{"_id": "200001", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nB : BilinForm R M\nf g : Module.End R M\nhf : f ∈ skewAdjointSubmodule B\nhg : g ∈ skewAdjointSubmodule B\n⊢ ⁅f, g⁆ ∈ skewAdjointSubmodule B"} {"_id": "200002", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nB : BilinForm R M\nf g : Module.End R M\nhf : IsSkewAdjoint B f\nhg : IsSkewAdjoint B g\n⊢ IsSkewAdjoint B ⁅f, g⁆"} {"_id": "200003", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nB : BilinForm R M\nf g : Module.End R M\nhf : IsSkewAdjoint B f\nhg : IsSkewAdjoint B g\nhfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)\n⊢ IsSkewAdjoint B ⁅f, g⁆"} {"_id": "200004", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nB : BilinForm R M\nf g : Module.End R M\nhf : IsSkewAdjoint B f\nhg : IsSkewAdjoint B g\nhfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)\nhgf : IsAdjointPair B B (g * f) (f * g)\n⊢ IsSkewAdjoint B ⁅f, g⁆"} {"_id": "200007", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nB : BilinForm R M\nf g : Module.End R M\nhf : IsSkewAdjoint B f\nhg : IsSkewAdjoint B g\n⊢ IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)"} {"_id": "200009", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nB : BilinForm R M\nf g : Module.End R M\nhf : IsSkewAdjoint B f\nhg : IsSkewAdjoint B g\nhfg : IsAdjointPair B B (f * g) (g * f)\n⊢ IsAdjointPair B B (g * f) (f * g)"} {"_id": "200011", "text": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝² : S.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ S₁.homologyπ ≫ homologyMap φ = cyclesMap φ ≫ S₂.homologyπ"} {"_id": "200012", "text": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝² : S.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ S₁.homologyπ ≫ S₁.leftHomologyIso.inv ≫ leftHomologyMap φ = cyclesMap φ ≫ S₂.leftHomologyπ"} {"_id": "200013", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nα : L → R\nβ : Weight R L M\nhα : α ≠ 0\n⊢ weightSpace M (-α + ⇑(chainBot α β)) = ⊥"} {"_id": "200016", "text": "J : Type v\ninst✝ : SmallCategory J\nF : J ⥤ MonCat\nj j' : J\nf : j ⟶ j'\nx : ↑(F.obj j)\n⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x"} {"_id": "200019", "text": "case h\nα : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : NFA α σ\nM : DFA α σ\nx : List α\n⊢ x ∈ M.toNFA.accepts ↔ x ∈ M.accepts"} {"_id": "200023", "text": "case h.mpr\nα : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : NFA α σ\nM : DFA α σ\nx : List α\n⊢ x ∈ M.accepts → ∃ S ∈ M.toNFA.accept, S ∈ {M.evalFrom M.start x}"} {"_id": "200024", "text": "R : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CharP R 2\nx y : R\n⊢ (x + y) * (x + y) = x * x + y * y"} {"_id": "200026", "text": "case h.h.h\nα : Type u_1\nas : List (Option α)\nas' : List α\n⊢ as.fillNones as' = as.fillNonesTR as'"} {"_id": "200027", "text": "case h.h.h\nα : Type u_1\nas : List (Option α)\nas' : List α\n⊢ as.fillNones as' = fillNonesTR.go as as' #[]"} {"_id": "200030", "text": "α : Type u_1\nas✝ : List (Option α)\nas' : List α\nacc : Array α\nas : List (Option α)\n⊢ fillNonesTR.go (none :: as) [] acc = acc.data ++ (none :: as).fillNones []"} {"_id": "200032", "text": "a b c p q : ℚ\n⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a"} {"_id": "200034", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200035", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200036", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\na' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R\niDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nhxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)\ns_eq' :\n ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)),\n const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200037", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\na' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R\niDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nhxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)\ns_eq' :\n ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)),\n const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s\nt : Finset ι\nht_cover' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h' i))\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200038", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\na' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R\niDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nhxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)\ns_eq' :\n ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)),\n const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s\nt : Finset ι\nht_cover' : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200040", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nht_cover : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200041", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i, ↑(⨆ (_ : i ∈ t), PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200042", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nhn : f ^ n ∈ Ideal.span (h '' ↑t)\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200043", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nhn : f ^ n * f ∈ Ideal.span (h '' ↑t)\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200045", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : (Finsupp.total ι R R h) b = f ^ (n + 1)\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200047", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\n⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s"} {"_id": "200048", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\n⊢ (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) (∑ i ∈ t, b i * a i) ⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) = s"} {"_id": "200049", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\n⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = s"} {"_id": "200050", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\n⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = s"} {"_id": "200053", "text": "case h.h.mk\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\n⊢ ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) (const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯) =\n ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s"} {"_id": "200055", "text": "case h.h.mk\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\n⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ =\n const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯"} {"_id": "200056", "text": "case h.h.mk.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\n⊢ (∑ i ∈ t, b i * a i) * h i = a i * f ^ (n + 1)"} {"_id": "200057", "text": "case h.h.mk.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\n⊢ ∑ i_1 ∈ t, b i_1 * a i_1 * h i = ∑ i_1 ∈ t, a i * (b i_1 * h i_1)"} {"_id": "200059", "text": "case h.h.mk.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ b j * a j * h i = a i * (b j * h j)"} {"_id": "200061", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\na' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R\niDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nhxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)\ns_eq' :\n ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)),\n const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s\nx : PrimeSpectrum R\nhx : x ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)\n⊢ x ∈ ⋃ i, (fun i => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h' i))) i"} {"_id": "200064", "text": "case h.e'_4.h.h.e'_3.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i, ↑(⨆ (_ : i ∈ t), PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\ne_1✝¹ : Set (PrimeSpectrum R) = Set ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ne_1✝ : PrimeSpectrum R = ↑(PrimeSpectrum.Top R)\n⊢ (fun i => ⋃ (_ : i ∈ t), ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))) = fun i => ↑(⨆ (_ : i ∈ t), PrimeSpectrum.basicOpen (h i))"} {"_id": "200065", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i, ↑(⨆ (_ : i ∈ t), PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\ne_1✝¹ : Set (PrimeSpectrum R) = Set ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ne_1✝ : PrimeSpectrum R = ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nj : ι\n⊢ ⋃ (_ : j ∈ t), ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h j)) = ↑(⨆ (_ : j ∈ t), PrimeSpectrum.basicOpen (h j))"} {"_id": "200066", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\n⊢ f ∈ (Ideal.span (h '' ↑t)).radical"} {"_id": "200067", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ ⊆ ⋃ i ∈ t, (PrimeSpectrum.zeroLocus {h i})ᶜ\n⊢ f ∈ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (PrimeSpectrum.zeroLocus (h '' ↑t))"} {"_id": "200068", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : (⋃ i ∈ t, (PrimeSpectrum.zeroLocus {h i})ᶜ)ᶜ ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}\n⊢ f ∈ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (PrimeSpectrum.zeroLocus (h '' ↑t))"} {"_id": "200069", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : PrimeSpectrum.zeroLocus (h '' ↑t) ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}\n⊢ f ∈ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (PrimeSpectrum.zeroLocus (h '' ↑t))"} {"_id": "200070", "text": "case a\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : PrimeSpectrum.zeroLocus (h '' ↑t) ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}\n⊢ f ∈ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})"} {"_id": "200072", "text": "case h.e'_3\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\n⊢ (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ = ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)"} {"_id": "200073", "text": "case h.e'_4.h.e'_3.h.f\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nx✝¹ : ι\nx✝ : x✝¹ ∈ t\n⊢ (PrimeSpectrum.zeroLocus {h x✝¹})ᶜ = ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h x✝¹))"} {"_id": "200075", "text": "case h.hcover\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\nx : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhx : x ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)\n⊢ x ∈ ↑(⨆ i, PrimeSpectrum.basicOpen (h ↑i))"} {"_id": "200077", "text": "case h.hcover\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\nx : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhx : x ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nthis : x ∈ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\n⊢ ∃ i, x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h ↑i)"} {"_id": "200081", "text": "case h.h.mk.hv\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\ny : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhy : y ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\n⊢ f ^ (n + 1) ∈ y.asIdeal.primeCompl"} {"_id": "200082", "text": "case h.h.mk.hv\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\ny : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhy : y ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\n⊢ y ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (f ^ (n + 1))"} {"_id": "200083", "text": "case h.h.mk.hv\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : R\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen f })\nι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f\nah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j\ns_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯\nht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))\nn : ℕ\nb : ι →₀ R\nb_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t\nhb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)\ntt : Type u := ↑↑t\ni : ι\nhi : i ∈ ↑t\ny : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhy : y ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\n⊢ y ∈ PrimeSpectrum.basicOpen f"} {"_id": "200085", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : IsArtinian R M\nx : L\n⊢ IsCompl (weightSpaceOf M 0 x) (posFittingCompOf R M x)"} {"_id": "200086", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : CommSemiring S\nS' : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring S'\nf : R →+* S\nhf : Surjective ⇑f\n⊢ zariskiTopology = TopologicalSpace.induced (⇑(comap f)) zariskiTopology"} {"_id": "200087", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : CommSemiring S\nS' : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring S'\nf : R →+* S\nhf : Surjective ⇑f\n⊢ ∀ (s : Set (PrimeSpectrum S)), (∃ s_1, sᶜ = zeroLocus s_1) ↔ ∃ t, (∃ s, t = zeroLocus s) ∧ ⇑(comap f) ⁻¹' t = sᶜ"} {"_id": "200089", "text": "case intro.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : CommSemiring S\nS' : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring S'\nf : R →+* S\nhf : Surjective ⇑f\ns : Set (PrimeSpectrum S)\nF : Set R\nhF : ⇑(comap f) ⁻¹' zeroLocus F = sᶜ\n⊢ ∃ s_1, sᶜ = zeroLocus s_1"} {"_id": "200090", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : CommSemiring S\nS' : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring S'\nf : R →+* S\nhf : Surjective ⇑f\ns : Set (PrimeSpectrum S)\nx✝ : ∃ s_1, sᶜ = zeroLocus s_1\nF : Set S\nhF : sᶜ = zeroLocus F\n⊢ ⇑(comap f) ⁻¹' zeroLocus (⇑f ⁻¹' F) = sᶜ"} {"_id": "200091", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\n⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom ≫ Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op"} {"_id": "200092", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\n⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom ≫ Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op"} {"_id": "200093", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\n⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom ≫\n Scheme.Hom.app\n (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫\n (asIso (ΓSpec.adjunction.unit.app (X.restrict ⋯))).inv ≫ Scheme.ιOpens U)\n U =\n (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op"} {"_id": "200095", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\n⊢ Scheme.Γ.map (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).op ≫\n Scheme.Hom.app (ΓSpec.adjunction.unit.app (X ∣_ᵤ U)) ⊤ ≫\n X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫\n X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫\n Scheme.Hom.app (asIso (ΓSpec.adjunction.unit.app (X.restrict ⋯))).inv (Scheme.ιOpens U ⁻¹ᵁ U) ≫\n Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op))\n (((asIso (ΓSpec.adjunction.unit.app (X.restrict ⋯))).inv ≫ Scheme.ιOpens U) ⁻¹ᵁ U) =\n (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op"} {"_id": "200096", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\n⊢ Scheme.Γ.map (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).op ≫\n Scheme.Hom.app (ΓSpec.adjunction.unit.app (X ∣_ᵤ U)) ⊤ ≫\n X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫\n X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫\n Scheme.Hom.app (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app (X.restrict ⋯))) (Scheme.ιOpens U ⁻¹ᵁ U) ≫\n Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op))\n ((inv (ΓSpec.adjunction.unit.app (X.restrict ⋯)) ≫ Scheme.ιOpens U) ⁻¹ᵁ U) =\n (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op"} {"_id": "200097", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\n⊢ Scheme.Γ.map (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).op ≫\n (Spec Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)).presheaf.map\n ((Opens.map (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app (X.restrict ⋯))).val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫\n Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op))\n ((inv (ΓSpec.adjunction.unit.app (X.restrict ⋯)) ≫ Scheme.ιOpens U) ⁻¹ᵁ U) =\n (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op"} {"_id": "200098", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nα : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\n⊢ α (coroot α) = 2"} {"_id": "200099", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nα : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\n⊢ (Weight.toLinear K (↥H) L α) (coroot α) = 2"} {"_id": "200100", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝⁴ : LinearOrderedField α\ninst✝³ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝² : IsAbsoluteValue abv\nG : Type u_3\ninst✝¹ : SMul G β\ninst✝ : IsScalarTower G β β\nf1 f2 : CauSeq β abv\nc : G\nhf : f1 ≈ f2\n⊢ c • f1 ≈ c • f2"} {"_id": "200102", "text": "case nil\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\ne : splitAtPred p (S k₁) = ([], o, L₂)\n⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ ([].reverseAux (S k₂)) }"} {"_id": "200104", "text": "case nil\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\ne : splitAtPred p (S k₁) = ([], o, L₂)\n⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update S k₁ L₂ }"} {"_id": "200105", "text": "case nil\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\ne : splitAtPred p (S k₁) = ([], o, L₂)\n⊢ ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr (Λ'.move p k₁ k₂ q)) s S)\n { l := some q, var := o, stk := update S k₁ L₂ }"} {"_id": "200108", "text": "case nil.cons\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\na : Γ'\nSk : List Γ'\ne : splitAtPred p (a :: Sk) = ([], o, L₂)\n⊢ ReflTransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n (bif\n match (a :: Sk).head?, true, p with\n | some x, x_1, f => f x\n | none, y, x => y then\n { l := some q, var := (a :: Sk).head?, stk := update S k₁ (a :: Sk).tail }\n else\n { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := (a :: Sk).head?,\n stk := update (update S k₁ (a :: Sk).tail) k₂ ((a :: Sk).head?.iget :: update S k₁ (a :: Sk).tail k₂) })\n { l := some q, var := o, stk := update S k₁ L₂ }"} {"_id": "200110", "text": "case nil.cons\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\na : Γ'\nSk : List Γ'\n⊢ (bif p a then ([], some a, Sk) else (a :: (splitAtPred p Sk).1, (splitAtPred p Sk).2.1, (splitAtPred p Sk).2.2)) =\n ([], o, L₂) →\n ReflTransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n (bif p a then { l := some q, var := some a, stk := update S k₁ Sk }\n else { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := some a, stk := update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: update S k₁ Sk k₂) })\n { l := some q, var := o, stk := update S k₁ L₂ }"} {"_id": "200113", "text": "p : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\ne : splitAtPred p (S k₁) = ([], o, L₂)\n⊢ [].reverseAux (S k₂) = update S k₁ L₂ k₂"} {"_id": "200116", "text": "case cons\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\nL₁ : List Γ'\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (S k₂)) }\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\ne : splitAtPred p (S k₁) = (a :: L₁, o, L₂)\n⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ ((a :: L₁).reverseAux (S k₂)) }"} {"_id": "200117", "text": "case cons\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\nL₁ : List Γ'\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (S k₂)) }\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\ne : splitAtPred p (S k₁) = (a :: L₁, o, L₂)\n⊢ TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr (Λ'.move p k₁ k₂ q)) s S)\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ ((a :: L₁).reverseAux (S k₂)) }"} {"_id": "200118", "text": "case cons\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\nL₁ : List Γ'\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (S k₂)) }\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\ne : splitAtPred p (S k₁) = (a :: L₁, o, L₂)\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n (bif\n match (S k₁).head?, true, p with\n | some x, x_1, f => f x\n | none, y, x => y then\n { l := some q, var := (S k₁).head?, stk := update S k₁ (S k₁).tail }\n else\n { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := (S k₁).head?,\n stk := update (update S k₁ (S k₁).tail) k₂ ((S k₁).head?.iget :: update S k₁ (S k₁).tail k₂) })\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (a :: S k₂)) }"} {"_id": "200119", "text": "case cons.cons\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\nL₁ : List Γ'\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (S k₂)) }\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\na' : Γ'\nSk : List Γ'\ne :\n (bif p a' then ([], some a', Sk)\n else\n match splitAtPred p Sk with\n | (l₁, o, l₂) => (a' :: l₁, o, l₂)) =\n (a :: L₁, o, L₂)\ne₁ : S k₁ = a' :: Sk\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n (bif\n match (a' :: Sk).head?, true, p with\n | some x, x_1, f => f x\n | none, y, x => y then\n { l := some q, var := (a' :: Sk).head?, stk := update S k₁ (a' :: Sk).tail }\n else\n { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := (a' :: Sk).head?,\n stk := update (update S k₁ (a' :: Sk).tail) k₂ ((a' :: Sk).head?.iget :: update S k₁ (a' :: Sk).tail k₂) })\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (a :: S k₂)) }"} {"_id": "200121", "text": "case cons.cons.false\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\no : Option Γ'\nL₂ : List Γ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\nL₁ : List Γ'\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (S k₂)) }\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\na' : Γ'\nSk : List Γ'\ne₁ : S k₁ = a' :: Sk\ne₂ : p a' = false\ne : (a' :: (splitAtPred p Sk).1, (splitAtPred p Sk).2.1, (splitAtPred p Sk).2.2) = (a :: L₁, o, L₂)\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n (bif\n match (a' :: Sk).head?, true, p with\n | some x, x_1, f => f x\n | none, y, x => y then\n { l := some q, var := (a' :: Sk).head?, stk := update S k₁ (a' :: Sk).tail }\n else\n { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := (a' :: Sk).head?,\n stk := update (update S k₁ (a' :: Sk).tail) k₂ ((a' :: Sk).head?.iget :: update S k₁ (a' :: Sk).tail k₂) })\n { l := some q, var := o, stk := update (update S k₁ L₂) k₂ (L₁.reverseAux (a :: S k₂)) }"} {"_id": "200124", "text": "case cons.cons.false.mk.mk.refl\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\nSk fst✝¹ : List Γ'\nfst✝ : Option Γ'\nsnd✝ : List Γ'\ne₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)\ne₁ : S k₁ = a :: Sk\ne₂ : p a = false\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,\n stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n (bif\n match (a :: Sk).head?, true, p with\n | some x, x_1, f => f x\n | none, y, x => y then\n { l := some q, var := (a :: Sk).head?, stk := update S k₁ (a :: Sk).tail }\n else\n { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := (a :: Sk).head?,\n stk := update (update S k₁ (a :: Sk).tail) k₂ ((a :: Sk).head?.iget :: update S k₁ (a :: Sk).tail k₂) })\n { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,\n stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (a :: S k₂)) }"} {"_id": "200125", "text": "case cons.cons.false.mk.mk.refl\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\nSk fst✝¹ : List Γ'\nfst✝ : Option Γ'\nsnd✝ : List Γ'\ne₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)\ne₁ : S k₁ = a :: Sk\ne₂ : p a = false\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,\n stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := some a,\n stk := update (update S k₁ Sk) k₂ ((some a).iget :: update S k₁ Sk k₂) }\n { l := some q, var := fst✝, stk := update (update S k₁ snd✝) k₂ (fst✝¹.reverseAux (a :: S k₂)) }"} {"_id": "200126", "text": "case h.e'_2.h.e'_7\np : Γ' → Bool\nk₁ k₂ : K'\nq : Λ'\nh₁ : k₁ ≠ k₂\na : Γ'\ns : Option Γ'\nS : K' → List Γ'\nSk fst✝¹ : List Γ'\nfst✝ : Option Γ'\nsnd✝ : List Γ'\ne₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)\ne₁ : S k₁ = a :: Sk\ne₂ : p a = false\nIH :\n ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},\n splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →\n Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }\n { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,\n stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }\n⊢ update (update S k₁ snd✝) k₂ (fst✝¹.reverseAux (a :: S k₂)) =\n update (update (update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂)) k₁ snd✝) k₂ (fst✝¹.reverseAux (a :: S k₂))"} {"_id": "200129", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\nx✝ : f < f\nh : f < f := x✝\n⊢ (f - f).LimZero"} {"_id": "200130", "text": "M : Type u_1\ninst✝³ : Monoid M\nR : Type u_2\ninst✝² : NonAssocRing R\ninst✝¹ : Pow R ℕ\ninst✝ : NatPowAssoc R\nn : ℤ\n⊢ ↑(n ^ 0) = ↑n ^ 0"} {"_id": "200131", "text": "M : Type u_1\ninst✝³ : Monoid M\nR : Type u_2\ninst✝² : NonAssocRing R\ninst✝¹ : Pow R ℕ\ninst✝ : NatPowAssoc R\nn : ℤ\nm : ℕ\n⊢ ↑(n ^ (m + 1)) = ↑n ^ (m + 1)"} {"_id": "200132", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np✝ q✝ p q : MvPolynomial σ R\nh : q.totalDegree < p.totalDegree\n⊢ (q + p).totalDegree = p.totalDegree"} {"_id": "200133", "text": "k : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝⁵ : Semiring k\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nα₂ : Type u_5\ninst✝⁴ : Semiring β\ninst✝³ : Mul α\ninst✝² : Mul α₂\nF : Type u_6\ninst✝¹ : FunLike F α α₂\ninst✝ : MulHomClass F α α₂\nf : F\nx y : MonoidAlgebra β α\n⊢ mapDomain (⇑f) (x * y) = mapDomain (⇑f) x * mapDomain (⇑f) y"} {"_id": "200142", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nG : Type u_6\nk : Type u_7\nR : Type u_8\ninst✝¹ : Fintype ι\ninst✝ : OrderedCommMonoid M\nf : ι → M\nhf : f ≤ 1\n⊢ (∀ i ∈ Finset.univ, f i = 1) ↔ f = 1"} {"_id": "200143", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : CategoryWithHomology C\ninst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\n⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f"} {"_id": "200145", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : CategoryWithHomology C\ninst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\neq : ∀ (i : ι), IsIso ((homologyFunctor C c i).map ((quotient C c).map f)) ↔ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap f i)\n⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f) ↔ HomologicalComplex.quasiIso C c f"} {"_id": "200146", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → R\n⊢ W'.Equation P ↔\n P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 -\n (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6) =\n 0"} {"_id": "200148", "text": "A B : Grp\nf : A ⟶ B\ninst✝ : Epi f\nr : ¬Function.Surjective ⇑f\n⊢ False"} {"_id": "200151", "text": "case intro\nA B : Grp\nf : A ⟶ B\ninst✝ : Epi f\nb : ↑B\nhb : ∀ (a : ↑A), f a ≠ b\n⊢ False"} {"_id": "200152", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹² : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'\ninst✝⁹ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : CommSemiring A\ninst✝⁷ : Algebra R A\ninst✝⁶ : Module A M'\ninst✝⁵ : IsLocalization S A\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R M'\ninst✝² : Module R M''\ninst✝¹ : IsScalarTower R A M'\nf : M →ₗ[R] M'\ng : M →ₗ[R] M''\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\nm : M\ns : ↥S\nm' : M'\n⊢ mk' f m s = m' ↔ f m = s • m'"} {"_id": "200153", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nhb : b < 0\nh : a ≤ b\n⊢ 1 / b ≤ 1 / a"} {"_id": "200154", "text": "p : Char → Bool\ns : String\n⊢ s.revFind p = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) s.data.reverse).tail?"} {"_id": "200155", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t✝ : Set α\nt : Set (Set α)\nh : t.PairwiseDisjoint id\nht₀ : t.Finite\nht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite\n⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃₀ t), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a"} {"_id": "200156", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t✝ : Set α\nt : Set (Set α)\nh : t.PairwiseDisjoint id\nht₀ : t.Finite\nht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite\n⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i ∈ t, i), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a"} {"_id": "200157", "text": "α✝ : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : CommMonoid M\ns₂ s₁ s : Finset α✝\na : α✝\ng f✝ : α✝ → M\nα : Type u_3\ninst✝ : CommGroup α\nf : ℕ → α\nn m : ℕ\nhnm : n ≤ m\n⊢ (∏ k ∈ range m, f k) / ∏ k ∈ range n, f k = ∏ k ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range m), f k"} {"_id": "200159", "text": "case e_s\nα✝ : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : CommMonoid M\ns₂ s₁ s : Finset α✝\na : α✝\ng f✝ : α✝ → M\nα : Type u_3\ninst✝ : CommGroup α\nf : ℕ → α\nn m : ℕ\nhnm : n ≤ m\n⊢ Ico n m = filter (fun k => n ≤ k) (range m)"} {"_id": "200160", "text": "case e_s.a\nα✝ : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : CommMonoid M\ns₂ s₁ s : Finset α✝\na : α✝\ng f✝ : α✝ → M\nα : Type u_3\ninst✝ : CommGroup α\nf : ℕ → α\nn m : ℕ\nhnm : n ≤ m\n⊢ ∀ (a : ℕ), a ∈ Ico n m ↔ a ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range m)"} {"_id": "200162", "text": "α : Type u_1\nlt : α → α → Bool\nx : α\nself : BinaryHeap α lt\ne : self.max = some x\nh : ¬0 < self.arr.size\n⊢ False"} {"_id": "200163", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\n⊢ I.incl.IsIdealMorphism"} {"_id": "200164", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\n⊢ lieIdealSubalgebra R L I = I.incl.range"} {"_id": "200166", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : Module.Free R M\ninst✝ : Module.Finite R M\nx y z : L\n⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆"} {"_id": "200167", "text": "S : Type u_1\nT : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommRing R\nr x y z : R\na b c : ℍ[R]\n⊢ a * star a = ↑(normSq a)"} {"_id": "200168", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np : R\nψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\n⊢ z • ψ = z • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))"} {"_id": "200169", "text": "case h\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np : R\nθ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\na✝ : R\n⊢ z • Quotient.mk'' a✝ = z • θ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))"} {"_id": "200170", "text": "case h.h\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\na✝¹ a✝ : R\n⊢ z • Quotient.mk'' a✝¹ = z • Quotient.mk'' a✝ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝¹ = Quotient.mk'' a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))"} {"_id": "200171", "text": "case h.h\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\na✝¹ a✝ : R\nZp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p\n⊢ z • Quotient.mk'' a✝¹ = z • Quotient.mk'' a✝ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝¹ = Quotient.mk'' a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))"} {"_id": "200173", "text": "case h.h\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\na✝¹ a✝ : R\nZp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p\nthis : Quotient.mk'' = mk\n⊢ z • ↑a✝¹ = z • ↑a✝ ↔ ∃ k, ↑a✝¹ = ↑a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))"} {"_id": "200174", "text": "case h.h\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\na✝¹ a✝ : R\nZp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p\nthis : Quotient.mk'' = mk\n⊢ z • (a✝¹ - a✝) ∈ Zp ↔ ∃ k, a✝¹ - a✝ - ↑k • (p / ↑z) ∈ Zp"} {"_id": "200175", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : Ring α\na : α\n⊢ Odd |a| ↔ Odd a"} {"_id": "200176", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝⁵ : CommSemiring R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : StarRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : StarModule R A\ns : NonUnitalStarSubalgebra R A\n⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R ↑s).toSubalgebra = span R {1} ⊔ s.toSubmodule"} {"_id": "200177", "text": "case nil\nα✝ : Type u_1\nl₁ l₂ : List α✝\nH : [] ⊆ l₂\n⊢ [] <+~ l₂"} {"_id": "200178", "text": "case cons\nα✝ : Type u_1\nl₁ l₂ : List α✝\na✝¹ : α✝\nl✝ : List α✝\nh : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l✝ → a✝¹ ≠ a'\na✝ : Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) l✝\nIH : l✝ ⊆ l₂ → l✝ <+~ l₂\nH : a✝¹ :: l✝ ⊆ l₂\n⊢ a✝¹ :: l✝ <+~ l₂"} {"_id": "200179", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\n⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i ≤ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i"} {"_id": "200180", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ✝ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nσ : Perm ι\nhσ : σ.IsCycleOn ↑s\nhs : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\n⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i ≤ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i"} {"_id": "200181", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ✝ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nσ : Perm ι\nhσ : σ.IsCycleOn ↑s\nhs : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\n⊢ ∑ k ∈ range s.card, ∑ i ∈ s, f i • g ((σ ^ k) i) ≤ (range s.card).card • ∑ i ∈ s, f i • g i"} {"_id": "200183", "text": "V : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} V\ninst✝³ : HasImages V\nA B C D : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\nh : C ⟶ D\ninst✝² : HasZeroMorphisms V\ninst✝¹ : HasEqualizers V\nhfg : Exact f g\ninst✝ : Mono h\n⊢ Epi (imageToKernel f (g ≫ h) ⋯)"} {"_id": "200187", "text": "R : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Semiring B\ninst✝ : Algebra R B\nS : Set (Subalgebra R A)\nx : A\n⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p"} {"_id": "200188", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : Mul R\ninst✝ : StarMul R\nx : R\n⊢ IsRegular (star x) ↔ IsRegular x"} {"_id": "200190", "text": "case intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\n⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal"} {"_id": "200191", "text": "case intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\nthis : f ^ n ≠ 0\n⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal"} {"_id": "200192", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\ne : f ^ n = 0\n⊢ False"} {"_id": "200193", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\ne : f ^ n = 0\nthis : Subsingleton (HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f))\n⊢ False"} {"_id": "200194", "text": "case h.e'_2.h.e'_4\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\nthis : f ^ n ≠ 0\n⊢ HomogeneousLocalization.mk z =\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }"} {"_id": "200195", "text": "case h.e'_2.h.e'_4.a\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\nthis : f ^ n ≠ 0\n⊢ (HomogeneousLocalization.mk z).val =\n (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).val"} {"_id": "200196", "text": "case intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\nthis : f ^ n ≠ 0\n⊢ ↑z.num ∈ 𝒜 (n * m)"} {"_id": "200197", "text": "case intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\nn : ℕ\nhn : f ^ n = ↑z.den\nthis✝ : f ^ n ≠ 0\nthis : n • m = z.deg\n⊢ ↑z.num ∈ 𝒜 (n * m)"} {"_id": "200199", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\n⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a"} {"_id": "200203", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\ns : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}\nk✝ : ℕ\nhk✝ : -g ≤ k✝ • a\nh_ne : s.Nonempty\nk : ℕ\nhk : g ≤ k • a\n⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a"} {"_id": "200204", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\ns : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}\nk✝ : ℕ\nhk✝ : -g ≤ k✝ • a\nh_ne : s.Nonempty\nk : ℕ\nhk : g ≤ k • a\nh_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k\n⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a"} {"_id": "200205", "text": "case intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\ns : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}\nk✝ : ℕ\nhk✝ : -g ≤ k✝ • a\nh_ne : s.Nonempty\nk : ℕ\nhk : g ≤ k • a\nh_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k\nm : ℤ\nhm : m ∈ s\nhm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m\n⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a"} {"_id": "200206", "text": "case intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\ns : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}\nk✝ : ℕ\nhk✝ : -g ≤ k✝ • a\nh_ne : s.Nonempty\nk : ℕ\nhk : g ≤ k • a\nh_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k\nm : ℤ\nhm : m ∈ s\nhm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m\nhm'' : g < (m + 1) • a\n⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a"} {"_id": "200208", "text": "case intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\ns : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}\nk✝ : ℕ\nhk✝ : -g ≤ k✝ • a\nh_ne : s.Nonempty\nk : ℕ\nhk : g ≤ k • a\nh_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k\nm : ℤ\nhm : m ∈ s\nhm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m\nhm'' : g < (m + 1) • a\nn : ℤ\nhn : (fun k => k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a) n\n⊢ m • a < (n + 1) • a"} {"_id": "200213", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\ns : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}\nk✝ : ℕ\nhk✝ : -g ≤ k✝ • a\nh_ne : s.Nonempty\nk : ℕ\nhk : g ≤ ↑k • a\nn : ℤ\nhn : n ∈ s\n⊢ n • a ≤ ↑k • a"} {"_id": "200215", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nha : 0 < a\ng : α\ns : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}\nk✝ : ℕ\nhk✝ : -g ≤ k✝ • a\nh_ne : s.Nonempty\nk : ℕ\nhk : g ≤ k • a\nh_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k\nm : ℤ\nhm : m ∈ s\nhm' : (m + 1) • a ≤ g\n⊢ ∃ z ∈ s, m < z"} {"_id": "200217", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nh : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥\n⊢ False"} {"_id": "200218", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nh : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }\n⊢ False"} {"_id": "200222", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nh : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }\n⊢ 2 • 2⁻¹ • ⇑α = ⇑α"} {"_id": "200226", "text": "case intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nha : a < 0\nk : ℤ\n⊢ a ^ (2 * k + 1) < 0"} {"_id": "200227", "text": "case intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nha : a < 0\nk : ℤ\n⊢ a ^ (2 * k) * a < 0"} {"_id": "200228", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\n⊢ ∀ {s : σ →₀ ℕ} {a : R}, eval₂ f g (p * (monomial s) a) = eval₂ f g p * f a * s.prod fun n e => g n ^ e"} {"_id": "200230", "text": "case h_C\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na✝ a'✝ a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\na' : R\ns : σ →₀ ℕ\na : R\n⊢ eval₂ f g (C a' * (monomial s) a) = eval₂ f g (C a') * f a * s.prod fun n e => g n ^ e"} {"_id": "200232", "text": "case h_add\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\np q : MvPolynomial σ R\nih_p : ∀ {s : σ →₀ ℕ} {a : R}, eval₂ f g (p * (monomial s) a) = eval₂ f g p * f a * s.prod fun n e => g n ^ e\nih_q : ∀ {s : σ →₀ ℕ} {a : R}, eval₂ f g (q * (monomial s) a) = eval₂ f g q * f a * s.prod fun n e => g n ^ e\n⊢ ∀ {s : σ →₀ ℕ} {a : R}, eval₂ f g ((p + q) * (monomial s) a) = eval₂ f g (p + q) * f a * s.prod fun n e => g n ^ e"} {"_id": "200234", "text": "case h_X\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na✝ a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\np : MvPolynomial σ R\nn : σ\nih : ∀ {s : σ →₀ ℕ} {a : R}, eval₂ f g (p * (monomial s) a) = eval₂ f g p * f a * s.prod fun n e => g n ^ e\ns : σ →₀ ℕ\na : R\n⊢ eval₂ f g (p * X n * (monomial s) a) = eval₂ f g (p * X n) * f a * s.prod fun n e => g n ^ e"} {"_id": "200235", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na✝ a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\np : MvPolynomial σ R\nn : σ\nih : ∀ {s : σ →₀ ℕ} {a : R}, eval₂ f g (p * (monomial s) a) = eval₂ f g p * f a * s.prod fun n e => g n ^ e\ns : σ →₀ ℕ\na : R\n⊢ eval₂ f g (p * X n * (monomial s) a) = eval₂ f g (p * (monomial (Finsupp.single n 1 + s)) a)"} {"_id": "200236", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na✝ a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\np : MvPolynomial σ R\nn : σ\nih : ∀ {s : σ →₀ ℕ} {a : R}, eval₂ f g (p * (monomial s) a) = eval₂ f g p * f a * s.prod fun n e => g n ^ e\ns : σ →₀ ℕ\na : R\n⊢ eval₂ f g (p * (monomial (Finsupp.single n 1 + s)) a) =\n eval₂ f g (p * (monomial (Finsupp.single n 1)) 1) * f a * s.prod fun n e => g n ^ e"} {"_id": "200239", "text": "case pos.intro\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)\nh₂ : Mono (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₁ j)\nj : ι\nhij : c.Rel i j\n⊢ Mono (homologyMap φ.τ₃ i)"} {"_id": "200240", "text": "case pos.intro.hR₁\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)\nh₂ : Mono (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₁ j)\nj : ι\nhij : c.Rel i j\n⊢ ((δlastFunctor ⋙ δlastFunctor).obj (composableArrows₅ hS₁ i j hij)).Exact"} {"_id": "200241", "text": "case pos.intro.hR₂\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)\nh₂ : Mono (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₁ j)\nj : ι\nhij : c.Rel i j\n⊢ ((δlastFunctor ⋙ δlastFunctor).obj (composableArrows₅ hS₂ i j hij)).Exact"} {"_id": "200245", "text": "case neg\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)\nh₂ : Mono (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₁ j)\nhi : ¬∃ j, c.Rel i j\n⊢ Mono (homologyMap φ.τ₃ i)"} {"_id": "200247", "text": "case neg\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₁ i)\nh₂ : Mono (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₁ j)\nhi : ¬∃ j, c.Rel i j\nthis : Epi S₁.g\n⊢ Epi ((composableArrows₂ S₁ i).map' 1 2 ⋯ ⋯)"} {"_id": "200249", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nχ : L → R\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nhf : Injective ⇑f\n⊢ LieSubmodule.map f (weightSpace M χ) = weightSpace M₂ χ ⊓ f.range"} {"_id": "200251", "text": "case intro.intro\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nχ : L → R\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nhf : Injective ⇑f\nm : M\nhm : f m ∈ ↑↑(weightSpace M₂ χ)\n⊢ f m ∈ LieSubmodule.map f (weightSpace M χ)"} {"_id": "200252", "text": "case intro.intro\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nM₂ : Type u_5\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nχ : L → R\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂\nhf : Injective ⇑f\nm : M\nhm : f m ∈ ↑↑(weightSpace M₂ χ)\n⊢ ∃ m_1, f m_1 ∈ weightSpace M₂ χ ∧ f m_1 = f m"} {"_id": "200253", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nhf : EqOn f 1 s\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = 1"} {"_id": "200254", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nhf : EqOn f 1 s\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), 1"} {"_id": "200255", "text": "c : Char\ncs : List Char\ni : Pos\n⊢ { data := c :: cs }.get (i + c) = { data 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Γ\ninst✝ : Inhabited Γ'\nf : PointedMap Γ Γ'\nL R : List Γ\n⊢ map f (mk₂ L R) = mk₂ (List.map f.f L) (List.map f.f R)"} {"_id": "200265", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝⁴ : Lattice α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na : α\nha : 1 ≤ a ^ 2\n⊢ 1 ≤ a"} {"_id": "200266", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝⁴ : Lattice α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na : α\nha : 1 ≤ a ^ 2\n⊢ (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1"} {"_id": "200267", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝⁴ : Lattice α\ninst✝³ : Group α\ninst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na : α\nha : 1 ≤ a ^ 2\nthis : (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1\n⊢ 1 ≤ a"} {"_id": "200268", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\nP : Fin 3 → R\n⊢ W.Equation P ↔\n P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 =\n P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3"} {"_id": "200269", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nf : R →+* S\nhf : Surjective ⇑f\n⊢ IsClosed (Set.range ⇑(comap f))"} {"_id": "200270", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nf : R →+* S\nhf : Surjective ⇑f\n⊢ IsClosed (zeroLocus ↑(ker f))"} {"_id": "200271", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf g : A\n⊢ ↑(basicOpen 𝒜 (f * g)) = ↑(basicOpen 𝒜 f ⊓ basicOpen 𝒜 g)"} {"_id": "200272", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nn : ℕ\ninst✝ : CharP R n\nI : Ideal R\n⊢ CharP (R ⧸ I) n ↔ ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0"} {"_id": "200273", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nn : ℕ\ninst✝ : CharP R n\nI : Ideal R\nx✝ : CharP (R ⧸ I) n\nx : ℕ\nhx : ↑x ∈ I\n⊢ ↑x = 0"} {"_id": "200274", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝¹ : ExistsAddOfLE α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na b c : α\n⊢ map (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)"} {"_id": "200275", "text": "R : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Semiring B\ninst✝ : Algebra R B\nS : Subalgebra R A\ns : Set A\n⊢ centralizer R s.centralizer.centralizer = centralizer R s"} {"_id": "200276", "text": "case a\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\ninst✝¹ : Semiring B\ninst✝ : Algebra R B\nS : Subalgebra R A\ns : Set A\n⊢ ↑(centralizer R s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer R s)"} {"_id": "200277", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nhP : W'.Equation P\nhPz : P z = 0\n⊢ W'.addXYZ P Q = (P x * Q z) • Q"} {"_id": "200278", "text": "ι : Type u_1\nF : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nδ : Type u_6\ninst✝³ : FunLike F α β\ninst✝² : Group α\ninst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β\ninst✝ : GroupSeminormClass F α β\nf : F\nx y : α\n⊢ f x ≤ f y + f (y / x)"} {"_id": "200279", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIcoMod hp (p + a) b = p + toIcoMod hp a b"} {"_id": "200280", "text": "G : Type u_1\nP : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : AddTorsor G P\np₁ p₂ p₃ p₄ : P\n⊢ p₁ -ᵥ p₂ - (p₃ -ᵥ p₄) = p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₄)"} {"_id": "200281", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\n⊢ s.gcd f = (filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f"} {"_id": "200282", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\n⊢ (filter (fun x => f x = 0) s ∪ filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f = (filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f"} {"_id": "200283", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\n⊢ GCDMonoid.gcd ((filter (fun x => f x = 0) s).gcd f) ((filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f) =\n (filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f"} {"_id": "200284", "text": "case refine_3\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\n⊢ GCDMonoid.gcd 0 ((filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f) = (filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f"} {"_id": "200285", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\n⊢ s.gcd f = (filter (fun x => f x = 0) s ∪ filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f"} {"_id": "200286", "text": "case refine_1\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\n⊢ α"} {"_id": "200287", "text": "case refine_2\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\n⊢ GCDMonoid.gcd ((filter (fun x => f x = 0) s).gcd f) ((filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f) =\n GCDMonoid.gcd 0 ((filter (fun x => f x ≠ 0) s).gcd f)"} {"_id": "200291", "text": "case refine_2.refine_2\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidablePred fun x => f x = 0\na : β\ns : Finset β\na✝ : a ∉ s\nh : (filter (fun x => f x = 0) s).gcd f = 0\n⊢ (filter (fun x => f x = 0) (insert a s)).gcd f = 0"} {"_id": "200293", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} V\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms V\nc : ComplexShape ι\nC : HomologicalComplex V c\ninst✝ : HasKernels V\ni j j' : ι\nr : c.Rel i j\nr' : c.Rel i j'\n⊢ kernelSubobject (C.d i j) = kernelSubobject (C.d i j')"} {"_id": "200294", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} V\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms V\nc : ComplexShape ι\nC : HomologicalComplex V c\ninst✝ : HasKernels V\ni j j' : ι\nr : c.Rel i j\nr' : c.Rel i j'\n⊢ kernelSubobject (C.d i j' ≫ eqToHom ⋯) = kernelSubobject (C.d i j')"} {"_id": "200295", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type 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W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2\n⊢ W.negAddY P Q / addZ P Q ^ 3 =\n W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))"} {"_id": "200301", "text": "β : Type u_1\nα : Type u_2\np : α → Bool\nf : β → α\nb : β\nl : List β\n⊢ eraseP p (map f (b :: l)) = map f (eraseP (p ∘ f) (b :: l))"} {"_id": "200302", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝³ inst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na b : α\n⊢ a ≤ b ↔ a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ"} {"_id": "200303", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝³ inst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na b : α\nh : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ\n⊢ a ≤ b"} {"_id": "200304", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝³ inst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass 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"200337", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\nχ₁ χ₂ : L → R\np q : ℤ\nthis : ∀ (k : ℤ), k ∈ Ioo p q ↔ k ∈ Finset.Ioo p q\n⊢ weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q = ⨆ k ∈ Finset.Ioo p q, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂)"} {"_id": "200341", "text": "case mp\nR : Type u\ninst✝³ : Semiring R\ninst✝² : Nontrivial R\np : ℕ\ninst✝¹ : CharP R p\ninst✝ : ExpChar R 1\n⊢ p = 0"} {"_id": "200343", "text": "case mpr\nR : Type u\ninst✝³ : Semiring R\ninst✝² : Nontrivial R\nq : ℕ\ninst✝¹ : ExpChar R q\ninst✝ : CharP R 0\n⊢ q = 1"} {"_id": "200344", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nF G K L : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nφ : F ⟶ G\np q q' : ℤ\nhpq : p + 0 = q\n⊢ (ofHom φ).v p q hpq ≫ G.d q q' = φ.f p ≫ G.d p q'"} {"_id": "200345", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{?u.216358, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.216362, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nhg₂ : S₂.g = 0\n⊢ S₁.f ≫ φ.τ₂ = 0"} {"_id": "200346", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.216362, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nhg₂ : S₂.g = 0\n⊢ QuasiIso φ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂"} {"_id": "200348", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.216362, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nhg₂ : S₂.g = 0\n⊢ (mk (opMap φ).τ₂ S₁.op.g ⋯).Exact ∧ Mono (opMap φ).τ₂ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂"} {"_id": "200349", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.216362, u_2} D\ninst✝ : Abelian 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∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))"} {"_id": "200363", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\n⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))"} {"_id": "200364", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\n⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))"} {"_id": "200365", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\n⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 + ε ↑x) ≤ ↑(r i x) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i x))"} {"_id": "200367", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nh_main : (fun n => q (b i * ↑n) - q ↑(r i n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)\nn : ℕ\nhn : q (b i * ↑n) - q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)\n⊢ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))"} {"_id": "200368", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nh_main : (fun n => q (b i * ↑n) - q ↑(r i n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)\nn : ℕ\nhn : q (b i * ↑n) - q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)\nh₁ : q (b i * ↑n) - b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n)\n⊢ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))"} {"_id": "200371", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\n⊢ DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)"} {"_id": "200372", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nz : ℝ\nhz : z ∈ Set.Ioi 1\n⊢ z ∈ {0}ᶜ"} {"_id": "200373", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nz : ℝ\nhz : z ∈ Set.Ioi 1\n⊢ z ≠ 0"} {"_id": "200374", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε 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{"_id": "200380", "text": "case right\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\n⊢ (fun x => x ^ p a b * deriv (fun z => 1 + ε z) x) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)"} {"_id": "200381", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\n⊢ (fun x => deriv (fun z => z ^ p a b) x * (1 + ε x)) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)"} {"_id": "200382", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\n⊢ (fun x => deriv 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Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nn : ℕ\nhn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n\nhn' : 1 < n\nh₁ : 0 < b i\n⊢ ↑⌈(b i)⁻¹⌉₊ < ↑n"} {"_id": "200429", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nn : ℕ\nhn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n\nhn' : 1 < n\nh₁ : 0 < b i\n⊢ b i * ↑n ≤ ↑n"} {"_id": "200432", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nn : ℕ\nhn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n\nhn' : 1 < n\nh₁ : 0 < b i\n⊢ 1 * ↑n = ↑n"} {"_id": "200434", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 + ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nh_main : (fun n => q (b i * ↑n) - q ↑(r i n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ 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u_11\ninst✝¹⁴ : Semiring R\ninst✝¹³ : Semiring R₂\ninst✝¹² : Semiring R₃\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁹ : AddCommMonoid M₃\nσ₁₂ : R →+* R₂\nσ₂₃ : R₂ →+* R₃\nσ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : Module R₂ M₂\ninst✝⁵ : Module R₃ M₃\nσ₂₁ : R₂ →+* R\nτ₁₂ : R →+* R₂\nτ₂₃ : R₂ →+* R₃\nτ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝⁴ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃\nF : Type u_12\ninst✝³ : FunLike F M M₂\ninst✝² : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂\ninst✝¹ : AddCommMonoid M₁\ninst✝ : Module R M₁\np : Submodule R M\nq : Submodule R M₁\nf : M →ₗ[R] M₁\nhf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q\n⊢ ker (f.restrict hf) = ker (f.domRestrict p)"} {"_id": "200451", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIcoDiv hp a (b - p) = toIcoDiv hp a b - 1"} {"_id": "200452", "text": "l m r : List Char\ns : Substring\nh : ValidFor l m r s\nn : Nat\n⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) (s.take n)"} {"_id": "200454", "text": "l m r : List Char\ns : Substring\nh : ValidFor l m r s\nn : Nat\nthis : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }\n⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) (s.take n)"} {"_id": "200455", "text": "l m r : List Char\ns : Substring\nh : ValidFor l m r s\nn : Nat\nthis : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }\n⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r)\n { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.startPos + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }"} {"_id": "200456", "text": "l m r : List Char\ns : Substring\nh : ValidFor l m r s\nn : Nat\nthis : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }\n⊢ ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r)\n { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }"} {"_id": "200458", "text": "l m r : List Char\ns : Substring\nn : Nat\nh : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s\nthis : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }\n⊢ { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }.str.data =\n l ++ List.take n m ++ (List.drop n m ++ r)"} {"_id": "200459", "text": "l m r : List Char\ns : Substring\nn : Nat\nh : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s\nthis : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }\n⊢ { str := { data := l ++ (List.take n m ++ List.drop n m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos :=\n { byteIdx := utf8Len l } +\n { byteIdx := utf8Len (List.take n (List.take n m ++ List.drop n m)) } }.str.data =\n l ++ List.take n m ++ (List.drop n m ++ r)"} {"_id": "200462", "text": "Γ : Type u_1\ninst✝ : Inhabited Γ\nL R : ListBlank Γ\nn : ℕ\n⊢ (mk' L R).nth ↑n = R.nth n"} {"_id": "200463", "text": "⊢ (ofNatCode 0).encodeCode = 0"} {"_id": "200464", "text": "⊢ (ofNatCode 1).encodeCode = 1"} {"_id": "200465", "text": "⊢ (ofNatCode 2).encodeCode = 2"} {"_id": "200466", "text": "⊢ (ofNatCode 3).encodeCode = 3"} {"_id": "200468", "text": "n : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\n⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = n + 4"} {"_id": "200469", "text": "n : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\nhm : m < n + 4\n⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = n + 4"} {"_id": "200470", "text": "n : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\nhm : m < n + 4\n_m1 : (unpair m).1 < n + 4\n⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = n + 4"} {"_id": "200474", "text": "n : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\nhm : m < n + 4\n_m1 : (unpair m).1 < n + 4\n_m2 : (unpair m).2 < n + 4\nIH : (ofNatCode m).encodeCode = m\nIH1 : (ofNatCode (unpair m).1).encodeCode = (unpair m).1\nIH2 : (ofNatCode (unpair m).2).encodeCode = (unpair m).2\n⊢ (ofNatCode (n + 4)).encodeCode = n + 4"} {"_id": "200476", "text": "n : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\nhm : m < n + 4\n_m1 : (unpair m).1 < n + 4\n_m2 : (unpair m).2 < n + 4\nIH : (ofNatCode m).encodeCode = m\nIH1 : (ofNatCode (unpair m).1).encodeCode = (unpair m).1\nIH2 : (ofNatCode (unpair m).2).encodeCode = (unpair m).2\n⊢ (match n.bodd, n.div2.bodd with\n | false, false => (ofNatCode (unpair n.div2.div2).1).pair (ofNatCode (unpair n.div2.div2).2)\n | false, true => (ofNatCode (unpair n.div2.div2).1).comp (ofNatCode (unpair n.div2.div2).2)\n | true, false => (ofNatCode (unpair n.div2.div2).1).prec (ofNatCode (unpair n.div2.div2).2)\n | true, true => (ofNatCode n.div2.div2).rfind').encodeCode =\n bit n.bodd (bit n.div2.bodd n.div2.div2) + 4"} {"_id": "200477", "text": "n : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\n⊢ m < n + 4"} {"_id": "200478", "text": "n : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\n⊢ n / 2 / 2 < n + 4"} {"_id": "200479", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\nσ : α → Type u_6\ns : Finset α\nt : (a : α) → Finset (σ a)\nf : Sigma σ → β\n⊢ ∏ x ∈ s.sigma t, f x = ∏ a ∈ s, ∏ s ∈ t a, f ⟨a, s⟩"} {"_id": "200480", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nx : L\n⊢ f x ∈ f.idealRange"} {"_id": "200481", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nx : L\n⊢ f x ∈ LieIdeal.map f ⊤"} {"_id": "200483", "text": "n₁ n₂ : Int\nd₁ d₂ : Nat\nz₁ : d₁ ≠ 0\nz₂ : d₂ ≠ 0\n⊢ mkRat n₁ d₁ + mkRat n₂ d₂ = mkRat (n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁) (d₁ * d₂)"} {"_id": "200484", "text": "α : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\nR : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : AddMonoid A\ninst✝ : Semiring R\ns : AddSubmonoid R\nn : ℕ\n⊢ s ^ n = closure (↑s ^ n)"} {"_id": "200485", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nχ₁ χ₂ : R\nx y : L\nm : M\nhy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)\nhm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)\n⊢ ⁅y, m⁆ ∈ 𝕎(M, χ₁ + χ₂, x)"} {"_id": "200486", "text": "case a\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nχ₁ χ₂ : R\nx y : L\nm : M\nhy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)\nhm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)\n⊢ ⁅y, m⁆ ∈ LinearMap.range (↑(toModuleHom R L M) ∘ₗ TensorProduct.mapIncl 𝕎(L, χ₁, x) 𝕎(M, χ₂, x))"} {"_id": "200488", "text": "case h\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nχ₁ χ₂ : R\nx y : L\nm : M\nhy : y ∈ 𝕎(L, χ₁, x)\nhm : m ∈ 𝕎(M, χ₂, x)\n⊢ (toModuleHom R L M) ((TensorProduct.map 𝕎(L, χ₁, x).subtype 𝕎(M, χ₂, x).subtype) (⟨y, hy⟩ ⊗ₜ[R] ⟨m, hm⟩)) = ⁅y, m⁆"} {"_id": "200489", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\n⊢ (lieIdealSubalgebra R L (lowerCentralSeries R L L 1 ⊓ LieAlgebra.center R L)).toSubmodule ≤\n LinearMap.ker (traceForm R L M)"} {"_id": "200491", "text": "case intro.h\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\n⊢ ((traceForm R L M) z) x = 0 x"} {"_id": "200492", "text": "case intro.h\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\n⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0"} {"_id": "200493", "text": "case intro.h\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\n⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0"} {"_id": "200494", "text": "case intro.h\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\n⊢ (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0"} {"_id": "200495", "text": "case intro.h\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : 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(A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0"} {"_id": "200497", "text": "case intro.h\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz x : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\nhz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1\nhzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)\n⊢ (trace A (A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0"} {"_id": "200498", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\nthis : (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0\n⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0"} {"_id": "200499", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\nthis : (algebraMap R A) ((trace R M) 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M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\n⊢ 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1"} {"_id": "200502", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz : L\nhzc : z ∈ LieAlgebra.center R L\nx : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\nhz : z ∈ ⁅⊤, ⊤⁆\n⊢ 1 ⊗ₜ[R] z ∈ ⁅⊤, ⊤⁆"} {"_id": "200503", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing 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⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)"} {"_id": "200506", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nz x : L\nA : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)\nhz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1\nhzc : ∀ (x : L), ⁅x, z⁆ = 0\ny : A ⊗[R] L\n⊢ ⁅y, 1 ⊗ₜ[R] z⁆ = 0"} {"_id": "200510", "text": "case intro.h.hg\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : 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((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z))"} {"_id": "200512", "text": "m : Type → Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝¹ : Monad m\ninst✝ : LawfulMonad m\np : α → m Bool\nas : Array α\nstart stop : Nat\nhstart : start ≤ min stop as.size\ntru : Prop\nfal : Nat → Prop\nh0 : fal start\nhp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\n⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal (min stop as.size)) (anyM p as start stop)"} {"_id": "200513", "text": "m : Type → Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝¹ : Monad m\ninst✝ : LawfulMonad m\np : α → m Bool\nas : Array α\nstart stop : Nat\nhstart : start ≤ min stop as.size\ntru : Prop\nfal : Nat → Prop\nh0 : fal start\nhp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\n⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal (min stop as.size)) (anyM.loop p as (min stop as.size) ⋯ start)"} {"_id": "200516", "text": "case isTrue\nm : Type → Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝¹ : Monad m\ninst✝ : LawfulMonad m\np : α → m Bool\nas : Array α\nstart stop✝ : Nat\nhstart : start ≤ min stop✝ as.size\ntru : Prop\nfal : Nat → Prop\nh0✝ : fal start\nhp✝ : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop✝ → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nstop j : Nat\nhj' : j ≤ stop\nhstop : stop ≤ as.size\nh0 : fal j\nhp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nh✝ : j < stop\n⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal stop)\n (let_fun this := ⋯;\n do\n let __do_lift ← p as[j]\n if __do_lift = true then pure true else anyM.loop p as stop hstop (j + 1))"} {"_id": "200517", "text": "m : Type → Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝¹ : Monad m\ninst✝ : LawfulMonad m\np : α → m Bool\nas : Array α\nstart stop✝ : Nat\nhstart : start ≤ min stop✝ as.size\ntru : Prop\nfal : Nat → Prop\nh0✝ : fal start\nhp✝ : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop✝ → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nstop j : Nat\nhj' : j ≤ stop\nhstop : stop ≤ as.size\nh0 : fal j\nhp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nhj : j < stop\n⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal stop)\n (let_fun this := ⋯;\n do\n let __do_lift ← p as[j]\n if __do_lift = true then pure true else anyM.loop p as stop hstop (j + 1))"} {"_id": "200518", "text": "case isFalse\nm : Type → Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝¹ : Monad m\ninst✝ : LawfulMonad m\np : α → m Bool\nas : Array α\nstart stop✝ : Nat\nhstart : start ≤ min stop✝ as.size\ntru : Prop\nfal : Nat → Prop\nh0✝ : fal start\nhp✝ : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop✝ → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nstop j : Nat\nhj' : j ≤ stop\nhstop : stop ≤ as.size\nh0 : fal j\nhp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nh✝ : ¬j < stop\n⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal stop) (pure false)"} {"_id": "200519", "text": "m : Type → Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝¹ : Monad m\ninst✝ : LawfulMonad m\np : α → m Bool\nas : Array α\nstart stop✝ : Nat\nhstart : start ≤ min stop✝ as.size\ntru : Prop\nfal : Nat → Prop\nh0✝ : fal start\nhp✝ : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop✝ → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nstop j : Nat\nhj' : j ≤ stop\nhstop : stop ≤ as.size\nh0 : fal j\nhp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])\nhj : ¬j < stop\n⊢ SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal stop) (pure false)"} {"_id": "200520", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\nn : ℤ\n⊢ (W.preΨ n).coeff ((n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even n then n / 2 else n)"} {"_id": "200522", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\nn : ℕ\nih : (W.preΨ ↑n).coeff (((↑n).natAbs ^ 2 - if Even ↑n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even ↑n then ↑n / 2 else ↑n)\n⊢ (W.preΨ (-↑n)).coeff (((-↑n).natAbs ^ 2 - if Even (-↑n) then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even (-↑n) then -↑n / 2 else -↑n)"} {"_id": "200523", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\nn : ℕ\nih : (W.preΨ ↑n).coeff (((↑n).natAbs ^ 2 - if Even ↑n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even ↑n then ↑n / 2 else ↑n)\n⊢ -(W.preΨ ↑n).coeff (((↑n).natAbs ^ 2 - if Even ↑n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even ↑n then -↑n / 2 else -↑n)"} {"_id": "200524", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝¹⁰ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁹ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁸ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms D\nF G : C ⥤ D\nτ : F ⟶ G\nS : ShortComplex C\ninst✝⁶ : S.HasHomology\ninst✝⁵ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms\ninst✝³ : F.PreservesLeftHomologyOf S\ninst✝² : G.PreservesLeftHomologyOf S\ninst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S\ninst✝ : G.PreservesRightHomologyOf S\n⊢ τ.app S.homology = (S.mapHomologyIso F).inv ≫ ShortComplex.homologyMap (S.mapNatTrans τ) ≫ (S.mapHomologyIso G).hom"} {"_id": "200525", "text": "R✝ : Type u\nA✝ : Type v\nB : Type w\ninst✝⁷ : CommSemiring R✝\ninst✝⁶ : Semiring A✝\ninst✝⁵ : Algebra R✝ A✝\ninst✝⁴ : Semiring B\ninst✝³ : Algebra R✝ B\nS✝ : Subalgebra R✝ A✝\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nR : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nS : Subalgebra R A\n⊢ (algebraMap (↥S) A).range = S.toSubring"} {"_id": "200526", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nu v : R\n⊢ W'.addXYZ (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.addXYZ P Q"} {"_id": "200528", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommGroupWithOne α\ninst✝ : CharZero α\na b n : ℕ\n⊢ ↑a ≡ ↑b [PMOD ↑n] ↔ a ≡ b [MOD n]"} {"_id": "200529", "text": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nσ : Type u_2\np q : MvPolynomial σ R\nh : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) q\n⊢ p = q"} {"_id": "200532", "text": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nσ : Type u_2\np : MvPolynomial σ R\nh : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0\n⊢ p = 0"} {"_id": "200533", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nσ : Type u_2\nn : ℕ\nf : Fin n → σ\nhf : Function.Injective f\np : MvPolynomial (Fin n) R\nh : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0\n⊢ (rename f) p = 0"} {"_id": "200536", "text": "case intro.intro.intro.intro.h\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nσ : Type u_2\nn : ℕ\nf : Fin n → σ\nhf : Function.Injective f\np : MvPolynomial (Fin n) R\nh : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0\nx : Fin n → R\n⊢ (eval x) p = 0"} {"_id": "200538", "text": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nσ : Type u_2\np q : MvPolynomial σ R\nh : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) q\nthis : ∀ (p : MvPolynomial σ R), (∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0) → p = 0\n⊢ ∀ (x : σ → R), (eval x) (p - q) = 0"} {"_id": "200539", "text": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nσ : Type u_2\nn : ℕ\nf : Fin n → σ\nhf : Function.Injective f\np : MvPolynomial (Fin n) R\nh : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0\nthis : p = 0\n⊢ (rename f) p = 0"} {"_id": "200540", "text": "case h.e'_2\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nσ : Type u_2\nn : ℕ\nf : Fin n → σ\nhf : Function.Injective f\np : MvPolynomial (Fin n) R\nh : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0\nx : Fin n → R\n⊢ (eval x) p = (eval (Function.extend f x 0)) ((rename f) p)"} {"_id": "200541", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nf g : R\n⊢ ↑(basicOpen (f * g)) = ↑(basicOpen f ⊓ basicOpen g)"} {"_id": "200542", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : FloorRing α\nx : α\n⊢ round x = 0 ↔ x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)"} {"_id": "200544", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nS₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\n⊢ leftHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ + leftHomologyMap' φ' h₁ h₂"} {"_id": "200545", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nS₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nγ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂\n⊢ leftHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ + leftHomologyMap' φ' h₁ h₂"} {"_id": "200546", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nS₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nγ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂\nγ' : LeftHomologyMapData φ' h₁ h₂\n⊢ leftHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ + leftHomologyMap' φ' h₁ h₂"} {"_id": "200547", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\n⊢ self.rootD x = x ↔ self.parent x = x"} {"_id": "200548", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\nh : self.parent x = x\n⊢ self.rootD x = x"} {"_id": "200549", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\nh : self.parent x = x\n⊢ (if h : x < self.size then ↑(self.root ⟨x, h⟩) else x) = x"} {"_id": "200550", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\nh : self.rootD x = x\n⊢ self.parent x = x"} {"_id": "200551", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\nh : self.parent x = x\nh✝ : x < self.size\n⊢ (self.arr.get ⟨x, h✝⟩).parent = ↑⟨x, h✝⟩"} {"_id": "200554", "text": "case succ\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nk : ℕ\nih : lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = comap N.incl (lcs k N)\n⊢ lowerCentralSeries R L (↥↑N) (k + 1) = comap N.incl (lcs (k + 1) N)"} {"_id": "200555", "text": "case succ\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nk : ℕ\nih : lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = comap N.incl (lcs k N)\n⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L (↥↑N) k⁆ = comap N.incl ⁅⊤, lcs k N⁆"} {"_id": "200556", "text": "case succ\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nk : ℕ\nih : lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = comap N.incl (lcs k N)\nthis : lcs k N ≤ N.incl.range\n⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L (↥↑N) k⁆ = comap N.incl ⁅⊤, lcs k N⁆"} {"_id": "200558", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nk : ℕ\nih : lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = comap N.incl (lcs k N)\n⊢ lcs k N ≤ N"} {"_id": "200559", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\n⊢ (Imp.filterMap f m).WF"} {"_id": "200561", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\n⊢ (Imp.filterMap f m).WF"} {"_id": "200562", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\n⊢ (Imp.filterMap f m).WF"} {"_id": "200563", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\n⊢ ∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length),\n Array.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) m.buckets.val { down := 0 } = ({ data := bk }, { down := sz }) →\n { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF"} {"_id": "200566", "text": "case refl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\nh : 0 < (List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data).length\n⊢ { size := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data),\n buckets := ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data }, h⟩ }.WF"} {"_id": "200567", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nl : AssocList α β\nn : ULift Nat\nacc : AssocList α γ\n⊢ filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })"} {"_id": "200568", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\na : α\nb : β\nl : AssocList α β\ntail_ih✝ :\n ∀ (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\nn : ULift Nat\nacc : AssocList α γ\n⊢ (match f a b with\n | none =>\n (((List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).reverse ++\n acc.toList).toAssocList,\n {\n down :=\n n.down + (List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length })\n | some c =>\n (((List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).reverse ++\n (a, c) :: acc.toList).toAssocList,\n {\n down :=\n n.down + 1 +\n (List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length })) =\n (((match Option.map (fun x => (a, x)) (f a b) with\n | none => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\n | some b =>\n b :: List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).reverse ++\n acc.toList).toAssocList,\n {\n down :=\n n.down +\n (match Option.map (fun x => (a, x)) (f a b) with\n | none => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\n | some b =>\n b :: List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length })"} {"_id": "200570", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\na : α\nb : β\nl : AssocList α β\ntail_ih✝ :\n ∀ (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\nn : ULift Nat\nacc : AssocList α γ\nc : γ\n⊢ (match some c with\n | none =>\n (((List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).reverse ++\n acc.toList).toAssocList,\n {\n down :=\n n.down + (List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length })\n | some c =>\n (((List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).reverse ++\n (a, c) :: acc.toList).toAssocList,\n {\n down :=\n n.down + 1 +\n (List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length })) =\n (((match Option.map (fun x => (a, x)) (some c) with\n | none => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\n | some b =>\n b :: List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).reverse ++\n acc.toList).toAssocList,\n {\n down :=\n n.down +\n (match Option.map (fun x => (a, x)) (some c) with\n | none => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\n | some b =>\n b :: List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length })"} {"_id": "200571", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\na : α\nb : β\nl : AssocList α β\ntail_ih✝ :\n ∀ (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\nn : ULift Nat\nacc : AssocList α γ\nc : γ\n⊢ {\n down :=\n n.down + 1 +\n (List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length } =\n {\n down :=\n n.down +\n ((List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList).length + 1) }"} {"_id": "200573", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nl : List (AssocList α β)\nn : ULift Nat\n⊢ List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })"} {"_id": "200575", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nl : AssocList α β\nL : List (AssocList α β)\nIH :\n ∀ (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) L n =\n (List.map g L, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g L)) })\nn : ULift Nat\n⊢ List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) (l :: L) n =\n (List.map g (l :: L), { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g (l :: L))) })"} {"_id": "200577", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nl : List (α × β)\n⊢ (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)"} {"_id": "200579", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\na : α × β\nl : List (α × β)\nih :\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\n⊢ (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n (a :: l))).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) (a :: l))"} {"_id": "200581", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\nh : 0 < (List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data).length\n⊢ { size := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data),\n buckets := ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data }, h⟩ }.size =\n { size := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data),\n buckets := ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data }, h⟩ }.buckets.size"} {"_id": "200582", "text": "case refl.refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\nh : 0 < (List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data).length\n⊢ ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α γ),\n bucket ∈\n {\n size :=\n Nat.sum\n (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data),\n buckets :=\n ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data },\n h⟩ }.buckets.val.data →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList"} {"_id": "200583", "text": "case refl.refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\nh : 0 < (List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data).length\n⊢ ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (j : AssocList α β),\n j ∈ m.buckets.val.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) (g₁ j).reverse"} {"_id": "200586", "text": "case refl.refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\nh✝ : 0 < (List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data).length\ni : Nat\nh :\n i <\n { size := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data),\n buckets :=\n ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data }, h✝⟩ }.buckets.val.size\n⊢ AssocList.All\n (fun k x =>\n ((hash k).toUSize %\n {\n size :=\n Nat.sum\n (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList)\n m.buckets.val.data),\n buckets :=\n ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data },\n h✝⟩ }.buckets.val.size).toNat =\n i)\n { size := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data),\n buckets :=\n ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data }, h✝⟩ }.buckets.val[i]"} {"_id": "200588", "text": "case refl.refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → Option γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\ng₁ : AssocList α β → List (α × γ) :=\n fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList\nH1 :\n ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ),\n filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })\ng : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList\nM : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id\nH2 :\n ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat),\n List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n =\n (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })\nH3 :\n ∀ (l : List (α × β)),\n (List.map (fun a => a.fst)\n (List.filterMap\n (fun x =>\n match x with\n | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b))\n l)).Sublist\n (List.map (fun x => x.fst) l)\nh✝¹ : 0 < (List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data).length\ni : Nat\nh✝ :\n i <\n { size := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data),\n buckets :=\n ⟨{ data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data }, h✝¹⟩ }.buckets.val.size\nh : i < m.buckets.val.size\nthis : AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % m.buckets.val.size).toNat = i) m.buckets.val[i]\n⊢ AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % m.buckets.val.size).toNat = i)\n (g₁ m.buckets.val.data[i]).reverse.toAssocList"} {"_id": "200591", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\n⊢ tail? le s = some s' → s'.size < s.size"} {"_id": "200593", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\neq : Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s'\n⊢ s'.size < s.size"} {"_id": "200594", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\neq : Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s'\na : α\ntl : Heap α\neq₂ : deleteMin le s = some (a, tl)\n⊢ ((fun x => x.snd) (a, tl)).size < s.size"} {"_id": "200595", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nr : ↑Γ(Y, ⊤)\nH : sourceAffineLocally P f\nU : ↑(X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).affineOpens\n⊢ P (Scheme.Γ.map ((X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).ofRestrict ⋯ ≫ f ∣_ Y.basicOpen r).op)"} {"_id": "200596", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nr : ↑Γ(Y, ⊤)\nU : ↑(X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).affineOpens\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ P (Scheme.Γ.map ((X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).ofRestrict ⋯ ≫ f ∣_ Y.basicOpen r).op)"} {"_id": "200597", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nr : ↑Γ(Y, ⊤)\nU : ↑(X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).affineOpens\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\ni1 : Algebra (↑Γ(Y, ⊤)) (Localization.Away r) := Localization.algebra\n⊢ P (Scheme.Γ.map ((X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).ofRestrict ⋯ ≫ f ∣_ Y.basicOpen r).op)"} {"_id": "200598", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nt : Set (PrimeSpectrum R)\nf : R\n⊢ f ∈ vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal"} {"_id": "200599", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{?u.64827, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\n⊢ cyclesMap S.f i ≫ cyclesMap S.g i = 0"} {"_id": "200600", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\n⊢ (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).Exact"} {"_id": "200601", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\nthis : Mono (S.map (eval C c i)).f\n⊢ (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).Exact"} {"_id": "200602", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\nthis : Mono (S.map (eval C c i)).f\nhi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)\n⊢ (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).Exact"} {"_id": "200606", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\nthis : Mono (S.map (eval C c i)).f\nhi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)\nA : C\nk : A ⟶ S.X₂.cycles i\nhk : k ≫ cyclesMap S.g i = 0\n⊢ { l // l ≫ cyclesMap S.f i = k }"} {"_id": "200608", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\nthis : Mono (S.map (eval C c i)).f\nhi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)\nA : C\nk : A ⟶ S.X₂.cycles i\nhk : k ≫ cyclesMap S.g i = 0\nH : { l // l ≫ S.f.f i = k ≫ S.X₂.iCycles i }\n⊢ { l // l ≫ cyclesMap S.f i = k }"} {"_id": "200610", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\nthis : Mono (S.map (eval C c i)).f\nhi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)\nA : C\nk : A ⟶ S.X₂.cycles i\nhk : k ≫ cyclesMap S.g i = 0\n⊢ (k ≫ S.X₂.iCycles i) ≫ S.g.f i = 0"} {"_id": "200611", "text": "case refine_1\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\nthis : Mono (S.map (eval C c i)).f\nhi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)\nA : C\nk : A ⟶ S.X₂.cycles i\nhk : k ≫ cyclesMap S.g i = 0\nH : { l // l ≫ S.f.f i = k ≫ S.X₂.iCycles i }\n⊢ ↑H ≫ S.X₁.d i (c.next i) = 0"} {"_id": "200612", "text": "case refine_2\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.Exact\ninst✝³ : Mono S.f\ni : ι\ninst✝² : S.X₁.HasHomology i\ninst✝¹ : S.X₂.HasHomology i\ninst✝ : S.X₃.HasHomology i\nthis : Mono (S.map (eval C c i)).f\nhi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)\nA : C\nk : A ⟶ S.X₂.cycles i\nhk : k ≫ cyclesMap S.g i = 0\nH : { l // l ≫ S.f.f i = k ≫ S.X₂.iCycles i }\n⊢ S.X₁.liftCycles (↑H) (c.next i) ⋯ ⋯ ≫ cyclesMap S.f i = k"} {"_id": "200613", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝¹ : S.HasHomology\nh : S.LeftHomologyData\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ h.π ≫ h.homologyIso.inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.homologyπ"} {"_id": "200614", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝¹ : S.HasHomology\nh : S.LeftHomologyData\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ h.π ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom"} {"_id": "200615", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\np : MvPolynomial σ R\n⊢ eval₂ f g (p ^ 0) = eval₂ f g p ^ 0"} {"_id": "200616", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\np : MvPolynomial σ R\n⊢ eval₂ f g 1 = 1"} {"_id": "200617", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nf : R →+* S₁\ng : σ → S₁\np : MvPolynomial σ R\nn : ℕ\n⊢ eval₂ f g (p ^ (n + 1)) = eval₂ f g p ^ (n + 1)"} {"_id": "200618", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nK L M : CochainComplex C ℤ\nn✝ : ℤ\nγ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝\nn' a : ℤ\nγ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'\nn : ℤ\nhn : n' + a = n\nx : Rˣ\n⊢ (x • γ).rightUnshift n hn = x • γ.rightUnshift n hn"} {"_id": "200619", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝ : CommSemiring S\nf : R →+* S\nhf : Injective ⇑f\n⊢ ((map f) p).vars = p.vars"} {"_id": "200620", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq : ℚ\nb : β\n⊢ inducedMap γ β (inducedMap β γ b) = b"} {"_id": "200621", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nf : R\nn : ℕ\nhn : 0 < n\n⊢ ↑(basicOpen (f ^ n)) = ↑(basicOpen f)"} {"_id": "200622", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : Semiring A\ninst✝ : Algebra R A\nS T : Set A\nM✝ N P Q : Submodule R A\nm n✝ : A\nn : ℕ\nM : Submodule R Aᵐᵒᵖ\n⊢ map (↑(opLinearEquiv R).symm) (M ^ n) = map (↑(opLinearEquiv R).symm) M ^ n"} {"_id": "200625", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ninst✝ : DecidableEq α\ns✝ : Multiset α\na : α\ns : Multiset α\nIH : s.dedup.gcd = s.gcd\nh : a ∈ s\n⊢ s.gcd = GCDMonoid.gcd a s.gcd"} {"_id": "200626", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ninst✝ : DecidableEq α\ns✝ : Multiset α\na : α\ns : Multiset α\nIH : s.dedup.gcd = s.gcd\nh : a ∈ s\n⊢ fold GCDMonoid.gcd 0 s = GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 s)"} {"_id": "200627", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ninst✝ : DecidableEq α\ns✝ : Multiset α\na : α\ns : Multiset α\nIH : s.dedup.gcd = s.gcd\nh : a ∈ s\n⊢ GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a)) = GCDMonoid.gcd (normalize a) (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a))"} {"_id": "200630", "text": "case refine_1.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝ : AddCommGroup M\nh : IsTorsion M\nx : M\nn : ℕ\nh0 : 0 < n\nhn : n • x = 0\n⊢ ∃ a, a • x = 0"} {"_id": "200633", "text": "case refine_2.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝ : AddCommGroup M\nh : Module.IsTorsion ℤ M\nx : M\nn : ↥ℤ⁰\nhn : n • x = 0\n⊢ ∃ n, 0 < n ∧ n • x = 0"} {"_id": "200638", "text": "α : Type u_1\nc✝ : RBColor\na : RBNode α\nv✝ : α\nb : RBNode α\n⊢ (node c✝ a v✝ b).size < 2 ^ (node c✝ a v✝ b).depth"} {"_id": "200639", "text": "α : Type u_1\nc✝ : RBColor\na : RBNode α\nv✝ : α\nb : RBNode α\n⊢ a.size + 1 + b.size < 2 ^ max a.depth b.depth + 2 ^ max a.depth b.depth"} {"_id": "200640", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nc✝ : RBColor\na : RBNode α\nv✝ : α\nb : RBNode α\n⊢ 2 ^ a.depth ≤ 2 ^ max a.depth b.depth"} {"_id": "200642", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nc✝ : RBColor\na : RBNode α\nv✝ : α\nb : RBNode α\n⊢ 2 ^ b.depth ≤ 2 ^ max a.depth b.depth"} {"_id": "200643", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq α\np : α → Bool\na : α\nl : List α\nh : p a = true\n⊢ count a (filter p l) = count a l"} {"_id": "200646", "text": "case e_p.h\nα : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq α\np : α → Bool\na : α\nl : List α\nh : p a = true\nb : α\n⊢ decide ((b == a) = true ∧ p b = true) = (b == a)"} {"_id": "200652", "text": "case h.h.h.h\nα : Type u_1\nn : Nat\na : α\nl : List α\n⊢ leftpad n a l = leftpadTR n a l"} {"_id": "200657", "text": "case mpr\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Category.{?u.161982, u_2} D\ninst✝³ : Preadditive C\ninst✝² : Preadditive D\nS : ShortComplex C\ninst✝¹ : Balanced C\ninst✝ : S.HasHomology\nhS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)\n⊢ S.Exact ∧ Mono S.f"} {"_id": "200658", "text": "α : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝ : MonoidWithZero M₀\nx y z : M₀\nh : IsUnit x\nh1 : inverse x * y = z\n⊢ y = x * z"} {"_id": "200659", "text": "α : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝ : MonoidWithZero M₀\nx y z : M₀\nh : IsUnit x\nh1 : y = x * z\n⊢ inverse x * y = z"} {"_id": "200660", "text": "R✝ : Type u\ninst✝²³ : CommRing R✝\nW✝ : Affine R✝\nR : Type r\ninst✝²² : CommRing R\nW : Affine R\nS : Type s\ninst✝²¹ : CommRing S\ninst✝²⁰ : Algebra R S\nA : Type u\ninst✝¹⁹ : CommRing A\ninst✝¹⁸ : Algebra R A\ninst✝¹⁷ : Algebra S A\ninst✝¹⁶ : IsScalarTower R S A\nB : Type v\ninst✝¹⁵ : CommRing B\ninst✝¹⁴ : Algebra R B\ninst✝¹³ : Algebra S B\ninst✝¹² : IsScalarTower R S B\nf✝ : A →ₐ[S] B\nF : Type u\ninst✝¹¹ : Field F\ninst✝¹⁰ : Algebra R F\ninst✝⁹ : Algebra S F\ninst✝⁸ : IsScalarTower R S F\nK : Type v\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : Algebra S K\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S K\nf : F →ₐ[S] K\nL : Type w\ninst✝³ : Field L\ninst✝² : Algebra R L\ninst✝¹ : Algebra S L\ninst✝ : IsScalarTower R S L\ng : K →ₐ[S] L\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\n⊢ (baseChange W K).toAffine.slope (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f y₂) = f ((baseChange W F).toAffine.slope x₁ x₂ y₁ y₂)"} {"_id": "200662", "text": "k : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring k\ninst✝ : AddMonoid G\np : k[G] → Prop\nf : k[G]\nhM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))\nhadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)\nhsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)\n⊢ p f"} {"_id": "200663", "text": "case refine_1\nk : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring k\ninst✝ : AddMonoid G\np : k[G] → Prop\nf : k[G]\nhM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))\nhadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)\nhsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)\n⊢ p 0"} {"_id": "200664", "text": "case refine_2\nk : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring k\ninst✝ : AddMonoid G\np : k[G] → Prop\nf : k[G]\nhM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))\nhadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)\nhsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)\ng : G\nr : k\n⊢ p (Finsupp.single g r)"} {"_id": "200665", "text": "case h.e'_1\nk : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring k\ninst✝ : AddMonoid G\np : k[G] → Prop\nf : k[G]\nhM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))\nhadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)\nhsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)\ng : G\nr : k\n⊢ Finsupp.single g r = r • (of k G) (Multiplicative.ofAdd g)"} {"_id": "200668", "text": "case pos\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\nh : applyId (xs.zip ys) x = applyId (xs.zip ys) y\nhx : x ∈ xs\nhy : y ∈ xs\n⊢ x = y"} {"_id": "200673", "text": "case pos.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\nh : applyId (xs.zip ys) x = applyId (xs.zip ys) y\ni : ℕ\nhx : xs[i]? = some x\nj : ℕ\nhy : xs[j]? = some y\nh₂ : xs.length = ys.length\n⊢ some x = some y"} {"_id": "200676", "text": "case pos.intro.intro.e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\ni : ℕ\nh : ys[i]? = some (applyId (xs.zip ys) y)\nhx : xs[i]? = some x\nj : ℕ\nhy : xs[j]? = some y\nh₂ : xs.length = ys.length\n⊢ i = j"} {"_id": "200680", "text": "case pos.intro.intro.e_a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\ni : ℕ\nh : ys[i]? = some (applyId (xs.zip ys) y)\nhx : xs[i]? = some x\nj : ℕ\nhy : xs[j]? = some y\nh₂ : xs.length = ys.length\n⊢ ys[j]? = some (applyId (xs.zip ys) y)"} {"_id": "200682", "text": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\ni : ℕ\nh : ys[i]? = some (applyId (xs.zip ys) y)\nhx : xs[i]? = some x\nj : ℕ\nhy : xs[j]? = some y\nh₂ : xs.length = ys.length\n⊢ i < xs.length"} {"_id": "200685", "text": "case neg\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\nh : applyId (xs.zip ys) x = applyId (xs.zip ys) y\nhx : x ∈ xs\nhy : y ∉ xs\n⊢ x = y"} {"_id": "200688", "text": "case pos\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\nh : applyId (xs.zip ys) x = applyId (xs.zip ys) y\nhx : x ∉ xs\nhy : y ∈ xs\n⊢ x = y"} {"_id": "200691", "text": "case neg\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx y : α\nh : applyId (xs.zip ys) x = applyId (xs.zip ys) y\nhx : x ∉ xs\nhy : y ∉ xs\n⊢ x = y"} {"_id": "200692", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nh₁ : I₁ ≤ I\nh₂ : I₂ ≤ I\n⊢ ⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆"} {"_id": "200693", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nh₁ : I₁ ≤ I\nh₂ : I₂ ≤ I\n⊢ comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆"} {"_id": "200695", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\n⊢ XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) =\n YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))"} {"_id": "200696", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\n⊢ XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) =\n YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))"} {"_id": "200697", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\n⊢ span\n {XClass W x₁ * XClass W x₂, XClass W x₁ * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)),\n YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W x₂,\n YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} *\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} =\n YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})"} {"_id": "200698", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\n⊢ span {XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔\n span\n {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔\n span\n {XClass W x₁ * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔\n span\n {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W x₂ *\n XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} =\n YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})"} {"_id": "200699", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\n⊢ span\n {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) *\n (mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔\n span\n {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) *\n (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) *\n XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔\n span\n {XClass W x₁ * (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) *\n XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔\n span\n {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W x₂ *\n XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} =\n YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})"} {"_id": "200700", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\n⊢ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} *\n (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔\n span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} *\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔\n span {XClass W x₁} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔\n span {XClass W x₂} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}) =\n YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) *\n (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})"} {"_id": "200702", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\n⊢ (span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)})) *\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} =\n span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}"} {"_id": "200703", "text": "case h.e'_2.h.e'_5\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\n⊢ span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)}) = ⊤"} {"_id": "200705", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nx✝² x✝¹ c x✝ : Ideal W.CoordinateRing\n⊢ x✝² ⊔ (x✝¹ ⊔ (c ⊔ x✝)) = x✝² ⊔ x✝ ⊔ x✝¹ ⊔ c"} {"_id": "200706", "text": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nhx : x₁ = x₂\n⊢ ∃ x,\n (∃ a a_1 a_2, a_2 * (Y - W.negPolynomial) = x + a * C (X - C x₁) + a_1 * C (X - C x₂)) ∧\n (AdjoinRoot.mk W.polynomial) x = 1"} {"_id": "200708", "text": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nh₂ : W.Equation x₁ y₁\nhxy : x₁ = x₁ → y₁ ≠ W.negY x₁ y₁\ny : F := (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2\n⊢ ∃ x,\n (∃ a a_1 a_2, a_2 * (Y - W.negPolynomial) = x + a * C (X - C x₁) + a_1 * C (X - C x₁)) ∧\n (AdjoinRoot.mk W.polynomial) x = 1"} {"_id": "200709", "text": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nh₂ : W.Equation x₁ y₁\ny : F := (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2\nhxy : (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2 ≠ 0\n⊢ ∃ x,\n (∃ a a_1 a_2, a_2 * (Y - W.negPolynomial) = x + a * C (X - C x₁) + a_1 * C (X - C x₁)) ∧\n (AdjoinRoot.mk W.polynomial) x = 1"} {"_id": "200710", "text": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nh₂ : W.Equation x₁ y₁\ny : F := (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2\nhxy : (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2 ≠ 0\n⊢ C (C y⁻¹) * (Y - W.negPolynomial) * (Y - W.negPolynomial) =\n 1 + C (C (y⁻¹ * 4)) * W.polynomial +\n C (C y⁻¹ * (C 4 * X ^ 2 + C (4 * x₁ + b₂ W) * X + C (4 * x₁ ^ 2 + b₂ W * x₁ + 2 * b₄ W))) * C (X - C x₁) +\n 0 * C (X - C x₁)"} {"_id": "200711", "text": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nh₂ : W.Equation x₁ y₁\ny : F := (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2\nhxy : (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2 ≠ 0\n⊢ C (C ((y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2)) *\n (C (C y⁻¹) * (Y - (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) * (Y - (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃)))) =\n C (C ((y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2)) *\n (1 + C (C (y⁻¹ * 4)) * (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) +\n C (C y⁻¹ * (C 4 * X ^ 2 + C (4 * x₁ + b₂ W) * X + C (4 * x₁ ^ 2 + b₂ W * x₁ + 2 * b₄ W))) * C (X - C x₁) +\n 0 * C (X - C x₁))"} {"_id": "200712", "text": "case pos\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nh₂ : W.Equation x₁ y₁\ny : F := (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2\nhxy : (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2 ≠ 0\n⊢ C (C 1) * (Y - (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) * (Y - (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) =\n C (C ((y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2)) * 1 +\n C (C (1 * 4)) * (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) +\n C\n ((C (1 * 4) * X ^ 2 + C (1 * 4 * x₁ + 1 * b₂ W) * X + C (1 * 4 * x₁ ^ 2 + 1 * b₂ W * x₁ + 1 * 2 * b₄ W)) *\n (X - C x₁)) +\n C (C ((y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2)) * 0 * C (X - C x₁)"} {"_id": "200713", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nh₂ : W.Equation x₁ y₁\ny : F := (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2\nhxy : (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2 ≠ 0\n⊢ (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (1 + C (C (y⁻¹ * 4)) * W.polynomial) = 1"} {"_id": "200714", "text": "case a\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nh₂ : W.Equation x₁ y₁\ny : F := (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2\nhxy : (y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2 ≠ 0\n⊢ C (C 1) * (Y - (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) * (Y - (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) -\n (C (C ((y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2)) * 1 +\n C (C (1 * 4)) * (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) +\n C\n ((C (1 * 4) * X ^ 2 + C (1 * 4 * x₁ + 1 * b₂ W) * X + C (1 * 4 * x₁ ^ 2 + 1 * b₂ W * x₁ + 1 * 2 * b₄ W)) *\n (X - C x₁)) +\n C (C ((y₁ - W.negY x₁ y₁) ^ 2)) * 0 * C (X - C x₁)) -\n (-4 * C (C (y₁ ^ 2 + W.a₁ * x₁ * y₁ + W.a₃ * y₁)) - -4 * C (C (x₁ ^ 3 + W.a₂ * x₁ ^ 2 + W.a₄ * x₁ + W.a₆))) =\n 0"} {"_id": "200718", "text": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nhx : x₁ - x₂ ≠ 0\n⊢ ∃ x,\n (∃ a a_1 a_2, a_2 * (Y - W.negPolynomial) = x + a * C (X - C x₁) + a_1 * C (X - C x₂)) ∧\n (AdjoinRoot.mk W.polynomial) x = 1"} {"_id": "200719", "text": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nhx : x₁ - x₂ ≠ 0\n⊢ 0 * (Y - W.negPolynomial) = 1 + C (C (x₁ - x₂)⁻¹) * C (X - C x₁) + C (C ((x₁ - x₂)⁻¹ * -1)) * C (X - C x₂)"} {"_id": "200720", "text": "case neg\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Equation x₁ y₁\nh₂ : W.Equation x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nsup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c\nhx : x₁ - x₂ ≠ 0\n⊢ C (C (x₁ - x₂)) * (0 * (Y - W.negPolynomial)) =\n C (C (x₁ - x₂)) * (1 + C (C (x₁ - x₂)⁻¹) * C (X - C x₁) + C (C ((x₁ - x₂)⁻¹ * -1)) * C (X - C x₂))"} {"_id": "200723", "text": "n : Int\nd : Nat\n⊢ -mkRat n d = mkRat (-n) d"} {"_id": "200726", "text": "n : Int\nd : Nat\nz : ¬d = 0\n⊢ -mkRat n d = mkRat (-n) d"} {"_id": "200728", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nD D1 D2 : LieDerivation R L M\na b : L\ns : Set L\nh : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s\nz : L\nhz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)\nzero : D1 0 = D2 0\nx✝¹ : R\nx✝ : L\nhx : D1 x✝ = D2 x✝\n⊢ D1 (x✝¹ • x✝) = D2 (x✝¹ • x✝)"} {"_id": "200730", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nD D1 D2 : LieDerivation R L M\na b : L\ns : Set L\nh : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s\nz : L\nhz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)\nzero : D1 0 = D2 0\nsmul : ∀ (r : R) {x : L}, D1 x = D2 x → D1 (r • x) = D2 (r • x)\nadd : ∀ (x y : L), D1 x = D2 x → D1 y = D2 y → D1 (x + y) = D2 (x + y)\nx✝¹ x✝ : L\nhx : D1 x✝¹ = D2 x✝¹\nhy : D1 x✝ = D2 x✝\n⊢ D1 ⁅x✝¹, x✝⁆ = D2 ⁅x✝¹, x✝⁆"} {"_id": "200731", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\n⊢ self.parent (self.rootD x) = self.rootD x"} {"_id": "200732", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\n⊢ self.parent (if h : x < self.size then ↑(self.root ⟨x, h⟩) else x) =\n if h : x < self.size then ↑(self.root ⟨x, h⟩) else x"} {"_id": "200733", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : BEq α\na : α\ninst✝ : LawfulBEq α\nl₁ l₂ : List α\nh : a ∈ l₁\n⊢ (l₁ ++ l₂).erase a = l₁.erase a ++ l₂"} {"_id": "200734", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : BEq α\na : α\ninst✝ : LawfulBEq α\nl₁ l₂ : List α\nh : a ∈ l₁\n⊢ eraseP (fun x => a == x) (l₁ ++ l₂) = eraseP (fun x => a == x) l₁ ++ l₂"} {"_id": "200735", "text": "u v : ℤ\nhu : IsUnit u\n⊢ u = 1 ∨ u = -1"} {"_id": "200736", "text": "F : Type v'\nR' : Type u'\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w'\ninst✝¹⁶ : CommSemiring R\ninst✝¹⁵ : StarRing R\ninst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A\ninst✝¹³ : StarRing A\ninst✝¹² : Module R A\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R A A\ninst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁹ : StarModule R A\ninst✝⁸ : NonUnitalSemiring B\ninst✝⁷ : StarRing B\ninst✝⁶ : Module R B\ninst✝⁵ : IsScalarTower R B B\ninst✝⁴ : SMulCommClass R B B\ninst✝³ : StarModule R B\ninst✝² : FunLike F A B\ninst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\ninst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B\nS : NonUnitalStarSubalgebra R A\n⊢ ↑(centralizer R Set.univ) = ↑(center R A)"} {"_id": "200737", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieRing L\ninst✝³ : LieAlgebra R L\ninst✝² : LieAlgebra K L\nL' : Type u_5\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\ne : L ≃ₗ⁅R⁆ L'\nx y : L\n⊢ ((killingForm R L') (e x)) (e y) = ((killingForm R L) x) y"} {"_id": "200739", "text": "case ofNat\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝ : Group α\na b : α\na✝ : ℕ\n⊢ (a * b * a⁻¹) ^ Int.ofNat a✝ = a * b ^ Int.ofNat a✝ * a⁻¹"} {"_id": "200740", "text": "case negSucc\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝ : Group α\na b : α\na✝ : ℕ\n⊢ (a * b * a⁻¹) ^ Int.negSucc a✝ = a * b ^ Int.negSucc a✝ * a⁻¹"} {"_id": "200741", "text": "case negSucc\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝ : Group α\na b : α\na✝ : ℕ\n⊢ a * ((b ^ (a✝ + 1))⁻¹ * a⁻¹) = a * (b ^ (a✝ + 1))⁻¹ * a⁻¹"} {"_id": "200742", "text": "α : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\nR : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : AddMonoid A\ninst✝ : AddMonoidWithOne R\n⊢ 1 = closure {1}"} {"_id": "200746", "text": "num : Int\nden g : Nat\nden_nz : den ≠ 0\ne : g = num.natAbs.gcd den\n⊢ (num.div ↑g).natAbs = num.natAbs / g"} {"_id": "200748", "text": "num : Int\nden g : Nat\nden_nz : den ≠ 0\nw✝ : Nat\ne : g = (-↑w✝).natAbs.gcd den\n⊢ ((-↑w✝).div ↑g).natAbs = (-↑w✝).natAbs / g"} {"_id": "200752", "text": "case pos.h\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : c.Rel j j'\ni₂ : I₂\ni₁ : I₁\nh₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j\n⊢ K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ (K.totalFlipIsoX c j).hom ≫ K.D₂ c j j' =\n K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ K.flip.D₁ c j j' ≫ (K.totalFlipIsoX c j').hom"} {"_id": "200753", "text": "case pos.h\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : c.Rel j j'\ni₂ : I₂\ni₁ : I₁\nh₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j\n⊢ K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ (K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j ⋯) ≫ K.D₂ c j j' =\n K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫\n K.flip.D₁ c j j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯"} {"_id": "200755", "text": "case pos\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : c.Rel j j'\ni₂ : I₂\ni₁ : I₁\nh₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j\nh₂ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)\n⊢ c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.d₂ c i₁ i₂ j' =\n K.flip.d₁ c i₂ i₁ j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯"} {"_id": "200756", "text": "case pos\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : c.Rel j j'\ni₂ : I₂\ni₁ : I₁\nh₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j\nh₂ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)\nh₃ : c₂.π c₁ c (c₂.next i₂, i₁) = j'\n⊢ c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.d₂ c i₁ i₂ j' =\n K.flip.d₁ c i₂ i₁ j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯"} {"_id": "200757", "text": "case pos\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : 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"200775", "text": "case h.e'_1.h.e'_7\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\ninst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\n𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)\nh𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), P (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) pullback.snd)\n𝒱 : (pullback f f).OpenCover :=\n (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i =>\n Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) pullback.snd pullback.snd\ni1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)\ni : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J\nj k : (𝒰' i).J\n⊢ pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) pullback.snd pullback.snd ((𝒰' i).map j)\n ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫\n pullback.map pullback.snd pullback.snd f f pullback.fst pullback.fst (𝒰.map i) ⋯ ⋯ =\n pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) f f ((𝒰' i).map j ≫ pullback.fst)\n ((𝒰' i).map k ≫ pullback.fst) (𝒰.map i) ⋯ ⋯\n\ncase h.e'_3.e'_7\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\ninst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\n𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)\nh𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), P (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) pullback.snd)\n𝒱 : (pullback f f).OpenCover :=\n (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i =>\n Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) pullback.snd pullback.snd\ni1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)\ni : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J\nj k : (𝒰' i).J\ne_1✝ :\n pullback (pullback.diagonal f)\n (pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) pullback.snd pullback.snd ((𝒰' i).map j)\n ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫\n pullback.map pullback.snd pullback.snd f f pullback.fst pullback.fst (𝒰.map i) ⋯ ⋯) =\n pullback (pullback.diagonal f)\n (pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) f f ((𝒰' i).map j ≫ pullback.fst)\n ((𝒰' i).map k ≫ pullback.fst) (𝒰.map i) ⋯ ⋯)\n⊢ pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) pullback.snd pullback.snd ((𝒰' i).map j)\n ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫\n pullback.map pullback.snd pullback.snd f f pullback.fst pullback.fst (𝒰.map i) ⋯ ⋯ =\n pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) f f ((𝒰' i).map j ≫ pullback.fst)\n ((𝒰' i).map k ≫ pullback.fst) (𝒰.map i) ⋯ ⋯"} {"_id": "200779", "text": "case h.e'_3\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\ninst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\n𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)\nh𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), P (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) pullback.snd)\n𝒱 : (pullback f f).OpenCover :=\n (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i =>\n Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) pullback.snd pullback.snd\ni1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)\ni : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J\nj k : (𝒰' i).J\n⊢ (pullbackDiagonalMapIso f (𝒰.map i) ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k)).inv ≫ pullback.snd =\n pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) pullback.snd"} {"_id": "200780", "text": "case h.e'_3.e'_7\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\ninst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\n𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)\nh𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), P (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) pullback.snd)\n𝒱 : (pullback f f).OpenCover :=\n (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i =>\n Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) pullback.snd pullback.snd\ni1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)\ni : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J\nj k : (𝒰' i).J\ne_1✝ :\n pullback (pullback.diagonal f)\n (pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) pullback.snd pullback.snd ((𝒰' i).map j)\n ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫\n pullback.map pullback.snd pullback.snd f f pullback.fst pullback.fst (𝒰.map i) ⋯ ⋯) =\n pullback (pullback.diagonal f)\n (pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) f f ((𝒰' i).map j ≫ pullback.fst)\n ((𝒰' i).map k ≫ pullback.fst) (𝒰.map i) ⋯ ⋯)\n⊢ pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) pullback.snd pullback.snd ((𝒰' i).map j)\n ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫\n pullback.map pullback.snd pullback.snd f f pullback.fst pullback.fst (𝒰.map i) ⋯ ⋯ =\n pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd) f f ((𝒰' i).map j ≫ pullback.fst)\n ((𝒰' i).map k ≫ pullback.fst) (𝒰.map i) ⋯ ⋯"} {"_id": "200781", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : Group α\ninst✝¹ : LinearOrder α\na✝¹ b✝ : α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na✝ b c a : α\n⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a⁻¹"} {"_id": "200784", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK K' : LieSubalgebra R L\nh : K ≤ K'\n⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K') I = ofLe h) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K"} {"_id": "200790", "text": "M : Type u_1\ninst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M\ninst✝ : ExistsAddOfLE M\na b c d : M\n⊢ (fun x => a + x) '' Ioi b = Ioi (a + b)"} {"_id": "200793", "text": "case zero\nf : ℕ → ℕ\n⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), (fun x => 0) n < ack m n"} {"_id": "200795", "text": "case succ\nf : ℕ → ℕ\nn : ℕ\n⊢ n.succ < ack 1 n"} {"_id": "200796", "text": "case succ\nf : ℕ → ℕ\nn : ℕ\n⊢ 1 + n < ack 1 n"} {"_id": "200798", "text": "case left\nf : ℕ → ℕ\nn : ℕ\n⊢ (fun n => (unpair n).1) n < ack 0 n"} {"_id": "200799", "text": "case left\nf : ℕ → ℕ\nn : ℕ\n⊢ (fun n => (unpair n).1) n ≤ n"} {"_id": "200801", "text": "case right\nf : ℕ → ℕ\nn : ℕ\n⊢ (fun n => (unpair n).2) n < ack 0 n"} {"_id": "200802", "text": "case right\nf : ℕ → ℕ\nn : ℕ\n⊢ (fun n => (unpair n).2) n ≤ n"} {"_id": "200805", "text": "case pair.intro.intro\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\n⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), (fun n => pair (f n) (g n)) n < ack m n"} {"_id": "200806", "text": "case pair.intro.intro\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nn : ℕ\n⊢ max (f n) (g n) ≤ ack (max a b) n"} {"_id": "200807", "text": "case pair.intro.intro\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nn : ℕ\n⊢ max (f n) (g n) ≤ max (ack a n) (ack b n)"} {"_id": "200808", "text": "case comp.intro.intro\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\n⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), (fun n => f (g n)) n < ack m n"} {"_id": "200809", "text": "case prec.intro.intro\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nthis : ∀ {m n : ℕ}, rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\n⊢ ∃ m, ∀ (n : ℕ), unpaired (fun z n => rec (f z) (fun y IH => g (pair z (pair y IH))) n) n < ack m n"} {"_id": "200812", "text": "case zero\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm : ℕ\n⊢ rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) 0 < ack (max a b + 9) (m + 0)"} {"_id": "200814", "text": "case succ\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\n⊢ rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) (n + 1) < ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200815", "text": "case succ\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\n⊢ g (pair m (pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n))) < ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200816", "text": "f✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\n⊢ ack (b + 4) (max m (pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n))) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200817", "text": "case inr\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\n⊢ ack (b + 4) (max m (pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n))) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200818", "text": "case inr\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\n⊢ ack (b + 4) (pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200819", "text": "case inr\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\n⊢ ack (b + 4 + 4) (max n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200820", "text": "case inr.inr\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\nh₂ : n ≤ rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n\n⊢ ack (b + 4 + 4) (max n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200821", "text": "case inr.inr\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\nh₂ : n ≤ rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n\n⊢ ack (b + 4 + 4) (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200822", "text": "case inr.inr\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\nh₂ : n ≤ rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n\n⊢ ack (b + 4 + 4) (ack (max a b + 9) (m + n)) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200823", "text": "case inr.inr\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\nh₂ : n ≤ rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n\n⊢ ack (b + (4 + 4)) (ack (max a b + 8 + 1) (m + n)) ≤ ack (max a b + 8) (ack (max a b + 8 + 1) (m + n))"} {"_id": "200824", "text": "case inl\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : ?m.125545 < m\n⊢ ack (b + 4) (max m (pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n))) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200825", "text": "case inl\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n) < m\n⊢ ack (b + 4) m ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200827", "text": "case inr.inl\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\nh₂ : ?m.125989 < n\n⊢ ack (b + 4 + 4) (max n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)) ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200828", "text": "case inr.inl\nf✝ f g : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\nhg : Nat.Primrec g\na : ℕ\nha : ∀ (n : ℕ), f n < ack a n\nb : ℕ\nhb : ∀ (n : ℕ), g n < ack b n\nm n : ℕ\nIH : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < ack (max a b + 9) (m + n)\nh₁ : m ≤ pair n (rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n)\nh₂ : rec (f m) (fun y IH => g (pair m (pair y IH))) n < n\n⊢ ack (b + (4 + 4)) n ≤ ack (max a b + 9) (m + (n + 1))"} {"_id": "200830", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\nι : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq ι\nc : ComplexShape ι\nj : ι\nA : C\n⊢ (singleObjHomologySelfIso c j A).hom ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom = ((single C c j).obj A).homologyι j"} {"_id": "200832", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\nK : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nα : Cochain F K m\nβ : Cochain G K n\nh : m + 1 = n\nn' : ℤ\nhn' : n + 1 = n'\n⊢ δ n n' (descCochain φ α β h) =\n (↑(fst φ)).comp (δ m n α + n'.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯ + (snd φ).comp (δ n n' β) ⋯"} {"_id": "200833", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\nK : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nα : Cochain F K m\nβ : Cochain G K n\nh : m + 1 = n\nn' : ℤ\nhn' : n + 1 = n'\n⊢ δ n n' ((↑(fst φ)).comp α ⋯ + (snd φ).comp β ⋯) =\n (↑(fst φ)).comp (δ m n α + n'.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯ + (snd φ).comp (δ n n' β) ⋯"} {"_id": "200838", "text": "case mk.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\n⊢ ∃ h s, f ∘ₗ h = s • g"} {"_id": "200839", "text": "case mk.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\n⊢ ∃ h s, f ∘ₗ h = s • g"} {"_id": "200840", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\n⊢ LinearMap.range π = ⊤"} {"_id": "200842", "text": "case mk.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : 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Function.Surjective ⇑π\ns : N' → N × ↥S\nhs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1\ni : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1\ns₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2\nhi : f ∘ₗ Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i = (s₀ • g) ∘ₗ π\ns' : { x // x ∈ τ } → ↥S\nhs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) ↑x = 0\ns₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i\n⊢ ∃ h s, f ∘ₗ h = s • g"} {"_id": "200849", "text": "case mk.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\nhπ : Function.Surjective ⇑π\ns : N' → N × ↥S\nhs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1\ni : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1\ns₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2\nhi : f ∘ₗ Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i = (s₀ • g) ∘ₗ π\ns' : { x // x ∈ τ } → ↥S\nhs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) ↑x = 0\ns₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i\nthis : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i)\n⊢ ∃ h s, f ∘ₗ h = s • g"} {"_id": "200852", "text": "case mk.intro.intro.intro.h.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ 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R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\nhπ : Function.Surjective ⇑π\ns : N' → N × ↥S\nhs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1\ni : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1\ns₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2\nhi : f ∘ₗ Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i = (s₀ • g) ∘ₗ π\ns' : { x // x ∈ τ } → ↥S\nhs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) ↑x = 0\ns₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i\nthis : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i)\nx : { x // x ∈ σ } →₀ R\n⊢ (LinearMap.ker π).liftQ (s₁ • Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) this ∘ₗ ↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm ∘ₗ π =\n s₁ • Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i"} {"_id": "200856", "text": "case h.e'_2.h.e'_21.h.h.h.h.h.h\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\nhπ : Function.Surjective ⇑π\ns : N' → N × ↥S\nhs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1\ni : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1\ns₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2\nhi : f ∘ₗ Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i = (s₀ • g) ∘ₗ π\ns' : { x // x ∈ τ } → ↥S\nhs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) ↑x = 0\ns₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i\nthis : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i)\nx✝ : { x // x ∈ σ } →₀ R\ne_7✝ : CommSemiring.toSemiring = Ring.toSemiring\ne_10✝ : Finsupp.instAddCommMonoid = AddCommGroup.toAddCommMonoid\nhe✝ : RingHom.id R = RingHom.id R\nx : { x // x ∈ σ }\n⊢ ((↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm ∘ₗ π) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((LinearMap.ker π).mkQ ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1"} {"_id": "200857", "text": "case h.e'_2.h.e'_21.h.h.h.h.h.h.a\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\nhπ : Function.Surjective ⇑π\ns : N' → N × ↥S\nhs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1\ni : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1\ns₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2\nhi : f ∘ₗ Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i = (s₀ • g) ∘ₗ π\ns' : { x // x ∈ τ } → ↥S\nhs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) ↑x = 0\ns₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i\nthis : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i)\nx✝ : { x // x ∈ σ } →₀ R\ne_7✝ : CommSemiring.toSemiring = Ring.toSemiring\ne_10✝ : Finsupp.instAddCommMonoid = AddCommGroup.toAddCommMonoid\nhe✝ : RingHom.id R = RingHom.id R\nx : { x // x ∈ σ }\n⊢ (π.quotKerEquivOfSurjective hπ) (((↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm ∘ₗ π) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) =\n (π.quotKerEquivOfSurjective hπ) (((LinearMap.ker π).mkQ ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1)"} {"_id": "200859", "text": "case h.h\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\nhπ : Function.Surjective ⇑π\ns : N' → N × ↥S\nhs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1\ni : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1\ns₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2\nj : { x // x ∈ σ }\n⊢ ((f ∘ₗ Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) ∘ₗ Finsupp.lsingle j) 1 = (((s₀ • g) ∘ₗ π) ∘ₗ Finsupp.lsingle 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N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module R N'\nS : Submonoid R\nf : N →ₗ[R] N'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\ng : M →ₗ[R] N'\nσ : Finset M\nhσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤\nτ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)\nhτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)\nπ : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val\nhπ : Function.Surjective ⇑π\ns : N' → N × ↥S\nhs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1\ni : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1\ns₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2\nhi : f ∘ₗ Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i = (s₀ • g) ∘ₗ π\nx : { x // x ∈ τ }\n⊢ f ((Finsupp.total { x // x ∈ σ } N R i) ↑x) = f 0"} {"_id": "200867", "text": "case h.e'_2.h.e'_6\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nN : Type u_4\nN' : Type u_3\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R N\ninst✝² : AddCommGroup N'\ninst✝¹ : Module 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Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsCompact U.carrier\nx f : ↑Γ(X, U)\nH : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0\ns : Set ↑X.affineOpens\nhs : s.Finite\ne : U = ⨆ i, ↑↑i\nh₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U\ni : ↑s\n⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ≤ X.basicOpen f"} {"_id": "200907", "text": "X✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nZ X : Scheme\ns : Set ↑X.affineOpens\nhs : s.Finite\nn : ↑s → ℕ\nthis✝ : Finite ↑s\nval✝ : Fintype ↑s\nhU : IsCompact (⨆ i, ↑↑i).carrier\nx f : ↑Γ(X, ⨆ i, ↑↑i)\nH : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0\nh₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ ⨆ i, ↑↑i\nhn : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0\nthis : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ Finset.univ.sup n * x) = 0\n⊢ f ^ Finset.univ.sup n * x = 0"} {"_id": "200911", "text": "R : Type u_1\nR' : Type u_2\nA : Type u_3\nT : Type u_4\nB : Type u_5\nι : Type u_6\ninst✝¹¹ : SemilatticeSup B\ninst✝¹⁰ : OrderBot B\ninst✝⁹ : SemilatticeInf T\ninst✝⁸ : OrderTop T\ninst✝⁷ : CommSemiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid A\ninst✝⁵ : AddCommMonoid B\ninst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝² : AddCommMonoid T\ninst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ndegb : A → B\ndegt : A → T\ndegt0 : 0 ≤ degt 0\ndegtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)\ns : Finset ι\nf : ι → R[A]\n⊢ ∑ i ∈ s, (f i).support.inf degt = (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum"} {"_id": "200913", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} V\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms V\ninst✝⁶ : HasZeroObject V\ninst✝⁵ : HasEqualizers V\ninst✝⁴ : HasImages V\ninst✝³ : HasImageMaps V\ninst✝² : HasCokernels V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nW : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.22921, u_2} W\ninst✝ : Abelian W\nX : ChainComplex W ℕ\nY : W\nf : X ⟶ (ChainComplex.single₀ W).obj Y\nhf✝ hf : QuasiIso' f\n⊢ X.d 1 0 ≫ f.f 0 = 0"} {"_id": "200914", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} V\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms V\ninst✝⁶ : HasZeroObject V\ninst✝⁵ : HasEqualizers V\ninst✝⁴ : HasImages V\ninst✝³ : HasImageMaps V\ninst✝² : HasCokernels V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nW : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.22921, u_2} W\ninst✝ : Abelian W\nX : ChainComplex W ℕ\nY : W\nf : X ⟶ (ChainComplex.single₀ W).obj Y\nhf✝ hf : QuasiIso' f\n⊢ f.f 1 ≫ ((ChainComplex.single₀ W).obj Y).d 1 0 = 0"} {"_id": "200916", "text": "case h\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} V\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms V\ninst✝⁶ : HasZeroObject V\ninst✝⁵ : HasEqualizers V\ninst✝⁴ : HasImages V\ninst✝³ : HasImageMaps V\ninst✝² : HasCokernels V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nW : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_2} W\ninst✝ : Abelian W\nX : ChainComplex W ℕ\nY : W\nf : X ⟶ (ChainComplex.single₀ W).obj Y\nhf✝ hf : QuasiIso' f\n⊢ coequalizer.π (X.d 1 0) 0 ≫ (toSingle₀CokernelAtZeroIso f).hom =\n coequalizer.π (X.d 1 0) 0 ≫ cokernel.desc (X.d 1 0) (f.f 0) ⋯"} {"_id": "200917", "text": "case h\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} V\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms V\ninst✝⁶ : HasZeroObject V\ninst✝⁵ : HasEqualizers V\ninst✝⁴ : HasImages V\ninst✝³ : HasImageMaps V\ninst✝² : HasCokernels V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nW : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_2} W\ninst✝ : Abelian W\nX : ChainComplex W ℕ\nY : W\nf : X ⟶ (ChainComplex.single₀ W).obj Y\nhf✝ hf : QuasiIso' f\n⊢ coequalizer.π (X.d 1 0) 0 ≫\n (({\n hom :=\n homology'.map ⋯ ⋯\n (Arrow.isoMk (xPrevIso X ChainComplex.homology'ZeroIso.proof_10)\n (Iso.refl (Arrow.mk (dTo X 0)).right) ⋯).hom\n (Arrow.isoMk (Iso.refl (Arrow.mk (dFrom X 0)).left) (Iso.refl (Arrow.mk (dFrom X 0)).right) ⋯).hom\n ⋯,\n inv :=\n homology'.map ⋯ ⋯\n (Arrow.isoMk (xPrevIso X ChainComplex.homology'ZeroIso.proof_10)\n (Iso.refl (Arrow.mk (dTo X 0)).right) ⋯).inv\n (Arrow.isoMk (Iso.refl (Arrow.mk (dFrom X 0)).left) (Iso.refl (Arrow.mk (dFrom X 0)).right) ⋯).inv\n ⋯,\n hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ≪≫\n cokernel.mapIso (imageToKernel (X.d 1 0) 0 ⋯) (image.ι (X.d 1 0)) (imageSubobjectIso (X.d 1 0))\n (kernelSubobjectIso 0 ≪≫ kernelZeroIsoSource) ⋯ ≪≫\n cokernelImageι (X.d 1 0)).symm ≪≫\n asIso ((homology'Functor W (ComplexShape.down ℕ) 0).map f) ≪≫\n (NatIso.ofComponents (fun X => homology'.congr ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ≪≫ homology'ZeroZero) ⋯).app Y).hom =\n coequalizer.π (X.d 1 0) 0 ≫ cokernel.desc (X.d 1 0) (f.f 0) ⋯"} {"_id": "200918", "text": "case h\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} V\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms V\ninst✝⁶ : HasZeroObject V\ninst✝⁵ : HasEqualizers V\ninst✝⁴ : HasImages V\ninst✝³ : HasImageMaps V\ninst✝² : HasCokernels V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nW : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_2} W\ninst✝ : Abelian W\nX : ChainComplex W ℕ\nY : W\nf : X ⟶ (ChainComplex.single₀ W).obj Y\nhf✝ hf : QuasiIso' f\n⊢ cokernel.π (X.d 1 0) ≫\n ((cokernel.desc (X.d 1 0) (cokernel.π (image.ι (X.d 1 0))) ⋯ ≫\n cokernel.map (image.ι (X.d 1 0)) (imageToKernel (X.d 1 0) 0 ⋯) (imageSubobjectIso (X.d 1 0)).inv\n (kernelZeroIsoSource.inv ≫ (kernelSubobjectIso 0).inv) ⋯) ≫\n homology'.map ⋯ ⋯ (Arrow.isoMk (xPrevIso X ChainComplex.homology'ZeroIso.proof_10) (Iso.refl (X.X 0)) ⋯).inv\n (Arrow.isoMk (Iso.refl (X.X 0)) (Iso.refl (xNext X 0)) ⋯).inv ⋯) ≫\n homology'.map ⋯ ⋯ (sqTo f 0) (sqFrom f 0) ⋯ ≫\n homology'.map ⋯ ⋯ { left := 𝟙 (xPrev ((ChainComplex.single₀ W).obj Y) 0), right := 𝟙 Y, w := ⋯ }\n { left := 𝟙 Y, right := 𝟙 (xNext ((ChainComplex.single₀ W).obj Y) 0), w := ⋯ } ⋯ ≫\n homology'.desc 0 0 ⋯ (kernelSubobject 0).arrow ⋯ =\n cokernel.π (X.d 1 0) ≫ cokernel.desc (X.d 1 0) (f.f 0) ⋯"} {"_id": "200919", "text": "case h\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} V\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms V\ninst✝⁶ : HasZeroObject V\ninst✝⁵ : HasEqualizers V\ninst✝⁴ : HasImages V\ninst✝³ : HasImageMaps V\ninst✝² : HasCokernels V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nW : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_2} W\ninst✝ : Abelian W\nX : ChainComplex W ℕ\nY : W\nf : X ⟶ (ChainComplex.single₀ W).obj Y\nhf✝ hf : QuasiIso' f\n⊢ kernelZeroIsoSource.inv ≫\n (kernelSubobjectIso 0).inv ≫\n cokernel.π (imageToKernel (X.d 1 0) 0 ⋯) ≫\n homology'.desc (X.d 1 0) 0 ⋯\n (kernelSubobjectMap (Arrow.isoMk (Iso.refl (X.X 0)) (Iso.refl (xNext X 0)) ⋯).inv ≫\n kernelSubobjectMap (sqFrom f 0) ≫\n kernelSubobjectMap { left := 𝟙 Y, right := 𝟙 (xNext ((ChainComplex.single₀ W).obj Y) 0), w := ⋯ } ≫\n (kernelSubobject 0).arrow)\n ⋯ =\n f.f 0"} {"_id": "200920", "text": "G✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : 1 < A.card * B.card\n⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2"} {"_id": "200922", "text": "case intro.intro.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\n⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2"} {"_id": "200923", "text": "case intro.intro.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\n⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2"} {"_id": "200924", "text": "case intro.intro.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\n⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2"} {"_id": "200925", "text": "case intro.intro.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\n⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2"} {"_id": "200926", "text": "case intro.intro.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\n⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2"} {"_id": "200927", "text": "G✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\n⊢ 1 < C.card ∨ 1 < D.card"} {"_id": "200929", "text": "G✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\nthis : ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d\n⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2"} {"_id": "200934", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\na0 : G\nha0 : a0 ∈ A\nhc : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ∈ C\nb0 : G\nhb0 : b0 ∈ B\nhd : { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ∈ D\nhne : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ≠ 1 ∨ { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ≠ 1\nhu' : UniqueMul C D ({ toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0) ({ toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0)\na' b' : G\nha' : a' ∈ A\nhb' : b' ∈ B\nhe : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2\n⊢ a' = (a0, b0).1 ∧ b' = (a0, b0).2"} {"_id": "200935", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\na0 : G\nha0 : a0 ∈ A\nhc : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ∈ C\nb0 : G\nhb0 : b0 ∈ B\nhd : { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ∈ D\nhne : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ≠ 1 ∨ { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ≠ 1\na' b' : G\nha' : a' ∈ A\nhb' : b' ∈ B\nhe : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2\nhu' :\n { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a' * { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b' =\n { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 * { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 →\n { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a' = { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ∧\n { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b' = { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0\n⊢ a' = (a0, b0).1 ∧ b' = (a0, b0).2"} {"_id": "200936", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\na0 : G\nha0 : a0 ∈ A\nhc : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ∈ C\nb0 : G\nhb0 : b0 ∈ B\nhd : { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ∈ D\nhne : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ≠ 1 ∨ { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ≠ 1\na' b' : G\nha' : a' ∈ A\nhb' : b' ∈ B\nhe : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2\nhu' : a⁻¹ * a' * (b' * b⁻¹) = a⁻¹ * a0 * (b0 * b⁻¹) → a' = a0 ∧ b' = b0\n⊢ a' = (a0, b0).1 ∧ b' = (a0, b0).2"} {"_id": "200937", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\na0 : G\nha0 : a0 ∈ A\nhc : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ∈ C\nb0 : G\nhb0 : b0 ∈ B\nhd : { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ∈ D\nhne : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ≠ 1 ∨ { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ≠ 1\na' b' : G\nha' : a' ∈ A\nhb' : b' ∈ B\nhe : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2\nhu' : a⁻¹ * ((a0, b0).1 * ((a0, b0).2 * b⁻¹)) = a⁻¹ * (a0 * (b0 * b⁻¹)) → a' = a0 ∧ b' = b0\n⊢ a' = (a0, b0).1 ∧ b' = (a0, b0).2"} {"_id": "200938", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\na0 : G\nha0 : a0 ∈ A\nhc : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ∈ C\nb0 : G\nhb0 : b0 ∈ B\nhd : { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ∈ D\nhne : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ≠ 1 ∨ { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ≠ 1\nhu' : UniqueMul C D ({ toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0) ({ toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0)\n⊢ (a0, b0) ≠ (a, b)"} {"_id": "200939", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\na0 : G\nha0 : a0 ∈ A\nhc : { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0 ∈ C\nb0 : G\nhb0 : b0 ∈ B\nhd : { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0 ∈ D\nhu' : UniqueMul C D ({ toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } a0) ({ toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } b0)\nhne : ¬a = a0 ∨ ¬b0 = b\n⊢ (a0, b0) ≠ (a, b)"} {"_id": "200940", "text": "case intro.intro.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\n⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d"} {"_id": "200941", "text": "case intro.intro.intro.intro.refine_1\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\n⊢ (image (fun x => x⁻¹) D * C).Nonempty\n\ncase intro.intro.intro.intro.refine_2\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\n⊢ (D * image (fun x => x⁻¹) C).Nonempty"} {"_id": "200944", "text": "case intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\ne f : G\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC : 1 ∈ C\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhe : e ∈ image (fun x => x⁻¹) D * C\nhf : f ∈ D * image (fun x => x⁻¹) C\nhu : UniqueMul (image (fun x => x⁻¹) D * C) (D * image (fun x => x⁻¹) C) e f\n⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d"} {"_id": "200955", "text": "case pos\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC : 1 ∈ C\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nd1 : G\nhd1 : d1 ∈ D\nc1 : G\nhc1 : c1 ∈ C\nd2 : G\nhd2 : d2 ∈ D\nc2 : G\nhc2 : c2 ∈ C\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹\nh12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1\nc3 d3 : G\nhc3 : c3 ∈ C\nhd3 : d3 ∈ D\nhe : c3 * d3 = c1 * d2\n⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2"} {"_id": "200956", "text": "case pos\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC : 1 ∈ C\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nd1 : G\nhd1 : d1 ∈ D\nc1 : G\nhc1 : c1 ∈ C\nd2 : G\nhd2 : d2 ∈ D\nc2 : G\nhc2 : c2 ∈ C\nh12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1\nc3 d3 : G\nhc3 : c3 ∈ C\nhd3 : d3 ∈ D\nhe : c3 * d3 = c1 * d2\nhu : d1⁻¹ * c3 * (d3 * c2⁻¹) = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → d1⁻¹ * c3 = d1⁻¹ * c1 ∧ d3 * c2⁻¹ = d2 * c2⁻¹\n⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2"} {"_id": "200957", "text": "case pos\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC : 1 ∈ C\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nd1 : G\nhd1 : d1 ∈ D\nc1 : G\nhc1 : c1 ∈ C\nd2 : G\nhd2 : d2 ∈ D\nc2 : G\nhc2 : c2 ∈ C\nh12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1\nc3 d3 : G\nhc3 : c3 ∈ C\nhd3 : d3 ∈ D\nhe : c3 * d3 = c1 * d2\nhu : d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) = d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) → c3 = c1 ∧ d3 = d2\n⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2"} {"_id": "200959", "text": "case pos\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC : 1 ∈ C\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nd1 : G\nhd1 : d1 ∈ D\nc2 : G\nhc2 : c2 ∈ C\nhc1 : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹\nh21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1\nc4 d4 : G\nhc4 : c4 ∈ C\nhd4 : d4 ∈ D\nhe : c4 * d4 = c2 * d1\n⊢ c4 = c2 ∧ d4 = d1"} {"_id": "200960", "text": "case pos\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC : 1 ∈ C\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nd1 : G\nhd1 : d1 ∈ D\nc2 : G\nhc2 : c2 ∈ C\nhc1 : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nh21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1\nc4 d4 : G\nhc4 : c4 ∈ C\nhd4 : d4 ∈ D\nhe : c4 * d4 = c2 * d1\nhu : d4⁻¹ * 1 * (1 * c4⁻¹) = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → d4⁻¹ * 1 = d1⁻¹ * 1 ∧ 1 * c4⁻¹ = 1 * c2⁻¹\n⊢ c4 = c2 ∧ d4 = d1"} {"_id": "200961", "text": "case neg.intro.inl\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC✝ hc1 : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nhc2 : 1 ∈ C\nhd1 : 1 ∈ D\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹\nhC : 1 < C.card\n⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d"} {"_id": "200962", "text": "case neg.intro.inl.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC✝ hc1✝ : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nhc2 : 1 ∈ C\nhd1 : 1 ∈ D\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹\nhC : 1 < C.card\nc : G\nhc : c ∈ C\nhc1 : c ≠ 1\n⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d"} {"_id": "200963", "text": "case neg.intro.inl.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC✝ hc1✝ : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nhc2 : 1 ∈ C\nhd1 : 1 ∈ D\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹\nhC : 1 < C.card\nc : G\nhc : c ∈ C\nhc1 : c ≠ 1\n⊢ c = 1"} {"_id": "200964", "text": "case neg.intro.inr\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD✝ : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC hc1 : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nhc2 : 1 ∈ C\nhd1 : 1 ∈ D\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹\nhD : 1 < D.card\n⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d"} {"_id": "200965", "text": "case neg.intro.inr.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD✝ : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC hc1 : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nhc2 : 1 ∈ C\nhd1✝ : 1 ∈ D\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹\nhD : 1 < D.card\nd : G\nhd : d ∈ D\nhd1 : d ≠ 1\n⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d"} {"_id": "200966", "text": "case neg.intro.inr.intro.intro\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu✝ : UniqueMul A B a b\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\nD : Finset G\nhD✝ : 1 ∈ D\nC : Finset G\nhC hc1 : 1 ∈ C\nhd2 : 1 ∈ D\nhc2 : 1 ∈ C\nhd1✝ : 1 ∈ D\nhu :\n ∀ ⦃a b : G⦄,\n (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →\n (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹\nhD : 1 < D.card\nd : G\nhd : d ∈ D\nhd1 : d ≠ 1\n⊢ d = 1"} {"_id": "200967", "text": "case intro.intro.intro.intro.refine_2\nG✝ : Type u\nH : Type v\ninst✝³ : Mul G✝\ninst✝² : Mul H\nG : Type u_1\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : UniqueProds G\nA B : Finset G\nhc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)\na : G\nha : a ∈ A\nb : G\nhb : b ∈ B\nhu : UniqueMul A B a b\nC : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A\nD : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B\nhcard : 1 < C.card ∨ 1 < D.card\nhC : 1 ∈ C\nhD : 1 ∈ D\nx✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul\n⊢ (D * image (fun x => x⁻¹) C).Nonempty"} {"_id": "200968", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.RightHomologyData\nh₂ : S₂.RightHomologyData\n⊢ h₁.homologyIso.hom ≫ rightHomologyMap' φ h₁ h₂ = homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom"} {"_id": "200970", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI : Ideal A\n⊢ I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200972", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI M : Ideal A\nhgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : M ≠ ⊥\n⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200975", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI M : Ideal A\nhgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : M ≠ ⊥\nhA_nont : Nontrivial A\nh_topM : ¬M = ⊤\nh_prM : ¬M.IsPrime\n⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200976", "text": "case neg.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI M : Ideal A\nhgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : M ≠ ⊥\nhA_nont : Nontrivial A\nh_topM : ¬M = ⊤\nh_prM : ¬M.IsPrime\nx : A\nhx : x ∉ M\ny : A\nhy : y ∉ M\nh_xy : x * y ∈ M\n⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200977", "text": "case neg.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI M : Ideal A\nhgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : M ≠ ⊥\nhA_nont : Nontrivial A\nh_topM : ¬M = ⊤\nh_prM : ¬M.IsPrime\nx : A\nhx : x ∉ M\ny : A\nhy : y ∉ M\nh_xy : x * y ∈ M\nlt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}\n⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200978", "text": "case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI M : Ideal A\nhgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : M ≠ ⊥\nhA_nont : Nontrivial A\nh_topM : ¬M = ⊤\nh_prM : ¬M.IsPrime\nx : A\nhx : x ∉ M\ny : A\nhy : y ∉ M\nh_xy : x * y ∈ M\nlt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}\nWx : Multiset (PrimeSpectrum A)\nh_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}\nh_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥\n⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200980", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI M : Ideal A\nhgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : M ≠ ⊥\nhA_nont : Nontrivial A\nh_topM : ¬M = ⊤\nh_prM : ¬M.IsPrime\nx : A\nhx : x ∉ M\ny : A\nhy : y ∉ M\nh_xy : x * y ∈ M\nlt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}\nWx : Multiset (PrimeSpectrum A)\nh_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}\nh_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥\nWy : Multiset (PrimeSpectrum A)\nh_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}\nh_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥\n⊢ (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200981", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI M : Ideal A\nhgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : M ≠ ⊥\nhA_nont : Nontrivial A\nh_topM : ¬M = ⊤\nh_prM : ¬M.IsPrime\nx : A\nhx : x ∉ M\ny : A\nhy : y ∉ M\nh_xy : x * y ∈ M\nlt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}\nWx : Multiset (PrimeSpectrum A)\nh_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}\nh_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥\nWy : Multiset (PrimeSpectrum A)\nh_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}\nh_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥\n⊢ (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M ∧\n (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200983", "text": "case pos\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI : Ideal A\nhA_nont : Nontrivial A\nhgt : ∀ J > ⊤, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : ⊤ ≠ ⊥\n⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ ⊤ ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200984", "text": "case pos.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI : Ideal A\nhA_nont : Nontrivial A\nhgt : ∀ J > ⊤, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J\nh_nzM : ⊤ ≠ ⊥\np_id : Ideal A\nh_nzp : p_id ≠ ⊥\nh_pp : p_id.IsPrime\n⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ ⊤ ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥"} {"_id": "200985", "text": "case right\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsNoetherianRing R\nA : Type u\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : IsDomain A\ninst✝ : IsNoetherianRing A\nh_fA : ¬IsField A\nI : Ideal A\nhA_nont : Nontrivial A\nhgt : ∀ J > ⊤, (fun I => I ≠ ⊥ 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(Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}\nh_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥\nWy : Multiset (PrimeSpectrum A)\nh_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}\nh_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥\n⊢ span A {x} * span A {y} ≤ M"} {"_id": "201001", "text": "ss : List String\n⊢ (join ss).data = (List.map data ss).join"} {"_id": "201002", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nN : LieSubmodule R L M\n⊢ ↑⁅⊤, N⁆ = Submodule.map ((toEnd R L M) x) ↑N ⊔ ↑⁅I, N⁆"} {"_id": "201003", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nN : LieSubmodule R L M\n⊢ Submodule.span R {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} =\n Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m})"} {"_id": "201005", "text": "case refine_1.intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nN : LieSubmodule R L M\ny : L\nn : M\nhn : n ∈ N\n⊢ ⁅y, n⁆ ∈ ↑(Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}))"} {"_id": "201006", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nN : LieSubmodule R L M\nn : M\nhn : n ∈ N\nt : R\nz : L\nhz : z ∈ I\n⊢ ⁅t • x + z, n⁆ ∈ ↑(Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}))"} {"_id": "201007", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nN : LieSubmodule R L M\nn : M\nhn : n ∈ N\nt : R\nz : L\nhz : z ∈ I\n⊢ ∃ y ∈ Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N),\n ∃ z_1 ∈ Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}, y + z_1 = ⁅t • x + z, n⁆"} {"_id": "201010", "text": "case refine_2.inl.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nN : LieSubmodule R L M\nm : M\nhm : m ∈ ↑↑N\n⊢ (fun a => ⁅x, a⁆) m ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}\n\ncase refine_2.inr.intro.intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nN : LieSubmodule R L M\ny : L\nm : M\nhm : m ∈ N\n⊢ ⁅y, m⁆ ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}"} {"_id": "201011", "text": "R : Type r\nS : Type s\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : CommRing S\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝⁸ : Algebra R S\nA : Type u\ninst✝⁷ : CommRing A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : Algebra S A\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S A\nB : Type v\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : Algebra S B\ninst✝ : IsScalarTower R S B\nf : A →ₐ[S] B\nn : ℤ\n⊢ (W.baseChange B).Ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).Ψ n)"} {"_id": "201012", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nn : ℕ\ninst✝ : CharP R n\nI : Ideal R\n⊢ CharP (R ⧸ I) n ↔ Ideal.comap (Nat.castRingHom R) I ≤ RingHom.ker (Nat.castRingHom R)"} {"_id": "201014", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nα : Weight K (↥H) L\n⊢ Disjoint Weight.ker (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule"} {"_id": "201015", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nα : Weight K (↥H) L\n⊢ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule = ⊥"} {"_id": "201017", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nα : Weight K (↥H) L\nx : ↥H\nx✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule\nhx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule\nhαx : α x = 0\n⊢ x = 0"} {"_id": "201019", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝¹ : CommMonoid β\ninst✝ : DecidableEq α\ns : Finset α\ni : α\nh : i ∈ s\nf : α → β\nb : β\n⊢ ∏ x ∈ s, update f i b x = b * ∏ x ∈ s \\ {i}, f x"} {"_id": "201022", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\n⊢ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ\n (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f))\n ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁))\n n₀ n₁ h =\n (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app (mappingCone S.f) ≫\n HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫\n hS.δ n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app S.X₁"} {"_id": "201025", "text": "case a.w.h.op.h\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\n⊢ (yoneda.map\n ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫\n (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ\n (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f))\n ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁))\n n₀ n₁ h ≫\n (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁)).app\n { unop := A } x =\n (yoneda.map\n (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫\n hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁))).app\n { unop := A } x"} {"_id": "201028", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\n⊢ x ≫\n (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫\n (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app (mappingCone S.f) ≫\n (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫\n (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app S.X₁ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁ =\n x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 (S.X₁.homology n₁)"} {"_id": "201030", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\n⊢ x ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ =\n x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h"} {"_id": "201031", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\n⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫\n (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫\n (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ =\n HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (x' ≫ (descShortComplex S).f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫\n HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h"} {"_id": "201032", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫\n (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫\n (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ =\n HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (x' ≫ (descShortComplex S).f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫\n HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h"} {"_id": "201033", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝¹ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nw : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫\n (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫\n (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ =\n HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (x' ≫ (descShortComplex S).f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫\n HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h"} {"_id": "201034", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝¹ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nw : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫\n (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫\n (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ =\n HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (b ≫ S.g.f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h"} {"_id": "201035", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝¹ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nw : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫\n (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫\n (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ =\n S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁"} {"_id": "201036", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝¹ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nw : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫\n (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫\n HomologicalComplex.homologyMap (triangle S.f).mor₃ n₀ ≫\n ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso 1 n₀ n₁ ⋯).hom.app S.X₁ =\n S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁"} {"_id": "201037", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝¹ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nw : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ HomologicalComplex.liftCycles S.X₁ ((x' ≫ (triangle S.f).mor₃.f n₀) ≫ (S.X₁.shiftFunctorObjXIso 1 n₀ n₁ ⋯).hom)\n (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫\n HomologicalComplex.homologyπ S.X₁ n₁ ≫ 𝟙 (((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shift n₁).obj S.X₁) =\n S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁"} {"_id": "201038", "text": "case a.w.h.op.h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝¹ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nw : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ HomologicalComplex.liftCycles S.X₁ ((x' ≫ (triangle S.f).mor₃.f n₀) ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq S.X₁ ⋯).hom)\n (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫\n HomologicalComplex.homologyπ S.X₁ n₁ ≫ 𝟙 (HomologicalComplex.homology S.X₁ n₁) =\n S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁"} {"_id": "201041", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn₀ n₁ : ℤ\nh : n₀ + 1 = n₁\nA : C\nx : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)\nA' : C\nπ : A' ⟶ A\nw✝¹ : Epi π\nx' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀\nw✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0\nhx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀\na : A' ⟶ S.X₁.X n₁\nb : A' ⟶ S.X₂.X n₀\nw : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0\nhab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀\n⊢ (-a) ≫ S.f.f n₁ = b ≫ S.X₂.d n₀ n₁"} {"_id": "201044", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nx : ↥U\n⊢ hU.fromSpec.val.base (hU.primeIdealOf x) = ↑x"} {"_id": "201045", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nx : ↥U\n⊢ (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (X.restrict ⋯).isoSpec.inv ≫ Scheme.ιOpens U).val.base\n (((X.restrict ⋯).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base x) =\n ↑x"} {"_id": "201046", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nx : ↥U\n⊢ (((X.restrict ⋯).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ≫\n Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (X.restrict ⋯).isoSpec.inv ≫ Scheme.ιOpens U).val.base\n x =\n ↑x"} {"_id": "201050", "text": "case inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nhb : a < b\nhc : a < c\n⊢ a ≤ b ⊓ c"} {"_id": "201051", "text": "case inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nhb : a < b\nhc : a ≈ c\n⊢ a ≤ b ⊓ c"} {"_id": "201052", "text": "case inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nhc : a ≈ c\nhb : c ≤ b\n⊢ a ≤ b ⊓ c"} {"_id": "201053", "text": "case inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nhc : a ≈ c\nhb : c ≤ b\n⊢ c ≈ b ⊓ c"} {"_id": "201054", "text": "case inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nhc : a ≤ c\nhb : a ≈ b\n⊢ a ≤ b ⊓ c"} {"_id": "201055", "text": "case inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nhb : a ≈ b\nhc : b ≤ c\n⊢ a ≤ b ⊓ c"} {"_id": "201056", "text": "case inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nhb : a ≈ b\nhc : b ≤ c\n⊢ b ≈ b ⊓ c"} {"_id": "201057", "text": "C : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nJ : GrothendieckTopology C\nR₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat\nα : R₀ ⟶ R\ninst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α\nM₀ : PresheafOfModules R₀\nA : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp\nφ : M₀.presheaf ⟶ A\ninst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ\nhA : Presheaf.IsSeparated J A\nX : C\nr : ↑(R.obj { unop := X })\nm : ↑(A.obj { unop := X })\nP : Presieve X\nr₀✝ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P\nm₀✝ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P\nhr₀✝ : (r₀✝.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r\nhm₀✝ : (m₀✝.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m\nY Z : C\nf : Y ⟶ X\ng : Z ⟶ Y\nr₀ : ↑(R₀.obj { unop := Y })\nr₀' : ↑(R₀.obj { unop := Z })\nm₀ : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Y })\nm₀' : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Z })\nhr₀ : (α.app { unop := Y }) r₀ = (R.map f.op) r\nhr₀' : (α.app { unop := Z }) r₀' = (R.map (f.op ≫ g.op)) r\nhm₀ : (φ.app { unop := Y }) m₀ = (A.map f.op) m\nhm₀' : (φ.app { unop := Z }) m₀' = (A.map (f.op ≫ g.op)) m\n⊢ (φ.app { unop := Z }) ((M₀.presheaf.map g.op) (r₀ • m₀)) = (φ.app { unop := Z }) (r₀' • m₀')"} {"_id": "201058", "text": "case hr₀\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nJ : GrothendieckTopology C\nR₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat\nα : R₀ ⟶ R\ninst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α\nM₀ : PresheafOfModules R₀\nA : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp\nφ : M₀.presheaf ⟶ A\ninst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ\nhA : Presheaf.IsSeparated J A\nX : C\nr : ↑(R.obj { unop := X })\nm : ↑(A.obj { unop := X })\nP : Presieve X\nr₀✝ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P\nm₀✝ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P\nhr₀✝ : (r₀✝.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r\nhm₀✝ : (m₀✝.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m\nY Z : C\nf : Y ⟶ X\ng : Z ⟶ Y\nr₀ : ↑(R₀.obj { unop := Y })\nr₀' : ↑(R₀.obj { unop := Z })\nm₀ : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Y })\nm₀' : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Z })\nhr₀ : (α.app { unop := Y }) r₀ = (R.map f.op) r\nhr₀' : (α.app { unop := Z }) r₀' = (R.map (f.op ≫ g.op)) r\nhm₀ : (φ.app { unop := Y }) m₀ = (A.map f.op) m\nhm₀' : (φ.app { unop := Z }) m₀' = (A.map (f.op ≫ g.op)) m\n⊢ (α.app { unop := Z }) ((R₀.map g.op) r₀) = (α.app { unop := Z }) r₀'"} {"_id": "201059", "text": "case hm₀\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nJ : GrothendieckTopology C\nR₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat\nα : R₀ ⟶ R\ninst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α\nM₀ : PresheafOfModules R₀\nA : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp\nφ : M₀.presheaf ⟶ A\ninst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ\nhA : Presheaf.IsSeparated J A\nX : C\nr : ↑(R.obj { unop := X })\nm : ↑(A.obj { unop := X })\nP : Presieve X\nr₀✝ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P\nm₀✝ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P\nhr₀✝ : (r₀✝.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r\nhm₀✝ : (m₀✝.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m\nY Z : C\nf : Y ⟶ X\ng : Z ⟶ Y\nr₀ : ↑(R₀.obj { unop := Y })\nr₀' : ↑(R₀.obj { unop := Z })\nm₀ : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Y })\nm₀' : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Z })\nhr₀ : (α.app { unop := Y }) r₀ = (R.map f.op) r\nhr₀' : (α.app { unop := Z }) r₀' = (R.map (f.op ≫ g.op)) r\nhm₀ : (φ.app { unop := Y }) m₀ = (A.map f.op) m\nhm₀' : (φ.app { unop := Z }) m₀' = (A.map (f.op ≫ g.op)) m\n⊢ (φ.app { unop := Z }) ((M₀.presheaf.map g.op) m₀) = (φ.app { unop := Z }) m₀'"} {"_id": "201060", "text": "case hm₀\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nJ : GrothendieckTopology C\nR₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat\nα : R₀ ⟶ R\ninst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α\nM₀ : PresheafOfModules R₀\nA : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp\nφ : M₀.presheaf ⟶ A\ninst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ\nhA : Presheaf.IsSeparated J A\nX : C\nr : ↑(R.obj { unop := X })\nm : ↑(A.obj { unop := X })\nP : Presieve X\nr₀✝ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P\nm₀✝ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P\nhr₀✝ : (r₀✝.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r\nhm₀✝ : (m₀✝.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m\nY Z : C\nf : Y ⟶ X\ng : Z ⟶ Y\nr₀ : ↑(R₀.obj { unop := Y })\nr₀' : ↑(R₀.obj { unop := Z })\nm₀ : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Y })\nm₀' : ↑(M₀.presheaf.obj { unop := Z })\nhr₀ : (α.app { unop := Y }) r₀ = (R.map f.op) r\nhr₀' : (α.app { unop := Z }) r₀' = (R.map (f.op ≫ g.op)) r\nhm₀ : (φ.app { unop := Y }) m₀ = (A.map f.op) m\nhm₀' : (φ.app { unop := Z }) m₀' = (A.map (f.op ≫ g.op)) m\n⊢ (φ.app { unop := Z }) ((M₀.presheaf.map g.op) m₀) = (A.map g.op) ((φ.app { unop := Y }) m₀)"} {"_id": "201062", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nM : Type u_3\na b : R\ns : S\ninst✝² : CommSemigroup R\ninst✝¹ : SMul R M\ninst✝ : IsScalarTower R R M\n⊢ IsSMulRegular M (a * b) ↔ IsSMulRegular M a ∧ IsSMulRegular M b"} {"_id": "201063", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nM : Type u_3\na b : R\ns : S\ninst✝² : CommSemigroup R\ninst✝¹ : SMul R M\ninst✝ : IsScalarTower R R M\n⊢ IsSMulRegular M (a * b) ↔ IsSMulRegular M (a * b) ∧ IsSMulRegular M (b * a)"} {"_id": "201064", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nM : Type u_3\na b : R\ns : S\ninst✝² : CommSemigroup R\ninst✝¹ : SMul R M\ninst✝ : IsScalarTower R R M\nab : IsSMulRegular M (a * b)\n⊢ IsSMulRegular M (b * a)"} {"_id": "201065", "text": "ι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nw : ι' → ↑S.X₃\nhv : ⊤ ≤ span R (range v)\nhw : ⊤ ≤ span R (range w)\nhE : Epi S.g\n⊢ ⊤ ≤ span R (range (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w)))"} {"_id": "201066", "text": "case refine_1\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nw : ι' → ↑S.X₃\nhv : ⊤ ≤ span R (range v)\nhw : ⊤ ≤ span R (range w)\nhE : Epi S.g\n⊢ Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v"} {"_id": "201068", "text": "case h.e'_4.h.e'_6.h.e'_3\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nw : ι' → ↑S.X₃\nhv : ⊤ ≤ span R (range v)\nhw : ⊤ ≤ span R (range w)\nhE : Epi S.g\n⊢ ⇑S.g ∘ Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inr = w"} {"_id": "201069", "text": "case h.e'_4.h.e'_6.h.e'_3\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nw : ι' → ↑S.X₃\nhv : ⊤ ≤ span R (range v)\nhw : ⊤ ≤ span R (range w)\nhE : Epi S.g\n⊢ ⇑S.g ∘ Function.invFun ⇑S.g ∘ w = w"} {"_id": "201070", "text": "case h.e'_4.h.e'_6.h.e'_3\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nw : ι' → ↑S.X₃\nhv : ⊤ ≤ span R (range v)\nhw : ⊤ ≤ span R (range w)\nhE : Function.Surjective ⇑S.g\n⊢ ⇑S.g ∘ Function.invFun ⇑S.g ∘ w = w"} {"_id": "201071", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf✝ g✝ : α → M\na b : α\ns✝ t✝ s : Set α\nt : Set β\nf : α → M\ng : β → M\ne : α → β\nhe₀ : BijOn e s t\nhe₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ t), g j"} {"_id": "201072", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf✝ g✝ : α → M\na b : α\ns✝ t✝ s : Set α\nt : Set β\nf : α → M\ng : β → M\ne : α → β\nhe₀ : BijOn e s t\nhe₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), g (e j)"} {"_id": "201073", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : NoZeroDivisors R\nn : ℤ\nhn : 1 < n.natAbs\nh : ↑n ≠ 0\n⊢ 0 < (W.ΨSq n).natDegree"} {"_id": "201074", "text": "R : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\na : A\nh : IsNilpotent a\n⊢ IsNilpotent ((LieAlgebra.ad R A) a)"} {"_id": "201075", "text": "R : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\na : A\nh : IsNilpotent a\n⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)"} {"_id": "201076", "text": "R : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\na : A\nh : IsNilpotent a\nhl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)\n⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)"} {"_id": "201077", "text": "R : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\na : A\nh : IsNilpotent a\nhl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)\nhr : IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a)\n⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)"} {"_id": "201079", "text": "R : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\na : A\nh : IsNilpotent a\n⊢ IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)"} {"_id": "201080", "text": "R : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\na : A\nh : IsNilpotent a\nhl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)\n⊢ IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a)"} {"_id": "201081", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nn : Type u_4\nι : Type u_5\nι' : Type u_6\nιM : Type u_7\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup L\ninst✝⁹ : Module R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\nφ : L →ₗ[R] Module.End R M\ninst✝⁶ : Fintype ι\ninst✝⁵ : Fintype ι'\ninst✝⁴ : Fintype ιM\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : DecidableEq ι'\ninst✝¹ : Module.Free R M\ninst✝ : Module.Finite R M\nb✝ b : Basis ι R L\nb' : Basis ι' R L\nk : ℕ\n⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff k = 0 ↔ (φ.polyCharpoly b').coeff k = 0"} {"_id": "201085", "text": "X Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)\nU : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhU : IsOpen U\nhU' : IsCompact U\n⊢ IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)"} {"_id": "201086", "text": "case intro.intro\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)\nS : Set ↑Y.affineOpens\nhS : S.Finite\nhU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)\nhU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)\n⊢ IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' ⋃ i ∈ S, ↑↑i)"} {"_id": "201087", "text": "case intro.intro\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)\nS : Set ↑Y.affineOpens\nhS : S.Finite\nhU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)\nhU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)\n⊢ IsCompact (⋃ i ∈ S, ⇑f.val.base ⁻¹' ↑↑i)"} {"_id": "201089", "text": "case h\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nυ : Type u_3\nR : Type u_4\ninst✝ : CommSemiring R\nf : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R\ng : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R\nx : υ → R\n⊢ comap (g.comp f) x = (comap f ∘ comap g) x"} {"_id": "201093", "text": "case mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_not_top : I ≠ ⊤\nright✝ : CharP (R ⧸ I) p\n⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ CharP (R ⧸ I) p"} {"_id": "201097", "text": "case h.right\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_not_top : I ≠ ⊤\nright✝ : CharP (R ⧸ I) p\nM : Ideal R\nhM_max : M.IsMaximal\nhM_ge : I ≤ M\n⊢ CharP (R ⧸ M) p"} {"_id": "201099", "text": "case h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_not_top : I ≠ ⊤\nright✝ : CharP (R ⧸ I) p\nM : Ideal R\nhM_max : M.IsMaximal\nhM_ge : I ≤ M\nr : ℕ\nhr : CharP (R ⧸ M) r\n⊢ p = r"} {"_id": "201101", "text": "case h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_not_top : I ≠ ⊤\nright✝ : CharP (R ⧸ I) p\nM : Ideal R\nhM_max : M.IsMaximal\nhM_ge : I ≤ M\nr : ℕ\nhr : CharP (R ⧸ M) r\nr_dvd_p : r ∣ p\n⊢ r = p"} {"_id": "201102", "text": "case h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_not_top : I ≠ ⊤\nright✝ : CharP (R ⧸ I) p\nM : Ideal R\nhM_max : M.IsMaximal\nhM_ge : I ≤ M\nr : ℕ\nhr : CharP (R ⧸ M) r\nr_dvd_p : r ∣ p\n⊢ ¬r = 1"} {"_id": "201103", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_not_top : I ≠ ⊤\nright✝ : CharP (R ⧸ I) p\nM : Ideal R\nhM_max : M.IsMaximal\nhM_ge : I ≤ M\nr : ℕ\nhr : CharP (R ⧸ M) r\n⊢ r ∣ p"} {"_id": "201104", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_not_top : I ≠ ⊤\nright✝ : CharP (R ⧸ I) p\nM : Ideal R\nhM_max : M.IsMaximal\nhM_ge : I ≤ M\nr : ℕ\nhr : CharP (R ⧸ M) r\n⊢ ↑p = 0"} {"_id": "201107", "text": "case h\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\np : ℕ\nhp : Nat.Prime p\nI : Ideal R\nhI_max : I.IsMaximal\nh_charP : CharP (R ⧸ I) p\n⊢ I ≠ ⊤ ∧ CharP (R ⧸ I) p"} {"_id": "201108", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : AddCommMonoid R\ns : Multiset R\n⊢ ∀ (a : List R), trop (sum ⟦a⟧) = (map trop ⟦a⟧).prod"} {"_id": "201112", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : PartialOrder α\ninst✝¹ : CommMonoid M\nf : α → M\na✝ b : α\ninst✝ : LocallyFiniteOrderTop α\na : α\n⊢ (∏ x ∈ Ioi a, f x) * f a = ∏ x ∈ Ici a, f x"} {"_id": "201115", "text": "case w\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁶ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nS : ShortComplex C\nh₁✝ : S.LeftHomologyData\nh₂✝ : S.RightHomologyData\nF✝ : C ⥤ D\ninst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms\nhl : S.LeftHomologyData\nhr : S.RightHomologyData\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhl₁ : S₁.LeftHomologyData\nhr₁ : S₁.RightHomologyData\nhl₂ : S₂.LeftHomologyData\nhr₂ : S₂.RightHomologyData\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝² : S.HasHomology\ninst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S\ninst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S\n⊢ ((S.homologyData.right.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.right.homologyIso.symm).hom =\n ((S.homologyData.left.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.left.homologyIso.symm).hom"} {"_id": "201116", "text": "case w\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁶ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nS : ShortComplex C\nh₁✝ : S.LeftHomologyData\nh₂✝ : S.RightHomologyData\nF✝ : C ⥤ D\ninst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms\nhl : S.LeftHomologyData\nhr : S.RightHomologyData\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhl₁ : S₁.LeftHomologyData\nhr₁ : S₁.RightHomologyData\nhl₂ : S₂.LeftHomologyData\nhr₂ : S₂.RightHomologyData\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝² : S.HasHomology\ninst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S\ninst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S\n⊢ (((S.map F).homologyData.iso.hom ≫\n (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }\n (S.map F).rightHomologyData (S.map F).homologyData.right).inv) ≫\n (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }\n (S.map F).rightHomologyData (S.homologyData.right.map F)).hom) ≫\n F.map\n ((rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData\n S.homologyData.right).inv ≫\n (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData\n S.homologyData.right).hom ≫\n S.homologyData.iso.inv) =\n ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }\n (S.map F).leftHomologyData (S.map F).homologyData.left).inv ≫\n (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }\n (S.map F).leftHomologyData (S.homologyData.left.map F)).hom) ≫\n F.map\n ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData\n S.homologyData.left).inv ≫\n (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData\n S.homologyData.left).hom)"} {"_id": "201117", "text": "case w\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁶ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nS : ShortComplex C\nh₁✝ : S.LeftHomologyData\nh₂✝ : S.RightHomologyData\nF✝ : C ⥤ D\ninst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms\nhl : S.LeftHomologyData\nhr : S.RightHomologyData\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhl₁ : S₁.LeftHomologyData\nhr₁ : S₁.RightHomologyData\nhl₂ : S₂.LeftHomologyData\nhr₂ : S₂.RightHomologyData\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝² : S.HasHomology\ninst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S\ninst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S\n⊢ (S.map F).homologyData.iso.hom ≫\n rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫\n F.map S.homologyData.iso.inv =\n leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)"} {"_id": "201122", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN N₁ N₂ : LieSubmodule R L M\n⊢ LieModule.IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, N ≤ ucs k ⊥"} {"_id": "201124", "text": "R : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nr r' : R\neq1 : r • y = r' • y\n⊢ (extendIdealTo i f h y) (r - r') = 0"} {"_id": "201125", "text": "case convert_2\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nr r' : R\neq1 : r • y = r' • y\n⊢ (r - r') • y = 0"} {"_id": "201126", "text": "α : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : εNFA α σ\nS : Set σ\nx : List α\ns : σ\na : α\nM : NFA α σ\n⊢ M.toεNFA.accepts = M.accepts"} {"_id": "201128", "text": "P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop\nhP₁ : (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso\nhP₂ :\n ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β),\n P f → P (s.restrictPreimage f)\nhP₃ :\n ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u} (U : ι → Opens β),\n iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f\n⊢ PropertyIsLocalAtTarget (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P)"} {"_id": "201131", "text": "case hP₂\nP : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop\nhP₁ : (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso\nhP₂ :\n ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β),\n P f → P (s.restrictPreimage f)\nhP₃ :\n ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u} (U : ι → Opens β),\n iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhf : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f\n⊢ topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ∣_ U)"} {"_id": "201137", "text": "case hP₃.a\nP : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop\nhP₁ : (topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso\nhP₂ :\n ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) (s : Set β),\n P f → P (s.restrictPreimage f)\nhP₃ :\n ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α → β) {ι : Type u} (U : ι → Opens β),\n iSup U = ⊤ → Continuous f → (∀ (i : ι), P ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → P f\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nι : Type u\nU : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhU : iSup U = ⊤\nhf : ∀ (i : ι), topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ∣_ U i)\ni : ι\n⊢ P ((U i).carrier.restrictPreimage ⇑f.val.base)"} {"_id": "201139", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\n⊢ P.disc ≠ 0 ↔ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z"} {"_id": "201140", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\n⊢ φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z) * (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ≠ 0 ↔\n x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z"} {"_id": "201141", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\na b : α\nh : normalize b = b\n⊢ lcm a b = b ↔ a ∣ b"} {"_id": "201142", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nA : Type u_4\nB : Type u_5\nM : Type u_6\nN : Type u_7\nP : Type u_8\nQ : Type u_9\nG✝ : Type u_10\nH : Type u_11\nG : Type u_12\ninst✝ : Group G\nx : Gˣ\n⊢ toUnits ↑x = x"} {"_id": "201143", "text": "s : String\nn : Nat\n⊢ (s.take n).data = List.take n s.data"} {"_id": "201144", "text": "C : Type u\ninst✝⁷ : Category.{v, u} C\ninst✝⁶ : ConcreteCategory C\ninst✝⁵ : HasForget₂ C Ab\ninst✝⁴ : Preadditive C\ninst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive\ninst✝² : (forget₂ C Ab).PreservesHomology\ninst✝¹ : HasZeroObject C\nS : ShortComplex C\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ S.Exact ↔\n ∀ (x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)), ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0 → ∃ x₁, ((forget₂ C Ab).map S.f) x₁ = x₂"} {"_id": "201146", "text": "𝕜 : Type u\nA : Type v\ninst✝³ : Field 𝕜\ninst✝² : Ring A\ninst✝¹ : Algebra 𝕜 A\ninst✝ : Nontrivial A\nk : 𝕜\n⊢ σ (↑ₐ k) = {k}"} {"_id": "201147", "text": "M : Type u_1\nN : Type u_2\nP : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝² : Mul M\ninst✝¹ : Mul N\ninst✝ : Mul P\nS : Subsemigroup M\ng : N →ₙ* P\nf : M →ₙ* N\n⊢ map g f.srange = (g.comp f).srange"} {"_id": "201148", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Set (PrimeSpectrum R)\n⊢ vanishingIdeal s = ⊤ ↔ s = ∅"} {"_id": "201149", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ (homologyMap φ).op = S₂.homologyOpIso.inv ≫ homologyMap (opMap φ) ≫ S₁.homologyOpIso.hom"} {"_id": "201150", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ (homologyMap' φ S₁.homologyData S₂.homologyData).op =\n (S₂.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₂.leftHomologyOpIso ≪≫ S₂.rightHomologyIso.symm.op).inv ≫\n homologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData S₁.op.homologyData ≫\n (S₁.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₁.leftHomologyOpIso ≪≫ S₁.rightHomologyIso.symm.op).hom"} {"_id": "201151", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ S₂.homologyData.iso.inv.op ≫\n homologyMap' (opMap φ) S₂.homologyData.op S₁.homologyData.op ≫ S₁.homologyData.iso.hom.op =\n (S₂.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₂.leftHomologyOpIso ≪≫ S₂.rightHomologyIso.symm.op).inv ≫\n homologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData S₁.op.homologyData ≫\n (S₁.op.leftHomologyIso.symm ≪≫ S₁.leftHomologyOpIso ≪≫ S₁.rightHomologyIso.symm.op).hom"} {"_id": "201152", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ S₂.homologyData.iso.inv.op ≫\n leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.homologyData.op.left S₁.homologyData.op.left ≫ S₁.homologyData.iso.hom.op =\n (((rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData S₂.homologyData.right ≫ S₂.homologyData.iso.inv).op ≫\n leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.rightHomologyData.op S₂.op.leftHomologyData) ≫\n leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.op.leftHomologyData S₂.op.homologyData.left) ≫\n leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.homologyData.left S₁.op.homologyData.left ≫\n leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.homologyData.left S₁.op.leftHomologyData ≫\n leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.leftHomologyData S₁.rightHomologyData.op ≫\n (S₁.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.right S₁.rightHomologyData).op"} {"_id": "201153", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nG : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝ : Group G\na✝ b c d : G\nn✝ : ℤ\na : G\nn : ℕ\n⊢ a ^ (↑n + 1) = a ^ ↑n * a"} {"_id": "201154", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nG : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝ : Group G\na✝ b c d : G\nn : ℤ\na : G\n⊢ a ^ (Int.negSucc 0 + 1) = a ^ Int.negSucc 0 * a"} {"_id": "201155", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nG : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝ : Group G\na✝ b c d : G\nn✝ : ℤ\na : G\nn : ℕ\n⊢ a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = a ^ Int.negSucc (n + 1) * a"} {"_id": "201156", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nG : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝ : Group G\na✝ b c d : G\nn✝ : ℤ\na : G\nn : ℕ\n⊢ a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = (a ^ (n + 1))⁻¹"} {"_id": "201157", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nG : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝ : Group G\na✝ b c d : G\nn✝ : ℤ\na : G\nn : ℕ\n⊢ a ^ (-↑(n + 1)) = (a ^ (n + 1))⁻¹"} {"_id": "201158", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\ng : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\n⊢ ∃ f', X.basicOpen f' = X.basicOpen g"} {"_id": "201159", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\ng : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nthis : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)\n⊢ ∃ f', X.basicOpen f' = X.basicOpen g"} {"_id": "201161", "text": "case h\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nx : ↑Γ(X, U)\nn : ℕ\n⊢ X.basicOpen (f * x) =\n X.basicOpen\n (x • ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩))"} {"_id": "201162", "text": "case h\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nx : ↑Γ(X, U)\nn : ℕ\n⊢ X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x =\n X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x) ⊓\n X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)"} {"_id": "201163", "text": "case h\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nx : ↑Γ(X, U)\nn : ℕ\n⊢ X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x =\n X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x ⊓\n X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)"} {"_id": "201164", "text": "case h\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nx : ↑Γ(X, U)\nn : ℕ\n⊢ X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen x ≤\n X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)"} {"_id": "201165", "text": "case h.e'_4\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nx : ↑Γ(X, U)\nn : ℕ\n⊢ X.basicOpen ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩) =\n X.basicOpen f"} {"_id": "201166", "text": "case h.e'_4.hf\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nthis : IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nx : ↑Γ(X, U)\nn : ℕ\n⊢ IsUnit ↑((IsLocalization.toInvSubmonoid (Submonoid.powers f) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩)"} {"_id": "201167", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nD : LieDerivation R L L\nx : L\n⊢ ⁅D, (ad R L) x⁆ = (ad R L) (D x)"} {"_id": "201168", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R N\ninst✝¹ : LieRingModule L N\ninst✝ : LieModule R L N\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ N\n⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f"} {"_id": "201169", "text": "σ : Type u_1\nτ : Type u_2\nR : Type u_3\nS : Type u_4\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nf : MvPolynomial σ R\n⊢ (expand 1) f = f"} {"_id": "201170", "text": "R : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nS : Type u_4\nM : Type u_5\nM₁ : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nN : Type u_9\nN₁ : Type u_10\nN₂ : Type u_11\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : AddCommGroup N₁\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R N₁\ninst✝² : Monoid S\ninst✝¹ : DistribMulAction S M\ninst✝ : SMulCommClass R S M\nf' : M →ₗ[R] M\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nh : Surjective ⇑(f' ^ n)\n⊢ Surjective ⇑f'"} {"_id": "201171", "text": "R : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nS : Type u_4\nM : Type u_5\nM₁ : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nN : Type u_9\nN₁ : Type u_10\nN₂ : Type u_11\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : AddCommGroup N₁\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R N₁\ninst✝² : Monoid S\ninst✝¹ : DistribMulAction S M\ninst✝ : SMulCommClass R S M\nf' : M →ₗ[R] M\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nh : Surjective (⇑f' ∘ ⇑(f' ^ n.pred))\n⊢ Surjective ⇑f'"} {"_id": "201172", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : NonUnitalSemiring R\ninst✝³ : PartialOrder R\ninst✝² : StarRing R\ninst✝¹ : StarOrderedRing R\ninst✝ : Nontrivial R\nx : R\nhx : IsRegular x\n⊢ 0 < x * star x"} {"_id": "201173", "text": "Γ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q)"} {"_id": "201175", "text": "Γ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nthis :\n ∀ (q : Stmt₁),\n SupportsStmt S q →\n (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q)"} {"_id": "201176", "text": "case intro.intro\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh✝ : q ∈ trSupp M S\nthis :\n ∀ (q : Stmt₁),\n SupportsStmt S q →\n (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nl : Λ\nhl : l ∈ S\nh : q ∈ insert (Λ'.normal l) (writes (M l))\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q)"} {"_id": "201177", "text": "case intro.intro\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh✝ : q ∈ trSupp M S\nthis✝ :\n ∀ (q : Stmt₁),\n SupportsStmt S q →\n (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nl : Λ\nhl : l ∈ S\nh : q ∈ insert (Λ'.normal l) (writes (M l))\nthis : SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (M l)) ∧ ∀ q' ∈ writes (M l), SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q)"} {"_id": "201179", "text": "case move\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq✝ : Λ'\nh : q✝ ∈ trSupp M S\nd : Dir\nq : Stmt₁\nIH :\n SupportsStmt S q →\n (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nhs : SupportsStmt S (Stmt.move d q)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.move d q), q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.move d q)) ∧\n ∀ q' ∈ writes (Stmt.move d q), SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201182", "text": "case move\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq✝ : Λ'\nh : q✝ ∈ trSupp M S\nd : Dir\nq : Stmt₁\nhs : SupportsStmt S (Stmt.move d q)\nhw : ∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S\nIH : SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.move d q))"} {"_id": "201183", "text": "case write\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq✝ : Λ'\nh : q✝ ∈ trSupp M S\nf : Γ → σ → Γ\nq : Stmt₁\nIH :\n SupportsStmt S q →\n (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nhs : SupportsStmt S (Stmt.write f q)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.write f q), q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.write f q)) ∧\n ∀ q' ∈ writes (Stmt.write f q), SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201184", "text": "case write\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq✝ : Λ'\nh : q✝ ∈ trSupp M S\nf : Γ → σ → Γ\nq : Stmt₁\nIH :\n SupportsStmt S q →\n (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nhs : SupportsStmt S (Stmt.write f q)\nhw : ∀ q' ∈ Finset.image (fun a => Λ'.write a q) Finset.univ ∪ writes q, q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.write f q)) ∧\n ∀ q' ∈ Finset.image (fun a => Λ'.write a q) Finset.univ ∪ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201186", "text": "case write\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc 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→ Γ\nq : Stmt₁\nhs : SupportsStmt S (Stmt.write f q)\nhw : ∀ (q' : Λ'), (∃ a, Λ'.write a q = q') ∨ q' ∈ writes q → q' ∈ trSupp M S\nIH : SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\na : Γ\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M (Λ'.write a q))"} {"_id": "201190", "text": "case load\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq✝ : Λ'\nh : q✝ ∈ trSupp M S\na : Γ → σ → σ\nq : Stmt₁\nIH :\n SupportsStmt S q →\n (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nhs : SupportsStmt S (Stmt.load a q)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.load a q), q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.load a q)) ∧\n ∀ q' ∈ writes (Stmt.load a q), SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201192", "text": "case load\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq✝ : Λ'\nh : q✝ ∈ trSupp M S\na : Γ → σ → σ\nq : Stmt₁\nhs : SupportsStmt S (Stmt.load a q)\nhw : ∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S\nIH : SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.load a q)) ∧\n ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201193", "text": "case branch\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n SupportsStmt S q₁ →\n (∀ q' ∈ writes q₁, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q₁) ∧ ∀ q' ∈ writes q₁, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nIH₂ :\n SupportsStmt S q₂ →\n (∀ q' ∈ writes q₂, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q₂) ∧ ∀ q' ∈ writes q₂, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nhs : SupportsStmt S (Stmt.branch p q₁ q₂)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.branch p q₁ q₂), q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.branch p q₁ q₂)) ∧\n ∀ q' ∈ writes (Stmt.branch p q₁ q₂), SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201194", "text": "case branch\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n SupportsStmt S q₁ →\n (∀ q' ∈ writes q₁, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q₁) ∧ ∀ q' ∈ writes q₁, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nIH₂ :\n SupportsStmt S q₂ →\n (∀ q' ∈ writes q₂, q' ∈ trSupp M S) →\n SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q₂) ∧ ∀ q' ∈ writes q₂, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')\nhs : SupportsStmt S (Stmt.branch p q₁ q₂)\nhw : ∀ q' ∈ writes q₁ ∪ writes q₂, q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.branch p q₁ q₂)) ∧\n ∀ q' ∈ writes q₁ ∪ writes q₂, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201197", "text": "case branch\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : 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n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nl : Γ → σ → Λ\nhs : SupportsStmt S (Stmt.goto l)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.goto l), q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.goto l)) ∧\n ∀ q' ∈ writes (Stmt.goto l), SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201199", "text": "case goto\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nl : Γ → σ → Λ\nhs : SupportsStmt S (Stmt.goto l)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.goto l), q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.goto l)) ∧\n ∀ (q' : Λ'), False → SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201200", "text": "case goto\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nl : Γ → σ → Λ\nhs : SupportsStmt S (Stmt.goto l)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.goto l), q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec (Stmt.goto l))"} {"_id": "201201", "text": "case goto\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nl : Γ → σ → Λ\nhs : SupportsStmt S (Stmt.goto l)\nhw : ∀ q' ∈ writes (Stmt.goto l), q' ∈ trSupp M S\na : Γ\nx✝ : Bool\ns : σ\n⊢ (fun x s => Λ'.normal (l a s)) x✝ s ∈ trSupp M S"} {"_id": "201202", "text": "case halt\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nhs : SupportsStmt S Stmt.halt\nhw : ∀ q' ∈ writes Stmt.halt, q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec Stmt.halt) ∧\n ∀ q' ∈ writes Stmt.halt, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201203", "text": "case halt\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nhs : SupportsStmt S Stmt.halt\nhw : ∀ q' ∈ writes Stmt.halt, q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec Stmt.halt) ∧ ∀ (q' : Λ'), False → SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')"} {"_id": "201204", "text": "case halt\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nM : Λ → Stmt₁\nencdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a\ninst✝ : Fintype Γ\nS : Finset Λ\nss : Supports M S\nq : Λ'\nh : q ∈ trSupp M S\nhs : SupportsStmt S Stmt.halt\nhw : ∀ q' ∈ writes Stmt.halt, q' ∈ trSupp M S\n⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec Stmt.halt)"} {"_id": "201205", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁶ : HasZeroMorphisms D\nS : ShortComplex C\nh₁✝ : S.LeftHomologyData\nh₂✝ : S.RightHomologyData\nF✝ : C ⥤ D\ninst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms\nhl : S.LeftHomologyData\nhr : S.RightHomologyData\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhl₁ : S₁.LeftHomologyData\nhr₁ : S₁.RightHomologyData\nhl₂ : S₂.LeftHomologyData\nhr₂ : S₂.RightHomologyData\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝³ : S₁.HasRightHomology\ninst✝² : S₂.HasRightHomology\ninst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁\ninst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂\n⊢ F.map (rightHomologyMap φ) ≫ (S₂.mapRightHomologyIso F).inv =\n (S₁.mapRightHomologyIso F).inv ≫ rightHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ)"} {"_id": "201206", "text": "α : Type u\ninst✝ : LinearOrderedCommGroup α\na b c : α\n⊢ a⁻¹ < a ↔ 1 < a"} {"_id": "201208", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (deriv fun z => z ^ p * (1 + ε z)) =Θ[atTop] fun z => z ^ (p - 1)"} {"_id": "201209", "text": "X Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nU : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ne : V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ U\n⊢ Hom.appLE (f ≫ g) U V e = Hom.app g U ≫ Hom.appLE f (g ⁻¹ᵁ U) V e"} {"_id": "201210", "text": "α : Type u\ninst✝⁵ : Primcodable α\ninst✝⁴ : Inhabited α\nβ : Type v\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Inhabited β\nγ : Type w\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Inhabited γ\nd₁ d₂ : ManyOneDegree\n⊢ d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₁ → d₁ = d₂"} {"_id": "201211", "text": "case h\nα : Type u\ninst✝⁵ : Primcodable α\ninst✝⁴ : Inhabited α\nβ : Type v\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Inhabited β\nγ : Type w\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Inhabited γ\nd₂ : ManyOneDegree\np✝ : Set ℕ\n⊢ of p✝ ≤ d₂ → d₂ ≤ of p✝ → of p✝ = d₂"} {"_id": "201213", "text": "case h.h\nα : Type u\ninst✝⁵ : Primcodable α\ninst✝⁴ : Inhabited α\nβ : Type v\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Inhabited β\nγ : Type w\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Inhabited γ\np✝¹ p✝ : Set ℕ\nhp : of p✝¹ ≤ of p✝\nhq : of p✝ ≤ of p✝¹\n⊢ of p✝¹ = of p✝"} {"_id": "201214", "text": "K : Type u_1\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : NeZero 2\na b c x✝ : K\nha : a ≠ 0\ns : K\nh : discrim a b c = s * s\nx : K\n⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = (-b + s) / (2 * a) ∨ x = (-b - s) / (2 * a)"} {"_id": "201216", "text": "K : Type u_1\ninst✝¹ : Field K\ninst✝ : NeZero 2\na b c x✝ : K\nha : a ≠ 0\ns : K\nh : discrim a b c = s * s\nx : K\n⊢ s = 2 * a * x + b ∨ s = -b + -(2 * a * x) ↔ x * (2 * a) = -b + s ∨ x * (2 * a) = -b - s"} {"_id": "201219", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nn : ℕ\nhn : 0 < n\n⊢ (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ n).Nonempty"} {"_id": "201221", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nb' : ℝ := b (min_bi b)\nhb_pos : 0 < b'\n⊢ (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ n).Nonempty"} {"_id": "201222", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nb' : ℝ := b (min_bi b)\nhb_pos : 0 < b'\n⊢ ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ < n"} {"_id": "201223", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nb' : ℝ := b (min_bi b)\nhb_pos : 0 < b'\n⊢ ↑⌊b' / 2 * ↑n⌋₊ ≤ b' / 2 * ↑n"} {"_id": "201226", "text": "case bc.h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nn : ℕ\nhn : 0 < n\nb' : ℝ := b (min_bi b)\nhb_pos : 0 < b'\n⊢ b' < 1"} {"_id": "201230", "text": "R : Type u\ninst✝ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\n⊢ S.Exact ↔ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g"} {"_id": "201237", "text": "case mp.h.mp.intro\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nh : LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f\nx : ↑S.X₂\ny : ↑S.X₁\nhy : S.f y = x\n⊢ S.f y ∈ LinearMap.ker S.g"} {"_id": "201242", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁴ : Field K\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : Nontrivial R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra K L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Finite K L\ninst✝³ : Module.Finite R L\ninst✝² : Module.Free R L\ninst✝¹ : Module.Finite R M\ninst✝ : Module.Free R M\nx y : L\ni j : ℕ\nhij : i + j = finrank R M\n⊢ ((LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j"} {"_id": "201243", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁴ : Field K\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : Nontrivial R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra K L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Finite K L\ninst✝³ : Module.Finite R L\ninst✝² : Module.Free R L\ninst✝¹ : Module.Finite R M\ninst✝ : Module.Free R M\nx y : L\ni j : ℕ\nhij : i + j = finrank R M\n⊢ (↑(MvPolynomial.aeval fun i => C (((chooseBasis R L).repr y) i) * X + C (((chooseBasis R L).repr x) i))\n (((↑φ).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤\n j * 1"} {"_id": "201245", "text": "case hf\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁴ : Field K\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : Nontrivial R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra K L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Finite K L\ninst✝³ : Module.Finite R L\ninst✝² : Module.Free R L\ninst✝¹ : Module.Finite R M\ninst✝ : Module.Free R M\nx y : L\ni j : ℕ\nhij : i + j = finrank R M\nk : ChooseBasisIndex R L\n⊢ (C (((chooseBasis R L).repr y) k) * X + C (((chooseBasis R L).repr x) k)).natDegree ≤ 1"} {"_id": "201246", "text": "case hF\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁴ : Field K\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : Nontrivial R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra K L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Finite K L\ninst✝³ : Module.Finite R L\ninst✝² : Module.Free R L\ninst✝¹ : Module.Finite R M\ninst✝ : Module.Free R M\nx y : L\ni j : ℕ\nhij : i + j = finrank R M\n⊢ (((↑φ).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j"} {"_id": "201247", "text": "case hf.hp\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁴ : Field K\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : Nontrivial R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra K L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Finite K L\ninst✝³ : Module.Finite R L\ninst✝² : Module.Free R L\ninst✝¹ : Module.Finite R M\ninst✝ : Module.Free R M\nx y : L\ni j : ℕ\nhij : i + j = finrank R M\nk : ChooseBasisIndex R L\n⊢ (C (((chooseBasis R L).repr y) k) * X).natDegree ≤ 1"} {"_id": "201248", "text": "case hf.hp\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁴ : Field K\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : Nontrivial R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra K L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Finite K L\ninst✝³ : Module.Finite R L\ninst✝² : Module.Free R L\ninst✝¹ : Module.Finite R M\ninst✝ : Module.Free R M\nx y : L\ni j : ℕ\nhij : i + j = finrank R M\nk : ChooseBasisIndex R L\n⊢ X.natDegree ≤ 1"} {"_id": "201249", "text": "case hf.hq\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁴ : Field K\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : Nontrivial R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra K L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\ninst✝⁴ : Module.Finite K L\ninst✝³ : Module.Finite R L\ninst✝² : Module.Free R L\ninst✝¹ : Module.Finite R M\ninst✝ : Module.Free R M\nx y : L\ni j : ℕ\nhij : i + j = finrank R M\nk : ChooseBasisIndex R L\n⊢ (C (((chooseBasis R L).repr x) k)).natDegree ≤ 1"} {"_id": "201250", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : MulZeroClass R\na b : R\n⊢ ¬IsLeftRegular 0 ↔ Nontrivial R"} {"_id": "201252", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : MulZeroClass R\na b : R\n⊢ (∀ (x y : R), x = y) ↔ ∀ (x y : R), x = y"} {"_id": "201253", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nα : L → R\nβ : Weight R L M\nhα : α ≠ 0\nn : ℕ\nhn : n ≤ chainBotCoeff α β\n⊢ weightSpace M (-↑n • α + ⇑β) ≠ ⊥"} {"_id": "201254", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → R\nhP : W'.Equation P\nhPz : P z = 0\n⊢ W'.dblY P = (P x ^ 2) ^ 3"} {"_id": "201255", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : LT α\ns : Finset ι\nf : ι → WithBot α\n⊢ ⊥ < ∑ i ∈ s, f i ↔ ∀ i ∈ s, ⊥ < f i"} {"_id": "201257", "text": "ι✝ : Type u_1\nκ✝ : Type u_2\nα✝¹ : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α✝¹\na : α✝¹\nf✝ g : α✝¹ → β✝\nι : Type u_6\nκ : Type u_7\nα✝ : Type u_8\ninst✝⁵ : Fintype ι\ninst✝⁴ : Fintype κ\ninst✝³ : CommMonoid α✝\nα : Type u_9\nβ : Type u_10\ninst✝² : Fintype α\ninst✝¹ : CommMonoid β\np : α → Prop\nf : α → β\ninst✝ : DecidablePred p\n⊢ (∏ i : { x // p x }, f ↑i) * ∏ i : { x // ¬p x }, f ↑i = ∏ i : α, f i"} {"_id": "201258", "text": "ι✝ : Type u_1\nκ✝ : Type u_2\nα✝¹ : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹\na : α✝¹\nf✝ g : α✝¹ → β✝\nι : Type u_6\nκ : Type u_7\nα✝ : Type u_8\ninst✝⁵ : Fintype ι\ninst✝⁴ : Fintype κ\ninst✝³ : CommMonoid α✝\nα : Type u_9\nβ : Type u_10\ninst✝² : Fintype α\ninst✝¹ : CommMonoid β\np : α → Prop\nf : α → β\ninst✝ : DecidablePred p\ns : Finset α := {x | p x}.toFinset\n⊢ (∏ i : { x // p x }, f ↑i) * ∏ i : { x // ¬p x }, f ↑i = ∏ i : α, f i"} {"_id": "201259", "text": "ι✝ : Type u_1\nκ✝ : Type u_2\nα✝¹ : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹\na : α✝¹\nf✝ g : α✝¹ → β✝\nι : Type u_6\nκ : Type u_7\nα✝ : Type u_8\ninst✝⁵ : Fintype ι\ninst✝⁴ : Fintype κ\ninst✝³ : CommMonoid α✝\nα : Type u_9\nβ : Type u_10\ninst✝² : Fintype α\ninst✝¹ : CommMonoid β\np : α → Prop\nf : α → β\ninst✝ : DecidablePred p\ns : Finset α := {x | p x}.toFinset\n⊢ (∏ a ∈ s, f a) * ∏ a ∈ sᶜ, f a = ∏ i : α, f i"} {"_id": "201262", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : AddCommGroup α\np a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α\nn : ℕ\nz : ℤ\n⊢ a + b ≡ a [PMOD p] ↔ b ≡ 0 [PMOD p]"} {"_id": "201263", "text": "α : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝ : MonoidWithZero M₀\na : M₀\nh : IsUnit (Ring.inverse a)\n⊢ IsUnit a"} {"_id": "201266", "text": "case inr\nα : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝ : MonoidWithZero M₀\na : M₀\nh✝ : Nontrivial M₀\nh : ¬IsUnit a\n⊢ ¬IsUnit (Ring.inverse a)"} {"_id": "201267", "text": "case inr\nα : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝ : MonoidWithZero M₀\na : M₀\nh✝ : Nontrivial M₀\nh : ¬IsUnit a\n⊢ ¬IsUnit 0"} {"_id": "201269", "text": "case h\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nx : L\n⊢ x ∈ (ad R L).ker ↔ x ∈ LieAlgebra.center R L"} {"_id": "201270", "text": "case h\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nx : L\n⊢ (ad R L) x = 0 ↔ ∀ (m : L), ⁅x, m⁆ = 0"} {"_id": "201272", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nh : S.RightHomologyData\nA : C\nhf : S.f = 0\n⊢ h.descQ (𝟙 S.X₂) ⋯ ≫ h.p = 𝟙 h.Q"} {"_id": "201274", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : IsAtom I\n⊢ IsCompl I (orthogonal Φ hΦ_inv I)"} {"_id": "201275", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : IsAtom I\n⊢ IsCompl ↑I ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)"} {"_id": "201276", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\nB : Type u_3\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : Ring A\ninst✝² : Ring B\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : Algebra R B\nc₁ c₂ : R\nq : Basis A c₁ c₂\nx y : ℍ[R,c₁,c₂]\n⊢ q.lift (x + y) = q.lift x + q.lift y"} {"_id": "201278", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nS₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\n⊢ leftHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -leftHomologyMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "201280", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → F\nhPz : P z ≠ 0\nhy : P y = W.negY P\n⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (eval P) W.polynomialX ≠ 0"} {"_id": "201281", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → F\nhPz : P z ≠ 0\nhy : P y = W.negY P\nthis : (eval P) W.polynomialY = P y - W.negY P\n⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (eval P) W.polynomialX ≠ 0"} {"_id": "201282", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → F\nhPz : P z ≠ 0\nhy : P y = W.negY P\n⊢ (eval P) W.polynomialY = P y - W.negY P"} {"_id": "201285", "text": "case cons.refl\nα : Type u_1\nle : α → α → Bool\nn r : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\nh : WF le n (cons r a c s)\n⊢ WF le 0\n (Heap.merge le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap\n ((Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before\n (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next))"} {"_id": "201287", "text": "case cons.refl\nα : Type u_1\nle : α → α → Bool\nn r : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\nh : WF le n (cons r a c s)\n⊢ FindMin.WF le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }) →\n WF le 0\n (Heap.merge le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap\n ((Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before\n (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next))"} {"_id": "201289", "text": "case cons.refl\nα : Type u_1\nle : α → α → Bool\nn r : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\nh : WF le n (cons r a c s)\nbefore : Heap α → Heap α\nval : α\nnode : HeapNode α\nnext : Heap α\nrank✝ : Nat\nhk : ∀ {s : Heap α}, WF le rank✝ s → WF le 0 ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before s)\nih₁ :\n HeapNode.WF le { before := before, val := val, node := node, next := next }.val\n { before := before, val := val, node := node, next := next }.node rank✝\nih₂ : WF le (rank✝ + 1) { before := before, val := val, node := node, next := next }.next\n⊢ WF le 0\n (Heap.merge le { before := before, val := val, node := node, next := next }.node.toHeap\n ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before\n { before := before, val := val, node := node, next := next }.next))"} {"_id": "201290", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝² : Finite ι\ninst✝¹ : MeasurableSpace E\ninst✝ : OpensMeasurableSpace E\nμ : Measure E\n⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (fundamentalDomain b) μ"} {"_id": "201291", "text": "case intro\nE : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝² : Finite ι\ninst✝¹ : MeasurableSpace E\ninst✝ : OpensMeasurableSpace E\nμ : Measure E\nval✝ : Fintype ι\n⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (fundamentalDomain b) μ"} {"_id": "201292", "text": "k : Type u₁\nG : Type u₂\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : Mul G\ninst✝ : IsRightCancelMul G\nf : MonoidAlgebra k G\nr : k\nhr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0\nx : G\n⊢ (f * single x r).support = map (mulRightEmbedding x) f.support"} {"_id": "201293", "text": "case a\nk : Type u₁\nG : Type u₂\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : Mul G\ninst✝ : IsRightCancelMul G\nf : MonoidAlgebra k G\nr : k\nhr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0\nx a✝ : G\n⊢ a✝ ∈ (f * single x r).support ↔ a✝ ∈ map (mulRightEmbedding x) f.support"} {"_id": "201294", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝ : Fintype S\nf : S → Tropical (WithTop R)\n⊢ untrop (∑ i : S, f i) = ⨅ i, untrop (f i)"} {"_id": "201296", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹⁷ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM✝ : Type u_2\nM'✝ : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝\ninst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝\ninst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝¹³ : CommSemiring A\ninst✝¹² : Algebra R A\ninst✝¹¹ : Module A M'✝\ninst✝¹⁰ : IsLocalization S A\ninst✝⁹ : Module R M✝\ninst✝⁸ : Module R M'✝\ninst✝⁷ : Module R M''\ninst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝\nf✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝\ng : M✝ →ₗ[R] M''\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝\nM : Type u_6\nM' : Type u_7\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\nm : M\ns : ↥S\n⊢ mk' f (-m) s = -mk' f m s"} {"_id": "201297", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹⁷ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM✝ : Type u_2\nM'✝ : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝\ninst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝\ninst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝¹³ : CommSemiring A\ninst✝¹² : Algebra R A\ninst✝¹¹ : Module A M'✝\ninst✝¹⁰ : IsLocalization S A\ninst✝⁹ : Module R M✝\ninst✝⁸ : Module R M'✝\ninst✝⁷ : Module R M''\ninst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝\nf✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝\ng : M✝ →ₗ[R] M''\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝\nM : Type u_6\nM' : Type u_7\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\nm : M\ns : ↥S\n⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (-m) s) = -(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)"} {"_id": "201300", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nK L M : CochainComplex C ℤ\nn : ℤ\nγ γ₁ γ₂ : Cochain K L n\na n' : ℤ\nhn' : n + a = n'\nx : Rˣ\n⊢ (x • γ).leftShift a n' hn' = x • γ.leftShift a n' hn'"} {"_id": "201302", "text": "case h.mk.mk\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : CategoryWithHomology C\ninst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\nK L : HomologicalComplex C c\nf : { as := K } ⟶ { as := L }\n⊢ quasiIso C c f ↔ (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (quotient C c) f"} {"_id": "201305", "text": "case h.mk.mk.intro.mp\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : CategoryWithHomology C\ninst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\nhf : quasiIso C c ((quotient C c).map f)\n⊢ (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (quotient C c) ((quotient C c).map f)"} {"_id": "201306", "text": "case h.mk.mk.intro.mp\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : CategoryWithHomology C\ninst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\nhf : HomologicalComplex.quasiIso C c f\n⊢ (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (quotient C c) ((quotient C c).map f)"} {"_id": "201308", "text": "case h.mk.mk.intro.mpr.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : CategoryWithHomology C\ninst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\nK' L' : HomologicalComplex C c\ng : K' ⟶ L'\nh : HomologicalComplex.quasiIso C c g\ne : Arrow.mk ((quotient C c).map g) ≅ Arrow.mk ((quotient C c).map f)\n⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f)"} {"_id": "201309", "text": "case h.mk.mk.intro.mpr.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : CategoryWithHomology C\ninst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\nK' L' : HomologicalComplex C c\ng : K' ⟶ L'\nh : quasiIso C c ((quotient C c).map g)\ne : Arrow.mk ((quotient C c).map g) ≅ Arrow.mk ((quotient C c).map f)\n⊢ quasiIso C c ((quotient C c).map f)"} {"_id": "201310", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nR : Type u_5\nM : Type u_6\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nr s✝ : R\nx y : M\ns : Multiset R\nt : Multiset M\n⊢ s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum"} {"_id": "201312", "text": "case cons\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nR : Type u_5\nM : Type u_6\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nr s✝ : R\nx y : M\nt : Multiset M\na : R\ns : Multiset R\nih : s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum\n⊢ (a ::ₘ s).sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) ((a ::ₘ s) ×ˢ t)).sum"} {"_id": "201313", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nr s : R\n⊢ single f r ≫ single g s = single (f ≫ g) (r * s)"} {"_id": "201316", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns t : Set (PrimeSpectrum R)\nht : IsClosed t\nh : vanishingIdeal t ≤ vanishingIdeal s\n⊢ closure s ⊆ closure t"} {"_id": "201317", "text": "M : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid M\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nH : Subgroup Gˣ\nx : G\n⊢ x ∈ H.ofUnits ↔ toUnits x ∈ H"} {"_id": "201321", "text": "case h\nR : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nk : Type u_5\nK : Type u_6\nS : Type u_7\nM : Type u_8\nM₁ : Type u_9\nM₂ : Type u_10\nM₃ : Type u_11\nN₁ : Type u_12\nN₂ : Type u_13\nN₃ : Type u_14\nN₄ : Type u_15\nι : Type u_16\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nm : Type u_17\nn : Type u_18\np : Type u_19\nf : m → n\nhf : Injective f\ng : m → M\nx✝ : m\n⊢ (funLeft R M f) (fun x => if h : ∃ y, f y = x then g h.choose else 0) x✝ = g x✝"} {"_id": "201325", "text": "case neg\nR : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nk : Type u_5\nK : Type u_6\nS : Type u_7\nM : Type u_8\nM₁ : Type u_9\nM₂ : Type u_10\nM₃ : Type u_11\nN₁ : Type u_12\nN₂ : Type u_13\nN₃ : Type u_14\nN₄ : Type u_15\nι : Type u_16\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nm : Type u_17\nn : Type u_18\np : Type u_19\nf : m → n\nhf : Injective f\ng : m → M\nx✝ : m\nw : ¬∃ y, f y = f x✝\n⊢ 0 = g x✝"} {"_id": "201326", "text": "C : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\n⊢ (K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₂ c j j' = K.flip.D₁ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'"} {"_id": "201327", "text": "α : Type u_1\nt : RBNode α\n⊢ t.reverse.isRed = t.isRed"} {"_id": "201328", "text": "α : Type u\ninst✝² : Group α\ninst✝¹ : LT α\ninst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1\na b c : α\n⊢ b < 1 * a ↔ b < a"} {"_id": "201329", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ (fun n => (1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) =O[atTop] T"} {"_id": "201331", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nb' : ℝ := b (min_bi b) / 2\nhb_pos : 0 < b'\n⊢ (fun n => (1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) =O[atTop] T"} {"_id": "201333", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nb' : ℝ := b (min_bi b) / 2\nhb_pos : 0 < b'\nc₁ : ℝ\nhc₁ : c₁ > 0\nh_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n\n⊢ ∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop, ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖"} {"_id": "201335", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nb' : ℝ := b (min_bi b) / 2\nhb_pos : 0 < b'\nc₁ : ℝ\nhc₁ : c₁ > 0\nh_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n\nn₀ : ℕ\nn₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀\nh_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊\nh_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y\nh_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y\nh_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y\nh_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)\nh_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y\nn₀_pos : 0 < n₀\nh_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)\nbound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))\nh_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y\nh_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y\nh_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b 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↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)\nbase_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)\nC : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min\nhC_pos : 0 < C\nh_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n\nn : ℕ\nh_ind : ∀ m < n, m ≥ n₀ → 0 < asympBound g a b m → 0 < 1 + ε ↑m → C * ((1 + ε ↑m) * asympBound g a b m) ≤ T m\nhn : n ≥ n₀\nh_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n\nh_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 + ε ↑n\nb_mul_n₀_le_ri : ∀ (i : α), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ r i n\ng_pos : 0 ≤ g ↑n\n⊢ rexp 1 ≤ ↑⌈rexp 1⌉₊"} {"_id": "201424", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nb' : ℝ := b (min_bi b) / 2\nhb_pos : 0 < b'\nc₁ : ℝ\nhc₁ : c₁ > 0\nh_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n\nn₀ : ℕ\nn₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀\nh_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊\nh_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y\nh_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y\nh_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y\nh_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)\nh_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y\nn₀_pos : 0 < n₀\nh_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)\nbound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))\nh_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y\nh_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y\nh_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)\nh_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y\nh_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty\nbase_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε 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"201430", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ StrictAntiOn (fun x => (log x)⁻¹) (Set.Ioi 1)"} {"_id": "201431", "text": "case log\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ StrictMonoOn log (Set.Ioi 1)"} {"_id": "201432", "text": "case log\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nx : ℝ\nhx : x ∈ Set.Ioi 1\n⊢ x ∈ Set.Ioi 0"} {"_id": "201433", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\n⊢ φ P.disc = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2"} {"_id": "201434", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\n⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 +\n φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d =\n (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2"} {"_id": "201435", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\nf4 : φ 4 = 4\n⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 +\n φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d =\n (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2"} {"_id": "201436", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\nf4 : φ 4 = 4\nf18 : φ 18 = 18\n⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 +\n φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d =\n (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2"} {"_id": "201437", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\nf4 : φ 4 = 4\nf18 : φ 18 = 18\nf27 : φ 27 = 27\n⊢ φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 +\n φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d =\n (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2"} {"_id": "201439", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nG : Type u_6\nk : Type u_7\nR : Type u_8\ninst✝ : DecidableEq α\ns✝ : Finset α\nB : Finset (Finset α)\nn : ℕ\ns : Finset ι\nf : ι → Finset α\nhs : (↑s).PairwiseDisjoint f\n⊢ s.card ≤ (s.biUnion f).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card"} {"_id": "201440", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nG : Type u_6\nk : Type u_7\nR : Type u_8\ninst✝ : DecidableEq α\ns✝ : Finset α\nB : Finset (Finset α)\nn : ℕ\ns : Finset ι\nf : ι → Finset α\nhs : (↑s).PairwiseDisjoint f\n⊢ (filter (fun a => ¬f a = ∅) s).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card ≤\n (s.biUnion f).card + (filter (fun i => f i = ∅) s).card"} {"_id": "201442", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\nK : CochainComplex C ℤ\nd e : ℤ\nγ : Cochain F K d\nhe : 1 + d = e\n⊢ (inl φ).comp ((↑(fst φ)).comp γ he) ⋯ = γ"} {"_id": "201445", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\np : α → Prop\n⊢ ComputablePred p ↔ RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a"} {"_id": "201446", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nf g : ι → α\ns : Finset ι\n⊢ ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∑ t ∈ s.powerset, (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ s \\ t, g i"} {"_id": "201449", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nf g : ι → α\ns : Finset ι\n⊢ ∀ (a : Finset ι) (ha : a ∈ s.powerset), (fun t x a x => a ∈ t) a ha ∈ s.pi fun x => {True, False}"} {"_id": "201450", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nf g : ι → α\ns : Finset ι\n⊢ ∀ (a : (a : ι) → a ∈ s → Prop) (ha : a ∈ s.pi fun x => {True, False}),\n (fun t x a x => a ∈ t) ((fun f x => filter (fun a => ∃ (h : a ∈ s), f a h) s) a ha) ⋯ = a"} {"_id": "201452", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nf g : ι → α\ns : Finset ι\n⊢ ∀ (a : Finset ι) (ha : a ∈ s.powerset),\n (fun f x => filter (fun a => ∃ (h : a ∈ s), f a h) s) ((fun t x a x => a ∈ t) a ha) ⋯ = a"} {"_id": "201454", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nf g : ι → α\ns : Finset ι\na : (a : ι) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ s.pi fun x => {True, False}\n⊢ (∏ a_1 ∈ s.attach, if a ↑a_1 ⋯ then f ↑a_1 else g ↑a_1) =\n (∏ a ∈ (fun f x => filter (fun a => ∃ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, f a) *\n ∏ a ∈ s \\ (fun f x => filter (fun a => ∃ (h : a ∈ s), f a h) s) a x✝, g a"} {"_id": "201456", "text": "case e_a.e_s.a\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nf g : ι → α\ns : Finset ι\na : (a : ι) → a ∈ s → Prop\nx✝ : a ∈ s.pi fun x => {True, False}\nx : ι\n⊢ x ∈ filter (fun x => ∃ (h : x ∈ s), ¬a x ⋯) s ↔ x ∈ s \\ filter (fun a_1 => ∃ (h : a_1 ∈ s), a a_1 h) s"} {"_id": "201458", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : OrderedCommGroup α\na b : α\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (b ^ n) (b ^ (n + 1)))"} {"_id": "201467", "text": "f✝ f g : ℝ → ℝ\nhg : GrowsPolynomially g\nhf : f ~[atTop] g\nthis : f = g + (f - g)\n⊢ GrowsPolynomially (g + (f - g))"} {"_id": "201471", "text": "case h\nC₁ : Type u_1\nC₂ : Type u_2\nD : Type u_3\nI₁ : Type u_4\nI₂ : Type u_5\nJ : Type u_6\ninst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁\ninst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂\ninst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D\ninst✝⁸ : Preadditive C₁\ninst✝⁷ : Preadditive C₂\ninst✝⁶ : Preadditive D\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁\nf₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁\nh₁ : Homotopy f₁ f₁'\nK₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂\nf₂ : K₂ ⟶ L₂\nF : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D\ninst✝⁵ : F.Additive\ninst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive\nc : ComplexShape 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TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c\ninst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c\nj j' : J\nh : ¬c.Rel j' j\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j\n⊢ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h' ≫\n (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).totalDesc fun i₁ i₂ x =>\n c₁.ε₁ c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) •\n (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫\n (F.obj (L₁.X (c₁.prev i₁))).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c (c₁.prev i₁) i₂ j') =\n (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h' ≫ 0"} {"_id": "201474", "text": "case pos\nC₁ : Type u_1\nC₂ : Type u_2\nD : Type u_3\nI₁ : Type u_4\nI₂ : Type u_5\nJ : Type u_6\ninst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁\ninst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂\ninst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D\ninst✝⁸ : Preadditive C₁\ninst✝⁷ : Preadditive C₂\ninst✝⁶ : Preadditive D\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁\nf₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁\nh₁ : Homotopy f₁ f₁'\nK₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂\nf₂ : K₂ ⟶ L₂\nF : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D\ninst✝⁵ : F.Additive\ninst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive\nc : ComplexShape J\ninst✝³ : DecidableEq J\ninst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c\ninst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c\nj j' : J\nh : ¬c.Rel j' j\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j\nh₃ : c₁.Rel (c₁.prev i₁) i₁\n⊢ c₁.ε₁ c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) •\n (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫\n (F.obj (L₁.X (c₁.prev i₁))).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c (c₁.prev i₁) i₂ j' =\n 0"} {"_id": "201478", "text": "case pos.h\nC₁ : Type u_1\nC₂ : Type u_2\nD : Type u_3\nI₁ : Type u_4\nI₂ : Type u_5\nJ : Type u_6\ninst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁\ninst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂\ninst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D\ninst✝⁸ : Preadditive C₁\ninst✝⁷ : Preadditive C₂\ninst✝⁶ : Preadditive D\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁\nf₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁\nh₁ : Homotopy f₁ f₁'\nK₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂\nf₂ : K₂ ⟶ L₂\nF : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D\ninst✝⁵ : F.Additive\ninst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive\nc : ComplexShape J\ninst✝³ : DecidableEq J\ninst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c\ninst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c\nj j' : J\nh : ¬c.Rel j' j\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j\nh₃ : c₁.Rel (c₁.prev i₁) i₁\nh₄ : c₁.π c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) = j'\n⊢ c.Rel (c₁.π c₂ c (c₁.prev i₁, i₂)) (c₁.π c₂ c (i₁, i₂))"} {"_id": "201479", "text": "case neg\nC₁ : Type u_1\nC₂ : Type u_2\nD : Type u_3\nI₁ : Type u_4\nI₂ : Type u_5\nJ : Type u_6\ninst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁\ninst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂\ninst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D\ninst✝⁸ : Preadditive C₁\ninst✝⁷ : Preadditive C₂\ninst✝⁶ : Preadditive D\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁\nf₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁\nh₁ : Homotopy f₁ f₁'\nK₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂\nf₂ : K₂ ⟶ L₂\nF : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D\ninst✝⁵ : F.Additive\ninst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive\nc : ComplexShape J\ninst✝³ : DecidableEq J\ninst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c\ninst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c\nj j' : J\nh : ¬c.Rel j' j\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j\nh₃ : ¬c₁.Rel (c₁.prev i₁) i₁\n⊢ c₁.ε₁ c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) •\n (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫\n (F.obj (L₁.X (c₁.prev i₁))).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c (c₁.prev i₁) i₂ j' =\n 0"} {"_id": "201481", "text": "case neg\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\n⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β"} {"_id": "201482", "text": "case pos\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : α.IsZero\n⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β"} {"_id": "201483", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\n⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β"} {"_id": "201485", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\ne : (chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑(-α)) β\n⊢ False"} {"_id": "201486", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\ne : (chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑(-α)) β\n⊢ weightSpace L ((chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β).succ • ⇑(-α) + ⇑β) = ⊥"} {"_id": "201487", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\ne : (chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑(-α)) β\n⊢ weightSpace L (-((chainLength α β + 1) • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥"} {"_id": "201488", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\n⊢ chainLength α β ≤ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β"} {"_id": "201490", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\ne : chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β < chainLength α β\n⊢ False"} {"_id": "201491", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\ne : chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β < chainLength α β\n⊢ rootSpace H (-((chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β).succ • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥"} {"_id": "201492", "text": "case neg.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα✝ : α.IsNonZero\nhα : ¬α.IsZero\ne : chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β < chainLength α β\n⊢ rootSpace H ((chainBotCoeff (⇑α) β).succ • -⇑α + ⇑β) = ⊥"} {"_id": "201494", "text": "case h.h.h.h\nα : Type u_1\nf : α → α\nn : Nat\nl : List α\n⊢ modifyNth f n l = modifyNthTR f n l"} {"_id": "201495", "text": "α : Type u\nσ σ' : Type v\nM : NFA α σ\ninst✝ : Fintype σ\nx : List α\nhx : x ∈ M.accepts\nhlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length\n⊢ ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts"} {"_id": "201497", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\n⊢ self.rank x < self.rank (self.rootD x) ↔ self.parent x ≠ x"} {"_id": "201498", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\nh : self.parent x ≠ x\n⊢ self.rank x < self.rank (self.rootD x)"} {"_id": "201499", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\nh : self.parent x ≠ x\n⊢ self.rank x < self.rank (self.rootD (self.parent x))"} {"_id": "201500", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\nh : self.rank x < self.rank (self.rootD x)\nh' : self.parent x = x\n⊢ self.rank x = self.rank (self.rootD x)"} {"_id": "201501", "text": "Γ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nn : ℕ\nenc : Γ → Vector Bool n\ndec : Vector Bool n → Γ\nenc0 : enc default = Vector.replicate n false\nL R : ListBlank Γ\n⊢ trTape enc0 (Tape.mk' L R) = trTape' enc0 L R"} {"_id": "201502", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\n⊢ ∏ x ∈ s, f x * g x = fold (fun x x_1 => x * x_1) (1 * 1) (fun x => f x * g x) s"} {"_id": "201504", "text": "n d : Int\n⊢ -(n /. d) = -n /. d"} {"_id": "201505", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nx y : α\n⊢ const x ≤ const y ↔ x ≤ y"} {"_id": "201506", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nx y : α\n⊢ const x ≤ const y ↔ x < y ∨ x = y"} {"_id": "201507", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → F\nhPz : P z ≠ 0\n⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ ((eval P) W.polynomialX ≠ 0 ∨ (eval P) W.polynomialY ≠ 0)"} {"_id": "201508", "text": "M : Type u_1\ninst✝² : Mul M\ninst✝¹ : Pow M ℕ+\ninst✝ : PNatPowAssoc M\nx : M\nm n : ℕ+\n⊢ x ^ (m * n) = (x ^ n) ^ m"} {"_id": "201509", "text": "M : Type u_1\ninst✝² : Mul M\ninst✝¹ : Pow M ℕ+\ninst✝ : PNatPowAssoc M\nx : M\nm n : ℕ+\n⊢ x ^ (n * m) = (x ^ n) ^ m"} {"_id": "201513", "text": "case mp\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.35158, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\ninst✝ : HasZeroObject C\nhg : S.g = 0\nh : S.Exact\nthis : S.HasHomology\n⊢ Epi S.f"} {"_id": "201515", "text": "case mp\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.35158, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\ninst✝ : HasZeroObject C\nhg : S.g = 0\nthis✝ : S.HasHomology\nh : IsZero S.homology\nthis : IsIso S.iCycles\n⊢ Epi S.f"} {"_id": "201517", "text": "case mp\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.35158, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\ninst✝ : HasZeroObject C\nhg : S.g = 0\nthis✝¹ : S.HasHomology\nh : IsZero S.homology\nthis✝ : IsIso S.iCycles\nthis : Epi S.toCycles\n⊢ Epi (S.toCycles ≫ S.iCycles)"} {"_id": "201519", "text": "case mpr\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.35158, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\ninst✝ : HasZeroObject C\nhg : S.g = 0\na✝ : Epi S.f\n⊢ S.Exact"} {"_id": "201520", "text": "case mpr\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.35158, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\ninst✝ : HasZeroObject C\nhg : S.g = 0\na✝ : Epi S.f\n⊢ IsZero\n (HomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯)\n (CokernelCofork.IsColimit.ofEpiOfIsZero (CokernelCofork.ofπ 0 ⋯) ⋯ ⋯)).left.H"} {"_id": "201521", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nhs : (s ∩ mulSupport f).Finite\nht : (t ∩ mulSupport f).Finite\n⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i =\n (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i"} {"_id": "201523", "text": "case e_a.e_f\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nhs : (s ∩ mulSupport f).Finite\nht : (t ∩ mulSupport f).Finite\n⊢ (fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i) = fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i"} {"_id": "201524", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\nn : ℕ\nhn : a ∈ 𝒜 (n * m)\n⊢ f ^ n ∈ 𝒜 (m * n)"} {"_id": "201526", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\nn : ℕ\nhn : a ∈ 𝒜 (n * m)\n⊢ a ∈ carrier f_deg q ↔\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal"} {"_id": "201528", "text": "case e_a\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\nn : ℕ\nhn : a ∈ 𝒜 (n * m)\n⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m =\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }"} {"_id": "201529", "text": "case e_a.a\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\nn : ℕ\nhn : a ∈ 𝒜 (n * m)\n⊢ HomogeneousLocalization.val\n (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m) =\n (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).val"} {"_id": "201531", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns : Heap α\n⊢ (tail le s).NoSibling"} {"_id": "201532", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns : Heap α\n⊢ ((tail? le s).getD nil).NoSibling"} {"_id": "201535", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns tl : Heap α\neq : tail? le s = some tl\n⊢ ((some tl).getD nil).NoSibling"} {"_id": "201537", "text": "case mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\n⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r"} {"_id": "201538", "text": "case mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\neq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y\n⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r"} {"_id": "201539", "text": "case mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\neq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y\neq3 : (extendIdealTo i f h y) (r - snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨(r - snd i x) • y, ⋯⟩\n⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r"} {"_id": "201540", "text": "case mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\neq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y\neq3 :\n (extendIdealTo i f h y) r =\n ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)\n⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r"} {"_id": "201541", "text": "case mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\neq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y\neq3 :\n (extendIdealTo i f h y) r =\n ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)\n⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap (fst i x) + (extendIdealTo i f h y) (snd i x) =\n ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r"} {"_id": "201545", "text": "case mk.e_a.e_a.a\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\neq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y\neq3 :\n (extendIdealTo i f h y) r =\n ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)\n⊢ ↑(fst i x) = a + (r • y - snd i x • y)"} {"_id": "201546", "text": "case mk.e_a.e_a.a\nR : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\neq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y\neq3 :\n (extendIdealTo i f h y) r =\n ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)\n⊢ ↑(fst i x) = ↑x - snd i x • y"} {"_id": "201548", "text": "R : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = a + r • y\n⊢ ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y"} {"_id": "201550", "text": "R : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\ny : N\nx : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)\nr : R\na : N\nha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain\neq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y\neq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y\n⊢ ↑(fst i x) - a ∈ (extensionOfMax i f).domain"} {"_id": "201551", "text": "α : Type u\ninst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α\na b c : α\n⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)"} {"_id": "201552", "text": "case inl\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α\na b c : α\nhb : a ≤ b\n⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)"} {"_id": "201553", "text": "case inr\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α\na b c : α\nhb : b ≤ a\n⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)"} {"_id": "201554", "text": "case inr.inl\nα : Type u\ninst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α\na b c : α\nhb : b ≤ a\nhc : a ≤ c\n⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)"} {"_id": "201556", "text": "V : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V\ninst✝ : Abelian V\nX Y Z : V\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\n⊢ g.op ≫ f.op = 0"} {"_id": "201557", "text": "V : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V\ninst✝ : Abelian V\nX Y Z : V\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\n⊢ f ≫ factorThruImage g = 0"} {"_id": "201559", "text": "case h\nV : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V\ninst✝ : Abelian V\nX Y Z : V\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\n⊢ imageToKernel g.op f.op ⋯ ≫ (kernelSubobject f.op).arrow =\n ((imageSubobjectIso g.op ≪≫ (imageOpOp g).symm).hom ≫\n (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).op ≫ (kernelSubobjectIso f.op ≪≫ kernelOpOp f).inv) ≫\n (kernelSubobject f.op).arrow"} {"_id": "201561", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\n⊢ ClassGroup.mk (XYIdeal' h₁) * ClassGroup.mk (XYIdeal' h₂) = ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯)"} {"_id": "201562", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\n⊢ ClassGroup.mk (XYIdeal' h₁ * XYIdeal' h₂) = ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯)"} {"_id": "201563", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\n⊢ ↑(XYIdeal' h₁ * XYIdeal' h₂) = ↑(XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂))"} {"_id": "201565", "text": "case h.h.h.a\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n⊢ LocallyOfFiniteType f ↔ affineLocally (@RingHom.FiniteType) f"} {"_id": "201566", "text": "case h.h.h.a.hP\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n⊢ RingHom.RespectsIso @RingHom.FiniteType"} {"_id": "201567", "text": "α : Type u_1\ncut : α → Ordering\nt : RBNode α\npath : Path α\n⊢ fill' (zoom cut t path) = path.fill t"} {"_id": "201569", "text": "case node\nα : Type u_1\ncut : α → Ordering\nc✝ : RBColor\nl✝ : RBNode α\nv✝ : α\nr✝ : RBNode α\niha : ∀ (path : Path α), fill' (zoom cut l✝ path) = path.fill l✝\nihb : ∀ (path : Path α), fill' (zoom cut r✝ path) = path.fill r✝\npath : Path α\n⊢ fill' (zoom cut (node c✝ l✝ v✝ r✝) path) = path.fill (node c✝ l✝ v✝ r✝)"} {"_id": "201571", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j k : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\n⊢ K.fromOpcycles i j ≫ K.d j k = 0"} {"_id": "201572", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} V\ninst✝ : HasZeroMorphisms V\nP Q : ChainComplex V ℕ\nzero : P.X 0 ⟶ Q.X 0\none : P.X 1 ⟶ Q.X 1\none_zero_comm : one ≫ Q.d 1 0 = P.d 1 0 ≫ zero\nsucc :\n (n : ℕ) →\n (p : (f : P.X n ⟶ Q.X n) ×' (f' : P.X (n + 1) ⟶ Q.X (n + 1)) ×' f' ≫ Q.d (n + 1) n = P.d (n + 1) n ≫ f) →\n (f'' : P.X (n + 2) ⟶ Q.X (n + 2)) ×' f'' ≫ Q.d (n + 2) (n + 1) = P.d (n + 2) (n + 1) ≫ p.snd.fst\nn : ℕ\n⊢ (P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f (n + 2) =\n (succ n ⟨(P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f n, ⟨(P.mkHom Q zero one one_zero_comm succ).f (n + 1), ⋯⟩⟩).fst"} {"_id": "201573", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nhp' : Fact (0 < p)\nx₁ x₂ x₃ : α\n⊢ btw ↑x₁ ↑x₂ ↑x₃ ↔ toIcoMod ⋯ x₁ x₂ ≤ toIocMod ⋯ x₁ x₃"} {"_id": "201574", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nt : RBSet α cmp\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsCut cmp cut\n⊢ (∃ x, t.upperBoundP? cut = some x) ↔ ∃ x, x ∈ t ∧ cut x ≠ Ordering.gt"} {"_id": "201575", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nt : RBSet α cmp\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsCut cmp cut\n⊢ (∃ x, x ∈ t.val ∧ ¬cut x = Ordering.gt) ↔ ∃ x, (∃ y, y ∈ t.val ∧ cmp x y = Ordering.eq) ∧ ¬cut x = Ordering.gt"} {"_id": "201577", "text": "case refine_1\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nh : IsNilpotent R ↥(ad R L).range\n⊢ IsNilpotent R L"} {"_id": "201578", "text": "case refine_1\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nh : IsNilpotent R ↥(ad R L).range\nthis : (ad R L).ker = center R L\n⊢ IsNilpotent R L"} {"_id": "201581", "text": "case refine_2\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nh : IsNilpotent R L\n⊢ IsNilpotent R ↥(ad R L).range"} {"_id": "201582", "text": "S : ShortComplex Ab\n⊢ S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂"} {"_id": "201586", "text": "case mp.intro\nS : ShortComplex Ab\nh : Function.Surjective ⇑S.abToCycles\nx₂ : ↑S.X₂\nhx₂ : S.g x₂ = 0\nx₁ : ↑S.X₁\nhx₁ : S.abToCycles x₁ = ⟨x₂, hx₂⟩\n⊢ ∃ x₁, S.f x₁ = x₂"} {"_id": "201587", "text": "S : ShortComplex Ab\nh : Function.Surjective ⇑S.abToCycles\nx₂ : ↑S.X₂\nhx₂ : S.g x₂ = 0\nx₁ : ↑S.X₁\nhx₁ : S.abToCycles x₁ = ⟨x₂, hx₂⟩\n⊢ S.f x₁ = x₂"} {"_id": "201590", "text": "case mpr.mk.intro\nS : ShortComplex Ab\nh : ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂\nx₁ : ↑S.X₁\nhx₂ : S.f x₁ ∈ AddMonoidHom.ker S.g\n⊢ ∃ a, S.abToCycles a = ⟨S.f x₁, hx₂⟩"} {"_id": "201591", "text": "M : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommSemiring R\nm : M\na : R[M]\n⊢ a ∈ grade R m ↔ a ∈ LinearMap.range (Finsupp.lsingle m)"} {"_id": "201592", "text": "M : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommSemiring R\nm : M\na : R[M]\n⊢ (∃ b, a = Finsupp.single m b) ↔ a ∈ LinearMap.range (Finsupp.lsingle m)"} {"_id": "201594", "text": "case h\nM : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommSemiring R\nm : M\na : R[M]\nr : R\n⊢ a = Finsupp.single m r ↔ (Finsupp.lsingle m) r = a"} {"_id": "201595", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝ : CommMonoid M\ns₂ s₁ s : Finset α\na : α\ng f : α → M\nn : ℕ\n⊢ ∑ i ∈ range n, i = n * (n - 1) / 2"} {"_id": "201596", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b : WithBot α\n⊢ a * b = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0"} {"_id": "201598", "text": "α : Type u_1\nv : α\np : Path α\n⊢ (p.insertNew v).toList = p.withList [v]"} {"_id": "201600", "text": "case intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP' Q' : Fin 3 → R\nu v : Rˣ\n⊢ W'.add ((fun m => m • P') u) ((fun m => m • Q') v) ≈ W'.add P' Q'"} {"_id": "201601", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n x.IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0"} {"_id": "201602", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n x.IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0"} {"_id": "201604", "text": "case refine_1.inl.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni j : ι\nhij : i ≤ j\nx : G i\n⊢ ∃ j_1 s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j_1),\n (FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j hij x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j_1 ⋯) (↑ix).snd)\n ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j hij x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) =\n 0"} {"_id": "201608", "text": "case refine_1.inl.intro.intro.intro.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni j : ι\nhij : i ≤ j\nx : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x⟩, ⟨j, (f' i j hij) x⟩}\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd)\n ((restriction {⟨i, x⟩, ⟨j, (f' i j hij) x⟩})\n (FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j hij x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) =\n 0"} {"_id": "201609", "text": "case refine_1.inl.intro.intro.intro.intro.refine_2.hc\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni j : ι\nhij : i ≤ j\nx : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x⟩, ⟨j, (f' i j hij) x⟩}\n⊢ ⟨i, x⟩ ∈ {⟨i, x⟩, ⟨j, (f' i j hij) x⟩}\n\ncase refine_1.inl.intro.intro.intro.intro.refine_2.hc\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni j : ι\nhij : i ≤ j\nx : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x⟩, ⟨j, (f' i j hij) x⟩}\n⊢ ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j hij x⟩ ∈ {⟨i, x⟩, ⟨j, (f' i j hij) x⟩}"} {"_id": "201611", "text": "case refine_1.inl.intro.intro.intro.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni j : ι\nhij : i ≤ j\nx : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x⟩, ⟨j, (f' i j hij) x⟩}\n⊢ (f' j j ⋯) ((f' i j hij) x) - (f' i j ⋯) x = 0"} {"_id": "201614", "text": "case refine_1.inr.inl.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1)) = 0"} {"_id": "201617", "text": "case refine_1.inr.inl.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ {⟨i, 1⟩}\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction {⟨i, 1⟩}) (FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1)) = 0"} {"_id": "201618", "text": "case refine_1.inr.inl.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ {⟨i, 1⟩}\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction {⟨i, 1⟩}) (FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩)) -\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction {⟨i, 1⟩}) 1) =\n 0"} {"_id": "201619", "text": "case refine_1.inr.inr.inl.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\nx y : G i\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩)).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd)\n ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩))) =\n 0"} {"_id": "201621", "text": "case refine_1.inr.inr.inl.intro.intro.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\nx y : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x + y⟩, ⟨i, x⟩, ⟨i, y⟩}\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd)\n ((restriction {⟨i, x + y⟩, ⟨i, x⟩, ⟨i, y⟩})\n (FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩))) =\n 0"} {"_id": "201624", "text": "case refine_1.inr.inr.inl.intro.intro.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\nx y : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x + y⟩, ⟨i, x⟩, ⟨i, y⟩}\n⊢ (f' i i ⋯) (x + y) - ((f' i i ⋯) x + (f' i i ⋯) y) = 0"} {"_id": "201627", "text": "case refine_1.inr.inr.inr.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\nx y : G i\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd)\n ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩)) =\n 0"} {"_id": "201629", "text": "case refine_1.inr.inr.inr.intro.intro.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\nx y : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x * y⟩, ⟨i, x⟩, ⟨i, y⟩}\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd)\n ((restriction {⟨i, x * y⟩, ⟨i, x⟩, ⟨i, y⟩})\n (FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩)) =\n 0"} {"_id": "201632", "text": "case refine_1.inr.inr.inr.intro.intro.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\ni : ι\nx y : G i\ninst✝ : DecidablePred fun x_1 => x_1 ∈ {⟨i, x * y⟩, ⟨i, x⟩, ⟨i, y⟩}\n⊢ (f' i i ⋯) (x * y) - (f' i i ⋯) x * (f' i i ⋯) y = 0"} {"_id": "201635", "text": "case refine_2\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n IsSupported 0 s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) 0) = 0"} {"_id": "201636", "text": "case refine_2\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nind : ι\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n IsSupported 0 s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) 0) = 0"} {"_id": "201637", "text": "case refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nind : ι\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ∅\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst ind ⋯) (↑ix).snd) ((restriction ∅) 0) = 0"} {"_id": "201640", "text": "case refine_3\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\ni : ι\ns : Set ((i : ι) × G i)\nhi : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ i\nhxs : x.IsSupported s\nihs : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x + y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x + y)) = 0"} {"_id": "201641", "text": "case refine_3.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis✝ : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\ni : ι\ns : Set ((i : ι) × G i)\nhi : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ i\nhxs : x.IsSupported s\nihs : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nthis : ∀ z ∈ s ∪ t, z.fst ≤ k\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x + y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x + y)) = 0"} {"_id": "201642", "text": "case refine_3.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis✝ : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\ni : ι\ns : Set ((i : ι) × G i)\nhi : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ i\nhxs : x.IsSupported s\nihs : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nthis : ∀ z ∈ s ∪ t, z.fst ≤ k\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s ∪ t\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction (s ∪ t)) (x + y)) = 0"} {"_id": "201644", "text": "case inl\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\ni : ι\ns : Set ((i : ι) × G i)\nhi : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ i\nhxs : x.IsSupported s\nihs : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nz : (i : ι) × G i\nhz : z ∈ s\n⊢ z.fst ≤ k"} {"_id": "201645", "text": "case inr\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\ni : ι\ns : Set ((i : ι) × G i)\nhi : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ i\nhxs : x.IsSupported s\nihs : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst i ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nz : (i : ι) × G i\nhz : z ∈ t\n⊢ z.fst ≤ k"} {"_id": "201647", "text": "case refine_4.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x • y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x • y)) = 0"} {"_id": "201648", "text": "case refine_4.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x * y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x * y)) = 0"} {"_id": "201649", "text": "case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Sort ?u.617921) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\ns : Finset ((i : ι) × G i)\nhxs : x.IsSupported ↑s\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x * y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x * y)) = 0"} {"_id": "201650", "text": "case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Type v) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\ns : Finset ((i : ι) × G i)\nhxs : x.IsSupported ↑s\ni : ι\nhi : ∀ i_1 ∈ Finset.image Sigma.fst s, i_1 ≤ i\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x * y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x * y)) = 0"} {"_id": "201651", "text": "case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Type v) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\ns : Finset ((i : ι) × G i)\nhxs : x.IsSupported ↑s\ni : ι\nhi : ∀ i_1 ∈ Finset.image Sigma.fst s, i_1 ≤ i\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x * y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x * y)) = 0"} {"_id": "201652", "text": "case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis✝ : (α : Type v) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\ns : Finset ((i : ι) × G i)\nhxs : x.IsSupported ↑s\ni : ι\nhi : ∀ i_1 ∈ Finset.image Sigma.fst s, i_1 ≤ i\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nthis : ∀ z ∈ ↑s ∪ t, z.fst ≤ k\n⊢ ∃ j s,\n ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j),\n (x * y).IsSupported s ∧\n ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s],\n (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x * y)) = 0"} {"_id": "201653", "text": "case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁶ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁵ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝⁴ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis✝ : (α : Type v) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\ns : Finset ((i : ι) × G i)\nhxs : x.IsSupported ↑s\ni : ι\nhi : ∀ i_1 ∈ Finset.image Sigma.fst s, i_1 ≤ i\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nthis : ∀ z ∈ ↑s ∪ t, z.fst ≤ k\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ↑s ∪ t\n⊢ (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction (↑s ∪ t)) (x * y)) = 0"} {"_id": "201655", "text": "case inl\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Type v) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\ns : Finset ((i : ι) × G i)\nhxs : x.IsSupported ↑s\ni : ι\nhi : ∀ i_1 ∈ Finset.image Sigma.fst s, i_1 ≤ i\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nz : (i : ι) × G i\nhz : z ∈ ↑s\n⊢ z.fst ≤ k\n\ncase inr\nR : Type u\ninst✝⁵ : Ring R\nι : Type v\ninst✝⁴ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\ninst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)\ninst✝¹ : Nonempty ι\ninst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\nx✝ : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nH :\n (Ideal.Quotient.mk\n (Ideal.span\n {a |\n (∃ i j,\n ∃ (H : i ≤ j),\n ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨\n (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨\n (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨\n ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}))\n x✝ =\n 0\nthis : (α : Type v) → DecidableEq α\nx y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)\nj : ι\nt : Set ((i : ι) × G i)\nhj : ∀ k ∈ t, k.fst ≤ j\nhyt : y.IsSupported t\niht : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ t], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) = 0\ns : Finset ((i : ι) × G i)\nhxs : x.IsSupported ↑s\ni : ι\nhi : ∀ i_1 ∈ Finset.image Sigma.fst s, i_1 ≤ i\nk : ι\nhik : i ≤ k\nhjk : j ≤ k\nz : (i : ι) × G i\nhz : z ∈ t\n⊢ z.fst ≤ k"} {"_id": "201659", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝³ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝² : DecidableRel c.Rel\ninst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)\ninst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))\nhc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j\ni : ι\nhi : c.Rel i (c.next i)\n⊢ (nullHomotopicMap K).f i = (π K ≫ ι₀ K - 𝟙 K.cylinder).f i"} {"_id": "201660", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝³ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝² : DecidableRel c.Rel\ninst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)\ninst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))\nhc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j\ni : ι\nhi : ¬c.Rel i (c.next i)\n⊢ (nullHomotopicMap K).f i = (π K ≫ ι₀ K - 𝟙 K.cylinder).f i"} {"_id": "201663", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : AddCommGroupWithOne α\nm : ℤ\nx✝ : ℕ\nih : ∀ (n : ℤ), ↑(-↑x✝ * n) = -↑x✝ • ↑n\n⊢ ∀ (n : ℤ), ↑((-↑x✝ - 1) * n) = (-↑x✝ - 1) • ↑n"} {"_id": "201664", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\n⊢ self.rootD (self.parent x) = self.rootD x"} {"_id": "201665", "text": "self : UnionFind\nx : Nat\n⊢ (if h : x < self.arr.size then ↑(self.root ⟨self.parent x, ⋯⟩) else self.parent x) =\n if h : x < self.arr.size then ↑(self.root ⟨x, ⋯⟩) else x"} {"_id": "201666", "text": "case isTrue\nself : UnionFind\nx : Nat\nh✝ : x < self.arr.size\n⊢ ↑(self.root ⟨(self.arr.get ⟨x, ⋯⟩).parent, ⋯⟩) = ↑(self.root ⟨x, ⋯⟩)"} {"_id": "201668", "text": "case isTrue.isTrue\nself : UnionFind\nx : Nat\nh✝¹ : x < self.arr.size\nh✝ : (self.arr.get ⟨x, ⋯⟩).parent = ↑⟨x, ⋯⟩\n⊢ ↑(self.root ⟨(self.arr.get ⟨x, ⋯⟩).parent, ⋯⟩) = ↑⟨x, ⋯⟩"} {"_id": "201670", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J✝ : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nk l : ℕ\nI J : LieIdeal R L\nhI : derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥\nhJ : derivedSeries R (↥↑J) l = ⊥\n⊢ derivedSeries R (↥↑(I + J)) (k + l) = ⊥"} {"_id": "201671", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J✝ : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nk l : ℕ\nI J : LieIdeal R L\nhI : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥\nhJ : derivedSeriesOfIdeal R L l J = ⊥\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) = ⊥"} {"_id": "201672", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J✝ : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nk l : ℕ\nI J : LieIdeal R L\nhI : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥\nhJ : derivedSeriesOfIdeal R L l J = ⊥\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤ ⊥"} {"_id": "201675", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J✝ : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nk l : ℕ\nI J : LieIdeal R L\nD : ℕ → LieIdeal R L → LieIdeal R L := derivedSeriesOfIdeal R L\nhI : D k I = ⊥\nhJ : D l J = ⊥\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤ ⊥"} {"_id": "201678", "text": "R : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\nr : Rˣ\na : A\n⊢ r • resolvent a ↑r = resolvent (r⁻¹ • a) 1"} {"_id": "201679", "text": "α : Type u\nβ : Type u_1\ninst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\na b c d : α\ninst✝ : PosMulStrictMono α\nhab : a < b\nhcd : c < d\n⊢ a * c < b * d"} {"_id": "201683", "text": "case inr\nα : Type u\nβ : Type u_1\ninst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\na b c d : α\ninst✝ : PosMulStrictMono α\nhab : a < b\nhcd : c < d\nthis : MulPosStrictMono α\nhc : 0 < c\n⊢ a * c < b * d"} {"_id": "201684", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : CommGroup G\nn : ℕ\nf : ℕ → G\nh : ((fun x => x⁻¹) ∘ fun k => f (k + 1) / f k) = fun k => f k / f (k + 1)\n⊢ (map (fun k => f (k + 1) / f k) (range n)).prod = f n / f 0"} {"_id": "201686", "text": "case h\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : CommGroup G\nn : ℕ\nf : ℕ → G\nx✝ : ℕ\n⊢ ((fun x => x⁻¹) ∘ fun k => f (k + 1) / f k) x✝ = f x✝ / f (x✝ + 1)"} {"_id": "201687", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\n⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s"} {"_id": "201688", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s\n⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s"} {"_id": "201689", "text": "case refine_1\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s\n⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ∑ i ∈ s, f i • g (σ⁻¹ i) = ∑ i ∈ s, f i • g i"} {"_id": "201693", "text": "case h.e'_7\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s\nh : MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ⁻¹) ↑s\n⊢ g = (g ∘ ⇑σ⁻¹) ∘ ⇑σ"} {"_id": "201694", "text": "case h.e'_8\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s\nh : MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ⁻¹) ↑s\n⊢ ↑s = ⇑σ ⁻¹' ↑s"} {"_id": "201696", "text": "case h.e'_6\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s\nh : MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s\n⊢ f = (f ∘ ⇑σ) ∘ ⇑(Equiv.symm σ)"} {"_id": "201698", "text": "case h.e'_8\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s\nh : MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s\n⊢ ⇑(Equiv.symm σ) '' ↑s = ↑s"} {"_id": "201700", "text": "case w.w.h.h\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nD : Type u'\ninst✝¹ : Category.{v', u'} D\ninst✝ : Preadditive D\na b c : ℤ\nh : a + b = c\nx✝ : CochainComplex C ℤ\ni✝ : ℤ\n⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b c h).hom.app x✝).f i✝ =\n ((shiftFunctorAdd' C a b c h).hom.app x✝).f i✝"} {"_id": "201702", "text": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nl✝ m : Language α\na b x✝ : List α\nl : Language α\nx : List α\n⊢ x ∈ l∗ ↔ x ∈ ⨆ i, l ^ i"} {"_id": "201705", "text": "case h.mp.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nl✝ m : Language α\na b x : List α\nl : Language α\nS : List (List α)\nhS : ∀ y ∈ S, y ∈ l\n⊢ ∃ i S_1, S.join = S_1.join ∧ S_1.length = i ∧ ∀ y ∈ S_1, y ∈ l"} {"_id": "201707", "text": "case h.mpr.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nl✝ m : Language α\na b x : List α\nl : Language α\nS : List (List α)\nhS : ∀ y ∈ S, y ∈ l\n⊢ ∃ L, S.join = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ l"} {"_id": "201708", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\nh : Disjoint s₁ s₂\n⊢ ∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x"} {"_id": "201709", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\nh : Disjoint s₁ s₂\n⊢ ∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = fold (fun x x_1 => x * x_1) (1 * 1) (fun x => f x) (s₁.disjUnion s₂ h)"} {"_id": "201711", "text": "α : Type u_1\nf : Char → α → α\ns : String\na : α\n⊢ foldr f a s = List.foldr f a s.data"} {"_id": "201713", "text": "case pos\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\nh : P ≈ Q\n⊢ W'.add (u • P) (v • Q) ≈ W'.add P Q"} {"_id": "201714", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\nh : P ≈ Q\n⊢ (fun m => m • W'.add P Q) (hu.unit ^ 4) = W'.add (u • P) (v • Q)"} {"_id": "201715", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\nh : ¬P ≈ Q\n⊢ W'.add (u • P) (v • Q) ≈ W'.add P Q"} {"_id": "201716", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\nh : ¬P ≈ Q\n⊢ (fun m => m • W'.add P Q) ((hu.unit * hv.unit) ^ 2) = W'.add (u • P) (v • Q)"} {"_id": "201717", "text": "α : Type u_1\ncut : α → Ordering\nc✝ : RBColor\nl✝ : RBNode α\nv✝ : α\nr✝ : RBNode α\nx✝ : optParam (Path α) Path.root\n⊢ find? cut (node c✝ l✝ v✝ r✝) = (zoom cut (node c✝ l✝ v✝ r✝) x✝).fst.root?"} {"_id": "201722", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\nH✝ : LieSubalgebra R L\ninst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\n⊢ rootSpace H 0 = H.toLieSubmodule"} {"_id": "201723", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrder R\ninst✝ : OrderTop R\ns : Multiset (Tropical R)\n⊢ untrop s.sum = (map untrop s).inf"} {"_id": "201725", "text": "case cons\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrder R\ninst✝ : OrderTop R\ns : Tropical R\nx : Multiset (Tropical R)\nIH : untrop x.sum = (map untrop x).inf\n⊢ untrop (s ::ₘ x).sum = (map untrop (s ::ₘ x)).inf"} {"_id": "201727", "text": "Y : Scheme\nU : Y.OpenCover\n⊢ zariskiTopology.sieves Y (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map))"} {"_id": "201728", "text": "Y : Scheme\nU : Y.OpenCover\nV : Y.OpenCover :=\n { J := ↑↑Y.toPresheafedSpace, obj := fun y => U.obj (U.f y), map := fun y => U.map (U.f y), f := id, covers := ⋯,\n IsOpen := ⋯ }\n⊢ zariskiTopology.sieves Y (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map))"} {"_id": "201732", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\nC : VariableChange R\n⊢ (W.variableChange C).c₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * W.c₆"} {"_id": "201734", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedRing α\nf g : ι → α\ns : Set ι\na b c d : α\n⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i * g i + f j * g j ≤ f i * g j + f j * g i"} {"_id": "201735", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nn : ℕ\n⊢ asympBound g a b n = ↑n ^ p a b * (1 + ∑ u ∈ range n, g ↑u / ↑u ^ (p a b + 1))"} {"_id": "201736", "text": "r : List Char\nit : Iterator\nh : ValidFor [] r it\n⊢ ValidFor [] r it.prev"} {"_id": "201738", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝² : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝¹ : CommSemiring S\ninst✝ : DecidableEq τ\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\n⊢ ((rename f) φ).vars ⊆ Finset.image f φ.vars"} {"_id": "201739", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝² : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝¹ : CommSemiring S\ninst✝ : DecidableEq τ\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\nhi : i ∈ ((rename f) φ).vars\n⊢ i ∈ Finset.image f φ.vars"} {"_id": "201740", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝² : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝¹ : CommSemiring S\ninst✝ : DecidableEq τ\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\nhi : i ∈ ((rename f) φ).degrees\n⊢ ∃ a ∈ φ.degrees, f a = i"} {"_id": "201741", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedSemifield α\ninst✝ : LinearOrderedSemifield β\ns : Set ι\nf f₁ f₂ : ι → α\ng g₁ g₂ : ι → β\nhf : ∀ i ∈ s, 0 < f i\nhg : ∀ i ∈ s, 0 < g i\n⊢ MonovaryOn f⁻¹ g⁻¹ s ↔ MonovaryOn f g s"} {"_id": "201743", "text": "case cons.refl\nα : Type u_1\nle : α → α → Bool\nr : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\n⊢ (cons r a c s).realSize =\n (merge le (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap\n ((findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before\n (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next)).realSize +\n 1"} {"_id": "201745", "text": "case cons.refl\nα : Type u_1\nle : α → α → Bool\nr : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\n⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize\n (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }) (c.realSize + s.realSize + 1) →\n (cons r a c s).realSize =\n (merge le (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap\n ((findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before\n (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next)).realSize +\n 1"} {"_id": "201750", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\nr : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\nbefore : Heap α → Heap α\nval : α\nnode : HeapNode α\nnext : Heap α\nm : Nat\nih₁ : ∀ (s : Heap α), (before s).realSize = m + s.realSize\nih₂ : c.realSize + s.realSize + 1 = m + node.realSize + next.realSize + 1\n⊢ (cons r a c s).realSize =\n (merge le { before := before, val := val, node := node, next := next }.node.toHeap\n ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before\n { before := before, val := val, node := node, next := next }.next)).realSize +\n 1"} {"_id": "201751", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\nr : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\nbefore : Heap α → Heap α\nval : α\nnode : HeapNode α\nnext : Heap α\nm : Nat\nih₁ : ∀ (s : Heap α), (before s).realSize = m + s.realSize\nih₂ : c.realSize + s.realSize + 1 = m + node.realSize + next.realSize + 1\n⊢ m + node.realSize + next.realSize + 1 =\n (merge le { before := before, val := val, node := node, next := next }.node.toHeap\n ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before\n { before := before, val := val, node := node, next := next }.next)).realSize +\n 1"} {"_id": "201752", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nx : L\nhx : x ∈ rootSpace H (-α)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q\n⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q"} {"_id": "201753", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H\nx : L\nhx : x ∈ rootSpace H (-α)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q\nhp : weightSpace M (-p • -α + χ) = ⊥\n⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q"} {"_id": "201754", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H\nx : L\nhx : x ∈ rootSpace H (-α)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpaceChain M (-α) χ (-q) (-p)\nhp : weightSpace M (-p • -α + χ) = ⊥\n⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M (-α) χ (-q) (-p)"} {"_id": "201755", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nx : L\nhx : x ∈ rootSpace H (-α)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q\n⊢ weightSpace M (-p • -α + χ) = ⊥"} {"_id": "201756", "text": "V : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} V\ninst✝² : HasImages V\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms V\ninst✝ : HasKernels V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\np : imageSubobject f = kernelSubobject g\n⊢ IsIso (imageToKernel f g ⋯)"} {"_id": "201757", "text": "V : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} V\ninst✝² : HasImages V\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms V\ninst✝ : HasKernels V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\np : imageSubobject f = kernelSubobject g\n⊢ imageToKernel f g ⋯ ≫ (kernelSubobject g).ofLE (imageSubobject f) ⋯ =\n 𝟙 (Subobject.underlying.obj (imageSubobject f)) ∧\n (kernelSubobject g).ofLE (imageSubobject f) ⋯ ≫ imageToKernel f g ⋯ =\n 𝟙 (Subobject.underlying.obj (kernelSubobject g))"} {"_id": "201758", "text": "V : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} V\ninst✝² : HasImages V\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms V\ninst✝ : HasKernels V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\np : imageSubobject f = kernelSubobject g\n⊢ (imageSubobject f).ofLE (kernelSubobject g) ⋯ ≫ (kernelSubobject g).ofLE (imageSubobject f) ⋯ =\n 𝟙 (Subobject.underlying.obj (imageSubobject f)) ∧\n (kernelSubobject g).ofLE (imageSubobject f) ⋯ ≫ (imageSubobject f).ofLE (kernelSubobject g) ⋯ =\n 𝟙 (Subobject.underlying.obj (kernelSubobject g))"} {"_id": "201761", "text": "case mp\nC : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nS₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\ninst✝³ : S₁.HasHomology\ninst✝² : S₂.HasHomology\ninst✝¹ : S₃.HasHomology\ninst✝ : S₄.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\nφ' : S₂ ⟶ S₃\nhφ' : QuasiIso φ'\na✝ : QuasiIso (φ ≫ φ')\n⊢ QuasiIso φ"} {"_id": "201763", "text": "case mpr\nC : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nS₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\ninst✝³ : S₁.HasHomology\ninst✝² : S₂.HasHomology\ninst✝¹ : S₃.HasHomology\ninst✝ : S₄.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\nφ' : S₂ ⟶ S₃\nhφ' : QuasiIso φ'\na✝ : QuasiIso φ\n⊢ QuasiIso (φ ≫ φ')"} {"_id": "201764", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedRing α\nf g : ι → α\ns : Set ι\na b c d : α\n⊢ Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0"} {"_id": "201766", "text": "case zero\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\n⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (0 + 1)) m⁆ = ((↑0 + 1) * (μ - ↑0)) • ((toEnd R L M) f ^ 0) m"} {"_id": "201767", "text": "case succ\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\nn : ℕ\nih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m\n⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1 + 1)) m⁆ = ((↑(n + 1) + 1) * (μ - ↑(n + 1))) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m"} {"_id": "201770", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\n⊢ H ≤ zeroRootSubalgebra R L H"} {"_id": "201771", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\n⊢ H.toLieSubmodule ≤ rootSpace H 0"} {"_id": "201772", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nt : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\nf : A\n⊢ f ∈ vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal"} {"_id": "201773", "text": "S : Type u_1\nT : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommRing R\nc₁ c₂ r x y z : R\na b c : ℍ[R,c₁,c₂]\nx✝¹ x✝ : R\n⊢ (algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝¹ = (algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝ → x✝¹ = x✝"} {"_id": "201774", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\nl : List ℤ\nh : l.prod = -1\n⊢ -1 ∈ l"} {"_id": "201775", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\nl : List ℤ\nh : l.prod = -1\nx : ℤ\nh₁ : x ∈ l\nh₂ : x ≠ 1\n⊢ -1 ∈ l"} {"_id": "201778", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\n⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • (χ x * χ y)"} {"_id": "201779", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\nd : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)\n⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)"} {"_id": "201780", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\nd : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)\nh₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0\n⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)"} {"_id": "201781", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\nd : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)\nh₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0\nh₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)\n⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)"} {"_id": "201782", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\nd : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)\nh₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0\nh₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)\nthis : traceForm R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ) = 0\n⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)"} {"_id": "201783", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\nd : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)\nh₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0\nh₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)\nthis : ((traceForm R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) y = (0 x) y\n⊢ ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)"} {"_id": "201784", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\nd : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)\n⊢ χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0"} {"_id": "201785", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\ninst✝⁶ : Module.Free R M\ninst✝⁵ : Module.Finite R M\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx y : L\nd : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)\nh₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0\n⊢ χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)"} {"_id": "201786", "text": "R✝ : Type u\ninst✝¹ : CommRing R✝\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nx y : PrimeSpectrum R\nh : x ⤳ y\n⊢ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h ≫ stalkToFiberRingHom R x =\n stalkToFiberRingHom R y ≫\n let_fun this := PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h;\n this"} {"_id": "201787", "text": "R✝ : Type u\ninst✝¹ : CommRing R✝\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nx y : PrimeSpectrum R\nh : x ⤳ y\n⊢ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h ≫ (stalkIso R x).hom =\n (stalkIso R y).hom ≫\n let_fun this := PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h;\n this"} {"_id": "201788", "text": "R✝ : Type u\ninst✝¹ : CommRing R✝\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nx y : PrimeSpectrum R\nh : x ⤳ y\n⊢ (stalkIso R y).inv ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h =\n (let_fun this := PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h;\n this) ≫\n (stalkIso R x).inv"} {"_id": "201789", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\na : α\n⊢ ∅.find? a = none"} {"_id": "201791", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommRing α\ninst✝ : LinearOrder ι\ns : Finset ι\nf g : ι → α\n⊢ ∏ x ∈ s, (f x + -g x) =\n ∏ i ∈ s, f i +\n -∑ x ∈ s, (g x * ∏ x ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) s, (f x + -g x)) * ∏ i ∈ filter (fun j => x < j) s, f i"} {"_id": "201793", "text": "α : Type u_1\nt : RBNode α\ncut : α → Ordering\nub : Option α\n⊢ upperBound? cut t.reverse ub = lowerBound? (fun x => (cut x).swap) t ub"} {"_id": "201794", "text": "case node\nα : Type u_1\ncut : α → Ordering\nc✝ : RBColor\nl✝ : RBNode α\nv✝ : α\nr✝ : RBNode α\nl_ih✝ : ∀ (ub : Option α), upperBound? cut l✝.reverse ub = lowerBound? (fun x => (cut x).swap) l✝ ub\nr_ih✝ : ∀ (ub : Option α), upperBound? cut r✝.reverse ub = lowerBound? (fun x => (cut x).swap) r✝ ub\nub : Option α\n⊢ (match cut v✝ with\n | Ordering.lt => upperBound? cut r✝.reverse (some v✝)\n | Ordering.gt => upperBound? cut l✝.reverse ub\n | Ordering.eq => some v✝) =\n match (cut v✝).swap with\n | Ordering.lt => lowerBound? (fun x => (cut x).swap) l✝ ub\n | Ordering.gt => lowerBound? (fun x => (cut x).swap) r✝ (some v✝)\n | Ordering.eq => some v✝"} {"_id": "201795", "text": "ι✝ : Type u_1\nι : Type u_2\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK L M K' L' : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\ni j k : ι\nhi : c.prev j = i\nhk : c.next j = k\ninst✝³ : K.HasHomology j\ninst✝² : L.HasHomology j\ninst✝¹ : (K.sc' i j k).HasHomology\ninst✝ : (L.sc' i j k).HasHomology\n⊢ QuasiIsoAt f j ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor' C c i j k).map f)"} {"_id": "201796", "text": "ι✝ : Type u_1\nι : Type u_2\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK L M K' L' : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\ni j k : ι\nhi : c.prev j = i\nhk : c.next j = k\ninst✝³ : K.HasHomology j\ninst✝² : L.HasHomology j\ninst✝¹ : (K.sc' i j k).HasHomology\ninst✝ : (L.sc' i j k).HasHomology\n⊢ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C c j).map f) ↔\n ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor' C c i j k).map f)"} {"_id": "201797", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nn : Type u_4\nι : Type u_5\nι' : Type u_6\nιM : Type u_7\ninst✝¹⁴ : CommRing R\ninst✝¹³ : AddCommGroup L\ninst✝¹² : Module R L\ninst✝¹¹ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁰ : Module R M\nφ : L →ₗ[R] Module.End R M\ninst✝⁹ : Fintype ι\ninst✝⁸ : Fintype ι'\ninst✝⁷ : Fintype ιM\ninst✝⁶ : DecidableEq ι\ninst✝⁵ : DecidableEq ι'\ninst✝⁴ : Module.Free R M\ninst✝³ : Module.Finite R M\nb✝ : Basis ι R L\ninst✝² : Module.Finite R L\ninst✝¹ : Module.Free R L\ninst✝ : Nontrivial R\nb : Basis ι R L\n⊢ φ.nilRank = (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree"} {"_id": "201798", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\ny : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)\nhy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U\n⊢ IsLocalization.AtPrime (↑(X.presheaf.stalk (hU.fromSpec.val.base y))) y.asIdeal"} {"_id": "201799", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\ny : PrimeSpectrum ↑Γ(X, 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hU.fromSpec.val y)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp\n (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑(X.presheaf.stalk (hU.fromSpec.val.base y))) =\n StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y"} {"_id": "201804", "text": "case a.h.e_6.h.e_i\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\ny : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)\nhy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U\n⊢ (asIso (PresheafedSpace.stalkMap hU.fromSpec.val y)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp\n (X.presheaf.germ ⟨hU.fromSpec.val.base y, hy⟩) =\n StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y"} {"_id": "201805", "text": "case a.h.e_6.h.e_i\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\ny : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U)\nhy : hU.fromSpec.val.base y ∈ U\n⊢ hU.fromSpec.val.c.app { unop := U } ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.germ ⟨y, hy⟩ = StructureSheaf.toStalk (↑Γ(X, U)) y"} {"_id": "201807", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nn : Type u_4\nι : Type u_5\nι' : Type u_6\nιM : Type u_7\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : AddCommGroup L\ninst✝¹¹ : Module R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\nφ : L →ₗ[R] Module.End R M\ninst✝⁸ : Fintype ι\ninst✝⁷ : Fintype ι'\ninst✝⁶ : Fintype ιM\ninst✝⁵ : DecidableEq ι\ninst✝⁴ : DecidableEq ι'\ninst✝³ : Module.Free R M\ninst✝² : Module.Finite R M\nb : Basis ι R L\nA : Type u_8\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\n⊢ (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpoly (basis A b) =\n Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (φ.polyCharpoly b)"} {"_id": "201809", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nn : Type u_4\nι : Type u_5\nι' : Type u_6\nιM : Type u_7\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : AddCommGroup L\ninst✝¹¹ : Module R L\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\nφ : L →ₗ[R] Module.End R M\ninst✝⁸ : Fintype ι\ninst✝⁷ : Fintype ι'\ninst✝⁶ : Fintype ιM\ninst✝⁵ : DecidableEq ι\ninst✝⁴ : DecidableEq ι'\ninst✝³ : Module.Free R M\ninst✝² : Module.Finite R M\nb : Basis ι R L\nA : Type u_8\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\n⊢ (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b)\n (Module.Free.chooseBasis A (TensorProduct R A M)) =\n (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (basis A (Module.Free.chooseBasis R M))"} {"_id": "201810", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2\n⊢ W.addX P Q = addU P Q ^ 2"} {"_id": "201811", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a) = p"} {"_id": "201812", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C\ninst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms D\nS : ShortComplex C\nh₁✝ : S.LeftHomologyData\nh₂✝ : S.RightHomologyData\nF✝ : C ⥤ D\ninst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms\nhl : S.LeftHomologyData\nhr : S.RightHomologyData\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhl₁ : S₁.LeftHomologyData\nhr₁ : S₁.RightHomologyData\nhl₂ : S₂.LeftHomologyData\nhr₂ : S₂.RightHomologyData\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝² : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F\ninst✝ : hr₂.IsPreservedBy F\n⊢ F.map (opcyclesMap' φ hr₁ hr₂) = opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)"} {"_id": "201813", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C\ninst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms D\nS : ShortComplex C\nh₁✝ : S.LeftHomologyData\nh₂✝ : S.RightHomologyData\nF✝ : C ⥤ D\ninst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms\nhl : S.LeftHomologyData\nhr : S.RightHomologyData\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhl₁ : S₁.LeftHomologyData\nhr₁ : S₁.RightHomologyData\nhl₂ : S₂.LeftHomologyData\nhr₂ : S₂.RightHomologyData\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝² : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F\ninst✝ : hr₂.IsPreservedBy F\nγ : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂\n⊢ F.map (opcyclesMap' φ hr₁ hr₂) = opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)"} {"_id": "201816", "text": "case h\nR : Type u\nA : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : Ring A\ninst✝² : Algebra R A\nL : Type v\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nK : LieSubalgebra R L\nx : ↥K\nn : ℕ\nhn : (LieAlgebra.ad R L) ↑x ^ n = 0\n⊢ (LieAlgebra.ad R ↥K) x ^ n = 0"} {"_id": "201817", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\nP : Fin 3 → R\n⊢ (eval P) W.polynomialY = 2 * P 1 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 2 + W.a₃ * P 2 ^ 2"} {"_id": "201819", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝² : ExistsAddOfLE α\ninst✝¹ : LocallyFiniteOrder α\ninst✝ : DecidableEq α\na b c : α\n⊢ image (fun x => x + c) (Ioo a b) = Ioo (a + c) (b + c)"} {"_id": "201820", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝³ : Monoid M\ninst✝² : Monoid N\nF : Type u_8\ninst✝¹ : FunLike F M Nᵐᵒᵖ\ninst✝ : MonoidHomClass F M Nᵐᵒᵖ\nf : F\nl : List M\n⊢ MulOpposite.unop (f l.prod) = (map (MulOpposite.unop ∘ ⇑f) l).reverse.prod"} {"_id": "201822", "text": "case intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : HasBinaryBiproducts C\nK✝ L✝ : CochainComplex C ℤ\nφ✝ : K✝ ⟶ L✝\nT : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))\nK L : CochainComplex C ℤ\nφ : K ⟶ L\ne : T ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ\n⊢ T.rotate ∈ distinguishedTriangles C"} {"_id": "201823", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nK L : ChainComplex C ℕ\nφ : K ⟶ L\ninst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0\ninst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0\n⊢ K.isoHomologyι₀.inv ≫ HomologicalComplex.homologyMap φ 0 = HomologicalComplex.opcyclesMap φ 0 ≫ L.isoHomologyι₀.inv"} {"_id": "201824", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nχ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R\nhχ : χ₁ + χ₂ = χ₃\nx : ↥(rootSpace H χ₁)\nm : ↥(weightSpace M χ₂)\n⊢ ↑((rootSpaceWeightSpaceProduct R L H M χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] m)) = ⁅↑x, ↑m⁆"} {"_id": "201825", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\n⊢ W.polynomialY = C 2 * X 1 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 2 + C W.a₃ * X 2 ^ 2"} {"_id": "201829", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\np q : ℤ\nhpq : p + 1 = q\n⊢ (↑(fst φ)).v p q hpq ≫ (inl φ).v q p ⋯ + (snd φ).v p p ⋯ ≫ (inr φ).f p = 𝟙 ((mappingCone φ).X p)"} {"_id": "201831", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : Abelian C\ninst✝ : HasDerivedCategory C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\n⊢ triangleOfSES hS ∈ distinguishedTriangles"} {"_id": "201832", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : Abelian C\ninst✝ : HasDerivedCategory C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\n⊢ ∃ X Y f, Nonempty (triangleOfSES hS ≅ Q.mapTriangle.obj (CochainComplex.mappingCone.triangle f))"} {"_id": "201834", "text": "case h.a\nR : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nM : Type u_5\nM₁ : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nι : Type u_9\ninst✝¹¹ : Semiring R\ninst✝¹⁰ : Semiring R₂\ninst✝⁹ : Semiring R₃\ninst✝⁸ : AddCommMonoid M\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₁\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R M₁\ninst✝² : Module R₂ M₂\ninst✝¹ : Module R₃ M₃\nσ₁₂ : R →+* R₂\nσ₂₃ : R₂ →+* R₃\nσ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃\nf : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂\ng : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃\nf' : M →ₗ[R] M\np : Submodule R M\nn : ℕ\nh : ∀ x ∈ p, f' x ∈ p\nh' : optParam (∀ x ∈ p, (f' ^ n) x ∈ p) ⋯\nx : ↥p\n⊢ ↑((f'.restrict h ^ n) x) = ↑(((f' ^ n).restrict h') x)"} {"_id": "201835", "text": "case h.a\nR : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nM : Type u_5\nM₁ : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nι : Type u_9\ninst✝¹¹ : Semiring R\ninst✝¹⁰ : Semiring R₂\ninst✝⁹ : Semiring R₃\ninst✝⁸ : AddCommMonoid M\ninst✝⁷ : AddCommMonoid M₁\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M₃\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R M₁\ninst✝² : Module R₂ M₂\ninst✝¹ : Module R₃ M₃\nσ₁₂ : R →+* R₂\nσ₂₃ : R₂ →+* R₃\nσ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃\nf : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂\ng : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃\nf' : M →ₗ[R] M\np : Submodule R M\nn : ℕ\nh : ∀ x ∈ p, f' x ∈ p\nh' : optParam (∀ x ∈ p, (f' ^ n) x ∈ p) ⋯\nx : ↥p\nthis : Semiconj Subtype.val ⇑(f'.restrict h) ⇑f'\n⊢ ↑((f'.restrict h ^ n) x) = ↑(((f' ^ n).restrict h') x)"} {"_id": "201836", "text": "F : Type v'\nR' : Type u'\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w'\ninst✝¹³ : CommSemiring R\ninst✝¹² : StarRing R\ninst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A\ninst✝¹⁰ : StarRing A\ninst✝⁹ : Module R A\ninst✝⁸ : IsScalarTower R A A\ninst✝⁷ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁶ : StarModule R A\ninst✝⁵ : NonUnitalSemiring B\ninst✝⁴ : StarRing B\ninst✝³ : Module R B\ninst✝² : IsScalarTower R B B\ninst✝¹ : SMulCommClass R B B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\nthis : ∀ (t : Set A), NonUnitalAlgebra.adjoin R (star t) ≤ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R t)\n⊢ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R s) ≤ NonUnitalAlgebra.adjoin R (star s)"} {"_id": "201837", "text": "z : ℤ\n⊢ |z| = normalize z"} {"_id": "201838", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 + ε z) - z ^ (p - 1) / log z ^ 2) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "201839", "text": "case one\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 + ε z)) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)\n\ncase two\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => -(z ^ (p - 1) / log z ^ 2)) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "201840", "text": "case two\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => -(z ^ (p - 1) / log z ^ 2)) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "201841", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 + ε z)) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "201844", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => -(z ^ (p - 1) / log z ^ 2)) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "201845", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => -(z ^ (p - 1) / log z ^ 2)) =o[atTop] fun z => z ^ (p - 1) / 1"} {"_id": "201846", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun x => x ^ (p - 1) * (log x ^ 2)⁻¹) =o[atTop] fun z => z ^ (p - 1) * 1⁻¹"} {"_id": "201847", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => 1) =o[atTop] fun x => log x ^ 2"} {"_id": "201848", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ 1 = 0 ∨ Tendsto (Norm.norm ∘ fun x => log x ^ 2) atTop atTop"} {"_id": "201849", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ Tendsto (fun x => log x ^ 2) atTop atTop"} {"_id": "201850", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 1 = 0 → log x ^ 2 = 0"} {"_id": "201854", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => z ^ (p - 1)) =Θ[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "201856", "text": "case base\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝⁴ : CommMonoid β\ninst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝² : Sub α\ninst✝¹ : OrderedSub α\ninst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ℕ → α\nh : Monotone f\nn : ℕ\n⊢ f 0 - f 0 = 0\n\ncase step\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝⁴ : CommMonoid β\ninst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝² : Sub α\ninst✝¹ : OrderedSub α\ninst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ℕ → α\nh : Monotone f\nn : ℕ\n⊢ ∀ (n : ℕ), f (n + 1) - f 0 = f n - f 0 + (f (n + 1) - f n)"} {"_id": "201857", "text": "case step\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝⁴ : CommMonoid β\ninst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝² : Sub α\ninst✝¹ : OrderedSub α\ninst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ℕ → α\nh : Monotone f\nn : ℕ\n⊢ ∀ (n : ℕ), f (n + 1) - f 0 = f n - f 0 + (f (n + 1) - f n)"} {"_id": "201858", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝⁴ : CommMonoid β\ninst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝² : Sub α\ninst✝¹ : OrderedSub α\ninst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ℕ → α\nh : Monotone f\nn : ℕ\n⊢ f 0 - f 0 = 0"} {"_id": "201860", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝⁴ : CommMonoid β\ninst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝² : Sub α\ninst✝¹ : OrderedSub α\ninst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ℕ → α\nh : Monotone f\nn✝ n : ℕ\n⊢ f (n + 1) - f 0 = f n - f 0 + (f (n + 1) - f n)"} {"_id": "201861", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝⁴ : CommMonoid β\ninst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝² : Sub α\ninst✝¹ : OrderedSub α\ninst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ℕ → α\nh : Monotone f\nn✝ n : ℕ\nh₁ : f n ≤ f (n + 1)\n⊢ f (n + 1) - f 0 = f n - f 0 + (f (n + 1) - f n)"} {"_id": "201862", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝⁴ : CommMonoid β\ninst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝² : Sub α\ninst✝¹ : OrderedSub α\ninst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ℕ → α\nh : Monotone f\nn✝ n : ℕ\nh₁ : f n ≤ f (n + 1)\nh₂ : f 0 ≤ f n\n⊢ f (n + 1) - f 0 = f n - f 0 + (f (n + 1) - f n)"} {"_id": "201863", "text": "R : Type u\ninst✝⁸ : CommRing R\nW : Type u_1\nX : Type u_2\nY : Type u_3\nZ : Type u_4\ninst✝⁷ : AddCommMonoid W\ninst✝⁶ : AddCommMonoid X\ninst✝⁵ : AddCommMonoid Y\ninst✝⁴ : AddCommMonoid Z\ninst✝³ : Module R W\ninst✝² : Module R X\ninst✝¹ : Module R Y\ninst✝ : Module R Z\n⊢ (LinearMap.lTensor W ↑(assoc R X Y Z) ∘ₗ ↑(assoc R W (X ⊗[R] Y) Z)) ∘ₗ LinearMap.rTensor Z ↑(assoc R W X Y) =\n ↑(assoc R W X (Y ⊗[R] Z)) ∘ₗ ↑(assoc R (W ⊗[R] X) Y Z)"} {"_id": "201867", "text": "case pos\nR : Type u\ninst✝² : CommRing R\nE : EllipticCurve R\nF : Type u\ninst✝¹ : Field F\nj : F\ninst✝ : DecidableEq F\nh2 : NeZero 2\nh3 : 3 = 0\n⊢ ofJ 1728 = ofJ1728 F"} {"_id": "201868", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝² : CommRing R\nE : EllipticCurve R\nF : Type u\ninst✝¹ : Field F\nj : F\ninst✝ : DecidableEq F\nh2 : NeZero 2\nh3 : ¬3 = 0\n⊢ ofJ 1728 = ofJ1728 F"} {"_id": "201869", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝² : CommRing R\nE : EllipticCurve R\nF : Type u\ninst✝¹ : Field F\nj : F\ninst✝ : DecidableEq F\nh2 : NeZero 2\nh3 : ¬3 = 0\nh : 1728 ≠ 0\n⊢ ofJ 1728 = ofJ1728 F"} {"_id": "201872", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\ns : Finset ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\n⊢ ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)"} {"_id": "201873", "text": "case empty\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\n⊢ ∏ a ∈ ∅, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ ∅.pi t, ∏ x ∈ ∅.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)"} {"_id": "201875", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\n⊢ ∏ a ∈ insert a s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ (insert a s).pi t, ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)"} {"_id": "201876", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\n⊢ ∏ a ∈ insert a s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ (insert a s).pi t, ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)"} {"_id": "201877", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\n⊢ ∑ i ∈ t a, f a i * ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯) =\n ∑ x ∈ t a, ∑ i ∈ image (Pi.cons s a x) (s.pi t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (i ↑x ⋯)"} {"_id": "201878", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝ : b ∈ t a\n⊢ f a b * ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯) =\n ∑ i ∈ image (Pi.cons s a b) (s.pi t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (i ↑x ⋯)"} {"_id": "201879", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝ : b ∈ t a\nh₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂\n⊢ f a b * ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯) =\n ∑ i ∈ image (Pi.cons s a b) (s.pi t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (i ↑x ⋯)"} {"_id": "201880", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝ : b ∈ t a\nh₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂\n⊢ ∑ i ∈ s.pi t, f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (i ↑x ⋯) =\n ∑ x ∈ s.pi t, ∏ x_1 ∈ (insert a s).attach, f (↑x_1) (Pi.cons s a b x ↑x_1 ⋯)"} {"_id": "201881", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝¹ : b ∈ t a\nh₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂\ng : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nx✝ : g ∈ s.pi t\n⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (g ↑x ⋯) = ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (Pi.cons s a b g ↑x ⋯)"} {"_id": "201883", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝² : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nx : κ a\na✝¹ : x ∈ t a\ny : κ a\na✝ : y ∈ t a\nh : x ≠ y\n⊢ Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))"} {"_id": "201885", "text": "case intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝³ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nx : κ a\na✝² : x ∈ t a\ny : κ a\na✝¹ : y ∈ t a\nh : x ≠ y\na✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'\np₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nleft✝¹ : p₂ ∈ s.pi t\neq₂ : Pi.cons s a x p₂ = a✝\nb✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'\np₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nleft✝ : p₃ ∈ s.pi t\neq₃ : Pi.cons s a y p₃ = b✝\neq : a✝ = b✝\n⊢ False"} {"_id": "201886", "text": "case intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝³ : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nx : κ a\na✝² : x ∈ t a\ny : κ a\na✝¹ : y ∈ t a\nh : x ≠ y\na✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'\np₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nleft✝¹ : p₂ ∈ s.pi t\neq₂ : Pi.cons s a x p₂ = a✝\nb✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'\np₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nleft✝ : p₃ ∈ s.pi t\neq₃ : Pi.cons s a y p₃ = b✝\neq : a✝ = b✝\nthis : Pi.cons s a x p₂ a ⋯ = Pi.cons s a y p₃ a ⋯\n⊢ False"} {"_id": "201889", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝¹ : b ∈ t a\nh₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂\ng : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nx✝ : g ∈ s.pi t\n⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (g ↑x ⋯) =\n f (↑⟨a, ⋯⟩) (Pi.cons s a b g ↑⟨a, ⋯⟩ ⋯) * ∏ x ∈ s.attach, f (↑⟨↑x, ⋯⟩) (Pi.cons s a b g ↑⟨↑x, ⋯⟩ ⋯)"} {"_id": "201892", "text": "case insert.e_a.e_f.h.mk.e_a\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝¹ : b ∈ t a\nh₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂\ng : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nx✝ : g ∈ s.pi t\nv : ι\nhv : v ∈ s\n⊢ g ↑⟨v, hv⟩ ⋯ = Pi.cons s a b g ↑⟨v, hv⟩ ⋯"} {"_id": "201895", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝¹ : b ∈ t a\nh₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂\ng : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nx✝ : g ∈ s.pi t\n⊢ ∀ x ∈ s.attach, ∀ y ∈ s.attach, ⟨↑x, ⋯⟩ = ⟨↑y, ⋯⟩ → x = y"} {"_id": "201896", "text": "case insert\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na✝ : α\nf✝ g✝ : ι → α\ninst✝¹ : CommSemiring α\ninst✝ : DecidableEq ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\na : ι\ns : Finset ι\nha : a ∉ s\nih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)\nh₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))\nb : κ a\nx✝¹ : b ∈ t a\nh₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂\ng : (a : ι) → a ∈ s → κ a\nx✝ : g ∈ s.pi t\n⊢ ⟨a, ⋯⟩ ∉ image (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach"} {"_id": "201897", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝⁴ : LinearOrderedRing α\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝² : Module α β\ninst✝¹ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\ninst✝ : Fintype ι\nhfg : Monovary f g\n⊢ ∑ i : ι, f (σ i) • g i < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary (f ∘ ⇑σ) g"} {"_id": "201899", "text": "case h.h.h\ns n : Nat\nstep : optParam Nat 1\n⊢ range' s n step = range'TR s n step"} {"_id": "201902", "text": "s✝ n✝ : Nat\nstep : optParam Nat 1\ns n m : Nat\n⊢ range'TR.go step n (s + step * (n + 1) - step) ((s + step * (n + 1) - step) :: range' (s + step * (n + 1)) m step) =\n range' s (n + 1 + m) step"} {"_id": "201904", "text": "k : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring k\ninst✝ : AddCancelCommMonoid G\na : G\n⊢ of' k G a /ᵒᶠ a = 1"} {"_id": "201905", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\n⊢ (∀ (i : ℕ),\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈\n q.asIdeal) ∨\n ∀ (i : ℕ),\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈\n q.asIdeal"} {"_id": "201906", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\n⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * nx, num := ⟨(proj 𝒜 nx) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ nx, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈\n q.asIdeal ∨\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * ny, num := ⟨(proj 𝒜 ny) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ ny, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈\n q.asIdeal"} {"_id": "201909", "text": "case h.e'_4.h\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\ne_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)\n⊢ HomogeneousLocalization.mk\n { deg := m * nx, num := ⟨↑(((decompose 𝒜) x) nx) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ nx, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } *\n HomogeneousLocalization.mk\n { deg := m * ny, num := ⟨↑(((decompose 𝒜) y) ny) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ ny, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } =\n HomogeneousLocalization.mk\n { deg := m * (nx + ny), num := ⟨↑(((decompose 𝒜) (x * y)) (nx + ny)) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (nx + ny), ⋯⟩,\n den_mem := ⋯ }"} {"_id": "201910", "text": "case h.e'_4.h\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\ne_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)\n⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * nx, num := ⟨x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ nx, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } *\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * ny, num := ⟨y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ ny, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } =\n HomogeneousLocalization.mk\n { deg := m * (nx + ny), num := ⟨x ^ m * y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ nx * f ^ ny, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }"} {"_id": "201911", "text": "case h.e'_4.h\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\ne_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)\n⊢ Localization.mk (x ^ m * y ^ m) (⟨f ^ nx, ⋯⟩ * ⟨f ^ ny, ⋯⟩) = Localization.mk (x ^ m * y ^ m) ⟨f ^ nx * f ^ ny, ⋯⟩"} {"_id": "201913", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\nn : ℕ\nhn : n ≠ nx\n⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal"} {"_id": "201914", "text": "case h.e'_4.h\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\nn : ℕ\nhn : n ≠ nx\ne_1✝ : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f) = ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))\n⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } = 0"} {"_id": "201915", "text": "case h.e'_4.h\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\nn : ℕ\nhn : n ≠ nx\ne_1✝ : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f) = ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))\n⊢ Localization.mk ↑{ deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num\n ⟨↑{ deg := m * n, num := ⟨(proj 𝒜 n) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩ =\n 0"} {"_id": "201916", "text": "case h.e'_4.h\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\nn : ℕ\nhn : n ≠ nx\ne_1✝ : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f) = ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))\n⊢ Localization.mk (↑(((decompose 𝒜) x) n) ^ m) ⟨f ^ n, ⋯⟩ = 0"} {"_id": "201917", "text": "case h.e'_2.h.e'_4\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\nx y : A\nx✝¹ : Homogeneous 𝒜 x\nx✝ : Homogeneous 𝒜 y\nhxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q\nnx : ℕ\nhnx : x ∈ 𝒜 nx\nny : ℕ\nhny : y ∈ 𝒜 ny\nn : ℕ\nhn : n ≠ nx\ne_1✝ : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f) = ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))\n⊢ ↑(((decompose 𝒜) x) n) ^ m = 0"} {"_id": "201920", "text": "m n : Nat\n⊢ m ∈ range n ↔ m < n"} {"_id": "201921", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₁.RightHomologyData\nh₁' : S₂.LeftHomologyData\nh₂' : S₂.RightHomologyData\n⊢ leftHomologyMap' φ h₁ h₁' ≫ leftRightHomologyComparison' h₁' h₂' =\n leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' φ h₂ h₂'"} {"_id": "201922", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\nr : R\n⊢ (optionEquivRight R S₁) (C r) = C (Polynomial.C r)"} {"_id": "201924", "text": "case left\nα : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nc✝ : RBColor\nparent✝ : Path α\nx : α\nr✝ : RBNode α\nih :\n Ordered cmp parent✝ ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listR ∧\n ∀ (x : α), x ∈ parent✝.listL → ∀ (y : α), y ∈ parent✝.listR → cmpLT cmp x y\n⊢ Ordered cmp (left c✝ parent✝ x r✝) ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (left c✝ parent✝ x r✝).listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (left c✝ parent✝ x r✝).listR ∧\n ∀ (x_1 : α), x_1 ∈ (left c✝ parent✝ x r✝).listL → ∀ (y : α), y ∈ (left c✝ parent✝ x r✝).listR → cmpLT cmp x_1 y\n\ncase right\nα : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nc✝ : RBColor\nl✝ : RBNode α\nx : α\nparent✝ : Path α\nih :\n Ordered cmp parent✝ ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listR ∧\n ∀ (x : α), x ∈ parent✝.listL → ∀ (y : α), y ∈ parent✝.listR → cmpLT cmp x y\n⊢ Ordered cmp (right c✝ l✝ x parent✝) ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (right c✝ l✝ x parent✝).listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (right c✝ l✝ x parent✝).listR ∧\n ∀ (x_1 : α),\n x_1 ∈ (right c✝ l✝ x parent✝).listL → ∀ (y : α), y ∈ (right c✝ l✝ x parent✝).listR → cmpLT cmp x_1 y"} {"_id": "201926", "text": "case right\nα : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nc✝ : RBColor\nl✝ : RBNode α\nx : α\nparent✝ : Path α\nih :\n Ordered cmp parent✝ ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listR ∧\n ∀ (x : α), x ∈ parent✝.listL → ∀ (y : α), y ∈ parent✝.listR → cmpLT cmp x y\n⊢ Ordered cmp (right c✝ l✝ x parent✝) ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (right c✝ l✝ x parent✝).listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (right c✝ l✝ x parent✝).listR ∧\n ∀ (x_1 : α),\n x_1 ∈ (right c✝ l✝ x parent✝).listL → ∀ (y : α), y ∈ (right c✝ l✝ x parent✝).listR → cmpLT cmp x_1 y"} {"_id": "201927", "text": "case right\nα : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nc✝ : RBColor\nl✝ : RBNode α\nx : α\nparent✝ : Path α\nih :\n Ordered cmp parent✝ ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listR ∧\n ∀ (x : α), x ∈ parent✝.listL → ∀ (y : α), y ∈ parent✝.listR → cmpLT cmp x y\n⊢ Ordered cmp parent✝ ∧\n (∀ (x_1 : α), x_1 ∈ l✝ → cmpLT cmp x_1 x) ∧\n ((∀ (a : α), a ∈ parent✝.listL → cmpLT cmp a x) ∧ ∀ (a : α), a ∈ parent✝.listR → cmpLT cmp x a) ∧\n (∀ (x : α),\n x ∈ l✝ → (∀ (a : α), a ∈ parent✝.listL → cmpLT cmp a x) ∧ ∀ (a : α), a ∈ parent✝.listR → cmpLT cmp x a) ∧\n RBNode.Ordered cmp l✝ ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (right c✝ l✝ x parent✝).listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) (right c✝ l✝ x parent✝).listR ∧\n ∀ (x_1 : α),\n x_1 ∈ (right c✝ l✝ x parent✝).listL → ∀ (y : α), y ∈ (right c✝ l✝ x parent✝).listR → cmpLT cmp x_1 y"} {"_id": "201928", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nc✝ : RBColor\nl✝ : RBNode α\nx : α\nparent✝ : Path α\nih :\n Ordered cmp parent✝ ↔\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listL ∧\n List.Pairwise (cmpLT cmp) parent✝.listR ∧\n ∀ (x : α), x ∈ parent✝.listL → ∀ (y : α), y ∈ parent✝.listR → cmpLT cmp x y\nh : Ordered cmp parent✝\n⊢ (All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) l✝ ∧\n RootOrdered cmp parent✝ x ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) l✝ ∧ RBNode.Ordered cmp l✝) =\n ?m.127314"} {"_id": "201932", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α → β → σ\n⊢ (Computable₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Computable₂ f"} {"_id": "201933", "text": "case h.e'_1.h.e'_7.h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α → β → σ\nx✝¹ : α\nx✝ : ℕ\n⊢ Option.map (f x✝¹) (decode x✝) = (decode x✝).bind (Option.some ∘ f x✝¹)"} {"_id": "201936", "text": "case cons\nα : Type u_1\nx : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : LawfulBEq α\nh : α\nt : List α\nih : x ∈ t → indexOf x t ∈ indexesOf x t\nm : x ∈ h :: t\n⊢ indexOf x (h :: t) ∈ indexesOf x (h :: t)"} {"_id": "201938", "text": "case cons.isTrue\nα : Type u_1\nx : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : LawfulBEq α\nh : α\nt : List α\nih : x ∈ t → indexOf x t ∈ indexesOf x t\nm : x ∈ h :: t\nw : (h == x) = true\n⊢ 0 ∈ 0 :: map (fun x => x + 1) (indexesOf x t)"} {"_id": "201945", "text": "C : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh : S₂.LeftHomologyData\ninst✝² : Epi φ.τ₁\ninst✝¹ : IsIso φ.τ₂\ninst✝ : Mono φ.τ₃\n⊢ (ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).f' = φ.τ₁ ≫ h.f'"} {"_id": "201947", "text": "case refine_1\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN✝ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N✝\ninst✝² : Module R N✝\ninst✝¹ : LieRingModule L N✝\ninst✝ : LieModule R L N✝\nN : LieSubmodule R L M\nh : N ≤ maxTrivSubmodule R L M\n⊢ ⁅⊤, N⁆ = ⊥"} {"_id": "201948", "text": "case refine_1\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN✝ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N✝\ninst✝² : Module R N✝\ninst✝¹ : LieRingModule L N✝\ninst✝ : LieModule R L N✝\nN : LieSubmodule R L M\nh : N ≤ maxTrivSubmodule R L M\n⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ ⁅⊤, maxTrivSubmodule R L M⁆"} {"_id": "201949", "text": "case refine_2\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN✝ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N✝\ninst✝² : Module R N✝\ninst✝¹ : LieRingModule L N✝\ninst✝ : LieModule R L N✝\nN : LieSubmodule R L M\nh : ⁅⊤, N⁆ = ⊥\nm : M\nhm : m ∈ N\n⊢ m ∈ maxTrivSubmodule R L M"} {"_id": "201950", "text": "case refine_2\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN✝ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N✝\ninst✝² : Module R N✝\ninst✝¹ : LieRingModule L N✝\ninst✝ : LieModule R L N✝\nN : LieSubmodule R L M\nh : ⁅⊤, N⁆ = ⊥\nm : M\nhm : m ∈ N\n⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0"} {"_id": "201951", "text": "case refine_2\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN✝ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N✝\ninst✝² : Module R N✝\ninst✝¹ : LieRingModule L N✝\ninst✝ : LieModule R L N✝\nN : LieSubmodule R L M\nh : ∀ x ∈ ⊤, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0\nm : M\nhm : m ∈ N\n⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0"} {"_id": "201953", "text": "case mk.mk\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝³ : Preadditive C\ninst✝² : CategoryWithHomology C\ninst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\ninst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C\nK L : HomologicalComplex C c\nφ : { as := K } ⟶ { as := L }\n⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c φ → IsIso (Qh.map φ)"} {"_id": "201954", "text": "case mk.mk.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝³ : Preadditive C\ninst✝² : CategoryWithHomology C\ninst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\ninst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C\nK L : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\n⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ) →\n IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))"} {"_id": "201955", "text": "case mk.mk.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\ninst✝³ : Preadditive C\ninst✝² : CategoryWithHomology C\ninst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\ninst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C\nK L : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\n⊢ IsIso (Q.map φ) → IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))"} {"_id": "201956", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\nB : Type u_3\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : Algebra R B\na : A\nn : ℕ\n⊢ mulRight R a ^ n = mulRight R (a ^ n)"} {"_id": "201957", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\nB : Type u_3\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : Algebra R B\na : A\nn : ℕ\n⊢ (mul R A).flip a ^ n = (mul R A).flip (a ^ n)"} {"_id": "201958", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : Rack R\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nf : R →◃ Quandle.Conj G\na✝ b✝ a'✝ b'✝ : PreEnvelGroup R\nha : PreEnvelGroupRel' R a✝ a'✝\nhb : PreEnvelGroupRel' R b✝ b'✝\n⊢ mapAux f (a✝.mul b✝) = mapAux f (a'✝.mul b'✝)"} {"_id": "201959", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : Rack R\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nf : R →◃ Quandle.Conj G\na✝ a'✝ : PreEnvelGroup R\nha : PreEnvelGroupRel' R a✝ a'✝\n⊢ mapAux f a✝.inv = mapAux f a'✝.inv"} {"_id": "201960", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : Rack R\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nf : R →◃ Quandle.Conj G\na b c : PreEnvelGroup R\n⊢ mapAux f ((a.mul b).mul c) = mapAux f (a.mul (b.mul c))"} {"_id": "201961", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : Rack R\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nf : R →◃ Quandle.Conj G\na : PreEnvelGroup R\n⊢ mapAux f (unit.mul a) = mapAux f a"} {"_id": "201962", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : Rack R\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nf : R →◃ Quandle.Conj G\na : PreEnvelGroup R\n⊢ mapAux f (a.mul unit) = mapAux f a"} {"_id": "201963", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : Rack R\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nf : R →◃ Quandle.Conj G\na : PreEnvelGroup R\n⊢ mapAux f (a.inv.mul a) = mapAux f unit"} {"_id": "201964", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : Rack R\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\nf : R →◃ Quandle.Conj G\nx y : R\n⊢ mapAux f (((incl x).mul (incl y)).mul (incl x).inv) = mapAux f (incl (x ◃ y))"} {"_id": "201965", "text": "K : Type u\ninst✝ : Field K\nV W : FGModuleCat K\n⊢ FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫\n (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)).inv ≫ FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V =\n (ρ_ (FGModuleCatDual K V)).hom ≫ (λ_ (FGModuleCatDual K V)).inv"} {"_id": "201966", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝¹ : ExistsAddOfLE α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na b c : α\n⊢ map (addLeftEmbedding c) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)"} {"_id": "201967", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝¹ : ExistsAddOfLE α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na b c : α\n⊢ ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ico a b = Set.Ico (c + a) (c + b)"} {"_id": "201968", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nE : EllipticCurve R\ninst✝ : Invertible 2\n⊢ (ofJ1728 R).j = 1728"} {"_id": "201970", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\n⊢ GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖"} {"_id": "201971", "text": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\n⊢ GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖"} {"_id": "201972", "text": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\nh₁ : (fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖) =ᶠ[atTop] fun z => z⁻¹ / log z ^ 2\n⊢ GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖"} {"_id": "201973", "text": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\nh₁ : (fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖) =ᶠ[atTop] fun z => z⁻¹ / log z ^ 2\n⊢ GrowsPolynomially fun z => z⁻¹ / log z ^ 2"} {"_id": "201974", "text": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\nh₁ : (fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖) =ᶠ[atTop] fun z => z⁻¹ / log z ^ 2\n⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ log x"} {"_id": "201975", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\nh₁ : (fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖) =ᶠ[atTop] fun z => z⁻¹ / log z ^ 2\nx : ℝ\nhx : 1 ≤ x\n⊢ 0 ≤ log x"} {"_id": "201976", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\n⊢ (fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖) =ᶠ[atTop] fun z => z⁻¹ / log z ^ 2"} {"_id": "201977", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\nx : ℝ\nhx : deriv (fun x => 1 + ε x) x = -x⁻¹ / log x ^ 2\nhx_pos : 1 < x\n⊢ ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖ = x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "201978", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\nx : ℝ\nhx : deriv (fun x => 1 + ε x) x = -x⁻¹ / log x ^ 2\nhx_pos : 1 < x\nthis : 0 ≤ x⁻¹ / log x ^ 2\n⊢ ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖ = x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "201979", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p = 0\nx : ℝ\nhx : deriv (fun x => 1 + ε x) x = -x⁻¹ / log x ^ 2\nhx_pos : 1 < x\n⊢ 0 ≤ x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "201981", "text": "case inr\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖"} {"_id": "201982", "text": "case inr\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖"} {"_id": "201985", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nh : zeroRootSubalgebra R L H = H\n⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H"} {"_id": "201986", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nh : S.RightHomologyData\nA : C\nk : S.X₂ ⟶ A\nhk : S.f ≫ k = 0\ninst✝ : S.HasRightHomology\n⊢ h.opcyclesIso.inv ≫ S.descOpcycles k hk = h.descQ k hk"} {"_id": "201987", "text": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝² : S.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ homologyMap φ ≫ S₂.homologyι = S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ"} {"_id": "201988", "text": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝² : S.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\n⊢ S₁.rightHomologyι ≫ opcyclesMap φ = S₁.rightHomologyIso.hom ≫ S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ"} {"_id": "201989", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\na a✝² : α\na✝¹ a✝ : HeapNode α\nw✝ : Nat\nleft✝ : ∀ [inst : TotalBLE le], le a a✝² = true\nc : WF le a✝² a✝¹ w✝\ns : WF le a a✝ w✝\n⊢ (node a✝² a✝¹ a✝).realSize + 1 = 2 ^ (w✝ + 1)"} {"_id": "201990", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\na a✝² : α\na✝¹ a✝ : HeapNode α\nw✝ : Nat\nleft✝ : ∀ [inst : TotalBLE le], le a a✝² = true\nc : WF le a✝² a✝¹ w✝\ns : WF le a a✝ w✝\n⊢ 2 ^ w✝ + a✝.realSize + 1 = 2 ^ w✝ * 1 + 2 ^ w✝"} {"_id": "201992", "text": "case w.w.h.h\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nD : Type u'\ninst✝¹ : Category.{v', u'} D\ninst✝ : Preadditive D\nx✝ : CochainComplex C ℤ\ni✝ : ℤ\n⊢ ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app x✝).f i✝ = ((shiftFunctorZero' C 0 ⋯).hom.app x✝).f i✝"} {"_id": "201993", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝² : DivisionRing K\ninst✝¹ : Semiring L\ninst✝ : Nontrivial L\nf : K →+* L\np : ℕ\n⊢ CharP K p ↔ CharP L p"} {"_id": "201997", "text": "case mp.intro.cons.intro\nα✝ : Type u_1\nl₁ : List α✝\na : α✝\nl₂ : List α✝\nhead✝ : α✝\ntail✝ t : List α✝\nhl₃ : head✝ :: tail✝ ++ l₁ ++ t = a :: l₂\n⊢ l₁ <+: a :: l₂ ∨ l₁ <:+: l₂"} {"_id": "202002", "text": "case mpr.inr\nα✝ : Type u_1\nl₁ : List α✝\na : α✝\nl₂ : List α✝\nhl₁ : l₁ <:+: l₂\n⊢ l₁ <:+: a :: l₂"} {"_id": "202003", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\nK : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nα : Cochain F K m\nβ : Cochain G K n\nh : m + 1 = n\np₁ p₂ : ℤ\nh₁₂ : p₁ + n = p₂\n⊢ (inr φ).f p₁ ≫ (descCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ = β.v p₁ p₂ h₁₂"} {"_id": "202005", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN N₁ N₂ : LieSubmodule R L M\nh : N₁.normalizer = N₁\nk : ℕ\n⊢ ucs k ⊥ ≤ N₁"} {"_id": "202010", "text": "case mp\nC : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nS₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\ninst✝³ : S₁.HasHomology\ninst✝² : S₂.HasHomology\ninst✝¹ : S₃.HasHomology\ninst✝ : S₄.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\nφ' : S₂ ⟶ S₃\nhφ : QuasiIso φ\na✝ : QuasiIso (φ ≫ φ')\n⊢ QuasiIso φ'"} {"_id": "202012", "text": "case mpr\nC : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nS₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\ninst✝³ : S₁.HasHomology\ninst✝² : S₂.HasHomology\ninst✝¹ : S₃.HasHomology\ninst✝ : S₄.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\nφ' : S₂ ⟶ S₃\nhφ : QuasiIso φ\na✝ : QuasiIso φ'\n⊢ QuasiIso (φ ≫ φ')"} {"_id": "202013", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2\n⊢ W.addXYZ P Q = addU P Q • ![1, 1, 0]"} {"_id": "202014", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : CommGroup α\n⊢ [].reverse.alternatingProd = [].alternatingProd ^ (-1) ^ ([].length + 1)"} {"_id": "202015", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : CommGroup α\na : α\nl : List α\n⊢ (a :: l).reverse.alternatingProd = (a :: l).alternatingProd ^ (-1) ^ ((a :: l).length + 1)"} {"_id": "202016", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : CommGroup α\na : α\nl : List α\n⊢ (l.alternatingProd ^ (-1) ^ l.length)⁻¹ * a ^ (-1) ^ l.length = (a / l.alternatingProd) ^ (-1) ^ l.length"} {"_id": "202018", "text": "case succ\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nq : Stmt₂\nv : σ\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nn : ℕ\nIH :\n Reaches₀ (TM1.step (tr M))\n { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }\n { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }\n⊢ Reaches₀ (TM1.step (tr M))\n { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }\n { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }"} {"_id": "202019", "text": "case succ\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nq : Stmt₂\nv : σ\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nn : ℕ\nIH :\n Reaches₀ (TM1.step (tr M))\n { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }\n { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }\n⊢ { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } ∈\n TM1.step (tr M) { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }"} {"_id": "202020", "text": "case succ\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nq : Stmt₂\nv : σ\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nn : ℕ\nIH :\n Reaches₀ (TM1.step (tr M))\n { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }\n { l := some (ret q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) }\n⊢ some (TM1.stepAux (tr M (ret q)) v ((Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)))) =\n some { l := some (ret q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }"} {"_id": "202023", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\na : α\ns' s : Heap α\nh : WF le s\neq : Heap.deleteMin le s = some (a, s')\n⊢ WF le s'"} {"_id": "202024", "text": "case node.refl\nα : Type u_1\nle : α → α → Bool\na : α\nc✝ : Heap α\nh : NodeWF le a c✝\n⊢ WF le (Heap.combine le c✝)"} {"_id": "202027", "text": "case mp\nα : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : Module R M\nS : Type u_4\ninst✝⁴ : Monoid S\ninst✝³ : AddCommMonoid M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : DistribMulAction S M\nsR : Set R\ns : Set S\nN : Submodule R M\nx : M\ninst✝ : SMulCommClass R R ↥N\nh : x ∈ sR • N\n⊢ ∃ c, ↑c.support ⊆ sR ∧ x = ↑(c.sum fun r m => r • m)"} {"_id": "202029", "text": "case mp.intro.intro\nα : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : Module R M\nS : Type u_4\ninst✝⁴ : Monoid S\ninst✝³ : AddCommMonoid M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : DistribMulAction S M\nsR : Set R\ns : Set S\nN : Submodule R M\ninst✝ : SMulCommClass R R ↥N\nc : R →₀ ↥N\nhc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)\n⊢ ∃ c_1,\n ↑c_1.support ⊆ sR ∧\n (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribMulAction.toLinearMap R ↥N)) c = ↑(c_1.sum fun r m => r • m)"} {"_id": "202030", "text": "case mpr\nα : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : Module R M\nS : Type u_4\ninst✝⁴ : Monoid S\ninst✝³ : AddCommMonoid M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : DistribMulAction S M\nsR : Set R\ns : Set S\nN : Submodule R M\nx : M\ninst✝ : SMulCommClass R R ↥N\n⊢ (∃ c, ↑c.support ⊆ sR ∧ x = ↑(c.sum fun r m => r • m)) → x ∈ sR • N"} {"_id": "202032", "text": "case mpr.intro.intro\nα : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : Module R M\nS : Type u_4\ninst✝⁴ : Monoid S\ninst✝³ : AddCommMonoid M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : DistribMulAction S M\nsR : Set R\ns : Set S\nN : Submodule R M\ninst✝ : SMulCommClass R R ↥N\nc : R →₀ ↥N\nhc1 : ↑c.support ⊆ sR\np : Submodule R M\nhp : p ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ {n : M}, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}\n⊢ ↑(c.sum fun r m => r • m) ∈ p"} {"_id": "202033", "text": "case mpr.intro.intro\nα : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : Module R M\nS : Type u_4\ninst✝⁴ : Monoid S\ninst✝³ : AddCommMonoid M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : DistribMulAction S M\nsR : Set R\ns : Set S\nN : Submodule R M\ninst✝ : SMulCommClass R R ↥N\nc : R →₀ ↥N\nhc1 : ↑c.support ⊆ sR\np : Submodule R M\nhp : p ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ {n : M}, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}\n⊢ ∑ x ∈ c.support, x • ↑(c x) ∈ p"} {"_id": "202034", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nh : ¬P ≈ Q\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\n⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.add P Q"} {"_id": "202035", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nh : ¬P ≈ Q\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\nsmul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q\n⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.add P Q"} {"_id": "202036", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nh : ¬P ≈ Q\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\n⊢ P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q"} {"_id": "202042", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Category.{?u.12449, u_2} D\ninst✝³ : Preadditive C\ninst✝² : Balanced C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.ShortExact\nh₂ : S₂.ShortExact\ninst✝¹ : IsIso φ.τ₁\ninst✝ : IsIso φ.τ₃\nthis✝² : Mono S₁.f\nthis✝¹ : Mono S₂.f\nthis✝ : Epi S₁.g\nthis : Epi S₂.g\n⊢ IsIso φ.τ₂"} {"_id": "202043", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Category.{?u.12449, u_2} D\ninst✝³ : Preadditive C\ninst✝² : Balanced C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.ShortExact\nh₂ : S₂.ShortExact\ninst✝¹ : IsIso φ.τ₁\ninst✝ : IsIso φ.τ₃\nthis✝³ : Mono S₁.f\nthis✝² : Mono S₂.f\nthis✝¹ : Epi S₁.g\nthis✝ : Epi S₂.g\nthis : Mono φ.τ₂\n⊢ IsIso φ.τ₂"} {"_id": "202044", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Category.{?u.12449, u_2} D\ninst✝³ : Preadditive C\ninst✝² : Balanced C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.ShortExact\nh₂ : S₂.ShortExact\ninst✝¹ : IsIso φ.τ₁\ninst✝ : IsIso φ.τ₃\nthis✝⁴ : Mono S₁.f\nthis✝³ : Mono S₂.f\nthis✝² : Epi S₁.g\nthis✝¹ : Epi S₂.g\nthis✝ : Mono φ.τ₂\nthis : Epi φ.τ₂\n⊢ IsIso φ.τ₂"} {"_id": "202045", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring A\ninst✝⁵ : Algebra R A\ninst✝⁴ : Ring B\ninst✝³ : Algebra R B\ninst✝² : FunLike F A R\ninst✝¹ : AlgHomClass F R A R\ninst✝ : Nontrivial R\nφ : F\na : A\n⊢ φ a ∈ σ a"} {"_id": "202046", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring A\ninst✝⁵ : Algebra R A\ninst✝⁴ : Ring B\ninst✝³ : Algebra R B\ninst✝² : FunLike F A R\ninst✝¹ : AlgHomClass F R A R\ninst✝ : Nontrivial R\nφ : F\na : A\nh : ↑ₐ (φ a) - a ∈ RingHom.ker ↑φ\n⊢ φ a ∈ σ a"} {"_id": "202047", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring A\ninst✝⁵ : Algebra R A\ninst✝⁴ : Ring B\ninst✝³ : Algebra R B\ninst✝² : FunLike F A R\ninst✝¹ : AlgHomClass F R A R\ninst✝ : Nontrivial R\nφ : F\na : A\n⊢ ↑ₐ (φ a) - a ∈ RingHom.ker ↑φ"} {"_id": "202050", "text": "case some.succ\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α → ℕ\ng : α →. σ\nh : α → ℕ × σ →. σ\nhf : Computable f\nhg : Partrec g\nhh : Partrec₂ h\nn : ℕ\na : α\ne : decode n = Option.some a\nm : ℕ\nIH :\n Nat.rec (Part.map encode (g a))\n (fun y IH =>\n IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2))\n m =\n Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)\n⊢ ((Nat.rec (Part.map encode (g a))\n (fun y IH =>\n IH.bind fun i =>\n (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2))\n m).bind\n fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) =\n (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))"} {"_id": "202055", "text": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝ : Monoid α\na : α\n⊢ ∀ {b : ConjClasses α}, a ∈ b.carrier ↔ ConjClasses.mk a = b"} {"_id": "202057", "text": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝ : Monoid α\na b : α\n⊢ a ∈ (ConjClasses.mk b).carrier ↔ ConjClasses.mk a = ConjClasses.mk b"} {"_id": "202062", "text": "case left\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\n⊢ default ∈ ↑(trStmts M S)"} {"_id": "202064", "text": "case left.left\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\n⊢ default.1 ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202065", "text": "case left.left\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\n⊢ ∃ a ∈ S, M default ∈ TM1.stmts₁ (M a)"} {"_id": "202066", "text": "case left.right\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\n⊢ default.2 ∈ Finset.univ"} {"_id": "202070", "text": "case right.mk.some.mk\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv : σ\nq : Stmt₁\nh₂ : (some q, v) ∈ ↑(trStmts M S)\nq' : Option Stmt₁\nv' : σ\nh₁ : ((q', v'), s) ∈ tr M (some q, v) a\n⊢ (q', v') ∈ ↑(trStmts M S)"} {"_id": "202071", "text": "case right.mk.some.mk\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv : σ\nq : Stmt₁\nq' : Option Stmt₁\nv' : σ\nh₁ : ((q', v'), s) ∈ tr M (some q, v) a\nh₂ : (some q, v) ∈ TM1.stmts M S ×ˢ Finset.univ\n⊢ (q', v') ∈ TM1.stmts M S ×ˢ Finset.univ"} {"_id": "202072", "text": "case right.mk.some.mk\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv : σ\nq : Stmt₁\nq' : Option Stmt₁\nv' : σ\nh₁ : ((q', v'), s) ∈ tr M (some q, v) a\nh₂ : (some q, v).1 ∈ TM1.stmts M S ∧ (some q, v).2 ∈ Finset.univ\n⊢ (q', v').1 ∈ TM1.stmts M S ∧ (q', v').2 ∈ Finset.univ"} {"_id": "202074", "text": "case right.mk.some.mk.some\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv : σ\nq : Stmt₁\nv' : σ\nh₂ : some q ∈ TM1.stmts M S\nval✝ : Stmt₁\nh₁ : ((some val✝, v'), s) ∈ tr M (some q, v) a\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202075", "text": "case right.mk.some.mk.some\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv : σ\nq : Stmt₁\nv' : σ\nh₂ : some q ∈ TM1.stmts M S\nval✝ : Stmt₁\nh₁ : some (trAux M a q v) = some ((some val✝, v'), s)\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202078", "text": "case right.mk.some.mk.none\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv : σ\nq : Stmt₁\nv' : σ\nh₂ : some q ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : ((none, v'), s) ∈ tr M (some q, v) a\n⊢ none ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202080", "text": "case right.mk.some.mk.some.move.refl\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nd : Dir\nh₂ : some (TM1.Stmt.move d val✝) ∈ TM1.stmts M S\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.move d val✝)\na_ih✝ :\n ∀ (v : σ),\n some val✝ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a val✝ v) = some ((some val✝, v'), move d) → TM1.SupportsStmt S val✝ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202081", "text": "case right.mk.some.mk.some.move.refl\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nd : Dir\nh₂ : some (TM1.Stmt.move d val✝) ∈ TM1.stmts M S\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.move d val✝)\na_ih✝ :\n ∀ (v : σ),\n some val✝ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a val✝ v) = some ((some val✝, v'), move d) → TM1.SupportsStmt S val✝ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\n⊢ val✝ ∈ TM1.stmts₁ (TM1.Stmt.move d val✝)"} {"_id": "202082", "text": "case right.mk.some.mk.some.move.refl\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nd : Dir\nh₂ : some (TM1.Stmt.move d val✝) ∈ TM1.stmts M S\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.move d val✝)\na_ih✝ :\n ∀ (v : σ),\n some val✝ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a val✝ v) = some ((some val✝, v'), move d) → TM1.SupportsStmt S val✝ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\n⊢ val✝ ∈ insert (TM1.Stmt.move d val✝) (TM1.stmts₁ val✝)"} {"_id": "202084", "text": "case right.mk.some.mk.some.write.refl\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nb : Γ → σ → Γ\nh₂ : some (TM1.Stmt.write b val✝) ∈ TM1.stmts M S\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.write b val✝)\na_ih✝ :\n ∀ (v : σ),\n some val✝ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a val✝ v) = some ((some val✝, v'), write (b a v')) →\n TM1.SupportsStmt S val✝ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202085", "text": "case right.mk.some.mk.some.write.refl\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nb : Γ → σ → Γ\nh₂ : some (TM1.Stmt.write b val✝) ∈ TM1.stmts M S\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.write b val✝)\na_ih✝ :\n ∀ (v : σ),\n some val✝ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a val✝ v) = some ((some val✝, v'), write (b a v')) →\n TM1.SupportsStmt S val✝ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\n⊢ val✝ ∈ TM1.stmts₁ (TM1.Stmt.write b val✝)"} {"_id": "202086", "text": "case right.mk.some.mk.some.write.refl\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nb : Γ → σ → Γ\nh₂ : some (TM1.Stmt.write b val✝) ∈ TM1.stmts M S\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.write b val✝)\na_ih✝ :\n ∀ (v : σ),\n some val✝ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a val✝ v) = some ((some val✝, v'), write (b a v')) →\n TM1.SupportsStmt S val✝ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\n⊢ val✝ ∈ insert (TM1.Stmt.write b val✝) (TM1.stmts₁ val✝)"} {"_id": "202087", "text": "case right.mk.some.mk.some.load\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nb : Γ → σ → σ\nq : Stmt₁\nIH :\n ∀ (v : σ),\n some q ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.load b q) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (trAux M a (TM1.Stmt.load b q) v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.load b q)\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202088", "text": "case right.mk.some.mk.some.load\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nb : Γ → σ → σ\nq : Stmt₁\nIH :\n ∀ (v : σ),\n some q ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.load b q) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (trAux M a (TM1.Stmt.load b q) v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.load b q)\n⊢ q ∈ TM1.stmts₁ (TM1.Stmt.load b q)"} {"_id": "202089", "text": "case right.mk.some.mk.some.load\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\nb : Γ → σ → σ\nq : Stmt₁\nIH :\n ∀ (v : σ),\n some q ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.load b q) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (trAux M a (TM1.Stmt.load b q) v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.load b q)\n⊢ q ∈ insert (TM1.Stmt.load b q) (TM1.stmts₁ q)"} {"_id": "202090", "text": "case right.mk.some.mk.some.branch\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ),\n some q₁ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₁ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₁ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nIH₂ :\n ∀ (v : σ),\n some q₂ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₂ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (trAux M a (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202091", "text": "case right.mk.some.mk.some.branch.false\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ),\n some q₁ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₁ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₁ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nIH₂ :\n ∀ (v : σ),\n some q₂ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₂ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (bif false then trAux M a q₁ v else trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)\nh : p a v = false\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202092", "text": "case right.mk.some.mk.some.branch.false\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ),\n some q₁ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₁ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₁ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nIH₂ :\n ∀ (v : σ),\n some q₂ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₂ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (bif false then trAux M a q₁ v else trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)\nh : p a v = false\n⊢ q₂ ∈ TM1.stmts₁ (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)"} {"_id": "202093", "text": "case right.mk.some.mk.some.branch.false\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ),\n some q₁ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₁ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₁ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nIH₂ :\n ∀ (v : σ),\n some q₂ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₂ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (bif false then trAux M a q₁ v else trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)\nh : p a v = false\n⊢ q₂ ∈ insert (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) (TM1.stmts₁ q₁ ∪ TM1.stmts₁ q₂)"} {"_id": "202094", "text": "case right.mk.some.mk.some.branch.true\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ),\n some q₁ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₁ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₁ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nIH₂ :\n ∀ (v : σ),\n some q₂ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₂ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (bif true then trAux M a q₁ v else trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)\nh : p a v = true\n⊢ some val✝ ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202095", "text": "case right.mk.some.mk.some.branch.true\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ),\n some q₁ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₁ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₁ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nIH₂ :\n ∀ (v : σ),\n some q₂ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₂ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (bif true then trAux M a q₁ v else trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)\nh : p a v = true\n⊢ q₁ ∈ TM1.stmts₁ (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)"} {"_id": "202096", "text": "case right.mk.some.mk.some.branch.true\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\ns : Stmt₀\nv' : σ\nval✝ : Stmt₁\np : Γ → σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ),\n some q₁ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₁ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₁ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nIH₂ :\n ∀ (v : σ),\n some q₂ ∈ TM1.stmts M S →\n some (trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s) → TM1.SupportsStmt S q₂ → some val✝ ∈ TM1.stmts M S\nv : σ\nh₂ : some (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) ∈ TM1.stmts M S\nh₁ : some (bif true then trAux M a q₁ v else trAux M a q₂ v) = some ((some val✝, v'), s)\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂)\nh : p a v = true\n⊢ q₁ ∈ insert (TM1.Stmt.branch p q₁ q₂) (TM1.stmts₁ q₁ ∪ TM1.stmts₁ q₂)"} {"_id": "202098", "text": "case right.mk.some.mk.some.goto.refl\nΓ : Type u_1\ninst✝³ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝² : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\ninst✝ : Fintype σ\nS : Finset Λ\nss : TM1.Supports M S\na : Γ\nv' : σ\nl : Γ → σ → Λ\nh₂ : some (TM1.Stmt.goto l) ∈ TM1.stmts M S\nhs : TM1.SupportsStmt S (TM1.Stmt.goto l)\n⊢ some (M (l a v')) ∈ TM1.stmts M S"} {"_id": "202100", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns t : Multiset α\nhs : ∃ x ∈ s, x ≠ 0\nht : s = map (fun x => s.gcd * x) t\n⊢ s.gcd * t.gcd = s.gcd"} {"_id": "202103", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\n⊢ IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r))"} {"_id": "202105", "text": "case h_open.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nr : A\n⊢ IsOpen ((fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r)) r)"} {"_id": "202107", "text": "case h_nhds.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\np : ProjectiveSpectrum 𝒜\nU : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\nhp : p ∈ U\ns : Set A\nhs : zeroLocus 𝒜 s = Uᶜ\n⊢ ∃ v ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r), p ∈ v ∧ v ⊆ U"} {"_id": "202109", "text": "case h_nhds.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\np : ProjectiveSpectrum 𝒜\nU : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\ns : Set A\nhs : zeroLocus 𝒜 s = Uᶜ\nf : A\nhfs : f ∈ s\nhfp : f ∉ ↑p.asHomogeneousIdeal\n⊢ ∃ v ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r), p ∈ v ∧ v ⊆ U"} {"_id": "202110", "text": "case h_nhds.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\np : ProjectiveSpectrum 𝒜\nU : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\ns : Set A\nhs : zeroLocus 𝒜 s = Uᶜ\nf : A\nhfs : f ∈ s\nhfp : f ∉ ↑p.asHomogeneousIdeal\n⊢ ↑(basicOpen 𝒜 f) ⊆ U"} {"_id": "202111", "text": "case h_nhds.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\np : ProjectiveSpectrum 𝒜\nU : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\ns : Set A\nhs : zeroLocus 𝒜 s = Uᶜ\nf : A\nhfs : f ∈ s\nhfp : f ∉ ↑p.asHomogeneousIdeal\n⊢ zeroLocus 𝒜 s ⊆ zeroLocus 𝒜 {f}"} {"_id": "202112", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\n⊢ IsAffineOpen (X.basicOpen f)"} {"_id": "202113", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\n⊢ IsAffineOpen (PrimeSpectrum.basicOpen f)"} {"_id": "202114", "text": "case h.e'_2.h\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\ne_1✝ : Spec Γ(X, U) = Spec (CommRingCat.of ↑Γ(X, U))\n⊢ PrimeSpectrum.basicOpen f =\n Scheme.Hom.opensRange (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑Γ(X, U)) (Localization.Away f))))"} {"_id": "202116", "text": "case intro\nR : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nk : Type u_5\nK : Type u_6\nS : Type u_7\nM : Type u_8\nM₁ : Type u_9\nM₂ : Type u_10\nM₃ : Type u_11\nN₁ : Type u_12\nN₂ : Type u_13\nN₃ : Type u_14\nN₄ : Type u_15\nι : Type u_16\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nm : Type u_17\nn : Type u_18\np : Type u_19\nf : m → n\nhf : Surjective f\ng : n → m\nhg : Function.RightInverse g f\n⊢ Injective ⇑(funLeft R M f)"} {"_id": "202118", "text": "case intro\nR : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nk : Type u_5\nK : Type u_6\nS : Type u_7\nM : Type u_8\nM₁ : Type u_9\nM₂ : Type u_10\nM₃ : Type u_11\nN₁ : Type u_12\nN₂ : Type u_13\nN₃ : Type u_14\nN₄ : Type u_15\nι : Type u_16\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nm : Type u_17\nn : Type u_18\np : Type u_19\nf : m → n\nhf : Surjective f\ng : n → m\nhg : Function.RightInverse g f\nx : n → M\n⊢ (funLeft R M g) ((funLeft R M f) x) = x"} {"_id": "202120", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\nP : Fin 3 → R\n⊢ (eval P) W.polynomialX = W.a₁ * P 1 * P 2 - (3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2)"} {"_id": "202123", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nK L M : CochainComplex C ℤ\nn : ℤ\nγ γ₁ γ₂ : Cochain K L n\na p q : ℤ\nhpq : p + n = q\n⊢ (γ.shift a).v p q hpq = γ.v (p + a) (q + a) ⋯"} {"_id": "202125", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α\ninst✝¹ : Sub α\ninst✝ : OrderedSub α\na b c d : α\n⊢ a + (b - a) = b ↔ a ≤ b"} {"_id": "202126", "text": "R✝ : Type u\ninst✝¹¹ : CommRing R✝\nW✝ : Affine R✝\nR : Type r\ninst✝¹⁰ : CommRing R\nW : Affine R\nS : Type s\ninst✝⁹ : CommRing S\ninst✝⁸ : Algebra R S\nA : Type u\ninst✝⁷ : CommRing A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : Algebra S A\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S A\nB : Type v\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : Algebra S B\ninst✝ : IsScalarTower R S B\nf : A →ₐ[S] B\nx₁ x₂ y₁ L : A\n⊢ (baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addY x₁ x₂ y₁ L)"} {"_id": "202129", "text": "case h.h.h.h\nα : Type u_1\nn m : Nat\nl : List α\n⊢ dropSlice n m l = dropSliceTR n m l"} {"_id": "202131", "text": "case h.h.h.h.h_1\nα : Type u_1\nn : Nat\nl : List α\nm✝ : Nat\n⊢ dropSlice n 0 l = l\n\ncase h.h.h.h.h_2\nα : Type u_1\nn : Nat\nl : List α\nm✝¹ m✝ : Nat\n⊢ dropSlice n m✝.succ l = dropSliceTR.go l m✝ l n #[]"} {"_id": "202133", "text": "case h.h.h.h.h_2\nα : Type u_1\nn : Nat\nl : List α\nm✝ m : Nat\n⊢ dropSlice n m.succ l = dropSliceTR.go l m l n #[]"} {"_id": "202134", "text": "case h.h.h.h.h_1\nα : Type u_1\nn : Nat\nl : List α\nm✝ : Nat\n⊢ dropSlice n 0 l = l"} {"_id": "202135", "text": "α : Type u_1\nn : Nat\nl : List α\nm✝ m : Nat\nacc : Array α\nhead✝ : α\nxs : List α\nh : l = acc.data ++ head✝ :: xs\n⊢ dropSliceTR.go l m (head✝ :: xs) 0 acc = acc.data ++ dropSlice 0 (m + 1) (head✝ :: xs)"} {"_id": "202136", "text": "α : Type u_1\nn✝ : Nat\nl : List α\nm✝ m : Nat\nacc : Array α\nx : α\nxs : List α\nn : Nat\n⊢ l = acc.data ++ x :: xs → dropSliceTR.go l m (x :: xs) (n + 1) acc = acc.data ++ dropSlice (n + 1) (m + 1) (x :: xs)"} {"_id": "202143", "text": "case nil\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\n⊢ Reaches₁ (TM2.step tr)\n { l := some (head stack q), var := s, stk := elim (trList L₁) [] [] (trList [] ++ Γ'.consₗ :: L₃) }\n { l := some q, var := none, stk := elim (trList ([].headI :: L₁)) [] [] L₃ }"} {"_id": "202144", "text": "case nil\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\n⊢ TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a)\n (TM2.stepAux\n (tr\n ((fun x =>\n Λ'.read fun s =>\n (if s = some Γ'.consₗ then id else Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) stack) (unrev q))\n (some Γ'.consₗ)))\n (some Γ'.consₗ)\n (update\n (update (update (elim (trList L₁) [] [] (trList [] ++ Γ'.consₗ :: L₃)) stack L₃) rev\n ([].reverseAux (elim (trList L₁) [] [] (trList [] ++ Γ'.consₗ :: L₃) rev)))\n rev\n ((fun s => ((fun x => some Γ'.cons) s).iget) (some Γ'.consₗ) ::\n update (update (elim (trList L₁) [] [] (trList [] ++ Γ'.consₗ :: L₃)) stack L₃) rev\n ([].reverseAux (elim (trList L₁) [] [] (trList [] ++ Γ'.consₗ :: L₃) rev)) rev)))\n { l := some q, var := none, stk := elim (trList ([].headI :: L₁)) [] [] L₃ }"} {"_id": "202145", "text": "case nil\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n { l := some (unrev q), var := some Γ'.consₗ, stk := elim (trList L₁) [(some Γ'.cons).iget] [] L₃ }\n { l := some q, var := none, stk := elim (Γ'.cons :: trList L₁) [] [] L₃ }"} {"_id": "202149", "text": "case cons\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\na : ℕ\nL₂ : List ℕ\n⊢ Reaches₁ (TM2.step tr)\n { l := some (head stack q), var := s, stk := elim (trList L₁) [] [] (trList (a :: L₂) ++ Γ'.consₗ :: L₃) }\n { l := some q, var := none, stk := elim (trList ((a :: L₂).headI :: L₁)) [] [] L₃ }"} {"_id": "202150", "text": "case cons\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\na : ℕ\nL₂ : List ℕ\n⊢ TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a)\n (TM2.stepAux\n (tr\n ((fun x =>\n Λ'.read fun s =>\n (if s = some Γ'.consₗ then id else Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) stack) (unrev q))\n (some Γ'.cons)))\n (some Γ'.cons)\n (update\n (update\n (update (elim (trList L₁) [] [] (trList (a :: L₂) ++ Γ'.consₗ :: L₃)) stack (trList L₂ ++ Γ'.consₗ :: L₃)) rev\n ((trNat a).reverseAux (elim (trList L₁) [] [] (trList (a :: L₂) ++ Γ'.consₗ :: L₃) rev)))\n rev\n ((fun s => ((fun x => some Γ'.cons) s).iget) (some Γ'.cons) ::\n update\n (update (elim (trList L₁) [] [] (trList (a :: L₂) ++ Γ'.consₗ :: L₃)) stack (trList L₂ ++ Γ'.consₗ :: L₃))\n rev ((trNat a).reverseAux (elim (trList L₁) [] [] (trList (a :: L₂) ++ Γ'.consₗ :: L₃) rev)) rev)))\n { l := some q, var := none, stk := elim (trList ((a :: L₂).headI :: L₁)) [] [] L₃ }"} {"_id": "202151", "text": "case cons\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\na : ℕ\nL₂ : List ℕ\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n {\n l :=\n some ((if some Γ'.cons = some Γ'.consₗ then id else Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) stack) (unrev q)),\n var := some Γ'.cons,\n stk := elim (trList L₁) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat a).reverseAux []) [] (trList L₂ ++ Γ'.consₗ :: L₃) }\n { l := some q, var := none, stk := elim (trNat a ++ Γ'.cons :: trList L₁) [] [] L₃ }"} {"_id": "202152", "text": "case cons\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\na : ℕ\nL₂ : List ℕ\n⊢ TransGen\n (fun a b =>\n (match a with\n | { l := none, var := var, stk := stk } => none\n | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) =\n some b)\n { l := some (unrev q), var := some Γ'.consₗ,\n stk :=\n update (elim (trList L₁) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat a).reverseAux []) [] (trList L₂ ++ Γ'.consₗ :: L₃))\n stack L₃ }\n { l := some q, var := none, stk := elim (trNat a ++ Γ'.cons :: trList L₁) [] [] L₃ }"} {"_id": "202153", "text": "case h.e'_2.h.e'_7\nq : Λ'\ns : Option Γ'\nL₁ : List ℕ\nL₃ : List Γ'\na : ℕ\nL₂ : List ℕ\n⊢ elim (trNat a ++ Γ'.cons :: trList L₁) [] [] L₃ =\n update\n (update\n (update (elim (trList L₁) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat a).reverseAux []) [] (trList L₂ ++ Γ'.consₗ :: L₃))\n stack L₃)\n rev [])\n main\n ((update (elim (trList L₁) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat a).reverseAux []) [] (trList L₂ ++ Γ'.consₗ :: L₃))\n stack L₃ rev).reverseAux\n (update (elim (trList L₁) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat a).reverseAux []) [] (trList L₂ ++ Γ'.consₗ :: L₃))\n stack L₃ main))"} {"_id": "202157", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nx : ↥H\nα : ↥H → K\nhαx : α x = 0\nhx : x ∈ corootSpace α\n⊢ x = 0"} {"_id": "202158", "text": "case inr\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nx : ↥H\nα : ↥H → K\nhαx : α x = 0\nhx : x ∈ corootSpace α\nhα : α ≠ 0\n⊢ x = 0"} {"_id": "202161", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nx : ↥H\nα : ↥H → K\nhαx : α x = 0\nhx : x ∈ corootSpace α\nhα : α ≠ 0\n⊢ x ∈ ⨅ β, Weight.ker"} {"_id": "202162", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝³ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝¹ : IsKilling K L\ninst✝ : CharZero K\nx : ↥H\nα : ↥H → K\nhαx : α x = 0\nhx : x ∈ corootSpace α\nhα : α ≠ 0\nβ : Weight K (↥H) L\n⊢ x ∈ Weight.ker"} {"_id": "202170", "text": "case cons.zero.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\ny x' : α\nxs : List α\nh₀ : (x' :: xs).Nodup\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup → xs.length = ys.length → ∀ (i : ℕ), xs[i]? = some x' → (applyId (xs.zip ys) x' = y ↔ ys[i]? = some y)\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (head✝ :: tail✝).length\n⊢ applyId ((x' :: xs).zip (head✝ :: tail✝)) x' = y ↔ (head✝ :: tail✝)[0]? = some y"} {"_id": "202174", "text": "case cons.succ.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx y x' : α\nxs : List α\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup → xs.length = ys.length → ∀ (i : ℕ), xs[i]? = some x → (applyId (xs.zip ys) x = y ↔ ys[i]? = some y)\nn✝ : ℕ\nh₂ : (x' :: xs)[n✝ + 1]? = some x\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\nh₁✝ : (x' :: xs).length = (head✝ :: tail✝).length\nh₁ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\n⊢ applyId ((x' :: xs).zip (head✝ :: tail✝)) x = y ↔ (head✝ :: tail✝)[n✝ + 1]? = some y"} {"_id": "202175", "text": "case cons.succ.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx y x' : α\nxs : List α\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup → xs.length = ys.length → ∀ (i : ℕ), xs[i]? = some x → (applyId (xs.zip ys) x = y ↔ ys[i]? = some y)\nn✝ : ℕ\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\nh₁✝ : (x' :: xs).length = (head✝ :: tail✝).length\nh₁ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₂ : xs[n✝]? = some x\n⊢ (if x' = x then head✝ else applyId (xs.zip tail✝) x) = y ↔ tail✝[n✝]? = some y"} {"_id": "202176", "text": "case cons.succ.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx y x' : α\nxs : List α\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup → xs.length = ys.length → ∀ (i : ℕ), xs[i]? = some x → (applyId (xs.zip ys) x = y ↔ ys[i]? = some y)\nn✝ : ℕ\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\nh₁✝ : (x' :: xs).length = (head✝ :: tail✝).length\nh₁ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₂ : xs[n✝]? = some x\n⊢ applyId (xs.zip tail✝) x = y ↔ tail✝[n✝]? = some y"} {"_id": "202178", "text": "case cons.succ.cons.cons.hnc.a\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx y x' : α\nxs : List α\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup → xs.length = ys.length → ∀ (i : ℕ), xs[i]? = some x → (applyId (xs.zip ys) x = y ↔ ys[i]? = some y)\nn✝ : ℕ\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\nh₁✝ : (x' :: xs).length = (head✝ :: tail✝).length\nh₁ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₂ : xs[n✝]? = some x\n⊢ x ∈ xs"} {"_id": "202179", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\nh : Function.Surjective ⇑f\nx : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace\n⊢ Function.Surjective ⇑(PresheafedSpace.stalkMap (Spec.map f).val x)"} {"_id": "202180", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\nh : Function.Surjective ⇑f\nx : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace\n⊢ Function.Surjective\n ((⇑(StructureSheaf.stalkIso (↑S) x).inv ∘\n ⇑(Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) x).asIdeal x.asIdeal f ⋯)) ∘\n ⇑(StructureSheaf.stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) x)).hom)"} {"_id": "202181", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\nh : Function.Surjective ⇑f\nx : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace\n⊢ Function.Surjective ⇑(StructureSheaf.stalkIso (↑S) x).inv"} {"_id": "202182", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\nh : Function.Surjective ⇑f\nx : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace\n⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) x).asIdeal x.asIdeal f ⋯)"} {"_id": "202183", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\nh : Function.Surjective ⇑f\nx : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace\n⊢ Function.Surjective ⇑(StructureSheaf.stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) x)).hom"} {"_id": "202184", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\nh : Function.Surjective ⇑f\nx : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace\ng : (Spec.structureSheaf ↑(CommRingCat.of ↑R)).presheaf.stalk ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom f)) x) ⟶\n CommRingCat.of (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom f)) x).asIdeal) :=\n (StructureSheaf.stalkIso (↑(CommRingCat.of ↑R)) ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom f)) x)).hom\n⊢ Function.Surjective ⇑(StructureSheaf.stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) x)).hom"} {"_id": "202186", "text": "α : Type u_1\nc : RBColor\nn : Nat\ncmp : α → α → Ordering\nc' : RBColor\nl : RBNode α\nv' : α\nr : RBNode α\np : Path α\nv : α\nt : RBNode α\nht : t.Balanced c n\ne : zoom (cmp v) t = (node c' l v' r, p)\n⊢ t.toList = p.listL ++ l.toList ++ v' :: (r.toList ++ p.listR) ∧\n (insert cmp t v).toList = p.listL ++ l.toList ++ v :: (r.toList ++ p.listR)"} {"_id": "202187", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : Abelian C\nK : CochainComplex C ℤ\n⊢ (subcategoryAcyclic C).P ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K) ↔ ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n"} {"_id": "202188", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : Abelian C\nK : CochainComplex C ℤ\n⊢ (∀ (n : ℤ), IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K))) ↔\n ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n"} {"_id": "202189", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : Abelian C\nK : CochainComplex C ℤ\nn : ℤ\n⊢ IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔\n HomologicalComplex.ExactAt K n"} {"_id": "202190", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : Abelian C\nK : CochainComplex C ℤ\nn : ℤ\n⊢ IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔\n IsZero (HomologicalComplex.homology K n)"} {"_id": "202193", "text": "case h.h.a\nn : Nat\nf : Fin n → UInt8\n⊢ (ofFn f).data = (ByteArray.ofFnAux f).data"} {"_id": "202196", "text": "case isTrue\nn : Nat\nf : Fin n → UInt8\ni : Nat\nacc : ByteArray\nh✝ : i < n\n⊢ (ByteArray.ofFnAux.go f (i + 1) (acc.push (f ⟨i, h✝⟩))).data = Array.ofFn.go f (i + 1) (acc.data.push (f ⟨i, h✝⟩))\n\ncase isFalse\nn : Nat\nf : Fin n → UInt8\ni : Nat\nacc : ByteArray\nh✝ : ¬i < n\n⊢ acc.data = acc.data"} {"_id": "202198", "text": "R✝ : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R✝\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommRing R✝\np q : MvPolynomial σ R✝\ninst✝ : CommRing S\nf✝ : R✝ →+* S\ng : σ → S\nR : Type u\nc : ℤ →+* S\nf : MvPolynomial R ℤ →+* S\nx : MvPolynomial R ℤ\n⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) x = f x"} {"_id": "202199", "text": "R✝ : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R✝\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommRing R✝\np q : MvPolynomial σ R✝\ninst✝ : CommRing S\nf✝ : R✝ →+* S\ng : σ → S\nR : Type u\nc : ℤ →+* S\nf : MvPolynomial R ℤ →+* S\nx : MvPolynomial R ℤ\nn : ℤ\n⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) (C n) = f (C n)"} {"_id": "202200", "text": "R✝ : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R✝\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommRing R✝\np q : MvPolynomial σ R✝\ninst✝ : CommRing S\nf✝ : R✝ →+* S\ng : σ → S\nR : Type u\nc : ℤ →+* S\nf : MvPolynomial R ℤ →+* S\nx : MvPolynomial R ℤ\nn : ℤ\n⊢ c n = ↑n"} {"_id": "202201", "text": "R✝ : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R✝\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommRing R✝\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R✝\ninst✝ : CommRing S\nf✝ : R✝ →+* S\ng : σ → S\nR : Type u\nc : ℤ →+* S\nf : MvPolynomial R ℤ →+* S\nx p q : MvPolynomial R ℤ\nhp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p\nhq : eval₂ c (⇑f ∘ X) q = f q\n⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) (p + q) = f (p + q)"} {"_id": "202202", "text": "R✝ : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R✝\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommRing R✝\np✝ q✝ : MvPolynomial σ R✝\ninst✝ : CommRing S\nf✝ : R✝ →+* S\ng : σ → S\nR : Type u\nc : ℤ →+* S\nf : MvPolynomial R ℤ →+* S\nx p q : MvPolynomial R ℤ\nhp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p\nhq : eval₂ c (⇑f ∘ X) q = f q\n⊢ f p + f q = f (p + q)"} {"_id": "202203", "text": "R✝ : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R✝\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommRing R✝\np✝ q : MvPolynomial σ R✝\ninst✝ : CommRing S\nf✝ : R✝ →+* S\ng : σ → S\nR : Type u\nc : ℤ →+* S\nf : MvPolynomial R ℤ →+* S\nx p : MvPolynomial R ℤ\nn : R\nhp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p\n⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) (p * X n) = f (p * X n)"} {"_id": "202204", "text": "R✝ : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R✝\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommRing R✝\np✝ q : MvPolynomial σ R✝\ninst✝ : CommRing S\nf✝ : R✝ →+* S\ng : σ → S\nR : Type u\nc : ℤ →+* S\nf : MvPolynomial R ℤ →+* S\nx p : MvPolynomial R ℤ\nn : R\nhp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p\n⊢ f p * (⇑f ∘ X) n = f (p * X n)"} {"_id": "202206", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\nS : StarSubalgebra R A\n⊢ adjoin R s ≤ S ↔ s ≤ ↑S"} {"_id": "202207", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\nS : StarSubalgebra R A\n⊢ s ∪ star s ⊆ ↑S ↔ s ≤ ↑S"} {"_id": "202208", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝¹ : S.HasHomology\nh : S.RightHomologyData\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ h.homologyIso.hom ≫ h.ι = S.homologyι ≫ h.opcyclesIso.hom"} {"_id": "202209", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝¹ : S.HasHomology\nh : S.RightHomologyData\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ (S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).hom ≫ h.ι =\n (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ h.opcyclesIso.hom"} {"_id": "202211", "text": "case intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nk : ℤ\nh : k + k ≠ 0\n⊢ 0 < a ^ (k + k) ↔ a ≠ 0"} {"_id": "202212", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nk : ℤ\nh : k + k ≠ 0\n⊢ a ≠ 0 ∨ k + k ≠ 0 ∨ k = 0 ∧ k = 0"} {"_id": "202214", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → R\n⊢ (eval P) W'.polynomialX = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)"} {"_id": "202216", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α\ninst✝¹ : Sub α\ninst✝ : OrderedSub α\na b c d : α\n⊢ a - b + min a b = a"} {"_id": "202217", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α\ninst✝¹ : Sub α\ninst✝ : OrderedSub α\na b c d : α\n⊢ min a b ≤ a"} {"_id": "202218", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nA : Type u₃\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\nf : L →ₗ⁅R⁆ A\nx : L\n⊢ ((lift R) f) ((mkAlgHom R L) (ιₜ x)) = f x"} {"_id": "202219", "text": "R : Type u_1\nc₁ c₂ : R\n⊢ #ℍ[R,c₁,c₂] = #R ^ 4"} {"_id": "202220", "text": "R : Type u_1\nc₁ c₂ : R\n⊢ #(R × R × R × R) = #R ^ 4"} {"_id": "202224", "text": "case h\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} V\ninst✝³ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh k : D ⟶ E\ni : ι\nW : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_2} W\ninst✝¹ : Preadditive W\nG : V ⥤ W\ninst✝ : G.Additive\nhom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)\nn : ι\n⊢ ((G.mapHomologicalComplex c).map (nullHomotopicMap' hom)).f n =\n (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hom i j hij)).f n"} {"_id": "202230", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2\nhy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3\n⊢ W.add P Q = addU P Q • ![1, 1, 0]"} {"_id": "202231", "text": "n : ℕ\nf : Vector ℕ (n + 1) → ℕ\nhf : Partrec' ↑f\nv : Vector ℕ n\nb : ℕ\n⊢ (b ∈ (Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 - f (n_1 ::ᵥ v) = 0))).bind fun a => ↑pred (f (a ::ᵥ v))) ↔\n b ∈ Nat.rfindOpt fun a => ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v))"} {"_id": "202232", "text": "n : ℕ\nf : Vector ℕ (n + 1) → ℕ\nhf : Partrec' ↑f\nv : Vector ℕ n\nb : ℕ\n⊢ (∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 ≤ f (n_1 ::ᵥ v))), b = (f (a ::ᵥ v)).pred) ↔\n ∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome),\n ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b"} {"_id": "202235", "text": "case refine_1.e_a.e_p.h\nn✝ : ℕ\nf : Vector ℕ (n✝ + 1) → ℕ\nhf : Partrec' ↑f\nv : Vector ℕ n✝\nb a n : ℕ\n⊢ Part.some (decide (1 ≤ f (n ::ᵥ v))) = ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n ::ᵥ v))).isSome)"} {"_id": "202236", "text": "case refine_2\nn : ℕ\nf : Vector ℕ (n + 1) → ℕ\nhf : Partrec' ↑f\nv : Vector ℕ n\nb a : ℕ\nh : a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome)\n⊢ b = (f (a ::ᵥ v)).pred ↔ ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b"} {"_id": "202237", "text": "case refine_2\nn : ℕ\nf : Vector ℕ (n + 1) → ℕ\nhf : Partrec' ↑f\nv : Vector ℕ n\nb a : ℕ\nh : a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome)\nthis : true ∈ ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v))).isSome)\n⊢ b = (f (a ::ᵥ v)).pred ↔ ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b"} {"_id": "202240", "text": "case refine_2.succ\nn : ℕ\nf : Vector ℕ (n + 1) → ℕ\nhf : Partrec' ↑f\nv : Vector ℕ n\nb a : ℕ\nh : a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome)\nc : ℕ\nthis : true = (ofNat (Option ℕ) (c + 1)).isSome\n⊢ b = (c + 1).pred ↔ ofNat (Option ℕ) (c + 1) = some b"} {"_id": "202243", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring A\ninst✝ : Algebra R A\nM N : Submodule R A\nm n : A\nI J K : Submodule R A\n⊢ I ≤ J / K ↔ I * K ≤ J"} {"_id": "202244", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝³ inst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na : α\n⊢ mabs a * a = a⁺ᵐ ^ 2"} {"_id": "202245", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nm : ℕ\nn : Fin m → ℕ\ninst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)\ni : Fin m\nj : Fin (n i)\n⊢ ↑(finPiFinEquiv (Pi.single i j)) = ↑j * ∏ j : Fin ↑i, n (Fin.castLE ⋯ j)"} {"_id": "202247", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nm : ℕ\nn : Fin m → ℕ\ninst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)\ni : Fin m\nj : Fin (n i)\nx : Fin m\nhx : x ≠ i\n⊢ ↑(Pi.single i j x) * ∏ j : Fin ↑x, n (Fin.castLE ⋯ j) = 0"} {"_id": "202248", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na✝ a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nm : σ →₀ ℕ\na : R\np : MvPolynomial σ R\n⊢ coeff m (C a * p) = a * coeff m p"} {"_id": "202250", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na✝ a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nm : σ →₀ ℕ\na : R\np : MvPolynomial σ R\n⊢ coeff m (sum p fun n b => (monomial (0 + n)) (a * b)) = a * coeff m p"} {"_id": "202251", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝³ inst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na : α\n⊢ a / mabs a = (a⁻ᵐ ^ 2)⁻¹"} {"_id": "202253", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nh : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)\n⊢ LieModule.IsNilpotent R L M"} {"_id": "202254", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nh : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥(toEnd R L M).range) M"} {"_id": "202255", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nh : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥(toEnd R L M).range) M"} {"_id": "202256", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥(toEnd R L M).range) M"} {"_id": "202257", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥L') M"} {"_id": "202258", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\ns : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥L') M"} {"_id": "202259", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\ns : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}\nhs : s.Nonempty\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥L') M"} {"_id": "202260", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\ns : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}\nhs : s.Nonempty\n⊢ ⊤ ∈ s"} {"_id": "202261", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\ns : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}\nhs : s.Nonempty\nthis : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'\n⊢ ⊤ ∈ s"} {"_id": "202262", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\ns : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}\nhs : s.Nonempty\nthis : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'\n_i5 : IsNoetherian R ↥L'\n⊢ ⊤ ∈ s"} {"_id": "202267", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\ns : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}\nhs : s.Nonempty\nthis : ⊤ ∈ s\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥L') M"} {"_id": "202269", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y\ns : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}\nhs : s.Nonempty\nthis : ⊤ ∈ s\n⊢ ∀ (x : ↥⊤), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥⊤) M) x)"} {"_id": "202270", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieRing L₂\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L₂\ninst✝⁴ : AddCommGroup M✝\ninst✝³ : Module R M✝\ninst✝² : LieRingModule L M✝\ninst✝¹ : LieModule R L M✝\ninst✝ : IsNoetherian R L\nM : Type u_1\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule L M\n_i4 : LieModule R L M\nL' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range\nh : ∀ (y : ↥L'), 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"202308", "text": "c : Char\ncs : List Char\nb e : Pos\n⊢ (if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then \"\" else { data := extract.go₁ (c :: cs) 0 (b + c) (e + c) }) =\n if e.byteIdx ≤ b.byteIdx then \"\" else { data := extract.go₁ cs 0 b e }"} {"_id": "202309", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\n⊢ (map φ P).toPoly = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)"} {"_id": "202310", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\n⊢ C (φ P.a) * (Multiset.map (fun a => X - C a) {x, y, z}).prod = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)"} {"_id": "202311", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\nh3 : (map φ P).roots = {x, y, z}\n⊢ C (φ P.a) * ((X - C x) ::ₘ (X - C y) ::ₘ {X - C z}).prod = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)"} {"_id": "202312", "text": "C : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j k : ι\ninst✝² : K.HasHomology i\ninst✝¹ : L.HasHomology i\ninst✝ : M.HasHomology i\n⊢ cyclesMap (φ ≫ ψ) i = cyclesMap φ i ≫ cyclesMap ψ i"} {"_id": "202313", "text": "C : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j k : ι\ninst✝² : K.HasHomology i\ninst✝¹ : L.HasHomology i\ninst✝ : M.HasHomology i\n⊢ ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) =\n ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫\n ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)"} {"_id": "202315", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : StrictOrderedSemiring R\na x y : R\nn✝ m : ℕ\nh : x < y\nhx : 0 ≤ x\nn : ℕ\nx✝ : n + 1 ≠ 0\n⊢ x ^ (n + 1) < y ^ (n + 1)"} {"_id": "202316", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\n⊢ forIn as b f = forIn as.data b f"} {"_id": "202317", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\n⊢ forIn.loop as f as.size ⋯ b = forIn as.data b f"} {"_id": "202319", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\nx✝¹ : 0 ≤ as.size\nx✝ : β\n⊢ forIn.loop as f 0 x✝¹ x✝ = forIn (List.drop as.data.length as.data) x✝ f"} {"_id": "202321", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\n⊢ forIn.loop as f (i + 1) x✝¹ x✝ = forIn (List.drop j as.data) x✝ f"} {"_id": "202322", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\n⊢ (do\n let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝\n match __do_lift with\n | ForInStep.done b => pure b\n | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) =\n forIn (List.drop j as.data) x✝ f"} {"_id": "202323", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\nj_eq : j = as.size - 1 - i\n⊢ (do\n let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝\n match __do_lift with\n | ForInStep.done b => pure b\n | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) =\n forIn (List.drop j as.data) x✝ f"} {"_id": "202324", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\nj_eq : j = as.size - 1 - i\nthis : as.size - 1 - i < as.size\n⊢ (do\n let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝\n match __do_lift with\n | ForInStep.done b => pure b\n | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) =\n forIn (List.drop j as.data) x✝ f"} {"_id": "202325", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\nj_eq : j = as.size - 1 - i\nthis✝ : as.size - 1 - i < as.size\nthis : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data\n⊢ (do\n let __do_lift ← f as[as.size - 1 - i] x✝\n match __do_lift with\n | ForInStep.done b => pure b\n | ForInStep.yield b => forIn.loop as f i ⋯ b) =\n forIn (List.drop j as.data) x✝ f"} {"_id": "202331", "text": "case e_a.h.e_h_2.h\nm : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb✝ : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\nj_eq : j = as.size - 1 - i\nthis✝ : as.size - 1 - i < as.size\nthis : as[as.size - 1 - i] :: List.drop (j + 1) as.data = List.drop j as.data\nx : ForInStep β\nb : β\n⊢ j + 1 + i = as.size"} {"_id": "202333", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\n⊢ j = as.size - 1 - i"} {"_id": "202335", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nas : Array α\nb : β\nf : α → β → m (ForInStep β)\ni : Nat\nx✝¹ : i + 1 ≤ as.size\nx✝ : β\nj : Nat\nij : j + (i + 1) = as.size\nj_eq : j = as.size - 1 - i\nthis : as.size - 1 - i < as.size\n⊢ as[as.size - 1 - i] :: List.drop (as.size - 1 - i + 1) as.data = List.drop (as.size - 1 - i) as.data"} {"_id": "202336", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Projective R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Projective F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Nonsingular P\nhQ : W.Nonsingular Q\nhPz : P 2 = 0\nhQz : Q 2 = 0\n⊢ P ≈ Q"} {"_id": "202337", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Projective R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Projective F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]\nhQ : W.Nonsingular Q\nhPz : P 2 = 0\nhQz : Q 2 = 0\n⊢ ![P 0, P 1, 0] ≈ Q"} {"_id": "202338", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Projective R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Projective F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]\nhQ : W.Nonsingular ![Q 0, Q 1, 0]\nhPz : P 2 = 0\nhQz : Q 2 = 0\n⊢ ![P 0, P 1, 0] ≈ ![Q 0, Q 1, 0]"} {"_id": "202339", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Projective R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Projective F\nP Q : Fin 3 → F\nhPz : P 2 = 0\nhQz : Q 2 = 0\nhP : 0 = P 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬P 0 = 0 ∨ ¬P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 = W.a₂ * P 0 ^ 2)\nhQ : 0 = Q 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬Q 0 = 0 ∨ ¬Q 1 ^ 2 + W.a₁ * Q 0 * Q 1 = W.a₂ * Q 0 ^ 2)\n⊢ ![P 0, P 1, 0] ≈ ![Q 0, Q 1, 0]"} {"_id": "202340", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Projective R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Projective F\nP Q : Fin 3 → F\nhPz : P 2 = 0\nhQz : Q 2 = 0\nhP : ¬P 1 = 0\nhQ : ¬Q 1 = 0\n⊢ ![0, P 1, 0] ≈ ![0, Q 1, 0]"} {"_id": "202341", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Projective R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Projective F\nP Q : Fin 3 → F\nhPz : P 2 = 0\nhQz : Q 2 = 0\nhP : ¬P 1 = 0\nhQ : ¬Q 1 = 0\n⊢ (fun m => m • ![0, Q 1, 0]) (Units.mk0 (P 1 / Q 1) ⋯) = ![0, P 1, 0]"} {"_id": "202345", "text": "c₁ c₂ : Code\nn₁ n₂ : ℕ\nh₁ : c₁ = c₂\nh₃ : Code.const n₁ = Code.const n₂\nh₄ : Code.id = Code.id\n⊢ n₁ = n₂"} {"_id": "202346", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\na : A\ni : ℕ\n⊢ f ^ i ∈ 𝒜 (m * i)"} {"_id": "202347", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\na : A\ni : ℕ\n⊢ f ^ i ∈ 𝒜 (i * m)"} {"_id": "202348", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\na : A\ni : ℕ\n⊢ Subtype.val ⁻¹' ↑(pbo ↑(((decompose 𝒜) a) i)) =\n ⇑(toSpec 𝒜 f) ⁻¹'\n (sbo\n HomogeneousLocalization.mk\n { deg := m * i, num := ⟨↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).carrier"} {"_id": "202349", "text": "α : Type u\ninst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α\na b c d : α\n⊢ 1 < a * b ↔ 1 < a ∨ 1 < b"} {"_id": "202354", "text": "case neg.coe.coe\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b : WithTop α\na✝¹ : α\nha : ¬↑a✝¹ = 0\na✝ : α\nhb : ¬↑a✝ = 0\n⊢ untop' 0 (↑a✝¹ * ↑a✝) = untop' 0 ↑a✝¹ * untop' 0 ↑a✝"} {"_id": "202355", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na✝ b✝ a b : WithTop α\nha : a = 0\n⊢ untop' 0 (a * b) = untop' 0 a * untop' 0 b"} {"_id": "202356", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na✝ b✝ a b : WithTop α\nha : ¬a = 0\nhb : b = 0\n⊢ untop' 0 (a * b) = untop' 0 a * untop' 0 b"} {"_id": "202357", "text": "case neg.top\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b✝ b : WithTop α\nhb : ¬b = 0\nha : ¬⊤ = 0\n⊢ untop' 0 (⊤ * b) = untop' 0 ⊤ * untop' 0 b"} {"_id": "202358", "text": "case neg.coe.top\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b : WithTop α\na✝ : α\nha : ¬↑a✝ = 0\nhb : ¬⊤ = 0\n⊢ untop' 0 (↑a✝ * ⊤) = untop' 0 ↑a✝ * untop' 0 ⊤"} {"_id": "202359", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\ninst✝ : S.HasLeftHomology\nA : C\nf₁ f₂ : A ⟶ S.cycles\nh : f₁ ≫ S.iCycles = f₂ ≫ S.iCycles\n⊢ f₁ = f₂"} {"_id": "202360", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\nP : Type u_7\nG : Type u_8\ninst✝² : One M\ninst✝¹ : One N\ninst✝ : One P\nf : α → M\ns : Set α\n⊢ Disjoint s (mulSupport f) ↔ EqOn f 1 s"} {"_id": "202362", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable δ\ninst✝ : Primcodable σ\nm n : ℕ\n⊢ (m, n).1 - (m, n).2 * (fun x x_1 => x / x_1) (m, n).1 (m, n).2 = m % n"} {"_id": "202363", "text": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable δ\ninst✝ : Primcodable σ\nm n : ℕ\n⊢ (m, n).1 = m % n + (m, n).2 * (fun x x_1 => x / x_1) (m, n).1 (m, n).2"} {"_id": "202364", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\n⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c ↔ ∃ n, c - b = n • p"} {"_id": "202365", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c\n⊢ c - b = (toIcoDiv hp a c - toIcoDiv hp a b) • p"} {"_id": "202366", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c\n⊢ toIcoMod hp a c + toIcoDiv hp a c • p - (toIcoMod hp a b + toIcoDiv hp a b • p) =\n (toIcoDiv hp a c - toIcoDiv hp a b) • p"} {"_id": "202370", "text": "case refine_2.intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn z : ℤ\nhz : c = z • p + b\n⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c"} {"_id": "202371", "text": "α : Type u_1\ninst✝³ : CompleteLattice α\ninst✝² : Group α\ninst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : Set α\n⊢ sSup (s / t) = sSup s / sInf t"} {"_id": "202373", "text": "K : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nha : a ≠ 0\nh : ∀ (x : K), 0 < a * x * x + b * x + c\n⊢ discrim a b c < 0"} {"_id": "202374", "text": "K : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nha : a ≠ 0\nh : ∀ (x : K), 0 < a * x * x + b * x + c\nthis : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\n⊢ discrim a b c < 0"} {"_id": "202376", "text": "K : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nha : a ≠ 0\nh : ∀ (x : K), 0 < a * x * x + b * x + c\nthis✝ : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\nh' : discrim a b c = 0\nthis : 0 < a * (-b / (2 * a)) * (-b / (2 * a)) + b * (-b / (2 * a)) + c\n⊢ False"} {"_id": "202378", "text": "K : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nha : a ≠ 0\nh : ∀ (x : K), 0 < a * x * x + b * x + c\nthis✝ : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\nh' : discrim a b c = 0\nthis : 0 < a * (-b / (2 * a)) * (-b / (2 * a)) + b * (-b / (2 * a)) + c\n⊢ a * (-b / (2 * a)) * (-b / (2 * a)) + b * (-b / (2 * a)) + c = 0"} {"_id": "202380", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring α\nE : LinearRecurrence α\ninit : Fin E.order → α\nn : Fin E.order\n⊢ E.mkSol init ↑n = init n"} {"_id": "202381", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : CommSemiring α\nE : LinearRecurrence α\ninit : Fin E.order → α\nn : Fin E.order\n⊢ (if h : ↑n < E.order then init ⟨↑n, h⟩\n else\n ∑ k : Fin E.order,\n let_fun x := ⋯;\n E.coeffs k * E.mkSol init (↑n - E.order + ↑k)) =\n init n"} {"_id": "202382", "text": "R : Type u\ninst✝³ : NonUnitalSemiring R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : StarRing R\ninst✝ : StarOrderedRing R\na : R\nha : 0 < a\nc : R\nhc : IsRegular c\n⊢ 0 < c * a * star c"} {"_id": "202383", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nG : Type u_6\nk : Type u_7\nR : Type u_8\ninst✝¹ : Fintype ι\ninst✝ : OrderedCancelCommMonoid M\nf : ι → M\nhf : f ≤ 1\n⊢ ∏ i : ι, f i < 1 ↔ f < 1"} {"_id": "202384", "text": "R : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf✝ : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\nf : M →ₗ[R] N\nhf : Function.Injective ⇑f\ng : M →ₗ[R] Q\nthis : Fact (Function.Injective ⇑f)\nx y : N\n⊢ (fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩) (x + y) =\n (fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩) x + (fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩) y"} {"_id": "202386", "text": "R : Type u\ninst✝⁷ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁶ : AddCommGroup Q\ninst✝⁵ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf✝ : M →ₗ[R] Q\ninst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)\nh : Baer R Q\nf : M →ₗ[R] N\nhf : Function.Injective ⇑f\ng : M →ₗ[R] Q\nthis : Fact (Function.Injective ⇑f)\nr : R\nx : N\n⊢ { toFun := fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) =\n (RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ↑(extensionOfMax f g).toLinearPMap ⟨x, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x"} {"_id": "202388", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nN : LieSubmodule R L M\nx : L\ny : ↥N\nn : ℕ\n⊢ ↑(((toEnd R L ↥↑N) x ^ n) y) = ((toEnd R L M) x ^ n) ↑y"} {"_id": "202390", "text": "case succ\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nN : LieSubmodule R L M\nx : L\nn : ℕ\nih : ∀ (y : ↥N), ↑(((toEnd R L ↥↑N) x ^ n) y) = ((toEnd R L M) x ^ n) ↑y\ny : ↥N\n⊢ ↑(((toEnd R L ↥↑N) x ^ (n + 1)) y) = ((toEnd R L M) x ^ (n + 1)) ↑y"} {"_id": "202392", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Group α\ninst✝ : LinearOrder α\na b : α\nh : mabs a = mabs b\n⊢ a = b ∨ a = b⁻¹"} {"_id": "202395", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nh₁ : S.LeftHomologyData\nh₂ : S.RightHomologyData\n⊢ h₁.f' ≫ h₂.liftH (h₁.i ≫ h₂.p) ⋯ = 0"} {"_id": "202396", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nh₁ : S.LeftHomologyData\nh₂ : S.RightHomologyData\n⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.descH (h₂.liftH (h₁.i ≫ h₂.p) ⋯) ⋯"} {"_id": "202397", "text": "self : UnionFind\ni : Nat\n⊢ rankD self.arr i < self.rankMax"} {"_id": "202398", "text": "self : UnionFind\ni : Nat\n⊢ (if h : i < self.arr.size then self.arr[i].rank else 0) < self.rankMax"} {"_id": "202399", "text": "F : Type u_1\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝¹⁰ : CommSemiring R\ninst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁸ : Module R A\ninst✝⁷ : IsScalarTower R A A\ninst✝⁶ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝⁴ : Module R B\ninst✝³ : IsScalarTower R B B\ninst✝² : SMulCommClass R B B\ninst✝¹ : FunLike F A B\ninst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\nι : Sort u_2\nS : ι → NonUnitalSubalgebra R A\nx : A\n⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i"} {"_id": "202401", "text": "case pos\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Affine R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nhx₁ : W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₁\n⊢ W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))"} {"_id": "202406", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Affine R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nhx₁ : ¬W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₁\nhx₂ : W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₂\nhx : ¬x₁ = x₂\n⊢ W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))"} {"_id": "202407", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Affine R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nhx₁ : ¬W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₁\nhx₂ : ¬W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₂\n⊢ W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))"} {"_id": "202408", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Affine R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nhx₁ : ¬W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₁\nhx₂ : ¬W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₂\n⊢ eval (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) ≠ 0"} {"_id": "202410", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW✝ : Affine R\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ x₂ y₁ y₂ : F\nh₁ : W.Nonsingular x₁ y₁\nh₂ : W.Nonsingular x₂ y₂\nhxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\nhx₁ : ¬W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₁\nhx₂ : ¬W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = x₂\n⊢ -((W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₁) * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₂) +\n (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₁) *\n (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) +\n (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₂) *\n (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) ≠\n 0"} {"_id": "202411", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ns : Finset S\nf : S → Tropical (WithTop R)\n⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = ⨅ i, untrop (f ↑i)"} {"_id": "202412", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nhP : W'.Equation P\nhPz : P z = 0\n⊢ W'.addY P Q = (P x * Q z) ^ 3 * Q y"} {"_id": "202415", "text": "case h\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : Abelian C\nK L : HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)\nf : K ⟶ L\n⊢ quasiIso C (ComplexShape.up ℤ) f ↔ (subcategoryAcyclic C).W f"} {"_id": "202416", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\n⊢ W.polynomialX = C W.a₁ * X 1 * X 2 - (C 3 * X 0 ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X 0 * X 2 + C W.a₄ * X 2 ^ 2)"} {"_id": "202420", "text": "case h\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nK L M : CochainComplex C ℤ\nn : ℤ\nγ γ₁ γ₂ : Cochain K L n\na n' : ℤ\nhn' : n + a = n'\np q : ℤ\nhpq : p + n = q\n⊢ ((γ.leftShift a n' hn').leftUnshift n hn').v p q hpq = γ.v p q hpq"} {"_id": "202422", "text": "α : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\nR : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : AddMonoid A\ns✝ t u : Set M\ninst✝ : Group G\ns : Set G\n⊢ closure s⁻¹ = (closure s)⁻¹"} {"_id": "202423", "text": "case a\nα : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\nR : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : AddMonoid A\ns✝ t u : Set M\ninst✝ : Group G\ns : Set G\n⊢ closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹"} {"_id": "202424", "text": "case a\nα : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\nR : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : AddMonoid A\ns✝ t u : Set M\ninst✝ : Group G\ns : Set G\n⊢ s ⊆ ↑(closure s)"} {"_id": "202425", "text": "case a\nα : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\nR : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : AddMonoid A\ns✝ t u : Set M\ninst✝ : Group G\ns : Set G\n⊢ (closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹"} {"_id": "202426", "text": "case a\nα : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\nR : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : AddMonoid A\ns✝ t u : Set M\ninst✝ : Group G\ns : Set G\n⊢ s⁻¹ ⊆ ↑(closure s⁻¹)"} {"_id": "202428", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α\ninst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β\ninst✝³ : FloorSemiring α\ninst✝² : FloorSemiring β\ninst✝¹ : FunLike F α β\ninst✝ : RingHomClass F α β\na✝ : α\nb : β\nf : F\nhf : StrictMono ⇑f\na : α\nn : ℕ\n⊢ f a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n"} {"_id": "202429", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\na a₁ a₂ : α\nb b₁ b₂ : β\ninst✝³ : OrderedRing α\ninst✝² : OrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : PosSMulReflectLE α β\nh : a • b₁ ≤ a • b₂\nha : a < 0\n⊢ b₂ ≤ b₁"} {"_id": "202431", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\ni j : ι\ninst✝³ : K.HasHomology i\ninst✝² : K.HasHomology j\ninst✝¹ : L.HasHomology i\ninst✝ : L.HasHomology j\n⊢ K.opcyclesToCycles i j ≫ K.homologyπ j = 0"} {"_id": "202432", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 - ε z) + z ^ (p - 1) / log z ^ 2) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "202433", "text": "case one\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 - ε z)) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)\n\ncase two\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => z ^ (p - 1) / log z ^ 2) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "202434", "text": "case two\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => z ^ (p - 1) / log z ^ 2) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "202435", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => p * z ^ (p - 1) * (1 - ε z)) ~[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "202436", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => z ^ (p - 1) / log z ^ 2) =o[atTop] fun z => p * z ^ (p - 1)"} {"_id": "202437", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\np : ℝ\nhp : p ≠ 0\n⊢ (fun z => z ^ (p - 1) / log z ^ 2) =o[atTop] fun z => z ^ (p - 1) / 1"} {"_id": "202438", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype 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x_1⟩"} {"_id": "202447", "text": "case refine_4\nF : Type u_1\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝¹⁰ : CommSemiring R\ninst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁸ : Module R A\ninst✝⁷ : IsScalarTower R A A\ninst✝⁶ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝⁴ : Module R B\ninst✝³ : IsScalarTower R B B\ninst✝² : SMulCommClass R B B\ninst✝¹ : FunLike F A B\ninst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nzero : p 0\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nsmul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∀ (x y : A),\n (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) →\n (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩"} {"_id": "202448", "text": "case refine_5\nF : Type u_1\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝¹⁰ : CommSemiring R\ninst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁸ : Module R A\ninst✝⁷ : IsScalarTower R A A\ninst✝⁶ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝⁴ : Module R B\ninst✝³ : IsScalarTower R B B\ninst✝² : SMulCommClass R B B\ninst✝¹ : FunLike F A B\ninst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nzero : p 0\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nsmul : ∀ (r : R) (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (r • x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∀ (r : R) (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : r • x ∈ adjoin R s), p ⟨r • x, x_1⟩"} {"_id": "202450", "text": "case H\nA : Type v\ninst✝⁶ : Ring A\nR : Type u\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : Algebra R A\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝³ : Ring B\ninst✝² : Ring C\ninst✝¹ : Algebra R B\ninst✝ : Algebra R C\nf✝ : A →ₐ[R] B\ng✝ : B →ₐ[R] C\nf g : A →ₐ[R] B\nh : f.toLieHom = g.toLieHom\na : A\n⊢ f a = g a"} {"_id": "202451", "text": "R✝ : Type u_1\nA✝ : Type u_2\ninst✝¹³ : CommSemiring R✝\ninst✝¹² : NonUnitalRing A✝\ninst✝¹¹ : Module R✝ A✝\ninst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝\ninst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝\nR : Type u_3\nS : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : Semifield R\ninst✝⁷ : Field S\ninst✝⁶ : NonUnitalRing A\ninst✝⁵ : Module R A\ninst✝⁴ : Module S A\ninst✝³ : IsScalarTower S A A\ninst✝² : SMulCommClass S A A\ninst✝¹ : Algebra R S\na : A\nf : S → R\ninst✝ : IsScalarTower R S A\nh : QuasispectrumRestricts a f\n⊢ ⇑(algebraMap R S) '' quasispectrum R a = quasispectrum S a"} {"_id": "202452", "text": "case refine_2\nR✝ : Type u_1\nA✝ : Type u_2\ninst✝¹³ : CommSemiring R✝\ninst✝¹² : NonUnitalRing A✝\ninst✝¹¹ : Module R✝ A✝\ninst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝\ninst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝\nR : Type u_3\nS : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : Semifield R\ninst✝⁷ : Field S\ninst✝⁶ : NonUnitalRing A\ninst✝⁵ : Module R A\ninst✝⁴ : Module S A\ninst✝³ : IsScalarTower S A A\ninst✝² : 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(CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorShift₂Iso K₂ F y ≪≫\n (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).mapIso (K₁.mapBifunctorShift₁Iso K₂ F x) ≪≫\n (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).app (K₁.mapBifunctor K₂ F)).hom"} {"_id": "202460", "text": "case w\nC₁ : Type u_1\nC₂ : Type u_2\nD : Type u_3\ninst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁\ninst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂\ninst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D\ninst✝⁵ : Preadditive C₁\ninst✝⁴ : Preadditive C₂\ninst✝³ : Preadditive D\nK₁ : CochainComplex C₁ ℤ\nK₂ : CochainComplex C₂ ℤ\nF : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D\ninst✝² : F.Additive\ninst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive\nx y : ℤ\ninst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F\n⊢ (HomologicalComplex₂.total.map\n (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F\n x).hom\n (ComplexShape.up ℤ) ≫\n ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj\n ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂)).totalShift₁Iso\n x).hom) ≫\n (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) x).map\n (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫\n ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₂Iso\n y).hom) =\n (x * y).negOnePow •\n (HomologicalComplex₂.total.map\n (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F\n y).hom\n (ComplexShape.up ℤ) ≫\n ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj\n ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁)).obj\n K₂).totalShift₂Iso\n y).hom) ≫\n (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).map\n (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫\n ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj\n K₂).totalShift₁Iso\n x).hom) ≫\n (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app (K₁.mapBifunctor K₂ F)"} {"_id": "202463", "text": "case w.e_a.e_φ.h.h\nC₁ : Type u_1\nC₂ : Type u_2\nD : Type u_3\ninst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁\ninst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂\ninst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D\ninst✝⁵ : Preadditive C₁\ninst✝⁴ : Preadditive C₂\ninst✝³ : Preadditive D\nK₁ : CochainComplex C₁ ℤ\nK₂ : CochainComplex C₂ ℤ\nF : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D\ninst✝² : F.Additive\ninst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive\nx y : ℤ\ninst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F\na b : ℤ\n⊢ ((((K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F\n x).hom ≫\n (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ D x).map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom) ≫\n (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁₂CommIso D x y).hom.app\n (((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂)).f\n a).f\n b =\n (((((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F\n y).hom ≫\n (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ D y).map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom).f\n a).f\n b"} {"_id": "202465", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : Group G\n⊢ ∀ (L : List G), L.reverse.prod = (map (fun x => x⁻¹) L).prod⁻¹"} {"_id": "202466", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝¹ : CommMonoid β\nM : Type u_6\ninst✝ : CommGroup M\nf : ℕ → M\nn : ℕ\n⊢ f n = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)"} {"_id": "202467", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝¹ : CommMonoid β\nM : Type u_6\ninst✝ : CommGroup M\nf : ℕ → M\nn : ℕ\n⊢ f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)"} {"_id": "202468", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : Semiring A\ninst✝ : Algebra R A\nS T : Set A\nM N P Q : Submodule R A\nm n : A\n⊢ comap (↑(opLinearEquiv R).symm) 1 = 1"} {"_id": "202469", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\n⊢ ⁅I, N⁆ = ⊥ ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0"} {"_id": "202470", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\n⊢ (∀ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}, m = 0) ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0"} {"_id": "202473", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : CommMonoid β\nf : Fin 5 → β\n⊢ ∏ i : Fin 5, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4"} {"_id": "202475", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedRing α\ninst✝ : FloorRing α\nz : ℤ\na✝ a b : α\n⊢ fract a + fract b ≤ fract (a + b) + 1"} {"_id": "202476", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedRing α\ninst✝ : FloorRing α\nz : ℤ\na✝ a b : α\n⊢ ↑⌊a + b⌋ - 1 ≤ ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋"} {"_id": "202477", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\np : α → Prop\nhp : DecidablePred p\nf g : α → γ\nk : γ → β\nh : ∀ x ∈ s, p x\n⊢ ∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (f x)"} {"_id": "202478", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g✝ : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\np : α → Prop\nhp : DecidablePred p\nf g : α → γ\nk : γ → β\nh : ∀ x ∈ s, p x\n⊢ (∏ x ∈ s, if p x then k (f x) else k (g x)) = ∏ x ∈ s, k (f x)"} {"_id": "202480", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable δ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α → ℕ\nh₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b\ng : α → ℕ\npg : Primrec g\nhg : ∀ (x : α), f x ≤ g x\n⊢ Primrec f"} {"_id": "202481", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable δ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α → ℕ\nh₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b\ng : α → ℕ\npg : Primrec g\nhg : ∀ (x : α), f x ≤ g x\nn : α\n⊢ Nat.findGreatest (fun b => 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((some tl).getD nil).size = s.size - 1"} {"_id": "202490", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : Module.Free R M\ninst✝ : Module.Finite R M\nx y : L\nhx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1\nhy : y ∈ LieAlgebra.center R L\n⊢ ((traceForm R L M) x) y = 0"} {"_id": "202493", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j = 𝟙 (pullback (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k))"} {"_id": "202494", "text": "case h₀\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ (t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.fst = pullback.fst"} {"_id": "202495", "text": "case h₀.h₀\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ ((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst = pullback.fst ≫ pullback.fst"} {"_id": "202496", "text": "case h₀.h₀.h₀\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ (((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst =\n (pullback.fst ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst"} {"_id": "202497", "text": "case h₀.h₀.h₁\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ (((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.snd =\n (pullback.fst ≫ pullback.fst) ≫ pullback.snd"} {"_id": "202498", "text": "case h₀.h₁\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ ((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.snd = pullback.fst ≫ pullback.snd"} {"_id": "202499", "text": "case h₁\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ (t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd = pullback.snd"} {"_id": "202500", "text": "case h₁.h₀\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ ((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd) ≫ pullback.fst = pullback.snd ≫ pullback.fst"} {"_id": "202501", "text": "case h₁.h₀.h₀\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ (((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst =\n (pullback.snd ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst"} {"_id": "202502", "text": "case h₁.h₀.h₁\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ (((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd) ≫ pullback.fst) ≫ pullback.snd =\n (pullback.snd ≫ pullback.fst) ≫ pullback.snd"} {"_id": "202503", "text": "case h₁.h₁\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ ((t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd) ≫ pullback.snd = pullback.snd ≫ pullback.snd"} {"_id": "202504", "text": "a b : Nat\nself : UnionFind\nx y : Fin self.size\n⊢ (self.union x y).Equiv a b ↔\n self.Equiv a b ∨ self.Equiv a ↑x ∧ self.Equiv (↑y) b ∨ self.Equiv a ↑y ∧ self.Equiv (↑x) b"} {"_id": "202505", "text": "a b : Nat\nself : UnionFind\nx y : Fin self.size\n⊢ (((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).fst.link ⟨self.rootD ↑x, ⋯⟩ ((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).2.val ⋯).Equiv a b ↔\n self.Equiv a b ∨ self.Equiv a ↑x ∧ self.Equiv (↑y) b ∨ self.Equiv a ↑y ∧ self.Equiv (↑x) b"} {"_id": "202506", "text": "a b : Nat\nself : UnionFind\nx y : Fin self.size\n⊢ ((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).fst.Equiv a b ∨\n ((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).fst.Equiv a ↑⟨self.rootD ↑x, ⋯⟩ ∧\n ((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).fst.Equiv (↑((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).2.val) b ∨\n ((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).fst.Equiv a ↑((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).2.val ∧\n ((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).fst.Equiv (↑⟨self.rootD ↑x, ⋯⟩) b ↔\n self.Equiv a b ∨ self.Equiv a ↑x ∧ self.Equiv (↑y) b ∨ self.Equiv a ↑y ∧ self.Equiv (↑x) b"} {"_id": "202507", "text": "a b : Nat\nself : UnionFind\nx y : Fin self.size\n⊢ ((self.find x).fst.find ⟨↑y, ⋯⟩).fst.parent ↑⟨self.rootD ↑x, ⋯⟩ = ↑⟨self.rootD ↑x, ⋯⟩"} {"_id": "202508", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\n⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors I))"} {"_id": "202509", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\n⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors I))"} {"_id": "202510", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\n⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors I))"} {"_id": "202512", "text": "case h.e'_6.h.e'_4\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\n⊢ ⨅ i ∈ (factors I).toFinset, i ^ Multiset.count i P = I"} {"_id": "202513", "text": "case h.e'_6.h.e'_4\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\n⊢ Associated (factors I).prod I"} {"_id": "202518", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ p ^ Multiset.count p P ⊔ q ^ Multiset.count q P = ⊤"} {"_id": "202519", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ p ^ min (Multiset.count p (normalizedFactors (q ^ Multiset.count q P))) (Multiset.count p P) = ⊤"} {"_id": "202520", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ Multiset.count p (normalizedFactors (q ^ Multiset.count q P)) = 0"} {"_id": "202521", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ ¬(Multiset.count q P ≠ 0 ∧ p = normalize q)"} {"_id": "202522", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\nthis : Multiset.count p (normalizedFactors ?m.7916) = 0\n⊢ p ^ min (Multiset.count p (normalizedFactors (q ^ Multiset.count q P))) (Multiset.count p P) = ⊤"} {"_id": "202523", "text": "case hI\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ q ^ Multiset.count q P ≠ ⊥"} {"_id": "202524", "text": "case hI\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ q ^ Multiset.count q P ≠ 0"} {"_id": "202525", "text": "case hI.h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ q ≠ 0"} {"_id": "202526", "text": "case hJ\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : IsDedekindDomain R\nI : Ideal R\nhI : I ≠ ⊥\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I\nP : Multiset (Ideal R) := factors I\nprime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p\np : Ideal R\nhp : p ∈ ↑(factors I).toFinset\nq : Ideal R\nhq : q ∈ ↑(factors I).toFinset\npq : p ≠ q\n⊢ Irreducible p"} {"_id": "202529", "text": "R : Type u\nσ : Type v\na a' a₁ a₂ : R\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : DecidableEq σ\ni j : σ\n⊢ (pderiv i) (X j) = Pi.single i 1 j"} {"_id": "202530", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : OrderedRing α\na : α\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (↑n) (↑n + 1))"} {"_id": "202531", "text": "R : Type (max u v)\ninst✝¹ : CommRing R\nD : Type v\ninst✝ : SmallCategory D\nI : D ⥤ Ideal R\ni : ℕ\n⊢ HasColimit (diagram I i)"} {"_id": "202533", "text": "α : Type u_1\nc₀ : RBColor\nn₀ : Nat\nc : RBColor\nn✝ : Nat\npath : Path α\nt : RBNode α\nn : Nat\nx✝ : RBNode α\nv✝ : α\nparent✝ : Path α\nha : x✝.Balanced black n\nH : Path.Balanced c₀ n₀ parent✝ red n\nhb : t.Balanced black n\n⊢ (right red x✝ v✝ parent✝).ins t = ((right red x✝ v✝ parent✝).fill t).setBlack"} {"_id": "202535", "text": "α : Type u_1\nc₀ : RBColor\nn₀ : Nat\nc✝ : RBColor\nn✝ : Nat\npath : Path α\nt : RBNode α\nn : Nat\nc : RBColor\ny✝ : RBNode α\nc₂✝ : RBColor\nparent✝ : Path α\nv✝ : α\nhb : y✝.Balanced c₂✝ n\nH : Path.Balanced c₀ n₀ parent✝ black (n + 1)\nha : t.Balanced c n\n⊢ (left black parent✝ v✝ y✝).ins t = ((left black parent✝ v✝ y✝).fill t).setBlack"} {"_id": "202536", "text": "α : Type u_1\nc₀ : RBColor\nn₀ : Nat\nc✝ : RBColor\nn✝ : Nat\npath : Path α\nt : RBNode α\nn : Nat\nc : RBColor\nx✝ : RBNode α\nc₁✝ : RBColor\nv✝ : α\nparent✝ : Path α\nha : x✝.Balanced c₁✝ n\nH : Path.Balanced c₀ n₀ parent✝ black (n + 1)\nhb : t.Balanced c n\n⊢ (right black x✝ v✝ parent✝).ins t = ((right black x✝ v✝ parent✝).fill t).setBlack"} {"_id": "202537", "text": "S : Type u_1\nT : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommRing R\nr x y z : R\na b c : ℍ[R]\nn : ℕ\n⊢ normSq ↑n = ↑n ^ 2"} {"_id": "202538", "text": "p : Char → Bool\nr : List Char\n⊢ { data := [].reverse ++ r }.revFindAux p { byteIdx := utf8Len [] } =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) []).tail?"} {"_id": "202540", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\n⊢ { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p { byteIdx := utf8Len (c :: l) } =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) (c :: l)).tail?"} {"_id": "202541", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\n⊢ (if h : { byteIdx := utf8Len (c :: l) } = 0 then none\n else\n let_fun this := ⋯;\n let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) };\n if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos\n else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x })\n (match !p c with\n | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l\n | false => c :: l).tail?"} {"_id": "202542", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\n⊢ (let_fun this := ⋯;\n let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) };\n if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos\n else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x })\n (match !p c with\n | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l\n | false => c :: l).tail?"} {"_id": "202543", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\nh1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l.reverse } = (c :: r).headD default\n⊢ (let_fun this := ⋯;\n let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) };\n if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos\n else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x })\n (match !p c with\n | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l\n | false => c :: l).tail?"} {"_id": "202544", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\nh1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l.reverse } = (c :: r).headD default\nh2 :\n { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l.reverse }\n⊢ (let_fun this := ⋯;\n let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) };\n if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos\n else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x })\n (match !p c with\n | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l\n | false => c :: l).tail?"} {"_id": "202545", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\nh1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l } = c\nh2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }\n⊢ (let_fun this := ⋯;\n let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) };\n if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos\n else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x })\n (match !p c with\n | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l\n | false => c :: l).tail?"} {"_id": "202546", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\nh1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l } = c\nh2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }\n⊢ (if p c = true then some { byteIdx := utf8Len l }\n else { data := l.reverse ++ c :: r }.revFindAux p { byteIdx := utf8Len l }) =\n Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x })\n (match !p c with\n | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l\n | false => c :: l).tail?"} {"_id": "202548", "text": "p : Char → Bool\nc : Char\nl r : List Char\n⊢ ¬{ byteIdx := utf8Len (c :: l) } = 0"} {"_id": "202551", "text": "X : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥U\ny : ↑Γ(X, U)\nhy : (X.presheaf.germ x) y = 0\n⊢ y = 0"} {"_id": "202553", "text": "case intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥U\ny : ↑Γ(X, U)\nhy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0\nW : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhW : ↑x ∈ W\niU iV : W ⟶ U\ne : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iV.op) 0\n⊢ y = 0"} {"_id": "202554", "text": "case intro.intro.intro.intro.refl\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥U\ny : ↑Γ(X, U)\nhy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0\nW : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhW : ↑x ∈ W\niU : W ⟶ U\ne : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iU.op) 0\n⊢ y = 0"} {"_id": "202555", "text": "case intro.intro.intro.intro.refl\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥U\ny : ↑Γ(X, U)\nhy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0\nW : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhW : ↑x ∈ W\niU : W ⟶ U\ne : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iU.op) 0\nthis : Nonempty ↥W\n⊢ y = 0"} {"_id": "202556", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\n⊢ S₁.leftHomologyIso.inv ≫ leftHomologyMap φ = homologyMap φ ≫ S₂.leftHomologyIso.inv"} {"_id": "202557", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\na b c d e : α\nm n : ℤ\ns : Set α\nha : 0 ≤ a\nhs : IsGLB s b\n⊢ IsGLB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)"} {"_id": "202558", "text": "case inl\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\na b c d e : α\nm n : ℤ\ns : Set α\nha✝ : 0 ≤ a\nhs : IsGLB s b\nha : 0 < a\n⊢ IsGLB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)"} {"_id": "202561", "text": "case inr\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nb c d e : α\nm n : ℤ\ns : Set α\nhs : IsGLB s b\nha : 0 ≤ 0\n⊢ IsGLB {0} 0"} {"_id": "202562", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2\n⊢ W.addY P Q / addZ P Q ^ 3 =\n W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))"} {"_id": "202563", "text": "ι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : HasAntidiagonal μ\ninst✝ : DecidableEq μ\ns : Finset ι\nn : μ\nf : ι →₀ μ\n⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ f.support ⊆ s ∧ (f.sum fun x x => x) = n"} {"_id": "202564", "text": "ι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : HasAntidiagonal μ\ninst✝ : DecidableEq μ\ns : Finset ι\nn : μ\nf : ι →₀ μ\n⊢ (∃\n a ∈\n Trunc.lift (fun e => map (equivCongrLeft e.symm).toEmbedding (finAntidiagonal₀ s.card n)) ⋯\n (Fintype.truncEquivFinOfCardEq ⋯),\n a.extendDomain = f) ↔\n f.support ⊆ s ∧ (f.sum fun x x => x) = n"} {"_id": "202565", "text": "case a\nι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : HasAntidiagonal μ\ninst✝ : DecidableEq μ\ns : Finset ι\nn : μ\nf : ι →₀ μ\ne' : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card\n⊢ (∃ a ∈ Trunc.lift (fun e => map (equivCongrLeft e.symm).toEmbedding (finAntidiagonal₀ s.card n)) ⋯ (Trunc.mk e'),\n a.extendDomain = f) ↔\n f.support ⊆ s ∧ (f.sum fun x x => x) = n"} {"_id": "202570", "text": "case a.mp.intro.intro.left\nι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : HasAntidiagonal μ\ninst✝ : DecidableEq μ\ns : Finset ι\ne' : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card\nf : { x // x ∈ s } →₀ μ\n⊢ f.extendDomain.support ⊆ s"} {"_id": "202573", "text": "case a.mpr.intro\nι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : HasAntidiagonal μ\ninst✝ : DecidableEq μ\ns : Finset ι\nf : ι →₀ μ\ne' : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card\nhsupp : f.support ⊆ s\n⊢ ∃ a, ((a.sum fun a m => m) = f.sum fun x x => x) ∧ a.extendDomain = f"} {"_id": "202575", "text": "case a.mpr.intro.left\nι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : HasAntidiagonal μ\ninst✝ : DecidableEq μ\ns : Finset ι\nf : ι →₀ μ\ne' : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card\nhsupp : f.support ⊆ s\n⊢ ((subtypeDomain (fun x => x ∈ s) f).sum fun a m => m) = f.sum fun x x => x"} {"_id": "202576", "text": "case a.mpr.intro.right\nι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝³ : DecidableEq ι\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : HasAntidiagonal μ\ninst✝ : DecidableEq μ\ns : Finset ι\nf : ι →₀ μ\ne' : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card\nhsupp : f.support ⊆ s\n⊢ (subtypeDomain (fun x => x ∈ s) f).extendDomain = f"} {"_id": "202577", "text": "R : CommRingCat\n⊢ identityToΓSpec.app (Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }) ≫\n Spec.toLocallyRingedSpace.map (SpecΓIdentity.inv.app R).op =\n 𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }))"} {"_id": "202578", "text": "case w\nR : CommRingCat\n⊢ ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R })).toΓSpec.val.base ≫\n (Spec.locallyRingedSpaceMap (SpecΓIdentity.inv.app R).op.unop).val.base =\n (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }))).val.base"} {"_id": "202581", "text": "case w.w.asIdeal.h\nR : CommRingCat\np : PrimeSpectrum ↑R\nx : ↑R\n⊢ x ∈ (((Spec.locallyRingedSpaceObj R).toΓSpecBase ≫ Spec.topMap (toSpecΓ R)) p).asIdeal ↔\n x ∈ ((𝟙 (Spec.topObj R)) p).asIdeal"} {"_id": "202584", "text": "case h\nR : CommRingCat\nr : ↑{ unop := (𝟭 CommRingCat).obj R }.unop\n⊢ (SpecΓIdentity.inv.app R).op.unop ≫\n ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R })).presheaf.map (homOfLE ⋯).op =\n toOpen (↑{ unop := (𝟭 CommRingCat).obj R }.unop) (basicOpen r) ≫\n (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }))).val.c.app { unop := basicOpen r }"} {"_id": "202588", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : FloorRing α\n⊢ round 2⁻¹ = 1"} {"_id": "202592", "text": "case h.a\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne✝ : ℕ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nA₁ : Type u_2\nA₂ : Type u_3\nA₃ : Type u_4\ninst✝⁵ : CommSemiring A₁\ninst✝⁴ : CommSemiring A₂\ninst✝³ : CommSemiring A₃\ninst✝² : Algebra R A₁\ninst✝¹ : Algebra R A₂\ninst✝ : Algebra R A₃\ne : A₁ ≃ₐ[R] A₂\nf : A₂ ≃ₐ[R] A₃\na✝ : MvPolynomial σ A₁\nm✝ : σ →₀ ℕ\n⊢ coeff m✝ (((mapAlgEquiv σ e).trans (mapAlgEquiv σ f)) a✝) = coeff m✝ ((mapAlgEquiv σ (e.trans f)) a✝)"} {"_id": "202594", "text": "β : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Preorder M\ninst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1\nn✝ : ℕ\nx : M\nhn : 0 < n✝\nh : x < 1\nn : ℕ\nx✝ : Nat.succ 0 ≤ n\nih : x ^ n < 1\n⊢ x ^ (n + 1) < 1"} {"_id": "202595", "text": "β : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Preorder M\ninst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1\nn✝ : ℕ\nx : M\nhn : 0 < n✝\nh : x < 1\nn : ℕ\nx✝ : Nat.succ 0 ≤ n\nih : x ^ n < 1\n⊢ x ^ n * x < 1"} {"_id": "202596", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nh : I₁ ≤ I₂\nx y : ↥↑I₁\n⊢ (inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y"} {"_id": "202597", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\n⊢ affineLocally P f"} {"_id": "202598", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\n𝒰 : (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) → ((Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).obj i).OpenCover :=\n fun i =>\n ((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).bind\n fun i_1 =>\n (((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).obj\n i_1).affineCover\n⊢ affineLocally P f"} {"_id": "202599", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\n𝒰 : (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) → ((Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).obj i).OpenCover :=\n fun i =>\n ((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).bind\n fun i_1 =>\n (((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).obj\n i_1).affineCover\nh𝒰 : ∀ (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) (j : (𝒰 i).J), IsAffine ((𝒰 i).obj j)\n⊢ affineLocally P f"} {"_id": "202600", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\n𝒰 : (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) → ((Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).obj i).OpenCover :=\n fun i =>\n ((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).bind\n fun i_1 =>\n (((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).obj\n i_1).affineCover\nh𝒰 : ∀ (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) (j : (𝒰 i).J), IsAffine ((𝒰 i).obj j)\n𝒰' : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun i => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj i).affineCover\n⊢ affineLocally P f"} {"_id": "202601", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\n𝒰 : (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) → ((Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).obj i).OpenCover :=\n fun i =>\n ((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).bind\n fun i_1 =>\n (((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).obj\n i_1).affineCover\nh𝒰 : ∀ (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) (j : (𝒰 i).J), IsAffine ((𝒰 i).obj j)\n𝒰' : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun i => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj i).affineCover\nh𝒰' : ∀ (i : 𝒰'.J), IsAffine (𝒰'.obj i)\n⊢ affineLocally P f"} {"_id": "202607", "text": "case mk\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\n𝒰 : (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) → ((Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).obj i).OpenCover :=\n fun i =>\n ((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).bind\n fun i_1 =>\n (((Scheme.Pullback.openCoverOfRight (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover f pullback.fst).pushforwardIso\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom).obj\n i_1).affineCover\nh𝒰 : ∀ (i : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J) (j : (𝒰 i).J), IsAffine ((𝒰 i).obj j)\n𝒰' : Y.OpenCover := (Z.affineCover.pullbackCover g).bind fun i => ((Z.affineCover.pullbackCover g).obj i).affineCover\nh𝒰' : ∀ (i : 𝒰'.J), IsAffine (𝒰'.obj i)\ni : Z.affineCover.J\nj : (pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.J\nk : (pullback f (𝒰'.map ⟨i, j⟩)).affineCover.J\nh :\n P\n (Scheme.Γ.map\n (((pullback f ((pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.map j ≫ pullback.fst)).affineCover.map k ≫\n pullback.map f ((pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.map j ≫ pullback.fst) f pullback.fst (𝟙 X)\n ((pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.map j) (𝟙 Y) ⋯ ⋯ ≫\n (pullbackRightPullbackFstIso g (Z.affineCover.map i) f).hom) ≫\n pullback.snd).op)\n⊢ P\n (Scheme.Γ.map\n ((pullback f ((pullback g (Z.affineCover.map i)).affineCover.map j ≫ pullback.fst)).affineCover.map k ≫\n pullback.snd).op)"} {"_id": "202610", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\ni : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J\n⊢ ((Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).obj i).OpenCover"} {"_id": "202611", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\ni : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J\n⊢ (pullback f pullback.fst).OpenCover"} {"_id": "202612", "text": "case 𝒰\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nH :\n ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),\n P (g.comp f) → P g\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : affineLocally P (f ≫ g)\ni : (Z.affineCover.pullbackCover (f ≫ g)).J\n⊢ (pullback g (Z.affineCover.map i)).OpenCover"} {"_id": "202617", "text": "u v m n : ℤ\n⊢ ¬Even n ↔ n % 2 = 1"} {"_id": "202618", "text": "α : Type u_1\np : α → Prop\ninst✝¹ : DecidablePred p\ninst✝ : DecidableEq α\nx y : α\n⊢ (count x) (of y) = Pi.mulSingle x (Multiplicative.ofAdd 1) y"} {"_id": "202620", "text": "m n : ℕ\n_h : 0 < n + 1\n⊢ ack (m + 1) 0 < ack (m + 1) (n + 1)"} {"_id": "202621", "text": "m n : ℕ\n_h : 0 < n + 1\n⊢ ack m 1 < ack m (ack (m + 1) n)"} {"_id": "202622", "text": "m n₁ n₂ : ℕ\nh : n₁ + 1 < n₂ + 1\n⊢ ack (m + 1) (n₁ + 1) < ack (m + 1) (n₂ + 1)"} {"_id": "202625", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nE✝ : EllipticCurve R\nC✝ C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R\nE : EllipticCurve R\n⊢ E.variableChange (C.comp C') = (E.variableChange C').variableChange C"} {"_id": "202626", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nE✝ : EllipticCurve R\nC✝ C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R\nE : EllipticCurve R\n⊢ { toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := (C.comp C').u⁻¹ ^ 12 * E.Δ', coe_Δ' := ⋯ } =\n { toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := C.u⁻¹ ^ 12 * (C'.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ'),\n coe_Δ' := ⋯ }"} {"_id": "202627", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field R\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra R L\ninst✝ : Module.Finite R L\nD : LieDerivation R L L\nhD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule\nx : L\n⊢ (ad R L) (D x) ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule"} {"_id": "202628", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field R\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra R L\ninst✝ : Module.Finite R L\nD : LieDerivation R L L\nhD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule\nx : L\n⊢ ⁅x, D⁆ ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (LinearMap.range ↑(ad R L))"} {"_id": "202629", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹³ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝¹² : AddCommMonoid M\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M'\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝⁹ : CommSemiring A\ninst✝⁸ : Algebra R A\ninst✝⁷ : Module A M'\ninst✝⁶ : IsLocalization S A\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : Module R M'\ninst✝³ : Module R M''\ninst✝² : IsScalarTower R A M'\nf : M →ₗ[R] M'\ng : M →ₗ[R] M''\nR' : Type u_6\ninst✝¹ : CommSemiring R'\ninst✝ : Algebra R R'\n⊢ IsLocalizedModule S (Algebra.ofId R R').toLinearMap ↔ IsLocalization S R'"} {"_id": "202630", "text": "case h.e'_2.h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝¹³ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝¹² : AddCommMonoid M\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M'\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝⁹ : CommSemiring A\ninst✝⁸ : Algebra R A\ninst✝⁷ : Module A M'\ninst✝⁶ : IsLocalization S A\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : Module R M'\ninst✝³ : Module R M''\ninst✝² : IsScalarTower R A M'\nf : M →ₗ[R] M'\ng : M →ₗ[R] M''\nR' : Type u_6\ninst✝¹ : CommSemiring R'\ninst✝ : Algebra R R'\n⊢ S = Algebra.algebraMapSubmonoid R S"} {"_id": "202631", "text": "l r : List Char\n⊢ { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.remainingBytes = utf8Len r"} {"_id": "202633", "text": "case zero\nthis : Primrec₂ fun n m => if n = m.succ then 0 else 1\n⊢ (Nat.rfind fun n => Part.some false) = Part.none"} {"_id": "202637", "text": "case succ\nthis : Primrec₂ fun n m => if n = m.succ then 0 else 1\nn✝ : ℕ\n⊢ (Nat.rfind fun n => Part.some (decide (n✝ = n))) = Part.some n✝"} {"_id": "202638", "text": "case succ\nthis : Primrec₂ fun n m => if n = m.succ then 0 else 1\nn✝ : ℕ\n⊢ n✝ ∈ Nat.rfind fun n => Part.some (decide (n✝ = n))"} {"_id": "202640", "text": "case succ\nthis : Primrec₂ fun n m => if n = m.succ then 0 else 1\nn✝ m : ℕ\nh : m < n✝\n⊢ ¬n✝ = m"} {"_id": "202641", "text": "v : List ℕ\n⊢ pred.eval v = pure [v.headI.pred]"} {"_id": "202644", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\n⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥"} {"_id": "202648", "text": "case h.mp\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\nhrange : x ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal : ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\n⊢ False"} {"_id": "202649", "text": "case h.mp\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\nhrange : x ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal : ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\ndenom : Ideal R := (Submodule.span R {1}).colon (Submodule.span R {x})\n⊢ False"} {"_id": "202650", "text": "case h.mp\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\nhrange : x ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal : ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\ndenom : Ideal R := (Submodule.span R {1}).colon (Submodule.span R {x})\nhdenom : 1 ∉ denom\n⊢ False"} {"_id": "202655", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nmax : Ideal R\nhmax : max.IsMaximal\nn d : R\nhd : d ∈ { asIdeal := max, IsMaximal := hmax }.asIdeal.primeCompl\nhrange : (algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹ ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal :\n ∀ (i : MaximalSpectrum R),\n (algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹ ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\ndenom : Ideal R := (Submodule.span R {1}).colon (Submodule.span R {(algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹})\nhdenom : 1 ∉ denom\nhle : denom ≤ max\ny : R\nhy : y • ((algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹) ∈ Submodule.span R {(algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹}\n⊢ d • y • ((algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹) ∈ Submodule.span R {1}"} {"_id": "202657", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\nhrange : x ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal : ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\ndenom : Ideal R := (Submodule.span R {1}).colon (Submodule.span R {x})\nhdenom : 1 ∈ denom\n⊢ False"} {"_id": "202658", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\nhrange : x ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal : ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\ndenom : Ideal R := (Submodule.span R {1}).colon (Submodule.span R {x})\nhdenom : 1 ∈ denom\ny : R\nhy : y • 1 = 1 • x\n⊢ False"} {"_id": "202659", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nx : K\nhrange : x ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal : ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\ndenom : Ideal R := (Submodule.span R {1}).colon (Submodule.span R {x})\nhdenom : 1 ∈ denom\ny : R\nhy : y • 1 = 1 • x\n⊢ (algebraMap R K) y = x"} {"_id": "202660", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\nmax : Ideal R\nhmax : max.IsMaximal\nn d : R\nhd : d ∈ { asIdeal := max, IsMaximal := hmax }.asIdeal.primeCompl\nhrange : (algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹ ∉ range ⇑(algebraMap R K)\nhlocal :\n ∀ (i : MaximalSpectrum R),\n (algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹ ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯\ndenom : Ideal R := (Submodule.span R {1}).colon (Submodule.span R {(algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹})\nhdenom : 1 ∉ denom\nhle : denom ≤ max\ny : R\nhy : y • ((algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹) ∈ Submodule.span R {(algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹}\n⊢ (y * n) • 1 = d • y • ((algebraMap R K) n * ((algebraMap R K) d)⁻¹)"} {"_id": "202662", "text": "case h.mpr.intro.mk\nR : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\ny : R\nv : Ideal R\nhv : v.IsMaximal\n⊢ (algebraMap R K) y ∈ Localization.subalgebra.ofField K { asIdeal := v, IsMaximal := hv }.asIdeal.primeCompl ⋯"} {"_id": "202663", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : IsDomain R\nK : Type v\ninst✝² : Field K\ninst✝¹ : Algebra R K\ninst✝ : IsFractionRing R K\ny : R\nv : Ideal R\nhv : v.IsMaximal\n⊢ (algebraMap R K) y = (algebraMap R K) y * ((algebraMap R K) 1)⁻¹"} {"_id": "202665", "text": "case mp\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nL₂ : Type u_1\nM₂ : Type u_2\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂\ninst✝ : LieModule R L₂ M₂\nf✝ : L →ₗ⁅R⁆ L₂\ng✝ : M →ₗ[R] M₂\nhf : Surjective ⇑f✝\nhg : Surjective ⇑g✝\nhfg✝ : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f✝ x, g✝ m⁆ = g✝ ⁅x, m⁆\nf : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂\ng : M ≃ₗ[R] M₂\nhfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆\nh : LieModule.IsNilpotent R L M\n⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M₂"} {"_id": "202667", "text": "case mpr\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nL₂ : Type u_1\nM₂ : Type u_2\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂\ninst✝ : LieModule R L₂ M₂\nf✝ : L →ₗ⁅R⁆ L₂\ng✝ : M →ₗ[R] M₂\nhf : Surjective ⇑f✝\nhg : Surjective ⇑g✝\nhfg✝ : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f✝ x, g✝ m⁆ = g✝ ⁅x, m⁆\nf : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂\ng : M ≃ₗ[R] M₂\nhfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆\nh : LieModule.IsNilpotent R L₂ M₂\n⊢ LieModule.IsNilpotent R L M"} {"_id": "202669", "text": "case mpr\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : AddCommGroup M\ninst✝⁸ : Module R M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nL₂ : Type u_1\nM₂ : Type u_2\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂\ninst✝ : LieModule R L₂ M₂\nf✝ : L →ₗ⁅R⁆ L₂\ng✝ : M →ₗ[R] M₂\nhf : Surjective ⇑f✝\nhg✝ : Surjective ⇑g✝\nhfg✝ : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f✝ x, g✝ m⁆ = g✝ ⁅x, m⁆\nf : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂\ng : M ≃ₗ[R] M₂\nhfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆\nh : LieModule.IsNilpotent R L₂ M₂\nhg : Surjective ⇑↑g.symm\nx : L₂\nm : M₂\n⊢ ⁅f.symm.toLieHom x, ↑g.symm m⁆ = ↑g.symm ⁅x, m⁆"} {"_id": "202670", "text": "n i : Nat\nh : i < (list n).length\n⊢ (list n)[i] = cast ⋯ ⟨i, h⟩"} {"_id": "202671", "text": "n i : Nat\nh : i < (list n).length\n⊢ (enum n).data[i] = cast ⋯ ⟨i, h⟩"} {"_id": "202672", "text": "K : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField K\ninst✝ : FloorRing K\nn : ℕ\na c : K\n⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p / ↑(p - 1)! < 1"} {"_id": "202673", "text": "K : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField K\ninst✝ : FloorRing K\nn : ℕ\na c : K\n⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!"} {"_id": "202677", "text": "case pos.hfg.mk\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\n⊢ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' =\n K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ 0"} {"_id": "202679", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\n⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = 0"} {"_id": "202681", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\n⊢ (c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) •\n (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (c₁.next i₁, i₂) i₁₂' ⋯) ≫\n K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' =\n 0"} {"_id": "202683", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\n⊢ c₁.π c₂ c₁₂ (c₁.next i₁, i₂) = i₁₂'"} {"_id": "202684", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\nh₄ : c₁.Rel (c₁.next i₁) (c₁.next (c₁.next i₁))\n⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.d₁ c₁₂ (c₁.next i₁) i₂ i₁₂'' = 0"} {"_id": "202685", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\nh₄ : c₁.Rel (c₁.next i₁) (c₁.next (c₁.next i₁))\n⊢ c₁.π c₂ c₁₂ (c₁.next (c₁.next i₁), i₂) = i₁₂''\n\ncase pos\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\nh₄ : c₁.Rel (c₁.next i₁) (c₁.next (c₁.next i₁))\n⊢ c₁.π c₂ c₁₂ (c₁.next (c₁.next i₁), i₂) = i₁₂''"} {"_id": "202686", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\nh₄ : ¬c₁.Rel (c₁.next i₁) (c₁.next (c₁.next i₁))\n⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.d₁ c₁₂ (c₁.next i₁) i₂ i₁₂'' = 0"} {"_id": "202687", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\nh : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂\nh₃ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\n⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = 0"} {"_id": "202688", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\nh₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''\n⊢ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = 0"} {"_id": "202689", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂\nh₁ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'\n⊢ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = 0"} {"_id": "202690", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁶ : HasSolidNorm K\ninst✝⁵ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace K E\ninst✝² : FiniteDimensional K E\ninst✝¹ : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝ : DiscreteTopology ↥L\nι : Type u_3\nhs : IsZlattice K L\nb : Basis ι ℤ ↥L\ni : ι\n⊢ (ofZlatticeBasis K L b) i = ↑(b i)"} {"_id": "202692", "text": "case H\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁸ : CommRing R\ninst✝¹⁷ : LieRing L\ninst✝¹⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁵ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁴ : Module R M\ninst✝¹³ : LieRingModule L M\ninst✝¹² : LieModule R L M\ninst✝¹¹ : Module.Free R M\ninst✝¹⁰ : Module.Finite R M\ninst✝⁹ : Module.Free R L\ninst✝⁸ : Module.Finite R L\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : LieAlgebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : LieModule K L M\ninst✝³ : FiniteDimensional K M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L\ninst✝¹ : LinearWeights K L M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nx✝ y✝ : L\n⊢ ((traceForm K L M) x✝) y✝ =\n ((∑ χ : Weight K L M,\n finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ))\n x✝)\n y✝"} {"_id": "202694", "text": "M : Type u_1\ninst✝ : DivisionMonoid M\na b : M\nha : a ∈ center M\nhb : b ∈ center M\n⊢ a / b ∈ center M"} {"_id": "202695", "text": "M : Type u_1\ninst✝ : DivisionMonoid M\na b : M\nha : a ∈ center M\nhb : b ∈ center M\n⊢ a * b⁻¹ ∈ center M"} {"_id": "202696", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns : Heap α\n⊢ (tail le s).realSize = s.realSize - 1"} {"_id": "202697", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns : Heap α\n⊢ ((tail? le s).getD nil).realSize = s.realSize - 1"} {"_id": "202700", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns tl : Heap α\neq : tail? le s = some tl\n⊢ ((some tl).getD nil).realSize = s.realSize - 1"} {"_id": "202701", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\ninst✝² : HasZeroMorphisms D\nS S₁ S₂ : ShortComplex C\nh : S.RightHomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝ : h.IsPreservedBy F\n⊢ (h.map F).g' = F.map h.g'"} {"_id": "202702", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nK L M : CochainComplex C ℤ\nn✝ : ℤ\nγ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝\nn' a : ℤ\nγ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'\nn : ℤ\nhn : n + a = n'\nx : Rˣ\n⊢ (x • γ).leftUnshift n hn = x • γ.leftUnshift n hn"} {"_id": "202704", "text": "X✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\n⊢ QuasiCompact.affineProperty.diagonal f ↔ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace"} {"_id": "202705", "text": "X✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\n⊢ (∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]\n [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂],\n QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)) ↔\n QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace"} {"_id": "202708", "text": "case mp\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH :\n ∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]\n [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)\nU V : ↑X.affineOpens\n⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)"} {"_id": "202709", "text": "case mp\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH :\n ∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]\n [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)\nU V : ↑X.affineOpens\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\n⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)"} {"_id": "202710", "text": "case mp\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH :\n ∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : 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IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)\nU V : ↑X.affineOpens\nthis✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)\nthis✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)\ng : pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯) ⟶ X := pullback.fst ≫ X.ofRestrict ⋯\nthis : IsOpenImmersion g\n⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)"} {"_id": "202713", "text": "case mp\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH :\n ∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]\n [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)\nU V : ↑X.affineOpens\nthis✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)\nthis✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)\ng : pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯) ⟶ X := pullback.fst ≫ X.ofRestrict ⋯\nthis : IsOpenImmersion g\ne : ↑↑(pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯)).toPresheafedSpace ≃ₜ ↑(Set.range ⇑g.val.base)\n⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)"} {"_id": "202714", "text": "case mp\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH :\n ∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]\n [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)\nU V : ↑X.affineOpens\nthis✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)\nthis✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)\ng : pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯) ⟶ X := pullback.fst ≫ X.ofRestrict ⋯\nthis : IsOpenImmersion g\ne :\n ↑↑(pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯)).toPresheafedSpace ≃ₜ\n ↑(Set.range ⇑(X.ofRestrict ⋯).val.base ∩ Set.range ⇑(X.ofRestrict ⋯).val.base)\n⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)"} {"_id": "202715", "text": "case mp\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH :\n ∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]\n [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)\nU V : ↑X.affineOpens\nthis✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)\nthis✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)\ng : pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯) ⟶ X := pullback.fst ≫ X.ofRestrict ⋯\nthis : IsOpenImmersion g\ne : ↑↑(pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯)).toPresheafedSpace ≃ₜ ↑(↑↑U ∩ ↑↑V)\n⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)"} {"_id": "202716", "text": "case mp\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH :\n ∀ {U₁ U₂ : Scheme} (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]\n [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)\nU V : ↑X.affineOpens\nthis✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)\nthis✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)\ng : pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯) ⟶ X := pullback.fst ≫ X.ofRestrict ⋯\nthis : IsOpenImmersion g\ne : ↑↑(pullback (X.ofRestrict ⋯) (X.ofRestrict ⋯)).toPresheafedSpace ≃ₜ ↑(↑↑U ∩ ↑↑V)\n⊢ CompactSpace ↑(↑↑U ∩ ↑↑V)"} {"_id": "202718", "text": "case mpr\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝² : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)\nU₁ U₂ : Scheme\nf₁ : U₁ ⟶ X\nf₂ : U₂ ⟶ X\ninst✝¹ : IsAffine U₁\ninst✝ : IsAffine U₂\nh₁ : IsOpenImmersion f₁\nh₂ : IsOpenImmersion f₂\n⊢ QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)"} {"_id": "202719", "text": "case mpr\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝² : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)\nU₁ U₂ : Scheme\nf₁ : U₁ ⟶ X\nf₂ : U₂ ⟶ X\ninst✝¹ : IsAffine U₁\ninst✝ : IsAffine U₂\nh₁ : IsOpenImmersion f₁\nh₂ : IsOpenImmersion f₂\ng : pullback f₁ f₂ ⟶ X := pullback.fst ≫ f₁\n⊢ QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)"} {"_id": "202720", "text": "case mpr\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝² : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)\nU₁ U₂ : Scheme\nf₁ : U₁ ⟶ X\nf₂ : U₂ ⟶ X\ninst✝¹ : IsAffine U₁\ninst✝ : IsAffine U₂\nh₁ : IsOpenImmersion f₁\nh₂ : IsOpenImmersion f₂\ng : pullback f₁ f₂ ⟶ X := pullback.fst ≫ f₁\nthis : IsOpenImmersion g\n⊢ QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)"} {"_id": "202721", "text": "case mpr\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝² : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)\nU₁ U₂ : Scheme\nf₁ : U₁ ⟶ X\nf₂ : U₂ ⟶ X\ninst✝¹ : IsAffine U₁\ninst✝ : IsAffine U₂\nh₁ : IsOpenImmersion f₁\nh₂ : IsOpenImmersion f₂\ng : pullback f₁ f₂ ⟶ X := pullback.fst ≫ f₁\nthis : IsOpenImmersion g\ne : ↑↑(pullback f₁ f₂).toPresheafedSpace ≃ₜ ↑(Set.range ⇑g.val.base)\n⊢ QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)"} {"_id": "202722", "text": "case mpr\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝² : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nH : ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)\nU₁ U₂ : Scheme\nf₁ : U₁ ⟶ X\nf₂ : U₂ ⟶ X\ninst✝¹ : IsAffine U₁\ninst✝ : IsAffine U₂\nh₁ : IsOpenImmersion f₁\nh₂ : IsOpenImmersion f₂\ng : pullback f₁ f₂ ⟶ X := pullback.fst ≫ f₁\nthis : IsOpenImmersion g\ne : ↑↑(pullback f₁ f₂).toPresheafedSpace ≃ₜ ↑(Set.range ⇑f₁.val.base ∩ Set.range ⇑f₂.val.base)\n⊢ QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)"} {"_id": "202723", "text": "case mpr\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\ninst✝² : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nU₁ U₂ : Scheme\nf₁ : U₁ ⟶ X\nf₂ : U₂ ⟶ X\ninst✝¹ : IsAffine U₁\ninst✝ : IsAffine U₂\nh₁ : IsOpenImmersion f₁\nh₂ : IsOpenImmersion f₂\ng : pullback f₁ f₂ ⟶ X := pullback.fst ≫ f₁\nthis : IsOpenImmersion g\ne : ↑↑(pullback f₁ f₂).toPresheafedSpace ≃ₜ ↑(Set.range ⇑f₁.val.base ∩ Set.range ⇑f₂.val.base)\nH : ∀ (U V : ↑X.affineOpens), CompactSpace ↑(↑↑U ∩ ↑↑V)\n⊢ QuasiCompact.affineProperty (pullback.mapDesc f₁ f₂ f)"} {"_id": "202724", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nhQ : W'.Equation Q\nhQz : Q z = 0\n⊢ W'.addY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * P y"} {"_id": "202726", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nE : EllipticCurve R\nC : WeierstrassCurve.VariableChange R\n⊢ E.variableChange WeierstrassCurve.VariableChange.id = E"} {"_id": "202727", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nE : EllipticCurve R\nC : WeierstrassCurve.VariableChange R\n⊢ { toWeierstrassCurve := E.toWeierstrassCurve, Δ' := WeierstrassCurve.VariableChange.id.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ',\n coe_Δ' := ⋯ } =\n E"} {"_id": "202728", "text": "R✝ : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : Ring A\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : StarMul A\na : A\nu : ↥(unitary A)\n⊢ spectrum R (star ↑u * a * ↑u) = spectrum R a"} {"_id": "202729", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{?u.59461, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : K.X i ⟶ A\nj : ι\nhj : c.prev i = j\ni' : ι\nx : K.X i' ⟶ A\nhx : k = K.d i i' ≫ x\n⊢ K.d j i ≫ k = 0"} {"_id": "202732", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : K.X i ⟶ A\nj : ι\nhj : c.prev i = j\nx : K.X (c.next i) ⟶ A\nhx : k = K.d i (c.next i) ≫ x\nh : c.Rel i (c.next i)\n⊢ K.homologyι i ≫ K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0"} {"_id": "202733", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : K.X i ⟶ A\nj : ι\nhj : c.prev i = j\ni' : ι\nx : K.X i' ⟶ A\nhx : k = K.d i i' ≫ x\nh : ¬c.Rel i i'\n⊢ K.homologyι i ≫ K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0"} {"_id": "202734", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : K.X i ⟶ A\nj : ι\nhj : c.prev i = j\ni' : ι\nx : K.X i' ⟶ A\nhx : k = K.d i i' ≫ x\nh : ¬c.Rel i i'\nthis : K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0\n⊢ K.homologyι i ≫ K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0"} {"_id": "202735", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : K.X i ⟶ A\nj : ι\nhj : c.prev i = j\ni' : ι\nx : K.X i' ⟶ A\nhx : k = K.d i i' ≫ x\nh : ¬c.Rel i i'\n⊢ K.d j i ≫ k = 0"} {"_id": "202736", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : K.X i ⟶ A\nj : ι\nhj : c.prev i = j\ni' : ι\nx : K.X i' ⟶ A\nhx : k = K.d i i' ≫ x\nh : ¬c.Rel i i'\n⊢ K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0"} {"_id": "202737", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : K.X i ⟶ A\nj : ι\nhj : c.prev i = j\ni' : ι\nx : K.X i' ⟶ A\nhx✝ : k = K.d i i' ≫ x\nhx : k = 0\nh : ¬c.Rel i i'\n⊢ K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0"} {"_id": "202739", "text": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\nP : Type u_5\nG : Type u_6\nH : Type u_7\nF : Type u_8\ninst✝² : Mul M\ninst✝¹ : CommSemigroup N\ninst✝ : CommSemigroup P\ng : N →ₙ* P\nf₁ f₂ : M →ₙ* N\nx✝ : M\n⊢ (g.comp (f₁ * f₂)) x✝ = (g.comp f₁ * g.comp f₂) x✝"} {"_id": "202740", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → R\nu : R\n⊢ W'.dblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.dblY P"} {"_id": "202742", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf : α → M\ns t : Set α\nh : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i"} {"_id": "202744", "text": "case h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf : α → M\ns t : Set α\nh : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t\nx : α\n⊢ x ∈ s ∩ mulSupport f ↔ x ∈ t ∩ mulSupport f"} {"_id": "202746", "text": "β : Type u_1\nG : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁴ : Monoid M\ninst✝³ : Preorder M\ninst✝² : Preorder β\ninst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1\ninst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1\nf : β → M\nn✝ : ℕ\nhf : StrictMono f\nn : ℕ\nx✝ : n.succ.succ ≠ 0\n⊢ StrictMono fun x => f x ^ n.succ.succ"} {"_id": "202747", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP Q : Cubic R\na b c d a' b' c' d' : R\ninst✝ : Semiring R\nha : P.a = 0\nhb : P.b ≠ 0\n⊢ P.toPoly.natDegree = 2"} {"_id": "202748", "text": "R : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\nhx : f x ∈ Submodule.span R ↑s\n⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202749", "text": "R : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\nhx : f x ∈ Submodule.span R ↑s\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\n⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202750", "text": "R : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\nhx : f x ∈ Submodule.span R ↑s\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : ↑y • ↑s = ⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s)\n⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202751", "text": "R : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\nhx : f x ∈ Submodule.span R ↑s\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : Submodule.span R (↑y • ↑s) = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\n⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202752", "text": "R : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\nhx : f x ∈ Submodule.span R ↑s\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\n⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202753", "text": "R : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nhx : S.subtype y • f x ∈ y • Submodule.span R ↑s\n⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202755", "text": "case intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nx' : M\nhx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nhx'' : f x' = f (S.subtype y • x)\n⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202757", "text": "case h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nx' : M\nhx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nhx'' : f x' = f (S.subtype y • x)\na : ↥S\nha : a • x' = a • S.subtype y • x\n⊢ (a * y) • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)"} {"_id": "202759", "text": "case h.e'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nx' : M\nhx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nhx'' : f x' = f (S.subtype y • x)\na : ↥S\nha : a • x' = a • S.subtype y • x\n⊢ (a * y) • x = a • S.subtype y • x"} {"_id": "202760", "text": "case h.e'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : Module R M\nM' : Type u_3\ninst✝³ : AddCommMonoid M'\ninst✝² : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝¹ : IsLocalizedModule S f\ninst✝ : DecidableEq M\nx : M\ns : Finset M'\ny : ↥S := commonDenomOfFinset S f s\nhx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nx' : M\nhx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))\nhx'' : f x' = f (S.subtype y • x)\na : ↥S\nha : a • x' = a • S.subtype y • x\n⊢ ↑(a * y) • x = ↑a • ↑y • x"} {"_id": "202761", "text": "K : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\n⊢ discrim a b c ≤ 0"} {"_id": "202762", "text": "K : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\n⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0"} {"_id": "202763", "text": "case inl\nK : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\nha : a < 0\n⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0"} {"_id": "202764", "text": "case inl\nK : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\nha : a < 0\nthis : Tendsto (fun x => (a * x + b) * x + c) atTop atBot\n⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0"} {"_id": "202765", "text": "case inl.intro\nK : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\nha : a < 0\nthis : Tendsto (fun x => (a * x + b) * x + c) atTop atBot\nx : K\nhx : (a * x + b) * x + c < 0\n⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0"} {"_id": "202767", "text": "case inr.inl\nK : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\nb c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ 0 * x * x + b * x + c\n⊢ b * b - 4 * 0 * c ≤ 0"} {"_id": "202770", "text": "case inr.inl.inr\nK : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\nb c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ 0 * x * x + b * x + c\nhb : b ≠ 0\nthis : 0 ≤ 0 * ((-c - 1) / b) * ((-c - 1) / b) + b * ((-c - 1) / b) + c\n⊢ b * b - 4 * 0 * c ≤ 0"} {"_id": "202772", "text": "case inr.inr\nK : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField K\na b c : K\nh : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c\nha : 0 < a\n⊢ b * b - 4 * a * c ≤ 0"} {"_id": "202777", "text": "case zero\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\np : MvPolynomial (Fin 0) R\nh : ∀ (x : Fin 0 → R), (eval x) p = 0\n⊢ p = 0"} {"_id": "202778", "text": "case zero.a\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\np : MvPolynomial (Fin 0) R\nh : ∀ (x : Fin 0 → R), (eval x) p = 0\n⊢ (isEmptyRingEquiv R (Fin 0)) p = (isEmptyRingEquiv R (Fin 0)) 0"} {"_id": "202779", "text": "case zero.a\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\np : MvPolynomial (Fin 0) R\nh : ∀ (x : Fin 0 → R), (eval x) p = 0\n⊢ (isEmptyRingEquiv R (Fin 0)) p = 0"} {"_id": "202780", "text": "case succ\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nn : ℕ\nih : ∀ {p : MvPolynomial (Fin n) R}, (∀ (x : Fin n → R), (eval x) p = 0) → p = 0\np : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R\nh : ∀ (x : Fin (n + 1) → R), (eval x) p = 0\n⊢ p = 0"} {"_id": "202782", "text": "case succ.a\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nn : ℕ\nih : ∀ {p : MvPolynomial (Fin n) R}, (∀ (x : Fin n → R), (eval x) p = 0) → p = 0\np : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R\nh : ∀ (x : Fin (n + 1) → R), (eval x) p = 0\n⊢ (finSuccEquiv R n) p = 0"} {"_id": "202783", "text": "case succ.a\nR : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nn : ℕ\nih : ∀ {p : MvPolynomial (Fin n) R}, (∀ (x : Fin n → R), (eval x) p = 0) → p = 0\np : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R\nh : ∀ (x : Fin (n + 1) → R), (eval x) p = 0\nq : MvPolynomial (Fin n) R\n⊢ Polynomial.eval q ((finSuccEquiv R n) p) = Polynomial.eval q 0"} {"_id": "202785", "text": "R : Type u_1\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : Infinite R\nn : ℕ\nih : ∀ {p : MvPolynomial (Fin n) R}, (∀ (x : Fin n → R), (eval x) p = 0) → p = 0\np : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R\nh : ∀ (x : Fin (n + 1) → R), (eval x) p = 0\nq : MvPolynomial (Fin n) R\nx : Fin n → R\n⊢ (eval x) (Polynomial.eval q ((finSuccEquiv R n) p)) = 0"} {"_id": "202786", "text": "α : Type u_1\np q : α → Bool\na : α\nl : List α\npa : p a = true\n⊢ countP p (a :: l) = countP p l + 1"} {"_id": "202787", "text": "α : Type u_1\np q : α → Bool\na : α\nl : List α\npa : p a = true\nthis : countP.go p (a :: l) 0 = countP.go p l 1\n⊢ countP p (a :: l) = countP p l + 1"} {"_id": "202788", "text": "α : Type u_1\np q : α → Bool\na : α\nl : List α\npa : p a = true\nthis : countP.go p (a :: l) 0 = countP.go p l 1\n⊢ countP.go p (a :: l) 0 = countP.go p l 0 + 1"} {"_id": "202791", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\n⊢ (λ_ ((free R).obj X)).hom = (ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom"} {"_id": "202792", "text": "case H\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\n⊢ (TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom =\n (TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂\n ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)"} {"_id": "202793", "text": "case H.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\n⊢ ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 =\n ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂\n ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom))\n 1"} {"_id": "202795", "text": "case H.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx : X\n⊢ ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x =\n ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂\n ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom))\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x"} {"_id": "202796", "text": "case H.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx : X\n⊢ (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x)\n 1 =\n (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂\n ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom))\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1"} {"_id": "202798", "text": "case H.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx x' : X\n⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1)\n x' =\n ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂\n ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom))\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1)\n x'"} {"_id": "202799", "text": "case H.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx x' : X\nq : X →₀ R := (λ_ (of R (X →₀ R))).hom (1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1)\n⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1)\n x' =\n ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂\n ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom))\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1)\n x'"} {"_id": "202800", "text": "case H.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx x' : X\nq : X →₀ R := (λ_ (of R (X →₀ R))).hom (1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1)\n⊢ q x' =\n (Finsupp.mapDomain (λ_ X).hom\n ((finsuppTensorFinsupp' R (𝟙_ (Type u)) X) (Finsupp.single PUnit.unit 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1)))\n x'"} {"_id": "202801", "text": "F : Type u_1\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝¹⁰ : CommSemiring R\ninst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁸ : Module R A\ninst✝⁷ : IsScalarTower R A A\ninst✝⁶ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝⁴ : Module R B\ninst✝³ : IsScalarTower R B B\ninst✝² : SMulCommClass R B B\ninst✝¹ : FunLike F A B\ninst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\nx : A\n⊢ x ∈ Submodule.span R ↑(NonUnitalSubsemiring.closure ∅) ↔ x = 0"} {"_id": "202803", "text": "case zero\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\na₂✝ : W.Point\nhP : toClass zero = toClass a₂✝\n⊢ zero = a₂✝\n\ncase some\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx✝ y✝ : F\nh : W.Nonsingular x✝ y✝\na₂✝ : W.Point\nhP : toClass (some h) = toClass a₂✝\n⊢ some h = a₂✝"} {"_id": "202804", "text": "case some\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx✝ y✝ : F\nh : W.Nonsingular x✝ y✝\na₂✝ : W.Point\nhP : toClass (some h) = toClass a₂✝\n⊢ some h = a₂✝"} {"_id": "202806", "text": "case some\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx✝ y✝ : F\nh : W.Nonsingular x✝ y✝\na₂✝ : W.Point\nhP : toClass (some h) = toClass a₂✝\n⊢ toClass (-some h) + toClass (some h) = 0"} {"_id": "202807", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀ : Type u_4\ninst✝² : Fintype ι\ninst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀\np : ι → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\n⊢ (∏ i : ι, if p i then 1 else 0) = if ∀ (i : ι), p i then 1 else 0"} {"_id": "202809", "text": "R : Type u_1\nR₂ : Type u_2\nR₃ : Type u_3\nK : Type u_4\nK₂ : Type u_5\nM : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nV : Type u_9\nV₂ : Type u_10\ninst✝¹³ : Semiring R\ninst✝¹² : Semiring R₂\ninst✝¹¹ : Semiring R₃\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M\ninst✝⁹ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁸ : AddCommMonoid M₃\nσ₁₂ : R →+* R₂\nσ₂₃ : R₂ →+* R₃\nσ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : Module R₂ M₂\ninst✝⁴ : Module R₃ M₃\nσ₂₁ : R₂ →+* R\nτ₁₂ : R →+* R₂\nτ₂₃ : R₂ →+* R₃\nτ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃\nF : Type u_11\ninst✝² : FunLike F M M₂\ninst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂\ninst✝ : RingHomSurjective τ₁₂\nf : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂\n⊢ range f = ⊥ ↔ f = 0"} {"_id": "202810", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202811", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202812", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202813", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202814", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202815", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202816", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\n⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁"} {"_id": "202817", "text": "case inr\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nh₁₃ : x₁ + p < x₃'\n⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁"} {"_id": "202821", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nhequiv : x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202822", "text": "case intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nhequiv : x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁\nz : ℤ\nhd : x₂ = x₂' + z • p\n⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁"} {"_id": "202824", "text": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nh₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p\n⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁"} {"_id": "202825", "text": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nh₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p\n⊢ toIocMod hp x₂' x₁ = x₁ + p"} {"_id": "202826", "text": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nh₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p\n⊢ x₁ + p ∈ Set.Ioc x₂' (x₂' + p) ∧ ∃ z, x₁ = x₁ + p + z • p"} {"_id": "202827", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nh₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p\n⊢ x₁ + p ≤ x₂' + p"} {"_id": "202829", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nh₁₃ : x₁ + p < x₃'\n⊢ toIocMod hp x₁ x₃' = x₃' - p"} {"_id": "202830", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\nh✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃\nx₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂\nx₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃\nh : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'\nh₂₁ : x₂' < x₁ + p\nh₃₂ : x₃' - p < x₂'\nh₁₃ : x₁ + p < x₃'\n⊢ x₃' - p ∈ Set.Ioc x₁ (x₁ + p) ∧ ∃ z, x₃' = x₃' - p + z • p"} {"_id": "202832", "text": "R : Type u_1\ninst✝²⁷ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁵ : AddCommMonoid M'\ninst✝²⁴ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝²³ : CommSemiring A\ninst✝²² : Algebra R A\ninst✝²¹ : Module A M'\ninst✝²⁰ : IsLocalization S A\ninst✝¹⁹ : Module R M\ninst✝¹⁸ : Module R M'\ninst✝¹⁷ : Module R M''\ninst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'\nf : M →ₗ[R] M'\ng✝¹ : M →ₗ[R] M''\ninst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f\nN : Type ?u.1086287\nN' : Type ?u.1086290\ninst✝¹⁴ : AddCommGroup N\ninst✝¹³ : AddCommGroup N'\ninst✝¹² : Module R N\ninst✝¹¹ : Module R N'\ng✝ : N →ₗ[R] N'\ninst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝\nM₀ : Type u_6\nM₀' : Type ?u.1088359\ninst✝⁹ : AddCommGroup M₀\ninst✝⁸ : AddCommGroup M₀'\ninst✝⁷ : Module R M₀\ninst✝⁶ : Module R M₀'\nf₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀\nM₁ : Type u_7\nM₁' : Type ?u.1090428\ninst✝⁴ : AddCommGroup M₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₁'\ninst✝² : Module R M₁\ninst✝¹ : Module R M₁'\nf₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f₁\ng : M₀ →ₗ[R] M₁\nm : M₀\ns : ↥S\n⊢ ((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s"} {"_id": "202833", "text": "R : Type u_1\ninst✝²⁷ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁵ : AddCommMonoid M'\ninst✝²⁴ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝²³ : CommSemiring A\ninst✝²² : Algebra R A\ninst✝²¹ : Module A M'\ninst✝²⁰ : IsLocalization S A\ninst✝¹⁹ : Module R M\ninst✝¹⁸ : Module R M'\ninst✝¹⁷ : Module R M''\ninst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'\nf : M →ₗ[R] M'\ng✝¹ : M →ₗ[R] M''\ninst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f\nN : Type ?u.1086287\nN' : Type ?u.1086290\ninst✝¹⁴ : AddCommGroup N\ninst✝¹³ : AddCommGroup N'\ninst✝¹² : Module R N\ninst✝¹¹ : Module R N'\ng✝ : N →ₗ[R] N'\ninst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝\nM₀ : Type u_6\nM₀' : Type ?u.1088359\ninst✝⁹ : AddCommGroup M₀\ninst✝⁸ : AddCommGroup M₀'\ninst✝⁷ : Module R M₀\ninst✝⁶ : Module R M₀'\nf₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀\nM₁ : Type u_7\nM₁' : Type ?u.1090428\ninst✝⁴ : AddCommGroup M₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₁'\ninst✝² : Module R M₁\ninst✝¹ : Module R M₁'\nf₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f₁\ng : M₀ →ₗ[R] M₁\nm : M₀\ns : ↥S\nthis : ↑⋯.unit⁻¹ ((mkLinearMap S M₁) (g m)) = (iso S (mkLinearMap S M₁)) (LocalizedModule.mk (g m) s)\n⊢ ((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s"} {"_id": "202834", "text": "R : Type u_1\ninst✝²⁷ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁵ : AddCommMonoid M'\ninst✝²⁴ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝²³ : CommSemiring A\ninst✝²² : Algebra R A\ninst✝²¹ : Module A M'\ninst✝²⁰ : IsLocalization S A\ninst✝¹⁹ : Module R M\ninst✝¹⁸ : Module R M'\ninst✝¹⁷ : Module R M''\ninst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'\nf : M →ₗ[R] M'\ng✝¹ : M →ₗ[R] M''\ninst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f\nN : Type ?u.1086287\nN' : Type ?u.1086290\ninst✝¹⁴ : AddCommGroup N\ninst✝¹³ : AddCommGroup N'\ninst✝¹² : Module R N\ninst✝¹¹ : Module R N'\ng✝ : N →ₗ[R] N'\ninst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝\nM₀ : Type u_6\nM₀' : Type ?u.1088359\ninst✝⁹ : AddCommGroup M₀\ninst✝⁸ : AddCommGroup M₀'\ninst✝⁷ : Module R M₀\ninst✝⁶ : Module R M₀'\nf₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀\nM₁ : Type u_7\nM₁' : Type ?u.1090428\ninst✝⁴ : AddCommGroup M₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₁'\ninst✝² : Module R M₁\ninst✝¹ : Module R M₁'\nf₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f₁\ng : M₀ →ₗ[R] M₁\nm : M₀\ns : ↥S\nthis : ↑⋯.unit⁻¹ ((mkLinearMap S M₁) (g m)) = LocalizedModule.mk (g m) s\n⊢ ((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s"} {"_id": "202836", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝⁴ : CommMonoidWithZero R\ninst✝³ : PartialOrder R\ninst✝² : ZeroLEOneClass R\ninst✝¹ : PosMulStrictMono R\ninst✝ : Nontrivial R\nf g : ι → R\ns t : Finset ι\nhf : ∀ i ∈ s, 0 < f i\nhfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i\ni : ι\nhi : i ∈ s\nhilt : f i < g i\n⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i"} {"_id": "202837", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝⁴ : CommMonoidWithZero R\ninst✝³ : PartialOrder R\ninst✝² : ZeroLEOneClass R\ninst✝¹ : PosMulStrictMono R\ninst✝ : Nontrivial R\nf g : ι → R\ns t : Finset ι\nhf : ∀ i ∈ s, 0 < f i\nhfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i\ni : ι\nhi : i ∈ s\nhilt : f i < g i\n⊢ f i * ∏ x ∈ s.erase i, f x < g i * ∏ x ∈ s.erase i, g x"} {"_id": "202838", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝⁴ : CommMonoidWithZero R\ninst✝³ : PartialOrder R\ninst✝² : ZeroLEOneClass R\ninst✝¹ : PosMulStrictMono R\ninst✝ : Nontrivial R\nf g : ι → R\ns t : Finset ι\nhf : ∀ i ∈ s, 0 < f i\nhfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i\ni : ι\nhi : i ∈ s\nhilt : f i < g i\nthis : MulPosStrictMono R\n⊢ f i * ∏ x ∈ s.erase i, f x < g i * ∏ x ∈ s.erase i, g x"} {"_id": "202839", "text": "case intro.intro.refine_1\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝⁴ : CommMonoidWithZero R\ninst✝³ : PartialOrder R\ninst✝² : ZeroLEOneClass R\ninst✝¹ : PosMulStrictMono R\ninst✝ : Nontrivial R\nf g : ι → R\ns t : Finset ι\nhf : ∀ i ∈ s, 0 < f i\nhfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i\ni : ι\nhi : i ∈ s\nhilt : f i < g i\nthis : MulPosStrictMono R\n⊢ ∏ x ∈ s.erase i, f x ≤ ∏ x ∈ s.erase i, g x"} {"_id": "202841", "text": "case intro.intro.refine_3\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝⁴ : CommMonoidWithZero R\ninst✝³ : PartialOrder R\ninst✝² : ZeroLEOneClass R\ninst✝¹ : PosMulStrictMono R\ninst✝ : Nontrivial R\nf g : ι → R\ns t : Finset ι\nhf : ∀ i ∈ s, 0 < f i\nhfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i\ni : ι\nhi : i ∈ s\nhilt : f i < g i\nthis : MulPosStrictMono R\n⊢ 0 < ∏ x ∈ s.erase i, f x"} {"_id": "202842", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁶ : CommSemiring R\ninst✝⁵ : Ring A\ninst✝⁴ : Ring B\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : EquivLike F A B\ninst✝ : AlgEquivClass F R A B\nf : F\na : A\n⊢ spectrum R a ⊆ spectrum R (f a)"} {"_id": "202846", "text": "n : ℕ\nf✝ : Vector ℕ n → ℕ\nf : ℕ → ℕ\nhf : Nat.Primrec f\n⊢ Primrec' fun v => f v.head"} {"_id": "202847", "text": "case zero\nn : ℕ\nf✝ : Vector ℕ n → ℕ\nf : ℕ → ℕ\n⊢ Primrec' fun v => (fun x => 0) v.head"} {"_id": "202849", "text": "case left\nn : ℕ\nf✝ : Vector ℕ n → ℕ\nf : ℕ → ℕ\n⊢ Primrec' fun v => (fun n => (unpair n).1) v.head"} {"_id": "202850", "text": "case right\nn : ℕ\nf✝ : Vector ℕ n → ℕ\nf : ℕ → ℕ\n⊢ Primrec' fun v => (fun n => (unpair n).2) v.head"} {"_id": "202853", "text": "case prec\nn : ℕ\nf✝¹ : Vector ℕ n → ℕ\nf f✝ g✝ : ℕ → ℕ\na✝¹ : Nat.Primrec f✝\na✝ : Nat.Primrec g✝\nhf : Primrec' fun v => f✝ v.head\nhg : Primrec' fun v => g✝ v.head\n⊢ Primrec' fun v => unpaired (fun z n => Nat.rec (f✝ z) (fun y IH => g✝ (pair z (pair y IH))) n) v.head"} {"_id": "202854", "text": "α : Type u_1\nG : Type u_2\nA : Type u_3\nS✝ : Type u_4\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : AddGroup A\ns S : Set G\n⊢ (closure S).toSubmonoid = Submonoid.closure (S ∪ S⁻¹)"} {"_id": "202855", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nG : Type u_2\nA : Type u_3\nS✝ : Type u_4\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : AddGroup A\ns S : Set G\nx : G\nhx : x ∈ (closure S).toSubmonoid\n⊢ x ∈ Submonoid.closure (S ∪ S⁻¹)"} {"_id": "202856", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nG : Type u_2\nA : Type u_3\nS✝ : Type u_4\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : AddGroup A\ns S : Set G\nx✝ : G\nhx✝ : x✝ ∈ (closure S).toSubmonoid\nx : G\nhx : x ∈ Submonoid.closure (S ∪ S⁻¹)\n⊢ x⁻¹ ∈ Submonoid.closure (S ∪ S⁻¹)"} {"_id": "202857", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nG : Type u_2\nA : Type u_3\nS✝ : Type u_4\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : AddGroup A\ns S : Set G\n⊢ S ∪ S⁻¹ ⊆ ↑(closure S).toSubmonoid"} {"_id": "202858", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na✝ b✝ a b c : α\n⊢ mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)"} {"_id": "202859", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na✝ b✝ a b c : α\n⊢ mabs ?m.33176 * mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)"} {"_id": "202860", "text": "F : Type u_1\nι : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝² : CommMonoid α\ninst✝¹ : CommMonoid β\ns t : Multiset α\na✝ : α\nm : Multiset ι\nf g : ι → α\ninst✝ : DecidableEq ι\na : ι\nh : a ∈ m\n⊢ f a * (map f (m.erase a)).prod = (map f m).prod"} {"_id": "202861", "text": "α✝ : Type u\ninst✝⁵ : Group α✝\ninst✝⁴ : LinearOrder α✝\ninst✝³ : CovariantClass α✝ α✝ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na✝ b✝ c : α✝\nα : Type u_1\ninst✝² : CommGroup α\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na b : α\n⊢ a / b ≤ b / a ↔ a ≤ b"} {"_id": "202862", "text": "α✝ : Type u\ninst✝⁵ : Group α✝\ninst✝⁴ : LinearOrder α✝\ninst✝³ : CovariantClass α✝ α✝ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na✝ b✝ c : α✝\nα : Type u_1\ninst✝² : CommGroup α\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na b : α\n⊢ a / b ≤ a⁻¹ * b ↔ a ≤ b"} {"_id": "202863", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero α\nq : α\nhq : ¬IsUnit q\nhq' : q ≠ 0\n⊢ Function.Injective fun n => q ^ n"} {"_id": "202864", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero α\nq : α\nhq : ¬IsUnit q\nhq' : q ≠ 0\nn m : ℕ\nh : n < m\n⊢ ¬IsUnit (q ^ (m - n))"} {"_id": "202865", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero α\nq : α\nhq : ¬IsUnit q\nhq' : q ≠ 0\nn m : ℕ\nh : n < m\n⊢ q ^ m = q ^ n * q ^ (m - n)"} {"_id": "202866", "text": "α : Type u_1\nR : α → α → Prop\ns : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\na : α\nl₁ l₂ : List α\n⊢ Pairwise R (l₁ ++ a :: l₂) ↔ Pairwise R (a :: (l₁ ++ l₂))"} {"_id": "202867", "text": "α : Type u_1\nR : α → α → Prop\ns : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\na : α\nl₁ l₂ : List α\n⊢ Pairwise R (l₁ ++ ([a] ++ l₂)) ↔ Pairwise R ([a] ++ l₁ ++ l₂)"} {"_id": "202868", "text": "α : Type u_1\nR : α → α → Prop\ns : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\na : α\nl₁ l₂ : List α\n⊢ (Pairwise (fun {x y} => R x y) ([a] ++ l₁) ∧\n Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l₁ ++ [a] → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a_1 b) ↔\n Pairwise R ([a] ++ l₁) ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ [a] ++ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a_1 b"} {"_id": "202869", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ninst✝ : TransCmp cmp\nt : RBNode α\n⊢ isOrdered cmp t none = true ↔ Ordered cmp t"} {"_id": "202870", "text": "l m r : List Char\nx✝ : Substring\nh : ValidFor l m r x✝\n⊢ x✝.isEmpty = true ↔ m = []"} {"_id": "202874", "text": "case mk.some\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nv : σ\nS : (k : K) → List (Γ k)\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\nl : Λ\n⊢ match TM2.step M { l := some l, var := v, stk := S } with\n | some b₁ =>\n ∃ b₂,\n TrCfg b₁ b₂ ∧\n Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := Option.map normal (some l), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } b₂\n | none => TM1.step (tr M) { l := Option.map normal (some l), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } = none"} {"_id": "202875", "text": "K : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nv : σ\nS : (k : K) → List (Γ k)\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\nl : Λ\n⊢ ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux (M l) v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (tr M (normal l)) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b"} {"_id": "202877", "text": "K : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nv : σ\nS : (k : K) → List (Γ k)\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\nl : Λ\nN : Stmt₂\n⊢ ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux N v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal N) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b"} {"_id": "202879", "text": "case mk.some.intro.intro\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nv : σ\nS : (k : K) → List (Γ k)\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\nl : Λ\nb : ?m.392290\nc : ?m.392603 b\nr : Reaches (TM1.step (tr M)) (?m.392604 b) (?m.392605 b)\n⊢ match TM2.step M { l := some l, var := v, stk := S } with\n | some b₁ =>\n ∃ b₂,\n TrCfg b₁ b₂ ∧\n Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := Option.map normal (some l), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } b₂\n | none => TM1.step (tr M) { l := Option.map normal (some l), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } = none"} {"_id": "202880", "text": "case H₁\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nl : Λ\nk : K\ns : StAct k\nq : Stmt₂\nIH :\n ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} (L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))),\n (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →\n ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b\nv : σ\nS : (k : K) → List (Γ k)\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\n⊢ ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux (stRun s q) v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal (stRun s q)) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b"} {"_id": "202882", "text": "case H₃\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nl : Λ\np : σ → Bool\nq₁ q₂ : Stmt₂\nIH₁ :\n ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} (L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))),\n (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →\n ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux q₁ v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q₁) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b\nIH₂ :\n ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} (L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))),\n (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →\n ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux q₂ v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q₂) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b\nv : σ\nS : (k : K) → List (Γ k)\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\n⊢ ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux (TM2.Stmt.branch p q₁ q₂) v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal (TM2.Stmt.branch p q₁ q₂)) v (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) b"} {"_id": "202887", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\nα : Weight K (↥H) L\n⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α"} {"_id": "202888", "text": "case intro.intro\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\nα : Weight K (↥H) L\ne : L\nhe₀ : e ≠ 0\nhe : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e\n⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α"} {"_id": "202889", "text": "case intro.intro\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\nα : Weight K (↥H) L\ne : L\nhe₀ : e ≠ 0\nhe : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e\nheα : e ∈ rootSpace H ⇑α\n⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α"} {"_id": "202890", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\nα : Weight K (↥H) L\ne : L\nhe₀ : e ≠ 0\nhe : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e\nheα : e ∈ rootSpace H ⇑α\nf : L\nhfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nhf : ((killingForm K L) e) f ≠ 0\n⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ corootSpace ⇑α"} {"_id": "202891", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\nα : Weight K (↥H) L\ne : L\nhe₀ : e ≠ 0\nhe : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e\nheα : e ∈ rootSpace H ⇑α\nf : L\nhfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nhf : ((killingForm K L) e) f ≠ 0\n⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))"} {"_id": "202894", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\nα : Weight K (↥H) L\ne : L\nhe : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e\nheα : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhe₀ : ∀ f ∈ rootSpace H (-⇑α), ((killingForm K L) e) f = 0\n⊢ e = 0"} {"_id": "202895", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\nα : Weight K (↥H) L\ne : L\nhe₀ : e ≠ 0\nhe : ∀ (x : ↥H), ⁅x, e⁆ = α x • e\nheα : e ∈ rootSpace H ⇑α\nf : L\nhfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nhf : ((killingForm K L) e) f ≠ 0\nthis : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))\n⊢ ⁅(((killingForm K L) e) f)⁻¹ • e, f⁆ = ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))"} {"_id": "202896", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nF G K L : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nφ : F ⟶ G\np' p q : ℤ\nhpq : p + 0 = q\n⊢ F.d p' p ≫ (ofHom φ).v p q hpq = F.d p' q ≫ φ.f q"} {"_id": "202898", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN✝ : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN : LieSubmodule R L M\n⊢ IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, LieSubmodule.lcs k N = ⊥"} {"_id": "202899", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN✝ : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN : LieSubmodule R L M\n⊢ (∃ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = ⊥) ↔ ∃ k, LieSubmodule.lcs k N = ⊥"} {"_id": "202900", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN✝ : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN : LieSubmodule R L M\nk : ℕ\n⊢ lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = ⊥ ↔ LieSubmodule.lcs k N = ⊥"} {"_id": "202902", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁷ : HasSolidNorm K\ninst✝⁶ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace K E\ninst✝³ : FiniteDimensional K E\ninst✝² : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝¹ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝ : IsZlattice K L\n⊢ Module.Free ℤ ↥L"} {"_id": "202903", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁷ : HasSolidNorm K\ninst✝⁶ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace K E\ninst✝³ : FiniteDimensional K E\ninst✝² : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝¹ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝ : IsZlattice K L\nthis : Module.Finite ℤ ↥L\n⊢ Module.Free ℤ ↥L"} {"_id": "202904", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁷ : HasSolidNorm K\ninst✝⁶ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace K E\ninst✝³ : FiniteDimensional K E\ninst✝² : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝¹ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝ : IsZlattice K L\nthis✝ : Module.Finite ℤ ↥L\nthis : Module ℚ E\n⊢ Module.Free ℤ ↥L"} {"_id": "202905", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁷ : HasSolidNorm K\ninst✝⁶ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace K E\ninst✝³ : FiniteDimensional K E\ninst✝² : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝¹ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝ : IsZlattice K L\nthis✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L\nthis✝ : Module ℚ E\nthis : NoZeroSMulDivisors ℤ E\n⊢ Module.Free ℤ ↥L"} {"_id": "202907", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁷ : HasSolidNorm K\ninst✝⁶ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace K E\ninst✝³ : FiniteDimensional K E\ninst✝² : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝¹ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝ : IsZlattice K L\nthis✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L\nthis✝ : Module ℚ E\nthis : NoZeroSMulDivisors ℤ E\n⊢ NoZeroSMulDivisors ℤ ↥L"} {"_id": "202908", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁸ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁷ : HasSolidNorm K\ninst✝⁶ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace K E\ninst✝³ : FiniteDimensional K E\ninst✝² : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝¹ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝ : IsZlattice K L\nthis✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L\nthis✝ : Module ℚ E\nthis : NoZeroSMulDivisors ℤ E\n⊢ NoZeroSMulDivisors ℤ ↥(AddSubgroup.toIntSubmodule L)"} {"_id": "202909", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nδ : Type u_5\ninst✝⁷ : Preorder α\ninst✝⁶ : Preorder β\ninst✝⁵ : Preorder γ\ninst✝⁴ : Preorder δ\ninst✝³ : MulZeroOneClass α\ninst✝² : MulZeroOneClass β\ninst✝¹ : MulZeroOneClass γ\ninst✝ : MulZeroOneClass δ\nf✝ g✝ f g : α →*₀o β\nh : f.toOrderMonoidHom = g.toOrderMonoidHom\n⊢ ∀ (a : α), f a = g a"} {"_id": "202910", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\n⊢ ⨅ α, Weight.ker = ⊥"} {"_id": "202911", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : Field K\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\ninst✝ : IsKilling K L\n⊢ ⨆ i, Weight.ker.dualAnnihilator = ⊤"} {"_id": "202912", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CommMonoid α\na b : α\nu : αˣ\nh : a * b * ↑u = 1\n⊢ a * (b * ↑u) = 1"} {"_id": "202913", "text": "X Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n⊢ PropertyIsLocalAtTarget @UniversallyClosed"} {"_id": "202914", "text": "X Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n⊢ PropertyIsLocalAtTarget (topologically @IsClosedMap).universally"} {"_id": "202915", "text": "case hP₁\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n⊢ (topologically @IsClosedMap).RespectsIso"} {"_id": "202917", "text": "case hP₂\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nι : Type u_1\nU : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhU : iSup U = ⊤\nH : ∀ (i : ι), topologically (@IsClosedMap) (f ∣_ U i)\n⊢ topologically (@IsClosedMap) f"} {"_id": "202918", "text": "case hP₂\nX✝ Y✝ : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nι : Type u_1\nU : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhU : iSup U = ⊤\nH : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage ⇑f.val.base)\n⊢ topologically (@IsClosedMap) f"} {"_id": "202920", "text": "α : Type u\ninst✝² : CommGroup α\ninst✝¹ : LE α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na b c d : α\n⊢ a⁻¹ ≤ b / c ↔ c ≤ a * b"} {"_id": "202923", "text": "case component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\n⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)"} {"_id": "202925", "text": "case component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U\n⊢ IsDomain ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)"} {"_id": "202926", "text": "case component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis✝ : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U\nthis : IsDomain ↑Γ(Y, f ''ᵁ U)\n⊢ IsDomain ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)"} {"_id": "202929", "text": "case h\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\n⊢ ↑U = ↑(f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)"} {"_id": "202931", "text": "case inst\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U\n⊢ Nonempty ↥(f ''ᵁ U)"} {"_id": "202932", "text": "P : MorphismProperty Scheme\nhP₁ : P.RespectsIso\nhP₂ :\n ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace),\n iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f\nX✝ Y✝ : Scheme\nf : X✝ ⟶ Y✝\n𝒰 : Y✝.OpenCover\nh𝒰 : ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\n⊢ P f"} {"_id": "202933", "text": "P : MorphismProperty Scheme\nhP₁ : P.RespectsIso\nhP₂ :\n ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace),\n iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f\nX✝ Y✝ : Scheme\nf : X✝ ⟶ Y✝\n𝒰 : Y✝.OpenCover\nh𝒰 : ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\n⊢ ∀ (i : 𝒰.J), P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i))"} {"_id": "202935", "text": "σ : Type u_1\nf : σ → Option σ\na b : σ\nab : Reaches f a b\n⊢ eval f a = eval f b"} {"_id": "202936", "text": "case refine_1\nσ : Type u_1\nf : σ → Option σ\na b : σ\nab : Reaches f a b\nx✝ : σ\nh : x✝ ∈ eval f a\n⊢ x✝ ∈ eval f b"} {"_id": "202937", "text": "case refine_1\nσ : Type u_1\nf : σ → Option σ\na b : σ\nab : Reaches f a b\nx✝ : σ\nh : x✝ ∈ eval f a\nac : Reaches f a x✝\nc0 : f x✝ = none\n⊢ x✝ ∈ eval f b"} {"_id": "202938", "text": "case refine_2\nσ : Type u_1\nf : σ → Option σ\na b : σ\nab : Reaches f a b\nx✝ : σ\nh : x✝ ∈ eval f b\n⊢ x✝ ∈ eval f a"} {"_id": "202939", "text": "case refine_2\nσ : Type u_1\nf : σ → Option σ\na b : σ\nab : Reaches f a b\nx✝ : σ\nh : x✝ ∈ eval f b\nbc : Reaches f b x✝\nc0 : f x✝ = none\n⊢ x✝ ∈ eval f a"} {"_id": "202941", "text": "case p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹⁹ : Category.{v, u} V\ninst✝¹⁸ : HasZeroMorphisms V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ninst✝¹⁷ : HasImage f\ng : B ⟶ C\ninst✝¹⁶ : HasKernel g\nw : f ≫ g = 0\nA' B' C' : V\nf' : A' ⟶ B'\ninst✝¹⁵ : HasImage f'\ng' : B' ⟶ C'\ninst✝¹⁴ : HasKernel g'\nw' : f' ≫ g' = 0\nα : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk f'\ninst✝¹³ : HasImageMap α\nβ : Arrow.mk g ⟶ Arrow.mk g'\nA₁ B₁ C₁ : V\nf₁ : A₁ ⟶ B₁\ninst✝¹² : HasImage f₁\ng₁ : B₁ ⟶ C₁\ninst✝¹¹ : HasKernel g₁\nw₁ : f₁ ≫ g₁ = 0\nA₂ B₂ C₂ : V\nf₂ : A₂ ⟶ B₂\ninst✝¹⁰ : HasImage f₂\ng₂ : B₂ ⟶ C₂\ninst✝⁹ : HasKernel g₂\nw₂ : f₂ ≫ g₂ = 0\nA₃ B₃ C₃ : V\nf₃ : A₃ ⟶ B₃\ninst✝⁸ : HasImage f₃\ng₃ : B₃ ⟶ C₃\ninst✝⁷ : HasKernel g₃\nw₃ : f₃ ≫ g₃ = 0\nα₁ : Arrow.mk f₁ ⟶ Arrow.mk f₂\ninst✝⁶ : HasImageMap α₁\nβ₁ : Arrow.mk g₁ ⟶ Arrow.mk g₂\nα₂ : Arrow.mk f₂ ⟶ Arrow.mk f₃\ninst✝⁵ : HasImageMap α₂\nβ₂ : Arrow.mk g₂ ⟶ Arrow.mk g₃\ninst✝⁴ : HasCokernel (imageToKernel f g w)\ninst✝³ : HasCokernel (imageToKernel f' g' w')\ninst✝² : HasCokernel (imageToKernel f₁ g₁ w₁)\ninst✝¹ : HasCokernel (imageToKernel f₂ g₂ w₂)\ninst✝ : HasCokernel (imageToKernel f₃ g₃ w₃)\np₁ : α₁.right = β₁.left\np₂ : α₂.right = β₂.left\n⊢ π f₁ g₁ w₁ ≫ map w₁ w₂ α₁ β₁ p₁ ≫ map w₂ w₃ α₂ β₂ p₂ = π f₁ g₁ w₁ ≫ map w₁ w₃ (α₁ ≫ α₂) (β₁ ≫ β₂) ⋯"} {"_id": "202942", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nF G K L : CochainComplex C ℤ\nn✝ m✝ n : ℤ\nf : F ⟶ G\nz : Cochain G K n\nm : ℤ\n⊢ δ n m ((Cochain.ofHom f).comp z ⋯) = (Cochain.ofHom f).comp (δ n m z) ⋯"} {"_id": "202943", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nZ : Set (PrimeSpectrum R)\n⊢ IsClosed Z ↔ ∃ s, Z = zeroLocus s"} {"_id": "202945", "text": "case mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R\ninst✝ : Nontrivial R\nm : Multiset R\nl : List R\n⊢ 0 < prod (Quot.mk Setoid.r l) ↔ ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r l, 0 < x"} {"_id": "202946", "text": "case mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R\ninst✝ : Nontrivial R\nm : Multiset R\nl : List R\n⊢ 0 < l.prod ↔ ∀ x ∈ ↑l, 0 < x"} {"_id": "202947", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring R\ninst✝ : SetLike S R\nhSR : NonUnitalSubsemiringClass S R\ns : S\n⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)"} {"_id": "202948", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring R\ninst✝ : SetLike S R\nhSR : NonUnitalSubsemiringClass S R\ns : S\nthis : SMulMemClass S ℕ R\n⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)"} {"_id": "202949", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ S.homologyι ≫ S.fromOpcycles = 0"} {"_id": "202950", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ S.fromOpcycles = 0"} {"_id": "202952", "text": "case mp\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\ni : ℕ\nh :\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal\n⊢ Localization.mk ((proj 𝒜 i) a ^ m) ⟨f ^ i, ⋯⟩ ∈ ⇑(algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) '' {s | s ∈ q.asIdeal}"} {"_id": "202953", "text": "case mp\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\ni : ℕ\nh :\n HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal\n⊢ ∃ x ∈ {s | s ∈ q.asIdeal},\n (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) x = Localization.mk ((proj 𝒜 i) a ^ m) ⟨f ^ i, ⋯⟩"} {"_id": "202954", "text": "case mpr\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\ni : ℕ\nh : Localization.mk ((proj 𝒜 i) a ^ m) ⟨f ^ i, ⋯⟩ ∈ ⇑(algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) '' {s | s ∈ q.asIdeal}\n⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal"} {"_id": "202958", "text": "case h.e'_4\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\ni : ℕ\nx : A⁰_ f\nhx : (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) x = Localization.mk ((proj 𝒜 i) a ^ m) ⟨f ^ i, ⋯⟩\nh : x ∈ q.asIdeal\n⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } = x"} {"_id": "202959", "text": "case h.e'_4\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nq : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace\na : A\ni : ℕ\nx : A⁰_ f\nhx : (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) x = Localization.mk ((proj 𝒜 i) a ^ m) ⟨f ^ i, ⋯⟩\nh : x ∈ q.asIdeal\n⊢ Localization.mk ↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num\n ⟨↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩ =\n HomogeneousLocalization.val x"} {"_id": "202962", "text": "R : Type u\nS✝ : Type v\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : LocalRing R\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring S\ninst✝ : LocalRing S\nf : R →+* 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"text": "case mapToSelf\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs : List ((_ : α) × α)\nhperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs\nhnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup\nxs₀ : List α\nh₀ : map Sigma.fst xs = xs₀\nxs₁ : List α\nh₁ : map Sigma.snd xs = xs₁\n⊢ Injective (mapToSelf xs hperm hnodup).apply"} {"_id": "202973", "text": "case mapToSelf\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs : List ((_ : α) × α)\nxs₀ : List α\nh₀ : map Sigma.fst xs = xs₀\nxs₁ : List α\nh₁ : map Sigma.snd xs = xs₁\nhxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)\nhperm : map Sigma.fst (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) ~ map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))\nhnodup : (map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))).Nodup\n⊢ Injective (mapToSelf (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) hperm hnodup).apply"} {"_id": "202974", "text": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs : List ((_ : α) × α)\nhperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs\nhnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup\nxs₀ : List α\nh₀ : map Sigma.fst xs = xs₀\nxs₁ : List α\nh₁ : map Sigma.snd xs = xs₁\n⊢ xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)"} {"_id": "202976", "text": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs : List ((_ : α) × α)\n⊢ xs = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst xs).zip (map Sigma.snd xs))"} {"_id": "202977", "text": "case nil\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\n⊢ [] = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst []).zip (map Sigma.snd []))"} {"_id": "202978", "text": "case cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs_hd : (_ : α) × α\nxs_tl : List ((_ : α) × α)\nxs_ih : xs_tl = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst xs_tl).zip (map Sigma.snd xs_tl))\n⊢ xs_hd :: xs_tl = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst (xs_hd :: xs_tl)).zip (map Sigma.snd (xs_hd :: xs_tl)))"} {"_id": "202982", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nn : ℕ\nf : Fin n → α → σ\nhf : ∀ (i : Fin n), Primrec (f i)\n⊢ Primrec fun a => (Vector.ofFn fun i => f i a).toList"} {"_id": "202985", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\n⊢ ∃ i,\n ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε"} {"_id": "202986", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\n⊢ ∃ i,\n ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε"} {"_id": "202988", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\n⊢ ∃ i,\n ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε"} {"_id": "202991", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\n⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε"} {"_id": "202992", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ 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|∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\n⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε"} {"_id": "202997", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → 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α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\nhNMK : max N M + 1 < K\nhKN : N < K\nhsumlesum :\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * 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: ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nh : Q = 0\n⊢ False"} {"_id": "203015", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, 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u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\n⊢ max N M + 1 < 2 * (max N M + 1)"} {"_id": "203017", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k 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n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\nhNMK : max N M + 1 < K\nhKN : N < K\nm : ℕ\nhmJ : m ∈ range (max N M + 1)\n⊢ m + N ≤ 2 * (max N M + 1)"} {"_id": "203022", "text": "case h.h.h₁\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 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range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))\nhsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P\n⊢ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P)) < ε / (2 * P) * P"} {"_id": "203031", "text": "case h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\nhNMK : max N M + 1 < K\nhKN : N < K\nhsumlesum :\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))\nhsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P\ni✝ : ℕ\na✝ : i✝ ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K)\n⊢ abv (∑ k ∈ range (K - i✝), g k + -∑ k ∈ range K, g k) ≤ 2 * Q"} {"_id": "203032", "text": "case h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\nhNMK : max N M + 1 < K\nhKN : N < K\nhsumlesum :\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))\nhsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P\ni✝ : ℕ\na✝ : i✝ ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K)\n⊢ abv (∑ k ∈ range (K - i✝), g k) + abv (-∑ k ∈ range K, g k) ≤ 2 * Q"} {"_id": "203033", "text": "case h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\nhNMK : max N M + 1 < K\nhKN : N < K\nhsumlesum :\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))\nhsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P\ni✝ : ℕ\na✝ : i✝ ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K)\n⊢ abv (∑ k ∈ range (K - i✝), g k) + abv (∑ k ∈ range K, g k) ≤ Q + Q"} {"_id": "203034", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\nhNMK : max N M + 1 < K\nhKN : N < K\nhsumlesum :\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))\nhsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P\n⊢ ∑ i ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K), abv (f i) * (2 * Q) < ε / (4 * Q) * (2 * Q)"} {"_id": "203035", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedField α\ninst✝¹ : Ring β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, 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β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nf g : ℕ → β\na : ℕ → α\nha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)\nhb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n\nε : α\nε0 : 0 < ε\nP : α\nhP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P\nQ : α\nhQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q\nhP0 : 0 < P\nhPε0 : 0 < ε / (2 * P)\nN : ℕ\nhN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)\nhQε0 : 0 < ε / (4 * Q)\nM : ℕ\nhM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)\nK : ℕ\nhK : K ≥ 2 * (max N M + 1)\nh₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n\nh₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k\nh₃ :\n ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =\n ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k\ntwo_mul_two : 4 = 2 * 2\nhQ0 : Q ≠ 0\nh2Q0 : 2 * Q ≠ 0\nhε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε\nhNMK : max N M + 1 < K\nhKN : N < K\nhsumlesum :\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤\n ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))\nhsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P\nthis : 0 < Q\n⊢ ∑ k ∈ range K, abv (f k) - ∑ k ∈ range (max N M + 1), abv (f k) < ε / (4 * Q)"} {"_id": "203039", "text": "R : Type u\ninst✝⁸ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁷ : AddCommGroup Q\ninst✝⁶ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)\ninst✝ : Small.{v, u} R\ninj : Injective R Q\nI : Ideal R\ng : ↥I →ₗ[R] Q\n⊢ ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩"} {"_id": "203040", "text": "R : Type u\ninst✝⁸ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁷ : AddCommGroup Q\ninst✝⁶ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)\ninst✝ : Small.{v, u} R\ninj : Injective R Q\nI : Ideal R\ng : ↥I →ₗ[R] Q\neI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R\n⊢ ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩"} {"_id": "203042", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝⁸ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁷ : AddCommGroup Q\ninst✝⁶ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)\ninst✝ : Small.{v, u} R\ninj : Injective R Q\nI : Ideal R\ng : ↥I →ₗ[R] Q\neI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R\neR : Shrink.{v, u} R ≃ₗ[R] R := Shrink.linearEquiv R R\ng' : Shrink.{v, u} R →ₗ[R] Q\nhg' : ∀ (x : Shrink.{v, u} ↥I), g' ((↑eR.symm ∘ₗ Submodule.subtype I ∘ₗ ↑eI) x) = (g ∘ₗ ↑eI) x\n⊢ ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩"} {"_id": "203043", "text": "R : Type u\ninst✝⁸ : Ring R\nQ : Type v\ninst✝⁷ : AddCommGroup Q\ninst✝⁶ : Module R Q\nM : Type u_1\nN : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R N\ni : M →ₗ[R] N\nf : M →ₗ[R] Q\ninst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)\ninst✝ : Small.{v, u} R\ninj : Injective R Q\nI : Ideal R\ng : ↥I →ₗ[R] Q\neI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R\neR : Shrink.{v, u} R ≃ₗ[R] R := Shrink.linearEquiv R R\ng' : Shrink.{v, u} R →ₗ[R] Q\nhg' : ∀ (x : Shrink.{v, u} ↥I), g' ((↑eR.symm ∘ₗ Submodule.subtype I ∘ₗ ↑eI) x) = (g ∘ₗ ↑eI) x\nx : R\nmx : x ∈ I\n⊢ (g' ∘ₗ ↑eR.symm) x = g ⟨x, mx⟩"} {"_id": "203044", "text": "G : Type u_1\nH : Type u_2\ninst✝¹ : Mul G\ninst✝ : Mul H\nA B : Finset G\na0 b0 : G\nh : UniqueMul A B a0 b0\n⊢ UniqueMul (map { toFun := op, inj' := ⋯ } (map { toFun := op, inj' := ⋯ } A))\n (map { toFun := op, inj' := ⋯ } (map { toFun := op, inj' := ⋯ } B)) (op (op a0)) (op (op b0))"} {"_id": "203045", "text": "G : Type u_1\nH : Type u_2\ninst✝¹ : Mul G\ninst✝ : Mul H\nA B : Finset G\na0 b0 : G\nh : UniqueMul A B a0 b0\n⊢ UniqueMul (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) A)\n (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) B) (op (op a0)) (op (op b0))"} {"_id": "203047", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nl : RBNode α\nv : α\nr : RBNode α\nlv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l\nvr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r\nhl : Ordered cmp l\nhr : Ordered cmp r\n⊢ Ordered cmp (l.balLeft v r)"} {"_id": "203054", "text": "case h_2.h_2\nα : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nl : RBNode α\nv : α\nlv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l\nhl : Ordered cmp l\nl✝ : RBNode α\nx✝ : ∀ (a : RBNode α) (x : α) (b : RBNode α), l = node red a x b → False\nr✝ a✝ : RBNode α\ny✝ : α\nb✝ : RBNode α\nz✝ : α\nc✝ : RBNode α\nvr : All (fun x => cmpLT cmp v x) (node red (node black a✝ y✝ b✝) z✝ c✝)\nhr : Ordered cmp (node red (node black a✝ y✝ b✝) z✝ c✝)\nvy : (fun x => cmpLT cmp v x) y✝\nva : All (fun x => cmpLT cmp v x) a✝\nright✝ : All (fun x => cmpLT cmp v x) b✝\nyz : (fun x => cmpLT cmp x z✝) y✝\nleft✝ : All (fun x => cmpLT cmp x z✝) a✝\nbz : All (fun x => cmpLT cmp x z✝) b✝\nzc : All (fun x => cmpLT cmp z✝ x) c✝\nay : All (fun x => cmpLT cmp x y✝) a✝\nyb : All (fun x => cmpLT cmp y✝ x) b✝\nha : Ordered cmp a✝\nhb : Ordered cmp b✝\nhc : Ordered cmp c✝\n⊢ Ordered cmp (node red (node black l v a✝) y✝ (b✝.balance2 z✝ c✝.setRed))"} {"_id": "203056", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\nP : Fin 3 → R\n⊢ (eval P) W.polynomialZ =\n P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 - (W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)"} {"_id": "203058", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↥(pbo f)\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\n⊢ awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).ΓToStalk x =\n RingHom.comp\n ((specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom ≫\n (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv)\n (algebraMap (A⁰_ f) ↑((Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.stalk ((toSpec 𝒜 f).val.base x)))"} {"_id": "203060", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2\n⊢ W.addY P Q = addU P Q ^ 3"} {"_id": "203061", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrder R\ninst✝ : OrderTop R\ns : Finset S\nf : S → Tropical R\n⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = s.inf (untrop ∘ f)"} {"_id": "203062", "text": "case h.e'_3\nR : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrder R\ninst✝ : OrderTop R\ns : Finset S\nf : S → Tropical R\n⊢ s.inf (untrop ∘ f) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).inf"} {"_id": "203064", "text": "ι✝ : Type u_1\nι : Type u_2\nC : Type u\ninst✝¹² : Category.{v, u} C\ninst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c\nC₁ : Type u_3\nC₂ : Type u_4\ninst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} C₁\ninst✝⁹ : Category.{u_6, u_4} C₂\ninst✝⁸ : Preadditive C₁\ninst✝⁷ : Preadditive C₂\nK L : HomologicalComplex C₁ c\nφ : K ⟶ L\nF : C₁ ⥤ C₂\ninst✝⁶ : F.Additive\ninst✝⁵ : F.PreservesHomology\ni : ι\ninst✝⁴ : K.HasHomology i\ninst✝³ : L.HasHomology i\ninst✝² : ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i\ninst✝¹ : ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i\ninst✝ : F.ReflectsIsomorphisms\n⊢ QuasiIsoAt ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ i"} {"_id": "203065", "text": "ι✝ : Type u_1\nι : Type u_2\nC : Type u\ninst✝¹² : Category.{v, u} C\ninst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c\nC₁ : Type u_3\nC₂ : Type u_4\ninst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} C₁\ninst✝⁹ : Category.{u_6, u_4} C₂\ninst✝⁸ : Preadditive C₁\ninst✝⁷ : Preadditive C₂\nK L : HomologicalComplex C₁ c\nφ : K ⟶ L\nF : C₁ ⥤ C₂\ninst✝⁶ : F.Additive\ninst✝⁵ : F.PreservesHomology\ni : ι\ninst✝⁴ : K.HasHomology i\ninst✝³ : L.HasHomology i\ninst✝² : ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i\ninst✝¹ : ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i\ninst✝ : F.ReflectsIsomorphisms\n⊢ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₂ c i).map ((F.mapHomologicalComplex c).map φ)) ↔\n ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₁ c i).map φ)"} {"_id": "203066", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nh : P ≈ Q\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\n⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q"} {"_id": "203067", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nh : P ≈ Q\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\nsmul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q\n⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q"} {"_id": "203068", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nh : P ≈ Q\nu v : R\nhu : IsUnit u\nhv : IsUnit v\n⊢ P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q"} {"_id": "203070", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\n⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base"} {"_id": "203071", "text": "case h.e'_5\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\n⊢ (toSpec 𝒜 f).val.base = (projIsoSpecTopComponent f_deg hm).hom"} {"_id": "203072", "text": "R : Type u\ninst✝² : Ring R\nX Y : ModuleCat R\nf : X ⟶ Y\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nhf : LinearMap.ker f = ⊥\n⊢ Function.Injective ⇑f"} {"_id": "203073", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedRing α\nf g : ι → α\ns : Set ι\na b c d : α\n⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0"} {"_id": "203074", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : LinearWeights R L M\nχ✝ : L → R\ninst✝ : IsNoetherian R M\nχ : Weight R L M\n⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m"} {"_id": "203075", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : LinearWeights R L M\nχ✝ : L → R\ninst✝ : IsNoetherian R M\nχ : Weight R L M\nhχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)\n⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m"} {"_id": "203076", "text": "case intro.mk.mk\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : AddCommGroup M\ninst✝⁵ : Module R M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : LieModule R L M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝¹ : LinearWeights R L M\nχ✝ : L → R\ninst✝ : IsNoetherian R M\nχ : Weight R L M\nhχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)\nm : M\nproperty✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)\nhm₁ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))\nhm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁⟩ ≠ 0\n⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m"} {"_id": "203080", "text": "case h\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nχ : L → R\nm : M\n⊢ m ∈ ↑(weightSpace M (χ ∘ ⇑⊤.incl)) ↔ m ∈ ↑(weightSpace M χ)"} {"_id": "203081", "text": "case h\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra R L\ninst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nχ : L → R\nm : M\n⊢ (∀ (a : L) (b : a ∈ ⊤), ∃ k, (((toEnd R (↥⊤) M) ⟨a, b⟩ - (χ ∘ ⇑⊤.incl) ⟨a, b⟩ • 1) ^ k) m = 0) ↔\n ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0"} {"_id": "203083", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\n⊢ (x ^ n).snd = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd"} {"_id": "203084", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\n⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (Nat.pred 0 - i + i) •> x.snd) (List.range 0)).sum = 0 •> x.fst ^ Nat.pred 0 •> x.snd"} {"_id": "203085", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn✝ : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\nn : ℕ\n⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (n.succ.pred - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)).sum =\n n.succ •> x.fst ^ n.succ.pred •> x.snd"} {"_id": "203086", "text": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn✝ : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\nn : ℕ\n⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)).sum = n.succ •> x.fst ^ n •> x.snd"} {"_id": "203088", "text": "case refine_1\nR : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn✝ : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\nn : ℕ\nm : M\nhm : m ∈ List.map (fun i => x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)\n⊢ m = x.fst ^ n •> x.snd"} {"_id": "203090", "text": "case refine_1.intro.intro\nR : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn✝ : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\nn i : ℕ\nhi : i < n.succ\n⊢ x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd = x.fst ^ n •> x.snd"} {"_id": "203091", "text": "case refine_2\nR : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn✝ : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\nn : ℕ\n⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)).length •> x.fst ^ n •> x.snd =\n n.succ •> x.fst ^ n •> x.snd"} {"_id": "203095", "text": "case succ\nR : Type u\nM : Type v\ninst✝⁴ : Monoid R\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DistribMulAction R M\ninst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M\ninst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\nx : tsze R M\nn✝ : ℕ\nh : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd\nn : ℕ\nih : x.snd <• x.fst ^ n = x.fst ^ n •> x.snd\n⊢ x.snd <• x.fst ^ (n + 1) = x.fst ^ (n + 1) •> x.snd"} {"_id": "203096", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\n⊢ xgcdAux x 1 0 y 0 1 = (gcd x y, xgcd x y)"} {"_id": "203097", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Set (PrimeSpectrum R)\n⊢ IsIrreducible s ↔ (vanishingIdeal s).IsPrime"} {"_id": "203098", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : Semiring S\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module S M\ninst✝¹ : SMul S R\ninst✝ : IsScalarTower S R M\np✝ q : Submodule R M\nι : Type u_4\ns : Finset ι\np : ι → Submodule R M\nx : M\n⊢ x ∈ s.inf p ↔ ∀ i ∈ s, x ∈ p i"} {"_id": "203099", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : Affine R\nf : R →+* S\nhf : Function.Injective ⇑f\ny : W.CoordinateRing\nhy : (map W f) y = 0\n⊢ y = 0"} {"_id": "203100", "text": "case intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : Affine R\nf : R →+* S\nhf : Function.Injective ⇑f\np q : R[X]\nhy : (map W f) (p • 1 + q • (mk W) Y) = 0\n⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0"} {"_id": "203101", "text": "case intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : Affine R\nf : R →+* S\nhf : Function.Injective ⇑f\np q : R[X]\nhy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0\n⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0"} {"_id": "203102", "text": "case intro.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : Affine R\nf : R →+* S\nhf : Function.Injective ⇑f\np q : R[X]\nhy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0\nhp : Polynomial.map f p = 0\nhq : Polynomial.map f q = 0\n⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0"} {"_id": "203103", "text": "case intro.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : Affine R\nf : R →+* S\nhf : Function.Injective ⇑f\np q : R[X]\nhy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0\nhp : p = 0\nhq : q = 0\n⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0"} {"_id": "203104", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nA : Type u_3\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : Semiring A\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : SetLike S A\nhSA : NonUnitalSubsemiringClass S A\nhSRA : SMulMemClass S R A\ns : S\n⊢ (unitization s).range = Algebra.adjoin R ↑s"} {"_id": "203105", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nA : Type u_3\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : Semiring A\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : SetLike S A\nhSA : NonUnitalSubsemiringClass S A\nhSRA : SMulMemClass S R A\ns : S\n⊢ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range (NonUnitalSubalgebraClass.subtype s)) = Algebra.adjoin R ↑s"} {"_id": "203107", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b : WithBot α\nhb : b ≠ 0\n⊢ ⊥ * b = ⊥"} {"_id": "203111", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nF G K L : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\n⊢ ofHom 0 = 0"} {"_id": "203112", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝¹ : ExistsAddOfLE α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na b c : α\n⊢ map (fun x => c + x) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)"} {"_id": "203114", "text": "case h_one\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedAddCommGroup α\ns✝ t : Interval α\na : α\nf : ι → Interval α\ns : Finset ι\n⊢ length 0 = 0"} {"_id": "203115", "text": "case h_mul\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedAddCommGroup α\ns✝ t : Interval α\na : α\nf : ι → Interval α\ns : Finset ι\n⊢ ∀ (x y : Interval α), (x + y).length ≤ x.length + y.length"} {"_id": "203118", "text": "case mk\nM : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\ni : ι\nx : R[M]\n⊢ ∀ (hx : x ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨x, hx⟩"} {"_id": "203123", "text": "case mk.refine_2\nM : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\ni : ι\nx : R[M]\nm : M\nb : R\ny : M →₀ R\nhmy : m ∉ y.support\nhb : b ≠ 0\nih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩\nhmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i\n⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =\n (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩"} {"_id": "203124", "text": "case mk.refine_2\nM : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\ni : ι\nx : R[M]\nm : M\nb : R\ny : M →₀ R\nhmy : m ∉ y.support\nhb : b ≠ 0\nih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩\nhmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i\nthis : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support\n⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =\n (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩"} {"_id": "203126", "text": "case mk.refine_2.intro\nM : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\ni : ι\nx : R[M]\nm : M\nb : R\ny : M →₀ R\nhmy : m ∉ y.support\nhb : b ≠ 0\nih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩\nhmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i\nthis : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support\nh1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}\nh2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}\n⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =\n (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩"} {"_id": "203128", "text": "case mk.refine_2.intro\nM : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\nx : R[M]\nm : M\nb : R\ny : M →₀ R\nhmy : m ∉ y.support\nhb : b ≠ 0\nthis : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support\nih :\n ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)),\n (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨y, hx⟩\nhmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)\nh1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}\nh2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}\n⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =\n (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩"} {"_id": "203132", "text": "case mk.refine_2.intro\nM : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\nx : R[M]\nm : M\nb : R\ny : M →₀ R\nhmy : m ∉ y.support\nhb : b ≠ 0\nthis : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support\nih :\n ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)),\n (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨y, hx⟩\nhmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)\nh1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}\nh2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}\nih' : (decomposeAux f) y = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨y, h2⟩ := ih h2\n⊢ (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) (⟨Finsupp.single m b, ⋯⟩ + ⟨y, h2⟩) =\n (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩"} {"_id": "203134", "text": "M : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\ni : ι\nx : R[M]\nm : M\nb : R\ny : M →₀ R\nhmy : m ∉ y.support\nhb : b ≠ 0\nih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩\nhmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i\n⊢ Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support"} {"_id": "203135", "text": "M : Type u_1\nι : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝³ : AddMonoid M\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : CommSemiring R\nf : M →+ ι\ni : ι\nx : R[M]\nm : M\nb : R\ny : M →₀ R\nhmy : m ∉ y.support\nhb : b ≠ 0\nih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩\nhmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i\nthis : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support\nh1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}\nh2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}\n⊢ f m = i"} {"_id": "203136", "text": "C : Type u₁\ninst✝ : Category.{v, u₁} C\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nV : Opens ↑↑(Y ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace\nW : Opens ↑↑(X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ U).toPresheafedSpace\ne : W ≤ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V\n⊢ Scheme.Hom.appLE (f ∣_ U) V W e = Scheme.Hom.appLE f (Scheme.ιOpens U ''ᵁ V) (Scheme.ιOpens (f ⁻¹ᵁ U) ''ᵁ W) ⋯"} {"_id": "203137", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\nh : Disjoint p.vars q.vars\n⊢ (p + q).vars = p.vars ∪ q.vars"} {"_id": "203138", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\nh : Disjoint p.vars q.vars\nx : σ\nhx : x ∈ p.vars ∪ q.vars\n⊢ x ∈ (p + q).vars"} {"_id": "203139", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\nx : σ\nh : p.degrees.Disjoint q.degrees\nhx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset\n⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset"} {"_id": "203140", "text": "α : Type u\ninst✝ : DivisionRing α\nx : α\nhx : x ≠ 1\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)"} {"_id": "203141", "text": "α : Type u\ninst✝ : DivisionRing α\nx : α\nhx : x ≠ 1\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ (x ^ n - x ^ m) / (x - 1) = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)"} {"_id": "203142", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nn : ℕ\n⊢ (y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = y ^ n - x ^ n"} {"_id": "203143", "text": "case a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nn : ℕ\n⊢ MulOpposite.op ((y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = MulOpposite.op (y ^ n - x ^ n)"} {"_id": "203144", "text": "case a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nn : ℕ\n⊢ MulOpposite.op (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (MulOpposite.op y - MulOpposite.op x) =\n MulOpposite.op y ^ n - MulOpposite.op x ^ n"} {"_id": "203145", "text": "R : Type u_1\nR₂ : Type u_2\nR₃ : Type u_3\nK : Type u_4\nK₂ : Type u_5\nM : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nV : Type u_9\nV₂ : Type u_10\ninst✝⁹ : Semiring R\ninst✝⁸ : Semiring R₂\ninst✝⁷ : Semiring R₃\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M₃\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R₂ M₂\ninst✝¹ : Module R₃ M₃\nτ₁₂ : R →+* R₂\nτ₂₃ : R₂ →+* R₃\nτ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃\nf : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂\nh : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v\n⊢ ker f = ⊥"} {"_id": "203146", "text": "R : Type u_1\nR₂ : Type u_2\nR₃ : Type u_3\nK : Type u_4\nK₂ : Type u_5\nM : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nV : Type u_9\nV₂ : Type u_10\ninst✝⁹ : Semiring R\ninst✝⁸ : Semiring R₂\ninst✝⁷ : Semiring R₃\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M₃\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R₂ M₂\ninst✝¹ : Module R₃ M₃\nτ₁₂ : R →+* R₂\nτ₂₃ : R₂ →+* R₃\nτ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃\nf : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂\nh : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v\nh₁ : f.comp 0 = 0\n⊢ ker f = ⊥"} {"_id": "203147", "text": "R : Type u_1\nR₂ : Type u_2\nR₃ : Type u_3\nK : Type u_4\nK₂ : Type u_5\nM : Type u_6\nM₂ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nV : Type u_9\nV₂ : Type u_10\ninst✝⁹ : Semiring R\ninst✝⁸ : Semiring R₂\ninst✝⁷ : Semiring R₃\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M₂\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M₃\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R₂ M₂\ninst✝¹ : Module R₃ M₃\nτ₁₂ : R →+* R₂\nτ₂₃ : R₂ →+* R₃\nτ₁₃ : R →+* R₃\ninst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃\nf : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂\nh : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v\nh₁ : f.comp 0 = 0\n⊢ range 0 = ⊥"} {"_id": "203148", "text": "α : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝ : MonoidWithZero M₀\nu : M₀ˣ\n⊢ inverse ↑u = ↑u⁻¹"} {"_id": "203150", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\nK : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nα : Cochain K F m\nβ : Cochain K G n\nh : n + 1 = m\nm' : ℤ\nhm' : m + 1 = m'\n⊢ δ n m (liftCochain φ α β h) =\n -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β + α.comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯"} {"_id": "203151", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\nK : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nα : Cochain K F m\nβ : Cochain K G n\nh : n + 1 = m\nm' : ℤ\nhm' : m + 1 = m'\n⊢ δ n m (α.comp (inl φ) ⋯ + β.comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) =\n -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β + α.comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯"} {"_id": "203153", "text": "C : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\nH : IsOpenImmersion f\n⊢ Set.range ⇑(pullback.fst ≫ f).val.base = Set.range ⇑f.val.base ∩ Set.range ⇑g.val.base"} {"_id": "203154", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\n⊢ TopologicalSpace.Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)"} {"_id": "203155", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\n⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' Set.range basicOpen)"} {"_id": "203156", "text": "case h.e'_3\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\n⊢ SetLike.coe '' Set.range basicOpen = Set.range fun r => ↑(basicOpen r)"} {"_id": "203158", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nS₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.RightHomologyData\nh₂ : S₂.RightHomologyData\n⊢ opcyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -opcyclesMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "203160", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nl m : Language α\na b x : List α\n⊢ a.reverse ∈ l.reverse ↔ a ∈ l"} {"_id": "203161", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\ns : Set (Set A)\n⊢ zeroLocus 𝒜 (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus 𝒜 s'"} {"_id": "203162", "text": "a b : Rat\n⊢ a - b = normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯"} {"_id": "203163", "text": "a b : Rat\n⊢ a.sub b = normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯"} {"_id": "203166", "text": "case isTrue\na b : Rat\nh✝ : a.den.gcd b.den = 1\n⊢ { num := a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den, den := a.den * b.den, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } =\n normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯"} {"_id": "203167", "text": "case isFalse\na b : Rat\nh✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1\n⊢ maybeNormalize (a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den))\n (a.den / a.den.gcd b.den * b.den)\n ((a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den)).natAbs.gcd (a.den.gcd b.den)) ⋯ ⋯ =\n normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯"} {"_id": "203168", "text": "case isFalse\na b : Rat\nh✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1\nthis : a.den.gcd b.den ≠ 0\n⊢ maybeNormalize (a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den))\n (a.den / a.den.gcd b.den * b.den)\n ((a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den)).natAbs.gcd (a.den.gcd b.den)) ⋯ ⋯ =\n normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯"} {"_id": "203170", "text": "case isFalse.e_num\na b : Rat\nh✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1\nthis : a.den.gcd b.den ≠ 0\n⊢ (a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den)) * ↑(a.den.gcd b.den) =\n a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den"} {"_id": "203171", "text": "case isFalse.e_den\na b : Rat\nh✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1\nthis : a.den.gcd b.den ≠ 0\n⊢ a.den / a.den.gcd b.den * b.den * a.den.gcd b.den = a.den * b.den"} {"_id": "203172", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nh : S.RightHomologyData\nA : C\nhf : S.f = 0\nc : KernelFork S.g\nhc : IsLimit c\n⊢ (ofIsLimitKernelFork S hf c hc).g' = S.g"} {"_id": "203173", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedRing α\nn : ℕ\na b c : α\n⊢ |a| < |b| ↔ a * a < b * b"} {"_id": "203174", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedRing α\nn : ℕ\na b c : α\n⊢ |a| < |b| ↔ |a| * |a| < |b| * |b|"} {"_id": "203175", "text": "d : Nat\nn : Int\na : Nat\nd0 : d ≠ 0\na0 : a ≠ 0\n⊢ normalize (↑a * n) (a * d) ⋯ = normalize n d d0"} {"_id": "203176", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203177", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\n⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203178", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\n⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203180", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\n⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203181", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\nh₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2\n⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203183", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\nh₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2\nhc_lt_one : c < 1\n⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203184", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\nh₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2\nhc_lt_one : c < 1\nhlo : (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n\n⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203188", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\nh₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2\nhc_lt_one : c < 1\nhlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖\nhlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖\nn : ℕ\nhn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖\nhn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2\ni : α\n⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203189", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\nh₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2\nhc_lt_one : c < 1\nhlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖\nhlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖\nn : ℕ\nhn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖\nhn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2\ni : α\n⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203190", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\nh₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2\nhc_lt_one : c < 1\nhlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖\nhlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖\nn : ℕ\nhn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2\ni : α\nhn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ↑n\n⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n"} {"_id": "203191", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\n⊢ 0 < 1 - b (max_bi b)"} {"_id": "203205", "text": "case h.bc\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nc : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2\nh_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)\nh_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)\nhc_pos : 0 < c\nh₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2\nhc_lt_one : c < 1\nhlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖\nhlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖\nn : ℕ\nhn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2\ni : α\nhn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ↑n\n⊢ b i ≤ b (max_bi b)"} {"_id": "203206", "text": "α : Type u_1\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α\ninst✝² : Group α\ninst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : Set α\nhs₀ : s.Nonempty\nhs₁ : BddAbove s\nht₀ : t.Nonempty\nht₁ : BddBelow t\n⊢ sSup (s / t) = sSup s / sInf t"} {"_id": "203208", "text": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nM : Type u_3\nN : Type u_4\nP : Type u_5\nG : Type u_6\nH : Type u_7\nF : Type u_8\ninst✝³ : MulOneClass M\ninst✝² : MulOneClass N\ninst✝¹ : CommGroup G\ninst✝ : CommGroup H\nf : G →* H\ng h : M →* G\nx✝ : M\n⊢ (f.comp (g / h)) x✝ = (f.comp g / f.comp h) x✝"} {"_id": "203210", "text": "R : Type uR\ninst✝³ : CommRing R\nA : Type uA\ninst✝² : AddCommGroup A\nA' : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommGroup A'\nB : Type uB\ninst✝ : AddCommGroup B\na : A\nh : a ≠ 0\n⊢ ∃ c, c a ≠ 0"} {"_id": "203211", "text": "R : Type r\nS : Type s\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : WeierstrassCurve R\nf : R →+* S\nn : ℤ\n⊢ (W.map f).ψ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n)"} {"_id": "203213", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nv : α\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsStrictCut cmp cut\nt : RBSet α cmp\nh : cut v ≠ Ordering.eq\n⊢ (t.insert v).findP? cut = t.findP? cut"} {"_id": "203214", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nv : α\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsStrictCut cmp cut\nt : RBSet α cmp\nh : cut v ≠ Ordering.eq\nu : α\nh' : cut u = Ordering.eq\n⊢ u ∈ (t.insert v).toList ↔ u ∈ t.toList"} {"_id": "203215", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nv : α\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsStrictCut cmp cut\nt : RBSet α cmp\nh : cut v ≠ Ordering.eq\nu : α\nh' : cut u = Ordering.eq\n⊢ t.find? v ≠ some u"} {"_id": "203216", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nv : α\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsStrictCut cmp cut\nt : RBSet α cmp\nh✝ : cut v ≠ Ordering.eq\nu : α\nh' : cut u = Ordering.eq\nh : t.find? v = some u\n⊢ cut v = Ordering.eq"} {"_id": "203219", "text": "ι✝ : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring A\ninst✝ : Algebra R A\nM N : Submodule R A\nm n : A\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nx : ι → A\n⊢ ∏ i ∈ s, span R {x i} = span R {∏ i ∈ s, x i}"} {"_id": "203220", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < log (b i * ↑n)"} {"_id": "203222", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\n⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)"} {"_id": "203225", "text": "case refine_1\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedCommGroup α\ns t : NonemptyInterval α\nh : s * t = 1\n⊢ ∃ a b, s = pure a ∧ t = pure b ∧ a * b = 1"} {"_id": "203226", "text": "case refine_1\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedCommGroup α\ns t : NonemptyInterval α\nh : (s * t).toProd.1 = (toProd 1).1 ∧ (s * t).toProd.2 = (toProd 1).2\n⊢ ∃ a b, s = pure a ∧ t = pure b ∧ a * b = 1"} {"_id": "203227", "text": "case refine_1\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedCommGroup α\ns t : NonemptyInterval α\nh : (s * t).toProd.1 = (toProd 1).1 ∧ (s * t).toProd.2 = (toProd 1).2\nthis : s.toProd.1 = s.toProd.2 ∧ t.toProd.1 = t.toProd.2\n⊢ ∃ a b, s = pure a ∧ t = pure b ∧ a * b = 1"} {"_id": "203231", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedCommGroup α\nb c : α\nh : b * c = 1\n⊢ pure b * pure c = 1"} {"_id": "203232", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α →. σ\nh : Nat.Partrec fun n => (↑(decode₂ α n)).bind fun a => Part.map encode (f a)\n⊢ Partrec fun a => Part.map encode (f a)"} {"_id": "203233", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\n⊢ [a ≡ b [PMOD p], ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,\n toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b].TFAE"} {"_id": "203239", "text": "case tfae_3_to_2\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\n⊢ toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)"} {"_id": "203240", "text": "case tfae_3_to_2\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\n⊢ (∃ x, b - x • p ∈ Set.Ioo a (a + p)) → toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b"} {"_id": "203242", "text": "case tfae_4_to_3\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\ntfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)\nh : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b\n⊢ toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b"} {"_id": "203245", "text": "case tfae_1_to_4\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\ntfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)\ntfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b\nh : toIcoMod hp a b = a\n⊢ toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b"} {"_id": "203246", "text": "case tfae_1_to_4\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\ntfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)\ntfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b\nh : toIcoMod hp a b = a\n⊢ a < a + p ∧ ∃ z, b = a + p + z • p"} {"_id": "203248", "text": "case tfae_1_to_4\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\ntfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)\ntfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b\nh : toIcoMod hp a b = a\n⊢ b = a + toIcoDiv hp a b • p"} {"_id": "203249", "text": "case tfae_2_to_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\ntfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)\ntfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b\ntfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b\n⊢ (∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)) → toIcoMod hp a b = a"} {"_id": "203250", "text": "case tfae_2_to_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\ntfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)\ntfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b\ntfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b\n⊢ ¬toIcoMod hp a b = a → ∃ x, b - x • p ∈ Set.Ioo a (a + p)"} {"_id": "203253", "text": "case pos\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nha : c < a\nhab : a ≤ b\n⊢ AntitoneOn (fun x => (x - c)⁻¹) (Set.Icc a b)"} {"_id": "203254", "text": "case neg\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nha : c < a\nhab : ¬a ≤ b\n⊢ AntitoneOn (fun x => (x - c)⁻¹) (Set.Icc a b)"} {"_id": "203255", "text": "E : Type u_1\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E\ninst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E\ninst✝⁸ : MeasurableSpace E\ninst✝⁷ : BorelSpace E\nL✝ : AddSubgroup E\ninst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝\ninst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝\nμ : autoParam (Measure E) _auto✝\ninst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ\nι : Type u_2\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : DecidableEq ι\nL : AddSubgroup (ι → ℝ)\ninst✝¹ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝ : IsZlattice ℝ L\nb : Basis ι ℤ ↥L\n⊢ covolume L volume = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|"} {"_id": "203262", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝ : DecidableRel c.Rel\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nhj : c.Rel j (c.next j)\n⊢ inrX φ i ≫ d φ i j = G.d i j ≫ inrX φ j"} {"_id": "203263", "text": "case pos.h₁\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝ : DecidableRel c.Rel\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nhj : c.Rel j (c.next j)\n⊢ (inrX φ i ≫ d φ i j) ≫ fstX φ j (c.next j) hj = (G.d i j ≫ inrX φ j) ≫ fstX φ j (c.next j) hj"} {"_id": "203264", "text": "case pos.h₂\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝ : DecidableRel c.Rel\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nhj : c.Rel j (c.next j)\n⊢ (inrX φ i ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (G.d i j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j"} {"_id": "203265", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝ : DecidableRel c.Rel\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nhj : ¬c.Rel j (c.next j)\n⊢ inrX φ i ≫ d φ i j = G.d i j ≫ inrX φ j"} {"_id": "203266", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝ : DecidableRel c.Rel\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nhj : ¬c.Rel j (c.next j)\n⊢ (inrX φ i ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (G.d i j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j"} {"_id": "203267", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝ : DecidableRel c.Rel\ni j : ι\nhij : ¬c.Rel i j\n⊢ inrX φ i ≫ d φ i j = G.d i j ≫ inrX φ j"} {"_id": "203268", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nha : a < 0\nhb : b < 0\n⊢ 1 / a < b ↔ 1 / b < a"} {"_id": "203271", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\n⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}"} {"_id": "203273", "text": "case a\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\naux : ∀ (y : L), ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s\n⊢ ↑⁅I, N⁆ ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}"} {"_id": "203274", "text": "case a\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\naux : ∀ (y : L), ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s\n⊢ ⁅I, N⁆ ≤\n let __src := Submodule.span R s;\n { toSubmodule := __src, lie_mem := ⋯ }"} {"_id": "203275", "text": "case a\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\naux : ∀ (y : L), ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s\n⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆\n ↑(let __src := Submodule.span R s;\n { toSubmodule := __src, lie_mem := ⋯ })"} {"_id": "203277", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\n⊢ ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s"} {"_id": "203279", "text": "case refine_1.intro.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\nm'' : M\nx : ↥I\nn : ↥N\nhm'' : ⁅↑x, ↑n⁆ = m''\n⊢ ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s"} {"_id": "203280", "text": "case refine_1.intro.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\nm'' : M\nx : ↥I\nn : ↥N\nhm'' : ⁅↑x, ↑n⁆ = m''\n⊢ ⁅⁅y, ↑x⁆, ↑n⁆ + ⁅↑x, ⁅y, ↑n⁆⁆ ∈ Submodule.span R s"} {"_id": "203283", "text": "case refine_2\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\n⊢ (fun m' => ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s) 0"} {"_id": "203285", "text": "case refine_3\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\nm₁ m₂ : M\nhm₁ : ⁅y, m₁⁆ ∈ Submodule.span R s\nhm₂ : ⁅y, m₂⁆ ∈ Submodule.span R s\n⊢ ⁅y, m₁ + m₂⁆ ∈ Submodule.span R s"} {"_id": "203286", "text": "case refine_3\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\nm₁ m₂ : M\nhm₁ : ⁅y, m₁⁆ ∈ Submodule.span R s\nhm₂ : ⁅y, m₂⁆ ∈ Submodule.span R s\n⊢ ⁅y, m₁⁆ + ⁅y, m₂⁆ ∈ Submodule.span R s"} {"_id": "203288", "text": "case refine_4\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\nt : R\nm'' : M\nhm'' : ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s\n⊢ ⁅y, t • m''⁆ ∈ Submodule.span R s"} {"_id": "203289", "text": "case refine_4\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\ns : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny : L\nm' : M\nhm' : m' ∈ Submodule.span R s\nt : R\nm'' : M\nhm'' : ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s\n⊢ t • ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s"} {"_id": "203290", "text": "case a\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\n⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ ↑⁅I, N⁆"} {"_id": "203291", "text": "case a\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\n⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ ↑(lieSpan R L {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m})"} {"_id": "203292", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : A → A → Prop\na b : A\nha : a ∈ adjoin R s\nhb : b ∈ adjoin R s\nHs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y\nHalg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)\nHalg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x\nHalg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)\nHadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y\nHadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)\nHmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y\nHmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)\nHstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)\nHstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y\nHstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)\n⊢ p a b"} {"_id": "203295", "text": "case refine_1.inl.inr\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : A → A → Prop\na b : A\nha : a ∈ adjoin R s\nhb : b ∈ adjoin R s\nHs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y\nHalg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)\nHalg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x\nHalg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)\nHadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y\nHadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)\nHmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y\nHmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)\nHstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)\nHstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y\nHstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)\nx y : A\nhx : x ∈ s\nhy : y ∈ star s\n⊢ p x y"} {"_id": "203296", "text": "case refine_1.inr.inl\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : A → A → Prop\na b : A\nha : a ∈ adjoin R s\nhb : b ∈ adjoin R s\nHs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y\nHalg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)\nHalg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x\nHalg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)\nHadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y\nHadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)\nHmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y\nHmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)\nHstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)\nHstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y\nHstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)\nx y : A\nhx : x ∈ star s\nhy : y ∈ s\n⊢ p x y"} {"_id": "203297", "text": "case refine_1.inr.inr\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : A → A → Prop\na b : A\nha : a ∈ adjoin R s\nhb : b ∈ adjoin R s\nHs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y\nHalg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)\nHalg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x\nHalg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)\nHadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y\nHadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)\nHmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y\nHmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)\nHstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)\nHstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y\nHstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)\nx y : A\nhx : x ∈ star s\nhy : y ∈ star s\n⊢ p x y"} {"_id": "203300", "text": "case refine_2.inr\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : A → A → Prop\na b : A\nha : a ∈ adjoin R s\nhb : b ∈ adjoin R s\nHs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y\nHalg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)\nHalg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x\nHalg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)\nHadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y\nHadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)\nHmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y\nHmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)\nHstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)\nHstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y\nHstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)\nr : R\nx : A\nhx : x ∈ star s\n⊢ p ((algebraMap R 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Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₂ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Epi (homologyMap φ.τ₁ j)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)\nj : ι\nhij : c.Rel i j\n⊢ ((δ₀Functor ⋙ δlastFunctor).obj (composableArrows₅ hS₁ i j hij)).Exact"} {"_id": "203387", "text": "case pos.intro.hR₂\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₂ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Epi (homologyMap φ.τ₁ j)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)\nj : ι\nhij : c.Rel i j\n⊢ ((δ₀Functor ⋙ δlastFunctor).obj (composableArrows₅ hS₂ i j hij)).Exact"} {"_id": "203392", "text": "case neg\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₂ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Epi (homologyMap φ.τ₁ j)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)\nhi : ¬∃ j, c.Rel i j\nthis : Epi S₂.g\n⊢ Epi (homologyMap φ.τ₃ i)"} {"_id": "203394", "text": "case neg\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nS S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhS₁ : S₁.ShortExact\nhS₂ : S₂.ShortExact\ni : ι\nh₁ : Epi (homologyMap φ.τ₂ i)\nh₂ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Epi (homologyMap φ.τ₁ j)\nh₃ : ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)\nhi : ¬∃ j, c.Rel i j\nthis : Epi S₂.g\neq : homologyMap (φ.τ₂ ≫ S₂.g) i = homologyMap (S₁.g ≫ φ.τ₃) i\n⊢ Epi (homologyMap φ.τ₃ i)"} {"_id": "203395", "text": "case neg\nC : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} 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Epi (homologyMap φ.τ₃ i)"} {"_id": "203399", "text": "case intro.mk.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\nV : Opens ↑X.toTopCat\nhxV : x ∈ V\nR : CommRingCat\ne : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }\n⊢ ∃ R f, IsOpenImmersion f ∧ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U"} {"_id": "203401", "text": "case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\nV : Opens ↑X.toTopCat\nhxV : x ∈ V\nR : CommRingCat\ne : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }\nthis : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U\nr : ↑R\nhr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)\nhr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)\n⊢ ∃ R f, 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Category.{v, u} C\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\nV : Opens ↑X.toTopCat\nhxV : x ∈ V\nR : CommRingCat\ne : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }\nthis : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U\nr : ↑R\nhr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)\nhr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)\nf : Spec (CommRingCat.of (Localization.Away r)) ⟶ X :=\n Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r))) ≫ e.inv ≫ X.ofRestrict ⋯\n⊢ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U"} {"_id": "203404", "text": "case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\nV : Opens ↑X.toTopCat\nhxV : x ∈ V\nR : CommRingCat\ne : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := R }\nthis : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U\nr : ↑R\nhr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)\nhr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)\nf : Spec (CommRingCat.of (Localization.Away r)) ⟶ X :=\n Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r))) ≫ e.inv ≫ X.ofRestrict ⋯\n⊢ x ∈\n ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) ''\n Set.range ⇑(Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r)))).val.base ∧\n ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) ''\n Set.range ⇑(Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r)))).val.base ⊆\n ↑U"} {"_id": "203406", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn : ℤ\n⊢ QuasiIsoAt (descShortComplex S) n"} {"_id": "203407", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : 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"203416", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)\nhS : S.ShortExact\nn : ℤ\nφ : ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceComposableArrows₅ (triangleh S.f) n (n + 1) ⋯).δlast ⟶\n (composableArrows₅ hS n (n + 1) ⋯).δlast :=\n homMk₄ ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₁)\n ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₂)\n ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₃ ≫\n HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)\n ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₁)\n ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₂) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯\n⊢ IsIso\n ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (mappingCone S.f) ≫\n HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)"} {"_id": "203420", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type v\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R 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Category.{v', u'} D\ninst✝ : Preadditive D\nK : CochainComplex C ℤ\na b n : ℤ\n⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom"} {"_id": "203430", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nδ : Type u_5\ninst✝⁷ : Preorder α\ninst✝⁶ : Preorder β\ninst✝⁵ : Preorder γ\ninst✝⁴ : Preorder δ\ninst✝³ : MulOneClass α\ninst✝² : MulOneClass β\ninst✝¹ : MulOneClass γ\ninst✝ : MulOneClass δ\nf✝ g✝ f g : α →*o β\nh : f.toOrderHom = g.toOrderHom\n⊢ ∀ (a : α), f a = g a"} {"_id": "203432", "text": "n : Num\n⊢ decodeNum (encodeNum n) = n"} {"_id": "203433", "text": "case pos\nn : PosNum\n⊢ (if\n (match Num.pos n with\n | Num.zero => []\n | Num.pos n => encodePosNum n) =\n [] then\n Num.zero\n else\n ↑(decodePosNum\n (match Num.pos n with\n | Num.zero => []\n | Num.pos n => encodePosNum n))) =\n Num.pos n"} {"_id": "203434", "text": "case pos\nn : PosNum\n⊢ (if\n (match Num.pos n with\n | Num.zero => []\n | Num.pos n => encodePosNum n) =\n [] then\n Num.zero\n else ↑n) =\n Num.pos n"} {"_id": "203435", "text": "case pos\nn : PosNum\n⊢ (if\n (match Num.pos n with\n | Num.zero => []\n | Num.pos n => encodePosNum n) =\n [] then\n Num.zero\n else Num.pos n) =\n Num.pos n"} {"_id": "203437", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\n⊢ (as.zipWith bs f).data = List.zipWith f as.data bs.data"} {"_id": "203439", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\n⊢ (zipWithAux f as bs i cs).data = cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203441", "text": "case neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬(i = as.size ∨ i = bs.size)\n⊢ (if h : i < as.size then\n let a := as[i];\n if h : i < bs.size then\n let b := bs[i];\n zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b))\n else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203442", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : i = as.size ∨ i = bs.size\n⊢ (if h : i < as.size then\n let a := as[i];\n if h : i < bs.size then\n let b := bs[i];\n zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b))\n else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203443", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : i = as.size ∨ i = bs.size\nthis : ¬i < as.size ∨ ¬i < bs.size\n⊢ (if h : i < as.size then\n let a := as[i];\n if h : i < bs.size then\n let b := bs[i];\n zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b))\n else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203445", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : i = as.size ∨ i = bs.size\n⊢ ¬i < as.size ∨ ¬i < bs.size"} {"_id": "203448", "text": "case inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh✝¹ : i = as.size\nh✝ : as.size ≤ i\n⊢ (if h : i < as.size then if h_1 : i < bs.size then zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f as[i] bs[i])) else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203449", "text": "case inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh✝¹ : i = as.size\nh✝ : bs.size ≤ i\n⊢ (if h : i < as.size then if h_1 : i < bs.size then zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f as[i] bs[i])) else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203450", "text": "case inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh✝¹ : i = bs.size\nh✝ : as.size ≤ i\n⊢ (if h : i < as.size then if h_1 : i < bs.size then zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f as[i] bs[i])) else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203451", "text": "case inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : bs.size ≤ as.size\nh✝¹ : i = bs.size\nh✝ : as.size ≤ bs.size\n⊢ (if h : bs.size < as.size then cs else cs).data = cs.data"} {"_id": "203452", "text": "case inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh✝¹ : i = bs.size\nh✝ : bs.size ≤ i\n⊢ (if h : i < as.size then if h_1 : i < bs.size then zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f as[i] bs[i])) else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203453", "text": "case inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : bs.size ≤ as.size\nh✝ : i = bs.size\n⊢ (if h : bs.size < as.size then cs else cs).data = cs.data"} {"_id": "203454", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬(i = as.size ∨ i = bs.size)\n⊢ (if h : i < as.size then\n let a := as[i];\n if h : i < bs.size then\n let b := bs[i];\n zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b))\n else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203455", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬i = as.size ∧ ¬i = bs.size\n⊢ (if h : i < as.size then\n let a := as[i];\n if h : i < bs.size then\n let b := bs[i];\n zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b))\n else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203456", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬i = as.size ∧ ¬i = bs.size\nhas : i < as.size\n⊢ (if h : i < as.size then\n let a := as[i];\n if h : i < bs.size then\n let b := bs[i];\n zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b))\n else cs\n else cs).data =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203457", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : 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= bs.size\nhas : i < as.size\nhbs : i < bs.size\n⊢ cs.data ++ [f as[i] bs[i]] ++ List.zipWith f (List.drop (i + 1) as.data) (List.drop (i + 1) bs.data) =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203460", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬i = as.size ∧ ¬i = bs.size\nhas : i < as.size\nhbs : i < bs.size\nh₁ : [f as[i] bs[i]] = List.zipWith f [as[i]] [bs[i]]\n⊢ cs.data ++ [f as[i] bs[i]] ++ List.zipWith f (List.drop (i + 1) as.data) (List.drop (i + 1) bs.data) =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203461", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬i = as.size ∧ ¬i = bs.size\nhas : i < as.size\nhbs : i < bs.size\nh₁ : [f as[i] bs[i]] = List.zipWith f [as[i]] [bs[i]]\ni_as : Fin as.data.length := ⟨i, has⟩\n⊢ cs.data ++ [f as[i] bs[i]] ++ List.zipWith f (List.drop (i + 1) as.data) (List.drop (i + 1) bs.data) =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203462", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬i = as.size ∧ ¬i = bs.size\nhas : i < as.size\nhbs : i < bs.size\nh₁ : [f as[i] bs[i]] = List.zipWith f [as[i]] [bs[i]]\ni_as : Fin as.data.length := ⟨i, has⟩\ni_bs : Fin bs.data.length := ⟨i, hbs⟩\n⊢ cs.data ++ [f as[i] bs[i]] ++ List.zipWith f (List.drop (i + 1) as.data) (List.drop (i + 1) bs.data) =\n cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203464", "text": "case e_a\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬i = as.size ∧ ¬i = 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γ\nas : Array α\nbs : Array β\ni : Nat\ncs : Array γ\nhia : i ≤ as.size\nhib : i ≤ bs.size\nh : ¬i = as.size ∧ ¬i = bs.size\nhas : i < as.size\nhbs : i < bs.size\nh₁ : [f as[i] bs[i]] = List.zipWith f [as[i]] [bs[i]]\ni_as : Fin as.data.length := ⟨i, has⟩\ni_bs : Fin bs.data.length := ⟨i, hbs⟩\n⊢ List.zipWith f (as.data[i_as] :: List.drop (↑i_as + 1) as.data) (bs.data.get i_bs :: List.drop (↑i_bs + 1) bs.data) =\n List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)"} {"_id": "203470", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np q : MvPolynomial σ R\n⊢ X n ^ e = (monomial (Finsupp.single n e)) 1"} {"_id": "203471", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝² : CommMonoid M\ninst✝¹ : CommMonoid N\nf✝ g✝ : α → M\na b : α\ns t : Set α\ninst✝ : DivisionCommMonoid G\nf g : α → G\nhs : s.Finite\n⊢ ∏ᶠ (i : 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k\ninst✝⁵ : Monoid G\ninst✝⁴ : Monoid H\nA : Type u₃\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra k A\nB : Type u_3\ninst✝¹ : Semiring B\ninst✝ : Algebra k B\nF : G →* A\nf : MonoidAlgebra k G\n⊢ ((lift k G A) F) f = sum f fun a b => b • F a"} {"_id": "203478", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : Affine R\ninst✝ : Nontrivial R\n⊢ W.polynomial.degree = 2"} {"_id": "203479", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : Affine R\ninst✝ : Nontrivial R\n⊢ { a := 0, b := 1, c := { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly,\n d := { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly }.toPoly.degree =\n 2"} {"_id": "203480", "text": "F : Type u_1\nG : Type u_2\nH : Type u_3\ninst✝³ : FunLike F G H\na : G\nb : H\ninst✝² : AddMonoid G\ninst✝¹ : AddMonoid H\ninst✝ : AddConstMapClass F G H a b\nf : F\nx : G\nn : ℕ\n⊢ f (x + n • a) = f x + n • b"} {"_id": "203482", "text": "case h\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : HasBinaryBiproducts C\nX₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ\nf : X₁ ⟶ X₂\ng : X₂ ⟶ X₃\nn : ℤ\n⊢ (hom f g ≫ inv f g).f n = (𝟙 (mappingCone g)).f n"} {"_id": "203483", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : MulOneClass M\nl✝ : List M\na : M\nl : List ι\n⊢ (map (fun x => 1) l).prod = 1"} {"_id": "203485", "text": "case cons\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : MulOneClass M\nl : List M\na : M\nhd : ι\ntl : List ι\nih : (map (fun x => 1) tl).prod = 1\n⊢ (map (fun x => 1) (hd :: tl)).prod = 1"} {"_id": "203486", "text": "X : Scheme\nr : ↑Γ(X, ⊤)\n⊢ adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ basicOpen r = X.basicOpen r"} {"_id": "203487", "text": "X : Scheme\nr : ↑Γ(X, ⊤)\n⊢ adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ (Spec Γ(X, ⊤)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = X.basicOpen r"} {"_id": "203489", "text": "case e_f\nX : Scheme\nr : ↑Γ(X, ⊤)\n⊢ (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤) ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = r"} {"_id": "203491", "text": "k : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring k\ninst✝ : AddCancelCommMonoid G\nx : k[G]\ng g' : G\nh : ∃ d, g' = g + d\n⊢ (x %ᵒᶠ g) g' = 0"} {"_id": "203492", "text": "k : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : Semiring k\ninst✝ : AddCancelCommMonoid G\nx : k[G]\ng g' : G\nh : ∃ d, g' = g + d\n⊢ ¬¬∃ g₂, g' = g + g₂"} {"_id": "203493", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝⁴ : LinearOrderedRing α\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝² : Module α β\ninst✝¹ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\ninst✝ : Fintype ι\nhfg : Antivary f g\n⊢ ∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f i • g (σ i) ↔ ¬Antivary f (g ∘ ⇑σ)"} {"_id": "203494", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\nC : Type u_3\ninst✝⁶ : CommSemiring R\ninst✝⁵ : NonUnitalSemiring A\ninst✝⁴ : Module R A\ninst✝³ : SMulCommClass R A A\ninst✝² : IsScalarTower R A A\ninst✝¹ : Semiring C\ninst✝ : Algebra R C\nf : A →ₙₐ[R] C\nc : Subalgebra R C\n⊢ (lift f).range ≤ c ↔ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range f) ≤ c"} {"_id": "203496", "text": "m n : ℕ\nf : Vector ℕ m → Vector ℕ n\nh : Vec f\n⊢ Computable f"} {"_id": "203497", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ₁ : S₁ ⟶ S₂\nφ₂ : S₂ ⟶ S₃\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nh₃ : S₃.LeftHomologyData\n⊢ leftHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' φ₂ h₂ h₃"} {"_id": "203498", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ₁ : S₁ ⟶ S₂\nφ₂ : S₂ ⟶ S₃\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nh₃ : S₃.LeftHomologyData\nγ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂\n⊢ leftHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' φ₂ h₂ h₃"} {"_id": "203499", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ₁ : S₁ ⟶ S₂\nφ₂ : S₂ ⟶ S₃\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nh₃ : S₃.LeftHomologyData\nγ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂\nγ₂ : LeftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := leftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃\n⊢ leftHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' φ₂ h₂ h₃"} {"_id": "203500", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP Q : Cubic R\na b c d a' b' c' d' : R\ninst✝ : Semiring R\nha : P.a = 0\nhb : P.b = 0\nhc : P.c ≠ 0\n⊢ P.toPoly.natDegree = 1"} {"_id": "203501", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2\nhy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3\n⊢ W.add P Q =\n W.dblZ P •\n ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n 1]"} {"_id": "203502", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\na b c d : α\n⊢ |a| = -a ↔ a ≤ 0"} {"_id": "203503", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nK L : CochainComplex C ℕ\nφ : K ⟶ L\ninst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0\ninst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0\n⊢ HomologicalComplex.homologyMap φ 0 ≫ L.isoHomologyπ₀.inv = K.isoHomologyπ₀.inv ≫ HomologicalComplex.cyclesMap φ 0"} {"_id": "203504", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\ns : Set R\na : R\nι : Type u_3\np : ι → Ideal R\nS : Finset ι\nhp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤\nT : Finset ι\nhT : T ⊆ S\ni : ι\nhi : i ∈ S\nhiT : i ∉ T\n⊢ Disjoint ((fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i) (T.sup fun i => torsionBySet R M ↑(p i))"} {"_id": "203505", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\ns : Set R\na : R\nι : Type u_3\np : ι → Ideal R\nS : Finset ι\nhp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤\nT : Finset ι\nhT : T ⊆ S\ni : ι\nhi : i ∈ S\nhiT : i ∉ T\n⊢ (fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥"} {"_id": "203507", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\ns : Set R\na : R\nι : Type u_3\np : ι → Ideal R\nS : Finset ι\nhp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤\nT : Finset ι\nhT : T ⊆ S\ni : ι\nhi : i ∈ S\nhiT : i ∉ T\nthis : torsionBySet R M ↑(p i ⊔ ⨅ i ∈ T, p i) = torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i)\n⊢ torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥"} {"_id": "203514", "text": "case some.mk\nΓ : Type u_1\ninst✝¹ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝ : Inhabited Λ\nM : TM0.Machine Γ Λ\nx✝ : Cfg₀\nq : Λ\nT : Tape Γ\nq' : Λ\ns : TM0.Stmt Γ\ne : M q T.head = some (q', s)\n⊢ FRespects (TM1.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { q := q, Tape := T }) (TM0.step M { q := q, Tape := T })"} {"_id": "203516", "text": "case some.mk\nΓ : Type u_1\ninst✝¹ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝ : Inhabited Λ\nM : TM0.Machine Γ Λ\nx✝ : Cfg₀\nq : Λ\nT : Tape Γ\nq' : Λ\ns : TM0.Stmt Γ\n⊢ M q T.head = some (q', s) →\n Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T }\n {\n l :=\n match\n match\n M q'\n (match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head with\n | some val => true\n | none => false with\n | true => some (Λ'.normal q')\n | false => none,\n var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }"} {"_id": "203518", "text": "case some.mk\nΓ : Type u_1\ninst✝¹ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝ : Inhabited Λ\nM : TM0.Machine Γ Λ\nx✝ : Cfg₀\nq : Λ\nT : Tape Γ\nq' : Λ\ns : TM0.Stmt Γ\nthis :\n TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } =\n some\n { l := some (Λ'.normal q'), var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }\ne : M q T.head = some (q', s)\n⊢ Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T }\n {\n l :=\n match\n match\n M q'\n (match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head with\n | some val => true\n | none => false with\n | true => some (Λ'.normal q')\n | false => none,\n var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }"} {"_id": "203520", "text": "case none\nΓ : Type u_1\ninst✝¹ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝ : Inhabited Λ\nM : TM0.Machine Γ Λ\nx✝ : Cfg₀\nq : Λ\nT : Tape Γ\ne : M q T.head = none\n⊢ FRespects (TM1.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { q := q, Tape := T }) (TM0.step M { q := q, Tape := T })"} {"_id": "203523", "text": "case some.mk.refine_1\nΓ : Type u_1\ninst✝¹ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝ : Inhabited Λ\nM : TM0.Machine Γ Λ\nx✝ : Cfg₀\nq : Λ\nT : Tape Γ\nq' : Λ\ns : TM0.Stmt Γ\nthis :\n TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } =\n some\n { l := some (Λ'.normal q'), var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }\ne : M q T.head = some (q', s)\n⊢ { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T }"} {"_id": "203526", "text": "case some.mk.refine_2.none\nΓ : Type u_1\ninst✝¹ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝ : Inhabited Λ\nM : TM0.Machine Γ Λ\nx✝ : Cfg₀\nq : Λ\nT : Tape Γ\nq' : Λ\ns : TM0.Stmt Γ\nthis :\n TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } =\n some\n { l := some (Λ'.normal q'), var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }\ne : M q T.head = some (q', s)\ne' :\n M q'\n (match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head =\n none\n⊢ ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a)\n { l := some (Λ'.normal q'), var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }\n {\n l :=\n match\n match none with\n | some val => true\n | none => false with\n | true => some (Λ'.normal q')\n | false => none,\n var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }"} {"_id": "203527", "text": "case some.mk.refine_2.none.hab\nΓ : Type u_1\ninst✝¹ : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝ : Inhabited Λ\nM : TM0.Machine Γ Λ\nx✝ : Cfg₀\nq : Λ\nT : Tape Γ\nq' : Λ\ns : TM0.Stmt Γ\nthis :\n TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } =\n some\n { l := some (Λ'.normal q'), var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }\ne : M q T.head = some (q', s)\ne' :\n M q'\n (match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head =\n none\n⊢ {\n l :=\n match\n match none with\n | some val => true\n | none => false with\n | true => some (Λ'.normal q')\n | false => none,\n var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T } ∈\n TM1.step (tr M)\n { l := some (Λ'.normal q'), var := (),\n Tape :=\n match s with\n | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T\n | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }"} {"_id": "203531", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK : HomologicalComplex C c\ni j k : ι\nhi : c.prev j = i\nhk : c.next j = k\ninst✝¹ : K.HasHomology j\ninst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology\n⊢ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.fromOpcycles j k = (K.sc' i j k).fromOpcycles"} {"_id": "203532", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nπ : ι → Type u_4\ninst✝ : IdemSemiring α\na✝ b c : α\nn : ℕ\nx✝ : n + 2 ≠ 0\na : α\n⊢ (n + 2) • a = a"} {"_id": "203533", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝⁴ : LinearOrderedRing α\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝² : Module α β\ninst✝¹ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\ninst✝ : Fintype ι\nhfg : Antivary f g\n⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Antivary f (g ∘ ⇑σ)"} {"_id": "203534", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH : buckets.WF\nx✝³ : AssocList α β\nx✝² : x✝³ ∈ (Buckets.mk (buckets.val.size * 2) ⋯).val.data\nx✝¹ : α × β\nx✝ : x✝¹ ∈ x✝³.toList\n⊢ (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat < 0) x✝¹.fst x✝¹.snd"} {"_id": "203538", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝³ : BEq α\ninst✝² : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) bucket\nH : i < source.size\ninst✝¹ : LawfulHashable α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nx✝ : AssocList α β\nhl : x✝ ∈ (source.set ⟨i, H⟩ AssocList.nil).data\n⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) x✝.toList"} {"_id": "203541", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni✝ : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i✝) bucket\nH : i✝ < source.size\ni : Nat\nh : i < (source.set ⟨i✝, H⟩ AssocList.nil).size\n⊢ AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % (source.set ⟨i✝, H⟩ AssocList.nil).size).toNat = i)\n (source.set ⟨i✝, H⟩ AssocList.nil)[i]"} {"_id": "203546", "text": "case refine_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) bucket\nH : i < source.size\n⊢ (AssocList.foldl reinsertAux target (source.get ⟨i, H⟩)).WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ (AssocList.foldl reinsertAux target (source.get ⟨i, H⟩)).val.data →\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % (source.set ⟨i, H⟩ AssocList.nil).size).toNat < i + 1) bucket"} {"_id": "203547", "text": "case refine_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) bucket\nH : i < source.size\nrank : α → Nat := fun k => ((hash k).toUSize % source.size).toNat\n⊢ (AssocList.foldl reinsertAux target (source.get ⟨i, H⟩)).WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ (AssocList.foldl reinsertAux target (source.get ⟨i, H⟩)).val.data →\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % (source.set ⟨i, H⟩ AssocList.nil).size).toNat < i + 1) bucket"} {"_id": "203548", "text": "case refine_3.refine_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) bucket\nH : i < source.size\nrank : α → Nat := fun k => ((hash k).toUSize % source.size).toNat\nthis :\n (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target source[i].toList).WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target source[i].toList).val.data →\n AssocList.All (fun k x => rank k ≤ i) bucket\n⊢ (AssocList.foldl reinsertAux target (source.get ⟨i, H⟩)).WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ (AssocList.foldl reinsertAux target (source.get ⟨i, H⟩)).val.data →\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % (source.set ⟨i, H⟩ AssocList.nil).size).toNat < i + 1) bucket"} {"_id": "203549", "text": "case refine_3.refine_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) bucket\nH : i < source.size\nrank : α → Nat := fun k => ((hash k).toUSize % source.size).toNat\nthis :\n (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target source[i].toList).WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target source[i].toList).val.data →\n AssocList.All (fun k x => rank k ≤ i) bucket\n⊢ (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target source[i].toList).WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target source[i].toList).val.data →\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i + 1) bucket"} {"_id": "203550", "text": "case refine_3.refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) bucket\nH : i < source.size\nrank : α → Nat := fun k => ((hash k).toUSize % source.size).toNat\n⊢ ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α],\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) source[i].toList"} {"_id": "203552", "text": "case refine_3.refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nsz : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\nH✝ : buckets.WF\ni : Nat\nsource : Array (AssocList α β)\nhs₁ :\n ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ source.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList\nhs₂ : ∀ (j : Nat) (h : j < source.size), AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat = j) source[j]\ntarget : Buckets α β\nht :\n target.WF ∧\n ∀ (bucket : AssocList α β),\n bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) bucket\nH : i < source.size\nrank : α → Nat := fun k => ((hash k).toUSize % source.size).toNat\nx✝¹ : AssocList α β\nh₁ : x✝¹ ∈ target.val.data\nx✝ : α × β\nh₂ : x✝ ∈ x✝¹.toList\nthis : (fun k x => ((hash k).toUSize % source.size).toNat < i) x✝.fst x✝.snd\n⊢ (fun k x =>\n rank k ≤ i ∧\n ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α] (x : α × β), x ∈ source[i].toList → ¬(x.fst == k) = true)\n x✝.fst x✝.snd"} {"_id": "203555", "text": "R : Type u_1\ninst✝² : CommSemiring R\nX : Type u_2\nA : Type u_3\ninst✝¹ : Semiring A\ninst✝ : Algebra R A\ns : Set A\n⊢ Algebra.adjoin R s = ((lift R) Subtype.val).range"} {"_id": "203556", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\n⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioi 0)"} {"_id": "203557", "text": "case h.e'_5.h.h.e'_3\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nx✝ : α\n⊢ x✝ = x✝ - 0"} {"_id": "203558", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf✝ g : α → β\nc c₁ c₂ x : α\ninst✝¹ : Add α\ninst✝ : CommMonoid β\nι : Type u_4\nf : ι → α → β\ns : Finset ι\nhs : ∀ i ∈ s, Periodic (f i) c\n⊢ ∀ f_1 ∈ List.map f s.toList, Periodic f_1 c"} {"_id": "203559", "text": "l m r : List Char\nf : Char → Bool\nx✝ : Substring\nh : ValidFor l m r x✝\n⊢ x✝.all f = m.all f"} {"_id": "203560", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nk : ℕ\n⊢ derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥"} {"_id": "203561", "text": "R✝ : Type u\ninst✝¹¹ : CommRing R✝\nW✝ : Affine R✝\nR : Type r\ninst✝¹⁰ : CommRing R\nW : Affine R\nS : Type s\ninst✝⁹ : CommRing S\ninst✝⁸ : Algebra R S\nA : Type u\ninst✝⁷ : CommRing A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : Algebra S A\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S A\nB : Type v\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : Algebra S B\ninst✝ : IsScalarTower R S B\nf : A →ₐ[S] B\ng : ?m.777343\nhf : Function.Injective ⇑f\nx y : A\n⊢ (baseChange W B).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ (baseChange W A).toAffine.Equation x y"} {"_id": "203565", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\nj k : ι\ninst✝¹ : K.HasHomology j\ninst✝ : K.HasHomology (c.prev j)\nhij : c.Rel (c.prev j) j\n⊢ K.d (c.prev j) j ≫ K.pOpcycles j = 0"} {"_id": "203566", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j k : ι\ninst✝¹ : K.HasHomology i\ninst✝ : K.HasHomology j\nhij : ¬c.Rel i j\n⊢ K.d i j ≫ K.pOpcycles j = 0"} {"_id": "203567", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedSemifield α\ninst✝¹ : Archimedean α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\nx y ε : α\nhx : 0 < x\nhy : 1 < 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↥H → R\np✝ q✝ : ℤ\ninst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝⁵ : IsNoetherian R L\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : CharZero R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhα : α ≠ 0\nhχ : weightSpace M χ ≠ ⊥\np : ℤ\nhp₀ : p < 0\nq : ℤ\nhq₀ : q > 0\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\na : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i\n⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0"} {"_id": "203576", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np✝ q✝ : ℤ\ninst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝⁵ : IsNoetherian R L\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : CharZero R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhα : α ≠ 0\nhχ : weightSpace M χ ≠ ⊥\np : ℤ\nhp₀ : p < 0\nq : ℤ\nhq₀ : q > 0\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\na : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i\nb : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))\n⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0"} {"_id": "203578", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np✝ q✝ : ℤ\ninst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝⁵ : IsNoetherian R L\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : CharZero R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhα : α ≠ 0\nhχ : weightSpace M χ ≠ ⊥\np : ℤ\nhp₀ : p < 0\nq : ℤ\nhq₀ : q > 0\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\na : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i\nb : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))\nhb : 0 < b\nx : ↥H\nhx : x ∈ corootSpace α\n⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0"} {"_id": "203579", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np✝ q✝ : ℤ\ninst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝⁵ : IsNoetherian R L\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : CharZero R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhα : α ≠ 0\nhχ : weightSpace M χ ≠ ⊥\np : ℤ\nhp₀ : p < 0\nq : ℤ\nhq₀ : q > 0\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\na : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i\nb : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))\nhb : 0 < b\nx : ↥H\nhx : x ∈ corootSpace α\nN : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))\n⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0"} {"_id": "203580", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹³ : CommRing R\ninst✝¹² : LieRing L\ninst✝¹¹ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup M\ninst✝⁹ : Module R M\ninst✝⁸ : LieRingModule L M\ninst✝⁷ : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np✝ q✝ : ℤ\ninst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝⁵ : IsNoetherian R L\ninst✝⁴ : IsDomain R\ninst✝³ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝² : CharZero R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhα : α ≠ 0\nhχ : weightSpace M χ ≠ ⊥\np : ℤ\nhp₀ : p < 0\nq : ℤ\nhq₀ : q > 0\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\na : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i\nb : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R 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Nontrivial α\nha : ¬a = 0\nhb : ¬b = 0\nh : a * b = 1\n⊢ 1 * ↑(Units.mkOfMulEqOne a b h) = a"} {"_id": "203627", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\na b c : α\nhab : IsUnit (gcd a b)\nk : ℕ\nh : a * b = c ^ k\nh✝ : Nontrivial α\nha : ¬a = 0\nhb : ¬b = 0\nhk : k > 0\n⊢ c ∣ c ^ k"} {"_id": "203628", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\na b c : α\nhab : IsUnit (gcd b a)\nk : ℕ\nh✝ : Nontrivial α\nha : ¬a = 0\nhb : ¬b = 0\nhk : k > 0\nhc✝ : c ∣ a * b\nd₁ d₂ : α\nhd₁ : d₁ ∣ a\nhd₂ : d₂ ∣ b\nhc : c = d₂ * d₁\nh0₁ : d₁ ^ k ≠ 0\na' : α\nha' : a = d₁ ^ k * a'\nh0₂ : d₂ ^ k ≠ 0\nb' : α\nh : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k\nhb' : b = d₂ ^ k * b'\n⊢ a' * b' = 1"} {"_id": "203629", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\na b c : α\nhab : IsUnit (gcd b a)\nk : ℕ\nh✝ : Nontrivial α\nha : ¬a = 0\nhb : ¬b = 0\nhk : k > 0\nhc✝ : c ∣ a * b\nd₁ d₂ : α\nhd₁ : d₁ ∣ a\nhd₂ : d₂ ∣ b\nhc : c = d₂ * d₁\nh0₁ : d₁ ^ k ≠ 0\na' : α\nha' : a = d₁ ^ k * a'\nh0₂ : d₂ ^ k ≠ 0\nb' : α\nh : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k\nhb' : b = d₂ ^ k * b'\n⊢ d₁ ^ k * (a' * b') = d₁ ^ k * 1"} {"_id": "203630", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\na b c : α\nhab : IsUnit (gcd b a)\nk : ℕ\nh✝ : Nontrivial α\nha : ¬a = 0\nhb : ¬b = 0\nhk : k > 0\nhc✝ : c ∣ a * b\nd₁ d₂ : α\nhd₁ : d₁ ∣ a\nhd₂ : d₂ ∣ b\nhc : c = d₂ * d₁\nh0₁ : d₁ ^ k ≠ 0\na' : α\nha' : a = d₁ ^ k * a'\nh0₂ : d₂ ^ k ≠ 0\nb' : α\nh : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k\nhb' : b = d₂ ^ k * b'\n⊢ d₁ ^ k * (a' * b') = d₁ ^ k"} {"_id": "203632", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\na b c : α\nhab : IsUnit (gcd b a)\nk : ℕ\nh✝ : Nontrivial α\nha : ¬a = 0\nhb : ¬b = 0\nhk : k > 0\nhc✝ : c ∣ a * b\nd₁ d₂ : α\nhd₁ : d₁ ∣ a\nhd₂ : d₂ ∣ b\nhc : c = d₂ * d₁\nh0₁ : d₁ ^ k ≠ 0\na' : α\nha' : a = d₁ ^ k * a'\nh0₂ : d₂ ^ k ≠ 0\nb' : α\nh : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k\nhb' : b = d₂ ^ k * b'\n⊢ d₂ ^ k * (d₁ ^ k * (a' * b')) = d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a')"} {"_id": "203637", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nh : a < b\n⊢ ∃ ε > 0, a < b - ε"} {"_id": "203638", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\nP : Type u_7\nG : Type u_8\ninst✝² : One M\ninst✝¹ : One N\ninst✝ : One P\nf : α → M × N\n⊢ mulSupport f = (mulSupport fun x => (f x).1) ∪ mulSupport fun x => (f x).2"} {"_id": "203639", "text": "n₁ n₂ d₁ d₂ : Int\nz₁ : d₁ ≠ 0\nz₂ : d₂ ≠ 0\n⊢ n₁ /. d₁ - n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ - n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)"} {"_id": "203640", "text": "m : Type u_1 → Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nr : Range\ninit : β\nf : Nat → β → m (ForInStep β)\n⊢ forIn r init f = forIn (List.range' r.start r.numElems r.step) init f"} {"_id": "203641", "text": "case refine_1\nm : Type u_1 → Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nr : Range\ninit : β\nf : Nat → β → m (ForInStep β)\n⊢ forIn r init f = forIn' r init fun x x_1 => f x"} {"_id": "203642", "text": "case refine_1\nm : Type u_1 → Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nr : Range\ninit : β\nf : Nat → β → m (ForInStep β)\n⊢ forIn.loop f r.stop r.start r.stop r.step init =\n forIn'.loop r.start r.stop r.step (fun x x_1 => f x) r.stop r.start ⋯ init"} {"_id": "203646", "text": "case refine_1.succ.isTrue\nm : Type u_1 → Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nr : Range\ninit : β\nf : Nat → β → m (ForInStep β)\nn✝ : Nat\na✝ :\n ∀ (i : Nat) (hl : r.start ≤ i) (b : β),\n forIn'.loop r.start r.stop r.step (fun x x_1 => f x) n✝ i hl b = forIn.loop f n✝ i r.stop r.step b\ni : Nat\nhl : r.start ≤ i\nb : β\nh✝ : i < r.stop\n⊢ (do\n let __do_lift ← f i b\n match __do_lift with\n | ForInStep.done b => pure b\n | ForInStep.yield b => forIn.loop f n✝ (i + r.step) r.stop r.step b) =\n if r.stop ≤ i then pure b\n else do\n let __do_lift ← f i b\n match __do_lift with\n | ForInStep.done b => pure b\n | ForInStep.yield b => forIn.loop f n✝ (i + r.step) r.stop r.step b"} {"_id": "203647", "text": "case refine_1.succ.isFalse\nm : Type u_1 → Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝ : Monad m\nr : Range\ninit : β\nf : Nat → β → m (ForInStep β)\nn✝ : Nat\na✝ :\n ∀ (i : Nat) (hl : r.start ≤ i) (b : β),\n forIn'.loop r.start r.stop r.step (fun x x_1 => f x) n✝ i hl b = forIn.loop f n✝ i r.stop r.step b\ni : Nat\nhl : r.start ≤ i\nb : β\nh✝ : ¬i < r.stop\n⊢ pure b =\n if r.stop ≤ i then pure b\n else do\n let __do_lift ← f i b\n match __do_lift with\n | ForInStep.done b => pure b\n | ForInStep.yield b => forIn.loop f n✝ (i + r.step) r.stop r.step b"} {"_id": "203650", "text": "R : Type u\ninst✝ : LinearOrder R\na b : Tropical (WithTop R)\n⊢ a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0"} {"_id": "203653", "text": "case mp.inl.intro\nR : Type u\ninst✝ : LinearOrder R\nb : Tropical (WithTop R)\nh : 0 ≤ b\n⊢ 0 = 0 ∧ b = 0"} {"_id": "203654", "text": "case mp.inr.intro\nR : Type u\ninst✝ : LinearOrder R\na : Tropical (WithTop R)\nh : 0 ≤ a\n⊢ a = 0 ∧ 0 = 0"} {"_id": "203658", "text": "case RespectsIso\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\n⊢ (targetAffineLocally P).RespectsIso"} {"_id": "203660", "text": "case restrict\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nH : targetAffineLocally P f\nV : ↑(Y ∣_ᵤ U).affineOpens\n⊢ P (f ∣_ U ∣_ ↑V)"} {"_id": "203661", "text": "case restrict\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nH : targetAffineLocally P f\nV : ↑(Y ∣_ᵤ U).affineOpens\n⊢ P.toProperty (f ∣_ Scheme.ιOpens U ''ᵁ ↑V)"} {"_id": "203664", "text": "case of_openCover\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh𝒰 : ∀ (i : 𝒰.J), targetAffineLocally P pullback.snd\n⊢ targetAffineLocally P f"} {"_id": "203666", "text": "case of_openCover\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh𝒰 : ∀ (i : 𝒰.J), targetAffineLocally P pullback.snd\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\n⊢ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd"} {"_id": "203668", "text": "case of_openCover.refine_1\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh𝒰 : ∀ (i : 𝒰.J), targetAffineLocally P pullback.snd\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\n⊢ IsAffine ((𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).obj i)"} {"_id": "203672", "text": "case of_openCover.refine_2\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh𝒰 : targetAffineLocally P pullback.snd\n⊢ P pullback.snd"} {"_id": "203674", "text": "case of_openCover.refine_2\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh𝒰 : ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\nh02 :\n targetAffineLocally P pullback.snd ↔\n ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\n⊢ P pullback.snd"} {"_id": "203675", "text": "case of_openCover.refine_2\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh02 :\n targetAffineLocally P pullback.snd ↔\n ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\nh𝒰 : P pullback.snd\n⊢ P pullback.snd"} {"_id": "203676", "text": "case of_openCover.refine_2\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh02 :\n targetAffineLocally P pullback.snd ↔\n ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\nh𝒰 : P pullback.snd\ne : pullback f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd ≫ 𝒰.map i.fst) ⟶\n pullback pullback.snd ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) :=\n (pullbackSymmetry f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd ≫ 𝒰.map i.fst)).hom ≫\n (pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).inv ≫\n (pullbackSymmetry ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) pullback.fst).hom ≫\n pullback.map pullback.fst ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) pullback.snd\n ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullbackSymmetry (𝒰.map i.fst) f).hom\n (𝟙 ((𝒰.obj i.fst).affineCover.obj i.snd)) (𝟙 (𝒰.obj i.fst)) ⋯ ⋯\n⊢ P pullback.snd"} {"_id": "203679", "text": "P : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh02 :\n targetAffineLocally P pullback.snd ↔\n ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\nh𝒰 : P pullback.snd\n⊢ pullback f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd ≫ 𝒰.map i.fst) ⟶\n pullback pullback.snd ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)"} {"_id": "203680", "text": "P : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh02 :\n targetAffineLocally P pullback.snd ↔\n ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\nh𝒰 : P pullback.snd\n⊢ pullback ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd ≫ 𝒰.map i.fst) f ⟶\n pullback pullback.snd ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)"} {"_id": "203681", "text": "P : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh02 :\n targetAffineLocally P pullback.snd ↔\n ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\nh𝒰 : P pullback.snd\n⊢ pullback ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) pullback.fst ⟶\n pullback pullback.snd ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)"} {"_id": "203682", "text": "P : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh01 : targetAffineLocally P f ↔ ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ni : (𝒰.bind fun x => (𝒰.obj x).affineCover).J\nh02 :\n targetAffineLocally P pullback.snd ↔\n ∀ (𝒰_1 : (𝒰.obj i.fst).OpenCover) [inst : ∀ (i_1 : 𝒰_1.J), IsAffine (𝒰_1.obj i_1)] (i_1 : 𝒰_1.J), P pullback.snd\nh𝒰 : P pullback.snd\n⊢ pullback pullback.fst ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶\n pullback pullback.snd ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)"} {"_id": "203683", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\n⊢ ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra"} {"_id": "203685", "text": "case h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\n⊢ (engel K x).IsCartanSubalgebra"} {"_id": "203686", "text": "case h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\n⊢ IsNilpotent K ↥(engel K x)"} {"_id": "203688", "text": "case h.h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\n⊢ engel K x ≤ engel K y"} {"_id": "203689", "text": "case h.h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\n⊢ engel K x ≤ engel K y"} {"_id": "203690", "text": "case h.h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\n⊢ IsBot Ex"} {"_id": "203692", "text": "case h.h.mk.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny✝ : L\nhy✝ : y✝ ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nhyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex\n⊢ Ex ≤ ⟨engel K y, ⋯⟩"} {"_id": "203693", "text": "case h.h.mk.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny✝ : L\nhy✝ : y✝ ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nhyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex\n⊢ finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)"} {"_id": "203694", "text": "case h.h.mk.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny✝ : L\nhy✝ : y✝ ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nhyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex\n⊢ rank K L ≤ finrank K ↥(engel K y)"} {"_id": "203695", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny✝ : L\nhy✝ : y✝ ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nhyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex\nthis : finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)\n⊢ Ex ≤ ⟨engel K y, ⋯⟩"} {"_id": "203696", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny✝ : L\nhy✝ : y✝ ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nhyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex\nthis : finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)\n⊢ engel K y = engel K x"} {"_id": "203697", "text": "case a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝³ : Field K\ninst✝² : LieRing L\ninst✝¹ : LieAlgebra K L\ninst✝ : Module.Finite K L\nh : ↑(finrank K L) ≤ #K\nx : L\nhx : IsRegular K x\ny✝ : L\nhy✝ : y✝ ∈ engel K x\nEx : ↑{x_1 | ∃ z ∈ engel K x, engel K z = x_1} := ⟨engel K x, ⋯⟩\ny : L\nhy : y ∈ engel K x\nhyx : ⟨engel K y, ⋯⟩ ≤ Ex\nthis : finrank K ↥(engel K x) ≤ finrank K ↥(engel K y)\n⊢ (engel K y).toSubmodule = (engel K x).toSubmodule"} {"_id": "203698", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\n⊢ ∃ n, μ = ↑n"} {"_id": "203699", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\n⊢ ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0"} {"_id": "203701", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\nhs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite\ncontra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0\n⊢ False"} {"_id": "203702", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\nthis : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0\n⊢ ∃ n, μ = ↑n"} {"_id": "203704", "text": "case intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\nthis : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0\nn : ℕ\nhn₁ : ¬((toEnd R L M) f ^ n) m = 0\nhn₂ : ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0\n⊢ μ = ↑n"} {"_id": "203705", "text": "case intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\nthis✝ : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0\nn : ℕ\nhn₁ : ¬((toEnd R L M) f ^ n) m = 0\nhn₂ : ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0\nthis : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m\n⊢ μ = ↑n"} {"_id": "203706", "text": "case intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\nthis✝ : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0\nn : ℕ\nhn₁ : ¬((toEnd R L M) f ^ n) m = 0\nhn₂ : ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0\nthis : ↑n + 1 = 0 ∨ μ = ↑n\n⊢ μ = ↑n"} {"_id": "203707", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\n⊢ (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite"} {"_id": "203710", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nh e f : L\nm : M\nμ : R\nt : IsSl2Triple h e f\nP : t.HasPrimitiveVectorWith m μ\ninst✝³ : IsNoetherian R M\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : CharZero R\nhs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite\ncontra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0\nx✝ : ↑{x | ∃ n, μ - 2 * ↑n = x}\nr : R\nhr : r ∈ {x | ∃ n, μ - 2 * ↑n = x}\n⊢ ((toEnd R L M) h).HasEigenvector (↑⟨r, hr⟩)\n ((fun x =>\n match x with\n | ⟨s, hs⟩ => ((toEnd R 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u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nhb : b < 0\nh : a < b\n⊢ 1 / b < 1 / a"} {"_id": "203721", "text": "case h\nG : Type u_1\ninst✝ : CommGroup G\ns : Set G\na : G ⧸ stabilizer G s\n⊢ a ∈ stabilizer (G ⧸ stabilizer G s) (QuotientGroup.mk '' s) ↔ a ∈ ⊥"} {"_id": "203722", "text": "case h.H\nG : Type u_1\ninst✝ : CommGroup G\ns : Set G\na : G\n⊢ ↑a ∈ stabilizer (G ⧸ stabilizer G s) (QuotientGroup.mk '' s) ↔ ↑a ∈ ⊥"} {"_id": "203723", "text": "case h.H\nG : Type u_1\ninst✝ : CommGroup G\ns : Set G\na : G\n⊢ ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' s ↔ a • s = s"} {"_id": "203726", "text": "case h.H\nG : Type u_1\ninst✝ : CommGroup G\ns : Set G\na : G\nthis : ↑a • QuotientGroup.mk '' s = QuotientGroup.mk '' (a • s)\nh : QuotientGroup.mk '' (a • s) = QuotientGroup.mk '' s\n⊢ a • s = s"} {"_id": "203729", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nh : lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range\ny : L'\n⊢ y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y"} {"_id": "203730", "text": "ι : Type u_1\nι' : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nc' : ComplexShape ι'\nC : Type u_3\ninst✝² : Category.{u_4, u_3} C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nK : HomologicalComplex C c\ne : c.Embedding c'\ni' j' : ι'\ni : ι\nhi : e.f i = i'\nhi' : ¬c.Rel i (c.next i)\n⊢ (K.extend e).d i' j' = 0"} {"_id": "203731", "text": "case inl\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nc' : ComplexShape ι'\nC : Type u_3\ninst✝² : Category.{u_4, u_3} C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nK : HomologicalComplex C c\ne : c.Embedding c'\ni' j' : ι'\ni : ι\nhi : e.f i = i'\nhi' : ¬c.Rel i (c.next i)\nhj' : e.r j' = none\n⊢ (K.extend e).d i' j' = 0"} {"_id": "203732", "text": "case inr.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nc' : ComplexShape ι'\nC : Type u_3\ninst✝² : Category.{u_4, u_3} C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nK : HomologicalComplex C c\ne : c.Embedding c'\ni' j' : ι'\ni : ι\nhi : e.f i = i'\nhi' : ¬c.Rel i (c.next i)\nj : ι\nhj : e.r j' = some j\n⊢ (K.extend e).d i' j' = 0"} {"_id": "203737", "text": "case mk\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nval✝ : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nproperty✝ : val✝ ∈ U\n⊢ (stalkToFiberRingHom R ↑⟨val✝, property✝⟩) (((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨val✝, property✝⟩) s) =\n ↑s ⟨val✝, property✝⟩"} {"_id": "203738", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nt : RBSet α cmp\n⊢ (toStream t).toList = t.toList"} {"_id": "203739", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nh : S.RightHomologyData\ninst✝ : S.HasRightHomology\n⊢ h.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι = h.ι ≫ h.opcyclesIso.inv"} {"_id": "203740", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nh : S.RightHomologyData\ninst✝ : S.HasRightHomology\n⊢ rightHomologyMap' (𝟙 S) h S.rightHomologyData ≫ S.rightHomologyData.ι = h.ι ≫ opcyclesMap' (𝟙 S) h S.rightHomologyData"} {"_id": "203741", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : IsDomain R\n⊢ ∃ q, ExpChar R q"} {"_id": "203743", "text": "ι : Type u_1\nκ✝ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf g✝ : α → β\nκ : Type u_6\ninst✝ : DecidableEq κ\ns : Finset ι\nt : Finset κ\ng : ι → κ\n⊢ ∑ j ∈ t, (filter (fun i => g i = j) s).card = (filter (fun i => g i ∈ t) s).card"} {"_id": "203746", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\nha : a ∉ s\nf : Finset α → β\n⊢ ∏ t ∈ (cons a s ha).powerset, f t = (∏ t ∈ s.powerset, f t) * ∏ t ∈ s.powerset.attach, f (cons a ↑t ⋯)"} {"_id": "203747", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\nha : a ∉ s\nf : Finset α → β\n⊢ ∏ x ∈ (insert a s).powerset, f x = (∏ x ∈ s.powerset, f x) * ∏ x ∈ s.powerset.attach, f (insert a ↑x)"} {"_id": "203749", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nk : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nf : α × β → β\na : α × β\nl : List (α × β)\nih :\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)\nH : List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) (a :: l)\n⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) (a :: l))"} {"_id": "203750", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nk : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nf : α × β → β\na : α × β\nl : List (α × β)\nih :\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)\nH : (∀ (a' : α × β), a' ∈ l → ¬(a.fst == a'.fst) = true) ∧ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l\n⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (match bif a.fst == k then some (k, f a) else none with\n | none => a :: List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l\n | some a => a :: l)"} {"_id": "203751", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nk : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nf : α × β → β\na : α × β\nl : List (α × β)\nih :\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)\nH : (∀ (a' : α × β), a' ∈ l → ¬(a.fst == a'.fst) = true) ∧ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l\nz : Option (α × β)\ne : (bif a.fst == k then some (k, f a) else none) = z\n⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (match z with\n | none => a :: List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l\n | some a => a :: l)"} {"_id": "203757", "text": "case cons.h_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nk : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nf : α × β → β\na : α × β\nl : List (α × β)\nih :\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)\nH : (∀ (a' : α × β), a' ∈ l → ¬(a.fst == a'.fst) = true) ∧ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l\nc✝ : Bool\nheq✝ : (a.fst == k) = false\n⊢ (∀ (a' : α × β),\n a' ∈ List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l → ¬(a.fst == a'.fst) = true) ∧\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)"} {"_id": "203759", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nk : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nf : α × β → β\na✝ : α × β\nl : List (α × β)\nih :\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)\nH : (∀ (a' : α × β), a' ∈ l → ¬(a✝.fst == a'.fst) = true) ∧ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l\nc✝ : Bool\ne : (a✝.fst == k) = false\na : α × β\nh : a ∈ List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l\n⊢ ¬(a✝.fst == a.fst) = true"} {"_id": "203760", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nk : α\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nf : α × β → β\na✝ : α × β\nl : List (α × β)\nih :\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true)\n (List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l)\nH : (∀ (a' : α × β), a' ∈ l → ¬(a✝.fst == a'.fst) = true) ∧ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l\nc✝ : Bool\ne : (a✝.fst == k) = false\na : α × β\nh : a ∈ List.replaceF (fun a => bif a.fst == k then some (k, f a) else none) l\neq : a.fst = k\n⊢ ¬(a✝.fst == a.fst) = true"} {"_id": "203762", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nκ : ι → Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset ι\ni : ι\na : α\nf✝ g : ι → α\ninst✝² : CommSemiring α\ninst✝¹ : DecidableEq ι\ninst✝ : Fintype ι\nt : (i : ι) → Finset (κ i)\nf : (i : ι) → κ i → α\n⊢ ∏ i : ι, ∑ j ∈ t i, f i j = ∑ x ∈ piFinset t, ∏ i : ι, f i (x i)"} {"_id": "203763", "text": "R : Type u\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\n⊢ ∃ ι x x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (p i ^ e i)"} {"_id": "203764", "text": "case refine_1\nR : Type u\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\n⊢ Fintype { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }"} {"_id": "203766", "text": "case refine_2.mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\np : Ideal R\nhp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset\n⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)"} {"_id": "203767", "text": "case refine_2.mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\np : Ideal R\nhp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset\nhP : Prime p\n⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)"} {"_id": "203768", "text": "case refine_2.mk\nR : Type u\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : IsDomain R\ninst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝² : AddCommGroup N\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\np : Ideal R\nhp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset\nhP : Prime p\nthis : p.IsPrime\n⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)"} {"_id": "203769", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Affine R\n⊢ Y - W.negPolynomial = W.polynomialY"} {"_id": "203770", "text": "p : Char → Bool\ns : String\n⊢ (s.takeWhile p).data = List.takeWhile p s.data"} {"_id": "203771", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : Rack R\nx y : R\n⊢ x ◃⁻¹ x = y ◃⁻¹ y ↔ x = y"} {"_id": "203773", "text": "S : ShortComplex Ab\nx : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)\n⊢ S.iCycles (S.abCyclesIso.inv x) = ↑x"} {"_id": "203774", "text": "S : ShortComplex Ab\nx : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)\n⊢ S.iCycles (S.abLeftHomologyData.cyclesIso.inv x) = ↑x"} {"_id": "203776", "text": "n₁ n₂ d₁ d₂ : Int\nz₁ : d₁ ≠ 0\nz₂ : d₂ ≠ 0\n⊢ n₁ /. d₁ * (n₂ /. d₂) = n₁ * n₂ /. 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"203780", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} V\ninst✝ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni k₂ k₁ k₀ : ι\nr₂₁ : c.Rel k₂ k₁\nr₁₀ : c.Rel k₁ k₀\nh : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)\n⊢ (nullHomotopicMap' h).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁"} {"_id": "203781", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} V\ninst✝ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni k₂ k₁ k₀ : ι\nr₂₁ : c.Rel k₂ k₁\nr₁₀ : c.Rel k₁ k₀\nh : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)\n⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₁ =\n C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁"} {"_id": "203784", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹² : CommSemiring R\nS : Submonoid R\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nM'' : Type u_4\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'\ninst✝⁹ : AddCommMonoid M''\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : CommSemiring A\ninst✝⁷ : Algebra R A\ninst✝⁶ : Module A M'\ninst✝⁵ : IsLocalization S A\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : Module R M'\ninst✝² : Module R M''\ninst✝¹ : IsScalarTower R A M'\nf : M →ₗ[R] M'\ng : M →ₗ[R] M''\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\nm₁ m₂ : M\ns : ↥S\n⊢ mk' f (m₁ + m₂) s = mk' f m₁ s + mk' f m₂ s"} {"_id": "203786", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : LieRingModule L M\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : Module K M\ninst✝³ : LieModule K L M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L\ninst✝¹ : FiniteDimensional K M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\n⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤"} {"_id": "203787", "text": "case h\nK : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : LieAlgebra K L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L\nn : ℕ\nih :\n ∀ m < n,\n ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M]\n [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M],\n finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤\nM : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : Module K M\ninst✝² : LieModule K L M\ninst✝¹ : FiniteDimensional K M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nh_dim : finrank K M = n\n⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤"} {"_id": "203789", "text": "case h.inl\nK : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : LieAlgebra K L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L\nn : ℕ\nih :\n ∀ m < n,\n ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M]\n [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M],\n finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤\nM : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : Module K M\ninst✝² : LieModule K L M\ninst✝¹ : FiniteDimensional K M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nh_dim : finrank K M = n\nχ : L → K\nhχ : ∀ (a : L), weightSpaceOf M (χ a) a = ⊤\n⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤"} {"_id": "203790", "text": "case h.inl\nK : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : LieAlgebra K L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L\nn : ℕ\nih :\n ∀ m < n,\n ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M]\n [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M],\n finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤\nM : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : Module K M\ninst✝² : LieModule K L M\ninst✝¹ : FiniteDimensional K M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nh_dim : finrank K M = n\nχ : L → K\nhχ : weightSpace M χ = ⊤\n⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤"} {"_id": "203791", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : LieAlgebra K L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L\nn : ℕ\nih :\n ∀ m < n,\n ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M]\n [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M],\n finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤\nM : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : Module K M\ninst✝² : LieModule K L M\ninst✝¹ : FiniteDimensional K M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nh_dim : finrank K M = n\nχ : L → K\nhχ : ∀ (a : L), weightSpaceOf M (χ a) a = ⊤\n⊢ weightSpace M χ = ⊤"} {"_id": "203792", "text": "case h.inr.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : LieAlgebra K L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L\nn : ℕ\nih :\n ∀ m < n,\n ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M]\n [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M],\n finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤\nM : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : Module K M\ninst✝² : LieModule K L M\ninst✝¹ : FiniteDimensional K M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nh_dim : finrank K M = n\ny : L\nhy : ¬∃ φ, weightSpaceOf M φ y = ⊤\n⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤"} {"_id": "203793", "text": "case h.inr.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : LieAlgebra K L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L\nn : ℕ\nih :\n ∀ m < n,\n ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M]\n [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M],\n finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤\nM : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : LieRingModule L M\ninst✝³ : Module K M\ninst✝² : LieModule K L M\ninst✝¹ : FiniteDimensional K M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nh_dim : finrank K M = n\ny : L\nhy : ∀ (φ : K), finrank K ↥↑(weightSpaceOf M φ y) < n\n⊢ ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤"} {"_id": "203794", "text": "case h.inr.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_3\ninst✝⁹ : 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w✝¹ ++ v :: w✝\nh : v' = v✝\n⊢ (v✝ ∈ w✝¹ ∨ v✝ = v ∨ v✝ ∈ w✝) ∨ cmp v v✝ = Ordering.eq"} {"_id": "203823", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable δ\ninst✝ : Primcodable σ\n⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x / x_1"} {"_id": "203824", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable δ\ninst✝ : Primcodable σ\n⊢ PrimrecRel fun a b => (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b"} {"_id": "203827", "text": "case mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable δ\ninst✝ : Primcodable σ\nthis : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2\na k q : ℕ\n⊢ (a, k).2 = 0 ∧ q = 0 ∨ 0 < (a, k).2 ∧ q * (a, k).2 ≤ 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+ z) ∈\n weightSpace M χ₁ ⊓ s.sup fun χ => weightSpace M χ"} {"_id": "203849", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : NoZeroSMulDivisors R M\nthis : ∀ (χ : L → R) (s : Finset (L → R)), χ ∉ s → Disjoint (weightSpace M χ) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\n⊢ CompleteLattice.Independent fun χ => weightSpace M χ"} {"_id": "203851", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : NoZeroSMulDivisors R M\nχ₁ χ₂ : L → R\ns : Finset (L → R)\na✝ : χ₂ ∉ s\nih : χ₁ ∉ s → Disjoint (weightSpace M χ₁) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\nhχ₁₂ : χ₁ 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R)\na✝ : χ₂ ∉ s\nhχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s\nhχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂\nhχ₁ : χ₁ ∉ s\nih : Disjoint (weightSpace M χ₁) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpace M χ₂\nz : M\nhz : z ∈ s.sup fun χ => weightSpace M χ\nhx : y + z ∈ weightSpace M χ₁\nthis :\n ∀ (l : L),\n ∃ k,\n (((toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)) ^ k) (y + z) ∈\n weightSpace M χ₁ ⊓ s.sup fun χ => weightSpace M χ\n⊢ y + z ∈ weightSpace M χ₂"} {"_id": "203855", "text": "case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : NoZeroSMulDivisors R M\nχ₁ χ₂ : L → R\ns : Finset (L → R)\na✝ : χ₂ ∉ s\nhχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s\nhχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂\nhχ₁ : χ₁ ∉ s\nih : Disjoint (weightSpace M χ₁) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpace M χ₂\nz : M\nhz : z ∈ s.sup fun χ => weightSpace M χ\nhx : y + z ∈ weightSpace M χ₁\nl : L\ng : Module.End R M := (toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)\nk : ℕ\nhk : (g ^ k) y = 0\n⊢ (((toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)) ^ k) (y + z) ∈ ↑↑(weightSpace M χ₁)"} {"_id": "203857", "text": "case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : NoZeroSMulDivisors R M\nχ₁ χ₂ : L → R\ns : Finset (L → R)\na✝ : χ₂ ∉ s\nhχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s\nhχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂\nhχ₁ : χ₁ ∉ s\nih : Disjoint (weightSpace M χ₁) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpace M χ₂\nz : M\nhz : z ∈ s.sup fun χ => weightSpace M χ\nhx : y + z ∈ weightSpace M χ₁\nl : L\ng : Module.End R M := (toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)\nk : ℕ\nhk : (g ^ k) y = 0\n⊢ (((toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)) ^ k) z ∈ ↑↑(s.sup fun χ => weightSpace M χ)"} {"_id": "203858", "text": "case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : NoZeroSMulDivisors R M\nχ₁ χ₂ : L → R\ns : Finset (L → R)\na✝ : χ₂ ∉ s\nhχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s\nhχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂\nhχ₁ : χ₁ ∉ s\nih : Disjoint (weightSpace M χ₁) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpace M χ₂\nz : M\nhz : z ∈ s.sup fun χ => weightSpace M χ\nhx : y + z ∈ weightSpace M χ₁\nl : L\ng : Module.End R M := (toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)\nk : ℕ\nhk : (g ^ k) y = 0\n⊢ Submodule.map (g ^ k) (s.sup fun χ => ↑(weightSpace M χ)) ≤ ↑(s.sup fun χ => weightSpace M χ)"} {"_id": "203859", "text": "case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : NoZeroSMulDivisors R M\nχ₁ χ₂ : L → R\ns : Finset (L → R)\na✝ : χ₂ ∉ s\nhχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s\nhχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂\nhχ₁ : χ₁ ∉ s\nih : Disjoint (weightSpace M χ₁) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpace M χ₂\nz : M\nhz : z ∈ s.sup fun χ => weightSpace M χ\nhx : y + z ∈ weightSpace M χ₁\nl : L\ng : Module.End R M := (toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)\nk : ℕ\nhk : (g ^ k) y = 0\n⊢ ⨆ i ∈ s, Submodule.map (g ^ k) ↑(weightSpace M i) ≤ ⨆ i ∈ s, ↑(weightSpace M i)"} {"_id": "203861", "text": "case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.intro.intro\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L M\ninst✝¹ : LieModule R L M\ninst✝ : NoZeroSMulDivisors R M\nχ₁ χ₂ : L → R\ns : Finset (L → R)\na✝ : χ₂ ∉ s\nhχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s\nhχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂\nhχ₁ : χ₁ ∉ s\nih : Disjoint (weightSpace M χ₁) (s.sup fun χ => weightSpace M χ)\ny : M\nhy : y ∈ weightSpace M χ₂\nz : M\nhz : z ∈ s.sup fun χ => weightSpace M χ\nhx : y + z ∈ weightSpace M χ₁\nl : L\ng : Module.End R M := (toEnd R L M) l - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ₂ l)\nk : ℕ\nhk : (g ^ k) y = 0\nχ : L → R\nx✝ : χ ∈ s\nu : M\nhu : u ∈ ↑↑(weightSpace M χ)\n⊢ (g ^ k) u ∈ ↑(weightSpace M χ)"} {"_id": "203862", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R 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"text": "α : Type u_1\ninst✝ : OrderedRing α\na : α\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (↑n) (↑n + 1))"} {"_id": "203868", "text": "R : Type u\ninst✝³ : NonUnitalSemiring R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : StarRing R\ninst✝ : StarOrderedRing R\nx y : R\n⊢ star x ≤ star y ↔ x ≤ y"} {"_id": "203872", "text": "case intro.intro\nR : Type u\ninst✝³ : NonUnitalSemiring R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : StarRing R\ninst✝ : StarOrderedRing R\nx✝ y x d : R\nhd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)\n⊢ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star (x + d) = star x + p"} {"_id": "203876", "text": "R : Type u\ninst✝³ : NonUnitalSemiring R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : StarRing R\ninst✝ : StarOrderedRing R\nx y : R\nthis : ∀ (x y : R), x ≤ y → star x ≤ star y\n⊢ star x ≤ star y → x ≤ y"} {"_id": "203878", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : SnakeInput C\n⊢ S.δ ≫ S.L₃.f = 0"} {"_id": "203879", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : OrderedRing α\na : α\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1))"} {"_id": "203880", "text": "f : ℕ → ℕ →. ℕ\nh : _root_.Partrec fun v => f v.head v.tail.head\nv : ℕ × ℕ\n⊢ f (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).head (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).tail.head = f v.1 v.2"} {"_id": "203881", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : Semiring S\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module S M\ninst✝¹ : SMul S R\ninst✝ : IsScalarTower S R M\np q : Submodule R M\n⊢ Nontrivial ↥p ↔ p ≠ ⊥"} {"_id": "203882", "text": "α : Type u_1\nf : α → α\nn : Nat\nl : List α\nh : n < l.length\n⊢ modifyNth f n l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))"} {"_id": "203885", "text": "C : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : ConcreteCategory C\ninst✝³ : HasForget₂ C Ab\ninst✝² : Abelian C\ninst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive\ninst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology\nι : Type u_1\nc : ComplexShape ι\nK : HomologicalComplex C c\ni : ι\nx : ↑((forget₂ C Ab).obj (K.X i))\nhx : ((forget₂ C Ab).map (K.d i (c.next i))) x = 0\n⊢ ((forget₂ C Ab).map (K.iCycles i)) (K.cyclesMk x (c.next i) ⋯ hx) = x"} {"_id": "203889", "text": "α : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedRing R\na b : R\nn : ℕ\n⊢ a ^ n = -1 ↔ a = -1 ∧ Odd n"} {"_id": "203890", "text": "α : Type u_1\nn : Nat\nf : α → Fin n → α\nx : α\n⊢ foldl n f x = List.foldl f x (list n)"} {"_id": "203891", "text": "case zero\nα : Type u_1\nf : α → Fin 0 → α\nx : α\n⊢ foldl 0 f x = List.foldl f x (list 0)"} {"_id": "203892", "text": "case succ\nα : Type u_1\nn : Nat\nih : ∀ (f : α → Fin n → α) (x : α), foldl n f x = List.foldl f x (list n)\nf : α → Fin (n + 1) → α\nx : α\n⊢ foldl (n + 1) f x = List.foldl f x (list (n + 1))"} {"_id": "203893", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ₁ : S₁ ⟶ S₂\nφ₂ : S₂ ⟶ S₃\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nh₃ : S₃.LeftHomologyData\n⊢ cyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = cyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ cyclesMap' φ₂ h₂ h₃"} {"_id": "203894", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ₁ : S₁ ⟶ S₂\nφ₂ : S₂ ⟶ S₃\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nh₃ : S₃.LeftHomologyData\nγ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂\n⊢ cyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = cyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ cyclesMap' φ₂ h₂ h₃"} {"_id": "203895", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ₁ : S₁ ⟶ S₂\nφ₂ : S₂ ⟶ S₃\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\nh₃ : S₃.LeftHomologyData\nγ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂\nγ₂ : LeftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := leftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃\n⊢ cyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = cyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ cyclesMap' φ₂ h₂ h₃"} {"_id": "203896", "text": "K : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : LieRingModule L 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p.vars (-q).vars\n⊢ (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars"} {"_id": "203903", "text": "case mp\nι✝ : Type u_1\nι : Type u_2\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK L M K' L' : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nφ' : L ⟶ M\ni : ι\ninst✝² : K.HasHomology i\ninst✝¹ : L.HasHomology i\ninst✝ : M.HasHomology i\nhφ : QuasiIsoAt φ i\na✝ : QuasiIsoAt (φ ≫ φ') i\n⊢ QuasiIsoAt φ' i"} {"_id": "203906", "text": "α : Type u_1\nx : α\nxs : List α\ny : α\ninst✝ : BEq α\n⊢ indexesOf y (x :: xs) =\n bif x == y then 0 :: map (fun x => x + 1) (indexesOf y xs) else map (fun x => x + 1) (indexesOf y xs)"} {"_id": "203907", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : LinearOrderedField α\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DivisionRing β\nabv : β → α\ninst✝ : IsAbsoluteValue abv\nx y : β\n⊢ ofRat (x / y) = ofRat x / ofRat y"} {"_id": "203908", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : CommMonoid α\nx y z : α\nhu : IsUnit x\n⊢ IsRelPrime (y * x) (z * x) ↔ IsRelPrime y z"} {"_id": "203909", "text": "ι✝ : Type u_1\nκ✝ : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝¹ s₁ s₂ : Finset α✝\na : α✝\nf✝¹ g✝¹ : α✝ → β\ninst✝² : CommMonoid β\nι : Type u_6\nκ : Type u_7\nα : Type u_8\ninst✝¹ : CommMonoid α\ns✝ : Finset ι\nt✝ : Finset κ\nf✝ : ι → α\ng✝ : κ → α\ninst✝ : DecidableEq κ\ns : Finset ι\nt : Finset κ\ng : ι → κ\nf : κ → α\n⊢ ∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ filter (fun i => g i ∈ t) s, f (g i)"} {"_id": "203910", "text": "ι✝ : Type u_1\nκ✝ : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝¹ s₁ s₂ : Finset α✝\na : α✝\nf✝¹ g✝¹ : α✝ → β\ninst✝² : CommMonoid β\nι : Type u_6\nκ : Type u_7\nα : Type u_8\ninst✝¹ : CommMonoid α\ns✝ : Finset ι\nt✝ : Finset κ\nf✝ : ι → α\ng✝ : κ → α\ninst✝ : DecidableEq κ\ns : Finset ι\nt : Finset κ\ng : ι → κ\nf : κ → α\nj : κ\nx✝ : j ∈ t\ni : ι\nhi : i ∈ filter (fun i => g i = j) s\n⊢ f j = f (g i)"} {"_id": "203912", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\n⊢ 1 = chainTopCoeff (⇑α) 0"} {"_id": "203913", "text": "case hba\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\n⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0"} {"_id": "203914", "text": "case hba.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : 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L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne f : L\nhe : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\n⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0"} {"_id": "203918", "text": "case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne f : L\nhe : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\nk : K\nhk : ⁅f, k • f⁆ = ⁅f, ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x⁆\n⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0"} {"_id": "203920", "text": "case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne✝ f : L\nhe : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\nk : K\nhk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x\ne : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0\n⊢ False"} {"_id": "203921", "text": "case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : 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f : L\nhe : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\nk : K\nhk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x\ne : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0\nthis : chainLength α 0 = 2 * chainTopCoeff (⇑α) 0\n⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0"} {"_id": "203924", "text": "case hab\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\n⊢ 1 ≤ chainTopCoeff (⇑α) 0"} {"_id": "203926", "text": "case hab\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\ne : chainTopCoeff (⇑α) 0 = 0\n⊢ False"} {"_id": "203927", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\ne : chainTopCoeff (⇑α) 0 = 0\n⊢ weightSpace L α.toFun = ⊥"} {"_id": "203928", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne f : L\nhe : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f\nthis : ⁅e, x⁆ ∈ weightSpace L (⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) 0))\n⊢ ⁅e, x⁆ = 0"} {"_id": "203929", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne f : L\nhe : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\n⊢ ∃ k, k • f = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x"} {"_id": "203930", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne f : L\nhe : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\nthis : ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x ∈ rootSpace H (-⇑α)\n⊢ ∃ k, k • f = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x"} {"_id": "203931", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne f : L\nhe : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\n⊢ ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x ∈ rootSpace H (-⇑α)"} {"_id": "203932", "text": "case h.e'_5.h.e'_1\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : Field K\ninst✝⁷ : CharZero K\ninst✝⁶ : LieRing L\ninst✝⁵ : LieAlgebra K L\ninst✝⁴ : IsKilling K L\ninst✝³ : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝² : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\ninst✝ : Nontrivial L\nx : L\nhx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)\nx_ne0 : x ≠ 0\ne f : L\nhe : e ∈ rootSpace H ⇑α\nhf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)\nisSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f\nprim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)\n⊢ -⇑α = (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1) • -⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) 0)"} {"_id": "203934", "text": "cf cg : Code\na : ℕ\n⊢ (cf.prec cg).eval (Nat.pair a 0) = cf.eval a"} {"_id": "203935", "text": "cf cg : Code\na : ℕ\n⊢ Nat.rec (cf.eval (a, 0).1)\n (fun y IH => do\n let i ← IH\n cg.eval (Nat.pair (a, 0).1 (Nat.pair y i)))\n (a, 0).2 =\n cf.eval a"} {"_id": "203936", "text": "cf cg : Code\na : ℕ\n⊢ Nat.rec (cf.eval a)\n (fun y IH => do\n let i ← IH\n cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i)))\n 0 =\n cf.eval a"} {"_id": "203938", "text": "case neg\nG : Type u_1\ninst✝ : Mul G\nA B : Finset G\nh : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2\nhA : A.Nonempty\nhB : B.Nonempty\nhc : ¬(A.card ≤ 1 ∧ B.card ≤ 1)\n⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b"} {"_id": "203939", "text": "case neg\nG : Type u_1\ninst✝ : Mul G\nA B : Finset G\nh : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2\nhA : A.Nonempty\nhB : B.Nonempty\nhc : 1 < A.card ∨ 1 < B.card\n⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b"} {"_id": "203941", "text": "case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝ : Mul G\nA B : Finset G\nh : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2\nhA : 0 < A.card\nhB : 0 < B.card\nhc : 1 < A.card ∨ 1 < B.card\np : G × G\nhp : p ∈ A ×ˢ B\nw✝ : G × G\nleft✝¹ : w✝ ∈ A ×ˢ B\nleft✝ : p ≠ w✝\nhu : UniqueMul A B p.1 p.2\nright✝ : UniqueMul A B w✝.1 w✝.2\n⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b"} {"_id": "203943", "text": "case pos\nG : Type u_1\ninst✝ : Mul G\nA B : Finset G\nh : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2\nhA : A.Nonempty\nhB : B.Nonempty\nhc : A.card ≤ 1 ∧ B.card ≤ 1\n⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b"} {"_id": "203945", "text": "case h\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} V\ninst✝ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf✝ g : C ⟶ D\nh k : D ⟶ E\ni : ι\nf : C ⟶ D\nhom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)\nn : ι\n⊢ (f ≫ nullHomotopicMap' hom).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij).f n"} {"_id": "203950", "text": "case neg\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} V\ninst✝ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf✝ g : C ⟶ D\nh k : D ⟶ E\ni✝ : ι\nf : C ⟶ D\nhom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)\nn i j : ι\nh✝ : ¬c.Rel j i\n⊢ f.f i ≫ 0 = 0"} {"_id": "203951", "text": "F : Type u_1\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝¹⁰ : CommSemiring R\ninst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁸ : Module R A\ninst✝⁷ : IsScalarTower R A A\ninst✝⁶ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝⁴ : Module R B\ninst✝³ : IsScalarTower R B B\ninst✝² : SMulCommClass R B B\ninst✝¹ : FunLike F A B\ninst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\nf : A →ₙₐ[R] B\n⊢ ↑(NonUnitalSubalgebra.map f ⊥) = ↑⊥"} {"_id": "203952", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ deriv ε =ᶠ[atTop] fun x => -x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "203953", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nx : ℝ\nhx : 1 < x\n⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "203954", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ (fun x => -x⁻¹ / log x ^ 2) = fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹"} {"_id": "203955", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ (fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹) =o[atTop] fun x => (x * 1)⁻¹"} {"_id": "203956", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ (fun x => x * 1) =o[atTop] fun x => -x * log x ^ 2"} {"_id": "203957", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ (fun x => 1) =o[atTop] fun x => log x ^ 2"} {"_id": "203958", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ Tendsto (fun x => ‖log x ^ 2‖) atTop atTop"} {"_id": "203959", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ (fun x => x) =O[atTop] Neg.neg"} {"_id": "203960", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ (fun x => x) =O[atTop] fun x => x"} {"_id": "203962", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\n⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, x * 1 = 0 → -x * log x ^ 2 = 0"} {"_id": "203963", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nx : ℝ\nhx : x * 1 = 0\n⊢ -x * log x ^ 2 = 0"} {"_id": "203966", "text": "α : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝¹ : MonoidWithZero M₀\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na b : G₀\np : G₀ → Prop\n⊢ (∃ u, p ↑u) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ p x"} {"_id": "203969", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c : CauSeq α abs\nεa : α\nεa0 : εa > 0\nia : ℕ\nha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j\nεb : α\nεb0 : εb > 0\nib : ℕ\nhb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j\ni : ℕ\nhi : i ≥ ia ⊔ ib\n⊢ εa ⊓ εb ≤ ↑(c - a ⊔ b) i"} {"_id": "203972", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)\np : R\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\nd : ℕ\nhd : d ≠ 0\ns : Fin d → M\nhs : span R (Set.range s) = ⊤\n⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))"} {"_id": "203974", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)\np : R\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\nd : ℕ\nhd : d ≠ 0\ns : Fin d → M\nhs : span R (Set.range s) = ⊤\noj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)\nhoj : oj.isSome = true\n⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))"} {"_id": "203975", "text": "case h\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)\np : R\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\nd : ℕ\nhd : d ≠ 0\ns : Fin d → M\nhs : span R (Set.range s) = ⊤\noj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)\nhoj : oj.isSome = true\n⊢ IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)))"} {"_id": "203977", "text": "case h\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)\np : R\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\nd : ℕ\nhd : d ≠ 0\ns : Fin d → M\nhs : span R (Set.range s) = ⊤\noj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)\nhoj : oj.isSome = true\ni : Fin d\n⊢ s i ∈ ↑(torsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj))))"} {"_id": "203978", "text": "case h\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)\np : R\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\nd : ℕ\nhd : d ≠ 0\ns : Fin d → M\nhs : span R (Set.range s) = ⊤\noj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)\nhoj : oj.isSome = true\ni : Fin d\n⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0"} {"_id": "203979", "text": "case h\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : Module R M\ninst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)\np : R\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\nd : ℕ\nhd : d ≠ 0\ns : Fin d → M\nhs : span R (Set.range s) = ⊤\noj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)\nhoj : oj.isSome = true\ni : Fin d\nthis : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))\n⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0"} {"_id": "203980", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\n⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1"} {"_id": "203981", "text": "case intro.intro.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nU : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)\nhp : p ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := U })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hp⟩) s = y\n⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1"} {"_id": "203982", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nU : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)\nhp : p ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := U })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hp⟩) s = y\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\nhrU : PrimeSpectrum.basicOpen r ≤ U\n⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1"} {"_id": "203983", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nU : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)\nhp : p ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := U })\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\nhrU : PrimeSpectrum.basicOpen r ≤ U\ne :\n ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩)\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE hrU).op) s) =\n y\n⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1"} {"_id": "203984", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nU : TopologicalSpace.Opens ↑(Spec.topObj R)\nhp : p ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := U })\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\nhrU : PrimeSpectrum.basicOpen r ≤ U\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r }) :=\n ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE hrU).op) s\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\nh : s' = ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE hrU).op) s\n⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1"} {"_id": "203987", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\n⊢ ∃ x, x.2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) x.1"} {"_id": "203989", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.mk.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\ns : ↑S\nn : ℕ\nhsn :\n s' *\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 =\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1\n⊢ (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2 • y = (toPushforwardStalkAlgHom R S p) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1"} {"_id": "203990", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.mk.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\ns : ↑S\nn : ℕ\nhsn :\n s' *\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 =\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1\n⊢ ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, trivial⟩)\n ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2)) *\n y =\n (toPushforwardStalkAlgHom R S p) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1"} {"_id": "203992", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.mk.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\ns : ↑S\nn : ℕ\nhsn :\n s' *\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 =\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1\n⊢ ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩)\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) *\n ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' =\n ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩)\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))"} {"_id": "203994", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.mk.intro\nR S : CommRingCat\nf✝ : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\ns : ↑S\nn : ℕ\nhsn :\n s' *\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 =\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1\nf : (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r } ⟶\n (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ :=\n (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩\n⊢ f\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) *\n f s' =\n f\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))"} {"_id": "203995", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.mk.intro\nR S : CommRingCat\nf✝ : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\ns : ↑S\nn : ℕ\nhsn :\n s' *\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 =\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1\nf : (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r } ⟶\n (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ :=\n (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩\n⊢ f\n (s' *\n ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) =\n f\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))"} {"_id": "203996", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.mk.intro\nR S : CommRingCat\nf✝ : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\ns : ↑S\nn : ℕ\nhsn :\n s' *\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n ((algebraMap ↑R ↑S) r ^ n) =\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) })) s\nf : (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r } ⟶\n (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ :=\n (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩\n⊢ f\n (s' *\n ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) =\n f\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))"} {"_id": "204000", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.mk.intro\nR S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑R\ninst✝ : Algebra ↑R ↑S\ny : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).stalk p)\nr : ↑R\nhpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r\ns' : ↑((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen r })\ne : ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y\ns : ↑S\nn : ℕ\nhsn :\n s' *\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n ↑(s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).2 =\n (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r) }))\n (s, ⟨(fun x => (algebraMap ↑R ↑S) r ^ x) n, ⋯⟩).1\n⊢ ((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩)\n (((Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S) _* (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op)\n ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) *\n y =\n (toPushforwardStalkAlgHom R S p) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1"} {"_id": "204001", "text": "l m r : List Char\nf : Char → Bool\n⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.any\n f =\n m.any f"} {"_id": "204002", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝¹ : CommMonoid β\nM : Type u_6\ninst✝ : CommGroup M\nf : ℕ → M\nn : ℕ\n⊢ f n = f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i"} {"_id": "204003", "text": "α : Type u_1\nx : α\nxs : List α\np : α → Bool\n⊢ findIdxs p (x :: xs) =\n bif p x then 0 :: map (fun x => x + 1) (findIdxs p xs) else map (fun x => x + 1) (findIdxs p xs)"} {"_id": "204004", "text": "α : Type u_1\nx : α\nxs : List α\np : α → Bool\n⊢ (if p x = true then 0 :: foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1\n else foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1) =\n bif p x then 0 :: map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs)\n else map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs)"} {"_id": "204005", "text": "case isFalse\nα : Type u_1\nx : α\nxs : List α\np : α → Bool\nh✝ : ¬p x = true\n⊢ foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs 1 =\n map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then i :: is else is) [] xs)"} {"_id": "204006", "text": "case isFalse\nα : Type u_1\nx : α\nxs : List α\np : α → Bool\nh✝ : ¬p x = true\n⊢ foldrIdx (fun i a is => if p a = true then (i + 0 + 1) :: is else is) [] xs =\n map (fun x => x + 1) (foldrIdx (fun i a is => if p a = true then (i + 0) :: is else is) [] xs)"} {"_id": "204007", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nx₁ x₂ x₃ : α\n⊢ toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ↔ toIcoMod hp 0 (x₂ - x₁) + toIcoMod hp 0 (x₁ - x₃) ≤ p"} {"_id": "204009", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : normSq a = 0\n⊢ a = 0"} {"_id": "204010", "text": "case ha\nR : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : (a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 = 0 ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0\n⊢ 0 ≤ a.re ^ 2\n\ncase hb\nR : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : (a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 = 0 ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0\n⊢ 0 ≤ a.imI ^ 2\n\ncase ha\nR : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 = 0 ∧ a.imK ^ 2 = 0\n⊢ 0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2\n\ncase hb\nR : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 = 0 ∧ a.imK ^ 2 = 0\n⊢ 0 ≤ a.imJ ^ 2\n\ncase ha\nR : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0\n⊢ 0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2\n\ncase hb\nR : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0\n⊢ 0 ≤ a.imK ^ 2"} {"_id": "204011", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : ((a.re ^ 2 = 0 ∧ a.imI ^ 2 = 0) ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0\n⊢ a = 0"} {"_id": "204012", "text": "case hb\nR : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommRing R\na : ℍ[R]\nh : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0\n⊢ 0 ≤ a.imK ^ 2"} {"_id": "204013", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : NonAssocRing R\n⊢ ringChar R = 0 ↔ CharZero R"} {"_id": "204014", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\n⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'"} {"_id": "204015", "text": "case intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\n⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'"} {"_id": "204016", "text": "case intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\n⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'"} {"_id": "204017", "text": "case intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\n⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'"} {"_id": "204018", "text": "case intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\n⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'"} {"_id": "204021", "text": "case intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M✝\ninst✝² : Module R M✝\ninst✝¹ : LieRingModule L M✝\ninst✝ : LieModule R L M✝\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\nhK' : K' ≤ K.normalizer\nM : Type u₄\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule (↥K') M\n_i4 : LieModule R (↥K') M\nh : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M"} {"_id": "204022", "text": "case intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M✝\ninst✝² : Module R M✝\ninst✝¹ : LieRingModule L M✝\ninst✝ : LieModule R L M✝\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\nhK' : K' ≤ K.normalizer\nM : Type u₄\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule (↥K') M\n_i4 : LieModule R (↥K') M\nh : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)\nI : LieIdeal R ↥K'\nhI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M"} {"_id": "204023", "text": "case intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M✝\ninst✝² : Module R M✝\ninst✝¹ : LieRingModule L M✝\ninst✝ : LieModule R L M✝\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\nhK' : K' ≤ K.normalizer\nM : Type u₄\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule (↥K') M\n_i4 : LieModule R (↥K') M\nh : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)\nI : LieIdeal R ↥K'\nhI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'\nhI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M"} {"_id": "204024", "text": "case intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M✝\ninst✝² : Module R M✝\ninst✝¹ : LieRingModule L M✝\ninst✝ : LieModule R L M✝\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\nhK' : K' ≤ K.normalizer\nM : Type u₄\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule (↥K') M\n_i4 : LieModule R (↥K') M\nh : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)\nI : LieIdeal R ↥K'\nhI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'\nhI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤\ne : ↥K ≃ₗ⁅R⁆ ↥↑I\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M"} {"_id": "204025", "text": "case intro.intro.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M✝\ninst✝² : Module R M✝\ninst✝¹ : LieRingModule L M✝\ninst✝ : LieModule R L M✝\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\nhK' : K' ≤ K.normalizer\nM : Type u₄\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule (↥K') M\n_i4 : LieModule R (↥K') M\nh : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)\nI : LieIdeal R ↥K'\nhI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'\nhI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤\ne : ↥K ≃ₗ⁅R⁆ ↥↑I\nhI₃ : IsEngelian R ↥↑I\n⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M"} {"_id": "204026", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\n⊢ K' ≤ K.normalizer"} {"_id": "204027", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\n⊢ K'.toSubmodule ≤ K.normalizer.toSubmodule"} {"_id": "204028", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M✝\ninst✝² : Module R M✝\ninst✝¹ : LieRingModule L M✝\ninst✝ : LieModule R L M✝\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\nhK' : K' ≤ K.normalizer\nM : Type u₄\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule (↥K') M\n_i4 : LieModule R (↥K') M\nh : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)\nI : LieIdeal R ↥K'\nhI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'\n⊢ Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤"} {"_id": "204029", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM✝ : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M✝\ninst✝² : Module R M✝\ninst✝¹ : LieRingModule L M✝\ninst✝ : LieModule R L M✝\nK : LieSubalgebra R L\nhK₁ : IsEngelian R ↥K\nhK₂ : K < K.normalizer\nx : L\nhx₁ : x ∈ K.normalizer\nhx₂ : x ∉ K\nK' : LieSubalgebra R L :=\n let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule;\n { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }\nhxK' : x ∈ K'\nhKK' : K ≤ K'\nhK' : K' ≤ K.normalizer\nM : Type u₄\n_i1 : AddCommGroup M\n_i2 : Module R M\n_i3 : LieRingModule (↥K') M\n_i4 : LieModule R (↥K') M\nh : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)\nI : LieIdeal R ↥K'\nhI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'\n⊢ Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ (LieSubalgebra.ofLe hKK').toSubmodule = ⊤"} {"_id": "204031", "text": "v : List ℕ\n⊢ id.eval v = pure v"} {"_id": "204032", "text": "D : GlueData\nU : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace\n⊢ IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)"} {"_id": "204033", "text": "D : GlueData\nU : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace\n⊢ IsOpen (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)"} {"_id": "204034", "text": "D : GlueData\nU : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace\n⊢ (∀ (i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J),\n IsOpen\n (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹'\n (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U))) ↔\n ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)"} {"_id": "204036", "text": "case h\nD : GlueData\nU : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace\ni : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J\n⊢ IsOpen\n (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹'\n (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔\n IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)"} {"_id": "204039", "text": "V : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} V\ninst✝² : HasImages V\nA B C D : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\nh✝ : C ⟶ D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms V\ninst✝ : HasEqualizers V\ni : B ≅ D\nh : Exact f g\n⊢ Epi (imageToKernel (f ≫ i.hom) (i.inv ≫ g) ⋯)"} {"_id": "204043", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁸ : CommRing R\ninst✝¹⁷ : LieRing L\ninst✝¹⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁵ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁴ : Module R M\ninst✝¹³ : LieRingModule L M\ninst✝¹² : LieModule R L M\ninst✝¹¹ : Module.Free R M\ninst✝¹⁰ : Module.Finite R M\ninst✝⁹ : Module.Free R L\ninst✝⁸ : Module.Finite R L\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : LieAlgebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : LieModule K L M\ninst✝³ : FiniteDimensional K M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L\ninst✝¹ : LinearWeights K L M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nx y : L\n⊢ ((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)"} {"_id": "204044", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁸ : CommRing R\ninst✝¹⁷ : LieRing L\ninst✝¹⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁵ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁴ : Module R M\ninst✝¹³ : LieRingModule L M\ninst✝¹² : LieModule R L M\ninst✝¹¹ : Module.Free R M\ninst✝¹⁰ : Module.Finite R M\ninst✝⁹ : Module.Free R L\ninst✝⁸ : Module.Finite R L\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : LieAlgebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : LieModule K L M\ninst✝³ : FiniteDimensional K M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L\ninst✝¹ : LinearWeights K L M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nx y : L\nhxy : ∀ (χ : Weight K L M), MapsTo ⇑((toEnd K L M) x ∘ₗ (toEnd K L M) y) ↑(weightSpace M ⇑χ) ↑(weightSpace M ⇑χ)\n⊢ ((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)"} {"_id": "204045", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁸ : CommRing R\ninst✝¹⁷ : LieRing L\ninst✝¹⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝¹⁵ : AddCommGroup M\ninst✝¹⁴ : Module R M\ninst✝¹³ : LieRingModule L M\ninst✝¹² : LieModule R L M\ninst✝¹¹ : Module.Free R M\ninst✝¹⁰ : Module.Finite R M\ninst✝⁹ : Module.Free R L\ninst✝⁸ : Module.Finite R L\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : LieAlgebra K L\ninst✝⁵ : Module K M\ninst✝⁴ : LieModule K L M\ninst✝³ : FiniteDimensional K M\ninst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L\ninst✝¹ : LinearWeights K L M\ninst✝ : IsTriangularizable K L M\nx y : L\nhxy : ∀ (χ : Weight K L M), MapsTo ⇑((toEnd K L M) x ∘ₗ (toEnd K L M) y) ↑(weightSpace M ⇑χ) ↑(weightSpace M ⇑χ)\nhds : DirectSum.IsInternal fun i => ↑(weightSpace M ⇑i)\n⊢ ((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)"} {"_id": "204047", "text": "α : Type u_1\nf : α → Char → α\ns : String\na : α\n⊢ foldl f a s = List.foldl f a s.data"} {"_id": "204048", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nalgebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nstar : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ p ⟨b, hb⟩"} {"_id": "204049", "text": "F : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nalgebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nstar : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∃ (x : b ∈ adjoin R s), p ⟨b, x⟩"} {"_id": "204050", "text": "case refine_1\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nalgebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nstar : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∀ x ∈ s, ∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩\n\ncase refine_2\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nalgebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nstar : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∀ (r : R), ∃ (x : (_root_.algebraMap R A) r ∈ adjoin R s), p ⟨(_root_.algebraMap R A) r, x⟩\n\ncase refine_3\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nalgebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nstar : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∀ (x y : A),\n (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) →\n (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ adjoin R s), p ⟨x + y, x_1⟩\n\ncase refine_4\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nalgebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nstar : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∀ (x y : A),\n (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) →\n (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩\n\ncase refine_5\nF : Type u_1\nR : Type u_2\nA : Type u_3\nB : Type u_4\ninst✝⁹ : CommSemiring R\ninst✝⁸ : StarRing R\ninst✝⁷ : Semiring A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : StarRing A\ninst✝⁴ : StarModule R A\ninst✝³ : Semiring B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\ns : Set A\np : ↥(adjoin R s) → Prop\na : ↥(adjoin R s)\nmem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩\nalgebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)\nadd : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)\nmul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)\nstar : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)\nb : A\nhb : b ∈ adjoin R s\n⊢ ∀ (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : Star.star x ∈ adjoin R s), p ⟨Star.star x, x_1⟩"} {"_id": "204051", "text": "d : Nat\nn : Int\nd0 : d ≠ 0\n⊢ normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0"} {"_id": "204052", "text": "case refine'_3\nd : Nat\nn : Int\nd0 : d ≠ 0\nthis : normalize ?refine'_1 d d0 = normalize ?refine'_2 1 Nat.one_ne_zero ↔ ?refine'_1 * ↑1 = ?refine'_2 * ↑d\n⊢ normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0\n\ncase refine'_1\nd : Nat\nn : Int\nd0 : d ≠ 0\n⊢ Int\n\ncase refine'_2\nd : Nat\nn : Int\nd0 : d ≠ 0\n⊢ Int"} {"_id": "204057", "text": "α : Type ?u.2530\na✝ : α\nchild✝ sibling✝ : HeapNode α\nx✝ : Nat\n⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR.go (node a✝ child✝ sibling✝) x✝ = (node a✝ child✝ sibling✝).rank + x✝"} {"_id": "204058", "text": "α : Type u_1\nR : Type u_2\nM : 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K.totalDesc fun p q hpq => eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) (p - x) q n ⋯) =\n eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) (a' - x) b n h"} {"_id": "204067", "text": "S : Type u_1\nR R' : Type u\nM : Type v\ninst✝²⁶ : CommSemiring S\ninst✝²⁵ : Semiring R\ninst✝²⁴ : CommSemiring R'\ninst✝²³ : AddCommMonoid M\ninst✝²² : Algebra S R\ninst✝²¹ : Algebra S R'\ninst✝²⁰ : Module S M\ninst✝¹⁹ : Module R M\ninst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M\ninst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M\ninst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M\ninst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M\ninst✝¹⁴ : Module R' M\ninst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M\ninst✝¹² : IsCentralScalar R' M\ninst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M\nA : Type u_2\ninst✝¹⁰ : Semiring A\ninst✝⁹ : Algebra S A\ninst✝⁸ : Algebra R' A\nN : Type u_3\nP : Type u_4\ninst✝⁷ : AddCommMonoid N\ninst✝⁶ : Module R' N\ninst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N\ninst✝⁴ : IsCentralScalar R' N\ninst✝³ : AddCommMonoid P\ninst✝² : Module R' P\ninst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P\ninst✝ : IsCentralScalar R' P\nf : M →ₗ[R'] 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∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\n⊢ (ad * bd).Coprime num.natAbs"} {"_id": "204076", "text": "a b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\n⊢ den = ad * bd * g"} {"_id": "204078", "text": "a b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nd : Nat\nthis : d.gcd num.natAbs ∣ num.natAbs\n⊢ d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad"} {"_id": "204079", "text": "a b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nd : Nat\nthis : ↑(d.gcd num.natAbs) ∣ num\n⊢ d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad"} {"_id": "204080", "text": "a b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nd : Nat\nthis✝ : ↑(d.gcd num.natAbs) ∣ num\nthis : ↑(d.gcd num.natAbs) ∣ a.num * ↑bd ↔ ↑(d.gcd num.natAbs) ∣ b.num * ↑ad\n⊢ d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad"} {"_id": "204081", "text": "case H.H1\na b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nH1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\n⊢ ad.Coprime num.natAbs"} {"_id": "204082", "text": "case H.H1\na b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nH1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\nthis : ad.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd\n⊢ ad.Coprime num.natAbs"} {"_id": "204083", "text": "case H.H1\na b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nH1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\nthis✝ : ad.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd\nthis : ad.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs\n⊢ ad.Coprime num.natAbs"} {"_id": "204084", "text": "case H.H2\na b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nH1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\n⊢ bd.Coprime num.natAbs"} {"_id": "204085", "text": "case H.H2\na b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nH1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\nthis : bd.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\n⊢ bd.Coprime num.natAbs"} {"_id": "204086", "text": "case H.H2\na b : Rat\ng ad bd : Nat\nhg : g = a.den.gcd b.den\nhad : ad = a.den / g\nhbd : bd = b.den / g\nden : Nat := ad * b.den\nnum : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad\nae : ad * g = a.den\nbe : bd * g = b.den\nhden : den = ad * bd * g\ncop : ad.Coprime bd\nH1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\nthis✝ : bd.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad\nthis : bd.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs\n⊢ bd.Coprime num.natAbs"} {"_id": "204089", "text": "case neg\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : Ring R\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\nf : ℕ → R\ng : ℕ → M\nm n : ℕ\nhn : ¬n = 0\n⊢ ∑ i ∈ range n, f i • g i =\n f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - ∑ i ∈ range (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i"} {"_id": "204092", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\n⊢ ((rename f) φ).degrees ⊆ Multiset.map f φ.degrees"} {"_id": "204093", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\n⊢ i ∈ ((rename f) φ).degrees → i ∈ Multiset.map f φ.degrees"} {"_id": "204095", "text": "case intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\nd : τ →₀ ℕ\nhd : coeff d ((rename f) φ) ≠ 0\nhi : i ∈ d.support\n⊢ ∃ a ∈ φ.degrees, f a = i"} {"_id": "204096", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\nx : σ →₀ ℕ\nhx : coeff x φ ≠ 0\nhd : coeff (Finsupp.mapDomain f x) ((rename f) φ) ≠ 0\nhi : i ∈ (Finsupp.mapDomain f x).support\n⊢ ∃ a ∈ φ.degrees, f a = i"} {"_id": "204097", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\nx : σ →₀ ℕ\nhx : coeff x φ ≠ 0\nhd : coeff (Finsupp.mapDomain f x) ((rename f) φ) ≠ 0\nhi : (x.sum fun a => Finsupp.single (f a)) i ≠ 0\n⊢ ∃ a ∈ φ.degrees, f a = i"} {"_id": "204101", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\nx : σ →₀ ℕ\nhx : coeff x φ ≠ 0\nhd : coeff (Finsupp.mapDomain f x) ((rename f) φ) ≠ 0\nhi : ∀ a ∈ φ.degrees, f a ≠ i\nj : σ\nhj : j ∈ x.support\n⊢ (Finsupp.single (f j) (x j)) i = 0"} {"_id": "204103", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\nf : σ → τ\nφ : MvPolynomial σ R\ni : τ\nx : σ →₀ ℕ\nhx : coeff x φ ≠ 0\nhd : coeff (Finsupp.mapDomain f x) ((rename f) φ) ≠ 0\nj : σ\nhj : j ∈ x.support\nhi : f j ≠ i\n⊢ (Finsupp.single (f j) (x j)) i = 0"} {"_id": "204105", "text": "case H\nR : Type uR\ninst✝⁶ : Semiring R\nS : Type uS\ninst✝⁵ : CommSemiring S\nT : Type uT\nA : Type uA\ninst✝⁴ : Semiring A\ninst✝³ : Algebra S A\nr : R → R → Prop\ninst✝² : Semiring T\nB : Type u₄\ninst✝¹ : Semiring B\ninst✝ : Algebra S B\ns : A → A → Prop\nf g : RingQuot s →ₐ[S] B\nw : f.comp (mkAlgHom S s) = g.comp (mkAlgHom S s)\nx : RingQuot s\n⊢ f x = g x"} {"_id": "204106", "text": "case H.intro\nR : Type uR\ninst✝⁶ : Semiring R\nS : Type uS\ninst✝⁵ : CommSemiring S\nT : Type uT\nA : Type uA\ninst✝⁴ : Semiring A\ninst✝³ : Algebra S A\nr : R → R → Prop\ninst✝² : Semiring T\nB : Type u₄\ninst✝¹ : Semiring B\ninst✝ : Algebra S B\ns : A → A → Prop\nf g : RingQuot s →ₐ[S] B\nw : f.comp (mkAlgHom S s) = g.comp (mkAlgHom S s)\nx : A\n⊢ f ((mkAlgHom S s) x) = g ((mkAlgHom S s) x)"} {"_id": "204108", "text": "case h.a\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R N\ninst✝¹ : LieRingModule L N\ninst✝ : LieModule R L N\nm✝ : ↥↑(maxTrivSubmodule R L M)\n⊢ ↑((maxTrivEquiv LieModuleEquiv.refl) m✝) = ↑(LieModuleEquiv.refl m✝)"} {"_id": "204109", "text": "k₂ : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nx✝ : 0 ≤ k₂\nh : x ∈ evaln 0 c n\n⊢ x ∈ evaln k₂ c n"} {"_id": "204110", "text": "k k₂ : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\n⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n"} {"_id": "204111", "text": "k k₂ : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\nhl' : k ≤ k₂\n⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n"} {"_id": "204112", "text": "k k₂ : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\n⊢ x ∈ evaln (k₂ + 1) c n"} {"_id": "204113", "text": "k k₂ : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\nh : evaln (k + 1) c n = some x\n⊢ evaln (k₂ + 1) c n = some x"} {"_id": "204115", "text": "k k₂ : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\nhl' : k ≤ k₂\n⊢ ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂"} {"_id": "204117", "text": "k✝ k₂✝ : ℕ\nc : Code\nn✝ x✝ : ℕ\nhl : k✝ + 1 ≤ k₂✝ + 1\nh✝ : x✝ ∈ evaln (k✝ + 1) c n✝\nhl' : k✝ ≤ k₂✝\nk k₂ n x : ℕ\no₁ o₂ : Option ℕ\nh : k ≤ k₂\nh₁ : o₁ = some x → o₂ = some x\nh₂ : n ≤ k\nh₃ : o₁ = some x\n⊢ n ≤ k₂ ∧ o₂ = some x"} {"_id": "204119", "text": "case pair\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf cg : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nhg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x\nn x : ℕ\nh✝ :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n)\n n =\n some x\nh : x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n\n⊢ x ∈ Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k₂ + 1) cf n) fun x => evaln (k₂ + 1) cg n"} {"_id": "204120", "text": "case pair\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf cg : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nhg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x\nn x : ℕ\nh✝ :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n Seq.seq (Nat.pair <$> evaln (k + 1) cf n) fun x => evaln (k + 1) cg n)\n n =\n some x\nh : ∃ a, evaln (k + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x\n⊢ ∃ a, evaln (k₂ + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (k₂ + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = x"} {"_id": "204121", "text": "case comp\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf cg : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nhg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x\nn x : ℕ\nh✝ :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n let x ← evaln (k + 1) cg n\n evaln (k + 1) cf x)\n n =\n some x\nh :\n x ∈ do\n let x ← evaln (k + 1) cg n\n evaln (k + 1) cf x\n⊢ x ∈ do\n let x ← evaln (k₂ + 1) cg n\n evaln (k₂ + 1) cf x"} {"_id": "204122", "text": "case comp\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf cg : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nhg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x\nn x : ℕ\nh✝ :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n let x ← evaln (k + 1) cg n\n evaln (k + 1) cf x)\n n =\n some x\nh : ∃ a, evaln (k + 1) cg n = some a ∧ evaln (k + 1) cf a = some x\n⊢ ∃ a, evaln (k₂ + 1) cg n = some a ∧ evaln (k₂ + 1) cf a = some x"} {"_id": "204124", "text": "case prec\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf cg : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nhg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x\nn x : ℕ\nh :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n unpaired\n (fun a n =>\n Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do\n let i ← evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair a y)\n evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i)))\n n)\n n =\n some x\n⊢ x ∈\n unpaired\n (fun a n =>\n Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do\n let i ← evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair a y)\n evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i)))\n n →\n x ∈\n unpaired\n (fun a n =>\n Nat.casesOn n (evaln (k₂ + 1) cf a) fun y => do\n let i ← evaln k₂ (cf.prec cg) (Nat.pair a y)\n evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i)))\n n"} {"_id": "204125", "text": "case prec\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf cg : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nhg : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cg n = some x → evaln (k₂ + 1) cg n = some x\nn x : ℕ\nh :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n unpaired\n (fun a n =>\n Nat.casesOn n (evaln (k + 1) cf a) fun y => do\n let i ← evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair a y)\n evaln (k + 1) cg (Nat.pair a (Nat.pair y i)))\n n)\n n =\n some x\n⊢ Nat.rec (evaln (k + 1) cf (unpair n).1)\n (fun n_1 n_ih =>\n (evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)).bind fun i =>\n evaln (k + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i)))\n (unpair n).2 =\n some x →\n Nat.rec (evaln (k₂ + 1) cf (unpair n).1)\n (fun n_1 n_ih =>\n (evaln k₂ (cf.prec cg) (Nat.pair (unpair n).1 n_1)).bind fun i =>\n evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair (unpair n).1 (Nat.pair n_1 i)))\n (unpair n).2 =\n some x"} {"_id": "204128", "text": "case rfind'\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nn x : ℕ\nh✝ :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n unpaired\n (fun a m => do\n let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m)\n if x = 0 then pure m else evaln k cf.rfind' (Nat.pair a (m + 1)))\n n)\n n =\n some x\nh :\n x ∈\n unpaired\n (fun a m => do\n let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m)\n if x = 0 then pure m else evaln k cf.rfind' (Nat.pair a (m + 1)))\n n\n⊢ x ∈\n unpaired\n (fun a m => do\n let x ← evaln (k₂ + 1) cf (Nat.pair a m)\n if x = 0 then pure m else evaln k₂ cf.rfind' (Nat.pair a (m + 1)))\n n"} {"_id": "204129", "text": "case rfind'\nk k₂ : ℕ\nhl : k + 1 ≤ k₂ + 1\nhl' : k ≤ k₂\nthis :\n ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ},\n k ≤ k₂ →\n (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) →\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o₁) →\n x ∈ do\n guard (n ≤ k₂)\n o₂\ncf : Code\nhf : ∀ (n x : ℕ), evaln (k + 1) cf n = some x → evaln (k₂ + 1) cf n = some x\nn x : ℕ\nh✝ :\n (fun n => do\n guard (n ≤ k)\n unpaired\n (fun a m => do\n let x ← evaln (k + 1) cf (Nat.pair a m)\n if x = 0 then pure m else evaln k cf.rfind' (Nat.pair a (m + 1)))\n n)\n n =\n some x\nh :\n ∃ a,\n evaln (k + 1) cf n = some a ∧\n (if a = 0 then some (unpair n).2 else evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x\n⊢ ∃ a,\n evaln (k₂ + 1) cf n = some a ∧\n (if a = 0 then some (unpair n).2 else evaln k₂ cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) = some x"} {"_id": "204132", "text": "p : Char → Bool\nl r : List Char\n⊢ { data := l ++ [] ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len [] } p { byteIdx := utf8Len l } = [].any p"} {"_id": "204134", "text": "p : Char → Bool\nl : List Char\nc : Char\nm r : List Char\n⊢ { data := l ++ c :: m ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p { byteIdx := utf8Len l } =\n (c :: m).any p"} {"_id": "204135", "text": "p : Char → Bool\nl : List Char\nc : Char\nm r : List Char\n⊢ (if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then\n if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then true\n else\n let_fun this := ⋯;\n { data := l ++ c :: m ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p\n ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })\n else false) =\n (c :: m).any p"} {"_id": "204136", "text": "p : Char → Bool\nl : List Char\nc : Char\nm r : List Char\n⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then true\n else\n let_fun this := ⋯;\n { data := l ++ c :: m ++ r }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p\n ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) =\n (c :: m).any p"} {"_id": "204138", "text": "case false\np : Char → Bool\nl : List Char\nc : Char\nm r : List Char\n⊢ { data := l ++ c :: (m ++ r) }.anyAux { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p\n { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } =\n m.any p"} {"_id": "204139", "text": "p : Char → Bool\nl : List Char\nc : Char\nm r : List Char\n⊢ { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) }"} {"_id": "204140", "text": "p : Char → Bool\ns : String\n⊢ s.find p = { byteIdx := utf8Len (List.takeWhile (fun x => !p x) s.data) }"} {"_id": "204141", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : SnakeInput C\n⊢ pullback.snd ≫ S.δ ≫ pushout.inr = pullback.fst ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ pushout.inl"} {"_id": "204143", "text": "case h.h\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\ng : Module.End R M\nm : M\n⊢ ((toEnd R (Module.End R M) M) g) m = (LieHom.id g) m"} {"_id": "204144", "text": "α✝ : Type u_1\nl₁✝ l₂ l₁ l₂✝ : List α✝\na✝ : α✝\nh : l₁ <+ l₂✝\n⊢ l₁.reverse <+ (a✝ :: l₂✝).reverse"} {"_id": "204145", "text": "α✝ : Type u_1\nl₁✝ l₂ l₁ l₂✝ : List α✝\na✝ : α✝\nh : l₁ <+ l₂✝\n⊢ l₁.reverse <+ l₂✝.reverse ++ [a✝]"} {"_id": "204146", "text": "α✝ : Type u_1\nl₁ l₂ l₁✝ l₂✝ : List α✝\na✝ : α✝\nh : l₁✝ <+ l₂✝\n⊢ (a✝ :: l₁✝).reverse <+ (a✝ :: l₂✝).reverse"} {"_id": "204148", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedSemifield α\ninst✝ : LinearOrderedSemifield β\ns : Set ι\nf f₁ f₂ : ι → α\ng g₁ g₂ : ι → β\nhf : StrongLT 0 f\nhg : StrongLT 0 g\n⊢ Antivary f⁻¹ g⁻¹ ↔ Antivary f g"} {"_id": "204150", "text": "case mk.mk\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\npoint✝ : PointClass F\na✝ : Fin 3 → F\nhP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)\n⊢ (-mk hP).toAffineLift = -(mk hP).toAffineLift"} {"_id": "204151", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP : Cubic F\ninst✝¹ : Field F\ninst✝ : Field K\nφ : F →+* K\nx y z : K\nha : P.a ≠ 0\n⊢ Splits φ P.toPoly ↔ ∃ x y z, (map φ P).roots = {x, y, z}"} {"_id": "204152", "text": "C : Type u'\ninst✝⁴ : Category.{v', u'} C\nJ : GrothendieckTopology C\nR₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat\nR : Sheaf J RingCat\nα : R₀ ⟶ R.val\ninst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α\ninst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α\ninst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp\ninst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp\nP : PresheafOfModules R₀\nF : SheafOfModules R\nf : (sheafification α).obj P ⟶ F\n⊢ ((sheafificationHomEquiv α) f).hom =\n ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F))\n ((SheafOfModules.toSheaf R).map f)"} {"_id": "204155", "text": "case h.a\nR : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝ : LinearWeights R L M\nχ : L → R\nx : L\nx✝ : ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)\n⊢ ↑(((toEnd R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) x✝) =\n ↑(((shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)) x✝)"} {"_id": "204156", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : Invertible 2\n⊢ IsUnit W.twoTorsionPolynomial.disc ↔ IsUnit W.Δ"} {"_id": "204157", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : Invertible 2\n⊢ IsUnit (2 ^ 4) ∧ IsUnit W.Δ ↔ IsUnit W.Δ"} {"_id": "204159", "text": "X : LocallyRingedSpace\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : Γ.rightOp.obj X ⟶ { unop := CommRingCat.of R }\nU : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := CommRingCat.of R }).toPresheafedSpace)ᵒᵖ\n⊢ toOpen R U.unop ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X { unop := CommRingCat.of R }) f).val.c.app U =\n f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op"} {"_id": "204160", "text": "X : LocallyRingedSpace\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : Γ.rightOp.obj X ⟶ { unop := CommRingCat.of R }\nU : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := CommRingCat.of R }).toPresheafedSpace)ᵒᵖ\n⊢ (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app { unop := CommRingCat.of R }).unop ≫\n ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X { unop := CommRingCat.of R }) f).val.c.app { unop := ⊤ } ≫\n (((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X { unop := CommRingCat.of R }) f).val.base _* X.presheaf).map\n (homOfLE ⋯).op =\n f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op"} {"_id": "204161", "text": "X : LocallyRingedSpace\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nf : Γ.rightOp.obj X ⟶ { unop := CommRingCat.of R }\nU : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj { unop := CommRingCat.of R }).toPresheafedSpace)ᵒᵖ\n⊢ (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app { unop := CommRingCat.of R }).unop ≫\n Γ.map ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X { unop := CommRingCat.of R }) f).op ≫\n (((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X { unop := CommRingCat.of R }) f).val.base _* X.presheaf).map\n (homOfLE ⋯).op =\n f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op"} {"_id": "204163", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\n⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1"} {"_id": "204166", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\n⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1"} {"_id": "204167", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\n⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1"} {"_id": "204169", "text": "case a\nR : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\npos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\n⊢ 0 ≤ √2 ^ 3 • 1 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)"} {"_id": "204170", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nm : ℤ\na : ℝ\nx : R\n⊢ m • a • x = (↑m * a) • x"} {"_id": "204172", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\n⊢ √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ =\n (√2)⁻¹ • (((√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀) ^ 2 + ((√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁) ^ 2)"} {"_id": "204173", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\n⊢ √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ =\n (√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₁ * (√2)⁻¹ • A₁) + (√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₀ * (√2)⁻¹ • A₁) - (√2)⁻¹ • (B₀ * (√2)⁻¹ • A₁) +\n ((√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₁ * (√2)⁻¹ • A₀) + (√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₀ * (√2)⁻¹ • A₀) - (√2)⁻¹ • (B₀ * (√2)⁻¹ • A₀)) -\n ((√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₁ * B₀) + (√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₀ * B₀) - (√2)⁻¹ • (B₀ * B₀)) +\n ((√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₁ * (√2)⁻¹ • A₁) - (√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₀ * (√2)⁻¹ • A₁) + (√2)⁻¹ • (B₁ * (√2)⁻¹ • A₁) -\n ((√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₁ * (√2)⁻¹ • A₀) - (√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₀ * (√2)⁻¹ • A₀) + (√2)⁻¹ • (B₁ * (√2)⁻¹ • A₀)) +\n ((√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₁ * B₁) - (√2)⁻¹ • ((√2)⁻¹ • A₀ * B₁) + (√2)⁻¹ • (B₁ * B₁)))"} {"_id": "204178", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\n⊢ √2 ^ 3 • 1 + (-1 • (A₀ * B₀) + (-1 • (A₀ * B₁) + (-1 • (A₁ * B₀) + A₁ * B₁))) =\n (↑4 * ((√2)⁻¹ * 2⁻¹)) • 1 +\n ((↑(-2) * 2⁻¹) • (A₁ * B₀) +\n ((↑(-2) * 2⁻¹) • (A₀ * B₀) + ((↑2 * (√2)⁻¹) • 1 + ((↑2 * 2⁻¹) • (A₁ * B₁) + (↑(-2) * 2⁻¹) • (A₀ * B₁)))))"} {"_id": "204179", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ 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A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\n⊢ 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)"} {"_id": "204184", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\nP_sa : star P = P\n⊢ 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)"} {"_id": "204185", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\nP_sa : star P = P\nQ_sa : star Q = Q\n⊢ 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)"} {"_id": "204186", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\nP_sa : star P = P\nQ_sa : star Q = Q\nP2_nonneg : 0 ≤ P ^ 2\n⊢ 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)"} {"_id": "204187", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ 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StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\nP_sa : star P = P\n⊢ star Q = Q"} {"_id": "204190", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\nP_sa : star P = P\nQ_sa : star Q = Q\n⊢ 0 ≤ P ^ 2"} {"_id": "204191", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : OrderedRing R\ninst✝⁴ : StarRing R\ninst✝³ : StarOrderedRing R\ninst✝² : Algebra ℝ R\ninst✝¹ : OrderedSMul ℝ R\ninst✝ : StarModule ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nM : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x\nP : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀\nQ : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁\nw : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)\nP_sa : star P = P\nQ_sa : star Q = Q\nP2_nonneg : 0 ≤ P ^ 2\n⊢ 0 ≤ Q ^ 2"} {"_id": "204194", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝² : Primcodable α\ninst✝¹ : Primcodable σ\np : α → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\nx✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a\nh₁ : RePred p\nh₂ : RePred fun a => ¬p a\n⊢ Computable fun a => decide (p a)"} {"_id": "204195", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝² : Primcodable α\ninst✝¹ : Primcodable σ\np : α → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\nx✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a\nh₁ : RePred p\nh₂ : RePred fun a => ¬p a\nk : α →. 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Bool\npk : Partrec k\nhk :\n ∀ (a : α) (x : Bool),\n x ∈ k a ↔\n x ∈ Part.map (fun b => true) (Part.assert (p a) fun x => Part.some ()) ∨\n x ∈ Part.map (fun b => false) (Part.assert ((fun a => ¬p a) a) fun x => Part.some ())\nn : α\n⊢ p n ∨ ¬p n"} {"_id": "204200", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝² : Primcodable α\ninst✝¹ : Primcodable σ\np : α → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\nx✝ : RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a\nh₁ : RePred p\nh₂ : RePred fun a => ¬p a\na : α\nx : Bool\nhx : x ∈ Part.map (fun b => true) (Part.assert (p a) fun x => Part.some ())\ny : Bool\nhy : y ∈ Part.map (fun b => false) (Part.assert ((fun a => ¬p a) a) fun x => Part.some ())\n⊢ x = y"} {"_id": "204203", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIcoDiv hp (p + a) b = toIcoDiv hp a b - 1"} {"_id": "204206", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Category.{?u.29718, u_2} 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Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\n⊢ baseChange A ⁅I, N⁆ = ⁅baseChange A I, baseChange A N⁆"} {"_id": "204213", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\n⊢ baseChange A ⁅I, N⁆ = ⁅baseChange A I, baseChange A N⁆"} {"_id": "204214", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\n⊢ Submodule.span A s = Submodule.span A {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}"} {"_id": "204218", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx : L\nhx : x ∈ I\nm : M\nhm : m ∈ N\n⊢ 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, m⁆ ∈ {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}"} {"_id": "204222", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx : A ⊗[R] L\nhx : x ∈ baseChange A I\n⊢ ∀ m ∈ baseChange A N, ⁅x, m⁆ ∈ ↑(Submodule.span A s)"} {"_id": "204224", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.mem.intro.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : 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∈ I\nm : A ⊗[R] M\nhm : m ∈ baseChange A N\nm' : M\nhm' : m' ∈ N\n⊢ 1 ⊗ₜ[R] ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204228", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.mem.intro.intro.mem.intro.intro.a\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx : A ⊗[R] L\nhx : x ∈ baseChange A I\ny : L\nhy : y ∈ I\nm : A ⊗[R] M\nhm : m ∈ baseChange A N\nm' : M\nhm' : m' ∈ N\n⊢ 1 ⊗ₜ[R] ⁅y, m'⁆ ∈ s"} {"_id": "204231", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.mem.intro.intro.add\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx : A ⊗[R] L\nhx : x ∈ baseChange A I\ny : L\nhy : y ∈ I\nm : A ⊗[R] M\nhm : m ∈ baseChange A N\nu v : A ⊗[R] M\nhu : ⁅1 ⊗ₜ[R] y, u⁆ ∈ Submodule.span A s\nhv : ⁅1 ⊗ₜ[R] y, v⁆ ∈ Submodule.span A s\n⊢ ⁅1 ⊗ₜ[R] y, u + v⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204232", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.mem.intro.intro.add\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx : A ⊗[R] L\nhx : x ∈ baseChange A I\ny : L\nhy : y ∈ I\nm : A ⊗[R] M\nhm : m ∈ baseChange A N\nu v : A ⊗[R] M\nhu : ⁅1 ⊗ₜ[R] y, u⁆ ∈ Submodule.span A s\nhv : ⁅1 ⊗ₜ[R] y, v⁆ ∈ Submodule.span A s\n⊢ ⁅1 ⊗ₜ[R] y, u⁆ + ⁅1 ⊗ₜ[R] y, v⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204234", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.mem.intro.intro.smul\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx : A ⊗[R] L\nhx : x ∈ baseChange A I\ny : L\nhy : y ∈ I\nm : A ⊗[R] M\nhm : m ∈ baseChange A N\na : A\nu : A ⊗[R] M\nhu : ⁅1 ⊗ₜ[R] y, u⁆ ∈ Submodule.span A s\n⊢ ⁅1 ⊗ₜ[R] y, a • u⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204235", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.mem.intro.intro.smul\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx : A ⊗[R] L\nhx : x ∈ baseChange A I\ny : L\nhy : y ∈ I\nm : A ⊗[R] M\nhm : m ∈ baseChange A N\na : A\nu : A ⊗[R] M\nhu : ⁅1 ⊗ₜ[R] y, u⁆ ∈ Submodule.span A s\n⊢ a • ⁅1 ⊗ₜ[R] y, u⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204238", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.add\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx✝ : A ⊗[R] L\nhx✝ : x✝ ∈ baseChange A I\nx y : A ⊗[R] L\nhx : ∀ m' ∈ baseChange A N, ⁅x, m'⁆ ∈ Submodule.span A s\nhy : ∀ m' ∈ baseChange A N, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span A s\nm' : A ⊗[R] M\nhm' : m' ∈ baseChange A N\n⊢ ⁅x + y, m'⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204239", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.add\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx✝ : A ⊗[R] L\nhx✝ : x✝ ∈ baseChange A I\nx y : A ⊗[R] L\nhx : ∀ m' ∈ baseChange A N, ⁅x, m'⁆ ∈ Submodule.span A s\nhy : ∀ m' ∈ baseChange A N, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span A s\nm' : A ⊗[R] M\nhm' : m' ∈ baseChange A N\n⊢ ⁅x, m'⁆ + ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204241", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.smul\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx✝ : A ⊗[R] L\nhx✝ : x✝ ∈ baseChange A I\na : A\nx : A ⊗[R] L\nhx : ∀ m' ∈ baseChange A N, ⁅x, m'⁆ ∈ Submodule.span A s\nm' : A ⊗[R] M\nhm' : m' ∈ baseChange A N\n⊢ ⁅a • x, m'⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204242", "text": "case refine_2.intro.intro.intro.intro.smul\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : CommRing A\ninst✝ : Algebra R A\nN✝ : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\ns : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}\nthis : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s\nx✝ : A ⊗[R] L\nhx✝ : x✝ ∈ baseChange A I\na : A\nx : A ⊗[R] L\nhx : ∀ m' ∈ baseChange A N, ⁅x, m'⁆ ∈ Submodule.span A s\nm' : A ⊗[R] M\nhm' : m' ∈ baseChange A N\n⊢ a • ⁅x, m'⁆ ∈ Submodule.span A s"} {"_id": "204245", "text": "case succ\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN N₁ N₂ : LieSubmodule R L M\nk : ℕ\nih : lcs k (N₁ ⊔ N₂) = lcs k N₁ ⊔ lcs k N₂\n⊢ lcs (k + 1) (N₁ ⊔ N₂) = lcs (k + 1) N₁ ⊔ lcs (k + 1) N₂"} {"_id": "204246", "text": "self : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : (self.find x).fst.parent i = i\n⊢ (self.find x).fst.rootD i = self.rootD i"} {"_id": "204247", "text": "self : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : (self.find x).fst.parent i = i\n⊢ i = self.rootD i"} {"_id": "204249", "text": "case inr\nself : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : self.parent i = i\nh1 : (self.find x).fst.parent i = self.parent i\n⊢ i = self.rootD i"} {"_id": "204250", "text": "self : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : ¬(self.find x).fst.parent i = i\n⊢ (self.find x).fst.rootD i = self.rootD i"} {"_id": "204251", "text": "self : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : ¬(self.find x).fst.parent i = i\nthis :\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank ((self.find x).fst.parent i) <\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank i\n⊢ (self.find x).fst.rootD i = self.rootD i"} {"_id": "204252", "text": "self : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : ¬(self.find x).fst.parent i = i\nthis :\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank ((self.find x).fst.parent i) <\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank i\n⊢ self.rootD ((self.find x).fst.parent i) = self.rootD i"} {"_id": "204253", "text": "case inl.intro\nself : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : ¬(self.find x).fst.parent i = i\nthis :\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank ((self.find x).fst.parent i) <\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank i\nh1 : (self.find x).fst.parent i = self.rootD i\nright✝ : self.rootD i = self.rootD ↑x\n⊢ self.rootD ((self.find x).fst.parent i) = self.rootD i"} {"_id": "204254", "text": "case inr\nself : UnionFind\nx : Fin self.size\ni : Nat\nh : ¬(self.find x).fst.parent i = i\nthis :\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank ((self.find x).fst.parent i) <\n (self.find x).fst.rankMax - (self.find x).fst.rank i\nh1 : (self.find x).fst.parent i = self.parent i\n⊢ self.rootD ((self.find x).fst.parent i) = self.rootD i"} {"_id": "204256", "text": "R : Type u\ninst✝² : Ring R\nX Y : ModuleCat R\nf : X ⟶ Y\nM : Type v\ninst✝¹ : AddCommGroup M\ninst✝ : Module R M\n⊢ Mono f ↔ Function.Injective ⇑f"} {"_id": "204260", "text": "case mp\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhxy : lcm x y = 0\n⊢ x = 0 ∨ y = 0"} {"_id": "204261", "text": "case mp\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhxy : x = 0 ∨ y / gcd x y = 0\n⊢ x = 0 ∨ y = 0"} {"_id": "204263", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhxy : x = 0 ∨ y / gcd x y = 0\nhy : y / gcd x y = 0\n⊢ y = 0"} {"_id": "204264", "text": "case pos\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhxy : x = 0 ∨ y / gcd x y = 0\nhy : y / gcd x y = 0\nhgxy : gcd x y = 0\n⊢ y = 0"} {"_id": "204266", "text": "case neg\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhxy : x = 0 ∨ y / gcd x y = 0\nhy : y / gcd x y = 0\nhgxy : ¬gcd x y = 0\n⊢ y = 0"} {"_id": "204267", "text": "case neg.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhxy : x = 0 ∨ y / gcd x y = 0\nhy : y / gcd x y = 0\nhgxy : ¬gcd x y = 0\nr : R\nhr : x = gcd x y * r\ns : R\nhs : y = gcd x y * s\n⊢ y = 0"} {"_id": "204269", "text": "case neg.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx r s g : R\nhr : x = g * r\nhgxy : ¬g = 0\nhxy : x = 0 ∨ g * s / gcd x (g * s) = 0\nhy : g * s / g = 0\n⊢ g * s = 0"} {"_id": "204271", "text": "case mpr.inl\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhx : x = 0\n⊢ lcm x y = 0"} {"_id": "204272", "text": "case mpr.inr\nR : Type u\ninst✝¹ : EuclideanDomain R\ninst✝ : DecidableEq R\nx y : R\nhy : y = 0\n⊢ lcm x y = 0"} {"_id": "204273", "text": "α : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : εNFA α σ\nS : Set σ\nx : List α\ns : σ\na : α\nM : NFA α σ\nstart : Set σ\n⊢ M.toεNFA.evalFrom start = M.evalFrom start"} {"_id": "204274", "text": "α : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : εNFA α σ\nS : Set σ\nx : List α\ns : σ\na : α\nM : NFA α σ\nstart : Set σ\n⊢ List.foldl M.toεNFA.stepSet start = List.foldl M.stepSet start"} {"_id": "204276", "text": "case h.h.h\nα : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : εNFA α σ\nS✝ : Set σ\nx : List α\ns✝ : σ\na : α\nM : NFA α σ\nstart S : Set σ\ns : α\nx✝ : σ\n⊢ x✝ ∈ M.toεNFA.stepSet S s ↔ x✝ ∈ M.stepSet S s"} {"_id": "204277", "text": "case h.h.h\nα : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : εNFA α σ\nS✝ : Set σ\nx : List α\ns✝ : σ\na : α\nM : NFA α σ\nstart S : Set σ\ns : α\nx✝ : σ\n⊢ (∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step i (some s))) ↔ ∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.step i s"} {"_id": "204278", "text": "case h.h.h.h\nα : Type u\nσ σ' : Type v\nM✝ : εNFA α σ\nS✝ : Set σ\nx : List α\ns✝ : σ\na : α\nM : NFA α σ\nstart S : Set σ\ns : α\nx✝ : σ\n⊢ ∀ (a : σ), a ∈ S ∧ x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a (some s)) ↔ a ∈ S ∧ x✝ ∈ M.step a s"} {"_id": "204283", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\na a₁ a₂ : α\nb b₁ b₂ : β\ninst✝⁶ : Zero α\ninst✝⁵ : Zero β\ninst✝⁴ : SMulWithZero α β\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LinearOrder β\ninst✝¹ : PosSMulMono α β\ninst✝ : SMulPosMono α β\nhab : 0 < a • b\n⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0"} {"_id": "204284", "text": "case inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\na a₁ a₂ : α\nb b₁ b₂ : β\ninst✝⁶ : Zero α\ninst✝⁵ : Zero β\ninst✝⁴ : SMulWithZero α β\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LinearOrder β\ninst✝¹ : PosSMulMono α β\ninst✝ : SMulPosMono α β\nhab : 0 < a • b\nha : a < 0\n⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0"} {"_id": "204285", "text": "case inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\na a₁ a₂ : α\nb b₁ b₂ : β\ninst✝⁶ : Zero α\ninst✝⁵ : Zero β\ninst✝⁴ : SMulWithZero α β\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LinearOrder β\ninst✝¹ : PosSMulMono α β\ninst✝ : SMulPosMono α β\nhab : 0 < a • b\nha : a < 0\nhb : 0 ≤ b\n⊢ a • b ≤ 0"} {"_id": "204286", "text": "case inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\na₁ a₂ : α\nb b₁ b₂ : β\ninst✝⁶ : Zero α\ninst✝⁵ : Zero β\ninst✝⁴ : SMulWithZero α β\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LinearOrder β\ninst✝¹ : PosSMulMono α β\ninst✝ : SMulPosMono α β\nhab : 0 < 0 • b\n⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0"} {"_id": "204288", "text": "case inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\na a₁ a₂ : α\nb b₁ b₂ : β\ninst✝⁶ : Zero α\ninst✝⁵ : Zero β\ninst✝⁴ : SMulWithZero α β\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LinearOrder β\ninst✝¹ : PosSMulMono α β\ninst✝ : SMulPosMono α β\nhab : 0 < a • b\nha : 0 < a\n⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0"} {"_id": "204289", "text": "case inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\na a₁ a₂ : α\nb b₁ b₂ : β\ninst✝⁶ : Zero α\ninst✝⁵ : Zero β\ninst✝⁴ : SMulWithZero α β\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LinearOrder β\ninst✝¹ : PosSMulMono α β\ninst✝ : SMulPosMono α β\nhab : 0 < a • b\nha : 0 < a\nhb : b ≤ 0\n⊢ a • b ≤ 0"} {"_id": "204290", "text": "C : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\ni₁₂ : I₁₂\nh : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\n⊢ K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0"} {"_id": "204291", "text": "C : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝³ : Preadditive C\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nI₁₂ : Type u_4\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nφ : K ⟶ L\ne : K ≅ L\nψ : L ⟶ M\nc₁₂ : ComplexShape I₁₂\ninst✝² : DecidableEq I₁₂\ninst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂\ninst✝ : K.HasTotal c₁₂\ni₁ : I₁\ni₂ : I₂\ni₁₂ : I₁₂\nh : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\n⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) •\n (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (c₁.next i₁, i₂) i₁₂ =\n 0"} {"_id": "204295", "text": "C : Type u_1\nι✝ : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nc : ComplexShape ι✝\nK : HomologicalComplex C c\ni j : ι✝\nhij : c.Rel i j\ninst✝ : CategoryWithHomology C\nS : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯\nS' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯\nι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\n⊢ (composableArrows₃ K i j).Exact"} {"_id": "204299", "text": "C : Type u_1\nι✝ : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nc : ComplexShape ι✝\nK : HomologicalComplex C c\ni j : ι✝\nhij : c.Rel i j\ninst✝ : CategoryWithHomology C\nS : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯\nS' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯\nι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\nhS : S.Exact\nT : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.opcyclesToCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯\nT' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.toCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯\nπ : T' ⟶ T := { τ₁ := K.pOpcycles i, τ₂ := 𝟙 T'.X₂, τ₃ := 𝟙 T'.X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\n⊢ (composableArrows₃ K i j).Exact"} {"_id": "204300", "text": "C : Type u_1\nι✝ : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nc : ComplexShape ι✝\nK : HomologicalComplex C c\ni j : ι✝\nhij : c.Rel i j\ninst✝ : CategoryWithHomology C\nS : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯\nS' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯\nι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\nhS : S.Exact\nT : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.opcyclesToCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯\nT' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.toCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯\nπ : T' ⟶ T := { τ₁ := K.pOpcycles i, τ₂ := 𝟙 T'.X₂, τ₃ := 𝟙 T'.X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\nhT : T.Exact\n⊢ (composableArrows₃ K i j).Exact"} {"_id": "204303", "text": "C : Type u_1\nι✝ : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nc : ComplexShape ι✝\nK : HomologicalComplex C c\ni j : ι✝\nhij : c.Rel i j\ninst✝ : CategoryWithHomology C\nS : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯\nS' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯\nι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\n⊢ S.Exact"} {"_id": "204307", "text": "C : Type u_1\nι✝ : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nc : ComplexShape ι✝\nK : HomologicalComplex C c\ni j : ι✝\nhij : c.Rel i j\ninst✝ : CategoryWithHomology C\nS : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯\nS' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯\nι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\nhS : S.Exact\nT : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.opcyclesToCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯\nT' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.toCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯\nπ : T' ⟶ T := { τ₁ := K.pOpcycles i, τ₂ := 𝟙 T'.X₂, τ₃ := 𝟙 T'.X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }\n⊢ T.Exact"} {"_id": "204311", "text": "A : Type u_1\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A\ninst✝ : IsCommJordan A\na b c : A\n⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +\n ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +\n (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +\n ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +\n (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +\n ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) =\n ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) +\n (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) +\n (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) +\n (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)"} {"_id": "204312", "text": "A : Type u_1\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A\ninst✝ : IsCommJordan A\na b c : A\n⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +\n (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +\n (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) =\n ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) +\n (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) +\n (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) +\n (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)"} {"_id": "204314", "text": "R : Type u_1\nC : Type u_2\ninst✝³ : Semiring R\ninst✝² : Category.{u_3, u_2} C\ninst✝¹ : Preadditive C\ninst✝ : Linear R C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\na : R\n⊢ cyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • cyclesMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "204315", "text": "R : Type u_1\nC : Type u_2\ninst✝³ : Semiring R\ninst✝² : Category.{u_3, u_2} C\ninst✝¹ : Preadditive C\ninst✝ : Linear R C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\na : R\nγ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂\n⊢ cyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • cyclesMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "204316", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\nn : ℕ\nhn : 2 < n\nh : ↑n ≠ 0\n⊢ 0 < (W.preΨ' n).natDegree"} {"_id": "204317", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\nn : ℕ\nhn : 2 < n\nh : ↑n ≠ 0\n⊢ 2 ≤ n ^ 2 - if Even n then 4 else 1"} {"_id": "204318", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : MulZeroClass R\na b : R\n⊢ ¬IsRightRegular 0 ↔ Nontrivial R"} {"_id": "204319", "text": "m : Type u_1\nn : Type u_2\no : Type u_3\nR : Type u_4\nS : Type u_5\ninst✝³ : Fintype n\ninst✝² : Fintype o\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nM : Matrix m n R\ni : m\nc : n → R\n⊢ (eval c) (M.toMvPolynomial i) = (M *ᵥ c) i"} {"_id": "204320", "text": "k : Type u₁\nG : Type u₂\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : DecidableEq G\ninst✝ : Mul G\nf : MonoidAlgebra k G\nr : k\nhr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0\nx : G\nlx : IsLeftRegular x\n⊢ (single x r * f).support = image (fun x_1 => x * x_1) f.support"} {"_id": "204321", "text": "k : Type u₁\nG : Type u₂\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : DecidableEq G\ninst✝ : Mul G\nf : MonoidAlgebra k G\nr : k\nhr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0\nx : G\nlx : IsLeftRegular x\ny : G\nhy : y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support\n⊢ y ∈ (single x r * f).support"} {"_id": "204322", "text": "case intro.intro\nk : Type u₁\nG : Type u₂\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : DecidableEq G\ninst✝ : Mul G\nf : MonoidAlgebra k G\nr : k\nhr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0\nx : G\nlx : IsLeftRegular x\ny : G\nyf : y ∈ f.support\nhy : x * y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support\n⊢ x * y ∈ (single x r * f).support"} {"_id": "204323", "text": "k : Type u₁\nG : Type u₂\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : DecidableEq G\ninst✝ : Mul G\nf : MonoidAlgebra k G\nr : k\nhr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0\nx : G\nlx : IsLeftRegular x\ny : G\nhy : y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support\n⊢ ∃ a ∈ f.support, x * a = y"} {"_id": "204324", "text": "R : Type uR\ninst✝³ : CommRing R\nA : Type uA\ninst✝² : AddCommGroup A\nA' : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommGroup A'\nB : Type uB\ninst✝ : AddCommGroup B\na : A\nh : (ofSpanSingleton a) ⟨a, ⋯⟩ = 0\n⊢ a = 0"} {"_id": "204327", "text": "case intro\nR : Type uR\ninst✝³ : CommRing R\nA : Type uA\ninst✝² : AddCommGroup A\nA' : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommGroup A'\nB : Type uB\ninst✝ : AddCommGroup B\na : A\nn : ℤ\nhn : (n • 1).den = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den\n⊢ a = 0"} {"_id": "204330", "text": "case neg\nR : Type uR\ninst✝³ : CommRing R\nA : Type uA\ninst✝² : AddCommGroup A\nA' : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommGroup A'\nB : Type uB\ninst✝ : AddCommGroup B\na : A\nn : ℤ\nh✝ : ¬addOrderOf a = 0\nhn : 1 = addOrderOf a\n⊢ a = 0"} {"_id": "204333", "text": "case neg\nR : Type uR\ninst✝³ : CommRing R\nA : Type uA\ninst✝² : AddCommGroup A\nA' : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommGroup A'\nB : Type uB\ninst✝ : AddCommGroup B\na : A\nn : ℤ\nhn : 1 = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den\nh : ¬addOrderOf a = 0\n⊢ 0 < addOrderOf a"} {"_id": "204334", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\n⊢ ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < y"} {"_id": "204335", "text": "case intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\n⊢ ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < y"} {"_id": "204337", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\n⊢ x < ↑(↑(z + 1) / ↑n) ∧ ↑(↑(z + 1) / ↑n) < y"} {"_id": "204338", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\n⊢ x < ↑(↑(z + 1) / ↑n) ∧ ↑(↑(z + 1) / ↑n) < y"} {"_id": "204339", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\n⊢ x < ↑(↑(z + 1) / ↑n) ∧ ↑(↑(z + 1) / ↑n) < y"} {"_id": "204340", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\n⊢ x < ↑(z + 1) / ↑n ∧ ↑(z + 1) < y * ↑n"} {"_id": "204341", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\n⊢ ↑(z + 1) < y * ↑n"} {"_id": "204342", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\n⊢ ↑z + 1 < y * ↑n"} {"_id": "204343", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\n⊢ x * ↑n + 1 < y * ↑n"} {"_id": "204344", "text": "case intro.intro.hp\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\n⊢ ↑(↑(z + 1)).den ≠ 0"} {"_id": "204345", "text": "case intro.intro.hp\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\n⊢ 1 ≠ 0"} {"_id": "204347", "text": "case intro.intro.hq\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx✝ y✝ ε x y : α\nh : x < y\nn : ℕ\nnh : (y - x)⁻¹ < ↑n\nz : ℤ\nzh : ∀ (z_1 : ℤ), z_1 ≤ z ↔ ↑z_1 ≤ x * ↑n\nn0' : 0 < ↑n\nn0 : 0 < n\nH : ↑(↑n).num = 0\n⊢ False"} {"_id": "204355", "text": "case h\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf✝ : GrowsPolynomially f\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nc₁ : ℝ\nhc₁_mem : c₁ > 0\nc₂ : ℝ\nhc₂_mem : c₂ > 0\nhf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)\nx : ℝ\nhx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)\nu : ℝ\nhu : u ∈ Set.Icc (b * x) x\n⊢ (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)"} {"_id": "204357", "text": "S : Finset Λ'\nk : Cont'\nH₁ : contSupp k ⊆ S\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret k))"} {"_id": "204359", "text": "case cons₁\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : contSupp (Cont'.cons₁ a✝¹ a✝) ⊆ S\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret (Cont'.cons₁ a✝¹ a✝)))"} {"_id": "204361", "text": "case cons₂\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝ : Cont'\nH₁ : contSupp a✝.cons₂ ⊆ S\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret a✝.cons₂))"} {"_id": "204363", "text": "case comp\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : contSupp (Cont'.comp a✝¹ a✝) ⊆ S\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret (Cont'.comp a✝¹ a✝)))"} {"_id": "204364", "text": "case comp\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : codeSupp a✝¹ a✝ ⊆ S\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret (Cont'.comp a✝¹ a✝)))"} {"_id": "204365", "text": "case fix\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : contSupp (Cont'.fix a✝¹ a✝) ⊆ S\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret (Cont'.fix a✝¹ a✝)))"} {"_id": "204366", "text": "case fix\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : codeSupp a✝¹ (Cont'.fix a✝¹ a✝) ⊆ S\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret (Cont'.fix a✝¹ a✝)))"} {"_id": "204367", "text": "case fix\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : codeSupp a✝¹ (Cont'.fix a✝¹ a✝) ⊆ S\nL : ∀ {α : Type ?u.354762} [inst : DecidableEq α] {s : Finset α} {a : α} (t : Finset α), a ∈ s → a ∈ s ∪ t\n⊢ TM2.SupportsStmt S (tr (Λ'.ret (Cont'.fix a✝¹ a✝)))"} {"_id": "204370", "text": "case fix\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : codeSupp a✝¹ (Cont'.fix a✝¹ a✝) ⊆ S\nL : ∀ {α : Type ?u.354762} [inst : DecidableEq α] {s : Finset α} {a : α} (t : Finset α), a ∈ s → a ∈ s ∪ t\nR : ∀ {α : Type ?u.354784} [inst : DecidableEq α] {t : Finset α} {a : α} (s : Finset α), a ∈ t → a ∈ s ∪ t\ns : Option Γ'\n⊢ (bif natEnd s.iget then Λ'.ret a✝ else Λ'.clear natEnd main (trNormal a✝¹ (Cont'.fix a✝¹ a✝))) ∈ S"} {"_id": "204372", "text": "case fix.true\nS : Finset Λ'\nW : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q\na✝¹ : Code\na✝ : Cont'\nH₁ : codeSupp a✝¹ (Cont'.fix a✝¹ a✝) ⊆ S\nL : ∀ {α : Type} [inst : DecidableEq α] {s : Finset α} {a : α} (t : Finset α), a ∈ s → a ∈ s ∪ t\nR : ∀ {α : Type} [inst : DecidableEq α] {t : Finset α} {a : α} (s : Finset α), a ∈ t → a ∈ s ∪ t\ns : Option Γ'\n⊢ (bif true then Λ'.ret a✝ else Λ'.clear natEnd main (trNormal a✝¹ (Cont'.fix a✝¹ a✝))) ∈ S"} {"_id": "204373", "text": "l r : List Char\n⊢ { data := l ++ r }.offsetOfPos { byteIdx := utf8Len l } = l.length"} {"_id": "204375", "text": "case succ\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CommMonoidWithZero α\np : α\nhp✝ hp : Prime p\na : α\nn : ℕ\nih : p ∣ a ^ n → p ∣ a\nh : p ∣ a ^ (n + 1)\n⊢ p ∣ a"} {"_id": "204376", "text": "case succ\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CommMonoidWithZero α\np : α\nhp✝ hp : Prime p\na : α\nn : ℕ\nih : p ∣ a ^ n → p ∣ a\nh : p ∣ a * a ^ n\n⊢ p ∣ a"} {"_id": "204378", "text": "case zero\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CommMonoidWithZero α\np : α\nhp✝ hp : Prime p\na : α\nh : p ∣ a ^ 0\n⊢ p ∣ a"} {"_id": "204379", "text": "case zero\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CommMonoidWithZero α\np : α\nhp✝ hp : Prime p\na : α\nh : p ∣ 1\n⊢ p ∣ a"} {"_id": "204380", "text": "case zero\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CommMonoidWithZero α\np : α\nhp✝ hp : Prime p\na : α\nh : p ∣ 1\nthis : IsUnit p\n⊢ p ∣ a"} {"_id": "204383", "text": "S : ShortComplex Ab\n⊢ S.Exact ↔ Function.Surjective ⇑S.abToCycles"} {"_id": "204386", "text": "case h\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\np : ℤ\n⊢ (δ (-1) 0 (inl φ)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (φ ≫ inr φ)).v p p ⋯"} {"_id": "204389", "text": "F : Type v'\nR' : Type u'\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w'\ninst✝¹⁶ : CommSemiring R\ninst✝¹⁵ : StarRing R\ninst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A\ninst✝¹³ : StarRing A\ninst✝¹² : Module R A\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R A A\ninst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁹ : StarModule R A\ninst✝⁸ : NonUnitalSemiring B\ninst✝⁷ : StarRing B\ninst✝⁶ : Module R B\ninst✝⁵ : IsScalarTower R B B\ninst✝⁴ : SMulCommClass R B B\ninst✝³ : StarModule R B\ninst✝² : FunLike F A B\ninst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\ninst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B\nx : A\n⊢ x ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (∅ ∪ star ∅) ↔ x = 0"} {"_id": "204390", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{?u.164359, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\n⊢ φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0"} {"_id": "204391", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\n⊢ QuasiIso φ ↔ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ Mono φ.τ₂"} {"_id": "204392", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nw : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0\n⊢ QuasiIso φ ↔ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ Mono φ.τ₂"} {"_id": "204394", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\n⊢ φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0"} {"_id": "204396", "text": "case mp\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nw : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0\nh : IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)\n⊢ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ Mono φ.τ₂"} {"_id": "204398", "text": "case mp\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nw : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0\nh : IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)\nthis : Mono φ.τ₂\n⊢ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact"} {"_id": "204399", "text": "case mp.hS\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nw : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0\nh : IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)\nthis : Mono φ.τ₂\n⊢ IsLimit (KernelFork.ofι (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).f ⋯)"} {"_id": "204401", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nw : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0\nh : IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)\n⊢ Mono (S₂.liftCycles φ.τ₂ w ≫ S₂.iCycles)"} {"_id": "204406", "text": "case mpr.intro.refine_1\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nw : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0\nh₁ : (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact\nh₂ : Mono φ.τ₂\n⊢ S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯ ≫ h₁.lift S₂.iCycles ⋯ = 𝟙 S₁.X₂"} {"_id": "204407", "text": "case mpr.intro.refine_2\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : Category.{?u.164363, u_2} D\ninst✝ : Abelian C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhf₁ : S₁.f = 0\nhg₁ : S₁.g = 0\nhf₂ : S₂.f = 0\nw : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0\nh₁ : (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact\nh₂ : Mono φ.τ₂\n⊢ h₁.lift S₂.iCycles ⋯ ≫ S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯ = 𝟙 S₂.cycles"} {"_id": "204408", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\n⊢ fundamentalDomain b =ᶠ[ae μ] parallelepiped ⇑b"} {"_id": "204409", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis : FiniteDimensional ℝ E\n⊢ fundamentalDomain b =ᶠ[ae μ] parallelepiped ⇑b"} {"_id": "204410", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis : FiniteDimensional ℝ E\n⊢ μ (parallelepiped ⇑b \\ fundamentalDomain b) = 0"} {"_id": "204412", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis : FiniteDimensional ℝ E\nx : E\nhx : x ∈ parallelepiped ⇑b \\ fundamentalDomain b\n⊢ x ∈ ⋃ i, ↑(AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))))"} {"_id": "204414", "text": "case intro\nE : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis : FiniteDimensional ℝ E\nx : E\nhx : (∀ (i : ι), 0 ≤ (b.repr x) i ∧ (b.repr x) i ≤ 1) ∧ ∃ x_1, 0 ≤ (b.repr x) x_1 → 1 ≤ (b.repr x) x_1\ni : ι\nhi : 0 ≤ (b.repr x) i → 1 ≤ (b.repr x) i\n⊢ x ∈ ⋃ i, ↑(AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))))"} {"_id": "204415", "text": "case intro\nE : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis✝ : FiniteDimensional ℝ E\nx : E\nhx : (∀ (i : ι), 0 ≤ (b.repr x) i ∧ (b.repr x) i ≤ 1) ∧ ∃ x_1, 0 ≤ (b.repr x) x_1 → 1 ≤ (b.repr x) x_1\ni : ι\nhi : 0 ≤ (b.repr x) i → 1 ≤ (b.repr x) i\nthis : (b.repr x) i = 1\n⊢ x ∈ ⋃ i, ↑(AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))))"} {"_id": "204416", "text": "case intro\nE : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis✝ : FiniteDimensional ℝ E\nx : E\nhx : (∀ (i : ι), 0 ≤ (b.repr x) i ∧ (b.repr x) i ≤ 1) ∧ ∃ x_1, 0 ≤ (b.repr x) x_1 → 1 ≤ (b.repr x) x_1\ni : ι\nhi : 0 ≤ (b.repr x) i → 1 ≤ (b.repr x) i\nthis : (b.repr x) i = 1\n⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.univ.erase i, (b.repr x) x_1 • b x_1 +ᵥ b i ∈\n ⋃ i, ↑(AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))))"} {"_id": "204417", "text": "case intro\nE : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis✝ : FiniteDimensional ℝ E\nx : E\nhx : (∀ (i : ι), 0 ≤ (b.repr x) i ∧ (b.repr x) i ≤ 1) ∧ ∃ x_1, 0 ≤ (b.repr x) x_1 → 1 ≤ (b.repr x) x_1\ni✝ : ι\nhi✝ : 0 ≤ (b.repr x) i✝ → 1 ≤ (b.repr x) i✝\nthis : (b.repr x) i✝ = 1\ni : ι\nhi : i ∈ Finset.univ.erase i✝\n⊢ b i ∈ ⇑b '' (Set.univ \\ {i✝})"} {"_id": "204418", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis✝ : FiniteDimensional ℝ E\nthis : parallelepiped ⇑b \\ fundamentalDomain b ⊆ ⋃ i, ↑(AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))))\n⊢ μ (parallelepiped ⇑b \\ fundamentalDomain b) = 0"} {"_id": "204419", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis✝ : FiniteDimensional ℝ E\nthis : parallelepiped ⇑b \\ fundamentalDomain b ⊆ ⋃ i, ↑(AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))))\ni : ι\n⊢ AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))) ≠ ⊤"} {"_id": "204420", "text": "E : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ E\nb : Basis ι ℝ E\ninst✝³ : Fintype ι\ninst✝² : MeasurableSpace E\nμ : Measure E\ninst✝¹ : BorelSpace E\ninst✝ : μ.IsAddHaarMeasure\nthis✝ : FiniteDimensional ℝ E\nthis : parallelepiped ⇑b \\ fundamentalDomain b ⊆ ⋃ i, ↑(AffineSubspace.mk' (b i) (span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))))\ni : ι\n⊢ 0 -ᵥ b i ∉ span ℝ (⇑b '' (Set.univ \\ {i}))"} {"_id": "204422", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\ninst✝² : HasZeroMorphisms D\nS S₁ S₂ : ShortComplex C\nh : S.LeftHomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝ : h.IsPreservedBy F\n⊢ (h.map F).f' = F.map h.f'"} {"_id": "204425", "text": "case w.w\nR : CommRingCat\nU✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace\nx✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj { unop := U✝ })\n⊢ ((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 { unop := (TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝ }))\n ((comap (𝟙 R) U✝ ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝) ⋯) x✝) =\n (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj { unop := U✝ })) x✝"} {"_id": "204428", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\n⊢ IsCompact ↑U"} {"_id": "204430", "text": "case h.e'_3\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\n⊢ ⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ = Set.range ⇑hU.fromSpec.val.base"} {"_id": "204432", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ns : Finset α\nn : ℤ\nf : α → ℤ\n⊢ (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n"} {"_id": "204434", "text": "S : Type u_1\nT : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommRing R\nr x y z✝ : R\na b c : ℍ[R]\nz : ℤ\n⊢ normSq ↑z = ↑z ^ 2"} {"_id": "204435", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nn : ℕ\nf : α → Fin n\n⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f"} {"_id": "204436", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nn : ℕ\nf : α → Fin n\nthis : Primcodable { a // id a < n } := Primcodable.subtype ⋯\n⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f"} {"_id": "204438", "text": "E : Type u_1\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁸ : NormedSpace ℝ E\ninst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E\ninst✝⁶ : MeasurableSpace E\ninst✝⁵ : BorelSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L\ninst✝³ : IsZlattice ℝ L\nμ : autoParam (Measure E) _auto✝\ninst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Fintype ι\ninst✝ : DecidableEq ι\nb : Basis ι ℤ ↥L\nb₀ : Basis ι ℝ E\n⊢ covolume L μ = |b₀.det (Subtype.val ∘ ⇑b)| * (μ (Zspan.fundamentalDomain b₀)).toReal"} {"_id": "204443", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommGroup α\na✝ b✝ c✝ a b c : α\n⊢ min (a / c) (b / c) = min a b / c"} {"_id": "204446", "text": "case h\nR : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nk : Type u_5\nS : Type u_6\nS₃ : Type u_7\nT : Type u_8\nM : Type u_9\nM₁ : Type u_10\nM₂ : Type u_11\nM₃ : Type u_12\nN₁ : Type u_13\nN₂ : Type u_14\nN₃ : Type u_15\nι : Type u_16\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : AddCommMonoid M₂\nf g : M →+ M₂\nh : f.toNatLinearMap = g.toNatLinearMap\nx : M\n⊢ f x = g x"} {"_id": "204447", "text": "α✝ : Type u_1\nR : α✝ → α✝ → Prop\nl : List α✝\n⊢ Pairwise R l ↔ ∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]"} {"_id": "204451", "text": "case mp.a\nα✝ : Type u_1\nR : α✝ → α✝ → Prop\nl : List α✝\nh : ∀ {a b : α✝}, [a, b] <+ l → R a b\ni j : Nat\nhi : i < l.length\nhj : j < l.length\nh' : i < j\n⊢ [l[i], l[j]] <+ l"} {"_id": "204453", "text": "case mpr\nα✝ : Type u_1\nR : α✝ → α✝ → Prop\nl : List α✝\nh : ∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]\na b : α✝\nh' : [a, b] <+ l\n⊢ R a b"} {"_id": "204458", "text": "S : Type u_1\nT : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommRing R\nc₁ c₂ r x✝ y z : R\na✝ b c a : ℍ[R,c₁,c₂]\nx : R\nh : a = ↑x\n⊢ a = ↑a.re"} {"_id": "204459", "text": "X Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n⊢ @QuasiSeparated = targetAffineLocally QuasiSeparated.affineProperty"} {"_id": "204460", "text": "n : Int\nd a : Nat\na0 : a ≠ 0\n⊢ mkRat (n * ↑a) (d * a) = mkRat n d"} {"_id": "204461", "text": "n : Int\nd a : Nat\na0 : a ≠ 0\n⊢ mkRat (n * ↑a) (d * a) = mkRat (↑a * n) (a * d)"} {"_id": "204463", "text": "case h\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nK : LieSubalgebra R L\nx y : ↥K\n⊢ ((ad R L) ↑x ∘ₗ ↑K.incl) y = (↑K.incl ∘ₗ (ad R ↥K) x) y"} {"_id": "204464", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np✝ q p : MvPolynomial σ R\ni : σ\n⊢ i ∈ p.degrees ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0 ∧ i ∈ d.support"} {"_id": "204465", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\nh' : Finite R N\n⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})"} {"_id": "204469", "text": "case h.zero\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin 0 → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\n⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin 0), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})"} {"_id": "204470", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin 0 → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\n⊢ Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin 0), R ⧸ Submodule.span R {p ^ finZeroElim i})"} {"_id": "204471", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin 0 → N\nhs : ⊥ = ⊤\n⊢ Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin 0), R ⧸ Submodule.span R {p ^ finZeroElim i})"} {"_id": "204472", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin 0 → N\nhs : ⊥ = ⊤\nthis : Unique N\n⊢ Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin 0), R ⧸ Submodule.span R {p ^ finZeroElim i})"} {"_id": "204475", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin 0 → N\nhs : ⊥ = ⊤\nx : N\n⊢ x = 0"} {"_id": "204476", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin 0 → N\nhs : ⊥ = ⊤\nx : N\n⊢ x ∈ ⊤"} {"_id": "204477", "text": "case h.succ\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nIH :\n ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],\n IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →\n ∀ (s : Fin d → N),\n Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\n⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})"} {"_id": "204478", "text": "case h.succ\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nIH :\n ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],\n IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →\n ∀ (s : Fin d → N),\n Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\n⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})"} {"_id": "204479", "text": "case h.succ.intro\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nIH :\n ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],\n IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →\n ∀ (s : Fin d → N),\n Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\n⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})"} {"_id": "204484", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\n⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})"} {"_id": "204487", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\ni : Fin d\n⊢ ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1"} {"_id": "204488", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\ni : Fin d\nfi : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i} →ₗ[R] N ⧸ Submodule.span R {s j} :=\n ↑f.symm ∘ₗ DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i\n⊢ ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1"} {"_id": "204491", "text": "case intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\ni : Fin d\nfi : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i} →ₗ[R] N ⧸ Submodule.span R {s j} :=\n ↑f.symm ∘ₗ DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i\nx : N\nh0 : p ^ k i • x = 0\nh1 : Submodule.Quotient.mk x = fi 1\n⊢ f (fi 1) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1"} {"_id": "204492", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_1\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\nthis :\n ∀ (i : Fin d),\n ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1\n⊢ Fin (d + 1) → ℕ"} {"_id": "204493", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\nthis :\n ∀ (i : Fin d),\n ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1\n⊢ N ≃ₗ[R]\n ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ (fun i => Option.rec (pOrder hN (s j)) k i) ((finSuccEquiv d) i)}"} {"_id": "204494", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_2.refine_1\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\nthis :\n ∀ (i : Fin d),\n ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1\n⊢ LinearMap.range (Submodule.span R {s j}).subtype =\n LinearMap.ker (↑(f ≪≫ₗ ULift.moduleEquiv.symm) ∘ₗ (Submodule.span R {s j}).mkQ)"} {"_id": "204495", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_2.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\nthis :\n ∀ (i : Fin d),\n ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1\n⊢ (↑(f ≪≫ₗ ULift.moduleEquiv.symm) ∘ₗ (Submodule.span R {s j}).mkQ) ∘ₗ\n (DirectSum.toModule R (Fin d) N fun i =>\n liftQSpanSingleton (p ^ k i) (LinearMap.toSpanSingleton R N ⋯.choose) ⋯) ∘ₗ\n ↑ULift.moduleEquiv =\n LinearMap.id"} {"_id": "204496", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_2.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\nthis :\n ∀ (i : Fin d),\n ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1\n⊢ ((↑f ∘ₗ (Submodule.span R {s j}).mkQ) ∘ₗ\n DirectSum.toModule R (Fin d) N fun i =>\n liftQSpanSingleton (p ^ k i) (LinearMap.toSpanSingleton R N ⋯.choose) ⋯) ∘ₗ\n ↑ULift.moduleEquiv =\n ↑ULift.moduleEquiv"} {"_id": "204498", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_2.refine_2.H.h.h\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\nthis :\n ∀ (i : Fin d),\n ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1\ni : Fin d\n⊢ ((((↑f ∘ₗ (Submodule.span R {s j}).mkQ) ∘ₗ\n DirectSum.toModule R (Fin d) N fun i =>\n liftQSpanSingleton (p ^ k i) (LinearMap.toSpanSingleton R N ⋯.choose) ⋯) ∘ₗ\n DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) ∘ₗ\n (Submodule.span R {p ^ k i}).mkQ)\n 1 =\n ((LinearMap.id ∘ₗ DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) ∘ₗ\n (Submodule.span R {p ^ k i}).mkQ)\n 1"} {"_id": "204499", "text": "case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_2.refine_2.H.h.h\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nk : Fin d → ℕ\nf : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}\nthis :\n ∀ (i : Fin d),\n ∃ x,\n p ^ k i • x = 0 ∧\n f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1\ni : Fin d\n⊢ ↑f\n (Submodule.Quotient.mk\n ((DirectSum.toModule R (Fin d) N fun i =>\n liftQSpanSingleton (p ^ k i) (LinearMap.toSpanSingleton R N ⋯.choose) ⋯)\n ((DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) (Submodule.Quotient.mk 1)))) =\n LinearMap.id ((DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) 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((↑f ∘ₗ (Submodule.span R {s j}).mkQ) ∘ₗ\n DirectSum.toModule R (Fin d) N fun i =>\n liftQSpanSingleton (p ^ k i) (LinearMap.toSpanSingleton R N ⋯.choose) ⋯) ∘ₗ\n ↑ULift.moduleEquiv =\n ↑ULift.moduleEquiv"} {"_id": "204501", "text": "case h.succ.intro.refine_1\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nIH :\n ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],\n IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →\n ∀ (s : Fin d → N),\n Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\n⊢ IsTorsion' (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ↥(Submonoid.powers p)"} {"_id": "204502", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nIH :\n ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],\n IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →\n ∀ (s : Fin d → N),\n Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ 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N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nhs' : Submodule.span R (⇑(Submodule.span R {s j}).mkQ '' Set.range s) = ⊤\n⊢ Submodule.span R (Set.range s') = ⊤"} {"_id": "204507", "text": "case h.succ.intro.refine_2\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nd : ℕ\nIH :\n ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],\n IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →\n ∀ (s : Fin d → N),\n Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\nhN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)\ns : Fin (d + 1) → N\nhs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤\nthis : (x : N) → Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN 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Decidable (x = 0)\nj : Fin d.succ\nhj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))\ns' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove\nhs' : Submodule.span R ((fun a => Submodule.Quotient.mk a) '' Set.range s) = ⊤\n⊢ Submodule.span R (Submodule.Quotient.mk ∘ s '' {j}ᶜ) = ⊤"} {"_id": "204510", "text": "ι : Type u_1\nμ : Type u_2\nμ' : Type u_3\ninst✝² : AddCommMonoid μ\ninst✝¹ : DecidableEq μ\ninst✝ : HasAntidiagonal μ\nd : ℕ\nn : μ\nf : Fin d →₀ μ\n⊢ f ∈ finAntidiagonal₀ d n ↔ ∑ i : Fin d, f i = n"} {"_id": "204511", "text": "c : Char\ncs : List Char\n⊢ { data := c :: cs }.extract 0 { data := c :: cs }.endPos = { data := c :: cs }"} {"_id": "204513", "text": "case e_data\nc : Char\ncs : List Char\n⊢ extract.go₁ (c :: cs) 0 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = c :: cs"} {"_id": "204515", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nQ : Fin 3 → R\nw✝ : Rˣ\n⊢ (fun m => m • Q) w✝ z = 0 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Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1\nn : Primrec fun a => a.1.1.2\ncf : Primrec fun a => a.2.1\nz : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).1\nm : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).2\nh₁ :\n Primrec fun a =>\n Nat.Partrec.Code.lup\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.2\n⊢ Primrec fun a =>\n let z := (unpair a.1.1.2).1;\n let m := (unpair a.1.1.2).2;\n do\n let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) (Nat.pair z m)\n Nat.casesOn x (some m) fun x =>\n Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 (a.1.2, (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).2) (Nat.pair z (m + 1))"} {"_id": "204574", "text": "case hrf\na : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length\nk✝¹ : Primrec fun a => 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(unpair a.1.1.2).1 ((unpair a.1.1.2).2 + 1)))\n p.1 p.2"} {"_id": "204575", "text": "case hrf\na : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length\nk✝¹ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1\nn✝¹ : Primrec Prod.snd\nk✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1\nn✝ : Primrec fun a => a.1.2\nk' : Primrec Prod.snd\nc : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2\nL : Primrec fun a => a.1.1.1\nk : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1\nn : Primrec fun a => a.1.1.2\ncf : Primrec fun a => a.2.1\nz : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).1\nm✝ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).2\nh₁ :\n Primrec fun a =>\n Nat.Partrec.Code.lup\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.2\nm : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2).2\n⊢ Primrec fun p =>\n (fun a x =>\n Nat.casesOn x (some (unpair a.1.1.2).2) fun x =>\n Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 (a.1.2, (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).2)\n (Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 ((unpair a.1.1.2).2 + 1)))\n p.1 p.2"} {"_id": "204576", "text": "case hrf\na : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length\nk✝¹ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1\nn✝¹ : Primrec Prod.snd\nk✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1\nn✝ : Primrec fun a => a.1.2\nk' : Primrec Prod.snd\nc : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2\nL : Primrec fun a => a.1.1.1\nk : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1\nn : Primrec fun a => a.1.1.2\ncf : Primrec fun a => a.2.1\nz : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).1\nm✝ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).2\nh₁ :\n Primrec fun a =>\n Nat.Partrec.Code.lup\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.2\nm : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2).2\n⊢ Primrec₂ fun p x =>\n Nat.Partrec.Code.lup p.1.1.1.1 (p.1.1.2, (ofNat (ℕ × Code) p.1.1.1.1.length).2)\n (Nat.pair (unpair p.1.1.1.2).1 ((unpair p.1.1.1.2).2 + 1))"} {"_id": "204577", "text": "case hrf\na : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length\nk✝¹ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1\nn✝¹ : Primrec Prod.snd\nk✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1\nn✝ : Primrec fun a => a.1.2\nk' : Primrec Prod.snd\nc : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2\nL : Primrec fun a => a.1.1.1\nk : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1\nn : Primrec fun a => a.1.1.2\ncf : Primrec fun a => a.2.1\nz : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).1\nm✝ : Primrec fun a => (unpair a.1.1.2).2\nh₁ :\n Primrec fun a =>\n Nat.Partrec.Code.lup\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.1\n (a.1.1.1, ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1), Nat.pair (unpair a.1.1.2).1 (unpair a.1.1.2).2).2.2\nm : Primrec fun a => (unpair a.1.1.1.2).2\n⊢ Primrec fun p =>\n (fun p x =>\n Nat.Partrec.Code.lup p.1.1.1.1 (p.1.1.2, (ofNat (ℕ × Code) p.1.1.1.1.length).2)\n (Nat.pair (unpair p.1.1.1.2).1 ((unpair p.1.1.1.2).2 + 1)))\n p.1 p.2"} {"_id": "204582", "text": "case neg.coe.coe\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b : WithBot α\na✝¹ : α\nha : ¬↑a✝¹ = 0\na✝ : α\nhb : ¬↑a✝ = 0\n⊢ unbot' 0 (↑a✝¹ * ↑a✝) = unbot' 0 ↑a✝¹ * unbot' 0 ↑a✝"} {"_id": "204583", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na✝ b✝ a b : WithBot α\nha : a = 0\n⊢ unbot' 0 (a * b) = unbot' 0 a * unbot' 0 b"} {"_id": "204584", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na✝ b✝ a b : WithBot α\nha : ¬a = 0\nhb : b = 0\n⊢ unbot' 0 (a * b) = unbot' 0 a * unbot' 0 b"} {"_id": "204585", "text": "case neg.bot\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b✝ b : WithBot α\nhb : ¬b = 0\nha : ¬⊥ = 0\n⊢ unbot' 0 (⊥ * b) = unbot' 0 ⊥ * unbot' 0 b"} {"_id": "204586", "text": "case neg.coe.bot\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : MulZeroClass α\na b : WithBot α\na✝ : α\nha : ¬↑a✝ = 0\nhb : ¬⊥ = 0\n⊢ unbot' 0 (↑a✝ * ⊥) = unbot' 0 ↑a✝ * unbot' 0 ⊥"} {"_id": "204587", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} V\ninst✝ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf✝ g : C ⟶ D\nh k : D ⟶ E\ni✝ : ι\nP Q : CochainComplex V ℕ\nf : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j\ni : ℕ\n⊢ (prevD (i + 1)) f = f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)"} {"_id": "204588", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} V\ninst✝ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf✝ g : C ⟶ D\nh k : D ⟶ E\ni✝ : ι\nP Q : CochainComplex V ℕ\nf : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j\ni : ℕ\n⊢ f (i + 1) ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) (i + 1) =\n f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)"} {"_id": "204590", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\ninst✝ : CategoryWithHomology C\nK L : CochainComplex C ℤ\nn : ℤ\nf : K ⟶ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L\na a' : ℤ\nh : n + a = a'\n⊢ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap ((quotient C (up ℤ)).map f ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso n).hom.app L) a\n a' h =\n (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a).hom.app K ≫\n (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap f a a' h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a').inv.app L"} {"_id": "204591", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedRing α\ninst✝ : FloorRing α\na : α\nha : 0 ≤ a\n⊢ ↑⌈a⌉₊ = ↑⌈a⌉"} {"_id": "204594", "text": "case intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\n⊢ ((rootSystem H).toLin ((rootSystem H).root α)) ((rootSystem H).coroot β) ∈ ↑(AddSubgroup.zmultiples 1)"} {"_id": "204595", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\n⊢ (fun x => x • 1) (↑(chainBotCoeff ⇑↑β ↑α) - ↑(chainTopCoeff ⇑↑β ↑α)) =\n ((rootSystem H).toLin ((rootSystem H).root α)) ((rootSystem H).coroot β)"} {"_id": "204596", "text": "l m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\n⊢ { str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.prev\n { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } =\n { byteIdx := utf8Len m₁ }"} {"_id": "204597", "text": "l m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\n⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l } then\n { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }\n else\n {\n byteIdx :=\n ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -\n utf8Len l }) =\n { byteIdx := utf8Len m₁ }"} {"_id": "204598", "text": "l m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\n⊢ {\n byteIdx :=\n ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -\n utf8Len l } =\n { byteIdx := utf8Len m₁ }\n\ncase a\nl m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\n⊢ { byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx"} {"_id": "204599", "text": "l m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\n⊢ {\n byteIdx :=\n ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -\n utf8Len l } =\n { byteIdx := utf8Len m₁ }"} {"_id": "204600", "text": "l m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\nthis :\n { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.prev { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size } =\n { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) }\n⊢ {\n byteIdx :=\n ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev\n ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -\n utf8Len l } =\n { byteIdx := utf8Len m₁ }"} {"_id": "204602", "text": "l m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\nthis :\n { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } =\n { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }\n⊢ { byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }"} {"_id": "204603", "text": "l m₁ : List Char\nc : Char\nm₂ r : List Char\n⊢ { byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx"} {"_id": "204604", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ S.toCycles ≫ S.homologyπ = 0"} {"_id": "204605", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ S.toCycles ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom = 0"} {"_id": "204606", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝⁴ : CommMonoidWithZero R\ninst✝³ : PartialOrder R\ninst✝² : ZeroLEOneClass R\ninst✝¹ : PosMulStrictMono R\ninst✝ : Nontrivial R\nf g : ι → R\ns t : Finset ι\nhf : ∀ i ∈ s, 0 < f i\nhfg : ∀ i ∈ s, f i < g i\nh_ne : s.Nonempty\n⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i"} {"_id": "204609", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : RingHom.PropertyIsLocal P\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpanTarget P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : ↑X.affineOpens\ns : Set ↑Γ(X, ↑U)\nhs : Ideal.span s = ⊤\nhs' : ∀ (r : ↑s), P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens (X.basicOpen ↑r) ≫ f).op)\n⊢ P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens ↑U ≫ f).op)"} {"_id": "204610", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : RingHom.PropertyIsLocal P\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpanTarget P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : ↑X.affineOpens\ns : Set ↑Γ(X, ↑U)\nhs' : ∀ (r : ↑s), P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens (X.basicOpen ↑r) ≫ f).op)\nhs : Ideal.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) (Ideal.span s) = Ideal.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ⊤\n⊢ P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens ↑U ≫ f).op)"} {"_id": "204613", "text": "case mk.intro.intro\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : RingHom.PropertyIsLocal P\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpanTarget P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : ↑X.affineOpens\ns✝ : Set ↑Γ(X, ↑U)\nhs' : ∀ (r : ↑s✝), P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens (X.basicOpen ↑r) ≫ f).op)\nhs✝ : Ideal.span (⇑(X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) '' s✝) = ⊤\ns : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nhr : r ∈ s✝\nhs : (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r = s\n⊢ ∃ T x x_1,\n ∃ (_ : IsLocalization.Away (↑⟨s, ⋯⟩) T),\n P ((algebraMap (↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)) T).comp (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens ↑U ≫ f).op))"} {"_id": "204614", "text": "case mk.intro.intro\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : RingHom.PropertyIsLocal P\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpanTarget P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : ↑X.affineOpens\ns✝ : Set ↑Γ(X, ↑U)\nhs' : ∀ (r : ↑s✝), P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens (X.basicOpen ↑r) ≫ f).op)\nhs✝ : Ideal.span (⇑(X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) '' s✝) = ⊤\ns : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nhr : r ∈ s✝\nhs : (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r = s\n⊢ P\n ((algebraMap ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) ↑(Scheme.Γ.obj { unop := X ∣_ᵤ ↑U ∣_ᵤ (X ∣_ᵤ ↑U).basicOpen s })).comp\n (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens ↑U ≫ f).op))"} {"_id": "204616", "text": "case mk.intro.intro\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : RingHom.PropertyIsLocal P\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpanTarget P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : ↑X.affineOpens\ns : Set ↑Γ(X, ↑U)\nhs' : ∀ (r : ↑s), P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens (X.basicOpen ↑r) ≫ f).op)\nhs : Ideal.span (⇑(X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) '' s) = ⊤\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nhr : r ∈ s\n⊢ P\n (Scheme.Γ.map ((X ∣_ᵤ ↑U).ofRestrict ⋯ ≫ Scheme.ιOpens ↑U ≫ f).op ≫\n (Scheme.Γ.mapIso (X.restrictRestrict (↑U) ((X ∣_ᵤ ↑U).basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))).op).inv)"} {"_id": "204617", "text": "case mk.intro.intro\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : RingHom.PropertyIsLocal P\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpanTarget P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : ↑X.affineOpens\ns : Set ↑Γ(X, ↑U)\nhs' : ∀ (r : ↑s), P (Scheme.Γ.map (Scheme.ιOpens (X.basicOpen ↑r) ≫ f).op)\nhs : Ideal.span (⇑(X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) '' s) = ⊤\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nhr : r ∈ s\n⊢ P\n ((Scheme.Γ.map ((X ∣_ᵤ ↑U).ofRestrict ⋯ ≫ Scheme.ιOpens ↑U ≫ f).op ≫\n (Scheme.Γ.mapIso (X.restrictRestrict (↑U) ((X ∣_ᵤ ↑U).basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))).op).inv) ≫\n (Scheme.Γ.mapIso (X.restrictIsoOfEq ⋯).op).inv)"} {"_id": "204619", "text": "G : Type u_1\nH : Type u_2\nα : Type u_3\ninst✝² : Group G\ninst✝¹ : Group H\ninst✝ : MulAction G α\na : G\ns : Set α\nhs : s.Finite\n⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ a • s ⊆ s"} {"_id": "204620", "text": "case intro\nG : Type u_1\nH : Type u_2\nα : Type u_3\ninst✝² : Group G\ninst✝¹ : Group H\ninst✝ : MulAction G α\na : G\ns : Finset α\n⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ a • ↑s ⊆ ↑s"} {"_id": "204621", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nS₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.LeftHomologyData\n⊢ cyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -cyclesMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "204623", "text": "ι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝⁵ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nn p : ℕ\ninst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁\ninst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃\ninst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁\ninst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃\nhN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n\nhP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p\ninst✝ : StrongRankCondition R\n⊢ FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₂ = n + p"} {"_id": "204624", "text": "case h\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝⁵ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nn p : ℕ\ninst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁\ninst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃\ninst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁\ninst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃\nhN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n\nhP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p\ninst✝ : StrongRankCondition R\n⊢ Module.rank R ↑S.X₂ = ↑(n + p)"} {"_id": "204625", "text": "case h\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝⁵ : Ring R\nS : ShortComplex (ModuleCat R)\nhS : S.Exact\nhS' : S.ShortExact\nv : ι → ↑S.X₁\nn p : ℕ\ninst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁\ninst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃\ninst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁\ninst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃\nhN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n\nhP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p\ninst✝ : StrongRankCondition R\n⊢ Module.rank R ↑S.X₁ + Module.rank R ↑S.X₃ = ↑(FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ + FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃)"} {"_id": "204626", "text": "M : Type u_1\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Pow M ℕ+\ninst✝ : PNatPowAssoc M\nx : M\nn : ℕ+\n⊢ x ^ n = x ^ ↑n"} {"_id": "204627", "text": "case refine_1\nM : Type u_1\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Pow M ℕ+\ninst✝ : PNatPowAssoc M\nx : M\nn : ℕ+\n⊢ x ^ 1 = x ^ ↑1"} {"_id": "204628", "text": "case refine_2\nM : Type u_1\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Pow M ℕ+\ninst✝ : PNatPowAssoc M\nx : M\nn k : ℕ+\nhk : x ^ k = x ^ ↑k\n⊢ x ^ (k + 1) = x ^ ↑(k + 1)"} {"_id": "204629", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\nι : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq ι\nc : ComplexShape ι\nj : ι\nA B : C\nf : A ⟶ B\n⊢ cyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjCyclesSelfIso c j B).hom = (singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ f"} {"_id": "204630", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\nι : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq ι\nc : ComplexShape ι\nj : ι\nA B : C\nf : A ⟶ B\n⊢ cyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ ((single C c j).obj B).iCycles j =\n ((singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ f ≫ (singleObjCyclesSelfIso c j B).inv) ≫ ((single C c j).obj B).iCycles j"} {"_id": "204631", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nN : LieSubmodule R L M\n⊢ ⁅I, N⁆ = ((toModuleHom R L M).comp (mapIncl I N)).range"} {"_id": "204645", "text": "J : Type v\ninst✝¹ : SmallCategory J\nF : J ⥤ MonCatMax\ninst✝ : IsFiltered J\nj : J\n⊢ 1 = M.mk F ⟨j, 1⟩"} {"_id": "204646", "text": "case h\nJ : Type v\ninst✝¹ : SmallCategory J\nF : J ⥤ MonCatMax\ninst✝ : IsFiltered J\nj : J\n⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨⋯.some, 1⟩.snd = (F.map g) ⟨j, 1⟩.snd"} {"_id": "204648", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\nP : Fin 3 → R\n⊢ W.Nonsingular P ↔\n W.Equation P ∧\n (W.a₁ * P 1 * P 2 ≠ 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∨\n P 1 * P 2 ≠ -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∨\n P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 ≠\n W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)"} {"_id": "204651", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : Unique αˣ\ns : Finset α\nn : α\nh : ∀ a ∈ s, Prime a\ndiv : ∀ a ∈ s, a ∣ n\n⊢ ∏ p ∈ s, p ∣ n"} {"_id": "204652", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : Unique αˣ\ns : Finset α\nn : α\nh : ∀ a ∈ s, Prime a\ndiv : ∀ a ∈ s, a ∣ n\n⊢ ∀ a ∈ Multiset.map (fun p => p) s.val, Prime a"} {"_id": "204653", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : Unique αˣ\ns : Finset α\nn : α\nh : ∀ a ∈ s, Prime a\ndiv : ∀ a ∈ s, a ∣ n\n⊢ ∀ a ∈ Multiset.map (fun p => p) s.val, a ∣ n"} {"_id": "204654", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : Unique αˣ\ns : Finset α\nn : α\nh : ∀ a ∈ s, Prime a\ndiv : ∀ a ∈ s, a ∣ n\n⊢ ∀ (a : α), Multiset.countP (Associated a) (Multiset.map (fun p => p) s.val) ≤ 1"} {"_id": "204655", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2\nhy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3\n⊢ W.dblXYZ P =\n W.dblZ P •\n ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n 1]"} {"_id": "204656", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2\nhy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3\nhZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (W.dblZ P ^ n)\n⊢ W.dblXYZ P =\n W.dblZ P •\n ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n 1]"} {"_id": "204657", "text": "k : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : DecidableEq G\ninst✝ : Mul G\nf g : MonoidAlgebra k G\nx : G\n⊢ (f * g) x = sum f fun a₁ b₁ => sum g fun a₂ b₂ => if a₁ * a₂ = x then b₁ * b₂ else 0"} {"_id": "204660", "text": "case e_g.h.h\nk : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : DecidableEq G\ninst✝ : Mul G\nf g : MonoidAlgebra k G\nx x✝¹ : G\nx✝ : k\n⊢ (sum g fun a₂ b₂ => single (x✝¹ * a₂) (x✝ * b₂)) x = sum g fun a₂ b₂ => if x✝¹ * a₂ = x then x✝ * b₂ else 0"} {"_id": "204663", "text": "case e_g.h.h.e_g.h.h\nk : Type u₁\nG : Type u₂\nH : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝² : Semiring k\ninst✝¹ : DecidableEq G\ninst✝ : Mul G\nf g : MonoidAlgebra k G\nx x✝³ : G\nx✝² : k\nx✝¹ : G\nx✝ : k\n⊢ (single (x✝³ * x✝¹) (x✝² * x✝)) x = if x✝³ * x✝¹ = x then x✝² * x✝ else 0"} {"_id": "204664", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CommMonoid α\n⊢ DecompositionMonoid (Associates α) ↔ DecompositionMonoid α"} {"_id": "204665", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝⁴ : Primcodable α\ninst✝³ : Primcodable β\ninst✝² : Primcodable γ\ninst✝¹ : Primcodable σ\ninst✝ : DecidableEq α\na : α\nps : List (α × β)\n⊢ (List.recOn (a, ps).2 none fun b l IH =>\n bif ((a, ps), b, l, IH).1.1 == ((a, ps), b, l, IH).2.1.1 then some ((a, ps), b, l, IH).2.1.2\n else ((a, ps), b, l, IH).2.2.2) =\n List.lookup a ps"} {"_id": "204667", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α → List β\ng : α → σ\nh : α → β × σ → σ\nhf : Primrec f\nhg : Primrec g\nhh : Primrec₂ h\na : α\n⊢ List.foldl (fun s b => h (a, s, b).1 ((a, s, b).2.2, (a, s, b).2.1)) (g a) (f a).reverse =\n List.foldr (fun b s => h a (b, s)) (g a) (f a)"} {"_id": "204668", "text": "σ : Type u_1\nτ : Type u_2\nR : Type u\nS : Type v\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns t : Set σ\n⊢ p ∈ supported R s ↔ ↑p.vars ⊆ s"} {"_id": "204671", "text": "case mp.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nR : Type u\nS : Type v\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ninst✝ : CommSemiring R\nq : MvPolynomial σ R\ns t : Set σ\np : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\n⊢ ↑((rename Subtype.val) p).vars ⊆ s"} {"_id": "204674", "text": "case mpr\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nR : Type u\nS : Type v\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns t : Set σ\nhs : ↑p.vars ⊆ s\n⊢ ∃ x, (rename Subtype.val) x = p"} {"_id": "204676", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Semiring α\ninst✝ : Invertible 2\na : α\n⊢ sym (a * a) = sym a * sym a"} {"_id": "204678", "text": "α : Type u_1\nι : Type u_2\nγ : Type u_3\nA : Type u_4\nB : Type u_5\nC : Type u_6\ninst✝³ : AddCommMonoid A\ninst✝² : AddCommMonoid B\ninst✝¹ : AddCommMonoid C\nt : ι → A → C\nh0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0\nh1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y\ns✝ : Finset α\nf✝ : α → ι →₀ A\ni : ι\ng : ι →₀ A\nk : ι → A → γ → B\nx : γ\nβ : Type u_7\nM : Type u_8\nM' : Type u_9\nN : Type u_10\nP : Type u_11\nG : Type u_12\nH : Type u_13\nR : Type u_14\nS : Type u_15\ninst✝ : AddCommMonoid M\ns : Finset ι\nf : ι → M\na : α\n⊢ single a (∑ b ∈ s, f b) = ?m.133862"} {"_id": "204679", "text": "α : Type u_1\nι : Type u_2\nγ : Type u_3\nA : Type u_4\nB : Type u_5\nC : Type u_6\ninst✝³ : AddCommMonoid A\ninst✝² : AddCommMonoid B\ninst✝¹ : AddCommMonoid C\nt : ι → A → C\nh0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0\nh1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y\ns✝ : Finset α\nf✝ : α → ι →₀ A\ni : ι\ng : ι →₀ A\nk : ι → A → γ → B\nx : γ\nβ : Type u_7\nM : Type u_8\nM' : Type u_9\nN : Type u_10\nP : Type u_11\nG : Type u_12\nH : Type u_13\nR : Type u_14\nS : Type u_15\ninst✝ : AddCommMonoid M\ns : Finset ι\nf : ι → M\na : α\n⊢ (Multiset.map (single a) (Multiset.map (fun b => f b) s.val)).sum = ∑ b ∈ s, single a (f b)"} {"_id": "204681", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j k : 𝒰.J\n⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd ≫ pullback.fst ≫ pullback.snd =\n pullback.snd ≫ pullback.fst ≫ pullback.snd"} {"_id": "204685", "text": "case nil\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\ndec : DecidableEq α\na✝ b a : α\n⊢ (char a).rmatch [] = true ↔ [] = [a]"} {"_id": "204686", "text": "case cons.nil\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\ndec : DecidableEq α\na✝ b a head✝ : α\n⊢ (char a).rmatch [head✝] = true ↔ [head✝] = [a]"} {"_id": "204689", "text": "case neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\ndec : DecidableEq α\na✝ b a head✝ : α\nh✝ : ¬a = head✝\n⊢ rmatch 0 [] = true ↔ [head✝] = [a]"} {"_id": "204691", "text": "case cons.cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\ndec : DecidableEq α\na✝ b a head✝ head : α\ntail : List α\n⊢ (char a).rmatch (head✝ :: head :: tail) = true ↔ head✝ :: head :: tail = [a]"} {"_id": "204693", "text": "case pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\ndec : DecidableEq α\na✝ b a head✝ head : α\ntail : List α\nh : a = head✝\n⊢ (deriv 1 head).rmatch tail = true ↔ head✝ :: head :: tail = [a]"} {"_id": "204694", "text": "case neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\ndec : DecidableEq α\na✝ b a head✝ head : α\ntail : List α\nh : ¬a = head✝\n⊢ (deriv 0 head).rmatch tail = true ↔ head✝ :: head :: tail = [a]"} {"_id": "204696", "text": "case some\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nv : σ\nT : Tape Γ\nl₁ : Λ\n⊢ FRespects (TM0.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { l := some l₁, var := v, Tape := T })\n (TM1.step M { l := some l₁, var := v, Tape := T })"} {"_id": "204697", "text": "case none\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nv : σ\nT : Tape Γ\n⊢ FRespects (TM0.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { l := none, var := v, Tape := T })\n (TM1.step M { l := none, var := v, Tape := T })"} {"_id": "204698", "text": "case some.move\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\na✝¹ : Dir\na✝ : Stmt₁\nIH :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝ v T).Tape }\nv : σ\nT : Tape Γ\n⊢ Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some (TM1.Stmt.move a✝¹ a✝), v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux (TM1.Stmt.move a✝¹ a✝) v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux (TM1.Stmt.move a✝¹ a✝) v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux (TM1.Stmt.move a✝¹ a✝) v T).Tape }"} {"_id": "204699", "text": "case some.write\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\na✝¹ : Γ → σ → Γ\na✝ : Stmt₁\nIH :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝ v T).Tape }\nv : σ\nT : Tape Γ\n⊢ Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some (TM1.Stmt.write a✝¹ a✝), v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux (TM1.Stmt.write a✝¹ a✝) v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux (TM1.Stmt.write a✝¹ a✝) v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux (TM1.Stmt.write a✝¹ a✝) v T).Tape }"} {"_id": "204700", "text": "case some.load\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\na✝¹ : Γ → σ → σ\na✝ : Stmt₁\nIH :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝ v T).Tape }\nv : σ\nT : Tape Γ\n⊢ Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some (TM1.Stmt.load a✝¹ a✝), v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux (TM1.Stmt.load a✝¹ a✝) v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux (TM1.Stmt.load a✝¹ a✝) v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux (TM1.Stmt.load a✝¹ a✝) v T).Tape }"} {"_id": "204702", "text": "case some.branch\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\np : Γ → σ → Bool\na✝¹ a✝ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝¹, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝¹ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝¹ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝¹ v T).Tape }\nIH₂ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝ v T).Tape }\nv : σ\nT : Tape Γ\n⊢ Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some (TM1.Stmt.branch p a✝¹ a✝), v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux (TM1.Stmt.branch p a✝¹ a✝) v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux (TM1.Stmt.branch p a✝¹ a✝) v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux (TM1.Stmt.branch p a✝¹ a✝) v T).Tape }"} {"_id": "204704", "text": "case some.branch.false\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\np : Γ → σ → Bool\na✝¹ a✝ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝¹, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝¹ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝¹ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝¹ v T).Tape }\nIH₂ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝ v T).Tape }\nv : σ\nT : Tape Γ\ne : p T.head v = false\n⊢ Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some (TM1.Stmt.branch p a✝¹ a✝), v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (bif false then TM1.stepAux a✝¹ v T else TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (bif false then TM1.stepAux a✝¹ v T else TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (bif false then TM1.stepAux a✝¹ v T else TM1.stepAux a✝ v T).Tape }"} {"_id": "204705", "text": "Γ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\np : Γ → σ → Bool\na✝¹ a✝ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝¹, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝¹ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝¹ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝¹ v T).Tape }\nIH₂ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝ v T).Tape }\nv : σ\nT : Tape Γ\ne : p T.head v = false\n⊢ TM0.step (tr M) { q := (some 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TM1.stepAux a✝¹ v T else TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (bif true then TM1.stepAux a✝¹ v T else TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (bif true then TM1.stepAux a✝¹ v T else TM1.stepAux a✝ v T).Tape }"} {"_id": "204708", "text": "Γ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\np : Γ → σ → Bool\na✝¹ a✝ : Stmt₁\nIH₁ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝¹, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝¹ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝¹ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝¹ v T).Tape }\nIH₂ :\n ∀ (v : σ) (T : Tape Γ),\n Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some a✝, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux a✝ v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux a✝ v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux a✝ v T).Tape }\nv : σ\nT : Tape Γ\ne : p T.head v = true\n⊢ TM0.step (tr M) { q := (some (TM1.Stmt.branch p a✝¹ a✝), v), Tape := T } =\n TM0.step (tr M) { q := (some a✝¹, v), Tape := T }"} {"_id": "204710", "text": "case some.halt\nΓ : Type u_1\ninst✝² : Inhabited Γ\nΛ : Type u_2\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_3\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₁\nx✝ : Cfg₁\nl₁ : Λ\nv : σ\nT : Tape Γ\n⊢ Reaches₁ (TM0.step (tr M)) { q := (some TM1.Stmt.halt, v), Tape := T }\n {\n q :=\n (match (TM1.stepAux TM1.Stmt.halt v T).l with\n | some x => some (M x)\n | none => none,\n (TM1.stepAux TM1.Stmt.halt v T).var),\n Tape := (TM1.stepAux TM1.Stmt.halt v T).Tape }"} {"_id": "204711", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nparent : Path α\nx : α\nb a : RBNode α\nha : RBNode.Ordered cmp a\nhp : Ordered cmp parent\nxb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b\nxp : RootOrdered cmp parent x\nbp : All (RootOrdered cmp parent) b\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nH : All (RootOrdered cmp (left red parent x b)) a\n⊢ RBNode.Ordered cmp ((left red parent x b).ins a)"} {"_id": "204712", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nparent : Path α\nx : α\nb a : RBNode α\nha : RBNode.Ordered cmp a\nhp : Ordered cmp parent\nxb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b\nxp : RootOrdered cmp parent x\nbp : All (RootOrdered cmp parent) b\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nH : All (RootOrdered cmp (left red parent x b)) a\n⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (node red a x b))"} {"_id": "204714", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\na : RBNode α\nx : α\nparent : Path α\nb : RBNode α\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nhp : Ordered cmp parent\nax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a\nxp : RootOrdered cmp parent x\nap : All (RootOrdered cmp parent) a\nha : RBNode.Ordered cmp a\nH : All (RootOrdered cmp (right red a x parent)) b\n⊢ RBNode.Ordered cmp ((right red a x parent).ins b)"} {"_id": "204715", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\na : RBNode α\nx : α\nparent : Path α\nb : RBNode α\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nhp : Ordered cmp parent\nax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a\nxp : RootOrdered cmp parent x\nap : All (RootOrdered cmp parent) a\nha : RBNode.Ordered cmp a\nH : All (RootOrdered cmp (right red a x parent)) b\n⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (node red a x b))"} {"_id": "204717", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nparent : Path α\nx : α\nb a : RBNode α\nha : RBNode.Ordered cmp a\nhp : Ordered cmp parent\nxb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b\nxp : RootOrdered cmp parent x\nbp : All (RootOrdered cmp parent) b\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nH : All (RootOrdered cmp (left black parent x b)) a\n⊢ RBNode.Ordered cmp ((left black parent x b).ins a)"} {"_id": "204718", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nparent : Path α\nx : α\nb a : RBNode α\nha : RBNode.Ordered cmp a\nhp : Ordered cmp parent\nxb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b\nxp : RootOrdered cmp parent x\nbp : All (RootOrdered cmp parent) b\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nH : All (RootOrdered cmp (left black parent x b)) a\n⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance1 x b))"} {"_id": "204719", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\nparent : Path α\nx : α\nb a : RBNode α\nha : RBNode.Ordered cmp a\nhp : Ordered cmp parent\nxb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b\nxp : RootOrdered cmp parent x\nbp : All (RootOrdered cmp parent) b\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nH : All (RootOrdered cmp (left black parent x b)) a\nax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a\nap : All (RootOrdered cmp parent) a\n⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance1 x b))"} {"_id": "204720", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\na : RBNode α\nx : α\nparent : Path α\nb : RBNode α\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nhp : Ordered cmp parent\nax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a\nxp : RootOrdered cmp parent x\nap : All (RootOrdered cmp parent) a\nha : RBNode.Ordered cmp a\nH : All (RootOrdered cmp (right black a x parent)) b\n⊢ RBNode.Ordered cmp ((right black a x parent).ins b)"} {"_id": "204721", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\na : RBNode α\nx : α\nparent : Path α\nb : RBNode α\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nhp : Ordered cmp parent\nax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a\nxp : RootOrdered cmp parent x\nap : All (RootOrdered cmp parent) a\nha : RBNode.Ordered cmp a\nH : All (RootOrdered cmp (right black a x parent)) b\n⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance2 x b))"} {"_id": "204722", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\na : RBNode α\nx : α\nparent : Path α\nb : RBNode α\nhb : RBNode.Ordered cmp b\nhp : Ordered cmp parent\nax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a\nxp : RootOrdered cmp parent x\nap : All (RootOrdered cmp parent) a\nha : RBNode.Ordered cmp a\nH : All (RootOrdered cmp (right black a x parent)) b\nxb : All (cmpLT cmp x) b\nbp : All (RootOrdered cmp parent) b\n⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.ins (a.balance2 x b))"} {"_id": "204723", "text": "R : Type u_1\nC : Type u_2\ninst✝³ : Semiring R\ninst✝² : Category.{u_3, u_2} C\ninst✝¹ : Preadditive C\ninst✝ : Linear R C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : 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"204728", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\n⊢ [].prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree []).sum"} {"_id": "204730", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np✝ q p : MvPolynomial σ R\nps : List (MvPolynomial σ R)\n⊢ (p :: ps).prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree (p :: ps)).sum"} {"_id": "204731", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np✝ q p : MvPolynomial σ R\nps : List (MvPolynomial σ R)\n⊢ (p * ps.prod).totalDegree ≤ p.totalDegree + (List.map totalDegree ps).sum"} {"_id": "204732", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\n⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f)"} {"_id": "204733", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nthis : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base\n⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f)"} {"_id": "204734", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nthis✝ : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base\nthis : ∀ (x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat), IsIso (LocallyRingedSpace.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x)\n⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f)"} {"_id": "204735", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nthis✝¹ : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base\nthis✝ : ∀ (x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat), IsIso (LocallyRingedSpace.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x)\nthis : LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (toSpec 𝒜 f)\n⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f)"} {"_id": "204736", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nm : ℕ\nf_deg : f ∈ 𝒜 m\nhm : 0 < m\nthis : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base\nx : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat\n⊢ IsIso (LocallyRingedSpace.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x)"} {"_id": "204739", "text": "case w\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↥(pbo f)\nz : (forget CommRingCat).obj (CommRingCat.of (A⁰_ f))\n⊢ (awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) z =\n (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv) z"} {"_id": "204740", "text": "case w\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↥(pbo f)\nz : (forget CommRingCat).obj (CommRingCat.of (A⁰_ f))\n⊢ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toEquiv ((awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) z) =\n (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯) z"} {"_id": "204741", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf g : α → β\nc c₁ c₂ x : α\ninst✝¹ : AddGroup α\ninst✝ : AddGroup β\nh : Antiperiodic f c\nn : ℤ\n⊢ f (x + n • c) = ↑n.negOnePow • f x"} {"_id": "204742", "text": "case intro.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf g : α → β\nc c₁ c₂ x : α\ninst✝¹ : AddGroup α\ninst✝ : AddGroup β\nh : Antiperiodic f c\nk : ℤ\n⊢ f (x + (2 * k) • c) = ↑(2 * k).negOnePow • f x"} {"_id": "204743", "text": "case intro.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf g : α → β\nc c₁ c₂ x : α\ninst✝¹ : AddGroup α\ninst✝ : AddGroup β\nh : Antiperiodic f c\nk : ℤ\n⊢ f (x + (2 * k + 1) • c) = ↑(2 * k + 1).negOnePow • f x"} {"_id": "204744", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\n⊢ lowerCentralSeries R L M (i + n) ≤ I.lcs M (j + 1)"} {"_id": "204747", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\nthis : ∀ (l : ℕ), ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))\n⊢ lowerCentralSeries R L M (i + n) ≤ I.lcs M (j + 1)"} {"_id": "204748", "text": "case zero\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\n⊢ ↑(⊤.lcs M (i + 0)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ 0) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))"} {"_id": "204749", "text": "case zero\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\n⊢ ↑(⊤.lcs M i) ≤ ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑⁅I, I.lcs M j⁆"} {"_id": "204750", "text": "case succ\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\nl : ℕ\nih : ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))\n⊢ ↑(⊤.lcs M (i + (l + 1))) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))"} {"_id": "204751", "text": "case succ\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\nl : ℕ\nih : ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))\n⊢ Submodule.map ((toEnd R L M) x) ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤\n Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑⁅I, I.lcs M j⁆ ∧\n ↑⁅I, ⊤.lcs M (i + l)⁆ ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑⁅I, I.lcs M j⁆"} {"_id": "204752", "text": "case succ.refine_1\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\nl : ℕ\nih : ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))\n⊢ Submodule.map ((toEnd R L M) x) (Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))) ≤\n Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑⁅I, I.lcs M j⁆"} {"_id": "204753", "text": "case succ.refine_1\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\nl : ℕ\nih : ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))\n⊢ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) ↑(I.lcs M j) ⊔ Submodule.map ((toEnd R L M) x) ↑(I.lcs M (j + 1)) ≤\n Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))"} {"_id": "204754", "text": "case succ.refine_2\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn i j : ℕ\nhxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nhIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j\nl : ℕ\nih : ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))\n⊢ ↑⁅I, ⊤.lcs M (i + l)⁆ ≤ ↑⁅I, I.lcs M j⁆"} {"_id": "204755", "text": "case succ.refine_2\nR : Type u₁\nL 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(zeroLocus 𝒜 fs)\nht : fs ⊆ ↑(vanishingIdeal t)\n⊢ x ∈ zeroLocus 𝒜 fs"} {"_id": "204763", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nt : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\nx : ProjectiveSpectrum 𝒜\nhx : x ∈ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t)\nt' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\nht' : IsClosed t'\nht : t ⊆ t'\n⊢ ∃ s, t' = zeroLocus 𝒜 s"} {"_id": "204764", "text": "case h₂\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nt : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\n⊢ closure t ⊆ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t)"} {"_id": "204765", "text": "case h₂\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nt : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)\n⊢ t ⊆ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t)"} {"_id": "204766", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁶ : HasSolidNorm K\ninst✝⁵ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace K E\ninst✝² : FiniteDimensional K E\ninst✝¹ : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝ : DiscreteTopology ↥L\nι : Type u_3\nhs : IsZlattice K L\nb : Basis ι ℤ ↥L\nx : ↥L\ni : ι\n⊢ ((ofZlatticeBasis K L b).repr ↑x) i = ↑((b.repr x) i)"} {"_id": "204767", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁶ : HasSolidNorm K\ninst✝⁵ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace K E\ninst✝² : FiniteDimensional K E\ninst✝¹ : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝ : DiscreteTopology ↥L\nι : Type u_3\nhs : IsZlattice K L\nb : Basis ι ℤ ↥L\nx : ↥L\ni : ι\n⊢ ↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap =\n Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr"} {"_id": "204768", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁶ : HasSolidNorm K\ninst✝⁵ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace K E\ninst✝² : FiniteDimensional K E\ninst✝¹ : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝ : DiscreteTopology ↥L\nι : Type u_3\nhs : IsZlattice K L\nb : Basis ι ℤ ↥L\nx : ↥L\ni✝ i : ι\n⊢ (↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap) (b i) =\n (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)"} {"_id": "204769", "text": "K : Type u_1\ninst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K\ninst✝⁶ : HasSolidNorm K\ninst✝⁵ : FloorRing K\nE : Type u_2\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace K E\ninst✝² : FiniteDimensional K E\ninst✝¹ : ProperSpace E\nL : AddSubgroup E\ninst✝ : DiscreteTopology ↥L\nι : Type u_3\nhs : IsZlattice K L\nb : Basis ι ℤ ↥L\nx : ↥L\ni : ι\nthis :\n ↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap =\n Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr\n⊢ ((ofZlatticeBasis K L b).repr ↑x) i = ↑((b.repr x) i)"} {"_id": "204770", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nf g φ ψ : K ⟶ L\ni : ι\ninst✝¹ : K.HasHomology i\ninst✝ : L.HasHomology i\n⊢ homologyMap (φ - ψ) i = homologyMap φ i - homologyMap ψ i"} {"_id": "204771", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nf g φ ψ : K ⟶ L\ni : ι\ninst✝¹ : K.HasHomology i\ninst✝ : L.HasHomology i\n⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ - ψ)) =\n ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) -\n ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)"} {"_id": "204775", "text": "case succ\nΓ : Type u_1\ninst✝ : Inhabited Γ\nn✝ : ℕ\na✝ : ∀ (T : Tape Γ), ((move Dir.right)^[n✝] T).head = T.nth ↑n✝\nT : Tape Γ\n⊢ ((move Dir.right)^[n✝ + 1] T).head = T.nth ↑(n✝ + 1)"} {"_id": "204776", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\n⊢ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s"} {"_id": "204777", "text": "case refine_1\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nh : ¬MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s\n⊢ ¬∑ i ∈ s, f i • g (σ i) = ∑ i ∈ s, f i • g i"} {"_id": "204780", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nx : ι\nhx : x ∈ ↑s\ny : ι\nhy : y ∈ ↑s\nhgxy : (g ∘ ⇑σ) x < (g ∘ ⇑σ) y\nhfxy : f y < f x\n⊢ ¬∑ i ∈ s, f i • g (σ i) = ∑ i ∈ s, f i • g i"} {"_id": "204781", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nx : ι\nhx : x ∈ ↑s\ny : ι\nhy : y ∈ ↑s\nhgxy : (g ∘ ⇑σ) x < (g ∘ ⇑σ) y\nhfxy : f y < f x\nτ : Perm ι := Equiv.trans (Equiv.swap x y) σ\n⊢ ¬∑ i ∈ s, f i • g (σ i) = ∑ i ∈ s, f i • g i"} {"_id": "204783", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nx : ι\nhx : x ∈ ↑s\ny : ι\nhy : y ∈ ↑s\nhgxy : (g ∘ ⇑σ) x < (g ∘ ⇑σ) y\nhfxy : f y < f x\nτ : Perm ι := Equiv.trans (Equiv.swap x y) σ\nhτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s\n⊢ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) < ∑ i ∈ s, f i • g (τ i)"} {"_id": "204784", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nx : ι\nhx : x ∈ ↑s\ny : ι\nhy : y ∈ ↑s\nhgxy : (g ∘ ⇑σ) x < (g ∘ ⇑σ) y\nhfxy : f y < f x\nτ : Perm ι := Equiv.trans (Equiv.swap x y) σ\nhτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhxy : x ≠ y\n⊢ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) < ∑ i ∈ s, f i • g (τ i)"} {"_id": "204785", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nx : ι\nhx : x ∈ ↑s\ny : ι\nhy : y ∈ ↑s\nhgxy : (g ∘ ⇑σ) x < (g ∘ ⇑σ) y\nhfxy : f y < f x\nτ : Perm ι := Equiv.trans (Equiv.swap x y) σ\nhτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhxy : x ≠ y\n⊢ ∑ i ∈ (s.erase x).erase y, f i • g (σ i) + (f y • g (σ y) + f x • g (σ x)) <\n ∑ x_1 ∈ (s.erase x).erase y, f x_1 • g (σ ((Equiv.swap x y) x_1)) + (f y • g (σ x) + f x • g (σ y))"} {"_id": "204786", "text": "case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : OrderedSMul α β\ns : Finset ι\nσ : Perm ι\nf : ι → α\ng : ι → β\nhfg : MonovaryOn f g ↑s\nhσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s\nx : ι\nhx : x ∈ ↑s\ny : ι\nhy : y ∈ ↑s\nhgxy : (g ∘ ⇑σ) x < (g ∘ ⇑σ) y\nhfxy : f y < f x\nτ : Perm ι := Equiv.trans (Equiv.swap x y) σ\nhτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s\nhxy : x ≠ y\nz : ι\nhz : z ∈ (s.erase x).erase y\n⊢ f z • g (σ z) = f z • g (σ 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α\ninst✝ : DecidableEq α\na : α\nl : List α\nh : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ ⟦l⟧ → a' = 1\n⊢ prod ⟦l⟧ = a ^ count a ⟦l⟧"} {"_id": "204802", "text": "case RespectsIso\nX Y Z : Scheme\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\n⊢ MorphismProperty.RespectsIso @IsOpenImmersion"} {"_id": "204806", "text": "case of_openCover\nX✝ Y✝ Z : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ng : Y✝ ⟶ Z\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nH : ∀ (i : 𝒰.J), IsOpenImmersion pullback.snd\n⊢ IsOpenImmersion f"} {"_id": "204808", "text": "case of_openCover.left\nX✝ Y✝ Z : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ng : Y✝ ⟶ Z\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nH : ∀ (i : 𝒰.J), IsOpenImmersion pullback.snd\n⊢ OpenEmbedding ⇑f.val.base"} {"_id": "204810", "text": "case of_openCover.left\nX✝ Y✝ Z : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ng : Y✝ ⟶ Z\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nH : ∀ (i : 𝒰.J), IsOpenImmersion pullback.snd\ni : 𝒰.J\n⊢ OpenEmbedding ((Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i)).carrier.restrictPreimage f.val.base.toFun)"} {"_id": "204811", "text": "case 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Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).val ⟨x, ⋯⟩ ≫\n (morphismRestrictStalkMap f (Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) ⟨x, ⋯⟩).hom.right\n⊢ IsIso\n ((morphismRestrictStalkMap f (Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) ⟨x, ⋯⟩).inv.left ≫\n PresheafedSpace.stalkMap (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).val ⟨x, ⋯⟩ ≫\n (morphismRestrictStalkMap f (Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) ⟨x, ⋯⟩).hom.right)"} {"_id": "204819", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\n⊢ ∃ f g i,\n ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s"} {"_id": "204820", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ 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↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h\nhDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V\nn : ℕ\nhn : h ^ n * h ∈ Ideal.span {g}\n⊢ ∃ f g i,\n ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s"} {"_id": "204825", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ V.carrier\niVU : V ⟶ U\nf g : R\nhVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g\ns_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s\nh : R\nhxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h\nhDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V\nn : ℕ\nc : R\nhc : c * g = h ^ (n + 1)\n⊢ ∃ f g i,\n ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s"} {"_id": "204826", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ V.carrier\niVU : V ⟶ U\nf g : R\nhVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g\ns_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s\nh : R\nhxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h\nhDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V\nn : ℕ\nc : R\nhc : c * g = h ^ (n + 1)\nbasic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h\n⊢ ∃ f g i,\n ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s"} {"_id": "204828", "text": "case right\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ V.carrier\niVU : V ⟶ U\nf g : R\nhVDg : V ≤ 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1)\nbasic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h\ni_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V\n⊢ const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ =\n ((structureSheaf R).val.map iVU.op ≫ (structureSheaf R).val.map i_basic_open.op) s"} {"_id": "204830", "text": "case right\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ V.carrier\niVU : V ⟶ U\nf g : R\nhVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g\ns_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s\nh : R\nhxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h\nhDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V\nn : ℕ\nc : R\nhc : c * g = h ^ (n + 1)\nbasic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h\ni_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V\n⊢ const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ =\n ((structureSheaf R).val.map i_basic_open.op) (((structureSheaf R).val.map iVU.op) s)"} {"_id": "204832", "text": "case right\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ V.carrier\niVU : V ⟶ U\nf g : R\nhVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g\ns_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s\nh : R\nhxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h\nhDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V\nn : ℕ\nc : R\nhc : c * g = h ^ (n + 1)\nbasic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h\ni_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V\n⊢ const R (f * c) (h ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯ =\n const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1))) ⋯"} {"_id": "204833", "text": "case right.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ V.carrier\niVU : V ⟶ U\nf g : R\nhVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g\ns_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s\nh : R\nhxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h\nhDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V\nn : ℕ\nc : R\nhc : c * g = h ^ (n + 1)\nbasic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h\ni_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V\n⊢ f * c * g = f * h ^ (n + 1)"} {"_id": "204837", "text": "case right.hv\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nx : ↥U\nV : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhxV : ↑x ∈ V.carrier\niVU : V ⟶ U\nf g : R\nhVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g\ns_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s\nh : R\nhxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h\nhDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V\nn : ℕ\nc : R\nhc : c * g = h ^ (n + 1)\nbasic_opens_eq : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen h\ni_basic_open : PrimeSpectrum.basicOpen (h ^ (n + 1)) ⟶ V\ny : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhy : y ∈ PrimeSpectrum.basicOpen h\n⊢ g ∈ y.asIdeal.primeCompl"} {"_id": "204838", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns t : Finset ι\nh0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i\n⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i"} {"_id": "204840", "text": "case cons\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns✝ t : Finset ι\na : ι\ns : Finset ι\nhas : a ∉ s\nih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i\nh0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i\n⊢ ∏ i ∈ cons a s has, f i ≤ ∏ i ∈ cons a s has, g i"} {"_id": "204841", "text": "case cons\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns✝ t : Finset ι\na : ι\ns : Finset ι\nhas : a ∉ s\nih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i\nh0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i\n⊢ f a * ∏ i ∈ s, f i ≤ g a * ∏ i ∈ s, g i"} {"_id": "204842", "text": "case cons\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns✝ t : Finset ι\na : ι\ns : Finset ι\nhas : a ∉ s\nih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i\nh0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i\nthis : MulPosMono R\n⊢ f a * ∏ i ∈ s, f i ≤ g a * ∏ i ∈ s, g i"} {"_id": "204843", "text": "case cons.h₁\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns✝ t : Finset ι\na : ι\ns : Finset ι\nhas : a ∉ s\nih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i\nh0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i\nthis : MulPosMono R\n⊢ f a ≤ g a"} {"_id": "204844", "text": "case cons.h₂\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns✝ t : Finset ι\na : ι\ns : Finset ι\nhas : a ∉ s\nih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i\nh0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i\nthis : MulPosMono R\n⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i"} {"_id": "204845", "text": "case cons.c0\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns✝ t : Finset ι\na : ι\ns : Finset ι\nhas : a ∉ s\nih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i\nh0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i\nthis : MulPosMono R\n⊢ 0 ≤ ∏ i ∈ s, f i"} {"_id": "204846", "text": "case cons.b0\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CommMonoidWithZero R\ninst✝² : PartialOrder R\ninst✝¹ : ZeroLEOneClass R\ninst✝ : PosMulMono R\nf g : ι → R\ns✝ t : Finset ι\na : ι\ns : Finset ι\nhas : a ∉ s\nih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i\nh0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i\nh1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i\nthis : MulPosMono R\n⊢ 0 ≤ g a"} {"_id": "204847", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\nM : Type w\nM' : Type w₁\ninst✝¹² : CommRing R\ninst✝¹¹ : LieRing L\ninst✝¹⁰ : LieAlgebra R L\ninst✝⁹ : LieRing L'\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L'\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ M'\nN N₂ : LieSubmodule R L M\nN' : LieSubmodule R L M'\n⊢ comap N.incl N₂ = ⊥ ↔ N ⊓ N₂ = ⊥"} {"_id": "204849", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\n⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑z) ∈ zmultiples p"} {"_id": "204851", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\nhz' : ↑z ≠ 0\n⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹ = r"} {"_id": "204852", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\nhz' : ↑z ≠ 0\n⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, ↑z * (k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹) = ↑z * r"} {"_id": "204856", "text": "case mp.intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\nhz' : ↑z ≠ 0\nk : ℤ\nh : k • p = z • r\n⊢ ∃ k_1 k_2, (z * k_2 + ↑↑k_1) • p = k • p"} {"_id": "204857", "text": "case mp.intro.refine_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\nhz' : ↑z ≠ 0\nk : ℤ\nh : k • p = z • r\n⊢ (z * (k / z) + ↑↑⟨(k % z).toNat, ⋯⟩) • p = k • p"} {"_id": "204858", "text": "case mp.intro.refine_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\nhz' : ↑z ≠ 0\nk : ℤ\nh : k • p = z • r\n⊢ (z * (k / z) + k % z) • p = k • p"} {"_id": "204860", "text": "case mp.intro.refine_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\nhz' : ↑z ≠ 0\nk : ℤ\nh : k • p = z • r\n⊢ (k % z).toNat < z.natAbs"} {"_id": "204861", "text": "case mp.intro.refine_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : DivisionRing R\ninst✝ : CharZero R\np r : R\nz : ℤ\nhz : z ≠ 0\nhz' : ↑z ≠ 0\nk : ℤ\nh : k • p = z • r\n⊢ k % z < ↑z.natAbs"} {"_id": "204865", "text": "case h\nS : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝² : InvolutiveStar α\ninst✝¹ : SetLike S α\ninst✝ : StarMemClass S α\ns : S\nx : α\n⊢ x ∈ star ↑s ↔ x ∈ ↑s"} {"_id": "204866", "text": "case h\nS : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝² : InvolutiveStar α\ninst✝¹ : SetLike S α\ninst✝ : StarMemClass S α\ns : S\nx : α\n⊢ star x ∈ s ↔ x ∈ s"} {"_id": "204867", "text": "S : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝² : InvolutiveStar α\ninst✝¹ : SetLike S α\ninst✝ : StarMemClass S α\ns : S\nx : α\n⊢ star x ∈ s → x ∈ s"} {"_id": "204870", "text": "case inl\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝⁴ : AddCommGroup M₂\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : LieRingModule L M₂\ninst✝¹ : LieModule R L M₂\ninst✝ : IsNilpotent R L M\nh✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1\na✝ : Nontrivial M\nh : nilpotencyLength R L M = 0\n⊢ IsTrivial L M"} {"_id": "204872", "text": "case inr\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝⁴ : AddCommGroup M₂\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : LieRingModule L M₂\ninst✝¹ : LieModule R L M₂\ninst✝ : IsNilpotent R L M\nh✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1\na✝ : Nontrivial M\nh : nilpotencyLength R L M = 1\n⊢ IsTrivial L M"} {"_id": "204874", "text": "case h.mk\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nN : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup N\ninst✝² : Module R N\ninst✝¹ : LieRingModule L N\ninst✝ : LieModule R L N\nf : M →ₗ⁅R,L⁆ N\nm : M\nhm : m ∈ ↑f.ker\n⊢ (f.comp f.ker.incl) ⟨m, hm⟩ = 0 ⟨m, hm⟩"} {"_id": "204875", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : Lattice α\ninst✝¹ : CommGroup α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na✝ b✝ a b : α\n⊢ (a ⊓ b) ^ 2 = a * b / mabs (b / a)"} {"_id": "204876", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : Rack R\nx y : R\n⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃ y = x ◃ y"} {"_id": "204878", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C\ninst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D\nF : C ⥤ D\nι : Type u_3\nc : ComplexShape ι\ninst✝⁷ : Preadditive C\ninst✝⁶ : Preadditive D\ninst✝⁵ : CategoryWithHomology C\ninst✝⁴ : CategoryWithHomology D\ninst✝³ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\ninst✝² : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization\ninst✝¹ : F.Additive\ninst✝ : F.PreservesHomology\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\nhf : HomologicalComplex.quasiIso C c f\n⊢ IsIso ((F.mapHomologicalComplex c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Q).map f)"} {"_id": "204879", "text": "case x\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C\ninst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D\nF : C ⥤ D\nι : Type u_3\nc : ComplexShape ι\ninst✝⁷ : Preadditive C\ninst✝⁶ : Preadditive D\ninst✝⁵ : CategoryWithHomology C\ninst✝⁴ : CategoryWithHomology D\ninst✝³ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\ninst✝² : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization\ninst✝¹ : F.Additive\ninst✝ : F.PreservesHomology\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\nhf : HomologicalComplex.quasiIso C c f\n⊢ HomologicalComplex.quasiIso D c ((F.mapHomologicalComplex c).map f)"} {"_id": "204880", "text": "case x\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C\ninst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D\nF : C ⥤ D\nι : Type u_3\nc : ComplexShape ι\ninst✝⁷ : Preadditive C\ninst✝⁶ : Preadditive D\ninst✝⁵ : CategoryWithHomology C\ninst✝⁴ : CategoryWithHomology D\ninst✝³ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization\ninst✝² : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization\ninst✝¹ : F.Additive\ninst✝ : F.PreservesHomology\nK L : HomologicalComplex C c\nf : K ⟶ L\nhf : HomologicalComplex.quasiIso C c f\nthis : QuasiIso f\n⊢ HomologicalComplex.quasiIso D c ((F.mapHomologicalComplex c).map f)"} {"_id": "204881", "text": "C : Type u_2\ninst✝⁸ : Category.{u_1, u_2} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nS₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\ninst✝⁶ : S₁.HasHomology\ninst✝⁵ : S₂.HasHomology\ninst✝⁴ : S₃.HasHomology\ninst✝³ : S₄.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝² : Epi φ.τ₁\ninst✝¹ : IsIso φ.τ₂\ninst✝ : Mono φ.τ₃\n⊢ QuasiIso φ"} {"_id": "204885", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\nthis : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (c - b) + (toIocMod hp 0 (b - a) + toIocMod hp 0 (b - c)) = p + p\n⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a"} {"_id": "204887", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\nthis : min (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) ≤ p\n⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a"} {"_id": "204889", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\nthis : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p\n⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ p"} {"_id": "204890", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\nthis : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p\n⊢ toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ toIocMod hp 0 (b - c)"} {"_id": "204891", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\nthis : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p\n⊢ toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ toIocMod hp 0 (b - a)"} {"_id": "204892", "text": "R : Type u_1\nC : Type u_2\ninst✝³ : Semiring R\ninst✝² : Category.{u_3, u_2} C\ninst✝¹ : Preadditive C\ninst✝ : Linear R C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.RightHomologyData\nh₂ : S₂.RightHomologyData\na : R\n⊢ opcyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • opcyclesMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "204893", "text": "R : Type u_1\nC : Type u_2\ninst✝³ : Semiring R\ninst✝² : Category.{u_3, u_2} C\ninst✝¹ : Preadditive C\ninst✝ : Linear R C\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.RightHomologyData\nh₂ : S₂.RightHomologyData\na : R\nγ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂\n⊢ opcyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • opcyclesMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "204894", "text": "R : Type u_1\nM₁ : Type u_2\nM₂ : Type u_3\nι₁ : Type u_4\nι₂ : Type u_5\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : AddCommGroup M₁\ninst✝⁵ : AddCommGroup M₂\ninst✝⁴ : Module R M₁\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : Fintype ι₁\ninst✝¹ : Finite ι₂\ninst✝ : DecidableEq ι₁\nb₁ : Basis ι₁ R M₁\nb₂ : Basis ι₂ R M₂\nf : M₁ →ₗ[R] M₂\ni : ι₂\nc : ι₁ →₀ R\n⊢ (eval ⇑c) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i) = (b₂.repr (f (b₁.repr.symm c))) i"} {"_id": "204895", "text": "σ : Type u_1\nτ : Type u_2\nR : Type u_3\nS : Type u_4\nT : Type u_5\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : CommSemiring S\ninst✝ : CommSemiring T\nf✝ : σ → MvPolynomial τ R\nf : R →+* S\ng : τ → S\nh : σ → MvPolynomial τ R\nφ : MvPolynomial σ R\n⊢ (eval₂Hom f g) ((bind₁ h) φ) = (eval₂Hom f fun i => (eval₂Hom f g) (h i)) φ"} {"_id": "204896", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nt : Set (PrimeSpectrum R)\n⊢ zeroLocus ↑(vanishingIdeal t) = closure t"} {"_id": "204897", "text": "case intro\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nt : Set (PrimeSpectrum R)\nI : Set R\nhI : closure t = zeroLocus I\n⊢ zeroLocus ↑(vanishingIdeal t) = closure t"} {"_id": "204898", "text": "case intro\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nt : Set (PrimeSpectrum R)\nI : Set R\nhI : closure t = zeroLocus I\n⊢ t ⊆ closure t ∧ t ⊆ zeroLocus ↑(vanishingIdeal t)"} {"_id": "204900", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\n⊢ False"} {"_id": "204901", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }\n⊢ False"} {"_id": "204902", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : 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(⇑α) β)\nH₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W\n⊢ False"} {"_id": "204904", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }\nhW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)\nH₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W\nH₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β\n⊢ False"} {"_id": "204905", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }\nhW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)\nH₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W\nH₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β\nthis : rootSpace H (-((1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑(-α)) + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W)) ≠ ⊥\n⊢ False"} {"_id": "204906", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }\nhW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)\nH₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W\nH₂ : (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β\nthis : rootSpace H ((chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥\n⊢ False"} {"_id": "204907", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }\nhW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)\n⊢ 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W"} {"_id": "204908", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }\nhW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)\nthis : W (coroot (-α)) = ↑(↑(chainLength (-α) W) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑(-α)) W))\n⊢ 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W"} {"_id": "204910", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα β : Weight K (↥H) L\nhα : α.IsNonZero\nn : ℕ\nhn : chainLength α β < n\ne : ¬rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥\nW : Weight K (↥H) L := { toFun := -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β), weightSpace_ne_bot' := e }\nhW : ⇑W = -(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)\nH₁ : 1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W ≤ chainLength (-α) W\n⊢ (1 + n + chainTopCoeff (⇑(-α)) W) • ⇑α + ⇑(chainTop (⇑(-α)) W) = (chainTopCoeff (⇑α) β + 1) • ⇑α + ⇑β"} {"_id": "204913", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\nδ : Type u_5\ninst✝⁵ : NonAssocSemiring α\ninst✝⁴ : Preorder α\ninst✝³ : NonAssocSemiring β\ninst✝² : Preorder β\ninst✝¹ : NonAssocSemiring γ\ninst✝ : Preorder γ\nf g : α ≃+*o β\nh : f.toOrderRingHom = g.toOrderRingHom\n⊢ (fun f => ⇑f) f = (fun f => ⇑f) g"} {"_id": "204915", "text": "case pos\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : Nontrivial R\nn : ℤ\nhn : n = 0\n⊢ W.Φ n ≠ 0"} {"_id": "204916", "text": "case neg\nR : Type 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"text": "case refine_2.intro\nR : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\np✝ q : MvPolynomial σ R\ninst✝ : CommSemiring S\np : MvPolynomial σ R\nf : τ → σ\nhfi : Injective f\nhf : ↑p.vars ⊆ range f\ni : τ\nhip a✝ : f i ∈ p.vars\n⊢ ((rename f).comp (aeval fun i => Option.elim' 0 X (partialInv f i)).toRingHom) (X (f i)) =\n (RingHom.id (MvPolynomial σ R)) (X (f i))"} {"_id": "204930", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → R\nu v : R\n⊢ W'.addY (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.addY P Q"} {"_id": "204932", "text": "R : Type v\ninst✝ : Ring R\nι : Type u_1\nc : ComplexShape ι\nC✝ D C : HomologicalComplex (ModuleCat R) c\ni : ι\nx y : ↑(Subobject.underlying.obj (C.cycles' i))\nw : (C.cycles' i).arrow x = (C.cycles' i).arrow y\n⊢ x = y"} {"_id": "204934", "text": "R✝ : Type u_1\nR₂✝ : Type u_2\nR₃ : Type u_3\nK : Type u_4\nK₂ : Type u_5\nM✝ : Type u_6\nM₂✝ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nV : Type u_9\nV₂ : Type u_10\ninst✝¹⁹ : Semiring R✝\ninst✝¹⁸ : Semiring R₂✝\ninst✝¹⁷ : Semiring R₃\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝\ninst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂✝\ninst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₃\nσ₁₂ : R✝ →+* R₂✝\nσ₂₃ : R₂✝ →+* R₃\nσ₁₃ : R✝ →+* R₃\ninst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃\ninst✝¹² : Module R✝ M✝\ninst✝¹¹ : Module R₂✝ M₂✝\ninst✝¹⁰ : Module R₃ M₃\nσ₂₁ : R₂✝ →+* R✝\nτ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝\nτ₂₃ : R₂✝ →+* R₃\nτ₁₃ : R✝ →+* R₃\ninst✝⁹ : RingHomCompTriple τ₁₂✝ τ₂₃ τ₁₃\nF : Type u_11\ninst✝⁸ : FunLike F M✝ M₂✝\ninst✝⁷ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M✝ M₂✝\nR : Type u_12\nR₂ : Type u_13\nM : Type u_14\nM₂ : Type u_15\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : Ring R₂\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R₂ M₂\nτ₁₂ : R →+* R₂\ninst✝ : RingHomSurjective τ₁₂\nf : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂\n⊢ range (-f) = range f"} {"_id": "204935", "text": "R✝ : Type u_1\nR₂✝ : Type u_2\nR₃ : Type u_3\nK : Type u_4\nK₂ : Type u_5\nM✝ : Type u_6\nM₂✝ : Type u_7\nM₃ : Type u_8\nV : Type u_9\nV₂ : Type u_10\ninst✝¹⁹ : Semiring R✝\ninst✝¹⁸ : Semiring R₂✝\ninst✝¹⁷ : Semiring R₃\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝\ninst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂✝\ninst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₃\nσ₁₂ : R✝ →+* R₂✝\nσ₂₃ : R₂✝ →+* R₃\nσ₁₃ : R✝ →+* R₃\ninst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃\ninst✝¹² : Module R✝ M✝\ninst✝¹¹ : Module R₂✝ M₂✝\ninst✝¹⁰ : Module R₃ M₃\nσ₂₁ : R₂✝ →+* R✝\nτ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝\nτ₂₃ : R₂✝ →+* R₃\nτ₁₃ : R✝ →+* R₃\ninst✝⁹ : RingHomCompTriple τ₁₂✝ τ₂₃ τ₁₃\nF : Type u_11\ninst✝⁸ : FunLike F M✝ M₂✝\ninst✝⁷ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M✝ M₂✝\nR : Type u_12\nR₂ : Type u_13\nM : Type u_14\nM₂ : Type u_15\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : Ring R₂\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R₂ M₂\nτ₁₂ : R →+* R₂\ninst✝ : RingHomSurjective τ₁₂\nf : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂\n⊢ range ((-id).comp f) = range f"} {"_id": "204936", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : 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Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\n⊢ Primrec f"} {"_id": "204942", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β → σ\nm : β → ℕ\nl : β → List β\ng : β → List σ → Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => 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: Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β → σ\nm : β → ℕ\nl : β → List β\ng : β → List σ → Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i)))\n i\nmapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph\nbindList_primrec : Primrec₂ bindList\n⊢ Primrec f"} {"_id": "204945", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β → σ\nm : β → ℕ\nl : β → List β\ng : β → 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b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis✝ : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i)))\n i\nmapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph\nbindList_primrec : Primrec₂ bindList\ngraph_primrec : Primrec₂ graph\nthis : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)\nb : β\ngraph_eq_map_bindList : ∀ i ≤ m b + 1, graph b i = List.map (fun x => (x, f x)) (bindList b (m b + 1 - i))\n⊢ Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0) = some (f b)"} {"_id": "204947", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β 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Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β → σ\nm : β → ℕ\nl : β → List β\ng : β → List σ → Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis✝ : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i)))\n i\nmapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph\nbindList_primrec : Primrec₂ bindList\ngraph_primrec : Primrec₂ graph\nthis : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)\nb : β\ni : ℕ\nhi : i ≤ m b + 1\nbindList_eq_nil : bindList b (m b + 1) = []\nmapGraph_graph : ∀ {bs bs' : List β}, bs' ⊆ bs → mapGraph (List.map (fun x => (x, f x)) bs) bs' = List.map f bs'\ngraph_succ :\n ∀ (i : ℕ),\n graph b (i + 1) =\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph (graph b i) (l b'))))\n (bindList b (m b - i))\n⊢ graph b i = List.map (fun x => (x, f x)) (bindList b (m b + 1 - i))"} {"_id": "204952", "text": "case succ\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β → σ\nm : β → ℕ\nl : β → List β\ng : β → List σ → Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis✝ : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => 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ℕ\nl : β → List β\ng : β → List σ → Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis✝ : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i)))\n i\nmapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph\nbindList_primrec : Primrec₂ bindList\ngraph_primrec : Primrec₂ graph\nthis : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)\nb : β\ni : ℕ\nhi : i ≤ m b + 1\nk : ℕ\nih : ∀ b' ∈ bindList b k, m b' < m b + 1 - k\na₂ a₁ : β\nha₁ : a₁ ∈ Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) k\nha₂ : a₂ ∈ l a₁\n⊢ k < (m b).succ"} {"_id": "204956", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β → σ\nm : β → ℕ\nl : β → List β\ng : β → List σ → Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis✝¹ : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i)))\n i\nmapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph\nbindList_primrec : Primrec₂ bindList\ngraph_primrec : Primrec₂ graph\nthis✝ : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)\nb : β\ni : ℕ\nhi : i ≤ m b + 1\nk : ℕ\nih : ∀ b' ∈ bindList b k, m b' < m b + 1 - k\na₂ 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fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i)))\n i\nmapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph\nbindList_primrec : Primrec₂ bindList\ngraph_primrec : Primrec₂ graph\nthis : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)\nb : β\nbindList_eq_nil : bindList b (m b + 1) = []\nmapGraph_graph : ∀ {bs bs' : List β}, bs' ⊆ bs → mapGraph (List.map (fun x => (x, f x)) bs) bs' = List.map f bs'\ngraph_succ :\n ∀ (i : ℕ),\n graph b (i + 1) =\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph (graph b i) (l b'))))\n (bindList b (m b - i))\nbindList_succ : ∀ (i : ℕ), bindList b (i + 1) = (bindList b i).bind l\ni : ℕ\nih : i ≤ m b + 1 → graph b i = List.map (fun x => (x, f x)) (bindList b (m b + 1 - i))\nhi : i + 1 ≤ m b + 1\n⊢ graph b (i + 1) = List.map (fun x => (x, f x)) (bindList b (m b + 1 - (i + 1)))"} {"_id": "204974", "text": "case succ\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf : β → σ\nm : β → ℕ\nl : β → List β\ng : β → List σ → Option σ\nhm : Primrec m\nhl : Primrec l\nhg : Primrec₂ g\nOrd : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b\nH : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)\nthis✝ : DecidableEq β\nmapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList\nbindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n\ngraph : β → ℕ → List (β × σ) :=\n fun b i =>\n Nat.rec []\n (fun i ih =>\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i)))\n i\nmapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph\nbindList_primrec : Primrec₂ bindList\ngraph_primrec : Primrec₂ graph\nthis : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)\nb : β\nbindList_eq_nil : bindList b (m b + 1) = []\nmapGraph_graph : ∀ {bs bs' : List β}, bs' ⊆ bs → mapGraph (List.map (fun x => (x, f x)) bs) bs' = List.map f bs'\ngraph_succ :\n ∀ (i : ℕ),\n graph b (i + 1) =\n List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph (graph b i) (l b'))))\n (bindList b (m b - i))\nbindList_succ : ∀ (i : ℕ), bindList b (i + 1) = (bindList b i).bind l\ni : ℕ\nih : i ≤ m b + 1 → graph b i = List.map (fun x => (x, f x)) (bindList b (m b + 1 - i))\nhi : i + 1 ≤ m b + 1\nb' : β\nha' : b' ∈ bindList b (m b - i)\n⊢ l b' ⊆ (bindList b (m b - i)).bind l"} {"_id": "204975", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹¹ : CommRing R\ninst✝¹⁰ : LieRing L\ninst✝⁹ : LieAlgebra R L\ninst✝⁸ : AddCommGroup M\ninst✝⁷ : Module R M\ninst✝⁶ : LieRingModule L M\ninst✝⁵ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝⁴ : AddCommGroup M₂\ninst✝³ : Module R M₂\ninst✝² : LieRingModule L M₂\ninst✝¹ : LieModule R L M₂\ninst✝ : Nontrivial M\n⊢ nilpotencyLength R L M = 1 ↔ IsTrivial L M"} {"_id": "204978", "text": "case intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\n⊢ ¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) (HomogeneousLocalization.mk z)) ↔\n HomogeneousLocalization.mk z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x"} {"_id": "204979", "text": "case intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat\nz : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)\n⊢ ↑{ deg := z.deg, num := ⟨(RingHom.id A) ↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨(RingHom.id A) ↑z.den, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ∉\n (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl ↔\n ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal"} {"_id": "204981", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nn : Nat\ninst✝³ : BEq α\ninst✝² : Hashable α\nh✝ : 0 < n\ninst✝¹ : LawfulHashable α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nx✝ : AssocList α β\nh : x✝ ∈ (Buckets.mk n h✝).val.data\n⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) x✝.toList"} {"_id": "204983", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nn : Nat\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nh✝ : 0 < n\ni : Nat\nh : i < (Buckets.mk n h✝).val.size\n⊢ AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % (Buckets.mk n h✝).val.size).toNat = i) (Buckets.mk n h✝).val[i]"} {"_id": "204984", "text": "num den : Int\n⊢ -num /. -den = num /. den"} {"_id": "204985", "text": "num den : Int\nn : Nat\n⊢ -num /. -↑n.succ = num /. ↑n.succ"} {"_id": "204986", "text": "num den : Int\nn : Nat\n⊢ normalize (- -num) n.succ ⋯ = inline (mkRat num n.succ)"} {"_id": "204988", "text": "num den : Int\nn : Nat\n⊢ -num /. -Int.negSucc n = num /. Int.negSucc n"} {"_id": "204989", "text": "num den : Int\nn : Nat\n⊢ inline (mkRat (-num) n.succ) = normalize (-num) n.succ ⋯"} {"_id": "204990", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁵ : Primcodable α\ninst✝⁴ : Primcodable β\ninst✝³ : Primcodable γ\ninst✝² : Primcodable δ\ninst✝¹ : Primcodable σ\ninst✝ : Finite α\nf : α → σ\nl : List α\nleft✝ : l.Nodup\nm : ∀ (x : α), x ∈ l\n⊢ Primrec fun a => some (f a)"} {"_id": "204991", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁵ : Primcodable α\ninst✝⁴ : Primcodable β\ninst✝³ : Primcodable γ\ninst✝² : Primcodable δ\ninst✝¹ : Primcodable σ\ninst✝ : Finite α\nf : α → σ\nl : List α\nleft✝ : l.Nodup\nm : ∀ (x : α), x ∈ l\nthis : DecidableEq α\n⊢ Primrec fun a => some (f a)"} {"_id": "204992", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nσ : Type u_5\ninst✝⁵ : Primcodable α\ninst✝⁴ : Primcodable β\ninst✝³ : Primcodable γ\ninst✝² : Primcodable δ\ninst✝¹ : Primcodable σ\ninst✝ : Finite α\nf : α → σ\nl : List α\nleft✝ : l.Nodup\nm : ∀ (x : α), x ∈ l\nthis : DecidableEq α\na : α\n⊢ (List.map f l).get? (List.indexOf a l) = some (f a)"} {"_id": "204993", "text": "F : Type u_1\nι : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : DivisionCommMonoid α\nm : Multiset ι\nf g : ι → α\n⊢ (map (fun i => (f i)⁻¹) m).prod = (map f m).prod⁻¹"} {"_id": "204995", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf g : α → β\ninst✝² : CommMonoid β\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CommMonoid α\nm : Multiset α\ns : Finset α\n⊢ m.toFinset ⊆ s → m.prod = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i m"} {"_id": "204996", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf g : α → β\ninst✝² : CommMonoid β\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CommMonoid α\nm : Multiset α\ns : Finset α\nl : List α\n⊢ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l) ⊆ s →\n Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l) = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i (Quot.mk Setoid.r l)"} {"_id": "204997", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf g : α → β\ninst✝² : CommMonoid β\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CommMonoid α\nm : Multiset α\ns : Finset α\nl : List α\n⊢ (↑l).toFinset ⊆ s → l.prod = ∏ x ∈ s, x ^ List.count x l"} {"_id": "204999", "text": "case neg\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\nh : b ∉ s\n⊢ (insert b s).gcd f = GCDMonoid.gcd (f b) (s.gcd f)"} {"_id": "205000", "text": "case pos\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\nh : b ∈ s\n⊢ (insert b s).gcd f = GCDMonoid.gcd (f b) (s.gcd f)"} {"_id": "205002", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\nχ₁ χ₂ : L → R\np q : ℤ\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhχ₁ : χ₁ ≠ 0\nf : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂\n⊢ ∀ᶠ (k : ℕ) in Filter.atTop, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂) = ⊥"} {"_id": "205005", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\nχ₁ χ₂ : L → R\np q : ℤ\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhχ₁ : χ₁ ≠ 0\nf : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂\nk l : ℕ\nhkl : ↑k • χ₁ = ↑l • χ₁\n⊢ k = l"} {"_id": "205006", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\nχ₁ χ₂ : L → R\np q : ℤ\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhχ₁ : χ₁ ≠ 0\nf : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂\nthis : Injective f\n⊢ ∀ᶠ (k : ℕ) in Filter.atTop, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂) = ⊥"} {"_id": "205007", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\nχ₁ χ₂ : L → R\np q : ℤ\ninst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R\ninst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M\ninst✝ : IsNoetherian R M\nhχ₁ : χ₁ ≠ 0\nf : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂\nthis : Injective f\n⊢ (f '' {x | ¬weightSpace M (x • χ₁ + χ₂) = ⊥}).Finite"} {"_id": "205010", "text": "R : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni j : ι\nx : L i\ny : L j\n⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ = if hij : i = j then (of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0"} {"_id": "205011", "text": "case inl\nR : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni : ι\nx y : L i\n⊢ ⁅(of L i) x, (of L i) y⁆ = if hij : i = i then (of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0"} {"_id": "205012", "text": "case inr\nR : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni j : ι\nx : L i\ny : L j\nhij : i ≠ j\n⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ = if hij : i = j then (of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0"} {"_id": "205013", "text": "α : Type u_1\nR : α → α → Prop\nS : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\nl₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α\np : l₁ ~ l₂\nd : Pairwise R l₁\n⊢ Pairwise R l₂"} {"_id": "205016", "text": "case cons\nα : Type u_1\nR : α → α → Prop\nS : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\nl₁✝ l₂✝ l₁ : List α\na✝¹ : α\nl✝ : List α\nh : ∀ (a' : α), a' ∈ l✝ → R a✝¹ a'\na✝ : Pairwise R l✝\nIH : ∀ {l₂ : List α}, l✝ ~ l₂ → Pairwise R l₂\nl₂ : List α\np : a✝¹ :: l✝ ~ l₂\n⊢ Pairwise R l₂"} {"_id": "205017", "text": "case cons\nα : Type u_1\nR : α → α → Prop\nS : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\nl₁✝ l₂✝ l₁ : List α\na✝¹ : α\nl✝ : List α\nh : ∀ (a' : α), a' ∈ l✝ → R a✝¹ a'\na✝ : Pairwise R l✝\nIH : ∀ {l₂ : List α}, l✝ ~ l₂ → Pairwise R l₂\nl₂ : List α\np : a✝¹ :: l✝ ~ l₂\nthis : a✝¹ ∈ l₂\n⊢ Pairwise R l₂"} {"_id": "205018", "text": "case cons.intro.intro\nα : Type u_1\nR : α → α → Prop\nS : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\nl₁✝ l₂✝ l₁ : List α\na✝¹ : α\nl✝ : List α\nh : ∀ (a' : α), a' ∈ l✝ → R a✝¹ a'\na✝ : Pairwise R l✝\nIH : ∀ {l₂ : List α}, l✝ ~ l₂ → Pairwise R l₂\ns₂ t₂ : List α\np : a✝¹ :: l✝ ~ s₂ ++ a✝¹ :: t₂\nthis : a✝¹ ∈ s₂ ++ a✝¹ :: t₂\n⊢ Pairwise R (s₂ ++ a✝¹ :: t₂)"} {"_id": "205019", "text": "case cons.intro.intro\nα : Type u_1\nR : α → α → Prop\nS : ∀ {x y : α}, R x y → R y x\nl₁✝ l₂✝ l₁ : List α\na✝¹ : α\nl✝ : List α\nh : ∀ (a' : α), a' ∈ l✝ → R a✝¹ a'\na✝ : Pairwise R l✝\nIH : ∀ {l₂ : List α}, l✝ ~ l₂ → Pairwise R l₂\ns₂ t₂ : List α\np : a✝¹ :: l✝ ~ s₂ ++ a✝¹ :: t₂\nthis : a✝¹ ∈ s₂ ++ a✝¹ :: t₂\np' : l✝ ~ s₂ ++ t₂\n⊢ Pairwise R (s₂ ++ a✝¹ :: t₂)"} {"_id": "205021", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidableEq β\n⊢ (∅ ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (∅.gcd f) (s₂.gcd f)"} {"_id": "205022", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf : β → α\ninst✝ : DecidableEq β\na : β\ns : Finset β\nx✝ : a ∉ s\nih : (s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (s.gcd f) (s₂.gcd f)\n⊢ (insert a s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd ((insert a s).gcd f) (s₂.gcd f)"} {"_id": "205024", "text": "case h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj { unop := X✝ })\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj { unop := X }\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nw : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base\nh : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app { unop := basicOpen r }\n⊢ (X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val = β.val"} {"_id": "205026", "text": "case h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj { unop := X✝ })\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj { unop := X }\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nw : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base\nh : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app { unop := basicOpen r }\nr : ↑R\nU : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r\n⊢ (toOpen (↑R) U ≫ (X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app { unop := U }) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) =\n toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app { unop := U }"} {"_id": "205029", "text": "case h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj { unop := X✝ })\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj { unop := X }\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nw : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base\nh : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app { unop := basicOpen r }\nr : ↑R\nU : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r\n⊢ CommRingCat.ofHom f ≫\n (toOpen (↑(Γ.obj { unop := X })) ((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫\n X.toΓSpec.val.c.app { unop := Spec.locallyRingedSpaceMap f ⁻¹ᵁ { unop := U }.unop }) ≫\n X.presheaf.map (eqToHom ⋯) =\n toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app { unop := U }"} {"_id": "205032", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nh : IsSolvable R ↥↑I\n⊢ derivedAbelianOfIdeal I = ⊥ ↔ I = ⊥"} {"_id": "205035", "text": "case h_1\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nh✝ : IsSolvable R ↥↑I\nx✝ : ℕ\nh : derivedLengthOfIdeal R L I = 0\n⊢ ⊥ = ⊥ ↔ I = ⊥"} {"_id": "205038", "text": "case h_2\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nh✝ : IsSolvable R ↥↑I\nx✝ k : ℕ\nh : derivedLengthOfIdeal R L I = k.succ\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥ ↔ I = ⊥"} {"_id": "205039", "text": "case h_2.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nh✝ : IsSolvable R ↥↑I\nx✝ k : ℕ\nh : derivedLengthOfIdeal R L I = k.succ\nleft✝ : IsLieAbelian ↥↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I)\nh₂ : derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥ ↔ I = ⊥"} {"_id": "205044", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nh✝ : IsSolvable R ↥↑I\nx✝ k : ℕ\nh : derivedLengthOfIdeal R L I = k.succ\nleft✝ : IsLieAbelian ↥↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I)\nh₂ : derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥\ncontra : I = ⊥\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k ⊥ = ⊥"} {"_id": "205046", "text": "β : Type u_1\nα : Type u_2\nR : α → α → Prop\nf : β → Option α\nl : List β\n_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'\n⊢ Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b') l"} {"_id": "205047", "text": "β : Type u_1\nα : Type u_2\nR : α → α → Prop\nf : β → Option α\nl : List β\n_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'\n⊢ Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l"} {"_id": "205048", "text": "case cons\nβ : Type u_1\nα : Type u_2\nR : α → α → Prop\nf : β → Option α\n_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'\na : β\nl : List β\nIH : Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l\n⊢ Pairwise R (filterMap f (a :: l)) ↔\n Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') (a :: l)"} {"_id": "205049", "text": "case nil\nβ : Type u_1\nα : Type u_2\nR : α → α → Prop\nf : β → Option α\n_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'\n⊢ Pairwise R (filterMap f []) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') []"} {"_id": "205050", "text": "β : Type u_1\nα : Type u_2\nR : α → α → Prop\nf : β → Option α\n_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'\na : β\nl : List β\nIH : Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l\ne : f a = none\n⊢ Pairwise R (filterMap f (a :: l)) ↔\n Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') (a :: l)"} {"_id": "205051", "text": "β : Type u_1\nα : Type u_2\nR : α → α → Prop\nf : β → Option α\n_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'\na : β\nl : List β\nIH : Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l\ne : f a = none\n⊢ Pairwise R (filterMap f l) ↔\n (∀ (a' : β), a' ∈ l → ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') ∧\n Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l"} {"_id": "205052", "text": "β : Type u_1\nα : Type u_2\nR : α → α → Prop\nf : β → Option α\n_S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'\na : β\nl : List β\nIH : Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l\nb : α\ne : f a = some b\n⊢ Pairwise R (filterMap f (a :: l)) ↔\n Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') (a :: l)"} {"_id": "205055", "text": "R S : CommRingCat\nf : R ⟶ S\np : PrimeSpectrum ↑S\nx : ↑R\n⊢ ((localizationToStalk (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p) ≫ PresheafedSpace.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p) ≫\n stalkToFiberRingHom (↑S) p)\n ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap f) p).asIdeal)) x) =\n (algebraMap (↑S) (Localization.AtPrime p.asIdeal)) (f x)"} {"_id": "205056", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : NonAssocSemiring R\nthis : DecidableEq R := Classical.decEq R\nH : ∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0\nx : ℕ\n⊢ ↑x = 0 ↔ 0 ∣ x"} {"_id": "205060", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : NonAssocSemiring R\nthis : DecidableEq R := Classical.decEq R\nH : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0\nx : ℕ\nH1 : ↑x = 0\nH2 : ¬x % Nat.find ⋯ = 0\n⊢ ↑(x % Nat.find ⋯) = 0"} {"_id": "205061", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : NonAssocSemiring R\nthis : DecidableEq R := Classical.decEq R\nH : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0\nx : ℕ\nH1 : Nat.find ⋯ ∣ x\n⊢ ↑x = 0"} {"_id": "205062", "text": "D : GlueData\ni : D.J\n⊢ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i ≫ D.isoCarrier.inv =\n (D.ι i).val.base"} {"_id": "205063", "text": "D : GlueData\ni : D.J\n⊢ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i ≫\n ((PresheafedSpace.forget CommRingCat).mapIso\n (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.mapIso\n (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace ≪≫\n D.toLocallyRingedSpaceGlueData.isoSheafedSpace) ≪≫\n D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.isoPresheafedSpace) ≪≫\n D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.gluedIso\n (PresheafedSpace.forget CommRingCat)).inv =\n (D.ι i).val.base"} {"_id": "205067", "text": "R : Type u\ninst✝² : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝¹ : Field F\nW : Jacobian F\nS : Type u_1\ninst✝ : CommRing S\nf : R →+* S\nP Q : Fin 3 → R\n⊢ dblXYZ (map W' f) (⇑f ∘ P) = ⇑f ∘ W'.dblXYZ P"} {"_id": "205069", "text": "case pos\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : NoZeroDivisors R\nn : ℤ\nh : ↑n ≠ 0\nhn : 1 < n.natAbs\n⊢ W.ΨSq n ≠ 0"} {"_id": "205071", "text": "case neg.zero\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : NoZeroDivisors R\nn : ℤ\nh : ↑n ≠ 0\nhn : ¬1 < n.natAbs\nhm : n.natAbs = 0\n⊢ W.ΨSq n ≠ 0"} {"_id": "205072", "text": "case neg.succ\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : NoZeroDivisors R\nn : ℤ\nh : ↑n ≠ 0\nhn : ¬1 < n.natAbs\nm : ℕ\nhm : n.natAbs = m + 1\n⊢ W.ΨSq n ≠ 0"} {"_id": "205073", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝ : NoZeroDivisors R\nm : ℕ\nh : ↑(-↑(m + 1)) ≠ 0\nhn : m = 0\nhm : (-↑(m + 1)).natAbs = m + 1\nh' : 1 = 0\n⊢ C ↑(-↑(m + 1)) = C 0"} {"_id": "205076", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nh : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1\nh' : ∀ x ∈ s, f x = 1\n⊢ False"} {"_id": "205077", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\nι : Type u_3\ninst✝ : DecidableEq ι\nS : Finset ι\nq : ι → R\nhq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)\nhM : Module.IsTorsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)\n⊢ DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (q ↑i)"} {"_id": "205078", "text": "R : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\nι : Type u_3\ninst✝ : DecidableEq ι\nS : Finset ι\nq : ι → R\nhq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ a ∈ S, Ideal.span {q a})\n⊢ DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (q ↑i)"} {"_id": "205079", "text": "case h.e'_8.h\nR : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : AddCommGroup M\ninst✝¹ : Module R M\nι : Type u_3\ninst✝ : DecidableEq ι\nS : Finset ι\nq : ι → R\nhq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)\nhM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ a ∈ S, Ideal.span {q a})\nx✝ : { x // x ∈ S }\n⊢ torsionBy R M (q ↑x✝) = torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q ↑x✝})"} {"_id": "205081", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nc : α → Code\nhc : Computable c\nz : α → σ\nhz : Computable z\ns : α → σ\nhs : Computable s\nl : α → σ\nhl : Computable l\nr : α → σ\nhr : Computable r\npr : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpr : Computable₂ pr\nco : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhco : Computable₂ co\npc : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpc : Computable₂ pc\nrf : α → Code × σ → σ\nhrf : Computable₂ rf\nPR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)\nCO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)\nPC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)\nRF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)\nF : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)\n⊢ Computable fun a => F a (c a)"} {"_id": "205082", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nc : α → Code\nhc : Computable c\nz : α → σ\nhz : Computable z\ns : α → σ\nhs : Computable s\nl : α → σ\nhl : Computable l\nr : α → σ\nhr : Computable r\npr : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpr : Computable₂ pr\nco : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhco : Computable₂ co\npc : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpc : Computable₂ pc\nrf : α → Code × σ → σ\nhrf : Computable₂ rf\nPR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)\nCO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)\nPC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)\nRF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)\nF : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)\nG₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=\n fun p =>\n (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s =>\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>\n Option.map\n (fun s₂ =>\n bif p.2.1.bodd then\n bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)\n else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else\n bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)\n⊢ Computable fun a => F a (c a)"} {"_id": "205083", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nc : α → Code\nhc : Computable c\nz : α → σ\nhz : Computable z\ns : α → σ\nhs : Computable s\nl : α → σ\nhl : Computable l\nr : α → σ\nhr : Computable r\npr : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpr : Computable₂ pr\nco : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhco : Computable₂ co\npc : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpc : Computable₂ pc\nrf : α → Code × σ → σ\nhrf : Computable₂ rf\nPR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)\nCO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)\nPC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)\nRF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)\nF : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)\nG₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=\n fun p =>\n (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s =>\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>\n Option.map\n (fun s₂ =>\n bif p.2.1.bodd then\n bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)\n else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else\n bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)\nthis : Computable G₁\n⊢ Computable fun a => F a (c a)"} {"_id": "205084", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nc : α → Code\nhc : Computable c\nz : α → σ\nhz : Computable z\ns : α → σ\nhs : Computable s\nl : α → σ\nhl : Computable l\nr : α → σ\nhr : Computable r\npr : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpr : Computable₂ pr\nco : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhco : Computable₂ co\npc : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpc : Computable₂ pc\nrf : α → Code × σ → σ\nhrf : Computable₂ rf\nPR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)\nCO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)\nPC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)\nRF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)\nF : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)\nG₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=\n fun p =>\n (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s =>\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>\n Option.map\n (fun s₂ =>\n bif p.2.1.bodd then\n bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)\n else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else\n bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)\nthis : Computable G₁\nG : α → List σ → Option σ :=\n fun a IH =>\n Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n =>\n Nat.casesOn n (some (s a)) fun n =>\n Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)\n⊢ Computable fun a => F a (c a)"} {"_id": "205085", "text": "α : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nc : α → Code\nhc : Computable c\nz : α → σ\nhz : Computable z\ns : α → σ\nhs : Computable s\nl : α → σ\nhl : Computable l\nr : α → σ\nhr : Computable r\npr : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpr : Computable₂ pr\nco : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhco : Computable₂ co\npc : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpc : Computable₂ pc\nrf : α → Code × σ → σ\nhrf : Computable₂ rf\nPR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)\nCO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)\nPC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)\nRF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)\nF : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)\nG₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=\n fun p =>\n (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s =>\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>\n Option.map\n (fun s₂ =>\n bif p.2.1.bodd then\n bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)\n else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else\n bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))\n (p.1.2.get? 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(unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>\n Option.map\n (fun s₂ =>\n bif p.2.1.bodd then\n bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)\n else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else\n bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)\nthis✝ : Computable G₁\nG : α → List σ → Option σ :=\n fun a IH =>\n Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n =>\n Nat.casesOn n (some (s a)) fun n =>\n Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)\nthis : Computable₂ G\na : α\nn : ℕ\n⊢ Nat.rec (some (z a))\n (fun n_1 n_ih =>\n Nat.rec (some (s a))\n (fun n_2 n_ih =>\n Nat.rec (some (l a))\n (fun n_3 n_ih =>\n Nat.rec (some (r a))\n (fun n_4 n_ih =>\n G₁\n ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4,\n n_4.div2.div2))\n n_3)\n n_2)\n n_1)\n (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))).length =\n some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))"} {"_id": "205090", "text": "case succ.succ.succ.succ\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nc : α → Code\nhc : Computable c\nz : α → σ\nhz : Computable z\ns : α → σ\nhs : Computable s\nl : α → σ\nhl : Computable l\nr : α → σ\nhr : Computable r\npr : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpr : Computable₂ pr\nco : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhco : Computable₂ co\npc : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpc : Computable₂ pc\nrf : α → Code × σ → σ\nhrf : Computable₂ rf\nPR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)\nCO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)\nPC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)\nRF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)\nF : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)\nG₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=\n fun p =>\n (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s =>\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>\n Option.map\n (fun s₂ =>\n bif p.2.1.bodd then\n bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)\n else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else\n bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))\n (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)\nthis✝ : Computable G₁\nG : α → List σ → Option σ :=\n fun a IH =>\n Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n =>\n Nat.casesOn n (some (s a)) fun n =>\n Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)\nthis : Computable₂ G\na : α\nn : ℕ\nm : ℕ := n.div2.div2\n⊢ Nat.rec (some (z a))\n (fun n_1 n_ih =>\n Nat.rec (some (s a))\n (fun n_2 n_ih =>\n Nat.rec (some (l a))\n (fun n_3 n_ih =>\n Nat.rec (some (r a))\n (fun n_4 n_ih =>\n G₁\n ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4,\n n_4.div2.div2))\n n_3)\n n_2)\n n_1)\n (n + 1 + 1 + 1 + 1) =\n some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))"} {"_id": "205091", "text": "case succ.succ.succ.succ\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nc : α → Code\nhc : Computable c\nz : α → σ\nhz : Computable z\ns : α → σ\nhs : Computable s\nl : α → σ\nhl : Computable l\nr : α → σ\nhr : Computable r\npr : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpr : Computable₂ pr\nco : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhco : Computable₂ co\npc : α → Code × Code × σ × σ → σ\nhpc : Computable₂ pc\nrf : α → Code × σ → σ\nhrf : Computable₂ rf\nPR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)\nCO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)\nPC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)\nRF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)\nF : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)\nG₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=\n fun p =>\n (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s =>\n (p.1.2.get? 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(unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>\n Option.map\n (fun s₂ =>\n bif p.2.1.bodd then\n bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)\n else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else\n bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)\n else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))\n (p.1.2.get? 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u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\ns : Finset ι\nf : ι → α\nhs : 0 < ↑s.card\n⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ 2 * ↑s.card ≤ (↑s.card * ∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ↑s.card"} {"_id": "205115", "text": "d₁ d₂ n₁ n₂ : Int\nz₁ : d₁ ≠ 0\nz₂ : d₂ ≠ 0\n⊢ n₁ /. d₁ = n₂ /. d₂ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁"} {"_id": "205116", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → R\nhP : W'.Equation P\n⊢ W'.addXYZ P P = ![0, 0, 0]"} {"_id": "205117", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nF G K L : CochainComplex C ℤ\nn✝ m✝ n : ℤ\nz₁ : Cochain F G n\nf : G ⟶ K\nm : ℤ\n⊢ δ n m (z₁.comp (Cochain.ofHom f) ⋯) = (δ n m z₁).comp (Cochain.ofHom f) ⋯"} {"_id": "205118", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nl✝ m : Language α\na b x : List α\nl : Language α\n⊢ 1 + l∗ * l = l∗"} {"_id": "205119", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\ni j : ι\ninst✝³ : K.HasHomology i\ninst✝² : K.HasHomology j\ninst✝¹ : L.HasHomology i\ninst✝ : L.HasHomology j\n⊢ K.homologyι i ≫ K.opcyclesToCycles i j = 0"} {"_id": "205120", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\nM' : Type u_4\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : LieRingModule L M'\ninst✝ : LieModule R L M'\nN N₁ N₂ N' : LieSubmodule R L M\n⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ N' ↔ N ≤ N'.normalizer"} {"_id": "205123", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\ne : ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root α, (rootSystem H).root β]\n⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β"} {"_id": "205124", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\ne : ∃ x, ¬x • (rootSystem H).root α ≠ (rootSystem H).root β\n⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β"} {"_id": "205126", "text": "case intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\nu : K\nhu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β\n⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β"} {"_id": "205128", "text": "case h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\nu : K\nhu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β\nx : ↥H\n⊢ ↑β x = (u • ⇑↑α) x"} {"_id": "205131", "text": "case intro.inl.h.h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\nu : K\nhu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β\nh : ↑β = -↑α\nx : ↥H\n⊢ ((rootSystem H).root α) x = (-(rootSystem H).root β) x"} {"_id": "205134", "text": "case intro.inr.h.h\nK : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁷ : Field K\ninst✝⁶ : CharZero K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : IsKilling K L\ninst✝² : FiniteDimensional K L\nH : LieSubalgebra K L\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L\nα✝ β✝ : Weight K (↥H) L\nhα : α✝.IsNonZero\nα β : { α // α.IsNonZero }\nu : K\nhu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β\nh : ↑β = ↑α\nx : ↥H\n⊢ ((rootSystem H).root α) x = ((rootSystem H).root β) x"} {"_id": "205136", "text": "V : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} V\ninst✝³ : HasImages V\nA✝ B✝ C D : V\nf✝ : A✝ ⟶ B✝\ng : B✝ ⟶ C\nh✝ : C ⟶ D\ninst✝² : HasZeroObject V\ninst✝¹ : Preadditive V\ninst✝ : 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D\ninst✝² : HasZeroObject V\ninst✝¹ : Preadditive V\ninst✝ : HasEqualizers V\nA B : V\nf : A ⟶ B\nh : Exact f 0\ne₁ : Epi ((imageSubobject f).arrow ≫ inv (kernelSubobject 0).arrow)\ne₂ : Epi (imageSubobject f).arrow\n⊢ Epi f"} {"_id": "205140", "text": "V : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} V\ninst✝³ : HasImages V\nA✝ B✝ C D : V\nf✝ : A✝ ⟶ B✝\ng : B✝ ⟶ C\nh✝ : C ⟶ D\ninst✝² : HasZeroObject V\ninst✝¹ : Preadditive V\ninst✝ : HasEqualizers V\nA B : V\nf : A ⟶ B\nh : Exact f 0\ne₁ : Epi ((imageSubobject f).arrow ≫ inv (kernelSubobject 0).arrow)\ne₂ : Epi ((imageSubobjectIso f).hom ≫ image.ι f)\n⊢ Epi f"} {"_id": "205141", "text": "V : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} V\ninst✝³ : HasImages V\nA✝ B✝ C D : V\nf✝ : A✝ ⟶ B✝\ng : B✝ ⟶ C\nh✝ : C ⟶ D\ninst✝² : HasZeroObject V\ninst✝¹ : Preadditive V\ninst✝ : HasEqualizers V\nA B : V\nf : A ⟶ B\nh : Exact f 0\ne₁ : Epi ((imageSubobject f).arrow ≫ inv (kernelSubobject 0).arrow)\ne₂ : Epi ((imageSubobjectIso f).hom ≫ image.ι f)\nthis : Epi (image.ι f)\n⊢ Epi f"} {"_id": "205143", "text": "case RespectsIso\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpan P\n⊢ (sourceAffineLocally P).toProperty.RespectsIso"} {"_id": "205145", "text": "case toBasicOpen\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpan P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\nr : ↑Γ(Y, ⊤)\nH : sourceAffineLocally P f\nU : ↑(X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).affineOpens\n⊢ P (Scheme.Γ.map ((X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r).ofRestrict ⋯ ≫ f ∣_ Y.basicOpen r).op)"} {"_id": "205150", "text": "case ofBasicOpenCover\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpan P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\ns : Finset ↑Γ(Y, ⊤)\nhs : Ideal.span ↑s = ⊤\nhs' : ∀ (r : { x // x ∈ s }), sourceAffineLocally P (f ∣_ Y.basicOpen ↑r)\nU : ↑X.affineOpens\nr : ↑↑s\n⊢ P (Localization.awayMap (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op) ↑r)"} {"_id": "205154", "text": "case ofBasicOpenCover.refine_1\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpan P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\ns : Finset ↑Γ(Y, ⊤)\nhs : Ideal.span ↑s = ⊤\nhs' : ∀ (r : { x // x ∈ s }), sourceAffineLocally P (f ∣_ Y.basicOpen ↑r)\nU : ↑X.affineOpens\nr : ↑↑s\n⊢ X.ofRestrict ⋯ ⁻¹ᵁ ↑U ∈ (X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ↑r).affineOpens"} {"_id": "205156", "text": "case ofBasicOpenCover.refine_1\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpan P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\ns : Finset ↑Γ(Y, ⊤)\nhs : Ideal.span ↑s = ⊤\nhs' : ∀ (r : { x // x ∈ s }), sourceAffineLocally P (f ∣_ Y.basicOpen ↑r)\nU : ↑X.affineOpens\nr : ↑↑s\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhV : V = f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ↑r\n⊢ IsAffineOpen (X.ofRestrict ⋯ ⁻¹ᵁ ↑U)"} {"_id": "205158", "text": "case ofBasicOpenCover.refine_1\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpan P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\ns : Finset ↑Γ(Y, ⊤)\nhs : Ideal.span ↑s = ⊤\nhs' : ∀ (r : { x // x ∈ s }), sourceAffineLocally P (f ∣_ Y.basicOpen ↑r)\nU : ↑X.affineOpens\nr : ↑↑s\n⊢ IsAffineOpen (X.ofRestrict ⋯ ⁻¹ᵁ ↑U)"} {"_id": "205159", "text": "P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nh₁ : RingHom.RespectsIso P\nh₂ : RingHom.LocalizationPreserves P\nh₃ : RingHom.OfLocalizationSpan P\nX Y : Scheme\ninst✝ : IsAffine Y\nf : X ⟶ Y\ns : Finset ↑Γ(Y, ⊤)\nhs : Ideal.span ↑s = ⊤\nhs' : ∀ (r : { x // x ∈ s }), sourceAffineLocally P (f ∣_ Y.basicOpen ↑r)\nU : ↑X.affineOpens\nr : ↑↑s\nthis : ∀ (V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), V = f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ↑r → IsAffineOpen (X.ofRestrict ⋯ ⁻¹ᵁ ↑U)\n⊢ X.ofRestrict ⋯ ⁻¹ᵁ ↑U ∈ (X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ↑r).affineOpens"} {"_id": "205163", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommRing R\np q : MvPolynomial σ R\nx : σ\nf g : MvPolynomial σ R\nk : ℕ\nh : 0 < k\nhf : ∀ m ∈ f.support, k ≤ m x → coeff m f = coeff m g\nhg : ∀ m ∈ g.support, k ≤ m x → coeff m f = coeff m g\n⊢ degreeOf x (f - g) < k"} {"_id": "205166", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommRing R\np q : MvPolynomial σ R\nx : σ\nf g : MvPolynomial σ R\nk : ℕ\nh : 0 < k\nhf : ∀ m ∈ f.support, k ≤ m x → coeff m f = coeff m 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OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝² : ExistsAddOfLE α\ninst✝¹ : LocallyFiniteOrder α\ninst✝ : DecidableEq α\na b c : α\n⊢ image (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)"} {"_id": "205172", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : OrderedCommGroup α\ns t : Set α\na : α\n⊢ s * ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s * t))"} {"_id": "205175", "text": "case h\nα : Type u_1\ns✝ t : Set α\na : α\ninst✝¹ : Group α\ninst✝ : StarMul α\ns : Set α\nx✝ : α\n⊢ x✝ ∈ s⁻¹⋆ ↔ x✝ ∈ s⋆⁻¹"} {"_id": "205176", "text": "α : Type u\ninst✝² : Group α\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na b : α\n⊢ cmp (a / b) 1 = cmp a b"} {"_id": "205177", "text": "l m r : List Char\np : Nat\n⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.atEnd\n { byteIdx := p } =\n true ↔\n p = utf8Len m"} {"_id": "205178", "text": "X Y : Scheme\nU✝ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen 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⇑f.val.base '' Set.range ⇑U.inclusion = Set.range Subtype.val"} {"_id": "205185", "text": "case intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : HasBinaryBiproducts C\nK✝ L✝ : CochainComplex C ℤ\nφ✝ : K✝ ⟶ L✝\nT : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))\nn : ℤ\nK L : CochainComplex C ℤ\nφ : K ⟶ L\ne : T ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ\n⊢ (Triangle.shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) n).obj T ∈ distinguishedTriangles C"} {"_id": "205186", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : Semifield R\ninst✝ : StarRing R\nx y : R\n⊢ star (x / y) = star x / star y"} {"_id": "205187", "text": "case a\nR : Type u\ninst✝¹ : Semifield R\ninst✝ : StarRing R\nx y : R\n⊢ op (star (x / y)) = op (star x / star y)"} {"_id": "205188", "text": "S : Type u_1\ninst✝ : UnitalShelf S\nx y z : S\n⊢ (x ◃ y) ◃ z = x ◃ y ◃ z"} {"_id": "205189", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\n⊢ ⁅I, J⁆ = ⁅J, I⁆"} {"_id": "205192", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nI J : LieIdeal R L\n⊢ ⁅I, J⁆ ≤ ⁅J, I⁆"} {"_id": "205195", "text": "case intro.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nI J : LieIdeal R L\nx : L\ny : ↥I\nz : ↥J\nh : ⁅↑y, ↑z⁆ = x\n⊢ ⁅↑y, ↑z⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆"} {"_id": "205196", "text": "case intro.intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nI J : LieIdeal R L\nx : L\ny : ↥I\nz : ↥J\nh : ⁅↑y, ↑z⁆ = x\n⊢ ⁅↑z, ↑(-y)⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆"} {"_id": "205197", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nM₂ : Type w₁\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nN₂ : LieSubmodule R L M₂\nthis : ∀ (I J : LieIdeal R L), ⁅I, J⁆ ≤ ⁅J, I⁆\n⊢ ⁅I, J⁆ = ⁅J, I⁆"} {"_id": "205198", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring A\ninst✝ : Algebra R A\nM✝ N : Submodule R A\nm n a : A\nM : Submodule R A\n⊢ Set.up {a} • M = map (LinearMap.mulLeft R a) M"} {"_id": "205199", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring A\ninst✝ : Algebra R A\nM✝ N : Submodule R A\nm n a : A\nM : Submodule R A\n⊢ Set.up {a} • span R ↑M = map (LinearMap.mulLeft R a) M"} {"_id": "205200", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring A\ninst✝ : Algebra R A\nM✝ N : Submodule R A\nm n a : A\nM : Submodule R A\n⊢ span R ((fun x => a * x) '' ↑M) = map (LinearMap.mulLeft R a) M"} {"_id": "205201", "text": "α : Type u_1\nt : RBNode α\nc : RBColor\nn✝ n : Nat\nx✝ y✝ : RBNode α\nv✝ : α\nhl : x✝.Balanced black n\nhr : y✝.Balanced black n\n⊢ 2 ^ depthLB red n ≤ (node red x✝ v✝ y✝).size + 1"} {"_id": "205202", "text": "α : Type u_1\nt : RBNode α\nc : RBColor\nn✝ n : Nat\nx✝ y✝ : RBNode α\nv✝ : α\nhl : x✝.Balanced black n\nhr : y✝.Balanced black n\n⊢ 2 ^ n + 2 ^ n ≤ x✝.size + 1 + (y✝.size + 1)"} {"_id": "205203", "text": "α : Type u_1\nt : RBNode α\nc : RBColor\nn : Nat\nx✝ : RBNode α\nc₁✝ : RBColor\nn✝ : Nat\ny✝ : RBNode α\nc₂✝ : RBColor\nv✝ : α\nhl : x✝.Balanced c₁✝ n✝\nhr : y✝.Balanced c₂✝ n✝\n⊢ 2 ^ depthLB black (n✝ + 1) ≤ (node black x✝ v✝ y✝).size + 1"} {"_id": "205204", "text": "α : Type u_1\nt : RBNode α\nc : RBColor\nn : Nat\nx✝ : RBNode α\nc₁✝ : RBColor\nn✝ : Nat\ny✝ : RBNode α\nc₂✝ : RBColor\nv✝ : α\nhl : x✝.Balanced c₁✝ n✝\nhr : y✝.Balanced c₂✝ n✝\n⊢ 2 ^ n✝ + 2 ^ n✝ ≤ x✝.size + 1 + (y✝.size + 1)"} {"_id": "205206", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\n⊢ derivedLength R ↥↑I = derivedLengthOfIdeal R L I"} {"_id": "205207", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\ns₁ : Set ℕ := {k | derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥}\n⊢ derivedLength R ↥↑I = derivedLengthOfIdeal R L I"} {"_id": "205212", "text": "α : Type u\nβ : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring α\na✝ b✝ c d : α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\na b : α\n⊢ 2 * a * b ≤ a ^ 2 + b ^ 2"} {"_id": "205214", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\nh₁ : m.size = m.buckets.size\nh₂ : m.buckets.WF\n⊢ (Imp.mapVal f m).WF"} {"_id": "205216", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\nh₁ : m.size = m.buckets.size\nh₂ : m.buckets.WF\n⊢ m.buckets.size = Buckets.size ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩"} {"_id": "205220", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\nh₁ : m.size = m.buckets.size\nh₂ : m.buckets.WF\n⊢ ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (bucket : AssocList α γ),\n bucket ∈ ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩.val.data →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) bucket.toList"} {"_id": "205221", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\nh₁ : m.size = m.buckets.size\nh₂ : m.buckets.WF\n⊢ ∀ [inst : LawfulHashable α] [inst : PartialEquivBEq α] (j : AssocList α β),\n j ∈ m.buckets.val.data → List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) (AssocList.mapVal f j).toList"} {"_id": "205223", "text": "case refine_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf : α → β → γ\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nH : m.WF\nh₁ : m.size = m.buckets.size\nh₂ : m.buckets.WF\ni : Nat\nh : i < ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩.val.size\n⊢ AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩.val.size).toNat = i)\n ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩.val[i]"} {"_id": "205227", "text": "c : Code\nv : List ℕ\n⊢ eval (TM2.step tr) (init c v) = halt <$> c.eval v"} {"_id": "205228", "text": "case intro.intro\nc : Code\nv : List ℕ\ni : Cfg'\nh₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i\nh₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i\n⊢ eval (TM2.step tr) (init c v) = halt <$> c.eval v"} {"_id": "205229", "text": "case intro.intro\nc : Code\nv : List ℕ\ni : Cfg'\nh₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i\nh₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i\nx : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')\n⊢ x ∈ eval (TM2.step tr) (init c v) ↔ x ∈ halt <$> c.eval v"} {"_id": "205230", "text": "case intro.intro\nc : Code\nv : List ℕ\ni : Cfg'\nh₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i\nh₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i\nx : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')\n⊢ x ∈ eval (TM2.step tr) i ↔ x ∈ halt <$> c.eval v"} {"_id": "205232", "text": "case intro.intro.refine_1\nc : Code\nv : List ℕ\ni : Cfg'\nh₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i\nh₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i\nx : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')\nh : x ∈ eval (TM2.step tr) i\n⊢ ∃ a ∈ c.eval v, halt a = x"} {"_id": "205233", "text": "case intro.intro.refine_1.intro.intro\nc✝ : Code\nv : List ℕ\ni : Cfg'\nh₁ : TrCfg (stepNormal c✝ Cont.halt v) i\nh₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c✝ v) i\nx : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')\nh : x ∈ eval (TM2.step tr) i\nc : Cfg\nhc₁ : TrCfg c x\nhc₂ : c ∈ eval step (stepNormal c✝ Cont.halt v)\n⊢ ∃ a ∈ c✝.eval v, halt a = x"} {"_id": "205237", "text": "case intro.intro.refine_2.intro.intro\nc : Code\nv : List ℕ\ni : Cfg'\nh₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i\nh₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i\nv' : List ℕ\nhv : v' ∈ c.eval v\n⊢ halt v' ∈ eval (TM2.step tr) i"} {"_id": "205238", "text": "case intro.intro.refine_2.intro.intro\nc : Code\nv : List ℕ\ni : Cfg'\nh₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i\nh₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i\nv' : List ℕ\nhv : v' ∈ c.eval v\nthis : Cfg.halt v' ∈ eval step (stepNormal c Cont.halt v) → ∃ b₂, TrCfg (Cfg.halt v') b₂ ∧ b₂ ∈ eval (TM2.step tr) i\n⊢ halt v' ∈ eval (TM2.step tr) i"} {"_id": "205241", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\ninst✝ : Mul α\nx y : WithZero α\nhxy : x * y ≠ 0\n⊢ unzero hxy = unzero ⋯ * unzero ⋯"} {"_id": "205242", "text": "R : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni j : ι\nhij : i ≠ j\nx : L i\ny : L j\n⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ = 0"} {"_id": "205243", "text": "R : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni j : ι\nhij : i ≠ j\nx : L i\ny : L j\nk : ι\n⊢ ⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ k = 0 k"} {"_id": "205244", "text": "R : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni j : ι\nhij : i ≠ j\nx : L i\ny : L j\nk : ι\n⊢ ⁅((of L i) x) k, ((of L j) y) k⁆ = 0 k"} {"_id": "205245", "text": "case inl\nR : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni j : ι\nhij : i ≠ j\nx : L i\ny : L j\n⊢ ⁅((of L i) x) i, ((of L j) y) i⁆ = 0 i"} {"_id": "205246", "text": "case inr\nR : Type u\nι : Type v\ninst✝³ : CommRing R\nL : ι → Type w\ninst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)\ninst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)\ninst✝ : DecidableEq ι\ni j : ι\nhij : i ≠ j\nx : L i\ny : L j\nk : ι\nhik : i ≠ k\n⊢ ⁅((of L i) x) k, ((of L j) y) k⁆ = 0 k"} {"_id": "205247", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf g h : CauSeq α abs\nfg : f < g\ngh : g < h\n⊢ (h - f).Pos"} {"_id": "205249", "text": "α : Type u_1\ninst✝² : Group α\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\na : α\n⊢ max a⁻¹ 1 = a⁻¹ * max a 1"} {"_id": "205251", "text": "case H\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : Module.Free R M\ninst✝² : Module.Finite R M\ninst✝¹ : IsReduced R\ninst✝ : IsNilpotent R L M\nx y : L\n⊢ ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y"} {"_id": "205252", "text": "case H\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : Module.Free R M\ninst✝² : Module.Finite R M\ninst✝¹ : IsReduced R\ninst✝ : IsNilpotent R L M\nx y : L\n⊢ _root_.IsNilpotent ((trace R M) (φ x ∘ₗ φ y))"} {"_id": "205253", "text": "case H.hf\nR : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : Module.Free R M\ninst✝² : Module.Finite R M\ninst✝¹ : IsReduced R\ninst✝ : IsNilpotent R L M\nx y : L\n⊢ _root_.IsNilpotent (φ x ∘ₗ φ y)"} {"_id": "205254", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nK L M : CochainComplex C ℤ\nn✝ : ℤ\nγ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝\nn' a : ℤ\nγ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'\nn : ℤ\nhn : n' + a = n\nx : R\n⊢ (x • γ).rightUnshift n hn = x • γ.rightUnshift n hn"} {"_id": "205255", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : Preadditive C\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : Linear R C\nK L M : CochainComplex C ℤ\nn✝ : ℤ\nγ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝\nn' a : ℤ\nγ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'\nn : ℤ\nhn : n' + a = n\nx : R\n⊢ (rightShiftLinearEquiv R K L n a n' hn).symm (x • γ) = x • γ.rightUnshift n hn"} {"_id": "205256", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : Affine R\nf : R →+* S\nx : W.CoordinateRing\n⊢ ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x"} {"_id": "205257", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : Affine R\nf : R →+* S\nx : W.CoordinateRing\nh : ∑ i : Fin 2, (CoordinateRing.basis W).equivFun x i • (CoordinateRing.basis W) i = x\n⊢ ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x"} {"_id": "205259", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nσ : Type u_3\ninst✝² : Primcodable α\ninst✝¹ : Primcodable β\ninst✝ : Primcodable σ\nf : ℕ → ℕ → α\nh : Primrec (Nat.unpaired f)\n⊢ Primrec₂ f"} {"_id": "205260", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedSemifield α\ninst✝¹ : Archimedean α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\nx y ε : α\nxpos : 0 < x\nhx : x ≤ 1\nypos : 0 < y\nhy : y < 1\n⊢ ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n"} {"_id": "205262", "text": "case intro.intro.refine_1\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedSemifield α\ninst✝¹ : Archimedean α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\nx y ε : α\nxpos : 0 < x\nhx : x ≤ 1\nypos : 0 < y\nhy : y < 1\nn : ℕ\nhn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹\nh'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)\n⊢ y ^ (n + 1) < x"} {"_id": "205263", "text": "case intro.intro.refine_2\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝² : LinearOrderedSemifield α\ninst✝¹ : Archimedean α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\nx y ε : α\nxpos : 0 < x\nhx : x ≤ 1\nypos : 0 < y\nhy : y < 1\nn : ℕ\nhn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹\nh'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)\n⊢ x ≤ y ^ n"} {"_id": "205264", "text": "C : Type u_1\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝³ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝² : DecidableRel c.Rel\ninst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)\ninst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))\nhc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j\ni j : ι\nhij : c.Rel j i\n⊢ inlX K i j hij ≫ (nullHomotopicMap K).f j = inlX K i j hij ≫ (π K ≫ ι₀ K - 𝟙 K.cylinder).f j"} {"_id": "205267", "text": "case pos.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝³ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝² : DecidableRel c.Rel\ninst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)\ninst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))\nhc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j\ni j : ι\nhij : c.Rel j i\nk : ι\nhjk : c.Rel k j\n⊢ inlX K i j hij ≫\n (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>\n homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f\n j =\n inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))"} {"_id": "205268", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝³ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝² : DecidableRel c.Rel\ninst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)\ninst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))\nhc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j\ni j : ι\nhij : c.Rel j i\nhj : ¬∃ k, c.Rel k j\n⊢ inlX K i j hij ≫\n (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>\n homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f\n j =\n inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))"} {"_id": "205269", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : Preadditive C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nF G K : HomologicalComplex C c\nφ : F ⟶ G\ninst✝³ : HasHomotopyCofiber φ\ninst✝² : DecidableRel c.Rel\ninst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)\ninst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))\nhc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j\ni j : ι\nhij : c.Rel j i\nhj : ∀ (x : ι), ¬c.Rel x j\n⊢ inlX K i j hij ≫\n (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>\n homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f\n j =\n inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))"} {"_id": "205272", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : Preadditive C\nF G : CochainComplex C ℤ\nφ : F ⟶ G\ninst✝ : HasHomotopyCofiber φ\nK : CochainComplex C ℤ\nd : ℤ\nγ : Cochain G K d\nhe : 0 + d = d\n⊢ (Cochain.ofHom (inr φ)).comp ((snd φ).comp γ he) ⋯ = γ"} {"_id": "205277", "text": "case mk.intro\nC : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Category.{?u.19424, u_2} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\ninst✝ : HasZeroMorphisms D\nS S₁ S₂ : ShortComplex C\nh : S.HomologyData\nz : IsZero h.left.H\n⊢ S.op.Exact"} {"_id": "205278", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\n⊢ toIocDiv hp a (b - c) = toIocDiv hp (a + c) b"} {"_id": "205279", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\n⊢ b - c - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc a (a + p)"} {"_id": "205280", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\n⊢ b - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc (a + c) (a + c + p)"} {"_id": "205282", "text": "case mp\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nB : Type u_3\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : Algebra R B\na : A\nh : mulRight R a = 0\n⊢ a = 0"} {"_id": "205284", "text": "case mpr\nR : Type u_1\nA : Type u_2\nB : Type u_3\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : Algebra R B\na : A\nh : a = 0\n⊢ mulRight R 0 = 0"} {"_id": "205286", "text": "case pos\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nm s : σ →₀ ℕ\nr : R\np : MvPolynomial σ R\nh : s ≤ m\n⊢ coeff m (p * (monomial s) r) = coeff (m - s) p * r"} {"_id": "205288", "text": "case pos.e_m.h\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nm s : σ →₀ ℕ\nr : R\np : MvPolynomial σ R\nh : s ≤ m\nt : σ\n⊢ m t = (m - s + s) t"} {"_id": "205290", "text": "case neg\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nm s : σ →₀ ℕ\nr : R\np : MvPolynomial σ R\nh : coeff m (p * (monomial s) r) ≠ 0\n⊢ s ≤ m"} {"_id": "205291", "text": "case neg\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nm s : σ →₀ ℕ\nr : R\np : MvPolynomial σ R\nh : m ∈ (p * (monomial s) r).support\n⊢ s ≤ m"} {"_id": "205292", "text": "case neg.intro.intro\nR : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\ns : σ →₀ ℕ\nr : R\np : MvPolynomial σ R\nj : σ →₀ ℕ\nh : j + s ∈ (p * (monomial s) r).support\n⊢ s ≤ j + s"} {"_id": "205293", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn m✝ : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S₁\np✝ q : MvPolynomial σ R\nm s : σ →₀ ℕ\nr : R\np : MvPolynomial σ R\nh : m ∈ (p * (monomial s) r).support\n⊢ ∃ j ∈ p.support, j + s = m"} {"_id": "205294", "text": "K : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nL : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nn : ℕ\n⊢ ((addBottom L).nth n).2 = L.nth n"} {"_id": "205296", "text": "case intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nf : R[X]\nU : Set (PrimeSpectrum R[X])\ns : Set R[X]\nz : zeroLocus s = Uᶜ\n⊢ IsOpen (⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' U)"} {"_id": "205297", "text": "case intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nf : R[X]\nU : Set (PrimeSpectrum R[X])\ns : Set R[X]\nz : zeroLocus s = Uᶜ\n⊢ IsOpen (⋃ i, ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {↑i})ᶜ)"} {"_id": "205298", "text": "case intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nf : R[X]\nU : Set (PrimeSpectrum R[X])\ns : Set R[X]\nz : zeroLocus s = Uᶜ\n⊢ IsOpen (⋃ i, imageOfDf ↑i)"} {"_id": "205299", "text": "a b : ByteArray\n⊢ (a ++ b).size = a.size + b.size"} {"_id": "205300", "text": "a b : ByteArray\n⊢ (a.data ++ b.data).size = a.data.size + b.data.size"} {"_id": "205301", "text": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx : α\n⊢ applyId (xs.zip ys) x ∈ ys ↔ x ∈ xs"} {"_id": "205302", "text": "case none\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nxs ys : List α\nh₀ : xs.Nodup\nh₁ : xs ~ ys\nx : α\nh₃ : dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = none\n⊢ none.getD x ∈ ys ↔ x ∈ xs"} {"_id": "205309", "text": "case some.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup →\n dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = some val → ys.Nodup → xs.length = ys.length → (val ∈ ys ↔ x ∈ xs)\nh₀ : (x' :: xs).Nodup\ny : α\nys : List α\nh₃ : dlookup x (map Prod.toSigma ((x' :: xs).zip (y :: ys))) = some val\nh₂ : (y :: ys).Nodup\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\n⊢ val ∈ y :: ys ↔ x ∈ x' :: xs"} {"_id": "205312", "text": "case pos\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup →\n dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = some val → ys.Nodup → xs.length = ys.length → (val ∈ ys ↔ x ∈ xs)\nh₀ : (x' :: xs).Nodup\ny : α\nys : List α\nh₂ : (y :: ys).Nodup\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : x' = x\nh₃ : some (h ▸ y) = some val\n⊢ val ∈ y :: ys ↔ x ∈ x' :: xs"} {"_id": "205315", "text": "case pos\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx : α\nxs : List α\ny : α\nys : List α\nh₂ : (y :: ys).Nodup\nh₀ : (x :: xs).Nodup\nh₁ : (x :: xs).length = (y :: ys).length\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup →\n dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = some (⋯ ▸ y) → ys.Nodup → xs.length = ys.length → (⋯ ▸ y ∈ ys ↔ x ∈ xs)\n⊢ ⋯ ▸ y ∈ y :: ys ↔ x ∈ x :: xs"} {"_id": "205318", "text": "case neg.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\nxs_ih :\n ∀ {ys : List α},\n xs.Nodup →\n dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = some val → ys.Nodup → xs.length = ys.length → (val ∈ ys ↔ x ∈ xs)\ny : α\nys : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : ¬x' = x\nh₃ : dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = some val\nh₅ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₄ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) ys\nh₂ : ∀ a' ∈ ys, y ≠ a'\n⊢ val ∈ y :: ys ↔ x ∈ x' :: xs"} {"_id": "205320", "text": "case neg.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\ny : α\nys : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : ¬x' = x\nh₃ : dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = some val\nh₅ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₄ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) ys\nh₂ : ∀ a' ∈ ys, y ≠ a'\nh₆ : xs.length = ys.length\nxs_ih : val ∈ ys ↔ x ∈ xs\n⊢ val ∈ y :: ys ↔ x ∈ x' :: xs"} {"_id": "205322", "text": "case neg.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\ny : α\nys : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : ¬x' = x\nh₃ : dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys)) = some val\nh₅ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₄ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) ys\nh₂ : ∀ a' ∈ ys, y ≠ a'\nh₆ : xs.length = ys.length\nxs_ih : val ∈ ys ↔ x ∈ xs\n⊢ val ∈ ys"} {"_id": "205323", "text": "case neg.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\ny : α\nys : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : ¬x' = x\nh₃ : val ∈ dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys))\nh₅ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₄ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) ys\nh₂ : ∀ a' ∈ ys, y ≠ a'\nh₆ : xs.length = ys.length\nxs_ih : val ∈ ys ↔ x ∈ xs\n⊢ (map Prod.toSigma (xs.zip ys)).NodupKeys"} {"_id": "205324", "text": "case neg.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\ny : α\nys : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : ¬x' = x\nh₃ : val ∈ dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys))\nh₅ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₄ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) ys\nh₂ : ∀ a' ∈ ys, y ≠ a'\nh₆ : xs.length = ys.length\nxs_ih : val ∈ ys ↔ x ∈ xs\n⊢ (map (fun x => x.1) (xs.zip ys)).Nodup"} {"_id": "205326", "text": "case neg.cons.cons\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\ny : α\nys : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : ¬x' = x\nh₃ : ⟨x, val⟩ ∈ map Prod.toSigma (xs.zip ys)\nh₅ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₄ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) ys\nh₂ : ∀ a' ∈ ys, y ≠ a'\nh₆ : xs.length = ys.length\nxs_ih : val ∈ ys ↔ x ∈ xs\n⊢ val ∈ ys"} {"_id": "205328", "text": "case neg.cons.cons.intro.intro.intro.refl\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Sort w\ninst✝ : DecidableEq α\nx val x' : α\nxs : List α\ny : α\nys : List α\nh₁ : (x' :: xs).length = (y :: ys).length\nh : ¬x' = x\nh₅ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) xs\nh₀ : ∀ a' ∈ xs, x' ≠ a'\nh₄ : List.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) ys\nh₂ : ∀ a' ∈ ys, y ≠ a'\nh₆ : xs.length = ys.length\nxs_ih : val ∈ ys ↔ x ∈ xs\nh₃ : (x, val) ∈ xs.zip ys\n⊢ val ∈ ys"} {"_id": "205329", "text": "a b : Nat\n⊢ empty.Equiv a b ↔ a = b"} {"_id": "205330", "text": "n d : Int\n⊢ (n /. d).inv = d /. n"} {"_id": "205333", "text": "case mk'\nn d : Int\nz : ¬d = 0\nnum✝ : Int\nden✝ : Nat\nden_nz✝ : den✝ ≠ 0\nreduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝\ne : n /. d = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }\n⊢ { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }.inv = d /. n"} {"_id": "205334", "text": "case mk'.intro.intro.intro\nnum✝ : Int\nden✝ : Nat\nden_nz✝ : den✝ ≠ 0\nreduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝\ng : Int\nzg : g ≠ 0\nz : ¬↑den✝ * g = 0\ne : num✝ * g /. (↑den✝ * g) = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }\n⊢ { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }.inv = ↑den✝ * g /. (num✝ * g)"} {"_id": "205338", "text": "case neg\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\na b : WithTop α\nc : α\nhc : ¬c = 0\n⊢ (a + b) * ↑c = a * ↑c + b * ↑c"} {"_id": "205340", "text": "case neg.top.top\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\nc : α\nhc : ¬c = 0\n⊢ (Option.bind (⊤ + ⊤) fun a => Option.some (a * c)) =\n (Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * c)) + Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * c)\n\ncase neg.top.coe\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\nc : α\nhc : ¬c = 0\na✝ : α\n⊢ (Option.bind (⊤ + ↑a✝) fun a => Option.some (a * c)) =\n (Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * c)) + Option.bind ↑a✝ fun a => Option.some (a * c)\n\ncase neg.coe.top\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\nc : α\nhc : ¬c = 0\na✝ : α\n⊢ (Option.bind (↑a✝ + ⊤) fun a => Option.some (a * c)) =\n (Option.bind ↑a✝ fun a => Option.some (a * c)) + Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * c)\n\ncase neg.coe.coe\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\nc : α\nhc : ¬c = 0\na✝¹ a✝ : α\n⊢ (Option.bind (↑a✝¹ + ↑a✝) fun a => Option.some (a * c)) =\n (Option.bind ↑a✝¹ fun a => Option.some (a * c)) + Option.bind ↑a✝ fun a => Option.some (a * c)"} {"_id": "205342", "text": "case neg.coe.coe\nα : Type u_1\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α\nc : α\nhc : ¬c = 0\na✝¹ a✝ : α\n⊢ (Option.bind (↑a✝¹ + ↑a✝) fun a => Option.some (a * c)) =\n (Option.bind ↑a✝¹ fun a => Option.some (a * c)) + Option.bind ↑a✝ fun a => Option.some (a * c)"} {"_id": "205346", "text": "case pos\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nP : Prop\nh_pos : ∀ (p : ℕ), p ≠ 0 → CharP R p → P\nh_equal : Algebra ℚ R → P\nh_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P\np : ℕ\np_charP : CharP R 0\nh : p = 0\n⊢ P"} {"_id": "205347", "text": "case pos\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nP : Prop\nh_pos : ∀ (p : ℕ), p ≠ 0 → CharP R p → P\nh_equal : Algebra ℚ R → P\nh_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P\np : ℕ\np_charP : CharP R 0\nh : p = 0\nh0 : CharZero R\n⊢ P"} {"_id": "205349", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\nn a✝³ : Nat\na✝² : α\na✝¹ : HeapNode α\na✝ : Heap α\nleft✝ : n ≤ a✝³\nh₁ : HeapNode.WF le a✝² a✝¹ a✝³\nh₂ : WF le (a✝³ + 1) a✝\n⊢ (cons a✝³ a✝² a✝¹ a✝).size = (cons a✝³ a✝² a✝¹ a✝).realSize"} {"_id": "205350", "text": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\nn a✝³ : Nat\na✝² : α\na✝¹ : HeapNode α\na✝ : Heap α\nleft✝ : n ≤ a✝³\nh₁ : HeapNode.WF le a✝² a✝¹ a✝³\nh₂ : WF le (a✝³ + 1) a✝\n⊢ 1 <<< a✝³ + a✝.realSize = a✝¹.realSize + 1 + a✝.realSize"} {"_id": "205352", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ (x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k)) =\n x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)"} {"_id": "205354", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nthis : ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) = ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))\n⊢ (x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))) =\n x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)"} {"_id": "205355", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nthis : ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) = ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))\n⊢ (x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ x_1 ∈ range m, x ^ x_1 * (y ^ (m - 1 - x_1) * y ^ (n - m))) =\n x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)"} {"_id": "205356", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nthis : ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) = ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))\n⊢ (x - y) * (∑ k ∈ range n, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) - ∑ x_1 ∈ range m, x ^ x_1 * y ^ (m - 1 - x_1) * y ^ (n - m)) =\n x ^ n - x ^ m * y ^ (n - m)"} {"_id": "205357", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ ∑ k ∈ range m, x ^ k * y ^ (n - 1 - k) = ∑ k ∈ range m, x ^ k * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - k))"} {"_id": "205358", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nj : ℕ\nj_in : j ∈ range m\n⊢ x ^ j * y ^ (n - 1 - j) = x ^ j * (y ^ (n - m) * y ^ (m - 1 - j))"} {"_id": "205360", "text": "case e_a.e_a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nj : ℕ\nj_in : j ∈ range m\n⊢ n - 1 - j = n - m + (m - 1 - j)"} {"_id": "205361", "text": "case e_a.e_a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nj : ℕ\nj_in : 1 + j ≤ m\n⊢ n - 1 - j = n - m + (m - 1 - j)"} {"_id": "205362", "text": "case e_a.e_a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nj : ℕ\nj_in : 1 + j ≤ m\nh' : n - m + (m - (1 + j)) = n - (1 + j)\n⊢ n - 1 - j = n - m + (m - 1 - j)"} {"_id": "205363", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring α\ninst✝ : Archimedean α\ny x : α\nn : ℕ\nhn : x < n • 1\n⊢ x < ↑n"} {"_id": "205364", "text": "F : Type u_1\nG : Type u_2\nH : Type u_3\ninst✝³ : FunLike F G H\na : G\nb : H\ninst✝² : AddCommGroupWithOne G\ninst✝¹ : AddGroup H\ninst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b\nf : F\nn : ℤ\nx : G\n⊢ f (↑n + x) = f x + n • b"} {"_id": "205365", "text": "α : Type u_1\na : α\n⊢ ∀ {L : Array (Array α)}, a ∈ L.join ↔ ∃ l, l ∈ L ∧ a ∈ l"} {"_id": "205371", "text": "case mpr.intro.intro\nα : Type u_1\na : α\nl : Array (Array α)\ns : Array α\nh₁ : s ∈ l.data\nh₂ : a ∈ s.data\n⊢ ∃ l_1, (∃ a, a ∈ l.data ∧ a.data = l_1) ∧ a ∈ l_1"} {"_id": "205372", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\ni j : ι\ninst✝³ : K.HasHomology i\ninst✝² : K.HasHomology j\ninst✝¹ : L.HasHomology i\ninst✝ : L.HasHomology j\n⊢ opcyclesMap φ i ≫ L.opcyclesToCycles i j = K.opcyclesToCycles i j ≫ cyclesMap φ j"} {"_id": "205373", "text": "z : ℤ\nhz : z ≠ 0\n⊢ |z.sign| = 1"} {"_id": "205374", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : IsDedekindDomain R\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\n⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))"} {"_id": "205375", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : IsDedekindDomain R\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\nhM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator\n⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))"} {"_id": "205376", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : IsDedekindDomain R\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\nhM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator\nhI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅\n⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))"} {"_id": "205377", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : IsDedekindDomain R\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\nhM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator\nhI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅\n⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥"} {"_id": "205378", "text": "R : Type u\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : IsDedekindDomain R\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\nhM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator\nhI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty\n⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥"} {"_id": "205380", "text": "case intro.intro\nR : Type u\ninst✝⁵ : CommRing R\ninst✝⁴ : IsDomain R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : IsDedekindDomain R\ninst✝ : Module.Finite R M\nhM : Module.IsTorsion R M\nhM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator\nx : R\nH : x ∈ ↑⊤.annihilator\nhx : x ∈ ↑(nonZeroDivisors R)\n⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0"} {"_id": "205381", "text": "f✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\n⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹"} {"_id": "205384", "text": "case inl\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\n⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => (f x)⁻¹) u ∈ Set.Icc (1 * (fun x => (f x)⁻¹) x) (1 * (fun x => (f x)⁻¹) x)"} {"_id": "205386", "text": "case h\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\nx : ℝ\nhx : f x = 0\nhx' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = 0\nu : ℝ\nhu : u ∈ Set.Icc (b * x) x\n⊢ (f u)⁻¹ ∈ Set.Icc (1 * (f x)⁻¹) (1 * (f x)⁻¹)"} {"_id": "205388", "text": "case inr\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\n⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹"} {"_id": "205389", "text": "case inr\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\n⊢ GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|"} {"_id": "205390", "text": "case inr\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0\n⊢ GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|"} {"_id": "205397", "text": "case inr.intro.intro.intro.intro\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf✝¹ : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0\nhf✝ : GrowsPolynomially fun x => |f x|\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\nc₁ : ℝ\nhc₁_mem : c₁ > 0\nc₂ : ℝ\nhc₂_mem : c₂ > 0\nhf :\n ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)\n⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|⁻¹) u ∈ Set.Icc (c₂⁻¹ * (fun x => |f x|⁻¹) x) (c₁⁻¹ * (fun x => |f x|⁻¹) x)"} {"_id": "205401", "text": "case lb\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf✝¹ : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0\nhf✝ : GrowsPolynomially fun x => |f x|\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\nc₁ : ℝ\nhc₁_mem : c₁ > 0\nc₂ : ℝ\nhc₂_mem : c₂ > 0\nhf :\n ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)\nx : ℝ\nhx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)\nhx' : f x ≠ 0\nhx'' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y ≠ 0\nu : ℝ\nhu : u ∈ Set.Icc (b * x) x\nh₁ : 0 < |f u|\n⊢ c₂⁻¹ * |f x|⁻¹ ≤ |f u|⁻¹\n\ncase ub\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf✝¹ : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0\nhf✝ : GrowsPolynomially fun x => |f x|\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\nc₁ : ℝ\nhc₁_mem : c₁ > 0\nc₂ : ℝ\nhc₂_mem : c₂ > 0\nhf :\n ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)\nx : ℝ\nhx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)\nhx' : f x ≠ 0\nhx'' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y ≠ 0\nu : ℝ\nhu : u ∈ Set.Icc (b * x) x\nh₁ : 0 < |f u|\n⊢ |f u|⁻¹ ≤ c₁⁻¹ * |f x|⁻¹"} {"_id": "205402", "text": "case ub\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf✝¹ : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0\nhf✝ : GrowsPolynomially fun x => |f x|\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\nc₁ : ℝ\nhc₁_mem : c₁ > 0\nc₂ : ℝ\nhc₂_mem : c₂ > 0\nhf :\n ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)\nx : ℝ\nhx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)\nhx' : f x ≠ 0\nhx'' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y ≠ 0\nu : ℝ\nhu : u ∈ Set.Icc (b * x) x\nh₁ : 0 < |f u|\n⊢ |f u|⁻¹ ≤ c₁⁻¹ * |f x|⁻¹"} {"_id": "205403", "text": "f✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nthis : GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|\n⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹"} {"_id": "205404", "text": "case inl\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nthis : GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x\n⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹"} {"_id": "205405", "text": "case inl\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nthis : GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x\nhmain : (fun x => (f x)⁻¹) =ᶠ[atTop] fun x => |(f x)⁻¹|\n⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹"} {"_id": "205407", "text": "case h\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nthis : GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x\nx : ℝ\nhx₁ : 0 < f x\n⊢ (f x)⁻¹ = |(f x)⁻¹|"} {"_id": "205408", "text": "case inr\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nthis : GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\n⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹"} {"_id": "205409", "text": "case inr\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nthis : GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhmain : (fun x => (f x)⁻¹) =ᶠ[atTop] fun x => -|(f x)⁻¹|\n⊢ GrowsPolynomially fun x => (f x)⁻¹"} {"_id": "205412", "text": "case h\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nthis : GrowsPolynomially fun x => |(f x)⁻¹|\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nx : ℝ\nhx₁ : f x < 0\n⊢ (f x)⁻¹ = -|(f x)⁻¹|"} {"_id": "205413", "text": "f✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\n⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0"} {"_id": "205415", "text": "case h\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nH : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x\na✝ : ℝ\nhx : 0 < f a✝\n⊢ f a✝ ≠ 0"} {"_id": "205417", "text": "case h\nf✝ f : ℝ → ℝ\nhf : GrowsPolynomially f\nH : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\na✝ : ℝ\nhx : f a✝ < 0\n⊢ f a✝ ≠ 0"} {"_id": "205424", "text": "f✝ f : ℝ → ℝ\nhf✝¹ : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0\nhf✝ : GrowsPolynomially fun x => |f x|\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\nc₁ : ℝ\nhc₁_mem : c₁ > 0\nc₂ : ℝ\nhc₂_mem : c₂ > 0\nhf :\n ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)\nx : ℝ\nhx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)\nhx' : f x ≠ 0\nhx'' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y ≠ 0\nu : ℝ\nhu : u ∈ Set.Icc (b * x) x\nh₁ : 0 < |f u|\n⊢ c₂⁻¹ * |f x|⁻¹ ≤ |f u|⁻¹"} {"_id": "205427", "text": "f✝ f : ℝ → ℝ\nhf✝¹ : GrowsPolynomially f\nhf_pos_or_neg : (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0\nhf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≠ 0\nhf✝ : GrowsPolynomially fun x => |f x|\nb : ℝ\nhb : b ∈ Set.Ioo 0 1\nhb_pos : 0 < b\nc₁ : ℝ\nhc₁_mem : c₁ > 0\nc₂ : ℝ\nhc₂_mem : c₂ > 0\nhf :\n ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,\n ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)\nx : ℝ\nhx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)\nhx' : f x ≠ 0\nhx'' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y ≠ 0\nu : ℝ\nhu : u ∈ Set.Icc (b * x) x\nh₁ : 0 < |f u|\n⊢ |f u|⁻¹ ≤ c₁⁻¹ * |f x|⁻¹"} {"_id": "205430", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nl✝ m : Language α\na b x : List α\nl : Language α\n⊢ l∗ * l = l * l∗"} {"_id": "205431", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : IsAtom I\n⊢ (Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule).Nondegenerate"} {"_id": "205432", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : IsAtom I\n⊢ IsCompl (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule\n (Φ.orthogonal (lieIdealSubalgebra K L (orthogonal Φ hΦ_inv I)).toSubmodule)"} {"_id": "205433", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : IsAtom I\n⊢ IsCompl (Φ.orthogonal ↑I) ↑I"} {"_id": "205436", "text": "R : CommRingCat\nthis : adjunction.unit.app (Spec R) ≫ Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).inv = 𝟙 (Spec R)\n⊢ Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).hom = adjunction.unit.app (Spec R)"} {"_id": "205437", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝¹ : CommMonoid β\nf : α → β\np : α → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\nh : ∀ x ∈ s, p x\n⊢ ∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x"} {"_id": "205440", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Category.{?u.83761, u_2} D\ninst✝¹ : Preadditive C\ninst✝ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\ns : S.Splitting\nthis : Epi S.g\n⊢ s.s ≫ s.r = 0"} {"_id": "205441", "text": "C : Type u₁\ninst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C\nJ : GrothendieckTopology C\nR : Sheaf J RingCat\ninst✝ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)\nM N : SheafOfModules R\ns : M.sections\np : M ⟶ N\n⊢ N.unitHomEquiv (M.unitHomEquiv.symm s ≫ p) = N.unitHomEquiv (N.unitHomEquiv.symm (sectionsMap p s))"} {"_id": "205442", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommGroup α\na✝ b✝ c✝ a b c : α\n⊢ max (a / c) (b / c) = max a b / c"} {"_id": "205443", "text": "c : Code\nn x : ℕ\n⊢ x ∈ c.eval n ↔ ∃ k, x ∈ evaln k c n"} {"_id": "205444", "text": "c : Code\nn x : ℕ\nh : x ∈ c.eval n\n⊢ ∃ k, x ∈ evaln k c n"} {"_id": "205450", "text": "case pair.intro.intro.intro.intro.intro.intro\ncf cg : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nhg : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cg.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cg n\nn x : ℕ\nhx : x ∈ cf.eval n\ny : ℕ\nhy : y ∈ cg.eval n\nk₁ : ℕ\nhk₁ : x ∈ evaln (k₁ + 1) cf n\nk₂ : ℕ\nhk₂ : y ∈ evaln (k₂ + 1) cg n\n⊢ n ≤ max k₁ k₂ ∧\n ∃ a,\n evaln (max k₁ k₂ + 1) cf n = some a ∧ ∃ a_1, evaln (max k₁ k₂ + 1) cg n = some a_1 ∧ Nat.pair a a_1 = Nat.pair x y"} {"_id": "205455", "text": "case comp.intro.intro.intro.intro\ncf cg : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nhg : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cg.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cg n\nn x y : ℕ\nhy : y ∈ cg.eval n\nhx : x ∈ cf.eval y\nk₁ : ℕ\nhk₁ : y ∈ evaln (k₁ + 1) cg n\nk₂ : ℕ\nhk₂ : x ∈ evaln (k₂ + 1) cf y\n⊢ n ≤ max k₁ k₂ ∧ ∃ a, evaln (max k₁ k₂ + 1) cg n = some a ∧ evaln (max k₁ k₂ + 1) cf a = some x"} {"_id": "205459", "text": "case prec\ncf cg : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nhg : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cg.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cg n\nn x n₁ n₂ : ℕ\n⊢ x ∈ Nat.rec (cf.eval n₁) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair y i))) n₂ →\n ∃ k,\n n ≤ k ∧\n Nat.rec (evaln (k + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n i)))\n n₂ =\n some x"} {"_id": "205462", "text": "case prec.zero.intro\ncf cg : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nhg : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cg.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cg n\nn₁ n x : ℕ\nh : x ∈ cf.eval n₁\nk : ℕ\nhk : x ∈ evaln (k + 1) cf n₁\n⊢ ∃ k, n ≤ k ∧ evaln (k + 1) cf n₁ = some x"} {"_id": "205466", "text": "case prec.succ.intro.intro.intro\ncf cg : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nhg : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cg.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cg n\nn₁ m : ℕ\nIH :\n ∀ {n x : ℕ},\n x ∈ Nat.rec (cf.eval n₁) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair y i))) m →\n ∃ k,\n n ≤ k ∧\n Nat.rec (evaln (k + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n i)))\n m =\n some x\nn x y : ℕ\nhy : y ∈ Nat.rec (cf.eval n₁) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair y i))) m\nhx : x ∈ cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair m y))\nk₁ : ℕ\nnk₁ : ?m.369779 ≤ k₁\nhk₁ :\n Nat.rec (evaln (k₁ + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k₁ (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun i => evaln (k₁ + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n i)))\n m =\n some y\nk₂ : ℕ\nhk₂ : x ∈ evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair m y))\n⊢ ∃ k,\n n ≤ k ∧ ∃ a, evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ m) = some a ∧ evaln (k + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair m a)) = some x"} {"_id": "205467", "text": "case prec.succ.intro.intro.intro\ncf cg : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nhg : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cg.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cg n\nn₁ m : ℕ\nIH :\n ∀ {n x : ℕ},\n x ∈ Nat.rec (cf.eval n₁) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair y i))) m →\n ∃ k,\n n ≤ k ∧\n Nat.rec (evaln (k + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n i)))\n m =\n some x\nn x y : ℕ\nhy : y ∈ Nat.rec (cf.eval n₁) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair y i))) m\nhx : x ∈ cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair m y))\nk₁ : ℕ\nnk₁ : max n (Nat.pair n₁ m) ≤ k₁\nhk₁ :\n Nat.rec (evaln (k₁ + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k₁ (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun i => evaln (k₁ + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n i)))\n m =\n some y\nk₂ : ℕ\nhk₂ : x ∈ evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair m y))\n⊢ y ∈ evaln k₁.succ (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ m)"} {"_id": "205468", "text": "case prec.succ.intro.intro.intro\ncf cg : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nhg : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cg.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cg n\nn₁ m : ℕ\nIH :\n ∀ {n x : ℕ},\n x ∈ Nat.rec (cf.eval n₁) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair y i))) m →\n ∃ k,\n n ≤ k ∧\n Nat.rec (evaln (k + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun i => evaln (k + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n i)))\n m =\n some x\nn x y : ℕ\nhy : y ∈ Nat.rec (cf.eval n₁) (fun y IH => IH.bind fun i => cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair y i))) m\nhx : x ∈ cg.eval (Nat.pair n₁ (Nat.pair m y))\nk₁ : ℕ\nnk₁ : max n (Nat.pair n₁ m) ≤ k₁\nhk₁ :\n Nat.rec (evaln (k₁ + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k₁ (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun i => evaln (k₁ + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n i)))\n m =\n some y\nk₂ : ℕ\nhk₂ : x ∈ evaln (k₂ + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair m y))\n⊢ Nat.pair n₁ m ≤ k₁ ∧\n Nat.rec (evaln (k₁ + 1) cf n₁)\n (fun n n_ih =>\n (evaln k₁ (cf.prec cg) (Nat.pair n₁ n)).bind fun a => evaln (k₁ + 1) cg (Nat.pair n₁ (Nat.pair n a)))\n m =\n some y"} {"_id": "205470", "text": "case rfind'.intro.intro.intro\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + (unpair n).2))\nhy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)), ¬a = 0\n⊢ ∃ k,\n n ≤ k ∧\n ∃ a,\n evaln (k + 1) cf n = some a ∧\n (if a = 0 then some (unpair n).2 else evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) =\n some (y + (unpair n).2)"} {"_id": "205474", "text": "case rfind'.intro.intro.intro\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y m : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\n⊢ ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)"} {"_id": "205475", "text": "cf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + (unpair n).2))\nhy₂ : ∀ {m : ℕ}, m < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m + (unpair n).2)), ¬a = 0\nthis : ∃ k, y + (unpair n).2 ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 (unpair n).2)\n⊢ ∃ k,\n n ≤ k ∧\n ∃ a,\n evaln (k + 1) cf n = some a ∧\n (if a = 0 then some (unpair n).2 else evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 ((unpair n).2 + 1))) =\n some (y + (unpair n).2)"} {"_id": "205478", "text": "case rfind'.intro.intro.intro.zero.intro\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn m : ℕ\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < 0 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 m)\nk : ℕ\nhk : 0 ∈ evaln (k + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m)\n⊢ ∃ k,\n Nat.pair (unpair n).1 m ≤ k ∧\n ∃ a,\n evaln (k + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m) = some a ∧\n (¬a = 0 → evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 (m + 1)) = some m)"} {"_id": "205480", "text": "case rfind'.intro.intro.intro.succ\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nIH :\n ∀ (m : ℕ),\n 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m)) →\n (∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0) →\n ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)\nm : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y + 1 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\n⊢ ∃ k,\n Nat.pair (unpair n).1 m ≤ k ∧\n ∃ a,\n evaln (k + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m) = some a ∧\n (if a = 0 then some m else evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 (m + 1))) = some (y + 1 + m)"} {"_id": "205482", "text": "case rfind'.intro.intro.intro.succ.intro.intro.intro\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nIH :\n ∀ (m : ℕ),\n 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m)) →\n (∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0) →\n ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)\nm : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y + 1 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\na : ℕ\nha : a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\na0 : ¬a = 0\nk₁ : ℕ\nhk₁ : a ∈ evaln (k₁ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\n⊢ ∃ k,\n Nat.pair (unpair n).1 m ≤ k ∧\n ∃ a,\n evaln (k + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m) = some a ∧\n (if a = 0 then some m else evaln k cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 (m + 1))) = some (y + 1 + m)"} {"_id": "205485", "text": "case h\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nIH :\n ∀ (m : ℕ),\n 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m)) →\n (∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0) →\n ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)\nm : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y + 1 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\na : ℕ\nha : a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\na0 : ¬a = 0\nk₁ : ℕ\nhk₁ : a ∈ evaln (k₁ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m)\nk₂ : ℕ\nhk₂ : y + m.succ ∈ evaln (k₂ + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m.succ)\n⊢ Nat.pair (unpair n).1 m ≤ (max k₁ k₂).succ ∧\n ∃ a,\n evaln ((max k₁ k₂).succ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m) = some a ∧\n (if a = 0 then some m else evaln (max k₁ k₂).succ cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 (m + 1))) = some (y + 1 + m)"} {"_id": "205487", "text": "case h\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nIH :\n ∀ (m : ℕ),\n 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m)) →\n (∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0) →\n ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)\nm : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y + 1 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\na : ℕ\nha : a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\na0 : ¬a = 0\nk₁ : ℕ\nhk₁ : a ∈ evaln (k₁ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m)\nk₂ : ℕ\nhk₂ : y + m.succ ∈ evaln (k₂ + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m.succ)\n⊢ evaln ((max k₁ k₂).succ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m) = some a ∧\n (if a = 0 then some m else evaln (max k₁ k₂).succ cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 (m + 1))) = some (y + 1 + m)"} {"_id": "205488", "text": "case right\ncf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nIH :\n ∀ (m : ℕ),\n 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m)) →\n (∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0) →\n ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)\nm : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y + 1 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\na : ℕ\nha : a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\na0 : ¬a = 0\nk₁ : ℕ\nhk₁ : a ∈ evaln (k₁ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 m)\nk₂ : ℕ\nhk₂ : y + m.succ ∈ evaln (k₂ + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m.succ)\n⊢ (if a = 0 then some m else evaln (max k₁ k₂).succ cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 (m + 1))) = some (y + 1 + m)"} {"_id": "205489", "text": "cf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nIH :\n ∀ (m : ℕ),\n 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m)) →\n (∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0) →\n ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)\nm : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y + 1 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\na : ℕ\nha : a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\na0 : ¬a = 0\nk₁ : ℕ\nhk₁ : a ∈ evaln (k₁ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\n⊢ 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m.succ))"} {"_id": "205490", "text": "cf : Code\nhf : ∀ {n x : ℕ}, x ∈ cf.eval n → ∃ k, x ∈ evaln (k + 1) cf n\nn y : ℕ\nIH :\n ∀ (m : ℕ),\n 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + m)) →\n (∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0) →\n ∃ k, y + m ∈ evaln (k + 1) cf.rfind' (Nat.pair (unpair n).1 m)\nm : ℕ\nhy₁ : 0 ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (y + 1 + m))\nhy₂ : ∀ {m_1 : ℕ}, m_1 < y + 1 → ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (m_1 + m)), ¬a = 0\na : ℕ\nha : a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\na0 : ¬a = 0\nk₁ : ℕ\nhk₁ : a ∈ evaln (k₁ + 1) cf (Nat.pair (unpair n).1 (0 + m))\ni : ℕ\nhi : i < y\n⊢ ∃ a ∈ cf.eval (Nat.pair (unpair n).1 (i + m.succ)), ¬a = 0"} {"_id": "205491", "text": "case right\nn x : ℕ\nh : x = (unpair n).2\n⊢ (∃ x, n ≤ x) ∧ (unpair n).2 = x"} {"_id": "205492", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace\n⊢ StructureSheaf.toStalk (↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))) ((toSpec 𝒜 f).val.base x) ≫\n PresheafedSpace.stalkMap (toSpec 𝒜 f).val x =\n awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).ΓToStalk x"} {"_id": "205493", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace\n⊢ StructureSheaf.toOpen ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) ⊤ ≫\n (Spec.structureSheaf ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))).presheaf.germ ⟨(toSpec 𝒜 f).val.base x, True.intro⟩ ≫\n PresheafedSpace.stalkMap (toSpec 𝒜 f).val x =\n awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).ΓToStalk x"} {"_id": "205494", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace\n⊢ StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫\n (Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.germ ⟨(toSpec 𝒜 f).val.base x, True.intro⟩ ≫\n PresheafedSpace.stalkMap (toSpec 𝒜 f).val x =\n awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).ΓToStalk x"} {"_id": "205495", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nx : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace\n⊢ StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫\n (toSpec 𝒜 f).val.c.app { unop := ⊤ } ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, True.intro⟩ =\n awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).ΓToStalk x"} {"_id": "205497", "text": "A B : Grp\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\n⊢ (h x) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩"} {"_id": "205498", "text": "A B : Grp\nf : A ⟶ B\nx : ↑B\n⊢ (((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩"} {"_id": "205499", "text": "α : Type u\nβ : Type u_1\ninst✝ : StrictOrderedSemiring α\na b c d : α\n⊢ a < c → b < d → 0 ≤ a → 0 ≤ b → a * b < c * d"} {"_id": "205500", "text": "α : Type u_1\nM₀ : Type u_2\nG₀ : Type u_3\nM₀' : Type u_4\nG₀' : Type u_5\nF : Type u_6\nF' : Type u_7\ninst✝¹ : MonoidWithZero M₀\ninst✝ : CommGroupWithZero G₀\na b c d : G₀\nh : a = 0 → b = 0\n⊢ a * b / a = b"} {"_id": "205501", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIocDiv hp a (b - p) = toIocDiv hp a b - 1"} {"_id": "205512", "text": "case tfae_3_to_1.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nN : Type u_4\nN' : Type u_5\nP : Type u_6\nP' : Type u_7\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : AddCommGroup P\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module R P\nf : M →ₗ[R] N\ng : N →ₗ[R] P\nh : Exact ⇑f ⇑g\ntfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ntfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ne : N ≃ₗ[R] M × P\ne₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P\ne₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e\n⊢ Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id"} {"_id": "205513", "text": "case tfae_3_to_1.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nN : Type u_4\nN' : Type u_5\nP : Type u_6\nP' : Type u_7\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : AddCommGroup P\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module R P\nf : M →ₗ[R] N\ng : N →ₗ[R] P\nh : Exact ⇑f ⇑g\ntfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ntfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ne : N ≃ₗ[R] M × P\ne₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P\ne₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e\nthis : Injective ⇑f\n⊢ Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id"} {"_id": "205515", "text": "case tfae_3_to_2.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nN : Type u_4\nN' : Type u_5\nP : Type u_6\nP' : Type u_7\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : AddCommGroup P\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module R P\nf : M →ₗ[R] N\ng : N →ₗ[R] P\nh : Exact ⇑f ⇑g\ntfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ntfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ntfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id\ne : N ≃ₗ[R] M × P\ne₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P\ne₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e\n⊢ Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id"} {"_id": "205516", "text": "case tfae_3_to_2.intro.intro\nR : Type u_1\nM : Type u_2\nM' : Type u_3\nN : Type u_4\nN' : Type u_5\nP : Type u_6\nP' : Type u_7\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : AddCommGroup N\ninst✝³ : AddCommGroup P\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R N\ninst✝ : Module R P\nf : M →ₗ[R] N\ng : N →ₗ[R] P\nh : Exact ⇑f ⇑g\ntfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ntfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e\ntfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id\ne : N ≃ₗ[R] M × P\ne₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P\ne₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e\nthis : Surjective ⇑g\n⊢ Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id"} {"_id": "205517", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : CommMonoid β\nf : Fin 6 → β\n⊢ ∏ i : Fin 6, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5"} {"_id": "205519", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : CommMonoid β\nf : Fin 7 → β\n⊢ ∏ i : Fin 7, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6"} {"_id": "205521", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns : σ →₀ ℕ\nc : R\n⊢ ((monomial s) c).totalDegree ≤ s.sum fun x => id"} {"_id": "205522", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns : σ →₀ ℕ\nc : R\nhc : c = 0\n⊢ ((monomial s) c).totalDegree ≤ s.sum fun x => id"} {"_id": "205523", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns : σ →₀ ℕ\nc : R\nhc : ¬c = 0\n⊢ ((monomial s) c).totalDegree ≤ s.sum fun x => id"} {"_id": "205524", "text": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type u_2\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns : σ →₀ ℕ\nc : R\nhc : ¬c = 0\n⊢ (s.sum fun x e => e) ≤ s.sum fun x => id"} {"_id": "205528", "text": "case neg.intro.intro\nα✝ : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝\nα : Type u_2\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\nx y : α\nh : ¬gcd x y = 0\nx' : α\nex : x = gcd x y * x'\ny' : α\ney : y = gcd x y * y'\n⊢ ∃ x' y', x = gcd x y * x' ∧ y = gcd x y * y' ∧ IsUnit (gcd x' y')"} {"_id": "205529", "text": "case pos\nα✝ : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝\nα : Type u_2\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\nx y : α\nh : gcd x y = 0\n⊢ ∃ x' y', x = gcd x y * x' ∧ y = gcd x y * y' ∧ IsUnit (gcd x' y')"} {"_id": "205530", "text": "case pos.intro\nα✝ : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝\nα : Type u_2\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\nh : gcd 0 0 = 0\n⊢ ∃ x' y', 0 = gcd 0 0 * x' ∧ 0 = gcd 0 0 * y' ∧ IsUnit (gcd x' y')"} {"_id": "205531", "text": "case pos.intro\nα✝ : Type u_1\ninst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝\nα : Type u_2\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : GCDMonoid α\nh : gcd 0 0 = 0\n⊢ ∃ x' y', 0 = gcd 0 0 * x' ∧ 0 = gcd 0 0 * y' ∧ Associated (gcd x' y') 1"} {"_id": "205541", "text": "case tfae_1_to_4\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : targetAffineLocally P f\nU : Scheme\ng : U ⟶ Y\nh₁ : IsAffine U\nh₂ : IsOpenImmersion g\n⊢ P pullback.snd"} {"_id": "205543", "text": "case tfae_1_to_4\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nU : Scheme\ng : U ⟶ Y\nh₁ : IsAffine U\nh₂ : IsOpenImmersion g\nH : P.toProperty (f ∣_ ↑⟨Scheme.Hom.opensRange g, ⋯⟩)\n⊢ P.toProperty pullback.snd"} {"_id": "205546", "text": "case tfae_3_to_2\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ntfae_1_to_4 :\n targetAffineLocally P f → ∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd\ntfae_4_to_3 :\n (∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd) →\n ∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd\n⊢ (∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd) →\n ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd"} {"_id": "205548", "text": "case tfae_2_to_1.intro.intro\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ntfae_1_to_4 :\n targetAffineLocally P f → ∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd\ntfae_4_to_3 :\n (∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd) →\n ∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_3_to_2 :\n (∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd) →\n ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\n𝒰 : Y.OpenCover\nh𝒰 : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH : ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\n⊢ targetAffineLocally P f"} {"_id": "205553", "text": "case tfae_5_to_2.intro.intro.intro.intro\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ntfae_1_to_4 :\n targetAffineLocally P f → ∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd\ntfae_4_to_3 :\n (∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd) →\n ∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_3_to_2 :\n (∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd) →\n ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_2_to_1 : (∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → targetAffineLocally P f\nι : Type u\nU : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhU : iSup U = ⊤\nhU' : ∀ (i : ι), IsAffineOpen (U i)\ni : (Y.openCoverOfSuprEqTop U hU).J\nH : P (f ∣_ U i)\n⊢ P pullback.snd"} {"_id": "205556", "text": "case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_6.h.e'_6\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ntfae_1_to_4 :\n targetAffineLocally P f → ∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd\ntfae_4_to_3 :\n (∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd) →\n ∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_3_to_2 :\n (∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd) →\n ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_2_to_1 : (∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → targetAffineLocally P f\nι : Type u\nU : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhU : iSup U = ⊤\nhU' : ∀ (i : ι), IsAffineOpen (U i)\ni : (Y.openCoverOfSuprEqTop U hU).J\nH : P.toProperty (f ∣_ U i)\n⊢ Scheme.Hom.opensRange ((Y.openCoverOfSuprEqTop U hU).map i) = U i\n\ncase h.e'_2.h.e'_3.e'_2.h.e'_6\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ntfae_1_to_4 :\n targetAffineLocally P f → ∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd\ntfae_4_to_3 :\n (∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd) →\n ∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_3_to_2 :\n (∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd) →\n ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_2_to_1 : (∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → targetAffineLocally P f\nι : Type u\nU : ι → Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace\nhU : iSup U = ⊤\nhU' : ∀ (i : ι), IsAffineOpen (U i)\ni : (Y.openCoverOfSuprEqTop U hU).J\nH : P.toProperty (f ∣_ U i)\ne_1✝ :\n (Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).obj (f ⁻¹ᵁ Scheme.Hom.opensRange ((Y.openCoverOfSuprEqTop U hU).map i)) =\n (Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).obj (f ⁻¹ᵁ U i)\n⊢ Scheme.Hom.opensRange ((Y.openCoverOfSuprEqTop U hU).map i) = U i\n\ncase h.e'_3.h.e'_1.h.e'_6\nP : AffineTargetMorphismProperty\nhP : P.IsLocal\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ntfae_1_to_4 :\n targetAffineLocally P f → ∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd\ntfae_4_to_3 :\n (∀ {U : Scheme} (g : U ⟶ Y) [inst : IsAffine U] [inst_1 : IsOpenImmersion g], P pullback.snd) →\n ∀ (𝒰 : Y.OpenCover) [inst : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)] (i : 𝒰.J), P pullback.snd\ntfae_3_to_2 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(∃ ι U, ∃ (_ : iSup U = ⊤) (hU' : ∀ (i : ι), IsAffineOpen (U i)), ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) →\n ∃ 𝒰, ∃ (x : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)), ∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd\nH : targetAffineLocally P f\ni : ↑↑Y.toPresheafedSpace\n⊢ P (f ∣_ (fun x => Scheme.Hom.opensRange (Y.affineCover.map x)) i)"} {"_id": "205567", "text": "M : Type u\nm₁ m₂ : Monoid M\nh_mul : HMul.hMul = HMul.hMul\n⊢ m₁ = m₂"} {"_id": "205568", "text": "M : Type u\nm₁ m₂ : Monoid M\nh_mul : HMul.hMul = HMul.hMul\nthis : toMulOneClass = toMulOneClass\nh₁ : One.one = One.one\n⊢ m₁ = m₂"} {"_id": "205569", "text": "M : Type u\nm₁ m₂ : Monoid M\nh_mul : HMul.hMul = HMul.hMul\nthis : toMulOneClass = toMulOneClass\nh₁ : One.one = One.one\nf : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }\n⊢ m₁ = m₂"} {"_id": "205574", "text": "case h.h\nM : Type u\nm₁ m₂ : Monoid M\nh_mul : HMul.hMul = HMul.hMul\nthis : toMulOneClass = toMulOneClass\nh₁ : One.one = One.one\nf : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ 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basicOpen.convert_1\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ ↑(Scheme.Γ.obj { unop := X ∣_ᵤ ↑U }) →+* ↑(Scheme.Γ.obj { unop := X ∣_ᵤ X.basicOpen r })"} {"_id": "205584", "text": "case basicOpen.convert_1\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ ⋯.functor.obj ⊤ ≤ ⋯.functor.obj ⊤"} {"_id": "205586", "text": "case h.e'_5\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op = comp (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)"} {"_id": "205587", "text": "case h.e'_5\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ Scheme.Γ.map f.op ≫ Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯).op =\n comp (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (Scheme.Γ.map f.op ≫ Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯).op)"} {"_id": "205590", "text": "case h.e'_5.e_a\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app ⊤).op =\n X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app ⊤).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op"} {"_id": "205592", "text": "case h.e'_5.h.h\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\ne_1✝ : ↑(Scheme.Γ.obj { unop := X ∣_ᵤ ↑U }) = ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)\nhe✝ : (Scheme.Γ.obj { unop := X ∣_ᵤ ↑U }).instCommRingα = Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤).instCommRingα\n⊢ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = algebraMap ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) ↑(Scheme.Γ.obj { unop := X ∣_ᵤ X.basicOpen r })"} {"_id": "205593", "text": "case basicOpen.convert_2.convert_2\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ IsLocalization.Away ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r) ↑(Scheme.Γ.obj { unop := X ∣_ᵤ X.basicOpen r })"} {"_id": "205595", "text": "case basicOpen.convert_2.convert_2\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\nthis : ↑U ∈ X.affineOpens\n⊢ IsLocalization.Away ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r) ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)"} {"_id": "205597", "text": "case h.e'_4.h.e'_2.h.e'_6.h.e'_2\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\nthis : ⋯.functor.obj ⊤ ∈ X.affineOpens\n⊢ ⋯.functor.obj ⊤ = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)\n\ncase h.e'_5.e'_2.e'_1.h.e'_6.h.e'_2\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\nthis : ⋯.functor.obj ⊤ ∈ X.affineOpens\ne_4✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\n⊢ ⋯.functor.obj ⊤ = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)\n\ncase h.e'_6.e'_5.h.e'_7.h.e'_2\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\nthis : ⋯.functor.obj ⊤ ∈ X.affineOpens\ne_4✝¹ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\ne_5✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\ne_1✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)\ne_2✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\nhe✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring\ne_4✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\n⊢ ⋯.functor.obj ⊤ = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)\n\ncase h.e'_6.e'_5.h.e'_8.e'_3\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\nthis : ⋯.functor.obj ⊤ ∈ X.affineOpens\ne_4✝¹ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\ne_5✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\ne_1✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)\ne_2✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\nhe✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring\ne_4✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\ne_7✝ : { unop := ⋯.functor.obj ⊤ } = { unop := X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r) }\n⊢ ⋯.functor.obj ⊤ = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)"} {"_id": "205598", "text": "case h.e'_6.e'_5.h.e'_8.e'_3\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\nthis : ⋯.functor.obj ⊤ ∈ X.affineOpens\ne_4✝¹ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\ne_5✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\ne_1✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)\ne_2✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\nhe✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring\ne_4✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\ne_7✝ : { unop := ⋯.functor.obj ⊤ } = { unop := X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r) }\n⊢ ⋯.functor.obj ⊤ = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)"} {"_id": "205599", "text": "case h.e'_6.e'_5.h.e'_8.e'_3\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH✝ : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\nr : ↑Γ(X, ↑U)\nH : P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\nthis : ⋯.functor.obj ⊤ ∈ X.affineOpens\ne_4✝¹ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\ne_5✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\ne_1✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)\ne_2✝ : ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤) = ↑Γ(X, X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))\nhe✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring\ne_4✝ : HEq CommRing.toCommSemiring CommRing.toCommSemiring\ne_7✝ : { unop := ⋯.functor.obj ⊤ } = { unop := X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r) }\n⊢ X.basicOpen r = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)"} {"_id": "205601", "text": "case openCover\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nH : ∀ (i : 𝒰.J), P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU✝ U : ↑X.affineOpens\ns : Finset ↑Γ(X, ↑U)\nhs : Ideal.span ↑s = ⊤\nhs' : ∀ (f_1 : { x // x ∈ s }), P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)\n⊢ P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)"} {"_id": "205604", "text": "case hU\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU : ↑X.affineOpens\ni : 𝒰.J\nH : P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op)\n⊢ P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)"} {"_id": "205605", "text": "case hU\nP : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop\nhP : PropertyIsLocal P\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : IsAffine Y\n𝒰 : X.OpenCover\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)\nS : 𝒰.J → { x // x ∈ X.affineOpens } := fun i => ⟨{ carrier := Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base, is_open' := ⋯ }, ⋯⟩\nU : ↑X.affineOpens\ni : 𝒰.J\nH : P (Scheme.Γ.map (𝒰.map i ≫ f).op ≫ Scheme.Γ.map (IsOpenImmersion.isoOfRangeEq (𝒰.map i) (X.ofRestrict ⋯) ⋯).inv.op)\n⊢ P (Scheme.Γ.map (X.ofRestrict ⋯ ≫ f).op)"} {"_id": "205606", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\n⊢ f.Pos ∨ f.LimZero ∨ (-f).Pos"} {"_id": "205607", "text": "case inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\nh : ¬f.LimZero\n⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos"} {"_id": "205608", "text": "case inr.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\nh : ¬f.LimZero\nK : α\nK0 : K > 0\nhK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|\n⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos"} {"_id": "205609", "text": "case inr.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\nh : ¬f.LimZero\nK : α\nK0 : K > 0\nhK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|\ni : ℕ\nhi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K\n⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos"} {"_id": "205612", "text": "case inr.intro.intro.intro.refine_1.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\nh✝ : ¬f.LimZero\nK : α\nK0 : K > 0\nhK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|\ni : ℕ\nhi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K\nh : 0 ≤ ↑f i\nj : ℕ\nij : j ≥ i\nthis : K ≤ |↑f j|\nh₁ : K ≤ ↑f i\nh₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K\n⊢ 0 ≤ ↑f j"} {"_id": "205616", "text": "case inr.intro.intro.intro.refine_2.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\nh✝ : ¬f.LimZero\nK : α\nK0 : K > 0\nhK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|\ni : ℕ\nhi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K\nh : ↑f i ≤ 0\nj : ℕ\nij : j ≥ i\nthis : K ≤ |↑f j|\nh₁ : K ≤ -↑f i\nh₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K\n⊢ ↑f j - ?inr.intro.intro.intro.refine_2.intro ≤ -?inr.intro.intro.intro.refine_2.intro\n\ncase inr.intro.intro.intro.refine_2.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝ : LinearOrderedField α\nf : CauSeq α abs\nh✝ : ¬f.LimZero\nK : α\nK0 : K > 0\nhK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|\ni : ℕ\nhi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K\nh : ↑f i ≤ 0\nj : ℕ\nij : j ≥ i\nthis : K ≤ |↑f j|\nh₁ : K ≤ -↑f i\nh₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K\n⊢ α"} {"_id": "205617", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\ninst✝⁶ : HasZeroMorphisms D\nS : ShortComplex C\nh₁✝ : S.LeftHomologyData\nh₂✝ : S.RightHomologyData\nF✝ : C ⥤ D\ninst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms\nhl : S.LeftHomologyData\nhr : S.RightHomologyData\nS₁ S₂ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nhl₁ : S₁.LeftHomologyData\nhr₁ : S₁.RightHomologyData\nhl₂ : S₂.LeftHomologyData\nhr₂ : S₂.RightHomologyData\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\nF : C ⥤ D\ninst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝³ : S₁.HasLeftHomology\ninst✝² : S₂.HasLeftHomology\ninst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁\ninst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂\n⊢ F.map (leftHomologyMap φ) ≫ (S₂.mapLeftHomologyIso F).inv =\n (S₁.mapLeftHomologyIso F).inv ≫ leftHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ)"} {"_id": "205618", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nh : IsNilpotent R L (M ⧸ N)\n⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N"} {"_id": "205619", "text": "case intro\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nh : IsNilpotent R L (M ⧸ N)\nk : ℕ\nhk : lowerCentralSeries R L M k ≤ N\n⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N"} {"_id": "205620", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\na b c d : α\n⊢ |a - b| < c ↔ a - b < c ∧ b - a < c"} {"_id": "205621", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIocMod hp (a - p) b = toIocMod hp a b - p"} {"_id": "205622", "text": "ι : Sort u_1\nG : Type u_2\ninst✝ : Group G\ns : Set Gᵐᵒᵖ\n⊢ (closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)"} {"_id": "205625", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c✝ : α\nn : ℤ\na b c : α\n⊢ toIcoDiv hp a (b - c) = toIcoDiv hp (a + c) 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Type u_1\ninst✝⁴ : Ring R\ninst✝³ : Linear R C\nF G K L : CochainComplex C ℤ\nn m : ℤ\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_3, u_2} D\ninst✝¹ : Preadditive D\nz z' : Cochain K L n\nf : K ⟶ L\nΦ : C ⥤ D\ninst✝ : Φ.Additive\nhnm : ¬n + 1 = m\n⊢ δ n m (z.map Φ) = (δ n m z).map Φ"} {"_id": "205638", "text": "R : CommRingCat\nM : Submonoid ↑R\nx : PrimeSpectrum (Localization M)\n⊢ IsIso\n (PresheafedSpace.stalkMap (Spec.toPresheafedSpace.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op) x)"} {"_id": "205639", "text": "R : CommRingCat\nM : Submonoid ↑R\nx : PrimeSpectrum (Localization M)\n⊢ IsIso\n ((stalkIso (↑{ unop := CommRingCat.of ↑R }.unop)\n ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x)).hom ≫\n Localization.localRingHom\n ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x).asIdeal x.asIdeal\n (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop ⋯ ≫\n (stalkIso (↑{ unop := CommRingCat.of (Localization M) }.unop) x).inv)"} {"_id": "205640", "text": "R : CommRingCat\nM : Submonoid ↑R\nx : PrimeSpectrum (Localization M)\n⊢ IsIso\n (Localization.localRingHom\n ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x).asIdeal x.asIdeal\n (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop ⋯ ≫\n (stalkIso (↑{ unop := CommRingCat.of (Localization M) }.unop) x).inv)"} {"_id": "205641", "text": "R : CommRingCat\nM : Submonoid ↑R\nx : PrimeSpectrum (Localization M)\n⊢ IsIso\n (Localization.localRingHom\n ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x).asIdeal x.asIdeal\n (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop ⋯)"} {"_id": "205643", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nf g : M[ι]\n⊢ (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum"} {"_id": "205645", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nf g : M[ι]\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\n⊢ to_hom (f * g) = to_hom f * to_hom g"} {"_id": "205647", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\n⊢ ∀ (f g : M[ι]), to_hom (f * g) = to_hom f * to_hom g"} {"_id": "205648", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\n⊢ AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom = (AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom"} {"_id": "205649", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\nxi : ι\nxv : M\n⊢ ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv =\n (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv"} {"_id": "205650", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\nxi : ι\nxv : M\nyi : ι\nyv : M\n⊢ ((((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv =\n (((((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp\n (Finsupp.singleAddHom yi))\n yv"} {"_id": "205653", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\nxi : ι\nxv : M\nyi : ι\nyv : M\n⊢ { toFun := ⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv)), map_zero' := ⋯ } (Finsupp.single yi yv) =\n ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))"} {"_id": "205655", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\nxi : ι\nxv : M\nyi : ι\nyv : M\n⊢ to_hom (Finsupp.single xi xv * Finsupp.single yi yv) = to_hom (Finsupp.single xi xv) * to_hom (Finsupp.single yi yv)"} {"_id": "205656", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\nxi : ι\nxv : M\nyi : ι\nyv : M\n⊢ (DirectSum.of (fun i => M) (xi + yi)) (xv * yv) =\n toDirectSum (Finsupp.single xi xv) * toDirectSum (Finsupp.single yi yv)"} {"_id": "205657", "text": "ι : Type u_1\nR : Type u_2\nM : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝² : DecidableEq ι\ninst✝¹ : AddMonoid ι\ninst✝ : Semiring M\nto_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }\nx✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring\nxi : ι\nxv : M\nyi : ι\nyv : M\n⊢ (DirectSum.of (fun i => M) (xi + yi)) (xv * yv) =\n (DirectSum.of (fun i => M) xi) xv * (DirectSum.of (fun i => M) yi) yv"} {"_id": "205658", "text": "R : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nP : Prop\ninst✝ : CharZero R\nh_equal : Algebra ℚ R → P\nh_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P\n⊢ P"} {"_id": "205660", "text": "case pos.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nP : Prop\ninst✝ : CharZero R\nh_equal : Algebra ℚ R → P\nh_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P\np : ℕ\nH : p > 0\nhp : MixedCharZero R p\n⊢ P"} {"_id": "205663", "text": "case neg\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nP : Prop\ninst✝ : CharZero R\nh_equal : Algebra ℚ R → P\nh_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P\nh : ¬∃ p > 0, MixedCharZero R p\n⊢ Algebra ℚ R"} {"_id": "205665", "text": "α : Type u_1\nxs ys : List α\np : α → Bool\n⊢ findIdx? p (xs ++ ys) = HOrElse.hOrElse (findIdx? p xs) fun x => Option.map (fun i => i + xs.length) (findIdx? p ys)"} {"_id": "205666", "text": "case cons\nα : Type u_1\nys : List α\np : α → Bool\nhead✝ : α\ntail✝ : List α\ntail_ih✝ :\n findIdx? p (tail✝ ++ ys) =\n HOrElse.hOrElse (findIdx? p tail✝) fun x => Option.map (fun i => i + tail✝.length) (findIdx? p ys)\n⊢ (if p head✝ = true then some 0 else Option.map (fun i => i + 1) (findIdx? p (tail✝ ++ ys))) =\n HOrElse.hOrElse (if p head✝ = true then some 0 else Option.map (fun i => i + 1) (findIdx? p tail✝)) fun x =>\n Option.map (fun i => i + (tail✝.length + 1)) (findIdx? p ys)"} {"_id": "205668", "text": "X✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsCompact U.carrier\nhU' : IsQuasiSeparated U.carrier\nf : ↑Γ(X, U)\nx : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\n⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x"} {"_id": "205670", "text": "X✝ Y : Scheme\nf : X✝ ⟶ Y\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsCompact U.carrier\n⊢ IsQuasiSeparated U.carrier →\n ∀ (f : ↑Γ(X, U)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)),\n ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x"} {"_id": "205673", "text": "case h\nX✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsCompact U.carrier\nhU'✝ : IsQuasiSeparated ⊥.carrier\nf : ↑Γ(X, ⊥)\nx : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\n⊢ (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ 0 * x"} {"_id": "205674", "text": "case h\nX✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsCompact U.carrier\nhU'✝ : IsQuasiSeparated ⊥.carrier\nf : ↑Γ(X, ⊥)\nx : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\n⊢ X.basicOpen f = ⊥"} {"_id": "205677", "text": "case h₂\nX✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nX : Scheme\nU✝ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU✝ : IsCompact U✝.carrier\nS : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsCompact S.carrier\nU : ↑X.affineOpens\nhU :\n IsQuasiSeparated S.carrier →\n ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)),\n ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x\nhSU : IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier\nf : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)\nx : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\n⊢ ∃ n y, 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"X✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nX : Scheme\nU✝ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU✝ : IsCompact U✝.carrier\nS : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsCompact S.carrier\nU : ↑X.affineOpens\nhU :\n IsQuasiSeparated S.carrier →\n ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)),\n ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x\nhSU : IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier\nf : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)\nx : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nn₁ : ℕ\ny₁ : ↑Γ(X, S)\nhy₁ :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y₁ =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE ?m.129011).op) x\nn₂ : ℕ\ny₂ : ↑Γ(X, ↑U)\nhy₂ :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y₂ =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE ?m.129727).op) x\ns : Set ↑X.affineOpens\nhs' : s.Finite\nthis : Finite ↑s\nval✝ : Fintype ↑s\nhs : S ⊓ ↑U = ⨆ i, ↑↑i\ni : ↑s\n⊢ ↑↑i ≤ S"} {"_id": "205696", "text": "X✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nX : 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IsQuasiSeparated S.carrier →\n ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)),\n ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x\nhSU : IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier\nf : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)\nx : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nn₁ : ℕ\ny₁ : ↑Γ(X, S)\nhy₁ :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y₁ =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x\nn₂ : ℕ\ny₂ : ↑Γ(X, ↑U)\nhy₂ :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y₂ =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x\ns : Set ↑X.affineOpens\nhs' : s.Finite\nthis✝ : Finite ↑s\nval✝ : Fintype ↑s\nhs : S ⊓ ↑U = ⨆ i, ↑↑i\nhs₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ S\nhs₂ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ ↑U\nn : ↑s → ℕ\nhn : ∀ (i : ↑s) (m : ℕ), n i ≤ m → (((f |_ S) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑↑i) ⋯ = (((f |_ ↑U) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑↑i) ⋯\nthis :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (Finset.univ.sup n + n₂) * y₁) =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (Finset.univ.sup n + n₁) * y₂)\n⊢ (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ Finset.univ.sup n *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ *\n ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x) =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ Finset.univ.sup n *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x"} {"_id": "205725", "text": "case h.refine_2\nX✝ Y : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Y\nX : Scheme\nU✝ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU✝ : IsCompact U✝.carrier\nS : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsCompact S.carrier\nU : ↑X.affineOpens\nhU :\n IsQuasiSeparated S.carrier →\n ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)),\n ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x\nhSU : IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier\nf : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)\nx : ↑Γ(X, X.basicOpen f)\nn₁ : ℕ\ny₁ : ↑Γ(X, S)\nhy₁ :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y₁ =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x\nn₂ : ℕ\ny₂ : ↑Γ(X, ↑U)\nhy₂ :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y₂ =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x\ns : Set ↑X.affineOpens\nhs' : s.Finite\nthis✝ : Finite ↑s\nval✝ : Fintype ↑s\nhs : S ⊓ ↑U = ⨆ i, ↑↑i\nhs₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ S\nhs₂ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ ↑U\nn : ↑s → ℕ\nhn : ∀ (i : ↑s) (m : ℕ), n i ≤ m → (((f |_ S) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑↑i) ⋯ = (((f |_ ↑U) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑↑i) ⋯\nthis :\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (Finset.univ.sup n + n₂) * y₁) =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (Finset.univ.sup n + n₁) * y₂)\n⊢ (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ Finset.univ.sup n *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ *\n ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x) =\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ Finset.univ.sup n *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₁ *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ^ n₂ *\n (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x"} {"_id": "205726", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ni j : 𝒰.J\n⊢ t 𝒰 f g i j ≫ pullback.snd = pullback.fst ≫ pullback.fst"} {"_id": "205727", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedCommGroup α\na✝ b✝ c✝ a b c : α\n⊢ max (a / b) (a / c) = a / min b c"} {"_id": "205728", "text": "V : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{?u.8360, u_1} V\ninst✝ : Abelian V\nX Y Z : Vᵒᵖ\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\n⊢ g.unop ≫ f.unop = 0"} {"_id": "205729", "text": "V : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{?u.8360, u_1} V\ninst✝ : Abelian V\nX Y Z : Vᵒᵖ\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\n⊢ f ≫ factorThruImage g = 0"} {"_id": "205731", "text": "case h\nV : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V\ninst✝ : Abelian V\nX Y Z : Vᵒᵖ\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\n⊢ imageToKernel g.unop f.unop ⋯ ≫ (kernelSubobject f.unop).arrow =\n ((imageSubobjectIso g.unop ≪≫ (imageUnopUnop g).symm).hom ≫\n (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).unop ≫ (kernelSubobjectIso f.unop ≪≫ kernelUnopUnop f).inv) ≫\n (kernelSubobject f.unop).arrow"} {"_id": "205732", "text": "case h\nV : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V\ninst✝ : Abelian V\nX Y Z : Vᵒᵖ\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\n⊢ imageToKernel g.unop f.unop ⋯ ≫ (kernelSubobject f.unop).arrow =\n ((imageSubobjectIso g.unop ≪≫ (imageUnopOp g).unop.symm).hom ≫\n (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).unop ≫ (kernelSubobjectIso f.unop ≪≫ kernelUnopUnop f).inv) ≫\n (kernelSubobject f.unop).arrow"} {"_id": "205733", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\n⊢ ∃ a' h' iDh',\n U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧\n (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧\n ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯"} {"_id": "205734", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\n⊢ ∃ a' h' iDh',\n U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧\n (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧\n ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯"} {"_id": "205735", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\n⊢ ∃ a' h' iDh',\n U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧\n (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧\n ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯"} {"_id": "205736", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\n⊢ ∃ a' h' iDh',\n U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧\n (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧\n ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯"} {"_id": "205737", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\n⊢ ∃ a' h' iDh',\n U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧\n (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧\n ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯"} {"_id": "205738", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\n⊢ ∃ a' h' iDh',\n U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧\n (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧\n ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯"} {"_id": "205739", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\n⊢ ∃ a' h' iDh',\n U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧\n (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧\n ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯"} {"_id": "205741", "text": "case refine_3\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf 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i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\na✝ : i ∈ t\n⊢ ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) s =\n const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)\n (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯"} {"_id": "205743", "text": "case refine_3\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\na✝ : i ∈ t\n⊢ ((structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) (((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s) =\n const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)\n (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯"} {"_id": "205745", "text": "case refine_3\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\na✝ : i ∈ t\n⊢ const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1))) ⋯ =\n const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)\n (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯"} {"_id": "205747", "text": "case refine_3.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\na✝ : i ∈ t\n⊢ a i * h i ^ (N + 1) = a i * h i ^ N * h i"} {"_id": "205750", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\n⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩"} {"_id": "205751", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\n⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩"} {"_id": "205752", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\n⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩"} {"_id": "205753", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩"} {"_id": "205754", "text": "case a\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ (toBasicOpen R (h i * h j)) (IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩) =\n (toBasicOpen R (h i * h j)) (IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩)"} {"_id": "205757", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ const R (a i * h j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯ = ?m.162036\n\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ ?m.162036 = const R (h i * a j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯\n\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : 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(PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯)\n\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ ((structureSheaf R).val.map iDj.op) (const R (a j) (h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h j)) ⋯) =\n const R (h i * a j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯"} {"_id": "205759", "text": "case h.e'_2.hv\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ ∀ x ∈ D, h i ∈ x.asIdeal.primeCompl\n\ncase hv\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE 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PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ const R (a i * h j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯ =\n ((structureSheaf R).val.map iDj.op) (((structureSheaf R).val.map (iDh j).op) s)"} {"_id": "205762", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ 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R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\ni j : ι\nD : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)\niDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯\niDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯\n⊢ ∀ x ∈ D, h j ∈ x.asIdeal.primeCompl"} {"_id": "205768", "text": "case h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\ni j : ι\nn : ℕ\nhc :\n ↑⟨(fun x => (h i * h j) ^ x) n, ⋯⟩ * (↑⟨h i * h j, ⋯⟩ * (a i * h j)) =\n ↑⟨(fun x => (h i * h j) ^ x) n, ⋯⟩ * (↑⟨h i * h j, ⋯⟩ * (h i * a j))\n⊢ a i * h j * (h i * h j) ^ (n + 1) = h i * a j * (h i * h j) ^ (n + 1)"} {"_id": "205774", "text": "case refine_2\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\nhi : i ∈ t\nj : ι\nhj : j ∈ t\n⊢ (fun i => a i * h i ^ N) i * (fun i => h i ^ (N + 1)) j = (fun i => h i ^ (N + 1)) i * (fun i => a i * h i ^ N) j"} {"_id": "205775", "text": "case refine_2\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\nhi : i ∈ t\nj : ι\nhj : j ∈ t\nn_le_N : n (i, j) ≤ N\n⊢ (fun i => a i * h i ^ N) i * (fun i => h i ^ (N + 1)) j = (fun i => h i ^ (N + 1)) i * (fun i => a i * h i ^ N) j"} {"_id": "205776", "text": "case refine_2.intro\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\nhi : i ∈ t\nj : ι\nhj : j ∈ t\nn_le_N : n (i, j) ≤ N\nk : ℕ\nhk : n (i, j) + k = N\n⊢ (fun i => a i * h i ^ N) i * (fun i => h i ^ (N + 1)) j = (fun i => h i ^ (N + 1)) i * (fun i => a i * h i ^ N) j"} {"_id": "205777", "text": "case h.e'_3\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nU : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\ns : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })\nι : Type u_1\nt : Finset ι\na h : ι → R\niDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U\nh_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\nhs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s\nfractions_eq :\n ∀ (i j : ι),\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =\n IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩\nexists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n\nn : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose\nn_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose\nN : ℕ := (t ×ˢ t).sup n\nbasic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)\ni : ι\nhi : i ∈ t\nj : ι\nhj : j ∈ t\nn_le_N : n (i, j) ≤ N\nk : ℕ\nhk : n (i, j) + k = N\n⊢ h i ^ n (i, j) * h i ^ k * h i * (a j * (h j ^ n (i, j) * h j ^ k)) =\n h (i, j).1 * a (i, j).2 * (h (i, j).1 * h (i, j).2) ^ ⋯.choose * (h i * h j) ^ k"} {"_id": "205782", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nk : ℕ\n⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ IsLieAbelian ↥↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥"} {"_id": "205783", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nk : ℕ\n⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥"} {"_id": "205785", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing 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: Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nk : ℕ\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk₁ k₂ : ℕ\nh₁₂ : k₁ ≤ k₂\nh₁ : k₁ ∈ s\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ ⊥"} {"_id": "205791", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\nL' : Type w₁\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nI✝ J : LieIdeal R L\nf : L' →ₗ⁅R⁆ L\nI : LieIdeal R L\nk : ℕ\ns : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}\nk₁ k₂ : ℕ\nh₁₂ : k₁ ≤ k₂\nh₁ : derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥\n⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I"} {"_id": "205793", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : WeierstrassCurve R\n⊢ W.twoTorsionPolynomial.disc = 16 * W.Δ"} {"_id": "205795", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedSemiring R\na b : R\nm n : ℕ\nha : 0 ≤ a\nhn : n ≠ 0\n⊢ 1 < a ^ n ↔ 1 < a"} {"_id": "205796", "text": "s : String\np : Char → Bool\n⊢ s.split p = List.map mk (List.splitOnP p s.data)"} {"_id": "205798", "text": "M₀ : Type u_1\nG₀ : Type u_2\ninst✝ : GroupWithZero G₀\ns : Set G₀\na b : G₀\nha : a ∈ s.centralizer\nh : a = 0\n⊢ 0 ∈ s.centralizer"} {"_id": "205799", "text": "M₀ : Type u_1\nG₀ : Type u_2\ninst✝ : GroupWithZero G₀\ns : Set G₀\na b : G₀\nha : a ∈ s.centralizer\nha0 : a ≠ 0\nc : G₀\nhc : c ∈ s\n⊢ c * a⁻¹ = a⁻¹ * c"} {"_id": "205802", "text": "case intro.mk.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn : ℕ\nhn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nk : ℕ\nhk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥\n⊢ LieModule.IsNilpotent R L M"} {"_id": "205803", "text": "case intro.mk.intro\nR : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤\nn : ℕ\nhn : (toEnd R L M) x ^ n = 0\nk : ℕ\nhk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥\nhk' : I.lcs M k = ⊥\n⊢ LieModule.IsNilpotent R L M"} {"_id": "205806", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\nL₂ : Type u₃\nM : Type u₄\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\ninst✝⁵ : LieRing L₂\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L₂\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nI : LieIdeal R L\nx : L\nhxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L 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B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : StarRing B\ninst✝ : StarModule R B\nι : Sort u_5\nS : ι → StarSubalgebra R A\nx : A\n⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i"} {"_id": "205812", "text": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝ : Semigroup β\nf : α → β\nx : α\ny : FreeSemigroup α\n⊢ (lift f) (of x * y) = f x * (lift f) y"} {"_id": "205813", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP Q : Cubic R\na b c d a' b' c' d' : R\ninst✝ : Semiring R\n⊢ (∀ n > 3, P.toPoly.coeff n = 0) ∧\n P.toPoly.coeff 3 = P.a ∧ P.toPoly.coeff 2 = P.b ∧ P.toPoly.coeff 1 = P.c ∧ P.toPoly.coeff 0 = P.d"} {"_id": "205816", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP Q : Cubic R\na b c d a' b' c' d' : R\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nhn : 3 < n\n⊢ ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0"} {"_id": "205819", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\nF : Type u_3\nK : Type u_4\nP Q : Cubic R\na b c d a' b' c' d' : R\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nhn : 3 < n\n⊢ (0 + 0 + 0 + if n = 0 then P.d else 0) = 0"} {"_id": "205822", "text": "M : Type u_1\nN : Type u_2\nP : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝² : Mul M\ninst✝¹ : Mul N\ninst✝ : Mul P\nS : Subsemigroup M\n⊢ ↑(⊥.prod ⊥) = ↑⊥"} {"_id": "205823", "text": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝² : S.HasHomology\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.RightHomologyData\n⊢ h₁.π ≫ h₁.homologyIso.inv ≫ homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom ≫ h₂.ι = h₁.i ≫ φ.τ₂ ≫ h₂.p"} {"_id": "205824", "text": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nA : C\ninst✝² : S.HasHomology\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.LeftHomologyData\nh₂ : S₂.RightHomologyData\n⊢ h₁.π ≫\n (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫\n leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫\n leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫\n ((S₂.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.right S₂.rightHomologyData) ≫\n rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData h₂) ≫\n h₂.ι =\n h₁.i ≫ φ.τ₂ ≫ h₂.p"} {"_id": "205827", "text": "case succ\nn : ℕ\nIH : ack 3 n = 2 ^ (n + 3) - 3\n⊢ ack 3 (n + 1) = 2 ^ (n + 1 + 3) - 3"} {"_id": "205830", "text": "case succ\nn : ℕ\nIH : ack 3 n = 2 ^ (n + 3) - 3\nH : 2 * 3 ≤ 2 * 2 ^ 3\n⊢ 2 * 2 ^ 3 ≤ 2 * 2 ^ (n + 3)"} {"_id": "205831", "text": "case succ\nn : ℕ\nIH : ack 3 n = 2 ^ (n + 3) - 3\nH : 2 * 3 ≤ 2 * 2 ^ 3\n⊢ 2 ^ 3 ≤ 2 ^ (n + 3)"} {"_id": "205836", "text": "C : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : ConcreteCategory C\ninst✝³ : HasForget₂ C Ab\ninst✝² : Abelian C\ninst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive\ninst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology\nι : Type u_1\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.ShortExact\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nx₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))\nhx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0\nx₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))\nhx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃\nx₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))\nhx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂\nk : ι\nhk : c.next j = k\nthis : Mono S.f\n⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁ = 0"} {"_id": "205837", "text": "case a\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : ConcreteCategory C\ninst✝³ : HasForget₂ C Ab\ninst✝² : Abelian C\ninst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive\ninst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology\nι : Type u_1\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.ShortExact\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nx₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))\nhx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0\nx₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))\nhx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃\nx₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))\nhx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂\nk : ι\nhk : c.next j = k\nthis : Mono S.f\n⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁) = ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) 0"} {"_id": "205838", "text": "C : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : ConcreteCategory C\ninst✝³ : HasForget₂ C Ab\ninst✝² : Abelian C\ninst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive\ninst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology\nι : Type u_1\nc : ComplexShape ι\nS : ShortComplex (HomologicalComplex C c)\nhS : S.ShortExact\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\nx₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))\nhx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0\nx₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))\nhx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃\nx₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))\nhx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂\nk : ι\nhk : c.next j = k\n⊢ ((forget₂ C Ab).map (hS.δ i j hij)) (((forget₂ C 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SnakeInput C\n⊢ S.L₀X₂ToP ≫ S.φ₁ = 0"} {"_id": "205846", "text": "F : Type u_1\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\ninst✝¹⁰ : CommSemiring R\ninst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁸ : Module R A\ninst✝⁷ : IsScalarTower R A A\ninst✝⁶ : SMulCommClass R A A\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝⁴ : Module R B\ninst✝³ : IsScalarTower R B B\ninst✝² : SMulCommClass R B B\ninst✝¹ : FunLike F A B\ninst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B\nS : Set (NonUnitalSubalgebra R A)\nx : A\n⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p"} {"_id": "205849", "text": "K : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nq : Stmt₂\nv : σ\nT : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))\nk : K\nS : (k : K) → List (Γ k)\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\no : StAct k\nIH :\n ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},\n (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T 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(TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b"} {"_id": "205851", "text": "K : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nq : Stmt₂\nv : σ\nT : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))\nk : K\nS : (k : K) → List (Γ k)\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\no : StAct k\nIH :\n ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},\n (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →\n ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b\nhgo :\n Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }\n { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move 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(stVar ?m.384010 (S k) o)\n ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.384010 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))\nthis :\n Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }\n (TM1.stepAux (tr M (go k o q)) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))))\n⊢ ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b"} {"_id": "205855", "text": "case intro.intro.intro.intro\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nq : Stmt₂\nv : σ\nT : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))\nk : K\nS : (k : K) → List (Γ k)\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\no : StAct k\nIH :\n ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ 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match none with\n | some val => false\n | none => true with\n | true =>\n TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)\n ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))\n | false =>\n TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v\n (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))\nc : TM1.Cfg Γ' Λ' σ\ngc : TrCfg (TM2.stepAux q ?m.387675 (update S k (stWrite v (S k) o))) c\nrc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) ?m.387675 (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c\n⊢ ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b"} {"_id": "205856", "text": "case intro.intro.intro.intro\nK : Type u_1\ninst✝² : DecidableEq K\nΓ : K → Type u_2\nΛ : Type u_3\ninst✝¹ : Inhabited Λ\nσ : Type u_4\ninst✝ : Inhabited σ\nM : Λ → Stmt₂\nq : Stmt₂\nv : σ\nT : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))\nk : K\nS : (k : K) → List (Γ k)\nhT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse\no : StAct k\nIH :\n ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},\n (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →\n ∃ b,\n TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧\n Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b\nhgo :\n Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }\n { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }\nT' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))\nhT' :\n ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse\nhrun :\n TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =\n TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)\n ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))\nthis :\n Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }\n (match\n match none with\n | some val => false\n | none => true with\n | true =>\n TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)\n ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))\n | false =>\n TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v\n (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))\nc : TM1.Cfg Γ' Λ' σ\ngc : TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) c\nrc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c\n⊢ ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a)\n (TM1.stepAux (tr M (ret q)) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c"} {"_id": "205858", "text": "l m r : List Char\nc : Char\nx✝ : Substring\nh : ValidFor l m r x✝\n⊢ x✝.contains c = true ↔ c ∈ m"} {"_id": "205859", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nS₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ φ' : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.RightHomologyData\nh₂ : S₂.RightHomologyData\n⊢ rightHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -rightHomologyMap' φ h₁ h₂"} {"_id": "205861", "text": "R : Type u_1\nS : Type u_2\ninst✝ : AddCommMonoid R\ns : Multiset (Tropical R)\n⊢ ∀ (a : List (Tropical R)), untrop (prod ⟦a⟧) = (map untrop ⟦a⟧).sum"} {"_id": "205862", "text": "R : Type u\nS₁ : Type v\nS₂ : Type w\nS₃ : Type x\nσ : Type u_1\na a' a₁ a₂ : R\ne : ℕ\nn✝ m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : CommSemiring S₁\np q : MvPolynomial σ R\ninst✝ : DecidableEq σ\ns s' : σ\nn : ℕ\n⊢ coeff (Finsupp.single s' n) (X s) = if n = 1 ∧ s = s' then 1 else 0"} {"_id": "205865", "text": "case refine_2\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\n⊢ Disjoint I (sSup ({I | IsAtom I} \\ {I}))"} {"_id": "205866", "text": "case refine_2\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\n⊢ sSup ({I | IsAtom I} \\ {I}) ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I"} {"_id": "205867", "text": "case refine_2.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\n⊢ ∀ b ∈ {I | IsAtom I} \\ {I}, b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I"} {"_id": "205869", "text": "case refine_2.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\nJ : LieIdeal K L\nhJ : IsAtom J\nhJI : ¬J = I\n⊢ J ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I"} {"_id": "205871", "text": "case refine_2.a.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\nJ : LieIdeal K L\nhJ : IsAtom J\nhJI : ¬J = I\nx : ↥J\ny : ↥J\n⊢ ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)"} {"_id": "205874", "text": "case refine_2.a.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\nJ : LieIdeal K L\nhJ : IsAtom J\nhJI : ¬J = I\nx : ↥J\ny : ↥J\nz : L\nhz : z ∈ I\n⊢ (Φ ⁅↑x, z⁆) ↑y = 0"} {"_id": "205875", "text": "case refine_2.a.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\nJ : LieIdeal K L\nhJ : IsAtom J\nhJI : ¬J = I\nx : ↥J\ny : ↥J\nz : L\nhz : z ∈ I\n⊢ ⁅↑x, z⁆ = 0"} {"_id": "205876", "text": "case refine_2.a.intro.intro\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\nJ : LieIdeal K L\nhJ : IsAtom J\nhJI : ¬J = I\nx : ↥J\ny : ↥J\nz : L\nhz : z ∈ I\n⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ J ⊓ I"} {"_id": "205877", "text": "case refine_2.a.intro.intro.a\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\nJ : LieIdeal K L\nhJ : IsAtom J\nhJI : ¬J = I\nx : ↥J\ny : ↥J\nz : L\nhz : z ∈ I\n⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ ⁅J, I⁆"} {"_id": "205878", "text": "case refine_1\nK : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\n⊢ sSup {I | IsAtom I} = ⊤"} {"_id": "205879", "text": "K : Type u_1\nL : Type u_2\nM : Type u_3\ninst✝⁶ : Field K\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra K L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module K M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : Module.Finite K L\nΦ : LinearMap.BilinForm K L\nhΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate\nhΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ\nhΦ_refl : Φ.IsRefl\nhL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I\nI : LieIdeal K L\nhI : I ∈ {I | IsAtom I}\nJ : LieIdeal K L\nhJ : IsAtom J\nhJI : ¬J = I\nx : ↥J\ny : ↥J\nz : L\nhz : z ∈ I\nthis : ⁅↑x, z⁆ = 0\n⊢ (Φ ⁅↑x, z⁆) ↑y = 0"} {"_id": "205880", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ (∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m"} {"_id": "205881", "text": "case a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ MulOpposite.op ((∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y)) = MulOpposite.op (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m)"} {"_id": "205882", "text": "case a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ x_1 ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - x_1) * MulOpposite.op x ^ x_1 =\n MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)"} {"_id": "205884", "text": "case a\nα : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nthis :\n ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k =\n ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)\n⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) =\n MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)"} {"_id": "205885", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k =\n ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)"} {"_id": "205886", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nk : ℕ\nx✝ : k ∈ Ico m n\n⊢ MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)"} {"_id": "205887", "text": "α : Type u\ninst✝ : Ring α\nx y : α\nh : Commute x y\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\nk : ℕ\nx✝ : k ∈ Ico m n\nhp : Commute (MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)) (MulOpposite.op x ^ k)\n⊢ MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)"} {"_id": "205888", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nh : a ≠ b\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b"} {"_id": "205889", "text": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nh : a ≠ b\n⊢ a ∉ {b}\n\ncase hs\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nh : a ≠ b\n⊢ {b}.Finite"} {"_id": "205890", "text": "α : Type u_1\ns✝ : Heap α\nle : α → α → Bool\nr : Nat\na : α\nc : HeapNode α\ns : Heap α\n⊢ Option.map (fun x => x.fst) (deleteMin le (cons r a c s)) = head? le (cons r a c s)"} {"_id": "205892", "text": "case h.h.h.h\nα : Type u_2\nf : Type u_1\nn : α → f → α\nl : α\n⊢ scanl n l = scanlTR n l"} {"_id": "205893", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : Ring R\nι : Type v\ninst✝³ : Preorder ι\nG : ι → Type w\ninst✝² : Nonempty ι\ninst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1\ninst✝ : (i : ι) → Field (G i)\nf : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j\nf' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j\np : Ring.DirectLimit G f\nhp : p ≠ 0\n⊢ inv G f p * p = 1"} {"_id": "205895", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Category.{?u.224677, u_2} D\ninst✝¹ : Abelian C\nS : ShortComplex C\nhS : S.Exact\nJ : C\nf : S.X₂ ⟶ J\ninst✝ : Injective J\nhf : S.f ≫ f = 0\nthis : Mono S.fromOpcycles\n⊢ S.g ≫ hS.descToInjective f hf = f"} {"_id": "205896", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Category.{?u.224677, u_2} D\ninst✝¹ : Abelian C\nS : ShortComplex C\nhS : S.Exact\nJ : C\nf : S.X₂ ⟶ J\ninst✝ : Injective J\nhf : S.f ≫ f = 0\nthis : Mono S.fromOpcycles\n⊢ S.g ≫ Injective.factorThru (S.descOpcycles f hf) S.fromOpcycles = f"} {"_id": "205897", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nt : Finset γ\nf : α ⊕ γ → β\n⊢ ∏ x ∈ s.disjSum t, f x = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)"} {"_id": "205899", "text": "S : Type u_1\nT : Type u_2\nR : Type u_3\ninst✝ : CommRing R\nr x y z : R\na b c : ℍ[R]\n⊢ normSq ↑x = x ^ 2"} {"_id": "205900", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nhst : Disjoint s t\nhs : (s ∩ mulSupport f).Finite\nht : (t ∩ mulSupport f).Finite\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i"} {"_id": "205901", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP : Fin 3 → R\nhP : W'.Equation P\n⊢ W'.addY P (W'.neg P) = -W'.dblZ P ^ 3"} {"_id": "205904", "text": "case h.h\nR : CommRingCat\nf : ↑R\nx : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace\n⊢ x ∈ ↑((Spec R).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)"} {"_id": "205905", "text": "case h.h\nR : CommRingCat\nf : ↑R\nx : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace\n⊢ IsUnit (((Spec R).presheaf.germ ⟨x, _root_.trivial⟩) ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen f"} {"_id": "205906", "text": "case h.h\nR : CommRingCat\nf : ↑R\nx : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace\n⊢ IsUnit ((StructureSheaf.toStalk (↑R) x) f) ↔ f ∉ x.asIdeal"} {"_id": "205907", "text": "case h.h\nR : CommRingCat\nf : ↑R\nx : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace\n⊢ IsUnit ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f) ↔ f ∉ x.asIdeal"} {"_id": "205910", "text": "case refine_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝³ : BEq α\ninst✝² : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\ni : USize\nd : AssocList α β\nh : i.toNat < buckets.val.size\nH : buckets.WF\nh₁ :\n ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α],\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) buckets.val[i].toList →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) d.toList\nh₂ :\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i.toNat) buckets.val[i] →\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i.toNat) d\ninst✝¹ : LawfulHashable α\ninst✝ : PartialEquivBEq α\nl : AssocList α β\nhl : l ∈ (buckets.update i d h).val.data\n⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l.toList"} {"_id": "205912", "text": "case refine_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\ni✝ : USize\nd : AssocList α β\nh : i✝.toNat < buckets.val.size\nH : buckets.WF\nh₁ :\n ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α],\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) buckets.val[i✝].toList →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) d.toList\nh₂ :\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) buckets.val[i✝] →\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) d\ni : Nat\nhi : i < (buckets.update i✝ d h).val.size\np : α × β\n⊢ p ∈ (buckets.update i✝ d h).val[i].toList →\n (fun k x => ((hash k).toUSize % (buckets.update i✝ d h).val.size).toNat = i) p.fst p.snd"} {"_id": "205916", "text": "case refine_2.isFalse\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nbuckets : Buckets α β\ni✝ : USize\nd : AssocList α β\nh : i✝.toNat < buckets.val.size\nH : buckets.WF\nh₁ :\n ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α],\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) buckets.val[i✝].toList →\n List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) d.toList\nh₂ :\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) buckets.val[i✝] →\n AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) d\ni : Nat\nhi : i < (buckets.update i✝ d h).val.size\np : α × β\nh✝ : ¬i✝.toNat = i\nhp : p ∈ buckets.val.data[i].toList\n⊢ ((hash p.fst).toUSize % buckets.val.size).toNat = i"} {"_id": "205918", "text": "α : Type u_1\nc : RBColor\nn : Nat\ncmp : α → α → Ordering\np : Path α\nv : α\nt : RBNode α\nht : t.Balanced c n\ne : zoom (cmp v) t = (nil, p)\n⊢ t.toList = p.listL ++ p.listR ∧ (insert cmp t v).toList = p.listL ++ v :: p.listR"} {"_id": "205919", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : Semiring A\ninst✝ : Algebra R A\nS T : Set A\nM N P Q : Submodule R A\nm n : A\ns : Set A\n⊢ span R s ^ 0 = span R (s ^ 0)"} {"_id": "205920", "text": "ι : Sort uι\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nA : Type v\ninst✝¹ : Semiring A\ninst✝ : Algebra R A\nS T : Set A\nM N P Q : Submodule R A\nm n✝ : A\ns : Set A\nn : ℕ\n⊢ span R s ^ (n + 1) = span R (s ^ (n + 1))"} {"_id": "205923", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf g✝ : α → β\nc c₁ c₂ x : α\ninst✝¹ : Add α\ninst✝ : Monoid β\ng : α → β\nl : List (α → β)\nih : (∀ f ∈ l, Periodic f c) → Periodic l.prod c\nhl : ∀ f ∈ g :: l, Periodic f c\n⊢ Periodic (g :: l).prod c"} {"_id": "205924", "text": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf g✝ : α → β\nc c₁ c₂ x : α\ninst✝¹ : Add α\ninst✝ : Monoid β\ng : α → β\nl : List (α → β)\nih : (∀ f ∈ l, Periodic f c) → Periodic l.prod c\nhl : Periodic g c ∧ ∀ x ∈ l, Periodic x c\n⊢ Periodic (g :: l).prod c"} {"_id": "205925", "text": "R : Type u\nX : Type v\ninst✝² : CommRing R\nL : Type w\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nF : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L\n⊢ (lift R) (⇑F ∘ of R) = F"} {"_id": "205926", "text": "R : Type u\nX : Type v\ninst✝² : CommRing R\nL : Type w\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nF : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L\n⊢ (lift R) ((lift R).symm F) = F"} {"_id": "205927", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝¹ : ExistsAddOfLE α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na b c : α\n⊢ map (addLeftEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)"} {"_id": "205928", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝¹ : ExistsAddOfLE α\ninst✝ : LocallyFiniteOrder α\na b c : α\n⊢ ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (c + a) (c + b)"} {"_id": "205929", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK : HomologicalComplex C c\ni j k : ι\nhi : c.prev j = i\nhk : c.next j = k\ninst✝¹ : K.HasHomology j\ninst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology\n⊢ (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j"} {"_id": "205930", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK : HomologicalComplex C c\ni j k : ι\nhi : c.prev j = i\nhk : c.next j = k\ninst✝¹ : K.HasHomology j\ninst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology\n⊢ ShortComplex.cyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K) ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j"} {"_id": "205932", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\nι : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq ι\nc : ComplexShape ι\nj : ι\nA B : C\nf : A ⟶ B\n⊢ opcyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j B).inv = (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv ≫ f"} {"_id": "205933", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\n⊢ pullback.snd ≫ 𝒰.map i ≫ f = (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ≫ g"} {"_id": "205934", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\n⊢ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i = pullback.fst"} {"_id": "205936", "text": "case h\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\nj : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J\n⊢ ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).map j ≫\n pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i =\n ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).map j ≫ pullback.fst"} {"_id": "205937", "text": "case h\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\nj : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J\n⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i =\n pullback.fst ≫ pullback.fst"} {"_id": "205938", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\nj : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J\n⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i =\n pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ fV 𝒰 f g j i ≫ (gluing 𝒰 f g).ι j"} {"_id": "205942", "text": "case e_a\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\nj : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J\n⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ =\n (pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ t 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst"} {"_id": "205943", "text": "case e_a.h₀\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\nj : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J\n⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ pullback.fst =\n pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ t 𝒰 f g j i ≫ pullback.fst ≫ pullback.fst"} {"_id": "205944", "text": "case e_a.h₁\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\nj : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J\n⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ pullback.snd =\n pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ t 𝒰 f g j i ≫ pullback.fst ≫ pullback.snd"} {"_id": "205946", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g\ns : PullbackCone f g\ni : 𝒰.J\nj : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J\n⊢ pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ fV 𝒰 f g j i ≫ (gluing 𝒰 f g).ι j = pullback.fst ≫ pullback.fst"} {"_id": "205947", "text": "C : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\nX Y Z : Scheme\n𝒰 : X.OpenCover\nf : X ⟶ Z\ng : Y ⟶ Z\ninst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) 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Category.{v, u} V\ninst✝ : HasZeroMorphisms V\nc : ComplexShape ι\nX₁ : ι → V\nd₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j\ns₁ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₁ i j = 0\nh₁ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₁ i j ≫ d₁ j k = 0\nd₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j\ns₂ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₂ i j = 0\nh₂ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₂ i j ≫ d₂ j k = 0\nh_d :\n ∀ (i j : ι),\n c.Rel i j →\n { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ }.d i j ≫ eqToHom ⋯ =\n eqToHom ⋯ ≫ { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }.d i j\ni j : ι\nhij : c.Rel i j\n⊢ d₁ i j = d₂ i j"} {"_id": "205960", "text": "case component_integral\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\n⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)"} {"_id": "205961", "text": "case component_integral\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : ∃ x y, x ≠ y\n⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)"} {"_id": "205962", "text": "case component_integral\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis✝ : ∃ x y, x ≠ y\nthis : NoZeroDivisors ↑Γ(X, U)\n⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)"} {"_id": "205965", "text": "X : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑Γ(X, U)\ne : a * b = 0\n⊢ a = 0 ∨ b = 0"} {"_id": "205967", "text": "X : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑Γ(X, U)\ne : a * b = 0\nh : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty\n⊢ False"} {"_id": "205968", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑Γ(X, U)\ne : a * b = 0\nh : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty\nx✝ : ↥U\nhx₁ : x✝ ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) a)}\nx : ↥U\nhx₂ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) b)}\ne' : ↑x = ↑x✝\n⊢ False"} {"_id": "205971", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑Γ(X, U)\nh : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty\nx : ↥U\nhx₂ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) b)}\nhx₁ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) a)}\ne : (X.presheaf.germ x) (a * b) = (X.presheaf.germ x) 0\n⊢ False"} {"_id": "205972", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty ↥U\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑Γ(X, U)\nh : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty\nx : ↥U\nhx₂ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) b)}\nhx₁ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) a)}\ne : (X.presheaf.germ x) a * (X.presheaf.germ x) b = 0\n⊢ False"} {"_id": "205975", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\n⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1"} {"_id": "205976", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\n⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1"} {"_id": "205977", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\nthis : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}\n⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1"} {"_id": "205978", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\nthis : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}\na : R\nha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z\n⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1"} {"_id": "205979", "text": "case intro\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\nthis : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}\na : R\nha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z\n⊢ Submodule.Quotient.mk (f1.choose - a • z) = f 1"} {"_id": "205980", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\n⊢ p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}"} {"_id": "205982", "text": "case h.e'_2.h.e'_6\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\n⊢ p ^ k • 1 = 0"} {"_id": "205983", "text": "case h.e'_2.h.e'_6\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\n⊢ p ^ k • Submodule.Quotient.mk 1 = 0"} {"_id": "205984", "text": "case h.e'_2.h.e'_6\nR : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\n⊢ p ^ k ∈ Submodule.span R {p ^ k}"} {"_id": "205985", "text": "R : Type u\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : IsDomain R\ninst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R\nM : Type v\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nN : Type (max u v)\ninst✝¹ : AddCommGroup N\ninst✝ : Module R N\np : R\nhp : Irreducible p\nhM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)\ndec : (x : M) → Decidable (x = 0)\nz : M\nhz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)\nk : ℕ\nf : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}\nf1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1\nthis : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}\na : R\nha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z\n⊢ p ^ k • (f1.choose - a • z) = 0"} {"_id": "205986", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\n⊢ ((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom =\n (α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom"} {"_id": "205987", "text": "case H\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\n⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom) =\n (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)"} {"_id": "205988", "text": "case H.H\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\n⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) =\n (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom))"} {"_id": "205990", "text": "case H.H.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\n⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x =\n (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x"} {"_id": "205991", "text": "case H.H.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\n⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 =\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1"} {"_id": "205993", "text": "case H.H.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\ny : Y\n⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y =\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y"} {"_id": "205994", "text": "case H.H.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\ny : Y\n⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1 =\n (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1"} {"_id": "205996", "text": "case H.H.h.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\ny : Y\nz : Z\n⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle z =\n (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle z"} {"_id": "205997", "text": "case H.H.h.h.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\ny : Y\nz : Z\n⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle z)\n 1 =\n ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle z)\n 1"} {"_id": "205999", "text": "case H.H.h.h.h.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\ny : Y\nz : Z\na : X ⊗ Y ⊗ Z\n⊢ (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle z)\n 1)\n a =\n (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂\n ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫\n (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle y)\n 1 ∘ₗ\n Finsupp.lsingle z)\n 1)\n a"} {"_id": "206000", "text": "case H.H.h.h.h.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX Y Z : Type u\nx : X\ny : Y\nz : Z\na : X ⊗ Y ⊗ Z\n⊢ (Finsupp.mapDomain (α_ X Y Z).hom\n ((finsuppTensorFinsupp' R (X ⊗ Y) Z)\n ((finsuppTensorFinsupp' R X Y) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single y 1) ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1)))\n a =\n ((finsuppTensorFinsupp' R X (Y ⊗ Z))\n (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] (finsuppTensorFinsupp' R Y Z) (Finsupp.single y 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1)))\n a"} {"_id": "206003", "text": "case intro\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nC : Set (ℕ →. ℕ)\nf g : ℕ →. ℕ\nhf : Nat.Partrec f\nhg : Nat.Partrec g\nfC : f ∈ C\nw✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C\nh : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)\n⊢ g ∈ C"} {"_id": "206004", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nC : Set (ℕ →. ℕ)\nf g : ℕ →. ℕ\nhf : Nat.Partrec f\nhg : Nat.Partrec g\nfC : f ∈ C\nw✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C\nh : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)\nc : Code\ne :\n c.eval = fun b =>\n bif decide ((fun c => c.eval ∈ C) (c, b).1) then (fun a b => g (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2\n else (fun a b => f (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2\n⊢ g ∈ C"} {"_id": "206005", "text": "case intro.intro\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nC : Set (ℕ →. ℕ)\nf g : ℕ →. ℕ\nhf : Nat.Partrec f\nhg : Nat.Partrec g\nfC : f ∈ C\nw✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C\nh : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)\nc : Code\ne : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b\n⊢ g ∈ C"} {"_id": "206006", "text": "case pos\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nC : Set (ℕ →. ℕ)\nf g : ℕ →. ℕ\nhf : Nat.Partrec f\nhg : Nat.Partrec g\nfC : f ∈ C\nw✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C\nh : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)\nc : Code\ne : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b\nH : c.eval ∈ C\n⊢ g ∈ C"} {"_id": "206009", "text": "case neg\nα : Type u_1\nσ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable σ\nC : Set (ℕ →. ℕ)\nf g : ℕ →. ℕ\nhf : Nat.Partrec f\nhg : Nat.Partrec g\nfC : f ∈ C\nw✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C\nh : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)\nc : Code\ne : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b\nH : c.eval ∉ C\n⊢ g ∈ C"} {"_id": "206012", "text": "ι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ (homology'Functor V c i).map f = (homology'Functor V c i).map g"} {"_id": "206015", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ homology'.π (C.dTo i) (C.dFrom i) ⋯ ≫\n (homology'.map ⋯ ⋯ (Hom.sqTo f i) (Hom.sqFrom f i) ⋯ - homology'.map ⋯ ⋯ (Hom.sqTo g i) (Hom.sqFrom g i) ⋯) =\n homology'.π (C.dTo i) (C.dFrom i) ⋯ ≫ 0"} {"_id": "206016", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ kernelSubobjectMap (Hom.sqFrom f i) ≫ homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ -\n kernelSubobjectMap (Hom.sqFrom g i) ≫ homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =\n 0"} {"_id": "206018", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru\n ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ ((dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i)) ⋯ ≫\n homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ -\n (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ ≫\n homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =\n 0"} {"_id": "206019", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru\n ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom + (kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ ≫\n homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ -\n (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ ≫\n homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =\n 0"} {"_id": "206020", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ ((kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru\n ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom + (kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ -\n (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯) ≫\n homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =\n 0"} {"_id": "206021", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom) ⋯ ≫\n homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =\n 0"} {"_id": "206023", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ (D.boundaries i).Factors ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom)"} {"_id": "206024", "text": "case h.p\nι : Type u_1\nV : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} V\ninst✝⁴ : Preadditive V\nc : ComplexShape ι\nC D E : HomologicalComplex V c\nf g : C ⟶ D\nh✝ k : D ⟶ E\ni✝ : ι\ninst✝³ : HasEqualizers V\ninst✝² : HasCokernels V\ninst✝¹ : HasImages V\ninst✝ : HasImageMaps V\nh : Homotopy f g\ni : ι\n⊢ (D.boundaries i).Factors (((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (toPrev i) h.hom) ≫ D.dTo i)"} {"_id": "206025", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝² : CommMonoid M\ninst✝¹ : CommMonoid N\nf✝ g✝ : α → M\na b : α\ns t : Set α\nf : α → β\nhf : Injective f\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f\ng : α → M\n⊢ (∏ᶠ (b : β), if h : b ∈ range f then g (Classical.choose h) else 1) = ∏ᶠ (a : α), g a"} {"_id": "206026", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝² : CommMonoid M\ninst✝¹ : CommMonoid N\nf✝ g✝ : α → M\na b : α\ns t : Set α\nf : α → β\nhf : Injective f\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f\ng : α → M\n⊢ ∏ᶠ (b : β) (h : b ∈ range f), g (Classical.choose h) = ∏ᶠ (a : α), g a"} {"_id": "206028", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝² : CommMonoid M\ninst✝¹ : CommMonoid N\nf✝ g✝ : α → M\na✝ b : α\ns t : Set α\nf : α → β\nhf : Injective f\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f\ng : α → M\na : α\n⊢ (if h' : f a ∈ range f then g (Classical.choose h') else 1) = g a"} {"_id": "206029", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nhb : b < 0\n⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Icc a b)"} {"_id": "206030", "text": "case h.e'_5.h.h.e'_3\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝ : LinearOrderedField α\na b c d : α\nn : ℤ\nhb : b < 0\nx✝ : α\n⊢ x✝ = x✝ - 0"} {"_id": "206032", "text": "α : Type u_1\nG : Type u_2\nA : Type u_3\nS✝ : Type u_4\ninst✝¹ : Group G\ninst✝ : AddGroup A\ns : Set G\nι : Sort u_5\nS : ι → Subgroup G\nC : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop\nhp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯\nh1 : C 1 ⋯\nhmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯\nx : G\nhx : x ∈ ⨆ i, S i\n⊢ ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h"} {"_id": "206037", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : FloorRing α\nz : ℤ\na✝ : α\nk : Type u_4\ninst✝¹ : LinearOrderedField k\ninst✝ : FloorRing k\nb a : k\nhb : 0 < b\n⊢ a < b + ↑⌊a / b⌋ * b"} {"_id": "206038", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝³ : LinearOrderedRing α\ninst✝² : FloorRing α\nz : ℤ\na✝ : α\nk : Type u_4\ninst✝¹ : LinearOrderedField k\ninst✝ : FloorRing k\nb a : k\nhb : 0 < b\n⊢ a / b < ↑⌊a / b⌋ + 1"} {"_id": "206039", "text": "α : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝ : CommMonoid M\ns₂ s₁ s : Finset α\na✝ : α\ng f✝ : α → M\na b : ℕ\nhab : a ≤ b\nf : ℕ → M\n⊢ ∏ k ∈ Ioc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ioc a b, f k) * f (b + 1)"} {"_id": "206040", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nf g φ ψ : K ⟶ L\ni : ι\ninst✝¹ : K.HasHomology i\ninst✝ : L.HasHomology i\n⊢ homologyMap (-φ) i = -homologyMap φ i"} {"_id": "206041", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Preadditive C\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nf g φ ψ : K ⟶ L\ni : ι\ninst✝¹ : K.HasHomology i\ninst✝ : L.HasHomology i\n⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c 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: Type u_1\nτ : Type u_2\nα : Type u_3\nR : Type u_4\nS : Type u_5\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nf : σ → τ\nd : σ →₀ ℕ\nr : R\n⊢ ∀ (b : τ) (m₁ m₂ : ℕ), X b ^ (m₁ + m₂) = X b ^ m₁ * X b ^ m₂"} {"_id": "206049", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nι : Sort u_1\np : ι → LieSubmodule R L M\n⊢ ↑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ↑(p i)"} {"_id": "206051", "text": "case h\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nN N' : LieSubmodule R L M\nI J : LieIdeal R L\nι : Sort u_1\np : ι → LieSubmodule R L M\nx✝ : M\n⊢ x✝ ∈ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} ↔ x✝ ∈ ⨆ i, ↑(p i)"} {"_id": "206052", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\nhS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ S.Exact"} {"_id": "206053", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\nhS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ Mono S.fromOpcycles"} {"_id": "206055", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\nhS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ S.fromOpcycles ≫ hS.desc (CokernelCofork.ofπ S.pOpcycles ⋯) = 𝟙 S.opcycles"} {"_id": "206056", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D\ninst✝² : Preadditive C\ninst✝¹ : Preadditive D\nS : ShortComplex C\nhS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ S.g ≫ hS.desc (CokernelCofork.ofπ S.pOpcycles ⋯) = S.pOpcycles"} {"_id": "206057", "text": "cf cg : Code\n⊢ encode cf < encode (cf.pair cg) ∧ encode cg < encode (cf.pair cg)"} {"_id": "206058", "text": "cf cg : Code\n⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧\n cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4"} {"_id": "206059", "text": "cf cg : Code\nthis : 1 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * 2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode\n⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧\n cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4"} {"_id": "206060", "text": "cf cg : Code\nthis : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)\n⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧\n cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4"} {"_id": "206061", "text": "cf cg : Code\nthis✝ : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)\nthis : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4\n⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧\n cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4"} {"_id": "206064", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{?u.30003, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : A ⟶ K.X i\nj : ι\nhj : c.next i = j\ni' : ι\nx : A ⟶ K.X i'\nhx : k = x ≫ K.d i' i\n⊢ k ≫ K.d i j = 0"} {"_id": "206067", "text": "case pos\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : A ⟶ K.X i\nj : ι\nhj : c.next i = j\nx : A ⟶ K.X (c.prev i)\nhx : k = x ≫ K.d (c.prev i) i\nh : c.Rel (c.prev i) i\n⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ ≫ K.homologyπ i = 0"} {"_id": "206068", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : A ⟶ K.X i\nj : ι\nhj : c.next i = j\ni' : ι\nx : A ⟶ K.X i'\nhx : k = x ≫ K.d i' i\nh : ¬c.Rel i' i\n⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ ≫ K.homologyπ i = 0"} {"_id": "206069", "text": "case neg\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : A ⟶ K.X i\nj : ι\nhj : c.next i = j\ni' : ι\nx : A ⟶ K.X i'\nhx : k = x ≫ K.d i' i\nh : ¬c.Rel i' i\nthis : K.liftCycles k j hj ⋯ = 0\n⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ ≫ K.homologyπ i = 0"} {"_id": "206070", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : A ⟶ K.X i\nj : ι\nhj : c.next i = j\ni' : ι\nx : A ⟶ K.X i'\nhx : k = x ≫ K.d i' i\nh : ¬c.Rel i' i\n⊢ k ≫ K.d i j = 0"} {"_id": "206071", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : A ⟶ K.X i\nj : ι\nhj : c.next i = j\ni' : ι\nx : A ⟶ K.X i'\nhx : k = x ≫ K.d i' i\nh : ¬c.Rel i' i\n⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ = 0"} {"_id": "206072", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L M : HomologicalComplex C c\nφ : K ⟶ L\nψ : L ⟶ M\ni j✝ k✝ : ι\ninst✝ : K.HasHomology i\nA : C\nk : A ⟶ K.X i\nj : ι\nhj : c.next i = j\ni' : ι\nx : A ⟶ K.X i'\nhx✝ : k = x ≫ K.d i' i\nhx : k = 0\nh : ¬c.Rel i' i\n⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ = 0"} {"_id": "206073", "text": "i : Nat\nself : UnionFind\nx : Fin self.size\nh' : (self.arr.get x).parent = ↑x\n⊢ parentD (self.findAux x).s i ≠ i → self.rank i < self.rank (parentD (self.findAux x).s i)"} {"_id": "206075", "text": "i : Nat\nself : UnionFind\nx : Fin self.size\nh' : ¬(self.arr.get x).parent = ↑x\n⊢ parentD (self.findAux x).s i ≠ i → self.rank i < self.rank (parentD (self.findAux x).s i)"} {"_id": "206078", "text": "case isTrue\nself : UnionFind\nx : Fin self.size\nh'✝ : ¬(self.arr.get x).parent = ↑x\nh' : self.rootD ↑x ≠ ↑x\n⊢ self.rank ↑x < self.rank (self.rootD ↑x)"} {"_id": "206079", "text": "case isFalse\ni : Nat\nself : UnionFind\nx : Fin self.size\nh'✝ : ¬(self.arr.get x).parent = ↑x\nh : ¬i = ↑x\nh' : parentD (self.findAux ⟨(self.arr.get x).parent, ⋯⟩).s i ≠ i\n⊢ self.rank i < self.rank (parentD (self.findAux ⟨(self.arr.get x).parent, ⋯⟩).s i)"} {"_id": "206081", "text": "R : Type u_1\ninst✝² : CommSemiring R\nX : Type u_2\nA : Type u_3\ninst✝¹ : Semiring A\ninst✝ : Algebra R A\nf : X → A\n⊢ FreeAlgebra.liftAux R f = (lift R) f"} {"_id": "206083", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedSemiring α\ninst✝ : FloorSemiring α\na : α\nn : ℕ\n⊢ 1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ 0 < a"} {"_id": "206084", "text": "R : Type u\ninst✝² : CommRing R\nS : Type u\ninst✝¹ : CommRing S\nP : Type u\ninst✝ : CommRing P\nU V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhUV : U = V\np : ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhpV : p ∈ V.carrier\n⊢ p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier"} {"_id": "206086", "text": "R : Type u\ninst✝² : CommRing R\nS : Type u\ninst✝¹ : CommRing S\nP : Type u\ninst✝ : CommRing P\nU V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)\nhUV : U = V\n⊢ comap (RingHom.id R) U V ⋯ = eqToHom ⋯"} {"_id": "206087", "text": "R : Type r\nS : Type s\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : WeierstrassCurve R\n⊢ W.Φ 0 = 1"} {"_id": "206088", "text": "R : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝⁶ : CommRing R\ninst✝⁵ : LieRing L\ninst✝⁴ : LieAlgebra R L\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : LieRingModule L M\ninst✝ : LieModule R L M\nk✝ : ℕ\nN N₁ N₂ : LieSubmodule R L M\nk : ℕ\n⊢ lcs k N₁ ≤ N₂ ↔ N₁ ≤ ucs k N₂"} {"_id": "206090", "text": "l m r : List Char\np : Char → Bool\n⊢ ValidFor l (List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m ++ r)\n ({ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },\n stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.takeWhile\n p)"} {"_id": "206092", "text": "case refine'_1\nl m r : List Char\np : Char → Bool\n⊢ m ++ r = List.takeWhile p m ++ (List.dropWhile p m ++ r)"} {"_id": "206093", "text": "ι : Type u_1\nα✝ : Type u_2\nβ✝ : Type u_3\nγ : Type u_4\n𝕜 : Type u_5\nR : Type u_6\nM : Type u_7\nN : Type u_8\nα : Type u_9\nβ : Type u_10\ninst✝⁵ : DivisionSemiring α\ninst✝⁴ : NeZero 2\ninst✝³ : Lattice β\ninst✝² : AddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nx y : β\n⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)"} {"_id": "206094", "text": "ι : Type u_1\nα✝ : Type u_2\nβ✝ : Type u_3\nγ : Type u_4\n𝕜 : Type u_5\nR : Type u_6\nM : Type u_7\nN : Type u_8\nα : Type u_9\nβ : Type u_10\ninst✝⁵ : DivisionSemiring α\ninst✝⁴ : NeZero 2\ninst✝³ : Lattice β\ninst✝² : AddCommGroup β\ninst✝¹ : Module α β\ninst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1\nx y : β\nthis : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯\n⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)"} {"_id": "206096", "text": "ι : Type u_1\nι' : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nc' : ComplexShape ι'\nC : Type u_3\ninst✝² : Category.{u_4, u_3} C\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nK : HomologicalComplex C c\ne : c.Embedding c'\n⊢ IsZero (X K none)"} {"_id": "206098", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c\nh₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b\nh : ¬b ≡ a [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]\n⊢ False"} {"_id": "206099", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c\nh₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b\nh : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]\n⊢ False"} {"_id": "206100", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c\nh₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b\nh : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]\n⊢ False"} {"_id": "206101", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\nh₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c\nh₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIcoMod hp a b\nh : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]\n⊢ False"} {"_id": "206104", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nS S₁ S₂ : ShortComplex C\nhS : S.ShortExact\nF : C ⥤ D\ninst✝² : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝¹ : PreservesFiniteLimits F\ninst✝ : PreservesFiniteColimits F\nthis✝ : Mono S.f\nthis : Epi S.g\n⊢ (S.map F).ShortExact"} {"_id": "206105", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nS S₁ S₂ : ShortComplex C\nhS : S.ShortExact\nF : C ⥤ D\ninst✝² : F.PreservesZeroMorphisms\ninst✝¹ : PreservesFiniteLimits F\ninst✝ : PreservesFiniteColimits F\nthis✝¹ : Mono S.f\nthis✝ : Epi S.g\nthis : Mono (F.map S.f)\n⊢ (S.map F).ShortExact"} {"_id": "206107", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\nX Y : R\n⊢ W.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y"} {"_id": "206109", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Projective R\nX Y : R\n⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ∧\n (W.a₁ * Y * 1 ≠ 3 * X ^ 2 + 2 * W.a₂ * X * 1 + W.a₄ * 1 ^ 2 ∨\n Y * 1 ≠ -Y * 1 - W.a₁ * X * 1 - W.a₃ * 1 ^ 2 ∨\n Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y * 1 ≠ W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X * 1 + 3 * W.a₆ * 1 ^ 2) ↔\n W.toAffine.Nonsingular X Y"} {"_id": "206112", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\n⊢ (ρ_ ((free R).obj X)).hom = (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom"} {"_id": "206113", "text": "case H\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\n⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom =\n (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂\n ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom)"} {"_id": "206115", "text": "case H.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx : X\n⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x =\n (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂\n ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x"} {"_id": "206116", "text": "case H.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx : X\n⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 =\n ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂\n ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1"} {"_id": "206117", "text": "case H.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx : X\n⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1)\n 1 =\n (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂\n ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1)\n 1"} {"_id": "206119", "text": "case H.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx x' : X\n⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x)\n 1)\n 1)\n x' =\n ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂\n ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1)\n 1)\n x'"} {"_id": "206120", "text": "case H.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx x' : X\nq : X →₀ R := (ρ_ (of R (X →₀ R))).hom (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] 1)\n⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x)\n 1)\n 1)\n x' =\n ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂\n ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ\n Finsupp.lsingle x)\n 1)\n 1)\n x'"} {"_id": "206121", "text": "case H.h.h.h.h\nR : Type u\ninst✝ : CommRing R\nX : Type u\nx x' : X\nq : X →₀ R := (ρ_ (of R (X →₀ R))).hom (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] 1)\n⊢ q x' =\n (Finsupp.mapDomain (ρ_ X).hom\n ((finsuppTensorFinsupp' R X (𝟙_ (Type u))) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single PUnit.unit 1)))\n x'"} {"_id": "206122", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf g : α →. σ\nhf : Partrec f\nhg : Partrec g\nH : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y\nk : α →. σ\nhk : Partrec k\nK : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)\na : α\nx : σ\nh : x ∈ f a ∨ x ∈ g a\n⊢ x ∈ k a"} {"_id": "206124", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf g : α →. σ\nhf : Partrec f\nhg : Partrec g\nH : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y\nk : α →. σ\nhk : Partrec k\nK : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)\na : α\nx : σ\nh : x ∈ f a ∨ x ∈ g a\nthis : (k a).Dom\n⊢ (k a).get this = x"} {"_id": "206125", "text": "case inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf g : α →. σ\nhf : Partrec f\nhg : Partrec g\nH : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y\nk : α →. σ\nhk : Partrec k\nK : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)\na : α\nx : σ\nthis : (k a).Dom\nh : x ∈ f a\nh' : (k a).get this ∈ f a\n⊢ (k a).get this = x"} {"_id": "206126", "text": "case inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf g : α →. σ\nhf : Partrec f\nhg : Partrec g\nH : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y\nk : α →. σ\nhk : Partrec k\nK : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)\na : α\nx : σ\nthis : (k a).Dom\nh : x ∈ f a\nh' : (k a).get this ∈ g a\n⊢ (k a).get this = x"} {"_id": "206128", "text": "case inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nσ : Type u_4\ninst✝³ : Primcodable α\ninst✝² : Primcodable β\ninst✝¹ : Primcodable γ\ninst✝ : Primcodable σ\nf g : α →. σ\nhf : Partrec f\nhg : Partrec g\nH : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y\nk : α →. σ\nhk : Partrec k\nK : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)\na : α\nx : σ\nthis : (k a).Dom\nh : x ∈ g a\nh' : (k a).get this ∈ g a\n⊢ (k a).get this = x"} {"_id": "206135", "text": "case succ\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero α\np : α\nn : ℕ\nhp : Prime (p ^ (n + 1))\n⊢ n + 1 = 1"} {"_id": "206136", "text": "case succ\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero α\np : α\nn : ℕ\nhp : Prime (p ^ (n + 1))\n⊢ n = 0"} {"_id": "206139", "text": "case succ.inl.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝ : CancelCommMonoidWithZero α\np : α\nn : ℕ\nhp : Prime p\nhpn : IsUnit (p ^ n)\ncontra : ¬n = 0\n⊢ False"} {"_id": "206143", "text": "G : Type u_1\nH : Type u_2\ninst✝¹ : Mul G\ninst✝ : Mul H\nA B : Finset G\na0 b0 : G\nf : G ↪ H\nmul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y\n⊢ UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0"} {"_id": "206146", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedSemiring α\ninst✝ : FloorSemiring α\nn : ℕ\nha : 0 ≤ 0\n⊢ ⌊0⌋₊ = 0"} {"_id": "206147", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nx : ℝ\nhx : 1 < x\n⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "206148", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nx : ℝ\nhx : 1 < x\nthis : log x ≠ 0\n⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "206149", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\nx : ℝ\nhx : 1 < x\nthis : log x ≠ 0\n⊢ deriv (fun z => 1 / log z) x = -x⁻¹ / log x ^ 2"} {"_id": "206151", "text": "l mr lm r : List Char\ne :\n lm ++ r =\n { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },\n stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.str.data\nh :\n { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },\n stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.startPos ≤\n { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },\n stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.stopPos\n⊢ ∃ l_1 m r,\n ValidFor l_1 m r\n { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },\n stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }"} {"_id": "206152", "text": "l mr lm r : List Char\ne : lm ++ r = l ++ mr\nh : utf8Len l ≤ utf8Len lm\n⊢ ∃ l_1 m r,\n ValidFor l_1 m r\n { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }"} {"_id": "206153", "text": "l mr lm r : List Char\ne : lm ++ r = l ++ mr\nh : utf8Len l ≤ utf8Len lm\nthis : ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r\n⊢ ∃ l_1 m r,\n ValidFor l_1 m r\n { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }\n\ncase x\nl mr lm r : List Char\ne : lm ++ r = l ++ mr\nh✝ : utf8Len l ≤ utf8Len lm\nh : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr\n⊢ ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r"} {"_id": "206154", "text": "l mr lm r : List Char\ne : lm ++ r = l ++ mr\nh : utf8Len l ≤ utf8Len lm\nthis : ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r\n⊢ ∃ l_1 m r,\n ValidFor l_1 m r\n { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }"} {"_id": "206155", "text": "l mr lm r : List Char\ne : lm ++ r = l ++ mr\nh✝ : utf8Len l ≤ utf8Len lm\nh : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr\n⊢ ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r"} {"_id": "206156", "text": "l mr lm r : List Char\nh✝ : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr\nm : List Char\ne : lm ++ (m ++ mr) = lm ++ m ++ mr\nh : utf8Len (lm ++ m) ≤ utf8Len lm\n⊢ ∃ c', lm = lm ++ m ++ c' ∧ mr = c' ++ (m ++ mr)"} {"_id": "206157", "text": "l mr lm r : List Char\nh✝ : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr\nm : List Char\ne : lm ++ (m ++ mr) = lm ++ m ++ mr\nh : utf8Len lm + utf8Len m ≤ utf8Len lm\n⊢ ∃ c', lm = lm ++ m ++ c' ∧ mr = c' ++ (m ++ mr)"} {"_id": "206162", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\n⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f"} {"_id": "206163", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\n⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f"} {"_id": "206164", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\nr : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)\nh₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)\nh₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)\n⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f"} {"_id": "206165", "text": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\nthis✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)\nr : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)\nh₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)\nh₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)\nthis : ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)\n⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f"} {"_id": "206167", "text": "case h\nX Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\nthis✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)\nr : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)\nh₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)\nh₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)\nthis : ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)\n⊢ ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ≤ V ∧ ↑x ∈ ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)"} {"_id": "206168", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\nr : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)\nh₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)\nh₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)\n⊢ ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)"} {"_id": "206169", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\nr : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)\nh₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)\nh₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)\n⊢ X.basicOpen ((Scheme.Hom.invApp (X.ofRestrict ⋯) ⊤) r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)"} {"_id": "206170", "text": "X Y : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : IsAffineOpen U\nf : ↑Γ(X, U)\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : ↥V\nh : ↑x ∈ U\nthis : IsAffine (X.restrict ⋯)\nr : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)\nh₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)\nh₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)\n⊢ X.basicOpen ((LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.invApp (X.ofRestrict ⋯) ⊤) r) =\n X.basicOpen ((𝟙 Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)) r)"} {"_id": "206174", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\nx : ↥H\nhx : x ∈ corootSpace α\n⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x) = 0"} {"_id": "206175", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\nx : ↥H\nhx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}\n⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x) = 0"} {"_id": "206176", "text": "case mem\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : 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y ∈ rootSpace H α\nz : L\nhz : z ∈ rootSpace H (-α)\nhyz : ⁅y, z⁆ = ↑u\n⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) u) = 0"} {"_id": "206179", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\nx u : ↥H\ny : L\nhy : y ∈ rootSpace H α\nz : L\nhz : z ∈ rootSpace H (-α)\nhyz : ⁅y, z⁆ = ↑u\nf : Module.End R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q) :=\n {\n toFun := fun x =>\n match x with\n | ⟨m, hm⟩ => ⟨⁅y, m⁆, ⋯⟩,\n map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }\n⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) u) = 0"} {"_id": "206180", "text": "case intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : LieRing L\ninst✝⁶ : LieAlgebra R L\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\nH : LieSubalgebra R L\nα χ : ↥H → R\np q : ℤ\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\nhp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥\nhq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥\nx u : ↥H\ny : L\nhy : y ∈ rootSpace H α\nz : L\nhz : z ∈ rootSpace H (-α)\nhyz : ⁅y, z⁆ = ↑u\nf : Module.End R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q) :=\n {\n toFun := fun x =>\n match x with\n | ⟨m, hm⟩ => ⟨⁅y, m⁆, ⋯⟩,\n map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }\ng : Module.End R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q) :=\n {\n toFun := fun x =>\n match x with\n | ⟨m, hm⟩ => ⟨⁅z, m⁆, ⋯⟩,\n map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }\n⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) u) = 0"} {"_id": "206191", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nM : Type u_4\nN : Type u_5\nP : Type u_6\nG : Type u_7\ninst✝ : Monoid M\nl : List Mᵐᵒᵖ\n⊢ unop l.prod = (map unop l).reverse.prod"} {"_id": "206192", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq : ℚ\nha : 0 < a\nb : β\nhba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a\n⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c"} {"_id": "206193", "text": "case inr\nF : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq : ℚ\nha : 0 < a\nb : β\nhba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a\nhb : 0 ≤ b\n⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c"} {"_id": "206194", "text": "case inr.intro.intro.intro\nF : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : 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LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq✝ : ℚ\nha : 0 < a\nb : β\nhba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a\nhb : 0 ≤ b\nq : ℚ\nhq : 0 < q\nhbq : b < ↑(q ^ 2)\nhqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a\n⊢ ↑(q ^ 2) < a * a"} {"_id": "206198", "text": "case inr.intro.intro.intro\nF : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq✝ : ℚ\nha : 0 < a\nb : β\nhba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a\nhb : 0 ≤ b\nq : ℚ\nhq : 0 < q\nhbq : b < ↑(q ^ 2)\nhqa : ↑q * ↑q < inducedMap α β a * inducedMap α β a\n⊢ ↑q * ↑q < a * a"} {"_id": "206199", "text": "case inr.intro.intro.intro.intro.intro\nF : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq✝ : ℚ\nha : 0 < a\nb : β\nhba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a\nhb : 0 ≤ b\nq : ℚ\nhq : 0 < q\nhbq : b < ↑(q ^ 2)\nhqa : ↑q * ↑q < inducedMap α β a * inducedMap α β a\nq' : ℚ\nhq' : ↑q < ↑q'\nhqa' : ↑q' < a\n⊢ ↑q * ↑q < a * a"} {"_id": "206201", "text": "case inl\nF : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq : ℚ\nha : 0 < a\nb : β\nhba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a\nhb : b < 0\n⊢ 0 ∈ cutMap β (a * a)"} {"_id": "206202", "text": "case inl\nF : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : LinearOrderedField α\ninst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β\ninst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ\ninst✝ : Archimedean α\na : α\nb✝ : β\nq : ℚ\nha : 0 < a\nb : β\nhba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a\nhb : b < 0\n⊢ 0 < a * a"} {"_id": "206204", "text": "R : Type r\nS : Type s\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : WeierstrassCurve R\n⊢ W.φ 4 = C X * C W.preΨ₄ ^ 2 * W.ψ₂ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 4 * C W.Ψ₃ + C W.Ψ₃ ^ 4"} {"_id": "206207", "text": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nW' : Jacobian R\nF : Type v\ninst✝ : Field F\nW : Jacobian F\nP Q : Fin 3 → F\nhP : W.Equation P\nhQ : W.Equation Q\nhPz : P z ≠ 0\nhQz : Q z ≠ 0\nhx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2\n⊢ W.add P Q =\n addZ P Q •\n ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)\n (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),\n 1]"} {"_id": "206208", "text": "G : Type u_1\ninst✝² : Group G\nA : Type u_2\ninst✝¹ : AddGroup A\nS : Set G\ninst✝ : Finite ↑S\nx : G\nh : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S\n⊢ x ∈ setNormalizer S"} {"_id": "206209", "text": "G : Type u_1\ninst✝² : Group G\nA : Type u_2\ninst✝¹ : AddGroup A\nS : Set G\ninst✝ : Finite ↑S\nx : G\nh : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S\nthis : (a : Prop) → Decidable a\n⊢ x ∈ setNormalizer S"} {"_id": "206210", "text": "case intro\nG : Type u_1\ninst✝² : Group G\nA : Type u_2\ninst✝¹ : AddGroup A\nS : Set G\ninst✝ : Finite ↑S\nx : G\nh : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S\nthis : (a : Prop) → Decidable a\nval✝ : Fintype ↑S\n⊢ x ∈ setNormalizer S"} {"_id": "206211", "text": "case intro\nG : Type u_1\ninst✝² : Group G\nA : Type u_2\ninst✝¹ : AddGroup A\nS : Set G\ninst✝ : Finite ↑S\nx : G\nh : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S\nthis✝ : (a : Prop) → Decidable a\nval✝ : Fintype ↑S\nthis : Fintype ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)\n⊢ x ∈ setNormalizer S"} {"_id": "206212", "text": "G : Type u_1\ninst✝² : Group G\nA : Type u_2\ninst✝¹ : AddGroup A\nS : Set G\ninst✝ : Finite ↑S\nx : G\nh : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S\nthis✝ : (a : Prop) → Decidable a\nval✝ : Fintype ↑S\nthis : Fintype ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)\nn : G\nh₁ : x * n * x⁻¹ ∈ S\n⊢ Fintype.card ↑S ≤ Fintype.card ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)"} {"_id": "206214", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Category.{?u.227590, u_2} D\ninst✝¹ : Abelian C\nS : ShortComplex C\nhS : S.Exact\nP : C\nf : P ⟶ S.X₂\ninst✝ : Projective P\nhf : f ≫ S.g = 0\nthis : Epi S.toCycles\n⊢ hS.liftFromProjective f hf ≫ S.f = f"} {"_id": "206215", "text": "C : Type u_1\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝² : Category.{?u.227590, u_2} D\ninst✝¹ : Abelian C\nS : ShortComplex C\nhS : S.Exact\nP : C\nf : P ⟶ S.X₂\ninst✝ : Projective P\nhf : f ≫ S.g = 0\nthis : Epi S.toCycles\n⊢ Projective.factorThru (S.liftCycles f hf) S.toCycles ≫ S.f = f"} {"_id": "206216", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nn : ℕ\nR : Type u_3\ninst✝ : CommSemiring R\na b : R\n⊢ ∑ s : Finset (Fin n), a ^ s.card * b ^ (n - s.card) = (a + b) ^ n"} {"_id": "206217", "text": "R : Type u\nS : Type v\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\nx y : PrimeSpectrum R\n⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}"} {"_id": "206218", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na : α\nf✝ g : α → β\ninst✝¹ : DecidableEq ι\ninst✝ : CancelCommMonoid α\ns t : Finset ι\nf : ι → α\n⊢ (∏ i ∈ t \\ s, f i) * ∏ i ∈ s, f i = (∏ i ∈ s \\ t, f i) * ∏ i ∈ t, f i"} {"_id": "206219", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nt : RBSet α cmp\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsCut cmp cut\n⊢ (∃ x, t.lowerBoundP? cut = some x) ↔ ∃ x, x ∈ t ∧ cut x ≠ Ordering.lt"} {"_id": "206220", "text": "α : Type u_1\ncmp : α → α → Ordering\ncut : α → Ordering\nt : RBSet α cmp\ninst✝¹ : TransCmp cmp\ninst✝ : IsCut cmp cut\n⊢ (∃ x, x ∈ t.val ∧ ¬cut x = Ordering.lt) ↔ ∃ x, (∃ y, y ∈ t.val ∧ cmp x y = Ordering.eq) ∧ ¬cut x = Ordering.lt"} {"_id": "206221", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\nα : ↥H → R\nx : ↥H\n⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}"} {"_id": "206222", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\nα : ↥H → R\nx : ↥H\nthis : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)\n⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}"} {"_id": "206223", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra\ninst✝ : IsNoetherian R L\nα : ↥H → R\nx : ↥H\nthis : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)\n⊢ ↑x ∈\n Submodule.span R\n {x |\n ∃ a b,\n ↑H.toLieSubmodule.incl\n (↑(LieModuleHom.codRestrict H.toLieSubmodule\n ((rootSpace H 0).incl.comp (rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯)) ⋯)\n (a ⊗ₜ[R] b)) =\n x} ↔\n ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ ↑(rootSpace H α), ∃ z ∈ ↑(rootSpace H (-α)), ⁅y, z⁆ = x}"} {"_id": "206225", "text": "R : Type u_1\nL : Type u_2\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\nH : LieSubalgebra R L\ninst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H\nM : Type u_3\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : 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{"_id": "206242", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)\n⊢ DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)"} {"_id": "206243", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)\nz : ℝ\nhz : z ∈ Set.Ioi 1\n⊢ z ∈ {0}ᶜ"} {"_id": "206244", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)\nz : ℝ\nhz : z ∈ Set.Ioi 1\n⊢ z ≠ 0"} {"_id": "206245", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)\nz : ℝ\nhz : 1 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b * (1 - ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nn : ℕ\nhn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n\nhn' : 1 < n\nh₁ : 0 < b i\n⊢ b i * ↑n ≤ ↑n"} {"_id": "206301", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nn : ℕ\nhn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n\nhn' : 1 < n\nh₁ : 0 < b i\n⊢ 1 * ↑n = ↑n"} {"_id": "206303", "text": "α : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Nonempty α\nT : ℕ → ℝ\ng : ℝ → ℝ\na b : α → ℝ\nr : α → ℕ → ℕ\nR : AkraBazziRecurrence T g a b r\ni : α\nq : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)\nh_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)\nh_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)\nh_main_norm :\n (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖\nh_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)\nn : ℕ\nhn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)\nthis : 0 < b i\n⊢ q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)"} {"_id": "206311", "text": "case h\nR : Type u\nA : Type v\ninst✝² : CommSemiring R\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\na : A\nr : Rˣ\nx : R\nx_eq : x = r • r⁻¹ • x\n⊢ r • r⁻¹ • x ∈ σ (r • a) ↔ x ∈ r • σ a"} {"_id": "206318", "text": "arr : Array UFNode\nx y : Fin arr.size\nh : (arr.get x).rank < (arr.get y).rank\ni : Nat\nrankD_lt : parentD arr i ≠ i → rankD arr i < rankD arr (parentD arr i)\n⊢ ∀ {i : Nat},\n rankD (arr.set x { parent := ↑y, rank := (arr.get x).rank }) i =\n if ↑y = i ∧ (arr.get x).rank = (arr.get y).rank then (arr.get y).rank + 1 else rankD arr i"} {"_id": "206319", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\ns s' : Set A\n⊢ zeroLocus 𝒜 s ∪ zeroLocus 𝒜 s' = zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')"} {"_id": "206321", "text": "J : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} J\nF : J ⥤ AddCommGrp\nj j' : J\nf : j ⟶ j'\nx : ↑(F.obj j)\n⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x"} {"_id": "206323", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : S₁.HasLeftHomology\ninst✝ : S₂.HasLeftHomology\n⊢ (leftHomologyMap φ).op = S₂.rightHomologyOpIso.inv ≫ rightHomologyMap (opMap φ) ≫ S₁.rightHomologyOpIso.hom"} {"_id": "206324", "text": "C : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : S₁.HasLeftHomology\ninst✝ : S₂.HasLeftHomology\n⊢ (leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData).op =\n rightHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.leftHomologyData.op S₂.op.rightHomologyData ≫\n rightHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.rightHomologyData S₁.op.rightHomologyData ≫\n rightHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.rightHomologyData S₁.leftHomologyData.op"} {"_id": "206325", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nA : C\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : S₁.HasHomology\ninst✝ : S₂.HasHomology\nh₁ : IsIso (cyclesMap φ)\nh₂ : Epi φ.τ₁\n⊢ IsIso (homologyMap φ)"} {"_id": "206326", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ✝ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nA : C\nφ : S₁ ⟶ S₂\ninst✝¹ : 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(pullback.snd ≫ pullback.snd) ⋯ ≫ pullback.fst) pullback.snd f\n (pullback.snd ≫ 𝒰.map i)"} {"_id": "206340", "text": "case x\nP : MorphismProperty Scheme\nhP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh : ∀ (i : 𝒰.J), P.universally pullback.snd\nX' Y' : Scheme\ni₁ : X' ⟶ X\ni₂ : Y' ⟶ Y\nf' : X' ⟶ Y'\nH : IsPullback f' i₁ i₂ f\ni : (𝒰.pullbackCover i₂).J\n⊢ IsPullback (pullback.fst ≫ i₁) pullback.snd f (pullback.fst ≫ i₂)"} {"_id": "206341", "text": "P : MorphismProperty Scheme\nhP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\n𝒰 : Y.OpenCover\nh : ∀ (i : 𝒰.J), P.universally pullback.snd\nX' Y' : Scheme\ni₁ : X' ⟶ X\ni₂ : Y' ⟶ Y\nf' : X' ⟶ Y'\nH : IsPullback f' i₁ i₂ f\ni : (𝒰.pullbackCover i₂).J\n⊢ (pullback.fst ≫ i₁) ≫ f = (pullback.snd ≫ pullback.snd) ≫ 𝒰.map i"} {"_id": "206342", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : SnakeInput C\n⊢ S.op.δ.unop = S.δ.op.unop"} {"_id": "206343", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : SnakeInput C\n⊢ pushout.inr.unop ≫ S.op.δ.unop ≫ pullback.snd.unop = pushout.inl.unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ pullback.fst.unop"} {"_id": "206344", "text": "case a\nC : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nS : SnakeInput C\n⊢ (pushout.inr.unop ≫ S.op.δ.unop ≫ pullback.snd.unop).op = (pushout.inl.unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ pullback.fst.unop).op"} {"_id": "206345", "text": "R : Type u_1\nA✝ : Type u_2\nB : Type u_3\nA : Type u_4\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : Algebra R B\nfe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }\na : A\nad : A[ε]\n⊢ (lift fe) (MulOpposite.op a • ad) = (lift fe) ad * (↑fe).1 a"} {"_id": "206346", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\n⊢ map f ⁅I₁, I₂⁆ ≤ ⁅map f I₁, map f I₂⁆"} {"_id": "206347", "text": "R : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\n⊢ ⁅I₁, I₂⁆ ≤ comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆"} {"_id": "206351", "text": "case intro.mk.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nx y₁ : L\nhy₁ : y₁ ∈ I₁\ny₂ : L\nhy₂ : y₂ ∈ I₂\nhx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x\n⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)"} {"_id": "206352", "text": "case intro.mk.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nx y₁ : L\nhy₁ : y₁ ∈ I₁\ny₂ : L\nhy₂ : y₂ ∈ I₂\nhx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x\nfy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩\n⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)"} {"_id": "206353", "text": "case intro.mk.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nx y₁ : L\nhy₁ : y₁ ∈ I₁\ny₂ : L\nhy₂ : y₂ ∈ I₂\nhx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x\nfy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩\nfy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩\n⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)"} {"_id": "206354", "text": "case intro.mk.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nx y₁ : L\nhy₁ : y₁ ∈ I₁\ny₂ : L\nhy₂ : y₂ ∈ I₂\nhx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x\nfy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩\nfy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩\n⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆"} {"_id": "206355", "text": "case intro.mk.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\nL' : Type w₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\ninst✝¹ : LieRing L'\ninst✝ : LieAlgebra R L'\nf : L →ₗ⁅R⁆ L'\nI : LieIdeal R L\nJ : LieIdeal R L'\nI₁ I₂ : LieIdeal R L\nx y₁ : L\nhy₁ : y₁ ∈ I₁\ny₂ : L\nhy₂ : y₂ ∈ I₂\nhx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x\nfy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩\nfy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩\n⊢ ⁅f y₁, f y₂⁆ ∈ ⁅map f I₁, map f I₂⁆"} {"_id": "206356", "text": "F : Type u_1\nι : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : DivisionCommMonoid α\nm : Multiset ι\nf g : ι → α\nn : ℤ\n⊢ (map (fun i => f i ^ n) m).prod = (map f m).prod ^ n"} {"_id": "206357", "text": "case h.e'_2.h.e'_3\nF : Type u_1\nι : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : DivisionCommMonoid α\nm : Multiset ι\nf g : ι → α\nn : ℤ\n⊢ map (fun i => f i ^ n) m = map (⇑(zpowGroupHom n)) (map f m)"} {"_id": "206358", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedRing α\ninst✝ : FloorRing α\nz : ℤ\na✝ a b : α\n⊢ fract (a + b) ≤ fract a + fract b"} {"_id": "206359", "text": "F : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\ninst✝¹ : LinearOrderedRing α\ninst✝ : FloorRing α\nz : ℤ\na✝ a b : α\n⊢ ⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋"} {"_id": "206362", "text": "case pos.h\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : c.Rel j j'\ni₂ : I₂\ni₁ : I₁\nh₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j\n⊢ K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ (K.totalFlipIsoX c j).hom ≫ K.D₁ c j j' =\n K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIsoX c j').hom"} {"_id": "206363", "text": "case pos.h\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : c.Rel j j'\ni₂ : I₂\ni₁ : I₁\nh₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j\n⊢ K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ (K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j ⋯) ≫ K.D₁ c j j' =\n K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫\n K.flip.D₂ c j j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯"} {"_id": "206365", "text": "case pos\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : c.Rel j j'\ni₂ : I₂\ni₁ : I₁\nh₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j\nh₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)\n⊢ c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.d₁ c i₁ i₂ j' =\n K.flip.d₂ c i₂ i₁ j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯"} {"_id": "206366", "text": "case pos\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ 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i₁ i₂ j' ⋯"} {"_id": "206372", "text": "case neg\nC : Type u_1\nI₁ : Type u_2\nI₂ : Type u_3\nJ : Type u_4\ninst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C\ninst✝⁶ : Preadditive C\nc₁ : ComplexShape I₁\nc₂ : ComplexShape I₂\nK : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂\nc : ComplexShape J\ninst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c\ninst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c\ninst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c\ninst✝² : K.HasTotal c\ninst✝¹ : K.flip.HasTotal c\ninst✝ : DecidableEq J\nj j' : J\nh₀ : ¬c.Rel j j'\n⊢ (K.totalFlipIsoX c j).hom ≫ K.D₁ c j j' = K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIsoX c j').hom"} {"_id": "206373", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a b"} {"_id": "206374", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na✝ b✝ c : α\nn : ℤ\na b : α\n⊢ toIocDiv hp a b • p ≤ toIcoDiv hp a b • p"} {"_id": "206375", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α\ninst✝² : ExistsAddOfLE α\ninst✝¹ : LocallyFiniteOrder α\ninst✝ : DecidableEq α\na b c : α\n⊢ image (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)"} {"_id": "206376", "text": "R : Type r\nS : Type s\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : CommRing S\nW : WeierstrassCurve R\nn : ℤ\n⊢ (mk W) (W.φ n) = (mk W) (C (W.Φ n))"} {"_id": "206378", "text": "case mp\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\nk : ℕ\nN : LieSubmodule R L M\nM₂ : Type w₁\ninst✝³ : AddCommGroup M₂\ninst✝² : Module R M₂\ninst✝¹ : LieRingModule L M₂\ninst✝ : LieModule R L M₂\nh : IsTrivial L M\n⊢ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥"} {"_id": "206382", "text": "case mpr\nR : Type u\nL : Type v\nM : Type w\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : 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u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : IsArtinian R M\nx : L\n⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)"} {"_id": "206396", "text": "case h.h.mk\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : IsArtinian R M\nx : L\nk : ℕ\nhk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)\nx✝ : M ⧸ posFittingComp R L M\nm : M\n⊢ ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)"} {"_id": "206397", "text": "case h.h.mk\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : 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L\nk : ℕ\nhk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)\nm : M\nF : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M\nx✝ : M ⧸ F\n⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F"} {"_id": "206402", "text": "case a\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : IsArtinian R M\nx : L\nk : ℕ\nhk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)\nm : M\nF : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M\nx✝ : M ⧸ F\n⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ posFittingCompOf R M x"} {"_id": "206403", "text": "case a\nK : Type u_1\nR : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝⁹ : CommRing R\ninst✝⁸ : LieRing L\ninst✝⁷ : LieAlgebra R L\ninst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L\ninst✝⁵ : AddCommGroup M\ninst✝⁴ : Module R M\ninst✝³ : LieRingModule L M\ninst✝² : LieModule R L M\ninst✝¹ : IsNoetherian R M\ninst✝ : IsArtinian R M\nx : L\nk : ℕ\nhk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)\nm : M\nF : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M\nx✝ : M ⧸ F\n⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ k)"} {"_id": "206405", "text": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nχ : LieCharacter R L\nx : L\nh : x ∈ derivedSeries R L 1\n⊢ χ x = 0"} {"_id": "206406", "text": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nχ : LieCharacter R L\nx : L\nh : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\n⊢ χ x = 0"} {"_id": "206408", "text": "case refine_1.intro.mk.intro.mk\nR : Type u\nL : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nχ : LieCharacter R L\nx : L\nh : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\nz : L\nhz : z ∈ ⊤\nw : L\nhw : w ∈ ⊤\n⊢ χ ⁅↑⟨z, hz⟩, ↑⟨w, hw⟩⁆ = 0"} {"_id": "206411", "text": "case refine_3\nR : Type u\nL : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nχ : LieCharacter R L\nx : L\nh : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\ny z : L\nhy : χ y = 0\nhz : χ z = 0\n⊢ χ (y + z) = 0"} {"_id": "206413", "text": "case refine_4\nR : Type u\nL : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : LieRing L\ninst✝ : LieAlgebra R L\nχ : LieCharacter R L\nx : L\nh : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}\nt : R\ny : L\nhy : χ y = 0\n⊢ χ (t • y) = 0"} {"_id": "206414", "text": "α : Type u\nβ : Type v\nx : α\nl : List α\nk : Nat\n⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l.get? i = some x"} {"_id": "206416", "text": "case h\nR✝ : Type u_1\nA✝ : Type u_2\ninst✝¹³ : CommSemiring R✝\ninst✝¹² : NonUnitalRing A✝\ninst✝¹¹ : Module R✝ A✝\ninst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝\ninst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝\nR : Type u_3\nS : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : Semifield R\ninst✝⁷ : Field S\ninst✝⁶ : NonUnitalRing A\ninst✝⁵ : Algebra R S\ninst✝⁴ : Module S A\ninst✝³ : IsScalarTower S A A\ninst✝² : SMulCommClass S A A\ninst✝¹ : Module R A\ninst✝ : IsScalarTower R S A\na : A\nr : R\n⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a"} {"_id": "206417", "text": "case h\nR✝ : Type u_1\nA✝ : Type u_2\ninst✝¹³ : CommSemiring R✝\ninst✝¹² : NonUnitalRing A✝\ninst✝¹¹ : Module R✝ A✝\ninst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝\ninst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝\nR : Type u_3\nS : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : Semifield R\ninst✝⁷ : Field S\ninst✝⁶ : NonUnitalRing A\ninst✝⁵ : Algebra R S\ninst✝⁴ : Module S A\ninst✝³ : IsScalarTower S A A\ninst✝² : SMulCommClass S A A\ninst✝¹ : Module R A\ninst✝ : IsScalarTower R S A\na : A\nr : R\nthis : {0} ⊆ spectrum R ↑a\n⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a"} {"_id": "206418", "text": "case h\nR✝ : Type u_1\nA✝ : Type u_2\ninst✝¹³ : CommSemiring R✝\ninst✝¹² : NonUnitalRing A✝\ninst✝¹¹ : Module R✝ A✝\ninst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝\ninst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝\nR : Type u_3\nS : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : Semifield R\ninst✝⁷ : Field S\ninst✝⁶ : NonUnitalRing A\ninst✝⁵ : Algebra R S\ninst✝⁴ : Module S A\ninst✝³ : IsScalarTower S A A\ninst✝² : SMulCommClass S A A\ninst✝¹ : Module R A\ninst✝ : IsScalarTower R S A\na : A\nr : R\nthis : {0} ⊆ spectrum R ↑a\n⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a"} {"_id": "206419", "text": "R✝ : Type u_1\nA✝ : Type u_2\ninst✝¹³ : CommSemiring R✝\ninst✝¹² : NonUnitalRing A✝\ninst✝¹¹ : Module R✝ A✝\ninst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝\ninst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝\nR : Type u_3\nS : Type u_4\nA : Type u_5\ninst✝⁸ : Semifield R\ninst✝⁷ : Field S\ninst✝⁶ : NonUnitalRing A\ninst✝⁵ : Algebra R S\ninst✝⁴ : Module S A\ninst✝³ : IsScalarTower S A A\ninst✝² : SMulCommClass S A A\ninst✝¹ : Module R A\ninst✝ : IsScalarTower R S A\na : A\nr : R\nthis : {0} ⊆ spectrum R ↑a\nx : IsUnit r\n⊢ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • ↑a))"} {"_id": "206420", "text": "R : Type u_1\nR' : Type u_2\nA : Type u_3\nT : Type u_4\nB : Type u_5\nι : Type u_6\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : Ring R'\ninst✝³ : AddZeroClass A\ninst✝² : SemilatticeSup B\ninst✝¹ : Add B\ninst✝ : OrderBot B\nD : A → B\nf g : R'[A]\n⊢ supDegree D (f - g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D g"} {"_id": "206421", "text": "R : Type u_1\nR' : Type u_2\nA : Type u_3\nT : Type u_4\nB : Type u_5\nι : Type u_6\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : Ring R'\ninst✝³ : AddZeroClass A\ninst✝² : SemilatticeSup B\ninst✝¹ : Add B\ninst✝ : OrderBot B\nD : A → B\nf g : R'[A]\n⊢ supDegree D (f + -g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D (-g)"} {"_id": "206422", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nh₁ : S.LeftHomologyData\nh₂ : S.RightHomologyData\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom"} {"_id": "206423", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nh₁ : S.LeftHomologyData\nh₂ : S.RightHomologyData\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫\n S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ =\n h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom"} {"_id": "206424", "text": "C : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁✝ : S₁.HomologyData\nh₂✝ : S₂.HomologyData\nh₁ : S.LeftHomologyData\nh₂ : S.RightHomologyData\ninst✝ : S.HasHomology\n⊢ leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫\n S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ =\n (leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.homologyData.left) ≫\n (S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right S.rightHomologyData) ≫\n rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData h₂"} {"_id": "206429", "text": "case coe.coe\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedCommGroup α\na✝¹ a✝ : NonemptyInterval α\n⊢ ↑a✝¹ * ↑a✝ = 1 ↔ ∃ a b, ↑a✝¹ = pure a ∧ ↑a✝ = pure b ∧ a * b = 1"} {"_id": "206430", "text": "case coe.coe\nι : Type u_1\nα : Type u_2\ninst✝ : OrderedCommGroup α\na✝¹ a✝ : NonemptyInterval α\n⊢ a✝¹ * a✝ = 1 ↔ ∃ a b, a✝¹ = NonemptyInterval.pure a ∧ a✝ = NonemptyInterval.pure b ∧ a * b = 1"} {"_id": "206431", "text": "R : Type u\ninst✝ : CommRing R\nW : Affine R\n⊢ W.Nonsingular 0 0 ↔ W.a₆ = 0 ∧ (W.a₃ ≠ 0 ∨ W.a₄ ≠ 0)"} {"_id": "206432", "text": "α : Type u_1\np : α → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\nx : α\n⊢ (countP p) (of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0"} {"_id": "206433", "text": "α : Type u_1\np : α → Prop\ninst✝ : DecidablePred p\nx : α\n⊢ (if p x = (true = true) then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0"} {"_id": "206435", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nz : ProjectiveSpectrum 𝒜\n⊢ z ∈ ↑(basicOpen 𝒜 f) ↔ z ∈ ↑(⨆ i, basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f))"} {"_id": "206437", "text": "case mp\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nz : ProjectiveSpectrum 𝒜\nhz : f ∉ z.asHomogeneousIdeal\n⊢ ∃ u ∈ Set.range fun i => basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f), z ∈ u"} {"_id": "206438", "text": "case mp.intro\nR : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nz : ProjectiveSpectrum 𝒜\nhz : f ∉ z.asHomogeneousIdeal\ni : ℕ\nhi : (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∉ z.asHomogeneousIdeal\n⊢ ∃ u ∈ Set.range fun i => basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f), z ∈ u"} {"_id": "206440", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nz : ProjectiveSpectrum 𝒜\nH : ∀ (i : ℕ), (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∈ z.asHomogeneousIdeal\n⊢ f ∈ z.asHomogeneousIdeal"} {"_id": "206441", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nz : ProjectiveSpectrum 𝒜\nH : ∀ (i : ℕ), (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∈ z.asHomogeneousIdeal\n⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) f), ↑(((decompose 𝒜) f) i) ∈ z.asHomogeneousIdeal"} {"_id": "206442", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\ninst✝³ : CommSemiring R\ninst✝² : CommRing A\ninst✝¹ : Algebra R A\n𝒜 : ℕ → Submodule R A\ninst✝ : GradedAlgebra 𝒜\nf : A\nz : ProjectiveSpectrum 𝒜\nhz : f ∉ z.asHomogeneousIdeal\ni : ℕ\nhi : (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∉ z.asHomogeneousIdeal\n⊢ z ∈ basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f)"} {"_id": "206445", "text": "R : Type u_1\ninst✝ : NonAssocRing R\nn✝ r✝ n r : R\n⊢ r * bit1 n = 2 • (r * n) + r"} {"_id": "206446", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na b c : α\nn : ℤ\n⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIocMod hp a b = a + p"} {"_id": "206448", "text": "case refine_1.intro\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\nhα : Archimedean α\np : α\nhp : 0 < p\na c : α\nn z : ℤ\n⊢ toIocMod hp a (a + z • p) = a + p"} {"_id": "206451", "text": "C : Type u_1\nι : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝ : Abelian C\nc : ComplexShape ι\nK : HomologicalComplex C c\nA : C\ni : ι\nγ : A ⟶ K.homology i\n⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ K.d i (c.next i) = 0), π ≫ γ = K.liftCycles z (c.next i) ⋯ hz ≫ K.homologyπ i"} {"_id": "206452", "text": "ι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝² : NormalizedGCDMonoid α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf✝ : β → α\ninst✝¹ : Div α\ninst✝ : MulDivCancelClass α\nf : ι → α\ns : Finset ι\ni : ι\nhis : i ∈ s\nhfi : f i ≠ 0\n⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1"} {"_id": "206453", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝² : NormalizedGCDMonoid α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf✝ : β → α\ninst✝¹ : Div α\ninst✝ : MulDivCancelClass α\nf : ι → α\ns : Finset ι\ni : ι\nhis : i ∈ s\nhfi : f i ≠ 0\ng : ι → α\nhe : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b\nhg : s.gcd g = 1\n⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1"} {"_id": "206454", "text": "case intro.intro\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝² : NormalizedGCDMonoid α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf✝ : β → α\ninst✝¹ : Div α\ninst✝ : MulDivCancelClass α\nf : ι → α\ns : Finset ι\ni : ι\nhis : i ∈ s\nhfi : f i ≠ 0\ng : ι → α\nhe : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b\nhg : s.gcd g = 1\na : ι\nha : a ∈ s\n⊢ f a / s.gcd f = g a"} {"_id": "206455", "text": "case intro.intro.ha\nι : Type u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝² : NormalizedGCDMonoid α\ns✝ s₁ s₂ : Finset β\nf✝ : β → α\ninst✝¹ : Div α\ninst✝ : MulDivCancelClass α\nf : ι → α\ns : Finset ι\ni : ι\nhis : i ∈ s\nhfi : f i ≠ 0\ng : ι → α\nhe : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b\nhg : s.gcd g = 1\na : ι\nha : a ∈ s\n⊢ s.gcd f ≠ 0"} {"_id": "206456", "text": "f : ℕ → ℕ → ℕ\nhf : Primrec' fun v => f v.head v.tail.head\nn : ℕ\ng h : Vector ℕ n → ℕ\nhg : Primrec' g\nhh : Primrec' h\n⊢ Primrec' fun v => f (g v) (h v)"} {"_id": "206457", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf✝ g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nf : α → M\nh : a ∉ s\nhs : (s ∩ mulSupport f).Finite\n⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i"} {"_id": "206458", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf✝ g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nf : α → M\nh : a ∉ s\nhs : (s ∩ mulSupport f).Finite\n⊢ Disjoint {a} s"} {"_id": "206459", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nι : Type u_3\nG : Type u_4\nM : Type u_5\nN : Type u_6\ninst✝¹ : CommMonoid M\ninst✝ : CommMonoid N\nf✝ g : α → M\na b : α\ns t : Set α\nf : α → M\nh : a ∉ s\nhs : (s ∩ mulSupport f).Finite\n⊢ ({a} ∩ mulSupport f).Finite"} {"_id": "206460", "text": "ι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\n⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b"} {"_id": "206462", "text": "case pos\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∈ s\nh₂ : b ∈ s\n⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b"} {"_id": "206463", "text": "case neg\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∈ s\nh₂ : b ∉ s\n⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b"} {"_id": "206464", "text": "case neg\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∈ s\nh₂ : b ∉ s\n⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a"} {"_id": "206465", "text": "case neg\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∈ s\nh₂ : b ∉ s\n⊢ ∀ b ∈ s, b ≠ a → f b = 1"} {"_id": "206466", "text": "case pos\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∉ s\nh₂ : b ∈ s\n⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b"} {"_id": "206467", "text": "case pos\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∉ s\nh₂ : b ∈ s\n⊢ ∏ x ∈ s, f x = f b"} {"_id": "206468", "text": "case pos\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∉ s\nh₂ : b ∈ s\n⊢ ∀ b_1 ∈ s, b_1 ≠ b → f b_1 = 1"} {"_id": "206469", "text": "case neg\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1\nha : a ∉ s → f a = 1\nhb : b ∉ s → f b = 1\nthis : DecidableEq α\nh₁ : a ∉ s\nh₂ : b ∉ s\n⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b"} {"_id": "206470", "text": "case neg\nι : Type u_1\nκ : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns✝ s₁ s₂ : Finset α\na✝ : α\nf✝ g : α → β\ninst✝ : CommMonoid β\ns : Finset α\nf : α → β\na b : α\nhn : a ≠ b\nh₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a 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∈ Ioi i, f j i * f i j = ∏ i : α, ∏ j ∈ {i}ᶜ, f j i"} {"_id": "206504", "text": "case e_a\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝⁴ : Fintype α\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LocallyFiniteOrderTop α\ninst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α\ninst✝ : CommMonoid M\nf : α → α → M\n⊢ ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x"} {"_id": "206505", "text": "case e_a\nα : Type u_1\nM : Type u_2\ninst✝⁴ : Fintype α\ninst✝³ : LinearOrder α\ninst✝² : LocallyFiniteOrderTop α\ninst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α\ninst✝ : CommMonoid M\nf : α → α → M\n⊢ ∏ x ∈ univ.sigma Ioi, f x.fst x.snd = ∏ x ∈ univ.sigma Iio, f x.snd x.fst"} {"_id": "206509", "text": "R✝ : Type u_1\nR₁ : Type u_2\nR₂ : Type u_3\nR₃ : Type u_4\nk : Type u_5\nS : Type u_6\nS₃ : Type u_7\nT : Type u_8\nM✝ : Type u_9\nM₁ : Type u_10\nM₂✝ : Type u_11\nM₃ : Type u_12\nN₁ : Type u_13\nN₂ : Type u_14\nN₃ : Type u_15\nι : Type u_16\nR : outParam (Type u_17)\nM : outParam (Type u_18)\nM₂ : outParam (Type u_19)\ninst✝⁶ : Semiring R\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M₂\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R M₂\nF : Type u_20\ninst✝¹ : FunLike F M M₂\ninst✝ : LinearMapClass F R M M₂\nf : F\nr : R\nx : M\n⊢ f (r • x) = r • f x"} {"_id": "206510", "text": "R : Type u₁\nL : Type u₂\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nA : Type u₃\ninst✝¹ : Ring A\ninst✝ : Algebra R A\nf : L →ₗ⁅R⁆ A\nx : L\n⊢ ((lift R) f) ((ι R) x) = f x"} {"_id": "206511", "text": "R : Type r\nS : Type s\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : CommRing S\nW : WeierstrassCurve R\ninst✝⁸ : Algebra R S\nA : Type u\ninst✝⁷ : CommRing A\ninst✝⁶ : Algebra R A\ninst✝⁵ : Algebra S A\ninst✝⁴ : IsScalarTower R S A\nB : Type v\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : Algebra R B\ninst✝¹ : Algebra S B\ninst✝ : IsScalarTower R S B\nf : A →ₐ[S] B\nn : ℤ\n⊢ (W.baseChange B).φ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).φ n)"} {"_id": "206513", "text": "C : Type u_1\ninst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝ : Preadditive C\nn m mn : ℤ\nhmn : m + n = mn\na a' a'' : ℤ\nha' : n + a = a'\nha'' : m + a' = a''\nK : CochainComplex C ℤ\n⊢ (shiftShortComplexFunctorIso C mn a a'' ⋯).hom.app K =\n (shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K) ≫\n (shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ≫\n (shiftShortComplexFunctorIso C m a' a'' ha'').hom.app K"} {"_id": "206514", "text": "R : Type v\ninst✝ : Ring R\nι : Type u_1\nc : ComplexShape ι\nC D : HomologicalComplex (ModuleCat R) c\nM : ModuleCat R\ni : ι\nh k : C.homology' i ⟶ M\nw : ∀ (x : ↥(LinearMap.ker (C.dFrom i))), h (toHomology' x) = k (toHomology' x)\n⊢ h = k"} {"_id": "206515", "text": "α : Type u\nσ σ' : Type v\nM : εNFA α σ\nS : Set σ\nx✝ : List α\ns : σ\na : α\nx : List α\n⊢ M.evalFrom ∅ x = ∅"} {"_id": "206516", "text": "case nil\nα : Type u\nσ σ' : Type v\nM : εNFA α σ\nS : Set σ\nx : List α\ns : σ\na : α\n⊢ M.evalFrom ∅ [] = ∅"} {"_id": "206517", "text": "case append_singleton\nα : Type u\nσ σ' : Type v\nM : εNFA α σ\nS : Set σ\nx✝ : List α\ns : σ\na✝ : α\nx : List α\na : α\nih : M.evalFrom ∅ x = ∅\n⊢ M.evalFrom ∅ (x ++ [a]) = ∅"} {"_id": "206521", "text": "case zero.some\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₂ y₂ : F\nh✝ : W.Nonsingular x₂ y₂\n⊢ zero + some h✝ = 0 ↔ zero = -some h✝"} {"_id": "206522", "text": "case some.some\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh✝¹ : W.Nonsingular x₁ y₁\nx₂ y₂ : F\nh✝ : W.Nonsingular x₂ y₂\n⊢ some h✝¹ + some h✝ = 0 ↔ some h✝¹ = -some h✝"} {"_id": "206526", "text": "case some.some.mp\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh✝¹ : W.Nonsingular x₁ y₁\nx₂ y₂ : F\nh✝ : W.Nonsingular x₂ y₂\nh : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\n⊢ some h✝¹ + some h✝ ≠ 0"} {"_id": "206527", "text": "case some.some.mp\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh✝¹ : W.Nonsingular x₁ y₁\nx₂ y₂ : F\nh✝ : W.Nonsingular x₂ y₂\nh : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂\n⊢ some ⋯ ≠ 0"} {"_id": "206528", "text": "case some.some.mpr\nR : Type u\nS : Type v\ninst✝² : CommRing R\ninst✝¹ : CommRing S\nW✝ : Affine R\nf : R →+* S\nF : Type u\ninst✝ : Field F\nW : Affine F\nx₁ y₁ : F\nh✝¹ : W.Nonsingular x₁ y₁\nx₂ y₂ : F\nh✝ : W.Nonsingular x₂ y₂\n⊢ x₁ = x₂ ∧ y₁ = W.negY x₂ y₂ → some h✝¹ + some h✝ = 0"} {"_id": "206530", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\n⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ 2"} {"_id": "206533", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\n⊢ 0 ≤ P"} {"_id": "206534", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\nidem : P * P = 4 * P\n⊢ 0 ≤ P"} {"_id": "206535", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\nidem : P * P = 4 * P\nidem' : P = (1 / 4) • (P * P)\n⊢ 0 ≤ P"} {"_id": "206536", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\nidem : P * P = 4 * P\nidem' : P = (1 / 4) • (P * P)\nsa : star P = P\n⊢ 0 ≤ P"} {"_id": "206537", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\nidem : P * P = 4 * P\n⊢ P = (1 / 4) • (P * P)"} {"_id": "206540", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\nidem : P * P = 4 * P\n⊢ 4 * P = 4 • P"} {"_id": "206542", "text": "R : Type u\ninst✝⁴ : OrderedCommRing R\ninst✝³ : StarRing R\ninst✝² : StarOrderedRing R\ninst✝¹ : Algebra ℝ R\ninst✝ : OrderedSMul ℝ R\nA₀ A₁ B₀ B₁ : R\nT : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁\nP : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁\nidem : P * P = 4 * P\nidem' : P = (1 / 4) • (P * P)\n⊢ star (2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁) = 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁"} {"_id": "206545", "text": "C : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nι : Type u_2\nc : ComplexShape ι\nK L : HomologicalComplex C c\nj k : ι\ninst✝ : K.HasHomology j\nh : K.d (c.prev j) j = 0\n⊢ IsIso (K.pOpcycles j)"} {"_id": "206546", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : Module.Free R M\ninst✝² : Module.Finite R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nN : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nh : I ≤ N.idealizer\nx y : L\nhy : y ∈ I\nhy' : optParam (∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N) ⋯\n⊢ (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict hy')"} {"_id": "206548", "text": "R : Type u_1\nK : Type u_2\nL : Type u_3\nM : Type u_4\ninst✝¹⁰ : CommRing R\ninst✝⁹ : LieRing L\ninst✝⁸ : LieAlgebra R L\ninst✝⁷ : AddCommGroup M\ninst✝⁶ : Module R M\ninst✝⁵ : LieRingModule L M\ninst✝⁴ : LieModule R L M\ninst✝³ : Module.Free R M\ninst✝² : Module.Finite R M\ninst✝¹ : IsDomain R\ninst✝ : IsPrincipalIdealRing R\nN : LieSubmodule R L M\nI : LieIdeal R L\nh : I ≤ N.idealizer\nx y : L\nhy : y ∈ I\nhy' : optParam (∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N) ⋯\nthis : ∀ (m : M), ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ∈ N\n⊢ (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict hy')"} {"_id": "206549", "text": "R : Type u_1\nA : Type u_2\nB : Type u_3\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Semiring B\ninst✝¹ : Algebra R A\ninst✝ : Algebra R B\nf : A →ₗ[R] B\na : A\nr : R\n⊢ f (a * (algebraMap R A) r) = f a * (algebraMap R B) r"} {"_id": "206550", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S.HasLeftHomology\ninst✝ : S.HasRightHomology\nh : IsIso S.leftRightHomologyComparison\n⊢ S.HasHomology"} {"_id": "206551", "text": "C : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nS S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C\nφ : S₁ ⟶ S₂\nh₁ : S₁.HomologyData\nh₂ : S₂.HomologyData\ninst✝¹ : S.HasLeftHomology\ninst✝ : S.HasRightHomology\nh : IsIso S.leftRightHomologyComparison\nthis : IsIso (leftRightHomologyComparison' S.leftHomologyData S.rightHomologyData)\n⊢ S.HasHomology"} {"_id": "206553", "text": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns : Multiset α\nhs : s ≠ 0\nh : ∀ x ∈ s, x = 0\n⊢ ∃ t, s = map (fun x => s.gcd * x) t ∧ t.gcd = 1"} {"_id": "206554", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns : Multiset α\nhs : s ≠ 0\nh : ∀ x ∈ s, x = 0\n⊢ s = map (fun x => s.gcd * x) (replicate (card s) 1) ∧ (replicate (card s) 1).gcd = 1"} {"_id": "206555", "text": "case h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns : Multiset α\nhs : s ≠ 0\nh : ∀ x ∈ s, x = 0\n⊢ (card s = card s ∧ ∀ b ∈ s, b = 0) ∧ normalize 1 = 1"} {"_id": "206556", "text": "case neg\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns : Multiset α\nhs : s ≠ 0\nh : ¬∀ x ∈ s, x = 0\n⊢ ∃ t, s = map (fun x => s.gcd * x) t ∧ t.gcd = 1"} {"_id": "206558", "text": "case neg.refine_2\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns : Multiset α\nhs : s ≠ 0\nf : {a : α} → a ∈ s → α\nhf : ∀ {a : α} (h : a ∈ s), a = s.gcd * f h\nh : ∃ x ∈ s, x ≠ 0\n⊢ s = map (fun x => s.gcd * x) (pmap f s ⋯)"} {"_id": "206559", "text": "case neg.refine_2\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns : Multiset α\nhs : s ≠ 0\nf : {a : α} → a ∈ s → α\nhf : ∀ {a : α} (h : a ∈ s), a = s.gcd * f h\nh : ∃ x ∈ s, x ≠ 0\n⊢ s = pmap (fun a h => s.gcd * f h) s ⋯"} {"_id": "206561", "text": "case neg.refine_2.e_f.h.h\nα : Type u_1\ninst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝ : NormalizedGCDMonoid α\ns : Multiset α\nhs : s ≠ 0\nf : {a : α} → a ∈ s → α\nhf : ∀ {a : α} (h : a ∈ s), a = s.gcd * f h\nh : ∃ x ∈ s, x ≠ 0\nx : α\nhx : x ∈ s\n⊢ id x = s.gcd * f hx"} {"_id": "206562", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nσ : Type u_3\ninst✝² : Primcodable α\ninst✝¹ : Primcodable β\ninst✝ : Primcodable σ\nf : α × β → σ\n⊢ Primrec₂ (Function.curry f) ↔ Primrec f"} {"_id": "206563", "text": "α : Type u_1\ninst✝ : OrderedCommGroup α\na b : α\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (b ^ n) (b ^ (n + 1)))"} {"_id": "206565", "text": "C : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX✝ Y✝ Z : Scheme\nf✝ : X✝ ⟶ Z\ng✝ : Y✝ ⟶ Z\nH : IsOpenImmersion f✝\nX Y U : Scheme\nf : Y ⟶ U\ng : U ⟶ X\nh : IsOpenImmersion g\nV : Opens ↑↑U.toPresheafedSpace\n⊢ Scheme.Hom.app f V = Scheme.Hom.invApp g V ≫ Scheme.Hom.app (f ≫ g) (g ''ᵁ V) ≫ Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op"} {"_id": "206566", "text": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\n⊢ (m.insert k v).size = (m.insert k v).buckets.size"} {"_id": "206569", "text": "case h_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = true\n⊢ { size := m.size,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.size =\n { size := m.size,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.buckets.size"} {"_id": "206570", "text": "case h_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = true\n⊢ { size := m.size,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.size =\n Nat.sum\n (List.map (fun x => x.toList.length)\n { size := m.size,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.buckets.val.data)"} {"_id": "206571", "text": "case h_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = true\nw✝¹ w✝ : List (AssocList α β)\nh₁ : m.buckets.val.data = w✝¹ ++ m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val] :: w✝\nleft✝ : w✝¹.length = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat\neq :\n (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data =\n w✝¹ ++ AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝\n⊢ { size := m.size,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.size =\n Nat.sum\n (List.map (fun x => x.toList.length)\n (w✝¹ ++ AssocList.replace k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝))"} {"_id": "206572", "text": "case h_2.isTrue\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = false\nh✝ : numBucketsForCapacity (m.size + 1) ≤ m.buckets.val.size\n⊢ { size := m.size + 1,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.size =\n { size := m.size + 1,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.buckets.size"} {"_id": "206573", "text": "case h_2.isTrue\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = false\nh✝ : numBucketsForCapacity (m.size + 1) ≤ m.buckets.val.size\n⊢ { size := m.size + 1,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.size =\n Nat.sum\n (List.map (fun x => x.toList.length)\n { size := m.size + 1,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.buckets.val.data)"} {"_id": "206574", "text": "case h_2.isTrue\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = false\nh✝ : numBucketsForCapacity (m.size + 1) ≤ m.buckets.val.size\nw✝¹ w✝ : List (AssocList α β)\nh₁ : m.buckets.val.data = w✝¹ ++ m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val] :: w✝\nleft✝ : w✝¹.length = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat\neq :\n (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data =\n w✝¹ ++ AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝\n⊢ { size := m.size + 1,\n buckets :=\n m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯ }.size =\n Nat.sum\n (List.map (fun x => x.toList.length)\n (w✝¹ ++ AssocList.cons k v 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¬numBucketsForCapacity (m.size + 1) ≤ m.buckets.val.size\n⊢ (expand (m.size + 1)\n (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯)).size =\n (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).size"} {"_id": "206578", "text": "case h_2.isFalse\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = false\nh✝ : ¬numBucketsForCapacity (m.size + 1) ≤ m.buckets.val.size\n⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) m.buckets.val.data) + 1 =\n Nat.sum\n (List.map (fun x => x.toList.length)\n (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data)"} {"_id": "206579", "text": "case h_2.isFalse\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : BEq α\ninst✝ : Hashable α\nm : Imp α β\nk : α\nv : β\nh : m.size = m.buckets.size\nc✝ : Bool\nheq✝ : AssocList.contains k m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] = false\nh✝ : ¬numBucketsForCapacity (m.size + 1) ≤ m.buckets.val.size\nw✝¹ w✝ : List (AssocList α β)\nh₁ : m.buckets.val.data = w✝¹ ++ m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val] :: w✝\nleft✝ : w✝¹.length = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat\neq :\n (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val\n (AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data =\n w✝¹ ++ AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝\n⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) m.buckets.val.data) + 1 =\n Nat.sum\n (List.map (fun x => x.toList.length)\n (w✝¹ ++ AssocList.cons k v m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝))"}