fck:=25;
fcm:=fck+8;
gammac:=1.5;
alphacc:=.85;
fcd:=alphacc*fck/gammac;
Ecm:=Ceiling[22*(10^3)*((((fcm/10)))^(.3))];
fctm:=.3*(fck^(2/3));
fctk005:=.7*fctm;
alphact:=alphacc;
fctd:=((alphact*fctk005)/gammac);
epsilonc2:=2/1000;
epsiloncu:=3.5/1000;
epsilonctu:=(fctm/Ecm);
fyk:=450;
gammas:=1.15;
fyd:=(fyk/gammas);
Es:=210*(10^3);
epsilonse:=(fyd/Es);
epsilonsu:=(10/1000);
b:=350;
h:=350;
d1:=40;
d2:=40;
d:=h-d1;

As := 726*π;
A1s:=726*π;

NEd=0;

Stato I: Prima fessurazione

x=.;
epsilonci=.;epsiloncs=.;epsilons=.;epsilon1s=.;
epsilonci:=epsilonctu;
epsiloncs[x_]:=((epsilonctu*x)/(h-x));
epsilons[x_]:=((epsilonctu*(d-x))/(h-x));
epsilon1s[x_]:=epsilonctu*(((x-d1))/(h-x));

Posizione dell’asse neutro x

g=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilonctu/epsilonc2)*(y/(h-x))))^2)), {y,0,x}] + A1s*Es*epsilon1s[x] -As*Es*epsilons[x] - b*fctd*(2/3)*(h-x)==NEd && x>0, x, Reals];g
xI := x/. g[[1]];xI

Controllo deformazioni

epsilons[xI]*1000

epsilon1s[xI]*1000

epsiloncs[xI]*1000

Risultanti tensioni

Calcestruzzo compresso

Cc[x_]:=b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilonctu/epsilonc2)*(y/(h-x))))^2)), {y, 0, x}];Cc[xI]

Calcestruzzo teso

Tc[x_]:=b*fctd*(2/3)*(h-x);

Armatura compressa

Cs[x_]:= A1s*Es*epsilon1s[x];

Armatura tesa

Ts[x_]:=As*Es*epsilons[x];

Coefficiente λ e ψ

λ[x_]:=(1/x)*(1/(Cc[x]))b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilonctu/epsilonc2)*(y/(h-x))))^2))*(x-y), {y, 0, x}]; λ[xI]

ψ[x_]:=((Cc[x])/(b*x*fcd));ψ[xI]

Momento resistente e curvatura

MRdI=Cc[xI]*((h/2)-λ[xI]*xI)+Cs[xI]*((h/2)-d2)+Ts[xI]*(d-(h/2))+Tc[xI]*((h/2)-(((h-xI)/3)));MRdI*(10^(-6))

χI=((epsiloncs[xI]-epsilons[xI])/d);χI

Snervamento armature tese

La sezione è fessurata. Il calcestruzzo teso non dà contributo. Le armature tese sono snervate.

epsilon1s=.;epsilons=.;epsiloncs=.;epsilonci=.;
epsilons:=epsilonse;
epsilon1s[x_]:=(epsilons/(d-x))(x-d2);
epsiloncs[x_]:=((epsilons*x)/(d-x));

Posizione dell’asse neutro x

HP: σ’s = Es*ϵ’s -> campo elastico

g:=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilons/epsilonc2)*(y/(d-x))))^2)), {y,0,x}] + A1s*Es*epsilon1s[x] -As*fyd==0 && x>0, x, Reals];g
xII:=x/.g[[1]];xII

Controllo deformazioni

epsilon1s[xII]*1000

OK, armature superiori in campo elastico

epsiloncs[xII]*1000

((Subscript[ϵ, c])^s)< (Subscript[ϵ, c2]). Il parabola rettangolo non è completamente sviluppato. Non c’è la parte rettangolare

Risultanti tensioni

Calcestruzzo compresso

Cc[x_]:=b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilons/epsilonc2)*(y/(d-x))))^2)), {y,0,x}];Cc[xII]

Armatura compressa

Cs[x_]:= A1s*Es*epsilon1s[x];

Armatura tesa

Ts[x_]:=As*fyd;

Coefficiente λ

λ[x_]:=(1/x)*(1/(Cc[x]))b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilons/epsilonc2)*(y/(d-x))))^2))*(x-y),{y,0,x}]; λ[xII]

ψ[xII]

Momento resistente e curvatura

MRdII=Cc[xI]*((h/2)-λ[xII]*xII)+Cs[xII]*((h/2)-d2)+Ts[xII]*(d-(h/2));MRdII*(10^(-6))

χII=Abs[((epsiloncs[xII]-epsilons)/d)];χII

Collasso

Si ipotizza che ((Subscript[ϵ, c])^s)=(Subscript[ϵ, cu]), e (Subscript[ϵ, s])=(Subscript[ϵ, su]) con (Subscript[σ, s])'=(Subscript[E, s]) (Subscript[ϵ, s])'

epsilon1s=.;epsilons=.;epsiloncs=.;epsilonci=.;
epsilons:=epsilonsu;
epsilon1s[x_]:=(epsilons/(d-x))(x-d2);
epsiloncs[x_]:=(epsilonsu/(d-x))*x;

Posizione dell’asse neutro x

HP armature superiori in campo elastico

g:=NSolve[b*.80952*x *fcd+ A1s*Es*epsilon1s[x] -As*fyd==0 && x>0, x, Reals];g
 xIII:=x/.g[[1]];xIII

Controllo deformazioni

epsilon1s[xIII]*1000

Le armature superiori in campo elastico

epsiloncs[xIII]*1000

Il parabola rettangolo non è completamente sviluppato

ψ[x_]:=1-(1/3)*(epsilonc2/(epsiloncs[x]));ψ[xIII]

g:=NSolve[b*ψ[x]*x *fcd+ A1s*Es*epsilon1s[x] -As*fyd==0 && x>0, x, Reals]; g
xIII:=x/.g[[1]];xIII

epsilon1s[xIII]*1000

epsiloncs[xIII]*1000

OK, le ipotesi sono corrette.

Risultanti tensioni

Calcestruzzo compresso

Cc[x_]:=b*x*ψ[x]*fcd;Cc[xIII]

Armatura compressa

Cs[x_]:= A1s*Es*epsilon1s[x];Cs[xIII]

Armatura tesa

Ts[x_]:=As*fyd;Ts[xIII]

Coefficienti ψ e λ

ψ  e  di campo 2

λ[x_]:= ((6*((epsiloncs[x])^2)-4*epsiloncs[x]*epsilonc2 + (epsilonc2^2))/(4*epsiloncs[x]*(3*epsiloncs[x]-epsilonc2)));λ[xIII]

ψ[xIII]

Momento resistente e curvatura

MRdIII=Cc[xIII]*((h/2)-λ[xIII]*xIII)+Cs[xIII]*((h/2)-d2)+Ts[xIII]*(d-(h/2));MRdIII*(10^(-6))

χIII=Abs[((epsiloncs[xIII]-epsilons)/d)];χIII

N[χII]

ListLinePlot[{{0,0},{χI*(10^3), MRdI*(10^(-6))},{χII*(10^3), MRdII*(10^(-6))}, {χIII*(10^3), MRdIII*(10^(-6))}}]

N≠0

fck:=25;
fcm:=fck+8;
gammac:=1.5;
alphacc:=.85;
fcd:=alphacc*fck/gammac;
Ecm:=Ceiling[22*(10^3)*((((fcm/10)))^(.3))];
fctm:=.3*(fck^(2/3));
fctk005:=.7*fctm;
alphact:=alphacc;
fctd:=((alphact*fctk005)/gammac);
epsilonc2:=2/1000;
epsiloncu:=3.5/1000;
epsilonctu:=.3*(10^(-3));
fyk:=450;
gammas:=1.15;
fyd:=(fyk/gammas);
Es:=210*(10^3);
epsilonse:=(fyd/Es);
epsilonsu:=(10/1000);
b:=350;
h:=350;
d1:=40;
d2:=40;
d:=h-d1;

As := 726*π;
A1s:=726*π;

NEd=1882*(10^3);

x0[x_]:= ((epsiloncs[x])/epsilonc2)*x;

Stato I: Prima fessurazione

x=.;
epsilonci=.;epsiloncs=.;epsilons=.;epsilon1s=.;
epsilonci:=epsilonctu;
epsiloncs[x_]=((epsilonctu*x)/(h-x));
epsilons[x_]:=((epsilonctu*(d-x))/(h-x));
epsilon1s[x_]:=epsilonctu*(((x-d1))/(h-x));

Posizione dell’asse neutro x

HP: armature superiori e inferiori in campo elastico e parabola rettangolo non completamente sviluppato

g=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilonctu/epsilonc2)*(y/(h-x))))^2)), {y,0,x}]+A1s*Es*epsilon1s[x]-As*Es*epsilons[x] - b*fctd*(2/3)*(h-x)==NEd && x>0, x, Reals];g
xI := x/. g[[1]];xI

Controllo deformazioni

epsilons[xI]*1000

epsilon1s[xI]*1000

epsiloncs[xI]*1000

(Subscript[ϵ, c]) > (Subscript[ϵ, c2])

g=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilonctu/epsilonc2)*(y/(h-x))))^2)), {y,0,x0[x]}]+ b*fcd*(x-x0[x])+A1s*Es*epsilon1s[x]-As*Es*epsilons[x] - b*fctd*(2/3)*(h-x)==NEd && x>0, x, Reals];g
xI := x/. g[[1]];xI

Controllo deformazioni

epsilons[xI]*1000

epsilon1s[xI]*1000

epsiloncs[xI]*1000

Risultanti tensioni

Calcestruzzo compresso

Cc[x_]:=b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilonctu/epsilonc2)*(y/(h-x))))^2)), {y,0,x0[x]}]+ b*fcd*(x-x0[x]);Cc[xI]

Calcestruzzo teso

Tc[x_]:=b*fctd*(2/3)*(h-x);Tc[xI]

Armatura superiore compressa

Cs[x_]:= A1s*Es*epsilon1s[x];Cs[xI]

Armatura inferiore compressa

Ts[x_]:=As*Es*epsilons[x];Ts[xI]

Coefficiente λ e ψ

x0[xI]

λ[x_]:=(1/x)*(1/(Cc[x]))*((b*Integrate[fcd*(1-(((1-(epsilonctu/epsilonc2)*(y/(h-x))))^2))*(x-y), {y,0,x0[x]}] )+b*Integrate[fcd*(x-y), {y,x0[x],x}]); λ[xI]

ψ[x_]:=((Cc[x])/(b*x*fcd));ψ[xI]

Momento resistente e curvatura

MRdI=Cc[xI]*((h/2)-λ[xI]*xI)+Cs[xI]*((h/2)-d2)+Ts[xI]*(d-(h/2))+Tc[xI]*((h/2)-(((h-xI)/3)));MRdI*(10^(-6))

χI=Abs[((epsiloncs[xI]-epsilons[xI])/d)];χI

Snervamento armature

La sezione è fessurata. Il calcestruzzo teso non dà contributo. 
Suppongo che snervino le armature superiori

epsilon1s=.;epsilons=.;epsiloncs=.;epsilonci=.;
epsilon1s[x_]:=epsilonse;
epsiloncs[x_]:=((epsilon1s[x])/(x-d2))*x;
epsilons[x_]:=((epsilon1s[x])/(x-d2))*(d-x);

Posizione dell’asse neutro x

x=.;
x0 [x_]:=(epsilonc2/(epsiloncs[x]))*x
g=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)(y/x)))^2)), {y, 0, x}]+ A1s*fyd -As*Es*epsilons[x]==NEd  && x>0, x, Reals]; g
xII:=x/.g[[2]];xII

Controllo deformazioni

epsilons[xII]*1000

epsiloncs[xII]*1000

((Subscript[ϵ, c])^s) > (Subscript[ϵ, c2])

x=.;
x0 [x_]:=(epsilonc2/(epsiloncs[x]))*x
g=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)(y/x)))^2)), {y, 0, x0[x]}] + b*fcd*(x-x0[x])+ A1s*fyd -As*Es*epsilons[x]==NEd  && x>0, x, Reals]; g
xII:=x/.g[[1]];xII

Controllo deformazioni

epsilons[xII]*1000

epsiloncs[xII]*1000

Risultanti tensioni

Calcestruzzo compresso

Cc[x_]:=b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)(y/x)))^2)), {y, 0, x0[x]}] + b*fcd*(x-x0[x]);Cc[xII]

Armatura compressa

Cs[x_]:= A1s*fyd;

Armatura tesa

Ts[x_]:=As*Es*epsilons[x];

Coefficiente λ

λ[x_]:=(1/x)*(1/(Cc[x]))*(b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)*(y/x)))^2))*(x-y),{y, 0,x0[x]}] + b*Integrate[fcd*(x-y), {y, x0[x], x}]); λ[xII]

ψ[x_]:=((Cc[x])/(b*x*fcd));ψ[xII]

Momento resistente e curvatura

MRdII=Cc[xII]*((h/2)-λ[xII]*xII)+Cs[xII]*((h/2)-d2)+Ts[xII]*(d-(h/2));MRdII*(10^(-6))

χII=Abs[((epsiloncs[xII]+epsilons[xII])/d)];χII

Collasso

Si ipotizza che ((Subscript[ϵ, c])^s)=(Subscript[ϵ, cu]), e (Subscript[ϵ', s])=(Subscript[ϵ, su]) con (Subscript[σ, s])=(Subscript[E, s]) (Subscript[ϵ, s])

epsilon1s=.;epsilons=.;epsiloncs=.;epsilonci=.;
epsiloncs[x_]:= epsiloncu;
epsilons[x_]:=((epsiloncs[x])/x)*(d-x);
epsilon1s[x_]:=((epsiloncs[x])/x)*(x-d2);

Posizione dell’asse neutro x

HP armature superiori in campo elastico

x0 [x_]:=(epsilonc2/(epsiloncs[x]))*x

g:=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)*(y/x)))^2)),{y,0,x0[x]}]+b*fcd*(x-x0[x]) + A1s*Es*epsilon1s[x]-As*Es*epsilons[x]==NEd && x>0, x, Reals]; g
xIII:=x/.g[[1]];xIII

Controllo deformazioni

epsilon1s[xIII]*1000

epsilons[xIII]*1000

Le armature superiori in campo plastico

g:=NSolve[b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)*(y/x)))^2)),{y,0,x0[x]}]+b*fcd*(x-x0[x]) + A1s*fyd-As*Es*epsilons[x]==NEd && x>0, x, Reals]; g
xIII:=x/.g[[1]];xIII

Controllo deformazioni

epsilon1s[xIII]*1000

epsilons[xIII]*1000

OK, le ipotesi sono corrette.

Risultanti tensioni

Calcestruzzo compresso

Cc[x_]:=b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)*(y/x)))^2)),{y,0,x0[x]}]+b*fcd*(x-x0[x]) ;Cc[xIII]

Armatura compressa

Cs[x_]:= A1s*fyd;Cs[xIII]

Armatura tesa

Ts[x_]:=As*Es*epsilons[xIII];Ts[xIII]

Coefficienti ψ e λ

λ[x_]:=(1/x)*(1/(Cc[x]))*(b*Integrate[fcd*(1-(((1-((epsiloncs[x])/epsilonc2)*(y/x)))^2))*(x-y),{y, 0,x0[x]}] + b*Integrate[fcd*(x-y), {y, x0[x], x}]); λ[xII]

ψ[x_]:=((Cc[x])/(b*x*fcd));ψ[xII]

Momento resistente e curvatura

MRdIII=Cc[xIII]*((h/2)-.416*xIII)+Cs[xIII]*((h/2)-d2)+Ts[xIII]*(d-(h/2));MRdIII*(10^(-6))

χIII=Abs[((epsiloncs[xIII]-epsilons[xIII])/d)];χIII

ListLinePlot[{{0,0},{χI*(10^3), MRdI*(10^(-6))},{χII*(10^3), MRdII*(10^(-6))}, {χIII*(10^3), MRdIII*(10^(-6))}}]

χI*(10^3)
 MRdI*(10^(-6))
χII*(10^3)
MRdII*(10^(-6))
 χIII*(10^3) 
MRdIII*(10^(-6))