data/json/2024/math_30_geom.txt

30. 좌표평면에 한 변의 길이가 4인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다.
선분 $\mathrm{AB}$를 1:3으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 선분 $\mathrm{BC}$를 1:3으로 내분하는 점을 $\mathrm{E}$, 선분 $\mathrm{CA}$를 1:3으로 내분하는 점을 $\mathrm{F}$라 하자. 네 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}, \mathrm{X}$가 다음 조건을 만족시킨다.

\begin{itemize}
    \item[(가)] $|\overrightarrow{\mathrm{DP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{EQ}}| = |\overrightarrow{\mathrm{FR}}| = 1$
    \item[(나)] $\overrightarrow{\mathrm{AX}} = \overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{QC}} + \overrightarrow{\mathrm{RA}}$
\end{itemize}

$|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|$의 값이 최대일 때, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이를 $S$라 하자. $16S^2$의 값을 구하시오. [4점]