（本小题满分${100}分）
如图，建立平面直角坐标系$$xOy$$，$$x$$轴在地平面上，$$y$$轴垂直于地平面，单位长度为$$1$$千米。某炮位于坐标原点。已知炮弹发射后的轨迹在方程$$y=kx-\frac1{20}(1+k^2)x^2(k>0)$$表示的曲线上，其中$$k$$与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为$$3.2$$千米，试问它的横坐标$$a$$不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。
（1）令$$y=0$$，得$$kx-\frac1{20}(1+k^2)x^2=0$$，由实际意义和题设条件知$$x>0$$，$$k>0$$，故$$x=\frac{20k}{1+k^2}=\frac{20}{k+\frac1k}\le\frac{20}2=10$$，当且仅当$$k=1$$时取等号。所以炮的最大射程为$$10$$千米。
（2）因为$$a>0$$，所以炮弹可击中目标$$\Leftrightarrow$$存在$$k>0$$，使$$3.2=ka-\frac1{20}(1+k^2)a^2$$成立$$\Leftrightarrow$$关于$$k$$的方程$$a^2k^2-20ak+a^2+64=0$$有正根$$\Leftrightarrow$$判别式$$\Delta=(-20a)^2-4a^2(a^2+64)\ge0$$$$\Leftrightarrow$$$$a\le6$$。此时，$$k=\frac{20a+\sqrt{(-20a)^2-4a^2(a^2+64)}}{2a^2}>0$$（不考虑另一根）。所以当$$a$$不超过$$6$$千米时，可击中目标。
","本题主要考查函数与方程和基本不等式的应用等相关知识。
（1）求炮的最大射程，即$$y=0$$时的一个较大的根，因为含有参数$$k$$，所以需根据$$k$$的取值范围确定另外一个根的最大值，即为炮的最大射程。
（2）炮弹能击中目标的含义为炮弹的飞行高度$$y=3.2$$时有解。根据二次函数有正根，可得出$$a$$的取值范围。
",,,,,,,,,0,0.0,['data/math/img_QA/13fe0a72fe29dd7.jpg'],[],问题（解答）：（本小题满分${100}分）如图，建立平面直角坐标系$$xOy$$，$$x$$轴在地平面上，$$y$$轴垂直于地平面，单位长度为$$1$$千米。某炮位于坐标原点。已知炮弹发射后的轨迹在方程$$y=kx-\frac1{20}(1+k^2)x^2(k>0)$$表示的曲线上，其中$$k$$与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为$$3.2$$千米，试问它的横坐标$$a$$不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。,（1）令$$y=0$$，得$$kx-\frac1{20}(1+k^2)x^2=0$$，由实际意义和题设条件知$$x>0$$，$$k>0$$，故$$x=\frac{20k}{1+k^2}=\frac{20}{k+\frac1k}\le\frac{20}2=10$$，当且仅当$$k=1$$时取等号。所以炮的最大射程为$$10$$千米。（2）因为$$a>0$$，所以炮弹可击中目标$$\Leftrightarrow$$存在$$k>0$$，使$$3.2=ka-\frac1{20}(1+k^2)a^2$$成立$$\Leftrightarrow$$关于$$k$$的方程$$a^2k^2-20ak+a^2+64=0$$有正根$$\Leftrightarrow$$判别式$$\Delta=(-20a)^2-4a^2(a^2+64)\ge0$$$$\Leftrightarrow$$$$a\le6$$。此时，$$k=\frac{20a+\sqrt{(-20a)^2-4a^2(a^2+64)}}{2a^2}>0$$（不考虑另一根）。所以当$$a$$不超过$$6$$千米时，可击中目标。,NO,4.几何与5.代数,几何与代数,平面解析几何 ``` Example of a data entry in QA_no_img_with_categories.csv: ```csv question.phasename,question.subjectname,question.questionid,question.typename,question.difficulty,question.content,question.accessories,question.answer,question.solutioncontent,childquestion.childquestionid,childquestion.childcontent,childquestion.childaccessories,childquestion.childanswer,childquestion.childsolutioncontent,msg,ans,is_proof_question,taxonomy_level1,taxonomy_level2,taxonomy_level3 高中,数学,1161468,解答,0.7,"（本小题满分13分）
将数列$$\{a_n\}$$中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
$$a_1$$
$$a_2\ \ \ a_3\ \ \ a_4$$
$$a_5\ \ \ a_6\ \ \ a_7\ \ \ a_8\ \ \ a_9$$
$$\cdots\cdots$$
已知表中的第一列数$$a_1$$，$$a_2$$，$$a_5$$，$$\cdots$$构成一个等差数列，记为$$\{b_n\}$$，且$$b_2=4$$，$$b_5=10$$，表中每一行正中间的一个数$$a_1$$，$$a_3$$，$$a_7$$，$$\cdots$$构成数列$$\{C_n\}$$，其前$$n$$项和为$$S_n$$。
（1）求数列$$\{b_n\}$$的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且$$a_{13}=1$$。
①求$$S_n$$；
②记$$M=\{n|\ (n+1)C_n\geqslant\lambda$$，$$n\in\Bbb N^*\}$$。若集合$$M$$的元素个数为$$3$$，求$$\lambda$$的取值范围。
",[],"（1）因为$$\{b_n\}$$为等差数列，且已知$$b_2=4$$，$$b_5=10$$，
设其公差为$$d$$，有$$\cases{ b_1+d=4\cr b_1+4d=10}$$，
解得$$\cases{ b_1=2\cr d=2}$$，所以数列$$\{b_n\}$$的通项公式$$b_n=2n$$。 ......3分
（2）①设每一行组成的等比数列公比为$$q$$，且前$$n$$行共有$$1+3+5+\cdots $$$$+(2n-1)=n^2$$个数，且$$3^2<13<4^2$$，所以$$a_{10}=b_4=8$$，$$a_{13}=a_{10}q^3=8q^3=1$$，得$$q={1\over2}$$，
因此$$C_n=2n\cdot({1\over2})^{n-1}$$$$={n\over2^{n-2}}$$。 ......5分
所以$$S_n={1\over2^{-1}}+{2\over2^0}+{3\over2^1}+\cdots $$$$+{n-1\over2^{n-3}}+{n\over2^{n-2}}$$，
$${1\over2}S_n={1\over2^0}+{2\over2^1}+{3\over2^2}+\cdots $$$$+{n-1\over2^{n-2}}+{n\over2^{n-1}}$$，
两式相减得$${1\over2}S_n={1\over2^{-1}}+{1\over2^0}+{1\over2^1}+\cdots $$$$+{1\over2^{n-2}}-{n\over2^{n-1}}$$$$=4-{n+2\over2^{n-1}}$$，
得$$S_n=8-{n+2\over2^{n-2}}$$。 ......9分
②由①知$$C_n={n\over2^{n-2}}$$，所以$$\lambda\leqslant{n(n+1)\over2^{n-2}}$$。
设$$f(n)={n(n+1)\over2^{n-2}}$$，计算得$$f(1)=4$$，$$f(2)=f(3)=6$$，$$f(4)=5$$，$$f(5)={15\over4}$$，
且$$f(n+1)-f(n) $$$$={(n+1)(2-n)\over2^{n-1}}$$，
所以当$$n\geqslant3$$时，$$f(n+1)<f(n)$$。 ......11分
因为$$M$$的元素个数为$$3$$，所以$$\lambda\in(4,5]$$。 ......13分
","本题主要考查等差数列和等比数列。
（1）由于$$\{b_n\}$$为等差数列，则可根据已知解得$$b_1$$、$$d$$，从而得到数列$$\{b_n\}$$的通项公式；
（2）①由于$$a_{10}=b_4=8$$，又由已知得$$a_{13}=1$$，从而得到$$q$$，则可得到数列$$\{C_n\}$$的通项公式，可以看出$$\{C_n\}$$为等比数列和等差数列乘积的形式，利用错位相减法即可得到其前$$n$$项和$$S_n$$；
②由已知可得$$\lambda\leqslant{n(n+1)\over2^{n-2}}$$，设$$f(n)={n(n+1)\over2^{n-2}}$$，根据$$f(n)$$的单调性即可得到$$\lambda$$的取值范围。
",,,,,,问题（解答）：（本小题满分13分）将数列$$\{a_n\}$$中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：$$a_1$$$$a_2\ \ \ a_3\ \ \ a_4$$$$a_5\ \ \ a_6\ \ \ a_7\ \ \ a_8\ \ \ a_9$$$$\cdots\cdots$$已知表中的第一列数$$a_1$$，$$a_2$$，$$a_5$$，$$\cdots$$构成一个等差数列，记为$$\{b_n\}$$，且$$b_2=4$$，$$b_5=10$$，表中每一行正中间的一个数$$a_1$$，$$a_3$$，$$a_7$$，$$\cdots$$构成数列$$\{C_n\}$$，其前$$n$$项和为$$S_n$$。（1）求数列$$\{b_n\}$$的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且$$a_{13}=1$$。①求$$S_n$$；②记$$M=\{n|\ (n+1)C_n\geqslant\lambda$$，$$n\in\Bbb N^*\}$$。若集合$$M$$的元素个数为$$3$$，求$$\lambda$$的取值范围。,"（1）因为$$\{b_n\}$$为等差数列，且已知$$b_2=4$$，$$b_5=10$$，设其公差为$$d$$，有$$\cases{ b_1+d=4\cr b_1+4d=10}$$，解得$$\cases{ b_1=2\cr d=2}$$，所以数列$$\{b_n\}$$的通项公式$$b_n=2n$$。 ......3分（2）①设每一行组成的等比数列公比为$$q$$，且前$$n$$行共有$$1+3+5+\cdots $$$$+(2n-1)=n^2$$个数，且$$3^2<13<4^2$$，所以$$a_{10}=b_4=8$$，$$a_{13}=a_{10}q^3=8q^3=1$$，得$$q={1\over2}$$，因此$$C_n=2n\cdot({1\over2})^{n-1}$$$$={n\over2^{n-2}}$$。 ......5分所以$$S_n={1\over2^{-1}}+{2\over2^0}+{3\over2^1}+\cdots $$$$+{n-1\over2^{n-3}}+{n\over2^{n-2}}$$，$${1\over2}S_n={1\over2^0}+{2\over2^1}+{3\over2^2}+\cdots $$$$+{n-1\over2^{n-2}}+{n\over2^{n-1}}$$，两式相减得$${1\over2}S_n={1\over2^{-1}}+{1\over2^0}+{1\over2^1}+\cdots $$$$+{1\over2^{n-2}}-{n\over2^{n-1}}$$$$=4-{n+2\over2^{n-1}}$$，得$$S_n=8-{n+2\over2^{n-2}}$$。 ......9分②由①知$$C_n={n\over2^{n-2}}$$，所以$$\lambda\leqslant{n(n+1)\over2^{n-2}}$$。设$$f(n)={n(n+1)\over2^{n-2}}$$，计算得$$f(1)=4$$，$$f(2)=f(3)=6$$，$$f(4)=5$$，$$f(5)={15\over4}$$，且$$f(n+1)-f(n) $$$$={(n+1)(2-n)\over2^{n-1}}$$，所以当$$n\geqslant3$$时，$$f(n+1)本题主要考查指数函数的性质和图象。
由函数定义可得$$y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$的定义域为$$\{x|x\ne0\}$$，故C项，D项不符合题意，化简函数表达式得$$y=\frac2{e^{2x}-1}+1$$，所以函数在$$(0,+\infty)$$上为减函数，故B项不符合题意。
故本题正确答案为A。
",,,,,,,,,0.0,['data/math/img_multiple_choices/142fe60383e5939.jpg'],"问题（单选）：函数$$y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$的图象大致为（ ）。 选项：A, B, C, D","选项：A, B, C, D",A,3.函数,函数,函数概念与性质 ``` Example of a data entry in multi_choice_no_img_with_categories.csv: ```csv question.phasename,question.subjectname,question.questionid,question.typename,question.difficulty,question.content,question.accessories,question.answer,question.solutioncontent,childquestion.childquestionid,childquestion.childcontent,childquestion.childaccessories,childquestion.childanswer,childquestion.childsolutioncontent,msg,accessories,sol,taxonomy_level1,taxonomy_level2,taxonomy_level3 高中,数学,2041442,单选,0.7,"已知$$\overrightarrow{{a}\mathstrut}=(1,2)$$，$$\overrightarrow{{b}\mathstrut}=(3,4)$$，$$(\overrightarrow{{a}\mathstrut}+2\overrightarrow{{b}\mathstrut})\bot (\lambda \overrightarrow{{a}\mathstrut}-\overrightarrow{{b}\mathstrut})$$，则$$\lambda =$$（ ）。
","[{""options"":[""$$-\\frac{61}{27}$$
"",""$$\\frac{61}{27}$$
"",""$$-\\frac12$$
"",""$$\\frac12$$
""],""type"":102}]","{""choice"":1,""markable"":true,""type"":304}","本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示和平面向量的数量积。
由题意知$$\overrightarrow{{a}\mathstrut}+2\overrightarrow{{b}\mathstrut}$$$$=(1+3\times2,2+4\times2)=(7,10)$$，
$$\lambda \overrightarrow{{a}\mathstrut}-\overrightarrow{{b}\mathstrut}$$$$=(\lambda -3,2\lambda -4)$$。
若$$(\overrightarrow{{a}\mathstrut}+2\overrightarrow{{b}\mathstrut})\bot (\lambda \overrightarrow{{a}\mathstrut}-\overrightarrow{{b}\mathstrut})$$，
则$$(\overrightarrow{{a}\mathstrut}+2\overrightarrow{{b}\mathstrut})\cdot (\lambda \overrightarrow{{a}\mathstrut}-\overrightarrow{{b}\mathstrut})=0$$，
即$$7(\lambda -3)+10(2\lambda -4)=0$$。
整理得$$27\lambda -61=0$$，解得$$\lambda =\frac{61}{27}$$。
故本题正确答案为B。
",,,,,,"问题（单选）：已知$$\overrightarrow{{a}\mathstrut}=(1,2)$$，$$\overrightarrow{{b}\mathstrut}=(3,4)$$，$$(\overrightarrow{{a}\mathstrut}+2\overrightarrow{{b}\mathstrut})\bot (\lambda \overrightarrow{{a}\mathstrut}-\overrightarrow{{b}\mathstrut})$$，则$$\lambda =$$（ ）。 选项：A. $$-\frac{61}{27}$$, B. $$\frac{61}{27}$$, C. $$-\frac12$$, D. $$\frac12$$","选项：A. $$-\frac{61}{27}$$, B. $$\frac{61}{27}$$, C. $$-\frac12$$, D. $$\frac12$$",B,4.几何与5.代数,几何与代数,平面向量及其应用 ``` ### Data Fields - **question.phasename**: The phase name of the question (All rows are "高中" for high school). - **question.subjectname**: The subject of the question (e.g., "数学" for Mathematics). - **question.hassolution**: Indicates whether the question has a solution (1 for yes, 0 for no). - **question.questionid**: Unique identifier for the question. - **question.typename**: The type of the question (e.g., "解答" for Q&A). - **question.difficulty**: The difficulty level of the question (e.g., 0.7). - **question.groupdifficulty**: Group difficulty level of the question (e.g., "高" for high). - **question.chaptername**: The chapter name to which the question belongs. - **Selection**: Optional field that may contain additional selection details. (Ignored) - **question.mainkeypoint**: Main key point(s) for the question (e.g., "一元二次方程的解集及其根与系数的关系"). - **question.minorkeypoint**: Minor key point(s) for the question. - **question.content**: The main content of the question, including text and LaTeX math formulas, in HTML. - **question.accessories**: Accessories for MCQs (empty for Q&A). - **question.answer**: The answer(s) to the question in HTML. - **question.solutioncontent**: Detailed explanation or solution content for the question. - **childquestion.parentquestionid**: The parent question ID for this child question. - **childquestion.childquestionid**: Unique identifier for the child question. - **childquestion.mainkeypoint**: Main key point for the child question. - **childquestion.minorkeypoint**: Minor key point for the child question. - **childquestion.childcontent**: The content of the child question in HTML. - **childquestion.childaccessories**: Accessories for the child MCQ. - **childquestion.childanswer**: The answer to the child question in HTML. - **childquestion.childsolutioncontent**: Solution content for the child question. - **broken_img**: Indicates whether there is a broken image (1 for yes, 0 for no). - **duplicate**: Indicates if the question is a duplicate (1 for yes, 0 for no). - **content_img**: Image in the Q&A question content (a path to the image). - **answer_img**: Image(s) in the answer. - **img**: Image in the MCQ content. - **msg**: The question content. - **ans**: The correct answer for the question. - **is_proof_question**: Indicates whether this is a proof question (1 for yes, 0 for no). - **taxonomy_level1**: The first level of taxonomy related to the question. - **taxonomy_level2**: The second level of taxonomy related to the question. - **taxonomy_level3**: The third level of taxonomy related to the question. ## Licensing Information This dataset is licensed under the Apache-2.0 license.