quimica

Questão de físico-química do Enem de 2014

[User]
Alguém, por gentiliza, poderia explicar cada alternativa desta questão, que segue em seguida? A "c" não pode ser, pois o petróleo é menos denso que a água, mas, sobre as outras, fiquei bastante em dúvida.
[size=18]Obs: o gab é a "e".[/size]

(ENEM 2014 - 3ª Aplicação).
O petróleo que vaza de um navio cargueiro em alto-mar pode ser removido por meio de duas técnicas de dispersão mecânica, em que jatos de água ou de areia são usados para dissociar a mancha em pequenos pedaços e facilitar sua degradação.

Apesar de eficientes, essas técnicas apresentam importante potencial de contaminação do solo marítimo quando:

[size=16]A) [/size]petróleo que chega a praia fica impregnado na areia que a arrastada para o fundo.

B) os jatos de água ou de areia empurram o petróleo da superfície para o fundo do mar.

C) o petróleo fica diluído na água salgada e, por ser mais denso que a água do mar, ira afundar.

D) os jatos de água ou de areia provocam um movimento de circulação da água, que leva o petróleo para o fundo.

E) o petróleo fica diluído na água e atinge o fundo pela convecção da água e pelo afundamento dos grãos de areia do jato.

[Assistant] E) Verdadeiro, pois cada vez mais, menores "partes" do petróleo se formaram, ou seja, uma menor quantidade de petróleo será presente em certo volume de água (diluição). Isso faz com que as tensões superficiais entre a água e o óleo diminuam, propiciando de certa forma a mistura das duas substâncias, mesmo uma sendo apolar e a outra polar. Quando misturadas, o processo natural de convecção dos oceanos, ocasionado pelas correntes leva a água contaminada para o fundo.


matematica

Desafio da coleção poliedro

[User]
Foram feitas os gráficos das funções:
f(x)=sen4x e g(x)=x/100, para x no intervalo fechado de 0 a 2pi. O número de pontos comuns aos dois gráficos é:
a) 16
b) 8
c) 4
d) 2
e) 1
Gab: alternativa b

[Assistant]
Desenhe o gráfico para os segintes valores de x (para a função sen4x:

0, pi/8, pi/4, 3pi/8, pi/2, etc (variando de pi/8 em pi/

Trace reta x/100 para 2 pontos ---> x = 0 e x = 2pi

A resposta fica evidente


fisica

[Resolvido]Cinemática

[User]
(Vunesp) Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auto-estrada recomenda que os veículos que nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma "distância" de 2,0 segundos.

a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos que percorrem a estrada com a velocidade constante de 90 km/h ?

Resposta: 50 m.

Já respondi

b) Suponha que, nessas condições, um motorista freie bruscamente seu veículo até parar, com aceleração constante de módulo 5,0 m/s^2, e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de 0,50 s. Qual deve ser a aceleração mínima do veículo de trás para não colidir com o da frente?

Resposta: 3,1 m/s²

Não entendi o raciocínio da soma das distâncias.
.
62,5 é a distância que o carro da frente percorre do momento em que freia até parar, certo ?

Mas aí na resolução somou-se a distância entre os dois veículos mais a distância de frenagem, por quê ?

Não entendi direito, mas pra mim isso seria como se o carro de trás estivesse parado e a distância só aumentasse, sendo que na verdade ela só diminui.

Alguém pode me esclarecer ?

Vlw!

[Assistant]
Olha, vou repetir a solução acima tentando explicar:

nesse tempo o carro B estará na posição:

 $\\S_B=50+25.5-\frac{5.5^2}{2}\rightarrow S_B=112,5m\\\\$

O carro A pode, no máximo, alcançar essa posição. Ele ainda anda mais 12,5 m antes de freiar, portanto começa a freiagem na posição 12,5m. A partir daí pode percorrer 100m freiando.

 $\\0=25^2+2a.100\rightarrow a=-3,125m/s^2$


matematica

Razões trigonométricas e figuras planas

[User]
0 8 . No quadrilátero ABCD, os ângulos internos ∠A e ∠C são retos, os ângulos ∠CDB e ∠ADB medem, respectivamente,
45° e 30°, e o segmento CD mede 2 cm. Os lados AD e AB medem, respectivamente:
(A) √ 5 cm e √ 3 cm (B) √5 cm e √2 cm (C) √6 cm e √5 cm (D) √6 cm e √3 cm (E) √6 cm e √ 2 cm

[Assistant]
Faça um desenho com CD = 2 ---> C^DB = 45º e A^DB = 30º

∆ retângulo BCD ---> C^BD = 45º ---> ∆ CBD é isósceles ---> BC = CD = 2

BD² = BC² + CD² ---> BD² = 2² + 2² ---> BD = 2.√2

∆ retângulo BÂD ---> A^BD = 60º --->

AD = BD.cosA^BD ---> AD = 2.√2.cos30º ---> AD = 2.√2.(√3/2) ---> AD = √6

AB = BD.cosA^BD ---> AB = 2.√2.cos60º ---> AD = 2.√2.(1/2) --> AD = √2


matematica

Quadrado inscrito em uma circunferência

[User]
(INSPER-SP-2013) O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de centro O e raio de medida 2√2cm como mostra a figura.

Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao lado CD e os vértices G e H à circunferência. Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em cm, é igual a:

A) 0,8 B) 0,9 C) 1,0 D) 1,1 E) 1,2

Gabarito: A

[Assistant]
A diagonal NÃO é igual ao raio: ela é o dobro do raio
Logo o lado do quadrado inscrito vale L = 4

E não entendi porque a soma do lado do quadrado mais o lado do quadradinho vale 2√2

E finalmente a sua resposta foi aproximada, fazendo √2 ~= 1,4 ---> as alternativas são exatas.


matematica

área da região

[User]
Seja R a região do primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e por y = 1 x ². Suponha que a reta y = d divida R em duas sub-regiões de mesma área. Então d vale:

Sem gabarito galera!

[Assistant]
Área total: St = integral de (1 - x²) de x = 0 a x = 1

St/2 = integral de (1 - d - x²) de x = 0 a x = 1


matematica

trigonometria

[User]
Seja ABC um triângulo tal que BÂC = 2alfa. Seja P o pé da bissetriz interna relativa ao vértice A. Prove que
AP = (2bc cos alfa)/(b+c) . Dica: use o fato de A(ABC) = 1/2. bc senÂ e fórmula similar para áreas dos triângulos determinados em ABC pelo AP.

[Assistant]
BÂC = 2.α ---> BP é bissetriz ---> BÂP = CÂP = α

BÂC = 2α ---> Área de ABC ---> S = (1/2).AC.AB.senÂ ---> S = (1/2).b.c.sen(2.α)

sen(2.α) = 2.senα.cosα

Área de CÂP ---> S' = (1/2).AC.AP.sen(CÂP) ---> S' = (1/2).b.AP.senα

Área de BÂP ---> S" = (1/2).AB.AP.sen(BÂP) ---> S" = (1/2).c.AP.senα

S' + S" = S ---> Complete


fisica

(UNB) Trabalho da força elétrica

[User]
Considere quatro cargas puntuais q1 = 3C, q2 = 3C, q3 = 3C e q4 = -3C, dispostas nos vértices de um retângulo imaginário de lados L1 = 3,0m e L2= 4,0m, como representado na figura.

Calcule o trabalho, em Joules, necessário para afastar as cargas, até que a distância entre elas seja duplicada. Dê sua resposta dividindo o valor encontrado por 9 x 10ˆ9

Gabarito:
Spoiler:00 (Zero)
__________________________________________________________
Porque é 0?
Eu calculei o potencial em cada ponto (tanto das distâncias originais quanto duplicadas), considerando que a carga q1 era a "carga fonte" (V=0). Depois calculei o trabalho (W=q.U) que seria para levar cada carga para sua distância duplicada e somei os trabalhos. Depois de dividir pelo o que o comando pede, deu 3,525J, e não 0!
Alguém poderia explicar como faz?

[Assistant]
Potencial no ponto 1 ---> U1 = kq*(1/3 + 1/4 - 1/5) ----> U1 = (23/60)*kq

Potencial no ponto 2 ---> U2 = kq*(1/3 + 1/5 - 1/4) ----> U2 =
(17/60)*kq

Potencial no ponto 3 ---> U3 = kq*(1/4 + 1/5 - 1/3) ----> U3 =
(7/60)*kq

Potencial no ponto 4 ---> U4 = kq*(1/3 + 1/4 + 1/5) ----> U4 =
(47/60)*kq

Os trabalhos das cargas nos pontos 1, 2, 3 (positivas) tem sinal diferente dos trabalhos da carga no ponto 4 (negativa)

Tabalho total ----> W = W1 + W2 + W3 - w4 ----> W = (23/60 + 17/60 + 7/60 - 47/60)*kq² ----> W = 0


matematica

Determine as seguintes somas algébricas.

[User]
Determine a seguinte soma algébrica.

 $\frac{2}{3}.\sqrt{9.m} + \frac{1}{5}.\sqrt{25.m}$

[Assistant]
Estou aguardando você postar a sua resolução e explicar sua dúvida.

Mas não entendo sua dificuldade: a questão é simples demais.

Extraia a raiz de 9 e a de 25 e faça as contas dando o resultado em função de m


fisica

Determine a aceleração

[User]
(Halliday) Uma pessoa saltou do topo de um edifício de 44 m, caindo em cima da caixa de um ventilador metálico, que
afundou 46 cm. A pessoa, embora bastante machucada, sobreviveu. Que aceleração, supostamente constante, ela
suportou durante essa colisão? Expresse a resposta em termos de g, a aceleração devida à gravidade.
RES: 96 g

[Assistant]
De uma maneira intuitiva podemos avaliar que um corpo cai, a partir do repouso e com aceleração g, de uma altura h1 e então é reconduzido ao repouso numa altura h2 e com aceleração a e portanto deveremos ter:

 $ \frac{a}{g}=\frac{h_1}{h_2}$

Vamos verificar essa intuição:

1) aplicando Torricelli para a queda

 $ v_2^2=2gh_1$

2) idem na freiagem

 $ 0=v_2^2-2ah_2\;\;\to\;v^2_2=2ah_2$

então, dividindo uma pela outra,

 $ \frac{v^2}{v^2}=\frac{2gh_1}{2ah_2}\;\;\;\to\;a=\frac{gh_1}{h_2}$

verifique que o resultado é ~96g


matematica

Trigonometria

[User]
( UFBA ) Uma ponte, com formato de um arco de circunferência e comprimento igual a quilômetros, liga dois pontos A e B situados em margens opostas de um rio, conforme a figura ao lado.
Sabe-se que O é o centro da circunferência e que o ângulo AOB mede 2pi/3 rad.
Calcule a distancia dos pontos A e B.

Nos exercício que anteriores respondidos, pede a distancia d², têm diferença? Por favor é urgente

[Assistant]
Faltam informações

1) comprimento igual a quantos quilômetros?

2) Nos exercício que anteriores respondidos, pede a distancia d², têm diferença ???????

3) E a figura ??????


matematica

Taxas relacionais

[User]
Um balãoo sobe a uma velocidade constante de 2m/s e um rapaz anda de bicicleta ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 5m/s. Ao passar sobre o ciclista, o balão está 15m acima dele. Com que velocidade cresce a distância entre o balão e o rapaz 3 segundos mais tarde?

Obs.: Não tenho a resposta.

[Assistant]
O balão sobe com 2 m/s. Então podemos dizer que no tempo t=0(onde o balão está acima do homem), então a equação da distância de altura será:
h = 15 + 2t ---> Se t=0, então está a 15 metros de altura, nenhuma surpressa.
O rapaz anda com velocidade de 5 m/s, então podemos dizer que a distância horizontal será:
d = 5t
Fazendo por pitágoras, a distância real entre os dois é:
 $\\ \mathrm{D=dist\^ancia}=\sqrt{h^2+d^2}=\sqrt{(15+2t)^2+(5t)^2}=\sqrt{29t^2+60t+225}$
Aplicação de derivada então:
 $\\ \mathrm{D=\sqrt{29t^2+60t+225}} \\ \mathrm{\dfrac{\partial D}{\partial t}= \dfrac{\partial}{\partial t}\sqrt{29t^2+60t+225}} \\ \mathrm{\dfrac{\partial D}{\partial t}=\dfrac{58t+60}{2\sqrt{29t^2+60t+225}} \dfrac{\partial t}{\partial t}} \\ \mathrm{\dfrac{\partial D}{\partial t}=\dfrac{29t+30}{\sqrt{29t^2+60t+225}}}$
Mas temos que ∂D/∂t = velocidade, logo:
 $\mathrm{v(t)=\dfrac{29t+30}{\sqrt{29t^2+60t+225}}}$
Então, como queremos 3 segundos mais tarde, substituimos no t:
 $\mathrm{v(t)=\dfrac{29 \cdot 3 + 30}{\sqrt{29t^2+60t+225}}=\dfrac{39}{\sqrt{74}} \approx 4,533 \ m/s}$


matematica

Equação trigonométrica

[User]
Olá a todos, a equação em questão é a seguinte:
sen x + cos x = -1

eu fiz por sistema adotando sen x = u e cos x = v:
 $\begin{Bmatrix} u+v=-1 & \\ u^2+v^2=1 & \end{Bmatrix}\Rightarrow v=0\;u\;=-1 \therefore {\color{Red} cosx=0\;e\;senx=-1}\\ou\\v=-1\;e\;u=0\therefore {\color{Green} cosx=-1\;e\;senx=0}$

logo:
 $cosx=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\senx=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\\cosx=-1\Rightarrow \pi+2k\pi\\senx=0\Rightarrow x=k\pi$

mas o gab é somente x=3π\2 + 2kπ ou x= π + 2kπ

Gostaria também que, se possível, apresentassem outra fora mais bizurada de se resolver essa equação.
Desde já, agradeço.

[Assistant]
Perdoe-me por não ter respondido na hora que eu estava online, eu tive que sair para ir à aula.

"Eu a resolvi pelo método do sistema, só faltava entender que o senx e o cosx tinham que ser de um mesmo arco, certo?"

Eu não sei se eu entendi a sua dúvida, mas veja uma coisa, na segunda equação temos u² e v². Uma vez que ambos estão elevados ao quadrado, pode ser que ao final da resolução surjam raízes que satisfazem o sistema, mas não satisfazem a nossa equação original, sen(x)+cos(x)=-1, que é o que importa. Desse modo, ao final da resolução, temos que testar os valores encontrados a partir do cálculo do sistema para descobrir quem de fato é solução.


matematica

Cilindro e Cone

[User]
Para fazer seu cafezinho, dona Severina ferve a água e o pó de café juntos; em seguida, despeja essa mistura em um filtro de onde o café escoa para um recipiente, conforme a figura abaixo.

Nessa situação, considere:

• o recipiente tem a forma de um cilindro circular reto, com diâmetro e altura medindo 12 cm e 20 cm respectivamente;
• o filtro tem a forma de um cone circular reto, com diâmetro e altura medindo 15 cm e 18 cm respectivamente.

Nesse contexto, sabendo-se que a mistura atingiu a altura máxima de 12 cm no filtro e que o volume do resíduo do pó de café que ficou no filtro era de 28π cm³, é correto afirmar que, no recipiente, o café atingiu uma altura de pelo menos:
a) 6,3 cm
b) 4 cm
c) 3 cm
d) 5,5 cm
e) 2 cm

[Assistant]
R = raio da superfície da mistura água + pó no coador

2.R/15 = 12/18 ---> R = 5

Volume da mistura no coador: Vm = pi.5².12 ---> Vm = 300.pi

Volume do café no recipiente ---> Vc = 300.pi - 28.pi ---> Vc = 272.pi

Vc =pi.r².h ---> 272.pi = pi.6².h ---> complete


fisica

quando eu posso dizer que a potência será

[User]
quando eu posso dizer que a potência será a mesma a ser utilizada na resolução de uma conta, ou a resistência será a mesma,por exemplo:
Um transformador que fornece energia elétrica a um computador está conectado a uma rede elétrica de tensão eficaz igual a 120 V.
A tensão eficaz no enrolamento secundário é igual a 10 V, e a corrente eficaz no computador é igual a 1,2 A.
Estime o valor eficaz da corrente no enrolamento primário do transformador.

Nesse caso para resolver esse problema eu direi que a potência no enrolamento primário e no enrolamento secundário serão as mesmas...
Mas porque eu posso afirmar isso?

[Assistant]
De que resistências você está falando?

No secundário não existe um resistor (a carga é um computador). A única resistência seria a do enrolamento secundário e nada é dito a respeito no enunciado.

O enunciado NÃO afirmou nada sobre nenhuma resistência do primário. O máximo de que se poderia falar é a resistência do enrolamento do primário.

Assim, não entendo sua dúvida.


fisica

porque não é 2150m?

[User]
20 (Furg-RS) Dois trens A e B movem-se com velocidades constantes de 36 km/h, em direções perpendiculares, aproximando-se do ponto de cruzamento
das linhas. Em t 0 s, a frente do trem A está a
uma distância de 2 km do cruzamento. Os comprimentos dos trens A e B são, respectivamente, 150 m
e 100 m. Se o trem B passa depois pelo cruzamento
e não ocorre colisão, então a distância de sua frente
até o cruzamento, no instante t 0 s, é, necessariamente, maior que:
a) 250 m
b) 2 000 m
c) 2 050 m
d) 2 150 m
e) 2 250 m

[Assistant]
Desenhe um sistema xOy

Desenhe o trem A com sua frente em (-2000, 0) e sua parte traseira em (-2150, 0)

Desenhe o trem B com sua frente em (0, y) e sua parte traseira em (0, y + 100)

vA = vB = 36 km/h = 10 m/s

dA = vA.tA ---> 2150 = 10.tA ---> tA = 215 s

dB = vB.tB ---> (y + 100) = 10.tB ---> tB = (y + 100)/10

tB > tA ---> (y + 100)/10 > 215 ---> y > 2050 m


matematica

Geometria de posição

[User]
Assinale verdadeiro (V) ou falso (F).

( ) Três retas, duas a duas concorrentes, são coplanares
( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas determinam três planos
( ) Três retas, duas a duas concorrentes em pontos distintos, são coplanares
( ) Duas retas distintas determinam um plano
( ) Uma reta e dois pontos distintos fora dela determinam dois planos

R: FFVFF

Pessoal, precisava de ajuda em todas as afirmações (com exceção da 4ª afirmação). No caso da última, eu sei que uma reta e um ponto fora dela determinam um plano, então tendo dois pontos só poderia determinar dois planos se esses mesmos pontos fossem distintos ?
Na 1ª, 2ª e 3ª eu não sei como justificar.
Obrigado.

[Assistant]
1) Imagine dois fios esticados sobre a sua mesa, cujo único ponto comum é um prego P que prende ambos à mesa (são duas retas coplanares concorrentes)

Pegue agora um lápis (3ª reta) e coloque perpendicular à mesa, no ponto P (o que v acha?)

2) Disponha 3 lápis, paralelos entre si sobre sua mesa: eles estão no plano da mesa

3) Repita o item 1 com os dois fios e com o prego e coloque o lápis, deitado, sobre ambos, tocando cada um em pontos diferentes e diferentes de P (o que você acha?)

5) Coloque um lápis deitado sobre a mesa e um clipe sobre ela, fora da reta, representando um dos pontos: o clipe e o lápis determinam o plano da mesa. Coloque agora outro clipe acima da mesa e na mesma vertical da ponta do lápis.

Temos agora o plano da mesa e do 1º clipe, o plano do lápis e do 2º clipe, e o plano dos dois clipes


fisica

força eletrica

[User]
Três cargas puntiformes de valores absolutos iguais a !q1! !q2! e !q3! estao localizadas sobre um segmento reto e separadas por uma distância L, como mostra a figura. Sabe-se que as cargas q1 e q2 sao fixas enquanto a carga q3 é livre para se deslocar. Porém tambem é sabido que, na situação da figura, a carga q3 encontra-se em equilíbrio sob a ação das forças eletricas devidas às cargas q1 e q2. Todo o sistema encontra-se no vácuo. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que :

a) q1 = +2q2
b) q1 = +(q2/4)
c) q1 = -(q2/2)
d) q1 = -4q2
e) q1 = - q2

 q1 --------------- q2 --------------- q3

 _____________ ___________

 L L

A resposta pelo gabarito seria letra D mas na figura não é informado o sinal das cargas.

[Assistant]
Isto é você que tem que descobrir!!!

Se ambas as cargas q1 e q2 tem o mesmo sinal, o equilíbrio seria impossível.

Cheque isto fazendo ambas positivas e depois ambas negativas e desenhando os sentidos das força F13 e F23, atuando em q3

Calcule F13 e F23 (em módulo). Elas terão sentidos contrários.
Para haver equilíbrio |F13| = |F23|

E o seu teclado tem o símbolo de módulo |
Para que usar, então, ! ?


matematica

Renda maior possível

[User]
Várias situações que ocorrem no cotidiano podem ser modeladas por funções: na indústria e possível otimizar custos em um determinado processo de fabricação; na Física e possível determinar a posição de um objeto, usando função quadrática, etc. Uma farmácia vende 124 unidades de um remédio por mês, ao preço de R$ 1,50 a unidade. O gerente percebeu que aumentando R$ 0,10 centavos no preço unitário da mercadoria, a quantidade a ser vendida mensalmente reduz em 4 unidades. De quanto o gerente deve aumentar o preço uma única vez, de modo que a renda seja a maior possível?
a) R$ 0,12
b) R$ 0,15
c) R$ 0,13
d) R$ 0,10
e) R$ 0,80

Gabarito E.

[Assistant]
Seja x a quantidade de R$0,10 de aumento

Novo preço de venda = 1,50 + 0,10*x
Nova demanda = 124 - 4*x

Receita ----> R(x) = (1,50 + 0,10*x)*(124 - 4*x) ----> R(x) = - 0,4*x² + 6,4*x + 186

A função R(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo (a = - 0,4).
Logo, a receita atinge o valor máximo no vértice da parábola (xV)

xV = - b/2a ----> xV = - 6,4/2*(- 0,4) ----> xV = 6,4/0,8 ----> xV = 8

Aumento do preço = 0,10*x = 0,10*8 = R$0,80 ----> Alternativa E


matematica

Questão de Trigonometria

[User]
1. Sejam x, y ∈ ℝ.

 $ \begin{matrix} Se & x+y=\frac{\pi }{2} && x-y=\frac{\pi }{6} \end{matrix}$

Calcule o valor de t, sendo:

 $t=\frac{sen(x)+sen(y)}{cos(x)-cos(y)}$

Gente, é o seguinte, gostaria de saber se meus cálculos estão corretos. Alguém ajuda?

 $\large t=\frac{2sen(\frac{x+y}{2})+cos(\frac{x-y}{2})}{2cos(\frac{x+y}{2})-cos(\frac{x-y}{2})}$

 $\large t=\frac{2sen(\frac{\pi \cdot \frac{1}{2}}{2})+cos(\frac{\frac{\pi }{6}}{2})}{2cos(\frac{\frac{\pi }{2}}{2})-cos(\frac{\frac{\pi }{6}}{2})}$

 $\large t=\frac{2sen\frac{\pi }{4}cos\frac{\pi }{12}}{2cos\frac{\pi }{4}cos\frac{\pi }{12}}$

 $t=\frac{2\cdot (\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})}$

 $t=\frac{\frac{\sqrt{12}-2}{4}}{\frac{\sqrt{12}-2}{4}}$

t resulta em 1 segundo meus cálculos, mas gostaria de saber se isso tudo está certo (?) peguei essa fórmula na internet e dizem que isso se chama prostaférese. O ato de transformar a soma e diferença num produto.

Para achar o cosseno de 15º fiz o seguinte:

Cos (45-30) = cos(45) * Cos (30) - Sen(45) * Sen (30)

 $cos15= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2} \right )$

 $cos15= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

[Assistant]
Não era necessário usar Prostaférese. E, com tantos cálculos, houve erro: os sinais no numerador e denominador são * e (e não + -)

x + y = 90º
x - y = 30º
--------------
2.x = 120º ---> x = 60º ---> y = 30º

senx + seny ... √3/2 + 1/2 ..... √3 + 1
-------------- = -------------- = ---------- = - 2 - √3
cosx - cosy ..... 1/2 - √3/2 ...... 1 - √3


fisica

Razão entre quantidade de calor e trabalho

[User]
A temperatura de uma certa massa m de um gás perfeito monoatômico cuja a massa molar é $\mu$ varia de acordo com a lei $T = \alpha . V^2$ , em que $\alpha$ é uma constante e V é o volume do gás em determinado instante. Se o gás evolui de um volume V0 até um volume V, determine a razão entre a quantidade de calor envolvida no processo e o trabalho realizado pelo gás.

Resposta: 4

[Assistant] $W = \int_{Vo}^{V}p.dV = \int_{Vo}^{V} \frac{nRT}{V}dV = \int_{Vo}^{V}\frac{nR\alpha V^2 .dV}{V}\\\\\\ \frac{mR\alpha }{\mu} \int_{Vo}^{V}V.dV = \frac{mR\alpha (V^2 - Vo^2)}{2\mu }\\\\ W = \frac{k(V^2 - Vo^2)}{2}\\\\ \Delta U = Q - W \therefore Q = W + \Delta U \therefore Q = \frac{k.(V^2 - Vo^2)}{2} + \frac{3mR\Delta T}{2\mu } \\\\ Q = \frac{k(V^2 - Vo^2)}{2} + \frac{3k(V^2 - Vo^2)}{2} \therefore Q = 2k(V^2 - Vo²) \\\\ \frac{Q}{W} = 4$


matematica

Insper 2015

[User]
Durante uma partida de futebol, em determinado instante, a distância entre a bola e o goleiro é de 11 metros e a distância entre a bola e o atacante adversário é de 5 metros. Assim, nesse instante, o valor mínimo e o valor máximo possíveis para a distância entre o goleiro e o atacante adversário são, respectivamente,

a)3 metros e 16 metros.

b)3 metros e 8 metros.

c)5 metros e 11 metros.
d)6 metros e 16 metros.

e)6 metros e 8 metros.

Alternativa e

[Assistant]
Distância mínima:

.......................... B ------- 5 -------- A ----------6----------G

Distância máxima:

A ------- 5 -------- B -------------------11----------------------G
|---------------------------------16 ------------------------------|

Tens certeza do gabarito?


matematica

EPCAR - Fatoração

[User]
Eu consegui resolver esta questão , porém fiquei com uma dúvida.
Se eu considerasse que a ou b fossem números negativos ,então eu teria a raiz quadrada de um número negativo , logo , um número complexo. Tendo um número complexo , então toda a fatoração feita não seria válida ? Ou se eu tivesse a raiz quadrada de um número negativo , eu poderia realizar as operações algébricas da mesma forma ?

Considere as expressões abaixo em que a é diferente de b.

 $P=\frac{a^3-b^3}{a^2\sqrt{a}-\sqrt{b} a^2+ba\sqrt{a}-b\sqrt{b}a+b^2\sqrt{a}-b^2\sqrt{b}}$

 $Q=\frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}$

Assim , tem-se que p/q é igual a :

a)1/√a - √b
b)1/√a + √b
c)√a + √b
d)√a - √b

[Assistant]
Sim, manteria

1 = 1

1.(√-2) = 1.√(-2)

√(-2) = V(-2)

√[2.(-1)] = √[2.(-1)]

√2.√(-1) = √(2).√(-1)

√2.i = √2.i

i = i


matematica

questão de prova

[User]
http://www.4shared.com/document/LoiWP50t/119_20101129-162418_ap2_md_201.html
peço ajuda como desenvolver a questão 1

[Assistant]
Considere uma urna que contém x bolas brancas e y bolas pretas. Uma bola é retirada da urna ao acaso. A probabilidade de que a bola seja branca é 5/9. A urna original é modificada pelo acréscimo de duas bolas brancas e a retirada de uma bola preta. Uma bola é retirada ao acaso da urna modificada. A probabilidade de que a bola seja branca é 12/19. Determine os valores de x e y.

Na realidade ele já está resolvido, apenas vou explicar um pouco.
temos um sistema com duas equações, a saber:

urna não modificada:

Total de bolas nessa urna ==> (x + y) bolas
 $\frac{x}{x+y}=\frac{5}{9}$
donde vc tira que:
9*x = 5*(x + y)
9x - 5x = 5y
4x - 5y = 0 (i)
urna modificada:
nessa urna são acrescentadas 2 bolas brancas e é retirada uma bola preta, total de bolas nessa urna ==> (x + 2) + (y - 1).

 $\frac{x+2}{(x+2)(+(y-1)}=\frac{12}{19}$
donde vc tira que:
19*(x+2) = 12*[(x+2)+(y-1)]
19x + 38 = 12*[x + y +1]
19x + 38 = 12x + 12y + 12
19x - 12x - 12y = 12 - 38
7x - 12y = - 26 (ii)
Vc tem um sistema de primeiro grau com duas equações:

4x - 5y = 0 (i)
7x - 12y = - 26 (ii)
esse sistema pode ser resolvido por: adição, subtração ou comparação.

Por comparação:

4x - 5y = 0 (i) ==> x = 5y/4
7x - 12y = - 26 (ii) ==> x = (-26 + 12y)/7

5y/4 = (-26 + 12y)/7, M.M.C.(4,7) = 28

7*5y = 4*(-26 + 12y)
35y = -104 + 48y
35y - 48y = -104
-13y = -104*(-1)
13y = 104
y = 104/13
y = 8, substituindo esse valor em qualquer das equações, encontramos:

x = 5y/4
x = 5*8/4
x = 40/4
x = 10


matematica

Porcentagem

[User]
Se x é 150% de y, que percentual de 3x é 4y?

Gab: 89%

[Assistant]
x = 1,5.y

(p/100).(3x) = 4.y ---> (p/100).(3.1,5.y) = 4.y ---> (p/100).(4.5) = 4 ---> p = 400/4,5 ---> p ~= 89 %


matematica

Analise combinatoria

[User]
4 - Um baralho contém 52 cartas divididas em 4 naipes: copas, paus, ouros e espadas. Cada naipe contém 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10, um rei, um valete, uma dama e um ás. Ao serem retiradas desse baralho duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade de sequências que se pode obter em que a primeira carta seja de ouros e a segunda não seja um ás é igual a:
a) 612
b) 613
c) 614
d) 615

[Assistant]
Primeira carta ser de ouros ---> 13 possibilidades, divididas assim:

I) 1 ás de ouro ---> restam 51 cartas (com 3 ases) ---> 48 possibilidades para a 2ª carta não ser ás

II) 12 não ás ---> Restam 51 cartas (com 4 ases) ---> 47 possibilidades para a 2ª carta mão ser ás

n = 1.48 + 12.47 ---> n = 48 + 564 --> n = 612 ---> Alternativa A


matematica

(UNESP 99) Combinatória

[User]
(Unesp 99) De uma certa doença são conhecidos n sintomas. Se, num paciente, forem detectados k ou mais desses possíveis sintomas, 0 < k <= n, a doença é diagnosticada. Seja S(n, k) o número de combinações diferentes dos sintomas possíveis para que o diagnóstico possa ser completado de maneira segura.

a) Determine S (6, 4).
b) Dê uma expressão geral para S(n, k), onde n e k são inteiros positivos, com 0 < k <= n.

Gabarito:
a) a) S(6; 4) = 22
b) binomial de n, p a p

[Assistant]
6 - 4 = 2

S(6, 0) = 6!/0!.(6 - 0!) = _1
S(6, 1) = 6!/1!.(6 - 1!) = _6
S(6, 2) = 6!/2!.(6 - 2!) = 15
--------------------------------
Total ......................... = 22


fisica

Compressão de mola em um plano inclinado

[User]
Uma mola ideal pode ser comprimida até 2,00 cm por uma força de 270 N. Um bloco de massa igual a 12,0 kg é solto do alto de um plano inclinado, cuja inclinação é de 30º com a horizontal. O bloco pára momentaneamente após ter comprimido a mola por 5,50 cm.

Desprezando o atrito, responda:
(a) qual é a distância percorrida pelo bloco sobre o plano inclinado
até este instante,
(b) qual é a velocidade do bloco quando encontra a mola;
(c) qual é a velocidade do bloco no momento em que a mola está comprimida de 3,00 cm?

Resp.: (a) 0,347 m; (b) 1,69 m/s; (c) 1,47 m/s.

[Assistant]
Energia potencial gravitacional no alto do plano:

Epg = m*g*h ----> Epg = m*g*(d*sen30º) ----> Ep = 12*10**d*(1/2) ---> Ep = 60*d

Energia potencial elástica em baixo:

Epe = (1/2)*k*x² ----> Epe = (1/2)*(270/2*10^-2)*(5,5*10^-2)²

Calcule e depois iguale para calcular d

Energia cinética em baixo ----> Ec = (1/2)*m*V²

Iguale com Epg e calcule V

Para x = 3 cm calcule a energia potencial elástica da mola (Epe') e compare.


matematica

integral definida

[User] Calcule a área da região limitada pelo gráfico de y = f(x) e pelo eixo x, de x = -3 a x = 4, sabendo que f´(x) = 2x - 1 e f(0) = -6

[Assistant] A integral não consegue interpretar que o que você está calculando é uma área, ela apenas te fornece um resultado final. Sabendo que trata-se de uma área, basta tomarmos o módulo do valor final obtido. Caso o resultado de fato seja -91/6 (eu não fiz as contas), isso indica que a área é 91/6.


matematica

Cossenos

[User]
A soma dos cossenos de todos os ângulos que são múltiplos de 10º, maiores do que 0º e menores que 180º, é igual a :
01) -1 02)-1/2 03) 0 04) 1/2 05) 1

[Assistant]
Para enxergar a resposta lembre-se da redução do segundo ao primeiro quadrante.

cos170º = -cos10º

Com isto, todos os cossenos múltiplos de 10 maiores que 90 terão valor negativo simétrico ao do primeiro, com isso o resultado é nulo.

cos10º+cos20º+cos30º+cos50º+cos60º+cos70º+cos80º+cos90º-cos80º-cos70º...-cos10º

O única que não possui simétrico é o cos 90º, que também é 0. Portante o resultado é 0.


matematica

Quantidade de água

[User]
Em um experimento, coloca-se 200 ml de água suja e m um recipiente e retira-se 100 ml do recipiente e deposita-se 100 ml de água apropriada para consumo, repetindo-se o processo várias vezes, a fim de reduzir-se a quantidade de água suja pela metade a cada procedimento. A água com possibilidade de ser consumida após a quinta vez em que o experimento é realizazo pode ser dada por:

a) 100 - 50 - 25 - 12,50 - 6,25
b) 100 + 50 + 25 + 12,50 + 6,25
c) 100 + 150 + 175 + 187,50 + 193,75
d) 200 - 100 - 50 - 25 - 12,50
e) 200 + 100 + 50 + 25 + 12,50

Sem gabarito

[Assistant]
1ª substituição

Tem-se 100 ml de AS e 100 ml de AL ---> razão 1 : 1
Retira-se 50 ml de AS e 50 ml de AL e acrescenta-se 100 ml de AL
Tem-se agora 50 mL de AS e 150 ml de AL ---> razão 1 : 3

2ª substituição:

Ao se retirar 100 ml desta nova mistura, retira-se 25 ml de AS e 75 ml de AL e acrescenta-se 100 ml de AL
Tem-se agora 25 mL de AS e 175 de AL ---> Razão 1 : 7

Prossiga


matematica

Probabilidade

[User] Uma garagem possui 10 vagas em fila. Sabendo-se que 6 carros estão estacionados, qual a probabilidade de as vagas vazias NÃO serem consecutivas?

[Assistant]
Posso fazer assim: temos $C_{10}^{4}=210$ modos de escolher as 4 vagas que não serão ocupadas e há (__ __ __ __) __ __ __ __ __ __, 7 modos de escolher 4 vagas consecutivas. Note que os parênteses com as celas em vermelho podem ocupar 7 espaços diferentes. Logo:

P_(serem consecutivas) = 7/210
P_(serem consecutivas) = 1/30

P(não serem consecutivas) = 1- 1/30
P(não serem consecutivas) = (30 - 1)/30
P(não serem consecutivas) = 29/30


quimica

(PUC-RS) - Modelos atômicos

[User]
(PUC-RS) John Dalton foi o responsável por introduzir no âmbito da ciência a teoria atômica, nos primeiros anos do século XIX. Nessa época, ainda não se conseguia saber quantos átomos de cada elemento entravam na composição das moléculas simples. Hoje sabemos que a fórmula da molécula da água é H2O e que a da amônia é NH3 . Dalton supôs que as moléculas mais simples eram combinações 1:1; assim, a água seria HO e a amônia, NH. Dalton introduziu uma escala de massas atômicas baseada no hidrogênio, que tinha massa 1. Na época de Dalton, acreditava-se que, em massa, a água tinha 1/8 de hidrogênio, e que a amônia tinha 1/6 de hidrogênio. Com isso, foi possível concluir que as massas atômicas do oxigênio e do nitrogênio valiam, respectivamente:
a) 7 e 5.
b) 8 e 6.
c) 9 e 7.
d) 16 e 14.
e) 32 e 28.

Eu não entendi a lógica dessa questão, na minha cabeça se é 1 e a água é 1/8, pq não seria 7/8 de O, por ex?
Resposta:Letra A

[Assistant]
Sim, seu raciocínio está coerente, você só não prosseguiu com o mesmo. Como a escala de massa atômica é baseada no hidrogênio, e esse tem valor representativo igual 1, logo podemos determinar a massa de oxigênio com uma simples relação básica, temos que:

 $1 \ H \ \rightarrow \ \frac{1}{8} \ \therefore \ 1 \ O \ \rightarrow \ \frac{7}{8}$

Se em 1/8 do composto eu tenho 1 massa atômica, portanto em 7/8 do composto eu tenho 7 massas atômicas, desta forma:

 $1 \ O = 7 \ H \ \therefore \ \boxed{7 \ massas \ de \ H}$

De forma análoga para o nitrogênio.

Ficou claro desta maneira? Espero ter ajudado!


matematica

UNB-FUNÇÕES TROGONOMÉTRICAS

[User]
Supondo que, em determinada região, a temperatura
média semanal T (em °C) e a quantidade de energia solar média
semanal Q que atinge a região (em kcal/cm^2)possam ser
expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções ao lado,julgue os itens:
T(t)=10+12.sen[2∏(t-15/52)]
Q(t)=400+200.sen[2∏(t-11/52)]
1. A maior temperatura média semanal é de 22°C
2. Na 50ª semana, a quantidade de energia solar média
semanal é mínima.
3. Quando a quantidade de energia solar média semanal é máxima,a temperatura média semanal também é máxima.
GABARITO:
CCE

[Assistant]
1) Tmáx ----> sen = 1 ---> Tmáx = 10 + 12*1 ----> Tmáx = 22 ºC

2) t = 50 ----> Q(50) = 400 + 200.sen[2pi*(50 - 11)/52] ----> Q(50) = 400 + 200.cos(3pi/2) ---> Q(5) = 400 + 200.(-1) ----> Q(50) é mínima

3) Calcule T(50)


matematica

Propriedades dos pares ordenados

[User]
Li no livro do Aref que: sendo α = (a ; b) e β = (c ; d)
α + β = (a + c ; b + d)
α . β = (ac - bd; ad + bc)
x . α = (xa ; xb)
para todo x, x ∈ R

Mas não encontrei explicação/demonstração em nenhum lugar para essas afirmações. Como posso demonstrá-las?

[Assistant]
Poderia também estar associado aos números complexos:

Adição de pares ordenados

Agora, precisamos dizer o que é: (a, b) + (c, d) . A definição é a seguinte:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Essa definição é "boa", no sentido que veremos a seguir: primeiro, ela garante que a soma de dois números complexos é ainda um número complexo (propriedade do fechamento); em seguida, ela permite verificar todas as propriedades usuais dos números reais: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência do oposto.

Deixamos a cargo do leitor a verificação (demonstração) dessas propriedades, o que é um exercício bastante simples.

Por exemplo: o elemento neutro da adição, face à definição acima, será o par (0, 0). Prova:

(a, b) + (0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b).

A forma algébrica do número complexo

Notemos que, dado um número complexo z = (a, b), então podemos também escrever:

z = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) +b*(0, 1) = a + b.i

Essa é a maneira mais comum de escrever um número complexo: z = a + b.i (que é a chamada forma algébrica do número complexo).

Deve-se observar que está implícita nessa forma a identificação entre (a, 0) e a, por motivo já explicado anteriormente. Outra coisa interessante de se notar é a identificação do par (0, b) com o produto do número real b pelo par (0, 1) .

De fato, o produto de um número real por um par ordenado é definido dessa maneira, ou seja, resulta no par ordenado cujos membros são os respectivos membros do par ordenado original multiplicados pelo coeficiente b.

Isto é, por definição, se l é um número real qualquer, temos: l * (a, b) = (l*a, l*b)

Subtração de pares ordenados

Agora podemos definir facilmente a subtração de números complexos: se z 1 = (a, b) e z 2 = (c, d), então

 z 1 - z 2 = z 1 + (-z 2)

isto é, definimos a subração entre z 1 e z 2 como a soma de z 1 com o oposto de z 2. Isso, naturalmente, equivale a escrever:

(a, b) - (c, d) = (a-c, b-d)

Multiplicação de pares ordenados

Consideremos agora dois números complexos, z1 = (a, b) e z 2 = (c, d); como deveríamos definir o produto z 1 * z 2?

Há uma certa "tentação" de definir assim:

z1 * z2= (a*c, b* d)

ou seja, multiplicando-se as primeiras coordenadas, e depois as segundas coordenadas, para com esses produtos formar o par ordenado resultante.Afinal, na adição foi feito algo semelhante e lá funcionou bem. Além disso, parece mais simples, e de fato é. Neste caso, porém, a simplicidade é enganosa .

De acordo com essa definição, teríamos, por exemplo:

(3, 0) * (0, 5) = (3*0, 0*5) = (0, 0)

Ou seja, teríamos o produto de dois números NÃO NULOS dando como resultado zero, quando entre os números reais isso não ocorre, vigorando ali a chamada "Lei do Cancelamento", que diz: se o produto de dois números vale zero, então pelo menos um deles deve valer zero.

Ora, não queremos que a multiplicação em C ocasione a violação de qualquer propriedade de R. Poderíamos mostrar ainda muitos outros inconvenientes da definição sugerida inicialmente.

Pois bem, se essa definição não serve, então qual deveríamos adotar?

Seja z = (a, b) e w = (c, d). Sabemos que também podemos escrever assim:

z = a + b.i

e

w = c + d.i

Se admitirmos que i 2 = - 1, podemos ter uma noção de como deveria ser definido o produto de números complexos.

Observação: estou usando, para representar o operador de multiplicação, tanto o "." (ponto) como o "*" (asterisco), indistintamente.

Vejamos:

z * w = (a, b) * (c, d) = (a + b.i) * (c + d.i)

(a + b.i) * (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.i.i

Como estamos supondo que i*i = -1, podemos escrever, agrupando os termos em i:

(a + b.i) * (c + d.i) = (a.c - b.d) + (a.d + b.c). i

Ou, em notação de pares ordenados:

(a, b) * (c, d) = (a.c - b.d) + (a.d + b.c)

Essa, efetivamente , é a definição de produto de números complexos, ou de pares ordenados.
(Fonte: http://www.desenredo.com.br/Matematica/NumerosComplexos4.htm)


fisica

gráfico dilatação anormal

[User]
A água apresenta uma dilatação anormal quando aquecida: de 0 a 4 °C, em vez de dilatar-se, contrai como mostra o gráfico.

a) Qual é o volume ocupado pela água a 0 °C?

b) Qual é o seu volume a 4°C?

[Assistant]
Esqueceu de postar o gráfico.
Faça-o conforme tutorial para postagem de imagens (na 1ª página do fórum).


matematica

Raízes dos complexos

[User]
gostaria de saber qual das duas afirmativas está correta com relação a números complexos:

Dado um n° complexo (a+bi) são raízes quadradas:

1) {x+yi, -(x+yi)}
2) {x+yi, x-yi}

O questionamento é porque vi num livro uma observação que sempre serão raízes quadradas de uma equação, um número complexo e seu conjugado. Entretanto, sempre pensei, que mesmo para complexos as seriam sempre um número e o seu negativo, tipo x e -x. Quem puder ajudar, por favor...

[Assistant]
Vejamos um exemplo numérico ----> z = - 1/2 + i.(\/3/2) = cos120º + i.sen120º

z^(1/4) = cos[(120 + 360k)/4] + i.sen[(120 + 360k)/4] ----> k = 0, 1, 2, 3

As raízes quartas são:

Para k = 0 ----> z1 = cos(120/4) + i.sen(120/4) ---> z1 = cos30 + i.sen30 ---> z1 = \/3/2 + i.(1/2)

Para k = 1 ----> z2 = cos(480/4) + i.sen(480/4) ---> z2 = cos120 + i.sen120 ---> z2 = - 1/2 + i.(\/3/2)

Para k = 2 ----> z3 = cos(840/4) + i.sen(840/4) ---> z3 = cos210 + i.sen210 ---> z3 = - \/3/2 - i.(1/2)

Para k = 3 ----> z4 = cos(1200/4) + i.sen(1200/4) ---> z4 = cos300 + i.sen300 ---> z4 = 1/2 - i.(\/3/2)

Você há de concordar que NÂO existem raízes conjugadas, uma da outra !!!!

Existem:

 \/3/2 + i.(1/2) e - \/3/2 - i(1/2)

-1/2 + i.\/3/2) e 1/2 - i.(\/3/2)

Então interprete corretamente o seu livro: ele NÃO está pedindo as raízes quartas e um número complexo: ele está pedindo as 4 raízes de uma equação do 4º grau. Neste caso as 4 raízes são, obrigatoriamnte conjugadas duas a duas


matematica

Binominal

[User]
FGV – MPE/BA – 2017)
Suponha que 8 pessoas foram identificadas pelo Ministério Público como possíveis integrantes de uma ORCRIM. De acordo com a experiência dos procuradores, a probabilidade de que qualquer um deles esteja envolvido é de 0,75.

A) a probabilidade de que haja no grupo 7 ou mais envolvidos é de 2,75. (0,75)7? (Certou ou Errado)

[Assistant]
0,75 = 3/4

8 envolvidos ---> (3/4)8

7 envolvidos --> C(8, 7).(3/4)7.(1/4)¹ = 8.(3/4)7.(1/4) = 2.(3/4)7


matematica

DEMONSTRAR IDENTIDADE

[User]
demonstre a seguinte identidade:

cosx/secx = (1 - senx/cossecx)

[Assistant]
E aí ihat3emat, tudo bom ?

Para resolver isso basta saber a Equação Fundamental da Trigonometria e conhecer como os termos "derivados" tal qual a cossecante e a secante são formados, dessa forma temos:

[latex]\frac{\cos x}{\sec x}=1-\frac{\sin x}{\csc x}\;\Rightarrow\;\frac{\cos x}{\frac{1}{\cos x}}=1-\frac{\sin x}{\frac{1}{\sin x}}\;\Rightarrow\;\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\;\\\\\therefore\;\boxed{\cos^{2}x=\cos^{2}x}[/latex]

Espero ter ajudado


matematica

Questão de Probabilidade - (alcoolismo)

[User]
Analise o texto a seguir:
SINAIS DE QUE VOCÊ PODE ESTAR BEBENDO DEMAIS
Se você responder SIM a qualquer das perguntas a seguir, pode ter um problema com
o álcool e deveria consultar um médico.
• Você bebe todos os dias da semana?
• Você sente, em algum momento, que deveria beber menos?
• Você precisa de uma bebida logo que acorda pela manhã?
• Você se irrita se as pessoas mencionam o fato de você beber?
• Você experimenta oscilações de humor ou dificuldade para dormir após beber?
• Você acorda com ressaca ou tremendo após beber na noite anterior?
• Você falta ao trabalho por causa dos efeitos da bebida?
• Você bebe antes de dirigir? (BREWER, 2013. p. 30).

(UNIFACS -2014.1)Respondendo-se apenas SIM ou NÃO a todas as perguntas desse questionário, o número
de maneiras distintas de se obterem, pelo menos, cinco respostas NÃO é igual a

01) 91 03) 93 05) 95
02) 92 04) 94

[Assistant]
Sim, poderia ser 2^8

Como indicado anteriormente: PELO MENOS 5 respostas não equivale a:

5 respostas não e 3 sim
6 respostas não e 2 sim
7 respostas não e 1 sim
8 respostas não e 0 sim

Outra maneira de resolver

1) Calcule o número total de possibilidades: 256
2) Calcule as possibilidades que não interessam:

0 não e 8 sim
1 não e 7 sim
2 não e 6 sim
3 não e 5 sim
4 não e 4 sim

3) Subtraia a soma destas últimas do total


matematica

Sorteio e preço

[User]
Boa tarde.

Pedro participa dum jogo em que o jogador pode comprar um baú para receber itens de determinadas raridades. O preço deste baú é 30 reais.
O baú sorteia aleatoriamente 7 itens pela determinada probabilidade:
item u = 41% de chance
item q = 25% de chance
Item x = 15% de chance
item y = 8% de chance
item z = 6% de chance
item p = 3% de chance
item H = 2% de chance

Pedro compro o baú e recebeu o item H ( 2% de chance de ser sorteado). Pedro deseja vender esse Item H na loja do jogo para outro jogador que não deseja comprar o baú e sim comprar direto o item H pela loja do jogo.

Gostaria de saber se existe como calcular o real preço do item H, de acordo com a respectiva probabilidade, supondo que o outro jogador deseja comprar o item h sem comprar o baú. Seria uma regra de 3 inversamente proporcional ? O valor do item h seria 1500 reais? Alguém poderia conferir?

[Assistant]
Teoricamente, a cada 100 baús comprados, o item H vai sair 2 vezes
Ou seja, 1 vez a cada 50 baús:
50 . 30 = 1500

Porém existem outras variáveis:
Por se tratar de probabilidade, existe a chance de se sortear 1000 vezes e em nenhuma delas sair o H. Por aí vai (Risco)


matematica

(IIT JEE) Integral

[User]
Boa noite. Estou com uma dúvida acerca da questão abaixo.

Determine o valor da integral adiante:

$$\mathrm{\int sin(dx)}$$

A) x + C B) 2x + C C) 3x + C D) 4x + C E) 5x + C

A minha dúvida é sobre notação. A expressão está correta, isto é, o diferencial é o argumento da função seno. Aqui surge a minha dúvida: por que não há um diferencial tal que:
$$\mathrm{\int sin(dx)dx}$$
Que, a meu ver, seria a estrutura padrão de uma integral?

Segue a resolução para quem se interessar.

$$\mathrm{\int sin(dx)=\int \displaystyle \lim_{\delta x \to 0}sin(\delta x)=\int \displaystyle \lim_{\delta x \to 0}\frac{\delta xsin(\delta x)}{\delta x}}$$

$$\mathrm{=\int \displaystyle \lim_{\delta x \to 0}\frac{sin(\delta x)}{\delta x}\int \displaystyle \lim_{\delta x \to 0}\delta x=\int dx=x+C}$$

[Assistant]
Parece ser só um abuso de notação, pra ser sincero. Acredito que quem pensou nesse trambolho foi com este pensamento: sen(x) ≅ tan(x) ≅ x pra x pequenino. Sendo esse o caso de dx, sen(dx) = dx.
Daí, [latex]\int \text{sen}(dx) = \int dx = x + C[/latex]
Mas fazer isso é feíssimo e eu me senti sujo escrevendo essa solução.


matematica

EsPCEx Probabilidade

[User]
Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é:

Resposta: 1/3

[Assistant]
2².3 = 12

Resta ---> 2¹.3¹.5¹ ---> total de divisores = (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 8

São, portanto, 8 múltiplos de 12 entre os 24 divisores de 360


matematica

Integral

[User]
Calcule a integral adiante.

$$\mathrm{\int \frac{2}{x^3(x+2)}dx}$$

[Assistant]
Decomposição em frações parciais:

$$\mathrm{\frac{2}{x^3(x+2)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c }{x^3}+\frac{d }{x+2}}$$

$$\mathrm{(a+d)x^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c=2}$$

$$\mathrm{\begin{cases} \mathrm{a+d}=0 \\ \mathrm{2a+b}=0 \\ \mathrm{2b+c}=0 \\ \mathrm{2c}=2 \end{cases}}$$

$$\mathrm{(a,b,c,d)=\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2},1,-\frac{1}{4}\right)}$$

Agora, vamos ao cálculo da integral.

$$\mathrm{\int \left[\frac{2}{x^3(x+2)}\right]dx=\int \left(\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{1}{4(x+2)}\right)dx}$$

$$\mathrm{\int \left[\frac{2}{x^3(x+2)}\right]dx=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{4}ln\left|x+2\right|+\frac{1}{4}ln|x|+C}$$


matematica

fatore e transforme em produto

[User]
a)sen80+cos50
b)tg25+tg65
c)1-senx

Gabaritos:
a) [latex]\sqrt{3} \cos 20$$/latex]
b) [latex]2\sec 40[/latex]
c) [latex]2\sin\left ( \frac{\Pi }{4}-\frac{x}{2} \right )\cos \left ( \frac{\Pi }{4}+\frac{x}{2} \right )[/latex]

Alguém pode me mostrar detalhado o passo a passo

[Assistant]
[latex]\mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:sin\left ( \frac{\pi }{2}-x \right ) = cos(x)}[/latex]

[latex]\mathrm{Pois\ sin(\alpha -\beta ) = sin(\alpha ) cos(\beta ) - sin(\beta )cos(\alpha )\ \therefore\ (\alpha ,\beta ) = \left ( \frac{\pi }{2},x \right ) \therefore\ sin\left ( \frac{\pi }{2}-x \right ) = cos(x)}[/latex]

[latex]\mathrm{Item\ A ) \ sin( 80^{\circ})+cos( 50^{\circ} )= sin( 80^{\circ}) + sin ( 40^{\circ} ) = 2 sin\left ( \frac{80^{\circ} + 40^{\circ}}{2} \right ) cos\left ( \frac{80^{\circ} - 40^{\circ}}{2} \right ) = \sqrt{3}cos ( 20^{\circ} ) }[/latex]

[latex]\mathrm{No\ item\ A ) \ foi\ utilizado\ Prostaf\acute{e}rese\ sendo\ sin ( \alpha ) + sin ( \beta ) = 2sin\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right ) cos\left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right ) }[/latex]

[latex]\mathrm{Item\ B ) \ tan ( 25^{\circ} ) + tan ( 65^{\circ} ) = \frac{sin(25^{\circ})}{cos ( 25^{\circ} ) }

 + \frac{sin ( 65^{\circ} )}{cos ( 65^{\circ} ) }=\frac{sin ( 25^{\circ} ) cos ( 65^{\circ} ) + sin ( 65^{\circ} ) cos ( 25^{\circ} ) }{cos ( 25^{\circ} ) cos ( 65^{\circ} ) }}[/latex]

[latex]\mathrm{Assim : tan ( 25^{\circ} ) + tan ( 65^{\circ} ) = \frac{sin ( 25^{\circ} + 65^{\circ} ) }{ cos ( 25^{\circ} ) cos ( 65^{\circ} ) } = \frac{1}{cos ( 25^{\circ} ) cos ( 65^{\circ} ) }}[/latex]

[latex]\mathrm{Por\ Prostaf\acute{e}rese:cos \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right ) cos\left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right ) = \frac{cos (\alpha ) + cos ( \beta ) }{2}}[/latex]

[latex]\mathrm{Logo\ \frac{\alpha +\beta }{2} = 65^{\circ}\ (i)\ e\ \frac{\alpha -\beta }{2} = 25^{\circ}\ (ii)\ \therefore\ De\ (i)\ e\ (ii) : (\alpha ,\beta ) = ( 90^{\circ},40^{\circ} ) }[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore\ tan(25^{\circ} ) + tan(65^{\circ} ) = \frac{1}{cos ( 25^{\circ} ) cos(65^{\circ} ) } = \frac{2}{cos ( 90^{\circ} ) + cos ( 40^{\circ} ) } = 2sec ( 40^{\circ} ) }[/latex]

[latex]\mathrm{Item\ C)\ 1-sin (x) = sin\left ( \frac{\pi}{2} \right )-sin ( x ) = 2sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right ) cos\left ( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right )}[/latex]


matematica

[Resolvido](POLIEDRO) Polinomios envolvendo cos e sen

[User]
O polinômio P(x) = (cos theta + xsen theta)^n - cos.n theta - xsen.n theta, n ϵ N*, é divisível por P1 (x) = x^2 + 1:

a) somente se 0 < theta < pi/2.
b) somente se pi/2 < theta < pi.
c) somente se theta ≠ pi/2 + kpi/3.
d) somente se ntheta ≠ kpi.
e)sempre.

[Assistant]
x² + 1 = 0 ---> raízes: x = i e x - i

Vamos experimentar x = i

P(x) = (cosθ + i.senθ)n - cos(nθ) - i.sen(n.θ)

Desenvolvendo o 1º termo, usando propriedade de exponenciação de complexos:

P(x) = cos(n.θ) + i.sen(n.θ) - cos(nθ) - i.sen(n.θ)

P(x) = 0 ---> o dividendo 0 divide qualquer divisor


fisica

(Fuvest) Movimento circular

[User]
(FUVEST) O tronco vertical de um eucalipto é cortado rente ao solo e cai, em 5s, num terreno plano e horizontal, sem se desligar por completo de sua base.

A) Qual a velocidade angular média do tronco durante a queda?

B) Qual a velocidade escalar média de um ponto do tronco do eucalipto, a 10m da base ?

Spoiler:
A)[latex]\frac{\pi }{10}[/latex] rad/s

B)[latex] \pi [/latex] m/s

[Assistant]
Basta notar que o ângulo percorrido durante a queda pelo tronco é de 90º.

a) Wm = pi/2 : 5
Wm = pi/10 rad/s.

b) Wm = Vm/R
pi/10 = Vm/10
Vm = pi m/s.


matematica

Pontos notáveis no triângulo(2)...

[User]
Num triângulo ABC retângulo em Â, um dos ângulos mede 20º. Pergunta-se:
a) qual o ângulo formado pela mediana e pela bissetriz do ângulo reto ?

b) qual o ângulo formado pela mediana relativa à hipotenusa e pela bissetriz do maior ângulo agudo do triângulo ?

[Assistant]
BÂC = 90º ---> B^CA = 20º ----> C^BA = 70º

Seja M o ponto médio da hipotenusa BC ---> AM é a mediana de Â

AM = BM = CM = raio do semi-círculo ciscunscrito

Triângulo MAB é isósceles (MA = MB) ----> BÂM = C^BA ---> BÂM = 70º

Seja N o ponto onde a bissetriz de A encontra BCNÂB = 90º/2 ---> NÂB = 45º

MÂN = MÂB - NÂB ---> MÂN = 70º - 45º ---> MÂN = 25º

b) Faça outro desenho, colocando AM e a bissetriz BP do ângulo B

A^BP = C^BP = 70º/2 ---> A^BP = 35º

Seja Q o ponto de encontro de AM com BP

No triângulo ABQ ---> BÂP + A^BQ + A^QB = 180º ---> 70º + 35º + A^QB = 180º

A^QB = 75º é um dos ângulos entre elas; o outro é o suplementar 105º


matematica

Função Inversa

[User]
Determine a função inversa de:
-x²+4x+5=y e -x²-2x+4= y

(Não tenho o gabarito e não tem alternativa)

[Assistant]
y = - x² + 4.x + 5 ---> Invertendo x, y ---> x = - y² + 4.y + 5 ---> y² - 4.y + (x - 5) = 0

Temos uma equação do 2º grau: ∆ = (-4)² - 4.1.(x - 5) ---> ∆ = 4.(9 - x) ---> √∆ = 2.√(9 - x)

y = [4 ± 2.√(9 - x)]/2.1 ---> y = 2 ± √(9 - x)

Faça o outro.


matematica

Razão e Proporção

[User]
Em uma noite, a razão entre o número de
pessoas que estavam jantando em um
restaurante e o número de garçons que as
atendiam era de 30 para 1. Em seguida,
chegaram mais 50 clientes, mais 5 garçons
iniciaram o atendimento e a razão entre o
número de clientes e o número de garçons ficou
em 25 para 1. O numero inicial de clientes no restaurante era
A 250.
B 300.
C 350
O 400.
E 450.

[Assistant]
" ... e a razão entre o número de clientes e o número de garçons ficou restasrante era numero inicial de clientes na ..."

Eis o caminho:

P/G = 30 ---> P = 30.G ---> I

(P + 50)/(G + 5) = ? ---> II

I em II --> calcule G e depois P


fisica

Lei dos gases-Energia cinética média

[User]
Um gás ideal está à temperatura de 27ºC. Em média, qual é a energia cinética de cada molécula? (k= 1,38 . 10⁻²³ J/K)

Gabarito:2,07.10⁻²³ J

Nos meus cálculos deu 6,21.10⁻²¹ J.

[Assistant]
A energia cinética média é a energia cinética total dividido pelo número de moléculas(N), e também sabemos que o número de mols é o número de moléculas(N) dividido pelo número de Avogadro(NA) :

 $\bar{E_{c}} = \frac{E_{c}}{N} \;\;\;\;\;\;\; \left ( n = \frac{N}{N_{A}} \right )$

então:

 $\\\bar{E_{c}} = \frac{\frac{3}{2}nRt}{n\cdot N_{A}} \;\; \rightarrow \;\; \bar{E_{c}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{R}{N_{A}} \cdot T \;\;\; \rightarrow \;\; \frac{R}{N_{A}} = k\;\; \rightarrow \; \boxed{\bar{E_{c}} = \frac{3}{2}kT }$


matematica

Cadeiras em fila [Análise combinatória]

[User]
Há 15 cadeiras em fila.De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se nenhum marido senta separado de sua mulher ?

R:(10!/5!)*2^5

[Assistant]
Amarremos cada casal. Além deles temos 5 cadeiras vazias

Resultado: A(10, 5)

Podemos agora permutar marido e mulher de cada um dos 5 casais: 2^5

Além disso, temos 5 cadeiras vazes: 5!

N = A(10, 5)*5!*2^5 ----> N = (10!/5!)*5!*2^5 ----> N = 10!*2^5.


matematica

Função e Logaritmo

[User]
No plano cartesiano, seja P(a,b) o ponto da interseção entre as curvas dadas pelas funções reais f e g definidas por f(x) = (1/2)^x e g(x) = log1/2 x.
É correto afirmar que
a)a = log2( 1/log2(1/a) )
b)a = log2( log2 a )
c)a = log1/2((log1/2(1/a) )
d)a = log2( log1/2 a )

Gabarito:A = log2( 1/log2(1/a) )

[Assistant] $\\\text{ Se P(a,b), entao a=x:}\\\\ (\frac{1}{2})^a = \log_{\frac{1}{2}}a\\\\ 2^{-a} = \log_{2}\frac{1}{a}\\\\ \text{Aplicando }\log_{2}\text{ em ambos os lados:}\\\\ \log_{2}2^{-a} = \log_{2}(\log_{2}\frac{1}{a})\\ \log_{2}2^{-a} = \log_{2}(\log_{2}\frac{1}{a})\\ -a = \log_{2}(\log_{2}\frac{1}{a})\\ a = \log_{2}(\log_{2}\frac{1}{a})^{-1}\\ a = \log_{2}(\frac{1}{\log_{2}\frac{1}{a}})$


fisica

MHS na reta horizontal.

[User]
Uma partícula, que se encontra em MHS ao longo de uma reta horizontal, inicia seu movimento quando a velocidade é nula e a aceleração é negativa. Durante o primeiro segundo, a partícula percorre uma distância $l_{1}$ . Já no segundo seguinte, percorre $l_{2}$ ainda na mesma direção. Encontre a amplitude das oscilações.

 $A. (\: )\: \: A=\frac{2l_{1}^2}{3l_{1}-l_{2}}$

 $B. (\: )\: \: A=\frac{2l_{2}^2}{3l_{1}-l_{2}}$

 $C. (\: )\: \: A=\frac{l_{1}^2}{2l_{1}-l_{2}}$

 $D. (\: ) \:\: A=l_{1}+l_{2}$

 $E. (\: ) \:\: A=l_{1}+2l_{2}$

Resposta:Letra A

[Assistant]
função dos espaços no primeiro segundo:

 $x = Acos(\varphi + \omega t) \;\; \rightarrow \;\; A - l_{1} = Acos(\omega ) \;\; \rightarrow \;\; \boxed{cos(\omega ) = \frac{A - l_{1}}{A}}\; (I)$

no segundo seguinte:

 $x = Acos(\varphi + \omega t) \;\; \rightarrow \;\; A - l_{1} - l_{2} = Acos(2\omega ) \;\; \rightarrow \;\; \boxed{cos(2\omega ) = \frac{A - l_{1} - l_{2}}{A}}\; (II)$

sabendo que: cos(2w) = cos²w - sen²w ; na equação II:

 $\\cos^{2}\omega - sen^{2}\omega = \frac{A - l_{1} - l_{2}}{A}$

substituindo cos²w da primeira equação e aplicando a relação fundamental para o sen²w , chegamos em:

 $\\\frac{(A - l_{1})^{2}}{A^{2}} - \frac{A^{2} - (A - l_{1})^{2}}{A^{2}} = \frac{A - l_{1} - l_{2}}{A}$

Creio eu que essa expressão deva conduzir ao resultado, eu troquei A por "x", L1 por "a" e L2 por "b" e joguei no wolfram:

%2Fx+%3D+x+-+a+-+b]https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x+-+a%29%C2%B2%2Fx+-+%5Bx%C2%B2+-+%28x+-+a%29%C2%B2%5D%2Fx+%3D+x+-+a+-+b

A resposta coincidiu com seu gabarito.

Mas, seguindo algebricamente também encontramos:

 $\\\frac{(A - l_{1})^{2}}{A} - \frac{A^{2} - (A - l_{1})^{2}}{A} = A - l_{1} - l_{2}\\\\ (A - l_{1})^{2} - A^{2} + (A - l_{1})^{2} = A(A - l_{1} - l_{2})\\\\ 2(A - l_{1})^{2} - A^{2} = A^{2} - l_{1}A - l_{2}A \;\; \rightarrow \;\; 2A^{2} - 4l_{1}A+ 2l_{1}^{2} - A^{2} = A^{2} - l_{1}A - l_{2}A\\\\ 3l_{1}A - l_{_{2}}A = 2l_{1}^{2} \;\; \rightarrow \;\; A(3l_{_{1}} - l_{2}) = 2l_{1}^{2}\;\; \rightarrow \; \boxed{A = \frac{2l_{1}^{2}}{3l_{_{1}} - l_{2}}}$


matematica

INTERSEÇÃO DE CIRCULO

[User]
SEJAM T1 O CÍRCULO DE EQUAÇÃO (X-1)^2+(Y+2)^2=2 E T2 O CÍRCULO DE EQUAÇÃO(X+2)^2+(Y-1)^2=36.MOSTRE QUE T1 E T2 NAO SE INTERSECTAM,E CALCULE A DISTÂNCIA ENTRE ELES.

 EU TENTEI DESENVOLVER O QUADRADO ,MAS NÃO CONSEGUI DESTA MANEIRA ,PODEM ME AJUDAR

[Assistant]
BETA ALFA

Você não está respeitando a regra da comunidade:

XI- Não use letras maiúsculas para o título ou o corpo do texto da questão.

Por favor, leia TODAS as Regras (no alto desta página) e siga-as nas próximas postagens, para não correr o risco de ter suas mensagens bloquadas.


matematica

Valor de K

[User] Os pontos (2, -3),(4, 3) e (5, k/2) estão sobre uma reta . O valor ou valores de k é ou são ???

[Assistant]
Sua questão não é de Álgebra: é de Geometria Analítica.
Vou mudar mas tome mais cuidado nas próximas postagens

A(2, 3), B(4, 3), C(5, k/2)

Coeficiente angular da reta AB = (yB - yA)/(xB - xA) ---> Calcule

Taça o mesmo para a reta AC (ou BC)

Iguale os dois coeficientes e calcule k


matematica

Combinatória

[User]
De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de xadrez (8x8) de modo que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna?
R:40320

ps:Havia postado em ''Álgebra'' por descuido.

[Assistant]
Eu fiz somente para linhas mas poderia ter feito somente para colunas.
Fazer um mix de linhas e colunas vai complicar a solução.


fisica

Amplitude de vibração - Guia Elementar de Física: Vol I

[User]
Para calcular a amplitude de vibração de um diapasão, faz-se o seguinte experimento:

I. Coloca-se o diapasão para vibrar com frequência f e, em seguida, aproxima-se uma bolinha de massa muito menor do que a massa do diapasão.

II. A bolinha entra em contato várias vezes com o diapasão e ganha velocidade horizontal. Com isso, eleva-se até certa altura. A maior altura percebida, após várias medidas, vale H.

Adotando a gravidade local como g, pode-se afirmar que a amplitude de vibração do diapasão é dada por:

a) $ A = \frac{1}{2\pi f} \sqrt \frac{gH}{2} $

b) $ A = \frac{1}{2f} \sqrt \frac{gH}{2} $

c) $ A = \frac{2}{f} \sqrt {gH} $

d) $ A = \frac{1}{f} \sqrt \frac{gH}{2} $

e) $ A = \frac{1}{2\pi f} \sqrt {2gH} $

[Assistant]
Nossa, muito legal. Me convenceu. Vou comprar os dois.

Agora que vi que na Azimute da pra comprar até parcelado. Dá para comprar sem pesar a consciência kkkk. Muito obrigada por tirar a minha dúvida.

Quanto à questão, vou ficar devendo . Não entendo muito dessa parte de ondulatória. Postei algo, porque me pareceu fazer sentido a resolução indicada.

Talvez o autor do livro tenha algum canal de contato para que o cliente indique problemas/sugestões no livro. Geralmente livros de nicho assim tem. Talvez seja uma opção mandar algo para o autor se existir essa opção.


matematica

Operações algébricas

[User]
Um restaurante vende duzentas refeições por dia a quinze reais cada. Interessados em aumentar o preço da refeição, fizeram uma pesquisa que constatou que a cada um real de aumento venderiam dez refeições a menos. Se o restaurante aumentar o preço da refeição em x reais, qual a expressão numérica que representará o faturamento diário?

Escolha uma:
a. (200 - x)((15 + 10)
b. (200 - x)((15 + x)
c. (200 - 10x)((15 + x)
d. (200 - 10x)((15 + 1)
e. (200 - 10)((15 + x)

[Assistant]
x = quantidade de aumentos de R$1,00

Novo custo = 15 + x.1 = 15 + x
Nova quantidade vendida = 200 - 10.x

F = (200 - 10.x).(15 + x) ---> c)


matematica

Analise combinatoria

[User]
Boa noite! Segue a questao abaixo, retirada do fme volume 5.

Existem duas urnas. A 1° com 4 bolas numeradas de 1 a 4 e a 2° com 3 bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas sao extraíeas da 1° urna, sucessivamente e sem reposição, e em seguida duas bolas sao retiradas da 2° urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos numeros (de 4 algarismos) sáo possiveis de serem formados nestas condições?

[Assistant]
Boa noite, Talia!

Para formar um número, devemos escolher 2 bolas da urna 1, o que pode ser feito de C(4,2) = 6 modos. E escolher 2 bolas da urna 2, o que pode ser feito de C(3,2) = 3 modos.
Então há 3*6 = 18 modos de escolher os 4 algarismos/bolas que formarão um número, sendo cada um desses modos gera 24 números, pois há 4! modos de permutar a ordem das bolas escolhidas.
24*18 = 432.
Confere com seu gabarito?


matematica

Calcule BÂD

[User] No triângulo ABC, abaixo, sabe-se que: AC=CD; que CÂB-A^BC=30°. Portanto, o ângulo BÂD é igual a:

[Assistant]
Você não está respeitando a regra da comunidade: foi indicado as alternativas!!!

CAD é isósceles (AC = CD) ----> CÂD = C^DA = x ---> A^CD = 180º - 2x

Â + ^B + ^C = 180º ---> Â + ^B + (180 - 2x) = 180º ---> Â = 2x - ^B

DÂB = Â - x ----> DÂB = (2x - ^B) - x ---> DÂB = x - ^B

CÂB - A^BC = 30º ----> Â - ^B = 30º ---> 2x - ^B - ^B = 30º ---> x - ^B = 15º


quimica

Calculo Massa de Ferro

[User] Qual é a massa, em toneladas, de ferro que resulta quando são utilizadas 12 toneladas de minério de ferro, contendo 30% de hematita (Fe2O3), admitindo-se rendimento de 82%?

[Assistant]
Fala, kaboing.
Acredito que a reação seja essa:

[latex]Fe_{2}O_{3}(s) + 3C(s) -> 2Fe(s) + 3CO(g)[/latex]

Como a proporção em mol do Fe2O3 (160g/mol) para o Fe (56g/mol) é de 1:2, temos a seguinte relação em massa:
160g Fe2O3 ---- 2*56g/mol
0,3*12 t Fe2O3 -- x
x = 2,52 toneladas Fe.

Como essa massa equivale ao rendimento de 100%:
2,52 ---- 100%
y -------- 82%

y = 2,0664 Toneladas Fe


matematica

Fatoração

[User]
(ANGLO) Considere as 4 afirmações a seguir:

1. Uma forma fatorada de (a+b)x + (a+b)² é (a+b)(x+a+b)

2. Uma forma fatorada de (a+b)x+(a+b)² é (a+b+1)(x+a+b)

3. Uma forma fatorada de (a-b)x - (a-b)² é (a-b)(x-a+b)

4. Uma forma fatorada de (a-b)x - (a-b)² é (a-b)(x-a-b)

Quais afirmações estão corretas? (Se possível, queria a explicação)

[Assistant]
Vou roubar um pouquinho pensando em uma resolução para ganhar tempo caso estivéssemos lidando com questões de alternativas.

Sejam (a,b,x) = (0,1,2):

(a + b)x + (a + b)² = (a + b)(x + a + b) → 2 + 1 = 3 → 3 = 3 (ok)

(a + b)x+(a + b)² = (a + b + 1)(x + a + b) → 3 = 6 (não)

(a - b)x - (a - b)² = (a - b)(x - a + b) → - 3 = - 3 (ok)

(a - b)x - (a - b)² = (a - b)(x - a - b) → - 3 = - 1 (não)


matematica

Lançamento de dados

[User]
João lançou, simultaneamente, 2 dados de 6 faces não viciados, sendo um amarelo e outro vermelho. As faces são -1, 0, 1, 2, 3 e 4.
A probabilidade do valor da soma dos valores dos dados lançados por João ser 7 é:
A) 1/6
B) 1/9
C) 1/12
D) 1/15
E) 1/18

Obs.: Essa questão estava numa prova de concurso e o gabarito oficial é letra D, no entanto, não entendi porque não seria 1/18. Alguém poderia me ajudar? Obrigada!

[Assistant]
Total de possibilidades = 2.C(6, 2) = 2.15 = 30

Possibilidades de soma ser 7 ---> 3+4 e 4+3 ---> 2 possibilidades

p = 2/30 ---> p = 1/15


matematica

altura da maré

[User]
poderiam me ajudar nessa questão?

A altura da maré é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. Jornais paulistas publicam regularmente a altura das marés no porto de Boston. A altura (em metros) no porto de Boston é dada pela função a seguir, em que t é o tempo em horas, a partir das duas horas da madrugada do dia 10 de fevereiro de 2010: y= f(t)= 1,5+1,5.cos(PI/6 . t + PI/2).
Um bom momento para ir pescar na praia é de maré crescente , que começa no instante em que a maré está em altura mínima e vai começar a subir, ou de vazante, que começa no instante em que a maré está em altura máxima e vai começar a baixar.

a) Se Mike quisesse ir pescar no dia 10 de fevereiro, na maré crescente, então a partir de que horas ele deveria estar na praia?

b) Uma função equivalente à função dada, só que para "t", em horas, desde as 12 horas do dia 10 de fevereiro, é expressa por:?

infelizmente não tenho o gabarito

[Assistant]
cosx = - 1 ---> x = pi ---> Hmín ---> Calcule t

cosx = 1 ---> x = 2.pi ---> Hmáx ---> Calcule t


matematica

(FGV-SP) - diferença entre máximo e mínimo

[User]
(FGV-SP) A função f: [0,5] -> IR é definida por f(x) = x²-6x+8. A diferença entre o valor máximo e o valor mínimo dessa função é
A) 2
B) 3
C) 6
D) 8
E) 9

Olá, amigos, ajudem-me a descobrir meu erro para que eu consiga chegar à resposta por favor!

Eu havia marcado a alternativa C, mas como podem perceber, o gabarito diz que a alternativa correta é a alternativa E.

Se f(x) = x²-6x+8, então, podemos descobrir o ponto mínimo da função, que é a ordenada do vértice, já que a>0. Assim, temos:

"delta" = (-6)² - 4*1*8 => "delta" = 4

y = - "delta"/4a => y = -4/4 => y = -1

Além disso, f: [0,5]. Assim, temos que o ponto máximo do gráfico é y = 5. Então:

5 - (-1) = 6

Qual foi meu erro? Por favor, somente apontem meu erro para que chegue até a resposta correta.

Obrigado!

[Assistant]
A função f(x) = x² - 6x + 8 é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Ela tem raizes x = 2 e x = 4

O valor mínimo da função ocorre no seu vértice: xV = - b/2a ----> xV = - (-6)/2*1 ----> xV = 3

Outro modo de descobrir a abcissa do vértice é lembrar que ela é o ponto médio entre as raízes ----> xV = (2 + 4)/2 ----> xV = 3

O valor mínimo desta função é ----> f(x) mín = (3²) - 6*(3) + 8 ----> f(x)mín = - 1

Para descobrir o valor máximo é preciso desenhar a função:

1) Já temos três pontos A(2, 0) B(4, 0) e V(3, -1)

2) Outros dois pontos são os valores extremos da função:

Para x = 0 ----> f(0) = 8 ----> C(0, 8 ) ----> Para x = 5 -----> f(5) = 3 -----> D(5,3)

Desenhando a função, basta olhar para descobrir que o valor máximo é f(x)máx = 8

f(x)máx - f(x)mín = 8 - (-1) ----> f(x)máx - f(x)mín = 9


matematica

Probabilidade - (número escolhido)

[User]
Escolhe-se, aleatoriamente, um número inteiro dentre os números naturais de 1 até 100. A
probabilidade de que, pelo menos, um dos dígitos do número escolhido seja 3 é:
a) 1/100
b) 19/100
c) 15/100
d) 11/100

[Assistant]
Algarismo 3 na casa das unidades: 3, 13, 23, .... , 93 ----> 10 vezes
Algarimo 3 na casa das dezenas: 30, 31, 32, .... , 39 ---> 10 vezes

Total parcial = 20 vezes ---> Devemos diminuir uma vez ----> 33

Total final = 19 vezes

P = 19/100


fisica

UFJF-MG - Cinemática

[User]
No grande Prêmio de Mônaco de Fórmula 1 deste ano, o vencedor percorreu as 78 voltas completas do circuito em quase 1,5h. Cada volta tem aproximadamente 3.400m. Podemos concluir que:
a) O módulo do vetor velocidade do carro esteve sempre acima de 100km/h
b) O módulo do vetor velocidade média do carro foi zero
c) O módulo do vetor velocidade média a cada olta foi aproximadamente 177km/h
d) O módulo do vetor velocidade média foi 177km/h

Resposta: alternativa b

[Assistant]
A prova é um circuito fechado: em cada volta o carro volta ao ponto de partida.

Logo o deslocamento ∆S é nulo ---> Vm = ∆S/∆t ---> Vm = 0/∆t ---> Vm = 0


matematica

Probabilidade AFA

[User]
Considere que:

I) em uma urna encontram-se p bolas vermelhas e q bolas
azuis;
II) duas bolas são retiradas dessa urna, sucessivamente e
com reposição.

Sabe-se que x é a variável que indica o número de bolas
azuis observadas com as retiradas, cuja distribuição de
probabilidade está de acordo com a tabela a seguir.

Nessas condições, é correto afirmar que

a) a probabilidade de se observar no máximo uma bola azul
é 64%
b) se p = 6, então q = 9
c) se p = 18, então q = 12
d) p + q é necessariamente menor ou igual a 100

Resposta: c

[Assistant]
0,6 é aprobabilidade de não se retirar APENAS 1 bola azul, igual à probabilidade de se retirar APENAS 1 bola vermelha = 18/(18+12)

Acontece que serão retiradas DUAS bolas, logo, a probabilidade de se retirar 0 azul (2 vermelhas) é o PRODUTO das duas probabilidades iguais: 0,6*0,6


fisica

UFPA - Movimento Uniforme

[User]
Um rapaz e uma moça saem de suas casas um ao encontro do outro, caminhando sempre com velocidades respectivamente de 3,5km/h e 2,5km/h. Estando a 100 m da moça, em linha reta, o rapaz, ao avistá-la, aciona o seu cronômetro, travando-o apenas no instante em que os dois se encontram. O intervalo de tempo. em minuto, registrado pelo cronômetro vale:
a) 1
b) 6
c) 9
d) 10
e) 12

Alternativa a

[Assistant]
Ou então, fazendo as contas só no final:

d = V.t ---> 0,1 = (2,5 + 3,5).t ---> t = 1/60 h ---> t = 1 min


fisica

Blocos

[User]
Alberto (A) desafiou seu outro participante (C) para uma competição de cabo-de-guerra, de uma maneira especial, mostrada na
figura. Alberto segurou no pedaço de corda que passava ao redor da polia enquanto que Cabral segurou no pedaço atado ao
centro da polia. Apesar de mais forte, Cabral não conseguiu puxar Alberto, que lentamente foi arrastando o seu adversário até
ganhar o jogo. Sabendo que a força com que Alberto puxa a corda é de 200 N e que a polia não tem massa nem atritos:

Considerando que Cabral foi puxado por 2,0 m para frente, indique quanto Alberto andou para trás.

Resposta: 4,0 m

Alguém me ajuda, por favor ?

[Assistant]
A tração no fio de cima da polia móvel tem o mesmo valor que a força F de Alberto

A força exercida por Cabral vale, portanto, 2F

Devido a isto o fio de Alberto percorre um espaço igual ao dobro do fio de Cabral


matematica

(Colégio Militar) - Potências

[User]
O resultado da multiplicação

(1 - 1/3)(1 - 1/4)(1 - 1/5)...(1 - 1/10^10)

Pode ser indicado por:

a) 0,2 x 10^-9
b) 0,8 x 10^-9
c) 0,5 x 10^-10
d) 0,8 x 10^-10
e) 0,9 x 10^-10

GABARITO: A

[Assistant]
Tenho sempre 1 - 1/n = (n-1)/n
Fico então com:
[latex]\frac{2}{\cancel{3}}\times\frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\times\frac{\cancel{4}}{\cancel{5}}\times\cdots\times\frac{\cancel{10^{10}-1}}{10^{10}} = \frac{2}{10^{10}} = 0,2\times 10^{-9}[/latex]


fisica

Tensão e durabilidade da lâmpada

[User]
(Furg) As lâmpadas de uma casa, ligadas a uma tensão de 110 V, queimam com muita frequência. A dona da casa pensa em adquirir lâmpadas de 130 V ao invés de 110 V, como é habitual, porque acredita que estas terão maior durabilidade. Esse procedimento será
A) válido, porém as lâmpadas terão luminosidade reduzida.
B) impossível, pois as lâmpadas queimarão imediatamente.
C) perigoso, pois sobrecarregará a rede elétrica.
D) inútil, pois as lâmpadas não vão acender.
E) vantajoso, pois as lâmpadas terão maior luminosidade.
Considerando que a potência de ambas são iguais (P=Ui), eu consigo ver que a luminosidade vai ser reduzida por que a corrente é menor. Mas como saber que a potência vai ser igual?? E por que aumentando a tensão a durabilidade da lâmpada aumenta??

[Assistant]
Imagine que a lâmpada original tinha as seguintes características:

1) Tensão nominal 110 V e potência nominal 100 W

Isto significa que a máxima tensão que ela suporta é 110 V; acima disso ela vai esquentar muito e "queimar")

Esta lâmpada está tendo vida curta, devido ao aquecimento (provavelmente devido ao fato da tensão da rua ser 120 V, por exemplo)

2) Para resolver você vai ao mercado e encontra uma lâmpada de 130 V e 100 W

Devido ao fato dela suportar tensão de 130 V, com os 120 V da rua, ela vai ter vida muito mais longa.

Mas, como ela vai dissipar potência P' < P, vai ter menor iluminação.

Se quiser ter uma iluminação melhor (similar à original), teria que comprar, por exemplo uma lâmpada de 130 V e 120 W, mas vai gastar mais dinheiro.


matematica

Probabilidade

[User]
As probabilidades de um estudante do curso básico de uma faculdade escolher entre matemática ,física e estatística são 0,5 , 0,3 e 0,2 , respectivamente.Selecionam-se ao acaso 3 estudantes do ciclo básico desta faculdade.Qual a probabilidade de que pelo menos um escolha estatística.

RES :0,488

[Assistant]
3 estudantes de Matemática = 0,5³ = 0,125
2 de Matemática e 1 de Física = 3*0,5²*0,3 = 0,225
1 de Matemática e 2 de Física = 3*0,5*0,3² = 0,135
3 estudantes de Física = 0,3³ = 0,027

Total SEM nenhum estudadante de Estatística = 0,125 + 0,225 + 0,135 + 0,027 = 0,512

Probabilidade de PELO menos 1 de Estatística = 1,00 - 0,512 = 0,488


fisica

IME..

[User]
Um professor de física inventou uma escola termométrica que chamou de escala X. Comparando-a com a escala Célsius, ele observou que -4°X correspondiam a 20°C, e 44°X equivaliam a 80°C . Que valores essa escala X assinalaria para os pontos fixos fundamentais?

Gabarito: - 20ºX e 60ºX

[Assistant]
Complementando a informação anterior:

Seja Q o ponto onde a reta MN corta o eixo X e R o pé da perpendicular de N sobre o eixo X.
Um dos triângulos é POQ e o outro é NQR

Um 3º método é usar diretamente a fórmula de comparação de escalas termométricas:

.C - 20 ..... X - (-4) ......... C - 20 ....... X + 4 ......... C - 20 ..... X + 4
--------- = ----------- ---> ---------- = ---------- ---> --------- = --------- ---> X = 4.C/5 - 20
80 - 20 .. 44 - (-4) ........... 60 ........... 48 ............... 5 ............ 4


matematica

Equação

[User]
(UESB-2005) O número de soluções da equação
4 × (1− sen2x)× (sec 2x −1) = 1, no intervalo [0,2pi], é igual a:

01) 0 04) 3
02) 1 05) 4
03) 2

[Assistant]
Você esqueceu o 1 do 2º membro:

4.[1 − sen(2x)].[sec(2x) −1)] = 1

4.[1 − sen2x].(1 - cos2x)/cos2x] - 1 = 0


quimica

MODELOS ATOMICOS

[User]
Órbita e orbital são vocábulos semelhantes, mas
com significados diferentes. Por exemplo, podese
dizer que o planeta Terra percorre uma órbita
ao redor do Sol. Porém, o conceito de orbital é
inadequado para essa situação. Já para o átomo,
o conceito de orbital é o aceito atualmente,
enquanto que o de órbita, outrora utilizado para a
compreensão da estrutura da matéria, mostra-se
atualmente em desacordo com as teorias físicas
e químicas, bem como com os resultados
experimentais obtidos nos mais diversos
laboratórios científicos ao redor do mundo. Essa
diferença, pequena quando se analisa apenas a
estrutura dos vocábulos “órbita” e “orbital”,
mostra-se enorme quando analisamos as
implicações causadas na teoria atômica.
Partindo de uma análise história, sabe-se que
A)Rutherford propôs o conceito de orbital para
mostrar que os elétrons giram em torno do
núcleo, tal como os planetas do sistema solar
em torno do Sol.
B)Heisenberg, em seu Princípio da Incerteza,
afirmou que é impossível identificar a posição
exata de um elétron em uma órbita ao redor
do núcleo, abrindo caminho para o conceito
de orbital atômico.
C)Bohr enunciou, em seus postulados, que o
orbital é a região de maior probabilidade de
se encontrar um elétron ao redor do núcleo
atômico.
D)Thomson utilizou o modelo planetário para
explicar as emissões de espectros
descontínuos de luz.
E)De acordo com Pauling, o simples fato de
medirmos diretamente a velocidade de um
elétron causa mudança em seu movimento, e
devido a isso nunca será possível analisar a
sua órbita ao redor do núcleo do átomo.

RESPOSTA: B

EU GOSTARIA DE AJUDA PARA ANALISAR AS ERRADAS

[Assistant]
Analisando cada uma:

A) Rutherford propôs o conceito de orbital para mostrar que os elétrons giram em torno do núcleo, tal como os planetas do sistema solar em torno do Sol.

O conceito de orbital trata-se do modelo atômico atual (modelo quântico). Rutherford propôs a divisão do modelo de Thomson, ou seja, temos duas partes o núcleo, onde se encontram as cargas positivas (prótons) e a grande parte da massa, e a eletrosfera, onde se encontram as cargas negativas (elétrons), essas que se encontram em orbitais como se fossem planetas orbitando o núcleo.

C) Bohr enunciou, em seus postulados, que o orbital é a região de maior probabilidade de se encontrar um elétron ao redor do núcleo atômico.

Isso de fato é verdadeiro, no entanto não foi Bohr que propôs tal postulado. Foi exposto por Heisenberg.

D) Thomson utilizou o modelo planetário para explicar as emissões de espectros descontínuos de luz.

Thomson não propôs o modelo planetário, quem fez foi Rutherford, o modelo de Thomson é conhecido pelo modelo de "uvas passas". Não existindo essa repartição entre núcleo e eletrosfera.

E) De acordo com Pauling, o simples fato de medirmos diretamente a velocidade de um elétron causa mudança em seu movimento, e devido a isso nunca será possível analisar a sua órbita ao redor do núcleo do átomo.

Quem postula isso é Heisenberg (Princípio da Incerteza).

Espero ter ajudado!


matematica

Equação da reta normal

[User]
Ache uma equação de cada uma das retas normais 'a curva y=x^3 -4x que sejam paralelas 'a reta x + 8y-8= 0.

R.: x + 8y+2 = 0 ; x + 8y - 2 = 0

[Assistant]
$\textup{Se são paralelas, possuem o mesmo coeficiente angular}\\\\y = \frac{-x}{8} + b(\textup{representa todas as equações que queremos})$

Derivada de $y = x^3 -4x$ : $y' = 3x^2 -4$

Essa função y' representa todas as tangentes das retas tangentes ao gráfico.

Equação das retas tangentes:
 $y = (3x^2 -4)x + c$

Retas perpendiculares:
 $(3x^2 -4).(\frac{-1}{8}) = -1 \rightarrow x = \pm 2$

Substituindo em $y=x^3 -4x$ :

 $y=2^3 -4.2 = 0\\\\ y= (-2)^3 (-4).(-2) = 0$

Pegando esses resultados e substituindo em $y = \frac{-x}{8} + b$ :

 $1) 0 = \frac{-2}{8} +b \rightarrow b = \frac{2}{8}\\\\ 2) 0 = \frac{2}{8} + b \rightarrow b = \frac{-2}{8}$

 $1)y = \frac{-x}{8} + \frac{2}{8}\\\\ 2)y = \frac{-x}{8} + \frac{-2}{8}$

R.: x + 8y+2 = 0 ; x + 8y - 2 = 0

Espero ter ajudado. :albino:


matematica

Geometria cônica - Parábola

[User]
A parábola f(x) = -x²-6x tem vértice no ponto C(c,d) e intercepta o eixo dos x nos pontos A(a,0) e B(b,0). Calcule, um unidades quadradas, a área do triângulo ABC.
a)25
b)26
c)27
d)28

[Assistant]
f(x) = - x² - 6x ----> Parábola com a concavidade voltada para baixo

Vértice ----> xV = - b/2a ---> xV = - (-6)/2.(-1) ----> xV = - 3 ----> yV = - (-3)² - 6.(-3) ----> yV = 9

C(-3, 9) ----> c = - 2 ----> d = 9

Raízes ----> - x² - 6x = 0 ---> - x.(x + 6) = 0 ---> x = -6 e x = 0 ---> A(-6, 0) ---> B(0, 0) ---> a = -6, b = 0

S = [xB - xA].yC/2 ----> S = [0 - (-6)].9/2 ----> S = 27


matematica

Problema dos ceifeiros

[User]
Uma turma de ceifeiros deveria trabalhar em duas roças, uma com o dobro da área da outra. Durante meio dia de trabalho, todos trabalharam na roça maior; depois do almoço, metade da turma continuou na roça maior e a outra metade passou para a roça menor. No fim da tarde, o trabalho estava quase terminado, faltando apenas uma pequena faixa da roça menor. Essa faixa foi concluída por um único trabalhador que ceifou o dia seguinte inteiro. Quantos ceifeiros havia na turma?

Gabarito: 8 ceifeiros.

[Assistant]
Outra solução:

Do lado esquerdo está representada a roça maior, dividida em 3 partes iguais (1/3)
Do lado direito está representada a roça menor dividida em duas partes (1/3 e 1/6)
Maior
 _____
| .1/3. |
|_____|
| .1/3. |_____
|_____|_1/6_|
| .1/3. | .1/3. |
|_____|_____|

A roça maior foi ceifada pela turma toda em meio dia e por meia turma na outra metade do dia
Isto significa que meia turma ceifou em meio dia 1/3 da roça maior

Na segunda metade do 1º dia a segunda metade da turma ceifou a mesma quantidade da roça menor (1/3).

Ficou faltando ceifar, da roça menor: 1/2 - 1/3 = 1/6

Se, em um dia, um ceifeiro corta 1/6 da roça e o total a ser ceifado é 4/3 = 8/6, o total de ceifeiros é 8


fisica

Eletrodinâmica

[User]
Considerando duas esferas dielétricas Q1 (-1,11.10^-6 C) e Q2 (-8,89.10^-6 C) de raios 2mm e 4mm cuja distancia entre seus centros é 10cm.

a) Calcule a força resultante sobre uma carga q disposta a 5cm do centro de Q1 estando:
i. Entre as cargas
ii. No sentido oposto a Q2
iii. Em um sentido ortogonal a resta que liga as cargas

[Assistant]
i) Q1 ................q............... Q2
.... |-----5 cm----|----5 cm----|

Calcule as duas forças F1 e F2, determine os seus sentidos, desenhe-as e calcule a resultante

ii) q......................Q1 ................................ Q2
..-. |------ 5 cm -----|---------- 10 cm -----------|

Idem

iii)

q
|
|
| 5 cm
|
|
Q1__________________________Q2
,|---------------- 10 cm --------------|

Idem


matematica

Derivada - exercicio

[User]
o que eu preciso levar em consideraçao para fazer este exercicio
penso em derivada segunda, pontos maximos e minimos??... estou entrando no calculo agora e me sinto um pouco perdido

esboçar o grafico da seguinte função:

[Assistant]
Primeiro encontre as duas raízes de f(x)

Depois ache a derivada f '(x) e iguale a zero para encontrar a abcissa do máximo ou mínimo de f(x)

Em seguida calcule o valor máximo ou mínimo

Para descobrir se máximo ou mínimo calcule f "(x)

Depois dê alguns valores para x, externamente e internamente às raízes e calcule os valores correspondentes de f(x). Por exemplo faça x = - 3, - 1, 0, 1, 3

Agora desenhe


matematica

Adição e algarismos

[User]
Boa noite.

Se nenhuma das parcelas de uma adição tem mais de n algarismos, e na soma há n + 2 algarismos, quantas são, no mínimo, as parcelas?

Resposta: 11.

[Assistant]
Vamos provar, algebricamente, para um número N composto de 2 algarismos: N = ab
Neste caso, o menor número de n+2 = 2 + 2 = 4 é 1000

ab + ab + ab + ...... + ab > 999
........... x vezes .............

x.(ab) > 9.111

O maior valor possível de ab é 99 = 9.11 ---> x.9.11 > 9.111 ---> x > 111/11 ---> x > 10,1

O menor valor inteiro de x é x = 11

Faça o mesmo para um número N composto de n algarimos:

a1a2a3....an + a1a2a3....an + ....... a1a2a ..... an > (99999 ...... 9)
................................ x vezes .......................... ...n+2 vezes...


quimica

(Fatec-SP)Números quânticos

[User]
(Fatec-SP) Considere as afirmações abaixo.
I. em um subnível d há 7 orbitais;
II. em um subnível p há 3 orbitais;
III. em um orbital s cabem 2 elétrons;
IV. em um orbital p cabem 6 elétrons.
Quanto a tais afirmações:
a) apenas a II é correta.
b) apenas a I e a II são corretas.
c) apenas a II e a III são corretas.
d) apenas a II, a III e a IV são corretas.
e) todas são corretas.
Apesar do gabarito ser dado como letra c,não entendi o motivo,pois para mim seria a letra d a alternativa correta.

[Assistant]
Um orbital,independentemente do subnível(s,p,d ou f),comporta no máximo dois elétrons.

O subnível p possui três orbitais. Portanto,comporta até seis elétrons.

Creio que tenha feito uma confusão entre orbital e subnível.


fisica

Física Moderna - Átomo de Bohr

[User] O espectro do mercúrio contém uma linha de 435,8 nm no azul. Qual é a diferença entre os níveis de energia do átomo que dá origem a esta linha espectral?

[Assistant]
Essa questão já foi respondida no fórum e ela ainda se encontra disponível nesse link. Se tiver alguma dúvida anexe ela na questão original ou mande por aqui.

Espero ter ajudado


matematica

Equação Trigonométrica

[User]
Resolva, em R, a equação trigonométrica a seguir:

cos(4x+ 3pi/2) + cos(2x)+ cos(3x+ 3pi/4)= 0

Gabarito:

S= {x e R/ x = (- pi/ 12) + (k.pi/3) , com k e Z}

Fonte: Apostila Bernoulli.

Tentei usar o LATEX por diversas vezes, com a equação ficando até mesmo pronta, porém, não consegui adicioná-la ao corpo da questão. Por conseguinte, escrevi-a como pude. Perdão se cometi algum erro.

Por favor, ajudem-me na resolução. Preciso me habituar a resolver exercícios difíceis. Obrigado! Deus nos abençoe !

Espero ter colocado na área certa.

[Assistant]
Um possível caminho é usar a "Transformação de Soma em Produto - Prostaférese":

cosp + cosq = 2.cos[(p + q)/2].cos(p - q)/2]


matematica

(FEI) círculo

[User]
Aumentando-se o raio em 2 cm, a área de um círculo passará a ser igual a 100 cm^2. Então, o comprimento da circunferência correspondente aumentará em:

A) 11%
B) 17%
C) 25%
D) 33%
E) 67%

Spoiler:C

[Assistant]
r = raio original ---> S = pi.r² ---> C = 2.pi.r

Novo raio = r + 2

S' = pi.(r + 2)² = 100 ---> (r + 2)² = 100/pi ---> r + 2 = 10/√pi ---> r = 10/√pi - 2

C' = 2.pi.(r + 2) ---> C' = 2.pi.[(10/√pi - 2) + 2] ---> C' = 2.pi.(10/√pi) ---> C' = 20.√pi

C = 2.pi.r ---> C = 2.pi.( 10/√pi - 2) ---> C = 20.√pi - 4.pi

∆C = C' - C ---> ∆C = 20.√pi - ( 20.√pi - 4pi) ---> ∆C = 4.pi

∆C/C = 4.pi/(20.√pi - 4.pi) ---> Calcule


fisica

Aumento Linear

[User]
Considerando-se o aumento linear transversal do microscópio igual a 100, e um objeto real colocado a 6mm da objetiva - de distância focal igual a 5mm - é correto afirmar que a distância, em cm, entre a imagem conjugada pela objetiva e a lente ocular de distância focal igual a 5 cm é

Resposta: 4,75

[Assistant]
Objetiva: pob = 6 mm ---> fob = 5 mm

1/fob = 1/pob + 1/p'ob ---> 1/5 = 1/6 + 1/p'ob ---> p'ob = 30 mm

|Aob| = p'ob/pob = 30/6 ---> Aob = 5

|AL| = |Aob|.|Aoc| ---> 100 = 5.|Aoc| ---> |Aoc| = 20

|Aoc| = p'oc/poc ---> p'oc = 20.poc

1/foc = 1/poc - 1/p'oc ---> 1/50 = 1/poc - 1/20.poc ---> 1/50 = 19/20.poc --->

poc = 47,5 mm ---> poc = 4,75 cm


fisica

Notas de um instrumento

[User]
Instrumentos musicais pré-históricos indicam que, desde tempos remotos, alguma escala musical deveria ser conhecida.
Com a evolução tecnológica, tanto os instrumentos quanto as escalas se multiplicaram e evoluíram.
Uma possível escala musical é representada simplificadamente na tabela a seguir.

Considerando um violão com cordas de 1 m de comprimento, o ponto em que se deve pressionar a corda "dó", para que
ela soe como um "mi" é, em m,
0,6.
0,7.
0,8.
0,9.

R: 0,8

[Assistant]
Lembrando que
 $f = \frac{nv}{2L}$

Calculemos o comprimento para que essa corda corresponda à nota mi(lembrando que, se o meio não muda, a velocidade não se altera)
Como teremos dois nós(onde foi tocado e o início), teremos o primeiro harmônico(n = 1)

 $f = \frac{v}{2L} \rightarrow 330 = \frac{v}{2L} \rightarrow L = \frac{v}{660}$

Vamos descobrir "v". Pelo enunciado, quando utilizamos a corda inteira, temos a nota dó. Também teremos um primeiro harmônico com 2 nós(início e fim):
 $f = \frac{v}{2L} \rightarrow 262= \frac{v}{2} \rightarrow L = v = 524m/s$

Substituindo:
L ≈ 0,8m


matematica

Escola Naval

[User] Se $\frac{senx-seny}{cosx-cosy}=2$ e $tgx=\frac{1}{3}$ , entao tgy é igual a:

[Assistant]
Vou indicar o caminho e você faz as contas:

tgx = 1/3 ---> tg²x = 1/9

tg²x = sen²x/cos²x ---> 1/9 = sen²x/(1 - sen²x) ---> Calcule senx e depois cosx e substitua na equação

Desenvolva a equação e chegue numa equação cosy = f(seny)

Eleve esta equação ao quadrado e depois substitua cos²y = 1 - sen²y

Com isto você chegará numa equação do 2º grau na variável seny. Calcule as raízes e teste para ver qual atende

Depois calcule cosy e finalmente tgy = seny/cosy


matematica

Transformação linear

[User]
podem me ajudar?

Seja T uma transformação linear de R² em R², tal que T(1,0)= (1,1) e T=(0,1)= (-1,2). Seja S o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1). Mostre que a imagem deste quadrado, por T, é um paralelogramo.

[Assistant]
Escrevendo um vetor genérico do IR² (x, y) com combinação linear dos vetores (1, 0) e (0, 1):
(x, y) = a(1, 0) + b(0, 1)
(x, y) = (a, 0) + (0, b)
(x, y) = (a, b)
x = a
y = b

Escrevendo a transformação de um vetor genérico do IR² T(x, y) com combinação linear das transformações dos vetores T(1, 0) e T(0, 1):
T(x, y) = aT(1, 0) + bT(0, 1)
T(x, y) = a(1, 1) + b(-1, 2)
T(x, y) = (a, a) + (-b, 2b)
T(x, y) = (a - b, a + 2b) .................................... Substituindo a = x e b = y
T(x, y) = (x - y, x + 2y)

Substitua os pontos (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1) veja as novas coordenadas após a transformação linear, construa o gráfico com os novos pontos e verifique se forma um paralelogramo.


matematica

P.G ll

[User]
A soma de três números em progressão geométrica de razão negativa é 13 . Sendo 1 o primeiro termo , calcule o terceiro

resposta 16

[Assistant]
DADOS
q < 0
x/q x xq = 13 .............. (I)
x/q = 1 ............................ (II)
x = q ............................... (III)
xq = ?

SOLUÇÃO
Substituindo (II) e (III) em (I):
1 x x² = 13
x² x - 12 = 0
∆ = 1² - 4.1.(-12) = 49

x = [-1 ± V(49)]/2.1
x' = 3 .............. (Não convém, porque q = x < 0)

x'' = -4

Portanto, x = q = - 4 --> xq = (-4)(-4) = 16


fisica

Choque

[User]
FITS- Um próton-projétil com uma velocidade de 500 m/s colide elasticamente com um próton-alvo, inicialmente em repouso. Os dois prótons se movem, então, ao longo de trajetórias perpendiculares, com a trajetória do projétil a 45º em relação ao sentido inicial.
Após a colisão, a velocidade do próton-alvo é, aproximadamente igual, em m/s, a
A) 520
B) 355
C) 320
D) 280
E) 240
Por favor, me ajudem com essa questão!! Desde já, muito obrigada!!
GABARITO: B

[Assistant]
m.500 = m.V.cos45º + m.V.cos45º

500 = 2.V.cos45º ---> 500 = 2.V.(√2/2) ---> 500 = V.√2 ---> V = 250. √2 ---> V ~= 355 m/s


matematica

Quadriláteros

[User]
Em um trapézio ABCD de área 1, a base BC mede a metade da base AD. Seja K O ponto médio da diagonal AC. A reta DK Corta o lado AB no ponto L. A área do quadrilátero BCKL é igual a:

a) 3/4

b) 2/3

c) 1/3

d) 2/9

[Assistant]
[img] [/img]

PK mede a metade de BC, pois é base média do triângulo BCA.

 $PK=\frac{BC}{2} \Rightarrow PK=\frac{x}{2}$

A área do triângulo ADC é o dobro da área do triângulo BCA, pois a sua base é duas vezes maior e ambos t~em a mesma área.

 $A_{BCA}=\frac{1}{3}\\\\A_{ADC}=\frac{2}{3}$

Os triângulos KAD e KCA têm a mesma área, pois, ambos têm mesma base e mesma altura.

 $A_{KAD}=A_{KCA}=\frac{1}{3}$

Vamos calcular a área do triângulo PKA utilizando a razão entre áreas de figuras semelhantes.

 $\frac{A_{PKA}}{A_{BCA}}=(\frac{\frac{x}{2}}{x})^2 \Rightarrow A_{PKA}=\frac{1}{4}A_{BCA}$

 $A_{PKA}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3} \Rightarrow A_{PKA}=\frac{1}{12}$

Vamos calcular a razão entre as áreas dos triângulos PKL e LDA, já que eles são semelhantes.

 $\frac{A_{PKL}}{A_{LDA}}=\left ( \frac{\frac{x}{2}}{2x} \right )^2\Rightarrow A_{PKL}=\frac{A_{LDA}}{16}$

Note que a área do triângulo LDA é igual a soma das áreas dos triângulos KDA,PKA e PKL.

 $A_{PKL}=\frac{1}{16}\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{12}+A_{PLK} \right )\Rightarrow A_{PKL}=\frac{1}{36}$

 $A_{BCKP}=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}\Rightarrow A_{BCKP}=\frac{1}{4}$

 $A_{BCKL}=A_{BCKP}-A_{PKL}\Rightarrow A_{BCKL}=\frac{1}{4}-\frac{1}{36}\Rightarrow A_{BCKL}=\frac{2}{9}$

Alternativa:d


matematica

FUVEST - matriz e combinação

[User] Os elementos de uma matriz 4x4 são números inteiros. Os elementos dessa matriz não pertencem à diagonal principal nem à última coluna são iguais a zero. Todos os outros elementos da matriz são não nulos, distintos dois a dois, e estão no intervalo {3, 18}. Sabe-se ainda que os elementos da diagonal principal são números ímpares e os da última coluna são números primos. O números de matrizes com essas característica é igual a: a) 9260; b) 8640; c) 7380; d) 6140 ou e) 5320.

[Assistant] Você tem razão, vou reformular minha solução, alterando o desenvolvimento (a resposta é a mesma).


fisica

Questão UFT 2011

[User]
Uma pedra, partindo do repouso, cai verticalmente do alto de um prédio cuja altura é "h". Se ela gasta um segundo (1s) para percorrer a ultima metade do percurso, qual é o valor em metros(m) que melhor representa a altura "h" do prédio?
Desconsidere o atrito com o ar, e considere o módulo da aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s^2
a) 80,6m
b)100,2m
c)73,1m
d)57,1m
e) 32,0m

Obrigado!!

[Assistant]
A solução dele está correta.
Vou mostrar outra solução, usando a velocidade na metade do caminho (Vo)

t = tempo total de queda
t - 1 = tempo na 1ª metade

h = (1/2).g.t² ---> t = √(2.h/g) ---> I

1ª metade ---> Vo = g.(t - 1) ---> Vo = g.[√(2.h/g) - 1] --> Vo =√(2.g.h) - g ---> II

1ª metade ---> h/2 = Vo.1 + (1/2).g.1² ---> h = 2.Vo + g ---> III

II em III --> h = 2.[√(2.g.h) - g] + g --> h = 2.√(2.g.h) - g ---> h + g = 2.√(2.g.h)

(h + g)² = 4.(2.g.h) ---> h² + 2.g.h + g² = 8.g.h ---> h² - 6.g.h + g² = 0

∆ = (-6.g)² - 4.1.g² ---> ∆ = 32.g² ---> √∆ = 4.√2.g

h = (6.g + 4.√2.g)/2 ---> h = (3 + 2.√2).g ---> h = (3 + 2.√2).9,8 --->

h ~= 57,1 m


matematica

Encontrar o ponto P 2

[User]
Dados os pontos A(-4,3) e B(2,1), encontrar o ponto P nos casos:?

a) P pertence ao eixo Oy e é equidistante de A e B.

b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa.

c) P pertence a mediatriz do segmento de extremos A e B.

[Assistant]
a) P(0, yP) ---> Calcule o coeficiente angular m da reta AB

Calcule as cordenadas do ponto médio M da reta AB

Calcule a equação da reta que passa por M e é perpendicular a AB (m' = - 1/m)

Faça x = 0 e calcule yP

Proceda de modo similar para as letras b, c


matematica

Intervalos

[User]
(UEFS-08.2) Sendo o conjunto M∩N é:

a) vazio.
b) finito, contendo um único elemento.
c) finito, contendo um dois elementos.
d) finito, contendo quatro elementos.
e) infinito.

PS: Na lista onde peguei essa questão ambos os conjuntos estão denominados "M", eu supus que o segundo seria o N. Também não achei a prova original de onde a questão foi extraída.

[Assistant]
M ---> 2.sen(x/2) > 1 ---> sen(x/2) > 1/2 ---> pi/6 < x/2 < 5pi/6 ---> pi/3 < x < 5pi/3

N ---> cosx ≥ √2/2 ---> 7pi/4 ≤ x ≤ pi/4

Desenhe um círculo trigonométrico e desenhe nele os dois intervalos, hachurando-os.
Você verá que os dois intervalos NÃO se interceptam ---> conjunto vazio


matematica

Quadrilátero

[User]
Em um quadrilátero ABCD tem-se AB = AC = AD, conforme a figura abaixo. Sabe-se que o ângulo BAC mede 20°. Então, quanto mede o ângulo BDC? R: 10º

[/URL]

[Assistant]
Se AB = AC = AD = R ----> circunferência com centro em A e raio R

Nesta circunferência BÂC é um ângulo central que subtende o arco BC

Nesta mesma circunferência o ângulo B^DC é um ângulo inscrito que subentende o mesmo arco BC.

Teorema: o ângulo inscrito é metade do ângulo central

Ai = Ac/2 ----> Ai = 20º/2 ---> Ai = 10º


matematica

Áreas: Quilometros quadrados.

[User]
"Se um hectare corresponde a área de um quadrado com 100m de lado, então expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se:"
a) 3600
b) 36
c) 0,36
d) 0,036

Fiquei na dúvida sobre a que corresponde 1 km^2...

Pensando que 1 metro^2 corresponde a 1 quadrado de lado 1 metro, então 1 km^2 seria 1 quadrado de lado 1 km, ou seja, 1000m x 1000m = 1000000 metros^2.
E a resposta seria 0,036 (alternativa d)

Mas se 1 km^2 corresponder a 1000 metros^2, (1 km = 1000 m) então a resposta seria 36 (alternativa b).

Qual é a correta?

[Assistant]
Ou então:

1 ha ----- 10 000 m²
3,6 ha ---- S

S = 3,6.104 m² = 3,6.104 (10-3 km)² = 3,6.104.10-6 km² = 3,6.10-2 km²

S = 0,036 km²


matematica

UNIOESTE 2020 (ME AJUDEM !!)

[User]
Seja a um número real arbitrário. Suponha que f: R→R é uma função que satisfaz
f(k + x) = f(k) + xa,

para quaisquer x ∈ R e k ∈ R. Então é CORRETO afirmar que:

a) f é obrigatoriamente injetora.
b) f é obrigatoriamente crescente.
c) f é uma função da forma f(x) = mx + n, para algum m,n R.
d) f possui duas raízes reais nos pontos x = a e x = k.
e) f é uma função da forma f(x) = ax2 + mx + n, para algum m,n R

OBS: Não consegui entender a alternativa (a), para poder elimina-la.

[Assistant]
Função injetora é aquela que temos ligação um a um, ou seja, cada elemento da imagem tem apenas um domínio.

Exemplo: g(x) = x etc.

a)Essa função não é obrigatoriamente injetora, já que a pode ser igual a zero, resultando em uma função constante.


fisica

Sólidos cristalinos - força elétrica.

[User]
Nos sólidos cristalinos, os átomos ocupam posições regular-mente distribuídas no espaço, formando uma rede regular que é chamada de rede cristalina.
Nos sólidos cristalinos iônicos, essa rede é formada por íons alternadamente positivos e negativos, resultantes da transfe-rência de um (ou mais) elétron de um tipo de átomo para o outro. A estabilidade da rede cristalina é mantida pela atração eletrostática entre os íons presentes. Os íons possuem carac-terísticas diferentes dos átomos que os formam: seus raios são diferentes dos raios de seus átomos originais. Um bom exemplo é o sal de cozinha, um sólido iônico ampla-mente utilizado. O raio atômico do átomo de sódio (Na) é de, aproximadamente, 180 pm, enquanto o raio iônico do íon sódio (Nas) mede cerca de 102 pm. Já o raio atômico do cloro (Ge) mede cerca de 100 pm, enquanto o raio iônico do íons cloro (Ct) é de, aproximadamente, 181 pm. Os núcleos, que possuem a carga resultante, distam a soma dos raios iônicos.
Disponível em: . Acesso em: 27 jul. 2016 (adaptado).
Considere 1 pm =1.10-12m, constante eletrostática = 9.109 N.m2/C2 e carga elementar e = 1,6.10-19C. Para o cristal de cloreto de sódio, a força eletrostática entre o átomo central de cloro e um átomo adjacente de sódio é O nula, pois não há distância entre as cargas. • de atração, com magnitude de 2,88.10-9N. e de atração, com magnitude de 8,14.10-19N. 4 de repulsão, com magnitude de 2,88.10-9 N. e de repulsão, com magnitude de 8,14.10-19N.
Nesse caso considero duas cargas iguais, de (e), e jogo (e)² na fórmula da lei de Coulomb? F = k ./q.q/ / R²

[Assistant]
d = 102 + 181 ---> d = 283 pm ---> d = 283.10-12 m

F = k.e²/d² = 9.109.(1,6.10-19)²/(283.10-12)² ---> F ~= 2,88.1010-9 N


matematica

Trigonometria

[User]
Analisando as afirmativas, é correto dizer que:

1.Para todo x, sen x + cos x=1.
2.Existe algum x tal que sen x + cos x = 1.
3.Existe algum x tal que sen x + cos x = -1.
4.Existe algum x tal que sen x + cos x = 0.

a)Todas elas são falsas.
b)exatamente uma delas é verdadeira.
c)exatamente duas delas são verdadeiras.
d)exatamente três delas são verdadeiras.
e)todas elas são verdadeiras.

Gabarito:

Alguém poderia explicar a 4, por favor.

[Assistant] Uma resolução que eu julgo mais rápida e mais fácil se você estiver habituado a construir gráficos de funções trigonométricas.


fisica

Composição de movimentos

[User]
(Fatec-SP) Sob a chuva que cai verticalmente, uma pessoa caminha horizontalmente com velocidade de 1 m/s, inclinando o guarda-chuva a 30º (em relação à vertical) para resguardar-se o melhor possível. A velocidade da chuva em relação ao solo (tg 60º = 1,7):

a) é de 1,7 m/s
b) é de 2,0 m/s
c) é de 0,87 m/s
d) depende do vento
e) depende da altura da nuvem

Resposta: letra "A".

[Assistant]
Vou explicar melhor:
E uma composição de dois movimentos MRU:

1) O movimento vertical da chuva com velocidade Vv
2) O movimento horizontal do homem com o guarda-chuva com velocidade Vh = 1 m/s

Para o homem não se molhar ele deve inclinar o guarda chuva de um ângulo tal, que uma gota que esteja passando pelo guarda chuva, leve, para chegar ao solo, o mesmo tempo que o pé do homem leva para chegar até ela, no chão. Note que o ângulo superior do triângulo vale 30º.

O resto da solução é uma simples aplicação de trigonometria no triângulo retângulo: tgθ = (cateto oposto)/(cateto adjacente)

Outro modo de pensar: considere o homem parado, com o guarda chuva inclinado de 30º com a vertical.; considere que a chuva esta caindo com um ângulo de 30º. A componente horizontal da velocidade inclinada da chuva vale 1 m/s; falta calcular a componente vertical da chuva.


matematica

PROBABILIDE

[User]
Num programa de televisão, cada um dos dois competidores retira um cartão de uma urna contendo 50 cartões numerados de 1 a 50. Em seguida, o apresentador retira um dos 48 cartões restantes. O prêmio será dado ao competidor cujo número mais se aproxima do número do apresentador. Se Ana tirou o número 8 e Pedro tirou o 31, a probabilidade de Ana ganhar o prêmio é:

a) 22,5% b) 27% c) 33,5% d) 37,5% e) 42%

[Assistant]
Entre 8 e 19 existem 11 números: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Com estes Ana sempre ganha (e com 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 também)

Entre 20 e 30 existem 11 números: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

Com estes Pedro sempre ganha (e com os de 32 a 50 também também)


matematica

Questão sobre médias

[User]
Prezados,
gostaria de ajuda nessa questão, por favor:

Três turmas de Anatomia foram submetidas ao mesmo exame. A Turma 1 obteve média 6,4, a Turma 2 obteve média 6,6
enquanto a Turma 3 obteve média 7,3. A média dos estudantes das três turmas foi 6,8. Se a Turma 1 contém o dobro do
número de estudantes da Turma 2, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A) A Turma 3 contém menos estudantes que a Turma 2.
B) A Turma 3 contém o mesmo número de estudantes da Turma 2.
C) A Turma 3 contém mais estudantes que a Turma 2, mas menos que a Turma 1.
D) A Turma 3 contém mais estudantes que a Turma 1.
E) A Turma 3 contém o mesmo número de estudantes da Turma 1

Obrigado!

[Assistant]
Sejam x, y, z o números de estudantes das Turmas 1, 2, 3

6,8 = (6,4.x + 6,6.y + 7,3.z)/(x + y + z)

6,8.x + 6,8.y + 6,8.z = 6,4.x + 6,6.y + 7,3.z

0,4.x + 0,2.y = 0,5.z

4.x + 2.y = 5.z

Complete


matematica

Progressão - (sequência de termos racionais)

[User]
[questao 12, capítulo 8, página 151, livro "Matematica para a escola de hoje" ]

Considerando uma sequência de termos racionais cuja lei de formaçao é an = (2n+1)/2n ,
n=1,2,3,..., descubra o valor da soma S= ak + ak+1 de dois elementos consecutivos quaisquer da sequência.

Resposta: S = (4k² + 6k + 1)/2k²+2k

[Assistant]
Parabéns! Viu como você consegue!!!

Sua solução está correta, com apenas duas ressalvas.

1) Cuidado ao escrever denominadores: se ele tiver uma soma é necessário o uso de parenteses para definí-lo bem (veja em vermelho).

2) Você poderia ter feito diretamente com k, desde o início, conforme abaixo

an = (2n + 1)/2n

Para n = k ------> ak = (2k + 1)/2k

Para n = k+1 ----> ak+1 = [2*(k + 1) + 1)]/2*(k + 1) ----> ak+1 = (2k + 3)/2*(k + 1)

S = ak + ak+1 ----> S = (2k + 1)/2k + (2k + 3)/2*(k + 1) ----> MMC = 2k*(k + 1)

S = [(2k + 1)*(k + 1)+ k*(2k + 3)]/2*(k + 1) ----> S = (4k² + 6k + 1)/(2k² + 2k)