diff --git "a/data_5e932f97dd25535344f80f9dd8da3aab83df0fe6/Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.sym.json" "b/data_5e932f97dd25535344f80f9dd8da3aab83df0fe6/Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.sym.json"
new file mode 100644--- /dev/null
+++ "b/data_5e932f97dd25535344f80f9dd8da3aab83df0fe6/Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.sym.json"
@@ -0,0 +1 @@
+[{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["AddMonoidHom","coe_toIntLinearMap_ker"],"typeFallback":"forall {M : Type.{u_11}} {M₂ : Type.{u_12}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64 : AddCommGroup.{u_11} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.67 : AddCommGroup.{u_12} M₂] (f : AddMonoidHom.{u_11, u_12} M M₂ (AddZeroClass.toAddZero.{u_11} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_11} M (SubNegMonoid.toAddMonoid.{u_11} M (AddGroup.toSubNegMonoid.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64))))) (AddZeroClass.toAddZero.{u_12} M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_12} M₂ (SubNegMonoid.toAddMonoid.{u_12} M₂ (AddGroup.toSubNegMonoid.{u_12} M₂ (AddCommGroup.toAddGroup.{u_12} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.67)))))), Eq.{succ u_11} (Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (LinearMap.ker.{0, 0, u_11, u_12} Int Int M M₂ Int.instSemiring Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_12} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.67) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_12} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.67) (RingHom.id.{0} Int (Semiring.toNonAssocSemiring.{0} Int Int.instSemiring)) (AddMonoidHom.toIntLinearMap.{u_11, u_12} M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.67 f)) (DFunLike.coe.{succ u_11, succ u_11, succ u_11} (OrderIso.{u_11, u_11} (AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (Preorder.toLE.{u_11} (AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (PartialOrder.toPreorder.{u_11} (AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (AddSubgroup.instPartialOrder.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)))) (Preorder.toLE.{u_11} (Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (PartialOrder.toPreorder.{u_11} (Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (Submodule.instPartialOrder.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64))))) (AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) => Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (instFunLikeOrderIso.{u_11, u_11} (AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (Preorder.toLE.{u_11} (AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (PartialOrder.toPreorder.{u_11} (AddSubgroup.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (AddSubgroup.instPartialOrder.{u_11} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)))) (Preorder.toLE.{u_11} (Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (PartialOrder.toPreorder.{u_11} (Submodule.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64)) (Submodule.instPartialOrder.{0, u_11} Int M Int.instSemiring (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddCommGroup.toIntModule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64))))) (AddSubgroup.toIntSubmodule.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) (AddMonoidHom.ker.{u_11, u_12} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_11} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.64) M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_12} M₂ (SubNegMonoid.toAddMonoid.{u_12} M₂ (AddGroup.toSubNegMonoid.{u_12} M₂ (AddCommGroup.toAddGroup.{u_12} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.434947570._hygCtx._hyg.67)))) f))","typeFull":"∀ {M : Type u_11} {M₂ : Type u_12} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : AddCommGroup M₂] (f : M →+ M₂),\n  f.toIntLinearMap.ker = AddSubgroup.toIntSubmodule f.ker","typeReadable":"∀ {M : Type u_11} {M₂ : Type u_12} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : AddCommGroup M₂] (f : M →+ M₂),\n  f.toIntLinearMap.ker = AddSubgroup.toIntSubmodule f.ker","typeReferences":[["PartialOrder","toPreorder"],["AddCommGroup","toAddGroup"],["OrderIso"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["AddMonoidHom","ker"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["AddMonoidHom"],["AddGroup","toSubNegMonoid"],["AddSubgroup","toIntSubmodule"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["LinearMap","ker"],["Submodule","instPartialOrder"],["AddSubgroup","instPartialOrder"],["AddMonoidHom","toIntLinearMap"],["AddCommGroup"],["AddZeroClass","toAddZero"],["AddCommGroup","toIntModule"],["instFunLikeOrderIso"],["Int"],["AddSubgroup"],["SubNegMonoid","toAddMonoid"],["Int","instSemiring"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]],"valueReferences":[["rfl"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LinearMap","ker"],["RingHom","id"],["Int","instSemiring"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["AddMonoidHom","toIntLinearMap"],["AddCommGroup","toIntModule"],["Int"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","ker_eq_bot_of_injective","_simp_1_1"],"typeFallback":"forall (R : Type.{u_1}) {M : Type.{u_3}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.5 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11 : AddCommMonoid.{u_3} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.14 : Module.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11] {x : M}, Eq.{1} Prop (Membership.mem.{u_3, u_3} M (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.14) (SetLike.instMembership.{u_3, u_3} (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.14) M (Submodule.setLike.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.14)) (Bot.bot.{u_3} (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.14) (Submodule.instBot.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.14)) x) (Eq.{succ u_3} M x (OfNat.ofNat.{u_3} M 0 (Zero.toOfNat0.{u_3} M (AddZero.toZero.{u_3} M (AddZeroClass.toAddZero.{u_3} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_3} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_3} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.26576063._hygCtx._hyg.11)))))))","typeFull":"∀ (R : Type u_1) {M : Type u_3} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] {x : M},\n  (x ∈ ⊥) = (x = 0)","typeReadable":"∀ (R : Type u_1) {M : Type u_3} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] {x : M},\n  (x ∈ ⊥) = (x = 0)","typeReferences":[["SetLike","instMembership"],["Module"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["Bot","bot"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Submodule","setLike"],["Submodule","instBot"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["SetLike","instMembership"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["Bot","bot"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["Submodule","setLike"],["Submodule","instBot"],["Submodule","mem_bot"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["propext"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_eq_top","_simp_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34}, Eq.{1} Prop (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Top.top.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instTop.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30))) (Eq.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) f (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 τ₁₂))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, (f.ker = ⊤) = (f = 0)","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, (f.ker = ⊤) = (f = 0)","typeReferences":[["LinearMap","instZero"],["RingHom"],["LinearMap","ker"],["Module"],["Submodule","instTop"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Top","top"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","ker_eq_top"],["Submodule","instTop"],["Top","top"],["Zero","toOfNat0"],["LinearMap"],["Eq"],["OfNat","ofNat"],["propext"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","disjoint_ker_iff_injOn"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28} {p : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24}, Iff (Disjoint.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) p (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) (Set.InjOn.{u_5, u_7} M M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f) (SetLike.coe.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) p))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker ↔ Set.InjOn ⇑f ↑p","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker ↔ Set.InjOn ⇑f ↑p","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["SetLike","coe"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Set","InjOn"],["Iff"],["Disjoint"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instOrderBot"],["Ring"]],"valueReferences":[["SubtractionMonoid","toSubNegZeroMonoid"],["RingHom"],["Set","injOn_iff_map_eq_zero"],["AddCommGroup","toAddGroup"],["Membership","mem"],["AddGroup","toSubtractionMonoid"],["DistribMulActionSemiHomClass","toAddMonoidHomClass"],["LinearMap","semilinearMapClass"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["AddSubmonoidClass","toAddMemClass"],["AddSubmonoidClass","toZeroMemClass"],["Disjoint"],["Submodule","addSubgroupClass"],["AddGroup","toSubNegMonoid"],["Submodule","addSubmonoidClass"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["Ring","toSemiring"],["SetLike","coe"],["Iff"],["id"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["NegZeroClass","toZero"],["Eq","mpr"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["LinearMap","instFunLike"],["RingHom","instFunLike"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["SubNegZeroMonoid","toNegZeroClass"],["LinearMap","disjoint_ker"],["Submodule"],["congrArg"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["propext"],["AddSubgroupClass","toNegMemClass"],["Submodule","instPartialOrder"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["Iff","rfl"],["OfNat","ofNat"],["Module","toDistribMulAction"],["Submodule","setLike"],["Set","InjOn"],["SemilinearMapClass","distribMulActionSemiHomClass"]]},{"isProp":false,"kind":"definition","name":["LinearMap","iterateKer"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21], (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) -> (OrderHom.{0, u_5} Nat (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat.instPreorder (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30)))","typeFull":"{R : Type u_1} →\n  {M : Type u_5} →\n    [inst : Semiring R] → [inst_1 : AddCommMonoid M] → [inst_2 : Module R M] → (M →ₗ[R] M) → ℕ →o Submodule R M","typeReadable":"{R : Type u_1} →\n  {M : Type u_5} →\n    [inst : Semiring R] → [inst_1 : AddCommMonoid M] → [inst_2 : Module R M] → (M →ₗ[R] M) → ℕ →o Submodule R M","typeReferences":[["Nat"],["AddCommMonoid"],["PartialOrder","toPreorder"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Module"],["OrderHom"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["Nat","instPreorder"],["Submodule"],["Semiring"]],"valueReferences":[["instHPow"],["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","ker"],["Submodule","instPartialOrder"],["HPow","hPow"],["LinearMap"],["OrderHom","mk"],["Submodule"],["Nat","instPreorder"],["Nat"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Monoid","toPow"],["RingHom","id"],["LinearMap","iterateKer","_proof_1"],["Module","End","instMonoid"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_toAddSubmonoid"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15)} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34), Eq.{succ u_5} (AddSubmonoid.{u_5} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_5} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21))) (Submodule.toAddSubmonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) (AddMonoidHom.mker.{u_5, u_7, max u_5 u_7} M M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_5} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21)) (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_7} M₂ (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24)) (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) (DistribMulActionSemiHomClass.toAddMonoidHomClass.{max u_5 u_7, u_1, u_2, u_5, u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34) R R₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_1) (succ u_2), succ u_1, succ u_2} (RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15)) R (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : R) => R₂) (RingHom.instFunLike.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15)) τ₁₂) M M₂ (MonoidWithZero.toMonoid.{u_1} R (Semiring.toMonoidWithZero.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12)) (MonoidWithZero.toMonoid.{u_2} R₂ (Semiring.toMonoidWithZero.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15)) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24) (Module.toDistribMulAction.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30) (Module.toDistribMulAction.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) (SemilinearMapClass.distribMulActionSemiHomClass.{u_1, u_2, u_5, u_7, max u_5 u_7} R R₂ M M₂ (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R��� inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) (LinearMap.semilinearMapClass.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.675237355._hygCtx._hyg.34 τ₁₂))) f)","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker.toAddSubmonoid = AddMonoidHom.mker f","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker.toAddSubmonoid = AddMonoidHom.mker f","typeReferences":[["AddMonoidHom","mker"],["RingHom"],["Submodule","toAddSubmonoid"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["RingHom","instFunLike"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["LinearMap","semilinearMapClass"],["DistribMulActionSemiHomClass","toAddMonoidHomClass"],["Module","toDistribMulAction"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["AddSubmonoid"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["Eq"],["SemilinearMapClass","distribMulActionSemiHomClass"],["Semiring"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]],"valueReferences":[["rfl"],["LinearMap","ker"],["Submodule","toAddSubmonoid"],["AddSubmonoid"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker","eq_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15)} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Submodule.comap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f (Bot.bot.{u_7} (Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34) (Submodule.instBot.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker = Submodule.comap f ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker = Submodule.comap f ⊥","typeReferences":[["RingHom"],["AddCommMonoid"],["LinearMap","ker"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","comap"],["Module"],["Submodule","instBot"],["Eq"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["Submodule"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["Eq","refl"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_4"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15)} {N : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34}, Eq.{1} Prop (LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30))) N (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) (Eq.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.comp.{u_1, u_1, u_2, u_5, u_5, u_7} R R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12)) τ₁₂ τ₁₂ (RingHomCompTriple.ids.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂) f (Submodule.subtype.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N)) (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {N : Submodule R M} {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, (N ≤ f.ker) = (f ∘ₛₗ N.subtype = 0)","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {N : Submodule R M} {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, (N ≤ f.ker) = (f ∘ₛₗ N.subtype = 0)","typeReferences":[["RingHom"],["PartialOrder","toPreorder"],["Subtype"],["Module"],["RingHomCompTriple","ids"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap","comp"],["Submodule"],["Submodule","subtype"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Zero","toOfNat0"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule","setLike"],["LE","le"],["Submodule","addCommMonoid"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","instZero"],["LinearMap","le_ker_iff_comp_subtype_eq_zero"],["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","ker"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["RingHomCompTriple","ids"],["Submodule","module"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["LinearMap","comp"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule","subtype"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["LE","le"],["Zero","toOfNat0"],["Submodule","addCommMonoid"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["propext"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","disjoint_ker"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.34} {p : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30}, Iff (Disjoint.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30) p (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) (forall (x : M), (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30)) p x) -> (Eq.{succ u_7} M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.34) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) f x) (OfNat.ofNat.{u_7} M₂ 0 (Zero.toOfNat0.{u_7} M₂ (AddZero.toZero.{u_7} M₂ (AddZeroClass.toAddZero.{u_7} M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_7} M₂ (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.24))))))) -> (Eq.{succ u_5} M x (OfNat.ofNat.{u_5} M 0 (Zero.toOfNat0.{u_5} M (AddZero.toZero.{u_5} M (AddZeroClass.toAddZero.{u_5} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_5} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.893969450._hygCtx._hyg.21))))))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker ↔ ∀ x ∈ p, f x = 0 → x = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker ↔ ∀ x ∈ p, f x = 0 → x = 0","typeReferences":[["RingHom"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Iff"],["Disjoint"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["implies_congr"],["LinearMap","instFunLike"],["Eq","trans"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["congrArg"],["iff_self"],["LinearMap","mem_ker","_simp_1"],["Disjoint"],["forall_congr"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","disjoint_ker","_simp_1_1"],["Zero","toOfNat0"],["congrFun'"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["True"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["of_eq_true"],["Submodule","setLike"],["Eq","refl"],["Iff"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["Submodule","inclusion","eq_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_2}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 : AddCommMonoid.{u_2} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 : Module.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7] {p : Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10} {p' : Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10} (h : LE.le.{u_2} (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) (Preorder.toLE.{u_2} (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) (PartialOrder.toPreorder.{u_2} (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10))) p p'), Eq.{succ u_2} (LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_2} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4)) (Subtype.{succ u_2} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_2, u_2} M (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) (SetLike.instMembership.{u_2, u_2} (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) M (Submodule.setLike.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10)) p x)) (Subtype.{succ u_2} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_2, u_2} M (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) (SetLike.instMembership.{u_2, u_2} (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) M (Submodule.setLike.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10)) p' x)) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p') (Submodule.module.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p) (Submodule.module.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p')) (Submodule.inclusion.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p p' h) (LinearMap.codRestrict.{u_1, u_1, u_2, u_2} R R (Subtype.{succ u_2} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_2, u_2} M (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) (SetLike.instMembership.{u_2, u_2} (Submodule.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10) M (Submodule.setLike.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10)) p x)) M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 (Submodule.module.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4)) p' (Submodule.subtype.{u_1, u_2} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p) (Submodule.inclusion._proof_1.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.4 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.LinearMap.4225300190._hygCtx._hyg.10 p p' h))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_2} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  {p p' : Submodule R M} (h : p ≤ p'), Submodule.inclusion h = LinearMap.codRestrict p' p.subtype ⋯","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_2} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  {p p' : Submodule R M} (h : p ≤ p'), Submodule.inclusion h = LinearMap.codRestrict p' p.subtype ⋯","typeReferences":[["SetLike","instMembership"],["PartialOrder","toPreorder"],["Subtype"],["Submodule","inclusion","_proof_1"],["LinearMap","codRestrict"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["Submodule","subtype"],["Submodule"],["Submodule","inclusion"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["RingHom","id"],["LE","le"],["Submodule","addCommMonoid"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Submodule","inclusion"],["SetLike","instMembership"],["Subtype"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["RingHom","id"],["Submodule","module"],["Eq","refl"],["Membership","mem"],["Submodule","addCommMonoid"],["LinearMap"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["Submodule","ker_inclusion"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18] (p : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (p' : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (h : LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24))) p p'), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p)) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24)) p' x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p') (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p') (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12)) (Submodule.inclusion.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p p' h)) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p)) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3132415313._hygCtx._hyg.24 p)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  (p p' : Submodule R M) (h : p ≤ p'), (Submodule.inclusion h).ker = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  (p p' : Submodule R M) (h : p ≤ p'), (Submodule.inclusion h).ker = ⊥","typeReferences":[["LinearMap","ker"],["PartialOrder","toPreorder"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["Module"],["Submodule","module"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["Bot","bot"],["Submodule"],["Submodule","inclusion"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Submodule","instBot"],["LE","le"],["Submodule","addCommMonoid"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Submodule","ker_subtype"],["Subtype"],["Submodule","inclusion","_proof_1"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["Submodule"],["Submodule","subtype"],["congrArg"],["Submodule","inclusion"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Eq"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","codRestrict"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["Submodule","setLike"],["Eq","refl"],["Submodule","instBot"],["id"],["Submodule","inclusion","eq_1"],["Eq","mpr"],["Submodule","addCommMonoid"],["LinearMap","ker_codRestrict"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34}, (Ne.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34) f (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂)))) -> (forall (s : Set.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)), (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (SupSet.sSup.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (ConditionallyCompletePartialOrderSup.toSupSet.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (ConditionallyCompletePartialOrder.toConditionallyCompletePartialOrderSup.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (ConditionallyCompleteLattice.toConditionallyCompletePartialOrder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (CompleteLattice.toConditionallyCompleteLattice.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (Submodule.completeLattice.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30))))) s) (Top.top.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instTop.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30))) -> (Exists.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (fun (m : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) => And (Membership.mem.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (Set.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)) (Set.instMembership.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)) s m) (Ne.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)) m x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.comp.{u_1, u_1, u_2, u_5, u_5, u_7} R R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)) m x)) M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12)) τ₁₂ τ₁₂ (RingHomCompTriple.ids.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂) f (Submodule.subtype.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m)) (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)) m x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)) m x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30)) m x)) M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.30 m) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3851627450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂)))))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f ≠ 0 → ∀ (s : Set (Submodule R M)), sSup s = ⊤ → ∃ m ∈ s, f ∘ₛₗ m.subtype ≠ 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f ≠ 0 → ∀ (s : Set (Submodule R M)), sSup s = ⊤ → ∃ m ∈ s, f ∘ₛₗ m.subtype ≠ 0","typeReferences":[["RingHom"],["Subtype"],["RingHomCompTriple","ids"],["Module"],["Submodule","module"],["ConditionallyCompleteLattice","toConditionallyCompletePartialOrder"],["Membership","mem"],["LinearMap","comp"],["Submodule","subtype"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["ConditionallyCompletePartialOrder","toConditionallyCompletePartialOrderSup"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["SupSet","sSup"],["ConditionallyCompletePartialOrderSup","toSupSet"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["CompleteLattice","toConditionallyCompleteLattice"],["LinearMap","instZero"],["SetLike","instMembership"],["Exists"],["Set"],["Submodule","instTop"],["And"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Set","instMembership"],["Submodule","setLike"],["Submodule","completeLattice"],["Top","top"],["Ne"],["Submodule","addCommMonoid"],["Semiring"]],"valueReferences":[["implies_congr"],["PartialOrder","toPreorder"],["Eq","trans"],["RingHomCompTriple","ids"],["Membership","mem"],["Classical","not_not","_simp_2"],["Submodule","subtype"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_1"],["ConditionallyCompletePartialOrder","toConditionallyCompletePartialOrderSup"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["SupSet","sSup"],["ConditionallyCompletePartialOrderSup","toSupSet"],["forall_congr"],["Eq","symm"],["LinearMap","instZero"],["binderNameHint"],["SetLike","instMembership"],["Exists"],["LinearMap","ker"],["Mathlib","Tactic","Contrapose","contrapose₂"],["And"],["LinearMap"],["Set","instMembership"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_2"],["Eq","refl"],["id"],["Top","top"],["Eq","mpr"],["Mathlib","Tactic","Push","not_and_eq"],["Subtype"],["Submodule","module"],["ConditionallyCompleteLattice","toConditionallyCompletePartialOrder"],["LinearMap","comp"],["CompleteLattice","toCompleteSemilatticeSup"],["congrArg"],["Submodule"],["Mathlib","Tactic","Push","not_exists","_simp_1"],["congrFun'"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["CompleteLattice","toConditionallyCompleteLattice"],["Submodule","instOrderTop"],["Not"],["Set"],["Submodule","instTop"],["Submodule","instPartialOrder"],["OfNat","ofNat"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_3"],["Submodule","setLike"],["LE","le"],["CompleteSemilatticeSup","toPartialOrder"],["Submodule","completeLattice"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_4"],["Ne"],["Submodule","addCommMonoid"],["OrderTop","toTop"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_eq_bot_of_injective"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.34}, (Function.Injective.{succ u_5, succ u_7} M M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.34) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) f)) -> (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2893119341._hygCtx._hyg.30)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, Function.Injective ⇑f → f.ker = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, Function.Injective ⇑f → f.ker = ⊥","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Bot","bot"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","instBot"],["Eq"],["Semiring"],["Function","Injective"]],"valueReferences":[["RingHom"],["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","instFunLike"],["Eq","trans"],["Eq","mp"],["Membership","mem"],["RingHom","instFunLike"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["congrArg"],["LinearMap","semilinearMapClass"],["DistribMulActionSemiHomClass","toAddMonoidHomClass"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","ker_eq_bot_of_injective","_simp_1_1"],["LinearMap","mem_ker","_simp_1"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["Eq","symm"],["Zero","toOfNat0"],["OrderBot","toBot"],["map_zero"],["Submodule","instOrderBot"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["propext"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Submodule","instPartialOrder"],["AddMonoidHomClass","toZeroHomClass"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["Bot","bot"],["eq_bot_iff"],["OfNat","ofNat"],["Function","Injective","eq_iff"],["Module","toDistribMulAction"],["Submodule","setLike"],["LE","le"],["Submodule","instBot"],["id"],["Eq","mpr"],["AddZero","toZero"],["SemilinearMapClass","distribMulActionSemiHomClass"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"definition","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","injective_domRestrict_iff","match_1_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_2}} {R₂ : Type.{u_3}} {M : Type.{u_1}} {M₂ : Type.{u_4}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_2} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_3} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_1} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_4} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_3, u_4} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_3} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_4} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_2, u_3} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₂ (Ring.toSemiring.{u_3} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_2, u_3, u_1, u_4} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_3} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_4} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28} {S : Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24} {{x : M}} (motive : (Membership.mem.{u_1, u_1} M (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) (Min.min.{u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instMin.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) S (LinearMap.ker.{u_2, u_3, u_1, u_4} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_3} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_4} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) x) -> Prop) (h._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx.121.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.134 : Membership.mem.{u_1, u_1} M (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) (Min.min.{u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instMin.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) S (LinearMap.ker.{u_2, u_3, u_1, u_4} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_3} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_4} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) x), (forall (hx : Membership.mem.{u_1, u_1} M (Set.{u_1} M) (Set.instMembership.{u_1} M) (SetLike.coe.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) S) x) (h'x : Membership.mem.{u_1, u_1} M (Set.{u_1} M) (Set.instMembership.{u_1} M) (SetLike.coe.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (LinearMap.ker.{u_2, u_3, u_1, u_4} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_3} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_4} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) x), motive (And.intro (Membership.mem.{u_1, u_1} M (Set.{u_1} M) (Set.instMembership.{u_1} M) (SetLike.coe.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) S) x) (Membership.mem.{u_1, u_1} M (Set.{u_1} M) (Set.instMembership.{u_1} M) (SetLike.coe.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (LinearMap.ker.{u_2, u_3, u_1, u_4} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_3} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_1} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_4} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) x) hx h'x)) -> (motive h._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx.121.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.134)","typeFull":"∀ {R : Type u_2} {R₂ : Type u_3} {M : Type u_1} {M₂ : Type u_4} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {S : Submodule R M} ⦃x : M⦄ (motive : x ∈ S ⊓ f.ker → Prop) (h : x ∈ S ⊓ f.ker),\n  (∀ (hx : x ∈ ↑S) (h'x : x ∈ ↑f.ker), motive ⋯) → motive h","typeReadable":"∀ {R : Type u_2} {R₂ : Type u_3} {M : Type u_1} {M₂ : Type u_4} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {S : Submodule R M} ⦃x : M⦄ (motive : x ∈ S ⊓ f.ker → Prop) (h : x ∈ S ⊓ f.ker),\n  (∀ (hx : x ∈ ↑S) (h'x : x ∈ ↑f.ker), motive ⋯) → motive h","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Set"],["Module"],["Membership","mem"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["Set","instMembership"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["And","intro"],["SetLike","coe"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Min","min"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instMin"],["Ring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["SetLike","coe"],["Submodule","setLike"],["Set"],["Membership","mem"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Set","instMembership"],["And","casesOn"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_eq_bot"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28}, Iff (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24))) (Function.Injective.{succ u_5, succ u_7} M M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Bot","bot"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Iff"],["Submodule","instBot"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Eq"],["Function","Injective"],["Ring"]],"valueReferences":[["SemilatticeInf","toMin"],["PartialOrder","toPreorder"],["Eq","trans"],["LinearMap","instFunLike"],["Eq","mp"],["Set","injOn_univ","_simp_1"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["congrArg"],["le_top","_simp_2"],["Disjoint"],["congr"],["congrFun'"],["OrderBot","toBot"],["Submodule","instOrderBot"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["CompleteLattice","toConditionallyCompleteLattice"],["Submodule","instOrderTop"],["SemilatticeInf","toPartialOrder"],["Lattice","toSemilatticeInf"],["LinearMap","ker"],["Submodule","instTop"],["Submodule","instPartialOrder"],["inf_of_le_right"],["LinearMap","disjoint_ker_iff_injOn"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["Ring","toSemiring"],["le_bot_iff","_simp_1"],["SetLike","coe"],["of_eq_true"],["Min","min"],["Submodule","setLike"],["Set","InjOn"],["Iff"],["LE","le"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","ker_eq_bot","_simp_1_1"],["Submodule","completeLattice"],["Top","top"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["ConditionallyCompleteLattice","toLattice"],["OrderTop","toTop"],["Function","Injective"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","le_ker_iff_comp_subtype_eq_zero"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15)} {N : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34}, Iff (LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30))) N (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) (Eq.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.comp.{u_1, u_1, u_2, u_5, u_5, u_7} R R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12)) τ₁₂ τ₁₂ (RingHomCompTriple.ids.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂) f (Submodule.subtype.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N)) (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30)) N x)) M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.30 N) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1243811450._hygCtx._hyg.34 τ₁₂))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {N : Submodule R M} {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, N ≤ f.ker ↔ f ∘ₛₗ N.subtype = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {N : Submodule R M} {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, N ≤ f.ker ↔ f ∘ₛₗ N.subtype = 0","typeReferences":[["RingHom"],["PartialOrder","toPreorder"],["Subtype"],["Module"],["RingHomCompTriple","ids"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap","comp"],["Submodule"],["Submodule","subtype"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Zero","toOfNat0"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule","setLike"],["Iff"],["LE","le"],["Submodule","addCommMonoid"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Subtype"],["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","instFunLike"],["RingHomCompTriple","ids"],["Submodule","module"],["SetLike","le_def"],["Membership","mem"],["LinearMap","comp"],["DFunLike","coe"],["congrArg"],["Submodule"],["Submodule","subtype"],["instIsConcreteLE"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["propext"],["LinearMap","instZero"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["Submodule","instPartialOrder"],["Iff","rfl"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Subtype","forall"],["Submodule","setLike"],["Iff"],["LinearMap","ext_iff"],["LE","le"],["id"],["Eq","mpr"],["Subtype","mk"],["Submodule","addCommMonoid"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_zero"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.15)}, Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.34 τ₁₂)))) (Top.top.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instTop.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1144101676._hygCtx._hyg.30))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂},\n  LinearMap.ker 0 = ⊤","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂},\n  LinearMap.ker 0 = ⊤","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["Module"],["Submodule","instTop"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Top","top"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Eq","trans"],["LinearMap","instFunLike"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["LinearMap","mem_ker","_simp_1"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["LinearMap","instZero"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["True"],["Submodule","instTop"],["Submodule","eq_top_iff'"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["eq_self"],["of_eq_true"],["Submodule","setLike"],["Iff","mpr"],["Top","top"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_domRestrict"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} {M₁ : Type.{u_6}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.62 : AddCommMonoid.{u_6} M₁] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.65 : Module.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.62] (p : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30) (f : LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12)) M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.65), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 p)) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30)) p x)) M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.62 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.65 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12)) (LinearMap.domRestrict.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.65 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12)) f p)) (Submodule.comap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30)) p x)) M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12)) (Submodule.subtype.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 p) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.65 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1917424838._hygCtx._hyg.12)) f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  [inst_3 : AddCommMonoid M₁] [inst_4 : Module R M₁] (p : Submodule R M) (f : M →ₗ[R] M₁),\n  (f.domRestrict p).ker = Submodule.comap p.subtype f.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  [inst_3 : AddCommMonoid M₁] [inst_4 : Module R M₁] (p : Submodule R M) (f : M →ₗ[R] M₁),\n  (f.domRestrict p).ker = Submodule.comap p.subtype f.ker","typeReferences":[["LinearMap","ker"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap","domRestrict"],["LinearMap"],["Submodule","subtype"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","comap"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Eq"],["Submodule","addCommMonoid"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker_comp"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["SetLike","instMembership"],["Subtype"],["RingHomCompTriple","ids"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["Submodule","addCommMonoid"],["Submodule","subtype"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_smul'"],"typeFallback":"forall {K : Type.{u_4}} {V : Type.{u_9}} {V₂ : Type.{u_10}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12 : Semifield.{u_4} K] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 : AddCommMonoid.{u_9} V] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 : Module.{u_4, u_9} K V (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 : AddCommMonoid.{u_10} V₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25 : Module.{u_4, u_10} K V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22] (f : LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25) (a : K), Eq.{succ u_9} (Submodule.{u_4, u_9} K V (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18) (LinearMap.ker.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K V V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25 (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) (HSMul.hSMul.{u_4, max u_10 u_9, max u_10 u_9} K (LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25) (LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25) (instHSMul.{u_4, max u_10 u_9} K (LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25) (LinearMap.instSMul.{u_4, u_4, u_4, u_9, u_10} K K K V V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25 (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_4, u_10} K V₂ (MonoidWithZero.toMonoid.{u_4} K (Semiring.toMonoidWithZero.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_10} V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22) (Module.toDistribMulAction.{u_4, u_10} K V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25)) (smulCommClass_self.{u_4, u_10} K V₂ (CommSemiring.toCommMonoid.{u_4} K (Semifield.toCommSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DistribMulAction.toMulAction.{u_4, u_10} K V₂ (CommMonoid.toMonoid.{u_4} K (CommSemiring.toCommMonoid.{u_4} K (Semifield.toCommSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12))) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_10} V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22) (Module.toDistribMulAction.{u_4, u_10} K V₂ (CommSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toCommSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25))))) a f)) (iInf.{u_9, 0} (Submodule.{u_4, u_9} K V (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18) (Ne.{succ u_4} K a (OfNat.ofNat.{u_4} K 0 (Zero.toOfNat0.{u_4} K (MulZeroClass.toZero.{u_4} K (NonUnitalNonAssocSemiring.toMulZeroClass.{u_4} K (NonAssocSemiring.toNonUnitalNonAssocSemiring.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12))))))))) (Submodule.instInfSet.{u_4, u_9} K V (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18) (fun (x._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.59 : Ne.{succ u_4} K a (OfNat.ofNat.{u_4} K 0 (Zero.toOfNat0.{u_4} K (MulZeroClass.toZero.{u_4} K (NonUnitalNonAssocSemiring.toMulZeroClass.{u_4} K (NonAssocSemiring.toNonUnitalNonAssocSemiring.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12))))))))) => LinearMap.ker.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K V V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.25 (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1451360162._hygCtx._hyg.12)))) f))","typeFull":"∀ {K : Type u_4} {V : Type u_9} {V₂ : Type u_10} [inst : Semifield K] [inst_1 : AddCommMonoid V] [inst_2 : Module K V]\n  [inst_3 : AddCommMonoid V₂] [inst_4 : Module K V₂] (f : V →ₗ[K] V₂) (a : K), (a • f).ker = ⨅ (_ : a ≠ 0), f.ker","typeReadable":"∀ {K : Type u_4} {V : Type u_9} {V₂ : Type u_10} [inst : Semifield K] [inst_1 : AddCommMonoid V] [inst_2 : Module K V]\n  [inst_3 : AddCommMonoid V₂] [inst_4 : Module K V₂] (f : V →ₗ[K] V₂) (a : K), (a • f).ker = ⨅ (_ : a ≠ 0), f.ker","typeReferences":[["Semifield","toCommSemiring"],["smulCommClass_self"],["Submodule","instInfSet"],["CommMonoid","toMonoid"],["Module"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["DistribMulAction","toMulAction"],["iInf"],["instHSMul"],["Zero","toOfNat0"],["Semifield","toDivisionSemiring"],["Eq"],["LinearMap","ker"],["NonAssocSemiring","toNonUnitalNonAssocSemiring"],["CommSemiring","toSemiring"],["DistribMulAction","toDistribSMul"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["DivisionSemiring","toSemiring"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["CommSemiring","toCommMonoid"],["Module","toDistribMulAction"],["MulZeroClass","toZero"],["NonUnitalNonAssocSemiring","toMulZeroClass"],["HSMul","hSMul"],["Semifield"],["LinearMap","instSMul"],["Ne"]],"valueReferences":[["Submodule","comap_smul'"],["Submodule","instBot"],["Semifield","toDivisionSemiring"],["DivisionSemiring","toSemiring"],["Bot","bot"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["Submodule","comap_bot"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.18 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.18] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.21] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15)} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.28), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.24) (Submodule.comap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f (Bot.bot.{u_7} (Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.28) (Submodule.instBot.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.28))) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1264004446._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), Submodule.comap f ⊥ = f.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), Submodule.comap f ⊥ = f.ker","typeReferences":[["RingHom"],["AddCommMonoid"],["LinearMap","ker"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","comap"],["Module"],["Submodule","instBot"],["Eq"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["Submodule"],["Semiring"]],"valueReferences":[["rfl"],["Submodule","comap"],["Submodule","instBot"],["Bot","bot"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_eq_bot'"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.34}, Iff (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30))) (forall (m : M), (Eq.{succ u_7} M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.34) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) f m) (OfNat.ofNat.{u_7} M₂ 0 (Zero.toOfNat0.{u_7} M₂ (AddZero.toZero.{u_7} M₂ (AddZeroClass.toAddZero.{u_7} M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_7} M₂ (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.24))))))) -> (Eq.{succ u_5} M m (OfNat.ofNat.{u_5} M 0 (Zero.toOfNat0.{u_5} M (AddZero.toZero.{u_5} M (AddZeroClass.toAddZero.{u_5} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_5} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2337467432._hygCtx._hyg.21))))))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊥ ↔ ∀ (m : M), f m = 0 → m = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊥ ↔ ∀ (m : M), f m = 0 → m = 0","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["DFunLike","coe"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Iff"],["Submodule","instBot"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["implies_congr"],["PartialOrder","toPreorder"],["Eq","trans"],["Membership","mem"],["Disjoint"],["forall_congr"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","ker_eq_bot'","_simp_1_1"],["SemilatticeInf","toPartialOrder"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["le_bot_iff","_simp_1"],["instNonemptyOfInhabited"],["Eq","refl"],["Iff"],["Top","top"],["ConditionallyCompleteLattice","toLattice"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["SemilatticeInf","toMin"],["LinearMap","instFunLike"],["Eq","mp"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["LinearMap","disjoint_ker"],["Submodule"],["congrArg"],["congr"],["le_top","_simp_2"],["Submodule","mem_top","_simp_1"],["Zero","toOfNat0"],["congrFun'"],["OrderBot","toBot"],["Preorder","toLE"],["Submodule","instOrderBot"],["Eq"],["CompleteLattice","toConditionallyCompleteLattice"],["Submodule","instOrderTop"],["Lattice","toSemilatticeInf"],["True"],["Submodule","instPartialOrder"],["Submodule","instTop"],["inf_of_le_right"],["OfNat","ofNat"],["forall_const","_simp_1"],["of_eq_true"],["Submodule","setLike"],["Min","min"],["LE","le"],["Submodule","completeLattice"],["OrderTop","toTop"],["instInhabitedTrue"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","comp_ker_subtype"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15)} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34), Eq.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.comp.{u_1, u_1, u_2, u_5, u_5, u_7} R R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) x)) M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12)) τ₁₂ τ₁₂ (RingHomCompTriple.ids.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 τ₁₂) f (Submodule.subtype.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f))) (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) x)) M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2098907206._hygCtx._hyg.34 τ₁₂)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f ∘ₛₗ f.ker.subtype = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f ∘ₛₗ f.ker.subtype = 0","typeReferences":[["LinearMap","instZero"],["RingHom"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["RingHomCompTriple","ids"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap","comp"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule","subtype"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Zero","toOfNat0"],["Submodule","addCommMonoid"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Subtype"],["LinearMap","instFunLike"],["RingHomCompTriple","ids"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["Iff","mp"],["LinearMap","comp"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Submodule","subtype"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["LinearMap","ext"],["Subtype","property"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["Submodule","setLike"],["Submodule","addCommMonoid"],["AddZero","toZero"],["LinearMap","mem_ker"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","sub_mem_ker_iff"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.28} {x : M} {y : M}, Iff (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f) (HSub.hSub.{u_5, u_5, u_5} M M M (instHSub.{u_5} M (SubNegMonoid.toSub.{u_5} M (AddGroup.toSubNegMonoid.{u_5} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18)))) x y)) (Eq.{succ u_7} M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f x) (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1376168923._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f y))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {x y : M}, x - y ∈ f.ker ↔ f x = f y","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {x y : M}, x - y ∈ f.ker ↔ f x = f y","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["AddCommGroup","toAddGroup"],["Membership","mem"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["SubNegMonoid","toSub"],["Iff"],["HSub","hSub"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["AddGroup","toSubNegMonoid"],["Eq"],["instHSub"],["Ring"]],"valueReferences":[["SubtractionMonoid","toSubNegZeroMonoid"],["RingHom"],["sub_eq_zero"],["LinearMap","instFunLike"],["AddCommGroup","toAddGroup"],["Membership","mem"],["RingHom","instFunLike"],["SubtractionCommMonoid","toSubtractionMonoid"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["SubNegZeroMonoid","toNegZeroClass"],["DFunLike","coe"],["AddGroup","toSubtractionMonoid"],["map_sub"],["congrArg"],["Submodule"],["LinearMap","semilinearMapClass"],["DistribMulActionSemiHomClass","toAddMonoidHomClass"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["SubNegMonoid","toSub"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["HSub","hSub"],["Zero","toOfNat0"],["AddGroup","toSubNegMonoid"],["Eq"],["propext"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["Iff","rfl"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["Ring","toSemiring"],["Module","toDistribMulAction"],["AddCommGroup","toDivisionAddCommMonoid"],["SubtractionMonoid","toSubNegMonoid"],["Submodule","setLike"],["Iff"],["NegZeroClass","toZero"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["id"],["Eq","mpr"],["instHSub"],["AddZero","toZero"],["SemilinearMapClass","distribMulActionSemiHomClass"],["LinearMap","mem_ker"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","mem_ker","_simp_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34} {y : M}, Eq.{1} Prop (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) y) (Eq.{succ u_7} M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) f y) (OfNat.ofNat.{u_7} M₂ 0 (Zero.toOfNat0.{u_7} M₂ (AddZero.toZero.{u_7} M₂ (AddZeroClass.toAddZero.{u_7} M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_7} M₂ (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24)))))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {y : M}, (y ∈ f.ker) = (f y = 0)","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {y : M}, (y ∈ f.ker) = (f y = 0)","typeReferences":[["RingHom"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["Submodule","setLike"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["propext"],["LinearMap","mem_ker"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_restrictScalars"],"typeFallback":"forall (R : Type.{u_11}) {S : Type.{u_12}} {M : Type.{u_13}} {N : Type.{u_14}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 : Semiring.{u_11} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 : Semiring.{u_12} S] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.22 : SMul.{u_11, u_12} R S] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 : AddCommMonoid.{u_13} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.29 : Module.{u_11, u_13} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.33 : Module.{u_12, u_13} S M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.37 : IsScalarTower.{u_11, u_12, u_13} R S M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.22 (SMulZeroClass.toSMul.{u_12, u_13} S M (AddZero.toZero.{u_13} M (AddZeroClass.toAddZero.{u_13} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_13} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26)))) (DistribSMul.toSMulZeroClass.{u_12, u_13} S M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_13} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26)) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_12, u_13} S M (MonoidWithZero.toMonoid.{u_12} S (Semiring.toMonoidWithZero.{u_12} S inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19)) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26) (Module.toDistribMulAction.{u_12, u_13} S M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.33)))) (SMulZeroClass.toSMul.{u_11, u_13} R M (AddZero.toZero.{u_13} M (AddZeroClass.toAddZero.{u_13} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_13} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26)))) (DistribSMul.toSMulZeroClass.{u_11, u_13} R M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_13} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26)) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_11, u_13} R M (MonoidWithZero.toMonoid.{u_11} R (Semiring.toMonoidWithZero.{u_11} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16)) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26) (Module.toDistribMulAction.{u_11, u_13} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.29))))] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 : AddCommMonoid.{u_14} N] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.45 : Module.{u_11, u_14} R N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.49 : Module.{u_12, u_14} S N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.53 : IsScalarTower.{u_11, u_12, u_14} R S N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.22 (SMulZeroClass.toSMul.{u_12, u_14} S N (AddZero.toZero.{u_14} N (AddZeroClass.toAddZero.{u_14} N (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_14} N (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42)))) (DistribSMul.toSMulZeroClass.{u_12, u_14} S N (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_14} N (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42)) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_12, u_14} S N (MonoidWithZero.toMonoid.{u_12} S (Semiring.toMonoidWithZero.{u_12} S inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19)) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42) (Module.toDistribMulAction.{u_12, u_14} S N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.49)))) (SMulZeroClass.toSMul.{u_11, u_14} R N (AddZero.toZero.{u_14} N (AddZeroClass.toAddZero.{u_14} N (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_14} N (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42)))) (DistribSMul.toSMulZeroClass.{u_11, u_14} R N (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_14} N (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42)) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_11, u_14} R N (MonoidWithZero.toMonoid.{u_11} R (Semiring.toMonoidWithZero.{u_11} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16)) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42) (Module.toDistribMulAction.{u_11, u_14} R N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.45))))] (f : LinearMap.{u_12, u_12, u_13, u_14} S S inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 (RingHom.id.{u_12} S (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_12} S inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19)) M N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.33 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.49), Eq.{succ u_13} (Submodule.{u_11, u_13} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.29) (LinearMap.ker.{u_11, u_11, u_13, u_14} R R M N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.29 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.45 (RingHom.id.{u_11} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_11} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16)) (LinearMap.restrictScalars.{u_11, u_12, u_13, u_14} R S M N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.29 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.45 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.33 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.49 (LinearMap.IsScalarTower.compatibleSMul.{u_13, u_14, u_11, u_12} M N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 R S inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 (SMulZeroClass.toSMul.{u_11, u_13} R M (AddZero.toZero.{u_13} M (AddZeroClass.toAddZero.{u_13} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_13} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26)))) (DistribSMul.toSMulZeroClass.{u_11, u_13} R M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_13} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26)) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_11, u_13} R M (MonoidWithZero.toMonoid.{u_11} R (Semiring.toMonoidWithZero.{u_11} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16)) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_13} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26) (Module.toDistribMulAction.{u_11, u_13} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.29)))) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.33 (SMulZeroClass.toSMul.{u_11, u_14} R N (AddZero.toZero.{u_14} N (AddZeroClass.toAddZero.{u_14} N (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_14} N (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42)))) (DistribSMul.toSMulZeroClass.{u_11, u_14} R N (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_14} N (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42)) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_11, u_14} R N (MonoidWithZero.toMonoid.{u_11} R (Semiring.toMonoidWithZero.{u_11} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16)) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_14} N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42) (Module.toDistribMulAction.{u_11, u_14} R N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.45)))) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.49 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.37 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.53) f)) (Submodule.restrictScalars.{u_11, u_12, u_13} R S M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.16 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.29 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.33 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.37 (LinearMap.ker.{u_12, u_12, u_13, u_14} S S M N inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.26 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.42 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.33 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.49 (RingHom.id.{u_12} S (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_12} S inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1197584598._hygCtx._hyg.19)) f))","typeFull":"∀ (R : Type u_11) {S : Type u_12} {M : Type u_13} {N : Type u_14} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring S]\n  [inst_2 : SMul R S] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module S M]\n  [inst_6 : IsScalarTower R S M] [inst_7 : AddCommMonoid N] [inst_8 : Module R N] [inst_9 : Module S N]\n  [inst_10 : IsScalarTower R S N] (f : M →ₗ[S] N), (↑R f).ker = Submodule.restrictScalars R f.ker","typeReadable":"∀ (R : Type u_11) {S : Type u_12} {M : Type u_13} {N : Type u_14} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring S]\n  [inst_2 : SMul R S] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module S M]\n  [inst_6 : IsScalarTower R S M] [inst_7 : AddCommMonoid N] [inst_8 : Module R N] [inst_9 : Module S N]\n  [inst_10 : IsScalarTower R S N] (f : M →ₗ[S] N), (↑R f).ker = Submodule.restrictScalars R f.ker","typeReferences":[["LinearMap","ker"],["Module"],["IsScalarTower"],["DistribMulAction","toDistribSMul"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["SMulZeroClass","toSMul"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["Submodule"],["Module","toDistribMulAction"],["SMul"],["AddCommMonoid"],["Submodule","restrictScalars"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["LinearMap","IsScalarTower","compatibleSMul"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["LinearMap","restrictScalars"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["Semiring"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["DistribSMul","toSMulZeroClass"]],"valueReferences":[["rfl"],["LinearMap","ker"],["DistribMulAction","toDistribSMul"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["SMulZeroClass","toSMul"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["Submodule"],["Module","toDistribMulAction"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["LinearMap","IsScalarTower","compatibleSMul"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["LinearMap","restrictScalars"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["DistribSMul","toSMulZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_id"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21], Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12)) (LinearMap.id.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.30)) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1814942131._hygCtx._hyg.30))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M],\n  LinearMap.id.ker = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M],\n  LinearMap.id.ker = ⊥","typeReferences":[["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LinearMap","ker"],["RingHom","id"],["Module"],["Submodule","instBot"],["Eq"],["Bot","bot"],["LinearMap","id"],["Submodule"],["Semiring"]],"valueReferences":[["rfl"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LinearMap","ker"],["RingHom","id"],["LinearMap","id"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34}, Eq.{1} Prop (Eq.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) f (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 τ₁₂)))) (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Top.top.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instTop.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, (f = 0) = (f.ker = ⊤)","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, (f = 0) = (f.ker = ⊤)","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["Module"],["Submodule","instTop"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Top","top"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","ker_eq_top"],["Submodule","instTop"],["Top","top"],["Eq","symm"],["Zero","toOfNat0"],["LinearMap"],["Eq"],["propext"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"]]},{"isProp":false,"kind":"definition","name":["LinearMap","ker"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15)}, (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.34) -> (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752984._hygCtx._hyg.30)","typeFull":"{R : Type u_1} →\n  {R₂ : Type u_2} →\n    {M : Type u_5} →\n      {M₂ : Type u_7} →\n        [inst : Semiring R] →\n          [inst_1 : Semiring R₂] →\n            [inst_2 : AddCommMonoid M] →\n              [inst_3 : AddCommMonoid M₂] →\n                [inst_4 : Module R M] → [inst_5 : Module R₂ M₂] → {τ₁₂ : R →+* R₂} → (M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) → Submodule R M","typeReadable":"{R : Type u_1} →\n  {R₂ : Type u_2} →\n    {M : Type u_5} →\n      {M₂ : Type u_7} →\n        [inst : Semiring R] →\n          [inst_1 : Semiring R₂] →\n            [inst_2 : AddCommMonoid M] →\n              [inst_3 : AddCommMonoid M₂] →\n                [inst_4 : Module R M] → [inst_5 : Module R₂ M₂] → {τ₁₂ : R →+* R₂} → (M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) → Submodule R M","typeReferences":[["RingHom"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Module"],["LinearMap"],["Submodule"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Submodule","comap"],["Submodule","instBot"],["Bot","bot"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","iterateKer","_proof_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_2}} {M : Type.{u_1}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_2} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_1} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21] (f : LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (n : Nat) (m : Nat), (LE.le.{0} Nat (Preorder.toLE.{0} Nat Nat.instPreorder) n m) -> (forall (x : M), (Membership.mem.{u_1, u_1} M (Submodule.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30)) ((fun (n : Nat) => LinearMap.ker.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) (HPow.hPow.{u_1, 0, u_1} (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (instHPow.{u_1, 0} (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat (Monoid.toPow.{u_1} (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (Module.End.instMonoid.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30))) f n)) n) x) -> (Membership.mem.{u_1, u_1} M (Submodule.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_1, u_1} (Submodule.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30)) ((fun (n : Nat) => LinearMap.ker.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) (HPow.hPow.{u_1, 0, u_1} (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (instHPow.{u_1, 0} (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat (Monoid.toPow.{u_1} (LinearMap.{u_2, u_2, u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_2} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (Module.End.instMonoid.{u_2, u_1} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30))) f n)) m) x))","typeFull":"∀ {R : Type u_2} {M : Type u_1} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] (f : M →ₗ[R] M)\n  (n m : ℕ), n ≤ m → ∀ x ∈ (fun n => (f ^ n).ker) n, x ∈ (fun n => (f ^ n).ker) m","typeReadable":"∀ {R : Type u_2} {M : Type u_1} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] (f : M →ₗ[R] M)\n  (n m : ℕ), n ≤ m → ∀ x ∈ (fun n => (f ^ n).ker) n, x ∈ (fun n => (f ^ n).ker) m","typeReferences":[["instHPow"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Module"],["Membership","mem"],["HPow","hPow"],["LinearMap"],["Nat","instPreorder"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Nat"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Monoid","toPow"],["Submodule","setLike"],["RingHom","id"],["LE","le"],["Module","End","instMonoid"],["Preorder","toLE"],["Semiring"]],"valueReferences":[["instAddNat"],["RingHom"],["Membership","mem"],["Nat","instAddCommSemigroup"],["HMul","hMul"],["LinearMap","semilinearMapClass"],["DistribMulActionSemiHomClass","toAddMonoidHomClass"],["Nat","exists_eq_add_of_le"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Monoid","toPow"],["RingHom","id"],["Eq","symm"],["Eq","ndrec"],["add_comm"],["instHPow"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["pow_add"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["Exists","casesOn"],["Nat"],["Eq","refl"],["id"],["instHMul"],["Eq","mpr"],["Module","End","mul_apply"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["MulOneClass","toMulOne"],["LinearMap","instFunLike"],["Eq","mp"],["RingHom","instFunLike"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["Nat","instPreorder"],["Submodule"],["congrArg"],["MulOne","toMul"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["Monoid","toMulOneClass"],["Zero","toOfNat0"],["AddCommMagma","toAdd"],["AddCommSemigroup","toAddCommMagma"],["map_zero"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["propext"],["Module","End"],["instHAdd"],["AddMonoidHomClass","toZeroHomClass"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["HPow","hPow"],["OfNat","ofNat"],["Module","End","instMul"],["HAdd","hAdd"],["Module","toDistribMulAction"],["Submodule","setLike"],["LE","le"],["Module","End","instMonoid"],["SemilinearMapClass","distribMulActionSemiHomClass"],["LinearMap","mem_ker"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_comp_of_ker_eq_bot"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {R₃ : Type.{u_3}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} {M₃ : Type.{u_8}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18 : Semiring.{u_3} R₃] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.27 : AddCommMonoid.{u_8} M₃] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.38 : Module.{u_3, u_8} R₃ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.27] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15)} {τ₂₃ : RingHom.{u_2, u_3} R₂ R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18)} {τ₁₃ : RingHom.{u_1, u_3} R R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18)} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.57 : RingHomCompTriple.{u_1, u_2, u_3} R R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18 τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34) {g : LinearMap.{u_2, u_3, u_7, u_8} R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18 τ₂₃ M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.38}, (Eq.{succ u_7} (Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.ker.{u_2, u_3, u_7, u_8} R₂ R₃ M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.38 τ₂₃ g) (Bot.bot.{u_7} (Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34) (Submodule.instBot.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34))) -> (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_3, u_5, u_8} R R₃ M M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.38 τ₁₃ (LinearMap.comp.{u_1, u_2, u_3, u_5, u_7, u_8} R R₂ R₃ M M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.38 τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.57 g f)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.324817293._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] [inst_6 : Module R M] [inst_7 : Module R₂ M₂] [inst_8 : Module R₃ M₃] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₃ : R₂ →+* R₃} {τ₁₃ : R →+* R₃} [inst_9 : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) {g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃},\n  g.ker = ⊥ → (g ∘ₛₗ f).ker = f.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] [inst_6 : Module R M] [inst_7 : Module R₂ M₂] [inst_8 : Module R₃ M₃] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₃ : R₂ →+* R₃} {τ₁₃ : R →+* R₃} [inst_9 : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) {g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃},\n  g.ker = ⊥ → (g ∘ₛₗ f).ker = f.ker","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["Module"],["LinearMap","comp"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["RingHomCompTriple"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","instBot"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["Submodule","comap_bot"],["LinearMap","comp"],["Bot","bot"],["Submodule"],["congrArg"],["LinearMap","ker_comp"],["Submodule","comap"],["Eq","refl"],["Submodule","instBot"],["id"],["Eq","mpr"],["Eq"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","injective_domRestrict_iff"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28} {S : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24}, Iff (Function.Injective.{succ u_5, succ u_7} (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) (LinearMap.domRestrict.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f S))) (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Min.min.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instMin.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) S (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {S : Submodule R M}, Function.Injective ⇑(f.domRestrict S) ↔ S ⊓ f.ker = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {S : Submodule R M}, Function.Injective ⇑(f.domRestrict S) ↔ S ⊓ f.ker = ⊥","typeReferences":[["RingHom"],["Subtype"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Eq"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["LinearMap","domRestrict"],["Bot","bot"],["Ring","toSemiring"],["Submodule","setLike"],["Min","min"],["Iff"],["Submodule","instBot"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instMin"],["Submodule","addCommMonoid"],["Function","Injective"],["Ring"]],"valueReferences":[["PartialOrder","toPreorder"],["Eq","trans"],["Membership","mem"],["Iff","mp"],["And","intro"],["Eq","symm"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Submodule","addCommGroup"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["Bot","bot"],["Ring","toSemiring"],["Set","instMembership"],["Submodule","mk_eq_zero","_simp_1"],["SetLike","coe"],["Iff"],["Submodule","instBot"],["id"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["LinearMap","ker_eq_bot"],["Eq","mpr"],["Submodule","instMin"],["le_bot_iff"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Subtype"],["LinearMap","instFunLike"],["Eq","mp"],["Submodule","module"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["congrArg"],["Submodule"],["Iff","intro"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","injective_domRestrict_iff","match_1_1"],["LinearMap","mem_ker","_simp_1"],["Zero","toOfNat0"],["OrderBot","toBot"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["Submodule","instOrderBot"],["propext"],["Submodule","mem_bot","_simp_1"],["Set"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap","domRestrict"],["OfNat","ofNat"],["SetLike","mem_coe","_simp_1"],["Min","min"],["Submodule","setLike"],["LE","le"],["Subtype","casesOn"],["Subtype","mk"],["Submodule","addCommMonoid"],["Function","Injective"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","ker_eq_bot","_simp_1_1"],"typeFallback":"forall {α : Type.{u_1}} [inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3 : SemilatticeInf.{u_1} α] [inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.6 : OrderBot.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3)))] {a : α} {b : α}, Eq.{1} Prop (Disjoint.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3) inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.6 a b) (LE.le.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3))) (Min.min.{u_1} α (SemilatticeInf.toMin.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3) a b) (Bot.bot.{u_1} α (OrderBot.toBot.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3))) inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.6)))","typeFull":"∀ {α : Type u_1} [inst : SemilatticeInf α] [inst_1 : OrderBot α] {a b : α}, Disjoint a b = (a ⊓ b ≤ ⊥)","typeReadable":"∀ {α : Type u_1} [inst : SemilatticeInf α] [inst_1 : OrderBot α] {a b : α}, Disjoint a b = (a ⊓ b ≤ ⊥)","typeReferences":[["SemilatticeInf"],["SemilatticeInf","toMin"],["PartialOrder","toPreorder"],["Min","min"],["Disjoint"],["LE","le"],["OrderBot","toBot"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["Bot","bot"],["OrderBot"],["SemilatticeInf","toPartialOrder"]],"valueReferences":[["SemilatticeInf","toMin"],["PartialOrder","toPreorder"],["Min","min"],["Disjoint"],["LE","le"],["disjoint_iff_inf_le"],["OrderBot","toBot"],["Preorder","toLE"],["Bot","bot"],["propext"],["SemilatticeInf","toPartialOrder"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["Submodule","ker_subtype"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18] (p : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p)) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24)) p x)) M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12)) (Submodule.subtype.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p)) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p)) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2807799317._hygCtx._hyg.24 p)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  (p : Submodule R M), p.subtype.ker = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  (p : Submodule R M), p.subtype.ker = ⊥","typeReferences":[["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["Bot","bot"],["Submodule","subtype"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["RingHom","id"],["Submodule","instBot"],["Eq"],["Submodule","addCommMonoid"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Semiring","toNonAssocSemiring"],["SetLike","instMembership"],["Subtype"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap","ker_eq_bot_of_injective"],["Subtype","ext"],["Submodule","addCommMonoid"],["Submodule","subtype"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearEquiv","ker_comp"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {R₃ : Type.{u_3}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} {M₃ : Type.{u_8}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 : Semiring.{u_3} R₃] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.27 : AddCommMonoid.{u_8} M₃] {module_M : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.21} {module_M₂ : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.24} {module_M₃ : Module.{u_3, u_8} R₃ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.27} {σ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15)} {σ₂₃ : RingHom.{u_2, u_3} R₂ R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18)} {σ₁₃ : RingHom.{u_1, u_3} R R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18)} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.59 : RingHomCompTriple.{u_1, u_2, u_3} R R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃] {σ₃₂ : RingHom.{u_3, u_2} R₃ R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15)} {re₂₃ : RingHomInvPair.{u_2, u_3} R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 σ₂₃ σ₃₂} {re₃₂ : RingHomInvPair.{u_3, u_2} R₃ R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 σ₃₂ σ₂₃} (e'' : LinearEquiv.{u_2, u_3, u_7, u_8} R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 σ₂₃ σ₃₂ re₂₃ re₃₂ M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.27 module_M₂ module_M₃) (l : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 σ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.24 module_M module_M₂), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.21 module_M) (LinearMap.ker.{u_1, u_3, u_5, u_8} R R₃ M M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.27 module_M module_M₃ σ₁₃ (LinearMap.comp.{u_1, u_2, u_3, u_5, u_7, u_8} R R₂ R₃ M M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.27 module_M module_M₂ module_M₃ σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.59 (LinearEquiv.toLinearMap.{u_2, u_3, u_7, u_8} R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.18 σ₂₃ σ₃₂ re₂₃ re₃₂ M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.27 module_M₂ module_M₃ e'') l)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002826._hygCtx._hyg.24 module_M module_M₂ σ₁₂ l)","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] {module_M : Module R M} {module_M₂ : Module R₂ M₂} {module_M₃ : Module R₃ M₃}\n  {σ₁₂ : R →+* R₂} {σ₂₃ : R₂ →+* R₃} {σ₁₃ : R →+* R₃} [inst_6 : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃] {σ₃₂ : R₃ →+* R₂}\n  {re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂} {re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃} (e'' : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃) (l : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂),\n  (↑e'' ∘ₛₗ l).ker = l.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] {module_M : Module R M} {module_M₂ : Module R₂ M₂} {module_M₃ : Module R₃ M₃}\n  {σ₁₂ : R →+* R₂} {σ₂₃ : R₂ →+* R₃} {σ₁₃ : R →+* R₃} [inst_6 : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃] {σ₃₂ : R₃ →+* R₂}\n  {re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂} {re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃} (e'' : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃) (l : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂),\n  (↑e'' ∘ₛₗ l).ker = l.ker","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["Module"],["LinearMap","comp"],["LinearEquiv","toLinearMap"],["LinearEquiv"],["LinearMap"],["RingHomCompTriple"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHomInvPair"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearEquiv","ker"],["LinearEquiv","toLinearMap"],["LinearMap","ker_comp_of_ker_eq_bot"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","injective_restrict_iff_disjoint"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18)] {p : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24} {f : LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) M M (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24} (hf : forall (x : M), (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x) -> (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p (DFunLike.coe.{succ u_5, succ u_5, succ u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) M M (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12)))) f x))), Iff (Function.Injective.{succ u_5, succ u_5} (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (DFunLike.coe.{succ u_5, succ u_5, succ u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) => Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12)))) (LinearMap.restrict.{u_1, u_5, u_5} R M M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 f p p hf))) (Disjoint.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) p (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Ring R] [inst_1 : AddCommGroup M] [inst_2 : Module R M] {p : Submodule R M}\n  {f : M →ₗ[R] M} (hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ p), Function.Injective ⇑(f.restrict hf) ↔ Disjoint p f.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Ring R] [inst_1 : AddCommGroup M] [inst_2 : Module R M] {p : Submodule R M}\n  {f : M →ₗ[R] M} (hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ p), Function.Injective ⇑(f.restrict hf) ↔ Disjoint p f.ker","typeReferences":[["LinearMap","ker"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","module"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LinearMap","restrict"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Disjoint"],["Iff"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instOrderBot"],["Submodule","addCommMonoid"],["Function","Injective"],["Ring"]],"valueReferences":[["PartialOrder","toPreorder"],["Membership","mem"],["LinearMap","injective_domRestrict_iff"],["Submodule","subtype"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Disjoint"],["Eq","symm"],["SemilatticeInf","toPartialOrder"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Submodule","addCommGroup"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["Ring","toSemiring"],["Submodule","comap"],["Iff"],["Submodule","instBot"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["id"],["LinearMap","ker_eq_bot"],["Eq","mpr"],["Submodule","instMin"],["ConditionallyCompleteLattice","toLattice"],["LinearMap","ker_restrict"],["SemilatticeInf","toMin"],["Subtype"],["LinearMap","ker_domRestrict"],["LinearMap","instFunLike"],["Submodule","module"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["congrArg"],["LinearMap","restrict"],["OrderBot","toBot"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["Preorder","toLE"],["propext"],["CompleteLattice","toConditionallyCompleteLattice"],["Lattice","toSemilatticeInf"],["Submodule","instPartialOrder"],["Iff","rfl"],["LinearMap","domRestrict"],["Submodule","setLike"],["Min","min"],["Submodule","completeLattice"],["disjoint_iff"],["Submodule","addCommMonoid"],["Function","Injective"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","mem_ker"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34} {y : M}, Iff (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) y) (Eq.{succ u_7} M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) f y) (OfNat.ofNat.{u_7} M₂ 0 (Zero.toOfNat0.{u_7} M₂ (AddZero.toZero.{u_7} M₂ (AddZeroClass.toAddZero.{u_7} M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_7} M₂ (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2335166255._hygCtx._hyg.24)))))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {y : M}, y ∈ f.ker ↔ f y = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {y : M}, y ∈ f.ker ↔ f y = 0","typeReferences":[["RingHom"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Iff"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","instFunLike"],["Submodule","mem_bot"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","ker_eq_bot'","_simp_1_1"],"typeFallback":"forall {α : Type.{u_1}} [inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3 : SemilatticeInf.{u_1} α] [inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.6 : OrderBot.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3)))] {a : α} {b : α}, Eq.{1} Prop (Disjoint.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3) inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.6 a b) (LE.le.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3))) (Min.min.{u_1} α (SemilatticeInf.toMin.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3) a b) (Bot.bot.{u_1} α (OrderBot.toBot.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (SemilatticeInf.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.3))) inst._@.Mathlib.Order.Disjoint.2847106783._hygCtx._hyg.6)))","typeFull":"∀ {α : Type u_1} [inst : SemilatticeInf α] [inst_1 : OrderBot α] {a b : α}, Disjoint a b = (a ⊓ b ≤ ⊥)","typeReadable":"∀ {α : Type u_1} [inst : SemilatticeInf α] [inst_1 : OrderBot α] {a b : α}, Disjoint a b = (a ⊓ b ≤ ⊥)","typeReferences":[["SemilatticeInf"],["SemilatticeInf","toMin"],["PartialOrder","toPreorder"],["Min","min"],["Disjoint"],["LE","le"],["OrderBot","toBot"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["Bot","bot"],["OrderBot"],["SemilatticeInf","toPartialOrder"]],"valueReferences":[["SemilatticeInf","toMin"],["PartialOrder","toPreorder"],["Min","min"],["Disjoint"],["LE","le"],["disjoint_iff_inf_le"],["OrderBot","toBot"],["Preorder","toLE"],["Bot","bot"],["propext"],["SemilatticeInf","toPartialOrder"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMapClass","ker_eq_bot"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28}, Iff (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24))) (Function.Injective.{succ u_5, succ u_7} M M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2691719606._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Bot","bot"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Iff"],["Submodule","instBot"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Eq"],["Function","Injective"],["Ring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker_eq_bot"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_eq_bot_of_inverse"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15)} {τ₂₁ : RingHom.{u_2, u_1} R₂ R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12)} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.67 : RingHomInvPair.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ τ₂₁] {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.34} {g : LinearMap.{u_2, u_1, u_7, u_5} R₂ R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 τ₂₁ M₂ M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30}, (Eq.{succ u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.comp.{u_1, u_2, u_1, u_5, u_7, u_5} R R₂ R M M₂ M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30 τ₁₂ τ₂₁ (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12)) (RingHomInvPair.triples.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ τ₂₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.67) g f) (LinearMap.id.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30)) -> (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4113464640._hygCtx._hyg.30)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₁ : R₂ →+* R} [inst_6 : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁] {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {g : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M},\n  g ∘ₛₗ f = LinearMap.id → f.ker = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₁ : R₂ →+* R} [inst_6 : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁] {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {g : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M},\n  g ∘ₛₗ f = LinearMap.id → f.ker = ⊥","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["Module"],["RingHomInvPair","triples"],["LinearMap","comp"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["LinearMap","id"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Submodule","instBot"],["RingHomInvPair"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","instFunLike"],["LinearMap","comp"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["LinearMap","id"],["Submodule"],["congrArg"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Eq","symm"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","ker_eq_bot'"],["RingHomInvPair","triples"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["OfNat","ofNat"],["LinearMap","map_zero"],["Eq","refl"],["Iff","mpr"],["Submodule","instBot"],["id"],["Eq","mpr"],["AddZero","toZero"],["LinearMap","comp_apply"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["LinearMap","id_apply"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_le_comap"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15)} {p : Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34), LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30))) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Submodule.comap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f p)","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {p : Submodule R₂ M₂} (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker ≤ Submodule.comap f p","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {p : Submodule R₂ M₂} (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker ≤ Submodule.comap f p","typeReferences":[["RingHom"],["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","ker"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","comap"],["LE","le"],["Preorder","toLE"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","instFunLike"],["Eq","trans"],["Membership","mem"],["Iff","mp"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["congrArg"],["AddSubmonoidClass","toZeroMemClass"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Submodule","addSubmonoidClass"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["True"],["Submodule","mem_comap","_simp_1"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["ZeroMemClass","zero_mem","_simp_1"],["Submodule","comap"],["of_eq_true"],["Submodule","setLike"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["LinearMap","mem_ker"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_le_ker_comp"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {R₃ : Type.{u_3}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} {M₃ : Type.{u_8}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18 : Semiring.{u_3} R₃] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.27 : AddCommMonoid.{u_8} M₃] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.24] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.38 : Module.{u_3, u_8} R₃ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.27] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15)} {τ₂₃ : RingHom.{u_2, u_3} R₂ R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18)} {τ₁₃ : RingHom.{u_1, u_3} R R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18)} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.57 : RingHomCompTriple.{u_1, u_2, u_3} R R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18 τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.34) (g : LinearMap.{u_2, u_3, u_7, u_8} R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18 τ₂₃ M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.38), LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30))) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (LinearMap.ker.{u_1, u_3, u_5, u_8} R R₃ M M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.38 τ₁₃ (LinearMap.comp.{u_1, u_2, u_3, u_5, u_7, u_8} R R₂ R₃ M M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.38 τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3535696204._hygCtx._hyg.57 g f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] [inst_6 : Module R M] [inst_7 : Module R₂ M₂] [inst_8 : Module R₃ M₃] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₃ : R₂ →+* R₃} {τ₁₃ : R →+* R₃} [inst_9 : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) (g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃),\n  f.ker ≤ (g ∘ₛₗ f).ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] [inst_6 : Module R M] [inst_7 : Module R₂ M₂] [inst_8 : Module R₃ M₃] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₃ : R₂ →+* R₃} {τ₁₃ : R →+* R₃} [inst_9 : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) (g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃),\n  f.ker ≤ (g ∘ₛₗ f).ker","typeReferences":[["RingHom"],["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","ker"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap","comp"],["LinearMap"],["RingHomCompTriple"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LE","le"],["Preorder","toLE"],["Semiring"]],"valueReferences":[["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","ker"],["Submodule","instPartialOrder"],["bot_le"],["Submodule","comap_mono"],["LinearMap","comp"],["Bot","bot"],["Submodule"],["congrArg"],["LinearMap","ker_comp"],["Submodule","comap"],["Submodule","instBot"],["LE","le"],["id"],["Eq","mpr"],["Submodule","instOrderBot"],["Preorder","toLE"],["Eq"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","disjoint_ker'","_simp_1_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28} {p : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24}, Eq.{1} Prop (Disjoint.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) p (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) (Set.InjOn.{u_5, u_7} M M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f) (SetLike.coe.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.4004374834._hygCtx._hyg.24) p))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker = Set.InjOn ⇑f ↑p","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker = Set.InjOn ⇑f ↑p","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["SetLike","coe"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Set","InjOn"],["Disjoint"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["Ring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap","disjoint_ker_iff_injOn"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Ring","toSemiring"],["SetLike","coe"],["Submodule","setLike"],["Disjoint"],["Set","InjOn"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instOrderBot"],["propext"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","le_ker_iff_map"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15)} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.62 : RingHomSurjective.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 τ₁₂] {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.34} {p : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30}, Iff (LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30))) p (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f)) (Eq.{succ u_7} (Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.34) (Submodule.map.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.62 f p) (Bot.bot.{u_7} (Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.34) (Submodule.instBot.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1308689734._hygCtx._hyg.34)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  [inst_6 : RingHomSurjective τ₁₂] {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, p ≤ f.ker ↔ Submodule.map f p = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  [inst_6 : RingHomSurjective τ₁₂] {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, p ≤ f.ker ↔ Submodule.map f p = ⊥","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["PartialOrder","toPreorder"],["RingHomSurjective"],["Module"],["Submodule","map"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Iff"],["Submodule","instBot"],["LE","le"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["Semiring"]],"valueReferences":[["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","ker"],["Submodule","instPartialOrder"],["Submodule","map"],["Iff","rfl"],["Bot","bot"],["eq_bot_iff"],["congrArg"],["Submodule"],["Submodule","comap"],["Iff"],["LE","le"],["Submodule","instBot"],["LinearMap","ker","eq_1"],["id"],["Eq","mpr"],["OrderBot","toBot"],["Submodule","instOrderBot"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["Submodule","map_le_iff_le_comap"],["propext"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_3"],"typeFallback":"forall {α : Type.{u_1}} [inst._@.Mathlib.Order.CompleteLattice.Defs.2833206996._hygCtx._hyg.13 : CompleteSemilatticeSup.{u_1} α] {s : Set.{u_1} α} {a : α}, Eq.{1} Prop (LE.le.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (CompleteSemilatticeSup.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.CompleteLattice.Defs.2833206996._hygCtx._hyg.13))) (SupSet.sSup.{u_1} α (CompleteSemilatticeSup.toSupSet.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.CompleteLattice.Defs.2833206996._hygCtx._hyg.13) s) a) (forall (b : α), (Membership.mem.{u_1, u_1} α (Set.{u_1} α) (Set.instMembership.{u_1} α) s b) -> (LE.le.{u_1} α (Preorder.toLE.{u_1} α (PartialOrder.toPreorder.{u_1} α (CompleteSemilatticeSup.toPartialOrder.{u_1} α inst._@.Mathlib.Order.CompleteLattice.Defs.2833206996._hygCtx._hyg.13))) b a))","typeFull":"∀ {α : Type u_1} [inst : CompleteSemilatticeSup α] {s : Set α} {a : α}, (sSup s ≤ a) = ∀ b ∈ s, b ≤ a","typeReadable":"∀ {α : Type u_1} [inst : CompleteSemilatticeSup α] {s : Set α} {a : α}, (sSup s ≤ a) = ∀ b ∈ s, b ≤ a","typeReferences":[["PartialOrder","toPreorder"],["SupSet","sSup"],["Set"],["Membership","mem"],["LE","le"],["CompleteSemilatticeSup"],["CompleteSemilatticeSup","toPartialOrder"],["CompleteSemilatticeSup","toSupSet"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["Set","instMembership"]],"valueReferences":[["sSup_le_iff"],["PartialOrder","toPreorder"],["Set"],["SupSet","sSup"],["Membership","mem"],["LE","le"],["CompleteSemilatticeSup","toPartialOrder"],["CompleteSemilatticeSup","toSupSet"],["Preorder","toLE"],["propext"],["Set","instMembership"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearEquiv","ker"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] {module_M : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21} {module_M₂ : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.24} {σ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15)} {σ₂₁ : RingHom.{u_2, u_1} R₂ R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12)} {re₁₂ : RingHomInvPair.{u_1, u_2} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15 σ₁₂ σ₂₁} {re₂₁ : RingHomInvPair.{u_2, u_1} R₂ R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 σ₂₁ σ₁₂} (e : LinearEquiv.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15 σ₁₂ σ₂₁ re₁₂ re₂₁ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.24 module_M module_M₂), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21 module_M) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.24 module_M module_M₂ σ₁₂ (LinearEquiv.toLinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.15 σ₁₂ σ₂₁ re₁₂ re₂₁ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.24 module_M module_M₂ e)) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21 module_M) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.345752985._hygCtx._hyg.21 module_M))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] {module_M : Module R M} {module_M₂ : Module R₂ M₂}\n  {σ₁₂ : R →+* R₂} {σ₂₁ : R₂ →+* R} {re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁} {re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂} (e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂),\n  (↑e).ker = ⊥","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] {module_M : Module R M} {module_M₂ : Module R₂ M₂}\n  {σ₁₂ : R →+* R₂} {σ₂₁ : R₂ →+* R} {re₁�� : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁} {re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂} (e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂),\n  (↑e).ker = ⊥","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["Module"],["LinearEquiv","toLinearMap"],["LinearEquiv"],["Bot","bot"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","instBot"],["RingHomInvPair"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearEquiv","toEquiv"],["Equiv","injective"],["LinearMap","ker_eq_bot_of_injective"],["LinearEquiv","toLinearMap"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_smul"],"typeFallback":"forall {K : Type.{u_4}} {V : Type.{u_9}} {V₂ : Type.{u_10}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12 : Semifield.{u_4} K] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 : AddCommMonoid.{u_9} V] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 : Module.{u_4, u_9} K V (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 : AddCommMonoid.{u_10} V₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25 : Module.{u_4, u_10} K V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22] (f : LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25) (a : K), (Ne.{succ u_4} K a (OfNat.ofNat.{u_4} K 0 (Zero.toOfNat0.{u_4} K (MulZeroClass.toZero.{u_4} K (NonUnitalNonAssocSemiring.toMulZeroClass.{u_4} K (NonAssocSemiring.toNonUnitalNonAssocSemiring.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12))))))))) -> (Eq.{succ u_9} (Submodule.{u_4, u_9} K V (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18) (LinearMap.ker.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K V V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25 (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) (HSMul.hSMul.{u_4, max u_10 u_9, max u_10 u_9} K (LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25) (LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25) (instHSMul.{u_4, max u_10 u_9} K (LinearMap.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) V V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25) (LinearMap.instSMul.{u_4, u_4, u_4, u_9, u_10} K K K V V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25 (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) (DistribMulAction.toDistribSMul.{u_4, u_10} K V₂ (MonoidWithZero.toMonoid.{u_4} K (Semiring.toMonoidWithZero.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_10} V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22) (Module.toDistribMulAction.{u_4, u_10} K V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25)) (smulCommClass_self.{u_4, u_10} K V₂ (CommSemiring.toCommMonoid.{u_4} K (Semifield.toCommSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DistribMulAction.toMulAction.{u_4, u_10} K V₂ (CommMonoid.toMonoid.{u_4} K (CommSemiring.toCommMonoid.{u_4} K (Semifield.toCommSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12))) (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_10} V₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22) (Module.toDistribMulAction.{u_4, u_10} K V₂ (CommSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toCommSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25))))) a f)) (LinearMap.ker.{u_4, u_4, u_9, u_10} K K V V₂ (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.22 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.25 (RingHom.id.{u_4} K (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_4} K (DivisionSemiring.toSemiring.{u_4} K (Semifield.toDivisionSemiring.{u_4} K inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1583497270._hygCtx._hyg.12)))) f))","typeFull":"∀ {K : Type u_4} {V : Type u_9} {V₂ : Type u_10} [inst : Semifield K] [inst_1 : AddCommMonoid V] [inst_2 : Module K V]\n  [inst_3 : AddCommMonoid V₂] [inst_4 : Module K V₂] (f : V →ₗ[K] V₂) (a : K), a ≠ 0 → (a • f).ker = f.ker","typeReadable":"∀ {K : Type u_4} {V : Type u_9} {V₂ : Type u_10} [inst : Semifield K] [inst_1 : AddCommMonoid V] [inst_2 : Module K V]\n  [inst_3 : AddCommMonoid V₂] [inst_4 : Module K V₂] (f : V →ₗ[K] V₂) (a : K), a ≠ 0 → (a • f).ker = f.ker","typeReferences":[["Semifield","toCommSemiring"],["smulCommClass_self"],["CommMonoid","toMonoid"],["Module"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["MonoidWithZero","toMonoid"],["DistribMulAction","toMulAction"],["instHSMul"],["Zero","toOfNat0"],["Semifield","toDivisionSemiring"],["Eq"],["LinearMap","ker"],["CommSemiring","toSemiring"],["NonAssocSemiring","toNonUnitalNonAssocSemiring"],["DistribMulAction","toDistribSMul"],["Semiring","toMonoidWithZero"],["DivisionSemiring","toSemiring"],["LinearMap"],["CommSemiring","toCommMonoid"],["OfNat","ofNat"],["Module","toDistribMulAction"],["MulZeroClass","toZero"],["NonUnitalNonAssocSemiring","toMulZeroClass"],["HSMul","hSMul"],["Semifield"],["LinearMap","instSMul"],["Ne"]],"valueReferences":[["Submodule","instBot"],["Semifield","toDivisionSemiring"],["DivisionSemiring","toSemiring"],["Bot","bot"],["Submodule"],["Submodule","comap_smul"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","injective_restrict_iff_disjoint","_simp_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18)] {p : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24} {f : LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) M M (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24} (hf : forall (x : M), (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x) -> (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p (DFunLike.coe.{succ u_5, succ u_5, succ u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) M M (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12)))) f x))), Eq.{1} Prop (Function.Injective.{succ u_5, succ u_5} (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (DFunLike.coe.{succ u_5, succ u_5, succ u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) => Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24)) p x)) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 p) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12)))) (LinearMap.restrict.{u_1, u_5, u_5} R M M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 f p p hf))) (Disjoint.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24) p (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.24 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.686567896._hygCtx._hyg.12))) f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Ring R] [inst_1 : AddCommGroup M] [inst_2 : Module R M] {p : Submodule R M}\n  {f : M →ₗ[R] M} (hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ p), Function.Injective ⇑(f.restrict hf) = Disjoint p f.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Ring R] [inst_1 : AddCommGroup M] [inst_2 : Module R M] {p : Submodule R M}\n  {f : M →ₗ[R] M} (hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ p), Function.Injective ⇑(f.restrict hf) = Disjoint p f.ker","typeReferences":[["LinearMap","ker"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","module"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LinearMap","restrict"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Disjoint"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instOrderBot"],["Submodule","addCommMonoid"],["Eq"],["Function","Injective"],["Ring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","instFunLike"],["Submodule","module"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Ring","toSemiring"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LinearMap","restrict"],["Submodule","setLike"],["RingHom","id"],["Disjoint"],["LinearMap","injective_restrict_iff_disjoint"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instOrderBot"],["Submodule","addCommMonoid"],["propext"],["Function","Injective"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","disjoint_ker'"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.28} {p : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24}, Iff (Disjoint.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24) p (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) (forall (x : M), (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24)) p x) -> (forall (y : M), (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24)) p y) -> (Eq.{succ u_7} M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f x) (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.487756462._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f y)) -> (Eq.{succ u_5} M x y)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker ↔ ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ p, f x = f y → x = y","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M}, Disjoint p f.ker ↔ ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ p, f x = f y → x = y","typeReferences":[["RingHom"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Membership","mem"],["Submodule","instPartialOrder"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Iff"],["Disjoint"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["Ring"]],"valueReferences":[["implies_congr"],["LinearMap","instFunLike"],["Eq","trans"],["Membership","mem"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["congrArg"],["iff_self"],["Disjoint"],["forall_congr"],["congrFun'"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["True"],["Set"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["Set","instMembership"],["Ring","toSemiring"],["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","disjoint_ker'","_simp_1_1"],["SetLike","coe"],["SetLike","mem_coe","_simp_1"],["of_eq_true"],["Submodule","setLike"],["Eq","refl"],["Iff"],["Set","InjOn"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","map_coe_ker"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15)} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.34) (x : Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) x)), Eq.{succ u_7} M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.34) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.34 τ₁₂) f (Subtype.val.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30)) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) x) x)) (OfNat.ofNat.{u_7} M₂ 0 (Zero.toOfNat0.{u_7} M₂ (AddZero.toZero.{u_7} M₂ (AddZeroClass.toAddZero.{u_7} M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_7} M₂ (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3883621661._hygCtx._hyg.24))))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) (x : ↥f.ker), f ↑x = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) (x : ↥f.ker), f ↑x = 0","typeReferences":[["RingHom"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["Subtype","val"],["DFunLike","coe"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Membership","mem"],["Iff","mp"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap"],["Subtype","val"],["DFunLike","coe"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["Submodule","setLike"],["Subtype","property"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["LinearMap","mem_ker"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_sup_ker_le_ker_comp_of_commute"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21] {f : LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30} {g : LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30}, (Commute.{u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (Module.End.instMul.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) f g) -> (LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30))) (Max.max.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (SemilatticeSup.toMax.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (Lattice.toSemilatticeSup.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (ConditionallyCompleteLattice.toLattice.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (CompleteLattice.toConditionallyCompleteLattice.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30) (Submodule.completeLattice.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30))))) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) f) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) g)) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) (LinearMap.comp.{u_1, u_1, u_1, u_5, u_5, u_5} R R R M M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12)) (RingHomCompTriple.ids.{u_1, u_1} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2016539516._hygCtx._hyg.12))) f g)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] {f g : M →ₗ[R] M},\n  Commute f g → f.ker ⊔ g.ker ≤ (f ∘ₗ g).ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] {f g : M →ₗ[R] M},\n  Commute f g → f.ker ⊔ g.ker ≤ (f ∘ₗ g).ker","typeReferences":[["Lattice","toSemilatticeSup"],["LinearMap","ker"],["PartialOrder","toPreorder"],["RingHomCompTriple","ids"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap","comp"],["LinearMap"],["Module","End","instMul"],["Submodule"],["Max","max"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Commute"],["SemilatticeSup","toMax"],["LE","le"],["Submodule","completeLattice"],["ConditionallyCompleteLattice","toLattice"],["Preorder","toLE"],["CompleteLattice","toConditionallyCompleteLattice"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Lattice","toSemilatticeSup"],["PartialOrder","toPreorder"],["RingHomCompTriple","ids"],["SemilatticeSup","toPartialOrder"],["LinearMap","comp"],["HMul","hMul"],["congrArg"],["Submodule"],["And","intro"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Commute","eq"],["RingHom","id"],["Eq","symm"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["sup_le_iff"],["CompleteLattice","toConditionallyCompleteLattice"],["Module","End"],["LinearMap","ker"],["And"],["LinearMap"],["Module","End","instMul"],["Max","max"],["Iff","mpr"],["LinearMap","ker_le_ker_comp"],["SemilatticeSup","toMax"],["LE","le"],["id"],["Submodule","completeLattice"],["instHMul"],["Module","End","mul_eq_comp"],["Eq","mpr"],["ConditionallyCompleteLattice","toLattice"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","injective_domRestrict_iff","_simp_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28} {S : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24}, Eq.{1} Prop (Function.Injective.{succ u_5, succ u_7} (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) M₂ (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28) (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)) S x)) M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 S) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) (LinearMap.domRestrict.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f S))) (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Min.min.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instMin.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) S (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) (Bot.bot.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.375269045._hygCtx._hyg.24)))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {S : Submodule R M}, Function.Injective ⇑(f.domRestrict S) = (S ⊓ f.ker = ⊥)","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {S : Submodule R M}, Function.Injective ⇑(f.domRestrict S) = (S ⊓ f.ker = ⊥)","typeReferences":[["RingHom"],["Subtype"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Eq"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["LinearMap","domRestrict"],["Bot","bot"],["Ring","toSemiring"],["Submodule","setLike"],["Min","min"],["Submodule","instBot"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instMin"],["Submodule","addCommMonoid"],["Function","Injective"],["Ring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","instFunLike"],["Submodule","module"],["LinearMap","injective_domRestrict_iff"],["Membership","mem"],["LinearMap","domRestrict"],["LinearMap"],["Bot","bot"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Ring","toSemiring"],["Min","min"],["Submodule","setLike"],["Submodule","instBot"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instMin"],["Eq"],["Submodule","addCommMonoid"],["propext"],["Function","Injective"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_restrict"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} {M₁ : Type.{u_6}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 : AddCommMonoid.{u_6} M₁] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65 : Module.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62] {p : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30} {q : Submodule.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65} {f : LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12)) M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65} (hf : forall (x : M), (Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30)) p x) -> (Membership.mem.{u_6, u_6} M₁ (Submodule.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65) (SetLike.instMembership.{u_6, u_6} (Submodule.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65) M₁ (Submodule.setLike.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65)) q (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_6), succ u_5, succ u_6} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12)) M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₁) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12))) f x))), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 p) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 p)) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30)) p x)) (Subtype.{succ u_6} M₁ (fun (x : M₁) => Membership.mem.{u_6, u_6} M₁ (Submodule.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65) (SetLike.instMembership.{u_6, u_6} (Submodule.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65) M₁ (Submodule.setLike.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65)) q x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 p) (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65 q) (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 p) (Submodule.module.{u_1, u_6} R M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65 q) (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12)) (LinearMap.restrict.{u_1, u_5, u_6} R M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65 f p q hf)) (Submodule.comap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30)) p x)) M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12)) (Submodule.subtype.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 p) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_6} R R M M₁ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.62 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.65 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1431261782._hygCtx._hyg.12)) f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  [inst_3 : AddCommMonoid M₁] [inst_4 : Module R M₁] {p : Submodule R M} {q : Submodule R M₁} {f : M →ₗ[R] M₁}\n  (hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q), (f.restrict hf).ker = Submodule.comap p.subtype f.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} {M₁ : Type u_6} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  [inst_3 : AddCommMonoid M₁] [inst_4 : Module R M₁] {p : Submodule R M} {q : Submodule R M₁} {f : M →ₗ[R] M₁}\n  (hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q), (f.restrict hf).ker = Submodule.comap p.subtype f.ker","typeReferences":[["LinearMap","ker"],["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Submodule","subtype"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","comap"],["LinearMap","restrict"],["RingHom","id"],["Submodule","setLike"],["Submodule","addCommMonoid"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Subtype"],["LinearMap","ker_domRestrict"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap","restrict_eq_codRestrict_domRestrict"],["Subtype","val"],["Submodule"],["Submodule","subtype"],["congrArg"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["LinearMap","restrict"],["RingHom","id"],["Subtype","property"],["Eq"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","codRestrict"],["LinearMap","domRestrict"],["LinearMap"],["Submodule","comap"],["Submodule","setLike"],["Eq","refl"],["id"],["Eq","mpr"],["Submodule","addCommMonoid"],["LinearMap","ker_codRestrict"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","disjoint_ker","_simp_1_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_3}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 : AddCommMonoid.{u_3} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14 : Module.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11] {p : Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14} {p' : Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14}, Eq.{1} Prop (Disjoint.{u_3} (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14) p p') (forall (x : M), (Membership.mem.{u_3, u_3} M (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14) (SetLike.instMembership.{u_3, u_3} (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14) M (Submodule.setLike.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14)) p x) -> (Membership.mem.{u_3, u_3} M (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14) (SetLike.instMembership.{u_3, u_3} (Submodule.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14) M (Submodule.setLike.{u_1, u_3} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.5 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.14)) p' x) -> (Eq.{succ u_3} M x (OfNat.ofNat.{u_3} M 0 (Zero.toOfNat0.{u_3} M (AddZero.toZero.{u_3} M (AddZeroClass.toAddZero.{u_3} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_3} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{u_3} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Lattice.3925087837._hygCtx._hyg.11))))))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_3} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  {p p' : Submodule R M}, Disjoint p p' = ∀ x ∈ p, x ∈ p' → x = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_3} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]\n  {p p' : Submodule R M}, Disjoint p p' = ∀ x ∈ p, x ∈ p' → x = 0","typeReferences":[["SetLike","instMembership"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Submodule","setLike"],["Disjoint"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Submodule","instOrderBot"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["SetLike","instMembership"],["Submodule","instPartialOrder"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["Submodule","setLike"],["Disjoint"],["Submodule","disjoint_def"],["Zero","toOfNat0"],["Submodule","instOrderBot"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["propext"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_comp"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {R₃ : Type.{u_3}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} {M₃ : Type.{u_8}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18 : Semiring.{u_3} R₃] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.27 : AddCommMonoid.{u_8} M₃] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.24] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.38 : Module.{u_3, u_8} R₃ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.27] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15)} {τ₂₃ : RingHom.{u_2, u_3} R₂ R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18)} {τ₁₃ : RingHom.{u_1, u_3} R R₃ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_3} R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18)} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.57 : RingHomCompTriple.{u_1, u_2, u_3} R R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18 τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.34) (g : LinearMap.{u_2, u_3, u_7, u_8} R₂ R₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18 τ₂₃ M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.38), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_3, u_5, u_8} R R₃ M M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.38 τ₁₃ (LinearMap.comp.{u_1, u_2, u_3, u_5, u_7, u_8} R R₂ R₃ M M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.38 τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.57 g f)) (Submodule.comap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f (LinearMap.ker.{u_2, u_3, u_7, u_8} R₂ R₃ M₂ M₃ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.27 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3177002825._hygCtx._hyg.38 τ₂₃ g))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] [inst_6 : Module R M] [inst_7 : Module R₂ M₂] [inst_8 : Module R₃ M₃] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₃ : R₂ →+* R₃} {τ₁₃ : R →+* R₃} [inst_9 : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) (g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃),\n  (g ∘ₛₗ f).ker = Submodule.comap f g.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {R₃ : Type u_3} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} {M₃ : Type u_8} [inst : Semiring R]\n  [inst_1 : Semiring R₂] [inst_2 : Semiring R₃] [inst_3 : AddCommMonoid M] [inst_4 : AddCommMonoid M₂]\n  [inst_5 : AddCommMonoid M₃] [inst_6 : Module R M] [inst_7 : Module R₂ M₂] [inst_8 : Module R₃ M₃] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {τ₂₃ : R₂ →+* R₃} {τ₁₃ : R →+* R₃} [inst_9 : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃] (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂) (g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃),\n  (g ∘ₛₗ f).ker = Submodule.comap f g.ker","typeReferences":[["RingHom"],["AddCommMonoid"],["LinearMap","ker"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","comap"],["Module"],["LinearMap","comp"],["Eq"],["LinearMap"],["RingHomCompTriple"],["Submodule"],["Semiring"]],"valueReferences":[["rfl"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","comp"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","injective_domRestrict_iff","_simp_1_3"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u}} {M : Type.{v}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 : Semiring.{u} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 : AddCommMonoid.{v} M] {module_M : Module.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10} (p : Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) {x : M} (h : Membership.mem.{v, v} M (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) (SetLike.instMembership.{v, v} (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) M (Submodule.setLike.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M)) p x), Eq.{1} Prop (Eq.{succ v} (Subtype.{succ v} M (fun (x : M) => Membership.mem.{v, v} M (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) (SetLike.instMembership.{v, v} (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) M (Submodule.setLike.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M)) p x)) (Subtype.mk.{succ v} M (fun (x : M) => Membership.mem.{v, v} M (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) (SetLike.instMembership.{v, v} (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) M (Submodule.setLike.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M)) p x) x h) (OfNat.ofNat.{v} (Subtype.{succ v} M (fun (x : M) => Membership.mem.{v, v} M (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) (SetLike.instMembership.{v, v} (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) M (Submodule.setLike.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M)) p x)) 0 (Zero.toOfNat0.{v} (Subtype.{succ v} M (fun (x : M) => Membership.mem.{v, v} M (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) (SetLike.instMembership.{v, v} (Submodule.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M) M (Submodule.setLike.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M)) p x)) (Submodule.zero.{u, v} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.7 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10 module_M p)))) (Eq.{succ v} M x (OfNat.ofNat.{v} M 0 (Zero.toOfNat0.{v} M (AddZero.toZero.{v} M (AddZeroClass.toAddZero.{v} M (AddMonoid.toAddZeroClass.{v} M (AddCommMonoid.toAddMonoid.{v} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Defs.2432357411._hygCtx._hyg.10)))))))","typeFull":"∀ {R : Type u} {M : Type v} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] {module_M : Module R M} (p : Submodule R M)\n  {x : M} (h : x ∈ p), (⟨x, h⟩ = 0) = (x = 0)","typeReadable":"∀ {R : Type u} {M : Type v} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] {module_M : Module R M} (p : Submodule R M)\n  {x : M} (h : x ∈ p), (⟨x, h⟩ = 0) = (x = 0)","typeReferences":[["SetLike","instMembership"],["Subtype"],["Module"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Submodule","setLike"],["Zero","toOfNat0"],["Subtype","mk"],["Submodule","zero"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Subtype"],["SetLike","instMembership"],["Membership","mem"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["AddZeroClass","toAddZero"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["Submodule","mk_eq_zero"],["Submodule","setLike"],["Zero","toOfNat0"],["Subtype","mk"],["Submodule","zero"],["Eq"],["AddZero","toZero"],["propext"],["AddMonoid","toAddZeroClass"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_codRestrict"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24] {τ₂₁ : RingHom.{u_2, u_1} R₂ R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12)} (p : Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30) (f : LinearMap.{u_2, u_1, u_7, u_5} R₂ R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 τ₂₁ M₂ M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30) (hf : forall (c : M₂), Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30)) p (DFunLike.coe.{max (succ u_7) (succ u_5), succ u_7, succ u_5} (LinearMap.{u_2, u_1, u_7, u_5} R₂ R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 τ₂₁ M₂ M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30) M₂ (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M₂) => M) (LinearMap.instFunLike.{u_2, u_1, u_7, u_5} R₂ R M₂ M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30 τ₂₁) f c)), Eq.{succ u_7} (Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.ker.{u_2, u_1, u_7, u_5} R₂ R M₂ (Subtype.{succ u_5} M (fun (x : M) => Membership.mem.{u_5, u_5} M (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30) (SetLike.instMembership.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30)) p x)) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 (Submodule.addCommMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30 p) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34 (Submodule.module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30 p) τ₂₁ (LinearMap.codRestrict.{u_2, u_1, u_7, u_5} R₂ R M₂ M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30 τ₂₁ p f hf)) (LinearMap.ker.{u_2, u_1, u_7, u_5} R₂ R M₂ M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.34 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.3037268122._hygCtx._hyg.30 τ₂₁ f)","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₂₁ : R₂ →+* R}\n  (p : Submodule R M) (f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M) (hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p), (LinearMap.codRestrict p f hf).ker = f.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₂₁ : R₂ →+* R}\n  (p : Submodule R M) (f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M) (hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p), (LinearMap.codRestrict p f hf).ker = f.ker","typeReferences":[["RingHom"],["Subtype"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","instFunLike"],["LinearMap","codRestrict"],["Module"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","setLike"],["Submodule","addCommMonoid"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["Subtype"],["Submodule","module"],["Membership","mem"],["Submodule","map"],["LinearMap","comap_codRestrict"],["Submodule"],["congrArg"],["Submodule","subtype"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["RingHom","id"],["Eq"],["SetLike","instMembership"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","codRestrict"],["Bot","bot"],["RingHomSurjective","ids"],["Submodule","comap"],["Submodule","setLike"],["Eq","refl"],["Submodule","instBot"],["id"],["LinearMap","ker","eq_1"],["Eq","mpr"],["Submodule","addCommMonoid"],["Submodule","map_bot"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_toAddSubgroup"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.15))} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.28), Eq.{succ u_5} (AddSubgroup.{u_5} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18)) (Submodule.toAddSubgroup.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.24 (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) (AddMonoidHom.ker.{u_5, u_7} M (AddCommGroup.toAddGroup.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18) M₂ (AddMonoid.toAddZeroClass.{u_7} M₂ (SubNegMonoid.toAddMonoid.{u_7} M₂ (AddGroup.toSubNegMonoid.{u_7} M₂ (AddCommGroup.toAddGroup.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.21)))) (LinearMap.toAddMonoidHom.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1973788606._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker.toAddSubgroup = f.toAddMonoidHom.ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), f.ker.toAddSubgroup = f.toAddMonoidHom.ker","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","toAddMonoidHom"],["LinearMap","ker"],["Module"],["AddCommGroup","toAddGroup"],["AddCommGroup"],["Submodule","toAddSubgroup"],["LinearMap"],["Ring","toSemiring"],["AddSubgroup"],["AddMonoidHom","ker"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["SubNegMonoid","toAddMonoid"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["AddGroup","toSubNegMonoid"],["Eq"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["Ring"]],"valueReferences":[["rfl"],["AddSubgroup"],["LinearMap","ker"],["AddCommGroup","toAddGroup"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","toAddSubgroup"],["Ring","toSemiring"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["_private","Mathlib","Algebra","Module","Submodule","Ker",0,"LinearMap","exists_ne_zero_of_sSup_eq_top","_simp_1_2"],"typeFallback":"forall {α : Type.{u}} [inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.4 : PartialOrder.{u} α] [inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.7 : OrderTop.{u} α (Preorder.toLE.{u} α (PartialOrder.toPreorder.{u} α inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.4))] {a : α}, Eq.{1} Prop (Eq.{succ u} α a (Top.top.{u} α (OrderTop.toTop.{u} α (Preorder.toLE.{u} α (PartialOrder.toPreorder.{u} α inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.4)) inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.7))) (LE.le.{u} α (Preorder.toLE.{u} α (PartialOrder.toPreorder.{u} α inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.4)) (Top.top.{u} α (OrderTop.toTop.{u} α (Preorder.toLE.{u} α (PartialOrder.toPreorder.{u} α inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.4)) inst._@.Mathlib.Order.BoundedOrder.Basic.585651700._hygCtx._hyg.7)) a)","typeFull":"∀ {α : Type u} [inst : PartialOrder α] [inst_1 : OrderTop α] {a : α}, (a = ⊤) = (⊤ ≤ a)","typeReadable":"∀ {α : Type u} [inst : PartialOrder α] [inst_1 : OrderTop α] {a : α}, (a = ⊤) = (⊤ ≤ a)","typeReferences":[["PartialOrder","toPreorder"],["PartialOrder"],["LE","le"],["Top","top"],["OrderTop"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["OrderTop","toTop"]],"valueReferences":[["eq_top_iff"],["PartialOrder","toPreorder"],["LE","le"],["Top","top"],["Preorder","toLE"],["Eq"],["OrderTop","toTop"],["propext"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_eq_top"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15)} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34}, Iff (Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Top.top.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instTop.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30))) (Eq.{max (succ u_5) (succ u_7)} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) f (OfNat.ofNat.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) 0 (Zero.toOfNat0.{max u_5 u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34) (LinearMap.instZero.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.1889752764._hygCtx._hyg.34 τ₁₂))))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊤ ↔ f = 0","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂}, f.ker = ⊤ ↔ f = 0","typeReferences":[["LinearMap","instZero"],["RingHom"],["LinearMap","ker"],["Module"],["Submodule","instTop"],["LinearMap"],["OfNat","ofNat"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Iff"],["Top","top"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","instFunLike"],["Membership","mem"],["Iff","mp"],["AddCommMonoid","toAddMonoid"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Iff","intro"],["LinearMap","ext"],["Eq","symm"],["Zero","toOfNat0"],["Eq"],["Eq","rec"],["LinearMap","instZero"],["LinearMap","ker"],["SetLike","instMembership"],["Submodule","instTop"],["LinearMap"],["AddZeroClass","toAddZero"],["LinearMap","ker_zero"],["OfNat","ofNat"],["Submodule","setLike"],["Top","top"],["trivial"],["AddZero","toZero"],["AddMonoid","toAddZeroClass"],["LinearMap","mem_ker"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","injOn_of_disjoint_ker"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12 : Ring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.15 : Ring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18 : AddCommGroup.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.21 : AddCommGroup.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24 : Module.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18)] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.28 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.21)] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12)) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.15))} {f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.28} {p : Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24} {s : Set.{u_5} M}, (HasSubset.Subset.{u_5} (Set.{u_5} M) (Set.instHasSubset.{u_5} M) s (SetLike.coe.{u_5, u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24) M (Submodule.setLike.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24) p)) -> (Disjoint.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24) (Submodule.instOrderBot.{u_1, u_5} R M (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24) p (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.28 τ₁₂ f)) -> (Set.InjOn.{u_5, u_7} M M₂ (DFunLike.coe.{max (succ u_5) (succ u_7), succ u_5, succ u_7} (LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.15) τ₁₂ M M₂ (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.28) M (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : M) => M₂) (LinearMap.instFunLike.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ (Ring.toSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.12) (Ring.toSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.15) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_5} M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.18) (AddCommGroup.toAddCommMonoid.{u_7} M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.21) inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2243442428._hygCtx._hyg.28 τ₁₂) f) s)","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M} {s : Set M}, s ⊆ ↑p → Disjoint p f.ker → Set.InjOn (⇑f) s","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Ring R] [inst_1 : Ring R₂]\n  [inst_2 : AddCommGroup M] [inst_3 : AddCommGroup M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂} {p : Submodule R M} {s : Set M}, s ⊆ ↑p → Disjoint p f.ker → Set.InjOn (⇑f) s","typeReferences":[["RingHom"],["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Module"],["Set"],["Submodule","instPartialOrder"],["AddCommGroup"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Ring","toSemiring"],["Submodule"],["Set","instHasSubset"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["SetLike","coe"],["HasSubset","Subset"],["Submodule","setLike"],["Set","InjOn"],["Disjoint"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instOrderBot"],["Ring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["LinearMap","instFunLike"],["Submodule","instPartialOrder"],["Iff","mp"],["LinearMap","disjoint_ker_iff_injOn"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Ring","toSemiring"],["SetLike","coe"],["Set","InjOn","mono"],["Submodule","setLike"],["Set","InjOn"],["Disjoint"],["AddCommGroup","toAddCommMonoid"],["Submodule","instOrderBot"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","iterateKer_coe"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {M : Type.{u_5}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21] (f : LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (n : Nat), Eq.{succ u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (DFunLike.coe.{succ u_5, 1, succ u_5} (OrderHom.{0, u_5} Nat (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat.instPreorder (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30))) Nat (fun (x._@.Mathlib.Data.FunLike.Basic.2582841819._hygCtx._hyg.11 : Nat) => Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (OrderHom.instFunLike.{0, u_5} Nat (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat.instPreorder (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30))) (LinearMap.iterateKer.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 f) n) (LinearMap.ker.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) (HPow.hPow.{u_5, 0, u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (instHPow.{u_5, 0} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) Nat (Monoid.toPow.{u_5} (LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_5} R R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 (RingHom.id.{u_1} R (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12)) M M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30) (Module.End.instMonoid.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.535969154._hygCtx._hyg.30))) f n))","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] (f : M →ₗ[R] M)\n  (n : ℕ), f.iterateKer n = (f ^ n).ker","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {M : Type u_5} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M] (f : M →ₗ[R] M)\n  (n : ℕ), f.iterateKer n = (f ^ n).ker","typeReferences":[["instHPow"],["OrderHom","instFunLike"],["LinearMap","ker"],["PartialOrder","toPreorder"],["Module"],["OrderHom"],["Submodule","instPartialOrder"],["HPow","hPow"],["LinearMap"],["DFunLike","coe"],["Submodule"],["Nat","instPreorder"],["AddCommMonoid"],["Nat"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Monoid","toPow"],["RingHom","id"],["Module","End","instMonoid"],["LinearMap","iterateKer"],["Eq"],["Semiring"]],"valueReferences":[["OrderHom","instFunLike"],["Nat"],["PartialOrder","toPreorder"],["OrderHom"],["Eq","refl"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap","iterateKer"],["DFunLike","coe"],["Nat","instPreorder"],["Submodule"]]},{"isProp":true,"kind":"theorem","name":["LinearMap","ker_le_comap","_simp_1"],"typeFallback":"forall {R : Type.{u_1}} {R₂ : Type.{u_2}} {M : Type.{u_5}} {M₂ : Type.{u_7}} [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 : Semiring.{u_1} R] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 : Semiring.{u_2} R₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 : AddCommMonoid.{u_5} M] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 : AddCommMonoid.{u_7} M₂] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 : Module.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21] [inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34 : Module.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24] {τ₁₂ : RingHom.{u_1, u_2} R R₂ (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_1} R inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12) (Semiring.toNonAssocSemiring.{u_2} R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15)} {p : Submodule.{u_2, u_7} R₂ M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34} (f : LinearMap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 τ₁₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34), Eq.{1} Prop (LE.le.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30) (Preorder.toLE.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30) (PartialOrder.toPreorder.{u_5} (Submodule.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30) (Submodule.instPartialOrder.{u_1, u_5} R M inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30))) (LinearMap.ker.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f) (Submodule.comap.{u_1, u_2, u_5, u_7} R R₂ M M₂ inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.12 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.15 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.21 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.24 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.30 inst._@.Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Ker.2108607454._hygCtx._hyg.34 τ₁₂ f p)) True","typeFull":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {p : Submodule R₂ M₂} (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), (f.ker ≤ Submodule.comap f p) = True","typeReadable":"∀ {R : Type u_1} {R₂ : Type u_2} {M : Type u_5} {M₂ : Type u_7} [inst : Semiring R] [inst_1 : Semiring R₂]\n  [inst_2 : AddCommMonoid M] [inst_3 : AddCommMonoid M₂] [inst_4 : Module R M] [inst_5 : Module R₂ M₂] {τ₁₂ : R →+* R₂}\n  {p : Submodule R₂ M₂} (f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂), (f.ker ≤ Submodule.comap f p) = True","typeReferences":[["RingHom"],["PartialOrder","toPreorder"],["LinearMap","ker"],["True"],["Module"],["Submodule","instPartialOrder"],["LinearMap"],["Submodule"],["AddCommMonoid"],["Semiring","toNonAssocSemiring"],["Submodule","comap"],["LE","le"],["Eq"],["Preorder","toLE"],["Semiring"]],"valueReferences":[["LinearMap","ker"],["PartialOrder","toPreorder"],["Submodule","comap"],["Submodule","instPartialOrder"],["LE","le"],["eq_true"],["Preorder","toLE"],["LinearMap","ker_le_comap"],["Submodule"]]}]