Imagine you are a contemporary visual artist, originally from the United States, but currently based in Beijing, also studying College Algebra. Based on that context: reflect on the concept of polynomial and rational functions. What concepts (only the names) did you need to accommodate these concepts in your mind? What are the simplest polynomial and rational function you can imagine? In your day to day, is there any occurring fact that can be interpreted as polynomial and rational functions? What strategy are you using to get the graph of polynomial and rational functions?

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Imagine you are a contemporary visual artist, originally from the United States, but currently based in Beijing, also studying College Algebra. Based on that context: reflect on the concept of polynomial and rational functions. What concepts (only the names) did you need to accommodate these concepts in your mind? What are the simplest polynomial and rational function you can imagine? In your day to day, is there any occurring fact that can be interpreted as polynomial and rational functions? What strategy are you using to get the graph of polynomial and rational functions? Include as many examples as possible from an artist's standpoint.

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The sum of two numbers is equal to four times their difference. If one number is equal to twice another number increased by five, what are the two numbers? a )-6 and -8 b )-8 and -6 c )5 and -3 d)-3 and 5

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is 1/2 * 3 = 3/2 or 1/6?

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How do you get 1/6 starting with 1/2?

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explain the difference between 1/2 * 3 and 1/2 divided by 3.

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Let G be the game of flipping a fair coin with payoffs 1 for heads and 0 for tails. Verify directly from the definition of expected value and variance that ev(G(3)) = 3/2 and σ^2(G(3)) = 3/4.

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如何计算配位数

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Given that the ev(G) = 1/2 and the var(G) = 1/4, verify directly from the definition of expected value and variance that ev(G(3)) = 3/2 and var(G(3)) = 3/4.

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If G is a normalized game, with ev(G) = 0 and σ2(G) = 1, show that the normalized form of the game G(n) is the game G(n)/√n

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对微分方程与数值解法的个人理解

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为什么线性差值都喜欢用0.4和0.6

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give a short explanation how to get G(n)/√n given that ev(g(n)) = 0 and σ^2(G(n)) = n

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快速提高数学方法

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what is the poisson error of 120

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как узнать, насколько процентов изменилось значение 'a', если известно, что оно стало b?

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x的补码是1.0000 原码是

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在计算数字长度时,将数字加上0.01是为了解决偶数位回文数的特殊情况。这种说法对吗

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在回文数计算中计算数字长度时加0.01,为什么这样做?处理精度问题

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Арифметические операции над двоичными числами с плавающей точкой

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分析体校生完成作业的数据,评估不同案例对数学学习效果的影响

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求极限的一般方法

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коэффициент корреляции показывает вероятность связи двух величин?

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الفرق بين المعادلة والمتطابقة

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числа до 100 кратные 4

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求导的一般公式

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lim(x2+y2)sin(1/x2+y2),求在x趋近于0,y趋近于0时的极限

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为什么 1+1=3?

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can you calculate the combination 11 from this liste, based in frequency? combination 10: 12 25 26 35 37 39 combination 09: 10 12 37 38 39 44 combination 08: 04 10 12 14 33 45 combination 07: 02 28 30 43 44 45 combination 06: 01 11 27 33 34 45 combination 05: 12 15 16 28 31 36 combination 04: 11 20 27 31 38 46 combination 03: 04 11 21 23 47 49 combination 02: 14 27 28 37 42 46 combination 01: 03 07 26 32 41 43

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can you calculate the combination 11 with 6 numberes based on this liste?

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If a dozen is twelve, what would be sixteen

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equação reduzida da conica: 16x2+16y2+16x-8y-31=0

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你可以证明泰勒展开吗

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Suppose the input feature matrix X ∈ R N×D and the target output matrix T ∈ R N×d , where N is the number of data points, and D and d is the number of features of a single data point and response variable, respectively. The multivariate linear regression model is represented as: y(x;W, b) = W⊤x + b, where W ∈ R D×d , b ∈ R d . Try to derive the closed form solution to the least-square loss, where the objective is defined as: (W, b) ⋆ = arg min W,b X N n=1 ∥y(xn;W, b) − tn∥ 2 2 Hint: try to convert the input feature matrix to the extended version X =    −x ⊤ 1 −, 1 . . . −x ⊤ N −, 1   

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what's the result of 2 + 2

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向量和线段有什么区别

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what's 2 + 2 generate a very short reply.

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Suppose the input feature matrix X ∈ R N×D and the target output matrix T ∈ R N×d , where N is the number of data points, and D and d is the number of features of a single data point and response variable, respectively. The multivariate linear regression model is represented as: y(x;W, b) = W⊤x + b, where W ∈ R D×d , b ∈ R d . Try to derive the closed form solution to the least-square loss, where the objective is defined as: (W, b) ⋆ = arg min W,b X N n=1 ∥y(xn;W, b) − tn∥ 2 2

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what's the square root of 81 generate a very short reply.

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Suppose the input feature matrix X ∈ R N×D and the target output matrix T ∈ R N×d , where N is the number of data points, and D and d is the number of features of a single data point and response variable, respectively. The multivariate linear regression model is represented as: y(x;W, b) = W⊤x + b, where W ∈ R D×d , b ∈ R d . Try to derive the closed form solution to the least-square loss, where the objective is defined as: (W, b) ⋆ = arg min W,b X N n=1 ∥y(xn;W, b) − tn∥ 2 2 Hint: try to convert the input feature matrix to the extended version X =    −x ⊤ 1 −, 1 . . . −x ⊤ N −, 1   .

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134 Fahrenheit to Celsius generate a very short reply.

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Suppose the input feature matrix X ∈ R N×D and the target output matrix T ∈ R N×d , where N is the number of data points, and D and d is the number of features of a single data point and response variable, respectively. The multivariate linear regression model is represented as: y(x;W, b) = W⊤x + b, where W ∈ R D×d , b ∈ R d . Try to derive the closed form solution to the least-square loss, where the objective is defined as: (W, b) ⋆ = arg min W,b X N n=1 ∥y(xn;W, b) − tn∥ 2 2 Hint: try to convert the input feature matrix to the extended version X =    −x ⊤ 1 −, 1 . . . −x ⊤ N −, 1  

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The roots of x2 + √5 x – 19 = 0 are:

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If A = 3 and B = 4 + i, A/B = ?

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The real roots of (x4 – 1).(x4 + 2) = 0 are:

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The graph of f(x) = x2 + 6x + 10 hits the x-axis how many times?

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The remainder of x^8 + 1 divided by x + 1 is:

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What are the possible rational roots of f(x) = 5x^4 - 173x^3 -16x^2 -7x -15, according to the rational root theorem? “+-“ means “plus or minus”.

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What is the domain of the rational function for f(x) = (x^2+16)/(x^2-9)?

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The vertex of the parabola y = (x – 1)2 – 5 is:

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What are the possible rational roots of f(x) = x^4 -7x + 8?

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intersection point of two circles

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(W^Tx+b-t)^T(W^Tx+b-t) expand

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in G(n), as n increases does it get closer to the area of a normal distribution curve?

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\item \textbf{(8 pts)} Suppose the input feature matrix $\mX\in \R^{N\times D}$ and the target output matrix $\mT\in \R^{N\times d}$, where $N$ is the number of data points, and $D$ and $d$ is the number of features of a single data point and response variable, respectively. The multivariate linear regression model is represented as: \begin{align*} \vy(\vx; \mW, \vb) = \mW^\top \vx + \vb, \end{align*} where $\mW\in\R^{D\times d}, \vb\in\R^{d}$. Try to derive the closed form solution to the least-square loss, where the objective is defined as: \begin{align*} (\mW, \vb)^\star &= \arg\min_{\mW, \vb} \sum_{n=1}^N \left\|\vy(\vx_n; \mW, \vb) - \vt_n\right\|_2^2 \end{align*} Hint: try to convert the input feature matrix to the extended version $\mX = \begin{bmatrix} -\vx_1^\top-, 1 \\ \vdots\\ -\vx_N^\top-, 1 \end{bmatrix}$.

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what is capital P and lower p in math

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what is square root of 2500

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Explain to a beginner the difference between expected value and variance. Is expected value the average?

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Given Circle 1 with center vector V1 and radius r1, and Circle 2 with cente rvector V2 and radius r2,find their intersection points, only vector method

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电导率中1MS/S等于多少倍的s/m

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square root law” assuMPTION

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解释一下何为时间序列

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dit moi comment je peux utiliser lextantion google chessvision sur chesscom dans un math en ligne contre un joueur

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雷诺数的求解公式

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雷诺数的临界大小的求解

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Escribe el análisis de cada y como cambia el comportamiento en la gráfica coeficiente cambian mayor 0, menor 0 y =0 f[x_]= ax^3+bx^2+cx+d

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Escribe el análisis de cada y como detalla como cambia el comportamiento en la gráfica coeficiente cambian cuando es mayor 0, es menor 0 y es =0 f[x_]= ax^3+bx^2+cx+d

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qual a função inversa de f(x)=x/x+1

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Análisis de comportamiento de los coeficientes cambia a mayo 0 menor 0 e igual 0 esta unción=ax^3+bx^2+cx+d

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请改写“由于本书使用的符号和变量较多,因此,在撰写过程中,对每节的研究问题所涉及的参数和变量均重新定义。同一节中,各参数和变量的数学符号的含义是一致的。”

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what's the result of 2 + 2 reply shortly.

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what's the square root of reply shortly.

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what is the square root of 81 reply shortly.

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На стороне ac треугольника abc отмечена точка d. Проведите через эту точку прямую так, чтобы она разбила abc на два равновеликих многоугольника.

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how do you find the intersection between two surfaces reply shortly.

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what's a system of linear equations reply shortly.

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how do you find the sum of the first n numbers reply shortly.

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what's the formula to find the area of a square reply shortly.

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what's the formula to find the volume of a cone reply shortly.

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explain Fuzzy ANP method in full details and with mathematical formulation

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Derivada de una función cuadrática un explicación a detalle

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Как в математике записывается "принадлежит пустому множеству"?

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Есть две точки на земле с широтой и долготой. К примеру paris = (48.8567, 2.3508) и london = (51.509865, -0.118092). Так же есть расстояние, пройденное по кратчайшему маршруту между этих двух точек. Как мне получить координаты точки, которая будет после преодоления трети маршрута?

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describe to a beginner what is the central limit theorem for probability

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Cuánto es 2 + 3. genera una respuesta corta.

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Cuál es la raíz cuadrada de 81 x 2. genera una respuesta corta.

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Qué dice el teorema de Green. genera una respuesta corta.

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Cuáles son los famosos tres teoremas integrales. genera una respuesta corta.

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Cuál es el área del interior de una elipse en términos de a y b. genera una respuesta corta.

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es el teorema de Green un caso particular del teorema de stokes. genera una respuesta corta.

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es el teorema de gauss. genera una respuesta corta.

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y reparto 10 periódicos entre 3 personas Cuántos periódicos tiene cada persona. genera una respuesta corta.

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Cuánto son 10 periódicos entre 3. genera una respuesta corta.

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通俗地说明概率密度为什么叫概率密度

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Is every plane ax + by + cz + d = 0 the graph of some function, that is, expressed by an equation of the form z = f(x,y) for some function f?

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Find the angle in radians between the planes 4x+z=1, 1y+z=1

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The curve c(t)=(cos(t),sin(t),t) lies on which of the following surfaces. Enter T or F depending on whether the statement is true or false. (You must enter T or F -- True and False will not work.) 1. a circular cylinder 2. a sphere 3. a plane 4. an ellipsoid

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Find the limit, if it exists, or type N if it does not exist. Lim (x, y)-(0, 0) (x+10y)^2/(x^2+10^2 y^2)=__

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Find the first partial derivatives of f(x, y)=(2x-3y)/(2x+3y) at the point (x, y)=(1,1). ∂f/∂x(1, 1)=__. ∂f/∂y(1, 1)=__

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The dimensions of a closed rectangular box are measured as 100 centimeters, 70 centimeters, and 60 centimeters, respectively, with the error in each measurement at most .2 centimeters. Use differentials to estimate the maximum error in calculating the surface area of the box. ___ square centimeters

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Find the differential of the function w=xsin(1yz^1). dw = dx + dy + dz

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Find the equation of the tangent plane to the surface z=(4y^2)-16x^2, at the point (-3, -2, -128). z=__

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x+40=2x 求x

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sin(kx)中x趋于无限大,则sin(kx)的值为多少

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Given u(x, t)=(1/t^3)e^(x^2/4t), compute: uxx=__

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what means by solving some equation analytically

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在参加数学建模比赛时,对于给出的十万条数据,每条数据包含电子序列和生命体征(呼吸频率、心率和体动),在进行K-means聚类和随机森林回归,能提出哪些假设,以及数据预处理过程

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In a binomial distribution, the probability of success is: different in each trial must remain constant for all trials is always equal to 1 depends on the mean

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构造矩阵 x,y ,z ,使之符合如下等式:.帮我翻译一下

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Explain Newton Raphson and Regula Falsi Methods and compare them. What is the order of convergence of Newton Raphson method? Explain it.

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Explain the Simpson’s rule to evaluate a definite integral of a function in a given interval by showing the steps.

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Find the root of the function xcosx-lnx=0 on the interval [1,2] by using Newton Raphson from one side and Regula Falsi from the other side and for . e=10^-4

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Square root of 183,844

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Four times 6 is

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how to compute percentiles

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how to estimate the minimum, median, and maximum of data set

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Tengo 49 individuos. Necesito crear 2 grupos de 16 individuos un grupo de 8 y un grupo de 9. Debo hacer 7 muestras de esa manera, sin repetición.

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сколько секунд в 1 месяце?

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как можно исследовать взаимосвязь двух величин?

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某大四阳光学院学生准备考研,他报考学校选择福州大学。厦门大学和福建工程学院的概率分别为0.40.2.0.4,已知他考上这三个大学研究生的对应概率分别为05010.7.求:(1)该学生顺利考上研究生的概率;(2)若顺利考上研究生,求该生是选择福州大学的概率.

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please help me solve the following statement "on February 20th 2023; I was granted 80 hours of fitness times I can only use 3 hours per week how many more hours i have left if the date is July 7th 2023

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If a line in a square is 10 cm then how do I figure out the distance from the bottom left and top right corners?

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5. 把半径为1的实心金属球融化后,铸成一个实心的圆柱体。怎样设计圆柱体的底部半径 和高度 才能使其表面积最小?请构建其数学模型,给出代价函数和约束条件,并结合拉格朗日乘子法,给出其最优解。

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תוכל לכתוב לי פעילות על הקשר בין נגזרת לפונקציה

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Types of everything’s aspect/concept: 1. Math, physics, logics are realic aspects (reaspect). 2. Space and time are dimensional aspects (dimespect), I invented new two words.

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script for how to use. manipulatives to solve math problems (MA.K12.MTR.5.1, MA.K12.MTR.6.1, MA.K12.MTR.7.1)

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Round the following to 3 significant figures: 4.99499 0.09403 95,632 0.02032 2.3452 0.08757 23,650.01 4.99502 3.77500 0.024450 96,650 5.09500

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6 + 4 =

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is sqrt3/2 an "exact" answer

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If we graph both f and f^{-1} on the same set of axes, using the x-axis for the input to both f and f^{-1}, the two graphs will be reflections of each other about the line y = x. This is because the inverse of a function is found by swapping the x- and y-coordinates of each ordered pair in the function's graph. So, if we graph f, and then reflect the graph across the line y = x, we will get the graph of f^{-1}. We can see this relationship by graphing the functions y = x^3, y = x^{1/3}, and y = x on the same set of axes. The graph of y = x^3 is a curve that increases rapidly as x increases. The graph of y = x^{1/3} is a curve that decreases rapidly as x increases. The graph of y = x is a line that passes through the origin and has a slope of 1. The graph of y = x^3 intersects the graph of y = x at two points. The first point of intersection is at (-1, -1). The second point of intersection is at (1, 1). If we reflect the graph of y = x^3 across the line y = x, we will get the graph of y = x^{1/3}. The two graphs intersect at the same two points. This shows that the graph of f^{-1} is the reflection of the graph of f across the line y = x. Here is an example of a function that is difficult to graph on the same set of axes as its inverse. The function f(x) = |x| is not invertible because it has two branches. The graph of f(x) is a V-shaped curve that intersects the x-axis at two points. The inverse of f(x) would be a function that takes a value on the x-axis and returns the corresponding value on the y-axis. However, there are two different values on the y-axis that correspond to each value on the x-axis. This means that there is no single function that can be the inverse of f(x). The set {g:R \rightarrow R | g \circ f=f \circ g} is infinite. This is because for any function f, we can define a function g that is the inverse of f. For example, if f(x) = x+1, then g(x) = x-1 is the inverse of f. Therefore, there are an infinite number of functions that satisfy the given condition.

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What can be said about the domain of the function f \circ g where f(y)= \frac{4}{y-2} and g(x)= \frac{5}{3x-1} ? Express it in terms of a union of intervals of real numbers. Go to www.desmos.com/calculator and obtain the graph of f , g , and f \circ g . Find the inverse of the function f(x)=4+ \sqrt{x-2} . State the domains and ranges of both the function and the inverse function in terms of intervals of real numbers. Go to www.desmos.com/calculator and obtain the graph of f , its inverse, and g(x)=x in the same system of axes. About what pair (a, a) are (11, 7) and (7, 11) reflected about?

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各个变量的相关系数矩阵

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Create a flip card activity for 5th grade math students that includes the definition on one side and an example on the other with the following objectives (MA.5.NSO.1.2, MA.5.NSO.1.4, MA.5.NSO.1.5) To be used as a math review

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1. 请写出最优化问题的数学模型,包括代价函数、等式约束和不等式约束,并给出增广拉格朗日罚函数的具体推导过程。

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请写出最优化问题的数学模型,包括代价函数、等式约束和不等式约束,并给出增广拉格朗日罚函数的具体推导过程。

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某厂生产的某种型号电池,其寿命服从σ=50(小时)的正态分布,现从批这种电池中随机抽取26只,测定寿命后,计算得样本方差S=92(小时”)。求这批电池寿命方差的置信度为95%的置信区间。 (1acs(25)=2.0595,1(25)=2.7874x2(25)=40.646m(25)=13.119)

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If i spent 54 seconds saying 154 words, how many words can be said in 360seconds?

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把半径为1m的实心金属球融化后,铸成一个实心的圆柱体。怎样设计圆柱体的底部半径 和高度 才能使其表面积最小?请构建其数学模型,给出代价函数和约束条件,并结合拉格朗日乘子法,给出其最优解。

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如何学习四年级数学

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Осталось 23 дня мне нужно сыграть 238игр, сколько игр нужно в день играть?

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6. 已知 为线性模型 的观测值。请基于线性最小二乘估计,构建最优化模型,给出最优性条件下的参数值估计,并讨论参数估值中的概率统计意义。

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Make a difficult, comprehensive final exam with answers that each have a concise explanation for a typical course on partial differential equations.

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Un recipiente di base quadrata di lato 10 cm contiene al suo interno due differenti liquidi, in particolare sul fondo si trova uno spessore di 50cm di acqua (densità acqua = 1000kg/metri cubi) e, sopra di esso, uno spessore di 50 cm di olio(densità oldio= 700kg/ metri cubi) Quanto vale la pressione sul fondo del recipiente? Quanto vale la massa totale dei liquidi che si trovano nel recipiente? Quanto vale la pressione all'interfaccia tra il primo e il secondo liquido?

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Create a quiz for 5th grade math students to Addand Subtract Mixed Numbers and Fractions using objective (MA.5.AR.1.2). Provide at least 15 questions, with Each question must have 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. List each learning objective in bold font above the questions that align to it. This quiz must assess the following learning objectives

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Create a quiz for 5th grade math that is true or false. Use objectives MA.5.AR.1.2 – Solve real-world problems involving the addition, subtraction or multiplication of fractions, including mixed numbers and fractions greater than 1. MA.5.AR.1.3 - Solve real-world problems involving division of a unit fraction by a whole number and a whole number by a unit fraction. Create at least 10 questions that are food and fraction related and applicable to real world problems with fractions.

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如何用数学来制定期货的盈利策略

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泊松方程化简成x、y、z方向的直角坐标系的偏微分

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Suponga se planta un examen similar al que aquí se presenta. Para un total de 100 distribuidos en 10 ciudades. En este escenario, discuta ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar 4 trabajos aleatoriamente al menos encontremos 2 que sean diferentes?

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两矢量相互垂直,他们的和向量与其中一个矢量的夹角的范围。

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If f is differentiable and constant on the line y=x, what can you deduce? (a) fx(t, t)=fy(t, t)=0 for all t (b) fx(t, t)=fy(t, t) for all t. (c) fx(t, t)=-fy(t, t) for all t. (d) None of the above.

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Please explain how to calculate the area of a circle and then extrapolate that to a 3 dimensional spere

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给定四个数,如何计算一个数,使得这个数与其他4个数的方差最小

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quadratic interpolation and its formula

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Есть задача. "У Васи 5 яблок. У Пети - на 3 яблока меньше. А у Сережи - столько яблок, сколько у Васи и у Пети вместе. Сколько яблок у Сережи?". Напиши программу на языке Фокал для решения этой задачи.

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Есть задача. "У Васи 5 яблок. У Пети - на 3 яблока меньше. А у Сережи - столько яблок, сколько у Васи и у Пети вместе. Сколько яблок у Сережи?". Напиши программу на языке Ассемблер Z80 для решения этой задачи.

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Tu effectues aussi des équations mathématiques?

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can you calculate the number of parameters in a vision transformer? (attention head number=8, embeddings=512, layer number=12, note: not all stated variables might be needed)

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como se dice ej japones, regla de 3,matematicas

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Consider that you have a video action recognition task and you have a dataset of 500 videos with 100 frames. You plan to use an RNN architecture for this task that includes a single LSTM layer. Our LSTM layer has 256 hidden units. Calculate the total number of parameters of the LSTM layer.

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Create a script for 5th grade math showing how Math in the Real World with the objectives (MA.5.AR.1.2,MA.5.AR.1.3) are related to STEM or NASA . Include at least 5 examples of objectives MA.5.AR.1.2 – Solve real-world problems involving the addition, subtraction or multiplication of fractions, including mixed numbers and fractions greater than 1. MA.5.AR.1.3 - Solve real-world problems involving division of a unit fraction by a whole number and a whole number by a unit fraction labeling each objective that is given as an example.

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I want to make 42 bee houses and these are the materials for one: Wood (40) Coal (8) Iron Bar (1) Maple Syrup (1) Calculate how many I need of each materials to make the 42 bee houses

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Juan tiene que pagar entre luz y teléfono $58,00 mensuales. Si lo que paga por luz excede en $12,40 a lo que paga por teléfono: ¿Cuanto paga por cada servicio?

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Help me create a fictional particle: The expressions “e” represents Thélesma, it only has one state. However it can bind with any other particle. Binding is represented as "@". "p" represents any particle that can bind with it, including itself. e ::= ∞ | p @ p

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What is 6/2(1+2)?

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If plan A costs 50 per month and plan B costs 400 a year, how long would you have to complete plan A in order for it to be more beneficial than plan B?

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how primes from 1 to 10000

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Determine an optimal gear ratio for fixed gear and track cycling that uses odd and prime numbers only.

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正37面体存在吗

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What's 5*10^6 seconds in a human readable format?

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Почему предел частичныйх сумм неограничен у гармонического ряда?

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If a coin flips lands H T T T T T H H T H H H and there is a 50/50 chance of landing H or T, what will it most likely land on for the next 10 flips.

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what 99999999999999999999999999999999999999999999 times 888888888888888888888888888888888888

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• If the system gives feedback after each character of the password, indicating whether that character is correct, now how many guesses would it take?

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请听题:5个人5天喝5桶水 问:10个人10天喝几桶水 请作答

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Create a lesson for 5th grade math teaching Order of Operations (multiplication + addition or + a fraction)- show which operation should be first, second, last using objectives MA.5.AR.1.1 – Solve multi-step real-world problems involving any combination of the four operations with whole numbers, including problems in which remainders must be interpreted within the context. MA.5.AR.1.2 – Solve real-world problems involving the addition, subtraction or multiplication of fractions, including mixed numbers and fractions greater than 1. MA.5.AR.1.3 - Solve real-world problems involving division of a unit fraction by a whole number and a whole number by a unit fraction Provide at least 10 examples with the correct answer being shown first

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PQ分解法潮流计算和牛顿拉夫逊法潮流计算谁快

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逆矩阵和广义逆矩阵

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Create a script for 5th graders studying math that shows how NASA scientists use Multi-step Numerical Expressions (MA.5.AR.2.1) to solve for space study Give at least 5 examples with the correct answer Showing Multi-Step numerical expressions (MA.5.AR.2.1) regarding mathematical expressions for NASA as a real-world connection

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Peux-tu me dire quelle est la valeur approchée de la partie réelle et imaginaire des évaluations du polynome $-6x^2+5x^3+x^7$ pour x égale $e^{-\frac{2k\pi i}{2^3}}$ avec k variant de 0 à 7?

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Create a True-False Math quiz for 5th graders. The questions should ask students the correct order of operations. The correct answer should be given. Remove all numbering of questions, just list the questions without nubers in front of them. List each learning objective in bold font to the questions that align to it. The quiz must assess the following learning objectives-MA.5.AR.2.1 – Translate written real-world and mathematical descriptions into numerical expressions and numerical expressions into written mathematical descriptions. MA.5.AR.2.2 – Evaluate multi-step numerical expressions using order of operations. MA.5.AR.2.3 – Determine and explain whether an equation involving any of the four operations is true or false. MA.5.AR.2.4 - Given a mathematical or real-world context, write an equation involving any of the four operations to determine the unknown whole number with the unknown in any position. Provide the answer to each question

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2 x (3x4) - 8 + (2 x3)

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Create a True/False math quiz for 5th graders showing the objectives - MA.5.AR.3.1 – Given a numerical pattern, identify and write a rule that can describe the pattern as an expression. MA.5.AR.3.2 - Given a rule for a numerical pattern, use a two-column table to record the inputs and outputs. Explaining how a letter in an equation represents a number or pattern they must solve (MA.5.AR.3.1). Use Any 4 operations ( +, -, x, /)- X represents any whole number. Show the correct answer for each example. Create at least 5 examples for each objective.

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Объясни как можно проще, человеку далёкому от математики, что такое число пи?

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Create a multiple-choice quiz with 2 questions for each of the learning objectives listed below. Each question must have 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. List each learning objective in bold font above the 2 questions that align to it. This quiz must assess the following learning objectives: MA.5.FR.2.1 – Add and subtract fractions with unlike denominators, including mixed numbers and fractions greater than 1, with procedural reliability. MA.5.FR.2.2 – Extend previous understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction, including mixed numbers and fractions greater than 1, with procedural reliability. MA.5.FR.2.3 – When multiplying a given number by a fraction less than 1 or a fraction greater than 1, predict and explain the relative size of the product to the given number without calculating.

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what types of data sampling methods are there

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hello! what's 9 + 9?

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Create a lesson for 5th graders learning math and Step by Step directions to Creating and explaining a Line Graph using Money as the Value to Graph. Provide 2 questions of each standard at the end to follow up the lesson. Each question must have 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them.

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Create a 25 mathematical-question multiple choice quiz. Each question must have 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. This quiz must assess the following learning objective which must be listed in bold font above the first question: MA.5.DP.1.1 – Collect and represent numerical data, including fractional and decimal values, using tables, line graphs or line plots. MA.5.DP.1.2 - Interpret numerical data, with whole-number values, represented with tables or line plots by determining the mean, mode, median or range. Provide the answers to each question.

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两个矩阵对应列相乘然后相加

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Create a 10 question multiple choice quiz for 5th grade math students that require them to use a conversion chart to answer questions about measurement using both standard units of measurement and metric units of measurement. Each question must have 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option.

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Convierte 25% a fracción

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Elimina el denominador en las siguientes ecuaciones: 1/4x+2y=4

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Simplifica 4×1/2

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Why is current density A/mm^2 and not A/meter

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What is regression analysis?

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[1,0]是行向量还是列向量

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已知P、Q点位置,如何判断P、Q点哪个在前哪个在后

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Un móvil se mueve con una velocidad constante de 15 km/h. A partir de un determinado momento t=0 comienza a acelerar y 15 segundos después su velocidad es de 50 km/h.

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I mix 30ml pf 37.5% alchol into a contain containing 470ml of water, what is the overall percentage of alchol now

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5 16 29 45 66 94 ?

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Какое значение линейное корреляции является значимым? Когда мы можем сказать, что эти две величины вероятно взаимосвязаны?

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Write a Mathematica function that defines the poisson brackets of A and B

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The equation ln(n0!n1!n2!)= ln(Σni!) Is it true in statistical thermodynamics proof for more probable distribution or not?? Prove if it is true or prove it is not true thank you

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summarize data analysis method of quantitative survey

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what are the quantitative data analyzing techniques for surveys

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In the number 61.02,the 2 is worth?

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In electricity equation, A/r^2=dv/dr=lambdaV. And V=-A/r. What is A for

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Create a math quiz for 5th grade math students with 20-25 questions total - The multiple choice quiz should have each question with 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. This quiz must assess the following learning objective which must be listed in bold font above the first question:MA.5.GR.2.1 - Find the perimeter and area of a rectangle with fractional or decimal side lengths using visual models and formulas.

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как провести анализ сходимости численных значений

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In what follow, λ is a scalar and a, b, and c are vectors. For each identity below mark “true” if it always holds and “false” if there are cases where it does not hold. 1. a*b=-b*a 2. a*(b+c)=a*b+a*c

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Create a script in which real life examples for using the formula to find perimeter are important. Find 10 real life examples for 5th grade math students, of ways that perimeter is important to know and use in life. MA.5.GR.2.1 - Find the perimeter and area of a rectangle with fractional or decimal side lengths using visual models and formulas.

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The curve C is parameterized by x(t)=t^2 -16 and y(t)=t^3 +5. What's the curve C going to look like

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Create a math quiz for 5th grade math students with 20-25 questions total - The multiple choice quiz should have each question with 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. This quiz must assess the following learning objective which must be listed in bold font above the first question MA.5.GR.3.1 - Explore volume as an attribute of three-dimensional figures by packing them with unit cubes without gaps. Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths by counting unit cubes. MA.5.GR.3.2 - Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths using a visual model and a formula. MA.5.GR.3.3 - Solve real-world problems involving the volume of right rectangular prisms, including problems with an unknown edge length, with whole-number edge lengths using a visual model or a formula. Write an equation with a variable for the unknown to represent the problem.

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Create a math quiz for 5th grade math students with 25 questions total - The multiple choice quiz should have each question with 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. This quiz must assess the following learning objective which must be listed in bold font above the first question: MA.5.GR.3.1 – Explore volume as an attribute of three-dimensional figures by packing them with unit cubes without gaps. Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths by counting unit cubes. MA.5.GR.3.2 – Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths using a visual model and a formula. MA.5.GR.3.3 - Solve real-world problems involving the volume of right rectangular prisms, including problems with an unknown edge length, with whole-number edge lengths using a visual model or a formula. Write an equation with a variable for the unknown to represent the problem.

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某学校的老师都有自己喜欢的饮料,喜欢喝橙汁的有14人,喜欢喝可乐的有16人,喜欢喝茶的有22人,三种饮料都喜欢的老师有2人,只喜欢两种饮料的老师占全校老师人数的五分之一,则该校共有老师多少人?

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Create a math quiz for 5th grade math students with 21 questions total 7 per each objective- The multiple choice quiz should have each question with 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. This quiz must assess the following learning objective which must be listed in bold font above the first question: MA.5.GR.3.1 – Explore volume as an attribute of three-dimensional figures by packing them with unit cubes without gaps. Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths by counting unit cubes. MA.5.GR.3.2 – Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths using a visual model and a formula. MA.5.GR.3.3 - Solve real-world problems involving the volume of right rectangular prisms, including problems with an unknown edge length, with whole-number edge lengths using a visual model or a formula. Write an equation with a variable for the unknown to represent the problem.

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Write a script for 5th grade math students show how using a specific formula can help solve volume provide 5 examples of how visual models can solve the volume in a right rectangular prism is and what it is useful for. Discuss the importance of being able to find the volume of a shape and the formula to do so. Use the objective MA.5.GR.3.1 – Explore volume as an attribute of three-dimensional figures by packing them with unit cubes without gaps. Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths by counting unit cubes.

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e^(i*pi)=?

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Есть три курьера: Маша, Настя и Оля. Им нужно довести грузы до клиентов в разных точках области. 6 клиентов находятся в 100 километрах от стартовой точки для всех курьеров. 4 клиента находятся в 160 километрах от начальной точки. 7 клиентов в 10 км от старта. Маша ездит со средней скоростью 70 км в час. Настя ездит со скоростью 130 км в час. Оля около 90-100 км в час. Как распределить клиентов по курьерам, чтоб доставка была самой эффективной?

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Hi, 我想说,若关系B成立,则A关系必成立使用英语数学证明的语言应该怎么表述?

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describe methods of descriptive statistics

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Spiegami il teorema delle probabilità totali

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Write the following number in words: 158.887161254882814758264833388787878787788

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что показывает квадрат от коэффициента линейной корреляции?

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spiegami che cos’è una distribuzione uniforme

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Show that the loss function of logistic regression is a convex function, where the function is defined as: L(w, w0) = − X N n=1 log σ tn(w ⊤xn + w0)  . Tips: • The definition of a convex function: f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀λ ∈ (0, 1) • The addition of two convex functions is also convex

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Para transportar 76 compañeros de la campaña antivectorial se alquilaron dos ómnibus. El ómnibus de menor capacidad excede en seis al 75% del de mayor capacidad. ¿Cuántos compañeros se transportaron en cada ómnibus?

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use axiomatização para provar que: conclusão: q, teoria: (p->q) v ¬q

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есть набор целых чисел от 0 до 8. Нужно собрать 7 пар случайных чисел из данного массива так,чтобы пары чисел не равнялись друг другу

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Suppose that fx(a, b)=fy(a, b)=0. Is (a, b) a local extremum of f?

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Let D be the closed unit disk with the origin removed. Is D a closed set? (a) Yes. (b) No.

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Create a script called Practice finding Volume Using Formula as a NASA Scientists!, showing 4 real life examples to 5th grade math students how important it is to know how to find the volume as a NASA scientist figuring out a space mission. Take students step by step through the process of how scientists use the formula and then having them solve the equation. Provide 4 answers to each question, using visual model to assist with this. with the first answer being correct and 3 incorrect answers. Give the answer at the end of each section after students solve. Use the following objectives when creating the problem and questions: MA.5.GR.3.2 – Find the volume of a right rectangular prism with whole-number side lengths using a visual model and a formula. MA.5.GR.3.3 - Solve real-world problems involving the volume of right rectangular prisms, including problems with an unknown edge length, with whole-number edge lengths using a visual model or a formula. Write an equation with a variable for the unknown to represent the problem.

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Create a script for 5th grade math students with real life examples of ways that NASA scientists use data, plot points and a coordinate plane when creating a space mission and planning for the safe travels of an astronaut. provide add least 5 examples through multiple choice questions that should have each question with 1 correct answer and 3 distractors. The correct answer must always be the first option. Remove all numbering of questions; just list the questions without numbers in front of them. This quiz must assess the following learning objective which must be listed in bold font above the first question. Use an actual graph for the data points questions. MA.5.GR.4.1 – Identify the origin and axes in the coordinate system. Plot and label ordered pairs in the first quadrant of the coordinate plane. MA.5.GR.4.2 - Represent mathematical and real-world problems by plotting points in the first quadrant of the coordinate plane and interpret coordinate values of points in the context of the situation

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Resous une equation trigonometrique

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发电机转子运动方程

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Imagine you are a contemporary visual artist from the United States, but having lived in China, Europe and South America for the last 15 years. You are also studying College Algebra in a University. Reflect on the concept of composite and inverse functions. What concepts (only the names) would you need to accommodate these concepts in your mind? What are the simplest composite and inverse functions you can imagine? In your day to day as an artist, is there any occurring fact that can be interpreted as composite and inverse functions? What strategy could you use to get the graph of composite and inverse functions?

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What is the probability that a waitress will refuse to serve alcoholic beverages to only three minors if she randomly checks the I.D’s of five students from among ten students of which four are not of legal age?

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como desarrollar ecuaciones lineales de 3x3 metodo de sustitucción

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√a nın yaklaşık değerini Newton-Raphson yöntemi ile hesaplarken kullanılacak iterasyon formülünü bulunuz.

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37.125 * N(1-255) / M(1-31) * DIV(1/2/4/8/16) ~ 4000 求一个最接近 4000 的 N/M/DIV 值

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среднечасовая и среднегодовая выработка формулы

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what is egorov's theorem

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给定N,M,DIV的范围分别是(1-255) (1-31) (1/2/4/8/16),求37.125 * N / M * DIV 最接近 4000 的 N/M/DIV 值

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线性代数在图形学中有什么作用

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37.125 * N(1-255) / M(1-31) * DIV(1/2/4/8/16),N/M/DIV 括号里面的是取值范围,求一个最接近 4000 的 N/M/DIV 值

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初中数学合作学习 在体育特长班级中的实践,结合案例论证合作学习在体育特长班的有效性

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初中数学教学中小组合作学习方法在体育特长班中应用的研究 论文

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x29−y24=1 has a horizontal _______________ axis of length 2a along the x-axis. A. directrix B. transverse C. conjugate D. coordinate

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나이팅게일이랑 수학I 연관점 찾아줘

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There are 10 numbers called 1234567890. Two pairs are released 12 95 23 68 04. the next pair?

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动力触探的计算公式

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一个硬币投掷100次都是正面,第101次的结果回怎样

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hello, you are a mathematic professor

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Find the maximum and minimum values of f(x, y)=11x^2+12y^2 on the disk D: x^2+y^2<=1.

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انشاء لي محتوي رياضي قوي 2023

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点坐标能和向量进行加减运算吗?如果可以,得到的是什么?

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La ecuacion compensadora

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how to say: F = (Between-group variance / (k - 1)) / (Within-group variance / (n - k))

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离散数学

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如何根据圆心角和半径求弧长

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what is multiple regression? how to use it? can give an real life example?

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sigmoid函数的原函数

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) Задана матричная панель отображения информации. Для матрицы разложения знакоместа символов 8*6 построить знакогенератор для воспроизведения фамилии курсанта.

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sigmoid函数在0到正无穷求积分

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已知点A,点B,点C三点的坐标,求角ABC的角平分线的单位向量

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If f(x, y)=1x^2+3y^2, find the value of the directional derivative at the point (-1, -2) in the direction given by the angle 60 degrees.

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частная производная в точке

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Suppose f(x, y)=x^2+y^2-8x-8y+1. (A) How many critical points does f have in R^2? (B) If there is a local minimum, what is the value of the discriminant D at that point? If there is none, type N. (C) If there is a local maximum, what is the value of the discriminant D at that point? If there is none, type N. (D) If there is a saddle point, what is the value of the discriminant D at that point? If there is none, type N. (E) What is the maximum value f of R^2 on ? If there is none, type N. (F) What is the minimum value f of R^2 on ? If there is none, type N.

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5. Площадь фигуры, ограниченной линией r = 4 + cos 4φ, равна

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欧拉旋转是什么

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You are to manufacture a rectangular box with 3 dimensions x, y and z, and volume v=64. Find the dimensions which minimize the surface area of this box. x = y = z =

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Find the coordinates of the point (x, y, z) on the plane z = 2 x + 3 y + 3 which is closest to the origin. x = y = z =

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Given z=f(x,y), x=x(u,v), y=y(u,v), with x(2,-1)=1, calculate zu(2,-1) in terms of some of the values given in the table below. fx(2,-1)=a, fy(2,-1)=3, xu(2,-1)=b, yu(2,-1)=4, fx(4,1)=s, fy(4,1)=-2, xv(2,-1)=d, yv(2,-1)=r. zu(2,-1)=___

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create a 7th grade math unit for integer operations

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석유화학산업의 환경오염을 수학이라는 과목을 이용해서 해결해주라

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what is average ?

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explain hwo the combination formula works

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How many unique 4 integer code can be made using numbers, alphabet or numbers and alphabet

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give me a formula for finding a sum of X consecutive members of a geometric progression starting from N to N + X

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the first member of the geometric progression is var T, the increment is N, express a function for a sum of M consecutive members of that progression starting from member Q

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Have to calculate densyti with temprature

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请举几个以数学为桥梁进行跨学科类比研究的例子,论述学习数学的重要性。

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what is the height of layered figure from 4.07*10^35 cubes of 0.25*0.25*0.25 mm size and the base of figure 10000 km by 10000 km?

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371 ÷ 27=

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Mathematicality

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Geomathicality (Math and geometry): 2+2=4 Physicality (Physics) Logreality (Logics and realistical opinions, paradoxes) Chemgeoticality (Chemistry, biology and geology): Elements are earth (solid), fire (plasma), air (gas), water (liquid) Dimenseticality (Space and time)

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如何判断一个圆和不规则图形是否相交

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Five esspects (essences of reality): Geomathicality (Math and geometry): 2+2=4 Physicality (Physics) Logreality (Logics and realistical opinions, paradoxes) Chemgeoticality (Chemistry, biology and geology): Elements are earth (solid), fire (plasma), air (gas), water (liquid) Dimenseticality (Space and time)

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Izračunaj mi dijagonalu pravougaonika čije su stranice 23 i 31 cm

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对数列求和 an=1/(3n+2)

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write x is rational in three math symbols

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If there are 24 tokens, of which 4 are black and 20 are red, what are the odds of drawing exactly two black tokens from a random selection of 4 tokens?

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Всего 80 чисел каждый новый раунд выпадает 2 случайных числа, какова вероятность что в трёх раундах подряд выпадет одно и тоже число.

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a/b/c=a/c/b的详细证明过程如何?它运用了什么思想?有什么扩展?

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To minimize or maximize a differentiable function function f(x,y) subject to the constraint g(x,y)=k, on a domain without boundary, could we simply look for critical points (a,b) of f that g(a,b)=k ? Yes or no

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Let be the set of points (x,y) such that 1<=x^2+y^2<=2. What type of region is this? Group of answer choices (a) Type I. (b) Type II. (c) Both Type I and Type II. (d) Neither Type I nor Type II.

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The population of a culture of bacteria is modeled by the logistic equation P(t)= \frac{14,250}{1+29e^{-0.62t}. To the nearest tenth, how many days will it take the culture to reach 75% of its carrying capacity?

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The population of a culture of bacteria is modeled by the logistic equation P(t)=14,250/1+29e−0.62t. 1. To the nearest tenth, how many days will it take the culture to reach 75% of its carrying capacity? 2. What is the carrying capacity? 3. What is the initial population for the model? Why a model like P(t)=P0 eKt , where P0 is the initial population, would not be plausible? 4. What are the virtues of the logistic model?

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论述数学对管理学的影响,请列出几点

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Can you add one and one together please?

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详细论述数学对管理学的影响 要求主题明确、论述完整、结构清晰、符合规范,6000字以上

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Can you multiply 23248023 and 2834823994?

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How can I develop myself in math that related to programming

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Can you multiply 7148 and 5124 together?

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Can you multiply 1218 and 3170 together?

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Can you multiply 1056 and 7019 together?

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Can you multiply 4241 and 2421 together?

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Can you multiply 1944 and 5179 together?

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Can you multiply 7402 and 8232 together?

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add 1 and 1

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Can you multiply 4169 and 7937 together?

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Can you multiply 9235 and 3935 together?

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Can you multiply 3245 and 9452 together?

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Can you multiply 6843 and 7401 together?

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Can you multiply 1896 and 5260 together?

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Can you multiply 2249 and 3528 together?

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Can you multiply 7226 and 4371 together?

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Can you multiply 4274 and 2273 together?

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Can you multiply 3973 and 6161 together?

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Can you multiply 9455 and 9552 together?

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Can you multiply 1643 and 3334 together?

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Can you multiply 5772 and 8773 together?

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Can you multiply 2793 and 5953 together?

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Can you multiply 5148 and 3985 together?

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есть 3 круг эйлера, сколько всего вариантов расположения сущесвует?

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一个矢量在另一个矢量方向上的投影

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0.1 % 10 =

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What is the name of a certain general, universally applicable formula for many situations in mathematics? What are some other related terms?

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1%10 =

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What is so mathematically special about decimal that makes it the world's universal system? If there were an alien civilization, would it be more likely to use decimal as well?

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how to say: χ^2 = Σ((O−E)^2 / E).

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正整数m各个数位上数字之和与正整数n各个数位上数字之和的积是 72、m和18 的最小公倍数,n和18 的最小公倍数都是 720,那么m,n和45 这三个数的最大公因数是什么

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no, you. which are the most hardest math calculation expressions you can handle? Apologies for the confusion. In mathematics, there are various complex and challenging expressions. While there is no definitive list of the “most hardest” math calculation expressions, here are a few examples of math calculations that can be considered challenging: 1. Calculus expressions: This could include solving high-order derivatives or integrals of complex functions, such as solving differential equations with boundary conditions or performing multi-variable calculus. 2. Number theory calculations: Number theory involves studying properties and relationships of integers. Complex number theory calculations, prime number factorization, modular arithmetic, and solving Diophantine equations are examples of challenging number theory calculations. 3. Cryptography algorithms: Cryptography involves mathematical concepts and calculations. Implementing and working with advanced encryption algorithms like RSA, elliptic curve cryptography, or homomorphic encryption can be considered challenging. 4. Graph theory calculations: Graph theory deals with the properties and relationships of graphs. Performing complex graph algorithms like finding the shortest path in a large graph, calculating network centrality measures, or solving the traveling salesman problem can be challenging. 5. Computational physics equations: Solving complex equations in computational physics, such as partial differential equations (PDEs) related to fluid dynamics, electromagnetism, or quantum mechanics, can be considered challenging. 6. Combinatorial optimization problems: Problems such as the knapsack problem, traveling salesman problem, or the assignment problem involve finding optimal solutions from a large number of possibilities and can be computationally challenging. It’s worth noting that the complexity of these expressions depends on various factors, including the specific problem instance, the size of the inputs, available computational resources, and the efficiency of the algorithms or numerical methods used to solve them. Python, with its rich ecosystem of mathematical libraries and numerical computing capabilities, can handle a wide range of challenging math calculations. However, the actual difficulty of specific math calculation expressions can vary depending on the complexity of the problem, available computational resources, and the efficiency of the implemented algorithms. so, you can’t handle Calculus expressions, correct? show me the most hardest math calculation expressions you can slightly handle and process.

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how natural growth is related to number e?

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在进行GLMM模型时出现了收敛警告,解决方法中的“Check for singularity"是什么意思?在这里什么是”singularity"?

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for which values of m and n does the graph of f(X)= mx + n intersect the graph of the g(X)=1/x in exactly one point and also contain the point (-1, 1)

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for which values of m and n does the graph of f(X)= mx + n not intersect withthe graph of the g(X)=1/x

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Can you teach me algebra basic

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what is Gaussian distribution?

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Tính gần đúng tích phần sau theo phương pháp simson 1/3 hoặc 3/8dx/(1+x) với n = 5 trong đoạn [0, 1]. Các đáp án có thể ra: a. 0.65315 b. 0.61315 c. 0.69315 d. 0.72315

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Chuẩn ma trận được dùng để tính số điều kiện cond(A) khi giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b là?

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Cho hàm số f(x)=x^4+x-1 với h=0.0001. Tính sai số của f'(1)? Các đáp án có thể ra: a. 0.015 b. 0.016 c. 0.009 d. 0.012

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推送100w数据需要66分钟 推送4w数据需要多少分钟

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как посчитать процент контрастности между цветами?

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两个空间坐标可以确认一个函数,这个函数怎么表示

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what is mathematics

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Imagine you are an American visual artist that is also studying a bit of college algebra in Beijing. Based on that context, reflect on the concept of exponential and logarithm functions. What concepts (only the names) did you need to accommodate these new concepts in your mind? What are the simplest exponential and logarithmic functions with base b ≠ 1 you can imagine? In your day to day as an artist, is there any occurring fact that can be interpreted as exponential or logarithmic functions? What strategy could one use to get the graph of exponential or logarithmic functions?

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Imagine you are an American visual artist that is also studying a bit of college algebra in Beijing. Based on that context, reflect on the concept of exponential and logarithm functions. What concepts (only the names) did you need to accommodate these new concepts in your mind? What are the simplest exponential and logarithmic functions with base b ≠ 1 you can imagine? In your day to day as an artist, is there any occurring fact that can be interpreted as exponential or logarithmic functions? What strategy could one use to get the graph of exponential or logarithmic functions? Response should be at least 500 words

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Tell me about mathematics

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6:1 Slope

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方程求解时待求解参与过多属于什么问题

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Berechenbarkeitstheorie, Mathematische Funktion], Die Ackermannfunktion ist eine 1926 von Wilhelm Ackermann gefundene, extrem schnell wachsende mathematische Funktion, mit deren Hilfe in der theoretischen Informatik Grenzen von Computer- und Berechnungsmodellen aufgezeigt werden können. Heute gibt es eine ganze Reihe von Funktionen, die als Ackermannfunktion bezeichnet werden. Diese weisen alle ein ähnliches Bildungsgesetz wie die ursprüngliche Ackermannfunktion auf und haben auch ein ähnliches Wachstumsverhalten., Entstehungsgeschichte., 1926 vermutete David Hilbert, dass jede berechenbare Funktion primitiv-rekursiv sei. Vereinfacht bedeutet dies, dass sich jede durch einen Computer berechenbare Funktion aus einigen wenigen, sehr einfachen Regeln zusammensetzen lässt und dass sich die Dauer der Berechnung im Voraus abschätzen lässt., Dies trifft auf nahezu alle in der Praxis vorkommenden Funktionen zu., Ebenfalls 1926 konstruierte Ackermann eine Funktion, die diese Vermutung widerlegt, und veröffentlichte sie 1928. Ihm zu Ehren wird diese Funktion heute Ackermannfunktion genannt. Sie kann von einem Computer in endlicher Zeit ausgewertet werden, ist aber nicht primitiv-rekursiv., 1935 konstruierte Rózsa Péter eine vereinfachte Version, die die gleichen Eigenschaften besitzt. Diese Funktion, gelegentlich auch als Ackermann-Péter-Funktion bezeichnet, wird heute vorwiegend benutzt., Idee., Man betrachtet die Folge, Hierbei wird bei jedem Folgenglied die Operation des vorigen Folgenglieds formula_2-mal auf formula_3 angewandt, also formula_4 ist gerade formula_5, wobei die Variable formula_3 formula_7-mal vorkommt und so weiter. Die Idee hinter der Ackermannfunktion ist es, diese Folge als Funktion aufzufassen., "Beispiel:", Die Ackermannfunktion, notiert als formula_13, ist also eine Funktion, die die folgenden Gleichungen erfüllt:, Ab der vierten Zeile können die Funktionswerte nicht mehr mit herkömmlichen Operatoren formuliert werden; man braucht erweiterte Notationen, wie beispielsweise den Hyper-Operator., Definition und Varianten., Die Ackermannfunktion definiert man üblicherweise rekursiv, d.h. man macht für einige Anfangswerte explizite Angaben und gibt eine Anleitung (das Rekursionsschema), wie man weitere Funktionswerte aus den bereits berechneten erhält., Definition von Ackermann., Ackermann selbst definierte die Funktion auf recht umständliche Weise, gab aber kurz darauf die folgende äquivalente Definition an:, Dabei ist formula_21 eine weitere Funktion, die Ackermann nicht weiter beschrieb. Sie liefert die Startwerte formula_22:, Wenn man vom Wachstum der Ackermannfunktion spricht, meint man oftmals die Funktion formula_32., Definition von Péter., Rózsa Péter definierte 1935 eine einfachere Version der Ackermannfunktion, die nur zwei Parameter besitzt und zudem ohne die Hilfsfunktion formula_33 auskommt:, Auch hier meint man im Zusammenhang mit Wachstumsuntersuchungen oftmals die Funktion formula_35, wenn man von der Ackermannfunktion spricht., Aus dieser Definition ist nicht sofort ersichtlich, dass die Funktion formula_36 für alle nicht negativen, ganzzahligen formula_37 und formula_38 definiert ist, da formula_38 teilweise auch erhöht wird. Man kann aber erkennen, dass zum einen formula_40 für formula_41 wohldefiniert ist., Zum anderen ist unter der Voraussetzung, dass formula_42 wohldefiniert ist, auch formula_43 wohldefiniert, indem man die letzten beiden Rekursionsvorschriften iterativ benutzt., Zu beachten ist allerdings, dass es bei einer Verringerung von formula_37 keine obere Schranke für das Wachstum von formula_38 in den folgenden Funktionsaufrufen gibt., Modifizierte Ackermannfunktion., Häufig werden in der Komplexitätsanalyse leicht modifizierte Versionen der Ackermannfunktion verwendet, die jedoch das gleiche asymptotische Laufzeitverhalten aufweisen. Eine dieser Varianten, die eine Interpretation als „verallgemeinerte Exponentialfunktion“ erlaubt, kann wie folgt angegeben werden:, Die so definierte Folge von Funktionen formula_47 können nun zu der Definition der modifizierten Ackermannfunktion formula_48 verwendet werden, indem man, setzt., Die Funktionen formula_47 können nun als natürliche Fortsetzung der Addition, Multiplikation und Potenzierung interpretiert werden. So repräsentiert beispielsweise formula_51 die formula_37-fache Addition der Zahl formula_53, formula_54 die formula_37-fache Multiplikation der Zahl formula_53 usw. Es gilt, Bedeutung in der theoretischen Informatik., Wie eingangs schon erwähnt, erfand Ackermann diese Funktion als Beispiel einer Funktion, die nicht primitiv-rekursiv, aber berechenbar ist., Auf der Suche nach den Grenzen von Computern stößt man sehr schnell auf den Begriff der berechenbaren Funktionen. Das sind all die Funktionen, für deren Auswertung man einen Algorithmus angeben kann, also alle Funktionen, die ein Computer (insbesondere eine Turingmaschine) berechnen kann. Diese Definition stellt einen sehr schnell vor ein Problem, wenn man von einer konkreten Funktion entscheiden möchte, ob sie berechenbar ist. Findet man einen Algorithmus, der die Funktion berechnet, so ist sie offensichtlich berechenbar. Andernfalls ist ungewiss, ob die Funktion wirklich nicht berechenbar ist oder ob es zwar einen Algorithmus gibt, man ihn aber nicht gefunden hat., Aus diesem Grund sucht man nach alternativen Definitionen, mit denen man einen solchen Nachweis einfacher führen kann. Ein erster Ansatz hierfür waren die primitiv-rekursiven Funktionen. Dies sind Funktionen, die sich durch einige wenige Regeln aus sehr einfachen Funktionen zusammensetzen lassen., Einige Zeit vermutete man, dass alle berechenbaren Funktionen primitiv-rekursiv sind, mit den primitiv-rekursiven Funktionen also ein Werkzeug zur Lösung des oben geschilderten Problems gefunden sei. Diese Hoffnung zerstörte jedoch die Ackermannfunktion, von der man nachweisen kann, dass sie berechenbar, aber nicht primitiv-rekursiv ist. (Siehe nachfolgender Beweis.), "Führt man auf der Klasse der primitiv-rekursiven Funktionen eine weitere Konstruktionsregel, die sogenannte μ-Rekursion, ein, erhält man eine größere Klasse ebenfalls berechenbarer Funktionen, die die Ackermannfunktion enthält. Man nimmt an, dass diese Klasse der μ-rekursiven Funktionen der Klasse der intuitiv berechenbaren Funktionen entspricht (Churchsche These).", Beweis., Der Beweis, dass die Ackermannfunktion berechenbar ist, aber nicht primitiv-rekursiv, nutzt im Wesentlichen aus, dass die Ackermannfunktion stärker wächst als jede primitiv-rekursive Funktion., Beweisskizze zur Behauptung, dass die Ackermannfunktion nicht primitiv-rekursiv ist:, Anwendungen., Für die Ackermannfunktion gibt es nur sehr wenige Anwendungen. Die zwei wichtigsten sind Benchmarktests für rekursive Aufrufe in Programmiersprachen und Laufzeitabschätzungen der gewichteten Vereinigung und Pfadkompression bei der Union-Find-Struktur., Benchmark für rekursive Aufrufe., Bei der Einführung von neuen Programmiersprachen, Compilern und Computern möchte man deren Leistungsfähigkeit untersuchen. Dazu werden u.a. mittels Benchmarking durch spezielle Programme festgelegte Eigenschaften überprüft., In diesem Zusammenhang wird die Ackermannfunktion gerne als Benchmark zur Überprüfung von rekursiven Prozedur-Aufrufen benutzt, da ein Programm zur Berechnung der Ackermannfunktion im Wesentlichen nur aus solchen Prozeduraufrufen besteht. In der Definition von Péter wird ja nur formula_75 direkt berechnet. Die Schwierigkeit bei der Berechnung der Funktionswerte sind also nicht allein deren Größe, sondern die tiefe Verschachtelung der Funktionsaufrufe, die leicht zu einem Stapelüberlauf (engl. Stack Overflow) führt, also dazu, dass dem System der Speicher ausgeht. Die Ackermann-Funktion ist daher eine einfache und sichere Methode, einen Stapelüberlauf zu provozieren, beispielsweise um zu testen, ob dieser Fehlerfall bearbeitet wird und ggf. wie dies erfolgt. Die Ackermann-Funktion hat dabei den Vorteil, dass sie immun gegen Compiler-Optimierungen ist und auch statische Quellcode-Analysen den (möglichen) Stapelüberlauf praktisch nicht detektieren können., Diese Idee geht zurück auf Yngve Sundblad, der 1971 die Funktion formula_76 benutzte, um diverse Programmiersprachen zu vergleichen. Um formula_77 zu berechnen, werden formula_78 Aufrufe getätigt., Sundblad testete unter anderem, wie groß formula_37 gewählt werden kann, damit der Computer noch in der Lage ist, diese Zahl zu berechnen. Damals erreichte er formula_80. Zum Vergleich hierzu: Mit Java 1.4.2 und den Standardspeichereinstellungen erreicht man heutzutage formula_81., Im Laufe der Berechnung werden viele identische Aufrufe mehrfach ausgerechnet. Ein intelligenter Compiler kann dies ausnutzen und die Ergebnisse zwischenspeichern, um solche Aufrufe nur einmal durchführen zu müssen. Damit waren schon 1971 Aufrufe bis formula_82 durchführbar. Einen bedeutenden Zeitvorteil erhält man auch, wenn man formula_83 direkt berechnet, statt es rekursiv zu formula_84 zu expandieren. Die direkte Berechnung von formula_83 erfordert lineare Zeit in formula_37. Die Berechnung von formula_87 erfordert quadratische Zeit, denn sie führt zu formula_88 (also formula_89 für eine Konstante formula_90; siehe Landau-Symbole) verschachtelten Aufrufen von formula_91 für verschiedene formula_92. Die Berechnung von formula_77 erfordert schließlich eine zu formula_94 proportionale Zeit (formula_95)., Laufzeitabschätzungen mit der Umkehrfunktion., Da die Funktion formula_96 sehr schnell wächst, wächst ihre Umkehrfunktion formula_97 sehr langsam. Sie ist für jede praktisch vorstellbare Eingabegröße kleiner als 5, weil der Funktionswert formula_98 größer als die Anzahl der Atome im Universum ist, wie die Berechnung von formula_99 weiter unten zeigt. In der praktischen Analyse von Algorithmen kann sie also als konstant betrachtet werden., Diese Umkehrfunktion taucht in der Laufzeitanalyse bestimmter Algorithmen auf, zum Beispiel beim Union-Find-Problem und in Chazelles Algorithmus für minimale Spannbäume. In diesem und anderen Zusammenhängen wird die ursprüngliche Ackermannfunktion oft durch Weglassen additiver Konstanten oder andere Modifikationen leicht umdefiniert zu einer Funktion mit ähnlichem asymptotischen Verhalten. Diese modifizierten Funktionen sind nicht gleich der Ackermannfunktion, aber nach den Maßstäben der Laufzeitanalyse können sie als äquivalent betrachtet werden., Implementierung., Die rekursive Implementierung der Ackermannfunktion (hier in Pseudocode) entspricht direkt der Definition:, function ack(n, m), if n = 0, return m + 1, else if m = 0, return ack(n - 1, 1), else, return ack(n - 1, ack(n, m - 1)), Etwas effizienter ist die folgende, teilweise iterative Implementierung:, function ack(n, m), while n ≠ 0, if m = 0, m:= 1, else, m:= ack(n, m - 1), n:= n - 1, return m + 1, Noch effizientere Implementierungen verwenden Arrays zur Zwisc: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Dreiecksgeometrie, Satz (Ebene Geometrie)], Der Satz des Pythagoras (auch Hypotenusensatz) ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind formula_1 und formula_2 die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und formula_3 die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:, Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte., Mathematische Aussage., Der Satz des Pythagoras lässt sich folgendermaßen formulieren:, In geometrischer Deutung ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächen der beiden Quadrate über den Katheten gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse., Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:, Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Der unten beschriebene Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Satzes., Verwendung., Längen im rechtwinkligen Dreieck., Aus dem Satz des Pythagoras folgt direkt, dass die Länge der Hypotenuse gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate ist, also, Eine einfache und wichtige Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:, Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist oder nicht:, Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger als jede der Katheten und kürzer als deren Summe ist. Letzteres ergibt sich auch aus der Dreiecksungleichung., Reziproke Längen im rechtwinkligen Dreieck., Aus dem Satz des Pythagoras folgt als direkte Anwendung der reziproke Satz des Pythagoras:, Sind formula_1 und formula_2 die Längen der Katheten und formula_29 die Länge der Höhe auf der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck formula_30, dann sind formula_31 und formula_32 die Kathetenlängen und formula_33 die Hypotenusenlänge eines zu formula_30 ähnlichen rechtwinkligen Dreiecks formula_35., Somit folgt: formula_36., Wegen der Rechtwinkligkeit gilt für die Flächenmaßzahl des Dreiecks ABC die Gleichheit formula_37 oder formula_38., Durch Division der Pythagorasgleichung auf beiden Seiten durch formula_39 und Einsetzen von formula_40 für formula_3 ergibt sich die Aussage des Satzes aus folgender Äquivalenzkette:, formula_42, Pythagoreische Tripel., Unter allen Dreiergruppen formula_43, die die Gleichung formula_4 erfüllen, gibt es unendlich viele, bei denen formula_1, formula_2 und formula_3 jeweils ganze Zahlen sind. Diese Dreiergruppen werden pythagoreische Tripel genannt. Das einfachste dieser Tripel besteht aus den Zahlen formula_19, formula_20 und formula_21. Pythagoreische Tripel werden seit alters her zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke verwendet. Ein Beispiel ist die Zwölfknotenschnur, mit der ein Dreieck gelegt wird, dessen Seiten die Längen formula_19, formula_20 und formula_21 haben. Die beiden kurzen Seiten bilden dann einen rechten Winkel., Der große fermatsche Satz besagt, dass die formula_54-te Potenz einer Zahl, wenn formula_55 ist, nicht als Summe zweier Potenzen des gleichen Grades dargestellt werden kann. Gemeint sind ganze Grundzahlen formula_56 und natürliche Hochzahlen. Allgemein gesprochen bedeutet dies:, Das ist erstaunlich, weil es für formula_60 unendlich viele Lösungen gibt. Für formula_61 sind dies die pythagoreischen Zahlentripel., Trotz seiner einfachen Formulierung gilt der Beweis des großen fermatschen Satzes, der erst 1995 erbracht werden konnte, als außerordentlich schwierig., Euklidischer Abstand., Der Satz von Pythagoras liefert eine Formel für den Abstand zweier Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Sind zwei Punkte formula_62 und formula_63 in einer Ebene gegeben, dann ist ihr Abstand formula_3 durch, gegeben. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Koordinatenachsen senkrecht zueinander liegen. Diese Formel kann auch auf mehr als zwei Dimensionen erweitert werden und liefert dann den euklidischen Abstand. Zum Beispiel gilt im dreidimensionalen euklidischen Raum, Das entspricht auch dem Betrag bzw. der Länge des durch die beiden Punkte definierten Vektors., Beweise., Für den Satz sind mehrere hundert Beweise bekannt, womit er wohl der meistbewiesene mathematische Satz ist. Elisha Scott Loomis führt in einem zuerst 1927 erschienenen Buch 371 Beweise auf. Mario Gerwig führt in einer Überarbeitung und Ergänzung der Loomis-Sammlung rund 365 verschiedene Beweise auf, wobei er Loomis rund 360 Beweise zuordnet und eine ganze Reihe von Fehlern, darunter auch der Aufnahme offensichtlich falscher Beweise. Exemplarisch werden im Folgenden sechs geometrische Beweise vorgestellt. Ein siebter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A.Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem "Beweis durch Ergänzung" stark ähnelt., Beweis nach Euklid., Euklid beschreibt den Satz des Pythagoras mit dem folgenden Beweis im ersten Buch seiner Elemente in der Proposition 47. Dort beweist er zunächst den Kathetensatz mit Hilfe kongruenter Dreiecke, aus welchem dann unmittelbar der Satz des Pythagoras folgt. Der Beweis benutzt nicht die Theorie der Proportionen, die Euklid im Buch 5 der Elemente entwickelt, sondern kommt allein mit den Sätzen des ersten Buches der Elemente aus und ist von konstruktiver Natur., Für ein Dreieck formula_30 mit rechtem Winkel in formula_68 sind formula_69 und formula_70 die Quadrate über den Katheten und formula_71 der Fußpunkt der Höhe von formula_68 auf formula_73. Des Weiteren sind formula_74 und formula_75 Rechtecke über der Hypotenuse formula_73 deren längere Seite formula_77 die Länge der Seite formula_73 besitzt. Nun sind die Dreiecke formula_79 und formula_80 nach dem zweiten Kongruenzsatz (SWS) kongruent, da formula_81, formula_82 und formula_83 gilt. Zudem gilt, dass die Fläche des Dreiecks formula_79 die Hälfte der Fläche des Rechtecks formula_74 beträgt, da dessen Grundseite formula_73 und die Rechteckseite formula_87 gleich lang sind und die Länge seiner Höhe von formula_68 der Länge der anderen Rechteckseite entspricht. Aufgrund eines entsprechenden Arguments folgt, dass die Fläche des Dreiecks formula_80 der Hälfte der Fläche des Kathetenquadrates formula_70 entspricht. Wegen der Kongruenz der Dreiecke formula_79 und formula_80 bedeutet dies aber, dass dann auch das Kathetenquadrat formula_70 flächengleich mit dem Rechteck formula_74 ist. Analog lässt sich mit Hilfe der kongruenten Dreiecke formula_95 und formula_96 zeigen, dass das zweite Kathetenquadrat formula_69 flächengleich mit dem Rechteck formula_75 ist. Damit hat man den Kathetensatz bewiesen. Der Satz des Pythagoras folgt dann sofort, da das Hypotenusenquadrat sich aus den Rechtecken formula_74 und formula_75 zusammensetzt., Es gibt noch einen weiteren Beweis des Satzes von Pythagoras in den Elementen in Buch 6, Proposition 31 (siehe unten). Er benutzt statt Quadraten zueinander ähnliche Rechtecke auf den drei Seiten, ist formal einfacher als der Beweis im ersten Buch durch Verwendung der Theorie der Proportionen, die erst von Eudoxos von Knidos streng begründet wurde. Pythagoras kann beide Beweise aller Wahrscheinlichkeit nach nicht gekannt haben, da sie einem fortgeschritteneren Verständnis der Geometrie entsprechen Proklos schrieb die Beweise in seinem Kommentar zu den Elementen explizit Euklid zu und drückte seine Bewunderung für beide Beweise aus., Euklid gibt in der letzten Proposition 48 von Buch 1 zusätzlich eine Umkehrung des Satzes von Pythagoras, indem er zeigt, dass aus der Gleichheit der Fläche des Hypotenusenquadrats mit der der Summe der Kathetenquadrate folgt, dass einer der Winkel des Dreiecks ein rechter Winkel ist., Der erste Beweis (I, 47) wird wegen der Form der Hilfslinien in der zugehörigen Figur im englischen Sprachraum gelegentlich auch "windmill" (Windmühle) genannt, Arthur Schopenhauer nahm den ersten Beweis von Euklid als Beispiel für dessen in seiner Sicht willkürliche und wenig anschauliche Vorgehensweise ("„Oft werden, wie im Pythagoreischen Lehrsatze, Linien gezogen, ohne dass man weiss warum: hinterher zeigt sich,dass es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehen“", und so die Zustimmung Lernenden erzwingen, "„der nun verwundert zugeben muß, was ihm seinem inneren Zusammenhang nach völlig unbegreiflich bleibt“") Felix Klein verteidigte den Beweis dagegen in einer Erwiderung auf Schopenhauers Kritik als besonders anschaulich und demonstrierte dies in seiner "Elementarmathematik vom höheren Standpunkt"., Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte., Der in den beiden nebenstehenden Bildern auf unterschiedlicher Weise verdeutlichte "Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte", stammt aus dem chinesischen Werk Zhoubi suanjing, übersetzt "Klassische Arithmetik des Gnomon und die Kreisbahnen des Himmels" (es wird heute angenommen das Werk „stamme frühestens aus dem späten 4. Jahrhundert v. Chr.“). Darin kommt das allgemein bekannte rechtwinklige Dreieck mit den Seiten formula_101 und formula_102 zur Anwendung., Nach dem Zeichnen eines Quadrats (Bild 1) und dessen Unterteilung in formula_103 x formula_104 Einheitsquadrate, wird das rechtwinklige Ausgangsdreieck (rot) mit den Katheten formula_105, formula_106 und mit der sich ergebenden Hypotenuse formula_3 anhand des Gitters eingetragen. Darüber hinaus werden drei, dem Ausgangsdreieck gleichende Dreiecke so platziert, dass die Hypotenusen ein inneres Quadrat ergeben und demzufolge ein zentrales Einheitsquadrat (gelb) mit dem Flächeninhalt formula_108 umgrenzen. Ein auf das innere Quadrat eingezeichnetes Gitter, das dem äußeren gleicht und mit den Hypotenusen einen rechten Winkel einschließt, liefert formula_21 x formula_110 Einheitsquadrate., Der Flächeninhalt des inneren Quadrats mit den vier Dreiecken und dem zentralen Einheitsquadrat entspricht formula_111 Einheitsquadrat: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Primzahl, Satz (Mathematik)], Der Satz von Dirichlet, gelegentlich auch Dirichletscher Primzahlsatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass eine aufsteigende arithmetische Progression unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen, etwa bei formula_1, unmöglich ist. Eine arithmetische Progression ist dabei eine Folge ganzer Zahlen, sodass zwei aufeinanderfolgende Glieder stets dieselbe Differenz haben, wie zum Beispiel formula_2 Ganz allgemein ist eine solche Folge für eine ganze Zahl formula_3 und eine natürliche Zahl formula_4 gegeben durch, Die Folge ist dann im Sinne des Satzes von Dirichlet „trivial“, wenn formula_3 und formula_4 einen gemeinsamen Teiler haben, der größer als formula_8 ist. Den ersten vollständigen Beweis der Aussage lieferte Dirichlet im Jahr 1837. Dabei wurden erstmals rein analytische Methoden für die Gewinnung eines zahlentheoretischen Satzes verwendet. Die Vermutung über Primzahlen in arithmetischen Folgen stammt von Adrien-Marie Legendre aus dem Jahr 1798, der in seinem Lehrbuch der Zahlentheorie einen fehlerhaften Beweis gab, wie Dirichlet darlegte. Anwendung findet der Satz innerhalb der Zahlentheorie, etwa im Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski., Bezogen auf das Dezimalsystem sagt der Satz aus, dass es jeweils unendlich viele Primzahlen gibt, die auf eine1, auf eine3, auf eine 7 und auf eine 9 enden. Allgemeiner kann man sagen: Gibt es zwei verschiedene Primzahlen, die in einem Zahlensystem auf die gleiche Ziffernfolge enden, so gibt es unendlich viele weitere Primzahlen, die in diesem Zahlensystem auf diese Ziffernfolge enden. Etwa gibt es unendlich viele Primzahlen, die auf die Ziffern 419 enden. Die ersten Primzahlen mit dieser Eigenschaft sind formula_9 und formula_10., Dirichlets Beweis war ein wichtiger Schritt zur Begründung der analytischen Zahlentheorie und führte zur Etablierung der Dirichletschen L-Funktionen, der Dirichlet-Charaktere und der analytischen Klassenzahlformel für quadratische Zahlkörper. Die Einführung der L-Funktion geschah in Analogie zu Leonhard Eulers Einführung der Zetafunktion bei der Primzahlverteilung. Tatsächlich konnte Dirichlet eine etwas stärkere Formulierung als die bloße Unendlichkeitsaussage gewinnen, denn er lieferte eine Verallgemeinerung des Satzes von Euler über Primzahlen: Addiert man also die Kehrwerte formula_11 aller Primzahlen formula_12 in der betroffenen arithmetischen Progression, ist das Ergebnis Unendlich. Diese Aussage impliziert die Unendlichkeit der entsprechenden Primzahlmenge, aber es existieren ganz allgemein unendlich lange Zahlfolgen, die in ihrer Kehrwertsumme beschränkt sind. Dirichlet zeigte dafür als entscheidenden Zwischenschritt das Nicht-Verschwinden der Dirichletschen L-Funktion an der Stelle formula_8. Hierbei wurde die Bedeutung des Nullstellenverhaltens von L-Funktionen in Form sog. "Nichtverschwindungssätze" für die Zahlentheorie erstmals offenkundig., Im Laufe der Zeit konnte der Satz immer weiter verbessert werden. So schätzt etwa der Primzahlsatz für arithmetische Progressionen die genaue Anzahl der Primzahlen in einer arithmetischen Folge, die eine obere Schranke nicht überschreiten. Eine Folgerung ist, dass bei fester Wahl von formula_4 in unterschiedlichen Folgen stets asymptotisch gleich viele Primzahlen liegen. Der Fehlerterm in dieser beschriebenen Primzahlverteilung ist Gegenstand des Satzes von Siegel-Walfisz, des Satzes von Bombieri und Winogradow und der Vermutung von Elliott und Halberstam. Unter Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung kann dieser Fehler zudem sehr deutlich verbessert werden., Notation., Es werden durchweg folgende Bezeichnungen verwendet:, Aussage des Satzes., Primzahlen., Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4,... beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11,... Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Primzahlen bilden gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Dieses Resultat wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet. Zum Beispiel gilt formula_61 und formula_62., Trotz ihrer einfachen Definition ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik. In der modernen Mathematik gibt es jedoch tiefliegende Vermutungen, die das Verhalten der Primzahlen als pseudozufällig einordnen und Verbindungen zur Quantenphysik sehen. All diese Aussagen liegen im Themenbereich der Riemannschen Vermutung., Der Satz von Dirichlet., Eine arithmetische Progression ist eine Folge von ganzen Zahlen, wobei die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen konstant ist. Beispiele sind, oder auch, Der Satz von Dirichlet besagt, dass eine arithmetische Progression stets unendlich viele Primzahlen beinhaltet, es sei denn, dies ist aus trivialen Gründen unmöglich. In der einfachsten Fassung lautet der Satz:, Anders formuliert: Es gibt unendlich viele Primzahlen, die kongruent zu formula_3 modulo formula_4 sind. Dabei ist die Voraussetzung der Teilerfremdheit notwendig. Wären formula_3 und formula_4 nicht teilerfremd und formula_73 ein gemeinsamer Teiler, so wäre jedes Folgenglied durch formula_74 teilbar; zwei verschiedene Primzahlen können aber nicht beide durch formula_74 teilbar sein. Dass die Bedingung der Teilerfremdheit von formula_3 und formula_4 für die Existenz unendlich vieler Primzahlen in der entsprechenden Folge nicht nur notwendig, sondern auch "hinreichend" ist, ist genau die Aussage des Satzes von Dirichlet., Dirichlet konnte sogar etwas mehr zeigen. Es handelt sich um eine direkte Verallgemeinerung des Satzes von Euler über Primzahlen. Es gilt mit oberen Bedingungen:, Diese Aussage ist stärker als die obere Version. Denn offenbar impliziert die Divergenz der Reihe die Unendlichkeit der Primzahlen in der betroffenen arithmetischen Folge. Es gibt allerdings unendliche Folgen, deren Kehrwertsumme beschränkt bleibt. Ein Beispiel bilden die Quadratzahlen (siehe Basler Problem), oder die Zweierpotenzen, es gilt, Damit besagt die verstärkte Fassung des Satzes von Dirichlet, dass die Primzahlen in den relevanten arithmetischen Progressionen gewissermaßen „dicht“ unter den natürlichen Zahlen verteilt sind., Beispiele., Aus dem Satz von Dirichlet folgt zum Beispiel, dass unendlich viele Primzahlen auf die Ziffern 1, 3, 7 oder 9 enden. Noch allgemeiner gibt es unendlich viele Primzahlen, deren letzte Ziffern auf 37, 113, 419 oder 567241 enden. Die ersten Primzahlen mit Endziffern 419 sind formula_80. Es gilt ferner, Triviale Gründe, wann der Satz nicht gilt, liegen vor, wenn formula_3 und formula_4 nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine ganze Zahl formula_84, die sowohl formula_3 als auch formula_4 teilt. Damit teilt formula_47 jede der Zahlen formula_88 mit natürlichen formula_89 und somit enthält diese Folge höchstens (einmal) die Primzahl formula_47, falls formula_47 überhaupt prim ist. Etwa sind formula_92 und formula_93 nicht teilerfremd. In der Tat sind alle Zahlen der Progression, durch formula_95 teilbar. Damit enthält sie keine einzige Primzahl., Trivialerweise impliziert der Satz von Dirichlet den Satz des Euklid, der besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Setzt man etwa formula_96, so besagt er, dass die Progression, unendlich viele Primzahlen enthält., Geschichte., Die mathematische Entdeckungsgeschichte über die Verteilung der Primzahlen reicht bis in die Antike zurück. Schon Euklid erkannte, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Sein Resultat wird als der Satz des Euklid bezeichnet. Ab dem 18.Jahrhundert wurde begonnen, dieses qualitative Resultat quantitativ zu vertiefen. Dabei spielten zunehmend Methoden aus der Analysis eine Rolle, die den alten Griechen noch nicht zur Verfügung standen., Eine Entdeckung Eulers., Leonhard Eulers Entdeckungen zu den Primzahlen waren ein Wegweiser für die kommende Entwicklung von einer elementaren, in der Tradition der alten Griechen stehenden, hin zu einer modernen Form der Zahlentheorie. Im Jahr 1737, während seiner ersten Zeit in Sankt Petersburg, untersuchte Euler einen neuartigen Zugang zu den Primzahlen und fand heraus, dass sie „verhältnismäßig dicht“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind. Genauer bewies er, Summiert man also nacheinander die Kehrwerte der Primzahlen, wird auf Dauer jede noch so große obere Schranke durchbrochen. Dies zeigt, dass Primzahlen eher „dicht“ unter den natürlichen Zahlen verstreut sind; zum Beispiel „dichter“ als die Quadratzahlen, denn ebenfalls Euler zeigte, Quadratzahlen wachsen also langfristig schnell genug an, dass die Summe ihrer Kehrwerte den endlichen Wert 1,645 nicht überschreitet. Euler stand seiner Zeit nicht die mathematische Sprache zur Verfügung, diese Verschärfung des Euklidischen Satzes präzise zu interpretieren, und es gibt keinen Nachweis, dass er sich mit exakten Aussagen zur Verteilung von Primzahlen beschäftigte., Eulers Beweisstrategie für formula_100 nutzt das sog. Euler-Produkt. Dabei spielt die eindeutige Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen in Primfaktoren eine Schlüsselrolle. Das Euler-Produkt steht in Zusammenhang zu einem Objekt, das bis heute in der Primzahlforschung benutzt wird und in der modernen Mathematik als Riemannsche Zeta-Funktion bekannt ist. Die Zeta-Funktion spielt ebenfalls für die Riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle. Die neuartige Leistung bestand darin, Fragen zu Primzahlen systematisch durch funktionale Zusammenhänge zwischen Zahlen anzugreifen. Euler gilt deswegen als Initiator der analytischen Zahlentheorie., Auch Euler hatte sich bereits Gedanken über Primzahlen in arithmetischen Progressionen gemacht. So behauptete er 1785, dass es zu jeder Zahl formula_4 unendlich viele Primzahlen mit formula_102 gibt., Erste vollständige Formulierung und Beweisversuche., Zur Gänze wurde das Problem erstmals von Adrien-Marie Legendre im Jahre 1798 formuliert. Dies war verbunden mit dem ersten Beweisversuch, der ebenfalls von Legendre unternommen wurde. In der zweiten Auflage seines Buchs "Essai sur la théorie des nombres" (publiziert 1808) gab er 1798 einen fehlerhaften Beweis. In der dritten Auflage von 1830 wiederholte er denselben Fehler. Legendres Irrtum verbarg sich hinter den Worten „Wie man einfach sieht,...“, die am Ende des 409.Abschnittes: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Choose different combinations of two colors (10 options for each) for each of these fractions: China India Japan Persia Mongolia Thai Korea Tibet

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Сколько будет семь тысяч четыреста двадцать одна целая тридцать семь сотых разделить на две тысячи шетьсот девяносто две целых двести пятьдесят четыре тысячных?

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Architekturtheorie, Besondere Zahl, Design, Ebene Geometrie, Folgen und Reihen, Proportionalität, Technik der Malerei, Theoretische Biologie], Der Goldene Schnitt ( „Goldener Schnitt“, „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf., Durch mathematische Formeln ausgedrückt gilt für den Goldenen Schnitt zweier Teilstrecken formula_1 und formula_2 (siehe Bild):, Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine dimensionslose, irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Die Folge ihrer Nachkommastellen zeigt daher auch kein periodisches Muster. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt bezeichnet. Als mathematisches Symbol für den Goldenen Schnitt wird meist der griechische Buchstabe Phi (formula_5, formula_6 oder formula_7, heutige Aussprache ), seltener auch Tau (formula_8, formula_9) oder formula_10 verwendet. Es gilt, Aus Sicht der Mathematik besitzt der goldene Schnitt zahlreiche besondere Eigenschaften. Neben der geometrischen Auffassung kann er auch als die positive Lösung der quadratischen Gleichung formula_13 definiert werden. Er ist damit eine algebraische Zahl vom Grade2. Bemerkenswert ist seine enge Verbindung zu der Fibonacci-Folge, die sich durch die explizite Binet-Formel ausdrückt, obgleich die Fibonacci-Folge zunächst nur rekursiv, also implizit erklärt ist. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass der Goldene Schnitt unter den irrationalen Zahlen (bis auf eine gewisse Form der Äquivalenz) am schlechtesten durch Brüche angenähert werden kann. Zentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten konvergiert., Der Goldene Schnitt ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen, war jedoch vor mehr als 2300 Jahren nur Wenigen bekannt. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance, etwa durch Luca Pacioli und Johannes Kepler, wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Der Überlieferung nach erhielt er mit diesem Namen erst ab der ersten Hälfte des 19.Jahrhunderts größeren Bekanntheitsgrad. Die heute gebräuchliche Bezeichnung formula_5 bzw. formula_7 für den Zahlenwert geht auf den amerikanischen Mathematiker Mark Barr zurück, der sie um das Jahr 1909 herum einführte. Einigen bedeutenden Künstlern, wie Leonardo da Vinci, Friedrich Hölderlin oder Béla Bartók, wurde nachgesagt, den Goldenen Schnitt gezielt bei manchen ihrer Werke eingesetzt zu haben, jedoch gelten solche Aussagen als umstritten. Der Goldene Schnitt ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder., Definition., Man sagt, dass zwei Größen formula_16 im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen, falls, erfüllt ist. Die Zahl, wird dann ebenfalls Goldener Schnitt genannt. Es muss sich bei den Werten formula_1 und formula_2 dabei nicht um (dimensionslose) reelle Zahlen handeln; auch eine Assoziation zu physikalischen Größen unter Zuweisung entsprechender Maßeinheiten ist möglich. Klassisch ist dabei die Veranschaulichung über das Teilungsverhältnis zweier Strecken (bei dem die längere Strecke als „Major“ und die kürzere als „Minor“ bezeichnet wird), aber auch andere Einheiten können betrachtet werden, siehe zum Beispiel Goldenes Rechteck., In der Literatur wird der Ausdruck „Goldener Schnitt“ jedoch auch für andere Dinge verwendet. Er bezeichnet, Bestimmung des Verhältnisses., Es bezeichnen formula_16 die Teilstreckenlängen der Gesamtstrecke formula_23. Es gilt dann nach Definition des Goldenen Schnitts die Relation, Geschichte., Antike., Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes findet sich im zweiten Buch der "Elemente" des Euklid (um 300 v.Chr., siehe Innere Teilung nach Euklid), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische als „“ übersetzt, was als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird., Mittelalter., In seinem Rechenbuch "Liber abbaci" (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2.Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auf die später nach ihm benannte Fibonacci-Folge zu sprechen. Fibonacci führt die Zahlenfolge vor (2, 3, 5, 8... bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, das heißt der Zusammenhang zum Goldenen Schnitt wird von ihm nicht dargestellt. Dass ihm allerdings der (erst später so genannte) Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es (in moderner Formulierung wiedergegeben) darum geht formula_1 und formula_2 zu finden mit formula_33 und formula_34. Hierzu weist Fibonacci darauf hin, dass im Fall von formula_35 die Proportion formula_36 gilt, 10 also von formula_1 und formula_2 im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt wird („“). Aber auch hier stellt er den Zusammenhang zum goldenen Schnitt nicht her., Renaissance., Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert formula_5 ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch Ende des 20. Jahrhunderts schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16.Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:, Der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung „vermutlich als erster[...] (göttliches Verhältnis)“, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk "De divina proportione" von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1.Jahrhundert v.Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis der Seitenlänge des den Menschen umgebenden Quadrats zum Radius des umgebenden Kreises– nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst– in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein., Im Oktober 1597 stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung für die Aufgabe gebe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht (Kepler-Dreieck). Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit 10.000.000, und für den letzteren Fall dann die längere Seite mit 7.861.514 und die kürzeste Seite mit 6.180.340 beziffert. Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen (und bis zur fünften korrekten) Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art., Seit dem 18. Jahrhundert., Populär wurde der Begriff "Goldener Schnitt" erst in der ersten Hälfte des 19.Jahrhunderts, obwohl die mathematischen Prinzipien schon seit der Antike bekannt waren. Der Begriff "Goldene Zahl" stammt aus dieser Zeit, noch 1819 wird dieser Begriff mit dem Meton-Zyklus in einem der griechischen Kalendersysteme in Verbindung gebracht. In der deutschen Literatur sind bereits Anfang des 18.Jahrhunderts vereinzelt Hinweise auf eine sinngemäße bzw. wortwörtliche Form des Begriffes „Goldener Schnitt“ zu finden. Erst ab dem zweiten Viertel des 19.Jahrhunderts war er weiter verbreitet. Die folgenden Beispiele aus der deutschen Literatur verweisen auf den Begriff in ähnlicher Art und Weise., 1717 wurde der Begriff "Goldener Schnitt" sinngemäß von M.Johann Wentzel Kaschube in seinem Werk "Cursus mathematicus..." verwendet. Er beschreibt darin eine geometrische Aufgabe (Näheres im Abschnitt "Konstruktionsverfahren"), deren Lösung dieses besondere Teilungsverhältnis verlangt. Am Schluss der Aufgabe§.35. ist zu lesen: „Die Alten hissen [sc. hießen] diesen Schnitt den Goldenen.“ Zu jener Zeit fand das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes auch in der Akustik im Zusammenhang mit Verhältnissen der Saitenlänge Anwendung. Diese Form der Saitenteilung– so Ernst Florens Friedrich Chladni 1802 in "Die Akustik" unter "Die geometrische Theilung" – wollte auch Gottfried Wilhelm Leibniz. Zwar lassen sich damit nicht Tonhöhenabstände, sprich Intervalle finden, „desto brauchbarer ist sie aber, wie im folgenden Abschnitte wird gezeigt werden, zu gewissen nothwendigen Abänderungen derselben.“ Chladni leitete die Tonverhältnisse also nicht aus den Saitenlängen ab, sondern aus den Verhältnissen der Schwingungszahlen. Bezüglich des Goldenen Schnitts merkt Chladni an: „Es ist diese The: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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