Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Besondere Zahl], Die Kreiszahl, auch Ludolphsche Zahl, Ludolfsche Zahl oder Archimedes-Konstante, abgekürzt mit dem griechischen Kleinbuchstaben formula_1 (Pi), ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von ihrer Größe., Die dezimale Darstellung der Kreiszahl beträgt, wobei in der Praxis oft nur drei signifikante Stellen verwendet werden (3,14), deren Genauigkeit für einfache Anwendungen ausreicht. Seit dem 8.Juni 2022 sind 100 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt., Die Kreiszahl hat etliche interessante Eigenschaften., Die Kreiszahl tritt nicht nur bei Kreisberechnungen in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien Bedeutung. Beispielsweise lässt sich durch sie die Lösung des klassischen Basler Problems mit der Theorie der Fourierreihen verknüpfen., Geschichte der Bezeichnung., Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi erfolgt nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes – \, „Umfang“ oder – zu lateinisch \, „Randbereich“. Das Pi (formula_1) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift "Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio" verwendet. Darin drückte er mit formula_4 das Verhältnis von halbem Kreisumfang "(semiperipheria)" zu Halbmesser "(semidiameter)" aus, d.h.formula_5. Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. ImJahr 1697 nahm David Gregory formula_6 für das Verhältnis von Umfang zu Radius., 59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner "Synopsis Palmariorum Matheseos" als Erster den griechischen Kleinbuchstaben ein, um das "Verhältnis von Umfang zu Durchmesser" auszudrücken. Erst im 18.Jahrhundert wurde formula_1 durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals formula_1 für die Kreiszahl, nachdem er zuvor formula_9 verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich., Definition., Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahlformula_1 zu definieren., Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahlformula_1., Eigenschaften., Irrationalität und Transzendenz., Die Zahl formula_1 ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen also nicht als Bruch formula_22, dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen., Tatsächlich ist die Zahl formula_1 sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das formula_1 zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzem Zahlen aus formula_1 erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen., Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, formula_1 nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist., Die ersten 100 Nachkommastellen., Da formula_1 eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch., Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung, ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität)., Darstellung zu anderen Zahlenbasen., Im Binärsystem ausgedrückt ist, In OEIS sind auch die Zahlen der Darstellungen zu den Basen 3 bis 16 und 60 angegeben., Kettenbruchentwicklung., Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da formula_1 irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch., Der "reguläre" Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:, Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von formula_1 ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch ():, Anders als bei der Eulerschen Zahl formula_34 konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von formula_1 keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden., Jedoch gibt es "nicht-reguläre" Kettenbruchdarstellungen von formula_1, bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:, Näherungsbrüche der Kreiszahl., Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler bzw. Nenner ) die folgenden:, Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20.Näherung formula_38 stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl formula_1 überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden km Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet., Sphärische Geometrie., In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden., Normalität., Es ist noch ungeklärt, ob formula_1 eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält– so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten., Wenn formula_1 eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem)., Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von formula_1 zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann., Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von formula_1 auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl formula_1 entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl formula_1 tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als formula_1 ab., Feynman-Punkt., Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen., Entwicklung von Berechnungsverfahren., Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an formula_1 phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm., Erste Näherungen., Berechnungen und Schätzungen in den vorchristlichen Kulturen., Die Kreiszahl und einige ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das altägyptische Rechenbuch des Ahmes aus der Mitte der 16.Jahrhundert v.Chr., nennt den Wertformula_48, was vom tatsächlichen Wert nur um rund 0,60 % abweicht., Als Näherung für formula_1 benutzten die Babylonier formula_50 oder einfach nur 3, solange dessen Abweichung von gut 4,5 % nicht ins Gewicht fiel. Den Wert 3 nutzte man auch im alten China, und er findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:, In Indien nahm man für die Kreiszahl in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wertformula_51 und wenige Jahrhunderte v.Chr.in der Astronomie den Näherungswert formula_52., Näherungen für den praktischen Alltag., Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung formula_53 und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber formula_1 beträgt etwa 0,04 %. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend., Eine andere oft genutzte Näherung ist der Bruch immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für formula_1 ist gemeinsam, dass sie "partiellen" Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von formula_1 entsprechen, z.B.:, Archimedes von Syrakus., Die Frage, ob die Kreisz: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Numerische lineare Algebra, Teilgebiet der Mathematik], Die numerische lineare Algebra ist ein zentrales Teilgebiet der numerischen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit der Entwicklung und der Analyse von Rechenverfahren (Algorithmen) für Problemstellungen der linearen Algebra, insbesondere der Lösung von linearen Gleichungssystemen und Eigenwertproblemen. Solche Probleme spielen in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch in der Ökonometrie und in der Statistik eine große Rolle., Die Algorithmen der numerischen linearen Algebra lassen sich grob in zwei Gruppen einteilen: in die "direkten Verfahren", die theoretisch nach endlich vielen Rechenschritten die exakte Lösung eines Problems liefern, und in die "iterativen Verfahren", bei denen die exakte Lösung schrittweise immer genauer angenähert wird. Da aber auch die direkten Verfahren wegen der beim Rechnen mit endlicher Genauigkeit entstehenden Rundungsfehler nur Näherungen für die exakte Lösung liefern, ist diese Unterscheidung nur für die Entwicklung und Untersuchung der Verfahren selbst von Bedeutung; für den praktischen Einsatz spielt sie keine große Rolle. Historisch gehen die ersten systematischen Verfahren aus beiden Gruppen –das direkte gaußsche Eliminationsverfahren und das iterative Gauß-Seidel-Verfahren– auf Carl Friedrich Gauß zurück. Beispiele für bedeutende Verfahren des 20.Jahrhunderts, die zahlreiche Verbesserungen und Weiterentwicklungen zur Folge hatten, sind das Zerlegungsverfahren von André-Louis Cholesky, das QR-Verfahren für Eigenwertprobleme von John G.F. Francis und Wera Nikolajewna Kublanowskaja sowie das CG-Verfahren von Eduard Stiefel und Magnus Hestenes als erster Vertreter der wichtigen Krylow-Unterraum-Verfahren., Einführung in die Problemstellungen., Ein –auch historisch gesehen– zentraler Anfangspunkt der elementaren linearen Algebra sind lineare Gleichungssysteme. Wir betrachten formula_1 Gleichungen der Gestalt, für formula_1 Unbekannte formula_4. Die Koeffizienten formula_5 und formula_6 sind gegebene Zahlen; die gesuchten Werte für formula_4 sollen so bestimmt werden, dass alle Gleichungen erfüllt werden. Die Koeffizienten lassen sich zu einer Matrix formula_8 zusammenfassen; die Zahlen formula_6 und die Unbekannten formula_10 bilden Spaltenvektoren formula_11 und formula_12. Auf diese Weise ergibt sich die Matrix-Vektor-Darstellung, eines linearen Gleichungssystems: Gesucht ist ein Vektor formula_14, der bei der Matrix-Vektor-Multiplikation mit der gegebenen Matrix formula_15 den gegebenen Vektor formula_16 ergibt., Als Teilgebiet der Numerik betrachtet auch die numerische lineare Algebra nur sogenannte korrekt gestellte Probleme, also insbesondere nur solche Probleme, die eine Lösung besitzen und bei denen die Lösung eindeutig bestimmt ist. Insbesondere wird im Folgenden stets angenommen, dass die Matrix formula_15 regulär ist, also eine Inverse formula_18 besitzt. Dann gibt es für jede rechte Seite formula_16 eine eindeutig bestimmte Lösung formula_14 des linearen Gleichungssystems, die formal als formula_21 angegeben werden kann., Viele wichtige Anwendungen führen allerdings auf lineare Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als Unbekannten. In der Matrix-Vektor-Darstellung formula_13 hat in diesem Fall die Matrix formula_15 mehr Zeilen als Spalten. Solche "überbestimmten" Systeme haben im Allgemeinen keine Lösung. Man behilft sich deshalb damit, den Vektor formula_24 so zu wählen, dass die Differenz formula_25, das Residuum, in einem noch festzulegenden Sinn „möglichst klein“ wird. Beim mit Abstand wichtigsten Fall, dem sogenannten linearen Ausgleichsproblem, wird dazu die Methode der kleinsten Quadrate verwendet: Hierbei wird formula_14 so gewählt, dass die Quadratsumme formula_27 minimal wird, wobei formula_28 die Komponenten des Differenzvektors formula_29 bezeichnen. Mithilfe der euklidischen Norm lässt sich das auch so schreiben: Man wähle formula_14 so, dass formula_31 minimal wird., Neben den linearen Gleichungen sind die Eigenwertprobleme ein weiteres zentrales Thema der linearen Algebra. Gegeben ist hierbei eine Matrix formula_15 mit formula_1 Zeilen und formula_1 Spalten; gesucht sind Zahlen formula_35 und Vektoren formula_36, sodass die Gleichung, erfüllt ist. Man nennt dann formula_14 einen Eigenvektor von formula_15 zum Eigenwert formula_35. Das Problem, alle Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu bestimmen, ist gleichbedeutend damit sie zu diagonalisieren. Das bedeutet: Man finde eine reguläre Matrix formula_41 und eine Diagonalmatrix formula_42 mit formula_43. Die Diagonaleinträge von formula_42 sind dann die Eigenwerte von formula_15 und die Spalten von formula_41 die zugehörigen Eigenvektoren., Diese Probleme treten in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften auf. Sie spielen aber auch in den Wirtschaftswissenschaften sowie in der Statistik – und damit in allen Gebieten, die sich statistischer Methoden bedienen – eine große Rolle. Lineare Gleichungssysteme beschreiben beispielsweise Modelle in der Statik, elektrische Netzwerke oder volkswirtschaftliche Verflechtungen. So scheinbar unterschiedliche Aufgabenstellungen wie die Stabilitätsuntersuchung dynamischer Systeme, Resonanzphänomene bei Schwingungen, die Bestimmung eines PageRanks oder die Hauptkomponentenanalyse in der Statistik führen alle auf Eigenwertprobleme. Lineare Gleichungen entstehen auch durch Linearisierung und Diskretisierung innerhalb anderer numerischer Verfahren. So lassen sich beispielsweise zahlreiche Modelle in Naturwissenschaft und Technik durch partielle Differentialgleichungen beschreiben. Ihre numerische Lösung durch Differenzen- oder Finite-Elemente-Verfahren führt auf Systeme mit sehr vielen Unbekannten., In diesem Übersichtsartikel wird der Einfachheit halber angenommen, dass alle gegebenen Matrizen und Vektoren reell sind, das heißt, dass alle ihre Einträge reelle Zahlen sind. Meist lassen sich die angesprochenen Verfahren direkt auf komplexe Zahlen verallgemeinern; an die Stelle der orthogonalen Matrizen tritt dann beispielsweise ihr komplexes Pendant, die unitären Matrizen. Mitunter ist es auch vorteilhaft, ein gegebenes komplexes Problem – etwa durch Betrachtung von Real- und Imaginärteil – auf ein reelles zurückzuführen. Zusatzüberlegungen treten allerdings bei Eigenwertproblemen mit nichtsymmetrischen reellen Matrizen auf, denn diese können auch nichtreelle Eigenwerte und Eigenvektoren haben., Geschichte., Die Anfänge: Gauß und Jacobi., Bereits seit der Antike sind Lösungen konkreter Problemstellungen überliefert, die aus heutiger Sicht als lineare Gleichungssysteme angesehen werden können. Die "Neun Kapitel der Rechenkunst", in denen der Stand der chinesischen Mathematik des 1.Jahrhunderts n. Chr. zusammengefasst ist, enthielten dabei bereits tabellarische Rechenvorschriften, die Eliminationsverfahren in Matrixdarstellung entsprachen. Die systematische Untersuchung linearer Gleichungssysteme setzte gegen Ende des 17.Jahrhunderts mit ihrer Formulierung mithilfe allgemeiner Koeffizienten ein. Nach Vorarbeiten von Gottfried Wilhelm Leibniz und Colin Maclaurin veröffentlichte Gabriel Cramer 1750 eine explizite Lösungsformel für beliebig viele Unbekannte mithilfe von Determinanten. Mit dieser cramerschen Regel war das Problem theoretisch vollständig gelöst, auch in Hinblick auf Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Für deren praktische Berechnung erwies sich die Formel jedoch als völlig ungeeignet, weil der Rechenaufwand dabei mit der Anzahl der Unbekannten astronomisch schnell anwächst (siehe auch Cramersche Regel#Rechenaufwand)., Die erste Verwendung und Beschreibung systematischer Rechenverfahren für lineare Gleichungen geht auf Carl Friedrich Gauß (1777–1855) zurück. Zu Beginn des 19.Jahrhunderts waren die Bestimmung der Bahndaten astronomischer Objekte und die Landesvermessung durch Triangulation die wichtigsten Anwendungsaufgaben der mathematischen Praxis. 1801 erregte Gauß großes Aufsehen, als es ihm gelang, die Bahn des neu entdeckten Kleinplaneten Ceres aus wenigen Beobachtungen so genau zu bestimmen, dass Ceres Ende des Jahres wiedergefunden werden konnte. Für das zugehörige überbestimmte Gleichungssystem verwendete er die von ihm entdeckte Methode der kleinsten Quadrate. Das von ihm zur Berechnung der Lösung eingesetzte Eliminationsverfahren beschrieb Gauß systematisch ab 1809 im Rahmen der Bahnbestimmung des Asteroiden Pallas, allerdings noch direkt angewendet auf Quadratsummen., Auch das erste Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme – das Gauß-Seidel-Verfahren – stammt von Gauß. In einem Brief an Christian Ludwig Gerling berichtete er 1823 von einem neuen einfachen Verfahren, mit dem die Lösung Schritt für Schritt immer besser angenähert werden könne. Gauß, der inzwischen mit der Triangulation des Königreichs Hannover beschäftigt war, schreibt darin, er rechne fast jeden Abend noch einen Iterationsschritt; das sei eine angenehme Abwechslung zur einförmigen Aufnahme der Messdaten. Das Verfahren sei so wenig anfällig für Fehler, dass es sich sogar „halb im Schlaf“ ausführen lasse. 1845 veröffentlichte Carl Gustav Jacob Jacobi ein anderes, ähnliches Iterationsverfahren, das Jacobi-Verfahren. Als Philipp Ludwig von Seidel, ein Schüler Jacobis, 1874 ein System mit 72Unbekannten lösen musste, entwickelte er eine modifizierte, verbesserte Version dieser Methode. Wie sich im Nachhinein herausstellte, ist dieses Verfahren äquivalent zum Iterationsverfahren von Gauß, von dem Seidel jedoch vermutlich nichts wusste. Jacobi veröffentlichte 1846 auch ein iteratives Verfahren zur Transformation von Matrizen, das sich zur Lösung des Eigenwertproblems für symmetrische Matrizen eignet und heute ebenfalls als Jacobi-Verfahren bezeichnet wird. Er selbst verwendete es jedoch nur als Vorbereitungsschritt, um die Diagonaleinträge der Matrix stärker dominant zu machen., 20. Jahrhundert., Im Jahr 1923 wurde ein von André-Louis Cholesky entwickeltes Verfahren veröffentlicht, das bestimmte lineare Gleichungssysteme löst, indem die Koeffizientenmatrix in ein Produkt zweier einfacherer Matrizen zerlegt wird, die Cholesky-Zerlegung. Auch das gaußsche Eliminationsverfahren stellte sich im Nachhinein als ein Spezialfall solcher Matrixzerlegungsverfahren heraus. Algorithmen aus dieser Verfahrensgruppe sind auch heute noch die Standardverfahren zur Lösung mäßig großer Systeme., Ab Ende der 1920er Jahre kamen auch neue Ideen zur iterativen Lösung von Eigenwertproblemen auf, beginnend 1929 mit der Vorstellung der Potenzmethode durch Richard von Mises. Wie auch bei der Weiterentwicklung zur inversen Iteration durch Helmut Wielandt 1944, können mit diesen einfachen Vektoriterationsverfahren immer nur Eigenvektoren zu einem einzelnen Eigenwert berechnet werden. Eine vollständige Lösung des Eigenwertproblems für beliebige Matrizen blieb aufwändig. Der Durchbruch kam hier 1961–1962 mit der Entwick: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Folgen und Reihen], Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, wie etwa, Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe konvergiert, sich die unendlich lange Summe also langfristig einem festen Wert immer weiter annähert. So konvergiert etwa die obere Beispielreihe gegen den Wert formula_2 (siehe Bild). Allgemein wird eine Reihe formula_3 mit formula_4 bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert., Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur Indexmenge zählt, ist die formula_5-te Partialsumme die Summe der ersten formula_6 (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt., Eine systematische Theorie der Reihen findet ihren Ursprung im 17. Jahrhundert, wo sie besonders durch Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton vorangetrieben wurde. Dabei stand sie in enger Verbindung zu anschaulichen Problemen aus der Geometrie, wie der Integration von Kurven. Als formale Objekte wurden Reihen im 18. Jahrhundert von Mathematikern wie Leonhard Euler studiert, der ihnen drei Bände seines Gesamtwerkes, der Opera Omnia, widmete. Erst im 19. Jahrhundert stieß dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz außen vor ließ, auf Kritik. In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 legte Augustin-Louis Cauchy das Fundament der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen und bereitete der rigorosen Aufarbeitung der Analysis, etwa durch Karl Weierstraß, den Weg. Von zentraler Bedeutung in diesem Kontext war das Cauchy-Kriterium für die Charakterisierung des Konvergenzbegriffs. Bis in die heutige Zeit sind Reihen, etwa im Kontext der Zahlentheorie, ein Objekt intensiver mathematischer Forschung., Für die Untersuchung einer unendlichen Reihe sind vor allen Dingen die Fragen nach ihrer Konvergenz und, wenn diese vorliegt, nach dem Grenzwert von Bedeutung. Für beides existieren keine brauchbaren "allgemeinen" Methoden. Allerdings wurden Kriterien entwickelt, die in einigen Spezialfällen Antworten liefern., Besonders bedeutende Anwendungen haben Reihen in der Analysis (zum Beispiel über Taylorreihen zu analytischen Funktionen), den Ingenieurwissenschaften (etwa in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung über Fourierreihen), aber auch in der Wirtschaftswissenschaft und Finanzmathematik. Einige bedeutende mathematische Konstanten, etwa die Kreiszahl formula_7 oder die Eulersche Zahl formula_8, konnten mit Hilfe von Algorithmen, die auf unendlichen Reihen fußen, auf viele Milliarden Nachkommastellen angenähert werden., Einführung: Unendliche Summierbarkeit und erste Beispiele., Unter einer "Reihe" versteht man, veranschaulicht, eine niemals endende Summe von Zahlen. Die Dezimalschreibweise einer reellen Zahl kann zum Beispiel als Reihe aufgefasst werden, etwa, oder auch mit der Kreiszahl formula_7:, Die durch die Punkte angedeuteten Summen enden niemals, da die Dezimalentwicklung von formula_12 periodisch und die Kreiszahl irrational ist. Es gibt Reihen, denen kein Wert zugeordnet werden kann, etwa, aber auch solche, die gegen einen Grenzwert konvergieren (wie die obigen Beispiele mit Grenzwerten formula_12 bzw. formula_7)., Darüber hinaus treten Reihen in vielen Bereichen der Mathematik auf und besitzen zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten. Klassischerweise treten sie dann in Erscheinung, wenn mathematische Terme beliebig gut angenähert werden sollen oder die Entwicklung (theoretisch) nicht endender Prozesse analysiert wird. Auch in der Physik spielen Reihen eine wichtige Rolle. Eine einfache „Anwendung“ kann über das klassische Paradoxon von Achilles und der Schildkröte gegeben werden:, Der für seine Schnelligkeit bekannte Heros Achilles liefert sich einen Wettkampf mit einer Schildkröte. Beide starten von der gleichen Position aus. Jedoch gewährt Achilles, der einhundert Mal schneller als die Schildkröte ist, dieser 100 Meter Vorsprung. Das Paradoxon besagt nun, dass Achilles die Schildkröte niemals einholen wird: Hat nämlich Achilles 100 Meter zurückgelegt, so hat sich die Schildkröte in der Zwischenzeit einen Meter von ihrer bisherigen Position weiter bewegt. Und läuft Achilles nun auch diesen weiteren Meter, so ist ihm die Schildkröte einen weiteren Zentimeter voraus. Und bewegt sich Achilles diesen Zentimeter, so hat die Schildkröte einen Zehntel Millimeter Vorsprung usw., Das scheinbare Paradoxon entsteht dadurch, dass die Zeit nicht berücksichtigt wurde. Genau genommen ist die Aussage, dass Achilles die Schildkröte "niemals" aufholen wird, nicht korrekt. Die in dem Paradoxon aufgeführten Zwischenschritte, in denen die Schildkröte stets einen rasch abnehmenden Vorsprung vor Achilles hat, sind allesamt mit Zeitabschnitten verbunden, die jedoch ebenso rasant abnehmen (zum Beispiel dann, wenn Achilles nur noch einen Zentimeter läuft). Brauchte Achilles für die ersten 100 Meter noch „eine Zeiteinheit“, so wird er für einen Meter nur noch „formula_16 Zeiteinheiten“ brauchen. Im nächsten Schritt braucht er für einen Zentimeter nur noch „formula_17 Zeiteinheiten“. Der Zeitpunkt, an dem Achilles und Schildkröte schließlich die gleiche Position haben werden, ist also, da deren Abstände immer weiter abnehmen, gegeben durch die unendliche Reihe, Obwohl also unendlich viele Terme addiert bzw. Zeitabschnitte betrachtet wurden, entsteht im Grenzwert eine endliche Zahl bzw. wird Achilles nach endlicher Zeit, nämlich nach formula_19 Zeiteinheiten, die Schildkröte einholen., Definition und Grundlagen., Begriff., Eine Reihe wird selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt., Für reelle und komplexe Folgen., Ist eine beliebige reelle (oder komplexe) Folge formula_20 gegeben (formula_21 ist die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen und formula_22 bezeichnet die „ist-Element-von“-Relation), kann man aus ihr eine neue Folge formula_23 der Partialsummen bilden. Die formula_5-te Partialsumme ist die Summe der ersten formula_6 Glieder von formula_20, ihre Definition lautet:, Die Folge formula_23 der formula_5-ten Partialsummen heißt "Reihe"., Zu bemerken ist, dass aus der Definition folgt, dass andersherum jede Zahlenfolge formula_30 zu einer Reihe wird, wenn man diese als Partialsummen der Folge formula_31 auffasst. Eine Reihe ist also nichts anderes als eine Folge spezieller „Bauart“, deren Glieder rekursiv durch formula_32 und formula_33 definiert sind. Allerdings führt die einfache rekursive Struktur der Reihen zu vergleichsweise sehr handlichen Konvergenzkriterien, siehe unten., Konvergenz., Obwohl Reihen auch als "formale Objekte" studiert werden können, also „ohne Wert“, sind in der Mathematik die Fälle von besonderem Interesse, in welchen sich die Reihe langfristig einem ganz bestimmten Wert annähert. Falls die Reihe formula_34, also die "Folge der Partialsummen", konvergiert, so nennt man ihren Grenzwert, den "Wert der Reihe" oder die "Summe der Reihe". Dieser ist eindeutig bestimmt und wird meistens als formula_34 notiert. Reihen, die nicht konvergieren, nennt man "divergent"., Anschaulich bedeutet Konvergenz, dass sich eine Folge auf Dauer einer reellen oder komplexen Zahl beliebig nah annähert. Da der Umgang mit „dem Unendlichen“ zunächst nicht sinnvoll ist, umgeht man diese Schwierigkeit, indem man den Konvergenzbegriff mit endlichen Mitteln erklärt. Die Reihe formula_34 nennt man dann konvergent gegen den "Grenzwert" formula_44, wenn es zu "jeder" noch so kleinen Zahl formula_45 einen Index formula_46 gibt, so dass für "alle" noch größeren Indizes formula_47, erfüllt ist. Hat eine Reihe formula_49 etwa den Grenzwert formula_2, so besagt die Wahl formula_51, dass "alle bis auf endlich viele" Partialsummen, zwischen formula_53 und formula_54 liegen. Ebenso lässt sich mit formula_55 – ab einem gewissen Index liegen also alle Partialsummen zwischen formula_56 und formula_57 – usw. verfahren. In den meisten Fällen ist dieses Kriterium für Konvergenz jedoch nicht brauchbar, da bereits ein Grenzwert formula_44 "bekannt" sein muss, um es überhaupt anwenden zu können. Es ist im Allgemeinen jedoch überaus schwierig, den Grenzwert einer konvergenten Reihe anzugeben. Dies kann aber leicht umgangen werden, denn es kann gezeigt werden, dass eine Reihe genau dann konvergiert, wenn es für jede Zahl formula_59 einen Index formula_46 gibt, so dass für "alle" größeren Indizes formula_61 bereits, gilt. Man bezeichnet dies als das Cauchy-Kriterium, und es kommt ohne Verwendung eines expliziten Grenzwertes aus., In manchen Fällen müssen auch Reihen der Form formula_63 untersucht werden. Diese heißen konvergent genau dann, wenn die "beiden" Reihen, konvergieren., Das Themenfeld der Reihenkonvergenz ist bis heute ein schwieriges Gebiet, und es gibt kein allgemeingültiges und zugleich brauchbares Kriterium, um schnell zu entscheiden, ob eine vorgelegte Reihe konvergiert oder divergiert. Ein Grund hierfür ist, dass es keinen „klaren Übergang“ zwischen Konvergenz und Divergenz gibt. So existiert etwa keine „am langsamsten konvergierende Reihe“, und ebenso keine „am langsamsten divergierende Reihe“. Ist etwa formula_65 mit einer Nullfolge formula_66 konvergent, so auch formula_67, und letztere Reihe konvergiert langsamer als die vorherige. Darüber hinaus zeigte Alfred Pringsheim, dass die Glieder einer konvergenten Reihe keinesfalls mit einer „Mindestgeschwindigkeit“ gegen formula_68 streben müssen. Es kann sogar "jede" konvergente Reihe für einen Beweis dieser Behauptung herangezogen werden., Bedingte und absolute Konvergenz., Es gibt unterschiedliche Arten der Konvergenz. Dies betrifft nicht die Konvergenzdefinition, die stets dieselbe ist, sondern die „Güte“ der Konvergenz. So kann man zwei Typen konvergenter Reihen angeben: Jene, die gewissermaßen „stabil“ konvergieren, und solche, bei denen größere Vorsicht zum Nachweis einer Konvergenz geboten ist, etwa bei der Umordnung von Summanden innerhalb der Reihe., Eine Reihe formula_34 heißt "absolut konvergent", wenn auch die zugehörige Reihe der Absolutbeträge formula_70 konvergiert. Darin ist formula_71 die Betragsfunktion., Durch das Summieren der Beträge werden alle möglichen Vorzeichen bzw. Ausrichtungen der formula_72 quasi „ignoriert“, was den: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Analytische Zahlentheorie, Bernhard Riemann als Namensgeber, Funktionentheorie, Vermutung (Mathematik)], Die Riemannsche Vermutung, Riemannsche Hypothese, Riemannhypothese oder kurz RH trifft eine Aussage über die Verteilung der Primzahlen und ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde erstmals 1859 von Bernhard Riemann in seiner Arbeit "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" in einem Nebensatz formuliert. Nachdem sie bereits im Jahr 1900 von David Hilbert auf seine Liste 23 wichtiger Jahrhundertprobleme gesetzt worden war, wurde sie im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat damit ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt., Einfach gesprochen sagt die Riemannsche Vermutung aus, dass sich die Folge der Primzahlen formula_1 „möglichst zufällig“ verhält. Das sollte sich zum Beispiel dadurch äußern, dass die Abfolge der Ereignisse, dass eine Zahl formula_2 eine "gerade" Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie zum Beispiel formula_3, oder eine "ungerade" Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie formula_4, für formula_5 auf lange Sicht ungefähr ein Verhalten aufweist, das auch ein häufig wiederholter Münzwurf mit „Kopf“ und „Zahl“ haben könnte. Eine Theorie, welche die Riemannsche Vermutung löst und damit eine tiefere "Erklärung" für diese Zufälligkeit unter den Primzahlen lieferte, könnte daher aus Sicht der Mathematiker ein fundamental neues Verständnis für Zahlen im Allgemeinen nach sich ziehen., Übersetzt man dies in die Fachsprache der analytischen Zahlentheorie, ist die Riemannsche Vermutung gleichbedeutend mit der Aussage, dass sämtliche komplexe Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion im sog. kritischen Streifen den Realteil formula_6 besitzen. Die Zeta-Funktion ist eine mathematische Funktion, die Informationen über Primzahlen in ihrem Abbildungsverhalten kodiert: Bereits Leonhard Euler erkannte, dass sie sich als ein Euler-Produkt über die Primzahlen darstellen lässt, sich die Funktionswerte also mit Hilfe der Primzahlen bestimmen lassen. Auf der anderen Seite kann die Zeta-Funktion als ein Produkt über ihre Nullstellen dargestellt werden, ähnlich wie sich Polynome durch ihre Nullstellen faktorisieren lassen, wie etwa formula_7. Es liegen also zwei "verschiedene" Produktdarstellungen "derselben" Funktion vor. Durch dieses hiervon induzierte Zusammenspiel ergibt sich, dass die Nullstellen Eigenschaften der Primzahlen kodieren, und die Primzahlen wiederum Eigenschaften der Nullstellen., Es ist schon bekannt und bewiesen, dass die Zeta-Funktion reelle Nullstellen formula_8 hat, die sogenannten "trivialen" Nullstellen. Ferner weiß man seit Beginn des 20. Jahrhunderts, dass die Zeta-Funktion unendlich viele nichtreelle Nullstellen mit dem Realteil formula_6 besitzt. Die Riemannsche Vermutung besagt also, dass es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt, d.h., dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden in der Zahlenebene parallel zur imaginären Achse liegen. Da die Zeta-Funktion über eine Funktionalgleichung ein elementares Spiegelungsgesetz bezüglich formula_10 besitzt, ist sie äquivalent dazu, dass sich sämtliche Nullstellen „möglichst weit links“ befinden, wobei „linke Nullstellen“ eine eher gleichmäßige Primzahlverteilung zur Folge haben. Gleichzeitig baut die bloße Existenz von diesen Nullstellen eine natürliche Barriere auf, die so gedeutet werden kann, dass Primzahlen nicht beliebig gleichmäßig, wie etwa „Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, ...“, verteilt sein können., Die Riemannsche Vermutung ist sehr bedeutsam für die moderne Mathematik und wird von einigen führenden Mathematikern sogar als das derzeit wichtigste Problem der reinen Mathematik angesehen. Viele bisher ungelöste Fragestellungen, besonders aus der Zahlentheorie, können mit ihrer Richtigkeit beantwortet werden. Dies betrifft Probleme aus der mathematischen Grundlagenforschung, wie etwa solche der Primzahlverteilung im Umfeld des Primzahlsatzes oder der offenen Goldbachschen Vermutung, als auch der angewandten Mathematik, wie schnelle Primzahltests. Gleichzeitig gilt sie auch als äußerst schwierig zu beweisen. Bisherige Beweisversuche von prominenten Mathematikern scheiterten allesamt. Ein Grund hierfür ist, dass die Menschheit aus Expertensicht bisher nicht über die nötigen mathematischen Werkzeuge verfügt, sie überhaupt angreifen zu können. So gilt es als sehr wahrscheinlich, dass sie nicht mit rein analytischen Mitteln, also durch bloße Untersuchung des „Funktionsterms“ der Zeta-Funktion mittels des Theorieapperats der holomorphen Funktionen, gezeigt werden kann, sondern mit dem Euler-Produkt eine entscheidende arithmetische Komponente mitspielen muss. So gibt es andere Zeta-Funktionen, die der Riemannschen Zeta-Funktion in ihren Eigenschaften sehr stark ähneln, jedoch kein Euler-Produkt besitzen, und bei denen die Riemannsche Vermutung erwiesenermaßen falsch ist., Durch umfassenden Einsatz von Computern ist es gelungen, die Riemannsche Vermutung für die ersten 10 Billionen Nullstellen der Zeta-Funktion zu bestätigen. Da die Zeta-Funktion jedoch nachweislich unendlich viele nichtreelle Nullstellen besitzt, könnte sie auf diese Weise nur durch Angabe eines expliziten Gegenbeispiels widerlegt, jedoch nicht bewiesen werden. Ein Gegenbeispiel wäre eine Nullstelle im kritischen Streifen mit Realteil ungleich formula_6., Überblick., Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 ... beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 .... Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Primzahlen bilden gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Dieses Resultat wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11., Trotz ihrer einfachen Definition ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik. Die Riemannsche Vermutung ist eine bis heute nicht bewiesene Aussage über die Verteilung der Primzahlen und motiviert sich aus folgenden Fragestellungen:, Auf den ersten Blick sind dies Fragen sehr spezieller Natur, lediglich die Theorie der Zahlen, bzw. Primzahlen, betreffend. Mathematiker, und später auch Physiker, haben jedoch herausgefunden, dass sie mit einer Vielzahl von Strukturen zusammenhängen, die zahlreiche Felder der mathematischen Wissenschaften verknüpfen. Dies betrifft etwa die Quantenphysik, aber auch die Wahrscheinlichkeitstheorie, jener Zweig der Mathematik, der sich mit dem Zufall befasst. All diese Zusammenhänge sind bisher weder exakt formalisiert, noch verstanden worden. Sie alle münden jedoch gemeinsam in der Riemannschen Vermutung: Die Primzahlen stehen in einer "Dualität" zu einem anderen Typ mathematischer Objekte. Dabei bedeutet Dualität, dass es eine natürliche Paarung zwischen den Primzahlen und diesen anderen Objekten gibt. In etwa übertragen sich Informationen über die Primzahlen zu diesen anderen Objekten, aber auch vice versa kodieren Primzahlen Informationen über ihre „Partnerobjekte“. Bei diesen Objekten handelt es sich wieder um Zahlen. Diese unterteilen sich in zwei Kategorien:, Im Kontrast zu der „völlig willkürlichen Anordnung“ der Primzahlen scheint den nichttrivialen „Dualzahlen“ ein sehr strenges Muster zu Grunde zu liegen: wie alle komplexen Zahlen können sie zunächst auf einer Ebene visualisiert werden, und die Riemannsche Vermutung sagt aus, dass die zu den Primzahlen gehörigen nichttrivialen „Dualzahlen“ innerhalb der Ebene "alle" auf einer gemeinsamen Geraden platziert sind. Sie tragen demnach vermutlich eine starke geometrische Symmetrie., Die Gründe, weshalb ein Beweis der Riemannschen Vermutung bahnbrechend für die Mathematik wäre, sind vielseitig: Die geometrische Lage der nichttrivialen „Dualzahlen“ birgt Informationen zu der Verteilung der Primzahlen. Kennt man alle Dualzahlen, so kann damit sogar die exakte Verteilung der Primzahlen rechnerisch beliebig genau rekonstruiert werden (siehe unteres Bild zur Primzahlhäufigkeit). Durch das Dualitätsprinzip gehen also wechselseitig keine Informationen verloren. In theoretischer Hinsicht ließe sich die Lage auf einer gemeinsamen Geraden dadurch interpretieren, dass die Primzahlen möglichst gleichmäßig und damit pseudozufällig verteilt sind. Sie liegen also „alle bereits fest“, jedoch ist es schwierig, dem Verteilungsmuster einfache Notwendigkeiten abzuringen. Zum Beispiel kann in den Primfaktorzerlegungen der benachbarten Zahlen, bislang kein notwendiger Zusammenhang erkannt werden. Viele bisher nicht bewiesene Vermutungen der Zahlentheorie würden zudem aus dem Beweis der Riemannhypothese als „Zugabe“ direkt mit folgen. Dazu zählen auch verbesserte Primzahltests, die in der Kryptographie praktische Anwendungen finden. Die Theorie der Riemannschen Vermutung führt darüber hinaus viele Gebiete der Mathematik zusammen. Tut dies eine Theorie, spricht dies für eine Form der "Fundamentalität". Beispiel einer solchen "fundamentalen" Theorie ist der Ende des 20. Jahrhunderts bewiesene Modularitätssatz, der mit elliptische Kurven und Modulformen zwei auf den ersten Blick völlig verschiedene Theorien zusammenbrachte. Ein tieferes Verständnis der Primzahlen könnte auch neue Entwicklungen in der Quantenphysik nach sich ziehen. Wäre die Symmetrie unter den „Dualzahlen“ erfüllt, könnte dieses System zum Beispiel möglicherweise als Quasikristall aufgefasst werden., Das Phänomen der "Dualität" lässt sich anhand einer berühmten anderen Zahlenfolge veranschaulichen, der Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 .... Die Folge beginnt per Definition mit 0 und 1, und die Summe der beiden vorherigen Zahlen ergibt stets die folgende Zahl. In der Mathematik bezeichnet man solche Folgen auch als rekursiv. Die Fibonacci-Folge lässt sich damit implizit durch formula_14 und formula_15 mit formula_16 definieren. Die Relation formula_17 schlägt eine Brücke in die Algebra, wo sie in der Gleichung formula_18 Ausdruck findet. Diese quadratische Gleichung kann durch die Mitternachtsformel gelö: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Analytische Funktion, Analytische Zahlentheorie, Bernhard Riemann als Namensgeber, Funktionentheorie], Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche ζ-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18.Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben formula_1 (Zeta)., Ihr Definitionsbereich umfasst alle komplexen Zahlen außer der Zahl formula_2. Für Werte formula_3 mit Realteil größer als formula_2 wird die Riemannsche Zeta-Funktion über eine Dirichlet-Reihe definiert. Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf formula_5 holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann., Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist der Zusammenhang der Zeta-Funktion mit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. Auf dieser Basis konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. So folgt aus der Tatsache formula_6 für alle komplexen Zahlen formula_7 mit formula_8 bereits, dass die formula_9-te Primzahl formula_10 „recht genau“ den Wert formula_11 hat– genauer gesagt folgt, Hier bezeichnet formula_13 den natürlichen Logarithmus von formula_9. Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bisher unbewiesene Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil formula_15 haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Aufgrund der Bedeutung der Primzahlen für moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschlüsselung) genießt die Riemannsche Vermutung auch außerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit., Das Verhalten der Riemannschen Zeta-Funktion in den Bereichen formula_8 und formula_17 gilt als gut verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des "kritischen Streifens" formula_18 weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilung. Nach heutigem Wissensstand beschreibt die Zeta-Funktion im Streifen formula_19 im Wesentlichen Chaos. Die Werte der Nullstellen bauen nicht nur Brücken zur Theorie der Primzahlen, sondern höchstwahrscheinlich auch zur modernen Quantenphysik. Weitere Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms)., Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 gehörigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlkörper formula_20 (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion., Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen Zeta-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey., Notation., Im ganzen Artikel bezeichnet formula_21 die imaginäre Einheit und formula_22 die Eulersche Zahl. Zudem wird formula_7 häufig als komplexe Variable verwendet, die oft in formula_24 zerlegt wird., Des Weiteren wird oft die O-Notation von Landau für die Angabe von Fehlergrößen verwendet. Verhalten sich zwei (unbeschränkte) Funktionen formula_25 und formula_26 für wachsendes Argument gleich, gilt also formula_27, so wird dies mit formula_28 notiert., Einordnung ohne mathematisches Vorwissen., Motivation., Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 ... beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 ... Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11 ... niemals enden wird., Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11. Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik., Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz 2, 3, 5, 7, 11 ... unerreichbar fern ist, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Dabei hilft zum Beispiel die Vorstellung, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich des Konsum- und Wahlverhaltens) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, "wie viele" Primzahlen es unterhalb einer fest gewählten Zahl gibt., Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen, nämlich, Ende des 19. Jahrhunderts konnte als Folgerung des Primzahlsatzes eine verblüffend genaue Abschätzung für die Verteilung der Primzahlen bewiesen werden. Der Primzahlsatz wurde bereits im 18.Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß (in den Jahren 1792/93) vermutet. Die Abschätzung wurde bereits vor einem Beweis des Primzahlsatzes von Riemann gegeben und tritt als eine Formel in Erscheinung, die die schnelle Berechnung eines Vorhersagewertes zulässt. Mit dieser Formel kann zu einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, in vernünftiger Zeit geschätzt werden. Die Formel zur Vorhersage wird prozentual immer genauer, je größer die Zahl gewählt wird (jedoch mit Schwankungen). Beispielsweise liefert sie für den Wert 50 die Prognose 14,97 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben), womit der Fehler bei 0,16 Prozent liegt. Weiter sagt sie rund 78.527 Primzahlen unter der Zahl 1.000.000 voraus– tatsächlich sind es 78.498. Dies entspricht einer Abweichung von 0,037 Prozent., Ein mögliches Werkzeug zum Beweis dieser Formel ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Dabei wird ausgenutzt, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Also werden die Eigenschaften der Primzahlen in dieser Funktion versteckt abgespeichert. Erhöht sich das Wissen um die Zeta-Funktion, so auch das Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden., Die Nullstellen der Zeta-Funktion erzeugen einen Korrekturterm obiger Formel, der sie in einen "exakten" Ausdruck umwandelt. Diese dadurch entstehende "exakte Formel" kennt also die Verteilung der Primzahlen bis ins letzte Detail. Damit gelten die Fragen um die Primzahlen jedoch nicht als gelöst: der Rechenaufwand nimmt mit steigenden Werten sehr stark zu und somit sind praktische Berechnungen mit dieser Formel nicht effektiv. Für numerische Forschung eignen sich im Gegensatz dazu moderne Primzahltests besser., Die "exakte Formel" ist jedoch von theoretischem Interesse: sie birgt nämlich den Fehlerabstand zwischen der einfachen Vorhersage und der tatsächlichen Primzahlverteilung. Es wird vermutet, dass dieser Fehler (innerhalb des Spektrums aller Möglichkeiten) kleinstmöglich ist. Dabei wäre eine Entschlüsselung dieses Fehlers nicht so sehr für die Numerik von Relevanz. Vielmehr ist die reine Mathematik bestrebt, den bisher verborgenen "Grund" zu erfahren, weshalb der Fehler (falls zutreffend) so klein wie möglich ausfällt., Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch praktische Anwendungen. So kommen beispielsweise bei Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz., Wie „funktioniert“ die Zeta-Funktion?, Eine mathematische Funktion ist im Grunde wie eine Rechenmaschine. Man gibt einen Wert in die Funktion ein, und diese liefert dann ein Ergebnis in Abhängigkeit vom Eingabewert, zumindest theoretisch. Damit ist gemeint, dass die Funktion an sich nicht rechnet, sondern meist nur eine Rechenvorschrift formelhaft festhält. Einfaches Beispiel für eine Funktion ist die quadratische Funktion, welche die Eingabe mit sich selbst multipliziert. Formelhaft schreibt man dies als formula_29. Somit ordnet die quadratische Funktion beispielsweise der Zahl formula_30 den Wert formula_31 zu. Rechnet man dies aus, ergibt sich formula_32, also formula_33., Im Prinzip funktioniert die Riemannsche Zeta-Funktion genau wie das obere Beispiel, nur dass die Rechenvorschrift etwas komplizierter ist. Um diese zu verstehen, muss das Konzept der unendlichen Reihen bekannt sein. Eine (konvergente) Reihe ist grob gesagt eine Summe von Zahlen, die niemals endet und die sich einer Zahl immer mehr annähert. Ein elementares nicht-triviales Beispiel einer Reihe fußt auf der Zahl formula_34, die in Dezimalschreibweise nicht geschlossen, sondern nur durch die unendliche periodische Entwicklung, geschrieben werden kann. Schaut man genauer hin, sieht man, dass dies gerade die Summe aller kehrwertiger 10er-Potenzen ist:, Damit sich die unendlich lange Summe einem Wert annähert, muss gewährleistet sein, dass die Summanden „schnell genug klein“ werden., Die Riemannsche Zeta-Funktion ist nun vergleichbar mit einer Rechenmaschine, die zu einer gegebenen Zahl formula_37 die unendliche Summe der Kehrwerte aller natürlichen Potenzen mit diesem Exponenten bildet. Als mathematische Formel lautet diese Vorschrift, Um das besser zu verstehen, betrachtet man das Beispiel der Eingabe: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Satz (Zahlentheorie), Zahlentheoretischer Algorithmus], Das quadratische Reziprozitätsgesetz, gelegentlich auch Gaußsches Reziprozitätsgesetz, ist ein grundlegendes Gesetz aus der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es beschäftigt sich mit der Frage, ob es zu einer ganzen Zahl formula_1 und einer ungeraden Primzahl formula_2 eine Quadratzahl formula_3 gibt, sodass die Differenz formula_4 durch formula_2 teilbar ist. Genau genommen gibt es, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer Primzahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Leonhard Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen algebraischen Zahlentheorie., Um die genaue Aussage des quadratische Reziprozitätsgesetzes zu verstehen, sind lediglich die Konzepte der Quadratzahlen, der Primzahlen und der Teilbarkeit ganzer Zahlen mit Rest vonnöten. Seine Formulierung beginnt mit der Auswahl zweier ungerader, ungleicher Primzahlen formula_2 und formula_7, etwa formula_8 und formula_9. Im Zentrum steht die folgende Fragestellung:, Innerhalb dieser Fragestellung haben die beiden Primzahlen formula_2 und formula_7 eine "unterschiedliche" Stellung (formula_2 ist „Teiler“ und formula_7 ist „Subtrahend“). Das Wort „Reziprozität“ (von „reziprok“, also "wechselseitig") deutet nun an, dass dieselbe Frage ebenfalls unter Vertauschung der Rollen beider Primzahlen gefragt werden kann: Gibt es also eine (zweite) Quadratzahl formula_20, sodass formula_7 wiederum die Differenz formula_22 teilt? Das quadratische Reziprozitätsgesetz formuliert eine einfache Regel, die die Lösbarkeit der zwei Aufgaben, die durch "Vertauschen der Rollen beider Primzahlen" entstehen, miteinander in Beziehung setzt. Es unterscheidet:, Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist aus mathematischer Sicht unter anderem von Interesse, da es kausale Zusammenhänge zwischen scheinbar völlig verschiedenen Fragestellungen aufbaut. Das führt dazu, dass die Lösung einer mitunter sehr schweren Aufgabe auf das Lösen einer leichten Aufgabe zurückgeführt werden kann, weshalb es für konkrete Berechnungen von Nutzen ist. Zahlreiche Anwendungen findet es in der Zahlentheorie, der Theorie diophantischer Gleichungen, aber auch in praktischen Gebieten wie der Kryptographie., Gauß selbst hat acht methodisch verschiedene Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz vorgelegt. Da er die Bedeutung des Resultats bereits als außerordentlich hoch erkannte, bezeichnete er sein Resultat als „Fundamentaltheorem“ bzw. „"Theorema aureum"“ (deutsch: „Goldener Satz“) der Zahlentheorie. Die Bezeichnung „Reziprozitätsgesetz“ geht indes auf Adrien-Marie Legendre zurück, der im Jahr 1785 einen unvollständigen Beweis lieferte. Spätere (vollständige) Beweise stammen unter anderem von Gotthold Eisenstein, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Richard Dedekind und Jegor Iwanowitsch Solotarjow. Bis heute sind mehr als 300 verschiedene Beweise publiziert worden. Trotz elementarer Beweise liegt das Wesen der „Reziprozität“, wie schon Gauß vermutete, relativ tief, nämlich in der Primfaktorzerlegung in den Kreisteilungskörpern., Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht Aussagen über die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen in der modularen Arithmetik. Die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades führt auf die höheren Reziprozitätsgesetze, was eine der treibenden Kräfte der algebraischen Zahlentheorie seit Gauß war. Den Fall dritten Grades, das kubische Reziprozitätsgesetz, behandelte Gotthold Eisenstein, den Fall vierten Grades Gauß, wobei jedoch Carl Gustav Jacobi den ersten vollständigen Beweis vorlegte. Eine moderne, sehr viel tiefer liegende, Verallgemeinerung findet sich in den Grundlagen der Klassenkörpertheorie., Fragestellung und Grundlagen., Das quadratische Reziprozitätsgesetz motiviert sich aus der Aufgabe, schnell über die Lösbarkeit quadratischer Kongruenzen entscheiden zu können. Im Falle von Primzahlen entspricht dies einer quadratischen Gleichung über einem endlichen Körper. Für ein genaues Verständnis seiner Aussage werden die folgenden Grundlagen zusammengefasst., Endliche Körper., In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge, innerhalb der, einfach gesprochen, mit den vier Grundrechenarten gerechnet werden kann. Dabei sollen die aus der Schulmathematik bekannten Regeln des Kommutativgesetzes (Vertauschbarkeit bei „Plus“ und „Mal“), Assoziativgesetzes (Vertauschbarkeit von Klammern bei „nur Plus“ oder „nur Mal“) und Distributivgesetzes („Ausklammern“ und „Ausmultiplizieren“) gelten. Außerdem muss stets das Element formula_61 ("neutrales Element der Addition") und formula_26 ("neutrales Element der Multiplikation") Teil eines Körpers sein. Insbesondere soll durch jede Zahl ungleich der formula_61 dividiert werden können. Wichtige Beispiele sind der Körper der reellen Zahlen (Bezeichnung: formula_64) oder der Körper der rationalen Zahlen (Bezeichnung: formula_65)., Eine wichtige Forderung ist, dass keine der erlaubten Rechenoperationen dazu führt, dass man die den Körper definierende Zahlenmenge verlässt. So ist es etwa in Körpern im Allgemeinen "nicht" erlaubt, Quadratwurzeln zu ziehen. Es ist formula_66 ein Element von formula_65, kurz formula_68, aber formula_69 ist eine irrationale Zahl, also formula_70. Ähnlich besitzt formula_71 keine Quadratwurzel in den reellen Zahlen. Grundsätzlich ist das Konzept einer Quadratwurzel in einem Körper aber indirekt erklärt, da die umgekehrte Operation, nämlich die "Multiplikation" einer Zahl mit sich selbst, in Körpern definiert ist, wobei die Existenz eine andere Frage ist., Eine Fragestellung aus der Algebra ist, wie Körper aussehen können, also in welchen Typen von Mengen ein „abgeschlossenes Rechnen“ möglich ist. So kann man weitere nichtrationale Zahlen zu formula_65 hinzunehmen, um größere Körper zu konstruieren. Ein Beispiel ist der Körper formula_73, der aus allen Zahlen formula_74 mit formula_75 besteht (siehe auch: Zahlkörper, und zum Beispiel Quadratischer Zahlkörper). Rechnungen wie, sind Prototypen für die Abgeschlossenheit der vier Grundrechenarten in formula_73. Es ist formula_73, zusammen mit formula_65 und formula_64, ein weiteres Beispiel für einen Körper mit unendlich vielen Elementen. Bemerkenswert ist es aber, dass auch Körper formula_81 mit nur "endlich vielen" Elementen existieren. Das Rechnen in diesen Bereichen weicht, obwohl die Gesetze letztlich die gleichen sind, von der „klassischen Anschauung“ ab. Das beginnt damit, dass die Elemente, nicht alle verschieden sein können, da formula_81 nur endlich viele Elemente hat. Da man stets formula_84 hat (sonst wäre formula_85, und diesen trivialen Fall schließt man aus), gibt es damit eine "kleinste natürliche Zahl" formula_2, sodass, in formula_81 erstmals erfüllt ist. Diese Kennzahl wird "Charakteristik des Körpers formula_81" genannt, also formula_90. Sie ist stets eine Primzahl, denn wäre zum Beispiel formula_91 zusammengesetzt, so müsste formula_92 sein, und es wäre bereits formula_93 oder formula_94, also formula_95, was der Annahme formula_96 wegen der Minimalität der Charakteristik direkt widerspräche., Um das Rechnen in endlichen Körpern genau zu verstehen, ist der Umgang mit Resten bei Divisionsaufgaben notwendig. Nichttriviale Reste entstehen bei Divisionen, die nicht aufgehen. Etwa ist formula_36 geteilt durch formula_15 gleich formula_45 mit Rest formula_25. In den einfachsten Beispielen endlicher Körper wird mit genau diesen Resten gerechnet. Dies kann anhand eines Beispiels demonstriert werden: Es gibt genau fünf mögliche Reste bei der Division durch formula_15, und diese korrespondieren zu, mit formula_103 Menge der ganzen Zahlen, und formula_104 (d.h. alle ganzen Vielfache der Zahl formula_15). Dabei bedeuten die Über-Striche, dass "alle" Zahlen, die bei Division mit formula_15 den entsprechenden Rest haben, "gemeinsam" bzw. "gebündelt" betrachtet werden. Etwa besteht, aus genau jenen Zahlen, die bei Division mit formula_15 den Rest formula_25 haben. Die Zahlen von formula_61 bis formula_25 sind ferner lediglich "Repräsentanten" einer ganzen "Restklasse", zum Beispiel gelten die Gleichheiten, Die jeweiligen Repräsentanten ergeben bei Division durch formula_15 alle den"selben Rest" formula_25 und gehören so zur selben Restklasse. Man sieht damit, dass additive Vielfache von formula_15 in diesem Beispiel für die Zugehörigkeit zur gleichen Restklasse stets keine Rolle spielen. Mit anderen Worten: Während eine ganze Zahl stets erst durch ihre Zähl"größe" vollständig bestimmt ist, handelt es sich bei Restklassen um "reduzierte" Zahlen. "Nur" noch der Rest ist entscheidend, nicht mehr die Größe., Mit Restklassen "modulo" formula_15 kann nun in den vier Grundrechenarten gerechnet werden. Dabei gelten im Grunde dieselben Regeln wie beim Rechnen in den ganzen Zahlen formula_117: Zum Beispiel ist, Wichtig ist an dieser Stelle, zu zeigen, dass dies "wohldefiniert" ist, dass also bei der Auswahl anderer Repräsentanten stets das gleiche Ergebnis herauskommt. Da die Differenz zweier Repräsentanten aber stets durch formula_15 teilbar ist, liegt dies auf der Hand: Zum Beispiel ist (vgl. oberes Beispiel), aber auch, Ganz ähnliche Überlegungen gelten bei der Wohldefiniertheit der Multiplikation., Auch die Division ist innerhalb von formula_141 möglich (schließt man formula_142 aus), denn um allgemein dividieren zu können, ist für jedes formula_1 lediglich die Existenz eines Inversen formula_144 mit, vonnöten (wie etwa formula_45 und formula_147 im Fall der rationalen Zahlen). Für den Nachweis, dass es stets ein Inverses gibt, ist entscheidend, dass formula_15 eine Primzahl ist: Teilt eine Primzahl ein Produkt formula_149 zweier ganzer Zahlen, muss bereits mindestens einer der Faktoren durch diese teilbar sein. Hat man dies zur Hand, ist die Argumentation die folgende: Für ein Element formula_150, das man invertieren möchte, betrachtet man alle möglichen Vielfachen (ungleich Null):, Die Restklasse formula_142 taucht in dieser Liste nicht auf, denn keine der Zahlen formula_153 ist durch formula_15 teilbar. Ferner sind alle Einträge der Liste "paarweise verschieden", denn es ist formula_155 gleichbedeutend damit, dass formula_156, ergo formula_157. Da formula_1 nicht durch formula_15 teilbar ist, muss formula_160 durch formula_15 teilbar sein. Die Differenz formula_160 liegt nach Wahl der obigen Repräsentanten formula_163 im Intervall formula_164, und nur: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Ebene Geometrie, Körpertheorie, Synthetische Geometrie], Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl formula_1 (halber Kreisumfang) aus der Strecke, deren Länge gleichformula_2 Längenmaßeinheit ist. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von formula_1 unlösbar. Erst im Jahre 1882 konnte dies von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden., Die Quadratur des Kreises gehört zu den populärsten Problemen der Mathematik. Jahrhundertelang suchten neben Mathematikern auch immer wieder Laien vergeblich nach einer Lösung. Der Begriff "Quadratur des Kreises" ist in vielen Sprachen zu einer Metapher für eine unlösbare Aufgabe geworden., Geschichte., Vorgeschichte., Bereits in den altorientalischen Hochkulturen gab es Verfahren zur Berechnung von Kreisflächen. Beispielsweise wird im Papyrus Rhind (um 1550 v. Chr.) der Durchmesser des Kreises in 9 Teile geteilt. Sein genauer Flächeninhalt in diesen Einheiten ist formula_4. Dieser Wert wird dann durch ein Quadrat der Kantenlänge 8 angenähert, also durch formula_5 (siehe hierzu "Aus dem Papyrus Rhind"). In einem zweiten Verfahren wird der Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck angenähert. Dazu werden von dem 9×9-Quadrat, in das er einbeschrieben ist, an allen vier Ecken gleiche Dreiecke mit zusammen 18 Flächeneinheiten abgeschnitten, sodass 63 übrig bleiben. Derartige Musterlösungen waren aus der Praxis gewonnen und für die Praxis bestimmt, es gab keine weitergehenden theoretischen Überlegungen, insbesondere wurde kein Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherung gemacht., Eine deduktive Vorgehensweise in der Mathematik, bei der durch Beweise gestützte Sätze die Musteraufgaben ersetzen, entwickelte sich ab dem 6. Jahrhundert v.Chr. in Griechenland. Ansatzweise ist sie schon bei Thales von Milet, deutlicher in der von Pythagoras von Samos gegründeten Schule der Pythagoreer zu erkennen. Mit der gemeinhin dem Pythagoreer Hippasos von Metapont zugeschriebenen Entdeckung inkommensurabler Strecken im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v.Chr. stellte sich heraus, dass es konstruierbare Objekte gibt (beispielsweise die Diagonale eines Quadrats), die nicht als ganzzahliges Verhältnis darstellbar sind. Dies schien bemerkenswert, da die einzigen bekannten Arten von Zahlen die ganzen Zahlen und die Verhältnisse ganzer Zahlen (im heutigen Sprachgebrauch die „rationalen Zahlen“) waren. Beliebige geometrische Strecken mussten dementsprechend stets kommensurabel sein, also in einem ganzzahligen Längenverhältnis zueinander stehen. Durch die Entdeckung waren nun Längen geometrisch konstruierbar, die arithmetisch nicht als „Zahl“ im bisherigen Sinn darstellbar waren (im heutigen Sprachgebrauch handelt es sich um „irrationale Zahlen“). Die Geometrie konnte plötzlich mehr darstellen, als die Arithmetik es vermochte. Als Folge dieser Entdeckung trat die Arithmetik zugunsten der Geometrie in den Hintergrund, Gleichungen mussten jetzt geometrisch gelöst werden, etwa durch Aneinanderlegung von Figuren und Überführung verschiedener Figuren in Rechtecke oder Quadrate. Aus dem späten 5. Jahrhundert stammen die drei klassischen Konstruktionsprobleme der antiken Mathematik, neben der Quadratur des Kreises noch die Aufgabe der Dreiteilung des Winkels und das Delische Problem der Verdoppelung des Würfels., Eine Beschränkung der Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal wurde dabei nicht generell gefordert. Während der Beschäftigung mit den klassischen Problemen wurden schon früh Lösungen gefunden, die auf weitergehenden Hilfsmitteln basieren. Allerdings kristallisierte sich im Lauf der Zeit eine Haltung heraus, die eine möglichst weitgehende Beschränkung verlangt. Spätestens bei Pappos war diese weitestgehende Beschränkung zur Maßregel geworden., Frühe Arbeiten., Als einer der ersten soll dem griechischen Schriftsteller Plutarch zufolge der Philosoph Anaxagoras „im Gefängnis die Quadratur des Kreises aufgeschrieben (oder: gezeichnet, )“ haben, nähere Angaben zu Anaxagoras’ Konstruktion macht Plutarch nicht. Ein Gefängnisaufenthalt des Anaxagoras wäre auf etwa 430 v.Chr. zu datieren, als der Philosoph in Athen wegen Gottlosigkeit angeklagt war., Ausführlichere Quellen zu den Anfängen der Forschung sind hauptsächlich spätantike Kommentare zu Werken des Aristoteles, Schriften also, die mit einer zeitlichen Distanz von rund 900 Jahren entstanden sind. Dementsprechend unsicher sind zeitliche Reihenfolge und genaue Gedankengänge der ersten Ansätze. Die wichtigsten Arbeiten des 5. Jahrhunderts v. Chr. stammen von Hippokrates von Chios, Antiphon, Bryson von Herakleia und Hippias von Elis., Die Überführung von Dreiecken in Rechtecke, von Rechtecken in Quadrate (Quadratur des Rechtecks) oder die Addition zweier Quadrate (Satz des Pythagoras) war mit den bekannten geometrischen Sätzen bereits damals elementar zu bewältigen. Hippokrates von Chios konnte um 440 v.Chr. ein Beispiel für eine krummlinig begrenzte Fläche geben, die exakt in ein Quadrat überführt werden konnte. Ausgehend von dem bei ihm noch als Axiom benutzten Satz, dass sich die Flächeninhalte ähnlicher Kreissegmente wie die Quadrate über ihren Sehnen verhalten, gelang es Hippokrates, von Kreisbögen begrenzte Flächen, die sogenannten „Möndchen des Hippokrates“, zu quadrieren. Die Quadratur des Kreises ist auf diese Weise jedoch nicht zu erreichen, da nur bestimmte Möndchen –zum Beispiel die über der Seite des Quadrats, nicht jedoch die über der Seite eines regelmäßigen Sechsecks– quadrierbar sind., Dass Dreiecke (und damit beliebige Vielecke) in ein Quadrat übergeführt werden konnten, war ein zweiter Ansatz, ein dem Kreis flächengleiches Polygon zu konstruieren. Antiphon hatte die Idee, den Kreis durch einbeschriebene Vielecke anzunähern. Bryson von Herakleia verfeinerte dieses Vorgehen, indem er den Kreis zusätzlich durch umbeschriebene Vielecke näherte und einen Zwischenwert bildete., Hippias von Elis entwickelte etwa 425 v.Chr. zur Lösung der Winkeldreiteilung eine Kurve, die mechanisch durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung erzeugt wurde. Gut hundert Jahre später entdeckte Deinostratos, dass mithilfe dieser Kurve, der sogenannten Quadratrix, die Strecke der Länge formula_6 –und damit mithilfe weiterer elementarer Konstruktionen ein Quadrat mit dem Flächeninhalt formula_1– konstruiert werden kann. Da die Quadratrix selbst jedoch eine sogenannte" transzendente Kurve" ist (siehe hierzu "Beweis der Unmöglichkeit"), also nicht mit Zirkel und Lineal zu erzeugen ist, war die Lösung im strengen Sinne damit nicht erreicht., Archimedes., Eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel "Kreismessung" ist von Archimedes überliefert. Archimedes bewies in dieser Arbeit drei grundlegende Sätze:, Mit dem ersten Satz wurde das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage nach der Konstruierbarkeit des Umfangs eines Kreises aus dem vorgegebenen Radius und damit auf die Konstruierbarkeit von formula_1 zurückgeführt. Im dritten Satz gab Archimedes gleich eine ebenso einfache wie genaue Näherung dieser Zahl an, nämlich, ein Wert (≈ 3,143), der für praktische Zwecke noch heute Verwendung findet. Der zweite Satz ist ein einfaches Korollar aus den beiden anderen; dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält, und war bereits Euklid bekannt. Archimedes gab hier den Wert der Proportionalitätskonstanten an., Zum Beweis seiner Aussagen zog Archimedes die Idee des Bryson von Herakleia heran, mit der man eine beliebige Annäherung des Kreises durch ein- und umbeschriebene regelmäßige Polygone erreicht. Ausgehend vom einbeschriebenen Sechseck und umbeschriebenen Dreieck gelangte Archimedes durch sukzessive Verdoppelung der Seitenzahl jeweils beim 96-Eck an. Eine geschickte Abschätzung der in den einzelnen Rechenschritten auftretenden Quadratwurzeln ergab seine in Satz 3 genannten Schranken., In einer weiteren Arbeit "Über Spiralen" beschrieb Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten archimedischen Spirale, die ähnlich wie Hippias’ Quadratrix durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung gewonnen wird. Er zeigte, dass durch das Anlegen der Tangente an diese Spirale der Umfang eines Kreises auf einer Geraden abgetragen werden kann, wodurch eine Quadratur des Kreises möglich wird. Die (nicht-klassische) Lösung mit seiner Spirale wird im Abschnitt "Quadratur des Kreises mithilfe der archimedischen Spirale" beschrieben. Wie bei der Quadratrix sind allerdings weder seine Spirale selbst noch etwa ihre Tangente mit Zirkel und Lineal konstruierbar., Mittelalter., Infolge eines verstärkten Interesses für die antike Mathematik im christlichen Europa ab etwa dem 11. Jahrhundert entstanden etliche Abhandlungen über die Quadratur des Kreises, jedoch ohne dass dabei wesentliche Beiträge zur eigentlichen Lösung geleistet wurden. Als Rückschritt zu betrachten ist, dass im Mittelalter der Archimedische Näherungswert von für die Kreiszahl lange Zeit als exakt galt., Einer der ersten Autoren des Mittelalters, der das Problem der Kreisquadratur wiederaufnahm, war Franco von Lüttich. Um 1050 entstand sein Werk "De quadratura circuli." Franco stellt darin zunächst drei Quadraturen vor, die er verwirft. Die ersten beiden geben für die Seitenlänge des Quadrates beziehungsweise für die Diagonale des Kreisdurchmessers an, was relativ schlechten Näherungen von und für formula_1 entspricht. Der dritte Vorschlag wiederum setzt den Umfang des Quadrates dem Kreisumfang gleich, verlangt also die Rektifikation des letzteren., Francos eigene Lösung geht von einem Kreis mit Durchmesser 14 aus. Dessen Fläche setzt er als genau 72× =154 an. Nach Francos Argumentation lässt sich rechnerisch kein flächengleiches Quadrat finden, da die Quadratwurzel aus irrational ist, als geometrisch konstruierbare inkommensurable Strecke (siehe Vorgeschichte) jedoch liefert die Quadratwurzel aus die Quadratur. Dazu zerlegt er den Kreis in 44 gleiche Sektoren, die er zu einem Rechteck der Seitenlängen 11 und 14 zusammenfügt. Den nötigen Kunstgriff, bei dem er die Kreissektoren durch rechtwinklige Dreiecke mit: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

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Find the volume of the largest rectangular box with edges parallel to the axes that can be inscribed in the ellipsoid x^2/25+y^2/16+z^2/49=1 Hint: By symmetry, you can restrict your attention to the first octant (where x,y,z=>0), and assume your volume has the form V=8xyz. Then arguing by symmetry, you need only look for points which achieve the maximum which lie in the first octant. Maximum volume:___

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π乘n等于几是怎么计算的?乘法要从小数最后一位开始乘起,才能算出进位情况,而Π有无限位小数,永远不可能完整写出,那么计算器如何能算出π*n的值?甚至算出π*π的值?

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A function $v(x, y)$ obeys the PDE: $$ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+v=y, \quad 0<x<\pi, 0<y<1 $$ The boundary conditions on $v(x, y)$ are: $$ v=0 \text { on } y=0 \text { and } y=1 $$ with $$ v_x=f(y) \text { on } x=0 $$ and $$ v=0 \quad \text { on } x=\pi $$ Find a suitable particular integral of the form $v_p=P(y)$ which you should specify.

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某研究部门准备在全市10万名高中生中抽取2000名高中生,据此推断该市高中学生的平均身高。这项研究的参数是

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矩阵的奇异值一定为正吗

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Let R=[0,4]*[-1,2]. Create a Riemann sum by subdividing [0,4] into m=2 intervals, and [-1,2] into n=3 subintervals, then use it to estimate the value of ∫∫R(1-xy^2)dA Take the sample points to be the upper left corner of each rectangle. Answer:__

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A lamp has two bulbs, each of a type with an average lifetime of 7 hours. The probability density function for the lifetime of a bulb is f(t)=(1/7)e^(-t/7), t=>0 What is the probability that both of the bulbs will fail within 5 hours?

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Реши задачу : Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности увеличится на 162. Найди ребро куба.

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2+3 =?

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George drives 800km from Edmonton to Kamloops to visit his brother on the way back due to high trafic George has an average speed 25km/h slower then on the way there. It took him 1.6 hours longer to drive home than it did to drive to Kamloops what was George's average speed driving to Kamloops?

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Find the volume of the largest rectangular box with edges parallel to the axes that can be inscribed in the ellipsoid (x^2)/25+(y^2)/16+(z^2)/49=1 Hint: By symmetry, you can restrict your attention to the first octant (where ), and assume your volume has the form V=8xyz. Then arguing by symmetry, you need only look for points which achieve the maximum which lie in the first octant. Maximum volume:__

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Find the volume of the largest rectangular box with edges parallel to the axes that can be inscribed in the ellipsoid (x^2)/25+(y^2)/16+(z^2)/49=1 Hint: By symmetry, you can restrict your attention to the first octant (where x, y, z=>0), and assume your volume has the form V=8xyz. Then arguing by symmetry, you need only look for points which achieve the maximum which lie in the first octant. Maximum volume:__

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A lamina occupies the part of the disk x^2+y^2<=9 in the first quadrant and the density at each point is given by the function ρ(x,y)=3(x^2+y^2). A. What is the total mass? B. What is the moment about the x-axis? C. What is the moment about the y-axis? D. Where is the center of mass? (_,_) E. What is the moment of inertia about the origin?

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Using polar coordinates, evaluate the integral ∫∫R sin(x^2+y^2)dA where R is the region 9<=x^2+y^2<=64.

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Evaluate the double integral I=∫∫D xy dA where D is the triangular region with vertices (0,0), (3,0), (0,4)

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Use Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of f(x,y,z)=5x+4y+4z, subject to the constraint x^2+y^2+z^2=25, if such values exist. maximum=__ minimum=__ (For either value, enter DNE if there is no such value.)

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Given the triangle of consecutive odd numbers: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 ... Calculate the sum of the numbers in the nth row of this triangle (starting at index 1) e.g.: (Input --> Output) 1 --> 1 2 --> 3 + 5 = 8

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It is very likely that the main vectors represented by \mathbb{a} = \vec{a} . Therefore, if a satisfies the requirements of the theorem, we then have to verify \vec{a}\neq0 . We note, by linearity of T , that if \sum_{i=1}^{l} r_ic_i=0 and \sum_{i=1}^{l} p_1b(y_i) =0 then by linear consistency of the estimators given by \cref{eq:2.2} it follows that [ \hat{d}= \frac{\sum_{i=1}^m Y_i^* W_j}{\sum_{i=1}^m w_i} \approx \frac{A\cdot \underline{w}\Phi(A,\hat{\rho}{U^J}q)}{| \underbar{Q}(c,s) \cdot \vec{1}_n |}=\frac{A \cdot \vec{d}}{||\Lambda\Lambda’ \cdot \vec{1}_n)}. ] In this formula the bold symbols depict matrix representations of column vectors. Here the notations $\llvert . \rrvert

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It is very likely that the main vectors represented by \mathbb{a} = \vec{a} . Therefore, if a satisfies the requirements of the theorem, we then have to verify \vec{a}\neq0 . We note, by linearity of T , that if \sum_{i=1}^{l} r_ic_i=0 and \sum_{i=1}^{l} p_1b(y_i) =0 then by linear consistency of the estimators given by \cref{eq:2.2} it follows that [ \hat{d}= \frac{\sum_{i=1}^m Y_i^* W_j}{\sum_{i=1}^m w_i} \approx \frac{A\cdot \underline{w}\Phi(A,\hat{\rho}{U^J}q)}{| \underbar{Q}(c,s) \cdot \vec{1}_n |}=\frac{A \cdot \vec{d}}{||\Lambda\Lambda’ \cdot \vec{1}_n)}. ] In this formula the bold symbols depict matrix representations of column vectors. Here the notations $\llvert . \rrvert <--explain wtf is this?

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Чем отличается коэффицент теплопередачи от коэффицента сопротивления теплопередачи?

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The largest positive number that can be represented in 5-bit signed C2 system is:

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list all the subsets of a set {1,2,3}

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Is 17077 a prime number?

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A cylinder shaped can needs to be constructed to hold 500 cubic centimeters of soup. The material for the sides of the can costs 0.02 cents per square centimeter. The material for the top and bottom of the can need to be thicker, and costs 0.06 cents per square centimeter. Find the dimensions for the can that will minimize production cost.

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determine the value of cos^-1(sin(25pi/12)). Please think step by step

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if using the numbers 1-69 and each number can only occur once per sequence and each sequence has 6 numbers with in it how many possible combinations

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What is 72,732*49,271?

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学习数学建模中的优秀论文,你有什么学习心得?写一篇文章说说你的学习心得,不少于1000字

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学习了《数学建模竞赛论文的论文写作韩中庚》,你有什么学习心得,请写一篇文章,不少于1000字

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写一篇数形结合专题复习课的文章

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给这段文字拟个标题:函数统领着“数与式”“方程与不等式”,也是连接“图形与几何”与“数与代数”的桥梁。本节课基于数与代数领域知识的整体性,设计问题3和问题4,借助函数再认识方程和不等式,有助于学生建构数与代数的知识体系。函数不仅是初中数学的核心知识,而且蕴含着丰富的思想和方法,数形结合思想就是其一。本节课的重点环节引导学生由数(x2-2x-3=0)想形(函数图像),当学生想到二次函数y=x2-2x-3后,“你还有其他方法吗?”关联出初中所学的所有函数,更进一步加深学生对数形结合思想的理解。

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三阶行列式det(A)=det(1,2,3;4,5,6;7,8,9),即第一行元素为1,2,3,第二行元素为4,5,6,第三行元素为7,8,9,则det(A)=()

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A regression model was used to generate the following information: 2(-y)2 475 26-j 2,375 Calculate the coefficient of determination Select one: • 36% • 64% О 80% О 20%

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A regression model was used to generate the following information: Marked out of 1.00 Flag question Σ(y -y)2 475 Σ(y - ý)2 2375 Calculate the coefficient of determination Select one: 36% 64% 80% 20%

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If 1E2F1002 is equivalent to 1, 1E201002 is equivalent to 2 and 1E211002 is equivalent to 3. What is the equivalent to 4?

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考研数学一强化阶段做哪本习题好

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数学元宇宙合作的价值与意义

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我们是做元宇宙的,与数学工作室合作对我们商业模式带来什么价值与意义

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线性二次型最优控制问题

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Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (×3 - 450x? + 37.500x) rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum per hari pada produksi berapa unit

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点和向量的位置关系

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拟一个关于数形结合的对仗标题

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resuelve el siguiente problema matematico: si en 1 ml hay 250 mg, cuantos mg hay en 0.22856 ml y en 0.32 ml, y en 0.4 ml??

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What dose small standard deviation mean ?

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prove that ∫_a^b x2 dx = b3 - a3 / 3

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Problema matematico: Si tengo un frasco de 4ml en total en el cual en cada 1 ml tiene 250 mg y yo quiero usar 400 mg a la semana, cuantas semanas me durará el frasco??

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Problema matemático: si en un vial de 10 ml en cada 1 ml hay 250 mg y quiero usar 400 mg a la semana, cuantas semanas me dudaría el vial?? Y si usará 300 mg a la semana??

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Solve the system: x + y + z = 3, 2x – y + 3z = 3, x - 2y + 3z = 0

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Solve the system: y = x^2 + 4x – 5, y = 0

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First, create 3 equations of the form ax+by+cz=d, where a, b, c, and d are constants (integers between – 5 and 5). For example, x+2y-z=-1. Perform row operations on your system to obtain a row-echelon form and the solution.

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Create a script explaining to a 5th grader studying math how a letter in an equation represents a number they must find out. Noticing a Letter in an Equation Representing the Unknown (MA.5.AR.2.2)

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Create 10 mathematical equation questions in a True False quiz for 5th graders with numerical expression for addition, subtraction and multiplication. MA.5.AR.2.1 – Translate written real-world and mathematical descriptions into numerical expressions and numerical expressions into written mathematical descriptions. MA.5.AR.2.2 – Evaluate multi-step numerical expressions using order of operations. MA.5.AR.2.3 – Determine and explain whether an equation involving any of the four operations is true or false. Give the answer to each question.

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Imagine you are an American contemporary visual artist currently based in Beijing, that is also studying some concepts of College Algebra. Reflect on the concepts of linear and non-linear systems. What concepts (only the names) would be helpful to accommodate the concept of linear and non-linear systems in your mind? What would be the simplest linear system and non-linear system you could imagine? In your day to day as a visual artist, are there any occurrences that can be interpreted as linear systems and non-linear systems? What strategy could you possibly to get the graph of linear systems and non-linear systems?

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如何在一个几何区域内,生成出不规则形状轮廓

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了解不同坐标系之间的转化

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Axis vector - S 1. Normalize the vector S, this will be the vector H; 2. Find a perpendicular vector to vector H, this will be vector G; 3. Draw a set of lines parallel to vector G, with step L;

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Problema Una sustancia se encuentra a 25°C, pero a partir de un momento determinado su temperatura comienza a descender de manera uniforme a razón de 2 °C por minuto. 1. ¿Qué temperatura alcanzó la sustancia 15 minutos después del comienzo del proceso? 2. ¿En cuánto tiempo la sustancia alcanzará los 0 °C? 3. ¿Cuál o cuáles de estas fórmulas representan mejor la variación de la temperatura T de la sustancia, medida en grados centígrados, en función del tiempo M en minutos, desde el inicio del proceso? • T=25+2.M • T=25-M • T-2.M+25 T=25-2.M • T=25.M-2 T=-2.M-25 ¿en cuánto tiempo la sustancia alcanzará los 0°C?

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John bought a certain number of pens for 3600 if each pen had costed 50 less he could have bought six more pens for the same amount of money how many pens did he buy?

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me muestran un gráfico de ejes cartesianos donde la cantidad de agua en el tanque es de 80 litos y a medida que pasa el tiempo se vacía. A los 5 minutos se vacía por completo. calcular ¿Cuánta agua sale por minuto? Llamando f(x) a la cantidad de agua que queda en el tanque en función del tiempo x desde que comienza a vaciarse, escribí una fórmula que represente a esta función.

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how many is 1 x 1

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cuanto es 1 mas 1

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请回答:3000毫克每升的污泥浓度,体积38953.4立方米,含水率99.8%,每车拉9立方,全部运走要多少车,写出计算过程

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your farm has a chicken coop to house the chickens. The chickens need to climb up a ramp to enter the chicken coop. the coop is 125cm above the ground and the ramp is angled at 30 degrees to the horizontal so that the chickens dont slide down.

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1.Use the Gregory-Leibniz series and the Machin-like formulas to calculate the value of π*2 2.How is π introduced and calculated? 3.How to prove that π is uncirculated?

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Helmut, an ostrich farmer, wants to build a rectangular fenced enclosure divided into five rectangular pens. A total of 120m of fencing material is available. Find the overall dimensions of the enclosure that will make the total area a maximum.

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One of the largest issues in ancient mathematics was accuracy—nobody had calculators that went out ten decimal places, and accuracy generally got worse as the numbers got larger. The famous Eratosthenes experiment, that can be found at https://www.famousscientists.org/eratosthenes/, relied on the fact known to Thales and others that a beam of parallels cut by a transverse straight line determines equal measure for the corresponding angles. Given two similar triangles, one with small measurements that can be accurately determined, and the other with large measurements, but at least one is known with accuracy, can the other two measurements be deduced? Explain and give an example. The similarity of triangles gives rise to trigonometry. How could we understand that the right triangles of trigonometry with a hypotenuse of measure 1 represent all possible right triangles? Ultimately, the similarity of triangles is the basis for proportions between sides of two triangles, and these proportions allow for the calculations of which we are speaking here. The similarity of triangles is the foundation of trigonometry.

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in measure theory intersection of empty sets gives universal set. how

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Use cylindrical coordinates to evaluate the triple integral ∫∫∫E (x^2+y^2)^0.5 dV, where E is the solid bounded by the circular paraboloid z=4-1(x^2+y^2) and the xy-plane.

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Use spherical coordinates to evaluate the triple integral ∫∫∫E (e^(-x^2-y^2-z^2))/(x^2+y^2+z^2)^0.5 dV where E is the region bounded by the spheres x^2+y^2+z^2=4 and x^2+y^2+z^2=9. Answer = __

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что такое бесконечная и конечная десятичная дробь

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3- What is the complement of the expression xy’+z’?

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If the information of a problem changes can the problem remain same?

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What are some common algebraic effects?

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Write a triple integral including limits of integration that gives the volume of the cap of the solid sphere x^2+y^2+z^2<=41 cut off by the plane z=5 and restricted to the first octant. (In your integral, use theta, rho, and phi needed.) What coordinates are you using __? (Enter cartesian, cylindrical, or spherical.) With a=_, b=_, c=_, d=_, e=_, and f=_, Volume=∫a to b∫c to d∫e to f _d_d_d_.

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Matematica: tengo un vial de 4 ml en el cual en cada 1 ml tiene 250 mg, y yo quiero usar 300 mg a la semana, cuantas semanas duraria el vial?? Y cuanto me duraría si tuviera dos viales??

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Evaluate the triple integral ∫∫∫E z dV where E is the solid bounded by the cylinder y^2+z^2=36 and the planes x=0, y=2x and z=0 in the first octant.

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What is the complement of the expression xy’+z’?

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Correct term for percentage in decimal form

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Find pattern in following sequence and continue it: Mallsteuzal - Happteroffja - Inglyzserun - Sdrybtlhahojja - Viuntradnza - ?

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Find pattern in following sequence and continue it: Ottawa - Paris - Bern - Vaduz - Wien - ?

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Find pattern in following sequence and continue it: Tokyo - Washington - Paris - Bern - Vaduz - Wien - ?

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Find pattern in following sequence and continue it: Tallinn - Riga - Vilnius - Warsaw - Berlin - Bern - Paris - Madrid - ?

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solution step by step transform fourier sin(t)/t

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A survey on a sample of 25 new cars being sold at a local auto dealer was conducted to see which of three popular options, air-conditioning (A), radio (R), and power windows (W ), were already installed. The survey found: 15 had air-conditioning (A), 5 had A and P, 12 had radio (R), 9 had A and R, 3 had all three options. 11 had power windows (W ), 4 had R and W, Find the number of cars that had: (a) onlyW; (b) onlyA; (c) onlyR; (d)R andW but notA; (e)AandR but notW; (f) only one of the options; (g) at least one option; (h) none of the options

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What decimal value does the 8-bit binary number 10111110 have if it is on a computer using one's complement representation? Select one:

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What decimal value does the 8-bit binary number 10111110 have if it is on a computer using one's complement representation?

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