einem geschlossenen Linienzug umgeben wird, sozusagen „eingeringelt“ wird. Spezielle Anforderungen an die Gestalt des Linienzugs werden keine gemacht, es ist aber gebräuchlich, einen Kreis oder ein Oval zu verwenden. Den geschlossenen Linienzug, der eine Aussage verneint, nennt Peirce den Cut (wörtlich: Schnitt). Bildlicher Hintergrund des Cuts ist, dass auf dem Blatt Papier, auf dem geschrieben wird –dem "sheet of assertion", Annahmeblatt–, die als wahr angenommenen Aussagen niedergeschrieben werden. Falsche Aussagen müssen vom Bereich der wahren Aussagen ausgeschlossen, abgegrenzt, „abgeschnitten“ werden, und ebendiese Funktion übernimmt der Cut., Um ein Konditional auszudrücken, d.h., um zu sagen, dass eine Aussage P eine hinreichende Bedingung für eine Aussage Q ist, wird eine Schreibweise gewählt, die im Englischen als „P scrolls Q“, „P ringelt Q ein“, bezeichnet wird: Die Aussage Q, also der bedingte Satz, steht innerhalb eines eigenen Cuts gemeinsam mit seiner Bedingung, der Aussage P, in einem zweiten, äußeren Cut (siehe Abbildung, Punkt c1 und c2). Diese Schreibweise ist im logischen System der Existential Graphs atomar eingeführt, aber im Wissen, dass es sich bei dem Cut um die Negation und beim Nebeneinanderschreiben um die Konjunktion handelt, leicht mit den Wahrheitsbedingungen dieser beiden Verknüpfungen in Deckung zu bringen: Das Konditional, P→Q, ist äquivalent mit der Negation ¬(P ∧ ¬Q), und genau das ist die Aussage des „P scrolls Q“, die genau den Fall des wahren P und falschen Q vom "sheet of assertion" abgrenzt, „herausschneidet“., Die Disjunktion wird ausgedrückt, indem die beiden Disjunkte –jeweils für sich in einzelne Cuts gesetzt –nebeneinander geschrieben und mit einem zusätzlichen äußeren Cut versehen werden. Man sieht leicht, dass diese Schreibweise in moderner Notation die Aussage ¬(¬P∧¬Q) darstellt, eine Aussage, die mit P∨Q äquivalent ist. Bildlicher Hintergrund ist wieder, dass die Disjunktion den Fall vom "sheet of assertion" ausschließt, dass sowohl P als auch Q falsch sind., Mit den beiden Verknüpfungen der Alphagraphen, der Verneinung (dem Cut) und der Und-Verknüpfung (Aufschreiben mehrerer Aussagen auf dem Annahmeblatt) lassen sich – wie für das Konditional und die Disjunktion beispielhaft gezeigt wurde– alle anderen Verknüpfungen der zweiwertigen Aussagenlogik darstellen (siehe funktionale Vollständigkeit von Junktoren). Alphagraphen sind damit eine vollwertige Schreibweise für die Aussagenlogik., Wenn Aussagen in der Schreibweise der Alphagraphen von elektronischen Rechenanlagen verarbeitet oder einfach mit Textverarbeitungssystemen bzw. früher Schreibmaschinen wiedergegeben werden sollen, behilft man sich oft damit, die Cuts durch Klammerungen auszudrücken. Statt eines geschlossenen Linienzugs um den Satz P zu zeichnen, schreibt man in diesem Fall (P). Das Konditional, „P scrolls Q“, wird in dieser Schreibweise zu (P(Q)). Aus typographischen Gründen wird auch in diesem Artikel so vorgegangen., Schlussregeln der Alphagraphen., Um die Regeln formulieren zu können, ist es zunächst erforderlich, das Konzept der "Ebene" einer Aussage (in der Literatur: „proposition level“) zu definieren. Die Ebene einer –elementaren oder zusammengesetzten– Aussage ist definiert als die Anzahl der Cuts, von denen diese Aussage direkt oder indirekt umschlossen ist. Zum Beispiel ist im Ausdruck (P(Q)) die Ebene von P und jene von (Q) 1, weil sowohl P als auch (Q) nur Teil des äußeren Cuts sind. Die Ebene von Q hingegen ist 2, weil Q nicht nur unmittelbar von einem Cut umgeben ist, sondern dieser wiederum Teil des äußeren Cuts ist., Nach dieser Vorbemerkung lassen sich die Schlussregeln wie folgt angeben:, Beispiel., Es soll aus formula_1 und formula_2 die Aussage formula_3 abgeleitet werden (Kettenschluss). Dazu beginnt man mit den Annahmen (P(Q)) und (Q(R)) und leitet schrittweise die Aussage (P(R)) her:, Betagraphen., Die Betagraphen sind das prädikatenlogische System der Existential Graphs. Sie erweitern das System der Alphagraphen um das Sprachmittel der Identitätslinie („line of identity“) und verallgemeinern die bereits bestehenden Schlussregeln., Die atomaren Ausdrücke sind bei den Betagraphen nicht mehr Aussagebuchstaben (P, Q, R,...) bzw. Aussagen („Es regnet,“ „Peirce starb in Armut“), sondern Prädikate im Sinn der Prädikatenlogik (Näheres siehe dort), gegebenenfalls abgekürzt zu Prädikatbuchstaben (F, G, H,...). Ein Prädikat im Sinn der Prädikatenlogik ist eine Folge von Wörtern mit klar definierten Leerstellen, die zu einem Aussagesatz wird, wenn man in jede Leerstelle einen Eigennamen einsetzt. So ist zum Beispiel die Wortfolge „_ starb in Armut“ ein Prädikat, weil daraus der Aussagesatz „Peirce starb in Armut“ entsteht, wenn man den Eigennamen „Peirce“ in die Leerstelle einträgt. Ebenso ist die Wortfolge „_1 ist reicher als _2“ ein Prädikat, weil daraus die Aussage „Sokrates ist reicher als Platon“ entsteht, wenn man in die Leerstellen die Eigennamen „Sokrates“ bzw. „Platon“ einsetzt., Notation der Betagraphen: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Encuentra la derivada en un punto arbitrario y en 0 de esta funcion f(x)=3x^2-9x+7x^(2/5)-3x^(1/2)

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Spielmaterial, Stochastik], Ein Spielwürfel, umgangssprachlich einfach (wie auch ursprünglich) Würfel (von althochdeutsch "wurfil": verwandt mit "Wurf" und "werfen"), ist ein Gegenstand, der nach einem Wurf auf einer waagerechten Ebene eine von mehreren unterscheidbaren stabilen Ruhelagen einnimmt und in vielen Spielen zum Erzeugen eines zufälligen Symbols (oft einer Zufallszahl) dient. Dazu trägt ein Würfel Symbole, von denen eines nach dem Wurf eine ausgezeichnete Lage einnimmt. Dieses Symbol gilt dann als Ergebnis des Wurfes., Die mit Abstand meistverbreiteten Spielwürfel sind jene mit den Ziffern 1 bis 6 oder entsprechend vielen Punkten, den "Augen", beschriftete Kuben oder Hexaeder. Im Alltag sind mit dem Begriff "Würfel" meist nur diese Sechsseiter gemeint, und so wurde der Name für den geometrischen Körper übernommen. Jedoch existieren viele andere, im Folgenden ebenfalls beschriebene Würfel. Regelmäßige Benutzer unterschiedlicher Würfeltypen bezeichnen diese häufig mit der Abkürzung "W" oder auch "d" (für englisch "dice" oder die Einzahl "die"), gefolgt von der Angabe der Seitenanzahl, also W6 oder D6 für sechsseitige, "W10", "W20", "W30" für zehn-, zwanzig- und dreißigseitige Spielwürfel., Verwendung., In Würfelspielen sind Würfel das zentrale Spielelement, es zählen nur der Vergleich der Würfelergebnisse selbst oder direkt mit ihnen zusammenhängendes Taktieren. Hier kommen üblicherweise der klassische Sechserwürfel oder speziell bemalte, jedoch immer noch sechsseitige Würfel zum Einsatz. Viele Glücksspiele fallen in diese Kategorie. Bekannte Beispiele im Freizeitbereich sind etwa Kniffel oder Zehntausend, bei denen jeweils bestimmten Augenkombinationen unterschiedlich viele Punkte zugeordnet sind. In Kasinos verbreitet sind unter anderem Craps und Sic Bo, bei denen auf die Ergebnisse einzelner Würfe gewettet wird., Darüber hinaus sind Würfel in einer Vielzahl von Brettspielen bedeutend, um etwa die Bewegungsgeschwindigkeit von Spielfiguren oder den Ausgang von Zufallsereignissen zu bestimmen. Auch hier kommen in erster Linie Sechsseiter zum Einsatz. Verwendung finden Würfel in Rollenspielen, bei denen sich in den letzten Jahrzehnten die Verwendung einer Vielzahl weiterer Würfel mit anderen Seitenzahlen durchgesetzt hat, um die Zufallsentscheidungen flexibler und vielfältiger zu gestalten. Ein eher seltenes, komplett auf Würfel als Spielmaterial setzendes Spielprinzip ist das der Sammelwürfelspiele, bei denen man analog zu Sammelkartenspielen eine Vielzahl von Würfeln käuflich erwerben und taktisch einsetzen muss. Ein bekannter Vertreter ist Dragon Dice., In allen diesen Bereichen gibt es neben dem einfachen Wurf eines Würfels auch Gelegenheiten, bei denen mehrere Würfel gleichzeitig zu werfen sind. Dabei können die Ergebnisse addiert werden (eine Waffe in einem Rollenspiel richtet soviel Schaden an, wie zwei Würfel zusammen anzeigen) oder als Ensemble betrachtet werden (bei vielen Brettspielen folgen besondere Aktionen, wenn mehrere Würfel die gleiche Zahl zeigen, bei einem sogenannten Pasch). Um das Werfen mehrerer Würfel zu vereinfachen, Schummeln durch Trickwürfe zu vermeiden oder das Ergebnis vor anderen Spielern zu verbergen, kommen Würfelbecher (Knobelbecher genannt) zum Einsatz. Hochwertige Exemplare besitzen innen sogenannte Lippen, damit die Würfel beim Herausrollen in jedem Fall springen. Dies soll das Wurfergebnis unabhängig von der ursprünglichen Lage der Würfel machen. Dem gleichen Zweck dient der Würfelturm. Um laute Aufprallgeräusche und ein Wegrollen der Würfel zu vermeiden, wird manchmal ein gepolstertes und berandetes Brett (Würfelbrett oder Würfelteller genannt) eingesetzt., Statt mit ihnen zu würfeln, also Zufallsergebnisse zu erzeugen, können Würfel gezielt auf bestimmte Werte gedreht und so zu deren Anzeige genutzt werden. Bekanntestes Beispiel sind die Dopplerwürfel, mit denen im Backgammon die Wertung einer Partie dargestellt wird. Würfel werden auch beim Geschicklichkeitsspiel Dice Stacking verwendet., Allgemeine Eigenschaften., Simulation:, Als Zufallsgenerator eingesetzt, wird von einem Würfel üblicherweise eine Gleichverteilung der möglichen Ergebnisse erwartet. Diese sollen also auf lange Sicht gleich häufig eintreten, falls die Würfe nicht bewusst beeinflusst werden. Dann nennt man den Würfel einen "fairen", "idealen", "echten" oder "Laplace-Würfel", nach Pierre-Simon Laplace, der an der Wahrscheinlichkeitsrechnung forschte. Bei der Fertigung des Würfels treten immer Abweichungen auf (siehe Herstellung), durch die der Würfel nicht ganz ideal ist. Bei hochwertigen Würfeln kann man diese aber sehr gering halten., Wenn man von Fertigungsungenauigkeiten absieht, dann ist Idealität eine Eigenschaft des Bauplans des Würfels, also hauptsächlich seiner geometrischen Form. Daneben auch der Materialverteilung, falls der Würfel nicht aus einem einheitlichen homogenen Material hergestellt wird. Der Bauplan ist genau dann ideal, wenn die Ruhepositionen des Würfels aufgrund der Symmetrie seines Bauplans ununterscheidbar sind, mit Ausnahme einer Beschriftung, die das Wurfergebnis ablesbar macht. Ein Würfel wird meistens als konvexes Polyeder gestaltet. Ein solches ist genau dann ideal, wenn seine Flächen alle die gleiche Form und Größe haben, und wenn man zwei Flächen nicht anhand ihrer relativen Position zu den anderen Flächen unterscheiden kann. Diese Bedingung erfüllen nur die fünf platonischen Körper, die catalanischen Körper, und gewisse Verzerrte dieser beiden Klassen, sowie Spindeln und Walzen. Nebenbei werden diese Formen wegen ihrer Symmetrie als besonders ästhetisch empfunden., Andere Polyeder haben verschiedene Typen möglicher Landeflächen, wodurch sich deren Landewahrscheinlichkeiten unterscheiden können. Bei einigen Formen kann man versuchen, dies durch die richtige Wahl der Größenverhältnisse auszugleichen, etwa durch Streckung der Seitenflächen beim nebenstehenden prismenförmigen siebenseitigen Würfel. Allerdings können die Landewahrscheinlichkeiten neben der Geometrie noch von anderen Bedingungen abhängen, zum Beispiel von der Reibung zwischen Würfel und Unterlage oder –auch unbeabsichtigt– von der Wurftechnik. Wenn man diese Bedingungen nicht vorab kennt oder wenn sie wechseln, dann ist ein genauer Ausgleich von vornherein unmöglich. Würfel, die auf solchen Körpern beruhen, können deshalb nie wirklich ideal sein., Weitere Anforderungen sind, dass der Würfel gut –aber nicht zu lange– rollt und dass die Ruhelagen eine gewisse Stabilität aufweisen. Hierdurch wird die Formgebung weiter eingeschränkt; so sind etwa Würfel mit einer hohen Zahl von Ruhelagen schwerer zu konstruieren. Oft werden die Ecken und Kanten abgerundet, um Rollverhalten und Handhabung zu verbessern. Beim Casinospiel Craps sowie für einige Rollenspieler ist dies jedoch verpönt, da ungleichmäßige Abrundungen bestimmte Landeflächen bevorzugen könnten., Gelegentlich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung bewusst zugunsten bestimmter Ergebnisse manipuliert, möglichst ohne den Würfel optisch zu verändern, um sich im Spiel einen Vorteil zu verschaffen. In diesem Fall nennt man den Würfel "gezinkt". Die Möglichkeiten beinhalten das Verändern der Gewichtsverteilung, unterschiedlich stark abgerundete Kanten oder Ecken sowie verzogene Flächen. Zu stark gezinkte Würfel verraten sich durch eine torkelnde Rollbewegung, was beim Einsatz eines Würfelbechers aber nicht auffällt. Eine weitere Möglichkeit ist es, im Inneren des Würfels einen Dauermagneten zu platzieren, um den Würfelwurf bei Bedarf durch einen zweiten Magneten, den man z.B. unter die Tischplatte hält, zu beeinflussen. Um das Zinken zu erschweren, werden in Kasinos oft transparente Würfel eingesetzt., Geschichte., Altertum., Zu den ältesten erhaltenen Spielwürfeln gehören sowohl zweiseitige Stabwürfel aus Ägypten, Stabwürfel mit vier (ungleich breiten) Seiten und Tetraeder aus Sumer, aber auch Sechsseiter. Frühe Funde von sechsseitigen Würfeln stammen aus Tepe Gawra (nördlicher Irak), frühes 3. Jahrtausend v.Chr., und Mohenjo-Daro (Pakistan), spätes 3. Jahrtausend v.Chr. Diese Funde haben bereits die Form eines Kubus und sind mit Augen gekennzeichnet. Aus der weiteren Frühgeschichte und Antike des Orients sind zahlreiche sechsseitige Würfel erhalten., Daneben stammt aus der sumerischen Stadt Ur ein auf ca. 2600 v.Chr. datiertes Spiel, genannt das königliche Spiel von Ur. Darin wurden Würfel für die Bestimmung der Bewegungsweite eingesetzt. Beim Spielbrett fand man neben Spielsteinen einerseits vierseitige Stäbe, andererseits Tetraeder, die an zwei Ecken markiert waren. Dies sind die ältesten bekannten Würfel in Form eines anderen regulären Polyeders als des Kubus., Im ägyptischen Spiel Senet wurden mehrere halbrunde Holzstäbchen verwendet, die auf einer Seite markiert waren und so durch ihre Lage nach dem Werfen abgelesen werden konnten. Der erste sichere Fund zu Senet ist ein Grabgemälde, das auf 2686v.Chr. datiert wird. Es gibt Spielbrettfunde, die bis 3500v.Chr. zurückgehen und vermutlich ebenfalls zu Senet gehören. Somit ist dieses Spiel ein Kandidat für den ersten Einsatz würfelartiger Gegenstände. Außerdem wurden in Ägypten Sprunggelenkknöchelchen von Paarhufern wie Schafen oder Ziegen als Würfel verwendet., Diese Knöchelchen, "Astragali" genannt, fanden auch in der griechischen und römischen Kultur Verwendung. Durch ihre kantige Form haben sie vier verschiedene mögliche Ruhepositionen, die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse ist unterschiedlich hoch. Daneben wurden kubische Würfel eingesetzt. Schon antike Autoren hatten Theorien zu ihrer Erfindung, unter anderem schrieb Plinius der Ältere sie Palamedes während des Trojanischen Krieges zu und Herodot dem Volk der Lyder. Es ist jedoch davon auszugehen, dass sie aus dem Orient übernommen wurden. Dabei waren neben sechsseitigen bereits Würfel mit höheren Seitenzahlen bekannt, unter anderem gibt es Funde von 12-, 18-, 20- und 24-seitigen Würfeln. An Materialien ist ein weites Spektrum überliefert, un: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Analysis, Stochastischer Prozess, Teilgebiet der Mathematik], Die stochastische Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, genauer der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie beschäftigt sich mit der Verallgemeinerung von Begriffsbildungen, Aussagen und Modellen der Analysis auf stochastische Prozesse, also auf Funktionen, deren Werte zufällig sind. Im Zentrum der stochastischen Analysis stehen die Formulierung und die Untersuchung von stochastischen Integralen und, darauf aufbauend, von stochastischen Differentialgleichungen., Historisch geht das Fachgebiet auf Arbeiten des japanischen Mathematikers Kiyoshi Itō ab 1944 zurück. Der wesentliche Impuls dafür war die mathematische Beschreibung des physikalischen Phänomens der brownschen Bewegung durch Albert Einstein und Norbert Wiener. Dieses Modell, der Wiener-Prozess, bildet mit seinen zahlreichen bemerkenswerten Eigenschaften und Verallgemeinerungen einen Startpunkt der stochastischen Analysis. Anwendungen des Fachgebiets finden sich unter anderem in der Biologie, in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften, vor allem aber in der Finanzmathematik. Einen ersten Höhepunkt bildete hier das 1973 veröffentlichte bahnbrechende Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Optionen auf eine Aktie, deren Kursentwicklung durch eine stochastische Differentialgleichung beschrieben wird., Einführung., Besonders elementar und klar treten die Begrifflichkeiten der stochastischen Analysis bei ihrem Hauptanwendungsgebiet, der Finanzmathematik, zu Tage. Dazu werden im Folgenden die Vorgänge beim Handel mit einem Finanzinstrument beschrieben, das der Einfachheit halber Aktie genannt wird und einige idealisierte Annahmen erfüllt. Insbesondere soll es möglich sein, das Finanzinstrument jederzeit in beliebigen Mengen zu kaufen und zu verkaufen., Vom Kursgewinn beim Aktienhandel zum stochastischen Integral., Der Gewinn (oder Verlust) beim Besitz von Aktienanteilen innerhalb eines bestimmten Zeitraums hängt auf offensichtliche Weise davon ab, wie viele Anteile man von der Aktie besitzt und wie sich ihr Preis, der Börsenkurs, in diesem Zeitraum ändert. Besitzt man beispielsweise formula_1 Anteile einer Aktie mit Anfangskurs formula_2 und steigt der Kurs, etwa innerhalb eines Tages, auf formula_3, so beträgt der Kursgewinn gerundet, Nach diesem Tag könnten weitere Anteile der Aktie gekauft oder verkauft werden, sodass man nun formula_5 Anteile besitzt, also zum Beispiel formula_6, wenn man noch eine ganze Aktie hinzukauft. Fällt daraufhin der Aktienkurs bis zum folgenden Tag auf formula_7, lässt sich der Gesamtgewinn innerhalb der zwei Tage durch, bestimmen. Es ist somit im betrachteten Zeitraum ein negativer Gewinn, also ein Verlust eingetreten. Allgemein ist der Gesamtgewinn formula_9 nach formula_10 Zeitabschnitten die Summe der Teilgewinne jedes einzelnen Abschnitts:, Dabei bezeichnet formula_12 die Kursänderung im formula_13-ten Zeitabschnitt und formula_14 gibt an, wie viele Anteile der Aktie der Aktionär in diesem Zeitraum besitzt., Die Analysis kommt bei diesen elementaren Überlegungen ins Spiel, wenn nicht mehr nur eine Folge diskreter Handelszeitpunkte, sondern "alle" Zeitpunkte formula_15 aus einem Zeitintervall formula_16 betrachtet werden. Eine Aktie hat zu "jedem" Zeitpunkt formula_15 einen Kurs formula_18, der sich im Allgemeinen „ständig ändert“. Auch die gehaltenen Anteile formula_19 können in idealisierter Weise als ein sich kontinuierlich ändernder Prozess, der sogenannte "Portfolioprozess," angesehen werden. Der Gesamtgewinn formula_20 während des Zeitintervalls formula_16 kann dann allerdings nicht mehr durch die oben dargestellte einfache Summierung endlich vieler Teilgewinne bestimmt werden. Er ergibt sich stattdessen durch Integration des Portfolioprozesses gewichtet mit den Änderungen des Aktienkurses, als Formel, geschrieben. Eine Grundaufgabe der stochastischen Analysis ist es, solche stochastischen Integrale für möglichst allgemeine "Integranden" formula_19 und "Integratoren" formula_18 mathematisch zu definieren und ihre Eigenschaften zu untersuchen., Von einem Modell für den Aktienkurs zu stochastischen Differentialgleichungen., Die Überlegungen, die zu obiger Darstellung des Gewinns als ein stochastisches Integral führen, sind so allgemein, dass sie sinngemäß für beliebige zeitlich veränderliche Größen durchgeführt werden können. Im konkreten Beispiel des Aktienhandels stellt sich daher die Frage, wie ein mathematisches Modell für die zeitliche Entwicklung des Kurses formula_18 aussehen könnte. Reale Kursverläufe scheinen sich „zufällig“ auf und ab zu bewegen. Aus Sicht der Mathematik ist es also naheliegend, jedes formula_18 als eine Zufallsvariable zu modellieren, also als eine Funktion, die jedem Ergebnis formula_27 eines (abstrakten) Zufallsexperiments den Wert formula_28 zuordnet. Der Aktienkurs hängt dann sowohl vom Zeitpunkt formula_15 als auch von dem Zufallsergebnis formula_27 ab: Er ist ein stochastischer Prozess., In der Realität erscheinen Aktienkurse zwar zufällig, sind aber nicht völlig regellos. Über längere Zeiträume „ungestörte“ Kursverläufe weisen häufig als Grundtendenz ein exponentielles Wachstum auf, steigen also beispielsweise von Jahr zu Jahr um einige Prozent. Das zeigt sich normalerweise noch deutlicher bei Aktienindizes, bei denen über eine Anzahl von Einzelkursen gemittelt wird, wie etwa –in besonders ausgeprägter Weise– in der nebenstehenden Grafik des australischen Aktienindex All Ordinaries. Ein "völlig" ungestörtes exponentielles Wachstum von formula_18 würde bedeuten, dass die Änderung formula_32 in einem kurzen Zeitraum formula_33 proportional zu formula_18 und zu formula_33 ist:, mit einer Wachstumsrate formula_37. Bei einem Sparguthaben entspräche dies dem exponentiellen Wachstum durch Zinseszins. Bei Aktien wird dieses Wachstumsgesetz hingegen in der Realität offenbar durch eine komplizierte Zufallsbewegung überlagert. Die Statistik und die Wahrscheinlichkeitstheorie legen es nahe, bei zufälligen Störungen, die sich aus vielen kleinen Einzeländerungen zusammensetzen, von einer Normalverteilung als einfachstem Modell auszugehen. Außerdem zeigt sich, dass die Varianz der Störungen proportional zum betrachteten Zeitraum formula_33 ist. Der Wiener-Prozess formula_39 besitzt alle diese gewünschten Eigenschaften, eignet sich also als ein Modell für die zeitliche Entwicklung der Zufallskomponente des Aktienkurses. Insgesamt führen diese Überlegungen zu folgender Modellgleichung für die Änderung formula_40 in einem Zeitintervall formula_33:, Dabei bezeichnen formula_43 die Änderung des Wiener-Prozesses im betrachteten Zeitraum und formula_44 eine Proportionalitätskonstante, die modelliert, wie stark sich die Zufallskomponente auf die Kursänderung auswirkt, die sogenannte Volatilität., Das weitere Vorgehen der klassischen Analysis wäre nun, das Zeitintervall formula_33 gegen null konvergieren zu lassen und so eine gewöhnliche Differentialgleichung für die gesuchte Funktion zu gewinnen. Das ist hier auf diese Weise nicht möglich, denn wie sich herausstellt sind weder die Pfade des Wiener-Prozesses noch die des gesuchten Aktienkursprozesses differenzierbar, lassen sich also nicht durch klassische Differentialrechnung untersuchen. Stattdessen erhält man eine stochastische Differentialgleichung, die meist in der Form, geschrieben wird. Die dabei verwendeten Differentiale sind ein reiner Notationsbestandteil und es ist Aufgabe der stochastischen Analysis, solchen Gleichungen erst einen mathematischen Sinn zu geben. Das gelingt durch die Beobachtung, dass wegen des Fundamentalsatzes der Analysis Beziehungen zwischen einer differenzierbaren Funktion und ihrer Ableitung auch mithilfe ihres Integrals geschrieben werden können. Entsprechend ist eine stochastische Differentialgleichung nur eine intuitive Schreibweise einer Integralgleichung mit einem stochastischen Integral. Die stochastische Analysis beschäftigt sich unter anderem mit den Fragen, unter welchen Voraussetzungen stochastische Differentialgleichungen eindeutig lösbar sind und welche analytischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Eigenschaften die Lösungen haben. Für einige einfache Typen stochastischer Differentialgleichungen gibt es Methoden, um die Lösungen explizit zu berechnen. So hat zum Beispiel die oben hergeleitete Gleichung für den Aktienkurs als Lösung die sogenannte geometrische brownsche Bewegung. Wie es aber auch schon bei gewöhnlichen Differentialgleichungen der Fall ist, können bei vielen stochastischen Differentialgleichungen die Lösungen nur numerisch berechnet werden., Geschichte., Die Anfänge: Mathematische Modelle für die brownsche Bewegung., Als brownsche Bewegung wird das physikalische Phänomen bezeichnet, dass kleine Partikel, die in einer Flüssigkeit oder in einem Gas schweben, sich auf eine unregelmäßig und zufällig erscheinende Art „zitternd“ bewegen. Sie ist nach dem Botaniker Robert Brown benannt, der sie 1827 zuerst bei der mikroskopischen Untersuchung von Pollenkörnern in einem Wassertropfen beobachtete und beschrieb. In der Folgezeit zeigten Experimente, dass die physikalische Ursache der brownschen Bewegung in der Wärmebewegung der Flüssigkeitsmoleküle liegt. Diese stoßen ständig gegen die viel größeren Partikel und versetzen sie dadurch selbst in eine unregelmäßige Bewegung., Eine zu ihrer Zeit wissenschaftlich nur wenig beachtete frühe Anwendung der brownschen Bewegung in der Finanzmathematik untersuchte der französische Mathematiker Louis Bachelier, der im Jahr 1900 mit der Hilfe von Zufallsbewegungen versuchte, die Aktienkurse an der Pariser Börse zu modellieren und damit Preisformeln für Optionsscheine herzuleiten. Er nahm damit zahlreiche Ideen aus dem erst 73Jahre später vorgestellten berühmten Black-Scholes-Modell vorweg., Die brownsche Bewegung gelangte wieder in das Licht der wissenschaftlichen Öffentlichkeit, als Albert Einstein 1905, also in seinem "annus mirabilis," ein mathematisches Modell für das physikalische Phänomen vorstellte. Er nahm darin an, dass die brownsche Bewegung, in moderner Sprechweise, ein stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden und unabhängigen normalverteilten Zuwächsen ist, also grundlegende und aus physikalischer Sicht sinnvolle Bedingungen erfüllt. Andere, physikalisch ebenso notwendige Bedingungen setzte er jedoch nicht voraus, vor allem nicht, dass ein Teilchen in einem festen Zeitraum nur eine endliche Wegstrecke zurücklegen kann, die sogenannte "Rektifizierbarkeit" der Pfade. Da 1905 die maßtheoretische Fundierung der Wahrscheinlichkeitstheorie durch Émile Borel und Henri Lebesgue gerade erst begonnen hatte, konnte Einstein allerdings nicht beweisen, dass sein Modell als ein mathematisches Objekt tatsächlich existiert., Eine mathematische Konstruktion von Einste: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Analysis], Die Differential- oder Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Während eine stetige Funktion ihren Eingabewerten kontinuierlich gewisse Ausgangswerte zuordnet, wird durch die Differentialrechnung ermittelt, wie stark sich die Ausgabewerte nach sehr kleinen Veränderungen der Eingabewerte ändern. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird., Die Ableitung einer Funktion dient der Darstellung lokaler Veränderungen einer Funktion und ist gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung. Anstatt von der Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten, dessen geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist nach der Vorstellung von Leibniz der Proportionalitätsfaktor zwischen "infinitesimalen" Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls "infinitesimalen" Änderungen des Funktionswertes. Eine Funktion wird als differenzierbar bezeichnet, wenn ein solcher Proportionalitätsfaktor existiert. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird mit der Ableitung in dem Punkt eine lineare Näherung der Funktion gewonnen. Die Linearisierung einer möglicherweise komplizierten Funktion hat den Vorteil, dass eine einfacher behandelbare Funktion entsteht als die ursprüngliche Funktion oder überhaupt erst eine Handhabbarkeit., In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse., In der Sprache der Geometrie ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle formula_1 kann man als die Steigung der Tangente im Punkt formula_2 des Graphen von formula_3 definieren., In der Sprache der Arithmetik schreibt man formula_4 für die Ableitung einer Funktion formula_5 an der Stelle formula_6. Sie gibt an, um welchen Faktor von formula_7 sich formula_5 ungefähr ändert, wenn sich formula_6 um einen „kleinen“ Betrag formula_7 ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff "Grenzwert" oder "Limes" verwendet., Einführung., Heranführung anhand eines Beispiels., Fährt ein Auto auf einer Straße, so kann anhand dieses Sachverhalts eine Tabelle erstellt werden, in der zu jedem Zeitpunkt die Strecke, die seit dem Beginn der Aufzeichnung zurückgelegt wurde, eingetragen wird. In der Praxis ist es zweckmäßig, eine solche Tabelle nicht zu engmaschig zu führen, d.h. zum Beispiel in einem Zeitraum von 1 Minute nur alle 3 Sekunden einen neuen Eintrag zu machen, was lediglich 20 Messungen erfordern würde. Jedoch kann eine solche Tabelle theoretisch beliebig engmaschig gestaltet werden, wenn jeder Zeitpunkt berücksichtigt werden soll. Dabei gehen die vormals diskreten, also mit einem Abstand behafteten Daten, in ein Kontinuum über. Die "Gegenwart" wird dann als Zeit"punkt", d.h. als ein unendlich kurzer Zeitabschnitt, interpretiert. Gleichzeitig hat das Auto aber zu jedem Zeitpunkt eine theoretisch bekannte Strecke zurückgelegt, und wenn es nicht bis zum Stillstand abbremst oder gar zurück fährt, wird die Strecke kontinuierlich ansteigen, also zu keinem Zeitpunkt dieselbe sein wie zu einem anderen., Die Motivation hinter dem Begriff der "Ableitung" einer Weg-Zeit-Kurve oder -Funktion ist, dass nun angegeben werden kann, "wie schnell" sich das Auto zu einem momentanen Zeitpunkt bewegt. Aus einem Weg-Zeit-Verlauf soll also der passende Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf "abgeleitet" werden. Hintergrund ist, dass die Geschwindigkeit ein Maß dafür ist, "wie stark" sich die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit "ändert". Bei einer hohen Geschwindigkeit ist ein starker Anstieg in der Kurve zu sehen, während eine niedrige Geschwindigkeit zu wenig Veränderung führt. Da "jedem" Messpunkt auch eine Strecke zugeordnet wurde, sollte eine solche Analyse grundsätzlich möglich sein, denn mit dem Wissen über die zurückgelegte Strecke formula_11 innerhalb einem Zeitintervall formula_12 gilt für die Geschwindigkeit, Sind also formula_14 und formula_15 zwei unterschiedliche Zeitpunkte, so lautet „die Geschwindigkeit“ des Autos im Zeitintervall zwischen diesen, Die Differenzen in Zähler und Nenner müssen gebildet werden, da man sich nur für die innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls formula_17 zurückgelegte Strecke formula_18 interessiert. Dennoch liefert dieser Ansatz kein vollständiges Bild, da zunächst nur Geschwindigkeiten für Zeitintervalle mit auseinander liegendem Anfangs- und Endpunkt gemessen wurden. Eine "momentane" Geschwindigkeit, vergleichbar mit einem Blitzerfoto, hingegen bezöge sich auf ein "unendlich kurzes Zeitintervall". Dementsprechend ist der oben stehende Begriff „Geschwindigkeit“ durch „durchschnittliche Geschwindigkeit“ zu präzisieren. Auch wenn mit echten Zeitintervallen, also diskreten Daten, gearbeitet wird, vereinfacht sich das Modell insofern, als für ein Auto innerhalb der betrachteten Intervalle keine schlagartige Ortsänderung und keine schlagartige Geschwindigkeitsänderung möglich ist. (Auch eine Vollbremsung benötigt Zeit, und zwar länger als die Zeit, in der die Reifen quietschen.) Damit ist auch in der Zeichnung der stillschweigend "durchgehend" eingetragene Kurvenzug ohne Sprung und ohne Knick gerechtfertigt., Soll hingegen zu einem „perfekt passenden“ Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf übergegangen werden, so muss der Terminus „durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Zeitintervall“ durch „Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt“ ersetzt werden. Dazu muss zunächst ein Zeitpunkt formula_14 gewählt werden. Die Idee ist nun, „ausgedehnte Zeitintervalle“ in einem "Grenzwertprozess" gegen ein unendlich kurzes Zeitintervall laufen zu lassen und zu studieren, was mit den betroffenen durchschnittlichen Geschwindigkeiten passiert. Obwohl der Nenner formula_17 dabei gegen 0 strebt, ist dies anschaulich kein Problem, da sich das Auto in kürzer werdenden Zeitabschnitten bei stetigem Verlauf immer weniger weit bewegen kann, womit sich Zähler und Nenner gleichzeitig verkleinern, und im Grenzprozess ein unbestimmter Term „formula_21“ entsteht. Dieser kann unter Umständen als Grenzwert Sinn ergeben, beispielsweise drücken, exakt "dieselben" Geschwindigkeiten aus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten beim Studium der Geschwindigkeiten. Entweder, sie lassen in dem betrachteten Grenzwertprozess "keine" Tendenz erkennen, sich einem bestimmten endlichen Wert anzunähern. In diesem Fall kann der Bewegung des Autos "keine zum Zeitpunkt formula_14 gültige Geschwindigkeit" zugeordnet werden, d.h., der Term „formula_21“ hat hier keinen eindeutigen Sinn. Gibt es hingegen eine zunehmende Stabilisierung in Richtung auf einen festen Wert, so "existiert" der Grenzwert, und drückt die exakt im Zeitpunkt formula_14 bestehende Geschwindigkeit aus. Der unbestimmte Term „formula_21“ nimmt in diesem Fall einen eindeutigen Wert an. Die dabei entstehende Momentangeschwindigkeit wird auch als Ableitung von formula_28 an der Stelle formula_14 bezeichnet; für diese wird häufig das Symbol formula_30 benutzt. Mit dem Grenzwert wird die Momentangeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt definiert als, Prinzip der Differentialrechnung., Das Beispiel des letzten Abschnitts ist dann besonders einfach, wenn die Zunahme der zurückgelegten Strecke mit der Zeit "gleichförmig", also linear verläuft. Dann liegt speziell eine Proportionalität zwischen der "Veränderung" der Strecke und der "Veränderung" der Zeit vor. Die "relative Veränderung" der Strecke, also ihre Zunahme im Verhältnis zur Zunahme der Zeit, ist bei dieser Bewegung immer gleichbleibend. Die "mittlere" Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt auch die "momentane" Geschwindigkeit. Beispielsweise legt das Auto zwischen 0 und 1Sekunden eine gleich lange Strecke zurück wie zwischen 9 und 10Sekunden und die zehnfache Strecke zwischen 0 und 10Sekunden. Als Proportionalitätsfaktor über den ganzen Weg gilt die konstante Geschwindigkeit formula_32, wobei sie im nebenstehenden Bild formula_33 beträgt. Die zwischen beliebig weit auseinanderliegenden Zeitpunkten formula_34 und formula_35 zurückgelegte Strecke beträgt, Allgemein bewegt sich das Auto in der Zeitspanne formula_12 um die Strecke formula_38 vorwärts. Speziell bei formula_39 ergibt sich ein Wegstück formula_40., Falls der Startwert bei formula_41 nicht formula_42 sondern formula_43 beträgt, ändert dies nichts, da sich in der Beziehung formula_44 die Konstante formula_45 durch die Differenzbildung aus formula_11 stets heraussubtrahiert. Auch anschaulich ist dies bekannt: Die Startposition des Autos ist unerheblich für seine Geschwindigkeit., Werden statt der Variablen formula_34 und formula_28 allgemein die Variablen formula_6 und formula_50 betrachtet, so lässt sich also festhalten:, Schwieriger wird es, wenn eine Bewegung "nicht gleichförmig" verläuft. Dann ist das Diagramm der Zeit-Strecken-Funktion nicht geradlinig. Für derartige Verläufe muss der Ableitungsbegriff erweitert werden. Denn es gibt keinen Proportionalitätsfaktor, der "überall" die lokale relative Veränderung ausdrückt. Als einzig mögliche Strategie ist die Gewinnung einer linearen Näherung für die nicht-lineare Funktion gefunden worden, zumindest an einer interessierenden Stelle. (Im nächsten Bild ist das die Stelle formula_57.) Damit wird das Problem auf eine wenigstens an dieser Stelle lineare Funktion zurückgeführt. Die Methode der Linearisierung ist die Grundlage für den eigentlichen Kalkül der Differentialrechnung. Sie ist in der Analysis von sehr großer Bedeutung, da sie dabei hilft, komplizierte Vorgänge lokal auf leichter verständliche Vorgänge, nämlich lineare Vorgänge, zu reduzieren., Die Strategie soll exemplarisch an der nicht-linearen Funktion formula_58 erläutert werden. Die Tabelle zeigt Werte für diese Funktion und für ihre Näherungsfunktion an der Stelle formula_59, das ist formula_60. Darunter enthält die Tabelle die Abweichung der: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Ebene Geometrie, Winkel], Unter dem Problem der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie die Frage, ob man einen beliebigen Winkel mit Hilfe von Zirkel und Lineal (mit den euklidischen Werkzeugen) in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar. Obwohl die Problemstellung der Winkeldreiteilung bis in die Antike zurückreicht, konnte erst im 19. Jahrhundert mit Methoden der Algebra gezeigt werden, dass sie mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht zu lösen ist., Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen. Um zu zeigen, dass es keine allgemeine Konstruktion für die Winkeldreiteilung gibt, reicht die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels: Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist. Es gibt jedoch auch Winkel, die mit Zirkel und Lineal nicht konstruiert, aber mit diesen Mitteln gedrittelt werden können (Näheres in Abzählbarkeit der Menge der drittelbaren Winkel), wenn sie zu Beginn gegeben sind., Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, exakt vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt., In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal., Klassisches Problem., Nach der klassischen Vorgabe zählt eine Lösung nur, wenn der gegebene Winkel allein mit Hilfe eines Zirkels und eines nichtskalierten Lineals in drei gleich große Teile aufgeteilt wird. Dies ist, wie bereits erwähnt, im Allgemeinen nicht möglich. Bei speziellen Winkeln ist eine Dreiteilung des Winkels mit den euklidischen Werkzeugen aber möglich, etwa bei jedem ganzzahligen Vielfachen von 9°., Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, eine allgemeine Lösung für beliebige Winkel zu finden. Um das Jahr 1830 schuf der französische Mathematiker Évariste Galois die Grundlagen des späteren Beweises dafür, dass dies nicht allgemein möglich ist. Warum dies unmöglich ist, wird im Abschnitt "Beweis der Unmöglichkeit" verdeutlicht., Eine allgemeine Dreiteilung ist daher nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden, etwa eine Trisektrix, oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen darstellbar (siehe Abschnitt Näherungsverfahren)., Geschichte., Antike., Die Griechen waren es, die im 5. Jahrhundert v. Chr. das Problem, einen beliebigen Winkel in drei gleich große Winkel zu unterteilen, erkannten. Vermutlich trat dieses Problem in den Vordergrund mathematischen Interesses, als sie versuchten, für astronomische Zwecke eine Sehnentafel aufzustellen. Sie strebten nach einer Lösung, die allein mit Zirkel und einem unmarkierten Lineal – eine auf Oinopides von Chios (~440 v. Chr.) zurückgehende Beschränkung – zu bewältigen sei, aber sie fanden keine, die dieser Vorgabe gerecht wurde. Beispielsweise bei der Sehnentafel des Ptolemaios stößt man auf die elementargeometrisch nicht mehr zu bewältigende Aufgabe, aus der Sehne für formula_1 die Sehne für formula_2 zu gewinnen. Die für die Sehnengeometrie erforderliche Trigonometrie wurde viele Jahrhunderte bis Nikolaus Kopernikus (1473–1543) lediglich als Bestandteil der Astronomie aufgefasst und dementsprechend in astronomischen Werken behandelt. Das erste selbständige Lehrbuch der Trigonometrie verfasste Regiomontanus um 1464, doch erschien es erst posthum, fast 70 Jahre später, im Jahr 1533., Hippias von Elis (um 460 bis um 400 v. Chr.) fand als Erster um 422 v. Chr. eine Lösung mithilfe eines sogenannten zusätzlichen Hilfsmittels. Es war eine Hilfskurve, sie wurde bekannt als die "Trisektrix des Hippias" oder Quadratrix des Hippias. Diese ist sogar für die Teilung eines Winkels in formula_3 gleiche Teile erdacht. Der Name Quadratrix rührt daher, dass sie auch das Problem der Kreisquadratur beantwortet. Daraus kann gefolgert werden, dass es sich um eine transzendente Kurve handelt. Dennoch ist sie leicht beschreibbar, da sie durch zwei einfache Bewegungen erzeugt wird., Archimedes von Syrakus (287 bis 212 v. Chr.) fand eine pragmatische Lösung. Obgleich die Zuweisung an Archimedes nicht gesichert ist, existiert eine nur auf Arabisch überlieferte Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks. Während die regelmäßigen Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecke sich bekanntlich mit Zirkel und Lineal in einem gegebenen Kreis beschreiben lassen, geht das beim Siebeneck nicht mehr. Algebraisch führt die Teilung des Kreises in sieben gleiche Teile auf eine kubische Gleichung und gehört daher der gleichen Problemklasse an wie die Würfelverdoppelung und die Winkeldreiteilung. Die angeblich von Archimedes gefundene Konstruktion arbeitet zwar auch nur mit diesen beiden Geräten, verwendet das Lineal allerdings in einer in der euklidischen Geometrie nicht erlaubten Weise: Es wird so lange um einen festen Punkt gedreht, bis zwei Dreiecke, von denen eines bei der Drehung anwächst, während das andere abnimmt, flächengleich sind. Es ist dies ein besonderer Typus einer Einschiebekonstruktion oder sog. Neusis. Das angewandte Verfahren ist zwar von theoretischem Interesse, aber nicht praktisch verwendbar. Heute wird es als Neusis-Konstruktion bezeichnet. Später schuf Archimedes eine spezielle Kurve, nannte sie Spirale (archimedische Spirale) und untersuchte damit die Winkelteilung und die Quadratur des Kreises., Im 2. Jh. v. Chr. ersann Nikomedes ein Instrument, das die Forderung der von Pappos überlieferten Neusis-Konstruktion mechanisch zu erfüllen gestattet. Die damit konstruierbaren Kurven erhielten wegen ihrer Gestalt den Namen Konchoide, auf Deutsch "Muschelkurven". Das Instrument besteht aus zwei T-förmig fest miteinander verbundenen Linealen, auf denen sich ein drittes in bestimmter Weise bewegen kann. Es diente ihm damit als zusätzliches Hilfsmittel für die Dreiteilung des Winkels., Pappos von Alexandria (im 4. Jh. n. Chr.) gehörte dem Kreis der alexandrinischen Neuplatoniker an. Seine "Collectiones" sind ein Sammelwerk in acht Büchern; bis auf das erste und den Anfang des zweiten sind sie allesamt erhalten geblieben. In der frühen Neuzeit entnahmen die europäischen Mathematiker den "Collectiones" viele Anregungen, enthalten sie doch wichtige Auszüge aus den Schriften von Euklid, Apollonios, Archimedes und anderen Mathematikern. Pappos erweiterte diese Auszüge um kritische Kommentare und teils eigene Ergänzungen. Er zeigte u.a. zwei unterschiedliche Varianten für die Lösung der Winkeldreiteilung mit Hilfsmitteln – eine pragmatische mit einem markierten Lineal als zusätzlichem Hilfsmittel, sprich eine Neusis-Konstruktion (siehe hierzu den Abschnitt "Die Methode des Pappos") und eine zweite, in der er die Hyperbel als Trisektrix nutzte., Früh- bis Spätmittelalter., Ahmad ibn Mûsâ lebte Mitte des 9. Jahrhunderts in Bagdad und war einer der drei Brüder, die sich Banū Mūsā nannten. Er war Astronom und Mathematiker. Seine Lösung zeigt zwei vorbestimmte Asymptoten einer Hyperbel, die durch einen gegebenen Punkt verläuft. Für die Drittelung des Winkels bedarf es eines markierten Lineals und somit einer Neusis-Konstruktion. Seine Lösung war der von Pappos’ Papierstreifenkonstruktion sehr ähnlich (siehe hierzu den Abschnitt "Die Methode des Pappos")., Thabit ibn Qurra (826–901) aus Bagdad war anfangs Geldwechsler, fand Interesse an der Wissenschaft, wurde in Mathematik geschult und befasste sich auch mit Philosophie und Astronomie. Für seine Neusis-Konstruktion nutze er ebenfalls die Hyperbel. Seine Konstruktion war aber, im Gegensatz zu der von Ahmad ibn Mûsâ, exakter bezeichnet und ausführlicher begründet. Auch seine Lösung hatte große Ähnlichkeit mit Pappos Papierstreifenkonstruktion., Ihren Höhepunkt erreichte die muslimische Astronomie und Trigonometrie im 15. Jahrhundert an der Sternwarte des Ulug Beg in Samarkand. Dort war al-Kaschi tätig, der sich eines geschickten Iterationsverfahrens bediente, um mit großer Genauigkeit aus der Winkeldreiteilungsgleichung den Sinus von formula_2 zu berechnen. Im Prinzip ging er folgendermaßen vor. Da sich formula_5 beliebig exakt bestimmen ließ (man konnte ihn z.B. aus der Differenz von formula_6 am Fünfeck und formula_7 am Sechseck mit Zirkel und Lineal konstruieren), verwendete er die Winkeldreiteilungsgleichung, In dieser trigonometrischen Schreibweise findet sie sich erstmals am Ende des 16. Jahrhunderts bei Vieta. Sie ist vom Typus formula_9 (in der damaligen Klassifikation wurden die Koeffizienten – hier formula_10, formula_11 – als positiv vorausgesetzt). Al-Kaschi berechnete die erste Näherung aus formula_12 zu formula_13. Die zweite Näherung folgt dann analog aus formula_14 usw., wobei sich als Besonderheit ergibt, dass sich mit jedem Schritt eine weitere Sexagesimalstelle exakt ermitteln lässt. Das Ergebnis al-Kaschis, in Dezimalschreibweise umgerechnet, liefert 18 Stellen:, Eine große Anzahl arabischer Handschriften befindet sich noch ungesichtet in orientalischen Bibliotheken, so dass die Forschung bisher kein vollständiges Bild der Entwicklung und des erreichten Wissens erarbeiten konnte., Renaissance bis Neuzeit., Albrecht Dürer steuerte als Mathematiker ebenfalls zur Theorie der Winkeldreiteilung bei. Neben guten Näherungskonstruktionen für das reguläre 7-, 9-, 11- und 13-Eck finden sich im 2. Buch seiner "Underweysung" auch die näherungsweise Winkeldreiteilung. Sie wurde 1931 mit mehreren anderen Näherungslösungen der gleichen Aufgabe verglichen und dabei wurde gezeigt, dass sie nirgends um mehr als etwa 20 Bogensekunden vom genauen Wert abweicht und damit alle anderen späteren Lösungsvorschläge übertrifft. Dürers Konstruktionsidee lässt sich zudem leicht iterieren und liefert nach einigen Schritten eine sehr hohe Genauigkeit. Bei allem ist sich Dürer des grundlegenden Unterschiedes zwischen exakten, er nennt sie "demonstrative: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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