data/multiple_choice/test/college_math.csv

Question,A,B,C,D,Answer
"如果\(u\)和\(v\)正交，則\(u\cdotv=0\)。\(S^\perp\)是\(\mathbb{R}^n\)中所有與\(S\)中每個向量都正交的向量集合。考慮集合
\(S=\left\{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3:x_1-x_2+x_3=0\right\}\)。選擇以下正確的陳述。",\(S\)是\(\mathbb{R}^3\)的一個子空間且\(\text{dim}S=1\),\(\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\inS\),設\(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=w+z\)使得\(w\inS\)並且\(z\inS^\perp\)，則\(z=\begin{bmatrix}1/3\\-1/3\\1/3\end{bmatrix}\)。,\(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\inS^\perp\),C
"若原函數\(f(t)=Ae^{-t}\cos(2t)+Be^{-t}\sin(2t)\)，對應的拉普拉斯轉換\(F(s)=\frac{2s+5}{s^2+as+b}\)，A,B,a,b為實數。則a/b為何值？",0.1,0.4,2,1,B
求定積分\(\int_{-2}^{-1}\frac{2x+4}{x^2-2}dx=?\),\(2\ln\frac{5}{4}-1\),\(2\ln\frac{7}{6}-1\),\(2\ln\frac{9}{8}-1\),\(2\ln\frac{3}{2}-1\),D
"已知u,v為向量空間（vectorspace）V中的兩個非零向量（nonzerovector），下列敍述何者不恆真？",\(\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\),"若\(u,v\)為正交(orthogonal)，則\(\|u+v\|^2<=\|u\|^2\|v\|^2\)","\(\langleu,v\rangle\leq\|u\|\|v\|\)","若\(u,v\)的夾角為\(\theta\)，則\(\langleu,v\rangle\leq\|u\|\|v\|\sin\theta\)",D
矩陣\(A=\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&4&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\)，則\(A^2\)的特徵值(eigenvalues)，不可能是下列哪一個？,16,4,1,9,B
\(\int\frac{2}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx=?\),\(2\ln|x-1|+2\ln|x-2|+2\ln|x-3|+C\),\(\ln|x-1|-2\ln|x-2|+2\ln|x-3|+C\),\(\ln|x-1|-2\ln|x-2|+\ln|x-3|+C\),\(\ln|x-1|+2\ln|x-2|+\ln|x-3|+C\),C
"設A,B,C為同階矩陣，且ABC=E，則下列哪一個等式不一定成立(　)。",B^-1A^-1C^-1=E,CAB=E,BCA=E,C^-1A^-1B^-1=E。,D
一微分方程式\(y''-2y'=6e^{2x}-4e^{-2x}\)的起始條件分別為\(y(0)=-1\)及\(y'(0)=6\)，其解為\(y(x)=ae^{2x}+bxe^{2x}+ce^{-2x}+d\)，試問下列何者不正確？,\(d=-\frac{3}{2}\),\(b=3\),\(c=-\frac{1}{2}\),\(a=-1\),D
"2已知\(X\)和\(Y\)的聯合機率密度函數(Jointprobabilitydensityfunction)為\[f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}2,&0\leqy\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\]下列何者錯誤？",在0≤x≤1，fX(x)=2x,"條件機率密度函數\[f_{Y|X}(y|x)=\begin{cases}\frac{1}{x},&0\leqy\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\]","條件機率密度函數\[f_{X|Y}(x|y)=\begin{cases}\frac{1}{y},&0\leqy\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\]",在0≤y≤1，fY(y)=2(1-y),C
"若\(f(x)=xe^{\frac{-x^2}{2}}\),\(f(x)\)的臨界點為何？","\(x=\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\)","\(x=1,-1\)","\(x=\sqrt{2},-\sqrt{2}\)",\(x=0\),B
求\(\int_{0}^{\pi}x^2\cos(x)dx=?\)的積分,\(\frac{\pi}{2}\),\(\frac{\pi}{2}-1\),\(0\),\(\pi-1\),B
\(\lim_{x\to11}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{x^2-121}=?\),\(\frac{1}{22\sqrt{11}}\),\(\frac{1}{11\sqrt{11}}\),不存在,\(\frac{1}{44\sqrt{11}}\),D
"假設\(Q=[q_1\q_2\q_3]=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&-1\end{bmatrix}\)。設\(S_{12}=\text{span}(q_1,q_2)\)，並且\(S_{23}=\text{span}(q_2,q_3)\)。哪些陳述是真的？",兩個子空間\(S_{12}\)和\(S_{23}\)的聯集形成一個向量空間。,\(Q\)的行向量形成行空間的一個基。,兩個子空間\(S_{12}\)和\(S_{23}\)的交集形成一個向量空間。,\(\text{span}(q_1)\)是子空間\(S_{23}\)的正交補空間。,C
"矩陣\(A=\begin{bmatrix}0&-2&-3\\1&3&3\\0&0&1\end{bmatrix}\)的3個特徵向量(eigenvectors)為\(\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}\)，則下列敍述何者為誤？",\(\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}\)是\(A^3+6A^2\)的一個特徵向量,\(\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}\)是\(A^5+4A^3-A\)的一個特徵向量,\(\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}\)是\(A^2-2A\)的一個特徵向量,\(\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\)是\(A^5-3A^4+2A^2\)的一個特徵向量,C
求二重積分\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}e^{x^2}dxdy=\),\(\frac{1}{e}-1\),\(e-1\),\(e+1\),\(\frac{1}{e}+1\),B
設A為n階方陣，且滿足A^2=E則下列結論正確的是？,A≠E，則A+E不可逆,A≠E，則A+E可逆,A+E可逆,A+E可逆,A
"行使得\(A=\begin{bmatrix}1&-3&4&-2&5\\2&-6&9&-1&8\\2&-6&9&-1&9\\-1&3&-4&2&-5\end{bmatrix}\),則下列選項中何者為矩陣A的秩(rank)？",1,2,3,4,C
"若某曲線的斜率為4x且通過點(2,9)，求其曲線方程式？",\(y=\frac{1}{4}x^2+8\),\(y=4x^2-7\),\(y=2x^2+1\),\(y=\frac{1}{2}x^2+7\),C
下列矩陣中，不能相似對角化的是,\(\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\1&2&2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&-1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&-1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&1\\3&1&1\end{pmatrix}\),B
n階方陣A與B等價，則,|A|≠|B|,"諾|A|≠0,則|B|≠0",|A|=-|B|,|A|=|B|,B
\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x^{1/111}}=?\),\(0\),\(\text{不存在}\),\(\frac{1}{111}\),\(111\),A
\(A=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\)，其反矩陣(Inversematrix)為\(B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，下列何者正確？,d=0.3,a=-0.1,c=0.2,b=0.1,A
求定積分\(\int_{-2}^{-1}\frac{2x+4}{x^2-2}dx=?\),\(2\ln\frac{7}{6}-1\),\(2\ln\frac{9}{8}-1\),\(2\ln\frac{5}{4}-1\),\(2\ln\frac{3}{2}-1\),D
"設n(n≥3)可逆矩陣A的伴隨矩陣為A*，常數k≠0,則(kA)*等同於().",k^-1A*.,knA*,k^-1A*,kA*,C
"設\(\bm{A},\bm{B}\)都是四階非零矩陣，且\(\bm{AB}=\bm{O}\)，則必有：",若\(r(\bm{A})=1\)，則\(r(\bm{B})=3\)；,若\(r(\bm{A})=4\)，則\(r(\bm{B})=1\),若\(r(\bm{A})=2\)，則\(r(\bm{B})=2\)；,若\(r(\bm{A})=3\)，則\(r(\bm{B})=1\)；,D
下列何者與矩陣\(\begin{bmatrix}4&-2\\1&1\end{bmatrix}\)為相似矩陣(similarmatrices)？,\(\begin{bmatrix}-3&10\\-3&8\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}4&1\\-2&1\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}-2&1\\3&5\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}\),C
求由\(y=\sqrt{x}\)，\(y=2\)和\(x=0\)所圍區域繞x軸旋轉所得之旋轉體體積？,\(\frac{32\pi}{5}\),\(\frac{32\pi}{11}\),\(\frac{32\pi}{7}\),\(\frac{32\pi}{9}\),A
"曲線\(y=x+\frac{1}{x}\)與直線\(x=1\),\(x=2\),\(y=0\),所圍區域的面積x軸旋轉所形成的旋轉體積為？",\(\frac{29\pi}{6}\),\(\frac{23\pi}{6}\),\(\frac{35\pi}{6}\),(\frac{11\pi}{6}\),A
"對於兩個\(n\timesn\)矩陣A和B，交換子被定義為\([A,B]=AB-BA\)。讓0表示\(n\timesn\)零矩陣。對於\(n\timesn\)矩陣A、B和C，以下哪個陳述是不正確的？","\([A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\).","\([A,[B,C]]+[B,[A,C]]+[C,[A,B]]=0\).","\([A,B]=-[B,A]\).","\([A,B+C]=[A,B]+[A,C]\).",B
"令\(C:|z|=3\)為以原點為圓心且半徑為3的圓，則該圓在複數平面上的方向與出發點的選擇對於\(\int_C\frac{e^z}{z}\,dz\)之值為何？",\(2\pii\),\(0\),\(-\pii\),\(-2\pii\),C
"假設\(F(x)=\int_{4}^{x^2}\sqrt{t^2+8}dt\),\(F'(-1)=?\)",\(-6\),\(6\),\(3\),\(-3\),A
李卡地方程式(Riccatiequation)\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3x}y^2+\frac{1}{x}y-\frac{6}{x}\)，則利用下列何公式代換，換為可以解決的標準微分方程式？,\(y=-5+\frac{1}{u}\),\(y=5+\frac{1}{u}\),\(y=3+\frac{1}{u}\),\(y=-3+\frac{1}{u}\),C
"二階常微分方程式y""+4y'+3y=0，y(0)=3，y'(0)=-5的解為何？",\(y=2e^{-x}+e^{-3x}\),\(y=2e^{-x}+3e^{-3x}\),\(y=7e^{x}-4e^{3x}\),\(y=2e^{x}+3e^{-3x}\),A
"已知\(f(x)=x^4-x^2\)，\(x\in[0,1]\)，則\(f(x)\)在\([0，1]\)中最小值為何？",\(-\frac{1}{4}\),\(-\frac{1}{3}\),\(-\frac{1}{2}\),\(-\frac{1}{5}\),A
考慮向量\(\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\)和\(\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right]\)。若\(\mathbf{u}\)分解為\(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2\)，其中\(\mathbf{u}_1\)為\(\mathbf{u}\)在\(\mathbf{v}\)的投影(projection)，則\(\mathbf{u}_2\)為何？,\(\left[\begin{array}{c}0\\0.5\\1.5\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}1\\1.5\\-0.5\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}0\\0.5\\-1.5\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}1\\1.5\\0.5\end{array}\right]\),B
"設向量u=(3,-2,-5)，v=(1,4,-4)，w=(0,3,2)，則u•(v✕w)之值為何？其中運算元×表示為外積（crossproduct），u•v則表示為u和v的內積（innerproduct）",84,92,49,56,C
函數f(t)之拉普拉斯轉換（Laplacetransform）為ℒ{f(t)}，令\(\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s(s+1)^2}\)，則下列何者正確？,\(f(t)=-te^{-t}+e^{-t}+1\),\(f(t)=-te^{-t}-e^{-t}-1\),\(f(t)=te^{-t}+e^{-t}+1\),\(f(t)=-te^{-t}-e^{-t}+1\),D
某一種Covid-19的檢測方式，可將90%的Covid-19感染者判為陽性，但是會將10%的感染者誤判為陰性（偽陰性，Falsenegative）。而這種檢測方式又會將95%的Covid-19非感染者判為陰性，但有5%的非感染者則會被誤判為陽性（偽陽性，Falsepositive）。假設某地區實際上只有10%的Covid-19感染者，那麼隨機選擇該地區一個居民，以此種檢測方式做檢驗，結果此居民為陽性反應，請問這位居民真正感染Covid-19的機率是多少？,2/3,5/6,7/9,5/7,A
"設\(\bm{A}\)是\(m\timesn\)矩陣，\(\bm{A}^{\mathrm{T}}\)是\(\bm{A}\)的轉置，若\(\bm{\eta}_1,\bm{\eta}_2,\cdots,\bm{\eta}_t\)是齊次方程組\(\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}\)的基礎解系，則秩\(r(\bm{A})=\)",\(m-t\);,\(n-m\).,\(n-t\);,\(t\);,A
"若\(f(x,y)=-\frac{xy}{x+y^2+1}\),則\(f_x(2,1)\)=?",1/2,1/3,1/8,1/4,C
"區域\(R=\{(x,y):x^2+y^2\leq1\}\),求\(\iint_{R}e^{1+x^2+y^2}dxdy=?\)",π(e^2-e),2π(e^2+e),4π(e^2+e),3π(e^2+e),A
"求函數f(x)=4x3-8x2+7x-2在[0,1]中，滿足均值定理的c為何？即滿足等式\(f''(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}\)的\(c\)值為？",0,1,\(\frac{1}{3}\),\(\frac{2}{3}\),C
\(\mathbb{R}^2\)的仿射變換是一個形式為\(T(x)=Ax+b\)的函數\(T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)，其中\(A\)是一個可逆的\(2\times2\)矩陣，\(b\)屬於\(\mathbb{R}^2\)。下列哪些陳述不是正確的？,\(T^{-1}(x)=A^{-1}x+A^{-1}b\),仿射變換將直線映射為直線,仿射變換將平行直線映射為平行直線,沒有任何仿射變換能將直線映射成圓形,A
"\(x^7-xy+y^9=1\),則\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)}=?\)",\(-\frac{3}{7}\),\(-\frac{1}{2}\),\(-\frac{3}{5}\),\(-\frac{3}{4}\),D
"某雜訊的機率密度函數（probabilitydensityfunction）為[-1,3]的均勻分佈，其變異數（variance）為A。經過增益為5的放大器放大以後，其變異數為B。則A,B各值為何？","(A=\frac{4}{3},B=\frac{20}{3}\)","\(A=\frac{16}{3},B=\frac{80}{3}\)","\(A=\frac{4}{3},B=\frac{100}{3}\)","\(A=\frac{16}{3},B=\frac{400}{3}\)",C
下列哪些是正確的？,"如果\(A,B\in\mathbb{R}^{m\timesk}\)，那麼計算\(A+B\)的複雜度是\(O(m+k)\)。",如果\(A\in\mathbb{R}^{m\timesk}\)，\(B\in\mathbb{R}^{k\timesm}\)，\(u\in\mathbb{R}^{m\times1}\)且\(k\llm\)，那麼計算\((AB)u\)的成本比\(A(Bu)\)來得多,如果\(A\in\mathbb{R}^{m\timesm}\)是可逆的，使用高斯消元法找到\(A^{-1}\)的複雜度是\(O(m^3)\)。,如果\(A\in\mathbb{R}^{m\timesk}\)，\(B\in\mathbb{R}^{k\timesn}\)，那麼計算\(AB\)的複雜度是\(O(mn+k)\)。,C
"若\(f(x)=xe^{\frac{-x^2}{2}}\),\(f(x)\)的臨界點為何？","\(x=\sqrt{2},-\sqrt{2}\)","\(x=1,-1\)","\(x=\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\)",\(x=0\),B
"下列哪一個是下方方程式的解？

\[\begin{bmatrix}1&2&3&1\\2&2&1&2\\3&1&1&3\\1&2&3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\0&0&0&0\\9&10&11&12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-2&-3&-1\\-2&2&1&-2\\-3&1&1&3\\-1&-2&3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\0&0&0&0\\9&10&11&12\end{bmatrix}=?\]",\[\begin{bmatrix}2&4&6&8\\20&24&28&32\\64&72&80&88\\0&0&0&0\end{bmatrix}\],\[\begin{bmatrix}2&4&6&8\\20&24&28&32\\64&76&88&80\\0&0&0&0\end{bmatrix}\],\[\begin{bmatrix}2&4&6&8\\20&24&28&32\\64&72&88&80\\0&0&0&0\end{bmatrix}\],\[\begin{bmatrix}2&4&6&8\\20&24&28&32\\64&72&88&80\\0&0&4&0\end{bmatrix}\],A
求\(f(x)=\frac{1}{1-x}\)，在\(x=0\)的泰勒級數（TaylorSeries）為何？,\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^k}{k}\),\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k}\),\(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\),\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\),C
下列的複數函數中，何者是解析函數（Analyticfunction）？,"f(x,y)=x^2+y^2-2y+i(2xy-2x)","f(x,y)=x^2-y^2-2y+i(2xy+2x)","f(x,y)=x2-iy2","f(x,y)=x-iy",B
"向量a=[1,2,3]，向量b=[-4,-5,-6]，設兩向量之夾角為θ，則cosθ=？",\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\),\(\frac{16\sqrt{22}}{77}\),\(\frac{\sqrt{3}}{2}\),\(\frac{-16\sqrt{22}}{77}\),D
求定積分\(\int_{-2}^{-1}\frac{2x+4}{x^2-2}dx=?\),\(2\ln\frac{7}{6}-1\),\(2\ln\frac{9}{8}-1\),\(2\ln\frac{5}{4}-1\),\(2\ln\frac{3}{2}-1\),D
考慮聯立方程組Ax=0，其中A∈R^(8x10)。若此方程組的通解含有6個任意常數，則A的值域空間（rangespace）維度（dimension）為何？,6,3,8,4,D
下列函數何者可以執行線性轉換？,"T(x,y,w)=<4y-2x,y+3x,0,0>","T(x,y,u,v,w)=<u-v-w,w+u,z,0,1>","T(x,y)=<x-y,sin(x-y)>","T(x,y)=<x-y,x+y,2xy,2y,x-2y>",A
求\(f(x)=\frac{1}{1-x}\)，在\(x=0\)的泰勒級數（TaylorSeries）為何？,\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k}\),\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^k}{k}\),\(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\),\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\),C
\(f'(x)=\ln(1+x)\)，則\(f^{(2021)}(0)=?\),2020!,-2020!,2021!,-2021!,A
考慮聯立方程組Ax=0，其中A為R^{8x10}。若此方程組的通解含有6個任意常數，則A的值域空間（rangespace）維度（dimension）為何？,8,3,4,6,C
"利用拉普拉斯轉換（Laplacetransform）解下列二階微分方程式y""+5y'+6y=2δ(t-1)，y(0)=0，y'(0)=0，其中δ(t)為脈衝函數（unitimpulse），對於t>1，下列何者正確？",\(y=2e^{-2(t-1)}+2e^{-3(t-1)}\),\(y=2e^{2(t-1)}+2e^{-3(t-1)}\),\(y=2e^{-2(t-1)}-2e^{-3(t-1)}\),\(y=2e^{-2(t-1)}-2e^{3(t-1)}\),C
"令矩陣A=\[
\begin{bmatrix}
1&-3&4&-2&5\\
2&-6&9&-1&8\\
2&-6&9&-1&9\\
-1&3&-4&2&-5\\
\end{bmatrix}
\]，則下列選項中何者為矩陣A的秩數（rank）？",4,3,1,2,B
令矩陣\(A=\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\2&0&2&2\\0&1&0&3\end{array}\right]\)，則\(A^TA\)的秩(rank)為何？,3,4,2,1,C
"設A,B,C為同階矩陣，且ABC=E，則下列哪一個等式不一定成立(　)。",CAB=E,B^-1A^-1C^-1=E,BCA=E,C^-1A^-1B^-1=E。,D
\(\lim_{x\to11}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{x^2-121}=?\),\(\frac{1}{11\sqrt{11}}\),\(\frac{1}{22\sqrt{11}}\),不存在,\(\frac{1}{44\sqrt{11}}\),D
下列哪些是正確的？,如果\(A\in\mathbb{R}^{m\timesk}\)，\(B\in\mathbb{R}^{k\timesm}\)，\(u\in\mathbb{R}^{m\times1}\)且\(k\llm\)，那麼計算\((AB)u\)的成本比\(A(Bu)\)來得多,如果\(A\in\mathbb{R}^{m\timesk}\)，\(B\in\mathbb{R}^{k\timesn}\)，那麼計算\(AB\)的複雜度是\(O(mn+k)\)。,如果\(A\in\mathbb{R}^{m\timesm}\)是可逆的，使用高斯消元法找到\(A^{-1}\)的複雜度是\(O(m^3)\)。,"如果\(A,B\in\mathbb{R}^{m\timesk}\)，那麼計算\(A+B\)的複雜度是\(O(m+k)\)。",C
以下哪一個陳述是正確的：,如果矩陣A的列是線性獨立的，那麼Ax=b對每個b都有唯一解。,如果U和W是向量空間V的兩個子空間，則U和W的交集也是V的子空間。,如果兩個方陣具有相同的行列式，那麼它們是相似的。,"如果T是一個線性變換，且\(\{u_1,...,u_k\}\)是T的定義域中一組線性獨立的集合，那麼\(\{T(u_1),...,T(u_k)\}\)也是線性獨立的。""",B
"某元件使用壽命X（單位：小時），其機率密度函數（probabilitydensityfunction）為f(x)=0.005ekx,x≥0。則k值及元件平均使用壽命為何？",k=0.005，平均使用壽命∞小時,k=-0.005，平均使用壽命200小時,k=0.005，平均使用壽命200小時,k=-0.005，平均使用壽命∞小時,B
以下哪一個陳述是正確的：,"如果T是一個線性變換，且\(\{u_1,...,u_k\}\)是T的定義域中一組線性獨立的集合，那麼\(\{T(u_1),...,T(u_k)\}\)也是線性獨立的。""",如果U和W是向量空間V的兩個子空間，則U和W的交集也是V的子空間。,如果矩陣A的列是線性獨立的，那麼Ax=b對每個b都有唯一解。,如果兩個方陣具有相同的行列式，那麼它們是相似的。,B
設A為n階方陣，且滿足A^2=E則下列結論正確的是？,A≠E，則A+E不可逆,A≠E，則A+E可逆,A+E可逆,A+E可逆,A
"對於兩個\(n\timesn\)矩陣A和B，交換子被定義為\([A,B]=AB-BA\)。讓0表示\(n\timesn\)零矩陣。對於\(n\timesn\)矩陣A、B和C，以下哪個陳述是不正確的？","\([A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\).","\([A,[B,C]]+[B,[A,C]]+[C,[A,B]]=0\).","\([A,B+C]=[A,B]+[A,C]\).","\([A,B]=-[B,A]\).",B
"已知f(x,y)=x3+y3-12x-3y，則相對極大值發生在哪一點？","(2,1)","(-2,1)","(2,-1)","(-2,-1)",D
\(\mathbb{R}^n\)的一個子集如果集合中每一對不同的向量都是正交的，則稱為正交集。一個向量v在子空間W上的正交投影被定義為一個向量，\(w\inW\)使得\(v=w+z\)，其中\(z\inW^{\perp}\)。以下哪些陳述是不正確的？,對於\(\mathbb{R}^n\)的任何子空間W，\(\text{dim}W+\text{dim}W^{\perp}=n\),對於任何矩陣A，\((\text{Row}A)^{\perp}=\text{Null}A\)。,任何非零向量的正交集都是線性獨立的。,每個子空間都有一個正交基。,D
"如果\(u\)和\(v\)正交，則\(u\cdotv=0\)。\(S^\perp\)是\(\mathbb{R}^n\)中所有與\(S\)中每個向量都正交的向量集合。考慮集合
\(S=\left\{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3:x_1-x_2+x_3=0\right\}\)。選擇以下正確的陳述。",\(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\inS^\perp\),\(S\)是\(\mathbb{R}^3\)的一個子空間且\(\text{dim}S=1\),設\(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=w+z\)使得\(w\inS\)並且\(z\inS^\perp\)，則\(z=\begin{bmatrix}1/3\\-1/3\\1/3\end{bmatrix}\)。,\(\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\inS\),C
\(f'(x)=\ln(1+x)\)，則\(f^{(2021)}(0)=?\),2020!,-2021!,2021!,-2020!,A
"極座標方程為\(r=e^{\theta}\),\(1\leq\theta\leq2\)的面積為何？",\(\pi(e^2-e)\),\(\sqrt{2}(e^2-e)\),\(e^2-e\),\(2(e^2-e)\),B
"一微分方程式\(y''+4y=f(t)\)，其中\(f(t)=\begin{cases}0,&\text{for}0\leqt<4,\\3,&\text{for}t\geq4\end{cases}\)，其起始條件分別為\(y(0)=1\)及\(y'(0)=0\)，其解為\(y(t)=\cos(at)+b(c-\cos(d(t-4)))H(t-4)\)，其中H(t)是Heaviside或unitstep函數，試問下列何者不正確？",d=2,a=2,b=\frac{3}{2},c=1,C
"若\(g(x)=\frac{x^2+x+1}{x^3+x^2+x+1}\),則\(g'(1)=?\)",\(-\frac{3}{8}\),\(-\frac{1}{2}\),\(-\frac{5}{8}\),\(-\frac{3}{4}\),D
"求極座標\(r=e^{-2\theta}\),\(\ln2\leq\theta\leq\ln4\)圖曲長？",\(2\sqrt{5}\),\(6\sqrt{5}\),\(8\sqrt{5}\),\(4\sqrt{5}\),B
讓\(F(\mathbb{R})\)表示所有從R到R的函數的集合。選擇下列不是\(F(\mathbb{R})\)的子集合，它們是線性獨立的。,"\(\{t^2-2t+5,2t^2-5t+10,t^2\}\)","\(\{e^t,e^{2t},...,e^{nt},...\}\)","\(\{t,t\sint\}\)","\(\{\sint,\sin^2t,\cos^2t,1\}\)",D
求定積分\(\int_{0}^{1}xe^{-x}dx=?\),\(1+2e^{-1}\),\(1-2e^{-1}\),\(-1+2e^{-1}\),\(-1-2e^{-1}\),B
"\(x^7-xy+y^9=1\),則\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)}=?\)",\(-\frac{1}{2}\),\(-\frac{3}{5}\),\(-\frac{3}{7}\),\(-\frac{3}{4}\),D
給定兩向量u=[112]T及v=[2-11]T，下列選項何者錯誤？,此兩向量的外積（crossproduct）為[-3-33]T,此兩向量的夾角為π/3,此兩向量的內積（innerproduct）為3,此兩向量的範數（norm）乘積為6,A
下列方陣A，何者存在矩陣P滿足PTP=I，且PTAP為對角矩陣？,\(A=\begin{bmatrix}-1&1&-3\\1&0&2\\2&-1&1\end{bmatrix}\),\(A=\begin{bmatrix}3&-2&1\\-2&1&0\\1&0&4\end{bmatrix}\),\(A=\begin{bmatrix}3&2&4\\-3&1&5\\0&-1&2\end{bmatrix}\),\(A=\begin{bmatrix}3&0&6\\0&1&0\\1&0&5\end{bmatrix}\),B
"積分因子方程式\(\frac{dy}{dx}=a(x)b(y),a(x)b(y)\neq0\)•若是上述方程已知\(x,y\)這兩個變數形式是完整的微分方程(exact)微分方程式，則\(\mu\)有列何者？",\(\mu=-b(y)\),\(\mu=\frac{1}{b(y)}\),\(\mu=a(x)\),\(\mu=\frac{1}{a(x)}\),B
哪些陳述是正確的？,對於前一個問題中相同的設定，系統\(x_1u_1+x_2u_2=v\)的最小平方法解是\(x_1=\frac{11}{7}\)和\(x_2=-\frac{4}{7}\)。,"設V為一個內積空間，\(\langleu_1,u_2\rangle\)表示任意兩個向量\(u_1,u_2\)在V中的內積。如果\(B=\{v_1,v_2,...,v_n\}\)是V的一組有序基底，那麼對於V中的任何向量u，u的座標可以通過
\[[u]_B=\left[\langleu,v_1\rangle,\langleu,v_2\rangle,...,\langleu,v_n\rangle\right]^T\]來給出","如果\(B=\{v_1,v_2,...,v_n\}\)是V的一組非有序基底，則對於V中的任何向量u，無法通過以下方法來確定u的座標","設\(u_1=(-1,2,1)\)，\(u_2=(1,1,-2)\)，\(v=(10,5,10)\)，且\(S=\text{span}(u_1,u_2)\)。向量v與集合S之間的（最短）距離是\(\frac{17\sqrt{30}}{7}\)。",A
求心臟線(cardioid)r＝2(1+cosθ)的面積？,4π,6π,8π,2π,B
"\(T\)是\(R^2\)到\(R^2\)的線性變換，\(T\left(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\),\(T\left(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}\),\(T\left(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}\)下列何者正確？",d=2,b=4,a=5,c=3,A
"二階常微分方程式(x-2)^2y""-5(x-2)y'+8y=0的解之型式為何？",y=c1(x-2)^2+c2(x-2)^6,y=c1(x-2)^2+c2(x-2)^4,y=c1(x-2)^3+c2(x-2)^5,y=c1(x-2)^3+c2(x-2)^4,B
求極限\(\lim_{x\to0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}=?\),2,0,4,-1,B
給定一複變函數(complexfunction)f(z)=\frac{z+i}{sin(z)}，則此函數在z=0的殘餘數(residue)為何？,1,-i,0,i,D
"\(f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^4-1}{x^2-1},&x\neq\pm1\\
a,&x=1\\
b,&x=-1
\end{array}
\right.\)，若\(f(x)\)在\(x=\pm1\)處連續，則\(\frac{a}{b}\)的值為何？",2,3,4,1,D
"設A,B,C為同階矩陣，且ABC=E，則下列哪一個等式不一定成立(　)。",CAB=E,B^-1A^-1C^-1=E,BCA=E,C^-1A^-1B^-1=E。,D
"設A=
\(\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\\
\end{bmatrix}\),
B=
\(\begin{bmatrix}
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}+ka_{33}&a_{33}\\
a_{11}&a_{12}+ka_{13}&a_{13}\\
\end{bmatrix}\),
P=
\(\begin{bmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0\\
\end{bmatrix}\),
\(P_2=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&k&1\\
\end{bmatrix}\),
則A=().",\(P_1^{-1}BP_2^{-1}\),\(P_2^{-1}BP_1^{-1}\),\(P_1^{-1}P_2^{-1}B\),\(BP_1^{-1}P_2^{-1}\).,A
"求函數f(x)=4x3-8x2+7x-2在[0,1]中，滿足均值定理的c為何？即滿足等式\(f''(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}\)的\(c\)值為？",0,\(\frac{2}{3}\),\(\frac{1}{3}\),1,C
給定\(Z=X+iY=(1-i)^{20}=re^{i\theta}\)，則下列敍述何者錯誤？,\(\theta=0\),\(Z=-2^{10}\),\(Y=0\),\(r=2^{10}\),A
"設\(\bm{A}\)是\(m\timesn\)矩陣，\(\bm{A}^{\mathrm{T}}\)是\(\bm{A}\)的轉置，若\(\bm{\eta}_1,\bm{\eta}_2,\cdots,\bm{\eta}_t\)是齊次方程組\(\bm{A}^{\mathrm{T}}\bm{x}=\bm{0}\)的基礎解系，則秩\(r(\bm{A})=\)",\(m-t\);,\(n-m\).,\(t\);,\(n-t\);,A
"T為\(R^2\)到\(R^3\)的線性變換，已知\(T(u+4v)=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\),\(T(2u+3v)=\begin{bmatrix}0\\-1\\3\end{bmatrix}\),\(T(u)\)=?",\(\begin{bmatrix}3\\7\\12\end{bmatrix}\),\(\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-3\\-7\\12\end{bmatrix}\),\(\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3\\7\\12\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}-3\\-7\\12\end{bmatrix}\),B
\(\mathbb{R}^n\)的一個子集如果集合中每一對不同的向量都是正交的，則稱為正交集。一個向量v在子空間W上的正交投影被定義為一個向量，\(w\inW\)使得\(v=w+z\)，其中\(z\inW^{\perp}\)。以下哪些陳述是不正確的？,對於\(\mathbb{R}^n\)的任何子空間W，\(\text{dim}W+\text{dim}W^{\perp}=n\),對於任何矩陣A，\((\text{Row}A)^{\perp}=\text{Null}A\)。,任何非零向量的正交集都是線性獨立的。,每個子空間都有一個正交基。,D
"假設\(F(x)=\int_{4}^{x^2}\sqrt{t^2+8}dt\),\(F'(-1)=?\)",\(-6\),\(6\),\(-3\),\(3\),A
函數\(f(x)=3x-(x-1)^{\frac{3}{2}}\)最大值為何？,7,5,1,3,A
"令矩陣\(A=\begin{bmatrix}-3&4&1\\0&4&1\\0&0&-1\end{bmatrix}\),則\(A^2\)的特徵值(eigenvalues)不是下列那一個選項？",9,1,16,4,D
令f(t)=cos(πt)δ(t-1)，其中δ(t)為脈衝函數(impulsefunction)，f(t)的拉氏轉換(Laplacetransform)為何？,-e^(-s),e^(-s),-e^(s),0,A
"一平行六面體(parallelepiped)的三個不互相平行的邊緣向量分別是[2,0,3]、[0,4,1]、[5,6,0]，試求此一平行六面體的體積。",72,12,36,144,A
我們決定使用一個矩陣來儲存所有網頁連結。如果網頁i有n個外部連結，而j是它連結的其中一個網站，那麼我們將ij元素設為1/n。否則，如果n=0，則ij元素為零。以下哪些是不正確的？,這個矩陣的秩>(總網頁數-1),每行的和為0或1,零行是可能的，因為有些頁面沒有外部連結,零列是可能的，因為有些頁面從未被連結,A
"設n(n≥3)可逆矩陣A的伴隨矩陣為A*，常數k≠0,則(kA)*等同於().",k^-1A*.,kA*,k^-1A*,knA*,C
"假設矩陣

\[\begin{bmatrix}1&2&3&1&b\\2&5&3&a&0\\1&0&8&6&c\end{bmatrix}\]

可以被轉換成簡化行階梯形式

\[\begin{bmatrix}1&0&0&-2&0\\0&1&0&d&-1\\0&0&1&1&e\end{bmatrix}\]

以下哪些等式是正確的？",\(a=1\),\(e=2\),\(b=3\),\(d=-1\),C
由曲線y=x2與直線y=x+2所圍封閉區域之面積為何？,7/2,5/2,11/2,9/2,D
"假設矩陣

\[\begin{bmatrix}1&2&3&1&b\\2&5&3&a&0\\1&0&8&6&c\end{bmatrix}\]

可以被轉換成簡化行階梯形式

\[\begin{bmatrix}1&0&0&-2&0\\0&1&0&d&-1\\0&0&1&1&e\end{bmatrix}\]

以下哪些等式是正確的？",\(a=1\),\(e=2\),\(b=3\),\(d=-1\),C
"求線段\(y=x\),\(0\leqx\leq1\)線x軸旋轉所成圓的表面積？",\(\sqrt{2\pi}\),\(2\sqrt{2\pi}\),\(\frac{3\sqrt{2\pi}}{2}\),\(\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\),A
"設\(A\in\mathbb{R}^{n\timesn}\),\(U,V\in\mathbb{R}^{n\timesk}\).\((A+UV^T)^{-1}\)是什麼？假設\(A\)和\((I+V^TA^{-1}U)\)是可逆的。",\(A^{-1}-A^{-1}U(I+V^TA^{-1}U)^{-1}UV^TA^{-1}\),\(A^{-1}U(I+V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}\),\(A^{-1}-A^{-1}(I+V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}\),\(A^{-1}-A^{-1}U(I+V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}\),D
"假設\(x^y=y^x\),\((x,y>0)\),求\(\frac{dy}{dx}=?\)",\(\frac{xy\lnx-y^2}{xy\lny-x^2}\),\(\frac{xy\lny-y^2}{xy\lnx-x^2}\),\(\frac{xy\lnx-x^2}{xy\lny-y^2}\),\(\frac{xy\lny-x^2}{xy\lnx-y^2}\),B
請計極限\(\lim_{x\to0^+}\left(-\frac{1}{2}x^2-x^2\lnx-\frac{1}{2}\right)=?\),\(-\frac{1}{4}\),-1,\(\frac{1}{2}\),-2,C
求二重積分\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}e^{x^2}dxdy=\),\(\frac{1}{e}-1\),\(e-1\),\(\frac{1}{e}+1\),\(e+1\),B
設X為一具有常態分佈(normaldistribution)的連續隨機變數，其平均值(mean)為1，標準差(standarddeviation)為2。若將其標準化為平均值為0，標準差為1的標準常態分佈(standardnormaldistribution)，對應的隨機變數為Z。則X和Z的關係式為何？,Z=(1/2)(X-1),Z=(1/4)(X-1)^2,Z=(1/2)X-1,Z=X-1,A
"設g(x,y)=\frac{\sinx}{e^x+y^2}\),則g(0,1)=?",\(-\frac{1}{4}\),\(-\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{4}\),\(\frac{1}{2}\),D
"已知\(f(x)=x+\frac{a}{x-1}\),\((a>0)\)之相對極小值為\(3\),則\(a\)為？",2,4,3,1,D
"求微分方程式\(\frac{d^2y}{dx^2}+\cos(x)\frac{dy}{dx}+\sin(x)y=1-x^3\),\(y(0)=1\),\(\frac{dy}{dx}(0)=0\)若此方程式的級數解可表示為，則c3為何？",\(C_3=\frac{1}{6}\),\(C_3=\frac{1}{3}\),\(C_3=-\frac{1}{3}\),\(C_3=-\frac{1}{6}\),C
"已知\(f(x)=x^4-x^2\)，\(x\in[0,1]\)，則\(f(x)\)在\([0，1]\)中最小值為何？",\(-\frac{1}{4}\),\(-\frac{1}{3}\),\(-\frac{1}{5}\),\(-\frac{1}{2}\),A
下列矩陣何者是不可被「對角線化（diagonalizable）」？,\(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}1&1\\2&1\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\),A
"假設\(x^y=y^x\),\((x,y>0)\),求\(\frac{dy}{dx}=?\)",\(\frac{xy\lnx-y^2}{xy\lny-x^2}\),\(\frac{xy\lny-y^2}{xy\lnx-x^2}\),\(\frac{xy\lny-x^2}{xy\lnx-y^2}\),\(\frac{xy\lnx-x^2}{xy\lny-y^2}\),B
"設g(x,y)=\frac{\sinx}{e^x+y^2}\),則g(0,1)=?",\(-\frac{1}{4}\),\(\frac{1}{4}\),\(-\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{2}\),D
"已知\(f(x,y)=\sinx\cosy\)，在\(\left(\frac{\pi}{2},-\pi\right)\)附近，則\(f(x,y)\)的最高點，則下列何者為真？","\(f\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)為相對極大值","\(f(x,y)\)無最小值","\(f\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)為相對極小值","\(\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)是\(f(x,y)\)的鞍點",C
求心臟線(cardioid)r＝2(1+cosθ)的面積？,4π,6π,8π,2π,B
"令矩陣A=\[
\begin{bmatrix}
1&-3&4&-2&5\\
2&-6&9&-1&8\\
2&-6&9&-1&9\\
-1&3&-4&2&-5\\
\end{bmatrix}
\]，則下列選項中何者為矩陣A的秩數（rank）？",2,3,1,4,B
"已知x≠0時，\(f(x)=x^{10}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\),\(f(x)\)在\(x=0\)連續，則\(f(0)=?\)？",-1,\(\frac{1}{10}\),0,1,C
"設\(\bm{A},\bm{B}\)都是四階非零矩陣，且\(\bm{AB}=\bm{O}\)，則必有：",若\(r(\bm{A})=4\)，則\(r(\bm{B})=1\),若\(r(\bm{A})=1\)，則\(r(\bm{B})=3\)；,若\(r(\bm{A})=2\)，則\(r(\bm{B})=2\)；,若\(r(\bm{A})=3\)，則\(r(\bm{B})=1\)；,D
\(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\sqrt{1+t^{110}}dt=?\),2x√(1+x^110),√(1+x^220),√(1+x^110),2x√(1+x^220),D
\(\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=?\),\(2e^{\sqrt{x}}+C\),\(\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}+C\),\(e^{\sqrt{x}}+C\),\(2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}+C\),A
"已知\(f(x)=x+\frac{a}{x-1}\),\((a>0)\)之相對極小值為\(3\),則\(a\)為？",3,2,4,1,D
下列何者不是「可對角化的（Diagonalizable）」矩陣？,\(\begin{bmatrix}-3&-2\\4&3\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}1&4\\2&3\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}1&1\\4&1\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}1&1\\-4&-3\end{bmatrix}\),D
矩陣\(A=\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\8&1&0&0\\-4&-8&1&0\\5&-4&8&-1\end{bmatrix}\)和矩陣\(B=\begin{bmatrix}-1&1&-1&-3\\0&2&2&-1\\0&0&-3&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}\)，則此二矩陣的乘積\(AB\)之行列式\(\text{Determinant}\)為何？,det(AB)=12,det(AB)=24,det(AB)=-24,det(AB)=-12,B
"設A=
\(\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\\
\end{bmatrix}\),
B=
\(\begin{bmatrix}
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}+ka_{33}&a_{33}\\
a_{11}&a_{12}+ka_{13}&a_{13}\\
\end{bmatrix}\),
P=
\(\begin{bmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0\\
\end{bmatrix}\),
\(P_2=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&k&1\\
\end{bmatrix}\),
則A=().",\(P_1^{-1}BP_2^{-1}\),\(P_2^{-1}BP_1^{-1}\),\(P_1^{-1}P_2^{-1}B\),\(BP_1^{-1}P_2^{-1}\).,A
讓\(F(\mathbb{R})\)表示所有從R到R的函數的集合。選擇下列不是\(F(\mathbb{R})\)的子集合，它們是線性獨立的。,"\(\{e^t,e^{2t},...,e^{nt},...\}\)","\(\{t^2-2t+5,2t^2-5t+10,t^2\}\)","\(\{t,t\sint\}\)","\(\{\sint,\sin^2t,\cos^2t,1\}\)",D
"令A,B均為n階方陣，則下列何者恆成立？",det(AB)=det(BA),AB=BA,det(A+B)=det(A)+det(B),(AB)T=ATBT,A
"\(f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^4-1}{x^2-1},&x\neq\pm1\\
a,&x=1\\
b,&x=-1
\end{array}
\right.\)，若\(f(x)\)在\(x=\pm1\)處連續，則\(\frac{a}{b}\)的值為何？",2,4,3,1,D
"已知\(f(x,y)=\sinx\cosy\)，在\(\left(\frac{\pi}{2},-\pi\right)\)附近，則\(f(x,y)\)的最高點，則下列何者為真？","\(f\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)為相對極大值","\(f(x,y)\)無最小值","\(f\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)為相對極小值","\(\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)是\(f(x,y)\)的鞍點",C
"求極座標\(r=e^{-2\theta}\),\(\ln2\leq\theta\leq\ln4\)圖曲長？",\(2\sqrt{5}\),\(6\sqrt{5}\),\(8\sqrt{5}\),\(4\sqrt{5}\),B
"設

\[\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&7\\3&5&3\end{bmatrix}\]

等於

\[\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{bmatrix}\]

以下哪些是正確的？",\(u_{11}=1\),\(u_{12}=2\),\(l_{21}=2\),以上方程式不可能成立，因此無法得到\(u_{11}\)、\(u_{12}\)，等等。,D
下列哪些陳述是正確的？,對於一個\(m\timesn\)矩陣A，A的列向量線性獨立，當且僅當A的行向量線性獨立。,一個\(m\timesn\)矩陣A定義了一個從\(\mathbb{R}^n\)到\(\mathbb{R}^m\)的線性變換\(T_A\)。\(T_A\)是滿射，當且僅當A的秩\(rankA=m\)。,集合\(V=\left\{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3:3x_1+2x_2-x_3=1\right\}\)是\(\mathbb{R}^3\)的子空間。,對於一個\(m\timesn\)矩陣A，A的零空間(nullity)等於其轉置\(A^T\)的零空間。,B
"機率質量函數\(P_X(x)\)為\[P_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{4},&x=0\\\frac{1}{2},&x=1\\\frac{1}{4},&x=2\\0,&其他\end{cases}\]若\(X\)期望值為\(a\)和變異數為\(b\)，則下列何者正確？",b=1,b=-\frac{1}{2},a=2,a=-\frac{1}{2},B
設\(\bm{A}\)為三階可逆矩陣，將\(\bm{A}\)的第\(1\)行乘以\(-2\)得到矩陣\(\bm{B}\)。,\((C)\bm{A}^{-1}\)的第\(1\)行乘以\(2\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((A)\bm{A}^{-1}\)的第\(1\)行乘以\(-2\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((B)\bm{A}^{-1}\)的第一列乘以\(-\cfrac{1}{2}\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((D)\bm{A}^{-1}\)的第一列乘以\(\cfrac{1}{2}\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)。,C
設\(\bm{A}\)為三階可逆矩陣，將\(\bm{A}\)的第\(1\)行乘以\(-2\)得到矩陣\(\bm{B}\)。,\((A)\bm{A}^{-1}\)的第\(1\)行乘以\(-2\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((D)\bm{A}^{-1}\)的第一列乘以\(\cfrac{1}{2}\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)。,\((B)\bm{A}^{-1}\)的第一列乘以\(-\cfrac{1}{2}\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((C)\bm{A}^{-1}\)的第\(1\)行乘以\(2\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,C
"設A,BA,B均階矩陣，且AB=A+B，則(1)若A可逆，則B可逆；(2)若B可逆，則A+B可逆；(3)若B可逆，則A可逆；(4)A-E恆可逆。 上述命題中，正確的命題共有",2個,4個,3個,1個,B
"已知\(f(x,y)=\sinx\cosy\)，在\(\left(\frac{\pi}{2},-\pi\right)\)附近，則\(f(x,y)\)的最高點，則下列何者為真？","\(f(x,y)\)無最小值","\(f\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)為相對極大值","\(f\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)為相對極小值","\(\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)是\(f(x,y)\)的鞍點",C
四個硬幣先後向上投擲後落地，會有十六種不同結果。定義一隨機變數X，X等於每一個結果中硬幣人像朝上的個數，試問下列何者不正確？,X=2的機率，即P(X=2)=0.375,X的變異數是1.5,X=3的機率，即P(X=3)=0.25,X的平均值是2,B
求\(f(x)=3^x\)在\(x=0\)的泰勒級數為何？,\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{3n}\),\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln3)^n}{n!}x^n\),\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(3x)^n\),\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\ln3}{n!}x^n\),B
求定積分\(\int_{0}^{1}xe^{-x}dx=?\),\(-1+2e^{-1}\),\(1-2e^{-1}\),\(-1-2e^{-1}\),\(1+2e^{-1}\),B
求由\(y=\sqrt{x}\)，\(y=2\)和\(x=0\)所圍區域繞x軸旋轉所得之旋轉體體積？,\(\frac{32\pi}{5}\),\(\frac{32\pi}{7}\),\(\frac{32\pi}{9}\),\(\frac{32\pi}{11}\),A
\(A=\begin{bmatrix}-1&0&3\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\)求在可逆矩陣P下對應對角化為\(P^{-1}AP=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\)•則P的第一行行向量為何？,\[\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\],\[\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\],\[\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}\],\[\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}\],C
下列那一個矩陣具有反矩陣（Inversematrix）？,\(\begin{bmatrix}3&0&2\\0&3&3\\0&3&3\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}3&0&-2\\0&-3&3\\0&3&-3\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}3&0&-2\\0&3&3\\0&3&-3\end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix}0&0&2\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}\),C
"若\(g(x)=\frac{x^2+x+1}{x^3+x^2+x+1}\),則\(g'(1)=?\)",\(-\frac{5}{8}\),\(-\frac{3}{8}\),\(-\frac{1}{2}\),\(-\frac{3}{4}\),D
"設A,BA,B均階矩陣，且AB=A+B，則(1)若A可逆，則B可逆；(2)若B可逆，則A+B可逆；(3)若B可逆，則A可逆；(4)A-E恆可逆。 上述命題中，正確的命題共有",1個,4個,3個,2個,B
\(\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+11x}-x)=?\),\(37\),\(\frac{111}{5}\),\(\frac{11}{2}\),\(\frac{111}{4}\),C
給定兩向量u=[2-13]T及v=[4-12]T，分解u為u1+u2，其中u1為u在v的垂直投影（orthogonalprojection），則下列選項何者錯誤？,向量\(u_1=\begin{bmatrix}20/7\\-5/7\\10/7\end{bmatrix}\),\(u_2\)的範數(norm)\(||u_2||=\sqrt{161/7}\),向量\(u_1\)和\(u_2\)的內積(innerproduct)為零,向量\(u_2\)和\(v\)的外積(crossproduct)為零向量,D
"若某曲線的斜率為4x且通過點(2,9)，求其曲線方程式？",\(y=\frac{1}{4}x^2+8\),\(y=\frac{1}{2}x^2+7\),\(y=2x^2+1\),\(y=4x^2-7\),C
"一座山距離海平面的高度可用z(x,y)=3500-2x2-3y2來表示，試求出在P(-3,2)這點朝上坡最陡峭的方向？","[12,12]","[-12,12]","[-12,-12]","[12,-12]",D
"假設\(Q=[q_1\q_2\q_3]=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&-1\end{bmatrix}\)。設\(S_{12}=\text{span}(q_1,q_2)\)，並且\(S_{23}=\text{span}(q_2,q_3)\)。哪些陳述是真的？",\(Q\)的行向量形成行空間的一個基。,\(\text{span}(q_1)\)是子空間\(S_{23}\)的正交補空間。,兩個子空間\(S_{12}\)和\(S_{23}\)的交集形成一個向量空間。,兩個子空間\(S_{12}\)和\(S_{23}\)的聯集形成一個向量空間。,C
\(\mathbb{R}^2\)的仿射變換是一個形式為\(T(x)=Ax+b\)的函數\(T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)，其中\(A\)是一個可逆的\(2\times2\)矩陣，\(b\)屬於\(\mathbb{R}^2\)。下列哪些陳述不是正確的？,\(T^{-1}(x)=A^{-1}x+A^{-1}b\),仿射變換將平行直線映射為平行直線,仿射變換將直線映射為直線,沒有任何仿射變換能將直線映射成圓形,A
"求線段\(y=x\),\(0\leqx\leq1\)線x軸旋轉所成圓的表面積？",\(\sqrt{2\pi}\),\(\frac{3\sqrt{2\pi}}{2}\),\(\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\),\(2\sqrt{2\pi}\),A
"已知x≠0時，\(f(x)=x^{10}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\),\(f(x)\)在\(x=0\)連續，則\(f(0)=?\)？",\(\frac{1}{10}\),1,0,-1,C
下列哪些陳述是正確的？,對於一個\(m\timesn\)矩陣A，A的零空間(nullity)等於其轉置\(A^T\)的零空間。,一個\(m\timesn\)矩陣A定義了一個從\(\mathbb{R}^n\)到\(\mathbb{R}^m\)的線性變換\(T_A\)。\(T_A\)是滿射，當且僅當A的秩\(rankA=m\)。,對於一個\(m\timesn\)矩陣A，A的列向量線性獨立，當且僅當A的行向量線性獨立。,集合\(V=\left\{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3:3x_1+2x_2-x_3=1\right\}\)是\(\mathbb{R}^3\)的子空間。,B
下列矩陣中，不能相似對角化的是,\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&-1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&-1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\1&2&2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&0&1\\3&1&1\end{pmatrix}\),B
令矩陣\(X=\left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0\\2&-1&-1&1\\0&0&-9&9\\3&0&-5&5\end{array}\right]\)，下列何者不是\(X\)的特徵值(eigenvalue)？,1,-4,-1,2,D
我們決定使用一個矩陣來儲存所有網頁連結。如果網頁i有n個外部連結，而j是它連結的其中一個網站，那麼我們將ij元素設為1/n。否則，如果n=0，則ij元素為零。以下哪些是不正確的？,這個矩陣的秩>(總網頁數-1),每行的和為0或1,零行是可能的，因為有些頁面沒有外部連結,零列是可能的，因為有些頁面從未被連結,A
令\(A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right]\)，則矩陣\(e^A\)的像空間(imagespace)維度為何？,1,3,4,2,B
"設

\[\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&7\\3&5&3\end{bmatrix}\]

等於

\[\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{bmatrix}\]

以下哪些是正確的？",\(u_{11}=1\),\(u_{12}=2\),\(l_{21}=2\),以上方程式不可能成立，因此無法得到\(u_{11}\)、\(u_{12}\)，等等。,D
考慮聯立方程組Ax=0，其中A為R^{8x10}。若此方程組的通解含有6個任意常數，則A的值域空間（rangespace）維度（dimension）為何？,6,3,4,8,C
這個無窮級數\(f(z)=(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\ldots)+(1+\frac{z}{3}+\frac{z^2}{9}+\frac{z^3}{27}+\frac{z^4}{81}+\ldots)\)的收斂域(Regionofconvergence)為何？,\(|z|>1\)或\(|z|<\frac{1}{3}\),\(|z|>3\)或\(|z|<1\),\frac{1}{3}\leq|z|<1,1<|z|<3,D
"設\(A\in\mathbb{R}^{n\timesn}\),\(U,V\in\mathbb{R}^{n\timesk}\).\((A+UV^T)^{-1}\)是什麼？假設\(A\)和\((I+V^TA^{-1}U)\)是可逆的。",\(A^{-1}-A^{-1}U(I+V^TA^{-1}U)^{-1}UV^TA^{-1}\),\(A^{-1}-A^{-1}(I+V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}\),\(A^{-1}U(I+V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}\),\(A^{-1}-A^{-1}U(I+V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}\),D
哪些陳述是正確的？,對於前一個問題中相同的設定，系統\(x_1u_1+x_2u_2=v\)的最小平方法解是\(x_1=\frac{11}{7}\)和\(x_2=-\frac{4}{7}\)。,"如果\(B=\{v_1,v_2,...,v_n\}\)是V的一組非有序基底，則對於V中的任何向量u，無法通過以下方法來確定u的座標","設V為一個內積空間，\(\langleu_1,u_2\rangle\)表示任意兩個向量\(u_1,u_2\)在V中的內積。如果\(B=\{v_1,v_2,...,v_n\}\)是V的一組有序基底，那麼對於V中的任何向量u，u的座標可以通過
\[[u]_B=\left[\langleu,v_1\rangle,\langleu,v_2\rangle,...,\langleu,v_n\rangle\right]^T\]來給出","設\(u_1=(-1,2,1)\)，\(u_2=(1,1,-2)\)，\(v=(10,5,10)\)，且\(S=\text{span}(u_1,u_2)\)。向量v與集合S之間的（最短）距離是\(\frac{17\sqrt{30}}{7}\)。",A
\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x^{1/111}}=?\),\(0\),\(\frac{1}{111}\),\(111\),\(\text{不存在}\),A
設\(\bm{A}\)為三階可逆矩陣，將\(\bm{A}\)的第\(1\)行乘以\(-2\)得到矩陣\(\bm{B}\)。,\((C)\bm{A}^{-1}\)的第\(1\)行乘以\(2\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((A)\bm{A}^{-1}\)的第\(1\)行乘以\(-2\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((B)\bm{A}^{-1}\)的第一列乘以\(-\cfrac{1}{2}\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)；,\((D)\bm{A}^{-1}\)的第一列乘以\(\cfrac{1}{2}\)得到矩陣\(\bm{B}^{-1}\)。,C
n階方陣A與B等價，則,|A|≠|B|,"諾|A|≠0,則|B|≠0",|A|=|B|,|A|=-|B|,B