diff --git "a/finetune_ready_deduplicated.jsonl" "b/finetune_ready_deduplicated.jsonl" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/finetune_ready_deduplicated.jsonl" @@ -0,0 +1,2463 @@ +{"prompt":"% ∏n=(12−1)(13−1)…(1n+1−1)∏n=(12−1)(13−1)…(1n+1−1) үржвэр аль вэ?","completion":"Заавар: 1n+1−1=−nn+11n+1−1=−nn+1 болохыг ашиглан үржвэрийг хураа.\nБодолт: ∏n=(12−1)(13−1)⋯(1n−1)(1n+1−1)=∏n=(12−1)(13−1)⋯(1n−1)(1n+1−1)=\n=(−12)(−23)⋯(−n−1n)(−nn+1)=(−1)n1n+1=(−12)(−23)⋯(−n−1n)(−nn+1)=(−1)n1n+1"} +{"prompt":"(0.4)x2−2⋅(0.5)x−3=10(0.4)x2−2⋅(0.5)x−3=10 тэгшитгэл x1=a,x2=blog52−cx1=a,x2=blog5⁡2−c шийдүүдтэй.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн 2 хоёр талаас log5log5 авч бод.\nБодолт: (0.4)x2−2⋅(0.5)x−3=10⇔log5{(0.4)x2−2⋅(0.5)x−3}=log510⇔(0.4)x2−2⋅(0.5)x−3=10⇔log5⁡{(0.4)x2−2⋅(0.5)x−3}=log5⁡10⇔\n(x2−2)log525+(x−3)log512=1+log52⇔(x2−2)log5⁡25+(x−3)log5⁡12=1+log5⁡2⇔\n(x2−2)(log52−1)−(x−3)log52=1+log52⇔(x2−2)(log5⁡2−1)−(x−3)log5⁡2=1+log5⁡2⇔\n(log52−1)x2−(log52)x+1=0(log5⁡2−1)x2−(log5⁡2)x+1=0 болох ба x1=1x1=1 гэсэн илэрхий шийд байгаа тул Виетийн теоремоор нөгөө шийд нь x2=1log52−1x2=1log5⁡2−1 байна."} +{"prompt":"(1) тэгшитгэл нийцгүй, (2) тэгшитгэл төгсгөлгүй олон шийдтэй болохыг батал.","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем шийдгүй ⇔ a1a2=b1b2≠c1c2.\n {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем төгсгөлгүй олон шийдтэй ⇔ a1a2=b1b2=c1c2.\nБодолт: 12=−3−6≠12 тул шийдгүй.\n 12=−3−6=12 тул төгсгөлгүй олон шийдтэй. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь (1+3y,y)."} +{"prompt":"(1)(1), (2)(2)-ийг\nбатлаад түүнийгээ ашиглан 1∼31∼3-ийг бод.\n∫βα(x−α)2dx=13(β−α)3(1)∫βα(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3(2)∫αβ(x−α)2dx=13(β−α)3(1)∫αβ(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3(2)","completion":"Заавар: (1)∫βα(x−α)2dx=(x−α)33∣∣∣βα=(β−α)33(1)∫αβ(x−α)2dx=(x−α)33|αβ=(β−α)33\n\n(2)(2) \n(x−α)(x−β)=(x−α)((x−α)+(α−β))=(x−α)2+(α−β)(x−α)(x−α)(x−β)=(x−α)((x−α)+(α−β))=(x−α)2+(α−β)(x−α)\nтул \n∫βα(x−α)(x−β)dx=∫βα(x−α)2dx+(α−β)∫βα(x−α)dx={(x−α)33+(α−β)⋅(x−α)22}∣∣\n∣∣βα=(β−α)33−(β−α)32=−(β−α)36∫αβ(x−α)(x−β)dx=∫αβ(x−α)2dx+(α−β)∫αβ(x−α)dx={(x−α)33+(α−β)⋅(x−α)22}|αβ=(β−α)33−(β−α)32=−(β−α)36\nБодолт: 5∫2(x−2)2dx=13(5−2)3=9∫25(x−2)2dx=13(5−2)3=9.\n\n x2−2x−1=0x2−2x−1=0 тэгшитгэлийн шийдүүд\nα=1−√2α=1−2, β=1+√2β=1+2 тул\n2∫βα(x2−2x−1)dx=2⋅(−16)(β−α)3=−16√232∫αβ(x2−2x−1)dx=2⋅(−16)(β−α)3=−1623\n\n α=√5−12α=5−12 гэвэл α2+α−1=0α2+α−1=0 тул\n∫α0(x2+x−1)dx=α33+α22−α=16(2α3+3α2−6α)=16(2α(α2+α−1)+(α2+α−1)−5α+1)=1−5α6=7−5√512∫0α(x2+x−1)dx=α33+α22−α=16(2α3+3α2−6α)=16(2α(α2+α−1)+(α2+α−1)−5α+1)=1−5α6=7−5512"} +{"prompt":"(1)f(x)=1∫−1(9xt2+2x2t−x3)dt(1)f(x)=∫−11⁡(9xt2+2x2t−x3)dt-г\nxx-ээр илэрхийл.\n(2)f(x)=x+1∫0tf(t)dt(2)f(x)=x+∫01⁡tf(t)dt нөхцлийг хангах\nf(x)f(x)-г ол.","completion":"Заавар: 1∫−1(9xt2+2x2t−x3)dt∫−11⁡(9xt2+2x2t−x3)dt интегралд\nxx тогтмол тоо юм. Харин 1∫0tf(t)dt∫01⁡tf(t)dt нь\nтогтмол тоо болно.\nБодолт: (1)f(x)=1∫−1(9xt2+2x2t−x3)dt=9x1∫−1t2dt+2x21∫−1tdt−x31∫−1dt=6x−2x3(1)f(x)=∫−11⁡(9xt2+2x2t−x3)dt=9x∫−11⁡t2dt+2x2∫−11⁡tdt−x3∫−11dt=6x−2x3\\\\\n(2)1∫0tf(t)dt=a(2)∫01⁡tf(t)dt=a гэвэл f(x)=x+af(x)=x+a\nболно.\na=1∫0t(t+a)dt=(t33+at22)∣∣∣10=13+a2a=∫01⁡t(t+a)dt=(t33+at22)|01=13+a2 тул a=23a=23 буюу f(x)=x+23f(x)=x+23 байна."} +{"prompt":"(1+12)(1+13)(1+14)…(1+1a)(1−12)(1−13)(1−14)…(1−1a−1)=?","completion":"Заавар: Хаалт бүрийг бодоод үржвэрийг хурааж хялбарчил.\nБодолт: Хүртвэр=(1+12)(1+13)(1+14)…(1+1a)=32⋅43⋅54⋯a+1a=a+12\nХуваарь=(1−12)(1−13)(1−14)…(1−1a−1)=12⋅23⋅34⋯a−2a−1=1a−1\nтул\n(1+12)(1+13)(1+14)…(1+1a)(1−12)(1−13)(1−14)…(1−1a−1)=a+121a−1=a2−12"} +{"prompt":"(1+2x)−4 задаргааны x2-ийн өмнөх коэффициентийг ол.","completion":"Заавар: (1+x)α=1+(α1)x+(α2)x2+(α3)x3+⋯+(αn)xn+⋯\nөргөтгөсөн биномын томьёо ашигла. Энд \n(xk)=x(x−1)(x−2)…(x−k+1)k!\nнь k зэргийн олон гишүүнт юм.\nБодолт: (1+2x)−4=1+(−4−1)(2x)+(−4−2)(2x)2+(−4−3)(2x)3+⋯+(−4−n)(2x)n+⋯\nтул\n(−4−2)⋅22=−4⋅(−4−1)2!×22=40\nбайна."} +{"prompt":"(1+e2x)y2dy=exdx(1+e2x)y2dy=exdx, y(0)=0y(0)=0 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: (1+e2x)y2dy=exdx⇔y2dy=exdx1+e2x⇔∫y2dy=∫exdx1+e2x(1+e2x)y2dy=exdx⇔y2dy=exdx1+e2x⇔∫y2dy=∫exdx1+e2x\nтул\ny33=∫dex1+e2x=arctgex+Cy33=∫dex1+e2x=arctgex+C\nx=y=0x=y=0 цэгийг дайрах тул 033=arctge0+C⇒C=−π4033=arctge0+C⇒C=−π4 байна. Иймд\ny=3√3arctgex−3π4y=3arctgex−3π43"} +{"prompt":"(1+i)x2+(R+i)x+3+3Ri=0(1+i)x2+(R+i)x+3+3Ri=0 квадрат тэгшитгэл бодит шийдтэй байх RR параметрийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: x=αx=α нь тэгшитгэлийн бодит шийд байг. Орлуулаад комплекс хэлбэрт\nбичвэл: \n(α2+αR+3)+(α2+α+3R)i=0(α2+αR+3)+(α2+α+3R)i=0\nКомплекс тоо тэгтэй тэнцэх нөхцөлөөс \n{α2+αR+3=0α2+α+3R=0{α2+αR+3=0α2+α+3R=0\nбуюу (α2+αR+3)−(α2+α+3R)=0(α2+αR+3)−(α2+α+3R)=0, (R−1)(α−3)=0(R−1)(α−3)=0 болно. Эндээс\nR=1 эсвэл α=3R=1 эсвэл α=3\nболно.\n R=1R=1 бол α2+α+3=0α2+α+3=0, D<0D<0 болж αα-комплекс болно. Иймд R=1R=1\nбайх боломжгүй.\n α=3α=3, 9+3R+3=0⇒9+3R+3=0⇒ R=−4R=−4 болно."} +{"prompt":"(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)5=a1x5+a2x4+⋯+a5x+a6 тэнцэтгэл аливаа бодит x-ийн хувьд биелэдэг бол a6=a, a3=bc, a2=d байна. Мөн a1+a3+a5=ef байна.","completion":"Заавар: x-ийн тодорхой утгууд ба Ньютоны Биномын томьёо ашигла:\n(a+b)n=C0nanb0+C1nan−1b1+⋯+Cknan−kbk+⋯+Cnna0bn\nБодолт: x=0 үед зүүн гар талын илэрхийллийн утга 6, баруун гар талын илэрхийллийн утга a6 тул a6=6 байна.\n\na3 нь x3-ийн өмнөх коэффициент байна. Зүүн гар талын нэмэгдэхүүнүүдээс зөвхөн (1+x)3, (1+x)4, (1+x)5-ийн задаргаанд л x3 оролцоно. Эдгээрээс x3, C34x3, C35x3 гэж гарах тул 1+4+10=15 болно.\n\na2 нь x4-ийн өмнөх коэффициент байна. Зүүн гар талын нэмэгдэхүүнүүдээс зөвхөн (1+x)4, (1+x)5-ийн задаргаанд л x4 оролцоно. Эдгээрээс x4, C45x4 гэж гарах тул 1+5=6 болно.\n\nx=1 үед (1+1)+(1+1)2+⋯+(1+1)5=a1+a2+a3+a4+a5+a6 болно. x=−1 үед 0=−a1+a2−a3+a4−a5+a6 байна. Эдгээрийн ялгавар нь\n62=2a1+2a3+2a5⇒a1+a3+a5=31 байна."} +{"prompt":"(1+x)12 бином цувааны x3-ийн өмнөх коэффициентийг ол.","completion":"Заавар: Өргөтгөсөн биномын томьёо ашигла.\nБодолт: (123)=12(12−1)(12−2)3!=12⋅(−12)⋅(−32)6=116"} +{"prompt":"(1+x)13(1+x)13 бином цувааны x2x2-ийн өмнөх коэффициентийг ол.","completion":"Заавар: Өргөтгөсөн биномын томьёо ашигла.\nБодолт: (132)=13(13−1)2!=−19(132)=13(13−1)2!=−19"} +{"prompt":"(1+x)−3 задаргааны x3-ийн өмнөх коэффициентийг ол.","completion":"Заавар: (1+x)α=1+(α1)x+(α2)x2+(α3)x3+⋯+(αn)xn+⋯\nөргөтгөсөн биномын томьёо ашигла. Энд \n(xk)=x(x−1)(x−2)…(x−k+1)k!\nнь k зэргийн олон гишүүнт юм.\nБодолт: (1+x)−3=1+(−3−1)x+(−3−2)x2+(−3−3)x3+⋯+(−3−n)xn+⋯\nтул\n(−3−3)=−3⋅(−3−1)⋅(−3−2)3!=−10\nбайна."} +{"prompt":"(1,0)(1,0) цэгийг (0,1)(0,1) цэгт; (0,1)(0,1) цэгийг (1,0)(1,0) цэгт шилжүүлэх хувиргалтын матриц аль нь вэ?","completion":"Заавар: A(10)=(01)A(10)=(01), A(01)=(10)A(01)=(10) байх AA матрицыг ол.\nБодолт: A(10)=(01)A(10)=(01), A(01)=(10)A(01)=(10) тул\nA(1001)=(0110)⇒A=(0110)A(1001)=(0110)⇒A=(0110)\nбайна."} +{"prompt":"(1,2) цэгийг дайрсан\nшулуун ба y=x2 параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S гэе.\nS-ийн хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: (1,2) цэгийг дайрсан шулууны өнцгийн коэффициентыг m\nгэвэл тэгшитгэл нь y=m(x−1)+2 болно. Парабол ба шулууны\nогтлолцлын цэгийн абсцисс нь x2=m(x−1)+2 ⇒ x2−mx+m−2=0 байна.\nD=(−m)2−4(m−2)=(m−2)2+4 тул энэ шулуун y=x2 параболтой 2 цэгээр огтолцоно. Эдгээр цэгийн x координатыг\nα,β(α<β) гэвэл \n\nS=β∫α(m(x−1)+2−x2)dx=−β∫α(x−α)(x−β)dx=(β−α)36\n\nболно. β−α=m+√D2−m−√D2=√D=√(m−2)2+4\nтул S=((m−2)2+4)326 байна. (m2−2)2+4≥4 учир\nm=2 үед S нь хамгийн бага утгаа авна. Энэ үед S=43 болно."} +{"prompt":"(1101)(1101) хувиргалтын матрицтай хувиргалтаар (4,−2)(4,−2) цэгийн дүр аль цэг байх вэ?","completion":"Заавар: Цэгийн координатаа матриц хэлбэрээр бичээд хувиргалтын матрицаар зүүн талаас нь үржүүлбэл дүр нь гарна.\nБодолт: (4,−2)(4,−2) цэгийг матрицаар илэрхийлбэл (−4−2)(−4−2) тул дүр нь\n(1101)(−4−2)=(1⋅4+1⋅(−2)0⋅4+1⋅(−2))=(−2−2)(1101)(−4−2)=(1⋅4+1⋅(−2)0⋅4+1⋅(−2))=(−2−2)\nбуюу (2,−2)(2,−2) цэг болно."} +{"prompt":"(12)x2−7<23|x−1|(12)x2−7<23|x−1| тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: 12=2−112=2−1 ба илтгэгч функцийн монотон чанар ашигла.\nБодолт: (12)x2−7<23|x−1|(12)x2−7<23|x−1| (2−1)x2−7<23|x−1|−x2+7<3|x−1|(2−1)x2−7<23|x−1|−x2+7<3|x−1| x2+3|x−1|−7>0x2+3|x−1|−7>0\n⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1x2−3(x−1)−7>0{x≥1(x2+3(x−1)−7>0⇒⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1x2−3x+3−7>0{x≥1(x2+3x−3−7>0⇒⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1(x2−3x−4>0{x≥1(x2+3x−1)−10>0[{x<1x2−3(x−1)−7>0{x≥1(x2+3(x−1)−7>0⇒[{x<1x2−3x+3−7>0{x≥1(x2+3x−3−7>0⇒[{x<1(x2−3x−4>0{x≥1(x2+3x−1)−10>0\n⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1(x−4)(x+1)>0{x≥1(x+5)(x−2)>0⇒[x<−1x>2⇒[{x<1(x−4)(x+1)>0{x≥1(x+5)(x−2)>0⇒[x<−1x>2⇒\n ]−∞;−1[∪]2;∞[]−∞;−1[∪]2;∞["} +{"prompt":"(13)x2+2x<(19)16−x(13)x2+2x<(19)16−x тэнцэтгэл\nбишийг бод.","completion":"Заавар: 0yaxy байна.\nБодолт: 19=(13)219=(13)2 тул\n(13)x2+2x<(19)16−x=(13)2(16−x)⇔x2+2x>32−2x⇔(13)x2+2x<(19)16−x=(13)2(16−x)⇔x2+2x>32−2x⇔\n⇔x2+4x−32=(x+8)(x−4)>0⇔x2+4x−32=(x+8)(x−4)>0\nболох ба шийд нь x<−8∪413>1 тул 3x1<3x2⇔x1yaxy байна.\nБодолт: 116=(14)2116=(14)2 тул\n(14)x2+2x<(116)16−x=(14)2(16−x)⇔x2+2x>32−2x⇔(14)x2+2x<(116)16−x=(14)2(16−x)⇔x2+2x>32−2x⇔\n⇔x2+4x−32=(x+8)(x−4)>0⇔x2+4x−32=(x+8)(x−4)>0\nболох ба шийд нь x<−8∪464(14)−x2+x+3>64 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.","completion":"Заавар: (14)x=4−x(14)x=4−x болохыг ашигла. Мөн 4>14>1 тул 4x1<4x2⇔x164⇔4x2−x−3>43⇔(14)−x2+x+3>64⇔4x2−x−3>43⇔\nx2−x−3>3⇔x2−x−6=(x+2)(x−3)>0x2−x−3>3⇔x2−x−6=(x+2)(x−3)>0\nтул x∈(−∞;−2)∪(3;∞)x∈(−∞;−2)∪(3;∞) байна."} +{"prompt":"(14a+2−1−a8a3+1:1−2a4a2−2a+1)⋅4a+22a−1 үйлдлийг гүйцэтгэ.","completion":"Заавар: 8a3+1=(2a)3+13=(2a+1)((2a)2−2a+1)\nБодолт: Илэрх.=(14a+2−1−a8a3+1:1−2a4a2−2a+1)⋅4a+22a−1=(14a+2−1−a(2a+1)(4a2−2a+1)⋅4a2−2a+11−2a)⋅4a+22a−1=(14a+2(1−2a−1−a2a+1⋅11−2a(2)⋅4a+22a−1=1−2a−2+2a(4a+2)(1−2a)⋅4a+22a−1=−11−2a⋅12a−1=1(1−2a)2=(1−2a)−2\n\nНэмэлт: a=1 байх үед\n(14⋅1+2−1−18⋅13+1:1−2⋅14⋅12−2⋅1+1)⋅4⋅1+22⋅1−1=1\nашиглан зөв хариултыг олж болно."} +{"prompt":"(15)x2−2x<(125)16+x(15)x2−2x<(125)16+x тэнцэтгэл\nбишийг бод.","completion":"Заавар: 0yaxy байна.\nБодолт: 125=(15)2125=(15)2 тул\n(14)x2−2x<(116)16+x=(14)2(16+x)⇔x2−2x>32+2x⇔(14)x2−2x<(116)16+x=(14)2(16+x)⇔x2−2x>32+2x⇔\n⇔x2−4x−32=(x+4)(x−8)>0⇔x2−4x−32=(x+4)(x−8)>0\nболох ба шийд нь x<−4∪8125(15)−x2+x+9>125 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.","completion":"Заавар: (15)x=5−x(15)x=5−x болохыг ашигла. Мөн 5>15>1 тул 5x1<5x2⇔x1125⇔5x2−x−9>53⇔(15)−x2+x+9>125⇔5x2−x−9>53⇔\nx2−x−9>3⇔x2−x−12=(x+3)(x−4)>0x2−x−9>3⇔x2−x−12=(x+3)(x−4)>0\nтул x∈(−∞;−3)∪(4;∞)x∈(−∞;−3)∪(4;∞) байна."} +{"prompt":"(169)x−1=(34)8(169)x−1=(34)8 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Сөрөг илтгэгчтэй зэргийн тодорхойлолт ёсоор\n(34)−2=169(34)−2=169\nбайна. Мөн (ax)y=axy(ax)y=axy тул \n(169)x−1=(34)−2(x−1)(169)x−1=(34)−2(x−1)\nболно.\n\na>0a>0, a≠1a≠1 бол \nax=ay⇔x=yax=ay⇔x=y\nболохыг ашиглан тэгшитгэлийг хялбарчилж бод.\nБодолт: Заавар ёсоор\n(34)−2(x−1)=(34)8⇔−2x+2=8⇔x=−3(34)−2(x−1)=(34)8⇔−2x+2=8⇔x=−3"} +{"prompt":"(17)−x2−x+4<49(17)−x2−x+4<49 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.","completion":"Заавар: (17)x=7−x(17)x=7−x болохыг ашигла. Мөн 7>17>1 тул 7x1<7x2⇔x12 байна. Иймд хамгийн бага эерэг шийд нь x=π2(<2) байна."} +{"prompt":"(1−sinx)(x−2)≥0(1−sin⁡x)(x−2)≥0 тэнцэтгэл бишийн хамгийн бага эерэг шийдийг ол.","completion":"Заавар: 1−sinx≥01−sin⁡x≥0 болохыг ашигла.\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийн шийдүүд нь x=π2+2πk⋃x>2x=π2+2πk⋃x>2 байна. Иймд хамгийн бага эерэг шийд нь x=π2(<2)x=π2(<2) байна."} +{"prompt":"(1−x2)y′′−2xy′+ℓ(ℓ+1)y=0(1−x2)y″−2xy′+ℓ(ℓ+1)y=0 дифференциал тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: y=∞∑n=0anxny=∑n=0∞anxn гэвэл\ny′=∞∑n=0nanxn−1=∞∑n=0(n+1)an+1xny′=∑n=0∞nanxn−1=∑n=0∞(n+1)an+1xn\nба\ny′′=∞∑n=0(n+1)nan+1xn−1=∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xny″=∑n=0∞(n+1)nan+1xn−1=∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn\nбайна.\nБодолт: (1−x2)y′′=(1−x2)∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xn=∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xn−x2∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xn=∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xn−∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xn+2=∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xn−∞∑n=2n(n−1)anxn=∞∑n=0(n+2)(n+1)an+2xn−∞∑n=0n(n−1)anxn←n=0∨1⇒n(n−1)an=0=∞∑n=0{(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an}⋅xn(1−x2)y″=(1−x2)∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn=∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−x2∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn=∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn+2=∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=2∞n(n−1)anxn=∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=0∞n(n−1)anxn←n=0∨1⇒n(n−1)an=0=∑n=0∞{(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an}⋅xn\nба\n2xy′=2x∞∑n=0(n+1)an+1xn=∞∑n=02(n+1)an+1xn+1=∞∑n=12nanxn=∞∑n=02nanxn←2⋅0⋅a0x0=02xy′=2x∑n=0∞(n+1)an+1xn=∑n=0∞2(n+1)an+1xn+1=∑n=1∞2nanxn=∑n=0∞2nanxn←2⋅0⋅a0x0=0\nбайна. Иймд\n∞∑n=0[(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an−2nan+ℓ(ℓ+1)an]xn=0∑n=0∞[(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an−2nan+ℓ(ℓ+1)an]xn=0\nболох тул коэффициентүүд нь\nan+2=n2+n−ℓ2−ℓ(n+2)(n+1)⋅an=(n−ℓ)(n+ℓ+1)(n+2)(n+1)⋅anan+2=n2+n−ℓ2−ℓ(n+2)(n+1)⋅an=(n−ℓ)(n+ℓ+1)(n+2)(n+1)⋅an\nрекуррент томьёогоор тодорхойлогдоно.\n\nℓ=1ℓ=1 бол an+2=n−1n+1⋅anan+2=n−1n+1⋅an тул\na2=a0+2=0−10+1⋅a0=−a0a4=a2+2=2−12+1⋅a2=−13a0a6=a4+2=4−14+1⋅a4=35a2=−15a0a2=a0+2=0−10+1⋅a0=−a0a4=a2+2=2−12+1⋅a2=−13a0a6=a4+2=4−14+1⋅a4=35a2=−15a0\nгэх мэтчилэн a2n=−a02n−1a2n=−a02n−1 ба a3=1−11+1a1=0a3=1−11+1a1=0 тул a2n+1=0a2n+1=0, n≥1n≥1 байна."} +{"prompt":"(2+√3)x2+2(√3+1)x+2=0(2+3)x2+2(3+1)x+2=0 тэгшитгэлийг бод","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь\nx1,2=−b±√b2−4ac2ax1,2=−b±b2−4ac2a\nбайдаг.\nБодолт: D=(2(√3+1))2−4⋅(2+√3)⋅2=4⋅(3+2√3+1)−16−8√3=0D=(2(3+1))2−4⋅(2+3)⋅2=4⋅(3+23+1)−16−83=0\nтул\nx=−2(√3+1)2(2+√3)=−(√3+1)(2−√3)4−3=−√3+1x=−2(3+1)2(2+3)=−(3+1)(2−3)4−3=−3+1\nгэсэн ганц шийдтэй байна."} +{"prompt":"(2+√3)x−(2−√3)x=1.5(2+3)x−(2−3)x=1.5 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 2−√3=12+√32−3=12+3 тул t=(2+√3)xt=(2+3)x гэвэл (2−√3)x=1t(2−3)x=1t байна.\nБодолт: Зааварт гарсан орлуулга хийвэл\nt−1t=32⇔2t2−3t−2=0t−1t=32⇔2t2−3t−2=0\nтэгшитгэл үүснэ. Эндээс t1,2=3±√32−4⋅2⋅(−2)2⋅2=3±54t1,2=3±32−4⋅2⋅(−2)2⋅2=3±54\nt1=2t1=2, харин t2=3−54=−0.5<0t2=3−54=−0.5<0 нь шийд болохгүй. Учир нь t=(2+√3)x>0t=(2+3)x>0 байна. Иймд (2+√3)x=2(2+3)x=2 болно. Эндээс x=log2+√32x=log2+3⁡2"} +{"prompt":"(23)x×(98)x=2764(23)x×(98)x=2764 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: 8.2. Квадрат тэгшитгэл, хялбар илтгэгч тэгшитгэл бодож, шийдийг олдог.\nБодолт: (23)x×(98)x=(23)x×(3223)x=2x3x×32x23x=3x22x=(34)x(23)x×(98)x=(23)x×(3223)x=2x3x×32x23x=3x22x=(34)x\nНөгөө талаас 2764=3343=(34)32764=3343=(34)3 тул (34)x=(34)3(34)x=(34)3 буюу x=3x=3 байна."} +{"prompt":"(2537)X=(2357)(2537)X=(2357) тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: A=(2537),B=(2357)A=(2537),B=(2357) гэвэл тэгшитгэл маань AX=BAX=B хэлбэртэй болно. Δ=2⋅7−5⋅3=−1≠0Δ=2⋅7−5⋅3=−1≠0 учир AA матриц урвуутай\nA−1=1−1(7−5−32)=(−753−2)A−1=1−1(7−5−32)=(−753−2)\nЭндээс (2) томъёог ашиглавал\nX=A−1B=(−753−2)(2357)=(1114−4−5)X=A−1B=(−753−2)(2357)=(1114−4−5)"} +{"prompt":"(25x2−5x+1)(25x2−1)125x3+1 илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: a2−b2=(a−b)(a+b), a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) томьёо ашиглан хүртвэр ба хуваарийг үржигдэхүүн болгон задлаад хураа.\nБодолт: 25x2−1=(5x)2−12=(5x−1)(5x+1)\n125x3+1=(5x)3+13=(5x+1)((5x)2−5x⋅1+12)=\n=(5x+1)(25x2−5x+1)\nтул\n(25x2−5x+1)(25x2−1)125x3+1=(25x2−5x+1)(5x−1)(5x+1)(5x+1)(25x2−5x+1)=5x−1"} +{"prompt":"(2a0.5−b0.5−2a0.5a1.5+b1.5⋅a−a0.5b0.5+ba0.5−b0.5):4a0.5b0.5a−b илэpхийллийг хялбаpчил.","completion":"Заавар: a0.5=x, b0.5=y орлуулга ашигла.\nБодолт: a0.5=x, b0.5=y орлуулбал:\nИлэрх.=(2a0.5−b0.5−2a0.5a1.5+b1.5⋅a−a0.5b0.5+ba0.5−b0.5):4a0.5b0.5a−b=(2x−y−2xx3+y3⋅x2−xy+y2x−y):4xyx2−y2=(2(x+yx−y−2x(x+y)(x2−xy+y2)⋅x2−xy+y2x−y):4xyx2−y2=(2x+2yx2−y2−2xx2−y2):4xyx2−y2=2yx2−y2:4xyx2−y2=2yx2−y2⋅x2−y24xy=12x=12a0.5=12a−0.5"} +{"prompt":"(2x)log2x=4(2x)log2⁡x=4 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: u(x)v(x)=w(x)u(x)v(x)=w(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг логарифмчилж бодвол тохиромжтой байдаг. Тэгшитгэлийн хоёр талыг 2 сууриар логарифмчил.\nБодолт: (2x)log2x=4⇔log2(2x)log2x=log24(2x)log2⁡x=4⇔log2⁡(2x)log2⁡x=log2⁡4 байна. Эндээс logabk=klogabloga⁡bk=kloga⁡b, logabc=logab+logacloga⁡bc=loga⁡b+loga⁡c ба log22=1log2⁡2=1, log24=2log2⁡4=2 болохыг тооцвол \nlog2x⋅log22x=log2x⋅(1+log2x)=2log2⁡x⋅log2⁡2x=log2⁡x⋅(1+log2⁡x)=2\nболно. t=log2xt=log2⁡x орлуулга хийвэл \nt2+t−2=0t2+t−2=0 тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээc t1=1t1=1, t2=−2t2=−2 тул\nx1=2t1=2,x2=2t2=2−2=0.25x1=2t1=2,x2=2t2=2−2=0.25\nбайна."} +{"prompt":"(2x+1)(2+√(2x+1)2+3)+3x(2+√9x2+3)=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: f(t)=t(2+√t2+3) функц авч үзье. Тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл: f(2x+1)+f(3x)=0 буюу f(2x+1)=−f(3x) болно. f(t) функц нь t>0 байх үед өсөх (учир нь тус бүрдээ өсөх t ба 2+√t2+3 функцүүдийн үржвэр) ба сондгой тул t∈(−∞;+∞) мужид ч өснө. Тэгэхээр f(2x+1)=f(−3x) бол 2x+1=−3x байна. Өөрөөр хэлбэл x=−15 юм."} +{"prompt":"(2x+1)y′=4x+2y(2x+1)y′=4x+2y дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: I эрэмбийн y′(x)+p(x)y=q(x)y′(x)+p(x)y=q(x) шугаман дифференициал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь \ny=∫e∫p(x)dxq(x)dx+Ce∫p(x)dxy=∫e∫p(x)dxq(x)dx+Ce∫p(x)dx\nБодолт: Тэгшитгэлийг хувиргаж бичвэл\ny′(x)−22x+1⋅y=4x2x+1y′(x)−22x+1⋅y=4x2x+1\nболно.\n−∫2dx2x+1=−ln|2x+1|+C−∫2dx2x+1=−ln⁡|2x+1|+C\nтул μ(x)=e−ln(2x+1)=12x+1μ(x)=e−ln⁡(2x+1)=12x+1 интегралчлагч үржигдэхүүнээр үржүүлбэл μ′(x)=−2(2x+1)2μ′(x)=−2(2x+1)2 тул\nμ(x)y′(x)+μ′(x)⋅y=4x(2x+1)2μ(x)y′(x)+μ′(x)⋅y=4x(2x+1)2\nболно. Хоёр талыг нь интегралчилбал\nμ(x)y=∫4xdx(2x+1)2=ln|2x+1|+12x+1+Cμ(x)y=∫4xdx(2x+1)2=ln⁡|2x+1|+12x+1+C\nтул\ny=(2x+1)ln|2x+1|+1+C(2x+1)y=(2x+1)ln⁡|2x+1|+1+C(2x+1)\nбайна."} +{"prompt":"(2x−1)(x+1)=a(2x−1)(x+1)=a тэгшитгэл шийдгүй байх aa-ийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар: (2x−1)(x+1)=a⇔2x2+x−a−1=0(2x−1)(x+1)=a⇔2x2+x−a−1=0\nквадрат тэгшитгэлийг шинжил.\nБодолт: 2x2+x−a−1=02x2+x−a−1=0 тэгшитгэлийн дискреминант нь\nD=12−4⋅2⋅(−a−1)=8a+9D=12−4⋅2⋅(−a−1)=8a+9\nбайна. Квадрат тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь D<0D<0 тул\n8a+9<0⇔a<−98=−1.1258a+9<0⇔a<−98=−1.125\nүед тэгшитгэл шийдгүй байна. Иймд a∈]−∞;−1.125[a∈]−∞;−1.125[ байна."} +{"prompt":"(2x−3)(3x+4) аль нь вэ?","completion":"Заавар: (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bc\nБодолт: (2x−3)(3x+4)=(2x+(−3))(3x+4)=2⋅3x2+(2⋅4+(−3)⋅3)x+(−3)⋅4=6x2−x−12"} +{"prompt":"(2−x)2x+3≥0 тэнцэтгэл бишийн хамгийн бага бүхэл шийдийг ол.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: Өгөгдсөн тоонуудын хамгийн бага −2 нь\n(2−(−2)2)−2+3=4≥0\nгээд шийд болж буй тул зөв хариулт нь болно."} +{"prompt":"(2−x321−x)(2−x321−x) матриц урвуугүй байх xx-ийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцэх xx-г ол.\nБодолт: Урвуугүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тодорхойлогч нь 0 тул\n∣∣∣2−x321−x∣∣∣=(2−x)⋅(1−x)−3⋅2=0⇔x2−3x−4=0|2−x321−x|=(2−x)⋅(1−x)−3⋅2=0⇔x2−3x−4=0\nбуюу x1,2=3±√32−4⋅1⋅(−4)2=3±52x1,2=3±32−4⋅1⋅(−4)2=3±52\nбайна. Иймд x1=−1x1=−1, x2=4x2=4 байна."} +{"prompt":"(3124)(3124) матрицын хувийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: (3124)(xy)=k(xy) гэдгээс {3x+y=kx2x+4y=ky(3124)(xy)=k(xy) гэдгээс {3x+y=kx2x+4y=ky\nбуюу\n{(3−k)x+y=02x+(4−k)y=0{(3−k)x+y=02x+(4−k)y=0\nболно. Энэ систем x=0,y=0x=0,y=0-ээс ялгаатай шийдтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь (3−k)(4−k)−1⋅2=0(3−k)(4−k)−1⋅2=0 буюу k2−7k+10=0k2−7k+10=0 болно. Иймд (3124)(3124) матрицын хувийн утгууд нь k=2;5k=2;5"} +{"prompt":"(3a16−2b16a13−b13−3a16+b16):a23+a13b13+b23b56 илэpхийллийг хялбаpчил.","completion":"Заавар: a16=x, b16=y орлуулга ашигла.\nБодолт: a16=x, b16=y гэвэл\nИлэрх.=(3a16−2b16a13−b13−3a16+b16):a23+a13b13+b23b56=(3x−2yx2−y2−3(x−yx+y):x4+x2y2+y4y5=3x−2y−3x+3yx2−y2⋅y5x4+x2y2+y4=y6x6−y6=ba−b"} +{"prompt":"(3x+2y)2−(x−y)2 үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: a2−b2=(a−b)(a+b) ашигла.\nБодолт: Илэрхийлэл=(3x+2y)2−(x−y)2=((3x+2y)−(x−y))((3x+2y)+(x−y))=(2x+3y)(4x+y)"} +{"prompt":"(3x2−2x−1)4=a8x8+a7x7+a6x6+⋯+a1x+a0 задаргаа өгчээ. a7+a5+a3+a1=?","completion":"Заавар: x=±1 байх үеийн илэрхийлүүдийг сонирх.\nБодолт: (3x2−2x−1)4=a8x8+a7x7+a6x6+⋯+a1x+a0-д x=1, x=−1 гэж орлуулаад хасъя.\n(3⋅12−2⋅1−1)4−(3⋅(−1)2−2⋅(−1)−1)4=−44=−256==(a8+a7+a6+⋯+a1+a0)−(a8−a7+a6−⋯−a1+a0)==2(a7+a5+a3+a1)⇒a7+a5+a3+a1=−128."} +{"prompt":"(3x2−2x−1)4=a8x8+a7x7+a6x6+⋯+a1x+a0 задаргаа өгчээ. a8+a6+a4+a2=?","completion":"Заавар: x=±1 байх үеийн илэрхийлүүдийг сонирх.\nБодолт: (3x2−2x−1)4=a8x8+a7x7+a6x6+⋯+a1x+a0-д x=1, x=−1 гэж орлуулаад нэмье.\n(3⋅12−2⋅1−1)4+(3⋅(−1)2−2⋅(−1)−1)4=44=256==(a8+a7+a6⋯+a1+a0)+(a8−a7+a6−⋯−a1+a0)==2(a8+a6+a4+a2+a0)⇒a8+a6+a4+a2+a0=128.\na0=1 тул a8+a6+a4+a2=127."} +{"prompt":"(3x2−4)2−9x(x3+3x)+(x−3)(2x+5) олон гишүүнтийн зэргийг тодорхойл.","completion":"Заавар: Олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт бичиж 0 биш коэффициенттэй хамгийн их зэргийг ол.\nБодолт: ОГ=(3x2−4)2−9x(x3+3x)+(x−3)(2x+5)=9x4−24x2+16−9x4−27x2+2x2−x−15=−49x2−x+1\nбуюу ахлах гишүүн нь −49x2 тул зэрэг нь 2 байна."} +{"prompt":"(3x−13x23−2x−13−x13x43−x13)−1−3x−21−2x илэрхийллийн утгыг x=2+√2 үед ол.","completion":"Заавар: Эхлээд илэрхийллээ хялбарчил.\nБодолт: 3x−13x23−2x−13=3x−13x−13(x−2)=3x−2,\nx13x43−x13=x13x13(x−1)=1x−1\nтул\n(3x−13x23−2x−13−x13x43−x13)−1=(3x−2−1x−1)−1=\n=(3x−3−x+2(x−1)(x−2))−1=(2x−1x2−3x+2)−1=x2−3x+22x−1\nбайна. Иймд\n(3x−13x23−2x−13−x13x43−x13)−1−3x−21−2x=\n=x2−3x+22x−1+3x−22x−1=x22x−1\nбайна. x=2+√2 үед\n(2+√2)22(2+√2)−1=4+4√2+23+2√2=2\nбайна."} +{"prompt":"(3x−2y)2−(x+y)2 үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: a2−b2=(a−b)(a+b) ашигла.\nБодолт: Илэрхийлэл=(3x−2y)2−(x+y)2=((3x−2y)−(x+y))((3x−2y)+(x+y))=(2x−3y)(4x−y)"} +{"prompt":"(3x−4y)2 аль нь вэ?","completion":"Заавар: (a−b)2=a2−2ab+b2 томьёо ашиглах.\nБодолт: (3x−4y)2=(3x)2−2⋅(3x)⋅(4y)+(4y)2=9x2−24xy+16y2"} +{"prompt":"(3√3−3√2)(3√9+3√6+3√4) илэрхийллийн утга аль нь вэ?","completion":"Заавар: (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3\nБодолт: Илэрх.=(3√3−3√2)(3√9+3√6+3√4)=(3√3−3√2){(3√3)2+3√2⋅3√3+(3√2)2}=(3√3)3−(3√2)3=3−2=1"} +{"prompt":"(4aa+2−a3−8a3+8⋅4a2−8a+16a2−4):16a+2 илэpхийллийг хялбаpчил.","completion":"Заавар: a=0 тухайн тохиолдолд бодож үз.\nБодолт:"} +{"prompt":"(4aa+2−a3−8a3+8⋅4a2−8a+16a2−4):16a+2 эмхэтгэ.","completion":"Заавар: a3−8=a2−23=(a−2)(a2+a⋅2+22)\na3+8=a2+23=(a+2)(a2−a⋅2+22)\na2−4=a2−22=(a−2)(a+2)\nБодолт: Илэрх.=(4aa+2−a3−8a3+8⋅4a2−8a+16a2−4):16a+2=(4aa+2−(a−2)(a2+2a+4)(a+2)(a2−2a+4)⋅4(a2−2a+4)(a−2)(a+2)):16a+2=(4aa+2−4(a2+2a+4)(a+2)2)⋅a+216=4a(a+2)−4(a2+2a+4)(a+2)2⋅a+216=−16(a+2)2⋅(a+2)16=−1a+2"} +{"prompt":"(4x2−2x+1)(4x2−1)8x3+1 илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: x=12 гэсэн хялбар бодогдох утга дээр шалгаж үз.\nБодолт: x=12 үед 4x2−1=0 тул (4x2−2x+1)(4x2−1)8x3+1=0 байна.\n\nХарин А хариулт тодорхойлогдохгүй, B хариулт 12⋅12+1=12, C хариулт 2⋅12−1=0, D хариулт 2⋅12+1=2 ба E хариулт тодорхойлогдохгүй. Иймд зөв хариулт нь C байна."} +{"prompt":"(712510)(712510) матрицын урвуу матрицыг ол.","completion":"Заавар: A−1=1ad−bc( d−b−c a)A−1=1ad−bc( d−b−c a)\nБодолт: (712510)−1=17⋅10−12⋅5(−10−12−5−7)=110(−10−12−5−7)(712510)−1=17⋅10−12⋅5(−10−12−5−7)=110(−10−12−5−7)"} +{"prompt":"(7867)X=(3−47−2)(7867)X=(3−47−2) бол XX матрицыг ол.","completion":"Заавар: AX=B⇒X=A−1BAX=B⇒X=A−1B\nБодолт: (7867)−1=17⋅7−8⋅6⋅(−7−8−6−7)=(−7−8−6−7)(7867)−1=17⋅7−8⋅6⋅(−7−8−6−7)=(−7−8−6−7)\nтул\nX=(7867)−1(3−47−2)=(−7−8−6−7)(3−47−2)=(−7⋅3+(−8)⋅7−7⋅(−4)+(−8)⋅(−2)−6⋅3+(−)7⋅7−6⋅(−4)+(−)7⋅(−2))=(−35−12−31−10)X=(7867)−1(3−47−2)=(−7−8−6−7)(3−47−2)=(−7⋅3+(−8)⋅7−7⋅(−4)+(−8)⋅(−2)−6⋅3+(−)7⋅7−6⋅(−4)+(−)7⋅(−2))=(−35−12−31−10)\nбайна."} +{"prompt":"(9−x2)√2+x=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Үржвэр 0 байхын тулд үржигдэхүүнүүдийн ядаж 1 нь 0 байна. Тодорхойлогдох мужийг тооц.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь D=[−2;+∞[ байна. \n(9−x2)√2+x=0⇒9−x2=0∨√2+x=0\nбайна. Эндээс x=±3 ба x=−2 гэсэн шийдүүд гарна. x=−3 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй тул x=−2,x=3 гэсэн шийдтэй."} +{"prompt":"(R+8)x2−6x+R=0(R+8)x2−6x+R=0 тэгшитгэл 2 бодит шийдтэй байх бодит тоо RR-ийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: D=b2−4ac>0D=b2−4ac>0 байна. Квадрат тэгшитгэл тул R+8≠0R+8≠0 байна.\nБодолт: Квадрат тэгшитгэл байхын тулд R+8≠0R+8≠0 буюу R≠−8R≠−8 байна. Уг квадрат тэгшитгэл хоёр бодит шийдтэй байхын тулд\nD=(−6)2−4⋅(R+8)⋅R=−4R2−32R+36>0D=(−6)2−4⋅(R+8)⋅R=−4R2−32R+36>0\nбайна. Эндээс\nR2+8R−9<0⇔−90\n \nсистемтэй тэнцүү чанартайб) (x1−b)(x2−b)=x1x2−b(x1+x2)+b2=2a−1a−1−ba+1a−1+b2=2+1a−1−b(1+2a−1)+b2=b2−b+2+1−2ba−1 ба энэ илэрхийлэл нь b=12 үед a-аас хамаарахгүй."} +{"prompt":"(a−3)2=?","completion":"Заавар: Ялгаврын квадратын томьёо ашиглах.\nБодолт: b=3 гээд ялгаврын квадратын томьёог ашиглавал\n(a−3)2=a2−2⋅a⋅3+32=a2−6a+9"} +{"prompt":"(a−b)(a+b)=−17; b<00 тул a=8,b=−9 байна. a,b язгууртай квадрат гурван гишүүнт x2−(a+b)⋅x+a⋅b=x2+x−72"} +{"prompt":"(i+1)x2+(a+i)x+ai+1=0(i+1)x2+(a+i)x+ai+1=0 тэгшитгэл бодит шийдтэй байх aa бодит тоог ол.","completion":"Заавар: Комплекс тоо тэгтэй тэнцэх нөхцөл ашигла.\nБодолт: (i+1)x2+(a+i)x+ai+1=0⇔(x2+ax+1)+(x2+x+a)i=0(i+1)x2+(a+i)x+ai+1=0⇔(x2+ax+1)+(x2+x+a)i=0\nбайна. Хэрвээ xx бодит шийдтэй бол комплекс тоо тэгтэй тэнцэх нөхцөл ёсоор\n{x2+ax+1=0x2+x+a=0{x2+ax+1=0x2+x+a=0\nболно. Тэгшитгэлүүдийг хасвал (a−1)(x−1)=0(a−1)(x−1)=0 болно. Хэрвээ a−1=0a−1=0 бол x2+x+1=0x2+x+1=0 болох ба бодит шийдгүй. Иймд x−1=0x−1=0 байна. Энэ үед 12+a⋅1+112+a⋅1+1 тул a=−2a=−2 байна."} +{"prompt":"(limx→0tg3xx)2007(limx→0tg3xx)2007 хязгаарыг бодоход гарах тооны сүүлчийн цифрийг ол.","completion":"Заавар: I гайхамшигт хязгаар limx→0sinxx=1limx→0sin⁡xx=1-ээсlimx→0sinaxbx=ab,limx→0tgaxbx=ablimx→0sin⁡axbx=ab,limx→0tgaxbx=ab\nболох нь мөрдөн гардаг. Иймд limx→0tg3xx=3limx→0tg3xx=3 байна.\n\n3200732007 тооны сүүлийн цифрийг олохдоо 3n3n дарааллын сүүлийн цифрүүдийг сонирх.\nБодолт: I гайхамшигт хязгаараас limx→0tg3xx=3limx→0tg3xx=3 болно.\n\n3n3n дарааллын сүүлийн цифрүүд нь 3,9,7,1,3,9,…3,9,7,1,3,9,… гэсэн 4 үетэй дараалал үүсгэнэ. Иймд 2007-р гишүүн нь 3-р гишүүнтэйгээ ижил цифрээр төгсөнө. Иймд сүүлийн цифр нь 7 байна."} +{"prompt":"(limx→0tg7xx)2007(limx→0tg7xx)2007 тооны сүүлийн цифрийг ол.","completion":"Заавар: limx→0tg7xx=7limx→0tg7x7xlimx→0tg7xx=7limx→0tg7x7x гээд I гайхамшигт хязгаар ашигла.\nБодолт: limx→0tg7xx=7⋅limx→0tg7x7x=7limx→0tg7xx=7⋅limx→0tg7x7x=7\nтул 7200772007 тооны сүүлийн цифрийг олно. an=7nan=7n дарааллын гишүүдийн сүүлийн цифрүүд нь \n7,9,3,1,7,…7,9,3,1,7,…\nгэсэн 4 үетэй дарааллал тул\na2007=a4⋅501+3≡a3≡3(mod10)a2007=a4⋅501+3≡a3≡3(mod10)\nбуюу 33 цифрээр төгсөнө."} +{"prompt":"(log0.2x)2+log0.2x−2≤0(log0.2⁡x)2+log0.2⁡x−2≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: t=log0.2xt=log0.2⁡x орлуулга ашиглан бод. y=log0.2xy=log0.2⁡x функц нь буурах функц тул\nxlog0.2yxlog0.2⁡y\nбайна. Мөн 0.2=150.2=15 болохыг санаарай!\nБодолт: t=log0.2xt=log0.2⁡x гэвэл t2+t−2≤0⇔−2≤t≤1t2+t−2≤0⇔−2≤t≤1 тул\n−2≤log0.2x≤1⇔log0.2(0.2)−2≤log0.2x≤log0.20.2⇔−2≤log0.2⁡x≤1⇔log0.2⁡(0.2)−2≤log0.2⁡x≤log0.2⁡0.2⇔\n(0.2)−2≥x≥0.2⇔x∈[15;25](0.2)−2≥x≥0.2⇔x∈[15;25]"} +{"prompt":"(log0.2x)2−2log0.2x−3≤0(log0.2⁡x)2−2log0.2⁡x−3≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: t=log0.2xt=log0.2⁡x орлуулга ашиглан бод. y=log0.2xy=log0.2⁡x функц нь буурах функц тул\nxlog0.2yxlog0.2⁡y\nбайна.\nБодолт: t=log0.2xt=log0.2⁡x гэвэл t2−2t−3≤0⇔−1≤t≤3t2−2t−3≤0⇔−1≤t≤3 тул\n−1≤log0.2x≤3⇔log0.2(0.2)−1≤log0.2x≤log0.2(0.2)3⇔−1≤log0.2⁡x≤3⇔log0.2⁡(0.2)−1≤log0.2⁡x≤log0.2⁡(0.2)3⇔\n(0.2)−1≥x≥0.23=0.008⇔x∈[1125;5](0.2)−1≥x≥0.23=0.008⇔x∈[1125;5]"} +{"prompt":"(log0.2x)2−3log0.2x+2≤0(log0.2⁡x)2−3log0.2⁡x+2≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: t=log0.2xt=log0.2⁡x орлуулга ашиглан бод. y=log0.2xy=log0.2⁡x функц нь буурах функц тул\nxlog0.2yxlog0.2⁡y\nбайна.\nБодолт: t=log0.2xt=log0.2⁡x гэвэл t2−3t+2≤0⇔1≤t≤2t2−3t+2≤0⇔1≤t≤2 тул\n1≤log0.2x���2⇔log0.20.2≤log0.2x≤log0.2(0.2)2⇔1≤log0.2⁡x≤2⇔log0.2⁡0.2≤log0.2⁡x≤log0.2⁡(0.2)2⇔\n0.2≥x≥0.22=0.04⇔x∈[125;15]0.2≥x≥0.22=0.04⇔x∈[125;15]"} +{"prompt":"(log0.5x)2+2log0.5x−3≤0(log0.5⁡x)2+2log0.5⁡x−3≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: t=log0.5xt=log0.5⁡x орлуулга ашиглан бод. y=log0.5xy=log0.5⁡x функц нь буурах функц тул\nxlog0.5yxlog0.5⁡y\nбайна.\nБодолт: t=log0.5xt=log0.5⁡x гэвэл t2+2t−3≤0⇔−3≤t≤1t2+2t−3≤0⇔−3≤t≤1 тул\n−3≤log0.5x≤1⇔log0.5(0.5)−3≤log0.5x≤log0.5(0.5)1⇔−3≤log0.5⁡x≤1⇔log0.5⁡(0.5)−3≤log0.5⁡x≤log0.5⁡(0.5)1⇔\n(0.5)−3=8≥x≥0.51=12⇔x∈[12;8](0.5)−3=8≥x≥0.51=12⇔x∈[12;8]"} +{"prompt":"(sin53∘cos67∘sin37∘cos23∘)(sin⁡53∘cos⁡67∘sin⁡37∘cos⁡23∘) матрицын тодорхойлогчийг олоорой.","completion":"Заавар:\nБодолт: ∣∣∣sin53∘cos67∘sin37∘cos23∘∣∣∣=sin53∘⋅cos23∘−sin37∘⋅cos67∘=sin53∘⋅cos23∘−cos53∘⋅sin23∘=sin(53∘−23∘)=sin30∘=12|sin⁡53∘cos⁡67∘sin⁡37∘cos⁡23∘|=sin⁡53∘⋅cos⁡23∘−sin⁡37∘⋅cos⁡67∘=sin⁡53∘⋅cos⁡23∘−cos⁡53∘⋅sin⁡23∘=sin⁡(53∘−23∘)=sin⁡30∘=12"} +{"prompt":"(sin73∘cos77∘sin17∘cos13∘)(sin⁡73∘cos⁡77∘sin⁡17∘cos⁡13∘) матрицын тодорхойлогчийг олоорой.","completion":"Заавар:\nБодолт: ∣∣∣sin73∘cos77∘sin17∘cos13∘∣∣∣=sin73∘⋅cos13∘−sin77∘⋅cos17∘=sin73∘⋅cos13∘−cos73∘⋅sin13∘=sin(73∘−13∘)=sin30∘=√32|sin⁡73∘cos⁡77∘sin⁡17∘cos⁡13∘|=sin⁡73∘⋅cos⁡13∘−sin⁡77∘⋅cos⁡17∘=sin⁡73∘⋅cos⁡13∘−cos⁡73∘⋅sin⁡13∘=sin⁡(73∘−13∘)=sin⁡30∘=32"} +{"prompt":"(sinx+cosx−√2)√−11x−x2−30=0(sin⁡x+cos⁡x−2)−11x−x2−30=0\nтэгшитгэлийн шийдүүд нь x1=−ax1=−a, x2=−bx2=−b, x10a>0 үед тодорхойлогдохоос гадна a<0a<0 үед зарим тохиолдолд тодорхойлогддог. Жишээ нь a=−1,b=2a=−1,b=2 үед ab=(−1)2=1ab=(−1)2=1 байна.\nБодолт: a≠±1a≠±1 үед ab=1⇔b=0ab=1⇔b=0 тул\n\nx+1≠±1x+1≠±1 байх шийдүүд нь x2−3x+2=0x2−3x+2=0 тэгшитгэлийн шийд байна. Иймд x1=1,x2=2x1=1,x2=2 байна. Энэ үед x1+1,x2+1≠±1x1+1,x2+1≠±1 байна.\n\nx+1=1x+1=1 буюу x=0x=0 үед (x+1)x3−3x+2=102−3⋅0+2=12=1(x+1)x3−3x+2=102−3⋅0+2=12=1 тул шийд болно.\n\nx+1=−1x+1=−1 буюу x=−2x=−2 үед (x+1)x3−3x+2=(−1)(−2)2−3⋅(−2)+2=(−1)12=1(x+1)x3−3x+2=(−1)(−2)2−3⋅(−2)+2=(−1)12=1 тул мөн шийд болно.\n\nИймд тэгшитгэл −2,0,1,2−2,0,1,2 гэсэн 4 бодит шийдтэй."} +{"prompt":"(x+1√x)″ ол.","completion":"Заавар: (xα)′=αxα−1 болохыг ашигла.\nБодолт: (x+1√x)″=(√x+1√x)″=(x12+x−12)″=(12x12−1−12x−12−1)′=(12x−12−12x−32)′=12⋅(−12)x−12−1−12⋅(−32)x−32−1=−14x−32+34x−52=−14x√x+34x2√x=3−x4x2√x"} +{"prompt":"(x+3)(2x−3)=x2−9(x+3)(2x−3)=x2−9 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: (ax−b)(cx−d)=0(ax−b)(cx−d)=0\nтэгшитгэл x1=bax1=ba, x2=dcx2=dc гэсэн хоёр шийдтэй.\nБодолт: (x+3)(2x−3)=(x−3)(x+3)⇔(x+3)(2x−3−x+3)=3x(x+3)=0(x+3)(2x−3)=(x−3)(x+3)⇔(x+3)(2x−3−x+3)=3x(x+3)=0 тул x1=0x1=0, x2=−3x2=−3."} +{"prompt":"(x+3x−5)2+126−22xx−5=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: (x+3x−5)2+126−22xx−5=0⇔(x+3)2+(126−22x)(x−5)=0 тул 21x2−242x+621=0 болно."} +{"prompt":"(x+y=13x−1=9y)(x+y=13x−1=9y) \n\nсистемийн шийдүүдийн ялгаврыг ол. \n\nx−yx−y = ?","completion":"Заавар:\nБодолт: x−yx−y = ? \n\n3x−1=32y3x−1=32y , 2y+1+y=12y+1+y=1, x−1=2yx−1=2y , y=0y=0 , x=2y+1x=2y+1, x−y=1−0=1x−y=1−0=1, x=1x=1"} +{"prompt":"(x+yu−vx−yu+v)=(4−19−4)(x+yu−vx−yu+v)=(4−19−4)\nбол x−ux−u хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: Матрицын мөр ба баганын нийлбэр, ялгавар ямар байхыг сонирх.\nБодолт: Матрицын мөрүүдийг нэмбэл 2x=132x=13, 2u=32u=3 болно. Эдгээрийн ялгавар нь 2(x−u)=102(x−u)=10 тул x−u=5x−u=5 байна."} +{"prompt":"(x2+3x)√x−2=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь x≥2 байна.\nБодолт: (x2+3x)√x−2=0⇔x2+3x=0 эсвэл √x−2=0 байна. \n\nx2+3x=0⇔x1=−3, x2=0 бөгөөд хоёулаа тодорхойлогдох мужид орохгүй. \n\n√x−2=0⇒x=2 нь шийд болно. Үнэхээр (22+3⋅2)√2−2=0 байна.\n\nИррационал тэгшитгэлийг бодож дууссаны дараа гарсан шийдүүдээ шалгаж байх нь (мэдээж шалгахад хялбархан тохиолдолд) алдаанаас сэргийлэхэд тустай байдаг."} +{"prompt":"(x2+4x)√x−3=0 бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж анхаар!\nБодолт: x=−4, x=0 тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд болж чадахгүй. x=3 нь шийд болохыг шалгахад төвөггүй."} +{"prompt":"(x2+x+1)⋅(x+10)2(x−3)2+1≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: 00 тэнцэтгэл бишийн шийдийг дугуйл.","completion":"Заавар: Хэрвээ f(x)>0 нь дурын бодит x-ийн хувьд биелэдэг бол\nf(x)⋅g(x)>0⇔g(x)>0\nбайна.\nБодолт: x2+x+1-ийн дискриминант нь 12−4⋅1⋅1<0 ба ахлах гишүүний өмнөх коэффициент нь эерэг тул бүх бодит тоонуудын хувьд x2+x+1>0 байна. Түүнчлэн (x+3)2+1>0 байх нь ойлгомжтой. Иймд x2+x+1(x+3)2+1>0 тул\n(x2+x+1)⋅(x−10)2(x+3)2+1>0⇔(x−10)2>0\nболно. Сүүлийн тэнцэтгэл бишийн шийд нь x≠10 буюу x∈]−∞;10[∪]10;+∞[ байна."} +{"prompt":"(x23x+1)(x23x+1) матриц урвуугүй байх xx-ийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцэх xx-г ол.\nБодолт: Урвуугүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тодорхойлогч нь 0 тул\n∣∣∣x23x+1∣∣∣=x(x+1)−2⋅3=0⇔x2+x−6=0|x23x+1|=x(x+1)−2⋅3=0⇔x2+x−6=0\nбуюу x1,2=−1±√12−4⋅1⋅(−6)2=−1±52x1,2=−1±12−4⋅1⋅(−6)2=−1±52\nбай��а. Иймд x1=−3x1=−3, x2=2x2=2 байна."} +{"prompt":"(x2−1)√2x+1=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Үржвэр тэгтэй тэнцэх нөхцөл ашигла.\nБодолт: (x2−1)√2x+1=0 бол x2−1=0 эсвэл √2x+1=0 байна. Эхний тэгшитгэлээс x=±1, хоёр дахь тэгшитгэлээс x=−12 боловч x=−1 үед √2x+1 тодорхойлогдохгүй тул шийд нь 1,−12 болно."} +{"prompt":"(x2−1)⋅y′+2xy2=0(x2−1)⋅y′+2xy2=0, y(0)=1y(0)=1 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: (x2−1)⋅y′+2xy2=0⇔dyy2=−2xdxx2−1(x2−1)⋅y′+2xy2=0⇔dyy2=−2xdxx2−1\nтул\n∫dyy2=−∫2xdxx2−1⇔−1y=−ln|x2−1|+C∫dyy2=−∫2xdxx2−1⇔−1y=−ln⁡|x2−1|+C\nx=0x=0 үед y=1y=1 тул\n−11=−ln|02−1|+C⇒C=−1−11=−ln⁡|02−1|+C⇒C=−1\nбайна. Иймд y=1ln|x2−1|+1y=1ln⁡|x2−1|+1 байна."} +{"prompt":"(x2−16)(x+4)(x−5)≤0 тэнцэтгэл бишийн бүх бүхэл тоон шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: (x2−16)(x+4)(x−5)=(x+4)2(x−4)(x−5)≤0 байна. Интервалын аргаар тэнцэтгэл бишээ бод.\nБодолт: (x+4)2(x−4)(x−5)≤0 тэнцэтгэл бишээ интервалын аргаар бодвол \n\nтул x∈{−4}∪[4,5] болно. Иймд бүхэл шийдүүд нь −4, 4, 5 буюу нийлбэр нь 5 байна."} +{"prompt":"(x2−3x+9)x2−5x+6≤1(x2−3x+9)x2−5x+6≤1 тэнцэтгэл бишийг хангах хамгийн бага 2 эерэг бүхэл тооны нийлбэр хэд вэ?","completion":"Заавар: a>0a>0 бол ab>1⇔(a−1)b>0ab>1⇔(a−1)b>0, тухайн тохиолдолд a>1a>1 бол ab>1⇔b>0ab>1⇔b>0 байна.\nБодолт: x2−3x+9=(x−1.5)2+6.75>1x2−3x+9=(x−1.5)2+6.75>1 тул (x2−3x+9)x2−5x+6≤1⇔x2−5x+6≤0.(x2−3x+9)x2−5x+6≤1⇔x2−5x+6≤0. Эндээс 2≤x≤32≤x≤3 байна. Ийм хамгийн бага эерэг бүхэл тоонууд нь 22 ба 33 тул нийлбэр нь 55.\n\nТайлбар: Үнэндээ 22, 33-ээс өөр бүхэл шийд байхгүй тул эдгээр нь хамгийн бага эерэг бүхэл шийдүүд нь байна."} +{"prompt":"(x2−3x+9)x2−5x+6≥1(x2−3x+9)x2−5x+6≥1 тэнцэтгэл бишийг хангах хамгийн бага 2 эерэг бүхэл тооны нийлбэр хэд вэ?","completion":"Заавар: a>0a>0 бол ab>1⇔(a−1)b>0ab>1⇔(a−1)b>0, тухайн тохиолдолд a>1a>1 бол ab>1⇔b>0ab>1⇔b>0 байна.\nБодолт: x2−3x+9=(x−1.5)2+6.75>1x2−3x+9=(x−1.5)2+6.75>1 тул (x2−3x+9)x2−5x+6≥1⇔x2−5x+6≥0.(x2−3x+9)x2−5x+6≥1⇔x2−5x+6≥0. Эндээс x≤2∪x≥3x≤2∪x≥3 байна. Ийм хамгийн бага эерэг бүхэл тоонууд нь 11 ба 22 тул нийлбэр нь 33."} +{"prompt":"(x2−4)(x+2)(x−4)≤0(x2−4)(x+2)(x−4)≤0 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Интервалын арга ашиглан тэнцэтгэл бишийг бодоод бүхэл шийдүүдийг жагсааж бич.\nБодолт: (x2−4)(x+2)(x−4)≤0⇔(x+2)2(x−2)(x−4)≤0(x2−4)(x+2)(x−4)≤0⇔(x+2)2(x−2)(x−4)≤0\nтул\n\nшийд нь {−2}∪[2;4]{−2}∪[2;4] байна. Иймд бүхэл шийдүүд нь −2,2,3,4−2,2,3,4 буюу 4 ширхэг байна."} +{"prompt":"(x2−4)√2x+3=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужийг анхаар.\nБодолт: (x2−4)√2x+3=0⇒[x2−4=0√2x+3=0\nЭхний тэгшитгэлээс x=±2, хоёр дахь тэгшитгэлээс x=−32 гэсэн шийд гарна. \nx=−2 үед √2⋅(−2)+3=√−1 тодорхойлогдохгүй тул шийд болохгүй. Иймд x1=−32=−1.5, x2=2 гэсэн шийдтэй."} +{"prompt":"(x2−4)√2x−3=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Харьцангуй хялбар бодлого боловч тодорхойлогдох мужид орохгүй шийдүүдийг хасалгүй алдаа гаргах тохиолдол элбэг тохиолддог.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь 2x−3≥0⇔x≥32 байна. Үржвэр тэгтэй тэнцэхийн тулд ядаж нэг үржигдэхүүн нь 0-тэй тэнцүү тул x2−4=0∨√2x−3=0⇒x=±2,x=32\nбайна. Гэвч x=−2 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд болж чадахгүй."} +{"prompt":"(x2−7x+12)⋅√8−x≤0(x2−7x+12)⋅8−x≤0 бод.","completion":"Заавар: b≥0b≥0 бол a⋅b≤0⇔[a≤0b=0a⋅b≤0⇔[a≤0b=0\nБодолт: (x2−7x+12)⋅√8−x≤0⇔[x2−7x+12≤0√8−x=0(x2−7x+12)⋅8−x≤0⇔[x2−7x+12≤08−x=0\nЭхний тэнцэтгэл бишийн шийд нь x2−7x+12=(x−3)(x−4)≤0x2−7x+12=(x−3)(x−4)≤0 тул [3;4][3;4], хоёр дахь тэгшитгэлийн шийд нь x=8x=8 тул шийд нь {8}∪[3;4]{8}∪[3;4] байна."} +{"prompt":"(x2−9)(x+2)(x+3)≤0(x2−9)(x+2)(x+3)≤0 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Интервалын арга ашиглан тэнцэтгэл бишийг бодоод бүхэл шийдүүдийг жагсааж бич.\nБодолт: (x2−9)(x+2)(x+3)≤0⇔(x+3)2(x+2)(x−3)≤0(x2−9)(x+2)(x+3)≤0⇔(x+3)2(x+2)(x−3)≤0\nтул\n\nшийд нь {−3}∪[−2;−3]{−3}∪[−2;−3] байна. Иймд бүхэл шийдүүд нь −3,−2,,…,3−3,−2,,…,3 буюу 7 ширхэг байна."} +{"prompt":"(x2−9)(x+2)(x−3)≤0(x2−9)(x+2)(x−3)≤0 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Интервалын арга ашиглан тэнцэтгэл бишийг бодоод бүхэл шийдүүдийг жагсааж бич.\nБодолт: (x2−9)(x+2)(x−3)≤0⇔(x+3)(x+2)(x−3)2≤0(x2−9)(x+2)(x−3)≤0⇔(x+3)(x+2)(x−3)2≤0\nтул\n\nшийд нь [−3;−2]∪{3}[−3;−2]∪{3} байна. Иймд бүхэл шийдүүд нь −3,−2,3−3,−2,3 буюу 3 ширхэг байна."} +{"prompt":"(x2−9)√x+2≥0(x2−9)x+2≥0 тэнцэтгэл биш [−6,6][−6,6] завсарт нийт хэдэн ширхэг бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: x+2=0x+2=0 ба x+2>0x+2>0 гэсэн 2 тохиолдолд салган бод.\nБодолт: Хэрэв x+2=0x+2=0 бол (x2−9)√x+2=0≥0(x2−9)x+2=0≥0 тул x=−2x=−2 нь шийд болно.\n\nХэрэв x+2>0x+2>0 бол x2−9≥0x2−9≥0 байх ёстой. Энэ тэнцэтгэл бишийн шийд нь x∈(−∞,−3]∪[3,+∞)x∈(−∞,−3]∪[3,+∞) болох ба үүнийг x>−2x>−2 тэй огтолцуулбал x∈[3,+∞)x∈[3,+∞)болно.\n\nИймд [−6,6][−6,6] завсар дахь бүхэл шийдүүд нь −2,3,4,5,6−2,3,4,5,6 болно."} +{"prompt":"(x2−9)√x+2≥0(x2−9)x+2≥0 тэнцэтгэл биш [−6;6][−6;6] завсарт хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь x+2≥0⇒x≥−2x+2≥0⇒x≥−2 байна.\n√x+2=0x+2=0 нь шийд ба √x+2≥0x+2≥0 байхыг анхаар.\nБодолт: √x+2=0⇒x=−2x+2=0⇒x=−2 нь шийд болно. √x+2>0x+2>0 үед x2−9≥0x2−9≥0 байх ёстой тул x≤−3x≤−3 эсвэл x≥3x≥3 болно. x≤−3x≤−3 хэсэг нь тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд болохгүй. Иймд [−6;6][−6;6] муж дахь шийдүүд нь −2−2, 33, 44, 55, 66 байна."} +{"prompt":"(x2−9)√x−2=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужийг анхаараарай!\n\nХарьцангуй хялбархан тэгшитгэл тул шийдийг шууд шалгаад бодсон ч болох юм.\nБодолт: (x2−9)√x−2=0 тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь x−2≥0 байна.\nab=0⇔a=0 эсвэл b=0 тул (x2−9)√x−2=0⇔x2−9=0 эсвэл √x−2=0 байна (тодорхойлогдох муждаа!). Эхний тэгшитгэл x1=3, x2=−3 (тодорхойлогдох мужид орохгүй); хоёр дахь тэгшитгэл x=2 гэсэн шийдтэй. Иймд тэгшитгэлийн шийдүүд нь {2,3} байна."} +{"prompt":"(x2−x+1)x−2>1(x2−x+1)x−2>1 тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: x2−x+1=(x−0.5)2+0.75>0x2−x+1=(x−0.5)2+0.75>0 ба\na(x)b(x)a(x)b(x) нь a(x)>0a(x)>0 ба a(x)a(x) нь сөрөг бүхэл, b(x)=mnb(x)=mn, nn-сондгой үед тодорхойлогдоно.\nБодолт: x2−x+1>0x2−x+1>0 тул сөрөг бүхэл утга авахгүй. a>0a>0 үед\nab>1⇔(a−1)b>0ab>1⇔(a−1)b>0\nболохыг ашиглавал\n(x2−x+1)x−2>1⇔(x2−x)(x−2)>0(x2−x+1)x−2>1⇔(x2−x)(x−2)>0\nҮүнийг интервалын аргаар бодвол\nx∈(0;1)∪(2;+∞)x∈(0;1)∪(2;+∞)\nбайна."} +{"prompt":"(x2−x+1)x−2>1(x2−x+1)x−2>1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a>0a>0 бол\nab>1⇔(a−1)b>0ab>1⇔(a−1)b>0\nбайна.\nБодолт: x2−x+1x2−x+1 квадрат гурван гишүүнтийн дискриминант нь D=(−1)2−4⋅1⋅1<0D=(−1)2−4⋅1⋅1<0 тул дурын xx бодит тооны хувьд x2−x+1>0x2−x+1>0 байна. Иймд\n(x2−x+1)x−2>1���(x2−x)(x−2)>0(x2−x+1)x−2>1⇔(x2−x)(x−2)>0\nбайна. x(x−1)(x−2)>0x(x−1)(x−2)>0 тэнцэтгэл бишийг интервалын аргаар бодвол\n(0;1)∪(2;+∞)(0;1)∪(2;+∞)\nшийд гарна."} +{"prompt":"(xy)(ahhb)(xy)(xy)(ahhb)(xy) матрицын элементийг ол.","completion":"Заавар: 1×21×2, 2×22×2, 2×12×1 хэмжээтэй матрицуудын үржвэр 1×11×1 матриц гарна.\nБодолт: Үржвэр=(xy)(ahhb)(xy)=(x⋅a+y⋅hx⋅h+y⋅b)(xy)=(ax+hyhx+by)(xy)=((ax+hy)⋅x+(hx+by)y)=(ax2+2hxy+by2)Үржвэр=(xy)(ahhb)(xy)=(x⋅a+y⋅hx⋅h+y⋅b)(xy)=(ax+hyhx+by)(xy)=((ax+hy)⋅x+(hx+by)y)=(ax2+2hxy+by2)\nтул үржвэрийн цор ганц элемент нь ax2+2hxy+by2ax2+2hxy+by2 ажээ."} +{"prompt":"(xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0(xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0 дифференциал тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: (xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0⇔x(y2+1)dx+y(1−x2)dy⇔(xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0⇔x(y2+1)dx+y(1−x2)dy⇔\nydyy2+1=xdxx2−1⇔∫d(y2+1)y2+1=∫d(x2−1)x2−1ydyy2+1=xdxx2−1⇔∫d(y2+1)y2+1=∫d(x2−1)x2−1\nтул\nln(y2+1)=ln|x2−1|+C⇔y2+1=C⋅|x2−1|ln⁡(y2+1)=ln⁡|x2−1|+C⇔y2+1=C⋅|x2−1|"} +{"prompt":"(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=15 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: (x−1)(x−4)=x2−5x+4, (x−2)(x−3)=x2−5x+6 болохыг ашиглан t=x2−5x орлуулга ашиглан бод.\nБодолт: (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=15 тэгшитгэлд t=x2−5x орлуулга ашиглавал\n(t+4)(t+6)=15⇔t2+10t+9=0\nболно. Эндээс t1=−1, t2=−9 тул\n x2−5x=−1⇔x2−5x+1=0 буюу x1,2=5±√212;\n x2−5x=−9⇔x2−5x+9=0 болох ба D=52−4⋅1⋅9<0 тул шийдгүй байна.\n\nИймд тэгшитгэлийн шийд нь x=5±√212."} +{"prompt":"(x−1)(x−3)(x+5)(x+7)=297 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: −3+7=4, −1+5=4 тул (x−3)(x+7), (x−1)(x+5) гэж бүлэглээд x2+4x=t орлуулга ашиглаж бод.\nБодолт: (x−3)(x+7), (x−1)(x+5) гэж бүлэглэвэл\n(x−1)(x−3)(x+5)(x+7)=297⇔(x2+4x−21)(x2+4x−5)=297\nболно. t=x2+4x гэвэл\n(t−21)(t−5)=297⇔t2−26x−192=0\nt1,2=26±√262−4⋅1⋅(−192)2=26±382\nтул t1=32, t2=−6. t1=32 үед\nx2+4x−32=0⇒x1=4,x2=−8\nt2=−6 үед\nx2+4x+6=(x+2)2+2>0\nтул шийдгүй. Иймд x1=4, x2=−8 байна."} +{"prompt":"(x−1)2−32 илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: a2−b2=(a−b)(a+b)\nБодолт: (x−1)2−32=(x−1−3)(x−1+3)=(x−4)(x+2)"} +{"prompt":"(x−1)xlnx=ex−e(x−1)xln⁡x=ex−e тэгшитгэл хэдэн ялгаатай бодит шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Үржигдэхүүнд задалж бод.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x>0x>0 байна.\n(x−1)xlnx=ex−e⇒(x−1)(xlnx−e)=0⇒[x−1=0xlnx=e(x−1)xln⁡x=ex−e⇒(x−1)(xln⁡x−e)=0⇒[x−1=0xln⁡x=e\nЭхний тэгшитгэлээс x=1x=1 гэсэн шийд гарна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг логарифмчилж бодвол\nxlnx=e⇔lnxlnx=ln2x=lne=1xln⁡x=e⇔ln⁡xln⁡x=ln2⁡x=ln⁡e=1\nтул lnx=±1⇒x=e,x=1eln⁡x=±1⇒x=e,x=1e гэсэн шийдтэй.\n\nЭдгээр шийдүүд бүгд тодорхойлогдох мужид орох тул тэгшитгэл 3 шийдтэй байна."} +{"prompt":"(x−12x+2−x+12x−2):x4−4x2","completion":"Заавар: Хаалтанд байгаа илэрхийллээ ерөнхий хуваарь өгч хялбарчил.\nБодолт: (x−12x+2−x+12x−2):x4−4x2=2(x−1)2−2(x+1)24x2−4⋅4−4x2x=\n=−2(x−1−x−1)(x−1+x+1)x=−2⋅(−2)(2x)x=8.\nЗаавар:"} +{"prompt":"(x−2)(x+3)1+x≥0(x−2)(x+3)1+x≥0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Интервалийн аргаар бод.\nБодолт: 1+x≠01+x≠0 буюу x≠−1x≠−1 үед\n(x−2)(x+3)1+x≥0⇔(x+3)(x+1)(x−2)≥0(x−2)(x+3)1+x≥0⇔(x+3)(x+1)(x−2)≥0\nба\n\nтул x∈[−3;−1[∪[2;+∞[x∈[−3;−1[∪[2;+∞["} +{"prompt":"(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)=105 тэгшитгэлийн шийд\nx1=a,x2=b байна. (x10x>0 байна.\n(x−2)xlgx=10x−20⇒(x−2)(xlgx−10)=0⇒[x−1=0xlgx=10(x−2)xlg⁡x=10x−20⇒(x−2)(xlg⁡x−10)=0⇒[x−1=0xlg⁡x=10\nЭхний тэгшитгэлээс x=1x=1 гэсэн шийд гарна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг логарифмчилж бодвол\nxlgx=10⇔lgxlgx=lg2x=ln10=1xlg⁡x=10⇔lg⁡xlg⁡x=lg2⁡x=ln⁡10=1\nтул lnx=±1⇒x=10,x=110ln⁡x=±1⇒x=10,x=110 гэсэн шийдтэй.\n\nЭдгээр шийдүүд бүгд тодорхойлогдох мужид орох тул тэгшитгэл 3 шийдтэй байна."} +{"prompt":"(x−2y)3=?","completion":"Заавар: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\nБодолт: (x−2y)3=x3−3⋅x2⋅(2y)+3⋅x⋅(2y)2−(2y)3=\n=x3−6x2y+12xy2−8y3"} +{"prompt":"(x−3)(2x+3)=x2−9 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: (ax−b)(cx−d)=0\nтэгшитгэл x1=ba, x2=dc гэсэн хоёр шийдтэй.\nБодолт: (x−3)(2x+3)=(x−3)(x+3)⇔(x−3)(2x+3−x−3)=x(x−3)=0 тул x1=0, x2=3."} +{"prompt":"(x−3)(2x−3)(x+5)≤0(x−3)(2x−3)(x+5)≤0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Интервалын аргаар бод.\nБодолт: (x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔{(x−3)(2x−3)(x+5)≤0x≠−5(x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔{(x−3)(2x−3)(x+5)≤0x≠−5\n(x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔2(x+5)(x−32)(x−3)≤0(x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔2(x+5)(x−32)(x−3)≤0 байна. \n\n\n\nМуж x<−5x<−5 −50a>0 үед тодорхойлогдохоос гадна a<0a<0 үед зарим тохиолдолд тодорхойлогддог. Жишээ нь a=−1,b=2a=−1,b=2 үед ab=(−1)2=1ab=(−1)2=1 байна.\nБодолт: a≠±1a≠±1 үед ab=1⇔b=0ab=1⇔b=0 тул\n\nx−6≠±1x−6≠±1 байх шийдүүд нь x2−15x+56=0x2−15x+56=0 тэгшитгэлийн шийд байна. Иймд x1=7,x2=8x1=7,x2=8 байна. Энэ үед x1−6=1x1−6=1 ,x2−6≠±1x2−6≠±1 байна. \n\nx−6=1x−6=1 буюу x=7x=7 үед (x−6)x2−15x+56=172−15⋅7+56=10=1(x−6)x2−15x+56=172−15⋅7+56=10=1 тул шийд болох боловч x1x1-тэй ижил байна.\n\nx−6=−1x−6=−1 буюу x=5x=5 үед (x−6)x2−15x+56=(−1)52−15⋅5+56=(−1)6=1(x−6)x2−15x+56=(−1)52−15⋅5+56=(−1)6=1 тул мөн шийд болно.\n\nИймд тэгшитгэл 5,7,85,7,8 гэсэн 3 бодит шийдтэй."} +{"prompt":"(y2+√y)⋅√y−1y√y−y+√y илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: y-ийн ямар утгуудад хялбархан бодогдох вэ?\nБодолт: √y нь бүхэл тоо байвал илэрхийллийг бодоход хялбар байна. \n\ny=1 үед (12+√1)⋅√1−11√1−1+√1=0 байна.\n\ny=4 үед (42+√4)⋅√4−14√4−4+√4=18⋅16=3 байна.\n\nХариултууд дотор y=1 үед 0, y=4 үед 3 байх нь зөвхөн y−1 тул зөв хариулт нь E байна."} +{"prompt":"(y−152y)=x(31)(y−152y)=x(31) бол (x,y)(x,y)-г ол.","completion":"Заавар: xx-ээр үржих үйлдлийг гүйцэтгээд 2 матриц тэнцэх нөхцөлийг ашигла.\nБодолт: (y−152y)=x(31)=(3xx)(y−152y)=x(31)=(3xx) тул 2 матриц тэнцэх нөхцөлөөр\n{y−15=3x2y=x⇒y−15=3⋅(2y)=6y{y−15=3x2y=x⇒y−15=3⋅(2y)=6y\nтул 5y=−155y=−15 буюу y=−3y=−3 байна. Иймд x=2y=−6x=2y=−6 байна."} +{"prompt":"(−10−01)(−10−01)\nаль хувиргалтын матриц вэ?","completion":"Заавар: (x,y)(x,y) цэг ямар цэгт буух вэ?\nБодолт: (x,y)(x,y) цэг (x′,y′)(x′,y′) цэгт буух бол\n(x′y′)=(−10−01)(xy)=(−1⋅x+0⋅y−0⋅x+1⋅y)=(−x−y)(x′y′)=(−10−01)(xy)=(−1⋅x+0⋅y−0⋅x+1⋅y)=(−x−y)\nбуюу (x,y)(x,y) цэг (−x,y)(−x,y) цэгт бууна. Энэ нь OyOy тэнхлэгийн хувьд дахь тэнхлэгийн тэгш хэм юм."} +{"prompt":"(−13)(−13) ⋅⋅ ( 52)( 52)","completion":"Заавар: Эхний матрицын мөрийг ii-р мөрийг хоёр дахь матрицын jj-р баганаар скаляр үржүүлэхэд гардаг. MM нь n×mn×m буюу nn мөр mm баганатай матриц, NN нь m×km×k буюу mm мөр kk баганатай матриц бол эдгээрийн үржвэр нь MNMN нь n×kn×k матриц байна.\nБодолт: (−13)⋅(52)=(−1⋅5+3⋅2)=(1)(−13)⋅(52)=(−1⋅5+3⋅2)=(1)"} +{"prompt":"(−4−1−5−2)(−4−1−5−2) матриц өгөв.","completion":"Заавар:\nБодолт: A2−(a+d)⋅A+(ad−bc)⋅E=0A2−(a+d)⋅A+(ad−bc)⋅E=0 байдаг тул\nA2−(−4+2)⋅A+{(−4)⋅2−(−1)⋅5}⋅E=0⇔A2+2A−3E=0A2−(−4+2)⋅A+{(−4)⋅2−(−1)⋅5}⋅E=0⇔A2+2A−3E=0\nбайна. Үүнийг A−1A−1-ээр үржүүлбэл\nA+2E−3A−1=0⇒p=23, q=13A+2E−3A−1=0⇒p=23, q=13\nболно.\n x2+2x−3=(x+3)(x−1)x2+2x−3=(x+3)(x−1) тул\nxn=(x2+2x−3)⋅Q(x)+anx+bn=(x+3)(x−1)⋅Q(x)+anx+bnxn=(x2+2x−3)⋅Q(x)+anx+bn=(x+3)(x−1)⋅Q(x)+anx+bn\nболно. Энд x=−3x=−3 гэвэл\n(−3)n=−3an+bn,(−3)n=−3an+bn,\nx=1x=1 гэвэл\n1n=an+bn1n=an+bn\nбайна. Эндээс\nan=1−(−3)n4, bn=3+(−3)n4an=1−(−3)n4, bn=3+(−3)n4\nгэж олдоно. Иймд n+1n+1, x=Ax=A үед\nAn+1=(A2−5A−6E)⋅Q(A)+an⋅A+bn⋅EAn+1=(A2−5A−6E)⋅Q(A)+an⋅A+bn⋅E болно. Иймд \nAn=(A2−5A−6E)⋅Q(A)+an⋅A+bn⋅EAn=(A2−5A−6E)⋅Q(A)+an⋅A+bn⋅E болно. Иймд\nAn=6n−(−1)n7(1524)+6n+6⋅(−1)n7⋅E=17(2⋅6n+5⋅(−1)n5⋅6n−5⋅(−1)n2⋅6n+2⋅(−1)n5⋅6n+2⋅(−1)n)An=6n−(−1)n7(1524)+6n+6⋅(−1)n7⋅E=17(2⋅6n+5⋅(−1)n5⋅6n−5⋅(−1)n2⋅6n+2⋅(−1)n5⋅6n+2⋅(−1)n)\nболно."} +{"prompt":"(−53)(−53) ⋅⋅ ( 24)( 24)","completion":"Заавар: Эхний матрицын мөрийг ii-р мөрийг хоёр дахь матрицын jj-р баганаар скаляр үржүүлэхэд гардаг. MM нь n×mn×m буюу nn мөр mm баганатай матриц, NN нь m×km×k буюу mm мөр kk баганатай матриц бол эдгээрийн үржвэр нь MNMN нь n×kn×k матриц байна.\nБодолт: (−53)⋅(24)=(−5⋅2+3⋅4)=(2)(−53)⋅(24)=(−5⋅2+3⋅4)=(2)"} +{"prompt":"(√5+1)sin18∘(5+1)sin⁡18∘-г тооцоол.","completion":"Заавар: sin18∘=√5−14sin⁡18∘=5−14 болохыг ашигла.\nБодолт: (√5+1)sin18∘=(√5+1)⋅√5−14=1(5+1)sin⁡18∘=(5+1)⋅5−14=1"} +{"prompt":"(√x−√xy+y√x+√y)⋅(√x√x+√y+√y√x−√y+2√xyx−y) үйлдлийг гүйцэтгэ.","completion":"Заавар: √x=a, √y=b орлуулга ашигла.\nБодолт: √x=a, √y=b гэвэл\nИлэрх.=(√x−√xy+y√x+√y)⋅(√x√x+√y+√y√x−√y+2√xyx−y)=(a−b(a+b)a+b)⋅(aa+b(a−b+ba−b(a+b+2aba2−b2)=(a−b)⋅a2−ab+ba+b2+2ab(a−b)(a+b)=a2+2ab+b2a+b=(a+b)2a+b=a+b=√x+√y"} +{"prompt":"(∫x0cos3tdt)′(∫0xcos⁡3tdt)′ нь аль вэ?","completion":"Заавар: (∫xaf(t)dt)′=(F(x)−F(a))′=f(x)(∫axf(t)dt)′=(F(x)−F(a))′=f(x)\nБодолт: (∫x0cos3tdt)′=cos3x(∫0xcos⁡3tdt)′=cos⁡3x"} +{"prompt":"0.2(6) үет бутархайг энгийн бутархай болго","completion":"Заавар:\nБодолт: y=cosx функцийн урвуу нь y−1=arccosx байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"0.2≤(15)x−4<1250.2≤(15)x−4<125 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a<1a<1 бол axyaxy болохыг ашиглан бод. \n\n0.2=150.2=15, 125=(15)−3125=(15)−3 болохыг ашиглаарай!\nБодолт: 0.2=15<10.2=15<1 тул\n0.2≤(15)x−4<125⇔15≤(15)x−4<(15)−3⇔0.2≤(15)x−4<125⇔15≤(15)x−4<(15)−3⇔\n⇔1≥x−4>−3⇔5≥x>1⇔x∈]1;5]⇔1≥x−4>−3⇔5≥x>1⇔x∈]1;5]"} +{"prompt":"0.40.4 кг жинтэй хөл бөмбөгийг дээш нь 2020 м\/c хурдтай шидэв. Агаарын эсэргүүцэл хурдны квадраттай пропорционал ба 11 м\/с хурдтай үед эсэргүүцэл 0.480.48 гр болно. Бөмбөгний өндөрт гарах хугацаа ба хамгийн их өндрийг ол.","completion":"Заавар: F(t)=mv′(t)=mg+cv2(t)F(t)=mv′(t)=mg+cv2(t), 0.48=c⋅12⇒c=0.480.48=c⋅12⇒c=0.48 тул\n0.4v′(t)=0.4⋅9.8+0.48v2(t)⇔v′(t)=9.8+1.2v2(t)0.4v′(t)=0.4⋅9.8+0.48v2(t)⇔v′(t)=9.8+1.2v2(t)\nБодолт:"} +{"prompt":"0.5 хувийн давсны 40 л ба 2 хувийн 50 л уусмалуудаас 1.5 хувийн 30 л уусмал гаргаж авахын тулд тус бүрээс нь хэчнээн литрийг авч холих вэ?","completion":"Заавар: Хариуг шууд шалгах аргаар ол.\nБодолт: А хариултын хувьд нийт давсны хэмжээ нь 10⋅0.5100+20⋅2100 тул концентраци нь 10⋅0.5100+20⋅210030⋅100%=5+4030%=1.5% тул зөв хариу болж байна.\nЗаавар: 1:α харьцаатай хольцийн концентраци нь\n0.5%+2%⋅α1+α\nбайна.\nБодолт: 0.5%+2%⋅α1+α=1.5%⇔0.5+2α=1.5+1.5α\nбуюу α=2 байна. Иймд 1:2 хэмжээгээр нийт 30 л уусмал гаргаж авах тул 10; 20 л-ийг тус тус холино.\nЗаавар:\nБодолт: 1 литр 0.5 хувийн уусмалыг 1 литр 2 хувийн уусмалаар солиход давсны хэмжээ нь 1 л-ийн 2%−0.5%=1.5% буюу 0.015 литрээр нэмэгдэнэ. 30 л 0.5 хувийн уусмал дахь давсны хэмжээ 0.005⋅30=0.15 литр, 1.5 хувийн уусмал дахь давсны хэмжээ нь 0.015⋅30=0.45 л буюу зөрөө нь 0.45−0.15=0.30 литр байна. Иймд 0.30:0.015=20 литр 2 хувийн давсны уусмал ба 30−20=10 литр 0.5 хувийн уусмал холино.\nБодолт: 0.5%+2%⋅α1+α=1.5%⇔0.5+2α=1.5+1.5α\nбуюу α=2 байна. Иймд 1:2 хэмжээгээр нийт 30 л уусмал гаргаж авах тул 10 ба 20 л-ийг тус тус холино."} +{"prompt":"0.5 хувийн давсны 40 л ба 3 хувийн 60 л уусмалуудаас 2 хувийн 50 л уусмал гарган авахын тулд тус бүрээс хэдэн литр авч холих вэ?","completion":"Заавар: Тус бүрээс x, y литр авсан гэвэл x+y=50 байна. Уусмал дахь давсны хэмжээг бод.\nБодолт: x литр I уусмал дахь давсны хэмжээ нь 0.5x100, y литр II уусмал дахь давсны хэмжээ нь 3y100 ба 50 литр 2 хувийн уусмал дахь давсны хэмжээ 2⋅50100=1 тул\n{x+y=50(1)0.5x+3y=100(2)\nбайна. 3×(1)−(2)⇒2.5x=50⇒x=20 ба y=50−20=30 байна.\n\nТайлбар: ЭЕШ-ийн нэг бодлогыг бодох хугацаа богинотой холбоотойгоор ихэнхи өгүүлбэртэй бодлого нь харьцангүй хөнгөн бодлого байдаг."} +{"prompt":"0.52x<0.51−x0.52x<0.51−x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 0yaxy\nбайдаг.\nБодолт: 0<0.5<10<0.5<1 тул\n0.52x<0.51−x⇔2x>1−x⇔3x>1⇔x>130.52x<0.51−x⇔2x>1−x⇔3x>1⇔x>13\nбайна."} +{"prompt":"0<2x−75≤3 тэнцэтгэл бишийг хангах x-ийн хамгийн их натурал утгыг ол.","completion":"Заавар: 7.1. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш болон шугаман тэнцэтгэл тэнцэтгэл бишийн систем зохиодог.\nБодолт: 0<2x−75≤3⇔0<2x−7≤3⋅5=15⇔7<2x≤22⇔7213 байна.\nХоёр дахь тэнцэтгэл биш нь\n3x−12x+5<1⇔3x−1−2x−52x+5<0\nтул\n−52a>0 тул a=14√2, b=4√8 болно."} +{"prompt":"0a>0 тул a=14√2, b=4√8 болно."} +{"prompt":"0t гэх мэт хялбар тригонометрийн тэнцэтгэл бишүүдийн шийдийг олоход:\n Тэнцэтгэл бишийг тэгшитгэлд шилжүүлж бодож, шийдийг олох.\n Олсон шийдээ ашиглан тэнцэтгэл бишийн шийдийг бичих.\n \nЖишээ нь (1) тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь графикаас харахад y координат нь 12-ээс бага буюу y=12 шулууны доод талд байгаа θ-ийн\nмуж юм.\nБодолт: Графикаас тэнцэтгэл бишийн шийдүүд нь:"} +{"prompt":"0∘≤θ<360∘ үед √2sinθ=−1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: sinθ=−√22 гээд бод.\nБодолт: sinθ=−√22 болно. Бид ординат нь −√22 байх нэгж тойрог дээрх цэгүүдийг олох шаардлагатай үүний тулд {y=−√22x2+y2=1 тэгшитгэл бодно. Эндээс x2+12=1 болох тул x=±√22 буюу (−√22,−√22), (√22,−√22) цэгүүд гарна. Эдгээрт харгалзах өнцгүүд 225∘,315∘ болохыг нэгж тойрог дээр зурж хялбархан харж болно."} +{"prompt":"0∘≤θ<360∘0∘≤θ<360∘ үед (1+sinθ)(1+cosθ)(1+sin⁡θ)(1+cos⁡θ)-ийн хамгийн их, хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: Нэг хувьсагчаар илэрхийлэх арга байгаа ч тэгш хэмт (cc, ss-ийг солиход адил илэрхийлэлд шилжих) илэрхийллийн хувьд\nдараах байдлаар боддог.\n\ns=sinθs=sin⁡θ, c=cosθc=cos⁡θ, u=s+cu=s+c, v=s⋅cv=s⋅c-ээр илэрхийлнэ. s2+c2=1s2+c2=1 ⇒⇒\nu2−2u=1u2−2u=1 ⇒⇒ v=12(u2−1)v=12(u2−1), u=√2sin(θ+45∘).u=2sin⁡(θ+45∘).\nБодолт: y=(1+sinθ)(1+cosθ)=1+sinθ+cosθ+sinθ⋅cosθy=(1+sin⁡θ)(1+cos⁡θ)=1+sin⁡θ+cos⁡θ+sin⁡θ⋅cos⁡θ\n{u=sinθ+cosθv=sinθ⋅cosθ{u=sin⁡θ+cos⁡θv=sin⁡θ⋅cos⁡θ\nгэж орлуулбал u=√2sin(θ+45∘)u=2sin⁡(θ+45∘) тул\n45∘≤θ+45∘≤360∘+45∘45∘≤θ+45∘≤360∘+45∘\n⇒⇒ −√2≤u≤√2.−2≤u≤2. Цааш нь y=12(u2−1)+1+u=12(u+1)2y=12(u2−1)+1+u=12(u+1)2 болно. yy-нь u=√2u=2 үед\nхамгийн их 12(√2+1)212(2+1)2 утгаа авах ба энэ үед\nθ+45∘=90∘θ+45∘=90∘, мөн u=−1u=−1 үед хамгийн бага 0\nутгаа авах ба θ=180∘θ=180∘, 270∘.270∘."} +{"prompt":"0≤t≤10≤t≤1 үед F(t)=1∫0|x2−t2|dxF(t)=∫01⁡|x2−t2|dx функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: |x2−t2|={−(x2−t2),0≤x≤tx2−t2,t≤x≤1|x2−t2|={−(x2−t2),0≤x≤tx2−t2,t≤x≤1 \nтул \nF(t)=1∫0|x2−t2|dt=t∫0−(x2−t2)+1∫t(x2−t2)dt=43t3−t2+13F(t)=∫01⁡|x2−t2|dt=∫0t−(x2−t2)+∫t1⁡(x2−t2)dt=43t3−t2+13\n болно. \nF′(t)=4t2−2t=2t(t−1)F′(t)=4t2−2t=2t(t−1) юм.\n\n\n\n t=0t=0 ⋯⋯ t=1\/2t=1\/2 ⋯⋯ t=1t=1 \n\nF′(t)F′(t) −− 00 ++ \n\nF(t)F(t) 1\/31\/3 ↘↘ 1\/41\/4 ↗↗ 2\/32\/3 \n\nтул t=1t=1 үед хамгийн их утга 2\/3,t=1\/22\/3,t=1\/2 үед хамгийн бага утга 1\/41\/4 авна."} +{"prompt":"0≤x≤2, 0≤y≤4 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж болох дүрсийн талбай аль нь вэ?","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь тэгш өнцөгт дүрс байна. Талуудын урт нь хэд байх вэ?\nБодолт: \n2×4 хэмжээтэй тэгш өнцөгт дүрс үүсэх тул тайлбай нь 2⋅4=8 байна."} +{"prompt":"1 гр масстай материал цэг шулуун замаар t=0t=0 эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дөр хөдлөв. Хугацааны t=10t=10 секундэд хурд нь 0.50.5 м\/с, хүч нь 4⋅10−54⋅10−5 н болсон гэвэл 1 минутын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?\n\nБодолт. m=10−akgm=10−akg тул F(t)=10−akg×dv(t)dt=ctv(t)F(t)=10−akg×dv(t)dt=ctv(t) болно. 1N=1kg×1m\/s21N=1kg×1m\/s2 тул\nF(10)=c⋅10s0.5m\/s=4⋅10−5kg⋅m\/s2⇒c=b⋅10−ckg⋅m2\/s4F(10)=c⋅10s0.5m\/s=4⋅10−5kg⋅m\/s2⇒c=b⋅10−ckg⋅m2\/s4\nболно. Эндээс\n10−akg×vdv=ctdt⇒vdv=b⋅10−dm2\/s4×tdt10−akg×vdv=ctdt⇒vdv=b⋅10−dm2\/s4×tdt\nболно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал\n∫vdt=b⋅10−dm2\/s4∫tdt∫vdt=b⋅10−dm2\/s4∫tdt\nбуюу v2=c1t2+Cv2=c1t2+C, c1=b⋅10−dm2\/s4c1=b⋅10−dm2\/s4 болно. t=0t=0 үед v=0v=0 тул C=0C=0 болно. Иймд \nv2=c1t2v2=c1t2\nбайна. t=60st=60s үед\nv2=b⋅10−dm2\/s4×(60s)2=efgm2\/s2v2=b⋅10−dm2\/s4×(60s)2=efgm2\/s2\nбуюу хурд нь v=h√5m\/sv=h5m\/s байна.","completion":"Заавар: Бодолтын дагуу анхааралтай уншиж тооцоог нь зөв хийхэд өөр нэмэлт мэдлэг шаардагдахгүй.\nБодолт: m=0.001kgm=0.001kg тул F(t)=0.001kg×dv(t)dt=ctv(t)F(t)=0.001kg×dv(t)dt=ctv(t) болно. 1N=1kg×1m\/s21N=1kg×1m\/s2 тул\nF(10)=c⋅10s0.5m\/s=4⋅10−5kg⋅m\/s2⇒c=2⋅10−6kg⋅m2\/s4F(10)=c⋅10s0.5m\/s=4⋅10−5kg⋅m\/s2⇒c=2⋅10−6kg⋅m2\/s4\nболно. Эндээс\n0.001kg×vdv=ctdt⇒vdv=2⋅10−3m2\/s4×tdt0.001kg×vdv=ctdt⇒vdv=2⋅10−3m2\/s4×tdt\nболно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал\n∫vdt=2⋅10−3m2\/s4∫tdt∫vdt=2⋅10−3m2\/s4∫tdt\nбуюу v2=c1t2+Cv2=c1t2+C, c1=2⋅10−3m2\/s4c1=2⋅10−3m2\/s4 болно. t=0t=0 үед v=0v=0 тул C=0C=0 болно. Иймд \nv2=c1t2v2=c1t2\nбайна. t=60st=60s үед\nv2=2⋅10−3m2\/s4×(60s)2=365m2\/s2v2=2⋅10−3m2\/s4×(60s)2=365m2\/s2\nбуюу хурд нь v=6√5m\/sv=65m\/s байна."} +{"prompt":"1 градусын 1 л ус, 2 градусын 2 л ус, ……,  10 градусын 10 л усыг холиход ямар температуртай ус үүсэх вэ?","completion":"Заавар: 12+22+⋯+1021+2+⋯+1012+22+⋯+1021+2+⋯+10-г тооцоол.\n\n12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)612+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6 болохыг санаарай!\nБодолт: 12+22+⋯+1021+2+⋯+10=10(10+1)(2⋅10+1)610(10+1)2=712+22+⋯+1021+2+⋯+10=10(10+1)(2⋅10+1)610(10+1)2=7"} +{"prompt":"1(1−ax)3 задаргааны x3-ийн өмнөх коэффициент 2160 бол a=?","completion":"Заавар: (1+x)α=1+(α1)x+(α2)x2+(α3)x3+⋯+(αn)xn+⋯\nөргөтгөсөн биномын томьёо ашигла. Энд \n(xk)=x(x−1)(x−2)…(x−k+1)k!\nнь k зэргийн олон гишүүнт юм.\nБодолт: (1−ax)−3=1+(−3−1)(−ax)+(−3−2)(−ax)2+(−3−3)(−ax)3+⋯+(−3−n)(−ax)n+⋯\nтул\n(−3−3)(−a3)=2160⇔−−3(−3−1)(−3−2)3!×a3=10a3=2160\nбайна. Эндээс a3=216 буюу a=6 байна."} +{"prompt":"1(x−2)21(x−2)2 илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад x3x3-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?","completion":"Заавар: 1x−2=−12⋅11−x2=−12(1+x2+x222+x323+⋯)1x−2=−12⋅11−x2=−12(1+x2+x222+x323+⋯)\nзадаргааг ашигла.\nБодолт: 1x−2=−12(1+x21+x222+x323+⋯)1x−2=−12(1+x21+x222+x323+⋯) тул \n1(x−2)2=14(1+x21+x222+x323+⋯)(1+x21+x222+x323+⋯)1(x−2)2=14(1+x21+x222+x323+⋯)(1+x21+x222+x323+⋯)\nболно. Эндээс x3x3-ийн коэффициент нь\n14(1⋅123+121⋅122+122⋅121+123⋅1)=1814(1⋅123+121⋅122+122⋅121+123⋅1)=18\nбайна.\nЗаавар: Биномын өргөтгөсөн томьёо ашигла.\nБодолт: 1(x−2)2=14(1−x2)−21(x−2)2=14(1−x2)−2 ба\n(1−x2)−2=1−(−2−1)⋅x2+(−2−2)⋅(x2)2−(−2−3)⋅(x2)3+⋯(1−x2)−2=1−(−2−1)⋅x2+(−2−2)⋅(x2)2−(−2−3)⋅(x2)3+⋯\nтул x3x3-ийн коэффициент нь\n−14⋅(−2−3)⋅(12)3=−14⋅(−2)(−2−1)(−2−2)3!⋅18=18−14⋅(−2−3)⋅(12)3=−14⋅(−2)(−2−1)(−2−2)3!⋅18=18\nбайна."} +{"prompt":"1(x−3)(x−2)(x−1)1(x−3)(x−2)(x−1) илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад x2x2-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?","completion":"Заавар: 1(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−11(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−1\nбол\n1(x−3)(x−2)(x−1)=−A3⋅11−x3−B2⋅11−x2−C⋅11−x1(x−3)(x−2)(x−1)=−A3⋅11−x3−B2⋅11−x2−C⋅11−x\nболно.\nБодолт: 1(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−11(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−1\nбол\n1=A(x−2)(x−1)+B(x−3)(x−1)+C(x−2)(x−3)1=A(x−2)(x−1)+B(x−3)(x−1)+C(x−2)(x−3)\nболно. x=1,2,3x=1,2,3 утгуудыг орлуулбал 2C=12C=1, −B=1−B=1, 2A=12A=1 болох тул A=12A=12, B=−1B=−1, C=12C=12 байна. Иймд\n1(x−3)(x−2)(x−1)=12x−3−1x−2+12x−1=−16⋅11−x3+12⋅11−x2−12⋅11−x1(x−3)(x−2)(x−1)=12x−3−1x−2+12x−1=−16⋅11−x3+12⋅11−x2−12⋅11−x\n11−xa=1+xa+x2a2+x3a3+⋯11−xa=1+xa+x2a2+x3a3+⋯\nтул x2x2-ийн өмнөх коэффициент нь\n−16⋅132+12⋅122−12⋅112=−85216−16⋅132+12⋅122−12⋅112=−85216\nбайна."} +{"prompt":"1+1+√x1+x+√x:1x√x−1 илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: x√x−1=(√x)3−13=(√x−1)(x+√x+1)\nБодолт: 1+1+√x1+x+√x:1x√x−1=1+1+√x1+x+√x⋅x√x−11=1+1+√x1+x+√x⋅(√x−1)(x+√x+1)1=1+(√x+1)(√x−1)=1+x−1=x"} +{"prompt":"1+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅331+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅33 нь аль вэ?","completion":"Заавар: 1n(n+2)=12(1n−1n+2)1n(n+2)=12(1n−1n+2) болохыг ашигла.\nБодолт: Нийлбэр=1+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅33=1+12(11−13)+12(13−15)+⋯+12(131−133)=1+12(1−133)=4933Нийлбэр=1+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅33=1+12(11−13)+12(13−15)+⋯+12(131−133)=1+12(1−133)=4933"} +{"prompt":"1+12+222+⋯+102101+12+222+⋯+10210","completion":"Заавар: 11 тооны нийлбэрийг шууд бодоод олж болно.\n\nAn=a1+a2+⋯+an,A0=0An=a1+a2+⋯+an,A0=0 бол an=An−An−1an=An−An−1 байна. Эндээс\na1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=\n=(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+⋯+(An−An−1)bn==(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+⋯+(An−An−1)bn=\n=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn)+Anbn=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn)+Anbn\nболно. Үүнийг Абелийн хувиргалт гэдэг. Энэ хувиргалтыг a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbna1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn хэлбэрийн нийлбэр олоход өргөн ашигладаг.\nБодолт: an=12nan=12n, bn=nbn=n гэвэл\nS=1+a1b1+a2b2+⋯+a10b10S=1+a1b1+a2b2+⋯+a10b10\nнийлбэрийг олох бодлого болно.\nAn=12+⋯+12n=1−12nAn=12+⋯+12n=1−12n тул \nS=1+(1−12)(1−2)+⋯+(1−129)(9−10)+(1−1210)⋅10S=1+(1−12)(1−2)+⋯+(1−129)(9−10)+(1−1210)⋅10\n=1−9+10+12+⋯+129−10210=2+(1−129)−10210=1−9+10+12+⋯+129−10210=2+(1−129)−10210\n=3−12210=3−328=3⋅28−328=76528=3−12210=3−328=3⋅28−328=76528"} +{"prompt":"1+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅221+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅22 нь аль вэ?","completion":"Заавар: 1n(n+2)=12(1n−1n+2)1n(n+2)=12(1n−1n+2)\nБодолт: ∑=1+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅22=1+12(12−14)+12(14−16)+⋯+12(120−122)=1+12⋅12+12(−14+14)+⋯+12(−120+122)−12⋅122=1+12(12−122)=1+12⋅511=2722∑=1+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅22=1+12(12−14)+12(14−16)+⋯+12(120−122)=1+12⋅12+12(−14+14)+⋯+12(−120+122)−12⋅122=1+12(12−122)=1+12⋅511=2722"} +{"prompt":"1+13+232+333+434+535+⋯+103101+13+232+333+434+535+⋯+10310 нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: An=a1+a2+⋯+an,A0=0An=a1+a2+⋯+an,A0=0 гэе. Тэгвэл an=An−An−1an=An−An−1 тул\nn∑k=1akbk=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+(A3−A2)b3+⋯+(An−An−1)bn=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn)+Anbn∑k=1nakbk=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+(A3−A2)b3+⋯+(An−An−1)bn=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn)+Anbn\nХувиргалтыг Абелийн хувиргалт гэдэг.\nБодолт: Манай бодлогын хувьд an=13nan=13n, bn=nbn=n гэвэл An=13+19+⋯+13n=13(1−13n)1−13=12(1−13n)An=13+19+⋯+13n=13(1−13n)1−13=12(1−13n) ба bn−bn+1=−1bn−bn+1=−1 тул\n1+13+232+333+434+⋯+10310==1+12(1−13)(−1)+12(1−19)(−1)+⋯+12(1−139)(−1)+12(1−1310)⋅10=32−5310+12(13+19+⋯+139)=32−5310+14(1−139)=74−234⋅3101+13+232+333+434+⋯+10310==1+12(1−13)(−1)+12(1−19)(−1)+⋯+12(1−139)(−1)+12(1−1310)⋅10=32−5310+12(13+19+⋯+139)=32−5310+14(1−139)=74−234⋅310\nбайна."} +{"prompt":"1+2i1+2i тоо шийд нь болдог квадрат тэгшитгэл аль нь вэ?","completion":"Заавар: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1+2i=1−2i1+2i¯=1−2i тоо өөр нэг шийд нь болно гээд Виетийн теорем ашигла.\nБодолт: x1=1+2ix1=1+2i, x2=1−2ix2=1−2i шийдтэй квадрат тэгшитгэл нь Виетийн теорем ёсоор\nx2−(x1+x2)x+x1x2=0⇔x2−(1+2i+1−2i)x+(1+2i)(1−2i)=0x2−(x1+x2)x+x1x2=0⇔x2−(1+2i+1−2i)x+(1+2i)(1−2i)=0\n��ул x2−2x+5=0x2−2x+5=0 байна."} +{"prompt":"1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯=?1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯=?","completion":"Заавар: A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯ гэвэл (1−x)A(x)(1−x)A(x) хэдтэй тэнцүү вэ?\nБодолт: A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯ гэвэл\n(1−x)A(x)=(1−x)(1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯)=(1+2x+3x2+⋯+(n+1)xn+⋯)−(x+2x2+3x3+⋯+nxn+⋯)=1+(2−1)x+(3−2)x2+⋯(n+1−n)xn+⋯=1+x+x2+x3+⋯+xn+⋯=11−x(1−x)A(x)=(1−x)(1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯)=(1+2x+3x2+⋯+(n+1)xn+⋯)−(x+2x2+3x3+⋯+nxn+⋯)=1+(2−1)x+(3−2)x2+⋯(n+1−n)xn+⋯=1+x+x2+x3+⋯+xn+⋯=11−x\nтул A(x)=1(1−x)2A(x)=1(1−x)2 байна."} +{"prompt":"1+2x−3x+22+3x−42x+4+2+3x+22x−13+5x+32x−1=1\nтэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: a+bc=ac+bc\na:cb:c=ab\nБодолт: 1=1+2x−3x+22+3x−42x+4+2+3x+22x−13+5x+32x−1×(2x+4)×(2x+4)×(2x−1)×(2x−1)=2x+4+2(2x−3)2(2x+4)+3x−4+2(2x−1)+3x+23(2x−1)+5x+3=6x−27x+4+7x11x=6x−27x+4+711\nтул\n6x−27x+4=411⇒66x−22=28x+16⇒x=1\nбайна."} +{"prompt":"1+2|sinx|=2cos2x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: cos2x=1−2sin2x болохыг ашиглан s=sinx орлуулга ашиглан бод.\nБодолт: s=sinx гэвэл |s|≤1 ба\n1+2|s|=2(1−2s2)\nболно. Хэрвээ 0≤s≤1 бол\n1+2s=2−4s2⇔4s2+2s−1=0\nтул s=−2±√22−4⋅4⋅(−1)8=−1±√54\nба 0≤s тул s=√5−14 байна. Иймд\nx=(−1)narcsin√5−14+πn\nшийд олдож байна. Харин −1≤s<0 бол\n1−2s=2−4s2⇔4s2−2s−1=0\nтул s=2±√(−2)2−4⋅4⋅(−1)8=1±√54\nба s<0 тул s=−√5−14 байна. Иймд\nx=(−1)narcsin−√5−14+πn\nшийд олдож байна. arcsin функц сондгой болохыг ашиглаад шийдүүдээ нэгтгэж бичвэл x=±arcsin√5−14+πn"} +{"prompt":"1+n4+n8 илэрхийллийг квадрат 3 гишүүнтүүдийн үржвэрт задал.","completion":"Заавар:\nБодолт: 1+n4+n8=(1+2n4+n8)−n4=(n4+1)2−(n2)2=(n4−n2+1)(n4+n2+1)"} +{"prompt":"1+sin2x=cosx+sinx тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x1=π2+2πn, x2=2πn, x3=−π4+πn бүгдээрээ шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш.\n\nҮүнийг t=cosx+sinx гээд sin2x=t2−1 болохыг ашиглан t2=t тэгшитгэлд шилжүүлж бодож болно."} +{"prompt":"1+x5 илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: x5=−1 байх комплекс тоонууд нь x1=−1, x2,3=cos36∘±isin36∘, x4,5=cos108∘+isin108∘.\nБодолт: x5=−1 байх комплекс тоонууд нь x1=−1, x2,3=cos36∘±isin36∘, x4,5=cos108∘+isin108∘. Иймд Безугийн теоремоор\nx5+1=(x+1)(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)=(x+1)(x2−2cos36∘x+1)(x2−2cos108∘x+1)=(x+1)(x2−1+√52x+1)(x2−1−√52x+1)\nболно."} +{"prompt":"1+y21+2y+y2+1−3y+3y2−y3y2−1⋅11+y илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: a2+2ab+b2=(a+b)2⇒1+2y+y2=(1+y)2\na3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3⇒1−3y+3y2−y3=(1−y)3\na2−b2=(a−b)(a+b)⇒y2−1=(y−1)(y+1)\nБодолт: Илэрх.=1+y21+2y+y2+1−3y+3y2−y3y2−1⋅11+y=1+y2(1+y)2+(1−y)3(y−1)(y+1)⋅11+y=1+y2(1+y)2+−(y−1)(1−y)2(y−1)(y+1)2=1+y2(1+y)2−(1−y)2(y+1)2=1+y2−(1−2y+y2)(1+y)2=2y(1+y)2"} +{"prompt":"1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,…1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,… дарааллын 2016-р гишүүн a1b1007a1b1007 байна. Эхний kk гишүүний нийлбэрийг SkSk гэвэл S2n=cd4−1en−1−14⋅fgn−1S2n=cd4−1en−1−14⋅fgn−1 байна. S2n−1=S2n−(1−3)n−hS2n−1=S2n−(1−3)n−h тул энэ дараалалын бүх гишүүдийн нийлбэрS=limn→∞Sn=ijkS=limn→∞Sn=ijk байна.","completion":"Заавар: \nТэгш дугаартай гишүүд 1 прогресс, сондгой дугаартай гишүүд 1 прогресс үүсгэхийг хар. Геометр прогрессийн хувьд Sn=b11−qn1−qSn=b11−qn1−q байдаг. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр S=limn→∞Sn=b11−qS=limn→∞Sn=b11−q байдаг.\nБодолт: \n\n1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,…1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,… дарааллын тэгш дугаартай гишүүд −13−13 хуваарьтай геометр прогресс тул 2016-р гишүүн −131007−131007 байна. Эхний 2n2n гишүүний нийлбэр S2n=(1+12+14…12n−1)+(1−13+19…+1(−3)n−1)=S2n=(1+12+14…12n−1)+(1−13+19…+1(−3)n−1)=\n=2(1−12n)+34(1−1(−3)n)=114−12n−1−14⋅(−3)n−1=2(1−12n)+34(1−1(−3)n)=114−12n−1−14⋅(−3)n−1 байна. S2n−1=S2n−(1(−3))n−1S2n−1=S2n−(1(−3))n−1 тул энэ дараалалын бүх гишүүдийн нийлбэр S=limn→∞Sn=114S=limn→∞Sn=114 байна."} +{"prompt":"1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,… дараалал өгөв.","completion":"Заавар: Уг дарааллын nn-р гишүүн нь anan гэе. Тэгвэл an=k⇔1+2+⋯+k−11a>1 үед y=axy=ax нь өсөх функц байна. Иймд\nax0, f(3)<0 байна. Иймд 13⋅(−6)3+32⋅(−6)2−18⋅(−6)+c>0⇔c>−80\nба\n13⋅33+32⋅32−18⋅3+c<0⇔c<31.5\nбайна. Иймд c∈]−80;31.5[ үед f(x)=0 тэгшитгэл гурван бодит шийдтэй байна."} +{"prompt":"15x2−18x+50xy−60y үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: Хариуг шууд шалган тохирох хариуг ол.\nБодолт: (5x−6)(3x+10y)=(5x−6)⋅3x+(5x−6)⋅10y=\n=15x2−18x+50xy−60y\nтул A сонголт зөв.\nЗаавар: 5.2 Олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон (томьёо хэрэглэх, бүлэглэх, турших арга) задалдаг.\nБодолт: Хариунаас шалгавал\n(5x−6)(3x+10y)=15x2−18x+50xy−60y\nболно."} +{"prompt":"15x=−115x=−1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: ax=b⇒x=baax=b⇒x=ba байна.\nБодолт: 15x=−1⇒x=−115=−51=−515x=−1⇒x=−115=−51=−5"} +{"prompt":"15−lgx+21+lgx<1 хамгийн\nбага бүхэл шийдийг ол.","completion":"Заавар: t=lgx орлуулга ашиглан рационал тэнцэтгэл бишид шилжүүлээд\n00\nболно. Тэнцэтгэл бишийг интервалын аргаар бодвол\nt=lgx∈]−∞;−1[∪]2;3[∪]5;+∞[\nбуюу x∈]0;110[∪]100;1000[∪]105;+∞[ болно. Иймд хамгийн бага бүхэл шийд нь 101 байна."} +{"prompt":"15−t+21+t<115−t+21+t<1 тэнцэтгэл бишийн хамгийн\nбага эерэг бүхэл шийдийг ол.","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч рационал бутархайг тэгтэй жишиж бод.\nБодолт: 15−t+21+t<1⇔1+t+2(5−t)−(5−t)(1+t)(5−t)(1+t)<015−t+21+t<1⇔1+t+2(5−t)−(5−t)(1+t)(5−t)(1+t)<0\n⇔t2−5t+6(5−t)(1+t)<0⇔(t−2)(t−3)(t−5)(t+1)>0⇔t2−5t+6(5−t)(1+t)<0⇔(t−2)(t−3)(t−5)(t+1)>0\nболно. Тэнцэтгэл бишийг интервалын аргаар бодвол\nt∈]−∞;−1[∪]2;3[∪]5;+∞[t∈]−∞;−1[∪]2;3[∪]5;+∞[\nЭндээс хамгийн бага эерэг бүхэл шийд нь 66 болох нь харагдаж байна."} +{"prompt":"1600 м тойрог замаар тогтмол хурдтай 3-н тамирчин гүйж байв. 1-р тамирчин бусдынхаа эсрэг чиглэлд гүйж байсан ба тэрээр 2-р тамирчинтай 8 минут тутамд, 3-р тамирчинтай 4 минут тутамд зөрж байсан бол 3-р тамирчин 2-р тамирчинг хэдэн минут тутамд гүйцэж байсан бэ?","completion":"Заавар: v1+v2=200 м\/мин, v1+v3=400 м\/мин бол v3−v2=200 м\/мин байна.\nБодолт:\nЗаавар:\nБодолт: v1+v2=200 м\/мин, v1+v3=400 м\/мин бол v3−v2=200 м\/мин байна. Иймд 1600\/200=8 минут тутамд гүйцнэ."} +{"prompt":"1617sin8x+1617cos8x=12 тэгшитгэл бод.\n\nБодолт:\n(sin4x)2+(cos4x)2=1732 гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл (cos4x−sin4x)2+2sin4xcos4x=1732 болох ба cos22x+1asin42x=1732 болно. (1 оноо)\n\nЭнэ нь sin22x-ийн хувьд b(sin22x)2−32sin22x+cd=0 гэсэн (3 оноо) квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь sin22x=ef. (2 оноо)\n\nИймд x=±πg+πk2,k∈Z болно. (1 оноо)","completion":"Заавар: sin2x=2sinxcosx,cos2x=cos2x−sin2x,sin2x=1−cos2x томъёонуудыг ашиглан 0≤sin22x≤1 тооцон бод.\nБодолт: cos4x−sin4x=(cos2x−sin2x)(cos2x+sin2x)=cos2x−sin2x=cos2x ба 2sin4xcos4x=18sin42x тул a=8. Ижил хуваарь өгч хялбарчилбал 4(sin22x)2−32sin22+15=0 тэгшитгэлд шилжих тул b=4,cd=15 болно. Тэгшитгэлийг бодвол sin22x=12 болох тул ef=12. sin22x=1−cos4x2=12⇒cos4x=0 болно. Иймд x=±π8+πk2,k∈Z болж g=8 байна."} +{"prompt":"166 л багтаамжтай ванныг 22 минутад дүүргэхийн тулд 1 минутад 6.75 л ус оруулдаг хүйтэн усны крант нээж ажиллуулаад хааж, дараа нь 1 минутад 8.5 л ус оруулдаг халуун усны крант нээж ажиллуулжээ. Крант тус бүр хэчнээн минут нээлттэй байсан бэ?","completion":"Заавар: Дан хүйтэн усны крант ашигласан бол 22 минутанд хэдэн литр ус оруулах байсан бэ?\nБодолт: Хэрвээ дан хүйтэн усны крант ашигласан бол 22⋅6.75=148.522⋅6.75=148.5 литр ус орно. Зөрөө 166−148.5=17.5166−148.5=17.5 литр усыг нөхөхийн тулд халуун усны крантыг\n17.58.5−6.75=17.51.75=1017.58.5−6.75=17.51.75=10\nминут нээх шаардлагатай. Иймд хүйтэн усны крантыг 22−10=1222−10=12 минут нээжээ."} +{"prompt":"166 л багтаамжтай усны савыг 22 минутад дүүргэхийн тулд 1 минутад 6.75 л ус гоождог хүйтэн усны цорго нээж хаагаад, дараа нь 1 минутад 8.5 л ус гоождог халуун усны цорго нээжээ. Цорго тус бүр хэчнээн минут нээлттэй байсан бэ?","completion":"Заавар: Дан хүйтэн усны крант ашигласан бол 22 минутанд хэдэн литр ус оруулах байсан бэ?\nБодолт: Хэрвээ дан хүйтэн усны цорго ашигласан бол 22⋅6.75=148.522⋅6.75=148.5 литр ус орно. Зөрөө 166−148.5=17.5166−148.5=17.5 литр усыг нөхөхийн тулд халуун усны цоргыг\n17.58.5−6.75=17.51.75=1017.58.5−6.75=17.51.75=10\nминут нээх шаардлагатай. Иймд хүйтэн усны цоргыг 22−10=1222−10=12 минут нээжээ."} +{"prompt":"16x2+8x−1=016x2+8x−1=0 тэгшитгэлийн шийдүүд αα, ββ бол\n(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)\nилэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теорем ба төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёо ашигла.\nБодолт: Виетийн теоремоор α+β=−816=−12α+β=−816=−12, α⋅β=−116α⋅β=−116 байна. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёо ёсоор\n(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)=(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)=\n=11−α⋅11−β=11−α−β+α⋅β==11−α⋅11−β=11−α−β+α⋅β=\n=11+12−116=1623=11+12−116=1623"} +{"prompt":"1717 нь 5151-ийн хэдэн хувь болох вэ?","completion":"Заавар: 51 нь 100%100% гэвэл 1 нь хэдэн хувь бэ?\nБодолт: 1 нь 100%51100%51 тул 17 нь\n100%51⋅17=100%3.100%51⋅17=100%3."} +{"prompt":"18731873-ыг үржвэр нь хамгийн их байхаар хоёр бүхэл тооны нийлбэрт тавив. Тэдгээр тоонуудын үржвэрээс уул тоонуудыг болон уул тоонуудын нийлбэрийг хасахад хэд гарах вэ?","completion":"Заавар: Нийлбэр нь тогтмол хоёр хувьсагчийн хоорондын зай ойртох тусам үржвэр нь ихэсдэг.\nБодолт: x+y=1873x+y=1873 байх бүхэл тоонуудын хоорондох зай хамгийн багадаа 1 байх боломжтой тул x=936x=936, y=937y=937 үед үржвэр нь хамгийн их байна. Энэ үед\nx⋅y−x−y(x+y)=936⋅937−2⋅1873=873286x⋅y−x−y(x+y)=936⋅937−2⋅1873=873286\nбайна."} +{"prompt":"1a1+1a2+⋯+1an=3⋅n4n+1,n=1,2,3…1a1+1a2+⋯+1an=3⋅n4n+1,n=1,2,3… бол {an}{an} дараалалын ерөнхий гишүүн нь an=(a⋅n+1)⋅(b⋅n−c)dan=(a⋅n+1)⋅(b⋅n−c)d байна.","completion":"Заавар: Sn=1a1+1a2+⋯+1anSn=1a1+1a2+⋯+1an гээд Sn−Sn−1Sn−Sn−1-ийг сонирх.\nБодолт: Өгсөн нийлбэрийн томьёо ёсоор:\nSn−Sn−1=3n4n+1−3n−34n−3=Sn−Sn−1=3n4n+1−3n−34n−3=\n=12n2−9n−12n2+9n+3(4n+1)(4n−3)=3(4n+1)(4n−3)=12n2−9n−12n2+9n+3(4n+1)(4n−3)=3(4n+1)(4n−3)\nбайна. Нөгөө талаас 1an=Sn−Sn−11an=Sn−Sn−1 тул\nan=(4n+1)(4n−3)3an=(4n+1)(4n−3)3\nбайна."} +{"prompt":"1a1+1a2+⋯+1an=5nn+1,n=1,2,3…1a1+1a2+⋯+1an=5nn+1,n=1,2,3…\nбол a30=abca30=abc байна.","completion":"Заавар: n=30n=30, n=29n=29 байх үеийн ялгаврыг авч үз.\nБодолт: 1a1+1a2+⋯+1a30=5⋅3030+11a1+1a2+⋯+1a30=5⋅3030+1\n1a1+1a2+⋯+1a29=5⋅2929+11a1+1a2+⋯+1a29=5⋅2929+1\nба ялгавар нь\n1a30=15031−14530=150⋅30−145⋅3130⋅31=530⋅31=11861a30=15031−14530=150⋅30−145⋅3130⋅31=530⋅31=1186\nтул a30=186a30=186 байна."} +{"prompt":"1log2x−1log2x−1>11log2⁡x−1log2⁡x−1>1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: t=log2xt=log2⁡x орлуулга хийж бод.\nБодолт: t=log2xt=log2⁡x гэвэл\n1t−1t−1>1⇔−1t(t−1)>1⇔−1+t−t2t(t−1)>01t−1t−1>1⇔−1t(t−1)>1⇔−1+t−t2t(t−1)>0\nболно. Дурын tt бодит тооны хувьд −1+t−t2<0−1+t−t2<0 тул \n−1+t−t2t(t−1)>0⇔t(t−1)<0⇔00⇔t(t−1)<0⇔01log2x тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийг хариунаас бод. Өгөгдсөн завсаруудаас тоо орлуулж шийд болох эсэхийг шалга.\nБодолт: x=2−1=0.5 үед log20.5=−1 ба 1−1−4=−0.2>1−1=−1 тул шийд болно. Иймд эхний хоёр хариулт зөв байх боломжгүй.\n\nx=22=4 үед log24=2 ба 12−4=−0.5<12=0.5 тул шийд болохгүй. Иймд ]0;+∞[ хариулт биш.\n\nx=25=32 үед log232=5 ба 15−4=1>15 тул шийд болно. Иймд зөв хариулт нь зөвхөн ]0;1[∪]16;+∞[ байх боломжтой."} +{"prompt":"1n(n+1)(n+2)=1an+b2(n+1)+cn+1","completion":"Заавар: 1(n+α)(n+β)=1β−α(1n+α−1n+β)\nашигла.\nБодолт: 1n(n+1)(n+2)=(1n−1n+1)1n+2=1n(n+2)−1(n+1)(n+2)=12(1n−1n+1)−1n+1+1n+2=12⋅1n−32⋅1n+1+1n+1\nбайна."} +{"prompt":"1x+1+2|x|−1≥2x−2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: x<0 ба 0≤x байх шийдүүдийг тус, тусд нь бод.\nБодолт:"} +{"prompt":"1x+2y+3z=5, xyz=30 бол yz+2xz+3xy=?","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч бод.\nБодолт: 1x+2y+3z=yz+2xz+3zyxyz=yz+2xz+3zy30=5 тул yz+2xz+3xy=150 байна."} +{"prompt":"1x2+8x−9≥13x2−5x+2 тэнцэтгэл бишийг бодьё.\n\nx2+8x−9=(x−a)(x+b) ба 3x2−5x+2=(x−a)(cx−d) тул\n1x−a⋅(1x+b−1cx−d)=1x−a⋅ex−fg(x+b)(cx−d)≥0\nболно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь\nx∈]−∞;−h[∪]i3;j[∪[kl2;+∞[\nбайна.","completion":"Заавар: ax2+bx+c олон гишүүнтийн язгуурууд α, β бол ax2+bx+c=a(x−α)(x−β) байна.\nБодолт: x2+8x−9=(x−1)(x+9) ба 3x2−5x+2=(x−1)(3x−2) тул\n1x−1⋅(1x+9−13x−2)=1x−1⋅2x−11(x+9)(3x−2)≥0\nболно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь\nx∈]−∞;−9[∪]23;1[∪[112;+∞[\nбайна."} +{"prompt":"1x2−4+1x2−8x+12=1 тэгшитгэлийг\nхувиргавал\nx3−ax2−bx+cd=0 куб тэгшитгэл гарах ба\nx3−ax2−bx+cd=(x−2)(x2−ex−fg) тул\nx1=2, x2,3=h±√ij шийдтэй байна.\nТодорхойлогдох мужийг тооцвол анхны тэгшитгэлийн шийд x2,3\nболно.","completion":"Заавар: x2−4=(x−2)(x+2), x2−8x+12=(x−2)(x−6) болохыг ашиглан ерөнхий хуваарь өгч бод. Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай байх ёстойг анхаараарай.\nБодолт: 1=1x2−4+1x2−8x+12=1(x−2)(x+2)+1(x−2)(x−6)=x−6(x−6)(x−2)(x+2)+x+2(x−6)(x−2)(x+2)=2x−4(x−6)(x−2)(x+2)\nтул (x−6)(x2−4)=2x−4 гэж гарах ба гишүүнчлэн үржүүлж задлаад төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэж бичвэл\nx3−6x2−6x+28=0\nболно.\nx3−6x2−6x+28=(x−2)(x2−4x−14)=0\nтэгшитгэлийн шийдүүд нь x1=2, x2,3=2±√18 ба x1=2 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй."} +{"prompt":"1x>15 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: x≤0 үед 1x<0 тул шийдгүй. Иймд 015⇔x<5 болох ба x≤0 байх шийдгүй тул тэнцэтгэл бишийн шийд x∈(0;5) байна."} +{"prompt":"1x−1x−1<1 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч бодно.\nБодолт: 1x−1x−1<1⇔x−1x(x−1)−xx(x−1)0 бол f(x)≥g(x)⇔a(x)f(x)≥a(x)f(x) a(x)<0 бол\nf(x)≥g(x)⇔a(x)f(x)≤a(x)f(x) байна.\nБодолт: x≠0 байна. Хэрвээ x>0 бол 1x≤1⇔1≤x байна. Харин x<0 бол 1x≤1⇔1≥x байна."} +{"prompt":"1x≥1 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: x<0 бол 1x<0 байна.\nБодолт: x<0 бол 1x<0 тул шийд байхгүй. Мөн x=0 тодорхойлогдох мужид орохгүй тул x>0 байх шийдийг олоход хангалттай.\n1x≥1⇔1−xx≥0⇔1−x≥0⇔x≤1\nболно. x>0 тул тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]0;1] байна."} +{"prompt":"1−2x3−|1−x|=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь 3−|1−x|≠0 байна. Модультай тэгшитгэлийг бодсоны дараа гарсан шийдийг үнэхээр шийд болох эсэхийг шалгаж үзэх шаардлагатай байдаг.\nБодолт: 1−2x3−|1−x|=1⇒1−2x=3−|1−x|⇔|1−x|=2+2x\nтул 1−x=2+2x эсвэл −(1−x)=2+2x байх боломжтой. Эхний тэгшитгэлээс 3x=−1⇒x=−13 шийд гарах бөгөөд\n1−2⋅(−13)3−|1−(−13)|=1+233−113=123123=1\nтул анхны тэгшитгэлийн шийд болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс x=−3 гэсэн шийд гарах боловч\n1−2⋅33−|1−3|=−5≠1\nтул анхны тэгшитгэлийн шийд болж чадахгүй."} +{"prompt":"1−4sin2(5x−π3)=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: sin2α=1−cos2α2 томьёо ашиглан шугаман хэлбэрт оруулж бод. −1≤a≤1 бол cosx=a⇒x=±arccosa+2πk байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"1−sin2x=cosx−sinx тэгшитгэлийг [0,2π] завсарт бодоход аль шийд гарах вэ?","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x1=−π2+2πn, x2=2πn, x3=π4+πn бүгдээрээ шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш.\n\nҮүнийг t=cosx−sinx гээд sin2x=1−t2 болохыг ашиглан t2=t тэгшитгэлд шилжүүлж бодож болно."} +{"prompt":"1−sin2x=cosx−sinx тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x1=−π2+2πn, x2=2πn, x3=π4+πn бүгдээрээ шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш.\n\nҮүнийг t=cosx−sinx гээд sin2x=1−t2 болохыг ашиглан t2=t тэгшитгэлд шилжүүлж бодож болно."} +{"prompt":"1−√3sinxcosx=cos2x тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд ба хамгийн их сөрөг шийдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Үндсэн адилтгал ашигла.\nБодолт: 1=sin2x+cos2x тул\n1−√3sinxcosx=cos2x⇔sin2x=√3sincosx\nболно. Эндээс эсвэл sinx=0, эсвэл sinx=√3cosx байна.\n\nЭхний тэгшитгэлийн шийд x=πk, хоёр дахь тэгшитгэл tgx=√3 болох тул шийд нь x=π3+πk байна. Иймд хамгийн бага эерэг шийд нь π3, хамгийн их сөрөг шийд нь −23π юм. Эдгээрийн нийлбэр нь \nπ3−2π3=−π3\nболов."} +{"prompt":"1√2+1+1√3+√2+⋯+1√100+√99=?12+1+13+2+⋯+1100+99=?","completion":"Заавар: 1√n+1+√n=√n+1−√n1n+1+n=n+1−n байна.\n\nХэрэв bn=an+1−anbn=an+1−an бол m∑i=kbi=am+1−ak∑i=kmbi=am+1−ak байдаг.\nБодолт: 1√2+1+1√3+√2+⋯+1√100+√99==(√2−1)+(√3−√2)+⋯+(√100−√99)==√100−1=10−1=912+1+13+2+⋯+1100+99==(2−1)+(3−2)+⋯+(100−99)==100−1=10−1=9\nЭнд an=√nan=n, bn=1√n+1+√nbn=1n+1+n ба bn=an+1−anbn=an+1−an гэж авав."} +{"prompt":"1√20 бол \na(x)>b(x)⇔f(x)⋅a(x)>f(x)⋅b(x)\nбайна.\nБодолт: x→−∞ үед 2−x>0, x+1<0 тул 2−xx+1<0 байна. Иймд A хувилбар шийд болохгүй. Бусад хариуны хувьд x>−1 тул x+1>0 байна. Иймд тэнцэтгэл бишийг x+1 эерэг тоогоор үржүүлэхэд тэмдэг нь хэвээр хадгалагдана:\n1≤2−xx+1≤2⇔x+1≤2−x≤2x+2⇔0≤x≤12"} +{"prompt":"1≤2−xx+1≤2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: f(x)≤g(x)≤h(x)⇔{f(x)≤g(x)g(x)≤h(x)\nболохыг ашигла.\nБодолт: 1≤2−xx+1≤2⇔{1≤2−xx+12−xx+1≤2⇔{0≤(2−x)−(x+1)x+12−x−2(x+1)x+1≤0\n⇔{0≤1−2xx+1−3xx+1≤0⇔{(x+1)(x−12)≤00≤(x+1)xx+1≠0\n\nтул шийд нь эдгээрийн огтлолцол буюу [0;12] байна."} +{"prompt":"1≤a≤3 бол √(a−1)2+√(a−3)2 аль нь вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: √A2=|A| тул √(a−1)2+√(a−3)2=|a−1|+|a−3|. 1≤a≤3 үед a−1≥0 тул |a−1|=a−1, a−3≤0 тул |a−3|=−(a−3)=3−a. Иймд a−1+3−a=2."} +{"prompt":"1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+100⋅21001⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+100⋅2100 нийлбэрийн утга аль нь вэ?","completion":"Заавар: S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+100⋅2100S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+100⋅2100 гээд 2S−S2S−S илэрхийллийг хялбарчил.\nБодолт: 2S−S=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+100⋅2101−(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+100⋅2100)=(1−2)⋅22+(2−3)⋅23+⋯+(99−100)⋅2100+100⋅2101−2=100⋅2101−(2+22+23+⋯+2100)=100⋅2101−(2101−2)=99⋅2101+22S−S=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+100⋅2101−(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+100⋅2100)=(1−2)⋅22+(2−3)⋅23+⋯+(99−100)⋅2100+100⋅2101−2=100⋅2101−(2+22+23+⋯+2100)=100⋅2101−(2101−2)=99⋅2101+2\n2S−S=S2S−S=S тул S=2+99⋅2101S=2+99⋅2101 байна."} +{"prompt":"1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+99⋅2991⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+99⋅299 нийлбэрийн утга аль нь вэ?","completion":"Заавар: S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+99⋅299S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+99⋅299 гээд 2S−S2S−S илэрхийллийг хялбарчил.\nБодолт: 2S−S=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+99⋅2100−(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+99⋅299)=(1−2)⋅22+(2−3)⋅23+⋯+(98−99)⋅299+99⋅2100−2=99⋅2100−(2+22+23+⋯+299)=99⋅2100−(2100−2)=98⋅2100+22S−S=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+99⋅2100−(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+99⋅299)=(1−2)⋅22+(2−3)⋅23+⋯+(98−99)⋅299+99⋅2100−2=99⋅2100−(2+22+23+⋯+299)=99⋅2100−(2100−2)=98⋅2100+2\n2S−S=S2S−S=S тул S=2+98⋅2100S=2+98⋅2100 байна."} +{"prompt":"1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+n(n+1)=n3+an2+bnc1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+n(n+1)=n3+an2+bnc","completion":"Заавар: An=n(n+1)(n+2)An=n(n+1)(n+2) дарааллын дараалсан хоёр гишүүний ялгавар авч үз.\nБодолт: An=n(n+1)(n+2)An=n(n+1)(n+2) гэвэл\nAn−An−1=n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)=3n(n+1)An−An−1=n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)=3n(n+1)\nбуюу n(n+1)=An3−An−13n(n+1)=An3−An−13 болно. Иймд ялгаврын аргаар\nn∑i=1i(i+1)=An3−A03=n(n+1)(n+2)3∑i=1ni(i+1)=An3−A03=n(n+1)(n+2)3"} +{"prompt":"2 ажилчин хамтран 2 өдөрт ажлаа дуусгав. Хэрэв I ажилчин нь 2 өдөр, II ажилчин нь 1 өдөр ажилласан бол тэд хамтдаа нийт ажлын 5\/6-г гүйцэтгэх байв. I ажилчин ганцаараа энэхүү ажлыг хэдэн өдөр гүйцэтгэх вэ?","completion":"Заавар: I ажилчин ганцаараа xx өдөрт, II ажилчин ганцаараа yy өдөрт нийт ажлыг дуусгадаг гэвэл нийлээд нэг өдөрт нийт ажлын 1x1x ба 1y1y хэсгийг гүйцэтгэнэ.\nБодолт: ⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩2⋅1x+2⋅1y=12⋅1x+1y=56{2⋅1x+2⋅1y=12⋅1x+1y=56 байна. Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахийг хасвал 1y=16⇒y=61y=16⇒y=6. Иймд 2x+26=12x+26=1. Эндээс x=3x=3 болов."} +{"prompt":"2 ажилчин хамтран 3 өдөрт ажлаа дуусгав. Хэрэв I ажилчин нь 3 өдөр, II ажилчин нь 2 өдөр ажилласан бол тэд хамтдаа нийт ажлын 4545-г гүйцэтгэх байв. II ажилчин ганцаараа энэхүү ажлыг хэдэн өдөр гүйцэтгэх вэ?","completion":"Заавар: I ажилчин ганцаараа xx өдөрт, II ажилчин ганцаараа yy өдөрт нийт ажлыг гүйцэтгэдэг гэвэл нэг өдөрт тус бүр нийт ажлын 1x1x ба 1y1y-ийг гүйцэтгэнэ.\nБодолт: ⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩3⋅1x+3⋅1y=13⋅1x+2⋅1y=45{3⋅1x+3⋅1y=13⋅1x+2⋅1y=45 байна. Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахийг хасвал 1y=15⇒y=51y=15⇒y=5.\nЗаавар: II ажилчны сүүлийн өдөр хийх ёстой ажил нь нийт ажлын хэдэн хэсэг вэ?\nБодолт: II ажилчин сүүлийн өдөр нийт ажлын 1−45=151−45=15 хэсгийг хийх ёстой байжээ. Иймд II ажилчин нэг өдөр нийт ажлын 1515 хэсгийг хийдэг тул нийт ажлыг 55 өдөрт хийж дуусгах ажээ."} +{"prompt":"2 м\/сек хурдтай явж байсан завь өөрийн хурдтай пропорционал эсэргүүцлийн хүчний нөлөөгөөр хөдөлгөөнөө удаашруулж 4 секундийн дараа хурд нь 1 м\/сек болов.","completion":"Заавар: Завины хөдөлгөөний тэгшитгэл нь mdvdt=−kvmdvdt=−kv гэж гарна.\nБодолт: mdvdt=−kvmdvdt=−kv тэгшитгэлийг бодвол v(t)=Ce−kmtv(t)=Ce−kmt гэж гарах ба v(0)=2v(0)=2 анхны нөхцөлийг тооцвол C=2C=2 болно.\nv(4)=1v(4)=1 тул 2⋅e−km⋅4=1⇒e−km=4√122⋅e−km⋅4=1⇒e−km=124 тул v(t)=21−t4v(t)=21−t4 байна.\n v(t)=0.25=2−2=21−t4v(t)=0.25=2−2=21−t4 тул t=12t=12 байна.\n S(t)=∫x0v(t)dtS(t)=∫0xv(t)dt тул\nS(t)=∫t021−x4dx=8ln2(1−2−t4)S(t)=∫0t21−x4dx=8ln⁡2(1−2−t4)\nба t→∞t→∞ үед S(t)→8ln2S(t)→8ln⁡2 байна."} +{"prompt":"2 орой нь y=(x−1)(7−x) фунцийн графикийн y≥0 байх цэгүүд дээр, үлдэх 2 орой нь x тэнхлэг дээр байрлах тэгш өнцөгтүүдийн талбай дотроос хамгийн ихийг нь ол.","completion":"Заавар: x1=1, x2=7 тул параболын тэгш хэмийн тэнхлэг нь x=1+72=4 шулуун байна. x=4+t, t≥0 нь суурь дээрх цэг гэвэл суурийн урт нь 2t, өндөр нь f(4+t) байх тэгш өнцөгт багтана.\nБодолт: S(t)=2t⋅f(4+t)=2t(4+t−1)(7−t−4)=2t(9−t2)\nба S′(t)=2(9−t2)+2t(−2t)=18−6t2=0⇒t=±√3\nболно. t>0 тул t=√3 үед функц хамгийн их утгаа авна. Иймд\nmaxS=2⋅√3⋅(9−(√3)2)=12√3"} +{"prompt":"2 тооны нэг нь нөгөөгөөсөө 8-аар их ба нэгнийх нь 713713 нь нөгөөгийнхөө 3535-тай тэнцүү байсан бол уг хоёр тооны их нь abab бага нь cdcd байна.","completion":"Заавар: Хоёр тоогоо aa, bb гэвэл a−b=8a−b=8, 7a13=3b57a13=3b5 байна.\nБодолт: a=b+8a=b+8 тул 7a13=3b5⇒7(b+8)13=3b5⇒35(b+8)=39b⇒b=707a13=3b5⇒7(b+8)13=3b5⇒35(b+8)=39b⇒b=70, a=70+8=78a=70+8=78 байна."} +{"prompt":"2 цоргыг тус тусд нь нээвэл усан санг 4 ба 6 цагт дүүргэдэг. Хэрэв 2 цоргыг зэрэг нээвэл усан санг хэдий хугацаанд дүүргэх вэ?","completion":"Заавар: Цорго тус бүр 1 цагт усан сангийн ямар хэсгийг дүүргэх вэ? Нийлээд ямар хэсгийг дүүргэх вэ?\nБодолт: Нэг цагийн дотор I цорго усан сангийн 1414 хэсгийг, II цорго 1616 хэсгийг дүүргэх тул хамтдаа 14+16=102414+16=1024 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд хамтдаа 11024=2.411024=2.4 цаг буюу 2 цаг 24 минутанд усан санг дүүргэнэ."} +{"prompt":"2(2x−1)−3(x−2)=10 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: 2(2x−1)−3(x−2)=2⋅2x−2⋅1−3⋅x−3⋅(−2)=4x−2−3x+6=x+4\nбайна.\nБодолт: 2(2x−1)−3(x−2)=10⇔x+4=10⇒x=6 байна."} +{"prompt":"2(2x−1)−3(x−2)=52(2x−1)−3(x−2)=5 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: 2(2x−1)−3(x−2)=2⋅2x−2⋅1−3⋅x−3⋅(−2)=4x−2−3x+6=x+42(2x−1)−3(x−2)=2⋅2x−2⋅1−3⋅x−3⋅(−2)=4x−2−3x+6=x+4\nбайна.\nБодолт: 2(2x−1)−3(x−2)=5⇔x+4=5⇒x=12(2x−1)−3(x−2)=5⇔x+4=5⇒x=1 байна."} +{"prompt":"2+53+89+1127+1481+⋯+3n+23n…2+53+89+1127+1481+⋯+3n+23n… нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: A=2+53+89+1127+1481+⋯+3n+23n+⋯A=2+53+89+1127+1481+⋯+3n+23n+⋯ гээд 3A−A3A−A илэрхийллийг хялбарчил.\nБодолт: A=∞∑n=03n+23nA=∑n=0∞3n+23n тул\n3A−A=3∞∑n=03n+23n−∞∑n=03n+23n=∞∑n=03n+23n−1−∞∑n=03n+23n=6+∞∑n=13n+23n−1−∞∑n=03n+23n=6+∞∑n=13(n−1)+53n−1−∞∑n=03n+23n=6+∞∑n=03n+53n−∞∑n=03n+23n=6+∞∑n=033n=6+31−13=10123A−A=3∑n=0∞3n+23n−∑n=0∞3n+23n=∑n=0∞3n+23n−1−∑n=0∞3n+23n=6+∑n=1∞3n+23n−1−∑n=0∞3n+23n=6+∑n=1∞3(n−1)+53n−1−∑n=0∞3n+23n=6+∑n=0∞3n+53n−∑n=0∞3n+23n=6+∑n=0∞33n=6+31−13=1012\nтул A=10122=514A=10122=514 байна."} +{"prompt":"2+i2+i тоо шийд нь болдог квадрат тэгшитгэл аль нь вэ?","completion":"Заавар: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯2+i=2−i2+i¯=2−i тоо өөр нэг шийд нь болно гээд Виетийн теорем ашигла.\nБодолт: x1=2+ix1=2+i, x2=2−ix2=2−i шийдтэй квадрат тэгшитгэл нь Виетийн теорем ёсоор\nx2−(x1+x2)x+x1x2=0⇔x2−(2+i+2−i)x+(2+i)(2−i)=0x2−(x1+x2)x+x1x2=0⇔x2−(2+i+2−i)x+(2+i)(2−i)=0\nтул x2−4x+5=0x2−4x+5=0 байна."} +{"prompt":"2+√x−x√x−2 бутархайг хураавал ямар илэрхийлэл гарах вэ?","completion":"Заавар: Хариунаас аль тохирохыг нь ол.\nБодолт: (−√x−1)(√x−2)=−x+2√x−√x+2=2+√x−x тул B хариулт зөв байна.\n\nМөн √x=t, x=t2 орлуулга хийгээд 2+t−t2t−2=−(t+1)(t−2)t−2=−t−1=−√x−1\nгэж бодож болно."} +{"prompt":"20 хувийн концентрацитай 18 гр уусмал дээр концентранцийг нь 4 хувиар нэмэгдүүлэхийн тулд 26 хувийн концентрацитай хэчнээн грамм уусмал нэмж хийх шаардлагатай вэ?","completion":"Заавар: 18⋅20%+x⋅26%18+x=20%+4%=24%.\nБодолт: a процентийн x, b процентийн y хэмжээтэй уусмалыг холиход x⋅a%+y⋅b%x+y процентийн уусмал гарна. Иймд 18⋅20%+x⋅26%18+x=20%+4%=24%⇒\n \n360+26x=432+24x⇔2x=72⇒x=36 гр.\nЗаавар: x гр 26%-ийн уусмал нэмбэл концентраци нь 18⋅20%+x⋅26%18+x болно.\nБодолт: 18⋅20%+x⋅26%18+x=20%+4%=24% тэгшитгэлээс\n18⋅20+26x=18⋅24+24x⇒2x=18⋅4��x=36\nбайна."} +{"prompt":"2007 гэсэн тоог дараалсан 18 натурал тооны нийлбэрт задалж болдог бол тэдгээр тооны хамгийн ихийг ол.","completion":"Заавар: Олох тоог a гэвэл a+(a−1)+⋯+(a−17)=2007 байна.\nБодолт: a+(a−1)+⋯+(a−17)=2007\n⇒18a=2007+1+172⋅17\n⇒a=2007+9⋅1718=120"} +{"prompt":"2016∑n=1cosπn6=?∑n=12016cos⁡πn6=?","completion":"Заавар: sin(n+3)π6+sinnπ6=2sin(2n+3)π6⋅cosπ2=0sin⁡(n+3)π6+sin⁡nπ6=2sin⁡(2n+3)π6⋅cos⁡π2=0\nболохыг ашигла.\nБодолт: 2016∑n=1sinπn6∑n=12016sin⁡πn6 нийлбэрийг дахин бүлэглээд sin(n+3)π6+sinnπ6=0sin⁡(n+3)π6+sin⁡nπ6=0 хэлбэрийн нэмэгдэхүүнүүдэд задалж болох тул нийлбэр нь 00 байна."} +{"prompt":"2016∑n=1sinπn6=?∑n=12016sin⁡πn6=?","completion":"Заавар: sin(n+6)π6+sinnπ6=0sin⁡(n+6)π6+sin⁡nπ6=0\nболохыг ашигла.\nБодолт: 2016∑n=1sinπn6∑n=12016sin⁡πn6 нийлбэрийг дахин бүлэглээд sin(n+3)π6+sinnπ6=0sin⁡(n+3)π6+sin⁡nπ6=0 хэлбэрийн нэмэгдэхүүнүүдэд задалж болох тул нийлбэр нь 00 байна."} +{"prompt":"2017∑n=1cosπn3=?∑n=12017cos⁡πn3=?","completion":"Заавар: cos(n+3)π3+cosnπ3=0cos⁡(n+3)π3+cos⁡nπ3=0\nболохыг ашигла.\nБодолт: 2016∑n=1cosπn3∑n=12016cos⁡πn3 нийлбэрийг дахин бүлэглээд cos(n+3)π3+sinnπ3=0cos⁡(n+3)π3+sin⁡nπ3=0 хэлбэрийн нэмэгдэхүүнүүдэд задалж болох тул нийлбэр нь 00 байна. Иймд\n2017∑n=1cosπn3=cosπ⋅20173+2016∑n=1cosπn3=cosπ3=12∑n=12017cos⁡πn3=cos⁡π⋅20173+∑n=12016cos⁡πn3=cos⁡π3=12"} +{"prompt":"2017∑n=1sinπn6=?∑n=12017sin⁡πn6=?","completion":"Заавар: sin(n+6)π6+sinnπ6=0sin⁡(n+6)π6+sin⁡nπ6=0\nболохыг ашигла.\nБодолт: 2016∑n=1sinπn6∑n=12016sin⁡πn6 нийлбэрийг дахин бүлэглээд sin(n+6)π6+sinnπ6=0sin⁡(n+6)π6+sin⁡nπ6=0 хэлбэрийн нэмэгдэхүүнүүдэд задалж болох тул нийлбэр нь 00 байна. Иймд\n2017∑n=1sinπn6=sinπ⋅20176+2016∑n=1sinπn6=sinπ6=12∑n=12017sin⁡πn6=sin⁡π⋅20176+∑n=12016sin⁡πn6=sin⁡π6=12"} +{"prompt":"20x2−23x+6=020x2−23x+6=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x1,x2x1,x2 бол x1⋅x2+x1+x2x1⋅x2+x1+x2 хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: Виетийн теоремоор x1+x2=2320x1+x2=2320, x1x2=620x1x2=620 байна.\nБодолт: x1x2+x1+x2=2320+620=2920x1x2+x1+x2=2320+620=2920 байна."} +{"prompt":"20x2−23x+6=020x2−23x+6=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x1x1, x2x2 бол x1⋅x2+x1+x2x1⋅x2+x1+x2 хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1,x2x1,x2 нь бол\nx1+x2=−ba, x1⋅x2=cax1+x2=−ba, x1⋅x2=ca\nбайдаг. Үүнийг Виетийн теорем гэнэ.\nБодолт: Виетийн теоремоор\nx1+x2=−−2320=2320, x1⋅x2=620x1+x2=−−2320=2320, x1⋅x2=620\nтул\nx1⋅x2+x1+x2=620+2320=2920x1⋅x2+x1+x2=620+2320=2920\nбайдаг."} +{"prompt":"20x2−35x+40xy−70y үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: Хариуг шууд шалга.\nБодолт: (4x−7)(5x+10y)=20x2+40xy−35x−70y тул зөв хариулт нь B болно."} +{"prompt":"21+3+x5−3x+13−5x+12x−1=1\nтэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужийг анхаарах шаардлагатай. Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай тул\nD:{1+3+x5−3x≠05−3x≠03−5x+12x−1≠02x−1≠0\nбайна.\nБодолт: 21+3+x5−3x+13−5x+12x−1=1⇒\n2(5−3x)(5−3x)+3+x+2x−13(2x−1)−(5x+1)=1⇒\n2(5−3x)8−2x+2x−1x−4=1⇒\n3x−5x−4+2x−1x−4=1⇒5x−6=x−4⇒x=12\nГэвэл x=12 үед 2x−1=0 болох тул тодорхойлогдох мужид орохгүй. Иймд тэгшитгэл бодит шийдгүй.\n\nСанамж: Зарим тэгшитгэлийн хувьд тодорхойлогдох мужийг анхнаасаа тооцолгүйгээр бодоод дараа нь гарсан шийдээ шалгах нь илүү хялбар байдаг."} +{"prompt":"210⋅11+211⋅12+⋯+248⋅49+249⋅50=?210⋅11+211⋅12+⋯+248⋅49+249⋅50=?","completion":"Заавар: 1n(n+1)=1n−1n+11n(n+1)=1n−1n+1 болохыг ашигла.\nБодолт: 210⋅11+211⋅12+⋯+248⋅49+249⋅50==2(110−111+111−112+⋯+148−149+149−150)=2(110−150)=425210⋅11+211⋅12+⋯+248⋅49+249⋅50==2(110−111+111−112+⋯+148−149+149−150)=2(110−150)=425"} +{"prompt":"212+59212+59 тоо зохиомол болохыг харуул.","completion":"Заавар: 3-т хуваагдахыг нь харуул.\nБодолт:"} +{"prompt":"22 радиустай тойрогт багтсан тэгш өнцөгт гурвалжны периметр4+2√54+25 бол гурвалжны талбайг олоорой.","completion":"Заавар: 12=2−112=2−1 ба илтгэгч функцийн монотон чанар ашигла.\nБодолт: (12)x2−7<23|x−1|(12)x2−7<23|x−1| (2−1)x2−7<23|x−1|−x2+7<3|x−1|(2−1)x2−7<23|x−1|−x2+7<3|x−1| x2+3|x−1|−7>0x2+3|x−1|−7>0\n⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1x2−3(x−1)−7>0{x≥1(x2+3(x−1)−7>0⇒⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1x2−3x+3−7>0{x≥1(x2+3x−3−7>0⇒⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1(x2−3x−4>0{x≥1(x2+3x−1)−10>0[{x<1x2−3(x−1)−7>0{x≥1(x2+3(x−1)−7>0⇒[{x<1x2−3x+3−7>0{x≥1(x2+3x−3−7>0⇒[{x<1(x2−3x−4>0{x≥1(x2+3x−1)−10>0\n⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1(x−4)(x+1)>0{x≥1(x+5)(x−2)>0⇒[x<−1x>2⇒[{x<1(x−4)(x+1)>0{x≥1(x+5)(x−2)>0⇒[x<−1x>2⇒\n ]−∞;−1[∪]2;∞[]−∞;−1[∪]2;∞["} +{"prompt":"230⋅31+231⋅32+⋯+2118⋅119+2119⋅120=?230⋅31+231⋅32+⋯+2118⋅119+2119⋅120=?","completion":"Заавар: 1n(n+1)=1n−1n+11n(n+1)=1n−1n+1 томьёог ашигла.\nБодолт: 230⋅31+231⋅32+⋯+2118⋅119+2119⋅120==2(130−131+131−132+⋯+1118−1119+1119−1120)=2(130−1120)=120230⋅31+231⋅32+⋯+2118⋅119+2119⋅120==2(130−131+131−132+⋯+1118−1119+1119−1120)=2(130−1120)=120"} +{"prompt":"235+x=8×(−4.5)−(−2x) тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: 8×(−4.5)=−8×4.5, −(−2x)=2x(=+2x) байна.\nБодолт: 235+x=8×(−4.5)−(−2x)=−8×4.5+2x\nтул\n235+x=−36+2x⇔235+36=2x−x⇔x=3835\nбайна."} +{"prompt":"23x+1+1=4x+2x+123x+1+1=4x+2x+1 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: −1;0;1;2;3−1;0;1;2;3 тоонуудыг шийд болох эсэхийг шалгаж зөв хариултыг ол.\nБодолт: x=−1x=−1 нь\n23⋅(−1)+1+1=1.25=4−1+2−1+123⋅(−1)+1+1=1.25=4−1+2−1+1\nтул шийд болно.\n\nx=0x=0 нь\n23⋅0+1+1=3=40+20+123⋅0+1+1=3=40+20+1\nтул мөн шийд болно. Иймд зөв хариулт нь {0;−1}{0;−1} буюу D байна."} +{"prompt":"240⋅41+241⋅42+⋯+2118⋅119+2119⋅120=?240⋅41+241⋅42+⋯+2118⋅119+2119⋅120=?","completion":"Заавар: 1n(n+1)=1n−1n+11n(n+1)=1n−1n+1 болохыг ашигла.\nБодолт: 240⋅41+241⋅42+⋯+2118⋅119+2119⋅120==2(140−141+141−142+⋯+1118−1119+1119−1120)=2(140−1120)=130240⋅41+241⋅42+⋯+2118⋅119+2119⋅120==2(140−141+141−142+⋯+1118−1119+1119−1120)=2(140−1120)=130"} +{"prompt":"250⋅51+251⋅52+⋯+2148⋅149+2149⋅150=?250⋅51+251⋅52+⋯+2148⋅149+2149⋅150=?","completion":"Заавар: 1n(n+1)=1n−1n+11n(n+1)=1n−1n+1 болохыг ашигла.\nБодолт: 250⋅51+251⋅52+⋯+2148⋅149+2149⋅150==2(150−151+151−152+⋯+1148−1149+1149−1150)=2(150−1150)=275250⋅51+251⋅52+⋯+2148⋅149+2149⋅150==2(150−151+151−152+⋯+1148−1149+1149−1150)=2(150−1150)=275"} +{"prompt":"251x+1=6⋅51x−12251x+1=6⋅51x−12 хамгийн бага шийдийг ол.","completion":"Заавар: t=51x−12t=51x−12 гэвэл 251x=5t2251x=5t2 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"25x2+3x+2+4⋅125x2+3x+23=525x2+3x+2+4⋅125x2+3x+23=5 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=−1x=−1 шийд болох эсэхийг шалгая. (−1)2+3(−1)+2=0(−1)2+3(−1)+2=0 ба\n250+4⋅1250=1+4=5250+4⋅1250=1+4=5\nтул шийд болж байна. Одоо зөв хариу нь А, C, E хувилбаруудын аль нэг байна.\n\nx=1x=1 шийд болох эсэхийг шалгая. 12+3⋅1+2=612+3⋅1+2=6 тул\n256+4⋅1252>5256+4⋅1252>5\nтул шийд бол чадахгүй.\n\nx=2x=2 шийд болохгүйг өмнөхтэй адил хялбархан шалгаж болно.\n\nx=−2x=−2 үед (−2)2+3(−2)+2=0(−2)2+3(−2)+2=0 тул шийд болно. Иймд зөв хариулт нь E байна.\n\nСанамж: ЭЕШ-ийн тэгшитгэл тэнцэтгэл бишүүдийг хариунаас нь бодох аргад суралцах нь чухал болохыг энэ болон бусад олон бодлогоос харж болно. Үүний тулд чээжээр хялбар шалгаж болох утгуудыг сонгож сурах хэрэгтэй."} +{"prompt":"25x−6⋅5x+5=025x−6⋅5x+5=0 тэгшитгэлийн шийдүүд аль нь вэ?","completion":"Заавар: t=5xt=5x орлуулга ашигла.\nБодолт: t=5xt=5x гэвэл t2=(5x)2=25xt2=(5x)2=25x тул\nt2−6t+5=0t2−6t+5=0\nтул\nt1,2=6±√62−4⋅1⋅52⋅1=6±42t1,2=6±62−4⋅1⋅52⋅1=6±42\nбайна. Эндээс t1=5t1=5 үед 5x=5⇒x=15x=5⇒x=1, t2=1t2=1 үед 5x=1⇒x=05x=1⇒x=0 гэсэн шийдүүдтэй."} +{"prompt":"25y2−9z25y−3z+2:9z2−30zy+25y225y2+6z+10y−9z2−60zy5y−3z үйлдлийг гүйцэтгэ.","completion":"Заавар: 25y2+6z+10y−9z2=(5y)2−(3z)2+2(3z+5y)=\n=(5y−3z)(5y+3z)+2(5y+3z)=(5y−3z+2)(5y+3z)\nБодолт: Илэрх.=25y2−9z25y−3z+2:9z2−30zy+25y225y2+6z+10y−9z2−60zy5y−3z=25y2−9z25y−3z+2⋅25y2+6z+10y−9z29z2−30zy+25y2−60zy5y−3z=(5y)2−(3z)25y−3z+2⋅25y2+6z+10y−9z2(3z)2−2⋅(3z)⋅(5y)+(5y)2−60zy5y−3z=(5y−3z)(5y+3z)5y−3z+2⋅(5y−3z+2)(5y+3z)(5y−3z)2−60zy5y−3z=(5y+3z)25y−3z−60zy5y−3z=25y2+30yz+9z2−60yz5y−3z=(5y−3z)25y−3z=5y−z"} +{"prompt":"25−a2−2ab−b225−a2−ab−5b бутархайг хураа.","completion":"Заавар: 25−a2−2ab−b2=52−(a+b)2=(5−a−b)(5+a+b),25−a2−ab−5b=(5−a)(5+a)−b(a+5)=(a+5)(5−a−b)\nбайна.\nБодолт: 25−a2−2ab−b225−a2−ab−5b=(5−a−b)(5+a+b)(a+5)(5−a−b)=a+b+5a+5\nбайна."} +{"prompt":"27m3+n3=?","completion":"Заавар: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)\nБодолт: 27m3+n3=(3m)3+n3=(3m+n)((3m)2−3m⋅n+n2)=\n=(3m+n)(9m2−3mn+n2)"} +{"prompt":"27⋅xlog27x=x10\/327⋅xlog27⁡x=x10\/3 тэгшитгэл x>ax>a мужид\nтодорхойлогдох ба x=b,x=b, x=cd3x=cd3 шийдтэй.","completion":"Заавар: logabloga⁡b бол a,b>0a,b>0, a≠1a≠1 байна. Тэгшитгэлийн 2 талаас 2727 суурьтай логарифм авч бод.\nБодолт: Логарифмийн тодорхойлолт ёсоор x>0x>0 байх ёстой. Тэгшитгэлийн 2 талаас 2727 суурьтай логарифм авбал\nlog27(27⋅xlog27x)=log27x10\/3⇔log2727+log27xlog27x=103log27xlog27⁡(27⋅xlog27⁡x)=log27⁡x10\/3⇔log27⁡27+log27⁡xlog27⁡x=103log27⁡x\nt=logxt=logx ба log27xlog27x=log27x⋅log27xlog27⁡xlog27⁡x=log27⁡x⋅log27⁡x болохыг тооцвол\n1+t2=103t⇔3t2−10t+3=01+t2=103t⇔3t2−10t+3=0\nбуюу\nt1,2=10±√102−4⋅3⋅32⋅3=10±86t1,2=10±102−4⋅3⋅32⋅3=10±86\nболно. Иймд t1=3=log27x⇒x=273t1=3=log27⁡x⇒x=273, t2=13⇒x=2713=3t2=13⇒x=2713=3 гэсэн шийдүүдтэй."} +{"prompt":"2a+6a нь бүхэл тоо байх a бүхэл тоо хэдэн ширхэг байх вэ?","completion":"Заавар: 2a+6a=2+6a тоо хэдийд бүхэл тоо байх вэ?\nБодолт: 2+6a∈Z байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a тоо 6-г бүхлээр хуваадаг тоо байна. Эдгээрийг жагсааж бичвэл\n−6,−3,−2,−1,1,2,4,6\nтул 8 ширхэг утга дээр бүхэл тоо байна."} +{"prompt":"2a−(8a+1)−(a+2)×5=9 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Зүүн гар талын хаалтыг задалж эмхэтгэ.\nБодолт: 2a−(8a+1)−(a+2)×5=2a−8a−1−(5a+10)=−6a−1−5a−10=−11a−11\nтул −11a−11=9 буюу −11a=20 тул\na=20:(−11)=−2011=−1911\nбайна."} +{"prompt":"2cos2(π4−32x)−1=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: 2cos2α−1=cos2α томьёо ашиглан шугаман хэлбэрт оруулж бод. cosx=0⇒x=π2+2πk байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"2cos22x≤32 тэнцэтгэл бишийн\n0∘≤x≤90∘ нөхцөл хангах шийд нь\nab∘≤x≤cd∘\nбайна.","completion":"Заавар: 2cos2α=1+cos2α болохыг ашиглан тэнцэтгэл бишийг шугаман хэлбэрт оруулж бод. Шийдийг тригонометрийн нэгж тойрог дээр дүрсэлж харах нь ашигтай байдаг.\nБодолт: 2cos22x≤32⇔1+cos4x≤32⇔cos4x≤12\n\ncosα≤12⇔60∘+360∘⋅k≤α≤300∘+360∘⋅k\nтул\n60∘+360∘⋅k≤4x≤300∘+360∘⋅k\nбуюу\n15∘+90∘⋅k≤x≤75∘+90∘⋅k\nбайна. Мэдээж 0∘≤x≤90∘ нөхцлийг хангах шийдүүд нь\n15∘≤x≤75∘\nбайна."} +{"prompt":"2cos2x+3cosx=−1 тэгшитгэлийн 0<α1<α2<α3<… байх шийдүүдийн хувьд α6+α7=aπ ба a бүхэл тоо бол түүнийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: 2cos2x+3cosx=−1⇒2cos2x+3cosx+1=0 тул\ncosx=−1∨cosx=−12⇒x=π+2πk∨x=±2π3+2πk. Иймд α1=2π3, α2=π, α3=4π3, α4=8π3, α5=3π, α6=10π3, α7=14π3. α6+α7=10π3+14π3=8π. Иймд a=8."} +{"prompt":"2cos2x+5cosx+2≥0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: c=cosx гэвэл 2c2+5c+2≥0 болно.\nБодолт: c=cosx гэвэл 2cos2x+5cosx+2=2c2+5c+2=(2c+1)(c+2)≥0 болно. \ncosx+2>0 тул 2c+1≥0 буюу cosx>12 болно. Тэнцэтгэл бишийн шийд нь\n−π3+2πk13x>13 тул 0.50.5, 1212 шийд болохгүй. 14 ба 17 шийд болох эсэхийг шалга.\nБодолт: x=14x=14 нь \n2lg√14−13=2lg1=02lg⁡14−13=2lg⁡1=0 ба \n2−lg(2⋅14−9)=lg100−lg19≠02−lg⁡(2⋅14−9)=lg⁡100−lg⁡19≠0 тул шийд болож чадахгүй. \n\nИймд x=17x=17 байна (боломжит хувилбар нь зөвхөн B үлдсэн тул шалгах шаардлагагүй)."} +{"prompt":"2log0.5(x−2)y>0loga⁡xy>0\nбайна.\nБодолт: Л��гарифм функцийн аргумент эерэг тул x−2>0,x+4>0⇒x>2x−2>0,x+4>0⇒x>2 тул\nD=]2;+∞[D=]2;+∞[ байна. Логарифмийн суурь 1-ээс бага тул 2log0.5(x−2)x+4.2log0.5⁡(x−2)x+4. Эндээс x2−5x>0⇔x<0∪50⇔x<0∪5log0.5(x+4)2log0.5⁡(x−2)>log0.5⁡(x+4) тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: Логарифм функцийн аргумент эерэг тул x−2>0,x+4>0⇒x>2x−2>0,x+4>0⇒x>2 тул\nD=]2;+∞[D=]2;+∞[ байна. Логарифмийн суурь 1-ээс бага тул 2log0.5(x−2)>log0.5(x+4)⇔log0.5(x−2)2>log0.5(x+4)⇔(x−2)2log0.5⁡(x+4)⇔log0.5⁡(x−2)2>log0.5⁡(x+4)⇔(x−2)2log13(2x−1) тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: f(x)=logax функц нь x>0 мужид тодорхойлогдох бөгөөд 1log13(2x−1)⇔log13(x−2)2>log13(2x−1)\n⇔(x−2)2<2x−1⇔x2−6x+5<0\nЭндээс (x−1)(x−5)>0 тул x∈(1;5). Тодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд нь (2;5) байна.\nЗаавар: Хариунаас бод. Тодорхойлогдох муж нь x−2>0, 2x−1>0 буюу x>2 юм.\nБодолт: Тодорхойлогдох мужаас A, C шийд биш. x=3 нь\n2log13(3−2)=0>log13(2⋅3−1)=log135\nтул шийд болно. Иймд D, E шийд болохгүй тул зөвхөн B буюу (2;5) хариулт үлдэж байна."} +{"prompt":"2log13(x−2)>log13(2x−1)2log13⁡(x−2)>log13⁡(2x−1) тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужаа тооцоод logab>logac⇔(a−1)(b−c)>0loga⁡b>loga⁡c⇔(a−1)(b−c)>0 болохыг ашигла.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x>2x>2 байна. 2log13(x−2)=log13(x−2)2>log13(2x−1)2log13⁡(x−2)=log13⁡(x−2)2>log13⁡(2x−1) ба \nlog13(x−2)2>log13(2x−1)⇔(13−1)((x−2)2−2x+1)>0log13⁡(x−2)2>log13⁡(2x−1)⇔(13−1)((x−2)2−2x+1)>0 тул x2−4x+4−2x+1=x2−6x+5<0⇒10 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: sinx=±1 шийд болохгүй тул s=sinx нь |s|<1 гэж үзэж болно.\nБодолт: s=sinx гэвэл s≠±1 тул −10 болно. Эндээс\n2(s+1)(s−12)s−1>0⇔s−12<0\nболох ба −1sin2x тэнцэтгэл бишийн x∈[π2;3π2] байх шийдүүдийг ол.","completion":"Заавар: sin2x=2sinxcosx томьёог ашиглан үржигдэхүүнд задалж бод.\nБодолт: 2sin2x>sin2x⇔sin2x>sinxcosx⇔sinx⋅(sinx−cosx)>0. Иймд {sinx>0sinx>cosx⋃{sinx<0sinx1 тэнцэтгэл бишийг 0≤x<2π мужид бод.","completion":"Заавар: sinx>a тэнцэтгэл бишийн шийд нь\nπ−arcsina+2πk12. Хэрэв x өнцгийг цагийн зүүний эсрэг чиглэлд байгуулвал нэгж тойрогтой огтлолцох цэгүүд нь s=12 шулуунаас дээш оршино. Эндээс π61a>1 үед y=axy=ax функц нь өсдөг функц байдаг тул\nax12>1 тул\n2x2−x≤230⇔x2−x≤302x2−x≤230⇔x2−x≤30\nx2−x−30=0x2−x−30=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1=−5x1=−5, x2=6x2=6 тул x2−x−30≤0x2−x−30≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь x1≤x≤x2x1≤x≤x2 буюу\n−5≤x≤6−5≤x≤6 байна."} +{"prompt":"2x3−12=x4−1122x3−12=x4−112 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Шугаман тэгшитгэл рүү шилжих хялбар рационал тэгшитгэлийн шийдийг олдог.\nБодолт: 2x3−12=x4−112⇔123⋅(2x)−122=124x−1212⇔5x=5⇔x=12x3−12=x4−112⇔123⋅(2x)−122=124x−1212⇔5x=5⇔x=1"} +{"prompt":"2x3−13x2+7x+7=0 тэгшитгэлийн нэг шийд нь x1=−1a бөгөөд үлдэх хоёр шийд нь x2,3=b±√cd2 байна.","completion":"Заавар: Бүхэл коэффициенттэй \nax3+bx2+cx+d=0\nкуб зэртэгшитгэлийн рационал шийд нь 1a тооны бүхэл давталт хэлбэртэй байдаг.\nБодолт: x=−12=−0.5 тоо шийд болохыг шалгая.\n2(−0.5)3−13(−0.5)2+7(−0.5)+7=\n=−0.25−3.25−3.5+7=0\nИймд 2x3−13x2+7x+7=(x+0.5)(ax2+bx+c) байна. Тодорхойгүй коэффициентийн аргаар a, b, c коэффиентүүдийг олбол\n2=a,−13=b+0.5a,7=c+0.5b,7=0.5c\nбуюу a=2,b=−14,c=14 болно.\n2x2−14x+14=0⇔x2−7x+7=0 тэгшитгэлийг бодвол \nx2,3=7±√72−4⋅72=7+√212\nшийдүүд гарна."} +{"prompt":"2x3−3x2−ax−8=0 тэгшитгэлийн 3 бодит шийдийн аль нэг нь\nнөгөө хоёрынхоо үржвэртэй тэнцүү бол a тоог ол.","completion":"Заавар: Виетийн теорем ашигла:\nax3+bx2+cx+d=0 куб тэгшитгэлийн шийдүүд x1, x2, x3 бол\n{x1+x2+x3=−bax1x2+x1x3+x2x3=cax1x2x3=−da\nбайна.\nБодолт: x1⋅x2=x3 ба Виетийн теоремоор \n{x1+x2+x3=32x1x2+x1x3+x2x3=−a2x1x2x3=82 байна. Иймд\nx1x2x3=x23=4⇒x3=±2\n\nx3=2 бол 2⋅23−3⋅22−a⋅2−8=0⇒a=−2 ба"} +{"prompt":"2x3−6x+a=0 тэгшитгэл гурван шийдтэй байх a-ийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: −2x3+6x=a хэлбэрт тэгшитгэлийг бичье. Мөн\nf(x)=−2x3+6x ба g(x)=a гэе. Тэгвэл f′(x)=−6x2+6=6(1−x)(1+x) болно.\n\n\n \n % after : or \\cline{col1-col2} \\cline{col3-col4} ...\n x … −1 … 1 … \n \n f′(x) − 0 + 0 − \n \n f(x) ↘ −4 ↗ 4 ↘ \n\ny=g(x)-ийн график y=a шулуун тул −40\nТэнцэтгэл бишийг интервалын аргаар бодвол\nx∈]−∞;0[∪]3;4[∪]6;+∞[\nЭндээс хамгийн бага эерэг бүхэл шийд нь 7 болох нь харагдаж байна."} +{"prompt":"2x=322x=32 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: ax=ay⇔x=yax=ay⇔x=y байна.\nБодолт: 2x=32=25⇔x=52x=32=25⇔x=5"} +{"prompt":"2xx2−9⋅2x−x2+9=02xx2−9⋅2x−x2+9=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Үржигдэхүүнд задлах аргаар бод.\nБодолт: 2xx2−9⋅2x−x2+9=0⇔(2x−1)(x2−9)=02xx2−9⋅2x−x2+9=0⇔(2x−1)(x2−9)=0 \nтул 2x−1=02x−1=0 эсвэл x2−9=0x2−9=0 байна. 2x−1=0⇒x=02x−1=0⇒x=0, x2−9=0⇒x=±3x2−9=0⇒x=±3."} +{"prompt":"2x−12−x≥2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийн баруун талыг зүүн талд шилжүүлээд ерөнхий хуваарь өг!\nБодолт: 2x−12−x≥2⇔2x−1−4+2x2−x≥0⇔4x−52−x≥0\nx−54x−2≤0⇔1.25≤x<2\nбайна."} +{"prompt":"2x−1=4√22x−1=42 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: 4√2=22⋅212=22.542=22⋅212=22.5\nБодолт: 2x−1=4√2=22.5⇔x−1=2.5⇔x=3.52x−1=42=22.5⇔x−1=2.5⇔x=3.5"} +{"prompt":"2x−1>17 тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлогийг ол.","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч бутархайг тэгтэй жишиж бодно.\n\n2x−1>17⇎2⋅7>1⋅(x−1) болохыг анхаар!\nБодолт: 2x−1>17⇔2x−1−17>0⇔2⋅7−1⋅(x−1)7(x−1)>0\nбайна. Эндээс \\dfrac{15-x}{x-1}>0\\Leftrightarrow (x-1)(x-15)<0 тул \n1< x<15 буюу x\\in]1;15[ байна."} +{"prompt":"2x−1>8⋅√22x−1>8⋅2 тэнцэтгэл бишийн хамгийн бага бүхэл шийдийг ол.","completion":"Заавар: y=axy=ax функц нь a>1a>1 үед өсөх функц байх тул\nxayxay\nбайна.\nБодолт: 2x−1>8⋅√2⇔2x−1>23⋅212=23.52x−1>8⋅2⇔2x−1>23⋅212=23.5\n⇔x−1>3.5⇔x>4.5⇔x−1>3.5⇔x>4.5\nбайна. Ийм хамгийн бага бүхэл тоо нь x=5x=5 байна."} +{"prompt":"2x−1y+z2x+1y+z⋅(1+4(y2+z2)−x28yz):x−2(y+z)xyz илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: 2x−1y+z2x+1y+z=2(y+z)−x2(y+z)+x, 1+4(y2+z2)−x28yz=4(y+z)2−x28yz=(2(y+z)−x)(2(y+z)+x)8yz.\nБодолт: Илэрх.=2x−1y+z2x+1y+z⋅(1+4(y2+z2)−x28yz):x−2(y+z)xyz=2(y+z)−x(−12(y+z)+x⋅(2(y+z)−x)(2(y+z)+x)8yz⋅xyzx−2(y+z)=−(2(y+z)−x)x8=x(x−2(y+z))8"} +{"prompt":"2x−2−x=4 бол 8x−8−x=?","completion":"Заавар: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b) ба 8x=(2x)3, 8−x=(2−x)3 болохыг ашигла.\nБодолт: 8x−8−x=(2x−2−x)3+3⋅2x⋅2−x(2x−2−x)=43+3⋅4=76."} +{"prompt":"2x−3=3x−12x−3=3x−1 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Шугаман тэгшитгэл рүү шилжих хялбар рационал тэгшитгэлийн шийдийг олдог.\nБодолт: Солбиж үржүүлбэл 2(x−1)=3(x−3)2(x−1)=3(x−3) буюу 2x−2=3x−92x−2=3x−9. Эндээс 2x−3x=−9+22x−3x=−9+2 буюу x=7x=7 болно."} +{"prompt":"2x−3y+4z=52x−3y+4z=5, 3x−12y+9z=33x−12y+9z=3 бол x+y+zx+y+z хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: 3x−12y+9z=3⇒x−4y+3z=13x−12y+9z=3⇒x−4y+3z=1 байна.\n\nα(2x−3y+4z)+β(x−4y+3z)=x+y+zα(2x−3y+4z)+β(x−4y+3z)=x+y+z байхаар αα, ββ тоонуудыг олоорой!\nБодолт: (2x−3y+4z)−(x−4y+3z)=x+y+z(2x−3y+4z)−(x−4y+3z)=x+y+z тул x+y+z=5−1=4x+y+z=5−1=4 байна."} +{"prompt":"2x−73<5 тэнцэтгэл бишийг хангах x-ийн хамгийн их натурал утгыг ол.","completion":"Заавар: a>0 бол\nba0 бол\nba≥c⇔b≥ac\nБодолт: 2x−73≥5⇔2x−7≥3⋅5=15⇔2x≥22⇔x≥11\nтул хамгийн бага натурал шийд нь 11 байна."} +{"prompt":"2x−x2+4=x+x3 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж бүхэл коэффициенттэй болгоод бодвол илүү хялбар.\nБодолт: 2x−x2+4=x+x3←×612x−3x+24=6x+2x9x+24=8x9x−8x=−24x=−24"} +{"prompt":"2x−y=10 бол x2+y2 илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: y=2x−10-ийг x2+y2-д оруулж хувьсагчийг цөөл.\nБодолт: f(x)=x2+y2=x2+(2x−10)2 функцийн хамгийн бага утгыг олъё. \nf′(x)=2x+2(2x−10)⋅2=10x−40=0⇒x=4\nтул x=4 үед\nf(8)=42+(2⋅4−10)2=42+22=20\nхамгийн бага утгаа авна."} +{"prompt":"2x≤162x≤16 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 16=2416=24 байна.\n\na>1a>1 бол ax≤ay⇔x≤yax≤ay⇔x≤y байна\nБодолт: 2x≤16=24⇔x≤42x≤16=24⇔x≤4."} +{"prompt":"2x≤82x≤8 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a>1a>1 үед\nax≤ay⇔x≤yax≤ay⇔x≤y\nБодолт: 2x≤8=23⇔x≤32x≤8=23⇔x≤3."} +{"prompt":"2x≥1 тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: x-ийн эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг мэдэхгүй байгаа тохиолдолд 2x≥1⇎2≥x болохыг анхаар!\n\na(x)>0 бол f(x)≥g(x)⇔a(x)f(x)≥a(x)f(x) a(x)<0 бол\nf(x)≥g(x)⇔a(x)f(x)≤a(x)f(x) байна.\nБодолт: x≠0 байна. Хэрвээ x>0 бол 2x≥1⇔2≥x байна. Харин x<0 бол 2x≥1⇔1≤x тул шийдгүй байна. Иймд ерөнхий шийд нь ]0;1] байна."} +{"prompt":"2|x+a|=3a, (a>0) тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: |x+a|={x+a,x+a≥0−x−a,x+a<0\nболохыг ашиглан бод.\nБодолт: x+a≥0 үед\n2|x+a|=3a⇔2x+2a=3a⇒x=a2\nба a>0 тул a2+a>0 учир шийд болно.\n\nx+a<0 үед\n2|x+a|=3a⇔−2x−2a=3a⇒x=−5a2\nба −5a2+a=−3a2<0 тул мөн шийд болно.\n\nИймд −5a2; a2 гэсэн 2 шийдтэй байна."} +{"prompt":"2∑m=14∑n=2(mn)=?∑m=12∑n=24(mn)=?","completion":"Заавар: ∑ki=1αai=α∑ki=1ak∑i=1kαai=α∑i=1kak болохыг ашигла.\nБодолт: 2∑m=14∑n=2(mn)=2∑m=1(m4∑n=2n)=2∑m=1m(2+3+4)=92∑m=1m=9⋅(1+2)=27∑m=12∑n=24(mn)=∑m=12(m∑n=24n)=∑m=12m(2+3+4)=9∑m=12m=9⋅(1+2)=27."} +{"prompt":"2−3xx+1≤−3 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 2−3xx+1≤−3⇔2−3xx+1+3≤0⇔2−3x+3(x+1)x+1=5x+1≤0.\nБодолт: x+1≠0 тул x+1<0 буюу x<−1 байна."} +{"prompt":"2−3xx+1≥−3 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 2−3xx+1≥−3⇔2−3xx+1+3≥0⇔2−3x+3(x+1)x+1=5x+1≥0.\nБодолт: x+1≠0 тул x+1>0 буюу x>−1 байна."} +{"prompt":"2−x5−|1−3x|=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: |a|={a,a≥0\\a,a<0\nашиглан модулиас салгаж бод.\nБодолт: |1−3x|={1−3x,1−3x≥0\\(1−3x),1−3x<0={1−3x,x≤133x−1,x>13\nтул x≤13 үед\n2−x5−(1−3x)=1⇔2−x−4−3x4+3x=0\nтул −2−4x=0⇒x=−12 байна.\n\nХарин x>13 үед\n2−x5−(3x−1)=1⇔2−x−6+3x6−3x=0\nтул −4+2x⇒x=2 болно. Гэвч 6−3x≠0 байх ёстой тул энэ тохиолдолд шийдгүй."} +{"prompt":"2−√3 тоо нэг язгуур нь болох квадрат тэгшитгэл зохио.","completion":"Заавар:\nБодолт: x=2−√3⇒√3=2−x⇒3=(2−x)2⇒x2−4x+1=0."} +{"prompt":"2√5+2x<8−x25+2x<8−x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Шууд тэнцэтгэл бишийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж бодож болохгүйг хатуу анхаар.\n Тодорхойлогдох муж нь 5+2x≥05+2x≥0;\n 0≤2√5+2x<8−x0≤25+2x<8−x тул 0≤8−x⇒x≤80≤8−x⇒x≤8 байна.\nБодолт: 0≤2√5+2x<8−x0≤25+2x<8−x тул \n⎧⎪⎨⎪⎩5+2x≥08−x>04⋅(5+2x)<(8−x)2⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−2.5x<8(x−2)(x−22)>0{5+2x≥08−x>04⋅(5+2x)<(8−x)2⇔{x≥−2.5x<8(x−2)(x−22)>0\nтул −2.5≤x<2−2.5≤x<2.\n\nНэмэлт: 2√5+2x=8−x25+2x=8−x тэгшитгэлийн шийд нь 22 болж байгаа мөн 5+2x≥05+2x≥0 байхыг харгалзан зөв хариуг шууд сонгож болно."} +{"prompt":"2√x+2=x+3 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Шууд хариунаас бод.\nБодолт: x=−1 бол 2√−1+2=2=−1+3 тул шийд болж байна. Өөр −1 агуулсан шийд байхгүй тул зөв хариулт нь C байна."} +{"prompt":"2√x+5=4⋅2√x−32x+5=4⋅2x−3 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талуудыг 22-ийн зэрэг дүрсэд оруул.\n2x=2y⇔x=y2x=2y⇔x=y\nБодолт: 3√x+1=3⋅2√x−2⇔3√x+1=31+√x−2⇔√x+1=1+√x−23x+1=3⋅2x−2⇔3x+1=31+x−2⇔x+1=1+x−2. Тэгшитгэлийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлээд бодвол x+1=1+2√x−2+x−2⇔√x−2=1⇔x=3.x+1=1+2x−2+x−2⇔x−2=1⇔x=3."} +{"prompt":"2√x2−x−2≥|x+1|−22x2−x−2≥|x+1|−2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: x+1<0x+1<0 үед |x+1|=−x−1|x+1|=−x−1, x+1≥0x+1≥0 үед |x+1|=x+1|x+1|=x+1-ийг ашиглан модульгүй тэнцэтгэл бишүүдэд шилжүүлж бод.\nБодолт:"} +{"prompt":"2√x−3=0 тэгшитгэлийн шийд x0 бол x0+1x0−1=?","completion":"Заавар: Тэгшитгэлээ бодоод гарсан шийдийг x+1x−1-д орлуулна.\nБодолт: 2√x−3=0⇒√x=32⇒x=94 буюу x0=94 байна. Иймд\n94+194−1=13454=135=2.6"} +{"prompt":"2∫cos5xdx=?2∫cos⁡5xdx=?","completion":"Заавар: ∫f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C бол α∫f(ax+b)dx=αaF(ax+b)+Cα∫f(ax+b)dx=αaF(ax+b)+C байдаг.\nБодолт: 2∫cos5xdx=2sin5x5+C.2∫cos⁡5xdx=2sin⁡5x5+C."} +{"prompt":"2⋅12x−3x+1+4x+1−6=02⋅12x−3x+1+4x+1−6=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 2⋅12x−3x+1+4x+1−6=0⇔3x(2⋅4x−3)+2(2⋅4x−3)=0⇔(3x+2)(2⋅4x−3)=02⋅12x−3x+1+4x+1−6=0⇔3x(2⋅4x−3)+2(2⋅4x−3)=0⇔(3x+2)(2⋅4x−3)=0.\nБодолт:"} +{"prompt":"2⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=02⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 2⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=0⇔(3x−10)(2⋅5x−9)=02⋅15x−3x+2−4⋅5x+1+90=0⇔(3x−10)(2⋅5x−9)=0.\nБодолт:"} +{"prompt":"2⋅165x2+9x−16=31⋅645x2+9x32⋅165x2+9x−16=31⋅645x2+9x3 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: 165x2+9x=(45x2+9x)2165x2+9x=(45x2+9x)2, 645x2+9x3=45x2+9x645x2+9x3=45x2+9x байна.\nБодолт: t=45x2+9x>0t=45x2+9x>0 гэвэл 2t2−16=31t⇔2t2−31t−16=02t2−16=31t⇔2t2−31t−16=0 болно. Эндээс\nt1,2=31±√312−4⋅2⋅(−16)2⋅2=31±334t1,2=31±312−4⋅2⋅(−16)2⋅2=31±334 ба t>0t>0 тул t=16t=16 болно. Иймд 45x2+9x=16⇔5x2+9x=245x2+9x=16⇔5x2+9x=2\nбуюу 5x2+9x−4=0⇔x=−2∨x=155x2+9x−4=0⇔x=−2∨x=15"} +{"prompt":"2⋅3log4x+xlog43=243 тэгшитгэлийн хувьд x>a гэж тодорхойлогдох ба тэгшитгэлийг бодвол bcd шийд гарна.","completion":"Заавар: alogbc=clogba адилтгалыг ашигла.\nБодолт: Логарифм функцийн тодорхойлогдох муж нь эерэг тоо тул x>0.\n\nalogbc=clogba адилтгалыг ашиглавал 2⋅3log4x+xlog43=3⋅3log4x=243 тул 3⋅3log4x=35 буюу log4x=4. Иймд x=44=256 байна."} +{"prompt":"2⋅3x+1−5⋅9x−2=812⋅3x+1−5⋅9x−2=81 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: t=3x>0t=3x>0 гэвэл 6t−5t292=816t−5t292=81 болно.\nБодолт: 6t−5t292=81⇔5t2−486t+6561=06t−5t292=81⇔5t2−486t+6561=0 тул\nt1,2=486±√4862−4⋅5⋅65612⋅5=486±32410t1,2=486±4862−4⋅5⋅65612⋅5=486±32410\nболно. Эндээс t1=16.2t1=16.2, t2=81t2=81 тул x=log316.2x=log3⁡16.2, x=log381=4x=log3⁡81=4 гэсэн шийдүүд гарч байна."} +{"prompt":"2⋅4x−17⋅2x+8<02⋅4x−17⋅2x+8<0 тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: 2x<2y⇔x02x+1>0 болохыг ашиглаарай!\n\na>0a>0 бол ab≤0⇔b<0ab≤0⇔b<0 байна.\nБодолт: Дурын x∈Rx∈R тооны хувьд 32x+1>032x+1>0 тул\n3(2x+1)(x−3)≤0⇔1x−3≤0⇔x<33(2x+1)(x−3)≤0⇔1x−3≤0⇔x<3\nбайна. Иймд хамгийн их бүхэл шийд нь x=2x=2."} +{"prompt":"3(2x2+x−2)2=8x2+4x−9 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=2x2+x орлуулга ашигла.\nБодолт: t=2x2+x гэвэл 3(t−2)2=4t−9⇔3t2−16t+21=0\nтул t1,2=16±√162−4⋅3⋅212⋅3=16±26\nt1=3 үед 2x2+x=3⇒x1=1, x2=−32.\n\nt2=73 үед 2x2+x=73⇔6x2+3x−7=0 тул x3,4=−3±√32−4⋅6⋅(−7)2⋅6=−3±√17712"} +{"prompt":"3(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=833(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=83 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хаалтыг задалж төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэ.\nБодолт: 3(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=83⇔6x−3−5x+15+18x−24=83⇔(6−5+18)x−12=83⇔19x=83+12⇔19x=95⇔x=95:19=53(2x−1)−5(x−3)+6(3x−4)=83⇔6x−3−5x+15+18x−24=83⇔(6−5+18)x−12=83⇔19x=83+12⇔19x=95⇔x=95:19=5"} +{"prompt":"3+3cosx=2sin2x3+3cos⁡x=2sin2⁡x тэгшитгэлийн 0<α1<α2<α3<…0<α1<α2<α3<… байх шийдүүдийн хувьд α3+α7=aπα3+α7=aπ ба aa бүхэл тоо бол түүнийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: 3+3cosx=2sin2x=2(1−cos2x)⇒2cos2x+3cosx+1=03+3cos⁡x=2sin2⁡x=2(1−cos2⁡x)⇒2cos2⁡x+3cos⁡x+1=0 тул\ncosx=−1∨cosx=−12⇒x=π+2πk∨x=±2π3+2πk.cos⁡x=−1∨cos⁡x=−12⇒x=π+2πk∨x=±2π3+2πk. Иймд α1=2π3α1=2π3, α2=πα2=π, α3=4π3α3=4π3, α4=8π3α4=8π3, α5=3πα5=3π, α6=10π3α6=10π3, α7=14π3α7=14π3. α3+α7=4π3+14π3=6πα3+α7=4π3+14π3=6π. Иймд a=6a=6."} +{"prompt":"3+43+x+2x−1=5 бол x=?","completion":"Заавар: 3+43+x+2x−1=5⇔4(x−1)4x−1=2 тул 4x−4=8x−2.\nБодолт: 4x−4=8x−2⇒4x=−2⇒x=−12 байна."} +{"prompt":"3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯ нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: A=3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯A=3+52+74+98+1116+⋯+2n+32n+⋯ гээд 2A−A2A−A илэрхийллийг хялбарчил.\nБодолт: A=∞∑n=02n+32nA=∑n=0∞2n+32n тул\n2A−A=2∞∑n=02n+32n−∞∑n=02n+32n=∞∑n=02n+32n−1−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=12n+32n−1−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=12(n−1)+52n−1−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=02n+52n−∞∑n=02n+32n=6+∞∑n=022n=6+21−12=102A−A=2∑n=0∞2n+32n−∑n=0∞2n+32n=∑n=0∞2n+32n−1−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=1∞2n+32n−1−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=1∞2(n−1)+52n−1−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=0∞2n+52n−∑n=0∞2n+32n=6+∑n=0∞22n=6+21−12=10\nтул A=10A=10 байна."} +{"prompt":"3+xx2−3x+23+xx2−3x+2 рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад x3x3-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?","completion":"Заавар: 3+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−23+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2 байх AA, BB тоонуудыг олж бод.\nБодолт: 3+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+23+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+2\nтул A+B=1A+B=1, −2A−B=3−2A−B=3 буюу A=−4A=−4, B=5B=5 байна. И��мд\n3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)\nбайна. Задаргааны x3x3-ийн өмнөх коэффициент нь 4−52⋅18=59164−52⋅18=5916 байна."} +{"prompt":"3+xx2−3x+23+xx2−3x+2 рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад x4x4-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?","completion":"Заавар: 3+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−23+xx2−3x+2=3+x(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2 байх AA, BB тоонуудыг олж бод.\nБодолт: 3+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+23+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−2=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x−2A−Bx2−3x+2\nтул A+B=1A+B=1, −2A−B=3−2A−B=3 буюу A=−4A=−4, B=5B=5 байна. Иймд\n3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)3+xx2−3x+2=−4x−1+5x−2=41−x−521−x2=4(1+x+x2+x3+⋯)−52(1+x2+x24+x38+⋯)\nбайна. Задаргааны x3x3-ийн өмнөх коэффициент нь 4−52⋅116=12332=327324−52⋅116=12332=32732 байна."} +{"prompt":"3+x|x+1|−2=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужийг анхаар.\n|x+1|={x+1,x+1≥0\\x−1,x+1<0 байна.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь |x+1|≠2 тул x≠1 ба x≠−3 байна.\n\nx+1≥0 үед 3+x(x+1)−2=1⇔3+x=x−1⇔3≠−1 тул шийдгүй.\n\nx+1<0 үед 3+x−(x+1)−2=1⇔3+x=−x−3⇔x=−3 болно. Гэвч −3 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд биш. Иймд тэгшитгэл бодит тоон шийдгүй байна."} +{"prompt":"3,7,11,…3,7,11,… дарааллын 5-р гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: Гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнээсээ 4-өөр их байна.\nБодолт: Гишүүд 4, 4-өөр нэмэгдэх тул\n3,7,11,15,193,7,11,15,19\nболно. Иймд 5-р гишүүн нь 1919 юм."} +{"prompt":"3-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Эдгээр тоонууд нь эхний гишүүн нь 102, сүүлийн гишүүн нь 999 байх 3 ялгавартай арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна. Нийт хэдэн гишүүн байгаа вэ?\nБодолт: 999=102+3(n−1)⇒n=300 байна. a1=102, a300=999 тул эхний 300 гишүүний нийлбэр нь S300=102+9992⋅300=165150 байна."} +{"prompt":"3.1x−0.2=5.1x−113.1x−0.2=5.1x−11 тэгшитгэлийг бодоорой!","completion":"Заавар: Үл мэдэгдэгчтэй ба үл мэдэгдэгчгүй хэсгийг ялгаж ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.\nБодолт: 3.1x−0.2=5.1x−11⇔11−0.2=5.1x−3.1x⇔10.8=2x⇔2x=10.83.1x−0.2=5.1x−11⇔11−0.2=5.1x−3.1x⇔10.8=2x⇔2x=10.8\nтул x=10.8:2=5.4x=10.8:2=5.4 байна."} +{"prompt":"3.1x−0.4=5.1x−223.1x−0.4=5.1x−22 тэгшитгэлийг бодоорой!","completion":"Заавар: Үл мэдэгдэгчтэй ба үл мэдэгдэгчгүй хэсгийг ялгаж ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.\nБодолт: 3.1x−0.4=5.1x−22⇔22−0.4=5.1x−3.1x⇔21.6=2x⇔2x=21.63.1x−0.4=5.1x−22⇔22−0.4=5.1x−3.1x⇔21.6=2x⇔2x=21.6\nтул x=21.6:2=10.8x=21.6:2=10.8 байна."} +{"prompt":"30 м.куб багтаамжтай усан сангийн усыг шавхаж, дараа нь өмнөх хэмжээнд хүртэл усаар дүүргэхэд нийт 8 цаг зарцуулав. Хэрвээ шахуургаар нэг цагт шахах усны хэмжээ нь усыг шавхахаас 4 м.кубээр бага байдаг бол усан санг дүүргэхэд ямар хугацаа зарцуулсан бэ?","completion":"Заавар: \n\n Шавхах Шахах Хамаарал\n1 цагт m1m1 м.куб m2m2 м.куб m1=m2+4m1=m2+4\nХугацаа t1t1 цаг t2t2 цаг t1+t2=8t1+t2=8\nХэмжээ m1⋅t1=30m1⋅t1=30 м.куб m2⋅t2=30m2⋅t2=30 м.куб \n\nбидний олох зүйл маань t2t2 байна.\nБодолт: {m1⋅t1=30m2⋅t2=30⇔{(m2+4)⋅(8−t2)=30m2⋅t2=30⇔{8m2−m2⋅t2+32−4t2=30m2⋅t2=30{m1⋅t1=30m2⋅t2=30⇔{(m2+4)⋅(8−t2)=30m2⋅t2=30⇔{8m2−m2⋅t2+32−4t2=30m2⋅t2=30\nтул m2=28+4t28=7+t22m2=28+4t28=7+t22 болно. Иймд m2⋅t2=7+t22⋅t2=30m2⋅t2=7+t22⋅t2=30 байна.\n\nt22+7t2−60=0t22+7t2−60=0 тэгшитгэлийг бодвол t2=5∨t2=−12t2=5∨t2=−12 болох ба t2t2 эерэг тул t2=5t2=5 байна. Иймд усан санг 5 цагийн хугацаанд дүүргэжээ."} +{"prompt":"30%30% нь 3√535 байх тоо аль нь вэ?","completion":"Заавар: 30%30% --- 3√535, 100%100% --- xx гэвэл 3√530=x1003530=x100 байна.\nБодолт: 3√530=x100⇒x=10√53530=x100⇒x=105 байна."} +{"prompt":"31+log3(2x5)=22+log2331+log3⁡(2x5)=22+log2⁡3\nтэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 31+log3(2x5)=22+log23⇔3⋅2x5=22⋅2log23=1231+log3⁡(2x5)=22+log2⁡3⇔3⋅2x5=22⋅2log2⁡3=12.\nБодолт:"} +{"prompt":"31+|x+3|<1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 0 шийд болох эсэхийг шалгаад хариунаас бод.\nБодолт: x=0 үед 31+|0+3|=34<1 тул шийд болно. Нөгөө талаас 0-ийг агуулсан цорын ганц хариулт нь ]−∞;−5[∪]−1;+∞[ тул зөв хариулт болно."} +{"prompt":"312+log3sinx+612=912+log9cosx312+log3⁡sin⁡x+612=912+log9⁡cos⁡x тэгшитгэл нь","completion":"Заавар: 312+log3sinx=312⋅3log3sinx=√3⋅sinx312+log3⁡sin⁡x=312⋅3log3⁡sin⁡x=3⋅sin⁡x үүнтэй төстэйгөөр 912+log9cosx912+log9⁡cos⁡x илэрхийллийг хувирга.\n cosαcosx−sinαsinx=cos(x+α)cos⁡αcos⁡x−sin⁡αsin⁡x=cos⁡(x+α) томьёог ашиглавал acosx−bsinx=√a2+b2cos(x+α)acos⁡x−bsin⁡x=a2+b2cos⁡(x+α) байна. Энд αα нь cosα=a√a2+b2cos⁡α=aa2+b2, sinα=b√a2+b2sin⁡α=ba2+b2 байх өнцөг.\n Логарифм функцийн аргумент эерэг тоо байх ёстой тул анхны тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь sinx>0sin⁡x>0, cosx>0cos⁡x>0 байна.\nБодолт: 312+log3sinx+612=912+log9cosx⇔√3sinx+√6=3cosx312+log3⁡sin⁡x+612=912+log9⁡cos⁡x⇔3sin⁡x+6=3cos⁡x болно.\n √3sinx+√6=3cosx⇔3cosx−√3sinx=√6⇔3sin⁡x+6=3cos⁡x⇔3cos⁡x−3sin⁡x=6⇔\n⇔√12cos(x+α)=√6⇔12cos⁡(x+α)=6 ба cosα=3√12=√32,  sinα=√3√12=12cos⁡α=312=32,  sin⁡α=312=12 тул α=π6α=π6 байна. Иймд cos(x+π6)=√22cos⁡(x+π6)=22 тул x1=−π6+π4+2πn, n∈Zx1=−π6+π4+2πn, n∈Z ба x1=−π6−π4+2πm, m∈Zx1=−π6−π4+2πm, m∈Z\n sinx>0sin⁡x>0, cosx>0cos⁡x>0 байх xx өнцөг нь I мужийнх тул x=−π6+π4+2πn=π12+2πnx=−π6+π4+2πn=π12+2πn байна."} +{"prompt":"32+xx−28⋅31x+9≤032+xx−28⋅31x+9≤0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: t=31xt=31x гэвэл 32+xx−28⋅31x+9≤0⇔3t2−28t+9≤032+xx−28⋅31x+9≤0⇔3t2−28t+9≤0 болно.\nБодолт: 3t2−28t+9=03t2−28t+9=0 тэгшитгэлийн шийдүүд \nt1,2=28±√282−4⋅3⋅92⋅3=28±266t1,2=28±282−4⋅3⋅92⋅3=28±266\nбуюу t1=13t1=13, t2=9t2=9 тул\n3t2−28t+9≤0⇔131>2x⇔−x>1⇔x<−1−1⋅x>1>2x⇔−x>1⇔x<−1\nx>0x>0 байх шийд нь\n−x<1<2x⇔1<2x⇔12(1.125+3)⋅411 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a>0 бол ax>b⇔x>ba байна.\nБодолт: 38x>(1.125+3)⋅411⇔x>(1.125+3)⋅41138=4.125⋅411⋅83=4.125⋅8⋅433=4 байна. Иймд зөв хариулт нь А байна."} +{"prompt":"3a2+2ab−b22a2+3ab+b2−a2−4ab+3b22a2−ab−b2 илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: ℓa2+mab+nb2-ийг a хувьсагчийн хувьд квадрат гурван гишүүнт гэж үзээд язгуураар нь үржигдэхүүнд задал.\nБодолт: 3a2+2ab−b22a2+3ab+b2=(a+b)(3a−b)(a+b)(2a+b)\na2−4ab+3b22a2−ab−b2=(b−a)(3b−a)(a−b)(2a+b)\nтул\n3a2+2ab−b22a2+3ab+b2−a2−4ab+3b22a2−ab−b2=\n=3a−b2a+b+3b−a2a+b=2a+2b2a+b"} +{"prompt":"3a3+6a2+5a+10a2−3a+6 бутархай тэгтэй тэнцүү байх a-гийн бүх утгыг ол.","completion":"Заавар: u(x)v(x)⇔u(x)=0,v(x)≠0\nБодолт: 3a3+6a2+5a+10a2−3a+6=0⇔{3a3+6a2+5a+10=0a2−3a+6≠0⇔\n⇔{3a2(a+2)+5(a+2)=0(a−1.5)2+3.75≠0⇔(a+2)(3a2+5)=0\nтул a=−2 гэсэн цор ганц шийдтэй."} +{"prompt":"3a3−9a2+2a−6a2+a+5 бутархай тэгтэй тэнцүү байх a-гийн бүх утгыг ол.","completion":"Заавар: Шууд хариунаас бод.\nБодолт: a=3 үед\n3⋅33−9⋅32+3⋅3−6=0 ба 32+3+5≠0 тул 3 нь бидний олох тоонууд дотор байх ёстой. Ийм хариулт нь зөвхөн D хариулт байна.\nҮнэндээ\n3a3−9a2+2a−6=(a−3)(3a2+2)\nтул 3a3−9a2+2a−6=0 тэгшитгэл зөвхөн a=3 шийдтэй байна."} +{"prompt":"3cos2x+cosx⋅sinx=0.6 тэгшитгэл [π2;3π2] завсар хэдэн шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: 3cos2x+cosx⋅sinx=0.6⇔3cos2x+cosx⋅sinx=0.6(sin2x+cos2x)\n⇔3+tgx=0.6(tg2x+1)\nтэгшитгэл болно. [π2;3π2] мужийн урт π болохыг анхаар.\nБодолт: 3+tgx=0.6(tg2x+1)-д t=tgx орлуулга хийвэл 0.6t2−t−2.4=0 гэсэн t1=3, t2=−43 гэсэн ялгаатай хоёр бодит шийдтэй тэгшитгэл болно. Тангес π үетэй тул эдгээр 2 шийдэд харгалзах шийдүүд [π2;3π2] завсраас ол��оно."} +{"prompt":"3log2x+xlog23=183log2⁡x+xlog2⁡3=18 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: alogbc=clogbaalogb⁡c=clogb⁡a байдаг. Үнэндээ logabk=klogabloga⁡bk=kloga⁡b тул\nalogbc=clogba⇔logbalogbc=logbclogba=logba⋅logbcalogb⁡c=clogb⁡a⇔logb⁡alogb⁡c=logb⁡clogb⁡a=logb⁡a⋅logb⁡c\nбайна.\nБодолт: xlog23=3log2xxlog2⁡3=3log2⁡x тул 3log2x+xlog23=18⇒2⋅3log2x=18⇒3log2x=323log2⁡x+xlog2⁡3=18⇒2⋅3log2⁡x=18⇒3log2⁡x=32 \nболно. ax=ay⇔x=yax=ay⇔x=y тул log2x=2⇒x=22=4log2⁡x=2⇒x=22=4 байна. Мэдээж x=4x=4 шийд болохыг шалгах төвөгтэй биш."} +{"prompt":"3sin2x+2cos2x+31−sin2x+2sin2x=283sin⁡2x+2cos2⁡x+31−sin⁡2x+2sin2⁡x=28 тэгшитгэлийг\nхувиргаж 3sin2x+2cos2x=t3sin⁡2x+2cos2⁡x=t орлуулга хийвэл\nt2−abt+cd=0t2−abt+cd=0 тэгшитгэлд шилжих ба t1=27,t2=et1=27,t2=e шийдүүдтэй. Oрлуулгаа буцааж ашиглавал анхны\nтэгшитгэл\nx=πf+πk,x=−πg+πk,k∈Zx=πf+πk,x=−πg+πk,k∈Z шийдүүд\nолдоно.","completion":"Заавар: 1−sin2x+2sin2x=3−sin2x−2cos2x1−sin⁡2x+2sin2⁡x=3−sin⁡2x−2cos2⁡x\nБодолт: 3sin2x+2cos2x=t3sin⁡2x+2cos2⁡x=t гэвэл\n3sin2x+2cos2x+31−sin2x+2sin2x=28⇔t+27t=283sin⁡2x+2cos2⁡x+31−sin⁡2x+2sin2⁡x=28⇔t+27t=28\nбуюу\nt2−28t+27=0t2−28t+27=0\nтэгшитгэлд шилж ба t1=27t1=27, t2=1t2=1 гэсэн шийдтэй. Орлуулгаа буцаавал 3sin2x+2cos2x=333sin⁡2x+2cos2⁡x=33, эсвэл 3sin2x+2cos2x=313sin⁡2x+2cos2⁡x=31 байна. Эндээс\n[sin2x+2cos2x=3sin2x+2cos2x=1[sin⁡2x+2cos2⁡x=3sin⁡2x+2cos2⁡x=1\nЭхний тохиолдолд sin2x≤1sin⁡2x≤1, 2cos2x≤22cos2⁡x≤2 тул sin2x=1sin⁡2x=1, 2cos2x=12cos2⁡x=1 байх ёстой. Эндээс sin2x=1sin⁡2x=1 буюу x=π4+πkx=π4+πk нь шийд болохыг шууд шалгаж болно. Хоёр дахь тохиолдолд\nsin2x+2cos2x=1⇔sin2x+cos2x=0⇔tg2x=−1sin⁡2x+2cos2⁡x=1⇔sin⁡2x+cos⁡2x=0⇔tg2x=−1\nтул 2x=−3π4+πn⇒x=−32π+πn2x=−3π4+πn⇒x=−32π+πn буюу x=−π2+πkx=−π2+πk (k=n−1k=n−1) болно."} +{"prompt":"3sin2x−7cos2x=1 тэгшитгэл [−π,π] завсарт хэдэн шийдтэй вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: 3sin2x−7cos2x=1 3sin2x−7cos2x=cos2x+sin2x\nsin2x−6sinxcosx+8cos2x=0 тэгшитгэлийн хоёр талыг cos2 - д хуваавал tg2−6tgx+8=0 тэгшитгэл үүсэх бөгөөд орлуулга хийж бодоход tgx=2, tgx=4 хялбар тэгшитгэлүүд үүснэ. y=tgx функцийн график байгуулж, y=2 ба y=4 шулуунуудтай харгалзан огтлолцуулбал өгөгдсөн завсарт 4 шийдтэй гэдэг нь харагдана."} +{"prompt":"3sinx+sin2x<0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Үржвэрт задал.\nБодолт:"} +{"prompt":"3sinx>2cos2x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: s=sinx гэвэл 2cos2x=2(1−sin2x) тул 3sinx>2cos2x⇔3s>2−2s2,−1≤s≤1 болно.\nБодолт:"} +{"prompt":"3tg2(πx−π8)=1,320 тул A=4√12 байна."} +{"prompt":"3x+23x+2, 32x+432x+4, 35x−235x−2 тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол x=?x=?","completion":"Заавар: 9.1. Дарааллын (арифметик, геометр прогресс, бусад) ерөнхий гишүүний томьёог бичдэг, рекуррент томьёог таньдаг, шалгадаг.\nБодолт: Геометр прогрессийн дараалсан гишүүдийн чанараар\n3x+2×35x−2=(32x+4)2⇔36x=34x+83x+2×35x−2=(32x+4)2⇔36x=34x+8\nтул 6x=4x+8⇒x=46x=4x+8⇒x=4."} +{"prompt":"3x+2−2732x−9=343x+2−2732x−9=34 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=3xt=3x орлуулга хийж бод. Тодорхойлогдох мужаа тооцож шийдээ шалгаарай.\nБодолт: t=3xt=3x гэвэл 9⋅t−27t2−9=9(t−3)(t−3)(t+3)=9t+3=34⇒t=9⇒x=29⋅t−27t2−9=9(t−3)(t−3)(t+3)=9t+3=34⇒t=9⇒x=2. Хэрвээ 3x+2−27=34(32x−9)3x+2−27=34(32x−9) гэж бодсон бол x=1x=1 гэсэн тодорхойлогдох мужид орохгүй илүү шийд гарна."} +{"prompt":"3x+4+5x−4=8x2−16 тэгшитгэлийг бод","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч бодно. Хуваарьт хувьсагчтай илэрхийлэл байгаа тул гарсан шийдээ тодорхойлогдох мужид орох эсэхийг шалгаарай!\nБодолт: 3x+4+5x−4=8x2−16⇔3(x−4)(x+4)(x−4)+5(x+4)(x−4)(x+4)=8x2−16\n⇔3x−12+5x+20x2−16=816⇒8x=0 тул x=0 гэсэн шийд гарна."} +{"prompt":"3x2+15x+2√x2+5x+1=2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=√x2+5x+1 орлуулга ашиглан бод.\nБодолт: t=√x2+5x+1 гэвэл t2=x2+5x+1 ба 3t2=3x2+15x+3 тул\n3t2−3+2t=2⇔3t2+2t−5=0\nболно. Эндээс t1=1, t2=−53 болно. √x2+5x+1≥0 тул зөвхөн √x2+5x+1=1 байх боломжтой. Эндээс x2+5x=0⇒x1=0,x2=−5"} +{"prompt":"3x2+5=5x2−1 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Аливаа нэг гишүүнтийг тэнцэлийн аль нэг талаас нөгөө талд шилжүүлэхэдээ тэмдэгийг нь эсрэгээр солино.\nБодолт: 3x2+5=5x2−1←+1−3x23x2+5+1−3x2=5x2−1+1−3x25+1=5x2−3x26=(52−32)x=22xx=6"} +{"prompt":"3x2+x−2x+1 бутархайг хураа.","completion":"Заавар: Ноогдвор нь ax+b гэвэл (ax+b)(x+1)=3x2+x−2 байна.\nБодолт: (ax+b)(x+1)=ax2+(a+b)x+b=3x2+x−2 тул a=3, b=−2 байна. Иймд 3x−2 нь зөв хариулт юм."} +{"prompt":"3x2−4x+2x(x−1)2=ax+bx−1+c(x−1)2 бол үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн хувьд\n{a+b=a2a+b−c=ba=c тэгшитгэлийн систем гарах ба эндээс a=c, b=d, c=e гэж олдоно.","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч хоёр талын харгалзах коэффициентүүдийг тэнцүүлж бод.\nБодолт: 3x2−4x+2x(x−1)2=ax(x−1)2+bx−1x(x−1)+c(x−1)2x=\n=a(x−1)2+bx(x−1)+cxx(x−1)2=(a+b)x2−(2a+b−c)x+ax(x−1)2\nтул\n{a+b=32a+b−c=4a=2\nболно. Иймд b=3−a=3−2=1 ба c=2a+b−4=2⋅2+1−4=1"} +{"prompt":"3x2−a⋅x+6=03x2−a⋅x+6=0 тэгшитгэлийн 1 шийд 2 бол нөгөө шийдийг ол.","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1x1, x2x2 бол Виетийн теоремоор\nx1+x2=cax1+x2=ca\nбайдаг.\nБодолт: x1=2x1=2 ба ca=63=2ca=63=2 байна. Иймд\n2⋅x2=2⇒x2=12⋅x2=2⇒x2=1 байна."} +{"prompt":"3x2−x>27|x−1|3x2−x>27|x−1| тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a>1a>1 үед ax>ay⇔x>yax>ay⇔x>y тул\n3x2−x>27|x−1|⇔3x2−x>33|x−1|⇔x2−x>3|x−1|3x2−x>27|x−1|⇔3x2−x>33|x−1|⇔x2−x>3|x−1| байна.\nБодолт: x≥1x≥1 үед |x−1|=x−1≥0|x−1|=x−1≥0 тул\nx2−x>3(x−1)⇔x(x−1)>3(x−1)⇔x>3x2−x>3(x−1)⇔x(x−1)>3(x−1)⇔x>3\nx<1x<1 үед |x−1|=−(x−1)|x−1|=−(x−1) ба x−1<0x−1<0 тул \nx2−x>−3(x−1)⇔x(x−1)>−3(x−1)⇔x<−3x2−x>−3(x−1)⇔x(x−1)>−3(x−1)⇔x<−3\nХоёр шийдээ нэгтгэвэл x<−3∪x>3⇔|x|>3x<−3∪x>3⇔|x|>3 байна."} +{"prompt":"3x4−10x3+14x2−10x+3=0 тэгшитгэлийн шийдийн олонлог аль нь вэ?","completion":"Заавар: x2-д хувааж t=x+1x-ийн хувьд квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бод.\nБодолт: x=0 нь тэгшитгэлийн шийд болохгүй тул\n3x4−10x3+14x2−10x+3=0⇔\n3(x2+1x2+2)−10(x+1x)+8=0⇔\n3(x+1x)2−10(x+1x)+8=0\nбайна. t=x+1x гэвэл 3t2−10t+8=0⇒t1,2=10±√102−4⋅3⋅82⋅3 тул t1=2, t2=43 байна. Иймд x+1x=2⇒x1=1, x+1x=43⇒x2=13, x3=3 байна."} +{"prompt":"3x:72=18:36 бол x=?","completion":"Заавар: Энгийн бутархай хэлбэрт бичээд бод.\nБодолт: 3x:72=18:36 ⇔ 3x72=1836 ⇔ x24=12 ⇔ x=12⋅24=12."} +{"prompt":"3x=363x=36 бол x=log3a+bx=log3⁡a+b ба xx-ийн бүхэл хэсэг нь cc байна.","completion":"Заавар: ax=b⇔x=logabax=b⇔x=loga⁡b\nx∈Rx∈R тооны бүхэл хэсэг нь түүнээс хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо юм.\n[x]=n⇔n≤xx2>x2 байна.","completion":"Заавар: 3xy−6x2=y−2x+4⇔(y−2x)(3x−1)=4\nБодолт: x, y нь бүхэл тоо учир y−2x, 3x−1 нь бүхэл тоонууд байна. 4-ийн 3-д хуваахад 2 (−1) үлдэгдэл өгдөг хуваагчид нь 2, −1, −4 тул 3x−1=2∨−1∨−4 буюу x=1∨0∨−1 байх ба энэ үед харгалзан y−2x=2∨−4∨−1 тул y=4∨−4∨−3 байна. Иймд (1,4); (0,−4); (−1,−3)"} +{"prompt":"3x−25x+1≤3x−25x−33x−25x+1≤3x−25x−3 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 3x−25x+1≤3x−25x−3⇔4(3x−25)(x+1)(x−3)≥03x−25x+1≤3x−25x−3⇔4(3x−25)(x+1)(x−3)≥0 ба 3x−25≥0⇔x≥2log353x−25≥0⇔x≥2log3⁡5 байна. Мөн −1<2log35<3−1<2log3⁡5<3 болохыг харуул.\nБодолт:"} +{"prompt":"3x−9x2−x−6=0 шийдийг ол.","completion":"Заавар: f(x)g(x)=0⇔f(x)=0, g(x)≠0\nБодолт: 3x−9x2−x−6=0⇔3x−9=0, x2−x−6≠0\nба 3x−9=0⇒x=3 боловч 32−3−6=0 тул шийд болохгүй. Иймд тэгшитгэл шийдгүй байна."} +{"prompt":"3x≥273x≥27 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 27=3327=33 гэдгийг тооцон 33 суурьтай loglog ав.\nБодолт: 3x≥27=33⇔x≥33x≥27=33⇔x≥3."} +{"prompt":"3x⋅52x−3=453x⋅52x−3=45 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.\nБодолт: 3x⋅52x−3=45⇔3x⋅52x53=453x⋅52x−3=45⇔3x⋅52x53=45\n⇔75x=45⋅53=752⇔x=2⇔75x=45⋅53=752⇔x=2"} +{"prompt":"3y+13−16−y6=9y+17+33y+13−16−y6=9y+17+3 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч хялбарчил.\nБодолт: 3y+13−16−y6=9y+17+3⇔14(3y+1)−7(16−y)=6(9y+1)+3⋅42⇔52y+14−112+7y=54y+6+126⇔59y−98=54y+132⇔5y=230⇔y=230:5=463y+13−16−y6=9y+17+3⇔14(3y+1)−7(16−y)=6(9y+1)+3⋅42⇔52y+14−112+7y=54y+6+126⇔59y−98=54y+132⇔5y=230⇔y=230:5=46"} +{"prompt":"3|sinx−1|=9 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 3a=3b⇔a=b\n|a−b|=|a|+|b|⇔ab<0\nБодолт: 3|sinx−1|=9=32⇔|sinx−1|=2\nбайна. Нөгөө талаас\n|sinx−1|≤|sinx|+|1|≤2\nтэнцэлдээ хүрэхийн тулд\nsinx<0,|sinx|=1\nбуюу sinx=−1 байна. Иймд x=−π2+2πn байна."} +{"prompt":"3|x−a|=5a, (a>0) тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: a>0 тоо бол\n|x|=a⇔x=±a\nБодолт: 3|x−a|=5a⇔|x−a|=5a3⇔x−a=±5a3\nтул x=a±5a3 буюу x1=a+5a3=8a3, x2=a−5a3=−2a3 гэсэн шийдүүдтэй."} +{"prompt":"3∑i=12∑j=1(i⋅j2)∑i=13∑j=12(i⋅j2) нийлбэрийг бод.","completion":"Заавар: {an}{an} дарааллын хувьд \nn∑i=mai=am+am+1+⋯+an∑i=mnai=am+am+1+⋯+an\nn∑i=mcan=cn∑i=man∑i=mncan=c∑i=mnan\nБодолт: 3∑i=12∑j=1(i⋅j2)=3∑i=1(i2∑j=1j2)=3∑i=1(2∑j=1j2)i=2∑j=1j2⋅3∑i=1i=(12+22)⋅(1+2+3)=5⋅6=30∑i=13∑j=12(i⋅j2)=∑i=13(i∑j=12j2)=∑i=13(∑j=12j2)i=∑j=12j2⋅∑i=13i=(12+22)⋅(1+2+3)=5⋅6=30"} +{"prompt":"3−4x≤3163−4x≤316 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a>1a>1 үед y=axy=ax функц нь өсдөг функц байдаг тул\nax13>1 тул\n3−4x≤316⇔−4x≤16⇔x≥16−4=−43−4x≤316⇔−4x≤16⇔x≥16−4=−4\nИймд x∈[−4;+∞[x∈[−4;+∞[ байна."} +{"prompt":"3−x=5 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: a−x=b⇔x=a−b\nБодолт: 3−x=5⇔x=3−5=−2"} +{"prompt":"3−y+5y6=12−y8 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: ХБЕХ(6,2,8)=24 тоогоор тэгшитгэлийг үржүүлж хялбарчил.\nБодолт: 3−y+5y6=12−y8×2472−24y+20y=12−3y72−12=24y−20y−3yy=60"} +{"prompt":"3−√x+1=|2x−2| тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: y=3−√x+1, y=|2x−2| функцүүдийн графикийг байгуулж тохирох шийдийг ол.\nБодолт: \nГрафикаас харахад хоёр муруй x1=0 ба 139x327x>39x бод.","completion":"Заавар: y=3xy=3x нь эрс өсдөг функц тул\n3x>3y⇔x>y3x>3y⇔x>y\nба n√a=a1nan=a1n, aman=am−naman=am−n болохыг ашигла.\nБодолт: 3√27x>39x⇔31−x2>31−2x⇔1−x2>1−2x⇔x>0327x>39x⇔31−x2>31−2x⇔1−x2>1−2x⇔x>0\nтул x∈(0;+∞)x∈(0;+∞) байна.\nЗаавар: n√am=amnamn=amn ба aman=am−naman=am−n болохыг ашигла.\nБодолт: 3√27x>39x⇔333x2>332x⇔31−3x2>31−2x327x>39x⇔333x2>332x⇔31−3x2>31−2x\nболно. y=3xy=3x нь өсдөг функц тул 31−3x2>31−2x⇔1−3x2>1−2x⇔x>031−3x2>31−2x⇔1−3x2>1−2x⇔x>0\nбайна."} +{"prompt":"3√333, 3√3x3x3, 2727 тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол qq-г ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: (3√3x)2=27⋅3√3⇒(3x)23=33⋅313=3103⇒x23=383⇒x=±24(3x3)2=27⋅33⇒(3x)23=33⋅313=3103⇒x23=383⇒x=±24\nq=±3√323√2=±3√16=±23√2q=±32323=±163=±223 болно. Өсөх геометр прогресс гэдгийг тооцвол q=23√2q=223 болно.\nБодолт: (3√2x)2=8⋅3√2⇒(2x)23=23⋅213=2103⇒x23=283⇒x=±16(2x3)2=8⋅23⇒(2x)23=23⋅213=2103⇒x23=283⇒x=±16\nq=±3√323√2=±3√16=±23√2q=±32323=±163=±223 болно. Өсөх геометр прогресс гэдгийг тооцвол q=23√2q=223 болно."} +{"prompt":"3√6x+4−3√4−6x=3x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: a=3√6x+4, b=3√4−6x гэвэл a3+b3=8 ба a3−b3=12x=4(a−b) байна. Хэрвээ a=b бол 6x+4=4−6x⇒x=0 болно. Хэрвээ a≠b бол\na3−b3=4(a−b)⇒a2+ab+b2=4\nболно. Цаашид a=u+v, b=u−v гээд бодно. Энэ үед x=a−b3=2v3 байна.\nБодолт: Заавар ёсоор цааш үргэжлүүлбэл\n{(u+v)2+(u−v)3=8(u+v)2+(u+v)(u−v)+(u−v)2=4⇔{u3+3uv2=43u2+v2=4\nтул\nu3+3u(4−3u2)=4⇔2u3−3u+1=(u−1)(2u2+2u−1)=0\nболно. Иймд u1=1, u2,3=−2±√22−4⋅2⋅(−1)4=−1±√32 болно.\n\nu1=1 үед v1=±1 тул a=2, b=0 эсвэл a=0, b=2 болно. Эндээс x=±23 гэсэн шийд гарч байна.\n\nu=−1+√32 үед\n3⋅4−2√34+v2=4⇒v=±√4+6√32\nтул\nx=2v3=±√4+6√33\n\nХарин u=−1−√32 үед\n3⋅4+2√34+v2=4⇒v2=4−6√34<0\nтул шийдгүй.\n\nИнгээд шийдүүдээ нэгтгэвэл x∈{0,±23,±√4+6√33} болно."} +{"prompt":"3√7,k√7,773,7k,7 тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол k=?k=?","completion":"Заавар: a,b,ca,b,c тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ac=b2ac=b2 байдаг.\nБодолт: 3√7,k√7,773,7k,7 тоонууд геометр прогресс үүсгэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \n3√7⋅7=(k√7)2⇔743=72k⇔43=2k73⋅7=(7k)2⇔743=72k⇔43=2k\nтул k=32k=32 байна."} +{"prompt":"3√8−2x8−2x3 илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад 4-р гишүүн нь аль илэрхийлэл байх вэ?","completion":"Заавар: 3√8−2x=2⋅3√1−x4=2⋅(1+(−x4))138−2x3=2⋅1−x43=2⋅(1+(−x4))13\nгээд өргөтгөсөн биномын томьёо ашигла.\nБодолт: 2⋅(1+(−x4))132⋅(1+(−x4))13 илэрхийллийг өргөтгөсөн биномын томьёо ашиглан цуваанд задлавал\n2+2⋅(131)(−x4)+2⋅(132)(−x4)2+2⋅(133)(−x4)3+⋯2+2⋅(131)(−x4)+2⋅(132)(−x4)2+2⋅(133)(−x4)3+⋯\nтул 4-р гишүүн нь\n2⋅13(13−1)(13−2)3!⋅−143x3=−52592x32⋅13(13−1)(13−2)3!⋅−143x3=−52592x3\nбайна."} +{"prompt":"3√9−√x+1+3√7+√x+1=4 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: a=3√9−√x+1, b=3√7+√x+1 гэвэл a+b=4, a3+b3=16 болно.\nБодолт: {a+b=4a3+b3=16 систем тэгшитгэлийг бодъё.\na3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=4(a2−ab+b2)=16\nтул a2−ab+b2=4 болно. b=4−a-г орлуулбал\na2−ab+b2=a2−a(4−a)+(4−a)2=4\nбуюу\n3a2−12a+12=0⇔a=2\nболно. Иймд\na=3√9−√x+1=2⇒9−√x+1=8⇒x=0\nболно. x=0 шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш."} +{"prompt":"3√x+1=3⋅3√x−23x+1=3⋅3x−2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талуудыг 33-ийн зэрэг дүрсэд оруул.\n3x=3y⇔x=y3x=3y⇔x=y\nБодолт: 2√x+5=4⋅2√x−3⇔2√x+5=22+√x−3⇔√x+5=2+√x−32x+5=4⋅2x−3⇔2x+5=22+x−3⇔x+5=2+x−3. Тэгшитгэлийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлээд бодвол x+5=4+4√x−3+x−3⇔√x−3=1⇔x=4.x+5=4+4x−3+x−3⇔x−3=1⇔x=4."} +{"prompt":"3√x3−61=4 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 3 нь сондгой тоо тул\na=b⇔a3=b3⇔3√a=3√b\nбайна.\nБодолт: 3√x3−61=4⇔x3−61=43⇔x3=125⇔x=3√125=5"} +{"prompt":"3√−12+√8+x=−2 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: n сондгой натурал тоо бол a=b⇔an=bn, тэгш бол a=b⇒an=bn болохыг ашигла.\nБодолт: 3√−12+√8+x=−2⇔−12+√8+x=(−2)3⇔\n√8+x=4⇒8+x=42⇒x=8\nбайна. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулж шалгаж үзвэл\n3√−12+√8+8=3√−12+4=3√−8=−2\nболох тул шийд болно.\n\nСанамж: Тэгшитгэлийг бодох явцад ⇒ байх хувиргалт ашигласан тохиолдолд шийдийг заавал шалгах шаардлагатай."} +{"prompt":"3⋅16x+2⋅81x=5⋅36x тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг 81x-д хувааж t=(49)x гэж орлуул.\nБодолт: 3⋅16x+2⋅81x=5⋅36x⇔3⋅(49)2x+2=5⋅(49)x\nt=(49)x гэвэл 3t2−5t+2=0⇒t1=1, t2=23 болно. Иймд x1=log491=0, x2=log4923=12 байна. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь 0+12=0.5 байна."} +{"prompt":"4 нэгж талтай квадратын өнцгүүдээс нь нэг, нэг квадрат салган авч үлдсэн хэсгээр тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэрийн сав хийлээ. Савны эзлэхүүн хамгийн ихдээ хэд байх вэ? \nТаслан авсан квадратын талыг x гэвэл эзлэхүүн нь V=4x3−abx2+cdx болох ба түүний хамгийн их эзлэхүүн нь V=efghi байна.","completion":"Заавар: Параллелепипедийн талуудын урт 4−2x, 4−2x, x байна. Уламжлал ашиглан V(x) функцийг шинжил.\nБодолт: V(x)=(4−2x)(4−2x)x=4x3−16x2+16x\nболох ба\nV′(x)=12x2−32x+16=0⇒x=23, x=2\nболно. Иймд\nVmax=V(23)=(4−2⋅23)2⋅23=42027"} +{"prompt":"4 харандаа, 7 бал, 3 үзэг нийлээд 2310 төгрөгийн үнэтэй. 3 харандаа, 5 бал, 2 үзэг нийлээд 1620 төгрөгний үнэтэй бол 1 харандаа, 1 бал нийлээд хэдэн төгрөг вэ?","completion":"Заавар: 1 ширхэг харандаа xx төгрөг, 1 ширхэг бал yy төгрөг, 1 ширхэг үзэг zz төгрөг гэвэл 4x+7y+3z=23104x+7y+3z=2310, 3x+5y+2z=16203x+5y+2z=1620 байна. x+yx+y хэдтэй тэнцүү вэ?\nБодолт: 4x+7y+3z=23104x+7y+3z=2310 тэгшитгэлийг −2−2-аар, 3x+5y+2z=16203x+5y+2z=1620 тэгшитгэлийг 33-аар үржүүлээд нэмбэл\n−2(4x+7y+3z)+3(3x+5y+2z)=−2⋅2310+3⋅1620−2(4x+7y+3z)+3(3x+5y+2z)=−2⋅2310+3⋅1620\nбуюу\nx+y=−4620+4860=240x+y=−4620+4860=240\nбайна."} +{"prompt":"4 эерэг тооны эхний гурав нь арифметик прогресс, сүүлийн 3 нь геометр прогрессийн дараалсан гишүүд болох бөгөөд эхний гурван тооных нь нийлбэр 12, сүүлийн гурван тооных нь нийлбэр 19 бол сүүлийн тоог ол.","completion":"Заавар: a,b,c тоонууд энэ дарааллаараа \n\nа) арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд ⇔a+c=2b;\n\nб) геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ⇔ac=b2.\nБодолт: 4 тоогоо 00 тул z=−4+162=6⇒62=4w⇒w=9."} +{"prompt":"4-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Эдгээр тоонууд нь эхний гишүүн нь 100, сүүлийн гишүүн нь 996 байх 4 ялгавартай арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна. Нийт хэдэн гишүүн байгаа вэ?\nБодолт: 996=100+4(n−1)⇒n=225 байна. a1=100, a225=996 тул эхний 225 гишүүний нийлбэр нь S225=100+9962⋅225=123300 байна."} +{"prompt":"4.3x−0.8=6.3x−13.24.3x−0.8=6.3x−13.2 тэгшитгэлийг бодоорой!","completion":"Заавар: Хувьсагчтай ба хувьсагчгүй хэсгийг ялгаж ax=bax=b хэлбэрт шилжүүл.\nБодолт: 4.3x−0.8=6.3x−13.2⇔13.2−0.8=6.3x−4.2x⇔12.4=2x⇔2x=12.44.3x−0.8=6.3x−13.2⇔13.2−0.8=6.3x−4.2x⇔12.4=2x⇔2x=12.4\nтул x=12.4:2=6.2x=12.4:2=6.2 байна."} +{"prompt":"4.5%4.5% нь 45-ийн 12%12% болох тоог ол.","completion":"Заавар: Олох тоог xx гэвэл xx тооны 4.5%4.5% нь x⋅4.5100x⋅4.5100 байна. 4545-ийн 12%12% хэдтэй тэнцүү байх вэ?\nБодолт: 4545-ийн 12%12% нь 45⋅1210045⋅12100 байна. Иймд\nx⋅4.5100=45⋅12100⇒x=45⋅124.5=120x⋅4.5100=45⋅12100⇒x=45⋅124.5=120\nбайна."} +{"prompt":"40 л багтаамжтай хоёр адилхан савны нэгэнд спирт, нөгөөд нь ус байсан ба хоёулаа нийлээд 40 л байжээ. I савыг усаар дүүргэж, түүнээсээ II савыг дүүргээд буцааж I сав руу 15 л уусмал хийхэд I саванд буй спиртийн хэмжээ II саванд байснаас 2 дахин их байжээ. Эндээс анх I саванд abc л спирт, II саванд def л ус байсан гэж гарна.","completion":"Заавар: Үйлдэл тус бүрээр хоёр саван дахь спиртийн хэмжээг бод.\nБодолт: Спиртийн хэмжээг x, усны хэмжээг y гэвэл x+y=40 байна. I үйлдлийн дараа I саван дахь спиртийн хэмжээ нь x−x40y, II саван дах спиртийн хэмжээ x40y байна. II үйлдлийн дараа I саван дахь спиртийн хэмжээ нь x−x40y+x40y40⋅15, II саван дахь спиртийн хэмжээ x40y−x40y40⋅15 байна. Иймд 1−y40+3y320=2(y40+3y320)⇒y=643⇒x=40−643=563."} +{"prompt":"40 м даавуугаар хүүхдийн 8, том хүний 6 дээл оёжээ. Хүүхдийн дээлэнд 2 м даавуу ордог бол том хүний дээлэнд хэдэн метр даавуу ордог вэ?","completion":"Заавар: Хүүхдийн дээл хийхэд нийт хэдэн метр даавуу ашигласан бэ?\n\nТом хүний дээл хийхэд нийт хэдэн метр даавуу ашигласан бэ?\nБодолт: Хүүхдийн дээл хийхэд нийт 2⋅8=162⋅8=16 метр даавуу ашигласан. Иймд том хүний дээл хийхэд нийт 40−16=2440−16=24 метр давуу ашигласан. 6 дээл хийхэд 24 метр даавуу ашигласан тул нэг том хүний дээлэнд 246=4246=4 метр давуу ордог."} +{"prompt":"40 хүн 20 өдөр хийх ажлыг 16 өдөрт хийж дуусгах шаардлагатай бол хэдэн хүн нэмж авах вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Нэг хүн өдөрт нийт ажлын 120⋅40=1800120⋅40=1800 хэсгийг хийнэ. nn хүн уг ажлыг 1616 өдөрт хийсэн гэвэл n800×16=1⇒n=50n800×16=1⇒n=50 болно. Иймд нэмж 50−40=1050−40=10 хүн хэрэгтэй."} +{"prompt":"40∘-ийн 40л, 39∘-ийн 39л, …, 2∘-ийн 2л, 1∘-ийн 1л халуун ус өөр өөр саванд байжээ. Бүгдийг нь нэг том саванд юүлбэл хэдэн градустай ус болох вэ?","completion":"Заавар: 12+22+⋯+4021+2+⋯+40-г тооцоол.\n\n12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6 болохыг санаарай!\nБодолт: 12+22+⋯+4021+2+⋯+40=40⋅(40+1)⋅(2⋅40+1)640⋅(40+1)2=2(2⋅40+1)6=27"} +{"prompt":"44(x+1)=5√16x+10044(x+1)=16x+1005 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: n√ak=akn, (am)n=amnakn=akn, (am)n=amn\nтул 5√16x+100=(42)x+1005=42(x+100)516x+1005=(42)x+1005=42(x+100)5 байна.\nМөн a>0a>0 бол ax=ay⇔x=yax=ay⇔x=y\nбайдаг.\nБодолт: 44(x+1)=42(x+100)5⇔4(x+1)=2x+2005⇔18x=18044(x+1)=42(x+100)5⇔4(x+1)=2x+2005⇔18x=180 тул x=10x=10 байна."} +{"prompt":"44, x−4x−4, x+4x+4 тоонууд энэ дарааллаараа өсдөг геометр прогресс үүсгэнэ. Энэ прогрессийн хуваарийг ол.","completion":"Заавар: aa, bb, cc тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь b2=acb2=ac байна.\nБодолт: (x−4)2=4(x+4)⇔x2−12x=0(x−4)2=4(x+4)⇔x2−12x=0 тул x=0∨12x=0∨12 байна. x=0x=0 бол 44, −4−4, 44 гэсэн геометр үүсгэх ба өсдөг геометр прогресс биш. x=12x=12 бол 44, 88, 1616 гэсэн өсдөг геометр прогресс болох ба q=84=2q=84=2 байна."} +{"prompt":"450 км зайтай хоёр хотын хоорондох зайг газрын зураг дээр 15 сантиметрээр зурав. Газрын зургийн масштабыг олоорой.","completion":"Заавар: 1 км нь 1000 м, 1 м нь 100 см тул 1 км нь 100000 см-тэй тэнцүү байна.\nБодолт: 450 км=450×10000 см=4500000 см450 км=450×10000 см=4500000 см байна. Иймд\n15:45000000=1:300000015:45000000=1:3000000\nбайна."} +{"prompt":"4545-ийн 12%12% нь aa тооны 5%5%-тай тэнцдэг бол aa тоог олоорой.","completion":"Заавар: nn тооны k%k% нь n100⋅kn100⋅k байдаг.\nБодолт: 4545-ийн 12%12% нь 45100⋅1245100⋅12, aa тооны 5%5% нь a100⋅5a100⋅5 тул\n45100⋅12=a100⋅5⇒a=45⋅125=9⋅12=10845100⋅12=a100⋅5⇒a=45⋅125=9⋅12=108\nбайна."} +{"prompt":"49:(323−5x)=16 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: a:b=c⇔a:c=b\nтул\n94:(323−5x)=16⇔94:16=323−5x\nбайна.\nБодолт: 49:(323−5x)=16⇔49:16=323−5x⇔5x=323−49:16\nба\n323−49:16=113−49⋅61=113−83=1 тул 5x=1⇒x=15."} +{"prompt":"4:x=2:34:x=2:3 тэнцэтгэлийг хангах xx-ийн утгыг ол.","completion":"Заавар: a:b=c:d⇒ad=bca:b=c:d⇒ad=bc\nБодолт: 4:x=2:3⇒4⋅3=x⋅2⇒x=64:x=2:3⇒4⋅3=x⋅2⇒x=6"} +{"prompt":"4cos2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал\nacos2x+bsinxcosx−sin2x=0\nболно. sinx≠c тул sin2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл\nactg2x+bctgx−1=0\nбайна. Эндээс ctgx=de эсвэл ctgx=1f тул тэгшитгэлийн шийд нь \nx=3πg+πk,x=arcctg1h+πk","completion":"Заавар: sin2x=2sinxcosx, 1=sin2x+cos2x гэвэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ.\nБодолт: 4cos2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал\n4cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x\nтул\n3cos2x+2sinxcosx−sin2x=0\nболно. sinx≠0 тул sin2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл\n3ctg2x+2ctgx−1=0\nтэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс ctgx=−1 эсвэл ctgx=13 тул тэгшитгэлийн шийд нь \nx=3π4+πk,x=arcctg13+πk"} +{"prompt":"4cosx+4sinx илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.","completion":"Заавар: cosx+sinx=√2sin(x+45∘) болохыг ашигла.\nБодолт: 4cosx+4sinx=4√2sin(x+45∘)≤4√2 байна. Тэнцэл нь x=45∘ үед биелэх тул хамгийн их утга нь 4√2 байна."} +{"prompt":"4cosx−sin2x>0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Үржвэрт задал.\nБодолт:"} +{"prompt":"4lg10x−5lg100x≥0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: t=lgx орлуулга ашиглан рационал тэнцэтгэл бишид шилжүүлж бод.\nБодолт: t=lgx гэвэл\nlg10x=lg10+lgx=1+t, lg100x=lg100+lgx=2+t тул\n41+t−52+t≥0⇔4(2+t)−5(1+t)(1+t)(2+t)≥0\nбайна. Эндээс\nt−3(t+1)(t+2)≤0\nтул\nt∈]−∞;−2[∪]−1;3]\nболно. Орлуулгаа буцаавал\nx∈]10−∞;10−2[∪]10−1;103[⇔\nx∈(0;0.01)∪(0.1;1000]"} +{"prompt":"4log0.3x+1log0.3x+1≤log0.3x+1 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.","completion":"Заавар: t=log0.3x орлуулга ашиглан бод. Суурь нь 1-ээс бага тул y=log0.3x функц буурна. Өөрөөр хэлбэл\n0log0.3x2\nБодолт: t=log0.3x гэвэл \n4t+1t+1≤t+1⇔4t+1−t2−2t−1t+1≤0⇔\nt(2−t)t+1≤0⇔t(t−2)t+1≥0\nтул\nt∈]−1;0]∪[2;+∞[\nболно.\n−1x≥0.30⇔103>x≥1\nба\n2≤log0.3x<+∞⇔0.32≥x>0.3+∞=limx→+∞0.3x=0⇔9100≥x>0\nтул тэнцэтгэл бишийн шийд (0;9100]∪[1;103) байна."} +{"prompt":"4log25x2+log3√327=41+log25x−4log25x4log25⁡x2+log33⁡27=41+log25⁡x−4log25⁡x тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: t=4log25xt=4log25⁡x орлуулга хийж бод. (3√3)2=27(33)2=27 тул log3√327=2log33⁡27=2 байна.\nБодолт: 4log25x2=42log25x=t24log25⁡x2=42log25⁡x=t2, 41+log25x=4⋅4log25x=4t41+log25⁡x=4⋅4log25⁡x=4t тул\n4log25x2+log3√327=41+log25x−4log25x⇔t2+2=3t4log25⁡x2+log33⁡27=41+log25⁡x−4log25⁡x⇔t2+2=3t\nболно. Иймд t1,2=−(−3)±√(−3)2−4⋅1⋅12⋅1t1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅12⋅1\nбуюу t1=2t1=2, t2=1t2=1 болно.\n\n4log25x=2⇒2log25x=1⇒x1=54log25⁡x=2⇒2log25⁡x=1⇒x1=5, 4log25x=1⇒log25x=0⇒x2=14log25⁡x=1⇒log25⁡x=0⇒x2=1 болно. Иймд нийлбэр нь 5+1=65+1=6 байна."} +{"prompt":"4sin2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал\nasin2x+bsinxcosx−cos2x=0\nболно. cosx≠c тул cos2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл\natg2x+btgx−1=0\nтэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс tgx=de эсвэл tgx=1f тул тэгшитгэлийн шийд нь \nx=3πg+πk,x=arctg1h+πk","completion":"Заавар: sin2x=2sinxcosx, 1=sin2x+cos2x гэвэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ.\nБодолт: 4sin2x+sin2x=1 тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал\n4sin2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x\nтул\n3sin2x+2sinxcosx−cos2x=0\nболно. cosx≠0 тул cos2x тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл\n3tg2x+2tgx−1=0\nтэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс tgx=−1 эсвэл tgx=13 тул тэгшитгэлийн шийд нь \nx=3π4+πk,x=arctg13+πk"} +{"prompt":"4sin2xcosx−1=cosx4sin2⁡xcos⁡x−1=cos⁡x тэгшитгэлийн 0∘3.1415π>3.1415 гэсэн ойролцоо утгыг нь ашиглан 2015<3.1415(1+2k)42015<3.1415(1+2k)4 тэнцэтгэл бишийг бодвол 12820α>0 хэлбэртэй байна. 14+α≤1⇒−1≤14−α14+α≤1⇒−1≤14−α тул зөвхөн хоёр шийд нь 11-ээс бага нөхцлийг шалгахад л хангалттай.\nБодолт: Заавар ёсоор хоёр шийд нь хоёулаа 11-ээс хэтрэхгүй байх нөхцлийг шалгахад л хангалттай.\n⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩4⋅12−2⋅1+m≥0(−2)2−4⋅4⋅m≥014≤1⇔⎧⎨⎩m≥−214≥m{4⋅12−2⋅1+m≥0(−2)2−4⋅4⋅m≥014≤1⇔{m≥−214≥m\nтул m∈[−2;14]m∈[−2;14] байна."} +{"prompt":"4x2−5x+14x−1−x2−11−x илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: x1, x2 нь ax2+bx+c квадрат гурван гишүүнтийн язгуурууд бол:\nax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)\nБодолт: 4x2−5x+1=0⇒x1,2=5±√52−4⋅4⋅12⋅4 тул x1=1, x2=14 байна. Иймд\n4x2−5x+1=4(x−1)(x−14)=(x−1)(4x−1)\nМөн x2−1=x2−12=(x−1)(x+1) тул\nИлэрх.=4x2−5x+14x−1−x2−11−x=(x−1)(4x−1)4x−1−(x−1)(x+1)1−x←x−11−x=−1=x−1+x+1=2x"} +{"prompt":"4x3+2x2+4x−52x+3 хуваалтын үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: 4x3+2x2+4x−5=(2x+3)Q(x)+R\nтэнцэлд x=−32 утгыг орлуулж үз.\nБодолт: 2⋅(−32)+3=0 тул\n4(−32)3+2(−32)2+4(−32)−5=0⋅Q(−32)+R⇒\nR=−272+92−6−5=−20\nбайна."} +{"prompt":"4x>2564x>256 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 256256-г 4-ийн зэрэгт байдлаар бич.\nБодолт: 4x>256=44⇔x>44x>256=44⇔x>4."} +{"prompt":"4x−5⋅2x−12+2=04x−5⋅2x−12+2=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: t=2x−12t=2x−12 гэвэл t2=22x−1⇒4x=2t2t2=22x−1⇒4x=2t2. Эндээс 2t2−5t+2=0⇒t1,2=5±√25−4⋅2⋅22⋅2=5±34.2t2−5t+2=0⇒t1,2=5±25−4⋅2⋅22⋅2=5±34. t1=0.5=2−1⇒x1−12=−1⇒x1=−0.5t1=0.5=2−1⇒x1−12=−1⇒x1=−0.5, t2=2=21⇒x2−12=1⇒x2=1.5t2=2=21⇒x2−12=1⇒x2=1.5."} +{"prompt":"4x≤2564x≤256 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 256256-г 4-ийн зэрэгт байдлаар бич.\nБодолт: 4x≤256=44⇔x≤44x≤256=44⇔x≤4."} +{"prompt":"4x⋅5x+1=5⋅202−x4x⋅5x+1=5⋅202−x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 4x⋅5x+1=5⋅202−x⇔5⋅4x⋅5x=5⋅202−x⇔20x=202−x4x⋅5x+1=5⋅202−x⇔5⋅4x⋅5x=5⋅202−x⇔20x=202−x.\nБодолт:"} +{"prompt":"4x⋅x2−4x+1+16=4x24x⋅x2−4x+1+16=4x2 тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр аль вэ?","completion":"Заавар: Үржигдэхүүнд задалж бод.\nБодолт: 4x⋅x2−4x+1+16=4x2⇔(4x−4)(x2−4)=04x⋅x2−4x+1+16=4x2⇔(4x−4)(x2−4)=0.\nИймд x=1,x=−2,x=2⇒x=1,x=−2,x=2⇒ квадратуудын нийлбэр нь 9."} +{"prompt":"4−3x≤4214−3x≤421 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a>1a>1 үед y=axy=ax функц нь өсдөг функц байдаг тул\nax14>1 тул\n4−3x≤421⇔−3x≤21⇔x≥21−3=−74−3x≤421⇔−3x≤21⇔x≥21−3=−7\nИймд x∈[−7;+∞[x∈[−7;+∞[ байна."} +{"prompt":"4−7⋅5x52x+1−12⋅5x+4≤234−7⋅5x52x+1−12⋅5x+4≤23 тэнцэтгэл бишд 5x=t5x=t орлуулга хийн хувиргавал abt2−3t−415t2−36t+cd≥0abt2−3t−415t2−36t+cd≥0 хэлбэрт шилжинэ. Уг тэнцэтгэл бишээ бодвол шийдийн олонлог t≤−12,e5ft≤−12,e5f болно. Дээрх орлуулгаа ашиглавал анхны тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог x>log5g,log525log5⁡g,log5⁡252t≤−12∪252 болно. \n\nДээрх орлуулгаа буцааж анхны тэнцэтгэл бишийг бодвол 5x≤−125x≤−12 (шийдгүй), 25≤5x≤4525≤5x≤45, 5x>25x>2 буюу log525log52log5⁡25log5⁡2 байна."} +{"prompt":"4√2x2+x+6=√x+2 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн 2 талыг 4 зэрэгт дэвшүүлж бод.\nБодолт: 4√2x2+x+6=√x+2⇒2x2+x+6=(x+2)2⇒x2−3x+2=0 болно. Эндээс x1=1, x2=2 гэсэн шийдүүд гарч байна. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш зэрэгт дэвшүүлэхэд шийд нэмэгдэх боломжтой тул шийдүүдийг шалгаж үзье. x1=1 үед\n4√2⋅12+1+6=4√9=√3\nба\n√1+2=√3\nтул шийд болж байна. x2=2 үед\n4√2⋅22+2+6=4√16=2\nба\n√2+2=2\nтул мөн л шийд болно. Иймд нийлбэр нь 1+2=3 байна.\n\nСанамж. Хэрвээ шийдүүдийг шалгалгүйгээр x2−3x+2=0 тэгшитгэлд Виетийн теорем ашиглан нийлбэр олбол шийд болохгүй тоог нийлбэрт тооцох боломжтойг анхаарна уу!"} +{"prompt":"4√x+8−4√8−x=2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: a=4√x+8, b=4√8−x гэвэл a4+b4=16, a−b=2 байна.\nБодолт: a=4√x+8, b=4√8−x гэвэл a4+b4=16, a−b=2 тул\na4+(a−2)4=16⇔2a4−8a3+24a2−32a=0\nболно. Энэ тэгшитгэл a=0, a=2 гэсэн хялбар шийдүүдтэй тул\n2a(a−2)(a2−2a+8)=0\nболж задарна. D=(−2)2−4⋅1⋅8<0 тул a2−2a+8≠0, a=0 үед b=4√8−x=−2 болоход хүрэх тул зөвхөн a=2 үед анхны тэгшитгэл шийдтэй байна. Иймд 4√x+8=2⇒x=8 ба шийд болохыг нь шалгах төвөгтэй биш юм."} +{"prompt":"4√x2−7x+114=2√3 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн хоёр талыг 4 зэрэгт дэвшүүл.\nБодолт: 4√x2−7x+114=2√3⇔x2−7x+114=(2√3)4=144⇔\nx3−7x−30=0⇔x=7±√49+1202=7±132\nтул x1=10, x2=−3 болно."} +{"prompt":"4√x4√x4√x…=3√4xxx…444=43 бол x=?x=?","completion":"Заавар: 4√x4√x4√x…=3√4⇒4√x⋅3√4=3√4xxx…444=43⇒x⋅434=43 болохыг ашигла.\nБодолт: 4√x⋅3√4=3√4x⋅434=43 тэгшитгэлийн хоёр талыг 12 зэрэгт дэвшүүлбэл 4x3=444x3=44 болно. Иймд x=4x=4 байна."} +{"prompt":"4√x4√x4√x…=3√4xxx…444=43 бол xx-г ол.","completion":"Заавар: 4√x4√x4√x…=3√4⇒4√x3√4=3√4xxx…444=43⇒x434=43 байна.\nБодолт: 4√x3√4=3√4⇒x3√4=(3√4)4⇒x=(3√4)3=4x434=43⇒x43=(43)4⇒x=(43)3=4 байна."} +{"prompt":"4⋅16x+5⋅12x=6⋅9x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=−1 нь\n4⋅16−1+5⋅12−1=416+512=312+512=812=23=6⋅9−1\nтул шийд болно. Иймд −1, ±1 гэсэн сонголтууд үлдэж байна.\nx=1 нь\n4⋅16+5⋅12=64+60=124≠6⋅9\nтул шийд болохгүй. Иймд зөв хариулт нь −1 буюу A сонголт байна.\nЗаавар: 9x-д хуваагаад t=(43)x орлуулга ашиглан бод.\nБодолт: Тэгшитгэлийг 9x-д хуваавал\n4⋅(43)2x+5⋅(43)−6=0\nболно. t=(43)x гэвэл\n4t2+5t−6=0⇔t1=34, t2=−2\nболно. t>0 тул t=34 нь шийд болно. Эндээс (43)x=34 тул x=−1 байна."} +{"prompt":"4⋅6x−1−5x−5x−1+6x−2=04⋅6x−1−5x−5x−1+6x−2=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 24⋅6x−2+6x−2−(25⋅5x−2+5⋅5x−2)=024⋅6x−2+6x−2−(25⋅5x−2+5⋅5x−2)=0 болгож бич.\nБодолт: 4⋅6x−1−5x−5x−1+6x−2=0⇔4⋅6x−1−5x−5x−1+6x−2=0⇔\n24⋅6x−2+6x−2−(25⋅5x−2+5⋅5x−2)=0⇔24⋅6x−2+6x−2−(25⋅5x−2+5⋅5x−2)=0⇔\n25⋅6x−2−30⋅5x−2=025⋅6x−2−30⋅5x−2=0 болно. Эндээс\n2530=56=(56)x−2⇒x=3.2530=56=(56)x−2⇒x=3."} +{"prompt":"5 алимны үнэ 3.25$3.25$ болно. Хэрэв нэг жүрж ба нэг ширхэг алимны үнэ нийлээд 1.05$1.05$ бол нэг ширхэг жүржийн үнэ хэд вэ?","completion":"Заавар: Нэг алимны үнэ ол.\nБодолт: Нэг алимны үнэ 3.25$5=0.65$3.25$5=0.65$. Жүржийн үнэ 1.05$−0.65$=0.40$1.05$−0.65$=0.40$."} +{"prompt":"5(5x+2)(4x−17)≤05(5x+2)(4x−17)≤0 тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг ол.","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийн 2 талыг эерэг тоогоор үржвэл тэнцэтгэл бишийн тэмдэг хэвээрээ, сөрөг тоогоор үржвэл тэнцэтгэл бишийн тэмдэг эсрэгээр солигддог. Мөн f(x)g(x)≤0⇔{f(x)⋅g(x)≤0g(x)≠0f(x)g(x)≤0⇔{f(x)⋅g(x)≤0g(x)≠0\nбайдаг.\nБодолт: 5(5x+2)(4x−17)≤0⇒{5⋅(5x+2)⋅(4x−17)≤0(5x+2)⋅(4x−17)≠05(5x+2)(4x−17)≤0⇒{5⋅(5x+2)⋅(4x−17)≤0(5x+2)⋅(4x−17)≠0 болно. 5⋅(5x+2)>05⋅(5x+2)>0 тул тэнцэтгэл биш 4x−17<04x−17<0 болно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд ]−∞;174[]−∞;174[ байна. Иймд хамгийн их бүхэл шийд нь [174]=4[174]=4 байна.\n\nСанамж: Хариунаас нь шалгаад олох арга ашиглавал хурдан юм. Мэдээж эхнээс нь биш их тооноос нь эхлэж шалгах хэрэгтэй."} +{"prompt":"5(x3+6x2+12x+8)(x−1)2(x+8)≥x(x+2)3(x2−2x+1)(x+8)\nтэнцэтгэл бишийн [−10;12] муж дахь бүхэл шийдийн тоог ол.","completion":"Заавар: x3+6x2+12x+8=(x+2)3, x2−2x+1=(x−1)2 болохыг ашигла.\nБодолт: 5(x3+6x2+12x+8)(x−1)2(x+8)≥x(x+2)3(x2−2x+1)(x+8)⇔5(x+2)3(x−1)2(x+8)−x(x+2)3(x−1)2(x+8)≥0⇔(5−x)(x+2)3(x−1)2(x+8)≥0\nтул шийд нь x∈]−∞;−8[∪[−2;1[∪]1;5] болно. Бүхэл шийдүүд нь x=−10, −9, −2, −1, 0, 2, 3, 4, 5 нийт 9 ширхэг байна."} +{"prompt":"5+85+x−2x+1=7 бол x=?","completion":"Заавар: 85+x−2x+1=8(x+1)5(x+1)+x−2=8(x+1)6x+3\nБодолт: 5+85+x−2x+1=7⇒8(x+1)6x+3=7−5=2 тул \n4(x+1)=6x+3⇒2x=1⇒x=12\nболно."} +{"prompt":"5,11,29,83,…5,11,29,83,… дарааллын ерөнхий гишүүн аль нь байж болох вэ?","completion":"Заавар: 9.2. Дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо, рекуррент томьёог бичиж, хэрэглэдэг.\nБодолт: an=1+3n,bn=2+2n−1,cn=2+3n,dn=3+2n,en=6n−1an=1+3n,bn=2+2n−1,cn=2+3n,dn=3+2n,en=6n−1\nгэвэл\na1=1+31=4,b1=2+21−1=3,c1=2+31=5,d1=3+21=5,e1=6⋅1−1=5a1=1+31=4,b1=2+21−1=3,c1=2+31=5,d1=3+21=5,e1=6⋅1−1=5\nтул зөвхөн cn,dn,encn,dn,en дарааллууд байх боломжтой. n=2n=2 үед\nc2=2+32=11,d2=3+22=7,e2=6⋅2−1=11c2=2+32=11,d2=3+22=7,e2=6⋅2−1=11\nба n=3n=3 үед\nc3=2+33=29,e3=6⋅3−1=17c3=2+33=29,e3=6⋅3−1=17\nтул зөвхөн cncn хариулт үлдлээ. Үнэндээ c4=2+34=83c4=2+34=83 тул зөв хариулт болж чадна."} +{"prompt":"5,5,6 талуудтай адил хажуут гурвалжинд хоёр орой нь суурь дээр нөгөө хоёр орой нь хажуу талууд дээр байхаар тэгш өнцөгт багтжээ. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол.","completion":"Заавар: Тэгш өнцөгт маань суурьт буулгасан өндрийн хувьд тэгш хэмтэй байх нь ойлгомжтой. Өндрийн сууриас тэгш өнцөгтийн суурь дээрх орой хүртэлх зайг x гээд талбайг нь x-ээр илэрхийл.\nБодолт: Суурьт буусан өндрийн сууриас тэгш өнцөгтийн суурь дээрх орой хүртэлх зайг x гэе. \n\nАдил хажуут гурвалжин тул уг өндрийн сууриас суурийн орой хүртэлх зай нь DC=62=3, өндөр нь BD=√BC2−DC2=√52−32=4 байна. Тэгш өнцөгтийн нөгөө тал нь суурьт буусан өндөртэй параллель тул төсөөтэй гурвалжны талуудын харьцаагаар GCDC=FGBD⇔3−x3=h4 буюу h=43(3−x) байна. Тэгш өнцөгтийн талбай нь S(x)=2x⋅h=83x(3−x) болно. Энэ нь S′(x)=8−163x⇒x=32\nүед 6 гэсэн хамгийн их утгаа авна."} +{"prompt":"5,5,8 талуудтай адил хажуут гурвалжинд хоёр орой нь суурь дээр нөгөө хоёр орой нь хажуу талууд дээр байхаар тэгш өнцөгт багтжээ. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол.","completion":"Заавар: Тэгш өнцөгт маань суурьт буулгасан өндрийн хувьд тэгш хэмтэй байх нь ойлгомжтой. Өндрийн сууриас тэгш өнцөгтийн суурь дээрх орой хүртэлх зайг x гээд талбайг нь x-ээр илэрхийл.\nБодолт: Суурьт буусан өндрийн сууриас тэгш өнцөгтийн суурь дээрх орой хүртэлх зайг x гэе. \n\nАдил хажуут гурвалжин тул уг өндрийн сууриас суурийн орой хүртэлх зай нь DC=82=4, өндөр нь BD=√BC2−DC2=√52−42=3 байна. Тэгш өнцөгтийн нөгөө тал нь суурьт буусан өндөртэй параллель тул төсөөтэй гурвалжны талуудын харьцаагаар GCDC=FGBD⇔4−x4=h3 буюу h=34(4−x) байна. Тэгш өнцөгтийн талбай нь \nS(x)=2x⋅h=32x(4−x)\nболно. Энэ нь S′(x)=6−3x⇒x=2\nүед 6 гэсэн хамгийн их утгаа авна."} +{"prompt":"5,7,11,19,…5,7,11,19,… дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.","completion":"Заавар: 9.2. Дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо, рекуррент томьёог бичиж, хэрэглэдэг.\nБодолт: an=1+3n,bn=2+2n−1,cn=2+3n,dn=3+2n,en=3+2nan=1+3n,bn=2+2n−1,cn=2+3n,dn=3+2n,en=3+2n\nгэвэл\na1=1+31=4,b1=2+21−1=3,c1=2+31=5,d1=3+21=5,e1=3+2⋅1=5a1=1+31=4,b1=2+21−1=3,c1=2+31=5,d1=3+21=5,e1=3+2⋅1=5\nтул зөвхөн cn,dn,encn,dn,en дарааллууд байх боломжтой. n=2n=2 үед\nc2=2+32=11,d2=3+22=7,e2=3+2⋅2=7c2=2+32=11,d2=3+22=7,e2=3+2⋅2=7\nба n=3n=3 үед\nd3=3+23=11,e3=3+2⋅3=9d3=3+23=11,e3=3+2⋅3=9\nтул зөвхөн dndn хариулт үлдлээ. Үнэндээ d4=3+24=19d4=3+24=19 тул зөв хариулт болж чадна."} +{"prompt":"5-д хуваахад 1 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?","completion":"Заавар: 101,106,…,991,996 гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна.\nБодолт: 996=101+5(n−1)⇒n=180 байна."} +{"prompt":"5-д хуваахад 1 үлдэгдэл өгдөг 4 оронтой тоо нийт хэчнээн ширхэг байх вэ?","completion":"Заавар: Эхний гишүүн нь 1001 сүүлийн гишүүн нь 9996 байх 5 ялгавартай арифметик прогресс хэчнээн гишүүнтэй вэ?\nБодолт: 1001+5(n−1)=9996⇒n=9996−10015+1=1800."} +{"prompt":"5-д хуваахад 2 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?","completion":"Заавар: 102,107,…,992,997 гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна.\nБодолт: 999=102+5(n−1)⇒n=180 байна."} +{"prompt":"5-д хуваахад 3 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?","completion":"Заавар: 103,108,…,993,998 гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна.\nБодолт: 998=103+5(n−1)⇒n=180 байна."} +{"prompt":"5-д хуваахад 4 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?","completion":"Заавар: 104,109,…,994,999 гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд байна.\nБодолт: 999=104+5(n−1)⇒n=180 байна."} +{"prompt":"50 кг зэс ба тугалганы хайлшинд 6 кг тугалга нэмэхэд зэсийн эзлэх хувь нь 9% багасна. Анхны хайлш дотор тугалга хэчнээн хэмжээтэй байсан бэ?","completion":"Заавар: x хэмжээтэй a% хувийн хайлш y хэмжээтэй b% хувийн хайлшыг нийлүүлж хайлахад x+y хэмжэээтэй c=ax+byx+y хувийн хайлш гарна.\nБодолт: 50 кг зэс ба тугалганы a хувийн зэс агуулсан хайлшинд 6 кг тугалга нэмэхэд a−9 хувийн зэс агуулсан хайлш гарсан тул a−9=a⋅50+0⋅650+6=25a28 болно. Иймд 3a28=9⇒a=84⇒16%"} +{"prompt":"50 км\/цаг хурдтай машин гарснаас хойш хагас цагийн дараа өөр машин араас нь гарч 2.5 цаг яваад түүнийг гүйцжээ. Сүүлийн машины хурдыг ол.","completion":"Заавар: Дараагийн машиныг гарах хүртэл эхний машин 50⋅12=2550⋅12=25 км зам явсан байна.\nБодолт: Хоёр дахь машин 25 км замыг 2.5 цагт нөхсөн тул эхний машинаас 252.5=10252.5=10 км\/цаг-аар илүү буюу 50+10=6050+10=60 км\/цаг хурдтай байжээ."} +{"prompt":"5000 төгрөгийн үнэтэй цамц хямдраад 4500 төгрөгийн үнэтэй болжээ. Цамц хэдэн хувиар хямдарсан бэ?","completion":"Заавар: 50005000 нь 100%100% бол 45004500 нь хэдэн хувьд бэ?\nБодолт: 1%=5000100=50⇒x%=50x=4500⇒x=450050=90%1%=5000100=50⇒x%=50x=4500⇒x=450050=90%. Тул 100%−90%=10%100%−90%=10% хувь хямдарчээ."} +{"prompt":"500<53x<1000 тэнцэтгэл бишийг хангах утга аль нь вэ?","completion":"Заавар: 7.1. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш болон шугаман тэнцэтгэл тэнцэтгэл бишийн систем зохиодог.\nБодолт: 500<53x<1000⇔50053(0.2)x2−753|x+1|>(0.2)x2−7 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: 15=5−115=5−1 ба илтгэгч функцийн монотон чанар ашигла.\nБодолт: бодолт засна. \n53|x+1|>(15)x2−753|x+1|>(15)x2−7 53|x+1|>(5−1)x2−753|x+1|>(5−1)x2−7 3|x+1|−7>−x2+73|x+1|−7>−x2+7\n⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1x2−3(x+1)−7>0{x≥1(x2+3(x+1)−7>0⇒⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1x2−3x−3−7>0{x≥1(x2+3x+3−7>0⇒⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1(x2+3x−4>0{x≥1(x2+3x+1)−7>0[{x<1x2−3(x+1)−7>0{x≥1(x2+3(x+1)−7>0⇒[{x<1x2−3x−3−7>0{x≥1(x2+3x+3−7>0⇒[{x<1(x2+3x−4>0{x≥1(x2+3x+1)−7>0\n⎡⎢\n⎢\n⎢\n⎢⎣{x<1(x+4)(x−1)>0{x≥1(x+5)(x−2)>0⇒[x<−1x>2⇒[{x<1(x+4)(x−1)>0{x≥1(x+5)(x−2)>0⇒[x<−1x>2⇒\n ]−∞;−1[∪]2;∞[]−∞;−1[∪]2;∞["} +{"prompt":"53√2x−5+6√2x−5<652x−53+2x−56<6 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: t=6√2x−5t=2x−56 гэвэл t2=3√2x−5t2=2x−53 байна. Тодорхойлогдох муж нь 2x−5≥02x−5≥0 байна.\nБодолт: t=6√2x−5t=2x−56 гэвэл\n5t2+t<6⇔5(t−1)(t+65)<05t2+t<6⇔5(t−1)(t+65)<0\nтул −650t>0 тул 2.5≤x2.5≤x ба 2x−5<162x−5<16 байна. Иймд 2.5≤x<32.5≤x<3 байна."} +{"prompt":"54 л багтаамжтай саваар дүүрэн хүчил байв. Хэсэг хүчил авч оронд нь усаар дүүргээд дахин мөн хэмжээний хольц авахад үлдсэн хольцонд 24 л цэвэр хүчил байв. Эхний удаа авсан хүчлийн хэмжээг ол.","completion":"Заавар: Эхний удаа авсан хүчлийн хэмжээг x гэвэл. Үлдэх хүчлийн хэмжээ нь 54−x болох ба ус нэмж хийхэд концентраци нь 54−x54⋅100% байна.\nБодолт: 54−x54⋅100% концентрацитай x литр хольцод байх хүчлийн хэмжээ нь 54−x54⋅x үлдэх хүчлийн хэмжээ нь 54−x−54−x54⋅x=24\nбайна. Тэгшитгэлийш бодвол x=18, x=90 гэсэн шийдүүд гарах ба 00t>0 тул t=5t=5 буюу 5cos23x=5⇔cos23x=1⇔1+cos6x2=1⇔cos6x=15cos2⁡3x=5⇔cos2⁡3x=1⇔1+cos⁡6x2=1⇔cos⁡6x=1\nбайна.\n\nИймд 6x=2πk⇒x=πk36x=2πk⇒x=πk3 байна. Хамгийн их сөрөг шийд нь k=−1k=−1 үед α=−π3α=−π3 байна. Иймд sinα=−√32sin⁡α=−32."} +{"prompt":"5log7x+xlog75=250 тэгшитгэлийн хувьд x>a гэж тодорхойлогдох ба тэгшитгэлийг бодвол bcd шийд гарна.","completion":"Заавар: alogbc=clogba адилтгалыг ашигла.\nБодолт: Логарифм функцийн тодорхойлогдох муж нь эерэг тоо тул x>0.\n\nalogbc=clogba адилтгалыг ашиглавал 5log7x+xlog75=2⋅5log7x=250 тул 5log7x=53 буюу log7x=3. Иймд x=73=343 байна."} +{"prompt":"5sinx+3cosx=1sinx тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: sin2x+cos2x=1 ашиглан нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжүүл.\nБодолт: 5sinx+3cosx=1sinx⇔5sin2x+3cosxsinx=1=sin2x+cos2x байна. Иймд 4sin2x+3sinxcosx−cos2x=0 болно. cos2x≠0-д хувааж өгье. 4tg2x+3tgx−1=0⇔(4tgx−1)(tgx+1)=0. \nИймд tgx=−1 эсвэл tgx=14 байна. Эхнийхээс x=−π4+πn, хоёр дахиаc x=arctg14+πn болно."} +{"prompt":"5sinx−12cosx+13sin3x=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: 52+122=132 болохыг ашиглан туслах өнцөг оруулж бод.\nБодолт: 5sinx−12cosx+13sin3x=0⇔sin3x+(513sinx−1213cosx)=0\nба cosα=513, sinα=1213 гэвэл α=arcsin1213 ба\nsin3x+sin(x−α)=0⇔2sin3x+x−α2⋅cos3x−x+α2=0\n⇔sin(2x−α2)⋅cos(x−α2)=0\nтул \nx=πk2+α4=πk2+14arcsin1213x=π2+πk+α2=π2+πk+12arcsin1213\nгэсэн шийдүүд гарна."} +{"prompt":"5x+12x=13x5x+12x=13x бол x=?x=?","completion":"Заавар: 5x+12x=13x⇒(513)x+(1213)x=15x+12x=13x⇒(513)x+(1213)x=1. Тэгшитгэлийн зүүн гар тал нь эрс буурах функц байна.\nБодолт: f(x)=(513)x+(1213)xf(x)=(513)x+(1213)x функц эрс буурах функц бөгөөд f(2)=1f(2)=1 тул x=2x=2 нь тэгшитгэлийн цор ганц шийд байна."} +{"prompt":"5x+14−2−3x31a>1 үед y=axy=ax функц нь өсдөг функц байдаг тул\nax15>1 тул\n5x2−3x≤528⇔x2−3x≤285x2−3x≤528⇔x2−3x≤28\nx2−3x−28=0x2−3x−28=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1=4x1=4,x2=7x2=7 тул x2−3x−28≤0x2−3x−28≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь x12(5x−1−3x−2)5x−3x+1>2(5x−1−3x−2) тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог x>ax>a байна.","completion":"Заавар: 5x=5⋅5x−1, 3x+1=27⋅3x−25x=5⋅5x−1, 3x+1=27⋅3x−2\nБодолт: 5x−3x+1>2(5x−1−3x−2)⇔5⋅5x−1−27⋅3x−2>2⋅5x−1−2⋅3x−25x−3x+1>2(5x−1−3x−2)⇔5⋅5x−1−27⋅3x−2>2⋅5x−1−2⋅3x−2\nтул\n3⋅5x−1>25⋅3x−2⇔5x−2>3x−2⇔(53)x−3>13⋅5x−1>25⋅3x−2⇔5x−2>3x−2⇔(53)x−3>1\nбайна. Иймд x−3>0x−3>0 буюу x>3x>3 байна."} +{"prompt":"5x≤1255x≤125 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 125125-г 5-ийн зэрэгт байдлаар бич.\nБодолт: 5x≤125=53⇔x≤35x≤125=53⇔x≤3."} +{"prompt":"5−5cosx−2sin2x=05−5cos⁡x−2sin2⁡x=0 тэгштгэлийн sinx≤0sin⁡x≤0\nбайх бүх шийдийг ол.","completion":"Заавар: sin2x=1−cos2xsin2⁡x=1−cos2⁡x ашиглан косинусын хувьд квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бод.\nБодолт: 5−5cosx−2(1−cos2x)=2c2−5c+3=0⇒c1=1, c2=1.55−5cos⁡x−2(1−cos2⁡x)=2c2−5c+3=0⇒c1=1, c2=1.5 болно. c=cosx≤1c=cos⁡x≤1 тул cosx=1cos⁡x=1 л байх боломжтой. Мэдээж энэ үед 0=sinx≤00=sin⁡x≤0 тул cosx=1cos⁡x=1 тэгшитгэлийн бүх шийдийг авна. Шийд нь x=2πkx=2πk байна."} +{"prompt":"5√16xx−1+5√x−116x=2.5 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=5√16xx−1 гэвэл 5√x−116x=1t байна. t+1t=2.5 тэгшитгэлийг бодож t олоод t-ийн утгуудад харгалзах x-ийг ол.\nБодолт: t+1t=2.5⇒2t2−5t+2=0⇒t1,2=5±√52−4⋅2⋅22⋅2=5±34⇒t1=2,t2=0.5 байна.\n\nИймд \n5√16xx−1=2⇒16xx−1=32⇒x=2,\n5√16xx−1=0.5⇒16xx−1=132⇒x=−1511\nбайна."} +{"prompt":"5√x4+5√x2−2=0 тэгшитгэлийн шийдийг ол.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=−1 үед 5√(−1)4+5√(−1)2−2=1+1−2=0\nx=1 үед 5√14+5√12−2=1+1−2=0\nтул −1,1 тоонууд шийд болж байна. Иймд зөв хариулт нь зөвхөн {−1;1} л байх боломжтой (өөр эдгээр тоонуудыг агуулсан шийдийн олонлог байхгүй)."} +{"prompt":"6 ба 18-ын хооронд орших ба тэдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй геометр прогресс үүсгэх 3 тоог ол.","completion":"Заавар: b2n=bn−k⋅bn+kbn2=bn−k⋅bn+k ашигла.\nБодолт: b1=6b1=6, b5=18b5=18 гэвэл b3=b1q2>0b3=b1q2>0 тул b23=b1⋅b5=6⋅18⇒b3=6√3b32=b1⋅b5=6⋅18⇒b3=63. Түүнчлэн b2=b1⋅b3b2=b1⋅b3, b4=b3⋅b5b4=b3⋅b5 тул b2=±√6⋅6√3=±64√3b2=±6⋅63=±634, b4=±√6√3⋅18=±64√27b4=±63⋅18=±6274 байна. Эндээс 64√3634, 6√3=64√963=694, 64√276274 болж байна."} +{"prompt":"6 радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?","completion":"Заавар: \nзурагт үзүүлсэн θ өнцгөөр эзлэхүүнийг илэрхийл. Конусын эзлэхүүн:\nV=13Sh=π3R2h\nбайна. Энд S конусын суурийн талбай, R нь суурийн радиус, h нь конусын өндөр юм.\nБодолт: O нь бөмбөрцгийн төв, M нь конусын суурийн тойрог дээрх цэг гэе. OM хэрчмийн цилиндрийн гол тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг θ гэвэл суурийн радиус нь 6sinθ, өндөр нь 6+6cosθ байна. Конусын эзлэхүүн нь\nV(θ)=π3(6sinθ)2(6+6cosθ)\nба c=cosθ, |c|≤1 гэвэл sin2θ=1−c2 тул \nV(c)=π3⋅63(1−c2)(1+c)\nбайна. c-ийн ямар утганд конусын эзлэхүүн хамгийн их байхыг олъё. \nV′(c)=0⇒1−2c−3c2=0⇒c1=−1,c2=13 болно. Эндээс c=13 үед V(c) хамгийн их утгаа авна. Энэ үед бөмбөрцгийн төвөөс суурь хүртэлх зай d=6⋅13=2 см байна."} +{"prompt":"6%6% нь 36.636.6-ийн 13%13% болох тоог ол.","completion":"Заавар: Олох тоог xx гэе. Тэгвэл xx-ийн 6 хувь нь x6100x6100, 36.636.6-ийн 1313 хувь нь 36.61310036.613100 байна.\nБодолт: x⋅6100=36.6⋅13100⇒x=36.6⋅136=6.1⋅13=79.3x⋅6100=36.6⋅13100⇒x=36.6⋅136=6.1⋅13=79.3"} +{"prompt":"6,24,60,120,210,336,504,…6,24,60,120,210,336,504,… дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Дарааллын дараалсан хоёр гишүүний ялгавар дарааллыг сонирхоё:\n\n18,36,60,90,126,168,…⋯(1)18,36,60,90,126,168,…⋯(1)\n\n\nбайна. (1) дарааллын ялгавар дараалал нь:\n\n18,24,30,36,42,…⋯(2)18,24,30,36,42,…⋯(2)\n\n\nбайна. (2) дарааллын ялгавар дараалал нь:\n\n6,6,6,6,…⋯(3)6,6,6,6,…⋯(3)\n\n\nбайна. Эндээс харахад (3)-р дараалал тогтмол 66 байна. (2)-р ялгавар дарааллыг cncn гэвэл c1=18,d=6c1=18,d=6 байх арифметик прогресс байна. Иймд cn=12+6ncn=12+6n болно.\n(1)-р ялгавар дарааллыг bnbn гэвэл bn+1−bn=cn,b1=18bn+1−bn=cn,b1=18 байна. Иймд n≥2n≥2 үед\nn−1∑k=1ck=n−1∑k=1(bk+1−bk)=bn−b1=bn−18∑k=1n−1ck=∑k=1n−1(bk+1−bk)=bn−b1=bn−18 болно.\n\nn−1∑k=1ck=n−1∑k=1(12+6n)=12(n−1)+6⋅n(n−1)2=3n2+9n−12∑k=1n−1ck=∑k=1n−1(12+6n)=12(n−1)+6⋅n(n−1)2=3n2+9n−12\n учир bn=3n2+9n+6bn=3n2+9n+6 болно. Анхны дарааллыг anan гэвэл an+1−an=bn,a1=6an+1−an=bn,a1=6 тул n≥2n≥2 үед\nn−1∑k=1bk=n−1∑k=1(ak+1−ak)=an−a1=an−6∑k=1n−1bk=∑k=1n−1(ak+1−ak)=an−a1=an−6 болно.\nn−1∑k=1bk=n−1∑k=1(3k2+9k+6)=n−1∑k=13k2+n−1∑k=19k+n−1∑k=16=3⋅(n−1)n(2n−1)6+9⋅n(n−1)2+6⋅(n−1)=n3+3n2+2n−6∑k=1n−1bk=∑k=1n−1(3k2+9k+6)=∑k=1n−13k2+∑k=1n−19k+∑k=1n−16=3⋅(n−1)n(2n−1)6+9⋅n(n−1)2+6⋅(n−1)=n3+3n2+2n−6\nтул an=n3+3n2+2nan=n3+3n2+2n болно."} +{"prompt":"60 км\/цаг хурдтай машин гарснаас хойш 20 минутын дараа өөр машин араас нь гарч 4 цаг яваад түүнийг гүйцжээ. Сүүлийн машины хурдыг о��.","completion":"Заавар: Дараагийн машиныг гарах хүртэл эхний машин 60⋅13=2060⋅13=20 км зам явсан байна.\nБодолт: Хоёр дахь машин 20 км замыг 2 цагт нөхсөн тул эхний машинаас 204=5204=5 км\/цаг-аар илүү буюу 60+5=6560+5=65 км\/цаг хурдтай байжээ."} +{"prompt":"64⋅9x−84⋅12x+27⋅16x=0 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: 16x тоонд хуваагаад t=(34)x орлуулга хийж бод.\nБодолт: 64⋅9x−84⋅12x+27⋅16x=0⇔64⋅(34)2x−84⋅(34)x+27=0\nt=(34)x гэвэл 64t2−84t+27=0⇒t1,2=84±√842−4⋅64⋅272⋅64=84±12128\nтул t1=84+12128=34, t2=84−12128=916 болно. Иймд x1=log3434=1, x2=log34916=2 тул нийлбэр нь 1+2=3 байна."} +{"prompt":"6cos2α=5−sinα6cos2⁡α=5−sin⁡α ба 45∘≤α≤180∘45∘≤α≤180∘ бол α=?α=?","completion":"Заавар: Хариунд байгаа өнцгүүдийн синус, косинусын утгууд хэдтэй тэнцүү вэ? Тэгшитгэлийг хариунаас нь бод.\nБодолт: sin60∘=sin120∘sin⁡60∘=sin⁡120∘ ба cos260∘=cos2120∘cos2⁡60∘=cos2⁡120∘ тул 60∘60∘, 120∘120∘ нь зөв хариу байх боломжгүй. Учир нь энэ тохиолдолд бодлого 2 зөв хариутай болоход хүрнэ.\n\ncos90∘=0cos⁡90∘=0, sin90∘=1sin⁡90∘=1 ба 6⋅02≠5−16⋅02≠5−1 тул 90∘90∘ нь шийд биш юм.\n\ncos245∘=(√22)2=12cos2⁡45∘=(22)2=12, sin45∘=√22sin⁡45∘=22 ба 6⋅12≠5−√226⋅12≠5−22 тул шийд биш юм.\n\nИймд зөв хариулт нь C болж байна. Үнэхээр cos2120∘=(√32)2=34cos2⁡120∘=(32)2=34, sin120∘=12sin⁡120∘=12 тул 6⋅34=5−126⋅34=5−12 шийд болж байна.\n\nЖич: Тригонометрийн тэгшитгэлийг түргэн бодохын тулд синус, косинусын дээрх хялбар утгуудыг чээжээр мэддэг байх шаардлагатай."} +{"prompt":"6x+2−21662x−36=676x+2−21662x−36=67 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=6xt=6x орлуулга хийж бод. Тодорхойлогдох мужаа тооцож шийдээ шалгаарай.\nБодолт: t=6xt=6x гэвэл 36⋅t−216t2−36=36(t−6)(t−6)(t+6)=36t+6=67⇒t=36⇒x=236⋅t−216t2−36=36(t−6)(t−6)(t+6)=36t+6=67⇒t=36⇒x=2. Хэрвээ 6x+2−216=67(62x−36)6x+2−216=67(62x−36) гэж бодсон бол x=1x=1 гэсэн тодорхойлогдох мужид орохгүй илүү шийд гарна."} +{"prompt":"6x4+7x3−12x2+5x−33x2−x хуваалтын үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: Квадрат олон гишүүнтэйд хувааж буй тул үлдэгдэл нь шугаман юмуу тогтмол олон гишүүнт байна:\n6x4+7x3−12x2+5x−3=(3x2−x)Q(x)+ax+b\nБодолт: 6x4+7x3−12x2+5x−3=(3x2−x)Q(x)+ax+b-д x=0-г орлуулбал −3=b болно. x=13-ийг орлуулбал\n6(13)4+7(13)3−12(13)2+5(13)−3=a3−3\nболно. Эндээс a=2 гэж гарна."} +{"prompt":"6x<1 тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль завсар нь вэ?","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч f(x)g(x)<0 хэлбэрт оруулж бод\nБодолт: 6x<1⇔6x−1<0⇔6−xx<0\nНоогдвор 0-ээс бага байхын тулд хүрвэр ба хуваарь нь эсрэг тэмдэгтэй байна. Иймд {6−x>0x<0⋃{6−x<0x>0\nбуюу x∈(−∞;0)∪(6;+∞)"} +{"prompt":"6∑m=14∑n=1(mn)=?∑m=16∑n=14(mn)=?","completion":"Заавар: n∑i=1αai=αn∑i=1ai∑i=1nαai=α∑i=1nai болохыг ашигла.\nn∑i=1an=a1+a2+⋯+an∑i=1nan=a1+a2+⋯+an байна.\nБодолт: 6∑m=14∑n=1(mn)=6∑m=1(m4∑n=1n)=(4∑n=1n)(6∑m=1m)=(1+2+3+4)(1+2+3+4+5+6)=10⋅21=210∑m=16∑n=14(mn)=∑m=16(m∑n=14n)=(∑n=14n)(∑m=16m)=(1+2+3+4)(1+2+3+4+5+6)=10⋅21=210"} +{"prompt":"6⋅91x−13⋅61x+6⋅41x=0 тэгшитгэлийн хамгийн бага шийд нь ab байна.","completion":"Заавар: 41x≠0 тоонд хувааж өгөөд t=(32)1x орлуулга хий.\nБодолт: 41x≠0 тоонд хувааж өгвөл\n6⋅(94)1x−13⋅(32)1x+6=0\nболох ба t=(32)1x гэвэл 6t2−13t+6=0 болно. Иймд t1,2=13±√132−4⋅6⋅62⋅6=13±512\nтул t1=32, t2=23 байна. Иймд (32)1x=32⇒x1=1, (32)1x=23⇒x2=−1 гэсэн шийдүүд гарах тул хамгийн бага шийд нь −1 байна."} +{"prompt":"7 одой эхний өдөр 1 ширхэг эрдэнийн чулуу, хоёр дахь өдөр 2 ширхэг эрдэнийн чулуу гэх мэтчилэн хэс��г хугацаанд эрдэнийн чулуу олборлосны эцэст нийт 2016 ширхэг эрдэнийн чулуутай болжээ. Нийт хэдэн өдөр ажилласан бэ?","completion":"Заавар: 1+2+⋯+n=(1+n)n2\nБодолт: 1+2+⋯+n=2016⇒(1+n)⋅n2=2016\nбуюу n2+n−4032=0 тэгшитгэлийг бодвол n1=63, n2=−64 гэсэн шийдтэй байна. Мэдээж өдрийн тоо эерэг бүхэл тоо тул n=63 байна."} +{"prompt":"7+x3=8+x4 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Аливаа нэг гишүүнтийг тэнцэлийн аль нэг талаас нөгөө талд шилжүүлэхэдээ тэмдэгийг нь эсрэгээр солино.\nБодолт: 7+x3=8+x4⇔x3−x4=8−7⇔x12=1⇔x=12"} +{"prompt":"73x+11.3=12x−13.9+13\nтэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Ерөнхий хуваарь өгч бод.\nБодолт: 73x+11.3=12x−13.9+13⇔7x+33.9=12x−13.9+1.33.9⇔\n7x+3=12x+0.3⇔6.5x=−2.7⇔x=−2765"} +{"prompt":"7sinx2=4cosx2cosx47sin⁡x2=4cos⁡x2cos⁡x4 тэгшитгэлийн 00 үед ax>bx⇔a>b ба ax>0 тул тэгшитгэл шийдтэй байх боломжгүй. Иймд −0.5, −1, −2 гэсэн хувилбарууд үлдэж байна. Үүнээс x=−0.5 үед 14−0.5=1√14 нь иррационал бусад нь рационал байх тул шийд байх боломжгүй. Иймд −1, −2-ийн аль нэг нь шийд байх боломжтой. x=−1 нь\n7⋅49−1+5⋅14−1=17+514=12=2⋅4−1\nтул шийд болно.\nЗаавар: 4x-д хувааж өгөөд t=(72)x орлуулгаар бод.\nБодолт: 4x≠0 тоонд тэгшитгэлийг хувааж өгвөл\n7⋅49x+5⋅14x=2⋅4x⇔7⋅(72)2x+5⋅(72)x=2\nt=(72)x орлуулга хийвэл 7t2+5t−2=0 тул t1=−1, t2=27 шийдүүд гарна. (72)x<0 байх боломжгүй тул (72)x=27 буюу x=−1 байна."} +{"prompt":"8 радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?","completion":"Заавар: \nзурагт үзүүлсэн θ өнцгөөр эзлэхүүнийг илэрхийл. Конусын эзлэхүүн:\nV=13Sh=π3R2h\nбайна. Энд S конусын суурийн талбай, R нь суурийн радиус, h нь конусын өндөр юм.\nБодолт: O нь бөмбөрцгийн төв, M нь конусын суурийн тойрог дээрх цэг гэе. OM хэрчмийн цилиндрийн гол тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг θ гэвэл суурийн радиус нь 8sinθ, өндөр нь 8+8cosθ байна. Конусын эзлэхүүн нь\nV(θ)=π3(8sinθ)2(8+8cosθ)\nба c=cosθ, |c|≤1 гэвэл sin2θ=1−c2 тул \nV(c)=π3⋅83(1−c2)(1+c)\nбайна. c-ийн ямар утганд конусын эзлэхүүн хамгийн их байхыг олъё. \nV′(c)=0⇒1−2c−3c2=0⇒c1=−1,c2=13 болно. Эндээс c=13 үед V(c) хамгийн их утгаа авна. Энэ үед бөмбөрцгийн төвөөс суурь хүртэлх зай d=8⋅13=223 см байна."} +{"prompt":"800 гр ба 600 гр давс агуулсан 2 уусмалыг холиход 10 кг уусмал болов. I уусмал дахь давсны хувь II уусмал дахь давсны хувиас 10% илүү байсан бол I уусмалын жинг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: I уусмалын хэмжээ x, II уусмалын хэмжээ y, II уусмал дахь давсны эзлэх хувь z% гэвэл\n{x⋅z+10100=0,8y⋅z100=0,6x+y=10\nЭндээс \nx=80z+10=8060y+10=80y60+10y=\n=80(10−x)60+10(10−x)=800−80x160−10x=80−8x16−x\nбуюу x2−24x+80=0. Эндээс x1=4, x2=20 болно. x≤10 тул x=4 кг."} +{"prompt":"812x+2.5=10.7+2×134x тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: 2×134=2×74=72=312\nБодолт: 812x+2.5=10.7+2×134x⇔812x−312x=10.7−2.5\nтул 5x=8.2 байна. Иймд x=8.2:5=1.64 болов."} +{"prompt":"840 км зайг галт тэрэг тодорхой хугацаанд явах ёстой байв. Замын хагаст 30 минут саатсан тул хугацаандаа хүрэхийн тулд хурдаа 2км\/цаг-аар нэмэв. Галт тэрэг замд хэчнээн хугацаа зарцуулсан бэ?","completion":"Заавар: Галт тэрэгний хэвийн хурд vv км\/цаг гээд хугацаагаар тэгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: Галт тэрэгний хэвийн хурд vv км\/цаг бол 840\/v840\/v цаг зарцуулна. Замын эхний хагаст 420\/v420\/v цаг, сааталд 1\/21\/2 цаг, сүүлийн хагаст 420\/(v+2)420\/(v+2) цаг зарцуулсан тул\n840v=420v+12+420v+2840v=420v+12+420v+2\nболно. Эндээс 420v−420v+2=420(v+2)−420vv(v+2)=840v(v+2)=12420v−420v+2=420(v+2)−420vv(v+2)=840v(v+2)=12 буюу v2+2v−1680=0v2+2v−1680=0 болов. v>0v>0 тул v=−2+√4+4⋅16802=−2+822=40.v=−2+4+4⋅16802=−2+822=40. Иймд 840\/40=21840\/40=21 цаг зарцуулсан.\nЗаавар: Галт тэрэгний хэвийн хурд v км\/цаг гээд хугацаагаар тэгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: Галт тэрэгний хэвийн хурд v км\/цаг бол 840\/v цаг зарцуулна. Замын эхний хагаст 420\/v цаг, сааталд 1\/2 цаг, сүүлийн хагаст 420\/(v+2) цаг зарцуулсан тул\n840v=420v+12+420v+2\nболно. Эндээс 420v−420v+2=420(v+2)−420vv(v+2)=840v(v+2)=12 буюу v2+2v−1680=0 болов. v>0 тул v=−2+√4+4⋅16802=−2+822=40. Иймд 840\/40=21 цаг зарцуулсан."} +{"prompt":"88x2−16x+33+7⋅324x2−8x5=188x2−16x+33+7⋅324x2−8x5=1 тэгшитгэлийн шийд аль вэ?","completion":"Заавар: t=24x2−8x>0t=24x2−8x>0 гэвэл 8t2+7t−1=08t2+7t−1=0 байна.\nБодолт: 8t2+7t−1=0⇒t1=−18t2+7t−1=0⇒t1=−1, t2=18t2=18 болно. t>0t>0 тул t=18t=18 байна. Иймд 24x2−8x=2−3⇔4x2−8x+3=024x2−8x=2−3⇔4x2−8x+3=0\nтул\nx=8±√(−8)2−4⋅4⋅32⋅4=8±48x=8±(−8)2−4⋅4⋅32⋅4=8±48\nбуюу x=12x=12, 3232 байна."} +{"prompt":"8a6b312a3b5:b43a3 илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: ab:cd=ab⋅dc=adbc, an⋅am=an+m, anam=an−m\nБодолт: 8a6b312a3b5:b43a3=2a33b2⋅3a3b4=2a6b6."} +{"prompt":"8cos6x−12sin3x=48cos⁡6x−12sin⁡3x=4 тэгшитгэлийн шийд нь \nx=(−1)kaarcsin1b+πk3∨x=−πc+dπk3x=(−1)kaarcsin⁡1b+πk3∨x=−πc+dπk3 байна.","completion":"Заавар: cos6x=1−2sin23xcos⁡6x=1−2sin2⁡3x болохыг ашиглаад s=sin3xs=sin⁡3x орлуулгаар бод.\nБодолт: 8cos6x−12sin3x=3⇔8(1−2sin23x)−12sin3x=48cos⁡6x−12sin⁡3x=3⇔8(1−2sin2⁡3x)−12sin⁡3x=4\nтул −16sin23x−12sin3x+4=0−16sin2⁡3x−12sin⁡3x+4=0 болно. s=sin3xs=sin⁡3x орлуулга хийвэл\n4s2+3s−1=04s2+3s−1=0\nболох тул s1=14s1=14, s2=−1s2=−1 байна. Иймд\n3x=(−1)karcsin14+πk⇔x=(−1)k3arcsin14+πk33x=(−1)karcsin⁡14+πk⇔x=(−1)k3arcsin⁡14+πk3\nэсвэл\n3x=−π2+2πk⇔x=−π6+2πk33x=−π2+2πk⇔x=−π6+2πk3\nгэсэн шийд ��арна."} +{"prompt":"8n3−12n2+6n+63 тоо дурын натурал n-ийн хувьд зохиомол болохыг харуул.","completion":"Заавар: 8n3−12n2+6n+63=(2n−1)3+64\nБодолт: 8n3−12n2+6n+63=(2n−1)3+64=(2n−1)3+43=((2n−1)+4)((2n−1)2+4⋅(2n−1)+42)=(2n+3)(4n2+4n+13)\nболно. Дурын натурал n тооны хувьд 1<2n+3, 1<4n2+4n+13 тул өгсөн тоо зохиомол тоо байна."} +{"prompt":"8x(1−2x2)(8x4−8x2+1)=1 тэгшитгэлийн шийдүүдийн хэд нь [0;1] хэрчимд харъяалагдах вэ?","completion":"Заавар: x=cost гэж орлуул.\nБодолт:"} +{"prompt":"8x(2x2−1)(8x4−8x2+1)=1 тэгшитгэлийн шийдүүдийн хэд нь [0;1] хэрчимд харъяалагдах вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: x=cost орлуулга хийвэл: 8cost(2cos2t−1)(8cos4t−2cos2t+1)=1 болно. Энэ тэгшитгэл t∈(0;π2] завсарт хэдэн шийдтэй байна анхны тэгшитгэл x∈(0;1) завсарт тийм тооны шийдтэй байна. 2cos2t−1=cos2t тул 8cos4t−8cos2t+1=−2sin22t+1=cos4t буюу 8costcos2tcos4t=1 болно.2 талыг нь sint≠0-ээр үржүүлбэл 8sintcos2tcos4t=sint гэсэн тэгшитгэл үүсч үүнээс sin7t2cos9t2=0 болно. Хэрэв sin7t2=0 бол t=2πn7; n∈Z ба t∈(0;π2] завсарт 1 хариу буюу 2π7 байна. cos9t2=0 бол t=π9+2πm9, m∈Z байх ба эндээс π9, π3 гэсэн хоёр шийд гарна."} +{"prompt":"8x2+4x−1=08x2+4x−1=0 тэгшитгэлийн шийдүүд αα, ββ бол\n(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)\nилэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теоремоор α+β=−48=−12α+β=−48=−12, α⋅β=−18α⋅β=−18 байна.\nБодолт: Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёо ёсоор\n(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)=(1+α+α2+α3+⋯)(1+β+β2+β3+⋯)=\n=11−α⋅11−β=11−α−β+α⋅β==11−α⋅11−β=11−α−β+α⋅β=\n=11+12−18=811=11+12−18=811"} +{"prompt":"8x6+7x3−1=0 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: t=x3 орлуулга ашигла.\nБодолт: t=x3 гэвэл 8t2+7t−1=0 тул\nt1,2=−7±√72−4⋅8⋅(−1)2⋅8=−7±916\nбайна. Иймд x3=−7+916=18⇒x=12 эсвэл x3=−7−916=−1⇒x=−1 байна."} +{"prompt":"8−2x≤x+2≤10 тэнцэтгэл бишийг хангах бүхэл тоонуудын нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийг бодоод арифметик прогрессийн нийлбэр олох томьёо ашигла.\nБодолт: 8−2x≤x+2⇔2≤x ба x+2≤10⇔x≤8 тул \n2≤x≤8 байна. Иймд нийлбэр нь\n2+3+⋯+8=2+82⋅7=35\nбайна."} +{"prompt":"8⋅3x3x−2x>9+2x3x−28⋅3x3x−2x>9+2x3x−2 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: t=(23)xt=(23)x гэвэл\n81−t>9+9t⇔(1−t)(3t−1)(3t+1)>081−t>9+9t⇔(1−t)(3t−1)(3t+1)>0\nБодолт: (1−t)(3t−1)(3t+1)>0(1−t)(3t−1)(3t+1)>0 ба t>0t>0 тул 131+(23)x8⋅3x−23x−2x>1+(23)x тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл тоон шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: t=(23)x>0t=(23)x>0 гэвэл\n8⋅3x−23x−2x=89⋅11−t>1+t⇔(1−t)(3t−1)(3t+1)>08⋅3x−23x−2x=89⋅11−t>1+t⇔(1−t)(3t−1)(3t+1)>0\nБодолт: (1−t)(3t−1)(3t+1)>0(1−t)(3t−1)(3t+1)>0 ба t>0t>0 тул 130) болно. Эндээс t=(32)x=9⇒x=log329."} +{"prompt":"9|x−5|−3≤|2−x| тэнцэтгэл бишийн бүх шийдийг ол.","completion":"Заавар: Модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл бишийг бодохдоо эхлээд модулийн тэмдэгээс салах шаардлагатай. Үүний тулд модулийн доторх илэрхийлэл тус бүрийг эерэг, сөрөг байх мужуудыг олж муж тус бүрт бодолт хийнэ.\nБодолт: D:|x−5|−3≠0⇒x≠8, x≠2 байна. \n\n2−x=0, x−5=0-ээс 2;5 гэсэн утгууд гарах тул эдгээр тоонуудаар тоон шулууныг хувааж x≤2; 20, 2−x<0 тул 9x−5−3≤x−2⇔9x−8≤x−2⇔\n⇔9−(x−2)(x−8)x−8≤0⇔x2−10x+7x−8≥0 болно. Эндээс x∈[5−3√2;8[∪[5+3√2;+∞[ болно. 50 тул S△PAB=2t2−t+4 юм. Иймд S△PAB-ийн хамгийн бага утга t=14 үед\n318 байна."} +{"prompt":"A(1,1)A(1,1), B(1,4)B(1,4), C(3,1)C(3,1) цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.","completion":"Заавар: Координатын эх дээр төвтэй αα өнцгөөр эргүүлэх хувиргалтын матриц нь\n(cosα−sinαsinα−cosα)(cos⁡α−sin⁡αsin⁡α−cos⁡α)\nбайдаг.\nБодолт: Хувиргалтын матриц нь\n(cos90∘−sin90∘sin90∘−cos90∘)=(0−11−0)(cos⁡90∘−sin⁡90∘sin⁡90∘−cos⁡90∘)=(0−11−0)\nтул\nA′=(0−11−0)A=(0−11−0)(11)=(−1−1)⇒a=1B′=(0−11−0)B=(0−11−0)(14)=(−4−1)⇒b=4C′=(0−11−0)C=(0−11−0)(31)=(−1−3)⇒c=3A′=(0−11−0)A=(0−11−0)(11)=(−1−1)⇒a=1B′=(0−11−0)B=(0−11−0)(14)=(−4−1)⇒b=4C′=(0−11−0)C=(0−11−0)(31)=(−1−3)⇒c=3\nюм."} +{"prompt":"A(2,1)A(2,1), B(2,4)B(2,4), C(4,1)C(4,1) цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.","completion":"Заавар: Координатын эх дээр төвтэй αα өнцгөөр эргүүлэх хувиргалтын матриц нь\n(cosα−sinαsinα−cosα)(cos⁡α−sin⁡αsin⁡α−cos⁡α)\nбайдаг.\nБодолт: Хувиргалтын матриц нь\n(cos90∘−sin90∘sin90∘−cos90∘)=(0−11−0)(cos⁡90∘−sin⁡90∘sin⁡90∘−cos⁡90∘)=(0−11−0)\nтул\nA′=(0−11−0)A=(0−11−0)(11)=(−1−1)⇒a=1B′=(0−11−0)B=(0−11−0)(14)=(−4−1)⇒b=4C′=(0−11−0)C=(0−11−0)(31)=(−1−3)⇒c=3A′=(0−11−0)A=(0−11−0)(11)=(−1−1)⇒a=1B′=(0−11−0)B=(0−11−0)(14)=(−4−1)⇒b=4C′=(0−11−0)C=(0−11−0)(31)=(−1−3)⇒c=3\nюм."} +{"prompt":"A(−4,0),B(−2,8),C(2,8),D(4,0)A(−4,0),B(−2,8),C(2,8),D(4,0) цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг y=x2+4y=x2+4 тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: \nABCDABCD дөрвөн өнцөгтийг координатын хавтгай дээр байгуулахад 44, 88 нэгж суурьтай 88 нэгж өндөртэй трапец үүсэх бөгөөд түүний талбай нь\nSABCD=4+82⋅8=48SABCD=4+82⋅8=48\nболно. \nS1=∫2−2[8−(x2+4)]dx=∫2−2(4−x2)dx=(4x−x33)∣∣∣−2−2=323S1=∫−22[8−(x2+4)]dx=∫−22(4−x2)dx=(4x−x33)|−2−2=323\nS2=48−323=1123S2=48−323=1123\nтул\nS1:S2=323:1123=32112=2:7S1:S2=323:1123=32112=2:7\nбайна."} +{"prompt":"A(−8,0),B(−4,32),C(4,32),D(8,0)A(−8,0),B(−4,32),C(4,32),D(8,0) цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг y=x2+16y=x2+16 тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: БОДОЛТ ЗАСАХ\n\nABCDABCD дөрвөн өнцөгтийг координатын хавтгай дээр байгуулахад 44, 88 нэгж суурьтай 88 нэгж өндөртэй трапец үүсэх бөгөөд түүний талбай нь\nSABCD=4+82⋅8=48SABCD=4+82⋅8=48\nболно. \nS1=∫2−2[8−(x2+4)]dx=∫2−2(4−x2)dx=(4x−x33)∣∣∣−2−2=323S1=∫−22[8−(x2+4)]dx=∫−22(4−x2)dx=(4x−x33)|−2−2=323\nS2=48−323=1123S2=48−323=1123\nтул\nS1:S2=323:1123=32112=2:7S1:S2=323:1123=32112=2:7\nбайна.\nБодолт: \nABCDABCD дөрвөн өнцөгтийг координатын хавтгай дээр байгуулахад 44, 88 нэгж суурьтай 88 нэгж өндөртэй трапец үүсэх бөгөөд түүний талбай нь\nSABCD=4+82⋅8=48SABCD=4+82⋅8=48\nболно. \nS1=∫2−2[8−(x2+4)]dx=∫2−2(4−x2)dx=(4x−x33)∣∣∣−2−2=323S1=∫−22[8−(x2+4)]dx=∫−22(4−x2)dx=(4x−x33)|−2−2=323\nS2=48−323=1123S2=48−323=1123\nтул\nS1:S2=323:1123=32112=2:7S1:S2=323:1123=32112=2:7\nбайна."} +{"prompt":"A, B нь 1(x−3)(x−2)=Ax−3+Bx−2 байх бодит тоонууд бол A=?","completion":"Заавар: Баруун гар талын илэрхийллийг ерөнхий хуваарь өгч хялбарчлаад тодорхойгүй коэффициентийн аргаар бод.\nБодолт: 1(x−3)(x−2)=Ax−3+Bx−2\nтул\n1(x−3)(x−2)=A(x−2)(x−3)(x−2)+B(x−3)(x−3)(x−2)\nбуюу\n1(x−3)(x−2)=(A+B)x−2A−3B(x−3)(x−2)\nбайна. Иймд\n{A+B=0−2A−3B=1⇔{A=1B=−1\nбайна."} +{"prompt":"A, B нь 3x+1(x−1)2=Ax−1+B(x−1)2 байх бодит тоонууд бол A−B=?","completion":"Заавар: Тэнцэлд x=0 утгыг орлуулахад юу болох вэ?\nБодолт: x=0 үед\n3⋅0+1(0−1)2=A0−1+B(0−1)2⇔1=−A+B\nтул A−B=−1 байна."} +{"prompt":"A, B нь x(x−3)(x−2)=Ax−3+Bx−2 байх бодит тоонууд бол B=?","completion":"Заавар: Баруун гар талын илэрхийллийг ерөнхий хуваарь өгч хялбарчлаад тодорхойгүй коэффициентийн аргаар бод.\nБодолт: x(x−3)(x−2)=Ax−3+Bx−2\nтул\nx(x−3)(x−2)=A(x−2)(x−3)(x−2)+B(x−3)(x−3)(x−2)\nбуюу\nx(x−3)(x−2)=(A+B)x−2A−3B(x−3)(x−2)\nбайна. Иймд\n{A+B=1−2A−3B=0⇔{A=3B=−2\nбайна."} +{"prompt":"A, B олонлогуудын хувьд |A|=8, |AB|=3 |AB|=14 бол |B| =?","completion":"Заавар:\nБодолт: 5+3+x=14 , x=6 , |B|=3+6=9"} +{"prompt":"A, B-ээс нэгэн зэрэг зурагт заасан чиглэлийн дагуу 2 машин хөдөлжээ. A-аас хөдөлсөн машины хурд 36 км\/цаг, B-ээс хөдөлсөн машины хурд 12 км\/цаг бөгөөд A, B-ийн хоорондох зай 130 км бол хэдэн цагийн дараа 2 машины хоорондох зай хамгийн бага байх вэ?","completion":"Заавар: Координатын хавтгай оруулж хоёр цэгийн хоорондох зайн томьёо ашигла.\nБодолт: B=(0,130), A=(0,0) гэвэл t цагийн дараа машинуудын координатууд нь (0,130−36t) ба (12t,0) байна. Эдгээрийн хоорондох зайн квадрат нь\nS2(t)=(12t−0)2+(0−130+36t)2⇒\n=1440t2−9360t+16900\nнь 2⋅1440t−9360=0 буюу t=93602880=134 үед хамгийн бага утгаа авах тул 134 цагийн дараа хоёр машины хоорондох зай хамгийн бага байжээ."} +{"prompt":"A=(0413)A=(0413), \nB=(1−32−1)B=(1−32−1)\nбол A⋅BA⋅B матрицыг ол.","completion":"Заавар: (abcd)(prqs)=(ap+bqar+bscp+dqcr+ds)(abcd)(prqs)=(ap+bqar+bscp+dqcr+ds)\nБодолт: (0413)(1−32−1)=(0⋅1+4⋅20⋅(−3)+4⋅(−1)1⋅1+3⋅21⋅(−3)+3⋅(−1))=(8−47−6)(0413)(1−32−1)=(0⋅1+4⋅20⋅(−3)+4⋅(−1)1⋅1+3⋅21⋅(−3)+3⋅(−1))=(8−47−6)"} +{"prompt":"A=(0413)A=(0413), \nB=(1−32−1)B=(1−32−1)\nбол B⋅AB⋅A матрицыг ол.","completion":"Заавар: (abcd)(prqs)=(ap+bqar+bscp+dqcr+ds)(abcd)(prqs)=(ap+bqar+bscp+dqcr+ds)\nБодолт: (1−32−1)(0413)=(1⋅0+(−3)⋅11⋅4+(−3)⋅32⋅0+(−1)⋅12⋅4+(−1)⋅3)=(−3−5−1−5)(1−32−1)(0413)=(1⋅0+(−3)⋅11⋅4+(−3)⋅32⋅0+(−1)⋅12⋅4+(−1)⋅3)=(−3−5−1−5)"} +{"prompt":"A=(13) , \nB=(2145) матрицуудын хувьд аль үйлдлийг гүйцэтгэж болох вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: c(√c−2)(√c+2)−(2−c)2=c(c−4)−(2−c)2=c2−4c−(22−8c+c2)="} +{"prompt":"A=(3121)A=(3121) бол AA матрицын урвуу матрицыг ол.","completion":"Заавар: Урвуу матрицын томьёо ашигла.\nБодолт: A−1=(3121)−1=13⋅1−1⋅2(−1−1−2−3)=(−1−1−2−3)A−1=(3121)−1=13⋅1−1⋅2(−1−1−2−3)=(−1−1−2−3)"} +{"prompt":"A=(3−17−2)A=(3−17−2) матрицын 2, 3, 4 зэргийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: A2=(3−17−2)(3−17−2)=(2−17−3)A3=A2A=(2−17−3)(3−17−2)=(−1−0−0−1)=−EA4=A3A=(−E)A=−EA=−A=(−31−72)A2=(3−17−2)(3−17−2)=(2−17−3)A3=A2A=(2−17−3)(3−17−2)=(−1−0−0−1)=−EA4=A3A=(−E)A=−EA=−A=(−31−72)"} +{"prompt":"A=(3−21−1)A=(3−21−1), B=(1213)B=(1213) бол\nAB−BAAB−BA матрицыг ол.","completion":"Заавар: (abcd)(prqs)=(ap+bqar+bscp+dqcr+ds)(abcd)(prqs)=(ap+bqar+bscp+dqcr+ds)\nБодолт: AB=(3−21−1)(1213)=(3⋅1+(−2)⋅13⋅2+(−2)⋅31⋅1+(−)1⋅11⋅2+(−)1⋅3)=(1025)AB=(3−21−1)(1213)=(3⋅1+(−2)⋅13⋅2+(−2)⋅31⋅1+(−)1⋅11⋅2+(−)1⋅3)=(1025)\nBA=(1213)(3−21−1)=(1⋅3+2⋅11⋅(−2)+2⋅11⋅3+3⋅11⋅(−2)+3⋅1)=(5061)BA=(1213)(3−21−1)=(1⋅3+2⋅11⋅(−2)+2⋅11⋅3+3⋅11⋅(−2)+3⋅1)=(5061)\nтул\nAB−BA=(1025)−(5061)=(1−50−02−65−1)=(−40−44)AB−BA=(1025)−(5061)=(1−50−02−65−1)=(−40−44)"} +{"prompt":"A=(a+2a3−8+14−a2):a+28a−a4−8(a+1)(a+2)2+1a=−aa−ba\nба a=−1 үед cd байна.","completion":"Заавар: a3−8=(a−2)(a2+2a+4), 4−a2=−(a−2)(a+2) болохыг ашиглаарай!\nБодолт: a+2a3−8+14−a2=a+2(a+2(a−2)(a2+2a+4)−1(a2+2a+4(a−2)(a+2)\n=(a+2)2−a2−2a−4(a+2)(a3−8)=2a(a+2)(a3−8)\nбайна. Эндээс\n2a(a+2)(a3−8):a+28a−a4=2a(a+2)(a3−8)⋅8a−a4a+2=\n=2a(a+2)(a3−8)⋅−a(a3−8)a+2=−2a2(a+2)2\nболно. Иймд\nA=−2a2(a+2)2−8(a+1)(a+2)2+1a=−2(a2+4a+4)(a+2)2+1a=\n=−2(a+2)2(a+2)2+1a=−2+1a=−2a−1a\nбайна. a=−1 үед −2⋅(−1)−1−1=−−3−1=−3 байна."} +{"prompt":"A=(a−123a−2)A=(a−123a−2) матриц урвуугүй байх aa параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: AA матриц урвуугүй ⇔⇔ detA=0detA=0.\nБодолт: AA матриц урвуугүй ⇔⇔ detA=(a−1)(a−2)−2⋅3=a2−3a−4=0detA=(a−1)(a−2)−2⋅3=a2−3a−4=0 ⇔⇔ a=4a=4 эсвэл a=−1a=−1 байна."} +{"prompt":"A=(a−152a+2)A=(a−152a+2) матриц урвуугүй байх aa параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: AA матриц урвуугүй ⇔⇔ detA=0detA=0.\nБодолт: AA матриц урвуугүй ⇔⇔ detA=(a−1)(a+2)−5⋅2=a2+a−12=0detA=(a−1)(a+2)−5⋅2=a2+a−12=0 ⇔⇔ a=−4a=−4 эсвэл a=−3a=−3 байна."} +{"prompt":"A=(a−152a+2)A=(a−152a+2) матриц урвуутай байх aa параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: AA матриц урвуутай ⇔⇔ detA≠0detA≠0.\nБодолт: AA матриц урвуутай ⇔⇔ detA=(a−1)(a+2)−5⋅2=a2+a−12≠0detA=(a−1)(a+2)−5⋅2=a2+a−12≠0 ⇔⇔ a≠−4a≠−4 ба a≠=−3a≠=−3."} +{"prompt":"A=(cos120∘−sin120∘sin120∘−cos120∘)A=(cos⁡120∘−sin⁡120∘sin⁡120∘−cos⁡120∘) бол A2019A2019-г ол.","completion":"Заавар: (cosα−sinαsinα−cosα)(cosβ−sinβsinβ−cosβ)=(cosαcosβ−sinαsinβ−cosαsinβ−sinαcosβsinαcosβ+cosαsinβ−sinαsinβ+cosαcosβ)(cos⁡α−sin⁡αsin⁡α−cos⁡α)(cos⁡β−sin⁡βsin⁡β−cos⁡β)=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β−cos⁡αsin⁡β−sin⁡αcos⁡βsin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β−sin⁡αsin⁡β+cos⁡αcos⁡β)\nба\ncos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\nsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\nтул\n(cosα−sinαsinα−cosα)(cosβ−sinβsinβ−cosβ)=(cos(α+β)−sin(α+β)sin(α+β)−cos(α+β))(cos⁡α−sin⁡αsin⁡α−cos⁡α)(cos⁡β−sin⁡βsin⁡β−cos⁡β)=(cos⁡(α+β)−sin⁡(α+β)sin⁡(α+β)−cos⁡(α+β))\nБодолт: (cosα−sinαsinα−cosα)(cosβ−sinβsinβ−cosβ)=(cos(α+β)−sin(α+β)sin(α+β)−cos(α+β))(cos⁡α−sin⁡αsin⁡α−cos⁡α)(cos⁡β−sin⁡βsin⁡β−cos⁡β)=(cos⁡(α+β)−sin⁡(α+β)sin⁡(α+β)−cos⁡(α+β))\nтул\nA3=(cos120∘−sin120∘sin120∘−cos120∘)3=(cos(3⋅120∘)−sin(3⋅120∘)sin(3⋅120∘)−cos(3⋅120∘))=(1001)=EA3=(cos⁡120∘−sin⁡120∘sin⁡120∘−cos⁡120∘)3=(cos⁡(3⋅120∘)−sin⁡(3⋅120∘)sin⁡(3⋅120∘)−cos⁡(3⋅120∘))=(1001)=E\nбуюу нэгж матриц гарч байна. Иймд\nA2019=(A3)673=E673=EA2019=(A3)673=E673=E"} +{"prompt":"A=(−104013)A=(−104013), \nB=⎛⎜⎝142536⎞⎟⎠B=(142536)\nбол A⋅BA⋅B матрицыг ол.","completion":"Заавар: C=A⋅BC=A⋅B гэвэл cijcij элемент нь AA-ийн ii-р мөр ба BB-ийн jj баганын скаляр үржвэр байна.\nБодолт: (−104013)⋅⎛⎜⎝142536⎞⎟⎠=(−1⋅1+0⋅2+4⋅3−1⋅4+0⋅5+4⋅6−0⋅1+1⋅2+3⋅3−0⋅4+1⋅5+3⋅6)=(11201123)(−104013)⋅(142536)=(−1⋅1+0⋅2+4⋅3−1⋅4+0⋅5+4⋅6−0⋅1+1⋅2+3⋅3−0⋅4+1⋅5+3⋅6)=(11201123)"} +{"prompt":"A=(−12−1−33−6)A=(−12−1−33−6)\nматрицын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь худал вэ?","completion":"Заавар: AA матрицын ii-р мөр, jj-р баганын элементийг aijaij гэж тэмдэглэдэг.\nБодолт: AA матрицад нь 3 мөр 2 багана байхгүй тул a32=6a32=6 худал юм."} +{"prompt":"A=(−12−23)A=(−12−23) матрицын хувьд\nA2−aA+bE=0A2−aA+bE=0\nбиелэнэ. Түүнчлэн\nxn=(x2−ax+b)Q(x)+nx+(1−n)xn=(x2−ax+b)Q(x)+nx+(1−n)\nтул\nA10=(−cdef−efgh)A10=(−cdef−efgh)\nбайна.","completion":"Заавар: Аливаа A=(abcd)A=(abcd) матрицын хувьд\nA2−(a+d)A+(ad−bc)E=0A2−(a+d)A+(ad−bc)E=0\nадилтгал биелдэг.\nБодолт: A2A2, AA, EE матрицуудын хамаарал ёсоор\nA2−(−1+3)A+((−1)⋅3−2⋅(−2))E=0A2−(−1+3)A+((−1)⋅3−2⋅(−2))E=0\nбуюу\nA2−2A+E=0A2−2A+E=0\nболно.\nxn=(x2−2x+1)Q(x)+ax+b=(x−1)2Q(x)+ax+bxn=(x2−2x+1)Q(x)+ax+b=(x−1)2Q(x)+ax+b\nгэвэл уламжлал нь\nnxn−1=2(x−1)Q(x)+(x−1)2Q′(x)+anxn−1=2(x−1)Q(x)+(x−1)2Q′(x)+a\nбайна. Эдгээрт x=1x=1 утгыг орлуулж бодвол\n1=a+b1=a+b, n=an=a болно. Иймд b=1−nb=1−n буюу\nxn=(x2−2x+1)Q(x)+ax+b=(x2−2x+1)Q(x)+nx+(1−n)xn=(x2−2x+1)Q(x)+ax+b=(x2−2x+1)Q(x)+nx+(1−n)\nболно. Тухайн тохиолдолд x10=(x2−2x+1)Q(x)+10x−9x10=(x2−2x+1)Q(x)+10x−9 тул\nA10=(A2−2A+E)Q(A)+10A−9EA10=(A2−2A+E)Q(A)+10A−9E\nтул\nA10=(−1020−2030)−(9009)=(−1920−2021)A10=(−1020−2030)−(9009)=(−1920−2021)"} +{"prompt":"A=(−a−a+1−a−a)A=(−a−a+1−a−a) бол A2=−EA2=−E байх aa параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: E=(1001)E=(1001) тул −E=(−1−0−0−1)−E=(−1−0−0−1) байна. A2A2 матрицыг олоод тэнцэх нөхцөл ашигла.\nБодолт: A2=(−a−a+1−a−a)(−a−a+1−a−a)=(a2+(a+1)⋅(−a)a(a+1)+(a+1)(−a)−a2+(−a)2−a(a+1)+(−a)2)=(−a−0−0−a)A2=(−a−a+1−a−a)(−a−a+1−a−a)=(a2+(a+1)⋅(−a)a(a+1)+(a+1)(−a)−a2+(−a)2−a(a+1)+(−a)2)=(−a−0−0−a)\nболно. −E=(−1−0−0−1)−E=(−1−0−0−1) тул\n(−a−0−0−a)=(−1−0−0−1)(−a−0−0−a)=(−1−0−0−1)\nбуюу a=1a=1 байна."} +{"prompt":"A=15+45+75+⋯+14A=15+45+75+⋯+14; B=715+7110+7120+⋯B=715+7110+7120+⋯ бол AB=?AB=?","completion":"Заавар: AA нь a1=15a1=15, d=35d=35 ба an=14an=14 байх арифметик прогрессийн эхний nn гишүүний нийлбэр байна.\n\nan=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d ашиглан nn-ийг олоод Sn=a1+an2⋅nSn=a1+an2⋅n томьёог ашиглан AA-г ол.\n\nBB нь b1=715b1=715 ба q=12q=12 байх төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр байна. B=b11−qB=b11−q томьёог ашиглаарай!\nБодолт: 15+(n−1)⋅35=14⇒1+3n−3=5⋅14⇒n=2415+(n−1)⋅35=14⇒1+3n−3=5⋅14⇒n=24 байна. Иймд A=S24=15+142⋅24=71⋅125A=S24=15+142⋅24=71⋅125 байна.\n\nB=7151−12=71⋅25B=7151−12=71⋅25 байна. Иймд AB=715⋅12715⋅2=122=6AB=715⋅12715⋅2=122=6"} +{"prompt":"A=27+57+87+⋯+11A=27+57+87+⋯+11; B=797+7921+7963+⋯B=797+7921+7963+⋯ бол AB=?AB=?","completion":"Заавар: AA нь 3737 ялгавартай арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр, BB нь төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр байна.\nБодолт: 27+(n−1)⋅37=11⇒n=2627+(n−1)⋅37=11⇒n=26 тул A=S26=27+112⋅26=79⋅137=10277A=S26=27+112⋅26=79⋅137=10277\nB=797+797⋅13+797⋅132+⋯=7971−13=23714B=797+797⋅13+797⋅132+⋯=7971−13=23714\nтул 1027723714=79⋅13⋅2237=2631027723714=79⋅13⋅2237=263 байна."} +{"prompt":"A=t(1−111)A=t(1−111), (t>0)(t>0) ба I=(1001)I=(1001) нь A4+I=(0000)A4+I=(0000) нөхцөлийг хангадаг байв.\nТэгвэл","completion":"Заавар: A=a(1−111)A=a(1−111) (a>0)(a>0) ба I=(1001)I=(1001) нь A4+I=(0000)A4+I=(0000) байх матрицууд байг.\n\nДараах асуултуудад хариул.\n aa-г ол.\n An(01)=(10)An(01)=(10) байх хамгийн бага nn натурал тоог ол.\n A2019A2019-г ол.\nБодолт: Бодлогын нөхцөлөөс A4=−IA4=−I тул (detA)4=1(detA)4=1 буюу [a2⋅(1⋅1−(−1)⋅1)]4=1[a2⋅(1⋅1−(−1)⋅1)]4=1\nбайна. Эндээс a>0a>0 тул a=√22a=22 байна.\n A=√22(1−111)=(cos45∘−sin45∘sin45∘−cos45∘)A=22(1−111)=(cos⁡45∘−sin⁡45∘sin⁡45∘−cos⁡45∘) тул AA нь цагийн зүүний эсрэг чиглэлд 45∘45∘ эргүүлэх эргүүлэх хувиргалтын матриц болно. Иймд (01)(01)-г (10)(10)-д буулгахын тулд 6 удаа 45∘45∘-аар эргүүлнэ. Эндээс\nA6(01)=(10)A6(01)=(10)\nбуюу nn-ийн хамгийн бага утга нь n=6n=6 байна.\n A2019A2019 нь 2019⋅45∘2019⋅45∘ градусын эргүүлэлт буюу 135∘135∘ эргүүлэлтийн матриц тул\nA2019=(cos135∘−sin135∘sin135∘−cos135∘)A2019=(cos⁡135∘−sin⁡135∘sin⁡135∘−cos⁡135∘)\nбайна."} +{"prompt":"A=t(√3−11√3)A=t(3−113), (t>0)(t>0) ба I=(1001)I=(1001) нь A6+I=(0000)A6+I=(0000) нөхцөлийг хангадаг байв.\nТэгвэл","completion":"Заавар:\nБодолт: Бодлогын нөхцөлөөс A6=−IA6=−I тул (detA)6=1(detA)6=1 буюу [t2⋅(√3⋅√3−(−1)⋅1)]6=1[t2⋅(3⋅3−(−1)⋅1)]6=1\nбайна. Эндээс t>0t>0 тул t=12t=12 байна.\n A=12(√3−11√3)=(cos30∘−sin30∘sin30∘−cos30∘)A=12(3−113)=(cos⁡30∘−sin⁡30∘sin⁡30∘−cos⁡30∘) тул AA нь цагийн зүүний эсрэг чиглэлд 30∘30∘ эргүүлэх эргүүлэх хувиргалтын матриц болно. Иймд (01)(01)-г (10)(10)-д буулгахын тулд 9 удаа 30∘30∘-аар эргүүлнэ. Эндээс\nA9(01)=(10)A9(01)=(10)\nбуюу nn-ийн хамгийн бага утга нь n=9n=9 байна.\n A2020A2020 нь 2020⋅30∘=168⋅360∘+120∘2020⋅30∘=168⋅360∘+120∘ градусын эргүүлэлт буюу 120∘120∘ эргүүлэлтийн матриц тул\nA2019=(cos120∘−sin120∘sin120∘−cos120∘)A2019=(cos⁡120∘−sin⁡120∘sin⁡120∘−cos⁡120∘)\nбайна."} +{"prompt":"A=⎛⎜⎝−10−40−13⎞⎟⎠A=(−10−40−13), \nB=⎛⎜⎝142536⎞⎟⎠B=(142536), \nC=⎛⎜⎝0−25−70−9⎞⎟⎠C=(0−25−70−9)\nбол 3A+(2B−A)−4C3A+(2B−A)−4C матрицыг ол.","completion":"Заавар: 3A+(2B−A)−4C=2A+2B−4C3A+(2B−A)−4C=2A+2B−4C гээд бод.\nБодолт: 3A+(2B−A)−4C=2A+2B−4C=2⎛⎜⎝−10−40−13⎞⎟⎠+2⎛⎜⎝142536⎞⎟⎠−4⎛⎜⎝0−25−70−9⎞⎟⎠=⎛⎜⎝−20−80−26⎞⎟⎠+⎛⎜⎝28410612⎞⎟⎠−⎛⎜⎝0−820−280−36⎞⎟⎠=⎛⎜⎝−2+2−00+8−8−8+4−200+10+28−2+6−06+12−36⎞⎟⎠=⎛⎜⎝−0−0−8−38−8−18⎞⎟⎠3A+(2B−A)−4C=2A+2B−4C=2(−10−40−13)+2(142536)−4(0−25−70−9)=(−20−80−26)+(28410612)−(0−820−280−36)=(−2+2−00+8−8−8+4−200+10+28−2+6−06+12−36)=(−0−0−8−38−8−18)"} +{"prompt":"A=⎛⎜⎝−1−1−2−0−2−1−1−1−1⎞⎟⎠A=(−1−1−2−0−2−1−1−1−1) бол A3A3 матрицыг ол.","completion":"Заавар: A3=A2⋅A=A⋅A2A3=A2⋅A=A⋅A2 байна. Мэдээж A2=A⋅AA2=A⋅A юм.\nБодолт: A2=⎛⎜⎝−1−1−2−0−2−1−1−1−1⎞⎟⎠⎛⎜⎝−1−1−2−0−2−1−1−1−1⎞⎟⎠=⎛⎜⎝−1⋅(−1)+(−)1⋅0+(−)2⋅1−1⋅1+(−)1⋅2+(−)2⋅(−1)−1⋅2+(−)1⋅(−1)+(−)2⋅1−0⋅(−1)+(−)2⋅0+(−1)⋅1−0⋅1+(−)2⋅2+(−1)⋅(−1)−0⋅2+(−)2⋅(−1)+(−1)⋅1−1⋅(−1)+(−1)⋅0+(−)1⋅1−1⋅1+(−1)⋅2+(−)1⋅(−1)−1⋅2+(−1)⋅(−1)+(−)1⋅1⎞⎟⎠=⎛⎜⎝−3−1−1−1−5−3−0−2−4⎞⎟⎠A2=(−1−1−2−0−2−1−1−1−1)(−1−1−2−0−2−1−1−1−1)=(−1⋅(−1)+(−)1⋅0+(−)2⋅1−1⋅1+(−)1⋅2+(−)2⋅(−1)−1⋅2+(−)1⋅(−1)+(−)2⋅1−0⋅(−1)+(−)2⋅0+(−1)⋅1−0⋅1+(−)2⋅2+(−1)⋅(−1)−0⋅2+(−)2⋅(−1)+(−1)⋅1−1⋅(−1)+(−1)⋅0+(−)1⋅1−1⋅1+(−1)⋅2+(−)1⋅(−1)−1⋅2+(−1)⋅(−1)+(−)1⋅1)=(−3−1−1−1−5−3���0−2−4)\nба A3=A2⋅AA3=A2⋅A тул\nA3=⎛⎜⎝−3−1−1−1−5−3−0−2−4⎞⎟⎠⎛⎜⎝−1−1−2−0−2−1−1−1−1⎞⎟⎠=⎛⎜⎝−3⋅(−1)+(−1)⋅0+(−1)⋅1−3⋅1+(−1)⋅2+(−1)⋅(−1)−3⋅2+(−1)⋅(−1)+(−1)⋅1−1⋅(−1)+(−)5⋅0+(−3)⋅1−1⋅1+(−)5⋅2+(−3)⋅(−1)−1⋅2+(−)5⋅(−1)+(−3)⋅1−0⋅(−1)+(−2)⋅0+(−)4⋅1−0⋅1+(−2)⋅2+(−)4⋅(−1)−0⋅2+(−2)⋅(−1)+(−)4⋅1⎞⎟⎠=⎛⎜⎝−4−2−6−2−12−10−4−8−6⎞⎟⎠A3=(−3−1−1−1−5−3−0−2−4)(−1−1−2−0−2−1−1−1−1)=(−3⋅(−1)+(−1)⋅0+(−1)⋅1−3⋅1+(−1)⋅2+(−1)⋅(−1)−3⋅2+(−1)⋅(−1)+(−1)⋅1−1⋅(−1)+(−)5⋅0+(−3)⋅1−1⋅1+(−)5⋅2+(−3)⋅(−1)−1⋅2+(−)5⋅(−1)+(−3)⋅1−0⋅(−1)+(−2)⋅0+(−)4⋅1−0⋅1+(−2)⋅2+(−)4⋅(−1)−0⋅2+(−2)⋅(−1)+(−)4⋅1)=(−4−2−6−2−12−10−4−8−6)\nбайна."} +{"prompt":"AA суурингаас 18 км зайтай BB суурин орохоор 1-р хүн гараад 1 цаг болсны дараа 2-р хүн, 1-р хүнээс 3 км\/цаг-аар илүү хурдтайгаар түүний араас гарав. 2-р хүн 1-р хүнийг гүйцэнгүүт шууд AA суурин руу буцаж хоёулаа хүрэх газраа зэрэг очсон бол 1-р хүний хурд хэдэн км\/цаг вэ?","completion":"Заавар: 1-р хүний хурдыг vv, 2-р хүн tt цаг яваад 1-р хүнийг гүйцсэн гэвэл эдгээр нь ямар хамааралтай байх вэ?\nБодолт: \n\n Хурд Гүйцэх хүртэлх хугацаа Гүйцэх хүртэлх зам Үлдсэн хугацаа Нийт зам \n\nI хүн vv t+1t+1 v(t+1)v(t+1) tt v(2t+1)=18v(2t+1)=18\n \nII хүн v+3v+3 tt (v+3)t(v+3)t tt 2(v+3)t2(v+3)t\n\n\n2-р хүн tt цаг яваад 1-р хүнийг гүйцсэн гэвэл 2-р хүн буцахдаа мөн tt цаг явах учир нийт 2t2t цаг, 11-р хүн нийт 2t+12t+1 цаг явна. Нэгдүгээр хүний хурдыг vv км\/цаг гэвэл \n{v(2t+1)=18(v+3)t=v(t+1)⇒{v(2t+1)=18v=3t⇒{2t2+t=6v=3t{v(2t+1)=18(v+3)t=v(t+1)⇒{v(2t+1)=18v=3t⇒{2t2+t=6v=3t байна. Тэгшитгэлийг бодвол t=1.5t=1.5 цаг, v=4.5v=4.5 км\/цаг байна."} +{"prompt":"AA хотоос BB хот руу захидал хүргэх ёстой болжээ. AA хотоос мотоциклтэй хүн захиаг авч гараад нийт замын 2323 -ийг туулж дугуйтай хүнд захиагаа өгчээ (захиа дамжуулахад хугацаа зарцуулахгүй гэж тооц). Дугуйчин захиаг авч BB хот хүртэл явсан ба тэр хоёрын явсан хугацаа нийлээд, уг замыг 40 км\/ц хурдтай туулсантай ижил байв. Хэрэв тэд нэгэн зэрэг AA ба BB хотоос угталцан гарвал уг зайг 100 км\/ц хурдтайгаар туулсантай ижил хугацааны дараа уулзана. Мотоциклтэй хүний хурд дугуйтай хүнийхээс их бол мотоциклтэй хүн abab км\/ц хурдтай дугуйтай хүн cdcd км\/ц хурдтай явсан байна.","completion":"Заавар: Мотоцилтэй хүний хурд v1v1, дугуйтай хүний хурд v2v2 бол v1>v2v1>v2 ба v1+v2=100v1+v2=100, tt хугацаанд захиаг хүргэсэн гэвэл S=40tS=40t; t=23Sv1+13Sv2⇒1=803v1+403v2t=23Sv1+13Sv2⇒1=803v1+403v2 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"AA хотоос BB хот руу явсан вагон зогсоол дээр 16 минут саатжээ. Уг зогсоолоос BB хот хүртэл 80 км. Хэрэв түр саатсаныхаа дараа вагон хурдаа 10 км\/цаг-аар нэмсэн бол анхны хурдны ямар утгуудад вагон төлөвлөсөн хугацаанаасаа хоцролгүй BB хотод хүрэх вэ?","completion":"Заавар: Нийт замыг SS анхны хурдыг vv гэвэл\nSv≤S−80v+80v+10+1660Sv≤S−80v+80v+10+1660\nбайх ёстой.\nБодолт: Sv≤S−80v+80v+10+1660⇔800v(v+10)≤415Sv≤S−80v+80v+10+1660⇔800v(v+10)≤415\nба v>0v>0 буюу v(v+10)>0v(v+10)>0 учраас\nv2+10v−3000≤0⇒−60≤v≤50v2+10v−3000≤0⇒−60≤v≤50\nиймд анхны хурд нь 5050 км\/ц-аас хэтрэхгүй байх ёстой."} +{"prompt":"AA, BB, CC-эерэг өнцгүүдийн нийлбэр A+B+C=180∘A+B+C=180∘ ба\n{sinA⋅sinB=cosC⋯(1)sinA+sinB=√3sinC+1⋯(2){sin⁡A⋅sin⁡B=cos⁡C⋯(1)sin⁡A+sin⁡B=3sin⁡C+1⋯(2)\nбол AA, BB, CC-г ол.","completion":"Заавар: A+B+C=180∘A+B+C=180∘ гэдгийг ашиглан хув��сагчийг багасга.\nИлэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задла. Мөн (1)(1) ба (2)(2)\nнөxцөл нь AA, BB хувьсагчуудын хувьд тэгш хэмтэйг анхаар.\nБодолт: 0∘0) ба sin2α=1−13=23 үед цилиндрийн эзлэхүүн хамгийн их байна. C:x2+y2+z2=6 бөмбөрцгийн хувьд R=√6 тул цилиндрийн суурийн радиус нь √6⋅√23=2."} +{"prompt":"C:y=x2+x+1C:y=x2+x+1 параболын A(−1;1)A(−1;1) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=−ax+by=−ax+b. Энэ шүргэгч шулуун, x=0x=0 шулуун ба CC параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь d∫−c(x+e)2dx=fg∫−cd(x+e)2dx=fg байна.","completion":"Заавар: f(x)f(x) функцийн графикийн (x0;f(x0))(x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна.\nБодолт: \nf′(x)=2x+1f′(x)=2x+1 тул A(−1;f(−1))=A(−1,1)A(−1;f(−1))=A(−1,1) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(−1)(x−(−1))+1=(2⋅(−1)+1)(x+1)+1=−xy=f′(−1)(x−(−1))+1=(2⋅(−1)+1)(x+1)+1=−x байна. Энэ шүргэгч шулуун, x=0x=0 шулуун ба CC параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь\nS=0∫−1(x2+x+1)−xdx=0∫−1(x+1)2dx=(x+1)33∣∣  0−1=(0+1)33−(−1+1)33=13S=∫−10(x2+x+1)−xdx=∫−10(x+1)2dx=(x+1)33|−1  0=(0+1)33−(−1+1)33=13\nбайна."} +{"prompt":"C:y=x2−x+1 параболын A(1;1) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=ax+b. Энэ шүргэгч шулуун, x=0 шулуун ба C параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь d∫c(x−e)2dx=fg байна.","completion":"Заавар: f(x) функцийн графикийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна.\nБодолт: \nf′(x)=2x−1 тул A(1;f(1)) (f(1)=12−1+1=1) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(1)(x−1)+1=(2⋅1−1)(x−1)+1=x байна. Энэ шүргэгч шулуун, x=0 шулуун ба C параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь 1∫0(x2−x+1)−xdx=1∫0(x−1)2dx=(x−1)33|10=(1−1)33−(0−1)33=13 байна."} +{"prompt":"C:y=x3+3x2+x, A(1,α) байг. A цэгээс C муруйд гурван шүргэгч татаж\nболох α-ийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: C муруйн P(t,t3+3t2+t) цэгт татсан шүргэгч y=(3t2+6t+1)(x−t)+(t3+3t2+t)=(3t2+6t+1)x−2t3−3t2\nболно. Энэ шулуун A цэгийг дайрдаг бол \n−2t3+6t+1=a⋯(1)\nбайна. (1) тэгшитгэл гурван ялгаатай шийдтэй байхад A цэгээс C муруйд 3 өөр шүргэгч татаж болно. y=g(t)=−2t3+6t+1−a гэвэл g′(t)=−6t2+6 болно. g′(t)=0 байх t-ийн утгууд нь −1,1 тул g(−1)⋅g(1)<1 байх a-ийн утгууд нь \n(−2⋅(−1)3+6(−1)+1−a)(−2⋅13+6⋅1+1−a)=(−3−a)(5−a)<0. Иймд −30 тул\n−m−2√m+3=0⇔(√m−1)(√m+3)=0 \n0p байна. S=r∫p(−(x−p)2(x+2p−6))dx=r∫p(−(x−p)2((x−p)+(3p−6)))dx=[−14(x−p)2+(3p−6)3(x−p)3]|rp=−814(2−p)4+27(2−p)4=274(2−p)4"} +{"prompt":"C:y=x3−x2 муруйн P цэг дээрх шүргэгч шулуун нь l байг.","completion":"Заавар:\nБодолт: P(α,α3−α2) гэе. y′=3x2−2x тул\nl:y=(3α2−2α)(x−α)+α3−α2 буюу\ny=(3α2−2α)x−2α3+α2 болно.\n l нь (0,0) цэгийг дайрах тул 0=−2α3+α2 болно. Эндээс\nα=0,12 болно.\n y=x3−x2 ба y=(3α2−2α)x−α3+α2-ийн ерөнхий цэгүүд\nx3−x2=(3α2−2α)x−α3+α2\nнөхцлийг хангах ёстой. Үүнийг хялбарчилбал (x−α)2(x+2α−1)=0 болно. Иймд шүргэгч шулуун графикыг β=−2α+1 абсцисстай цэгээр огтолно."} +{"prompt":"F(x)F(x) нь x⋅ex2x⋅ex2 функцийн F(1)=eF(1)=e байх эх функц бол түүнийг ол.","completion":"Заавар: F′(x)=x⋅ex2F′(x)=x⋅ex2 байна.\nБодолт: F(x)=∫x⋅ex2dx=12∫(x2)′ex2dx=12∫ex2d(x2)=∣∣t:=x2∣∣=F(x)=���x⋅ex2dx=12∫(x2)′ex2dx=12∫ex2d(x2)=|t:=x2|=\n=12∫etdt=12et+C=12ex2+C=12∫etdt=12et+C=12ex2+C болно. Бид F(1)=eF(1)=e байх CC-г олох ёстой. F(1)=12e12+C=12e+C=e⇒C=12e⇒F(x)=12ex2+12eF(1)=12e12+C=12e+C=e⇒C=12e⇒F(x)=12ex2+12e"} +{"prompt":"F=sin(θ+30∘)−sin(θ−30∘)sin(θ+60∘),30∘≤θ≤60∘F=sin⁡(θ+30∘)−sin⁡(θ−30∘)sin⁡(θ+60∘),30∘≤θ≤60∘ функцийн хамгийн их,\nхамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: Тригонометр функцийн хэрэглээ.\nsinθ=s,cosθ=c,tgθ=tsin⁡θ=s,cos⁡θ=c,tgθ=t гэж орлуулад ss, cc, tt-ийн аль нэгээр илэрхийл.\n\n\n\n\n\nТомъёоноос sin(θ+30∘)sin⁡(θ+30∘), sin(θ−30∘)sin⁡(θ−30∘), sin(θ+60∘)sin⁡(θ+60∘)-ийг бодож sinθsin⁡θ ба cosθcos⁡θ-өөр илэрхийлэл. FF нь sinθsin⁡θ, cosθcos⁡θ-өөр илэрхийлэгдэх ба энэ илэрхийллийг sinθsin⁡θ, эсвэл cosθcos⁡θ-ийн аль нэгнийх нь хувьд нэг хувьсагчийн илэрхийлэл болго.\nБодолт: sin(θ±30∘)=sinθ⋅cos30∘±cosθ⋅sin30∘=√32sinθ±12cosθsin⁡(θ±30∘)=sin⁡θ⋅cos⁡30∘±cos⁡θ⋅sin⁡30∘=32sin⁡θ±12cos⁡θ,\nsin(θ+60∘)=sinθ⋅cos60∘+cosθ⋅sin60∘=12sinθ+√32cosθsin⁡(θ+60∘)=sin⁡θ⋅cos⁡60∘+cos⁡θ⋅sin⁡60∘=12sin⁡θ+32cos⁡θ\n30∘≤θ≤60∘30∘≤θ≤60∘ учир cosθ≠0cos⁡θ≠0 тул\nF=cosθ12sinθ+√32cosθ=2tanθ+√3F=cos⁡θ12sin⁡θ+32cos⁡θ=2tan⁡θ+3,\n30∘≤θ≤60∘30∘≤θ≤60∘ учир 1√3≤tanθ≤√3.13≤tan⁡θ≤3. FF-ийн хүртвэр, хуваарь тус бүр эерэг\nучраас (хүртвэр тогтмол тоо) хуваарийн хамгийн бага утганд FF\nхамгийн их утгаа авах ба\nFmax=21√3+√3=√32Fmax=213+3=32\nxуваарийн хамгийн их утганд FF хамгийн бага утгаа авах ба\nFmin=2√3+√3=√33.Fmin=23+3=33.\n\nFmax=√32(θ=30∘),Fmin=√33(θ=60∘)Fmax=32(θ=30∘),Fmin=33(θ=60∘)"} +{"prompt":"I бичээч II-аас цагт 2 хуудас илүү бичдэг, III бичээч нь нэг хуудас бичихдээ I-ээс 4 минут илүү зарцуулдаг бөгөөд II бичээчээс 4343 дахин их хугацаа зарцуулдаг байв. I бичээч цагт хэдэн хуудас бичдэг вэ?","completion":"Заавар: 60n+4=60n−2⋅4360n+4=60n−2⋅43.\nБодолт:"} +{"prompt":"IQ-ын тэмцээнд оролцсон сурагчдын 55%55% нь латерал сэтгэлгээний бодлого, 74%74% нь визуал сэтгэлгээний бодлого бодсон бол хамгийн цөөндөө хэдэн хувь нь хоёуланг бодсон бэ?","completion":"Заавар: AA латерал сэтгэлгээний бодлогыг бодсон сурагчдын тоо, BB нь визуал сэтгэлгээний бодлого бодсон сурагчдын олонлог байг. Тэгвэл |A|=55%|A|=55%, |B|=74%|B|=74% ба |AB|=|A|+|B|−|A∪B||AB|=|A|+|B|−|A∪B| байна.\nБодолт: |A∪B|≤100%|A∪B|≤100% байна. Иймд |AB|=|A|+|B|−|A∪B|≥55%+74%−100%=29%|AB|=|A|+|B|−|A∪B|≥55%+74%−100%=29% байна. Тэнцэл нь 55%−29%=26%55%−29%=26% нь зөвхөн латерал сэтгэлгээний бодлого, 74%−29%=45%74%−29%=45% нь зөвхөн визуал сэтгэлгээний бодлого бодсон үед биелэх боломжтой юм. Иймд зөв хариулт нь D байна."} +{"prompt":"Let A=a(1−111)A=a(1−111) (a>0)(a>0) and I=(1001)I=(1001) satisfy A4+I=(0000)A4+I=(0000).\n\nAnswer the following questions and write your answers in the boxes provided.","completion":"Заавар: A=a(1−111)A=a(1−111) (a>0)(a>0) ба I=(1001)I=(1001) нь A4+I=(0000)A4+I=(0000) байх матрицууд байг.\n\nДараах асуултуудад хариул.\n aa-г ол.\n An(01)=(10)An(01)=(10) байх хамгийн бага nn натурал тоог ол.\n A2014A2014-г ол.\nБодолт: Бодлогын нөхцлөөс A4=−IA4=−I тул (detA)4=1(detA)4=1 буюу [a2⋅(1⋅1−(−1)⋅1)]4=1[a2⋅(1⋅1−(−1)⋅1)]4=1\nбайна. Эндээс a>0a>0 тул a=√22a=22 байна.\n\n\nA(01)=√22(1−111)(01)=√22(1⋅0+(−1)⋅11⋅0+1⋅1)=√22(−11)A2(01)=A⋅A(01)=√22(1−111)⋅√22(−11)=12(1⋅(−1)+(−1)⋅11⋅(−1)+1⋅1)=(−10)A(01)=22(1−111)(01)=22(1⋅0+(−1)⋅11⋅0+1⋅1)=22(−11)A2(01)=A⋅A(01)=22(1−111)⋅22(−11)=12(1⋅(−1)+(−1)⋅11⋅(−1)+1⋅1)=(−10)\nA4=−IA4=−I тул\nA6(01)=A4A2(01)=−I(−10)=(10)A6(01)=A4A2(01)=−I(−10)=(10)\nбайна.\n A4=−IA4=−I тул\nA2014=A2012A2=(A4)503A2=A2014=A2012A2=(A4)503A2=\n=(−I)503A2=−A2=(−I)503A2=−A2\nбайна. Нөгөө талаас\nA2=√22(1−111)√22(1−111)=12(1⋅1+(−1)⋅11⋅(−1)+(−1)⋅11⋅1+1⋅11⋅(−1)+1⋅1)=(0−110)A2=22(1−111)22(1−111)=12(1⋅1+(−1)⋅11⋅(−1)+(−1)⋅11⋅1+1⋅11⋅(−1)+1⋅1)=(0−110)\nтул A2014=−A2=(01−10)A2014=−A2=(01−10) байна."} +{"prompt":"M(14;1) цэгээс y=x2+12 муруйн аль цэг хүртэлх зай хамгийн богино байх вэ?","completion":"Заавар: Уг цэгт татсан нормаль шулуун дээр M цэг оршино. y=f(x) функцийн графикийн (x0;f(x0)) цэгт татсан нормаль шулууны тэгшитгэл:\ny=−1f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nБодолт: \ny′(x)=2x тул нормал шулууны тэгшитгэл нь:\ny=−12x0(x−x0)+x20+12 ба энэ шулуун дээр M(14;1) цэг орших тул\n1=−12x0(14−x0)+x20+12\nбуюу\n8x30−1=0⇒x0=12\nбайна. Иймд y0=(12)2+12=34 буюу бидний олох цэгийн нь (12;34) байна.\n\nСанамж: Энэ бодлогыг хариунаас бодох боломжтой. Мөн N(t,t2+12) гээд MN2-ийн хамгийн бага утгыг олох аргаар бодож болно."} +{"prompt":"M=(10632) бол M−1 = ?","completion":"Заавар: Язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш, бутархайн хуваарь тэг биш байх ёстой.\nБодолт: M−1=1|M|(2−6−310)=12(2−6−310) \n\n |M|=10⋅2−3⋅6=20−18=2 \n\nM−1=(1−3−1.55)"} +{"prompt":"NN өнцөгтийн талуудын урт q=1.1q=1.1 хуваарьтай геометр прогресс үүсгэдэг бол NN нь хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?","completion":"Заавар: Ийм гурвалжин орших эсэхийг шалга. Гурвалжны тэнцэтгэл бишийг шалгана.\n\nГурвалжны тэнцэтгэл биш биелэх (a0x>0 гэвэл дараагийн талуудын урт нь 1.1x1.1x ба 1.12x=1.21x1.12x=1.21x (их тал) болно. x+1.1x=2.1x>1.21xx+1.1x=2.1x>1.21x тул гурвалжны тэнцэтгэл биелэж байна. Иймд NN-ийн боломжит хамгийн бага утга нь 3 байна."} +{"prompt":"P(1+3√2)=1+3√2 ба P(1+√5)=2+3√5 байх бүхэл коэффициенттэй P(x) олон гишүүнт олдох уу?","completion":"Заавар: Q(x)=P(x+1)−x−1 олон гишүүнтийн нэг язгуур нь 3√2 болохыг ашигла.\nБодолт: Т. Базарын ирүүлсэн бодолт.\n\nЭсрэгээс нь бодлогын нөхцөлийг хангах P(x) гишүүнт олддог гээд зааварт өгөгдсөн Q(x) олон гишүүнтийг авч үзье. Безугийн теоремоор Q(x) нь x−3√2-д хуваагдах бөгөөд x3−2 нь Q[x] дээр үл задрах тул Q(x)=(x3−2)S(x) байна.\nНөгөө талаас P(x)=Q(x−1)+x тул\nP(1+√5)=Q(√5)+1+√5=2+3√5\nбайна. Иймд Q(√5)=1+2√5 болов. Нөгөө талаас Q(√5)=(5√5−2)S(√5) тул\n(5√5−2)(a+b√5)=1+2√5\nбайх a, b бүхэл тоонууд оршин байх ёстой. Эндээс\n{−2a+25b=1−5a−52b=2⇔a=52121, b=9121\nболж зөрчил үүсэв. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах P олон гишүүнт олдохгүй."} +{"prompt":"P(x) олон гишүүнтийг x+1, x2−x+3 олон гишүүнтүүдэд хуваахад харгалзан 8, 3x+1 үлдэгдэл өгөх бол P(x) олон гишүүнтийг (x+1)(x2−x+3)-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: P(x)=(x+1)⋅Q1(x)+8,P(x)=(x2−x+3)⋅Q2(x)+3x+1\nба\nP(x)=(x+1)⋅(x2−x+3)⋅Q(x)+ax2+bx+c\nгэе. Тэгвэл R(x)=ax2+bx+c-г x2−x+3-д хуваахад 3x+1 үлдэх тул\nP(x)=(x+1)(x2−x+3)Q(x)+a(x2−x+3)+3x+1\nболно. P(−1)=8 тул a⋅((−1)2−(−1)+3)+3⋅(−1)+1=8 буюу a=2. Иймд\nR(x)=2(x2−x+3)+3x+1=2x2+x+7."} +{"prompt":"P(x) функцийн хувьд P′(b)=2 бол limΔx→0P(b+4Δx)−P(b)Δx=?","completion":"Заавар: Δ→0⇔4Δ→0 ба уламжлалын тодорхойлолт ёсоор P′(b)=limΔx→0P(b+Δx)−P(b)Δx\nбайна.\nБодолт: limΔx→0P(b+4Δx)−P(b)Δx=4⋅lim4Δx→0P(b+4Δx)−P(b)4Δx=4P′(b)=8\nбайна."} +{"prompt":"P(x)-ийг x−1-д хуваахад 1 үлддэг, x2−x−2-д хуваахад 3x+7 үлдэх бол x2−3x+2-д хуваахад гарах үлдэгдэл олон гишүүнтийг ол.","completion":"Заавар: Безугийн т��орем ашигла.\nБодолт: x2−3x+2=(x−1)(x−2) тул\nP(x)=(x−1)(x−2)⋅Q(x)+ax+b, R(x)=ax+b ⋯(1)\nболно. P(x)-г (x−1)-д хуваахад 1 үлдэх тул P(1)=a+b=1. Нөгөө талаас\nx2−x−2=(x+1)(x−2) тул \nP(x)=(x+1)(x−2)⋅K(x)+3x+7\nбайна.\nP(2)=3⋅2+7=13 болох ба x=2-ийг (1)-д орлуулбал\nP(2)=2a+b=13. Эндээс a, b-г олъё.\n{a+b=12a+b=13 Системийг бодож шийдийг олбол a=12, b=−11 тул R(x)=12x−11 байна.\nЗаавар:\nБодолт: x2−3x+2=(x−1)(x−2) тул\nP(x)=(x−1)(x−2)⋅Q(x)+ax+b,R(x)=ax+b⋯(1)\nболно. P(x)-г (x−1)-д хуваахад 1 үлдэх тул P(1)=a+b=1. Нөгөө талаас\nx2−x−2=(x+1)(x−2) тул \nP(x)=(x+1)(x−2)⋅K(x)+3x+7\nбайна.\nP(2)=3⋅2+7=13 болох ба x=2-ийг (1)-д орлуулбал\nP(2)=2a+b=13. Эндээс a, b-г олъё.\n{a+b=12a+b=13 Системийг бодож шийдийг олбол a=12, b=−11 тул R(x)=12x−11 байна."} +{"prompt":"P(x)=(x−1)(x4n−1), Q(x)=(x4−1)(xn−1) гэе.","completion":"Заавар: \nОлон гишүүнт тус бүрийг үржигдэхүүн болгон задлаад k сондгой тоо бол ak+1=(a+1)(ak−1−ak−2+ak−3−…−a+1) томъёог ашигла. \n P(x) нь Q(x)-д хуваагдахгүй бол Q(x) олон гишүүнтийн ядаж 1 язгуур нь P(x) олон гишүүнтийн язгуур болохгүй байна.\nБодолт: P(x)=(x−1)⋅(x4n−1)=(x−1)(x2n+1)(xn+1)(xn−1) ба Q(x)=(x4−1)⋅(xn−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)(xn−1) болно. n-нь сондгой натурал тоо бол an+1=(a+1)(an−1−an−2+an−3−…−a+1) томъёогоор xn+1 хь x+1 д, x2n+1 хь x2+1 д тус бүр хуваагдах тул P(x) нь Q(x)-д хуваагдана.\n Хэрэв n тэгш бол x=−1 тоо Q(x)-ийн язгуур болох боловч P(x)-ийн язгуур болохгүй тул P(x) нь Q(x)-д хуваагдахгүй."} +{"prompt":"P(x)=x2016+x+1 олон гишүүнтийг (x−1)-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: Безугийн теоремоор P(1)=R(1) болохыг ашигла.\nБодолт: (x−1)-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь тогтмол тоо тул R(x)=R(1)=P(1)=12016+1+1=3\nбайна."} +{"prompt":"P(x)=x2017+x+1 олон гишүүнтийг (x+1)-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: Безугийн теоремоор P(−1)=R(−1) болохыг ашигла.\nБодолт: (x+1)-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь тогтмол тоо тул R(x)=R(−1)=P(−1)=(−1)2017+(−1)+1=−1\nбайна."} +{"prompt":"P(x)=x2017−x+1 олон гишүүнтийг (x−1)-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: Безугийн теоремоор P(1)=R(1) болохыг ашигла.\nБодолт: (x−1)-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь тогтмол тоо тул R(x)=R(1)=P(1)=12017−1+1=1\nбайна."} +{"prompt":"P(x)=x3+x2−3x−5P(x)=x3+x2−3x−5 олон гишүүнтийг Q(x)=x+2Q(x)=x+2 олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: Интеграл шугаман чанар ашиглан зэрэгт функцүүдийн нийлбэрт задалж бод.\nБодолт: ∫x+1√xdx=∫(x√x+1√x)dx=∫(√x+1√x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23x√x+2√x+C∫x+1xdx=∫(xx+1x)dx=∫(x+1x)dx=∫(x12+x−12)dx=x3232+x1212+C=23x32+2x12+C=23xx+2x+C"} +{"prompt":"P(x)=x4+2x3+3x2+x+3 олон гишүүнтийг Q(x)=x2−1 олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдэл олон гишүүнтийн x=−1 цэг дээрх утга хэд вэ?","completion":"Заавар: Q(−1)=0 тул P(−1)=R(−1) байхыг ашигла.\nБодолт: P(x)=(x2−1)T(x)+R(x) гэвэл \nP(−1)=((−1)2−1)⋅T(x)+R(−1)=R(−1) тул\nR(−1)=P(−1)=1−2+3−1+3=4."} +{"prompt":"P(x)=x5+3x4−2x2+x+3 олон гишүүнтийг Q(x)=x3−1 олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдэл олон гишүүнтийн x=1 цэг дээрх утга хэд вэ?","completion":"Заавар: Q(1)=0 тул P(1)=R(1) байхыг ашигла.\nБодолт: P(x)=(x3−1)T(x)+R(x) гэвэл \nP(1)=(13−1)⋅T(x)+R(1)=R(1) тул\nR(1)=P(1)=1+3−2+1+3=6."} +{"prompt":"P=x2−2xy+5y2+6x−14y+5 олон гишүүнт нь\nx=−a,y=b үед хамгийн бага Pmin=−c\nутгаа авна. Хэрэв |x|≤2,|y|≤2 бол\nx=d,y=−e үед хамгийн их Pmax=fg утгаа\n,x=−h,y=i үед хамгийн бага Pmin=−j\nутгаа авна.","completion":"Заавар: ax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24a\nашиглан бүтэн квадрат ялгаж бод.\nБодолт: x2−2xy+5y2+6x−14y+5=x2−(2y−6)x+5y2−14y+5=(x−y+3)2+5y2−14y+5−(y−3)3=(x−y+3)2+4y2−8y−4=(x−y+3)3+4(y−1)2−8\nтул {x−y+3=0y−1=0 буюу x=−2, y=1 үед хамгийн бага −8 утгаа авна.\n\n|x|≤2,|y|≤2 үед |x−y+3|≤|2−(−2)+3|=7 ба |y−1|≤|−2−1|=3 тул P=(x−y+3)3+4(y−1)2−8≤72+4⋅32−8=77\nба x=2, y=−2 үед Pmax=77 байна.\n\nТүүнчлэн P илэрхийлэл хамгийн бага утгаа авах x=−2, y=1 утгууд нь |x|≤2,|y|≤2 нөхцлийг хангах тул энэ муж дахь хамгийн бага утга нь уг илэрхийллийн хамгийн бага утга буюу −8 байна."} +{"prompt":"R радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн хажуу гадаргууг ол.","completion":"Заавар: \nθ ба R-ээр хажуу гадаргуу ба эзлэхүүнийг илэрхийл.\nБодолт: Цилиндрийн байгуулагч болон төвийг суурийн тойргийн цэгтэй холбоход үүсэх хэрчим хоёрын хоорондох өнцгийг θ гэвэл суурийн радуис нь r=Rsinθ, өндөр нь h=2Rcosθ байна.\n\nЭзлэхүүн нь\nV=Sсуурь⋅h=πr2h=4πR3sin2θcosθ\nc=cos2θ гэвэл\nV(c)=4πR3(1−c2)c, 0≤c≤1 байна.\nV′(c)=0⇒1−3c2=0⇒c=√33\nүед ХИУ-тай. Энэ үед sinθ=√1−c2=√63 байна.\nСуурийн периметр нь 2πr=2πRsinθ тул хажуу гадаргуугийн талбай нь Sхг=4πR2sinθcosθ=4πR2⋅√63⋅√33=4√2πR23 байна."} +{"prompt":"Sn=1+4+42+43+⋯+4nSn=1+4+42+43+⋯+4n нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: b1=bb1=b, bn=b1qn−1bn=b1qn−1 геометр прогрессийн эхний nn гишүүний нийлбэр\nSn=b1+b2+⋯+bn=b1+b1q+⋯+b1qn−1=Sn=b1+b2+⋯+bn=b1+b1q+⋯+b1qn−1=\n=b1(1+q+⋯+qn−1)=b1(1−qn)1−q=b1(1+q+⋯+qn−1)=b1(1−qn)1−q\nБодолт: Бидний олох нийлбэр нь b1=1b1=1, bn=bn−1⋅4bn=bn−1⋅4 геометр прогрессийн эхний n+1n+1 гишүүний нийлбэр тул\nSn=1−4n+11−4=4n+1−13Sn=1−4n+11−4=4n+1−13"} +{"prompt":"Sn=11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1n⋅(n+1)Sn=11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1n⋅(n+1) нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: a1+a2+⋯+ana1+a2+⋯+an нийлбэр олохдоо an=bn+1−bnan=bn+1−bn байхаар bnbn дараалал олж чадвал:\n\na1+a2+⋯+an=(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(bn+1−bn)=bn+1−b1a1+a2+⋯+an=(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(bn+1−bn)=bn+1−b1\n болж олдоно.\nБодолт: 1n(n+1)=1n−1n+1, (bn=−1n)1n(n+1)=1n−1n+1, (bn=−1n) тул\nSn=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1Sn=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1\nболно."} +{"prompt":"Sn=11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+⋯+1n⋅(n+1)⋅(n+2)Sn=11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+⋯+1n⋅(n+1)⋅(n+2) нийлбэрийг олъё.\n1n(n+1)(n+2)=f(n)−f(n+1)1n(n+1)(n+2)=f(n)−f(n+1)\nбол f(n)=1a⋅1(n+b)(n+c)f(n)=1a⋅1(n+b)(n+c) байна.\nSn={f(1)−f(2)}+{f(2)−f(3)}+⋯+{f(n)−f(n+1)}=f(1)−f(n+1)=n2+dne(n+f)(n+g)Sn={f(1)−f(2)}+{f(2)−f(3)}+⋯+{f(n)−f(n+1)}=f(1)−f(n+1)=n2+dne(n+f)(n+g)","completion":"Заавар:\nБодолт: Sn=11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+⋯+1n⋅(n+1)⋅(n+2)Sn=11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+⋯+1n⋅(n+1)⋅(n+2) нийлбэрийг олъё.\n1n(n+1)(n+2)=f(n)−f(n+1)1n(n+1)(n+2)=f(n)−f(n+1)\nбол f(n)=12⋅1n(n+1)f(n)=12⋅1n(n+1) байна.\nSn={f(1)−f(2)}+{f(2)−f(3)}+⋯+{f(n)−f(n+1)}=f(1)−f(n+1)=12⋅11⋅2−12⋅1(n+1)⋅(n+2)=n2+3n4(n+1)(n+2)Sn={f(1)−f(2)}+{f(2)−f(3)}+⋯+{f(n)−f(n+1)}=f(1)−f(n+1)=12⋅11⋅2−12⋅1(n+1)⋅(n+2)=n2+3n4(n+1)(n+2)"} +{"prompt":"Sn=1⋅20+2⋅21+3⋅23+⋯+n⋅2n−1Sn=1⋅20+2⋅21+3⋅23+⋯+n⋅2n−1 нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Абелийн хувиргалтын томьёо ашигла.\nБодолт: an=n,bn=2n−1an=n,bn=2n−1 гэвэл Bk=k∑i=1bi=2k−1Bk=∑i=1kbi=2k−1 байна. Иймд Абелийн хувиргалтаар n≥2n≥2 үед \n\nSn=n−1∑k=1(ak+1−ak)⋅Bk+an⋅Bn=n−1∑k=1(−1)⋅(2k−1)+n⋅(2n−1)=n−1∑k=11−n−1∑k=12k+n⋅(2n−1)=(n−1)−(2n−2)+n⋅2n−n=(n−1)⋅2n+1Sn=∑k=1n−1(ak+1−ak)⋅Bk+an⋅Bn=∑k=1n−1(−1)⋅(2k−1)+n⋅(2n−1)=∑k=1n−11−∑k=1n−12k+n⋅(2n−1)=(n−1)−(2n−2)+n⋅2n−n=(n−1)⋅2n+1\n\nболно."} +{"prompt":"Sn=1⋅50+2⋅51+3⋅52+⋯+n⋅5n−1Sn=1⋅50+2⋅51+3⋅52+⋯+n⋅5n−1 нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Абелийн хувиргалтын томьёо ашигла.\nБодолт: an=n,bn=5n−1an=n,bn=5n−1 гэвэл Bk=k∑i=1bi=5k−14Bk=∑i=1kbi=5k−14 байна. Иймд Абелийн хувиргалтаар n≥2n≥2 үед \n\nSn=n−1∑k=1(ak+1−ak)⋅Bk+an⋅Bn=n−1∑k=1(−1)⋅5k−14+n⋅5n−14=n−1∑k=114−14n−1∑k=15k+n⋅(5n−1)4=n−14−(5n−5)16+n⋅(5n−1)4=(4n−1)⋅5n+116Sn=∑k=1n−1(ak+1−ak)⋅Bk+an⋅Bn=∑k=1n−1(−1)⋅5k−14+n⋅5n−14=∑k=1n−114−14∑k=1n−15k+n⋅(5n−1)4=n−14−(5n−5)16+n⋅(5n−1)4=(4n−1)⋅5n+116\n\nболно."} +{"prompt":"Sn=2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+(n+1)⋅2nSn=2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+(n+1)⋅2n нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: S(x)=x2+x3+x4+⋯+xn+1=x2(xn−1)x−1=xn+2−x2x−1S(x)=x2+x3+x4+⋯+xn+1=x2(xn−1)x−1=xn+2−x2x−1 функцийн уламжлалыг хоёр аргаар бод. Бидний олох илэрхийлэл S′(2)S′(2) юм.\nБодолт: Гишүүнчлэн уламжлал авах аргаар бодвол\nS′(x)=2x+3x2+4x3+⋯+(n+1)xnS′(x)=2x+3x2+4x3+⋯+(n+1)xn\nба нийлбэрийн томьёоноос ноогдворын уламжлал авбал\nS′(x)=(xn+2−x2x−1)′=(xn+2+x2)′(x−1)−(xn+2−x2)⋅(x−1)′(x−1)2=((n+2)xn+1−2x)(x−1)−xn+2+x2(x−1)2=(n+1)xn+2−(n+2)xn+1−x2+2x(x−1)2S′(x)=(xn+2−x2x−1)′=(xn+2+x2)′(x−1)−(xn+2−x2)⋅(x−1)′(x−1)2=((n+2)xn+1−2x)(x−1)−xn+2+x2(x−1)2=(n+1)xn+2−(n+2)xn+1−x2+2x(x−1)2\nболно. Эндээс\nS′(2)=2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+(n+1)2n=(n+1)2n+2−(n+2)2n+1−22+2⋅2(2−1)2=n2n+1S′(2)=2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+(n+1)2n=(n+1)2n+2−(n+2)2n+1−22+2⋅2(2−1)2=n2n+1\nболов.\nЗаавар: 2Sn−Sn2Sn−Sn нийлбэрийг ол.\nБодолт: Sn=2Sn−Sn=2⋅22+3⋅23+⋯+(n+1)⋅2n+1−2⋅2−3⋅22−⋯−(n+1)⋅2n=(n+1)2n+1−2⋅2+(2−3)⋅22+(3−4)⋅23+⋯+(n+1−n)⋅2n=(n+1)2n+1−4−22−23−⋯−2n=(n+1)2n+1−4−22(2n−1−1)2−1=(n+1)2n+1−4−2n+1+4=n2n+1Sn=2Sn−Sn=2⋅22+3⋅23+⋯+(n+1)⋅2n+1−2⋅2−3⋅22−⋯−(n+1)⋅2n=(n+1)2n+1−2⋅2+(2−3)⋅22+(3−4)⋅23+⋯+(n+1−n)⋅2n=(n+1)2n+1−4−22−23−⋯−2n=(n+1)2n+1−4−22(2n−1−1)2−1=(n+1)2n+1−4−2n+1+4=n2n+1\nЗаавар: Хариунаас бод.\nБодолт: n=2n=2 үед S2=2⋅2+3⋅22=16S2=2⋅2+3⋅22=16 ба сонголтууд нь \n(n+1)2n→(2+1)⋅22=12,n2n+1→2⋅23=16,(n+1)2n+1→(2+1)⋅23=24,(n−1)2n+1→(2−1)⋅23=8,(n−1)2n+1+4→(2−1)⋅23+4=12(n+1)2n→(2+1)⋅22=12,n2n+1→2⋅23=16,(n+1)2n+1→(2+1)⋅23=24,(n−1)2n+1→(2−1)⋅23=8,(n−1)2n+1+4→(2−1)⋅23+4=12\nтул зөвхөн n2n+1n2n+1 л зөв хариулт байх боломжтой юм."} +{"prompt":"Sn=9+99+999+⋯+99…9nSn=9+99+999+⋯+99…9⏟n бол\nS2016S2016 тооны сүүлийн 4 цифрээс тогтох тоо нь нь abcdabcd байна.","completion":"Заавар: 99…9n99…9⏟n, n≥4n≥4 тоонуудыг 99999999-ээр солиод нийлбэрийг бодоход сүүлийн 4 цифр нь өөрчлөгдөхгүй.\nБодолт: Заавар ёсоор 9+99+999+2013⋅99999+99+999+2013⋅9999 тооны сүүлийн 4 цифрийг олоход хангалттай.\n9+99+999+2013⋅9999=201290949+99+999+2013⋅9999=20129094\nтул бидний олох тоо нь 90949094 байна."} +{"prompt":"[3x−2]=7 бол x нь аль нөхцөлийг хангах вэ?","completion":"Заавар: [x]=n⇔n≤x0XB>0f(0)>0\nнөхцөлтэй тэнцүү чанартай.\nБодолт:"} +{"prompt":"a параметрийн ямар утганд x3+48x=a тэгшитгэл ядаж нэг шийдтэй байх вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: y=x3+48x функцийг шинжилж графикийг байгуулъя: Уламжлалыг нь олбол y′=3x2−48x2=3⋅x4−16x2=3⋅(x−2)(x+2)(x2+4)x2 болно. y′=0 байх цэгүүд x=2 юмуу x=−2 байна. Уламжлалын тэмдэгийг координатын x тэнхлэг дээр тэмдэглэе: Тэгвэл y=x2+48x функц х=−2 үед максимум утга, x=2 үед максимум утга авах нь харагдаж байна. Энэ функцийн график (a) a≥32 юмуу (б) a≤−32 байхад л у=a \nшулуунтай огтлолцохыг графикаас хялбархан харж болно."} +{"prompt":"a суурьтай, оройн өнцөг нь α байх бүх гурвалжнуудаас хамгийн их периметртэйг ол.","completion":"Заавар: 2R=asinα тул эдгээр гурвалжнуудын багтаасан тойргийн радиус тогтмол тоо байна. P=2R(sinα+sinβ+sinγ). γ=180∘−α−β байна. P(β)=2R(sinα+sinβ+sin(α+β)) β-ийн ямар утганд хамгийн их утгаа авах вэ?\nБодолт:"} +{"prompt":"a(√a−4)(√a+4)−(8−a)2 илэрхийлэл хялбарчил","completion":"Заавар:\nБодолт: a(√a−4)(√a+4)−(8−a)2=a(a−16)−(64−16a+a2)=a2−16a−64+16a−a2=−64"} +{"prompt":"a+aba−ab илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: Хүртвэр, хуваариас ab гэсэн ерөнхий үржигдэхүүн гарга.\nБодолт: a+aba−ab=ab(b+1)ab(b−1)=b+1b−1"} +{"prompt":"a+b+c=0, a2+b2+c2=1 бол a4+b4+c4 ол.","completion":"Заавар: ab+ac+bc-г олж олсон үр дүнгээ ашиглаж a2b2+a2c2+b2c2-г ол.\nБодолт: ab+ac+bc=12{(a+b+c)2−(a2+b2+c2)}=−12\nтул\na2b2+a2c2+b2c2=(ab+ac+bc)2−2abc(a+b+c)=(−12)2−2abc⋅0=14\nИймд\na4+b4+c4=(a2+b2+c2)−2(a2b2+a2c2+b2c2)=1−2⋅14=12\nбайна."} +{"prompt":"a, b, c бодит тоонууд бол (x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a) тэгшитгэл бодит шийдтэй гэж батал.","completion":"Заавар:\nБодолт: a, b, c тоонууд тэгш хэмтэй тул a≤b≤c гэж үзэж болно.\n\nf(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a) гэвэл a−b≤0, a−c≤0 тул\nf(a)=(a−b)(a−c)≥0\nбайна. Түүнчлэн b−c≤0, b−a≥0 тул\nf(b)=(b−c)(b−a)≤0\nИймд f(a)=0 эсвэл f(b)=0 гэвэл тэгшитгэл шийдтэй. Иймд f(a)>0 ба f(b)<0 гэвэл f(a)⋅f(b)<0 тул f(x)=0 тэгшитгэл x∈[a,b] мужид шийдтэй.\n\nТөстэйгээр x∈[b,c] мужид шийдтэй болохыг харуулж болно."} +{"prompt":"a,b нь a3+b3=−2, ab=1 байх бодит тоонууд бол a+b аль нь вэ?","completion":"Заавар: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) болохыг ашигла.\nБодолт: t=a+b гэвэл ab=1 тул\n(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)=−2+3(a+b)\nбуюу \nt3−3t+2=(t−1)2(t+2)=0⇒t1=1,t2=−2\nболно. ab=1 тул a, b ижил тэмдэгтэй. Түүнчлэн a3+b3=−2 гэдгээс a, b<0 байх ёстой. Иймд a+b=t2=−2 байна.\nЗаавар: b=1a тул a3+b3=−2⇒a3+1a3+2=0 болно.\nБодолт: a3+1a3+2=0 тул a6+2a3+1=(a3+1)2=0 тул a=−1 байна. Иймд b=1−1=−1 тул a+b=−1−1=−2."} +{"prompt":"a,b нь a3+b3=−2, ab=1 байх бодит тоонууд бол a+b-г ол.","completion":"Заавар: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) болохыг ашигла.\nБодолт: t=a+b гэвэл ab=1 тул\n(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)=−2+3(a+b)\nбуюу \nt3−3t+2=(t−1)2(t+2)=0⇒t1=1,t2=−2\nболно. ab=1 тул a, b ижил тэмдэгтэй. Түүнчлэн a3+b3=−2 гэдгээс a, b<0 байх ёстой. Иймд a+b=t2=−2 байна.\nЗаавар: b=1a тул a3+b3=−2⇒a3+1a3+2=0 болно.\nБодолт: a3+1a3+2=0 тул a6+2a3+1=(a3+1)2=0 тул a=−1 байна. Иймд b=1−1=−1 тул a+b=−1−1=−2."} +{"prompt":"a,b,c-нь 1a+1b+1c=1,a≤b≤c байх натурал тоонууд байг.\n 1=1a+1b+1c≤1a+1a+1a тул a≤a байна. a≤a байх бүх a-уудыг шалгавал 1a+1b+1c=1 тэгшитгэлийг хангах бүх гуравтууд нь (a,b,c)=(b,c,d);(e,4,f);(3,g,h) байна (b<3).","completion":"Заавар: Бодолтын дагуу боломжит бүх утгуудыг шалгаж үз.\nБодолт: 1=1a+1b+1c≤1a+1a+1a=3a⇒a≤3 байна. a=1 үед тэгшитгэлийн зүүн гар тал 1-ээс их болно. Иймд a=2 эсвэл a=3 байна.\n\na=2 тохиолдолд 12=1b+1c≤1b+1b=2b тул b≤4 байна. a≤b тул 3≤b≤4 байна. b=3 үед\n12+13+1c=1⇒c=6\nгэсэн шийдтэй ба b=4 үед\n12+14+1c=1⇒c=4\nгэсэн шийдтэй.\n\na=3 тохиолдолд 23=1b+1c≤1b+1b=2b тул b≤3 байна. 3=a≤b тул 3≤b≤3 буюу b=3 байна. Энэ үед\n13+13+1c=1⇒c=3\nбайна.\n\nИймд тэгшитгэлийн шийдүүд нь (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3) байна."} +{"prompt":"a,b,c-нь 2a+1b+1c=1,a≤b≤c байх натурал тоо байг. 1=2a+1b+1c≤2a+1a+1a тул a≤a байна. a≤a байх бүх a-уудыг шалгавал \n2a+1b+1c=1 тэгшитгэлийг хангах бүх гуравтууд нь (a,b,c)=(b,c,de);(3,f,g);(4,h,i) байна.","completion":"Заавар: Бодолтын дагуу боломжит бүх утгуудыг шалгаж үз.\nБодолт: 1=2a+1b+1c≤2a+1a+1a=4a⇒a≤4 байна. a=1,2 үед тэгшитгэлийн зүүн гар тал 1-ээс их болно. Иймд a=3 эсвэл a=4 байна.\n\na=3 тохиолдолд 13=1b+1c≤1b+1b=2b тул b≤6 байна. a≤b тул 3≤b≤6 байна. b=3, b=5 бол c натурал тоо байж чадахгүйг шууд шалгаж болно. Иймд b=4 үед\n23+14+1c=1⇒c=12\nба b=6 үед\n23+16+1c=1⇒c=6\nгэсэн шийдүүдтэй.\n\na=4 тохиолдолд 12=1b+1c≤1b+1b=2b тул b≤4 байна. 4=a≤b тул 4≤b≤4 буюу b=4 байна. Энэ үед\n24+14+1c=1⇒c=4\nбайна.\n\nИймд тэгшитгэлийн шийдүүд нь (3,4,12), (3,6,6), (4,4,4) байна."} +{"prompt":"a,b,ca,b,c нь бодит тоонууд ба ax2+2bx+c=0ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0bx2+2cx+a=0 квадрат\nтэгшитгэлүүд бодит шийдгүй бол дараах тэгшитгэлүүд бодит шийдтэй\nюу?","completion":"Заавар: a2+b2+c2≥ab+bc+caa2+b2+c2≥ab+bc+ca болохыг ашиглаарай.\nБодолт: Өгсөн нөхцөлөөс\n4b2−4ac<0,4c2−4ba<0⇔b2≤ac,c2≤ba4b2−4ac<0,4c2−4ba<0⇔b2≤ac,c2≤ba\nбайна. Хэрвээ cx2+2ax+b=0cx2+2ax+b=0 тэгшитгэл шийдгүй гэвэл 4a2−4cb<04a2−4cb<0 болох ба эндээс a2100 байх хамгийн бага n нь 15 бол a1=a ба\nd=b байна.","completion":"Заавар: an−k+an+k=2an\nболохыг ашиглан a5-ийг ол.\nБодолт: a3+a7=a5−2+a5+2=2a5 тул\na3+a5+a7=3a5=93⇒a5=31\nтул\nan=a1+(n−1)d=a5+(n−5)d=31+(n−5)d\n{a14=31+(14−5)⋅d≤100a15=31+(15−5)⋅d>100\nбуюу 69100ε>0 тоо бүрийн хувьд түүнээс хамаарсан ямар нэг NεNε дугаар олдоод түүнээс хойших (n>Nεn>Nε) ямар ч nn дугаарын хувьд |an−a|<ε|an−a|<ε нөхцөл биелэж байвал aa тоог (хэрвээ ийм тоо оршин байвал) {an}{an} дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг. Үүнийг limn→∞an=alimn→∞an=a гэж тэмдэглэдэг.\n\nИйм маягийн тодорхойлолт ашиглан \n Хэрвээ дарааллын хязгаар оршин байвал тэр нь цор ганц байна.\n Хязгаар нь оршин байдаг дарааллын дурын дэд дарааллын хязгаар нь эх дарааллын хязгаартай тэнцүү байна.\n\nгэх зэрэг чухал дүгнэлтүүдийг хялбархан гаргаж авч болдог бөгөөд цаашид хязгаарыг бодох олон хялбар аргыг гарган авч болно\nБодолт: Нэгэнт дараалал хязгаартай бол тэр нь цор ганц байдаг тул өгөгдсөн хариунууд дээр үндэслэн өгөгдсөн дараалал цор ганц хязгаартай гэж үзэж болно.\n\nМөн дурын дэд дарааллын хязгаар нь эх дарааллын хязгаартай тэнцүү тул аль нэг дэд дарааллын хязгаарыг бодоход хангалттай.\n\nb1=a1=12b1=a1=12, b2=a3=12+433−1b2=a3=12+433−1, b3=a5=12+433−1+435−1b3=a5=12+433−1+435−1 гэх мэтчилэн\nbn=12+49+492+⋯+49n−1bn=12+49+492+⋯+49n−1\nгэсэн дэд дарааллын хязгаарыг бодъё. Геометр прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэр олох томьёо ашиглавал bn=12+49⋅1−(19)n−11−19bn=12+49⋅1−(19)n−11−19 болно. limn→∞(19)n−1=0limn→∞(19)n−1=0 тул (өөрөөр хэлбэл nn тоо ихсэх тусам (19)n−1(19)n−1 илэрхийлэл 0-рүү тэмүүлнэ)\nlimn→∞bn=12+49⋅1−01−19=1.limn→∞bn=12+49⋅1−01−19=1.\nbnbn нь anan дарааллын дэд дараалал тул limn→∞an=limn→∞bn=1limn→∞an=limn→∞bn=1 байна.\n\nТа бүхэн c1=a2c1=a2, c2=a4,…,cn=a2n,…c2=a4,…,cn=a2n,… дэд дарааллын хязгаарыг үүнтэй төстэй аргаар бодож үзээрэй!"} +{"prompt":"a1=1a1=1, an+1=3an+2an+1=3an+2, n=1,2,3,…n=1,2,3,… дараалал өгөгдөв.","completion":"Заавар: an=bn−Tan=bn−T-г рекуррент харьцаанд орлуул.\nБодолт: bn+1−T=3(bn−T)+2bn+1−T=3(bn−T)+2 ба bn+1=3bnbn+1=3bn тул −T=−3T+2⇒T=1−T=−3T+2⇒T=1.\n b1=a1+1=2b1=a1+1=2 тул bn=2⋅3n−1bn=2⋅3n−1 ба an=bn−1=2⋅3n−1−1an=bn−1=2⋅3n−1−1 байна.\n\nSn=a1+a2+a3⋯+an=1+5+17+⋯+2⋅3n−1−1=2(1+3+32+⋯+3n−1)−n=2⋅3n−13−1−n=1⋅3n−n−1Sn=a1+a2+a3⋯+an=1+5+17+⋯+2⋅3n−1−1=2(1+3+32+⋯+3n−1)−n=2⋅3n−13−1−n=1⋅3n−n−1"} +{"prompt":"a1=2 , S4=32 байх арифметик прогрессийн d=q, a1=b1 нөхцөлийг хангах геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: Арифметик прогресс a1 ба d-ээр бүрэн тодорхойлогдно. Иймд S4=32 буюу S4=2+(2+3d)2⋅4=32 нөхцлөөс d-г олж bn=b1⋅dn−1 томъёо хэрэглэ.\nБодолт: S4=2+(2+3d)2⋅4=32⇒d=4, bn=2⋅4n−1 болох тул b3=2⋅42=32."} +{"prompt":"a1=2,n≥1a1=2,n≥1 үед an+1=2an−3an+1=2an−3 томъёогоор өгөгдсөн дараалын хувьд:","completion":"Заавар:\nБодолт: Гишүүдийг цувуулан бичвэл a2=1,a3=−1,a4=−5,a5=−13,a6=−29,a7=−61a2=1,a3=−1,a4=−5,a5=−13,a6=−29,a7=−61\n an+1−c=2⋅(an−c)an+1−c=2⋅(an−c) хувиргавал an+1=2an−can+1=2an−c буюу c=3c=3 болно\n an−3=bnan−3=bn гэвэл bn+1=an+1−3,b1=a1−3=−2,bn+1=2⋅bnbn+1=an+1−3,b1=a1−3=−2,bn+1=2⋅bn тул bnbn геометр прогресс болно. Иймд bn=−2⋅2n−1=−2nbn=−2⋅2n−1=−2n байна.\n bn=an−3=−2nbn=an−3=−2n тул an=3−2nan=3−2n болно."} +{"prompt":"a1=3,an+1=3an+2an+2,(n≥1)a1=3,an+1=3an+2an+2,(n≥1) дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: 1an−2=bn1an−2=bn гэе. an=1bn+2an=1bn+2 болно. Үүнийг рекуррент харьцаанд орлуулбал 1bn+1+2=3(1bn+2)+2(1bn+2)+2=3+8bn1+4bn1bn+1+2=3(1bn+2)+2(1bn+2)+2=3+8bn1+4bn болно. 1bn+1=3+8bn1+4bn−2=11+4bn1bn+1=3+8bn1+4bn−2=11+4bn тул bn+1=1+4bnbn+1=1+4bn болно. b1=1a1−2=1b1=1a1−2=1 учир bn+1+13=4(bn+13)bn+1+13=4(bn+13) буюу bn+13=4n−1(1+13)bn+13=4n−1(1+13) байна. Эндээс bn=4n−1(1+13)−13=4n−13bn=4n−1(1+13)−13=4n−13 буюу an=2+34n−1an=2+34n−1 болов."} +{"prompt":"a1=4, S5=40 байх арифметик прогрессийн d=q, a1=b1 нөхцөлийг хангах геометр прогрессийн 5-р гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: an арифметик прогрессийн хувьд\nSn=2a1+(n−1)d2⋅n\nbn геометр прогрессийн хувьд\nbn=b1⋅qn−1\nБодолт: S5=2⋅4+4d2⋅5=40⇒d=2, bn=4⋅2n−1 байна. Иймд b5=4⋅25−1=6"} +{"prompt":"a1=a2=1a1=a2=1, an+1=an+an−1an+1=an+an−1, (n≥3)(n≥3) дарааллыг Фибоначчийн дараалал гэдэг.","completion":"Заавар:\nБодолт: Дарааллын гишүүдийг цувуулан бичье.\n\n1,1,2,3,5,8,13,21,34,55=a101,1,2,3,5,8,13,21,34,55=a10\n болно.\n an+2=an+an+1=an+(an−1+an)=an+an−1+(an−2+an−1)=an+an−1+an−2+(an−3+an−2)=⋯=an+an−1+an−2+⋯+a2+a1+a2an+2=an+an+1=an+(an−1+an)=an+an−1+(an−2+an−1)=an+an−1+an−2+(an−3+an−2)=⋯=an+an−1+an−2+⋯+a2+a1+a2 болно. a2=1a2=1 гэдгийг тооцвол an+2−1=a1+a2+⋯+anan+2−1=a1+a2+⋯+an байна.\n a1+a2+⋯+a8=a10−1=54a1+a2+⋯+a8=a10−1=54 болно."} +{"prompt":"a2+3ab+2b22b2−ab−a2=?","completion":"Заавар: a=bk гэвэл a2+3ab+2b2=b2(k2+3k+2), 2b2−ab−a2=−b2(k2−k−2) болно. Квадрат 3 гишүүнтийг үржвэрт задлах томьёо ашиглан бод.\nБодолт: a=bk гэвэл \na2+3ab+2b2=b2(k2+3k+2)=b2(k+1)(k+2)\n2b2−ab−a2=−b2(k2+k−2)=−b2(k−1)(k+2)\nтул\na2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b), 2b2−ab−a2=−(a−b)(a+2b) болно. Иймд\na2+3ab+2b22b2−ab−a2=(a+b)(a+2b)−(a−b)(a+2b)=b+ab−a"} +{"prompt":"a2x+2ax+x=1a2x+2ax+x=1 тэгшитгэл шийдгүй байхаар aa параметрийн\nутгыг ол.","completion":"Заавар: ax=b тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a=0, b≠1 байна.\nБодолт: (a2+2a+1)x=1 тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a2+2a+1=0 тул a=−1 байна. Энэ тохиолдолд өгсөн тэгшитгэл маань 0⋅x=1 болох тул ямар ч бодит тоо шийд нь болохгүй."} +{"prompt":"a2x+9=6ax тэгшитгэлийн шийд нь x=1 бол a=?","completion":"Заавар: f(x)=0 тэгшитгэлийн шийд нь x0 бол f(x0)=0 нь үнэн тэнцэл байна.\nБодолт: x=1 тэгшитгэлийн шийд тул a2⋅1+9=6a⋅1⇒(a−3)2=0 болно. Зөвхөн 0-ийн квадрат л 0-тэй тэнцүү байх тул a−3=0⇒a=3."} +{"prompt":"a2x−4ax+4x=1 тэгшитгэл шийдгүй байх a параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Ax=B тэгшитгэл\n A=B=0 бол төгсгөлгүй олон шийдтэй.\n A≠0 бол x=BA гэсэн цор ганц шийдтэй.\n A=0 ба B≠0 бол шийдгүй байна.\nБодолт: a2x−4ax+4x=1⇔(a2−4a+4)x=1 тул a2−4a+4=0⇔a=2 үед шийдгүй байна."} +{"prompt":"a2−3ab+2b22b2+ab−a2=?","completion":"Заавар: a=bk гэвэл a2−3ab+2b2=b2(k2−3k+2), 2b2+ab−a2=−b2(k2−k−2) болно. Квадрат 3 гишүүнтийг үржвэрт задлах томьёо ашиглан бод.\nБодолт: a=bk гэвэл \na2−3ab+2b2=b2(k2−3k+2)=b2(k−1)(k−2)\n2b2+ab−a2=−b2(k2−k−2)=−b2(k+1)(k−2)\nтул\na2−3ab+2b2=(a−b)(a−2b), 2b2+ab−a2=−(a+b)(a−2b) болно. Иймд\na2−3ab+2b22b2+ab−a2=(a−b)(a−2b)−(a+b)(a−2b)=b−ab+a"} +{"prompt":"a2−ab−3a−6b2+9b үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: 5.2 Олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон (томьёо хэрэглэх, бүлэглэх, турших арга) задалдаг.\nБодолт: Хариунаас шалгавал\n(a−3b)(a+2b−3)=a2−ab−3a−6b2+9b\nбайна."} +{"prompt":"a3+(xy)3=?","completion":"Заавар: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)\nБодолт: a3+(xy)3=(a+xy)(a2−axy+b3)"} +{"prompt":"a3+b3a2−b2 бутархайг хураа.","completion":"Заавар: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)\na2−b2=(a−b)(a+b)\nБодолт: a3+b3a2−b2=(a+b)(a2−ab+b2)(a−b)(a+b)=a2−ab+b2a−b"} +{"prompt":"a3=b2 бол 3a−ba+b=?","completion":"Заавар: a=3k, c=2k гээд бод.\nБодолт: a3=b2=k гэвэл a=3k, b=2k байна. Иймд\n3a−ba+b=3⋅(3k)−2k3k+2k=7k5k=75"} +{"prompt":"a3=b4=c5 ба 5a+3b−4c=35 бол a-г ол.","completion":"Заавар: a3=b4=c5=k гэвэл a=3k, b=4k, c=5k болно. k хэдтэй тэнцүү вэ?\nБодолт: Заавар ёсоор a=3k, b=4k, c=5k байх k тоо олдоно. Иймд\n5a+3b−4c=15k+12k−20k=7k=35⇒k=5⇒a=15."} +{"prompt":"a3−b3=?","completion":"Заавар: Хураангуй үржүүлэхийн томьёо ашиглах эсвэл шууд гишүүнчлэн үржүүлээд бодож болно.\nБодолт: (a−b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3=a3−b3 \nБусдыг нь шалгаад тэнцэхгүй болохыг нь харуулаарай."} +{"prompt":"a3−b3a2−ab+b2⋅a3+b3a2−b2 илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: a2−b2=(a−b)(a+b), a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2) ашигла.\nБодолт: a3−b3a2−ab+b2⋅a3+b3a2−b2=(a−b)(a2+ab+b2)a2−ab+b2⋅(a+b)(a2−ab+b2)(a−b)(a+b)=(a−b)(a2+ab+b2)(a+b)(a2−ab+b2)(a2−ab+b2)(a−b)(a+b)=a2+ab+b2"} +{"prompt":"a3−b3a2−b2 бутархайг хураа.","completion":"Заавар: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\na2−b2=(a−b)(a+b)\nБодолт: a3−b3a2−b2=(a−b)(a2+ab+b2)(a−b)(a+b)=a2+ab+b2a+b"} +{"prompt":"a7=12 ба a12=27 байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль нь вэ?","completion":"Заавар: 9.1. Дарааллын (арифметик, геометр прогресс, бусад) ерөнхий гишүүний томьёог бичдэг, рекуррент томьёог таньдаг, шалгадаг.\nБодолт:"} +{"prompt":"a7=14 ба a12=29 байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?","completion":"Заавар: n≠k бол\n{an=a1+(n−1)dak=a1+(k−1)d⇒an−ak=(n−k)d⇒d=an−akn−k\nБодолт: d=a12−a712−7=29−1412−7=3"} +{"prompt":"a7=24, a12=54 байх арифметик прогрессийн ялгавар хэдтэй тэнцүү байх вэ?","completion":"Заавар: Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томьёо an=a1+(n−1)d. Тухайн тохиолдолд a7=a1+6d, a12=a1+11d байна.\nБодолт: a7=a1+6d, a12=a1+11d-ийн ялгавар нь a12−a7=11d−6d ба эндээс 54−24=5d⇒d=6 болно."} +{"prompt":"a8=17 ба a12=25 байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль нь вэ?","completion":"Заавар: d=an−akn−k ба an=ak+(n−k)d ашиглан бодож болно. Мөн хариунаас нь 12-р гишүүнийг нь ашиглан бодож болно.\nБодолт: d=a12−a812−8=25−174=2 тул\nan=a8+(n−8)⋅2=17+2n−16=2n+1"} +{"prompt":"a8=17 ба a12=25 байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?","completion":"Заавар: n≠k бол\n{an=a1+(n−1)dak=a1+(k−1)d⇒an−ak=(n−k)d⇒d=an−akn−k\nБодолт: d=a12−a812−8=25−1712−8=2"} +{"prompt":"a=(0.2)3, b=(0.2)13, c=(0.2)2, d=(0.2)0.3 тоонуудыг багаас нь их рүү эрэмбэл.","completion":"Заавар: y=ax функц нь 00 ба {4x+ay=1ax+9y=2 систем тэгшитгэл шийдгүй бол a хэдтэй тэнцүү байх вэ?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a1a1=b1b2≠c1c2 байдаг.\nБодолт: Шийдгүй байхын тулд \n4a=a9≠12⇒a=±6\na>0 болохыг тооцвол a=6."} +{"prompt":"a>0 тоог a=x+y+z гурван нэмэгдэхүүнд задалжээ. Эдгээр нэмэгдэхүүний эхний хоёр нь 1:2 харьцаатай бол x⋅y⋅z үржвэр нь x=ab⋅a, y=cd⋅a, z=ef⋅a үед хамгийн их утгатай байна.","completion":"Заавар: y=2x байна.\n��одолт: y=2x тул z=a−3x бaйна. Иймд x⋅y⋅z=2x2(a−3x)=f(x) болно. x-ээр уламжлал авбал\nf′(x)=(3ax2−12x3)′=6ax−36x2\nба\nf′(x)=0⇒x=0∨x=a6\na>0 тул 00 тоог a=x+y+z гурван нэмэгдэхүүнд задалжээ. Эдгээр нэмэгдэхүүний эхний хоёр нь 1:3 харьцаатай бол x⋅y⋅z үржвэр нь x=ab⋅a, y=ac, z=ad үед хамгийн их утгатай байна.","completion":"Заавар: y=3x байна.\nБодолт: y=3x тул z=a−4x бaйна. Иймд x⋅y⋅z=3x2(a−4x)=f(x) болно. x-ээр уламжлал авбал\nf′(x)=(3ax2−12x3)′=6ax−36x2\nба\nf′(x)=0⇒x=0∨x=a6\na>0 тул 00 бол\n(a21b1+⋯+a2nbn)≥(a1+⋯+an)2(b1+⋯+bn)\nтэнцэтгэл бишийг батал.","completion":"Заавар: (a21+⋯+a2n)(b21+⋯+b2n)≥(a1b1+⋯+anbn)2\nКоши-Буняковскийн тэнцэтгэл биш ашигла.\nБодолт: ai√bi, √bi тоонуудын хувьд Коши-Буняковскийн тэнцэтгэл биш бичвэл\n((a1√b1)2+⋯+(an√bn)2)((√b1)2+⋯+(√bn)2)≥(a1+⋯+an)2⇔\n(a21b1+⋯+a2nbn)≥(a1+⋯+an)2(b1+⋯+bn)\nбайна."} +{"prompt":"an+1=2an+1,n≥1an+1=2an+1,n≥1 рекурpент харьцаагаар {an}{an} дараалал өгөгдсөн бол ерөнхий гишүүн нь an=an−1⋅(a1+b)−can=an−1⋅(a1+b)−c болно.","completion":"Заавар: bn=an+βbn=an+β ба bn+1=2bnbn+1=2bn гэвэл β=?β=?, bnbn дарааллын ерөнхий гишүүний томьёог ол.\nБодолт: bn=an+βbn=an+β ба bn+1=2bnbn+1=2bn гэвэл an=bn−βan=bn−β тул \nan+1=bn+1−β=2an+1=2(bn−β)+1⇒β=1an+1=bn+1−β=2an+1=2(bn−β)+1⇒β=1\nтул bn=an+1bn=an+1 байна.\n\nbnbn нь 2 ноогдвортой геометр прогресс тул bn=b1⋅2n−1bn=b1⋅2n−1 байна.\nЭндээс an+1=(a1+1)⋅2n−1an+1=(a1+1)⋅2n−1 болох тул\nan=2n−1⋅(a1+1)−1an=2n−1⋅(a1+1)−1\nбайна."} +{"prompt":"an+1=2an−1,n≥1an+1=2an−1,n≥1 рекуpрент харьцаагаар {an}{an} дараалал өгөгдсөн бол ерөнхий гишүүн нь an=an−1⋅(a1−b)+can=an−1⋅(a1−b)+c болно.","completion":"Заавар: Ямар тогтмол γγ тооны хувьд bn=an+γbn=an+γ гэж тодорхойлогдох дараалал bn+1=2bnbn+1=2bn рекуррент харьцааг хангах вэ?\nБодолт: an=bn−γan=bn−γ тул\nbn+1−γ=2(bn−γ)−1⇒bn+1=2bn−γ−1bn+1−γ=2(bn−γ)−1⇒bn+1=2bn−γ−1\nбайна. bn+1=2bnbn+1=2bn гэвэл γ=−1γ=−1. \nb1=a1+γ=a1−1, bn=2n−1⋅b1=2n−1(a1−1)b1=a1+γ=a1−1, bn=2n−1⋅b1=2n−1(a1−1)\nтул\nan=bn+1=2n−1(a1−1)+1an=bn+1=2n−1(a1−1)+1"} +{"prompt":"an+1=an−3 дарааллын a1=100 бол a21=?","completion":"Заавар: Арифметик прогрессийн хувьд an=a1+(n−1)d байдаг.\nБодолт: d=−3 тул \na21=100+(21−1)⋅(−3)=100−60=41\nбайна."} +{"prompt":"an=2an−1+3an=2an−1+3, a1=1a1=1 дараалал өгөгдөв. bn=an−abbn=an−ab дараалал геометр прогресс болох бөгөөд хуваарь нь cc байна. b1=db1=d тул bn=e⋅fn−1bn=e⋅fn−1. Иймд an=gn+1−han=gn+1−h байна.","completion":"Заавар: cc нь ямар нэг тогтмол тоо ба bn=an−cbn=an−c нь qq хуваарьтай геометр прогресс бол an−c=(an−1−c)qan−c=(an−1−c)q дурын n≥2n≥2-ийн хувьд биелэнэ.\nБодолт: an−c=(an−1−c)qan−c=(an−1−c)q ба an=2an−1+3an=2an−1+3-аас\n2an−1+3−c=qan−1−cq2an−1+3−c=qan−1−cq\nтул q=2q=2, 3−c=−2c⇒c=−33−c=−2c⇒c=−3 байна. Мөн b1=a1+3=4b1=a1+3=4 тул bn=4⋅2n−1bn=4⋅2n−1 байна. Эндээс an=2n+1−3an=2n+1−3 байна."} +{"prompt":"an=2n−1(n−1)!an=2n−1(n−1)! дарааллын хувьд an+1anan+1an харьцааг ол.","completion":"Заавар: an+1=2n+1−1(n+1−1)!=2nn!an+1=2n+1−1(n+1−1)!=2nn! байна.\nБодолт: an+1an=2nn!2n−1(n−1)!=2nn!⋅(n−1)!2n−1=2nan+1an=2nn!2n−1(n−1)!=2nn!⋅(n−1)!2n−1=2n"} +{"prompt":"an=3n−1(n−1)!an=3n−1(n−1)! дарааллын хувьд an+1anan+1an харьцааг ол.","completion":"Заавар: an+1=3n+1−1(n+1−1)!=3nn!an+1=3n+1−1(n+1−1)!=3nn! байна.\nБодолт: an+1an=3nn!3n−1(n−1)!=3nn!⋅(n−1)!3n−1=3nan+1an=3nn!3n−1(n−1)!=3nn!⋅(n−1)!3n−1=3n"} +{"prompt":"an=4⋅413⋅4132⋯413nan=4⋅413⋅4132⋯413n бол limn→∞anlimn→∞an хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: Зэргийн чанар ашиглаад төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр бодож ерөнхий гишүүний томьёог ол.\n\ny=axy=ax нь тасралтгүй функц тул\nlimn→∞af(n)=alimn→∞f(n)limn→∞af(n)=alimn→∞f(n)\nбайна.\nБодолт: limn→∞an=limn→∞41+13+132+⋯+13n=4limn→∞(1+13+⋯+13n)=411−13=432=8. □limn→∞an=limn→∞41+13+132+⋯+13n=4limn→∞(1+13+⋯+13n)=411−13=432=8. ◻"} +{"prompt":"an=n2−6n+10an=n2−6n+10 ерөнхий гишүүнтэй дарааллын хамгийн бага гишүүн ямар утгатай вэ?","completion":"Заавар: Бүтэн квадрат ялгах арга ашигла.\nБодолт: an=n2−6n+10=(n−3)2+1≥1an=n2−6n+10=(n−3)2+1≥1\nтул n=3n=3 үед a3=1a3=1 нь хамгийн бага гишүүн болно."} +{"prompt":"an=n∑i=1(2i−1)an=∑i=1n(2i−1) бол 5∑k=1an∑k=15an хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: n∑i=mai=am+am+1+⋯+an∑i=mnai=am+am+1+⋯+an байдаг.\n\n(2i−1)(2i−1) тоонууд нь 1,3,5,7,9,…1,3,5,7,9,… гэсэн сондгой тоонуудын дараалал үүсгэнэ.\nБодолт: a1=1a1=1, a2=1+3=4a2=1+3=4, a3=1+3+5=9a3=1+3+5=9, a4=1+3+5+7=16a4=1+3+5+7=16, a5=1+3+5+7+9=25a5=1+3+5+7+9=25 байна.\n5∑k=1an=a1+a2+a3+a4+a5=1+4+9+16+25=55∑k=15an=a1+a2+a3+a4+a5=1+4+9+16+25=55"} +{"prompt":"an=n∑k=11(k+1)!an=∑k=1n1(k+1)! дарааллын 3-р гишүүн нь аль нь вэ?","completion":"Заавар: an=n∑k=11(k+1)!=12!+13!+⋯+1(n+1)!an=∑k=1n1(k+1)!=12!+13!+⋯+1(n+1)!\nБодолт: a3=12!+13!+14!=12+16+124=12+4+124=1724a3=12!+13!+14!=12+16+124=12+4+124=1724"} +{"prompt":"an=−34nan=−34n ерөнхий гишүүнтэй дарааллаар үүсэх цувааны нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: a1=−34a1=−34 эхний гишүүнтэй, q=14q=14 ноогдвортой төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг ол.\nБодолт: S=−341−14=−1S=−341−14=−1"} +{"prompt":"an=−3n2+50n+2an=−3n2+50n+2 томьёогоор өгсөн дарааллын хамгийн их гишүүний дугаарыг ол.","completion":"Заавар: f(x)=−3x2+50x+2f(x)=−3x2+50x+2 параболын оройтой аль нь хамгийн ойрхон бэ?\n\nЭсвэл хариунд өгөгдсөн 5 утга дээр дарааллын гишүүдийг олж хариу ашиглан бодож болно.\nБодолт: Параболын оройн цэг нь −502⋅(−3)=506=813−502⋅(−3)=506=813 байна. Өгөгдсөн тоонуудаас 8 нь энэ тоотой хамгийн ойр байгаа тул 8-р гишүүн нь хамгийн их байна."} +{"prompt":"anan дарааллалын эхний nn гишүүний нийлбэр нь Sn=2n+2n−1Sn=2n+2n−1 байв.\na1+a3+⋯+a2k−1a1+a3+⋯+a2k−1 нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: S0=20+2⋅0−1=0S0=20+2⋅0−1=0 тул an=Sn−Sn−1an=Sn−Sn−1, n=1,2,…n=1,2,… гэж үзэж болно.\nБодолт: an=Sn−Sn−1=2n+2n−1−2n−1−2(n−1)−1=2n−1+2an=Sn−Sn−1=2n+2n−1−2n−1−2(n−1)−1=2n−1+2 байна. Иймд\na1+a3+⋯+a2k−1=20+2+22+2+⋯+22k−2+2k=a1+a3+⋯+a2k−1=20+2+22+2+⋯+22k−2+2⏟k=\n=1+4+⋯+4k−1+2k=4k−13+2k=1+4+⋯+4k−1+2k=4k−13+2k болно.\n\nЖич: Ерөнхий гишүүний томьёог олсны дараа a1a1, a1+a3a1+a3 гэх мэтчилэн эхний хэдэн нийлбэрийг олоод хариутай тулган зөв хариуг олж болно."} +{"prompt":"anan дарааллын эхний nn гишүүний нийлбэр Sn=3nSn=3n бол a2012a2012 аль нь вэ?","completion":"Заавар: an=(a1+⋯+an)−(a1+⋯+an−1)=Sn−Sn−1an=(a1+⋯+an)−(a1+⋯+an−1)=Sn−Sn−1\nболохыг ашиглаж бод.\nБодолт: an=Sn−Sn−1an=Sn−Sn−1 байх тул a2012=32012−32011=2⋅32011a2012=32012−32011=2⋅32011 байна."} +{"prompt":"anan-геометр прогрессын ногдвор qq эхний гишүүн aa байг.","completion":"Заавар:\nБодолт: q12=a13a1=9q12=a13a1=9 тул q=±6√3q=±36 болно. a7=a⋅q6=15a7=a⋅q6=15 байна.\n q6=a8a2=164q6=a8a2=164 тул q=±12.q=±12. Нөгөө талаас a2=a⋅q=8a2=a⋅q=8 тул a=±16a=±16 байна. Хэрэв a=16a=16 бол q=12q=12 байх тул\n\nS6=a⋅q6−1q−1=16⋅164−112−1=32S6=a⋅q6−1q−1=16⋅164−112−1=32\n\nХэрэв a=−16a=−16 бол q=−12q=−12 байх тул\n\nS6=a⋅q6−1q−1=−16⋅164−1−12−1=−212S6=a⋅q6−1q−1=−16⋅164−1−12−1=−212\n\n S3=a(1+q+q2)=70(1),a1⋅a2⋅a3=a3⋅q3=8000(2)S3=a(1+q+q2)=70(1),a1⋅a2⋅a3=a3⋅q3=8000(2) юм. (2)(2)-оос a⋅q=20a⋅q=20 болно. Үүнийг (1)(1)-д орлуубал 20q+20+20q=7020q+20+20q=70 ба q>0q>0 тул q=2q=2 гэж гарна. Иймд a=10a=10, an=10⋅2n−1=5⋅2nan=10⋅2n−1=5⋅2n байна.\n \n a(1+q+q2)=21(1)a(1+q+q2)=21(1), 1aq2+1aq+1a=1aq2(1+q+q2)=712(2)1aq2+1aq+1a=1aq2(1+q+q2)=712(2) гэе. (1)(1)-ийг (2)(2)-т хуваавал a2q2=36a2q2=36 ба a,q>0a,q>0 тул aq=6aq=6 болно. Үүнийг (1)(1)-д орлуулбал 6q+6+6q=216q+6+6q=21 буюу q=2,q=12q=2,q=12 гэж гарна. \n\nq=2q=2 үед a=3,an=3⋅2n−1,Sn=3⋅(2n−1)a=3,an=3⋅2n−1,Sn=3⋅(2n−1) болно. \n\nq=12q=12 үед a=12,an=242n,Sn=24−242na=12,an=242n,Sn=24−242n болно."} +{"prompt":"arccos(cos230∘)-ыг градусаар илэрхийл.","completion":"Заавар: arccosa=α⇔cosα=a ба α∈[0;π]\nБодолт: a=cos230∘ гэвэл\narccosa=α⇔cosα=a ба α∈[0;π]\nтул cosα=cos230∘ байх α∈[0,π] өнцгийг градусаар илэрхийлэх бодлого болно. cos(−α)=cosα тул cosα=cos(360∘+α)=cos(360∘−α).\nИймд cos230∘=cos(360∘−230∘)=cos130∘\n130∘-д харгалзах радиан өнцөг нь [0;π] мужид байх тул бидний хайж буй өнцөг болно."} +{"prompt":"arctg13+arctg12=?","completion":"Заавар: tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ\nболохыг ашигла.\nБодолт: α=arctg13, β=arctg12 гэвэл\ntg(α+β)=13+121−13⋅12=1\nтул α+β=π4 байна."} +{"prompt":"ax2+(a+4)x+a+1=0ax2+(a+4)x+a+1=0 тэгшитгэлийн яг 1 шийд сөрөг байх aa параметрийн бүх утгийг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теоремоор a≠0,ax2+bx+c=0a≠0,ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл яг 1 сөрөг шийдтэй бол c≠0c≠0 үед D>0,ca<0D>0,ca<0 , c=0c=0 үед D>0,ba>0D>0,ba>0 байна.\nБодолт: a≠0a≠0 үед ax2+(a+4)x+a+1=0ax2+(a+4)x+a+1=0 тэгшитгэлийн шийд x2+a+4ax+a+1a=0x2+a+4ax+a+1a=0 тэгшитгэлийн шийдүүдтэй адилхан. Хэрэв x2+a+4ax+a+1a=0x2+a+4ax+a+1a=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x1,x2x1,x2 бол Виетийн теоремоор \nD=(a+4a)2−4⋅a+1a>0x1⋅x2=a+1a<0D=(a+4a)2−4⋅a+1a>0x1⋅x2=a+1a<0\nбайх ёстой. \n⎧⎪\n⎪⎨⎪\n⎪⎩(a+4a)2−4⋅a+1a>0a+1a<0⇒⎧⎪⎨⎪⎩−3a2+4a+16a2>0a(a+1)<0⇒{(a+4a)2−4⋅a+1a>0a+1a<0⇒{−3a2+4a+16a2>0a(a+1)<0⇒\n⎧⎪⎨⎪⎩2−2√1330xB<0 буюу\n{4(1−b)2−2(3−b)(|2b−5|−|2b+7|)>0−4(1−b)2⋅2(3−b)<0(∗)Эхний тэгшитгэл нь дараах гурван системийн нэгдэлтэй адил: a) {b<−724(1−b)2−2(3−b)⋅12>0\n\\quad\nб) {b∈[−72;52)4(1−b)2−2(3−b)⋅12>0в) {b≥524(1−b)2−2(3−b)⋅12>0а) тэнцэтгэл бишийн системийн 2 дахь тэнцэтгэл бишийг бодвол: 4b2+16b−68>0 буюу 4(b2+4b−17)>0: b∈(−∞;−2−√21)∪(−2+√21;+∞). Эндээс b∈(−∞;−2−√21) болно.б) тэнцэтгэл бишийн системийн 2 дахь тэнцэтгэл бишийг бодвол: −4b2+12b+16>0 буюу 4(b2−3b−4)<0 b∈(−1;−4) тулб) {b∈(−72;52]b∈(−1;4) буюу b∈(−1;5\/2) болно. в) тэнцэтгэл бишийн системийн 2 дахь тэ��цэтгэл бишийг бодвол: 4b2+32b+76>0 буюу b нь дурын бодит тоо юм. Иймд хариу нь: b≥52 байна. (∗) тэнцэтгэл бишийн системийн хоёр дахь тэнцэтгэл биш нь: b−1b−3>0 тул b∈(−∞;1)∪(3;+∞) болно. (∗) системээс \n\nb∈{(−∞;−2−√21)∪(−1;52)∪[52;+∞)}∩{(−∞;1)∪(3;+∞)}\n \nэндээс b∈(−∞;−2−√21)∪(−1;1)∪(3;+∞) болно."} +{"prompt":"b1, b2, b3, b4 тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ба харгалзан 6, 11, 12, 1-ийг нэмбэл арифметик прогресс үүснэ. b1+b2+b3+b4 нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Арифметик прогрессийн гишүүд нь a1, a2, a3, a4 \nгэвэл b1=a1−6, b2=a2−11, b3=a3−12, b4=a4−1 нь геометр прогресс тул\nq=a2−11a1−6=a3−12a2−11=a4−1a3−12 \nэнд пропорцийн чанар ашиглавал\nq=a4−a3+11a3−a2−1=a3−a2−1a2−a1−5\nбуюу q=d+11d−1=d−1d−5.\nБодолт: d+11d−1=d−1d−5⇔(d−5)(d+11)=(d−1)2⇔6d−55=−2d+1\nтул d=7 байна. Иймд q=7+117−1=3 болно. Иймд b2=3b1, b3=9b1 ба b1+6, b2+11, b3+12 тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан 3 гишүүн тул\n2(b2+11)=b1+6+b3+12⇔2(3b1+11)=b1+9b1+18\nбуюу b1=1 байна. Иймд b2=3, b3=9, b4=27 тул\nb1+b2+b3+b4=1+3+9+27=40\nболов.\n\nТайлбар: Арифметик, геометр прогрессийн ийм холимог бодлого нь тооцоо ихтэй харьцангуй хүнд бодлого тул сүүлийн жилүүдэд шалгалтын сэдэвт ирээгүй."} +{"prompt":"b1, b2, b3, b4 тоонууд геометр прогрессын дараалсан гишүүд ба харгалзан 6, 7, 6, 1-ийг нэмбэл арифметик прогресс үүснэ. b1+b2+b3+b4 нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Арифметик прогрессийн гишүүд нь a1, a2, a3, a4 \nгэвэл b1=a1−6, b2=a2−7, b3=a3−6, b4=a4−1 нь геометр прогресс тул\nq=a2−7a1−6=a3−6a2−7=a4−1a3−6 \nэнд пропорцийн чанар ашиглавал\nq=a4−a3+5a3−a2+1=a3−a2+1a2−a1−1\nбуюу q=d+5d+1=d+1d−1.\nБодолт: d+5d+1=d+1d−1⇔(d+5)(d−1)=(d+1)2⇔4d−5=2d+1\nтул d=3 байна. Иймд q=3+53+1=2 болно. Иймд b2=2b1, b3=4b1 ба b1+6, b2+7, b3+6 тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан 3 гишүүн тул\n2(b2+7)=b1+6+b3+6⇔2(2b1+7)=b1+4b1+12\nбуюу b1=2 байна. Иймд b2=4, b3=8, b4=16 тул\nb1+b2+b3+b4=2+4+8+16=30\nболов."} +{"prompt":"b2−9b−3 бутархайг хураа.","completion":"Заавар: b2−9=b2−32=(b−3)(b+3)\nБодолт: b2−9b−3=b2−32b−3=(b−3)(b+3)b−3=b+3"} +{"prompt":"b2−ab+2b−20a2+8a үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: 5.2 Олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон (томьёо хэрэглэх, бүлэглэх, турших арга) задалдаг.\nБодолт: Хариунаас шалгавал\n(b+4a)(b−5a+2)=b2−ab+2b−20a2+8a\nбайна."} +{"prompt":"b5=256243b5=256243, b8=163846561b8=163846561 байх геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?","completion":"Заавар: Дурын {bn}{bn} геометр прогрессийн хувьд\nqn−m=bnbmqn−m=bnbm\nбайна.\nБодолт: q3=q8−5=b8b5=163846561256243=47384435=4333q3=q8−5=b8b5=163846561256243=47384435=4333\nтул q=43q=43 байна. Иймд\nbn=b5⋅qn−5=4435⋅(43)n−5=13(43)n−1bn=b5⋅qn−5=4435⋅(43)n−5=13(43)n−1"} +{"prompt":"bn=5n−1(n−1)!bn=5n−1(n−1)! дарааллын хувьд bnbn+1bnbn+1 харьцааг ол.","completion":"Заавар: bn+1=5n+1−1(n+1−1)!=5nn!bn+1=5n+1−1(n+1−1)!=5nn! байна.\nБодолт: bnbn+1=5n−1(n−1)!5nn!=5n−1(n−1)!⋅n!5n=n5bnbn+1=5n−1(n−1)!5nn!=5n−1(n−1)!⋅n!5n=n5"} +{"prompt":"bnbn геометр прогрессийн бүх гишүүд нь эерэг тоо ба S9=511S9=511. Хэрвээ b1=256b1=256 бол b8b8-ийг ол.","completion":"Заавар: 1+2+⋯+2n=2n−1−11+2+⋯+2n=2n−1−1 болохыг ашигла.\nБодолт: 256256, 128128, 6464, 3232, 1616, 88, 44, 22, 11 нь бодлогын нөхцөлийг хангах геометр прогресс байна."} +{"prompt":"b−4b−6−b3⋅(10b2−2b−24−4b2+4b) илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: x2+px+q олон гишүүнтийн язгуурууд α1, α2 бол\nx2+px+q=(x−α1)(x−α2)\nбайдаг.\n\nb2−2b−24=0⇒b1,2=1±√12+24⇒b1=−4,b2=6 тул\nb2−2b−24=(b−(−4))(b−6)=(b+4)(b−6) байна.\nБодолт: 10b2���2b−24−4b2+4b=10(b+4)(b−6)−4b(b+4)=\n=10b−4(b−6)b(b+4)(b−6)=6(b+4)b(b+4)(b−6)=6b(b−6)\nба\nb3⋅6b(b−6)=2b−6\nтул\nb−4b−6−b3⋅(10b2−2b−24−4b2+4b)=b−4b−6−2b−6=1\nбайна."} +{"prompt":"b−5b−3+b+7b+1+2b−3=4 бол b=?","completion":"Заавар: Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайнуудаа нэм.\nБодолт: b−5b−3+2b−3=b−5+2b−3=1 байна. Иймд\nb−5b−3+b+7b+1+2b−3=4⇔b+7b+1=3\nбуюу b+7=3b+3⇒2b=4⇒b=2 байна."} +{"prompt":"c(√c−2)(√c+2)−(2−c)2 илэрхийлэл хялбарчил","completion":"Заавар:\nБодолт: c(√c−2)(√c+2)−(2−c)2=c(c−4)−(2−c)2=c2−4c−(22−4c+c2)=c2−4c−4+4c−c2=−4"} +{"prompt":"c2−25c+5 бутархайг хураа.","completion":"Заавар: c2−25=c2−52=(c−5)(c+5)\nБодолт: c2−25c+5=c2−52c+5=(c−5)(c+5)c+5=c−5"} +{"prompt":"cn=7n−1(n−1)!cn=7n−1(n−1)! дарааллын хувьд cncn+1cncn+1 харьцааг ол.","completion":"Заавар: cn+1=7n+1−1(n+1−1)!=7nn!cn+1=7n+1−1(n+1−1)!=7nn! байна.\nБодолт: cncn+1=7n−1(n−1)!7nn!=7n−1(n−1)!⋅n!7n=n7cncn+1=7n−1(n−1)!7nn!=7n−1(n−1)!⋅n!7n=n7"} +{"prompt":"cos(arcsin√32)=?","completion":"Заавар: sinα=√32 ба −π2≤α≤π2 бол α нь ямар өнцөг байх вэ?\n\narcsinx функц нь sinx функцийн D:[−π2;π2] муж дахь урвуу функц юм. Өөрөөр хэлбэл\nx∈D бол sinx=α⇔arcsinα=x\nбайна.\nБодолт: sinπ3=√32 ба −π2≤π3≤π2 тул arcsin√32=π3 байна. Иймд\ncos(arcsin√32)=cosπ3=12"} +{"prompt":"cos(x−π3)=√32 тэгшитгэлийн шийд болох тоо аль нь вэ?","completion":"Заавар: Хувьсагчийн утгад орлуулж үнэн тэнцэл үүсэх эсэхийг шалга.\nБодолт: cos(π6−π3)=cos(−π6)=√32 тул x=π6 нь шийд болно."} +{"prompt":"cos(π4−arcsin(12)) илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: arcsinx нь синус нь x тоотой тэнцүү байдаг [−π2;π2] завсрын өнцгийн радиан хэмжээ юм. Мэдээж энэ тохиолдолд |x|≤1 байна.\n\ncos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ\n\nбайдаг.\nБодолт: sinπ6=12 тул arcsin12=π6 байна.\ncos(π4−arcsin(12))=cos(π4−π6)=cosπ4⋅cosπ6+sinπ4⋅sinπ6=√22⋅√32+√22⋅12=√6+√24"} +{"prompt":"cos2(90∘+x)+3cos2(180∘+x)=2 тэгшитгэлийн 90∘≤x≤180∘ завсарт байх бүх шийдийг ол.","completion":"Заавар: cos(90∘+α)=sinα, cos(180∘+α)=−cosα болон үндсэн адилтгал ашигла.\nБодолт: cos2(90∘+x)+3cos2(180∘+x)=2⇔(sinx)2+3(−cosx)2=2\n⇔sin2x+3cos2x=2⇔(1−cos2x)+3cos2x=2⇔cos2x=12\nболно. Энэ тэгшитгэлийг cosx=±√22 гээд үргэлжлүүлэн бодож болох боловч\ncos2α=1+cos2α2 зэрэг бууруулах томьёо ашиглан бодох нь илүү тохиромжтой байдаг.\ncos2x=12⇔1+cos2x2=12⇔cos2x=0\nЭндээс 2x=90∘+180∘⋅k⇔x=45∘+90∘⋅k болно. Иймд 90∘≤x≤180∘ байх шийд нь k=1 үед x=135∘ байна."} +{"prompt":"cos24x+sin22x=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: 1−cos24x=sin24x=4sin22xcos22x\nБодолт: cos24x+sin22x=1⇔sin22x=4sin22xcos22x\nтул sin2x=0 эсвэл cos22x=14 байна. Эхний тэгшитгэлээс x=πk2 шийд гарна. cos2x=1+cos4x2 тул сүүлийн тэгшитгэл нь\n1+cos4x2=14⇔cos4x=−12⇔\n4x=±2π3+2πk⇔x=±π6+πk2\nболно. Шийдүүдийг нэгтгээд эмхэтгэвэл x=πk6 болно."} +{"prompt":"cos2x+3cosx−1=0cos⁡2x+3cos⁡x−1=0 тэгшитгэлийн [0;2π][0;2π] завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: cos2x=2cos2x−1cos⁡2x=2cos2⁡x−1 байна. c=cosxc=cos⁡x, |c|≤1|c|≤1 орлуулга хий.\nБодолт: cos2x+3cosx−1=0⇔2cos2x+3cosx−2=0cos⁡2x+3cos⁡x−1=0⇔2cos2⁡x+3cos⁡x−2=0\nc=cosxc=cos⁡x гэвэл 2c2+3c−2=02c2+3c−2=0 тул c1,2=−3±√32−4⋅2⋅(−2)2⋅2=−3±52c1,2=−3±32−4⋅2⋅(−2)2⋅2=−3±52\nc1=12c1=12, c2=−4c2=−4 ба |c|≤1|c|≤1 тул c=12c=12. Орлуулгаа буцаавал cosx=12⇒x=±arccos12+2πk=±π3+2πkcos⁡x=12⇒x=±arccos⁡12+2πk=±π3+2πk\nболно. Эндээс 0≤x≤2π0≤x≤2π тул x1=π3x1=π3, x2=−π3+2πx2=−π3+2π болно. Иймд x1+x2=2πx1+x2=2π байна."} +{"prompt":"cos2x+3sin2x−6sinx+4=0cos⁡2x+3sin2⁡x−6sin⁡x+4=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: cos2x=1−2sin2xcos⁡2x=1−2sin2⁡x ашиглан синусын хувьд квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бод.\nБодолт: cos2x+3sin2x−6sinx+4=0⇔sin2x−6sinx+5=0cos⁡2x+3sin2⁡x−6sin⁡x+4=0⇔sin2⁡x−6sin⁡x+5=0 байна. Эндээс sinx=1∨sinx=5sin⁡x=1∨sin⁡x=5 болох ба синусийн утга 5 байж болохгүй тул sinx=1sin⁡x=1 байна. Иймд x=π2+2πnx=π2+2πn болно.\n\nТайлбар: ∨∨ тэмдэглэгээ нь  эсвэл гэсэн үгийн товчлол юм."} +{"prompt":"cos2x+cosx=0 тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийдийг ол.","completion":"Заавар: Энэ бодлогын хувьд хариунуудыг багаас нь эхлэн шалгах замаар бодвол хамгийн хялбар байна. Үүний тулд тригонометрийн утгуудыг мэдэж байх шаардлагатай. Ердийн аргаар бодох бол cosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2 томьёог ашиглан үржигдэхүүнд задална.\nБодолт: cos2x+cosx=2cos3x2⋅cosx2=0 болно. cosα=0⇔α=π2+2πk тул 3x2=π2+2πk∨x2=π2+2πk болно. Иймд хамгийн бага эерэг шийд нь x=π3 байна."} +{"prompt":"cos2x=12sin2x тэгшитгэлийн 0∘≤x≤90∘ завсарт байх бүх шийдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: sin2x=2sinxcosx ашиглан үржигдэхүүнд задалж бод.\nБодолт: cos2x=12sin2x⇔sinxcosx⇔cosx(cosx−sinx)=0\nтул cosx=0 эсвэл cosx−sinx=0⇔tgx=1 байна. Эхний тэгшитгэлээс 90∘, хоёр дахь тэгшитгэлээс 45∘ гарах тул нийлбэр нь 90∘+45∘=135∘ байна."} +{"prompt":"cos2x=√32sin2x тэгшитгэлийн 0∘≤x≤90∘ завсарт байх бүх шийдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: sin2x=2sinxcosx ашиглан үржигдэхүүнд задалж бод.\nБодолт: cos2x=12sin2x⇔sinxcosx⇔cosx(cosx−√3sinx)=0\nтул cosx=0 эсвэл cosx−√3sinx=0⇔tgx=1√3 байна. Эхний тэгшитгэлээс 90∘, хоёр дахь тэгшитгэлээс 30∘ гарах тул нийлбэр нь 90∘+30∘=120∘ байна."} +{"prompt":"cos2x>34  тэнцэтгэл бишийн 0≤x≤2π байх шийдийг ол.","completion":"Заавар: cos2x=1+cos2x2 томьёог ашиглан зэрэг бууруулан хялбар тригонометр тэнцэтгэл бишид шилжүүл.\nБодолт: cos2x>34⇔1+cos2x2>34⇔cos2x>12\nИймд\n−π3+2πk<2x<π3+2πk\nбуюу\n−π6+πk34  тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль вэ?","completion":"Заавар: cos2x=1+cos2x2 томьёог ашиглан зэрэг бууруулан хялбар тригонометр тэнцэтгэл бишид шилжүүл.\nБодолт: cos2x>34⇔1+cos2x2>34⇔cos2x>12\nИймд\n−π3+2πk<2x<π3+2πk\nбуюу\n−π6+πk01+2sinx<0⇔π20⇔3π2g(1)=2⋅12−1−1=0 тул maxf=maxg=2 байна. Харин хамгийн бага утга нь \ng(14)=2⋅(14)2−14−1=−98\nбайна.\n\n2c2−c−1=0⇒c=1∨c=−12 тул\nf(x)=0⇔[cos2x=1cos2x=−12⇔2x=2πk,  2x=±2π3+2πk\nтул x=πk, x=±π3+πk шийдтэй."} +{"prompt":"f(x)=2cos3x−6sin2xcosx+3 функцийг хялбарчилбал f(x)=2cos(ax)+3 болох тул f(π9)=b, f(x)-ийн үндсэн үе T0=cπd, f(x)=4 тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд нь x=πe байна.","completion":"Заавар: cos3α=cos3α−3sin2α⋅cosα томьёог хэрэглэ. y=cos(ax) функцийн үндсэн үе нь 2πa байдаг.\nБодолт: f(x)=2(cos3x+3sin2xcosx)+3=2cos3x+3\nИймд үндсэн үе нь T0=2π3 байна. \nf(x)=2cos3x+3=4⇒cos3x=12\nтул\n3x=±arccos12+2πk⇔\nx=13(±π3+2πk)=±π9+2πk3\nэдгээрээс хамгийн бага эерэг нь k=0 үед π9 байна."} +{"prompt":"f(x)=2x+1x функцийн график координатын хавтгайн аль аль мөчид зурагдаж вэ?","completion":"Заавар: f(x)=2x+1x=1x+2 тул f(x) функцийн график нь y=1x гиперболыг y тэнхлэгийн дагуу 2 нэгжээр параллел зөөхөд гарна.\nБодолт: \nзургаас харахад f(x) функцийн график I, II, III мужид зурагдсан байна."} +{"prompt":"f(x)=2x+3, g(x)=1−x бол f(g(1))=?","completion":"Заавар: Эхлээд g(1) утгыг ол.\nБодолт: g(1)=1��1=0 тул f(g(1))=f(0)=2⋅0+3=3 байна."} +{"prompt":"f(x)=2x2+2x+1 бол limx→1f(x)−f(1)x−1 хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: f(x) функцийн x=x0 цэг дээр уламжлал нь\nf′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0\nгэж тодорхойлогддог.\nБодолт: limx→1f(x)−f(1)x−1 нь f(x) функцийн x=1 цэг дээрх уламжлал ба f′(x)=2⋅2x+2=4x+2 тул f′(1)=limx→1f(x)−f(1)x−1=4⋅1+2=6\nбайна."} +{"prompt":"f(x)=2x2+4f(x)=2x2+4, g(x)=x−3g(x)=x−3 бол f(x)=f(g(x))f(x)=f(g(x)) илэрхийллийг ямар тоо хангах вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: f(g(x))=2(g(x))2+4=2(x−3)2+4f(g(x))=2(g(x))2+4=2(x−3)2+4 байна. Иймд 2x2+4=2(x−3)2+4⇒12x−18=0⇒x=1812=32.2x2+4=2(x−3)2+4⇒12x−18=0⇒x=1812=32."} +{"prompt":"f(x)=2x2−2x+3f(x)=2x2−2x+3 бол limx→1f(x)−f(1)x−1limx→1f(x)−f(1)x−1 хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 тодорхойлолт ашиглан бод. f′(x)=4x−2f′(x)=4x−2 байна.\nБодолт: limx→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=4⋅1−2=2limx→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=4⋅1−2=2"} +{"prompt":"f(x)=2x2−4x+1 функцийн дүрийг ол.","completion":"Заавар: f(x)=a тэгшитгэл шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.\nБодолт: 2x2−4x+1−a=0 тэгшитгэл шийдтэй байхын тулд дискриминант нь сөрөг биш байх ёстой. Иймд D=(−4)2−4⋅2(1−a)≥0⇔8+8a≥0⇔a≥−1\nбайна."} +{"prompt":"f(x)=2x2−4x+3 бол limx→1f(x)−f(1)x−1 хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 тодорхойлолт ашиглан бод. f′(x)=4x−4 байна.\nБодолт: limx→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=4⋅1−4=0."} +{"prompt":"f(x)=2x2−4x+3 функцийн хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: Бүтэн квадрат ялга.\nБодолт: f(x)=2x2−4x+3=2(x−1)2+1≥1 байна. x=1 үед f(1)=1 тул хамгийн бага утга нь 1 болж байна."} +{"prompt":"f(x)=2x3+12x2+18x+9 функцийн графикийг x тэнхлэгийн дагуу p, y тэнхлэгийн дагуу q нэгжээр зөөхөд координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй муруй гарсан бол p, q-г ол.","completion":"Заавар: Функцийн график координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй бол сондгой функц байдаг.\nБодолт: y=f(x) муруйг x тэнхлэгийн дагуу p, y тэнхлэгийн дагуу q нэгж зөөхөд y−q=2(x−p)3+12(x−p)2+18(x−p)+9 тэгшитгэлтэй муруй гарна. Энэ тэгшитгэлийг хялбарчилбал\ny=2x3+6(2−p)x2+6(p2−4p+3)x−2p3+12p2−18p+q+9\nболно. Энэ функц сондгой функц байхын тулд \n2−p=0, −2p3+12p2−18p+q+9=0\nбайх ёстой. Эндээс p=2, q=−5 болно."} +{"prompt":"f(x)=2x3+3x2−12x+1 функц өгөгдөв. Тэгвэл f(x) функц нь x=−a үед\nмаксимум утгаа авах ба максимум, минимум утгуудын ялгавар нь bc байна.","completion":"Заавар: f(x)=ax3+bx2+cx+d куб функцийн уламжлал α1<α2 гэсэн 2 бодит язгууртай байг. \n\na>0 үед α1 цэг дээр максимум утгатай, α2 цэг дээр минимум утгатай байна.\n\n\na<0 үед α1 цэг дээр минимум утгатай, α2 цэг дээр максимум утгатай байна.\nБодолт: f(x)=2x3+3x2−12x+1⇒\nf′(x)=2⋅3x3−1+3⋅2x2−1−12⋅x1−1+0=6x2+6x−12\nба 6(x2+x−2)=0⇒x1=−2,x2=1 болно. 6>0 тул x=−2 цэг дээр максимум, x=1 цэг дээр минимум утга авна. Иймд максимум утга нь \nf(−2)=2⋅(−2)3+3⋅(−2)2−12⋅(−2)+1=21\nминимум утга нь\nf(1)=2⋅13+3⋅12−12⋅1+1=−6\nтул зөрөө нь 21−(−6)=27 байна."} +{"prompt":"f(x)=2x3+3x2−12x+1 функц өгөгдөв. Тэгвэл f(x) функц нь x=−a, x=b үед\nэкстремумтай бөгөөд экстремум утгуудын ялгавар нь cd байна.","completion":"Заавар: f(x) функц x=x0 цэг дээр эксремумтай байх зайлшгүй нөхцөл нь f′(x)=0 байна. \n\nКуб функцийн уламжлал нь квадрат функц гарах ба уламжлал нь тэгтэй тэнцэх 2 цэг гарч байвал тэдгээр нь экстремум болно.\nБодолт: f′(x)=6x2+6x−12=6(x−1)(x+2) тул x=−2, x=1 үед экстремутай бөгөөд экстремум утгуудын ялгавар нь f(−2)−f(1)=(2⋅(−2)3+3⋅(−2)2−12⋅(−2)+1)−\n−(2⋅13+3⋅12−12⋅1+1)=27 байна."} +{"prompt":"f(x)=2x3+9x2+12x функцийн буурах мужийг ол.","completion":"Заавар: f′(x)=6x2+18x+12<0 тэнцэтгэл бишийг бод.\nБодолт: 6x2+18x+12<0⇔6(x+2)(x+1)<0 тул −10 тэнцэтгэл бишийг бод.\nБодолт: 6x2+18x+12>0⇔6(x+2)(x+1)>0 тул x<−2∨x>−1 байна."} +{"prompt":"f(x)=2x3+9x2+12x+1 функцийн өсөх мужийг ол.","completion":"Заавар: 00 үед 1 бодит шийдтэй.\n\nХэрэв f′(x)=0 тэгшитгэл нэг бодит шийдтэй, эсвэл огт шийдгүй бол f(x)=0 тэгшитгэл 1 бодит шийдтэй байна.\nБодолт: f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2) тул x=2 цэгт минимум утга, x=1 цэг максимум утгатай байна. f(x)=0 тэгшитгэл 3 бодит шийдтэй ⇔ f(1)⋅f(2)<0 буюу (2⋅13−9⋅12+12⋅1+p)(2⋅23−9⋅22+12⋅2+p)<0⇔ ⇔(5+p)(4+p)<0 тул −5−1+ε0.75 тул ямар ч бага ε>0 тоо авахад ]−∞;−1+ε0.75[ мужийн тоонууд функцийн утга болохгүй. Иймд p>9 тооны хувьд (−1;3] завсар бүхлээрээ утгын мужид орох боломжгүй.\n\np=9 үед f(x)=g(x) болох ба утгын муж нь [−1;3] тул бодлогын нөхцлийг хангана."} +{"prompt":"f(x)=3x2−2x+1 бол f(x) функцийн уламжлал f′(x) аль нь вэ?","completion":"Заавар: Функцийн уламжлал нь шугаман чанартай: (a(x)+b(b))′=a′(x)+b′(x) тул\nf′(x)=(3x2)′−(2x)′+1′ болно. (axn)′=a⋅n⋅xn−1 болохыг ашиглан цааш бод.\nБодолт: f′(x)=(3x2)′−(2x)′+1′=3⋅2⋅x2−1−2⋅1⋅x1−1+1⋅0⋅x0−1=6x−2 болно."} +{"prompt":"f(x)=3x2−4x+2 бол limx→1f(x)−f(1)x−1 хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 тодорхойлолт ашиглан бод. f′(x)=6x−4 байна.\nБодолт: limx→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=6⋅1−4=2."} +{"prompt":"f(x)=3x2−6x+1 функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: f(x)=a тэгшитгэл шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.\nБодолт: 3x2−6x+1−a=0 тэгшитгэл шийдтэй байхын тулд дискриминант нь сөрөг биш байх ёстой. Иймд D=62−4⋅3(1−a)≥0⇔24+12a≥0⇔a≥−2\nбайна."} +{"prompt":"f(x)=3x3−6x2+3x+5 функц нь","completion":"Заавар: Функцийн өсөх муж нь түүний уламжлал нь эерэг байх муж, буурах муж нь түүний уламжлал нь сөрөг байх муж байна.\n Функцийн [a;b] завсар дахь ХИ (хамгийн их), ХБ (хамгийн бага) утгууд нь эсвэл мужийн хил буюу x=a, x=b цэгүүд дээрх утгууд, эсвэл түүний сэжигтэй цэгүүд буюу тухайн муж дахь уламжлал нь 0-тэй тэнцэх аргумент дээрх утгууд байна. Өөрөөр хэлбэл дээр дурьдсан цэгүүд дээрх утгуудын хамгийн их нь ХИУ, хамгийн бага нь ХБУ болно.\n f(x)=0 куб тэгшитгэл нь 1-ээс 3 бодит шийдтэй байх боломжтой. \n\nЭнд функц гэдгийн дор дифференциалчлагдах функцийг ойлгоорой!\nБодолт: (a(x)±b(x))′=a′(x)±b′(x) ба (axn)=a⋅n⋅xn−1 тул f′(x)=(3x3−6x2+3x+5)′=(3x3)′−(6x2)′+(3x)′+5′=\n=3⋅3⋅x3−1−6⋅2⋅x2−1+3⋅1⋅x1−1+0=9x2−12x+3\nбайна.\nf′(x)>0⇔9x2−12x+3=9(x−13)(x−1)>0⇔x∈]−∞;13[∪]1;+∞[\nмужид өсөх ба \nf′(x)<0⇔x∈]13;1[\nмужид буурна.\n\n Функцийн x=0, x=13, x=1, x=3 дахь утгуудыг бодъё:\nf(0)=3⋅03−6⋅02+3⋅0+5=5f(13)=3⋅(13)3−6⋅(13)2+3⋅(13)+5=549f(1)=3⋅13−6⋅12+3⋅1+5=5f(3)=3⋅33−6⋅32+3⋅3+5=41\nИймд ХБУ=5, ХИУ=41\n Функцийн графикаас харахад x≥0 үед f(x)≥5 тул f(x)=0 тэгшитгэл шийдгүй. x<0 үед f(x) өсдөг функц тул OX тэнхлэгийг цор ганц цэгээр огтлох боломжтой. Иймд f(x)=0 тэгшитгэл цор ганц шийдтэй байна."} +{"prompt":"f(x)=3x3−6x2−5ax+18 олон гишүүнтийн нэг язгуур\nнь x1=3 бол a=a байна. Иймд\n3x3−6x2−5ax+18=3(x−3)(x2+x+bc) үржигдэхүүнд задрах ба\nf(x)>0 тэнцэтгэл бишийн шийд\n]de;f[∪]g;+∞[ байна.","completion":"Заавар: P(x0)=0 байх x0 тоог P(x) олон гишүүнтийн язгуур гэнэ. Өөрөөр хэлбэл P(x) олон гишүүнтийн язгууруудыг олохын тулд P(x)=0 тэгшитгэлийг бодно.\nБодолт: f(3)=0 тул\n3⋅33−6⋅32−5a⋅3+18=0⇔15a=45\nболно. Иймд a=3 байна. Эндээс\n3x3−6x2−15x+18=3(x−3)(x2+x−2)\nба x2+x−2=(x+2)(x−1) тул\nf(x)=3(x+2)(x−1)(x−3)>0\nтэнцэтгэл бишийн шийд\n]−2;1[∪]3;+∞[\nбайна."} +{"prompt":"f(x)=3−(x+1)2 функцийн хамгийн их утгыг ол.","completion":"Заавар: (x+1)2≥0 тул 3−(x+1)2≤3 байна.\nБодолт: f(x)=3−(x+1)2≤3 тул хамгийн ихдээ 3 л байх боломжтой. x+1=0 үед\n3−(x+1)2=3 байх тул x=−1 үед f(−1)=3 гэсэн хамгийн их утгаа авна."} +{"prompt":"f(x)=3√x3√x3√x…, x>0 бол f′(x)=?","completion":"Заавар: f(x)=3√xf(x) байна. (xα)′=αxα−1 болохыг ашигла.\nБодолт: f(x)=3√xf(x)⇒f3(x)=xf(x)⇒f(x)=√x=x12. (x12)′=12x12−1=12√x"} +{"prompt":"f(x)=3√x3√x3√x…,x>0f(x)=xxx…333,x>0 бол f′(x)=?f′(x)=?","completion":"Заавар: f(x)=3√xf(x)⇒f(x)=√xf(x)=xf(x)3⇒f(x)=x.\nБодолт: (√x)′=(x12)′=12x12−1=12√x(x)′=(x12)′=12x12−1=12x."} +{"prompt":"f(x)=4(x+14)(2x+1) бол f′(−2) утгыг ол.","completion":"Заавар: f(x)=4(x+14)(2x+1)=8x2+6x+1 байна.\nБодолт: f′(x)=16x+6 тул f′(−2)=16⋅(−2)+6=−26"} +{"prompt":"f(x)=4(x−14)(2x−1) бол f′(2) утгыг ол.","completion":"Заавар: f(x)=4(x−14)(2x−1)=8x2−6x+1 байна.\nБодолт: f′(x)=(8x2−6x+1)′=16x−6 ба f′(2)=16⋅2−6=26 байна."} +{"prompt":"f(x)=48x−5+36 функцийн хувьд f−1(100) хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: Хэрвээ f(x) ба g(x) фунцүүд нь харилцан урвуу функцүүд бол урвуу функцийн тодорхойлолт ёсоор f(g(x))=g(f(x))=x байдаг. \n\ny=f(x) функцийн урвуу функцийг олохдоо x=f(y) илэрхийллээс y-г x-ээр илэрхийлж олдог.\nБодолт: f(f−1(100))=100⇔48f−1(100)−5+36=100⇔\n48f−1(100)−5=64=43⇔8f−1(100)−5=3⇔f−1(100)=1"} +{"prompt":"f(x)=4x+8x бол f(x) функцийн экстремумын цэгүүдийг ол.","completion":"Заавар: f(x) функцийн экстремумыг олохын тулд f′(x)=0 тэгшитгэлийг бодно.\n\n(xα)′=αxα−1 ашиглаж уламжлалыг олоорой.\nБодолт: f(x)=4x+8x−1⇒f′(x)=4+8⋅(−1)x−2=4−8x2=0⇒x2=2⇒x=±√2 байна."} +{"prompt":"f(x)=53x−1−25 функцийн хувьд f−1(100) хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: Хэрвээ f(x) ба g(x) фунцүүд нь харилцан урвуу функцүүд бол урвуу функцийн тодорхойлолт ёсоор f(g(x))=g(f(x))=x байдаг. \n\ny=f(x) функцийн урвуу функцийг олохдоо x=f(y) илэрхийллээс y-г x-ээр илэрхийлж олдог.\nБодолт: f(f−1(100))=100⇔53f−1(100)−1−25=100⇔\n53f−1(100)−1=125=53⇔3f−1(100)−1=3⇔f−1(100)=43"} +{"prompt":"f(x)=7sinx−24cosx функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын ялгаврыг ол.","completion":"Заавар: asinx−bcos=√a2+b2sin(x−α)\nбайхаар α өнцөг ол.\nБодолт: f(x)=7sinx−24cosx=√72+242sin(x−α)=25sin(x−α) байна. Энд α нь cosα=725, sinα=2425 байх өнцөг. Иймд \n−25≤f(x)≤25\nбайна. x=π\/2+α үед хамгийн их 25, x=3π\/2+α үед хамгийн бага −25 утгыг авах тул ялгавар нь 50."} +{"prompt":"f(x)=8x−4x2 функцийн максимумын цэгийг ол.","completion":"Заавар: Дифференциалчлагдах функцийн максимум, минимумын цэг дээрх уламжлал 0-тэй тэнцүү байна.\nБодолт: f′(x)=(8x−4x−2)′=8−(−2)⋅4x−2−1=8+8x3\nбайна. f′(x)=8+8x3=0 тэгшитгэлийг бодож сэжигтэй цэгийг олбол x=−1 байна. x<−1 үед f′(x)>0 тул өсч, −10log2x≠1⇔{−20x≠2⇔00 үеийн максимумын цэг нь 1 бол a=−ab байна. Энэ үед максимум утга нь −cd байна.","completion":"Заавар: f′(x)=0 тэгшитгэл бодож сэжигтэй цэгүүдийг ол.\nБодолт: f(x)=ax2−1x⇒f′(x)=2ax+1x2 байна. f′(x)=0⇔2ax+1x2=0⇒x=−3√12a цэгт экстремумтай. x<−3√12a үед f′(x)>0 тул өсөж, x>−3√12a үед f′(x)<0 тул буурна. Иймд x=−3√12a=1 нь максимумын цэг болох тул a=−12 байна. Энэ үед максимум утга нь f(1)=−12⋅12−11=−32."} +{"prompt":"f(x)=ax3+3ax2+b,(−1≤x≤2) функцийн хамгийн их, хамгийн бага утга нь харгалзан 10,−10 бол |a+b|=?","completion":"Заавар: a, b-ийн тэмдэгийг нэгэн зэрэг өөрчлөхөд хамгийн их, хамгийн бага утга нь 10, −10 хэвээрээ бөгөөд |a+b| өөрчлөгдөхгүй. Иймд a>0 гэж үзээд бодож болно.\nБодолт: \nf′(x)=3ax2+6ax=0⇒x1=−2, x2=0. Тэгвэл x=0 цэг дээр хамгийн бага утгатай. Иймд f(0)=b=−10. Түүнчлэн x=−1, x=2-ийн аль нэг дээр хамгийн их утгатай байна. f(−1)=2a−10, f(2)=20a−10 ба a>0 тул f(2)>f(−1) буюу x=2 үед хамгийн их утгатай. Иймд 20a−10=10⇒a=1 тул |a+b|=|1−10|=9."} +{"prompt":"f(x)=ax3+3ax2+b,(−2≤x≤1) функцийн хамгийн их, хамгийн бага утга нь харгалзан 10,−10 бол |a+b|=?","completion":"Заавар:\nБодолт: f′(x)=3ax2+6ax=0⇒x1=−2, x2=0. a,b-ийн тэмдэгийг нэгэн зэрэг өөрчлөхөд хамгийн их, хамгийн бага утга нь 10,−10 хэвээрээ бөгөөд |a+b| өөрчлөгдөхгүй. Иймд a>0 гэж үзье. Тэгвэл x=0 цэг дээр хамгийн бага утгатай. Иймд f(0)=b=−10. Түүнчлэн x=−2, x=1-ийн аль нэг дээр хамгийн их утгатай байна. f(−2)=f(1)=4a−10 тул ХИУ нь 4a−10. Иймд 4a−10=10⇒a=5 тул |a+b|=|5−10|=5."} +{"prompt":"f(x)=ax3+bx2+cx+d функцийн минимум утга нь x=−1 үед −4, максимум утга нь x=3 үед 28 байдаг бол a, b, c, d-г ол.","completion":"Заавар: минимум утга нь x=−1 үед −4 байна гэдэг нь f′(−1)=0 ба\nf(−1)=−4 гэсэн үг.\nБодолт: x=−1;3 нь экстремумын цэгүүд тул f′(−1)=0, f′(3)=0,\nf(−1)=−4, f(3)=28 байна. Иймд f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x+1)(x−3) болох ёстой. Эндээс b=−3a, c=−9a болно. Эдгээрийг \n−a+b−c+d=−4,27a+9b+3c+d=28 \nтэгшитгэлүүдэд орлуулж бодвол a=−1, b=3, c=9, d=1 болно."} +{"prompt":"f(x)=cos2πx−√3sin2πx функц өгөгджээ.","completion":"Заавар: a,b>0 тоонууд бол acosx−bsinx=√a2+b2cos(x+α) байна. Энд α=arctgba байна.\n y=cos(ax+b) функцийн үндсэн үе нь 2πa байдаг.\n cosx>a тэнцэтгэл б��шийн ерөнхий шийд нь −arccosa+2πn1⇔cos(2πx+π3)>12 тэнцэтгэл бишийг бодвол\n−π3+2πn<2πx+π3<π3+2πn⇔−2π3+2πn<2πx<2πn\nтул \n13+n0 муж байна.\n\nФункцийн тодорхойлогдох муж олох бодлогууд нь ихэвчлэн тэнцэтгэл биш бодох бодлогод шилждэг.\nБодолт: Логарифм функцийн аргумент тул (13)x−2710x+4>0 байна. Мөн бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай байх тул 10x+4≠0 байх ёстой.\n\nax>0 тэнцэтгэл биш дурын x ��одит тооны хувьд биелэх тул 10x+4>4 бөгөөд 10x+4≠0 байх нь илэрхий юм. b>0 тоо бол\nab>0⇔a>0\nтул D:(13)x−27>0 болно. Иймд\n(13)x−27>0⇔3−x>33⇔−x>3⇔x<−3 буюу x∈]−∞;−3[ болно."} +{"prompt":"f(x)=ln(sinx) бол f′′(π4)=?","completion":"Заавар: Давхар функцийн уламжлал олох [(4x2+1)12]′=12⋅(4x2+1)12−1⋅(4x2+1)′=4x(4x2+1)−12 томьёог ашигла.\nБодолт: f′(x)=[ln(sinx)]′=1sinx⋅[sin(x)]′=cosxsinx=ctgx\nтул\nf′′(x)=(ctgx)′=−1sin2x\nбайна. Иймд f′′(π4)=−1sin2π4=−1(√22)2=−2"} +{"prompt":"f(x)=lnmx2+7nx+3 функц өгөв. (m, n - тогтмол тоо)","completion":"Заавар: Давхар функцийн уламжлал олох [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x) ба ноогдворын уламжлалыг олох (u(x)v(x))′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x) томьёог ашигла. \n\nf(x) функц x=x0 цэг дээр минимум утгаа авах бол f′(x0)=0 байна.\nБодолт: f′(x)=[lnmx2+7nx+3]′=1mx2+7nx+3⋅(mx2+7nx+3)′=1mx2+7nx+3⋅2mx(nx+3)−n(mx2+7)(nx+3)3=mnx2+6mx−7n(mx2+7)(nx+3)\nтул\nf′(2)=4mn+12m−7n(4m+7)(2n+3)=4m4m+7−n2n+3\nx=2 цэг дээр минимум утгатай бол 4mn+12m−7n=0 байна. Бид 0≤m,n≤9 байх бүхэл шийдийг хайж байгаа тул n=0,4,8 (n нь 4-т хуваагдана) гэсэн утгуудыг шалгаж үзье. n=0 үед m=0 болно. Энэ үед f(x)=ln73 гэсэн тогтмол функц тул минимум утга байхгүй. n=4 үед 16m+12m−28=0⇒m=1 байна. n=8 үед 32m+12m−56=0⇒m=5644 гэсэн бүхэл утга гарахгүй тул m=1 ба n=4 гэсэн утгуудыг авна."} +{"prompt":"f(x)=log2(1−sinx)−log2(1+sinx)f(x)=log2⁡(1−sin⁡x)−log2⁡(1+sin⁡x) бол","completion":"Заавар: f(x)=log2(1−sinx)−log2(1+sinx)=log2(1−sin2x)=log2cos2xf(x)=log2⁡(1−sin⁡x)−log2⁡(1+sin⁡x)=log2⁡(1−sin2⁡x)=log2⁡cos2⁡x\nбайна.\n\nКосинус нь сөрөг байж болох тул log2cos2x=2log2cosxlog2⁡cos2⁡x=2log2⁡cos⁡x тэнцэл үргэлж биелэх албагүйг анхаар.\nБодолт: f(x)=log2cos2xf(x)=log2⁡cos2⁡x тул f(π4)=log2cos2π4=log2(√22)2=log212=−1,f(π4)=log2⁡cos2⁡π4=log2⁡(22)2=log2⁡12=−1,\nf(arccos18)=log2cos2(arccos18)=log2(18)2=log2164=−6f(arccos⁡18)=log2⁡cos2⁡(arccos⁡18)=log2⁡(18)2=log2⁡164=−6\nтул f(π4)−f(arccos18)=−1−(−6)=5f(π4)−f(arccos⁡18)=−1−(−6)=5 байна.\n log2cos2x=−1⇔cos2x=12⇔1+cos2x2=12log2⁡cos2⁡x=−1⇔cos2⁡x=12⇔1+cos⁡2x2=12 тул cos2x=0cos⁡2x=0 байна. Иймд 2x=π2+πk⇔x=π4+π2k2x=π2+πk⇔x=π4+π2k\n log2cos2x≤−2⇔cos2x≤14⇔−12≤cosx≤12log2⁡cos2⁡x≤−2⇔cos2⁡x≤14⇔−12≤cos⁡x≤12 тул \nx∈[π3+2πk;2π3+2πk]∪[4π3+2πk;5π3+2πk], k∈Zx∈[π3+2πk;2π3+2πk]∪[4π3+2πk;5π3+2πk], k∈Z"} +{"prompt":"f(x)=log2(x+1) бол f−1(3)=?","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн урвуу функцийг олохдоо x=f(y) илэрхийллээс y-г олдог.\nБодолт: x=log2(y+1)⇒y+1=2x⇒y=2x−1 тул f−1(x)=2x−1 байна. Иймд f−1(3)=23−1=7."} +{"prompt":"f(x)=log3xarccos(x−34) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Логарифм болон арккосинус функцийн тодорхойлолт хар.\nБодолт: Логарифм ба арккосинус функцийн тодорхойлогдох мужаас x>0 ба −1≤x−34≤1 тул 00 тул f(x) функц [−2,−1] мужид өснө. Иймд f(x) функцийн хамгийн их утга нь f(−1)=−1+8(−1)2=7, хамгийн бага утга нь f(−2)=−2+8(−2)2=0 бa нийлбэр нь 7+0=7 байна."} +{"prompt":"f(x)=x+sinxf(x)=x+sin⁡x, g(x)=x⋅sinxg(x)=x⋅sin⁡x, h(x)=x+cosxh(x)=x+cos⁡x функцүүдийн аль нь тэгш функц вэ?","completion":"Заавар: Дурын x∈Rx∈R тооны хувьд f(−x)=f(x)f(−x)=f(x) нөхцөл биелэдэг бол f(x)f(x) функцийг тэгш функц гэнэ. Тэгш функцийн график нь yy тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй байна. y=x2ny=x2n, y=cosxy=cos⁡x зэрэг функцүүд нь тэгш функц юм.\n\nНэгэн зэрэг тэгш ба сондгой байдаг цорын ганц функц нь f(x)=0f(x)=0 юм.\n\nТэгш ба сондгой функцүүдийн хувьд дараах чанарууд биелэнэ.\n Тэгш функцүүдийн нийлбэр, ялгавар, үржвэр, ноогдвор функц нь мөн адил тэгш функц байна.\n Сондгой функцүүийн нийлбэр, ялгавар функц нь сондгой функц байна. Харин үржвэр ба ноогдвор нь тэгш функц болно.\n Тэгш ба сондгой функцүүдийн ядаж нэг нь тогтмол тэг функц биш бол нийлбэр ба ялгавар нь тэгш ч биш, сондгой ч биш функц байна. Харин үржвэр ба ноогдвор нь сондгой функц байна.\nБодолт: f(x)f(x) нь сондгой функцүүдийн нийлбэр тул сондгой функц байна. g(x)g(x) нь сондгой функцүүдийн үржвэр тул тэгш функц байна. h(x)h(x) нь тэгтэй тэнцүү биш тэгш ба сондгой функцүүдийн нийлбэр тул тэгш ч биш сондгой ч биш функц юм. Иймд зөвхөн g(x)g(x) функц тэгш функц байна."} +{"prompt":"f(x)=x2(3x−1)(x+1) функцийн x0=−1 цэг дээрх уламжлалыг ольё. f′(x)=abx3+cx2−dx\nтул\nf′(−1)=ef\nбайна.","completion":"Заавар: (axn)′=anxn−1 болон уламжлалын шугаман чанарыг ашигла.\nБодолт: f(x)=x2(3x−1)(x+1)=x4+2x3−x2 тул \nf′(x)=3⋅4x3+2⋅3x2−2x=12x3+6x2−2x байна. Иймд\nf′(−1)=12(−1)3+6(−1)2−2(−1)=−12+6+2=−4"} +{"prompt":"f(x)=x2(x−3) функцийн буурах завсарыг ол.","completion":"Заавар: Уламжлалын сөрөг байх мужид буурна.\nБодолт: f′(x)=3x2−6x тул\nf′(x)<0⇔3x2−6x<0⇔x∈(0;2)\nбайна."} +{"prompt":"f(x)=x2+1+sinxcosx, x0=0 цэг дээрх уламжлалыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: f′(x)=(x2+1+sinxcosx)′=(x2+1+sinx)′⋅cosx−(x2+1+sinx)⋅(cosx)′cos2x=(2x+cosx)⋅cosx−(x2+1+sinx)⋅(−sinx)cos2x=2xcosx+x2sinx+sinx+1cos2xf′(0)=2⋅0⋅cos0+02⋅sin0+sin0+1cos20=1"} +{"prompt":"f(x)=x2+1, g(x)=2x−7 бол g(f(−2)) утгыг ол.","completion":"Заавар: Эхлээд f(−2) утгыг ол.\nБодолт: f(−2)=(−2)2+1=5 тул g(f(−2))=g(5)=2⋅5−7=3 байна."} +{"prompt":"f(x)=x2+1f(x)=x2+1, g(x)=2x+1g(x)=2x+1 бол f(g(x))=?f(g(x))=?","completion":"Заавар: f(g(x))=f(2x+1)f(g(x))=f(2x+1) эсвэл f(g(x))=[g(x)]2+1f(g(x))=[g(x)]2+1-ийн алийг нь ч ашиглаад бодож болно.\nБодолт: f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)2+1=4x2+4x+2f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)2+1=4x2+4x+2"} +{"prompt":"f(x)=x2+3;g(x)=2x−3f(x)=x2+3;g(x)=2x−3 бол f(g(−5))−g(f(−5))=f(g(−5))−g(f(−5))=","completion":"Заавар: g(−5)=2⋅(−5)−3=−13g(−5)=2⋅(−5)−3=−13 тул f(g(−5))=f(−13)=(−13)2+3=172f(g(−5))=f(−13)=(−13)2+3=172 байна. g(f(−5))g(f(−5))-г ижилхэн аргаар бод.\nБодолт: g(−5)=2⋅(−5)−3=−13g(−5)=2⋅(−5)−3=−13 тул f(g(−5))=f(−13)=(−13)2+3=172f(g(−5))=f(−13)=(−13)2+3=172 байна. f(−5)=(−5)2+3=28f(−5)=(−5)2+3=28 тул g(f(−5))=g(28)=2⋅28−3=53g(f(−5))=g(28)=2⋅28−3=53 болно. Иймд f(g(−5))−g(f(−5))=172−53=119.f(g(−5))−g(f(−5))=172−53=119."} +{"prompt":"f(x)=x2+3x функцийн графикийн x0=−1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.","completion":"Заавар: f(x) функцийн графикийн (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл \ny−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\nБодолт: \nf′(x)=2x+3 ба f(−1)=(−1)2+3⋅(−1)=−2, f′(−1)=2⋅(−1)+3=1 байна. Иймд функцийн графикийн (−1,−2) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny−(−2)=1⋅(x−(−1))⇒y=x−1\nбайна."} +{"prompt":"f(x)=x2+44x функцийн [2;+∞[ завсар дахь урвуу функцийг ол.","completion":"Заавар: (Дурын x∈D-ийн хувьд) f(g(x))=x, g(f(x))=x нөхцлийг хангах g(x) функцийг f(x) функцийн (D муж дээрх) урвуу функц гэнэ.\n\ny=f(x) функцийн урвууг олохдоо x=f(y) илэрхийллээс y-г олдог.\nБодолт: f(x)=x2+44x⇒x=f(y)=y2+44y⇒y2−4xy+4=0 болно. y=2x±√4x2−4=2x±2√x2−1 болно. Иймд f−1(x)=2x+2√x2−1 юмуу f−1(x)=2x−2√x2−1 байна.\n\nf(4)=42+44⋅4=54 тул f−1(54)=4 байх ёстой. 2⋅54+2√(54)2−1=52+2⋅34=4 тул f−1(x)=2x+2√x2−1 нь зөв хариулт болно.\n\nЖич: Энэ бодлогыг анхнаасаа f−1(54)=4 нөхцлийг ашиглан хариунаас нь бодож болно."} +{"prompt":"f(x)=x2f(x)=x2, g(x)=2−x2g(x)=2−x2 параболууд нь x1=abx1=ab, x2=cx2=c абсцисстэй цэгүүдэд огтлолцох ба параболуудын огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь ∫x2x1d−ex2dx=fg∫x1x2d−ex2dx=fg байна.","completion":"Заавар: x∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: Огтлолцлолын цэг нь x2=2−x2⇒x1=−1x2=2−x2⇒x1=−1, x2=1x2=1 байна.\n\nДүрсийн талбай нь ∫1−1[(2−x2)−x2]dx=∫1−1(2−2x2)dx=83.∫−11[(2−x2)−x2]dx=∫−11(2−2x2)dx=83."} +{"prompt":"f(x)=x2lnx функцийн уламжлалыг ол.","completion":"Заавар: Үржвэрийн уламжилал олох (uv)′=u′v+uv′ ашигла.\nБодолт: (x2lnx)′=(x2)′lnx+x2(lnx)′=2xlnx+x=x(2lnx+1)"} +{"prompt":"f(x)=x2−2x функцийн графикийн (2,f(2)) цэгт татсан шүргэгч шулууны налалтыг ол.","completion":"Заавар: (cxα)′=cα⋅xα−1,α∈R. f(x)=12x−2x−1.\nБодолт: f(x)=12x−2x−1⇒f′(x)=12−2⋅(−1)⋅x−1−1=12+2x2. Иймд \nf′(2)=12+222=1\nбайна."} +{"prompt":"f(x)=x2−2x+2mf(x)=x2−2x+2m парабол нь OxOx тэнхлэгээс 6 урттай хэрчим таслах бол mm тоог ол.","completion":"Заавар: \nf(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c параболын OxOx тэнхлэгээс таслах хэрчмийн урт нь f(x)=0f(x)=0 тэгшитгэлийн 2 шийдийн ялгавар байна:\nБодолт: |x2−x1|=∣∣−b−√D2−−b+√D2∣∣=√D|x2−x1|=|−b−D2−−b+D2|=D\n\nИймд |x2−x1|=√4−8m=6|x2−x1|=4−8m=6. Эндээс 4−8m=36⇒m=−44−8m=36⇒m=−4."} +{"prompt":"f(x)=x2−3x функцийн графикийн x0=1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.","completion":"Заавар: f(x) функцийн графикийн (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл \ny−f(x0)=f′(x0)(x−x0) \nбайна.\nБодолт: f′(x)=2x−3 тул f(1)=12−3⋅1=−2, f′(1)=2⋅1−3=−1. Иймд \ny−(−2)=−1⋅(x−1)\nбуюу y=−x−1 байна."} +{"prompt":"f(x)=x2−4x+10 функцийн хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: Бүтэн квадрат ялгах аргаар хамгийн бага утгыг нь ол.\nБодолт: f(x)=x2−4x+10=(x−2)2+6≥6 ба x=2 үед\nf(2)=22−4⋅2+10=6\nхамгийн бага утгаа авна."} +{"prompt":"f(x)=x2−4x+3, 0≤x≤72 функцийн дүрийг (функцийн авч болох утгуудын олонлог) олоорой.","completion":"Заавар: \nзургаас харахад x=0 үед хамгийн их утга 3, x=2 үед хамгийн бага утга −1-ийг авч байна. Завсрын утгын тухай теоремоор эдгээр утгуудын хоорондох бүх утгыг авах тул утгын муж нь [−1;3] байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"f(x)=x2−4x+5 функц өгөгдөв.","completion":"Заавар: Шүргэгчийн тэгшитгэл y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\n Тодорхой интеграл ашиглан бод.\n Перпендикуляр шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр −1 байдаг.\nБодолт: f′(x)=2x−4⇒f′(0)=−4, f(0)=5 тул y=f′(0)(x−0)+f(0)=−4x+5 байна. \n ∫10[(x2−4x+5)−(−4x+5)]dx=∫10x2dx=x33|10=13 \n Перпендикуляр шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр −1 байдаг тул бидний олон шулуун y=14x+k байна. (0;5) цэгийг дайрах тул 5=14⋅0+k⇒k=5 байна. Энэ шулуун OX тэнхлэгийг огтлох цэг нь 0=14x+5⇒x=−20. \n\n\nЖич: Энэ төрлийн бодлогууд манай бодлогын санд хангалттай олон байгаа тул төстэй бодлогууд линкээр орж үзээрэй!"} +{"prompt":"f(x)=x2−4x+6 функц өгөв. x>2,y>2 үед урвуу функцийг олбол f−1(x)=a+√x−b байна. f(x), f−1(x) функцийн график A(c,d), B(e,f) цэгүүдэд огтлолцох бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь √g байна.","completion":"Заавар:\nБодолт: Урвуу функц нь\nf(x)=x2−4x+6=(x−2)2+2⇒f−1(x)=2+√x−2\nОгтлолцолын цэг нь\nf(x)=f−1(x)⇒(x−2)2+2=2+√x−2⇒\n(x−2)2=√x−2⇒(x−2)4=(√x−22⇒(x−2)((x−2)3−1)=0⇒ \nx1=2, x2=3 абсцисстай цэгүүд буюу A(2,2); B(3,3) болох ба эдгээрийн хоорондох зай нь \n|AB|=√(3−2)2+(3−2)2=√2\nбайна. \na=2, b=2 , c=2, d=2, e=3, f=3, g=2"} +{"prompt":"f(x)=x2−6x+12 функц өгөв. x>3,y>3 үед урвуу функцийг олбол f−1(x)=a+√x−b байна. f(x), f−1(x) функцийн график A(c,d), B(e,f) цэгүүдэд огтлолцох бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь √g байна.","completion":"Заавар:\nБодолт: Урвуу функц нь\nf(x)=x2−4x+6=(x−2)2+2⇒f−1(x)=2+√x−2\nОгтлолцолын цэг нь\nf(x)=f−1(x)⇒(x−2)2+2=2+√x−2⇒\n(x−2)2=√x−2⇒(x−2)4=(√x−22⇒(x−2)((x−2)3−1)=0⇒ \nx1=2, x2=3 абсцисстай цэгүүд буюу A(2,2); B(3,3) болох ба эдгээрийн хоорондох зай нь \n|AB|=√(3−2)2+(3−2)2=√2\nбайна. \na=2, b=2 , c=2, d=2, e=3, f=3, g=2"} +{"prompt":"f(x)=x2−6x+2 функцийн хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: f(x)=ax2+bx+c, a>0 функцийн хувьд\nf(x)=ax2+bx+c=a(x2+2⋅b2ax+b24a2)+c−b24a=a(x+b2a)2+4ac−b24a\nба a(x+b2a)2≥0 тул \nf(x)≥4ac−b24a\nба x0=−b2a үед f(x0)=4ac−b24a=−D4a хамгийн бага утгаа авна.\nБодолт: f(x)=x2−6x+5=(x−3)2−4≥−4 ба x=3 үед\nf(3)=32−6⋅3+5=−4\nхамгийн бага утгаа авна."} +{"prompt":"f(x)=x2−8x+17 функц өгөгдөв.","completion":"Заавар: y=f′(5)(x−5)+f(5). \n Олох дүрсээ координатын хавтгай дээр дүрсэл. Олох дүрсийн талбай нь ∫40f(x)dx+∫54(x−5)2dx байна. \n Графикийг M цэгт шүргэх тойрог нь шүргэгч шулууныг мөн адил M цэгт шүргэнэ. Тойрог шулуун хоёр шүргэлцэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тойргийн төвөөс шулуун хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү.\nБодолт: Шүргэгч шулууны өнцгийн коэфицент f′(5)=2⇒ шүргэгч шулуун y=2(x−5)+f(5)=2x−10+2=2x−8 байна. \n Зургаас олох талбай маань ∫40x2−8x+17dx+∫54(x2−8x+17)−(2x−8)dx=\n=(13x3−4x2+17x|40)+(13x3−5x2+25x|54)=773.\n Олох тойргийн төв A(a,0) гэе. Графикийг M цэгт шүргэх тойрог нь шүргэгч шулууныг мөн адил M цэгт шүргэнэ. Тойрог шулуун хоёр шүргэлцэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тойргийн төвөөс шулуун хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү байдаг. \nA цэгээс y−2x+8=0 шулуун хүрэх зай R=|0−2a+8|√12+(−2)2=|8−2a|√5 тул тойргийн тэгшигэл (x−a)2+y2=(8−2a)25 болно. Энэ тойрог M(5;2) цэгийг дайрах тул\n(5−a)2+22=(8−2a)25⇒\na2−18a+81=(a−9)2=0⇒a=9 болно. Иймд (x−9)2+y2=20 нь олох тэгшитгэл болно."} +{"prompt":"f(x)=x2−mx+2x+2 муруйн x=−1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулуун y=23x+1 шулуунтай параллель бол m-ийн утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: \ny=23x+1 шулуунтай параллель тул шүргэгчийн өнцгийн коэффициент буюу f′(−1) нь 23 байна. f′(x)=(2x−m)(x+2)−(x2−mx+2)(x+2)2 тул \nf′(−1)=(−2−m)(−1+2)−((−1)2−m⋅(−1)+2)(−1+2)2==−2−m−1−m−2=−2m−5=23⇒m=−176."} +{"prompt":"f(x)=x3+3px2+12x функц бүх тоон шулуун дээр өсдөг байх p параметрийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: Тоон шулуун дээр өсдөг байхын тулд f′(x) нь дурын x∈R тооны хувьд эерэг байх ёстой.\nБодолт: ∀x:f′(x)=3x2+6px+12>0⇔D=36p2−144<0⇔−20) байг. f′(x)=0-ийн бодит\nшийдүүд α<β бол α-максимум, β-минимумын\nцэг байна.\nБодолт: f′(x)=x(3x+2a). Хэрэв a=0 бол минимум утга байхгүй. x=0, x=−2a3\nсэжигтэй цэгүүд. a<0 үед −2a3>0 тул f(0)-минимум утга болно. c=f(0)=1.\na>0 үед f(−2a3) минимум утга болно.\nc=f(−2a3)=427a3+1 юм. Иймд P цэгүүд нь\n{c=1,a<0c=427a3+1,a>0 муруй дээр оршино.\n 0≤x≤1 үед f(x)-ийн хамгийн бага утга m нь эерэг байх ёстой. −2a\/3≤0 үед m=f(0)=b≥0, a≥0.\n0<−2a\/3<1 үед m=f(−2a\/3)=a3\/27+b≥0, −3\/20,f′(−1)=3−2a+b≥0\nf′(1)=3+2a+b≥0,−1<−a3<1\nбайх ёстой. Эдгээр тэнцэтгэл бишүүдийг бодвол \nb0 нөхцөл бүх x∈R тооны хувьд биелэх нөхцөл D=(2a)2−4⋅3⋅b<0 юм. Эндээс b>a23."} +{"prompt":"f(x)=x3+ax2−6x+b байв. f(x) функц x=2 цэгт минимум утга авдаг, x=c цэгт максимум утга 2-ыг авдаг бол a,b,c-г ол. f(x)-ийн минимум утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Бодлогын нөхцөлөөс\nf′(x)=3(x−2)(x−c)=3x2+2ax−6\nболно. Эндээс сул гишүүнийг тооцвол 3⋅(−2)⋅(−c)=−6⇒c=−1 болно. Иймд\n3(x−2)(x+1)=3x2−3x−6=3x2+2ax−6⇒a=−32\nТүүнчлэн\nf(c)=2⇒f(−1)=(−1)3−32⋅(−1)2−6⋅(−1)+b=2⇒b=−32\nбайна. Минимум утга нь \nf(2)=23−32⋅22−6⋅2−32=−232\nюм."} +{"prompt":"f(x)=x3+mx2+nx+9f(x)=x3+mx2+nx+9 олон гишүүнтийн язгуурууд нь x1=−3x1=−3, x2=3x2=3, x3x3 бол m+nm+n утгыг ол.","completion":"Заавар: Язгуурууд тул f(−3)=f(3)=0f(−3)=f(3)=0 байна.\nБодолт: Өгсөн нөхцөлийг бичвэл\n{(−3)3+m⋅(−3)2+n⋅(−3)+9=033+m⋅32+n⋅3+9=0⇔{−27+9m−3n+9=027+9m+3n+9=0{(−3)3+m⋅(−3)2+n⋅(−3)+9=033+m⋅32+n⋅3+9=0⇔{−27+9m−3n+9=027+9m+3n+9=0\nсүүлийн тэгшитгэлийг нэмбэл 18m+18=018m+18=0, хасвал −54−6n=0−54−6n=0 тул m=−1m=−1, n=−9n=−9 болно. Иймд m+n=−10m+n=−10 байна."} +{"prompt":"f(x)=x33−0.5x2−12x функцийн буурах завсрын уртыг ол.","completion":"Заавар: Функцийн буурах завсар нь уламжлал нь сөрөг байх муж байна.\nБодолт: f(x)=x33−0.5x2−12x функцийн буурах муж нь f′(x)=x2−x−12<0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна.\nx2−x−12<0⇔(x+3)(x−4)<0\nтул ]−3;4[ мужид буурах тул шийдийн мужийн урт нь 4−(−3)=7 байна."} +{"prompt":"f(x)=x33−1.5x2+2x функцийн буурах завсрын уртыг ол.","completion":"Заавар: Функцийн буурах завсар нь уламжлал нь сөрөг байх муж байна.\nБодолт: f(x)=x33−1.5x2+2x функцийн буурах муж нь f′(x)=x2−3x+2<0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна.\nx2−3x+2<0⇔(x−1)(x−2)<0\nтул ]1;2[ мужид буурах тул шийдийн мужийн урт нь 2−1=1 байна."} +{"prompt":"f(x)=x33−1.5x2−4x функцийн буурах завсрын уртыг ол.","completion":"Заавар: Функцийн буурах завсар нь уламжлал нь сөрөг байх муж байна.\nБодолт: f(x)=x33−1.5x2−4x функцийн буурах муж нь f′(x)=x2−3x−4<0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна.\nx2−3x−4<0⇔(x+1)(x−4)<0\nтул ]−1;4[ мужид буурах тул шийдийн мужийн урт нь 4−(−1)=5 байна."} +{"prompt":"f(x)=x33−2.5x2−6x функцийн буурах завсрын уртыг ол.","completion":"Заавар: Функцийн буурах завсар нь уламжлал нь сөрөг байх муж байна.\nБодолт: f(x)=x33−2.5x2−6x функцийн буурах муж нь f′(x)=x2−5x−6<0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна.\nx2−5x−6<0⇔(x+1)(x−6)<0\nтул ]−1;6[ мужид буурах тул шийдийн мужийн урт нь 6−(−1)=7 байна.\n\n%Geogebra"} +{"prompt":"f(x)=x33−x2−3x функцийн экстремум утгуудыг ол.","completion":"Заавар: f′(x)=(x+1)(x−3).\nБодолт:"} +{"prompt":"f(x)=x3f(x)=x3 функцийн графикийг (ox)(ox) тэнхлэгийн дагуу aa зайд, (oy)(oy) тэнхлэгийн дагуу bb зайд шилжүүлэхэд y=g(x)y=g(x) функц үүсгэх ба g(0)=0g(0)=0 байв.\n∫3aag(x)dx−12∫2a0f(x)dx=162∫a3ag(x)dx−12∫02af(x)dx=162 бол a4=?a4=?","completion":"Заавар: ∫baf[h(x)]dh(x)=∫h(b)h(a)f(x)dx∫abf[h(x)]dh(x)=∫h(a)h(b)f(x)dx\nтодорхой интегралын орлуулгын томьёо ашигла.\nБодолт: g(x)=f(x−a)+b=(x−a)3+bg(x)=f(x−a)+b=(x−a)3+b ба g(0)=(−a)3+b=0g(0)=(−a)3+b=0 тул g(x)=(x−a)3+a3g(x)=(x−a)3+a3.\n∫3aag(x)dx=∫3aa(x−a)3d(x−a)+∫3aaa3dx∫a3ag(x)dx=∫a3a(x−a)3d(x−a)+∫a3aa3dx\nба h(x)=x−ah(x)=x−a гээд орлуулгын томьёо хэрэглэвэл\n∫3aa(x−a)3d(x−a)=∫2a0x3dx∫a3a(x−a)3d(x−a)=∫02ax3dx тул \n∫3aag(x)dx−12∫2a0f(x)dx=∫3aaa3dx+12∫2a0x3dx=162∫a3ag(x)dx−12∫02af(x)dx=∫a3aa3dx+12∫02ax3dx=162\nбайна. Иймд a3x∣∣∣3aa+x48∣∣∣2a0=a3⋅3a−a3⋅a+(2a)48−048a3x|a3a+x48|02a=a3⋅3a−a3⋅a+(2a)48−048\n=4a4=162⇒a4=812=4a4=162⇒a4=812 байна.\n\nТэмдэглэл: 2006 оны С вариантын энэ бодлогын зөв хариу нь 2424 буюу E сонголт гэж байв. Хариу нь алдаатай тул D хариултанд байсан 181181 утгыг өөрчилсөн болно."} +{"prompt":"f(x)=x3f(x)=x3 функцийн графикыг (Ox)(Ox) тэнхлэгийн дагуу aa зайд, (Oy)(Oy) тэнхлэгийн дагуу bb зайд шилжүүлэхэд y=g(x)y=g(x) функц үүсэх ба g(0)=0g(0)=0 байв. \n∫3aag(x)dx−∫2a0f(x)dx=32∫a3ag(x)dx−∫02af(x)dx=32 бол a4a4-г ол.","completion":"Заавар: ∫baf[h(x)]dh(x)=∫h(b)h(a)f(x)dx∫abf[h(x)]dh(x)=∫h(a)h(b)f(x)dx\nтодорхой интегралын орлуулгын томьёо ашигла.\nБодолт: g(x)=f(x−a)+b=(x−a)3+bg(x)=f(x−a)+b=(x−a)3+b ба g(0)=(−a)3+b=0g(0)=(−a)3+b=0 тул g(x)=(x−a)3+a3g(x)=(x−a)3+a3.\n∫3aag(x)dx=∫3aa(x−a)3d(x−a)+∫3aaa3dx∫a3ag(x)dx=∫a3a(x−a)3d(x−a)+∫a3aa3dx\nба h(x)=x−ah(x)=x−a гээд орлуулгын томьёо хэрэглэвэл\n∫3aa(x−a)3d(x−a)=∫2a0x3dx∫a3a(x−a)3d(x−a)=∫02ax3dx тул ∫3aaa3dx=32∫a3aa3dx=32 байна. Иймд a3x∣∣∣3aa=a3⋅3a−a3⋅a=2a4=32⇒a4=16a3x|a3a=a3⋅3a−a3⋅a=2a4=32⇒a4=16 байна."} +{"prompt":"f(x)=x3−3 функцийн тодорхойлогдох муж −60⇔3(x+2)(x−4)>0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна. Иймд f(x) функцийн өсөх муж нь ]+∞,−2[∪]4,+∞[."} +{"prompt":"f(x)=x3−3x2−45x+21 функц [−2;7] завсарын аль хэсэгт өсөх вэ?","completion":"Заавар: f′(x)=3x2−6x−45=3(x+3)(x−5)>0-ийн −2≤x≤7 байх шийдүүд аль нь вэ?\nБодолт: f′(x)=3x2−6x−45=3(x+3)(x−5)>0⇒x∈]∞;−3[∪]5;+∞[ завсарт өснө. Иймд −2≤x≤7 завсарт агуулагдах өсөх муж ]5;7[ юм."} +{"prompt":"f(x)=x3−8x2+ax−10 олон гишүүнтийн нэг язгуур\nx1=5 бол a=ab байх ба үлдсэн хоёр язгуур нь\nx2=c,x3=d (x2g(x)⇔[f(x)>g2(x){f(x)≥0g(x)<0\nБодолт: √2x+3=5⇔2x+3=52 тул x=11.\n √2x+3>−1⇔2x+3≥0 тул тэнцэтгэл бишийн шийд нь\n[−32;+∞[ завсрын бүх цэг\nюм.\n √2x+3>3⇔2x+3>32 тул тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]3;+∞[ завсрын бүх цэг болно."} +{"prompt":"f(x)=√3sin2πx+cos2πx функц өгөгджээ.","completion":"Заавар: a,b>0 тоонууд бол acosx−bsinx=√a2+b2cos(x+α), α=arctgba байна.\n y=cos(ax+b) функцийн үндсэн үе нь 2πa байдаг.\n cosx>a тэнцэтгэл бишийн ерөнхий шийд нь −arccosa+2πn1⇔cos(2πx+π3)>12 тэнцэтгэл бишийг бодвол\n−π3+2πn<2πx+π3<π3+2πn"} +{"prompt":"f(x)=√3x√3x√3x…f(x)=3x3x3x…, x>0x>0 бол f(x)=?f(x)=?","completion":"Заавар: f(x)=√3xf(x)f(x)=3xf(x) ба f(x)≠0f(x)≠0 байна.\nБодолт: f(x)=√3xf(x)f(x)=3xf(x) тэгшитгэлийг бодвол f2(x)=3xf(x)⇒f(x)=0f2(x)=3xf(x)⇒f(x)=0 эсвэл f(x)=3xf(x)=3x байна. Нөгөө талаас f(x)≠0f(x)≠0 гэж өгсөн тул f(x)=3xf(x)=3x болно."} +{"prompt":"f(x)=√log12log3x+1x−1 функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: √t илэрхийллийн хувьд 0≤t, loguv-ийн хувьд 0h(x)⇔[h(x)<0,g(x)>h2(x)g(x)>h(x)⇔[h(x)<0,g(x)>h2(x) байна. h(x)<0h(x)<0 хэсгийг орхивол шийд гээгдэнэ! \n x∈Dx∈D үед √g(x)0g(x)0 байна.\nБодолт: D:x−1≥0⇔x≥1D:x−1≥0⇔x≥1 байна.\n √x−1=5⇒(√x−1)2=52⇒x−1=25x−1=5⇒(x−1)2=52⇒x−1=25 байна. Иймд x=26x=26 байна. Мэдээж 26>126>1 тул энэ шийд тодорхойлогдох мужид орно.\n x≥1x≥1 үед √x−1>x−2⇔[x−2<0x−1>(x−2)2x−1>x−2⇔[x−2<0x−1>(x−2)2 байна. \nx∈Dx∈D үед [[ системийн эхний тэгшитгэлийн шийд нь [1;2[[1;2[, хоёр дахь тэнцэтгэл биш нь\nx−1>(x−2)2⇔x2−5x+5<0x−1>(x−2)2⇔x2−5x+5<0\nба x2−5x+5=0⇒x1=5−√52−4⋅1⋅52=5−√52x2−5x+5=0⇒x1=5−52−4⋅1⋅52=5−52, x2=5+√52−4⋅1⋅52=5+√52x2=5+52−4⋅1⋅52=5+52 тул \n5−√520x−10 байна. Эхний тэнцэтгэл бишээс x<5−√22∪x>5+√52x<5−22∪x>5+52 болох ба x>2x>2 нөхцлийг хангах шийд нь x>5+√52x>5+52 тул x∈]5+√52;+∞[x∈]5+52;+∞[ байна."} +{"prompt":"f(x)=√x√x√x…f(x)=xxx… бол f′′(1)=?f″(1)=?","completion":"Заавар:\nБодолт: f(x)=√x√x√x…=√xf(x)⇒f(x)(x−f(x))=0f(x)=xxx…=xf(x)⇒f(x)(x−f(x))=0 болно. x>0x>0 үед f(x)>0f(x)>0 тул өмнөх томъёоноос f(x)=xf(x)=x болно. Иймд f′′(x)=0f′′(x)=0 буюу f′′(1)=0f′′(1)=0 байна."} +{"prompt":"f(x)=√x√x√x…f(x)=xxx… бол f′′(3)=?f″(3)=?","completion":"Заавар:\nБодолт: f(x)=√x√x√x…=√xf(x)⇒f(x)(x−f(x))=0f(x)=xxx…=xf(x)⇒f(x)(x−f(x))=0 болно. x>0x>0 үед f(x)>0f(x)>0 тул өмнөх томъёоноос f(x)=xf(x)=x болно. Иймд f′′(x)=0f′′(x)=0 буюу f′′(3)=0f′′(3)=0 байна."} +{"prompt":"f(x)=∫x+2x|2t−4|dtf(x)=∫xx+2|2t−4|dt бол f(x)f(x)-ийн хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: \nЗургаас харахад \nx≤2≤x+2x≤2≤x+2 буюу 0≤x≤20≤x≤2 үед f(x)f(x) хамгийн бага байхыг харах төвөггүй. Иймд x≤2≤x+2x≤2≤x+2 үед бодож хамгийн бага утгыг олъё.\nf(x)=∫x+2x|2t−4|dt=∫2x|2t−4|dt+∫x+22|2t−4|dt==∫2x−(2t−4)dt+∫x+22(2t−4)dt==−(2t−4)24∣∣∣2x+(2t−4)24∣∣∣x+22=(x−2)2+x2.f(x)=∫xx+2|2t−4|dt=∫x2|2t−4|dt+∫2x+2|2t−4|dt==∫x2−(2t−4)dt+∫2x+2(2t−4)dt==−(2t−4)24|x2+(2t−4)24|2x+2=(x−2)2+x2.\nf′(x)=2(x−2)+2x=4x−4=0⇒x=1f′(x)=2(x−2)+2x=4x−4=0⇒x=1 үед f(x)f(x) хамгийн бага байна. Иймд minf(x)=f(1)=2minf(x)=f(1)=2."} +{"prompt":"f(x)=∫x−2(t2+t−2)dtf(x)=∫−2x(t2+t−2)dt функцийн эктремумыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: f′(x)=x2+x−2=(x−1)(x+2)f′(x)=x2+x−2=(x−1)(x+2) тул\n\n\n \n …… −2−2 …… 11 ……\n \n f′(x)f′(x) ++ 00 −− 00 ++ \n \n f(x)f(x) ↗↗ maxmax ↘↘ minmin ↗↗ \n \nбайна. f(−2)=−2∫−2(t2+t−2)dt=0,f(1)=1∫−2(t2+t−2)dt=−9\/2.f(−2)=∫−2−2(t2+t−2)dt=0,f(1)=∫−21(t2+t−2)dt=−9\/2. Иймд x=−2x=−2 үед 00 максимум утгатай, x=1x=1 үед −9\/2−9\/2 минимум утгатай.\n…… −2−2 …… 11 ……\n \n f′(x)f′(x) ++ 00 −− 00 ++ \n \n f(x)f(x) ↗↗ maxmax ↘↘ minmin ↗↗"} +{"prompt":"f(x)f(x) нь дифферциалчлагдах функц бол limx→αx2f(x)−α2f(α)x−α=?limx→αx2f(x)−α2f(α)x−α=?","completion":"Заавар: f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0\nтодорхойлолт ба үржвэрийн уламжлалын\n(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v+uv′\nтомьёог ашигла.\nБодолт: g(x)=x2f(x)g(x)=x2f(x) гэвэл\ng′(α)=limx→αg(x)−g(α)x−α=limx→αx2f(x)−α2f(α)x−αg′(α)=limx→αg(x)−g(α)x−α=limx→αx2f(x)−α2f(α)x−α\nНөгөө талаас үржвэрийн уламжлалын томьёогоор\ng′(x)=(x2f(x))′=2xf(x)+x2f′(x)g′(x)=(x2f(x))′=2xf(x)+x2f′(x)\nтул\ng′(α)=2αf(α)+α2f′(α)g′(α)=2αf(α)+α2f′(α)\nбайна. Иймд\nlimx→αx2f(x)−α2f(α)x−α=2αf(α)+α2f′(α)limx→αx2f(x)−α2f(α)x−α=2αf(α)+α2f′(α)"} +{"prompt":"f(x)f(x) нь дифферциалчлагдах функц бол limx→αxf(x)−αf(α)x2−α2=?limx→αxf(x)−αf(α)x2−α2=?","completion":"Заавар: Уламжлалын тодорхойлолт юмуу Лопиталийн дүрэм ашигла.\nБодолт: Лопиталийн дүрэм ашиглавал\nlimx→αxf(x)−αf(α)x2−α2=limx→αf(x)+xf′(x)2x=f(α)+αf′(α)2αlimx→αxf(x)−αf(α)x2−α2=limx→αf(x)+xf′(x)2x=f(α)+αf′(α)2α\n(Энд αf(α)αf(α) ба α2α2 нь тогтмол тоонууд тул уламжлал нь 0 байна)."} +{"prompt":"f(x)f(x)-нь 2-р зэргийн олон гишүүнт f(x+1)−f(x)=6x+8f(x+1)−f(x)=6x+8 ба f(1)=16f(1)=16 бол f(2)f(2) хэд вэ?","completion":"Заавар: f(x+1)−f(x)=6x+8f(x+1)−f(x)=6x+8 нь дурын бодит xx тооны хувьд биелэнэ. Иймд x=1x=1-ийг орлуулахад үнэн тэнцэл үүснэ.\nБодолт: f(x+1)−f(x)=6x+8f(x+1)−f(x)=6x+8-д x=1x=1 гэж орлуулбал\nf(2)−f(1)=6⋅1+8⇒f(2)=14+16=30f(2)−f(1)=6⋅1+8⇒f(2)=14+16=30"} +{"prompt":"f(x,y)=4x2+4xy+2y2−4x+7==(ax+by−1)2+(y+c)2+d\nтул хамгийн бага утга нь x=e, y=fg үед h байна.","completion":"Заавар: Бүтэн квадрат ялгах арга ашигла:\nax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24a\nБодолт: f(x,y)-ийг x-ээс хамаарсан олон гишүүнт байдлаар бичвэл:\nf(x,y)=4x2+(4y−4)x+2y2+7=4(x+4y−42⋅4)2+2y2+7−(4y−4)24⋅4=(2x+y−1)2+2y2+7−(y−1)2=(2x+y−1)2+y2+2y+6=(2x+y−1)2+(y+1)2+5≥5\nтэнцэл зөвхөн y+1=0, 2x+y−1=0 үед л биелэх тул y=−1 ба 2x+(−1)−1=0⇒x=1 байна. Энэ үед хамгийн бага утга нь f(1,−1)=5 байна."} +{"prompt":"f(x,y)=4x2+4y2−4xy−4x−4y+9 байг.\nf(x,y)-ээс бүтэн квадрат ялгаж хялбарчилбал\nf(x,y)=(x−ay+b)2+c(x−d)2+5 болно. Иймд бүх x,y тооны хувьд f(x,y)≥5 ба x=e, y=f үед хамгийн бага утгаа авна.","completion":"Заавар: Эхлээд y-ээс хамаархан квадрат гурван гишүүнт гэж үзээд бүтэн квадрат ялга.\nax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24a\nБодолт: f(x,y)=4x2+4y2−4xy−4x−4y+9 байг.\nf(x,y)-ээс бүтэн квадрат ялгаж хялбарчилбал\nf(x,y)=4x2+4y2−4xy−4x−4y+9=4y2−(4x+4)y+4x2−4x+9=4(y−4x+42⋅4)2+4x2−4x+9−(4x+4)24⋅4=(2y−x−1)2+3x2−6x+8=(x−2y+1)2+3(x−1)2+5\nболно. Иймд бүх x, y тооны хувьд f(x,y)≥5 ба {x−2y+1=0x−1=0 үед хамгийн бага утгаа авна. Иймд хамгийн бага утга авах цэг нь (x,y)=(1,1) байна."} +{"prompt":"f(x,y)=x2+2xy+3y2−2x+2y+14 илэрхийллийг x-ийн хувьд квадрат гурван гишүүнт байхаар эмхэтгэвэл f(x,y)=x2+2(y−1)x+3y2+2y+14 болно. Үүнээс бүтэн квадрат ялгавал f(x,y)=(x+ay−b)2+cy2+dy+ef=(x+ay−b)2+c(y+g)2+hi болно. Иймд f(x,y)-ийн хамгийн бага утга hi болох ба (x,y)=(j,kl) үед хамгийн бага утгаа авна.","completion":"Заавар: x2+ax+b=(x+a2)2+b−a24\nБодолт: f(x,y)=x2+2xy+3y2−2x+2y+14 илэрхийллийг x-ийн хувьд квадрат гурван гишүүнт байхаар эмхэтгэвэл f(x,y)=x2+2(y−1)x+3y2+2y+14 болно. Үүнээс бүтэн квадрат ялгавал \nf(x,y)=(x+y−1)2+2y2+4y+13=\n=(x+y−1)2+2(y+1)2+11 болно. Иймд f(x,y)-ийн хамгийн бага утга 11 болох ба (x,y)=(2,−1) үед хамгийн бага утгаа авна."} +{"prompt":"f(θ)=(sinθ+cosθ+1)3(sinθ+cosθ−1)3−6sinθ⋅cosθ+af(θ)=(sinθ+cosθ+1)3(sinθ+cosθ−1)3−6sinθ⋅cosθ+a\nфункцийн 0∘≤θ≤90∘0∘≤θ≤90∘ завсар дахь хамгийн бага утга 0 бол a болон хамгийн бага утгаа авах θ-г ольё.\n(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ−1)=(sinθ+cosθ)2−1=sinaθ\nучир sinaθ=t орлуулга хийвэл b≤t≤c ба f(θ) функц g(t)=t3−dt+a функц болно. Иймд манай бодлого g(t) функцийн b≤t≤c завсар дахь хамгийн бага утга 0 байх a-г олох бодлого болно. g′(t)>0 тэнцэтгэл бишийг бодон өсөх завсарыг олбол ]−∞;−e[∪]f;+∞[ болно. Иймд g(t) функц t0=g үед хамгийн бага утгаа авах ба g(t0)=0 нөхцлөөс a=h болно. Энэ үед θ=ij∘ болно.","completion":"Заавар: Үндсэн адилтгал ба давхар өнцгийн томъёо хэрэглэн хялбарчил.\n\nt-ийн муж олохдоо 0∘≤θ≤90∘ тооц. Функц min утгаа буурах завсар ба өсөх завсарыг зааглаж байгаа t0 цэг дээр авдаг.\n\na-г олохдоо g(t0)=0 нөхцлөөс олно.\nБодолт: (sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ−1)=(sinθ+cosθ)2−1=\n=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ−1=sin2θ болно. 0∘≤2θ≤180∘ учир 0≤t≤1 ба f(θ) функц g(t)=t3−3t+a функц болно. Иймд манай бодлого g(t) функцийн 0≤t≤1 завсар дахь хамгийн бага утга 0 байх a-г олох бодлого болно. g′(t)=3t2−3=3(t−1)(t+1)>0 тэнцэтгэл бишийг бодон өсөх завсарыг олбол ]−∞;−1[∪]1;+∞[ болно. Иймд g(t) функц [0;1] завсарт буурах тул t0=1 үед хамгийн бага утгаа авах ба g(1)=13−3⋅1+a=0 нөхцлөөс a=2 болно. Энэ үед sin2θ=1⇒θ=45∘ болно."} +{"prompt":"f(θ)=4sin2θ−4cosθ+1 (0∘≤θ<360∘) функцийн хамгийн их, хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: sinθ=s,cosθ=c гэж орлуулбал s2+c2=1\n(үндсэн адилтгал) ба f(θ)=4s2−4c+1, (−1≤s≤1,−1≤c≤1) юм. Үндсэн адилтгалаас s2=1−c2 гэж орлуулбал\nf(θ)=4(1−c2)+4c+1,(−1≤c≤1)\n4(1−c2)−4c+1-ийн эксремум утгыг квадрат функцийн максимум, минимум олох аргаар бодно. Энд −1≤c≤1 гэдгийг анхаар.\nБодолт:"} +{"prompt":"f:X→Y инъектив функц бол f(A∩B)=f(A)∩f(B) гэж батал.","completion":"Заавар: X=Y⇔X⊆Y,Y⊆X\nБодолт: A∩B⊆A,B⇒f(A∩B)⊆f(A),f(B) тул\nf(A∩B)⊆f(A)∩f(B)\nбайна.\n\nf(A)∩f(B)⊆f(A∩B) гэж харуулъя. ∀y∈f(A)∩f(B)-ийн хувьд y∈f(A), y∈f(B) байна.\ny∈f(A)⇒∃x1∈A:y=f(x1)\ny∈f(B)⇒∃x2∈B:y=f(x2)\nНөгөө талаас f инкъектив тул f(x1)=f(x2)⇒x1=x2 тул\nx1=x2∈A∩B. Иймд\ny=f(x1)∈f(A∩B).\nӨөрөөр хэлбэл f(A)∩f(B) олонлогийн дурын элемент нь f(A∩B) олонлогийн элемент болж байгаа тул\nf(A)∩f(B)⊆f(A∩B)\nболж байна.\n\nИймд f(A∩B)=f(A)∩f(B)."} +{"prompt":"ff функцийг бүх бодит тооны хувьд f(x)=∫x20e2x+tdtf(x)=∫0x2e2x+tdt гэж тодорхойлъё. Тэгвэл f′(1)=?f′(1)=?","completion":"Заавар: f(x)=e2x∫x20etdt=e2x+t∣∣∣x20=ex2+2x−e2xf(x)=e2x∫0x2etdt=e2x+t|0x2=ex2+2x−e2x\nБодолт: e2x+t=e2x⋅ete2x+t=e2x⋅et ба e2xe2x нь tt-ээс хамаарахгүй учир\nf(x)=∫x20e2x+tdt=e2x∫x20etdt=e2x⋅et∣∣∣x20=e2x⋅(ex2−1)=ex2+2x−e2xf(x)=∫0x2e2x+tdt=e2x∫0x2etdt=e2x⋅et|0x2=e2x⋅(ex2−1)=ex2+2x−e2x\nбайна. Иймд \nf′(x)=(2x+2)⋅ex2+2x−2e2x⇒f′(1)=4e3−2e2f′(x)=(2x+2)⋅ex2+2x−2e2x⇒f′(1)=4e3−2e2\nбайна."} +{"prompt":"fn(x)=f0(x)+∫c0fn−1(t)dtfn(x)=f0(x)+∫0cfn−1(t)dt, f0(x)=−2x+1,(n=1,2,3,…,c≠1)f0(x)=−2x+1,(n=1,2,3,…,c≠1) гэж тодорхойлогдох fn(x)fn(x)-ийг ол.","completion":"Заавар: c∫0fn−1(t)dt∫0c⁡fn−1(t)dt нь xx-ээс үл хамаарах тогтмол тоо байна.\nБодолт: c∫0fn−1(t)dt∫0c⁡fn−1(t)dt тогтмол тоо\nучир an=c∫0fn−1(t)dtan=∫0c⁡fn−1(t)dt гэвэл:\nan+1=c∫0fn(t)dt=c∫0(f0(t)+an)dt=c∫0(−2t+1+an)dt=(−t2+t+ant)∣∣c0=an⋅c+c−c2an+1=∫0c⁡fn(t)dt=∫0c⁡(f0(t)+an)dt=∫0c⁡(−2t+1+an)dt=(−t2+t+ant)|0c=an⋅c+c−c2\nболно. an+1−c=c(an−c)=c2(an−1−c)=…=cn⋅(a1−c),a1−c=c∫0f0(t)dt−c=−c2an+1−c=c(an−c)=c2(an−1−c)=…=cn⋅(a1−c),a1−c=∫0c⁡f0(t)dt−c=−c2 учир\nan=−cn+1+can=−cn+1+c болно. Иймд fn(x)=−2x+1−cn+1+c.fn(x)=−2x+1−cn+1+c."} +{"prompt":"f′(x)=1x2−5x+6f′(x)=1x2−5x+6, f(4)=−ln2f(4)=−ln⁡2 бол f(x)f(x) функцийг ол.","completion":"Заавар: ∫f′(x)dx=f(x)+C∫f′(x)dx=f(x)+C байна.\nБодолт: f(x)=∫f′(x)dx=∫dxx2−5x+6=∫dx(x−2)(x−3)=∫1x−3−1x−2dx=∫dxx−3−∫dxx−2=ln|x−3|−ln|x−2|+C=ln∣∣∣x−3x−2∣∣∣+Cf(x)=∫f′(x)dx=∫dxx2−5x+6=∫dx(x−2)(x−3)=∫1x−3−1x−2dx=∫dxx−3−∫dxx−2=ln⁡|x−3|−ln⁡|x−2|+C=ln⁡|x−3x−2|+C\nбайна. Иймд\nf(4)=ln∣∣∣4−34−2∣∣∣+C=ln12+C=−ln2+Cf(4)=ln⁡|4−34−2|+C=ln⁡12+C=−ln⁡2+C\nбайна. Нөгөө талаас f(4)=−ln2f(4)=−ln⁡2 тул C=0C=0 болов. Иймд f(x)=ln∣∣∣x−3x−2∣∣∣f(x)=ln⁡|x−3x−2| байна."} +{"prompt":"f′(x)=4x2+9x−2f′(x)=4x2+9x−2, f(1)=43f(1)=43 бол f(x)=abx3−cx+df(x)=abx3−cx+d байна.","completion":"Заавар: f′(x)=g(x)f′(x)=g(x) бол\nf(x)=∫g(x)dx+Cf(x)=∫g(x)dx+C\nбайдаг.\n\nИнтегралын шугаман чанар:\n∫[αf(x)+βg(x)]dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx∫[αf(x)+βg(x)]dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx\nБодолт: f′(x)=4x2+9x−2f′(x)=4x2+9x−2 тул\nf(x)=∫4x2+9x−2dx+C=4∫x2+9∫x−2dx+C=4x33−9x+C←∫xαdx=xα+1α+1+Cf(x)=∫4x2+9x−2dx+C=4∫x2+9∫x−2dx+C=4x33−9x+C←∫xαdx=xα+1α+1+C\nбайна. Нөгөө талаас f(1)=43f(1)=43 тул\n4⋅123−91+C=43⇒C=94⋅123−91+C=43⇒C=9\nтул f(x)=4x33−9x+Cf(x)=4x33−9x+C байна."} +{"prompt":"g(x)=3x2+x+√2 функц өгөгдсөн байг. \ng(x)=a(x−2)2+bc(x−2)+de+√2 байна.","completion":"Заавар: Хоёр олон гишүүнт тэнцүү бол хувьсагчийн дурын утгууд дээр тэнцүү утгууд авах ба хувьсагчийн ижил зэргийн өмнөх коэффициентүүд нь харгалзан тэнцүү байна.\nБодолт: x2-ийн өмнөх коэффициент нь 3=a, x-ийн өмнөх коэффициент нь\n1=−4⋅a+bc=−12+bc\nтул bc=13. Түүнчлэн x=2 дээрх утга нь\ng(2)=3⋅22+2+√2=a(2−2)2+bc(2−2)+de+√2\nтул\nde=3⋅22+2=14\nбайна."} +{"prompt":"g(x)=f(x+a)+2b бол f(x) функцийн график нь g(x) функцийн графикийг ямар векторын дагуу зөөхөд гарах вэ?","completion":"Заавар: g(x)=f(x−a)+b бол g(x)-ийн график нь f(x) функцийн графикийг →p=(a;b) векторын дагуу зөөхөд гардаг. Иймд f(x)-ийн график нь g(x)-ийн графикийг үүний эсрэг чиглэл буюу −→p=(−a;−b) векторын дагуу зөөхөд гарна. Үүнийг тухайн тохиолдолд f(x)=x2 функц дээр харахад хялбар байдаг. g(x)=(x−a)2+b функцийн оройн цэг нь (a;b), f(x)-ийн оройн цэг (0;0) байх ба оройн цэгийн шилжилт нь аль чиглэлд шилжихийг заана.\nБодолт: Манай тохиолдолд g(x)=f(x−(−a))+2b тул −(−a;2b)=(a;−2b) векторын дагуу g(x)-ийг зөөхөд f(x) гарна."} +{"prompt":"g(x)=f(x−2a)−b бол f(x) функцийн график нь g(x) функцийн графикийг ямар векторын дагуу зөөхөд гарах вэ?","completion":"Заавар: g(x)=f(x−a)+b функцийн график нь f(x) функцийн графикийг (a,b) координаттай векторын дагуу зөөхөд гарна.\nБодолт: Манай тохиолдолд g(x)=f(x−2a)+(−b) тул −(2a,−b)=(−2a,b) векторын дагуу g(x)-ийг зөөхөд f(x) гарна."} +{"prompt":"g(x)=x+1∫x|t(t−3)|dt(0≤x≤3)g(x)=∫xx+1|t(t−3)|dt(0≤x≤3)\nфункцийн хамгийн их ба бага утгыг ол. Тэр үеийн xx-ийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: |t(t−3)|={−t(t−3),0≤x≤3t(t−3),бусад үед|t(t−3)|={−t(t−3),0≤x≤3t(t−3),бусад үед\n\n0≤x≤20≤x≤2 үед 1≤x+1≤31≤x+1≤3 тул g(x)=−x+1∫xt(t−3)dt=−x2+2x+76=−(x−1)2+136g(x)=−∫xx+1t(t−3)dt=−x2+2x+76=−(x−1)2+136 болно. 20 байг. C:y=x2 параболын (k,k2) цэгт татсан шүргэгч шулууныг ℓ гэе.","completion":"Заавар: f(x) функцийн графикийн (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) байдаг. \n y=x2 парабол, түүний x=α>0 цэгт татсан шүргэгч шулуун ба x=0 босоо шулуунаар зааглагдсан хэсгийн талбай нь:\nS=α∫0x2−(2αx−α2)dx=α∫0(x−α)2dx\nтодорхой интегралаар илэрхийлэгдэнэ.\n\n Өмнөх хэсгийн томъёог ашиглан бод.\nБодолт: f(x)=x2 параболын (k,f(k)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(k)(x−k)+f(k)=2k(x−k)+k2=2kx2−k2 байна. \n Зааварт байгаа томъёог ашиглан бодъё. y=x2 парабол, түүний x=k цэгт татсан шүргэгч шулуун ба x=0 босоо шулуунаар зааглагдсан хэсгийн талбай нь:\nS=k∫0(x−k)2dx=(x−k)33|k0=(k−k)33−(0−k)33=k33. \n k33=72⇒k=6.\nЗаавар:\nБодолт: \nЗурагт үзүүлсэн дурсийн талбай нь:\nS=∫βαa(x−β)2dx=a3(β−α)3,a>0\n y′=2x байна. f(x) функцийн (x0,f(x0))-цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) тул y=x2-ийн (k,k2) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=2k(x−k)+k2=2kx−k2 байна.\n\n Уг дүрсийн талбай нь ∫k0x2−2kx+k2dx=∫k0(x−k)2dx=(x−k)33|k0=k33.\n\n k33=72. Иймд k=6 байна.\nЗаавар: \nЗурагт үзүүлсэн дурсийн талбай нь:\nS=∫βαa(x−β)2dx=a3(β−α)3,a>0\nБодолт: y′=2x байна. f(x) функцийн (x0,f(x0))-цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) тул y=x2-ийн (k,k2) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=2k(x−k)+k2=2kx−k2 байна.\n\n Уг дүрсийн талбай нь ∫k0x2−2kx+k2dx=∫k0(x−k)2dx=(x−k)33|k0=k33.\n\n k33=72. Иймд k=6 байна."} +{"prompt":"k>0k>0 байг. C:y=−x2C:y=−x2 параболын (k,−k2)(k,−k2) цэгт татсан шүргэгч шулууныг ℓℓ гэе.","completion":"Заавар: \nЗурагт үзүүлсэн дурсийн талбай нь:\nS=∫βαa(x−β)2dx=a3(β−α)3,a>0S=∫αβa(x−β)2dx=a3(β−α)3,a>0\nБодолт: y′=−2xy′=−2x байна. f(x)f(x) функцийн (x0,f(x0))(x0,f(x0))-цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) тул y=−x2y=−x2-ийн (k,−k2)(k,−k2) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=−2k(x−k)−k2=−2kx+k2y=−2k(x−k)−k2=−2kx+k2 байна.\n\n Уг дүрсийн талбай нь ∫k0x2−2kx+k2dx=∫k0(x−k)2dx=(x−k)33∣∣k0=k33.∫0kx2−2kx+k2dx=∫0k(x−k)2dx=(x−k)33|0k=k33.\n\n k33=9k33=9. Иймд k=3k=3 байна."} +{"prompt":"kk параметрийн ямар утганд kx2+12x−3=0kx2+12x−3=0 тэгшитгэлийн нэг шийд нь 1515 байх вэ?","completion":"Заавар: xx-ийн оронд 1515-ийг орлуулахад үнэн тэнцэл үүснэ.\nБодолт: 1515 шийд тул\nk⋅(15)2+12⋅15−3=0k⋅(15)2+12⋅15−3=0\nбайна. Эндээс\nk=25⋅(3−125)=75−60=15.k=25⋅(3−125)=75−60=15."} +{"prompt":"l:y=m(x−2)+5,C:y=x2 байг. l ба C-ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S, (2,5) цэгийг дайрсан l-д перпендикуляр шулууныг l1 гэе. l1 ба C-ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S2 гэе. S1=S2 бай�� m-ийн бүх утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: l ба C-ийн огтлолцолын цэгүүдийн абсциссуудыг α,β(α<β) гэе.\nx2−mx+2m−5=0⋯(1)\nD=(−m)2−4(2m−5)=m2−8m+20=(m−4)2+4 тул\nβ−α=m+√(m−4)2+42−m−√(m−4)2+42=√(m−4)2+4\nболно. Иймд \nS1=β∫α(m(x−2)+5−x2)dx=−β∫α(x−α)(x−β)dx=(β−α)36=(√(m−4)2+4)36 \nl1:y=−1\/m⋅(x−2)+5 тул дээрхтэй ижлээр\nS2=(√(−1\/m−4)2+4)36 болно. S1=S2 тэгшитгэл нь\n(m−4)2=(−1\/m−4)2 гэдгээс\n(m−4−1\/m−4)(m−4+1m+4)=m2−8m−1m⋅m2+1m=0 тэгшитгэлд шилжинэ. Иймд m=4±√17 болно."} +{"prompt":"lg(x2+y2)=2−lg5lg(x+y)+lg(x−y)=lg12}\nсистемийг бод.","completion":"Заавар: 2−lg5=lg100−lg5=lg1005=lg20, lg(x+y)+log(x−y)=lg(x+y)(x−y)=lg(x2−y2) байна.\n\nМөн x2+y2>0, x+y>0, x−y>0 байх ёстойг анхаар.\nБодолт: {lg(x2+y2)=2−lg5lg(x+y)+lg(x−y)=lg12⇔{lg(x2+y2)=lg20lg(x2−y2)=lg12⇔{x2+y2=20x2−y2=12\nба сүүлийн хоёр тэгшитгэлийн нийлбэр нь 2x2=32⇒x=±4, ялгавар нь 2y2=8⇒y=±2 байна. Эдгээр нь (4;2), (4;−2), (−4;2), (−4;−2) гэсэн шийдүүд өгөх бөгөөд x+y>0 байх ёстой тул сүүлийн 2 нь шийд болохгүй.\n\nЭнэ тэгшитгэлийн хувьд шийдийг шууд шалгаад олох нь хамгийн хялбар бодолт байна."} +{"prompt":"lg2x+2log100x−6=0lg2⁡x+2log100⁡x−6=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: loganb=1nlogablogan⁡b=1nloga⁡b болохыг ашиглавал 2log100x=lgx2log100⁡x=lg⁡x. Цааш нь t=lgxt=lg⁡x орлуулга хийж бод.\nБодолт: Заавар ёсоор lg2x+2log100x−6=lg2x+lgx−6=t2+t−6=0lg2⁡x+2log100⁡x−6=lg2⁡x+lg⁡x−6=t2+t−6=0 болно. Эндээс t1,2=−1±√1−4⋅1⋅(−6)2⋅1t1,2=−1±1−4⋅1⋅(−6)2⋅1\nтул t1=−1+52=2t1=−1+52=2, t2=−1−52=−3t2=−1−52=−3.\n\nОрлуулгаа буцааж шийдүүдээ олбол \nlgx1=2⇒x1=102=100,lgx2=−3⇒x2=10−3=0.001.lg⁡x1=2⇒x1=102=100,lg⁡x2=−3⇒x2=10−3=0.001."} +{"prompt":"lg8−lg√x+6=lg16−lg(x−2)lg⁡8−lg⁡x+6=lg⁡16−lg⁡(x−2) тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: x+6>0x+6>0, x−2>0x−2>0 ба 8√x+6=16x−28x+6=16x−2 байна. Тэгшитгэлийг хариунаас нь бод.\nБодолт:\nЗаавар: Аль тоо шийд болохыг шууд шалга.\nБодолт: x=10x=10 үед lg8−lg√10+6=lg16−lg8=lg2lg⁡8−lg⁡10+6=lg⁡16−lg⁡8=lg⁡2 болж шийд болов."} +{"prompt":"lgx+lg(x−3)=lg(x−4)lg⁡x+lg⁡(x−3)=lg⁡(x−4) бол x=?x=?","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь D=]4;+∞[D=]4;+∞[. logab+logac=loga(bc)loga⁡b+loga⁡c=loga⁡(bc) томъёо ба logab=logac⇔b=cloga⁡b=loga⁡c⇔b=c гэдгийг ашиглан бод.\nБодолт: lgx+lg(x−3)=lg(x−4)lg⁡x+lg⁡(x−3)=lg⁡(x−4) тул lgx(x−3)=lg(x−4)⇔x(x−3)=x−4lg⁡x(x−3)=lg⁡(x−4)⇔x(x−3)=x−4 байна. Эндээс x2−3x=x−4⇒x2−4x+4=(x−2)2=0.x2−3x=x−4⇒x2−4x+4=(x−2)2=0. Иймд x=2x=2 болно. Гэтэл x=2x=2 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй. Өөрөөр хэлбэл x=2x=2 үед lg(2−3),log(2−4)lg⁡(2−3),log⁡(2−4) илэрхийллүүд тодорхойлогдохгүй тул тэгшитгэл шийдгүй."} +{"prompt":"lgx+lg2x=lg3xlg⁡x+lg⁡2x=lg⁡3x тэгшитгэлийг бод","completion":"Заавар: logab+logac=logabcloga⁡b+loga⁡c=loga⁡bc болохыг ашигла.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x>0x>0 байна. lgx+lg2x=lgx(2x)=lg2x2=log3x⇒2x2=3xlg⁡x+lg⁡2x=lg⁡x(2x)=lg⁡2x2=log⁡3x⇒2x2=3x болно. x≠0x≠0 тул 2x=3⇒x=1.52x=3⇒x=1.5 болно. x=1.5x=1.5 нь үнэхээр шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш."} +{"prompt":"lgx+lg2x=lg8x тэгшитгэлийг бод","completion":"Заавар: logab+logac=logabc болохыг ашигла.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x>0 байна. lgx+lg2x=lgx(2x)=lg2x2=log8x⇒2x2=8x болно. x≠0 тул 2x=8⇒x=4 болно. x=4 нь үнэхээр шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш."} +{"prompt":"lg√y−12√lgy=3lg⁡y−12lg⁡y=3 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: √lgy=alg⁡y=a орлуулга хий. aa - ийн тэмдгийг анхаараарай.\nБодолт: √lgy=alg⁡y=a орлуулга хийвэл a≥0a≥0 байна. lg√y−12√lgy=3⇒12a2−12a=3⇒a2−a−6=0lg⁡y−12lg⁡y=3⇒12a2−12a=3⇒a2−a−6=0 болно. a2−a−6=0⇒a1,2=1±√1+242⇒a=3∨a=−2a2−a−6=0⇒a1,2=1±1+242⇒a=3∨a=−2. a≥0a≥0 тооцвол a=3⇒lgy=9⇒y=109.a=3⇒lg⁡y=9⇒y=109."} +{"prompt":"limn→+∞1+3+⋯+(2n+1)n2+2n−1=?limn→+∞1+3+⋯+(2n+1)n2+2n−1=?","completion":"Заавар: 1+3+⋯+(2n+1)=(n+1)21+3+⋯+(2n+1)=(n+1)2 болохыг ашигла.\nБодолт: limn→+∞1+3+⋯+(2n+1)n2+2n−1=limn→+∞n2+2n+1n2+2n−1=limn→+∞1+2n+1n21+2n−1n2=1+0+01+0−0=1limn→+∞1+3+⋯+(2n+1)n2+2n−1=limn→+∞n2+2n+1n2+2n−1=limn→+∞1+2n+1n21+2n−1n2=1+0+01+0−0=1"} +{"prompt":"limn→+∞2n3n=?limn→+∞2n3n=?","completion":"Заавар: |b|<1|b|<1 бол limn→+∞bn=0limn→+∞bn=0 байдаг.\nБодолт: limn→+∞2n3n=limn→+∞(23)n=0limn→+∞2n3n=limn→+∞(23)n=0"} +{"prompt":"limn→+∞n2+1−2n2+3n=?limn→+∞n2+1−2n2+3n=?","completion":"Заавар: Хүртвэр хуваарийг n2n2-д хуваа.\nБодолт: limn→+∞n2+1−2n2+3n=limn→+∞1+1n2−2+3n=1+0−2+0=−12limn→+∞n2+1−2n2+3n=limn→+∞1+1n2−2+3n=1+0−2+0=−12."} +{"prompt":"limn→∞(1−13+19−⋯+(−13)n)limn→∞(1−13+19−⋯+(−13)n) хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: |q|<1|q|<1 хуваарьтай төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь b1+b1q+b2q2+⋯=limn→∞(b1+b1q+⋯+b1qn)=b11−qb1+b1q+b2q2+⋯=limn→∞(b1+b1q+⋯+b1qn)=b11−q байдаг.\nБодолт: Манай бодлогын хувьд b1=1b1=1, q=−13q=−13 тул limn→∞(1−13+19−⋯+(−13)n)=11−(−13)=34.limn→∞(1−13+19−⋯+(−13)n)=11−(−13)=34."} +{"prompt":"limn→∞(√n2+1−√n2−1)sin(n2)limn→∞(n2+1−n2−1)sin⁡(n2) хязгаар бод.","completion":"Заавар: xn≤yn≤znxn≤yn≤zn ба S=limn→∞xn=limn→∞znS=limn→∞xn=limn→∞zn бол limn→∞yn=Slimn→∞yn=S байна.\nБодолт: limn→∞(√n2+1−√n2−1)=limn→∞(n2+1)−(n2−1)√n2+1+√n2−1=limn→∞(n2+1−n2−1)=limn→∞(n2+1)−(n2−1)n2+1+n2−1=\n=limn→∞2√n2+1+√n2−1=0=limn→∞2n2+1+n2−1=0\nба −1≤sin(n2)≤1−1≤sin⁡(n2)≤1 тул\n−(√n2+1−√n2−1)≤(√n2+1−√n2−1)sin(n2)≤√n2+1−√n2−1−(n2+1−n2−1)≤(n2+1−n2−1)sin⁡(n2)≤n2+1−n2−1\nтэнцэтгэлд бишид хязгаарт шилжвэл\n0≤limn→∞(√n2+1−√n2−1)sin(n2)≤00≤limn→∞(n2+1−n2−1)sin⁡(n2)≤0\nболно. Иймд limn→∞(√n2+1−√n2−1)sin(n2)=0limn→∞(n2+1−n2−1)sin⁡(n2)=0 байна."} +{"prompt":"limn→∞(√n2+3n+1−√n2−n−1)limn→∞(n2+3n+1−n2−n−1) хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: √a−√b=a−b√a+√ba−b=a−ba+b ба limn→∞1nα=0limn→∞1nα=0, (α>0α>0) болохыг ашиглан бод.\nБодолт: limn→∞(√n2+3n+1−√n2−n−1)==limn→∞(n2+3n+1)−(n2−n−1)√n2+3n+1+√n2−n−1=limn→∞4n√n2+3n+1+√n2−n−1=limn→∞4√1+3n+1n2+√1−1n−1n2=4√1+0+0+√1−0−0=2limn→∞(n2+3n+1−n2−n−1)==limn→∞(n2+3n+1)−(n2−n−1)n2+3n+1+n2−n−1=limn→∞4nn2+3n+1+n2−n−1=limn→∞41+3n+1n2+1−1n−1n2=41+0+0+1−0−0=2"} +{"prompt":"limn→∞(√n2−n−n)limn→∞(n2−n−n) хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: √a−b=a−b2√a+ba−b=a−b2a+b ба limn→∞1nα=0limn→∞1nα=0, (α>0α>0) болохыг ашиглан бод.\nБодолт: limn→∞(√n2−n−n)=limn→∞(n2−n)−n2√n2−n+n=limn→∞−n√n2−n+n←:n:n=limn→∞−1√1−1n+1=−1√1+0+1=−12limn→∞(n2−n−n)=limn→∞(n2−n)−n2n2−n+n=limn→∞−nn2−n+n←:n:n=limn→∞−11−1n+1=−11+0+1=−12"} +{"prompt":"limn→∞(√n3+1−√n3−1)cos(n3)limn→∞(n3+1−n3−1)cos⁡(n3) хязгаар бод.","completion":"Заавар: Дурын nn тооны хувьд xn≤yn≤znxn≤yn≤zn ба A=limn→∞xn=limn→∞znA=limn→∞xn=limn→∞zn бол limn→∞yn=Alimn→∞yn=A байна.\nБодолт: A=limn→∞(√n3+1−√n3−1)=limn→∞(√n3+1−√n3−1)(√n3+1+√n3−1)√n3+1+√n3−1=limn→∞(n3+1)−(n3−1)√n3+1+√n3−1=limn→∞2√n3+1+√n3−1=limn→∞2√n3√1+1n3+√1−1n3=02=0A=limn→∞(n3+1−n3−1)=limn→∞(n3+1−n3−1)(n3+1+n3−1)n3+1+n3−1=limn→∞(n3+1)−(n3−1)n3+1+n3−1=limn→∞2n3+1+n3−1=limn→∞2n31+1n3+1−1n3=02=0\nбайна. Нөгөө талаас −1≤cos(n3)≤1−1≤cos⁡(n3)≤1 тул\n−(√n3+1−√n3−1)≤(√n3+1−√n3−1)cos(n3)≤(√n3+1−√n3−1)−(n3+1−n3−1)≤(n3+1−n3−1)cos⁡(n3)≤(n3+1−n3−1)\nбайна. Иймд limn→∞(√n3+1−√n3−1)cos(n3)=0limn→∞(n3+1−n3−1)cos⁡(n3)=0"} +{"prompt":"limn→∞1+3+5+⋯+(2n−1)n2limn→∞1+3+5+⋯+(2n−1)n2 хязгаарыг ол.","completion":"Заавар: 1+3+⋯+(2n−1)=n21+3+⋯+(2n−1)=n2\nБодолт: limn→∞1+3+5+⋯+(2n−1)n2=limn→∞n2n2=1limn→∞1+3+5+⋯+(2n−1)n2=limn→∞n2n2=1"} +{"prompt":"limn→∞1n2(1+2+⋯+n)limn→∞1n2(1+2+⋯+n) хязгаар бод.","completion":"Заавар: Нэмэгдэхүүний тоо хувьсах үед хязгаарын үндсэн теорем ашиглан нэмэгдэхүүн тус бүрийн хязгаарт шилжиж болохгүй. Иймд нийлбэрээ эхлээд олох хэрэгтэй.\nБодолт: limn→∞1n2(1+2+⋯+n)=limn→∞n(n+1)2n2==limn→∞1+1n2=1+02=12limn→∞1n2(1+2+⋯+n)=limn→∞n(n+1)2n2==limn→∞1+1n2=1+02=12"} +{"prompt":"limn→∞3√8n3−4n+1−3n√n2−3+3nlimn→∞8n3−4n+13−3nn2−3+3n хязгаар бод.","completion":"Заавар: Хүртвэр ба хуваарийг nn-д хуваагаад хязгаарын үндсэн теорем ашигла.\nБодолт: Х=limn→∞3√8n3−4n+1−3n√n2−3+3n:n:n=limn→∞3√8−4n2+1n3−3√1−3n2+3=3√8−0+0−3√1−0+3=2−31+3=−14Х=limn→∞8n3−4n+13−3nn2−3+3n:n:n=limn→∞8−4n2+1n33−31−3n2+3=8−0+03−31−0+3=2−31+3=−14"} +{"prompt":"limn→∞3⋅5n−1+3n+15n+3n=?limn→∞3⋅5n−1+3n+15n+3n=? хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: |a|<1|a|<1 бол limn→∞an=0limn→∞an=0 байдаг.\nБодолт: limn→∞3⋅5n−1+3n+15n+3n=limn→∞(3⋅5n−1+3n+1):5n(5n+3n):5n=limn→∞3⋅5n−1+3n+15n+3n=limn→∞(3⋅5n−1+3n+1):5n(5n+3n):5n=\n=limn→∞(3⋅5−1+3⋅3n5n)(1+3n5n)=35+3⋅01+0=35=limn→∞(3⋅5−1+3⋅3n5n)(1+3n5n)=35+3⋅01+0=35"} +{"prompt":"limn→∞4⋅13n+1−11n8⋅13n+11nlimn→∞4⋅13n+1−11n8⋅13n+11n хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: Хүртвэр ба хуваарийг 13n13n-д хуваагаад |q|<1|q|<1 бол limn→∞qn=0limn→∞qn=0 болохыг ашигла.\nБодолт: limn→∞4⋅13n+1−11n8⋅13n+11n=limn→∞4⋅13−(1113)n8+(1113)n=4⋅13−08+0=132limn→∞4⋅13n+1−11n8⋅13n+11n=limn→∞4⋅13−(1113)n8+(1113)n=4⋅13−08+0=132"} +{"prompt":"limn→∞5⋅3n+1−2n+13n+2nlimn→∞5⋅3n+1−2n+13n+2n хязгаарыг бод.","completion":"Заавар: Хүртвэр хуваарийг 3n3n-д хувааж limx→0xn=0limx→0xn=0, |x|<1|x|<1-ийг ашигла.\nБодолт: limn→∞5⋅3n+1−2n+13n+2n=limn→∞15−2⋅(23)n1+(23)n=limn→∞5⋅3n+1−2n+13n+2n=limn→∞15−2⋅(23)n1+(23)n=\n=limn→∞(15−2⋅(23)n)limn→∞(1+(23)n)=15−2⋅01+0=15=limn→∞(15−2⋅(23)n)limn→∞(1+(23)n)=15−2⋅01+0=15"} +{"prompt":"limn→∞ln3n√n=0limn→∞ln3⁡nn=0 болохыг батал.","completion":"Заавар: limn→∞lnnn=0limn→∞ln⁡nn=0 болохыг ашигла.\nlimn→∞lnnn=limn→∞lnn1n=0⇔limn→∞n1n=1limn→∞ln⁡nn=limn→∞ln⁡n1n=0⇔limn→∞n1n=1\nбайна.\nБодолт: A=limn→∞ln3n√nA=limn→∞ln3⁡nn гэвэл\nA2=limn→∞ln6nn=limt→∞ln6t6t6=6⋅(limt→∞lntt)6=6⋅06=0A2=limn→∞ln6⁡nn=limt→∞ln6⁡t6t6=6⋅(limt→∞ln⁡tt)6=6⋅06=0"} +{"prompt":"limn→∞n2+3n−21+2+⋯+nlimn→∞n2+3n−21+2+⋯+n хязгаарыг ол.","completion":"Заавар: 1+2+⋯+n1+2+⋯+n нийлбэрийг эхэлж бод.\nБодолт: 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+⋯+n=n(n+1)2 тул\nХязгаар=limn→∞n2+3n−21+2+⋯+n=limn→∞n2+3n−2n(n+1)2=2⋅limn→∞n2+3n−2n2+n←:n2:n2=2⋅limn→∞1+3n−2n21+1n=2⋅1+0+01+0=2Хязгаар=limn→∞n2+3n−21+2+⋯+n=limn→∞n2+3n−2n(n+1)2=2⋅limn→∞n2+3n−2n2+n←:n2:n2=2⋅limn→∞1+3n−2n21+1n=2⋅1+0+01+0=2"} +{"prompt":"limn→∞n2+62+n+3n2=?limn→∞n2+62+n+3n2=?","completion":"Заавар: Хүртвэр ба хуваарийн ахлах гишүүний зэрэг ба коэффициентүүдийг ол. Энэ төрлийн хязгаарыг бодохдоо хүртвэр ба хуваарьт байгаа nn-ийн хамгийн их зэрэгт хувааж хязгаарын үндсэн теорем ашиглан тус бүрийн хязгаарт шилжиж бодно.\nБодолт: limn→∞n2+62+n+3n2=limn→∞n2+6n22+n+3n2n2=limn→∞n2+62+n+3n2=limn→∞n2+6n22+n+3n2n2=\n=limn→∞1+6n22n2+1n+3=1+00+0+3=13=limn→∞1+6n22n2+1n+3=1+00+0+3=13"} +{"prompt":"limn→∞n√2n3+13n3−2limn→∞2n3+13n3−2n хязгаар бод.","completion":"Заавар: n√2n3+13n3−2=elnn√2n3+13n3−22n3+13n3−2n=eln⁡2n3+13n3−2n\nexex тасралтгүй функц болохыг ашигла.\nБодолт: limn→∞n√2n3+13n3−2=limn→∞elnn√2n3+13n3−2=elimn→∞lnn√2n3+13n3−2=elimn→∞(1nln2n3+13n3−2)=elimn→∞1n⋅limn→∞ln2n3+13n3−2=e0⋅ln23=1limn→∞2n3+13n3−2n=limn→∞eln⁡2n3+13n3−2n=elimn→∞ln⁡2n3+13n3−2n=elimn→∞(1nln⁡2n3+13n3−2)=elimn→∞1n⋅limn→∞ln⁡2n3+13n3−2=e0⋅ln⁡23=1"} +{"prompt":"limn→∞n√3n−2nlimn→∞3n−2nn хязгаар бод.","completion":"Заавар: Дурын 0<ε<10<ε<1 тоо сонгон авахад 3n−2n>(3−ε)n3n−2n>(3−ε)n тэнцэтгэл биш хангалттай их nn бүрийн хувьд биелэнэ.\nБодо��т: n√3n−2n<33n−2nn<3 байх нь ойлгомжтой. Нөгөө талаас ямар ч 0<ε0<ε тоо авахад хангалттай их nn тоо бүрийн хувьд\n3−ε(5−ε)n5n−3n>(5−ε)n тэнцэтгэл биш хангалттай их nn бүрийн хувьд биелэнэ.\nБодолт: n√5n−3n<55n−3nn<5 байх нь ойлгомжтой. Нөгөө талаас ямар ч 0<ε0<ε тоо авахад хангалттай их nn тоо бүрийн хувьд 5−εx2>0\nБодолт: log0.1(2x−4)≤log0.1(7−x)⇔2x−4≥7−x>0\nболно. Иймд\n{2x−4≥7−x7−x>0\nболно.\n2x−4≥7−x⇔2−(x−4)(7−x)x−4≥0⇔\nx2−11x+60x−4=(x−5)(x−6)x−4≥0\nба интервалын аргаар бодвол\n\nx∈]4;5]∪[6;+∞[ байна.\n\n7−x>0 болохыг тооцвол бодлогын шийд\n40D:x−2>0 байна. \n\n14=0.25<114=0.25<1 тул log0.254≤log14(x−2)⇔4≥x−2⇔x≤6log0.25⁡4≤log14⁡(x−2)⇔4≥x−2⇔x≤6\n\nТодорхойлогдож мужаа тооцвол 202x−1>0, 2x−1≠12x−1≠1, log2x−112≠0log2x−1⁡12≠0 тул ]0.5;1[∪]1;+∞[]0.5;1[∪]1;+∞[ байна.\n\nТүүнчлэн тодорхойлогдох муж дээрээ log0.5(x+1)≥1log2x−112=log12(2x−1)log0.5⁡(x+1)≥1log2x−1⁡12=log12⁡(2x−1) байна.\nБодолт: 0.5=12<10.5=12<1 тул log0.5(x+1)≥log12(2x−1)⇔x+1≤2x−1⇒2≤xlog0.5⁡(x+1)≥log12⁡(2x−1)⇔x+1≤2x−1⇒2≤x байна. Эдгээр нь бүгд тодорхойлогдох мужид орох тул шийд болно."} +{"prompt":"log0.55≤log12(2x−1)log0.5⁡5≤log12⁡(2x−1) тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 00loga⁡x≤loga⁡y⇔x≥y>0\nбайна.\nБодолт: 12=0.5<112=0.5<1 тул \nlog0.55≤log12(2x−1)⇔5≥2x−1>0log0.5⁡5≤log12⁡(2x−1)⇔5≥2x−1>0\n⇔6≥2x>1⇔0.51⇔0.5−3D:x>−3, −x>0⇔−30⇔−3−2log12⁡(x2+x−2)>−2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Логарифмийн суурь нь 1-ээс бага тул\nlog12(x2+x−2)>−2⇔⎧⎪⎨⎪⎩x2+x−2<(12)−2=4x2+x−2>0log12⁡(x2+x−2)>−2⇔{x2+x−2<(12)−2=4x2+x−2>0\nбайна.\nБодолт: log12(x2+x−2)>−2⇔⎧⎪⎨⎪⎩x2+x−2<(12)−2=4x2+x−2>0⇔log12⁡(x2+x−2)>−2⇔{x2+x−2<(12)−2=4x2+x−2>0⇔\n{x2+x−6<0x2+x−2>0⇔{(x+3)(x−2)<0(x+2)(x−1)>0⇔{−31{x2+x−6<0x2+x−2>0⇔{(x+3)(x−2)<0(x+2)(x−1)>0⇔{−31\nтул x∈(−3;−2)∪(1;2)x∈(−3;−2)∪(1;2) байна.\nЗаавар: 0logac⇔0loga⁡c⇔0−2⇔0−2⇔0101 ба x2+x−6<0⇔−31log13⁡(x−1)−log19⁡(9−4x)>1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь: D:{x−1>09−4x>0⇔109−4x>0⇔11=log1919⇔(x−1)29−4x<19⇔log19⁡(x−1)29−4x>1=log19⁡19⇔(x−1)29−4x<19⇔\n9x2−18x+9−9+4x9−4x<0⇔9x2−14x9−4x<09x2−18x+9−9+4x9−4x<0⇔9x2−14x9−4x<0\nx∈Dx∈D буюу 10x9−4x>0 тул\n9x2−14x9−4x<0⇔9x−14<0⇔x<1499x2−14x9−4x<0⇔9x−14<0⇔x<149\nбайна. 149<94149<94 тул тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]1;149[]1;149[ байна.\n\nСанамж: Мөн л хариунаас бодох ашиглавал хялбар байна. x=1x=1, x=2x=2 утгууд ба тодорхойлогдох мужийг ашиглан хариуг олоорой!"} +{"prompt":"log15(x−4)−log5(8−x)≥−1log15⁡(x−4)−log5⁡(8−x)≥−1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: log15a=−log5alog15⁡a=−log5⁡a ба үржвэрийн логарифмийн томьёо, y=log5xy=log5⁡x функц өсөх функц болохыг ашиглан бод! Тодорхойлогдох мужийг анхаар!\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x−4>0x−4>0, 8−x>08−x>0 буюу 40x2−4x+27=(x−2)2+23>0 тул тэнцэтгэл биши дурын xx-ийн хувьд биелэнэ. Иймд тодорхойлогдох муж нь тэнцэтгэл бишийн шийд болно."} +{"prompt":"log2(x+1)+log2(x+2)=1log2⁡(x+1)+log2⁡(x+2)=1","completion":"Заавар: Шийдийг шууд шалга.\nБодолт: x=0x=0 үед\nlog2(0+1)+log2(0+2)=log21+log22=0+1=1log2⁡(0+1)+log2⁡(0+2)=log2⁡1+log2⁡2=0+1=1\nтул шийд болно."} +{"prompt":"log2(x+2)>logx+216log2⁡(x+2)>logx+2⁡16 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Шийдийг хялбар шалгаж болох тоонуудыг олж сонголтыг багасга. x=6x=6, x=−1.5x=−1.5 тоонууд шийд болох уу?\nБодолт: x=6x=6 үед log2(6+2)=3log2⁡(6+2)=3, log6+216=log2324=43log6+2⁡16=log23⁡24=43 тул\nlog2(6+2)>log6+216log2⁡(6+2)>log6+2⁡16\nбуюу шийд байна. x=−1.5x=−1.5 үед log2(−1.5+2)=−1log2⁡(−1.5+2)=−1, log−1.5+216=−4log−1.5+2⁡16=−4 тул\nlog2(−1.5+2)>log−1.5+216log2⁡(−1.5+2)>log−1.5+2⁡16\nболж мөн л шийд болж байна. −1.5−1.5 ба 66 утгуудыг зэрэг агуулах муж нь зөвхөн (−1.75;−1)∪(2;+∞)(−1.75;−1)∪(2;+∞) байна."} +{"prompt":"log2(x+3)ax>a мужид тодорхойлогдоно. Тэгшитгэлээ хувирган потенциачилбал (x2+b)(x2−1)=c(x2+b)(x2−1)=c тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс x=√dx=d шийд олдоно.","completion":"Заавар: 2 суурьт шилжүүлээд потенциалчил.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x2+3>0x2+3>0, x−1>0x−1>0, x+1>0x+1>0 тэнцэтгэл бишүүдээр тодорхойлогдох тул x>1x>1 байна.\nlog2(x2+3)+log125=2log14(x−1)−log2(x+1)⇔log2⁡(x2+3)+log12⁡5=2log14⁡(x−1)−log2⁡(x+1)⇔\nlog2(x2+3)+log25log212=2log2(x−1)log214−log2(x+1)⇔log2⁡(x2+3)+log2⁡5log2⁡12=2log2⁡(x−1)log2⁡14−log2⁡(x+1)⇔\nlog2(x2+3)−log25=−log2(x−1)−log2(x+1)⇔log2⁡(x2+3)−log2⁡5=−log2⁡(x−1)−log2⁡(x+1)⇔\nlog2(x2+3)+log2(x−1)+log2(x+1)=log25⇔log2⁡(x2+3)+log2⁡(x−1)+log2⁡(x+1)=log2⁡5⇔\nlog2(x2+3)(x2−1)=log25log2⁡(x2+3)(x2−1)=log2⁡5\nболох ба тэгшитгэлийг потенциалчилбал\n(x2+3)(x2−1)=5⇔x4+2x2−8=0(x2+3)(x2−1)=5⇔x4+2x2−8=0\nба x2>0x2>0 тул x2=2⇒x=√2x2=2⇒x=2 байна."} +{"prompt":"log2(x−1)=3log2⁡(x−1)=3 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: logab=c⇒b=acloga⁡b=c⇒b=ac\nБодолт: log2(x−1)=3⇒x−1=23⇒x=9log2⁡(x−1)=3⇒x−1=23⇒x=9 байна."} +{"prompt":"log2(x−2)+log14(3x−4)+0.5=0log2⁡(x−2)+log14⁡(3x−4)+0.5=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=4x=4 шийд болохыг шалгая.\nЗГТ=log2(4−2)+log14(3⋅4−4)+0.5=log22+log148+0.5=1+(−1.5)+0.5=0ЗГТ=log2⁡(4−2)+log14⁡(3⋅4−4)+0.5=log2⁡2+log14⁡8+0.5=1+(−1.5)+0.5=0"} +{"prompt":"log20.5x+log0.5x−2≤0log0.52⁡x+log0.5⁡x−2≤0 тэнцэтгэл бишийг\nбод.","completion":"Заавар: t=log0.5xt=log0.5⁡x орлуулга ашигла.\nБодолт: t=log0.5xt=log0.5⁡x гэвэл t2+t−2≤0t2+t−2≤0 болно. Эндээс (t+2)(t−1)≤0(t+2)(t−1)≤0 тул −2≤t≤1−2≤t≤1 буюу\n−2≤log0.5x≤1⇔0.5−2≥x≥0.51−2≤log0.5⁡x≤1⇔0.5−2≥x≥0.51\nболно. Иймд 12≤x≤412≤x≤4 байна."} +{"prompt":"log213(x−1)+3≥−45log13(x−1)5 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=113, x=28 тоонууд тэнцэтгэл бишийн шийд, x=10 шийд биш тул зөвхөн (1;4]∪[28;+∞) хариу зөв байна.\nЗаавар: Тодорхойлогдох муж нь x>1 ба 45log13(x−1)5=4log13(x−1) байна. Цааш нь t=log13(x−1) орлуулга ашиглан бод.\nБодолт: t=log13(x−1) гэвэл t2+3≥−4t⇔t2+4t+3=(t+3)(t+1)≥0\nболно. Иймд t≤−3∨t≥−1 болох тул x>1 үед\n[log13(x−1)≤−3log13(x−1)≥−1⇔[x−1≥(13)−3x−1≤(13)−1⇔[x≥27x≤4\nболно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь (1;4]∪[28;+∞) байна."} +{"prompt":"log23x−log316⋅log2x+3=0log32⁡x−log3⁡16⋅log2⁡x+3=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: log316=4log32log3⁡16=4log3⁡2 байна. logab⋅logbc=logacloga⁡b⋅logb⁡c=loga⁡c болохыг ашиглан бод.\nБодолт: log316⋅log2x=4log32⋅log2x=4log3xlog3⁡16⋅log2⁡x=4log3⁡2⋅log2⁡x=4log3⁡x байна. t=log3xt=log3⁡x орлуулга хийвэл\nlog23x−4log3x+3=0⇔t2−4t+3=0log32⁡x−4log3⁡x+3=0⇔t2−4t+3=0\nтул t1=1t1=1, t2=3t2=3 байна. Иймд log3x=1log3⁡x=1 эсвэл log3x=3log3⁡x=3 байна. Эндээс x=31=3x=31=3, x=33=27x=33=27 гэсэн шийдүүд гарч байна.\n\nСанамж: Энэ тэгшитгэлийг хариунаас бодох аргаар бодож болно."} +{"prompt":"log2x+314+2=0log2x+3⁡14+2=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: logab=c⇔ac=bloga⁡b=c⇔ac=b тодорхойлолтыг ашигла. 2x+3>02x+3>0, 2x+3≠12x+3≠1 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"log2x+log4(3x−2)=2 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Ижил суурьт шилжүүлэн хувиргаж бод.\nБодолт: log2x+log4(3x−2)=log4x2+log4(3x−2)= =log4x2(3x−2)=2=log416⇒x2(3x−2)=16 тэгшитгэл болно. x2(3x−2)=16⇒3x3−2x2−16=0\n(x−2)(3x2+4x+8)=0⇒x=2."} +{"prompt":"log2|ctgx|+log4sinxcosx+2sinx=0log2⁡|ctgx|+log4⁡sin⁡xcos⁡x+2sin⁡x=0 тэгшитгэлийн [32;52][32;52] завсар дахь шийдийг ол.","completion":"Заавар: Энэ тэгшитгэлийг ердийн аргаар бодож болох боловч өгсөн нөхцөлд тохирох шийдийг шууд шалгаж бодох нь хамгийн дөт арга юм. π=3.1415…π=3.1415… болохыг санаарай!\nБодолт: 3π2>4.53π2>4.5, π4<1π4<1, 5π4>35π4>3 нь өгсөн мужид орохгүй.\n\nx=π2x=π2 үед log2∣∣ctgπ2∣∣log2⁡|ctgπ2| илэрхийлэл тодорхойлогдохгүй (ctgπ2=0ctgπ2=0 боловч log20log2⁡0 илэрхийлэл тодорхойлогдохгүй). Иймд үлдсэн хувилбар болох 3π43π4 нь шийд юм.\n\nТа бүхэн дээрх тэгшитгэлийг ердийн аргаар бодож үзээд хир их хугацаа зарцуулахаа бодож үзээрэй! ЭЕШ-ийн шалгалтанд ирдэг ихэнхи тэгшитгэлийн хувьд шийдийг хариунаас олох арга ихээхэн үр дүнтэй байдаг."} +{"prompt":"log3(11+2√3x+1)=3log3⁡(11+23x+1)=3 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: Нэгэнт хариунаас бодох тул орлуулахад хялбархан бодогдох утгаас эхэлнэ.\n√3x+13x+1 илэрхийлэл нь x=5x=5 үед хялбар бодогдох ба \nlog3(11+2√3⋅5+1)=log3(11+24)=log3(11+16)=3log3⁡(11+23⋅5+1)=log3⁡(11+24)=log3⁡(11+16)=3\nтул шийд болж байна."} +{"prompt":"log3(5x−27)>log32x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a>1 бол\nlogab>logac⇔b>c>0 байна.\nБодолт: log3(5x−27)>log32x⇔5x−27>2x>0⇔x>9 тул x∈]9;∞[ байна."} +{"prompt":"log3(log3x)=2log3⁡(log3⁡x)=2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: log3(log3x)=2⇔log3x=32=9⇔x=39log3⁡(log3⁡x)=2⇔log3⁡x=32=9⇔x=39."} +{"prompt":"log35|x−4|>log357log35⁡|x−4|>log35⁡7 тэнцэтгэл биш x≠ax≠a байх бүх цэгүүд дээр тодорхойлогдоно. Уг тэнцэтгэл\nбишийг хангах бүхэл тоон шийдийн тоо bcbc байна.","completion":"Заавар: y=logaxy=loga⁡x функцийн тодорхойлогдох муж нь x>0x>0 ба 0log357log35⁡|x−4|>log35⁡7 тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь |x−4|>0|x−4|>0 буюу x≠4x≠4 байна. 35<135<1 тул y=log35xy=log35⁡x функц нь буурах функц байна. Иймд\nlog35|x−4|>log357⇔|x−4|<7⇔log35⁡|x−4|>log35⁡7⇔|x−4|<7⇔\n4−71 бол\nlogax≤b⇔00x+12>0, x>0x>0, x≠1x≠1 байна.\nБодолт: log4(x+12)logx2=1⇒logx24log4(x+12)=1⇒log4⁡(x+12)logx⁡2=1⇒logx2⁡4log4⁡(x+12)=1⇒\nlogx2(x+12)=1⇒x2=x+12logx2⁡(x+12)=1⇒x2=x+12\nтул x1=−3x1=−3, x2=4x2=4 болно. x>0x>0 тул −3−3 нь шийд болохгүй. Иймд x=4x=4 гэсэн ганц шийд үлдэж байна."} +{"prompt":"log4x+17=log9x7 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: logac=logbc⇔00 байна.\nБодолт: log4x+17=log9x7⇔0<4x+1=9x байна. Эндээс 5x=1⇒x=15 болно. Мэдээж 0<4⋅5+1=95 тул шийд болно."} +{"prompt":"log5(6−5x)=1−xlog5⁡(6−5x)=1−x тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Логарифмын тодорхойлолт ашиглан илтгэгч тэгшитгэлд шилжүүлж бод.\nБодолт: log5(6−5x)=1−x⇒6−5x=51−x⇒log5⁡(6−5x)=1−x⇒6−5x=51−x⇒\nt=5xt=5x гэвэл x=log5tx=log5⁡t ба\n6−t=5t⇒t2−6t+5=06−t=5t⇒t2−6t+5=0\nтул t1=1t1=1, t2=5t2=5. Иймд x1=log51=0x1=log5⁡1=0, x2=log55=1x2=log5⁡5=1 болно. Эдгээр нь хоёул шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь 0+1=10+1=1."} +{"prompt":"log5x+log√5x+log125x=5log5⁡x+log5⁡x+log125⁡x=5 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод. log525=2log5⁡25=2, log√525=4log5⁡25=4, log12525=−1log125⁡25=−1.\nБодолт:"} +{"prompt":"log5x5x+log25x=1log5x⁡5x+log52⁡x=1 тэгшитгэлийг бодъё. \nТэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь x≠1ax≠1a ба x>bx>b байна.\n\n5 суурьт шилжүүлж бодвол c−log5xd+log5x+log25x=1c−log5⁡xd+log5⁡x+log52⁡x=1 болох y=log5xy=log5⁡x орлуулга хийвэл −(c−y)y(y+e)d+y=0−(c−y)y(y+e)d+y=0 тэгшитгэл үүснэ. Иймд y1=cy1=c, y2=0y2=0, y3=−ey3=−e болох тул x1=fx1=f, x2=gx2=g, x3=1hix3=1hi гэсэн шийдүүд гарна.","completion":"Заавар: logab=logcblogcaloga⁡b=logc⁡blogc⁡a ба logabc=logab−logacloga⁡bc=loga⁡b−loga⁡c, logabc=logab+logacloga⁡bc=loga⁡b+loga⁡c томьёог ашиглан бодно.\nБодолт: Тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь логарифмийн суурь 1-ээс ялгаатай тул x≠15x≠15 ба логарифмын доорх илэрхийлэл эерэг тул x>0x>0 байна.\n\n5 суурьт шилжүүлж бодвол log55xlog55x+log25x=log55−log5xlog55+log5x+log25x=1log5⁡5xlog5⁡5x+log52⁡x=log5⁡5−log5⁡xlog5⁡5+log5⁡x+log52⁡x=1 \nбуюу 1−log5x1+log5x+log25x=11−log5⁡x1+log5⁡x+log52⁡x=1\nболох y=log5xy=log5⁡x орлуулга хийвэл −(1−y)y(y+2)1+y=0−(1−y)y(y+2)1+y=0 тэгшитгэл үүснэ. Иймд y1=1y1=1, y2=0y2=0, y=−2y=−2 болох тул x1=51=5x1=51=5, x2=50=1x2=50=1, x3=5−2=125x3=5−2=125 гэсэн шийдүүд гарна."} +{"prompt":"log5x5x+log25x=1log5x⁡5x+log52⁡x=1 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: y=log5xy=log5⁡x орлуулага хий.\nБодолт: Хэрэв y=log5xy=log5⁡x гэвэл\n\nlog5x5x=log55xlog55x=1−log5x1+log5x=1−y1+ylog5x⁡5x=log5⁡5xlog5⁡5x=1−log5⁡x1+log5⁡x=1−y1+y болох ба \n\nманай тэгшитгэл 1−y1+y+y2=11−y1+y+y2=1 болно.\n\nҮүнийг хялбарчилвал y3+y2−2y=0y3+y2−2y=0 болох ба эхний шийд y=0y=0\n\nyy т хуваасны дараа y2+y−2=0y2+y−2=0 болох ба энэ квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь\n\n{1,−2}{1,−2} болно.\n\ny=0y=0 үед log5x=0log5⁡x=0 буюу x=50=1x=50=1\n\ny=1y=1 үед log5x=1log5⁡x=1 буюу x=51=5x=51=5\n\ny=−2y=−2 үед log5x=−2log5⁡x=−2 буюу x=5−2=125x=5−2=125\n\nЭдгээрийн нийлбэр 1+5+125=151251+5+125=15125 болно."} +{"prompt":"log5x−logx5=32log5⁡x−logx⁡5=32 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: logab=1logbaloga⁡b=1logb⁡a-г ашигла.\nБодолт: log5x−logx5=log5x−1log5x=32,log5⁡x−logx⁡5=log5⁡x−1log5⁡x=32, log5x=tlog5⁡x=t гэвэл\nt−1t=32⇔2t2−3t−2=0.t−1t=32⇔2t2−3t−2=0.\nЭндээс t1,2=3±√(−3)2−4⋅2⋅(−2)2⋅2=3±54t1,2=3±(−3)2−4⋅2⋅(−2)2⋅2=3±54 Иймд t1=−0.5⇒x1=5−0.5=1\/√5t1=−0.5⇒x1=5−0.5=1\/5, t2=2⇒x2=52=25t2=2⇒x2=52=25 байна."} +{"prompt":"log5√x−9=log510−log5√2x−1log5⁡x−9=log5⁡10−log5⁡2x−1\nтэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=13x=13 нь\nlog5√13−9=log52log5⁡13−9=log5⁡2\nба\nlog510−log5√2⋅13−1=log510−log55=log5105=log52log5⁡10−log5⁡2⋅13−1=log5⁡10−log5⁡5=log5⁡105=log5⁡2\nтул шийд болно."} +{"prompt":"log7(x−2)−log7(x+2)=1−log7(2x−7) тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: x−2>0, x+2>0, 2x−7>0 ба log77=1 тул log7x−2x+2=log772x−7⇔x−2x+2=72x−7.\nБодолт: x−2>0, x+2>0, 2x−7>0⇒x>−3.5 ба log77=1 тул log7x−2x+2=log772x−7⇔x−2x+2=72x−7.\n(x−2)(2x−7)=7(x+2)⇒2x2−18x=0⇒x=0,x=9 болно. x=0 тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд x=9."} +{"prompt":"log7(x−2)−log7(x+2)=1−log7(2x−7)log7⁡(x−2)−log7⁡(x+2)=1−log7⁡(2x−7) тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: x−2>0x−2>0, x+2>0x+2>0, 2x−7>02x−7>0 ба log77=1log7⁡7=1 тул log7x−2x+2=log772x−7⇔x−2x+2=72x−7.log7⁡x−2x+2=log7⁡72x−7⇔x−2x+2=72x−7.\nБодолт: x−2>0x−2>0, x+2>0x+2>0, 2x−7>0⇒x>−3.52x−7>0⇒x>−3.5 ба log77=1log7⁡7=1 тул log7x−2x+2=log772x−7⇔x−2x+2=72x−7.log7⁡x−2x+2=log7⁡72x−7⇔x−2x+2=72x−7.\n(x−2)(2x−7)=7(x+2)⇒2x2−18x=0⇒x=0,x=9(x−2)(2x−7)=7(x+2)⇒2x2−18x=0⇒x=0,x=9 болно. x=0x=0 тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд x=9.x=9.\n\nНэмэлт: Шууд чээжээр\nlog7(9−2)−log7(9+2)=1−log711log7⁡(9−2)−log7⁡(9+2)=1−log7⁡11\n1−log7(2⋅9−7)=1−log7111−log7⁡(2⋅9−7)=1−log7⁡11\nгэж шалгаад зөв шийдийг олох нь хамгийн хурдан арга юм."} +{"prompt":"log8(x2−4x+3)<1log8⁡(x2−4x+3)<1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Логарифмийн суурь нь 1-ээс их тул log8(x2−4x+3)<1⇔{x2−4x+3<8x2−4x+3>0log8⁡(x2−4x+3)<1⇔{x2−4x+3<8x2−4x+3>0 байна.\nБодолт: log8(x2−4x+3)<1⇔{x2−4x+3<8x2−4x+3>0⇔log8⁡(x2−4x+3)<1⇔{x2−4x+3<8x2−4x+3>0⇔\n{x2−4x−5<0x2−4x+3>0⇔{(x+1)(x−5)<0(x−1)(x−3)>0⇔{−13{x2−4x−5<0x2−4x+3>0⇔{(x+1)(x−5)<0(x−1)(x−3)>0⇔{−13\nтул x∈(−1;1)∪(3;5)x∈(−1;1)∪(3;5) байна."} +{"prompt":"log9(2x+3)⋅logx3=1log9⁡(2x+3)⋅logx⁡3=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: logab=logakbkloga⁡b=logak⁡bk ба\nlogab=logcblogca⇔logcb=logca⋅logabloga⁡b=logc⁡blogc⁡a⇔logc⁡b=logc⁡a⋅loga⁡b томьёог ашигла.\n\nТодорхойлогдох муж нь 2x+3>02x+3>0, x>0x>0, x≠1x≠1 байна.\nБодолт: log9(2x+3)⋅logx3=logx29⋅log9(2x+3)=1⇔log9⁡(2x+3)⋅logx⁡3=logx2⁡9⋅log9⁡(2x+3)=1⇔\nlogx2(2x+3)=1⇒x2=2x+3logx2⁡(2x+3)=1⇒x2=2x+3\nСүүлийн x2−2x−3=0x2−2x−3=0 тэгшитгэлээс x1=−1x1=−1, x2=3x2=3 шийд гарах ба анхны тэгшитгэлийн тодорхойлогдох мужид −1−1 орохгүй тул x=3x=3 гэсэн шийд үлдэж байна."} +{"prompt":"logsinx(1+cos2x+cos4x)=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Логарифмын тодорхойлолт ёсоор:\nlogsinx(1+cos2x+cos4x)=0⇔{00f(x)≠1\nбайна.\nБодолт: logtgx(cos2x−cos4x)=0⇒cos2x−cos4x=1 болох ба \n1+cos2α=2cos2α тул\ncos2x=2cos22x⇔cos2x(1−2cos2x)=0\nболно. Иймд cos2x=0 буюу x=π4+πk, cos2x=12 буюу x=±π6+πk гэсэн шийдүүд гарна. Гэвч x=π4+πk үед tgx=1 тул шийд болохгүй. Мөн x=−π6+πk үед tgx=−√33<0 тул шийд болохгүй. Иймд x=π6+πk байна."} +{"prompt":"logx(3x−2)−√log2x(3x−2)−4logx(3−2x)=2 тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь x>0, x≠1, 3x−2>0.\n\n0y\nба 10x>0, x≠1x≠1, 4x−3>04x−3>0.\n\n0yloga⁡xy\nба 10, a≠1 байна.\nБодолт: logx(6x−1)−logx9=logx6x−19≥logxx2⇔(x−1)(6x−19−x2)≥0, 6x−1>0, x>0, x≠1 байна. 6x−19−x2=−(x−13)2 тул x≠1, x>16 ба x−1<0 болно. Иймд зөв хариулт нь A."} +{"prompt":"logx(x+1)0x>0, x+1>0x+1>0, x≠1x≠1, 2−x>02−x>0 тул ]0;1[∪]1;2[]0;1[∪]1;2[ байна. xx тодорхойлогдох мужид орох үед\nlogx(x+1)0(x−1)(x+1−12−x)<0⇔(x−1)(x2−x−1)>0\nба 00x−1>0 байх тул\n(x−1)(x2−x−1)>0⇔x2−x−1>0(x−1)(x2−x−1)>0⇔x2−x−1>0\nболно. Сүүлийн тэнцэтгэл бишийн шийд нь x<1−√52∪x>1+√52x<1−52∪x>1+52 байна. Эдгээрийг тодорхойлогдох мужтай огтолцуулбал\nx∈]0;1[∪]√5+12;2[x∈]0;1[∪]5+12;2["} +{"prompt":"logx(x3+3x2+2x)<2logx⁡(x3+3x2+2x)<2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: D:x3+3x2+2x=x(x+1)(x+2)>0D:x3+3x2+2x=x(x+1)(x+2)>0 ба x>0x>0, x≠1x≠1 буюу ]0;1[∪]1;+∞[]0;1[∪]1;+∞[ байна. Иймд logx(x3+3x2+2x)=1+logx(x2+3x+2)logx⁡(x3+3x2+2x)=1+logx⁡(x2+3x+2) байна.\nlogab0, f(x)≠1 нөхцлийг хангах үед\nlogf(x)[g(x)]≤logf(x)[h(x)]⇔(f(x)−1)[g(x)−h(x)]≤0\nбайна.\nБодолт: D:x3+3x2+2x>0, x+1>0, x+1≠1 байна. x+1>0 тул\nx3+3x2+2x=x(x+1)(x+2)>0⇔x>0 байна. Иймд тодорхойлогдох муж нь (0;+∞) муж байна.\nlogx+1(x3+3x2+2x)=logx+1[x(x+1)(x+2)]=1+logx+1[x(x+2)] байна. Иймд тэнцэтгэл биш маань\nlogx+1[x(x+2)]<1=logx+1(x+1)\nболно. Зааварт байгаа хувиргалтыг хийж хялбарчилбал\nx(x2+2x−x−1)<0\nболно. x>0 тул x2+x−1<0 болно. Иймд −1−√520D:x3+3x2+2x=x(x+1)(x+2)>0 ба x+2>0x+2>0, x+2≠1x+2≠1 буюу ]−2;−1[∪]0;+∞[]−2;−1[∪]0;+∞[ байна. Иймд logx+2(x3+3x2+2x)=1+logx+2(x2+x)logx+2⁡(x3+3x2+2x)=1+logx+2⁡(x2+x) байна.\nlogab0, x+3>0, x+3≠1 байна.\n32−4⋅3<0 тул ∀x∈R тооны хувьд x2+3x+3>0 байна. Иймд D:x>−3, x≠−2 байна.\n\nlogx+3(x+3)=1 тул\nlogx+3(x2+3x+3)0a,b,c>0, a≠1a≠1 бол\nlogab>logac⇔(a−1)(b−c)>0loga⁡b>loga⁡c⇔(a−1)(b−c)>0 байна.\nБодолт: x>0x>0, x≠1x≠1 үед logxx=1logx⁡x=1 тул\nlogx4≥1⇔logx4≥logxx⇔(x−1)(4−x)≥0logx⁡4≥1⇔logx⁡4≥logx⁡x⇔(x−1)(4−x)≥0\nИймд 1≤x≤41≤x≤4 байна. x=1x=1 тодорхойлогдох мужид орохгүй тул 10x>0 тул x=√3x=3 байна."} +{"prompt":"logx−1[x(x−2)] функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: logf(x)g(x) функцийн тодорхойлогдох муж нь g(x)>0, f(x)>0, f(x)≠1 байдаг.\nБодолт: x(x−2)>0, x−1>0, x−1≠1⇒x>2."} +{"prompt":"logx√5+logx5x=214+log2x√5logx⁡5+logx⁡5x=214+logx2⁡5 тэгшитгэл бодъё.\n\ny=logx√5y=logx⁡5 гэж орлуулбал 4y2−12y+a=04y2−12y+a=0 квадрат тэгшитгэл үүснэ. Үүнийг бодоход y1=bc⇒x1=dy1=bc⇒x1=d, y2=ef⇒x2=g√hy2=ef⇒x2=hg байна.","completion":"Заавар: logabc=logab+logacloga⁡bc=loga⁡b+loga⁡c байна.\nБодолт: logx5x=logx5+logxx=2logx√5+1logx⁡5x=logx⁡5+logx⁡x=2logx⁡5+1 тул y=logx√5y=logx⁡5 орлуулгаар y+2y+1=214+y2⇔4y2−12y+5=0y+2y+1=214+y2⇔4y2−12y+5=0\nболно. Эндээс y1=12−√122−4⋅4⋅52⋅4=12−88=12⇒y1=12−122−4⋅4⋅52⋅4=12−88=12⇒\nlogx1√5=12⇒x121=√5⇒x1=(√5)2=5logx1⁡5=12⇒x112=5⇒x1=(5)2=5\nба\ny2=12+√122−4⋅4⋅52⋅4=12+88=52⇒y2=12+122−4⋅4⋅52⋅4=12+88=52⇒\nlogx2√5=52⇒x2=(√5)25=515=5√5logx2⁡5=52⇒x2=(5)25=515=55"} +{"prompt":"log√6(5−x)+log√6x2=2log6⁡(5−x)+log6⁡x2=2 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: logab+logac=logabcloga⁡b+loga⁡c=loga⁡bc, log√66=2log6⁡6=2 болохыг ашиглаж хялбарчлахад\nгарах тэгшитгэл 3 шийдтэй болохыг хараад Виетийн теорем хэрэглэ.\nБодолт: log√6(5−x)+log√6x2=2⇒log√6(5−x)x2=log√66⇒log6⁡(5−x)+log6⁡x2=2⇒log6⁡(5−x)x2=log6⁡6⇒\nx3−5x2+6=(x+1)(x2−6x+6)=0x3−5x2+6=(x+1)(x2−6x+6)=0\nx2−6x+6=0x2−6x+6=0 тэгшитгэл D=(−6)2−4⋅1⋅6>0D=(−6)2−4⋅1⋅6>0 тул 2 бодит шийдтэй байна. Иймд тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь Виетийн теоремоор x1+x2+x3=−(−5)=5x1+x2+x3=−(−5)=5 байна."} +{"prompt":"m+n=m⋅n бол 2m−8mn+2nm+2mn+n утгыг ол.","completion":"Заавар: 2(m+n)=2mn байна.\nБодолт: 2m−8mn+2nm+2mn+n=2(m+n)−8mn(m+n)+2mn=2mn−8mnmn+2mn=−6mn3mn=−2."} +{"prompt":"m3+m2n+mn2m3+mn2:m3−n3m4−n4 илэрхийллийг хялбарчил.","completion":"Заавар: ma+mb=m(a+b)m3−n3=(m−n)(m2+mn+n2)m4−n4=(m−n)(m+n)(m2+n2)\nба ab:cd=ab⋅dc болохыг ашигла.\nБодолт: m3+m2n+mn2m3+mn2=m(m2+mn+n2)m(m2+n2)=m2+mn+n2m2+n2\nm3−n3m4−n4=(m−n)(m2+mn+n2)(m−n)(m+n)(m2+n2)=m2+mn+n2(m+n)(m2+n2)\nтул\nm3+m2n+mn2m3+mn2:m3−n3m4−n4=m3+m2n+mn2m3+mn2⋅m4−n4m3−n3=\n=m2+mn+n2m2+n2⋅(m+n)(m2+n2)m2+mn+n2=m+n\nСанамж: Шалгалтын үед эдгээрийг бичихэд тодорхой хэмжээний цаг зарцуулах тул аль болох чээжээр үйлдлийг гүйцэтгэхийг хичээгээрэй!"} +{"prompt":"m=4 , n=220182019 бол (√m√m−√n−√n√m+√n)⋅m−nm2+mn хялбарчилж утгыг ол.","completion":"Заавар: Хаалтанд буй илэрхийллийг ерөнхий хуваарь өгч хялбарчлаад гарсан илэрхийлэлд a, b утгыг орлуулж бод.\nБодолт: √m√m−√n−√n√m+√n=m+√mn−√mn+n(√m−√n)(√m+√n)=m+nm−n\nm+nm−n⋅m−nm2+mn=m+nm−n⋅m−nm(n+m)=1m=14\nбайна."} +{"prompt":"m≠−2 бол илэрхийлэл хялбарчил. 2m3−54m2−2m+4:m2+3m+92m3+16","completion":"Заавар:\nБодолт: m3−33=(m−3)(m2+3m+9), m3+23=(m+2)(m2−2m+4) байна.\n\n2m3−54m2−2m+4:m2+3m+92m3+16=2(m3−33)m2−2m+4⋅2(m3+23)m2+3m+9=\n=4(m3−33)m2+3m+9⋅(m3+23)m2−2m+4=4(m−3)(m+2)\nбайна."} +{"prompt":"n эерэг бүхэл тоо бол xn-ийг x2+x+1-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: x2+x+1-ийн нэг язгуур нь ω гэвэл ω3=1 байна гэдгийг ашигла.\nБодолт: xn=(x2+x+1)⋅Q(x)+ax+b гээд a, b∈R-г олъё. ω2+ω+1=0 гэвэл ωn=aω+b болно. Түүнчлэн ω3=1 тул\n n=3R бол\nωn=ω3R=(ω3)R=1=aω+b⇒aω=1−b\nω комплекс тоо учир a=0, b=1 буюу үлдэгдэл нь ax+b=1 болно.\n n=3R+1 бол\nωn=ω3R+1=(ω3)R⋅ω=ω=aω+b буюу (1−a)ω=b тул a=1,b=0 буюу үлдэгдэл нь ax+b=x болно.\n n=3R+2 бол\nωn=ω3R+2=(ω3)R⋅ω2=−ω−1⇒−ω−1=aω+b\n(a+1)ω=−(b+1) буюу a=−1, b=−1. Иймд үлдэгдэл нь ax+b=−x−1\nболно."} +{"prompt":"n!+(n+1)!=(n+2)!12n!+(n+1)!=(n+2)!12 бол nn хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: n!n! - nn факториал гэж уншина. Энэ нь 1,2,3,…,n1,2,3,…,n тоонуудын үржвэр байна:\nn!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅nn!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n\n(n+1)!n!=n+1(n+1)!n!=n+1, (n+2)!n!=(n+1)(n+2)(n+2)!n!=(n+1)(n+2) болохыг ашигла.\nБодолт: n!≠0n!≠0 тоонд тэгшитгэлийг хуваавал\n1+(n+1)=(n+1)(n+2)12⇔n2−9n−22=01+(n+1)=(n+1)(n+2)12⇔n2−9n−22=0\nтул n1,2=9±√92−4⋅1⋅(−22)2=9±132n1,2=9±92−4⋅1⋅(−22)2=9±132\nбуюу n1=11n1=11, n2=−2n2=−2 болно. Бид nn-ийн эерэг бүхэл утгыг сонирхож байгаа тул n=11n=11."} +{"prompt":"n-р гишүүн нь an=2n−14 томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?","completion":"Заавар: d=a2−a1 байна.\nБодолт: a2=2⋅2−14=34, a1=2⋅1−14=14 тул d=34−14=24=12 байна."} +{"prompt":"n-р гишүүн нь an=3n+15 томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?","completion":"Заавар: d=a2−a1 байна.\nБодолт: d=a2−a1=3⋅2+15−3⋅1+15=35"} +{"prompt":"n3−6n2+12n+117 тоо дурын натурал n-ийн хувьд зохиомол болохыг харуул.","completion":"Заавар: n3−6n2+12n+117=(n−2)3+53\nБодолт:"} +{"prompt":"nn дурын натурал тоо бол 4n+15n+174n+15n+17 илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.\n\nБодолт:\n\nI. n=1n=1 үед 4n+15n+17=ab4n+15n+17=ab тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+15k+174k+15k+17 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+15(k+1)+17=c(4k+15k+17)−d(ek+f)4k+1+15(k+1)+17=c(4k+15k+17)−d(ek+f) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.","completion":"Заавар: kk-р гишүүнийг олохын тулд ерөнхий гишүүний оронд kk-г орлуулж бодно. Жишээ нь 11-р гишүүн нь 41+15⋅1+1741+15⋅1+17 байна.\n\nХэрвээ cc-г шууд олж чадахгүй бол limk→∞4k+1+15(k+1)+174k+15k+17limk→∞4k+1+15(k+1)+174k+15k+17 хязгаар хэдтэй тэнцүү байхыг сонирхож үзээрэй!\nБодолт: I. n=1n=1 үед 4n+15n+17=41+15⋅1+17=364n+15n+17=41+15⋅1+17=36 тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+15k+174k+15k+17 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл 4k+15k+17=9t4k+15k+17=9t\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+15(k+1)+17=4(4k+15k+17)9t−9(5k+4)4k+1+15(k+1)+17=4(4k+15k+17)⏟9t−9(5k+4) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана."} +{"prompt":"nn дурын натурал тоо бол 4n+15n+84n+15n+8 илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.\n\nБодолт:\n\nI. n=1n=1 үед 4n+15n+8=ab4n+15n+8=ab тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+15k+84k+15k+8 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+15(k+1)+8=c(4k+15k+8)−d(ek+f)4k+1+15(k+1)+8=c(4k+15k+8)−d(ek+f) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.","completion":"Заавар: kk-р гишүүнийг олохын тулд ерөнхий гишүүний оронд kk-г орлуулж бодно. Жишээ нь 11-р гишүүн нь 41+15⋅1+841+15⋅1+8 байна.\n\nХэрвээ cc-г шууд олж чадахгүй бол limk→∞4k+1+15(k+1)+84k+15k+8limk→∞4k+1+15(k+1)+84k+15k+8 хязгаар хэдтэй тэнцүү байхыг сонирхож үзээрэй!\nБодолт: I. n=1n=1 үед 4n+15n+8=41+15⋅1+8=274n+15n+8=41+15⋅1+8=27 тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+15k+84k+15k+8 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл 4k+15k+8=9t4k+15k+8=9t\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+15(k+1)+8=4(4k+15k+8)9t−9(5k+1)4k+1+15(k+1)+8=4(4k+15k+8)⏟9t−9(5k+1) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана."} +{"prompt":"nn дурын натурал тоо бол 4n+15n−14n+15n−1 илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.\n\nБодолт:\n\nI. n=1n=1 үед 4n+15n−1=ab4n+15n−1=ab тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+15k−14k+15k−1 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+15(k+1)−1=c(4k+15k−1)−d(ek−f)4k+1+15(k+1)−1=c(4k+15k−1)−d(ek−f) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.","completion":"Заавар: kk-р гишүүнийг олохын тулд ерөнхий гишүүний оронд kk-г орлуулж бодно. Жишээ нь 11-р гишүүн нь 41+15⋅1−141+15⋅1−1 байна.\n\nХэрвээ cc-г шууд олж чадахгүй бол limk→∞4k+1+15(k+1)−14k+15k−1limk→∞4k+1+15(k+1)−14k+15k−1 хязгаар хэдтэй тэнцүү байхыг сонирхож үзээрэй!\nБодолт: I. n=1n=1 үед 4n+15n−1=41+15⋅1−1=184n+15n−1=41+15⋅1−1=18 тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+15k−14k+15k−1 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл 4k+15k−1=9t4k+15k−1=9t\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+15(k+1)−1=4(4k+15k−1)9t−9(5k−2)4k+1+15(k+1)−1=4(4k+15k−1)⏟9t−9(5k−2) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана."} +{"prompt":"nn дурын натурал тоо бол 4n+24n−14n+24n−1 илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.\n\nБодолт:\n\nI. n=1n=1 үед 4n+24n−1=ab4n+24n−1=ab тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+24k−14k+24k−1 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+24(k+1)−1=c(4k+24k−1)−d(ek−f)4k+1+24(k+1)−1=c(4k+24k−1)−d(ek−f) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.","completion":"Заавар: kk-р гишүүнийг олохын тулд ерөнхий гишүүний оронд kk-г орлуулж бодно. Жишээ нь 11-р гишүүн нь 41+24⋅1−141+24⋅1−1 байна.\n\nХэрвээ cc-г шууд олж чадахгүй бол limk→∞4k+1+15(k+1)+174k+15k+17limk→∞4k+1+15(k+1)+174k+15k+17 хязгаар хэдтэй тэнцүү байхыг сонирхож үзээрэй!\nБодолт: I. n=1n=1 үед 4n+24n−1=41+24⋅1−1=274n+24n−1=41+24⋅1−1=27 тул 9-д хуваагдана.\n\nII. n=kn=k үед 4k+24k−14k+24k−1 илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл 4k+24k−1=9t4k+24k−1=9t\n\nIII. n=k+1n=k+1 үед 4k+1+24(k+1)−1=4(4k+24k−1)9t−9(8k−3)4k+1+24(k+1)−1=4(4k+24k−1)⏟9t−9(8k−3) болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана."} +{"prompt":"nn нь 100100-аас хэтрэхгүй натурал тоо бол \nS(n)=|n−1|+|n−2|+⋯+|n−100|S(n)=|n−1|+|n−2|+⋯+|n−100| нийлбэр аль нь вэ?","completion":"Заавар: S(n)=(n−1)+(n−2)+⋯+1+0+1+2+⋯S(n)=(n−1)+(n−2)+⋯+1+0+1+2+⋯ байна. Энэ нийлбэр ямар тоогоор төгсөх вэ?\n\nМөн nn тодорхой утгуудаар шалгаад зөв хариуг олж болно.\nБодолт: S(1)=0+1+⋯+99S(2)=1+0+1+⋯+98S(3)=2+1+0+1+⋯+97…S(n)=(n−1)+(n−2)+⋯+1+0+1+⋯+(100−n)S(1)=0+1+⋯+99S(2)=1+0+1+⋯+98S(3)=2+1+0+1+⋯+97…S(n)=(n−1)+(n−2)+⋯+1+0+1+⋯+(100−n)\nбайна. Иймд\nS(n)=(n−1)n2+(100−n)(101−n)2=n2−101n+5050.S(n)=(n−1)n2+(100−n)(101−n)2=n2−101n+5050."} +{"prompt":"n∈N, 01 тэнцэтгэл бишийн шийд нь pa үед x∈(pd,p−e)","completion":"Заавар: x−12x−p>1⇔x−(p−1)x−p2<0\nбайна. p−1, p2 тоонуудыг тоон шулуун дээр байрлуулж муж тус бүр дээр тэнцэтгэл бишийг бод.\nБодолт: p−1p2 үед (p2;p−1) байна.\n\np=2 үед x−(2−1)x−22=x−1x−1=1 тул шийдгүй."} +{"prompt":"p, q, r, s тоонуудын хувьд p, q, r геометр прогресс, q, r, s-арифметик прогресс үүсгэх ба p+q+r=19, q+r+s=12 бол p,q,r,s-ийг ол.","completion":"Заавар: x, y, z энэ дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэхийн тулд x+z=2y байна.\n\nx, y, z нь энэ дарааллаараа геометр прогресс үүсгэхийн тулд x⋅z=y2 байна.\nБодолт: p, q, r нь геометр прогресс тул p⋅r=q2⋯(1). q, r, s нь арифметик прогресс тул q+s=2r⋯(2) байна. (2)-оос q+r+s=3r=12⇒r=4. Эндээс өгсөн нөхцлийг тооцвол (1) ба (2)-оос\n{4p=q2⋯(3)q+s=8⋯(4)p+q=15⋯(5)\n болно. (3)-ийг (5)-д орлуулбал q24+q=15⇒q=6,q=−10 гэж гарна. q=6 үед (p,q,r,s)=(9,6,4,2); q=−10 үед (p,q,r,s)=(25,−10,4,18) болно."} +{"prompt":"p>3p>3 анхны тоо ба 11+12+13+⋯+1p−1=ab11+12+13+⋯+1p−1=ab, a,b∈Na,b∈N бол p2∣ap2∣a гэж батал.","completion":"Заавар: i−1≡1i(modp)i−1≡1i(modp) байна. Энд i−1i−1 нь ii тооны pp модулиархи урвуу.\nБодолт: A=11+12+13+⋯+1p−1A=11+12+13+⋯+1p−1 гэвэл\n2A=p1⋅(p−1)+p2⋅(p−2)+p3⋅(p−3)+⋯+p(p−1)⋅12A=p1⋅(p−1)+p2⋅(p−2)+p3⋅(p−3)+⋯+p(p−1)⋅1\nболно. Иймд \n2Ap=11⋅(p−1)+12⋅(p−2)+13⋅(p−3)+⋯+1(p−1)⋅12Ap=11⋅(p−1)+12⋅(p−2)+13⋅(p−3)+⋯+1(p−1)⋅1\nбутархайн хуваарь pp-д хуваагдана гэдгийг батлахад хангалттай.\n1p−i≡−1i(modp)⇒1i⋅(p−i)≡−1i2(modp)1p−i≡−1i(modp)⇒1i⋅(p−i)≡−1i2(modp)\nтул\np−1∑i=11i⋅(p−i)≡–p−1∑i=11i2≡−p−1∑i=1i2=−(p−1)p(2p−1)6≡0(modp)∑i=1p−11i⋅(p−i)≡–∑i=1p−11i2≡−∑i=1p−1i2=−(p−1)p(2p−1)6≡0(modp)"} +{"prompt":"sin(2x−π6)cos(2x−π6)<√24 тэнцэтгэл б��шийг бод.","completion":"Заавар: 2sinαcosα=sin2α томьёо ашиглан хялбарчил.\nБодолт: sin(2x−π6)cos(2x−π6)<√24⇔\n2sin(2x−π6)cos(2x−π6)<√22⇔\nsin(4x−π3)<√22\nтул π−π4+2π(k−1)<4x−π3<π4+2πk⇔\n\nsint<√22-ийн шийд\n−11π12+2πk<4x<7π12+2πk⇔\n−11π48+πk20 тул sinx+cosx=0 буюу tgx=−1⇔x=3π4+πk болно. k=−2 үед x=−5π4, k=−1 үед x=−3π4, k=0 үед x=3π4 гэсэн 3 шийд [−5π4,π[ завсарт оршино."} +{"prompt":"sin2x+sin22x=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: sin2α=2sinαcosα томьёо ба үндсэн адилтгал ашиглан үржигдэхүүнд задалж бод.\nБодолт: sin2x+sin22x=1⇔4sin2xcos2x=cos2x⇔cos2x⋅(4sin2x−1)=0\nтул cosx=0 эсвэл 4sin2x−1=0⇔sinx=±12 байна. Тэгшитгэлийн шийдүүдийг тригонометрийн нэгж тойрог дээр зурж харвал:\n\nтул шийд нь x=π6+πn3 байна."} +{"prompt":"sin2x+sin6x=cos2x тэгшитгэл [0;π2] завсарт хэдэн шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: sinα+sinβ=2sinα+β2cosα−β2\nБодолт: sin2x+sin6x=2sin2x+6x2cos6x−2x2=2sin4xcos2x=cos2x\nбуюу\ncos2x(2sin4x−1)=0\nба x∈[0;π2] үед 2x∈[0;π], 4x∈[0;2π] тул\n[cos2x=0sin4x=12⇔[2x=π24x=π64x=5π6⇔[x=π4x=π24x=5π24\nгэсэн 3 ялгаатай шийдтэй."} +{"prompt":"sin2x<34 тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль нь вэ?","completion":"Заавар: sin2α=1−cos2α2 томьёог ашиглан косинусын хувьд шугаман тэнцэтгэл бишид шилжүүл.\nБодолт: sin2x<34⇔1−cos2x2<34⇔−12|cosx| тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: y=sinx, y=|cosx| функцүүдийн графикийг байгуул.\nБодолт: \nЗургаас харахад ]π4;3π4[ муж шийд болж байна. Эдгээр функцүүд нь харгалзан π ба 2π үетэй (ерөнхий үе нь 2π) тул шийд нь ]π4+2πk;3π4+2πk[ байна."} +{"prompt":"sinxsin5x=1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: |sinx|≤1, |sin5x|≤1 тул \nsinx⋅sin5x=1⇔{sinx=1sin5x=1∨{sinx=−1sin5x=−1\nбайна.\nБодолт: sinx=1⇒x=π2+2πk ба энэ үед\nsin5x=sin5(π2+2πk)=sin(π2+2π(k+1))=1\nтул {sinx=1sin5x=1 системийн шийд нь x=π2+2πk байна.\n\nsinx=−1⇒x=−π2+2πk ба энэ үед\nsin5x=sin5(−π2+2πk)=sin(−π2+2π(k−1))=−1\nтул {sinx=−1sin5x=−1 системийн шийд нь x=−π2+2πk байна.\n\nШийдүүдээ нэгтгэвэл x=π2+πk болно."} +{"prompt":"sinx−1=12sin2x−cosx тэгшитгэлийн 01s1>1 тул шийд болохгүй. Иймд \ntgx=cosx⇔sinx=1−√52tgx=cos⁡x⇔sin⁡x=1−52\nбайна. Энэ тэгшитгэл нь [−π;π][−π;π] завсарт 2 шийдтэй байна."} +{"prompt":"v,w,x,y нь яг энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан 4 гишүүн ба v,w,x+9,y+54 нь яг энэ дарааллаараа геометр прогрессийн дараалсан 4 гишүүн болдог бол v=a, w=b, x=c, y=de. Арифметик прогрессийн ялгавар f-тэй тэнцүү, геометр прогрессийн ноогдвор g.","completion":"Заавар: Пропорцийн чанар:\nab=cd=a+kcb+kd,k∈Z\nТухайн тохиолдолд:\nab=cd=a−cb−d=a+cb+d\nБодолт: v, w=v+d, x=v+2d, y=v+3d байна. q=wv=x+9w=y+54x+9 тул q=v+dv=v+2d+9v+d=v+3d+54v+2d+9   (∗). Пропорцийн чанар ёсоор q=v+2d+9−v−dv+d−v=v+3d+54−v−2d−9v+2d+9−v−d буюу d+9d=d+45d+9 болно. Иймд (d+9)2=d(d+45). Эндээс d2+18d+81=d2+45d⇒27d=81⇒d=3. q=d+45d+9=4812=4. d=3-ийг (∗)-д орлуулбал v+3v=v+15v+3⇒v2+6v+9=v2+15v⇒v=1. Иймд w=1+3=4, x=1+2⋅3=7, y=1+3⋅3=10."} +{"prompt":"x нь t-ээс хамаарахгүй бол дараах функцүүдын график зур.","completion":"Заавар:\nБодолт: y=2∫−1(3t2−2xt)dt=(t3−xt2)| 2−1=(23−x⋅22)−((−1)3−x⋅(−1)2)=9−3x\n y=x∫0(2t−3t2)dt=(t2−t3)|x0=x2−x3\n\ny=x∫0|t−1|dt={x∫0(1−t)dt=x−x22,x<11∫0(1−t)dt+x∫1(t−1)dt=x22−x+1,1≤x"} +{"prompt":"x(x+6)+1x(1x+6)=5 тэгшитгэлийг\nбодохын тулд t=x+1x орлуулга хийе. Тэгвэл t-ийн хувьд\nt2+6t+ab=0 квадрат тэгшитгэл гарах ба t1=cd,t2=e шийдтэй байна. Иймд анхны тэгшитгэлийн шийд\nx1,2=12(−f±g√h) байна.","completion":"Заавар: t2=x2+2+1x2=x2+1x2+2\nтул\nx2+1x2=t2−2\nБодолт: x(x+6)+1x(1x+6)=5⇔x2+1x2+6(x+1x)=5⇔\nt2−2+6t=5⇔t2+6t−7=0\nтэгшитгэл гарах ба\nt=−6±√62−4⋅1⋅(−7)2⋅1=−6±82\nтул t1=−7, t2=1 гэсэн шийдтэй байна. t2=1 үед\nx+1x=1⇔x2−x+1=0 тэгшитгэл бодит шийдгүй тул\nx+1x=−7⇔x2+7x+1=0\nбайна. Эндээс\nx1,2=−7±√72−4⋅1⋅12⋅1=−7±3√52"} +{"prompt":"x(x2+x−8)=u тэгшитгэлийн ядаж 2 ялгаатай шийд нь x(x2−6)=v тэгшитгэлийн шийд болдог байх u,v параметрийн бүх утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Нэгдүгээр тэгшитгэлээс 2 дахь тэгшитгэлийг хасвал x2−2x=u−v  (∗) тэгшитгэл гарах энэ тэгшитгэлийн шийдүүд нь ерөнхий шийдүүд болно. Үүнийг х-ээр үржүүлж 2-р тэгшитгэлээс хасвал: 2x2+(u−v−6)x−v=0  (∗∗) тэгшитгэл гарна. (∗) тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж (∗∗) тэгшитгэлээс хасвал (u−v−2)x+2u−3v=0 тэгшитгэл гарна. Энэ тэгшитгэл нь 2 ялгаатай шийдтэй байхын тулд u−v−2=0,2u−3v=0 байна. Иймд u=6,v=4 байна."} +{"prompt":"x+1x2−4x+3x+1x2−4x+3 рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад x5x5-ийн өмнөх коэффициент mnmn ба mm, nn харилцан анхны натурал тоонууд байв. n−mn−m тоог ол.","completion":"Заавар: 3+xx2−4x+3=1+x(x−1)(x−3)=Ax−1+Bx−33+xx2−4x+3=1+x(x−1)(x−3)=Ax−1+Bx−3 байх AA, BB тоонуудыг олж бод.\nБодолт: 1+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−3=A(x−3)(x−1)(x−3)+B(x−1)(x−1)(x−3)=(A+B)x−3A−Bx2−4x+31+xx2−3x+2=Ax−1+Bx−3=A(x−3)(x−1)(x−3)+B(x−1)(x−1)(x−3)=(A+B)x−3A−Bx2−4x+3\nтул A+B=1A+B=1, −3A−B=1−3A−B=1 болно. Эдгээрийг нэмбэл −2A=2⇒A=−1−2A=2⇒A=−1, B=2B=2 болно. Иймд\n1+xx2−3x+2=−1x−1+2x−3=11−x−23⋅11−x3=(1+x+x2+x3+⋯)−23⋅(1+13x+132x2+133x3+…)1+xx2−3x+2=−1x−1+2x−3=11−x−23⋅11−x3=(1+x+x2+x3+⋯)−23⋅(1+13x+132x2+133x3+…)\nИймд xnxn коэффициент нь 1−23n+1=3n+1−23n+1=mn1−23n+1=3n+1−23n+1=mn болно. Иймд зөрөө нь 22 байна."} +{"prompt":"x+1x=2 бол x8+1x8=?","completion":"Заавар: x+1x=2 тэгшитгэл x=1 гэсэн хялбар шийдтэй байна. Энэ шийдийн хувьд бодоод хариуг олж болох уу?\nБодолт: Бид өгөгдсөн шийдүүдээс нэгийг нь л сонгох ёстой. x=1 гэсэн шийдийг аваад бодвол 18+118=2 болж байна. Иймд зөв хариулт нь B байхаас өөр сонголт байхгүй.\n\nҮнэндээ x+1x=2⇔(x−1)2=0 тул x=1 маань цорын ганц шийд юм."} +{"prompt":"x+1x=3 бол x3+1x3 нь аль вэ?","completion":"Заавар: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)\nБодолт: x3+1x3=(x+1x)3−3⋅x⋅1x⋅(x+1x)=33−3⋅3=18"} +{"prompt":"x+2yy=3yx<0 бол x+2yx−2y=?","completion":"Заавар: x=−3y болохыг харуул.\nБодолт: x+2yy=xy+2=3yx⇒xy=1∨xy=−3 болно. 3yx<0 тул xy=−3⇒x=−3y байна. x+2yx−2y=−3y+2y−3y−2y=15 байна.\nЗаавар: Пропорцийн чанар ашигла.\nab=cd=a−cb−d\nБодолт: Пропорцын чанараар\nx+2yy=3yx=x+2y−3yy−x=x−yy−x=−1\nболно. Эндээс x=−3y гэж гарна.\nx+2yx−2y=−3y+2y−3y−2y=15"} +{"prompt":"x+2yy=3yx>0 бол x+2yx−2y=?","completion":"Заавар: ab=cd=q бол дурын t-ийн хувьд q=a+tcb+td (b+td≠0) байдгийг ашиглан x=y болохыг харуул.\nБодолт: Хэрвээ x≠y бол x+2yy=3yx=(x+2y)−3yy−x=−1<0 болж зөрчил үүсч байна. Иймд x=y байна. Эндээс x+2yx−2y=3x−x=−3"} +{"prompt":"x+y+z=2√3, xy+yz+zx=−3, xyz=−6√3\nбол x2+y2+z2=ab, x2yz+y2zx+z2xy=cd байна.","completion":"Заавар: x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)\nбайна. Түүнчлэн Виетийн урвуу теорем ёсоор x, y, z нь \nx3−2√3x2−3x+6√3=0\nкуб тэгшитгэлийн шийдүүд байна.\nБодолт: x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=(2√3)2−2⋅(−3)=12+6=18\n\nx, y, z нь \nx3−2√3x2−3x+6√3=0\nкуб тэгшитгэлийн шийдүүд тул\nx3=2√3x2+3x−6√3,y3=2√3y2+3y−6√3,z3=2√3z2+3z−6√3\nбайна. Эдгээрийг нэмбэл\nx3+y3+z3=2√3(x2+y2+z2)+3(x+y+z)−18√3=2√3⋅18+3⋅2√3−18√3=24√3\nбайна. Иймд\nx2yz+y2zx+z2xy=x3+y3+z3xyz=24√3−6√3=−4."} +{"prompt":"x+y+z=8 тэгшитгэл хэдэн натурал шийдтэй вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: C83=? \n\nC53=C53+5−1=C57=7!5!⋅2!=21"} +{"prompt":"x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1, xyz=1 бол","completion":"Заавар: Тэгш хэмт олон гишүүнтийн үндсэн теорем ёсоор тэгш хэмтэй f(x,y,z) олон гишүүнт бүрийг x+y+z, xy+yz+zx, xyz олон гишүүнтүүдээр илэрхийлж болдог.\nБод��лт: 1x+1y+1z=yz+xz+xyxyz=2√2+11=2√2+1\n x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=\n=(2√2+1)2−2(2√2+1)=7\n x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)+3xyz тул x3+y3+z3=(2√2+1){7−(2√2+1)}+3=\n2(2√2+1)(3−√2)+3=10√2+1"} +{"prompt":"x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1, xyz=1 бол дараах илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Тэгш хэмт олон гишүүнтийн үндсэн теорем ёсоор тэгш хэмтэй f(x,y,z) олон гишүүнт бүрийг x+y+z, xy+yz+zx, xyz олон гишүүнтүүдээр илэрхийлж болдог.\nБодолт: 1x+1y+1z=yz+xz+xyxyz=2√2+11=2√2+1\n x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=\n=(2√2+1)2−2(2√2+1)=7\n x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)+3xyz тул x3+y3+z3=(2√2+1){7−(2√2+1)}+3=\n2(2√2+1)(3−√2)+3=10√2+1"} +{"prompt":"x+y3=y+z6=z+x7≠0 бол 2x3+3y3+z3(x−y)(y−z)(z−x)=abc байна.","completion":"Заавар: x+y3=y+z6=z+x7=k≠0 гээд x, y, z-ийг k-аар илэрхийл.\nБодолт: x+y=3k, y+z=6k, z+x=7k тул x=3k+7k−6k2=2k, y=3k+6k−7k2=k, z=6k+7k−3k2=5k байна. Иймд\n2x3+3y3+z3(x−y)(y−z)(z−x)=2(2k)3+3k3+(5k)3(2k−k)(k−5k)(5k−2k)=114k3−12k3=−12\nбайна."} +{"prompt":"x+y5=y+z8=z+x7≠0 бол x3+2y3−z3(x−2y)(y+z)(z−x)=abcd байна.","completion":"Заавар: x+y5=y+z8=z+x7=k гэвэл\n{x+y=5ky+z=8kz+x=7k\nболно. Эндээс x, y, z-ийг k-аар илэрхийл.\nБодолт: {x+y=5ky+z=8kz+x=7k\nтул\nx=(x+y)−(y+z)+(z+x)2=5k+7k−8k2=2k\ny=5k−2k=3k\nz=7k−2k=5k\nИймд\nИлэрх.=x3+2y3−z3(x−2y)(y+z)(z−x)=(2k)3+2(3k)3−(5k)3(2k−6k)(3k+5k)(5k−2k)=8k2+54k3−125k3(−4k)(8k)(3k)=−63k3−96k3=2132"} +{"prompt":"x+y5=z+x3=y+z4 бол yz−zx-ийг ол.","completion":"Заавар: x+y5=z+x3=y+z4=t гээд x, y, z-ийг t-ээр илэрхийл.\nБодолт: x+y5=z+x3=y+z4=t-ээс (x+y)+(z+x)−(y+z)=5t+3t−4t⇒x=2t\nболох ба x+y=5t⇒y=3t, z+x=3t⇒z=t болно. Иймд\nyz−zx=3tt−t2t=3−12=2.5"} +{"prompt":"x+y=2, x3+y3=9 бол x2+y2 нь аль вэ?","completion":"Заавар: x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)\nашиглан xy-ийг эхэлж ол.\nБодолт: x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)\n⇒9=23−3xy⋅2⇒xy=−16\nбайна. Иймд\nx2+y2=(x+y)2−2xy=22−2⋅(−16)=133"} +{"prompt":"x+yy=3 бол 3x+4yx илэрхийллийн утга аль нь вэ?","completion":"Заавар: x+yy=3⇒x+y=3y⇔x=2y байна.\nБодолт: Эхний тэгшитгэлээс x=2y болох тул 3⋅(2y)+4y2y=10y2y=5."} +{"prompt":"x, y нь 3x−5y≥−16, 3x−y≤4, x+y≥0 нөхцлүүдийг хангах үед 2x+5y-ийн\nхамгийн их, хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: Өгөгдсөн нөхцлийг хангах x, y координаттай цэгүүд нь хавтгайд гурвалжин муж үүсгэнэ. Үүнийг D гэе. Өгөгдсөн k тооны хувьд 2x+5y=k байх цэгүүд шулуун үүсгэнэ. (x,y)∈D үед 2x+5y=k байхын тулд уг шулуун D мужтай\nерөнхий цэгтэй байх ёстой.\nБодолт: x, y нь хавтгайн цэгийн координат гэвэл бодлогын нөхцлийг хангах P(x,y) цэгүүд D мужид байна. \n2x+5y=k⋯(1) нь шулуун дүрсэлнэ. k тоо 2x+5y-ийн утга болохын тулд (1) шулуун D мужтай ерөнхий цэгтэй байх ёстой. k өөрчлөгдөхөд (1) шулуун параллелаар зөөгдөнө. Иймд хамгийн бага, их утга авах боломжтой цэгүүд нь гурвалжны оройнууд буюу (3,5), (1,−1), (−2,2) болно. Эдгээр цэгүүд дээрх утгуудыг шууд тооцоолж 2x+5y-ийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олъё. (x,y)=(3,5) үед хамгийн их утга 2⋅3+5⋅5=31-д хүрнэ. Харин (x,y)=(1,−1) үед хамгийн бага утга 2⋅1+5⋅(−1)=−3-д хүрнэ."} +{"prompt":"x, y, z эерэг бодит тоонуудын нийлбэр 130 ба y=3z байв. S=x2+y2+z2 илэрхийллийн хамгийн бага утга нь abcd ба энэ үед x=ef байна.","completion":"Заавар: x+y+z=130 ба y=3z нөхцлийг ашиглан S-ийг z-ээр илэрхийлж гарсан функцийн хамгийн бага утгыг ол.\nБодолт: x+y+z=x+4z=130 тул x=130−4z тул\nS=f(z)=(130−4z)2+(3z)2+z2=26z2−1040z+16900\nболно.\nf′(z)=52z−1040=0⇒z=20\nүед хамгийн бага утгаа авах тул\nSmin=f(20)=26⋅202−1040⋅20+16900=6500\nба x=130−4⋅20=50 байна.\n\nЖич: S-ийг x, y, z хувьсагчийн альнаар нь ч илэрхийлж болох бөгөөд x, y нь z-ээр илүү хялбар илэрхийлэгдэх тул z хувьсагчийг сонгон S-ийн хамгийн бага утгыг олов."} +{"prompt":"x,y бүхэл тоо бол x2+9y2−10x+24y+39=0 тэгшитгэлийг бодьё.\nБүтэн квадрат ялган хялбарчлавал (x−a)2+(3y+b)2=c болно. x,y бүхэл тоо, нэмэгдэхүүн бүр бүтэн квадрат учир (x−a)2=d ба (3y+b)2=e болно. Эндээс (x,y)=(f,gh),(i,jk) болно. (энд f0, y>0, x2+y2=1 тул x=cosθ, y=sinθ, (0<θ<90∘) байх θ өнцөг олдоно. t=x+y=cosθ+sinθ=√2sin(θ+45∘)\nгэвэл 1≤t≤√2 байна. t2=(x+y)2=1+2xy тул xy=t2−1t тул\nP=x5+y5=(x3+y3)(x2+y2)−x2y2(x+y)=(x+y)(1+xy−x2y2)=t⋅(1+t2−12−(t2−1)24)=t4(1−t4)\nболно. Q(t)=t4(1−t4) гэвэл t4(1−t4)=t4(1−t2)(1+t2)<0 тул Q(t) буурдаг функц байна. Иймд Q(√2)≤Q(t)yxz>yx илэрхийлэл нь ямар ч xy≥yxz>y≥yx. Бусад нь бүх x0 тул\nS=2∫−1(x2−2x+2)dx=(x33−x2+2x)|2−1=6\n y=x(x−1) нь 0≤x≤1 үед y≤0,1≤x≤2 бол\ny≥0 тул\nS=−1∫0(x2+x)dx+2∫1(x2−x)dx=−(x33−x22)|10+(x33−x22)|21=1"} +{"prompt":"x1,x2x1,x2 нь ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн шийдүүд бол 1x211x12, 1x221x22 тоонууд шийд нь болох квадрат тэгшитгэл аль нь вэ?","completion":"Заавар: Виетийн теорем:\n\nαα, ββ тоонууд ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн шийдүүд байх зайлгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\n⎧⎪\n⎪⎨⎪\n⎪⎩α+β=−baα⋅β=ca{α+β=−baα⋅β=ca\nбайна.\nБодолт: Виетийн теором ёсоор x1+x2=−bax1+x2=−ba, x1⋅x2=cax1⋅x2=ca байна. Ax2+Bx+C=0Ax2+Bx+C=0 тэгшитгэлийн шийдүүд 1x211x12, 1x221x22 бол \n−BA=1x21+1x22=(x1+x2)2−2x1x2x21⋅x22=(−ba)2−2(ca)(ca)2=b2−2acc2,−BA=1x12+1x22=(x1+x2)2−2x1x2x12⋅x22=(−ba)2−2(ca)(ca)2=b2−2acc2, \nCA=1x21⋅1x22=1(ca)2=a2c2.CA=1x12⋅1x22=1(ca)2=a2c2. A=c2A=c2 гэж сонговол B=−(b2−2ac)B=−(b2−2ac), C=a2C=a2 болно. Иймд 1x211x12, 1x221x22 тоонууд шийд нь болох квадрат тэгшитгэл нь\nc2x2−(b2−2ac)x+a2=0c2x2−(b2−2ac)x+a2=0\nбайна."} +{"prompt":"x1,x2x1,x2 нь x2−5x+4=0x2−5x+4=0 тэгшитгэлийн шийдүүд бол (x1−x2)2x1x2(x1−x2)2x1x2 илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теорем:\n\nax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1x1, x2x2 байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ⎧⎪\n⎪⎨⎪\n⎪⎩x1+x2=−bax1⋅x2=ca{x1+x2=−bax1⋅x2=ca\nбайна.\nБодолт: Виетийн теоремоор x1+x2=−(−5)=5x1+x2=−(−5)=5, x1⋅x2=4x1⋅x2=4 байна. (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=52−4⋅4=9.(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=52−4⋅4=9. Иймд (x1−x2)2x1x2=94(x1−x2)2x1x2=94 байна."} +{"prompt":"x1,x2x1,x2 нь x2−5x+4=0x2−5x+4=0 тэгшитгэлийн шийдүүд бол x1x2(x1−x2)2x1x2(x1−x2)2 илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теорем:\n\nax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1x1, x2x2 байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ⎧⎪\n⎪⎨⎪\n⎪⎩x1+x2=−bax1⋅x2=ca{x1+x2=−bax1⋅x2=ca\nбайна.\nБодолт: Виетийн теоремоор x1+x2=−(−5)=5x1+x2=−(−5)=5, x1⋅x2=4x1⋅x2=4 байна. (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=52−4⋅4=9.(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=52−4⋅4=9. Иймд x1x2(x1−x2)2=49x1x2(x1−x2)2=49 байна."} +{"prompt":"x10+x5+1 олон гишүүнтийг x2+1-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: x10+x5+1=(x2+1)Q(x)+ax+b тэнцэлд x=i, x=−i утгуудыг орлуулж үз.\nБодолт: x10+x5+1=(x2+1)Q(x)+ax+b-д x=i, x=−i утгуудыг орлуулбал\ni10+i5+1=(i2+1)Q(i)+ai+b⇔i=ai+b\nба\n(−i)10+(−i)5+1=((−i)2+1)Q(−i)−ai+b⇔−i=−ai+b\nтул a=1, b=0 байна. Иймд үлдэгдэл нь x байна."} +{"prompt":"x1=0,x2=1,xn+2=3xn+1−xn2;n∈Nx1=0,x2=1,xn+2=3xn+1−xn2;n∈N бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.","completion":"Заавар: Эхний гишүүдийг олж аль томьёогоор бодож болохыг тогтоо.\nБодолт: n=1n=1 үед 5−22−1=3≠0, 22−1=2≠0, 2−22⋅1≠0, 2−22−1=0, 2−21=05−22−1=3≠0, 22−1=2≠0, 2−22⋅1≠0, 2−22−1=0, 2−21=0 тул зөвхөн сүүлийн хоёр хариулт л зөв байх боломжтой.\n\nn=2n=2 үед 2−22−2=1, 2−22=−2≠12−22−2=1, 2−22=−2≠1 тул зөвхөн 2−22−n2−22−n зөв хариулт байх боломжтой."} +{"prompt":"x1=12;xn+1=12−xn, n∈Nx1=12;xn+1=12−xn, n∈N бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.","completion":"Заавар: 9.2. Дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо, рекуррент томьёог бичиж, хэрэглэдэг.\nБодолт: Гишүүд нь x1=12x1=12, x2=12−12=23x2=12−12=23, x3=12−23=34x3=12−23=34, x4=12−34=45x4=12−34=45 тул xn=nn+1xn=nn+1 байна."} +{"prompt":"x1lgx=9x−18x−2x1lg⁡x=9x−18x−2 бод.","completion":"Заавар: logab=1logbaloga⁡b=1logb⁡a ба alogab=baloga⁡b=b болохыг ашигла.\nБодолт: x1lgx=xlogx10=10x1lg⁡x=xlogx⁡10=10 байна. Нөгөө талаас 9x−18x−2=9(x−2)x−2=99x−18x−2=9(x−2)x−2=9 ба 10≠910≠9 тул тэгшитгэл шийдгүй байна."} +{"prompt":"x1x1, x2x2 нь x2+3x+1=0x2+3x+1=0 тэгшитгэлийн язгуурууд бол x41+x42=?x14+x24=?","completion":"Заавар: x1x1, x2x2 язгуурууд тул x21=−3x1−1x12=−3x1−1, x22=−3x2−1x22=−3x2−1 болохыг ашиглан бод. Виетийн теорем ёсоор x1+x2=−(3)=−3x1+x2=−(3)=−3 байна.\nБодолт: x41+x42=(−3x1−1)2+(−3x2−1)2=9x21+9x22+6(x1+x2)+2=9(−3x1−1−3x2−1)+6(x1+x2)+2=−21(x1+x2)−8=−21⋅(−3)−16=47.x14+x24=(−3x1−1)2+(−3x2−1)2=9x12+9x22+6(x1+x2)+2=9(−3x1−1−3x2−1)+6(x1+x2)+2=−21(x1+x2)−8=−21⋅(−3)−16=47.\nМөн x41+x42x14+x24-ийг x1+x2x1+x2, x1x2x1x2-ээр илэрхийлээд бодож болно."} +{"prompt":"x1x1, x2x2 нь x2+4x+1=0x2+4x+1=0 тэгшитгэлийн язгуурууд бол x41+x42=?x14+x24=?","completion":"Заавар: x1x1, x2x2 язгуурууд тул x21=−4x1−1x12=−4x1−1, x22=−4x2−1x22=−4x2−1 болохыг ашиглан бод. Виетийн теорем ёсоор x1+x2=−(4)=−4x1+x2=−(4)=−4 байна.\nБодолт: x41+x42=(−4x1−1)2+(−4x2−1)2==16x21+16x22+8(x1+x2)+2=16(−4x1−1−4x2−1)+8(x1+x2)+2=−56(x1+x2)−30=−56⋅(−4)−30=194.x14+x24=(−4x1−1)2+(−4x2−1)2==16x12+16x22+8(x1+x2)+2=16(−4x1−1−4x2−1)+8(x1+x2)+2=−56(x1+x2)−30=−56⋅(−4)−30=194.\nМөн x41+x42x14+x24-ийг x1+x2x1+x2, x1x2x1x2-ээр илэрхийлээд бодож болно."} +{"prompt":"x1x1, x2x2 нь x2−3x+1=0x2−3x+1=0 тэгшитгэлийн язгуурууд бол x41+x42x14+x24-ийн утгыг ол.","completion":"Заавар: x1x1, x2x2 язгуурууд тул x21=3x1−1x12=3x1−1, x22=3x2−1x22=3x2−1 болохыг ашиглан бод. Виетийн теорем ёсоор x1+x2=−(−3)=3x1+x2=−(−3)=3 байна.\nБодолт: x41+x42=(3x1−1)2+(3x2−1)2=9x21+9x22−6(x1+x2)+2=9(3x1−1+3x2−1)−6(x1+x2)+2=21(x1+x2)−16=21⋅3−16=47.x14+x24=(3x1−1)2+(3x2−1)2=9x12+9x22−6(x1+x2)+2=9(3x1−1+3x2−1)−6(x1+x2)+2=21(x1+x2)−16=21⋅3−16=47.\nМөн x41+x42x14+x24-ийг x1+x2x1+x2, x1x2x1x2-ээр илэрхийлээд бодож болно."} +{"prompt":"x1x1, x2x2 нь x2−4x+1=0x2−4x+1=0 тэгшитгэлийн язгуурууд бол x41+x42=?x14+x24=?","completion":"Заавар: x1x1, x2x2 язгуурууд тул x21=4x1−1x12=4x1−1, x22=4x2−1x22=4x2−1 болохыг ашиглан бод. Виетийн теорем ёсоор x1+x2=−(−4)=4x1+x2=−(−4)=4 байна.\nБодолт: x41+x42=(4x1−1)2+(4x2−1)2=16x21+16x22−8(x1+x2)+2=16(4x1−1+4x2−1)−8(x1+x2)+2=56(x1+x2)−30=56⋅4−30=194.x14+x24=(4x1−1)2+(4x2−1)2=16x12+16x22−8(x1+x2)+2=16(4x1−1+4x2−1)−8(x1+x2)+2=56(x1+x2)−30=56⋅4−30=194.\nМөн x41+x42x14+x24-ийг x1+x2x1+x2, x1x2x1x2-ээр илэрхийлээд бодож болно."} +{"prompt":"x2(x2−5)−(x2−2)2+x(x−2) олон гишүүнтийн зэргийг тодорхойл.","completion":"Заавар: x-ийн 0 биш хамгийн их зэргийг ол.\nБодолт: x2(x2−5)−(x2−2)2+x(x−2)=x4−5x2−(x4−4x2+4)+x2−2x=−2x−4 тул 1 зэргийн олон гишүүнт байна."} +{"prompt":"x2+(3−a)x−3a=0x2+(3−a)x−3a=0 тэгшитгэлийн нэг шийд нь −2−2-оос бага, нөгөөх нь 22-оос их байх aa параметрийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теоремоор тэгшитгэлийн нэг шийд нь −3−3, нөгөө шийд нь aa байна.\nБодолт: −3<−2−3<−2 тул нөгөө шийд буюу a>2a>2 байна."} +{"prompt":"x2+(4−a)x−4a=0x2+(4−a)x−4a=0 тэгшитгэлийн нэг шийд нь −3−3-аас бага, нөгөөх нь 33-аас их байх aa параметрийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теоремоор тэгшитгэлийн нэг шийд нь −4−4, нөгөө шийд нь aa байна.\nБодолт: −4<−3−4<−3 тул нөгөө шийд буюу a>3a>3 байна."} +{"prompt":"x2+(a+1)x+2a=0x2+(a+1)x+2a=0 тэгшитгэл x1x1, x2x2 гэсэн 2 бодит шийдтэй (ялгаатай байх албагүй) байв. x21+x22x12+x22-ийн утга хамгийн бага байх aa параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: D=(a+1)2−8a≥0⇔a2−6a+1≥0⇔D=(a+1)2−8a≥0⇔a2−6a+1≥0⇔\na≤3−2√2∪a≥3+2√2a≤3−22∪a≥3+22\nболохыг анхаар!\nБодолт: x21+(a+1)x1+2a=0x12+(a+1)x1+2a=0, x22+(a+1)x2+2a=0x22+(a+1)x2+2a=0 ба Виетийн теорем ёсоор x1+x2=−(a+1)x1+x2=−(a+1) тул f(a)=x21+x22=−(a+1)(x1+x2)−4a=(a+1)2−4a=(a−1)2f(a)=x12+x22=−(a+1)(x1+x2)−4a=(a+1)2−4a=(a−1)2\nболно. Энэ илэрхийлэл нь a≤a1=3−2√2∪a≥a2=3+2√2a≤a1=3−22∪a≥a2=3+22 мужид хамгийн бага утгаа a1=3−2√2a1=3−22 цэг дээр авна."} +{"prompt":"x2+(a−2)x+a−4=0x2+(a−2)x+a−4=0 тэгшитгэлийн хоёр язгуурын квадратуудын нийлбэр нь хамгийн бага байхаар aa параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: x1+x2=−(a−2)x1+x2=−(a−2), x1⋅x2=a−4x1⋅x2=a−4 ба D=(a−2)2−4(a−4)≥0D=(a−2)2−4(a−4)≥0 байхыг анхаар.\nБодолт: x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(a−2)2−2(a−4)=a2−6a+12=(a−3)2+3x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(a−2)2−2(a−4)=a2−6a+12=(a−3)2+3\nтул a=3a=3 үед хамгийн бага утга авна. Энэ үед D=(3−2)2−4(3−4)=5>0D=(3−2)2−4(3−4)=5>0 тул 2 бодит язгууртай байна."} +{"prompt":"x2+1-д хуваахад 3x+2 үлдэх, x2+x+1-д хуваахад 2x+3\nүлдэх хамгийн бага зэргийн олон гишүүнтийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: P(x)=(x2+1)(x2+x+1)Q(x)+ax3+bx2+cx+d(∗) \nба ω1, ω2 нь x2+x+1 олон гишүүнтийн язгуурууд гэе. Тэгвэл ω31=ω32=1 ба ω21=ω2, ω22=ω1 байдаг.\n\nP(x)=(x2+1)Q1(x)+3x+2 тул P(i)=3i+2, P(−i)=−3i+2 байна. Эдгээрийг (∗)-д орлуулж бодвол\n{ai3+bi2+ci+d=3i+2a(−i)3+b(−i)2+c(−i)+d=−3i+2\nболох ба эндээс\n{−b+d=2−a+c=3\nболно.\n\nP(x)=(x2+x+1)Q2(x)+2x+3 тул P(ω1)=2ω1+3, P(ω2)=2ω+3 байна. Эдгээрийг (∗)-д орлуулж бодвол\n{aω31+bω21+cω1+d=2ω1+3aω32+bω22+cω2+d=2ω2+3\nбуюу\n{a+bω2+cω1+d=2ω1+3a+bω1+cω2+d=2ω2+3\nболно. Тэгшитгэлүүдийг нэмж ω1+ω2=−1 болохыг тооцвол\n2a−b−c+2d=4(∗∗) байна. Тэгшитгэлүүдийг хасаад ω1−ω2≠0 тоонд хуваавал\n−b+c=2 болно. \n\nd=b+2, a=c−3-ийг (∗∗)-д оруулбал\n2(c−3)−b−c+2(b+2)=4⇒b+c=6\n{−b+c=2b+c=6⇒c=4,b=2\nба эндээс a=1, d=4 болно.\n\nP хамгийн бага зэрэгтэй тул Q=0 гэж үзэж болно. Иймд\nP(x)=x3+2x2+4x+4"} +{"prompt":"x2+10x+8−a=0x2+10x+8−a=0 тэгшитгэлийн язгуурууд x1,x2x1,x2 ба x1=x2x1=x2 бол a=?a=?","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл давхар язгууртай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \nD=b2−4ac=0D=b2−4ac=0\nбайна.\nБодолт: x1=x2⇔D=0x1=x2⇔D=0 тул\nD=102−4⋅(8−a)=0⇒100−32+4a=0⇒a=−17D=102−4⋅(8−a)=0⇒100−32+4a=0⇒a=−17"} +{"prompt":"x2+14x2=15 бол x+12x-ийн натурал тоон утга аль нь вэ?","completion":"Заавар: A=x+12x гэвэл A2=x2+2x⋅12x+14x2 байна\nБодолт: A2=x2+2x⋅12x+14x2=x2+14x2+1=16⇒A=±4 ба натурал утга нь A=4 байна."} +{"prompt":"x2+1x(x+1)(x+2)=?","completion":"Заавар: Баруун гар талын илэрхийллийг ерөнхий хуваарь өгч хялбарчлаад x=0,−1,−2 утгууд ашиглан коэффициентүүдийг ол.\nБодолт: x2+1x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2\nтул\nx2+1=A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1)\nбайна. x=0 үед 1=A(0+1)(0+2) тул A=12, x=−1 үед (−1)2+1=B(−1)(−1+2) тул B=−2, x=−2 үед (−2)2+1=C(−2)(−2+1) тул C=52 байна. Иймд\nx2+1x(x+1)(x+2)=12x−2x+1+52x+2"} +{"prompt":"x2+1x2−1+6x2−1x2+1−5=0\nтэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=x2+1x2−1 орлуулга ашигла.\nБодолт: t=x2+1x2−1⇒x2−1x2+1=1t болно. Иймд\nt+6t−5=0⇔t2−5t+6=0\nба эндээс t1=2, t2=3 байна.\nx2+1x2−1=2⇒x2=3⇒x=±√3\nx2+1x2−1=3⇒x2=2⇒x=±√2"} +{"prompt":"x2+2(1+log7k)x+(3+log7k)=0x2+2(1+log7⁡k)x+(3+log7⁡k)=0 тэгшитгэл ялгаатай язгууруудтай байх kk-ийн утга ack>c байна.","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл ялгаатай язгууруутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь D=b2−4ac>0D=b2−4ac>0 байна.\n\nkk-ийн тодорхойлогдох муж нь k>0k>0 болохыг анхаар!\nБодолт: x2+2(1+log7k)x+(3+log7k)=0x2+2(1+log7⁡k)x+(3+log7⁡k)=0 квадрат тэгшитгэл ялгаатай язгууруутай байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь D=4(1+log7k)2−4(3+log7k)>0D=4(1+log7⁡k)2−4(3+log7⁡k)>0 байна. Эндээс t=log7kt=log7⁡k гэвэл 4t2+4t−8>04t2+4t−8>0 буюу t<−2∪t>1t<−2∪t>1 байна. Иймд k<7−2k<7−2 эсвэл k>71k>71 байна. Тодорхойлогдох мужаа тооцвол\n0707\nгэсэн шийд гарч байна."} +{"prompt":"x2+2(R−1)x−R2+3R−1=0x2+2(R−1)x−R2+3R−1=0 тэгшитгэл 1 шийдтэй байх бодит тоо RR-ийн утгууд ба харгалзах шийдийг ол.","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл D=b2−4ac=0D=b2−4ac=0 үед x=−b2ax=−b2a гэсэн цор ганц шийдтэй байна.\nБодолт: D=[2(R−1)]2−4⋅1⋅(−R2+3R−1)=0D=[2(R−1)]2−4⋅1⋅(−R2+3R−1)=0 тул 2R2−5R+2=02R2−5R+2=0 байна. Эндээс\nR1,2=5±√52−4⋅2⋅22⋅2=5±34R1,2=5±52−4⋅2⋅22⋅2=5±34\nбайна. R1=5+34=2R1=5+34=2 үед x=−2⋅(2−1)2⋅1=−1x=−2⋅(2−1)2⋅1=−1 ба R2=5−24=12R2=5−24=12 үед x=−2⋅(12−1)2⋅1=12x=−2⋅(12−1)2⋅1=12 байна."} +{"prompt":"x2+2(a+b)x+4ab=0x2+2(a+b)x+4ab=0 тэгшитгэлийн шийд нь x1=4,x2=6x1=4,x2=6 бол a2+b2=?a2+b2=?","completion":"Заавар: Виетийн теорем ашигла.\nБодолт: Виетийн теоремоор 4+6=−2(a+b)4+6=−2(a+b), 4⋅6=4ab4⋅6=4ab буюу a+b=−5a+b=−5, ab=6ab=6. a2+b2=(a+b)2−2ab=(−5)2−2⋅6=13a2+b2=(a+b)2−2ab=(−5)2−2⋅6=13."} +{"prompt":"x2+2(a2−3a)x−(6a3−14a2+4)=0 тэгшитгэлий�� шийдүүдийн нийлбэрийг ол. a-ийн ямар утгад энэ нийлбэр хамгийн их байх вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Дискриминантыг олбол D4=(a2−3a)2+(6a3−14a2+4)=a4−5a2+4=(a2−1)(a2−4) байна. a∈U=(−∞;−2]∪[−1;1]∪[2;+∞) үед дискриминант сөрөг биш. Язгууруудын нийлбэр S=3a−a2 нь a=32 үед хамгийн их утгаа авна. Гэвч энэ үед дискриминант сөрөг тул шийдүүд нь бодит биш. a∈(−∞;32) мужид S нь өсөх ба а∈(−∞;32)∩U үед хамгийн их утга нь a=1 үед S=2 байна. a∈(32;−∞) мужид S нь буурах ба (32;−∞)∩U мужид хамгийн их утга нь a=2 үед S=2 байна."} +{"prompt":"x2+2(k−9)x+k2+k+4 квадрат 3 гишүүнт бүтэн квадрат байх k-г ол.","completion":"Заавар: Квадрат гурван гишүүнтийн дисркеминант нь 0-тэй тэнцүү байх ёстой.\nБодолт: D\/4=(k−9)2−(k2+3k+4)=k2−18k+81−k2−3k−4=\n=−21k+77⇒k=113"} +{"prompt":"x2+2Rx+3R2−5=0x2+2Rx+3R2−5=0 тэгшитгэл бодит шийдтэй байх RR параметрийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэл бодит шийдтэй байх ⇔D=b2−4ac≥0⇔D=b2−4ac≥0 байдаг.\nБодолт: Шийдтэй байхын тулд дискриминант эерэг буюу\nD=(2R)2−4⋅1⋅(3R2−5)=20−8R2≥0D=(2R)2−4⋅1⋅(3R2−5)=20−8R2≥0 байна. Иймд −√52≤R≤√52−52≤R≤52 байна."} +{"prompt":"x2+2ax+a+2>0 тэнцэтгэл биш бүх бодит тоо x -ийн хувьд үнэн байх тооны утгын мужийг олоорой.","completion":"Заавар:\nБодолт: 3sin2x−7cos2x=1 3sin2x−7cos2x=cos2x+sin2x\nsin2x−6sinxcosx+8cos2x=0 тэгшитгэлийн хоёр талыг cos2 - д хуваавал tg2−6tgx+8=0 тэгшитгэл үүсэх бөгөөд орлуулга хийж бодоход tgx=2, tgx=4 хялбар тэгшитгэлүүд үүснэ. y=tgx функцийн график байгуулж, y=2 ба y=4 шулуунуудтай харгалзан огтлолцуулбал өгөгдсөн завсарт 4 шийдтэй гэдэг нь харагдана."} +{"prompt":"x2+2x+10=0x2+2x+10=0 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 бодит коэффициенттэй квадрат тэгшитгэл D=b2−4ac<0D=b2−4ac<0 үед\nx1,2=−b±√−D⋅i2ax1,2=−b±−D⋅i2a\nгэсэн 2 комплекс шийдтэй.\nБодолт: x2+2x+10=0x2+2x+10=0 тэгшитгэлийн D=22−4⋅1⋅10=−36<0D=22−4⋅1⋅10=−36<0 тул шийдүүд нь\nx1,2=−2±√−(−36)⋅i2⋅1=−2±6⋅i2=−1±3ix1,2=−2±−(−36)⋅i2⋅1=−2±6⋅i2=−1±3i\nбайна."} +{"prompt":"x2+2xlog0.2(x+2)>0x2+2xlog0.2⁡(x+2)>0 бод.","completion":"Заавар: Хэрэв a>0a>0, a≠0a≠0, b>0b>0 бол logab>0⇔(a−1)(b−1)>0loga⁡b>0⇔(a−1)(b−1)>0. Тухайн тохиолдолд 00b>0 бол logab>0⇔b−1<0loga⁡b>0⇔b−1<0 байна.\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь x+2>0,log0.2(x+2)≠0⇒x>−2,x≠−1x+2>0,log0.2⁡(x+2)≠0⇒x>−2,x≠−1 байна. x+2>0x+2>0 үед log0.2(x+2)>0⇔(x+2−1)=x+1<0log0.2⁡(x+2)>0⇔(x+2−1)=x+1<0 тул x2+2xlog0.2(x+2)>0⇔{(x+1)(x2+2x)<0x+2>0x2+2xlog0.2⁡(x+2)>0⇔{(x+1)(x2+2x)<0x+2>0 байна.\n{(x+1)x(x+2)<0x+2>0⇔{(x+1)x<0x+2>0⇔−10⇔{(x+1)x<0x+2>0⇔−1x−2 тул x+10>0, x−2<0 байна. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь\n−1004(1+a)≥(2−a)2⇔{a<2a2−8a≤0⇔a∈[0;8]⇔a∈[0;2]\nИймд a∈[0;+∞) үед тэгшитгэл 2 шийдтэй: x3,4=−1+√1−a±√a−2+2√1+a2 (a=0 үед шийдүүд нь давхацна)."} +{"prompt":"x2+x3=5 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлээд цааш бодвол илүү хялбар.\nБодолт: x2+x3=5⇔6⋅x2+6⋅x3=6⋅5⇔\n3x+2x=30⇔5x=30⇔x=30:5=6"} +{"prompt":"x2+x−20=0x2+x−20=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: x1,2=−1±√12−4⋅(−20)2⋅1=−1±92x1,2=−1±12−4⋅(−20)2⋅1=−1±92\nтул x1=−1+92=4x1=−1+92=4, x2=−1−92=−5x2=−1−92=−5 байна."} +{"prompt":"x2+x−5x+3xx2+x−5+4=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=x2+x−5x гэвэл t+3t+4=0 болно.\nБодолт: t+3t+4=0⇔t2+4t+3=0 тул t1=−1, t2=−3 болно. Эндээс x2+x−5x=−1 эсвэл x2+x−5x=−3 байна.\nx2+x−5x=−1⇔x2+2x−5=0\nүед x1,2=1±√6 шийд гарна.\nx2+x−5x=−3⇔x2+4x−5=0\nүед x3,4=1,−5 гэсэн шийдтэй. Шийдүүдээ нэгтгэвэл\n−5;1;−1±√6\nболно."} +{"prompt":"x2+y(3x+11y)xy+2y2=5 бол x3−2xy2−3x2y+7y3x3−2y3 илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: x2+y(3x+11y)xy+2y2=5 нь нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Бутархайн хуваарийг y≠0 тоонд хуваагаад t=xy орлуулга хийвэл\nt2+3t+11t+2=5\nтэгшитгэл үүснэ. Иймд x, y-ийн хамаарлыг өгсөн нөхцөлөөс олж болно.\nБодолт: Зааварт ёсоор t=xy нь\nt2+3t+11t+2=5\nтэгшитгэлийн шийд болно. Эндээс t2−2t+1=(t−1)2=1 буюу xy=1 болно. Иймд x=y тул\nx3−2xy2−3x2y+7y3x3−2y3=x3−2x3−3x3+7x3x3−2x3=−3\nболов.\nЗаавар: Өгсөн нөхцөлийг хялбарчил.\nБодолт: x2+y(3x+11y)xy+2y2=5⇒x2+3xy+11y2=5xy+10y2⇒\nx2+3xy+11y2−5xy−10y2=\n=x2−2xy+y2=(x−y)2=0\nтул x=y байна. Иймд\nx3−2xy2−3x2y+7y3x3−2y3=x3−2x3−3x3+7x3x3−2x3=−3"} +{"prompt":"x2+y2=1 бол x+√3y илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: x2+y2=1 тул x=cost, y=sint оруулга ашиглах боломжтой.\nБодолт: x=cost, y=sint гэвэл\n−2≤x+√3y=2cos(t−60∘)\nболно. Тэнцэтгэл биш t=240∘ үед тэнцэлдээ хүрэх тул minx2+y2=1x+√3y=−2 байна."} +{"prompt":"x2+y2=1 бол √3x+y илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.","completion":"Заавар: x=cost, y=sint оруулга ашиглаад туслах өнцөг оруулж бод.\nБодолт: x=cost, y=sint гэвэл\n√3x+y=2sin(t+60∘)≤2\nболно. Тэнцэтгэл биш t=30∘ үед тэнцэлдээ хүрэх тул maxx2+y2=1√3x+y=2 байна."} +{"prompt":"x2+y3+1=0 далд функцийн уламжлал аль нь вэ?","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн баруун зүүн талыг давхар функцийн уламжлал олох дүрмээр дифференциалчил.\nБодолт: Тэгшитгэлийн хоёр талыг дифференциалчилбал\n2x+3y2y′=0⇒y′=−2x3y2"} +{"prompt":"x23+48x2=10(x3−4x) тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: Тэгшитгэлийг 3-аар үржвэл\nx2+144x2=10(x−12x)\nболно. t=x−12x гэвэл\nt2=x2−2⋅x⋅12x+144x2=x2+144x2−24\nтул\nt2+24=10t⇔t2−10t+24=0\nЭндээс t1=6, t2=4 болно.\nx−12x=6⇔x2−6x−12=0⇒x1=3−√21,x2=3+√21\nx−12x=4⇔x2−4x−12=0⇒x3=−2,x4=6"} +{"prompt":"x2lg2x=10x3x2lg2⁡x=10x3 тэгшитгэл x>ax>a мужид тодорхойлогдох ба\nx=1bcx=1bc, x=101±√d2x=101±d2 язгууруудтай.","completion":"Заавар: f(x)=logaxf(x)=loga⁡x функцийн тодорхойлогдох муж нь x>0x>0 байдаг.\n\nu(x)v(x)=w(x)u(x)v(x)=w(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг логарифмчилбал\nv(x)logau(x)=logaw(x)v(x)loga⁡u(x)=loga⁡w(x)\nболох бөгөөд зарим төрлийн илтгэгч, логарифм тэгшитгэлийг бодоход өргөн ашиглагддаг.\nБодолт: lgxlg⁡x илэрхийлэл оролцсон тул тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь x>0x>0 муж болно. Тэгшитгэлийг 10 сууриар логарифмчилбал\n2lg2x⋅lgx=lg10x3⇔2lg3x−3lgx−1=02lg2⁡x⋅lg⁡x=lg⁡10x3⇔2lg3⁡x−3lg⁡x−1=0\nболно. t=lgxt=lg⁡x гэвэл\n2t3−3t−1=(t+1)(2t2−2t−1)=02t3−3t−1=(t+1)(2t2−2t−1)=0\nтэгшитгэлийн шийдүүд нь \nt1=−1, t2,3=2±√4+84=1±√32t1=−1, t2,3=2±4+84=1±32\nтул lgx=−1lg⁡x=−1 эсвэл lgx=1±√32lg⁡x=1±32 иймд\nx1=110, x2,3=101±√32x1=110, x2,3=101±32\nгэсэн шийдүүдтэй."} +{"prompt":"x2log2x=8x2log2⁡x=8 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн хоёр талаас нь 2 суурьтай логарифм ав.\nБодолт: x2log2x=8⇔log2x2log2x=log28⇔x2log2⁡x=8⇔log2⁡x2log2⁡x=log2⁡8⇔\n⇔2log2x⋅log2x=3⇔2log2⁡x⋅log2⁡x=3\nтул log2x=±√32⇔x=2±√1.5log2⁡x=±32⇔x=2±1.5"} +{"prompt":"x2log4x=16x2log4⁡x=16 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн хоёр талаас нь 4 суурьтай логарифм ав.\nБодолт: x2log4x=16⇔log4x2log4x=log416⇔x2log4⁡x=16⇔log4⁡x2log4⁡x=log4⁡16⇔\n⇔2log4x⋅log4x=2⇔2log4⁡x⋅log4⁡x=2\nтул log4x=±1⇔x=4,14log4⁡x=±1⇔x=4,14"} +{"prompt":"x2x2−x−2 рационал бутархайг олон гишүүнт болон хялбар бутархайнуудын нийлбэрт тавихад\nAx−2+Bx+1+C\nболжээ. A+B+C нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: x2x2−x−2=1+x+2x2−x−2=1+x+2(x−2)(x+1)=1+Ax−2+Bx+1\nтул C=1 байна. Тодорхойгүй коэффициентийн аргаар бодвол\nx+2=A(x+1)+B(x−2)\nтул A+B=1, A−2B=2 болно. Иймд\nA+B+C=1+1=2\nбайна."} +{"prompt":"x2y+xy2=20 ба x+y=5 бол xy=?","completion":"Заавар: x2y+xy2=xy(x+y)\nБодолт: x2y+xy2=xy(x+y)=5xy=20⇒xy=4"} +{"prompt":"x2−(p−2)x+p−2=0x2−(p−2)x+p−2=0 тэгшитгэл 22-оос бага ялгаатай хоёр бодит язгууртай байх pp параметрийн бүх утгыг ол.\n\n⎧⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎩D=p2−ap+bc>0x0=dp−e2<2f−gp>0{D=p2−ap+bc>0x0=dp−e2<2f−gp>0 энэ тэнцэтгэл бишийн системийг бодвол p0D>0, x0=−b20f(p)>0 байдаг.\nБодолт: Квадрат тэгшитгэл 22-оос бага ялгаатай 2 шийдтэй байх нөхцлийг бичвэл\n⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩D=(p−2)2−4⋅1⋅[−(p−2)]>0x0=p−22<222−(p−2)⋅2+p−2>0⇔{D=(p−2)2−4⋅1⋅[−(p−2)]>0x0=p−22<222−(p−2)⋅2+p−2>0⇔\n⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩D=p2−8p+12>0x0=p−22<26−p>0⇔⎧⎪⎨⎪⎩[p<2p>6p<6{D=p2−8p+12>0x0=p−22<26−p>0⇔{[p<2p>6p<6\nтул системийн шийд pp"} +{"prompt":"x2−(√2+1)x+√2=0x2−(2+1)x+2=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Виетийн теорем ашиглан хариунаас бод.\nБодолт: x1=1x1=1 шийд болохыг шалгаад Виетийн теорем ашиглан x2=√2x2=2 гэж бодох боломжтой. Тэгшитгэлийн хялбар шийдийг тааж олох нь хугацаа хэмнэх боломж олгодог юм.\n\nТүүнчлэн\nx1,2=√2+1±√(√2+1)2−4√22=√2+1±√(√2−1)22=x1,2=2+1±(2+1)2−422=2+1±(2−1)22=\n=√2+1±|√2−1|2=√2+1±(√2−1)2=2+1±|2−1|2=2+1±(2−1)2\nгээд квадрат тэгшитгэл бодох томьёо ашиглаад бодсон ч болно. Энэ тохиолдолд x1=√2+1−√2+12=1x1=2+1−2+12=1, x2=√2+1+√2−12=√2x2=2+1+2−12=2."} +{"prompt":"x2−10x+24 олон гишүүнтийг үржигдэхүүнд задал.","completion":"Заавар: 5.2 Олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон (томьёо хэрэглэх, бүлэглэх, турших арга) задалдаг.\nБодолт: x2−10x+24=x2−(4+6)x+4⋅6=(x2−4x)−6x+4⋅6=x(x−4)−6(x−4)=(x−4)(x−6)"} +{"prompt":"x2−2(a+b)x+4ab=0x2−2(a+b)x+4ab=0 тэгшитгэлийн шийд нь x1=8,x2=10x1=8,x2=10 бол a2+b2=?a2+b2=?","completion":"Заавар:\nБодолт: Виетийн теоремоор 8+10=2(a+b)8+10=2(a+b), 8⋅10=4ab8⋅10=4ab буюу a+b=9a+b=9, ab=20ab=20. a2+b2=(a+b)2−2ab=92−2⋅20=41a2+b2=(a+b)2−2ab=92−2⋅20=41."} +{"prompt":"x2−2(k+1)x+2(k2+3k−10)=0x2−2(k+1)x+2(k2+3k−10)=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь\nэерэг байх kk параметрийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c-ийн хувьд a>0a>0, D=b2−4acD=b2−4ac ба оройн цэгийн абсцисс нь x0=−b2ax0=−b2a байг. f(x)=0f(x)=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд α<βα<β ба R∈RR∈R бол \n R<α,β⇔0≤DR<α,β⇔0≤D, 00x0>0, f(0)>0f(0)>0 болно. Мөн x0=k+1x0=k+1 байна.\n D≥0D≥0 тул D=4(k+1)2−8(k2+3k−10)≥0D=4(k+1)2−8(k2+3k−10)≥0 буюу −7≤k≤3−7≤k≤3; \n x0=−−2(k+1)2=k+1>0x0=−−2(k+1)2=k+1>0 буюу k≥−1k≥−1;\n f(0)>0f(0)>0 буюу 2(k2+3k−10)>02(k2+3k−10)>0 тул k<−5∨k>2k<−5∨k>2.\n\nkk дээрх 3 нөхцлийг зэрэг хангах тул 20a>0, D=b2−4acD=b2−4ac ба оройн цэгийн абсцисс нь x0=−b2ax0=−b2a байг. f(x)=0f(x)=0 квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд α<βα<β ба R∈RR∈R бол \n R<α,β⇔0≤DR<α,β⇔0≤D, 01x0>1, f(1)>0f(1)>0 байх ёстой.\n⎧⎪⎨⎪⎩D≥0 тул a2−5≤0⇔√5≤a≤√5x0=a>1f(1)>0 тул 2a2−2a−4>0⇔a<−1∪21f(1)>0 тул 2a2−2a−4>0⇔a<−1∪20 байх л боломжтой. Иймд a0x−a>0 байх л боломжтой. Иймд a0 байг. \n ax+bx+c=0 тэгшитгэл x1β)(α>β) ба nn-натурал тоо бол","completion":"Заавар: α2−α−1=0α2−α−1=0, β2−β−1=0β2−β−1=0 байна.\nБодолт: \nαn+2−βn+2−(αn+1−βn+1)−(αn−βn)=(αn+2−αn+1−αn)−(βn+2−βn+1−βn)αn+2−βn+2−(αn+1−βn+1)−(αn−βn)=(αn+2−αn+1−αn)−(βn+2−βn+1−βn) =αn(α2−α−1)−βn(β2−β−1)=0=αn(α2−α−1)−βn(β2−β−1)=0 болж батлагдав.\n x2−x−1=0x2−x−1=0 ⇒⇒ x=1±√52x=1±52,\nα>βα>β учир\nα−β=1+√52−1−√52=√5.α−β=1+52−1−52=5.\nα2−β2−(α−β)=0α2−β2−(α−β)=0 ⇒⇒ α2−β2=α−β=√5.α2−β2=α−β=5.\nSn=αn−βnSn=αn−βn гэе. (a) бодлого ёсоор Sn+2=Sn+1+SnSn+2=Sn+1+Sn болно.\nS3=S2+S1=√5+√5=2√5S4=S3+S2=2√5+√5=3√5S5=S4+S3=3√5+2√5=5√5S6=S5+S4=5√5+3√5=8√5S7=α7−β7=S6+S5=8√5+5√5=13√5S3=S2+S1=5+5=25S4=S3+S2=25+5=35S5=S4+S3=35+25=55S6=S5+S4=55+35=85S7=α7−β7=S6+S5=85+55=135\nтул α7−β7=13√5α7−β7=135 болно."} +{"prompt":"x2−x−20>0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: x2−x−20=(x+4)(x−5) байна. Хоёр тооны үржвэр тэгээс их байхын тулд тэмдэг нь ижил байх шаардлагатай.\nБодолт: Үржигдэхүүн тус бүр эерэг байхын тулд x>5, үржигдэхүүн тус бүр сөрөг байхын тулд x<−4 байна. Иймд шийд нь x<−4∪x>5."} +{"prompt":"x2−x−2≤0(1), x2−px+q<0(2)\nтэнцэтгэл бишүүд өгөгдөв. Тэгвэл (1)-ийн шийд нь\n−a≤x≤b байна. Мөн (1) ба (2)\nтэнцэтгэл бишийг зэрэг хангах шийд байхгүй ба тэдгээрийн шийдийн нэгдэл −1≤x<6 бол p=c, q=de байна.","completion":"Заавар: (x−x1)(x−x2)≤0⇔x1≤x≤x2\nБодолт: x2−x−2=(x+1)(x−2)≤0⇔−1≤x≤2. (2)-ийн шийд (1)-ийн шийдтэй огтлолцохгүй тул (2)-ийн шийд нь [−1;6[∖[−1;2]=]2;6[ байна. Иймд 2 ба 6 нь x2−px+q олон гишүүнтийн язгуур байна. Иймд Виетийн теоремоор p=2+6=8, q=2⋅6=12 байна."} +{"prompt":"x2⋅4√2−x+42−x=x2⋅2−2x+4√2−x+2x2⋅42−x+42−x=x2⋅2−2x+42−x+2 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: x2⋅4√2−x+42−x=x2⋅2−2x+4√2−x+2⇔(x2−16)(4√2−x−4−x)=0x2⋅42−x+42−x=x2⋅2−2x+42−x+2⇔(x2−16)(42−x−4−x)=0. Тодорхойлогдох мужаа анхаар.\nБодолт:"} +{"prompt":"x2⋅6−x+6√x+2=x2⋅6√x+62−xx2⋅6−x+6x+2=x2⋅6x+62−x тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр, үржвэрийг ол.","completion":"Заавар: 6−x(x2−62)−6√x(x2−62)=0⇔(6−x−6√x)(x2−62)=06−x(x2−62)−6x(x2−62)=0⇔(6−x−6x)(x2−62)=0.\nБодолт:"} +{"prompt":"x3+(2a−1)x2−3(a−2)x+a−6=0 тэгшитгэлийн яг хоёр шийд нь тэнцүү байх a хэчнээн байх вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: x3−x2+6x−6+a(2x2−3x+1)=(x−1)(x2+6)+a(x−1)(2x−1)=(x−1)(x2+2ax−a+6)=0\nтул x=1 тэгшитгэлийн шийд болно.\n x2+2ax+6−a=0 тэгшитгэлийн хоёр шийд нь тэнцүү бөгөөд 1-ээс ялгаатай байг. Тэгвэл\nD=0 ба 12+2a⋅1+6−a≠0 байна. Иймд D=4(a2+a−6)=0 ба a≠−7-аас a=−3, 2 болно.\n x2+2ax+6−a=0 тэгшитгэлийн нэг шийд нь x=1 байг. Тэгвэл \n12+2⋅a⋅1+6−a=0 буюу a=−7\nболно. a=−7 үед нөгөө шийд нь 1-ээс ялгаатай байна. Иймд a тоо гурван ялгаатай утга авч байна."} +{"prompt":"x3+3x21+x≤0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: f(x)g(x)≤0⇔{f(x)⋅g(x)≤0g(x)≠0\nБодолт: D:1+x≠0⇒x≠−1 байна.\n(x3+3x2)(1+x)≤0⇔x2(x+3)(1+x)≤0\nТэнцэтгэл бишийг интервалын аргаар бодвол\n\nтул сөрөг муж буюу [−3;−1[∪{0} байна."} +{"prompt":"x3+3x2−4x−12=0 тэгшитгэлийн язгуурууд x1,x2,x3 бол 1x1+1x2+1x3=?","completion":"Заавар: Бүлэглэх аргаар үржигдэхүүн болгон задал.\nБодолт: x3+3x2−4x−12=(x+3)x2−4(x+3)=(x+3)(x2−4)=0\nгэж үржигдэхүүнд задалж бодвол x1=−3, x2=2, x3=−2 тул\n−1−3+12+−1−2=��13\nбайна.\n\nМөн куб тэгшитгэлийн хувь дахь Виетийн теорем ашиглаад\n1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3=−4−(−12)=−13\nгэж шууд бодож болно."} +{"prompt":"x3+3x2−9x−1 олон гишүүнтийг x−1 олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.","completion":"Заавар: Безугийн теорем ашигла.\nБодолт: Безугийн теорем ёсоор\nR=13+3⋅12−9⋅1−1=−6\nбайна."} +{"prompt":"x3+3x2−x+1=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь\nα, β, γ бол (α+1), (β+1),\n(γ+1) шийдүүдтэй тэгшитгэл зохио.","completion":"Заавар:\nБодолт: Виетийн теоремоор\n\n{α+β+γ=−3αβ+βγ+γα=−1αβγ=−1\n \nболно.\n \n(α+1)+(β+1)+(γ+1)=α+β+γ+3=−3+3=0.\n\n(α+1)(β+1)+(β+1)(γ+1)+(γ+1)(α+1)=(αβ+βγ+γα)++2(α+β+γ)+3=−1+2⋅(−3)+3=−4\nx3+3x2−x+1=(x−α)(x−β)(x−γ) тэнцэлд x=−1 гэвэл\n(α+1)(β+1)(γ+1)=−(−1+3+1+1)=−4 байна. Иймд α+1, β+1, γ+1 шийдүүдтэй тэгшитгэл \nx3−4x+4=0\n болно."} +{"prompt":"x3+5x2−4x−20=0 тэгшитгэлийн язгуурууд x1,x2,x3 бол 1x1+1x2+1x3=?","completion":"Заавар: Куб тэгшитгэлийн Виетийн теорем:\nx3+ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x1,x2,x3 байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \nx3+ax2+bx+c=(x−x1)(x−x2)(x−x3)\nбуюу\n{x1+x2+x3=−ax1x2+x1x3+x2x3=bx1x2x3=−c\nбайна.\nБодолт: Виетийн теорем ашиглавал\n1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3=−4−(−20)=−15 байна.\nЗаавар: x3+5x2−4x−20=x2(x+5)−4(x+5)=(x+5)(x−2)(x+2)=0\nБодолт: Заавар ёсоор тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1=−5, x2=2, x3=−2 болж байна. Иймд\n1x1+1x2+1x3=−15\nбайна."} +{"prompt":"x3+6x2+5x+c=0 тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогресс үүсгэх бол c аль нь вэ?","completion":"Заавар: Виетийн теорем ашигла. a, b, c тоонууд энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд бол a+c=2b байдаг.\nБодолт: x14 буюу p<−2 эсвэл 2

0f(x2)=13−4⋅12+5−179=19>0\nбуюу f(x1)⋅f(x2)>0f(x1)⋅f(x2)>0 ��ул f(x)=0f(x)=0 тэгшитгэл 3 бодит шийдтэй. Виетийн теоремоор x1+x2+x3=4x1+x2+x3=4, x1x2+x1x3+x2x3=5x1x2+x1x3+x2x3=5 тул\nx21+x22+x23=42−2⋅5=6x12+x22+x32=42−2⋅5=6\nболно."} +{"prompt":"x3−5x2+7x=a тэгшитгэлийн ядаж 2 ялгаатай бодит шийд нь x3−8x+b=0 тэгшитгэлийн шийд болдог байх a,b параметрийн бүх утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Нэгдүгээр тэгшитгэлээс 2 дахь тэгшитгэлийг хасвал −5x2+15x−b=a  (∗) тэгшитгэл гарах энэ тэгшитгэлийн шийдүүд нь ерөнхий шийдүүд болно. Үүнийг х-ээр үржүүлж, 2-р тэгшитгэлийг 5-аар үржүүлж хооронд нь нэмбэл: x(5−a−b)+2b=3a  (∗∗) тэгшитгэл гарна. (∗) тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж (∗∗) тэгшитгэлээс хасвал (5−a−b)x+2b=3a тэгшитгэл гарна. Энэ тэгшитгэл ялгаатай 2 шийдтэй байхын тулд 5−a−b=0,2b−3a=0 байна."} +{"prompt":"x3−6x2+3x+a=0 тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Хамгийн их шийдийг ол.","completion":"Заавар: Виетийн теоремоор x1+x2+x3=6, x1x2+x1x3+x2x3=3, x1x2x3=−a байна. Мөн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд тул x1+x3=2x2 байна.\nБодолт: x1+x2+x3=3x2=6⇒x2=2 байна. x=2 шийд тул 23−6⋅22+3⋅2+a=0⇒a=10 байна. Иймд\nx1+x3=4, x1x3=−5 болно. Эндээс x1=−1∨5, x3=5∨−1 болох тул хамгийн их шийд нь 5 байна."} +{"prompt":"x3−6x2+3x+p=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь x1≤x2≤x3 гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болох тоонууд бол x1=−a, x2=b, x3=c байна.","completion":"Заавар: Виетийн теорем:\nax3+bx2+cx+d=0 куб тэгшитгэлийн шийдүүд нь α, β, γ бол\nax3+bx2+cx+d=a(x−α)(x−β)(x−γ)\nбуюу α+β+γ=−ba, αβ+αβ+βγ=ca , αβγ=−da байна.\nБодолт: Виетийн теоремоор x1+x2+x3=−(−6) ба арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд тул x1+x3=2x2 байна. Иймд 3x2=6⇒x2=2 байна.\n\nx1=x2−d=2−d, x3=x2+d=2+d ба x1x2+x1x3+x2x3=3 тул\n2x1+2x3+x1x3=2⋅2x2+(2−d)(2+d)=3⇔d2=9\nтул d=±3 болно. Өсөх арифметик прогресс тул d=3 болно. Иймд x1=2−3=−1, x3=2+3=5"} +{"prompt":"x3−6x2+9x−2=0 тэгшитгэл x>1 мужид хэдэн бодит шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Экстремум утгуудыг шинжил.\nБодолт: Уламжлал авбал 3x2−12x+9=3(x−1)(x−3) тул x=1 цэг дээр максимум 1−6+9−2=2 утга авах ба x=3 цэг дээр минимум 33−6⋅32+9⋅3−2=−2 утгатай байна. Иймд x3−6x2+9x−2=0 тэгшитгэл ]−∞;1[, ]1;3[, ]3;+∞[ мужуудад тус бүр 1 шийдтэй байна (график зурж хар). Иймд x>1 байх шийдийн тоо нь 2 байна."} +{"prompt":"x3−ax2−22x+b=0 тэгшитгэлийн шийдүүд 2, 4, c бол a, b, c-г ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: x=2, 4 нь тэгшитгэлийн шийд учир тэгшитгэлд орлуулахад үнэн тэнцэл үүснэ. Иймд\n{8−4a−44+8=064−16a−88+b=0\nбуюу a=1, b=40 болно. \nx3−x2−22x+40=0 тэгшитгэлийн хувьд\nx3−x2−22x+40=(x−2)(x2+x−20)=(x−2)(x−4)(x+5)=0\nтул c=−5 болно."} +{"prompt":"x3−ax2−bx+c>0 тэнцэтгэл бишийн шийд\nx∈]−2;1[∪]3;+∞[ бол a,b,c -ийн хувьд\n{−4a+2b+c=aa+b−c=b9a+3b−c=cd тэгшитгэлийн систем гарах ба a=e,b=f,c=g байна.","completion":"Заавар: (x−a)(x−b)(x−c)<0, a0) үржигдэхүүн болон задардаг бол p+q нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар:\nБодо��т: Тодорхойгүй коэффициентийн аргаар: \nx4−23x2+1=(x2+px+1)(x2−qx+1)=x4+(p−q)x3+(2−pq)x2+(p−q)x+1\nгэдгээс\n{p−q=02−pq=−23⇒{p=q2−p2=−23⇒p2=25⇒p=±5\nболно. p>0 болохыг тооцвол p=5, q=5 болно. Иймд p+q=10 байна."} +{"prompt":"x4−34x2+1=(x2+nx+1)(x2−mx+1) (Үүнд n>0) үржигдэхүүн болон задардаг бол n+m нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Тодорхойгүй коэффициентийн аргаар: \nx4−23x2+1=(x2+px+1)(x2−qx+1)=x4+(p−q)x3+(2−pq)x2+(p−q)x+1\nгэдгээс\n{p−q=02−pq=−34⇒{p=q2−p2=−34⇒p2=36⇒p=±5\nболно. p>0 болохыг тооцвол p=6, q=6 болно. Иймд p+q=12 байна.\nБодолт: Тодорхойгүй коэффициентийн аргаар: \nx4−23x2+1=(x2+px+1)(x2−qx+1)=x4+(p−q)x3+(2−pq)x2+(p−q)x+1\nгэдгээс\n{p−q=02−pq=−23⇒{p=q2−p2=−23⇒p2=25⇒p=±5\nболно. p>0 болохыг тооцвол p=5, q=5 болно. Иймд p+q=10 байна."} +{"prompt":"x4−4.5x3+7x2−4.5x+1=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь хоёр талаасаа тэгш хэмтэй тул x2≠0 тоонд хуваагаад t=x+1x орлуулгаар бод.\nx2+1x2=t2−2\nбайна.\nБодолт: x4−4.5x3+7x2−4.5x+1=0⇔\nx2−4.5x+7−4.5x+1x2=0⇔\n(x2+1x2)−4.5(x+1x)+7=0⇔\nt2−4.5t+5=0⇔t1=2,t2=2.5\nИймд x+1x=2 эсвэл x+1x=2.5 байна. Эхний тэгшитгэлээс x=1, хоёр дахь тэгшитгэлээс 0.5;2 гэсэн шийд гарна."} +{"prompt":"x4−5x3−4x2−5x+1=0 бол x+1x-ийн эерэг утгыг ол.","completion":"Заавар: 4 зэргийн буцах тэгшитгэлийг бодохдоо x2≠0 тоонд хувааж x+1x=t, x2+1x2=t2−2 орлуулга ашиглаж бодно.\nБодолт: x2≠0 тоонд хувааж өгвөл (x2+1x2)−5(x+1x)−4=0. x+1x=a≥0 гэж орлуулбал a2=(x2+1x2)−2 тул a2−5a−6=0\nболно. Эндээс a эерэг тул a=6 байна."} +{"prompt":"x5−x олон гишүүнт дараах олон гишүүнтүүдийн алинд нь хуваагдахгүй вэ?","completion":"Заавар: x5−x=x(x4−1)=x(x2−1)(x2+1)=x(x−1)(x+1)(x2+1) байна.\nБодолт: Заавраас харахад x+2-аас бусад бүх олон гишүүнтэд хуваагдаж байна."} +{"prompt":"x02+22(−3)2+02>02+22 тул x2+y2(−1)⋅3(−2)⋅(−1)>(−1)⋅3\nтул xy0 байна.\nБодолт: a∈]0;2.5[ үед ]a;2a[∈[−1;5] тул y=5+4x−x2>0 байна. Иймд бидний олох дүрсийн талбай\nS(a)=∫2aa[(5+4x−x2)−0]dx=(5x+2x2−x33)|2aa=\n=(10a+8a2−8a23)−(5a+2a2−a23)=−7a33+6a2+5a\nS′(a)=−7a2+12a+5=0⇔a=−12±√122−4⋅(−7)⋅52⋅(−7) тул a1=6+√717, a2=6−√717 ба a1=6+√717 нь максимумын цэг байна."} +{"prompt":"x=−3 нь x2+(a2+a)x+a−1=0 тэгшитгэлийн шийд\nбол a=−a эсвэл a=b3 байна.","completion":"Заавар: f(x)=g(x) тэгшитгэлийн шийд нь f(x0)=g(x0) илэрхийллийг үнэн байлгах x0 тоо юм. Жишээ нь 3x=1 тэгшитгэлийн хувьд 3⋅1=1 нь худал илэрхийлэл тул 1 нь тэгшитгэлийн шийд биш, 3⋅13=1 нь үнэн илэрхийлэл тул 13 нь 3x=1 тэгшитгэлийн шийд болно.\nБодолт: x=−3 нь x2+(a2+a)x+a−1=0 тэгшитгэлийн шийд тул\n(−3)2+(a2+a)⋅(−3)+a−1=0\nтэнцэтгэл үнэн байна. Иймд 3a2+2a−8=0 байна. Эндээс a=−2 эсвэл a=43 байна."} +{"prompt":"x=√12−√140, y=√12+√140 бол α=x−yx+y=−√ab7 байна. Иймд {α}=α+c байна. {x} нь x тооны бутархай хэсэг.","completion":"Заавар: Хосмог ашиглан бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөл. Дараа нь\n{α}=α−[α]\nболохыг ашиглаарай!\nБодолт: α=x−yx+y=√12−√140−√12+√140√12−√140+√12+√140==(√12−√140−√12+√140)2(12−√140)−(12+√140)==−(12−√140)−2√12−√140√12+√140+(12+√140)2√140==−24−2√144−1402√140=−10√140=−√357\n−1≤α<0 тул [α]=−1 тул {α}=α−(−1)=α+1 байна."} +{"prompt":"x=√3+2xx=3+2x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Квадрат зэрэгт дэвшүүлж бод. Гаргасан шийдээ анхны тэгшитгэлд тавьж шалгаж үзээрэй!\nБодолт: Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл x2=3+2x⇔x2−2x−3=0x2=3+2x⇔x2−2x−3=0 болно. Эндээс x1,2=2±√22−4⋅1⋅(−3)2⋅1=2±42x1,2=2±22−4⋅1⋅(−3)2⋅1=2±42 болно. x1=3x1=3 нь шийд болох ба x2=−1x2=−1 нь анхны тэгшитгэлийн шийд болохгүй."} +{"prompt":"x=√3−2x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Квадрат зэрэгт дэвшүүлж бод. Гаргасан шийдээ анхны тэгшитгэлд тавьж шалгаж үзээрэй!\nБодолт: Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл x2=3−2x⇔x2+2x−3=0 болно. Эндээс x1,2=−2±√22−4⋅1⋅(−3)2⋅1=−2±42 болно. x1=1 нь шийд болох ба x2=−3 нь анхны тэгшитгэлийн шийд болохгүй."} +{"prompt":"x=√3−√2√3+√2, y=√3+√2√3−√2 бол","completion":"Заавар: xn+yn хэлбэрийн илэрхийллийг x+y, x⋅y-ээр илэрхийлж болдог.\nБодолт: \nx+y=√3−√2√3+√2+√3+√2√3−√2=(√3−√2)2+(√3+√2)2(√3+√2)(√3−√2)=(3−2√6+2)+(3+2√6+2)3−2=10x⋅y=√3−√2√3+√2⋅√3+√2√3−√2=1\n x2+y2=(x+y)2−2xy=102−2⋅1=98\n x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=103−3⋅1⋅10=970\n x5+y5=(x2+y2)(x3+y3)−(xy)2(x+y) тул\nx5+y5=98⋅970−12⋅10=95050 байна."} +{"prompt":"x=√3−√2√3+√2, y=√3+√2√3−√2 бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг ол.","completion":"Заавар: xn+yn хэлбэрийн илэрхийллийг x+y, x⋅y-ээр илэрхийлж болдог.\nБодолт: \nx+y=√3−√2√3+√2+√3+√2√3−√2=(√3−√2)2+(√3+√2)2(√3+√2)(√3−√2)=(3−2√6+2)+(3+2√6+2)3−2=10\n\nx⋅y=√3−√2√3+√2⋅√3+√2√3−√2=1\n x2+y2=(x+y)2−2xy=102−2⋅1=98\n x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=103−3⋅1⋅10=970\n x5+y5=(x2+y2)(x3+y3)−(xy)2(x+y) тул\nx5+y5=98⋅970−12⋅10=95050 байна."} +{"prompt":"x=√5+√3√5−√3, y=4−√15 бол x+y=a, x⋅y=b байх ба √x3+y3−4=cd\nбайна.","completion":"Заавар: 1√a−√b=√a+√ba−b болохыг ашиглан x-ийг хялбарчилж бод.\nБодолт: x=√5+√3√5−√3=(√5+√3)25−3=4+√15 болно. Иймд\nx+y=(4+√15)+(4−√15)=8,\nx⋅y=(4+√15)(4−√15)=42−(√15)2=1\nx3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=83−3⋅8⋅1=488\nтул √x3+y3−4=√488−4=22 байна."} +{"prompt":"x=√5−√32 бол x2+14x2 нь аль вэ?","completion":"Заавар: x тооны хосмог буюу y=√5+√32 тоог оруул.\nБодолт: y=√5+√32 гэвэл x⋅y=12⇒y=12x байна. Иймд x2+14x2=x2+y2=(x+y)2−2xy байна. x+y=√5 болохыг тооцвол x2+14x2=(√5)2−2⋅12=4 байна."} +{"prompt":"x=√5−√32 бол x2+14x2 утгыг ол.","completion":"Заавар: x тооны хосмог буюу y=√5+√32 тоог оруул.\nБодолт: y=√5+√32 гэвэл x⋅y=12⇒y=12x байна. Иймд x2+14x2=x2+y2=(x+y)2−2xy байна. x+y=√5 болохыг тооцвол x2+14x2=(√5)2−2⋅12=4 байна."} +{"prompt":"x=√7+√112,y=√7−√112 бол x2y+x+y+y2x=−√abc байна.","completion":"Заавар: x+y=√7, xy=−1 болохыг ашигла.\nБодолт: x+y=√7+√112+√7−√112=√7\nxy=√7+√112⋅√7−√112=(√7)2−(√11)24=7−114=−1\nбайна.\nx2y+x+y+y2x=x3+y3xy+x+y=√7−(x3+y3)=\n=√7+3xy(x+y)−(x+y)3=√7+3⋅(−1)⋅√7−(√7)3=\n√7−3√7−7√7=−9√7=−√567"} +{"prompt":"x=√7+√152,y=√15−√72 бол x22y+y22x+2(x+y) илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: x+y=√15\nxy=2\nболохыг шалгаад олох илэрхийллийг x+y, xy-ээр илэрхийл.\nБодолт: Илэрх.=x22y+y22x+2(x+y)=x3+y32xy+2(x+y)=(x+y)3−3xy(x+y)2xy+2(x+y)=(x+y)32xy−32(x+y)+2(x+y)=(x+y)32xy+12(x+y)=(√15)32⋅2+12√15=17√154"} +{"prompt":"x=√7+√152,y=√15−√72 бол x22y+y22x+2(x+y)=ab4√cd байна.","completion":"Заавар: x+y=√15\nxy=2\nболохыг шалгаад олох илэрхийллийг x+y, xy-ээр илэрхийл.\nБодолт: Илэрх.=x22y+y22x+2(x+y)=x3+y32xy+2(x+y)=(x+y)3−3xy(x+y)2xy+2(x+y)=(x+y)32xy−32(x+y)+2(x+y)=(x+y)32xy+12(x+y)=(√15)32⋅2+12√15=17√154"} +{"prompt":"x=√9+4√5, y=√9−4√5 бол x3+y3x2+y2 илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: x+y ба xy-ийг олоод \nx3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x2+y2=(x+y)2−2xy\nтомьёог ашиглан бод.\nБодолт: x=2+√5 ба y=√5−2 тул\nx+y=2+√5+2−√5=2√5xy=(2+√5)(√5−2)=(√5)2−22=1 байна. Иймд\nx2+y2=(x+y)2−2xy=20−2=18x3+y3=(x+y)(x2+y2−xy)=2√5⋅(18−1)=34√5\nба \nx3+y3x2+y2=34√518=179√5 байна."} +{"prompt":"x=√a нь arccosx2=2arctg(x−1) тэгшитгэлийн шийд болно.","completion":"Заавар: y=arccosx функцийн тодорхойлогдох муж нь |x|≤1 болохыг ашиглан зөв хариултыг тааж бод.\nБодолт: Бодлогын хариунаас x≥0 байх нь харагдаж байна. Иймд арккосинус функцийн тодорхойлогдох мужийг тооцвол 0≤x2≤1 ба\nx2-ийн бүхэл утгууд нь 0,1,2,3,4 байж болно. \n\nЭдгээрээс x2=4 буюу x=2 нь arccos1=π2 ба 2arctg(2−1)=2⋅π4=π2 тул шийд болж байна."} +{"prompt":"x>0, y>0 ба 3x+2y=10 бол √3x+√2y илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.","completion":"Заавар: Квадратын хамгийн их утгыг ол.\nБодолт: (√3x+√2y)2=3x+2y+2√3x⋅2y=10+2√3x⋅2y\nбайна. Нийлбэр нь тогтмол хоёр тооны үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их байдаг тул 3x=2y=5 үед дээрх илэрхийлэл хамгийн их утгатай байна. Иймд \nmax{10+2√3x⋅2y}=10+2√5⋅5=20\nтул max{√3x+√2y}=√20=2√5 байна."} +{"prompt":"x>y бол \n{log4x+log4y=1+log232x+y2=1024 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Ижил суурьт шилжүүлж хялбарчил.\nБодолт: {log4x+log4y=1+log232x+y2=1024⇔{log4xy=log26=log4362x+y2=210\nЭндээс {xy=36x+y=20\nтул (x;y)=(18;2), (x;y)=(2;18) гэсэн шийдүүд гарна. x>y тул (x;y)=(18;2). Сүүлийн систем тэгшитгэлийн хувьд шийдийг нь шууд шалгаад олчих нь илүү хялбар.\nЗаавар:"} +{"prompt":"xa−4≥3x−2a тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: xa−4≥3x−2a⇔(1a−4−3)x≥−2a\nБодолт: (1a−4−3)x≥−2a⇔(13−3aa−4)x≥−2a\nба 13−3aa−4>0 үед\nx≥−2a(a−4)13−3a=2a(a−4)3a−13\n13−3aa−4<0 үед \nx≤−2a(a−4)13−3a=2a(a−4)3a−13\n13−3a4a=0 буюу a=133 үед 0⋅x≥−2⋅133 болох ба шийд нь x∈R байна.\n\nНөгөө талаас\n13−3aa−4>0⇔a∈]4;133[\nтул шийд нь\n{x∈]2a(a−4)3a−13;+∞[,a∈]4;133[x∈]−∞;2a(a−4)3a−13],a∈]−∞;4[∪]133;+∞[x∈R,a=133"} +{"prompt":"xn=(1+1n)n+1xn=(1+1n)n+1 дараалал монотон буурахыг харуулж хязгаарыг ол.","completion":"Заавар: x>−1x>−1, (1+x)n>1+nx(1+x)n>1+nx ашиглан xnxn+1>1xnxn+1>1 гэж харуул.\nБодолт: xnxn+1=(1+1n)n+1(1+1n+1)n+2>(1+1n)n+1(1+1n+1)n+1⋅11+1n+1=xnxn+1=(1+1n)n+1(1+1n+1)n+2>(1+1n)n+1(1+1n+1)n+1⋅11+1n+1=\n=(1+1n(n+2))n+1⋅n+1n+2>(1+n+1n(n+2))⋅n+1n+2==(1+1n(n+2))n+1⋅n+1n+2>(1+n+1n(n+2))⋅n+1n+2=\n=(n2+3n+1)(n+1)n(n+2)2=n3+4n2+4n+1n3+4n2+4n>1=(n2+3n+1)(n+1)n(n+2)2=n3+4n2+4n+1n3+4n2+4n>1\n\nxnxn нь монотон буурах доороосоо зааглагдсан дараалал тул хязгаартай. Энэ хязгаар нь\nlimn→∞xn=limn→∞(1+1n)n+1=limn→∞(1+1n)n=elimn→∞xn=limn→∞(1+1n)n+1=limn→∞(1+1n)n=e\nбайна."} +{"prompt":"xn=1+12+⋯+1n−lnnxn=1+12+⋯+1n−ln⁡n байг. n≥2n≥2","completion":"Заавар: xn+1−xn=1n+1−ln(n+1)+lnn=1n+1−ln(1+1n)<0xn+1−xn=1n+1−ln⁡(n+1)+ln⁡n=1n+1−ln⁡(1+1n)<0\nгэж харуулах шаардлагатай.\nБодолт: 1n+1−ln(1+1n)<0⇔10⇒n>173f(n)=3n2−14n−17>0⇒n>173 байна. Мөн n>142⋅3=73n>142⋅3=73 үед f(n)f(n) өсөх тул n=6n=6 үед хамгийн бага эерэг утгаа авна. Иймд xnxn дарааллын хамгийн их гишүүн нь\n213⋅62−14⋅6−17=21108−84−17=3213⋅62−14⋅6−17=21108−84−17=3\nбайна."} +{"prompt":"xn=6n2−5n+3xn=6n2−5n+3 дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: 3n2−14n−173n2−14n−17 илэрхийлэл nn-ийн ямар натурал утганд хамгийн бага эерэг утгатай байх вэ?\nБодолт: Эерэг байхын тулд f(n)=3n2−14n−17>0⇒n>173f(n)=3n2−14n−17>0⇒n>173 байна. Мөн n>142⋅3=73n>142⋅3=73 үед f(n)f(n) өсөх тул n=6n=6 үед хамгийн бага эерэг утгаа авна. Иймд xnxn дарааллын хамгийн их гишүүн нь\n213⋅62−14⋅6−17=21108−84−17=3213⋅62−14⋅6−17=21108−84−17=3\nбайна."} +{"prompt":"xn=√n100+nxn=n100+n дарааллын хамгийн их гишүүн хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: f(x)=√x100+xf(x)=x100+x функцийн өсөх, буурах мужийг ол.\nБодолт: f′(x)=(√x)′(100+x)−√x⋅(100+x)′(100+x)2=12√x(100+x)−√x(100+x)2f′(x)=(x)′(100+x)−x⋅(100+x)′(100+x)2=12x(100+x)−x(100+x)2\nтул x>0x>0 үед\n12√x(100+x)−√x>0⇔100−x>012x(100+x)−x>0⇔100−x>0\nбуюу 0100x>100 үед буурна. Мөн тасралтгүй функц тул x=100x=100 цэг дээр хамгийн их утгаа авч байна. Иймд maxxn=x100=√100100+100=120maxxn=x100=100100+100=120"} +{"prompt":"xydx+(x+1)dy=0xydx+(x+1)dy=0 дифференициал тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: xydx+(x+1)dy=0⇔1ydy=−x1+xdxxydx+(x+1)dy=0⇔1ydy=−x1+xdx\nтул\n∫1ydy=∫−x1+xdx=∫11+x−1dx∫1ydy=∫−x1+xdx=∫11+x−1dx\nбуюу\nln|y|=ln|1+x|−x+Cln⁡|y|=ln⁡|1+x|−x+C\nболно. ��ймд\ny=eln|1+x|−x+C⇔y=eC⋅|1+x|e−xy=eln⁡|1+x|−x+C⇔y=eC⋅|1+x|e−x\nтул ерөнхий шийд нь y=c(1+x)e−xy=c(1+x)e−x байна.."} +{"prompt":"xy′+y=y2xy′+y=y2, y(1)=0.5y(1)=0.5 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: xy′+y=y2⇔dyy2−y=dxx⇔∫dyy2−y=∫dxxxy′+y=y2⇔dyy2−y=dxx⇔∫dyy2−y=∫dxx\nтул\nln|y−1|−ln|y|=ln|x|+Cln⁡|y−1|−ln⁡|y|=ln⁡|x|+C\nx=1x=1 үед y=0.5y=0.5 тул ln0.5−ln0.5=ln1+C⇒C=0ln⁡0.5−ln⁡0.5=ln⁡1+C⇒C=0 байна. Иймд ∣∣∣y−1y∣∣∣=|x||y−1y|=|x| ба (1,0.5)(1,0.5) цэгийн орчинд y−1y<0y−1y<0, x>0x>0 тул −y−1y=x−y−1y=x буюу y=1x+1y=1x+1 байна."} +{"prompt":"xy−2y+3x−7=0 тэгшитгэлийн бүхэл шийдүүдийг ол.","completion":"Заавар: xy−2y+3x−7=0⇔y(x−2)+3(x−2)−1=0⇔(y+3)(x−2)=1\nгээд 1 нь хоёр бүхэл тооны үржвэрт (−1)⋅(−1)=1, 1⋅1=1 гэсэн хоёрхон аргаар задрахыг ашиглан бод.\n\nМөн хариунаас бодох арга ашиглаж болно.\nБодолт: xy−2y+3x−7=0⇔(y+3)(x−2)=1⇔\n⇔{y+3=1x−2=1∪{y+3=−1x−2=−1\nтул (3;−2), (−4;1) гэсэн шийдүүдтэй."} +{"prompt":"x∈[4;7] үед y=9x−3 функцийн график дээрээс A(3;0) цэг хүртэлх хамгийн бага зайтай цэг нь (a;b) байна. Энэ үед хамгийн бага зай нь S=c√d байна.","completion":"Заавар: Цэгээс шулуун хүртэлх зайн томьёо ашиглан зайг олоод хамгийн бага утгыг нь ол.\nБодолт: (x,y) цэгээс A цэг хүртэлх зайн квадрат нь \nS2(x)=(x−3)2+(y−0)2=(x−3)2+(9x−3)2\nбайна. Үржвэр нь тогтмол тоонуудын нийлбэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгаа авах тул\n(x−3)2=81(x−3)2⇒x−3=±3 үед S(x) хамгийн их байна. Нөгөө талаас x∈[4;7] тул x=6 болно. Иймд y=96−3=3 болох тул (6;3) цэгээс A цэг хүртэлх зай хамгийн бага байна. Энэ үед \nS(6)=√32+32=3√2\nбайна."} +{"prompt":"x∈]−π2;π2[x∈]−π2;π2[ завсарт f(x)=sin2xf(x)=sin⁡2x, g(x)=cosxg(x)=cos⁡x функцийн графикуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбайг бодъё.","completion":"Заавар: sin2x=cosx⇒cosx=0∨sinx=12sin⁡2x=cos⁡x⇒cos⁡x=0∨sin⁡x=12.\nБодолт:"} +{"prompt":"x−1x=2 бол x3−1x3 нь аль вэ?","completion":"Заавар: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)\nБодолт: x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)=\n=(x−1x)3+3⋅(x−1x)=23+3⋅2=14"} +{"prompt":"x−1−x6≤2x+12−34 тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг ол.","completion":"Заавар: 8.2. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн шийдийг олж, (тоон шулуун, тоон завсар) дүрсэлдэг\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийг 12-оор үржүүлбэл\n12x−2(1−x)≤6(2x+1)−9⇔2x≤3⇔x≤−0.5\nтул хамгийн их бүхэл шийд нь x=−1 болно."} +{"prompt":"x−23=5x7+12 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: x-ийн коэффициентийг эерэг байлгах нь тохиромжтой байдаг.\nБодолт: x−23=5x7+12⇔x−5x7=12+23⇔\n27x=76⇔x=67:27=76⋅72=4912=4112"} +{"prompt":"x−2y2x+y=13 бол 50xyx2+y2 илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: x−2y2x+y=13⇔3x−6y=2x+y⇔x=7y\nБодолт: x−2y2x+y=13⇔x=7y\nтул\n50xyx2+y2=50⋅7y⋅y(7y)2+y=350y250y2=7"} +{"prompt":"x−2√x+2+3=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Шийдийг шалгаад олоорой!\nБодолт: x=−1 нь −1−2√−1+2+3=0 тул шийд болно."} +{"prompt":"x−7<√x+5x−704−3x−x2=(4+x)(1−x)>0 тул x∈Dx∈D үед x≥4x−3⇔x2+3x−4x≥0x≥4x−3⇔x2+3x−4x≥0 болно. x∈Dx∈D үед x2+3x−4≤0x2+3x−4≤0 тул x<0x<0 нь шийд болох тул x=−3x=−3, −2−2, −1−1 гэсэн бүхэл шийдүүд нэмэгдэж байна. Иймд үржвэр нь (−4)⋅(−3)⋅(−2)⋅(−1)⋅1=24(−4)⋅(−3)⋅(−2)⋅(−1)⋅1=24 байна."} +{"prompt":"x≤√3−2xx≤3−2x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: x∈Dx∈D үед\ng(x)≤√f(x)⇔[g(x)≤0g2(x)≤f(x)g(x)≤f(x)⇔[g(x)≤0g2(x)≤f(x)\nБодолт: D:3−2x≥0D:3−2x≥0 ба\nx≤√3−2x⇔[x≤0x2≤3−2x⇔[x≤0(x−1)(x+3)≤0⇔x≤1x≤3−2x⇔[x≤0x2≤3−2x⇔[x≤0(x−1)(x+3)≤0⇔x≤1\nбайна. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]−∞;1]]−∞;1]."} +{"prompt":"x⋅3logx4>12x⋅3logx⁡4>12 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: logaxloga⁡x функц нь 01a>1 бол өсөх функц байна.\nlogabc=logab+logac,logaab=b.loga⁡bc=loga⁡b+loga⁡c,loga⁡ab=b.\nБодолт: x⋅3logx4>12⇔log3(x⋅3logx4)>log312⇔log3x+logx4>1+log34x⋅3logx⁡4>12⇔log3⁡(x⋅3logx⁡4)>log3⁡12⇔log3⁡x+logx⁡4>1+log3⁡4. logab=logcblogcaloga⁡b=logc⁡blogc⁡a томъёог ашиглан 3 суурьт шилжүүлбэл log3x+log34log3x>1+log34log3⁡x+log3⁡4log3⁡x>1+log3⁡4 болно. t=log3xt=log3⁡x гэвэл \nt+log34t>1+log34⇔t2−(1+log34)t+log34t>0⇔t+log3⁡4t>1+log3⁡4⇔t2−(1+log3⁡4)t+log3⁡4t>0⇔\n⇔(t−1)(t+log34)t>0.⇔(t−1)(t+log3⁡4)t>0.\n\nИнтервалын аргаар бодвол 00x2>0 язгууртай байх вэ?","completion":"Заавар: (−2m−2)x2+(−2m−2)x−m−2=0⇒x2+x+m+22m+2=0(−2m−2)x2+(−2m−2)x−m−2=0⇒x2+x+m+22m+2=0 тэгшитгэл хэдийн эерэг ба сөрөг шийдтэй байх вэ?\nБодолт: x1<0x1<0, x2>0x2>0 бол x1⋅x2<0x1⋅x2<0 байна. Виетийн теоремоор\nx1⋅x2=m+22m+2<0x1⋅x2=m+22m+2<0\nтул m∈]−2;−1[m∈]−2;−1[ байна. Эсрэгээрээ m+22m+2<0m+22m+2<0 бол тэгшитгэл шийдтэй бөгөөд тэдгээр нь эерэг ба сөрөг байх нь ойлгомжтой."} +{"prompt":"y=(−2m−2)x2+(−m−1)x+2y=(−2m−2)x2+(−m−1)x+2 квадрат гурван гишүүнт mm-ийн ямар\nутгуудад x1<1px2>p гэсэн 2 бодит шийдтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь f(p)<0f(p)<0 байдаг.\nБодолт: Хоёр шийдтэй тул −2m−2≠0−2m−2≠0 гэж үзэж болно. Иймд\n(−2m−2)x2+(−m−1)x+2=0⇔x2+12x−1m+1=0(−2m−2)x2+(−m−1)x+2=0⇔x2+12x−1m+1=0\nбайна. Сүүлийн тэгшитгэл x1<1x1<1, x2>1x2>1 шийдтэй байхын зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\n12+12⋅1−1m+1<0⇔6m+2m+1<012+12⋅1−1m+1<0⇔6m+2m+1<0\nтул m∈]−1;−13[m∈]−1;−13[ байна."} +{"prompt":"y=0 шулуун ба y=2x2−2x−1.5 параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Парабол ба шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайн томьёо ашиглан y=2x2−2x−1.5 парабол ба y=0 шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.\nБодолт: y=2x2−2x−1.5 параболын y=0 шулуунтай огтлолцох цэгүү��ийг олъё.\n2x2−2x−1.5=0 тул \nx1,2=2±√22−4⋅2⋅(−1.5)2⋅2=2±44 \nбуюу x1=−0.5, x2=1.5 абсцисстай цэгүүдээр огтлолцоно. \nS=−∫1.5−0.52x2−2x−1.5dx=−∫1.5−0.52(x+0.5)(x−1.5)dx\n=26⋅(1.5−(−0.5))3=83\nболно."} +{"prompt":"y=0y=0 шулуун ба y=2x2−2y=2x2−2 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!","completion":"Заавар: x∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: S=∫1−1(2−2x2)dx=(2x−23x3)∣∣∣1−1=83S=∫−11(2−2x2)dx=(2x−23x3)|−11=83"} +{"prompt":"y=0y=0 шулуун ба y=3x2−3y=3x2−3 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!","completion":"Заавар: x∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: S=∫1−1(3−3x2)dx=(3x−x3)∣∣∣1−1=S=∫−11(3−3x2)dx=(3x−x3)|−11=\n(3⋅1−13)−(3⋅(−1)−(−1)3)=4(3⋅1−13)−(3⋅(−1)−(−1)3)=4\nЗаавар: Тодорхой интеграл ашиглан талбай олох томьёо ашиглаж бод.\nБодолт: S=∫1−1(3−3x2)dx=(3x−x3)∣∣∣  1−1=(3⋅1−13)−(3⋅(−1)−(−1)3)=4S=∫−11(3−3x2)dx=(3x−x3)|−1  1=(3⋅1−13)−(3⋅(−1)−(−1)3)=4"} +{"prompt":"y=0y=0 шулуун ба y=6x2−6y=6x2−6 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!","completion":"Заавар: x∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: S=∫1−1(6−6x2)dx=(6x−2x3)∣∣∣1−1=S=∫−11(6−6x2)dx=(6x−2x3)|−11=\n=(6⋅1−2⋅13)−(6⋅(−1)−2⋅(−1)3)=8=(6⋅1−2⋅13)−(6⋅(−1)−2⋅(−1)3)=8"} +{"prompt":"y=0y=0 шулуун ба y=x2−4y=x2−4 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!","completion":"Заавар: x∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: f(x)=0f(x)=0, g(x)=x2−4g(x)=x2−4 гээд зааварт өгсөн томьёог ашиглавал:\nS=∫2−2(4−x2)dx=(4x−13x3)∣∣∣2−2=323S=∫−22(4−x2)dx=(4x−13x3)|−22=323"} +{"prompt":"y=1+6√x; y=1−2√x+12√x муруйнуудын","completion":"Заавар: Огтлолцлын цэгийн координат нь {y=2+6√xy=12√x+2−2√x систем тэгшитгэлийн шийд байна.\n f(x) функцийн графикийн (x0,f(x0)) цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f′(x0) байдаг.\n Шулууны өнцгийн коэффициент нь тухайн шулууны OX тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийн тангестай тэнцүү байдаг. Ялгавар өнцгийн тангесийн tg(α1−α2)=tgα1−tgα21+tgα1⋅tgα2 томьёо ашиглан α1−α2 өнцгийн тангесийг ол.\n f(x) функцийн графикийн (x0,f(x0)) цэг дээрх шүргэгчийн тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайдаг.\nБодолт: {y=1+6√xy=1−2√x+12√x⇒1+6√x=1−2√x+12√x байна. Эндээс 2√x=6√x тул x=3 ба y=1+6√3=2√3+1 байна.\n (1+6√x)′=6⋅(−12)x−32=−3x−32 ба (1−2√x+12√x)′=−2⋅12x−12+12⋅(−12)x−32=−x−12−6x−32\nтул шүргэгч шулуунуудын өнцгийн коэффициент нь \nk1=−3⋅3−32=−33√3=−1√3\nба\nk2=−3−12−6⋅3−32=−1√3=−1√3−2√3=−√3\nбайна.\n tgα1=k1, tgα2=k2 тул\ntg(α1−α2)=−1√3−(−√3)1+(−1√3)⋅(−√3)=√3−1√32=1√3\nтул α1−α2=π6 байна.\n (3,2√3+1) цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=−1√3(x−3)+2√3+1=−1√3x+3√3+1\nбайна."} +{"prompt":"y=125−x2 функцийн буурах завсрыг ол.","completion":"Заавар: Уламжлал сөрөг байх мужийг олно. Ноогдворын уламжлалыг \n(uv)2=u′v−uv′v2\nтомьёогоор олдог.\n\nЖишээ н�� u=1, v=x бол\n(1x)2=1′⋅x−1⋅x′x2=−1x2\nБодолт: (125−x2)2=1′⋅(25−x2)−1⋅(25−x2)′(25−x2)2=2x(25−x2)2<0\n⇔{2x<025−x2≠0⇔x∈]−∞;−5[∪]−5;0["} +{"prompt":"y=12x функцийн графикийн x0=−2 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.","completion":"Заавар:\nБодолт: y0=12x0=12−2=−6, y′=−12x2⇒y′(−2)=−12(−2)2=−3 болно. Шүргэгчийн тэгшитгэлд орлуулбал\ny−(−6)=−3(x−(−2))⇒y+6=−3(x+2)⇒y=−3x−12"} +{"prompt":"y=12x2 функцийн графикийн x0=√33 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны Ox тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: y′=x тул x0=√33 цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь y′(x0)=√33. Энэ нь Ox тэнхлэгтэй үүсгэх өнцгийн тангестай тэнцүү тул tgα=√33⇒α=30∘ байна."} +{"prompt":"y=13x+1 функцийн уламжлалыг ол.","completion":"Заавар: y=ax+b бол y′=a.\nБодолт: y′=(13x+1)′=13"} +{"prompt":"y=13x3−12x2−6x+4 функцийн өсөх завсрыг ол.","completion":"Заавар: y′=x2−x−6>0 бод.\nБодолт: y′=x2−x−6>0⇒(x−3)(x+2)>0⇒x∈]−∞;−2[∪]3;+∞["} +{"prompt":"y=16x2+13x−1 функцийн графикийн (0;−1) цэгт татсан шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр хашигдсан мужийн талбайг ол.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна.\n\nOX тэнхлэг дээрх цэгийн координат (x0;0), OY тэнхлэг дээрх цэгийн координат (0;y0), хэлбэртэй байна.\nБодолт: y′=13x+13 ба y′(0)=13 тул шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny+1=13(x−0)⇒y=13x−1\nбайна. Энэ шулууны OY тэнхлэгийг огтлох цэгийн координат (0;y0) тул\ny0=13⋅0−1\nбуюу y0=−1, OX тэнхлэгийг огтлох цэгийн координат нь (x0;0) тул\n0=13x0−1\nбуюу x0=3 байна. Иймд шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр хашигдсан мужийн талбай\nS=1⋅32=32\nбайна."} +{"prompt":"y=16x3−2x функцийн буурах завсарыг ол.","completion":"Заавар: Уламжлал нь сөрөг мужид функц буурна.\nБодолт: y′=16⋅3x2−2=12x2−2<0⇔x∈]−2;2[ байна."} +{"prompt":"y=18x2+12x+1 функцийн графикийн (0;1) цэгт татсан шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр хашигдсан мужийн талбайг ол.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна.\n\nOX тэнхлэг дээрх цэгийн координат (x0;0), OY тэнхлэг дээрх цэгийн координат (0;y0), хэлбэртэй байна.\nБодолт: y′=14x+12 ба y′(0)=12 тул шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny−1=12(x−0)⇒y=12x+1\nбайна. Энэ шулууны OY тэнхлэгийг огтлох цэгийн координат (0;y0) тул\ny0=12⋅0+1\nбуюу y0=1, OX тэнхлэгийг огтлох цэгийн координат нь (x0;0) тул\n0=12x0+1\nбуюу x0=−2 байна. Иймд шүргэгч шулуун ба координатын тэнхлэгүүдээр хашигдсан мужийн талбай\nS=1⋅22=2\nбайна."} +{"prompt":"y=19−x2 функцийн буурах завсрыг ол.","completion":"Заавар: Уламжлал сөрөг байх мужийг олно. Ноогдворын уламжлалыг \n(uv)2=u′v−uv′v2\nтомьёогоор олдог.\n\nЖишээ нь u=1, v=x бол\n(1x)2=1′⋅x−1⋅x′x2=−1x2\nБодолт: (19−x2)2=1′⋅(9−x2)−1⋅(9−x2)′(9−x2)2=2x(9−x2)2<0\n⇔{2x<09−x2≠0⇔x∈]−∞;−3[∪]−3;0["} +{"prompt":"y=1x3 функцийн уламжлал олоорой.","completion":"Заавар: (xn)′=nxn−1 болохыг ашигла.\nБодолт: (1x3)′=(x−3)′=−3x−3−1=−3x−4=−3x4"} +{"prompt":"y=1−x2x−2 функцийн минимумын цэгийг ол.","completion":"Заавар: Хэрвээ f(x) нь x=x0 цэг дээр тасралтгүй бөгөөд xx0 үед өсдөг байх x0 цэгийн ямар нэг орчин олддог бол x=x0 цэгийг f(x) функцийн минимумын цэг гэж нэрлэдэг.\n\nНоогдворын уламжлалын томьёо:\n(uv)′=u′v−uv′v2\nБодолт: y=1−x2x−2⇒y′=(1−x2)′⋅(x−2)−(1−x2)⋅(x−2)′(x−2)2\nтул y′(x)=−x2−4x+1(x−2)2 болно. Эндээс x=2 цэгээс бусад цэг дээр y′ ба −x2+4x−1-ийн тэмдэг ижил байх нь харагдаж байна. −x2+4x−1<0\nтэнцэтгэл бишийн шийд нь x∈]−∞;2−√3[∪]2+√3;+∞[ нь y=1−x2x−2-ийн буурах муж тул x0=2−√3 нь минимумын цэг байна."} +{"prompt":"y=1−x3x муруйн x0=−1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх гурвалжны талбайг ол.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. Шүргэгчийн OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцөг α бол tgα=f′(x0) байна. Энэ тоо нь уг шулууны өнцгийн коэффициент болно.\n\ny=kx+b шулуун (−bk;0) цэгээр OX тэнхлэгтэй огтлолцох ба (0;b) цэгээр OY тэнхлэгтэй огтлолцоно.\nБодолт: \ny′=(1x2−x)′=−2x3−1\nтул y(−1)=1−(−1)3(−1)2=2 ба y′(−1)=−2(−1)3−1=1 байна. Иймд шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=1⋅(x+1)+2=x+3\nболно. Энэ шулуун нь (−3;0), (0;3) цэгүүдэд координатын тэнхлэгийг огтлох тул талбай нь 3⋅32=92 байна."} +{"prompt":"y=1√1+x2y=11+x2 функцийн график, x=0x=0, x=√3x=3 шулуунууд ба абсцисс тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийг OxOx тэнхлэг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн πbaπba байна. x=1x=1 цэгийг дарсан OxOx тэнхлэгт перпендикуляр αα хавтгай биетийн эзлэхүүнийг c:dc:d (c>dc>d) харьцаагаар хуваана. Энэ биетийн эзлэхүүнийг таллан хуваадаг, αα-тай паралель хавтгай x=e√fx=ef цэгээр дайрна.","completion":"Заавар: y=f(x)y=f(x) функцийн графикийн a≤x≤ba≤x≤b хэсгийг OXOX тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн\nV=π∫baf2(x)dxV=π∫abf2(x)dx\nбайдаг.\nБодолт: V=π√3∫0(1√1+x2)2dx=π√3∫011+x2dx=π(arctgx∣∣√30)=π23V=π∫03(11+x2)2dx=π∫0311+x2dx=π(arctgx|03)=π23 байна. \n\nx=1x=1 цэгийг дарсан OxOx тэнхлэгт перпендикуляр αα хавтгай ба x=0x=0 цэгийг дарсан OxOx тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайн хоорондох хэсгийн эзлэхүүн\nV1=π1∫011+x2dx=π(arctgx∣∣10)=π24V1=π∫0111+x2dx=π(arctgx|01)=π24\nтул\nV1:(V−V1)=π24:(π23−π24)=3:1V1:(V−V1)=π24:(π23−π24)=3:1\nбайна. \n\nЭнэ биетийн эзлэхүүнийг таллан хуваадаг, αα-тай паралель хавтгайг x=ax=a гэвэл\nV2=π26=πa∫0(1√1+x2)2dx=π(arctgx∣∣a0)=π⋅arctga⇒a=tgπ6=1√3V2=π26=π∫0a(11+x2)2dx=π(arctgx|0a)=π⋅arctga⇒a=tgπ6=13"} +{"prompt":"y=1√1+x2y=11+x2 функцийн график, x=−√3x=−3, x=0x=0 шулуунууд ба абсцисс тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийг OxOx тэнхлэг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн 7π2ab7π2ab байна. x=0x=0 цэгийг дарсан OxOx тэнхлэгт перпендикуляр αα хавтгай биетийн эзлэхүүнийг c:dc:d (c>dc>d) харьцаагаар хуваана. Энэ биетийн эзлэхүүнийг 2:52:5 харьцаатай хуваадаг, αα-тай параллель хавтгайн нэг нь x=e√fx=ef цэгээр дайрна.","completion":"Заавар: Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн олох томьёо ашигла. Мөн\n∫11+x2dx=arctgx+C∫11+x2dx=arctgx+C\nболохыг ашиглаарай. Энд arctgarctg нь тангес функцийн урвуу функц.\nБодолт: V=π∫1−√3(1√1+x2)2dx=π∫1−√311+x2dx=π(arctgx∣∣1−√3)=π(π4−(−π3))=7π212V=π∫−31(11+x2)2dx=π∫−3111+x2dx=π(arctgx|−31)=π(π4−(−π3))=7π212 байна. \n\nx=1x=1 цэгийг дайрсан OxOx тэнхлэгт перпендикуляр αα хавтгай ба x=0x=0 цэгийг дайрсан OxOx тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайн хоорондох хэсгийн эзлэхүүн\nV1=π1∫011+x2dx=π(arctgx∣∣10)=π24V1=π∫0111+x2dx=π(arctgx|01)=π24\nтул\n(V−V1):V1=(7π212−π24):π24=4:3(V−V1):V1=(7π212−π24):π24=4:3\nбайна. \n\nЭнэ биетийн эзлэхүүнийг 2:52:5 харьцаатай хуваадаг, αα-тай параллел хавтгайг x=ax=a гэвэл\n2V7=π26=π∫a−√3(1√1+x2)2dx=π(arctgx∣∣a−√3)=π⋅(arctga+π3)⇒a=tg−π6=−1√32V7=π26=π∫−3a(11+x2)2dx=π(arctgx|−3a)=π⋅(arctga+π3)⇒a=tg−π6=−13"} +{"prompt":"y=2(x+1)2 функцийн уламжлалыг ол.","completion":"Заавар: y=a(x+b)2 бол y′=a⋅2(x+b)=2a(x+b).\nБодолт: y′=(2(x+1)2)′=2⋅2(x+1)=4x+4"} +{"prompt":"y=2(x−1)2 функцийн уламжлалыг ол.","completion":"Заавар: y=a(x−b)2 бол y′=a⋅2(x−b)=2a(x−b).\nБодолт: y′=(2(x−1)2)′=2⋅2(x−1)=4x−4"} +{"prompt":"y=2+x+x2−x3 функцийн графикийн абсцисс тэнхлэгийг огтлох цэгт нь татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.","completion":"Заавар: (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл\ny=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайдаг. \ny′=(2+x+x2−x3)′=1+2x−3x2\nбайна.\n\nАбсцисс тэнхлэгийг огтлох цэг нь 2+x+x2−x3=0 тэгшитгэлийн шийд байна. Куб тэгшитгэлийг бодох ерөнхий арга байхгүй тул бүхэл шийдийг олохдоо сул гишүүний бүхэл хуваагч дотроос хайдаг.\nБодолт: 2-ийн хуваагч нь ±1, ±2 бөгөөд эдгээрээс 2+2+22−23=0\nтул x=2 нь шийд болж болно.\n\n2+x+x2−x3=−(x−2)(x2+x+1) ба x2+x+1=0 тэгшитгэл шийдгүй тул y=2+x+x2−x3 функцийн график OX буюу абсцисс тэнхлэгийг зөвхөн (2,0) цэгт огтлоно. Уламжлалын x=2 цэг дээрх утга нь \n1+2x−3x2|x=2=1+2⋅2−3⋅22=−7\nТул шүргэгчийн тэгшитгэл нь \ny=−7(x−2)+0=−7x+14\nбайна.\nЗаавар: Шүргэгч шулуун мөн адил цэгт OX тэнхлэгийг огтлохыг ашиглан шийдийг хариунаас ол.\nБодолт:"} +{"prompt":"y=23x3−x2−4x+2 функцийн өсөх завсрыг ол.","completion":"Заавар: Функцийн өсөх завсрыг бодохдоо y′>0 тэнцэтгэл бишийг бодно.\nБодолт: y′=2x2−2x−4>0⇔2(x+1)(x−2)>0\nболно. Эндээс\n{x+1>0x−2>0⋃{x+1<0x−2<0\nболох тул x∈]−∞;−1[∪]2;+∞["} +{"prompt":"y=2cos3x−9sin23x функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: c=cos3x гээд y=f(c) байх f функцийн c∈[−1;1] байх үеийн утгын мужийг ол.\nБодолт: sin23x=1−cos23x=1−c2 тул\ny=2c−9(1−c2)=9c2+2c−9\nбайна. c∈[−1;1] үед энэ функцийн хамгийн их утга нь c=1 үед\nymax=9⋅12+2⋅1−9=2\nхамгийн бага утга нь c=−19 үед\nymin=9⋅(−19)2+2⋅(−19)−9=−829\nтул y-ийн утгын муж нь [−829;2] байна."} +{"prompt":"y=2sin3x−9cos23x функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: s=sin3x гээд y=f(s) байх f функцийн s∈[−1;1] байх үеийн утгын мужийг ол.\nБодолт: cos23x=1−sin23x=1−s2 тул\ny=2s−9(1−s2)=9s2+2s−9\nбайна. s∈[−1;1] үед энэ функцийн хамгийн их утга нь s=1 үед\nymax=9⋅12+2⋅1−9=2\nхамгийн бага утга нь s=−19 үед\nymin=9⋅(−19)2+2⋅(−19)−9=−829\nтул y-ийн утгын муж нь [−829;2] байна."} +{"prompt":"y=2x функцийн уламжлалыг ол.","completion":"Заавар: (ex)′=ex ба 2=eln2 болохыг ашиглан бод.\nБодолт: y′=(2x)′=(e(ln2)x)′=e(ln2)x⋅[(ln2)x]′=2x⋅ln2"} +{"prompt":"y=2x+1 функцийн уламжлалыг ол.","completion":"Заавар: y=ax+b бол y′=a.\nБодолт: y′=(2x+1)′=2"} +{"prompt":"y=2x+3y=2x+3 шулуун ба y=x2y=x2 параболын нь x1=abx1=ab, x2=cx2=c цэгүүдэд огтлолцох ба эдгээрийн огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь\nS=∫cab(dx+e−x2)dxS=∫abc(dx+e−x2)dx тул S=fg3S=fg3.","completion":"Заавар: Огтолцлолын цэгүүдийг олоод тодорхой интеграл ашиглан талбайг ол.\nБодолт: 2x+3=x2⇒x1=−12x+3=x2⇒x1=−1, x2=3x2=3. Огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь\nS=∫3-1(2x+3−x2)dxS=∫-13(2x+3−x2)dx тул S=323.S=323."} +{"prompt":"y=2x2+2x+1 бол y′=?","completion":"Заавар: Гишүүнчлэн уламжлал авна.\nБодолт: y′=4x+2 байна."} +{"prompt":"y=2x2−5x,y=−x2+x+12 функцүүдын графикууд огтлолцоход үүсэх дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: 2 графикын огтолцолын цэгүүдийн x координатыг\nα,β(α<β) гэе.\n(2x2−5x)−(−x2+x+12)=3x2−6x+12=3(x−α)(x−β) гэвэл\nS=β∫α((−x2+x+12)−(2x2−5x))dx=−3β∫α(x−α)(x−β)dx=−3(−16(β−α)3)=(β−α)32\nболно. α=1−√5,β=1+√5,β−α=2√5 тул\nS=12(2√5)3=20√5"} +{"prompt":"y=2x3+9x2−24x функцийн буурах завсрын уртыг ол.","completion":"Заавар: Уламжлал сөрөг байх мужийг олно. \n(axn)′=anxn−1\nБодолт: f′(x)<0⇔(2x3+9x2−24x)′=(2x3)′+(9x2)′−(24x)′=\n=2⋅3x3−1+9⋅2x2−1−24⋅x1−1=6x2+18x−24<0\nба 6x2+18x−24=6(x−1)(x+4)<0 тул буурах муж нь ]−4;1[ ба урт нь |1−(−4)|=5 байна."} +{"prompt":"y=2x3y=2x3 ба y=2xy=2x функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Сондгой функцууд тул зөвхөн x>0x>0 хэсгийн талбайг олоод 2 дахин авахад хангалттай.\nБодолт: \nx>0x>0 хэсэг дэх талбай нь\n∫10(2x−2x3)dx=(x2−x42)∣∣∣10=12∫01(2x−2x3)dx=(x2−x42)|01=12\nИймд бидний олох талбай 2⋅12=12⋅12=1 байна."} +{"prompt":"y=2x3−21x2+72x функцийн буурах мужийг ол.","completion":"Заавар: y′<0 тэнцэтгэл бишийг бодно.\nБодолт: y′=6x2−42x+72=6(x−3)(x−4)<0⇔30⇔\n⇔x2−(a+1)x+2−a>0\nбуюу D=(a+1)2−4(2−a)=a2+6a−7<0 \nбайна. Эндээс −70 байна.\n Тэгш зэргийн язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш утгатай байна.\n Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай байна.\nБодолт: Заавар ёсоор\nD:{x2−2x−8>09−xx+5≥0x+5≠0\nбайна.\nx2−2x−8>0⇔(x+2)(x−4)>0⇔x<−2∨x>4\n\n9−xx+5≥0⇔(x+5)(x−9)≤0,x+5≠0 тул \n\nЭдгээрийн огтлолцол нь\n\nтул x∈]−5;−2[∪]4;9] байна."} +{"prompt":"y=3x3+2x2+x функцийн графикийн x=−1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн графикийн (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент нь f′(x0) байна.\nБодолт: y′=9x2+4x+1 ба\nf′(−1)=9⋅(−1)2+4⋅(−1)+1=6\nтул шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь 6 байна."} +{"prompt":"y=3x3−2x−5 функцийн уламжлал олоорой.","completion":"Заавар: (xn)′=nxn−1 болохыг ашигла.\nБодолт: (3x3−2x−5)′=3(x3)′−(2x)′−5′\n=3⋅3x3−1−2⋅x2−1−0=9x2−2"} +{"prompt":"y=3x4−cosx функцийн уламжлалыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: y′=(3x4−cosx)′ = 12x3+sinx"} +{"prompt":"y=4arcsin(x2−4x+2)π+5y=4arcsin⁡(x2−4x+2)π+5 функцийн","completion":"Заавар: y=arcsinxy=arcsin⁡x функц нь x∈[−1;1]x∈[−1;1] мужид тодорхойлогдсон утгын муж нь [−π2;π2][−π2;π2] байдаг өсдөг функц болохыг ашиглан бод.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь −1≤x2−4x+2≤1−1≤x2−4x+2≤1 буюу\n{x2−4x+3≥0x2−4x+1≤0⇔{x≤1∪x≥32−√3≤x≤2+√3{x2−4x+3≥0x2−4x+1≤0⇔{x≤1∪x≥32−3≤x≤2+3\nтул [2−√3;1]∪[3;2+√3][2−3;1]∪[3;2+3] байна.\n Энэ функцийн хамгийн бага утга нь x=1; 3x=1; 3 үед x2−4x+2=−1x2−4x+2=−1 тул 4arcsin(−1)π+5=−2+5=34arcsin⁡(−1)π+5=−2+5=3\nхамгийн их утга нь x=2±√3x=2±3 үед x2−4x+2=1x2−4x+2=1 тул 4arcsin1π+5=2+5=74arcsin⁡1π+5=2+5=7\nбайна. Түүнчлэн тасралтгүй функц тул утгын муж нь [3;7][3;7] байна.\n x=2+√52x=2+52 үед\nx2−4x+2=x(x−4)+2=(2+√52)(2+√52−4)+2=(√52+2)(√52−2)+2=52−4+2=12x2−4x+2=x(x−4)+2=(2+52)(2+52−4)+2=(52+2)(52−2)+2=52−4+2=12\nтул\ny=4arcsin12π+5=4⋅π6π+5=173y=4arcsin⁡12π+5=4⋅π6π+5=173\nбайна. Иймд 1y=3171y=317."} +{"prompt":"y=4sin22x−2cos2x+3 функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: sin22x=1−cos22x тул\ny=4(1−cos22x)−2cos2x+3=−4c2−2c+7,c∈[−1;1]\nболно.\nБодолт: f(c)=−4c2−2c+7, c∈[−1;1] функцийн утгын муж y-ийн утгын мужтай ижил байх нь ойлгомжтой.\n\nХамгийн бага утга нь c=1 үед y=f(1)=1. Хамгийн их утга нь c0=−b2a=−14 үед\nymax=−4⋅(−14)2−2⋅(−14)+7=294\nбайна. Иймд утгын муж нь [1;294] байна."} +{"prompt":"y=4x−x2y=4x−x2 парабол ба ОХ тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрсийн тал��ай abcabc байна.","completion":"Заавар: x∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\n\n\nПарабол ба шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайг бодоход\n∫βαp(x−α)(x−β)dx=p(α−β)36∫αβp(x−α)(x−β)dx=p(α−β)36\nтомьёог ашиглавал тохиромжтой байдаг.\nБодолт: \n\nf(x)=4x−x2f(x)=4x−x2, g(x)=0g(x)=0 гээд зааварт өгсөн талбай олох интеграл ашиглан бодъё.\nf(x)=g(x)f(x)=g(x) буюу 4x−x2=04x−x2=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x1=0x1=0, x2=4x2=4 тул α=0α=0, β=4β=4 байна:\nS=∫40[(4x−x2)−0]dx=(2x2−x33)∣∣∣40=323S=∫04[(4x−x2)−0]dx=(2x2−x33)|04=323"} +{"prompt":"y=4−x шулуун m-ийн ямар утганд f(x)=e−x−m функцийн графикт татсан шүргэгч байх вэ?","completion":"Заавар: Ямар цэг дээр f(x)-ийн уламжлал буюу шүргэгчийн өнцгийн коэффициент −1 байх вэ?\nБодолт: f′(x)=−e−x байна. Иймд −e−x=−1⇒x=0 болно. Иймд f(x)=e−x−m функцийн x=0 цэг дээрх шүргэгч нь y=4−x байна. Иймд f(0)=4−0 байна. Нөгөө талаас f(0)=e−0−m=1−m тул 4=1−m⇒m=−3 байна."} +{"prompt":"y=4−xx+3 функцийн x=a, x=−bc цэгүүд дээрх шүргэгч шулуунууд нь x+7y−7=0 шулуунтай параллель байна. x=−bc цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь x+7y+de=0 байна.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. Шүргэгчийн OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцөг α бол tgα=f′(x0) байна. Энэ тоо нь уг шулууны өнцгийн коэффициент болно.\nБодолт: x+7y−7=0⇔y=−17x+1 тул энэ шулуунтай параллель шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь −17 байна.\nf′(x)=−(x+3)−(4−x)(x+3)2=−7(x+3)2=−17\nтэгшитгэлээс x=4, x=−10 болно. f(−10)=4−(−10)−10+3=−2 тул (−10,−2) цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь \ny=−17(x−(−10))−2⇔x+7y+24=0\nбайна."} +{"prompt":"y=5cosx−6sin2x функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: c=cosx гээд y=f(c) байх f функцийн c∈[−1;1] байх үеийн утгын мужийг ол.\nБодолт: sin2x=1−cos2x=1−c2 тул\ny=5c−6(1−c2)=6c2+5c−6\nбайна. c∈[−1;1] үед энэ функцийн хамгийн их утга нь c=1 үед\nymax=6⋅12+5⋅1−6=5\nхамгийн бага утга нь c=−512 үед\nymin=6⋅(−512)2+5⋅(−512)−6=−7124\nтул y-ийн утгын муж нь [−7124;5] байна."} +{"prompt":"y=6x3y=6x3 ба y=6xy=6x функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Сондгой функцууд тул зөвхөн x>0x>0 хэсгийн талбайг олоод 2 дахин авахад хангалттай.\nБодолт: \nx>0x>0 хэсэг дэх талбай нь\n∫10(6x−6x3)dx=(3x2−3x42)∣∣∣10=32∫01(6x−6x3)dx=(3x2−3x42)|01=32\nИймд бидний олох талбай 2⋅32=32⋅32=3 байна."} +{"prompt":"y=6√x; y=12√x−2√x муруйнуудын","completion":"Заавар: {y=6√xy=12√x−2√x системийг бодож огтлолцлын цэгийг олно. \n Шүргэгчийн өнцгийн коэффициентүүд нь tgα1, tgα2 гэвэл эдгээр нь M цэг дээрх уламжлалтай тэнцүү.\n Ялгаврын өнцгийн тангесийн томьёо ашигла. \n Огтлолцлын (x0,y0) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y−y0=f′(x0)(x−x0) байна.\nБодолт: Огтлолцлын цэгийн координат нь дараах системийн шийд байна. \n{y=6√xy=12√x−2√x⇒6√x=12√x−2√x\nтул 6=12−2x буюу x=3 ба y=6√3=2√3 байна. Иймд M(3;2√3) байна.\n (6√x)′=(6x−12)′=6⋅(−12)⋅x−12−1=−3x−32 тул M цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь \nk1=−3⋅3−32=−1√3\n(12√x−2√x)′=(12x−12−2x12)′=−6x−32−x−12 тул M цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь k2=−6⋅3−32−3−12=−3√3=−√3\n Шүргэгч шулуунуудын x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцгийн тангесууд нь k1, \nk2 буюу tgα1=k1, tgα2=k2 байна.\ntg(α1−α2)=tgα1−tgα21+tgα1⋅tgα2=−1√3+√31+1√3⋅√3=−1+32√3=1√3\nтул α1−α2=π6 байна.\n Огтлолцлын M цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл \ny−2√3=−1√3(x−3)⇔y=−1√3x+3√3\nбайна."} +{"prompt":"y=8x функцийн графикийн x0=−2 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.","completion":"Заавар:\nБодолт: y0=8x0=8−2=−4, y′=−8x2⇒y′(−2)=−8(−2)2=−2 болно. Шүргэгчийн тэгшитгэлд орлуулбал\ny−(−4)=−2(x−(−2))⇒y+4=−2(x+2)⇒y=−2x−8"} +{"prompt":"y=9ax+53x3−7x функц x=3 цэг дээр максимумтай байх a параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Хэрвээ ямар нэг ϵ>0 тооны хувьд функц ]a−ϵ;a] мужид өсдөг, [a;a+ϵ[ мужид буурдаг бол тухайн функцийг x=a цэг дээр максимумтай байна гэдэг.\n\n\n\nf(x) нь f′(x)>0 байх x-ийн утгууд дээр өсч, f′(x)<0 байх x-ийн утгууд дээр буурдаг.\n\nЯмар нэгэн функц x=x0 цэг дээр экстремумтай (максимум юмуу минимум) бол x=x0 цэг дээрх уламжлал нь 0-тэй тэнцүү байна.\n\nf(x)=9ax+53x3−7x=3−x3+(2a+7)x+10 функцийн уламжлал нь\nf′(x)=3−x3+(2a+7)x+10⋅ln3⋅(−3x2+2a+7) байна.\nБодолт: Функцийн максимумын цэг нь f′(x)=0 тэгшитгэлийн шийд байх ёстой. Иймд f′(3)=0 байх ёстой.\nf′(x)=3−x3+(2a+7)x+10⋅ln3⋅(−3x2+2a+7)=0⇒−3x2+2a+7=0 тул −3⋅32+2a+7=0⇒a=10 байна."} +{"prompt":"y=9−12cos7x−2sin27x функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: c=cos7x гээд y=g(c) функцийг олж шинжил.\nБодолт: c=cos7x гэвэл sin27x=1−c2 тул\ny=9−12c−2(1−c2)=2c2−12c+7=g(c)\nбайна. −1≤c≤1 мужид g′(c)=4c−12<0 тул буурна. Иймд хамгийн их утга нь\nymax=g(−1)=2⋅(−1)2−12⋅(−1)+7=21,\nхамгийн бага утга нь\nymin=g(1)=2⋅12−12⋅1+7=−3\nтул −3≤y≤21 байна."} +{"prompt":"y=9−12sin2x−2cos22x функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: −1≤s=sin2x≤1-ээр y-ийг илэрхийлж бодно.\nБодолт: s=sin2x гэвэл \ny(x)=9−12sin2x−2cos22x=9−12sin2x−2(1−sin22x)==2s2−12s+7=g(s),−1≤s≤1\nбайна. −1≤s≤1 үед g′(s)=(2s2−12s+7)′=4s−12<0 тул g(s) нь буурах функц байна. Иймд g(1)≤g(s)=y≤g(−1)⇒ 2⋅12−12⋅1+7=−3≤y≤2⋅(−1)2−12⋅(−1)+7=21."} +{"prompt":"y=arccos(x2−1)√2−x2 функцийн тодорхойлогдох муж ол.","completion":"Заавар: arccosa нь косинус нь a-тэй тэнцүү өнцгийн радиан хэмжээ юм. Өөрөөр хэлбэл cos(arccosa)=a байна. Эндээс өнцгийн косинус тул −1≤a≤1 байна.\n\nХуваарьт байгаа илэрхийлэл 0 биш, язгуурийн доорхи илэрхийлэл сөрөг биш тул 2−x2>0 болохыг анхаар.\nБодолт: a=x2−1 гэвэл −1≤x2−1≤1⇒0≤x≤4 байна.\n\n2−x2>0⇒−√20 байна.\nБодолт: {−1≤2x+9≤1x(x−9)≥0x(x−9)≠0⇒{−10≤2x≤−8x(x−9)>0⇒{−5≤x≤−4x∈]−∞;0[∪]9;+∞[⇒−5≤x≤−4."} +{"prompt":"y=arcsin(x2−1)√1−x2 функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: y=arcsinx функцийн тодорхойлогдох муж нь [−1;1] буюу −1≤x≤1 байна.\nБодолт: Арксинус функцийн тодорхойлогдох муж нь [−1;1] ба бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай, язгуурын доторх илэрхийлэл эерэг байх ёстой тул\nD:{−1≤x2−1≤1√1−x2≠01−x2≥0⇔{−1≤x2−1≤11−x2>0⇔{0≤ x≤4−10 байх мужид өснө.\n−sin(x3−π)⋅13>0⇔sin(x3−π)<0⇔2πk−π0\nүед өснө. eax3+6x2+3x+1>0 нь ямагт үнэн тул\neax3+6x2+3x+1⋅(3ax2+12x+3)>0⇔\n⇔3ax2+12x+3>0\nбайна. Энэ тэнцэтгэл биш бүх тоон шулуун дээр биелэхийн тулд a>0 ба D=122−4⋅3a⋅3<0 байна. Иймд a>4 буюу a∈]4,∞[ байна."} +{"prompt":"y=f(x) функц (−6;4) завсарт тодорхойлогдсон байв. Зураг дээр энэхүү функцийн уламжлалын графикийг дүрсэлжээ. y=f(x) функцийн минимумын цэг нь аль вэ?","completion":"Заавар: x=x0 цэг нь f(x) функцийн минимумын цэг бол ямар нэг ε тооны хувьд f(x) нь (x0−ε,x0) завсарт буурч, (x0,x0+ε) завсарт өснө.\n\nf′(x) нь f(x) функцийн өөрчлөлтийн хэмжээг илэрхийлэх тул f′(x)>0 үед функц өсч, f′(x)<0 үед функц буурдаг.\nБодолт: Графикаас харахад f′(x) нь x=−4, x=2 цэгүүд дээр 0 утга авч ]−4;2[ мужид сөрөг буюу f′(x)<0 тул буурч, ]−6;−4[ ба ]2;4[ мужид эерэг буюу f′(x)>0 мужуудад өснө. Иймд минимумын цэг буюу зүүн талдаа буураад баруун талдаа өсөх цэг нь зөвхөн x=2 байна."} +{"prompt":"y=f(x)y=f(x) функцийн хувьд f(x+1)−f(x)=2x−1f(x+1)−f(x)=2x−1 нөхцөл биелэдэг бол f(2007)−f(1)f(2007)−f(1) хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: an=f(n+1)−f(n)=2n−1an=f(n+1)−f(n)=2n−1 гэвэл a1+a2+⋯+an=f(n+1)−f(1)a1+a2+⋯+an=f(n+1)−f(1) байна.\nБодолт: f(2007)−f(1)=f(2007)−f(2006)+f(2006)−f(2005)+⋯+f(2)−f(1)=(2⋅2006−1)+(2⋅2005−1)+⋯+2⋅1−1=2⋅(2006+2005+⋯+1)−2006=2⋅2006+12⋅2006−2006=2006⋅(2007−1)=20062f(2007)−f(1)=f(2007)−f(2006)+f(2006)−f(2005)+⋯+f(2)−f(1)=(2⋅2006−1)+(2⋅2005−1)+⋯+2⋅1−1=2⋅(2006+2005+⋯+1)−2006=2⋅2006+12⋅2006−2006=2006⋅(2007−1)=20062\n\nНэмэлт: an=bn+1−bnan=bn+1−bn бол a1+a2+⋯+an=bn+1−b1a1+a2+⋯+an=bn+1−b1 чанарыг ашиглан олон нийлбэр олж болдог."} +{"prompt":"y=lg(x+3x−4)+arcsin(x+5) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Логарифмын тодорхойлогдох муж эерэг тул x+3x−4>0, arcsin-ийн тодорхойлогдох муж [−1;1] тул −1≤x+5≤1 байна.\nБодолт: −1≤x+5≤1⇒−6≤x≤−4 болох бай энэ үед x+3<0 ба x−4<0 тул x+3x−4>0 байх тул тодохойлогдож муж нь [−6;−4] байна."} +{"prompt":"y=lg(x+5x−7)+arccos(x−7) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Логарифмын аргумент эерэг тул x+5x−7>0, arcsin-ийн аргумент [−1;1] тул −1≤x−7≤1 байна.\nБодолт: −1≤x−7≤1⇒6≤x≤8 болох ба энэ үед x+5>0 ба x+5x−7>0 тул x−7>0 байх ба тодохойлогдож муж нь ]7;8] байна."} +{"prompt":"y=lg(x2+8x+7x2+7) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: y=lgx функцийн тодорхойлогдох муж нь x>0 байна. x2+ax+b=(x−α)(x−β)>0,(α≤β)⇔x<α эсвэл x>β\nБодолт: Логарифмийн аргумент эерэг тоо байх ёстой ба x2+7>0 тул\nx2+8x+7x2+7>0⇔x2+8x+7>0⇔x<−7∨x>−1\nбайна. Энд x2+8x+7=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x1,2=−4±√42−7=−4±3⇒x1=−1,x2=−7 болохыг ашиглав."} +{"prompt":"y=lg(x2−2x+1) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: f(x)=logax, a>0, a≠1 функц нь x>0 үед тодорхойлогдоно.\nБодолт: x2−2x+1=(x−1)2>0⇔x≠1 байна."} +{"prompt":"y=lg(x2−4x+4) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: f(x)=logax, a>0, a≠1 функц нь x>0 үед тодорхойлогдоно.\nБодолт: x2−4x+4=(x−2)2>0⇔x≠2 байна."} +{"prompt":"y=lg(x2−6x+9) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: f(x)=logax, a>0, a≠1 функц нь x>0 үед тодорхойлогдоно.\nБодолт: x2−6x+9=(x−3)2>0⇔x≠3 байна."} +{"prompt":"y=lg(x−2x+3)+arccos(x−2) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Логарифмын аргумент эерэг тул x−2x+3>0, arcsin-ийн аргумент [−1;1] тул −1≤x−2≤1 байна.\nБодолт: −1≤x−2≤1⇒1≤x≤3 болох ба энэ үед x+3>0 ба x−2x+3>0 тул x−2>0 байх ба тодохойлогдож муж нь ]2;3] байна."} +{"prompt":"y=lg(x−3x+2)+arcsin(x+2) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Логарифмын тодорхойлогдох муж эерэг тул x−3x+2>0, arcsin-ийн тодорхойлогдох муж [−1;1] тул −1≤x+2≤1 байна.\nБодолт: −1≤x+2≤1⇒−3≤x≤−1 болох бай энэ үед x−3<0 ба x−3x+2>0 байхын тулд x+2<0 тул тодохойлогдож муж нь [−3;−2[ байна."} +{"prompt":"y=lg(√x2−5x+4+3−x)|x2−3x−6|−2x функцийн тодорхойлогдох муж\n{√x2−5x+4+3−x>0|x2−3x−6|−2x≠0 системээс олдох ба x≤a, x>b, x≠c гэж олдоно.","completion":"Заавар: √f(x)>g(x)⇔[g(x)<0f(x)>g2(x)\nБодолт: √x2−5x+4+3−x>0⇔√x2−5x+4>x−3\nбайна. Зааварт байгаа хувиргалт ашиглавал [x−3<0x2−5x+4>(x−3)2⇔[x<3x>5\nбайна. Мөн x2−5x+4≥0 байх ёстой тул x≤1∨x≥4 байна. Иймд x≤1 эсвэл x>5 байна.\n\n|x2−3x−6|−2x=0⇒x2−3x−6=±2x байна. Хэрэв x2−3x−6=2x бол x1=−1, x2=6 ба −1 нь |x2−3x−6|−2x=0 тэгшитгэлийн шийд болохгүй. x2−3x−6=−2x бол x3=−2, x4=3 ба −2 нь мөн өмнөх тэгшитгэлийн шийд биш. Эндээс анхны тэнцэтгэл бишийн шийдийн мужид x=3, x=6 тоонууд орохгүй гэж гарна.\n\nИймд y функцийн тодорхойлогдох муж нь x≤1, x>5, x≠6 болов."} +{"prompt":"y=ln2x функцийн графикийн (12;0) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулуун тэгшитгэл нь \ny=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна.\nБодолт: y′=(ln2x)′=12x⋅2=1x тул y′(12)=112=2 байна. Иймд x=12 цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь y=2⋅(x−12)+0=2x−1\nбайна."} +{"prompt":"y=ln√1+sinx1−sinx бол y′(π4)=?","completion":"Заавар: [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)\n(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)−u(x)⋅v′(x)v2(x)\nБодолт: (lnx)′=1x тул\ny′=(ln√1+sinx1−sinx)′=12(ln1+sinx1−sinx)′=\n=12⋅11+sinx1−sinx⋅(1+sinx1−sinx)′=\n12⋅11+sinx1−sinx⋅cosx(1−sinx)−(−cosx)(1+sinx)(1−sinx)2=\n=2cosx2(1+sinx)(1−sinx)=cosx1−sin2x=1cosx\nтул y′(π4)=1cosπ4=1√22=√2\nбайна."} +{"prompt":"y=log22(x2−4x)+√x3+3x2+3x+1 функцийг тэг утгатай болгох тоо аль нь вэ?","completion":"Заавар: Хоёр нэмэгдэхүүн хоёул сөрөг биш байгааг анхаараарай!\n\nХоёр сөрөг биш тооны нийлбэр 0-тэй тэнцүү бол тус бүрдээ 0-тэй тэнцүү байна.\nБодолт: Нэмэгдэхүүн тус бүр 0 байх ёстой тул \n√x3+3x2+3x+1=0⇒√(x+1)3=0⇒x=−1\nболно."} +{"prompt":"y=log22(x2−6x+9)+√x2+2x−8 функц хамгийн бага утгаа авах x-ийн утгыг ол.","completion":"Заавар: y=0 байх x-ийн утгыг ол.\nБодолт: Нэмэгдэхүүн тус бүр нь 0-ээс их тул 0≤y байна. Хэрвээ y=0 бол\n{log22(x2−6x+9)=0√x2+2x−8=0⇔{x2−6x+9=1x2+2x−8=0\nба эндээс x=2 болно. Энэ үед функц хамгийн бага утгаа авах нь ойлгомжтой."} +{"prompt":"y=logx2−2x+34 функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: y=logx2−2x+34⇔(x2−2x+3)y=4⇔\nx2−2x+3−41y=0\nбайна.\nБодолт: y тоо утгын мужид орох бол x2−2x+3−41y=0 квадрат тэгшитгэл бодит шийдтэй байна. Иймд\nD=(−2)2−4⋅(3−41y)≥0\nбайна. Эндээс\n41y≥412⇔1y≥12⇔00f(x)>0, f(x)≠1f(x)≠1, g(x)>0g(x)>0 үед тодорхойлогдоно.\nБодолт: Логарифм функцийн тодорхойлолт ёсоор ⎧⎪⎨⎪⎩√2cos2x>0,√2cos2x≠1,1+sin2x>0{2cos⁡2x>0,2cos⁡2x≠1,1+sin⁡2x>0 байна. α=2xα=2x гэвэл αα нь\n\nα≠±π4+2πkα≠±π4+2πk, −π2+2πn<α<π2+2πn−π2+2πn<α<π2+2πn тул x≠±π8+πk, πn−π40sin⁡2x+1>0 тул sin2x=12sin⁡2x=12 гэсэн боломж үлдэж байна. Эндээс 2x=(−1)nπ6+nπ⇔x=(−1)nπ12+nπ22x=(−1)nπ6+nπ⇔x=(−1)nπ12+nπ2 байна."} +{"prompt":"y=sin(3x+6) функцийн буурах завсарыг ол.","completion":"Заавар: Функцийн графикийг байгуул.\n\ny=f(ax) функцийн график нь y=f(x) функцийн графикийг OX тэнхлэгийн дагуу a дахин агшаахад гарна. Тухайн тохиолдолд a=3 бол f(ax) функцийн график нь f(x)-ийн графикийг 3 агшаахад гарах бөгөөд, харин a=13 бол 3 дахин сунгахад (3 дахин сунгах = 13 дахин агшаах) гарна.\n\ny=f(x+b) функцийн график нь y=f(x) функцийн графикийг OX тэнхлэгийн эсрэг чиглэлд b нэгжээр шилжүүлэхэд гарна. Тухайн тохиолдолд b=3 бол OX тэнхлэгийн эсрэг чиглэд 3 нэгжээр шилжих ба b=−3 бол OX тэнхлэгийн дагуу 3 нэгж шилжинэ.\nБодолт: f(x)=sin3x, g(x)=x+2 гэвэл y=f(g(x)) байна.\n\ny=sin(3x+6) функц нь 2π3 үетэй функц байна. Иймд зөвхөн сүүлийн хоёр сонголтын нэг нь л зөв байна. Графикаас харахад k=0 үед y=sin(2x+6) нь [π6−2;π2−2] мужид буурч байна. Иймд зөв хариулт нь E буюу [π6+2πk3−2;π2+2πk3−2] байна."} +{"prompt":"y=sin2(2x+1) бол y′=?","completion":"Заавар: Давхар функцийн уламжлалын томьёо ашигла.\n[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)\nБодолт: [sin2(2x+1)]′=2sin(2x+1)⋅[sin(2x+1)]′=2sin(2x+1)⋅cos(2x+1)⋅(2x+1)′=sin[2(2x+1)]⋅2=2sin(4x+2)"} +{"prompt":"y=sin2x+cosx−1 функцийн авч болох хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: c=cosx, (−1≤c≤1) орлуулга ашиглан y=g(c) байх g функц ашиглан y-ийн хамгийн бага утгыг ол.\nБодолт: \nc=cosx гэвэл y=sin2+cosx−1=cosx−cos2x=c−c2 болно. y=c−c2 нь гүдгэр функц тул c∈[−1;1] мужид c=−1 юмуу c=1 дээр хамгийн бага утга авна. c=−1 үед y=−1−(−1)2=−2, c=1 үед y=1−12=0 тул хамгийн бага утга нь −2."} +{"prompt":"y=sin2π2 функцийн уламжлал аль нь вэ?","completion":"Заавар: Тогтмол функцийн уламжлал олно.\nБодолт: sin2π2 нь хувьсагчаас хамаарахгүй тул тогтмол байна. Тогтмол функцийн уламжлал 0-тэй тэнцүү тул y′=0 байна."} +{"prompt":"y=sin3(3x2+1) функцийн уламжлал аль нь вэ?","completion":"Заавар: y=f(g(x)) бол уламжлал нь y′=f′(g(x))⋅g′(x)\nбайна. Үүнийг давхар функцийн уламжлал бодох томьёо гэдэг.\n\nДавхар функцийн утгыг бодохдоо хамгийн дотор талаас нь эхэлнэ. Жишээ нь f(x)=sin(x), g(x)=x2+π бол\nf(g(0))=f(02+π)=f(π)=sin(π)=0\nбайна.\nБодолт: y=sin3(3x2+1) нь y=x3, y=sin(x), y=3x2+1 функцүүдийн давхар функц тул\ny′=3sin2(3x2+1)⋅{sin(3x2+1)}′=3sin2(3x2+1)⋅cos(3x2+1)⋅{3x2+1}′=3sin2(3x2+1)⋅cos(3x2+1)⋅6x=18xsin2(3x2+1)⋅cos(3x2+1)"} +{"prompt":"y=sinx+cos2x функцийн утгын мужийг ол.","completion":"Заавар: cos2x=1−2sin2x ашиглан y-ийг −1≤s=sinx≤1-ээр илэрхийл.\nБодолт: y=sinx+cos2x=sinx+1−2sin2x=−2s2+s+1\nтул y-ийн утгын муж нь f(s)=−2s2+s+1-ийн s∈[−1;1] байх үеийн утгын мужтай тэнцүү байна.\n\nf′(s)=−4s+1=0⇒s=14 үед f(14)=−2⋅142+14+1=118 хамгийн их утгатай. f(−1)=−2 нь f(1)=0-ээс бага тул хамгийн бага утга нь −2 байна. Иймд утгын муж нь [−2;118] байна."} +{"prompt":"y=sinx+cosxtgx+ctgx функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Бутархайн хуваарт 0-ээс ялгаатай байна.\n\ntgx, ctgx нь ямар x-хувьд тодорхойлогдох вэ?\nБодолт: tgx+ctgx=sinxcosx+cosxsinx=sin2x+cos2xcosx⋅sinx=1cosx⋅sinx≠0\nтул cos≠0 ба sin≠0 байна. Эхнийхээс x≠π2+2πk, сүүлийнхээс x≠πn болох ба нэгтгэвэл x≠π2k байна."} +{"prompt":"y=sinx3, y=0, x=π, x=3π2 шугамуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x) бол f(x) ба g(x) функцийн график ба x=α, x=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\n\n∫sinαxdx=−cosαxα+C\n∫f(x)dx=F(x)+C бол\n∫baf(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a)\nНьютон-Лейбницийн томьёо ашиглан бод.\nБодолт: x∈[π,3π2] мужид sinx3≥0 тул y=sinx3 ба y=0 функцийн график ба x=π, x=3π2 шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫3π2π[sinx3−0]dx=(−3cosx3)|3π2π=\n=−3cosπ2−(−3cosπ3)=3⋅12=1.5\nбайна."} +{"prompt":"y=tgx+ctgx1−cos2x функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Функцийн тодорхойлогдох мужийг тухайлан өгөөгүй тохиолдолд тодорхойлогдох муж нь аргументийн авч болох боломжит бүх утгын олонлог гэж үзнэ. Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай байх ёстой. tgx=sinxcosx, ctgx=cosxsinx болохыг санаарай!\nБодолт: Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай ба sin2x=2sinxcosx тул\nD:{cosx≠0sinx≠01−cos2x≠0⇔{sin2x≠0cos2x≠1\nүндсэн адилтгалаас sin2x≠0 үед cos2x≠1 гэж гарах тул зөвхөн sin2x≠0-ийг бодоход л хангалттай. Иймд 2x≠πk буюу x≠πk2 байна."} +{"prompt":"y=x функцийн графикаар дүрслэгдэх голын эрэг дээр зусч байгаа иргэн Батын зуслангийн байрны байршлыг A(14,0) цэгээр дүрслэв. Батынхаас гол хүрэх хамгийн богино зайг олоорой.\n\nБодолт: y=√x функцийн график дээр орших B цэг авч A-гаас B хүрэх зайг олвол \n|AB|=√(x−ab)2+(x−0)2=√x2−cdx+ab2 болно.\nИймд олох зүйл нь y=√x2−cdx+ab2 функцийн хамгийн бага ��тгыг олох явдал юм. \nДээрх функцийн уламжлал нь y′=2x−cd2√x2−cd+ab2 тул сэжигтэй цэгийг олвол x=cd2 болно.\n\nФункцийн хамгийн бага утга буюу A-аас B хүрэх хамгийн богино зай нь |AB|=√efg юм.","completion":"Заавар:\nБодолт: y=√x функцийн график дээр орших B цэг авбал түүний координат нь (x,√x) байна. \n|AB|=√(x−14)2+(√x−0)2=√x2−28x+142+x=√x2−27x+196\nболно. Иймд g(x)=f2(x) функцийн хамгийн их утгыг олоход хангалттай.\ng(x)=x2−27x+196⇒g′(x)=2x−27=0\n⇒2x−27=0⇒x=272\nf(272)=√7294−7292+196=√552\nтул |AB|=√552 болов."} +{"prompt":"y=x функцийн графикаар дүрслэгдэх голын эрэг дээр зусч байгаа иргэн Батын зуслангийн байрны байршлыг A(16,0) цэгээр дүрслэв. Батынхаас гол хүрэх хамгийн богино зайг олоорой.\n\nБодолт: y=√x функцийн график дээр орших B цэг авч A-гаас B хүрэх зайг олвол \n|AB|=√(x−ab)2+(x−0)2=√x2−cdx+ab2 болно.\nИймд олох зүйл нь y=√x2−cdx+ab2 функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм. \nДээрх функцийн уламжлал нь y′=2x−cd2√x2−cd+ab2 тул сэжигтэй цэгийг олвол x=cd2 болно.\n\nФункцийн хамгийн бага утга буюу A-аас B хүрэх хамгийн богино зай нь |AB|=√efg юм.","completion":"Заавар:\nБодолт: y=√x функцийн график дээр орших B цэг авбал түүний координат нь (x,√x) байна. \n|AB|=√(x−14)2+(√x−0)2=√x2−28x+142+x=√x2−27x+196\nболно. Иймд g(x)=f2(x) функцийн хамгийн их утгыг олоход хангалттай.\ng(x)=x2−27x+196⇒g′(x)=2x−27=0\n⇒2x−27=0⇒x=272\nf(272)=√7294−7292+196=√552\nтул |AB|=√552 болов."} +{"prompt":"y=x(x−4)3 муруйн M1(a,−bc),M2(d,e) цэгүүд дээр татсан шүргэгч нь абсцисс тэнхлэгтэй параллель байна.","completion":"Заавар: OX тэнхлэгтэй параллель шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь 0 тул шүргэлтийн цэг дээрх уламжлал нь мөн 0 байна.\nБодолт: y′=(x−4)3+x⋅3(x−4)2=(x−4)2(x−4+3x)=4(x−1)(x−4)2 тул \ny′=0⇒x1=1, x2=4 байна. Мөн y1=1⋅(1−4)3=−27,\ny2=4⋅(4−4)3=0\nтул бидний олох цэгүүд нь (1,−27); (4,0) байна."} +{"prompt":"y=x+1cos2xy=x+1cos2⁡x функцийн эх функц аль нь вэ?","completion":"Заавар: F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) бол F(x)F(x) функцийг f(x)f(x) функцийн эх функц гэж нэрлэдэг. Тогтмол функцийн уламжлал нь 00-тэй тэнцүү тул F(x)+CF(x)+C нь дурын тогтмол тоо CC-ийн хувьд f(x)f(x)-ийн эх функц байна. Иймд f(x)f(x) функцийн эх функцүүдийг\n∫f(x)dx+C∫f(x)dx+C\nгэж тэмдэглэдэг.\nБодолт: x22x22 функцийн уламжлал xx, tgxtgx функцийн уламжлал 1cos2x1cos2⁡x тул \nx+1cos2xx+1cos2⁡x функцийн эх функц нь x22+tgx+Cx22+tgx+C байна."} +{"prompt":"y=x+2x−2 функцийн ямар цэгт татсан шүргэгч Ox тэнхлэгтэй 135∘ өнцөг үүсгэх вэ?","completion":"Заавар: Шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь tg135∘=−1 байна. Иймд y′=−1 тэгшитгэлийг бод.\nБодолт:"} +{"prompt":"y=x+8x4 функцийн [−2;−1];[1;3] завсрууд дээрх хамгийн их (ХИ), хамгийн бага (ХБ) утга нь","completion":"Заавар: y′=0 тэгшитгэлийн шийдүүд болон мужийн хилийн цэгүүд дээрх утгуудыг жиш.\nБодолт: y′=1−32x5=0⇒x=2 байна. Түүнчлэн\nf(−2)=−2+8(−2)4=−32, f(−1)=−1+8(−1)4=7 тул [−2;−1] муж дахь ХБ утга нь −7, ХИ утга нь −32 байна. Харин 2∈[1;3] ба f(1)=1+814=9, f(2)=2+824=52, f(3)=3+834=3881 тул [1;3] муж дахь ХБ утга нь 52, ХИ утга нь 9 байна."} +{"prompt":"y=x+sinx функц аль чанарыг хангах вэ?","completion":"Заавар: Сондгой функцүүдийн нийлбэр сондгой функц байдаг.\nБодолт: f(x)=x, g(x)=sinx функцүүд нь сондгой функцүүд тул нийлбэр нь сондгой функц байна.\n\nСанамж: ЭЕШ-ийг амжилттай өгөхийн тулд дээр дурдсан хялбар функцүүдийн чанарыг чээжээр мэддэг байх шаардлагатай."} +{"prompt":"y=x2 график байгуул","completion":"Заавар: график байгуул\nБодолт: f(x)=x2+bx+c байг. f(x)=0 тэгшитгэл x10, x0=−b2

0 байдаг."} +{"prompt":"y=x2 парабол өгөгдөв.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. Шүргэгчийн OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцөг α бол tgα=f′(x0) байна. Энэ тоо нь уг шулууны өнцгийн коэффициент болно.\n\n\nx∈[α,β] мужид f(x)≥g(x) бол f(x) ба g(x) функцийн график ба x=α, x=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: y′=2x тул шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=2⋅2(x−2)+22=4x−4\n Дүрсийн талбай нь\n∫20[x2−(4x−4)]dx=∫20(x−2)2dx=\n=(x−2)33|20=(2−2)33−(0−2)33=83"} +{"prompt":"y=x2 параболыг A(1;1) цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл y=ax−b, B(3;9) цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл y=cx−d байна. Эдгээр шүргэгч шулуунууд C(e;f) цэгүүдэд огтлолцоно. Парабол болон түүний хоёр шүргэгчийн хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь gh байна.","completion":"Заавар: Шүргэгчийн тэгшитгэл:\ny=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nБодолт: y′=2x, y′(1)=2, y′(3)=6 тул шүргэгчийн тэгшитгэлүүд нь \ny=2(x−1)+1=2x−1, \ny=6(x−3)+9=6x−9\nбайна. {y=2x−1y=6x−9⇒4x−8=0⇒x=2, y=2⋅2−1=3. \n\nБидний олох дүрсийн талбай нь\n∫21x2−(2x−1)dx+∫32x2−(6x−9)dx=\n=∫21(x−1)2dx+∫32(x−3)2dx=\n=(x−1)33|21+(x−3)33|32=13+13=23.\nЗаавар: x=x0 цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. y=x2 параболын хувьд y=2x0x−x20 байна.\n\ny=ax2+bx+c параболын x=α, x=β абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулуунууд ба параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь\nS=|a(β−α)3|12\nбайдаг."} +{"prompt":"y=x2 параболыг Ox тэнхлэгийн дагуу 3 нэгж, Oy тэнхлэгийн дагуу 4 нэгж зөөхөд гарах параболын тэгшитгэл аль нь вэ?","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн графикийг Ox тэнхлэгийн дагуу p нэгж, Oy тэнхлэгийн дагуу q нэгж зөөхөд гарах функц нь y−q=f(x−p) буюу y=f(x−p)+q байдаг.\nБодолт: Зааварт өгсөн томъёо ёсоор y=(x−3)2+4 болно."} +{"prompt":"y=x2 параболыг →p=(3,−4) векторын дагуу параллель зөөхөд гарах параболын тэгшитгэл аль нь вэ?","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн графикийг →ℓ=(p,q) векторын дагуу параллель зөөхөд y=f(x−p)+q функцийн график гарна.\nБодолт: y=x2 параболыг →p=(3,−4) векторын дагуу параллель зөөхөд \ny=(x−3)2+(−4)=(x−3)2−4\nпарабол гарна."} +{"prompt":"y=x2 параболыг →p=(−3,4) векторын дагуу параллель зөөхөд гарах параболын тэгшитгэл аль нь вэ?","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн графикийг →ℓ=(p,q) векторын дагуу параллель зөөхөд y=f(x−p)+q функцийн график гарна.\nБодолт: y=x2 параболыг →p=(−3,4) векторын дагуу параллель зөөхөд \ny=(x−(−3))2+4=(x+3)2+4\nпарабол гарна."} +{"prompt":"y=x2 параболын x=2 абцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=ax−b (2 оноо)\nба энэ шүргэгчтэй перпендикуляр шүргэгчийн тэгшитгэл нь \ny=−1ax−1cd\nбайна (3 оноо).\nЭдгээр шүргэгчүүд ба параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь efgh6144 байна (3 оноо).","completion":"Заавар: x=x0 цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. y=x2 параболын хувьд y=2x0x−x20 байна.\n\ny=ax2+bx+c параболын x=α, x=β абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулуунууд ба параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь\nS=|a(β−α)3|12\nбайдаг.\nБодолт: x=2 цэгт татсан шүргэгч шулуун тэгшитгэл y=2⋅2x−22=4x−4 байна. Энэ шулуунтай перпендикуляр шулууны өнцгийн коэффициент −14 тул 2x1=−14⇒x1=−18 цэг татсан шүргэгч шулуун y=4x−4 шулуунтай перпендикуляр байна. Иймд уг шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=−14x−(18)2=−14x−164 байна.\n\nОлох дүрсийн талбай нь S=(2−(−18))312=49136144"} +{"prompt":"y=x2 параболын x=3 абцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=ax−b (2 оноо) \nба энэ шүргэгчтэй перпендикуляр шүргэгчийн тэгшитгэл нь \ny=−1ax−1cde\nбайна (3 оноо). \nЭдгээр шүргэгчүүд ба параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь fghij20736 байна (3 оноо).","completion":"Заавар: x=x0 цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. y=x2 параболын хувьд y=2x0x−x20 байна.\n\ny=ax2+bx+c параболын x=α, x=β абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулуунууд ба параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь\nS=|a(β−α)3|12\nбайдаг.\nБодолт: x=3 цэгт татсан шүргэгч шулуун тэгшитгэл y=2⋅3x−32=6x−9 байна. Энэ шулуунтай перпендикуляр шулууны өнцгийн коэффициент −16 тул 2x1=−16⇒x1=−112 цэг татсан шүргэгч шулуун y=6x−9 шулуунтай перпендикуляр байна. Иймд уг шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=−16x−(−112)2=−16x−1144 байна.\n\nОлох дүрсийн талбай нь S=(3−(−112))312=5065320736"} +{"prompt":"y=x2 параболын x=−1 ба x=3 абсцисстэй цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол.","completion":"Заавар: y=x2 параболын (x0,x20) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=2x0x−x20\nбайдаг.\nБодолт: \nШүргэгчдийн тэгшитгэл нь y=−2x−1, y=6x−9 тул огтлолцлын цэг нь (1,−3) байна."} +{"prompt":"y=x2 параболын x=−3 ба x=1 абсцисстэй цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол.","completion":"Заавар: y=x2 параболын (x0,x20) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=2x0x−x20\nбайдаг.\nБодолт: \nШүргэгчдийн тэгшитгэл нь y=2x−1, y=−6x−9 тул огтлолцлын цэг нь (−1,−3) байна."} +{"prompt":"y=x2 функцийн A(1,1) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=ax−b байна. A цэгийг агуулсан шүргэгчид перпендикуляр шулууны тэгшитгэл нь cx+dy−3=0 байна.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулуун тэгшитгэл нь \ny=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. y=x2 функцийн уламжлал нь y′=2x.\n\ny=kx+b шулуунд перпендикуляр шулууны өнцгийн коэффициент нь ℓ бол k⋅ℓ=−1 байна.\nБодолт: f(x)=x2⇒f′(x)=2x тул x0=1 гээд шүргэгч шулууны тэгшитгэл ашиглавал y=f′(1)(x−1)+f(1)⇒y=2(x−1)+1=2x−1 байна.\n\nНормаль шулууны өнцгийн коэффициент нь 2⋅ℓ=−1 тул ℓ=−12 байна.\n(1,1) цэгийг дайрсан −12 өнцгийн коэффициенттэй шулуун нь \ny=−12(x−1)+1⇒x+2y−3=0\nбайна."} +{"prompt":"y=x2 функцийн графикийн (−1;1), (2;4) цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудын хооронд үүсэх хурц өнцгийн тангесийг ол.","completion":"Заавар: k1, k2 налалттай хоёр шулууны хооронд үүсэх өнцгийн тангес нь tgα=k2−k11+k1k2\nбайна. tgα=−tg(180∘−α) тул хурц өнцгийн тангес нь дээрх утгын модул байна.\nБодолт: Шүргэгчийн өнцгийн коэффициентүүд нь тухайн цэг дээрх уламжлал байх тул k1=2⋅(−1)=−2, k2=2⋅2=4. Иймд\ntgα=4−(−2)1+(−2)⋅4=−67\nтул хурц өнцгийн тангес нь |−67|=67 байна."} +{"prompt":"y=x2 функцийн графикийн A(1,1), B(3,9) цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунууд C цэгт огтлолцжээ. C цэгийн абсциссыг ол.","completion":"Заавар: y=x2 параболын (x0,y0)=(x0,x20) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл\ny=2x0(x−x0)+x20=2x0x−x20\nбуюу\ny=2x0x−y0\nюм.\nБодолт: (1,1), (3,9) цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэлүүд y=2x−1, y=6x−9 тул огтлолцолын цэгийн абсцисс 2x−1=6x−9⇒x=2 байна."} +{"prompt":"y=x2 функцийн графикийн x0=5 цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг ол.","completion":"Заавар: f(x)=x2, f′(x)=2x гээд y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) шүргэгч шулууны тэгшитгэл ашигла.\nБодолт: y′=2x тул f(5)=52=25 ба f′(5)=2⋅5=10 байна. Иймд шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь \ny=10(x−5)+25⇒y=10x−25 байна."} +{"prompt":"y=x2+168x функийн ]0;4[ завсар дахь урвуу функцийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: f(x)=x2+168x,x∈]0;4[ тул 00 тул x≥0 байна. Иймд x≥1 болно. x≥1 үед 4x+4√x2−1≥4 болох тул f−1(x)=4x−4√x2−1 байна."} +{"prompt":"y=x2+2x+5y=x2+2x+5 параболын (−2;5)(−2;5) цэгт татсан шүргэгч шулуун, x=0x=0 шулуун ба уг параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: y=f(x)y=f(x) функцийн (x0;f(x0))(x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. Шүргэгчийн OXOX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцөг αα бол tgα=f′(x0)tgα=f′(x0) байна. Энэ тоо нь уг шулууны өнцгийн коэффициент болно.\n\n\nx∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: y′=2x+2y′=2x+2 тул y′(−2)=2⋅(−2)+2=−2y′(−2)=2⋅(−2)+2=−2 тул шүргэгчийн тэгшитгэл нь \ny=−2(x−(−2))+5=−2x+1y=−2(x−(−2))+5=−2x+1\n\nДүрсийн талбай нь\n∫0−2[x2+2x+5−(−2x+1)]dx=∫0−2(x+2)2dx=∫−20[x2+2x+5−(−2x+1)]dx=∫−20(x+2)2dx=\n=(x+2)33∣∣∣  0−2=(0+2)33−(−2+2)23=83=(x+2)33|−2  0=(0+2)33−(−2+2)23=83"} +{"prompt":"y=x2+4ex функцийн x=0 цэг дээрх уламжлалыг ол.","completion":"Заавар: Ноогдворын уламжлал олох томьёо:\n(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)−v′(x)u(x)v2(x)\nбайна. Жишээ нь f(x)=x−1=1x функцийн уламжлалыг ноогдворын уламжлалын томьёогоор олбол\nf′(x)=1′⋅x−x′⋅1x2=0⋅x−1⋅1x2=−1x2\nбайна.\nБодолт: (x2+4ex)′=(x2+4)′ex−(ex)′(x2+4)(ex)2=2xex−ex(x2+4)e2x=\n=ex(2x−x2−4)e2x=−x2−2x+4ex\nтул x=0 цэг дээрх утга нь −02−2⋅0+4e0=−41=−4\nбайна."} +{"prompt":"y=x2+4x+8 параболын x=x1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=(2x1+a)x+b−x21, y=x2+8x+4 параболын x=x2 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=(2x2+c)x+d−x22 байна. Иймд параболуудын ерөнхий шүргэгч нь\ny=ex+f\nбайна.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн графикийн (x0,f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл\ny=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна.\n\ny=ax2+bx+c функцийн уламжлал нь y′=2ax+b байна.\nБодолт: (x2+4x+8)′=2x+4 тул y=x2+4x+8 параболын x=x1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=(2x1+4)(x−x1)+x21+4x1+8=(2x1+4)x+8−x21\n(x2+8x+4)′=2x+8 тул y=x2+8x+4 параболын x=x2 абсцисстай цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь\ny=(2x2+8)(x−x2)+x22+8x2+4=(2x2+8)x+4−x22\nбайна.\n\nЭдгээр нь нэг шулуун байхын тулд {2x1+4=2x2+88−x21=4−x22 байна. Эхний тэгшитгэлээс x2=x1−2 болох ба үүнийг 2-д орлуулбал\n8−x21=4−(x1−2)2⇔8−x21=4−x21+4x1−4\nбуюу x1=2 байна. Иймд ерөнхий шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=(2��2+4)x+8−22=8x+4\nбайна."} +{"prompt":"y=x2+4x+a+5 функцийн хамгийн бага утга нь 6 бол a тоог ол.","completion":"Заавар: f(x)=ax2+bx+c, a≠0 функц x0=−b2a үед экстремум утгаа авдаг. Тухайн тохиолдолд a>0 бол минимум утгатай, a<0 бол максимум утгатай байна.\nБодолт: x0=−42⋅1=−2 цэг дээр минимум утгаа авах тул хамгийн бага утга нь\n(−2)2+4⋅(−2)+a+5=6\nбайна. Эндээс a=5 байна."} +{"prompt":"y=x2+4xy=x2+4x ба y=−x2y=−x2 параболуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: x∈[α,β]x∈[α,β] мужид f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) бол f(x)f(x) ба g(x)g(x) функцийн график ба x=αx=α, x=βx=β шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь:\n∫βα[f(x)−g(x)]dx∫αβ[f(x)−g(x)]dx\nбайна.\nБодолт: Огтлолцлолын цэг нь x2+4x=−x2⇒x1=−2x2+4x=−x2⇒x1=−2, x2=0x2=0 байна.\n\nДүрсийн талбай нь ∫0−2[−x2−(x2+4x)]dx=∫0−2(−2x2−4x)dx=∫−20[−x2−(x2+4x)]dx=∫−20(−2x2−4x)dx=\n(−2x33−2x2)∣∣∣   0−2=83.(−2x33−2x2)|−2   0=83."} +{"prompt":"y=x2+x+1 параболын x=1 цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=ax+b байна. Энэ шулуунтай перпендикуляр координатын эхийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь x+cy+d=0 байна.","completion":"Заавар: ℓ1:y=k1x+b1,ℓ2:y=k2x+b2 шулуунуудын хувьд ℓ1⊥ℓ2⇔k1⋅k2=−1.\nБодолт: \n\nШүргэгч шулууны тэгшитгэл y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) ба f′(x)=2x+1, f(1)=3 тул y=(2⋅1+1)(x−1)+3=3x байна. Перпендикуляр шулууны өнцгийн коэффициент нь k бол 3k=−1 буюу k=−13 байна. Координатын эхийг дайрсан перпендикуляр шулууны тэгшитгэл нь y=−13x буюу x+3y=0."} +{"prompt":"y=x2, x+y=2  функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Парабол ба шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбай олох томьёо ашигла.\nБодолт: x+y=2⇒y=2−x. Үүнийг y=x2-д оруулж бодвол x2+x−2=0 тэгшитгэлээс α=−2, β=1 байна. Иймд зааварт өгсөн томьёо ёсоор\n∫1−2(x+2)(x−1)dx=(1−(−2))36=92=4.5"} +{"prompt":"y=x2, y=2−x,x=0,x≥0 функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Жишээ бодлогыг үз.\nБодолт:"} +{"prompt":"y=x2, y=x+2 шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Парабол ба шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайн томьёо ашигла.\nБодолт: x2=x+2 тэгшитгэлээс α=−1, β=2 гэж огтлолцлын цэгийн абсцисс олдох тул томьёо ёсоор олох талбай\n−∫2−1(x+1)(x−2)dx=(2−(−1))36=92\nбайна."} +{"prompt":"y=x2, y=x+6 шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Парабол ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбай: \nS=−∫βαa(x−α)(x−β)dx=a6(β−α)3.\nБодолт: x2=x+6⇒x1=−2, x2=3 цэгт огтлолцоно.\nЗааварт байгаа томьёог ашиглавал:\nS=−∫3−2(x+2)(x−3)dx=16(3−(−2))3=1256\nбайна."} +{"prompt":"y=x2, y=−x2+4x+6 параболуудын огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: ∫bap(x−a)(x−b)dx=p(a−b)36 байдаг.\n\nf(x), g(x) функцүүдийн графикийн огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбайг олохдоо график дээр орших функцийн утгаас, доор орших функцийн утгыг хасаад огтлолцлын цэгүүдийн хооронд интеграл авна.\nБодолт: \ny=−x2+4x+6 функцийн утгууд нь огтлолцлын [−1;3] мужид y=x2 функцийн утгаас их буюу график нь дээр нь байрлаж байгаа тул огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь\n∫3−1[(−x2+4x+6)−x2]dx=∫3−1(−2)(x+1)(x−3)dx\n=(−2)(−1−3)36=643"} +{"prompt":"y=x2,y=2a2−x2(a>0)y=x2,y=2a2−x2(a>0)\nпараболуудын огтлолд үүсэх дүрсийн хувьд\n(1) xx тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн ��злэхүүн υ1υ1 ба yy\nтэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн υ2υ2-ийг ол.\n(2) υ1=υ2υ1=υ2 бол aa-г ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: 2 параболын огтлолын цэгүүдийг олъё:\nx2=2a2−x2⇒x=±a,y=a2x2=2a2−x2⇒x=±a,y=a2 υ1=2πa∫0(2a2−x2)2dx−2πa∫0(x2)2dx=2πa∫0(4a4−4a2x2)dx=2π[4a4x−4a2x33]∣∣∣a0=163πa5υ1=2π∫0a⁡(2a2−x2)2dx−2π∫0a⁡(x2)2dx=2π∫0a⁡(4a4−4a2x2)dx=2π[4a4x−4a2x33]|0a=163πa5\nυ2=πa2∫0ydy+π2a2∫a2(2a2−y)dy=π[y22]∣∣∣a20+π[2a2y−y22]∣∣∣2a2a2=πa42+πa42=πa4.υ2=π∫0a2⁡ydy+π∫a22a2⁡(2a2−y)dy=π[y22]|0a2+π[2a2y−y22]|a22a2=πa42+πa42=πa4. υ1=υ2,a>0υ1=υ2,a>0 тул\na=316a=316 байна."} +{"prompt":"y=x2015+2015 бол y′ аль нь вэ?","completion":"Заавар: y=xα⇒y′=αxα−1 байна. Тогтмол функцийн уламжлал 0 байна.\nБодолт: (y2015+2015)′=(y2015)′+(2015)′=2015x2015−1+0=2015x2014."} +{"prompt":"y=x2x−1 муруйн x0=1 абсцисстай цэгт татсан шүргэгчийн координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх гурвалжны талбайг ол.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. Шүргэгчийн OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцөг α бол tgα=f′(x0) байна. Энэ тоо нь уг шулууны өнцгийн коэффициент болно.\n\ny=kx+b шулуун (−bk;0) цэгээр OX тэнхлэгтэй огтлолцох ба (0;b) цэгээр OY тэнхлэгтэй огтлолцоно.\nБодолт: y′=x′(2x−1)−(2x−1)′x(2x−1)2=−1(2x−1)2\nтул y(1)=12⋅1−1=1 ба y′(1)=−1(2⋅1−1)2=−1 байна. Иймд шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=−1⋅(x−1)+1=−x+2\nболно. Энэ шулуун нь (2;0), (0;2) цэгүүдэд координатын тэнхлэгийг огтлох тул талбай нь 2⋅22=2 байна."} +{"prompt":"y=x2y=x2 парабол ба (−1,1)(−1,1), (2,4)(2,4) цэгүүдийг дайрах шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг DD гэе. Параболын оройн цэгийг дайрсан DD-г тэнцүү талбайтай 2 хэсэгт хуваах шулууны тэгшитгэл нь y=abcdxy=abcdx байна.","completion":"Заавар: DD дүрсийн талбайг SS, хуваагдсан хэсгүүдийн талбайг S1S1, S2S2 гэвэл бодлогын нөхцлийг\n S1=S2S1=S2\n 2S1=S2S1=S\n 2S2=S2S2=S\n\nгэж илэрхийлж болно. Эдгээр нөхцлүүдээс алийг нь илэрхийлэхэд хялбар вэ?\nБодолт: (−1,1),(2,4)(−1,1),(2,4) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл x−(−1)2−(−1)=y−14−1⇔y=x+2,x−(−1)2−(−1)=y−14−1⇔y=x+2, DD мужийн талбайг SS гэвэл \nS=2∫−1(x+2−x2)dx=−2∫−1(x+1)(x−2)dx=16(2+1)3=92.S=∫−12(x+2−x2)dx=−∫−12(x+1)(x−2)dx=16(2+1)3=92.\nБидний олох шулуун параболын оройн цэг (0,0)(0,0)-ийг дайрах тул y=mxy=mx тэгшитгэлтэй байна. y=mx,y=x+2y=mx,y=x+2 шулуунуудын огтолцолын цэгийг AA гэвэл координат нь:\n(2m−1,2mm−1)(2m−1,2mm−1) байна. m≥2m≥2 үед AA цэг параболын\nдотоод мужид байх тул \nS1=0∫−1(x+2−x2)dx+12⋅2⋅2m−1=12⋅92S1=∫−10(x+2−x2)dx+12⋅2⋅2m−1=12⋅92 \nболно. Иймд 76+2m−1=94⇒m=371376+2m−1=94⇒m=3713 буюу талбайг 2 тэнцүү хуваах шулуун нь y=3713xy=3713x байна."} +{"prompt":"y=x2y=x2 парабол ба y=kx−ky=kx−k шулуун нь aa бол\nx=gh цэг дээр хамгийн их y=ia+j утгаа\nавна.","completion":"Заавар: \nОройн x0-ээс b хүртэлх зай a хүртэлх зайнаас их тул x=b цэгт хамгийн их утгатай.\nБодолт: y=(x−a)2+1−a2 тул оройн цэгийн цэг нь (a,1−a2) байна.\n\nДээшээ харсан парабол тул x=−1, x=3-ийн аль x=a цэгээс хол орших цэгт хамгийн их утгатай.\n\na≤1 үед x=3 хол орших тул ХИУ нь f(3)=−6a+10, a>1 үед x=−1 цэг хол орших тул ХИУ нь f(−1)=2a+5 байна."} +{"prompt":"y=x2−2x+3\nфункцийн t≤x≤t+2 завсар дээрх хамгийн бага утгийг m(t)\nгэе. m(t)={t2+2t+3,t<−a2,−a≤t43 үед x2 нь максимумын цэг бөгөөд максимум утга нь эерэг, минимум утга нь сөрөг үед тэгшитгэл 3 шийдтэй тул\n{154(3m−16)(3m+2)2>0−6m<0\nm>43 үед −6m<0 тул зөвхөн эхний тэнцэтгэл бишийг бодоход л хангалттай. Иймд m>163 байна.\n x10 тул m<0 ба m≠−23 байна.\n\n\nСанамж: 2008 оны энэ бодлогын 2 ба 3-р хэсэг нь тооцоо шаардсан хүнд бодлого бөгөөд хэрхэн бодохоо мэдэж байгаа хүн ч гэсэн чамгүй хугацаа зарцуулах болно (шалгалтын үед бодох ямар ч боломжгүй). Иймд аль болох ийм бодлогуудыг таниж зөвхөн хугацаа хангалттай үед л бодох хэрэгтэй."} +{"prompt":"y=x3+3x+4 функцийн графикийн P(x,x3+3x+4) цэг дээрх шүргэгч шулуун x тэнхлэгийг эерэг абсцисстай цэгээр огтлох P цэгийн хувьсах мужийг ол.","completion":"Заавар: P(t,t3+3t+4) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл бич.\nБодолт: y′=3x2+3 тул P(t,t3+3t+4) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл\ny=(3t2+3)(x−t)+t3+3t+4\nшулууны x тэнхлэгийг огтлох цэгийн абсцисс нь\n0=(3t2+3)(x−t)+t3+3t+4⇒x=−t3+3t+43t2+3+t=2t3−43t2+3\nтул x тэнхлэгийг эерэг координаттай цэгээр огтлох цэгийн хувьд 2t3−43t2+3>0⇔t>3√2 байна."} +{"prompt":"y=x3+3x2−24x+11 функцийн буурах завсрыг ол.","completion":"Заавар: y′=3x2+6x−24<0 тэнцэтгэл биш бод.\nБодолт: y′=3x2+6x−24=3(x2+2x−8)=3(x+4)(x−2)<0⇔−40\n⇔x∈]−∞;−3[∪]1;+∞["} +{"prompt":"y=x3+6x2−63x+1 функцийн экстремумуудын нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Экстремумын цэгийг олохдоо y′=0 тэгшитгэлийг бодно.\nБодолт: Экстремумын цэгүүд нь\ny′=(x3+6x2−63x+1)′=3x2+12x−63=3(x2+4x−21)\n=3(x+7)(x−3)=0⇒x=−7,x=3\nбайна. Иймд\nmaxf(x)=f(−7)=(−7)3+6⋅(−7)2−63⋅(−7)+1=393minf(x)=f(3)=33+6⋅32−63⋅3+1=−107\nтул нийлбэр нь 393+(−107)=286 байна."} +{"prompt":"y=x3, y=12x3, x=1, x=2 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Муруй шугаман трапецийн талбай нь \n∫21|x3−12x3|dx=∫21x32dx=x48|21= =248−148=158."} +{"prompt":"y=x3y=x3, y=12x3y=12x3, x=1x=1, x=2x=2 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Муруй шугаман трапецийн талбай нь \n∫21|x3−12x3|dx=∫21x32dx=x48∣∣∣21=∫12|x3−12x3|dx=∫12x32dx=x48|12= =248−148=158.=248−148=158."} +{"prompt":"y=x3y=x3, y=12x3y=12x3, x=−2x=−2, x=−1x=−1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Муруй шугаман трапецийн талбай нь \n∫−1−2|x3−12x3|dx=−∫−1−2x32dx=−x48∣∣∣−1−2=∫−2−1|x3−12x3|dx=−∫−2−1x32dx=−x48|−2−1=\n=−((−1)48−(−2)48)=158.=−((−1)48−(−2)48)=158."} +{"prompt":"y=x3y=x3, y=13x3y=13x3, x=0x=0, x=1x=1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Муруй шугаман трапецийн талбай нь \n∫10|x3−13x3|dx=∫102x33dx=x46∣∣∣10=∫01|x3−13x3|dx=∫012x33dx=x46|01=\n=146−046=16.=146−046=16."} +{"prompt":"y=x3y=x3, y=8y=8, x=0x=0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн мужийг yy-тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн эзлэхүүнийг ол.","completion":"Заавар: Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн олох томьёо ашигла.\nБодолт: Мужийг yy тэнхлэгийг тойруулан эргүүлж байгаа учраас yy-тэнхлэгт перпендикуляр зүсэлт (хөндлөн огтлол нь дугуй байхаар) хийж yy-ээр интегралчлах нь зүйтэй. Хэрэв yy өндөрт зүсэлт хийвэл xx радиустай дугуй диск үүсэх бөгөөд x=3√yx=y3 байна. Иймд yy цэгийг дайрсан хөндлөн огтлолын талбай нь\nS(y)=πx2=πy23S(y)=πx2=πy23\nболно. Бие y=0y=0, y=8y=8 хавтгайн хооронд орших тул эзлэхүүн нь\nV=∫80S(y)dy=∫80πy23dy=π[35y53]80=96π5V=∫08S(y)dy=∫08πy23dy=π[35y53]08=96π5\nгэж олдоно."} +{"prompt":"y=x3−(m−132)x2−(2m−10)x+3m−32 функц","completion":"Заавар: y=(x+3)(x2+(72−m)x+m−12) байна. Уламжлал авч экстремумын цэгүүдийг нь олоод x2+(72−m)x+m−12=0 тэгшитгэл хэдийд x≠−3 байх ялгаатай 2 шийдтэй байхыг ол.\nБодолт:"} +{"prompt":"y=x3−3x2+9x+1 функцийн өсөх завсрыг ол.","completion":"Заавар: Уламжлал нь эерэг байх мужийг ол.\nБодолт: y′=3x2−6x+9=3(x2−2x+3)=3(x−1)2+6>0\nтул бүх тоон шулуун дээр өснө."} +{"prompt":"y=x3−3x2−9x+12 функцийн буурах завсрыг ол.","completion":"Заавар: Дифференциалагдах f(x) функцийн буурах муж нь f′(x)<0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна.\nБодолт: y′=3x2−6x−9 тул буурах муж нь\n3(x2−2x−3)=3(x+1)(x−3)<0\nтэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна. Иймд −1x∪10 тэнцэтгэл бишийг бодоод ]−3;1[ мужийг олсон ч болно."} +{"prompt":"y=−x3−3x2−4x+1 муруйн x=−1 цэг дээрх шүргэгч шулуун ба OX, OY тэнхлэгийн огтлолд үүсэх гурвалжны талбайг ол.","completion":"Заавар: y=f(x) функцийн (x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)\nбайна. Шүргэгчийн OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэх өнцөг α бол tgα=f′(x0) байна. Энэ тоо нь уг шулууны өнцгийн коэффициент болно.\n\ny=kx+b шулуун (−bk;0) цэгээр OX тэнхлэгтэй огтлолцох ба (0;b) цэгээр OY тэнхлэгтэй огтлолцоно.\nБодолт: y=f(x)=−x3−3x2−4x+1⇒y′=f′(x)=−3x2−6x−4 ба f(−1)=−(−1)3−3(−1)2−4(−1)+1=3\nf′(−1)=−3(−1)2−6(−1)−4=−1\nтул шүргэгчийн тэгшитгэл нь\ny=(−1)⋅(x−(−1))+3=−x+2\nбайна. Энэ шулуун нь координатын тэнхлэгүүдийг (2;0), (0;2) цэгүүдээр огтлох тул огтлолд үүсэх гурвалжин 2 талтай адил хажуут гурвалжин ба S=2⋅22=2 байна."} +{"prompt":"y=−|x3−6x2+9x−3| функцийн [−1;4] завсар дахь хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар: y=min{f(x),g(x)} тул бидний олох утга нь f(x)=x3−6x2+9x−3 эсвэл g(x)=−x3+6x2−9x+3 функцүүдийн [−1;4] завсарт авч болох хамгийн бага утгатай тэнцүү байна.\nБодолт: f′(x)=3x2−12x+9, g′(x)=−3x2+12x−9 ба f′(x)=0∨g′(x)=0 байхын тулд x=1 эсвэл x=3 байна. Иймд x=−1, 1, 3, 4 утгуудын аль нэг дээр хамгийн бага утгаа авна. Эдгээрээс\nf(−1)=(−1)3−6⋅(−1)2+9⋅(−1)−3=−19\nнь хамгийн бага болохыг шалгах төвөгтэй биш. Бусад цэгүүд дээрх утгуудыг бодож үз!"} +{"prompt":"y=−√x2−4y=−x2−4 функц аль нөхцөлийг хангах вэ?","completion":"Заавар: y=−√x2−4y=−x2−4-ийг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл юу болох вэ?\nБодолт: y=−√x2−4⇒y2=(−√x2−4)2=x2−4y=−x2−4⇒y2=(−x2−4)2=x2−4 тул x2−y2=4x2−y2=4 байна."} +{"prompt":"y=√(2−x)(x+4)+1 функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгын үржвэр аль нь вэ?","completion":"Заавар: Хамгийн их утгыг олохдоо нийлбэр нь тогтмол 2 тооны үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их байдаг чанарыг ашигла.\nБодолт: Хамгийн бага утга нь x=2, x=4 үед 1 байна. Нийлбэр нь тогтмол 2 тооны үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их байдаг тул (2−x)(x+4) илэрхийлэл ((2−x)+(x+4)=6 тогтмол) 2−x=x+4 буюу x=−1 үед хамгийн их 3⋅3=9 утгатай байна. Иймд 0≤√(2−x)(x+4)≤3 болох тул miny=1, maxy=4 байна. Иймд 1⋅4=4."} +{"prompt":"y=√(x−1)(tg1136π−tg1) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: (x−1)(tg1136π−tg1)≥0 байх ёстой.\nБодолт: π<3.15 тул 1136π<11⋅3.1536=0.9625<1. Иймд 1136π=0.9625<1. \n\nТангес функц ]−π2;π2[ мужид өсөх тул tg1136π0⇒{(3x+2)⋅(5−x)>05−x≠0\nx1=−23; x2=5 шийдүүдийг тоон шулуун дээр дүрсэлж, квадрат тэнцэтгэл бишийг бодоод, тодорхойлогдох мужийг тооцон шийдийг олбол [−23;5[ болно."} +{"prompt":"y=√5x+32−x функцийн тодорхойлогдох мужийг олно уу?","completion":"Заавар: Язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш, бутархайн хуваарь тэг биш байх ёстой.\nБодолт: D:5x+32−x>0⇒{(5x+2)⋅(2−x)>02−x≠0\nx1=−35; x2=2 шийдүүдийг тоон шулуун дээр дүрсэлж, квадрат тэнцэтгэл бишийг бодоод, тодорхойлогдох мужийг тооцон шийдийг олбол [−35;2[ болно.\nБодолт: D:5x+32−x>0⇒{(5x+2)⋅(2−x)>02−x≠0\nx1=−53; x2=2 шийдүүдийг тоон шулуун дээр дүрсэлж, квадрат тэнцэтгэл бишийг бодоод, тодорхойлогдох мужийг тооцон шийдийг олбол [−53;2[ болно."} +{"prompt":"y=√5x−x2log12(5−3x) функцийн тодорхойлогдох муж аль нь вэ?","completion":"Заавар: Мужуудын хилийг тодорхойлж байгаа цэгүүд дээр төвлөрч, яагаад хил болж байгаа болон яагаад тодорхойлогдох мужид орж байгаа эсвэл тодорхойлогдох мужид орохгүй гэдгийг тодорхойл.\nБодолт: x=0 үед √5⋅0−02log12(5−3⋅0)=0log125=0 тул тодорхойлогдож мужид орж байна. Иймд С, D хувилбар хариулт болохгүй.\n\nx=123 үед log12(5−3⋅53)=log120 буюу тодорхойлогдохгүй илэрхийлэл болж байна (12-ийн ямар ч зэрэг 0-ээс эрс их байна). Эндээс x>123 байж болохгүй нь харагдаж байна. Иймд A, B хувилбарууд зөв хариулт байж чадахгүй.\n\nИймд зөвхөн E хувилбар үлдэж байна."} +{"prompt":"y=√ax2−2ax+4 функц бүх тоон шулуун дээр тодорхойлогддог байх a параметрийн утгыг ол.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь ax2−2ax+4≥0 байна. ax2+bx+c квадрат 3 гишүүнт бүх тоон шулуун дээр сөрөг биш утгатай байхын тулд a>0 ба D=b2−4ac≤0 байна.\nБодолт: Бүх тоон шулуун дээр ax2−2xa+4≥0 байхын тулд a>0 ба\nD=(−2a)2−4⋅a⋅4=4a2−16a≤0\nбайна. 4a2−16a≤0⇔a≤0≤4 ба a>0 тул 00, f(x)>0, f(x)≠1 байх x-үүдийн хувьд л дээрх илэрхийлэл тодорхойлогдоно.\n f(x)g(x) хэлбэрийн функцийн хувьд f(x)>0 байх шаардлагатай.\n Тригонометрийн функцүүдийн хувьд tg(f(x)) бол f(x)≠π2+πk, ctg(g(x)) үед g(x)≠πk байна.\n Тригонометрийн урвуу функцүүдийн хувьд arctg, arcctg нь бүх тоон шулуун дээр тодорхойлогдоно. arcsin(f(x)), arccos(g(x)) илэрхийллүүдийн хувьд −1≤f(x)≤1, −1≤g(x)≤1 байна. \n\n\nӨөрөөр хэлбэр функцийн тодорхойлогдох мужийг олохдоо дээрх хэлбэрийн илэрхийллүүдийг анхаарах хэрэгтэй.\nБодолт: Тэгш зэргийн язгуур, логарифм оролцсон илэрхийллүүд байгаа тул заавар ёсоор lgx−2≥0, x>0 байна. \nlgx−2≥0⇔logx≥2⇔x≥102=100\nтул x≥100 буюу [100;+∞[ нь тодорхойлогдох муж болно."} +{"prompt":"y=√log5−x(x2−9) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: logab≥0⇔{a>1b≥1⋃{01x2−9≥1⋃{0<5−x<104 үед x2−9≤1 байх боломжгүй. Иймд y=√log5−x(x2−9) функцийн тодорхойлогдох муж нь (−∞;−√10]∪[√10;4) байна."} +{"prompt":"y=√logx2−9(5−x) функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: logab≥0⇔{a>1b≥1⋃{015−x≥1⋃{010x≤4 буюу ]−∞;−√10[∪]√10;4] шийд гарна.\n\nХоёр дахь систем шийдгүй болохыг харахад төвөгтэй биш. Үнэндээ x≥4 үед x2−9<1 байх боломжгүй. Иймд y=√logx2−9(5−x) функцийн тодорхойлогдох муж нь\n]−∞;−√10[∪]√10;4]\nбайна."} +{"prompt":"y=√logx−1x функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Язгуурын доорх илэрхийлэл эерэг, logab-ийн хувьд a,b>0,a≠1 тул\nD:{logx−1x≥0x>0x−1>0x−1≠1 байна.\n\nlogab-ийн хувьд a,b>0,a≠1 үед logab≥0⇔(a−1)(b−1)≥0 тул\n\n{logx−1x≥0x>0x−1>0x−1≠1⇔{(x−2)(x−1)≥0x>1x≠2⇔2bx+2≠c{x+30−x2≥ax+2>bx+2≠c\nбайна. Иймд ]−d;−e[∪]−e;f]]−d;−e[∪]−e;f] мужид тодорхойлогдох ба энэ мужид орох бүхэл тоонуудын нийлбэр ghgh байна.","completion":"Заавар: √tt илэрхийллийн хувьд 0≤t0≤t; log2vlog2⁡v-ийн хувьд 00 бол x≥4, хоёулаа сөрөг буюу 2x−8≤0, x<0 бол x<0 байх тул x∈]−∞;0[∪[4;∞["} +{"prompt":"y=√−9x+1 функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.","completion":"Заавар: Язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш байх ёстой.\nБодолт: D:−9x+1≥0⇔x−9x≥0 байна. Иймд x≠0 ба x−9, x нь ижил тэмдэгтэй байна. Хоёулаа эерэг буюу x−9≥0, x>0 бол x≥9, хоёулаа сөрөг буюу x−9≤0, x<0 бол x<0 байх тул x∈]−∞;0[∪[9;∞["} +{"prompt":"yln3y+y′⋅√x+1=0yln3⁡y+y′⋅x+1=0, y(−1516)=ey(−1516)=e дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах арга.\nБодолт: yln3y+y′⋅√x+1=0⇔dyyln3y=−dx√x+1yln3⁡y+y′⋅x+1=0⇔dyyln3⁡y=−dxx+1\nба\n∫dlnyln3y=⎡⎢⎣√x+1=tx=t2−1dx=2tdt⎤⎥⎦=−∫d(t2−1)t=−∫2dt∫dln⁡yln3⁡y=[x+1=tx=t2−1dx=2tdt]=−∫d(t2−1)t=−∫2dt\nтул\n(lny)−3+1−3+1=−2t+C=−2√x+1+C(ln⁡y)−3+1−3+1=−2t+C=−2x+1+C\nМөн\nx=−1516x=−1516 үед y=ey=e тул\n−12=−2√−1516+1+C⇒C=0−12=−2−1516+1+C⇒C=0\nтул\nln−2y=4√x+1⇔lny=124√x+1⇔y=e12(x+1)−14ln−2⁡y=4x+1⇔ln⁡y=12x+14⇔y=e12(x+1)−14"} +{"prompt":"yx2+y=14 бол x2y+2x2 нь аль вэ?","completion":"Заавар: x2-ийг y-ээр илэрхийл.\nБодолт: yx2+y=14⇒4y=x2+y⇒x2=3y болно. Иймд \nx2y+2x2=3yy+2⋅3y=37 байна."} +{"prompt":"yy′=3yy′=3 дифференциал тэгшитгэлийн x0=6x0=6 үед y0=10y0=10 байх шийдийг ол.","completion":"Заавар: y′=dydxy′=dydx тул ydy=3dxydy=3dx болно.\nБодолт: yy′=3⇒ydy=3dxyy′=3⇒ydy=3dx\nтэгшитгэлийг интегралчилбал\n∫ydy=∫3dx ⇔ y22=3x+C∫ydy=∫3dx ⇔ y22=3x+C\nболно. x0=6x0=6 үед y0=10y0=10 тул\n1022=3⋅6+C⇒C=50−18=321022=3⋅6+C⇒C=50−18=32\nбайна. Иймд y2=6x+64y2=6x+64 байна."} +{"prompt":"yy′=lnyyy′=ln⁡y, y(2)=1y(2)=1 диффере��циал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: yy′=lny⇔lnydyy=dx⇔∫lnydyy=∫lnydlny=∫dxyy′=ln⁡y⇔ln⁡ydyy=dx⇔∫ln⁡ydyy=∫ln⁡ydln⁡y=∫dx\nтул\n(lny)22=x+C(ln⁡y)22=x+C\nболно. x=2x=2 үед y=1y=1 тул ln212=2+C⇒C=−2ln2⁡12=2+C⇒C=−2 байна. Иймд y=e√2x−4y=e2x−4 болов."} +{"prompt":"y′+cos(x+2y)=cos(x−2y)y′+cos⁡(x+2y)=cos⁡(x−2y), y(0)=π4y(0)=π4 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\nашиглан хувьсагчийг ялга.\nБодолт: y′+cos(x+2y)=cos(x−2y)⇔y′=2sinxsin2yy′+cos⁡(x+2y)=cos⁡(x−2y)⇔y′=2sin⁡xsin⁡2y\nтул\ndysin2y=2sinxdx⇔dsiny2siny(1−sin2y)=2sinxdxdysin⁡2y=2sin⁡xdx⇔dsin⁡y2sin⁡y(1−sin2⁡y)=2sin⁡xdx\nболно. Нөгөө талаас\n1x(1−x2)=−1(x−1)x(x+1)=(1x−1x−1)1x+1=1x(x+1)−1(x−1)(x+1)=1x−1x+1−12(x−1)+12(x+1)=−12(x−1)+1x−12(x+1)1x(1−x2)=−1(x−1)x(x+1)=(1x−1x−1)1x+1=1x(x+1)−1(x−1)(x+1)=1x−1x+1−12(x−1)+12(x+1)=−12(x−1)+1x−12(x+1)\nбуюу\n∫1x(1−x2)=−12ln|x−1|+ln|x|−12ln|x+1|+C=12ln∣∣∣x2x2−1∣∣∣+C∫1x(1−x2)=−12ln⁡|x−1|+ln⁡|x|−12ln⁡|x+1|+C=12ln⁡|x2x2−1|+C\nтул\n12ln∣∣∣sin2ysin2y−1∣∣∣=−2cosx+C12ln⁡|sin2⁡ysin2⁡y−1|=−2cos⁡x+C\nx=0x=0 үед y=π4y=π4 тул\n12ln∣∣\n∣\n∣∣(√22)2(√22)2−1∣∣\n∣\n∣∣=−2cos0+C⇒C=212ln⁡|(22)2(22)2−1|=−2cos⁡0+C⇒C=2\nТүүнчлэн ∣∣∣sin2ysin2y−1∣∣∣=tg2y|sin2⁡ysin2⁡y−1|=tg2y тул\ntgy=e2−2cosxtgy=e2−2cos⁡x\nбайна."} +{"prompt":"y′=1+y21+x2y′=1+y21+x2, y(0)=1y(0)=1 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y′=1+y21+x2⇔dy1+y2=dx1+x2y′=1+y21+x2⇔dy1+y2=dx1+x2\nтул\n∫dy1+y2=∫dx1+x2⇔arctgy=arctgx+C∫dy1+y2=∫dx1+x2⇔arctgy=arctgx+C\ny(0)=1y(0)=1 тул arctg1=arctg0+C⇒C=π4arctg1=arctg0+C⇒C=π4 иймд arctgy=arctgx+π4arctgy=arctgx+π4 байна."} +{"prompt":"y′=1+y21+x2y′=1+y21+x2, y(0)=−1y(0)=−1 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y′=1+y21+x2⇔dy1+y2=dx1+x2y′=1+y21+x2⇔dy1+y2=dx1+x2\nтул\n∫dy1+y2=∫dx1+x2⇔arctgy=arctgx+C∫dy1+y2=∫dx1+x2⇔arctgy=arctgx+C\ny(0)=−1y(0)=−1 тул arctg(−1)=arctg0+C⇒C=−π4arctg(−1)=arctg0+C⇒C=−π4 иймд arctgy=arctgx−π4arctgy=arctgx−π4 байна."} +{"prompt":"y′=2x−yy′=2x−y, y(−3)=5y(−3)=5 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y′=2x−y⇔2ydy=2xdx⇔∫2ydy=∫2xdxy′=2x−y⇔2ydy=2xdx⇔∫2ydy=∫2xdx\nтул\n2yln2=2xln2+C1⇔2y=2x+C2yln⁡2=2xln⁡2+C1⇔2y=2x+C \nболно. x=−3x=−3 үед y=5y=5 тул 25=2−3+C⇒C=317825=2−3+C⇒C=3178 байна. Иймд y=log2(2x+3178)y=log2⁡(2x+3178)."} +{"prompt":"y′=33√y2y′=3y23, y(2)=0y(2)=0 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y′=33√y2⇔y−23dy=3dx⇔∫y−23dy=∫3dxy′=3y23⇔y−23dy=3dx⇔∫y−23dy=∫3dx\nтул\ny−23+1−23+1=3x+C⇔y13=x+C⇔y=(x+C)3y−23+1−23+1=3x+C⇔y13=x+C⇔y=(x+C)3\nx=2x=2 үед y=0y=0 тул 0=(2+C)3⇒C=−20=(2+C)3⇒C=−2 байна."} +{"prompt":"y′=33√y2y′=3y23, y(3)=0y(3)=0 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y′=33√y2⇔y−23dy=3dx⇔∫y−23dy=∫3dxy′=3y23⇔y−23dy=3dx⇔∫y−23dy=∫3dx\nтул\ny−23+1−23+1=3x+C⇔y13=x+C⇔y=(x+C)3y−23+1−23+1=3x+C⇔y13=x+C⇔y=(x+C)3\nx=3x=3 үед y=0y=0 тул 0=(3+C)3⇒C=−30=(3+C)3⇒C=−3 байна."} +{"prompt":"y′=x2y′=x2 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: Шууд интегралчлах аргаар бод.\nБодолт: y=∫y′dx=∫x2dx=x33+Cy=∫y′dx=∫x2dx=x33+C"} +{"prompt":"y′′+9y=0y′′+9y=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг хариунаас бод.\nБодолт: y=c1cos3x+c2sin3xy=c1cos⁡3x+c2sin⁡3x функцийн хувьд \ny′=−3c1sin3x+3c2cos3xy′=−3c1sin⁡3x+3c2cos⁡3x\nба\ny′′=−9c1cos3x−9c2sin3xy′′=−9c1cos⁡3x−9c2sin⁡3x\nтул \ny′′+9y=0y′′+9y=0\nбайна."} +{"prompt":"y′−2xy−y=0y′−2xy−y=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y′−2xy−y=0⇔dyy=(2x+1)dxy′−2xy−y=0⇔dyy=(2x+1)dx\nтул\n∫dyy=∫(2x+1)dx⇔ln|y|=x2+x+C0∫dyy=∫(2x+1)dx⇔ln⁡|y|=x2+x+C0\nбайна. Эндээс |y|=ex2+x+C0|y|=ex2+x+C0 байна. eC0>0eC0>0 тул ±y=eC0⋅ex2+x±y=eC0⋅ex2+x ерөнхий шийдийг y=Cex2+xy=Cex2+x гэж бичиж болно. Энд CC нь дурын бодит тоо юм."} +{"prompt":"y′⋅sinx=y⋅lnyy′⋅sin⁡x=y⋅ln⁡y, y(π2)=ey(π2)=e дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y′⋅sinx=y⋅lny⇔dyy⋅lny=dxsinx⇔dlnylny=dxsinxy′⋅sin⁡x=y⋅ln⁡y⇔dyy⋅ln⁡y=dxsin⁡x⇔dln⁡yln⁡y=dxsin⁡x\nтул\n∫dlnylny=∫dxsinx=∫dcosxcos2x−1∫dln⁡yln⁡y=∫dxsin⁡x=∫dcos⁡xcos2⁡x−1\nбуюу\nln|lny|=12ln∣∣∣cosx−1cosx+1∣∣∣+Cln⁡|ln⁡y|=12ln⁡|cos⁡x−1cos⁡x+1|+C\ny(π2)=ey(π2)=e ба cosπ2=0cos⁡π2=0 тул\nlnlne=12ln|−1|+C⇒C=0ln⁡ln⁡e=12ln⁡|−1|+C⇒C=0\nболно. Иймд lny=√1−cosx1+cosxln⁡y=1−cos⁡x1+cos⁡x буюу y=e√1−cosx1+cosxy=e1−cos⁡x1+cos⁡x байна."} +{"prompt":"y≥|y3+x2y| тэнцэтгэл бишийн шийдийн мужийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: y≥|y3+x2y|⇔{1≥y2+x2y≥0 тул координатын эх дээр төвтэй нэгж тойргийн дээд хагас болно. Иймд талбай нь π⋅122=π2."} +{"prompt":"y⋅y′x+ey=0y⋅y′x+ey=0, y(1)=0y(1)=0 дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: y⋅y′x+ey=0⇔ye−ydy=−xdxy⋅y′x+ey=0⇔ye−ydy=−xdx\nболно.\n∫te−tdt=−te−t+∫e−tdt⇔=−te−t−e−t+C∫te−tdt=−te−t+∫e−tdt⇔=−te−t−e−t+C\nтул\n−ye−y−e−y=−x22+C−ye−y−e−y=−x22+C\nболно. x=1x=1 үед y=0y=0 тул\n−0⋅e−0−e−0=−122+C⇒C=−12−0⋅e−0−e−0=−122+C⇒C=−12\nбайна. Иймд (y+1)e−y=x2+12(y+1)e−y=x2+12 байна."} +{"prompt":"z2+2zi+1=0z2+2zi+1=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Бүтэн квадрат ялгах аргаар үржигдэхүүнд задал.\nБодолт: z2+2zi+1=z2+2zi2+i2−i2+1=(z+i)2+2=(z+i)2−(√2i)2z2+2zi+1=z2+2zi2+i2−i2+1=(z+i)2+2=(z+i)2−(2i)2\nтул\nz2+2zi+1=0⇔(z+i−√2i)(z+i+√2i)=0z2+2zi+1=0⇔(z+i−2i)(z+i+2i)=0\nболно. Иймд z1=(−1+√2)iz1=(−1+2)i, z2=(−1−√2)iz2=(−1−2)i байна."} +{"prompt":"z2+i=0z2+i=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: zn=r⋅(cosα+isinα)zn=r⋅(cos⁡α+isin⁡α)\nбол\nz=n√r⋅(cosα+360∘⋅kn+isinα+360∘⋅kn),k=0,…,n−1z=rn⋅(cos⁡α+360∘⋅kn+isin⁡α+360∘⋅kn),k=0,…,n−1\nбайна.\nБодолт: z2=−i=cos270∘+isin270∘z2=−i=cos⁡270∘+isin⁡270∘\nтул\nz=cos270∘+360∘⋅k2+isin270∘+360∘⋅k2, k=0,1z=cos⁡270∘+360∘⋅k2+isin⁡270∘+360∘⋅k2, k=0,1\nбайна. Эндээс cos(α+180∘)=−cosαcos⁡(α+180∘)=−cos⁡α, sin(α+180∘)=−sinαsin⁡(α+180∘)=−sin⁡α болохыг тооцвол\nz=±(cos135∘+isin135∘)z=±(cos⁡135∘+isin⁡135∘)\nбайна."} +{"prompt":"z2−3z+16=0z2−3z+16=0 бол |z||z| хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: |z|=|¯¯¯z|=√z⋅¯¯¯z|z|=|z¯|=z⋅z¯\nбайна. Мөн P∈R[x]P∈R[x] буюу PP нь бодит коэффициенттэй олон гишүүнт бол \n¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯P(z)=P(¯¯¯z)P(z)¯=P(z¯)\nБодолт: z2−3z+16=0⇒¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯z2−3z+16=¯¯¯z2−3¯¯¯z+16=0z2−3z+16=0⇒z2−3z+16¯=z¯2−3z¯+16=0 буюу zz ба ¯¯¯zz¯ тоонууд\nx2−3x+16=0x2−3x+16=0\nквадрат тэгшитгэлийн шийдүүд болно. Иймд Виетийн теоремоор z⋅¯¯¯z=16z⋅z¯=16 тул |¯¯¯z|=√z⋅¯¯¯z=4|z¯|=z⋅z¯=4 болов."} +{"prompt":"z2−3z+9=0z2−3z+9=0 бол |¯¯¯z||z¯| хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: |z|=|¯¯¯z|=√z⋅¯¯¯z|z|=|z¯|=z⋅z¯\nбайна. Мөн P∈R[x]P∈R[x] буюу PP нь бодит коэффициенттэй олон гишүүнт бол \n¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯P(z)=P(¯¯¯z)P(z)¯=P(z¯)\nБодолт: z2−3z+9=0⇒¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯z2−3z+9=¯¯¯z2−3¯¯¯z+9=0z2−3z+9=0⇒z2−3z+9¯=z¯2−3z¯+9=0 буюу zz ба ¯¯¯zz¯ тоонууд\nx2−3x+9=0x2−3x+9=0\nквадрат тэгшитгэлийн шийдүүд болно. Иймд Виетийн теоремоор z⋅¯¯¯z=9z⋅z¯=9 тул |¯¯¯z|=√z⋅¯¯¯z=3|z¯|=z⋅z¯=3 болов."} +{"prompt":"z⋅¯¯¯z+4|z|+5=0z⋅z¯+4|z|+5=0 тэгшитгэлийн хувьд аль нь үнэн бэ?","completion":"Заавар: z⋅¯¯¯z=|z|2z⋅z¯=|z|2 ашигла.\nБодолт: z⋅¯¯¯z=|z|2z⋅z¯=|z|2 тул\nz⋅¯¯¯z+4|z|+5=0⇔|z|2+4|z|+5=0z⋅z¯+4|z|+5=0⇔|z|2+4|z|+5=0\nбайна. t=|z|t=|z| гэвэл t2+4t+5=0t2+4t+5=0 ба энэ тэгшитгэл бодит шийдгүй тэгшитгэл юм. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэл ч мөн адил шийдгүй байна."} +{"prompt":"z⋅¯¯¯z+4|z|=5z⋅z¯+4|z|=5 тэгшитгэлийн хувьд аль нь үнэн бэ?","completion":"Заавар: z⋅¯¯¯z=|z|2z⋅z¯=|z|2\nБодолт: z⋅¯¯¯z=|z|2z⋅z¯=|z|2 тул\nz⋅¯¯¯z+4|z|=5⇔|z|2+4|z|=5z⋅z¯+4|z|=5⇔|z|2+4|z|=5\nбайна. t=|z|t=|z| гэвэл t2+4t−5=0t2+4t−5=0 тул t=1t=1 эсвэл t=−5t=−5 болно. Нөгөө талаас |z|≥0|z|≥0 тул |z|=1|z|=1. Энэ нь координатын эх дээр төвтэй нэгж радиустай тойргийн цэгүүд ба эдгээр нь анхны тэгшитгэлийн шийд болох тул тэгшитгэл төгсгөлгүй олон шийдтэй."} +{"prompt":"{(2x−11)(3x+7)(9−4x)2≤071−24x14−5x−x2<5 системийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод. Бутархайн хуваарь 0-ээс ялгаатай болохыг ашиглаарай!\nБодолт: Бутархайн хуваарь тэгээс ялгаатай тул 9−4x≠0⇒x≠94 байна. Иймд эхний гурван сонголт зөв хариулт болж чадахгүй.\n\nСүүлийн хоёр шийдээс зөвийг нь сонгохын тулд 112 шийд болох эсэхийг шалгах шаардлагатай. x=112 нь эхний тэнцэтгэл бишийн шийд болох нь ойлгомжтой. Системийн хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн шийд болох эсэхийг шалгая:\n71−24⋅11214−5⋅112+(112)2<0≤5\nтул мөн шийд болно. Иймд x=112 шийд болох тул зөв хариулт нь ]2;94[∪]94;112] байна"} +{"prompt":"{(x+y)2=12x2+y2=2(a+1) систем тэгшитгэл яг хоёр шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: (x+y)2=12 тэгшитгэлийн шийдийн олонлог нь хавтгайд x+y=2√3; x+y=−2√3 шулуунуудаас тогтоно. a>−1 үед x2+y2=2(a+1) нь координатын эх дээр төвтэй √2(a+1) радиустай тойрог дүрсэлнэ. \n \nСистем тэгшитгэл яг 2 шийдтэй байхын тулд эдгээр шулуунууд нь тойргийг шүргэнэ. Эдгээр шүргэлтийн цэгүүд нь (x;x) координаттай байх тул \n{(x+x)2=12x2+x2=2(a+1) буюу {2x2=62x2=2(a+1)\nэндээс 2(a+1)=6⇒a=2 болно."} +{"prompt":"{1;2;6;24;120;…}{1;2;6;24;120;…} дарааллын ерөнхий гишүүний томьёог бич.","completion":"Заавар: Хариунд өгөгдсөн дарааллуудын эхний гишүүдийг жагсааж аль нь өгөгдсөн дарааллалтай тохирч байгааг ол.\nБодолт: n!n! дарааллын эхний гишүүд нь 1!=11!=1, 2!=1⋅2=22!=1⋅2=2, 3!=2!⋅3=63!=2!⋅3=6, 4!=3!⋅4=244!=3!⋅4=24, 5!=4!⋅5=1205!=4!⋅5=120 тул өгөгдсөн дарааллын ерөнхий гишүүн болж чадна."} +{"prompt":"{2x+(m−1)y=3(m+1)x+4y=−3 систем m-ийн ямар утганд төгсгөлгүй олон шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл төгсгөлгүй олон шийдтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\na1a2=b1b2=c1c2\nБодолт: {2x+(m−1)y=3(m+1)x+4y=−3 систем тэгшитгэл төгсгөлгүй олон шийдтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\n2m+1=m−14=3−3\nбайна. Эндээс m=−3 байна"} +{"prompt":"{2x+y3=3x2+3y=32 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: Өгөгдсөн хариултуудаас шийд болох эсэхийг шалгаад хялбархан бодож болно. Энэ удаад орлуулах аргаар бодьё.\n\nЭхний тэгшитгэлээс y-ийг олбол y=9−6x байна. Үүнийг II тэгшитгэлд орлуулбал\nx2+39−6x=32⇔x2+x3x−2=32\nЭндээс x(3x−2)+2x=3(3x−2)⇔x2−3x+2=0\nтул x1=1, x2=2 ба y1=9−61=3, y2=9−62=6 байна. Иймд (x,y)=(1,3)∨(2,6)"} +{"prompt":"{2x+y−1=0x−2y+5=0 бол x+y-г ол.","completion":"Заавар: Шууд нэмээд эсвэл хасаад бодох боломжгүй бол тэгшитгэлээ шууд бодох нь ил��ү хурдан.\nБодолт:"} +{"prompt":"{2x2−3x>2x2−2≤2x тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: a>0 үед\nax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)>0,x12x2−2≤2x⇔{2x2−3x−2>0x2−2x−2≤0\n2x2−3x−2=0⇒x1,2=3±√(−3)2−4⋅2⋅(−2)2⋅2=3±54\nтул x1=−12, x2=2 байна. Иймд 2x2−3x−2>0⇔−120,3y=v>0 гэвэл {3u−v=12v⋅u=15 эндээс v=3(u−4)⇒3(u−4)u=15⇒u2−4u−5=0 байна. u1=−1, u2=5. 7x≠−1 тул u=5⇒v=3(5−4)=3. Иймд x=log75, y=1."} +{"prompt":"{4x+ay=1bx+7y=2 тэгшитгэл шийдгүй бол ab=?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a1a2=b1b2≠c1c2.\nБодолт: {4x+ay=1bx+7y=2 тэгшитгэл шийдгүй бол\n4b=a7≠12\nбайна. Эндээс ab=4⋅7=28 байна."} +{"prompt":"{4x+by−4=0bx+y−2=0 систем b-ийн ямар утганд шийдгүй вэ?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a1a2=b1b2≠c1c2.\nБодолт: {4x+by=4bx+y=2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь 4b=b1≠42\nбайна. 4b=b1⇒b2=4⇒b=±2 ба b=2 үед \n42=21=42\nтул төгсгөлгүй олон шийдтэй ба b=−2 үед\n4−2=−21≠42\nтул шийдгүй байна."} +{"prompt":"{4−3x−x2=|x2+3x−4|6−5x−x2=|5x−6+x2| тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=−5 нь 4−3⋅(−5)−(−5)2<0 тул эхний тэгшитгэлийн шийд болохгүй (системийн шийд ч болохгүй). Иймд [−5;43], [−6;1], [−6;0] нь системийн шийд болохгүй.\n\nx=1 нь 4−3⋅1−12=0=|12+3⋅1−4| ба 6−5⋅1−12=0=|5⋅1−6+12| тул шийд болно. Иймд боломжит зөв хариулт нь [−4;1] болов."} +{"prompt":"{4√x+log5y=145√x−2log5y=11 системийн шийдүүд x0 ба y0 бол x0⋅y0=?","completion":"Заавар: u=√x, v=log5y орлуулгаар шугаман тэгшитгэлийн системд шилжинэ.\nБодолт: {4√x+log5y=145√x−2log5y=11 тэгшитгэлийн систем u=√x, v=log5y орлуулгаар {4u+v=145u−2v=11 болно. Эндээс u=3,v=2 буюу x0=9,y0=25 гэж гарна. Хариулт C."} +{"prompt":"{5x+3y=34x−ty=6 систем тэгшитгэл шийдгүй бол t хэдтэй тэнцүү байх вэ?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь a1a1=b1b2≠c1c2 байдаг.\nБодолт: Шийдгүй тул\n54=3−t≠36\nбайх ёстой. Эндээс t=−4⋅35=−2.4 байна."} +{"prompt":"{5x−y+6=x2−4y+75x+y+5=25x⋅25y⋅6 системийг бод.","completion":"Заавар: Зөв шийдийг шууд шалгаж ол.\nБодолт: x=1, y=−1 буюу A хариулт зөв болохыг шалгая. x, y-ийн оронд 1 ба −1-ийг орлуулбал эхний тэгшитгэл 5⋅1−(−1)+6=12−4⋅(−1)+7⇔12=12, хоёр дахь тэгшитгэл 51+(−1)+5=251⋅25−1⋅6⇔6=6 байна."} +{"prompt":"{8x+by=7ax−y=0{8x+by=7ax−y=0 систем шийдгүй байх a,ba,b-ийн үржвэрийн утга аль вэ?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\na1a2=b1b2≠c1c2a1a2=b1b2≠c1c2\nБодолт: a8=−1b≠0a8=−1b≠0 (заавар хар) үед систем шийдгүй байна. Иймд ab=−1ab=−1 байна."} +{"prompt":"{8xy−25=0x2=y+2x систем тэгшитгэл x2+y2≤a2 нөхцөлийг хангах цор ганц шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: 2-р тэгшитгэлээс y-ийг олбол: y=x2−2x болно. Үүнийг 1-д орлуулбал 8x(x2−2x)−25=0 буюу 8x3−16x2−25=0 болно. \nm нь 25-ийн бүхэл хуваагдагч, n 8-ийн \nнатурал хуваагч байхаар (m∈{±1;±5;±25}, n∈{1;2;4;8}) mn хэлбэрээр рационал шийдийг хайвал x=52 шийд олдоно. \nИймд 8x3−16x2−25=(2x−5)(4x2+2x+5)=0 болно. Энэ тэгшитгэл өөр шийдгүй тул x=52 үед y=54 болох ба |a|≥5√54 үед x2+y2=12516≤a2 байна."} +{"prompt":"{8x−3y=−13x+2y=9 системээс x+y-ийг ол.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлүүдийн нийлбэрээс y-ийг бүхэл коэффициентээр илэрхийлж болно.\nБодолт: Тэгшитгэлүүдийг хооронд нь нэмбэл\n(8x−3y)+(3x+2y)=−1+9⇒y=11x−8 болно. Үүний эхний тэгшитгэлд орлуулбал\n8x−3(11x−8)=−1⇒25x=25⇒x=1\nбайна. Иймд y=11⋅1−8=3 тул x+y=1+3=4 байна."} +{"prompt":"{[x]+{y}=1.5[y]−2{x}=2.5 систем тэгшитгэлийг бод. Энд [ ] бүхэл хэсэг, { } бутархай хэсэг.","completion":"Заавар: x∈R тооны бүхэл хэсэг нь уг тооноос хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо байна.  Үүнийг [x] гэж тэмдэглэнэ. [x]=n⇔n≤[x]1 үед x≥2a−3a−1 ба x≥98 тул x≥max{2a−3a−1,98} байна. \n2a−3a−1≥98⇔16a−24≥9a−9⇔7a≥15⇔a≥157\nтул a≥157 бол x≥2a−3a−1=2−1a−1, 100≥b,a=0x≤ba,a<0\nболохыг ашигла.\n\nЭнд b>0 бол 0≥b тэнцэтгэл биш шийдгүй ба b≤0 бол дурын x∈R тоо 0≥b тэнцэтгэл бишийн шийд болно.\nБодолт: {a(x−2)≥x−38(x−1)≥1⇔{(a−1)x≥2a−38x≥9\na>1 үед x≥2a−3a−1 ба x≥98 тул x≥max{2a−3a−1,98} байна. \n2a−3a−1≥98⇔16a−24≥9a−9⇔7a≥15⇔a≥157\nтул a≥157 бол x≥2a−3a−1, 1logx+1125logx+1146>logx+1147{logx+112⁡6>logx+112⁡5logx+114⁡6>logx+114⁡7 тэнцэтгэл бишийн шийд нь abcdlogx+1125logx+1146>logx+1147⇔{(x+112−1)(6−5)>0(x+114−1)(6−7)>0{logx+112⁡6>logx+112⁡5logx+114⁡6>logx+114⁡7⇔{(x+112−1)(6−5)>0(x+114−1)(6−7)>0\n⇔{x−1112>0x−1314<0⇔11120x−1314<0⇔1112a үед бодъё. x2+rx+1≤0 шийдтэй тул D≥0 буюу r≥d байна. Энэ үед sinsx≤1−r≤ef болох тул шийдтэй байхын тулд sinsx=ef, r=d, x=gh байна. Энэ үед s=πi+jπk,k∈Z байна.","completion":"Заавар:\nБодолт: {r+sinsx≤1x2+rx+1≤0 тэнцэтгэл бишийн систем яг нэг шийдтэй байх r,s-ийг олъё. r≤0 үед дурын бодит x-ийн хувьд sinsx≤1−r байх тул x2+rx+1≤0 тэнцэтгэл биш яг нэг бодит шийдтэй байна. r≤0 гэдгийг тооцвол D=r2−4=0⇒r=−2 байна. Энэ үед s∈R байна. Одоо r>0 үед бодъё. x2+rx+1≤0 шийдтэй тул D=r2−4≥0 буюу r≥2 байна. Энэ үед sinsx≤1−r≤−1 болох тул шийдтэй байхын тулд sinsx=−1, r=2, x=−1 (x2+2x+1≤0) байна. Энэ үед s=π2+2πk,k∈Z байна."} +{"prompt":"{sinx−siny=12cosx+cosy=√32 систем бодвол\n{x=πa+bπny=πc+dπk,(n,k∈Z)\nэсвэл\n{x=−πe+fπny=−πg+hπk,(n,k∈Z)\n болно.","completion":"Заавар: Нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт хувиргах томьёо ашигла.\nБодолт: Нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт хувиргах томьёогоор\n2sinx−y2cosx+y2=12,2cosx−y2cosx+y2=√32\nтул tgx−y2=1√3⇒x−y2=π6+πℓ\nбуюу\nx=y+π3+2πℓ\nболно. Үүнийг анхны тэгшитгэлд орлуулбал\n{sin(y+π3)−siny=12cos(y+π3)+cosy=√32⇔\n√3cosy−siny=1⇔cos(y+π6)=12\nболно. Иймд\ny=±π3−π6+2πk\nболох тул эсвэл\ny=π3−π6+2πk=π6+2πk\nүед\nx=π6+2πk+π3+2πℓ=π2+2πn\nбайна, эсвэл\ny=−π3−π6+2πk=−π2+2πk\nүед\nx=−π2+2πk+π3+2πℓ=−π6+2πn\nбайна."} +{"prompt":"{siny=5sinx3cosx+cosy=2 систем бодвол\n{x=aπny=bπk+π,(n,k∈Z) болно.","completion":"Заавар: sin2y=25sin2x=25(1−cos2x), cos2y=(2−3cosx)2-ээс\n25(1−cos2x)+(2−3cosx)2=1\nбайна.\nБодолт: 25(1−cos2x)+(2−3cosx)2=1⇔\n−16cos2x−12cosx+28=0⇔\n4cos2+3cosx−7=0⇔cosx=−3±√32−4⋅4⋅(−7)2⋅4\nба |cosx|≤1 тул cosx=±1. Түүнчлэн\ncosy=2−cosx=2∓3\nтул cosy=−1∨cosy=5 болно. Иймд\ncosx=1,cosy=−1\nЭндээс\n{x=2πny=2πk+π,(n,k∈Z)"} +{"prompt":"{tgx>1x∈[0∘;360∘[⇔x∈]ab∘;90∘[∪]cde∘;fgh∘[.","completion":"Заавар: y=tgx функцийн графикийг зурж шийдийг тэмдэгл��.\nБодолт: \nЗургаас харахад тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]45∘,90∘[, ]225∘,270∘[ байна."} +{"prompt":"{x+2y+1=34x+4y=32 систем нь x=−ab,y=logcde шийдтэй.","completion":"Заавар: t=2y гэвэл 2y+1=2t, 4y=t2 байна.\nБодолт: {x+2y+1=34x+4y=32⇔{x+2t=34x+t2=32\nтул 4x+t2−4(x+2t)=32−4⋅3 буюу t2−8t−20=0⇒t1=−2, t2=10.\n2y=−2 тэгшитгэл шийдгүй тул 2y=10⇒y=log210 ба x=3−2⋅10=−17 байна."} +{"prompt":"{x+2y=152x−y=0 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: 6.1. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем шугаман зохиодог, шийдийг шалгадаг, тэмдэглэдэг.\nБодолт: Хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлбэл {x+2y=154x−2y=0 болно. Тэгшитгэлүүдийг нэмбэл 5x=15⇒x=3. Үүнийг II тэгшитгэлд орлуулбал 2×3−y=0⇒y=6. Иймд тэгшитгэлийн шийд (x,y)=(3,6)."} +{"prompt":"{x+2y−3z=02x−y+z=24x+y−2z=3 системийг бодож x+y+z нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Эхний тэгшитгэлээс x=3z−2y гэж хялбархан олоод орлуулах аргаар бод.\nБодолт: x=3z−2y-г 2, 3-р тэгшитгэлүүдэд орлуулбал\n{2(3z−2y)−y+z=24(3z−2y)+y−2z=3⇔{−5y+7z=2(1)−10y+13z=3(2)\nболно. Цааш нэмэх арга ашиглавал: \/−2×(1)+(2)\/\n−2(−5y+7z)−10y+13y=−2⋅2+3⇔\n−y=−1⇒y=1\nболно. −5y+7z=−5+7z=2⇒z=1 ба x=3z−2y=1 тул тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь 1+1+1=3 байна.\n\nСанамж: (x,y,z)=(1,1,1) шийдийг шалгах нь хялбархан боловч шууд тааж олоход төвөгтэйг анхаарна уу."} +{"prompt":"{x+2y−z=72x−y+z=23x−5y+2z=−7 эхний тэгшитгэлээс z-ийг олж бусад тэгшитгэлд орлуулбал\n{ax+y=bcx−y=d тэгшитгэлийн системд шилжих тул x=e,y=f,z=g байна.","completion":"Заавар: Эхний тэгшитгэлээс\nz=x+2y−7\nболно.\nБодолт: z=x+2y−7-ийг 2 ба 3-р тэгшитгэлд орлуулбал\n{2x−y+(x+2y−7)=23x−5y+2(x+2y−7)=−7⇔{3x+y=95x−y=7\nболно. Тэгшитгэлүүдийг нэмбэл 8x=16⇒x=2 болно. Иймд\ny=9−3x=9−3⋅2=3,\nz=x+2y−7=2+2⋅3−7=1\nбайна."} +{"prompt":"{x+3y+4z=232x+4y−z=63x−4y+2z=3 систем тэгшитгэлийн шийд нь x=a, y=b, z=c байна.","completion":"Заавар: Хоёр дахь тэгшитгэлээс z-г x, y-ээр илэрхийлээд 1 ба 3-р тэгшитгэлд орлуулж бод.\nБодолт: 2-р тэгшитгэлээс z=2x+4y−6 болно. Үүнийг 1-р тэгшитгэлд орлуулбал\nx+3y+4(2x+4y−6)=23⇒9x+19y=47, 3-р тэгшитгэлд орлуулбал 3x−4y+2(2x+4y−6)=7x+4y=15\nболно.\n\n{9x+19y=47(1)7x+4y=15(2) систем тэгшитгэлээс 4×(1)−19×(2)=4⋅9x−19⋅7x=4⋅47−19⋅15\nтул x=4⋅47−19⋅154⋅9−19⋅7=−97−97=1 болно. Иймд (1)-ээс 9⋅1+19y=47⇒y=2 ба z=2⋅1+4⋅2−6=4."} +{"prompt":"{x+ay=−2ax+4y=4{x+ay=−2ax+4y=4 систем тэгшитгэл шийдгүй бол a=?a=?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \na1a2=b1b2≠c1c2a1a2=b1b2≠c1c2\nБодолт: {x+ay=−2ax+4y=4{x+ay=−2ax+4y=4 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\n1a=a4≠−241a=a4≠−24\na=2a=2 байна."} +{"prompt":"{x+y=4x−y=2 бол x2+y2=?","completion":"Заавар: (x+y)2+(x−y)2=2(x2+y2)\nболохыг ашигла.\nБодолт: x2+y2=(x+y)2+(x−y)22=42+222=10"} +{"prompt":"{x+y=5xy=6⇒x2+y2=?","completion":"Заавар: x2+y2=(x+y)2−2xy\nБодолт: x2+y2=(x+y)2−2xy=52−2⋅6=25−12=13"} +{"prompt":"{x+y=6x3+y3=126 бол xy=?","completion":"Заавар: x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y) болохыг ашигла.\nБодолт: 126=x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=63−3xy⋅6\nтул xy=63−12618=12−7=5"} +{"prompt":"{x+y=72x+5y=29{x+y=72x+5y=29 систем тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Шийдийг шалга.\nБодолт: 7+29≠77+29≠7, 2⋅1+5⋅6≠292⋅1+5⋅6≠29 тул (7;29)(7;29), (1;6)(1;6) шийд болохгүй. Харин 2+5=72+5=7, 2⋅2+5⋅5=292⋅2+5⋅5=29 тул (2;5)(2;5) нь тэгшитгэлийн шийд байна.\n\nТэгшитгэлийг орлуулах аргаар y=7−xy=7−x, 2x+5(7−x)=29⇒−3x=−6⇒x=22x+5(7−x)=29⇒−3x=−6⇒x=2, y=7−2=5y=7−2=5 гээд бодож болох ч тэгшитгэлийн бүхэл шийдийг чээжээр шалгах нь хамгийн хурдан арга тул хугацаа хожих боломжтой."} +{"prompt":"{x+yx−y=5x2+y2=13 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: Эхний тэгшитгэлээс x-ийг олж y-ээр илэрхийл.\nБодолт: x+yx−y=5⇒x+y=5(x−y)⇔6y=4x⇔x=1.5y. Үүнийг 2 дахь тэгшитгэлд орлуулбал (1.5y)2+y2=3.25y2=13 буюу y2=4. Иймд y=±2, x=1.5⋅y=±3."} +{"prompt":"{x+y−1=4x−1+y=2 бол xy=?","completion":"Заавар: z=y−1 гэвэл\n{x+z=41x+1z=2\nболно. xz хэдтэй тэнцүү вэ?\nБодолт: 1x+1z=x+zxz=4xz=2\nтул xz=xy=2 байна."} +{"prompt":"{x+√y−a−2=0y2−x2=a(2x+a) систем тэгшитгэл яг хоёр шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар: y2−x2=a(2x+a)⇔y2=x2+2ax+a2=(x+a)2 болохыг ашиглан бод.\nБодолт: 2-р тэгшитгэл буюу y2=(x+a)2-ээс y=x+a эсвэл y=−(x+a) байна. y=x+a-ийг 1 тэгшитгэлд орлуулбал x+√x−2=0 гэсэн шийдгүй тэгшитгэл болно. y=−(x+a)-ийг 1-р тэгшитгэлд орлуулбал \nx+√−x−2a−2=0⇔{x≤0x2=−x−2a−2 болно.\n\nДараах нөхцөл биелэх үед x2+x+(2a+2)=0 тэгшитгэл 2 сөрөг шийдтэй\n{D>0x1⋅x2≥0x1+x2<0⇔{−7−8a>02a+2≥0−1<0⇔{a<−78a≥−1\nтул a∈[−1;−78[ байна."} +{"prompt":"{x2+y2=1x+y=a систем тэгшитгэл яг нэг шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: x2+y2=1 тэгшитгэл нь координатын эх дээр төвтэй 1 радиустай тойргийн тэгшитгэл, x+y=a тэгшитгэл нь y=a−x тэгшитгэлтэй шулуунуудын олонлог дүрсэлнэ. Хэрвээ a=a1 эсвэл a=a2(=−a1) үед шулуун нь тойргоо шүргэнэ гэвэл шулуун ба тойрог нь нэг ерөнхий цэгтэй байна. Иймд энэ үед систем тэгшитгэл нэг шийдтэй. Аль ч тохиолдолд огтлолын цэгийн координат нь (x;x) хэлбэртэй байх \nба\n\n{x2+x2=1x+x=a\n\nбайна. Эндээс x=±1√2 буюу a=±√2 байна."} +{"prompt":"{x2+y2=1y−|x|=a систем тэгшитгэл яг хоёр шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: x2+y2=1 нь координатын эх дээр төвтэй 1 радиустай тойргийн \nтэгшитгэл, y−|x|=a нь ерөнхий оройтой хос цацрагын тэгшитгэл. \nМэдээж a∈(−1;1)∪{a0} үед л өнцөг тойрог хоёр 2 ерөнхий цэгтэй байна. a=a0 үед цацрагууд тойргийг (x;x) ба (−x;x) координаттай цэгүүдэд шүргэнэ гэдгээс \n\n{x2+x2=1x−|x|=a0{x2=12;x=−1√2−1√2−1√2=a0\n\nбуюу a0=−√2."} +{"prompt":"{x2+y2=5(x−1)(y−1)=−2 тэгшитгэл хэдэн шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: u=x+y, v=xy орлуулга хий.\nБодолт: Хэрэв u=x+y, v=xy гэж орлуулбал {u2−2v=5v−u+1=−2 тул u2−2u+6=5⇒u=1 байна. Эндээс {x+y=1xy=−2 болох ба x=2, y=−1 ба x=−1, y=2 гэсэн 2 шийдтэй."} +{"prompt":"{x2+y2≤9x+y≤0 тэнцэтгэл бишийн системийг хангах хавтгайн цэгүүдийн \nолонлог аль вэ?","completion":"Заавар: (x−a)2+(y−b)2≤R2 нь (a;b) төвтэй тойргийн дотоод муж, y≤f(x) нь y=f(x) функцийн графикаас доош орших цэгүүдийн олонлог байна.\n\nТасархай шугамаар уг шугам дээр байгаа цэгүүд тухайн мужид ороогүй болохыг тэмдэглэдэг!\nБодолт: Бидний олох муж нь x2+y2≤32 буюу координатын эх дээр төвтэй 3 радиустай тойргийн дотоод цэг ба y≥−x буюу y=−x шулуунээс доош орших цэгүүдийн олонлог байна. Хоёр тохиолдолд = тэмдэг байгаа тул хилийн цэгүүд нь хоёулаа шийд болох тул 4) хариулт зөв байна."} +{"prompt":"{x2+y2≤9x+y≥0 тэнцэтгэл бишийн системийг хангах хавтгайн цэгүүдийн \nолонлог аль вэ?","completion":"Заавар: (x−a)2+(y−b)2≤R2 нь (a;b) төвтэй тойргийн дотоод муж, y≥f(x) нь y=f(x) функцийн графикаас дээш орших цэгүүдийн олонлог байна.\n\nМөн тасархай шугамаар уг шугам дээр байгаа цэгүүд тухайн мужид ороогүй болохыг тэмдэглэдэг!\nБодолт: Бидний олох муж нь x2+y2≤32 буюу координатын эх дээр төвтэй 3 радиустай тойргийн дотоод цэг ба y≥−x буюу y=−x шулуунээс дээш орших цэгүүдийн олонлог байна. Хоёр тохиолдолд = тэмдэг байгаа тул хилийн цэгүүд нь хоёулаа шийд болох тул 3) хариулт зөв байна."} +{"prompt":"{x2+y2≤9x≤y тэнцэтгэл бишийн шийдийн мужийн талбай аль нь вэ?","completion":"Заавар: x=y шулуун нь x2+y2=9 тойргийн төвийг дайрна.\nБодолт: x=y дугуйн төвийг дайрах тул талбайг нь хагаслан хуваана. 3 радиустай тойрог тул талбай нь 32π=9π тул хагас нь 4.5π."} +{"prompt":"{x2y2−2x+y2=02x2−4x+3+y3=0 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: Энэ бодлогын шийдийг шууд шалгаад олоход төвөгтэй биш.\nБодолт: x-ийн хувьд квадрат тэгшитгэл гэвэл бодит шийдтэй байхын тулд\nx2y2−2x+y2=0⇒D1=(−2)2−4⋅y2⋅y2=\n=4−4y4≥0⇔−1≤y≤1. \n2x2−4x+3+y3=0⇒D2=(−4)2−4⋅2⋅(3+y3)=\n=16−24−8y3=−8−8y3≥0⇔y3≤−1⇔y≤−1. \nИймд −1≤y≤−1⇒y=−1, x2−2x+1=0⇒x=1."} +{"prompt":"{x2−7x+10>02x−1≥0 тэнцэтгэл бишийн системийг бод.","completion":"Заавар: (x−α1)(x−α2)>0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь (−∞;α1)∪(α2;+∞)=]−∞;α1[∪]α2;+∞[ байна.\n\n{ хэлбэрийн тэнцэтгэл бишийн системийн шийдүүд нь системийн бүх тэнцэтгэл бишүүдийн шийдийн огтлолцол байдаг.\nБодолт: x2−7x+10=(x−2)(x−5)>0 тул шийд нь (−∞;2)∪(5;+∞) байна.\n\n\n2x−1≥0⇔x≥12 тул шийд нь [2;+∞) байна.\n\nбөгөөд шийд нь [12;2)∪(5;+∞) байна."} +{"prompt":"{x3+x2y+xy2+y3=0x2+4y2=5 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: y=kx гээд k тоог ол.\nБодолт: y=kx гэвэл\nx3+x2y+xy2+y3=x3+kx3+k2x3+k3x3=0\nбайна. x=0 нь анхны системийн шийд болж чадахгүй тул\n1+k+k2+k3=(1+k)(1+k2)=0\nболно. Иймд k=−1 тул y=−x байна. Иймд\nx2+4⋅(−x)2=5⇒x=±1,y=∓1\nболно."} +{"prompt":"{x3+y3=35x+y=5 бол xy=?","completion":"Заавар: x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y) болохыг ашигла.\nБодолт: 35=x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=53−3xy⋅5\nтул xy=53−3515=6"} +{"prompt":"{x<5x≥−1 тэнцэтгэл бишийн шийдийг тоон завсар хэлбэрээр бич.","completion":"Заавар: 7.1. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш болон шугаман тэнцэтгэл тэнцэтгэл бишийн систем зохиодог.\nБодолт: −1≤x<5⇔x∈[−1,5[."} +{"prompt":"{x−2y5x+2y+5x+2yx−2y=2x−y=8 систем тэгшитгэлээс x⋅y=?","completion":"Заавар: t+1t=2⇔t2−2t+1=0⇔(t−1)2=0⇔t=1\nБодолт: t=x−2y5x+2y гэвэл 1t=5x+2yx−2y тул t+1t=2⇔t=1 байна. Иймд\nx−2y5x+2y=1\nx−y=8-аас y=x−8 тул \nx−2y5x+2y=x−2(x−8)5x+2(x−8)=1\nИймд 16−x=7x−16⇒x=4, y=4−8=−4 болох тул x⋅y=4⋅(−4)=−16 байна."} +{"prompt":"{x−54−2x−12<32x−33≤x+12 тэнцэтгэл бишийн бүхэл шийдийн тоог ол.","completion":"Заавар: Ижил хуваарь өгч хялбарчил.\nБодолт: {x−54−2x−12<3|×42x−33≤x+12|×6⇒{x−5−2(2x−1)<122(2x−3)−3(x+1)≤0\n{3x+15>0x−9≤0⇒{x>−5x≤9 тул x=−4,−3,…8,9 буюу нийт 14 бүхэл шийдтэй."} +{"prompt":"{x−a=2√yy2−x2+2x+8y+15=0 систем тэгшитгэл шийдтэй байх a параметрийн утгуудыг ол.","completion":"Заавар: 2-р тэгшитгэл буюу (y+4)2−(x−1)2=0-ээс x=y+5 эсвэл x=−y+3 болно.\nБодолт:"} +{"prompt":"{x−ay=√3ax−3y=3{x−ay=3ax−3y=3 систем тэгшитгэл шийдгүй бол a=?a=?","completion":"Заавар: {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \na1a2=b1b2≠c1c2a1a2=b1b2≠c1c2\nБодолт: {x−ay=√3ax−3y=3{x−ay=3ax−3y=3 систем тэгшитгэл шийдгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\n1a=−a−3≠√331a=−a−3≠33\na=−√3a=−3 байна."} +{"prompt":"{x−y=6x3−y3=126 бол xy=?","completion":"Заавар: x3−y3=(x−y)3+3xy(x−y) болохыг ашигла.\nБодолт: 126=x3−y3=(x−y)3+3xy(x−y)=63+3xy⋅6\nтул xy=126−6318=7−12=−5"} +{"prompt":"{x−yx+y=3x2+y2=20 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: Эхний тэгшитгэлээс x-ийг олж y-ээр илэрхийл.\nБодолт: x−yx+y=3⇒x−y=3(x+y)⇔−4y=2x⇔x=−2y. Үүнийг 2 дахь тэгшитгэлд орлуулбал (−2y)2+y2=5y2=20 буюу y2=4. Иймд y=±2. Иймд (4;−2), (−4;2) шийдтэй."} +{"prompt":"{y<−x+2y+22>x системийн шийд аль, аль мужид байгаа вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: \nКоординатын эх буюу O(0;0) цэг системийн шийд болно. O цэгтэй хангалттай ойрхон цэгүүд мөн системийн шийд болохыг харахад төвөггүй. Жишээ нь (0,1;0,1), (−0,1;0,1), (−0,1;−0,1), (0,1;−0,1) цэгүүд шийд болохыг шалгаж болно. Иймд шийд нь бүх мужид байна."} +{"prompt":"{y=x2−6x+82y=x−2 систем тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: x=2y+2-ийг эхний тэгшитгэлд орлуулаад бод.\nБодолт: II тэгшитгэлээс x=2y+2 болох ба үүнийг I тэгшитгэлд орлуулбал\ny=(2y+2)2−6⋅(2y+2)+8⇔4y2−5y=0\nтул y1=0, y2=54 болно. Үүнийг буцааж II тэгшитгэлд орлуулбал\nx1=2⋅0+2=2\nx2=2⋅54+2=92\nтул (2;0), (92;54) гэсэн шийдтэй."} +{"prompt":"{y−x≤2x2+y2≤4 мужаар хүрээлэгдэх дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: Шийдийн мужийг зураад гарсан дүрсийн талбайг ол.\nx2+y2≤4-ийн шийдийн муж нь координатын эх дээр төвтэй 2 радиустай дугуйн дотоод хэсэг, y−x≤2-ийн шийдийн муж нь y=x+2 шулуунаас доош орших хавтгайн хэсэг байна.\nБодолт: Шийдийн мужийг зургаар дүрсэлбэл\n\nбайна. Энэ нь 2 радиустай дугуйн 34 хэсэг ба 2 катеттай адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваагдах дүрс тул талбай нь \n34⋅π⋅22+12⋅2⋅2=3π+2\nбайна."} +{"prompt":"{y√x=16√x−2log2y=2 бол x+y-г ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: √x=2log2y+2⇒y2log2y+2=16. Хоёр талаас нь log2 авбал\nlog2y2log2y+2=(2log2y+2)log2y=log216=4 болно. t=log2y гэвэл t2+t−2=0 буюу t=1∨−2 байна. t=1 бол log2y=1⇒y=2, √x=2⋅1+2=4⇒x=16 байна. t=−2 гэвэл √x=2⋅(−2)+2<0 болох тул шийд болохгүй. Иймд x+y=16+2=18."} +{"prompt":"{y≤sinxx2+y2≤2πx систем тэнцэтгэл бишийн шийдийг илэрхийлэх мужийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: x2+y2≤2πx⇔(x−π)2+y2≤π2 тул (π,0) цэгт төвтэй π радуистай дугуйн дотоод цэгүүд байна. y≥sinx нь y=sinx функцийн графикийн дээд хэсэг байна. Зургаас харахад тэнцэтгэл бишийн шийдийн мужийн талбай нь дугуйн талбайн хагас болох нь харагдаж байна. Дугуйн талбай πR2 байдаг тул бидний олох тайлбай π32 байна."} +{"prompt":"{y≥sinxx2+y2≤2πx{y≥sin⁡xx2+y2≤2πx систем тэнцэтгэл бишийн шийдийг илэрхийлэх мужийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: x2+y2≤2πx⇔(x−π)2+y2≤π2x2+y2≤2πx⇔(x−π)2+y2≤π2 тул (π,0)(π,0) цэгт төвтэй ππ радуистай дугуйн дотоод цэгүүд байна. y≥sinxy≥sin⁡x нь y=sinxy=sin⁡x функцийн графикийн дээд хэсэг байна. Зургаас харахад тэнцэтгэл бишийн шийдийн мужийн талбай нь дугуйн талбайн хагас болох нь харагдаж байна. Дугуйн талбай πR2πR2 байдаг тул бидний олох тайлбай π32π32 байна."} +{"prompt":"{|7−2x|=|5−3x|+|x+2||9−2x|=|4−3x|+|x+5| тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: Модулийн тодорхойлолт ашиглан ердийн аргаар бодож болох боловч энэ тохиолдолд хариунаас бодох нь хамгийн хялбар байна.\nБодолт: −5 шийд болохгүй ба 43 шийд болох тул (шалгаж үзнэ үү) зөв хариулт нь зөвхөн [−2;43] байх боломжтой."} +{"prompt":"{|x+1|+y=02x+y=−1 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: Хоёр тэгшитгэлийн ялгавар |x+1|−2x=1 байна. Хэрэв x+1≥0 бол x+1−2x=1 буюу x=0 болох ба 2 дахь тэгшитгэлд орлуулбал y=−1 болно. Хэрэв x+1<0 бол −(x+1)−2x=1⇒−3x=2 буюу x=−2\/3. Гэтэл −2\/3+1>0 тул шийд биш. Иймд (0;−1) гэсэн ганц шийдтэй.\n\nҮүнийг графикийн аргаар бодвол илүү тодорхой харагдана."} +{"prompt":"{−2x−2y=−1−4x+2y=−2 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: 6.2. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олдог, (нэмэх, орлуулах, графикийн арга) хэрэглэдэг.\nБодолт: Эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж хоёр дахь тэгшитгэл дээр нэмбэл 0x+0y=0 болох тул 2x−y=1 тэгшитгэлийн шийд бүр системийн шийд болно. Иймд төгсгөлгүй олон шийдтэй."} +{"prompt":"{−3x−2y=1−3x+6y=3 тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: 6.2. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олдог, (нэмэх, орлуулах, графикийн арга) хэрэглэдэг.\nБодолт: Эхний тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлж хоёр дахь тэгшитгэл дээр нэмбэл 0x+0y=6 буюу шийдгүй тэгшитгэл болж байна."} +{"prompt":"{−6x−5y+7z=3−7x+6y−7z=1{−6x−5y+7z=3−7x+6y−7z=1 тэгшитгэлийг урвуу матриц ашиглан бодъё.\n(−6−5−7−6)(xy)=(3−7z1+z)(−6−5−7−6)(xy)=(3−7z1+z)\nтул\n(xy)=(abcd)(3−7z1+z)(xy)=(abcd)(3−7z1+z)\nбайна. Иймд тэгшитгэлийн ерөнхий шийд\n(x,y,z)=(23−efz,27−ghz,z)(x,y,z)=(23−efz,27−ghz,z)","completion":"Заавар: AX=B⇒X=A−1BAX=B⇒X=A−1B байна.\nБодолт: (−6−5−7−6)−1=16⋅6−(−5)⋅(−7)(6576)=(6576)(−6−5−7−6)−1=16⋅6−(−5)⋅(−7)(6576)=(6576) тул\n(xy)=(6576)(3−7z1+z)=(6⋅(3−7z)+5⋅(1+z)7⋅(3−7z)+6⋅(1+z))=(23−37z27−42z)(xy)=(6576)(3−7z1+z)=(6⋅(3−7z)+5⋅(1+z)7⋅(3−7z)+6⋅(1+z))=(23−37z27−42z)\nбайна. Иймд тэгшитгэлийн ерөнхий шийд (x,y,z)=(23−37z,27−42z,z)(x,y,z)=(23−37z,27−42z,z) байна."} +{"prompt":"|1−x|≤3 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: |1−x|=|x−1| байна. Мөн |a|≤b⇔−b≤a≤b байна.\nБодолт: |1−x|≤3⇔|x−1|≤3⇔−3≤x−1≤3 тул\n−2≤x≤4 буюу x∈[−2;4] байна."} +{"prompt":"|20x+12|≤2012 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: |a|−3.85+3=−0.85 тул шийд болохгүй. x=−0.5 нь |��1+1|+|−1.5+1|=0.5≤−2.5+3=0.5 тул шийд болно. x=0 нь |0+1|+|0+2|=3≤0+3=3 тул мөн шийд болно. Хариултууд дотроос −0.75 ороогүй, −0.5, 0 орсон муж нь зөвхөн [−12;+∞[ тул зөв хариулт болно."} +{"prompt":"|2x+3|≤4+|x| тэнцэтгэл бишийн шийдийн интервалын уртыг ол.","completion":"Заавар: [a,b]; [a,b[; ]a,b]; ]a,b[ интервалуудын урт b−a юм.\nБодолт: 2x+3=0⇒x=−1.5 тул x<−1.5; −1.5≤x<0; 0≤x гэсэн 3 мужид тэнцэтгэл бишийг бодъё.\n\nа) x<−1.5 үед 2x+3<0,x<0 тул |2x+3|≤4+|x|⇔−2x−3≤4−x⇔−7≤x. Иймд энэ мужид шийд нь [−7;−1.5[.\n\nб) −1.5≤x<0 үед 2x+3≥0,x<0 тул |2x+3|≤4+|x|⇔2x+3≤4−x⇔x<13. Иймд шийд нь муж бүхлээрээ [−1.5;0[.\n\nв) 0≤x үед 2x+3≥0,x≥0 тул |2x+3|≤4+|x|⇔2x+3≤4+x⇔x≤1 буюу байна. Иймд энэ мужид шийд нь [0;1].\n\nШийдүүдээ нэгтгэвэл [−7;1] байна. Иймд урт нь |1−(−7)|=8."} +{"prompt":"|2x+4|+|x−1|=10 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тохирох шийдийг шууд шалгах замаар ол. Хялбар рационал тэгшитгэлийн хувьд өгөгдсөн шийдийг шалгах нь ихэнхдээ хялбархан байдаг.\n\nБодит тооны абсолют хэмжээ буюу модулийн тодорхойлолт нь \n|x|={x,x≥0−x,x<0\nболохыг санаарай!\nБодолт: 2⋅X.5=2X±1 бүхэл тоо тул B, C, D, E хариултууд шийд болохгүй. Учир нь эдгээр тохиолдлуудад |2x+1| нь бүхэл тоо гарах боловч |x−1| нь бүхэл тоо биш. Бүхэл ба бүхэл биш 2 тооны нийлбэр бүхэл 10-тай тэнцэх боломжгүй. Жишээ нь |2⋅(−4.5)+1|=|−9+1|=|−8|=8, |(−4.5)−1|=|−5.5|=5.5."} +{"prompt":"|2x+4|+|x−1|=10 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: x<−2, −2≤x<1, 1≤x завсруудад хувааж бод.\nБодолт: x<−2 үед |2x+4|=−2x−4, |x−1|=−x+1 тул\n−2x−4−x+1=10⇔−3x=13⇒x=−133\nба −133<−2 тул шийд болно.\n\n−2≤x<1 үед |2x+4|=2x+4, |x−1|=−x+1 тул\n2x+4−x+1=10⇔x=5\nболовч −2≤x<1 мужид орохгүй тул шийд болохгүй.\n\n1≤x үед |2x+4|=2x+4, |x−1|=x−1 тул\n2x+4+x−1=10⇔3x=7⇒x=73\nба 1≤73 тул шийд болно.\n\nИймд шийдүүдийн нийлбэр нь −133+73=−2 байна."} +{"prompt":"|2x+5|=|x|+2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Энэ бодлогын хувьд хариуг нь шалгаж зөв хариуг олох боломжтой.\nБодолт: 2x+5=0⇒x=−2.5 байна.\n x<−2.5 үед 2x+5<0,x<0 байна. Иймд |2x+5|=|x|+2⇒−2x−5=−x+2⇒x=−7. −7<−2.5 тул шийд болно.\n −2.5≤x<0 үед 2x+5≥0,x<0 байна. Иймд |2x+5|=|x|+2⇒2x+5=−x+2⇒x=−1. −2.5≤−1<0 тул шийд болно.\n 0≤x үед 2x+5≥0,x≥0 байна. Иймд |2x+5|=|x|+2⇒2x+5=x+2⇒x=−3. −3<0 тул шийд болохгүй."} +{"prompt":"|2−1x−4|<3 тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]−∞;a[∪]bcd;+∞[\nбайна.","completion":"Заавар: |a|b⇔a<−b∨a>b\nадилтгал хувиргалтуудыг ашиглан модультай илэрхийллийг боддог.\n\na>0 (дээшээ харсан парабол) ба α<β бол\n0β, харин\na(x−α)(x−β)<0\nтэнцэтгэл бишийн шийд нь α2,|3⋅(−2)−43−(−2)|=2≤2,|3⋅0−43−0|=43<2,\n|3⋅2−43−2|=2≤2,|3⋅3−43−3|=утгагүй\nтул −3,3 шийд болохгүй бусад нь шийд болж байна. Иймд −2,0,2-ийг агуулсан −3,3 агуулаагүй хариулт буюу −2≤x≤2 нь зөв хариулт байна.\nЗаавар: |3x−43−x|≤2⇔−2≤3x−43−x≤2 гээд рационал тэнцэтгэл бишийн систем бод.\nБодолт: Тэнцэтгэл биш нь\n{−2≤3x−43−x3x−43−x≤2⇔{3x−43−x+2(3−x)3−x≥03x−43−x−2(3−x)3−x≤0⇔{3x−43−x+2(3−x)3−x≥03x−43−x−2(3−x)3−x≤0\nбуюу\n{3x−4+2(3−x)3−x≥03x−4−2(3−x)3−x≤0⇔{x+2x−3≤05(x−2)x−3≥0\nболно. Эхний тэнцэтгэл бишийн шийд нь [−2;3[, хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]−∞;2]∪]3;+∞[ ба огтлолцол нь\n[−2;2] буюу −2≤x≤2 байна."} +{"prompt":"|3x−7|<2 тэнцэтгэл биш хэчнээн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: Хэрэв a>0 бол |b|0,x<0 тул |3−2x|≤4+|x|⇔3−2x≤4−x⇔−1≤x. Иймд энэ мужид шийд нь [−1;0[.\n\nб) 0≤x<1.5 үед 3−2x>0,x≥0 тул |3−2x|≤4+|x|⇔3−2x≤4+x⇔−13−3 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"|4x+2|=6 тэгшитгэлийн шийдүүдийн үржвэрийг ол.","completion":"Заавар: b≥0 бол |a|=b⇔a=±b байна.\nБодолт: |4x+2|=6⇔4x+2=±6 буюу\nx1=6−24=1,x2=−6−24=−2.\nИймд x1⋅x2=−2."} +{"prompt":"|4x+3|<8 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?","completion":"Заавар: |a|0,x<0 байна. Иймд |5−2x|=|x|+2⇒5−2x=−x+2⇒x=1 1<0 биш тул шийд болохгүй.\n 0≤x<2.5 үед 5−2x>0,0≤x байна. Иймд |5−2x|=|x|+2⇒5−2x=x+2⇒x=1 0≤1<2.5 тул шийд болно.\n 2.5≤x үед 5−2x≤0,x≥0 байна. Иймд |5−2x|=|x|+2⇒2x−5=x+2⇒x=7. 2.5<7 тул шийд болно."} +{"prompt":"|6x−5|≤8 тэнцэтгэл бишийн шийд нь","completion":"Заавар: |a|≤b⇔−b≤a≤b\nБодолт: |6x−5|≤8⇔−8≤6x−5≤8⇔\n−3≤6x≤13⇔−12≤x≤136"} +{"prompt":"|log3x−1|<2|log3⁡x−1|<2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: |f(x)|01−q>0 байна. Иймд \n11−q<34⇔4<3−3q⇔q<−1311−q<34⇔4<3−3q⇔q<−13 байна. Мөн |q|<1⇔−11бол x∈]−∞;−a+2a]"} +{"prompt":"|x+2|=5|x+2|=5 тэгшитгэлийг аналитик болон графикийн аргаар бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: |x+2|=5⇔x+2=±5⇒x1=3|x+2|=5⇔x+2=±5⇒x1=3, x2=−7x2=−7 байна."} +{"prompt":"|x+4|≥3|x| тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж ямар урттай вэ?","completion":"Заавар: y=|x+4|, y=3|x| функцүүдийн графикийг зурж үз.\n\n[a;b] интервалын урт нь |a−b|=b−a байна.\nБодолт: \nзургаас харахад y=|x+4| функцийн график y=3|x| функцийн графикаас дээр орших хэсэг буюу |x+4|≥3|x| байх хэсэг нь [−1;2] муж байна. \n Иймд мужийн урт нь 2−(−1)=3 байна."} +{"prompt":"|x2+x|+3x−5=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариунд өгөгдсөн шийдүүд бүхэл тоонууд бөгөөд тэгшитгэлд бутархай илэрхийлэл байхгүй тул хариуг шалгахад хялбар тул хариунаас бод.\nБодолт: x=−5 үед\n|(−5)2+(−5)|+3⋅(−5)−5=|25−5|−15−5=0\nтул шийд болно.\nx=−1 үед\n|(−1)2+(−1)|+3⋅(−1)−5=−8≠0\nтул шийд болохгүй. Иймд −5 орсон −1 ороогүй цорын ганц хариулт −5;1 нь бодлогын зөв хариу болно."} +{"prompt":"|x2−1|−2x<0 тэнцэтгэл бишийн бүхэл тоон шийдүүдийг ол.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=0 нь |02−1|−2⋅0=1>0 тул шийд болохгүй.\n\nx=1 нь |12−1|−2⋅1=−2<0 тул шийд болно.\n\nx=2 нь |22−1|−2⋅2=−1<0 тул шийд болно.\n\nИймд зөв хариулт нь B байна.\n\nНэмэлт: Дээр бодолтыг дараах бодолттой харьцуулбал хариунаас бодох аргын давуу талыг хялбархан харж болно.\n|x2−1|−2x<0⇔|x2−1|<2x⇔\n−2x0x2−2x−1<0\nсистемийг бодвол \n\n−2+√520b>0 бол |a|=b⇔a=±b|a|=b⇔a=±b болохыг ашигла.\nБодолт: |x2−5x+4|=4⇔x2−5x+4=±4|x2−5x+4|=4⇔x2−5x+4=±4 байна. x2−5x+4=4x2−5x+4=4 бол x1=0x1=0, x2=5x2=5. x2−5x+4=−4x2−5x+4=−4 бол x2−5x+8=0x2−5x+8=0 ба D=52−4⋅1⋅8<0D=52−4⋅1⋅8<0 тул шийдгүй. Иймд хамгийн их шийд нь x=5x=5 байна."} +{"prompt":"|x2−x−6|0 бол x−1=±a тул x1=1+a, x2=1−a гэсэн 2 шийдтэй байна."} +{"prompt":"|x−1|x2−5x+6≤0 бод.","completion":"Заавар: |f(x)| илэрхийллийн утга ямагт сөрөг биш тоо байна. Хэрвээ f(x)=0 ба x нь тодорхойлогдох мужид орж байвал |f(x)|g(x)=0 болох тул |f(x)|g(x)≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд болно. Хэрвээ f(x)≠0 бол |f(x)|>0 болох тул |f(x)|g(x)≤0 байхын тулд g(x)<0 байна (бутархайн хуваарь тул g(x)≠0). Иймд\n|f(x)|g(x)≤0⇔[f(x)=0g(x)<0\nБодолт: |x−1|x2−5x+6≤0⇔[x−1=0x2−5x+6<0\nба системийн хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн шийд нь 20 байна.\nБодолт: x−1<0 тул |x−1|=−(x−1)=1−x, 3−x>0 тул |3−x|=3−x байна. Иймд\n|x−1|−|3−x|=1−x−(3−x)=−2≠1\nтул тэгшитгэл x<1 мужид шийдгүй."} +{"prompt":"|x−1|≥3 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: x−1≥0 ба x−1<0 байх шийдүүдийг тус тусд нь ол.\nБодолт: x−1≥0 үед |x−1|=x−1≥3⇒x≥4 байна.\n\nx−1<0 үед |x−1|=1−x≥3⇒x≤−2 байна.\n\nИймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь \n]−∞;−2]∪[4;+∞["} +{"prompt":"|x−2|(x2−5)log0.2(3−x)=0 тэгшитгэлийн шийдийг ол.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужаа анхаар. f(x)g(x)=0⇔{f(x)=0g(x)≠0\nБодолт: |x−2|(x2−5)log0.2(3−x)=0⇔{|x−2|(x2−5)=0log0.2(3−x)≠0⇔{[|x−2|=0x2−5=03−x≠0.20\nбайна. [|x−2|=0x2−5=0⇒x=2∨x=±√5 боловч 0.20=1 тул 3−x≠1⇒x≠2 тул x=±√5 гэсэн шийд үлдэж байна.\n\nЖич: Энэ төрлийн бодлогыг хариунаас бодох нь хялбар байдаг."} +{"prompt":"|x−2|+|x+1|>5 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x-ийн тодорхой утгуудыг шалгахад хялбархан илэрхийлэл учир хариунаас бодох арга хэрэглэе. ]−1;2[ мужаас x=0-ийг авч шалгавал\n|0−2|+|0+1|=3≯5\nтул А, B хариултууд шийд болохгүй. x=−3 нь\n|−3−2|+|−3+1|=7>5\nтул шийд болно. Иймд зөв хариулт нь C, D-ийн аль нэг нь байна. Зөв хариуг ялгахын тулд ]3;+∞[ мужаас x=4-ийг авбал\n|4−2|+|4+1|=7>5\nтул мөн л шийд болно. Иймд зөв хариулт нь D байна."} +{"prompt":"|x−2|<4 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: |x−a|1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: b>0 бол |a|>b⇔a<−b∨a>b байна.\nБодолт: |x−a|>1⇔x−a≤−1∨x−a>1⇔x∈]−∞;a−1[∪]a+1;+∞[."} +{"prompt":"|x−|x−1||=0.4 тэгшитгэлийн бүх шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: x−|x−1|=±0.4⇔|x−1|=x∓0.4 гээд бод.\nБодолт: |x−1|=x∓0.4⇒(x−1)2=(x∓0.4)2⇔(2∓0.8)x=0.84 болох ба эндээс x1=0.7, x2=0.3 гэсэн шийдүүд гарна. Эдгээрийг анхны тэгшитгэлд орлуулж хоёулаа шийд болохыг шалгаж болно. Иймд нийлбэр нь 0.7+0.3=1 байна."} +{"prompt":"|x−|x−1||=0.6 тэгшитгэлийн бүх шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: x−|x−1|=±0.6⇔|x−1|=x∓0.6 гээд бод.\nБодолт: |x−1|=x∓0.6⇒(x−1)2=(x∓0.6)2⇔(2∓1.2)x=0.64 болох ба эндээс x1=0.8, x2=0.2 гэсэн шийдүүд гарна. Эдгээрийг анхны тэгшитгэлд орлуулж хоёулаа шийд болохыг шалгаж болно. Иймд нийлбэр нь 0.8+0.2=1 байна."} +{"prompt":"|x−|x−1||=2 тэгшитгэлийн бүх шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: x≥1 үед |x−1|=x−1 тул\n|x−|x−1||=|x−(x−1)|=1≠2\nбуюу шийдгүй байна.\nБодолт: x≥1 үед тэнцэтгэл биш шийдгүй тул x<1 байна. Энэ үед\n|x−|x−1||=|x−(1−x)|=|2x−1|\nбайна. |2x−1|=2⇔2x−1=±2 болно. 2x−1=2⇒x=1.5 ба 2x−1=−2⇒x=−0.5 байна. x<1 тул зөвхөн x=−0.5 шийдтэй. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь −0.5 байна."} +{"prompt":"|x−|x−|x−2|||>2 тэнцэтгэл бишийг бодьё.","completion":"Заавар: |a|={a,a≥0\\a,a<0 тодорхойлолтыг ашигла.\nБодолт: x≥2 үед |x−|x−|x−2|||=|x−|x−x+2||=|x−2|=x−2>2 болох x>4 гэсэн шийдтэй. \n 1≤x<2 үед |x−|x−|x−2|||=|x−|2x−2||=|x−(2x−2)|=|2−x|=x−2>2⇒x>4 болох тул шийдгүй. \n x<1 үед |3x−2|>2 болох ба x>23 бол 3x−2>2⇒x>43 тул шийдгүй, x≤32 бол |3x−2|=2−3x<2⇒x<0 гэсэн шийдтэй байна."} +{"prompt":"||2x+4|−7|<9 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: ||2x+4|−7|<9⇔−9<|2x+4|−7<9⇔|2x+4|<16 байна. Учир нь\n−9<|2x+4|−7\nтэнцэтгэл биш ямагт биелэнэ.\nБодолт: Заавар ёсоор\n||2x+4|−7|<9⇔|2x+4|<16\nбайна. Эндээс −16<2x+4<16⇔−20<2x<12⇔−100D(φ):x2−19x+78>0\nбайна. x2−19x+78=0x2−19x+78=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x3,4=19±√192−4⋅782=19±72x3,4=19±192−4⋅782=19±72 тул x3=13x3=13, x4=6x4=6 байна. Иймд \nx2−19x+78>0⇔x<6∨x>13x2−19x+78>0⇔x<6∨x>13\nбайна. 4<√10+√24<10+2, √97+√26<1597+26<15 тул x1=5x1=5, x2=14x2=14 байна. Ийм язгууруудтай квадрат гурван гишүүнт нь f(x)=(x−5)(x−14)=x2−19x+70f(x)=(x−5)(x−14)=x2−19x+70 байна."} +{"prompt":"Ёроолдоо нүхтэй цилиндр сав босоо байрлалтай байв. Саванд байсан усны тал нь 5 минутанд гоожсон гэвэл уг савны ус ямар хугацаанд гоожиж дуусах вэ?","completion":"Заавар: H′(x)=cH(x)H′(x)=cH(x), H(0)=1H(0)=1, H(5)=0.5H(5)=0.5.\nБодолт:"} +{"prompt":"Автобус 3 цаг явах замыг ачааны тэрэг 4 цаг явах ба тэдгээрийн хурдны зөрөө 15 км\/цаг бол автобусны хурдыг ол.","completion":"Заавар: Автобусны хурд v км\/ц гэвэл ачааны тэрэгний хурд v−15 км\/ц байна.\nБодолт: S=3v=4(v−15)\nЭндээс 3v=4v−60)⇒v=60 буюу автобусны хурд 60 км\/ц болов."} +{"prompt":"Автобусны тасалбарын үнэ 400 төгрөг байснаа 500 төгрөг болсон бол хэдэн хувиар өссөн бэ?","completion":"Заавар: xx хувиар үнэ өсөхөд шинэ үнэ нь (1+x100)⋅400=400+4x(1+x100)⋅400=400+4x байна.\nБодолт: 400+4x=500⇒x=25400+4x=500⇒x=25\nхувиар өсчээ."} +{"prompt":"Автомашин замынхаа 35 хэсгийг 45 км\/цаг хурдтай, нийт замд 50 км\/цаг дундаж хурдаар явсан бол замын 25 хэсгийг ямар хурдаар явсан бэ?","completion":"Заавар: S1=v1t1, S2=v2t1, v=St1+t2 ба v1=45, v=50, S1=35S, S2=25S байна.\nБодолт: t1=S1v1=3S5⋅45=S75, t2=S2v2=2S5v2 тул\nv=St1+t2⇔50=SS75+2S5v2⇔150=175+25v2\nболно. Эндээс v2=25(150−175)=2110−115=2130=60\nбайна."} +{"prompt":"Автомашин замынхаа хагасыг 40 км\/цаг хурдтай, үлдэх хагасыг 60 км\/цаг хурдтай явсан бол нийт замд ямар дундаж хурдаар явсан бэ?","completion":"Заавар: Нийт замыг S гэвэл нийт замыг ямар хугацаанд явсан бэ?\nБодолт: Замын эхний хагасыг t1=S240 цагт, үлдэх хагасыг t2=S260 цагт туулсан тул нийт хугацаа нь t=t1+t2=S80+S120 цаг байна. Иймд v=St=SS80+S120=80⋅120120+80=48 км\/цаг байна."} +{"prompt":"Автомашин засмал замаар 60 км\/цаг хурдтай 2 цаг явсны дараа шороон замаар орон 40 км\/цаг хурдтайгаар 3 цаг явж очих газраа хүрчээ. Нийт замын туршид ямар дундаж хурдтай явсан бэ?","completion":"Заавар: Нийт явсан зам ба явсан хугацааг ол. Дундаж хурд=Нийт замХугацаа байна.\nБодолт: Нийт явсан зам нь 60⋅2+40⋅3=240 км. Хугацаа нь 2+3=5 цаг тул дундаж хурд нь 2405=48 км\/цаг байна."} +{"prompt":"Автомашин засмал замаар 60 км\/цаг хурдтай 3 цаг явсан дараа шороон замаар орон 40 км\/цаг хурдтайгаар 2 цаг явж очих газраа хүрчээ. Нийт замын туршид ямар дундаж хурдтай явсан бэ?","completion":"Заавар: Нийт явсан зам ба явсан хугацааг ол. Дундаж хурд=Нийт замХугацааДундаж хурд=Нийт замХугацаа байна.\nБодолт: Нийт явсан зам нь 60⋅3+40⋅2=26060⋅3+40⋅2=260 км. Хугацаа нь 2+3=52+3=5 цаг тул дундаж хурд нь 2605=522605=52 км\/цаг байна."} +{"prompt":"Агуулахад цагаан, улаан, цэнхэр 3 өнгийн багц дарцаг байв (багц бүрт нэг өнгийн дарцаг байгаа, бөгөөд ижил өнцгийн багцад ижил тоотой дарцаг байгаа). Спорт тоглоомонд зориулж 1 цагаан, 1 улаан, 4 цэнхэр багц авахад (хүүхэд бүрт нэг дарцаг өгөхөөр) нийт дарцагны тоо хүүхдийн тооноос 2-оор илүү болов. Хэрвээ цагаанаас 4 багц, цэнхрээс 1 багц авсан бол 55 хүүхдэд дарцаг хүрэлцэхгүй ба улаанаас 4 багц, цэнхрээс 1 багц авсан бол 39 хүүхдэд хүрэлцэхгүй байжээ. Түүнчлэн өнгө бүрээс 3 багц авахад нийт хүүхдэд хүрэлцэхгүй гэдэг нь мэдэгдэж байсан бол нийт хэдэн хүүхэд байсан бэ?","completion":"Заавар: ⎧⎪⎨⎪⎩x+y+4z=n+24x+z=n−554y+z=n−39 {x+y+4z=n+24x+z=n−554y+z=n−39 \nтэгшитгэлийн шийд ба\n⎧⎪⎨⎪⎩x≥1,y≥1,z≥13x+3y+3z0 бол logab+logac=logabc байна.\nБодолт: lg(x+2), lg(x+4), lg(2x+5)-ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болохын тулд\nlg(x+2)+log(2x+5)=2lg(x+4)⇔\n(x+2)(2x+5)=(x+4)2⇔x2+x−6=0\nбайна. Иймд x1=2, x2=−3 болно. x2=−3 нь нь тодорхойлогдох мужид орохгүй бол шийд болж чадахгүй. Иймд x=2 үед lg4, lg6, lg9 гэсэн арифметик прогресс үүсч байна."} +{"prompt":"Анги 10 хүү, 15 охинтой байсан ба биологийн шалгалтын дундаж оноо 90 байв. Охидын дундаж оноо xx байсан бол хөвгүүдийн дундаж оноог ол.","completion":"Заавар: Хөвгүүдийн дундаж оноог yy гэвэл хөвгүүдийн авсан нийт оноо 10y10y, охидын авсан нийт оноо 15x15x, нийт сурагчдын авсан оноо 10y+15x10y+15x байна.\nБодолт: Нийт сурагчдын авсан оноо 25⋅90=225025⋅90=2250 тул 10y+15x=2250⇒y=225−32x10y+15x=2250⇒y=225−32x\nЗаавар: Дундаж оноо нь сурагчдын нийт оноог тухайн сурагчдын тоонд хуваахад гарна.\nБодолт: Хөвгүүдийн дундаж оноог yy гэе. Тэгвэл нийт оноо нь 10y+15x10y+15x байна. Иймд дундаж оноо нь 10y+15x10+15=9010y+15x10+15=90 байна. Эндээс y=225−32xy=225−32x болов."} +{"prompt":"Анги 10 хүү, 15 охинтой байсан ба физикийн шалгалтын дундаж оноо 78 байв. Хөвгүүдийн дундаж оноо xx байсан бол охидын дундаж оноог ол.","completion":"Заавар: Дундаж оноо нь сурагчдын нийт оноог тухайн сурагчдын тоонд хуваахад гарна.\nБодолт: Охидын дундаж оноог yy гэе. Тэгвэл нийт оноо нь 10x+15y10x+15y байна. Иймд дундаж оноо нь 10x+15y10+15=7810x+15y10+15=78 байна. Эндээс y=130−23xy=130−23x болов."} +{"prompt":"Анги 10 хүү, 20 охинтой бөгөөд Математик-ийн шалгалтанд авсан ангийн дундаж оноо 70 байв. Харин охидын дундаж оноог xx гэвэл хөвгүүдийн авсан дундаж оноог xx-ээр илэрхийлээрэй.","completion":"Заавар: Дундаж =НийлбэрТоонуудын тоо=НийлбэрТоонуудын тоо ба хөвгүүдийн нийлбэр оноог AA, охидын нийлбэр оноог BB гэвэл 70=A+B30,x=B2070=A+B30,x=B20 болно.\nБодолт: Хөвгүүдийн нийлбэр оноог AA, охидын нийлбэр оноог BB гэвэл 70=A+B30,x=B2070=A+B30,x=B20 болно. Хөвгүүдийн нийт оноо 2100−20x2100−20x болно. Иймд хөвгүүдийн дундаж оноо 2100−20x10=210−2x2100−20x10=210−2x"} +{"prompt":"Анги 10 хүү, 20 охинтой бөгөөд Математик-ийн шалгалтанд авсан ангийн дундаж оноо 80 байв. Харин охидын дундаж оноог xx гэвэл хөвгүүдийн авсан дундаж оноог xx-ээр илэрхийлээрэй.","completion":"Заавар: Хөвгүүдийн дундаж оноог yy гээд ангийн нийт оноог xx, yy-ээр илэрхийл.\nБодолт: Охидын нийт оноо 20x20x, хөвгүүдийн нийт оноо 10y10y тул ангийн нийт оноо 20x+10y20x+10y байна. Нөгөө талаас ангийн дундаж оноо 8080 тул нийт оноо нь 30⋅80=240030⋅80=2400 байна. Иймд\n20x+10y=2400⇒y=240−2x20x+10y=2400⇒y=240−2x"} +{"prompt":"Ангийн нийт сурагчдын 20%20% нь спортоор хичээллэдэг бөгөөд хөвгүүдийн тоо охидын тооноос 2 дахин их бол ангийн сурагчдийн тоо дараах тоонуудаас аль нь байж болох вэ?","completion":"Заавар: Ангийн нийт сурагчдын 20 хувь нь нийт сурагчдийн 1515 байна. Мөн охидын тоог xx гэвэл, хөвгүүдийн тоо 2x2x ба нийт сурагчдын тоо 3x3x байна. Иймд нийт сурагчдын тоо тоо 5 ба 3-т хуваагдана.\nБодолт: Өгөгдсөн тоонуудаас 5 ба 3-т хуваагдах тоо нь ганцхан 4545 тул ангийн нийт сурагчдын тоо 4545 л байх боломжтой."} +{"prompt":"Ангийн нийт сурагчдын 2323 нь охидууд ба хөвгүүдийн 30%30% шатар тоглодог байв. Ангийн нийт сурагчдын тоо 5050-аас хэтрэхгүй бол анги хэдэн сурагчтай вэ?","completion":"Заавар: Ангийн нийт сурагчдын тоо бүхэл тоо байна. Мөн сурагчдын 2323 ба 30%30% хэсгүүд мөн бүхэл тоо байна.\nБодолт: Ангийн нийт сурагчдын тоог nn гэвэл 2n32n3 бүхэл тоо байх тул nn тоо 33-д хуваагдана. Мөн 30%30% нь бүхэл тул n⋅10100=n10n⋅10100=n10 бүхэл тоо байна. Иймд сурагчдын тоо 3⋅10=303⋅10=30-д хуваагдана. 5050-аас хэтрэхгүй 3030-д хуваагдах натурал тоо нь зөвхан 3030 тул n=30n=30 байна."} +{"prompt":"Ангийн хүүхдүүдийн 16 нь түүхийн, 18 нь математикийн хичээлээр, 12 нь математик ба түүхийн хичээлээр ЭЕШ өгөх бол анги хамгийн цөөндөө хэдэн хүүхэдтэй вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: \nЗөвхөн математикийн шалгалт 18-12=6 хүүхэд , түүхийн шалгалт 16-12=4 хүүхэд өгөх тул ангийн шалгалт өгөх хүүхдүүд 6+4+12=22 байгаа тул анги хамгийн багадаа 22 хүхэдтэй."} +{"prompt":"Анх 1-р агуулахад 184, 2-рт 208 уут гурил байв. Өдөр бүр 1 ба 2-р агуулахаас харгалзан 8 ба 11 уутыг авав. Хэдэн өдрийн дараа агуулахуудад ижил үлдэгдэлтэй болох вэ?","completion":"Заавар: Өдөр бүр хоёр агуулахын гурилын тоо 3-аар ойртоно.\nБодолт: Хоёр агуулахын гурилын тооны зөрөө нь 208−184=24208−184=24 ба өдөр бүр 33-аар багасах тул 243=8243=8 өдрийн дараа ижил үлдэгдэлтэй болно."} +{"prompt":"Анх I агуулахад 40т, II агуулахад 48т хүдэр байв. Өдөр бүр I, II агуулахаас харгалзан 0,8т, 1,2т хүдэр зөөв. Хэдэн өдрийн дараа 2 агуулах ижил үлдэгдэлтэй болох вэ?","completion":"Заавар: 40−0.8n=48−1.2n40−0.8n=48−1.2n.\nБодолт: 40−0.8n=48−1.2n⇔1.2n−0.8n=48−40⇔0.4n=8⇒n=240−0.8n=48−1.2n⇔1.2n−0.8n=48−40⇔0.4n=8⇒n=2."} +{"prompt":"Арифметик прогресс үүсгэх гурван тооны нийлбэр 189. Хэрвээ I гишүүн III гишүүнээс 2 дахин их бол эдгээр тоонуудын багыг нь ол.","completion":"Заавар: a1, a1+d, a1+2d гэвэл 3a1+3d=189, a1=2(a1+2d) байна. Гурван гишүүнээ олоод багыг нь ол.\nБодолт: {3a1+3d=189a1=2(a1+2d) байна.\na1=2(a1+2d)⇒a1=−4d-г эхний тэгшитгэлд орлуулбал 3(−4d)+3d=189⇒−9d=189⇒d=−21 болно. Иймд a1=−4⋅(−21)=84. Иймд a2=84+(−21)=63, a3=63+(−21)=42 байна. Эдгээрийн хамгийн бага нь 42 байна."} +{"prompt":"Арифметик прогресс үүсгэх гурван тооны нийлбэр 30 ба түүний дундах тооноос 4-ийг хасвал геометр прогресс үүсгэх гурван тоо аль вэ?","completion":"Заавар: Ийм төрлийн бодлогыг хариунаас бодвол хялбар бөгөөд үр дүнтэй байдаг.\nБодолт: 2, 10, 18 нь нийлбэр нь 30 бөгөөд 8 ялгавартай арифметик прогресс үүсгэнэ. Мөн 2, 6, 18 нь 3 хуваарьтай геометр прогрессийн дараалсан 3 гишүүн болох тул зөв хариулт болж байна."} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 1 ба 3-р гишүүн, геометр прогрессийн 1 ба 3-р гишүүнтэй харгалзан тэнцүү. Арифметик прогрессийн 1-р гишүүн 4, түүний 2-р гишүүн геометр прогрессийн 2-р гишүүнээс 32-оор илүү, энэ хоёр прогрессийн бүх гишүүд эерэг бол арифметик прогрессийн ялгаврыг ол.","completion":"Заавар: Гишүүдийг a1 ба d-ээр илэрхийл.\nБодолт: b1=a1=4, b2=4+d−32, b3=4+2d. b22=b1⋅b3 тул (d−28)2=4(4+2d)"} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 1-р гишүүн a3, 3-р гишүүн a2 бол 9-р гишүүн аль нь вэ?","completion":"Заавар: a3−a1=2d ба a9=a1+8d байна.\nБодолт: a9=a1+8d=a1+4(a3−a1)=4a3−3a1=4⋅a2−3⋅a3=a"} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 21-р гишүүн 20, 2017-р гишүүн нь 1018 бол ялгавар нь аль тоо вэ?","completion":"Заавар: d=an−akn−k\nБодолт: d=a2017−a212017−21=1018−202017−21=9981996=0.5"} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 3 ба 7 дугаар гишүүдийн нийлбэр нь 24-тэй тэнцүү, харин тэдгээрийн үржвэр нь 128-тай тэнцүү бол прогрессийн ялгаварыг ол.","completion":"Заавар: 9.1. Дарааллын (арифметик, геометр прогресс, бусад) ерөнхий гишүүний томьёог бичдэг, рекуррент томьёог таньдаг, шалгадаг.\nБодолт: Бодлогын нөхцөлөөс a3+a7=2a1+8d=24 буюу a1+4d=12, a3×a7=(a1+2d)×(a1+6d)=128 байна. Эндээс\n(12−2d)(12+2d)=128⇔144−4d2=128⇔d2=4\nтул d=±2 байна."} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 32-р гишүүн 13, 67-р гишүүн 20-тэй тэнцүү бол 2017 дугаар гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: an−ak=(n−k)d ашигла.\nБодолт: a67−a32=20−13=7=35⋅d тул d=0.2 байна. Түүнчлэн\na2017−a32=1985d=1985⋅0.2\nтул\na2017=13+397=410"} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 37-р гишүүн 80, 2017-р гишүүн нь 773 бол ялгавар нь аль тоо вэ?","completion":"Заавар: d=an−akn−k\nБодолт: d=a2017−a372017−37=773−802017−37=6931980=0.35"} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 52-р гишүүн 17, 62-р гишүүн 19-тэй тэнцүү бол 2017 дугаар гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: an−ak=(n−k)d ашигла.\nБодолт: a62−a52=19−17=2=10⋅d тул d=0.2 байна. Түүнчлэн\na2017−a52=1965d=1965⋅0.2\nтул\na2017=17+393=410"} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн 9-р гишүүн 2 бол эхний 17 гишүүний нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Хэрэв m+n2∈N бол арифметик прогрессийн хувьд am+an2=am+n2 байдаг. Мөн Sn=a1+an2⋅n байдаг.\nБодолт: S17=a1+a172⋅17=a1+172⋅17=a9⋅17=2⋅17=34."} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн Sn=4n(n−2) бол an-ийг ол.","completion":"Заавар: an=Sn−Sn−1 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"Арифметик прогрессийн a11=11 бол S21=?","completion":"Заавар: Арифметик прогрессийн хувьд k0 болохыг тооцвол p=5, q=5 болно. Иймд p+q=10 байна."} +{"prompt":"Арифметик прогрессын 5-р гишүүн 16 бол эхний 9 гишүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Арифметик прогрессийн хувьд an−k+an+k=2an байдаг.\n\na1+a9=2a5=32. Иймд S9=a1+a92⋅9=16⋅9=144."} +{"prompt":"Арифметик прогрессын 7-р гишүүн 12 бол эхний 13 гишүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Арифметик прогрессийн хувьд an−k+an+k=2an байдаг.\n\na1+a13=2a7=24. Иймд S13=a1+a132⋅13=12⋅13=156."} +{"prompt":"Арифметик прогрессын хувьд:","completion":"Заавар:\nБодолт: an=a1+(n−1)⋅d тул a10=3+9⋅5=48, a11=a10+3=51\n d=a12−a712−7=31−115=4 байна. a7=a1+6⋅d тул a1=a7−6⋅d=−13 болно. a100=a1+99⋅d=−13+396=383,an=−13+4(n−1)=4n−17 байна.\n S30=a1+a302⋅30 тул a30=17 байна.\n d=a30−a129=17−(−2)29=1929\n a1+a5=a2+a4=a3+a3=2a3 тул a1+a3+a5=3a3=−12 буюу a3=−4,a1+a5=−8 болно.\n\na1⋅a3⋅a5=a1⋅a5⋅(−4)=80 тул {a1+a5=−8a1⋅a5=−20\nИймд {a1=−10a5=2 эсвэл\n{a1=2a5=−10 болно. Эндээс (a1,d)=(−10,6) эсвэл (a1,d)=(2,−6) байна."} +{"prompt":"Ах дүү гурвын нас геометрийн прогресс үүсгэж байв. Тэд хэсэг зоосыг өөрсдийн настай пропорционалаар хувааж авчээ. Хэрвээ үүнийг гурван жилийн дараа хийсэн бол отгон дүү нь том ахаасаа насаар 2 дахин залуу болсон байх бөгөөд отгон дүү нь одоогийнхоос 105 зоос, дунд дүү нь 15 зоос илүү авахаар байжээ. Том ах нь одоо хэдэн настай вэ?","completion":"Заавар: Ах дүү гурвын нас бүхэл тоо болохыг ашиглан хариунаас бод.\nБодолт: 3 жилийн дараа том ахын насны хагас нь отгон дүүгийн нас болох тул одоогийн нас нь сондгой тоо байх ёстой. Иймд 25 эсвэл 27 гэсэн сонголт үлдэж байна. Хэрвээ 25 бол гурван жилийн дараа 28 настай байх тул отгон дүү нь 3 жилийн дараа 14-тэй буюу одоогийн нас нь 11 болно. Гэтэл дунд дүүгийн одоогийн нас нь √11⋅25=5√1111⋅25=511 буюу бүхэл тоо байж чадахгүйд хүрч байна. Иймд зөвхөн 27 гэсэн сонголт үлдэж байна. Энэ үед ах дүүсийн нас 12, 18, 27 ба нийт зоосны тоо 6270 байна.\n\nЭнэ бодлогыг зоосны тоо nn, бага дүүгийн нас bb, прогрессийн ноогдвор qq гээд\n⎧⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎩bq2+3b+3=2(b+3)nb+bq+bq2+9−bnb+bq+bq2=105(bq+3)nb+bq+bq2+9−bqnb+bq+bq2=15{bq2+3b+3=2(b+3)nb+bq+bq2+9−bnb+bq+bq2=105(bq+3)nb+bq+bq2+9−bqnb+bq+bq2=15\nсистем тэгшитгэл зохиож бодож болно."} +{"prompt":"Ачааны галт тэрэг 8 цаг явах замыг суудлын галт тэрэг 6 цаг явах ба тэдгээрийн хурдны зөрөө 15 км\/цаг бол ачааны галт тэрэгний хурдыг ол.","completion":"Заавар: S=8v1=6v2, v2−v1=15 бол v1 хэдтэй тэнцүү вэ?\nБодолт: {8v1=6v2v2−v1=15⇒v2=15+v1⇒8v1=6(v1+15)\nтул v1=45 км\/цаг байна."} +{"prompt":"Ачааны галт тэрэг A хотоос B хот хүрэх замын дунд очоод 30 минут саатжээ. Галт тэрэг B хотод хугацаандаа амжиж очихын тулд хурдаа 5 км\/цаг-аар нэмэгдүүлж дахин 3 цаг яваад B хотод хүрчээ. Галт тэрэг анх ямар хурдаар явахаар төлөвлөсөн бэ?","completion":"Заавар: 30 минут явах замаа 5 км\/цаг хурдаар 3 цаг ��вна.\nБодолт: 30 минут явах замаа 5 км\/цаг хурдаар 3 цаг явах тул 12 цагт 5⋅3=15 км явахаар төлөвлөж байжээ. Иймд 30 км\/цаг хурдтай явахаар төлөвлөж байжээ."} +{"prompt":"Ачигч 24 метр зайд байгаа агуулахаас дэлгүүрт 20 ширхэг шуудайтай гурил зөөжээ. Тэр ачаагүй үедээ 2 м\/с, нэг шуудай гурил үүрсэн үедээ a.ba.b м\/с хурдтай явдаг бол бүх гурилыг 9 минут 20 секундэд зөөнө. (ачигч нэг удаад нэг л шуудайтай гурил үүрэх ба анх дэлгүүрээс гарсан гэж тооц)","completion":"Заавар: 24 м зайг ачаатай 20 удаа, мөнанх дэлгүүрээс гарсан тул ачаагүй үедээ 20 мөн адил удаа явна. Тус бүрд нь ямар хугацаа зарцуулах вэ? Хугацааг секундэд шилжүүлж бодоорой.\nБодолт: 24 м зайг ачаатай 20 удаа явахдаа 24⋅20v24⋅20v секунд, ачаагүй 20 удаа явахдаа 24⋅202=24024⋅202=240 секунд зарцуулна. Нийт 9⋅60+20=5609⋅60+20=560 секунд зарцуулсан тул\n480v+240=560⇔v=480560−240=1.5 м\/c480v+240=560⇔v=480560−240=1.5 м\/c\nхурдтай явжээ."} +{"prompt":"Аялагч завиар урсгал сөрж 10 км, урсгал дагаж 18 км явахдаа 4 цаг зарцуулав. Завины тогтмол усанд явах хурд 7 км\/цаг бол голын урсгалын хурдыг ол.","completion":"Заавар: Урсгалын хурд v км\/цаг гэвэл урсгал сөрөх хурд нь 7−v км\/цаг, урсгал дагах хурд нь 7+v км\/цаг байна.\n\nМөн урсгал сөрж явсан хугацааг t1, урсгал дагаж явсан хугацааг t2 гэвэл t1+t2=4 байна.\nБодолт: t1=107−v цаг, t2=187+v цаг тул\n107−v+187+v=4⇒70+10v+126−18v49−v2=4\nболно. Эндээс 4v2−8v=0 болох ба урсгалын хурд тэг биш тул v=2 болно."} +{"prompt":"Банк сар бүр хадгаламжинд байгаа мөнгөний 2 хувийг дээр нь нэмж хийдэг байв. Хэрвээ банкинд 25000 төгрөг хийвэл хэдэн сарын дараа 26010 болох вэ?","completion":"Заавар: Сарын aa хувийн хүүтэй, хүүгээс хүү тооцох хадгаламжинд хийсэн мөнгө nn сарын дараа (1+a100)n(1+a100)n дахин өсдөг.\nБодолт: 25000⋅(1+2100)n=26010⇔1.02n=2601025000=1.040425000⋅(1+2100)n=26010⇔1.02n=2601025000=1.0404\nболно. Эндээс n=2n=2 болохыг шалгахад төвөгтэй биш."} +{"prompt":"Банкинд хадгалуулсан мөнгө жил бүрийн эцэст тогтмол 10%10%-аар өсдөг. log21.1=0.1375log2⁡1.1=0.1375 болохыг ашиглан мөнгөө ядаж 2 дахин өсгөхөд хамгийн цөөндөө хэдэн жил шаардлагатайг ол.","completion":"Заавар: Жилд 1.11.1 дахин өсөх тул nn жилд 1.1n1.1n дахин өснө.\nБодолт: 1.1n≥2⇔log21.1n≥log22⇔n≥1log21.1=10.1375=7.2(72)1.1n≥2⇔log2⁡1.1n≥log2⁡2⇔n≥1log2⁡1.1=10.1375=7.2(72). Жилийн тоо бүхэл тул 8 жил хадгалсаны эцэст мөнгө 2 дахин өссөн байна."} +{"prompt":"Банкны 1 сарын хадгаламжийн хүү 3%3% бол 500 мянган төгрөг хадгалуулахад сарын дараа хэдэн төгрөг болох вэ?","completion":"Заавар: Сарын nn хувийн хүүтэй хадгаламж нэг сарын дотор 1+n1001+n100 дахин өснө.\nБодолт: 1+3100=1.031+3100=1.03 тул 500000⋅1.03=515000500000⋅1.03=515000 төгрөг болно."} +{"prompt":"Бараа 15%15%-иар хямдарсны дараа 27200 төг үнэтэй болов. Анх ямар үнэтэй байсан бэ?","completion":"Заавар: nn тооны 100%−15%=85%100%−15%=85% хэдтэй тэнцүү вэ?\nБодолт: n100⋅85=27200⇒n=27200⋅10085=32000n100⋅85=27200⇒n=27200⋅10085=32000 төгрөг байжээ."} +{"prompt":"Барааны үнийг эхлээд 20%20%, дараа нь 15%15%, сүүлийн удаа 10%10% хямдруулахад анхныхаасаа хэдэн хувь хямдрах вэ?","completion":"Заавар: Барааны үнэ 100 төгрөг байсан бол хэдэн төгрөг болох вэ?\nБодолт: Барааны үнэ 100 төгрөг байсан гэвэл эхний удаад 100⋅(1−0.2)=80100⋅(1−0.2)=80 төгрөг, дараагийн удаад 80⋅(1−0.15)=6880⋅(1−0.15)=68 төгрөг, 3 дахь удаад\n68⋅(1−0.1)=61.268⋅(1−0.1)=61.2 төгрөг болох ба нийт 100−61.2=38.8100−61.2=38.8 төгрөгөөр хямдарна. Иймд 38.8%38.8% хямдарна."} +{"prompt":"Барааны үнэ 15%15%-иар нэмэгдсний дараа 39100 төг үнэтэй болов. Анх ямар үнэтэй байсан бэ?","completion":"Заавар: nn тооны 100%+15%=115%100%+15%=115% хэдтэй тэнцүү вэ?\nБодолт: n100⋅115=39100⇒n=39100⋅100115=34000n100⋅115=39100⇒n=39100⋅100115=34000 төгрөг байжээ."} +{"prompt":"Бат номын эхний 55 хуудсыг дугаарлаад үлдсэнийг Дорж дугаарлав. Хэрвээ Дорж нийт 2017 ширхэг цифр ашигласан бол уг ном abcabc хуудастай байжээ.","completion":"Заавар: Номын хуудасны тоо 3 оронтой тоо байна.\nБодолт: nn нь номын хуудасны тоо гэвэл нэг оронтой тоогоор 9−5=49−5=4, хоёр оронтой тоогоор 9090, гурван оронтой тоогоор n−99n−99 хуудас дугаарлах тул Доржийн ашигласан цифрийн тоо нь\n4+2⋅90+3⋅(n−99)=20174+2⋅90+3⋅(n−99)=2017\nбайна. Иймд\nn=2017−1843+99=710n=2017−1843+99=710\nхуудастай ном байжээ."} +{"prompt":"Бат нэг номыг 3-н өдөр уншив. Тэр эхний өдөр 30%30%-ийг, 2 дахь өдөр үлдсэн хуудасны 2323 хэсгийг, 3 дахь өдөр үлдсэн 14 хуудсыг уншсан бол ном хэдэн хуудастай вэ?","completion":"Заавар: 2 дахь өдөр үлдсэний 2323 хэсгийг уншсан тул үлдсэн нь 1313 буюу 3 дахь өдөр 2 дахь өдрөөс 2 дахин цөөн хуудас уншсан.\nБодолт: Эхний өдөр нийт хуудасны 30100=31030100=310 хэсгийг уншсан тул үлдсэн нь 1−310=7101−310=710 байна. Иймд II дахь өдөр үлдсэний 2323 буюу нийт хуудасны 710⋅23=715710⋅23=715 хэсгийг уншсан. Харин гурав дахь өдөр II дахиас 2 дахин бага тул нийт хуудасны 715÷2=715⋅2=730715÷2=715⋅2=730 хэсгийг уншжээ. Иймд нийт хуудасны 130130 нь 14÷7=214÷7=2. Тул нийт 30×2=6030×2=60 хуудас байжээ."} +{"prompt":"Бат нэг номыг 3-н өдөр уншив. Тэр эхний өдөр 40%40%-ийг, 2 дахь өдөр үлдсэн хуудасны 3434 хэсгийг, 3 дахь өдөр үлдсэн 12 хуудсыг уншсан бол ном хэдэн хуудастай вэ?","completion":"Заавар: 2 дахь өдөр үлдсэний 3434 хэсгийг уншсан тул үлдсэн нь 1414 буюу 3 дахь өдөр 2 дахь өдрөөс 3 дахин цөөн хуудас уншсан.\nБодолт: 3 дахь өдөр 2 дахь өдрөөс 3 дахин цөөн хуудас уншсан тул 2 дахь өдөр 3⋅12=363⋅12=36 хуудас уншсан. 2 ба 3 дахь өдөр нийт 12+36=4812+36=48 хуудас уншсан ба энэ нь нийт номын 100%−40%=60%100%−40%=60% байна. Иймд нийт 4860%⋅100%=804860%⋅100%=80 хуудастай ном байжээ."} +{"prompt":"Бат нэг номыг гурван өдөр уншив. Тэр эхний өдөр 36%36%-ийг, 2 дахь өдөр үлдсэн хуудасны 3434-ийг, 3 дахь өдөр үлдсэн 16 хуудсыг уншсан бол ном хэдэн хуудастай вэ?","completion":"Заавар: Гурав дахь өдөр нийт номны хэдэн хэсэг үлдсэнийг эхлээд ол.\nБодолт: 3 дахь өдөр үлдсэн хуудасны 1414 хэсэг үлдсэн байсан тул 2 дахь өдөр 4⋅16=644⋅16=64 хуудас үлдсэн байжээ. Эхний өдөр 36%36%-ийг уншсан тул 2 дахь өдөр нь 100%−36%=64%100%−36%=64% үлдсэн байгаа. Иймд 64%64% нь 64 хуудас буюу 1%1% нь 1 хуудас болно. Эндээс 100%100% нь 100100 хуудас байна.\nБодолт: 3 дахь өдөр үлдсэн хуудасны 1414 хэсэг үлдсэн байсан тул 2 дахь өдөр 4⋅16=644⋅16=64 хуудас үлдсэн байжээ. Эхний өдөр 36%36%-ийг уншсан тул 2 дахь өдөр нь 100%−36%=64%100%−36%=64% үлдсэн байгаа. Иймд 6464 ном 64%64% буюу нэг хуудас 1%1% болно. Эндээс 100%100% нь буюу ном 100100 хуудастай."} +{"prompt":"Бат, Болд хоёр нэг ижил тоог харгалзан 8 ба 9-д үлдэгдэлтэй хуваажээ. Батын гаргасан н��огдвор дээр Болдын гаргасан үлдэгдлийг нэмэхэд 13 гарчээ. Бат ямар үлдэгдэл гаргасан бэ.","completion":"Заавар:\nБодолт: n=8k1+r1=9k2+r2n=8k1+r1=9k2+r2, k1+r2=13k1+r2=13 гэе. Эндээс 8k1+r1=9k2+13−k1⇒r1=9(k2−k1+1)+48k1+r1=9k2+13−k1⇒r1=9(k2−k1+1)+4. 9-д хуваахад 4 үлдэгдэл өгдөг 8-аас бага эерэг бүхэл тоо зөвхөн 4 байх тул r1=4r1=4."} +{"prompt":"Бат, Цэцэг хоёр холын зайн гүйлтийн тэмцээнд оролцжээ. Бат 10 км\/ц, Цэцэг 8 км\/ц хурдаар гүйдэг. Хэрэв тэд нэгэн зэрэг гараанаас гарсан бол хэдэн цагийн дараа хоорондох зай нь 6 км болох вэ?","completion":"Заавар: 6.1. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем шугаман зохиодог, шийдийг шалгадаг, тэмдэглэдэг.\nБодолт: Цагт зай нь 2 км-ээр ихсэнэ. 6\/2=3 цагийн дараа хоорондой зай нь 6 км болно."} +{"prompt":"Бие 10 минутын дотор 100∘100∘-аас 60∘60∘ болж хөрөв. Энэ үед орчны температур 20∘20∘ байсан гэвэл ямар хугацааны дараа биеийн температур 25∘25∘ болох вэ?","completion":"Заавар: T′(t)=c(T(t)−20∘)T′(t)=c(T(t)−20∘), T(0)=100∘T(0)=100∘, T(10)=60∘T(10)=60∘.\nБодолт:"} +{"prompt":"Бутархайн хуваарь хүртвэрээс 35213521-ээр их. Хураасны дараа үүссэн бутархай 411411-тэй тэнцэнэ. Хураахын өмнө ямар бутархай байсан бэ?","completion":"Заавар: Хуваарь нь хүртвэрээс 35213521-ээр их бутархай нь nn+3521nn+3521 хэлбэртэй байна.\nБодолт: nn+3521=411⇒11n=4n+4⋅3521⇒n=4⋅352111−4=4⋅503=2012nn+3521=411⇒11n=4n+4⋅3521⇒n=4⋅352111−4=4⋅503=2012"} +{"prompt":"Буурах геометр прогрессийн хувьд S3=13S3=13, b21+b22+b23=91b12+b22+b32=91 бол bnbn-ийг ол.","completion":"Заавар: b2nbn2 нь b21b12 эхнийг гишүнтэй, q2q2 ноогдвортой геометр прогресс.\nБодолт: S3=b1(q3−1)q−1=13⇒b1=13(q−1)q3−1S3=b1(q3−1)q−1=13⇒b1=13(q−1)q3−1,\nb21+b22+b23=b22(q6−1)q2−1=132(q−1)2(q3−1)2⋅q6−1q2−1=91b12+b22+b32=b22(q6−1)q2−1=132(q−1)2(q3−1)2⋅q6−1q2−1=91\n(q−1)2(q3−1)2⋅q6−1q2−1=(q−1)2(q3−1)(q3−1)⋅(q3−1)(q3+1)(q−1)(q+1)=q−1q3−1⋅q3+1q+1=1q2+q+1⋅(q2−q+1)(q−1)2(q3−1)2⋅q6−1q2−1=(q−1)2(q3−1)(q3−1)⋅(q3−1)(q3+1)(q−1)(q+1)=q−1q3−1⋅q3+1q+1=1q2+q+1⋅(q2−q+1)\nтул 132(q2−q+1)q2+q+1=91⇒13(q2−q+1)=7(q2+q+1)132(q2−q+1)q2+q+1=91⇒13(q2−q+1)=7(q2+q+1) буюу 3q2−10q+3=03q2−10q+3=0 болно. Буурах геометр прогресс тул 00q>0 тул q=3q=3 байна. Иймд b1+b1⋅3=44b1+b1⋅3=44 болох ба эндээс b1=11b1=11."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн 1 ба 5 дугаар гишүүдийн үржвэр нь 12. Хоёр дугаар гишүүнийг дөрөв дүгээр гишүүнд хуваахад 3 гарна. Прогрессийн хоёр дугаар гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: 9.1. Дарааллын (арифметик, геометр прогресс, бусад) ерөнхий гишүүний томьёог бичдэг, рекуррент томьёог таньдаг, шалгадаг.\nБодолт: Бодлогын нөхцөлөөс b1×b1q4=12b1×b1q4=12, b2b4=1q2=3b2b4=1q2=3 байна. Эндээс b22=b21q2=12q2=36b22=b12q2=12q2=36 тул b2=b1q=±√36=±6b2=b1q=±36=±6."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн 1-р гишүүн 3√xx3, 3-р гишүүн √xx бол 9-р гишүүн аль нь вэ?","completion":"Заавар: b3=b1q2⇒q2=b3b1b3=b1q2⇒q2=b3b1 ба b9=b1⋅q8b9=b1⋅q8 байна.\nБодолт: q2=√x3√x=x12−13=x16q2=xx3=x12−13=x16 байна. b9=b1⋅q8=b1⋅(q2)4=3√x⋅(x16)4=x13⋅x46=x13+23=xb9=b1⋅q8=b1⋅(q2)4=x3⋅(x16)4=x13⋅x46=x13+23=x"} +{"prompt":"Геометр прогрессийн b3=2b3=2, b6=16b6=16 бол b1=?b1=?","completion":"Заавар: bn+k=bn⋅qkbn+k=bn⋅qk\nБодолт: b6=b3+3=b3⋅q3⇒16=2⋅q3⇒q=2b6=b3+3=b3⋅q3⇒16=2⋅q3⇒q=2. b1=b3q2=222=12b1=b3q2=222=12 байна."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн ерөнхий гишүүн bn=3⋅2nbn=3⋅2n томьёогоор өгөгдсөн бол түүний эхний 10 гишүүний нийлбэр аль вэ?","completion":"Заавар: Sn=b1(qn−1)q−1Sn=b1(qn−1)q−1 ашигла.\nБодолт: b1=3⋅21=6b1=3⋅21=6 ба q=2q=2 тул\nS10=6⋅(210−1)2−1=6⋅1023=6138S10=6⋅(210−1)2−1=6⋅1023=6138"} +{"prompt":"Геометр прогрессийн тав дугаар гишүүнээс нэг дүгээр гишүүнийг хасахад гарах тоо гурав дугаар гишүүнээс нэг дүгээр гишүүнээс хасахад гарах тооноос 5 дахин илүү юм. Энэхүү геометр прогресс эерэг гишүүдтэй мөн өсдөг бол хуваарийг ол.","completion":"Заавар: 9.1. Дарааллын (арифметик, геометр прогресс, бусад) ерөнхий гишүүний томьёог бичдэг, рекуррент томьёог таньдаг, шалгадаг.\nБодолт: одлогын нөхцөлөөс b1q4−b1=5(b1q2−b1)b1q4−b1=5(b1q2−b1) байна. Түүнчлэн эсрэг гишүүдтэй, өсдөг тул b1≠0b1≠0 ба q>1q>1 байна. Иймд \nq4−1=5(q2−1)⇒(q2−1)(q2−4)=0⇒q=2.q4−1=5(q2−1)⇒(q2−1)(q2−4)=0⇒q=2."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн хувьд S2=3S2=3, S6=21S6=21 бол S4S4-ийг ол.","completion":"Заавар: Sn=b1+b2+⋯+bn=b1(qn−1)q−1Sn=b1+b2+⋯+bn=b1(qn−1)q−1\nБодолт: S2=b1+b1q=3S6=b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=(b1+b1q)(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=21.S2=b1+b1q=3S6=b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=(b1+b1q)(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=21.\nИймд q4+q2−6=0⇒q2=−3∨2q4+q2−6=0⇒q2=−3∨2. q2>0q2>0 тул q2=2q2=2. S4=b1+b1q+b1q2+b1q3=(b1+b1q)(1+q2)=3⋅(1+2)=9.S4=b1+b1q+b1q2+b1q3=(b1+b1q)(1+q2)=3⋅(1+2)=9."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн хувьд S2=6S2=6, S6=42S6=42 бол S4S4-ийг ол.","completion":"Заавар: Sn=b1+b2+⋯+bn=b1(qn−1)q−1Sn=b1+b2+⋯+bn=b1(qn−1)q−1\nБодолт: S2=b1+b1q=6S6=b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=(b1+b1q)(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=42.S2=b1+b1q=6S6=b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=(b1+b1q)(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=42.\nИймд q4+q2−6=0⇒q2=−3∨2q4+q2−6=0⇒q2=−3∨2. q2>0q2>0 тул q2=2q2=2. S4=b1+b1q+b1q2+b1q3=(b1+b1q)(1+q2)=6⋅(1+2)=18.S4=b1+b1q+b1q2+b1q3=(b1+b1q)(1+q2)=6⋅(1+2)=18."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн хувьд S2=7S2=7, S6=91S6=91 бол S4S4-ийг ол.","completion":"Заавар: Sn=b1+b2+⋯+bn=b1(qn−1)q−1Sn=b1+b2+⋯+bn=b1(qn−1)q−1\nБодолт: S2=b1+b1q=7S6=b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=(b1+b1q)(1+q2+q4)=7(1+q2+q4)=91.S2=b1+b1q=7S6=b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=(b1+b1q)(1+q2+q4)=7(1+q2+q4)=91.\nИймд q4+q2−12=0⇒q2=−4∨3q4+q2−12=0⇒q2=−4∨3. q2>0q2>0 тул q2=3q2=3. S4=b1+b1q+b1q2+b1q3=(b1+b1q)(1+q2)=7⋅(1+3)=28.S4=b1+b1q+b1q2+b1q3=(b1+b1q)(1+q2)=7⋅(1+3)=28."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн хувьд b2=2b2=2, b5=16b5=16 бол SnSn-ийг ол.","completion":"Заавар: Геометр прогрессийн хувьд\nbn+k=bnqkbn+k=bnqk\nбиелэнэ. Эхний гишүүн нь b1b1, ноогдвор нь qq бол эхний nn гишүүний нийлбэрийг\nSn=b1(qn−1)q−1Sn=b1(qn−1)q−1\nтомьёогоор олно.\nБодолт: b5=b2⋅q3b5=b2⋅q3 тул 16=2⋅q3⇒q3=8⇒q=216=2⋅q3⇒q3=8⇒q=2 байна. b1=b2q=22=1b1=b2q=22=1 тул\nSn=1⋅(2n−1)2−1=2n−1Sn=1⋅(2n−1)2−1=2n−1"} +{"prompt":"Геометр прогрессийн хувьд b4−b1=126b4−b1=126, S3=42S3=42 бол уг прогрессийн 1-р гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: bn=b1qn−1bn=b1qn−1, Sn=b1(qn−1)q−1Sn=b1(qn−1)q−1\nБодолт: b4−b1=b1(q3−1)=126b4−b1=b1(q3−1)=126, S3=b1(q3−1)q−1=42S3=b1(q3−1)q−1=42 тул\n126q−1=42⇒q=12642+1=4126q−1=42⇒q=12642+1=4\nИймд b1=126q3−1=12643−1=12663=2b1=126q3−1=12643−1=12663=2 байна."} +{"prompt":"Геометр прогрессийн эхний nn гишүүний нийлбэр нь Sn=2(3n−1)Sn=2(3n−1) бол эхний 3 гишүүнийг жагсааж бич.","completion":"Заавар: b1=S1b1=S1 ба n>1n>1 үед bn=Sn−Sn−1bn=Sn−Sn−1 байна.\nБодолт: b1=S1=2(31−1)=4b1=S1=2(31−1)=4, b2=S2−S1=2(32−1)−2(31−1)=16−4=12b2=S2−S1=2(32−1)−2(31−1)=16−4=12 тул q=b2b1=124=3q=b2b1=124=3 байна. Иймд b3=b2⋅q=12⋅3=36b3=b2⋅q=12⋅3=36 байна."} +{"prompt":"Геометр прогрессын 2-р гишүүн нь 5, 10-р гишүүн 45 бол 6-р гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: Геометр прогрессийн хувьд bn+k=bn⋅qkbn+k=bn⋅qk байна.\nБодолт: b10=b2+8=b2⋅q8b10=b2+8=b2⋅q8 тул 45=5⋅q8⇒q8=945=5⋅q8⇒q8=9 ба q4>0q4>0 тул q4=3q4=3 болно. Иймд\nb6=b2⋅q4=5⋅3=15b6=b2⋅q4=5⋅3=15"} +{"prompt":"Голын урсгалын хурд 2 км\/ц, завины тогтмол усанд явах хурд 10 км\/ц байв. Завиар гол өгсөж 2 цаг, уруудаж 3 цаг, нууранд 1 цаг 30 минут явахад нийт abab км зам явах ба энэ хугацаан дахь дундаж хурд нь 10cde10cde км\/ц байна.","completion":"Заавар: Хэсэг тус бүр дэх явсан замыг S=v⋅tS=v⋅t томьёогоор бодоод нийлбэрийг ол. Дундаж хурд нь нийт замыг нийт хугацаанд хуваахад гарна.\nБодолт: Гол өгсөх хурд нь 10−2=810−2=8 км\/ц байна. Иймд гол өгсөж 8⋅2=168⋅2=16 км явна.\n\nГол уруудах хурд нь 10+2=1210+2=12 км\/ц байна. Иймд гол уруудаж 12⋅3=3612⋅3=36 км явна.\n\nНууранд 1010 км\/ц хурдаар явах тул нийт 10⋅1.5=1510⋅1.5=15 км явна. Иймд нийт 16+36+15=6716+36+15=67 км явжээ.\n\n6767 км замыг 2+3+1.5=6.52+3+1.5=6.5 цагт туулсан тул дундаж хурд нь 676.5=10413676.5=10413 км\/ц байна."} +{"prompt":"Голын урсгалын хурд 3 км\/цаг байв. Завьтай хүн хоорондоо 10 км зайтай A хотоос B хот хүрээд буцаж ирэхдээ нийт 2 цаг 30 мин зарцуулсан бол завьтай хүний тогтмол усан дахь хурдыг ол.","completion":"Заавар: 10v−3+10v+3=2.5⇒8v=v2−9\nБодолт: v2−8v−9=0⇒v1=−1, v2=9 ба завьтай хүний хурд эерэг тоо тул v=9 км\/цаг байна."} +{"prompt":"Голын урсгалын хурд 3 км\/цаг байв. Завьтай хүн хоорондоо 10 км зайтай AA хотоос BB хот хүрээд буцаж ирэхдээ нийт 2 цаг 30 мин зарцуулсан бол завьтай хүний тогтмол усан дахь хурдыг ол.","completion":"Заавар: 10v−3+10v+3=2.5⇒8v=v2−910v−3+10v+3=2.5⇒8v=v2−9\nБодолт: v2−8v−9=0⇒v1=−1v2−8v−9=0⇒v1=−1, v2=9v2=9 ба завьтай хүний хурд эерэг тоо тул v=9v=9 км\/цаг байна."} +{"prompt":"Гурвалжны 5 урттай талын эсрэг орших өнцөг нь 60∘ бол периметр нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?","completion":"Заавар: Нэг өнцгийг α гэвэл үлдэх өнцөг нь 120∘−α байна. Синусын теорем ашиглан периметрийг α-аар илэрхийл.\nБодолт: Синусын теоремоор\n5sin60∘=bsinα=csin(120∘−α)=2R\nтул\nb=2Rsinα, c=2Rsin(120∘−α)\nба\nP(α)=2R(sinα+sin(120∘−α))+5=\n2R⋅2sin60∘⋅cos(60∘−α)+5\nтул хамгийн их утга нь α=60∘ буюу зөв гурвалжин үед 3⋅5=15 байна."} +{"prompt":"Гурван анги мод тарьжээ. А бүлэг Б-ээс 2 дахин олон, харин В бүлгээс 10%10%-аар цөөн мод тарьсан байна. Тэд нийт 94 мод тарьсан бол В бүлэг хэдэн мод тарьсан бэ?","completion":"Заавар: В бүлэг xx мод тарьсан гээд бусдыг нь xx-ээр илэрхийл.\nБодолт: В бүлэг xx мод тарьсан гэвэл А бүлэг 0.9x0.9x, Б бүлэг 0.45x0.45x мод тарьсан. Иймд нийт 0.9x+0.45x+x=94⇒2.35x=94⇒x=942.35=400.9x+0.45x+x=94⇒2.35x=94⇒x=942.35=40 мод тарьжээ."} +{"prompt":"Гурван оронтой бүх тэгш тооны цифрүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Цифр тус бүр зуут, аравт, нэгжийн оронд хэдэн удаа орохыг тогто��.\nБодолт: 1-ийн цифр: \n зуутын оронд нийт 10⋅5=50 удаа (¯1ab хэлбэрийн тэгш тоонуудын тоо, a-г 10 янзаар, b-г 5 янзаар бичиж болно), \n аравтын оронд 9⋅5=45 (¯a1b хэлбэрийн тэгш тоонуудын тоо, a≠0 тул a-г 9 янзаар, b-г 5 янзаар), \n нэгжийн оронд бичигдэхгүй\n\nнийт 50+45=95 удаа бичигдэнэ.\n\n2-ийн цифр: \n зуутын оронд нийт 10⋅5=50 удаа (¯1ab хэлбэрийн тэгш тоонуудын тоо, a-г 10 янзаар, b-г 5 янзаар бичиж болно), \n аравтын оронд 9⋅5=45 (¯a1b хэлбэрийн тэгш тоонуудын тоо, a≠0 тул a-г 9 янзаар, b-г 5 янзаар), \n нэгжийн оронд 9⋅10=90 (¯ab2 хэлбэрийн тоонуудын тоо, a≠0 тул a-г 9 янзаар, b-г 10 янзаар)\n\nнийт 50+45+90=185 удаа бичигдэнэ. \n\nҮүнтэй төстэйгээр 3, 5, 7, 9 цифрүүд тус бүр 95 удаа, 4, 6, 8 цифрүүд тус бүр 185 удаа бичигдэнэ.\n\nИймд цифрүүдийн нийлбэр нь (1+3+5+7+9)⋅95+(2+4+6+8)⋅185=6075 байна."} +{"prompt":"Гурван сургуулийн төгсөх ангийн оюутнууд мод суулгах болж А сургууль бүх суулгасан модны 720720, Б сургууль үлдсэний 5858 хэсгийг, В сургууль үлдсэн 195 мод суулгажээ. А сургууль хэдэн мод суулгасан бэ?","completion":"Заавар: Б сургууль хэдэн мод суулгасан бэ? Б ба В сургуулиуд нийт модны ямар хэсгийг суулгасан бэ?\nБодолт: Б сургууль үлдсэний 5858 хэсгийг суулгасан тул В сургуулийн 195 мод нь үлдсэний 3838 байна. Иймд Б ба В сургууль нийтдээ 195⋅83=520195⋅83=520 мод тарьсан. Энэ нь нийт модны 1−720=13201−720=1320 хэсэг тул нийт 520⋅2013=800520⋅2013=800 мод, үүнээс А сургууль 800−520=280800−520=280 мод тарьсан байна."} +{"prompt":"Гурилын үнэ 12%12% нэмэгдсэний дараа 11%11% хямдарсан бол үнэ нь анхныхаасаа хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?","completion":"Заавар: Үнэ a%a% хувь нэмэгдэхэд байгаа үнэ нь 1+a1001+a100 дахин үржигдэх ба b%b% хувь буурахад байгаа үнэ нь 1−b1001−b100 дахин үржигдэнэ (1-ээс бага тоогоор үржих тул буурна).\nБодолт: Анхны үнийг nn гэвэл шинэ үнэ нь \nn⋅(1+12100)⋅(1−11100)=n⋅1.12⋅0.89=n⋅(1+12100)⋅(1−11100)=n⋅1.12⋅0.89=\n=n⋅0.9968=n⋅(1−0.0032)=n⋅(1−0.32100)=n⋅0.9968=n⋅(1−0.0032)=n⋅(1−0.32100)\nтул 0.32%0.32%-иар буурчээ."} +{"prompt":"Гурилын үнэ 14%14% нэмэгдсэний дараа 13%13% хямдарсан бол үнэ нь анхныхаасаа хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?","completion":"Заавар: Үнэ a%a% хувь нэмэгдэхэд байгаа үнэ нь 1+a1001+a100 дахин үржигдэх ба b%b% хувь буурахад байгаа үнэ нь 1−b1001−b100 дахин үржигдэнэ (1-ээс бага тоогоор үржих тул буурна).\nБодолт: Анхны үнийг nn гэвэл шинэ үнэ нь \nn⋅(1+14100)⋅(1−13100)=n⋅1.14⋅0.87=n⋅(1+14100)⋅(1−13100)=n⋅1.14⋅0.87=\n=n⋅0.9918=n⋅(1−0.0082)=n⋅(1−0.82100)=n⋅0.9918=n⋅(1−0.0082)=n⋅(1−0.82100)\nтул 0.82%0.82%-иар буурчээ."} +{"prompt":"Гурилын үнэ 15%15% нэмэгдсэний дараа 14%14% хямдарсан бол үнэ нь анхныхаасаа хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?","completion":"Заавар: Үнэ a%a% хувь нэмэгдэхэд байгаа үнэ нь 1+a1001+a100 дахин үржигдэх ба b%b% хувь буурахад байгаа үнэ нь 1−b1001−b100 дахин үржигдэнэ (1-ээс бага тоогоор үржих тул буурна).\nБодолт: Анхны үнийг nn гэвэл шинэ үнэ нь \nn⋅(1+15100)⋅(1−14100)=n⋅1.15⋅0.86=n⋅(1+15100)⋅(1−14100)=n⋅1.15⋅0.86=\n=n⋅0.989=n⋅(1−0.011)=n⋅(1−1.1100)=n⋅0.989=n⋅(1−0.011)=n⋅(1−1.1100)\nтул 1.1%1.1%-иар буурчээ."} +{"prompt":"Гэрлийн хурд 3⋅1083⋅108 м\/c байдаг. Нарнаас 108108 сая км зайд оршдог Сугар гарагт нарны гэрэл хүрэхэд ямар хугацаа зарцуулагдах вэ?","completion":"Заавар: Тогтмол хурдаар хөдөлж байгаа хөдөлгөөний бодлогод\nS=vt,v=St,t=SvS=vt,v=St,t=Sv\nүндсэн томьёог ашигладаг. Энд SS - зам, vv - хурд, tt - хугацаа.\nБодолт: V=3⋅108V=3⋅108 м\/c. S=153S=153 сая км. Үүний метрт шилжүүлбэл S=153⋅106⋅103=153⋅109S=153⋅106⋅103=153⋅109 м болно. Эндээс хугацаа нь\nt=SV=153⋅109 м3⋅108 м\/с=510 секt=SV=153⋅109 м3⋅108 м\/с=510 сек\nҮүнийг минутанд шилжүүлбэл 510=8⋅60+10510=8⋅60+10 тул 8 мин 10 сек байна."} +{"prompt":"Гэрлийн хурд 3⋅1083⋅108 м\/c байдаг. Нарнаас 153153 сая км зайд байрлаж байгаа хиймэл дагуулд нарны гэрэл хүрэхэд ямар хугацаа зарцуулагдах вэ?","completion":"Заавар: Тогтмол хурдаар хөдөлж байгаа хөдөлгөөний бодлогод\nS=vt,v=St,t=SvS=vt,v=St,t=Sv\nүндсэн томьёог ашигладаг. Энд SS - зам, vv - хурд, tt - хугацаа.\nБодолт: V=3⋅108V=3⋅108 м\/c. S=153S=153 сая км. Үүний метрт шилжүүлбэл S=153⋅106⋅103=153⋅109S=153⋅106⋅103=153⋅109 м болно. Эндээс хугацаа нь\nt=SV=153⋅109 м3⋅108 м\/с=510 секt=SV=153⋅109 м3⋅108 м\/с=510 сек\nҮүнийг минутанд шилжүүлбэл 510=8⋅60+10510=8⋅60+10 тул 8 мин 10 сек байна."} +{"prompt":"Дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: an+1=an+2n2+nan+1=an+2n2+n томьёонд 1,…,n−11,…,n−1 утгыг орлуулж бичвэл\nan=an−1+2⋅(n−1)2+(n−1)an−1=an−2+2⋅(n−2)2+(n−2)an−2=an−3+2⋅(n−3)2+(n−3)⋮a2=a1+2⋅12+1an=an−1+2⋅(n−1)2+(n−1)an−1=an−2+2⋅(n−2)2+(n−2)an−2=an−3+2⋅(n−3)2+(n−3)⋮a2=a1+2⋅12+1\nболно. Эдгээрийг нэмээд хоёр талаас ижил нэмэгдэхүүнүүдийг устгавал\nan=a1+2⋅(12+22+⋯+(n−1)2)+(1+2+⋯+n−1)=4+(n−1)n(2n−1)3+(n−1)n2=246+2(n−1)n(2n−1)6+3(n−1)n6=4n3−3n2−n+246an=a1+2⋅(12+22+⋯+(n−1)2)+(1+2+⋯+n−1)=4+(n−1)n(2n−1)3+(n−1)n2=246+2(n−1)n(2n−1)6+3(n−1)n6=4n3−3n2−n+246\n\n an+1=an+3nan+1=an+3n томьёонд 1,…,n−11,…,n−1 утгыг орлуулж бичвэл\nan=an−1+3n−1an−1=an−2+3n−2an−2=an−3+3n−3⋮a2=a1+31an=an−1+3n−1an−1=an−2+3n−2an−2=an−3+3n−3⋮a2=a1+31\nболно. Эдгээрийг нэмээд хоёр талаас ижил нэмэгдэхүүнүүдийг устгавал\nan=a1+(31+32+⋯+3n−1)=3+3⋅(3n−1−1)3−1=12(3n+3)an=a1+(31+32+⋯+3n−1)=3+3⋅(3n−1−1)3−1=12(3n+3)\n\n an+1=an−2n+n2−3n+1an+1=an−2n+n2−3n+1 томьёонд 1,…,n−11,…,n−1 утгыг орлуулж бичвэл\nan=an−1−2n−1+(n−1)2−3(n−1)+1an−1=an−2−2n−2+(n−2)2−3(n−2)+1an−2=an−3−2n−3+(n−3)2−3(n−3)+1⋮a2=a1−21+12−3⋅1+1an=an−1−2n−1+(n−1)2−3(n−1)+1an−1=an−2−2n−2+(n−2)2−3(n−2)+1an−2=an−3−2n−3+(n−3)2−3(n−3)+1⋮a2=a1−21+12−3⋅1+1\nболно. Эдгээрийг нэмээд хоёр талаас ижил нэмэгдхүүнүүдийг устгавал\nan=a1−n−1∑k=12k+n−1∑k=1k2−3n−1∑k=1k+(n−1)=5−(2n−2)+(n−1)n(2n−1)6−3⋅(n−1)n2+n−1=7−2n+13(n−1)(n2−5n+3)an=a1−∑k=1n−12k+∑k=1n−1k2−3∑k=1n−1k+(n−1)=5−(2n−2)+(n−1)n(2n−1)6−3⋅(n−1)n2+n−1=7−2n+13(n−1)(n2−5n+3)"} +{"prompt":"Дарааллын эхний n гишүүний нийлбэр Sn=3n2+3n томьёогоор өгөгджээ. Хэрэв энэ дараалал геометр прогресс бол q-г ол. Арифметик прогресс бол d-г ол.","completion":"Заавар: a1=S1 ба n>1 үед an=Sn−Sn−1 байна.\nБодолт: a1=3⋅12+3⋅1=6,\nan=Sn−Sn−1=3n2+3n−3(n−1)2−3(n−1)=3n2+3n−3n2+6n−3−3n+3=6n\nтул an нь 6 ялгавартай арифметик прогресс юм."} +{"prompt":"Дарааллын эхний n гишүүний нийлбэр Sn=3n2+n томьёогоор өгөгджээ. Хэрэв энэ дараалал геометр прогресс бол q-г ол. Арифметик прогресс бол d-г ол.","completion":"Заавар: a1=S1 ба n>1 үед an=Sn−Sn−1 байна.\nБодолт: a1=3⋅12+3⋅1=6,\nan=Sn−Sn−1=3n2+n−3(n−1)2−(n−1)=3n2+n−3n2+6n−3−n+1=6n−2\nтул an нь 6 ялгавартай арифметик прогресс юм."} +{"prompt":"Дараалсан хоёр бүхэл эерэг тооны нийлбэрийн квадрат нь квадратын нийлбэрээс 5512-оор их бол тэр хоёр тооны ихийг нь заа.","completion":"Заавар: Дараалсан 2 бүхэл тооны ихийг нь nn гэвэл бага нь n−1n−1 байна.\nБодолт: (n−1+n)2−n2−(n−1)2=2n(n−1)=5512(n−1+n)2−n2−(n−1)2=2n(n−1)=5512\nтул n=53n=53 байна."} +{"prompt":"Дараах 2 өгүүлбэр өгөгдсөн бол аль хэллэгүүд үнэн бэ?\n\nA:={a,b,cбүхэлтоо}A:={a,b,cбүхэлтоо}\n\nB:={x−ийнбүхэлутгабүртf(x)=ax2+bx+cфункцбүхэлутгаавдаг}B:={x−ийнбүхэлутгабүртf(x)=ax2+bx+cфункцбүхэлутгаавдаг}\n\nI: A⇒BA⇒B\n\nII: ¯¯¯¯B⇒¯¯¯¯AB¯⇒A¯\n\nIII: B⇒AB⇒A\n\nA⇒BA⇒B гэдэг хэллэг нь AA өгүүлбэр үнэн үед BB үнэн байдаг хэллэгийг хэлдэг.","completion":"Заавар: ¯¯¯¯AA¯ гэдэг нь AA өгүүлбэрийн үгүйсгэлийг тэмдэглэдэг. Иймд ¯¯¯¯A:={a,b,c−ийнядажнэгньбүхэлбиштоо}A¯:={a,b,c−ийнядажнэгньбүхэлбиштоо}\n\n¯¯¯¯B:={x−ийнядажнэгньбүхэлутгандf(x)=ax2+bx+cфункцбүхэлутгаавдаггүй}B¯:={x−ийнядажнэгньбүхэлутгандf(x)=ax2+bx+cфункцбүхэлутгаавдаггүй} болно.\nБодолт: x,a,b,cx,a,b,c бүхэл үед f(x)f(x) бүхэл байх тул I хэллэг үнэн. ¯¯¯¯A:={a,b,c−ийнядажнэгньбүхэлбиштоо}A¯:={a,b,c−ийнядажнэгньбүхэлбиштоо}\n\n¯¯¯¯B:={x−ийнядажнэгньбүхэлутгандf(x)=ax2+bx+cфункцбүхэлутгаавдаггүй}B¯:={x−ийнядажнэгньбүхэлутгандf(x)=ax2+bx+cфункцбүхэлутгаавдаггүй} болно. Иймд II хэллэг үнэн.\n\na=b=12,c=0a=b=12,c=0 үед f(x)=x(x+1)2f(x)=x(x+1)2 бүхэл утга авах тул III хэллэг худал байна. \n\nХариу: D"} +{"prompt":"Дараах график аль функцийн график вэ?","completion":"Заавар: Аль функцийн график дээр (−3,0), (0,−3), (3,0) цэгүүд орших вэ?\nБодолт: (0,0) нь A, C функцүүдийн график дээр оршихгүй (өөрөөр хэлбэл x=0 үед y=3≠0).\n\n(−3,0) нь (−3)2+2⋅|−3|−3=9+6−3=12≠0 ба −(−3)2−|−3|−3=−9≠0\nтул D, E функцийн график дээр оршихгүй. Иймд зөвхөн B хариулт үлдлээ.\n\nСанамж: Хэрвээ модультай функцийн талаар ойлголттой бол B хариулт нь зөв болохыг шууд хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл энэ бодлогыг бодолгүйгээр шууд зөв хариултыг хэлж чаддаг байх чадварыг эзэмших хэрэгтэй. Хэрвээ хариунд дурдагдсан функцүүдийн графикийг бие даан зурж үзвэл эдгээрийн талаар хангалттай мэдлэг хуримтлуулах боломжтой."} +{"prompt":"Дараах давхар тэнцэтгэл бишийг бод.\n−2x+1<3x+4<2(3x−4)","completion":"Заавар: 8.2. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн шийдийг олж, (тоон шулуун, тоон завсар) дүрсэлдэг.\nБодолт: −2x+1<3x+4<2(3x−4) нь \n−2x+1<3x+4⇔−5x<3⇔x>−35\nба\n3x+4<2(3x−4)⇔−3x<−12⇔x>4\nбайх тул x>4 буюу x∈]4;+∞["} +{"prompt":"Дараах дарааллуудын ерөнхий гишүүний томъёог ол.","completion":"Заавар: a1=a2=2,an=an−1⋅a2n−2,(n≥3)a1=a2=2,an=an−1⋅an−22,(n≥3)\n\nbn=log2anbn=log2⁡an гэвэл an=2bnan=2bn. b1=1b1=1, b2=1b2=1.\n\nlog2an=log2(an−1⋅a2n−2)=log2an−1+2log2an−2log2⁡an=log2⁡(an−1⋅an−22)=log2⁡an−1+2log2⁡an−2\nbn=bn−1+2bn−2bn=bn−1+2bn−2\nБодолт:"} +{"prompt":"Дараах дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.","completion":"Заавар: x=2x+33x+2x=2x+33x+2 тэгшитгэлийн шийд x=±1x=±1 байна. bn=an+xbn=an+x гэсэн дараалал авч үз.\n Эхний гишүүдийг ол.\nБодолт:"} +{"prompt":"Дараах илэрхийлэлүүдийн аль нь дурын натурал nn тооны хувьд үнэн байж чадах вэ?","completion":"Заавар: nn-ийн тодорхой утгуудад хэллэгүүд үнэн байж чадах эсэхийг шалга.\nБодолт: n+(n−2)=2n−2=2(n−1)n+(n−2)=2n−2=2(n−1) тэгш гэдэг нь ямар ч nn-ийн хувьд үнэн байна. Бусдыг нь тодорхой тоонууд орлуулж тавин дурын nn-ийн хувьд үнэн байж чадахгүйг шалгаж болно. Жишээ нь n=3n=3 үед 3+1=43+1=4 зохиомол, n=2n=2 үед 3⋅2+1=73⋅2+1=7 сондгой, n=3n=3 үед 1+2+3=61+2+3=6 тэгш, n=2n=2 үед 1+2=31+2=3 сондгой болж байна."} +{"prompt":"Дараах интегралуудлыг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: 2∫−1(x2−3x−4)dx=[x33−3x22−4x]∣∣∣2−1=233−(−1)33−(3⋅222−3⋅(−1)22)−4(2−(−1))=3−92−12=−272∫−12⁡(x2−3x−4)dx=[x33−3x22−4x]|−12=233−(−1)33−(3⋅222−3⋅(−1)22)−4(2−(−1))=3−92−12=−272\n 3∫−2(3t+1)(1−t)dt=3∫−2(−3t2+2t+1)dt=(−t3+t2+t)∣∣3−2=−15−10=−25∫−23⁡(3t+1)(1−t)dt=∫−23⁡(−3t2+2t+1)dt=(−t3+t2+t)|−23=−15−10=−25\n 2∫−2(3x2−4x+1)dx=(x3−2x2+x)∣∣2−2=(23−(−2)3)+2(22−(−2)2)+(2−(−2))=16+4=20∫−22⁡(3x2−4x+1)dx=(x3−2x2+x)|−22=(23−(−2)3)+2(22−(−2)2)+(2−(−2))=16+4=20"} +{"prompt":"Дараах интегралуудыг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: ∫(2x2−4x+1)dx=23x3−2x2+x+C∫(2x2−4x+1)dx=23x3−2x2+x+C\n ∫(t2+2t−3)dt=13t3+t2−3t+C∫(t2+2t−3)dt=13t3+t2−3t+C\n ∫(2x−3)2dx=∫(4x2−12x+9)dx=43x3−6x2+9x+C∫(2x−3)2dx=∫(4x2−12x+9)dx=43x3−6x2+9x+C\nЗаавар: ∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1;∫1xdx=ln|x|+C∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1;∫1xdx=ln⁡|x|+C\nБодолт: ∫(x2−3x+2)dx=∫x2dx−∫3xdx+∫2dx=x33−3x22+2x+C∫(x2−3x+2)dx=∫x2dx−∫3xdx+∫2dx=x33−3x22+2x+C\n ∫(x−2)(1−3x)dx=∫(−3x2+7x−2)dx=−x33+7x22−2x+C∫(x−2)(1−3x)dx=∫(−3x2+7x−2)dx=−x33+7x22−2x+C\n ∫(x−2)2dx=∫(x2−4x+4)dx=x33−2x2+4x+C∫(x−2)2dx=∫(x2−4x+4)dx=x33−2x2+4x+C\n ∫(2t+1)2dt=∫(4t2+4t+1)dt=4t33+2t2+t+C∫(2t+1)2dt=∫(4t2+4t+1)dt=4t33+2t2+t+C\nБодолт: 2∫2(5x2−x+4)dx=0∫22⁡(5x2−x+4)dx=0\n\n 1∫0(−x2+2)dx−1∫0x2dx=1∫0(−2x2+2)dx=(−2x33+2x)∣∣∣10=43∫01⁡(−x2+2)dx−∫01⁡x2dx=∫01⁡(−2x2+2)dx=(−2x33+2x)|01=43\n\n 1∫0x2dx+3∫1x2dx=3∫0x2dx=(x33)∣∣∣30=9∫01⁡x2dx+∫13⁡x2dx=∫03⁡x2dx=(x33)|03=9\n\n \n\n∫20|x2+x−2|dx=∫10|x2+x−2|dx+∫21|x2+x−2|dx=∫10−(x2+x−2)dx+2∫1(x2+x−2)dx=−(x33+x22−2x)∣∣∣10+(x33+x22−2x)∣∣∣21=−(13+12−2)+(83+42−4)=3∫02|x2+x−2|dx=∫01|x2+x−2|dx+∫12|x2+x−2|dx=∫01−(x2+x−2)dx+∫12(x2+x−2)dx=−(x33+x22−2x)|01+(x33+x22−2x)|12=−(13+12−2)+(83+42−4)=3\nБодолт: \n∫11(−2x2+5x−2)dx=0∫11(−2x2+5x−2)dx=0\n\n2∫31x2dx+3∫31x2dx=5∫31x2dx=5x33∣∣∣31=5⋅333−5⋅133=13032∫13x2dx+3∫13x2dx=5∫13x2dx=5x33|13=5⋅333−5⋅133=1303\n\n\n∫3−2(2x2−1)dx−∫3−2(x2+x−5)dx=∫3−2(x2−x+4)dx=(x33−x22+4x)∣∣∣3−2dx=(333−322+4⋅3)−((−2)33−(−2)22+4⋅(−2))=1756∫−23(2x2−1)dx−∫−23(x2+x−5)dx=∫−23(x2−x+4)dx=(x33−x22+4x)|−23dx=(333−322+4⋅3)−((−2)33−(−2)22+4⋅(−2))=1756\n \n\n∫41|x2−2x−3|dx=∫31|x2−2x−3|dx+∫43|x2−2x−3|dx=−∫31(x2−2x−3)dx+∫43(x2−2x−3)dx=−(x33−x2−3x)∣∣∣31+(x33−x2−3x)∣∣∣43=(433−42−3⋅4)−2⋅(333−32−3⋅3)+(133−12−3⋅1)=233∫14|x2−2x−3|dx=∫13|x2−2x−3|dx+∫34|x2−2x−3|dx=−∫13(x2−2x−3)dx+∫34(x2−2x−3)dx=−(x33−x2−3x)|13+(x33−x2−3x)|34=(433−42−3⋅4)−2⋅(333−32−3⋅3)+(133−12−3⋅1)=233\n \n\n∫2−3(x2+3)dx+∫32(x2+3)dx=∫3−3(x2+3)dx=2∫30(x2+3)dx=2(x33+3x)∣∣∣30=2(333+3⋅3)=36∫−32(x2+3)dx+∫23(x2+3)dx=∫−33(x2+3)dx=2∫03(x2+3)dx=2(x33+3x)|03=2(333+3⋅3)=36"} +{"prompt":"Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Δ=1⋅4−2⋅3=−2≠0Δ=1⋅4−2⋅3=−2≠0 тул AA матрицын урвуу нь\nA−1=1−2(4−2−31)=⎛⎝−2132−12⎞⎠A−1=1−2(4−2−31)=(−2132−12)\n Δ=1⋅6−2⋅3=0Δ=1⋅6−2⋅3=0 тул BB матриц нь урвуугүй."} +{"prompt":"Дараах муруй болон шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар: ∫βα(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3\nтомьёог ашигла.\nБодолт: y=−x2+2x+3, x тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд нь x1=−1, x2=3 тул\nS=∫3−1(−x2+2x+3)dx=(3−(−1))36=323\n y=2x2+3x−2, x тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд нь x1=−2, x2=12 тул\nS=∫12−2(2x2+3x−2)dx=2(12−(−2))36=12524\n y=x2−x−1, x тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд x1=1−√52, x2=1+√52 тул\n∫x2x1(x2−x−1)dx=(x2−x1)36=5√56\n y=2x2−3x+1, y=2x−1-ийн огтлолцох цэгүүд нь 2x2−3x+1=2x−1⇒2x2−5x+2=0 тул x1=12, x2=2. Иймд\nS=∫2122(x−12)(x−2)dx=2(2−12)36=98"} +{"prompt":"Дараах нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: 7∑k=5(k2−k+1)=(52−5+1)+(62−6+1)+(72−7+1)=21+31+43=95∑k=57(k2−k+1)=(52−5+1)+(62−6+1)+(72−7+1)=21+31+43=95\n n∑k=2(2k+3)=n∑k=22k+n∑k=23=2n+1−4+3⋅(n−1)=2n+1+3n−8∑k=2n(2k+3)=∑k=2n2k+∑k=2n3=2n+1−4+3⋅(n−1)=2n+1+3n−8\n \n\n10∑k=12k−12k−1=10∑k=12k2k−1−10∑k=112k−1=10∑k=12−9∑k=012k=20−(12)10−1(12)−1=20−2+129=18+129∑k=1102k−12k−1=∑k=1102k2k−1−∑k=11012k−1=∑k=1102−∑k=0912k=20−(12)10−1(12)−1=20−2+129=18+129\n\n n∑k=1(2k+1)=2⋅n∑k=1k+n∑k=11=2⋅n(n+1)2+n=n(n+2)∑k=1n(2k+1)=2⋅∑k=1nk+∑k=1n1=2⋅n(n+1)2+n=n(n+2)\n \n\nn∑k=1(k⋅(2k−1))=n∑k=1(2k2−k)=2n∑k=1k2−n∑k=1k=2⋅n(n+1)(2n+1)6−n(n+1)2=n(n+1)(4n+2−3)6=n(n+1)(4n−1)6∑k=1n(k⋅(2k−1))=∑k=1n(2k2−k)=2∑k=1nk2−∑k=1nk=2⋅n(n+1)(2n+1)6−n(n+1)2=n(n+1)(4n+2−3)6=n(n+1)(4n−1)6"} +{"prompt":"Дараах нийлбэрүүдийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: \n\n21∑k=3(k−1)(k+3)=21∑k=1(k2+2k−3)−2∑k=1(k2+2k−3)=21∑k=1k2+221∑k=1k−21∑k=13−(12+2⋅1−3)−(22+2⋅2−3)=21⋅(21+1)(2⋅21+1)6+2⋅21(21+1)2−3⋅21−0−5=3705∑k=321(k−1)(k+3)=∑k=121(k2+2k−3)−∑k=12(k2+2k−3)=∑k=121k2+2∑k=121k−∑k=1213−(12+2⋅1−3)−(22+2⋅2−3)=21⋅(21+1)(2⋅21+1)6+2⋅21(21+1)2−3⋅21−0−5=3705\n k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)4−(k−1)k(k+1)(k+2)4k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)4−(k−1)k(k+1)(k+2)4 тул\nn∑k=0k(k+1)(k+2)=n∑k=0(k(k+1)(k+2)(k+3)4−(k−1)k(k+1)(k+2)4)=n∑k=0k(k+1)(k+2)(k+3)4−n∑k=0(k−1)k(k+1)(k+2)4=n∑k=1k(k+1)(k+2)(k+3)4−n∑k=2(k−1)k(k+1)(k+2)4=n∑k=1k(k+1)(k+2)(k+3)4−n−1∑k=1k(k+1)(k+2)(k+3)4=n(n+1)(n+2)(n+3)4=n4+6n3+11n2+6n4∑k=0nk(k+1)(k+2)=∑k=0n(k(k+1)(k+2)(k+3)4−(k−1)k(k+1)(k+2)4)=∑k=0nk(k+1)(k+2)(k+3)4−∑k=0n(k−1)k(k+1)(k+2)4=∑k=1nk(k+1)(k+2)(k+3)4−∑k=2n(k−1)k(k+1)(k+2)4=∑k=1nk(k+1)(k+2)(k+3)4−∑k=1n−1k(k+1)(k+2)(k+3)4=n(n+1)(n+2)(n+3)4=n4+6n3+11n2+6n4\n n∑k=1(3k+k2−3)∑k=1n(3k+k2−3);\n 1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+n)1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+n).\nБодолт: Дараах нийлбэрүүдийг ол.\n n∑k=1(2k−1)=1+3+5+⋯+(2n−1)∑k=1n(2k−1)=1+3+5+⋯+(2n−1);\n n∑k=1(−1)k−1k2=12−22+32−⋯+(−1)n−1⋅n2∑k=1n(−1)k−1k2=12−22+32−⋯+(−1)n−1⋅n2;\n n∑k=11(2k−1)(2k+1)∑k=1n1(2k−1)(2k+1);\n n∑k=21k2−1∑k=2n1k2−1;\n 1k(2k−1)−1(k+1)(2k+1)=2k2+3k+1−2k2+kk(k+1)(4k2−1)=4k+1k(k+1)(4k2−1)1k(2k−1)−1(k+1)(2k+1)=2k2+3k+1−2k2+kk(k+1)(4k2−1)=4k+1k(k+1)(4k2−1)\nтул\nn∑k=14k+1k(k+1)(4k2−1)=1−1(n+1)(2n+1)=n(2n+3)(n+1)(2n+1)∑k=1n4k+1k(k+1)(4k2−1)=1−1(n+1)(2n+1)=n(2n+3)(n+1)(2n+1)\n\n n∑k=1k−1k!=n∑k=1(1(k−1)!−1k!)=10!−1n!=1−1n!∑k=1nk−1k!=∑k=1n(1(k−1)!−1k!)=10!−1n!=1−1n!\n bn=n⋅3nbn=n⋅3n гэвэл\nbn−bn−1=n⋅3n−(n−1)⋅3n−1=(2n+1)⋅3n−1bn−bn−1=n⋅3n−(n−1)⋅3n−1=(2n+1)⋅3n−1\nболохыг ашиглая.\nn∑k=1(2k−1)⋅3k−1=n∑k=1(2k+1)⋅3k−1−2⋅n∑k=13k−1=n∑k=1(k⋅3k−(k−1)⋅3k−1)−2⋅n∑k=13k−1=n⋅3n−0⋅30−2⋅3n−13−1=(n−1)⋅3n+1∑k=1n(2k−1)⋅3k−1=∑k=1n(2k+1)⋅3k−1−2⋅∑k=1n3k−1=∑k=1n(k⋅3k−(k−1)⋅3k−1)−2⋅∑k=1n3k−1=n⋅3n−0⋅30−2⋅3n−13−1=(n−1)⋅3n+1\n an=n2an=n2, bn=xn−1bn=xn−1 гээд Абелийн хувиргалтын томьёо ашиглавал Bk=xk−1x−1Bk=xk−1x−1 тул\nn∑k=1k2⋅xk−1=n−1∑k=1(k2−(k+1)2)⋅xk−1x−1+n2⋅xn−1x−1=−1x−1n−1∑k=1(2k+1)⋅(xk−1)+n2⋅xn−1x−1=−1x−1n−1∑k=1(2k+1)⋅xk+1x−1n−1∑k=1(2k+1)+n2⋅xn−1x−1=−1x−1n−1∑k=1(2k+1)⋅xk+n2−1x−1+n2⋅xn−1x−1=−1x−1n−1∑k=1(2k+1)⋅xk+n2xn−1x−1∑k=1nk2⋅xk−1=∑k=1n−1(k2−(k+1)2)⋅xk−1x−1+n2⋅xn−1x−1=−1x−1∑k=1n−1(2k+1)⋅(xk−1)+n2⋅xn−1x−1=−1x−1∑k=1n−1(2k+1)⋅xk+1x−1∑k=1n−1(2k+1)+n2⋅xn−1x−1=−1x−1∑k=1n−1(2k+1)⋅xk+n2−1x−1+n2⋅xn−1x−1=−1x−1∑k=1n−1(2k+1)⋅xk+n2xn−1x−1\nболно. Одоо an=2n+1an=2n+1, bn=xnbn=xn гэвэл ak−ak+1=−2ak−ak+1=−2, Bk=x(xk−1)x−1Bk=x(xk−1)x−1 тул\nn−1∑k=1(2k+1)⋅xk=n−2∑k=1(−2)⋅x(xk−1)x−1+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=−2xx−1n−2∑k=1(xk−1)+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=−2xx−1((n−2∑k=1xk)−n+2)+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=−2xx−1(x(xn−2−1)x−1−n+2)+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=(2n−1)xn+1−(2n+1)xn−x2+3x(x−1)2∑k=1n−1(2k+1)⋅xk=∑k=1n−2(−2)⋅x(xk−1)x−1+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=−2xx−1∑k=1n−2(xk−1)+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=−2xx−1((∑k=1n−2xk)−n+2)+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=−2xx−1(x(xn−2−1)x−1−n+2)+(2n−1)⋅x(xn−1−1)x−1=(2n−1)xn+1−(2n+1)xn−x2+3x(x−1)2\nтул\nn∑k=1k2⋅xk−1=−(2n−1)xn+1−(2n+1)xn−x2+3x(x−1)3+n2xn−1x−1=n2xn+2−(2n2+2n−1)xn+1+(n+1)2xn−x−1(x−1)3∑k=1nk2⋅xk−1=−(2n−1)xn+1−(2n+1)xn−x2+3x(x−1)3+n2xn−1x−1=n2xn+2−(2n2+2n−1)xn+1+(n+1)2xn−x−1(x−1)3\nбайна.\n n∑k=1k⋅sinkx∑k=1nk⋅sin⁡kx."} +{"prompt":"Дараах нөхцлийг хангах (x,y)(x,y) координаттай цэгүүдийг координатын хавтгайд дүрсэл.","completion":"Заавар: AB<0⇔AB<0⇔\n{A<0B>0⋃{A>0B<0{A<0B>0⋃{A>0B<0 байна.\n |A|0y−x2<0 эсвэл (2){x+y−2<0y−x2>0(1){x+y−2>0y−x2<0 эсвэл (2){x+y−2<0y−x2>0\n болно.\n −2≤x+y≤2−2≤x+y≤2 тул"} +{"prompt":"Дараах рекуррент томъёогоор өгөгдсөн дарааллын эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол. a1=5a1=5, an−1⋅an=2an−1⋅an=2.","completion":"Заавар: an=2an−1an=2an−1 ашиглан эхний 10 гишүүнийг жагсааж бич.\nБодолт:"} +{"prompt":"Дараах тоонуудын аль нь |x−2|<5 тэнцэтгэл бишийг хангах вэ?","completion":"Заавар: x-ийн оронд орлуулж үнэн тэнцэтгэл биш үүсэх эсэхийг шалга.\nБодолт: x=0 нь |0−2|=|−2|=2<5 тул тэнцэтгэл бишийг хангаж байна."} +{"prompt":"Дараах тохиолдолуудад f(x)=ax2+bx+c квадрат функц хоёр бодит язгууртай болохыг батал.","completion":"Заавар:\nБодолт: f(α)f(β)<0 байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь f(α)<0, f(β)>0 эсвэл f(α)>0, f(β)<0 юм. f(x) тасралтгүй функц тул аль ч тохиолдолд ]α,β[ мужид f(x)=0 байх x оршин байна.\n a>0 бол af(α)<0-аас f(α)<0 болно. Дээшээ харсан парабол сөрөг утга авч байгаа тул f(x) параболын график x тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолно.\n\na<0 бол af(α)<0-аас f(α)>0 болно. Доошоо харсан парабол эерэг утга авч байгаа тул f(x) параболын график x тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолно. Иймд ax2+bx+c олон гишүүнт хоёр бодит язгууртай байна.\n a(a+b+c)=af(1)<0 тул өмнөх дүгнэлтээр хоёр бодит язгууртай.\n c(a−b+c)=f(0)f(−1)<0 тул эхний дүгнэлтээр хоёр бодит язгууртай."} +{"prompt":"Дараах тэгшитгэл тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: 3x=33⇒x=33x=33⇒x=3.\n (3x)2−6⋅3x−27=0⇒(3x+3)(3x−9)=0(3x)2−6⋅3x−27=0⇒(3x+3)(3x−9)=0. 3x+3>03x+3>0 тул 3x−9=0⇒3x=32⇒x=23x−9=0⇒3x=32⇒x=2.\n (12)x<(12)−3⇔x>−3(12)x<(12)−3⇔x>−3.\n 2⋅(2x)2−17⋅2x+8<0⇔(2x−8)(2⋅2x−1)<02⋅(2x)2−17⋅2x+8<0⇔(2x−8)(2⋅2x−1)<0 буюу 12<2x<812<2x<8. Эндээс −10D=(−3)2−4⋅2⋅(−2)=25>0 тул 2 бодит шийдтэй.\nx12=3±√254 буюу x1=2,x2=−12;x12=3±254 буюу x1=2,x2=−12;\n D=(−4)2−4⋅4⋅1=0D=(−4)2−4⋅4⋅1=0 тул давхар шийдтэй.\nx=4+02⋅4 буюу x1=x2=12;x=4+02⋅4 буюу x1=x2=12;\n D=(−4)2−4⋅2⋅3=−8<0D=(−4)2−4⋅2⋅3=−8<0 тул 2 комплекс шийдтэй.\nx12=4±√−82⋅2 буюу x1=2+√2i2,x2=2−√2i2.x12=4±−82⋅2 буюу x1=2+2i2,x2=2−2i2.\nБодолт: x3+27=(x+3)(x2−3x+9)=0 тул x+3=0 эсвэл x2−3x+9=0. Иймд \nx1=−3,x2,3=3±3√3i2.\n P(x)=x4−5x3+5x2+5x−6 гэвэл P(1)=14−5⋅13+5⋅12+5⋅1−6 тул (x−1)|P(x) буюу \nP(x)=(x−1)(x3−4x2+x+6)\nболно.\nQ(x)=x3−4x2+x+6 гэвэл Q(−1)=(−1)3−4(−1)2+(−1)+6=0 тул (x+1)∣Q(x) буюу \nQ(x)=(x+1)(x2−5x+6)=(x+1)(x−2)(x−3) болно. Иймд P(x)=(x−1)(x+1)(x−2)(x−3) буюу тэгшитгэлийн шийдүүд нь x=−1,1,2,3 байна."} +{"prompt":"Дараах тэнцэтгэл бишийг\nбод.","completion":"Заавар: Тригонометр тэнцэтгэл бишийг бодохдоо хувиргалтаар хялбар тэнцэтгэл бишид шилжүүлнэ. s=sin,c=cos,t=tg-ийн аль нэгнийх нь хувьд нэг хувьсагчийн тэнцэтгэл бишид шилжүүлэх эсвэл хялбар үржигдэхүүнд задлаж үржвэрийг 0-тэй жиших бодлогод шилжүүлнэ.\nБодолт: 2⋅(1−2sin2θ)+4sinθ+2√3+1≥0 буюу 4sin2θ−4sinθ−√3(2+√3)≤0.\nҮржигдэхүүн болгон задлавал (2sinθ+√3)(2sinθ−2−√3)≤0. Нөгөө талаас 2sinθ−2−√3<0 тул \n2sinθ+√3≥0 байна. sinθ≥−√32,\n0∘≤θ<360∘ тул\n0∘≤θ≤240∘,300∘≤θ<360∘.\n 2sinθ⋅cosθ02cosθ−1<0⋃{sinθ<02cosθ−1>0\nбайна. Систем тус бүрийг бодъё.\n sinθ>0 нь 0∘≤θ<180∘ ба 2cosθ−1<0 тооцвол 60∘<θ<180∘ юм.\n sinθ<0 нь 180∘<θ<360∘ ба\ncosθ>12 тооцвол 300∘<θ<360∘ юм. \n\nИймд \n\n60∘<θ<180∘ эсвэл 300∘<θ<360∘\n \nбайна."} +{"prompt":"Дараах тэнцэтгэл бишийг батал.\n∣∣1∫0(ax+b)(px+q)dx∣∣2≤1∫0(ax+b)2dx1∫0(px+q)2dx|∫01⁡(ax+b)(px+q)dx|2≤∫01⁡(ax+b)2dx∫01⁡(px+q)2dx","completion":"Заавар:\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийг B2≤A⋅CB2≤A⋅C хэлбэрт бичье.\nB2=(1∫0(apx2+(bp+aq)x+bq)dx)2==(ap3+bp+aq2+bq)2=((p3+q2)a+(p2+q)b)2=(p3+q2)2a2+2ab(p3+q2)(p2+q)+(p2+q2)b2B2=(∫01⁡(apx2+(bp+aq)x+bq)dx)2==(ap3+bp+aq2+bq)2=((p3+q2)a+(p2+q)b)2=(p3+q2)2a2+2ab(p3+q2)(p2+q)+(p2+q2)b2\nболно.\n\nA=1∫0(ax2+2ab+b2)dx=a3+ab+b2A=∫01⁡(ax2+2ab+b2)dx=a3+ab+b2\n\n\nба\n\nA⋅C=(a3+ab+b2)(p3+pq+q2)A⋅C=(a3+ab+b2)(p3+pq+q2)\n\n\nтул\nAC−B2=112a2q2−16abpq+112b2p2=112(aq−bp)2≥0AC−B2=112a2q2−16abpq+112b2p2=112(aq−bp)2≥0 гэдгээс AC≥B2AC≥B2 болж батлагдав."} +{"prompt":"Дараах тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: |x+3|≤2⇔−2≤x+3≤2⇔−5≤x≤−1 болно. Иймд x∈[−5;−1] байна.\n |x−4|>3⇔x−4<−3 эсвэл x−4>3 тул x∈]−∞;−1[∪]7;+∞[ байна.\n x<−1 үед |x+1|=−(x+1) тул \n−3(x+1)−2\nболох ба −20 бол |x|c⇔x<−c эсвэл x>c байна. \n\nМодулийн доторхи илэрхийллийн эерэг ба сөрөг байх мужуудыг тодорхойлж муж тус бүр дээр тодорхойлолт ашиглан модульгүй илэрхийлэлд шилжүүлэн бодох нь модультай тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш бодох ерөнхий арга юм.\nБодолт: |x−2|<4⇔−4−6−x⇔2−2x>−6−x⇔−x>−8 болох ба (−1)-д хувааж өгвөл x<8 болно. Мөн\n2x−3>−9⇔2x>−6⇔x>−3 тул −3−2\nэсвэл\n6x+2≥2⇔6x≥0⇔x≥0\nтул шийд нь −2−35\nба\n3x+4<2(3x−4)⇔−3x<−12⇔x>4\nбайх тул x>4 буюу x∈]4;+∞["} +{"prompt":"Дараах функцийн графикийг зур. Мөн y=sinθ-ийн график ба хамаарлыг ол.","completion":"Заавар: Графикийн хувиргалт:\n y=f(x−p)+q функцийн график нь y=f(x) функцийн графикийг x-тэнхлэгийн дагуу p\nнэгж, y тэнхлэгийн дагуу q нэгж параллелиар зөөхөд гарна.\n y=k⋅f(x) функцийн график нь y=f(x) функцийн графикийг y тэнхлэгийн дагуу k дахин сунгахад (агшаахад) гарна.\n y=f(hx) функцийн график нь y=f(x) функцийн графикийг x тэнхлэгийн дагуу 1\/h дахин сунгахад (агшаахад) гарна.\n y=f(x) функцийн үе a∘ бол f(hx)-ийн үе нь a∘|h| байна.\n \nТригонометр функцийн графикийг зурахад юуны өмнө\n Үеийг олох. sinθ,cosθ нь 360∘, tgθ нь 180∘\nүетэй.\n Утгын мужийг олох. (Үүнд −1≤sinθ≤1, −1≤cosθ≤1-ийг ашиглах).\n Тэгш функц, сондгой функц эсэхийг тогтоох хэрэгтэй.\nБодолт: y=sinx ��ункцийг y тэнхлэгийн дагуу 1 нэгжээр зөөнө. \n y=sin(x−60∘) функцийг x тэнхлэгийн дагуу 60∘ нэгжээр зөөнө. \n y=2sinx функцийг y тэнхлэгийн дагуу 2 дахин сунгана. \n y=sin2x функцийг x тэнхлэгийн дагуу 12 дахин сунгана (2 дахин агшаана)."} +{"prompt":"Дараах функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: y=−3x2−6x+5=−3(x+1)2+8 тул x=−1 үед хамгийн их\nутга нь y=8 болно. Харин хамгийн бага утга оршин байхгүй.\n y=4x2−8x−1=4(x−1)2−5 тул x=1 үед хамгийн бага утга нь y=−5\nболно. Харин хамгийн их утга оршин байхгүй."} +{"prompt":"Дараах функцүүдийн аль нь y′=2yy′=2y дифференциал тэгшитгэлийн шийд болох вэ?","completion":"Заавар: Шууд шалгаад ол.\nБодолт: y=e2xy=e2x үед y′=2e2xy′=2e2x тул y=e2xy=e2x шийд болно."} +{"prompt":"Дараах функцүүдийн аль нь тэгш вэ?","completion":"Заавар: Аливаа x∈Rx∈R тооны хувьд f(−x)=f(x)f(−x)=f(x) байх функцийг ол.\nБодолт: sinxsin⁡x, tgxtgx функцүүд нь сондгой функцүүд тул sin(−2x)=−sin2xsin⁡(−2x)=−sin⁡2x, tg(−x)=−tgxtg(−x)=−tgx юм.\nsin(−2x)3tg(−x)=−sin2x−3tgx=sin2x3tgxsin⁡(−2x)3tg(−x)=−sin⁡2x−3tgx=sin⁡2x3tgx\nтул y=sin2x3tgxy=sin⁡2x3tgx функц тэгш функц юм."} +{"prompt":"Дараах функцүүдийн экстремум утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: \n\nf(x)=x∫−3(t2−x)dt=(t33−xt)|x−3=(x33−x2)−((−3)33−x⋅(−3))=x33−x2−3x+9\nтул f′(x)=x2−2x−3=(x+1)(x−3)=0⇒x=−1 цэгт максимум утгатай, x=3 цэгт минимум утгатай.\nmaxf(x)=f(−1)=(−1)33−(−1)2−3⋅(−1)+9=1023\nminf(x)=f(3)=333−32−3⋅3+9=0\n f(x)=x+1∫x(t2−5t+7)dt⇒\nf′(x)=((x+1)2−5(x+1)+7)−(x2−5x+7)=2x−4\nтул x=2 цэгт минимум f(2)=∫32(t2−5t+7)dt=56 минимум утгатай."} +{"prompt":"Дараах функцүүдын уламжлал ба f′(2) утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: f′(x)=−6x, f′(2)=−6⋅2=−12\n f′(x)=12x2+2, f′(2)=12⋅22+2=50\n f′(x)=6x2+2x−9, f′(2)=6⋅22+2⋅2−9=19\n f′(x)=4x+1, f′(2)=4⋅+1=9\n f′(x)=12(2x+3)5, f′(2)=12⋅(2⋅2+3)5=12⋅75\n f′(x)=−6⋅(−2x+1)2, f′(2)=−6⋅(−2⋅2+1)2=−54"} +{"prompt":"Дараах функцүүдын экстремум утгуудыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: y′=4x3−12x2=4x2(x−3) юм. y′=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x=0,3 тул\n< center>\n\n\n % after : or \\cline{col1-col2} \\cline{col3-col4} ...\n x … 0 … 3 … \n \n y′ − 0 − 0 +\n \n y ↘ 0 ↘ −27 ↗ \n x=3 үед y=−27 минимум утга авна.\n x<0 үед y=−x(x2−5x+3) тул y′=−3x2+10x−3=−(x−3)(3x−1) байна.\nХарин x≥0 үед y=x(x2−5x+3) тул y′=3x2−10x+3=(x−3)(3x−1)\nбайна.\n< center>\n\n \n % after : or \\cline{col1-col2} \\cline{col3-col4} ...\n x … 0 … 1\/3 … 3 … \n \n y′ − 0 + 0 − 0 +\n \n y ↘ min ↗ max ↘ min ↗ \n\nx=0, x=3 үед y=0, y=−3 минимум утгуудыг, x=13 үед y=1327 максимум утгуудыг авна."} +{"prompt":"Дараах функцүүдээс аль нь [0,π] завсарт y=cosx функцийн урвуу нь болох вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: y=cosx функцийн урвуу нь y−1=arccosx байна."} +{"prompt":"Дараах функцүүдээс аль нь [−π2,π2] завсарт y=sinx функцийн урвуу нь болох вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: y=sinx функцийн урвуу нь y−1=arcsinx байна."} +{"prompt":"Дараах хязгааруудыг f(a)f(a) ба f′(a)f′(a)-аар илэрхийл.","completion":"Заавар:\nБодолт: limh→0f(a+2h)−f(a)h=limh→0f(a+2h)−f(a)2h⋅2=2⋅limh→0f(a+2h)−f(a)(a+2h)−alimh→0f(a+2h)−f(a)h=limh→0f(a+2h)−f(a)2h⋅2=2⋅limh→0f(a+2h)−f(a)(a+2h)−a болно.\nh→0h→0 үед a+2h→aa+2h→a тул 2f′(a)2f′(a) байна.\n f(a+2h)−f(a−h)=(f(a+2h)−f(a))−(f(a−h)−f(a))f(a+2h)−f(a−h)=(f(a+2h)−f(a))−(f(a−h)−f(a))\nтул \nlimh→0f(a+2h)−f(a−h)h=limh→0{f(a+2h)−f(a)h−f(a−h)−f(a)h}=limh→0f(a+2h)−f(a)h−limh→0f(a−h)−f(a)(a−h)−a⋅(−1)=2f′(a)−f′(a)⋅(−1)=3f′(a).limh→0f(a+2h)−f(a−h)h=limh→0{f(a+2h)−f(a)h−f(a−h)−f(a)h}=limh→0f(a+2h)−f(a)h−limh→0f(a−h)−f(a)(a���h)−a⋅(−1)=2f′(a)−f′(a)⋅(−1)=3f′(a).\n \nx2f(a)−a2f(x)=(x2f(a)−a2f(a))+(a2f(a)−a2f(x))=(x2−a2)f(a)+a2(f(a)−f(x))x2f(a)−a2f(x)=(x2f(a)−a2f(a))+(a2f(a)−a2f(x))=(x2−a2)f(a)+a2(f(a)−f(x))\nтул\nlimx→ax2f(a)−a2f(x)x−a=limx→a(x2−a2)f(a)x−a+limx→aa2(f(a)−f(x))x−a=limx→a(x+a)f(a)−limx→aa2⋅f(a)−f(x)a−x=2af(a)−a2f′(a)limx→ax2f(a)−a2f(x)x−a=limx→a(x2−a2)f(a)x−a+limx→aa2(f(a)−f(x))x−a=limx→a(x+a)f(a)−limx→aa2⋅f(a)−f(x)a−x=2af(a)−a2f′(a)"} +{"prompt":"Дараах хязгааруудыг бодож aa, f(a)f(a), f′(a)f′(a)-аар илэрхийл.","completion":"Заавар:\nБодолт: Уламжлалын тодорхойлолт ёсоор\nХяз.=limh→0f(a+4h)−f(a−2h)h=limh→0f(a+4h)−f(a)h−limh→0f(a−2h)−f(a)h=limh→0f(a+4h)−f(a)h−limh→0f(a−2h)−f(a)h=4⋅limh→0f(a+4h)−f(a)4h+2⋅limh→0f(a−2h)−f(a)−2h=4f′(a)+2f′(a)=6f′(a)Хяз.=limh→0f(a+4h)−f(a−2h)h=limh→0f(a+4h)−f(a)h−limh→0f(a−2h)−f(a)h=limh→0f(a+4h)−f(a)h−limh→0f(a−2h)−f(a)h=4⋅limh→0f(a+4h)−f(a)4h+2⋅limh→0f(a−2h)−f(a)−2h=4f′(a)+2f′(a)=6f′(a)\n Уламжлалын тодорхойлолт ёсоор\n(x3f(x))′∣∣x=a=limx→ax3f(x)−a3f(a)x−a(x3f(x))′|x=a=limx→ax3f(x)−a3f(a)x−a\nба үржвэрийн уламжлалын томьёо ашиглан уламжлалыг олбол\n(x3f(x))′=3x2f(x)+x3f′(x)(x3f(x))′=3x2f(x)+x3f′(x)\nтул\nlimx→ax3f(x)−a3f(a)x2−a2=limx→ax3f(x)−a3f(a)x−a⋅1x+a={3a2f(a)+a3f′(a)}⋅12a=3af(a)+a2f′(a)2limx→ax3f(x)−a3f(a)x2−a2=limx→ax3f(x)−a3f(a)x−a⋅1x+a={3a2f(a)+a3f′(a)}⋅12a=3af(a)+a2f′(a)2\nболно."} +{"prompt":"Дараах цуваануудын аль нь нийлдэг цуваа вэ?\n\nI. −1+1−1+⋯+(−1)n+⋯−1+1−1+⋯+(−1)n+⋯\n\nII. 11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)+⋯11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)+⋯\n\nIII. 1+12+13+⋯+1n+⋯1+12+13+⋯+1n+⋯\n\nIV. 1+2+3+⋯+n+⋯1+2+3+⋯+n+⋯\n\nV. 1+13+19+⋯+13n−1+⋯1+13+19+⋯+13n−1+⋯","completion":"Заавар: n∑k=11k≈lnn∑k=1n1k≈ln⁡n болохыг ашигла. I, V цувааны нийлбэрүүдийг шууд тооцоол.\nБодолт: I цувааны хэсгийн нийлбэрүүд нь −1−1, 00, −1−1, 0,…0,… тул нийлэхгүй.\n\nII цувааны хувьд n∑k=11n(n+1)=1−1n+1=nn+1∑k=1n1n(n+1)=1−1n+1=nn+1 хэсгийн нийлбэр нь 11 рүү нийлнэ.\n\nIII цуваа нь төгсгөлгүй өсөх тул нийлэхгүй.\n\nIV цувааны хувьд n∑k=11k≈lnn∑k=1n1k≈ln⁡n тул мөн төгсгөлгүй өснө. Иймд нийлэхгүй.\n\nV цуваа нь төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр тул 11−13=3211−13=32 байна."} +{"prompt":"Дараах шугаман функцийн графикийг өгөгдсөн мужид байгуулж хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: y=5x−2y=5x−2-ийн хувьд x=0x=0 үед y=5⋅0−2=−2y=5⋅0−2=−2, x=3x=3 үед y=5⋅3−2=13y=5⋅3−2=13 байна.\n\nГрафикаас харахад хамгийн их утга нь x=3x=3 үед 1313, хамгийн бага утга нь x=0x=0 үед −2−2 байна.\n y=−3x+1y=−3x+1-ийн хувьд x=−1x=−1 үед y=−3⋅(−1)+1=4y=−3⋅(−1)+1=4, x=2x=2 үед y=−3⋅2+1=−5y=−3⋅2+1=−5 байна.\n\nГрафикаас харахад хамгийн бага утга нь x=2x=2 үед −5−5, хамгийн их утга байхгүй байна.\nЗаавар: Шугаман функцийн график нь шулуун гарах тул уг шулуун дээрх 2 цэгийг байгуулахад хангалттай.\nБодолт: y=−2x+1y=−2x+1-ийн хувьд x=−1x=−1 үед y=−2⋅(−1)+1=3y=−2⋅(−1)+1=3, x=2x=2 үед y=−2⋅2+1=−3y=−2⋅2+1=−3 байна.\n\nГрафикаас харахад хамгийн их утга нь x=−1x=−1 үед 33, хамгийн бага утга нь x=2x=2 үед −3−3 байна.\n y=2x−4y=2x−4-ийн хувьд x=0x=0 үед y=2⋅0−4=−4y=2⋅0−4=−4, x=3x=3 үед y=2⋅3−4=2y=2⋅3−4=2 байна.\n\nГрафикаас харахад хамгийн бага утга нь x=0x=0 үед −4−4, хамгийн их утга байхгүй байна."} +{"prompt":"Дараах шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: y=x3−3x2 ба x тэнхлэгийн огтлолцлын цэгүүд нь x3−3x2=0⇒x1=0, x2=3. Иймд\nS=−∫30x(x−3)2dx=−x⋅(x−3)33|30+∫30(x−3)33dx=−x(x−3)33|30+(x−3)412|30=274\n y=x4−4x2,y=x2−4 муруйнуудын огтлолцлын цэгүүд нь x4−4x2=x2−4⇒x1=−2, x2=−1, x3=1, x4=2 байна. Иймд\nS=−∫−1−2(x4−5x2+4)dx+∫1−1(x4−5x2+4)dx−∫21(x4−5x2+4)dx=−(x55−5x33+4x)|−1−2+(x55−5x33+4x)|−1−1−(x55−5x33+4x)|21=2215+7615+2215=12015=8\n C:y=x3−x, C муруйн P(t,t3−t) цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл\ny=(3t2−1)(x−t)+t3−t\nбайна.\nx3−x=(3t2−1)(x−t)+t3−t⇒(x+2t)(x−t)2=0\nтул шүргэгч шулуун C-тэй P-ээс гадна Q(−2t,−8t3+2t) цэгт огтлолцоно. t>0 гэвэл\nS=∫t−2t(x+2t)(x−t)2dt=(x+2t)⋅(x−t)34|−2t−2t−∫t−2t(x−t)33dt=(x+2t)⋅(x−t)34|−2t−2t−(x−t)412|−2t−2t=(3t)412=27t44\n\nt<0 үед мөн адил\nS=−∫−2tt(x+2t)(x−t)2dt=27t44\nбайна."} +{"prompt":"Дугуйд зургаан радиус татаж түүнийг зургаан секторт хуваажээ. Дугуй дотроос 19 цэг санамсаргүй сонгоход аль нь ч татсан радиусууд дээр оршихгүй байв. Дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь үнэн бэ?\n\nI. Зарим сектор хамгийн цөөндөө 4 цэг агуулна\n\nII. 3-аас илүүгүй цэг агуулсан сектор заавал олдоно.\n\nIII. Зарим хөрш хоёр сектор нийт 7-оос цөөнгүй цэг агуулна.","completion":"Заавар: Хэрвээ бүх секторт хамгийн олондоо 3 цэг байдаг гэвэл нийт цэгийн тоо хамгийн ихдээ хэдэн цэг байх вэ?\n\nБүгд 3-аас илүү бол хамгийн цөөндөө хэдэн цэг байх вэ?\n\nХэрвээ аль ч хөрш хоёр секторт хамгийн ихдээ 6 цэг байсан гэвэл нийт 6 хос хөршид давхардсан тоогоор хамгийн ихдээ 36 цэг байна. Гэтэл сектор бүр 2 хөрштэй тул цэг бүр яг 2 удаа тоологдох учир энэ тоо 18 байх ёстой.\nБодолт: Хэрвээ бүх секторт хамгийн олондоо 3 цэг байдаг гэвэл нийт цэгийн тоо хамгийн ихдээ 6×3=186×3=18 цэг болоход хүрнэ. Иймд I нь үнэн байна.\n\nБүгд 3-аас илүү бол хамгийн цөөндөө 6×4=246×4=24 цэг байх шаардлагатай. Иймд II нь үнэн байна.\n\nХэрвээ аль ч хөрш хоёр секторт хамгийн ихдээ 6 цэг байсан гэвэл нийт 6 хос хөршид давхардсан тоогоор хамгийн ихдээ 36 цэг байна. Гэтэл сектор бүр 2 хөрштэй тул цэг бүр яг 2 удаа тоологдох учир энэ тоо 18 байх ёстой. Бидэнд 19 цэг өгсөн тул зарим хөрш секторт нийт 7-оос цөөнгүй цэг байх шаардлагай. Иймд III мөн адил үнэн байна.\n\nИймд гурвуулаа үнэн байжээ."} +{"prompt":"Дугуйд таван радиус татаж түүнийг таван секторт хуваажээ. Дугуй дотроос 21 цэг санамсаргүй сонгоход аль нь ч радиус дээр оршихгүй байв. Дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь үнэн бэ?\n\nI. Зарим сектор хамгийн цөөндөө 5 цэг агуулна\n\nII. Зарим сектор хамгийн олондоо 3 цэг агуулна.\n\nIII. Зарим хөрш хоёр сектор нийт 9-өөс цөөнгүй цэг агуулна.","completion":"Заавар: Хэрвээ бүх секторт хамгийн олондоо 4 цэг байдаг гэвэл нийт цэгийн тоо хамгийн ихдээ 20 болох тул I нь үргэлж үнэн байна.\n\nХэрвээ аль ч хөрш хоёр секторт хамгийн ихдээ 8 цэг байсан гэвэл нийт 5 хос хөршид давхардсан тоогоор хамгийн ихдээ 40 цэг байна. Гэтэл сектор бүр 2 хөрштэй тул цэг бүр яг 2 удаа тоологдох учир энэ тоо 42 байх ёстой. Иймд ядаж 9 цэгтэй сектор олдоно. II нь үргэлж үнэн байж чадахгүйг харуул.\nБодолт: Хэрвээ бүх секторт хамгийн олондоо 4 цэг байдаг гэвэл нийт цэгийн тоо хамгийн ихдээ 20 болох тул I нь үргэлж үнэн байна.\n\nСекторуудад 5,4,4,4,4 цэгүүд байж болох ба энэ тохиолдолд II өгүүлбэр худал байна. Хэдийгээр II өгүүлбэр үнэн байхаар хуваалт олдох боловч бүх хуваалтанд дээрх өгүүлбэр үнэн биш тул худал өгүүлбэр байна.\nХэрвээ аль ч хөрш хоёр секторт хамгийн ихдээ 8 цэг байсан гэвэл нийт 5 хос хөршид давхардсан тоогоор хамгийн ихдээ 40 цэг байна. Гэтэл сектор бүр 2 хөрштэй тул цэг бүр яг 2 удаа тоологдох учир энэ тоо 42 байх ёстой. Иймд ядаж 9 цэгтэй хөгш секторууд олдоно. Иймд зөв хариулт нь D.\n\nТайлбар."} +{"prompt":"Дугуйтай хүн өгсүүр газар 5 км\/цаг, тэгш газар 10 км\/цаг , уруу газар 12 км\/цаг хурдтай явдаг байв. A хотоос B хот хүртэлх замын 5 км нь өгсүүр, 10 км нь тэгш, 12 км нь уруу зам байдаг бол дугуйтай хүн A хотоос B хот хүрэхдээ ямар дундаж хурдтай явдаг вэ?","completion":"Заавар: Нийт замын урт 5+10+12=27 км. Нийт хэдэн цаг явах бэ?\n\nУрвуу, тэгш, өгсүүр тус бүрээр 1 цаг явах тул нийт 3 цаг явна. Иймд дундаж хурд нь 27\/3=9 байна.\nБодолт: Урвуу, тэгш, өгсүүр тус бүрээр 1 цаг явах тул нийт 3 цаг явна. Иймд дундаж хурд нь 27\/3=9 байна.\nЗаавар: Нийт замын урт 5+10+12=27 км. Нийт хэдэн цаг явах бэ?"} +{"prompt":"Дурын n натурал тооны хувьд n5−n тоог хуваадаг тоо аль нь вэ?","completion":"Заавар: n-ийн бүх утганд биелэх тул n=1,2,3,… тоонуудын хувьд биелэх ёстой.\nБодолт: n=2 үед 25−2=30 нь зөвхөн 30-д хуваагдана. Иймд зөв хариулт нь E байна."} +{"prompt":"Дурын xx-ийн хувьд x∫af(t)dt=x2−1∫axf(t)dt=x2−1 нөхцөлийг хангах aa тоо болон f(x)f(x) функцийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: ∫aaf(t)dt=a2−1=0∫aaf(t)dt=a2−1=0 учир a=±1a=±1\nболно. Түүнчлэн \nf(x)=(∫xaf(t)dt)′=(x2−1)′=2xf(x)=(∫axf(t)dt)′=(x2−1)′=2x\nбайна."} +{"prompt":"Дурын натурал N∋nN∋n тооны хувьд n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1) тоо аль тоонд хуваагдах вэ?","completion":"Заавар: 12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)612+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6\nбайдаг.\nБодолт: Эхний nn ширхэг натурал тооны квадратуудын нийлбэр бүхэл тоо тул n(n+1)(2n+1)6n(n+1)(2n+1)6 тоо бүхэл буюу n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1) тоо дурын натурал nn тооны хувьд 66-д хуваагдана.\n\nСанамж: nn-ийн дурын утганд хуваагдах ёстой тул n=1n=1 тохиолдолд шалгаад зөв хариуг олж болно. n=1n=1 бол 1⋅(1+1)⋅(2⋅1+1)=61⋅(1+1)⋅(2⋅1+1)=6 байна. Энэ тоо өгөгдсөн тоонуудаас зөвхөн 66-д хуваагдана."} +{"prompt":"Дурын натурал N∋nN∋n тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?","completion":"Заавар: nn-ийн утгуудад шалгаж үз.\nБодолт: n=1n=1 үед 1!=101!=10 тул C, D хариултууд буруу байна. n=3n=3 үед 3!=63!=6 ба 33−1=32=933−1=32=9 тул B, E хариултууд буруу болно. Иймд зөвхөн A хариулт үнэн байна. Үүнийг математик индукцийн арга ашиглан хялбархан баталж болно."} +{"prompt":"Дурын натурал nn-ийн утганд тэгш бүхэл тоон утгатай байх илэрхийллэл аль нь вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Дараалсан хоёр натурал тооны нэг нь тэгш тул үржвэр нь тэгш. Иймд n2+n=n(n+1)n2+n=n(n+1) үргэлж тэгш байна. Харин 2n+2n−12n+2n−1 нь n=1n=1 үед 21+20=321+20=3 буюу тэгш байж чадахгүй. Бусдыг нь n=1;2n=1;2 үед шалгаад сондгой байж болохыг хялбархан харж болно."} +{"prompt":"Дэлгүүр 2 төрлийн бараа хүлээж авчээ. Хэрэв бүх барааг ижил үнээр зарвал ашиг нь 1-р төрлийн барааг дээрх үнээр, 2-р төрлийн барааг түүнээс 25%25%-р илүү үнээр зарснаас 15%15%-аар бага байх байв. 2-р төрлийн бараанаас 48 кг-ийг хүлээн авсан бол 1-р төрлийн бараанаас хэдэн кг-ийг хүлээн авсан бэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: I төрлийн бараанаас xx кг байсан гэе. Хэрвээ нэг бүрийг нь z≠0z≠0 төгрөгөөр зарвал нийт орлого нь (x+48)z(x+48)z байна. II төрлийн барааг 25%25% илүү үнээр зарвал нийт орлого нь xz+48z⋅(1+25100)xz+48z⋅(1+25100) болох ба үүний 100%−15%=85%100%−15%=85% нь (xz+48z⋅(1+25100))⋅85100(xz+48z⋅(1+25100))⋅85100 байна. Иймд\n(x+48)z=(xz+48z⋅(1+25100))⋅85100(x+48)z=(xz+48z⋅(1+25100))⋅85100 буюу\nx+48=(x+48⋅1.25)⋅0.85⇒0.15x=(1.25⋅0.85−1)⋅48⇒x=20.x+48=(x+48⋅1.25)⋅0.85⇒0.15x=(1.25⋅0.85−1)⋅48⇒x=20."} +{"prompt":"Дэлгүүр 4 өдөр гурил зарав. I өдөр 240 кг, II өдөр 286 кг, III өдөр 258 кг гурил заржээ. Өдөрт дундажаар 264 кг гурил зарсан бол IV өдөр хэдэн кг гурил зарсан бэ?","completion":"Заавар: Нийт хэдэн кг гурил зарсан бэ?\nБодолт: 4 өдөрт нийт 264⋅4=1056264⋅4=1056 кг зарсан. Иймд IV өдөр\n1056−240−286−258=2721056−240−286−258=272 кг гурил заржээ."} +{"prompt":"Жигмэд, Тогмид хоёр жимсэнд хамт явжээ. Жигмэд түүсэн жимснийхээ тэн хагасыг тэсгэлгүй идчихэв. Тогмид түүсэн жимснийхээ 1313-ийг түүнд өгвөл тэнцүү жимстэй болцгоох бол анх Тогмид Жигмэдээс хэд дахин их жимс түүсэн бэ?","completion":"Заавар: Тогмид 3 хэсэг жимс түүсэн гээд бод.\nБодолт:\nБодолт: Тогмид 3 хэсгийнхээ нэгийг Жигмэдэд өгөөд өөрөө 2 хэсэг жимстэй үлдэнэ. Жигмэд Тогмидоос 1 хэсэг аваад 2 хэсэг жимстэй болох тул өөрт нь 1 хэсэг жимс үлдсэн байжээ. Энэ нь түүний түүсэн жимсний хагас тул 2 хэсэг жимс түүжээ. Иймд Тогмид Жигмэдээс 32=1.532=1.5 дахин их жимс түүсэн байна."} +{"prompt":"Жилийн дотор долларын төгрөгтэй харьцах ханш 25%25%-р өсөв. Харин төгрөгийн евротой харьцах ханш 20%20%-р буужээ. Долларын евротой харьцах ханш хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Анх D=αTD=αT, T=βET=βE байсан гэвэл D=αβED=αβE байна. Жилийн дараа D′=1,25αT′D′=1,25αT′, T′=0,8βE′T′=0,8βE′ болох тул D′=1,25⋅0,8αβE′=αβE′D′=1,25⋅0,8αβE′=αβE′ тул ханш өөрчлөгдөөгүй байна."} +{"prompt":"Жилийн өмнө ах дүү гурвын нас нийлбэр нь 12-той тэнцүү, арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Ноднин шинээр төрсөн дүүг нь оролцуулбал ах дүүсийн нас мөн л арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байгаа бол том ах нь энэ жил хэдэн настай вэ? Хүүхдүүдийн нас бүхэл тоо бөгөөд шинэ жилээр нас нэмнэ гэж тооц.","completion":"Заавар: x, y, z нь арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд бол x+z=2y байдаг.\nБодолт: Ах дүү гурвын насыг өсөх дарааллаараа x, y, z гэвэл x+z=2y ба \n(x−1)+(y−1)+(z−1)=3y−3=12\nбайна. Иймд y=5. Шинээр төрсөн дүү нь энэ жил 1 настай. Иймд d=5−12=2 тул том ах нь z=5+2=7 настай."} +{"prompt":"Жуулчид 3 өдөр дугуйгаар аялахдаа эхний өдөр бүх замын 1313-ээс 2 км дутуу, дараагийн өдөр үлдсэний хагасаас 3 км бага, сүүлийн өдөр үлдэгдлийн 8989 дээр 6 км явж дуусгажээ. Нийт замыг ол.","completion":"Заавар: Энэ төрлийн бодлогыг сүүлийн өдөр явсан замаас нь хөөж урагшлуулж бодно.\nБодолт: Сүүлийн өдрийн 1−89=191−89=19 хэсэг нь 6 км тул сүүлийн өдөр 6⋅9=546⋅9=54 км зам явсан. Энэ нь 2 дахь өдөр эхлэхэд үлдсэн замын хагасаас 3 км илүү байна. Иймд 2 дахь өдөр эхлэхэд (54−3)⋅2=102(54−3)⋅2=102 км үлдсэн байжээ. Энэ нь нийт замын 2323-оос 2 км илүү тул нийт замын 2323 нь 102−2=100102−2=100 км. Иймд нийт зам нь 100⋅32=150100⋅32=150 км байжээ."} +{"prompt":"Захаас лууван төмс байцаа худалдан авчээ. Байцааны жин төмснийхөөс 38%38%-аар илүү, харин луувангийн жин төмснийхөөс 40%40%-аар бага байв. Худалдан авсан нийт ногооны жин 14.914.9 кг болсон бол хэдэн кг байцаа авсан бэ?","completion":"Заавар: Пропорц зохиож бод.\nБодолт: Төмсний жинг 100%100% гэвэл байцааных 138%138%, луувангийх 60%60% ба нийт жин нь 298%298% болно. 298%298% нь 14.914.9 кг болно. \n138%138% нь \n298%−14.9 кг138%−x кг298%−14.9 кг138%−x кг пропорцийг бодвол x=138%⋅14.9298%=138⋅14.92⋅149=13.82=6.9x=138%⋅14.9298%=138⋅14.92⋅149=13.82=6.9 кг болно."} +{"prompt":"Зураг дээр сарын гуравнаас арван тавны өдрүүдийн хур тунадсаны хэмжээг тэмдэглэсэн байна. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу сарын өдрүүд, босоо тэнхлэгийн дагуу хоногт унасан хур тунадасны хэмээг миллиметрээр тэмдэглэсэн байна. Эдгээр өдрүүдээс хэдэд нь 2-оос илүүгүй мм-ээс бага хур тунадас орсон, эсвэл огт хур тунадас ороогүй байна вэ?","completion":"Заавар: Нөхцөлд тохирох өдрүүдийг жагсааж бич\nБодолт: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14-ны өдрүүдэд 2 буюу түүнээс доош мм тунадас унасан тул 9 буюу С хариулт байна."} +{"prompt":"Зурагт f(x) функцийн график дүрслэгджээ. f(x)≥0 тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: Шийд нь графикийн OX тэнхлэгээс дээш орших хэсэгт харгалзана. Нийт хэдэн интервал байна вэ?\nБодолт: 3 хэсэгт график OX тэнхлэгээс дээш байгаа тул шийд нь 3 интервалын нэгдэл байна. Эдгээр интервалууд нь [−6;−5], [−3;0], [3;4] тул шийд нь [−6;−5]∪[−3;0]∪[3;4] байна.\n\nЖич: Энэ бодлогыг бодох арга нь тэнцэтгэл бишийг бодох интервалын арга юм."} +{"prompt":"Зурагт y=logax функцийн графикийг үзүүлэв. a, b, c-г ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: (12,1) цэг график дээр орших тул 1=loga12⇒a=12. b нь OX тэнхлэгийг огтлох цэгийн абсцисс тул 0=log12b⇒b=1, (4,c) цэг график дээр орших тул c=log124⇒c=−2 байна."} +{"prompt":"Зурагт дүрслэгдсэн шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.","completion":"Заавар: Шулууны өнцгийн коэффициент нь уг шулууны OX тэнхлэгтэй цагийн зүүний эсрэг чиглэлд үүсгэх өнцгийн тангес юм.\nБодолт: Өнцгийн коэффициент нь tg45∘=1 байна."} +{"prompt":"Зурагт дүрслэгдсэн шулууны өнцгийн коэффициентийг ол. \n%","completion":"Заавар: Өнцгийн коэффициент нь tg60∘ байна.\nБодолт: Өнцгийн коэффициент нь tg60∘=√3."} +{"prompt":"Зурагт үзүүлсэн цэгийн олонлог аль тэнцэтгэл бишийн шийд болох вэ?","completion":"Заавар: y>f(x) тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь y=f(x) функцийн графикаас дээш орших цэгүүдийн олонлог байна.\nБодолт: (0,1) ба (−12,0) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь x−0−12−0=y−10−1⇔y=2x+1 байна. Бидний хайж буй муж нь координатын хавтгайн дээрх шулуунаас дээших муж тул y>2x+1 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж байна."} +{"prompt":"Зурагт өгөгдсөн кубийн A1B1A1B1 ба D1C1D1C1 ирмэгүүд дээр харгалзан NN ,MM цэгүүдийг, A1N:NB1=2:3A1N:NB1=2:3 , D1M:МC1=2:3D1M:МC1=2:3 байхаар авчээ. Кубийг MNBCMNBC хавтгайгаар огтлоход үүссэн BB1NCC1MBB1NCC1M ба ABNA1DCMD1ABNA1DCMD1 призмүүдийн эзлэхүүний харьцааг олоорой.","completion":"Заавар:\nБодолт: \nABCDABCD дөрвөн өнцөгтийг координатын хавтгай дээр байгуулахад 44, 88 нэгж суурьтай 88 нэгж өндөртэй трапец үүсэх бөгөөд түүний талбай нь\nSABCD=4+82⋅8=48SABCD=4+82⋅8=48\nболно. \nS1=∫2−2[8−(x2+4)]dx=∫2−2(4−x2)dx=(4x−x33)∣∣∣−2−2=323S1=∫−22[8−(x2+4)]dx=∫−22(4−x2)dx=(4x−x33)|−2−2=323\nS2=48−323=1123S2=48−323=1123\nтул\nS1:S2=323:1123=32112=2:7S1:S2=323:1123=32112=2:7\nбайна."} +{"prompt":"Зуурмаг бэлтгэхэд цемент, элс, ус 3:3:1.2 харьцаатай ордог бол: а. 72 кг б. 180 кг в. 252 кг зуурмаг бэлтгэхэд хэдэн кг цемент орох вэ?","completion":"Заавар: Харьцааг ойлгох\nБодолт: 2x+3x+1.2x=72"} +{"prompt":"Ижил хэмжээний 2 аягыг хярмаар дүүргэв. Сүү ба усны харьцаа I аяганд 1:2, II аяганд 3:2 байв. Тэдгээрийг нэг саванд юүлбэл ус ба сүүний харьцаа ямар байх вэ?","completion":"Заавар: Нэг аяган дахь хярамны хэмжээг 1 бүхэл гэж үзээд нийт сүү бай усын хэмжээг ол.\nБодолт: Эхний аяган дахь сүүний хэмжээ 11+2=13, усны хэмжээ 21+2=23; хоёр дахь аяган дахь сүүний хэмжээ 33+2=35, усны хэмжээ 23+2=25 тул нийт 13+35=1415 сүү, 23+25=1615 ус байна. Иймд харьцаа нь 1415:1615=7:8 байна."} +{"prompt":"Илэрхийллийг шугаман үржигдэхүүнд задал.","completion":"Заавар: ax2+bx+c олон гишүүнтийн язгуурууд нь α, β бол ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)\nбайна.\nБодолт: x2+2x−1 олон гишүүнтийн язгуурууд α=−1+√2, β=−1−√2 тул\nx2+2x−1=(x+1−√2)(x+1+√2).\n x2=t гэж орлуулбал t2−5t−36=0 болох бөгөөд шийдүүд нь t1=9, t2=−4 тул t2−5t−36=(t−9)(t+4) буюу\nx4−5x2−36=(x2−9)(x2+4)=(x−3)(x+3)(x2+4)\nболно. Үүнийг цааш нь комплекс тоо ашиглан \nx4−5x2−36=(x−3)(x+3)(x−2i)(x+2i)\nгэж шугаман үржигдэхүүнд задлаж болно."} +{"prompt":"Интеграл ашиглан дараах биеийн эзлэхүүнийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: O(0,0),A(h,r)O(0,0),A(h,r) гэвэл OAOA хэрчмийг xx\nтэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд rr радиустай, hh өндөртэй конус\nүүснэ. OA:y=rhx(0≤x≤h)OA:y=rhx(0≤x≤h) тул\nV=πh∫0(rhx)2dx=πr2h2(x33)∣∣∣h0=13πr2hV=π∫0h⁡(rhx)2dx=πr2h2(x33)|0h=13πr2h болно.\n x2+y2=r2x2+y2=r2\nтэгшитгэлтэй тойргийг xx тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд rr\nрадиустай бөмбөрцөг үүснэ. y2=r2−x2y2=r2−x2 тул\nV=πr∫−r(r2−x2)dx=π(r2x−x33)∣∣∣r−r=43πr3V=π∫−rr⁡(r2−x2)dx=π(r2x−x33)|−rr=43πr3 болно."} +{"prompt":"Интеграл бод.\n∫6x2+4x−√3−sin2xdx∫6x2+4x−3−sin⁡2xdx","completion":"Заавар:\nБодолт: ∫6x2+4x−√3−sin2xdx=∫6x2dx+∫4xdx−∫√3dx−∫6x2+4x−3−sin⁡2xdx=∫6x2dx+∫4xdx−∫3dx−\n−∫sin2xdx=2x3+2x2−√3x+12cos2x+C.−∫sin⁡2xdx=2x3+2x2−3x+12cos⁡2x+C."} +{"prompt":"Квадрат суурьтай тэгш өнцөгт параллелепипедын аль нэгээс оройгоос гарсан гурван ирмэгүүдийн нийлбэр 256 см бол бүтэн гадаргуу нь хамгийн их байхааар суурын ирмэгийг яаж сонгож авах вэ?","completion":"Заавар: 2x+y=256, S=x2+2xy байна.\nБодолт: S(x)=x2+2x(256−2x)=512x−3x2\nба\nS′(x)=512−6x=0⇒x=2563\nтул ХИ утгаа x=2563 үед авна.\n\nСанамж: Бидний ХИУ-г нь олох функцийн маань график доошоо харсан парабол хэлбэрийн дүрс тул экстремумын цэг нь максимум утгаа авах цэг байна."} +{"prompt":"Квадрат тэгшитгэл зохиох.","completion":"Заавар: x2−2x+5=0x2−2x+5=0 тэгшитгэлийн шийдүүд нь αα, ββ бол дараах тоонууд шийд нь болох квадрат тэгшитгэл зохио.\n 2α−12α−1, 2β−12β−1 \n α2α2, β2β2 \n 1α1α, 1β1β.\n\nα+β=2α+β=2, αβ=5αβ=5\nБодолт: \n (x−3)(x+5)=x2+2x−15=0(x−3)(x+5)=x2+2x−15=0\n (x−2−√3)(x−2+√3)=(x−2)2−(√3)2=x2−4x+1=0(x−2−3)(x−2+3)=(x−2)2−(3)2=x2−4x+1=0\n (x−3−5i)(x−3+5i)=(x−3)2−(5i)2=x2−6x+34=0(x−3−5i)(x−3+5i)=(x−3)2−(5i)2=x2−6x+34=0\n\n Виетийн теоремоор α+β=2α+β=2, αβ=5αβ=5 байна.\n {(2α−1)+(2β−1)=2(α+β)−2=2⋅2−2=2(2α−1)⋅(2β−1)=4αβ−2(α+β)+1=4⋅5−2⋅2+1=17{(2α−1)+(2β−1)=2(α+β)−2=2⋅2−2=2(2α−1)⋅(2β−1)=4αβ−2(α+β)+1=4⋅5−2⋅2+1=17\nтул x2−2x+1=17x2−2x+1=17 байна.\n {α2+β2=(α+β)2−2αβ=22−2⋅5=−6α2⋅β2=52=25{α2+β2=(α+β)2−2αβ=22−2⋅5=−6α2⋅β2=52=25\nтул x2+6x+25=0x2+6x+25=0 байна.\n ⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩1α+1β=α+βαβ=251α⋅1β=15{1α+1β=α+βαβ=251α⋅1β=15\nтул x2−25x+15=0x2−25x+15=0 буюу\n5x2−2x+1=05x2−2x+1=0 байна.\n\n\n x2−7x+3=0x2−7x+3=0 тэгшитгэлийн шийд буюу 7+√3727+372, 7−√3727−372.\n x2−x+1=0x2−x+1=0 тэгшитгэлийн шийд буюу 1+√3i21+3i2, 1−√3i21−3i2."} +{"prompt":"Квадратуудын ялгаврын томьёо ашиглан үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: Квадратуудын ялгаврын томьёо ашигла.\na2−b2=(a−b)(a+b)\nБодолт: 25m2−4n2=(5m)2−(2n)2=(5m−2n)(5m+2n)\n 1−a2=12−a2=(1−a)(1+a)\n 64c2−169d2=(8c)2−(13d)2=(8c−13d)(8c+13d)\n s2−100t2=s2−(10t)2=(s−10t)(s+10t)\n 25−9t2=52−(3t)2=(5−3t)(5+3t)"} +{"prompt":"Квадратын талын уртыг 10%10% ихэсгэхэд талбай нь хэдэн хувиар ихсэх вэ?","completion":"Заавар: Квадратын талын уртыг aa гэвэл шинэ квадртын талын урт 110100a=1.1a110100a=1.1a байна.\nБодолт: Квадратын талын урт 1.1a1.1a болох тул талбай нь\n(1.1a)2=121100a2=(1+21100)a2(1.1a)2=121100a2=(1+21100)a2\nболно. Иймд талбай нь 21%21%-иар ихэснэ."} +{"prompt":"Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг 60∘60∘-ийн эргүүлэлт ба →(v=3→(i+5→(j(v→=3(i→+5(j→ векторын дагуух параллел зөөлтийг дараалан хэрэглэхэд A(2,0)A(2,0) цэг ямар координаттай цэгт очих вэ?","completion":"Заавар: (x′y′)=(cos60∘−sin60∘sin60∘−cos60∘)(xy)+(35)(x′y′)=(cos⁡60∘−sin⁡60∘sin⁡60∘−cos⁡60∘)(xy)+(35)\nБодолт: (x′y′)=(cos60∘−sin60∘sin60∘−cos60∘)(20)+(35)=⎛⎜\n⎜\n⎜⎝12−√32√32−12⎞⎟\n⎟\n⎟⎠(20)+(35)=⎛⎜\n⎜\n⎜⎝12⋅2−√32⋅0√32⋅2+12⋅0⎞⎟\n⎟\n⎟⎠+(35)=(1√3)+(35)=(45+√3)(x′y′)=(cos⁡60∘−sin⁡60∘sin⁡60∘−cos⁡60∘)(20)+(35)=(12−3232−12)(20)+(35)=(12⋅2−32⋅032⋅2+12⋅0)+(35)=(13)+(35)=(45+3)"} +{"prompt":"Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг чиглэлд αα өнцгөөр эргүүлэх хувиргалтын матрицыг ол.","completion":"Заавар: (1,0)(1,0) цэг (cosα,sinα)(cos⁡α,sin⁡α) цэгт, (0,1)(0,1) цэг (cos(90∘+α),sin(90∘+α))(cos⁡(90∘+α),sin⁡(90∘+α)) цэг бууна.\nБодолт: Хувиргалтын матрицыг AA гэвэл\nA(1001)=(cosαcos(90∘+α)sinαsin(90∘+α))A(1001)=(cos⁡αcos⁡(90∘+α)sin⁡αsin⁡(90∘+α))\nбайна. (1001)(1001) нь нэгж матриц ба эмхэтгэлийн томьёо тооцвол\nA=(cosα−sinαsinα−cosα)A=(cos⁡α−sin⁡αsin⁡α−cos⁡α)\nбайна."} +{"prompt":"Косинус нь −1-тэй тэнцүү өнцгүүд аль нь вэ?","completion":"Заавар: \nТригонометрийн утгуудыг нэгж тойрог ашиглан харахад хялбар байдаг.\nБодолт: Зургаас харахад ганц π өнцөг дээр нь косинус −1 байна. Косинус нь 2π үетэй тул π+2πk=π(2k+1) өнцгүүд дээр −1 байна."} +{"prompt":"Кубийн ирмэгийг 10%10% багасгахад бүтэн гадаргуу нь хэдэн хувиар багасах вэ?","completion":"Заавар: n%n% хувь багасгахад шугаман хэмжээ нь 1−n1001−n100 дахин үржигдэнэ.\nБодолт: Ирмэгийн урт нь 1−10100=0.91−10100=0.9 дахин ихсэх тул талбай нь 0.92=0.810.92=0.81 дахин ихсэнэ. Иймд хэмжээ нь 1−0.81=0.191−0.81=0.19 буюу 19%19% хувь багасна."} +{"prompt":"Кубийн ирмэгийг 10%10% ихэсгэхэд бүтэн гадаргуу нь хэдэн хувиар ихсэх вэ?","completion":"Заавар: n%n% хувь ихэсгэхэд шугаман хэмжээ нь 1+n1001+n100 дахин үржигдэнэ.\nБодолт: Ирмэгийн урт нь 1+10100=1.11+10100=1.1 дахин ихсэх тул талбай нь 1.12=1.211.12=1.21 дахин ихсэнэ. Иймд хэмжээ нь 1.21−1=0.211.21−1=0.21 буюу 21%21% хувь ихсэнэ."} +{"prompt":"Манай анги 29-өөс олон 43-аас цөөн сурагчидтай, 5959 нь охид бол хэдэн хөвгүүдтэй вэ?","completion":"Заавар: 5959 хэсэг нь бүхэл тоо байх ёстой тул ангийн нийт сурагчдын тоо 99-д хуваагдана.\nБодолт: 29-өөс их, 43-аас цөөн 9-д хуваагдах тоо нь зөвхөн 36 тул ангийн сурагчдын тоо 36. Үүнээс 59⋅36=2059⋅36=20 нь охид тул үлдэх 36−20=1636−20=16 нь хөвгүүд байна."} +{"prompt":"Математикийн хичээлийн шалгалтанд ангийн хөвгүүдийн авсан онооны дундаж 82%82%, харин охидуудынх 85%85% байв. Ангийн эрэгтэй сурагчдын тоо эмэгтэй сурагчдын тооноос 2 дахин их бол ангийн дундаж оноог ол.","completion":"Заавар: Дундаж оноо нь сурагчдын авсан нийт оноог сурагчдын тоонд хуваахад гарах тоо юм.\nБодолт: Охидын тоог nn гэвэл хөвгүүдийн тоо 2n2n, ангийн нийт сурагчдын тоо 3n3n байна. Хөвгүүдийн авсан нийт оноо 2n⋅82%2n⋅82%, охидын авсан нийт оноо n⋅85%n⋅85%, харин ангийн нийт сурагчдынх 2n⋅82%+n⋅85%=n⋅249%2n⋅82%+n⋅85%=n⋅249% байна. Иймд дундаж оноо нь n⋅249%3n=83%n⋅249%3n=83% байна."} +{"prompt":"Материал цэг координатын шулууны дагуу S(t)=t2+3t+2 хуулиар хөдөлж байв. Материал цэгийн t∈[3;9] хугацаан дахь дундаж хурдыг ол.","completion":"Заавар: Материал цэгийн t∈[t1;t2] хугацаанд явсан зам нь S(t2)−S(t1) байна.\nБодолт: Дундаж хурд нь тухайн хугацаанд явсан нийт замыг хугацаанд харьцуулсан харьцаа байна. Иймд\nv=S(9)−S(3)9−3=(92−32)+3(9−3)+(2−2)9−3=15"} +{"prompt":"Материал цэг шулуун шугамаар x(t)=2t3−3t2 хуулиар хөдөлж байв. Цэгийн t=2 агшин дахь хурдатгалыг ол.","completion":"Заавар: x(t) хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурд нь x′(t), хурдатгал нь x′′(t) байна.\nБодолт: x′(t)=6t2−6t, x′′(t)=12t−6 тул x′′(2)=12⋅2−6=18."} +{"prompt":"Материал цэг шулуун шугамаар x(t)=t3−4t2 хуулиар хөдөлж байв. Цэгийн t=3 агшин дахь хурдатгалыг ол.","completion":"Заавар: x(t) хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурд нь x′(t), хурдатгал нь x′′(t) байна.\nБодолт: x′(t)=3t2−8t, x′′(t)=6t−8 тул x′′(3)=6⋅3−8=10."} +{"prompt":"Махны үнэ 15%15% нэмэгдсэний дараа 16%16% хямдарсан бол үнэ нь анхныхаасаа хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?","completion":"Заавар: Үнэ a%a% хувь нэмэгдэхэд байгаа үнэ нь 1+a1001+a100 дахин үржигдэх ба b%b% хувь буурахад байгаа үнэ нь 1−b1001−b100 дахин үржигдэнэ (1-ээс бага тоогоор үржих тул буурна).\nБодолт: Анхны үнийг nn гэвэл шинэ үнэ нь \nn⋅(1+15100)⋅(1−16100)=n⋅1.15⋅0.84=n⋅(1+15100)⋅(1−16100)=n⋅1.15⋅0.84=\n=n⋅0.966=n⋅(1−0.034)=n⋅(1−3.4100)=n⋅0.966=n⋅(1−0.034)=n⋅(1−3.4100)\nтул 3.4%3.4%-иар буурчээ."} +{"prompt":"Машин явах замынхаа 310 хэсгийг 45 км\/ц хурдтай, хагасыг нь 50 км\/ц хурдтай, үлдсэн хэсгийг 60 км\/ц хурдтай явсан бол нийт замыг ямар дундаж хурдтай явсан бэ?","completion":"Заавар: Үлдэх хэсэг нь 1−310−12=15. Нийт замыг S км гэвэл нийт хугацаа нь t=310S45+12S50+15S60=S150+S100+S300 байна.\nБодолт: v=St=SS150+S100+S300=12300+3300+1300=3006=50\nтул дундаж хурд нь 50 км\/ц байжээ.\nЗаавар:\nБодолт: Нийт 10 хэсэг зам гэе. Тэгвэл 3 хэсэг газарт нь 45 км\/цаг, 5 хэсэг газарт 50 км\/цаг, 2 хэсэг газарт 60 км\/цаг хурдтай явсан байна. Нэг хэсэг газрыг S км гэвэл эдгээрт зарцуулсан нийт хугацаа нь\nt=3S45+5S50+2S60=S15+S10+S30=630S=15S\nбайна. Нийт зам нь 10S тул дундаж хурд нь v=10S:15S=50 км\/цаг байна."} +{"prompt":"Машин явах замынхаа хагасыг 48 км\/ц хурдтай, хагасын хагасыг 60 км\/ц хурдтай, үлдсэн хэсгийг 40 км\/ц хурдтай явсан бол нийт замыг ямар дундаж хурдтай явсан бэ?","completion":"Заавар: Нийт замыг S гээд явсан нийт хугацааг ол.\n\nS=v⋅t⇔v=St⇔t=Sv\nБодолт: Хэсэг тус бүрд зарцуулсан хугацаа нь t1=12S48 км\/ц, t2=14S60 км\/ц, t3=14S40 км\/ц тул нийт хугацаа нь \nt=t1+t2+t3=S96 км\/ц+S240��км\/ц+S160 км\/ц байна.\n\nДундаж хурд нь \nSt=SS96 км\/ц+S240 км\/ц+S160 км\/ц=\n=1196+1240+1160 км\/ц=48 км\/ц\nбайна."} +{"prompt":"Моторт завь урсгал дагуу 45 км, урсгал сөрж 22 км явахдаа 5 цаг зарцуулжээ. Голын урсгалын хурд 2 км\/цаг бол завины тогтмол усанд явах хурдыг ол.","completion":"Заавар: Завины тогтмол усанд явах хурдыг v км\/цаг гэвэл урсгал дагаж явах хурд нь v+2 км\/цаг, урсгал сөрж явах хурд нь v−2 км\/цаг байна.\nБодолт: Урсгал дагуу 45 км замыг 45v+2 цагт, урсгал сөрж 22 км замыг 22v−2 цагт туулах тул\n45v+2+22v−2=5⇒45(v−2)+22(v+2)=5v2−20\nболно. Эндээс\n5v2−67v+26=0\nболох тул\nv1,2=67±√672−4⋅5⋅262⋅5=67±6310\nба v2=410<2 үед урсгал сөрж явах боломжгүй тул шийд биш. Иймд v=v1=13 байна."} +{"prompt":"Мужаан өдөр бүр ердийнхөөсөө 15 эдлэл илүү хийвэл ажлаа 2 өдрийн өмнө дуусгах байв. Харин туслахынхаа хамтаар ажиллавал өдөрт 27 эдлэл илүү хийх бөгөөд ажлаа 3 өдрийн өмнө дуусгахаар байжээ. Мужаан өдөрт abab эдлэл хийдэг ба нийт cdecde эдлэл хийх ёстой байжээ.","completion":"Заавар: Өдөрт nn эдлэл хийдэг ба dd өдөрт ажиллаа дуусгах ёстой байсан гээд систем тэгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: Нийт хийх эдлэлийн тоо нь n⋅d=(n+15)⋅(d−2)=(n+27)⋅(d−3)n⋅d=(n+15)⋅(d−2)=(n+27)⋅(d−3) байна. Эдгээрээс n⋅dn⋅d-ийг хасч өгвөл\n{15d−2n−30=027d−3n−81=0{15d−2n−30=027d−3n−81=0\nсистем тэгшитгэл үүснэ. Үүнийг орлуулах аргаар бодъё. Эхний тэгшитгэлээс n=15d−302n=15d−302 болох ба үүнийг 2-р тэгшитгэлд орлуулбал\n27d−3⋅15d−302−81=0⇔54d−45d+90−162=027d−3⋅15d−302−81=0⇔54d−45d+90−162=0\nбуюу 9d=729d=72 тул d=8d=8 байна. Иймд n=15⋅8−302=45n=15⋅8−302=45 тул нийт хийх ёстой эдлэлийн тоо нь 8⋅45=3608⋅45=360 байна."} +{"prompt":"Мөнгө, зэс хоёрын нийлсэн 2 кг хайлшинд мөнгө нь зэсийнхээ 1427% жинтэй байв. Хайлш дахь мөнгөний хэмжээг ол.","completion":"Заавар: x+y=2, x=y⋅1427%=17y.\nБодолт:"} +{"prompt":"Мөнгө, зэс хоёрын нийлсэн 2 кг хайлшинд мөнгө нь зэсийнхээ жингийн 1427% байв. Хайлш дахь мөнгөний хэмжээг ол.","completion":"Заавар: x+y=2, x=y⋅1427%=17y.\nБодолт: 17y+y=87y=2⇒y=74. x=17y=17⋅74=14=0.25."} +{"prompt":"Налайхаас Улаанбаатар руу явган хүн гарчээ. Түүнээс 2 цагийн дараа Улаанбаатараас Налайх уруу, явган хүнтэй 1 цагийн дараа уулзахаар дугуйтай хүн гарав. Явган хүн Налайхаас Улаанбаатар хүртлэх зайг дугуйчнаас 4 цагаар их хугацаанд туулдаг бол","completion":"Заавар: Тус бүр хэдэн цаг яваад уулзсан бэ?\n\nЯвган хүний хурд v1v1, дугуйтай хүний хурдыг v2v2 гэвэл S=?S=?\nБодолт: Явган хүн 2+1=32+1=3 цаг, дугуйтай хүн 11 цаг яваад уулзалдана.\n\nИймд S=3v1+v2S=3v1+v2 байна. Явган хүн Sv1Sv1 хугцаанд, дугуйтай хүнSv2Sv2 хугацаанд нийт замыг туулна. Иймд Sv1−Sv2=4Sv1−Sv2=4 болно. Эндээс\n3v1+v2v1−3v1+v2v2=3+v2v1−3v1v2−1=43v1+v2v1−3v1+v2v2=3+v2v1−3v1v2−1=4\nα=v2v1α=v2v1 гэвэл α−3α=2⇒α2−2α−3=0⇒α=3α−3α=2⇒α2−2α−3=0⇒α=3 (αα эерэг). b2=3b2=3 тул b=6b=6.\n\nЯвган хүний Налайхаас Улаанбаатар хүрэх хугацаа нь 3v1+v2v1=3+v2v1=3+α=6.3v1+v2v1=3+v2v1=3+α=6."} +{"prompt":"Нийлбэр нь 78-тай тэнцүү гурван тоо өсөх геометр прогресс үүсгэж байв. Тэдгээр нь мөн арифметик прогрессийн нэг, гурав, ес дэх гишүүд болж байв. Эдгээр тоонуудын хамгийн ихийг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: b1≠0b1≠0, b2=b1q=b1+2db2=b1q=b1+2d, b3=b1q2=b1+8db3=b1q2=b1+8d тул d=b1q−b12=b1p2−b18⇒q2−4q+3=0⇒q=1∨3.d=b1q−b12=b1p2−b18⇒q2−4q+3=0⇒q=1∨3. Өс��х геометр прогресс тул q=3q=3. Иймд b1+b2+b3=b1+3b1+9b1=78⇒b1=78\/13=6.b1+b2+b3=b1+3b1+9b1=78⇒b1=78\/13=6. Хамгийн их нь b1q2=6⋅32=54b1q2=6⋅32=54."} +{"prompt":"Нийлбэр нь 8-тай тэнцүү хоёр тооны үржвэр хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцэх вэ?","completion":"Заавар: x+y=8 бол x⋅y=x(8−x) байна. f(x)=x(8−x) функцийн хамгийн их утга хэд байх вэ?\nБодолт: f(x)=−x2+8x=−(x−4)2+16≤16 байна. x=4 үед 4⋅(8−4)=16 болох тул үржвэрийн хамгийн их утга нь 16."} +{"prompt":"Нийлбэр, ялгаврын кубын томьёо ашиглан үржигдэхүүн болгон задал.","completion":"Заавар: a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3\na3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3\nБодолт: 27x3+54x2y+36xy2+8y2=(3x)3+3⋅(3x)2⋅(2y)+3⋅(3x)⋅(2y)2+(2y)3=(3x+2y)3\n 125a3−300a2b+240ab2−64b3=(5a)3−3⋅(5a)2⋅(4b)+3⋅(5a)⋅(4b)2−(4b)3=(5a−4b)3"} +{"prompt":"Номын сүүлчийн хуудас 298-аар дугаарлагдсан бол номын хуудас дугаарлахад хэчнээн цифр ашиглагдсан бэ?","completion":"Заавар: 3 оронтой тоонууд нь 100,…,298100,…,298 буюу 298−99=199298−99=199 ширхэг байна.\nБодолт: 1 оронтой 9 тоо, 2 оронтой 90 тоо, 3 оронтой 199 тоо байгаа тул нийт\n9⋅1+90⋅2+199⋅3=8049⋅1+90⋅2+199⋅3=804\nцифр ашиглана."} +{"prompt":"Номын сүүлчийн хуудас 369-аар дугаарлагдсан бол номын хуудас дугаарлахад хэчнээн цифр ашиглагдсан бэ?","completion":"Заавар: 3 оронтой тоонууд нь 100,…,369100,…,369 буюу 369−99=270369−99=270 ширхэг байна.\nБодолт: 1 оронтой 9 тоо, 2 оронтой 90 тоо, 3 оронтой 270 тоо байгаа тул нийт\n9⋅1+90⋅2+270⋅3=9999⋅1+90⋅2+270⋅3=999\nцифр ашиглана."} +{"prompt":"Номын сүүлчийн хуудас 370-аар дугаарлагдсан бол номын хуудас дугаарлахад хэчнээн цифр ашиглагдсан бэ?","completion":"Заавар: 3 оронтой тоонууд нь 100,…,370100,…,370 буюу 370−99=271370−99=271 байна.\nБодолт: 1 оронтой 9 тоо, 2 оронтой 90 тоо, 3 оронтой 271 тоо байгаа тул нийт\n9⋅1+90⋅2+271⋅3=10029⋅1+90⋅2+271⋅3=1002\nцифр ашиглана."} +{"prompt":"Номын хуудас дугаарлахад 756 цифр ашиглагджээ. Ном хэдэн хуудастай вэ?","completion":"Заавар: 9 хуудастай номыг дугаарлахад 9 цифр, 99 хуудастай номыг дугаарлахад 9+2⋅90=1899+2⋅90=189 цифр, 999 хуудастай номыг дугаарлахад 9+2⋅90+3⋅900=28899+2⋅90+3⋅900=2889 цифр хэрэгтэй.\nБодолт: Заавраас харахад номын хуудасны тоо нь 3 оронтой тоо байх нь харагдаж байна. Түүнчлэн номын эхний 99 хуудсыг дугаарлахад 189 цифр шаардлагатай ба 100,101,…,n100,101,…,n хуудсыг дугаарлахад 3(n−99)3(n−99) цифр шаардлагатай. Иймд\n189+3(n−99)=756⇒n=756−189+3⋅993=288189+3(n−99)=756⇒n=756−189+3⋅993=288\nбайна."} +{"prompt":"Нэг анги төгсөгчдийн 72%72% нь охид байсан бол хамгийн цөөндөө энэ ангид хэдэн хөвгүүд байсан бэ?","completion":"Заавар: nn сурагчийн 72%72% нь 72n100=18n2572n100=18n25 байна.\nБодолт: Нийт хөвгүүдийн тоо нь n−18n25n−18n25 байна. Энэ нь натурал тоо байх ёстой тул nn нь 25-д хуваагдах ёстой. Иймд хамгийн бага утга нь n=25n=25 үед 25−18=725−18=7 байна."} +{"prompt":"Нэг ангид 73 хүрэхгүй сурагч байсны 52%52% нь охид байжээ. 4 сурагч шилжин явсны дараа охид хөвгүүд тэнцүү тоотой болов. Хэдэн охин шилжсэн бэ?","completion":"Заавар: \nХүүхдийн тооны 52% нь бүхэл байх ёстой. 5252 тул хүүхдийн тоо 25-д хуваагдна. \n\nОхид олон байсан ба шилжсэний дараа тэнцсэн тул охид олон шилжсэн байна.\nБодолт: Хүүхдийн тооны 52% нь бүхэл байх ёстой. 5252 тул хүүхдийн тоо 25-д хуваагдна. Иймд 25 эсвэл 50 хүүхэд байсан байна. \n\nХэрэв 50 хүүхэд байсан бол: 26 охид, 24 хөвгүүд байсан ба 3 охи��, 1 хүү шилжвэл 23, 23 болно. \n\nХэрэв 25 хүүхэд байсан бол: 13 охид, 12 хөвгүүд байсан ба 4 хүүхэд шилжвэл 21 үлдэх тул охид хөвгүүд тэнцэх боломжгүй болно.\nЗаавар: Нэг ангид 73 хүрэхгүй сурагч байсны 52%52% нь охид байжээ. 4 сурагч шилжин явсны дараа охид хөвгүүд тэнцүү тоотой болов. Хэдэн охин шилжсэн бэ?\n\nХүүхдийн тооны 52% нь бүхэл байх ёстой. 5252 тул хүүхдийн тоо 25-д хуваагдна. \n\nОхид олон байсан ба шилжсэний дараа тэнцсэн тул охид олон шилжсэн байна.\nБодолт: Нэг ангид 73 хүрэхгүй сурагч байсны 52%52% нь охид байжээ. 4 сурагч шилжин явсны дараа охид хөвгүүд тэнцүү тоотой болов. Хэдэн охин шилжсэн бэ?\n\nХүүхдийн тооны 52% нь бүхэл байх ёстой. 5252 тул хүүхдийн тоо 25-д хуваагдна. \n\nОхид олон байсан ба шилжсэний дараа тэнцсэн тул охид олон шилжсэн байна. \n\nХүүхдийн тооны 52% нь бүхэл байх ёстой. 5252 тул хүүхдийн тоо 25-д хуваагдна. Иймд 25 эсвэл 50 хүүхэд байсан байна. \n\nХэрэв 50 хүүхэд байсан бол: 26 охид, 24 хөвгүүд байсан ба 3 охин, 1 хүү шилжвэл 23, 23 болно. \n\nХэрэв 25 хүүхэд байсан бол: 13 охид, 12 хөвгүүд байсан ба 4 хүүхэд шилжвэл 21 үлдэх тул охид хөвгүүд тэнцэх боломжгүй болно."} +{"prompt":"Нэг дэх саванд 6 л, хоёр дахь саванд 4 л хоёр өөр концентрацтай давсны уусмалууд байв. Хэрэв уг хоёр уусмалыг хооронд нь холивол 35%-ийн давсны уусмал гарах ба хэрэв ижил хэмжээтэйг авч холивол 36%-ийн давсны уусмал гардаг бол эхний саванд ab% нь давс байсан ба нэгдэх савнаас 2 литрийг хоёр дахь савнаас 3 литрийг авбал нийт c.de кг давс агуулна.","completion":"Заавар: I саванд x хувийн, II саванд y хувийн давс байсан гээд бод.\nБодолт: Хэрвээ хоёр уусмалыг хольвол концентраци нь\n4x+6y4+6=35%\nИжил хэмжээтэй авч хольвол концентраци нь\nx+y2=36%\nтул\n{2x+3y=175%x+y=72%⇒x=31%, y=41%\nболно.\n\nНэгдэх савнаас 2 литрийг хоёр дахь савнаас 3 литрийг авбал нийт\n2⋅31%100%+3⋅41%100%=18.5\nкг давс агуулна."} +{"prompt":"Нэг нугын өвс жигд ургадаг. Түүний өвсийг 160-н үхэр 2 өдөрт, 55 үхэр 7 өдөрт иддэг бол 16 үхэр abab өдөр иднэ.","completion":"Заавар: Нугын өвс өдөрт xx хэсгээр нэмэгддэг, 1 үхэр өдөрт уу хэсгийг иддэг гээд систем тэгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: {2⋅160y=1+2x7⋅55y=1+7x{2⋅160y=1+2x7⋅55y=1+7x ба бид n⋅16y=1+nxn⋅16y=1+nx-ээс n=116y−xn=116y−x-ийг олно.\nСистемийн тэгшитгэлүүдийг хасвал 65y=5x65y=5x буюу x=13yx=13y болно. Иймд 320y=1+2x=1+26y⇒y=1294320y=1+2x=1+26y⇒y=1294, x=13294x=13294 болно. Иймд\nn=116⋅1294−13294=2943=98n=116⋅1294−13294=2943=98\nөдөр иднэ."} +{"prompt":"Нэг нуурт хоёр гол цутгадаг ба завьтай хүн эхний голын эрэг дээрх AA отгоосоо гарч гол уруудаж 24 км яваад нууранд ирэв. Нуураар (нуур урсгалгүй) 2 цаг яваад нөгөө голоо өгсөж нуураас 32 км зайд байгаа BB отогтоо очжээ. AA-аас BB хүрэхэд нийт 8 цаг зарцуулсан ба хэрэв нуураар дахиад 18 км явсан бол AA-аас BB отог хүрэхэд нийт 10 цаг зарцуулна. Эхний голын урсгалын хурд хоёр дахь голын урсгалын хурднаас 2 км\/ц-аар их бол завины хурд aa км\/ц, хоёр дахь голын урсгалын хурд bb км\/ц байжээ.","completion":"Заавар: Голын урсгал дагуу явах хурд нь завины хурд+урсгалын хурдзавины хурд+урсгалын хурд голын урсгал сөрөх хурд нь завины хурд−урсгалын хурдзавины хурд−урсгалын хурд байна.\nБодолт: Нуураар 10−8=210−8=2 цаг илүү явбал 18 км илүү явах тул завины тогтмол усан дахь хурд нь 99 км\/цаг байна. Хоёр дахь голын урсгалын хурдыг vv гэвэл 249+v+2+329−v+2=8⇔2411+v+329−v=6249+v+2+329−v+2=8⇔2411+v+329−v=6 байна. Эндээс\n3v2+10v−13=0⇒v=1∨v=−1333v2+10v−13=0⇒v=1∨v=−133\nболно. v>0v>0 тул v=1v=1 байна."} +{"prompt":"Нэг сургууль 203-аас олон, 397-оос цөөн оюутантай тэдгээрийн 18%18% нь төгсөх 4-р ангид, 25%25% нь 3-р ангид, 28%28% нь 2-р ангид сурдаг бол 1-р анги хэдэн оюутантай вэ?","completion":"Заавар: Нийт сурагчдийн 18100=95018100=950, 25100=1425100=14, 28100=72528100=725 хэсгүүд нь бүхэл тоо байх тул нийт сурагчдын тоо 5050, 44, 2525 тоонуудад нэгэн зэрэг хуваагдана.\nБодолт:"} +{"prompt":"Нэг төрлийн 3 хэсэг бодис байв. I хэсгийн хэмжээ II ба III-ыг нийлүүлсний 3232, II хэсгийн хэмжээ I ба III-ыг нийлүүлсний 4949 бол III хэсгийн хэмжээ I ба II-ыг нийлүүлсний abcabc болох ба I, II, III хэсгийн хэмжээний харьцаа de:fg:hde:fg:h байна.","completion":"Заавар: Бүгд 1 хэсэг ба I, II, III хэсгүүдэд тус бүрд aa, bb, cc хэсэг гэвэл a+b+c=1a+b+c=1 тул a=32(b+c)=32(1−a)a=32(b+c)=32(1−a) байна. Үүнтэй адилаар b=49(1−b)b=49(1−b) байна.\nБодолт: a=32(1−a)⇒2a=3(1−a)⇒5a=3⇒a=35a=32(1−a)⇒2a=3(1−a)⇒5a=3⇒a=35 байна. Мөн\nb=49(1−b)⇒9b=4(1−b)⇒13b=4⇒b=413.b=49(1−b)⇒9b=4(1−b)⇒13b=4⇒b=413.\nИймд c=1−a−b=1−35−413=65−39−2065=665c=1−a−b=1−35−413=65−39−2065=665\nба (35+413)x=665⇒5965x=665⇒x=659(35+413)x=665⇒5965x=665⇒x=659 байна. Түүнчлэн\na:b:c=35:413:665=3965:2065:665=39:20:6a:b:c=35:413:665=3965:2065:665=39:20:6\nбайна."} +{"prompt":"Нэг улсын хүн ам жилийн эхэнд (1 сарын 1-нд) 100 сая байсан ба жилийн дундаж өсөлт нь 1.41.4 хувь бол 55 жилийн дараа хэд хүрэх вэ?","completion":"Заавар: p%p%-ийн дундаж өсөлттэй бол nn жилийн дараа (1+p100)n(1+p100)n дахин өснө.\nБодолт: 55 жилийн дараа (1+1.4100)5(1+1.4100)5 дахин өсөх тул\n(1+1.4100)5⋅100000000≈107198763(1+1.4100)5⋅100000000≈107198763\nболно."} +{"prompt":"Нэгж эзлэхүүнтэй шулуун дугуй цилиндрт бөмбөрцөг багтжээ. Энэ бөмбөрцгийг багтаасан конусуудын дотроос хамгийн бага эзлэхүүнтэйг нь ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: Цилиндрт бөмбөрцөг багтсан учир h=2r байна. Эндээс\nV=πr2h=2r3π=1⇒r3=12π\nболно. Иймд конусын тэнхлэг огтлол нь r радиустай тойрог багтаасан адил хажуут гурвалжин байна.\n\nКонусын суурийн радиус R, өндөр нь H гэе. Конусын суурийн өнцгийг α гэвэл\ntgα2=rR,tgα=HR\nтул\nR=r⋅ctgα2,H=R⋅tgα=r⋅ctgα2⋅tgα\nболно. Иймд\nV(α)=13R2Hπ=π3r3⋅ctg3α2⋅tgα=16⋅ctg3α2⋅tgα\nбайна. tgα=2⋅ctgα2ctg2α2−1\nтул c=ctgα2 гэвэл\nV(c)=c43(c2−1)⇒V′(c)=4c3(c2−1)−c4⋅2c3(c2−1)2=2c5−4c33(c2−1)=0⇒c2=2\nүед хамгийн бага утга авна. Иймд\nVmin=223(2−1)=43\nбайна."} +{"prompt":"Нэгэн геометр прогрессийн 5,8 ба 11-р гишүүн нь эрс өсдөг арифметик прогрессийн харгалзан 1,2 ба 10-р гишүүн болдог байв. Хэрэв геометр прогрессийн эхний гишүүн нь b1 ба ноогдвор нь q, арифметик прогрессийн эхний гишүүн нь a1 ба ялгавар нь d бол дараах утгуудыг ол.","completion":"Заавар: a1=b1q4, a1+d=b1q7, a1+9d=b1q10 системээс q -г ол.\nБодолт: a1=b1q4, a1+d=b1q7, a1+9d=b1q10-ээс b1q7=b1q4+d, \nb1q10=b1q4+9d болох ба эндээс d=b1q7(q3−1)8 болно. Үүнийг 2 дахь тэгшитгэлд орлуулбал b1q4+b1q7(q3−1)8=b1q7 b1q4≠0 тул 8+q6−q3=8q3⇔q6−9q3+8=0\nболох тул q3=8 эсвэл q3=1 байна. Хэрэв q3=1 бол q=1 болж эрс өсдөг арифметик прогресс үүсэхгүй. Иймд q3=8 буюу q=2 байна. Энэ үед da=q3(q3−1)8=7\na1b1=q4=16\nболно."} +{"prompt":"Нэгэн сургуулийн сурагчдын 110110 нь онц, 526526 нь сайн, 3535 нь дунд дүнтэй шалгагджээ. Хамгийн цөөндөө хэдэн сурагч хангалтгүй үнэлгээ авсан вэ?","completion":"Заавар: Сурагчдын тоо нь 1010, 2626, 55-д зэрэг хуваагддаг байх ёстой.\nБодолт: ХБЕХ(10,26,5)=130ХБЕХ(10,26,5)=130 тул нийт сурагчдын тоо 130-д хуваагддаг байх ёстой. Иймд 130k130k сурагч байсан гэе. Тэгвэл\n130k⋅110=13k130k⋅110=13k нь онц, 130k⋅526=25k130k⋅526=25k нь сайн, 130k⋅35=78k130k⋅35=78k нь дунд сурсан байна. Иймд хангалтгүй сурсан\n130k−13k−25k−78k=14k130k−13k−25k−78k=14k\nсурагч байна. Бид боломжит хамгийн цөөнийг нь сонирхож буй тул k=1k=1 үед 1414 сурагч хангалтгүй дүн авна."} +{"prompt":"Нэгэн сургуулийн сурагчдын 1818 нь онц, 1616 нь сайн, 3535 нь дунд дүнтэй суралцсан байжээ. Хамгийн цөөндөө хэдэн сурагч хангалтгүй дүнтэй вэ?","completion":"Заавар: Бодлогын нөхцлөөс ангийн сурагчдын тоо 8, 6, 5-д хуваагдана.\nБодолт: Сурагчдын тоо 8, 6, 5-д хуваагдах тул хамгийн цөөндөө ХБЕХ(8,6,5)=120ХБЕХ(8,6,5)=120 байна. Энэ үед хангалттгүй дүнтэй сурагчдын тоо\n(1−18−16−35)⋅120=120−15−20−72=13(1−18−16−35)⋅120=120−15−20−72=13\nбайна."} +{"prompt":"Нүх ухдаг 2 бригад тус бүр нэг нэг нүх ухжээ. 2 дахь баригад нь эхний бригадаас хагас цагаар илүү ажиллав. Хэрэв эхний бригад 5 хүнээр илүү байсан бол ажлаа 2 цагаар түрүүлж дуусгах байжээ. Хэрэв ажилчдын ажлын бүтээмж ижил бол бригад тус бүрийн ажилчдын тоог ол.","completion":"Заавар: Эхний бригад mm хүнтэй, хоёр дахь бригад nn хүнтэй. Нэг хүн ганцаараа tt хугацаанд нүхийг ухдаг гэвэл бодлогын нөхцлөөс tm−tn=0.5tm−tn=0.5, tn−tn+5=2tn−tn+5=2 байна. tt хувьсагчийг зайлуулж mm, nn-ийн хамаарлыг ол.\nБодолт: tm−tn=0.5tm−tn=0.5, tn−tn+5=2tn−tn+5=2 тул\nt=mn2(n−m)=2n(n+5)5t=mn2(n−m)=2n(n+5)5\nбайна. Эндээс 5m=4(n−m)(n+5)=4n2+20n−mn−20m⇔5m=4(n−m)(n+5)=4n2+20n−mn−20m⇔\nm=4n(n+5)4n+25=n−1−n−254n+25m=4n(n+5)4n+25=n−1−n−254n+25\nболно. mm, nn натурал тоонууд ба n−25<4n+25n−25<4n+25 тул n−25=0n−25=0 байна. Иймд n=25n=25 ба m=25−1=24m=25−1=24 байна."} +{"prompt":"Нүүрс тээвэрлэх 1-р төрлийн машин 32 тн, 2-р төрлийн машин 34 тн даацтай байв. Гарган авсан хэсэг нүүрсийг nn ширхэг 2-р төрлийн машинаар, эсвэл n+1n+1 ширхэг 1-р төрлийн машинаар яг тааруулан (Нүүрс үлдээхгүй ба машинууд даац дутуу явахгүй) зөөж болдог бол хэдэн тонн нүүрс байсан бэ?","completion":"Заавар: Нүүрсний хэмжээг 2 аргаар тооц.\nБодолт: Нүүрсийг 1-р төрлийн машинаар n+1n+1 удаа зөөх тул 32(n+1)32(n+1) т нүүрс байсан. Нөгөө талаас 2-р төрлийн машинаар nn удаа зөөх тул 34n34n т болно. Иймд 32n+32=34n32n+32=34n буюу n=16n=16 болно. Иймд 34⋅16=54434⋅16=544 т нүүрс байжээ."} +{"prompt":"Олон гишүүнтийг хоёр илэрхийллийн нийлбэр, ялгаврын куб хэлбэртэй тавь","completion":"Заавар:\nБодолт: m3+n3+3m2n+3mn2=m3+3m2n+3mn2+n3=(m+n)3\n x3+6x2y4+12xy8+8y12=x3+3x2(2y4)+3x(2y4)2+(2y4)3=(x+2y4)3\n x3−6x2y4+12xy8−8y12=x3−3x2(2y4)+3x(2y4)2−(2y4)3=(x−2y4)3\n a3−12a2+48a−64=a3−3⋅a2⋅4+3⋅a⋅42−43=(a−4)3\n 1000+300a+30a2+a3=103+3⋅102⋅a+3⋅10⋅a2+a3=(10+a)3\n x6+15x4+75x2+125=(x2)3+3⋅(x2)2⋅5+3⋅x2⋅52+53=(x2+5)3\n 8a3−36a2b+54ab2−27b3=(2a)3−3⋅(2a)2⋅3b+3⋅(2a)⋅(3b)2−(3b)3=(2a−3b)3\n 27a3−27a2b+9ab2−b3=(3a)3−3⋅(3a)2⋅b+3⋅(3a)⋅b2−b3=(3a−b)3\n x3+3x2+3x+1=(x+1)3\n −b3−12b2−48b−64=(−b)3+3⋅(−b)2⋅(−4)+3⋅(−b)⋅(−4)2+(−4)3=(−b−4)3\n 125x3−300x2y+240xy2−64y3=(5x)2−3⋅(5x)2⋅(4y)+3⋅(5x)⋅(4y)2−(4y)3=(5x−4y)3\n 127a6−a4b2+9a2b4−27b6=(13a2)3−3⋅(13a2)2⋅(3b2)+3⋅(13a2)⋅(3b2)2−(3b2)3=(13a2−3b2)3"} +{"prompt":"Оюутан гурван өдөр шалгалтанд бэлдэв. Эхний өдөр бүх асуултын 1414, дараа өдөр эхнийхээс 20%20% илүү, сүүлчийн өдөр үлдсэн 27 асуулт бэлтгэв. Хэдэн асуулт байсан бэ?","completion":"Заавар: Хоёр дахь өдөр хэдэн хэсгийг бэлтгэсэн бэ?\nБодолт: Хоёр дахь өдөр\n14⋅1.2=14⋅1210=31014⋅1.2=14⋅1210=310\nхэсэг бэлдсэн тул 3 дахь өдөр\n1−14−310=1−0.25−0.3=0.451−14−310=1−0.25−0.3=0.45\nхэсэг бэлдсэн. Иймд нийт\n27:0.45=27⋅10045=270045=6027:0.45=27⋅10045=270045=60\nасуулт байжээ."} +{"prompt":"Оёдолчин 4 цаг, түүний туслах 5 цаг ажиллаад 264 алчуур оёв. Хэрэв тэд 1 цагт нийлээд 60 алчуур оёдог бол 180 алчуурыг туслах нь хэдэн цагт оёдог вэ?","completion":"Заавар: Оёдолчин туслахынхаа хамт 4 цагт хэдэн алчуур оёдог вэ? Туслах нь нэг цагт хэдэн алчуур оёдог вэ?\nБодолт: Оёдолчин туслахынхаа хамт 4 цагт нийт 4⋅60=2404⋅60=240 алчуур оёно. Үүний дараа туслах нь нэг цаг нэмж ажиллахадаа 264−240=24264−240=24 алчуур оёжээ. Иймд 180 алчуурыг 18024=7.518024=7.5 цагт оёно."} +{"prompt":"Оёдолчин 5 өдөр оёх цамцны тоо, түүний шавийн 7 өдөр оёх цамцны тооноос 2-оор илүү ба тэд нийлээд нэг өдөр 10 цамц оёдог бол 44 цамцыг шавь дангаар хэдэн өдөр оёх вэ?","completion":"Заавар: Багш шавь хоёр хамтдаа 77 өдөрт 7070 цамц оёно. Шавийн 77 өдөр оёх цамцны тоо нь багшийн 55 өдөр оёх цамцны тооноос 22-оор цөөн тул багшийн 1212 өдөр оёх цамц нь 7070-аас 22-оор олон юм.\nБодолт: Багш шавь хоёр хамтдаа 77 өдөрт 7070 цамц оёно. Шавийн 77 өдөр оёх цамцны тоо нь багшийн 55 өдөр оёх цамцны тооноос 22-оор цөөн тул багшийн 1212 өдөр оёх цамц нь 7070-аас 22-оор олон юм. Иймд багшийн 1212 өдөрт оёх цамцны тоо 7272, нэг өдөрт оёх цамцны тоо 72⋅12=672⋅12=6 юм. Иймд шавь нэг өдөрт 10−6=410−6=4 цамц оёно. Иймд 4444 цамцыг 44÷4=1144÷4=11 өдөрт оёно."} +{"prompt":"Периметр нь 32 бүхий тэгш өнцөгтүүд дотроос талбай нь хамгийн их утга авах тэгш өнцөгтийн талбай нь:","completion":"Заавар: Нэг талын уртыг нь a нөгөөг нь b гэвэл периметр нь 2(a+b)=32 болно. Эндээс b-г олж талбайг a-аар илэрхийл.\nБодолт: Нэг талын уртыг нь a нөгөөг нь b гэвэл периметр нь 2(a+b)=32 болно. Эндээс b=16−a. Тэгш өнцөгтийн талбай нь S(a)=ab=a(16−a) байна.\nS′(a)=16−2a тул 16−2a=0 буюу a=8 үед хамгийн бага утгаа авна. Иймд хамгийн бага утга нь S(8)=8(16−8)=64."} +{"prompt":"Периметр нь a-тай тэнцүү урт нь x-тэй тэнцүү тэгш өнцөгтийн талбайг S(x) гэе. S′(aa)=0 ба эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн талбай дотроос хамгийн их нь Smax=a2bc байна.","completion":"Заавар: Тэгш өнцөгтийн өргөн нь a2−x байна. Иймд S(x)=x(a2−x) байна.\nБодолт: S′(x)=a2−2x=0⇒x=a4 цэг дээр S(x) хамгийн их утгаа авах тул Smax=a4(a2−a4)=a216\nбайна."} +{"prompt":"Савны эзлэхүүний 2525 хэсэгт ус байв. Дээр нь 36 л ус нэмэхэд 2323 хэсэгтээ устай болов. Савны эзлэхүүнийг ол.","completion":"Заавар: Шинээр нэмэгдсэн хэсэг нь савны хэдэн хэсэг вэ?\nБодолт: Шинээр нэмэгдсэн хэсэг нь 23−25=1015−615=41523−25=1015−615=415. Энэ нь 36 л тул 115115 хэсэг нь 364=9364=9 л болно. Иймд савны эзлэхүүн 9⋅15=1359⋅15=135 л байна."} +{"prompt":"Сурагч бүх дэвтрийнхээ 2525-ийг буюу 20 ширхэгийг хэрэглэсэн. Сурагч хэдэн дэвтэртэй байсан бэ?","completion":"Заавар: nn дэвтэрийн 2525 нь 2n52n5 байна.\nБодолт: 2n5=20⇒n=5⋅202=502n5=20⇒n=5⋅202=50 байна."} +{"prompt":"Сурагч даалгаварт өгсөн бодлогын 1515-г эхний өдөр, дараагийн өдөр эхний өдрөөс 20%20% илүү, харин сүүлийн өдөр 14 бодлого бодов. Нийт хэдэн бодлого байсан бэ?","completion":"Заавар: Хоёр ба гурав дахь өдөр ямар хэсгийг бодсон бэ?\nБодолт: 2 дахь өдөр 1515 дээр нэмээд 20%20% тул нийт 15+125=62515+125=625 хэсгийг бодсон. Иймд 3 дахь өдөр 1−15−625=14251−15−625=1425 бодлого бодсон. Иймд нийт 25 бодлого байжээ."} +{"prompt":"Сурагч сургуульдаа явахдаа, А буудал хүртэл автобусаар яваад үлдсэнийг нь явганаар туулах хугацаа нь цааш В буудал хүрч буугаад үлдсэн замыг явган туулах хугацаанаас 1 минутаар илүү. Харин сурагч А буудлаас сургууль хүртэл явах хурдаа 2 дахин нэмбэл, автобусаар А буудлаас В буудал хүрэх хугацаатай тэнцүү хугацаанд сургууль дээрээ очино. Хэрэв А буудлаас сургууль хүртэл 300 метр, В буудлаас сургууль хүртэл 100 метр бол сурагчийн явганаар явах хурд aa км\/ц ба автобус А буудлаас В буудал хүртэл bb минут явна.","completion":"Заавар: Сурагчийн хурд v1v1 км\/цаг, автобусын хурд v2v2 км\/цаг гээд систем тэгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: Сурагч А буудлаас сургууль хүртэл явганаар 0.3v10.3v1 цаг зарцуулна. Харин А буудлаас автобусаар Б буудал хүрэхийн тулд 0.4v20.4v2 цаг, Б буудлаас явганаар сургууль хүртэл 0.1v10.1v1 нийт 0.4v2+0.1v10.4v2+0.1v1 цаг зарцуулна. Зөрөө нь 1 минут буюу 160160 цаг тул\n0.3v1−0.4v2−0.1v1=1600.3v1−0.4v2−0.1v1=160\nбайна. Түүнчлэн хурдаа хоёр дахин нэмэгдүүлбэл А буудлаас 0.32v10.32v1 цагт сургууль хүрэх тул\n0.4v2=0.32v10.4v2=0.32v1\nҮүнийг эхний тэгшитгэлд орлуулбал 0.3v1−0.32v1−0.1v1=160⇒v1=30.3v1−0.32v1−0.1v1=160⇒v1=3\nбайна. Эндээс 0.4v2=0.32⋅3=3600.4v2=0.32⋅3=360 цаг тул 33 минут болно."} +{"prompt":"Сурагч сургуульдаа явахдаа, А буудал хүртэл автобусаар яваад үлдсэнийг нь явганаар туулах хугацаа нь цааш В буудал хүрч буугаад үлдсэн замыг явган туулах хугацаанаас 2 минутаар илүү. Харин сурагч А буудалаас сургууль хүртэл явах хурдаа 2.5 дахин нэмбэл, автобусаар А буудлаас В буудал хүрэх хугацаатай тэнцүү хугацаанд сургууль дээрээ очино. Хэрэв А буудлаас сургууль хүртэл 400 метр, В буудлаас сургууль хүртэл 160 метр бол сурагчийн явганаар явах хурд a.ba.b км\/ц ба автобус А буудлаас В буудал хүртэл cc минут явна.","completion":"Заавар: Сурагчийн хурд v1v1 км\/цаг, автобусын хурд v2v2 км\/цаг гээд систем тэгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: Сурагч А буудлаас сургууль хүртэл явганаар 0.4v10.4v1 цаг зарцуулна. Харин А буудлаас автобусаар Б буудал хүрэхийн тулд 0.4+0.16v20.4+0.16v2 цаг, Б буудлаас явганаар сургууль хүртэл 0.16v10.16v1 нийт 0.56v2+0.16v10.56v2+0.16v1 цаг зарцуулна. Зөрөө нь 2 минут буюу 130130 цаг тул\n0.4v1−0.56v2−0.16v1=1300.4v1−0.56v2−0.16v1=130\nбайна. Түүнчлэн хурдаа 2.52.5 дахин нэмэгдүүлбэл А буудлаас 0.42.5v10.42.5v1 цагт сургууль хүрэх тул\n0.56v2=0.42.5v10.56v2=0.42.5v1\nҮүнийг эхний тэгшитгэлд орлуулбал 0.4v1−0.42.5v1−0.16v1=1300.4v1−0.42.5v1−0.16v1=130\nбайна. Эндээс 0.08v1=130⇒v1=2.40.08v1=130⇒v1=2.4 км\/цаг болно. Иймд автобус А буудлаас В буудал хүртэл 0.42.5⋅2.4⋅60=40.42.5⋅2.4⋅60=4 минут явна."} +{"prompt":"Сурагч эхний өдөр нийт асуултын 1515 ба 3 асуулт, 2 дахь өдөр үлдсэн асуултын 40%40% ба 6 асуулт, 3 дахь өдрийн үдээс өмнө үлдсэн асуултуудынхаа 2323 хэсгийг боло��сруулахад 7 асуулт боловсруулаагүй үлдсэн бол шалгалт хэдэн асуулттай байсан бэ?","completion":"Заавар: Дараах асуултын дагуу хариулж бод.\n\n3 дахь өдөр нийт хэдэн боловсруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?\n\n2 дахь өдөр боловсруулаагүй үлдсэн асуултуудын 60%60% нь хэд байсан бэ? Нийт хэдэн боловруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?\n\nАнх хэдэн асуулт байсан бэ?\nБодолт: 3 дахь өдөр нийт хэдэн боловсруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?\nЗ дахь өдрийн үдээс хойш 1−23=131−23=13 хэсэг буюу 7 асуулт үлдсэн тул нийт 7⋅3=217⋅3=21 боловсруулаагүй асуулт байжээ.\n\n2 дахь өдөр боловсруулаагүй үлдсэн асуултуудын 60%60% нь хэд байсан бэ? Нийт хэдэн боловруулаагүй асуулт үлдсэн байсан бэ?\nЭнэ 60%60% нь 3 дахь өдөр үлдсэн 21 асуулт болон нэмж боловсруулсан 6 асуултаас бүрдэх тул нийт 27 асуулт болно. Иймд нийт 2760%⋅100%=452760%⋅100%=45 боловсруулаагүй асуулт байжээ.\n\nАнх хэдэн асуулт байсан бэ?\nӨмнөхийн адилаар 45+3=4845+3=48 нь 1−15=451−15=45 хэсэг болно. Иймд нийт 48:45=48⋅54=6048:45=48⋅54=60 асуулт байжээ."} +{"prompt":"Сурагч эхний өдөр нийт асуултын 1515 хэсэг ба 8 асуулт, 2 дахь өдөр үлдсэн асуултын 40%40% ба 3 асуулт, 3 дахь өдрийн үдээс өмнө үлдсэн асуултынхаа 2323  хэсгийг боловсруулахад 7 асуулт боловсруулаагүй үлдсэн бол шалгалт хэдэн асуулттай байсан бэ?","completion":"Заавар: Сүүлийн өдрөөс урагшлуулж тооц.\nБодолт: 3 дахь өдрийн үдээс хойш уг өдрийн 1−23=131−23=13 хэсэг үлдэх тул 3 дахь өдөр нийт 7⋅3=217⋅3=21 асуулт үлдэнэ.\n\n2 дахь өдрийн 3 асуулт ба 3 дахь өдрийн 21 асуулт 2 дахь өдрийн асуултын 100%−40%=60%100%−40%=60% тул\n60%↔24100%↔x60%↔24100%↔x\nбуюу хоёр дахь өдөр x=24⋅10060=40x=24⋅10060=40 асуулт үлдсэн.\n\nЭхний өдрийн 8 асуулт ба хоёр дахь өдрийн 40 асуулт нь нийт асуултын 1−15=451−15=45 хэсэг тул 1515 хэсэг нь 40+84=1240+84=12 асуулт байна. Иймд нийт 5⋅12=605⋅12=60 асуулт байжээ."} +{"prompt":"Сурагч үлгэрийн номын 25%25%-ыг уншив. Нэмж 7 хуудас уншихад 37.5%37.5% уншигдсан байв. Ном хэдэн хуудастай вэ?","completion":"Заавар: Нэмж уншсан 7 хуудас номын хэдэн хувь болох вэ?\nБодолт: Нэмж уншсан 7 хуудас нь 37.5%−25%=12.5%37.5%−25%=12.5% тул нийт хуудас нь x=712.5%⋅100%=56x=712.5%⋅100%=56 байна."} +{"prompt":"Сурагч үлгэрийн номын 25%25%-ыг уншив. Нэмж 9 хуудас уншихад 37.5%37.5% уншигдсан байв. Ном хэдэн хуудастай вэ?","completion":"Заавар: Нэмж уншсан 9 хуудас номын хэдэн хувь болох вэ?\nБодолт: Нэмж уншсан 9 хуудас нь 37.5%−25%=12.5%37.5%−25%=12.5% тул нийт хуудас нь x=912.5%⋅100%=72x=912.5%⋅100%=72 байна."} +{"prompt":"Сурагч өдөр бүр ижил тооны хуудас уншин нийт 480 хуудас ном уншиж дуусгав. Хэрвээ сурагч өдөр бүр 16 хуудас нэмж уншсан бол номоо 5 өдрийн өмнө уншиж дуусгах байжээ. Сурагч уг номыг хэдэн өдөр уншиж дуусгасан бэ?","completion":"Заавар: nk=(n−5)(k+16)=480nk=(n−5)(k+16)=480\nтэгшитгэлийг бод.\nБодолт: Сурагч өдөрт kk хуудас, нийт nn өдөрт номоо уншиж дуусгасан гэвэл\nnk=(n−5)(k+16)⇒16n−5k=80nk=(n−5)(k+16)⇒16n−5k=80. Эндээс k=16n−805k=16n−805 тул\nn⋅16n−805=480⇒n2−5n−150=0n⋅16n−805=480⇒n2−5n−150=0\nболно. Иймд\nn1,2=5±√(−5)2−4⋅1⋅(150)2⋅1=5±252n1,2=5±(−5)2−4⋅1⋅(150)2⋅1=5±252\nЭндээс n=15n=15 гэсэн эерэг шийд нь бодлогын хариу болно."} +{"prompt":"Сургуулийн хашаа 12, 24, 30, 42, 18 метр тал��уд бүхий 5 өнцөгт хэлбэртэй байв. Хашааг тойруулан гэрлийн шон суулгах болов. Хашааны булан бүрт гэрэл байх шаардлагатай бөгөөд гэрлийн шонгууд хоорондоо ижил зайтай байна. Хамгийн цөөндөө хэдэн шон хийх хэрэгтэй вэ?","completion":"Заавар: Зэрэгцээ 2 шонгийн хоорондох зай нь хашааны талуудын уртыг хуваана. Нийт шонгийн тоо нь хашааны уртыг уг зайд хуваахад гарна.\nБодолт: Гэрлийн шонгууд хоорондоо ижил mm зайд байсан гэе. Хашааны нийт урт (12+24+30+42+18)=126(12+24+30+42+18)=126 тул 126\/m126\/m гэрлийн шон хэрэгтэй. Хашааны булангуудад гэрэл байрлах тул тус бүр 12m+112m+1, 24m+124m+1, 30m+130m+1, 42m+142m+1, 18m+118m+1 шон байрлана. Иймд эдгээр нь бүхэл тоонууд байх ёстой бөгөөд энэ нөхцөлийг биелүүлж байхаар хамгийн их mm тоог сонгох хэрэгтэй (энэ үед 126\/m126\/m хамгийн бага байна). m=ХИЕХ(12,24,30,42,18)=6m=ХИЕХ(12,24,30,42,18)=6 дээрх нөхцөлийг хангана. Энэ үед 126\/6=21126\/6=21 гэрлийн шон хэрэгтэй."} +{"prompt":"Суудлын тэрэг, жийп хоёр тойрог замаар давхиж байв. Замын 1414 хэсэг нь хотоор дайрдаг. Суудлын тэрэгний хурд хот дотор 2v2v, хотын гадна 9v49v4 ба жийпний хурд хот дотор vv, хотын гадна 3v3v байв. Машинууд нэгэн зэрэг хотод орж ирсэн бөгөөд тойрог замын хотын хэсэг нь SS гэвэл abab дүгээр тойрогт abc⋅Svabc⋅Sv хугацааны дараа нэг нь нөгөөгөө гүйцэж түрүүлнэ. Энэ гүйцэж түрүүлсэн машин дараагийн удаад fgfg дүгээр тойрогт дахин нөгөө машинаа гүйцнэ.","completion":"Заавар: Суудлын тэрэг S2v+3S9v4=11S6vS2v+3S9v4=11S6v, жийп Sv+3S3v=2Sv>11S6vSv+3S3v=2Sv>11S6v хугацаанд нэг тойрно.\nБодолт: Нэг тойрох хугацаа нь бага бөгөөд өөрийн хурдан хэсэгтээ хотод орж ирж байгаа тул суудлын тэрэг эхэлж жийпийг гүйцнэ.\n\n(k+1)(k+1)-р тойрогт xx нэгж зам яваад суудлын тэрэг жийпийг гүйцсэн гэвэл 020∘T(t)>20∘ тул |T(t)−20∘|=T(t)−20∘|T(t)−20∘|=T(t)−20∘ байна. Иймд\nT(t)=ek⋅t+C+20∘=μek⋅t+20∘T(t)=ek⋅t+C+20∘=μek⋅t+20∘\nT(0)=150∘T(0)=150∘ гэдгээс 150∘=μek⋅0+20∘150∘=μek⋅0+20∘ буюу μ=130∘μ=130∘ болно. Түүнчлэн T(3)=90∘T(3)=90∘ тул 90∘=130∘⋅e3k+20∘90∘=130∘⋅e3k+20∘ буюу ek=(713)13ek=(713)13 байна. Иймд\nT(t)=130∘×(713)t3+20∘T(t)=130∘×(713)t3+20∘\nболов."} +{"prompt":"Тоосгоны үнэ 250 төгрөг байснаа 200 төгрөг болж буурсан бол хэдэн хувиар хямдарсан бэ?","completion":"Заавар: xx хувиар үнэ өөрчлөгдөхөд шинэ үнэ нь (1+x100)⋅250=250+2.5x(1+x100)⋅250=250+2.5x байна.\nБодолт: (1+x100)⋅250=250+2.5x=200⇒x=−20(1+x100)⋅250=250+2.5x=200⇒x=−20 тул 20 хувь хямдарсан байна."} +{"prompt":"Тооцоол","completion":"Заавар:\nБодолт: 58⋅62=602−22=3600−4=3596\n102⋅98=1002−22=10000−4=9996\n108⋅92=1002−82=10000−64=9936\n95⋅105=1002−52=10000−25=9975\n196⋅204=2002−42=40000−16=39984\n79⋅121=1002−212=10000−441=9559\n109⋅91=1002−92=10000−81=9919"} +{"prompt":"Тракторчид 240 га талбай хагалжээ. 2 өдрийн турш хагалсан газрын 80%80% нь үлдсэн талбайгаас 2.52.5 дахин бага байв. Тракторчид өдөрт хэдэн га газар хагалсан бэ? Хэдэн өдөрт ажлаа дуусгасан бэ?","completion":"Заавар: Хоёр өдөр хагалсан газрыг 10 хэсэг гэвэл үлдсэн нь хэдэн хэсэг болох вэ?\nБодолт: Хоёр өдөр хагалсан газрыг 10 хэсэг гэвэл түүний 80 хувь нь 8 хэсэг, үлдсэн газар нь 8⋅2.5=208⋅2.5=20 хэсэг болно. Иймд нийт 30 хэсэг газар нь нийт 240 га болно. Иймд нэг хэсэг нь 240:30=8240:30=8 га болно. Өдөрт 5 хэсэг буюу 5⋅8=405⋅8=40 га хагалах тул ажлаа 240:40=6240:40=6 өдөрт дуусгана."} +{"prompt":"Тракторчид 240 га талбай хагалжээ. 2 өдрийн турш хагалсан газрын 80%80% нь үлдсэн талбайгаас 2.52.5 дахин бага байв. Тракторчид өдөрт хэдэн га хагалсан бэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Өдөрт aa га, нийт nn өдөр хагалсан гэе. Тэгвэл 2a⋅80100⋅2.5=(n−2)a⇒n=62a⋅80100⋅2.5=(n−2)a⇒n=6. Иймд өдөрт 2406=402406=40 га хагалсан."} +{"prompt":"Тунелийн хоёр талд ажиллаж байгаа 2 машин 60 хоногт зам тавих ёстой. Хэрвээ эхний машин өөрийн ажлын 30%30%-ийг, харин нөгөө нь 2623%2623%-ийг хийвэл тэд хамтдаа 60 м зам тавина. Хэрвээ эхний машин хоёрдахь машины тавих ёстой замын 2\/32\/3, харин хоёр дахь нь нэг дэхийн ажлын 0,30,3-г хийвэл, нэг дэх машин хоёрдохоос 6 өдөр илүү ажиллана. Машин тус бүр өдөрт хэдэн метр зам тавьдаг вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Эхний машин өдөрт xx м зам, хоёр дахь машин өдөр yy м зам тус бүр тавьдаг гэе. Тэгвэл 60 өдөрт харгалзан 60x60x м, 60y60y м зам тавьна. Нэг дэх машины тавих замын 30%30% нь 18x18x м, хоёр дахь машины тавих замын 2623%2623% нь 16y16y м болно. Иймд бодлогын нөхцлөөс 18x+60y=6018x+60y=60 болно. Нэг дэх машин хоёр дахь машины хийх ажлын 2\/32\/3-ийг хийхэд (23⋅60y):x=40yx(23⋅60y):x=40yx өдөр, хоёр дахь машин нэг дэх машины хийх ажлын 0,30,3-ийг хийхэд 0,3⋅60xy=18xy0,3⋅60xy=18xy өдөр зарцуулна. Иймд 40xy−18yx=640xy−18yx=6. Иймд ⎧⎪⎨⎪⎩18x+16y=6040yx−18xy=6{18x+16y=6040yx−18xy=6 болно. Системийг бодвол x=2;y=1,5x=2;y=1,5"} +{"prompt":"Тус бүр 13 ширхэг алимтай bb хайрцаг алимны үнэ cc төгрөг бол aa төгрөгөөр хэдэн ширхэг алим авах вэ?","completion":"Заавар: Нэг ширхэг алимны үнийг эхлээд ол.\nБодолт: 13b13b ширхэг алимны үнэ cc төгрөг тул нэг ширхэг алимны үнэ c13bc13b байна.\n\naa төгрөгөөр ac13b=13abcac13b=13abc ширхэг алим авна."} +{"prompt":"Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр 10 бол гипотенузын урт хамгийн бага байхын тулд гурвалжны талууд ямар урттай байх вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Kатетуудыг x, y гипотенузыг z урттай гэе. x+y=10 үед z2=x2+y2-ийн хамгийн бага утгыг олъё.\ny=10−x тул z2=x2+(10−x)2=2x2−20x+100=2(x−5)2+50 ба x>0,y>0⇒00 ба 2x=2a+b бол \nS=a⋅b=2a⋅b2\n2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=2x⇒a=x2,b=2a=x үед хамгийн их буюу\nS=x2⋅x=x22"} +{"prompt":"Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр 4-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?","completion":"Заавар: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгатай байдаг.\nБодолт: Талуудын урт нь a, b>0 ба x=2a+b бол \nS=a⋅b=2a⋅b2\n2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=x⇒a=x4,b=2a=x2 үед хамгийн их буюу\nS=x4⋅x2=x28\n\nx=4 тул 428=2\n\nСанамж: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгаа авдаг чанар нь функцийн ХИ, ХБ утга олох үйлдлийг товчлох боломж олгодог."} +{"prompt":"Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр 6-тай тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?","completion":"Заавар: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгатай байдаг.\nБодолт: Талуудын урт нь a, b>0 ба x=2a+b бол \nS=a⋅b=2a⋅b2\n2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=x⇒a=x4,b=2a=x2 үед хамгийн их буюу\nS=x4⋅x2=x28\n\nx=6 тул 628=92=4.5\n\nСанамж: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгаа авдаг чанар нь функцийн ХИ, ХБ утга олох үйлдлийг товчлох боломж олгодог."} +{"prompt":"Тэгш өнцөгтийн гурван талынх нь нийлбэр x-тэй тэнцүү бол түүний талбай хамгийн ихдээ ямар байж болох вэ?","completion":"Заавар: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгатай байдаг.\nБодолт: Талуудын урт нь a, b>0 ба x=2a+b бол \nS=a⋅b=2a⋅b2\n2a⋅b үржвэр 2a=b үед хамгийн их утгатай байна. Иймд 4a=x⇒a=x4,b=2a=x2 үед хамгийн их буюу\nS=x4⋅x2=x28\n\nСанамж: Нийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их утгаа авдаг чанар нь функцийн ХИ, ХБ утга олох үйлдлийг товчлох боломж олгодог."} +{"prompt":"Тэгш өнцөгтийн периметр 16 бол талбай нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?","completion":"Заавар: Тэгш өнцөгтийн талуудын уртыг x, y гэвэл периметр нь 2(x+y), талбай нь x⋅y байна\nБодолт: 2(x+y)=16⇒y=8−x тул талбай нь \nS(x)=x(8−x)=8x−x2 болно. S′(x)=8−2x=0⇒x=4 тул хамгийн их утга нь\nS(4)=4⋅(8−4)=16."} +{"prompt":"Тэгшитгэлийн системийг бод.","completion":"Заавар: {ax+by=ecx+dy=f ⟺ (abcd)(xy)=(ef) ⟺ (xy)=1ac−bd(d−b−ca)(ef).\nБодолт: (xy)=14⋅4−5⋅3(4−534)(65)=(4−534)(65)=(−12).\n (xy)=14⋅3−5⋅2(3−524)(00)=(00).\n (xy)=12⋅5−(−1)⋅(−1)(5112)(16)=19(5⋅1+1⋅61⋅1+2⋅6)=19(1113)."} +{"prompt":"Тэгшитгэлийн системийг бод.\n{x−y−z=3−x+y+2z=4−y+2z=3","completion":"Заавар:\nБодолт: Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодъё.\n(1−1−13−11240−123)\n1-р мөрийг 2-р мөр дээр нэмэхэд [(1)+(2)→(2)]\n(1−1−1300170−123)\n\n2 ба 3-р мөрүүдийн байрыг соливол [(2)↔(3)]\n(1−1−130−1230017)\n\n2-р мөрийг −1-ээр үржүүлбэл [−1×(2)→(2)]\n(1−1−1301−2−30017)\n\n2-р мөрийг 1-р мөр дээр нэмэхэд [(2)+(1)→(1)]\n(10−3001−2−30017)\n\n3-р мөрийг 3-аар үржүүлж 1-р мөр дээр, 3-р мөрийг 2-оор үржүүлж 2-р мөр дээр тус тус нэмбэл [3×(3)+(1)→(1),2×(3)+(2)→(2)]\n(10021010110017)\n\nтул тэгшитгэлийн шийд нь:\nx=21,y=11,z=7"} +{"prompt":"Төгс тоо натурал тооны квадрат болж чадахгүйг батал. Өөрийн бүх хуваагчдын нийлбэртэй тэнцүү тоог төгс тоо гэнэ. Жишээ нь: 6=1+2+36=1+2+3 төгс тоо болно.","completion":"Заавар:\nБодолт: n=pα11pα22…pαssn=p1α1p2α2…psαs төгс тооны каноник задаргаа авч үзье. Хэрвээ nn нь натурал тооны квадрат бол\n∀i∈{1,2,…,s}:2∣αi∀i∈{1,2,…,s}:2∣αi\nбайна. Эндээс nn тооны хуваагчдын нийлбэр\nT(n)=s∏i=1(1+pi+⋯+pαii)≡1≢2n(mod2)T(n)=∏i=1s(1+pi+⋯+piαi)≡1≢2n(mod2)\nболно. Учир нь 2∣αi2∣αi үед\n1+pi+p2i+⋯+pαii≡1(mod2)1+pi+pi2+⋯+piαi≡1(mod2)\nюм. Иймд төгс тоо натурал тооны квадрат байх боломжгүй юм."} +{"prompt":"Төгсгөлгүй буурах bnbn геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь ∞∑i=1bi=2∑i=1∞bi=2, квадратуудын нийлбэр нь ∞∑i=1b2i=1∑i=1∞bi2=1 бол b1=abb1=ab, q=cdq=cd болох тул кубуудын нийлбэр нь ∞∑i=1b3i=efgh∑i=1∞bi3=efgh байна.","completion":"Заавар: Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь S=b11−qS=b11−q байдаг. Геометр прогрессийн гишүүдийн квадрат болон кубууд нь тус бүрдээ геометр прогресс болохыг ашигла.\nБодолт: Нийлбэрийн томьёогоор b11−q=2b11−q=2, b211−q2=1b121−q2=1 байна.\nb211−q2=b11−q⋅b11+q=2b11+q=1b121−q2=b11−q⋅b11+q=2b11+q=1 тул \n{b1=2−2q2b1=1+q⇒b1=45, q=35{b1=2−2q2b1=1+q⇒b1=45, q=35\nболно. Иймд\n∞∑i=1b3i=b311−q3=(45)31−(35)3=3249∑i=1∞bi3=b131−q3=(45)31−(35)3=3249"} +{"prompt":"Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр 9, эхний гишүүн 3 бол 2 дахь гишүүн хэд вэ?","completion":"Заавар: Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёо ашигла.\nБодолт: S=b11−q⇒9=31−qS=b11−q⇒9=31−q буюу q=23q=23 байна. Иймд b2=b1⋅q=3⋅23=2b2=b1⋅q=3⋅23=2. □◻"} +{"prompt":"Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн эхний 2 гишүүний нийлбэр 2, эхний 3 гишүүний нийлбэр 3 бол бүх гишүүдийнх нь нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: Sn=b1+b1q+⋯+b1qn−1Sn=b1+b1q+⋯+b1qn−1 ба S=b11−qS=b11−q томьёонуудыг ашиглан бод.\nБодолт: S2=b1+b1q=b1(1+q)=2S2=b1+b1q=b1(1+q)=2, S3=b1+b1q+b1q2=b1(1+q+q2)=3S3=b1+b1q+b1q2=b1(1+q+q2)=3 тул q2+q+1q+1=32⇔2q2−q−1=0.q2+q+1q+1=32⇔2q2−q−1=0.\n2q2−q−1=0⇒q1=12q2−q−1=0⇒q1=1, q2=−0.5q2=−0.5 болно. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн хувьд |q|<1|q|<1 тул q=−0.5q=−0.5 гэж авна.\n\nb1{1+(−0.5)}=0.5b1=2⇒b1=4b1{1+(−0.5)}=0.5b1=2⇒b1=4 тул\nS=b11−q=41−(−0.5)=83.S=b11−q=41−(−0.5)=83."} +{"prompt":"Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн эхний гишүүн 2, хуваарь 1212 бол бүх гишүүдийнх нь нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: S=b11−qS=b11−q ашигла.\nБодолт: S=2+1+12+14+⋯=21−12=4S=2+1+12+14+⋯=21��12=4"} +{"prompt":"Уламжлал нь cos3xcos⁡3x байх функц аль нь вэ?","completion":"Заавар: Бид cos3xcos⁡3x функцийн эх функц буюу тодорхой биш интегралыг бодно.\n(sinax)′=acosax⇔∫cosaxdx=sinaxa+C(sin⁡ax)′=acos⁡ax⇔∫cos⁡axdx=sin⁡axa+C\nБодолт: ∫cos3xdx=sin3x3+C∫cos⁡3xdx=sin⁡3x3+C"} +{"prompt":"Уламжлал нь sin2xsin⁡2x байх функц аль нь вэ?","completion":"Заавар: Бид sin2xsin⁡2x функцийн эх функц буюу тодорхой биш интегралыг бодно.\n(cosax)′=−asinax⇔∫sinaxdx=−cosaxa+C(cos⁡ax)′=−asin⁡ax⇔∫sin⁡axdx=−cos⁡axa+C\nБодолт: ∫sin2xdx=−cos2x2+C∫sin⁡2xdx=−cos⁡2x2+C"} +{"prompt":"Усан бассейныг дүүргэх хоёр хоолой ажилладаг. Эхний хоолойг 10 минут, хоёрдугаар хоолойг 20 минут ажиллуулбал бассейн дүүрнэ. Харин эхний хоолойг 5 минут, хоёрдугаар хоолойг 15 минут ажиллуулахад бассейны 3535 нь дүүрнэ. Тэгвэл тус бүрд нь ажиллуулахад нэгдүгээр хоолой abcabc, хоёрдугаар хоолой dede минутад бассейныг дүүргэнэ.","completion":"Заавар: I хоолой t1t1 минутад, II хоолой t2t2 минутад бассейныг дүүргэдэг гэвэл 10t1+20t2=110t1+20t2=1, 5t1+15t2=355t1+15t2=35 байна.\nБодолт: Нийт хэсгийг 1 гэвэл 1 минутад I хоолой бассейны 1t11t1 хэсгийг, II хоолой 1t21t2 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд\n⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩10t1+20t2=15t1+15t2=35{10t1+20t2=15t1+15t2=35\nИймд 10t2=2⋅35−1=15⇒t2=5010t2=2⋅35−1=15⇒t2=50 болох тул\n10t1=1−2050⇒t1=50310t1=1−2050⇒t1=503 \nбайна."} +{"prompt":"Усан бассейныг дүүргэх хоёр хоолой ажилладаг. Эхний хоолойг 1010 минут, хоёрдугаар хоолойг 2020 минут ажиллуулбал бассейн дүүрнэ. Харин эхний хоолойг 55 минут, хоёрдугаар хоолойг 1515 минут ажиллуулахад бассейнын 3535 нь дүүрнэ. Тэгвэл тус бүрд нь ажиллуулахад нэгдүгээр хоолой abcabc минут, хоёрдугаар хоолой dede минутад бассейныг дүүргэнэ.","completion":"Заавар: Эхний хоолойг 55 минут, хоёрдугаар хоолойг 1010 минут ажиллуулахад бассейны хагас нь дүүрнэ. Иймд хоёрдугаар хоолойг 55 минут ажиллуулахад бассейны 35−12=11035−12=110 хэсэг дүүрнэ.\nБодолт: Эхний хоолойг 1010 минут, хоёрдугаар хоолойг 2020 минут ажиллуулбал бассейн дүүрнэ. Иймд эхний хоолойг 55 минут, хоёрдугаар хоолойг 1010 минут ажиллуулахад бассейны хагас нь дүүрнэ. Эндээс хоёрдугаар хоолойг 55 минут ажиллуулахад бассейны 35−12=11035−12=110 хэсэг дүүрэх тул 50 минутад хоёрдугаар хоолой бассейныг дүүргэнэ. Хоёрдугаар хоолойг 2020 минут ажиллуулбал бассейны 205⋅110=25205⋅110=25 хэсэг дүүрнэ. Эндээс 1010 минутанд эхний хоолой бассейны 1−25=351−25=35 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд 10:35=50310:35=503 минутад нэгдүгээр хоолой бассейныг дүүргэнэ."} +{"prompt":"Усан онгоц 105 км зайг урсгал дагуу явахдаа урсгал сөрж явахаасаа 2 цагаар хурдан явжээ. Хэрэв тогтмол усанд онгоцны хурд 18 км\/цаг бол урсгалын хурдыг ол.","completion":"Заавар: Урсгалын хурдыг v гэвэл урсгал дагуу хурд нь 18+v, урсгал сөрөх хурд нь 18−v байна.\nБодолт: 10518−v−10518+v=2⇔105(18+v)−105(18−v)=2(18−v)(18+v)\nтул\n105v=182−v2⇔v2+105v−324=0\nболно. Эндээс\nv1,2=−105±√(−105)2−4⋅(−324)2=−105±1112\nба v>0 тул v=−105+1112=3 байна."} +{"prompt":"Усан онгоц нуурын усанд 9 км, голын урсгал дагуу 20 км явахдаа 1 цаг зарцуулав. Хэрэв голын урсгалын хурд 3 км\/цаг бол онгоцны тогтмол усанд явах хурдыг ол.","completion":"Заавар: Усан онгоцны хурд v гэвэл урсгал дагуу явах хурд нь v+3 байна.\nБодолт: 9v+20v+3=1 тул\n9(v+3)+20v=v(v+3)\nбуюу\nv2−26v−27=0\nболно. Эндээс v1=27, v2=−1 гэж гарах ба v>0 байх ёстой тул v=27 нь шийд болно."} +{"prompt":"Усан санг 3 цорго нийлээд 18 цагт дүүргэж байв. Зөвхөн I ба II цоргыг нээхэд усан санг 24 цагийн дотор дүүргэдэг бол III цоргыг дангаар нь нээхэд хэдэн цагийн дотор дүүргэх вэ?","completion":"Заавар: I ба II цоргоор 18 цагийн дотор усан сангийн ямар хэсгийг дүүргэх вэ?\nБодолт: I ба II цорго 18 цагийн дотор усан сангийн 1824=341824=34 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд I цорго үлдсэн хэсэг буюу 1414 хэсгийг 18 цагт дүүргэх ёстой. Иймд нийт хэсгийг 4⋅18=724⋅18=72 цагт дүүргэнэ."} +{"prompt":"Усан санг дүүргэхийн тулд хоёр гоожуур ажиллана. Тэд дангаар ажиллавал I нь 4.5 цаг, II нь 6.75 цагт дүүргэнэ. Эхлээд I-ийг хоёул зэрэг ажиллаж дүүргэх хугацаанд ажиллуулаад хааж, дараа нь II крантыг ажиллуулжээ. II крант хэчнээн цаг ажиллаж усан санг дүүргэх вэ?","completion":"Заавар: II-ийг ажиллуулах хугацаа нь I-ийг ажиллуулах хугацаатай адилхан буюу хоёулаа зэрэг ажиллаад дүүргэх хугацаатай ижил байна.\nБодолт: Гоожуур тус бүр цагт усан сангийн 14.514.5, 16.7516.75 хэсгүүдийг дүүргэх тул хамтдаа\n14.5+16.75=29+427=102714.5+16.75=29+427=1027\nхэсгийг дүүргэнэ. Иймд нийт хэсгийг 11027=2.711027=2.7 цагт дүүргэнэ."} +{"prompt":"Усан санг хоёр хоолойн тусламжтайгаар 7.57.5 цагт дүүргэдэг. Хэрвээ зөвхөн I хоолойг нээвэл зөвхөн II хоолойг нээснээс 8 цагаар бага хугацаа зарцуулна. Дан II хоолойг нээвэл хэдий хугацаанд усан сан дүүрэх вэ?","completion":"Заавар: t1−t2=8t1−t2=8, 11t1+1t2=7.511t1+1t2=7.5 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"Уулчин уул өөд авирахдаа эхлээд цагт 800 метр авирав. Дараагийн цаг тутамд өмнөхөөсөө 25 метрээр бага авирсан бол 5700 метрийн өндөрт хэдэн цагийн дараа гарсан вэ?","completion":"Заавар: Нэг цагт явсан замууд нь −25 ялгавартай арифметик прогрессийн гишүүд ба нийт явсан зам нь уг прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэр байна. Мөн өгсөж буй тул прогрессийн гишүүд бүгд эерэг тоо байна.\nБодолт: Нийт n цаг өгсөөд 5700 метрийн өндөрт гарсан гэвэл\nSn=2a1+(n−1)d2⋅n=2⋅800−25(n−1)2⋅n=5700 байна. Иймд 1600n−25n2+25n=11400⇒n2−65n+456=0 болно. Эндээс n=8, n=57 гэсэн хариу гарах ба 800−25(n−1)>0 байх ёстой тул n=8 байна."} +{"prompt":"Функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.\ny=logx+1(4−x2)√3−5x−2x2","completion":"Заавар: logf(x)g(x) бол f(x)>0, f(x)≠1, g(x)>0 байна.\n Бутархайн хуваарь 0-ээс ялгаатай байна.\n Язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш байна.\nБодолт: D:{x+1>0x+1≠14−x2>03−5x−2x2≥0√3−5x−2x2≠0 байна. Эндээс \nD:{x>−1x≠0−20 байх ёстой тул v=4 байна. Иймд 10−v=6 ба хугацаа нь харгалзан 24\/4=6, 24\/6=4 цаг байна."} +{"prompt":"Хоёр ажилчин нийлээд 6 цагт дуусгах ажлыг I нь дангаараа 8 цагт дуусгах бол II нь дангаараа ажиллавал хэдэн цагт дуусгах вэ?","completion":"Заавар: 6 цагт I ажилчин нийт ажлын ямар хэсгийг хийж гүйцэтгэх вэ?\nБодолт: I ажилчин 6 цагийн дотор нийт ажлын 68=3468=34 хэсгийг гүйцэтгэнэ. Иймд II ажилчин 6 цагийн дотор нийт ажлын 1−34=141−34=14 хэсгийг хийж гүйцэтгэх тул нийт ажлыг 4⋅6=244⋅6=24 цагт хийж дуусгана."} +{"prompt":"Хоёр ажилчин хамтарч ажиллавал даалгаварыг 2 цаг 48 минутад биелүүлж чадна. Дангаараа ажиллавал нэгдүгээр ажилчин хоёрдугаараасаа 4 цаг 12 минутын өмнө даалгаврыг биелүүлнэ. Тэгвэл тэд дангаараа ажиллавал: Нэгдүгээр ажилчин abcabc цагт, хоёрдугаар ажилчин defdef цагт даалгаврыг гүйцэтгэнэ.","completion":"Заавар: I ажилтан t1t1 цагт, II ажилтан t2t2 цагт даалгаврыг гүйцэтгэдэг гэвэл t2−t1=415t2−t1=415, 11t1+1t2=24511t1+1t2=245 болно.\nБодолт: I ажилтан t1t1 цагт, II ажилтан t2t2 цагт даалгаврыг гүйцэтгэдэг, нийт ажлыг SS гэвэл ⎧⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎩t2−t1=415SSt1+St2=245⇒⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩t2=t1+215t1⋅t2t1+t2=145{t2−t1=415SSt1+St2=245⇒{t2=t1+215t1⋅t2t1+t2=145 болно. Орлуулах аргаар бодвол 5t1(t1+215)=14(t1+t1+215)⇒5t21−7t1−2945=05t1(t1+215)=14(t1+t1+215)⇒5t12−7t1−2945=0 тэгшитгэл үүснэ. Эндээс хугацаа эерэг тул t1=7+√122510=415t1=7+122510=415 байна. Иймд t2=415+415=825t2=415+415=825."} +{"prompt":"Хоёр ажилчин хамтдаа 66 цаг хийх ажлыг нэг нь 1818 цагт хийж дуусгасан бол уг ажлыг нөгөө ажилчин нь дангаараа хэдэн цагт хийж дуусгах вэ?","completion":"Заавар: Нийлээд ажиллавал 1-р ажилчнаас 186=3186=3 дахин хурдан ажиллана. 2 дахь ажилчин 1-р ажилчнаас хэд дахин хурдан бэ?\nБодолт: 2-р ажилчин 1-р ажилчнаас kk дахин хурдан гэвэл 1+k=3⇒k=21+k=3⇒k=2 байна. Иймд 2-р ажилчин дангаараа 182=9182=9 цагт хийж дуусгана."} +{"prompt":"Хоёр бригад нийлээд 27-оос олон хүнтэй. Эхний бригадын хүний тоо хоёр дахь бригадын хүний тоог 12-оор багасгаад хоёр дахин ихэсгэснээс их ба хоёр дахь бригадын хүний тоо эхний бригадын хүний тоог 10-аар хорогдуулаад 9 дахин нэмэгдүүлснээс их бол нэгдүгээр бригад abab хүнтэй, хоёрдугаар бригад cdcd хүнтэй байжээ.","completion":"Заавар: I бригад xx хүнтэй, II бригад yy хүнтэй гээд тэнцэтгэл бишийн систем зохио.\nБодолт: Бодлогын өгөгдлийг бичвэл x+y>27x+y>27, x>2(y−12)x>2(y−12), y>9(x−10)y>9(x−10) байна. Тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь x+y=27x+y=27 шулуунаас дээш орших цэгүүд, x>2(y−12)x>2(y−12) шулуунаас доош орших цэгүүд, y>9(x−10)y>9(x−10) шулуунаас дээш орших цэгүүдийн олонлог байна.\n\nЗургаас харахад энэ мужид орших цорын ганц бүхэл координаттай цэг нь (11,17)(11,17) болох нь харагдаж байна."} +{"prompt":"Хоёр бригад нэг ижил ажлыг тус тусдаа хийхэд II бригад нь I бригадаас 1 цагаар илүү ажиллажээ. Хэрэв I бригад нь 3 хүнээр илүү байсан бол ажлаа 2 цагийн өмнө дуусгах байв. Ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмж нь ижил бол I бригад хэдэн ажилчинтай байсан бэ?","completion":"Заавар: tt - уг ажлыг нэг хүн ганцаараа хийхэд зарцуулагдах хугацаа, nn нь I бригадын ажилчдын тоо, mm нь II бригадын ажилчдын тоо гээд тэгшитгэл зохио. mm, nn-ийн хамаарлыг олж бүхэл тоонууд болохыг нь ашиглан бод.\nБодолт: tm−tn=1⇒t=mnn−mtm−tn=1⇒t=mnn−m, tn−tn+3=2⇒t=2n(n+3)3tn−tn+3=2⇒t=2n(n+3)3 тул mnn−m=2n(n+3)3⇔3m=(2n+6)(n−m)⇔mnn−m=2n(n+3)3⇔3m=(2n+6)(n−m)⇔\nm=(2n+6)n2n+9=n−1−n−92n+9m=(2n+6)n2n+9=n−1−n−92n+9\nmm бүхэл ба |n−9|<2n+9|n−9|<2n+9 тул n−9=0⇒n=9n−9=0⇒n=9 байна."} +{"prompt":"Хоёр бригад нэг ижил ажлыг тус тусдаа хийхэд II бригад нь I бригадаас 1 цагаар илүү ажиллажээ. Хэрэв I бригад нь 5 хүнээр илүү байсан бол ажлаа 3 цагийн өмнө дуусгах байв. Ажилчдын хөдөлмөрийн бүтээмж нь ижил бол II бригад хэдэн ажилчинтай байсан бэ?","completion":"Заавар: tt - уг ажлыг нэг хүн ганцаараа хийхэд зарцуулагдах хугацаа, nn нь I бригадын ажилчдын тоо, mm нь II бригадын ажилчдын тоо гээд тэгшитгэл зохио. mm, nn-ийн хамаарлыг олж бүхэл тоонууд болохыг нь ашиглан бод.\nБодолт: tm−tn=1⇒t=mnn−mtm−tn=1⇒t=mnn−m, tn−tn+5=3⇒t=3n(n+5)5tn−tn+5=3⇒t=3n(n+5)5 тул mnn−m=3n(n+5)5⇔5m=(3n+15)(n−m)⇔mnn−m=3n(n+5)5⇔5m=(3n+15)(n−m)⇔\nm=(3n+15)n3n+20=n−1−2n−203n+20m=(3n+15)n3n+20=n−1−2n−203n+20\nmm бүхэл ба |2n−20|<3n+20|2n−20|<3n+20 тул 2n−20=0⇒n=102n−20=0⇒n=10 байна. Иймд m=10−1=9m=10−1=9."} +{"prompt":"Хоёр галт тэрэг өөд өөдөөсөө хоёр параллель замаар эхнийх нь 50 км\/ц, 2 дахь нь 70 км\/ц хурдтай хөдөлж байв. 1 дэх галт тэргэнд явсан зорчигч, 2 дахь галт тэрэг түүний хажуугаар 3 секундэд явж өнгөрөхийг харжээ. Хэрэв хоёр галт тэрэг нэг зүгт явж байсан бол уг зорчигчийн хажуугаар abab секундэд явж өнгөрөх ба 2 дахь галт тэрэгний урт cdecde мет байжээ.","completion":"Заавар: II галт тэрэгний уртыг xx гэвэл xx зайг 50+70=12050+70=120 км\/цаг хурдаар ямар хугацаанд туулах вэ?\nБодолт: 50+70=12050+70=120км\/цаг нь I галт тэргэнд байгаа зорчигчид ажиглагдах II галт тэрэгний хурд тул II галт тэрэгний урт нь x=120км\/цаг⋅3сек=120⋅1000м3600cek⋅3сек=100мx=120км\/цаг⋅3сек=120⋅1000м3600cek⋅3сек=100м \nбайна. \n\nХэрвээ нэг чиглэлд явж байсан бол ажиглагдах хурд нь 70−50=2070−50=20км\/цаг болох тул гүйцэж түрүүлэх хугацаа нь\n100м20км\/цаг=100м20⋅1000м3600сек=18сeк100м20км\/цаг=100м20⋅1000м3600сек=18сeк\nбайна."} +{"prompt":"Хоёр насос зэрэг ажиллавал савыг 8 цагт дүүргэнэ. Харин тэдгээрийг дангаар нь ажиллуулбал I насос савыг II-аасаа 12 цагийн түрүүнд дүүргэнэ. I насос дангаараа ажиллавал савыг хэдэн цагт дүүргэх вэ?","completion":"Заавар: xx, x+12x+12 цагт дүүргэдэг гэвэл тус бүр нэг цагт савны 1x1x ба 1x+121x+12 хэсгүүдийг дүүргэнэ.\nБодолт: Хоёр насос нийлээд нэг цагт савны 1x+1x+121x+1x+12 хэсгийг дүүргэнэ. Нөгөө талаас нийлээд 8 цагт дүүргэх тул нэг цагт савны 1818 хэсгийг дүүргэнэ. Иймд\n1x+1x+12=181x+1x+12=18\nболно. Ерөнхий хуваар өгч хялбарчилбал\n8(x+12)+8x=x(x+12)⇔x2−4x−96=08(x+12)+8x=x(x+12)⇔x2−4x−96=0\nболох тул x=−8x=−8, x=12x=12 гэсэн шийдүүд гарах ба x>0x>0 тул x=12x=12 байна."} +{"prompt":"Хоёр оронтой тооны цифрүүдийн нийлбэр 12-той тэнцүү ба нэгжийн орны цифр аравтын орны цифрээс 3 дахин бага бол энэ тоог ол.","completion":"Заавар: Систем тэгшитгэл зохиох эсвэл тохирох хариуг шалгах аргаар бодож болно.\nБодолт: Олох тоог ¯¯¯¯¯¯xyxy¯ гэе. Тэгвэл x+y=12x+y=12, x=3yx=3y байна. Иймд 3y+y=12⇒y=33y+y=12⇒y=3, x=3⋅3=9⇒¯¯¯¯¯¯xy=93x=3⋅3=9⇒xy¯=93."} +{"prompt":"Хоёр савны I нь 1 л устай, II саванд байсан усны температур 20∘ байв. Хэрэв II саванд байсан усны хагасыг I саванд хийвэл I саванд байгаа усны температур 44∘, хоёр саванд байсан усыг нэг рүү нь нийлүүлбэл 35∘ болох байжээ. Тэгвэл II саванд байсан усны хэмжээ, I саван дахь усны температурыг ол.","completion":"Заавар: V1=1, V2=v, t1=t, t2=20∘ гэвэл v2⋅20∘+1⋅t=(v2+1)⋅44∘, v⋅20∘+1⋅t=(v+1)⋅35∘ байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"Хоёр суурингийн хоорондох зай 180 км. Энэ зайг 45 км\/цаг хурдтай машин хэдэн цагт туулах вэ?","completion":"Заавар: t=Svt=Sv байна. Энд SS явсан нийт зам, vv нь тухайн замыг явсан дундаж хурд байна.\nБодолт: t=Sv=180 км45 км\/цаг=18045 цаг=4 цагt=Sv=180 км45 км\/цаг=18045 цаг=4 цаг байна."} +{"prompt":"Хоёр суурингийн хоорондох зай 180 км. Энэ зайг 50 км\/цаг хурдтай машин хэдэн цагт туулах вэ?","completion":"Заавар: t=Sv байна. Энд S явсан нийт зам, v нь тухайн замыг явсан дундаж хурд байна.\nБодолт: t=Sv=180 км50 км\/цаг=18050 цаг=3.6 цаг байна."} +{"prompt":"Хоёр тооны геометр ба арифметик дунджийн харьцаа 0.6 бол энэ хоёр тооны ихийг багад нь харьцуулсан харьцааг ол.","completion":"Заавар: a,ba,b тоонуудын арифметик дундаж нь a+b2a+b2, геометр дундаж нь √abab байна.\nБодолт: √ab:a+b2=0.6ab:a+b2=0.6 тул 1.2(a+b)=√ab1.2(a+b)=ab байна. a>ba>b гээд тэнцэлийн хоёр талыг bb тоонд хуваавал\n0.3(ab+1)=√ab0.3(ab+1)=ab\nt=√abt=ab гэвэл 3t2−10t+3=03t2−10t+3=0 тул\nt1,2=10±√102−4⋅3⋅32⋅3=10±86t1,2=10±102−4⋅3⋅32⋅3=10±86\na>ba>b тул t>1t>1 байх ёстой. Иймд t=√ab=10+86=3t=ab=10+86=3 байна. Иймд ab=32=9ab=32=9 байна."} +{"prompt":"Хоёр тооны нийлбэрийн квадратаас тэдгээрийн квадратуудыг хасахад 21462146 гарах бол үржвэр нь аль вэ?","completion":"Заавар: (a+b)2−(a2+b2)=2146(a+b)2−(a2+b2)=2146.\nБодолт:"} +{"prompt":"Хоёр тооны нэгийг 50%50% ихэсгэж, нөгөөг x%x% ихэсгэхэд үржвэр нь 80%80% ихсэв. xx-ийн утгыг ол.","completion":"Заавар: aa тоог x%x% ихэсгэвэл a+x%100%a=a(1+x100)a+x%100%a=a(1+x100) болно.\nБодолт: Тоонуудыг mm, nn\nm(1+50100)⋅n(1+x100)=mn(1+80100)m(1+50100)⋅n(1+x100)=mn(1+80100)\nбайна. Иймд (1+50100)⋅(1+x100)=(1+80100)(1+50100)⋅(1+x100)=(1+80100)\nтул 1.5(100+x)=1.8⋅100⇒x=1801.5−100=201.5(100+x)=1.8⋅100⇒x=1801.5−100=20 байна."} +{"prompt":"Хоёр хайлшид алт, мөнгө 2:3; 3:7 харьцаатай байв. 14:31 харьцаатай шинэ хайлш бэлтгэхийн тулд дээрх хоёр хайлшнаас ямар харьцаатай авбал зохих вэ?","completion":"Заавар: I хайлшаас m кг, II хайлшаас n кг авсан гэж үзвэл. Нийт алтны хэмжээ нь 2m2+3+3n3+7, мөнгөний хэмжээ 3m2+3+7n3+7 байна.\nБодолт: Шинэ хайлшны алтны хэмжээ нь 2m5+3n10=4m+3n10, мөнгөний хэмжээ 3m5+7n10=6m+7n10 тул\n4m+3n6m+7n=1431⇒124m+93n=84m+98n⇔mn=18\nбайна."} +{"prompt":"Хоёр хайлшид алт, мөнгө 2:3; 3:7 харьцаатай байв. 5:11 харьцаатай шинэ хайлш бэлтгэхийн тулд дээрх хоёр хайлшнаас ямар харьцаатай авбал зохих вэ?","completion":"Заавар: I хайлшаас m кг, II хайлшаас n кг авсан гэж үзвэл. Нийт алтны хэмжээ нь 2m2+3+3n3+7, мөнгөний хэмжээ 3m2+3+7n3+7 байна.\nБодолт: Шинэ хайлшны алтны хэмжээ нь 2m5+3n10=4m+3n10, мөнгөний хэмжээ 3m5+7n10=6m+7n10 тул\n4m+3n6m+7n=511⇒44m+33n=30m+35n⇔mn=17\nбайна."} +{"prompt":"Хоёр хоолойг зэрэг ажиллуулахад 48 минутад дүүрэх усан санг I-ээр нь 2 цагт дүүргэнэ. Хэрэв 1 минутад II хоолойгоор I-ээс 5050 м.куб ус илүү ордог бол усан сангийн эзлэхүүнийг ол.","completion":"Заавар: Нэг минутанд тус бүр aa ба bb м.куб ус ордог гээд ��эгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: Усан сангийн эзлэхүүн VV гэвэл V=48(a+b)=120a, b=a+50V=48(a+b)=120a, b=a+50\nболно. Иймд\n48(a+b)=48(2a+50)=120a⇒a=10048(a+b)=48(2a+50)=120a⇒a=100\nболно. Эндээс V=120a=12000V=120a=12000 м.куб болов."} +{"prompt":"Хоёр хотын хооронд суудлын галт тэрэг 2 цаг, ачааны галт тэрэг 3 цаг явна. Хоёр талаас нэгэн зэрэг угталцан гарвал ямар хугацааны дараа зөрөх вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Sv1=2, Sv2=3. Sv1+v2=1v1S+v2S=112+13=65=115 цаг буюу 1 цаг 12 мин."} +{"prompt":"Хоёр хотын хооронд суудлын галт тэрэг 2 цаг, ачааны галт тэрэг 4 цаг явна. Хоёр талаас нэгэн зэрэг угталцан гарвал ямар хугацааны дараа зөрөх вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: Sv1=2Sv1=2, Sv2=4Sv2=4. Sv1+v2=1v1S+v2S=112+14=43=113Sv1+v2=1v1S+v2S=112+14=43=113 цаг буюу 1 цаг 20 мин."} +{"prompt":"Хоёр эерэг тооны нэгийг нь 40%40%-аар ихэсгэж, нөгөө нь 40%40%-аар багасгавал үржвэр нь хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?","completion":"Заавар: aa тоог nn хувь ихэсгэвэл a(1+n100)a(1+n100), багасгавал a(1−n100)a(1−n100) болно.\nБодолт: Тоонуудыг aa, bb гэвэл a(1+40100)a(1+40100), b(1−40100)b(1−40100) болж өөрчлөгдөх ба үржвэр\na(1+40100)⋅b(1−40100)=ab(12−40100⋅40100)=ab(1−16100)a(1+40100)⋅b(1−40100)=ab(12−40100⋅40100)=ab(1−16100)\nтул 16%16% багасана."} +{"prompt":"Хоёр экскаватор нэгэн зэрэг ажиллавал 4 цагийн дотор суваг ухаж дуусгана. Нэг экскаватор нь ганцаараа суваг ухвал нөгөөгөөсөө 6 цагаар илүү хугацааг зарцуулна. Экскаваторууд тус тусдаа ажиллавал ямар хугацаанд суваг ухаж дуусгах вэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: 4a+4b=14a+4b=1, a=b+6a=b+6 тул\n4b+6+4b=1⇔b2−2b−24=0⇒b1=6,b2=−44b+6+4b=1⇔b2−2b−24=0⇒b1=6,b2=−4\nболно. b>0b>0 тул b=4b=4, a=4+6=10a=4+6=10 байна."} +{"prompt":"Хоёр өрлөгчин хамтдаа 20 хоногт хана өрөв. Хэрвээ тус тусдаа өрвөл эхний өрлөгчин нөгөөгөөсөө 9 өдрөөр илүү ажиллана гэвэл энэ ажлыг тус бүртээ хэдэн өдөрт дуусгах вэ?","completion":"Заавар: Нийт ажлыг 1 бүхэл гэвэл n1−n2=9n1−n2=9, 20=11n1+1n220=11n1+1n2 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"Хуваарь нь 22 байх {b1,b2,b3,…,b10}{b1,b2,b3,…,b10} геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ба A=b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9A=b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9, B=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10B=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10 бол BABA утгыг ол.","completion":"Заавар: q=bn+1bnq=bn+1bn болохыг ашигла.\nБодолт: BA=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9=b2b1⋅b4b3⋅b6b5⋅b8b7⋅b10b9←q=bn+1bn=2⋅2⋅2⋅2⋅2=25←q=2BA=b2⋅b4⋅b6⋅b8⋅b10b1⋅b3⋅b5⋅b7⋅b9=b2b1⋅b4b3⋅b6b5⋅b8b7⋅b10b9←q=bn+1bn=2⋅2⋅2⋅2⋅2=25←q=2"} +{"prompt":"Хувьцаа эзэмшигчдийн хурлаас бүтээгдэхүүний нэр төрлийг олшруулах замаар компанийн ашгийг нэмэгдүүлэх шийдвэр гарчээ. Эдийн засгийн шинжилгээний дүнд:","completion":"Заавар:\nБодолт: 62+55+48+41+34+27+20+13+6=30662+55+48+41+34+27+20+13+6=306 төгрөг."} +{"prompt":"Худалдагчийн зарсан даавууны 3434 нь 15 метр бол хэдэн метр даавуу зарсан бэ?","completion":"Заавар: nn метр даавууны 3434 нь хэдэн метр болох вэ?\nБодолт: n⋅34=15⇒n=15⋅43=20n⋅34=15⇒n=15⋅43=20"} +{"prompt":"Хурдан галт тэрэг 60 км\/цаг, суудлын галт тэрэг 40 км\/цаг хурдтай ба хоёр хотын хооронд тэд 5 цагийн зөрөөтэй явдаг бол хоёр хотын хоорондох зайг ол.","completion":"Заавар: Хоёр хотын хоорондох зайг S гэвэл t1=S60, t2=S40 байна.\nБодолт: t2>t1 тул t2−t1=S40−S60=5 байна. Иймд 3S−2S120=5⇒S=600 байна."} +{"prompt":"Хэрвээ ab=cd бол аль нь зөв бэ?","completion":"Заавар: Пропорцын чанар ашигла.\n\nab=cd=k⇒a=kb, c=kd тул a−c=k(b−d)⇒k=a−cb−d болно. Иймд\nab=cd=a−cb−d\nБодолт: Пропорцийн чанараар a−cb−d=cd байна."} +{"prompt":"Хэрвээ гүдгэр 4 өнцөгтийн хамгийн бага өнцөг нь 18∘, бага өнцгөөс нь эхлэн өнцгүүдийг цагийн зүүний дагуу жагсаан бичихэд арифметик прогрессийн гишүүд болж байсан бол бага өнцгийн эсрэг орших өнцгийг ол.","completion":"Заавар: Гүдгэр 4 өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 360∘.\nБодолт: Гүдгэр 4 өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 360∘ тул\na1+a2+a3+a4=2(a1+a4)=360∘\nбайна. Иймд a4=180∘−18∘=162∘ байна. Нөгөө талаас a4=a1+3d тул 3d=162∘−18∘⇒d=48∘ байна. a1-ийн эсрэг өнцөг нь a3=18∘+2⋅48∘=114∘ байна."} +{"prompt":"Хэрвээ энэ жилийн ЭЕШ-ийг 2016 оны 6-р сарын 20-нд зохион байгуулна гэвэл элсэлтийн шалгалт хүртэл хэдэн өдөр үлдсэн бэ?\n\nЖич: Өдрийг 2015 оны ЭЕШ-ийн өдөртэй дүйцүүлж авлаа. Мөн өдрийг 2016-01-01-ээс эхэлж тоолно. Жишээ нь 2016-01-02 өдөр шалгалт байсан бол нэг өдөр үлдсэн гэх мэтээр.","completion":"Заавар: Сарын сүүлийн өдрүүд хүртэл хэд хоног байхыг тоолоорой! Мөн 2016 он өндөр жил тул II сар 29 хоногтой.\nБодолт: 30+29+31+30+31+20=17130+29+31+30+31+20=171 хоног."} +{"prompt":"Хэрэв 0−−32⋅2=34t>−−32⋅2=34 үед өсөх функц байгаа. Бидний хувьд\n390≤f(t)≤430390≤f(t)≤430\nбайх tt-ийн утгыг олно. t=14t=14 үед\nf(14)=2⋅142−3⋅14=350<390,f(14)=2⋅142−3⋅14=350<390,\n390430f(16)=2⋅162−3⋅16=464>430\nтул t=15t=15 л байх боломжтой. Эндээс n=2⋅15−3=27n=2⋅15−3=27 байна."} +{"prompt":"Хязгаар бод.\nlimx→1√x2+3−2x−1limx→1x2+3−2x−1","completion":"Заавар:\nБодолт: limx→1√x2+3−2x−1=limx→1(√x2+3−2)(√x2+3+2)(x−1)(√x2+3+2)=limx→1(x−1)(x+1)(x−1)(√x2+3+2)=limx→1x+1√x2+3+2=1+1√12+3+2=24=12.limx→1x2+3−2x−1=limx→1(x2+3−2)(x2+3+2)(x−1)(x2+3+2)=limx→1(x−1)(x+1)(x−1)(x2+3+2)=limx→1x+1x2+3+2=1+112+3+2=24=12.\nЗаавар: √x2+3−2x2+3−2 тооны хосмог √x2+3+2x2+3+2-оор хүртвэр, хуваарийг үржүүл.\nБодолт: limx→1√x2+3−2x−1=limx→1(√x2+3−2)(√x2+3+2)(x−1)(√x2+3+2)=limx→1(√x2+3)2−22(x−1)(√x2+3+2)=limx→1x2+3−4(x−1)(√x2+3+2)=limx→1x2−1(x−1)(√x2+3+2)=limx→1(x−1)(x+1)(x−1)(√x2+3+2)=limx→1x+1√x2+3+2=1+1√12+3+2=24=12limx→1x2+3−2x−1=limx→1(x2+3−2)(x2+3+2)(x−1)(x2+3+2)=limx→1(x2+3)2−22(x−1)(x2+3+2)=limx→1x2+3−4(x−1)(x2+3+2)=limx→1x2−1(x−1)(x2+3+2)=limx→1(x−1)(x+1)(x−1)(x2+3+2)=limx→1x+1x2+3+2=1+112+3+2=24=12"} +{"prompt":"Хүснэгтээр f′(x) функцийн талаар дараах мэдээлэл өгөгдө��.","completion":"Заавар: Хэрвээ аль нэг өгүүлбэр нь үргэлж үнэн байж чадахгүй бол эсрэг жишээг график зурж хараарай!\nБодолт: \n\n\nx x<2 x=2 2f(5) байх боломжтой. \n\n3-р өгүүлбэр үргэлж үнэн байна. Учир нь x<2 үед f(x) буурах тул [1;2] завсрын хамгийн бага утга нь f(2), 24x>4 тул x=10+√102−4⋅162=10+62=8x=10+102−4⋅162=10+62=8 байна."} +{"prompt":"Цэвэр спирттэй савнаас 4 л спирт авч оронд нь 4 л ус хийж сайн холиод 4 л хольц авч 4 л ус хийсний дараа саванд 2 л спирт үлдэв. Анх саванд хэчнээн спирт байсан бэ?","completion":"Заавар:\nБодолт: x−4−4⋅x−4x=2⇒x2−10x+16=0\nба x>4 тул x=10+√102−4⋅162=10+62=8 байна."} +{"prompt":"Цэг x(t)=3t2+2t+2t−8 хуулиар хөдөлж байв. Хугацааны t=1 эгшинд ямар хурдтай байх вэ?","completion":"Заавар: Хугацаанаас хамаарсан шилжилтийн функцээс хугацаагаар уламжлал авахад хурдны функц гарна.\nБодолт: x′(t)=6t2−2t2+2 тул t=1 эгшин дэх хурд нь\nx′(t)=6⋅12−21+2=6\nбайна."} +{"prompt":"Шалгалтаа хангалтгүй өгсөн оюутнууд 2.9%−3.1%2.9%−3.1% байсан бол хамгийн цөөндөө хэдэн оюутан шалгалт өгсөн бэ?","completion":"Заавар: Сурагчдын тоог nn гэвэл шалгалтаа хангалттай өгөөгүй сурагчдын тоо нь 2.9n1000a>0 тул\na=√49=23a=49=23\nбайна."} +{"prompt":"Эхний n гишүүний нийлбэр нь Sn=2n2+3n байх арифметик прогрессийн n дүгээр гишүүн нь an=an+b ба ялгавар нь d=c байна. Мөн a11+a12+⋯+a15=def байна.","completion":"Заавар: Sn=Sn−1+an болохыг ашиглаарай!\nБодолт: Sn=Sn−1+an тул \nan=Sn−Sn−1=2n2+3n−2(n−1)2−3(n−1)=2n2+3n−2n2+4n−2−3n+3=4n+1\nба d=an−an−1=4n+1−4(n−1)−1=4 байна.\na11+a12+⋯+a15=S15−S10==2⋅152+3⋅15−2⋅102−3⋅10=265\nбайна."} +{"prompt":"Эхний гишүүн a1=1, ялгавар d=4 байх арифметик прогресс {an} ба a0=2 тооны хувьд b1=a0+a1,bn=bn−1+an,n=2,3,4,…\nдараалал зохиовол bn=an2−n+b (4 оноо) болох ба 155 түүний c дугаар гишүүн байна.","completion":"Заавар: bn нь a0+a1⋯+an=a0+Sn буюу a1,a2,… арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр дээр 2-ийг нэмсэнтэй тэнцүү байна.\nБодолт: Sn=2a1+4(n−1)2⋅n=4n−22⋅n=2n2−n\nтул bn=Sn+2=2n2−n+2 байна.\n2n2−n+2=155⇒n=1+√1+4⋅2⋅1532⋅2=1+354=9"} +{"prompt":"Эхний гишүүн a1=2a1=2, ялгавар d=8d=8 байх арифметик прогресс {an}{an} ба a0=4a0=4 тооны хувьд b1=a0+a1,bn=bn−1+an,n=2,3,4,…b1=a0+a1,bn=bn−1+an,n=2,3,4,…\nдараалал зохиовол bn=an2−bn+4bn=an2−bn+4 (4 оноо) болох ба 136136 түүний cc (3 оноо) дугаар гишүүн байна.","completion":"Заавар: bnbn нь a0+a1⋯+an=a0+Sna0+a1⋯+an=a0+Sn буюу a1,a2,��a1,a2,… арифметик прогрессийн эхний nn гишүүний нийлбэр дээр 44-ийг нэмсэнтэй тэнцүү байна.\nБодолт: Sn=2a1+8(n−1)2⋅n=8n−42⋅n=4n2−2nSn=2a1+8(n−1)2⋅n=8n−42⋅n=4n2−2n\nтул bn=Sn+4=4n2−2n+4bn=Sn+4=4n2−2n+4 байна.\n4n2−2n+4=136⇒n=2+√(−2)2+4⋅4⋅1322⋅4=2+468=64n2−2n+4=136⇒n=2+(−2)2+4⋅4⋅1322⋅4=2+468=6"} +{"prompt":"Эхний гишүүн a1=6a1=6, ялгавар d=6d=6 байх арифметик прогресс {an}{an} ба a0=1a0=1 тооны хувьд b1=a0+a1,bn=bn−1+an,n=2,3,4,…b1=a0+a1,bn=bn−1+an,n=2,3,4,…\nдараалал зохиовол bn=an2+3n+bbn=an2+3n+b (4 оноо) болох ба 169169 түүний cc (3 оноо) дугаар гишүүн байна.","completion":"Заавар: bnbn нь a0+a1⋯+an=a0+Sna0+a1⋯+an=a0+Sn буюу a1,a2,…a1,a2,… арифметик прогрессийн эхний nn гишүүний нийлбэр дээр 11-ийг нэмсэнтэй тэнцүү байна.\nБодолт: Sn=2a1+6(n−1)2⋅n=6n+62⋅n=3n2+3nSn=2a1+6(n−1)2⋅n=6n+62⋅n=3n2+3n\nтул bn=Sn+1=3n2+3n+1bn=Sn+1=3n2+3n+1 байна.\n3n2+3n+1=169⇒n=−3+√32+4⋅3⋅1682⋅3=−3+456=73n2+3n+1=169⇒n=−3+32+4⋅3⋅1682⋅3=−3+456=7"} +{"prompt":"Эхний гишүүн нь 4 ба сүүлчийн гишүүн нь 60 байх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр 1280 бол түүний гишүүдийн тоо аль нь вэ?","completion":"Заавар: Sn=a1+an2⋅n томьёог ашигла.\nБодолт: Sn=4+602⋅n=1280⇒n=2⋅128064=40"} +{"prompt":"Эхний гишүүн нь a1=−12 ба 32 тоо гишүүн нь болдог арифметик прогресс өгөгдөв. Хэрвээ an=5 бол n-ийн хамгийн бага утга аль нь вэ?","completion":"Заавар: Ялгавар нь d гэвэл ak=32=a1+d(k−1), an=5=a1+d(n−1) байх k, n натурал тоонууд оршин байх ёстой.\nБодолт: a1=−12 тул 32=−12+d(k−1)⇒d=2k−1 байна. Эндээс 5=−12+2k−1⋅(n−1)⇒n=11(k−1)4+1\nбайна. n-ийг натурал тоо байлгах хамгийн бага натурал k нь 5 тул n=11⋅(5−1)4+1=12 байна."} +{"prompt":"Эхний хэдэн гишүүдийн нийлбэр нь 2744 байх бүхэл гишүүдтэй 7 ялгавартай бүх арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг ол.","completion":"Заавар: a1+⋯+ak=a1+ak2⋅k=2a1+7(k−1)2⋅k=2744 байхаар a1∈Z,k∈N тоонуудыг олно. k нь 2⋅2744=24⋅73 -ийн хуваагч бөгөөд a1=2⋅2744k−7(k−1)2 болохыг анхаарвал k=1, 7, 49, 343, 16, 16⋅7, 16⋅72, 16⋅73 байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"Явган аялагч замын тэгш хэсэгт 44 км\/ц, уруу хэсэгт 66 км\/ц хурдтай явдаг. Хэрвээ замын тэгш ба уруу хэсгүүд нь тэнцүү бол нийт замыг ямар дундаж хурдаар туулах вэ?","completion":"Заавар: Замыг 2S2S км гэвэл замын тэгш хэсэгт S4S4 цаг, уруу хэсэгт S6S6 цаг зарцуулна.\nБодолт: Дундаж хурд нь нийт замыг хугацаанд хуваахад гарах тул\nv=2SS4+S6=214+16=4.8 км\/цv=2SS4+S6=214+16=4.8 км\/ц\nбайна."} +{"prompt":"Явган аялагч замын тэгш хэсэгт 55 км\/ц, өгсүүр хэсэгт 33 км\/ц хурдтай явдаг. Хэрвээ замын тэгш ба өгсүүр хэсгүүд нь тэнцүү бол нийт замыг ямар дундаж хурдаар туулах вэ?","completion":"Заавар: Замыг 2S2S км гэвэл замын тэгш хэсэгт S5S5 цаг, өгсүүр хэсэгт S3S3 цаг зарцуулна.\nБодолт: Дундаж хурд нь нийт замыг хугацаанд хуваахад гарах тул\nv=2SS5+S3=215+13=3.75 км\/цv=2SS5+S3=215+13=3.75 км\/ц\nбайна."} +{"prompt":"Ямар тооны хувьд 2x2x, 23x+223x+2, 26x−826x−8 функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?","completion":"Заавар: a,b,ca,b,c тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь\nb2=acb2=ac\nбайдаг.\nБодолт: 2x2x, 23x+223x+2, 26x−826x−8 геометр прогрессийн дараалсан гишүүд тул\n(23x+2)2=2x⋅26x−8⇔2(3x+2)=x+6x−8⇔x=12(23x+2)2=2x⋅26x−8⇔2(3x+2)=x+6x−8⇔x=12"} +{"prompt":"Үзэг дэвтэр хоёр, ном харандаа хоёроос 4 дахин хямд. Дэвтэр, харандааны үнэ номноос 2 дахин хямд, дэвтэр, ха��андаа, ном нийлээд 8400 төгрөг, харандаа дэвтрээс 1750 төгрөгөөр илүү үнэтэй бол дэвтэр abcabc төгрөг, 3 ширхэг ном дэвтэрээс dede дахин үнэтэй байна.","completion":"Заавар: Үзэг xx төгрөг, дэвтэр yy төгрөг, ном zz төгрөг, харандаа tt төгрөг гээд тэгшитгэл зохиож бод.\nБодолт: Бодлогын нөхцөлөөс 4(x+y)=z+t4(x+y)=z+t, 2(y+t)=z2(y+t)=z, y+t+z=8400y+t+z=8400, t=y+1750t=y+1750 байна. 2 ба 4-ийг нөгөө хоёрт нь орлуулбал\n{4(x+y)=2(y+t)+t=2y+3(y+1750)y+t+2(y+t)=3y+3(y+1750)=8400{4(x+y)=2(y+t)+t=2y+3(y+1750)y+t+2(y+t)=3y+3(y+1750)=8400\nбуюу\n{4x−y=52506y=3150{4x−y=52506y=3150\nтул дэвтэр y=31506=525y=31506=525 төгрөг, харандаа t=525+1750=2275t=525+1750=2275 төгрөг, ном z=8400−525−2275=5600z=8400−525−2275=5600 төгрөг байна. 4x=5250+5254x=5250+525 тул үзэг x=57754x=57754 төгрөг. Иймд 3 ширхэг ном дэвтрээс 3zy=3⋅5600525=323zy=3⋅5600525=32\nдахин үнэтэй."} +{"prompt":"Үйлдвэр 1.3861.386 сая төгрөгийн бараа борлуулж 10%10%-ийн ашиг олжээ. Барааны өртгийг ол.","completion":"Заавар: x⋅(1+10100)=1.386x⋅(1+10100)=1.386 байна.\nБодолт: x⋅(1+10100)=1.386⇒1.1x=1.386⇒x=1.3861.1=1.26x⋅(1+10100)=1.386⇒1.1x=1.386⇒x=1.3861.1=1.26 сая төгрөг."} +{"prompt":"Үйлдвэр бүтээгдэхүүнийхээ үнийг жил бүр ижил хувиар хорогдуулж хоёр жилийн дараа одоогийн үнийн 64%64% болгохын тулд жилд үнээ хэдэн хувиар бууруулах вэ?","completion":"Заавар: Одоогийн үнийг aa, жилд буулгах хувийг xx гэвэл нэг жилийн дараа үнэ a−a⋅x%=a(1−x100)a−a⋅x%=a(1−x100), дараагийн жилд шинэ үнийн xx хувиар буулгах тул a(1−x100)2a(1−x100)2 болно.\nБодолт: Жил бүр тогтмол xx хувиар үнээ буулгавал 2 жилийн дараа үнэ a(1−x100)2a(1−x100)2 болох бөгөөд одоогийн үнийн 64%64% тул\na(1−x100)2=a⋅64100a(1−x100)2=a⋅64100\nболно. Иймд 1−x100=±8101−x100=±810 ба 00, y>0, 2x+2y=4ℓ. \n\nГурвалжны тэнцэтгэл биш ёсоор y+y>2x тул y>x байна. Гурвалжны оройгоос буусан өндрийг h гэвэл S=12⋅2xh=x√y2−x2. Түүнчлэн y=2ℓ−x>x тул 0(−3)÷(−15)=(−3)⋅(−5)=15 байна."} +{"prompt":"−15x=1−15x=1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: ax=b⇒x=baax=b⇒x=ba байна.\nБодолт: −5x=1⇒x=1−5=−15=−0.2−5x=1⇒x=1−5=−15=−0.2"} +{"prompt":"−1719x+51=0 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Коэффициентүүдийг эерэг байхаар хувиргах нь илүү тохиромжтой.\na:bc=a⋅cb\nБодолт: −1719x+51=0⇔51=1719x⇔x=51:1719=51⋅1917=3⋅19=57"} +{"prompt":"−1(−2)y>(−2)⋅3 байна. Иймд −6<−2y<−2.\n −5<0 тул −1x−5>2−5 болох тул −25<−x5<15 байна.\n −1−3y>(−3)⋅3⇔−9<−3y<−3 байна. Эдгээрийг нэмбэл (−5)+(−9)<5x+(−3y)<10+(−3) байна. Иймд −14<5x−3y<7."} +{"prompt":"−1−3a−a4=2a−56 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: [4,6]=12-оор тэгшитгэлийг үржүүлж хялбарчил.\nБодолт: Тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлбэл\n−12−3(3a−a)=2(2a−5)⇔−12−6a=4a−10\nтул\n−12+10=4a+6a⇔10=−2\nбуюу a=−0.2=−15 байна."} +{"prompt":"−1−5[2x−8(2x−3)]=19 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Хаалт задалж хялбарчил.\nБодолт: −1−5[2x−8(2x−3)]=−1��5(2x−16x+24)=−1−5(24−14x)=−1−120+70x=70x−121\nтул\n−1−5[2x−8(2x−3)]=19⇔70x−121=19⇔70x=19+121=140\nбайна. Иймд x=140:70=2 байна."} +{"prompt":"−2(x+1)−3=−2 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг бодохдоо \na−c=b−d⇔a+d=b+c\na:c=b:d⇔ad=bc, c≠0, d≠0 зэрэг адилтгал хувиргалт ашигладаг.\nБодолт: −2(x+1)−3=−2⇔−2x−5=−2⇔−2x=3⇔x=−3−2=−1.5"} +{"prompt":"−2(x+5)<−4 тэнцэтгэл бишийн шийд нь","completion":"Заавар: c<0 бол cab байна.\nБодолт: −2(x+5)<−4=−2⋅2 ба −2<0 тул x+5>2 буюу x>−3."} +{"prompt":"−25x=1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: ax=b⇒x=ba байна.\nБодолт: −25x=1⇒x=1−25=−52=−2.5"} +{"prompt":"−2<15(x+7)<1 тэнцэтгэл биш биелэх завсрын дунджийг\nол.","completion":"Заавар: a>0 бол f(x)0 тоогоор үржүүлбэл\n−2<15(x+7)<1⇔−10−7 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: 8.1. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш зохиодог, тэнцэтгэл бишийн чанаруудыг бичдэг, тайлбарладаг.\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийг сөрөг тоонд хуваахад тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгддөг.\n−2<0 тул −2x>−7⇔x<−7−2=72 байна."} +{"prompt":"−2x≤0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: a<0 бол ax≤b⇔x≥ba байна.\nБодолт: −2<0 тул −2x≤0⇔x≥0−2=0 буюу x∈[0;+∞) байна."} +{"prompt":"−2x≥0 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийн 2 талыг эерэг тоонд хуваавал тэнцэтгэл бишийн тэмдэг хэвээрээ, сөрөг тоонд хуваавал тэнцэтгэл бишийн тэмдэг эсэргээрээ болдог.\nБодолт: −2x≥0⇒x≤0."} +{"prompt":"−30 бол abc⇔ac>bc байна.\nБодолт: −3−y>−4 болох тул −4<−y<1 байна.\n −3−3y>(−3)⋅4⇔−12<−3y<3 байна. Эдгээрийг нэмбэл −6+(−12)<2x+(−3y)<10+3 байна. Иймд −18<2x−3y<13."} +{"prompt":"−4x=1−4x=1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: ax=b⇒x=baax=b⇒x=ba байна.\nБодолт: −4x=1⇒x=1−4=−14=−0.25−4x=1⇒x=1−4=−14=−0.25\nЗаавар: Заавар\nБодолт:"} +{"prompt":"−4x−3y=25 шулуун дээр орших координатын эхээс хамгийн бага зайд байх цэгийн координатыг ол.","completion":"Заавар:\nБодолт: −4x−3y=25\n\n−4⋅(−4)−3⋅(−3)=25\n\n16+9=25\n\nХариу: (−4,−3)"} +{"prompt":"−5(x+7)−6=−16 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг бодохдоо \na−c=b−d⇔a+d=b+c,\na:c=b:d⇔ad=bc,c≠0,d≠0 зэрэг адилтгал хувиргалт ашигладаг. \nax=b⇔x=a−1b=ba, a≠0\nбайна.\nБодолт: −5(x+7)−6=−16⇔−5(x+7)=−16+6=−10\n⇔x+7=2⇔x=2−7=−5"} +{"prompt":"−5x=1−5x=1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: ax=b⇒x=baax=b⇒x=ba байна.\nБодолт: −5x=1⇒x=1−5=−15=−0.2−5x=1⇒x=1−5=−15=−0.2"} +{"prompt":"√(3+√8)x+√(3−√8)x=6(3+8)x+(3−8)x=6 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: (3+√8)(3−√8)=1(3+8)(3−8)=1 байна. t=√(3+√8)xt=(3+8)x гэвэл 1\/t=√(3−√8)x1\/t=(3−8)x болох тул t+1\/t=6t+1\/t=6 байна. Эндээс t2−6t+1=0⇒t1,2=6±√62−42=6±2√82=3±√8.t2−6t+1=0⇒t1,2=6±62−42=6±282=3±8. √(3+√8)x=3±√8(3+8)x=3±8 тул (3+√8)x=(3±√8)2(3+8)x=(3±8)2 буюу x=±2x=±2."} +{"prompt":"√(3x−1)2−24x+243√x−1−2(x−1)−0.5 илэpхийллийг хялбаpчил.","completion":"Заавар: a−0.5=1a0.5=1√a\nБодолт: Илэрхийллийн тодорхойлогдох муж нь x−1>0⇔1|x−3|⇔|x−4|≥|x−3|⇔|x−4|>|x−3| байна.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж ]−∞;−3]∪[4;+∞[]−∞;−3]∪[4;+∞[. √x+3>0x+3>0 учир\n√(x−4)(x+3)≥√(x−3)(x+3)⇔√|x−4|≥√|x−3|⇔|x−4|>|x−3|(x−4)(x+3)≥(x−3)(x+3)⇔|x−4|≥|x−3|⇔|x−4|>|x−3| байна. Модулийн тодорхойлолтоор x<3.5⇒x∈]−∞;−3]x<3.5⇒x∈]−∞;−3]"} +{"prompt":"√1+2x√1−x22+2x2=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: 2x2-ийг баруун талд гаргавал 1+2x√1−x22=1−4x2+4x4 тэгшитгэл үүснэ. t=2x√1−x2 гэж орлуулбал (энэ үед t2=4x2−4x4 байна) (1+t)2=1−t2 тэгшитгэл үүсэх ба эндээс t1=−1; t2=12 гарна. Хэрвээ t1=−1 гэвэл 2x√1−x2=−1 (мэдээж x<0 байна) 2x2=1. Эндээс x=−√12 гэж гарна. t2=12 үед 2x√1−x2=12 (мэдээж x>0 байна) тэгшитгэл √1+122+2x2=1, 2x2=1−√32, x=±√2−√34 болох ба эндээс x=√2−√32=√4−2√32√2=√(√3)2+1−2√32√2=√(√3−1)22√2=√3−12√2 болно."} +{"prompt":"√10−26cosx+√5sinx=010−26cos⁡x+5sin⁡x=0 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: sinx<0sin⁡x<0 үед л тэгшитгэл шийдтэй байж болохыг анхаар!\nБодолт: √10−26cosx+√5sinx=010−26cos⁡x+5sin⁡x=0-аас 10−26cosx=5sin2x=5−5cos2x10−26cos⁡x=5sin2⁡x=5−5cos2⁡x\nболно. c=cosxc=cos⁡x гэвэл 5c2−26c+5=0⇒c=5∨155c2−26c+5=0⇒c=5∨15 байна. |cosx|≤1|cos⁡x|≤1 тул c=cosx=15c=cos⁡x=15 байх боломжтой. Түүнчлэн sinx<0sin⁡x<0 үед л анхны тэгшитгэл шийдтэй байх нь ойлгомжтой. Иймд x=−arccos15+2πkx=−arccos⁡15+2πk"} +{"prompt":"√12x−27−x2=a12x−27−x2=a тэгшитгэл яг нэг шийдтэй байх aa-ийн утга нь aa болно. Харин a∈[b;c[a∈[b;c[ үед тэгшитгэл хоёр шийдтэй.","completion":"Заавар: y=√12x−27−x2y=12x−27−x2 функцийн графикийг байгуул. Тодорхойлогдох муж нь 12−27−x2≥0⇔−(x−3)(x−9)≥0⇔3≤x≤912−27−x2≥0⇔−(x−3)(x−9)≥0⇔3≤x≤9 байна.\nБодолт: \nГрафикаас харахад y=ay=a шулуун нь y=√12x−27−x2y=12x−27−x2 функцийн графиктай 0≤a≤30≤a≤3 үед огтлолцох бөгөөд зөвхөн a=3a=3 үед 1 ерөнхий цэгтэй буюу шүргэлцэж байна. Харин a∈[0;3[a∈[0;3[ үед хоёр шийдтэй байна.\n\nУчир y=ay=a шулуун ба y=√12x−27−x2y=12x−27−x2 функцийн графикийн огтлолцлийн цэгийн абсцисс нь √12x−27−x2=a12x−27−x2=a тэгшитгэлийн шийд байна."} +{"prompt":"√16x+96+√4x+24>6x16x+96+4x+24>6x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: √f(x)>g(x)⇔⎧⎪⎨⎪⎩f(x)≥0[f(x)>[g(x)]2g(x)<0f(x)>g(x)⇔{f(x)≥0[f(x)>[g(x)]2g(x)<0 байдаг. Сурагчид g(x)<0g(x)<0 хэсгийг орхиж шийд дутуу олох тохиолдол их байдаг.\nБодолт: √16x+96+√4x+24=6√x+616x+96+4x+24=6x+6 тул √16x+96+√4x+24>6x⇔√x+6>x16x+96+4x+24>6x⇔x+6>x болно. −6≤x<0−6≤x<0 үед x<0≤√x+6x<0≤x+6 тул бүгд шийд болно. x≥0x≥0 үед √x+6>x⇔x+6>x2⇒x∈[0;3[x+6>x⇔x+6>x2⇒x∈[0;3[ болно. Шийдүүдээ нэгтгэвэл [−6;3[[−6;3[."} +{"prompt":"√18−30sinx+3cosx=018−30sin⁡x+3cos⁡x=0 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: √18−30sinx+3cosx=018−30sin⁡x+3cos⁡x=0-аас 18−30sinx=9cos2x=9−9sin2x18−30sin⁡x=9cos2⁡x=9−9sin2⁡x\nболно. s=sinxs=sin⁡x гэвэл 3s2−10s+3=0⇒s=3∨133s2−10s+3=0⇒s=3∨13 байна. |sinx|≤1|sin⁡x|≤1 тул s=sinx=13s=sin⁡x=13 байх боломжтой. Түүнчлэн cosx<0cos⁡x<0 үед л анхны тэгшитгэл шийдтэй байх нь ойлгомжтой. Иймд x=π−arcsin13+2πkx=π−arcsin⁡13+2πk\nБодолт:"} +{"prompt":"√1−4x√1−4x22=1−8x2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=4x√1−4x2 орлуулга хий.\nБодолт:"} +{"prompt":"√1−cos2x=√2⋅cosx тэгшитгэл өгөгдөв.\n√1−cos2x=√2⋅cosx⇔1−cos2x=2cos2x, cosx≥a\nболох бөгөөд шийд нь:\nx=±πa+bπk байна.","completion":"Заавар: √f(x)=g(x)⇔f(x)=g2(x), g(x)≥0\nБодолт: √1−cos2x=√2⋅cosx⇔1−cos2x=2cos2x, cosx≥0\nбөгөөд cos2α=2cos2α−1 тул cos2x=12, cosx≥0 тул cosx=√12=√22 болно. Иймд тэгшитгэлийн шийд нь x=±π4+2πk\nбайна."} +{"prompt":"√2sinx<1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: √2sinx<1⇔{0≤2sinx2sinx<1\nБодолт:"} +{"prompt":"√2x+1=x−1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: √2x+1=x−1≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.\nБодолт: √2x+1=x−1⇒2x+1=(x−1)2 тул x2−4x=0 болно. Эндээс x=0, x=4 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=0 үед x−1<0 тул шийд болохгүй. Харин x=4 үед √2⋅4+1=4−1 тул шийд болно."} +{"prompt":"√2x+1=√3x−3−√x−4 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: D:x≥4 байна.\nБодолт: √2x+1=√3x−3−√x−4⇒(√2x+1+√x−4)2=(√3x−3)2\nтул\n2x+1+2√2x+1⋅√x−4+x−4=3x−3⇒√2x+1⋅√x−4=0\nбайна. Эндээс тодорхойлогдох мужаа тооцвол x=4 болж байна."} +{"prompt":"√2x+3+√x+1=3x+2⋅√2x2+5x+3−162x+3+x+1=3x+2⋅2x2+5x+3−16 тэгшитгэлийг бодъё. Тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь x≥−1x≥−1. √2x+3+√x+1=t≥02x+3+x+1=t≥0 гэж орлуулбал анхны тэгшитгэл t2−t−ab=0t2−t−ab=0 тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс t1=ct1=c, t2=−dt2=−d гэж гарах ба t2<0t2<0 тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол тэгшитгэлийн шийд x=ex=e гэж гарна.","completion":"Заавар: 2x2+5x+3=(2x+3)(x+1)2x2+5x+3=(2x+3)(x+1) болохыг анхаар.\nБодолт: √2x+3+√x+1=t≥02x+3+x+1=t≥0 гэж орлуулбал t2=2x+3+2⋅√(2x+3)(x+1)+x+1⇒t2=2x+3+2⋅(2x+3)(x+1)+x+1⇒ 2⋅√(2x+3)(x+1)=t2−((2x+3)+(x+1))=t2−t2⋅(2x+3)(x+1)=t2−((2x+3)+(x+1))=t2−t болно. Анхны тэгшитгэл 0=((2x+3)+(x+1)+32⋅√2x2+5x+3)−(√2x+3+√x+1)−19=t2−t−200=((2x+3)+(x+1)+32⋅2x2+5x+3)−(2x+3+x+1)−19=t2−t−20 тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс t1=5t1=5, t2=−4t2=−4 гэж гарах ба t2<0t2<0 тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол √2x+3+√x+1=5⇒2⋅√(2x+3)(x+1)=25−3x>0⇒x2−146x+429=02x+3+x+1=5⇒2⋅(2x+3)(x+1)=25−3x>0⇒x2−146x+429=0 болно. Тэгшитгэлийг бодвол x=3,x=143x=3,x=143 гэж гарна. 25−3>025−3>0 учир x=3x=3 гэсэн шийд гарна."} +{"prompt":"√2x+4+√3x+18=102x+4+3x+18=10 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг хариунаас бод.\nБодолт: x=6x=6 үед\n√2⋅6+4+√3⋅6+18=√16+√36=4+6=102⋅6+4+3⋅6+18=16+36=4+6=10\nтул шийд болно."} +{"prompt":"√2x+4, √6x, √10x+4 гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.","completion":"Заавар: a,b,c тоонууд энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан 3 гишүүн байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь \na+b=2c\nбайдаг.\nБодолт: √2x+4, √6x, √10x+4 гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн тул\n√2x+4+√10x+4=2√6x\nТэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж эмхэтгэвэл\n√2x+4⋅√10x+4=6x−4\nболох ба дахин квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл\n(2x+4)(10x+4)=(6x−4)2⇔\n16x2−96x=0\nтул x=0, x=6 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=0 үед 2, 0, 2 ��эсэн тоонууд гарах бөгөөд арифметик прогресс үүсэхгүй. Харин x=6 үед 4, 6, 8 гэсэн тоонууд гарах тул ялгавар нь 2 байна.\n\nНэмэлт: Бидэнд √2x+4+√10x+4=2√6x тэгшитгэлийн ямар нэг бодит шийд хэрэгтэй (хоёр болон түүнээс дээш тооны шийдтэй бол бодлого нэг хариутай байж чадахгүй, эсвэл бүх шийд нь ижилхэн ялгавар өгөх ёстой!). Бидэнд x=6 гэсэн хялбархан шалгаж болох шийд байгаа тул d=√6⋅6−√2⋅6+4=2\nгэж бодож болно. Ийм бодолтыг цээжээр бодох нь цаг хожих нэг боломж юм."} +{"prompt":"√2x+6<2√3−x2x+6<23−x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийг хариунаас нь бод.\nБодолт: x=0x=0 нь √6<2√36<23 тул шийд болно. Иймд C, D зөв хариулт болохгүй.\n\nx=−4x=−4 бол 2x+6=−22x+6=−2 болох тул тодорхойлогдох мужид орохгүй. Иймд A зөв хариулт биш. \n\nx=3x=3 үед √3⋅3+4≠3−23⋅3+4≠3−2 шийд болохгүй. Иймд E зөв байх боломжгүй. Иймд зөв хариулт нь B."} +{"prompt":"√2x+8+√4x+9=92x+8+4x+9=9 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тэгшитгэлийг хариунаас бод.\nБодолт: x=4x=4 үед\n√2⋅4+8+√4⋅4+9=√16+√25=4+5=92⋅4+8+4⋅4+9=16+25=4+5=9\nтул шийд болно."} +{"prompt":"√2x1+2x+√1+2x2x=52 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: t=√2x1+2x орлуулгаар t+1t=52 болно.\nБодолт:"} +{"prompt":"√2x−1=x−2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: f(x)=g(x)⋯(1)⇒f2(x)=g2(x)⋯(2) байна. Өөрөөр хэлбэл (1) тэгшитгэлийн шийд бүр (2) тэгшитгэлийн шийд болох боловч (2)-ийн шийд бүр нь (1)-ийн шийд болох албагүй. Энэ тохиолдолд (2) тэгшитгэлийг бодоод гарсан шийдийг (1)-д орлуулж шалгана.\nБодолт:"} +{"prompt":"√2x−5+√4x−3=4 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Шийдийг шалгахад хялбар тохиолдолд шалгаж бодох нь хялбар байдаг.\nБодолт: √2x−5+√4x−3=4⇔√2x−5=4−√4x−3\nТэгшитгэлийн зүүн баруун талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл\n(√2x−5)2=(4−√4x−3)2⇔\n2x−5=42−2⋅4⋅√4x−3+4x−3⇔\n8⋅√4x−3=2x+18⇔4√4x−3=x+9\nдахин 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл\n16(4x−3)=(x+9)2⇒x2−46x+129=0\nтул x1=3, x2=43 болно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлэх үед шийд нэмэгдэх боломжтой тул шийдүүдийг шалгах шаардлагатай.\n√2⋅3−5+√4⋅3−3=4 ба\n√2⋅43−5+√4⋅43−3>4 тул x=3 байна."} +{"prompt":"√2x−6+4√2x−10−√2x+6+8√2x−10 илэpхийллийг хялбаpчил.","completion":"Заавар: 2x−6+4√2x−10=(√2x−10)2+2⋅2⋅√2x−10+222x+6+4√2x−10=(√2x−10)2+2⋅4⋅√2x−10+42\nБодолт: Илэрх.=√2x−6+4√2x−10−√2x+6+8√2x−10=√(√2x−6+2)2−√(√2x−6+4)2=|√2x−6+2|−|√2x−6+4|=√2x−6+2−√2x−6−4←0<√2x−6+2,√2x−6+4=−2"} +{"prompt":"√2−x+√x+3=3 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: Зайлшгүй шийдүүдийг олж нийлбэрийг олно. Хэрвээ тэгшитгэл бодох явцад f(x)=0⇒g(x)=0 хувиргалт хийсэн бол шийдээ олсны дараа заавал анхны тэгшитгэлийн шийд болох эсэхийг шалгах шаардлагатай.\nБодолт: Тэгшитгэлийн 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл\n√2−x+√x+3=3⇒\n(√2−x+√x+3)2=32⇒\n2−x+2√2−x√x+3+x+3=9⇒\n√6−x−x2=2⇒x2+x−2=0\nболно. Эндээс x1=1, x2=−2 болох ба хоёулаа анхны тэгшитгэлийн шийд болно. Иймд нийлбэр нь 1+(−2)=−1 байна."} +{"prompt":"√2−x⋅log3(10−x2)=02−x⋅log3⁡(10−x2)=0 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Үржвэр тэгтэй тэнцэхийн тулд үржигдэхүүнүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд нөгөө илэрхийлэл нь тодорхойлогдож байх ёстой:\nx∈D:f(x)⋅g(x)=0⇔f(x)=0∨g(x)=0x∈D:f(x)⋅g(x)=0⇔f(x)=0∨g(x)=0\na>0a>0, a≠1a≠1 бол logab=0⇔b=1loga⁡b=0⇔b=1 байна.\nБодолт: Шийдийг шууд орлуулан шалгах нь хамгийн хялбар арга боловч энэ удаад бодолт хийе.\n√2−x⋅log3(10−x2)=0⇔√2−x=0∨log3(10−x2)=02−x⋅log3⁡(10−x2)=0⇔2−x=0∨log3⁡(10−x2)=0\n√2−x=02−x=0 бол x=2x=2 шийд гарах ба log3(10−x2)=0log3⁡(10−x2)=0 бол 10−x2=1⇒x=±310−x2=1⇒x=±3\nбайна. Гэвч x=3x=3 нь √2−x2−x илэрхийллийн тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд болохгүй. Иймд x=−3x=−3, 22 гэсэн шийдтэй."} +{"prompt":"√2−√1−x−√2−x>02−1−x−2−x>0 тэнцэтгэл бишийн","completion":"Заавар: Квадрат язгуурын доорхи илэрхийлэл сөрөг биш тоо байна.\n\na,b>0a,b>0 бол a>b⇔a2>b2a>b⇔a2>b2 байна.\nБодолт: D:⎧⎪⎨⎪⎩2−√1−x≥01−x≥02−x≥0⇔⎧⎪⎨⎪⎩2≥√1−x1≥x2≥x⇔⎧⎪⎨⎪⎩4≥1−x1≥x2≥x⇔{x≥−31≥xD:{2−1−x≥01−x≥02−x≥0⇔{2≥1−x1≥x2≥x⇔{4≥1−x1≥x2≥x⇔{x≥−31≥x тул −3≤x≤1−3≤x≤1.\n\n√2−√1−x−√2−x>0⇔√2−√1−x>√2−x⇔2−√1−x>2−x2−1−x−2−x>0⇔2−1−x>2−x⇔2−1−x>2−x\n⇔x>√1−x⇔⎧⎪⎨⎪⎩1−x≥0x>0x2>1−x⇔⎧⎪⎨⎪⎩1≥xx>0x2+x−1>0⇔x>1−x⇔{1−x≥0x>0x2>1−x⇔{1≥xx>0x2+x−1>0\nx2+x−1>0⇔(x−−1−√52)(x−−1+√52)>0x2+x−1>0⇔(x−−1−52)(x−−1+52)>0\nтул −1+√520x−3>0 бол\n0≤√3x+1x−3<1⇔3x+1(x−3)2<1⇔3x+1<(x−3)20≤3x+1x−3<1⇔3x+1(x−3)2<1⇔3x+1<(x−3)2\nболно. Эндээс\nx2−9x+8=(x−1)(x−8)>0x2−9x+8=(x−1)(x−8)>0\nтэнцэтгэл бишийг бодвол x<1x<1 эсвэл x>8x>8 ба x−3>0x−3>0 гэдгийг тооцвол x>8x>8 байна.\n\nТодорхойлогдох мужаа тооцоод шийдээ нэгтгэвэл\n[−13;3[∪]8;+∞[[−13;3[∪]8;+∞[\nболно."} +{"prompt":"√3x+4+2=2√x+43x+4+2=2x+4 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=0x=0 ба x=32x=32 шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш."} +{"prompt":"√3x+4, √7x, √11x+4 гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.","completion":"Заавар: x-ийн ямар утганд арифметик прогресс үүсэх тоонууд гарч байна байна вэ? Язгуураас хялбархан гарах тоонуудыг сонирхож үзээрэй.\nБодолт: x=7 үед 5, 7, 9 гэсэн арифметик прогресс үүсэж байна. Иймд ялгавар нь 2.\n\nМэдээж √3x+4+√11x+4=2√7x тэгшитгэлийг бодоод x=7 гээд бодож болно. Гэхдээ бид аль болох цаг хэмнэх аргуудыг эрэлхийлж байх нь зүйтэй."} +{"prompt":"√3x+4=x−2 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: Иррационал тэгшитгэлийг бодоход гаргадаг гол алдаа нь √f(x)=g(x) тэгшитгэлийг f(x)=g2(x) тэгшитгэлтэй тэнцүү чанартай гэж үзэх юм. Энэ тохиолдолд илүү шийд гарах боломжтой юм.\n\nХялбар иррационал тэгшитгэлийг хариунаас бодоход амархан байдаг.\nБодолт: x=0 үед √0+4=2≠0−2=−2 тул A ба B хариулт буруу.\n\nx=−1 үед √3⋅(−1)+4=1≠−1−2=−3 тул E хариулт буруу.\n\nx=15 үед √3⋅15+4=7≠7−2=5 тул C хариулт буруу байна. Иймд үлдсэн D хариулт зөв хариулт байна."} +{"prompt":"√3x−12<33x−12<3 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужаа олоод 00x>0 тул x3=45⇒x=3√45x3=45⇒x=453 байна."} +{"prompt":"√3√7√3√7…=?3737…=?","completion":"Заавар: √3√7√3√7…=x3737…=x гэвэл √3√7√x=x37x=x байна.\nБодолт: √3√7√x=x⇒3√7x=x2⇒63x=x437x=x⇒37x=x2⇒63x=x4 болно. x>0x>0 тул x3=63⇒x=3√63x3=63⇒x=633 байна."} +{"prompt":"√4−4x3+x6>x−3√24−4x3+x6>x−23","completion":"Заавар:\nБодолт: √4−4x3+x6=√(2−x3)2=|2−x3|4−4x3+x6=(2−x3)2=|2−x3| байна. x−3√2<0x−23<0 бол шууд шийд болно. x=3√2x=23 шийд болохгүй. x>3√2x>23 үед |2−x3|=x3−2|2−x3|=x3−2 ба x��3√2>0x−23>0 байхыг тооцвол |2−x3|=x3−2=(x−3√2)(x2+3√2x+(3√2)2)>x−3√2⇔|2−x3|=x3−2=(x−23)(x2+23x+(23)2)>x−23⇔\n(x−3√2)(x2+3√2x+3√4−1)>0⇔x2+3√2x+3√4−1>0(x−23)(x2+23x+43−1)>0⇔x2+23x+43−1>0\nба D=(3√2)2−4(3√4−1)=4−33√4<0D=(23)2−4(43−1)=4−343<0 тул дурын x>3√2x>23 шийд болно. Иймд x∈]−∞;3√2[∪]3√2;+∞[x∈]−∞;23[∪]23;+∞["} +{"prompt":"√4−6x−x2=x+4 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: −6 шийд болохгүйг хар.\nБодолт: x=−6 бол x+4=−2 болно. Нөгөө талаас бодит тооны арифметик язгуур сөрөг биш тоо байх ёстой тул энэ нь боломжгүй юм. Иймд −6 агуулаагүй ганц хувилбар болох Е нь зөв хариулт юм."} +{"prompt":"√4−6x−x2=x+4 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: √4−6x−x2=x+4(1) тэгшитгэлийн шийд (√4−6x−x2)2=(x+4)2(2) тэгшитгэлийн шийд болох боловч (2)-ийн шийд (1)-ийн шийд болох албагүй тул (2)-ийг эхэлж бодоод гарсан шийдийг (1)-д шалгаж бод.\nБодолт:"} +{"prompt":"√5x+11x+1<15x+11x+1<1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Ямар тоонууд шийд болох вэ? Тэнцэтгэл бишийг хариунаас нь бод.\nБодолт: x=−115x=−115 үед √5⋅(−115)+11−115+1=0<15⋅(−115)+11−115+1=0<1 тул шийд болно. Түүнчлэн x=14x=14 үед √5⋅14+1114+1=915<15⋅14+1114+1=915<1 тул шийд болно. Иймд тэнцэтгэл бишийн зөв хариулт нь зөвхөн B байх боломжтой."} +{"prompt":"√5x+4, √9x, √13x+4 гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.","completion":"Заавар: x-ийн ямар утганд арифметик прогресс үүсэх тоонууд гарч байна байна вэ? Мэдээж хялбархан шалгаж утгууд нь язгуураас хялбархан гарах тоонууд байх нь ойлгомжтой.\nБодолт: x=9 үед 7, 9, 11 гэсэн арифметик прогресс үүсэж байна. Иймд ялгавар нь 2.\n\nМэдээж √5x+4+√13x+4=2√9x тэгшитгэлийг бодоод x=9 гээд бодож болно. Гэхдээ бид аль болох цаг хэмнэх аргуудыг эрэлхийлж байх нь зүйтэй."} +{"prompt":"√5−2x<6x−15−2x<6x−1 тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийд ол.","completion":"Заавар: √f(x)≤g(x)⇔⎧⎪⎨⎪⎩f(x)≤g2(x)f(x)≥0g(x)≥0f(x)≤g(x)⇔{f(x)≤g2(x)f(x)≥0g(x)≥0\nБодолт: √5−2x≤6x−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩5−2x≤(6x−1)25−2x≥06x−1≥05−2x≤6x−1⇔{5−2x≤(6x−1)25−2x≥06x−1≥0\n{5−2x≥06x−1≥0⇔16≤x≤52{5−2x≥06x−1≥0⇔16≤x≤52 тул боломжит бүхэл шийдүүд нь зөвхөн 11, 22 байна. x=2x=2 үед 5−2⋅2≤(6⋅2−1)2⇔1≤1215−2⋅2≤(6⋅2−1)2⇔1≤121\nтул шийд болох ба хамгийн их бүхэл шийд байх нь ойлгомжтой."} +{"prompt":"√5−x илэрхийлэл утгатай байх x-ийн утгын олонлогийг ол.","completion":"Заавар: Язгуурын доорх илэрхийлэл 0-ээс багагүй байна.\nБодолт: Язгуурын доорх илэрхийлэл 0-ээс багагүй байх ёстой тул 5−x≥0⇔x≤5 байна."} +{"prompt":"√5−x+x=3 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: D:5−x≥ ба √5−x=3−x нь 3−x<0 байх шийдгүй. Иймд\n{5−x≥03−x≥0⇔x≤3 байна.\nБодолт: √5−x=3−x тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж бодъё:\n√5−x=3−x⇒5−x=(3−x)2\nx2−5x+4=0⇒x1=1,x2=4 ба x≤3 тул x=1 болно."} +{"prompt":"√5−√x+3−√4−x<0 тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь ab≤x≤c байна. Шийд нь de≤x0x>0 тул x3=75⇒x=3√75x3=75⇒x=753 байна."} +{"prompt":"√6+√6+√6+√6+…6+6+6+6+… илэрхийллийн утгыг ол.","completion":"Заавар: √6+√6+√6+√6+…=x6+6+6+6+…=x гэвэл x=√6+√6+√6+√6+…=√6+xx=6+6+6+6+…=6+x болно.\nБодолт: x=√6+x⇒x2=6+xx=6+x⇒x2=6+x. Эндээс x2−x+6=(x+2)(x−3)=0x2−x+6=(x+2)(x−3)=0 болох ба x>0x>0 тул x−3=0⇒x=3x−3=0⇒x=3 байна."} +{"prompt":"√6−4x−x2=x+4 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужаа анхаар.\nБодолт:"} +{"prompt":"√7−x+1=x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Шийдийг шууд шалга.\nБодолт: x=3 нь\n√7−3+1=√4+1=2+1=3\nтул шийд болно.\nx=−2;2;6 үед\n√7−(−2)+1=√9+1=3+1≠3,\n√7−2+1=√5+1≠3,\n√7−6+1=√1+1=1+1≠3\nтул бүгд шийд болохгүй. Иймд x=3 гэсэн сонголт үлдэж байна.\n\nСанамж: √7−x=x−1⇒7−x=(x−1)2 боловч 7−x=(x−1)2⇏√7−x=x−1 болохыг анхарна уу! Үнэндээ\n7−x=(x−1)2⇔x2−x−6=0\nтэгшитгэл нь x=−2, x=3 гэсэн шийдтэй боловч x=−2 нь анхны тэгшитгэлийн шийд болохгүйг өмнө харуулсан билээ."} +{"prompt":"√7√3√7√3…=?7373…=?","completion":"Заавар: √7√3√7√3…=x7373…=x гэвэл √7√3√x=x73x=x байна.\nБодолт: √7√3√x=x⇒7√3x=x2⇒147x=x473x=x⇒73x=x2⇒147x=x4 болно. x>0x>0 тул x3=147⇒x=3√147x3=147⇒x=1473 байна."} +{"prompt":"√8+x3−4x−2≥x тэнцэтгэл бишийг хялбарчилж, √a−bx+x2>0 тул орхиж, √c+x−√x2−dx+ex−2≥0 хэлбэрт шилжүүлж шийдийг олбол x∈[−f;g] байна.","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох мужийг олоод тэнцэтгэл бишийг f(x)g(x)≥0 хэлбэрт оруулж бод.\nf(x)g(x)≥0⇔{f(x)≥0g(x)>0⋃{f(x)≤0g(x)<0\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь 8+x3≥0, x−2≠0 тул x≥−2, x≠2 байна.\n\nТэнцэтгэл бишийн баруун гар талыг зүүн гарт шилжүүлж ерөнхий хуваарь өгвөл:\n√8+x3−(x2−2x+4)x−2≥0\n8+x3=(x+2)(x2−2x+4) ба x2−2x+4≥0 тул x2−2x+4=√(x2−2x+4)2 байна. Иймд тэнцэтгэл биш\n√(x+2)(x2−2x+4)−√(x2−2x+4)(x2−2x+4)x−2≥0⇔\n√x2−2x+4⋅(√x+2−√x2−2x+4)x−2≥0\n√x2−2x+4=√(x−1)2+3≥0 тул √x2−2x+4 нь ТБ-ийн зүүн гар талын тэмдэгт нөлөөлөхгүй. Иймд тэнцэтгэл биш \n√x+2−√x2−2x+4x−2≥0⇔\n{√x+2−√x2−2x+4≥0x−2>0⋃{√x+2−√x2−2x+4≤0x−2<0\nхэлбэртэй болно.\n√x+2−√x2−2x+4≥0⇔√x+2≥√x2−2x+4⇔\nx+2≥x2−2x+4⇔x2−3x+2=(x−1)(x−2)≤0\nтул 12 тул хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн системийн шийд x<1 байна. \n\nТодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд [−2;1[ болно."} +{"prompt":"√9−13.5x−2.25x2=1.5x+6 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: −6 шийд болохгүйг харуул.\nБодолт: x=−6 үед тэгшитгэлийн баруун гар тал 1.5⋅(−6)+6=−3<0 ба зүүн гар тал нь эерэг тул шийд болж чадахгүй. −6 агуулаагүй цорын ганц шийд нь −1 тул зөв хариулт нь E байна.\n\nНэмэлт: Энэ бодлого нь хариунаас бодох бодлогын сонгодог жишээ болж байгаа юм."} +{"prompt":"√x+1=x−1 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: √x+1=x−1≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.\nБодолт: √x+1=x−1⇒x+1=(x−1)2 тул x2−3x=0 болно. Эндээс x=0, x=3 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=0 үед x−1<0 тул шийд болохгүй. Харин x=3 үед √3+1=3−1 тул шийд болно."} +{"prompt":"√x+1−√x−3+2x−2⋅√x2−2x−3=8x+1−x−3+2x−2⋅x2−2x−3=8 тэгшитгэлийг бодъё. Тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь x≥3x≥3. Энэ мужид √x+1>√x−3x+1>x−3 тул √x+1−√x−3=t≥0x+1−x−3=t≥0 гэж орлуулбал анхны тэгшитгэл t2+at−b=0t2+at−b=0 тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс t1=ct1=c, t2=−dt2=−d гэж гарах ба t2<0t2<0 тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол тэгшитгэлийн шийд x=ex=e гэж гарна.","completion":"Заавар: x2−2x−3=(x+1)(x−3)x2−2x−3=(x+1)(x−3) болохыг анхаар.\nБодолт: √x+1−√x−3=t≥0x+1−x−3=t≥0 гэж орлуулбал \nt2=x+1−2⋅√(x+1)(x−3)+x−3⇒t2=x+1−2⋅(x+1)(x−3)+x−3⇒ \n2⋅√(x+1)(x−3)=2x−2−t22⋅(x+1)(x−3)=2x−2−t2 болно. Анхны тэгшитгэл \nt+2x−(2x−2−t2)=8⇔t2+t−6=0t+2x−(2x−2−t2)=8⇔t2+t−6=0\nтэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс t1=2t1=2, t2=−3t2=−3 гэж гарах ба t2<0t2<0 тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол \n√x+1−√x−3=2⇒2⋅√(x+1)(x−3)=2x−6≥0⇒(x+1)(x−3)=(x−3)2x+1−x−3=2⇒2⋅(x+1)(x−3)=2x−6≥0⇒(x+1)(x−3)=(x−3)2\nболно. Тэгшитгэлийг бодвол x=3x=3 гэж гарна."} +{"prompt":"√x+1√x=3 бол x+1x утгыг ол.","completion":"Заавар: √x+1√x-ийн квадратыг бод.\nБодолт: (√x+1√x)2=(√x)2+2√x⋅1√x+(1√x)2=x+2+1x=9\nтул\nx+1x=7\nбайна."} +{"prompt":"√x+2>xx+2>x тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж ба язгуурын утга эерэг байхыг анхаар.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x+2≥0⇒x≥−2x+2≥0⇒x≥−2 байна.\n\nХэрвээ x<0x<0 бол √x+2≥0>xx+2≥0>x тул [−2;0[[−2;0[ муж шийд болно.\n\nОдоо x≥0x≥0 байх шийдийг олъё. Энэ үед\n√x+2>x⇔x+2>x2⇔x+2>x⇔x+2>x2⇔\nx2−x−2=(x+1)(x−2)<0x2−x−2=(x+1)(x−2)<0\nбуюу −12⋅−15−58+5=0\nбайна.\nБодолт: x≠−3 үед 2x+5≥0 тул тэгшитгэлийн −3-аас ялгаатай шийд нь \n√x+3+1=2x+5⇔√x+3=2x+4\nтэгшитгэлийн шийд байна. Эндээс 2x+4≥0 ба x+3=(2x+4)2 болно. Эндээс\n4x2+15x+13=0⇒x1,2=−15±√178\nболно. Нөгөө талаас x=−15−√178 үед\n2x+4≤2⋅−15−48+4=−0.75\nтул шийд болохгүй."} +{"prompt":"√x+3+√x−2>√4x+1x+3+x−2>4x+1 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Хурдан бодох арга нь завсар бүрээс тоо авч шалгах юм.\nБодолт: x=2x=2 нь шийд биш юм. Учир нь\n√2+3+√2−2<√4⋅2+1⇔√5<32+3+2−2<4⋅2+1⇔5<3\nИймд 22-ийг агуулаагүй E нь зөв сонголт юм.\nЗаавар: Тодорхойлогдох мужийг олоод aa, b>0b>0 үед a>b⇔a2>b2a>b⇔a2>b2 болохыг ашиглан язгуураас чөлөөлж бод.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь  ⎧⎪⎨⎪⎩x+3≥0x−2≥04x+1≥0⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−3x≥2x≥–14⇔x≥2{x+3≥0x−2≥04x+1≥0⇔{x≥−3x≥2x≥–14⇔x≥2 байна.\n\nТодохойлогдох муждаа тэнцэтгэл бишийн хоёр тал хоёулаа сөрөг биш тул\n√x+3+√x−2>√4x+1⇔x+3+x−2>4x+1⇔ (√x+3+√x−2)2>(√4x+1)2⇔(x+3+x−2)2>(4x+1)2⇔\nx+3+2√x+3√x−2+x−2>4x+1⇔x+3+2x+3x−2+x−2>4x+1⇔\n√x+3⋅√x−2>xx+3⋅x−2>x болно.\n\nТодорхойлогдох муж нь x≥2x≥2 тул \n√x+3⋅√x−2>x⇔(√x+3⋅√x−2)2>x2⇔x+3⋅x−2>x⇔(x+3⋅x−2)2>x2⇔\n(x+3)(x−2)>x2⇔x−6>0(x+3)(x−2)>x2⇔x−6>0"} +{"prompt":"√x+3>x+1x+3>x+1 тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж нь x+3≥0x+3≥0 байна. xx тодорхойлогдох мужид орж байх үед x+1<0x+1<0 бол √x+3≥0>x+1x+3≥0>x+1 байх тул шийд болно. x+1≥0x+1≥0 үед aa, bb эер��г тоонуудын хувьд a>b⇔a2>b2a>b⇔a2>b2 болохыг ашиглаад бод. Үүнийг товч бичлэгээр бичвэл\n√x+3>x+1⇔⎧⎪⎨⎪⎩x+3≥0[x+1<0x+3>(x+1)2x+3>x+1⇔{x+3≥0[x+1<0x+3>(x+1)2\nБодолт: ⎧⎪⎨⎪⎩x+3≥0[x+1<0x+3>(x+1)2⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−3[x<−1x2+x−2<0⇔⎧⎪⎨⎪⎩x≥−3[x<−1−2(x+1)2⇔{x≥−3[x<−1x2+x−2<0⇔{x≥−3[x<−1−2x−1x2+1>x−1 тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль нь вэ?","completion":"Заавар: x−1<0x−1<0 муж шийд болохыг анхаар!\nБодолт: x−1<0x−1<0 бол √x2+1>0>x−1x2+1>0>x−1 тул шийд болно. ]−∞;1[]−∞;1[ муж шийд болно.\n\nx−1≥0x−1≥0 үед \n√x2+1>x−1⇔x2+1>(x−1)2⇔x≥1x2+1>x−1⇔x2+1>(x−1)2⇔x≥1\nбайна.\n\nЭдгээрийг нэгтгэвэл ]−∞;1[∪[1;+∞[=]−∞;+∞[]−∞;1[∪[1;+∞[=]−∞;+∞[ байна."} +{"prompt":"√x2+3x−4>−2x2+3x−4>−2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Квадрат язгуур ямагт тэгээс их тул тодорхойлогдох мужийн бүх тоо шийд болно.\nБодолт:"} +{"prompt":"√x2−2=√3−√2 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Шийдийг хариунаас ол.\nБодолт: Тэгшитгэл x2-ээс хамаарах тул шийдүүд нь 0-ийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Иймд зөвхөн A, B сонголтууд зөв байх боломжтой.\n\nНөгөө талаас\n√(±√3)2−2=√3−2=1≠√3−√2\nтул шийд болохгүй. Иймд зөв хариулт нь зөвхөн x=±(1−√6) байх боломжтой. Шалгаж үзвэл\n(1−√6)2−2=1−2√6+6−2=5−2√6\n(√3−√2)2=3−2√3+2=5−2√6\nтул шийд болж байна.\n\nСанамж: Мэдээж зөв хариултыг олсон тохиолдолд шийдийг заавал шалгах шаардлагагүй."} +{"prompt":"√x2−2xx−2x2−2x≥0>x−2 \nбайна.\n\nx−2≥0x−2≥0 бол x2−2x≥0x2−2x≥0 байна. Иймд\n{x−2≥0√x2−2xx−2x2−2x>x−2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь x2−2x≥0⇒x≤0∨x≥2x2−2x≥0⇒x≤0∨x≥2.\n\nХэрэв x−2<0x−2<0 бол шууд шийд болно учир нь √x2−2x≥0>x−2x2−2x≥0>x−2 \nбайна. Эндээс {x2−2x≥0x−2<0⇒x≤0{x2−2x≥0x−2<0⇒x≤0 нь тэнцэтгэл бишийн шийд болно. Энэ хэсгийг шалгалгүй орхиж шийд дутуу олох тохиолдол их байдаг.\n\n\nХэрэв x−2≥0x−2≥0 бол x2−2x≥0x2−2x≥0 байна. Иймд\n{x−2≥0√x2−2x>x−2⇔{x−2≥0x2−2x>x2−4x+4⇔{x−2≥0x>2⇔x>2{x−2≥0x2−2x>x−2⇔{x−2≥0x2−2x>x2−4x+4⇔{x−2≥0x>2⇔x>2 нь тэнцэтгэл бишийн шийд болно.\n\n\nХоёр шийдээ нэгтгэвэл (−∞;0]∪(2;+∞)(−∞;0]∪(2;+∞)."} +{"prompt":"√x2−3x+3+3=2x тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Иррационал тэгшитгэлийг бодоод гарсан хариуг заавал шалгаж үзэх нь зөв байдаг. Мөн шийдийг хариунаас олох арга ихэвчлэн үр дүнтэй.\nБодолт: √x2−3x+3+3=2x⇒x2−3x+3=(2x−3)2\nтэгшитгэлийг хялбарчилбал 3x2−9x+6=0 болох бөгөөд эдгээрээс x1=1, x2=2 гэсэн шийдүүд гарна. Бид тэгшитгэлээ тэнцүү чанартай тэгшитгэлээр солиогүй тул шийдийг анхны тэгшитгэлд орлуулж зайлшгүй шалгаж үзэх шаардлагатай. x=1 нь\n√12−3⋅1+3+3≠2⋅1\nтул шийд биш. Харин\n√22−3⋅2+3+3=2⋅2\nтул x=2 нь шийд болно. Иймд C зөв хариулт байна."} +{"prompt":"√x2−3x+5+8x−34x≥2 тодорхойлогдох мужийг олбол x∈]−∞;a[∪]b;+∞[ болно. Иймд иррациональ тэнцэтгэл бишийн шийдийг интервалын аргаар олбол x∈[−c;d[∪[e;+∞[ болно.","completion":"Заавар:\nБодолт: D:{x2−3x+5≥0x≠0\nДурын бодит x-ийн хувьд x2−3x+5=(x−1.5)2+2.75>0 тул D:x∈]−∞;0[∪]0;+∞[ болно. \n√x2−3x+5+8x−34x≥2⇔√x2−3x+5−34x≥0\nба\n√x2−3x+5>3⇔x2−3x+5>9⇔x2−3x−4=(x+1)(x−4)>0 тул\n√x2−3x+5−34x≥0⇔(x+1)(x−4)x≥0\nҮүнийг интервалын аргаар бодвол\n\nx∈[−1;0[∪[4;+∞[ байна."} +{"prompt":"√x2−3x−4>x−2x2−3x−4>x−2 тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: √f(x)>g(x)⇔⎧⎪⎨⎪⎩[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0f(x)>g(x)⇔{[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0\nБодолт: √x2−3x−4>x−2⇔⎧⎪⎨⎪⎩[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0x2−3x−4≥0x2−3x−4>x−2⇔{[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0x2−3x−4≥0\nбайна.\n[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0⇔[x>8x<2[x2−3x−4>(x−2)2x−2<0⇔[x>8x<2\nба x2−3x−4≥0⇔[x≥4x≤−1x2−3x−4≥0⇔[x≥4x≤−1 байна. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь (−∞;−1]∪(8;+∞)(−∞;−1]∪(8;+∞) байна."} +{"prompt":"√x2−4x+3⋅log4(5−x2)=0 тэгшитгэлийн шийдийн олонлог аль нь вэ?","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох мужийг тооц.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь x2−4x+3≥0, 5−x2>0 тул ]−√5;1] байна. Иймд тэгшитгэлийн шийд нь зөвхөн {−2,1} байна (шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш)."} +{"prompt":"√x2−4xy+4y2 аль нь вэ?","completion":"Заавар: √a2=|a| байдаг. Жишээ нь √(−3)2=|−3|=3 байна.\nБодолт: √x2−4xy+4y2=√(x−2y)2=|x−2y|"} +{"prompt":"√x2−4|x|+5=bx2−4|x|+5=b тэгшитгэл","completion":"Заавар: y=x2−4|x|+5y=x2−4|x|+5 функцийн графикийг байгуул.\nБодолт: b<0b<0 үед √x2−4|x|+5=bx2−4|x|+5=b тэгшитгэл шийдгүй байна.\n\nb≥0b≥0 үед \n√x2−4|x|+5=b⇔x2−4|x|+5=b2x2−4|x|+5=b⇔x2−4|x|+5=b2\nболно.\n\nf(x)=x2−4|x|+5f(x)=x2−4|x|+5 функцийн график, y=b2y=b2 функцийн графиктай огтлолцох цэгийн тоо нь анхны тэгшитгэлийн шийдийн тоо байна. Зургаас харахад b2<1b2<1 үед огтцлолцлын цэг байхгүй, b2=1b2=1 буюу b=1b=1 үед 2 ерөнхий цэгтэй, 10 тул ]−√10;1] байна. Иймд тэгшитгэлийн шийд нь зөвхөн {−3,1} байна (шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш)."} +{"prompt":"√x2−6x+13=ax2−6x+13=a тэгшитгэл яг нэг шийдтэй байх aa-гийн утга нь aa болно. Харин a∈]b;+∞[a∈]b;+∞[ үед тэгшитгэл хоёр шийдтэй, a∈]−∞;c[a∈]−∞;c[ үед шийдгүй.","completion":"Заавар: a<0a<0 үед шийдгүй байх нь ойлгомжтой. a≥0a≥0 үед\n√x2−6x+13=a⇔x2−6x+13=a2x2−6x+13=a⇔x2−6x+13=a2\nтэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэлийн шийдийг шинжлэх аргаар бод.\n\nax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, a≠0a≠0, a,b,c∈Ra,b,c∈R ба D=b2−4acD=b2−4ac байг:\n D=0D=0 үед ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэл яг нэг бодит шийдтэй;\n D>0D>0 үед ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 тэгшитгэл ялгаатай хоёр бодит шийдтэй;\n D<0D<0 үед бодит шийдгүй байна.\nБодолт: x2−6x+(13−a2)=0x2−6x+(13−a2)=0 квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь\nD=(−6)2−4⋅1⋅(13−a2)=4a2−16D=(−6)2−4⋅1⋅(13−a2)=4a2−16\nбайна. a≥0a≥0 үед\n D=0⇔4a2−16=0⇔a=±2D=0⇔4a2−16=0⇔a=±2 ба a≥0a≥0 тул a=2a=2 үед яг нэг шийдтэй;\n D≥0⇔4a2−16>0D≥0⇔4a2−16>0 ба a≥0a≥0 буюу a>2a>2 үед 2 шийдтэй;\n D≤0⇔4a2−16<0D≤0⇔4a2−16<0 буюу 0≤a<20≤a<2 үед тэгшитгэл шийдгүй. Иймд ]−∞;2[]−∞;2[ үед тэгшитгэл шийдгүй байна."} +{"prompt":"√x2−9⋅lg(1−x)=0x2−9⋅lg⁡(1−x)=0 тэгшитгэлийн шийд ол.","completion":"Заавар: Үржвэр тэгтэй тэнцүү байхын тулд ядаж нэг үржигдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд бусад үржигдэхүүн нь тодорхойлогдож байх ёстой.\nБодолт: √x2−9⋅lg(1−x)=0⇒[√x2−9=0lg(1−x)=0x2−9⋅lg⁡(1−x)=0⇒[x2−9=0lg⁡(1−x)=0\nЭхний тэгшитгэлээс x=±3x=±3 гурав шийд гарах боловч x=3x=3 үед lg(1−3)=lg(−2)lg⁡(1−3)=lg⁡(−2) тодорхойлогдохгүй тул шийд биш. Хоёр дахь тэгшитгэлээс\nlg(1−x)=0⇒1−x=100⇒x=0lg⁡(1−x)=0⇒1−x=100⇒x=0\nгэж гарах боловч √02−902−9 тодорхойлогдохгүй тул шийд болж чадахгүй. Иймд зөвхөн x=−3x=−3 гэсэн шийдтэй."} +{"prompt":"√x2−x−12x−1x2−x−6>x−1 тэнцэтгэл биш бод.","completion":"Заавар: √f(x)>g(x)⇔⎧⎪⎨⎪⎩[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0f(x)>g(x)⇔{[f(x)>g2(x)g(x)<0f(x)≥0\nБодолт: √x2−x−6>x−1⇔⎧⎪⎨⎪⎩[x2−x−6>(x−1)2x−1<0x2−x−6≥0x2−x−6>x−1⇔{[x2−x−6>(x−1)2x−1<0x2−x−6≥0\nбайна.\n[x2−x−6>(x−1)2x−1<0⇔[x>7x<1[x2−x−6>(x−1)2x−1<0⇔[x>7x<1\nба x2−x−6≥0⇔[x≥3x≤−2x2−x−6≥0⇔[x≥3x≤−2 байна. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь (−∞;−2]∪(7;+∞)(−∞;−2]∪(7;+∞) байна."} +{"prompt":"√x3+8+4√x3+8=6 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хариултанд өгөгдсөн тоонуудаас аль нь тэгшитгэлийн шийд болж байна вэ?\nБодолт: x=2 үед\n√23+8+4√23+8=√16+4√16=4+2=6\nтул шийд болж байна."} +{"prompt":"√x=x−2 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: √x=x−2≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.\nБодолт: √x=x−2⇒x=(x−2)2 тул x2−5x+4=0 болно. Эндээс x=1, x=4 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=1 үед x−2<0 тул шийд болохгүй. Харин x=4 үед √4=4−2 тул шийд болно."} +{"prompt":"√x=x−2x=x−2 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: √x=x−2≥0x=x−2≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.\nБодолт: √x=x−2⇒x=(x−2)2x=x−2⇒x=(x−2)2 тул x2−5x+4=0x2−5x+4=0 болно. Эндээс x=1x=1, x=4x=4 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=1x=1 үед x−2<0x−2<0 тул шийд болохгүй. Харин x=4x=4 үед √4=4−24=4−2 тул шийд болно."} +{"prompt":"√x=x−6x=x−6 тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?","completion":"Заавар: √x=x−6≥0x=x−6≥0 байхыг анхаар. Иррационал тэгшитгэлийг бодоод хариуг шалгаж үзэж байх шаардлагатай.\nБодолт: √x=x−6⇒x=(x−6)2x=x−6⇒x=(x−6)2 тул x2−13x+36=0x2−13x+36=0 болно. Эндээс x=4x=4, x=9x=9 гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд x=4x=4 үед x−6<0x−6<0 тул шийд болохгүй. Харин x=9x=9 үед √9=9−69=9−6 тул шийд болно."} +{"prompt":"√x−1=−2 тэгшитгэл бод.","completion":"Заавар: √a-аар квадрат нь a-тай тэнцэх эерэг тоог тэмдэглэдэг.\nБодолт: x-ийн боломжит бүх утганд язгуураас эерэг тоо гарах ёстой тул √x−1≥0>−2 байна. Иймд тэгшитгэл шийдгүй."} +{"prompt":"√x−1x−√1−1x>x−1xx−1x−1−1x>x−1x тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар:\nБодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь\nD:⎧⎪\n⎪⎨⎪\n⎪⎩x−1x≥01−1x≥0⇔⎧⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪⎩(x−1)(x+1)x≥0x−1x≥0⇔⎧⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎨⎪\n⎪\n⎪\n⎪⎩[−1≤x<0x≥1[x<0x≥1D:{x−1x≥01−1x≥0⇔{(x−1)(x+1)x≥0x−1x≥0⇔{[−1≤x<0x≥1[x<0x≥1\nтул [x<0x≥1[x<0x≥1 байна. Тодорхойлогдох муж дээр 1−1x=(√x−1x)21−1x=(x−1x)2, √x−1x=√(x−1)(x+1)xx−1x=(x−1)(x+1)x тул \n√x−1x−√1−1x>x−1x⇔√(x−1)(x+1)x−√x−1x>(√x−1x)2x−1x−1−1x>x−1x⇔(x−1)(x+1)x−x−1x>(x−1x)2\nболно. \n\n\nx=1x=1 тэнцэтгэл бишийн шийд болохгүй. Иймд 1−1x≠01−1x≠0 гэж үзэж болно.\n√x+1−1>√x−1x⇔√x+1>√x−1x+1>0x+1−1>x−1x⇔x+1>x−1x+1>0\nболно. Сүүлийн тэнцэтгэл бишийг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл\nx+1>x−1x+2√x−1x+1⇔x2−x+1x>2√x−1x>0x+1>x−1x+2x−1x+1⇔x2−x+1x>2x−1x>0\nболно. Сүүлийн тэнцэтгэл биш x<0x<0 ��айх шийдгүй. x>0x>0 гээд мөн квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл\n(x2−x+1)2x2>4x−4x⇔x4+x2+1−2x3+2x2−2x−4x2+4xx2=(x2−x−1)2x2>0(x2−x+1)2x2>4x−4x⇔x4+x2+1−2x3+2x2−2x−4x2+4xx2=(x2−x−1)2x2>0\nтул x2−x+1≠0x2−x+1≠0 буюу x≠1±√52x≠1±52 болно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд\n]1;1+√52[∪]1+√52;+∞[]1;1+52[∪]1+52;+∞["} +{"prompt":"√x−3>−1 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: Тодорхойлогдох мужийг бодвол x≥3 болно. Түүнчлэн √3−3=0>−1 тул x=3 тэнцэтгэл бишийн шийд болно. Иймд зөв хариулт нь зөвхөн D байх боломжтой юм."} +{"prompt":"√x−3≤2√x−2x−3≤2x−2 тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох мужийг олоод дараа нь баруун талыг нь зүүн талд шилжүүлээд ерөнхий хуваарь өгч бод.\nБодолт: Язгуурын доорхи илэрхийлэл эерэг байх тул x≥0x≥0. Бутархайн хуваарь тэг биш тул √x−2≠0x−2≠0 буюу x≠4x≠4. Иймд D=[0;4[∪]4;+∞]D=[0;4[∪]4;+∞].\n√x−3≤2√x−2⇔√x−3−2√x−2≤0⇔x−3≤2x−2⇔x−3−2x−2≤0⇔\n⇔(√x−3)(√x−2)−2√x−2≤0.⇔(x−3)(x−2)−2x−2≤0.\nСүүлийн тэнцэтгэл биш нь x−5√x+4√x−2≤0x−5x+4x−2≤0 болох ба энэ нь тодорхойлогдох муждаа (x≠4x≠4, x>0x>0)\n(√x−2)(x−5√x+4)≤0(x−2)(x−5x+4)≤0\nтэнцэтгэл биштэй тэнцүү чанартай. t=√xt=x гэвэл t≥0t≥0 ба\n(t−2)(t2−5t+4)=(t−2)(t−1)(t−4)≤0(t−2)(t2−5t+4)=(t−2)(t−1)(t−4)≤0 болно. Үүнийг интервалын аргаар бодвол t∈]−∞;1]∪[2;4]t∈]−∞;1]∪[2;4]. Иймд √x≤1x≤1 эсвэл 2≤√x≤42≤x≤4 болно. Иймд x≤1x≤1 эсвэл 4≤x≤164≤x≤16 байна. Үүнийг тодорхойлогдох мужтай огтлолцуулбал x∈[0;1]∪]4;16]x∈[0;1]∪]4;16] болов."} +{"prompt":"√x−3≤3−|x−6|x−3≤3−|x−6| тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=3x=3, x=7x=7 шийд болж байна. Харин x=3.25x=3.25 нь\n√3.25−3=0.5>3−|3.25−6|=0.253.25−3=0.5>3−|3.25−6|=0.25\nтул шийд биш. Иймд зөвхөн E хариулт боломжтой."} +{"prompt":"√x−4≤6−|x−10| тэнцэтгэл бишийг бод.","completion":"Заавар: Хариунаас бод.\nБодолт: x=3, x=7 шийд болж байна. Харин x=3.25 нь\n√3.25−3=0.5>3−|3.25−6|=0.25\nтул шийд биш. Иймд зөвхөн E хариулт боломжтой."} +{"prompt":"√x−√7+√6−√4=4 тэгшитгэл бод","completion":"Заавар: Дэс дараалан язгуураас гаргах үйлдлийг гүйцэтгэ.\nБодолт: √7+√6−√4=√7+√6−2=√7+√4=√7+2=3\nтул √x−3=4⇒x−3=42⇒x=19. x=19 үед тэгшитгэлийн зүүн гар тал утгатай буюу x=19 нь тодорхойлогдох мужид орох тул шийд болно."} +{"prompt":"√y2+1dx=xydyy2+1dx=xydy дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: √y2+1dx=xydy⇔y√y2+1dy=1xdxy2+1dx=xydy⇔yy2+1dy=1xdx\nтул\n∫y√y2+1dy=∫1xdx⇔∫d(y2+1)2√y2+1=∫1xdx∫yy2+1dy=∫1xdx⇔∫d(y2+1)2y2+1=∫1xdx\nболно. Иймд\n√y2+1=ln|x|+Cy2+1=ln⁡|x|+C"} +{"prompt":"√y2−1dx=xydyy2−1dx=xydy дифференциал тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.\nБодолт: √y2−1dx=xydy⇔y√y2−1dy=1xdxy2−1dx=xydy⇔yy2−1dy=1xdx\nтул\n∫y√y2−1dy=∫1xdx⇔∫d(y2−1)2√y2−1=∫1xdx∫yy2−1dy=∫1xdx⇔∫d(y2−1)2y2−1=∫1xdx\nболно. Иймд\n√y2−1=ln|x|+Cy2−1=ln⁡|x|+C"} +{"prompt":"√|1−2x|=1−2x тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.","completion":"Заавар: √|1−2x|=1−2x⇒|1−2x|=(1−2x)2 байна. Цааш нь 1−2x<0 ба 1−2x≥0 байх мужуудад бод. Квадрат зэрэгт дэвшүүлсэн тул шийдээ шалгаж баталгаажуулаарай!\nБодолт: |1−2x|=(1−2x)2 тэгтшитгэлийг бодъё. 1−2x<0 бол |1−2x|=−(1−2x)≠0 тул −(1−2x)=(1−2x)2⇔−1=1−2x⇔x=1\nбайна. Гэвч энэ нь √|1−2⋅1|=√|−1|=√1=1≠1−2⋅1=−1\nтул анхны тэгшитгэлийн шийд болж чадахг��й.\n\n1−2x≥0 бол |1−2x|=1−2x байх тул 1−2x=(1−2x)2⇔4x2−2x=0⇔x=0∨x=0.5\nболох ба эдгээр нь шийд болж чадна. Иймд шийдүүдийн нийлбэр нь 0+0.5=0.5 байна."} +{"prompt":"√|1−2x|>1−2x|1−2x|>1−2x бод.","completion":"Заавар: √f>g⇔{f>g2g≥0∪{f≥0g<0f>g⇔{f>g2g≥0∪{f≥0g<0\nхувиргалт ашиглан бод.\nБодолт: √|1−2x|>1−2x⇔{|1−2x|>(1−2x)21−2x≥0∪{|1−2x|≥01−2x<0|1−2x|>1−2x⇔{|1−2x|>(1−2x)21−2x≥0∪{|1−2x|≥01−2x<0\nЭхний системийн хувьд 1−2x≥01−2x≥0 тул x≤0.5x≤0.5 ба |1−2x|=1−2x|1−2x|=1−2x байна. Иймд\n1−2x>(1−2x)2⇔(1−2x)(1−1+2x)>0⇔1−2x>(1−2x)2⇔(1−2x)(1−1+2x)>0⇔\nx(x−0.5)<0⇔x∈]0;0.5[x(x−0.5)<0⇔x∈]0;0.5[\nХоёр дахь системийн хувьд |1−2x|≥0|1−2x|≥0 нь дурын x∈Rx∈R-ийн хувьд биелэх тул 1−2x<01−2x<0-ийг бодоход хангалттай. Иймд x>0.5x>0.5 гэсэн шийд нэмэгдэж байна.\n\nТэнцэтгэл бишийн шийд нь x∈]0;0.5[∪]0.5;+∞[x∈]0;0.5[∪]0.5;+∞[ байна.\n\nЖич: Мэдээж энэ тэнцэтгэл бишийг бусад тэнцэтгэл бишүүдийн адилаар хариунаас бодох аргаар хялбархан бодож болно. Үүний тулд x=0.25x=0.25, x=1x=1 тоонуудыг шийд ба x=0.5x=0.5 нь шийд биш гэж харуулахад л хангалттай юм."} +{"prompt":"√|x+2|−2>√|x+2|−2015|x+2|−2>|x+2|−2015 тэнцэтгэл бишийн шийд болох хамгийн их сөрөг тоо ба хамгийн бага эерэг тоог ол.","completion":"Заавар: Тодорхойлогдох муж ба aa, bb эерэг тоонуудын хувьд a>b⇔a2>b2a>b⇔a2>b2 болохыг ашигла.\n\nМөн өгөгдсөн −2017−2017, −2013−2013, 20132013, 20172017 тоонуудыг шийд болох эсэхийг шууд шалгаад хариуг олж болно.\nБодолт: Тодорхойлогдох муж нь\n{|x+2|≥2|x+2|≥2015⇔|x+2|≥2015{|x+2|≥2|x+2|≥2015⇔|x+2|≥2015 байна. Энэ үед\n√|x+2|−2>√|x+2|−2015⇔|x+2|−2>|x+2|−2015⇔ |x+2|−2>|x+2|−2015|x+2|−2>|x+2|−2015\nболох ба мэдээж дурын x∈Rx∈R үед үнэн байна. Иймд тодорхойлогдох муж нь тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж болно.\n|x+2|≥2015⇔x+2≤−2015∨x+2≥2015|x+2|≥2015⇔x+2≤−2015∨x+2≥2015\nтул x≤−2017∨x≥2013x≤−2017∨x≥2013 байна. Иймд хамгийн их сөрөг шийд нь −2017−2017, хамгийн бага эерэг шийд нь 20132013 байна.\n\nШийдийг хариунаас бодъё: −2017−2017 нь\n√|−2017+2|−2>√|−2017+2|−2015⇔√2013>0|−2017+2|−2>|−2017+2|−2015⇔2013>0\nтул шийд болно. −2013−2013 нь |−2013+2|<2015|−2013+2|<2015 болж тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд болохгүй. Иймд хамгийн их сөрөг шийд нь −2017−2017 байна.\n20132013 нь \n√|2013+2|−2>√|2013+2|−2015⇔√2013>0|2013+2|−2>|2013+2|−2015⇔2013>0\nтул шийд болно. Үүнээс бага эерэг тоо хариунууд дунд өгөгдөөгүй тул хамгийн бага эерэг бүхэл тоо нь 20132013 байна. Ядаж нэг, нэг эерэг ба сөрөг шийд байгаа тул эдгээрийн хамгийн бага ба хамгийн их нь оршин байна."} +{"prompt":"∠A=90, AB=3, AC=4 байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан ADEF тэгш өнцөгтийн талбай хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү вэ?","completion":"Заавар: A төвтэй AB ба AC тэнхлэгүүдтэй тэгш өнцөгт координатын систем сонирх. Энэ үед E(x;y) цэг нь BC шулуун дээр байрлах ба SADEF=x⋅y байна. \n\nНийлбэр нь тогтмол тоонуудын үржвэр тэнцүү үедээ хамгийн их байдаг.\nБодолт: B(3;0), C(0;4) тул BC шулууны тэгшитгэл нь x3+y4=1 байна. Иймд 4x+3y=12 байна. 4x⋅3y илэрхийлэл 4x=3y=6 үед хамгийн их утгатай байна. Иймд xy нь x=32, y=2 үед хамгийн их байх тул maxSADEF=32⋅2=3 байна."} +{"prompt":"∣∣\n∣∣13−127−258−4∣∣\n∣∣|13−127−258−4| тодорхойлогчийг ол.","completion":"Заавар: Саррюсын дүрэм ашиглан бод.\nБодолт: ∣∣\n∣∣13−127−258−4∣∣\n∣∣=(1⋅7⋅4+3⋅(−2)⋅5+(−1)⋅2⋅8)−−(−1⋅7⋅5+1⋅(−2)⋅8+3⋅2⋅4)=−18−(��27)=9|13−127−258−4|=(1⋅7⋅4+3⋅(−2)⋅5+(−1)⋅2⋅8)−−(−1⋅7⋅5+1⋅(−2)⋅8+3⋅2⋅4)=−18−(−27)=9"} +{"prompt":"∣∣∣x−1x+3∣∣∣=1|x−1x+3|=1 тэгшитгэлийг бод.","completion":"Заавар: a≥0a≥0 бол |f(x)|=a⇔f(x)=±a|f(x)|=a⇔f(x)=±a байна.\nБодолт:"} +{"prompt":"∫(2−3√x)2dx∫(2−3x)2dx","completion":"Заавар:\nБодолт: ∫(2−3√x)2dx=∫(4−12√x+9x)dx=4x−12⋅x3232+9x22+C=4x−8x√x+9x22+C∫(2−3x)2dx=∫(4−12x+9x)dx=4x−12⋅x3232+9x22+C=4x−8xx+9x22+C"} +{"prompt":"∫(3x+1)20dx∫(3x+1)20dx интеграл бод.","completion":"Заавар: Шууд уламжлал авч хариунуудыг шалга.\nБодолт:"} +{"prompt":"∫(3x2+2sin2x)dx=?∫(3x2+2sin⁡2x)dx=?","completion":"Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.\nБодолт: (x3−cos2x+C)′=3x2−((−sin2x)⋅2)+0=3x2+2sin2x(x3−cos⁡2x+C)′=3x2−((−sin⁡2x)⋅2)+0=3x2+2sin⁡2x тул \nE сонголт нь зөв байна."} +{"prompt":"∫(3x2+sin3x)dx=?∫(3x2+sin⁡3x)dx=?","completion":"Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.\nБодолт: (x3−13cos3x+C)′=3x2−((−sin3x)⋅2)+0=3x2+sin3x(x3−13cos⁡3x+C)′=3x2−((−sin⁡3x)⋅2)+0=3x2+sin⁡3x тул \nB сонголт нь зөв байна."} +{"prompt":"∫(x2+2x)ex3+3x2dx∫(x2+2x)ex3+3x2dx","completion":"Заавар: F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) бол\n∫f(φ(x))⋅φ′(x)dx=F(φ(x))+C∫f(φ(x))⋅φ′(x)dx=F(φ(x))+C\nбайна.\nБодолт: ∫(x2+2x)ex3+3x2dx=∫ex3+3x2⋅13d(x3+3x2)∫(x2+2x)ex3+3x2dx=∫ex3+3x2⋅13d(x3+3x2)\n=13∫ex3+3x2d(x3+3x2)=13ex3+3x2+C=13∫ex3+3x2d(x3+3x2)=13ex3+3x2+C"} +{"prompt":"∫(x2+sin2x)dx=?∫(x2+sin⁡2x)dx=?","completion":"Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.\nБодолт: (13x3−12cos2x+C)′=13⋅3x2−12(−sin2x)⋅2=x2+sin2x(13x3−12cos⁡2x+C)′=13⋅3x2−12(−sin⁡2x)⋅2=x2+sin⁡2x тул B хариулт зөв байна."} +{"prompt":"∫(x2+sin3x)dx=?∫(x2+sin⁡3x)dx=?","completion":"Заавар: Хэрвээ шууд бодож чадахгүй бол хариунуудаас уламжлал аван шалган тохирох функцийг олж болно.\nБодолт: (13x3−13cos3x+C)′=13⋅3⋅x2−13⋅3⋅(−sin3x)+0=x2+sin3x(13x3−13cos⁡3x+C)′=13⋅3⋅x2−13⋅3⋅(−sin⁡3x)+0=x2+sin⁡3x тул \nC сонголт нь зөв байна."} +{"prompt":"∫(x−1)(x−2)dx∫(x−1)(x−2)dx бод.","completion":"Заавар: Үржвэрийг гишүүнчлэн үржүүлж задлаад, гишүүн бүрээр нь интеграл авч бод.\n∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1\nБодолт: ∫(x−1)(x−2)dx=∫x2−3x+2dx=x33−3x22+2x+C∫(x−1)(x−2)dx=∫x2−3x+2dx=x33−3x22+2x+C байна."} +{"prompt":"∫(x−1)(x−2)x∫(x−1)(x−2)x интегралыг бод.","completion":"Заавар: Олон гишүүнтийн интегралд шилжүүлээд гишүүнчлэн интегралчил.\nБодолт: ∫(x−1)(x−2)dx=∫(x2−3x+2)dx=x33−3x2+2x+C∫(x−1)(x−2)dx=∫(x2−3x+2)dx=x33−3x2+2x+C"} +{"prompt":"∫(√x+1)(3√x−1)dx=?∫(x+1)(x3−1)dx=?","completion":"Заавар: α≠−1α≠−1 байх бодит тоо бол:\n∫xαdx=xα+1α+1+C∫xαdx=xα+1α+1+C\nболохыг ашиглан гишүүнчлэн интегралчилж бод.\nБодолт: (√x+1)(3√x−1)=(x12+1)(x13−1)=x56−x12+x13−1(x+1)(x3−1)=(x12+1)(x13−1)=x56−x12+x13−1\nтул\n∫(√x+1)(3√x−1)dx=x56+156+1−x12+112+1+x13+113+1−x+C=∫(x+1)(x3−1)dx=x56+156+1−x12+112+1+x13+113+1−x+C=\n=6x11611−2x323+3x434−x+C=6x11611−2x323+3x434−x+C"} +{"prompt":"∫10x23√(2−x3)2dx=ab(c⋅3√d−e)∫01x2(2−x3)23dx=ab(c⋅d3−e) болно.","completion":"Заавар: Орлуулах аргаар бод:\n∫bag[f(x)]⋅f′(x)dx=∫bag[f(x)]df(x)=∫f(b)f(a)g(t)dt∫abg[f(x)]⋅f′(x)dx=∫abg[f(x)]df(x)=∫f(a)f(b)g(t)dt\nБодолт: f(x)=x3f(x)=x3, g(x)=3√(2−x)2g(x)=(2−x)23 гээд орлуулгын томьёо ашиглая:\n∫10x23√(2−x3)2dx=13∫10(x3)′3√(2−x3)2dx=13∫103√(2−x3)2dx3=13∫13033√(2−u)2du=13∫10(2−u)23du=−13∫10(2−u)23d(2−u)=−13∫2−12−0t23dt=−13∫12t23dt=13∫21t23dt=[13⋅t23+123+1]∣∣∣21=t535∣∣∣21=2525−1525=15(23√4−1)∫01x2(2−x3)23dx=13∫01(x3)′(2−x3)23dx=13∫01(2−x3)23dx3=13∫0313(2−u)23du=13∫01(2−u)23du=−13∫01(2−u)23d(2−u)=−13∫2−02−1t23dt=−13∫21t23dt=13∫12t23dt=[13⋅t23+123+1]|12=t535|12=2525−1525=15(243−1)\nБид энэ бодолтонд орлуулгын аргыг 2 удаа ашигласан бөгөөд тодорхой интегралын\n∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\nчанарыг ч бас ашиглав."} +{"prompt":"∫10√1+xdx=ab(√c−d)∫011+xdx=ab(c−d) болно.","completion":"Заавар: ∫baf(φ(t))⋅φ′(t)dt=∫φ(b)φ(a)f(x)dx∫abf(φ(t))⋅φ′(t)dt=∫φ(a)φ(b)f(x)dx\nБодолт: t=√1+xt=1+x орлуулга ашиглавал\n∫10√1+xdx=⎡⎢⎣t=√1+xx=t2−1dx=2tdt⎤⎥⎦=∫√1+1√1+0t⋅2tdt=∫√212t2dt=2t33∣∣∣√21=23((√2)3−13)=23(√8−1)∫011+xdx=[t=1+xx=t2−1dx=2tdt]=∫1+01+1t⋅2tdt=∫122t2dt=2t33|12=23((2)3−13)=23(8−1)"} +{"prompt":"∫11+x2dx∫11+x2dx","completion":"Заавар: (arctgx)′=11+x2(arctgx)′=11+x2\nБодолт: (arctgx)′=11+x2(arctgx)′=11+x2 тул ∫11+x2dx=arctgx+C∫11+x2dx=arctgx+C байна."} +{"prompt":"∫1x2dx=?∫1x2dx=?","completion":"Заавар: ∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1∫xn=xn+1n+1+C,n≠−1\nБодолт: ∫1x2dx=∫x−2dx=x−2+1−2+1+C=−1x+C∫1x2dx=∫x−2dx=x−2+1−2+1+C=−1x+C"} +{"prompt":"∫1−12x2dx интегралаар бодогдох дүрсийн талбай аль нь вэ?","completion":"Заавар: Тодорхой интеграл ашиглан талбай олох арга ашигла.\nБодолт: f(x)=2x2, g(x)=0 гээд α=−1, β=1 гээд талбайг олбол ∫1−12x2dx болох ба энэ интегралаар илэрхийлэгдэх талбай нь 4) байна.\n\n\nЖич: 1) дүрсийн талбай нь ∫1−1(2−2x2)dx; 2) дүрсийн талбай нь ∫102x2dx; 3) дүрсийн талбай нь ∫1−1(2−2x2)dx, 5) дүрсийн талбай нь ∫1−12dx байна."} +{"prompt":"∫1−2|5x−3|dx∫−21|5x−3|dx нь аль тоо вэ?","completion":"Заавар: Модулийн тодорхойлолт болон интегралын аддитив чанар ашиглан бод.\n∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\nБодолт: |5x−3|={5x−3,x≥0.6−(5x−3),x<0.6|5x−3|={5x−3,x≥0.6−(5x−3),x<0.6\nтул\n∫1−2|5x−3|dx=∫0.6−2|5x−3|dx+∫10.6|5x−3|dx==−∫0.6−2(5x−3)dx+∫10.6(5x−3)dx==−(5x22−3x)∣∣∣0.6−2+(5x22−3x)∣∣∣10.6==−(5⋅0.622−3⋅0.6)+(5⋅(−2)22−3⋅(−2))+       +(5⋅122−3⋅1)−(5⋅0.622−3⋅0.6)==−(0.9−1.8)+(10+6)+(2.5−3)−(0.9−1.8)=17.3∫−21|5x−3|dx=∫−20.6|5x−3|dx+∫0.61|5x−3|dx==−∫−20.6(5x−3)dx+∫0.61(5x−3)dx==−(5x22−3x)|−20.6+(5x22−3x)|0.61==−(5⋅0.622−3⋅0.6)+(5⋅(−2)22−3⋅(−2))+       +(5⋅122−3⋅1)−(5⋅0.622−3⋅0.6)==−(0.9−1.8)+(10+6)+(2.5−3)−(0.9−1.8)=17.3\nЗаавар:\nБодолт: 5x−3=05x−3=0 гэвэл x=3\/5x=3\/5 байна. \n∫1−2|5x−3|dx=∫35−2|5x−3|dx+∫135|5x−3|dx=∫−21|5x−3|dx=∫−235|5x−3|dx+∫351|5x−3|dx=\n=−∫35−25x−3dx+∫1355x−3dx=−(52x2−3x)∣∣35−2+(52x2−3x)∣∣135==−∫−2355x−3dx+∫3515x−3dx=−(52x2−3x)|−235+(52x2−3x)|351=\n=−(52⋅(35)2−3⋅35)+(52⋅(−2)2−3⋅(−2))+(52⋅12−3⋅1)−(52⋅(35)2−3⋅35)==−(52⋅(35)2−3⋅35)+(52⋅(−2)2−3⋅(−2))+(52⋅12−3⋅1)−(52⋅(35)2−3⋅35)=\n=−(910−95)+(10+6)+(52−3)−(910−95)=910+16−12+910=17310.=−(910−95)+(10+6)+(52−3)−(910−95)=910+16−12+910=17310.\n\nТодорхой интегралын геометр утгыг ашиглан бодож болно. \n\nA(−2;13)A(−2;13), B(−2;0)B(−2;0), C(3\/5;0)C(3\/5;0), D(1;0)D(1;0), E(1;2)E(1;2) гэвэл ∫1−2|5x−3|dx=S△ABC+S△CDE=13⋅(3\/5+2)2+(1−3\/5)⋅22=17310∫−21|5x−3|dx=S△ABC+S△CDE=13⋅(3\/5+2)2+(1−3\/5)⋅22=17310 байна."} +{"prompt":"∫21(x2−3x+2)dx∫12(x2−3x+2)dx интегралыг бод.","completion":"Заавар: ∫βα(x−α)(x−β)dx=(α−β)36∫αβ(x−α)(x−β)dx=(α−β)36 ашигла.\nБодолт: ∫21(x2−3x+2)dx=∫21(x−1)(x−2)dx=(1−2)36=−16∫12(x2−3x+2)dx=∫12(x−1)(x−2)dx=(1−2)36=−16"} +{"prompt":"∫212x3+1x2dx∫122x3+1x2dx","completion":"Заавар: 2x3+1x2=2x+1x22x3+1x2=2x+1x2\nБодолт: ∫212x3+1x2dx=∫212x+1x2dx=(x2−1x)∣∣∣21∫122x3+1x2dx=∫122x+1x2dx=(x2−1x)|12\n=(22−12)−(12−11)=3.5=(22−12)−(12−11)=3.5"} +{"prompt":"∫2a0x|x2−a2|dx∫02ax|x2−a2|dx бод.","completion":"Заавар: x=ax=a цэгээр хоёр хэсэг салгаж бод.\nБодолт: ∫2a0x|x2−a2|dx=∫a0x|x2−a2|dx+∫2aax|x2−a2|dx=∫a0x(a2−x2)dx+∫a0x(x2−a2)dx=∫a0a2x−x3dx+∫a0x3−a2xdx=(a2x22−x44)∣∣∣a0+(x44−a2x22)∣∣∣2aa=(a42−a44−0)+(16a44−4a42−a44+a42)=a44+9a44=52a4∫02ax|x2−a2|dx=∫0ax|x2−a2|dx+∫a2ax|x2−a2|dx=∫0ax(a2−x2)dx+∫0ax(x2−a2)dx=∫0aa2x−x3dx+∫0ax3−a2xdx=(a2x22−x44)|0a+(x44−a2x22)|a2a=(a42−a44−0)+(16a44−4a42��a44+a42)=a44+9a44=52a4"} +{"prompt":"∫2e2xdx∫2e2xdx интеграл бод.","completion":"Заавар: Аль функцийн уламжлал 2e2x2e2x болох вэ?\nБодолт: (e2x+C)′=e2x⋅(2x)′+0=2e2x(e2x+C)′=e2x⋅(2x)′+0=2e2x тул\n∫2e2xdx=e2x+C∫2e2xdx=e2x+C\nбайна."} +{"prompt":"∫2e6xdx∫2e6xdx интеграл бод.","completion":"Заавар: Аль функцийн уламжлал 2e6x2e6x болох вэ?\nБодолт: (e6x3+C)′=13⋅e6x⋅(6x)′+0=2e6x(e6x3+C)′=13⋅e6x⋅(6x)′+0=2e6x тул\n∫2e6xdx=e2x3+C∫2e6xdx=e2x3+C\nбайна."} +{"prompt":"∫2x+3x2−9dx=?∫2x+3x2−9dx=?","completion":"Заавар: 2x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+32x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+3 байх AA, BB тоонуудыг ол.\nБодолт: 2x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+32x+3x2−9=2x+3(x−3)(x+3)=Ax−3+Bx+3-ээс\nA(x+3)+B(x−3)=2x+3⇒Ax+3A+Bx−3B=2x+3A(x+3)+B(x−3)=2x+3⇒Ax+3A+Bx−3B=2x+3\nтул\n(A+B)x+3A−3B=2x+3(A+B)x+3A−3B=2x+3\nбуюу\n{A+B=23A−3B=3⇒⎧⎪\n⎪⎨⎪\n⎪⎩A=32B=12{A+B=23A−3B=3⇒{A=32B=12\nИймд\n2x+3x2−9=32x−3+12x+32x+3x2−9=32x−3+12x+3\nболох ба интеграл нь\n∫2x+3x2−9dx=32∫dxx−3+12∫dxx+3=32ln|x−3|+12ln|x+3|+C∫2x+3x2−9dx=32∫dxx−3+12∫dxx+3=32ln⁡|x−3|+12ln⁡|x+3|+C"} +{"prompt":"∫2π0cos2xdx=?∫02πcos2⁡xdx=?","completion":"Заавар: cos2x=1+cos2x2cos2⁡x=1+cos⁡2x2 ашиглан зэргийг бууруулж бод.\nБодолт: ∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx=x2+14∫cos2xd2x=x2+14sin2x+C.∫cos2⁡xdx=∫1+cos⁡2x2dx=x2+14∫cos⁡2xd2x=x2+14sin⁡2x+C. \nИймд \n∫2π0cos2xdx=(x2+14sin2x)∣∣∣2π0=∫02πcos2⁡xdx=(x2+14sin⁡2x)|02π=\n=2π2+14sin(2⋅2π)−02−14sin(2⋅0)=π.=2π2+14sin⁡(2⋅2π)−02−14sin⁡(2⋅0)=π."} +{"prompt":"∫2π0sin2xdx=?∫02πsin2⁡xdx=?","completion":"Заавар: sin2x=1−cos2x2sin2⁡x=1−cos⁡2x2 болохыг ашигла.\nБодолт: ∫2π0sin2xdx=∫2π01−cos2x2dx=∫2π012dx−∫2π0cos2x2dx=π−0∫02πsin2⁡xdx=∫02π1−cos⁡2x2dx=∫02π12dx−∫02πcos⁡2x2dx=π−0 байна. Хоёр дахь интеграл 0 болохыг \ny=cos2x2y=cos⁡2x2 функцийн графикийг зурж хар."} +{"prompt":"∫2−12(t−1)xdx=2t∫−122(t−1)xdx=2t бол t=?t=?","completion":"Заавар: ∫2−12(t−1)xdx∫−122(t−1)xdx интегралд (t−1)(t−1) нь хувьсагчаас хамаарахгүй тогтмол үржигдэхүүн тул интегралаас гаргаж болно.\n∫2−12(t−1)xdx=(t−1)∫2−12xdx∫−122(t−1)xdx=(t−1)∫−122xdx\nБодолт: ∫2−12(t−1)xdx=(t−1)∫2−12xdx=(t−1)(22−(−1)2)=3(t−1)∫−122(t−1)xdx=(t−1)∫−122xdx=(t−1)(22−(−1)2)=3(t−1)\nтул 3(t−1)=2t⇒t=33(t−1)=2t⇒t=3 байна."} +{"prompt":"∫30x(x−3)dx∫03x(x−3)dx интегралыг бод.","completion":"Заавар: x(x−3)=x2−3xx(x−3)=x2−3x гээд интегралыг бод.\nБодолт: ∫30x(x−3)dx=∫30(x2−3x)dx=(x33−3x22)∣∣∣30=(333−3⋅322)−(033−3⋅022)=−4.5∫03x(x−3)dx=∫03(x2−3x)dx=(x33−3x22)|03=(333−3⋅322)−(033−3⋅022)=−4.5\nЗаавар: Өргөн ашиглагддаг\n∫ba(x−a)(x−b)dx=(a−b)36∫ab(x−a)(x−b)dx=(a−b)36\nтомьёог ашиглаад шууд бодож болно.\nБодолт: ∫30x(x−3)dx=(0−3)36=−4.5∫03x(x−3)dx=(0−3)36=−4.5"} +{"prompt":"∫30|1−x2|dx∫03|1−x2|dx интегралыг бод.","completion":"Заавар: Интегралын доторх функцэд модултай илэрхийлэл оролцсон тохиолдолд уг илэрхийллийн эерэг ба сөрөг байх мужуудад интегралыг тусад нь бодож нэмнэ.\nБодолт: ∫30|1−x2|dx=∫10(1−x2)dx+∫31(x2−1)dx=(x−x33)∣∣∣10+(x33−x)∣∣∣31=(1−13)−0+(9−3)−(13−1)=223∫03|1−x2|dx=∫01(1−x2)dx+∫13(x2−1)dx=(x−x33)|01+(x33−x)|13=(1−13)−0+(9−3)−(13−1)=223"} +{"prompt":"∫3e43dx2x∫33e4dx2x интегралийг бод.","completion":"Заавар: ∫12xdx=12lnx∫12xdx=12ln⁡x ба Ньютон-Лейбницийн томьёог ашигла.\nБодолт: ∫3e4312xdx=12lnx∣∣∣3e43=12(ln(3e4)−ln3)=12ln3e43=12lne4=2∫33e412xdx=12ln⁡x|33e4=12(ln⁡(3e4)−ln⁡3)=12ln⁡3e43=12ln⁡e4=2\nбайна."} +{"prompt":"∫3x+1x(x+1)(x−2)dx∫3x+1x(x+1)(x−2)dx","completion":"Заавар: 3x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−23x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−2 байх AA, BB, CC тоонуудыг ол.\nБодолт: 3x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−23x+1x(x+1)(x−2)=Ax+Bx+1+Cx−2 бол\n3x+1=A(x+1)(x−2)+Bx(x−2)+Cx(x+1)3x+1=A(x+1)(x−2)+Bx(x−2)+Cx(x+1)\nбайна. x=0,−1,2x=0,−1,2 утгууд дээр бодвол 1=−2A1=−2A, −2=3B−2=3B, 7=6C7=6C тул\n3x+1x(x+1)(x−2)=−12x+−23x+1+76x−23x+1x(x+1)(x−2)=−12x+−23x+1+76x−2\nболно. Ий��д\n∫3x+1x(x+1)(x−2)dx=∫(−12x+−23x+1+76x−2)dx=−12∫1x−23∫1x+1+76∫1x−2+C=−12ln|x|−23ln|x+1|+76ln|x−2|+C=−16ln|x3|−16ln(x+1)4+16ln|x−2|7+C=16ln∣∣∣(x−2)7x3(x+1)4∣∣∣+C∫3x+1x(x+1)(x−2)dx=∫(−12x+−23x+1+76x−2)dx=−12∫1x−23∫1x+1+76∫1x−2+C=−12ln⁡|x|−23ln⁡|x+1|+76ln⁡|x−2|+C=−16ln⁡|x3|−16ln⁡(x+1)4+16ln⁡|x−2|7+C=16ln⁡|(x−2)7x3(x+1)4|+C"} +{"prompt":"∫3x2+2x+7x2+1dx=?∫3x2+2x+7x2+1dx=?","completion":"Заавар: ∫dxx2+a2=1aarctgxa+C∫dxx2+a2=1aarctgxa+C\nБодолт: ∫3x2+2x+7x2+1dx=∫(3+2x+4x2+1)dx=∫3dx+∫2xx2+1dx+4∫dxx2+1=3x+∫d(x2+1)x2+1+4arctgx=3x+ln(x2+1)+4arctgx+C∫3x2+2x+7x2+1dx=∫(3+2x+4x2+1)dx=∫3dx+∫2xx2+1dx+4∫dxx2+1=3x+∫d(x2+1)x2+1+4arctgx=3x+ln⁡(x2+1)+4arctgx+C"} +{"prompt":"∫3−1|7x+2|dx∫−13|7x+2|dx нь аль тоо вэ?","completion":"Заавар: Модультай интеграл бодохдоо тодорхой интегралын\n∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\nчанарыг ашиглан модулиас салган боддог.\n\nЭнэ бодлогыг тодорхой интегралын геометр утгыг ашиглан бодож болно.\nБодолт: \nТодорхой интегралын геометр утга ёсоор бодох интеграл маань будагдсан хэсгийн талбайтай тэнцүү байна. 2 гурвалжны талбайг олж нэмбэл\nS=5⋅(−27−(−1))2+23⋅(3−(−27))2=3947S=5⋅(−27−(−1))2+23⋅(3−(−27))2=3947"} +{"prompt":"∫3−2|x−1|dx=?∫−23|x−1|dx=?","completion":"Заавар: Тодорхой интегралын геометр утга ашиглан бод.\nБодолт: \n∫3−2|x−1|dx∫−23|x−1|dx интегралын утга нь зурагт үзүүлсэн будагдсан дүрсийн талбай байна. Иймд\n∫4−1|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132∫−14|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132"} +{"prompt":"∫3√x2−23√xdx∫x23−2x3dx интеграл бод.","completion":"Заавар: α≠−1α≠−1 үед ∫xαdx=xα+1α+1+C∫xαdx=xα+1α+1+C болохыг ашигла. xmn=n√xmxmn=xmn байдаг.\nБодолт: ∫3√x2−23√xdx=∫x13dx−2∫x−13dx=∫x23−2x3dx=∫x13dx−2∫x−13dx=\n=x13+113+1−2⋅x−13+1−13+1+C=343√x4−33√x2+C=x13+113+1−2⋅x−13+1−13+1+C=34x43−3x23+C"} +{"prompt":"∫3√x−8xdx=a3√x−8−bln|3√x−8+2|+ln((3√x−8)3−c3√x−8+d)−e√3arctg3√x−8+1√3+C∫x−83xdx=ax−83−bln⁡|x−83+2|+ln⁡((x−83)3−cx−83+d)−e3arctgx−83+13+C","completion":"Заавар: t=3√x−8t=x−83, x=t3+8x=t3+8 орлуулга ашигла.\nБодолт: ∫3√x−8xdx=⎡⎢⎣t=3√x−8x=t3+8dx=3t2dt⎤⎥⎦=∫(tt3+8)3t2dt=∫3t3dtt3+8=∫(3−24t3+8)dt=3t−∫2dtt+2+∫2t−8t2−2t+4dt=3t−2ln|t+2|+∫2(t−1)−6(t−1)2+3dt=3t−2ln|t+2|+∫d[(t−1)2+3](t−1)2+3−∫6dt(t−1)2+(√3)2=3t−2ln|t+2|+ln|(t−1)2+3|−6√3arctgt−1√3+C=3t−2ln|t+2|+ln(t2−2t+4)−6√3arctgt−1√3+C=33√x−8−2ln|3√x−8+2|+ln((3√x−8)3−23√x−8+4)−6√3arctg3√x−8+1√3+C∫x−83xdx=[t=x−83x=t3+8dx=3t2dt]=∫(tt3+8)3t2dt=∫3t3dtt3+8=∫(3−24t3+8)dt=3t−∫2dtt+2+∫2t−8t2−2t+4dt=3t−2ln⁡|t+2|+∫2(t−1)−6(t−1)2+3dt=3t−2ln⁡|t+2|+∫d[(t−1)2+3](t−1)2+3−∫6dt(t−1)2+(3)2=3t−2ln⁡|t+2|+ln⁡|(t−1)2+3|−63arctgt−13+C=3t−2ln⁡|t+2|+ln⁡(t2−2t+4)−63arctgt−13+C=3x−83−2ln⁡|x−83+2|+ln⁡((x−83)3−2x−83+4)−63arctgx−83+13+C"} +{"prompt":"∫40|x−2|dx∫04|x−2|dx","completion":"Заавар: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\nашиглан модулиас гаргаж бод.\nБодолт: ∫40|x−2|dx=∫20|x−2|dx+∫42|x−2|dx=∫20−(x−2)dx+∫42(x−2)dx=−∫20(x−2)dx+∫42(x−2)dx=−(x−2)22∣∣∣20+(x−2)22∣∣∣42=−(0−2)+(2−0)=4∫04|x−2|dx=∫02|x−2|dx+∫24|x−2|dx=∫02−(x−2)dx+∫24(x−2)dx=−∫02(x−2)dx+∫24(x−2)dx=−(x−2)22|02+(x−2)22|24=−(0−2)+(2−0)=4"} +{"prompt":"∫40|−x2+5x−6|dx∫04|−x2+5x−6|dx нь аль тоо вэ?","completion":"Заавар: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\nшугаман чанар ашиглан бод.\nБодолт: Инт.=∫40|−x2+5x−6|dx==∫20|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6<0=+∫32|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6>0=+∫43|−x2+5x−6|dx=←−x2+5x−6<0=−∫20(−x2+5x−6)dx+=+∫32(−x2+5x−6)dx−=−∫43(−x2+5x−6)dx==−(−x33+5x22−6x)∣∣∣20+=+(−x33+5x22−6x)∣∣∣32−=−(−x33+5x22−6x)∣∣∣43==−(−83+10−12)+0+=+(−9+452−18)−(−83+10−12)−=−(−643+40−24)+(−9+452−18)==143+0−92+143+163−92=173=523Инт.=∫04|−x2+5x−6|dx==∫02|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6<0=+∫23|−x2+5x−6|dx+←−x2+5x−6>0=+∫34|−x2+5x−6|dx=←−x2+5x−6<0=−∫02(−x2+5x−6)dx+=+∫23(−x2+5x−6)dx−=−∫34(−x2+5x−6)dx==−(−x33+5x22−6x)|02+=+(−x33+5x22−6x)|23−=−(−x33+5x22−6x)|34==−(−83+10−12)+0+=+(−9+452−18)−(−83+10−12)−=−(−643+40−24)+(−9+452−18)==143+0−92+143+163−92=173=523"} +{"prompt":"∫40√16−x2dx интегралыг бод.","completion":"Заавар: Энэ интегралаар илэрхийлэгдэх дүрсийн талбай нь 4 радиустай дугуйн 14 хэсэг байна.\nБодолт: 4 радиустай дугуйн талбай нь 42π=16π, үүний 14 нь 4π байна."} +{"prompt":"∫4−1|x−2|dx=?∫−14|x−2|dx=?","completion":"Заавар: Тодорхой интегралын геометр утга ашиглан бод.\nБодолт: \n∫4−1|x−2|dx∫−14|x−2|dx интегралын утга нь зурагт үзүүлсэн будагдсан дүрсийн талбай байна. Иймд\n∫4−1|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132∫−14|x−2|dx=3⋅32+2⋅22=132"} +{"prompt":"∫5x(x−1)3dx=?∫5x(x−1)3dx=?","completion":"Заавар: 5x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−15x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−1\nбайх AA, BB, CC тоонуудыг ол.\nБодолт: 5x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−15x(x−1)3=A(x−1)3+B(x−1)2+Cx−1 бол\nA+B(x−1)+C(x−1)2=5xA+B(x−1)+C(x−1)2=5x\nбуюу\nCx3+(B−2C)x2+A−B+C=5xCx3+(B−2C)x2+A−B+C=5x\nтул \n⎧⎪⎨⎪⎩C=0B−2C=5A−B+C=0⇒⎧⎪⎨⎪⎩A=5B=5C=0{C=0B−2C=5A−B+C=0⇒{A=5B=5C=0\nИймд\nИнт.=∫5x(x−1)3=∫(5(x−1)3+5(x−1)2)dx=5∫dx(x−1)3+5∫dx(x−1)2=5⋅(x−1)−2−2−5x−1+C=−52(x−1)2−5x−1+CИнт.=∫5x(x−1)3=∫(5(x−1)3+5(x−1)2)dx=5∫dx(x−1)3+5∫dx(x−1)2=5⋅(x−1)−2−2−5x−1+C=−52(x−1)2−5x−1+C"} +{"prompt":"∫5−2|x2−4x+3|dx∫−25|x2−4x+3|dx","completion":"Заавар: a