Question: 设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\), 数集 \(X \subseteq D\). 若存在正数 \(M\), 使得 \(|f(x)| \leqslant M\) 对任一 \(x \in X\) 都成立, 则称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上是？

Choices:
- 有界的
- 无界的
- 单调的
- 周期的

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Question: 设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\), 区间 \(I \subseteq D\). 若对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_{1}\) 及 \(x_{2}\), 当 \(x_{1} < x_{2}\) 时, 恒有 \(f(x_{1}) < f(x_{2})\), 则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是？

Choices:
- 单调减少的
- 单调增加的
- 周期的
- 有界的

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Question: 设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称. 若对于任一 \(x \in D\), 恒有 \(f(-x) = -f(x)\), 则称 \(f(x)\) 为？

Choices:
- 奇函数
- 偶函数
- 非奇非偶函数
- 均不是

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Question: 设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\). 若存在一个正数 \(l\), 使得对于任一 \(x \in D\) 有 \(x + l \in D\), 且 \(f(x + l) = f(x)\) 恒成立, 则称 \(f(x)\) 为？

Choices:
- 周期函数
- 有界函数
- 单调函数
- 连续函数

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Question: 设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 为一数列, 若存在常数 \(a\), 对于任意给定的 \(\varepsilon>0\), 总存在正整数 \(N\), 使得当 \(n>N\) 时, 不等式 \(\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\) 都成立, 则称数列 \(\left\{x_{n}\right\}\)？

Choices:
- 周期性
- 发散
- 收敛于 \(a\)
- 有界性

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Question: 若存在常数 $A$, 对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 总存在 $X>0$, 使得当 $|x|>X$ 时, 函数值 $f(x)$ 满足不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon$, 则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时的极限, 记作？

Choices:
- $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$
- $\lim _{x \rightarrow A} f(x)=x_0$
- $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=A$
- $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$

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Question: 下列关于数列极限和函数极限的描述中，哪一项是正确的？

Choices:
- 若 $\lim_{x \rightarrow \infty} x_n=a$ 且 $a>0$, 则对于所有 $n$, 有 $x_n>0$.
- 若 $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ 且 $A>0$, 则必存在常数 $\delta>0$, 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, 有 $f(x) > 0$.
- 若 $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=A$, 则不必存在常数 $M>0$ 和 $\delta>0$, 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, 有 $|f(x)| \leqslant M$.
- 若数列 $\{x_n\}$ 收敛，则它的极限可能不唯一，与函数极限的唯一性不同。

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Question: 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是同一个自变量的变化过程中的无穷小量，若 $\lim \frac{\beta}{\alpha^{k}} = c \neq 0$ 且 $k>0$，则 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的什么阶无穷小量？

Choices:
- 等价
- 低阶
- $k$ 阶
- 高阶

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Question: 当 \(x \rightarrow 0\) 时，下列哪个等价无穷小量的表达式是正确的？

Choices:
- \(\mathrm{e}^x - 1 \sim x \ln e\)
- \(\log_a (1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}\)，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
- \((1 + x)^\alpha - 1 \sim x\)，其中 \(\alpha \neq 0\)
- \(\arcsin x \sim \frac{x^2}{2}\)

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Question: 关于函数在某点的连续性，下列哪项描述是正确的？

Choices:
- 若函数在 \(x_0\) 左连续，则一定在 \(x_0\) 右连续。
- 函数在 \(x_0\) 连续则必有 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0^{-})\)。
- 若函数在 \(x_0\) 右连续，则一定在 \(x_0\) 连续。
- 函数在点 \(x_0\) 连续当且仅当在 \(x_0\) 左连续且右连续。

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Question: 关于函数间断点的分类，下列哪项描述是正确的？

Choices:
- 若 \(f\left(x_{0}^{-}\right) = f\left(x_{0}^{+}\right)\) 且 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处没有定义，则 \(x_0\) 是可去间断点。
- 第一类间断点包括无穷间断点和振荡间断点。
- 无穷间断点意味着 \(f\left(x_{0}^{-}\right)\) 和 \(f\left(x_{0}^{+}\right)\) 至少有一个为 \(\infty\)。
- 振荡间断点是指函数在 \(x_0\) 处的极限值为无穷大。

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Question: 关于闭区间上连续函数的性质，下列哪个陈述是正确的？

Choices:
- 若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则该函数在该区间上不能取得其最大值和最小值。
- 若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则该函数在该区间上可能无界。
- 若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(a) = f(b)\)，则必存在 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(f(\xi) = f(a)\)。
- 介值定理表明，若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则对于任何 \(C\) 在 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间，一定存在 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(f(\xi) = C\)。

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Question: 关于数列和函数的极限，下列哪个陈述是正确的？

Choices:
- \(\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\) 不等于 \(\mathrm{e}\)。
- 若数列 \(\{x_n\}\) 单调增加且有上界，则 \(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n\) 可能不存在。
- 对于数列 \(\{x_n\}\), \(\{y_n\}\), \(\{z_n\}\)，若存在 \(n_0\) 使得当 \(n > n_0\) 时 \(x_n \leq y_n \leq z_n\) 且 \(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = a\)，则 \(\lim_{n \rightarrow \infty} y_n\) 一定等于 \(a\)。
- \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\) 可能不等于 1。

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Question: 在下列哪些情况下，$x_{0}$是函数 $y=f(x)$ 导数？

Choices:
- 左导数存在。
- 左导数和右导数都存在但不相等。
- 左导数和右导数都存在且相等。
- 右导数存在。

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Question: 导数和微分存在关系，对于一元函数来说，下列哪些表述是正确的：

Choices:
- 函数可微分是函数可导的子集
- 函数可微与函数可导无关
- 函数可微与函数可导等价
- 函数可导是函数可微分的子集

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Question: $a>0, a \neq 1$, 函数$\left(a^{x}\right)^{\prime}=$的导数是：

Choices:
- $a^{x} \ln a$
- $a^{x}$
- $a$
- $\ln a$

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Question: 函数$u,v$导数在定义域范围内存在，且$v \neq 0$，则$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}$导数是？

Choices:
- $\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v}$
- $u^{\prime} v-u v^{\prime}$
- $\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}$
- $u^{\prime}v^{\prime}$

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Question: 设 $y=f(u)$, 而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导, 则复合函数 $y=$f(g(x))$ 的导数为？

Choices:
- $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)$
- $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(g(x))$
- $f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$
- $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$

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Question: 若函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_{x}$ 内单调、可导且 $f^{\prime}(x) \neq 0$, 则它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在区间 $I_{y}=\left\{y \mid y=f(x), x \in I_{x}\right\}$ 内也可导,并且$\left[f^{-1}(y)\right]^{\prime}$是.

Choices:
- $f^{\prime}(x)$
- $\frac{1}{f^{\prime}(x)}$
- $f(x)$
- $\frac{1}{f(x)}$

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Question: 若函数由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 确定, $\varphi(t), \psi(t)$ 均二阶可导, 且 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$, 则$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$是：

Choices:
- $\frac{\psi(t)}{\varphi^{\prime}(t)}$
- $\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}$
- $\frac{\psi(t)}{\varphi(t)}$
- $\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi(t)}$

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Question: 函数$u,v$都可微，$\mathrm{d}(u v)$是

Choices:
- $v \mathrm{~d} u+u \mathrm{~d} v$
- $\mathrm{~d} u\mathrm{~d} v$
- $v \mathrm{~d} u+u v$
- $vu+u \mathrm{~d} v$

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Question: 已知曲率的计算公式为$K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left[1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$，设曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x, y)$ 处的曲率为 $K(K \neq$ $0)$. 在点 $M$ 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点 $D$。以 $D$ 为圆心, $\rho$ 为半径作圆, 所得圆为曲线在点 $M$ 处的圆. 当$\rho$取什么值时，圆与曲线在点 $M$ 处有相同的切线和曲率, 且在点 $M$ 附近有相同的凹凸性。

Choices:
- $\sqrt{K}$
- $\frac{1}{K}$
- $K$
- $\frac{1}{K^2}$

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Question: 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导. 若在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x) \geq 0$, 且等号只在有限个点处成立,则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上.

Choices:
- 单调递增
- 严格单调递减
- 严格单调递增
- 单调递减

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Question: 设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导, 且在 $x_{0}$ 处取得极值, 则

Choices:
- 不确定
- $\leq 0$
- $\geq 0$
- 0

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Question: 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内二阶可导. 若在曲线 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$上凹，则在$[a, b]$，

Choices:
- $f^{\prime \prime}(x)=0$
- $f^{\prime \prime}(x)$不确定
- $f^{\prime \prime}(x)<0$
- $f^{\prime \prime}(x)>0$

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Question: 若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内二阶可导, $x_{0}$是 $I$ 内的点, 且点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 则 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)$:

Choices:
- 不确定
- $\geq 0$
- 0
- $\leq 0$

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Question: 若曲线 $y=f(x)$ 上的动点 $M$ 沿曲线无限地远离原点时, 点 $M$ 与某固定的直线 $L$ 的距离趋向于零, 则称 $L$ 是曲线 $y=f(x)$的渐近线. 若 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\infty$ 或者 $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\infty$, 则称直线 $x=a$ 为曲线 $y=$ $f(x)$

Choices:
- 不确定
- 水平渐近线
- 铅直渐近线
- 斜渐近线

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Question: 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导,且 $f(a)=f(b)$, 则在 $(a, b)$ 内至少存在多少个 $\xi(a<\xi<b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$？

Choices:
- 1
- 0
- 2
- 3

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Question:
若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 则在 $(a, b)$ 内至少存在几点 $\xi(a<\xi<b)$, 使等式
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)
$$成立

Choices:
- 2
- 3
- 0
- 1

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Question: 若函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且对任一 $x \in(a, b), F^{\prime}(x) \neq 0$, 则在 $(a, b)$ 内至少存在几点 $\xi(a<\xi<b)$, 使等式$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$$成立

Choices:
- 3
- 2
- 1
- 0

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Question: 若在区间 $I$ 上, 可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$, 则函数 $F(x)$ 被称为 $f(x)$ (或 $f(x) \mathrm{d} x)$ 在区间 $I$ 上的一个?

Choices:
- 导函数
- 母函数
- 子函数
- 原函数

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Question:
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界,在 $[a, b]$ 中任意插入若干个分点$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b \text {, }$$
把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $\left[x_{0}, x_{1}\right],\left[x_{1}, x_{2}\right], \cdots,\left[x_{n-1}, x_{n}\right]$, 各个小区间的长度依次为
$$
\Delta x_{1}=x_{1}-x_{0}, \quad \Delta x_{2}=x_{2}-x_{1}, \quad \cdots, \quad \Delta x_{n}=x_{n}-x_{n-1} .
$$
在每个小区间 $\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 上任取一点 $\xi_{i}\left(x_{i-1} \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i}\right)$, 作函数值 $f\left(\xi_{i}\right)$ 与小区间长度 $\Delta x_{i}$ 的乘积 $f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}(i=1,2, \cdots, n)$, 并作出和
$$
S=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} .
$$
记 $\lambda=\max \left\{\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \cdots, \Delta x_{n}\right\}$, 若当 $\lambda \rightarrow 0$ 时, 该和的极限总存在, 且与闭区间 $[a, b]$ 的分法及点 $\xi_{i}$ 的取法无关, 则称该极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的?

Choices:
- 微分
- 微积分
- 定积分
- 不定积分

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Question:
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界,在 $[a, b]$ 中任意插入若干个分点
$$
a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b \text {, }
$$
把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $\left[x_{0}, x_{1}\right],\left[x_{1}, x_{2}\right], \cdots,\left[x_{n-1}, x_{n}\right]$, 各个小区间的长度依次为
$$
\Delta x_{1}=x_{1}-x_{0}, \quad \Delta x_{2}=x_{2}-x_{1}, \quad \cdots, \quad \Delta x_{n}=x_{n}-x_{n-1} .
$$
在每个小区间 $\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 上任取一点 $\xi_{i}\left(x_{i-1} \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i}\right)$, 作函数值 $f\left(\xi_{i}\right)$ 与小区间长度 $\Delta x_{i}$ 的乘积 $f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}(i=1,2, \cdots, n)$, 并作出和
$$
S=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} .
$$
记 $\lambda=\max \left\{\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \cdots, \Delta x_{n}\right\}$, 若当 $\lambda \rightarrow 0$ 时, 该和的极限总存在, 且与闭区间 $[a, b]$ 的分法及点 $\xi_{i}$ 的取法无关, 则称该极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，其中$f(x)dx$叫做?

Choices:
- 被积表达式
- 积分区间
- 积分变量
- 被积函数

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Question:
设 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为常数,则
$$
\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)] \mathrm{d} x=\alpha \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+\beta \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .
$$
这是定积分的什么性质？

Choices:
- 保号性
- 线性性
- 恒等性
- 对区间的可加性

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Question:
设 $a<c<b$, 则
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x .
$$
这是定积分的什么性质？

Choices:
- 恒等性
- 线性性
- 保号性
- 对区间的可加性

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Single-Variable Functions


Question:
若在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv 1$, 则
$$
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x=? .
$$

Choices:
- $1$
- $b-a$
- $b+a$
- $a-b$

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Question: $\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| <<<Answer>>> \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$.

Choices:
- $\geqslant$
- $\equiv$
- $\leqslant$

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Question:
设 $M$ 和 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值及最小值,则
$$
m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x <<<Answer>>> M(b-a) .
$$

Choices:
- $\geqslant$,  $\leqslant$
- $\leqslant$, $\geqslant$
- $\leqslant$,  $\leqslant$
- $\geqslant$, $\geqslant$

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Question:
若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续, 则在 $[a, b]$ 上至少存在一点 $\xi$, 使得
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a) \quad(a \leqslant \xi \leqslant b) .
$$
上式称为?

Choices:
- 积分中值公式
- 洛必达定理
- 其他选项均错
- 拉格朗日中值定理

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Question: 按积分中值公式所得 $f(\xi)=$ $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的？

Choices:
- 最大值
- 最小值
- 平均值
- 其他选项均错

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Question: 针对分部积分公式 $\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x$ (或 $\left.\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u\right)$ 中 $u, v$的选取，设 $P_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式，若被积函数的形式为$P_{n}(x) \mathrm{e}^{a x}, P_{n}(x) \sin a x$,$P_{n}(x) \cos a x$ 等, $a$ 为非零常数，则$u, v$ 的选取为？

Choices:
- $u=P_{n}(x), v^{\prime}=\mathrm{(e-1)}^{a x}, \sin a x, \cos a x$
- $u=P_{n}(x), v^{\prime}=\mathrm{e}^{a x}, \sin a x, \cos a x$
- $u=P_{n-1}(x), v^{\prime}=\mathrm{e}^{a x}, \tan a x$
- $u=P_{n-1}(x), v^{\prime}=\mathrm{e}^{a x}, \sin a x, \cos a x$

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Question: 针对分部积分公式 $\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x$ (或 $\left.\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u\right)$ 中 $u, v$的选取，设 $P_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式，若被积函数的形式为$P_{n}(x) \ln ^{m} x, m$ 为正整数,$P_{n}(x) \arcsin _{n}, P_{n}(x) \arctan x$ 等，则$u, v$ 的选取为？

Choices:
- $u=\ln ^{(m-1)} x, \arcsin x, \arctan x$,$v^{\prime}=P_{n}(x)$
- $u=\ln ^{(m-1)} x, \arccot x,$v^{\prime}=P_{n}(x)$
- $u=\lg ^{(m-1)} x, \arcsin x, \arctan x$,$v^{\prime}=P_{n}(x)$
- $u=\ln ^{m} x, \arcsin x, \arctan x$,$v^{\prime}=P_{n}(x)$

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Single-Variable Functions


Question: 针对分部积分公式 $\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x$ (或 $\left.\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u\right)$ 中 $u, v$的选取, 设 $P_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式，若被积函数的形式为$\mathrm{e}^{a x} \sin b x, \mathrm{e}^{a x} \cos b x$ 等, $a, b$ 为非零常数, 则$u, v$ 的选取为？

Choices:
- $u=\mathrm{e}^{a x}, v^{\prime}=\sin b x, \cos b x$
- $u=\sin a x, \cos a x, v^{\prime}=\mathrm{e}^{b x}$
- $u=\mathrm{e}^{b x}, v^{\prime}=\sin a x, \cos a x$
- $u=\tan b x, v^{\prime}=\mathrm{e}^{a x}$

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Single-Variable Functions


Question:
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内有定义, 当 $y$ 固定在 $y_{0}$ 而 $x$ 在 $x_{0}$ 处有增量 $\Delta x$ 时, 相应的函数有增量 $f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 若

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}
$$

存在, 则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的？

Choices:
- 梯度
- 微分
- 偏导数
- 次梯度

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的偏导数, 记作？

Choices:
- $\left.\frac{\partial z}{\partial f}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}}$
- $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}}$
- $\left.\frac{\partial x}{\partial f}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}}$
- $\left.\frac{\partial y}{\partial f}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}}$

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的偏导数, 记作？

Choices:
- $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$
- $f_{x}^{\prime\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$
- $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$
- $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question:
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内有定义, 当 $x$ 固定在 $x_{0}$ 而 $y$ 在 $x_{0}$ 处有增量 $\Delta y$ 时, 相应的函数有增量 $f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 若

$$
\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0} + \Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}
$$

存在, 则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $y$ 的

Choices:
- 微分
- 次梯度
- 梯度
- 偏导数

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question:
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内有定义, 当 $x$ 固定在 $x_{0}$ 而 $y$ 在 $x_{0}$ 处有增量 $\Delta y$ 时, 相应的函数有增量 $f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 若
?
存在, 则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $y$ 的偏导数

Choices:
-
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0} + \Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}
$$
-
$$
\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0} + \Delta x\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}
$$
-
$$
\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0} + \Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}
$$
-
$$
\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0} + \Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}
$$

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question:
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义,若函数在点 $(x, y)$ 处的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ 可表示为

$$
\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho),
$$

其中 $A$ 和 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$, 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关, $\rho=$ $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$, 则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处？

Choices:
- 可微分
- 不可积分
- 可积分
- 不可微分

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question:
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义,若函数在点 $(x, y)$ 处的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ 可表示为

?

其中 $A$ 和 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$, 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关, $\rho=$ $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$, 则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分

Choices:
- $$\Delta z=Ax+B \Delta y+o(\rho),$$
- $$\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho),$$
- $$\Delta z=A \Delta x+By+o(\rho),$$
- $$\Delta z=Ax+By+o(\rho),$$

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question:
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义,若函数在点 $(x, y)$ 处的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ 可表示为

$$
\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho),
$$

其中 $A$ 和 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$, 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关, $\rho=$ $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$, 则$A \Delta x+B \Delta y$ 称为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的？, 记作 $\mathrm{d} z$

Choices:
- 全微分
- 方向导数
- 导数
- 次微分

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 若函数在区域 $D$ 内各点处都可微分, 则称这函数在 $D$ 内？

Choices:
- 可积
- 可微分
- 有界
- 有极值

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 若函数 $u=\varphi(t)$ 及 $v=$ $\psi(t)$ 都在点 $t$ 处可导, 函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处具有连续偏导数,则复合函数 $z=f[\varphi(t), \psi(t)]$ 在点 $t$ 处 ？

Choices:
- 不一定可导
- 一定不可导
- 无法确定
- 可导

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question:
若函数 $u=\varphi(t)$ 及 $v=$ $\psi(t)$ 都在点 $t$ 处可导, 函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处具有连续偏导数,则复合函数 $z=f[\varphi(t), \psi(t)]$ 在点 $t$ 处可导, 且有
<<<Answer>>>

Choices:
-
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}\times\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}
$$
-
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}-\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}
$$
-
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}\cdot\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}
$$
-
$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}
$$

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 若函数 $u=\varphi(x, y)$ 及 $v=\psi(x, y)$ 都在点 $(x, y)$ 处具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数, 函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处具有连续偏导数, 则复合函数 $z=f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]$ 在点 $(x, y)$ 处的两个偏导数？

Choices:
- 都不存在
- 只存在关于x的
- 都存在
- 只存在关于y的

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 若函数 $u=\varphi(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数, 函数 $v=\psi(y)$ 在点 $y$ 处可导, 函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$处具有连续偏导数, 则复合函数 $z=f[\varphi(x, y), \psi(y)]$ 在点 $(x, y)$ 处的两个偏导数都存在,且有?

Choices:
-
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}\cdot\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} y}
$$
-
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}\times\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} y}
$$
-
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} +\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} y}
$$
-
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} y}
$$

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 设函数 $F(x, y)$ 在点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内具有连续偏导数, 且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$, 则方程 $F(x, y)$ $=0$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$, 它满足条件 $y_{0}=f\left(x_{0}\right)$, 并有？

Choices:
-
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_{y}^{\prime}}{F_{x}^{\prime}} .
$$
-
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}} .
$$
-
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime\prime}}} .
$$
-
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_{x}^{\prime\prime}}}{F_{y}^{\prime}} .
$$

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 设函数 $f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 的内点. 若存在 $P_{0}$ 的某个邻域 $U\left(P_{0}\right) \subseteq D$, 使得对于该邻域内异于 $P_{0}$的任何点 $(x, y)$, 都有 $f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则称函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有 ？ $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

Choices:
- 极大值
- 极小值
- 最小值
- 最大值

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 设函数 $f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 的内点. 若存在 $P_{0}$ 的某个邻域 $U\left(P_{0}\right) \subseteq D$, 使得对于该邻域内异于 $P_{0}$的任何点 $(x, y)$, 都有 $f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的 ？

Choices:
- 最大值点
- 最小值点
- 极小值点
- 极大值点

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 设函数 $f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 的内点. 若存在 $P_{0}$ 的某个邻域 $U\left(P_{0}\right) \subseteq D$, 使得对于该邻域内异于 $P_{0}$的任何点 $(x, y)$, 都有 $f(x, y)>f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的 ？

Choices:
- 最大值点
- 极大值点
- 极小值点
- 最小值点

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 设函数 $f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 的内点. 若存在 $P_{0}$ 的某个邻域 $U\left(P_{0}\right) \subseteq D$, 使得对于该邻域内异于 $P_{0}$的任何点 $(x, y)$, 都有 $f(x, y)>f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则称函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有 ？ $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

Choices:
- 极小值
- 最大值
- 极大值
- 最小值

College--Advanced Mathematics--Functions, Limits, Continuity


Question: 凡是能使 $f_{x}^{\prime}(x, y)=0, f_{y}^{\prime}(x, y)=0$ 同时成立的点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为函数 $z=f(x, y)$ 的?

Choices:
- 最大值点
- 极大值点
- 极小值点
- 驻点

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question:
$$
L(x, y)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y),
$$

其中 $\lambda$ 为参数. 求其对 $x$ 与 $y$ 的一阶偏导数, 并使之为零, 然后与 $\varphi(x, y)=0$ 联立:

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_{x}^{\prime}(x, y)+\lambda \varphi_{x}^{\prime}(x, y)=0 \\
f_{y}^{\prime}(x, y)+\lambda \varphi_{y}^{\prime}(x, y)=0 \\
\varphi(x, y)=0
\end{array}\right.
$$

由该方程组解出 $x, y$ 及 $\lambda$, 这样得到的 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的所有可能的？

Choices:
- 极值点
- 第一类间断点
- 连续点
- 第二类间断点

College--Advanced Mathematics--Differential Calculus of Multivariable Functions


Question: 以下哪一项是二重积分的性质？

Choices:
- 均不是
-
设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值, $\sigma$ 是 $D$
   的面积,则有

$$
m \sigma < \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma < M \sigma \text {. }
$$
-
$$
\iint_{D}[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] \mathrm{d} \sigma=\alpha\beta \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\alpha\beta \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$
-
$$
\iint_{D}[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] \mathrm{d} \sigma=\alpha \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\beta \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$


Question: 当积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称时, 以下说法正确的是：

Choices:
- 若 $f(x, y)$ 为关于 $y$ 的奇函数, 即 $f(-x, y)=-f(x, y)$, 则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=0$.
- 若 $f(x, y)$ 为关于 $y$ 的奇函数, 即 $f(x,-y)=-f(x, y)$, 则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=0$.
- 若 $f(x, y)$ 为关于 $y$ 的奇函数, 即 $f(x,-y)=f(x, y)$, 则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=2 \iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D_{2}$ 为 $D$ 在 $y \geqslant 0$ 半平面上的部分.
- $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} f(y, x) \mathrm{d} \sigma$.


Question: 设 $f(x, y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的连续函数. 当积分区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称时, 以下说法正确的是：

Choices:
- $f(x,-y)=-f(x, y)$
- 若 $f(x, y)$ 为关于 $y$ 的奇函数, 即 $f(x,-y)=f(x, y)$, 则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=2 \iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D_{2}$ 为 $D$ 在 $y \geqslant 0$ 半平面上的部分.
- $f(x,-y)=f(x, y)$
- '$\int f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_{2}} f(y, x) \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 分别为 $D$ 位于直线 $y=x$以上的部分和 $D$ 位于直线 $y=x$ 以下的部分


Question:
设积分区域 $D$ 可以用不等式
$$
\varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x), \quad a \leqslant x \leqslant b
$$

来表示, 其中函数 $\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续, 我们将这种类型的区域称为 $\mathrm{X}$ 型区域. 这种区域的边界可以用 $x=a, x=b$ 以及 $y=\varphi_{1}(x)$, $y=\varphi_{2}(x)$ 表示, 其中两条边界曲线 $y=\varphi_{1}(x), y=\varphi_{2}(x)$ 是关于 $x$ 的函数. 将二重积分化为先对 $y$ 、后对 $x$ 的二次积分，可以转化为$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=$$?

Choices:
-
$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_{a}^{b}\left[\int_{\varphi_{2}(x)}^{\varphi_{1}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x .
$$
-
$$ \int_{b}^{a}\left[\int_{\varphi_{2}(x)}^{\varphi_{1}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x .
$$
-
$$ \int_{a}^{b}\left[\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x .
$$
-
$$ \int_{b}^{a}\left[\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x .
$$


Question:
点 $M$ 的直角坐标 $(x, y)$ 与极坐标 $(r, \theta)$ 的关系为 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta .\end{array}\right.$
若在极坐标系下计算二重积分, 则有公式

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=
$$ _______

Choices:
- $$\iint_{D} f(r \sin \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$$
- $$\iint_{D} f( r\cos \theta,  -\sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$$
- $$\iint_{D} f( \cos \theta,  \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$$
- $$\iint_{D} f(r \sin \theta, r \cos \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$$


Question: 若一个一阶微分方程能写成 $g(y) \mathrm{d} y=f(x) \mathrm{d} x$ 的形式, 即能把微分方程写成一端只含 $y$ 的函数和 $\mathrm{d} y$,一端只含 $x$ 的函数和 $\mathrm{d} x$, 则原方程称为什么？

Choices:
- 偏微分方程
- 变量不可分离的微分方程.
- 变量可分离的微分方程.
- 都不是

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 变量可分离的微分方程的解法: 将原方程写成 $g(y) \mathrm{d} y=f(x) \mathrm{d} x$ 的形式后,方程两端同时？

Choices:
- 求平均
- 求和
- 求导
- 积分

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 若一阶微分方程可化成 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 的形式,则称该方程为

Choices:
- 齐次方程
- 特异方程
- 非齐次方程
- 线性方程

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
齐次方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 的解法:

作变换 $u=\frac{y}{x}$, 则 $y=u x, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}+u$. 于是原方程可化为
<<<Answer>>>

用分离变量法求解后, 代回 $u=\frac{y}{x}$ 并解出 $y$ 即可.

Choices:
- $$x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\varphi(u)+u .$$
- $$x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\varphi(u)/u .$$
- $$x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\varphi(u)-u .$$
- $$x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\varphi(u)*u .$$

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
齐次方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 的解法:

作变换 $u=\frac{y}{x}$, 则 $y=u x, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}+u$. 于是原方程可化为
$$
x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\varphi(u)-u .
$$

用()求解后, 代回 $u=\frac{y}{x}$ 并解出 $y$ 即可.

Choices:
- 分离变量法
- 一般常量法
- 一般变量法
- 分离常量法

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+p(x) y=q(x)$ 叫做()

Choices:
- 一阶线性微分方程.
- 一阶非线性微分方程.
- 二阶非线性微分方程.
- 二阶线性微分方程.

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 若()， 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+p(x) y=0$ 是对应于 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+p(x) y=q(x)$的齐次线性方程.

Choices:
- $q(x)>0$
- $q(x)\neq0$
- $q(x)=0$
- $q(x)<0$

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
()一般可分为以下三类:

(1) $y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 型: 令 $y^{\prime}=p$, 则 $y^{\prime \prime}=p^{\prime}$, 方程化为 $p^{\prime}=f(x, p)$.

(2) $y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$ 型: 令 $y^{\prime}=p$, 则 $y^{\prime \prime}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}$, 方程化为 $p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}=f(y, p)$.

(3) $y^{(n)}=f(x)$ 型: 对 $f(x)$ 进行 $n$ 次不定积分.

Choices:
- 可降阶的低阶微分方程
- 不可降阶的高阶微分方程
- 不可降阶的低阶微分方程
- 可降阶的高阶微分方程

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
求特征方程 $r^{2}+p r+q=0$ 的根 $r_{1}$ 和 $r_{2}$, 然后根据 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 的情况写出齐次方程的通解.

- 若 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 为(), 则 $y=C_{1} \mathrm{e}^{r, x}+C_{2} \mathrm{e}^{r_{2} x}$;

Choices:
- 不相等的实根
- 相等的实根
- 共轭复根
- 都不是

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
求特征方程 $r^{2}+p r+q=0$ 的根 $r_{1}$ 和 $r_{2}$, 然后根据 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 的情况写出齐次方程的通解.

- 若 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 为(), 则 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{r_{1} x}$

Choices:
- 相等的实根
- 不相等的实根
- 共轭复根
- 都不是

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
当 $f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x} P_{m}(x)$, 其中 $\lambda$ 为常数, $P_{m}(x)$ 是 $x$ 的一个 $m$ 次多项式时, $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$ 有形如

$$
y^{*}=x^{k} R_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}
$$

的特解, 其中 $R_{m}(x)$ 是与 $P_{m}(x)$ 同次的多项式. 当 $\lambda$ 不是特征方程的根时, k=()

Choices:
- 0
- 1
- 2
- 3

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
当 $f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x} P_{m}(x)$, 其中 $\lambda$ 为常数, $P_{m}(x)$ 是 $x$ 的一个 $m$ 次多项式时, $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$ 有形如

$$
y^{*}=x^{k} R_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}
$$

的特解, 其中 $R_{m}(x)$ 是与 $P_{m}(x)$ 同次的多项式. 当 $\lambda$ 是特征方程的根时, k=()

Choices:
- 0
- 2
- 3
- 1

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
当 $f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x} P_{m}(x)$, 其中 $\lambda$ 为常数, $P_{m}(x)$ 是 $x$ 的一个 $m$ 次多项式时, $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$ 有形如

$$
y^{*}=x^{k} R_{m}(x) \mathrm{e}^{\lambda x}
$$

的特解, 其中 $R_{m}(x)$ 是与 $P_{m}(x)$ 同次的多项式. 当 $\lambda$ 是特征方程的重根时, k=()

Choices:
- 2
- 0
- 1
- 3

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
当 $f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{t}(x) \cos \omega x+Q_{n}(x) \sin \omega x\right]$, 其中 $\lambda, \omega$ 为常数, $\omega \neq$ $0, P_{l}(x), Q_{n}(x)$ 分别是 $x$ 的 $l$ 次、 $n$ 次多项式, 且仅有一个可为零时, $y^{\prime \prime}+$ $p y^{\prime}+q y=f(x)$ 有形如

$$
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R_{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)} \sin \omega x\right]
$$

的特解, 其中 $R_{m}^{(1)}(x), R_{m}^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次多项式, $m=\max \{l, n\}$. 当 $\lambda+$ $\omega \mathrm{i}$ (或 $\lambda-\omega \mathrm{i})$ 不是特征方程的根时, $k=0$; 当 $\lambda+\omega \mathrm{i}$ (或 $\lambda-\omega \mathrm{i})$ 是特征方程的单根时, k=()

Choices:
- 2
- 0
- 3
- 1

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
当 $f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}\left[P_{t}(x) \cos \omega x+Q_{n}(x) \sin \omega x\right]$, 其中 $\lambda, \omega$ 为常数, $\omega \neq$ $0, P_{l}(x), Q_{n}(x)$ 分别是 $x$ 的 $l$ 次、 $n$ 次多项式, 且仅有一个可为零时, $y^{\prime \prime}+$ $p y^{\prime}+q y=f(x)$ 有形如

$$
y^{*}=x^{k} \mathrm{e}^{\lambda x}\left[R_{m}^{(1)}(x) \cos \omega x+R_{m}^{(2)} \sin \omega x\right]
$$

的特解, 其中 $R_{m}^{(1)}(x), R_{m}^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次多项式, $m=\max \{l, n\}$. 当 $\lambda+$ $\omega \mathrm{i}$ (或 $\lambda-\omega \mathrm{i})$ 不是特征方程的根时,  k=()

Choices:
- 0
- 1
- 2
- 3

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 若函数 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是二阶齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0$ 的两个解, 则（）也是该方程的解, 其中 $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数.

Choices:
- $y=C_{1} y_{1}(x) * C_{2} y_{2}(x)$
- $y=C_{1} y_{1}(x) ^ C_{2} y_{2}(x)$
- $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
- $y=C_{1} y_{1}(x) / C_{2} y_{2}(x)$

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 若函数 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是二阶齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0$ 的两个线性无关的解, 则<<<Answer>>> 是该方程的通解, 其中 $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数.

Choices:
- $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
- $y=C_{1} y_{1}(x) / C_{2} y_{2}(x)$
- $y=C_{1} y_{1}(x) * C_{2} y_{2}(x)$
- $y=C_{1} y_{1}(x) ^ C_{2} y_{2}(x)$

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 设 $y^{*}(x)$ 是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的一个特解. $Y(x)$ 是与其对应的齐次方程的通解, 则<<<Answer>>> 是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的通解.

Choices:
- $y=Y(x)/y^{*}(x)$
- $y=Y(x)-y^{*}(x)$
- $y=Y(x)*y^{*}(x)$
- $y=Y(x)+y^{*}(x)$

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 若函数 $y_{1}(x), y_{2}(x)$ 均为二阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+$ $q(x) y=f(x)$ 的解, 则 ()为 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0$ 的解.

Choices:
- $y_{1}(x)/y_{2}(x)$
- $y_{1}(x)-y_{2}(x)$
- $y_{1}(x)+y_{2}(x)$
- $y_{1}(x)*y_{2}(x)$

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question:
若非齐次线性微分方程形如

$$
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f_{1}(x)+f_{2}(x),
$$

而 $y_{1}^{*}(x)$ 与 $y_{2}^{*}(x)$ 分别是方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f_{1}(x)$ 和方程 $y^{\prime \prime}+$ $p(x) y^{\prime}+q(x) y=f_{2}(x)$ 的特解, 则 ()也是方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}$ $+q(x) y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ 的特解.

Choices:
- $y_{1}^{*}(x)-y_{2}^{*}(x)$
- $y_{1}^{*}(x)/y_{2}^{*}(x)$
- $y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x)$
- $y_{1}^{*}(x)*y_{2}^{*}(x)$

College--Advanced Mathematics--Ordinary Differential Equations


Question: 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 都是正项级数, 且 $a_{n} \leqslant b_{n}(n$ $=1,2, \cdots)$. 若 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ .

Choices:
- 条件收敛
- 收敛
- 绝对收敛
- 发散


Question: 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 都是正项级数, 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=l(0 \leqslant l<+\infty)$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$<<<Answer>>>;

Choices:
- 条件收敛
- 收敛
- 其他选项均错
- 发散


Question: 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 都是正项级数, 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=l>0$ 或 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ .

Choices:
- 收敛
- 绝对收敛
- 发散
- 条件收敛


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\rho$ 存在 $($ 包括 $\rho=\infty)$, 则$\rho<1$, 级数.

Choices:
- 发散
- 条件收敛
- 绝对收敛
- 收敛


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\rho$ 存在 $($ 包括 $\rho=\infty)$, 则$\rho>1$, 级数.

Choices:
- 条件收敛
- 收敛
- 发散
- 绝对收敛


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\rho$ 存在 $($ 包括 $\rho=\infty)$, 则$\rho=1$, 级数.

Choices:
- 发散
- 收敛
- 不定
- 不发散


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\rho$ 存在 $($ 包括 $\rho=\infty)$, 则 $\rho<1$, 级数

Choices:
- 绝对收敛
- 条件收敛
- 收敛
- 发散


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\rho$ 存在 $($ 包括 $\rho=\infty)$, 则 $\rho>1$, 级数.

Choices:
- 绝对收敛
- 收敛
- 条件收敛
- 发散


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\rho$ 存在 $($ 包括 $\rho=\infty)$, 则 $\rho=1$, 级数.

Choices:
- 不定
- 发散
- 条件收敛
- 收敛


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=l>0\left(\right.$ 或 $\left.\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=+\infty\right)$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$发散; 若 $p>1$, 而 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{p} a_{n}=l(0 \leqslant l<+\infty)$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$.

Choices:
- 条件收敛
- 发散
- 绝对收敛
- 收敛


Question: 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 各项的绝对值所构成的正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛, 则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ .

Choices:
- 绝对收敛
- 发散
- 条件收敛
- 收敛


Question: 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛,而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散, 则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ <<<Answer>>>.

Choices:
- 绝对收敛
- 收敛
- 条件收敛
- 发散


Question: 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 必然<<<Answer>>>.

Choices:
- 收敛
- 发散
- 条件收敛
- 绝对收敛


Question:
若交错级数 $\sum_{n=1}^{\bar{n}}(-1)^{n-1} a_{n}$ $\left(a_{n}>0\right)$ 满足条件:
(1) $a_{n} \geqslant a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$,
则级数.

Choices:
- 发散
- 条件收敛
- 收敛
- 绝对收敛


Question:
若交错级数 $\sum_{n=1}^{\bar{n}}(-1)^{n-1} a_{n}$ $\left(a_{n}>0\right)$ 满足条件:
(1) $a_{n} \geqslant a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$,
则级数收敛, 且其和 $s$ <<<Answer>>> $a_{1}$.

Choices:
- $\leq$
- $\le$
- $\leqslant$
- $\neq$


Question:
若交错级数 $\sum_{n=1}^{\bar{n}}(-1)^{n-1} a_{n}$ $\left(a_{n}>0\right)$ 满足条件:
(1) $a_{n} \geqslant a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$,
则级数收敛, 且其和 $s$ <<<Answer>>> $a_{1}$.

Choices:
- $\leqslant$
- $\neq$
- $\leq$
- $\le$


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=l, 0<l<+\infty$, 则收敛半径 $R$等于<<<Answer>>>.

Choices:
- $\frac{1}{l}$
- $l$
- $-l$
- $\frac{-1}{l}$


Question: 若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=l, 0<l<+\infty$, 则收敛半径 $R$等于<<<Answer>>>.

Choices:
- $-l$
- $\frac{-1}{l}$
- $\frac{1}{l}$
- $l$


Question: 无穷级数 $\mathrm{e}^{x}$ =.

Choices:
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 无穷级数 $a^{x}$ =.

Choices:
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 无穷级数 $\sin x$ =.

Choices:
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 无穷级数 $\cos x$ =.

Choices:
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 无穷级数 $frac{1}{1+x}$ =.

Choices:
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}(-1<x<1)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 无穷级数 $\ln (1+x)$ =.

Choices:
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 无穷级数 $\frac{1}{1+x^{2}}$ =.

Choices:
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 无穷级数 $\arctan x=$ .

Choices:
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^{n}}{n !} x^{n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}(-1 \leqslant x \leqslant 1 \text { )}$
- $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}(-\infty<x<+\infty)$
- $\sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}(-\infty<x<+\infty)$


Question: 设 $f(x, y, z)$ 是空间有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数. 将 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta v{1}, \Delta v{2}, \cdots, \Delta v{n}$, 其中 $\Delta v{i}$ 表示第 $i$ 个小闭区域,也表示它的体积. 在每个 $\Delta v{i}$ 上任取一点 $\left(\xi{i}, \eta{i}, \zeta{i}\right)$, 作乘积 $f\left(\xi{i}, \eta{i}, \zeta{i}\right) \Delta v{i}(i=1,2, \cdots, n)$, 并作和 $\sum{i=1}^{n} f\left(\xi{i}, \eta{i}, \zeta{i}\right) \Delta v{i}$. 若当各小闭区域直径中的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时, 这和的极限总存在, 且与闭区域 $\Omega$ 的分法及点 $\left(\xi{i}, \eta{i}, \zeta{i}\right)$ 的取法无关, 则称此极限为函数 $f(x, y, z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上的三重积分, 记作 $\iiint_{n} f(x, y, z) \mathrm{d} v$, 即 \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta v_{i}, 其中____叫做被积函数?

Choices:
- $\Omega$
- $\mathrm{d} v$
- $f(x, y, z)$
- $ f(x, y, z) \mathrm{d} v$

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Multivariable Functions


Question:
平面曲线弧 $L$ 上的两类曲线积分之间有如下联系:
\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s,
其中 $\alpha(x, y), \beta(x, y)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y)$ 处的______的方向角.

Choices:
- 切线
- 法线
- 法向量
- 切向量

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Multivariable Functions


Question:
设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成,若函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有_____, 则有
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y,
其中 $\hat{L}$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线.

Choices:
- 二阶导数
- 一阶连续偏导数
- 二阶连续偏导数
- 一阶导数

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Multivariable Functions


Question: 若积分曲面 $\Sigma$ 由方程 $z=$ $z(x, y)$ 给出, $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域为 $D{x y}$, 函数 $z=z(x, y)$ 在 $D{x y}$ 上具有一阶连续偏导数, 被积函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续, 则

Choices:
- \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+z_{x}^{\prime}(x, y)+z_{y}^{\prime}(x, y)} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
- \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{2+z_{x}^{\prime}(x, y)+z_{y}^{\prime}(x, y)} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
- \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{z_{x}^{\prime}(x, y)+z_{y}^{\prime}(x, y)} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
- \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+\left[z_{x}^{\prime}(x, y)\right]^{2}+\left[z_{y}^{\prime}(x, y)\right]^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Multivariable Functions


Question:
设 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上_____, (2) 曲线 $L$ 由 $y=\psi(x)\left(x{0} \leqslant x \leqslant x{1}\right)$ 表示的情形: 可以把这种情况看作特殊的参数方程: $x=x, y=\psi(x)\left(x{0} \leqslant x \leqslant x{1}\right)$, 从而有
\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x, \psi(x)) \sqrt{1+\left[\psi^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x .

Choices:
- 有定义且连续
- 二阶可导
- 连续
- 一阶可导

College--Advanced Mathematics--Integral Calculus of Multivariable Functions


Question: 把行列式的某一行(列) 的各元素乘同一个数然后加到另一行(列) 对应的元素上去, 行列式有什么变化？

Choices:
- 变为原来的$\frac{1}{x}$倍
- 变为原来的$1+x$倍
- 不变
- 变为原来的x倍


Question: 行列式与它的转置行列式 $|\boldsymbol{A}|和\left|\boldsymbol{A}^{\top}\right|$的关系为？

Choices:
- $|\boldsymbol{A}| = 2\left|\boldsymbol{A}^{\top}\right|$
- $|\boldsymbol{A}| = \frac{1}{\left|\boldsymbol{A}^{\top}\right|}$
- $|\boldsymbol{A}| = \left|\boldsymbol{A}^{\top}\right|$
- $|\boldsymbol{A}| = \left|\boldsymbol{A}^{\top}\right|$ - 1


Question: 对换行列式的两行(列), 行列式有什么变化？

Choices:
- 变号
- 不变
- 变为原来的$k$倍， k为被变换行（列）的和
- 变为原来的$\frac{1}{k}$倍， k为被变换行（列）的和


Question: 行列式的某一行(列) 中所有的元素都乘以同一个数 $k$, 则所得新行列式为原行列式的？

Choices:
- $k^{n}$ 倍
- 变为原来的$\frac{1}{k}$倍
- 不变
- 变为原来的$k$倍


Question: 若行列式中有两行 (列) 元素成比例k,则此行列式等于？

Choices:
- 1
- k
- 0
- $\frac{1}{k}$


Question:
对下面三个行列，它们的关系是？
$$
D_1=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1}+a_{i 1}^{\prime} & a_{i 2}+a_{i 2}^{\prime} & \cdots & a_{i n}+a_{i n}^{\prime} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|,
$$

$$
D_2=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
D_3 = \left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1}^{\prime} & a_{22}^{\prime} & \cdots & a_{i n}^{\prime} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

Choices:
- $D_1 = D_2 * D_3$
- $D_1 = D_2 + D_3$
- 并无关系
- $D_1 = \frac{D_2}{D_3}$


Question: 把行列式的某一行 (列) 的各元素乘同一个数k然后加到另一行 (列) 对应的元素上去,行列式？

Choices:
- 变为原来的$\frac{1}{k}$倍
- 变为原来的$k+1$倍
- 不变
- 变为原来的$k$倍


Question: 若 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的每个元素都乘以 $\lambda$ 时, 行列式 $|\lambda \boldsymbol{A}|$ 等于多少？

Choices:
- $\lambda^{n}|\boldsymbol{A}|$
- $\lambda^{2}|\boldsymbol{A}|$
- $\lambda|\boldsymbol{A}|$
- $|\boldsymbol{A}|$


Question: 若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 那么行列式 $|\boldsymbol{A B}|$ 等于什么？

Choices:
- $|\boldsymbol{A}| / |\boldsymbol{B}|$
- $|\boldsymbol{A}| + |\boldsymbol{B}|$
- $|\boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{B}|$
- $|\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}|$


Question: 若 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 则 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的行列式 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ 等于多少？

Choices:
- $|\boldsymbol{A}|^{n}$
- $|\boldsymbol{A}|^{n+1}$
- $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$
- $|\boldsymbol{A}|$


Question: 若 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的行列式 $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ 等于多少？

Choices:
- $|\boldsymbol{A}|$
- $-|\boldsymbol{A}|$
- $|\boldsymbol{A}|^{2}$
- $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$


Question: 若矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 相似, 那么它们的行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 和 $|\boldsymbol{B}|$ 有什么关系？

Choices:
- 没有固定关系
- 相反，即 $|\boldsymbol{A}|=-|\boldsymbol{B}|$
- 成倍数关系，即 $|\boldsymbol{A}|=k|\boldsymbol{B}|$，其中 $k \neq 1$
- 相等，即 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|$


Question: 若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个特征值 $\lambda_{i}(i=1,2, \cdots, n)$, 则行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 等于什么？

Choices:
- $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}$
- 1
- $\max(\lambda_{i})$
- $\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}$


Question: 矩阵的初等行变换不包括哪种类型？

Choices:
- 对换第$i$行与第$j$列
- 以数$k \neq 0$乘第i行
- 以数$k$乘第$j$行加到第$i$行
- 将一行中的两个数字互相调换位置


Question: 如何定义矩阵的初等列变换和行变换的关系？

Choices:
- 矩阵的初等列变换只包括对换两列和乘以非零常数两种类型。
- 矩阵的初等列变换与初等行变换完全不同，操作对象和操作方法都不同。
- 矩阵的初等列变换与初等行变换类似，但操作对象是列而不是行。
- 矩阵的初等列变换是矩阵初等行变换的逆运算。


Question: 什么条件下矩阵 $\boldsymbol{A}$ 被称为可逆矩阵？

Choices:
- 存在一个同阶矩阵 $\boldsymbol{B}$，使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}$
- 存在一个同阶矩阵 $\boldsymbol{B}$，使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$
- 存在一个同阶矩阵 $\boldsymbol{B}$，使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$
- 存在一个同阶矩阵 $\boldsymbol{B}$，使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{I}$


Question: 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵记作什么？

Choices:
- $\boldsymbol{A}^{-1}$
- $\boldsymbol{A}^{T}$
- $\boldsymbol{A}^{*}$
- $\boldsymbol{A}^{+}$


Question: 伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 中的每个元素是如何得到的？

Choices:
- 由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行各列的元素取余得到。
- 由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行各列的元素乘积得到。
- 由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各个元素相加得到。
- 由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的矩阵。


Question: 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，其行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值是多少？

Choices:
- 不等于 0
- 等于 0
- 等于 1
- 无法确定


Question: 若行列式 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 如何表示？

Choices:
- $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{T}$
- $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{-1}$
- $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$
- $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}$


Question: 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩是如何定义的？

Choices:
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩是指矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中元素的总和。
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩是指矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列数。
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩是指矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中最高阶非零子式的阶数 $r$。
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩是指矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中非零元素的个数。


Question: 零矩阵的秩等于多少？

Choices:
- 1
- 矩阵的行数
- 矩阵的列数
- 0


Question: 矩阵的行秩与列秩有什么关系？

Choices:
- 矩阵的行秩等于其列秩。
- 矩阵的行秩与列秩没有固定关系。
- 矩阵的行秩总是大于列秩。
- 矩阵的列秩总是大于行秩。


Question: 什么是行满秩矩阵？

Choices:
- 所有元素都为零的矩阵。
- 秩为1的矩阵。
- 秩等于其列数的矩阵。
- 秩等于其行数的矩阵称为行满秩矩阵。


Question: 什么是列满秩矩阵？

Choices:
- 秩等于其行数的矩阵。
- 所有元素都为零的矩阵。
- 秩为1的矩阵。
- 秩等于其列数的矩阵称为列满秩矩阵。


Question: 若可逆矩阵 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ 使 $\boldsymbol{P A Q}=\boldsymbol{B}$，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的秩有什么关系？

Choices:
- $r(\boldsymbol{A})<r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A})>r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A})=2r(\boldsymbol{B})$


Question: 矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})$ 的取值范围是？

Choices:
- $0 \leqslant r(\boldsymbol{A}) \leqslant m \times n$
- $0 \leqslant r(\boldsymbol{A}) \leqslant \max \{m, n\}$
- $0 \leqslant r(\boldsymbol{A}) \leqslant m + n$
- $0 \leqslant r(\boldsymbol{A}) \leqslant \min \{m, n\}$


Question: 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩与其转置 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的秩的关系是？

Choices:
- $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) > r(\boldsymbol{A})$
- $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) < r(\boldsymbol{A})$
- $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=2r(\boldsymbol{A})$
- $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=r(\boldsymbol{A})$


Question: 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和其转置 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 相乘的秩与 $\boldsymbol{A}$ 的秩的关系是？

Choices:
- $r(\boldsymbol{A}) < r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)$
- $r(\boldsymbol{A})=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)$
- $r(\boldsymbol{A}) > r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)$
- $r(\boldsymbol{A})=2r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)$


Question: 矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 的秩与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的秩的关系是？

Choices:
- $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) > r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{A})-r(\boldsymbol{B})$


Question: 矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的秩与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的秩的关系是？

Choices:
- $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$
- $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{A}) \times r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) > \max\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$
- $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) = r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})$


Question: 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为非零列向量, 矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 的秩是？

Choices:
- 0
- $\min\{r(\boldsymbol{\alpha}), r(\boldsymbol{\beta})\}$
- 1
- 2


Question: 若 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ 可逆，矩阵 $\boldsymbol{P A Q}$ 的秩与 $\boldsymbol{A}$ 的秩的关系是？

Choices:
- $r(\boldsymbol{P A Q})=r(\boldsymbol{A})$
- $r(\boldsymbol{P A Q})=2r(\boldsymbol{A})$
- $r(\boldsymbol{P A Q}) > r(\boldsymbol{A})$
- $r(\boldsymbol{P A Q}) < r(\boldsymbol{A})$


Question: 若 $\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{B}_{n \times l}=\boldsymbol{O}$，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的秩的和的最大值是？

Choices:
- $n$
- $m + l$
- $m + n$
- $n + l$


Question: 矩阵方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$ 有解的充分必要条件是？

Choices:
- $r(\boldsymbol{A}) < r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A}) > r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$
- $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$


Question: 对于 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，当 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})$ 等于 $n$ 时，其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的秩是多少？

Choices:
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=0$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n-1$


Question: 对于 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，当 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})$ 等于 $n-1$ 时，其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的秩是多少？

Choices:
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=0$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n-1$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n$


Question: 对于 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，当 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})$ 小于 $n-1$ 时，其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的秩是多少？

Choices:
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=0$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n$
- $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n-1$


Question: 如何定义向量组的线性相关性？

Choices:
- 若向量组中至少有一个向量是零向量，则称向量组是线性相关的
- 若存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m = \mathbf{0}$，则称向量组是线性相关的
- 若存在全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m = \mathbf{0}$，则称向量组是线性相关的
- 若不存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m = \mathbf{0}$，则称向量组是线性相关的


Question: 一个向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 何时是线性相关的？

Choices:
- 当 $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ 时，该向量是线性相关的
- 当 $\boldsymbol{\alpha}$ 可以表示为其他向量的线性组合时，该向量是线性相关的
- 当 $\boldsymbol{\alpha}$ 不可以表示为其他向量的线性组合时，该向量是线性相关的
- 当 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$ 时，该向量是线性相关的


Question: 一个非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是否线性无关？

Choices:
- 是的，当 $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ 时，该向量是线性无关的
- 不是，当 $\boldsymbol{\alpha}$ 可以表示为其他向量的线性组合时，该向量是线性无关的
- 是的，当 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$ 时，该向量是线性无关的
- 不是，当 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$ 时，该向量是线性相关的


Question: 两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关的充分必要条件是什么？

Choices:
- 两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例
- 两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关的充分必要条件是它们都是零向量
- 两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关的充分必要条件是它们的分量对应不成比例
- 两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关的充分必要条件是它们都不是零向量


Question: 如果两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关，它们之间有什么几何关系？

Choices:
- 它们是独立的
- 它们共面但不一定共线
- 它们垂直
- 它们共线


Question: 如果三个三维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，它们之间有什么几何关系？

Choices:
- 它们相互垂直
- 它们共面
- 它们构成一个三角形
- 它们线性无关


Question: 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能否由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{l}$ 线性表示的条件是什么？

Choices:
- 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{l}$ 的一个零向量。
- 存在常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{l}$ 使得 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{l} \boldsymbol{\alpha}_{l}=0$。
- 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{l}$ 中的任意向量都不能表示为其他向量的线性组合。
- 存在常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{l}$ 使得 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{l} \boldsymbol{\alpha}_{l}=\boldsymbol{\beta}$。


Question: 当我们说向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{l}$ 线性表示时，这与方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有什么关系？

Choices:
- 表示方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解。
- 表示方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，其中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 由向量组构成。
- 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式为零。
- 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个对角矩阵。

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Question: 如何使用秩来表述向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{l}$ 线性表示的条件？

Choices:
- 条件是向量组的秩等于扩展向量组的秩，即 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{l}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{l}, \boldsymbol{\beta}\right)$。
- 条件是向量组的秩小于扩展向量组的秩。
- 条件是扩展向量组的秩等于1。
- 条件是向量组的秩大于扩展向量组的秩。


Question: 线性方程组 $Ax=b$ 无解的充分必要条件是什么？

Choices:
- $r(A)<r(A, b)$
- $r(A)>r(A, b)$
- $r(A)=r(A, b)$
- $r(A)=r(A, b)=n$

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Question: 线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解的充分必要条件是什么？

Choices:
- $r(A)=r(A, b)<n$
- $r(A)>r(A, b)$
- $r(A)<r(A, b)$
- $r(A)=r(A, b)=n$

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Question: 线性方程组 $Ax=b$ 有无穷多解的充分必要条件是什么？

Choices:
- $r(A)=r(A, b)=n$
- $r(A)=r(A, b)<n$
- $r(A)<r(A, b)$
- $r(A)>r(A, b)$

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Question: $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解的充分必要条件是什么？

Choices:
- $r(A)>n$
- $r(A)=n$
- $r(A)=r(A, b)$
- $r(A)<n$

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Question: 线性方程组 $Ax=b$ 有解的充分必要条件是什么？

Choices:
- $r(A)<r(A, b)$
- $r(A)=r(A, b)$
- $r(A)=n$
- $r(A)>r(A, b)$

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Question: 矩阵方程 $AX=B$ 有解的充分必要条件是什么？

Choices:
- $r(A)>r(A, B)$
- $r(A)<r(A, B)$
- $r(A)=r(A, B)$
- $r(A, B)<n$

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Question: 设矩阵方程 $AB=C$，$r(C)$ 的最大可能值是什么？

Choices:
- $\min \{r(A), r(B)\}$
- $r(A)+r(B)$
- $r(A) - r(B)$
- $r(A) \cdot r(B)$

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Question: 什么是齐次线性方程组的基础解系？

Choices:
- 基础解系是由齐次线性方程组的系数矩阵的列向量组成。
- 基础解系是齐次线性方程组解集中的一组极大无关解向量。
- 基础解系是齐次线性方程组解集中的一组最小无关解向量。
- 基础解系是由齐次线性方程组的系数矩阵的行向量组成。

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Question: 如果 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{t}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，那么该方程组的通解如何表示？

Choices:
- 通解可以表示为 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}_{1} \times \boldsymbol{\xi}_{2} \times \cdots \times \boldsymbol{\xi}_{t}$。
- 通解可以表示为 $\boldsymbol{x}=k_{1}^2 \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2}^2 \boldsymbol{\xi}_{2}+\cdots+k_{t}^2 \boldsymbol{\xi}_{t}$，其中 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t}$ 为任意实数。
- 通解可以表示为 $\boldsymbol{x}=k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}+\cdots+k_{t} \boldsymbol{\xi}_{t}$，其中 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{t}$ 为任意实数。
- 通解可以表示为 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}+\cdots+\boldsymbol{\xi}_{t}$。

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Question: 在齐次线性方程组的通解中，系数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ 可以取什么值？

Choices:
- 系数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ 只能取整数值。
- 系数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ 只能取正实数值。
- 系数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ 只能取0或1。
- 系数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ 可以取任意实数值。

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Question: $n$ 齐次线性方程组的解空间是什么？

Choices:
- $S=\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{A x}=\mathbf{1}\}$ 是一个向量空间, 称为齐次线性方程组的解空间。
- $S=\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{A x}=\mathbf{-1}\}$ 是一个向量空间, 称为齐次线性方程组的解空间。
- $S=\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{A x}=\mathbf{n}\}$ 是一个向量空间, 称为齐次线性方程组的解空间, b是任意正整数。
- $S=\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{A x}=\mathbf{0}\}$ 是一个向量空间, 称为齐次线性方程组的解空间。

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Question: 如果 $\boldsymbol{\xi}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\xi}_{2}$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，那么它们的和 $\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是否也是该方程组的解？

Choices:
- 只有当 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\boldsymbol{\xi}_{2}$ 时才是解。
- 不是，$\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}$ 不是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解。
- 是的，$\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}$ 也是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解。
- 只有当 $\boldsymbol{\xi}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\xi}_{2}$ 正交时才是解。

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Question: 如果 $\boldsymbol{\xi}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，实数 $k$ 乘以 $\boldsymbol{\xi}$ 得到的向量 $k \boldsymbol{\xi}$ 是否也是该方程组的解？

Choices:
- 只有当 $k=0$ 时才是解。
- 只有当 $k=1$ 时才是解。
- 不是，$k \boldsymbol{\xi}$ 不是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解。
- 是的，$k \boldsymbol{\xi}$ 也是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解。

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Question: 如果 $\boldsymbol{\eta}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\eta}_{2}$ 都是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解，那么它们的差 $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是否是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解？

Choices:
- 只有当 $\boldsymbol{\eta}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\eta}_{2}$ 线性相关时才是解。
- 只有当 $\boldsymbol{\eta}_{1}=\boldsymbol{\eta}_{2}$ 时才是解。
- 不是，$\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 不是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解。
- 是的，$\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解。

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Question: 设 $\boldsymbol{\eta}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解，$\boldsymbol{\xi}$ 是对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个解，那么向量 $\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$ 是否还是非齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解？

Choices:
- 是的，$\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$ 仍是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解。
- 只有当 $\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\eta}$ 时才是解。
- 不是，$\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}$ 不是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解。
- 只有当 $\boldsymbol{\xi}$ 和 $\boldsymbol{\eta}$ 正交时才是解。

College--Linear Algebra--Systems of Linear Equations


Question: 非齐次线性方程组的通解由什么组成？

Choices:
- 非齐次线性方程组的所有特解之和。
- 对应的齐次线性方程组的通解与非齐次线性方程组的一个特解之和。
- 非齐次线性方程组的任意两个特解之差。
- 对应的齐次线性方程组的通解与非齐次线性方程组的所有特解之和。

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Question: 在利用初等行变换解 $n$ 元线性方程组时，若系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r(\boldsymbol{A})=r$，应如何操作增广矩阵 $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$？

Choices:
- 将增广矩阵 $\boldsymbol{B}$ 化为行最简形矩阵 $\widehat{\boldsymbol{B}}$，且最简矩阵秩为r
- 忽略 $\boldsymbol{b}$，只对 $\boldsymbol{A}$ 进行行最简化
- 将所有非零元素转换为零元素
- 仅对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行行变换，保持 $\boldsymbol{b}$ 不变

College--Linear Algebra--Systems of Linear Equations


Question: 当 $r(\boldsymbol{A})<r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$ 时，线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有什么特性？

Choices:
- 方程组有无穷多解
- 方程组无解
- 方程组有唯一解
- 方程组的解取决于 $\boldsymbol{b}$ 的值

College--Linear Algebra--Systems of Linear Equations


Question: 如果 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$，在解线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 时应如何处理增广矩阵 $\boldsymbol{B}$？

Choices:
- 将增广矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的所有元素置为0
- 将增广矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的所有元素置为1
- 只需将系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 化为行最简形矩阵，忽略 $\boldsymbol{b}$
- 将增广矩阵 $\boldsymbol{B}$ 化为行最简形矩阵

College--Linear Algebra--Systems of Linear Equations


Question: 当 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=r$，在解线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 时，应如何确定非自由未知数和自由未知数，并写出通解？

Choices:
- 将 $r$ 个非零行的首非零元所对应的未知数视为非自由未知数，其余未知数视为自由未知数，并写出通解
- 将所有未知数视为非自由未知数，并写出唯一解
- 随机选择未知数作为非自由未知数和自由未知数，并写出可能的解
- 将所有未知数视为自由未知数，并写出通解

College--Linear Algebra--Systems of Linear Equations


Question: 什么是矩阵的特征值和特征向量？

Choices:
- 若存在数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\lambda \boldsymbol{\alpha}$，则 $\lambda$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
- 若存在向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ 成立，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。
- 若存在数 $\lambda$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ 对任意数 $\lambda$ 成立，则 $\lambda$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。
- 若存在数 $\lambda$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\lambda \boldsymbol{\alpha}$ 对任意向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 成立，则 $\lambda$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: 矩阵的特征值与矩阵的迹和行列式有什么关系？

Choices:
- 特征值的和等于矩阵的行列式，特征值的乘积等于矩阵的迹。
- 特征值的和与矩阵的迹和行列式无关。
- 特征值的乘积与矩阵的迹和行列式无关。
- 特征值的和等于矩阵的迹，特征值的乘积等于矩阵的行列式。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: 如果 $\lambda$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，那么 $\lambda^{k}$ 和 $\varphi(\lambda)$ 分别是哪些矩阵的特征值？

Choices:
- $\lambda^{k}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，$\varphi(\lambda)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。
- $\lambda^{k}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，$\varphi(\lambda)$ 是多项式 $\varphi$ 应用于矩阵 $\boldsymbol{A}^{k}$ 的特征向量。
- $\lambda^{k}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}^{k}$ 的特征向量，$\varphi(\lambda)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。
- $\lambda^{k}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}^{k}$ 的特征值，$\varphi(\lambda)$ 是多项式 $\varphi$ 应用于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: 当一个矩阵有多个特征值时，它们对应的特征向量是否线性无关？

Choices:
- 如果特征值相等，那么对应的特征向量线性无关。
- 如果特征值各不相等，那么对应的特征向量线性无关。
- 特征向量总是线性相关的。
- 特征向量总是线性无关的。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: 属于同一个特征值的特征向量的线性组合是否还是属于该特征值的特征向量？

Choices:
- 只有在特征值为1时才成立。
- 是的，属于同一个特征值的特征向量的线性组合仍然是属于该特征值的特征向量。
- 不是，属于同一个特征值的特征向量的线性组合不再是属于该特征值的特征向量。
- 只有在特征值为0时才成立。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: 如果 $\lambda$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值，那么属于 $\lambda$ 的线性无关的特征向量最多有几个？

Choices:
- 最多有 $k$ 个。
- 只有一个。
- 最多有 $k+1$ 个。
- 最多有 $k-1$ 个。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: 如何定义两个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似？

Choices:
- 如果存在一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$，那么矩阵 $\boldsymbol{B}$ 被称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似矩阵。
- 如果存在一个矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$，那么矩阵 $\boldsymbol{B}$ 被称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似矩阵。
- 如果存在一个矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$，那么矩阵 $\boldsymbol{B}$ 被称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似矩阵。
- 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征值，则它们相似。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: 当两个 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似时，它们的哪些特性是相同的？

Choices:
- 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则它们具有相同的特征多项式和特征值。
- 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则它们具有相同的行向量和列向量。
- 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则它们具有相同的维数和基础空间。
- 如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则它们具有相同的行列式和逆矩阵。

College--Linear Algebra--Eigenvalues and Eigenvectors


Question: $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与对角矩阵相似的充分条件是什么？

Choices:
- 充分条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值都是整数。
- 充分条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值都是正数。
- 充分条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是可逆的。
- 充分条件包括矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，或者矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵。


Question: $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与对角矩阵相似的充分必要条件是什么？

Choices:
- 充分必要条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是对称的。
- 充分必要条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，以及矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的每个特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。
- 充分必要条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个特征值。
- 充分必要条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式非零。

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Question: 两个矩阵相似的必要条件有哪些？

Choices:
- 如果两个矩阵相似，它们必须具有相同的秩、相同的特征多项式和特征值、相同的迹以及相同的行列式。
- 如果两个矩阵相似，它们必须具有相同的维数和行列式。
- 如果两个矩阵相似，它们必须具有相同的逆矩阵和特征向量。
- 如果两个矩阵相似，它们必须具有相同的行向量和列向量。

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Question: 什么是二次型？

Choices:
- 二次型是任意一个多项式函数，它的最高项次数为2。
- 二次型是一个含有 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的二次齐次函数，可以表示为 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 的形式，其中 $\boldsymbol{A}$ 是一个对称矩阵。
- 二次型是一个线性方程组，它包含了 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$。
- 二次型是一个不等式系统，它包含了 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$。


Question: 二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 中的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有什么特性？

Choices:
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是对角矩阵。
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是斜对称矩阵，即 $\boldsymbol{A} = -\boldsymbol{A}^{\top}$。
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是上三角矩阵。
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵，即 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^{\top}$。


Question: 如何定义二次型的秩？

Choices:
- 二次型的秩定义为其对应的对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值的个数。
- 二次型的秩定义为其对应的对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩。
- 二次型的秩定义为其对应的对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的非零元素的个数。
- 二次型的秩定义为其对应的对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式的值。


Question: 什么是二次型的标准形？

Choices:
- 二次型的标准形是指二次型展开后各项系数之和。
- 如果存在一个可逆线性变换，使得二次型只含平方项，那么这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形。
- 二次型的标准形是指二次型可以分解为两个一次型的乘积。
- 二次型的标准形是指二次型中含有交叉项的形式。


Question: 二次型的规范形是什么？

Choices:
- 二次型的规范形是指二次型可以被表示为一个完全平方形式。
- 二次型的规范形是指二次型中所有变量的系数都为 $1$。
- 如果二次型的标准形的系数只能取 $1$，$-1$ 或 $0$，那么这种标准形称为规范形。
- 二次型的规范形是指二次型中所有变量的系数都相等。


Question: 二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 通过什么变换可以化为标准形？

Choices:
- 利用线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A y}$。
- 利用正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$。
- 利用斜交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{B y}$。
- 利用相似变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{y}$。


Question: 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 通过正交变换化为对角矩阵的过程中，对角矩阵的元素是什么？

Choices:
- 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹的值。
- 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式的值。
- 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。
- 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。


Question: 如果特征值有重根，我们在正交相似对角化实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 时可能需要采用什么方法？

Choices:
- 雅可比 (Jacobi) 方法。
- 高斯 (Gauss) 消元法。
- 施密特 (Schmidt) 正交化。
- 幂法。


Question: 构造正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的列向量应该由什么组成？

Choices:
- 原矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量。
- 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量。
- 单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的列向量。
- 特征向量规范正交化后的向量。


Question: 正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ 如何与实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 运算，以得到对角矩阵？

Choices:
- 通过 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{P}$ 。
- 通过 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{-1}$ 。
- 通过 $\boldsymbol{P} + \boldsymbol{A}$ 。
- 通过 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 。


Question: 什么是矩阵的合同？

Choices:
- 若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}$，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同。
- 若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A C}$，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同。
- 若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{A C}}$，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同。
- 若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A C}$，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同。


Question: 惯性定理告诉我们关于二次型的什么性质？

Choices:
- 二次型标准形中系数的总和是不变的，不随变换而改变。
- 二次型标准形中系数的乘积是不变的，不随变换而改变。
- 二次型标准形中零系数的个数是不变的，不随变换而改变。
- 二次型标准形中正系数和负系数的个数（即正惯性指数和负惯性指数）是不变的，不随变换而改变。


Question: 如果二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{A x}$ 通过变换变为 $f=k_{1} y_{1}^{2}+\cdots+k_{r} y_{r}^{2}$ 和 $f=\lambda_{1} z_{1}^{2}+\cdots+\lambda_{r} z_{r}^{2}$，这两种形式的正系数个数是否相同？

Choices:
- 不是，因为系数的符号可能会改变。
- 不是，正系数的个数不同。
- 是的，但只有当变换是正交的。
- 是的，正系数的个数相同。


Question: 二次型的标准形中正系数的个数称为什么？

Choices:
- 称为二次型的正惯性指数。
- 称为二次型的秩。
- 称为二次型的迹。
- 称为二次型的行列式。


Question: 二次型的标准形中负系数的个数称为什么？

Choices:
- 称为二次型的秩。
- 称为二次型的迹。
- 称为二次型的负惯性指数。
- 称为二次型的行列式。


Question: 两实对称矩阵合同的充分必要条件是什么？

Choices:
- 它们具有相同的秩和相同的正、负惯性指数。
- 它们具有相同的迹和相同的行列式。
- 它们具有相同的特征值。
- 它们具有相同的特征向量。


Question: 什么是正定二次型？

Choices:
- 若对任何非零向量 $\boldsymbol{x}$，都有 $f(\boldsymbol{x})=x^{\top} A x>0$，则称二次型 $f$ 为正定二次型，对应的对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 也被称为正定的。
- 若对任何非零向量 $\boldsymbol{x}$，都有 $f(\boldsymbol{x})=x^{\top} A x\geq0$，则称二次型 $f$ 为正定二次型。
- 若对任何非零向量 $\boldsymbol{x}$，都有 $f(\boldsymbol{x})=x^{\top} A x=0$，则称二次型 $f$ 为正定二次型。
- 若对任何非零向量 $\boldsymbol{x}$，都有 $f(\boldsymbol{x})=x^{\top} A x<0$，则称二次型 $f$ 为正定二次型。


Question: 一个二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 为正定的充分必要条件是什么？

Choices:
- 它的标准形的 $n$ 个系数至少有一个为零。
- 它的标准形的 $n$ 个系数全为非正数。
- 它的标准形的 $n$ 个系数全为负。
- 它的标准形的 $n$ 个系数全为正，即规范形的 $n$ 个系数全为 1，亦即它的正惯性指数等于 $n$。


Question: 对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是什么？

Choices:
- 矩阵 $A$ 的所有特征值都为正。
- 矩阵 $A$ 的所有特征值都为非正。
- 矩阵 $A$ 的所有特征值都为零。
- 矩阵 $A$ 的至少有一个特征值为正。


Question: 赫尔维茨定理是什么？

Choices:
- 对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是，$A$ 的所有阶的主子式都为负。
- 对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是，$A$ 的任意一个主子式为正。
- 对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是，$A$ 的所有阶的主子式都为正。
- 对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是，$A$ 的所有阶的主子式至少有一个为正。


Question: 对称矩阵 $A$ 为负定的充分必要条件是什么？

Choices:
- 对称矩阵 $A$ 的所有主子式为正。
- 对称矩阵 $A$ 的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。
- 对称矩阵 $A$ 的偶数阶主子式为负，而奇数阶主子式为正。
- 对称矩阵 $A$ 的所有主子式为负。


Question: $P(\varnothing)=$

Choices:
- 1
- 0
- 0.5
- -1

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Question: $P(\bar{A})=$

Choices:
- $1-P(A)$
- $1$
- $P(A)-1$
- $P(A)$

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Question: 当A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} 为两两不相容的事件时，$P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right)=$

Choices:
- $\prod_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$
- $\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$
- $P(A_n)$
- $P(A_1)$

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Question: $P(A \cup B)=$

Choices:
- $P(A)-P(B)$
- $P(A B)$
- $P(A)+P(B)$
- $P(A)+P(B)-P(A B)$

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Question: 当$P(A)>0$时，$P(A B)=$

Choices:
- $ P(A)$
- $P(B \mid A) P(A)$
- $ P(B)$
- $P(B \mid A) $

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Question: $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ 为整个样本空间的一个划分, 且 $P\left(B_{i}\right)>0, i=1,2, \cdots, n$，$P\left(A \mid B_{1}\right) P\left(B_{1}\right)+P\left(A \mid B_{2}\right) P\left(B_{2}\right)+\cdots$ $+P\left(A \mid B_{n}\right) P\left(B_{n}\right)=$<<<Answer>>>

Choices:
- $P(A)-P(B)$
- $P(A)$
- $P(B)$
- $P(AB)$

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Question: $P(A)=P\left(A \mid B_{1}\right) P\left(B_{1}\right)+P\left(A \mid B_{2}\right) P\left(B_{2}\right)+\cdots$ $+P\left(A \mid B_{n}\right) P\left(B_{n}\right)$, 其中 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ 为整个样本空间的一个划分, 且 $P\left(B_{i}\right)>0, i=1,2, \cdots, n$，这个公式叫什么？

Choices:
- 乘法公式
- 加法公式
- 贝叶斯公式
- 全概率公式

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Question: $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ 为整个样本空间的一个划分, 且 $P\left(B_{i}\right)>0, i=1,2, \cdots, n$，$\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(A \mid B_{j}\right) P\left(B_{j}\right)}=$

Choices:
- $P\left(B_{i} \mid A\right)$
- $P(AB)$
- $P(A)$
- $P(B_i)$

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Question: $P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(A \mid B_{j}\right) P\left(B_{j}\right)}, i=1,2, \cdots, n$, 其中 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ 为整个样本空间的一个划分, 且 $P(A)>0, P\left(B_{i}\right)>0$, $i=1,2, \cdots, n$，这个公式叫什么？

Choices:
- 全概率公式
- 贝叶斯公式
- 乘法公式
- 加法公式

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Question: $A \cup B=$

Choices:
- $B$
- $A$
- $B \cap A$
- $B \cup A$


Question: $A \cap B=$

Choices:
- $B \cup A$
- $B$
- $B \cap A$
- $A$


Question: $A \cup(B \cup C)=$

Choices:
- $(A \cap B) \cap C$
- $(A \cup B) \cup C$
- $B \cap A$
- $B \cup A$


Question: $A \cap(B \cap C)=$

Choices:
- $(A \cup B) \cup C$
- $B \cap A$
- $B \cup A$
- $(A \cap B) \cap C$


Question: $A \cup(B \cap C)=$

Choices:
- $(A \cap B) \cap C$
- $(A \cap B) \cup(A \cap C)$
- $(A \cup B) \cup C$
- $(A \cup B) \cap(A \cup C)$


Question: $A \cap(B \cup C)=$

Choices:
- $(A \cup B) \cap(A \cup C)$
- $(A \cap B) \cap C$
- $(A \cup B) \cup C$
- $(A \cap B) \cup(A \cap C)$


Question: $\overline{A \cup B}=$

Choices:
- $(A \cup B) \cap(A \cup C)$
- $\overline A \cup \overline B$
- $\overline A \cap \overline B$
- $(A \cap B) \cup(A \cap C)$


Question: $\overline {A \cap B}$

Choices:
- $(A \cap B) \cup(A \cap C)$
- $\overline A \cap \overline B$
- $(A \cup B) \cap(A \cup C)$
- $\overline A \cup \overline B$


Question: 古典概型和几何概型都是？

Choices:
- 几何概型
- 不等可能概型
- 等可能概型
- 古典概型

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Question: 古典概型和几何概型的区别在于,古典概型的样本空间中只包含什么元素？

Choices:
- 一个
- 有限个
- 无限个
- 等可能

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Question: 古典概型和几何概型的区别在于,几何概型的样本空间中只包含什么元素？

Choices:
- 有限个
- 一个
- 等可能
- 无限个

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Question: 古典概型的概率计算:若样本空间中基本事件总数为 $n$, 事件 $A$ 包含的基本事件的个数为 $k_{A}$, 则事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=$

Choices:
- $\frac{n}{k_{A}}$
- $n$
- $k_{A}$
- $\frac{k_{A}}{n}$

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Question: 几何概型的概率计算:设样本空间为 $\Omega, D_{A}$ 是 $\Omega$ 的一个可度量的子区域, 从 $\Omega$ 中随机地取一点,记事件 $A$ 为 “该点落在区域 $D_{A}$ 内”, 则事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=$, 其中 $\mu_{A}, \mu_{\Omega}$ 分别为 $D_{A}$ 和 $\Omega$ 的几何度量(例如长度、面积、体积等=$

Choices:
- $\mu_{\Omega}$
- $\mu_{A}$
- $\frac{\mu_{\Omega}}{\mu_{A}}$
- $\frac{\mu_{A}}{\mu_{\Omega}}$

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Question: 在同样的条件下,相互独立地、重复地进行 $n$ 次随机试验,此种试验称为.

Choices:
- 重复试验
- 随机试验
- 独立重复试验
- 独立试验

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Question: 在同样的条件下, 相互独立地、重复地进行 $n$ 次随机试验,并且随机试验只有两种可能结果:发生或者不发生,那么我们就称这一系列独立重复的随机试验为<<<Answer1>>>

Choices:
- 独立重复试验
- 伯努利试验
- $n$ 重伯努利试验
- 随机试验

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Question: 设在一次试验中, 事件 $A$ 发生的概率为 $p(0<p<1)$, 则在 $n$ 重伯努利试验中, 事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为

Choices:
- $\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(k=0,1, \cdots, n)$
- $\mathrm{C}_{n}^{k} (k=0,1, \cdots, n)$
- $\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}(k=0,1, \cdots, n)$
- $\mathrm{C}_{n}^{k} (1-p)^{n-k}(k=0,1, \cdots, n)$

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Question: 设随机试验的样本空间为 $S . X=X(e)$ 是定义在样本空间 $S$ 上的实值单值函数. 称 $X=X(e)$ 为

Choices:
- 随机变量
- 随机试验
- 随机常量
- 样本空间

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Question: 设 $X$ 是一个随机变量, $x$ 是任意实数, 函数$F(x)=P\{X \leqslant x\},-\infty<x<+\infty$称为 $X$ 的

Choices:
- 分布函数
- 概率密度函数
- 随机函数
- 正弦函数

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Question: 可能取值是有限个或可列无限多个, 这种随机变量称为

Choices:
- 整数型随机变量
- 离散型随机变量
- 小数型随机变量
- 连续型随机变量

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 可能取值是有限个或可列无限多个, 这种随机变量称为

Choices:
- 连续型随机变量 $X$ 的分布律
- 离散型随机变量 $Y$ 的分布律
- 离散型随机变量 $X$ 的分布律
- 连续型随机变量 $Y$ 的分布律

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$, 若存在非负可积函数 $f(x)$, 使对于任意实数 $x$ 有$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t$则称 $X$ 为

Choices:
- 离散型随机变量 $X$ 的分布律
- 连续型随机变量
- 连续型随机变量 $X$ 的分布律
- 离散型随机变量

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$, 若存在非负可积函数 $f(x)$, 使对于任意实数 $x$ 有$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t$则称$f(x)$ 为 $X$ 的<<<Answer1>>>,简称概率密度<<<Answer2>>>.

Choices:
- 连续型随机变量
- 离散型随机变量
- 概率密度函数
- 分布函数

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Question: 连续型随机变量的分布函数<<<Answer>>>连续

Choices:
- 不一定
- 在一定条件下
- 一定不
- 必然

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Question: 连续型随机变量的概率密度函数<<<Answer>>>连续

Choices:
- 在一定条件下
- 一定不
- 必然
- 不一定

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Question: $P\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k}, 0<p<1, k=0,1$.随机变量 $X$ 只可能取 0 与 1 两个值，这称为什么分布的分布律？

Choices:
- 超几何分布的分布律
- $(0-1)$ 分布的分布律
- 二项分布的分布律
- 几何分布的分布律

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Question: $(0-1)$ 分布也称为

Choices:
- 几何分布
- 两点分布
- 二项分布
- 超几何分布

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Question: $P\{X=k\}=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, k=0,1$, $2, \cdots, n$.是什么分布的分布律？

Choices:
- 二项分布的分布律
- $(0-1)$ 分布的分布律
- 几何分布的分布律
- 超几何分布的分布律

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: $n$ 重伯努利试验中, 事件 $A$ 发生的概率为 $p$, 随机变量 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数,则

Choices:
- $X \sim b(p, n)$
- $X \sim a(n, p)$
- $X \sim b(n)$
- $X \sim b(n, p)$

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 当 $n=1$ 时,二项分布 $b(1, p)$ 和 $(0-1)$ 分布具有什么关系？

Choices:
- 不同
- 线性相关
- 无关
- 相同

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: $P\{X=k\}=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, k=0,1$, $2, \cdots, n$.是什么分布的分布律？

Choices:
- 超几何分布的分布律
- $(0-1)$ 分布的分布律
- 几何分布的分布律
- 二项分布的分布律

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: $P\{X=k\}=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, k=0,1$, $2, \cdots, n$.是什么分布的分布律？

Choices:
- $(0-2)$ 分布
- 二项分布
- 超几何分布
- 几何分布

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: $P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_{M}^{k} \mathrm{C}_{N-k}^{n-k}}{\mathrm{C}_{N}^{n}}, k=0,1, \cdots, l$, 其中 $l=\min \{n, M\}, n \leqslant N$.是什么分布的分布律？

Choices:
- 超几何分布的分布律
- $(0-1)$ 分布的分布律
- 几何分布的分布律
- 二项分布的分布律

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 产品抽样检验(不放回抽样) 中, 假定在 $N$ 件产品中有 $M$件不合格品, 在产品中随机抽 $n$ 件, 发现不合格品的件数记为 $X$, 则 $X$ 服从参数为 $N, M, n$ 的什么分布？

Choices:
- 几何分布
- 超几何分布
- $(0-2)$ 分布
- 二项分布

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: $P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k} \mathrm{e}^{-\lambda}}{k !}, k=0,1,2, \cdots$, 其中 $\lambda>0$ 是常数.是什么分布的分布律？

Choices:
- 几何分布的分布律
- 二项分布的分布律
- 泊松分布的分布律
- $(0-1)$ 分布的分布律

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Question:
若连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$则称 $X$ 在区间 $(a, b)$ 上服从什么分布？

Choices:
- 指数分布
- 伽马分布
- 均匀分布
- 正态分布

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question:
若连续型随机变量 $X$ 的概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$

其中 $\lambda>0$ 为常数, 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的什么分布？

Choices:
- 伽马分布
- 均匀分布
- 正态分布
- 指数分布

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question:
服从指数分布的随机变量 $X$ 具有以下性质:
对于任意的 $s, t>0$, 有
$$
P\{X>s+t \mid X>s\}=P\{X>t\} .
$$
该性质称为什么？

Choices:
- 无记忆性
- 分布性
- 指数性
- 有记忆性

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Question:
若连续型随机变量 $X$ 的概率密度为

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, \quad-\infty<x<+\infty,
$$

其中 $\mu, \sigma(\sigma>0)$ 为常数, 则称 $X$ 服从参数为 $\mu, \sigma$ 的什么分布？

Choices:
- 均匀分布
- 指数分布
- 正态分布
- 伽马分布

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 若随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x), Y=g(X)$，如何通过定义求得 $Y$ 的概率密度？

Choices:
- $F_{Y}(y)=\int_{f(x) \leqslant y} g(x) \mathrm{d} x $
- $F_{Y}(y)=\int_{g(x) \leqslant y} f(x) \mathrm{d} x $
- $g(x)$
- $f(x)$

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 设随机变量 $X$ 具有概率密度 $f_{X}(x),-\infty<x<+\infty$, 又设函数 $g(x)$处处可导且恒有 $g^{\prime}(x)>0$ (或恒有 $\left.g^{\prime}(x)<0\right)$, 则 $Y=g(X)$ 是连续型随机变量,其概率密度为<<<Answer>>>>其中 $\alpha=\min \{g(-\infty), g(+\infty)\}, \beta=\max \{g(-\infty), g(+\infty)\}, h(y)$ 是 $g(x)$ 的反函数.

Choices:
- $f_{X}[h(y)]$
- Answer:$f_{Y}(y)= \begin{cases}f_{X}[h(y)]\left|h^{\prime}(y)\right|, & \alpha<y<\beta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$
- 0
- Answer:$f_{Y}(y)= \begin{cases}f_{X}[h(y)]\left|h^{\prime}(y)\right|, & \alpha>y>\beta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$

College--Probability and Statistics--Distribution of Random Variables


Question: 一般地, 设 $E$ 是一个随机试验, 它的样本空间是 $S$, 设 $X=X(e)$ 和 $Y=Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量, 由它们构成的一个向量 $(X, Y)$, 叫做什么？

Choices:
- 一维随机向量
- 三维随机向量
- 二维随机向量
- 四维随机向量

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
设 $(X, Y)$ 是二维随机变量, 对于任意实数 $x, y$, 二元函数:

$$
F(x, y)=P\{(X \leqslant x) \cap(Y \leqslant y)\} \xlongequal{\text { 记成 }} P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\}
$$

称为<<<Answer1>>>, 或称为<<<Answer2>>>.

Choices:
- 二维随机变量 $(X, Y)$ 的正弦函数
- 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数
- 二维随机变量 $(X, Y)$ 的随机函数
- 二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question: 若二维随机变量 $(X, Y)$ 全部可能取到的值是有限对或可列无限多对, 则称 $(X, Y)$ 是什么？

Choices:
- 一维离散型随机变量
- 一维连续型随机变量
- 二维连续型随机变量
- 二维离散型随机变量

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 所有可能取的值为 $\left(x_{i}, y_{j}\right), i, j=1,2, \cdots$, 记 $P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=$ $p_{i j}, i, j=1,2, \cdots$, 则由概率的定义有
$$
p_{i j} \geqslant 0, \quad \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{i j}=1
$$
我们称 $P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots$ 为什么？

Choices:
- 二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的分布律
- 二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的分布律
- 一维离散型随机变量X的分布律
- 一维离散型随机变量Y的分布律

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
对于二维随机变童 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$, 若存在非负可积函数 $f(x, y)$, 使对于任意 $x, y$, 有
$$
F(x, y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v,
$$
则称 $(X, Y)$ 是什么？

Choices:
- 二维连续型随机变量
- 二维离散型随机变量
- 一维离散型随机变量
- 一维连续型随机变量

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
对于二维随机变童 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$, 若存在非负可积函数 $f(x, y)$, 使对于任意 $x, y$, 有
$$
F(x, y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v,
$$
则称 函数 $f(x, y)$是什么？

Choices:
- 二维随机变量 $(X, Y)$的分布函数
- 一维随机变量 $(X, Y)$的分布函数
- 二维随机变量 $(X, Y)$的概率密度
- 一维随机变量 $(X, Y)$的概率密度

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
二维随机变量 $(X, Y)$ 作为一个整体, 具有分布函数 $F(x, y)$. 而 $X$ 和 $Y$ 都是随机变量, 各自也有分布函数, 将它们分别记为 $F_{X}(x), F_{Y}(y)$, 依次称为二维随机变量 $(X, Y)$ <<<Answer1>>>和<<<
Answer2>>>

Choices:
- 关于 $Y$ 的边缘分布函数, 关于 $X$ 的边缘分布函数
- 关于 $Y$ 的分布函数, 关于 $X$ 的分布函数
- 关于 $X$ 的边缘分布函数, 关于 $Y$ 的边缘分布函数
- 关于 $X$ 的分布函数, 关于 $Y$ 的分布函数

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
边缘分布函数可以由 $(X, Y)$ 的<<<Answer>>>所确定.
$$
F_{X}(x)=P\{X \leqslant x\}=P\{X \leqslant x, Y<+\infty\}=F(x,+\infty) .
$$

Choices:
- 概率密度函数$f(x, y)$
- 随机函数
- 正弦函数
- 分布函数 $F(x, y)$

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
二维随机变量 $(X, Y)$ 作为一个整体, 具有分布函数 $F(x, y)$. 而 $X$ 和 $Y$ 都是随机变量, 各自也有分布函数, 将它们分别记为 $F_{X}(x), F_{Y}(y)$, 依次称为二维随机变量 $(X, Y)$ <<<Answer1>>>和<<<
Answer2>>>

Choices:
- 关于 $Y$ 的分布律, 关于 $X$ 的分布律
- 关于 $X$ 的边缘分布律 关于 $Y$ 的边缘分布律
- 关于 $X$ 的分布律, 关于 $Y$ 的分布律
- 关于 $Y$ 的边缘分布律 关于 $X$ 的边缘分布律

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
对于连续型随机变量 $(X, Y)$, 设它的概率密度为 $f(x, y)$, 记
$$
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y, \quad f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x,
$$
分别称 $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 为<<<Answer1>>> 和<<<Answer2>>>

Choices:
- 关于 $Y$ 的概率密度, 关于 $X$ 的概率密度
- 关于 $X$ 的边缘概率密度 关于 $Y$ 的边缘概率密度
- 关于 $Y$ 的边缘概率密度 关于 $X$ 的边缘概率密度
- 关于 $X$ 的概率密度, 关于 $Y$ 的概率密度

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量, 对于固定的$j$，若$P{Y = y_i} > 0$， 则称
$$
P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{Y=y_{j}\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{j}}, i=1,3, \cdots
$$
为在 $Y=y_{j}$ 的条件下的什么？

Choices:
- 随机变量 $X$ 的条件分布律
- 随机变量 $(X, Y)$ 的条件分布律
- 随机变量 $Y$ 的条件分布律
- 都不是

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
对于固定的 $i$,若 $P\left\{X=x_{i}\right\}>0$, 则称
$$
P\left\{Y=y_{j} \mid X=x_{i}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{X=x_{i}\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{i} .}, j=1,2, \cdots
$$
为在 $X=x_{i}$ 的条件下的什么？

Choices:
- 随机变量 $Y$ 的条件分布律
- 都不是
- 随机变量 $(X, Y)$ 的条件分布律
- 随机变量 $X$ 的条件分布律

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question: 二维随机变量 $(X, Y)$的概率密度为 $f(x, y),(X, Y)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度为 $f_{Y}(y)$. 若对于固定的 $y, f_{Y}(y)>0$, 则称 $\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的什么？

Choices:
- 条件概率
- 都不是
- 条件概率密度
- 概率密度

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question: 二维随机变量 $(X, Y)$的概率密度为 $f(x, y),(X, Y)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度为 $f_{Y}(y)$. 若对于固定的 $y, f_{Y}(y)>0$, 则称 $\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度，记为

Choices:
- $$f_{\mathrm{X|Y}}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}$$
- $$f_{\mathrm{X|Y}}(x \mid y)=f_{Y}(y$$
- 都不是
- $$f_{\mathrm{X|Y}}(x \mid y)=f(x, y)$$

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Question: 条件概率密度满足什么条件？

Choices:
- 都不是
- $f_{X|Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \geq 0$
- $f_{X|Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} = 0$
- $f_{X|Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \leq 0$

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
条件概率密度满足条件: $f_{X|Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \geqslant 0$;
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X Y}(x \mid y) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \mathrm{d} x=\frac{1}{f_{Y}(y)} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x=1 .
$$
$$
F_{X|Y}(x \mid y)=P\{X \leqslant x \mid Y=y\}=\int_{-\infty}^{x} \frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \mathrm{d} x .
$$
称 $\int_{-\infty}^{x} f_{\mathrm{M} Y}(x \mid y) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{x} \frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \mathrm{d} x$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的什么？

Choices:
- 分布律
- 条件概率密度
- 分布函数
- 条件分布函数

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question: 设 $X, Y$ 是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为 $F_{X}(x)$和 $F_{Y}(y)$, 则 $M=\max \{X, Y\}$的分布函数为？

Choices:
- 都不是
- $F_{\max }(z) & =$F_{X}(z) F_{Y}(z)$
- $F_{\max }(z) & =$F_{X}(z)$
- $F_{\max }(z) & =$F_{Y}(z)$

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question: 设 $X, Y$ 是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为 $F_{X}(x)$和 $F_{Y}(y)$, 则$N=\min \{X, Y\}$ 的分布函数为？

Choices:
- $F_{\min }(z) & =P\{N \leqslant z\}=1-[1-F_{Y}(z)] $
- 都不是
- $F_{\min }(z) & =P\{N \leqslant z\}=1-[1-F_{X}(z)] $
- $F_{\min }(z) & =P\{N \leqslant z\}=1-[1-F_{X}(z)][1-F_{Y}(z)] $

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question: 当 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立且具有相同的分布函数 $F(x)$ 时, $F_{\max }(z)等于什么？

Choices:
- $F(z)^{n}$
- $nF(z)$
- $\frac{F(z)}{n}$
- 都不是

College--Probability and Statistics--Distribution of Multidimensional Random Variables


Question:
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为

$$
P\left\{X=x_{k}\right\}=p_{k}, \quad k=1,2, \cdots .
$$

若级数 $\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} p_{k}$ 绝对收敛, 则称级数 $\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} p_{k}$ 的和为随机变量 $X$ 的什么？

Choices:
- 标准差
- 方差
- 协方差
- 数学期望

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$, 若积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛, 则称积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 的值为随机变量 $X$ 的什么？

Choices:
- 数学期望
- 协方差
- 方差
- 标准差

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $X$ 是离散型随机变量, 它的分布律为 $P\left\{X=x_{k}\right\}=p_{k}, k=1,2, \cdots$.若 $\sum_{k=1}^{\infty} g\left(x_{k}\right) p_{k}$ 绝对收敛, 则$E(Y)=$

Choices:
- 都不是
- $\sum_{k=1}^{\infty} p_{k}$
- $\sum_{k=1}^{\infty} g\left(x_{k}\right) $
- $\sum_{k=1}^{\infty} g\left(x_{k}\right) p_{k}$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 设 $Y$ 是随机变量 $X$ 的函数: $Y=g(X)$ ( $g$ 是连续函数 $)$.$X$ 是连续型随机变量, 它的概率密度为 $f(x)$. 若 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \mathrm{d} x$绝对收敛, 则$E(Y)=$

Choices:
- $\int_{-\infty}f(x) \mathrm{d} x$
- $\int_{-\infty} g(x) \mathrm{d} x$
- $f(x)g(x)$
- $\int_{-\infty} g(x) f(x) \mathrm{d} x$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 假定下面出现的反常积分均绝对收敛.若 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $f(x, y)$, 则& E(X)=$

Choices:
- $\int_{-\infty}^{+\infty} y f_{Y}(y) \mathrm{d} y$
- $\int_{-\infty}^{+\infty} y f_{X}(x) \mathrm{d} y$
- $\int_{-\infty}^{+\infty} x f_{Y}(y) \mathrm{d} x $
- $\int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X}(x) \mathrm{d} x $

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 假定下面出现的反常积分均绝对收敛.若 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $f(x, y)$, 则& E(Y)=$

Choices:
- $\int_{-\infty}^{+\infty} x f_{Y}(y) \mathrm{d} x $
- $\int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X}(x) \mathrm{d} x $
- $\int_{-\infty}^{+\infty} y f_{X}(x) \mathrm{d} y$
- $\int_{-\infty}^{+\infty} y f_{Y}(y) \mathrm{d} y$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 假定下面出现的反常积分均绝对收敛.若 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $f(x, y), Z=g(X, Y)$, 则$E(Z)=$

Choices:
- $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y)  \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
- $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
- $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
- 都不是

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 若 $C$ 是常数,则 $E(C)=$.

Choices:
- $C^2$
- $2C$
- $C$
- $\sqrt(C)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $X$ 是一个随机变量, $C$ 是常数, 则 $E(C X)=$.

Choices:
- $C E(X)$
- $C^2E(X)$
- $E(X)$
- $C$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 设 $X, Y$ 是两个随机变量, 则 $E(X+Y)=$.

Choices:
- $E(X)$
- $E(X)+E(Y)$
- $E(Y)$
- $E(X)E(Y)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 设 $X, Y$ 是相互独立的随机变量, 则 $E(X Y)=$

Choices:
- $E(X)+E(Y)$
- $E(X)E(Y)$
- $E(X)$
- $E(Y)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 设 $X$ 是一个随机变量, 若 $E\left\{[X-E(X)]^{2}\right\}$ 存在, 则称 $E\left\{[X-E(X)]^{2}\right\}$为 $Y$ 的?

Choices:
- 协方差
- 方差
- 数学期望
- 标准差

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 记 $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$, 称为

Choices:
- 协方差
- 标准差
- 方差
- 数学期望

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 若 $C$ 是常数, 则 $D(C)=$

Choices:
- $C$
- $C^2$
- 0
- $C^2D(x)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 若 $X$ 是一个随机变量, $C$ 是常数,则$D(C X)=$

Choices:
- $CD(X)$
- $C^{2} D(X)$
- $C$
- $D(X)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 若 $X$ 是一个随机变量, $C$ 是常数,则$D(X+C)=$

Choices:
- $D(X)$
- $CD(X)$
- $C$
- $C^{2} D(X)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 设 $X, Y$ 是两个随机变量,则$D(X+Y)=$

Choices:
- $D(X)+D(Y) $
- $D(X)+D(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y) $
- $\operatorname{Cov}(X, Y) $
- $D(X)+D(Y)-2 \operatorname{Cov}(X, Y) $

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $D(X)=0$ 的充分必要条件是

Choices:
- $P\{X=E(X)\}=1 $
- $P\{X=D(X)\}=1 $
- $P\{X=E(X)\}=0 $
- $P\{X=D(X)\}=0 $

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$ 称为随机变量 $X$ 与 $Y$ 的

Choices:
- 方差
- 数学期望
- 标准差
- 协方差

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $\rho_{X Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$称为随机变量 $X$ 与 $Y$ 的

Choices:
- 数学期望
- 方差
- 相关系数
- 标准差

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $\operatorname{Cov}(X, Y)=$

Choices:
- $E(X Y)-E(X) E(Y)$
- $D(X)$
- $E(X) E(Y)-E(X Y)$
- 0

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $\operatorname{Cov}(X, X)=$

Choices:
- 0
- $D(X)$
- $E(X) E(Y)-E(X Y)$
- $E(X Y)-E(X) E(Y)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $\operatorname{Cov}(X, a)=$

Choices:
- $D(X)$
- $E(X Y)-E(X) E(Y)$
- $E(X) E(Y)-E(X Y)$
- 0

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $D(X \pm Y)=$

Choices:
- $D(X)+D(Y) $
- $D(X)-D(Y) $
- $D(X)+D(Y) \pm 2 \operatorname{Cov}(X, Y)$
- $D(X)-D(Y) \pm 2 \operatorname{Cov}(X, Y)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $\operatorname{Cov}(X, Y)=$

Choices:
- $D(Y, X)$
- $\operatorname{Cov}(Y, X)$
- $D(X)+D(Y) \pm 2 \operatorname{Cov}(X, Y)$
- $E(Y, X)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 当 $a, b$ 是常数时，$\operatorname{Cov}(a X, b Y)=$<<<Answer>>>

Choices:
- $a b \operatorname{Cov}(X, Y)$
- $\operatorname{Cov}(X, Y)$
- $2 a b \operatorname{Cov}(X, Y)$
- $a b$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: $Cov(X_1 \pm X_2, Y) = $

Choices:
- $Cov(X_1, Y) - Cov(X_2, Y)$
- $Cov(X_1, Y)Cov(X_2, Y)$
- $Cov(X_1, Y) \pm Cov(X_2, Y)$
- $Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)$

College--Probability and Statistics--Numerical Characteristics of Random Variables


Question: 设总体 $X$ 的分布含有未知参数 $\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{k}$, $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X$ 的样本. 假设总体 $X$ 的前 $k$ 阶矩 $\mu_{l}=E\left(X^{t}\right)(l=1$, $2, \cdots, k)$ 存在, 用样本矩 $A_{l}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{l}$ 作为相应的总体矩 $\mu_{t}$ 的估计量, 而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量, 这种估计方法称为

Choices:
- 均不是
- 点估计法
- 极大似然估计法
- 矩估计法

College--Probability and Statistics--Mathematical Statistics


Question: 矩估计量的观察值称为

Choices:
- 均不是
- 矩估计值
- 点估计值
- 极大似然估计值

College--Probability and Statistics--Mathematical Statistics


Question: 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本, $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是样本值, $\theta$ 是待估参数, $\Theta$ 是 $\theta$ 可能取值的范围. 使似然函数 $L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} ; \theta\right)$ 在 $\Theta$ 内达到最大值的参数 $\hat{\theta}=\hat{\theta}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 称为参数 $\theta$ 的最大似然估计值, 相应的统计量 $\hat{\theta}=\hat{\theta}\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)$ 称为参数 $\theta$的最大似然估计量,这种估计法称为

Choices:
- 极大似然估计法
- 矩估计法
- 均不是
- 点估计法

College--Probability and Statistics--Mathematical Statistics