Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Besondere Zahl'], 'Die Kreiszahl, auch Ludolphsche Zahl, Ludolfsche Zahl oder Archimedes-Konstante, abgekürzt mit dem griechischen Kleinbuchstaben formula_1 (Pi), ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von ihrer Größe.', 'Die dezimale Darstellung der Kreiszahl beträgt', 'wobei in der Praxis oft nur drei signifikante Stellen verwendet werden (3,14), deren Genauigkeit für einfache Anwendungen ausreicht. Seit dem 8. Juni 2022 sind 100 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.', 'Die Kreiszahl hat etliche interessante Eigenschaften.', 'Die Kreiszahl tritt nicht nur bei Kreisberechnungen in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien Bedeutung. Beispielsweise lässt sich durch sie die Lösung des klassischen Basler Problems mit der Theorie der Fourierreihen verknüpfen.', 'Geschichte der Bezeichnung.', 'Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi erfolgt nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes – \', „Umfang“ oder – zu lateinisch \', „Randbereich“. Das Pi (formula_1) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift "Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio" verwendet. Darin drückte er mit formula_4 das Verhältnis von halbem Kreisumfang "(semiperipheria)" zu Halbmesser "(semidiameter)" aus, d. h. formula_5. Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory formula_6 für das Verhältnis von Umfang zu Radius.', '59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner "Synopsis Palmariorum Matheseos" als Erster den griechischen Kleinbuchstaben ein, um das "Verhältnis von Umfang zu Durchmesser" auszudrücken. Erst im 18. Jahrhundert wurde formula_1 durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals formula_1 für die Kreiszahl, nachdem er zuvor formula_9 verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.', 'Definition.', 'Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl formula_1 zu definieren.', 'Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl formula_1.', 'Eigenschaften.', 'Irrationalität und Transzendenz.', 'Die Zahl formula_1 ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen also nicht als Bruch formula_22, dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.', 'Tatsächlich ist die Zahl formula_1 sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das formula_1 zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzem Zahlen aus formula_1 erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.', 'Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, formula_1 nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.', 'Die ersten 100 Nachkommastellen.', 'Da formula_1 eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch.', 'Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung', 'ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).', 'Darstellung zu anderen Zahlenbasen.', 'Im Binärsystem ausgedrückt ist', 'In OEIS sind auch die Zahlen der Darstellungen zu den Basen 3 bis 16 und 60 angegeben.', 'Kettenbruchentwicklung.', 'Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da formula_1 irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch.', 'Der "reguläre" Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:', 'Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von formula_1 ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch ():', 'Anders als bei der Eulerschen Zahl formula_34 konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von formula_1 keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.', 'Jedoch gibt es "nicht-reguläre" Kettenbruchdarstellungen von formula_1, bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:', 'Näherungsbrüche der Kreiszahl.', 'Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler bzw. Nenner ) die folgenden:', 'Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung formula_38 stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl formula_1 überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden km Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.', 'Sphärische Geometrie.', 'In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.', 'Normalität.', 'Es ist noch ungeklärt, ob formula_1 eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.', 'Wenn formula_1 eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).', 'Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von formula_1 zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.', 'Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von formula_1 auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl formula_1 entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl formula_1 tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als formula_1 ab.', 'Feynman-Punkt.', 'Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.', 'Entwicklung von Berechnungsverfahren.', 'Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an formula_1 phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.', 'Erste Näherungen.', 'Berechnungen und Schätzungen in den vorchristlichen Kulturen.', 'Die Kreiszahl und einige ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das altägyptische Rechenbuch des Ahmes aus der Mitte der 16. Jahrhundert v. Chr., nennt den Wert formula_48, was vom tatsächlichen Wert nur um rund 0,60 % abweicht.', 'Als Näherung für formula_1 benutzten die Babylonier formula_50 oder einfach nur 3, solange dessen Abweichung von gut 4,5 % nicht ins Gewicht fiel. Den Wert 3 nutzte man auch im alten China, und er findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:', 'In Indien nahm man für die Kreiszahl in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert formula_51 und wenige Jahrhunderte v. Chr. in der Astronomie den Näherungswert formula_52.', 'Näherungen für den praktischen Alltag.', 'Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung formula_53 und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber formula_1 beträgt etwa 0,04 %. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend.', 'Eine andere oft genutzte Näherung: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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(a) How many 7-digit phone numbers are possible, assuming that the first digit can’t be a 0 or a 1? (b) Re-solve the previous problem, except now assume also that the phone number is not allowed to start with 911. In the USA, 911 is reserved for emergency use. It would not be desirable for the system to wait to see whether more digits were going to be dialed after someone has dialed 911.

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Satz (Zahlentheorie)', 'Zahlentheoretischer Algorithmus'], 'Das quadratische Reziprozitätsgesetz, gelegentlich auch Gaußsches Reziprozitätsgesetz, ist ein grundlegendes Gesetz aus der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es beschäftigt sich mit der Frage, ob es zu einer ganzen Zahl formula_1 und einer ungeraden Primzahl formula_2 eine Quadratzahl formula_3 gibt, sodass die Differenz formula_4 durch formula_2 teilbar ist. Genau genommen gibt es, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer Primzahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Leonhard Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen algebraischen Zahlentheorie.', 'Um die genaue Aussage des quadratische Reziprozitätsgesetzes zu verstehen, sind lediglich die Konzepte der Quadratzahlen, der Primzahlen und der Teilbarkeit ganzer Zahlen mit Rest vonnöten. Seine Formulierung beginnt mit der Auswahl zweier ungerader, ungleicher Primzahlen formula_2 und formula_7, etwa formula_8 und formula_9. Im Zentrum steht die folgende Fragestellung:', 'Innerhalb dieser Fragestellung haben die beiden Primzahlen formula_2 und formula_7 eine "unterschiedliche" Stellung (formula_2 ist „Teiler“ und formula_7 ist „Subtrahend“). Das Wort „Reziprozität“ (von „reziprok“, also "wechselseitig") deutet nun an, dass dieselbe Frage ebenfalls unter Vertauschung der Rollen beider Primzahlen gefragt werden kann: Gibt es also eine (zweite) Quadratzahl formula_20, sodass formula_7 wiederum die Differenz formula_22 teilt? Das quadratische Reziprozitätsgesetz formuliert eine einfache Regel, die die Lösbarkeit der zwei Aufgaben, die durch "Vertauschen der Rollen beider Primzahlen" entstehen, miteinander in Beziehung setzt. Es unterscheidet:', 'Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist aus mathematischer Sicht unter anderem von Interesse, da es kausale Zusammenhänge zwischen scheinbar völlig verschiedenen Fragestellungen aufbaut. Das führt dazu, dass die Lösung einer mitunter sehr schweren Aufgabe auf das Lösen einer leichten Aufgabe zurückgeführt werden kann, weshalb es für konkrete Berechnungen von Nutzen ist. Zahlreiche Anwendungen findet es in der Zahlentheorie, der Theorie diophantischer Gleichungen, aber auch in praktischen Gebieten wie der Kryptographie.', 'Gauß selbst hat acht methodisch verschiedene Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz vorgelegt. Da er die Bedeutung des Resultats bereits als außerordentlich hoch erkannte, bezeichnete er sein Resultat als „Fundamentaltheorem“ bzw. „"Theorema aureum"“ (deutsch: „Goldener Satz“) der Zahlentheorie. Die Bezeichnung „Reziprozitätsgesetz“ geht indes auf Adrien-Marie Legendre zurück, der im Jahr 1785 einen unvollständigen Beweis lieferte. Spätere (vollständige) Beweise stammen unter anderem von Gotthold Eisenstein, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Richard Dedekind und Jegor Iwanowitsch Solotarjow. Bis heute sind mehr als 300 verschiedene Beweise publiziert worden. Trotz elementarer Beweise liegt das Wesen der „Reziprozität“, wie schon Gauß vermutete, relativ tief, nämlich in der Primfaktorzerlegung in den Kreisteilungskörpern.', 'Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht Aussagen über die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen in der modularen Arithmetik. Die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades führt auf die höheren Reziprozitätsgesetze, was eine der treibenden Kräfte der algebraischen Zahlentheorie seit Gauß war. Den Fall dritten Grades, das kubische Reziprozitätsgesetz, behandelte Gotthold Eisenstein, den Fall vierten Grades Gauß, wobei jedoch Carl Gustav Jacobi den ersten vollständigen Beweis vorlegte. Eine moderne, sehr viel tiefer liegende, Verallgemeinerung findet sich in den Grundlagen der Klassenkörpertheorie.', 'Fragestellung und Grundlagen.', 'Das quadratische Reziprozitätsgesetz motiviert sich aus der Aufgabe, schnell über die Lösbarkeit quadratischer Kongruenzen entscheiden zu können. Im Falle von Primzahlen entspricht dies einer quadratischen Gleichung über einem endlichen Körper. Für ein genaues Verständnis seiner Aussage werden die folgenden Grundlagen zusammengefasst.', 'Endliche Körper.', 'In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge, innerhalb der, einfach gesprochen, mit den vier Grundrechenarten gerechnet werden kann. Dabei sollen die aus der Schulmathematik bekannten Regeln des Kommutativgesetzes (Vertauschbarkeit bei „Plus“ und „Mal“), Assoziativgesetzes (Vertauschbarkeit von Klammern bei „nur Plus“ oder „nur Mal“) und Distributivgesetzes („Ausklammern“ und „Ausmultiplizieren“) gelten. Außerdem muss stets das Element formula_61 ("neutrales Element der Addition") und formula_26 ("neutrales Element der Multiplikation") Teil eines Körpers sein. Insbesondere soll durch jede Zahl ungleich der formula_61 dividiert werden können. Wichtige Beispiele sind der Körper der reellen Zahlen (Bezeichnung: formula_64) oder der Körper der rationalen Zahlen (Bezeichnung: formula_65).', 'Eine wichtige Forderung ist, dass keine der erlaubten Rechenoperationen dazu führt, dass man die den Körper definierende Zahlenmenge verlässt. So ist es etwa in Körpern im Allgemeinen "nicht" erlaubt, Quadratwurzeln zu ziehen. Es ist formula_66 ein Element von formula_65, kurz formula_68, aber formula_69 ist eine irrationale Zahl, also formula_70. Ähnlich besitzt formula_71 keine Quadratwurzel in den reellen Zahlen. Grundsätzlich ist das Konzept einer Quadratwurzel in einem Körper aber indirekt erklärt, da die umgekehrte Operation, nämlich die "Multiplikation" einer Zahl mit sich selbst, in Körpern definiert ist, wobei die Existenz eine andere Frage ist.', 'Eine Fragestellung aus der Algebra ist, wie Körper aussehen können, also in welchen Typen von Mengen ein „abgeschlossenes Rechnen“ möglich ist. So kann man weitere nichtrationale Zahlen zu formula_65 hinzunehmen, um größere Körper zu konstruieren. Ein Beispiel ist der Körper formula_73, der aus allen Zahlen formula_74 mit formula_75 besteht (siehe auch: Zahlkörper, und zum Beispiel Quadratischer Zahlkörper). Rechnungen wie','sind Prototypen für die Abgeschlossenheit der vier Grundrechenarten in formula_73. Es ist formula_73, zusammen mit formula_65 und formula_64, ein weiteres Beispiel für einen Körper mit unendlich vielen Elementen. Bemerkenswert ist es aber, dass auch Körper formula_81 mit nur "endlich vielen" Elementen existieren. Das Rechnen in diesen Bereichen weicht, obwohl die Gesetze letztlich die gleichen sind, von der „klassischen Anschauung“ ab. Das beginnt damit, dass die Elemente', 'nicht alle verschieden sein können, da formula_81 nur endlich viele Elemente hat. Da man stets formula_84 hat (sonst wäre formula_85, und diesen trivialen Fall schließt man aus), gibt es damit eine "kleinste natürliche Zahl" formula_2, sodass', 'in formula_81 erstmals erfüllt ist. Diese Kennzahl wird "Charakteristik des Körpers formula_81" genannt, also formula_90. Sie ist stets eine Primzahl, denn wäre zum Beispiel formula_91 zusammengesetzt, so müsste formula_92 sein, und es wäre bereits formula_93 oder formula_94, also formula_95, was der Annahme formula_96 wegen der Minimalität der Charakteristik direkt widerspräche.', 'Um das Rechnen in endlichen Körpern genau zu verstehen, ist der Umgang mit Resten bei Divisionsaufgaben notwendig. Nichttriviale Reste entstehen bei Divisionen, die nicht aufgehen. Etwa ist formula_36 geteilt durch formula_15 gleich formula_45 mit Rest formula_25. In den einfachsten Beispielen endlicher Körper wird mit genau diesen Resten gerechnet. Dies kann anhand eines Beispiels demonstriert werden: Es gibt genau fünf mögliche Reste bei der Division durch formula_15, und diese korrespondieren zu','mit formula_103 Menge der ganzen Zahlen, und formula_104 (d. h. alle ganzen Vielfache der Zahl formula_15). Dabei bedeuten die Über-Striche, dass "alle" Zahlen, die bei Division mit formula_15 den entsprechenden Rest haben, "gemeinsam" bzw. "gebündelt" betrachtet werden. Etwa besteht', 'aus genau jenen Zahlen, die bei Division mit formula_15 den Rest formula_25 haben. Die Zahlen von formula_61 bis formula_25 sind ferner lediglich "Repräsentanten" einer ganzen "Restklasse", zum Beispiel gelten die Gleichheiten', 'Die jeweiligen Repräsentanten ergeben bei Division durch formula_15 alle den"selben Rest" formula_25 und gehören so zur selben Restklasse. Man sieht damit, dass additive Vielfache von formula_15 in diesem Beispiel für die Zugehörigkeit zur gleichen Restklasse stets keine Rolle spielen. Mit anderen Worten: Während eine ganze Zahl stets erst durch ihre Zähl"größe" vollständig bestimmt ist, handelt es sich bei Restklassen um "reduzierte" Zahlen. "Nur" noch der Rest ist entscheidend, nicht mehr die Größe.', 'Mit Restklassen "modulo" formula_15 kann nun in den vier Grundrechenarten gerechnet werden. Dabei gelten im Grunde dieselben Regeln wie beim Rechnen in den ganzen Zahlen formula_117: Zum Beispiel ist', 'Wichtig ist an dieser Stelle, zu zeigen, dass dies "wohldefiniert" ist, dass also bei der Auswahl anderer Repräsentanten stets das gleiche Ergebnis herauskommt. Da die Differenz zweier Repräsentanten aber stets durch formula_15 teilbar ist, liegt dies auf der Hand: Zum Beispiel ist (vgl. oberes Beispiel)', 'aber auch', 'Ganz ähnliche Überlegungen gelten bei der Wohldefiniertheit der Multiplikation.', 'Auch die Division ist innerhalb von formula_141 möglich (schließt man formula_142 aus), denn um allgemein dividieren zu können, ist für jedes formula_1 lediglich die Existenz eines Inversen formula_144 mit', 'vonnöten (wie etwa formula_45 und formula_147 im Fall der rationalen Zahlen). Für den Nachweis, dass es stets ein Inverses gibt, ist entscheidend, dass formula_15 eine Primzahl ist: Teilt eine Primzahl ein Produkt formula_149 zweier ganzer Zahlen, muss bereits mindestens einer der Faktoren durch diese teilbar sein. Hat man dies zur Hand, ist die Argumentation die folgende: Für ein Element formula_150, das man invertieren möchte, betrachtet man alle möglichen Vielfachen (ungleich Null):', 'Die Restklasse formula_142 taucht in dieser Liste nicht auf, denn keine der Zahlen formula_153 ist durch formula_15 teilbar. Ferner sind alle Einträge der Liste "paarweise verschieden", denn es ist formula_155 gleichbedeutend damit, dass formula_156, ergo formula_157. Da formula_1 nicht durch formula_15 teilbar ist, muss: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Ebene Geometrie', 'Körpertheorie', 'Synthetische Geometrie'], 'Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl formula_1 (halber Kreisumfang) aus der Strecke, deren Länge gleich formula_2 Längenmaßeinheit ist. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von formula_1 unlösbar. Erst im Jahre 1882 konnte dies von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden.', 'Die Quadratur des Kreises gehört zu den populärsten Problemen der Mathematik. Jahrhundertelang suchten neben Mathematikern auch immer wieder Laien vergeblich nach einer Lösung. Der Begriff "Quadratur des Kreises" ist in vielen Sprachen zu einer Metapher für eine unlösbare Aufgabe geworden.', 'Geschichte.', 'Vorgeschichte.', 'Bereits in den altorientalischen Hochkulturen gab es Verfahren zur Berechnung von Kreisflächen. Beispielsweise wird im Papyrus Rhind (um 1550 v. Chr.) der Durchmesser des Kreises in 9 Teile geteilt. Sein genauer Flächeninhalt in diesen Einheiten ist formula_4. Dieser Wert wird dann durch ein Quadrat der Kantenlänge 8 angenähert, also durch formula_5 (siehe hierzu "Aus dem Papyrus Rhind"). In einem zweiten Verfahren wird der Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck angenähert. Dazu werden von dem 9×9-Quadrat, in das er einbeschrieben ist, an allen vier Ecken gleiche Dreiecke mit zusammen 18 Flächeneinheiten abgeschnitten, sodass 63 übrig bleiben. Derartige Musterlösungen waren aus der Praxis gewonnen und für die Praxis bestimmt, es gab keine weitergehenden theoretischen Überlegungen, insbesondere wurde kein Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherung gemacht.', 'Eine deduktive Vorgehensweise in der Mathematik, bei der durch Beweise gestützte Sätze die Musteraufgaben ersetzen, entwickelte sich ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. in Griechenland. Ansatzweise ist sie schon bei Thales von Milet, deutlicher in der von Pythagoras von Samos gegründeten Schule der Pythagoreer zu erkennen. Mit der gemeinhin dem Pythagoreer Hippasos von Metapont zugeschriebenen Entdeckung inkommensurabler Strecken im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. stellte sich heraus, dass es konstruierbare Objekte gibt (beispielsweise die Diagonale eines Quadrats), die nicht als ganzzahliges Verhältnis darstellbar sind. Dies schien bemerkenswert, da die einzigen bekannten Arten von Zahlen die ganzen Zahlen und die Verhältnisse ganzer Zahlen (im heutigen Sprachgebrauch die „rationalen Zahlen“) waren. Beliebige geometrische Strecken mussten dementsprechend stets kommensurabel sein, also in einem ganzzahligen Längenverhältnis zueinander stehen. Durch die Entdeckung waren nun Längen geometrisch konstruierbar, die arithmetisch nicht als „Zahl“ im bisherigen Sinn darstellbar waren (im heutigen Sprachgebrauch handelt es sich um „irrationale Zahlen“). Die Geometrie konnte plötzlich mehr darstellen, als die Arithmetik es vermochte. Als Folge dieser Entdeckung trat die Arithmetik zugunsten der Geometrie in den Hintergrund, Gleichungen mussten jetzt geometrisch gelöst werden, etwa durch Aneinanderlegung von Figuren und Überführung verschiedener Figuren in Rechtecke oder Quadrate. Aus dem späten 5. Jahrhundert stammen die drei klassischen Konstruktionsprobleme der antiken Mathematik, neben der Quadratur des Kreises noch die Aufgabe der Dreiteilung des Winkels und das Delische Problem der Verdoppelung des Würfels.', 'Eine Beschränkung der Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal wurde dabei nicht generell gefordert. Während der Beschäftigung mit den klassischen Problemen wurden schon früh Lösungen gefunden, die auf weitergehenden Hilfsmitteln basieren. Allerdings kristallisierte sich im Lauf der Zeit eine Haltung heraus, die eine möglichst weitgehende Beschränkung verlangt. Spätestens bei Pappos war diese weitestgehende Beschränkung zur Maßregel geworden.', 'Frühe Arbeiten.', 'Als einer der ersten soll dem griechischen Schriftsteller Plutarch zufolge der Philosoph Anaxagoras „im Gefängnis die Quadratur des Kreises aufgeschrieben (oder: gezeichnet, )“ haben, nähere Angaben zu Anaxagoras’ Konstruktion macht Plutarch nicht. Ein Gefängnisaufenthalt des Anaxagoras wäre auf etwa 430 v. Chr. zu datieren, als der Philosoph in Athen wegen Gottlosigkeit angeklagt war.', 'Ausführlichere Quellen zu den Anfängen der Forschung sind hauptsächlich spätantike Kommentare zu Werken des Aristoteles, Schriften also, die mit einer zeitlichen Distanz von rund 900 Jahren entstanden sind. Dementsprechend unsicher sind zeitliche Reihenfolge und genaue Gedankengänge der ersten Ansätze. Die wichtigsten Arbeiten des 5. Jahrhunderts v. Chr. stammen von Hippokrates von Chios, Antiphon, Bryson von Herakleia und Hippias von Elis.', 'Die Überführung von Dreiecken in Rechtecke, von Rechtecken in Quadrate (Quadratur des Rechtecks) oder die Addition zweier Quadrate (Satz des Pythagoras) war mit den bekannten geometrischen Sätzen bereits damals elementar zu bewältigen. Hippokrates von Chios konnte um 440 v. Chr. ein Beispiel für eine krummlinig begrenzte Fläche geben, die exakt in ein Quadrat überführt werden konnte. Ausgehend von dem bei ihm noch als Axiom benutzten Satz, dass sich die Flächeninhalte ähnlicher Kreissegmente wie die Quadrate über ihren Sehnen verhalten, gelang es Hippokrates, von Kreisbögen begrenzte Flächen, die sogenannten „Möndchen des Hippokrates“, zu quadrieren. Die Quadratur des Kreises ist auf diese Weise jedoch nicht zu erreichen, da nur bestimmte Möndchen – zum Beispiel die über der Seite des Quadrats, nicht jedoch die über der Seite eines regelmäßigen Sechsecks – quadrierbar sind.', 'Dass Dreiecke (und damit beliebige Vielecke) in ein Quadrat übergeführt werden konnten, war ein zweiter Ansatz, ein dem Kreis flächengleiches Polygon zu konstruieren. Antiphon hatte die Idee, den Kreis durch einbeschriebene Vielecke anzunähern. Bryson von Herakleia verfeinerte dieses Vorgehen, indem er den Kreis zusätzlich durch umbeschriebene Vielecke näherte und einen Zwischenwert bildete.', 'Hippias von Elis entwickelte etwa 425 v. Chr. zur Lösung der Winkeldreiteilung eine Kurve, die mechanisch durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung erzeugt wurde. Gut hundert Jahre später entdeckte Deinostratos, dass mithilfe dieser Kurve, der sogenannten Quadratrix, die Strecke der Länge formula_6 – und damit mithilfe weiterer elementarer Konstruktionen ein Quadrat mit dem Flächeninhalt formula_1 – konstruiert werden kann. Da die Quadratrix selbst jedoch eine sogenannte" transzendente Kurve" ist (siehe hierzu "Beweis der Unmöglichkeit"), also nicht mit Zirkel und Lineal zu erzeugen ist, war die Lösung im strengen Sinne damit nicht erreicht.', 'Archimedes.', 'Eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel "Kreismessung" ist von Archimedes überliefert. Archimedes bewies in dieser Arbeit drei grundlegende Sätze:', 'Mit dem ersten Satz wurde das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage nach der Konstruierbarkeit des Umfangs eines Kreises aus dem vorgegebenen Radius und damit auf die Konstruierbarkeit von formula_1 zurückgeführt. Im dritten Satz gab Archimedes gleich eine ebenso einfache wie genaue Näherung dieser Zahl an, nämlich, ein Wert (≈ 3,143), der für praktische Zwecke noch heute Verwendung findet. Der zweite Satz ist ein einfaches Korollar aus den beiden anderen; dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält, und war bereits Euklid bekannt. Archimedes gab hier den Wert der Proportionalitätskonstanten an.', 'Zum Beweis seiner Aussagen zog Archimedes die Idee des Bryson von Herakleia heran, mit der man eine beliebige Annäherung des Kreises durch ein- und umbeschriebene regelmäßige Polygone erreicht. Ausgehend vom einbeschriebenen Sechseck und umbeschriebenen Dreieck gelangte Archimedes durch sukzessive Verdoppelung der Seitenzahl jeweils beim 96-Eck an. Eine geschickte Abschätzung der in den einzelnen Rechenschritten auftretenden Quadratwurzeln ergab seine in Satz 3 genannten Schranken.', 'In einer weiteren Arbeit "Über Spiralen" beschrieb Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten archimedischen Spirale, die ähnlich wie Hippias’ Quadratrix durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung gewonnen wird. Er zeigte, dass durch das Anlegen der Tangente an diese Spirale der Umfang eines Kreises auf einer Geraden abgetragen werden kann, wodurch eine Quadratur des Kreises möglich wird. Die (nicht-klassische) Lösung mit seiner Spirale wird im Abschnitt "Quadratur des Kreises mithilfe der archimedischen Spirale" beschrieben. Wie bei der Quadratrix sind allerdings weder seine Spirale selbst noch etwa ihre Tangente mit Zirkel und Lineal konstruierbar.', 'Mittelalter.', 'Infolge eines verstärkten Interesses für die antike Mathematik im christlichen Europa ab etwa dem 11. Jahrhundert entstanden etliche Abhandlungen über die Quadratur des Kreises, jedoch ohne dass dabei wesentliche Beiträge zur eigentlichen Lösung geleistet wurden. Als Rückschritt zu betrachten ist, dass im Mittelalter der Archimedische Näherungswert von für die Kreiszahl lange Zeit als exakt galt.', 'Einer der ersten Autoren des Mittelalters, der das Problem der Kreisquadratur wiederaufnahm, war Franco von Lüttich. Um 1050 entstand sein Werk "De quadratura circuli." Franco stellt darin zunächst drei Quadraturen vor, die er verwirft. Die ersten beiden geben für die Seitenlänge des Quadrates beziehungsweise für die Diagonale des Kreisdurchmessers an, was relativ schlechten Näherungen von und für formula_1 entspricht. Der dritte Vorschlag wiederum setzt den Umfang des Quadrates dem Kreisumfang gleich, verlangt also die Rektifikation des letzteren.', 'Francos eigene Lösung geht von einem Kreis mit Durchmesser 14 aus. Dessen Fläche setzt er als genau 72 × = 154 an. Nach Francos Argumentation lässt sich rechnerisch kein flächengleiches Quadrat finden, da die Quadratwurzel aus irrational ist, als geometrisch konstruierbare inkommensurable Strecke (siehe Vorgeschichte) jedoch liefert die Quadratwurzel aus die Quadratur. Dazu zerlegt er den Kreis in 44 gleiche Sektoren, die er zu einem Rechteck der Se: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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У Васи есть 10 разных открыток и 3 друга. Сколькими способами он может выбрать, кому какую открытку послать?

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Analysis', 'Stochastischer Prozess', 'Teilgebiet der Mathematik'], 'Die stochastische Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, genauer der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie beschäftigt sich mit der Verallgemeinerung von Begriffsbildungen, Aussagen und Modellen der Analysis auf stochastische Prozesse, also auf Funktionen, deren Werte zufällig sind. Im Zentrum der stochastischen Analysis stehen die Formulierung und die Untersuchung von stochastischen Integralen und, darauf aufbauend, von stochastischen Differentialgleichungen.', 'Historisch geht das Fachgebiet auf Arbeiten des japanischen Mathematikers Kiyoshi Itō ab 1944 zurück. Der wesentliche Impuls dafür war die mathematische Beschreibung des physikalischen Phänomens der brownschen Bewegung durch Albert Einstein und Norbert Wiener. Dieses Modell, der Wiener-Prozess, bildet mit seinen zahlreichen bemerkenswerten Eigenschaften und Verallgemeinerungen einen Startpunkt der stochastischen Analysis. Anwendungen des Fachgebiets finden sich unter anderem in der Biologie, in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften, vor allem aber in der Finanzmathematik. Einen ersten Höhepunkt bildete hier das 1973 veröffentlichte bahnbrechende Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Optionen auf eine Aktie, deren Kursentwicklung durch eine stochastische Differentialgleichung beschrieben wird.', 'Einführung.', 'Besonders elementar und klar treten die Begrifflichkeiten der stochastischen Analysis bei ihrem Hauptanwendungsgebiet, der Finanzmathematik, zu Tage. Dazu werden im Folgenden die Vorgänge beim Handel mit einem Finanzinstrument beschrieben, das der Einfachheit halber Aktie genannt wird und einige idealisierte Annahmen erfüllt. Insbesondere soll es möglich sein, das Finanzinstrument jederzeit in beliebigen Mengen zu kaufen und zu verkaufen.', 'Vom Kursgewinn beim Aktienhandel zum stochastischen Integral.', 'Der Gewinn (oder Verlust) beim Besitz von Aktienanteilen innerhalb eines bestimmten Zeitraums hängt auf offensichtliche Weise davon ab, wie viele Anteile man von der Aktie besitzt und wie sich ihr Preis, der Börsenkurs, in diesem Zeitraum ändert. Besitzt man beispielsweise formula_1 Anteile einer Aktie mit Anfangskurs formula_2 und steigt der Kurs, etwa innerhalb eines Tages, auf formula_3, so beträgt der Kursgewinn gerundet', 'Nach diesem Tag könnten weitere Anteile der Aktie gekauft oder verkauft werden, sodass man nun formula_5 Anteile besitzt, also zum Beispiel formula_6, wenn man noch eine ganze Aktie hinzukauft. Fällt daraufhin der Aktienkurs bis zum folgenden Tag auf formula_7, lässt sich der Gesamtgewinn innerhalb der zwei Tage durch', 'bestimmen. Es ist somit im betrachteten Zeitraum ein negativer Gewinn, also ein Verlust eingetreten. Allgemein ist der Gesamtgewinn formula_9 nach formula_10 Zeitabschnitten die Summe der Teilgewinne jedes einzelnen Abschnitts:', 'Dabei bezeichnet formula_12 die Kursänderung im formula_13-ten Zeitabschnitt und formula_14 gibt an, wie viele Anteile der Aktie der Aktionär in diesem Zeitraum besitzt.', 'Die Analysis kommt bei diesen elementaren Überlegungen ins Spiel, wenn nicht mehr nur eine Folge diskreter Handelszeitpunkte, sondern "alle" Zeitpunkte formula_15 aus einem Zeitintervall formula_16 betrachtet werden. Eine Aktie hat zu "jedem" Zeitpunkt formula_15 einen Kurs formula_18, der sich im Allgemeinen „ständig ändert“. Auch die gehaltenen Anteile formula_19 können in idealisierter Weise als ein sich kontinuierlich ändernder Prozess, der sogenannte "Portfolioprozess," angesehen werden. Der Gesamtgewinn formula_20 während des Zeitintervalls formula_16 kann dann allerdings nicht mehr durch die oben dargestellte einfache Summierung endlich vieler Teilgewinne bestimmt werden. Er ergibt sich stattdessen durch Integration des Portfolioprozesses gewichtet mit den Änderungen des Aktienkurses, als Formel', 'geschrieben. Eine Grundaufgabe der stochastischen Analysis ist es, solche stochastischen Integrale für möglichst allgemeine "Integranden" formula_19 und "Integratoren" formula_18 mathematisch zu definieren und ihre Eigenschaften zu untersuchen.', 'Von einem Modell für den Aktienkurs zu stochastischen Differentialgleichungen.', 'Die Überlegungen, die zu obiger Darstellung des Gewinns als ein stochastisches Integral führen, sind so allgemein, dass sie sinngemäß für beliebige zeitlich veränderliche Größen durchgeführt werden können. Im konkreten Beispiel des Aktienhandels stellt sich daher die Frage, wie ein mathematisches Modell für die zeitliche Entwicklung des Kurses formula_18 aussehen könnte. Reale Kursverläufe scheinen sich „zufällig“ auf und ab zu bewegen. Aus Sicht der Mathematik ist es also naheliegend, jedes formula_18 als eine Zufallsvariable zu modellieren, also als eine Funktion, die jedem Ergebnis formula_27 eines (abstrakten) Zufallsexperiments den Wert formula_28 zuordnet. Der Aktienkurs hängt dann sowohl vom Zeitpunkt formula_15 als auch von dem Zufallsergebnis formula_27 ab: Er ist ein stochastischer Prozess.', 'In der Realität erscheinen Aktienkurse zwar zufällig, sind aber nicht völlig regellos. Über längere Zeiträume „ungestörte“ Kursverläufe weisen häufig als Grundtendenz ein exponentielles Wachstum auf, steigen also beispielsweise von Jahr zu Jahr um einige Prozent. Das zeigt sich normalerweise noch deutlicher bei Aktienindizes, bei denen über eine Anzahl von Einzelkursen gemittelt wird, wie etwa – in besonders ausgeprägter Weise – in der nebenstehenden Grafik des australischen Aktienindex All Ordinaries. Ein "völlig" ungestörtes exponentielles Wachstum von formula_18 würde bedeuten, dass die Änderung formula_32 in einem kurzen Zeitraum formula_33 proportional zu formula_18 und zu formula_33 ist:','mit einer Wachstumsrate formula_37. Bei einem Sparguthaben entspräche dies dem exponentiellen Wachstum durch Zinseszins. Bei Aktien wird dieses Wachstumsgesetz hingegen in der Realität offenbar durch eine komplizierte Zufallsbewegung überlagert. Die Statistik und die Wahrscheinlichkeitstheorie legen es nahe, bei zufälligen Störungen, die sich aus vielen kleinen Einzeländerungen zusammensetzen, von einer Normalverteilung als einfachstem Modell auszugehen. Außerdem zeigt sich, dass die Varianz der Störungen proportional zum betrachteten Zeitraum formula_33 ist. Der Wiener-Prozess formula_39 besitzt alle diese gewünschten Eigenschaften, eignet sich also als ein Modell für die zeitliche Entwicklung der Zufallskomponente des Aktienkurses. Insgesamt führen diese Überlegungen zu folgender Modellgleichung für die Änderung formula_40 in einem Zeitintervall formula_33:', 'Dabei bezeichnen formula_43 die Änderung des Wiener-Prozesses im betrachteten Zeitraum und formula_44 eine Proportionalitätskonstante, die modelliert, wie stark sich die Zufallskomponente auf die Kursänderung auswirkt, die sogenannte Volatilität.', 'Das weitere Vorgehen der klassischen Analysis wäre nun, das Zeitintervall formula_33 gegen null konvergieren zu lassen und so eine gewöhnliche Differentialgleichung für die gesuchte Funktion zu gewinnen. Das ist hier auf diese Weise nicht möglich, denn wie sich herausstellt sind weder die Pfade des Wiener-Prozesses noch die des gesuchten Aktienkursprozesses differenzierbar, lassen sich also nicht durch klassische Differentialrechnung untersuchen. Stattdessen erhält man eine stochastische Differentialgleichung, die meist in der Form', 'geschrieben wird. Die dabei verwendeten Differentiale sind ein reiner Notationsbestandteil und es ist Aufgabe der stochastischen Analysis, solchen Gleichungen erst einen mathematischen Sinn zu geben. Das gelingt durch die Beobachtung, dass wegen des Fundamentalsatzes der Analysis Beziehungen zwischen einer differenzierbaren Funktion und ihrer Ableitung auch mithilfe ihres Integrals geschrieben werden können. Entsprechend ist eine stochastische Differentialgleichung nur eine intuitive Schreibweise einer Integralgleichung mit einem stochastischen Integral. Die stochastische Analysis beschäftigt sich unter anderem mit den Fragen, unter welchen Voraussetzungen stochastische Differentialgleichungen eindeutig lösbar sind und welche analytischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Eigenschaften die Lösungen haben. Für einige einfache Typen stochastischer Differentialgleichungen gibt es Methoden, um die Lösungen explizit zu berechnen. So hat zum Beispiel die oben hergeleitete Gleichung für den Aktienkurs als Lösung die sogenannte geometrische brownsche Bewegung. Wie es aber auch schon bei gewöhnlichen Differentialgleichungen der Fall ist, können bei vielen stochastischen Differentialgleichungen die Lösungen nur numerisch berechnet werden.', 'Geschichte.', 'Die Anfänge: Mathematische Modelle für die brownsche Bewegung.', 'Als brownsche Bewegung wird das physikalische Phänomen bezeichnet, dass kleine Partikel, die in einer Flüssigkeit oder in einem Gas schweben, sich auf eine unregelmäßig und zufällig erscheinende Art „zitternd“ bewegen. Sie ist nach dem Botaniker Robert Brown benannt, der sie 1827 zuerst bei der mikroskopischen Untersuchung von Pollenkörnern in einem Wassertropfen beobachtete und beschrieb. In der Folgezeit zeigten Experimente, dass die physikalische Ursache der brownschen Bewegung in der Wärmebewegung der Flüssigkeitsmoleküle liegt. Diese stoßen ständig gegen die viel größeren Partikel und versetzen sie dadurch selbst in eine unregelmäßige Bewegung.', 'Eine zu ihrer Zeit wissenschaftlich nur wenig beachtete frühe Anwendung der brownschen Bewegung in der Finanzmathematik untersuchte der französische Mathematiker Louis Bachelier, der im Jahr 1900 mit der Hilfe von Zufallsbewegungen versuchte, die Aktienkurse an der Pariser Börse zu modellieren und damit Preisformeln für Optionsscheine herzuleiten. Er nahm damit zahlreiche Ideen aus dem erst 73 Jahre später vorgestellten berühmten Black-Scholes-Modell vorweg.', 'Die brownsche Bewegung gelangte wieder in das Licht der wissenschaftlichen Öffentlichkeit, als Albert Einstein 1905, also in seinem "annus mirabilis," ein mathematisches Modell für das physikalische Phänomen vorstellte. Er nahm darin an, dass die brownsche Bewegung, in moderner Sprechweise, ein stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden und unabhängigen normalverteilten Zuwächsen ist, also grundlegende und aus physikalischer Sicht sinnvolle Bedingungen erfüllt. Andere, physikalisch ebenso notwendige Bedingungen setzte er jedoch nicht voraus, vor allem nicht, dass ein Teilchen in einem festen Zeitraum nur eine endliche Wegstrecke zurücklegen kann, die sogenannte "Rektifizierbarkeit" der Pfade. Da 1905 die maßtheoretische Fundierung der Wahrscheinlichkeitstheorie durch Émile Borel und Henri Lebesgue gerade erst begonnen hatte, konnte: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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I want to perform a Fourier transform of the two pairs of equations

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I want the stages of performing a Fourier transform in detail for the two pairs of equations X= a. cos(ω.t) + b. cos (Ω.t) Y = c. cos(ω.t) + d. cos (Ω.t)

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I want the stages of performing a Fourier transform in detail for the two pairs of equations X= a. cos(ω.t) + b. cos (Ω.t) Y = c. cos(ω.t) + d. cos (Ω.t) ,t=0:0.0005:1

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اشرح لي المنطق الرياضي

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Architekturtheorie', 'Besondere Zahl', 'Design', 'Ebene Geometrie', 'Folgen und Reihen', 'Proportionalität', 'Technik der Malerei', 'Theoretische Biologie'], 'Der Goldene Schnitt ( „Goldener Schnitt“, „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.', 'Durch mathematische Formeln ausgedrückt gilt für den Goldenen Schnitt zweier Teilstrecken formula_1 und formula_2 (siehe Bild):', 'Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine dimensionslose, irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Die Folge ihrer Nachkommastellen zeigt daher auch kein periodisches Muster. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt bezeichnet. Als mathematisches Symbol für den Goldenen Schnitt wird meist der griechische Buchstabe Phi (formula_5, formula_6 oder formula_7, heutige Aussprache ), seltener auch Tau (formula_8, formula_9) oder formula_10 verwendet. Es gilt', 'Aus Sicht der Mathematik besitzt der goldene Schnitt zahlreiche besondere Eigenschaften. Neben der geometrischen Auffassung kann er auch als die positive Lösung der quadratischen Gleichung formula_13 definiert werden. Er ist damit eine algebraische Zahl vom Grade 2. Bemerkenswert ist seine enge Verbindung zu der Fibonacci-Folge, die sich durch die explizite Binet-Formel ausdrückt, obgleich die Fibonacci-Folge zunächst nur rekursiv, also implizit erklärt ist. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass der Goldene Schnitt unter den irrationalen Zahlen (bis auf eine gewisse Form der Äquivalenz) am schlechtesten durch Brüche angenähert werden kann. Zentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten konvergiert.', 'Der Goldene Schnitt ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen, war jedoch vor mehr als 2300 Jahren nur Wenigen bekannt. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance, etwa durch Luca Pacioli und Johannes Kepler, wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Der Überlieferung nach erhielt er mit diesem Namen erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts größeren Bekanntheitsgrad. Die heute gebräuchliche Bezeichnung formula_5 bzw. formula_7 für den Zahlenwert geht auf den amerikanischen Mathematiker Mark Barr zurück, der sie um das Jahr 1909 herum einführte. Einigen bedeutenden Künstlern, wie Leonardo da Vinci, Friedrich Hölderlin oder Béla Bartók, wurde nachgesagt, den Goldenen Schnitt gezielt bei manchen ihrer Werke eingesetzt zu haben, jedoch gelten solche Aussagen als umstritten. Der Goldene Schnitt ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.', 'Definition.', 'Man sagt, dass zwei Größen formula_16 im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen, falls', 'erfüllt ist. Die Zahl', 'wird dann ebenfalls Goldener Schnitt genannt. Es muss sich bei den Werten formula_1 und formula_2 dabei nicht um (dimensionslose) reelle Zahlen handeln; auch eine Assoziation zu physikalischen Größen unter Zuweisung entsprechender Maßeinheiten ist möglich. Klassisch ist dabei die Veranschaulichung über das Teilungsverhältnis zweier Strecken (bei dem die längere Strecke als „Major“ und die kürzere als „Minor“ bezeichnet wird), aber auch andere Einheiten können betrachtet werden, siehe zum Beispiel Goldenes Rechteck.', 'In der Literatur wird der Ausdruck „Goldener Schnitt“ jedoch auch für andere Dinge verwendet. Er bezeichnet', 'Bestimmung des Verhältnisses.', 'Es bezeichnen formula_16 die Teilstreckenlängen der Gesamtstrecke formula_23. Es gilt dann nach Definition des Goldenen Schnitts die Relation', 'Geschichte.', 'Antike.', 'Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes findet sich im zweiten Buch der "Elemente" des Euklid (um 300 v. Chr., siehe Innere Teilung nach Euklid), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische als „“ übersetzt, was als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.', 'Mittelalter.', 'In seinem Rechenbuch "Liber abbaci" (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2. Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auf die später nach ihm benannte Fibonacci-Folge zu sprechen. Fibonacci führt die Zahlenfolge vor (2, 3, 5, 8 ... bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, das heißt der Zusammenhang zum Goldenen Schnitt wird von ihm nicht dargestellt. Dass ihm allerdings der (erst später so genannte) Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es (in moderner Formulierung wiedergegeben) darum geht formula_1 und formula_2 zu finden mit formula_33 und formula_34. Hierzu weist Fibonacci darauf hin, dass im Fall von formula_35 die Proportion formula_36 gilt, 10 also von formula_1 und formula_2 im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt wird („“). Aber auch hier stellt er den Zusammenhang zum goldenen Schnitt nicht her.', 'Renaissance.', 'Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert formula_5 ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch Ende des 20. Jahrhunderts schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:', 'Der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung „vermutlich als erster [...] (göttliches Verhältnis)“, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk "De divina proportione" von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis der Seitenlänge des den Menschen umgebenden Quadrats zum Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst – in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein.', 'Im Oktober 1597 stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung für die Aufgabe gebe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht (Kepler-Dreieck). Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit 10.000.000, und für den letzteren Fall dann die längere Seite mit 7.861.514 und die kürzeste Seite mit 6.180.340 beziffert. Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen (und bis zur fünften korrekten) Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art.', 'Seit dem 18. Jahrhundert.', 'Populär wurde der Begriff "Goldener Schnitt" erst in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts, obwohl die mathematischen Prinzipien schon seit der Antike bekannt waren. Der Begriff "Goldene Zahl" stammt aus dieser Zeit, noch 1819 wird dieser Begriff mit dem Meton-Zyklus in einem der griechischen Kalendersysteme in Verbindung gebracht. In der deutschen Literatur sind bereits anfangs des 18. Jahrhunderts vereinzelt Hinweise auf eine sinngemäße bzw. wortwörtliche Form des Begriffes „Goldener Schnitt“ zu finden. Erst ab dem zweiten Viertel des 19. Jahrhunderts war er weiter verbreitet. Die folgenden Beispiele aus der deutschen Literatur verweisen auf den Begriff in ähnlicher Art und Weise.', '1717 wurde der Begriff "Goldener Schnitt" sinngemäß von M. Johann Wentzel Kaschube in seinem Werk "Cursus mathematicus ..." verwendet. Er beschreibt darin eine geometrische Aufgabe (Näheres im Abschnitt "Konstruktionsverfahren"), deren Lösung dieses besondere Teilungsverhältnis verlangt. Am Schluss der Aufgabe §.35. ist zu lesen: „Die Alten hissen [sc. hießen] diesen Schnitt den Goldenen.“ Zu jener Zeit fand das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes auch in der Akustik im Zusammenhang mit Verhältnissen der Saitenlänge Anwendung. Diese Form der Saitenteilung – so Ernst Florens Friedrich Chladni 1802 in "Die Akustik" unter "Die geometrische Theilung" – wollte auch Gottfried Wilhelm Leibniz. Zwar lassen sich damit nicht Tonhöhenabstände, sprich Intervalle finden, „desto brauchbarer ist sie aber, wie im folgenden Abschnitte wird gezeigt werden, zu gewissen nothwendigen Abänderungen derselben.“ Chladni leitete die Tonverhältnisse also nicht aus den Saitenlängen: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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сколько четных пятизначных чисел можно изобразить цифрами 2 3 4 5 9, если цифры не повторяются

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Dreiecksgeometrie'], 'Die Malfatti-Kreise, später bekannt als Malfattisches Problem, sind benannt nach Gianfrancesco Malfatti, der 1803 ihre Konstruktion angab. Bestimmt sind die "Malfatti-Kreise" – unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks – durch drei Kreise in einem Dreieck mit der Eigenschaft, dass jeder die beiden anderen Kreise von außen und zwei Dreiecksseiten von innen berührt.', 'Malfatti nahm fälschlich an, dass diese Eigenschaft der Kreise das Problem löse, drei Kreise überschneidungsfrei so in ein Dreieck zu packen, dass sie maximalen Flächeninhalt haben. Warum die "Malfatti-Kreise" dieses sogenannte "Malfatti’sche Maximierungsproblem", sprich die maximale Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise, nicht lösen, lässt sich z. B. leicht an einem langen schmalen rechtwinkligen Dreieck erkennen.', 'Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:', 'Dabei steht formula_4 für den Inkreisradius und formula_5 für den halben Dreiecksumfang. formula_6 ist der Inkreismittelpunkt und formula_7 sind die drei Winkelhalbierenden.', 'Geschichtliches.', 'Das ursprüngliche Malfatti-Problem bezog sich auf eine Aufgabe aus der Stereotomie, deren vermeintliche Lösung Malfatti 1802 fand und 1803 in der "Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze" in seinem Artikel "Memoria sopra un problema stereotomico" veröffentlichte. Zu Beginn seines Artikels formuliert Malfatti dazu die Aufgabenstellung.', 'Frei übersetzt lautet sie:', 'In seinem Artikel "Memoria sopra un problema stereotomico" weist Malfatti auch darauf hin, dass diese stereotomische Aufgabe auf ein Problem der Flächengeometrie reduzierbar ist. Er definiert die Lage der Kreise, die dem Dreieck einbeschrieben sind, heute als Malfatti-Kreise bezeichnet, folgendermaßen:', 'Freie Übersetzung', 'Das wurde allerdings 1992 von W. A. Salgaller und G. A. Los widerlegt, die zeigten, dass die Lösung stattdessen dadurch erreicht wird, jeweils in aufeinanderfolgenden Schritten einen Kreis mit dem größten Flächeninhalt einzubeschreiben – im Folgenden beschrieben im Abschnitt "Konstruktion nach Salgaller und Los".', 'Bereits 1687 wurde das Malfatti-Konstruktionsproblem von Jakob I Bernoulli in einem Spezialfall gelöst (gleichschenkliges Dreieck) und später gaben Jakob Steiner auf rein geometrischem Weg und Alfred Clebsch Lösungen, Letzterer mit elliptischen Funktionen (1857, Crelle’s Journal). Auch der Japaner Ajima Naonobu gab 30 Jahre vor Malfatti im Rahmen japanischer Architektur eine Lösung. Dass die Konstruktion von Malfatti das Malfatti-Problem nicht in allen Fällen löste, zeigten schon Lob und Richmond 1930 mithilfe gleichseitiger Dreiecke sowie Howard W. Eves 1965 durch Untersuchungen anhand schmaler und langer Dreiecke. Im Jahr 1967 wurde sogar von Michael Goldberg in einem Aufsatz gezeigt, dass Malfattis Konstruktion dies in keinem Fall tut. Hierfür erbrachten, wie bereits oben erwähnt, Salgaller und Los 1992 die Lösung. Die Begründung von Salgaller und Los war aber nicht vollständig und auf reine numerische rechnerische Argumenten in manchen Schwerpunkten basiert (wie bei Goldberg 1967). Im Juni 2022 hat Giancarlo Lombardi dazu den ersten geometrisch-analytischen Beweis durchgeführt und somit die Lösung erledigt.', 'Freie Übersetzung (Teil der Zusammenfassung)', 'Geometrische Konstruktionen.', 'Ingmar Lehmann erläutert 2003 diverse Lösungen des Malfatti-Problems in seiner Analyse "Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung". Im Folgenden werden daraus vier Methoden im Einzelnen beschrieben.', 'Konstruktion nach Malfatti.', 'Variante mit vorherigen Berechnungen', 'Dazu leitet Lehmann mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Ähnlichkeit von Dreiecken drei Gleichungen her, deren Lösungen die Tangentenabschnitte formula_8 und formula_9 liefern.', 'Es werden noch folgende Beziehungen berücksichtigt:', 'darin bedeuten die Bezeichnungen', 'Mit den entsprechend eingesetzten Werten ist es jetzt möglich, eine sogenannte "Hilfsstrecke formula_13" mit der Länge formula_14 zu bestimmen', 'dann gilt für die oben beschriebenen "Tangentenabschnitte"', 'Wird in der Formel für formula_14 der Faktor formula_18 den Summanden einzeln zugeordnet', 'ist damit eine sehr einfache und platzsparende geometrische Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) darstellbar.', 'Konstruktionsbeschreibung', 'Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks formula_20 mit den Seitenlängen formula_21 und formula_22 wird der Mittelpunkt des Inkreises formula_6 mithilfe der drei Winkelhalbierenden formula_24 und formula_25 bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken formula_26 und formula_27 Es folgt das Fällen des Lots von formula_6 auf die Strecke formula_29 mit dem Fußpunkt formula_30 und das Ziehen des Inkreises formula_31 um formula_6 mit dem Radius formula_33 Das Fällen der Lote von formula_6 auf formula_35 mit dem Fußpunkt formula_36 sowie von formula_6 auf formula_38 mit dem Fußpunkt formula_39 schließt sich an.', 'Nun wird die Länge formula_14 der Hilfsstrecke formula_13 folgendermaßen auf einer Zahlengeraden ermittelt. Zuerst werden die Streckenhälften formula_42 und formula_43 addiert, aus deren Summe die Streckenhälften formula_44 und formula_45 subtrahiert und schließlich zum erhaltenen Rest der halbe Inkreisradius formula_46 addiert.', 'Weiter geht es mit dem Bestimmen der Mittelpunkte der Malfatti-Kreise. Die Hilfsstrecke formula_47 sprich formula_48 mit dem Zirkel abgreifen und jeweils auf die drei Winkelhalbierenden formula_24 und formula_25 ab dem Inkreismittelpunkt formula_6 übertragen; dies ergibt die Punkte formula_52 und formula_53 Ab den Punkten formula_54 und formula_55 einen Kreisbogen bis auf die Dreieckseite formula_22 und ab formula_57 einen Kreisbogen bis auf formula_58 geschlagen, ergibt die Punkte formula_59 und formula_60 Es folgt das Errichten dreier Lote von den Fußpunkten formula_59 und formula_62 auf die betreffenden Winkelhalbierenden formula_24 und formula_64 somit ergeben sich die gesuchten Mittelpunkte formula_65 und formula_66', 'Um die Berührungspunkte formula_67 und formula_68 zu erhalten, sind noch drei Lote von den Mittelpunkten formula_65 und formula_70 auf die Dreieckseiten formula_71 und nochmals formula_72 zu fällen. Abschließend die Malfatti-Kreise formula_73 und formula_74 mit den Radien formula_75 und formula_76 einzeichnen und man erhält deren letzten drei Berührungspunkte formula_77 und formula_78', 'Somit sind die drei Malfatti-Kreise formula_73 und formula_74 mit ihren "neun möglichen" Berührungspunkten formula_81 und formula_82 konstruiert.', 'Konstruktion nach Steiner-Petersen.', 'Jakob Steiner brachte 1826 die Malfatti-Kreise in Verbindung mit den Inkreisen aus drei Teildreiecken, die deswegen als Konstruktionselement für die Malfatti-Kreise verwendet werden können. Steiner formulierte dazu den Satz:', 'Hierbei ist zu betonen, dass die von Steiner erwähnten Tangenten an die Malfatti-Kreise im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierenden von formula_83 sind, sondern deren Spiegelbilder an den Verbindungsgeraden zweier Inkreismittelpunkte der Teildreiecke.', 'Julius Petersen fand im Jahr 1879 eine elementargeometrische Lösung (Variante ohne vorherige Berechnungen) des Konstruktionsproblems von Malfatti, die im Folgenden dargestellt ist.', 'Konstruktionsbeschreibung', 'Es ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit vorteilhaft, die Konstruktion in drei Hauptschritten, (1)–(3), darzustellen. Dabei werden nur die relevanten Konstruktionselemente vom ersten in den zweiten bzw. vom zweiten in den dritten Hauptschritt übernommen.', '(1) Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke formula_84 und formula_85', 'Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks formula_20 mit den Seitenlängen formula_21 und formula_22 wird der Mittelpunkt des Inkreises formula_6 mithilfe der drei Winkelhalbierenden formula_24 und formula_25 bestimmt. Die Inkreismittelpunkte formula_92 und formula_93 der Teildreiecke formula_84 und formula_95 erhält man wieder als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden, z. B. durch Vierteln der Winkel formula_96 und formula_97', 'Es folgt das Fällen des Lots von formula_98 auf die Strecke formula_29 mit dem Fußpunkt formula_100 und das Ziehen des Inkreises formula_101 um formula_98 mit dem Radius formula_103 Das Fällen der Lote von formula_104 auf formula_35 mit dem Fußpunkt formula_106 sowie von formula_93 auf formula_38 mit dem Fußpunkt formula_109 und das Einzeichnen der letzten beiden Inkreise formula_110 und formula_111 um ihre Mittelpunkte formula_104 bzw. formula_113 schließen sich an.', '(2) Konstruktion der drei Tangenten formula_114 und formula_115', 'Es geht weiter mit dem Verbinden der Punkte formula_109 mit formula_117 der Halbierung der Strecke formula_118 in formula_119 und dem Einzeichnen des Thaleskreises formula_120 Er schneidet den Inkreis formula_101 in den Punkten formula_122 und formula_123 Nun zieht man die erste Tangente vom Punkt formula_109 durch den Berührungspunkt formula_125 des Inkreises formula_126 bis sie die Dreieckseite formula_72 in formula_128 schneidet.', 'Im Anschluss daran wird formula_100 mit formula_104 verbunden, die Strecke formula_131 in formula_132 halbiert und der Thaleskreis formula_133 eingezeichnet. Er schneidet den Inkreis formula_110 in den Punkten formula_135 und formula_136 Das Einzeichnen der zweiten Tangente vom Punkt formula_100 durch formula_138 bis sie die Dreieckseite formula_72 in formula_140 schneidet, liefert den Schnittpunkt formula_141 Da formula_142 auch ein Punkt auf der dritten Tangente sein muss, bedarf es zu deren Bestimmung nur noch einer Linie von formula_106 durch formula_142 bis auf die Dreieckseite formula_22 und den Schnittpunkt formula_146 Somit ist auch die dritte Tangente formula_115 ermittelt.', '(3) Konstruktion der Malfatti-Kreise formula_73 und formula_74', 'Zunächst wird im Dreieck formula_150 die Winkelhalbierende formula_151 vom Punkt formula_109 bis auf die Winkelhalbierende formula_153 eingezeichnet; dabei ergibt sich der Mittelpunkt formula_154 des ersten Malfatti-Kreises. Es folgt das Fällen des Lots von formula_154 auf die Strecke formula_38 mit dem Fußpunkt formula_157 und das Ziehen des ersten Malfatti-Kreises formula_158 um formula_154 mit dem Radius formula_160 Das Fällen der Lote von formula_154 auf formula_35 mit dem Fußpunkt formula_163 sowie von formula_154 auf die Tangente formula_165 mit dem Fußpunkt formula_166 schließt sich an. Die darauf folgende Linie ab formula_154 durch formula_166 bis auf die Winkelhalbierende formula_169 erzeugt den Mittelpunkt formula_170 Nach dem Einzeichnen des zweiten Malfatti-Kreises formula_171 um formula_172 mit dem Radius formula_173 werden die Lote von formula_172 auf formula_38 mit dem Fußpunkt formula_176 von formula_172 auf formula_29 mit dem Fußpunkt formula_179 sowie von formula_172 auf die Tangente formula_181 mit dem Fußpunkt formula_182 gefällt. Die darauf folgende Linie ab formula_172 durch formula_182 bis auf die Winkelhalbierende formula_185 erzeugt den Mittelpunkt formula_66 Nun folgt das Einzeichnen des dritten Malfatti-Kreises formula_74 um formula_70 mit dem Radius formula_189', 'Um die Berührungspunkte formula_190 und formula_191 z: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Вычисли интеграл от 1 до +∞ sqrt(x^3)(1-cos(1/(x^3)

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在一个特别的城市图中计算旅行最短巡回路径。 此图由2023 个结点组成,依次编号 1 至 2023。 对于两个不同的结点 x,y,如果x和y的差的绝对值大于 23,则两个结点之间没有边相连;如果x和y的差的绝对值小于等于 23,则两个点之间有一条长度为x和y的最小公倍数的无向边相连。 例如:结点 1 和结点 25之间没有边相连;结点 3 和结点 24 之间有一条无向边,长度为 24;结点 15 和结点 25 之间有一条无向边,长度为 75。 利用搜索算法确定最短的巡回路径,即从结点 1 出发的最短巡回路径长度是多少。 要求: 请用python语言在深度优先算法、A星算法、遗传算法、粒子群算法、蚁群算法中任选三种完成实验,并从理论和实验两个方面来对比选择的算法,对于实验,需要分别画出路径仿真图和迭代变化图来对比每种算法,并分析结果产生的原因。

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Funktionentheorie'], 'In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von „ganz, vollständig“ und „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich formula_1 heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von formula_1 komplex differenzierbar ist.', 'Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals "reeller" Funktionen gelten dabei weiterhin für "komplexe" Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19. Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20. Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik.', 'Durch die Möglichkeit der Linearisierung in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs formula_1 können für holomorphe Funktionen formula_4, wobei formula_5 die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, sehr fruchtbare Resultate hervorgebracht werden. Anschaulich kann die mathematische Rechenvorschrift formula_6 in der Nähe jedes Wertes formula_7 ihres Definitionsbereichs formula_1 sehr gut durch die lineare Funktion formula_9 angenähert werden. Die Annäherung ist dabei so gut, dass sie für die lokale Analyse der Funktion bzw. der Rechenvorschrift ausreicht. Das Symbol formula_10 bezeichnet dabei die komplexe Ableitung von formula_11 in formula_7. Auch wenn diese Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet, dass man die betreffende Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal durch Polynome annähern kann, also unter Verwendung nur der vier Grundrechenarten, wobei zur Konstruktion dieser Polynome nur die Ableitungen der Funktion in einem einzigen Punkt, dem "Entwicklungspunkt", benötigt werden. Besonders bei transzendenten holomorphen Funktionen, wie Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen (etwa Sinus und Kosinus) und Logarithmen, aber auch bei Wurzelfunktionen, ist dies eine sehr nützliche Eigenschaft, etwa dann, wenn man diese Funktionen und ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt gut versteht. Dabei ist zu beachten, dass die genannten Funktionen natürliche Fortsetzungen von den reellen in die komplexen Zahlen besitzen.', 'Hintergrund der Begriffsstärke der Holomorphie ist, dass die Differenzierbarkeit im Komplexen auf einer offenen „Fläche“ statt nur einem offenen Intervall gelten muss. Dabei müssen beim Grenzübergang zum Differentialquotienten unendlich viele Richtungen (alle Kombinationen aus Nord, Ost, West und Süd) betrachtet werden – eine höhere Anforderung als nur die beiden Richtungen „positiv“ und „negativ“ auf dem "reellen" Zahlenstrahl. Im Laufe des 19. und 20. Jahrhunderts wurde darauf aufbauend im Rahmen der Funktionentheorie ein eigener Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe wie Ableitung, Differenzenquotient und Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften zum Tragen. Dies betrifft das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken in der Integrationstheorie oder auch das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen.', 'In vielen Teilgebieten der Mathematik bedient man sich der starken Eigenschaften holomorpher Funktionen, um Probleme zu lösen. Beispiele sind die analytische Zahlentheorie, in der über holomorphe Funktionen auf Zahlen rückgeschlossen wird, sowie die komplexe Geometrie oder auch die theoretische Physik. Besonders im Rahmen der Theorie der Modulformen nehmen holomorphe Funktionen eine wichtige Position ein, wobei tiefe Verbindungen zur Darstellungstheorie und zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können. Gleich zwei Millennium-Probleme der Mathematik, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und die Riemannsche Vermutung, drehen sich um das Nullstellenverhalten gewisser holomorpher Funktionen.', 'Einführung.', 'Komplexe Zahlen.', 'Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. "imaginärer Zahlen". Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung formula_13. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl formula_14 mit der Eigenschaft formula_15 hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.', 'Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl formula_16 ist von der Form formula_17 mit reellen Zahlen formula_18 und formula_19. Geht man formula_18 Schritte in „reelle Richtung“ und formula_19 Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl formula_22 mit dem Punkt formula_23 in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird formula_18 als Realteil und formula_19 als Imaginärteil von formula_16 bezeichnet.', 'Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel formula_15 vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel formula_28, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:', 'Dabei entsteht der Term formula_30 beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt formula_31. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:', 'Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen formula_5, genau wie die reellen Zahlen formula_34, einen Körper bilden.', 'Komplexe Funktionen.', 'Die Holomorphie ist eine Eigenschaft komplexer Funktionen. Dabei stellt eine Funktion ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen formula_35 und formula_36 über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen formula_37 müssen die Regel erfüllen, dass "jedem" Element aus formula_35 "genau ein" Element in formula_36 zugeordnet wird.', 'Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion formula_40.', '"Reelle" Funktionen induzieren Tabellendaten der Form formula_41, wobei die Eingabewerte formula_18 den Definitionsbereich von formula_11 durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten formula_18 und formula_45 in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, "alle" Werte formula_46 aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen formula_47 zu Punkten formula_23 in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.', 'Für "komplexe" Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist. Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“.', 'Die Darstellung komplexer Funktionen durch Kolorierung ist besonders zur Hervorhebung von Null- oder Polstellen sowie anderer Singularitäten einer Funktion üblich. Die Software Wolfram Mathematica bietet seit Version 12 ein entsprechendes Werkzeug an.', 'Im Englischen trägt eine solche Art der Visualisierung die Bezeichnung "domain coloring". Diese wurde von Frank Farris geprägt. Es gab viele frühere Verwendungen von Farbe zur Visualisierung komplexer Funktionen, typischerweise die Zuordnung von Argumenten (Phasen) zu Farbtönen. Larry Crone verwendete die Methode in den späten 1980er Jahren. Die Technik der Verwendung kontinuierlicher Farbe zur Abbildung von Punkten des Definitionsbereiches in die Zielmenge wurde 1999 von George Abdo und Paul Godfrey verwendet, und farbige Raster wurden in Grafiken von Doug Arnold benutzt, die er auf 1997 datiert. Menschen, die farbenblind sind, können jedoch Schwierigkeiten haben, solche Diagramme zu interpretieren, wenn sie mit Standard-Farbkarten erstellt werden. Dieses Problem kann möglicherweise durch die Erstellung alternativer Versionen unter Verwendung von Farbkarten behoben werden, die in den Farbraum passen, der für Menschen mit Farbenblindheit erkennbar ist. Zum Beispiel kann eine Farbkarte, die auf Blau/Grau/Gelb basiert, für Menschen mit vollständiger Deuteranopie besser lesbar sein als das herkömmliche Schaubild, das auf Blau/Grün/Rot basiert.', 'Von reeller zu komplexer Differenzierbarkeit.', 'Da mit komplexen Zahlen im Wesentlichen genau wie mit reellen Zahlen gerechnet werden kann, stellt sich die Frage, inwieweit sich die reelle Analysis, mit Begriffen wie Funktionen, Ableitung oder auch Integral, auf die komplexen Zahlen ausweiten lässt.', 'Im Reellen ist eine Funktion formula_49 in einem Punkt formula_50 differenzierbar, wenn sie dort "linearisiert" werden kann. Das bedeutet, dass sie sich um formula_50 herum sehr ähnlich zu einer linearen Funktion formula_52 verhält. Es gilt also für sehr kleine Werte formula_53 die: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Euklid', 'Primzahl', 'Satz (Mathematik)'], 'Der Satz des Euklid, manchmal auch Satz von Euklid, ist ein Lehrsatz aus der elementaren Zahlentheorie und besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Benannt ist er nach Euklid von Alexandria, der ihn als Erster im dritten Jahrhundert v. Chr. in seinen Elementen bewies. Jedoch kannten die Mathematiker der Antike das Konzept der Unendlichkeit noch nicht. Euklid selbst formulierte den Satz daher wie folgt: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.“', 'Eine Primzahl ist eine ganze Zahl "größer als" 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5 und 7. Der Satz des Euklid besagt, dass die Liste 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... aller Primzahlen nicht endet, genauso wie die Liste 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... aller natürlichen Zahlen nicht endet.', 'Der ursprüngliche von Euklid geführte Beweis ist direkt und konstruktiv. Zu einer gegebenen "endlichen" Liste von Primzahlen wird stets eine weitere noch nicht vorhandene Primzahl erzeugt, ohne diese jedoch explizit anzugeben. Vielmehr wird argumentiert, dass jede endliche Liste von Primzahlen unvollständig ist. Daraus wird gefolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. In der späteren Literatur wird oft fälschlicherweise behauptet, dass Euklids Argument anhand eines Widerspruchsbeweises aufgeführt sei. Jedoch lässt sich der Beweis leicht zu einem Widerspruchsbeweis umformulieren.', 'Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik können alle natürlichen Zahlen größer als 1 eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden. Der Satz des Euklid ist daher eines der grundlegendsten Resultate der Zahlentheorie, da er zeigt, dass es unendlich viele unzerlegbare Grundbausteine der Zahlen gibt. Im Laufe der Zeit wurden neben Euklids Originalbeweis zahlreiche andere Beweise gefunden, die teilweise mathematische Techniken aus der Analysis, Kombinatorik oder auch der Topologie nutzen. Ab dem 19. Jahrhundert konnten zudem mit den Beweisen des Dirichletschen Primzahlsatzes und des Primzahlsatzes weitreichende Verallgemeinerungen erzielt werden. Während der Satz des Euklid lediglich aussagt, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich groß ist, formulieren die modernen Primzahlsätze Regeln, wie häufig Primzahlen in gewissen Bereichen ungefähr anzutreffen sind.', 'Analoge Fragestellungen hinsichtlich der Häufigkeit von Primzahlzwillingen, Mersenne-Primzahlen oder Fermat-Primzahlen verbleiben bis heute unbeantwortet.', 'Beweis von Euklid.', 'Der Satz wurde erstmals in Euklids Elementen im neunten Buch, Proposition 20, niedergeschrieben.', 'Originalformulierung.', 'Euklids Ausführung kann wie folgt ins Deutsche übersetzt werden:', 'Erläuterungen: Zu jeder endlichen Menge von Primzahlen (gegebenes Objekt) gibt es danach eine Primzahl (gesuchtes Objekt), die dieser Menge nicht angehört. Euklid beweist dies konstruktiv, indem er ein Verfahren beschreibt, aus gegebenen endlich vielen Primzahlen formula_1 (Euklid behandelt hier den Fall formula_2) eine neue Primzahl zu gewinnen, indem man die Zahl formula_3 bildet und einen ihrer Primfaktoren bestimmt. Im Beweis wird geometrisch-anschaulich argumentiert, indem gesagt wird, dass eine Strecke (Zahl) eine andere „misst“, wenn letztere durch erstere teilbar ist. In Euklids Ausführungen geht ferner sein bereits in "Buch VII, Proposition 31" (die lautet: "Jede zusammengesetzte Zahl wird von irgendeiner Primzahl gemessen") beschriebenes Verfahren zur effektiven Gewinnung eines Primfaktors einer vorgegebenen Zahl als „Unterprogramm“ ein. Da Euklid im Originalwerk keine Möglichkeit hatte, eine willkürliche Liste von Primzahlen zu schreiben, verwendete er eine Methode, die er häufig anwandte, nämlich die Methode des verallgemeinerbaren Beispiels. Dabei wählt er nur drei Primzahlen aus und beweist mit der oben skizzierten allgemeinen Methode, dass er immer eine zusätzliche Primzahl finden kann. Euklid ging vermutlich davon aus, dass seine Leser davon überzeugt wären, dass ein ähnlicher Beweis funktionieren wird, egal wie viele Primzahlen ursprünglich ausgewählt werden.', 'Veranschaulichung des Beweises an einem Beispiel.', 'Die Beweisidee von Euklid lässt sich über folgendes Beispiel veranschaulichen. Dieses verwendet die ersten drei Primzahlen 2, 3 und 5. Aus diesen kann mit Euklids Methode eine neue Primzahl konstruiert werden, die in der Liste noch nicht vorkommt. Dafür wird die Zahl', 'betrachtet, die aus dem Produkt der Listenzahlen mit anschließender Addition von 1 gebildet wird. Diese Zahl 31 ist nun weder durch 2 noch durch 3 noch durch 5 teilbar. Das folgt daraus, dass die Differenz zweier Zahlen mit gemeinsamem Teiler wieder diesen Teiler hat: Es ist formula_5 nach Konstruktion durch 2, 3 und 5 teilbar – hätte auch ihr Nachfolger 31 diese Eigenschaft, so auch formula_6 Doch die 1 wird nur von 1 selbst geteilt. In der Tat ist 31 zum Beispiel wieder eine (neue) Primzahl und ungleich 2, 3 und 5.', 'In heutiger Fachsprache.', 'Trotz Euklids direkter Argumentation wird der Satz des Euklid von vielen Autoren in Standardwerken der Zahlentheorie als ein Widerspruchsbeweis wiedergegeben, zum Beispiel bei Jörg Brüdern oder Tom M. Apostol.', 'In der Sprechweise der heutigen Mengenlehre stellt Euklid die folgende Behauptung auf:', 'Dazu bildet Euklid das kleinste Vielfache formula_11 aller Primzahlen aus formula_12 Dabei ist wichtig, dass "alle" bisherigen Primzahlen Teiler von formula_13 sind.', 'Dann bildet er formula_14 und unterscheidet zwei Fälle:', 'Der Beweis kommt auch ohne die Fallunterscheidung aus:', 'Beurteilung des Beweises.', 'Von Euklid wird oft fälschlicherweise berichtet, er habe sein Ergebnis durch Widerspruch bewiesen, beginnend mit der Annahme, dass die ursprünglich betrachtete endliche Menge "alle" Primzahlen enthält, obwohl es sich eigentlich um einen Beweis durch Fallunterscheidung, also eine direkte Beweismethode handelt. Der Philosoph Torkel Franzén stellte fest: „Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist kein indirekter Beweis [...]. Das Argument wird manchmal als indirekter Beweis formuliert, indem man es durch die Annahme ersetzt: ‚Angenommen formula_29 sind alle Primzahlen.‘ Da diese Annahme jedoch nicht einmal im Beweis verwendet wird, ist die Neuformulierung sinnlos.“', 'Benno Artmann sieht im Beweis von Euklid ein Beispiel der Verwendung „endlicher Mittel zur Beherrschung des Unendlichen“. In dieser Hinsicht habe Euklid „Bahnbrechendes“ geleistet. Jedoch bildeten die Primzahlen nur ein Beispiel dieses Prinzips in Euklids Schaffen. Im selben Kontext wird seine Theorie der Parallelen und Kreistangenten sowie „Unvereinbarkeit“ (im Sinne des Euklidischen Algorithmus) von Artmann genannt.', 'Die Zahlentheoretiker Gérald Tenenbaum und Michel Mendès France nennen Euklids Argument „wundervoll in seiner Schönheit und Einfachheit“ und weisen darauf hin, dass es sich in moderner Fachsprache auf die vier Symbole','reduzieren lässt. Dabei ist formula_31 die Fakultät von formula_32 und die erzeugte Zahl ist durch "keine" Zahl zwischen formula_33 teilbar, weshalb es Primzahlen geben muss, die größer als formula_32 sind.', 'Der Beweis von Euklid wird, hinsichtlich der fundamentalen Bedeutung des Resultats für die Zahlentheorie, wegen seiner Einfachheit bis heute als elegant erachtet. Dennoch liefert er keine starke Methode, zu schätzen, wie viele Primzahlen es unter einer Schranke formula_35 mindestens gibt. Zwar kann die Schranke formula_36, mit der Primzahlen abzählenden Funktion formula_37, induktiv aus Euklids Methode abgeleitet werden, doch dieses Resultat wird für die analytische Zahlentheorie als unbrauchbar angesehen. Dabei ist formula_38 der natürliche Logarithmus von formula_35. Bereits mit nicht wesentlich schwierigeren Argumenten, zum Beispiel durch Ideen von Leonhard Euler und Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, können wesentlich stärkere Schranken für die Primzahlverteilung hergeleitet werden. Dazu zählt die Schranke', 'für existierende Konstanten formula_41 für alle formula_42.', 'Bedeutung.', 'Erzeugung neuer Primzahlen.', 'Der Beweis des Satzes des Euklid zeigt eine Möglichkeit auf, wie aus einer oder mehreren vorgegebenen Primzahlen formula_43 mindestens eine weitere Primzahl berechnet werden kann. Dazu bildet man das Produkt dieser Zahlen und addiert 1 zu dem Produkt, also', 'Das Symbol formula_45 ist das Produktzeichen. Wegen formula_46 gibt es einen kleinsten Teiler formula_47 von formula_32. Dieser ist notwendigerweise eine Primzahl und teilerfremd zu formula_49. Daher ist mit formula_50 eine "neue" Primzahl gefunden.', 'Zieht man nur die Mengen der ersten aufeinanderfolgenden Primzahlen in Betracht, also formula_51, und bildet daraus die Zahlen', 'dann stellen sich die ersten fünf dieser Zahlen als prim heraus, die nächsten fünf als zusammengesetzt. Beispielsweise ist', 'Ist das Ergebnis von formula_54 wobei das Symbol formula_55 für das Primorial von formula_56 steht, wieder eine Primzahl, so nennt man diese auch Euklidische Primzahl. Ein etwas verallgemeinerter Begriff ist die Primorial-Primzahl, die durch formula_57 erzeugt wird. Es ist eine offene Frage, ob es unendlich viele Primorial-Primzahlen gibt. Die bis heute größte gefundene Primorial-Primzahl ist die formula_58-stellige Zahl formula_59. Zum Überprüfen, ob eine Zahl prim ist, gibt es Primzahltests, wie den von Miller-Rabin. Die bis heute größte gefundene Primzahl ist jedoch die formula_60-stellige Mersenne-Primzahl formula_61.', 'Zahlentheoretische Forschung.', 'Die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, führte zu der Frage, wie dicht sie in den natürlichen Zahlen liegen. Damit ist das langfristige Verhalten der Abstände zwischen verschiedenen Primzahlen gemeint. Zum Beispiel finden sich bis zur Zahl 10000 nur einhundert Quadratzahlen, also viel weniger als natürliche Zahlen. Analog dazu kann gefragt werden, wie häufig Primzahlen bis zu einer Schranke (wie zum Beispiel 10000) auftauchen und wie sich diese Häufigkeit verhält, wenn die Schranke immer größer gewählt wird.', 'Eine Folgerung des Beweises von: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: [['Dreiecksgeometrie', 'Satz (Ebene Geometrie)'], 'Der Satz des Pythagoras (auch Hypotenusensatz) ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind formula_1 und formula_2 die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und formula_3 die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:', 'Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.', 'Mathematische Aussage.', 'Der Satz des Pythagoras lässt sich folgendermaßen formulieren:', 'In geometrischer Deutung ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächen der beiden Quadrate über den Katheten gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.', 'Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:', 'Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Der unten beschriebene Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Satzes.', 'Verwendung.', 'Längen im rechtwinkligen Dreieck.', 'Aus dem Satz des Pythagoras folgt direkt, dass die Länge der Hypotenuse gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate ist, also', 'Eine einfache und wichtige Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:', 'Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist oder nicht:', 'Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger als jede der Katheten und kürzer als deren Summe ist. Letzteres ergibt sich auch aus der Dreiecksungleichung.', 'Reziproke Längen im rechtwinkligen Dreieck.', 'Aus dem Satz des Pythagoras folgt als direkte Anwendung der reziproke Satz des Pythagoras:', 'Sind formula_1 und formula_2 die Längen der Katheten und formula_29 die Länge der Höhe auf der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck formula_30, dann sind formula_31 und formula_32 die Kathetenlängen und formula_33 die Hypotenusenlänge eines zu formula_30 ähnlichen rechtwinkligen Dreiecks formula_35.', 'Somit folgt: formula_36.', 'Wegen der Rechtwinkligkeit gilt für die Flächenmaßzahl des Dreiecks ABC die Gleichheit formula_37 oder formula_38.', 'Durch Division der Pythagorasgleichung auf beiden Seiten durch formula_39 und Einsetzen von formula_40 für formula_3 ergibt sich die Aussage des Satzes aus folgender Äquivalenzkette:', 'formula_42', 'Pythagoreische Tripel.', 'Unter allen Dreiergruppen formula_43, die die Gleichung formula_4 erfüllen, gibt es unendlich viele, bei denen formula_1, formula_2 und formula_3 jeweils ganze Zahlen sind. Diese Dreiergruppen werden pythagoreische Tripel genannt. Das einfachste dieser Tripel besteht aus den Zahlen formula_19, formula_20 und formula_21. Pythagoreische Tripel werden seit alters her zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke verwendet. Ein Beispiel ist die Zwölfknotenschnur, mit der ein Dreieck gelegt wird, dessen Seiten die Längen formula_19, formula_20 und formula_21 haben. Die beiden kurzen Seiten bilden dann einen rechten Winkel.', 'Der große fermatsche Satz besagt, dass die formula_54-te Potenz einer Zahl, wenn formula_55 ist, nicht als Summe zweier Potenzen des gleichen Grades dargestellt werden kann. Gemeint sind ganze Grundzahlen formula_56 und natürliche Hochzahlen. Allgemein gesprochen bedeutet dies:', 'Das ist erstaunlich, weil es für formula_60 unendlich viele Lösungen gibt. Für formula_61 sind dies die pythagoreischen Zahlentripel. ', 'Trotz seiner einfachen Formulierung gilt der Beweis des großen fermatschen Satzes, der erst 1995 erbracht werden konnte, als außerordentlich schwierig.', 'Euklidischer Abstand.', 'Der Satz von Pythagoras liefert eine Formel für den Abstand zweier Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Sind zwei Punkte formula_62 und formula_63 in einer Ebene gegeben, dann ist ihr Abstand formula_3 durch', 'gegeben. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Koordinatenachsen senkrecht zueinander liegen. Diese Formel kann auch auf mehr als zwei Dimensionen erweitert werden und liefert dann den euklidischen Abstand. Zum Beispiel gilt im dreidimensionalen euklidischen Raum', 'Das entspricht auch dem Betrag bzw. der Länge des durch die beiden Punkte definierten Vektors.', 'Beweise.', 'Für den Satz sind mehrere hundert Beweise bekannt, womit er wohl der meistbewiesene mathematische Satz ist. Elisha Scott Loomis führt in einem zuerst 1927 erschienenen Buch 371 Beweise auf. Mario Gerwig führt in einer Überarbeitung und Ergänzung der Loomis-Sammlung rund 365 verschiedene Beweise auf, wobei er Loomis rund 360 Beweise zuordnet und eine ganze Reihe von Fehlern, darunter auch der Aufnahme offensichtlich falscher Beweise. Exemplarisch werden im Folgenden sechs geometrische Beweise vorgestellt. Ein siebter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem "Beweis durch Ergänzung" stark ähnelt.', 'Beweis nach Euklid.', 'Euklid beschreibt den Satz des Pythagoras mit dem folgenden Beweis im ersten Buch seiner Elemente in der Proposition 47. Dort beweist er zunächst den Kathetensatz mit Hilfe kongruenter Dreiecke, aus welchem dann unmittelbar der Satz des Pythagoras folgt. Er benutzt nicht die Theorie der Proportionen, die Euklid im Buch 5 der Elemente entwickelt, sondern kommt allein mit den Sätzen des ersten Buches der Elemente aus und ist von konstruktiver Natur.', 'Für ein Dreieck formula_30 mit rechtem Winkel in formula_68 sind formula_69 und formula_70 die Quadrate über den Katheten und formula_71 der Fußpunkt der Höhe von formula_68 auf formula_73. Des Weiteren sind formula_74 und formula_75 Rechtecke über der Hypotenuse formula_73 deren längere Seite formula_77 die Länge der Seite formula_73 besitzt. Nun sind die Dreiecke formula_79 und formula_80 nach dem zweiten Kongruenzsatz (SWS) kongruent, da formula_81, formula_82 und formula_83 gilt. Zudem gilt, dass die Fläche des Dreiecks formula_79 die Hälfte der Fläche des Rechtecks formula_74 beträgt, da dessen Grundseite formula_73 und die Rechteckseite formula_87 gleich lang sind und die Länge seiner Höhe von formula_68 der Länge der anderen Rechteckseite entspricht. Aufgrund eines entsprechenden Arguments folgt, dass die Fläche des Dreiecks formula_80 der Hälfte der Fläche des Kathetenquadrates formula_70 entspricht. Wegen der Kongruenz der Dreiecke formula_79 und formula_80 bedeutet dies aber, dass dann auch das Kathetenquadrat formula_70 flächengleich mit dem Rechteck formula_74 ist. Analog lässt sich mit Hilfe der kongruenten Dreiecke formula_95 und formula_96 zeigen, dass das zweite Kathetenquadrat formula_69 flächengleich mit dem Rechteck formula_75 ist. Damit hat man den Kathetensatz bewiesen. Der Satz des Pythagoras folgt dann sofort, da das Hypotenusenquadrat sich aus den Rechtecken formula_74 und formula_75 zusammensetzt.', 'Es gibt noch einen weiteren Beweis des Satzes von Pythagoras in den Elementen in Buch 6, Proposition 31 (siehe unten). Er benutzt statt Quadraten zueinander ähnliche Rechtecke auf den drei Seiten, ist formal einfacher als der Beweis im ersten Buch durch Verwendung der Theorie der Proportionen, die erst von Eudoxos von Knidos streng begründet wurde. Pythagoras kann beide Beweise aller Wahrscheinlichkeit nach nicht gekannt haben, da sie einem fortgeschritteneren Verständnis der Geometrie entsprechen Proklos schrieb die Beweise in seinem Kommentar zu den Elementen explizit Euklid zu und drückte seine Bewunderung für beide Beweise aus.', 'Euklid gibt in der letzten Proposition 48 von Buch 1 zusätzlich eine Umkehrung des Satzes von Pythagoras, indem er zeigt, dass aus der Gleichheit der Fläche des Hypotenusenquadrats mit der der Summe der Kathetenquadrate folgt, dass einer der Winkel des Dreiecks ein rechter Winkel ist.', 'Der erste Beweis (I, 47) wird wegen der Form der Hilfslinien in der zugehörigen Figur im englischen Sprachraum gelegentlich auch "windmill" (Windmühle) genannt, Arthur Schopenhauer nahm den ersten Beweis von Euklid als Beispiel für dessen in seiner Sicht willkürliche und wenig anschauliche Vorgehensweise ("„Oft werden, wie im Pythagoreischen Lehrsatze, Linien gezogen, ohne dass man weiss warum: hinterher zeigt sich,dass es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehen“", und so die Zustimmung Lernenden erzwingen, "„der nun verwundert zugeben muß, was ihm seinem inneren Zusammenhang nach völlig unbegreiflich bleibt“") Felix Klein verteidigte den Beweis dagegen in einer Erwiderung auf Schopenhauers Kritik als besonders anschaulich und demonstrierte dies in seiner "Elementarmathematik vom höheren Standpunkt".', 'Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte.', 'Der in den beiden nebenstehenden Bildern auf unterschiedlicher Weise verdeutlichte "Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte", stammt aus dem chinesischen Werk Zhoubi suanjing, übersetzt "Klassische Arithmetik des Gnomon und die Kreisbahnen des Himmels" (es wird heute angenommen das Werk „stamme frühestens aus dem späten 4. Jahrhundert v. Chr.“). Darin kommt das allgemein bekannte rechtwinklige Dreieck mit den Seiten formula_101 und formula_102 zur Anwendung.', 'Nach dem Zeichnen eines Quadrats (Bild 1) und dessen Unterteilung in formula_103 x formula_104 Einheitsquadrate, wird das rechtwinklige Ausgangsdreieck (rot) mit den Katheten formula_105, formula_106 und mit der sich ergebenden Hypotenuse formula_3 anhand des Gitters eingetragen. Darüber hinaus werden drei, dem Ausgangsdreieck gleichende Dreiecke so platziert, dass die Hypotenusen ein inneres Quadrat ergeben und demzufolge ein zentrales Einheitsquadrat (gelb) mit dem Flächeninhalt formula_108 umgrenzen. Ein auf das innere Quadrat eingezeichnetes Gitter, das dem äußeren gleicht und mit: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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K=P*C'*inv(C*P*C'+D)这个等式能化简吗?

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Объясни каждое действие, потому что я не разбираюсь в этой теме: используя правило лопиталя найти прделы: lim(от x до 0) ((x^2)*e^(1/x^2))

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