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수학(數學, , 줄여서 math)은 수, 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 다루는 학문이다. 널리 받아들여지는 명확한 정의는 없으나 현대 수학은 일반적으로 엄밀한 논리에 근거하여 추상적 대상을 탐구하며, 이는 규칙의 발견과 문제의 제시 및 해결의 과정으로 이루어진다. 수학은 그 발전 과정에 있어서 철학, 과학과 깊은 연관을 맺고 있으며, 엄밀한 논리와 특유의 추상성, 보편성에 의해 다른 학문들과 구별된다. 특히 수학은 과학의 여느 분야들과는 달리 자연계에서 관측되지 않는 개념들에 대해서까지 이론을 추상화시키는 특징을 보이는데, 수학자들은 그러한 개념들에 대한 추측을 제시하고 적절하게 선택된 정의와 공리로부터 엄밀한 연역을 거쳐 그 진위를 파악한다.
수학
math
wikipedia
수학의 개념들은 기원전 600년 경에 활동하며 최초의 수학자로도 여겨지는 탈레스의 기록은 물론, 다른 고대 문명들에서도 찾아볼 수 있으며 인류의 문명과 함께 발전해 왔다. 오늘날 수학은 자연과학, 사회과학, 공학, 의학 등 거의 모든 학문에서도 핵심적인 역할을 하며 다양한 방식으로 응용된다. 수학을 의미하는 매스매틱스(mathematics)라는 단어는 '아는 모든 것', '배우는 모든 것'이라는 뜻의 고대 그리스어 'máthēma'(μάθημα) 및 그 활용형 mathēmatikós(μαθηματικός)에서 유래되었다.
수학
math
wikipedia
역사적으로 고대부터 현대에 이르기까지 문명에 필수적인 건축, 천문학, 정치, 상업 등에 수학적 개념들이 응용되어 왔다. 교역·분배·과세 등 인류의 사회 생활에 필요한 모든 계산에 수학이 관여해 왔고, 농경 생활에 필수적인 천문 관측과 달력의 제정, 토지의 측량 또한 수학이 직접적으로 사용된 분야이다. 고대 수학을 크게 발전시킨 문명으로는 메소포타미아, 이집트, 인도, 중국, 그리스 등이 있다. 특히 고대 그리스 문명에서는 처음으로 방정식에서 변수를 문자로 쓰는 등 추상화가 발전하였고 유클리드의 원론에서는 최초로 엄밀한 논증에 근거한 수학이 나타난다. 수학의 발전은 이후로도 계속되어 16세기의 르네상스에 이르러서는 과학적 방법과의 상호 작용을 통해 수학과 자연과학에 있어서 혁명적인 연구들이 진척되었고, 이는 인류 문명 발달에 큰 영향을 미치게 되었다.
수학
math
wikipedia
수학에서 상수란 그 값이 변하지 않는 불변량으로, 변수의 반대말이다. 물리 상수와는 달리, 수학 상수는 물리적 측정과는 상관없이 정의된다. 수학 상수는 대개 실수체나 복소수체의 원소이다. 우리가 이야기할 수 있는 상수는 (거의 대부분 계산 가능한) 정의가능한 수이다. 특정 수학 상수, 예를 들면 골롬-딕맨 상수, 프랑세즈-로빈슨 상수, , 레비 상수와 같은 상수는 다른 수학상수 또는 함수와 약한 상관관계 또는 강한 상관관계를 갖는다.
수학 상수
math
wikipedia
화학(化學)은 물질의 성질, 조성, 구조, 변화 및 그에 수반하는 에너지의 변화를 연구하는 자연과학(自然科學)의 한 분야이다. 물리학(物理學)도 역시 물질을 다루는 학문이지만, 물리학이 원소(元素)와 화합물(化合物)을 모두 포함한 물체의 운동과 에너지, 열적·전기적·광학적·기계적 속성을 다루고 이러한 현상으로부터 통일된 이론을 구축하려는 것과는 달리 화학에서는 물질 자체를 연구 대상으로 한다. 화학은 이미 존재하는 물질을 이용하여 특정한 목적에 맞는 새로운 물질을 합성하는 길을 제공하며, 이는 농작물(農作物)의 증산, 질병의 치료 및 예방, 에너지 효율 증대, 환경오염(環境汚染) 감소 등 여러 가지 이점을 제공한다.
화학
physics
wikipedia
화학은 연금술사들이 물질을 섞으며 발전시켰기 때문에 화학을 뜻하는 영어 ‘케미스트리(chemistry)’는 연금술을 뜻하는 단어 ‘알케미(alchemy)’에서 비롯하였다. 이는 다시 아랍어 ‘알 키미야(, al-kīmiyāʾ)’에서 왔는데, 이 단어의 어원에 대해서는 여러 가지 설이 있다. ‘화학(化學)’이란 단어는 물질의 변화를 다루는 학문이라는 점에 착안한 번역어이다. 이 번역어는 의 《항해술기(航海述奇)》(1866), 의 자연과학 교과서 《격물입문(格物入門)》(1866) 등에서 처음 쓰였다. 인간에 의해 발견된 최초의 기록된 금속은 금(金)인 것으로 보이며 구석기(舊石器) 후기(BC 40,000)에 스페인 동굴에서 소량의 천연 금이 발견되었다고 한다.
화학
physics
wikipedia
은(銀), 구리(銅), 주석(朱錫) 및 유성 철(鐵) 또한 고대 문화에서 일부 제한된 양의 금속 가공을 허용하면서 고대문화로 발견 될 수 있었다. 기원전 3000년경 유성 철제로 만든 이집트 무기는 "천국의 단검(天國短劍)"으로 높이 평가 받았다. 아마도 통제 된 방식으로 사용된 최초의 화학 반응은 불이였다. 그러나 천년 동안 불은 단순히 열과 빛을 생성하면서 한 물질을 다른 물질 (타는 나무 또는 끓는 물)로 변형시킬 수 있는 신비한 힘으로만 알려졌다. 불은 초기 사회의 여러 측면에 영향을 미쳤다. 이들은 요리 및 서식지(棲息地) 조명과 같은 일상 생활의 가장 단순한면에서 도기, 벽돌 및 금속을 녹여 도구를 만드는 것과 같은 고급 기술(高級技術)에 이르기까지 다양했다. 유리(琉璃)의 발견과 금속(金屬)의 정화로 이어지는 불로 인해 야금이 부상했다. 야금의 초기 단계에서 금속의 정화 방법이 요구되었고, 금은 BC 2900년 초기의 고대 이집트의 귀중한 금속이되었다.
화학
physics
wikipedia
맥스웰 방정식(-方程式, s)은 전기와 자기의 발생, 전기장과 자기장, 전하 밀도와 전류 밀도의 형성을 나타내는 4개의 편미분 방정식이다. 맥스웰 방정식은 빛 역시 전자기파의 하나임을 보여준다. 각각의 방정식은 가우스 법칙, 가우스 자기 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙으로 불린다. 각각의 방정식을 제임스 클러크 맥스웰이 종합한 이후 맥스웰 방정식으로 불리게 되었다. 전자기역학은 맥스웰 방정식과 로런츠 힘 법칙으로 요약된다. 로랜츠 힘은 맥스웰 방정식으로부터 유도될 수 있다. 맥스웰의 방정식은 네 개의 법칙을 모아 종합하여 구성한 것이다. 맥스웰의 방정식은 빛과 같은 전자기파의 특성을 설명한다. 각 방정식의 수학적 표현은 공식 부분에서 다루기로 하고 우선은 방정식의 의미를 살펴보면 다음과 같다.
맥스웰 방정식
math
wikipedia
가우스 법칙 : 가우스 법칙은 전하에 의해 발생된 전기장의 크기를 설명한다. 따라서 가우스 법칙은 본질적으로 쿨롱 법칙과 같은 의미를 지닌다. 다만, 쿨롱 법칙이 공간에 놓인 두 점전하 사이에서 발생하는 힘을 설명하는데 반해 가우스 법칙은 하나의 전하로부터 발생하는 전기장의 세기가 거리에 따라 반감되는 이유를 설명한다. 실제 회로 이론이나 전자공학에서는 계산이 편리하고 직관적으로 이해 하기 쉬운 가우스 법칙을 일반적으로 사용한다. 가우스 자기 법칙 : 가우스 자기 법칙에 따르면, 폐곡면의 총 자기 선속은 0이다. 즉, 전기와 달리 자기는 홀극이 없고, N극과 S극이 언제나 함께 존재한다. 이러한 자기의 성질 때문에 일정한 공간으로 들어오는 자기력선과 나가는 자기력선의 크기는 언제나 같고, 따라서 서로 정반대의 방향으로 작용하는 같은 크기의 힘의 합계는 언제나 0이다.
맥스웰 방정식
math
wikipedia
패러데이 전자기 유도 법칙 : 패러데이 전자기 유도 법칙은 자기 선속이 변화하면 그 주변에 전기장 이 발생한다는 것이다. 고리 모양으로 만들어진 전선 가운데서 자석을 위 아래로 움직이면 전류가 발생하는 것을 예로 들 수 있다. 발전소는 이러한 원리를 이용하여 교류 전류를 만들어 낸다. 앙페르-맥스웰 회로 법칙 : 앙페르 회로 법칙은 전류가 흐르는 전선에 따라 자기장이 발생한다는 것이다. 맥스웰은 앙페르 회로 법칙을 확장하여 전기장의 강도가 변화하면 자기장이 발생하는 것으로 파악하였고, 축전기를 이용한 실험을 통해 이를 입증하였다. 즉, 축전기 자체는 전류를 이동시키지 못하지만 전계의 변화를 전달한다. 맥스웰은 축전기에서 전계가 변화할 때 자기장이 발생하는 것을 측정하였고 이로써 전선뿐만 아니라 전계의 강도가 변화하는 모든 곳에서 자기장이 발생함을 증명하였다. 전류 변화로 자기장이 발생하는 것을 이용한 도구로는 전자석, 전동기와 같은 것이 있다.
맥스웰 방정식
math
wikipedia
초월수(超越數, )는 수학에서 대수학적이지 않은 수, 즉 유리수 계수를 가지는 0이 아닌 유한 차수 다항 방정식의 해가 될 수 없는 수를 의미한다. 가장 잘 알려진 초월수는 (원주율)과 (자연로그의 밑)이다.
초월수
math
wikipedia
현재까지는 적은 양의 초월수들만 알려져 있다. 이는 어떤 주어진 수가 초월수인지 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문이다. 그러나 초월수들은 드물지 않다. 실제로 대수적 수들이 가산 집합을 구성하는 반면 실수의 집합, 복소수의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다. 또한 모든 유리수가 대수학적이기 때문에 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 무리수이다. 그러나 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다. 따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다. 예를 들어 제곱근 2는 무리수이지만 다항식 의 근인 만큼 초월수는 아니다. 황금비( 또는 로 표시됨)은 다항식 의 근으로서 초월적이지 않은 또다른 무리수이다.
초월수
math
wikipedia
"초월적"이라는 이름은 라틴어로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 가 의 대수함수가 아니라는 것을 증명했다. 레온하르트 오일러는 18세기에 "초월수"를 현대적 의미로 정의한 최초의 수학자로 여겨지고 있다. 요한 람베르트는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 (자연로그의 밑)와 (원주율) 둘 다 초월수라고 추측했고 무리수인 의 초월수 증명에 대한 대략적인 구성을 제안했다. 조제프 리우빌은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고 1851년에 리우빌 수와 같은 초월수의 사례를 제시했다.
초월수
math
wikipedia
우크라이나()는 동유럽 국가다. 남쪽과 남동쪽으로는 흑해와 아조프해, 동쪽과 북동쪽으로는 러시아, 북쪽과 북서쪽으로는 벨라루스, 서쪽으로는 폴란드, 슬로바키아, 헝가리, 남서쪽으로는 루마니아, 몰도바와 접한다. 키이우가 수도이며 가장 큰 도시다. 동유럽 평원과 이어져 있으며 기후는 비교적 온화한 편이다. 법적 공용어는 우크라이나어이고, 인구 대부분은 우크라이나어를 사용하지만, 대부분 동부 인구(주로 동부 지역과 동남부 지역, 오데사 지역)는 러시아어 사용자이기도 하다. 주요 도시로는 키이우, 도네츠크, 드니프로, 하르키우, 르비우, 오데사, 자포리자가 있다. 2014년 3월 18일 러시아가 크림반도를 합병함에 따라 행정력이 크림반도에 미치지 못하지만, 국제사회는 대체로 크림반도를 우크라이나의 일부라는 태도를 견지하고 있다.
우크라이나
engineering
wikipedia
중세 초 루스 카간국으로부터 키예프 루스로 이어진 우크라이나는 오랫동안 투르크족·몽골족 등 지배를 받았다. 19세기까지 대다수 우크라이나 영토가 러시아 제국에 통합되었고, 나머지 부분은 오스트리아-헝가리 통제 아래 있었다. 우크라이나는 러시아 혁명 후 혼란과 끊임 없는 전쟁 속에서 여러 차례 독립을 시도하여 1917년에 민족국가를 건설했으나, 1922년에 소비에트 연방에 강제 합병되었다. 1923년 소비에트 연방 헌법 적용을 받으며 우크라이나 소비에트 사회주의 공화국이란 이름의 구성국으로 존재했다, 1991년 소련 해체와 함께 독립하였다.
우크라이나
engineering
wikipedia
지하 자원이 풍부하여 도네츠 탄전의 석탄, 크리보이로그의 철광석, 카르파티아 유전과 천연가스, 그 밖에 망간, 우라늄, 식염, 칼리염, 석회석 등을 산출한다. 산업으로는 석탄·철광·선철 생산에서 중요성 있다. 풍부한 수력 전기를 이용하여 기계 제조 공업·화학 공업이 크게 발달했으며 유수 공업 지대를 이루고 있다. 석탄업, 철강업, 기계 제조업, 화학 공업 중심은 돈바스·드니프로 주이며, 드니프로 강 하구에서 키이우 사이 6개 수력 발전소가 단계상(段階狀)으로 건설되어 있다. 우크라이나 경지율은 약 70%에 이르고 있어, 겨울밀·옥수수·보리·사탕무·해바라기·포도의 재배, 가축 사양 등에서는 구 소련 시절 매우 중요한 지위를 차지하고 있었다. 온난한 크림 반도 남단과 광천이 솟는 카르파트 지방은 중요한 관광·보양지다. 러시아 작가 니콜라이 고골의 작품 〈타라스 부리바〉 배경으로도 알려졌다. 공용어는 우크라이나어를 쓰고, 우크라이나인 대다수는 우크라이나 정교회를 믿는다.
우크라이나
engineering
wikipedia
지구과학(地球科學, )은 행성인 지구와 그 주위의 천체를 연구하는 학문들을 묶어 부르는 이름이다. 지구의 환경은 크게 육지, 바다, 대기로 나누어지며, 이러한 환경들은 각각 지구과학의 주요 분야라고 할 수 있는 지질과학, 수문과학, 대기과학 분야의 주요연구대상이 된다. 일반적으로 지구과학으로 불리는 학문들은 대기에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 기상학, 지구 표면의 물질을 주로 대상으로 하는 지질학, 바다 현상을 대상으로 하는 해양학, 지구의 깊은 속에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 지구물리학과 실용적인 응용분야로서 환경공학 등이 있다. 천문학 (astronomy) - 우주 물리학(천체 물리학, astrophysics) - 우주 과학 (space science)
지구과학
earth
wikipedia
일반 상대성이론(一般相對性理論, , ) 또는 일반상대론(一般相對論, )은 마르셀 그로스만, 다비드 힐베르트, 알베르트 아인슈타인 등에 의해 발전되고 아인슈타인과 힐베르트가 1915년에 발표한, 중력을 상대론적으로 다루는 물리학 이론이다. 핀란드의 이론물리학자 노르드스트룀도 일반 상대론의 많은 부분을 논문으로 발표했었다. 일반 상대론은 현재까지 알려진, 중력을 다루는 이론 가운데 가장 정확하게 실험적으로 검증되었다.
일반 상대성이론
math
wikipedia
특수 상대성 이론에서 수학자 헤르만 민코프스키가 민코프스키 공간을 도입하여 평평한 시공간을 기하학적으로 다루었다. 일반 상대성 이론은 중력의 영향을 시공간의 휘어짐으로 기술한다. 일반상대론에서 시공간의 수학적 구조는 특별한 종류의 준 리만 다양체이며 국소적(locally)으로 민코프스키 공간이다. 시공간의 휘어짐은 수학적으로 준 리만 다양체의 곡률에 해당한다(더 정확히는 준 리만 다양체 중에서도 특수한 로런츠 다양체의 곡률). 즉, 일반상대론은 1850년대에 만들어진 수학인 리만 기하학으로 기술된다. 시공의 곡률(아인슈타인 텐서)은 (우주 상수를 무시하면) 4차원 운동량 밀도에 비례하는데, 이를 아인슈타인 방정식이라고 한다. 일반 상대성 이론에서는 관성계뿐만 아니라 비관성계를 포함한 임의의 좌표계에 대해 물리 법칙이 동등한 형태를 유지하여야 한다.
일반 상대성이론
math
wikipedia
자유낙하하는 승강기와 승강기 바닥에서 승강기 천장으로 쏘여진 빛을 떠올려보면, 승강기 안에서 승강기와 같이 자유낙하하는 관찰자는 빛에서 어떠한 도플러 효과도 보지 못할 것이다. 왜냐하면 등가원리를 따르면, 중력장 내에서 자유낙하하는 관찰자는 중력장이 없는 관성계의 관찰자와 같으며, 중력장이 없는 관성계에서는 빛에 어떠한 변형도 일어나지 않기 때문이다. 따라서 자유낙하하는 관찰자는 승강기 천장에 설치된 빛 감지기에서 어떠한 도플러 효과도 나타나지 않을 것이라고 결론짓는다. 하지만 승강기 밖에서 땅 위에 서있는 관찰자는 빛에서 도플러 효과를 기대한다. 왜냐하면, 승강기가 자유낙하를 시작할 때 빛이 출발했다고 가정하면, 빛이 승강기 바닥에서 승강기 천장으로 가는 시간 동안 승강기 천장은 만큼 빠르게 되고, 이 속도에 따라 빛에 대한 청색편이를 감지해야 하기 때문이다. 여기서 청색편이는 느린 속도 근사식 만큼 일어났다고 가정한다.
일반 상대성이론
math
wikipedia
데니스 매캘리스터 리치(, 1941년 9월 9일~2011년 10월 12일)는 미국의 저명한 컴퓨터과학자이자 현대 컴퓨터과학의 선구자이다. C와 유닉스의 개발자로 알려져 있다. 미국의 뉴욕주 브롱크스빌(Bronxville)에서 태어났으며, 1968년 하버드 대학교에서 응용수학 박사학위를 얻었다. 1968년부터 벨 연구소 컴퓨터 연구 센터에서 일했다. 2007년 루슨트 테크놀로지의 시스템 소프트웨어 연구부장으로 은퇴했다. 홀로 살고 있던 그는 미국 시각으로 2011년 10월 12일 뉴저지주 버클리 헤이츠의 자택에서 사망한 채로 발견되었다 (향년 71세).
데니스 리치
computer
wikipedia
켄 톰슨(Ken Thompson) 등과 함께 최초의 유닉스(Unix) 시스템을 개발했고, 1971년 최초의 〈Unix Programmer's Manual〉을 썼다. 또한 C 언어를 개발한 후 브라이언 커니핸과 함께 〈C 프로그래밍 언어〉(The C Programming Language)를 기술했다. 커니핸과 〈C 프로그래밍 언어〉책을 썼기에 커니핸이 C 언어 개발에 참여한 것으로 종종 오해받으나 커니핸의 말에 따르면 자신은 C언어 개발에 참여하지 않았다고 한다. ALTRAN, B언어, BCPL, Multics 등의 개발에도 영향을 끼친 것으로도 알려져 있다. 1983년에 켄 톰프슨과 "범용 운영체제 이론개발, 특히 유닉스 운영체제의 구현에 대한 공로"로 튜링상을 수상했다.
데니스 리치
computer
wikipedia
미국의 경제 전문지 '비즈니스 인사이더'에서는 '현재의 애플 컴퓨터는 거의 모두 데니스 리치의 업적에 기반하고 있다'이라며 그의 업적을 평가했다. 현재 애플 매킨토시의 macOS와 아이폰의 iOS는 모두 유닉스 운영체제를 기반으로 만들어져 있다. 〈C 프로그래밍 언어〉 (The C Programming Language) (1978년 브라이언 커니핸과 공저)
데니스 리치
computer
wikipedia
주기율표(週期律表, , ) 또는 주기표(週期表)는 원소를 구분하기 쉽게 성질에 따라 배열한 표로, 러시아의 드미트리 멘델레예프가 처음 제안했다. 1915년 헨리 모즐리는 멘델레예프의 주기율표를 개량시켜서 원자번호순으로 배열했는데, 이는 현대의 원소 주기율표와 유사하다. 원자 번호가 커짐에 따라 성질이 비슷한 원소가 주기적으로 나타나는 성질인 주기성을 기준으로 원소들을 배열하였다. 주기율표의 가로행은 주기라 부르고, 세로열은 족이라 부른다. 주기마다 같은 성질의 원소가 반복적으로 나타나기 때문에, 같은 족의 원소들은 서로 유사한 화학적 특성을 보인다. 전자를 가지고 있으려 하는 비금속성은 대체로 오른쪽이 더 높으며, 반대로 전자를 주려고 하는 금속성은 대체로 왼쪽이 더 높다. 이러한 화학적 성질은 각 원소의 전자 배치에 기인한다.
주기율표
chemistry
wikipedia
1869년 러시아의 화학자 드미트리 멘델레예프가 원자 질량에 따라 원소의 화학적 성질이 주기적으로 변화하는 것에 착안하여 주기율표를 처음으로 만들었다. 당시에는 모든 원소가 발견되지 않았기 때문에 원소 사이에 공백이 남아있었는데, 멘델레예프는 원소의 주기성에 착안하여 원소를 새로 발견하기도 하였다. 원소의 주기성은 19세기 후반에 사실로 인식되었으며, 원자 번호가 발견되고 20세기 초에 양자역학을 통해 원자의 내부 구조를 탐구하며 재확인되었다. 글렌 T. 시보그가 1945년에 악티늄족이 d-블록 원소가 아닌 f-블록 원소라는 사실을 발견함으로써 현대의 주기율표 틀이 완성되었다.
주기율표
chemistry
wikipedia
주기율표는 과학의 발전에 따라 계속 개정되고 있다. 자연계에서는 원자 번호 94까지 존재하는 원소들만 존재하는데, 과학자들은 실험실에서 원자번호 94보다 더 무거운 원소들을 합성하고 있다. 현재에는 118개의 원소들이 알려져 있으며 표의 처음 일곱 주기를 빈틈 없이 채우고 있다. 이 일곱 줄을 넘어서 표가 얼마나 뻗어나갈지, 표의 알려진 부분의 주기율이 언제까지 이어질지는 아직 알려지지 않았다. 또한 일부 원소가 주기율표에 올바르게 배치되었는지에 대한 과학적 논의가 계속되고 있다.
주기율표
chemistry
wikipedia
아미노산()은 아미노기(생물학적 조건에서 양성자화된 −NH3+ 형태), 카복실기(생물학적 조건에서 탈양성자화된 −COO− 형태), 특정한 곁사슬(R기)를 가지고 있는 유기 화합물이다. 모든 아미노산에 존재하는 원소는 탄소(C), 수소(H), 산소(O), 질소(N)이다. 또한 황(S)은 시스테인과 메티오닌의 곁사슬에 존재하고, 셀레늄(Se)은 덜 일반적인 아미노산인 셀레노시스테인의 곁사슬에 존재한다. 2020년을 기준으로 500가지 이상의 자연적으로 생성되는 아미노산들이 존재한다. 이 중 일부는 단백질을 비롯한 펩타이드의 단량체 단위를 구성하는 것으로 알려져 있지만 유전 부호에는 22가지의 α-아미노산만 나타나며 그 중 20가지는 고유한 지정된 코돈을 가지고 있고, 나머지 2가지(모든 진핵생물에 존재하는 셀레노시스테인과 일부 원핵생물에 존재하는 피롤리신)는 특수 코딩 메커니즘을 가지고 있다.
아미노산
chemistry
wikipedia
아미노산은 핵심적인 구조 작용기의 위치에 따라 알파-아미노산(α-아미노산), 베타-아미노산(β-아미노산), 감마-아미노산(γ-아미노산) 또는 델타-아미노산(δ-아미노산)으로 분류할 수 있다. 다른 분류 범주는 극성, 이온화 및 곁사슬 작용기의 유형(지방족, 비고리형, 방향족, 하이드록실기 또는 황의 함유 여부 등)과 관련된다. 사람의 근육 및 기타 조직에서 단백질의 형태로서의 아미노산 잔기들은 두 번째로 큰 구성 성분(물이 가장 큼)을 차지한다. 아미노산은 단백질의 잔기로서의 역할 외에도 신경전달물질, 생합성과 같은 여러 과정들에 관여한다. 이는 지구상의 생명체의 출현을 가능하게 하는 데 핵심적인 역할을 한 것으로 생각된다.
아미노산
chemistry
wikipedia
아미노산은 그림에 표시된 가상의 "중성" 구조의 관점에서 IUPAC-IUBMB 생화학 명명 공동 위원회에 의해 공식적으로 명명되었다. 예를 들어 알라닌의 계통명은 화학식 에 기반한 2-아미노프로판산이다. IUPAC-IUBMB 생화학 명명 공동 위원회는 이러한 접근 방식을 다음과 같이 정당화했다. 1800년대 초에 몇몇 아미노산들이 최초로 발견되었다. 1806년에 프랑스의 화학자 루이니콜라 보클랭과 피에르 장 로비케는 아스파라거스로부터 화합물을 분리하였는데, 이 화합물은 최초로 발견된 아미노산이었으며 아스파라긴으로 명명되었다. 시스틴은 1810년에 발견되었지만 시스틴의 단량체인 시스테인은 1884년에 이르러서야 발견되었다. 1820년에는 글리신과 류신이 발견되었다. 20가지 표준 아미노산들 중 마지막으로 발견된 아미노산은 트레오닌으로 1935년에 윌리엄 커밍 로즈가 발견하였다. 로즈는 또한 필수 아미노산을 결정하고 최적의 생장을 위한 모든 아미노산들의 최소 일일 요구량을 설정했다.
아미노산
chemistry
wikipedia
방정식(方程式, )은 미지수가 포함된 식에서 그 미지수에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식이다. 의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 에 관한 방정식이라고 한다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 첫번째의 경우는 불능이라고 하고, 두번째의 경우는 방정식, 마지막 세번째의 경우는 항등식(부정)이라 한다. 은 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로, 이 경우는 방정식 중에서도 불능의 경우이다.
방정식
math
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방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다. 방정식에서 해를 구하려는 문자, 즉 미지수로는 보통 를 사용한다. 미지수로 알파벳의 뒤쪽 문자 를 사용하는 것은 프랑스의 수학자겸 철학자인 데카르트로부터 비롯되었다. 주의: 무리 방정식에는 무연근이란 것이 있다. 분수방정식에서는 분모를 0으로 만드는 해 , 무리방정식에는 대입해봤을 때 성립하지 않는 근이다. 이 근들은 해집합에서 제외된다. 자세한 내용은 무연근 참조.
방정식
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연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식에선 와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.
방정식
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수학에서 삼각함수 항등식(三角函數恒等式, )은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다. 또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다. 다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다. 다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 로 놓아도 된다. 아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다. 디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.
삼각함수 항등식
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또한, 는 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 이 되고, 분모는 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다. 그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (을 넣고, 를 이용 우변을 정리한다.) 1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
삼각함수 항등식
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미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선: 을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications,
삼각함수 항등식
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노무현(盧武鉉, 1946년 9월 1일~2009년 5월 23일)은 대한민국의 제16대 대통령이다. 판사로 재직 후 부산에서 변호사로 활동하다가 제13·15대 국회의원직을 역임했고, 김대중 정부에서 제6대 해양수산부 장관을 역임했다.
노무현
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본관은 광주(光州)이며 경상남도 김해 출생이다. 부산상업고등학교를 졸업하고 막노동에 뛰어들었다가 독학으로 1975년 3월 30세에 제17회 사법시험에 합격하였다. 대전지방법원 판사로 1년을 재직하다가 그만두고 부산에서 변호사 사무실을 개업하여 여러 인권 사건을 변호하였다. 통일민주당 총재 김영삼의 공천을 받아 제13대 총선에 출마하여 부산 동구에서 당선되며 5공비리특별위원으로 활동했다. 1990년 3당 합당에 반대하면서 김영삼과 결별한다. 김대중 정부에서 해양수산부 장관을 지냈고 국민경선제에서 새천년민주당 소속으로 제16대 대선에서 대통령으로 당선되었으나 2003년 말에 새천년민주당을 탈당하고 2004년 초 새천년민주당을 탈당한 개혁 세력들이 주축이 되어 창당한 열린우리당에 입당하였다.
노무현
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2004년 무렵 공직선거 및 선거부정방지법이 정한 중립의무 및 헌법 위반을 시유로 야당에 국회로부터 대한민국 헌정 사상 최초로 대통령직 재임 중 탄핵 소추를 당해 대통령 직무가 정지되었다. 하지만 이후 탄핵을 주도했던 새천년민주당과 한나라당, 자유민주연합은 여론의 역풍에 휩싸여 제17대 총선에서 참패하였고 얼마 후 헌법재판소에서 소추안을 기각하며 노무현은 다시 대통령 직무에 복귀하였다.
노무현
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수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, )은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다. 실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 체비쇼프 다항식이라고 한다. 드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다. 차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간 속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다. 값이 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.) 의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각 및 이다. 이에 따라, 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다. 체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 () 또는 독일어 표기 ()에서 딴 것이다.
체비쇼프 다항식
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파이의 날()은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다. 분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 파이 근삿값의 날로 부르기도 한다.
파이의 날
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기하학에서 코사인 법칙(cosine法則, )은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다. 코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다. 레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》()에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다. 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》()에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.
코사인 법칙
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그림과 같이, 를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 의 높이선 를 긋자. 그렇다면, 는 를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다. 그렇다면, 벡터 의 길이는 각각 이며, 벡터 와 사이의 각도는 이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다. 단위 구면 위의 구면 삼각형 의 세 각 가 마주하는 세 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다. 여기서 은 각각 코사인, 사인이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙(第一球面cosine法則, )이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다. 즉, 는 각각 에서 를 향하는 구면의 단위 접벡터이다. 그렇다면, 사이의 각도는 이다. 또한, 는 각각 평면 의 정규 직교 기저를 이루므로, 를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.
코사인 법칙
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그렇다면, 의 길이는 모두 1이며, 사이의 각도는 이며, 사이의 각도는 이며, 사이의 각도는 이다. 따라서, 벡터곱 , , 의 길이는 각각 , , 이다. 또한, 와 사이의 각도는 이며, 와 사이의 각도는 이며, 와 사이의 각도는 이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자. 따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 에 적용하면, 구면 삼각형 에 대한 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다. 가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 세 각 이 마주하는 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다. 여기서 는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙((第一)雙曲cosine法則, )이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
코사인 법칙
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기하학에서 사인 법칙(-法則, ) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다. 삼각형 의 변 위의 높이를 라고 하자. 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다. 삼각형 의 외접원을 그리자. 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. 만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다. 결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.
사인 법칙
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단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다. 구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다. 구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다. 가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
사인 법칙
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선형대수학에서 벡터 공간(vector空間, , ) 또는 선형 공간(線型空間, )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(, )라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다. 실수체 에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(實數vector空間, )이라고 하며, 복소수체 에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(複素數vector空間, )이라고 한다. 체 위의 벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 가 의 부분 벡터 공간(部分vector空間, )이라고 한다. 즉, 부분 벡터 공간은 의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.
벡터 공간
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벡터 공간 의 부분 집합 에 대하여, 의 생성() 는 를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 에서, 인 원소 가 존재하지 않는다면, 가 선형 독립 집합이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저라고 한다. 선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다. 벡터 공간 의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원(次元, ) 이라고 한다. 두 벡터 공간 사이의 선형 변환은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬로 나타낼 수 있다.
벡터 공간
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즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 는 의 개의 직합이며, 인 경우 이는 곱집합과 다르다. 체 위의 벡터 공간 와 그 임의의 부분 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. 이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상 즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상 유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 가 의 기저라면,
벡터 공간
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펜로즈 삼각형( 또는 )는 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다. 이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다. 이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다. 펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다.
펜로즈 삼각형
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대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소계수 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다.
대수학의 기본 정리
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수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 Cours d'Analyse(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한바있다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다.
대수학의 기본 정리
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가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 에 대해 라고 가정하자. 그러면 는 전해석함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여 을 얻는다. 즉, 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 는 상수함수이다. 그러나 가정에서 는 상수가 아니라고 하였으므로 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. 대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 와 같이 쓸 수 있다. 그런데 은 차의 다항식이므로, 다항식의 차수에 대한 귀납법을 사용하면(대수학의 기본 정리 이용) 증명이 끝난다.
대수학의 기본 정리
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확률론과 통계학에서 정규 분포(正規 分布, ) 또는 가우스 분포(Gauß 分布, )는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다. 정규분포는 2개의 매개 변수 평균 과 표준편차 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 을 표준 정규 분포(standard normal distribution)라고 한다.
정규 분포
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정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다. 라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다. 정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 이다. 정규분포의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
정규 분포
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위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 다. 정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다. 정규 분포 밀도 함수에서 를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다. 에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 값을 불확실성(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 를 90% 불확실성, 는 95% 불확실성, 은 99% 불확실성이다. 특히, 를 50% 불확실성이라고 하며, 확률오차(probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.
정규 분포
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수론에서의 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)은 19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다. g(n) 과 f(n)이 수론적 함수(arithmetic function)이며 1보다 큰 모든 에 대해 다음이 성립한다고 하자. 여기서 는 뫼비우스 함수(Möbius function)이고, 덧셈은 n의 양의 약수 d 전체에 대해 이루어진다. 수론적 함수 는 의 누적으로 이루어지는데, 역으로 를 통해 를 꺼내는 공식이므로 반전 공식이라 불린다. 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)을 사용하여 공식을 써 보면 다음과 같다. 여기서 * 는 디리클레 합성곱이고, 1은 모든 에 대해 항상 1인 수론적 함수이다. 이 경우, 가 성립한다. 즉, 뫼비우스 함수는 모든 함수값이 1인 수론적 함수의 역원이기 때문이다. 당연하게도 F(x)와 G(x)가 구간 [1,∞)에서 복소수로의 함수이고, 1보다 크거나 같은 모든 에 대해
뫼비우스 반전 공식
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수학에서 푸리에 급수(Fourier級數, )는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다. 함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다. 푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 가 의 주기를 가진다고 하자. 즉, 라고 하자. 또한, 가 모든 유한 구간()에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여, 그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.
푸리에 급수
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만약 가 연속미분가능 () 함수라면 (즉, 의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) 의 푸리에 급수는 모든 에서 로 수렴한다. Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928. 영역: Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. (역자 M. Ackerman)
푸리에 급수
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감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다. 오일러 적분은 상반평면 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다. 여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다. 또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다. 감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 에서 단순극을 가진다. 단순극 에서 유수의 값은 이다. 특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다. 감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.
감마 함수
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감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 는 다음과 같다.
감마 함수
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방법을 기초로 하여, 주로 다량의 데이터를 관찰하고 정리 및 분석하는 방법을 연구하는 수학의 한 분야이다. 근대 과학으로서의 통계학은 19세기 중반 벨기에의 케틀레가 독일의 "국상학(國狀學, Staatenkunde, 넓은 의미의 국가학)"과 영국의 "정치 산술(政治算術, Political Arithmetic, 정치 사회에 대한 수량적 연구 방법)"을 자연과학의 "확률 이론"과 결합하여, 수립한 학문에서 발전되었다.
통계학
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통계학은 관찰 및 조사로 얻을 수 있는 데이터로부터, 응용 수학의 기법을 이용해 수치상의 성질, 규칙성 또는 불규칙성을 찾아낸다. 통계적 기법은, 실험 계획, 데이터의 요약이나 해석을 실시하는데 있어서의 근거를 제공하는 학문이며, 폭넓은 분야에서 응용되어 실생활에 적용되고 있다. 통계학은 실증적인 뿌리를 가지고 있으며 실질적 활용에 초점을 맞추고 있기 때문에, 흔히 순수수학과는 다소 구분되는 응용수학의 일종으로 여겨진다. 통계학의 방법을 통해, 실제의 수치들을 왜곡하여 해석하는 것을 막고 연구를 바탕으로 합리적인 의사결정을 할 수 있다.
통계학
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통계학은 과학, 산업, 또는 사회의 문제에 적용되며 모집단을 연구하는 과정이 우선시된다. 모집단은 "한나라 안에 사는 모든 사람" 또는 "크리스탈을 구성하는 모든 원자"와 같이 일정한 특성을 지닌 집단이면 어느 것이든 가능하다. 통계학자들은 전체인구(인구조사를 하는 기업)에 대한 데이터를 편집한다. 이것은 정부의 통계관련 법률요약집같은 조직화된 방법으로 수행될 수도 있다. 기술통계학은 모집단의 데이터를 요약하는데 사용된다. 도수 및 비율 (경주 등) 범주 형 데이터를 설명하는 측면에서 더 유용할 동안 수치 기술자는 연속적인 데이터 유형 (소득 등)에 대한 평균과 표준 편차를 포함한다. 데이터 분석 방법 엄청난 자료가 연구되는 현대 사회에서 경제지표연구, 마케팅, 여론조사, 농업, 생명과학, 의료의 임상연구 등 다양한 분야에서 응용되고 있는 통계는 단연 우리 사회에서 가장 필요하고 실용적인 학문이라고 할 수 있다.
통계학
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컴퓨터 과학(, 컴퓨터 사이언스) 또는 전산학(電算學)은 계산(computation), 정보(information) 그리고 자동화(automation)에 대한 학문이다. 컴퓨터 과학은 알고리즘, 계산 및 정보에 대한 이론적 연구에서부터 하드웨어와 소프트웨어의 계산 시스템 구현에 대한 실질적인 문제에 이르기까지 다양한 주제에 걸쳐 있다. 외국에서는 컴퓨터 공학()을 컴퓨터과학(, 컴퓨터 사이언스) 분야 중에서 하드웨어를 다루는 세부 영역의 명칭으로 사용하는데 대한민국에서는 컴퓨터과학과 같은 뜻으로 자리 잡았다. Stanford의 경우 Computer Science전공에서 Computer Engineering트랙을 제공한다.[] Computer Science and Engineering (CSE)이라는 이름으로 교육 프로그램을 운영하는 대학도 존재한다.
컴퓨터 과학
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컴퓨터 과학의 분야는 (알고리즘, 계산 이론, 정보 이론 같은 )이론적인 분야와 (하드웨어와 소프트웨어 설계 및 구현을 포함한 )실용적인 분야로 나눌 수 있다. 예를 들어, 컴퓨터 그래픽스나 계산 기하학은 보다 구체적인 응용을 강조하는 반면, 계산 이론은 추상적인 계산 모델과 그것들을 사용하여 해결할 수 있는 일반적인 종류의 문제에 관한 것이다. 알고리즘과 데이터 구조는 컴퓨터 과학의 심장이라고 불려왔다. 프로그래밍 언어론은 계산 프로세스의 설명에 대한 접근 방식을 고려하는 반면, 컴퓨터 프로그래밍은 복잡한 시스템을 만들기 위해 그것들을 사용하는 것을 포함한다. 컴퓨터 구조는 컴퓨터 구성요소와 컴퓨터 작동원리를 설명한다. 인공지능은 인간과 동물에게서 발견되는 문제 해결, 의사결정, 환경 적응, 계획, 학습과 같은 목표 지향적인 과정을 종합하는 것을 목표로 한다. 디지털 컴퓨터는 다양한 정보 과정을 시뮬레이션할 수 있다. 컴퓨터 과학의 근본적인 관심사는 자동화할 수 있는 것과 없는 것을 결정하는 것이다. 컴퓨터 과학자들은 보통 학술 연구에 집중한다. 튜링상은 일반적으로 컴퓨터 과학에서 가장 뛰어난 상으로 인정받고 있다.
컴퓨터 과학
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컴퓨터 과학은 정보 및 전산의 이론적 기초와 그것의 구현 및 응용을 위한 실용적인 기술을 다룬다.
컴퓨터 과학
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광자(光子, photon) 또는 빛알은 기본입자의 일종으로, 가시광선을 포함한 모든 전자기파를 구성하는 양자이자 전자기력의 매개입자이다. 기호는 그리스 문자 이다. 전자기력의 효과는 미시적, 거시적인 수준에서 쉽게 관찰할 수 있는데, 광자가 질량을 가지지 않기 때문에 장거리에서의 상호작용이 가능하다. 다른 기본입자들과 같이 광자는 양자역학과 입자-파동 이중성 이론을 통해 가장 잘 설명된다. 하나의 현상임에도 파동과 양자라는 두 가지 관측 가능한 모습을 가진 광자의 진짜 성질은 어떤 역학적 모델로도 설명할 수 없다. 이러한 빛의 이중성의 묘사, 전자기파에서의 에너지의 위상을 파악하는 것 또한 불가능하다. 전자기파의 양자의 위치는 공간적으로 국한되지 않기 때문이다. 광자 한 개의 에너지는 플랑크 상수()에 빛의 진동수()를 곱한 값, 즉 이고, 운동량은 (는 광속)이다.
광자
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아이작 뉴턴은 빛이 입자로 이뤄져 있다고 주장하였다. 그러나 고전적인 입자론은 빛의 파동적인 성질, 특히 간섭을 설명하지 못한다. 따라서 18세기에 와서는 이중 슬릿 실험을 설명할 수 있는 토머스 영의 파동설이 우세하였고, 제임스 맥스웰의 고전전자기학의 완성으로 파동설은 정설로 인정되었다. 그러나 20세기 초에 와서 고전적인 파동설로 설명할 수 없는 현상이 발견되기 시작하였다. 자외선 파탄이 그중 한 예인데, 이에 따르면 열적 평형에 있고 유한한 온도를 가진 고전적 흑체는 무한한 양의 전자기파를 방출하여야 한다. 이 문제를 해결하기 위해, 막스 플랑크는 전자기파가 양자화되었다는 가설을 도입하였다 (1901). 그러나 그는 실제로 빛이 입자로 구성되었다기보다는, 어떤 알 수 없는 현상에 의해 파동의 에너지가 양자화되었다고 해석하였다. 알베르트 아인슈타인은 힐베르트의 가설에서 시작하여, 빛이 실제로 입자로 구성되었다고 가정하면서 광전효과를 설명할 수 있다는 사실을 보였다 (1905). 이후 양자역학의 발전과 양자전기역학의 도입으로, 빛이 양자화되었다는 사실을 이론적으로 설명할 수 있게 되었다.
광자
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보손()는 스핀이 정수고, 보스-아인슈타인 통계를 따르는 매개 입자다. 인도의 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다. 페르미온의 반대말이다. 모든 입자는 스핀이 정수이거나 반정수이다. 스핀-통계 법칙에 따라 (유령입자나 애니온 따위의 예외적 경우를 제외하고) 전자(前者)의 경우는 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 후자는 페르미-디랙 통계를 따른다. 전자를 보손, 후자를 "페르미온"이라고 부른다. 보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르므로, 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있을 수 있다. 예를 들면, 광자는 스핀이 1인 보손이다. 따라서, 들어온 빛을 완전히 흡수하는 흑체가 복사하는 전자기파의 파장 분포는 보스 통계를 따른다. 또 응집물질물리에 나오는 준입자 포논도 보스 통계를 따른다. 게이지 보손은 양-밀스 이론에 등장하는 스핀 1의 입자이다. 이들은 게이지 상호작용을 매개시킨다.
보손
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글루온은 강한 핵력의 양자이다. 색가둠에 따라 독립적으로 존재하지 않고, 쿼크와 함께 강입자를 이루거나 아니면 글루볼로 존재한다. 다만 아직 글루볼은 실험적으로 관측되지 못하고 있다. W와 Z보손은 약한 핵력을 매개하는 게이지 보손이다. 힉스 메커니즘에 따라 이들은 매우 큰 질량을 가지며, 따라서 약한 핵력은 단거리에서만 작용한다. 중력자는 중력자의 양자이며, 중력을 매개하는 스핀 2의 입자이다. 다만, 실험에서는 중력자의 존재는 중력파로 인한 효과로 간접적으로만 확인되었다. 초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 보손을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다. 짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다. 예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다. 이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다.
보손
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양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다. 즉, 가능한 스핀은 0, 1, 2, … 따위다. 기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 벡터 보손, 스핀 0인 입자는 스칼라 보손으로 불린다. 페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다. 따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다.
보손
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디리클레 합성곱(Dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다. f, g가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, f, g의 디리클레 포갬 f * g는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다. 닫혀있다: f와 g가 모두 곱셈적이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.) 항등원: f * ε = ε * f = f, 여기서 ε은 n = 1에서 ε(n) = 1, n > 1에서 ε(n) = 0으로 정의되는 함수. 역원: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 f * g = ε를 만족한다.
디리클레 합성곱
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덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 f(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다. 나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다. 주어진 수론적 함수 에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다. 예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다. 위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.
디리클레 합성곱
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물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다. 주어진 산술함수 의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 는 망골트 함수(Mangoldt function)이다. 예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수 이 있다고 할 때, 관계식 때문에 다음이 성립한다
디리클레 합성곱
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집합 위의 동치관계 는 반사관계이자 대칭관계이자 추이관계인 이항관계이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다. 집합 위에 동치관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 동치관계 에 대한 동치류(同値類, ) 는 그 원소와 동치인 원소들의 집합이다 즉, 공집합이 아닌 집합 위의 공관계는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다. 집합 위의 동치관계로부터, 표준사상을 구성할 수 있다. 즉, 집합 위의 동치관계 에 대하여, 함수 집합 위의 동치관계와 그 집합의 분할 사이에는 자연적인 일대일 대응이 존재한다. 즉, 다음과 같다.
동치관계
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《자연철학의 수학적 원리》(自然哲學- 數學的原理, )는 서양의 과학 혁명을 집대성한 책의 하나이다. 줄여서 '프린키피아'()라고 불리기도 한다. 1687년에 나온 아이작 뉴턴의 세 권짜리 저작으로, 라틴어로 쓰여졌다. 이 책에서 뉴턴은 고전 역학의 바탕을 이루는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 기술하고 있다. 당시 요하네스 케플러가 천체의 운동에 대한 자료를 바탕으로 알아낸 케플러의 행성운동법칙을 뉴턴은 자신의 위 두 법칙들로써 증명해 낸다. 그는 이러한 일련의 작업을 통해서 코페르니쿠스에서 시작되어 케플러, 갈릴레오를 거치면서 이루어져 온 천문학의 혁명을 완성하는 한편, 갈릴레오 이후 데카르트, 하위헌스 등을 통해서 이루어져 온 근대 역학의 성공을 눈부시게 보여주고 있다.
자연철학의 수학적 원리
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에드먼드 핼리도 이 책을 바탕으로 1530년, 1607년, 1682년에 나타났던 혜성들의 궤도를 계산해, 이 혜성 모두가 동일한 하나의 천체일 가능성이 높다는 사실을 발견했고 일정한 주기에 따라 1750년대 말에 다시 나타나리라고 예견했다. 뉴턴도 핼리도 죽은 뒤인 1758년에 수수께끼 같은 천체가 발견되었는데 그것이 다름 아닌 핼리 혜성이다. 제1편은 운동에 관한 일반적 명제를 논술하였고, 제2편은 매질 속에서의 물체의 운동을 다루고, 마지막 제3편은 코페르니쿠스의 지동설, 케플러의 행성의 타원궤도 등의 행성의 운동을 증명하였다. 뉴턴은 그의 이론을 기술하기 위해 미적분학을 역학에 적용하였지만, 이 책에서는 주로 기하학적인 증명 방법을 사용하고 미적분을 거의 사용하지 않고 있는데, 이는 당시의 사람들의 이해를 고려해서라고 한다.
자연철학의 수학적 원리
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진공 중에서 물질 입자가 어떻게 운동하는지를 다루고 있다. 이 논의는 지금도 우리들이 유용하게 사용하고 있는 세 가지 운동 법칙에 근거하고 있다. 이 운동 법칙들은 관성 기준계, 즉 정지 상태나 일정한 속도로 움직이는 기준계에서 운동을 기술할 때 적용된다. 물체의 운동에 대한 일반적 논의를 펴고 있다. 이 논의를 통해서 여러 가능한 힘들이 어떤 수학적 형태를 띠게 될 것인지를 가정하고, 또 그런 힘에 의해서 생기는 운동을 역시 수학적인 방식으로 추론한다. 거리의 제곱에 반비례하는 만유 인력과 같은 힘들을 포함해서 다른 여러 가지 형태의 가상적인 힘에 의한 운동이 함께 취급되고 있다. 뉴턴은 케플러의 제 3법칙을 일반화시켰다. 그래서 모든 물체와 물체 사이에는 그 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 힘, 즉 만유 인력이 작용한다는 사실을 입증한 것이었다.
자연철학의 수학적 원리
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슈뢰딩거 방정식(-方程式, )은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다. 해밀토니언 연산자 는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. 는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.) 해밀토니언 연산자 는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.
슈뢰딩거 방정식
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이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다. 1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를 로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해 의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.
슈뢰딩거 방정식
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에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다. 이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식 에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다. 슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다. 또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.
슈뢰딩거 방정식
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엔트로피(, )는 열역학적 계의 유용하지 않은 (일로 변환할 수 없는) 에너지의 흐름을 설명할 때 이용되는 상태 함수다. 통계역학적으로, 주어진 거시적 상태에 대응하는 미시적 상태의 수의 로그로 생각할 수 있다. 엔트로피는 일반적으로 보존되지 않고, 열역학 제2법칙에 따라 시간에 따라 증가한다. 독일의 물리학자 루돌프 클라우지우스가 1850년대 초에 도입하였다. 대개 기호로 라틴 대문자 S를 쓴다. 엔트로피에는 열역학적 정의와 통계학적인 정의, 두 가지의 관련된 정의가 있다. 역사적으로, 고전 열역학적 정의가 먼저 발전하였다. 고전 열역학적인 관점에서, 그 이론은 원자나 분자 같은 수많은 성분들로 이루어져 있고, 학설의 안정성은 그러한 성분들의 평균적인 열특성으로 설명된다.
엔트로피
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이론을 구성하는 성분의 세부적인 성분들은 직접적으로 보이지 않는다. 그러나 그 특성은 온도, 압력, 엔트로피, 열용량과 같은 눈으로 볼 수 있는 평균적인 지표들에 의해 설명된다. 그 이론의 특성에 관한 고전적인 정의는 평형 상태임을 가정하였다. 엔트로피의 고전 열역학적 정의는 최근 비평형 열역학의 영역으로까지 확대되었다. 이후 엔트로피를 포함한 열특성은 눈으로 볼 수 없는 미시세계에서의 움직임에 대한 정역학적인 관점에서 새롭게 정의되었다. 그 예로 처음에는 기체로 여겨졌지만 시간이 지난 후에 광자, 음자, 스핀과 같은 양자 역학적으로 생각되는 뉴턴 입자가 있다. 이 이론의 특성에 대한 통계학적 설명은 고전적인 열역학을 사용하여 이론의 특성을 정의하는 것이 몇몇 변수의 영향을 받는 이론의 최종적인 상태를 예측하는데 있어서 점점 신뢰할 수 없는 예측 기술이 되어감으로 인하여 필수적인 것이 되었다.
엔트로피
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고전적 열역학에서는 엔트로피 S의 절대적 값은 정의할 수 없고, 대신 그 상대적 변화만 정의한다. 열적 평형을 이뤄 온도가 인 계에 열 를 가하였다고 하자. 이 경우 엔트로피의 증가는 다음과 같이 정의한다. 엔트로피는 온도의 함수로써, 주어진 열이 일로 전환될 수 있는 가능성을 나타낸다. 예를 들어 같은 크기의 열량이라도 고온의 계에 더해졌을 때보다 저온의 계에 더해졌을 경우에 계의 엔트로피가 크게 증가한다. 따라서 엔트로피가 최대일 때 열에너지가 일로 전환될 수 있는 가능성은 최소이고, 반대로 엔트로피가 최소일 때 열에너지가 일로 전환될 수 있는 가능성이 최대가 된다.
엔트로피
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라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다. 차원 리만 다양체에서 가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다. 코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)
라플라스 방정식
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라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다. 라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다. 라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
라플라스 방정식
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이다. 따라서 는 라플라스 방정식을 만족한다. 도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다. 3차원 공간에서, 구면좌표계 에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다. 여기서 는 구면 조화 함수이고, 와 은 임의의 계수다. 물론, 가 원점에서 연속적이려면 이다.
라플라스 방정식
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적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 유용하게 사용된다. 어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다. A. Dieckmann, Table of Integrals: Indefinite Integrals Definite Integrals Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik
적분표
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수학에서 삼각함수(三角函數, )는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다. 삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 사인(, , 기호 ) · 코사인(, , 기호 ) · 탄젠트(, , 기호 )라고 한다. 이들의 역수는 각각 코시컨트(, 기호 ) · 시컨트(, 기호 ) · 코탄젠트(, 기호 )라고 한다. C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.
삼각함수
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좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A 에 대해, 축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 라고 하면, 다음과 같이 정의한다. 사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여, 사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 에서 본질적 특이점을 갖는다. 삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 인 빗변이고 밑변이 각 의 대변인 높이 에 대하여 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.
삼각함수
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서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다. 사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다. 양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다. 코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다. 탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.
삼각함수
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르장드르 다항식() 는 르장드르 미분 방정식()이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다. 이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다. {| class="wikitable" style="margin: auto;background:white;" 여기서 은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다. 여기서 고윳값 이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)
르장드르 다항식
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인간하고 유사한 모습과 기능을 가진 기계 또는 한 개의 프로그램으로 작동하고(programmable), 자동적으로 복잡한 일련의 작업(complex series of actions)을 수행하는 기계적 장치를 말한다. 또한 제조공장에서 조립, 용접, 핸들링(handling) 등을 수행하는 자동화된 로봇을 산업용 로봇이라 하고, 환경을 인식해 스스로 판단하는 기능을 가진 로봇을 '지능형 로봇'이라 부른다. 사람과 닮은 모습을 한 로봇을 '안드로이드'라 부르기도 한다. 다른 뜻은 형태가 있으며, 자신이 생각할 수 있는 능력을 가진 기계라고도 한다. 인공의 동력을 사용하는 로봇은 사람 대신 또는 사람과 함께 일을 하기도 한다. 통상 로봇은 제작자가 계획한 일을 하도록 설계된다.
로봇
engineering
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로봇'이란 용어는 체코슬로바키아의 극작가 카렐 차페크(Karel Čapek)가 1920년에 발표한 희곡 "R.U.R"에 쓴 것이 퍼져 일반적으로 사용되게 되었다. 또한 로봇의 어원은 체코어로 "노동", "노예", "힘들고 단조로운 일"을 의미하는 robota이다. Robot이라는 말은 1920년 체코슬로바키아의 극작가 카렐 차페크(Karel Čapek)의 희곡 R.U.R.(Rosuum' s Universal Robots)에서 처음 사용되었다. 차페크는 R.U.R.에서 모든 작업능력에서 인간과 동등하거나 그 이상이면서 인간적 “감정”이나 “혼”을 가지고 있지 않은 로봇이라고 불리는 인조인간을 등장시키고 있다. 로봇은 언젠가 쇠조각으로 변하여 반항하는 정신을 발달시킴으로써 자신들의 창조주인 인간을 전부 죽여 버린다고 하는 비극을 인상적으로 나타내고 있다.
로봇
engineering
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로보틱스(Robotics)라는 말은 로봇의 활용과 로봇 공학을 의미한다. 이 말은 미국 과학자이면서 작가인 아이작 아시모프(Issac Asimov; 1920년 1월 2일 ~ 1992년 4월 6일)가 1942년에 발간한 단편 Runaround에서 최초로 사용하였다. 1921년 체코의 극작가 카렐 차페크가 자신의 형 요세프 차페크의 아이디어를 소설 'R.U.R', <로숨의 유니버설 로봇>에서 사용 처음 '로봇'이란 용어가 등장 1959년 Unimate사에서 Joseph Engelber 등에 의해 최초의 산업용 로봇 개발 1979년 일본의 야마나시 대학교에서 SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm)로봇 개발 1999년 일본 소니에서 최초의 애완로봇 AIBO(Artificial Intelligence Robot) 출시 아이작 아시모프가 1950년 발간한 소설인 'I'Robot'에서 제안된 로봇의 행동에 관한 3가지 원칙이다.
로봇
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깊은 생각()은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다. 소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다. 원작 라디오 시리즈에선, Geoffrey McGivern이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 Valentine Dyall가 목소리를 연기했다.
깊은 생각
astronomy
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체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다.
깊은 생각
astronomy
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소립자 물리학의 표준 모형(標準模型, )은 자연계의 기본 입자와, 중력을 제외한 그 상호작용 (강한 상호작용, 약한 상호작용, 전자기 상호작용)을 다루는 게이지 이론이다. 강력을 다루는 양자 색역학과, 약력과 전자기력을 다루는 와인버그-살람 이론으로 이루어진다. 표준 모형에 따르면, 전자와 중성미자 및 기타 렙톤은 기본 입자이나, 강입자는 쿼크로 이루어진다. 이들은 게이지 보손에 의하여 상호작용한다. 게이지 보손은 이론의 대칭을 나타낸다. 표준 모형의 대칭 가운데 강한 상호작용의 대칭은 색가둠으로 인하여 간접적으로만 관찰할 수 있고, 약한 상호작용의 대칭은 힉스 메커니즘으로 인하여 깨진다. 따라서 거시적으로는 전자기 상호작용의 대칭만 쉽게 관찰할 수 있다. 표준 모형은 실험적으로 힉스 메커니즘을 제외하고 1980년대에 완성되었다. 힉스 메커니즘은 2010년대 초에 실험적인 증거가 발견되었다.
표준 모형
physics
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표준 모형에서는 중성미자와 게이지 보손, 힉스 보손을 제외한 모든 입자를 디랙 입자로 나타낸다. 이들 입자는 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하를 가지고, 그 반입자와 서로 다르다. 표준 모형은 이들 입자의 질량을 예측하지 못하나, 대체로 세대가 높을 수록 더 무겁다. 표준 모형의 디랙 입자 중, 강하게 상호작용하는 입자는 쿼크, 그렇지 않는 입자는 중성미자와 함께 렙톤으로 분류한다. 쿼크는 ±⅓ 혹은 ±⅔의 전하를 가지고, 중성미자가 아닌 렙톤은 ±1의 전하를 가진다. 이들 입자는 힉스 메커니즘으로 질량을 얻는다. 중성미자는 바일 입자(손지기 페르미온)으로 나타낸다. 즉 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하가 없고, 그 반입자와 다른 손지기(chirality)를 가진다.
표준 모형
physics
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6종의 쿼크 맛깔은 시간이 지나면서 서로 다른 맛깔의 쿼크로 변할 수 있는데, 이를 쿼크 섞임이라고 한다. 쿼크가 섞이는 정도는 CKM행렬이라는 수학적 개체로 나타낸다. 이는 이탈리아의 니콜라 카비보(Nicola Cabbibo)와 일본의 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 도입하였다. 예를 들어, 중성자는 양성자로 붕괴할 수 있다 (베타 붕괴). 이 과정에서 아래 쿼크는 위 쿼크로 바뀐다. 쿼크 섞임 때문에 표준 모형은 CP 대칭을 보존하지 않는다. 렙톤의 경우, 표준 모형에서는 렙톤이 섞이지 않는다. 즉, 표준모형은 세 종류의 렙톤 수 (전자 수, 뮤온 수, 타우온 수)를 개별적으로 보존한다. 표준모형의 페르미온은 다음과 같이 세 세대로 나뉜다. 각 세대의 서로 대응되는 입자는 질량을 제외하고는 정확히 같은 성질을 지닌다. 표준 모형은 왜 세대 구조가 존재하는지 설명하지 못한다.
표준 모형
physics
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