Germany_TST/segmented/de-2011-loes_awkl1_11.jsonl

{"year": "2011", "tier": "T1", "problem_label": "1", "problem_type": null, "exam": "Germany_TST", "problem": "Zwei Kreise $\\Gamma$ und $\\Gamma^{\\prime}$ mögen sich in den beiden voneinander verschiedenen Punkten $A$ und $B$ schneiden. Eine Gerade durch $B$ schneide $\\Gamma$ und $\\Gamma^{\\prime}$ so in $C$ bzw. $D$, dass $B$ zwischen $C$ und $D$ liege. Eine weitere Gerade durch $B$ schneide $\\Gamma$ und $\\Gamma^{\\prime}$ derart in $E$ bzw. $F$, dass $E$ zwischen $B$ und $F$ liege. Es möge sich ergeben, dass $|C D|=|E F|$ gilt. Das Innere der Strecke $C F$ treffe $\\Gamma$ und $\\Gamma^{\\prime}$ ind $P$ bzw. $Q$. Weiterhin seien $M$ und $N$ die Mittelpunkte der $C$ bzw. $F$ nicht enthaltenden Bögen $P B$ bzw. $B Q$ von $\\Gamma$ und $\\Gamma^{\\prime}$. Man beweise, dass $C N M F$ ein Sehnenviereck ist.", "solution": "(1) Die Dreiecke $A C D$ und $A E F$ gleichsinnig kongruent: Wir arbeiten mit orientierten Winkeln modulo $\\pi$. Es ist $\\varangle A D C=\\varangle A D B=\\varangle A F B=\\varangle A F E$ und $\\varangle D C A=\\varangle B C A=\\varangle B E A=\\varangle F E A$ (für das mittlere Gleichheitszeichen wurde beide Male der Satz vom Umfangswinkel benutzt). Da außerdem nach Voraussetzung $|C D|=|E F|$ gilt, folgt die Behauptung mit dem Kongruenzsatz wsw.\n(2) $A$ liegt auf derselben Seite der Geraden $C D$ wie $F$ : Der Überlappungsbereich der beiden Kreise enthält die Strecke $B E$ und trifft die Gerade $C D$ nur im Punkt $B$.\n(3) Die Dreiecke $C D Q$ und EFP sind gleichsinnig kongruent: Wie bei (1), $\\varangle Q D C=\\varangle Q D B=\\varangle Q F B=$ $\\varangle P F B$ usw.\n(4) Es gibt eine Drehung um $A$, die die Punkte $C, D, Q$ in die Punkte $E, F, P$ überführt: folgt aus (1) und (3).\n(5) $A$ liegt auf derselben Seite der Geraden $B F$ wie $C$ : Aus (2) folgt, dass $A$ und $Q$ auf derselben Seite der Geraden $C D$ liegen, und zusammen mit (4) ergibt sich, dass $A$ und $P$ auf derselben Seite der Geraden $E F=B F$ liegen, also auch $A$ und $C$.\n(6) $B A$ ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks $B F C$ bei $B$ : Wegen (1) sind die Abstände von $A$ zu den verlängerten Seiten gleich, und wegen (2) und (5) handelt es sich um eine innere Winkelhalbierende.\n(7) $C M$ ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks $B F C$ bei $C$ : Das folgt aus dem Umfangswinkelsatz.\n(8) Analog ist $F N$ ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks $B F C$ bei $F$. Es sei $I$ der Inkreismittelpunkt des Dreiecks BFC.\n(9) $M$ liegt auf dem $C$ nicht enthaltenden Kreisbogen $B A$ von $\\Gamma$ : Aus (2) und (5) folgt, dass die Punkte auf $\\Gamma$ die zyklische Reihenfolge $B, E, A, C$ bzw. $B, P, C$ (gleich orientiert) haben. Die orientierten Bögen $E A$ und $A C$ sind nach (4) gleich groß, also ist $\\frac{1}{2} B C<B A$ und damit $B M=\\frac{1}{2} B P<\\frac{1}{2} B C<B A$.\n(10) $N$ liegt auf dem $F$ nicht enthaltenden Kreisbogen $A B$ von $\\Gamma^{\\prime}$ : analog zu (9).\n(11) $I$ ist ein innerer Punkt von $C M$ und $F N$ : $I$ liegt auf der Geraden $A B$, damit folgt die Behauptung aus (9) bzw. (10).\n(12) $I$ ist ein innerer Punkt von $B A$ : folgt aus (9) oder (10).\n(13) Es gilt $|C I| \\cdot|I M|=|F I| \\cdot|I N|$ : Nach dem Sehnensatz in $\\Gamma$ ist $|C I| \\cdot|I M|=|B I| \\cdot|I A|$, nach dem Sehnensatz in $\\Gamma^{\\prime}$ ist $|B I| \\cdot|I A|=|F I| \\cdot|I N|$.\n(14) Nach der Umkehrung des Sehnensatzes folgt mit (11) und (13), dass CNMF ein Sehnenviereck ist.\n\nBemerkungen: Die Teilergebnisse (1) oder (3) wurden mit 3 Punkten, (7) oder (8) mit 1 Punkt honoriert.", "metadata": {"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2011-loes_awkl1_11.jsonl", "problem_match": "\nAufgabe 1 ", "solution_match": "\nLösung:"}}
{"year": "2011", "tier": "T1", "problem_label": "2", "problem_type": null, "exam": "Germany_TST", "problem": "Es sei $n$ eine positive ganze Zahl und $b$ die größte ganze Zahl, die kleiner als $(\\sqrt[3]{28}-3)^{-n}$ ist. Man beweise, dass $b$ nicht durch 6 teilbar sein kann.", "solution": "Die komplexe Zahl $\\omega=\\frac{-1+\\sqrt{3} i}{2}$ ist bekanntlich eine dritte Einheitswurzel und erfüllt $\\omega^{2}=\\frac{-1-\\sqrt{3} i}{2}$, $\\omega^{3}=1$ und $\\omega^{2}+\\omega+1=0$, insbesondere gilt\n\n$$\n1+\\omega^{j}+\\omega^{2 j}= \\begin{cases}3, & \\text { falls } j \\text { durch drei teilbar ist } \\\\ 0 & \\text { sonst. }\\end{cases}\n$$\n\nSetze $r_{k}=\\sqrt[3]{28} \\omega^{k}-3$ für $k=0,1,2$. Nach Definition von $b$ ist $\\left|r_{0}^{-n}-b\\right|<1$; da die Realteile von $\\omega$ und $\\omega^{2}$ negativ sind, gilt $\\left|r_{1}\\right|>1$ und $\\left|r_{2}\\right|>1$. Damit ist\n\n$$\n\\left|b-\\left(r_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}\\right)\\right|<\\left|b-r_{0}^{-n}\\right|+\\left|r_{1}^{-n}\\right|+\\left|r_{2}^{-n}\\right|<3 .\n$$\n\nWegen $\\left(\\sqrt[3]{28} \\omega^{k}\\right)^{3}=28$ ist\n\n$$\nr_{k}^{-1}=\\frac{1}{\\sqrt[3]{28} \\omega^{k}-3}=\\frac{\\left(\\sqrt[3]{28} \\omega^{k}\\right)^{3}-3^{3}}{\\sqrt[3]{28} \\omega^{k}-3}=\\sqrt[3]{28}^{2} \\omega^{2 k}+3 \\sqrt[3]{28} \\omega^{k}+9\n$$\n\nErhebt man das Polynom $X^{2}+3 X+9$ in seine $n$-te Potenz, gibt es ganze Zahlen $c_{0}, \\ldots, c_{2 n}$ mit $\\left(X^{2}+3 X+\\right.$ $9)^{n}=c_{2 n} X^{2 n}+c_{2 n-1} X^{2 n-1}+\\ldots+c_{0}$, hierbei ist $c_{0}=9^{n}$ ungerade. Durch Einsetzen $X=\\sqrt[3]{28} \\omega^{k}$ folgt $r_{k}^{-n}=\\sum_{j=0}^{2 n} c_{j} \\sqrt[3]{28}^{j} \\omega^{k j}$; daraus ergibt sich mit (1):\n\n$$\nr_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}=\\sum_{j=0}^{2 n} c_{j} \\sqrt[3]{28}^{j}\\left(1+\\omega^{j}+\\omega^{2 j}\\right)=3 \\sum_{0 \\leq \\ell \\leq 2 n / 3} c_{3 \\ell} 28^{\\ell}\n$$\n\nDie Summe ist offenbar ein Vielfaches von 3 und außerdem ungerade, da der Summand $c_{3 \\ell} 28^{\\ell}$ für $\\ell=0$ ungerade, für $\\ell>0$ gerade ist. Wäre $b$ durch 6 teilbar, wäre der Betrag $\\left|b-\\left(r_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}\\right)\\right|$ mindestens 3 im Widerspruch zu (2).\nBemerkungen: 1. Manche Teilnehmer versuchten, den Wert von $(\\sqrt[3]{28}-3)^{-1}$ und damit von $b$ numerisch abzuschätzen. Das ist ein Irrweg, weil für alle reellen Zahlen $m, M$ mit $1<m<(\\sqrt[3]{28}-3)^{-1}<M$ eine positive ganze Zahl $n$ existiert mit $M^{n}-m^{n}>6$.\n2. Manche dachten, zu $\\sqrt[3]{28}-3$ sei $-\\sqrt[3]{28}-3$ „konjugierte Zahl\". Das funktioniert so nur bei Quadratwurzeln, hier benötigt man $\\omega \\sqrt[3]{28}-3$ und $\\omega^{2} \\sqrt[3]{28}-3$.\n3. Die Summen $s_{n}=r_{0}^{-n}+r_{1}^{-n}+r_{2}^{-n}$ genügen der linearen Rekursion $s_{t+3}=27 s_{t+2}+9 s_{t+1}+s_{t}$ für alle $t$, da aus $28=\\left(r_{k}+3\\right)^{3}$, also $1=27 r_{k}+9 r_{k}^{2}+r_{k}^{3}$ und $r_{k}^{-t-3}=27 r_{k}^{-t-2}+9 r_{k}^{-t-1}+r_{k}^{-t}$ die Rekursion durch Summation über $k=0,1,2$ folgt.", "metadata": {"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2011-loes_awkl1_11.jsonl", "problem_match": "# Aufgabe 2", "solution_match": "\nLösung:"}}
{"year": "2011", "tier": "T1", "problem_label": "3", "problem_type": null, "exam": "Germany_TST", "problem": "Es bezeichne $\\mathbb{Q}^{+}$die Menge der positiven rationalen Zahlen. Eine Funktion $f: \\mathbb{Q}^{+} \\rightarrow \\mathbb{Q}^{+}$heiße elastisch, wenn für alle $x, y \\in \\mathbb{Q}^{+}$die Ungleichung\n\n$$\nf(x)+f(y) \\geq 4 f(x+y)\n$$\n\ngilt.\n(a) [5 Punkte] Man zeige: Ist $f: \\mathbb{Q}^{+} \\rightarrow \\mathbb{Q}^{+}$elastisch und sind $x, y, z$ positive rationale Zahlen, so ist $f(x)+$ $f(y)+f(z) \\geq 8 f(x+y+z)$.\n(b) [5 Punkte] Gibt es eine elastische Funktion $f: \\mathbb{Q}^{+} \\rightarrow \\mathbb{Q}^{+}$zusammen mit positiven rationalen Zahlen $x, y, z$, für die $f(x)+f(y)+f(z)<9 f(x+y+z)$ der Fall ist?", "solution": "(a) Es gilt\n\n$$\n4 f(x)+f(y)+f(z) \\stackrel{(*)}{\\geq} 4(f(x)+f(y+z)) \\stackrel{(*)}{\\geq} 16 f(x+y+z) .\n$$\n\nAddiert man dazu die zyklisch vertauschten Versionen $f(x)+4 f(y)+f(z) \\geq \\ldots$ und $f(x)+f(y)+4 f(z) \\geq \\ldots$, erhält man $6(f(x)+f(y)+f(z)) \\geq 48 f(x+y+z)$ und nach Division durch 6 die Behauptung.\n(b) Ja, es gibt solche $f, x, y, z$. Betrachte die stückweise affin-lineare Funktion $f$ mit den Knickpunkten $\\left(2^{k}, 2^{-k}\\right)$ für $k \\in \\mathbb{Z}$, explizit: Für jedes $k \\in \\mathbb{Z}$ sei $f$ auf dem Intervall $\\left[2^{k}, 2^{k+1}[\\right.$ definiert durch\n\n$$\nf(x)=-\\frac{x}{2^{2 k+1}}+\\frac{3}{2^{k+1}} \\quad \\text { für } 2^{k} \\leq x<2^{k+1} .\n$$\n\nDamit ist $f$ für alle $x \\in \\mathbb{Q}^{+}$definiert. Für alle $x$ gilt $f(2 x)=\\frac{1}{2} f(x)$, damit wird (*) äquivalent zur Konvexitätsungleichung $\\frac{1}{2}(f(x)+f(y)) \\geq f\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)$. Die Funktion $f$ ist konvex, also auch elastisch. Mit $x=y=z=1$ gilt\n\n$$\nf(x)+f(y)+f(z)=3<9 \\cdot \\frac{3}{8}=9 f(x+y+z) .\n$$\n\nBemerkung: Entgegen einer häufig geäußerten Behauptung sind elastische Funktionen nicht notwendigerweise monoton, Beispiel:\n\n$$\nf(x)= \\begin{cases}\\frac{1}{x^{2}} ; & x \\neq 1 \\\\ 2 ; & x=1\\end{cases}\n$$", "metadata": {"resource_path": "Germany_TST/segmented/de-2011-loes_awkl1_11.jsonl", "problem_match": "# Aufgabe 3", "solution_match": "\nLösung:"}}