PL9fwy3NUQKwYaToDpbPxaOdkUX3PS_VKf/6wYdmeO7zro.srt

1
00:00:21,160 --> 00:00:26,220
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى نهاية

2
00:00:26,220 --> 00:00:29,920
المحاضرة الماضية  بدأنا بموضوع ال

3
00:00:29,920 --> 00:00:37,240
diagonalization وكيف نعمل الـ diagonalize للمصفوفة

4
00:00:37,240 --> 00:00:41,780
بمعنى خليها مصفوفة قطرية ابتدأنا بتعريف الـ similar

5
00:00:41,780 --> 00:00:47,180
matrix فقلنا أن الـ similar matrix بإذ جدرت لأجي

6
00:00:47,180 --> 00:00:53,710
مصفوفة ثانية K بحيث الـ K هذه non zero matrix يعني أو 

7
00:00:53,710 --> 00:00:57,610
non singular matrix ايش يعني؟ يعني المعكوس تبعها

8
00:00:57,610 --> 00:01:02,470
موجود بحيث اللي بيبدأ يسوي الـ K inverse في الـ A في 

9
00:01:02,470 --> 00:01:06,750
الـ K تمام؟ وأخدنا على ذلك مثالا واحدا بعد ما

10
00:01:06,750 --> 00:01:11,440
أثبتنا أن إذا كانت الـ A similar لـ B فإن B similar لـ

11
00:01:11,440 --> 00:01:14,940
A وفي نفس اللغة وفي نفس الوقت A is similar to

12
00:01:14,940 --> 00:01:18,580
itself تمام؟ يبقى هذا اللي أخدناه المحاضرة الماضية و

13
00:01:18,580 --> 00:01:23,160
الآن بدنا نضيق .. أخدنا طبعا مثال واحد لسه ياما 

14
00:01:23,160 --> 00:01:27,500
ناخد أمثلة فبدنا نبدأ نحط بعض المعلومات النظرية

15
00:01:27,500 --> 00:01:33,160
الأساسية أو العمود الفقري في هذا الـ section بيقول لي

16
00:01:33,160 --> 00:01:37,540
to show that the given n by n matrix is a is

17
00:01:37,540 --> 00:01:41,120
similar to a diagonal matrix و الـ diagonal matrix

18
00:01:41,120 --> 00:01:44,180
هي بكتبها بالشكل هذا من حد ما تشوفيها دي يعني 

19
00:01:44,180 --> 00:01:49,800
مصفوفة قطرية جميع عناصرها أصفار معادة عناصر القطر 

20
00:01:49,800 --> 00:01:57,540
الرئيسي نأخذ النظرية التالية طبعا من اللمدات هذول

21
00:01:57,540 --> 00:02:00,400
اللمدة واحد واللمدة اثنين واللمدة إن هي الـ eigen

22
00:02:00,400 --> 00:02:07,440
values مش حياله مش أي أرقام يبقى أرقام محددة طيب

23
00:02:07,440 --> 00:02:11,480
النظرية بتقول ايه؟ the n by n matrix A is similar

24
00:02:11,480 --> 00:02:16,420
to a diagonal matrix ملاحظي المرة اللي فاتت بدينا 

25
00:02:16,420 --> 00:02:21,060
canvas A K طلعت عندي مصفوفة قطرية في الآخر، مصبوط

26
00:02:21,060 --> 00:02:24,920
ولا لأ؟ المصروف القطرية العمودي الفقري قيمة الـ two

27
00:02:24,920 --> 00:02:28,870
landers اللي طلعت عندي بالضبط يبقى هنا لما أقول الـ 

28
00:02:28,870 --> 00:02:32,650
A is similar to a diagonal matrix if and only if

29
00:02:32,650 --> 00:02:36,350
it has a set of linearly independent eigenvectors

30
00:02:36,350 --> 00:02:43,250
K1 و K2 لغاية Km الكلام هذا بدي أعيد صياغته مرة

31
00:02:43,250 --> 00:02:48,750
ثانية باجي بقول that is لو كان عند المصوفة K هذه 

32
00:02:48,750 --> 00:02:53,670
مصفوفة K K1 هو العمود الأول K2 العمود الثاني Kn

33
00:02:53,670 --> 00:03:01,400
العمود رقم M وكل eigen vector هذا مناظر لمن؟ مناظر

34
00:03:01,400 --> 00:03:04,500
للـ eigen value اللي هي lambda واحد والثاني lambda 

35
00:03:04,500 --> 00:03:08,920
اثنين والثالث lambda ثلاثة والآخر lambda in them الـ

36
00:03:08,920 --> 00:03:14,340
K inverse A في الـ K بده يساوي المصفوفة اللي عندها 

37
00:03:14,340 --> 00:03:18,880
دي يعني بده يساوي المصفوفة لجميع عناصرها أصفار ما 

38
00:03:18,880 --> 00:03:25,450
عدا عناصر قطر الرئيسي بيكونوا على أسرها هو من؟ هذه

39
00:03:25,450 --> 00:03:29,090
النظرية بتحكي بالكارشاكل أنها دي يبقى لو أعطاني

40
00:03:29,090 --> 00:03:35,010
مصفوفة A بدي أجيب الـ diagonal matrix بتاعها بحيث

41
00:03:35,010 --> 00:03:40,090
العناصر تبع الـ diagonal matrix يكونوا هم الـ eigen

42
00:03:40,090 --> 00:03:46,120
values يبقى بدي أحاول أجيب الـ Eigenvectors اللي

43
00:03:46,120 --> 00:03:50,260
عندنا والـ Eigenvectors بس بيشرّنوا كلهم linearly

44
00:03:50,260 --> 00:03:54,260
independent لأن جالي linearly independent ولو 

45
00:03:54,260 --> 00:03:58,420
واحد يعتمد على الثاني كلهم مستقلات عن بعض تمام

46
00:03:58,420 --> 00:04:02,220
الاستقلال يبقى بحصل العالمين على الـ diagonal matrix

47
00:04:03,840 --> 00:04:07,760
الآن بدا أجي للعنوان اللي أنا رافعه المرة اللي فاتت

48
00:04:07,760 --> 00:04:11,780
كنا بنتكلم عن الـ similar matrix فقط ولم نتكلم عن 

49
00:04:11,780 --> 00:04:15,460
الـ diagonalization تمام؟ هذا الكلام اللي احنا 

50
00:04:15,460 --> 00:04:19,140
بنحكي هو الـ diagonalization واحنا مش ذارين طلع

51
00:04:19,140 --> 00:04:20,120
التريفش بقول

52
00:04:24,300 --> 00:04:28,980
التعريف اللي جابله if a is a similar to a diagonal

53
00:04:28,980 --> 00:04:34,880
matrix يعني هالكلام هذا صحيح then a is said to be

54
00:04:34,880 --> 00:04:40,130
diagonalizable يبقى المصفوفة A بنقدر نعملها على

55
00:04:40,130 --> 00:04:46,770
شكل مصفوفة قطرية يبقى لو كانت المصفوفة similar to a

56
00:04:46,770 --> 00:04:50,330
diagonal matrix automatically بقول أن الـ A دي

57
00:04:50,330 --> 00:04:55,180
diagonalizable طيب التعريف الثاني بيقول لو كانت الـ

58
00:04:55,180 --> 00:05:00,600
A diagonalizable matrix then it possesses يتفترض 

59
00:05:00,600 --> 00:05:05,100
in linearly independent eigenvectors يبقى الـ

60
00:05:05,100 --> 00:05:08,140
eigenvectors اللي عندنا عددهم يساوي n بدهم يكونوا

61
00:05:08,140 --> 00:05:15,240
linearly independent وهذه الـ set نسميها complete set

62
00:05:15,240 --> 00:05:20,380
of eigenvectors يبقى هذه المجموعة الكاملة لمين؟ للـ

63
00:05:20,380 --> 00:05:24,040
eigenvectors اللي عندنا على أي حال التعريف 

64
00:05:24,040 --> 00:05:29,380
الأولاني دقيق جدا لأنه هيقول لك كيف بدك تخلي المصفوفة

65
00:05:29,380 --> 00:05:34,920
دي diagonal matrix صح؟ السؤال ممكن يطلع هنا نطرح حدث

66
00:05:34,920 --> 00:05:39,440
ونحاول الإجابة عليه نمشي خطوات محددة الآن بعد 

67
00:05:39,440 --> 00:05:44,080
قليل فتجي تجي معايا بقول how to diagonalize an n by

68
00:05:44,080 --> 00:05:48,180
n matrix أنا بعطيك مصفوفة لما أعطيك مصفوفة كيف

69
00:05:48,180 --> 00:05:55,500
المصفوفة دي بتكتب عليها على شكل قطري فقط وبحيث

70
00:05:55,500 --> 00:06:00,480
عناصر القطر الرئيسي هما الـ Eigenvalues فقط لا غير

71
00:06:00,480 --> 00:06:04,360
بقول لها بدي أمشي ثلاث خطوات اللي عندنا خطوة الأولى

72
00:06:06,680 --> 00:06:10,320
Find n linearly independent eigenvectors of the

73
00:06:10,320 --> 00:06:15,720
matrix A, C, K1, K2 لغاية Kn وهذا الكلام بيجي احنا

74
00:06:15,720 --> 00:06:20,020
بنوجده في الأمثلة السابقة كل أربع section واحد كان

75
00:06:20,020 --> 00:06:24,310
الـ eigenvalues و الـ eigenvectors إذا الخطوة الأولى

76
00:06:24,310 --> 00:06:30,090
تحصيل حاصل في كل الأمثلة اللي فاتت سواء كانت

77
00:06:30,090 --> 00:06:33,530
complex اللي اللي عنها كانت complex أو real صحيح

78
00:06:33,530 --> 00:06:37,830
ولا لا؟ يجب الخطوة الأولى لم نأتي بجديد نجي الخطوة 

79
00:06:37,830 --> 00:06:42,690
الثانية finally matrix K اللي هي عناصرها هم اللي عمود

80
00:06:42,690 --> 00:06:48,090
الأول K واحد K اثنين K ام يبقى هذه برضه كنا بنكتبها 

81
00:06:48,090 --> 00:06:50,930
اللي هو العناصر اللي عندنا هذه تبعت الـ

82
00:06:50,930 --> 00:06:54,870
eigenvectors لما نقول الست هذه تسمى الـ bases للـ

83
00:06:54,870 --> 00:07:00,260
eigen spaces تمام؟ يبقى، ايه المصفوفة في هذه؟ Where

84
00:07:00,260 --> 00:07:04,840
العمودات هذول are called eigenvectors يبقى جبنا له

85
00:07:04,840 --> 00:07:09,820
المصفوفة تحصيل حاصل كمان هذه يعني الـ eigenvectors

86
00:07:09,820 --> 00:07:13,560
اللي جبناهم بدك تكتبهم بس على شكل المصفوفة هي اللي

87
00:07:13,560 --> 00:07:17,900
بتقوله منهم الخطوة الثانية يبقى الخطوة الأولى بدي 

88
00:07:17,900 --> 00:07:21,100
أجيب الـ eigenvalues و الـ eigenvectors الخطوة

89
00:07:21,100 --> 00:07:24,660
الثانية بدي أكتب الـ eigenvectors على شكل مصفوفة 

90
00:07:24,660 --> 00:07:30,820
الخطوة الثالثة دي matrix المصفوفة K إنفرس A K والبـ 

91
00:07:30,820 --> 00:07:35,080
A ديAGONAL matrix حديها الرمز D يبقى بتطلع عندك

92
00:07:35,080 --> 00:07:39,180
الـ diagonal يعني بدي أضرب معكوس المصفوفة K اللي

93
00:07:39,180 --> 00:07:43,240
طلعت هنا هنا في اثنين في المصفوفة A الأصلي اللي

94
00:07:43,240 --> 00:07:48,180
عندي في المصفوفة K النتج لازم يطلع المصفوفة اللي 

95
00:07:48,180 --> 00:07:51,460
عندنا هذه where lambda I the eigenvector the

96
00:07:51,460 --> 00:07:56,580
eigenvalue corresponding to Ki والـ I من واحد لغاية

97
00:07:56,580 --> 00:08:01,200
مين؟ لغاية الـ N طب حد فيكم بيحب يسأل أي سؤال في

98
00:08:01,200 --> 00:08:05,120
الكلمتين أنا أضغطيك قبل أن نذهب للتطبيق العملي

99
00:08:05,120 --> 00:08:11,690
لهذا الكلام حد فيكوا بيحب يسألوا أي سؤال؟ جاهزين؟ 

100
00:08:11,690 --> 00:08:16,010
طيب طبعا تعرفوا الامتحان وجه اليوم 24 اللي هو يوم

101
00:08:16,010 --> 00:08:20,750
الثلاثاء مش بكرا الثلاثاء اللي بعدها الأربعة ولا

102
00:08:20,750 --> 00:08:25,470
الثلاثة؟ الأربعة الأربعة ما فيش مشكلة عادي جدا يبقى

103
00:08:25,470 --> 00:08:29,910
الامتحان يوم الأربعاء اللي هو القادم ساعة قد ايش؟

104
00:08:29,910 --> 00:08:35,140
ساعتين ثانية بعد ما نخلص المحاضرة بس عند الطلاب مش

105
00:08:35,140 --> 00:08:41,920
عندكم. طيب على أي حال ما علينا يبقى الامتحان كما 

106
00:08:41,920 --> 00:08:47,280
هو في chapter 3 وباقي chapter 2 مش هنضيف زيادة

107
00:08:47,280 --> 00:08:53,290
للامتحان انطبع جاهز. هذا هو المثال اللي عندنا بيقول

108
00:08:53,290 --> 00:08:57,430
خذ المصفوفة نظامها اثنين في اثنين زي ما أنت شايف

109
00:08:57,430 --> 00:09:01,190
هات الـ eigen value و الـ eigen vectors يبقى هذا

110
00:09:01,190 --> 00:09:04,070
اللي كنا بنجيبه المرة الماضية في الـ section أربعة 

111
00:09:04,070 --> 00:09:08,510
واحد بعدين تبين إن الـ A is diagonalizable يبقى 

112
00:09:08,510 --> 00:09:15,340
بعدين تبين أن المصفوفة A بقدر أستبدلها بمصفوفة 

113
00:09:15,340 --> 00:09:21,180
قطرية عناصرها هما عناصر من الـ eigenvalues إذا بدي

114
00:09:21,180 --> 00:09:28,300
أبدأ زي ما كنت ببدأ هناك بدي آخذ lambda I ناقص 

115
00:09:28,300 --> 00:09:36,080
المصفوفة A وتساوي I lambda وهنا Zero Zero lambda

116
00:09:36,080 --> 00:09:38,540
ناقص المصفوفة A 

117
00:09:41,740 --> 00:09:46,140
بالشكل اللي عندنا هذا هذي بتصبح على الشكل التالي

118
00:09:46,140 --> 00:09:53,160
هنا lambda ما فيش غيرها وهنا ناقص واحد وهنا ناقص

119
00:09:53,160 --> 00:09:59,820
اثنين وهنا lambda ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنا

120
00:10:00,650 --> 00:10:04,650
بعد ذلك سأحصل على determinant من خلال الـ 

121
00:10:04,650 --> 00:10:08,250
determinant أو المحدد سأحصل على قيم الـ 

122
00:10:08,250 --> 00:10:14,090
eigenvalues يبقى سأحصل على determinant لمن؟ لـ

123
00:10:14,090 --> 00:10:20,330
lambda I ناقص الـ A وأساوي بالزيرو يبقى هذا معناه

124
00:10:20,330 --> 00:10:26,570
أن المحدد lambda سالب واحد سالب اثنين lambda سالب

125
00:10:26,570 --> 00:10:33,390
واحد سيساوي بتفك هذا يبقى lambda في lambda ناقص واحد 

126
00:10:33,390 --> 00:10:39,450
ناقص اثنين يساوي مين؟ يساوي Zero يبقى المحدد هذا

127
00:10:39,450 --> 00:10:46,370
في lambda تربيع ناقص lambda ناقص اثنين يساوي Zero

128
00:10:46,370 --> 00:10:52,770
بدي أحلل هذا كحاصل ضرب قوسين يبقى أو حاصل ضرب عاملين 

129
00:10:52,770 --> 00:11:00,050
يساوي Zero هنا lambda هنا lambda هنا واحد هنا اثنين

130
00:11:00,050 --> 00:11:04,930
هنا ناقص هنا زائد يبقى زائد lambda أو ناقص اثنين 

131
00:11:04,930 --> 00:11:08,190
lambda بيبقى ناقص lambda واحدة هي موجودة عندنا

132
00:11:08,190 --> 00:11:13,730
يبقى تحليلنا سليم يبقى بناء عليه lambda تساوي سالب

133
00:11:13,730 --> 00:11:17,910
واحد و lambda تساوي اثنين من هذول البنات

134
00:11:21,730 --> 00:11:29,470
يبقى هذول are the eigenvalues

135
00:11:29,470 --> 00:11:39,530
of the matrix A يبقى هذول اللي هم الـ eigenvalues

136
00:11:57,290 --> 00:12:02,270
بعد ذلك نجيب الـ Eigenvectors يبقى احنا حتى الآن في

137
00:12:02,270 --> 00:12:06,390
الخطوة الأولى لسه جبنا الـ Eigenvalues وبعد ذلك

138
00:12:06,390 --> 00:12:09,930
نجيب الـ Eigenvectors

139
00:12:09,930 --> 00:12:16,490
يبقى بالدّي دي للمصفوفة أو لحاصل الضرب اللي هو مين

140
00:12:18,900 --> 00:12:22,260
هذا كله من أول ومبتدأ الحلقة تعتبر النقطة الأولى

141
00:12:22,260 --> 00:12:29,560
نمرة a احنا أننا lambda I ناقص الـ a في الـ X بيساوي 

142
00:12:29,560 --> 00:12:32,660
zero هذه المعادلة الأصلية اللي بنشتغل عليها

143
00:12:32,660 --> 00:12:40,440
ابتدائها من section 4-1 هي هي ما غيرناش هذا معناه

144
00:12:42,120 --> 00:12:47,200
lambda I ناقص اثنين هي هي جازة المصفوفة لأنها ناقص 

145
00:12:47,200 --> 00:12:52,320
واحد lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص واحد lambda I

146
00:12:52,320 --> 00:12:54,480
ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين

147
00:12:54,480 --> 00:12:55,100
lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص

148
00:12:55,100 --> 00:12:55,320
اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين

149
00:12:55,320 --> 00:12:55,620
lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص

150
00:12:55,620 --> 00:12:59,240
اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين

151
00:12:59,350 --> 00:13:05,730
بتأخذ الحالة الأولى لو كانت lambda تساوي سالب واحد

152
00:13:05,730 --> 00:13:09,410
ما فيش اللي بده يصير يبقى بده أشيل كل lambda وأحط

153
00:13:09,410 --> 00:13:14,570
مكانها سالب واحد يبقى بيصير عن هنا سالب واحد سالب 

154
00:13:14,570 --> 00:13:22,530
واحد وهنا سالب اثنين سالب اثنين في X واحد X اثنين

155
00:13:22,530 --> 00:13:27,650
كله بده يساوي من Zero و Zero هذا المعادل يجب أن

156
00:13:27,650 --> 00:13:32,270
أفكر المعادلة هذه وأحولها إلى معادلات يعني

157
00:13:32,270 --> 00:13:35,070
المعادلة المصفوفية يجب أن أضربها وأحولها إلى 

158
00:13:35,070 --> 00:13:41,890
معادلتين فأقول له ناقص X1 ناقص X2 سيكون Zero وهنا

159
00:13:41,890 --> 00:13:49,210
ناقص 2 X1 ناقص 2 X2 سيكون Zero هذه كانت معادلة يا 

160
00:13:49,210 --> 00:13:54,000
بنات معادلة واحدة تنتهي لك في الحقيقة معادلة واحدة

161
00:13:54,000 --> 00:14:00,860
إذا هذه المعادلة الواحدة X1 زائد X2 بده يساوي Zero

162
00:14:00,860 --> 00:14:08,820
ومنها X1 بده يساوي من سالب X2 أو X2 بده يساوي سالب

163
00:14:08,820 --> 00:14:17,060
X1 يبقى باجي بقول له لو كانت الـ X2 بدي أساويها A then X1

164
00:14:17,060 --> 00:14:25,760
بدي مين؟ سالب A هذا بدي يعطيني the eigen vectors

165
00:14:26,750 --> 00:14:37,190
are in the form على الشكل التالي اللي هما من X1 X2

166
00:14:37,190 --> 00:14:47,310
بده يساوي X1 اللي هي ناقص A و X2 اللي هي A بالشكل

167
00:14:47,310 --> 00:14:51,590
اللي عندنا أو A في سالب واحد واحد 

168
00:14:54,310 --> 00:15:00,330
يبقى طالع عندي هذا هو يمثل mean bases للـ eigen

169
00:15:00,330 --> 00:15:06,510
vector space المناظر للـ eigen value لمن؟ lambda

170
00:15:06,510 --> 00:15:08,590
تساوي سالب واحد 

171
00:15:17,540 --> 00:15:22,440
الآن بدنا نجي لمين؟ نأخذ lambda الثانية يبقى باجي 

172
00:15:22,440 --> 00:15:29,200
بقول له هنا F lambda الثانية طلعت معانا اثنين 

173
00:15:29,200 --> 00:15:34,970
يبقى then لما طلعت lambda تساوي اثنين يبقى المعادلة

174
00:15:34,970 --> 00:15:39,390
المصفوفية هتكون على الشكل التالي هشيل كل lambda وأحط 

1

201
00:18:34,060 --> 00:18:40,500
الخطوة الثالثة هي المطلوب أن نمر به من المسألة التي

202
00:18:40,500 --> 00:18:44,960
أن a is diagonalizable يعني احنا حتى اللي هن جبناه

203
00:18:44,960 --> 00:18:48,640
ال eigenvalues وال eigenvectors اللي عندنا و

204
00:18:48,640 --> 00:18:54,840
حطناهم على شكل مصفوفة إذا بيداجي لنمر به من

205
00:18:54,840 --> 00:19:00,110
السؤال مش هن جب نمرة به بدي أجي للمصفوفة K و أجيب 

206
00:19:00,110 --> 00:19:05,170
من المعكوس سبعها مش هن جب المعكوس سبعها بدي أعرف

207
00:19:05,170 --> 00:19:11,510
قداش ال determinant لل K تمام يبقى المحدد سالب

208
00:19:11,510 --> 00:19:18,910
واحد واحد اثنين ويساوي سالب اثنين سالب واحد ويساوي

209
00:19:18,910 --> 00:19:24,870
قداش سالب ثلاثة وزي ما أنتم شايفين لا يساوي zero

210
00:19:24,870 --> 00:19:31,350
يعني هذه المصفوفة non singular matrix يبقى هذا

211
00:19:31,350 --> 00:19:40,570
معناه أن k is a non singular matrix

212
00:19:41,270 --> 00:19:46,830
ما دام non singular matrix إذا إيه اللي هي معكوس

213
00:19:46,830 --> 00:19:52,310
بدنا نروح نجيب المعكوس تبع هذه المصفوفة ونضربه في 

214
00:19:52,310 --> 00:19:59,650
المصفوفة A وكذلك في المصفوفة K تسلم يبقى الآن K

215
00:19:59,650 --> 00:20:05,730
inverse AK إيش بدها تعمل إيش الناتج يا بنات حتى

216
00:20:05,730 --> 00:20:07,450
بتجري تقولي قد ايش الناتج

217
00:20:09,990 --> 00:20:15,550
هما المصفوفة نظام اثنين في اثنين بحيث القطر الرئيسي

218
00:20:15,550 --> 00:20:19,910
هو ناقص واحد واثنين والقطر الرئيسي الثانوي يبقى

219
00:20:19,910 --> 00:20:24,270
أصفار يعني جاب المبدأ لأن هذه المصفوفة هي اللي 

220
00:20:24,270 --> 00:20:28,830
بتعملي ال diagonalization للميم للمصفوفة A وبالتالي

221
00:20:28,830 --> 00:20:34,850
بقول ال A is diagonalizable طيب هذا معناه طبعاً

222
00:20:34,850 --> 00:20:39,970
هتعرفيش مين يا بنات؟ الناتج المصفوفة اللي بتطلع لكِ

223
00:20:39,970 --> 00:20:44,610
بقول عليها similar to a مش هتعرف ال similar وكأنه

224
00:20:44,610 --> 00:20:48,850
ال similar هي من؟ هي ال diagonalization هي نفس

225
00:20:48,850 --> 00:20:53,350
العملية بس هنا حطنا لها شغل وكده هناك ما كناش

226
00:20:53,350 --> 00:20:57,190
بنعرف هذا الكلام في المثال اللي طرحناه المحاضرة

227
00:20:57,190 --> 00:21:02,010
الماضية يبقى هذا الكلام يساوي بالداخل لمعكوس

228
00:21:02,010 --> 00:21:08,010
المصفوفة K بنبدل عناصر القطر الرئيسي مكان بعض

229
00:21:08,010 --> 00:21:14,130
وبنغير إشارات عناصر القطر الثانوي وبنجسم على محدد

230
00:21:14,130 --> 00:21:19,730
هذه المصفوفة المحدد هذا كده؟ سالب ثلاثة يبقى هاي

231
00:21:19,730 --> 00:21:26,640
واحد على سالب ثلاثة بتدجي هنا هذا اثنين وهنا سالب

232
00:21:26,640 --> 00:21:32,020
واحد وهنا سالب واحد وهنا سالب واحد غيرت إشارات

233
00:21:32,020 --> 00:21:36,060
عناصر القطر الثانوي وبدلت عناصر القطر الرئيسي مكان

234
00:21:36,060 --> 00:21:43,500
بعض ال a باجي بنزلها كما كانت لها zero واحد اثنين

235
00:21:43,500 --> 00:21:52,120
واحد مصفوفة K كما هي واحد اثنين ويساوي سالب تلت

236
00:21:52,120 --> 00:21:57,980
خليك برا تمام؟ بيضل لأن هنا بدي أضرب المصفوفتين

237
00:21:57,980 --> 00:22:04,800
مثلاً هذا اثنين سالب واحد سالب واحد سالب واحد فيه 

238
00:22:04,800 --> 00:22:09,880
بدي أضرب هدول المصفوفتين في بعض يبقى Zero واحد اللي

239
00:22:09,880 --> 00:22:15,740
هو بواحد يبقى Zero واثنين يبقى في اثنين يبقى سالب 

240
00:22:15,740 --> 00:22:21,440
اثنين و واحد يبقى سالب واحد اثنين و اثنين يبقى كده

241
00:22:21,440 --> 00:22:26,040
إيش؟ أربعة بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام

242
00:22:26,040 --> 00:22:32,080
بدّه يساوي سالب طول فيه نضرب المصفوفتين هدول في بعض 

243
00:22:32,080 --> 00:22:39,630
يبقى هنا اثنين وهنا واحد يبقى ثلاثة هنا أربعة 

244
00:22:39,630 --> 00:22:46,750
وناقص أربعة يبقى Zero تمام هنا صف ثاني سالب واحد

245
00:22:46,750 --> 00:22:51,510
وموجب واحد يبقى Zero الصف الثاني في العمود الثاني

246
00:22:51,510 --> 00:22:57,610
سالب اثنين وسالب أربعة يبقى سالب ستة بالشكل اللي 

247
00:22:57,610 --> 00:23:03,690
عندنا ده بدي أضرب كل العناصر في سالب طول يبقى هذا

248
00:23:03,690 --> 00:23:08,970
بيعطيكوا قد ايش؟ سالب واحد وهنا Zero وهنا Zero سالب 

249
00:23:08,970 --> 00:23:14,230
مع سالب موجب وهنا باثنين اطلع لي عناصر القطر 

250
00:23:14,230 --> 00:23:18,810
الرئيسي سالب واحد واثنين هي قيم main ال eigen value

251
00:23:18,810 --> 00:23:23,970
المعنى هذا الكلام أن ال a is diagonalizable يبقى

252
00:23:23,970 --> 00:23:31,720
هنا الـ A is diagonalizable

253
00:23:31,720 --> 00:23:34,040
وهو المطلوب

254
00:24:01,920 --> 00:24:11,060
نأخذ الملاحظة هذه remark it

255
00:24:11,060 --> 00:24:22,540
should be noted that it should be noted that يجب

256
00:24:22,540 --> 00:24:29,060
ملاحظة أن not every square matrix not every

257
00:24:32,360 --> 00:24:45,100
square matrix مش كل مصفوفة مربعة is similar to

258
00:24:45,100 --> 00:24:51,880
a diagonal matrix

259
00:24:51,880 --> 00:24:58,860
because السبب

260
00:25:01,690 --> 00:25:11,770
بسبب أن ليس كل مقاطع كل مجموعة

261
00:25:11,770 --> 00:25:19,870
لديها 

262
00:25:19,870 --> 00:25:26,650
مجموعة كاملة كمجموعة

263
00:25:31,150 --> 00:25:38,230
complete set of eigenvectors

264
00:25:38,230 --> 00:25:41,450
example

265
00:25:41,450 --> 00:25:48,430
is

266
00:25:48,430 --> 00:25:57,750
the matrix A تساوي

267
00:25:58,890 --> 00:26:07,490
اثنين ثلاثة صفر اثنين Similar to

268
00:26:07,490 --> 00:26:10,890
a diagonal matrix

269
00:26:36,780 --> 00:27:04,360
العمود هذا لازم خلاص خلي

270
00:27:04,360 --> 00:27:10,490
بالكم الملاحظة اللي كتبناها المثال اللي جاب لو كان

271
00:27:10,490 --> 00:27:13,810
هنا مصفوفة مربعة نظام اثنين في اثنين لقيناها

272
00:27:13,810 --> 00:27:18,010
diagonalizable لما نسأل هل المصفوفة دي

273
00:27:18,010 --> 00:27:22,370
diagonalizable ولا لا أنا بفهم منها شغلتين الشغل

274
00:27:22,370 --> 00:27:26,130
الأولى قد تكون diagonalizable وقد لا تكون

275
00:27:26,130 --> 00:27:31,060
diagonalizable إذا ما بنقدر نقول مش كل مصفوفة

276
00:27:31,060 --> 00:27:36,100
similar to أي مصفوفة أخرى ليس بالضرورة أو بمعنى

277
00:27:36,100 --> 00:27:41,760
آخر مش كل مصفوفة بتكون diagonalizable طيب كيف بدنا

278
00:27:41,760 --> 00:27:46,300
نثبت صحة هذا الكلام أو كيف بدنا نبين هذا الكلام؟

279
00:27:46,300 --> 00:27:49,120
إيش بقول لي هنا في الملاحظة دي؟

280
00:27:57,900 --> 00:28:07,700
مش كل مصفوفة مربعة مشكلة مش كل مصفوفة

281
00:28:07,700 --> 00:28:11,600
مربعة مشكلة

282
00:28:11,600 --> 00:28:12,280
مش كل

283
00:28:14,720 --> 00:28:18,640
square matrix المصفوفة المربعة و complete set of

284
00:28:18,640 --> 00:28:24,120
eigenvalues تعالَ نترجم هذا الكلام على أرض الواقع

285
00:28:24,120 --> 00:28:27,100
المعطيني المصفوفة وجالي يشوف لي هل هذه 

286
00:28:27,100 --> 00:28:32,180
diagonalizable ولا not diagonalizable إذا بدي أمشي

287
00:28:32,180 --> 00:28:35,940
مثل ما مشيت في المثال اللي طوى شوف حالي إلى وين

288
00:28:35,940 --> 00:28:41,280
بدي أوصل هل بقدر أكمل ولا بقدرش أكمل إذا ما قدرش

289
00:28:41,280 --> 00:28:45,360
أكمل إيش الشيء اللي خلاني ما قدرش أكمل الحكي تبعي 

290
00:28:45,360 --> 00:28:52,280
بقول له بسيطة إذا أنا بدي أبدأ ب lambda I ناقص ال a

291
00:28:52,280 --> 00:29:02,480
يبقى اللي هي mean lambda 00 lambda ناقص ال a 2302

292
00:29:02,480 --> 00:29:10,830
ويساوي هنا lambda ناقص اثنين وهنا ناقص ثلاثة و Zero

293
00:29:10,830 --> 00:29:16,590
كزي ما هو وهنا lambda ناقص اثنين بشكل اللي عندنا

294
00:29:16,590 --> 00:29:25,080
هذا بدي آخذ المحدد يبقى determinant لـ lambda I ناقص

295
00:29:25,080 --> 00:29:32,580
ال a ويساوي المحدد lambda ناقص اثنين ناقص ثلاثة Zero

296
00:29:32,580 --> 00:29:39,270
lambda ناقص اثنين يبقى هذا lambda ناقص اثنين لكل

297
00:29:39,270 --> 00:29:45,470
تربيع ناقص ال Zero هذا الكلام بدّه يساوي Zero يبقى 

298
00:29:45,470 --> 00:29:51,210
هذا معناه أن ال lambda ناقص اثنين لكل تربيع يساوي

299
00:29:51,210 --> 00:29:56,410
Zero هذه معادلة من أي درجة؟ من درجة اثنين يبقى لها كم

300
00:29:56,410 --> 00:30:00,890
حل؟ حلين يبقى هذه المعادلة لها حلين

301
00:30:05,540 --> 00:30:12,540
يبقى هذا الكلام بناء عليه أن lambda واحد تساوي

302
00:30:12,540 --> 00:30:19,850
lambda اثنين تساوي اثنين بناء عليه سأحصل على

303
00:30:19,850 --> 00:30:27,190
ال eigenvectors المناظرة لمن؟ لـ lambda تساوي اثنين

304
00:30:27,190 --> 00:30:32,930
يبقى باجي بقول هنا لو أخذنا lambda واحد تساوي اثنين

305
00:30:32,930 --> 00:30:40,090
تمام؟ بدي أروح آخذ من؟ lambda I ناقص الـ A في الـ X

306
00:30:40,090 --> 00:30:47,130
كل هذا الكلام بدّه يساوي Zero هذا بدّه يعطيني lambda

307
00:30:47,130 --> 00:30:52,150
اي ناقص لها هذه المصفوفة هشيل lambda هذه وأكتب

308
00:30:52,150 --> 00:30:58,540
مكانها قد ايش؟ وأكتب مكانها اثنين بيصير هايها هاي 

309
00:30:58,540 --> 00:31:02,240
lambda ناقص اثنين ولا شيء تقولي من وين اجت وهنا

310
00:31:02,240 --> 00:31:10,760
ناقص ثلاثة وهنا Zero وهنا lambda ناقص اثنين وهاد 

311
00:31:10,760 --> 00:31:16,820
ال X واحد X اثنين بدها تساوي Zero و Zero بالشكل

312
00:31:16,820 --> 00:31:21,810
اللي عندنا هنا يبقى لما lambda تساوي اثنين بيصير

313
00:31:21,810 --> 00:31:26,970
المصفوفة لأنها تبقى كم؟ Zero وهذه سالب ثلاثة وهذه 

314
00:31:26,970 --> 00:31:33,690
Zero وهذه Zero في X واحد X اثنين بدها تساوي Zero و

315
00:31:33,690 --> 00:31:39,730
Zero يبقى الصف الأول في العمود الأول بيعطينا مين؟

316
00:31:39,730 --> 00:31:45,130
بيعطينا سالب ثلاثة X اثنين يساوي Zero في غير هي

317
00:31:45,130 --> 00:31:51,940
كده؟ ما أعطانيش إلا معادلة واحدة بمجهول واحد كل 

318
00:31:51,940 --> 00:31:57,060
اللي بقدر أقوله من هذه المعادلة أن ال X2 بدها تساوي

319
00:31:57,060 --> 00:32:05,550
قد ايش؟ طب وال X1 أي رقم؟ مين مكان يكون يبقى باجي

320
00:32:05,550 --> 00:32:14,170
بقول له and X اثنين بدها تساوي ال A say مثلاً يعني اه 

321
00:32:14,170 --> 00:32:17,270
وقع كيف؟ بسمع

322
00:32:19,810 --> 00:32:31,730
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 

323
00:32:31,730 --> 00:32:40,890
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1

324
00:32:40,890 --> 00:32:43,450
يبقى X1 يبقى 

325
00:32:46,580 --> 00:32:55,980
تو lambda واحد تساوي اثنين are in the form على

326
00:32:55,980 --> 00:33:04,040
الشكل التالي X واحد X اثنين يساوي X واحد اللي هو بـ

327
00:33:04,040 --> 00:33:09,700
A و X اثنين اللي هو بقد ايش؟ ب Zero اللي يساوي A في

328
00:33:09,700 --> 00:33:14,260
واحد Zero طب

329
00:33:14,260 --> 00:33:21,480
lambda مكررة يبقى الثانية زيها صح ولا لأ؟ يبقى also

330
00:33:21,480 --> 00:33:28,240
the eigenvectors

331
00:33:28,240 --> 00:33:35,900
corresponding to

332
00:33:35,900 --> 00:33:45,480
lambda اثنين تساوي اثنين are in the four

333
00:33:47,770 --> 00:33:54,870
يبقى أصبحت على الشكل التالي اللي هو بي مثلاً لكن هي 

334
00:33:54,870 --> 00:34:00,370
هي نفسها ما تغيرتش يبقى ليس بي وإنما إيه؟ في واحد

335
00:34:00,370 --> 00:34:01,070
صفر

336
00:34:04,190 --> 00:34:09,650
طيب تعالَ نشوف في هذه الحالة شو شكل المصفوفة K

337
00:34:09,650 --> 00:34:14,310
المصفوفة K بحط فيها ال Eigen vectors مظبوطة ولا لأ؟

338
00:34:14,310 --> 00:34:24,210
يبقى بناء عليه المصفوفة K بدها تساوي 1 0 1 0

339
00:34:24,210 --> 00:34:26,070
تمام

340
00:34:28,060 --> 00:34:32,700
لو رجعنا لـ a similar to b يقول لنا if there exists a

341
00:34:32,700 --> 00:34:38,620
non singular matrix K such that تمام؟ بدنا نشوف هل

342
00:34:38,620 --> 00:34:42,220
هذه singular ولا non singular

343
00:34:44,480 --> 00:34:49,600
يبقى احنا بنات هنا طلعنا المصفوفة K تبعت ال

344
00:34:49,600 --> 00:34:54,480
eigenvectors على الشكل اللي عندنا هذا جينا أخذنا 

345
00:34:54,480 --> 00:34:59,300
المحدد اللي لها وجينا المحدد اللي يساوي مين؟ Zero

346
00:34:59,300 --> 00:35:03,780
مدام المحدد Zero يعني ال K inverse does not exist

347
00:35:03,780 --> 00:35:09,760
لأن المصفوفة اللي لها معكوس هي المصفوفة اللي محددها

348
00:35:09,760 --> 00:35:15,700
لا يساوي Zero تمام؟ يساوي زيرو يبقى جهدي مش موجودة،

349
00:35:15,700 --> 00:35:20,980
مدن مش موجودة، إذا لا يمكن تبقى المصفوفة similar to

350
00:35:20,980 --> 00:35:24,560
a diagonal matrix أو المصفوفة بقول عنها هي 

351
00:35:24,560 --> 00:35:29,160
diagonalizable يعطيكم العافية