{"question": "假设有一段DNA序列，其中CG含量为45%，且有2/3的胞嘧啶以5mc的形式存在。假设没有其他核苷酸被甲基化，且环境中不存在主动去甲基化酶，那么经过3次DNA复制后，含有5mc的DNA占全部DNA的比例是多少？", "answer_ideas": ["原始dna中两条链都有5mc，因此经过3次复制，得到8个dna双链后共有2个dna双链包含初始的dna单链。由于环境中不存在主动去甲基酶，所以不存在5mc变回无甲基化胞嘧啶的情况。最终比例应为2/8=0.25"], "refined_standard_answer": ["0.25"], "sub_subject_name": "Molecular Biology and Biotechnology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "背景：基于核苷酸的第二信使在所有细胞生命中发挥着关键信号传递作用，包括对多种细胞内外刺激的响应、基本代谢适应的调节以及病原体的免疫应答等。过去七十余年的研究已建立了基于环（寡聚）核苷酸分子的经典信号传递网络。\n已知某系统编码腺苷脱氨酶（KomA）、HAM1样非典型嘌呤NTP焦磷酸酶（KomB）和含SIR2样结构域的蛋白（KomC），请根据已知基因操纵子判断该系统的大肠杆菌对噬菌体的免疫阻断机制（数字代表需填入的专有名词）：\nKomA与噬菌体DNK协同作用，通过腺苷脱氨及核苷酸磷酸化两步催化反应，将（1）转化为脱氧肌苷二磷酸（dIDP）；该中间产物经宿主（2）生成脱氧肌苷三磷酸（dITP）。dITP作为信号分子，通过特异性结合KomB-KomC效应复合体中的（3），诱导KomC构象变化从而激活其（4）降解活性，最终导致细胞（4）耗竭和代谢网络崩溃，实现对噬菌体复制的有效阻断。\n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["dAMP前体", "核苷二磷酸激酶（NDK）", "KomB亚基", "NAD⁺"], "sub_subject_name": "Molecular Biology and Biotechnology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "背景：内源性逆转录病毒（Endogenous Retrovirus，ERV）是数百万年前远古逆转录病毒入侵整合到人类基因组的遗迹——“古病毒化石”。在漫长的岁月中，大量 ERV 的遗传信息被人类细胞俘获，并经过突变、缺失等变异成为人类基因组中的“暗物质”潜伏下来，占据了人类基因组序列的 8% 左右。这些在人类基因组中潜伏的 ERV 通常是沉默的，但在某些情况下，它们中的一些可会被重新激活并产生病毒蛋白。\n1.实际上，有些内源性逆转录病毒是可以被转录和翻译的。许多癌症中都已证实了存在 ERV 的表达，这可能至少在一定程度上反映了癌细胞特有的全基因组的什么？\n2. 研究人员发现，在使用allo-SCT疗法的ccRCC 患者体内，鉴定出了循环系统的供体来源的 T 细胞，它们能与患者肿瘤细胞上由ERVE-4来源的什么发生反应，并且在体外能特异性地杀死这些肿瘤细胞。他们随后证明，ERVE-4 受什么调控，这或许可以解释其在 ccRCC 中的上调现象。\n", "answer_ideas": ["", ""], "refined_standard_answer": ["DNA低甲基化", "HLA-A*11 结合肽（ATFLGSLTWK）； HIF2"], "sub_subject_name": "Molecular Biology and Biotechnology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "假设环境中存在总量为N的DNA，有30%的胞嘧啶以5mC的形式存在。全序列上存在一个CGCGCG位点、一个AATT位点和一个CCGG位点。往环境中加入Dnmt1、Dnmt3和其他必要的合成原料，让DNA进行扩增，扩增2次后再使用Hpa II和Msp I进行充分酶切。请问最终得到的粘性末端数量为？", "answer_ideas": ["Msp I的酶切无关胞嘧啶是否被甲基化，且仅识别CCGG位点；Hpa II的识别位点也是CCGG，但不切割5mC。扩增两次后得到总量为4N的DNA，每1个CCGG位点经过Msp I酶切得到2个粘性末端，因此最终共有8N个粘性末端。"], "refined_standard_answer": ["8N"], "sub_subject_name": "Molecular Biology and Biotechnology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "试求将$\\{z:0<\\text{Re}(z)<\\pi\\}\\setminus[0,\\frac{2\\pi}{3}]$映成单位圆$\\mathbb{D}$的共形映射,将$(2\\arctan 2,0)$映射到原点。", "answer_ideas": ["首先通过\\(z_1 = e^{iz}\\)将\\(\\Omega\\)映成\\(\\Omega' = \\mathbb{H} \\setminus \\{z_1:|z_1|=1,0\\leqslant \\text{Arg}(z_1)\\leqslant \\frac{2\\pi}{3}\\}\\)，为了将圆周转化为直线段，作映射\\(z_2=\\frac{z_1 - 1}{z_1+1}\\)：\\(\\Omega'\\to\\Omega''=\\mathbb{H} \\setminus [0,\\sqrt{3}i]\\)。\n    这是用到了：\n    \\[\n    \\frac{e^{i\\theta}-1}{e^{i\\theta}+1}=\\frac{e^{\\frac{i\\theta}{2}}-e^{-\\frac{i\\theta}{2}}}{e^{\\frac{i\\theta}{2}}+e^{-\\frac{i\\theta}{2}}}=i\\tan\\frac{\\theta}{2}\n    \\]\n    即$z_2=i\\tan z$。接下来，利用\\(z_3=(z_2)^2+3\\)：\\(\\Omega''\\to\\mathbb{C}\\setminus[0,+\\infty)\\)。\n    取\\(z_4 = \\sqrt{z_3}\\)：\\(\\mathbb{C}\\setminus[0,+\\infty)\\to\\text{Im}(z_4)>0\\)（这里单值支选择满足\\(\\text{Arg}(z_4)\\in(0,\\pi)\\)这一支）。\n    注意到此时$2\\arctan 2$的像为$i$，最后\\(w = e^{i\\beta}\\frac{z_4 - i}{z_4+i}\\)（\\(\\beta\\in\\mathbb{R},(z_4)>0\\)）：\\(\\text{Im}(z_4)>0\\to\\text{Im}(w)>0\\)。\n    将上述五个映射复合，即得所求双射共形映射$\\omega =e^{i\\beta}\\frac{\\sqrt{3-\\tan^2 \\frac{z}{2}}-i}{\\sqrt{3-\\tan^2 \\frac{z}{2}}+i},(\\beta\\in\\mathbb{R})$。"], "refined_standard_answer": ["$\\omega =e^{i\\beta}\\frac{\\sqrt{3-\\tan^2 \\frac{z}{2}}-i}{\\sqrt{3-\\tan^2 \\frac{z}{2}}+i},(\\beta\\in\\mathbb{R})$"], "sub_subject_name": "Mathematical Analysis", "subject_name": "Math"}
{"question": "在某平地上向下挖一个坑，坑分为上下两部分，上半部分是底面半径与高度均为 $a$ 圆柱形，下半部分是半径为 $a$ 的半球．若某点泥土的密度为 $\\mu=\\rho^2 / a^2$ ，其中 $\\rho$ 为此点离坑中心轴的距离，求挖此坑需做的功．", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["\\frac{3}{5} \\pi a^4"], "sub_subject_name": "Mathematical Analysis", "subject_name": "Math"}
{"question": "Let \\(\\alpha\\) be a real number. Evaluate \\[ \\int_{0}^{\\infty} \\frac{(\\ln x)^2 \\arctan(x)}{1 - 2(\\cos \\alpha)x + x^2} \\, dx. \\]", "answer_ideas": ["\nLet \\( I(\\alpha) \\) denote the requested integral. We show that \\( I(0) = \\frac{\\pi^3}{6} \\), \\( I(\\pi) = \\frac{\\pi^3}{12} \\), and for \\( 0 < \\alpha < \\pi \\),\n\n\\[\nI(\\alpha) = \\frac{\\pi \\alpha (\\pi - \\alpha)(2\\pi - \\alpha)}{12 \\sin \\alpha}.\n\\]\n\nFor other values of \\(\\alpha\\), we have \\( I(\\alpha) = I(\\beta) \\), where \\(\\beta = \\arccos(\\cos \\alpha) \\in [0, \\pi]\\).\n\nWe begin by rewriting the integral as\n\n\\[\nI(\\alpha) = \\int_{0}^{1} \\frac{(\\ln x)^2 \\arctan(x)}{1 - 2(\\cos \\alpha)x + x^2} \\, dx + \\int_{1}^{\\infty} \\frac{(\\ln x)^2 \\arctan(x)}{1 - 2(\\cos \\alpha)x + x^2} \\, dx.\n\\]\n\nApplying the substitution \\( x \\mapsto 1/x \\) in the second integral and then using the identity \\(\\arctan(x) + \\arctan(1/x) = \\pi/2\\), we obtain\n\n\\[\nI(\\alpha) = \\frac{\\pi}{2} \\int_{0}^{1} \\frac{(\\ln x)^2}{1 - 2(\\cos \\alpha)x + x^2} \\, dx. \\tag{1}\n\\]\n\nFor \\(0 \\leq x < 1\\), we have\n\n\\[\n\\sum_{n=0}^{\\infty} e^{in\\alpha} x^n = \\sum_{n=0}^{\\infty} (xe^{i\\alpha})^n = \\frac{1}{1 - xe^{i\\alpha}} = \\frac{1 - x \\cos \\alpha + i \\frac{x \\sin \\alpha}{1 - 2(\\cos \\alpha)x + x^2}}.\n\\]\n\nEquating the imaginary parts yields\n\n\\[\n\\sum_{n=1}^{\\infty} \\sin(n\\alpha)x^n = \\frac{x \\sin \\alpha}{1 - 2(\\cos \\alpha)x + x^2}.\n\\]\n\nHence, for \\(0 < \\alpha < \\pi\\),\n\n\\[\nI(\\alpha) = \\frac{\\pi}{2 \\sin \\alpha} \\int_{0}^{1} (\\ln x)^2 \\sum_{n=1}^{\\infty} \\sin(n\\alpha)x^{n-1} \\, dx. \\tag{2}\n\\]\n\nFor any positive integer \\(N\\), we have\n\n\\[\n\\sum_{n=1}^{N} \\sin(n\\alpha)x^{n-1} \\leq \\sum_{n=1}^{N} x^{n-1} \\leq \\sum_{n=1}^{\\infty} x^{n-1} = \\frac{1}{1-x},\n\\]\n\nand \\(\\int_{0}^{1} (\\ln x)^2/(1-x) \\, dx < \\infty\\). Therefore, by the dominated convergence theorem, we may reverse the order of the integration and summation in (2) to get\n\n\\[\nI(\\alpha) = \\frac{\\pi}{2 \\sin \\alpha} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\sin(n\\alpha) \\int_{0}^{1} (\\ln x)^2 x^{n-1} \\, dx = \\frac{\\pi}{\\sin \\alpha} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\sin(n\\alpha)}{n^3},\n\\]\n\nwhere in the last step we have used integration by parts twice to evaluate the integral.\n\nWe now use the well-known Fourier series\n\n\\[\n\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\sin(n\\alpha)}{n^3} = \\frac{\\alpha(\\pi-\\alpha)(2\\pi-\\alpha)}{12}\n\\]\n\n(see equation 1.443.5 in I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik (2007), \\textit{Table of Integrals, Series, and Products}, 7th ed., Amsterdam: Elsevier) to obtain\n\n\\[\nI(\\alpha) = \\frac{\\pi \\alpha (\\pi - \\alpha)(2\\pi - \\alpha)}{12 \\sin \\alpha},\n\\]\n\nas claimed.\n\nFinally, by another application of the dominated convergence theorem, we have\n\n\\[\nI(0) = \\frac{\\pi}{2} \\lim_{\\alpha \\to 0^+} \\int_{0}^{1} \\frac{(\\ln x)^2}{1 - 2(\\cos \\alpha)x + x^2} \\, dx = \\lim_{\\alpha \\to 0^+} \\frac{\\pi \\alpha (\\pi - \\alpha)(2\\pi - \\alpha)}{12 \\sin \\alpha} = \\frac{\\pi^3}{6},\n\\]\n\nand a similar calculation shows that \\( I(\\pi) = \\frac{\\pi^3}{12} \\).\n"], "refined_standard_answer": ["\\frac{\\pi \\alpha (\\pi - \\alpha)(2\\pi - \\alpha)}{12 \\sin \\alpha}"], "sub_subject_name": "Mathematical Analysis", "subject_name": "Math"}
{"question": "Evaluate \\[ \\int_{0}^{\\infty} \\frac{\\ln(\\cos^2 x) \\sin^3 x}{x^3 \\left(1 + 2 \\cos^2 x\\right)} \\, dx. \\] \\end{document}", "answer_ideas": ["\\[\nI = -\\frac{\\pi}{4} \\left( \\ln 2 + \\frac{\\ln(1 + \\sqrt{3})}{\\sqrt{3}} \\right).\n\\]\n\n我们有\n\\[\nI = \\frac{1}{2} \\int_{-\\infty}^\\infty \\frac{\\ln(\\cos^2 x) \\sin^3 x}{x^3 (1 + 2 \\cos^2 x)} \\, dx = \\frac{1}{2} \\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\int_{k\\pi}^{(k+1)\\pi} \\frac{\\ln(\\cos^2 x) \\sin^3 x}{x^3 (1 + 2 \\cos^2 x)} \\, dx.\n\\]\n\n通过分解积分区间，我们得到\n\\[\nI = \\frac{1}{2} \\int_0^\\pi \\left( \\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\frac{(-1)^k}{(x + k\\pi)^3} \\right) \\frac{\\ln(\\cos^2 x) \\sin^3 x}{1 + 2 \\cos^2 x} \\, dx.\n\\]\n\n利用公式\n\\[\n\\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\frac{(-1)^k}{x + k\\pi} = \\frac{1}{\\sin x},\n\\]\n并对其两次微分，我们得到\n\\[\n\\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\frac{(-1)^k}{(x + k\\pi)^3} = \\frac{1 + \\cos^2 x}{2 \\sin^3 x}.\n\\]\n\n因此，积分化为\n\\[\nI = \\frac{1}{4} \\int_0^\\pi \\frac{(1 + \\cos^2 x) \\ln(\\cos^2 x)}{1 + 2 \\cos^2 x} \\, dx.\n\\]\n\n分解为两个积分：\n\\[\nI = \\frac{1}{2} \\int_0^{\\pi/2} \\ln(\\cos x) \\, dx + \\frac{1}{2} \\int_0^{\\pi/2} \\frac{\\ln(\\cos x)}{1 + 2 \\cos^2 x} \\, dx.\n\\]\n\n这两个积分是 Gradshteyn 和 Ryzhik 中公式 4.385.3 的特例：\n\\[\n\\int_0^{\\pi/2} \\frac{\\ln(\\cos x)}{b^2 \\sin^2 x + a^2 \\cos^2 x} \\, dx = \\frac{\\pi}{2ab} \\ln\\left(\\frac{b}{a + b}\\right), \\quad a, b > 0.\n\\]\n\n将 $b = 1$ 且 $a = 1$ 和 $a = \\sqrt{3}$ 代入，得到最终结果：\n\\[\nI = -\\frac{\\pi}{4} \\left( \\ln 2 + \\frac{\\ln(1 + \\sqrt{3})}{\\sqrt{3}} \\right).\n\\]\n"], "refined_standard_answer": ["-\\frac{\\pi}{4} \\left( \\ln 2 + \\frac{\\ln(1 + \\sqrt{3})}{\\sqrt{3}} \\right)"], "sub_subject_name": "Mathematical Analysis", "subject_name": "Math"}
{"question": "$\\forall p\\in \\mathbb{R}$，讨论积分$\\iint_{x+y\\ge 1}\\frac{\\sin x\\sin y}{(x+y)^p}\\rmd x \\rmd y$的收敛性。", "answer_ideas": ["做变量代换，设$u=x+y$，$v=x-y$，$\\Omega=\\{(u,v)|u\\ge 1,v\\in \\bbR\\}$。则\n$$\n\\iint_{x+y\\ge 1}\\frac{\\sin x\\sin y}{(x+y)^p}\\rmd x \\rmd y=\\iint_{x+y\\ge 1} \\frac{\\cos (x-y)-\\cos (x+y)}{2(x+y)^p}\\rmd x\\rmd y=\\iint_{\\Omega}\\frac{\\cos v-\\cos u}{4u^p}\\rmd u\\rmd v\n$$\n问题转化为判断$I=\\iint_{\\Omega}\\frac{\\cos v-\\cos u}{u^p}\\rmd u\\rmd v$的收敛性。\n\n\\paragraph{Case1} $p=0$。显然此时$I$不收敛。\n\n\\paragraph{Case2} $p<0$。此时$\\forall n\\in \\bbN$，\n$$\n\\iint_{[(2n+\\frac{2}{3})\\pi,(2n+1)\\pi]\\times [2n\\pi,(2n+\\frac{1}{3})\\pi]} \\frac{|\\cos v-\\cos u|}{u^p}\\rmd u\\rmd v\\ge ((2n+\\frac{2}{3})\\pi)^{-p}\\cdot (\\frac{\\pi}{3})^2\\to +\\infty(n\\to +\\infty)\n$$\n故$I$不收敛。\n\n\\paragraph{Case3} $p>0$。此时$\\forall n\\in \\bbN$，\n$$\n\\iint_{[\\frac{2}{3}\\pi,\\pi]\\times [2n\\pi,(2n+\\frac{1}{3})\\pi]} \\frac{\\cos v-\\cos u}{u^p}\\rmd u\\rmd v\\ge \\frac{\\pi}{3}\\int_{\\frac{2}{3}\\pi}^{\\pi} \\frac{1}{u^p}\\rmd u\n$$\n故$I$不收敛。\n\n综合三种情况得：$\\forall p\\in \\bbR$，原积分均发散。"], "refined_standard_answer": ["$\\forall p\\in \\bbR$，原积分均发散"], "sub_subject_name": "Mathematical Analysis", "subject_name": "Math"}
{"question": "正实数 $k_1, k_2, k_3$ 满足 $k_12\\end{array}, g(x)=\\left\\{\\begin{array}{l}k_1 x, 0 \\leq x \\leq 1 \\\\ k_2 x-\\frac{c_1}{12}, 12\\end{array}\\right.\\right.$ ，试问，当 $k_1, k_2, k_3$ 满足什么条件时，存在 $A>0$ 使得定义在 $[0, A]$ 上的函数 $g(x)+f(A-x)$ 恰在两点处达到最小值？", "answer_ideas": ["\n【详解】令 $H(x)=g(x)+f(A-x), H^{-}(x), ~ H^{+}(x)$ 分别表示变量 $x$ 代入其左右两边解析式得到的函数值，\n\n由题意 $c_1>0, c_2=c_1+2\\left(k_3-k_2\\right)=2 k_3-k_2-k_1$ ，\n对 $A$ 的取值分类讨论：\n（1）当 $0<A \\leq 1$ 时，因为 $x \\in[0, A] \\subseteq[0,1]$ ，则 $A-x \\in[0, A] \\subseteq[0,1]$ ，\n所以 $g(x)+f(A-x)=k_1 x+k_1(A-x)=k_1 A, 0 \\leq x \\leq A$ ，\n\n故此时 $g(x)+f(A-x)$ 最小值点有无穷多个，不符合，舍去；\n（2）当 $1<A \\leq 2$ 时，因为 $x \\in[0, A] \\subseteq[0,2]$ ，则 $A-x \\in[0, A] \\subseteq[0,2]$ ，\n\n若 $x \\in[0, A-1) \\subseteq[0,1]$ ，则 $A-x \\in(1, A] \\subseteq(1,2]$ ，\n\n故此时 $g(x)+f(A-x)=k_1 x+k_2(A-x)-c_1=\\left(k_1-k_2\\right) x+k_2 A-c_1, 0 \\leq x<A-1$ ；\n\n若 $x \\in[A-1,1] \\subseteq[0,1]$ ，则 $A-x \\in[A-1,1] \\subseteq[0,1]$ ，\n\n故此时 $g(x)+f(A-x)=k_1 x+k_1(A-x)=k_1 A, A-1 \\leq x \\leq 1$ ；\n\n若 $x \\in(1, A] \\subseteq(1,2]$ ，则 $A-x \\in[0, A-1) \\subseteq[0,1]$ ，\n故此时 $g(x)+f(A-x)=k_2 x-\\frac{c_1}{12}+k_1(A-x)=\\left(k_2-k_1\\right) x+k_1 A-\\frac{c_1}{12}, 1<x \\leq A$ ；\n$g(x)+f(A-x)=\\left\\{\\begin{array}{l}\\left(k_1-k_2\\right) x+k_2 A-c_1, 0 \\leq x<A-1 \\\\ k_1 A, A-1 \\leq x \\leq 1 \\\\ \\left(k_2-k_1\\right) x+k_1 A-\\frac{c_1}{12}, 1<x \\leq A\\end{array}\\right.$,\n又 $k_1<k_2<k_3$ ，故 $k_1-k_2<0, k_2-k_1>0$ ，\n\n故 $g(x)+f(A-x)$ 在 $[0, A-1)$ 上单调递减，在 $[A-1,1]$ 上恒为 $k_1 A$ ，在 $(1, A]$ 上单调递增，\n\n又 $H^{-}(A-1)=\\left(k_1-k_2\\right)(A-1)+k_2 A-c_1=\\left(k_1-k_2\\right) A-\\left(k_1-k_2\\right)+k_2 A-c_1=k_1 A=H(A-1)$ ；\n$$\nH^{+}(1)=\\left(k_2-k_1\\right) \\times 1+k_1 A-\\frac{c_1}{12}=k_1 A+\\frac{11 c_1}{12}>k_1 A=H(1),\n$$\n\n\n所以此时 $g(x)+f(A-x)$ 最小值点唯一或有无穷多个，不符合，舍去；\n（3）当 $2<A \\leq 3$ 时，同理可得\n\n$$\ng(x)+f(A-x)=\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\left(k_1-k_3\\right) x+k_3 A-c_2, 0 \\leq x<A-2 \\\\\n\\left(k_1-k_2\\right) x+k_2 A-c_1, A-2 \\leq x \\leq 1 \\\\\nk_2 A-\\frac{13 c_1}{12}, 1<x<A-1 \\\\\n\\left(k_2-k_1\\right) x+k_1 A-\\frac{c_1}{12}, A-1 \\leq x \\leq 2 \\\\\n\\left(k_3-k_1\\right) x+k_1 A-\\frac{c_2}{12}, 2<x \\leq A\n\\end{array}\\right.\n$$\n\n\n又 $k_1<k_2<k_3$ ，故 $k_1-k_3<0, k_1-k_2<0, k_2-k_1>0, k_3-k_1>0$ ，\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\text { 且 } H^{-}(A-2)=\\left(k_1-k_3\\right)(A-2)+k_3 A-c_2=k_1 A+k_2-k_1=k_1 A+c_1 ; \\\\\n& H^{+}(A-2)=\\left(k_1-k_2\\right)(A-2)+k_2 A-c_1=k_1 A+2\\left(k_2-k_1\\right)-c_1=k_1 A+c_1=H^{-}(A-2) ; \\\\\n& H(1)=\\left(k_1-k_2\\right) \\times 1+k_2 A-c_1=k_2 A-2 c_1<k_2 A-\\frac{13 c_1}{12}=H^{+}(1), \\\\\n& H(A-1)=\\left(k_2-k_1\\right)(A-1)+k_1 A-\\frac{c_1}{12}=k_2 A-\\frac{13 c_1}{12}=H^{-}(A-1), \\\\\n& H(2)=\\left(k_2-k_1\\right) \\times 2+k_1 A-\\frac{c_1}{12}=k_1 A+\\frac{23 c_1}{12} ; \\\\\n& H^{+}(2)=\\left(k_3-k_1\\right) \\times 2+k_1 A-\\frac{c_2}{12}=k_1 A+\\frac{11}{6} k_3+\\frac{1}{12} k_2-\\frac{23}{12} k_1, \\\\\n& H(2)-H^{+}(2)=k_1 A+\\frac{23 c_1}{12}-\\left(k_1 A+\\frac{11}{6} k_3+\\frac{1}{12} k_2-\\frac{23}{12} k_1\\right)=\\frac{11}{6}\\left(k_2-k_3\\right)<0, \\text { 即 } H(2)<H^{+}(2),\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n所以 $g(x)+f(A-x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，在 $(1, A-1)$ 上恒为 $k_2 A-\\frac{13 c_1}{12}$ ，在 $[A-1, A]$ 上单调递增，且 $H(x)_{\\min }=H(1)$ ，\n\n故此时 $g(x)+f(A-x)$ 最小值点唯一，不符合，舍去；\n（4）当 $3<A \\leq 4$ 时，同理可得\n$$\ng(x)+f(A-x)=\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\left(k_1-k_3\\right) x+k_3 A-c_2, 0 \\leq x \\leq 1 \\\\\n\\left(k_2-k_3\\right) x+k_3 A-c_2-\\frac{c_1}{12}, 1<x<A-2 \\\\\nk_2 A-\\frac{13 c_1}{12}, A-2 \\leq x \\leq 2 \\\\\n\\left(k_3-k_2\\right) x+k_2 A-\\frac{c_2}{12}-c_1, 2<x<A-1 \\\\\n\\left(k_3-k_1\\right) x+k_1 A-\\frac{c_2}{12}, A-1 \\leq x \\leq A\n\\end{array}\\right.\n$$\n\n\n"], "refined_standard_answer": ["$k_3=\\frac{23}{12} k_2-\\frac{11}{12} k_1$"], "sub_subject_name": "Mathematical Analysis", "subject_name": "Math"}
{"question": "正整数$m$使得方程$$\\sqrt[3]{2x+19} + \\sqrt[3]{2x-19} = \\sqrt[3]m$$的关于$x$有实数解，且所有实数解的最简形式不含有二次根号。求$m$所有可行值的和。", "answer_ideas": ["利用三次方程求根公式讨论。不含二次根号有两种情况，相加为\n(0+57+357+720+1443)+(2+38+250)=2867\n"], "refined_standard_answer": ["2867"], "sub_subject_name": "Mathematical Analysis", "subject_name": "Math"}
{"question": "有原子 A 与原子 B 之间发生的基元反应： \\mathrm{A}+\\mathrm{B} \\rightarrow \\mathrm{P} 。已知原子 \\mathrm{A} 、 \\mathrm{~B} 的直径分别为 d_{\\mathrm{A}} 、 d_{\\mathrm{B}} ，质量分别为 m_{\\mathrm{A}} 、 m_{\\mathrm{B}} 。 ，已知单位体积的平动配分函数 f_{\\mathrm{t}}=\\left(\\frac{2 \\pi m k_{\\mathrm{B}} T}{h^{2}}\\right)^{3 / 2} ，转动配分函数 f_{\\mathrm{r}}=\\frac{8 \\pi^{2} I k_{\\mathrm{B}} T}{\\sigma^{2}} （其中转动惯量 I=\\mu r^{2} ），并假设原子 \\mathrm{A} 、 \\mathrm{~B} 及过渡态的电子配分函数 f_{\\mathrm{e}} 均为 1 ，令活化络合物的原子间距为 r_{\\neq 0} ，根据双分子反应的过渡态理论速率常数表达式，给出上述基元反应以摩尔为单位的速率常数 k_{2}", "answer_ideas": ["根据双分子反应的过渡态理论速率常数表达式，有\n\nk_{2}=\\frac{k_{\\mathrm{B}} T}{h} \\frac{f^{*}}{f_{\\mathrm{A}} f_{\\mathrm{B}}} \\mathrm{e}^{-E_{0} / R T}\n\n =\\frac{k_{\\mathrm{B}} T}{h} \\frac{\\left(\\frac{2 \\pi\\left(m_{\\mathrm{A}}+m_{\\mathrm{B}}\\right) k_{\\mathrm{B}} T}{h^{2}}\\right)^{3 / 2}}{\\left(\\frac{2 \\pi m_{\\mathrm{A}} k_{\\mathrm{B}} T}{h^{2}}\\right)^{3 / 2}\\left(\\frac{2 \\pi m_{\\mathrm{B}} k_{\\mathrm{B}} T}{h^{2}}\\right)^{3 / 2}} \\cdot \\frac{8 \\pi \\frac{m_{\\mathrm{A}} m_{\\mathrm{B}}}{m_{\\mathrm{A}}+m_{\\mathrm{B}}} \\cdot r_{\\neq}^{2} k_{\\mathrm{B}} T}{h^{2}} \\mathrm{e}^{-E_{0} / R T} （线型双原子分子只有一个振动自由度，\n已用于活化络合物的解离）\n\n\\begin{array}{l}\n=\\left(k_{\\mathrm{B}} T\\right)^{1 / 2}(8 \\pi)^{1 / 2}\\left(\\frac{m_{\\mathrm{A}}+m_{\\mathrm{B}}}{m_{\\mathrm{A}} m_{\\mathrm{B}}}\\right)^{1 / 2} \\cdot r_{\\nRightarrow}^{2} \\mathrm{e}^{-E_{0} / R T} \\\\\n=\\pi r_{\\neq}^{2}\\left(\\frac{8 k_{\\mathrm{B}} T}{\\pi \\mu}\\right)^{1 / 2} \\cdot \\mathrm{e}^{-E_{0} / R T} \\quad(\\mu \\text { 的单位为质量/分子 })\n\\end{array}\n\n\n以摩尔为单位，则  k_{2}=\\pi r_{*}^{2}\\left(\\frac{8 k_{\\mathrm{B}} T}{\\pi \\mu}\\right)^{1 / 2} N \\cdot \\mathrm{e}^{-E_{0} / R T} "], "refined_standard_answer": ["k_{2} = N_{\\mathrm{A}} \\pi r_{\\neq 0}^{2} \\left( \\frac{8 k_{\\mathrm{B}} T}{\\pi \\mu} \\right)^{1/2} e^{-E_{0}/RT}"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "H2O→ H+ + OH- ，从 15℃- 25℃的弛豫时间 τ =37μs ，25℃的 Kw =1.0x10-14mol2dm-6 ; 水的浓度为 55.5 mol·dm-3 ，求反应速率常数 k+ 和 k-，保留一位小数", "answer_ideas": ["Xe2 = [OH-]·[H+] = Kw = 1.0x10-14 mol2dm-6  \nXe = Kw1/2 = 1.0x10-7 mol · dm-3  \nK = k+/k- = [OH-]·[H+] /[H2O] = 1.0x10-14 mol2dm-6 / 55.5 mol·dm-3  \n= 1.8 x10-16 mol · dm-3  \nk+ = k- · 1.8 x10-16 mol · dm-3  \nτ-1 = k+ + 2k- Xe =[k- · 1.8 x10-16  + 2 k-·1.0x10-7 ]mol · dm-3 =[37 x10-6 s]-1 \nk- = [37 x10-6 s]-1/ 2·1.0x10-7 mol · dm-3 = 1.4 x10^11 dm3 s-1 mol -1  \nk+ = k- · 1.8 x10-16 mol · dm-3 = 2.4 x10-5  s-1"], "refined_standard_answer": ["k_{+} = 2.4 \\times 10^{-5} s^{-1}", "k_{-} = 1.4 \\times 10^{11} dm^{3} \\cdot s^{-1} \\cdot mol^{-1}"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": " In a reaction of gaseous A to product solid B, A(g) → B(s). Using a catalyst, the rate is increased by 50% when doubling the pressure of A. The apparent reaction order of A is _______. The rate is also increased by 50% when increasing the temperature from 200 °C to 205 °C. The activation energy is _______ when using Arrhenius formalism; the activation energy is_______when using collision theory; the activation enthalpy is _______when using transition state theory.", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["0.58", "152.4", "150.46", "148.48"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "已知CH2F2中，∠HCH为112°，计算∠FCF，保留整数", "answer_ideas": ["分子中两个C-H键相同，夹角cos \\theta =-\\frac{\\alpha }{1-\\alpha } ，将\\theta =112°带入，解的\\alpha =0.2725，于是C-F键轨道s轨道成分为（1-2\\times 0.2725）{\\div} 2=0.2275，两个C-F夹角也满足cos \\theta =-\\frac{\\alpha }{1-\\alpha } ，讲此时的0.2275回代。解得\\theta =107°"], "refined_standard_answer": ["107°"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "298K、P°时，以 Pt为阴极，石墨为阳极，电解含 CdCl2(0.01 mol/kg)和 CuCl2(0.02 mol/kg)的水溶液，H2在Pt上超电势为0.2V，O2在石墨上超电势为0.6V，其他超电势可忽略不计。设活度系数都为 1，标准电极电势(Cd2+/Cd)=-0.402V，(Cu2+/Cu)=0.337V，(Cl2/CI)=1.36 V，(O2/H₂O)=1.229 V。试问第二种金属离子析出时，第一种金属离子的浓度", "answer_ideas": ["(Cu2+/Cu)=0.337-(RT/2F)In(1/0.02)=0.2868 V，(Cd2+/Cd)=-0.4612V,(H*/H)=-0.614 V，先析出 Cu；0.337-(RT/2F)Ina=-0.4612；\na=1.01x10-27 mol/kg"], "refined_standard_answer": ["1.01 \\times 10^{-27} \\text{ mol/kg}"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "容器内有理想气体，n = 2 mol，p = 10pᶿ，T = 300 K。求\n（1）在空气中膨胀了1 dm³，做功多少？\n（2）对抗1 pᶿ 定外压膨胀到容器内压力为1 pᶿ，做了多少功？\n（3）膨胀时外压总比气体压力小dp，问容器内气体压力降到1 pᶿ时，气体做多少功？", "answer_ideas": ["解：\n（1）在空气中膨胀，即恒定外压 pₑ = pᶿ\nW₁ = -pₑΔV = -10⁵ × 1 × 10⁻³ = -100 J\n（2）由理想气体状态方程 V₁ = nRT/p₁，V₂ = nRT/p₂，有\nΔV = V₂ - V₁ = nRT(1/p₂ - 1/p₁)\nW₂ = -pₑΔV = -10⁵ × 2 × 8.314 × 300 × (1/10⁵ - 1/10⁶) = -4504 J\n（3）该过程为定温可逆过程\nW₃ = -nRT ln(p₁/p₂) = -2 × 8.314 × 300 × ln(10⁶/10⁵) × 10⁻³ = -11.49 kJ"], "refined_standard_answer": ["-100 J", "-4504 J", "-11.49 kJ"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "A和B的混合物在300K时每一组分的含量均为13.33kPa，已知A和B的直径分别为0.3和0.4nm，300K时的平均相对速度为5*10^2m/s，反应速率常数为1.18*10^5 cm3/mol·s，活化能为40kJ/mol，求具有阈能Ec的碰撞分数和反应的方位因子", "answer_ideas": ["\n\\begin{aligned}\nE_{\\mathrm{c}} & =E_{\\mathrm{a}}-\\frac{1}{2} R T \\\\\n& =40 \\times 10^{3}-0.5 \\times 8.314 \\times 300 \\\\\n& =3.875 \\times 10^{4} \\mathrm{~J} \\cdot \\mathrm{~mol}^{-1}=38.75 \\mathrm{~kJ} \\cdot \\mathrm{~mol}^{-1}\n\\end{aligned}\n\n\n碰撞分数  q=\\mathrm{e}^{-E_{\\mathrm{c}} / R T} \n\n\\begin{array}{l}\n=\\mathrm{e}^{-3.875 \\times 10^{4} / 8.314 \\times 300} \\\\\n=1.79 \\times 10^{-7}\n\\end{array}\n\n\n反应速率  =k c^{2}=Z_{\\mathrm{AB}} q p \n\n1.18 \\times 10^{5} \\times 10^{-6} \\times(5.344)^{2}=3.31 \\times 10^{9} \\times 1.79 \\times 10^{-7} \\times p\n\n\n得方位因子  p=5.69 \\times 10^{-3} "], "refined_standard_answer": ["1.79 \\times 10^{-7}", "5.69 \\times 10^{-3}"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "以 Fe 卟啉配合物作催化剂，电化学还原 CO，通常在含 Et4NCl 的 DMF 溶液中进行，并 需要质子的辅助。此时，需要将水溶液中的还原电势 Eaq 换算成在 DMF 溶液中的还原电势 EDMF。DMIF 和水溶液中电极电势的差异来自两方面，一是两种电解质溶液接触时产生的液 接电势 EDMF/aq，EDMF/aq = 0.141 V（即 DMF 中的电势比水溶液中高 0.141 V）；二是各物种 在不同溶液中的溶剂化作用不同，相关物种从水溶液转移至 DMF 溶液中的 ΔG°如下表所 示。 物种 X H+ H2O X(aq)→X(DMF)的 ΔG° (kJ mol-1 ) 17.90 -19.3 计算 CO2(g) + 2H+ (DMF) + 2e = CO(g) + H2O(DMF) 的标准电极电势 E2°。", "answer_ideas": ["ΔrG°2 = ΔrG°1 – 2ΔrG°(H+\n) + ΔrG°(H2O) = -35.0 kJ mol-1\nE2° = -ΔrG°2/2F + 0.141 V = 0.322 V"], "refined_standard_answer": ["0.322V"], "sub_subject_name": "Physical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "推出二元氧化物(稳定物质)中含氧量最高的化合物。", "answer_ideas": ["二元氧化物是由两种元素组成的氧化物，其中一种元素是氧。要使含氧量最高，需要选择一种原子量最小的元素与氧结合。\n\n原子量最小的元素是氢(H)，因此含氧量最高的二元氧化物是过氧化氢(H₂O₂)。\n\n过氧化氢中氧的质量分数计算如下：\nH₂O₂的分子量 = 2 × 1 + 2 × 16 = 34\n氧的质量分数 = (2 × 16) / 34 × 100% ≈ 94.12%\n​\n \n​\n"], "refined_standard_answer": ["$H_2O_2$"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "ZnO水悬浊液吸收SO2。向ZnO水悬浊液中匀速缓慢通入SO2，在开始吸收的40 min内，SO2吸收率、溶液pH均经历了从几乎不变到迅速降低的变化。溶液pH几乎不变阶段，主要产物是______；SO2吸收率迅速降低阶段，主要反应的离子方程式是________________。", "answer_ideas": ["pH几乎不变阶段发生的反应为ZnO+SO2=ZnSO3，由于ZnSO3微溶于水，溶液pH变化不大，故主要产物为ZnSO3；当ZnO反应完，继续通入SO2,生成的ZnSO3与SO2反应生成Zn(HSO3)2，由于Zn(HSO3)2易溶于水，HSO3-电离使溶液显酸性，所以pH下降较快，SO2吸收率迅速降低，故离子方程式为ZnSO3+SO2+H2O=Zn2++2HSO3-。"], "refined_standard_answer": ["ZnSO_3", "ZnSO_3 + SO_2 + H_2O = Zn^{2+} + 2HSO_3^-"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "有一种由钛原子和碳原子构成的气态团簇分子，其结构类似于岩盐的单胞结构，顶角和面心由钛原子占据，棱的中心和体心由碳原子占据，写出化学式", "answer_ideas": ["气态团簇分子而非晶体，不存在周期性问题，直接计入8顶点6面心，故Ti有14个，再计入12个棱心和一个体心，C为13个"], "refined_standard_answer": ["Ti14C13"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "A 为非金属氟化物，含氟46.5%；A 分子在气相以单体形式存在，最高次对称轴为C3 轴； 在固态，A 形成四聚体或六聚体。在低温下将A 投入氟磺酸中，生成一取代产物B。试图将 B 在稍高的温度下继续与氟磺酸反应制备多取代产物，然而反应并未成功，反而产生了稳定 气体C 以及含有非极性键的极性分子D(反应1)。又试图利用B 加热分解制备多取代产物， 结果也未成功，而是生成了A、C、D(反应2)。 写出A~D 的化学式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["XeF6", "XeF5(OSO2F)", "Xe", "S2O6F2"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "砷硫铅铁矿PbFe3(AsO4)(SO4)(OH)6与矿井水中溶解的碳酸氢钙反应，转化为四种矿物： 臭葱石(FeAsO4·2H2O)，针铁矿(FeOOH)，白铅矿和生石膏。写出反应方程式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["PbFe3(AsO4)(SO4)(OH)6 + Ca(HCO3)2 + H2O = FeAsO4·2H2O + 2FeOOH + PbCO3 + CaSO4·2H2O + CO2"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "液氨中，Se 单质可以和AgCN 按11 : 6 发生反应，将Ag+完全沉淀。该反应只生成3 种含Se 物质，其中一种产物中存在S4 轴。写出化学反应方程式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["22Se + 12AgCN + 16NH3 = 6Ag2Se + Se4N4 + 12NH4SeCN"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "M 是一种在地壳中分布分散的金属元素。将M 的单质在纯氧中于730°C 加热，可生成A， A 是两性氧化物。向A 的酸性溶液中通入H2S 气体，可制得白色沉淀B；向A 的酸性溶液 中逐渐滴加NaBH4 水溶液，可制得C；C 在室温下为气态，因具有溶血作用而有毒。C 溶 于液氨生成D，使所得的溶液具有一定的导电性。将A 加热至红热并通入COCl2 气流，得 到无色液体E；E 与H2 在石英管中共热可得到F。F 与过量的碳酸钠溶液反应，唯一固体产 物为黄色沉淀G，同时无气体生成。在惰性气氛下，F 与一些有机物能发生反应；如F 与蒽 反应(摩尔比1:1)得到H；F 与乙炔反应(摩尔比2:1)得到I。 写出A ~ G 的化学式(C、E、F 都是四面体分子)。", "answer_ideas": ["无\n"], "refined_standard_answer": ["GeO2", "GeS2", "GeH4", "NH4GeH3", "GeCl4", "HGeCl3", "Ge(OH)2"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "在无氧条件下，含Cu2+的溶液可作为氧化剂与黄铁矿反应。写出化学反应方程式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["14Cu^{2+} + 5FeS_2 + 12H_2O \\rightarrow 3SO_4^{2-} + 7Cu_2S + 5Fe^{2+} + 24H^{+}"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "在N2保护和搅拌下，向100 mL 0.40 mol L⁻¹的浅绿色FeSO₄溶液中加入40 mL 0.80 mol L⁻¹的NaOH溶液，得到Fe(OH)₂沉淀，保持通N₂升温至40℃，将气体切换为空气。随着空气通入，悬浊体系由浅绿色变深，形成蓝绿色沉淀A（反应1），继续通入空气，沉淀颜色变化，最后转化为黄色固体B（反应2）。此时若停止通空气，向体系中补充适量NaOH并调控温度，B可以进一步与体系中的物种反应再变为A（反应3），也可转化为黑色磁性物质C（反应4）。B在150℃彻底脱水形成砖红色氧化物D，失重10.0%。\nA是一种名为GR-II（Green Rust，绿锈，简称GR）的物质，其结构可从Fe(OH)₂结构演变得到。Fe(OH)₂为层状结构，层板由两层采取密堆积排布的OH⁻构成，Fe²⁺占据层板中密堆积形成的所有八面体空隙，层间通过氢键连接。若层板中部分Fe(II)被氧化为Fe(III)，会导致其带正电荷，因而需在层间引入阴离子平衡电荷，同时也带入水分子，形成绿锈。晶体衍射和谱学表征显示，GR-II中Fe(II)和Fe(III)的原子比为2:1。\n根据上文回答下面问题：\n5-1 写出A的化学式。（对A要求：价态不同的铁分开写并注明氧化数；此处可忽略层间水分子）。\n5-2 写出反应1到反应4的离子方程式。（提示：注意起始加入反应物的计量关系，确定反应体系的组成。）\n5-3 有研究者通过差热分析确定GR-II结构中层间水分子的数目。结果显示，在80-140℃之间出现一个热效应为420 J g⁻¹的吸热峰，对应于水分子的脱去。在此范围水的蒸发焓为40.1 kJ mol⁻¹，可近似当作此条件下上述脱水反应的摩尔焓变。通过计算确定A的化学式中所含水分子数n。\n5-4 若将起始反应物FeSO₄换成FeCl₂，可形成类似层状结构的蓝绿色物质GR-I。鉴于Cl⁻和SO₄²⁻的大小、形状和电荷不同，当其进入层间时，3个Cl⁻取代2个SO₄²⁻并导致层内阳离子电荷和层间堆积方式的调整。推出GR-I的化学式（价态不同的铁分开写并注明氧化数；忽略层间水分子）。\n", "answer_ideas": ["5-1  题目说明 GR-II 中 Fe(II) 和 Fe(III) 的原子比为 2:1，因此化学式应为 Fe(II)₄Fe(III)₂(OH)₁₂(SO₄)。    \n  每 6 个 Fe 原子中，4 个为 Fe(II)，2 个为 Fe(III)，总正电荷为 4×(+2) + 2×(+3) = +14。  \n  OH⁻ 提供 12×(-1) = -12，SO₄²⁻ 提供 -2，总负电荷为 -14，与正电荷平衡。  \n  因此化学式为 Fe(II)₄Fe(III)₂(OH)₁₂(SO₄)。  \n\n5-2  反应1：Fe(OH)₂ 氧化为 GR-II (A)，每 2 个 GR-II 单元需 8Fe(II) + 4Fe(III)，由 10Fe(OH)₂（提供 10Fe(II)）和 2Fe²⁺（额外 Fe(II)）氧化得到。10Fe(OH)₂ + 2Fe²⁺ + 2SO₄²⁻ + O₂ + 2H₂O → 2Fe(II)₄Fe(III)₂(OH)₁₂(SO₄)。  \n 反应2：GR-II 氧化为 B (FeOOH)，1个 GR-II 含 4Fe(II) + 2Fe(III)，氧化后全部转为 Fe(III)（24FeOOH）。\n[FeⅡ4FeⅢ2(OH)12][SO4] + O2 = 6FeO(OH) + SO4^2- + 2H2O + 2H+  \n 反应3：B 重新转化为 A，右侧 1 个 GR-II 需 4Fe(II) + 2Fe(III)。左侧提供：Fe²⁺。\n2FeO(OH) + 4Fe(OH)2 + SO4^2- + 2H2O = [FeⅡ4FeⅢ2(OH)12][SO4] + 2OH- \n 反应4：B 转化为 C (Fe₃O₄) ，Fe₃O₄ 含 1Fe(II) + 2Fe(III)，由 1Fe(OH)₂（Fe(II)）和 2FeO(OH)（2Fe(III)）得到。2FeO(OH) + Fe(OH)₂ → Fe₃O₄ + 2H₂O。  \n  \n5-3 假设绿锈的化学式为[FeⅡ4FeⅢ2(OH)12][SO4]·nH2O，那么1 mol绿锈的质量为\nm绿锈 = 6.35×10^2 + 18.0n (g) \n假设此过程的焓变完全来源于层间水的脱去，那么1 mol绿锈会脱去n mol水分子\n40.1×10^3 n = 420×(6.35×10^2 + 18.0n) \n解得 n = 8.20 ，则水分子数为8\n\n5-4 推出 GR-I 的化学式\n思路：\n1. GR-I 的阴离子是 Cl⁻，取代 GR-II 中的 SO₄²⁻。\n2. 题目说明 3 个 Cl⁻ 取代 2 个 SO₄²⁻，因此电荷平衡需调整。\n   2SO₄²⁻ 带 -4 电荷，3Cl⁻ 带 -3 电荷，需减少正电荷。\n   减少 1 个正电荷，即减少 1 个 Fe³⁺（或增加 1 个 Fe²⁺）。\n   GR-II 中 Fe²⁺:Fe³⁺ = 2:1，GR-I 中可能为 3:1。\n故化学式：Fe²⁺₃Fe³⁺(OH)₈Cl\n"], "refined_standard_answer": ["Fe(II)_4Fe(III)_2(OH)_{12}(SO_4)", "反应1：10Fe(OH)_2 + 2Fe^{2+} + O_2 + 2SO_4^{2-} + 2H_2O = 2[Fe(II)_4Fe(III)_2(OH)_{12}](SO_4)\\n反应2：[Fe(II)_4Fe(III)_2(OH)_{12}](SO_4) + O_2 = 6FeO(OH) + SO_4^{2-} + 2H_2O + 2H^+\\n反应3：2FeO(OH) + 4Fe(OH)_2 + SO_4^{2-} + 2H_2O = [Fe(II)_4Fe(III)_2(OH)_{12}](SO_4) + 2OH^-\\n反应4：2FeO(OH) + Fe(OH)_2 = Fe_3O_4 + 2H_2O", "8", "Fe(II)_3Fe(III)(OH)_8Cl"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "黄色固体 X，可能含有漂白粉、FeSO₄、Fe₂(SO₄)₃、CuCl₂、KI 之中的几种或全部。将 X 与足量的水作用，得到深棕色固体混合物 Y 和无色碱性溶液 Z。下列结论合理的是：\nA. X 中必有 CuCl₂，可能含有 KI、FeSO₄\nB. X 中必有漂白粉和 CuCl₂ 而 Fe₂(SO₄)₃ 和 FeSO₄ 至少有一种\nC. Y 中必有 Cu(OH)₂ 和 Fe(OH)₃，可能有 I₂\nD. 用 H₂SO₄ 酸化溶液 Z，若有黄绿色气体放出，说明 X 中含有 CuCl₂", "answer_ideas": ["选项B：X中必有漂白粉和CuCl₂，而Fe₂(SO₄)₃和FeSO₄至少有一种：\nCuCl₂的存在：CuCl₂溶于水呈蓝色，但题目中X是黄色固体，加入水后得到深棕色固体混合物Y。CuCl₂在碱性条件下会生成Cu(OH)₂沉淀，Cu(OH)₂是深蓝色或深棕色固体，与Y的颜色相符，因此CuCl₂必须存在。\n漂白粉的作用：漂白粉主要成分是Ca(ClO)₂和CaCl₂，具有强氧化性。在水溶液中，Ca(ClO)₂会水解产生ClO⁻，ClO⁻具有强氧化性，可将Fe²⁺氧化为Fe³⁺。Fe³⁺与溶液中的OH⁻反应生成Fe(OH)₃沉淀，Fe(OH)₃是红褐色固体，可能与深棕色固体混合物Y的颜色有关。\nFe₂(SO₄)₃和FeSO₄的存在：FeSO₄溶液为浅绿色，Fe₂(SO₄)₃溶液为黄色。题目中X是黄色固体，可能含有Fe₂(SO₄)₃。同时，漂白粉中的ClO⁻可以氧化Fe²⁺为Fe³⁺，所以FeSO₄可能存在于X中并被氧化为Fe₂(SO₄)₃。因此，Fe₂(SO₄)₃和FeSO₄至少有一种必须存在。\n选项A：X中必有CuCl₂，可能含有KI、FeSO₄：\n没有考虑到漂白粉的必须存在性。漂白粉是强氧化剂，能解释Fe³⁺的生成以及溶液的碱性，因此不能排除漂白粉的存在，故A错误。\n选项C：Y中必有Cu(OH)₂和Fe(OH)₃，可能有I₂：\nCu(OH)₂和Fe(OH)₃的生成需要溶液呈碱性。题目中提到溶液Z是无色碱性溶液，所以有可能生成这两种沉淀。但Y是深棕色固体混合物，Fe(OH)₃是红褐色，Cu(OH)₂是深蓝色，两者混合可能呈现深棕色。但不能确定必定同时存在两者，尤其是Cu(OH)₂不一定生成，因为如果CuCl₂存在于X中，在水溶液中直接生成Cu(OH)₂沉淀需要溶液呈强碱性，而题目中没有明确说明溶液Z的强碱性程度。因此不能确定Cu(OH)₂必定存在，C错误。\n选项D：用H₂SO₄酸化溶液Z，若有黄绿色气体放出，说明X中含有CuCl₂：\n黄绿色气体通常是Cl₂。若溶液Z中含有Cl⁻，加入H₂SO₄后产生Cl₂，说明存在强氧化剂和Cl⁻。漂白粉中的ClO⁻在酸性条件下可与Cl⁻反应生成Cl₂。若X中含有漂白粉（提供ClO⁻）和CuCl₂（提供Cl⁻），则可能产生Cl₂。但选项D仅凭产生Cl₂就断定含有CuCl₂是不准确的，因为其他含Cl⁻物质也可能存在，故D错误。\n综上所述，选项B正确。\n"], "refined_standard_answer": ["B"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "高温高压下可得含 CO4 4-基团的 Sr3(CO4)O，其结构可看成理想反钙钛矿的调变：[OSr6] 八面体绕 c 方向的四重轴发生 17°的旋转，以理想位置为参照，相邻八面体的旋转角度相 同、方向相反；在 c 方向不变化。 若将晶胞的原点选在位于八面体中心的 O2-上，写出实际体系一个晶胞中 O2-、CO4 4-基团中心 C 原子的原子坐标；写出 Sr2+离子 c 方向的坐标参数 z 并指出相应 Sr2+离子的数目(放 在 z 后并置括号中)。", "answer_ideas": ["空间想象，无过程"], "refined_standard_answer": ["O^{2-}: (0,0,0), (1/2,1/2,1/2), (0,0,1/2), (1/2,1/2,1/2)", "C: (0,1/2,1/4), (0,1/2,3/4), (1/2,0,1/4), (1/2,0,3/4)", "Sr^{2+}: 0(4), 1/4(2), 1/2(4), 3/4(2)"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "2:1 型铵盐 A 与浓硫酸在 0°C 反应(反应 1)，生成化合物 B，并放出有刺激性气味的吸湿性 气体。B 为黄色油状液体，熔点-15°C，式量 349.0，可溶于浓盐酸，遇水转化为棕黑色固体 C；C 不与稀酸反应，但可溶于浓盐酸(反应 2)或浓硫酸(反应 3)并放出气体。B 不稳定，只 能在低温下存在，50°C 时分解为白色粉末 D 并放出黄绿色气体 E。C 与 SOCl2 于 150°C 反 应也能得到 D(反应 4)。D 与不同的有机金属化合物反应，视计量比和条件的不同，得到不 同的产物。D 与苯基溴化镁按摩尔比 1:2 反应，发生歧化，生成白色固体 F(反应 5)；F 能与 HCl 反应生成 G；G 中所有中心原子为 6 配位，所有氯为桥基，形成一维无限长链。D 与苯 基锂按摩尔比 1:3 反应，生成盐 H；H 与 D 反应得到红色固体 X。为确定 X 的结构，令 X 与 过量的碘单质反应(反应 6)，发现仅得到了 2 种产物；其中一种是亮黄色固体 I，X 中有五分 之一的金属原子转移到了 I 中。 写出 A ~ I 的化学式；写出 X 的结构简式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["A: (NH4)2PbCl6, B: PbCl4, C: PbO2, D: PbCl2, E: Cl2, F: Pb(C6H5)4, G: Pb(C6H5)2Cl2, H: Li[Pb(C6H5)3], I: PbI2, X: Pb[Pb(C6H5)3]4"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "微量法测定锌常使用间接滴定法，含Zn2+溶液需要先与铁氰化钾和碘化钾反应。写出化学反应方程式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["3ZnSO4 + 2K3Fe(CN)6 + 2KI → K2Zn3[Fe(CN)6]2 + 3K2SO4 + I2"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "A 为金属单质，在空气中易被氧化而形成氧化膜。A 与氯化氢气流在200°C 下作用，将所得 的挥发物冷却，可得到B；B 与氨气在1000°C 左右反应，可生长出黑灰色晶体C，C 可用 作半导体材料。若将B 与三甲基甲硅烷于低温下反应，生成D 和E；D 是以2 个氯原子为 桥的二聚体，分子中有对称中心、1 个C2 轴和1 个镜面；E 含有硅氯键。D 与干燥的叠氮化 锂于20°C 反应，定量发生反应，一半的氯原子被取代，得到四聚体F。F 不稳定，高于70°C 即分解；22.90 g F 发生分解，剩余固体的质量为12.94 g。 写出A~F 的化学式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["Ga", "GaCl3", "GaN", "(HGaCl2)", "(CH3)3SiCl", "(HClGaN3)4"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "一氟化硼 BF 是一氧化碳 CO 的等电子体，只能在高温、低压下稳定存在。但是近来， 人们制得了以 BF 为配体的配合物。五羰基合铁(0)与异腈 R-NC（R 为 2,6-二(2,4,6-三异丙基 苯基)苯基，答题时可直接用 R 代替）在光照下按摩尔比 1:2 反应，生成化合物 A；A 与等 摩尔 I2 在乙醚中反应生成化合物 B；在四氢呋喃中，用过量的 KC8 还原 B 得到化合物 C， C 是 2:1 型盐，其阴离子为铁的配离子；C 在乙醚-正己烷混合溶剂中与 BF3反应可得到 D， D 是以 BF 为配体的单核配合物分子。此外，C 与 I2 以及液氮按摩尔比 1:1:1 反应可得到化 合物 E。A ~ E 的 Fe 原子均满足 18 电子规则。给出A-E的化学式", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["[Fe(CO)3(RNC)2]", "[Fe(CO)2(RNC)2I2]", "K2[Fe(CO)2(RNC)2]", "[Fe(CO)2(RNC)2(BF)]", "[Fe(CO)2(RNC)2(N2)]"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "甲酸和乙酸都是重要的化工原料。移取20.00mL甲酸和乙酸的混合溶液,以0.1000 mol/L NaOH 标准溶液滴定至终点,消耗25.00mL。另取20.00mL上述混合溶液,加人 50.00 mL 0.02500 mol/L KMnO4 强碱性溶液,反应完全后,调节至酸性,再加人40.00 mL 0.2000 mol/L Fe2+标准溶液,用上述 KMnO4 标准溶液滴定至终点,消耗 24.00 mL。\n（1） 计算混合溶液中甲酸和乙酸的总量;\n（2） 写出氧化还原滴定反应的化学方程式;\n（3） 计算混合酸溶液中甲酸和乙酸的浓度。\n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["2.5×10⁻³ mol", "3HCOOH + 2MnO_4^{-} + 4OH^{-} \\rightarrow 3CO_3^{2-} + 2MnO_2\\downarrow + 5H_2O; MnO_4^{-} + 5Fe^{2+} + 8H^{+} \\rightarrow Mn^{2+} + 5Fe^{3+} + 4H_2O", "c(HCOOH) = 0.03125 mol/L, c(HAc) = 0.09375 mol/L"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "将定量的MnO2、NH4H2PO4 与H3PO4 混合共热至300°C（反应1），经水洗、干燥可以得到 一种被称为“锰紫”的紫色粉末，其不含结晶水，式量为246.9。写出反应方程式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["4\\text{MnO}_2 + 4\\text{NH}_4\\text{H}_2\\text{PO}_4 + 4\\text{H}_3\\text{PO}_4 \\xrightarrow{300^{\\circ}\\text{C}} 4\\text{NH}_4\\text{MnP}_2\\text{O}_7 + 10\\text{H}_2\\text{O} + \\text{O}_2"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "1706 年，柏林布商Diesbach 将牛血在草木灰中煮沸，得到了一种经典的蓝色染料A，其中 含有两种价态的过渡金属元素M(分别表示为M1 及M2)。在水溶液中，M 与某卤素X 仅能 形成M1Xn；而在非水相中则可以通过各类手段稳定M2。譬如在CH2Cl2 中，用X2 氧化M 时，仅需加入一当量(Et4N)X 即可得到含有稳定M2 的B。 写出A 与B 的化学式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["KFe[Fe(CN)6]", "(Et4N)[FeI4]"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "化合物A是一种黑色固体，不溶于水、稀乙酸和NaOH，易溶于热盐酸中生成一种绿色溶液B。B与铜丝一起煮沸得棕黑色溶液C，C用大量水稀释后生成白色沉淀D。D溶于氨水得无色溶液E，E暴露空气中，迅速变蓝色溶液F，往F中加入过量KCN，得无色溶液G，往G中加入锌粉，生成红棕色沉淀H，H不溶于稀酸和碱，可溶于热硝酸生成蓝色溶液I，往I溶液中加入NaOH溶液生成蓝色胶状沉淀J，将J过滤、然后加热，又生成原来的A。试确定A, B, C, D, E, F,G, H, I, J所代表的物质。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["CuO", "H_{2}CuCl_{4}", "CuCl", "CuCl", "[Cu(NH_{3})_{2}]Cl", "[Cu(NH_{3})_{4}]Cl_{2}", "K_{3}[Cu(CN)_{4}]", "Cu", "Cu(NO_{3})_{2}", "Cu(OH)_{2}"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "橙红色固体X 为ZnS 结构的晶体，可用作半导体材料。通过水溶液反应可合成X：将氧化 物A(含氧25.6%)与具有四面体分子结构的单质B 于稀NaOH 水溶液中混合加热反应，A 溶 解得到C(反应1)，B 歧化得到D(反应的转化率为25%)(反应2)；而后C 与D 反应可得到 X(反应3)。向体系中加入适量碘可提高反应的速率和X 的产率，原因可能是由于：B 与碘 单质按摩尔比1:2 在稀NaOH 水溶液中发生了新的反应，生成D、E 等产物(产物的摩尔比 为1:1) (反应4)。此外还可通过传统方法高温下合成X。令A 与D 于950°C 的H2 气氛下反 应(反应5)，或令B 与低价氯化物F 于1050°C 的真空中反应(反应6)，均可得到X；F 在高 温下为气相分子，迅速冷却至77 K 转化为红色固体；继续升温至0°C 以上，F 发生歧化分 解。 写出X、A ~ F 的化学式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["GaP", "Ga2O3", "P4", "NaGa(OH)4", "PH3", "NaH2PO4", "GaCl"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "化学式为MO$_x$Cl$_y$的物质有氧化性，M 为过渡金属元素，x 和 y 均为正整数。将 2.905 g 样品溶于水，定容至 100 mL。移取 20.00 mL 溶液，加入稀硝酸和足量 AgNO$_3$，分离得到白色沉淀 1.436 g。移取溶液 20.00mL，加入适量硫酸，以 N-邻苯基氨基苯甲酸作指示剂，用标准硫酸亚铁铵溶液滴定至终点，消耗 3.350 mmol。已知其中阳离子以 MO$_x^{y+}$存在，推出该物质的化学式，指出 M 是哪种元素。写出硫酸亚铁铵滴定 MO$_x^{y+}$的离子反应方程式。", "answer_ideas": ["n(Cl$^-)=1.436g/(107.9+35.45)gmol^{-1}$ = 0.01002 mol = 10.02 mmol \nMO$_x^{y+}$ 与 Fe$^{2+}反应，Fe^{2+}$ → Fe$^{3+}$，n(Fe$^{2+}$) = 3.350 mmol \n若设反应为 MO$_x^{y+}$  + Fe$^{2+}$ → MO$_p^{q+}$ + Fe$^{3+}$\nn(M) = n(MO$_x^{y+}$ ) = 3.350 mmol \nn(Cl$^-$) / n(MOx$^+$) = 10.02 mmol / 3.350 mmol = 2.991 ≈ 3, y=3\nMO$_x$Cl$_3$的摩尔质量为：2.905g / (5 x 3.350 x 10$^{-3}$ mol) = 173.4 g mol$^{-1}$ \nMO$_x^{3+}$的摩尔质量：173.4 - 3 x 35.45 = 67.1 (g mol$^{-1}$)\n若设 x=1，则 M 的相对原子质量 = 67.1 - 16.00 = 51.1 \n与钒的原子量相近，故认为 M 为 V。 \n化学式：VOCl$_3$ \n反应式：VO$^{3+}$ + Fe$^{2+}$ → VO$^{2+}$ + Fe$^{3+}$\n"], "refined_standard_answer": ["VOCl_3", "V", "VO^{3+} + Fe^{2+} \\to VO^{2+} + Fe^{3+}"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": " X是金属M的碳式碳酸盐，不含结晶水。称取质量相等的样品两份，分别进行处理：一份在H₂中充分处理（反应1），收集得0.994 g水，剩余残渣为金属M单质，重2.356 g；另一份在CO中处理（反应2），完全反应后得1.245 L CO₂（101.325 kPa，0 ℃），剩余残渣和反应1的完全相同。\n(1) 根据给出的数据，计算X的化学式。\n(2) 写出X分别与H₂和CO反应的化学方程式，要求系数为最简整数比。\n", "answer_ideas": ["", ""], "refined_standard_answer": ["Cu2(OH)2CO3", "Cu2(OH)2CO3+2H2→2Cu+3H2O+CO2\\nCu2(OH)2CO3+2CO→2Cu+H2O+3CO2"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "无色液体 (A) 与干燥氧气在高温下反应，生成不溶于水的白色粉末 (B)。(B) 和锌粉混合后与盐酸缓慢作用，最后得到紫红色溶液，说明有化合物 (C) 生成。向 (C) 的溶液中加入 CuCl₂ 溶液得白色沉淀 (D)。紫色化合物 (C) 溶于过量硝酸得无色溶液 (E)。将溶液 (E) 蒸干后，在较高温度下加热又得到 (B)。(A) 与铝粉混合，在高温下反应有化合物 (C) 生成。\n\n试写出 (A)、(B)、(C)、(D) 和 (E) 所代表的物质的化学式", "answer_ideas": ["(A) TiCl₄ (B) TiO₂ (C) TiCl₃ (D) CuCl (E) TiO(NO₃)₂"], "refined_standard_answer": ["TiCl₄", "TiO₂", "TiCl₃", "CuCl", "TiO(NO₃)₂"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "过量的汞与亚硫酰氯在150℃下加热反应，产物中有一种金黄色液体。写出化学反应方程式。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["6Hg + 4SOCl2 = 3Hg2Cl2 + 2SO2 + S2Cl2"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "某合金含Mg、Al、Si、Mn和Cu等元素。下列说法正确的是\nA Si的电负性大于Al\nB. Mn和Cu均为d区元素\nC. Mg的第一电离能小于Al\nD. 基态时，Mg原子和Mn原子的单电子数相等\n", "answer_ideas": ["A 选项：\n分析：电负性是元素的原子在化合物中吸引电子的能力。同周期元素从左到右电负性逐渐增大，Si和Al位于同一周期，且Si在Al右侧 ，所以Si的电负性大于Al，A 选项正确。\nB 选项：\n分析：Mn的价电子排布式为3d54s2，属于d区元素；Cu的价电子排布式为3d104s1，属于ds区元素，并非d区元素，B 选项错误。\nC 选项：\n分析：Mg的价电子排布式为3s2，3s轨道处于全充满稳定状态；Al的价电子排布式为3s23p1。第一电离能是基态的气态原子失去最外层的一个电子所需能量，Mg失去电子相对较难，其第一电离能大于Al，C 选项错误。\nD 选项：\n分析：基态Mg原子的价电子排布式为3s2，没有单电子；基态Mn原子的价电子排布式为3d54s2，3d轨道上有5个单电子，二者单电子数不相等，D 选项错误。\n"], "refined_standard_answer": ["A"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "二氯二茂铌[Nb(C5H5)2]Cl2广泛用于化工、医药等行业，其中C5H5-为典型的三齿配体，二氯二茂铌熔点低于NbCl4的原因为           。", "answer_ideas": ["二氯二茂铌[Nb(C₅H₅)₂]Cl₂是一种有机金属化合物，其中C₅H₅⁻是典型的三齿配体。NbCl₄是一种无机金属卤化物。\n首先，分析影响熔点的因素：熔点通常受分子间作用力、离子键强度、分子大小等因素的影响。对于离子化合物，熔点通常较高，因为需要克服较强的离子键。对于有机金属化合物，熔点可能较低，因为分子间作用力较弱。\n其次，比较[Nb(C₅H₅)₂]²⁺和NbCl₄的离子特性：[Nb(C₅H₅)₂]²⁺是一个较大的有机金属阳离子，由于C₅H₅⁻配体的体积较大，导致离子体积增大。较大的离子体积意味着阴阳离子间的距离较大，从而减弱了离子间的作用力。\n解释熔点差异：由于[Nb(C₅H₅)₂]²⁺的离子体积大，阴阳离子间的距离大，离子之间的作用力弱，因此需要较少的能量来克服这些作用力，使得熔点较低。NbCl₄作为无机金属卤化物，其离子键较强，需要更多的能量来克服，因此熔点较高。 \n根据以上分析，可以得出结论：二氯二茂铌熔点低于NbCl₄的原因是[Nb(C₅H₅)₂]²⁺中阳离子的离子体积大，阴阳离子间的距离大，离子之间的作用力弱。"], "refined_standard_answer": ["[Nb(C5H5)2]Cl2中阳离子[Nb(C5H5)2]2+的离子体积大，阴阳离子间的距离大，离子之间的作用力弱。"], "sub_subject_name": "Inorganic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "C6H6O3N2【结构简式为NO2-C6H4-O-NH2】的同分异构体中满足下述条件的结构有几种？并对这几种结构进行命名。\n①含有苯环和硝基。\n②遇FeCl3溶液显紫色。\n③该有机物具有两性。\n", "answer_ideas": ["关键推导\n1. 取代基组合\n   必须含硝基（—NO₂）、酚羟基（—OH）、氨基（—NH₂）。\n   三个取代基均在苯环上，且不共线。\n2. 定位效应\n   硝基为间位定位基，酚羟基和氨基为邻对位定位基。\n   需系统枚举所有可能的取代基位置组合，考虑苯环对称性。\n可能结构及命名：\n通过系统枚举硝基、酚羟基、氨基的位置，结合苯环对称性，得到以下10种同分异构体：\n（1）2-氨基-6-硝基苯酚\n硝基在6号位，氨基在2号位，酚羟基在1号位。\n（2） 5-氨基-2-硝基苯酚\n硝基在2号位，氨基在5号位，酚羟基在1号位。\n（3） 4-氨基-2-硝基苯酚\n硝基在2号位，氨基在4号位，酚羟基在1号位。\n（4） 3-氨基-2-硝基苯酚\n硝基在2号位，氨基在3号位，酚羟基在1号位。\n（5） 3-氨基-5-硝基苯酚\n硝基在5号位，氨基在3号位，酚羟基在1号位。\n（6） 2-氨基-5-硝基苯酚\n硝基在5号位，氨基在2号位，酚羟基在1号位。\n（7） 2-氨基-3-硝基苯酚\n硝基在3号位，氨基在2号位，酚羟基在1号位。\n（8） 4-氨基-3-硝基苯酚\n硝基在3号位，氨基在4号位，酚羟基在1号位。\n（9） 2-氨基-4-硝基苯酚\n硝基在4号位，氨基在2号位，酚羟基在1号位。\n（10） 3-氨基-4-硝基苯酚\n硝基在4号位，氨基在3号位，酚羟基在1号位。"], "refined_standard_answer": ["10种，分别为2-氨基-6-硝基苯酚、5-氨基-2-硝基苯酚、4-氨基-2-硝基苯酚、3-氨基-2-硝基苯酚、3-氨基-5-硝基苯酚、2-氨基-5-硝基苯酚、2-氨基-3-硝基苯酚、4-氨基-3-硝基苯酚、2-氨基-4-硝基苯酚、3-氨基-4-硝基苯酚"], "sub_subject_name": "Organic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "亚甲基双格氏试剂CH2(MgCl)2与丙酮反应给出一种易燃气体F、沉淀G和MgCl2。指出F 和G的化学式。", "answer_ideas": ["亚甲基双格氏试剂CH2(MgCl)2首先进攻丙酮的C-O双键，而后还原消除生成 C4H8和Mg2OCl2，而后分解为MgO和MgCl2"], "refined_standard_answer": ["C4H8", "MgO"], "sub_subject_name": "Organic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "β-苯乙基酰胺在回流的氧氯化磷作用下的产物？", "answer_ideas": ["第一步，N上的孤对电子转移到NC键，羰基的电子进攻P，氧氯化磷脱去一个氯离子。第二步，氯离子进攻NC双键，电子回到N上。第三步，N上的孤对电子进攻饱和C，断裂CO单键。第四步，形成亚胺中间体。第五步，形成次氮盐中间体。第六步，氯离子进攻H，形成苯环。最终产物为二氢异喹啉。"], "refined_standard_answer": ["二氢异喹啉"], "sub_subject_name": "Organic Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "一位学生描述了他使用滴定管的过程，以下为他的描述，请针对滴定管的使用给出三条改进建议。\n描述：我从橱柜里拿出了滴定管，加水洗涤，关上了水龙头，用所需溶液装满滴定管，然后将滴定液逐滴加入到烧瓶中，直到指示剂发生变色且30秒内不变色。\n", "answer_ideas": ["分析学生的描述，找出其中可能存在的问题或不规范的操作：学生提到“加水洗涤，关上了水龙头”，这可能意味着滴定管没有用滴定剂润洗；学生提到“用所需溶液装满滴定管”，这可能意味着滴定管尖嘴部分没有充满溶液；学生提到“将滴定液逐滴加入到烧瓶中，直到指示剂发生变色且30秒内不变色”，这可能意味着滴定速度控制不当。\n根据分析提出建议（以下答案出现三条即得满分，意思一致即可）：\n①用滴定剂润洗滴定管；\n②装满滴定管时使溶液充满尖嘴；\n③向滴定管中装入溶液时应加至0刻度线处，不应装满滴定管；\n④滴定时，滴定速度应先快后慢，即将到达滴定终点时逐滴加入滴定剂，确保准确判断滴定终点。\n"], "refined_standard_answer": ["用滴定剂润洗滴定管", "装满滴定管时使溶液充满尖嘴", "向滴定管中装入溶液时应加至0刻度线附近，不应装满滴定管", "滴定时，滴定速度应先快后慢，即将到达滴定终点时逐滴加入滴定剂"], "sub_subject_name": "Analytical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "酸碱指示剂在水溶液中发生以下解离反应: HIn + H2O=H3O+ + In-。酸型 HIn 和碱型 In- 的颜色不同,这是其作为指示剂以及应用于分光光度法的基础。 采用分光光度法研究 HIn 的酸解离常数 Ka。配得浓度为 1.00×10-3 mol·L-1 HIn 溶液，准确移取两份溶液，使之分别与等体积的 0.20 mol·L-1 HCI 溶液和 0.20 mol·L-1 NaOH 溶液混合 均匀。在 485 nm 和 625 nm 的波长下，测量两种溶液的吸光度 A，均采用 1.00 cm 液池，结 果如下表。 介质 A (485 nm) A (625 nm) HCl 0.487 0.081 NaOH 0.075 0.904 现有某有机弱酸 HX，酸型和碱型均无色，浓度未知。取 25.00 毫升该 HX，采用酚酞作 指示剂，加入一定浓度的 NaOH 溶液至 24.20 毫升，酚酞恰好变红色，另取一份 25.00 mL 的 HX 溶液，加入一定量的 HIn 指示剂，加入上述 NaOH 溶液 12.10 毫升，混匀，测得此体系 在 485 nm 和 625 nm 处的吸光度分别为 0.304 和 0.686。计算有机酸 HX 的 Ka。", "answer_ideas": ["无"], "refined_standard_answer": ["2.17 \\times 10^{-6}"], "sub_subject_name": "Analytical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "移取 HCl - FeCl₃ 试液 25.00 毫升，在 pH = 1.5 时，以磺基水杨酸为指示剂，用 0.02012mol·L⁻¹ EDTA 滴定，耗去 20.04 毫升。另取 25.00 毫升试液，加入 20.04 毫升上述 EDTA 掩蔽 Fe³⁺，以甲基红为指示剂，用 0.1015mol·L⁻¹ NaOH 滴定，耗去 32.50 毫升。求 c(Fe³⁺) 和 c(HCl)。", "answer_ideas": ["解：（CV）Fe³⁺ =（CV）EDTA\nc(Fe³⁺)×25.00 = 0.02012×20.04 \nc(Fe³⁺) = 0.01629mol·L⁻¹ \nFe³⁺ + H₂Y²⁻ = FeY⁻ + 2H⁺\nc(HCl) =（0.1015×32.50 - 2×0.02012×20.04）/25.00 = 0.09969mol·L⁻¹ "], "refined_standard_answer": ["c(Fe³⁺) = 0.01629mol·L⁻¹", "c(HCl) = 0.09969mol·L⁻¹"], "sub_subject_name": "Analytical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "由相邻的两种短周期元素构成的分子量不超过100二元化合物A分解产生黑色粉末B和气体C。某实验中收 集由A分解出的全部的B，在充足的氧气中燃烧产生气体D，已知产生D的质量约为本实验中A分解得到的C的质量的6.3倍。已知A分子是非极性的。 写出A-D的化学式。", "answer_ideas": ["A是由相邻的两种短周期元素构成的，且由A分解出的全部的B，在充足的氧气中燃烧产生气体D，已知产生D的质量约为本实验中A分解得到的C的质量的6.3倍，最后由于已知A分子是非极性的，可以得出A为C4N2，B为碳单质，C为氮气，D为二氧化碳"], "refined_standard_answer": ["C_4N_2", "C", "N_2", "CO_2"], "sub_subject_name": "Analytical Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "一个质量为 \\( m \\) 的粒子被施加一个恒定力 \\( F \\)。假如 \\( t = 0 \\) 时粒子静止在原点并开始运动，计算粒子在$t$时刻的坐标 \\( x(t)\\)。  \n\n\n\n\n\n", "answer_ideas": ["\n\\[\n\\frac{dp}{dt} = F \\implies p = Ft + \\text{常数}\n\\]  \n\n\\[\np = \\frac{mu}{\\sqrt{1 - u^2/c^2}} = Ft\n\\]  \n\n\\[\nu = \\frac{(F/m)t}{\\sqrt{1 + (Ft/mc)^2}}\n\\]  \n\n\\[\nx(t) = \\int_0^t \\frac{F}{m} \\left( \\frac{t'}{\\sqrt{1 + (Ft'/mc)^2}} \\right) dt'\n\\]  \n\n\\[\n= \\frac{mc^2}{F} \\left[ \\sqrt{1 + (Ft/mc)^2} \\right] \\bigg|_0^t\n\\]  \n\n\\[\n= \\frac{mc^2}{F} \\left[ \\sqrt{1 + (Ft/mc)^2} - 1 \\right]\n\\]  \n"], "refined_standard_answer": ["x(t) = \\frac{mc^2}{F} \\left[ \\sqrt{1 + (Ft/mc)^2} - 1 \\right]"], "sub_subject_name": "Relativity", "subject_name": "Physics"}
{"question": "在某惯性系 S 中，地面上有一个黑体以 $v=c \\beta$ 的 速度匀速向右前进，该黑体在其本征系中为半径为 $R$ 的正球。在 $S$系中，以 $t=0$ 时黑体与地面接触位置为原点，黑体运动方向为 X 轴正方向，坚直向上为 Z 轴正方向建立直角坐标系。 S 系中存在沿 $-\\hat{z}$方向的均匀＂光子雨＂，当光子雨不受阻碍落到地面上时，地面单位面积单位时间接收能量为 $P$ 。考虑狭义相对论，不考虑黑体辐射。 （1）求 $S$ 系中，$t$ 时刻地面上阴影边界的解析式。 （2）求 $S$ 系中，为了维持该黑体的运动，施加给其的力 $\\vec{F}$ 。认为地面不会反射光子，与黑体也没有相互作用。 （3）如果仅仅给黑体施加 $\\hat{z}$ 方向的力以保持其中心高度不变，而在 $t=0$ 时撤去 $\\hat{x}$ 方向的力，求此后黑体的速度随时间 $t$ 的变化关系，已知黑体静质量为 $m_0, t=0$ 时刻速度 $v=c \\beta_0$ 。 特殊地，计算在 $\\beta_0=0.5$ 的情况下，黑体中心沿 $\\hat{x}$ 方向移动的最远距离。 数学提示： $$ \\frac{\\mathrm{d} \\beta}{\\beta \\sqrt{1-\\beta^2}}=\\frac{\\mathrm{d} \\alpha}{\\sin \\alpha}=\\frac{\\mathrm{d} \\cos \\alpha}{\\cos ^2 \\alpha-1}=\\mathrm{d}\\left(-\\frac{1}{2} \\ln \\frac{1+\\cos \\alpha}{1-\\cos \\alpha}\\right), \\beta=\\sin \\alpha $$", "answer_ideas": ["解：（1）在黑体球本征系 $\\mathrm{S}^{\\prime}$ 系中，黑体是一个球体，光子雨的速度方向与Z轴夹角\n\n$$\n\\theta=\\arcsin \\beta\n$$\n\n\n分析可知，地面上的投影为一椭圆，椭圆中心\n\n$$\nr^{\\prime}=(-R \\tan \\theta, 0,0)\n$$\n\n\n其长短轴\n\n$$\na=\\frac{R}{\\cos \\theta}, b=R\n$$\n\n\n联立上式，即 $S^{\\prime}$ 中的阴影边界\n\n$$\nC^{\\prime}: \\frac{\\left(\\sqrt{1-\\beta^2} x^{\\prime}+\\beta R\\right)^2}{R^2}+\\frac{y^{\\prime 2}}{R^2}=1\n$$\n\n\n由洛伦兹变换\n\n$$\nx^{\\prime}=\\frac{x-\\beta c t}{\\sqrt{1-\\beta^2}}, y^{\\prime}=y\n$$\n\n\n得到\n\n$$\nC: \\frac{(x-\\beta c t+\\beta R)^2}{R^2}+\\frac{y^2}{R^2}=1\n$$\n\n（2）在 $S^{\\prime}$ 系中，地面上单位面积光子能量\n\n$$\nP^{\\prime}=\\frac{P}{\\sqrt{1-\\beta^2}}\n$$\n\n\n单位时间击中黑体球光子的总能量\n\n$$\n\\varepsilon=P^{\\prime} \\cdot \\pi a b=\\frac{\\pi R^2 P}{1-\\beta^2}\n$$\n\n\n黑体球静质量改变率\n\n$$\n\\frac{\\mathrm{d} m_s}{\\mathrm{~d} t^{\\prime}}=\\frac{\\varepsilon}{c^2}\n$$\n\n\n在地面系中，由时间延缓\n\n$$\n\\mathrm{d} t=\\frac{\\mathrm{d} t^{\\prime}}{\\sqrt{1-\\beta^2}}\n$$\n\n\n由动量定理\n\n$$\nF_x=\\frac{\\mathrm{d} m_s}{\\mathrm{~d} t} \\cdot \\frac{\\beta c}{\\sqrt{1-\\beta^2}}\n$$\n\n\n故\n\n$$\nF_x=\\frac{\\pi R^2 \\beta P}{\\left(1-\\beta^2\\right) c}\n$$\n\n\n此外，容易得到\n\n$$\nF_z=\\frac{\\pi R^2 P}{c}\n$$\n\n（3）设 $m_s$ 为黑体球静质量，由动量守恒\n\n$$\n\\mathrm{d}\\left(\\frac{m_s \\beta}{\\sqrt{1-\\beta^2}}\\right)=0\n$$\n\n\n由此可知\n$$\n\\mathrm{d} m_s+\\frac{\\mathrm{d} \\beta}{\\left(1-\\beta^2\\right)^{\\frac{3}{2}}}=0\n$$\n\n\n又\n\n$$\nm_s=m_0 \\frac{\\sqrt{1-\\beta^2}}{\\beta} \\frac{\\beta_0}{\\sqrt{1-\\beta_0^2}}\n$$\n\n\n联立上式\n\n$$\n\\frac{\\mathrm{d} \\beta}{\\mathrm{~d} t}=-\\beta^2 \\frac{\\pi R^2 P}{m_0 c^2} \\frac{\\sqrt{1-\\beta_0{ }^2}}{\\beta_0}\n$$\n\n\n对（17）式积分可得\n\n$$\n\\beta=\\frac{1}{\\frac{1}{\\beta_0}+\\frac{\\pi R^2 P}{m_0 c^2} \\frac{\\sqrt{1-\\beta_0{ }^2}}{\\beta_0} t}\n$$\n\n\n又由（18）式可知\n\n$$\ns_{\\max } \\rightarrow \\infty\n$$\n\n"], "refined_standard_answer": ["\\frac{(x-\\beta c t+\\beta R)^2}{R^2}+\\frac{y^2}{R^2}=1", "F_x=\\frac{\\pi R^2 \\beta P}{\\left(1-\\beta^2\\right) c}, F_z=\\frac{\\pi R^2 P}{c}", "s_{\\max} \\rightarrow \\infty"], "sub_subject_name": "Relativity", "subject_name": "Physics"}
{"question": "从多个角度考察光与运动镜面的作用 （1）光子角度：光子正入射以 $\\mathrm{v}=\\beta \\mathrm{c}$ 运动的镜面。已知入射光圆频率为 $\\omega_i$ ，光子数密度 $n_i$ ，试求能流反射率 $\\frac{I_r}{I_i}$ ，以及镜子表面所受平均光压 p ； （2）电磁波角度：电磁波正入射以 $\\mathrm{v}=\\beta \\mathrm{c}$ 运动的镜面，已知入射光的电场有效值为 $E_i$ ，且对于电磁波来说，有 $\\mathrm{E}=\\mathrm{cB}$ ，试求能流反射率 $\\frac{I_r}{I_i}$ ，以及镜子表面所受平均光压 p ； （3）场的能动量角度：从场的能动量出发来考虑光与运动镜面的反射问题。 已知若光场的能量密度为 w ，动量密度是 $\\frac{w}{c} \\vec{n}$ ，能流是 wch ，动量流是 $\\mathrm{wc} \\mathrm{\\overrightarrow{nn}}$ ， $\\overrightarrow{\\mathrm{n}}$ 为场的传播方向， $\\overrightarrow{\\mathrm{n} n}$ 是并矢，运算规则为 $\\overrightarrow{\\mathrm{n}} \\cdot \\mathrm{d} \\overrightarrow{\\mathrm{S}}=\\overrightarrow{\\mathrm{n}}(\\overrightarrow{\\mathrm{n}} \\cdot \\mathrm{d} \\overrightarrow{\\mathrm{S}})$ 。已知初态光场以 $w_i, \\theta_i$ 入射以速度 $\\mathrm{v}=\\beta \\mathrm{c}$运动的镜面，试求 $\\theta_r, w_r$ 。", "answer_ideas": ["\n（1）两次多普勒变换得\n\n$$\n\\omega_r=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} \\omega_i\n$$\n\n\n\n同理，出射光子数有\n\n$$\n\\mathrm{dN}=\\mathrm{n}_{\\mathrm{r}}(1+\\beta) \\mathrm{c} \\cdot \\mathrm{dSdt}\n$$\n\n\n所以\n\n$$\n\\begin{gathered}\nn_r=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} n_i \\\\\n\\frac{I_r}{I_i}=\\left(\\frac{1-\\beta}{1+\\beta}\\right)^2 \\\\\n\\mathrm{p}=\\frac{\\mathrm{dN}}{\\mathrm{dSdt}} \\cdot \\frac{\\hbar}{\\mathrm{c}}\\left(\\omega_{\\mathrm{i}}+\\omega_{\\mathrm{r}}\\right)=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} 2 \\mathrm{n}_{\\mathrm{i}} \\hbar \\omega_{\\mathrm{i}}\n\\end{gathered}\n$$\n\n（2）导体内部既无磁场，又无电场\n\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& E_r=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} E_i \\\\\n& B_r=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} B_i\n\\end{aligned}\n$$\n\n$$\n\\frac{I_r}{I_i}=\\left(\\frac{1-\\beta}{1+\\beta}\\right)^2\n$$\n\n\n\n由磁场的边界条件（ $a$ 为导体表面的电流面密度）\n\n$$\n\\left(B_i+B_r\\right) \\Delta y=\\mu_0 \\varepsilon_0\\left(E_i-E_r\\right) \\Delta y \\cdot \\beta c+\\mu_0 a \\Delta y\n$$\n\n\n得\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\alpha=\\frac{2(1-\\beta)}{\\mu_0 c} E_i \\\\\np=\\frac{1}{2}\\left(B_i+B_r\\right) a=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} \\cdot 2 \\varepsilon_0 E_i^2\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n简单对比可知（1）（2）结论等价\n（3）我们在镜的左侧取一个界面，界面很大以至于从上下和前后四个面通过的流量可忽略，考虑镜面右侧体系的能动量关系\n能量：\n净流入能量 $\\mathrm{dE}_{\\text {tot }}=\\left(\\mathrm{w}_{\\mathrm{i}} \\cdot \\mathrm{c} \\cdot \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}-\\mathrm{w}_{\\mathrm{r}} \\cdot \\mathrm{c} \\cdot \\cos \\theta_{\\mathrm{r}}\\right) \\cdot \\mathrm{S} \\cdot \\mathrm{dt}$\n场能增量 $\\mathrm{dE}_{\\mathrm{in}}=\\left(\\mathrm{w}_{\\mathrm{i}}+\\mathrm{w}_{\\mathrm{r}}\\right) \\cdot \\mathrm{dV}=\\left(\\mathrm{w}_{\\mathrm{i}}+\\mathrm{w}_{\\mathrm{r}}\\right) \\cdot \\mathrm{S} \\cdot \\beta \\mathrm{cdt}$\n对外做功 $\\mathrm{dE}_{\\mathrm{ex}}=\\mathrm{pS} \\cdot \\beta \\mathrm{cdt}$\n\n$$\n\\mathrm{dE}_{\\text {tot }}=\\mathrm{dE}_{\\text {in }}+\\mathrm{dE}_{\\mathrm{ex}}\n$$\n\nx 动量：\n净流入 x 动量 $\\mathrm{dP}_{\\mathrm{xtot}}=\\left(\\mathrm{w}_{\\mathrm{i}} \\cos ^2 \\theta_{\\mathrm{i}}-\\left(-\\mathrm{w}_{\\mathrm{r}} \\cos \\theta_{\\mathrm{r}}\\right) \\cos \\theta_{\\mathrm{r}}\\right) \\cdot \\mathrm{S} \\cdot \\mathrm{dt}$\n场 $x$ 动量增量 $\\mathrm{dP}_{\\mathrm{xin}}=\\left(\\mathrm{w}_{\\mathrm{i}} \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}-\\mathrm{w}_{\\mathrm{r}} \\cos \\theta_{\\mathrm{r}}\\right) / \\mathrm{c} \\cdot \\mathrm{S} \\cdot \\beta \\mathrm{cdt}$\n对外 x 冲量 $\\mathrm{dP}_{\\mathrm{xex}}=\\mathrm{pS} \\cdot \\mathrm{dt}$\n\n$$\n\\mathrm{dP}_{\\mathrm{xtot}}=\\mathrm{dP}_{\\mathrm{xin}}+\\mathrm{dP}_{\\mathrm{xex}}\n$$\n\n$y$ 动量：\n净流入 y 动量 $\\mathrm{dP}_{\\mathrm{ytot}}=\\left(\\mathrm{w}_{\\mathrm{i}} \\sin \\theta_{\\mathrm{i}} \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}-\\mathrm{w}_{\\mathrm{r}} \\sin \\theta_{\\mathrm{r}} \\cos \\theta_{\\mathrm{r}}\\right) \\cdot \\mathrm{S} \\cdot \\mathrm{dt}$\n场 $y$ 动量增量 $d P_{y i n}=\\left(w_i \\sin \\theta_i+w_r \\sin \\theta_r\\right) / c \\cdot S \\cdot \\beta c d t$\n对外 y 冲量 $\\mathrm{dP}_{\\text {yex }}=0$\n\n$$\n\\mathrm{dP}_{\\mathrm{ytot}}=\\mathrm{dP}_{\\mathrm{yin}}+\\mathrm{dP}_{\\mathrm{yex}}\n$$\n\n\n整理上述三个方程\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\left(\\cos \\theta_i-\\beta\\right) w_i-\\left(\\cos \\theta_r+\\beta\\right) w_r-\\beta p=0 \\\\\n\\cos \\theta_i\\left(\\cos \\theta_i-\\beta\\right) w_i+\\cos \\theta_r\\left(\\cos \\theta_r+\\beta\\right) w_r-p=0 \\\\\n\\sin \\theta_i\\left(\\cos \\theta_i-\\beta\\right) w_i-\\sin \\theta_r\\left(\\cos \\theta_r+\\beta\\right) w_r=0\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n要求 $\\left(\\cos \\theta_i-\\beta\\right) w_i,\\left(\\cos \\theta_r+\\beta\\right) w_r, p$ 有非 0 解，行列式为 0\n\n$$\n\\left|\\begin{array}{ccc}\n1 & -1 & -\\beta \\\\\n\\cos \\theta_i & \\cos \\theta_r & -1 \\\\\n\\sin \\theta_i & -\\sin \\theta_r & 0\n\\end{array}\\right|=0\n$$\n解得\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\frac{\\sin \\theta_r}{1+\\beta \\cos \\theta_r}=\\frac{\\sin \\theta_i}{1-\\beta \\cos \\theta_i} \\\\\n\\cos \\theta_{\\mathrm{r}}=\\frac{\\left(1+\\beta^2\\right) \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}-2 \\beta}{1+\\beta^2-2 \\beta \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}}\n\\end{gathered}\n$$\n\n$\\theta_{\\mathrm{r}}=arccos\\frac{\\left(1+\\beta^2\\right) \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}-2 \\beta}{1+\\beta^2-2 \\beta \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}}$\n\n再回代方程，得\n\n$$\n\\frac{w_r}{w_i}=\\left(\\frac{1+\\beta^2-2 \\beta \\cos \\theta_i}{1-\\beta^2}\\right)^2\n$$\n面两个视角大家一般没有推导过，他们的等价体现了麦克斯韦电动力学与近代物理在某些方面完美符合"], "refined_standard_answer": ["\\frac{I_r}{I_i}=\\left(\\frac{1-\\beta}{1+\\beta}\\right)^2, p=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} 2 n_{i} \\hbar \\omega_{i}", "\\frac{I_r}{I_i}=\\left(\\frac{1-\\beta}{1+\\beta}\\right)^2, p=\\frac{1-\\beta}{1+\\beta} \\cdot 2 \\varepsilon_0 E_i^2", "\\theta_{\\mathrm{r}}=\\arccos\\frac{\\left(1+\\beta^2\\right) \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}-2 \\beta}{1+\\beta^2-2 \\beta \\cos \\theta_{\\mathrm{i}}}, \\frac{w_r}{w_i}=\\left(\\frac{1+\\beta^2-2 \\beta \\cos \\theta_i}{1-\\beta^2}\\right)^2"], "sub_subject_name": "Relativity", "subject_name": "Physics"}
{"question": "在远离各星体的近似平直时空中，四艘完全相同，静长 $l_0=1.25 c t_0$ 的飞船 $A, ~ B, ~ C, ~ D$作匀速直线运动。其中 $c$ 为真空光速，$t_0$ 为已知常量。各飞船船体上均固定有两根夹角一定的定位用直杆 $x_i, ~ y_i(i=A, ~ B, ~ C, ~ D$ ，以下简称＂定位杆＂$), x_i$ 杆沿着各自的船身方向。初始时刻，$A, ~ B, ~ C, ~ D$ 四艘船的船尾（记作 $a_i$ ）重合。 在不同飞船参考系中观察到的飞船运动情况与定位杆方向为： （1）飞船 $A$ 参考系中，$y_A$ 杆与 $x_A$ 杆垂直； （2）飞船 $A$ 参考系中，飞船 $B$ 以速度 $v$ 沿 $x_A$ 杆方向运动，$B$ 的两根定位杆与 $A$ 的两杆分别平行； （3）飞船 $B$ 参考系中，飞船 $C$ 以速度 $v$ 沿 $y_B$ 杆方向运动，$C$ 的两根定位杆与 $B$ 的两杆分别平行； （4）飞船 $C$ 参考系中，飞船 $D$ 与飞船 $A$ 保持相对静止，$D$ 的两根定位杆与 $C$ 的两杆分别平行。 （1）求飞船 $C$ 参考系中观察到的飞船 $D$ 的相对速度 $\\vec{v}^{\\prime}$ 。已知 $x_C, ~ y_C$ 杆方向的单位矢量为 $\\hat{x}_C$ ， $\\hat{y}_C$ （2）求飞船 $A$ 参考系中观察到的飞船 $D$ 的两根定位杆的夹角 $\\alpha$ 的表达式，并代入 $v=0.6 c$ 计算结果。用角度制表示，保留 4 位有效数字。 （3）飞船之间通过电磁波相互联络，各船均于船头（记作 $b_i$ ）接收电磁波，于船尾发射电磁波。在飞船 $A$ 参考系中，将初始时刻记作 $t=0$ ，已知 $v=0.6 c$ 。从 $t=0$ 时刻起，各飞船之间按照 $A \\rightarrow B \\rightarrow C \\rightarrow D \\rightarrow A \\rightarrow \\cdots$ 的顺序发射电磁波联络信号，且在各自飞船的参考系中，接收到前一飞船发射的信号与开始向下一飞船发射信号是同时的。求飞船 $A$ 第一次接收到从 $D$ 发射的信号的时刻。结果中的系数保留 4 位有效数字。", "answer_ideas": ["解：\n（1）由于飞船 $D$ 与飞船 $A$ 相对静止，只用计算 $A, ~ C$ 两船的相对速度。在飞船 $B$ 参考系中，飞船 $A$ 的速度分量：\n\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{c}\nv_{A x}^{\\prime}=-v \\\\\nv_{A y}^{\\prime}=0\n\\end{array}\\right.\n$$\n\n\n根据速度变换公式，飞船 $A$ 在飞船 $C$ 参考系中的速度分量\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{c}\nv_{A y}=\\frac{v_{A y}^{\\prime}-v}{1-\\frac{v v_{A y}^{\\prime}}{c^2}}=-v \\\\\nv_{A x}=\\frac{v_{A x}^{\\prime} \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}}{1-\\frac{v v_{A y}^{\\prime}}{c^2}}=-v \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}\n\\end{array}\\right.\n$$\n\n\n因此\n\n$$\n\\vec{v}^{\\prime}=-v \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}} \\hat{x}_C-v \\hat{y}_C\n$$\n\n\n【本问的典型错解：（0 分）\n在飞船 $B$ 参考系中，飞船 $C$ 的速度分量：\n\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nv_{C y}^{\\prime}=v \\\\\nv_{C x}^{\\prime}=0\n\\end{array}\\right.\n$$\n\n\n根据速度变换公式，飞船 $C$ 在飞船 $A$ 参考系中的速度分量\n\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{c}\nv_{C x}=\\frac{v_{C x}^{\\prime}+v}{1+\\frac{v v_{C x}^{\\prime}}{c^2}}=v \\\\\nv_{C y}=\\frac{v_{C y}^{\\prime} \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}}{1+\\frac{v v_{C x}^{\\prime}}{c^2}}=v \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}\n\\end{array}\\right.\n$$\n\n\n因此\n\n$$\n\\vec{v}^{\\prime}=-v \\hat{\\chi}_C-v \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}} \\hat{y}_C\n$$\n\n\n这个解法不能给分，虽然形式上很相似。原因在于，飞船 $A$ 两轴并不与飞船 $C$ 两轴平行。】\n（2）根据题设，分析得到，$A, ~ B, ~ C$ 三艘飞船的两根定位杆在各自本征系中是互相垂直的。方法一：\n在飞船 $C$ 参考系中，由于 $C$ 与 $D$ 之间的相对运动，在沿着相对速度方向上出现长度收缩。\n\n$$\n\\left|\\vec{v}^{\\prime}\\right|=\\sqrt{2 v^2-\\frac{v^4}{c^2}}\n$$\n\n\n相对速度与 $x_C$ 杆夹角\n\n$$\n\\theta=\\arctan \\frac{1}{\\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}}\n$$\n\n\n由于沿着长度方向上收缩因子为 $\\sqrt{1-v^{\\prime 2} / c^2}$ ，垂直于速度方向上无收缩，因此，运动时杆与速度方向的夹角 $\\phi^{\\prime}$ 和本征系中夹角 $\\phi$ 的关系为\n\n$$\n\\tan \\phi^{\\prime}=\\frac{l_{\\perp}^{\\prime}}{l_1^{\\prime}}=\\frac{l_{\\perp}}{l_1 \\sqrt{1-\\frac{v^{\\prime 2}}{c^2}}}=\\frac{\\tan \\phi}{\\sqrt{1-\\frac{v^{\\prime 2}}{c^2}}}\n$$\n\n\n因此，在 $D$ 船参考系中，$x_D, ~ y_D$ 杆与 $C$ 相对于 $D$ 的速度方向的夹角\n$$\n\\begin{gathered}\n\\theta_1=\\arctan \\left(\\tan \\theta \\sqrt{1-\\frac{v^{\\prime 2}}{c^2}}\\right)=\\arctan \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}} \\\\\n\\theta_2=\\arctan \\left(\\frac{1}{\\tan \\theta} \\sqrt{1-\\frac{v^{\\prime 2}}{c^2}}\\right)=\\arctan \\sqrt{\\left(1-\\frac{v^2}{c^2}\\right)^3}\n\\end{gathered}\n$$\n\n（从这里可以看出 $x_D$ 杆与 $x_A$ 杆是重合的）\n因此，总的夹角 $\\alpha$ 为\n\n$$\n\\alpha=\\theta_1+\\theta_2=\\arctan \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}+\\arctan \\sqrt{\\left(1-\\frac{v^2}{c^2}\\right)^3}\\left(=\\arctan \\frac{\\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}}{\\frac{v^2}{c^2}}\\right)\n$$\n\n\n代入 $v=0.6 c$ 算得\n\n$$\n\\alpha=65.77^{\\circ}\n$$\n（3）逐次分析各信号传递过程。约定各参考系时间均以船尾重合时作为零点。 $A \\rightarrow B:$\n飞船 $B$ 参考系中认为的信号接收时间\n\n$$\nt_1^{\\prime}=\\frac{l_0}{c}=1.25 t_0\n$$\n\n$B \\rightarrow C$ ：\n飞船 $B$ 参考系中，设在 $t_2^{\\prime}$ 时间信号到达 $C$ 的船头，则：\n\n$$\n\\sqrt{l_0^2+\\left(v t_2^{\\prime}\\right)^2}=c\\left(t_2^{\\prime}-t_1^{\\prime}\\right)\n$$\n\n\n解得\n\n$$\nt_2^{\\prime}=\\frac{125}{32} t_0=3.90625 t_0\n$$\n\n\n此时飞船 $C$ 的船头坐标\n\n$$\ny_2^{\\prime}=v t_2^{\\prime}=\\frac{75}{32} c t_0=2.34375 c t_0\n$$\n\n\n由洛伦兹变换，飞船 $C$ 参考系中认为的信号接收时间\n\n$$\nt_2^{\\prime \\prime}=\\frac{1}{\\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}}\\left(t_2^{\\prime}-\\frac{v y_2^{\\prime}}{c^2}\\right)=\\frac{25}{8} t_0=3.125 t_0\n$$\n\n$C \\rightarrow D:$\n方法一：\n飞船 $C$ 参考系中，飞船 $D$ 的长度设为 $l_D$ ，则利用（2）问中尺缩效应的分析，\n\n$$\n\\left(l_D \\sin \\theta\\right)^2+\\left(\\frac{l_D \\cos \\theta}{\\sqrt{1-\\frac{v^{\\prime 2}}{c^2}}}\\right)^2=l_0^2\n$$\n\n\n其中，$\\theta$ 由（5）式决定。代入解得：\n\n$$\nl_D=c t_0\n$$\n\n\n设飞船 $C$ 参考系中在 $t_3^{\\prime \\prime}$ 时刻信号到达 $D$ 的船头，则\n\n$$\n\\left(v t_3^{\\prime \\prime}\\right)^2+\\left(v \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}} t_3^{\\prime \\prime}-l_D\\right)^2=c^2\\left(t_3^{\\prime \\prime}-t_2^{\\prime \\prime}\\right)^2\n$$\n\n\n解得：\n\n$$\nt_3^{\\prime \\prime}=10.963 t_0\n$$\n\n\n为了能够利用洛伦兹变换来求解飞船 $D$ 参考系中接收到信号的时间，将 $x_C$ 杆和 $y_C$ 杆构成的坐标框架逆时针旋转 $\\theta$ 角，得到一个新的 $\\xi-\\eta$ 坐标轴。此时，飞船 $D$ 相对于飞船 $C$ 沿着 $\\xi$ 轴的负方向运动。飞船 $D$ 船头接收到信号时，船头的 $\\xi$ 坐标为\n\n$$\n\\xi_3=-\\left(v^{\\prime} t_3^{\\prime \\prime}-l_D \\cos \\theta\\right)=-7.799 c t_0\n$$\n$$\n\\begin{aligned}\n&\\text { 根据洛伦兹变换，飞船 } D \\text { 参考系中认为接收到信号的时刻为 }\\\\\n&t_3=\\frac{1}{\\sqrt{1-\\frac{v^{\\prime 2}}{c^2}}}\\left(t_3^{\\prime \\prime}+\\frac{v^{\\prime} \\xi_3}{c^2}\\right)=7.766 t_0\n\\end{aligned}\n$$\n$D \\rightarrow A:$\n由于飞船 $D$ 事实上与 $A$ 相对静止，因此不需要再变换参考系。因此，$A$ 接收到信号的时刻为\n\n$$\nt=t_3+\\frac{l_0}{c}=9.016 t_0\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["\\vec{v}^{\\prime}=-v \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}} \\hat{x}_C-v \\hat{y}_C", "\\alpha=65.77^{\\circ}", "t=9.016 t_0"], "sub_subject_name": "Relativity", "subject_name": "Physics"}
{"question": "在目前的标准宇宙学模型中，暗物质被认为是一种必不可少的物质组分．暗物质的提出源于 Fritz Zwicky对后发星系团的观测．他发现，virial 定理给出的星系团总质量远大于观测可见的质量．观测可见的物质成为可见物质，剩余部分成为暗物质．暗物质只参与引力相互作用． 星系中的暗物质． 通过对星系的精细观测可以推测暗物质在星系中的分布。考虑一个球对称的星系，假设其内恒星均做圆周运动．那么，通过光谱观测可以测量得到不同半径 $r$ 处恒星的轨道速度 $v(r)$ ． 对此星系的观测发现可见物质集中在半径 $R_g$ 以内，星系在其内是均匀分布的，数密度 $n$ ，每个星系的可见质量均为 $m_s$ ．观测得到的 $v(r)$ 曲线在 $rR_g$ 范围内近似为常量 $v_0$ ． （i）求 $R_g$ 内的总质量 $m_R$ ． （ii）求 $r", "answer_ideas": ["（i）考虑\n\n$$\nG \\frac{m_R}{R_g^2}=\\frac{v_0^2}{R_g}\n$$\n\n\n得到\n\n$$\nm_R=\\frac{v_0^2 R_g}{G}\n$$\n\n（ii）在 $r<R_g$ 范围内，$v \\propto r$ ，易得半径 $r$ 内的质量 $m(r) \\propto r^3$ ，从而\n\n$$\nm(r)=m_R\\left(\\frac{r}{R_g}\\right)^3, \\quad r<R_g\n$$\n\n\n求导得到物质总密度\n\n$$\n\\rho(r)=\\frac{3 v_0^2}{4 \\pi G R_g^2}, \\quad r<R_g\n$$\n\n\n从而暗物质密度\n\n$$\n\\rho_{d m}(r)=\\frac{3 v_0^2}{4 \\pi G R_g^2}-n m_s\n$$\n\n\n在 $r \\geq R_g$ 范围内，$v \\propto r^0$ ，易得半径 $r$ 内的质量 $m(r) \\propto r$ ，从而\n\n$$\nm(r)=m_R\\left(\\frac{r}{R_g}\\right), \\quad r \\geq R_g\n$$\n\n$$\n\\begin{aligned}\n&\\text { 由于此处几乎没有可见物质，求导直接得到暗物质密度：}\\\\\n&\\rho_{d m}(r)=\\frac{v_0^2}{4 \\pi G r^2}\n\\end{aligned}\n$$"], "refined_standard_answer": ["m_R=\\frac{v_0^2 R_g}{G}", "\\rho_{d m}(r)=\\frac{v_0^2}{4 \\pi G r^2}"], "sub_subject_name": "Astrophysics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "假定一个非常理想的J波段滤光片，其响应曲线在1.1到1.3微米上为0.8，在其他波长都为零。1.计算该滤光片的标准波长$\\lambda_0$以及有效波长$\\lambda_{\\mathrm{eff}}$。2.现假定你的标准星是一颗热恒星，其在J滤光片里的光谱形状满足瑞利-金斯近似。而你的目标源是一个星系，其光谱形状为$f_\\lambda d\\lambda = 0.005\\lambda^{1.3}d\\lambda$，计算在标准波长上两者各自的带宽修正，及两者的比值。", "answer_ideas": ["标准波长:\n\\[\n\\lambda_{\\mathrm{std}} = \\frac{\\int \\lambda T \\, d\\lambda}{\\int T \\, d\\lambda} \n= \\frac{\\int_{1.1}^{1.3} \\lambda \\, d\\lambda}{\\int_{1.1}^{1.3} d\\lambda} \n= 1.20\\, \\mu m\n\\]\n有效波长:\n\n\n\\[\n\\lambda_{\\mathrm{eff}} = \\frac{\\int \\lambda^2 T \\, d\\lambda}{\\int \\lambda T \\, d\\lambda} \n= \\frac{\\int_{1.1}^{1.3} \\lambda^2 \\, d\\lambda}{\\int_{1.1}^{1.3} \\lambda \\, d\\lambda} \n= 1.20\\, \\mu m\n\\]\n\n对于标准星（瑞利-金斯近似）:\n\\[\n\\frac{f_{\\lambda = \\lambda_{\\mathrm{std}}}}{f_{\\lambda}^{\\mathrm{filter}}} \n= \\frac{\\frac{1}{\\lambda_{\\mathrm{std}}^4}}{\\left( \\int f_{\\lambda} (\\lambda / hc) T \\, d\\lambda \\big/ \\int T \\, d\\lambda \\right)(hc / \\lambda_{\\mathrm{std}})}\n\\]\n\n\\[\n= \\frac{1}{\\lambda_{\\mathrm{std}}^3} \\cdot \\frac{\\int T \\, d\\lambda}{\\int \\lambda f_{\\lambda} T \\, d\\lambda}\n= \\frac{1}{\\lambda_{\\mathrm{std}}^3} \\cdot \\frac{\\int d\\lambda}{\\int \\frac{d\\lambda}{\\lambda^3}}\n\\]\n\n\\[\n= \\frac{-2}{\\lambda_{\\mathrm{std}}^3} \\cdot \\left. \\frac{\\lambda}{\\lambda^{-2}} \\right|_{1.1}^{1.3} = 0.986\n\\]\n\n对于目标源的光谱形状 $f_\\lambda \\propto\\lambda^{1.3}$:\n\\[\n\\frac{f_{\\lambda = \\lambda_{\\mathrm{std}}}}{f_{\\lambda}^{\\mathrm{filter}}} \n= \\frac{\\lambda_{\\mathrm{std}}^{1.3}}{\\left( \\int f_{\\lambda}(\\lambda / hc) T \\, d\\lambda \\big/ \\int T \\, d\\lambda \\right)(hc / \\lambda_{\\mathrm{std}})}\n\\]\n\n\\[\n= \\lambda_{\\mathrm{std}}^{2.3} \\cdot \\frac{\\int T \\, d\\lambda}{\\int \\lambda f_{\\lambda} T \\, d\\lambda} \n= \\lambda_{\\mathrm{std}}^{2.3} \\cdot \\frac{\\int d\\lambda}{\\int \\lambda^{2.3} \\, d\\lambda}\n\\]\n\n\\[\n= \\lambda_{\\mathrm{std}}^{2.3} \\cdot \\frac{\\left. \\lambda \\right|_{1.1}^{1.3}}{\\left. \\frac{\\lambda^{3.3}}{3.3} \\right|_{1.1}^{1.3}} = 0.997\n\\]\n\n因此标准星与目标源的差别位1.01倍，即1\\%的差别。"], "refined_standard_answer": ["标准波长$1.20\\,\\mu m$，有效波长$1.20\\,\\mu m$", "带宽修正：标准星 0.986; 目标源 0.997。比值为1.01。"], "sub_subject_name": "Astrophysics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "Given an array $A[1:n]$ of $n$ distinct numbers, recall the *quicksort* algorithm to sort them into an ascending order.\n\n* First we let $p\\gets A[1]$ be the pivot.\n* Then we use $p$ to rearrange $A[1:n]$ in the following way:\n  * For some $k\\in [n]$, we have $A[k]=p$;\n  * For all $i\\in \\set{1,2,\\dots,k-1}$, we have $A[i]<p$;\n  * For all $i\\in \\set{k+1,\\dots,n}$, we have $A[i]>p$.\n* Then recursively sort $A[1:k-1]$ and $A[k+1;n]$.\n\nAssume our algorithm used in step 2 to compute $A[1:k-1]$ and $A[k+1:n]$ is *stable*. That is, if $A[i]$ and $A[j]$ are both smaller or larger than $p$ and $i<j$, then after the rearrangement, $A[i]$ still appear before $A[j]$.\n\nClearly the performance of the algorithm depends on the input array $A$. In this problem, we analyze its *average complexity*. Suppose that the input array $A$ is chosen uniformly at random from the $n!$ permutations of the $n$ distinct numbers. Let $t_n$ be the average times of comparisons during the execution of quicksort (the average is taken over all inputs).\n\nFind the general expression for $t_n$. (In the problem, we do care about the constant appearing in the main term. As a result, your expression should be of the form $t_n=f(n)(1+o(1))$ for some $f(n)$)", "answer_ideas": ["For every $k\\in[n]$,\n\n$$\n\\mathbb P[p\\text{ is the }k \\text{-th largest element among the }n\\text{ numbers}]=\\frac{1}{n}.\n$$\n\nIf $p$ is the $k$-th largest element, the array will be divided into two arrays of size $k-1$ and $n-k$ after the rearrangement. Note that the rearrangement itself takes $n-1$ comparisons. Thus, for $n\\geq 1$, we have\n\n$$\nt_n=n-1+\\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^n \\left(t_{k-1}+t_{n-k}\\right)=n-1+\\frac{2}{n}\\sum_{k=0}^{n-1} t_k.\n$$\n\nLet $T(z)$ be the ordinary generating function of $\\set{t_n}$. We have worked out that for $n\\geq 1$, $t_n=n-1+\\frac{2}{n}\\sum_{k=0}^{n-1} t_k$. Multiply both sides by $z^n$ and take sum for all $n$. We have\n\n$$\nT(z)=\\sum_{n\\geq 1}t_nz^n=\\sum_{n\\geq 1}(n-1)z^n+\\sum_{n\\geq 1} \\frac{2}{n}\\sum_{k=0}^{n-1} t_kz^n.\n$$\n\nThen\n\n$$\n\\begin{aligned}\nT'(z)&=\\sum_{n\\geq 1}n(n-1)z^{n-1} + 2\\sum_{n\\geq 1} \\sum_{k=0}^{n-1} t_kz^{n-1}\\\\\n&=z\\left(\\frac{1}{1-z}\\right)'' + 2\\sum_{k\\ge 1}\\left(\\sum_{n\\geq 0}z^n\\right) t_kz^k\\\\\n&=\\frac{2z}{(1-z)^3} +\\frac{2}{1-z}\\sum_{k\\ge 1} t_kz^k\\\\\n&=\\frac{2z}{(1-z)^3} +\\frac{2}{1-z}T(z).\n\\end{aligned}\n$$\n\nRearranging $T'(z)=\\frac{2z}{(1-z)^3} +\\frac{2}{1-z}T(z)$, we have\n\n$$\n(1-z)^2T'(z)-2(1-z)T(z)=\\frac{2z}{1-z} .\n$$\n\nNote that\n\n$$\n(1-z)^2T'(z)-2(1-z)T(z)=\\left((1-z)^2T(z)\\right)'\n$$\n\n and\n\n$$\n\\frac{2z}{1-z}=\\left(-2\\log(1-z)-2z\\right)'.\n$$\n\n Therefore,\n\n$$\n(1-z)^2T(z)=-2\\log(1-z)-2z+c\n$$\n\nwhere $c$ is a constant. Since $T(0)=t_0=0$, we have $c=0$. Thus,\n\n$$\n\\begin{aligned}\nt_n=[z^n]T(z)&=[z^n]\\left(\\frac{-2\\log(1-z)-2z}{(1-z)^2}\\right)\\\\\n&=2\\sum_{k=2}^{n}\\frac{1}{k}\\cdot (n-k+1)\\\\\n&=2(n+1)\\sum_{k=2}^{n}\\frac{1}{k}-2(n-1)\\\\\n&=2(n+1)\\sum_{k=1}^{n}\\frac{1}{k}-4n\\\\\n&=2n\\log n \\cdot (1+o(1)).\n\\end{aligned}\n$$"], "refined_standard_answer": ["$2n\\log n \\cdot (1+o(1))$"], "sub_subject_name": "Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "Suppose there is a country in which people only want boys. What is the sex ratio in expectation of the country if they adopt the following strategy: Each family continues to have children until they have more boys or there are ten children.", "answer_ideas": ["Let $X_t$ be the number of boys minus the number of girls in the first $t$ children of a family. Let $\\tau$ be the minimum between $10$ and the first time $t$ that $X_t=1$. Applying the Optional Stopping Theorem, we know that $E[X_{\\tau}]=0$. Therefore, in expectation, the sex ratio is $1$."], "refined_standard_answer": ["1:1"], "sub_subject_name": "Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "一个二进制线性码 [50, 25]，生成矩阵 $G$：\nG=[[1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1], [0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1], [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1], [1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1], [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0], [1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1], [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]]\n\n收到的Syndrome为[0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1]，其中包含3个bit的error，求解error", "answer_ideas": ["利用ISD算法可以很快的求解\n\n# Information Set Decoding算法\ndef information_set_decoding(H, syndrome, t, max_iterations=10000000000):\n    \"\"\"\n    使用Information Set Decoding算法解码\n    H: 校验矩阵\n    syndrome: 待解码的伴随式\n    t: 错误向量的重量（汉明重量）\n    max_iterations: 最大迭代次数\n    \"\"\"\n    n_minus_k, n = H.shape\n    \n    for iteration in range(max_iterations):\n        # 随机选择n-n_minus_k个列作为信息集\n        info_set = random.sample(range(n), n - n_minus_k)\n        non_info_set = [i for i in range(n) if i not in info_set]\n        \n        # 重排列H的列，使信息集列排在最后\n        H_perm = np.zeros_like(H)\n        perm = non_info_set + info_set\n        inv_perm = [0] * n\n        for i, p in enumerate(perm):\n            inv_perm[p] = i\n        \n        for j in range(n):\n            H_perm[:, inv_perm[j]] = H[:, j]\n        \n        # 提取信息集对应的子矩阵\n        H_info = H_perm[:, n_minus_k:]\n        \n        # 如果子矩阵可逆，尝试解码\n        if np.linalg.matrix_rank(H_info % 2) == n_minus_k:\n            # 解方程 H_info * e_info = syndrome\n            try:\n                e_info = gf2_gauss_elimination(H_info, syndrome)\n                \n                # 构造完整的错误向量\n                e_full = np.zeros(n, dtype=int)\n                for i in range(n_minus_k):\n                    e_full[inv_perm[i]] = 0\n                for i in range(n_minus_k, n):\n                    e_full[inv_perm[i]] = e_info[i - n_minus_k]\n                \n                # 验证错误向量\n                if np.sum(e_full) <= t and np.array_equal(np.dot(H, e_full) % 2, syndrome):\n                    return e_full\n            except:\n                continue\n    \n    return None  # 未找到解\n"], "refined_standard_answer": ["0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0"], "sub_subject_name": "Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个！（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的）教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能，问第二个，不能，第三个，不能，再问第一个，不能，第二个，不能，第三个：我猜出来了，是144！教授很满意的笑了。请问，其他两人的数字的可能性有哪些？", "answer_ideas": ["https://www.zhihu.com/question/23999095\n这个链接里有解答"], "refined_standard_answer": ["（36，108）", "（108，36）", "（32，112）", "（64，80）", "（54，90）"], "sub_subject_name": "Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "猜数游戏的流程如下：在每个回合 $t=1,2,...,T$，进行如下操作\n\n* 对手选择一个数字 $y_t\\in [0,1]$；\n* 你选择一个数字 $x_t \\in [0,1]$ （此时你不知道 $y_t$）；\n* 揭晓数字 $y_t$，你此回合的花费是 $(x_t-y_t)^2$。\n\n我们希望 $T$ 回合之后，你的总花费 $\\sum_{t=1}^T (x_t-y_t)^2$最小。假设对手选择的数字是某个序列 $y_1, y_2, ..., y_T$。如果我们的游戏是“离线”版本的，也就是说对手选择的 $T$ 个数字都揭晓之后，你再选择一个数字 $x$ 使得总花费 $\\sum_{t=1}^T (x-y_t)^2$ 最小，那么我们最优的策略是选择\n\n$$\nx_T^*:= \\arg \\min_{x\\in [0,1]}\\sum_{t=1}^T (x-y_t)^2=\\frac{1}{T}\\sum_{t=1}^T (x-y_t)^2.\n$$\n\n回到在线版本的游戏。我们定义一个策略的懊悔值为该策略的花费减去“离线”最优策略的花费，也就是\n\n$$\nR(T):=\\sum_{t=1}^T (x_t-y_t)^2 - \\min_{x\\in [0,1]}\\sum_{t=1}^T (x-y_t)^2.\n$$\n\n现在我们定义一个在线游戏的策略，即在第 $t$ 回合选择前 $t-1$ 回合的“离线”最优数字，也就是 $x_t := x_{t-1}^*=\\arg \\min_{x\\in[0,1]}\\sum_{s=1}^{t-1} (x-y_s)^2$。请给出该策略懊悔值\n\n$$\nR(T)=\\sum_{t=1}^T (x_{t-1}^*-y_t)^2 - \\sum_{t=1}^T (x_T^*-y_t)^2\n$$\n\n的一个尽可能小的上界（给出关于 $T$的依赖关系即可）。", "answer_ideas": ["我们来证明该策略懊悔值有 $O(\\log T)$ 的上界。首先我们证明选取 $x_t^*:= \\arg     \\min_{x\\in[0,1]}\\sum_{s=1}^{t} (x-y_s)^2$ 优于一直选取 $x_T$，也就是\n\n$$\n\\sum_{t=1}^T\\left(x_T^*-y_t\\right)^2 \\geq \\sum_{t=1}^T\\left(x_t^*-y_t\\right)^2\n$$\n\n我们对 $T$ 归纳证明这个结论。$T=1$ 时该不等式显然成立。 我们假设对于更小的 $T$ 这个式子都成立。 注意到\n\n$$\n\\sum_{t=1}^T\\left(x_T^*-y_t\\right)^2 \\geq \\sum_{t=1}^T\\left(x_t^*-y_t\\right)^2 \\Longleftrightarrow \\sum_{t=1}^{T-1}\\left(x_T^*-y_t\\right)^2 \\geq \\sum_{t=1}^{T-1}\\left(x_t^*-y_t\\right)^2 .\n$$\n\n那么由归纳假设可得\n\n$$\n\\sum_{t=1}^{T-1}\\left(x_t^*-y_t\\right)^2 \\leq \\sum_{t=1}^{T-1}\\left(x_{T-1}^*-y_t\\right)^2 \\leq \\sum_{t=1}^{T-1}\\left(x_T^*-y_t\\right)^2.\n$$\n\n（这里第二个不等号是因为，前 $T-1$ 轮“离线”的最优解一定是 $x_{T-1}^*$。）\n\n那么现在懊悔值有一个上界\n\n$$\nR(T)=\\sum_{t=1}^T\\left(x_t-y_t\\right)^2-\\sum_{t=1}^T\\left(x_T^*-y_t\\right)^2 \\leq \\sum_{t=1}^T\\left(x_t-y_t\\right)^2-\\sum_{t=1}^T\\left(x_t^*-y_t\\right)^2 .\n$$\n\n对于任意 $t=2, \\ldots, T$，我们有\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left(x_{t-1}^*-y_t\\right)^2-\\left(x_t^*-y_t\\right)^2 & =\\left(x_{t-1}^*+x_t^*-2 y_t\\right)\\left(x_{t-1}^*-x_t^*\\right) \\\\\n& \\leq 2\\left|x_{t-1}^*-x_t^*\\right| \\\\\n& =2\\left|\\frac{1}{t-1} \\sum_{s=1}^{t-1} y_s-\\frac{1}{t} \\sum_{s=1}^t y_s\\right| \\\\\n& =2\\left|\\frac{1}{t(t-1)} \\sum_{s=1}^{t-1} y_s-\\frac{1}{t} y_t\\right| \\\\\n& \\leq \\frac{2}{t}.\n\\end{aligned}\n$$\n\n因此我们每轮选取 $x_{t-1}^*$ 时， $R(T) \\leq \\sum_{t=1}^T \\frac{2}{t}=2 H_T$。"], "refined_standard_answer": ["$O(\\log T)$"], "sub_subject_name": "Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "Consider a network with two strategic users sharing a same link with capacity \\(c = 1\\). The utility function of user \\(i\\) is \\(\\alpha_{i}-\\frac{\\alpha_{i}}{(x_{i}+1)}\\), where \\(x_{i}\\) is the rate allocated to user \\(i\\). Each user bids an amount that it is willing to pay, say \\(w_{i}\\) for user \\(i\\), and user \\(i\\) is allocated a data rate given by \\(x_{i}=w_{i}/(w_{1}+w_{2})\\). Thus, the payoff to user \\(i\\) is \\(\\alpha_{i}-\\frac{\\alpha_{i}}{x_{i}}-w_{i}\\). We assume \\(\\alpha_{1}=1\\) and \\(\\alpha_{2}=2\\).\n\n1. Write down the NE for the bids \\((w_{1},w_{2})\\) for these strategic users.\n2. Compute the PoA. ", "answer_ideas": ["1. Following the definition of NE, we have\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\frac{1}{\\left(\\frac{w_{1}}{w_{1}+w_{2}} + 1\\right)^{2}}\\left(1 - \\frac{w_{1}}{w_{1}+w_{2}}\\right)&=w_{1}+w_{2}\\\\\n\\frac{2}{\\left(\\frac{w_{2}}{w_{1}+w_{2}} + 1\\right)^{2}}\\left(1 - \\frac{w_{2}}{w_{1}+w_{2}}\\right)&=w_{1}+w_{2},\n\\end{aligned}\n\\]\nwhich can be simplified to\n\\[\n\\begin{aligned}\nw_{2}&=(2w_{1}+w_{2})^{2}\\\\\n2w_{1}&=(w_{1}+2w_{2})^{2}.\n\\end{aligned}\n\\]\nSolving the equalities above, we obtain\n\\[\nw_{1}=0.1227\\quad\\text{and}\\quad w_{2}=0.1863.\n\\]\n\n2. Under the NE,\n\\[\nx_{1}=0.3970\\quad\\text{and}\\quad x_{2}=0.6030.\n\\]\nThe sum utility is\n\\[\n1-\\frac{1}{x_{1}+1}+2-\\frac{2}{x_{2}+1}=3 - \\frac{1}{1.3970}-\\frac{2}{1.6030}=1.0365.\n\\]\nSolving the following utility maximization problem\n\\[\n\\max_{x_{1}+x_{2}\\leq1}1-\\frac{1}{x_{1}+1}+2-\\frac{2}{x_{2}+1}\n\\]\nyields\n\\[\nx_{1}=0.2426\\quad\\text{and}\\quad x_{2}=0.7574.\n\\]\nThe sum utility is\n\\[\n1-\\frac{1}{x_{1}+1}+2-\\frac{2}{x_{2}+1}=3 - \\frac{1}{1.3970}-\\frac{2}{1.6030}=1.0572.\n\\]\nSo the PoA is \\(1.0365/1.0572 = 0.9804\\). "], "refined_standard_answer": ["w_1 = 0.1227, w_2 = 0.1863", "0.9804"], "sub_subject_name": "Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "在热带沙漠常常温度高达45℃或更高，而相对湿度却低达2%，而在极地，温度降低到零下40℃或更低，相对湿度近100%，试问哪个地区绝对湿度大，大多少倍？", "answer_ideas": ["解：分别求出温度 45 ℃ 与 –40 ℃ 时的饱和水汽压 E 与它们的实际水汽压 e\n\nE₍热₎ = 6.11 × 10^(7.45 × 45/(235 + 45)) = 96.24 (百帕)\nE₍极₎ = 6.11 × 10^(7.45 × (–40)/(235 – 40)) = 0.18 (百帕)\n\ne₍热₎ = 96.24 × 0.02 = 1.925 (百帕)\ne₍极₎ = 0.18 × 1    = 0.18 (百帕)\n\n则\n\na₍热₎ = 217 · (e₍热₎ / T₍热₎) = 217 · (1.93 / (273 + 45)) = 1.31 (克/米³)\na₍极₎ = 217 · (e₍极₎ / T₍极₎) = 217 · (0.18 / (273 – 40)) = 0.17 (克/米³)\n\n热带沙漠地区约为上述结果的 7.7 倍。\n"], "refined_standard_answer": ["热带沙漠", "7.7倍"], "sub_subject_name": "Geography", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "若空气微团只受到水平科里奥利力的作用，水平初速度为V₀，t = 0时微团的位置矢量为r₀，设f = 常值，试求该微团的运动轨迹。", "answer_ideas": ["答：由于空气微团只受到水平科里奥利力的作用，即\ndu/dt = fv\ndv/dt = -fu\n对第一式求t的导数，得\nd²u/dt² = -f²u\n式特征方程为： r² + f² = 0\n解得  r₁,₂ = ±fi\n所得原方程的解为  u = C₁cos ft + C₂sin ft\nv = -C₁sin ft + C₂cos ft     (C₁,C₂任意常数)\n当t = 0时，u = u₀, v = v₀  ，得C₁ = u₀, C₂ = v₀\n要得到位移，需要对速度积分∫₀ᵗ udt = ∫₀ᵗ (C₁cos ft + C₂sin ft)dt\nx - x₀ = (u₀/f)sin ft - (v₀/f)cos ft + v₀/f\n可得  y - y₀ = (u₀/f)cos ft - u₀/f + (v₀/f)sin ft\n最终答案：\n移项平方得  (x - x₀ - v₀/f)² + (y - y₀ + u₀/f)² = V₀²/f²\n说明：\n这是一个以(x₀ + v₀/f, y₀ - u₀/f)为圆心，V₀/f为半径的圆形轨迹。"], "refined_standard_answer": ["(x - x_0 - v_0/f)^2 + (y - y_0 + u_0/f)^2 = V_0^2/f^2，这是一个以(x_0 + v_0/f, y_0 - u_0/f)为圆心，V_0/f为半径的圆形轨迹。"], "sub_subject_name": "Geography", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "位于北半球的一位驾驶员在夏至这一天中午时分驱车向正北行驶，发现其前方车辆与地面夹60角的汽车玻璃反射的太阳光正几乎平行于地面刺眼地射向他。该驾驶员的地理纬度大约是北纬多少度？", "answer_ideas": ["太阳高度角计算：夏至日太阳直射北纬23.5°（δ=23.5°N）。\n1.太阳高度角计算公式：\n\\[ h = 90^\\circ - |\\phi - \\delta| \\]\n因驾驶员位于北半球且 $\\phi \\geq 23.5^\\circ$，故：\n\\[ h = 90^\\circ - (\\phi - 23.5^\\circ) = 113.5^\\circ - \\phi \\]\\\n2. 反射条件分析\n反射光线需水平向北，即反射向量为 $\\mathbf{r} = (0, 1, 0)$。通过反射定律和几何关系推导，得出太阳高度角：\n\\[ h = 60^\\circ \\]。\n3. 纬度求解\n将 $h = 60^\\circ$ 代入公式：\n\\[ 60^\\circ = 113.5^\\circ - \\phi \\implies \\phi = 113.5^\\circ - 60^\\circ = 53.5^\\circ \\]\n因此，驾驶员的地理纬度约为\\textbf{北纬$53.5^\\circ$}。"], "refined_standard_answer": ["北纬53.5度"], "sub_subject_name": "Geography", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "为什么北非地区形成了世界上最大的沙漠：撒哈拉沙漠，而同纬度带的东亚地区却降水相对充沛？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["北非受副热带高气压带控制，盛行下沉气流，干旱少雨；东亚则因青藏高原的大地形作用改变了大气环流，南支槽能输送充足水汽，因而降水充沛。"], "sub_subject_name": "Geography", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "风暴号气象卫星上的辐射仪测出10微米处（大气窗区）地表的辐射率为0.98*10焦耳/秒米2微米 球面度，如果忽略大气影响，则地表温度为多少开？", "answer_ideas": ["解：已知普朗克公式  \nI_{λTb} = \\frac{2hc^2}{λ^5}\\,\\frac{1}{e^{\\tfrac{hc}{λkT}} - 1}\n\n从上式解出 T，有\nT = \\frac{hc}{λk \\ln\\Bigl[\\tfrac{2hc^2}{λ^5 I_{λTb}} + 1\\Bigr]}\n\n将已知数值代入上式，有\nT = \n\\frac{6.6×10^{-34} × 3×10^8}\n{1.38×10^{-23} × 10^{-6} × \\ln\\Bigl[\\frac{2 × 6.6×10^{-34} × (3×10^8)^2}{0.98×10^7 × (10×10^{-6})^5} + 1\\Bigr]}\n\n经演算得  T = 298（K）\n"], "refined_standard_answer": ["298 K"], "sub_subject_name": "Geography", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "If I have a wind sensor next to a tree and I am measuring the motion of this tree (relative to its equilibrium position) with a very accurate and fast position sensor, and I want to investigate how the motion of the tree in response to the wind force is lagged/delayed relative to the wind pushing it, what spectra would I plot?", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["phase spectra"], "sub_subject_name": "Geography", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "春季山东半岛北部烟台威海比南部青岛地区强对流发生频率高的原因包括哪些，请说明原因。 A.整体温度相对较高 B.距离导致强对流的天气系统近 C.渤海水汽常比黄海旺盛 D.西北引导气流输送渤海水汽 E.有一些丘陵地区，地形条件较好。", "answer_ideas": ["春季以偏南风为主，半岛北部以陆风为主，南部以海风为主，海温低，因此A对，北部温度高，利于动力抬升导致空气上下对流，利于强对流天气。\n春季山东半岛强对流以东北冷涡为主，半岛北部显然距离东北近，更容易发生强对流，因此B对。\n渤海水汽比黄海旺盛，没有这个说法，都是一样的海洋，况且黄海比渤海还大，故C错。\n在东北冷涡影响下，山东半岛北部经常以西北气流为主，因此缺少不了西北部的水汽输送，D对。\n山东半岛北部的丘陵比南部要多，且尤其是烟台和威海地区，E对。"], "refined_standard_answer": ["ABDE"], "sub_subject_name": "Geography", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "已知香港GNSS站点HKCL以经纬度形式表示的坐标为：\n纬度 $\\phi = 22^\\circ 17' 45.03141'' \\, \\text{N}$  \n经度 $L = 113^\\circ 54' 27.79510'' \\, \\text{E}$  \n椭球高 $h = 7.7136 \\, \\text{m}$  \n\n已知WGS84椭球参数：  \n$$\na = 6378137 \\, \\text{m}, \\quad f = \\frac{1}{298.257223563}\n$$  \n\n计算该点在WGS84坐标系下的笛卡尔坐标 $(X, Y, Z)$", "answer_ideas": ["通过将经纬度转换为弧度，计算椭球偏心率和卯酉圈曲率半径，最终得出笛卡尔坐标:\n\n步骤1：角度单位转换\n纬度转换：\n$$\n\\phi = 22 + \\frac{17}{60} + \\frac{45.03141}{3600} = 22.295842^\\circ \\quad \\Rightarrow \\quad \\phi_{\\text{rad}} = 0.389076 \\, \\text{rad}\n$$\n\n经度转换：\n$$\nL = 113 + \\frac{54}{60} + \\frac{27.79510}{3600} = 113.907721^\\circ \\quad \\Rightarrow \\quad L_{\\text{rad}} = 1.986424 \\, \\text{rad}\n$$\n\n步骤2：椭球参数计算\n第一偏心率平方：\n$$\nf = \\frac{1}{298.257223563} = 0.0033528107 \\\\\ne^2 = 2f - f^2 = 0.006694379989 \\\n$$\n\n卯酉圈曲率半径：\n$$\n\\sin^2\\phi = \\sin^2(0.389076) = 0.146387 \\\\\nN = \\frac{6378137}{\\sqrt{1 - 0.006694379989 \\times 0.146387}} = 6381632.7 \\, \\text{m} \\, \n$$\n\n步骤3：笛卡尔坐标计算\n三角函数计算：\n$$\n\\begin{aligned}\n    \\cos\\phi &= \\cos(0.389076) = 0.925363 \\\\\n    \\sin\\phi &= \\sin(0.389076) = 0.379045 \\\\\n    \\cos L &= \\cos(1.986424) = -0.399407 \\\\\n    \\sin L &= \\sin(1.986424) = 0.916782 \n\\end{aligned}\n$$\n\n坐标分量计算：\n$$\n\\begin{aligned}\n    X &= (6381632.7 + 7.7136) \\times 0.925363 \\times (-0.399407) = -2392740.9396 \\, \\text{m} \\\\\n    Y &= (6381632.7 + 7.7136) \\times 0.925363 \\times 0.916782 = 5397563.0493 \\, \\text{m} \\\\\n    Z &= \\left[(1 - 0.006694379989) \\times 6381632.7 + 7.7136\\right] \\times 0.379045 = 2404757.8653 \\, \\text{m}\n\\end{aligned}\n$$"], "refined_standard_answer": ["X=-2392740.9396\nY=5397563.0493\nZ=2404757.8653"], "sub_subject_name": "Geodesy", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "某北斗导航卫星（轨道高度21500km，倾角55°，周期12小时）在某测试阶段发现以下异常：  \n1. 星载原子钟与地面基准钟的日累积时间偏差达Δt=52.3μs，超出设计误差范围（±20μs）；  \n2. 轨道摄动分析显示径向漂移速率异常，达到0.18m/s²，远超大气阻力预测值（0.06m/s²）；  \n3. 星载加速度计记录到周期性扰动，频率与地球自转同步（周期24小时），振幅达8×10⁻⁶ m/s²。  \n导致该异常现象的主要物理机制是：  \n\nA. 狭义相对论时间膨胀效应  \nB. 广义相对论引力红移与Sagnac效应耦合  \nC. 地球重力场非保守力摄动（如潮汐力）  \nD. 太阳光压与大气阻力耦合  ", "answer_ideas": ["1. ​**排除狭义相对论（A）​**：  \n   狭义相对论仅能解释时间膨胀效应，但卫星速度对应的时间偏差仅为约1.3μs/日，远小于观测值的52.3μs。且该效应无法解释轨道漂移和周期性扰动。  \n\n2. ​**验证广义相对论（B）​**：  \n   - ​**引力红移**：卫星在地球引力场中时间流逝变慢，导致原子钟每日累积延迟约38.9μs。  \n   - ​**Sagnac效应**：地球自转使卫星轨道产生相位差，叠加引力红移后总时间偏差达52.3μs。  \n   - 两种效应共同导致原子钟异常，且与轨道摄动周期同步。  \n\n3. ​**排除地球重力场非保守力（C）​**：  \n   潮汐力等非保守力引起的加速度扰动频率低（周期数小时至数天），无法匹配24小时周期性信号，且漂移速率异常远超理论预测值。  \n\n4. ​**排除太阳光压与大气阻力（D）​**：  \n   太阳光压对21500km轨道的摄动影响极小（加速度仅约2×10⁻¹² m/s²），大气阻力导致的漂移速率（0.06m/s²）仅为观测值的三分之一。  "], "refined_standard_answer": ["B"], "sub_subject_name": "Geodesy", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "经典测量平差的四种平差方法分别是什么？四种平差方法有什么相同点和不同点？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["条件平差、间接平差、附有参数的条件平差和附有限制条件的间接平差", "相同点：随机模型相同，平差准则相同，结果相同。不同点：参数个数不同，函数模型不同。"], "sub_subject_name": "Geodesy", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "两个无穷接近的水准面之间的距离不是一个常数，这是因为_____在水准面不同点上的数值是不同的。\n\n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["重力加速度"], "sub_subject_name": "Geodesy", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "以下观测环境中，有利于GNSS测量工作的是 ()\na. 高层建筑附近\nb. 开阔的海面\nc. 高压电线周围\nd. 城市楼顶\n", "answer_ideas": ["海面存在大量的多路径信号，严重影响定位。高楼楼顶相对少的遮挡，也是城市建筑形变监测的设备安装之处"], "refined_standard_answer": ["d"], "sub_subject_name": "Geodesy", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "卫星星历误差实际上就是卫星位置的确定误差。也是一种____误差，其大\n小主要取决于卫星跟踪站的数量及_____、观测值的数量及精度、轨道计算时所用的\n轨道模型及_____的完善程度。\n\n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["起始数据", "空间分布", "定轨软件"], "sub_subject_name": "Geodesy", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "判断题：在同一重力等位面上两点的高程不相等。\n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["正确"], "sub_subject_name": "Geodesy", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "一圆形气旋系统保持形状不变，以15m/s的速度水平向东移动，切向均匀的地转风速也为15m/s。试求离气旋中心500km正东、正南、正西、正北四点上空气微团的轨迹曲率半径（以km表示），并求出四点的梯度风风速（取f = 10⁻⁴s⁻¹）。", "answer_ideas": ["解答过程\n基本原理：\n由于气旋系统向东移动，空气微团的实际轨迹曲率半径会因系统移动而改变。流线与流型移动方向（正东）之间的夹角为β，则轨迹曲率半径为：\nRt = R₀(1 - C cos β / V)\n其中：\n\nR₀ = 500km（原始曲率半径）\nC = 15m/s（气旋移动速度）\nV = 15m/s（地转风速）\nβ为各方向与东向的夹角\n\n各方向轨迹曲率半径计算：\n东向：β = 90°，cos β = 0，轨迹曲率半径Rt = 500km\n南向：β = 0°，cos β = 1，轨迹曲率半径Rt = ∞\n西向：β = -90°，cos β = 0，轨迹曲率半径Rt = 500km\n北向：β = 180°，cos β = -1，轨迹曲率半径Rt = 1000km\n计算说明：\n\n东：Rt = 500(1 - 15×0/15) = 500km\n南：Rt = 500(1 - 15×1/15) = 500(1-1) = ∞\n西：Rt = 500(1 - 15×0/15) = 500km\n北：Rt = 500(1 - 15×(-1)/15) = 500(1+1) = 1000km\n\n注：原解答中北向为250km，应为计算错误，正确值为1000km。\n梯度风风速计算：\n由梯度风平衡方程：\n(1/ρ)(∂p/∂n) + fVG + VG²/Rt = 0\n且地转风：fVg = -(1/ρ)(∂p/∂n)\n所以：-fVg + fVG + VG²/Rt = 0\n解得：VG = (fRt/2)[-1 + √(1 + 4Vg/(fRt))]\n各方向梯度风风速计算结果：\n东向：轨迹曲率半径500km，梯度风风速12.08 m/s\n南向：轨迹曲率半径∞，梯度风风速15.00 m/s\n西向：轨迹曲率半径500km，梯度风风速12.08 m/s\n北向：轨迹曲率半径1000km，梯度风风速13.66 m/s\n计算说明：\n\n当Rt = ∞时（南向），梯度风 = 地转风 = 15m/s\n其他方向按公式计算，其中f = 10⁻⁴s⁻¹，Vg = 15m/s"], "refined_standard_answer": ["轨迹曲率半径：正东500km，正南∞，正西500km，正北1000km", "梯度风风速：正东12.08 m/s，正南15.00 m/s，正西12.08 m/s，正北13.66 m/s"], "sub_subject_name": "Space Physics", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "一个人造卫星从南半球飞向北半球，通过赤道时飞行方向与赤道成60°交角，相对水平速度为8km/s，试求它的科里奥利加速度。", "answer_ideas": ["\n解：当人造地球卫星在赤道上空时，其速度可分解为\nV = Vh = Vh cos α i + Vh sin α j\n式中α为倾角，Vh表示水平速度。这时由于\nΩ = Ω j\n则科氏加速度 C = 2Ω × V = 2ΩVh cos α j × i + 2ΩVh sin α j × j = -2ΩVh cos α k\n令 Vh = 8 × 10³ m/s, α = 60°，则科氏加速度数值\n\nC = 2ΩVh cos α = 0.58m/s²，其方向垂直于赤道地面指向地心。"], "refined_standard_answer": ["大小为 0.58m/s²，方向垂直于赤道地面指向地心"], "sub_subject_name": "Space Physics", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "假定对流层顶高度为H，对流层中的温度随高度线性递减（T = T₀ - γz），对流层顶以上温度随高度不变，大气满足静力平衡条件，试求单位截面积自海平面延伸至大气上界整个气柱中的内能、位能、全位能。", "answer_ideas": ["解：由题意知，大气温度的垂直分布为 T = {T₀ - γz, 0 ≤ z ≤ H\n{T₀ - γH, z > H\nI* = (cᵥ/g) ∫₀^pH Tdp\n因 Φ* = (R/g) ∫₀^pH Tdp\nP* = I* + Φ*\n则 I* = (cᵥ/g) [∫₀^pH T₀(p/p₀)^(Rγ/g) dp + ∫₀^pH TH dp] = (cᵥ/g) [g/(g + Rγ) (T₀p₀ - TH pH) + TH pH]\n= (cᵥ/(g + Rγ)) (T₀p₀ + (Rγ/g)TH pH)\nΦ* = (R/g) ∫₀^pH Tdp = (R/g) · g/(g + Rγ) (T₀p₀ + (Rγ/g)TH pH) = (R/(g + Rγ)) (T₀p₀ + (Rγ/g)TH pH)\nP* = I* + Φ* = (cp/(g + Rγ)) (T₀p₀ + (Rγ/g)TH pH)"], "refined_standard_answer": ["内能： I* = (c_v/(g + Rγ)) (T_0 p_0 + (Rγ/g)T_H p_H)", "位能： Φ* = (R/(g + Rγ)) (T_0 p_0 + (Rγ/g)T_H p_H)", "全位能： P* = (c_p/(g + Rγ)) (T_0 p_0 + (Rγ/g)T_H p_H)"], "sub_subject_name": "Space Physics", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "一个密封的绝热气缸，底面积为\\(S_0\\)，用一个绝热活塞密封住一些理想气体，气体初态压强为\\(P_0\\)，气柱长度为\\(x_0\\)，外部大气压强恒定为\\(P_0/2\\) 。初态气体温度为\\(T_0\\) 。气体定体摩尔热容量为\\(C_V = \\frac{3R}{2}\\) 。绝热方程为\\(pV^{\\gamma}=\\)常数，其中\\(\\gamma=\\frac{C_V + R}{C_V}\\) 。从静止开始释放活塞，在所有问题中，活塞运动的速度都远远小于分子热运动速度。 (a) 假设活塞和气壁之间有轻微的摩擦，发热都被密封的气体吸收，求末态活塞平衡的位置\\(x_1\\)和\\(x_0\\)的比值。 \\(\\frac{x_1}{x_0}=\\)__________，用数值表达，精确到三位有效数字。 (b) 假设活塞和气壁之间没有摩擦，求活塞释放后第一次速度为0时的位置\\(x_2\\) \\(\\frac{x_2}{x_0}=\\)__________，用数值表达，精确到三位有效数字。 (c) 假设活塞和气壁之间有恒定的阻力\\(f = \\frac{P_0S_0}{4}\\) ，求活塞释放后第一次速度为0时的位置\\(x_3\\) 。和(a)一样，发热都被密封的气体吸收。 \\(\\frac{x_3}{x_0}=\\)__________，用数值表达，精确到三位有效数字。", "answer_ideas": ["(a) 末态压强为\\(P_{0}/2\\)，以气体加活塞整体为对象，这样对外做功就用\\(\\frac{P_{0}}{2}(x_{1}-x_{0})S\\) \n能量守恒：\\(\\nu c_{V}T_{0}=\\nu c_{V}T_{1}+\\frac{P_{0}}{2}S(x_{1}-x_{0})\\)\n状态方程：\\(PSx = \\nu RT\\)\n得到：\\(\\frac{3}{2}P_{0}Sx_{0}=\\frac{3}{2}\\frac{P_{0}}{2}Sx_{1}+\\frac{P_{0}}{2}S(x_{1}-x_{0})\\)\n\\(\\frac{x_{1}}{x_{0}} = 1.60\\)\n\n(b) 以密封的气体为对象看，满足绝热方程：\\(P_{0}x_{0}^{\\gamma}=P_{2}x_{2}^{\\gamma}\\)（第一次停下来时候，不一定是受力平衡态，只是速度为0 ）\n以气体加活塞为对象，初末态动能为0，由能量守恒：\\(\\frac{3}{2}P_{0}x_{0}=\\frac{3}{2}P_{2}x_{2}+\\frac{P_{0}}{2}(x_{2}-x_{0})\\)\n得到：\\(3(\\frac{x_{2}}{x_{0}})^{-\\frac{2}{3}}+\\frac{x_{2}}{x_{0}}-4 = 0\\)，令\\(f(\\frac{x_{2}}{x_{0}})=3(\\frac{x_{2}}{x_{0}})^{-\\frac{2}{3}}+\\frac{x_{2}}{x_{0}}-4\\)\n数值求解：\n\n| \\(\\frac{x_{2}}{x_{0}}\\)            | 2    | 3    | 2.2  | 2.3  | 2.25 | 2.26 | 2.254 | 2.255 |\n| ---------------------------------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ----- | ----- |\n| \\(f(\\frac{x_{2}}{x_{0}})\\)         | -    | +    | -    | +    | -    | +    | -     | -     |\n| 因此\\(\\frac{x_{2}}{x_{0}} = 2.26\\) |      |      |      |      |      |      |       |       |\n\n(c) 求此过程的方程，能量守恒：\\(\\frac{3}{2}\\nu RdT = fdx - PSdx\\)\n令\\(\\chi=\\frac{x_{3}}{x_{0}}\\)；\\(\\pi=\\frac{P}{P_{0}}\\)，带入理想气体状态方程得到：\n\\(\\frac{3}{2}d(\\pi\\chi)=\\frac{1}{4}d\\chi-\\pi d\\chi\\)\n整理得到\n\\((5\\pi-\\frac{1}{2})d\\chi=-3\\chi d\\pi\\)\n类似于绝热方程的推导有\n\\(-\\frac{5}{3}\\frac{d\\chi}{c}=-\\frac{d\\pi}{\\pi-\\frac{1}{10}}\\)\n即\n\\((\\pi - \\frac{1}{10})\\chi^{\\frac{5}{3}}=\\)常数\\( = 0.9\\)\n以气体加活塞为对象，对于初末态能量守恒，由于动能不变，摩擦力做功发热属于内部作用，于是有：\n\\(\\frac{P_{0}}{2}(x_{3}-x_{0})S=\\gamma C_{V}(T_{末}-T_{0})=\\frac{3}{2}(p_{0}x_{0}S - px_{3}S)\\)\n即：\n\\(\\chi - 1 = 3(1 - \\pi\\chi)\\)\n和“绝热方程”联立得到：\n\\(f(\\chi)=(\\frac{4 - \\chi}{3\\chi}-\\frac{1}{10})\\chi^{\\frac{5}{3}}-0.9 = 0\\)\n除了\\(\\chi = 1\\)外，数值求得另一个解为\\(\\chi=\\frac{x_{3}}{x_{0}} = 1.47\\) "], "refined_standard_answer": ["1.60", "2.26", "1.47"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "根据杂质电离的典型激活能，粗略估算能够影响本征硅载流子浓度的最低掺杂浓度？与硅原子浓度的比例是多少（提示：硅晶圆纯度要求为11个‘9’）？", "answer_ideas": ["本征硅的原子密度： \\rho _{Si} = 5 \\times 10^{22} cm^{-3} ,本征载流子密度（硅热激发的电子、空穴密度）： n_{i} = 1.5\\times 10^{10} cm^{-3},如果硅晶圆中杂质电离的载流子(电子/空穴)密度小于本征载流子密度，则对硅晶圆的导电特性影响可以忽略，即：n_{i} = n_{杂质电离} \\approx  \\rho _{杂质}\\times e^{\\frac{-E_{A} }{KT} } ,其中，EA为杂质电离能，对于硅常用的杂质，As、B、P，典型值为接近50meV，相对于2KT(室温下，KT≈26meV)，故:n_{杂质} =n_{i} \\times e^{2} =1.5\\times 10^{10}\\times 7.3=10^{11} cm^{-3} \\approx 10^{-11} n_{Si} ，所以，影响本征硅载流子浓度的最低掺杂浓度为10^{11} cm^{-3}，与硅原子浓度的比例为10^{-11}，相当于硅晶圆11个‘9’的纯度。"], "refined_standard_answer": ["10^{11} cm^{-3}", "10^{-11}"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "有一个竖直的绝热圆柱形容器，容器高2h，它的正中间有一块活动轻质导热隔板。初始时隔板上下各包括一摩尔相同的双原子分子气体。假设中间的隔板上被放了一个质量为M（M很大）的重物，求最终平衡的时候隔板会向下位移多少？", "answer_ideas": ["假设横截面积为A，位移为y，上下侧初始压力p_0，最终压力为$p_1,p_2$。由能量守恒$Mgy=\\frac{5}{2}[p_1A(h-y)+p_2A(h+y)-2p_0Ah]$，由于M很大，最后一项可忽略。由受力和热平衡，$(p_1-p_2)A=Mg, p_1A(h-y)=p_2A(h+y)$，可得$y=\\sqrt{5/7}h$"], "refined_standard_answer": ["$\\frac{\\sqrt{35}}{7}h$"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "有两个体积为 $V$ 的相同容器内有等量的同样状态下的单组分理想气体，其压强为 $p$ ，温度为 $T$ ，由一个质量为 $m$ 的活塞隔开，它处于一个面积为 $S$ 的光滑管道内．而热学理论认为在 热平衡状态下，其构成气体的每一个分子具有平均动能： $$ \\bar{\\varepsilon}=\\frac{i}{2} k T $$ 其中 $k$ 为玻尔兹曼常数，而 $i$ 为分子的自由度数．理想气体状态方程中的普适气体常量可以表达为 $R=N_A k$ ，其中 $N_A$ 为阿伏伽德罗常数． （1）下面认为活塞与容器都是绝热的，计算活塞在管道内做小振动的周期． （2）若活塞一开始处于平衡位置，但我们不去对活塞做微扰，活塞有无可能做来回振动？热力学与统计物理给出了肯定的结果，背后的机制在于热力学系统无所不在的涨落现象．根据基本的热学原理计算两个容器内部的压强涨落的平均值 $\\Delta p$ ．它的定义应当为压强瞬时值 $p(t)$相对平均值 $p$ 之差随时间平均后的开方（方均根值）： $$ \\Delta p=\\sqrt{\\overline{(p(t)-p)^2}} $$", "answer_ideas": ["（1）\n对于绝热过程方程：\n\n$$\np V^\\gamma=C\n$$\n\n\n取其对数微分得到：\n\n$$\n\\frac{\\mathrm{d} p}{p}+\\gamma \\frac{\\mathrm{d} V}{V}=0\n$$\n\n\n其中绝热指数为：\n\n$$\n\\gamma=\\frac{i+2}{i}\n$$\n\n\n而两侧气体体积的改变为：\n\n$$\n\\mathrm{d} V=S \\mathrm{~d} x\n$$\n\n\n其中 $\\mathrm{d} x$ 为 $m$ 的位移．从而回复力：\n\n$$\n\\mathrm{d} F=2 \\mathrm{~d} p S\n$$\n\n\n代入得到：\n\n$$\n\\mathrm{d} F=-\\frac{2(i+2) p S^2}{i V} \\mathrm{~d} x\n$$\n\n\n从而系数就是等效劲度系数．其小振动角频率为：\n\n$$\nw^2=\\frac{k}{m}=\\frac{2(i+2) p S^2}{i m V}\n$$\n\n\n根据周期公式：\n\n$$\nT=\\frac{2 \\pi}{\\omega}\n$$\n\n得到：\n$$\nT = 2 \\pi \\sqrt{\\frac{imV}{2(i+2)pS^2}}\n$$\n\n\n（2）\n\n设两侧压强的涨落具有形式：\n$$\n\\begin{aligned}\n& p_1=p+A \\cos \\left(\\omega t+\\varphi_1\\right) \\\\\n& p_2=p+A \\cos \\left(\\omega t+\\varphi_2\\right)\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n其中 $\\varphi_1, \\varphi_2$ 应当是无长时间关联的随机相位．则产生的合力为：\n\n$$\nF=A S\\left[\\cos \\left(\\omega t+\\varphi_2\\right)-\\cos \\left(\\omega t+\\varphi_1\\right)\\right]\n$$\n\n\n而 $m$ 的运动方程与之联系为：\n\n$$\nF(t)=-m \\omega^2 x(t)\n$$\n\n\n\n得到其速度：\n\n$$\nv(t)=\\dot{x}(t)=\\frac{A S}{m \\omega}\\left[\\sin \\left(\\omega t+\\varphi_2\\right)-\\sin \\left(\\omega t+\\varphi_1\\right)\\right]\n$$\n\n\n从而压强涨落的平均为：\n\n$$\n\\Delta p=\\sqrt{\\overline{\\left(p_i-p\\right)^2}}=A \\sqrt{\\overline{\\cos ^2\\left(\\omega t+\\varphi_1\\right)}}=\\frac{A}{\\sqrt{2}}\n$$\n\n\n\n再考虑计算 $m$ 的动能的平均值：\n\n$$\n\\overline{E_k}=\\frac{1}{2} m \\overline{v^2(t)}=\\frac{A^2 S^2}{2 m \\omega^2}\\left[\\overline{\\sin ^2\\left(\\omega t+\\varphi_1\\right)}+\\overline{\\sin ^2\\left(\\omega t+\\varphi_2\\right)}-2 \\overline{\\sin \\left(\\omega t+\\varphi_1\\right) \\sin \\left(\\omega t+\\varphi_2\\right)}\\right]\n$$\n\n\n由于 $\\varphi_1, \\varphi_2$ 无长时间的关联，故第三项平均值为零．从而这个式子为：\n\n$$\n\\overline{E_k}=\\frac{A^2 S^2}{2 m \\omega^2} \\cdot\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{A^2 S^2}{2 m \\omega^2}\n$$\n\n\n最后动能平均值应当具有关系：\n\n$$\n\\overline{E_k}=\\frac{1}{2} k T\n$$\n\n\n故代入整理得到：\n\n$$\n\\Delta p=\\sqrt{\\frac{(i+2) k T p}{i V}}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["T = 2 \\pi \\sqrt{\\frac{imV}{2(i+2)pS^2}}", "\\Delta p=\\sqrt{\\frac{(i+2) k T p}{i V}}"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "For a Fermi--Dirac gas, we may define a temperature $T_0$ at which the chemical potential of the gas is zero ($z = 1$). Express $T_0$ in terms of the Fermi temperature $T_F$ of the gas.", "answer_ideas": ["$T_0 = \\left(\\frac{N}{gV\\,f_{3/2}(1)}\\right)^{2/3}\\left(\\frac{h^2}{2\\pi mk}\\right).$ At the same time, the Fermi temperature $T_F$ is given by, $T_F \\equiv \\frac{\\varepsilon_F}{k} = \\left(\\frac{3N}{4\\pi gV}\\right)^{2/3}\\frac{h^2}{2mk}.$ It follows that $\\frac{T_0}{T_F} = \\left(\\frac{4\\pi}{3\\,f_{3/2}(1)}\\right)^{2/3}\\frac{1}{\\pi}.$ Now, $f_{3/2}(1) = (1 - 2^{-1/2})\\zeta(3/2) \\simeq 0.765$ we get: $T_0/T_F \\simeq 0.989.$"], "refined_standard_answer": ["$T_0/T_F \\simeq 0.989.$"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "地面上固定一个截面积为 $S$ 的圆柱形容器，器壁绝热，顶部用质量为 $p_0 S / g$ 的绝热活塞密封 （ $g$ 为重力加速度），活塞下表面和容器底面平行。容器外为真空，容器内有双原子分子理想气体，单个分子质量为 $m$ ，分子总数为 $N$ ，容器内各处气体温度均为 $T_0$ 。在活塞上缓慢地撒上总质量为 $\\left(p_1-p_0\\right) S / g$ 的粉末，忽略所有摩擦，要求考虑重力对于气体分子分布的影响，试求最终容器内气体温度 $T_1$ 。", "answer_ideas": ["【解析】在重力场中的平衡态下，温度 $T$ 对应的分子数密度服从玻尔兹曼分布：\n\n$$\nn(z)=n_0 \\exp \\left(-\\frac{m g z}{k T}\\right)\n$$\n\n\n式中 $n_0$ 是 $z=0$（容器底部）的分子数密度，是待求的未知量；$k$ 是玻尔兹曼常数。容器内分子总数不变，恒为 $N$ ：\n\n$$\nN=\\int_0^H S n(z) \\mathrm{d} z=S n_0 \\int_0^H \\exp \\left(-\\frac{m g z}{k T}\\right) \\mathrm{d} z=\\frac{S n_0 k T}{m g}\\left[1-\\exp \\left(-\\frac{m g H}{k T}\\right)\\right]\n$$\n\n\n由于系统绝热且撒粉缓慢，可认为容器内气体经历准静态绝热过程。对于过程中任一时刻，设容器内气体温度为 $T$ ，容器内活塞下表面处气压为 $p$ ，活塞下表面到容器底面的高度为 $H$ ，根据热力学第一定律，对容器内气体有\n\n$$\n-p S \\mathrm{~d} H=\\frac{5}{2} N k \\mathrm{~d} T+\\mathrm{d} E_p\n$$\n\n\n式中 $\\frac{5}{2} N k \\mathrm{~d} T$ 是双原子分子理想气体的内能增量， $\\mathrm{d} E_p$ 是容器内气体重力势能增量。取 $z=0$ 为重力势能零点，则有\n\n$$\n\\begin{aligned}\nE_p & =\\int_0^H m g z \\operatorname{Sn}(z) \\mathrm{d} z=m g S n_0 \\int_0^H z \\exp \\left(-\\frac{m g z}{k T}\\right) \\mathrm{d} z \\\\\n& =-k T S H n_0 \\exp \\left(-\\frac{m g H}{k T}\\right)+k T S n_0 \\cdot \\frac{k T}{m g}-k T S n_0 \\exp \\left(-\\frac{m g H}{k T}\\right) \\cdot \\frac{k T}{m g}\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n在活塞下表面处，根据理想气体压强公式有\n\n$$\np=n(H) \\cdot k T=n_0 \\exp \\left(-\\frac{m g H}{k T}\\right) k T\n$$\n\n\n代入（4）式可得\n\n$$\nE_p=-p S H+(p S+N m g) \\frac{k T}{m g}-p S \\frac{k T}{m g}=-p S H+N k T\n$$\n\n\n其中 $p+\\frac{N m g}{S}=n_0 k T$ 是容器底部的气压。上式取微分得 $\\mathrm{d} E_p=-p S \\mathrm{~d} H-S H \\mathrm{~d} p+N k \\mathrm{~d} T$ ，代入（3）式可得\n\n$$\nS H \\mathrm{~d} p=\\frac{7}{2} N k \\mathrm{~d} T\n$$\n\n\n联立（2）（5）式可得\n\n$$\nH=\\frac{k T}{m g} \\ln \\frac{p S+N m g}{p S}\n$$\n\n\n代入（7）式可得\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\frac{S}{m g} \\ln \\frac{p S+N m g}{p S} \\mathrm{~d} p=\\frac{7}{2} N \\frac{\\mathrm{~d} T}{T} \\\\\n\\ln (p S+N m g) \\mathrm{d}(p S)-\\ln (p S) \\mathrm{d}(p S)=\\frac{7}{2} N m g \\frac{\\mathrm{~d} T}{T}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n根据活塞的平衡，初态 $T=T_0, p=p_0$ ，末态 $T=T_1, p=p_1$ ，由上式积分可得\n\n$$\n\\frac{p_1 S}{N m g} \\ln \\left(1+\\frac{N m g}{p_1 S}\\right)-\\frac{p_0 S}{N m g} \\ln \\left(1+\\frac{N m g}{p_0 S}\\right)+\\ln \\frac{p_1 S+N m g}{p_0 S+N m g}=\\frac{7}{2} \\ln \\frac{T_1}{T_0}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["$$\\frac{p_1 S}{N m g} \\ln \\left(1+\\frac{N m g}{p_1 S}\\right)-\\frac{p_0 S}{N m g} \\ln \\left(1+\\frac{N m g}{p_0 S}\\right)+\\ln \\frac{p_1 S+N m g}{p_0 S+N m g}=\\frac{7}{2} \\ln \\frac{T_1}{T_0}$$"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "在快递货物时，为避免货物在运输过程中因与箱壁剧烈碰撞而损坏，常利用气垫对货物进行缓冲保护。现考虑一种气垫模型：该气垫由多个相邻的圆柱形气柱组成，气柱内气体由外面的塑料薄膜密封。选取其中一个气柱进行研究，其初始长度为\\(l_0\\) ，半径为\\(R\\) ，密封气体的薄膜为轻质材料，其表面张力系数满足\\(\\sigma(r)=\\sigma_0(1 + \\beta\\frac{r^2}{R^2})\\) ，其中\\(\\sigma_0\\) 、\\(\\beta\\) 为已知常数，\\(r\\) 是柱形薄膜截面的曲率半径。气柱内的气体视为理想气体，绝热指数为\\(\\gamma\\) 。当质量为\\(m\\) 、长度也为\\(l_0\\) 的物体平行压在气柱上时，气柱发生变形，其截面近似为椭圆，长轴长度为\\(2R+\\Delta x\\) ，短轴长度为\\(2R - \\Delta y\\) ，物体与气柱的接触面积近似表示为\\(s = s_0(1+\\frac{\\alpha\\Delta y}{2R})\\) ，其中\\(s_0\\) 、\\(\\alpha\\) 为已知常数。已知外界大气压为\\(p_0\\) ，气柱内气体压强始终均匀。 将质量为\\(m\\) 、长度为\\(l_0\\) 的物体轻轻平行放置在气柱上并达到平衡。在极短时间内，气柱内气体来不及与外界进行热交换，求此时气柱在竖直方向上的压缩量\\(\\Delta y_1\\) ；经过较长时间后，气柱内气体恢复到室温，求此时气柱在竖直方向上的压缩量\\(\\Delta y_2\\) 。", "answer_ideas": ["首先考虑一个气柱。发生小形变时：\n短轴处的曲率半径为：\n\n\\(r_1=\\frac{a^{2}}{b}=\\frac{(R + \\frac{\\Delta x}{2})^{2}}{(R-\\frac{\\Delta y}{2})}=R(1+\\frac{\\Delta x}{R}+\\frac{\\Delta y}{2R})\\)\n\n长轴处的曲率半径为：\n\n\\(r_2=\\frac{b^{2}}{a}=\\frac{(R - \\frac{\\Delta y}{2})^{2}}{(R+\\frac{\\Delta x}{2})}=R(1 - \\frac{\\Delta x}{R}-\\frac{\\Delta y}{2R})\\)\n\n其中\\(a\\) 为半长轴，\\(b\\) 为半短轴。对椭圆柱长轴处的微元进行受力分析，可得：\n\n\\(p = p_0+\\frac{\\sigma(r)}{r}\\)\n\n利用题目所给的\\(\\sigma(r)\\) 以及\\(r_2\\) ，可得：\n\\(p=\\frac{\\sigma_0}{R}[1 + \\beta+(1 - \\beta)(\\frac{\\Delta x}{2R}+\\frac{\\Delta y}{R})]+p_0\\)\n考虑到这两种情况均为多方过程，有：\n\n\\(pV^{n}=\\text{Const}\\)\n\n所以：\n\n\\((\\frac{\\sigma_0}{R}[1 + \\beta+(1 - \\beta)(\\frac{\\Delta x}{2R}+\\frac{\\Delta y}{R})]+p_0)(R - \\frac{\\Delta y}{2})^{n}(R+\\frac{\\Delta x}{2})^{n}=(p_0+\\frac{\\sigma_0(1 + \\beta)}{R})R^{2n}\\)\n\n进行小量近似展开后可得：\n\n\\(\\frac{\\Delta x}{R}=\\frac{\\Delta y}{R}\\frac{np_0R + n\\sigma_0(1 + \\beta)-2\\sigma_0(1 - \\beta)}{np_0R + n\\sigma_0(1 + \\beta)+\\sigma_0(1 - \\beta)}\\)\n\n设薄膜对物体的作用力为\\(F\\) ，对短轴处的薄膜进行受力分析可得：\n\n\\(\\frac{F}{S_0(1+\\frac{\\alpha\\Delta y}{2R})}+\\frac{\\sigma_0}{R}(1 + \\beta-(1 - \\beta)(\\frac{\\Delta x}{R}+\\frac{\\Delta y}{2R})) = p\\)\n\n代入前面求得的\\(p\\) 并只保留一阶小量，可得：\n\n\\(F = p_0S_0+(\\alpha p_0S_0+\\frac{3\\sigma_0S_0(1 - \\beta)}{R}\\frac{2np_0R + 2n\\sigma_0(1 + \\beta)-\\sigma_0(1 - \\beta)}{np_0R + n\\sigma_0(1 + \\beta)+\\sigma_0(1 - \\beta)})\\frac{\\Delta y}{2R}\\)\n\n由物体的受力平衡可得：\n\\(F = mg + p_0S_0(1+\\frac{\\alpha\\Delta y}{2R})\\)\n\n联立求解可得：\n\\(\\Delta y=\\frac{2mgR^{2}}{3\\sigma_0S_0(1 - \\beta)}\\frac{np_0R + n\\sigma_0(1 + \\beta)+\\sigma_0(1 - \\beta)}{2np_0R + 2n\\sigma_0(1 + \\beta)-\\sigma_0(1 - \\beta)}\\)\n\n若为绝热过程，\\(n = \\gamma\\) ，可得：\n\\(\\Delta y_1=\\frac{2mgR^{2}}{3\\sigma_0S_0(1 - \\beta)}\\frac{\\gamma p_0R+\\gamma\\sigma_0(1 + \\beta)+\\sigma_0(1 - \\beta)}{2\\gamma p_0R + 2\\gamma\\sigma_0(1 + \\beta)-\\sigma_0(1 - \\beta)}\\)\n\n若为等温过程，\\(n = 1\\) ，可得：\n\\(\\Delta y_2=\\frac{2mgR^{2}}{3\\sigma_0S_0(1 - \\beta)}\\frac{p_0R + 2\\sigma_0}{2p_0R+\\sigma_0(3\\beta + 1)}\\) "], "refined_standard_answer": ["\\(\\Delta y_1=\\frac{2mgR^{2}}{3\\sigma_0S_0(1 - \\beta)}\\frac{\\gamma p_0R+\\gamma\\sigma_0(1 + \\beta)+\\sigma_0(1 - \\beta)}{2\\gamma p_0R + 2\\gamma\\sigma_0(1 + \\beta)-\\sigma_0(1 - \\beta)}\\)", "\\(\\Delta y_2=\\frac{2mgR^{2}}{3\\sigma_0S_0(1 - \\beta)}\\frac{p_0R + 2\\sigma_0}{2p_0R+\\sigma_0(3\\beta + 1)}\\)"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "绝热的容器通过一个小孔连到真空中，初态容器内有摩尔数为\\(n_{0}\\)的理想气体，气体漏出的速度非常缓慢，容器内气体始终处于平衡状态。已知理想气体绝热方程为\\(pV^{\\gamma}=\\)常数，其中\\(\\gamma=\\frac{C_{V}+R}{C_{V}}\\) 。 (a) 假设容器内为单种理想气体，摩尔定体热容量为\\(C_{V}=\\frac{5}{2}R\\)，求当左边压强将为一半时，剩在容器中的摩尔数\\(n_{p/2}\\) 。 (b) 容器内的气体是由体积分数为\\(78\\%\\)的\\(N_{2}\\)和\\(22\\%\\)的\\(O_{2}\\)构成的混合气体，\\(C_{V}=\\frac{5}{2}R\\)，摩尔质量为\\(28gmol^{-1}\\)和\\(32gmol^{-1}\\) 。假设分子穿过小孔的速度正比于数密度与平均速度的乘积，求当压强将为一半的时候，\\(N_{2}\\)和\\(O_{2}\\)的分压比。", "answer_ideas": ["(a) 设初态有体积\\(V\\)的气体最后没有漏到右边。由绝热方程：\\(p_{0}V^{\\gamma}=\\frac{p_{0}}{2}V_{0}^{\\gamma}\\)，其中\\(\\gamma = \\frac{7}{5}\\)。\n于是\\(V/V_{0}=2^{-\\frac{5}{7}} = 0.61\\)。于是\\(n = n_{0}2^{-\\frac{5}{7}} = 0.61n_{0}\\) 。\n(b) 单位时间氮气通过小孔的分子数正比于\\(n_{N_{2}}\\overline{v_{N_{2}}}\\propto n_{N_{2}}\\sqrt{\\frac{KT}{m_{N_{2}}}}\\)，其中\\(n_{N_{2}}\\)为氮气数密度。因而氮气、氧气单位时间内漏出的摩尔数之比等于\\(\\frac{d\\nu_{N_{2}}}{d\\nu_{O_{2}}}=\\frac{V_{N_{2}}}{V_{O_{2}}}\\sqrt{\\frac{m_{O_{2}}}{m_{N_{2}}}}\\)，其中\\(\\nu_{N_{2}},\\nu_{O_{2}}\\)为氮气和氧气的摩尔数。\n类比绝热方程得到：\\(\\nu_{N_{2}} = A\\nu_{O_{2}}^{\\sqrt{\\frac{8}{7}}}\\)其中\\(A\\)为常数。\n初态\\(\\nu_{N_{2}} = 0.78n_{0}\\)，\\(\\nu_{N_{2}} = 0.22n_{0}\\)。\n末态\\(\\nu_{N_{2}}&apos;+\\nu_{O_{2}}&apos; = 0.61n_{0}\\)，\\(\\frac{\\nu_{N_{2}}&apos;}{\\nu_{N_{2}}}=(\\frac{\\nu_{O_{2}}&apos;}{\\nu_{O_{2}}})^{\\frac{8}{7}}\\)。\n解得：\\(\\nu_{N_{2}}&apos; = 0.472n_{0}\\)，\\(\\nu_{O_{2}}&apos; = 0.138n_{0}\\)，\\(\\nu_{N_{2}}&apos;/\\nu_{O_{2}}&apos; = 3.43\\) 。 "], "refined_standard_answer": ["\\(n = n_{0}2^{-\\frac{5}{7}} = 0.61n_{0}\\)", "\\(\\frac{\\nu_{N_{2}}'}{\\nu_{O_{2}}'} = 3.43\\)"], "sub_subject_name": "Thermodynamics and Statistical Physics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "一平面电磁波以\\(\\theta = 45^{\\circ}\\)从真空入射到\\(\\varepsilon_{r}=2\\)的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。", "answer_ideas": ["解：\\(\\vec{n}\\)为界面法向单位矢量，\\(\\langle\\vec{S}\\rangle,\\langle\\vec{S}&apos;\\rangle,\\langle\\vec{S}&apos;&apos;\\rangle\\)分别为入射波，反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数\\(R\\)和折射系数\\(T\\)定义为：\n\\(R = \\left|\\frac{\\langle\\vec{S}&apos;\\rangle\\cdot\\vec{n}}{\\langle\\vec{S}\\rangle\\cdot\\vec{n}}\\right|=\\frac{E_{0}&apos;^{2}}{E_{0}^{2}}\\)\n\\(T = \\left|\\frac{\\langle\\vec{S}&apos;&apos;\\rangle\\cdot\\vec{n}}{\\langle\\vec{S}\\rangle\\cdot\\vec{n}}\\right|=\\frac{n_{2}\\cos\\theta_{2}E_{0}&apos;&apos;^{2}}{n_{1}\\cos\\theta E_{0}^{2}}\\)\n又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得：\n\\(R=\\left(\\frac{\\sqrt{\\varepsilon_{1}}\\cos\\theta - \\sqrt{\\varepsilon_{2}}\\cos\\theta_{2}}{\\sqrt{\\varepsilon_{1}}\\cos\\theta + \\sqrt{\\varepsilon_{2}}\\cos\\theta_{2}}\\right)^{2}\\)\n\n\\(T=\\frac{4\\sqrt{\\varepsilon_{1}}\\sqrt{\\varepsilon_{2}}\\cos\\theta\\cos\\theta_{2}}{(\\sqrt{\\varepsilon_{1}}\\cos\\theta + \\sqrt{\\varepsilon_{2}}\\cos\\theta_{2})^{2}}\\)\n又根据反射定律和折射定律\n\\(\\theta=\\theta_{1}=45^{\\circ}\\)\n\\(\\sqrt{\\varepsilon_{2}}\\sin\\theta_{2}=\\sqrt{\\varepsilon_{1}}\\sin\\theta\\)\n由题意，\\(\\varepsilon_{1}=\\varepsilon_{0},\\varepsilon_{2}=\\varepsilon_{0}\\varepsilon_{r}=2\\varepsilon_{0}\\)\n\\(\\therefore\\theta_{2}=30^{\\circ}\\)\n\\(\\therefore R = (\\frac{\\frac{\\sqrt{2}}{2}-\\sqrt{2}\\frac{\\sqrt{3}}{2}}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}+\\sqrt{2}\\frac{\\sqrt{3}}{2}})^2=\\frac{2 - \\sqrt{3}}{2 + \\sqrt{3}} = 0.072\\)\n\\(T=\\frac{4\\varepsilon_{0}\\sqrt{2}\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\frac{\\sqrt{3}}{2}}{(\\sqrt{\\varepsilon_{0}}\\frac{\\sqrt{2}}{2}+\\sqrt{\\varepsilon_{0}}\\sqrt{2}\\frac{\\sqrt{3}}{2})^2}=\\frac{2\\sqrt{3}}{2 + \\sqrt{3}}= 0.928 \\) "], "refined_standard_answer": ["0.072", "0.928"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "假设有一个多面体电阻网络，多面体共有C个格点，在每个格点处都有N条边汇聚，如果每一条边电阻都为R，求这个网络上相邻两点的等效电阻。", "answer_ideas": ["假设某处流入电流I，经过每条边有$I/N$流过，有$I/(C-1)$流出其他所有格点.再设一个相同的模型,但是从隔壁格点流出,同理,叠加后有,相邻格点之间电势差$2IR/N$,流过整个电路的电流$CI/(C-1)$,等效电阻为$2R(C-1)/NC$"], "refined_standard_answer": ["$\\frac{2R(C-1)}{NC}$"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "磁悬浮列车 磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，它通过电磁力实现列车与轨道之间的无接触的悬浮和导向，再利用直线电机产生的电磁力牵引列车运行。由于其轨道的磁力使之悬浮在空中，减少了摩擦力，行走时不同于其他列车需要接触地面，只受来自空气的阻力，高速磁悬浮列车的速度可达每小时 400 公里以上。磁悬浮列车的驱动可以由下列模型理解： 现空间中分布着方向竖直向上的变化磁场 $B(x, t)$ ，磁场分布随时间变化，可视为波速 $v_0$向右传播的行波。 在 $t=0$ 时刻，一个边长为 $a$ 的单 匝正方形线圈水平放置于磁场中。与 Y 轴平行的两条 边分别位于 $x=\\frac{a}{2}, x=\\frac{3 a}{2}$ 。为方便表示，线圈速度（向 右为正）记为 $v(t)=v_0+\\delta(t)$ 。当 $t=0$ 时，$\\delta(0)=$ $\\delta_0 \\ll v_0$ 。线圈的质量为 $m$ ，等效电阻为 $R$ ，等效电感为 $L$ ，等效电容为 $C$ ，电容电量为 $Q(t), Q(0)=0$ ，电路电流记作 $i(t)$ 。 （1）写出线圈感应电动势 $\\varepsilon(t)$（沿逆时针为正）与 $\\delta(t)$ 的关系。 （2）写出感应电动势 $\\varepsilon(t)$ 与电容带电量 $Q(t)$ 的关系。 （3）写出关于 $i, \\frac{\\mathrm{~d} i}{\\mathrm{~d} t}, \\frac{\\mathrm{~d}^2 i}{\\mathrm{~d} t^2}$ 的关系式。 （4）如果我们要求 $i(t)$ 衰减时不发生振荡，求等效电阻 $R$ 需满足的条件。 （5）这个模型的原理和现实中磁悬浮列车的驱动原理有相似之处，所以我们其实更关心速度差 $\\delta(t)$ ，试求 $\\lim _{t \\rightarrow+\\infty} \\delta(t)$ 的值。 注：$\\delta_0$ 足够小以至于我们可以认为在本题讨论的时间范围内（含 $t=+\\infty$ ），线圈相对于磁场行波的位移绝对值总小于 $\\frac{a}{2}$ ，以及，本题采用的合适方法是不需要求解二阶微分方程的。", "answer_ideas": ["解：\n（1）由法拉第电磁感应定律：\n\n$$\n\\varepsilon=-\\frac{\\mathrm{d} \\varphi}{\\mathrm{~d} t}=-B_0 a \\delta\n$$\n\n（2）由基尔霍夫定律\n\n$$\n\\varepsilon=L \\frac{\\mathrm{~d} i}{\\mathrm{~d} t}+i R+\\frac{Q}{C}\n$$\n\n（3）由牛顿第二定律\n\n$$\ni B_0 a=m \\frac{\\mathrm{~d} \\delta}{\\mathrm{~d} t}\n$$\n\n\n联立上式可得\n\n$$\n-B_0 a \\delta=L \\frac{d i}{d t}+i R+\\frac{\\int_0^t i d t}{C}\n$$\n对（4）式求导得到\n\n$$\n\\frac{\\mathrm{d}^2 i}{\\mathrm{~d} t^2}+\\frac{R}{L} \\frac{\\mathrm{~d} i}{\\mathrm{~d} t}+\\left(\\frac{1}{L C}+\\frac{B_0^2 a^2}{m L}\\right) i=0\n$$\n\n（4）令 $i(t)$ 解的形式 $i=i_0 e^{\\alpha t}$ ，代入（5）式可得\n\n$$\n\\alpha^2+\\frac{R}{L} \\alpha+\\left(\\frac{1}{L C}+\\frac{B_0^2 a^2}{m L}\\right)=0\n$$\n\n\n保证电流衰减必须满足 $\\alpha$ 为实数，即\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\left(\\frac{R}{L}\\right)^2-4\\left(\\frac{1}{L C}+\\frac{B_0^2 a^2}{m L}\\right)>0 \\\\\nR>2 \\sqrt{\\frac{L}{C}+\\frac{B_0^2 a^2 L}{m}}\n\\end{gathered}\n$$\n\n（5）由（3）式积分可得\n\n$$\n\\delta=\\delta_0+\\frac{B_0 a}{m} \\int_0^t i d t\n$$\n\n\n代入（4）式可得\n\n$$\n\\frac{\\mathrm{d}^2 \\delta}{\\mathrm{~d} t^2}+\\frac{R}{L} \\frac{\\mathrm{~d} \\delta}{\\mathrm{~d} t}+\\left(\\frac{1}{L C}+\\frac{B_0^2 a^2}{m L}\\right) \\delta=\\frac{\\delta_0}{L C}\n$$\n\n\n故当（7）式成立时，显然有\n\n$$\n\\lim _{t \\rightarrow+\\infty} \\delta(t)=\\frac{\\delta_0}{1+\\frac{B_0^2 a^2 C}{m}}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["\\varepsilon=-B_0 a \\delta", "\\varepsilon=L \\frac{\\mathrm{d} i}{\\mathrm{d} t}+i R+\\frac{Q}{C}", "\\frac{\\mathrm{d}^2 i}{\\mathrm{d} t^2}+\\frac{R}{L} \\frac{\\mathrm{d} i}{\\mathrm{d} t}+\\left(\\frac{1}{L C}+\\frac{B_0^2 a^2}{m L}\\right) i=0", "R>2 \\sqrt{\\frac{L}{C}+\\frac{B_0^2 a^2 L}{m}}", "\\frac{\\delta_0}{1+\\frac{B_0^2 a^2 C}{m}}"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "单色平面电磁波入射到电容率为\\(\\varepsilon\\)、磁导率为\\(\\mu_{0}\\)、半径为\\(a\\)的均匀介质球上，已知入射波的电场强度为\\(\\vec{E}=\\vec{E}_{0}e^{-\\mathrm{i}\\omega t}\\)，波长\\(\\lambda = 2\\pi c / \\omega\\gg a\\)。(1)试求介质球散射波的平均能流密度；(2)试求单位立体角内散射波的功率以及微分散射截面；(3)若入射波是非偏振的电磁波（即在垂直于入射波进行方向的平面内，\\(\\vec{E}_{0}\\)的方向是随机的），试求微分散射截面。", "answer_ideas": ["【解】(1)由于电磁波的波长\\(\\lambda\\gg a\\)（介质球的半径），故介质球可看做是处在均匀电场中，从而产生均匀极化。这时介质球的电偶极矩为\n\\(p = \\frac{4\\pi\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})a^{3}}{\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0}}\\vec{E}=\\frac{4\\pi\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})a^{3}}{\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0}}\\vec{E}_{0}e^{-\\mathrm{i}\\omega t}\\) （1）\n可见这介质球在入射电磁波的作用下，成为一个振动的电偶极子，它振动时发出的辐射就是它对入射电磁波的散射。（1）的\\(p\\)的辐射场为\n\\(\\vec{E}=-\\frac{\\mu_{0}\\omega^{2}p_{0}}{4\\pi}\\frac{e^{\\mathrm{i}(kr - \\omega t)}}{r}\\sin\\theta\\vec{e}_{\\theta}\\) （2）\n\\(\\vec{H}=-\\frac{\\omega^{2}p_{0}}{4\\pi c}\\frac{e^{\\mathrm{i}(kr - \\omega t)}}{r}\\sin\\theta\\vec{e}_{\\phi}\\) （3）\n式中\n\\(p_{0}=\\frac{4\\pi\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})a^{3}}{\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0}}E_{0}\\) （4）\n\\(k = \\frac{\\omega}{c}=\\frac{2\\pi}{\\lambda}\\) （5）\n\\(\\theta\\)是辐射方向\\(\\vec{e}_{r}\\)与\\(\\vec{E}_{0}\\)之间的夹角，\\(\\vec{e}_{\\theta}\\)和\\(\\vec{e}_{\\phi}\\)分别是以\\(\\vec{E}_{0}\\)为极轴的球坐标系的两个基矢。\n散射波的平均能流密度为\n\\[\n\\begin{align*}\n\\overline{\\vec{S}}&=\\frac{1}{2}R_{e}(\\vec{E}\\times\\vec{H}^{*})=\\frac{\\omega^{4}|p_{0}|^{2}\\sin^{2}\\theta}{32\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}r^{2}}\\vec{e}_{r}\\\\\n&=\\frac{\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{3}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}|\\vec{E}_{0}|^{2}\\frac{\\sin^{2}\\theta}{r^{2}}\\vec{e}_{r} （6）\n\\end{align*}\n\\]\n式中\\(\\vec{e}_{r}=\\vec{e}_{\\theta}\\times\\vec{e}_{\\phi}\\)。\n(2)散射波通过面积元\\(\\mathrm{d}\\vec{A}\\)的平均功率为\n\\(\\mathrm{d}P=\\overline{\\vec{S}}\\cdot\\mathrm{d}\\vec{A}=\\frac{\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{3}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}|\\vec{E}_{0}|^{2}\\frac{\\sin^{2}\\theta}{r^{2}}\\vec{e}_{r}\\cdot\\mathrm{d}\\vec{A}\\) （7）\n因\n\\(\\frac{\\vec{e}_{r}\\cdot\\mathrm{d}\\vec{A}}{r^{2}}=\\mathrm{d}\\Omega\\) （8）\n是\\(\\mathrm{d}\\vec{A}\\)对介质球中心所张的立体角，故得\n\\(\\mathrm{d}P=\\frac{\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{3}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}|\\vec{E}_{0}|^{2}\\sin^{2}\\theta\\mathrm{d}\\Omega\\) （9）\n于是得单位立体角散射波的功率为\n\\(\\frac{\\mathrm{d}P}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{3}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}|\\vec{E}_{0}|^{2}\\sin^{2}\\theta\\) （10）\n微分散射截面的定义为\n\\(\\frac{\\mathrm{d}\\sigma}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{\\mathrm{d}P}{I_{0}\\mathrm{d}\\Omega}\\) （11）\n式中\\(I_{0}\\)是入射波的强度，其值为\n\\(I_{0}=\\frac{1}{2}c\\varepsilon_{0}|\\vec{E}_{0}|^{2}\\) （12） \n将（10）式、（12）式代入（11）式，便得所求的微分散射截面为\n\\(\\frac{\\mathrm{d}\\sigma}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{c^{4}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}\\sin^{2}\\theta\\) （13）\n(3) 以介质球心为原点取笛卡儿坐标系，设入射波沿\\(z\\)轴方向进行，则\\(\\vec{E}_{0}\\)便平行于\\(x - y\\)平面，当入射波为非偏振波时，\\(\\vec{E}_{0}\\)的方位角\\(\\phi\\)便是随机的，这时的微分散射截面便要将（13）式对所有可能的\\(\\phi\\)求平均得出，即这时\n\\(\\frac{\\mathrm{d}\\sigma}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{c^{4}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}\\frac{1}{2\\pi}\\int_{0}^{2\\pi}\\sin^{2}\\theta\\mathrm{d}\\phi\\) （14）\n设散射方向\\(\\vec{e}_{r}\\)的方位角为\\(\\phi&apos;\\)，\\(\\vec{e}_{r}\\)与\\(z\\)轴的夹角为\\(\\alpha\\)，则有：\n\\(\\cos\\theta=\\cos\\alpha\\cos\\frac{\\pi}{2}+\\sin\\alpha\\sin\\frac{\\pi}{2}\\cos(\\phi&apos; - \\phi)\\)\n\\(=\\sin\\alpha\\cos(\\phi&apos; - \\phi)\\) （15）\n于是\n\\(\\sin^{2}\\theta=1 - \\cos^{2}\\theta=1 - \\sin^{2}\\alpha\\cos^{2}(\\phi&apos; - \\phi)\\) （16）\n将\\(\\sin^{2}\\theta\\)对\\(\\vec{E}_{0}\\)的方位角\\(\\phi\\)求平均，即\n\\[\n\\begin{align*}\n\\frac{1}{2\\pi}\\int_{0}^{2\\pi}\\sin^{2}\\theta\\mathrm{d}\\phi&=\\frac{1}{2\\pi}\\int_{0}^{2\\pi}[1 - \\sin^{2}\\alpha\\cos^{2}(\\phi&apos; - \\phi)]\\mathrm{d}\\phi\\\\\n&=1 - \\frac{1}{2\\pi}\\sin^{2}\\alpha[\\frac{1}{2}(\\phi&apos; - \\phi)+\\frac{1}{4}\\sin2(\\phi&apos; - \\phi)]_{\\phi = 0}^{\\phi = 2\\pi}\\\\\n&=1 - \\frac{1}{2}\\sin^{2}\\alpha=\\frac{1}{2}(1 + \\cos^{2}\\alpha)\n\\end{align*}\n\\] （17）\n将（17）式代入（14）式，便得所求的微分散射截面为\n\\(\\frac{\\mathrm{d}\\sigma}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{4}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}(1 + \\cos^{2}\\alpha)\\) （18） "], "refined_standard_answer": ["\\overline{\\vec{S}}=\\frac{\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{3}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}|\\vec{E}_{0}|^{2}\\frac{\\sin^{2}\\theta}{r^{2}}\\vec{e}_{r}", "\\frac{\\mathrm{d}P}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{\\varepsilon_{0}(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{3}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}|\\vec{E}_{0}|^{2}\\sin^{2}\\theta, \\frac{\\mathrm{d}\\sigma}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{c^{4}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}\\sin^{2}\\theta", "\\frac{\\mathrm{d}\\sigma}{\\mathrm{d}\\Omega}=\\frac{(\\varepsilon - \\varepsilon_{0})^{2}\\omega^{4}a^{6}}{2c^{4}(\\varepsilon + 2\\varepsilon_{0})^{2}}(1 + \\cos^{2}\\alpha)"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "半径为$R_{0}$的导体球外充满均匀绝缘介质$\\varepsilon$，导体球接地，离球心为$a$处（$a > R_{0}$）置一点电荷$Q_{f}$，试用分离变数法求空间各点电势。", "answer_ideas": ["由电势叠加原理，球外电势：\n\\(\\phi_{外}=\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon R}+\\phi&apos;\\)，\\(\\phi&apos;\\)是球面上感应电荷产生的电势，且满足定解条件：\n\\(\\begin{cases}\\nabla^{2}\\phi&apos; = 0,(r > R_{0})\\\\\\left.\\phi&apos;\\right|_{r\\rightarrow\\infty}=0\\\\\\left.\\phi_{外}\\right|_{r = R_{0}} = 0\\end{cases}\\)\n根据分离变数法得：\\(\\phi&apos;=\\sum_{l = 0}^{\\infty}\\frac{B_{l}}{r^{l + 1}}P_{l}(\\cos\\theta),(r > R_{0})\\)\n所以\\(\\phi_{外}=\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon}\\frac{1}{\\sqrt{a^{2}+r^{2}-2ar\\cos\\theta}}+\\sum_{l = 0}^{\\infty}\\frac{B_{l}}{r^{l + 1}}P_{l}(\\cos\\theta)\\)\n\\(=\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon}\\frac{1}{a}\\sum_{n = 0}^{\\infty}(\\frac{r}{a})^{n}P_{n}(\\cos\\theta)+\\sum_{l = 0}^{\\infty}\\frac{B_{l}}{r^{l + 1}}P_{l}(\\cos\\theta),(r < a)\\)\n又\\(\\left.\\phi_{外}\\right|_{r = R_{0}}=\\sum_{n = 0}^{\\infty}[\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon a}(\\frac{R_{0}}{a})^{n}+\\frac{B_{n}}{R_{0}^{n + 1}}]P_{n}(\\cos\\theta)=0\\)\n即：\\(\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon a}+\\frac{B_{0}}{R_{0}} = 0,\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon a}\\frac{R_{0}}{a}+\\frac{B_{1}}{R_{0}^{2}} = 0,\\cdots,\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon a}(\\frac{R_{0}}{a})^{n}+\\frac{B_{n}}{R_{0}^{n + 1}} = 0\\)\n所以\\(B_{0}=-R_{0}\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon a},B_{1}=-\\frac{R_{0}^{3}}{a}\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon a},B_{n}=-\\frac{R_{0}^{2n + 1}}{a^{n}}\\frac{Q_{f}}{4\\pi\\varepsilon a}\\)\n代入可得\n"], "refined_standard_answer": ["\\phi_{外} = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon}\\left[\\frac{Q_{f}}{\\sqrt{a^{2}+r^{2}-2ar\\cos\\theta}}-\\frac{R_{0}Q_{f}}{a\\sqrt{r^{2}+(\\frac{R_{0}}{a})^{2}+2r\\frac{R_{0}}{a}\\cos\\theta}}\\right]"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "有八个点电荷分别放置在一个边长为$R$的立方体的顶点上，试求体系的多极矩和相应的势。", "answer_ideas": ["解：体系总电荷$Q=\\sum_{i=1}^{8}q_i=0$；总电偶极矩$\\vec{p}=\\sum_{i=1}^{8}q_i\\vec{r}_i=4qR\\hat{z}$；总电四极矩$\\vec{D}=\\sum_{i=1}^{8}q_i(3\\vec{r}_i\\vec{r}_i-r_i^2\\vec{I})=4qR^2\\left[3\\hat{z}\\hat{z}+\\frac{3}{2}(\\hat{x}\\hat{z}+\\hat{z}\\hat{x}+\\hat{y}\\hat{z}+\\hat{z}\\hat{y})-\\vec{I}\\right]$；偶极势$\\varphi_p=\\frac{qR\\cos\\theta}{\\pi\\varepsilon_0 r^2}$；四极势$\\varphi_D=\\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{1}{6}\\vec{D}:\\nabla\\frac{1}{r}=\\frac{qR^2}{2\\pi\\varepsilon_0 r^5}[3z^2+3xz+3yz-r^2]$。"], "refined_standard_answer": ["$Q=0$", "$\\vec{p}=4qR\\hat{z}$", "$\\vec{D}=4qR^2\\left[3\\hat{z}\\hat{z}+\\frac{3}{2}(\\hat{x}\\hat{z}+\\hat{z}\\hat{x}+\\hat{y}\\hat{z}+\\hat{z}\\hat{y})-\\vec{I}\\right]$", "$\\varphi_p=\\frac{qR\\cos\\theta}{\\pi\\varepsilon_0 r^2}$", "$\\varphi_D=\\frac{qR^2}{2\\pi\\varepsilon_0 r^5}[3z^2+3xz+3yz-r^2]$"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "设有一电矩振幅为$\\vec{p}_{0}$，频率为$\\omega$的电偶极子距理想导体平面为$a/2$处，$\\vec{p}_{0}$平行于导体平面。设$a<<\\lambda$，求在$R>>\\lambda$处电磁场及辐射能流。", "answer_ideas": ["解：设平面$xoy$式导体平面，\n利用镜像法，构造图中的像电偶极子。\n由图：\\(\\vec{p}_{0}=p_{0}e^{-i\\omega t}\\vec{e}_{x}\\)\n\\(\\vec{p}_{0}&apos;=-\\vec{p}_{0}=-p_{0}e^{-i\\omega t}\\vec{e}_{x}\\)\n分别计算它们在场点$P$处产生的辐射场$\\vec{B}$\n1）\\(\\ddot{\\vec{p}}_{0}=-\\omega^{2}p_{0}e^{-i\\omega t}\\vec{e}_{x}\\)\n\\(\\vec{B}_{1}=\\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}R}e^{ik(R - \\frac{a}{2}\\cos\\theta)}\\cdot\\ddot{\\vec{p}}_{0}\\times\\vec{e}_{r}=-e^{-i\\frac{ka\\cos\\theta}{2}}\\cdot\\frac{\\omega^{2}p_{0}}{4\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}R}\\cdot\\vec{e}_{x}\\times\\vec{e}_{r}\\cdot d^{i(kR - \\omega t)}\\)\n2）\\(\\ddot{\\vec{p}}_{0}&apos;=\\omega^{2}p_{0}e^{-i\\omega t}\\vec{e}_{x}\\)\n\\(\\vec{B}_{2}=\\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}R}\\cdot e^{ik(R + \\frac{a}{2}\\cos\\theta)}\\cdot\\ddot{\\vec{p}}_{0}&apos;\\times\\vec{e}_{r}=e^{i\\frac{ka\\cos\\theta}{2}}\\cdot\\frac{\\omega_{2}p_{0}}{4\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}R}\\cdot\\vec{e}_{x}\\times\\vec{e}_{r}\\cdot d^{i(kR - \\omega t)}\\)\n故：\\(\\vec{B}=\\vec{B}_{1}+\\vec{B}_{2}\\)\n\\(=\\frac{\\omega^{2}p_{0}}{4\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}R}\\cdot\\vec{e}_{x}\\times\\vec{e}_{r}\\cdot e^{i(kR - \\omega t)}\\cdot[e^{i\\frac{ka\\cos\\theta}{2}}-e^{-i\\frac{ka\\cos\\theta}{2}}]\\)\n\\(\\approx\\frac{ika\\omega^{2}p_{0}}{4\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}R}e^{i(kR - \\omega t)}\\cdot\\cos\\theta(-\\cos\\theta\\cos\\phi\\vec{e}_{\\phi}-\\sin\\phi\\vec{e}_{\\theta})\\)\n\\(=-\\frac{i\\mu_{0}\\omega^{3}p_{0}a}{4\\pi c^{3}}\\cdot\\frac{e^{i(kR - \\omega t)}}{R}(\\cos\\theta\\sin\\phi\\vec{e}_{\\theta}+\\cos^{2}\\theta\\cos\\phi\\vec{e}_{\\phi})\\)\n\\(\\therefore\\vec{B}(\\vec{R},t)=-\\frac{i\\mu_{0}\\omega^{3}p_{0}a}{4\\pi c^{3}}\\cdot\\frac{e^{i(kR - \\omega t)}}{R}(\\cos\\theta\\sin\\phi\\vec{e}_{\\theta}+\\cos^{2}\\theta\\cos\\phi\\vec{e}_{\\phi})\\)\n\\(\\vec{E}(\\vec{R},t)=c\\vec{B}\\times\\vec{e}_{r}=\\frac{i\\mu_{0}\\omega^{3}p_{0}a}{4\\pi c}\\cdot\\frac{e^{i(kR - \\omega t)}}{R}(\\cos\\theta\\sin\\phi\\vec{e}_{\\phi}-\\cos^{2}\\theta\\cos\\phi\\vec{e}_{\\theta})\\)\n\\(\\vec{S}=\\frac{c}{2\\mu_{0}}|\\vec{B}|^{2}\\vec{n}=\\frac{\\mu_{0}\\omega^{6}p_{0}^{2}a^{2}}{32\\pi^{2}c^{3}R^{2}}(\\cos^{2}\\theta\\sin^{2}\\phi+\\cos^{4}\\theta\\cos^{2}\\phi)\\vec{e}_{r}\\) "], "refined_standard_answer": ["\\vec{B}(\\vec{R},t)=-\\frac{i\\mu_{0}\\omega^{3}p_{0}a}{4\\pi c^{3}}\\cdot\\frac{e^{i(kR - \\omega t)}}{R}(\\cos\\theta\\sin\\phi\\vec{e}_{\\theta}+\\cos^{2}\\theta\\cos\\phi\\vec{e}_{\\phi})", "\\vec{E}(\\vec{R},t)=\\frac{i\\mu_{0}\\omega^{3}p_{0}a}{4\\pi c}\\cdot\\frac{e^{i(kR - \\omega t)}}{R}(\\cos\\theta\\sin\\phi\\vec{e}_{\\phi}-\\cos^{2}\\theta\\cos\\phi\\vec{e}_{\\theta})", "\\vec{S}=\\frac{\\mu_{0}\\omega^{6}p_{0}^{2}a^{2}}{32\\pi^{2}c^{3}R^{2}}(\\cos^{2}\\theta\\sin^{2}\\phi+\\cos^{4}\\theta\\cos^{2}\\phi)\\vec{e}_{r}"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "物理学的种种概念被广泛运用于炼丹的各个领域中。生成模型 $f$ 的概念是，从某种简单分布（如高斯分布，均匀分布等）采样的 $w \\sim N_{\\text {trivial }}$ ，经过生成模型的变换 $w^{\\prime}=f(w)$之后，整体遵循某种有意义的目标分布 $w^{\\prime} \\sim N_{\\text {target }}$ 。 下面，我们研究一种以高维泊松流（即高维电场线）为基础的生成模型。 （1）给出 $N+1$ 维空间中距离某带电量 $Q$ 的点电荷 $\\vec{R}$ 处的电场。假设高维空间中仍满足高斯定律： $$ \\oiint \\vec{E} \\cdot \\mathrm{~d} \\vec{S}=\\frac{q}{\\varepsilon_0} $$ 已知 $N+1$ 维空间中半径为 1 的球表面积为 $S_{N+1}$ 。 下面，取 $\\varepsilon_0=1$ 。考虑一个 $N+1$ 维空间中 $x_{N+1}=0$ 所给出的 $N$ 维平面，该平面上靠近原点处有电荷分布 $p_0\\left(x_1, x_2, \\ldots, x_N\\right)$ 。考察这些电荷的电场线在 $x_{N+1}>0$ 的空间中延伸到半径 $R \\rightarrow \\infty$ 的球面上。因为球面趋向于无穷大，这些电场线可看作是均匀分布的。 （2）具体实现时，我们应该恰当地选择 $R$ 的大小，以防止多极展开带来的，除了零阶点电荷项以外的高阶项使得电场线在球面上并不是均匀通过的。我们可以通过平移原点使得一阶项 （即偶极子项）为零。 （2．1）现在，如果将 $p_0$ 看作是由一系列带电量相等的点电荷产生的，每一只点电荷的坐标可以写作 $$ \\vec{x}_{\\imath}=\\left(x_{i 1}, x_{i 2}, \\ldots, x_{i N}, 0\\right), \\sum \\vec{x}_i=\\overrightarrow{0} $$ 已知场点 $\\vec{y}=\\left(y_1, y_2, y_3, \\ldots, y_{N+1}\\right)$ 是在球面 $(\\|y\\|=R)$ 上均匀采样的，求其电势的二阶展开项 $\\Phi_2$ 平方的期望值与零阶项 $\\Phi_0$ 平方的大小之比。进一步地，如果 $\\vec{y}$ 是在上述球面上均匀采样的，要求该处电场与点电荷电场相差不大，由此给出上述 $R$ 需要满足的条件。已知空间维度为 $N+1$ 维，这些点电荷分布满足 $a v g_x\\left(\\left.| | \\vec{x}\\right|^4\\right)=M^4,(a v g$ 表示求平均值）点电荷共有 $N^*$ 个。已知 $N, N^* \\gg 1$ 。计算时，认为这些点电荷分布是很集中的，即，你可以认为对于 $x$ 的求和，其和平方的期望等于平方期望的和。 （2．2）如果要生成 CIFAR－10，已知维度为 $N=3072, N=50000$ ，且已经归一化使得 $M$ $=1$ ，给出 $R$ 需要满足的条件。 参考资料： Xu，Yilun et al．＂Poisson Flow Generative Models．＂ArXiv abs／2209．11178（2022）：n．pag。 注：论文中推导与本题略有不同。", "answer_ideas": ["解：（1）由对称性易知：\n\n$$\n\\vec{E}=\\frac{Q}{R^N S_{N+1} \\varepsilon_0} \\hat{R}\n$$\n\n（2．1）\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\Phi \\propto \\frac{1}{\\|\\vec{y}-\\vec{x}\\|^{N-1}} \\\\\n\\frac{\\partial^2 \\Phi}{\\partial x_i \\partial x_j}=-\\frac{(N-1) \\delta_{i j}}{\\| \\vec{y}-\\left.\\vec{x}\\right|^{N+1}+\\left(N^2-1\\right) \\frac{\\left(y_i-x_i\\right)\\left(y_j-x_j\\right)}{\\| \\vec{y}-\\left.\\vec{x}\\right|^{N+3}}}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n由二阶展开式可得：\n\n$$\n\\Phi=\\Phi_0 \\times\\left(1+\\frac{N-1}{2 N^*} \\times \\sum_x \\frac{(N+1)<x, y>^2-x^2 y^2}{\\|y\\|^4}\\right)\n$$\n\n\n即：\n\n$$\n\\frac{\\Phi_2}{\\Phi_0}=\\frac{N-1}{2 N^*} \\times \\sum_x \\frac{(N+1)<x, y>^2-x^2 y^2}{\\|y\\|^4}\n$$\n\n\n容易知道，该式的期望值为 0 。\n显然 $-x^2 y^2$ 项的方差为 0 。于是，业式的方差全部由 $\\langle x, y\\rangle^2$ 项贡献。下面，我们对一个单独的 $x$ 考虑这一项的方差。由对称性，我们只需要考虑 $x=(\\|x\\|, 0,0, \\ldots, 0)$ 的情况；于是有：\n\n$$\n\\begin{gathered}\nE_y\\left[\\left(<x, y>^2\\right)^2\\right]=E_y\\left[\\left(y_1^2-\\frac{||y||^2}{N+1}\\right)^2\\right] \\times\\|x\\|^4 \\\\\nE_y\\left[y_1^4-\\left(\\frac{\\left||y|^2\\right.}{N+1}\\right)^2\\right]=| | y \\|^4 \\times\\left(\\frac{\\int_0^\\pi \\cos ^4 \\theta \\sin ^{N-1} \\theta \\mathrm{~d} \\theta}{\\int_0^\\pi \\sin ^{N-1} \\mathrm{~d} \\theta}-\\frac{1}{(N+1)^2}\\right)\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n从而得到：\n\n$$\nE_y\\left[\\left(<x, y>^2\\right)^2\\right] \\approx| | x| |^4| | y| |^4 \\times \\frac{2}{N^2}\n$$\n\n\n也即：\n\n$$\nE_y\\left[\\left(\\frac{\\Phi_2}{\\Phi_0}\\right)^2\\right]=\\frac{\\sum| | x| |^4 / N^*}{2| | y| |^4} N^2=\\frac{M^4 N^2}{2| | y| |^4}\n$$\n\n\n从而可以得到 $R$ 需要满足的条件：\n\n$$\nR \\gg \\frac{M \\sqrt{N}}{\\sqrt[4]{2}} \\sim M \\sqrt{N}\n$$\n\n（2．2）代入数据易得：\n\n$$\nR \\gg 47\n$$\n\n\n或（省略分母中的 $\\sqrt[4]{2}$ ）：\n\n$$\nR \\gg 55\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["\\vec{E}=\\frac{Q}{R^N S_{N+1} \\varepsilon_0} \\hat{R}", "R \\gg \\frac{M \\sqrt{N}}{\\sqrt[4]{2}} \\sim M \\sqrt{N}", "R \\gg 47 \\text{ 或 } R \\gg 55"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为$\\theta_{1}$，求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。若导电介质为金属，结果如何？", "answer_ideas": ["解：根据题意，如图所示，入射平面是$xz$平面\n导体中的电磁波表示为：$\\tilde{E}=\\tilde{E}_{0}e^{-\\vec{\\alpha}\\cdot\\vec{r}}e^{i(\\vec{\\beta}\\cdot\\vec{r}-\\omega t)}$\n$\\tilde{k}^{*}=\\vec{\\beta}+i\\vec{\\alpha}$\n与介质中的有关公式比较可得：\n\\(\\begin{cases}\n\\beta^{2}-\\alpha^{2}=\\omega^{2}\\mu\\varepsilon \\\\\n\\vec{\\alpha}\\cdot\\vec{\\beta}=\\frac{1}{2}\\omega\\mu\\sigma\n\\end{cases}\\)\n根据边界条件得：$k_{x}^{*}=\\beta_{x}+i\\alpha_{x} =$实数，$\\therefore\\alpha_{x}=0$\n又$k_{x}^{*}=k_{x}=k\\sin\\theta_{1}=\\frac{\\omega}{c}\\sin\\theta_{1}$\n$\\therefore\\beta_{x}=\\frac{\\omega}{c}\\sin\\theta_{1}$\n而入射面是$xz$平面，故$\\vec{k},\\vec{k}^{*}$无$y$分量。 $\\therefore\\alpha_{y}=0,\\beta_{y}=0$\n$\\therefore\\vec{\\alpha}$只有$\\alpha_{z}$存在，$\\vec{\\beta}$有$\\beta_{x}$与$\\beta_{z}$，其中$\\beta_{x}=\\frac{\\omega}{c}\\sin\\theta_{1}$\n$\\therefore$有\\(\\begin{cases}\n(\\frac{\\omega}{c}\\sin\\theta_{1})^{2}+\\beta_{z}^{2}-\\alpha_{z}^{2}=\\omega^{2}\\mu\\varepsilon \\\\\n\\alpha_{z}\\beta_{z}=\\frac{1}{2}\\omega\\mu\\sigma\n\\end{cases}\\)\n解得：\n\\(\\beta_{z}^{2}=\\frac{1}{2}(\\mu\\varepsilon\\omega^{2}-\\frac{\\omega^{2}}{c^{2}}\\sin^{2}\\theta_{1})+\\frac{1}{2}[(\\frac{\\omega^{2}}{c^{2}}\\sin^{2}\\theta_{1}-\\omega^{2}\\mu\\varepsilon)^{2}+\\omega^{2}\\mu^{2}\\sigma^{2}]^{\\frac{1}{2}}\\)\n\\(\\alpha_{z}^{2}=-\\frac{1}{2}(\\mu\\varepsilon\\omega^{2}-\\frac{\\omega^{2}}{c^{2}}\\sin^{2}\\theta_{1})+\\frac{1}{2}[(\\omega^{2}\\mu\\varepsilon-\\frac{\\omega^{2}}{c^{2}}\\sin^{2}\\theta_{1})^{2}+\\omega^{2}\\mu^{2}\\sigma^{2}]^{\\frac{1}{2}}\\)\n\n其相速度为：$v = \\frac{\\omega}{\\beta}$， 衰减深度为$\\frac{1}{\\alpha}$\n如果是良导体，则：\\(\\begin{cases}\n\\frac{\\omega^{2}}{c^{2}}\\sin^{2}\\theta_{1}+\\beta_{z}^{2}-\\alpha_{z}^{2}=0 \\\\\n\\alpha_{z}\\beta_{z}=\\frac{1}{2}\\omega\\mu\\sigma\n\\end{cases}\\)\n\\(\\therefore\\beta_{z}^{2}=-\\frac{\\omega^{2}}{2c^{2}}\\sin2\\theta_{1}+\\frac{1}{2}[\\frac{\\omega^{4}}{c^{4}}\\sin^{4}\\theta_{1}+\\omega^{2}\\mu^{2}\\sigma^{2}]^{\\frac{1}{2}}\\)\n\\(\\alpha_{z}^{2}=\\frac{\\omega^{2}}{2c^{2}}\\sin^{2}\\theta_{1}+\\frac{1}{2}[\\frac{\\omega^{4}}{c^{2}}\\sin^{4}\\theta_{1}+\\omega^{2}\\mu^{2}\\sigma^{2}]^{\\frac{1}{2}}\\)"], "refined_standard_answer": ["一般导电介质：相速度 $v = \\frac{\\omega}{\\beta}$，衰减长度 $\\delta = \\frac{1}{\\alpha_z}$。其中 $\\beta=\\sqrt{(\\frac{\\omega}{c}\\sin\\theta_1)^2+\\beta_z^2}$，$\\beta_z^2=\\frac{1}{2}(\\mu\\varepsilon\\omega^2-\\frac{\\omega^2}{c^2}\\sin^2\\theta_1)+\\frac{1}{2}\\sqrt{(\\frac{\\omega^2}{c^2}\\sin^2\\theta_1-\\omega^2\\mu\\varepsilon)^2+\\omega^2\\mu^2\\sigma^2}$，$\\alpha_z^2=-\\frac{1}{2}(\\mu\\varepsilon\\omega^2-\\frac{\\omega^2}{c^2}\\sin^2\\theta_1)+\\frac{1}{2}\\sqrt{(\\omega^2\\mu\\varepsilon-\\frac{\\omega^2}{c^2}\\sin^2\\theta_1)^2+\\omega^2\\mu^2\\sigma^2}$", "金属（良导体）：相速度 $v = \\frac{\\omega}{\\beta}$，衰减长度 $\\delta = \\frac{1}{\\alpha_z}$。其中 $\\beta=\\sqrt{(\\frac{\\omega}{c}\\sin\\theta_1)^2+\\beta_z^2}$，$\\beta_z^2=-\\frac{\\omega^2}{2c^2}\\sin^2\\theta_1+\\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{\\omega^4}{c^4}\\sin^4\\theta_1+\\omega^2\\mu^2\\sigma^2}$，$\\alpha_z^2=\\frac{\\omega^2}{2c^2}\\sin^2\\theta_1+\\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{\\omega^4}{c^4}\\sin^4\\theta_1+\\omega^2\\mu^2\\sigma^2}$"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "用大量有弹性的可伸长的超导线圈，一圈一圈地叠置在一起并粘和构成圆柱面，单位长度的匝数 $n$ ，导线圈无伸长时其半径可忽略不计，导线上张力正比于其伸长．初始每一匝都有环绕的电流 $I$ ． （1）已知初始线圈半径为 $R$ 并达到力学平衡．求导线圈的劲度系数． （2）突然将超导线圈所在空间增加一个沿线圈轴线方向的匀强磁场 $B_e$ ，求此后过程中线圈的半径的变化范围．", "answer_ideas": ["（1）\n内部的磁感应强度为\n\n$$\nB=\\mu_0 n I\n$$\n\n\n面元 $d S$ 处的磁场，可以分解为自己产生的磁场与外场。由安培环路定理，自己产生的磁场为：\n\n$$\n2 B_s \\cdot l=\\mu_0 \\cdot n l \\cdot I\n$$\n\n\n得\n\n$$\nB_s=\\frac{1}{2} \\mu_0 n I\n$$\n\n\n故感受到的外场为\n\n$$\nB^{\\prime}=B-B_s=\\frac{1}{2} \\mu_0 n I\n$$\n\n\n每匝选取 $d \\theta$ 微元，受到磁场力\n\n$$\nd F_B=B^{\\prime} I \\cdot R d \\theta\n$$\n\n\n弹性力：\n\n$$\nd F_k=k \\cdot 2 \\pi R \\cdot 2 \\cdot \\frac{d \\theta}{2}\n$$\n\n\n由受力平衡：\n\n$$\nd F_B=d F_k\n$$\n\n\n很\n\n$$\nk=\\frac{\\mu_{\\mathrm{o}} n I^2}{4 \\pi}\n$$\n\n（2）\n系统初始磁通量为\n\n$$\n\\Phi=B \\cdot \\pi R^2=\\pi \\mu_0 n I R^2\n$$\n\n\n由于磁通量守恒．故加外磁场后若某时刻半径为 $x$ ，电流为 $i$ ：\n\n$$\n\\Phi=B_{\\varepsilon} \\cdot \\pi x^2+\\pi \\mu_0 n i x^2\n$$\n\n$i$ 感受到的磁场，\n\n$$\nB^{\\prime}=B_e+\\frac{\\mu_0 n i}{2}\n$$\n\n\n计算对每个线圈造成的径向力的数量和（非矢量和，显然矢量和为 0 ）\n\n$$\nF^{\\prime}=B^{\\prime} i \\cdot 2 \\pi x\n$$\n\n\n整理，得到\n\n$$\nF^{\\prime}=\\pi \\mu_0 n I^2 x\\left[\\frac{R^4}{x^4}-\\left(\\frac{B_e}{\\mu_0 n I}\\right)^2\\right]\n$$\n\n\n将这个力视作保守力，则势能：\n\n$$\nE_B=-\\int F^{\\prime} \\mathrm{d} x\n$$\n\n积分，得\n\n$$\nE_{p m}=\\frac{1}{2} \\pi \\mu_0 n I^2\\left[\\frac{R^4}{x^2}+\\left(\\frac{B_{\\varepsilon}}{\\mu_0 n I}\\right)^2 x^2\\right]\n$$\n\n\n而系统弹性势能：\n\n$$\nE_{p k}=\\frac{1}{2} k(2 \\pi x)^2=\\frac{1}{2} \\pi \\mu_0 n I^2 x^2\n$$\n\n\n从而得到总势能：\n\n$$\nE_p=\\frac{1}{2} \\pi \\mu_0 n I^2\\left[\\frac{R^4}{x^2}+\\left[1+\\left(\\frac{B_{\\varepsilon}}{\\mu_0 n I}\\right)^2\\right] x^2\\right]\n$$\n\n\n视作 $x^2$ 的二次方程：\n\n$$\n\\left[1+\\left(\\frac{B_e}{\\mu_0 n I}\\right)^2\\right]\\left(x^2\\right)^2-2 \\frac{E_p}{\\pi \\mu_0 n I^2} x^2+R^4=0\n$$\n\n\n必有同一势能处两根的韦达定理：\n\n$$\nx_1^2 x_2^2=\\frac{R^4}{1+\\left(\\frac{B_a}{\\mu_0 n I}\\right)^2}\n$$\n\n\n显然，现在一根为 $x_1=R^2$ ．则另一个半径必然小于 $R$ ．其值为：\n\n$$\nx_2=\\frac{R}{\\sqrt{1+\\left(\\frac{B_s}{\\mu_0 n \\prime}\\right)^2}}\n$$\n\n\n这就得到了半径的取值范围：\n\n$$\n\\frac{R}{\\sqrt{1+\\left(\\frac{B_a}{\\mu_0 n I}\\right)^2}} \\leq r \\leq R\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["k = \\frac{\\mu_0 n I^2}{4 \\pi}", "\\frac{R}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{B_e}{\\mu_0 n I}\\right)^2}} \\le r \\le R"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "在半径为$R$的接地导体球壳内放置一个偶极子$\\vec{p}$，方向与$z$轴的夹角为$\\alpha$，到球心的距离为$d$，试用镜像法计算： \\begin{itemize} \\item 空间的电势分布 \\item 偶极子所受到的力 \\end{itemize}", "answer_ideas": ["解：\n1. 参数设定：\n\\begin{itemize}\n\\item 偶极子位置：$\\vec{d} = (d\\sin\\alpha, 0, d\\cos\\alpha)$\n\\item 偶极矩：$\\vec{p} = p(\\sin\\alpha, 0, \\cos\\alpha)$\n\\end{itemize}\n\n2. 镜像法原理：\n\\begin{itemize}\n\\item 镜像位置：$d' = R^2/d$\n\\item 镜像偶极矩：$\\vec{p}' = -\\left(\\frac{R}{d}\\right)^3\\left[\\vec{p} - 2(\\vec{p}\\cdot\\hat{d})\\hat{d}\\right]$\n\\item 镜像电荷：$q' = \\frac{R}{d^2}p\\cos\\alpha$\n\\end{itemize}\n\n3. 电势表达式：\n$\\varphi = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\left[\\frac{\\vec{p}\\cdot\\hat{R}}{R^3} + \\frac{\\vec{p}'\\cdot\\hat{R}'}{R'^3} + \\frac{q'}{R'}\\right]$\n\n4. 边界条件：\n$\\varphi|_{r=R} = 0$\n\n5. 受力计算：\n\\begin{itemize}\n\\item 镜像场：$\\vec{E}' = -\\nabla\\varphi'$\n\\item 受力公式：$\\vec{F} = \\nabla(\\vec{p}\\cdot\\vec{E}')$\n\\end{itemize}"], "refined_standard_answer": ["$\\varphi = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\left[\\frac{\\vec{p}\\cdot\\vec{R}}{R^3} + \\frac{\\vec{p}'\\cdot\\vec{R}'}{R'^3} + \\frac{q'}{R'}\\right]$", "$\\vec{F} = \\nabla(\\vec{p}\\cdot\\vec{E}')$"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "设一个孤立的带电量为$Q$的导体球放置在均匀外电场中，计算空间的电势分布。", "answer_ideas": ["解：\n1. 体系条件：\n\\begin{itemize}\n\\item 均匀电场方向：$\\vec{E}_0 = E_0\\hat{z}$\n\\item 边界条件：\n\\begin{itemize}\n\\item 球面处：$\\varphi|_{r=R} = \\chi$\n\\item 电荷条件：$\\oint \\varepsilon_0 \\frac{\\partial \\varphi}{\\partial r} dS = Q$\n\\end{itemize}\n\\item 无穷远条件：$\\varphi \\to \\varphi_0 - E_0 r \\cos\\theta$ ($r \\to \\infty$)\n\\end{itemize}\n\n2. Laplace方程通解：\n$\\varphi(r,\\theta) = \\sum_{l=0}^\\infty \\left[ A_l r^l + \\frac{B_l}{r^{l+1}} \\right] P_l(\\cos\\theta)$\n\n3. 系数确定：\n\\begin{itemize}\n\\item 由$r\\to\\infty$条件得：\n$A_0 = \\varphi_0$, $A_1 = -E_0$, $A_l = 0$ ($l\\geq 2$)\n\\item 由$r=R$条件得：\n$B_0 = (\\chi - \\varphi_0)R$, $B_1 = E_0 R^3$, $B_l = 0$ ($l\\geq 2$)\n\\end{itemize}\n\n4. 最终电势解：\n$\\varphi(r,\\theta) = \\varphi_0 - E_0 r \\cos\\theta + \\frac{Q}{4\\pi\\varepsilon_0 r} + \\frac{E_0 R^3 \\cos\\theta}{r^2}$\n其中$\\chi = \\frac{Q}{4\\pi\\varepsilon_0 R} + \\varphi_0$"], "refined_standard_answer": ["\\varphi(r,\\theta) = \\varphi_0 - E_0 r \\cos\\theta + \\frac{Q}{4\\pi\\varepsilon_0 r} + \\frac{E_0 R^3 \\cos\\theta}{r^2}"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "一椭圆偏振的单色平面电磁波的电场强度为 \\(\\vec{E}=\\vec{a}\\cos(\\omega t + \\alpha)+\\vec{b}\\sin(\\omega t + \\alpha)\\) 式中\\(\\vec{a}\\)和\\(\\vec{b}\\)是两个互相垂直的常矢量，\\(\\alpha\\)是常数. 这电磁波射到一质量为\\(m\\)、电荷量为\\(q\\)的自由粒子上并被散射. 已知这粒子在电磁波的作用下产生的速度\\(v\\ll c\\). 试求：(1) 散射波的电磁场；(2) 散射波的平均能流密度；(3) 粒子的微分散射截面.", "answer_ideas": ["(1) 因\\(v\\ll c\\)，故电磁波作用在带电粒子上的洛伦兹力可以略去，于是粒子的运动方程为\n\\[m\\frac{d^{2}\\boldsymbol{r}&apos;}{dt^{2}} = q\\boldsymbol{E}=q[\\boldsymbol{a}\\cos(\\omega t&apos;+\\alpha)+\\boldsymbol{b}\\sin(\\omega t&apos;+\\alpha)]\\quad(1)\\]\n在\\(\\boldsymbol{E}\\)的作用下，粒子在原点附近振动，因有加速度便向外发出辐射，这辐射便称为对入射电磁波的散射。\n因\\(v\\ll c\\)，只须考虑粒子的电偶极辐射。粒子的电偶极矩为\n\\[\\boldsymbol{p}=q\\boldsymbol{r}&apos;\\quad(2)\\]\n由以上两式得\n\\[\\frac{d^{2}\\boldsymbol{p}}{dt&apos;^{2}} = q\\frac{d^{2}\\boldsymbol{r}&apos;}{dt&apos;^{2}}=\\frac{q^{2}}{m}\\boldsymbol{E}=\\frac{q^{2}}{m}[\\boldsymbol{a}\\cos(\\omega t&apos;+\\alpha)+\\boldsymbol{b}\\sin(\\omega t&apos;+\\alpha)]\\quad(3)\\]\n\n因\n\\[t&apos; = t-\\frac{|\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}&apos;|}{c}\\approx t - \\frac{r}{c}\\quad(4)\\]\n故\n\\[\\omega t&apos;=\\omega\\left(t - \\frac{r}{c}\\right)=\\omega t-\\frac{\\omega}{c}r=\\omega t - kr\\quad(5)\\]\n于是得\\(\\boldsymbol{r}\\)处\\(t\\)时刻散射波的电磁场\n(2) 由(6)、(7)两式得散射波的能流密度为\n\\[\\begin{align*}\n\\boldsymbol{S}&=\\boldsymbol{E}\\times\\boldsymbol{H}=\\frac{q^{4}}{16\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}r^{2}}\\{[(\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})\\boldsymbol{e}_{r}-\\boldsymbol{a}]\\cos(kr - \\omega t-\\alpha)-[(\\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})\\boldsymbol{e}_{r}-\\boldsymbol{b}]\\sin(kr - \\omega t-\\alpha)\\}\\times[\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r}\\cos(kr - \\omega t-\\alpha)-\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r}\\sin(kr - \\omega t-\\alpha)]\\\\\n&=\\frac{q^{4}}{16\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}r^{2}}\\{[a^{2}-(\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]\\cos^{2}(kr - \\omega t-\\alpha)\\boldsymbol{e}_{r}+[b^{2}-(\\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]\\sin^{2}(kr - \\omega t-\\alpha)\\boldsymbol{e}_{r}+\\boldsymbol{X}\\}\\quad(8)\n\\end{align*}\\]\n\n故散射波的平均能流密度为\n\\[\n\\begin{align*}\n\\overline{\\boldsymbol{S}}&=\\frac{1}{T}\\int_{0}^{T}\\boldsymbol{S}dt=\\frac{q^{4}}{32\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}r^{2}}[a^{2}-(\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+b^{2}-(\\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]\\boldsymbol{e}_{r}\\\\\n&(12)\n\\end{align*}\n\\]\n故得\n\\[\n\\overline{\\boldsymbol{S}}=\\frac{q^{4}}{32\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}r^{2}}[(\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+(\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]\\boldsymbol{e}_{r}\\quad(15)\n\\]\n(3) 在\\(\\boldsymbol{r}\\)处通过面积元\\(d\\boldsymbol{A}\\)的散射波的功率为\n\\[\n\\begin{align*}\ndP&=\\overline{\\boldsymbol{S}}\\cdot d\\boldsymbol{A}=\\frac{q^{4}}{32\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}}[(\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+(\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]\\frac{\\boldsymbol{e}_{r}\\cdot d\\boldsymbol{A}}{r^{2}}\\\\\n&=\\frac{q^{4}}{32\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}}[(\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+(\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]d\\Omega\\quad(16)\n\\end{align*}\n\\]\n式中\\(d\\Omega\\)是\\(d\\boldsymbol{A}\\)对原点(\\(\\boldsymbol{r} = 0\\))所张的立体角.\n入射电磁波的强度为\n\\[I_{0}=\\frac{1}{2}\\varepsilon_{0}c|\\boldsymbol{E}_{0}|^{2}=\\frac{1}{2}\\varepsilon_{0}c(a^{2}+b^{2})\\quad(17)\\]\n依定义，粒子的微分散射截面为\n\\[\n\\begin{align*}\n\\frac{d\\sigma}{d\\Omega}&=\\frac{dP}{I_{0}d\\Omega}=\\frac{q^{4}}{32\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}}[(\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+(\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]\\cdot\\frac{2}{\\varepsilon_{0}c(a^{2}+b^{2})}\\\\\n&=\\frac{q^{4}}{16\\pi^{2}\\varepsilon_{0}^{2}c^{4}m^{2}}\\frac{(\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+(\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}}{a^{2}+b^{2}}\\quad(18)\n\\end{align*}\n\\] "], "refined_standard_answer": ["\\(\\boldsymbol{H}(\\boldsymbol{r},t)=\\frac{q^{2}}{4\\pi cmr}[\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r}\\cos(kr - \\omega t-\\alpha)-\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r}\\sin(kr - \\omega t-\\alpha)]\\) 和 \\(\\boldsymbol{E}(\\boldsymbol{r},t)=\\frac{q^{2}}{4\\pi\\varepsilon_{0}c^{2}mr}\\{[(\\boldsymbol{a}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})\\boldsymbol{e}_{r}-\\boldsymbol{a}]\\cos(kr - \\omega t-\\alpha)-[(\\boldsymbol{b}\\cdot\\boldsymbol{e}_{r})\\boldsymbol{e}_{r}-\\boldsymbol{b}]\\sin(kr - \\omega t-\\alpha)\\}\\}", "\\(\\overline{\\boldsymbol{S}}=\\frac{q^{4}}{32\\pi^{2}\\varepsilon_{0}c^{3}m^{2}r^{2}}[(\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+(\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}]\\boldsymbol{e}_{r}\\)", "\\(\\frac{d\\sigma}{d\\Omega}=\\frac{q^{4}}{16\\pi^{2}\\varepsilon_{0}^{2}c^{4}m^{2}}\\frac{(\\boldsymbol{a}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}+(\\boldsymbol{b}\\times\\boldsymbol{e}_{r})^{2}}{a^{2}+b^{2}}\\)"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "我们考虑一种介质中的电光效应，克尔效应。在一种各向同性均匀的介质中，对于频率为 $\\omega$的平面电磁波，相对介电常数为 $\\varepsilon_r$ ，磁导率可近似为 $\\mu_0$ 。加入匀强外电场 $\\overrightarrow{E_e}$ 后，介电性质发生改变。对于振幅为 $\\overrightarrow{E_0}$ 的电磁波，其介电性质被表达为 $$ \\vec{D}=\\varepsilon_0\\left[\\varepsilon_r \\overrightarrow{E_0}+a \\overrightarrow{E_e}\\left(\\overrightarrow{E_e} \\cdot \\overrightarrow{E_0}\\right)\\right] $$ （1）考虑波矢在 $x-z$ 平面，和 $z$ 轴夹角为 $\\theta$ 的线偏振光，求出其折射率； （2）用这种介质做出一平行于 $x-z$ 平面，在 $y$ 方向厚度为 $h$ 的薄片，一束波长为 $\\lambda$ 的线偏振光垂直于薄片沿着 $y$ 方向入射，结果发现出射光是圆偏振光。求出 $\\hbar$ 的最小值。", "answer_ideas": ["六，解：\n（1）对于一般的平面波，波动方程为\n\n$$\n\\vec{E}=\\overrightarrow{E_0} e^{i(\\vec{k} \\cdot \\vec{r}-\\omega t)}\n$$\n\n\n于是算符可以被等效地写作\n\n$$\n\\nabla=i \\vec{k}, \\frac{\\partial}{\\partial t}=-i \\omega\n$$\n\n\n考察麦克斯韦方程组：\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\nabla \\cdot \\vec{D}=\\rho_f \\\\\n\\nabla \\times \\vec{E}=-\\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t} \\\\\n\\nabla \\cdot \\vec{B}=0 \\\\\n\\nabla \\times \\vec{H}=\\frac{\\partial \\vec{D}}{\\partial t}+j_f\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n介质中不应含任何自由电荷与传导电流，即\n$$\n\\rho_f=0, j_f=0\n$$\n\n\n且介质没有特殊的磁性质，即\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\vec{B}=\\mu_0 \\vec{H} \\\\\n\\Rightarrow \\nabla \\times(\\nabla \\times \\vec{E})=-\\frac{\\partial}{\\partial t}(\\nabla \\times \\vec{B})=-\\mu_0 \\frac{\\partial^2}{\\partial t^2} \\vec{D} \\\\\n\\Rightarrow-\\vec{k} \\times(\\vec{k} \\times \\vec{E})=\\mu_0 \\omega^2 \\vec{D}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n左边使用三重积公式打开得\n\n$$\n-\\vec{k}(\\vec{k} \\cdot \\vec{E})+k^2 \\vec{E}=\\mu_0 \\omega^2 \\vec{D}\n$$\n\n\n注意到\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\nabla \\cdot \\vec{D}=\\vec{k} \\cdot \\vec{D}=\\rho_f=0 \\\\\n\\Rightarrow \\vec{k} \\cdot \\overrightarrow{E_0}=-\\frac{a}{\\varepsilon_r}\\left(\\overrightarrow{E_e} \\cdot \\vec{k}\\right)\\left(\\overrightarrow{E_e} \\cdot \\overrightarrow{E_0}\\right)\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n代入得\n\n$$\n\\frac{\\alpha}{\\varepsilon_r}\\left(\\overrightarrow{E_e} \\cdot \\vec{k}\\right)\\left(\\overrightarrow{E_e} \\cdot \\overrightarrow{E_0}\\right) \\vec{k}+k^2 \\overrightarrow{E_0}=\\mu_0 \\omega^2 \\varepsilon_0\\left[\\varepsilon_r \\overrightarrow{E_0}+a \\overrightarrow{E_e}\\left(\\overrightarrow{E_e} \\cdot \\overrightarrow{E_0}\\right)\\right]\n$$\n\n\n其中 $\\vec{k}=k(\\sin \\theta, 0, \\cos \\theta)$ ，考察入射光的偏振态：\n$o$ 光： $\\overrightarrow{E_0}=E_0 \\hat{\\jmath}, \\overrightarrow{E_e} \\cdot \\overrightarrow{E_0}=0$ ，于是有\n\n$$\nn_o^2=\\frac{1}{\\mu_0 \\varepsilon_0} \\frac{k^2}{\\omega^2}=\\varepsilon_r \\Rightarrow n_o=\\sqrt{\\varepsilon_r}\n$$\n\n$e$ 光：令 $\\overrightarrow{E_0}=\\left(E_x, 0, E_z\\right)$ ，代入 $z$ 方向得\n\n$$\n\\frac{\\alpha}{\\varepsilon_r}\\left(E_e k \\cos \\theta\\right)\\left(E_e E_z\\right) k \\cos \\theta+k^2 E_z=\\mu_0 \\varepsilon_0 \\omega^2\\left(\\varepsilon_r E_z+\\alpha E_e^2 E_z\\right)\n$$\n\n\n要求 $E_z$ 有非零解，直接得到\n\n$$\nn_e^2=\\frac{1}{\\mu_0 \\varepsilon_0} \\frac{k^2}{\\omega^2}=\\frac{\\varepsilon_r\\left(\\varepsilon_r+\\alpha E_e^2\\right)}{\\varepsilon_r+\\alpha E_e^2 \\cos ^2 \\theta} \\Rightarrow n_e=\\sqrt{\\frac{\\varepsilon_r\\left(\\varepsilon_r+\\alpha E_e^2\\right)}{\\varepsilon_r+a E_e^2 \\cos ^2 \\theta}}\n$$\n\n$x$ 方向用来解出 $E_x$ 与 $E_z$ 的依赖关系，在求解 $n_e$ 的过程中并不重要．\n（2）代入 $\\theta=\\frac{\\pi}{2}$ ，得\n\n$$\nn_o=\\sqrt{\\varepsilon_r}, n_e=\\sqrt{\\varepsilon_r+a E_e^2}\n$$\n\n\n入射为线偏光，出射为圆偏光，当厚度最小时，要求\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\Delta n \\cdot h=\\left(\\sqrt{\\varepsilon_r+a E_e^2}-\\sqrt{\\varepsilon_r}\\right) h=\\frac{\\lambda}{4} \\\\\n\\Rightarrow h_{\\min }=\\frac{\\lambda}{4\\left(\\sqrt{\\varepsilon_r+a E_e^2}-\\sqrt{\\varepsilon_r}\\right)}\n\\end{gathered}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["n_e=\\sqrt{\\frac{\\varepsilon_r\\left(\\varepsilon_r+a E_e^2\\right)}{\\varepsilon_r+a E_e^2 \\cos ^2 \\theta}}", "h_{\\min }=\\frac{\\lambda}{4\\left(\\sqrt{\\varepsilon_r+a E_e^2}-\\sqrt{\\varepsilon_r}\\right)}"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "设有两个偶极矩$\\vec{p}_1$和$\\vec{p}_2$，它们的大小相等（$|\\vec{p}_1|=|\\vec{p}_2|=p$），并都指向$z$轴方向，其一位置在原点，另一个放置于（1）$\\theta = \\pi/2$，距原点为$R$；（2）$\\theta = 0$，距原点为$R$。试求：两种情况的相互作用能$U$和相互作用力$\\vec{F}$。", "answer_ideas": ["解：相互作用能为：$U = \\vec{p} \\cdot \\nabla\\varphi = -\\vec{p} \\cdot \\vec{E}$。偶极子产生的势：$\\varphi = -\\frac{\\vec{p}}{4\\pi\\varepsilon_0} \\cdot \\nabla\\frac{1}{r} = \\frac{\\vec{p} \\cdot \\vec{r}}{4\\pi\\varepsilon_0 r^3}$。综合得：$U = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\vec{p}_1 \\cdot \\nabla \\frac{\\vec{p}_2 \\cdot \\vec{r}}{r^3} = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{\\vec{p}_1 \\cdot \\vec{p}_2 - 3(\\vec{p}_1 \\cdot \\hat{e}_r)(\\vec{p}_2 \\cdot \\hat{e}_r)}{r^3}$。（1）$r = R, \\vec{p}_1 \\cdot \\hat{e}_r = 0$时：$U = \\frac{p^2}{4\\pi\\varepsilon_0 R^3}$，$\\vec{F} = -\\frac{3p^2}{4\\pi\\varepsilon_0 R^4} \\hat{e}_R$；（2）$r = R, \\vec{p}_1 \\cdot \\hat{e}_r = p$时：$U = -\\frac{p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 R^3}$，$\\vec{F} = \\frac{3p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 R^4} \\hat{e}_R$。"], "refined_standard_answer": ["U = \\frac{p^2}{4\\pi\\varepsilon_0 R^3}，\\vec{F} = -\\frac{3p^2}{4\\pi\\varepsilon_0 R^4} \\hat{e}_R", "U = -\\frac{p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 R^3}，\\vec{F} = \\frac{3p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 R^4} \\hat{e}_R"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "人们很早就意识到，金属是一类性质相当特殊的材料．其一般具有良好的导电性和导热性，还具有特殊的光泽。1896 年，J．J．Thomson 在对阴极射线的研究中发现了金属中存在带电的电子．这引出一个问题：在金属内部，电子是如何运动的？Paul Drude 运用分子动理论研究了电子的运动，取得了突破性的成功．本题我们研究一个最简单的 Drude 自由电子气模型．其假设是： －电子是质量为 $m$ ，带电 $-e$ 的经典粒子．电子在金属中运动时，会与固定的固体晶格发生碰撞，所有电子相邻两次碰撞的时间间隔均为 $\\tau$ ． - 电子与晶格碰撞后损失所有的动量而变为静止． - 在相邻两次散射之间，晶格对电子的作用可忽略不计．忽略电子间的相互作用． （1）欧姆定律描述流经导体的电流与其两端的电压之间的关系，电子的定向运动．在无外场时，电子做无规则的热运动，其平均速度为 0 ；外场的存在导致电子发生定向运动，形成电流．设导体内电子数密度为 $n$ ．现对导 体施加外电场 $\\boldsymbol{E}$ ．利用 Drude 模型求解下列问题： （i）求电子定向运动的平均速度 $\\boldsymbol{u}$ ，结果用 $e, \\boldsymbol{E}, m, \\tau$ 表示． （ii）求材料的电阻率 $\\rho$ ，结果用 $n, e, \\tau, m$ 表示． （iii）求单位时间单位体积内，电子碰撞损失的总定向运动动能 $Q_k$ ． （iv）根据焦耳定律，求单位时间单位体积内电流的发热 $Q_I$ ． （2）电子的运动受到磁场的影响．一个重要的磁场电效应是导体在横向外磁场中电阻率的改变，称为磁阻效应．实验表明，当电阻率的相对偏移 $\\Delta \\rho / \\rho$ 不是很大时，其与磁感应强度的关系为 $$ \\frac{\\Delta \\rho}{\\rho}=\\frac{\\rho(B)-\\rho(B=0)}{\\rho(B=0)}=\\mu B^\\nu $$ 这里 $\\mu, \\nu$ 是常数．建立坐标系，已知电场强度 $E$ 和磁感强度 $B$ ，两者方向 E 向左 B 方向向纸面内 （i）以某电子与晶格的碰撞为时间零点，求此电子在发生下一次碰撞前，定向运动速度的 $x, y$ 分量随时间 $t$ 的变化关系 $u_x(t), u_y(t)$ ．结果用 $e, E, B, m, t$ 表示． （ii）电流由电子沿场强 $\\boldsymbol{E}$ 方向的平均定向运动速度决定．求弱场磁阻效应公式中的 $\\mu, \\nu$ ．结果用 $e, m, \\tau$ 表示．", "answer_ideas": ["（1）\n（i）电子运动方程\n\n$$\n\\boldsymbol{F}=m \\dot{\\boldsymbol{v}}=-e \\boldsymbol{E}\n$$\n\n\n从而\n\n$$\n\\dot{\\boldsymbol{v}}=-\\frac{e}{m} \\boldsymbol{E}\n$$\n\n\n电子平均速度\n\n$$\n\\boldsymbol{u}=\\frac{1}{2} \\boldsymbol{v} \\tau=-\\frac{e \\tau}{2 m} \\boldsymbol{E}\n$$\n\n（ii）电子定向运动产生电流密度\n\n$$\n\\boldsymbol{j}=n(-e) \\boldsymbol{u}=\\frac{n e^2 \\tau}{2 m} \\boldsymbol{E}\n$$\n\n\n对照欧姆定律的微观形式\n\n$$\nj=\\frac{1}{\\rho} \\boldsymbol{E}\n$$\n\n\n得到\n\n$$\n\\rho=\\frac{2 m}{n e^2 \\tau}\n$$\n\n（iii）考虑单个电子的碰撞过程．碰前动能为\n\n$$\nE_k=\\frac{1}{2} m(\\dot{v} \\tau)^2=\\frac{e^2 E^2 \\tau^2}{2 m}\n$$\n对其运动时间平均，并考虑单位体积内的电子数 $n$ ，得到\n\n$$\nQ_k=n \\frac{E_k}{\\tau}=\\frac{n e^2 \\tau}{2 m} E^2\n$$\n\n（iv）据焦耳定律，单位体积的热功率为\n\n$$\nQ_I=j^2 \\rho=\\frac{E^2}{\\rho}=\\frac{n e^2 \\tau}{2 m} E^2\n$$\n\n（2）\n（i）由洛伦兹力公式\n\n$$\n\\boldsymbol{F}=-e(\\boldsymbol{E}+\\boldsymbol{u} \\times \\boldsymbol{B})\n$$\n\n\n带入题给坐标得到运动方程：\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& m \\frac{\\mathrm{~d} u_x}{\\mathrm{~d} t}=e E+e B u_y \\\\\n& m \\frac{\\mathrm{~d} u_y}{\\mathrm{~d} t}=-e B u_x\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n联立得到\n\n$$\n\\ddot{u}_x+\\frac{e^2 B^2}{m^2} u_x=0\n$$\n\n\n这是一个简谐振动方程．通解为\n\n$$\nu_x(t)=A \\sin \\omega t+B \\cos \\omega t, \\quad \\omega=\\frac{e B}{m}\n$$\n\n\n考虑初始条件\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& u_x(0)=0 \\\\\n& \\dot{u}_x(0)=\\frac{e E}{m}\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n得到特解\n\n$$\nu_x(t)=\\frac{E}{B} \\sin \\left(\\frac{e B}{m} t\\right)\n$$\n\n\n回带得到\n\n$$\n\\dot{u}_y=-\\frac{e E}{m} \\sin \\left(\\frac{e B}{m} t\\right)\n$$\n\n\n从初始条件\n\n$$\nu_y(0)=0\n$$\n\n\n积分得到\n\n$$\nu_y(t)=-\\frac{E}{B}\\left[1-\\cos \\left(\\frac{e B}{m} t\\right)\\right]\n$$\n\n（ii）我们关心上述 $u_x(t)$ 解在 $t \\in(0, \\tau)$ 内的平均值．显然，将 $\\sin x$ 保留到一阶的结果是完全\n无磁场，因此有必要保留到 3 阶：\n\n$$\nu_x \\simeq \\frac{e E}{m} t-\\frac{e^3 E B^2}{6 m^3} t^3\n$$\n\n\n经过时间 $\\tau$ 时的位移\n\n$$\ns=\\int_0^\\tau u_x \\mathrm{~d} t \\simeq \\frac{e E}{2 m} \\tau^2-\\frac{e^3 E B^2}{24 m^3} \\tau^4\n$$\n\n\n平均速度\n\n$$\n\\bar{u}=\\frac{s}{\\tau} \\simeq \\frac{e E}{2 m} \\tau-\\frac{e^3 E B^2}{24 m^3} \\tau^3\n$$\n\n\n从而电阻率\n\n$$\n\\rho(B)=\\frac{E}{n e \\bar{u}} \\simeq \\rho(B=0)\\left(1-\\frac{1}{12} \\frac{e^2 \\tau^2}{m^2} B^2\\right)^{-1} \\simeq \\rho(B=0)\\left(1+\\frac{1}{12} \\frac{e^2 \\tau^2}{m^2} B^2\\right)\n$$\n\n\n从而\n\n$$\n\\frac{\\Delta \\rho}{\\rho} \\simeq \\frac{1}{12} \\frac{e^2 \\tau^2}{m^2} B^2\n$$\n\n\n即\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\mu & =\\frac{1}{12}\\left(\\frac{e \\tau}{m}\\right)^2 \\\\\n\\nu & =2\n\\end{aligned}\n$$\n\n"], "refined_standard_answer": ["$\\boldsymbol{u}=-\\frac{e \\tau}{2 m} \\boldsymbol{E}$", "$\\rho=\\frac{2 m}{n e^2 \\tau}$", "$Q_k=\\frac{n e^2 \\tau}{2 m} E^2$", "$Q_I=\\frac{n e^2 \\tau}{2 m} E^2$", "$u_y(t)=-\\frac{E}{B}\\left[1-\\cos \\left(\\frac{e B}{m} t\\right)\\right]$", "$\\mu =\\frac{1}{12}\\left(\\frac{e \\tau}{m}\\right)^2, \\nu =2$"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "使用格林函数法求解电势,$$\n\\left(\\nabla^{2}-{\\frac{1}{c^{2}}}{\\frac{\\partial^{2}}{\\partial t^{2}}}\\right)\\varphi(\\pmb{r},t)=-{\\frac{\\rho(\\pmb{r},t)}{\\varepsilon_{0}}},\n$$$$\n\\left(\\nabla^{2}-\\frac{1}{c^{2}}\\frac{\\partial^{2}}{\\partial t^{2}}\\right)G(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}^{\\prime},t-t^{\\prime})=-\\delta(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}^{\\prime})\\delta(t-t^{\\prime}),\n$$其中 $\\rho(\\pmb{r},t)$ 为源电荷密度分布函数, $\\delta(\\boldsymbol{r}-\\boldsymbol{r}^{\\prime})$ , $\\delta(t-t^{\\prime})$ 均为狄拉克函数。假如不考虑因果律效应,从联立方程(1)(2)出发,求解得到 $\\varphi(\\pmb{r},t)$ 由推迟势与超前势两部分组成的表达式。", "answer_ideas": ["定义 $\\mathbf{R} \\equiv \\mathbf{r} - \\mathbf{r}'$, $T = t - t'$。首先构造基本求解形式：\n\n$$\n\\varphi(\\mathbf{r}, t) = \\frac{1}{\\varepsilon_0} \\int G(\\mathbf{R}, T)\\rho(\\mathbf{r}', t') d\\mathbf{r}' dt',\n$$\n\n对 $G(\\mathbf{R}, T)$ 和 $\\delta$ 函数分别作 Fourier 变换，有（取系数方便形式）：\n\n$$\nG(\\mathbf{R}, T) = \\frac{1}{(2\\pi)^4} \\int G(\\mathbf{k}, \\omega) e^{i\\mathbf{k} \\cdot \\mathbf{R}} e^{-i\\omega T} d\\mathbf{k} d\\omega,\n$$\n\n$$\n\\delta(\\mathbf{R})\\delta(T) = \\frac{1}{(2\\pi)^4} \\int e^{i\\mathbf{k} \\cdot \\mathbf{R}} e^{-i\\omega T} d\\mathbf{k} d\\omega.\n$$\n\n代回方程(2) 有：\n\n$$\n- k^2 G(\\mathbf{k}, \\omega) + \\frac{\\omega^2}{c^2} G(\\mathbf{k}, \\omega) = -1,\n$$\n\n因此：\n\n$$\nG(\\mathbf{k}, \\omega) = \\frac{1}{k^2 - (\\omega / c)^2} = \\frac{1}{k^2 - k_0^2},\n$$\n\n其中 $k_0 \\equiv \\omega / c$。将此形式代回 $G(\\mathbf{R}, T)$ 的 Fourier 变换形式，有：\n\n$$\nG(\\mathbf{R}, T) = \\frac{1}{(2\\pi)^4} \\int \\frac{e^{i\\mathbf{k} \\cdot \\mathbf{R} - i\\omega T}}{k^2 - k_0^2} d\\mathbf{k} d\\omega \n= \\frac{1}{2\\pi} \\int e^{-i\\omega T} G(\\mathbf{R}, \\omega) d\\omega,\n$$\n\n现需计算：\n\n$$\nG(\\mathbf{R}, \\omega) \\equiv \\frac{1}{(2\\pi)^3} \\int \\frac{e^{i\\mathbf{k} \\cdot \\mathbf{R}}}{k^2 - k_0^2} d\\mathbf{k}.\n$$\n\n---\n\n首先将积分展开：\n\n$$\nG(\\mathbf{R}, \\omega) = \\frac{1}{(2\\pi)^3} \\int_0^{2\\pi} d\\varphi \\int_0^\\pi d\\theta \\int_0^\\infty dk \\, \\frac{e^{ikR \\cos\\theta}}{k^2 - k_0^2} k^2 \\sin\\theta\n$$\n\n$$\n= \\frac{1}{(2\\pi)^2} \\int_0^\\infty dk \\, \\frac{k}{k^2 - k_0^2} \\left[ \\int_0^\\pi d\\theta \\, \\sin\\theta \\, e^{ikR \\cos\\theta} \\right]\n= \\frac{1}{(2\\pi)^2} \\int_0^\\infty dk \\, \\frac{k}{k^2 - k_0^2} \\cdot \\left[ \\frac{2 \\sin(kR)}{kR} \\right]\n$$\n\n$$\n= \\frac{1}{(2\\pi)^2 R} \\int_0^\\infty dk \\, \\frac{k \\sin(kR)}{k^2 - k_0^2}\n= \\frac{1}{16\\pi^2 i R} \\int_{-\\infty}^\\infty dk \\left( \\frac{1}{k - k_0} + \\frac{1}{k + k_0} \\right) e^{ikR}.\n$$\n\n注意到被积函数在实轴上有两个单极点 $k_0$, $-k_0$，且满足：\n\n$$\n\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = 2\\pi i \\sum_{\\text{upper}} \\text{Res} f(z) + \\pi i \\sum_{\\text{real-axis}} \\text{Res} f(z)\n$$\n\n所要求的 $f(z)$ 形式，其中两项分别为对上半平面与实轴上的留数求和。\n\n$G(\\mathbf{R}, \\omega)$ 可进一步化为：\n\n$$\nG(\\mathbf{R}, \\omega) = \\frac{1}{16\\pi^2 i R} \\left[ \\pi i \\left( e^{ik_0 R} + e^{-ik_0 R} \\right) - (-\\pi i) \\left( e^{-ik_0 R} + e^{ik_0 R} \\right) \\right]\n= \\frac{1}{8\\pi R} \\left( e^{ik_0 R} + e^{-ik_0 R} \\right).\n$$\n\n代回 $G(\\mathbf{R}, T)$ 有：\n\n$$\nG(\\mathbf{R}, T) = \\frac{1}{2\\pi} \\int_0^\\infty d\\omega \\, e^{-i\\omega T} G(\\mathbf{R}, \\omega)\n= \\frac{1}{2\\pi} \\int_0^\\infty d\\omega \\, \\frac{1}{8\\pi R} \\left[ e^{i\\omega(\\frac{R}{c} - T)} + e^{-i\\omega(\\frac{R}{c} + T)} \\right]\n$$\n\n$$\n= \\frac{1}{8\\pi R} \\left[ \\delta\\left( \\frac{R}{c} - T \\right) + \\delta\\left( \\frac{R}{c} + T \\right) \\right].\n$$\n\n---\n\n最终，代回 $\\varphi(\\mathbf{r}, t)$ 表达式有：\n\n$$\n\\varphi(\\mathbf{r}, t) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{4\\pi \\varepsilon_0} \\int d\\mathbf{r}' dt' \\left\\{ \\frac{1}{R} \\left[ \\rho(\\mathbf{r}, t') \\delta\\left( t' - \\left( t - \\frac{R}{c} \\right) \\right) + \\rho(\\mathbf{r}, t') \\delta\\left( t' - \\left( t + \\frac{R}{c} \\right) \\right) \\right] \\right\\}\n$$\n\n$$\n= \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{4\\pi \\varepsilon_0} \\int d\\tau"], "refined_standard_answer": ["$$\\varphi(\\boldsymbol{r}, t) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_{0}} \\int_{V} \\left\\{ \\frac{1}{R} \\left[ \\rho(\\boldsymbol{r}', t - \\frac{R}{c}) + \\rho(\\boldsymbol{r}', t + \\frac{R}{c}) \\right] \\right\\} d\\tau'$$，其中 $R \\equiv |\\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{r}'|$，积分中第一项为推迟势，第二项为超前势。"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "一静质量为\\(m_{0}\\)、电荷量为\\(q\\)的相对论性粒子，在磁感强度为\\(\\boldsymbol{B}\\)的均匀磁场中做回旋运动，由于发出辐射，它逐渐失去能量. 设开始(\\(t = 0\\))时，它的能量为\\(E_{0}\\)，试求它的能量\\(E\\)、轨道半径\\(R\\)以及回旋角频率\\(\\omega\\)与时间\\(t\\)的关系.", "answer_ideas": ["【解】它的能量为\n\\[E = mc^{2}=\\frac{m_{0}c^{2}}{\\sqrt{1 - \\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\quad(1)\\]\n它的运动方程为\n\\[ma = m\\frac{v^{2}}{R}=qvB\\quad(2)\\]\n它发出辐射的功率为①\n\\[P = \\frac{q^{2}}{6\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}}\\frac{a^{2}-\\left(\\frac{\\boldsymbol{v}\\times\\boldsymbol{a}}{c}\\right)^{2}}{\\left(1 - \\frac{v^{2}}{c^{2}}\\right)^{3}}\\quad(3)\\]\n因回旋运动，故\n\\[\\left(\\frac{\\boldsymbol{v}\\times\\boldsymbol{a}}{c}\\right)^{2}=\\frac{v^{2}}{c^{2}}a^{2}\\quad(4)\\]\n所以\n\\[P = \\frac{q^{2}a^{2}}{6\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}\\left(1 - \\frac{v^{2}}{c^{2}}\\right)^{2}}\\quad(5)\\]\n它发出辐射的功率就等于它的能量损失率，即\n\\[\\frac{dE}{dt}=-P = -\\frac{q^{2}a^{2}}{6\\pi\\varepsilon_{0}c^{3}\\left(1 - \\frac{v^{2}}{c^{2}}\\right)^{2}}\\quad(6)\\]\n由(1)和(2)两式得\n\\[\n\\begin{align*}\n\\frac{a^{2}}{\\left(1 - \\frac{v^{2}}{c^{2}}\\right)^{2}}&=\\frac{q^{2}B^{2}v^{2}}{m^{2}}\\frac{1}{\\left(1 - \\frac{v^{2}}{c^{2}}\\right)^{2}}=\\frac{q^{2}B^{2}E^{2}v^{2}}{m_{0}^{4}c^{4}}\\\\\n&=\\frac{q^{2}B^{2}}{m_{0}^{2}c^{2}}(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4})\\quad(7)\n\\end{align*}\n\\]\n所以\n\\[\\frac{dE}{dt}=-\\frac{q^{4}B^{2}}{6\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{4}c^{5}}(E^{2}-m_{0}^{2}c^{4})\\quad(8)\\]\n\\[\\int_{E_{0}}^{E}\\frac{dE}{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}}=-\\frac{q^{4}B^{2}}{6\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{4}c^{5}}\\int_{0}^{t}dt=-\\frac{q^{4}B^{2}}{6\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{4}c^{5}}t\\quad(9)\\]\n左边积分为\n\\[\n\\begin{align*}\n\\int_{E_{0}}^{E}\\frac{dE}{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}}&=-\\frac{1}{2m_{0}c^{2}}\\int_{E_{0}}^{E}\\frac{dE}{E + m_{0}c^{2}}+\\frac{1}{2m_{0}c^{2}}\\int_{E_{0}}^{E}\\frac{dE}{E - m_{0}c^{2}}\\\\\n&=-\\frac{1}{2m_{0}c^{2}}\\ln\\frac{E + m_{0}c^{2}}{E_{0}+ m_{0}c^{2}}+\\frac{1}{2m_{0}c^{2}}\\ln\\frac{E - m_{0}c^{2}}{E_{0}- m_{0}c^{2}}\n\\end{align*}\n\\] \n\\[\n=\\frac{1}{2m_{0}c^{2}}\\ln\\left(\\frac{E - m_{0}c^{2}}{E + m_{0}c^{2}}\\frac{E_{0}+m_{0}c^{2}}{E_{0}-m_{0}c^{2}}\\right)\\quad(10)\n\\]\n于是得\n\\[\n\\frac{E - m_{0}c^{2}}{E + m_{0}c^{2}}=\\frac{E_{0}-m_{0}c^{2}}{E_{0}+m_{0}c^{2}}e^{-\\frac{q^{4}B^{2}t}{3\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{3}c^{5}}}\\quad(11)\n\\]\n解得\\(E\\)与\\(t\\)的关系为\n\\[\nE = m_{0}c^{2}\\frac{E_{0}+m_{0}c^{2}+(E_{0}-m_{0}c^{2})e^{-\\frac{q^{4}B^{2}t}{3\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{3}c^{5}}}}{E_{0}+m_{0}c^{2}-(E_{0}-m_{0}c^{2})e^{-\\frac{q^{4}B^{2}t}{3\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{3}c^{5}}}}\\quad(12)\n\\]\n它的轨道半径\\(R\\)由(2)和(1)式为\n\\[\n\\begin{align*}\nR&=\\frac{mv}{qB}=\\frac{E}{qBc^{2}}v=\\frac{E}{qBc^{2}}\\sqrt{c^{2}-\\frac{m_{0}^{2}c^{6}}{E^{2}}}\\\\\n&=\\frac{1}{qBc}\\sqrt{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}}\\quad(13)\n\\end{align*}\n\\]\n回旋角频率\\(\\omega\\)由(2)式为\n\\[\n\\omega=\\frac{v}{R}=\\frac{qB}{m}=\\frac{qBc^{2}}{E}\\quad(14)\n\\] "], "refined_standard_answer": ["E = m_{0}c^{2}\\frac{E_{0}+m_{0}c^{2}+(E_{0}-m_{0}c^{2})e^{-\\frac{q^{4}B^{2}t}{3\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{3}c^{5}}}}{E_{0}+m_{0}c^{2}-(E_{0}-m_{0}c^{2})e^{-\\frac{q^{4}B^{2}t}{3\\pi\\varepsilon_{0}m_{0}^{3}c^{5}}}}", "R = \\frac{1}{qBc}\\sqrt{E^{2}-m_{0}^{2}c^{4}}", "\\omega = \\frac{qBc^{2}}{E}"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "沿$z$轴放置的一无线长直导线，载有电流\\[ I(t) = \\begin{cases} 0, & t \\leq 0 \\\\ I_0, & t > 0 \\end{cases}\\] ，即一恒定电流$I_0$在$t=0$时刻突然出现。求该导线在$s$处产生的磁场$\\mathbf{B}$。", "answer_ideas": ["导线沿着 \\( z \\) 轴放置,在 \\( P \\) 点处的推迟矢势是 \\[ A(s,t) = \\frac{\\mu_0}{4\\pi} \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{I(t_r)}{t} \\, dz \\] \\( t < s/c \\) 时，“信息”还没有到达 \\( P \\) 点，矢势为零。\n \\( t > s/c \\) 时，仅在范围 \\[ |z| \\leq \\sqrt{(ct)^2 - s^2} \\] 内的导线部分有贡献（在这个范围外，\\( t_r \\) 是负值，故 \\( I(t_r) = 0 \\)）\n \\[ A(s,t) = \\left( \\frac{\\mu_0 I_0 z}{4\\pi} \\right) \\int_{0}^{\\sqrt{(ct)^2 - s^2}} \\frac{dz}{\\sqrt{s^2 + z^2}} \\] \\[ = \\frac{\\mu_0 I_0 z}{2\\pi} \\ln \\left( \\sqrt{s^2 + z^2} + z \\right) \\bigg|_0^{\\sqrt{(ct)^2 - s^2}} = \\frac{\\mu_0 I_0}{2\\pi} \\ln \\left( \\frac{ct + \\sqrt{(ct)^2 - s^2}}{s} \\right) z \\] \n\\[ \\mathbf{B}(s, t) = \\nabla \\times \\mathbf{A} = -\\frac{\\partial A}{\\partial s} \\hat{\\phi} = \\frac{\\mu_0 I_0}{2\\pi s} \\frac{ct}{\\sqrt{(ct)^2 - s^2}} \\hat{\\phi} \\] \n该导线在$s$处产生的磁场是 \\[\\mathbf{B}(s, t) = \\begin{cases} 0, & t \\leq 0 \\\\ \\frac{\\mu_0 I_0}{2\\pi s} \\frac{ct}{\\sqrt{(ct)^2 - s^2}} \\hat{\\phi}, & t > 0 \\end{cases}\\] $\\hat{\\phi}为单位向量$ \n \\( t \\to \\infty \\)，\\( \\mathbf{B} = \\left( \\frac{\\mu_0 I_0}{2\\pi s} \\right) \\hat{\\phi}_0 \\)"], "refined_standard_answer": ["\\mathbf{B}(s, t) = \\begin{cases} 0, & t \\leq 0 \\\\ \\frac{\\mu_0 I_0}{2\\pi s} \\frac{ct}{\\sqrt{(ct)^2 - s^2}} \\hat{\\phi}, & t > 0 \\end{cases}"], "sub_subject_name": "Electrodynamics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "Consider two real scalar fields, $H(x)$ and $S(x)$, with potential\n\n$$\nV(H,S)= -\\mu_H^{2}\\,H^{2}+ \\lambda_H\\,H^{4}\\;-\\mu_s^{2}\\,S^{2} +\\lambda_s\\,S^{4} +\\lambda_m\\,S^{2}H^{2}.\n$$\n\nA discrete $\\mathbb{Z}_2$ acting as $S\\to -S$ is spontaneously broken by the vacuum expectation value\n$S(x)=v_s+r(x)$ with $v_s\\neq 0$. When find the vacuum expectation value of S(x), ignore the H(x). Besides, ignore electroweak symmetry breaking and gauge interactions; treat $H$ as a real scalar with canonical kinetic term and zero vacuum expectation value. (Here, you need to consider the interaction like HHSS, HHS, SSS)\n\n At tree level compute the amplitude $\\mathcal A\\bigl(HH\\to HHHHHH\\bigr)$. \n", "answer_ideas": ["To compute the tree-level result for the scattering process $HH \\to HHHHHH$, we proceed classically by solving the equations of motion for the heavy field $S$, assuming it is non-dynamical (i.e., integrating it out at tree level). Loop effects are quantum in nature and are not considered here.\n\n---\n\n**Step 1: Define the scalar potential (UV theory)**\nWe start with scalar potential involving a light field $H$ and a heavy scalar field $S$,\n\n$$\nV(H, S) = -\\mu_h H^2 + \\lambda_h H^4 - \\mu_s S^2 + \\lambda_s S^4 + \\lambda_m S^2 H^2.\n$$\n\nThis includes a Higgs-like sector and a portal interaction via the term $\\lambda_m S^2 H^2$.\n\n---\n\n**Step 2: Solve classical equation of motion for $S$**\nWe eliminate $S$ by solving its classical equation of motion (i.e., stationary condition for the potential),\n\n$$\n\\frac{\\partial V}{\\partial S} = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad\n-2\\mu_s S + 4\\lambda_s S^3 + 2\\lambda_m S H^2 = 0.\n$$\n\nSolving this yields three branches. The nontrivial real solution is\n\n$$\nv_s(H) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\lambda_s}} \\sqrt{\\mu_s - \\lambda_m H^2}.\n$$\n\n---\n\n**Step 3: Substitute back into the potential**\nWe then evaluate the UV potential at this classical solution:\n\n$$\nV(H, v_s(H)) = -\\mu_h H^2 + \\lambda_h H^4 \n- \\mu_s v_s(H)^2 + \\lambda_s v_s(H)^4 + \\lambda_m v_s(H)^2 H^2.\n$$\n\nThis simplifies to\n\n$$\nV_{\\text{eff}}(H) = -\\frac{1}{4\\lambda_s}\n\\left[\nH^4(\\lambda_m^2 - 4\\lambda_h\\lambda_s)\n+ \\mu_s^2 + H^2(4\\lambda_s\\mu_h - 2\\lambda_m\\mu_s)\n\\right].\n$$\n\n---\n\n**Step 4: Analyze the resulting EFT**\nAfter integrating out $S$, the effective potential is purely a function of $H$. It contains terms of the form\n\n$$\nV_{\\text{eff}}(H) = c_0 + c_2 H^2 + c_4 H^4,\n$$\n\nbut **no $H^6$, $H^8$, or higher-order terms**. This implies that at tree level, the six-point interaction $HH \\to HHHHHH$ is absent:\n\n$$\n\\boxed{\\mathcal A_{\\text{tree}}(HH \\to HHHHHH) = 0}.\n$$\n\n---\n\nThis result follows directly from classical elimination of the heavy scalar via its equation of motion. No contact $H^6$ or $H^8$ terms are generated at this order. Any such interactions must arise from quantum loop corrections or higher-order terms in the expansion of the classical solution."], "refined_standard_answer": ["0"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "在 Weyl 自旋子形式下的 Yukawa 相互作用：\n$$\ny_u\\, Q_L^\\alpha\\, u_R^c\\, \\epsilon_{\\alpha \\beta}\\, H^\\beta \n+ y_d\\, Q_L^\\alpha\\, d_R^c\\, H^*_\\alpha \n+ y_e\\, L_L^\\alpha\\, e_R^c\\, H^*_\\alpha + \\text{h.c.}\n\\tag{1}\n$$\n可以用 Dirac 自旋子（4 分量）形式重写为：\n$$\ny_u'\\, \\overline{Q_L}\\, u_R\\, \\widetilde{H} \n+ y_d'\\, \\overline{Q_L}\\, d_R\\, H \n+ y_e'\\, \\overline{L_L}\\, e_R\\, H + \\text{h.c.}\n\\tag{2}\n$$\n\n其中，\\(\\widetilde{H} = \\epsilon H^*\\)。请写出 \\(y_u, y_d, y_e\\) 与 \\(y_u', y_d', y_e'\\) 之间的关系。", "answer_ideas": ["第一项为：\n$$\ny_u' \\overline{Q_L} u_R \\widetilde{H} + \\text{h.c.}\n= y_u' \\begin{pmatrix} 0 & Q_L^\\dagger \\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix} 0 \\\\ u_R \\end{pmatrix} \\epsilon H^* + \\text{h.c.}\n= y_u' Q_L^\\dagger u_R \\epsilon H^* + \\text{h.c.}\n$$\n\n写成 Weyl 自旋子形式为：\n$$\n= y_u^{\\prime *} Q_L^T u_R^* \\epsilon H + \\text{h.c.}\n= -y_u^{\\prime *} Q_L^T \\epsilon u_R^* H + \\text{h.c.}\n= -y_u^{\\prime *} Q_L u_R^c \\epsilon H + \\text{h.c.}\n$$\n\n所以我们得到关系：\n$$\ny_u = -y_u^{\\prime *}\n$$", "第二项为：\n$$\ny_d' \\overline{Q_L} d_R H + \\text{h.c.}\n= y_d' Q_L^\\dagger d_R H + \\text{h.c.}\n= y_d^{\\prime *} Q_L^T d_R^* H^* + \\text{h.c.}\n= -y_d^{\\prime *} Q_L^T \\epsilon d_R^* H^* + \\text{h.c.}\n= -y_d^{\\prime *} Q_L d_R^c H^* + \\text{h.c.}\n$$\n\n所以我们得到：\n$$\ny_d = -y_d^{\\prime *}\n$$", "第三项 \\(y_e\\) 的推导与上面相同，故直接写出结论：\n$$\ny_e = -y_e^{\\prime *}\n$$"], "refined_standard_answer": ["$y_{u} = -y_{u}'^*$", "$y_{d} = -y_{d}'^*$", "$y_{e} = -y_{e}'^*$"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "Consider the theory of a complex scalar field $\\phi$ invariant under a global $U(1)$ symmetry, $$ \\mathcal{L} = \\partial_\\mu \\phi^* \\partial^\\mu \\phi - V(\\phi), $$ with the potential $$ V(\\phi) = \\mu^2 \\phi^* \\phi + \\frac{\\lambda}{4} (\\phi^* \\phi)^2. $$ The parameters satisfy $\\mu^2 < 0$ and $\\lambda > 0$.Suppose now that we add a small term to this potential $$ \\delta V = \\epsilon^2 (\\phi^* + \\phi), $$ where $\\epsilon^2$ is very small (smaller than any other scales in this theory). The vacuum is \n$$\n{\\textstyle \\phi _{0} =-\\sqrt{\\frac{-2\\mu ^{2}}{\\lambda }} +\\frac{\\epsilon^2 }{2\\mu ^{2}}}\n$$\nFind the mass of the pseudo-Nambu-Goldstone boson.", "answer_ideas": ["在真空附近展开复标量场 \\(\\phi\\) 为：\n$$\n\\phi = \\phi_0 + \\frac{\\phi_1 + i \\phi_2}{\\sqrt{2}}\n$$\n\n所以拉格朗日量为：\n$$\n\\mathcal{L} = \\frac{1}{2} \\partial_\\mu \\phi_1 \\partial^\\mu \\phi_1 + \\frac{1}{2} \\partial_\\mu \\phi_2 \\partial^\\mu \\phi_2 - V(\\phi_1, \\phi_2)\n$$\n\n势能项为：\n$$\nV(\\phi_1, \\phi_2) \n= \\mu^2 \\left( \\phi_0 + \\frac{\\phi_1 - i\\phi_2}{\\sqrt{2}} \\right)\n\\left( \\phi_0 + \\frac{\\phi_1 + i\\phi_2}{\\sqrt{2}} \\right)\n+ \\frac{\\lambda}{4} \\left( \\left( \\phi_0 + \\frac{\\phi_1 - i\\phi_2}{\\sqrt{2}} \\right)\n\\left( \\phi_0 + \\frac{\\phi_1 + i\\phi_2}{\\sqrt{2}} \\right) \\right)^2\n+ \\epsilon^2 \\left( 2\\phi_0 + \\sqrt{2} \\phi_1 \\right)\n$$\n\n我们关注势能中的二次项：\n$$\n\\left( \\frac{3}{4} \\lambda \\phi_0^2 + \\frac{\\mu^2}{2} \\right) \\phi_1^2\n+ \\left( \\frac{1}{4} \\lambda \\phi_0^2 + \\frac{\\mu^2}{2} \\right) \\phi_2^2\n$$\n\n其中 \\(\\phi_2\\) 是较轻的模，其质量由下式给出：\n$$\n\\left( \\frac{1}{4} \\lambda \\phi_0^2 + \\frac{\\mu^2}{2} \\right)\n= \\frac{\\epsilon^2}{2 \\sqrt{-2\\mu^2 / \\lambda}}\n$$\n因此，Pseudo-Nambu-Goldstone Boson的质量为：\n$$\nm_{\\phi_2} = \\frac{\\epsilon^2}{\\sqrt{-2\\mu^2 / \\lambda}}\n$$"], "refined_standard_answer": ["$\\frac{\\epsilon^2}{\\sqrt{-2\\mu^2/\\lambda}}$"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "假想一个能量$E \\to 0$的中子—中子散射，相互作用力势为 \\[ V=\\begin{cases} V_{0}\\boldsymbol{\\sigma}_{1}\\cdot\\boldsymbol{\\sigma}_{2},&r < a\\\\ 0,&r > a \\end{cases} \\] (1) 这里$\\boldsymbol{\\sigma}_{1}$与$\\boldsymbol{\\sigma}_{2}$是入射中子与靶中子的泡利矩阵，$V_{0}$是常数。入射中子与靶中子都是非极化的。计算散射总截面$\\sigma_{t}$。", "answer_ideas": ["在上述力势作用下，总自旋$\\hat{S}$是守恒量。体系波函数可以表示为\n\\[\n\\psi(r,s_{1z},s_{2z})=\\psi(r)\\varPhi_{sm_{s}}(s_{1z},s_{2z})\n\\] (2)\n其中$\\varPhi_{sm_{s}}$是$\\hat{S}^{2}$与$\\hat{S}_{z}$的共同本征函数，$s = 0,m_{s}=0$；$s = 1,m_{s}=0,\\pm1$。对于能量$E \\to 0$的散射，只须考虑$s$波的散射。$s$波的空间波函数$\\psi(r)=\\psi(|\\boldsymbol{r}_{1}-\\boldsymbol{r}_{2}|)$对于交换两中子的空间坐标$\\boldsymbol{r}_{1}$与$\\boldsymbol{r}_{2}$是对称的。与$\\psi(r)$相应的自旋波函数$\\varPhi_{sm_{s}}(s_{1z},s_{2z})$，必定是对于交换两中子的自旋变量$s_{1z}$与$s_{2z}$为反对称的自旋单态波函数$\\varPhi_{00}(s_{1z},s_{2z})$。在体系处于自旋单态时，$\\boldsymbol{\\sigma}_{1}\\cdot\\boldsymbol{\\sigma}_{2}$的取值为\\(-3\\)，作用力势为\n\\[\nV=\\begin{cases}\n-3V_{0},&r < a\\\\\n0,&r > a\n\\end{cases}\n\\] (3)\n令$\\psi(r)=u(r)/r$，$u(r)$满足方程\n\\[\n\\frac{\\mathrm{d}^{2}u(r)}{\\mathrm{d}r^{2}}+\\frac{2\\mu}{\\hbar^{2}}(E + 3V_{0})u(r)=0,\\quad r < a\n\\] (4)\n\\[\n\\frac{\\mathrm{d}^{2}u(r)}{\\mathrm{d}r^{2}}+\\frac{2\\mu E}{\\hbar^{2}}u(r)=0,\\quad r > a\n\\] (4)\n及边界条件$u(0)=0$。令\n\\[\n\\alpha=\\sqrt{\\frac{2\\mu(E + 3V_{0})}{\\hbar^{2}}},\\quad k=\\sqrt{\\frac{2\\mu E}{\\hbar^{2}}}\n\\] (5)\n方程变为\n\\[\n\\frac{\\mathrm{d}^{2}u(r)}{\\mathrm{d}r^{2}}+\\alpha^{2}u(r)=0,\\quad r < a\n\\] (6)\n\\[\n\\frac{\\mathrm{d}^{2}u(r)}{\\mathrm{d}r^{2}}+k^{2}u(r)=0,\\quad r > a\n\\] (7)\n方程满足条件$u(0)=0$的解为\n\\[\nu_{1}(r)=A\\sin\\alpha r,\\quad r < a\n\\] (8)\n\\[\nu_{2}(r)=B\\sin(kr+\\delta_{0}),\\quad r > a\n\\] (9)\n由连续条件$u_{1}(a)=u_{2}(a)$，$u_{1}^{\\prime}(a)=u_{2}^{\\prime}(a)$，得\n\\[\nA\\sin\\alpha a=B\\sin(ka+\\delta_{0})\n\\] (10)\n\\[\nA\\alpha\\cos\\alpha a=Bk\\cos(ka+\\delta_{0})\n\\] (11)\n以上两式相比，得\n\\[\n\\frac{k}{\\alpha}\\mathrm{tg}(\\alpha a)=\\mathrm{tg}(ka+\\delta_{0})\n\\] (12)\n\\[\n\\delta_{0}=\\mathrm{arctg}\\left(\\frac{k}{\\alpha}\\mathrm{tg}(\\alpha a)\\right)-ka\n\\] (13)\n\\[\nE\\to0,\\quad k\\to0,\\quad\\alpha\\to\\sqrt{\\frac{6\\mu V_{0}}{\\hbar^{2}}}\\equiv\\alpha_{0}\n\\] (14)\n\\[\n\\delta_{0}\\stackrel{E\\to0}{\\longrightarrow}\\frac{k}{\\alpha_{0}}\\mathrm{tg}(\\alpha_{0}a)-ka=ka\\left(\\frac{\\mathrm{tg}(\\alpha_{0}a)}{\\alpha_{0}a}-1\\right)\n\\] (15)\n\\[\nf(\\theta)=\\frac{1}{k}\\mathrm{e}^{\\mathrm{i}\\delta_{0}}\\sin\\delta_{0}\n\\] (16)\n\\[\n\\begin{align*}\n\\sigma(\\theta)&=|f(\\theta)+f(\\pi - \\theta)|^{2}=\\left|\\frac{2}{k}\\mathrm{e}^{\\mathrm{i}\\delta_{0}}\\sin\\delta_{0}\\right|^{2}\\\\\n&=\\frac{4}{k^{2}}\\sin^{2}\\delta_{0}\\approx\\frac{4}{k^{2}}\\delta_{0}^{2}=4a^{2}\\left(\\frac{\\mathrm{tg}(\\alpha_{0}a)}{\\alpha_{0}a}-1\\right)^{2}\n\\end{align*}\n\\] (16)\n自旋单态散射总截面为 \n\\[\n\\sigma_{t}=\\frac{1}{2}\\int\\sigma(\\theta)\\mathrm{d}\\Omega = 8\\pi a^{2}\\left(\\frac{\\mathrm{tg}(\\alpha_{0}a)}{\\alpha_{0}a}-1\\right)^{2}\n\\] (17)\n在入射中子与靶中子都是非极化的条件下，状态$\\alpha(1)\\alpha(2)$，$\\alpha(1)\\beta(2)$，$\\beta(1)\\alpha(2)$，$\\beta(1)\\beta(2)$出现的几率都是$1/4$。显然，状态$|11\\rangle$，$|10\\rangle$，$|1 - 1\\rangle$，$|00\\rangle$出现的几率也都是$1/4$。考虑到自旋单态$|00\\rangle$出现的几率为$1/4$，散射总截面为\n\\[\n\\sigma_{t}=\\frac{1}{4}\\times8\\pi a^{2}\\left(\\frac{\\mathrm{tg}(\\alpha_{0}a)}{\\alpha_{0}a}-1\\right)^{2}=2\\pi a^{2}\\left(\\frac{\\mathrm{tg}(\\alpha_{0}a)}{\\alpha_{0}a}-1\\right)^{2}\n\\] (18) "], "refined_standard_answer": ["\\sigma_{t}=2\\pi a^{2}\\left(\\frac{\\tan(\\alpha_{0}a)}{\\alpha_{0}a}-1\\right)^{2}，其中\\alpha_{0}=\\sqrt{\\frac{6\\mu V_{0}}{\\hbar^{2}}}"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "电子在磁场\\(\\mathbf{B}=(0,B_{y},B_{z})\\)中运动，\\(B_{z}\\)比\\(B_{y}\\)小得多. (1) 只考虑自旋运动，写出体系的哈密顿量，求出本征能量并展开到\\(B_{z}/B_{y}\\)的领头阶，求出本征态(不要归一化)； (2) 把\\(B_{z}\\)看成微扰，用定态微扰论计算体系的能量到\\(B_{z}^{2}\\)阶.", "answer_ideas": ["(1) 精确解\n\\[\n\\begin{align*}\n\\hat{H}&=-\\mathbf{M}_{s}\\cdot\\mathbf{B}=\\frac{e}{mc}\\hat{\\mathbf{S}}\\cdot(B_{y}\\mathbf{j}+B_{z}\\mathbf{k})=\\frac{e}{mc}(B_{y}\\hat{S}_{y}+B_{z}\\hat{S}_{z})\\\\\n&=\\frac{e\\hbar}{2mc}(B_{y}\\hat{\\sigma}_{y}+B_{z}\\hat{\\sigma}_{z})\\\\\n&=\\frac{e\\hbar}{2mc}\\left\\{B_{y}\\begin{pmatrix}0&-i\\\\i&0\\end{pmatrix}+B_{z}\\begin{pmatrix}1&0\\\\0&-1\\end{pmatrix}\\right\\}\\\\\n&=\\frac{e\\hbar}{2mc}\\begin{pmatrix}B_{z}&-iB_{y}\\\\iB_{y}&-B_{z}\\end{pmatrix}\n\\end{align*}\n\\]\n解定态方程\\(\\hat{H}|\\psi\\rangle = E|\\psi\\rangle\\)，即\n\\(\\frac{e\\hbar}{2mc}\\begin{pmatrix}B_{z}&-iB_{y}\\\\iB_{y}&-B_{z}\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}c_{1}\\\\c_{2}\\end{pmatrix}=E\\begin{pmatrix}c_{1}\\\\c_{2}\\end{pmatrix}\\)\n令\\(\\lambda=\\frac{2mcE}{e\\hbar}\\)，方程变为\n\\(\\begin{pmatrix}B_{z}-\\lambda&-iB_{y}\\\\iB_{y}&-B_{z}-\\lambda\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}c_{1}\\\\c_{2}\\end{pmatrix}=0\\)\n解之得\\(\\lambda=\\pm\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}\\)，\n\\(E_1=\\frac{e\\hbar}{2mc}\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}\\)\n\\(|\\psi_1\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{B_{y}^{2}+(\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}-B_{z})^{2}}}\\begin{pmatrix}B_{y}\\\\(\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}-B_{z})i\\end{pmatrix}\\)\n\\(E_2=-\\frac{e\\hbar}{2mc}\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}\\)\n\\(|\\psi_2\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{B_{y}^{2}+(\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}+B_{z})^{2}}}\\begin{pmatrix}B_{y}\\\\-(\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}+B_{z})i\\end{pmatrix}\\)\n将\\(E_1\\)与\\(E_2\\)作泰勒级数展开：\n\\(E_1=\\frac{e\\hbar}{2mc}\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}\\sqrt{1+(\\frac{B_{z}}{B_{y}})^2}\\)\n\\(=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}}+\\cdots)\\)\n\\(E_2=-\\frac{e\\hbar}{2mc}\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}\\sqrt{1+(\\frac{B_{z}}{B_{y}})^2}\\)\n\\(=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}}+\\cdots)\\)\n(2) 近似解\n\\(\\hat{H}_{0}=\\frac{eB_{y}}{mc}\\hat{S}_{y}\\)，\\(\\hat{H}'=\\frac{eB_{z}}{mc}\\hat{S}_{z}\\)\n\\(E_{1}^{(0)}=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}\\)，\\(|\\psi_{1}^{(0)}\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix}1\\\\i\\end{pmatrix}\\)\n\\(E_{2}^{(0)}=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}\\)，\\(|\\psi_{2}^{(0)}\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix}1\\\\-i\\end{pmatrix}\\)\n\\(H_{11}'=\\langle\\psi_{1}^{(0)}|\\hat{H}'|\\psi_{1}^{(0)}\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{2}}(1,-i)\\frac{e\\hbar B_{z}}{2mc}\\begin{pmatrix}1&0\\\\0&-1\\end{pmatrix}\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix}1\\\\i\\end{pmatrix}=0\\)\n\\(H_{12}'=\\langle\\psi_{1}^{(0)}|\\hat{H}'|\\psi_{2}^{(0)}\\rangle=\\frac{e\\hbar B_{z}}{2mc}\\)，\\(H_{21}'=(H_{12}')^{*}=\\frac{e\\hbar B_{z}}{2mc}\\)，\\(H_{22}'=0\\)\n\\(E_1=E_{1}^{(0)}+E_{1}^{(1)}+E_{1}^{(2)}=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}+H_{11}'+\\frac{|H_{21}'|^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}}\\)\n\\(=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}+\\frac{e\\hbar B_{z}^{2}}{4mcB_{y}}=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}})\\)\n\\(E_2=E_{2}^{(0)}+E_{2}^{(1)}+E_{2}^{(2)}=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}+H_{22}'+\\frac{|H_{12}'|^{2}}{E_{2}^{(0)}-E_{1}^{(0)}}\\)\n\\(=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}-\\frac{e\\hbar B_{z}^{2}}{4mcB_{y}}=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}})\\)\n比较精确能量与近似能量看出，精确能量展开式的前二项正是微扰论的一级近似能量."], "refined_standard_answer": ["\\hat{H}=\\frac{e\\hbar}{2mc}\\begin{pmatrix}B_{z} & -iB_{y} \\\\ iB_{y} & -B_{z}\\end{pmatrix}；E_1=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}}), E_2=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}})；|\\psi_1\\rangle=\\begin{pmatrix}B_{y}\\\\{(\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}-B_{z})i}\\end{pmatrix}, |\\psi_2\\rangle=\\begin{pmatrix}B_{y}\\\\{-(\\sqrt{B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}+B_{z})i}\\end{pmatrix}", "E_1=\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}}), E_2=-\\frac{e\\hbar B_{y}}{2mc}(1+\\frac{B_{z}^{2}}{2B_{y}^{2}})"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "上世纪六十年代初，人们在实验上发现了超导环内的磁通量的量子化现象。磁通量子的单元是 $\\frac{h}{2 e}$ ，其中 $h=2 \\pi \\mathrm{~h}$ 为普朗克常量（ h 为约化普朗克常量），$c$ 为真空中的光速，$-e$ 为电子电量。为了理解这一现象，考虑一维圆环上非相对论无相互作用电子的稳定运动状态，如图 $a$ 所示。已知电子质量为 $m$ ，环的半径为 $R$ ，环上电子的运动状态可以用以下波函数表示，$\\psi(x)=\\exp \\left(\\frac{i}{\\hbar} p x\\right)$ 其中，$x=R \\theta$ 标记以圆环中心为原点的极坐标系统 $(\\rho, \\theta)$ 中环上的位置，$p$ 是电子的动量。 （1）一维的圆环上电子的波函数 $\\psi(x)$ 应当满足单值性条件，试据此给出电子动量 $p$ 所有可能的取值。 （2）在环中通入磁通 $\\Phi$（ $\\Phi$ 关于过圆心且垂直于圆面的轴对称，图中笠头表示磁通的正负。在本题的计算中，$\\Phi$ 视为连续变量），如图 $b$ 所示。此时电子的动量变为 $p^{\\prime}=p+e A$ 其中 $A$ 为电磁场的矢势，其方向可视为沿环的切线方向。电子的能量由 $E=\\frac{p^2}{2 m}$ 给出。试据此给出此时单个电子的能量 $E$ 与磁通量 $\\Phi$ 的关系。 （3）考虙环上N个无相互作用的电子构成的系统。在接近绝对零度时，由于量子效应，系统满足以下两个条件： （3．1）任意两个电子具有不同的动量 （3．2）系统总能量取最小值 证明该系统的总能量 $E_{\\mathrm{tot}}$ 随磁通量 $\\Phi$ 周期性变化，并指出该周期的大小。 （4）在 $-\\frac{h}{2 e} \\leq \\Phi \\leq \\frac{h}{2 e}$ 的范围内，试给出系统单粒子平均能量 $E=\\frac{E_{100}}{N}$ 随 $\\Phi$ 的变化关系；并由此指出，当 N 为奇数时，$\\Phi=0$ 时的平均能量小于 $|\\Phi|=\\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量；当 N 为偶数时，$\\Phi=0$ 时的平均能量大于 $|\\Phi|=\\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量。 ", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["$p=n \\frac{\\hbar}{R}, n=0, \\pm 1, \\pm 2$", "$E_n=\\frac{\\hbar^2}{2 m R^2}\\left(n+\\frac{e \\Phi}{h}\\right)^2, n=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots$", "$\\frac{h}{e}$", "$\\frac{\\hbar^2}{2 m R^2}\\left(\\frac{e \\Phi}{h}+\\frac{1}{2}\\right)^2+\\frac{\\hbar^2}{2 m R^2}\\left(\\frac{M^2}{3}-\\frac{1}{12}\\right)$ ，当 $N$ 为奇数时，$\\Phi=0$ 时的平均能量小于 $|\\Phi|=\\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量；当 $N$ 为偶数时，$\\Phi=0$ 时的平均能量大于 $|\\Phi|=\\frac{h}{2 e}$ 时的平均能量"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "电子在类氢离子势场\\(V(r)=-\\frac{Ze^{2}}{r}\\)中的定态能量为\\(E_{n}=-\\frac{Z^{2}e^{2}}{2an^{2}}\\)，定态波函数为\\(\\psi_{nlm}(\\boldsymbol{r})\\)。这是在动能\\(T = \\frac{\\boldsymbol{p}^{2}}{2\\mu}\\)的非相对论近似下得到的结果。现考虑\\(T\\)与\\(\\boldsymbol{p}\\)的相对论修正，计算能级\\(E_{n}\\)的移动\\(\\Delta E\\)至\\(\\frac{1}{c^{2}}\\)阶。", "answer_ideas": ["\\(\\langle\\frac{1}{r}\\rangle_{nlm}=\\frac{Z}{an^{2}}\\)，\\(\\langle\\frac{1}{r^{2}}\\rangle_{nlm}=\\frac{2Z^{2}}{(2l + 1)a^{2}n^{3}}\\)  (1) \n考虑相对论修正至\\(\\frac{1}{c^{2}}\\)阶，体系的哈密顿量为\n\\(\\hat{H}=\\hat{H}_{0}+\\hat{H}'\\)  (2)\n\\(\\hat{H}_{0}=\\frac{\\hat{\\boldsymbol{p}}^{2}}{2\\mu}-\\frac{Ze^{2}}{r}\\)  (3)\n\\(\\hat{H}'=-\\frac{\\hat{\\boldsymbol{p}}^{4}}{8\\mu^{3}c^{2}}\\)  (4)\n利用(3)式，微扰\\(\\hat{H}'\\)可以表示为\n\\[\n\\begin{align*}\n\\hat{H}'&=-\\frac{1}{2\\mu c^{2}}(\\frac{\\hat{\\boldsymbol{p}}^{2}}{2\\mu})^{2}=-\\frac{1}{2\\mu c^{2}}(\\hat{H}_{0}+\\frac{Ze^{2}}{r})^{2}\\\\\n&=-\\frac{1}{2\\mu c^{2}}\\left\\{\\hat{H}_{0}^{2}+Ze^{2}(\\hat{H}_{0}\\frac{1}{r}+\\frac{1}{r}\\hat{H}_{0})+\\frac{Z^{2}e^{4}}{r^{2}}\\right\\}\n\\end{align*}\n\\] (5)\n\\(\\hat{H}_{0}\\)的本征能量\\(E_{n}\\)是\\(n^{2}\\)度简并的，相应的本征函数为\\(\\psi_{nlm}(\\boldsymbol{r})\\)。由(5)式看出，\\(n^{2}\\times n^{2}\\)的微扰矩阵\\(H'\\)的所有非对角元素均为零：\n\\(H_{(lm),(l'm')}'=\\langle nlm|\\hat{H}'|nl'm'\\rangle\\sim\\delta_{ll'}\\delta_{mm'}\\)  (6)\n简并态微扰问题可以用非简并态微扰方法处理，\n\\[\n\\begin{align*}\n\\Delta E&=E_{n}^{(1)}=\\langle nlm|\\hat{H}'|nlm\\rangle\\\\\n&=-\\frac{1}{2\\mu c^{2}}\\langle nlm|\\hat{H}_{0}^{2}+Ze^{2}(\\hat{H}_{0}\\frac{1}{r}+\\frac{1}{r}\\hat{H}_{0})+\\frac{Z^{2}e^{4}}{r^{2}}|nlm\\rangle\\\\\n&=-\\frac{1}{2\\mu c^{2}}\\left\\{E_{n}^{2}+2Ze^{2}E_{n}\\langle\\frac{1}{r}\\rangle_{nlm}+Z^{2}e^{4}\\langle\\frac{1}{r^{2}}\\rangle_{nlm}\\right\\}\n\\end{align*}\n\\] (7)\n将\\(E_{n}=-\\frac{Z^{2}e^{2}}{2an^{2}}\\)及(1)式代入(7)式，得\n\\[\n\\begin{align*}\n\\Delta E&=-\\frac{1}{2\\mu c^{2}}\\left\\{\\frac{Z^{4}e^{4}}{4a^{2}n^{4}}-\\frac{Z^{4}e^{4}}{a^{2}n^{4}}+\\frac{2Z^{4}e^{4}}{(2l + 1)a^{2}n^{3}}\\right\\}\\\\\n&=-\\frac{Z^{4}e^{4}}{2\\mu c^{2}a^{2}n^{4}}\\left(\\frac{2n}{2l + 1}-\\frac{3}{4}\\right)\\\\\n&=-\\mu c^{2}\\left(\\frac{e^{2}}{\\hbar c}\\right)^{4}\\frac{Z^{4}}{2n^{4}}\\left(\\frac{2n}{2l + 1}-\\frac{3}{4}\\right)\n\\end{align*}\n\\] (8) "], "refined_standard_answer": ["\\Delta E = -\\mu c^{2} \\left(\\frac{e^{2}}{\\hbar c}\\right)^{4} \\frac{Z^{4}}{2n^{4}} \\left(\\frac{2n}{2l + 1} - \\frac{3}{4}\\right)"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "长为 \\( l \\) 的绳子一端固定，另一端系质量为 \\( m \\) 的质点。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，写出质点运动的哈密顿量。  \n", "answer_ideas": ["\n令摆动角为 \\( \\varphi \\)\n以质点平衡位置 \\( (\\varphi = 0) \\) 的势能作为势能的零点，则势能  \\[ V(\\varphi) = m g l (1 - \\cos \\varphi) \\]  \n\n质点运动的哈密顿量\\[ \\hat{H} =\\hat{H_0}+\\hat{V}(\\varphi)=  -\\frac{\\hbar^2}{2  m l^2} \\frac{d^2}{d \\varphi^2} + m g l (1 - \\cos \\varphi) \\]  \n\n"], "refined_standard_answer": ["\\hat{H} = -\\frac{\\hbar^2}{2 m l^2} \\frac{d^2}{d \\varphi^2} + m g l (1 - \\cos \\varphi)"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "不考虑自旋，原子中的电子状态可以表示为 \\[ \\psi_{nlm}=R_{nl}(r)\\mathrm{Y}_{lm}(\\theta,\\varphi) \\] 设能级只取决于主量子数\\(n\\)。设初态为\\((nlm)\\)，终态为\\((n'l'm')\\)，\\(n\\)、\\(n'\\)、\\(l\\)、\\(m\\)均已给定。 (a) 求跃迁到\\(l'\\)相同，\\(m'\\)不同的各个终态的分支比； (b) 求\\(l'\\)不同的各个终态(对\\(m'\\)求和)的分支比。", "answer_ideas": ["(a) 终态\\(l' = l + 1\\)，\n\\(m' = m\\)，\n\\[ |\\langle l + 1,m|\\boldsymbol{n}|lm\\rangle|^{2}=\\frac{(l + m + 1)(l - m + 1)}{(2l + 3)(2l + 1)} \\] (4)\n\\(m' = m\\pm1\\)，\n\\[ |\\langle l + 1,m\\pm1|\\boldsymbol{n}|lm\\rangle|^{2}=\\frac{(l\\pm m + 2)(l\\pm m + 1)}{2(2l + 3)(2l + 1)} \\]\n\\[ \\sum_{m'}|\\langle l + 1,m'|\\boldsymbol{n}|lm\\rangle|^{2}=\\frac{l + 1}{2l + 1} \\] (5)\n所以跃迁到终态\\(m' = m + 1,m,m - 1\\)的分支比为\n\\[\n\\begin{align*}\n&(l + m + 2)(l + m + 1):2(l + m + 1)(l - m + 1):\\\\\n&(l - m + 2)(l - m + 1)\n\\end{align*}\n\\]\n例如初态\\(l = m = 0\\)，终态\\(l' = 1\\)，则\\(m' = 1,0, - 1\\)的分支比为\\(2:2:2\\)，此即上题结果.\n\n(b) 终态\\(l' = l - 1\\)，\n\\(m' = m\\)，\n\\[ |\\langle l - 1,m|\\boldsymbol{n}|lm\\rangle|^{2}=\\frac{(l + m)(l - m)}{(2l + 1)(2l - 1)} \\] (6)\n\\(m' = m\\pm1\\)，\n\\[ |\\langle l - 1,m\\pm1|\\boldsymbol{n}|lm\\rangle|^{2}=\\frac{(l\\mp m)(l\\mp m - 1)}{2(2l + 1)(2l - 1)} \\]\n\\[ \\sum_{m'}|\\langle l - 1,m'|\\boldsymbol{n}|lm\\rangle|^{2}=\\frac{l}{2l + 1} \\] (7)\n所以跃迁到终态\\(m' = m + 1,m,m - 1\\)的分支比为\n\\[ (l - m)(l - m - 1):2(l + m)(l - m):(l + m)(l + m - 1) \\]\n式(5)和(7)给出终态\\(l' = l + 1,l - 1\\)分支比为\n\\[ (l + 1):l \\] (8) "], "refined_standard_answer": ["当终态\\(l' = l + 1\\)时，跃迁到终态\\(m' = m + 1, m, m - 1\\)的分支比为\\((l + m + 2)(l + m + 1) : 2(l + m + 1)(l - m + 1) : (l - m + 2)(l - m + 1)\\)", "终态\\(l' = l + 1\\)与\\(l' = l - 1\\)（对\\(m'\\)求和）的分支比为\\((l + 1) : l\\)"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "氢原子的Hamilton量为 \\[ H_{0}=-\\frac{\\hbar^{2}}{2\\mu}\\nabla^{2}-\\frac{e^{2}}{r}=\\frac{\\boldsymbol{p}^{2}}{2\\mu}-\\frac{e^{2}}{r} \\] (1) 如沿\\(z\\)方向加上均匀电场\\(\\mathscr{E}\\)（当作微扰），能量算符变成 \\[ H = H_{0}+H'=H_{0}+e\\mathscr{E}z \\] (2) 如取试探波函数为 \\[ \\psi(\\lambda,\\boldsymbol{r})=N(1+\\lambda e\\mathscr{E}z)\\psi_{0}(\\boldsymbol{r}) \\] (3) 其中\\(\\psi_{0}\\)为微扰前的基态波函数，即\\(\\psi_{0}=\\psi_{100}\\)。试用变分法求基态能级的上限和电极化率，并和微扰论结果比较。", "answer_ideas": ["氢原子的Hamilton量为\n\\[ H_{0}=-\\frac{\\hbar^{2}}{2\\mu}\\nabla^{2}-\\frac{e^{2}}{r}=\\frac{\\boldsymbol{p}^{2}}{2\\mu}-\\frac{e^{2}}{r} \\] (1)\n\n如沿\\(z\\)方向加上均匀电场\\(\\mathscr{E}\\)（当作微扰），能量算符变成\n\\[ H = H_{0}+H'=H_{0}+e\\mathscr{E}z \\] (2)\n\n如取试探波函数为\n\\[ \\psi(\\lambda,\\boldsymbol{r})=N(1+\\lambda e\\mathscr{E}z)\\psi_{0}(\\boldsymbol{r}) \\] (3)\n其中\\(\\psi_{0}\\)为微扰前的基态波函数，即\\(\\psi_{0}=\\psi_{100}\\)。试用变分法求基态能级的上限和电极化率，并和微扰论结果比较。\n\n解 微扰前，基态能级和基态波函数为\n\\[ E_{0}=-\\frac{e^{2}}{2a_{0}}=-\\frac{\\mu e^{4}}{2\\hbar^{2}} \\] (4)\n\\[ \\psi_{0}=\\psi_{100}=(\\pi a_{0}^{3})^{-1/2}\\mathrm{e}^{-r/a_{0}} \\]\n\\[ a_{0}=\\hbar^{2}/\\mu e^{2} \\text{(Bohr半径)} \\] (5)\n\n试探波函数式(3)即\n\\[ \\psi(\\lambda,\\boldsymbol{r})=N(1+\\lambda H')\\psi_{0} \\] (3')\n这正是题12.16所取的试探函数，因此准确到\\(\\mathscr{E}^{2}\\)量级的基态能级上限，可以按题12.16式(8)或(8')算出. 对于本题，以式(8)较容易. 有关对易式为\n\\[\n\\begin{align*}\n[H_{0},H']&=\\frac{e\\mathscr{E}}{2\\mu}[\\boldsymbol{p}^{2},z]=-\\mathrm{i}\\hbar\\frac{e\\mathscr{E}}{\\mu}p_{z}\\\\\n[H',[H_{0},H']]&=-\\mathrm{i}\\hbar\\frac{e^{2}\\mathscr{E}^{2}}{\\mu}[z,p_{z}]=\\hbar^{2}e^{2}\\mathscr{E}^{2}/\\mu\n\\end{align*}\n\\]\n\n因此\n\\[ \\langle[H',[H_{0},H']]\\rangle_{0}=\\hbar^{2}e^{2}\\mathscr{E}^{2}/\\mu \\] (6)\n\n另外，容易算出\n\\[ \\langle H'\\rangle_{0}=e\\mathscr{E}\\langle z\\rangle_{0}=0 \\] (7)\n\\[ \\langle H'^{2}\\rangle_{0}=e^{2}\\mathscr{E}^{2}\\langle z^{2}\\rangle_{0}=\\frac{1}{3}e^{2}\\mathscr{E}^{2}\\langle r^{2}\\rangle_{0}=e^{2}\\mathscr{E}^{2}a_{0}^{2} \\] (8)\n\n代入式(7)、(8)，即得\n\\[ \\lambda=-2a_{0}/e^{2}=1/E_{0} \\] (9)\n\\[ E'=E_{0}-2\\mathscr{E}^{2}a_{0}^{3} \\] (10)\n\\[ \\psi=N\\left(1-\\frac{2a_{0}}{e^{2}}e\\mathscr{E}z\\right)\\psi_{0} \\] (11)\n\n式(11)作为近似的基态波函数，已不再是球对称的，电偶极矩平均值为(取\\(N \\sim 1\\))\n\\[ \\langle D_{z}\\rangle=\\langle\\psi|(-ez)|\\psi\\rangle=4\\mathscr{E}a_{0}\\langle z^{2}\\rangle_{0}=4\\mathscr{E}a_{0}^{3} \\] (12)\n\n极化率为\n\\[ \\alpha=\\frac{\\langle D_{z}\\rangle}{\\mathscr{E}}=-\\frac{\\partial^{2}E}{\\partial\\mathscr{E}^{2}}=4a_{0}^{3} \\] (13)\n\n微扰论的计算结果为\n\\[ E = E_{0}-\\frac{9}{4}\\mathscr{E}^{2}a_{0}^{3}, \\quad \\langle D_{z}\\rangle=\\frac{9}{2}\\mathscr{E}a_{0}^{3}, \\quad \\alpha=\\frac{9}{2}a_{0}^{3} \\]\n变分法所得能级略高于微扰论结果，\\(\\langle D_{z}\\rangle\\)及\\(\\alpha\\)则略小于后者. "], "refined_standard_answer": ["变分法结果：基态能级上限 \\(E'=E_{0}-2\\mathscr{E}^{2}a_{0}^{3}\\)，电极化率 \\(\\alpha = 4a_{0}^{3}\\)。与微扰论结果（\\(E_{pert}=E_{0}-\\frac{9}{4}\\mathscr{E}^{2}a_{0}^{3}\\)，\\(\\alpha_{pert}=\\frac{9}{2}a_{0}^{3}\\)）比较，变分法所得能级更高，极化率更小。"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "目标：计算特定能量范围内的单位体积态密度\n考虑自由电子体系的单位体积态密度，其表达式为\n$$g(E)=\\frac{4\\pi (2m)^{3/2}}{h^3}\\sqrt{E}$$\n请计算能量在 $0$ 到 $1~\\mathrm{eV}$ 范围内的单位体积量子态数目，结果请使用科学记数法，保留两位有效数字。", "answer_ideas": ["### 计算步骤\n\n\\[\nN \\;=\\; \\int_{0}^{1\\ \\mathrm{eV}} g(E)\\,\\mathrm dE\n   \\;=\\;\\int_{0}^{E_{\\max}}\n         \\frac{4\\pi\\,(2m_e)^{3/2}}{h^{3}}\\sqrt{E}\\,\\mathrm dE\n   \\;=\\;\\frac{4\\pi\\,(2m_e)^{3/2}}{h^{3}}\\,\n        \\frac{2}{3}\\,E_{\\max}^{3/2}.\n\\]\n\n| 物理量 | 数值 (SI) |\n| :----: | :-------------------------------: |\n| 电子质量 \\(m_e\\) | \\(9.109\\,383\\,7015\\times10^{-31}\\ \\mathrm{kg}\\) |\n| 普朗克常数 \\(h\\) | \\(6.626\\,070\\,15\\times10^{-34}\\ \\mathrm{J\\,s}\\) |\n| 1 eV | \\(1.602\\,176\\,634\\times10^{-19}\\ \\mathrm{J}\\) |\n\n\\[\nE_{\\max}=1\\ \\mathrm{eV}=1.602\\,176\\,634\\times10^{-19}\\ \\mathrm{J}.\n\\]\n\n\\[\n\\therefore\\quad\nN=\\frac{2}{3}\\,\\frac{4\\pi(2m_e)^{3/2}}{h^{3}}\\,\n      E_{\\max}^{3/2}\n  \\;\\approx\\; 4.5\\times10^{27}\\ \\text{m}^{-3}.\n\\]\n\n---\n\n## 结果（科学记数法，两位有效数字）\n\n\\[\n\\boxed{N \\;\\approx\\; 4.5 \\times 10^{27}\\ \\text{个量子态 m}^{-3}}\n\\]"], "refined_standard_answer": ["$4.5 \\times 10^{27} \\, \\mathrm{m}^{-3}$"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "背景考虑一维双链耦合振子系统,其动态矩阵由厄米部分 $D_{0}$ 和非厄米修正项 $D^{\\prime}$ 组成:\n$$\nD=D_{0}+D^{\\prime}=\\left(\\begin{array}{c c}{{2t\\cos(k a)-2t-t_{\\perp}}}&{{t_{\\perp}}}\\\\ {{t_{\\perp}}}&{{2t\\cos(k a)-2t-t_{\\perp}}}\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{c c}{{p_{\\alpha}e^{i k L}}}&{{0}}\\\\ {{0}}&{{p_{\\beta}e^{i k L}}}\\end{array}\\right),\n$$\n其中 $t=1,L=40a,a=1$ ,且 $L\\gg a$ 。忽略 $ e^{i k L}$ 的快速振荡(视为全局复相位 $e^{i\\theta}$ , $\\theta\\in[0,2\\pi)$ )。令 $p_{\\alpha}=-0.2$ , $p_{\\beta}=1.0$ , 求解 $D$ 的本征值 $\\boldsymbol{E_{1,2}}$ 。通过分析 $f(k)^{2}=$ $e^{2i\\theta}(p_{\\alpha}-p_{\\beta})^{2}+4t_{\\perp}^{2}$ 在复平面的绕原点圈数,推导相变临界条件 $t_{\\perp}=t_{c}$ ,并给出 $t_{c}$ 的表达式。证明当 $t_{\\perp}=t_{c}$ 时,本征值 $E_{1}=E_{2}$ ,并计算此时的本征值。", "answer_ideas": ["动态矩阵的本征值满足:\n$$\n\\operatorname*{det}(D-E I)=0.\n$$\n展开行列式方程:$$\n\\left(2\\cos k-2-t_{\\perp}+p_{\\alpha}e^{i\\theta}-E\\right)\\left(2\\cos k-2-t_{\\perp}+p_{\\beta}e^{i\\theta}-E\\right)-t_{\\perp}^{2}=0.\n$$\n令 $h=2\\cos{k}-2-t_{\\perp}$ ,则方程化简为:\n$$\n\\left(h+p_{\\alpha}e^{i\\theta}-E\\right)\\left(h+p_{\\beta}e^{i\\theta}-E\\right)-t_{\\perp}^{2}=0.\n$$\n解得本征值:$$\nE_{1,2}=h+\\frac{(p_{\\alpha}+p_{\\beta})e^{i\\theta}}{2}\\pm\\sqrt{\\left(\\frac{(p_{\\alpha}-p_{\\beta})e^{i\\theta}}{2}\\right)^{2}+t_{\\perp}^{2}}.\n$$定义 $f(k)^{2}=e^{2i\\theta}(p_{\\alpha}-p_{\\beta})^{2}+4t_{\\perp}^{2}$ ,其根在复平面构成以 $(2t_{\\perp},0)$ 为圆心、半径 $|p_{\\alpha}-p_{\\beta}|$ 的圆。当圆包含原点时,绕数 $w=1$ ,否则 $w=0$ 。临界条件为圆心到原点距离等于半径:$$\n2t_{c}=|p_{\\alpha}-p_{\\beta}|\\implies t_{c}=\\frac{|p_{\\alpha}-p_{\\beta}|}{2}=\\frac{1.2}{2}=0.6.\n$$", "当 $t_{\\perp}=t_{c}=0.6$ 时,根号内表达式为:$$\nf(k)^{2}=e^{2i\\theta}(-1.2)^{2}+4(0.6)^{2}=1.44(e^{2i\\theta}+1).\n$$当 $e^{2i\\theta}=-1$ 时, $f(k)^{2}=0$ ,此时本征值简并:$$\nE_{1}=E_{2}=h+{\\frac{(p_{\\alpha}+p_{\\beta})e^{i\\theta}}{2}}.\n$$代入具体数值 $h=2\\cos{k}-2-0.6$ ,验证在特定 $\\theta$ 下本征值重合,系统处于异常点。"], "refined_standard_answer": ["t_{c}=\\frac{|p_{\\alpha}-p_{\\beta}|}{2}=0.6", "E_{1}=E_{2}=h+\\frac{(p_{\\alpha}+p_{\\beta})e^{i\\theta}}{2}"], "sub_subject_name": "Quantum Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "当T=283开，P=1000百帕的饱和湿空气等压降低3℃，水汽凝结成雾，问每立方米空气含水几克？若绝热上升至850百帕，那每立方米空气中又有多少克液态水？", "answer_ideas": ["\n解：根据绝对湿度公式  \na = 217 * e / T  \n式中  \n  a 为绝对湿度（克/立方米），  \n  e 为水汽压（百帕），  \n  T 为气温（开氏度）。  \n\n因为是饱和湿空气，故 e 可换成饱和水汽压 E，得  \na = 217 * E / T  \n\nE 可用马克努斯公式求得（此处已给出数值）。  \n\n设：  \n  a1 = 283 K 时的饱和绝对湿度，  \n  a2 = 280 K 时的饱和绝对湿度，  \n  a3 = 绝热上升到 850 hPa，276 K 时的饱和绝对湿度。  \n\n1）降温 3°C（283 K → 280 K）每立方米空气中含水量增量 Δa：  \nΔa = a1 − a2  \n   = 217 * (12.5/283) − 217 * (10/280)  \n   = 1.83 （克/立方米）  \n\n2）绝热上升到 850 hPa（温度 276 K）时每立方米空气中含水量增量 Δa：  \nΔa = a1 − a3  \n   = 217 * (12.5/280) − 217 * (7.50/276)  \n   = 3.68 （克/立方米）  \n"], "refined_standard_answer": ["1.83", "3.68"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "大气边界层氮氧化物的生命周期与其浓度有关。在我国东部森林地区夏季，随着氮氧化物排放的不断增加，其生命周期会发生什么变化？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["先减少，后增加"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "有两个半径分别为2×10^-7厘米和2×10^-6厘米的纯水滴，水滴上均附有一个元量的电荷，问它们的饱和比为多少？", "answer_ideas": ["含有电荷的水滴的饱和比水汽压公式为：\nS = E_{r,q}/E = 1 + c_r/r - c_q/r^4\n其中 c_q = 7.5×10^{-30}厘米，v为元量电荷的个数，按题意v=1\n因此：\nS_1 = E_{r,q}/E = 1 + c_r/r - c_q/r^4 = 1 + (1.2×10^{-7})/(2×10^{-7}) - (7.5×10^{-30})/(2×10^{-7})^4 = 160(%)\nS_2 = E_{r,q}/E = 1 + (1.2×10^{-7})/(2×10^{-6}) - (7.5×10^{-30})/(2×10^{-6})^4 = 106(%)"], "refined_standard_answer": ["半径为2×10^-7厘米的水滴饱和比为160%", "半径为2×10^-6厘米的水滴饱和比为106%"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "从半径为1微米的云滴凝结增长成半径为5微米,10微米,500微米云滴需要多少时间?假设云内的过饱和度为0.1%,温度为10度.", "answer_ideas": ["解：根据凝结增长方程  \ndr/dt = Kc·(e − E)/r   (1)  \n  \n式中  \n- r 为云滴半径  \n- Kc 为凝结系数，  \n  Kc = [0.22／(1 + t/273)] × 0.8×10⁻⁶ ≈ 1.7×10⁻⁷ （厘米²／百帕·秒）  \n- e 为水汽压，E 为饱和水汽压。  \n  \n将 (1) 式中的 e − E 用过饱和度 Δf 表示：  \ne − E = (Δf·E)/100  \n  \n代入 (1) 式，得  \ndr/dt = Kc·(Δf·E)/(100·r)   (2)  \n  \n由 (2) 式变形：  \ndt = (100·r·dr)/(Δf·Kc·E)   (3)  \n  \n对 (3) 式两边积分，半径从 r₁ 变到 r₂ 所需时间：  \nt = [100/(Kc·Δf·E)]·(r₂²/2 − r₁²/2)   (4)  \n  \n式中 r₁、r₂ 单位为厘米，t 单位为秒。取：  \nr₁ = 1 μm = 1×10⁻⁴ cm  \nr₂ = 5 μm = 5×10⁻⁴ cm  \nΔf = 0.1  \nE = 12.27 百帕  \nKc = 1.7×10⁻⁷  \n  \n代入 (4) 式，得  \nt ≈ 56 秒 ≈ 1 分钟  \n  \n取 r₂ = 10 μm 时，t ≈ 4 分钟  \n取 r₂ = 500 μm 时，t ≈ 6.8 天"], "refined_standard_answer": ["56秒(约1分)", "约4分", "约6.8天"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "常压和30℃下，用活性炭吸附回收某厂废气中的丙酮蒸气，废气中丙酮含量为11.6%（体积比），若其吸附等温线符合朗格缪尔方程（A=0.80，B=0.25×10⁻³）试求：（1）活性炭的饱和吸附量；（2）若废气量为1000m³/h（操作状态），要吸附其中丙酮的99%需要多少kg活性炭？（3）用饱和蒸气脱附，直至离开的气流中丙酮含量降至0.16%（体积比），丙酮的回收率是多少？", "answer_ideas": ["(1) 活性炭的饱和吸附量\n当P→∞时，朗格缪尔方程简化为：\nX_T = A = 0.80 g丙酮/g活性炭\n答案：活性炭的饱和吸附量为0.80 g丙酮/g活性炭\n\n(2) 计算所需活性炭量\n步骤1：计算需要吸附的丙酮量\n在标准状态下换算：\n操作状态废气量：1000 m³/h\n标准状态下体积：1000 × (273/303) = 901.3 m³/h\n丙酮体积：901.3 × 11.6% = 104.6 m³/h\n需吸附99%的丙酮：104.6 × 0.99 = 103.6 m³/h\n\n步骤2：将体积换算为质量\n标准状态下丙酮摩尔体积：22.4 L/mol\n丙酮分子量：58 g/mol\n丙酮质量：(103.6 × 1000)/22.4 × 58 = 268 kg/h\n\n步骤3：计算所需活性炭量\n根据饱和吸附量：\n活性炭需要量 = 268/0.80 = 335 kg/h\n答案：需要335 kg/h活性炭\n\n(3) 计算丙酮回收率\n脱附过程分析：\n进气丙酮含量：11.6%（体积比）\n出口丙酮含量：0.16%（体积比）\n回收率计算：\n回收率 = (进气含量 - 出口含量)/进气含量 × 100%\n回收率 = (11.6 - 0.16)/11.6 × 100% = 98.6%\n答案：丙酮的回收率为98.6%"], "refined_standard_answer": ["0.80 g丙酮/g活性炭", "335 kg/h", "98.6%"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "植物排放的异戊二烯（C₅H₈）是生物源中排放量最大的一种重要的臭氧前体物。在存在 NOₓ 的条件下，异戊二烯在大气中发生氧化反应的简化机理如下： （1） C₅H₈ + OH → HO₂ + products k₁ = 4×10⁻¹⁰ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （2） HO₂ + NO → OH + NO₂ k₂ = 1×10⁻¹¹ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （3） NO + O₃ → NO₂ + O₂ k₃ = 1×10⁻¹⁴ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （4） NO₂ + hν ⟶₀₂ NO + O₃ k₄ = 1×10⁻² s⁻¹ （5） HO₂ + HO₂ → H₂O₂ + O₂ k₅ = 3×10⁻¹² cm³·molecule⁻¹·s⁻¹ （6） NO₂ + OH + M → HNO₃ + M k₆ = 4×10⁻³¹ cm⁶·molecule⁻²·s⁻¹ 假设在大气中相关物质的浓度如下： [C₅H₈] = 1×10¹⁰ molecules·cm⁻³ [NOₓ] = 1×10¹⁰ molecules·cm⁻³ [O₃] = 1×10¹² molecules·cm⁻³ [HO₂] = 5×10⁸ molecules·cm⁻³ [Air] = 2.5×10¹⁹ molecules·cm⁻³ 假设反应（1）中的产物 “products” 是惰性的（相对而言），即不参与其他反应物或产物的进一步反应；所有的自由基都处于稳态；反应 5 和 6 相对于其他反应而言相对较慢。 1. 分别计算 [NO]/[NO₂] 及 [HO₂]/[OH] 的比值； 2. 分别计算各个反应速率，并证实反应 5 和 6 相对于其他反应而言的确慢； 3. 以上条件及假设下，臭氧形成属于 NOₓ 级限还是 VOCs 级限？并作简要解释。 4.求 OPE 值，并讨论如果异戊二烯的排放量增加，OPE 是增加还是减少？简要说明原因。", "answer_ideas": ["**已知反应及速率常数**  \n(1) C₅H₈ + OH → HO₂ + products k₁ = 4×10⁻¹⁰ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹  \n(2) HO₂ + NO → OH + NO₂    k₂ = 1×10⁻¹¹ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹  \n(3) NO + O₃ → NO₂ + O₂    k₃ = 1×10⁻¹⁴ cm³·molecule⁻¹·s⁻¹  \n(4) NO₂ + hν → NO + O₃    k₄ = 1×10⁻² s⁻¹  \n(5) HO₂ + HO₂ → H₂O₂ + O₂  k₅ = 3×10⁻¹² cm³·molecule⁻¹·s⁻¹  \n(6) NO₂ + OH + M → HNO₃ + M k₆ = 4×10⁻³¹ cm⁶·molecule⁻²·s⁻¹  \n\n**已知浓度**（molecules·cm⁻³）  \n[C₅H₈] = 1×10¹⁰  \n[NOₓ] = [NO] + [NO₂] = 1×10¹⁰  \n[O₃] = 1×10¹²  \n[HO₂] = 5×10⁸  \n[M]（空气） = 2.5×10¹⁹  \n\n**假设**：自由基稳态；(5)、(6) 相对较慢；“products” 惰性。\n\n---\n\n### ① 计算 \\([NO]/[NO₂]\\) 及 \\([HO₂]/[OH]\\)\n\n1. **NO–NO₂ 稳态**  \n   \\[\n   \\frac{d[NO]}{dt}=-k_{2}[NO][HO_{2}]-k_{3}[NO][O_{3}]+k_{4}[NO_{2}]\\approx0\n   \\]\n   \\[\n   \\frac{[NO]}{[NO_{2}]}=\\frac{k_{4}}{k_{2}[HO_{2}]+k_{3}[O_{3}]}\n   =\\frac{1\\times10^{-2}}{1\\times10^{-11}\\times5\\times10^{8}+1\\times10^{-14}\\times1\\times10^{12}}\n   =\\frac{1\\times10^{-2}}{5\\times10^{-3}+1\\times10^{-2}}\n   =\\frac{2}{3}\\approx0.67\n   \\]\n   \\[\n   [NO_{2}]=6.0\\times10^{9},\\quad[NO]=4.0\\times10^{9}\n   \\]\n\n2. **OH 稳态**（忽略 k₆ 项）  \n   \\[\n   \\frac{d[OH]}{dt}=k_{2}[NO][HO_{2}]-k_{1}[OH][C_{5}H_{8}]\\approx0\n   \\;\\Longrightarrow\\;\n   [OH]\n   =\\frac{k_{2}[NO][HO_{2}]}{k_{1}[C_{5}H_{8}]}\n   =\\frac{1\\times10^{-11}\\times4\\times10^{9}\\times5\\times10^{8}}\n   {4\\times10^{-10}\\times1\\times10^{10}}\n   =5.0\\times10^{6}\n   \\]\n   \\[\n   \\frac{[HO_{2}]}{[OH]}=\\frac{5\\times10^{8}}{5\\times10^{6}}=100\n   \\]\n\n---\n\n### ② 各反应速率（molecules·cm⁻³·s⁻¹）\n\nR₁ = k₁[C₅H₈][OH] = 4×10⁻¹⁰ × 1×10¹⁰ × 5×10⁶ = 2.0×10⁷\n\nR₂ = k₂[HO₂][NO] = 1×10⁻¹¹ × 5×10⁸ × 4×10⁹ = 2.0×10⁷\n\nR₃ = k₃[NO][O₃] = 1×10⁻¹⁴ × 4×10⁹ × 1×10¹² = 4.0×10⁷\n\nR₄ = k₄[NO₂] = 1×10⁻² × 6×10⁹ = 6.0×10⁷\n\nR₅ = k₅[HO₂]² = 3×10⁻¹² × (5×10⁸)² = 7.5×10⁵\n\nR₆ = k₆[NO₂][OH][M] = 4×10⁻³¹ × 6×10⁹ × 5×10⁶ × 2.5×10¹⁹ = 3.0×10⁵\n\n\n可见 R₅、R₆ (10⁵–10⁶) ≪ R₁–R₄ (10⁷–10⁸)。\n\n---\n\n### ③ 臭氧形成机制判定\n\n- HOₓ 循环效率高 (R₂ ≈ R₁)，丢失 (R₅、R₆) 小  \n- O₃ 生成主要受 NOₓ 控制 ⇒ **NOₓ 级限**\n\n---\n\n### ④ OPE 计算及趋势\n\n定义：\\(\\displaystyle\\mathrm{OPE}=\\frac{2\\,R_2}{R_6}\\)  \n\\[\n\\mathrm{OPE}\n=\\frac{2\\times2.0\\times10^{7}}{3.0\\times10^{5}}\n\\approx140\n\\]\n\n若 C₅H₈ 排放量增加 ⇒ HOₓ 循环更活跃 ⇒ OH 消耗 ↑ ⇒ 连锁次数 ↑ ⇒ **OPE 增大**。\n"], "refined_standard_answer": ["[NO]/[NO₂] = 0.67, [HO₂]/[OH] = 100", "R₁ = 2.0×10⁷, R₂ = 2.0×10⁷, R₃ = 4.0×10⁷, R₄ = 6.0×10⁷, R₅ = 7.5×10⁵, R₆ = 3.0×10⁵", "臭氧形成属NOₓ级限", "OPE ≈ 140；若C₅H₈排放增多，OPE会增大"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "所谓蒸发率（或称蒸发速度），是指近地面层中水汽湍流垂直输运通量密度，以E'表示蒸发率，则有\nE' = qz = -ρKw ∂q̄/∂z\n在中性层结条件下，已知0.5m高度上水气压为13.4hPa，2m高度上水气压为13.0hPa，1m高度上水汽湍流扩散系数Kw为0.1m²·s⁻¹，求蒸发率E'（设近地面层中气压为1000hPa，密度取为1.3kg·m⁻³）。", "answer_ideas": ["解：E' = qz = -ρKw ∂q̄/∂z                    (1)\n因在近地面层中q̄服从对数定律，∂q̄/∂lnz = 常数，且E'≈常数，则(1)式中kw·z分别用题目所给数据代入，而\n∂q̄/∂lnz = (q̄₂ - q̄₁)/(lnz₂/z₁)              (2)\n则(1)式化为\nE' = -ρKw z (q̄₂ - q̄₁)/(ln z₂/z₁)            (3)\n又因q̄ = 0.623 e/p，p变化相对e要小，则\nE' = 0.623 (ρKw z)/(p) · (e₁ - e₂)/(ln z₂/z₁)   (4)\n则代入数据求得 E' = 2.33×10⁻² g/m²·s。"], "refined_standard_answer": ["2.33×10⁻² g/m²·s"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "设有一温度T=300K的等温气层，对于波长=14m的定向平行辐射当只有吸收削弱时，垂直入射气层的透射率Tr=0.6587。试求：①气层对该辐射的吸收率，②若气层的光学质量u=0.4175(g/cm2)求质量吸收系数k；③气层的漫射辐射透射率f，④气层本身的辐射出射度。", "answer_ideas": ["解：\n① 因为只有吸收削弱，所以吸收率为  \n   A_λ = 1 – τ_λ = 1 – 0.6587 = 0.3413\n\n② 由透射率公式 τ_λ = exp(–k_{aλ}·u)，求得  \n   k_{aλ} = – ln τ_λ / u = – ln 0.6587 / 0.4175 = 1 cm²/g\n\n③ 气层的漫射辐射透射率 T_{f,λ} = (τ_λ)^1.66 = 0.6587^1.66 = 0.5\n\n④ 气层本身的辐射出射度 F = (1 – τ_{f,λ}) σ T⁴  \n   = 0.5 × 5.6696×10⁻⁸ × 300⁴  \n   = 229.6 (W/m²)\n"], "refined_standard_answer": ["0.3413", "1 \\text{cm}^2/\\text{g}", "0.5", "229.6 \\text{W/m}^2"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "某铜冶炼厂的烟囱高150m，烟云抬升高度为75m，其SO₂排放速率为1000g/s。（1）估算下风向5km处的SO₂地面浓度。假定风速为3m/s，大气稳定度为C。（2）在相同条件下，若新建一座烟囱以使地面浓度降低为现在的50%，烟囱高度应为多少米？", "answer_ideas": ["解：（1）x=5km，大气稳定度为C时，σy = 404.5m，σz = 267.5m    SO₂浓度：**\n\nρ(5000,0,0,225) = Q/(πuσyσz) exp(-H²/2σz²)\n\n= 1000/(3.14×3×404.5×267.5) exp(-225²/2×267.5²) = 688μg/m³\n\n（2）若令浓度减少为现在的50%    ρ'/ρ = 1/2 ⇒ exp(-H²/2σz² + H'²/2σz²) = 1/2 ⇒ H' = 387.1m 因此烟囱的实际高度H=\n\n387.1-75=312.1m。\n\n注：这里H表示有效排放高度（烟囱高度+烟云抬升高度），H'表示新烟囱的有效排放高度，最终计算得出新烟囱的实际高度应为312.1米。"], "refined_standard_answer": ["688μg/m³", "312.1m"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "一股废气含90%空气和10%氨气（体积分数），废气流量为2520m3/h，温度为49℃、气压1.05atm，采用填料塔水喷淋吸收处理，水喷淋量为4.5m3/h，处理后排气温度24℃、气压1.02atm，氨气体积分数0.3%（干基），估算填料塔排气口氨气的排放速率。", "answer_ideas": ["解：处理气体量为2520m3/h，其中Q空气=2520*0.9=2268m3/h  Q氨气=2520*0.1=252m3/h\n处理前后 P前=1.05*1.01*105Pa   P后=1.02*1.01*105Pa   T前=322K  T后=297K\n假设空气不溶于吸收液，根据理想气体状态方程 PV=nRT 得\n1.05*2268/(1.02Q’)=322/297  Q’=2153m3/h\n因此从填料塔出口处氨气体积为Q’氨气=2153*0.003=6.459m3/h\n现计算氨气质量流量  根据理想气体状态方程\n1.02*1.01*105*6.459=n*8.314*297  n=269.47mol/h\n所以每天NH3的排放速率为269.47*17*24=109.94kg/d"], "refined_standard_answer": ["109.94kg/d"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "把处理量为250mol/min的某一污染物引入催化反应器，要求达到74%的转化率。假设采用长6.1m，直径3.8cm的管式反应器，求所需要催化剂的质量和所需要的反应管数目。催化剂堆密度为580kg/m³。", "answer_ideas": ["解：根据单管反应器物料平衡，对于任一微长度的dx，\nQdx_A = 0.15(1-x_A)ρAdx\n其中 A = π/4(d)² = 1.13×10⁻³m²\nQ/(1-x_A) dx_A = 0.15 × 580 × 1.133 × 10⁻³dx\nQ/(1-x_A) dx = 0.098571dx\n∫₀^6.1 0.098571dx = ∫₀^0.74 Q/(1-x_A) dx_A\n所以解得 Q = 0.447mol/min\n250/0.446 = 560.5个，取561个\n单个反应器体积：π/4(d)²L = 1.13×10⁻³×6.1 = 6.893×10⁻³m³\n所以催化剂的总体积为：561×6.893×10⁻³m³    质量为：2242.84kg"], "refined_standard_answer": ["所需催化剂质量： 2242.84kg", "所需反应管数目： 561个"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "某燃油锅炉尾气，NO排放标准为287.5mg/m³，若燃油的分子式为C₁₀H₂₀N_x，在50%过剩空气条件下完全燃烧，燃料中的氮50%转化为NO，不计大气中N₂转变生成的NO。计算在不超过排放标准情况下，燃料油中氮的最高质量分数。", "answer_ideas": ["解: 以1molC₁₀H₂₀Nₓ燃烧为基础，则\n\n需氧量(mol): 10+20/4+x/4=15+x/4\n\n理论空气量(mol): 4.76×(15+x/4)\n\n实际空气量(mol): 1.5×4.76×(15+x/4)\n\n在理论空气量下产生的理论烟气体积为:\n\nCO₂: 10mol、H₂O: 10mol、NO: x/2、N₂: 3.76×(15+x/4)+x/4\n\n∴理论烟气量(mol)为: 10+10+x/2+3.76×(15+x/4)+x/4=76.4+1.69x\n\n实际烟气量(mol)为: (76.4+1.69x)+0.5×[4.76×(15+x/4)]\n                  =112.1+2.285x\n\nNO的浓度: (x/2)/(112.1+2.285x)≤287.5×(22.4/30)×10⁻⁶\n\n∴x≤0.048\n\n即燃料油中N的最大允许含量为:\n(14×0.048)/(10×12+20+14×0.048)=0.478%"], "refined_standard_answer": ["0.478%"], "sub_subject_name": "Atmospheric Chemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "$5 \\mathrm{CrNiMo} 、 5 \\mathrm{CrMnMo}$ 钢制锤锻模淬回火，其中锤锻模的燕尾可采用哪些方法处理？", "answer_ideas": ["燕尾可采用单独加热回火和自行回火的方法。单独加热回火是在保证模腔达到硬度要求后，再用专用电炉或用盐浴炉来对燕尾部分单独进行回火加热。自行回火方法是将淬火加热后的锻模整体淬入油中一段时间后把燕尾提出油面停留一段时间，依靠其本身的热量使温度回升，如此反复操作 3－5 次即可，使燕尾自行回火以达到硬度要求。"], "refined_standard_answer": ["单独加热回火或者自行回火"], "sub_subject_name": "Material Synthesis and Processing", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "手工电弧焊接厚 12 mm 的 MnMoNbB 钢，焊接线能量 $\\mathrm{E}=2 \\mathrm{kj} / \\mathrm{cm}$ ，预热温度为 50 度，求 $\\mathrm{t} 8 / 5$ ？附 $\\lambda=0.29 \\mathrm{~J} /\\left(\\mathrm{cms}{ }^{\\circ} \\mathrm{C}\\right) \\quad \\mathrm{CP}=6.7 \\mathrm{~J} /\\left(\\mathrm{cms}{ }^{\\circ} \\mathrm{C}\\right)$", "answer_ideas": ["$$\n\\begin{aligned}\n& \\delta_{c r}=\\sqrt{\\frac{E}{2 \\mathrm{c} \\rho}\\left(\\frac{1}{500-\\mathrm{T}_0}+\\frac{1}{800-\\mathrm{T}_0}\\right)}=0.73 \\mathrm{~cm} \\\\\n& \\delta=1.2 \\mathrm{~cm}>0.75 \\delta_{c r}=0.55 \\mathrm{~cm}, \\\\\n& t 8/ 5=\\frac{E}{2 \\pi \\lambda}\\left(\\frac{1}{500-\\mathrm{T}_0}+\\frac{1}{800-\\mathrm{T}_0}\\right)=0.98 \\mathrm{~s}\n\\end{aligned}\n$$"], "refined_standard_answer": ["0.98s"], "sub_subject_name": "Material Synthesis and Processing", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "车削外径 36 mm ，中径 $33 \\mathrm{~mm} 、$ 内径 $29 \\mathrm{~mm} 、$ 螺距 6 mm 的梯形螺纹时，若使用刀具前角为 $0^{\\circ}$ 、左刃后角 $\\alpha \\mathrm{oL}$ 为 $12^{\\circ}$ ，右刃后角 $\\alpha \\mathrm{oR}$ 为 $6^{\\circ}$ ，试问左右刃工作前、后角是多少？", "answer_ideas": ["所加工梯形螺纹的螺旋升角为：\n$$\n\\eta=\\operatorname{artg} \\frac{f}{\\pi \\cdot d_w}\n$$\n式中 $f=6 \\mathrm{~mm}, d w=36 \\mathrm{~mm}$ ，计算得 $\\eta=3.04^{\\circ}$\n在 $\\mathbf{p f}$ 平面内，对左切削刃，工作前角增大了 $\\eta$ ，变为 $3.04^{\\circ}$ ，工作后角减小了 $\\eta$ ，变为 $8.96^{\\circ}$ 。对右切削刃，工作前角减小了 $\\eta$ ，变为 $\\mathbf{- 3 . 0 4 ^ { \\circ }}$ ，工作后角增大了 $\\eta$ ，变为 $\\mathbf{9 . 0 4 ^ { \\circ } \\text { 。 }}$"], "refined_standard_answer": ["左刃工作前角：$3.04^{\\circ}$", "左刃工作后角：$8.96^{\\circ}$", "右刃工作前角：$-3.04^{\\circ}$", "右刃工作后角：$9.04^{\\circ}$"], "sub_subject_name": "Material Synthesis and Processing", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "$5 \\mathrm{CrNiMo} 、 5 \\mathrm{CrMnMo}$ 钢制锤锻模淬之后，回火时应注意哪些问题？", "answer_ideas": ["5 CrMnMo 为热锻模用钢，其常用的普通淬火工艺为：\n淬火： $550^{\\sim} 600^{\\circ} \\mathrm{C}$ 预热（时间箱式炉以 $0.6 \\mathrm{~min} / \\mathrm{mm}$ 计）$\\rightarrow 830^{\\sim} 850^{\\circ} \\mathrm{C}$ 均温（时间：箱式炉以 $1.0^{\\sim} 1.5 \\mathrm{~min} / \\mathrm{mm}$ ，盐浴炉加热 $0.40^{\\sim} 0.60 \\mathrm{~min} / \\mathrm{mm}$ 计）$\\rightarrow$ 预冷（大型模具预冷至 $760^{\\sim} 780^{\\circ} \\mathrm{C}$ ，小型模具预冷至 $780^{\\sim} 800^{\\circ} \\mathrm{C}$ ）（根据模具大小不同，预冷时间大约在 $3^{\\sim} 8 \\mathrm{~min}$ ）然后淬油；为保证淬火质量，应使油循环（油温不低于 $70^{\\circ} \\mathrm{C}$ ）并应控制出油温度在 $150^{\\sim} 200^{\\circ} \\mathrm{C}$ 左右，否则可能因模具内部巨大的内应力而淬裂！生产中往往根据在油中停留时间控制出油温度，小型锻模 $15^{\\sim} 20 \\mathrm{~min}$ ，中型锻模 $25^{\\sim} 40 \\mathrm{~min}$ ，大型模具则需冷却 $40^{\\sim} 60 \\mathrm{~min}$ 。模具出油温度是否适宜，可通过观察模具出油后残油是否着火（约 $200^{\\circ} \\mathrm{C}$ ）加以确定。\n回火：模具出油后应立即回火，不允许冷至室温再回火，以防开裂。回火时应注意；模具淬火状态存在巨大内应力，若直接加热至回火温度，可能会引起开裂。所以常先在 $350^{\\sim} 400^{\\circ} \\mathrm{C}$炉内均温后再缓慢升至回火温度，回火保温时间可按锻模高度 $1.5 \\sim 2.0 \\mathrm{~min} / \\mathrm{mm}$ 计，为充分消除内应力，并使组织均匀，一般不少于 2 h 。为防止第二类回火脆性，回火后油冷，于 $100^{\\circ} \\mathrm{C}$左右出油，为消除回火时油冷所造成的内应力，可在 $160^{\\sim} 180^{\\circ} \\mathrm{C}$ 再补充一次低温回火。回火温度根据技术要求的最终硬度选择： $460^{\\sim} 480^{\\circ} \\mathrm{C}$ 回火，硬度 $42^{\\sim} 47 \\mathrm{HRC}, 490^{\\sim} 500^{\\circ} \\mathrm{C}$ 回火，硬度 $39^{\\sim} 45 \\mathrm{HRC}$ ，燕尾回火 $560^{\\sim} 600^{\\circ} \\mathrm{C}$ ，硬度 $34^{\\sim} 37 \\mathrm{HRC}$ 。"], "refined_standard_answer": ["模具出油后应立即回火，不允许冷至室温再回火", "先在350~400℃炉内均温后再缓慢升至回火温度"], "sub_subject_name": "Material Synthesis and Processing", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "写出一般高精度模具的制造工艺路线，并说明工艺路线中热处理工序的作用。", "answer_ideas": ["高精度模具制造工艺路线：毛坏——球化退火——粗加工——调质——半精加工——去应力退火——精加工——淬火回火——精磨\n调质处理可细化组织，改善碳化物的弥散度和分布状态，提高淬火硬度和耐磨性。\n去应力退火的目的是消除机械加工工艺过程中产生的残余应力。"], "refined_standard_answer": ["毛坏—球化退火—粗加工—调质—半精加工—去应力退火—精加工—淬火回火—精磨。", "调质处理可细化组织，改善碳化物的弥散度和分布状态，提高淬火硬度和耐磨性。去应力退火的目的是消除机械加工工艺过程中产生的残余应力。"], "sub_subject_name": "Material Synthesis and Processing", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "过共析钢液 $\\eta=0.0049 \\mathrm{~Pa} \\cdot \\mathrm{~S}$ ，钢液的密度为 $7000 \\mathrm{~kg} / \\mathrm{m}^3$ ，表面张力为 $1500 \\mathrm{mN} / \\mathrm{m}$ ，加铝脱氧，生成密度为 $5400 \\mathrm{~kg} / \\mathrm{m}^3$ 的 $\\mathrm{Al}_2 \\mathrm{O}_3$ ，如能使 $\\mathrm{Al}_2 \\mathrm{O}_3$ 颗粒上浮到钢液表面就能获得质量较好的钢。假如脱氧产物在$1524 mm$深处生成，试确定钢液脱氧后$2 min$上浮到钢液表面的 $\\mathrm{Al}_2 \\mathrm{O}_3$ 最小颗粒的尺寸。", "answer_ideas": ["根据流体力学的斯托克斯公式：$v=\\frac{2}{9} \\cdot \\frac{g\\left(\\rho_m-\\rho_B\\right) r^2}{\\eta}$ ，式中：$v$ 为夹杂物和气泡的上浮速度， $r$ 为气泡或夹杂的半径，$\\rho_m$ 为液体合金密度，$\\rho_B$ 为夹杂或气泡密度，$g$为重力加速度。\n\n$$\nr=\\sqrt{\\frac{9}{2} \\cdot \\frac{v \\eta}{g\\left(\\rho_m-\\rho_B\\right)}}=1.34 \\times 10^{-4}m\n$$"], "refined_standard_answer": ["r = 1.34 \\times 10^{-4} \\text{ m}"], "sub_subject_name": "Material Synthesis and Processing", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "Lab centrifuge protocols: 1) 3000 RPM max for glass tubes; 4500 RPM for plastic; 2) Imbalance tolerance: ±0.5g difference between tubes; 3) Runtime capped at 10min if temperature >25°C. Current setup: 2 glass tubes (101.3g, 101.8g), 1 plastic tube (102.0g) with settings at 4000 RPM, 15min runtime, lab temp 28°C. What sequence fixes errors?\\nA. Replace plastic tube with glass + reduce RPM\\nB. Adjust tube weights + shorten runtime\\nC. Use plastic tubes only + lower temperature\\nD. Balance glass tubes + reduce RPM to 3000", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["C"], "sub_subject_name": "Chemical Engineering and Technology", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "红黑树一条路径上有5个红节点，则树最少有________个节点。", "answer_ideas": ["\\(T(n)\\)表示有\\(n\\)个节点的纯黑的红黑树。\n思路：先算出来整棵树的黑高度最小情况是多少，也就是5（红黑相间的情况），注意：黑高度的定义是要除去外部节点的。然后先算左侧的路径节点的总数是11（6黑5红），然后计算其他结点\\(31 + 31 + 15 + 15 + 7 + 7 + 3 + 3 + 1 + 1 = 114\\)，一共是125个节点。\n一般地：\n\\[ T(n)=2n + 1+\\sum_{k = 1}^{n}2(2^{k}-1)=2^{n + 2}-3\\]（\\(n\\) = 红色节点个数 = 树的黑高度 ） \n"], "refined_standard_answer": ["125"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "In this problem, we will look  at the Blacklisting Memory Scheduler (BLISS) to reduce unfairness. There are two key aspects of BLISS  that you need to know.\n  • When the memory controller services consecutive requests from a particular application, this  application is blacklisted. We name this non-negative integer the Blacklisting Threshold.\n    • The blacklist is cleared periodically every 10000 cycles starting at t = 0.  \n\nTo reduce unfairness, memory requests in BLISS are prioritized in the following order:\n  • Non-blacklisted applications’ requests\n  • Row buffer hit requests\n  • Older requests  \n\nThe memory system for this problem consists of 2 channels with 2 banks each. Tables 1 and 2 show the  memory request stream in the same bank for both applications at different times (t = 0 and t = 10). For  both tables, a request on the left-hand side is older than a request on the right-hand side in the same  table. The applications do not generate more requests than those shown in Tables 1 and 2. The memory  requests are labeled with numbers that represent the row position of the data within the accessed bank.  Assume the following for all questions: \n  • Arow buffer hit takes 100 cycles.  \n  • Arow buffer miss (i.e., opening a row in a bank with a closed row buffer) takes 200 cycles.  \n  • A row buffer conflict (i.e., closing the currently open row and opening another one) takes 250  cycles.  \n  • All row buffers are closed at time t = 0\n\n| Application A (Channel 0, Bank 0) |        |        |        |        |        |        |        |        |\n|-----------------------------------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n| Application B (Channel 0, Bank 0) | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 3  | Row 3  | Row 4  |\nTable 1: Memory requests of the two applications at t = 0\n\n| Application A (Channel 0, Bank 0) | Row 3  | Row 7  | Row 2  | Row 0  | Row 5  | Row 3  | Row 8  | Row 9  |\n|-----------------------------------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|\n| Application B (Channel 0, Bank 0) | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 2  | Row 3  | Row 3  | Row 4  |\nTable 2: Memory requests of the two applications at t = 10. Note that none of the Application B’s existing requests are serviced yet.\n\nFor what value(s) of η, (the Blacklisting Threshold) will B experience the maximum\nslowdown it can possibly experience with the Blacklisting Scheduler?", "answer_ideas": ["We already know that the slowdowns will be equal to the slowdown withFR-FCFS when η ≥ 6 or η = 0. If we execute the memory requests for the rest of possiblem values, we find that η =5 causes application B to complete after 2150 cycles. which isthe largest."], "refined_standard_answer": ["5"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "You would like to understand the configuration of the DRAM subsystem of a computer using reverse engineering techniques. Your current knowledge of the particular DRAM subsystem is limited to the following information:\n● The physical memory address is 16 bits.\n● The DRAM subsystem consists of a single channel and 4 banks.\n● The DRAM is byte-addressable.\n● The most-significant 2 bits of the physical memory address determine the bank.\n● The DRAM command bus operates at 500 MHz frequency.\n● The memory controller issues commands to the DRAM in such a way that no command for servicing a later request is issued before issuing a READ command for the current request, which is the oldest request in the request buffer. For example, if there are requests A and B in the request buffer, where A is the older request and the two requests are to different banks, the memory controller does not issue an ACTIVATE command to the bank that B is going to access before issuing a READ command to the bank that A is accessing.\nYou realize that you can observe the memory requests that are waiting to be serviced in the request buffer. At a particular point of time, you take the snapshot of the request buffer and you observe the following requests in the request buffer.\nRequests in the request buffer (in descending order of request age, where the oldest request is on the top):\nRead 0x4C80 \nRead 0x0140 \nRead 0x4ECO \nRead 0x8000 \nRead 0xF000 \nRead 0x803F \nRead 0x4E80\n\nAt the same time you take the snapshot of the request buffer, you start probing the DRAM command bus. You observe the DRAM command type and the cycle (relative to the first command) at which the command is seen on the DRAM command bus. The following are the DRAM commands you observe on the DRAM bus while the requests above are serviced.\nCycle 0 -- PRECHARGE \nCycle 6 -- ACTIVATE \nCycle 10 -- READ \nCycle 11 -- READ \nCycle 21 -- PRECHARGE \nCycle 27 -- ACTIVATE \nCycle 31 -- READ \nCycle 32 -- ACTIVATE \nCycle 36 -- READ \nCycle 37 -- READ \nCycle 38 -- READ \nCycle 42 -- PRECHARGE \nCycle 48 -- ACTIVATE \nCycle 52 -- READ\n\nWhat is the row size in bytes?", "answer_ideas": ["The Read request to address 0x803F (to Bank 2) does not require an ACTIVATE command, which means there is a row hit for that access. The open row was activated by the command issued for the request to the address 0x8000. That means the target rows of both requests should be the same. When we look at the binary form of those addresses, we see that the least significant 6 bits are different (000000 for 0x8000 and 111111 for 0x803F). That means at least 6 of the least significant bits should be the column bits.\nLater, when we look at the commands issued for the requests to 0x4ECO and 0x4E80, we see that for both of those requests, the memory controller has opened a new row. Thus, the target rows of those requests should be different. Since only the 6th bit (assuming the least significant bit is the 0th bit) is different between the two addresses, the 6th bit should be part of the row address. So, of the 6th bit is part of the row address, the number of columns bits should be 6 or less. As we previously found from the requests to 0x8000 and 0x803F that the number of column bits should be at least 6, combining those two findings we can say that the number of column bits should be exactly 6. Thus, the row size is 2^{6}=64 bytes."], "refined_standard_answer": ["64 bytes"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "已知某系统页面长 4KB，页表项 4B，虚拟地址空间为 64 位，物理地址空间 4GB。 \n（1）如采用多层分页策略，限定各分层页表最多占 1 页大小，请问可以采用几层分页策略？ \n（2）如采用倒排页表方式，请问倒排页表的大小？是每个进程一张倒排页表还是系统维护一张倒排页表？如何解决倒排页表不便于逻辑地址向物理地址转换的问题", "answer_ideas": ["(1)页面长 4KB，说明页内偏移地址占 12 位，虚拟地址空间 64 位，说明页号总长为 64-12=52 位。页面长 4KB，页表项 4B，故每张页表不超过 4K/4=1K=2**10** 项，即每级 页表地址长度不应该超过 10 位。页号总长 52 位/每页表最长 10 位=5.2，向上取整为 6。 即采用六层分页策略。\n(2)如采用倒排页表，因为物理地址空间 4GB，故倒排页表应该有 4GB/4KB=1M 个 页 表项，每页表项大小为 4B，倒排页表大小为 1M*4B=4MB。系统维护一张倒排页表。可以使用 Hash 散列，解决倒排页表不便于逻辑地址向物理地址转换的问题。"], "refined_standard_answer": ["采用六层分页策略", "倒排页表大小为4MB，系统维护一张倒排页表，可使用Hash散列解决转换问题"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "loop: ld x31, 0(x20) add x31, x31, x21 sd x31, 0(x20) addi x20, x20, -8 blt x22, x20, loop How many clock cycles does the RISC-V static dual-issue pipeline implementation require, to execute the unrolled loop body once ensuring no data hazard, if the loop is unrolled by 4? Branch can be predicted, and forwarding is implemented", "answer_ideas": ["cycle 1: loop: addi x20, x20, -32 & ld x28, 0(x20)\ncycle 2: nop & ld x29, 24(x20)\ncycle 3: add x28, x28, x21 & ld x30, 16(x20)\ncycle 4: add x29, x29, x21 & ld x31, 18(x20)\ncycle 5: add x30, x30, x21 & sd x28, 32(x20)\ncycle 6: add x31, x31, x21 & sd x29, 24(x20)\ncycle 7: nop & sd x30, 16(x20)\ncycle 8: blt x22, x20, loop & sd x31, 8(x20)"], "refined_standard_answer": ["8"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "某 DSP 处理器具有64 个通用寄存器，支持20位立即数。指令系统共有256条不同操作码。硬件团队规定，若采用定长指令格式，每条指令必须占用64 bit （8 Byte）并保持64 bit对齐，足以容纳：1 个操作码字段 ；最多2 个源寄存器、1 个目的寄存器；1 个 20 bit 立即数字段。一段数字信号处理程序的指令组成如下：A 类 (15%) 仅写一个目的寄存器。B 类 (35%) 读一个源寄存器，写一个目的寄存器；最常见。C 类 (25%) 读两个源寄存器，写一个目的寄存器。D 类 (15%) 读一个源寄存器、写一个目的寄存器，并带 20 位立即数。E 类 (10%) 不给源寄存器，只把 20 位立即数写入一个目的寄存器。为提高代码密度，指令采用变长编码：按实际位宽依次拼接 opcode、寄存器号、立即数等字段；只把结果对齐到最近的 1 字节，无需 64 位对齐。计算在变长指令方案下，这段程序的指令平均长度（单位：bit）。", "answer_ideas": ["寄存器：64个 ⇒ ⌈log₂64⌉ = 6 bit\n操作码：256 条 ⇒ ⌈log₂256⌉ = 8 bit\n### 字段长度与补齐规则\n| 指令类型 | 实际字段长度（bit） | 补齐后长度（bit） | 补齐规则           |\n|----------|---------------------|-------------------|--------------------|\n| **A 类** | `8（opcode） + 6（Rd） = 14` | 16                | 补齐到最近的 8 bit 倍数（2 字节） |\n| **B 类** | `8 + 6（Rs） + 6（Rd） = 20` | 24                | 补齐到 24 bit（3 字节）          |\n| **C 类** | `8 + 6 + 6 + 6 = 26`          | 32                | 补齐到 32 bit（4 字节）          |\n| **D 类** | `8 + 6 + 6 + 20 = 40`         | 40                | 无需补齐（5 字节）               |\n| **E 类** | `8 + 6 + 20 = 34`             | 40                | 补齐到 40 bit（5 字节）          |\n\n### 平均长度计算\n加权平均公式：  \n\\[\n\\text{平均长度} = \\sum (\\text{补齐后长度} \\times \\text{占比})\n\\]\n具体计算：  \nA 类贡献：\n$$\n\\begin{align*}\n\\text{A 类贡献} & : 0.15 \\times 16 = 2.4 \\ \\text{bit} \\\\\n\\text{B 类贡献} & : 0.35 \\times 24 = 8.4 \\ \\text{bit} \\\\\n\\text{C 类贡献} & : 0.25 \\times 32 = 8.0 \\ \\text{bit} \\\\\n\\text{D 类贡献} & : 0.15 \\times 40 = 6.0 \\ \\text{bit} \\\\\n\\text{E 类贡献} & : 0.10 \\times 40 = 4.0 \\ \\text{bit} \\\\\n\\text{平均长度} & : 2.4 + 8.4 + 8.0 + 6.0 + 4.0 = 28.8 \\ \\text{bit}\n\\end{align*}\n$$\n\n平均指令长度：28.8 bit  "], "refined_standard_answer": ["28.8"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "You would like to understand the configuration of the DRAM subsystem of a computer using reverse engineering techniques. Your current knowledge of the particular DRAM subsystem is limited to the following information:\n● The physical memory address is 16 bits.\n● The DRAM subsystem consists of a single channel and 4 banks.\n● The DRAM is byte-addressable.\n● The most-significant 2 bits of the physical memory address determine the bank.\n● The DRAM command bus operates at 500 MHz frequency.\n● The memory controller issues commands to the DRAM in such a way that no command for servicing a later request is issued before issuing a READ command for the current request, which is the oldest request in the request buffer. For example, if there are requests A and B in the request buffer, where A is the older request and the two requests are to different banks, the memory controller does not issue an ACTIVATE command to the bank that B is going to access before issuing a READ command to the bank that A is accessing.\nYou realize that you can observe the memory requests that are waiting to be serviced in the request buffer. At a particular point of time, you take the snapshot of the request buffer and you observe the following requests in the request buffer.\nRequests in the request buffer (in descending order of request age, where the oldest request is on the top):\nRead 0x4C80 \nRead 0x0140 \nRead 0x4ECO \nRead 0x8000 \nRead 0xF000 \nRead 0x803F \nRead 0x4E80\n\nAt the same time you take the snapshot of the request buffer, you start probing the DRAM command bus. You observe the DRAM command type and the cycle (relative to the first command) at which the command is seen on the DRAM command bus. The following are the DRAM commands you observe on the DRAM bus while the requests above are serviced.\nCycle 0 -- PRECHARGE \nCycle 6 -- ACTIVATE \nCycle 10 -- READ \nCycle 11 -- READ \nCycle 21 -- PRECHARGE \nCycle 27 -- ACTIVATE \nCycle 31 -- READ \nCycle 32 -- ACTIVATE \nCycle 36 -- READ \nCycle 37 -- READ \nCycle 38 -- READ \nCycle 42 -- PRECHARGE \nCycle 48 -- ACTIVATE \nCycle 52 -- READ\n\nTo improve performance, you decide to implement the idea of Tiered-Latency DRAM (TL-DRAM) in the DRAM chip. Assume that a bank consists of a single subarray. With TL-DRAM, an entire bank is divided into a near-segment and far-segment. When accessing a row in the near-segment, the ACTIVATE-to-READ latency reduces by 2 cycles and the ACTIVATE-to-PRECHARGE latency reduces by 5 cycles. When accessing a row in the far-segment, the ACTIVATE-to-READ latency increases by 1 cycle and the ACTIVATE-to-PRECHARGE latency increases by 2 cycles.\nAssume that the rows in the near-segment have smaller row ids compared to the rows in the far-segment. In other words, physical memory row addresses 0 through N-1 are the near-segment rows, and physical memory row addresses N through M-1 are the far-segment rows.\nIf the above DRAM commands are issued 5 cycles faster with TL-DRAM compared to the baseline (the last command is issued in cycle 47), how many rows are in the near-segment?", "answer_ideas": ["There should 59 rows in the near-segment (rows 0 to 58) since rows until row id 58 need to be accessed with low latency to get 5 cycle reduction. Rows 59 and 192 are in the far-segment, thus latency for accessing them increases slightly.\nHere is the new command trace:\nCycle 0 -- PRECHARGE -- Bank 1\nCycle 6 -- ACTIVATE -- Bank 1, Row 50, near segment\nCycle 8 -- READ -- Bank 1\nCycle 9 -- READ -- Bank 0\nCycle 16 -- PRECHARGE -- Bank 1\nCycle 22 -- ACTIVATE -- Bank 1, Row 59, far segment\nCycle 27 -- READ -- Bank 1\nCycle 28 -- ACTIVATE -- Bank 2, Row 0\nCycle 30 -- READ -- Bank 2\nCycle 31 -- READ -- Bank 3\nCycle 32 -- READ -- Bank 2\nCycle 39 -- PRECHARGE -- Bank 1\nCycle 45 -- ACTIVATE -- Bank 1, Row 58, near segment\nCycle 47 -- READ -- Bank 1"], "refined_standard_answer": ["59"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "假设某条总线上有 \\(10\\) 个处理器同时准备对同一变量加锁。如果每个总线事务处理（读不命中或写不命中）的时间是 \\(100\\) 个时钟周期，而且忽略对已调入 Cache 中的锁进行读写的时间以及占用该锁的时间。 1. 假设该锁在时间为 \\(0\\) 时被释放，并且所有处理器都在旋转等待该锁。问：所有 \\(10\\) 个处理器都获得该锁所需的总线事务数目是多少？ 2. 假设总线是非常公平的，在处理新请求之前，要先全部处理好已有的请求。并且各处理器的速度相同。问：处理 \\(10\\) 个请求大概需要多少时间？", "answer_ideas": ["解\n当 \\(i\\) 个处理器争用锁的时候，它们都各自完成以下操作序列，每一个操作产生一个总线事务：\n- 访问该锁的 \\(i\\) 个 \\(LL\\) 指令操作。\n- 试图占用该锁（并上锁）的 \\(i\\) 个 \\(SC\\) 指令操作。\n- \\(1\\) 个释放锁的存操作指令。\n\n因此对于 \\(i\\) 个处理器来说，一个处理器获得该锁所要进行的总线事务的个数为 \\(2i + 1\\)。这里假设关键代码段的执行时间可以忽略不计。\n\n假设一共有 \\(n\\) 个处理器。在最开始时，共有 \\(n\\) 个处理器在争用该锁，一个处理器胜出，完成执行后释放该锁，其总线事务的个数为 \\(2n + 1\\)；接下来，剩下的 \\(n - 1\\) 个处理器继续争用该锁，其总线事务的个数为 \\(2(n - 1)+1\\)；其余依此类推。由此可知，总的总线事务个数为\n\\[\n\\sum_{i = 1}^{n}(2i + 1)=n(n + 1)+n=n^{2}+2n\n\\]\n\n对于 \\(10\\) 个处理器来说，其总线事务数为 \\(120\\) 个，需要 \\(12000\\) 个时钟周期。"], "refined_standard_answer": ["120", "12000"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "一组输入MAMAMIA入栈，要求出栈顺序也为MAMAMIA，共有几种方案？", "answer_ideas": ["共有7种方案，注意到M和A有重复的，将其重新标记为：M1,A1,M2,A2,M3,I,A3\n7种\n - M1先出栈\n    - A1先出栈\n        - M2先出栈，出栈顺序：M1 A1 M2 A2 M2 I A3\n        - M3先出栈，出栈顺序：M1 A1 M3 A2 M2 I A3\n    - A2先出栈\n        - M2先出栈，出栈顺序：M1 A2 M2 A1 M3 I A3\n - M2先出栈\n    - A1先出栈\n        - M1先出栈，出栈顺序：M2 A1 M1 A2 M3 I A3\n        - M3先出栈，出栈顺序：M2 A1 M3 A2 M1 I A3\n    - A2先出栈\n        - M3先出栈，出栈顺序：M2 A2 M3 A1 M1 A M3\n - M3先出栈，出栈顺序：M3 A2 M2 A1 MA I A3 "], "refined_standard_answer": ["7种"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "A malfunctioning 32 bit RISC-V cpu can't read high 16 (31:16) bits of every instruction and these bits are considered 0. Then, can this cpu: 1. successfully load word from 0x4 to any register 2. save word from any register to some memory addresses you can only use instructions in: add, sub, xor, or, and, sll, srl, sra, slt, sltu, addi, xori, ori, andi, slli, srli, srai, slti, sltiu, lb, lh, lw, lbu, lhu, sb, sh, sw, beq, bne, blt, bge, bltu, bgeu, jal, jalr, lui, auipc", "answer_ideas": ["1. \n0x0 addi x0,x0,0\nexplanation: nop\n0x4 auipc x1,0\nexplanation: x1=PC+0=4\n0x8 lw rd,0(x1)\nexplanation:\nlw is i type instruction, where last bit of rs1 is bit 15, so rs1 can be 1 which means x1 register\nrd is whatever register we want to load. 0(x1)=x1+0=4, so this loads memory at 0x4 to any register.\n\nan alternate solution is\n0x0 jal x1,0x1000\n0x1000 means imm[12] is 1, others are 0, and imm[12] for j type is at bit 12 which isn&apos;t zeroed.\nthis write PC+4=0+4=4 to x1, then\n0x1000 lw rd,0(x1)\n\njal x1,0 is wrong because it causes infinite loop\n\n2.\nrs2 in S type instruction is forced 0, so it&apos;s impossible to save word from non-x0 register."], "refined_standard_answer": ["yes", "no"], "sub_subject_name": "Computer System Architecture", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "在植物学领域，如果我们在研究一个基因在一个群体里面，没有发生任何序列变异，但是表达却发生了明显变化，这时候我们应该如何考虑是什么因素引起了这个基因在群体里面的表达变异。", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["表观遗传修饰的改变（如DNA甲基化、组蛋白修饰、染色质三维空间互作、染色质可及性等）"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "有一个豆科共生固氮基因挖掘的任务，这是一个二分类的任务，采用伪标签的方法训练模型能否同时用伪标签同时标注正类和负类的优势在哪里？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["所有的数据都可以用到", "防止最终模型过拟合", "使模型看待正负类的差异更加显著"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n对尿毒症患者采用低蛋白并补加基本氨基酸的食物进行治疗，分析该疗法对患者体内一些成分的影响。以下数据是在治疗前患者的基本数据：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline 体重（BW） ／kg & 体内总钾（TBK） ／mmol & 血清尿素（URRA） ／（ $\\mathrm{mmol} \\cdot \\mathrm{L}^{-1}$ ） \\\\\n\\hline 73 & 3147 & 19 \\\\\n\\hline 70 & 3647 & 36 \\\\\n\\hline 72 & 3266 & 25 \\\\\n\\hline 53 & 2650 & 25 \\\\\n\\hline 97 & 3738 & 34 \\\\\n\\hline 77 & 3982 & 36 \\\\\n\\hline 63 & 2900 & 49 \\\\\n\\hline 54 & 3194 & 38 \\\\\n\\hline 66 & 3930 & 16 \\\\\n\\hline 53 & 3419 & 34 \\\\\n\\hline 70 & 3978 & 34 \\\\\n\\hline 63 & 2747 & 26 \\\\\n\\hline 65 & 4181 & 46 \\\\\n\\hline 88 & 3678 & 41 \\\\\n\\hline 82 & 3540 & 39 \\\\\n\\hline 69 & 3912 & 19 \\\\\n\\hline 91 & 4138 & 35 \\\\\n\\hline 62 & 2896 & 43 \\\\\n\\hline 74 & 3410 & 50 \\\\\n\\hline 90 & 3679 & 23 \\\\\n\\hline 74 & 3855 & 38 \\\\\n\\hline 71 & 2750 & 50 \\\\\n\\hline 59 & 3583 & 31 \\\\\n\\hline 80 & 3268 & 47 \\\\\n\\hline 66 & 2846 & 45 \\\\\n\\hline 115 & 4804 & 65 \\\\\n\\hline 111 & 5290 & 38 \\\\\n\\hline 64 & 2960 & 45 \\\\\n\\hline 71 & 3610 & 24 \\\\\n\\hline 69 & 2905 & 31 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n经过一年的饮食治疗后，体内总钾量与治疗前的总钾量，如下表：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline 病人号 & 治疗后 ／mmol & 治疗前 ／mmol \\\\\n\\hline 16 & 3246 & 3147 \\\\\n\\hline 22 & 3272 & 3647 \\\\\n\\hline 25 & 3110 & 3266 \\\\\n\\hline 28 & 2006 & 2650 \\\\\n\\hline 39 & 2879 & 2900 \\\\\n\\hline 47 & 3620 & 3930 \\\\\n\\hline 51 & 3597 & 3978 \\\\\n\\hline 53 & 3080 & 2747 \\\\\n\\hline 56 & 3420 & 3678 \\\\\n\\hline 38 & 2280 & 2400 \\\\\n\\hline 54 & 2360 & 2105 \\\\\n\\hline 58 & 2490 & 2530 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n以治疗前为自变量，治疗后为因变量，计算回归方程，并检验回归的显著性。", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n所用程序及计算结果如下：\n```\noptions linesize=76 nodate;\ndata uremia;\n    infile 'e:\\dataler10-1e.dat';\n    input bw tbk urea @@;\nrun;\nproc corr nosimple;\n    var bw tbk urea;\nrun;\n```\n以及参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：\n```\noptions linesize = 76 nodate;\ndata mulreg;\n    infile 'e:\\dataler11-1e.dat';\n    input y x @@;\nrun;\nproc reg;\n    model y=x;\nrun;\n```\n\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL1\nDependent Variable: after\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr > F \\\\\n\\hline Model & 1 & 2573589 & 2573589 & 39.40 & <. 0001 \\\\\n\\hline Error & 10 & 653264 & 65326 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 11 & 3226853 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 255.59029 & R-Square & 0.7976 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 2946.66667 & Adj R-Sq & 0.7773 \\\\\n\\hline Coeff Var & 8.67388 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & 560.15163 & 387.31612 & 1.45 & 0.1787 \\\\\n\\hline before & 1 & 0.77447 & 0.12339 & 6.28 & <. 0001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n回归方程为：$\\hat{Y}=560.15163+0.77447 X$\n$t$ 检验的显著性概率 $P<0.0001$。故回归系数极显著。"], "refined_standard_answer": ["回归方程为$\\hat{Y}=560.15163+0.77447 X$", "回归系数极显著，$P<0.0001$"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n一种治疗肺动脉高血压的药物 treprostinil sodium，研究给药剂量与血浆浓度之间的关系，当用静脉给药时得到以下结果（近似值）：\n\\begin{tabular}{|l|l|}\n\\hline 剂 量 $/\\left(\\mathrm{ng} \\cdot \\mathrm{kg}^{-1} \\cdot \\mathrm{~min}^{-1}\\right)$ & 血浆药物浓度 ／（ $\\mathrm{pg} \\cdot \\mathrm{mL}^{-1}$ ） \\\\\n\\hline 20 & 4750 \\\\\n\\hline 24 & 2500 \\\\\n\\hline 49 & 8000 \\\\\n\\hline 53 & 5500 \\\\\n\\hline 70 & 9000 \\\\\n\\hline 78 & 12500 \\\\\n\\hline 84 & 8000 \\\\\n\\hline 90 & 13250 \\\\\n\\hline 96 & 18250 \\\\\n\\hline 102 & 14500 \\\\\n\\hline 122 & 17500 \\\\\n\\hline 126 & 17000 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\text { 当用皮下给药，结果如下表（近似值）：}\n\\begin{tabular}{|l|l|}\n\\hline 剂 量 $/\\left(\\mathrm{ng} \\cdot \\mathrm{kg}^{-1} \\cdot \\mathrm{~min}^{-1}\\right)$ & 血浆药物浓度 ／（ $\\mathrm{pg} \\cdot \\mathrm{mL}^{-1}$ ） \\\\\n\\hline 12 & 1000 \\\\\n\\hline 13 & 1750 \\\\\n\\hline 15 & 2500 \\\\\n\\hline 17 & 3750 \\\\\n\\hline 28 & 6250 \\\\\n\\hline 29 & 3250 \\\\\n\\hline 30 & 2500 \\\\\n\\hline 32 & 5250 \\\\\n\\hline 36 & 4250 \\\\\n\\hline 38 & 6250 \\\\\n\\hline 38 & 7000 \\\\\n\\hline 38 & 6750 \\\\\n\\hline 44 & 3500 \\\\\n\\hline 44 & 9750 \\\\\n\\hline 47 & 5000 \\\\\n\\hline 49 & 5750 \\\\\n\\hline 50 & 6000 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\begin{tabular}{|l|l|}\n\\hline 剂 量 ／（ $\\mathrm{ng} \\cdot \\mathrm{kg}^{-1} \\cdot \\mathrm{~min}^{-1}$ ） & 血浆药物浓度 ／（ $\\mathrm{pg} \\cdot \\mathrm{mL}^{-1}$ ） \\\\\n\\hline 50 & 7500 \\\\\n\\hline 52 & 7750 \\\\\n\\hline 64 & 14250 \\\\\n\\hline 66 & 10250 \\\\\n\\hline 67 & 13000 \\\\\n\\hline 67 & 10000 \\\\\n\\hline 67 & 5750 \\\\\n\\hline 70 & 10000 \\\\\n\\hline 73 & 8750 \\\\\n\\hline 75 & 10000 \\\\\n\\hline 80 & 16250 \\\\\n\\hline 80 & 10250 \\\\\n\\hline 80 & 8500 \\\\\n\\hline 87 & 11000 \\\\\n\\hline 95 & 15250 \\\\\n\\hline 95 & 15750 \\\\\n\\hline 100 & 11250 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n问：（1）计算皮下给药血浆药物浓度对剂量的回归方程，检验回归的显著性。\n（2）比较两种给药方式的回归系数差异是否显著？", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n程序中infile读取的是表格数据\n参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：\n```\noptions linesize = 76 nodate;\ndata mulreg;\n    infile 'e:\\dataler11-1e.dat';\n    input y x @@;\nrun;\nproc reg;\n    model y=x;\nrun;\n```\nThe SAS System\nModel: MODEL1\nDependent Variable: CONCEN\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Prob >F \\\\\n\\hline Model & 1 & 263507305.51 & 263507305.51 & 52.387 & 0.0001 \\\\\n\\hline Error & 10 & 50299986.153 & 5029998.6153 & & \\\\\n\\hline C Total & 11 & 313807291.67 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 2242.76584 & R-square & 0.8397 \\\\\n\\hline Dep Mean & 10895.83333 & Adj R-sq & 0.8237 \\\\\n\\hline C.V. & 20.58370 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & T for H0: Parameter =0 & Prob > $|\\mathrm{T}|$ \\\\\n\\hline INTERCEP & 1 & 89.036517 & 1627.4120399 & 0.055 & 0.9574 \\\\\n\\hline DOSAGE & 1 & 141.883547 & 19.60286907 & 7.238 & 0.0001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n回归方程为：\n$$\n\\hat{Y}=89.036517+141.883547 X\n$$\n从回归系数和常数项的显著性概率可知，回归系数是显著的，常数项是不显著的。\n对皮下给药：\nThe SAS System\nModel: MODEL1\nDependent Variable: CONCEN\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Prob > F \\\\\n\\hline Model & 1 & 401262581.37 & 401262581.37 & 84.935 & 0.0001 \\\\\n\\hline Error & 32 & 151178595.1 & 4724331.0969 & & \\\\\n\\hline C Total & 33 & 552441176.47 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 2173.55264 & R-square & 0.7263 \\\\\n\\hline Dep Mean & 7823.52941 & Adj R-sq & 0.7178 \\\\\n\\hline C.V. & 27.78225 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & T for H0: Parameter =0 & Prob > |T| \\\\\n\\hline INTERCEP & 1 & 301.527681 & 897.27970517 & 0.336 & 0.7390 \\\\\n\\hline DOSAGE & 1 & 139.905940 & 15.18070660 & 9.216 & 0.0001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n回归方程为：$\\hat{Y}=301.527681+139.905940 X$\n从回归系数和常数项的显著性概率可知，回归系数是显著的，常数项是不显著的。\n比较两个回归系数：令前者的回归系数为 $b_1, 后者$ 的回归系数为 $b_2$ 。统计假设为：\n\\begin{aligned}\n& H_0: \\beta_1-\\beta_2=0 \\\\\n& H_A: \\beta_1-\\beta_2 \\neq 0\n\\end{aligned}\n$t=\\frac{b_1-b_2}{\\sqrt{s_{b_1}^2+s_{b_2}^2}}=\\frac{141.883547-139.905940}{\\sqrt{19.60286907^2+15.18070660^2}}=0.08$\n显著性概率 $P=0.9366, P>0.05$ ，尚无足够理由拒绝 $H_0$ 。结论：两个回归系数的差异不显著。"], "refined_standard_answer": ["$\\hat{Y}=301.527681+139.905940 X$。从回归系数和常数项的显著性概率可知，回归系数是显著的，常数项是不显著的。", "两个回归系数的差异不显著"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "结构域的功能和序列同源性的关系", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["具有序列同源性的蛋白质，其结构域功能往往存在一定的相似性", "序列相似不一定同源，有些蛋白质序列之间可能存在相似性，但并非由共同祖先演化而来，如趋同演化"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n对尿毒症患者采用低蛋白并补加基本氨基酸的食物进行治疗，分析该疗法对患者体内一些成分的影响。以下数据是在治疗前患者的基本数据：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline 体重（BW） ／kg & 体内总钾（TBK） ／mmol & 血清尿素（URRA） ／（ $\\mathrm{mmol} \\cdot \\mathrm{L}^{-1}$ ） \\\\\n\\hline 73 & 3147 & 19 \\\\\n\\hline 70 & 3647 & 36 \\\\\n\\hline 72 & 3266 & 25 \\\\\n\\hline 53 & 2650 & 25 \\\\\n\\hline 97 & 3738 & 34 \\\\\n\\hline 77 & 3982 & 36 \\\\\n\\hline 63 & 2900 & 49 \\\\\n\\hline 54 & 3194 & 38 \\\\\n\\hline 66 & 3930 & 16 \\\\\n\\hline 53 & 3419 & 34 \\\\\n\\hline 70 & 3978 & 34 \\\\\n\\hline 63 & 2747 & 26 \\\\\n\\hline 65 & 4181 & 46 \\\\\n\\hline 88 & 3678 & 41 \\\\\n\\hline 82 & 3540 & 39 \\\\\n\\hline 69 & 3912 & 19 \\\\\n\\hline 91 & 4138 & 35 \\\\\n\\hline 62 & 2896 & 43 \\\\\n\\hline 74 & 3410 & 50 \\\\\n\\hline 90 & 3679 & 23 \\\\\n\\hline 74 & 3855 & 38 \\\\\n\\hline 71 & 2750 & 50 \\\\\n\\hline 59 & 3583 & 31 \\\\\n\\hline 80 & 3268 & 47 \\\\\n\\hline 66 & 2846 & 45 \\\\\n\\hline 115 & 4804 & 65 \\\\\n\\hline 111 & 5290 & 38 \\\\\n\\hline 64 & 2960 & 45 \\\\\n\\hline 71 & 3610 & 24 \\\\\n\\hline 69 & 2905 & 31 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n找出三者之间显著的相关系数。\n", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n所用程序及计算结果如下：\n```\noptions linesize=76 nodate;\ndata uremia;\n    infile 'e:\\dataler10-1e.dat';\n    input bw tbk urea @@;\nrun;\nproc corr nosimple;\n    var bw tbk urea;\nrun;\n```\nThe SAS System\nCorrelation Analysis\n3 'VAR' Variables: BW, TBK, UREA\nPearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho $=0 / N=30$\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline & BW & TBK & UREA \\\\\n\\hline \\multirow{2}{*}{BW} & 1.00000 & 0.70594 & 0.28582 \\\\\n\\hline & 0.0 & 0.0001 & 0.1257 \\\\\n\\hline \\multirow{2}{*}{Tbk} & 0.70594 & 1.00000 & 0.09661 \\\\\n\\hline & 0.0001 & 0.0 & 0.6116 \\\\\n\\hline \\multirow{2}{*}{Urea} & 0.28582 & 0.09661 & 1.00000 \\\\\n\\hline & 0.1257 & 0.6116 & 0.0 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n三个变量间，只有体重（BW）和体内总钾（TBK）间相关显著，$r=0.705$ 94。相关系数的显著性概率 $P=0.0001$。"], "refined_standard_answer": ["体重(BW)与体内总钾(TBK)的相关系数显著，r=0.70594 (P=0.0001)"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n两种农药＂呋喃丹＂和＂铁灭克＂，在不同 pH 条件下对土壤磷酸酶活性（ $\\mathrm{mg} / \\mathrm{g}$ ）的影响如下表所示：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline 缓冲液 pH & 呋喃丹 $\\left(Y_1\\right)$ & 铁灭克（ $Y_2$ ） \\\\\n\\hline 7.9 & 0.19 & 0.10 \\\\\n\\hline 8.3 & 1.37 & 0.79 \\\\\n\\hline 8.7 & 1.31 & 1.09 \\\\\n\\hline 9.1 & 1.65 & 1.21 \\\\\n\\hline 9.3 & 1.49 & 1.29 \\\\\n\\hline 9.6 & 1.12 & 0.87 \\\\\n\\hline 10.0 & 1.07 & 0.78 \\\\\n\\hline 10.5 & 0.31 & 0.22 \\\\\n\\hline 11.0 & 0.12 & 0.10 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n通过回归方程求出磷酸酶活性达到最大值时的 pH 值，以及在该 pH 时磷酸酶的活性值。", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n```\noptions linesize=76 nodate;\ndata stepreg;\n    infile 'e:\\dataler11-5e.dat';\n    input xl y;\n    x2=x1**2;\nrun;\nproc reg;\n    model y=x1 x2;\nrun;\n```\n（1）呋喃丹：\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL1\nDependent Variable: y1\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr > F \\\\\n\\hline Model & 2 & 2.25859 & 1.12929 & 12.37 & 0.0074 \\\\\n\\hline Error & 6 & 0.54770 & 0.09128 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 8 & 2.80629 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 0.30213 & R-Square & 0.8048 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 0.95889 & Adj R-Sq & 0.7398 \\\\\n\\hline Coeff Var & 31.50847 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & -41.71019 & 9.89391 & -4.22 & 0.0056 \\\\\n\\hline x1 & 1 & 9.34395 & 2.10852 & 4.43 & 0.0044 \\\\\n\\hline x2 & 1 & -0.50595 & 0.11147 & -4.54 & 0.0039 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n回归方程为：$\\hat{Y}=-41.71019+9.34395 X-0.50595 X^2$。一次项和二次项的回归系数都是极显著的。\n最大值的计算： $1.0119 X=9.34395 X=9.23406 Y=1.43113$\n故当pH 9.23406 时磷酸酶活性有最大值，其最大值为 1.43113 。\n\n（2）铁灭克：\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL2\nDependent Variable: y2\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & $\\mathrm{Pr}>\\mathrm{F}$ \\\\\n\\hline Model & 2 & 1.46564 & 0.73282 & 15.38 & 0.0044 \\\\\n\\hline Error & 6 & 0.28596 & 0.04766 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 8 & 1.75160 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 0.21831 & R-Square & 0.8367 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 0.71667 & Adj R-Sq & 0.7823 \\\\\n\\hline Coeff Var & 30.46194 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & -35.50332 & 7.14903 & -4.97 & 0.0025 \\\\\n\\hline x1 & 1 & 7.88157 & 1.52355 & 5.17 & 0.0021 \\\\\n\\hline x2 & 1 & -0.42419 & 0.08054 & -5.27 & 0.0019 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n回归方程为：\n$\\hat{Y}=-35.50332+7.88157 X-0.42419 X^2$\n一次项和二次项的回归系数都是极显著的。\n最大值的计算： $0.84838 X=7.88157，X=9.29014 Y=1.10713$故当 pH 9.29014 时磷酸酶活性有最大值，其最大值为 1.10713。"], "refined_standard_answer": ["呋喃丹：最适pH为9.29014，最大活性为1.10713", "铁灭克：最适pH为9.23406，最大活性为1.43113"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n人工测定蚊密度与气温存在以下关系：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline 序号 & 蚊密度＊ & 气温 $/{ }^{\\circ} \\mathrm{C}$ & 序号 & 蚊密度＊ & 气温 $/^{\\circ} \\mathrm{C}$ & 序号 & 蚊密度＊ & 气温 $/{ }^{\\circ} \\mathrm{C}$ \\\\\n\\hline 1 & 52.8 & 23.0 & 11 & 134.3 & 25.3 & 21 & 193.7 & 27.9 \\\\\n\\hline 2 & 104.4 & 23.5 & 12 & 162.7 & 27.2 & 22 & 165.1 & 27.4 \\\\\n\\hline 3 & 74.7 & 21.9 & 13 & 341.4 & 28.3 & 23 & 74.9 & 28.7 \\\\\n\\hline 4 & 79.6 & 23.7 & 14 & 292.4 & 29.3 & 24 & 102.1 & 26.8 \\\\\n\\hline 5 & 43.8 & 22.5 & 15 & 265.2 & 27.8 & 25 & 185.0 & 24.4 \\\\\n\\hline 6 & 47.5 & 21.0 & 16 & 230.6 & 28.3 & 26 & 175.8 & 25.0 \\\\\n\\hline 7 & 191.5 & 24.9 & 17 & 259.8 & 30.1 & 27 & 203.5 & 26.3 \\\\\n\\hline 8 & 157.8 & 25.6 & 18 & 148.5 & 29.4 & 28 & 138.5 & 23.3 \\\\\n\\hline 9 & 204.3 & 26.0 & 19 & 331.4 & 30.2 & 29 & 93.1 & 26.6 \\\\\n\\hline 10 & 232.8 & 25.5 & 20 & 326.3 & 27.5 & 30 & 97.0 & 24.8 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n注：＊单位：只 $/ \\mathrm{h}$ 。\n以气温作为自变量，蚊密度作为因变量，求回归方程。", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：\n```\noptions linesize = 76 nodate;\ndata mulreg;\n    infile 'e:\\dataler11-1e.dat';\n    input y x @@;\nrun;\nproc reg;\n    model y=x;\nrun;\n```\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL1\nDependent Variable: density\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr>F \\\\\n\\hline Model & 1 & 103565 & 103565 & 25.51 & <. 0001 \\\\\n\\hline Error & 28 & 113674 & 4059.77886 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 29 & 217239 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\n\\hline Root MSE & 63.71639 & R-Square & 0.4767 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 170.35000 & Adj R-Sq & 0.4580 \\\\\n\\hline Coeff Var & 37.40323 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & -459.98640 & 125.34184 & -3.67 & 0.0010 \\\\\n\\hline temp & 1 & 24.17552 & 4.78653 & 5.05 & <. 0001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n由以上结果得到回归方程：\n$$\n\\hat{Y}=-459.98640+24.17552 X\n$$\n方差分析表：\n\\begin{tabular}{ccccrc}\n\\hline 变差来源 & 平方和 & 自由度 & 均方 & $F$ & $P$ \\\\\n\\hline 回 归 & 103565 & 1 & 103565 & 25.51 & $<0.0001$ \\\\\n剩 余 & 113674 & 28 & 4059.77886 & & \\\\\n\\hline 总 和 & 217239 & 29 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}"], "refined_standard_answer": ["$\\hat{Y}=-459.98640+24.17552 X$"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "阐述先天性巨结肠病的特征与遗传机制", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["主要病理改变是远端肠组织中肌间神经丛和黏膜下神经丛中的神经节细胞缺失。", "遗传背景复杂，家族性遗传占20%，其余为散发型。相关致病基因突变包括RET、GDNF、GFRa1、NRTN、EDNRE、ET3、ZFHX1B、PPHOX2b、SOX10等。"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "孟德尔七大性状的具体调控基因都是什么？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["种子形状：PsSBEI2 的R基因", "花朵颜色：bHLH 转录因子的 A 基因", "种子颜色：PsSGR的I基因", "植株高度：编码赤霉素 3-氧化酶 1（PsGA3ox1）的 Le 基因", "果荚颜色：叶绿素合成酶（PsCHIG）的 gp 基因", "果荚圆皱：MYB转录因子（PsMYB26）的V 基因和编码 CLE 肽（PsCLEs）的P基因", "花的位置：CIK 样共受体激酶（PsCIK2/3）的Fa基因"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "在确定了蛋白质结构相似后，如何不通过做实验，初步确定这个蛋白质的功能是什么？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["通过数据库进行结构搜索，如PDB", "利用深度学习模型预测", "分析蛋白质结构域和保守位点", "分析蛋白质互作网络"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "基于图的泛基因组组装有哪些优势？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["图泛基因组可以把不同样本的变异（SNP、Indel、SV）都嵌到同一个图里，比如一个分叉表示插入/缺失，能完整保留所有样本的多样性", "在图结构中，reads可以沿着不同的路径比对，特别是对于大范围的结构变异和重复区域时，graph-based基因组可以给出更好的匹配", "基于图的组装，可以识别并保留各个样本中特有的新序列，更好的寻找新品种特有的基因和群体特异的功能序列", "扩展灵活，每加入一个新样本，不用重建整个组装，只需要在现有图上增加新的分支"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "如何对植物单细胞转录组的不同cell cluster进行注释？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["使用该物种已知功能基因", "使用其他模式植物同源基因进行注释", "结合空间转录组的结果作为参考", "使用一些已知的数据库", "对cell cluster的marker genes进行实验验证"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "采用伪标签的方法来识别还未鉴定的基因是否是固氮相关基因，我先用已知的固氮相关基因和一部分非固氮相关的基因来训练一个初始分类器，这个分类器的performance很强，会有什么问题？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["后续无法进行迭代", "分类器过拟合导致后续分类错误", "分类器的提升空间不大"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "在植物里，如何判断两个互作基因的上下游关系？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["通过遗传学上位性分析（互补实验）判断。在A基因突变体中表达B基因，若表型恢复，则B在A下游；反之亦然。"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "已知近缘种间表型有差异，现有各自的基因组和转录组数据。如何筛选可能造成表型差异的候选基因。", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["进行基因组比对，鉴定结构变异位点。", "将结构变异位点分类，筛选出存在结构变异的候选基因（上下游2kb，外显子与内含子区域）。如果是在基因上下游区域存在变异，检查是否存在重复序列插入或确实，如果在外显子或内含子区域存在变异检查是否导致蛋白序列变化。", "基于转录组数据，若候选基因与其参考同源基因表达模式存在变化，则纳入候选基因。"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "泛基因组工作内容通常包括哪些方面？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["利用泛基因组数据确定相关物种的系统发育关系", "关联表型差异与结构变异，为挖掘候选基因提供重要信息", "针对候选基因进行泛基因组层面的演化分析"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n在一项关于碳酸利多卡因注射液热稳定性的实验研究中，发现 $\\mathrm{NaHCO}_3$ 的比值 （自变量）与相变点温度（因变量）存在以下关系：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline 序号 & $\\mathrm{NaHCO}_3$ 的比值 （自变量） & 相变点温度 $/{ }^{\\circ} \\mathrm{C}$ （因变量） \\\\\n\\hline 1 & 1.00 & 54.1 \\\\\n\\hline 2 & 1.50 & 48.0 \\\\\n\\hline 3 & 1.81 & 46.6 \\\\\n\\hline 4 & 2.50 & 41.1 \\\\\n\\hline 5 & 2.91 & 39.1 \\\\\n\\hline 6 & 3.87 & 35.5 \\\\\n\\hline 7 & 5.00 & 32.9 \\\\\n\\hline 8 & 5.80 & 29.6 \\\\\n\\hline 9 & 7.50 & 26.8 \\\\\n\\hline 10 & 8.39 & 25.1 \\\\\n\\hline 11 & 10.00 & 22.4 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n求出回归方程。", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n参考如下回归程序（需略微修改），程序和结果如下：\n```\noptions linesize = 76 nodate;\ndata mulreg;\n    infile 'e:\\dataler11-1e.dat';\n    input y x @@;\nrun;\nproc reg;\n    model y=x;\nrun;\n```\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL1\nDependent Variable: temp\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr>F \\\\\n\\hline Model & 1 & 966.81811 & 966.81811 & 97.17 & <. 0001 \\\\\n\\hline Error & 9 & 89.54371 & 9.94930 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 10 & 1056.36182 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 3.15425 & R-Square & 0.9152 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 36.47273 & Adj R-Sq & 0.9058 \\\\\n\\hline Coeff Var & 8.64825 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & 51.31644 & 1.78099 & 28.81 & <. 0001 \\\\\n\\hline rate & 1 & -3.24743 & 0.32943 & -9.86 & <. 0001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n由此得出回归方程：$\\hat{Y}=51.31644-3.24743 X$\n回归系数的 $t$ 检验和回归模型的方差分析都指出回归极显著。"], "refined_standard_answer": ["\\hat{Y} = 51.31644 - 3.24743X"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n野生型 C57BL／6 及 STAT－1－／－型小鼠胰岛，在移入自发糖尿病的 NOD ${ }^{\\#}$ 小鼠中之后的存活天数见下表：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}\n\\hline \\multirow{2}{*}{实验材料} & \\multicolumn{4}{|c|}{养生处理} \\\\\n\\hline & 未处理 & IL－1ra＊ & CsA＊＊ & IL－1ra＋CsA \\\\\n\\hline \\multirow{2}{*}{野生型 C57BL／6} & 0 0 2 5 5 & \\multirow{2}{*}{0 5 8 12 12 15} & \\multirow{2}{*}{8 8 8 10 10 11 18} & \\multirow{2}{*}{5 10 11 11 12 16 20} \\\\\n\\hline & 11 11 12 13 13 15 17 & & & \\\\\n\\hline STAT－1－／－型 & 6 10 10 13 & 10 12 & 5 13 14 & 10 11 11 12 12 13 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n注：\\＃NOD：nonobese diabetic（非肥胖糖尿病）。\n＊IL－1ra：interleukin -1 receptor antagonist（白介素 -1 受体拮抗物）。\n＊＊CsA：cyclosporine A（环孢菌素 A）。\n对上述结果进行方差分析，判断两种类型小鼠的胰岛存活天数差异是否显著？不同养生处理对移植的胰岛存活天数的影响是否显著？不同养生处理与不同型小鼠之间是否存在交互作用？", "answer_ideas": ["本题的两个主效应和它们的交互作用都是不显著因素。程序中infile读取的是表格数据\n这是一个重复数不等的两因素固定模型实验，所用程序及计算结果如下。\n```\noptions linesize=76 nodate;\ndata mouse;\n    infile 'e:\\datalexr9-5e.dat';\n    do treat=1 to 3;\n        do type=1 to 2;\n            inputn@@;\n            do repetit=1 to n;\n                input days @@;\n                output;\n            end;\n        end;\n    end;\nrun;\nproc glm;\n    class treat type;\n    model days=treat type treat*type ;\nrun;\n```\nThe SAS System\nGeneral Linear Models Procedure\nDependent Variable: DAYS\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr>F \\\\\n\\hline Model & 7 & 81.7459473 & 11.6779925 & 0.55 & 0.7939 \\\\\n\\hline Error & 39 & 833.4880952 & 21.3714896 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 46 & 915.2340426 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline R-Square & C.V. & Root MSE & DAYS Mean \\\\\n\\hline 0.089317 & 45.64659 & 4.62293 & 10.1277 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nType I SS\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Type I SS & Mean Square & F Value & Pr>F \\\\\n\\hline TREAT & 3 & 67.9880108 & 22.6626703 & 1.06 & 0.3770 \\\\\n\\hline TYPE & 1 & 8.0410256 & 8.0410256 & 0.38 & 0.5432 \\\\\n\\hline TREAT*TYPE & 3 & 5.7169109 & 1.9056370 & 0.09 & 0.9656 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nType III SS\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Type III SS & Mean Square & F Value & $\\mathrm{Pr}>\\mathrm{F}$ \\\\\n\\hline TREAT & 3 & 60.4851648 & 20.1617216 & 0.94 & 0.4290 \\\\\n\\hline TYPE & 1 & 8.0762698 & 8.0762698 & 0.38 & 0.5423 \\\\\n\\hline TREAT*TYPE & 3 & 5.7169109 & 1.9056370 & 0.09 & 0.9656 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n本题的两个主效应和它们的交互作用都是不显著因素。以上结果可以归纳成下表：\n\\begin{tabular}{crccrc}\n\\hline 变差来源 & \\multicolumn{1}{c}{ 平方和 } & 自由度 & 均方 & $F$ & $P$ \\\\\n\\hline 处理间 & 67.9880108 & 3 & 22.6626703 & 1.06 & 0.3370 \\\\\n类型间 & 8.0410256 & 1 & 8.0410256 & 0.38 & 0.5432 \\\\\n处理×类型 & 5.7169109 & 3 & 1.9056370 & 0.09 & 0.9656 \\\\\n误 差 & 833.4880952 & 39 & 21.3714896 & & \\\\\n\\cline { 1 - 3 } 总 和 & 915.2340426 & 46 & & &\n\\end{tabular}"], "refined_standard_answer": ["不显著", "不显著", "不存在显著的交互作用"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n用 18 种不同水体配制成培养基，培养基中的磷（P）浓度及用该培养基培养的玫瑰拟衣藻（Chloromonas rosae）的生长速率见下表：\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline 水体号 & P 浓度／（ $\\mathrm{mg} \\cdot \\mathrm{L}^{-1}$ ） & 生长速率／（ $\\mu$ ） \\\\\n\\hline 1 & 0.1010 & 0.2440 \\\\\n\\hline 2 & 0.0820 & 0.1989 \\\\\n\\hline 3 & 0.0610 & 0.2382 \\\\\n\\hline 4 & 0.0280 & 0.2460 \\\\\n\\hline 5 & 0.0300 & 0.1716 \\\\\n\\hline 6 & 0.0320 & 0.2163 \\\\\n\\hline 7 & 0.2100 & 0.4138 \\\\\n\\hline 8 & 0.1500 & 0.3328 \\\\\n\\hline 9 & 0.1600 & 0.2684 \\\\\n\\hline 10 & 0.0168 & 0.0948 \\\\\n\\hline 11 & 0.0120 & 0.0993 \\\\\n\\hline 12 & 0.0128 & 0.1650 \\\\\n\\hline 13 & 0.0084 & 0.0915 \\\\\n\\hline 14 & 0.0060 & 0.0067 \\\\\n\\hline 15 & 0.0064 & 0.0592 \\\\\n\\hline 16 & 0.0042 & 0.0333 \\\\\n\\hline 17 & 0.0030 & 0.0198 \\\\\n\\hline 18 & 0.0032 & －0．0147 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n以 $P$ 浓度为自变量，生长速率为因变量，求出回归方程，并检验回归的显著性。", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n对自变量（ P 浓度）做自然对数变换，用变换后的数据进行分析。程序和结果如下：\n```\noptions linesize=76 nodate;\ndata leaves;\n    infile 'e:\\dataler10-16e.dat';\n    input p rate @ @;\n        x=log(p); y=rate;\nrun;\nproc gplot;\n    plot y*x;\nproc reg;\n    model y=x;\nrun;\n```\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL1\nDependent Variable: y\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & $\\mathrm{Pr}>\\mathrm{F}$ \\\\\n\\hline Model & 1 & 0.21685 & 0.21685 & 128.01 & <. 0001 \\\\\n\\hline Error & 16 & 0.02710 & 0.00169 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 17 & 0.24395 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 0.04116 & R-Square & 0.8889 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 0.16027 & Adj R-Sq & 0.8820 \\\\\n\\hline Coeff Var & 25.67984 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & 0.46581 & 0.02869 & 16.23 & <. 0001 \\\\\n\\hline x & 1 & 0.08059 & 0.00712 & 11.31 & <. 0001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n回归方程为：$\\hat{Y}=0.46581+0.08059 \\ln X$\n回归系数显著性检验表明，回归是显著的。"], "refined_standard_answer": ["$\\hat{Y}=0.46581+0.08059 \\ln X$", "回归是显著的"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "如何快速找出调控某个表型的主效基因？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["使用全基因组关联分析定位自然群体中关联位点", "构建F2，F2:3群体，使用KASP标记对区间进行缩短", "构建次级群体，对区间进行进一步缩短", "在定位区间内结合基因表达情况，筛选候选基因，如籽粒表型需要筛选在籽粒中存在表达或者特异表达的基因", "结合所有已知QTL进行meta分析"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "请参考生物信息学的方式（代码）得到解答，\n粤东近海渔场雄性条尾鲱鲤4月份和9月份的体重和体长的测定结果如下表\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}\n\\hline \\multirow{2}{*}{序号} & \\multicolumn{2}{|c|}{4月份} & \\multicolumn{2}{|c|}{9月份} \\\\\n\\hline & 体重／g & 体长／cm & 体重／g & 体长／cm \\\\\n\\hline 1 & 59.7 & 14.0 & 38.9 & 12.7 \\\\\n\\hline 2 & 50.1 & 13.0 & 31.9 & 11.9 \\\\\n\\hline 3 & 37.1 & 12.0 & 21.2 & 10.3 \\\\\n\\hline 4 & 36.2 & 11.6 & 17.2 & 9.9 \\\\\n\\hline 5 & 41.2 & 11.2 & 11.7 & 9.6 \\\\\n\\hline 6 & 26.6 & 10.6 & 14.6 & 9.1 \\\\\n\\hline 7 & 26.5 & 10.2 & 10.2 & 8.6 \\\\\n\\hline 8 & 24.1 & 9.9 & 9.1 & 8.2 \\\\\n\\hline 9 & 20.1 & 9.1 & 8.4 & 8.1 \\\\\n\\hline 10 & 16.5 & 8.9 & 9.0 & 8.0 \\\\\n\\hline 11 & 11.7 & 7.6 & 8.3 & 8.0 \\\\\n\\hline 12 & 5.0 & 6.6 & 6.2 & 7.2 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n一般来说，鱼的体重 $(Y)$ 在体长 $(X)$ 上的回归符合以下关系：$Y=a X^b$ 。计算回归方程，检验回归的显著性，并比较 4 月份和 9 月份两个回归系数的差异是否显著。", "answer_ideas": ["程序中infile读取的是表格数据\n记 4 月份的样本为样本 1， 9 月份的样本为样本 2。程序和结果如下：\n```\noptions linesize = 76 nodate;\ndata river;\n    infile 'E:\\dataler10-6e.dat';\n    input fw fl nw nl @@;\n        y1=log10(fw); x1=log10(fl);\n        y2=log10(nw); x2=log10(nl);\nproc reg;\n    model yl=xl;\n        model y2=x2;\nsymbol v=star i=rl l=1 w=2 c=black;\nproc gplot;\n    plot y1*x1;\n        plot y2*x2;\nrun;\n```\n（1）4月份的回归分析和回归线：\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL1\nDependent Variable: y1\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr >F \\\\\n\\hline Model & 1 & 0.94059 & 0.94059 & 260.55 & <. 0001 \\\\\n\\hline Error & 10 & 0.03610 & 0.00361 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 11 & 0.97669 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline Root MSE & 0.06008 & R-Square & 0.9630 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 1.39473 & Adj R-Sq & 0.9593 \\\\\n\\hline Coeff Var & 4.30790 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & -1.72319 & 0.19394 & -8.89 & <. 0001 \\\\\n\\hline x 1 & 1 & 3.09439 & 0.19170 & 16.14 & <. 0001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n对数尺度下的回归方程和回归线为：\n$$\n\\hat{Y}=-1.72319+3.09439 X\n$$\n从 $t$ 的显著性概率可以得知，常数项和回归系数都是显著的。\n（2） 9 月份的回归分析和回归线：\nThe SAS System\nThe REG Procedure\nModel: MODEL1\nDependent Variable: y2\nAnalysis of Variance\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Source & DF & Sum of Squares & Mean Square & F Value & Pr > F \\\\\n\\hline Model & 1 & 0.65994 & 0.65994 & 320.79 & <. 0001 \\\\\n\\hline Error & 10 & 0.02057 & 0.00206 & & \\\\\n\\hline Corrected Total & 11 & 0.68051 & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nAdditional Statistics\n\\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\n\\hline Root MSE & 0.04536 & R-Square & 0.9698 \\\\\n\\hline Dependent Mean & 1.12048 & Adj R-Sq & 0.9667 \\\\\n\\hline Coeff Var & 4.04795 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nParameter Estimates\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline Variable & DF & Parameter Estimate & Standard Error & t Value & $\\operatorname{Pr}>|\\mathrm{t}|$ \\\\\n\\hline Intercept & 1 & -2.04592 & 0.17727 & -11.54 & $<.0001$ \\\\\n\\hline x 2 & 1 & 3.28993 & 0.18368 & 17.91 & $<.0001$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n对数尺度下的回归方程和回归线为：\n$$\n\\hat{Y}=-2.04592+3.28993 X\n$$\n从 $t$ 的显著性概率可以得知，常数项和回归系数都是显著的。\n（3）回归系数的比较：\n统计假设为：\n$\\begin{aligned} & H_0: \\beta_1-\\beta_2=0 \\\\ & H_A: \\beta_1-\\beta_2 \\neq 0\\end{aligned}$\n$t=\\frac{b_1-b_2}{\\sqrt{s_1^2+s_{b_2}^2}}=\\frac{|3.09439-3.28993|}{\\sqrt{0.19170^2+0.18368^2}}=0.7365$\n显著性概率 $P=0.47, P>0.05$ ，尚无足够理由拒绝 $H_0$ 。结论：两个回归系数的差异不显著。"], "refined_standard_answer": ["4月：$\\hat{Y}=-1.72319+3.09439 X$，常数项和回归系数都是显著的；9月：$\\hat{Y}=-2.04592+3.28993 X$，常数项和回归系数都是显著的。", "两个回归系数的差异不显著。"], "sub_subject_name": "Genetics and Bioinformatics", "subject_name": "Biology"}
{"question": "在竖直平面内设置铰链\\(O\\)，将一个光滑木板一边接在铰链上，木板可以在竖直平面上沿着铰链\\(O\\)无摩擦旋转，将一个质量为\\(m\\)的光滑小球放于木板上贴近\\(O\\)的位置，初始时小球静止，木板垂直于地面（即初始\\(\\theta = 0\\)），并始终匀速绕\\(O\\)逆时针旋转，角速度为\\(\\omega\\)。\n（1）当\\(\\theta=\\frac{\\pi}{2}\\)时，小球恰好脱离木板. 求木板边\\(OA\\)的长度；\n（2）在（1）问情况下，小球脱离木板后，刚好跃上了一边的平台，平台边\\(B\\)和铰链\\(O\\)等高，求\\(OB\\)两点之间的距离。", "answer_ideas": ["（1）以\\(O\\)为极点，\\(O\\)与地面的垂线为极轴建立极坐标系。\n在切向满足\\(\\dot{\\theta}=\\omega\\)，径向满足\n\\[\nmg\\cos\\theta = ma_{r}=m(\\ddot{r}-\\omega^{2}r)\n\\]\n即\n\\[\n\\ddot{r}-\\omega^{2}r = g\\cos(\\omega t)\n\\]\n其齐次方程为\n\\[\n\\ddot{r}-\\omega^{2}r = 0\n\\]\n对应的通解为\n\\[\nr = Ae^{\\omega t}+Be^{-\\omega t}\n\\]\n设原方程特解形式：\\(r = C\\cos\\omega t\\)，代入原方程可得\n\\[\n-\\omega^{2}C\\cos(\\omega t)-\\omega^{2}C\\cos(\\omega t)=g\\cos(\\omega t)\n\\]\n得\\(C = -\\frac{g}{2\\omega^{2}}\\)即原方程的一个特解为\n\\[\nr = -\\frac{g}{2\\omega^{2}}\\cos\\omega t\n\\]\n从而原来得非齐次方程的通解为\n\\[\nr = -\\frac{g}{2\\omega^{2}}\\cos\\omega t + Ae^{\\omega t}+Be^{-\\omega t}\n\\]\n考虑初始条件，\\(t = 0\\)时，\\(r = 0\\)，\\(\\frac{\\mathrm{d}r}{\\mathrm{d}t}=0\\)。则解为\n\\[\nr = -\\frac{g}{2\\omega^{2}}\\cos\\omega t+\\frac{g}{4\\omega^{2}}(e^{\\omega t}+e^{-\\omega t})\n\\]\n即\n\\[\nr = \\frac{g}{2\\omega^{2}}(\\cosh\\omega t-\\cos\\omega t)\n\\]\n当\\(\\theta=\\frac{\\pi}{2}\\)时，小球恰好脱离木板，此时\n\\[\nr = \\frac{g}{2\\omega^{2}}\\cosh\\frac{\\pi}{2}=L_{OA}\n\\]\n即为木板边\\(OA\\)的长度。\n\n（2）脱离木板时，小球水平速度\n\\[\nv_{x}=\\left.\\frac{\\mathrm{d}r}{\\mathrm{d}t}\\right|_{t = \\frac{\\pi}{2\\omega}}=\\frac{g}{2\\omega}(\\sinh\\frac{\\pi}{2}+1)\n\\]\n竖直速度\n\\[\nv_{y}=\\omega L_{OA}=\\frac{g}{2\\omega}\\cosh\\frac{\\pi}{2}\n\\]\n从而当小球落到台子上时，小球的水平位移为\n\\[\n\\Delta L=\\frac{2v_{y}}{g}v_{x}=\\frac{g}{2\\omega^{2}}(\\sinh\\frac{\\pi}{2}+1)\\cosh\\frac{\\pi}{2}\n\\]\n从而\\(OB\\)两点之间的距离为\n\\[\nL_{OB}=L_{OA}+\\Delta L=\\frac{g}{2\\omega^{2}}(\\sinh\\frac{\\pi}{2}+2)\\cosh\\frac{\\pi}{2}\n\\] "], "refined_standard_answer": ["L_{OA} = \\frac{g}{2\\omega^{2}}\\cosh\\frac{\\pi}{2}", "L_{OB} = \\frac{g}{2\\omega^{2}}(\\sinh\\frac{\\pi}{2}+2)\\cosh\\frac{\\pi}{2}"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "一根长为L的无弹性重链条，被左右对称地放在一个定滑轮上面，并使它从一端开始滑落。请问速度多少的时候这个链条会离开滑轮。", "answer_ideas": ["假设线密度为$\\rho$，以速度v运动的自由链条内部张力应该为$F=\\rho v^2$。假设下落中位移为x，下落加速度为a，两侧链条有$F-\\rho(L/2-x)g=\\rho(L/2-x)a,\\rho(L/2+x)g-F=\\rho(L/2+x)a, \\rho x^2g=\\frac{1}{2}\\rho Lv^2$，可解得当满足自由条件时，$v=\\frac{\\sqrt{Lg}}{2}$"], "refined_standard_answer": ["$v=\\frac{\\sqrt{Lg}}{2}$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "一个小磁铁质量为m，被一根长度为1m的线悬挂着。此时从远处慢慢移动一个同样的磁铁靠近它，保持它们吸引，且始终处于同一水平线。当两个磁铁间的水平距离为2cm时，被悬挂的磁铁距离原始位置的水平偏移为1cm，且达到随动平衡。假设这两个磁铁间的距离x和相互作用力F的关系$F=k x^n$，求系数n为多少", "answer_ideas": ["对于悬挂的磁铁，水平力为$F(x)=-kx^n+mg(d+s-x)/l$，其中$d=2{\\rm cm},s=1{\\rm cm},l=1{\\rm m}$，由于是随遇平衡，$F(x)|_{x=d}=0,F&apos;(x)|_{x=d}=0$，因此有$-kd^n+mgs/l=0, -knd^{n-1}-mg/l=0$，解得$n=-d/s=-2$"], "refined_standard_answer": ["$n=-2$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "三个质量分别为m，2m，3m的小球A，B，C（可视为质点）固定在三根长度为L的轻质刚性杆上，三根杆铰接于O点且均可绕此铰接点自由光滑转动。现将上述系统放置在一光滑水平面上，杆之间的夹角均为\\(120^{\\circ}\\)。系统初始时静止，现给予小球C一个垂直于杆的速度\\(v_0\\)。试求小球C获得速度后的瞬间，小球A，B，C的加速度。", "answer_ideas": ["三小球在地面系中加速度均沿杆方向，且系统不受合外力，故\n\\(m\\vec{a}_A + 2m\\vec{a}_B + 3m\\vec{a}_C = 0\\)\n推出\n\\(a_A = 2a_B = 3a_C \\quad (1)\\)\n设O点加速度为\\(\\vec{a}\\)，注意到在O点参考系中，对B而言，分析其径向加速度\\(a_{Br}=\\ddot{r}-r\\dot{\\theta}^2\\)，由于相对于O静止，故没有向心加速度，\\(r\\dot{\\theta}^2\\)一项为零，由于杆不可伸缩，故\\(\\ddot{r}\\)一项为零。因此\\(a_{Br} = 0\\)，B在O参考系中的加速度只能沿切向方向（垂直于杆），故\n\\(\\vec{a}_B' = (\\vec{a}_B - \\vec{a})\\perp\\vec{a}_B \\quad (2)\\)\n同理对A分析可得\n\\(\\vec{a}_A' = (\\vec{a}_A - \\vec{a})\\perp\\vec{a}_A \\quad (3)\\)\n由\\((2)\\)、\\((3)\\)\n可推出\n\\(\\begin{cases}\na\\cos\\theta = a_B \\\\\na\\cos(120^{\\circ}-\\theta) = a_A\n\\end{cases}\\)\n结合\\((1)\\)可得\n\\(\\cos(120^{\\circ}-\\theta) = 2\\cos\\theta \\quad (4)\\)\n解得\n\\(\\cos\\theta = \\frac{\\sqrt{21}}{14} \\quad (5)\\)\n故\\(a = \\frac{2}{3}\\sqrt{21}a_B = \\sqrt{21}a_C\\)变换到O点参考系，对C分析径向加速度得\n\\(a_{C}+a\\cos(\\theta - 60^{\\circ})=\\frac{v_{0}^{2}}{L}\\) （6），解出三个方程即可。"], "refined_standard_answer": ["\\(a_{A}=\\frac{6}{11}\\frac{v_{0}^{2}}{L}\\)", "\\(a_{B}=\\frac{3}{11}\\frac{v_{0}^{2}}{L}\\)", "\\(a_{C}=\\frac{2}{11}\\frac{v_{0}^{2}}{L}\\)"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "你见过美丽的 Koch 曲线吗？Koch 曲线的形状可以视作由一个正三角形经过无限次分形迭代生成，每一次只需要将其每一条边转化为四条更短的边。小明有一天不知从哪掓来了一个质量为 $m$ 的由边长为 $a$ 的正三角形生成的 Koch 曲线作为形状的铁丝圈，其质量在其形状上由几何关系按比例分布。小明想用它来做三线摆实验。他用长为 $l$ 的细线坚直地将原来正三角形的三个顶点悬吊在天花板下，并微微地转动 Koch 曲线。求 Koch曲线做小振动的周期。", "answer_ideas": ["解：考虑一条边。质心位置：\n\n$$\n\\begin{gathered}\ny=\\frac{2 \\times \\frac{y}{3}+2 \\times\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{12} a+\\frac{y}{6}\\right)}{4} \\#(1) \\\\\ny=\\frac{\\sqrt{3}}{18} a \\#(2)\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n转动惯量：\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\Delta I_1=\\frac{1}{12} m\\left(\\left(\\frac{1}{3} a\\right)^2+\\left(\\frac{2}{3} y\\right)^2\\right)=\\frac{7}{729} m a^2 \\#(3) \\\\\n\\Delta I_2=\\frac{1}{12} m\\left(\\left(\\frac{1}{12} a+\\frac{\\sqrt{3}}{6} y\\right)^2+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{12} a+\\frac{y}{6}-y\\right)^2\\right)=\\frac{1}{729} m a^2 \\#(4) \\\\\nl^{\\prime}=\\frac{1}{4} \\times\\left(\\frac{1}{3}\\right)^2 l=\\frac{l}{36} \\#(5) \\\\\nl=2\\left(I^{\\prime}+\\Delta I_1\\right)+2\\left(l^{\\prime}+\\Delta I_2\\right) \\#(6) \\\\\nl=\\frac{2}{81} m a^2 \\#(7) \\\\\nI_c=3\\left(l+\\frac{1}{3} m\\left(\\frac{1}{2 \\sqrt{3}} a+y\\right)^2\\right)=\\frac{2}{9} m a^2 \\#(8) \\quad 0^{\\prime}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n设转角为 $\\theta$ ，能量：\n\n$$\n\\begin{gathered}\nE=\\frac{1}{2} I_c \\dot{\\theta}^2+\\frac{1}{2} m g l\\left(\\frac{\\sqrt{3} a \\theta}{3 l}\\right)^2 \\#(9) \\\\\nT=2 \\pi \\sqrt{\\frac{2 l}{3 g}} \\#(10) \\quad\n\\end{gathered}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["$$T=2 \\pi \\sqrt{\\frac{2 l}{3 g}}$$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "质量为$m$的小球左右两边系着两个相同的理想轻弹簧，三者成一条直线，弹簧的远端都固定在墙上，弹簧的自然长度$l_0$很长，弹性系数为$k$，并且忽略所有重力。现在把小球沿着垂直于弹簧及三者直线的方向上拉开一个小距离$A$，其振动周期为$T$，求振动周期的表达式", "answer_ideas": ["若小球位移为$x$，弹簧伸长量$\\Delta l=\\frac{1}{2}\\frac{x^2}{l_0}$，有能量守恒$\\frac{kA^4}{4l_0^2}=\\frac{1}{2}mv^2+\\frac{kx^4}{4l_0^2}, \\frac{dx}{dt}=v=\\frac{1}{l_0}\\sqrt{\\frac{k}{2m}}\\sqrt{A^4-x^4}$，分离变量后有$l_0\\sqrt{\\frac{2m}{k}}\\int_{0}^A{\\frac{dx}{\\sqrt{A^4-x^4}}}=\\int_{0}^{T/4}{dt}=T/4$，做替换变量$y=x/A$，有$T=\\frac{l_0}{A}\\sqrt{\\frac{32m}{k}}\\int_{0}^1{\\frac{dy}{\\sqrt{1-y^4}}}\\approx1.31\\frac{l_0}{A}\\sqrt{\\frac{32m}{k}}$."], "refined_standard_answer": ["$T=\\frac{l_0}{A}\\sqrt{\\frac{32m}{k}}\\int_{0}^1{\\frac{dy}{\\sqrt{1-y^4}}}\\approx1.31\\frac{l_0}{A}\\sqrt{\\frac{32m}{k}}$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "某奇怪的星体对周围的物体存在有心的排斥力，并且，不论物体在哪，单位质量的物体受到的排斥力大小都是 $g$ 。找到两个点 $A, B$ ，这两个点到星体中心 $O$ 的距离都是 $l$ ，且有 $\\angle A O B=2 \\theta$ 。我们从 $A$ 到 $B$铺设一条光滑轨道，使得从 $A$ 以初速度 $v_0=\\sqrt{2 g l}$ 抛出一个质点，质点会沿着轨道滑到 $B$ 点。求轨道的形状，使得从 $A$ 到 $B$ 时间最短。", "answer_ideas": ["解答：\n最速降线问题可以用光线类比，对于质点，有机械能守恒\n\n$$\n\\frac{1}{2} m v^2+(-m g r)=\\frac{1}{2} m v_0^2+(-m g l)\n$$\n\n\n代入 $v_0=\\sqrt{2 g l}$\n\n$$\n\\Rightarrow v=\\sqrt{2 g r}\n$$\n\n\n运动时间：\n\n$$\nt=\\int \\frac{\\mathrm{d} l}{v} \\sim \\int n \\mathrm{~d} l\n$$\n\n\n要求 t 最小，根据费马原理中光程最短，折射率可以与速度建立联系：\n\n$$\nn=\\frac{k}{v}=\\frac{k}{\\sqrt{2 g r}}\n$$\n\n\n其中 k 是一个系数，对于轨道形状没有影响，在求得轨道形状的表达式中也不会出现。\n由几何关系：\n\n$$\n\\tan \\alpha=\\frac{r \\mathrm{~d} \\beta}{\\mathrm{~d} r}\n$$\n\n\n根据折射定律\n\n$$\nn^{\\prime} \\sin \\alpha^{\\prime}=n \\sin i^{\\prime}\n$$\n\n\n由正弦定理\n\n$$\n\\frac{r^{\\prime}}{\\sin i^{\\prime}}=\\frac{r}{\\sin \\alpha}\n$$\n\n\n联立两式可得：\n\n$$\nn \\cdot \\sin \\alpha \\cdot r=n^{\\prime} \\cdot \\sin \\alpha^{\\prime} \\cdot r^{\\prime}=\\mathrm{C}\n$$\n\n\n代入折射率表达式有\n\n$$\n\\frac{k}{\\sqrt{2 g r}} \\cdot \\sin \\alpha \\cdot r=\\mathrm{C}\n$$\n\n\n可以得到：\n\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\sin \\alpha=\\frac{C_1}{\\sqrt{r}} \\\\\n\\cos \\alpha=\\sqrt{1-\\frac{C_1^2}{r}}\n\\end{array}\\right.\n$$\n代入式（5）可得：\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\frac{\\frac{C_1}{\\sqrt{r}}}{\\sqrt{1-\\frac{C_1^2}{r}}}=r \\cdot \\frac{\\mathrm{~d} \\beta}{\\mathrm{~d} r} \\\\\n& \\mathrm{~d} \\beta=\\frac{C \\mathrm{~d} r}{\\sqrt{r-C^2} \\cdot r}\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n换元，令 $u=\\sqrt{r-C_1^2}, \\mathrm{~d} r=2 u \\mathrm{~d} u$\n\n$$\n\\mathrm{d} \\beta=\\frac{C_1 2 u \\mathrm{~d} u}{u\\left(u^2+C_1^2\\right)}=\\frac{C_1 \\cdot 2 \\mathrm{~d} u}{u^2+C_1^2}\n$$\n\n\n积分得：\n\n$$\n\\beta=2 \\arctan \\frac{u}{C_1}+C_2=2 \\arctan \\frac{\\sqrt{r-C_1^2}}{C_2}+C_2\n$$\n\n\n很自然地选择 AOB 角平分线为极轴，则 $\\beta= \\pm \\theta$ 时有 $r=l$ ，代入得\n\n$$\nl=C_1^2\\left(1+\\tan ^2 \\frac{ \\pm \\theta-C_2}{2}\\right)\n$$\n\n\n解得：\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& C_1=\\sqrt{\\frac{l}{\\cos ^2 \\frac{\\theta}{2}}} \\\\\n& C_2=0\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n代回式（14）并整理得：\n\n$$\nr=\\frac{l \\cos ^2 \\frac{\\theta}{2}}{\\cos ^2 \\frac{\\beta}{2}}\n$$\n\n\n轨迹是抛物线"], "refined_standard_answer": ["轨迹是抛物线"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "有一座圆锥形状的冰山（尖端向上），露出水面的高度是h，求它在水中小幅度上下浮动时的振动频率f", "answer_ideas": ["由受力平衡，假设冰山全高$H$，底面面积为$A$，有$\\frac{1}{3}AH\\rho_{ice}g=[\\frac{1}{3}AH-\\frac{1}{3}hA(\\frac{h}{H})^2]\\rho_{water}g$，可解得$H$。当上下浮动一个小位移$x$时，受力为$xA(\\frac{h}{H})^2\\rho_{water}g$，套用简谐振动的公式有$f=\\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{3g(\\rho_{water}-\\rho_{ice})}{h\\rho_{ice}}}$"], "refined_standard_answer": ["$f=\\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{3g(\\rho_{water}-\\rho_{ice})}{h\\rho_{ice}}}$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "Galileo 曾发现一个有趣的性质：考虑在坚直平面内的曲线，如果是半径 $R$ 的圆，则从其最高点出发的任意光滑弦轨道，质点在弦上由静止出发下滑到轨道末端所需要的时间都是相等的．已知重力加速度 $g$ ． （1）给出时间 $T$ ． （2）实际实验中轨道不可能是绝对光滑的，而是具有摩擦因数 $\\mu$ ．此时，若希望从曲线顶端出发的弦上下滑到弦末端的时间为 $T$ ，求曲线的方程，用 $(x, y)$ 坐标表示． （3）质点下滑时还可能受到空气阻力，其正比于速度大小 $v$ ．对于质量为 $m$ 的质点，记空气阻力为 $\\gamma m v$ ．仅考虑空气阻力，求时间 $T$ 的等时曲线方程，用 $(x, y)$ 坐标表示． （4）引入 Lambert $W$ 函数：若 $F(\\omega)=\\omega \\mathrm{e}^\\omega=q$ ，则 $\\omega=W(q)$ ．对上问的空气阻力等时曲线，若曲线上点到原点的最大距离为 $D$ ，用 Lambert $W$ 函数显式写出 $T(D)$ 关系．注意，$W(q)$ 函数可以分为两支，若 $W(q) \\geq-1$ ，记为 $W_0(q)$ ；若 $W(q)<-1$ ，记为 $W_{-1}(q)$ ，结果需明确给出所在的支． （5）考虑正比于速度 $\\alpha(\\geq 0)$ 次方的阻力．求 $\\alpha$ 的取值，使得此阻力作用下的等时曲线是一个圆．", "answer_ideas": ["（1）考虑与竖直方向夹角 $\\theta$ 的轨道，轨道长度\n\n$$\ns=2 R \\cos \\theta\n$$\n\n\n轨道加速度\n\n$$\na=g \\cos \\theta\n$$\n\n\n因此\n\n$$\nT=\\sqrt{\\frac{2 s}{a}}=\\sqrt{\\frac{4 R}{g}}\n$$\n\n（2）考虑与坚直方向夹角 $\\theta$ 的弦（ $\\theta>0$ 侧）．支持力\n\n$$\nN=m g \\sin \\theta\n$$\n\n\n轨道加速度\n\n$$\n\\ddot{s}=g(\\cos \\theta-\\mu \\sin \\theta)\n$$\n\n\n时间 $T$ 要求弦长\n\n$$\ns=\\frac{g T^2}{2}(\\cos \\theta-\\mu \\sin \\theta)\n$$\n\n\n从而\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& x=s \\sin \\theta=\\frac{g t^2}{4}[\\sin 2 \\theta-\\mu(1-\\cos 2 \\theta)] \\\\\n& y=s \\cos \\theta=\\frac{g t^2}{4}[(1+\\cos 2 \\theta)-\\mu \\sin 2 \\theta]\n\\end{aligned}\n$$\n消参数\n\n$$\n\\left(x+\\mu \\frac{g T^2}{4}\\right)^2+\\left(y-\\frac{g T^2}{4}\\right)^2=\\left(\\frac{g T^2}{4}\\right)^2\\left(1+\\mu^2\\right)\n$$\n\n\n依然是圆弧．考虑到对称性，$\\theta<0$ 的部分方程为\n\n$$\n\\left(x-\\mu \\frac{g T^2}{4}\\right)^2+\\left(y-\\frac{g T^2}{4}\\right)^2=\\left(\\frac{g T^2}{4}\\right)^2\\left(1+\\mu^2\\right)\n$$\n\n（3）此时\n\n$$\n\\ddot{s}=g \\cos \\theta-\\gamma \\dot{s}\n$$\n\n\n考虑特解 $s=g t \\cos \\theta / \\gamma$ 以及齐次方程通解 $s=A \\mathrm{e}^{\\gamma t}+B \\mathrm{e}^{-\\gamma t}$ 得到解\n\n$$\ns(t)=\\left[\\frac{g}{\\gamma} t-\\frac{g}{\\gamma^2}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\gamma t}\\right)\\right] \\cos \\theta\n$$\n\n\n此时等时曲线是一个圆，\n\n$$\nx^2+(y-R)^2=R^2, \\quad R=\\frac{g}{2 \\gamma} T-\\frac{g}{2 \\gamma^2}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\gamma T}\\right)\n$$\n\n（4）最大距离显然是\n\n$$\nD=2 R\n$$\n\n\n这样，两者满足方程\n\n$$\nD=\\frac{g}{\\gamma} T-\\frac{g}{\\gamma^2}\\left(1-\\mathrm{e}^{-\\gamma T}\\right)\n$$\n\n\n根据定义，可以写为\n\n$$\nF\\left(\\gamma T-1-\\gamma^2 D / g\\right)=-\\mathrm{e}^{-1-\\gamma^2 D / g}\n$$\n\n\n这样，\n\n$$\nT=\\frac{1}{\\gamma}+\\frac{\\gamma D}{g}+\\frac{1}{\\gamma} W\\left(-\\mathrm{e}^{-1-\\gamma^2 D / g}\\right)\n$$\n\n\n注意到 $\\gamma \\rightarrow 0$ 的极限下，\n\n$$\nW\\left(-\\mathrm{e}^{-1-\\gamma^2 D / g}\\right)=\\gamma T-\\frac{\\gamma^2 D}{g}-1 \\simeq-1+\\gamma T>-1\n$$\n\n\n因此应取 $W_0$ ，\n\n$$\nT=\\frac{1}{\\gamma}+\\frac{\\gamma D}{g}+\\frac{1}{\\gamma} W_0\\left(-\\mathrm{e}^{-1-\\gamma^2 D / g}\\right)\n$$\n\n（5）记阻力加速度为 $f(v)$ ，此时\n\n$$\n\\ddot{s}=g \\cos \\theta-f(\\dot{s})\n$$\n\n\n保持为一个圆，要求\n\n$$\ns=2 R(t) \\cos \\theta\n$$\n\n（18）\n回带运动方程得到\n\n$$\n\\frac{f[2 \\dot{R}(t) \\cos \\theta]}{2 \\cos \\theta}=\\frac{g}{2}-\\ddot{R}(t)\n$$\n\n\n注意到左侧是依赖于 $\\theta$ 的，而右侧不依赖于 $\\theta$ ，当 $t$ 改变时，所有的 $\\theta$ 对应的圆半径要同步变化，由此可知\n\n$$\n\\alpha=1\n$$\n\n\n前面得到的圆轨道就是唯一的可能解．"], "refined_standard_answer": ["T = \\sqrt{\\frac{4 R}{g}}", "(x - \\mu \\frac{g T^2}{4})^2 + (y - \\frac{g T^2}{4})^2 = (\\frac{g T^2}{4})^2 (1 + \\mu^2)", "x^2 + (y - R)^2 = R^2, \\quad R = \\frac{g}{2 \\gamma} T - \\frac{g}{2 \\gamma^2}(1 - \\mathrm{e}^{-\\gamma T})", "T = \\frac{1}{\\gamma} + \\frac{\\gamma D}{g} + \\frac{1}{\\gamma} W_0(-\\mathrm{e}^{-1 - \\gamma^2 D / g})", "\\alpha = 1"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "有一个半径为$r$的无自转星球，假设其质量集中在中心一点，已知绕该星球表面运行的卫星周期为$t_0$。从星球的表面发射一个炮弹，要求它返回到地面时和发射时的速度矢量是平行的，且从星球中心看来，炮弹发射和落地点之间的夹角是$\\theta$。求这个炮弹在空中飞行了多长时间$t$？", "answer_ideas": ["从速度矢量的要求，已知炮弹经历了半个椭圆轨道，假设长短轴分别为$a,b$，可以知道过程中径向矢量扫过的面积是$\\frac{1}{2}a^2\\pi\\sin\\frac{\\theta}{2}+a^2\\sin\\frac{\\theta}{2}\\cos\\frac{\\theta}{2}$，由开普勒第三定律和椭圆面积公式，$t=t_0(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{\\pi}\\cos\\frac{\\theta}{2})$"], "refined_standard_answer": ["$t_0(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{\\pi}\\cos\\frac{\\theta}{2})$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "有一可用摆线山谷，可用摆线描述（ $y$ 轴向下）： $$ \\left\\{\\begin{array}{l} x=R(\\theta-\\sin \\theta) \\\\ y=R(1-\\cos \\theta) \\end{array}\\right. $$ 有人想在山谷的一端 $(\\theta=0)$ 静止释放一质量为 $M$ ，尺度为 $r$ 物体，观察其运动特征．山谷上附着若一层面密度为 $\\sigma$ 的雪，雪与地面接触但无相互作用，且末与物体接触时保持静止，接触后附著在物体表面，但不改变物体形状．重力加速度取 $g$ ，有近似条件 $\\sigma r R \\ll M, r \\ll$ $R$ ．现分以下三种情况（计算结果保留至 $r$ 一阶项即可）． （1）物体是半径为 $r$ ，高也为 $r$ 的普通圆柱，使其从山坡一端纯滚下落后物块将滑至山谷另一端．易知，它到不了另一端，但是也几乎能够到达，求在题目所示坐标系下物体能上升到的最高位置的 $y$ 坐标． （2）物体是长寃高均为 $r$ 的正方体，将之正对斜坡静止释放，同样求正方体在另一端能上升到的最高位置（不考虑覃滚的情形）． （3）物体是半径为 $r$ ，高也为 $r$ 的高科技圆柱，能够将表面附着的雪瞬间吸收并自我调整，使其密度均匀（注意，是使得整个圆柱的质量分布均匀而不是仅仅把雪在圆柱表面分布均匀）．释放高科技圆柱时山谷天气有变，参数 $(0 \\leq \\theta<\\pi)$ 的区域仍有积雪，$(\\pi \\leq \\theta \\leq 2 \\pi)$的另一半积雪螱化，剩下摩擦力极大使圆柱只能纯滚动的粗糙表面，求圆柱在另一端能上升到的最高位置．", "answer_ideas": ["2．［40 分］\n（1）位置，并且设所附洧雪的重心头 $y_c$ ，可列出能超方程。\n\n$$\nM g \\delta y+\\sigma r\\left(s_0-\\delta s\\right) g \\cdot\\left(-y_{\\mathrm{e}}\\right)=0\n$$\n\n\n其中 $\\delta s$ 为剩下为附省的雪所占的长度，只有缡阶断响，可以忽略．\n同时，完成对重心的积分\n\n$$\ny_c=\\frac{1}{8 R} \\int_0^{2 \\pi} R(1-\\cos \\theta) 2 R \\sin \\frac{\\theta}{2} \\mathrm{~d} \\theta=\\frac{4}{3} R .\n$$\n\n\n最终得到\n\n$$\n\\delta y=\\frac{32}{3} \\frac{\\sigma R^2 r}{M}\n$$\n\n（2）\n本小问能解不守恒，但是对其运动进行分析仍有一定困难，宩感到题目只要求精确到一阶项，可将上升亩度的损失分为两部分修正，修正过程中的运动考虑㙰阶即可。\n\n对于方形块与雪碚撞的过程，考虑动量守恒\n\n$$\nM v=(M+\\sigma r v \\mathrm{~d} t)(v-\\mathrm{d} v)\n$$\n\n\n得到\n\n$$\n\\mathrm{d} v=-\\frac{\\sigma r v^2}{M I} d t\n$$\n\n\n过程中的能量损失为\n\n$$\nd E=\\frac{1}{2}(M+\\mathrm{d} M)(v+\\mathrm{d} v)^2-\\frac{1}{2}(M) v^2=-\\frac{1}{2} \\sigma r v^2 v \\mathrm{~d} t=-\\frac{1}{2} \\sigma r v^2 \\mathrm{~d} s\n$$\n\n\n本问的情况下可以视为直线运动，且方程不受加速度影响．因此可以对其进行独立修正．\n零阶的速度表达式\n\n$$\nv_0=\\sqrt{2 g R(1-\\cos \\theta)}\n$$\n\n\n代入积分\n\n$$\n\\delta W=\\int f \\mathrm{~d} s=\\int_0^{2 \\pi}-g R(1-\\cos \\theta) \\sigma r \\cdot 2 R \\sin \\frac{\\theta}{2} \\mathrm{~d} \\theta=-\\frac{32}{3} g R^2 r \\sigma\n$$\n\n\n得到由碰畝造成的能量损失，我们将其化为高度修正，再结合第一问附着雪的重力项修正，合成出到达的高度\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\delta y_f=\\frac{32}{3} \\frac{\\sigma R^2 r}{M} \\\\\n& \\delta y_g=\\frac{32}{3} \\frac{\\sigma R^2 r}{M} \\\\\n& \\delta y=\\frac{64}{3} \\frac{\\sigma R^2 r}{M}\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n合成的两项均为一阶并且不相互关联。\n（3）\n前半段能照不守恒，动量守恒．高科技圈柱在从表面调整质探到内部时㺂小了转动惯量，有做功，同时圆柱不纯滚\n\n先列出动量角动量方程\n\n$$\nM v=(M+\\mathrm{d} M)(v+\\mathrm{d} v)\n$$\n$$\nv r \\mathrm{~d} M+\\frac{1}{2} M r^2 \\omega=\\frac{1}{2}(M+\\mathrm{d} M) r^2(\\omega+\\mathrm{d} \\omega)\n$$\n\n\n可得\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\mathrm{d} v=-v \\frac{\\mathrm{~d} M}{M} \\\\\n\\mathrm{~d} \\omega=\\left(2 \\frac{v}{r}-\\omega\\right) \\frac{\\mathrm{d} M}{M}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n我们可以制断 $\\mathrm{d} \\omega$ 方程中 $\\int \\mathrm{d} M \\ll M$ 故 $\\omega \\ll \\frac{v}{r}$ ，可以进行近似．\n将其积分至坡的底部 $\\theta=\\pi$ 处\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\delta v=\\int-v \\frac{\\sigma r}{M} \\mathrm{~d} s=\\int_0^\\pi \\sqrt{2 g R(1-\\cos \\theta)} \\frac{\\sigma R r}{M} 2 \\sin \\frac{\\theta}{2} \\mathrm{~d} \\theta=-2 \\pi \\sqrt{g R} \\frac{\\sigma r R}{M} \\\\\n\\delta \\omega=-2 \\frac{\\delta v}{r}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n在底部圆柱与摩擦力极大的轨道接触，立即变为纯滚，列出角动量守恒．有初态\n\n$$\n\\begin{gathered}\nv=v_0+\\delta v \\\\\n\\omega=\\delta \\omega\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n角动量守恒：\n\n$$\n\\begin{gathered}\nv+\\frac{1}{2} \\omega r=\\frac{3}{2} v^{\\prime} \\\\\nv^{\\prime}=\\frac{2}{3} v_0=\\frac{4}{3} \\sqrt{g R}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n求得起始速度 $v^{\\prime}$ ．此时一阶项消失，因为类碰撞产生的能量损失与质量调整产生的能量增加达到平衡．动能转化为重力势能，求出圆柱最终到达位置\n\n$$\n\\begin{gathered}\nE_k=\\frac{1}{2} M^{\\prime} \\cdot \\frac{3}{2} V^{\\prime 2}=\\frac{4}{3} M^{\\prime} g R \\\\\ny=\\frac{2}{3} R\n\\end{gathered}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["\\frac{32}{3} \\frac{\\sigma R^2 r}{M}", "\\frac{64}{3} \\frac{\\sigma R^2 r}{M}", "\\frac{2}{3} R"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "磁场与转动参考系的等效 设空间中存在电场 $\\vec{E}$ 和匀强磁场 $\\vec{B}$ 。某惯性系 $S$ 中以某点 $O$ 为原点建立柱坐标系 $\\{r, \\theta, z\\}$ ，使得磁感应强度为 $\\vec{B}=B \\hat{z}$（其中 $\\hat{z}$ 是 $z$ 方向的单位矢量）。设在此惯性系内有一个质量为 $m$ ，带电量为 $q>0$ 的质点在平面 $z=0$ 中运动，其位置矢量记为 $\\vec{r}(t)$ ，速度矢量记为 $\\vec{v}^{\\prime}$ 。所有讨论都只考虑电磁力并且忽略相对论效应。 （1）请写出矢量形式的质点运动方程。 （2）洛伦兹力项的形式让我们联想到科里奥利力，本问尝试探究二者之间的关联。 （2．1）假设空间中存在一转动非惯性系，考察该非惯性系下的一个质点。用 $\\vec{v}^{\\prime}$ 表示质点相对转动参考系的速度，用 $\\vec{\\Omega}$ 及 $\\dot{\\vec{\\Omega}}$ 表示非惯性系的角速度和角加速度。认为不同的参考系原点始终重合，则在该非惯性系下质点受到的惯性力有哪几种？分别写出它们的名称和矢量表达式。 （2．2）求一个合适的角速度 $\\vec{\\omega}$ ，使得在该角速度转动的非惯性参考系下，质点受到的科里奥利力与（1）中质点受到的洛伦兹力不论形式上还是数值上完全等同。 （3）上述讨论启发我们把磁场所在的惯性系 $S$ 看成一个转动非惯性系 $K^{\\prime}$ ，将洛伦兹力等效为非惯性系下质点受到的科里奥利力，从而可以转换到与 $K^{\\prime}$ 相对应的惯性系 $K$（ $K^{\\prime}$ 与 $K$ 的原点始终重合）中讨论任何可能遇到的问题－—这样做有时是方便的。完成从 $K^{\\prime}$ 到 $K$ 的参考系变换，给出 $K$ 系中矢量形式的质点运动方程。 提示：从惯性系转换到非惯性系，运动方程中需要引入惯性力——这里是从非惯性系转换到惯性系，运动方程中应当减去惯性力。 （4）利用以上方法解决以下问题：保持原题干条件，额外给出电场 $\\vec{E}$ 对应的电势分布 $$ V=\\frac{1}{2} \\frac{k}{q} r^2 $$ 其中 $k$ 是常数，$r=|\\vec{r}|$ ，质点在这样的电磁场中做半径为 $R$ 的匀速圆周运动。 （4．1）在原惯性系 $S$ 中求匀速圆周运动的角速度 $\\dot{\\theta}$ 。 （4．2）在匀速圆周运动的平面内给质点一个径向的小扰动，在（3）中所说的 $K$ 系中求径向小振动的角频率。", "answer_ideas": ["解：（1）矢量形式的质点运动方程为\n\n$$\nm \\ddot{\\vec{r}}=q\\left(\\vec{E}+\\vec{v}^{\\prime} \\times \\vec{B}\\right)\n$$\n\n\n带入 $\\vec{E}=-\\nabla V-\\frac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t}$ 或 $\\vec{B}=\\nabla \\times \\vec{A}$ 也算对。\n（2．1）还有 3 种：\n惯性离心力（或离心力）\n\n$$\n\\vec{F}_C=-m \\vec{\\Omega} \\times(\\vec{\\Omega} \\times \\vec{r})=-m \\Omega^2 \\vec{r}\n$$\n\n\n切向惯性力\n\n$$\n\\vec{F}_\\tau=-m \\dot{\\vec{\\Omega}} \\times \\vec{r}\n$$\n\n\n科里奥利力（或科氏力）\n\n$$\n\\vec{F}_{\\text {Cor }}=-2 m \\vec{\\Omega} \\times \\vec{v}^{\\prime}\n$$\n\n\n由于认为不同参考系原点始终重合，这里没有平动惯性力，也没有区分 $\\vec{r}^{\\prime}$ 和 $\\vec{r}^{\\prime}$ ，但如果把\n（2）（3）中的 $\\vec{r}^{\\text {写成 } \\vec{r}^{\\prime} \\text { 也算对；不写＂} \\vec{F}_C=\" \\text { ，＂} \\vec{F}_\\tau=\" \\text { 和＂} \\vec{F}_{C o r}=\\text {＂不算错 }}$\n（2．2）令\n\n$$\nq \\vec{v}^{\\prime} \\times \\vec{B} \\equiv 2 m \\vec{v}^{\\prime} \\times \\vec{\\Omega}\n$$\n\n\n显然可以取\n$$\n\\vec{\\Omega}=\\frac{q}{2 m} \\vec{B}\n$$\n\n（3）注意到\n\n$$\n-q \\frac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t}=-\\frac{1}{2} q \\frac{\\partial}{\\partial t}(\\stackrel{\\rightharpoonup}{B} \\times \\vec{r})=-\\frac{1}{2} q \\dot{\\vec{B}} \\times \\vec{r}=-m \\dot{\\vec{\\Omega}} \\times \\vec{r}\n$$\n\n\n这里没有 $\\frac{\\partial \\vec{r}}{\\partial t}$ 项是因为应该先求出 $\\vec{r}$ 处的 $\\frac{\\partial \\vec{A}}{\\partial t}$（此时 $\\vec{r}$ 不是质点的位矢）再代入运动方程（此时 $\\vec{r}$才是质点的位矢）\n把（5）（7）代入（1），$S$ 系即 $K^{\\prime}$ 系中矢量形式的运动方程可以写为\n\n$$\n\\begin{gathered}\nm \\ddot{\\vec{r}}=-q \\nabla V-m \\dot{\\vec{\\Omega}} \\times \\vec{r}--2 m \\vec{\\Omega} \\times \\vec{v}^{\\prime} \\\\\n=-q \\nabla V+m \\vec{\\Omega} \\times(\\vec{\\Omega} \\times \\vec{r})-m \\vec{\\Omega} \\times(\\vec{\\Omega} \\times \\vec{r})-m \\dot{\\vec{\\Omega}} \\times \\vec{r}--2 m \\vec{\\Omega} \\times \\vec{v}^{\\prime}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n变换参考系，减去惯性力得到 $K$ 系中矢量形式的运动方程\n\n$$\nm \\ddot{\\vec{r}}=-q \\nabla V+m \\vec{\\Omega} \\times(\\vec{\\Omega} \\times \\vec{r})=-q \\nabla V-m \\Omega^2 \\vec{r}\n$$\n\n\n这里同样没有区分 $\\vec{r}$ 和 $\\vec{r}^{\\prime}$（特别注意左边的加速度）\n（4．1）理所当然地取 $\\theta$ 增大方向为 $\\dot{\\theta}$ 的正方向，在极坐标系中写出运动方程\n\n解得\n\n$$\n\\begin{gathered}\nm\\left(-R \\dot{\\theta}^2\\right)=-q \\frac{k}{q} R+q R \\dot{\\theta} B \\\\\n\\dot{\\theta}=-\\omega \\pm \\sqrt{\\omega^2+\\frac{k}{m}}=-\\frac{q B}{2 m} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{q B}{2 m}\\right)^2+\\frac{k}{m}}\n\\end{gathered}\n$$\n\n（4．2）设 $K$ 系中极坐标的角度为 $\\varphi$ ，则\n\n$$\n\\dot{\\varphi}_0=\\dot{\\theta}+\\Omega\n$$\n\n\n其中，$\\dot{\\varphi}_0$ 是径向扰动前的角速度\n径向扰动后，取 $r=R+\\delta, K$ 系中极坐标系下的运动方程为\n\n$$\nm\\left(\\ddot{\\delta}-(R+\\delta) \\dot{\\varphi}^2\\right)=-k(R+\\delta)-m \\omega^2(R+\\delta)\n$$\n\n\n由于扰动是径向的，角动量守恒\n\n$$\nm R^2 \\dot{\\varphi}_0=m(R+\\delta)^2 \\dot{\\varphi}\n$$\n\n\n考虑到 $|\\delta| \\ll R$ ，把（14）代入（13）并取一级近似得到小振动方程\n\n$$\n\\ddot{\\delta}+4 \\dot{\\varphi}_0{ }^2 \\delta=0\n$$\n\n\n小振动角频率即为\n\n$$\n\\omega=2\\left|\\dot{\\varphi}_0\\right|=2 \\sqrt{\\left(\\frac{q B}{2 m}\\right)^2+\\frac{k}{m}}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["m \\ddot{\\vec{r}}=q(\\vec{E}+\\vec{v}^{\\prime} \\times \\vec{B})", "惯性离心力: $\\vec{F}_C=-m \\Omega^2 \\vec{r}$，切向惯性力: $\\vec{F}_\\tau=-m \\dot{\\vec{\\Omega}} \\times \\vec{r}$，科里奥利力: $\\vec{F}_{\\text{Cor}}=-2 m \\vec{\\Omega} \\times \\vec{v}^{\\prime}$", "\\vec{\\Omega}=\\frac{q}{2 m} \\vec{B}", "m \\ddot{\\vec{r}}=-q \\nabla V-m \\Omega^2 \\vec{r}", "\\dot{\\theta}=-\\frac{q B}{2 m} \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{q B}{2 m}\\right)^2+\\frac{k}{m}}", "\\omega=2 \\sqrt{\\left(\\frac{q B}{2 m}\\right)^2+\\frac{k}{m}}"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "我们拥有一个平凸透镜，凸面是曲率半径 R 的球面，材料折射率为 n ，空气折射率为 1 ，现在一束平行光（波长 $\\lambda$ ）从平面垂直入射到透镜上，理论上讲，光会汇聚到焦点上，但事实上，由于衍射以及球差的影响，光会在焦面上形成一个圆形光斑。请求：透镜的孔径（直径） D 为多大时，这个光斑最小 $(\\mathrm{R} \\gg \\lambda)$ 。", "answer_ideas": ["七，解：\n先估计一下 D 的量级，由于光斑最小时，衍射光斑与几何像差光斑大小相同，而由 D 趋于 0时，衍射光斑区域无穷大，几何光斑趋于 0 无需计算即可知，衍射光斑含 D 的负次幕，几何光斑含 $D$ 的正次幕，所以最后 $D$ 的形式应还是\n\n$$\n\\mathrm{D}=\\mathrm{A} \\cdot \\lambda^{\\mathrm{k}} \\mathrm{R}^{1-\\mathrm{k}}\n$$\n\n\n所以\n\n$$\n\\mathrm{R} \\gg \\mathrm{D} \\gg \\lambda\n$$\n\n————5\n\n我们以主光轴为 x 轴，平面为 $\\mathrm{x}=0$\n首先求出焦面位置，距离凸面顶点\n\n$$\n\\mathrm{f}=\\frac{\\mathrm{R}}{\\mathrm{n}-1}\n$$\n\n\n凸面距离平面\n\n$$\n\\Delta=\\mathrm{R}-\\sqrt{\\mathrm{R}^2-\\mathrm{D}^2 / 4}=\\frac{\\mathrm{D}^2}{8 \\mathrm{R}}\n$$\n\n\n所以\n\n$$\nx_F=\\frac{\\mathrm{R}}{\\mathrm{n}-1}+\\frac{\\mathrm{D}^2}{8 \\mathrm{R}}\n$$\n\n\n先算衍射效应，光斑半角宽\n\n$$\n\\theta=1.22 \\frac{\\lambda}{\\mathrm{D}}\n$$\n\n\n所以衍射光斑半径（保留最低非零阶）\n\n$$\nr_1=1.22 \\frac{\\lambda}{\\mathrm{D}} \\frac{\\mathrm{R}}{\\mathrm{n}-1}\n$$\n\n\n接着分析非傍轴光线，假设光线到光轴距离 h ，则入射角\n\n$$\na=\\arcsin \\frac{h}{\\mathrm{R}}\n$$\n————4\n\n入射点的横坐标\n\n$$\n\\mathrm{x}=\\Delta-\\left(\\mathrm{R}-\\sqrt{\\mathrm{R}^2-\\mathrm{h}^2}\\right)=\\frac{\\mathrm{D}^2-4 \\mathrm{~h}^2}{8 \\mathrm{R}}\n$$\n\n\n出射角由折射定律决定\n\n$$\n\\beta=\\arcsin \\frac{\\mathrm{nh}}{\\mathrm{R}}\n$$\n\n\n出射光线与 $x$ 轴夹角\n\n$$\n\\delta=\\beta-a\n$$\n\n\n利用泰勒展开公式\n\n$$\n\\arcsin x=x+\\frac{1}{6} x^3 \\quad(x \\ll 1)\n$$\n\n\n得\n\n$$\n\\delta=(\\mathrm{n}-1) \\frac{\\mathrm{h}}{\\mathrm{R}}+\\frac{\\mathrm{n}^3-1}{6}\\left(\\frac{\\mathrm{~h}}{\\mathrm{R}}\\right)^3\n$$\n\n\n光线传播到焦面时到 x 轴的距离\n\n$$\nr_2=\\left|\\hbar-\\left(x_F-x\\right) \\tan \\delta\\right|\n$$\n\n\n将其展开并保留首阶非零项\n\n$$\nr_2=\\frac{n^2 \\hbar^3}{2 R^2}\n$$\n\n\n我们发现这是单调递增的，所以光斑的半径\n\n$$\nr_2=\\frac{n^2 D^3}{16 R^2}\n$$\n\n\n光斑最小，即\n\n$$\n\\begin{gathered}\nr_1=r_2 \\\\\n1.22 \\frac{\\lambda}{\\mathrm{D}} \\frac{\\mathrm{R}}{\\mathrm{n}-1}=\\frac{n^2 D^3}{16 R^2}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n最后解出\n\n$$\nD=\\sqrt[4]{\\frac{19.52}{n^2(n-1)} \\lambda R^3}\n$$\n\n\n注：比较简单的一道光学题，但小量近似比较繁琐，需要技巧。"], "refined_standard_answer": ["$$D=\\sqrt[4]{\\frac{19.52}{\\mathrm{n}^2(\\mathrm{n}-1)} \\lambda \\mathrm{R}^3}$$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "黄老师悠悠球玩得不错，蔡老师决定用悠悠球玩学生。将悠悠球视作质量为\\(m\\)、半径为\\(R\\)的匀质圆柱，中间有质量可忽略不计、半径为\\(r\\)的轴，轻绳绳十分柔软，已经在轴上绕了若干圈。桌面有缝，可以使轻绳通过。\n(1) 基础知识考察，此悠悠球以其中心轴为轴转动时的转动惯量\\(I_{1}\\)为______；\n(2) 轻绳下挂一质量为\\(nm\\)（已知）的小重物\\(A\\)，若悠悠球与桌面间光滑，先用手保持的静止状态，则释放的瞬间，\\(A\\)物体的加速度\\(a_{1}\\)为______；\n(3) 利用平行轴定理，可以知道悠悠球沿平行于中心轴且过\\(B\\)点的轴转动时的转动惯量\\(I_{2}\\)为______；\n(4) 若第(2)问中，悠悠球与桌面间摩擦系数足够，释放后悠悠球纯滚动，则释放瞬间\\(A\\)物体的加速度\\(a_{2}\\)为______，悠悠球中点的加速度\\(a_{2}\\)为______，\\(B\\)点处正压力\\(N_{1}\\)为______，摩擦力\\(f_{1}\\)为______，摩擦系数至少为\\(\\mu_{1}\\)为______。", "answer_ideas": ["(1) \\(I_{1}=\\frac{1}{2}mR^{2}\\)\n(2) 对\\(A\\)：\\(nma_{1}=nmg - T\\)\n对悠悠球，以球心为轴转动力学：\\(\\frac{1}{2}mR^{2}\\cdot\\beta=T\\cdot r\\)\n约束：\\(r\\beta = a_{1}\\)\n解得：\\(a_{1}=\\frac{2nr^{2}}{2nr^{2}+R^{2}}\\cdot g\\)\n(3) \\(I_{2}=\\frac{3}{2}mR^{2}\\)\n(4) \\(B\\)点约束：\\(a_{2}'- \\beta_{2}R = 0\\)\n强约束：\\(\\beta_{2}=a_{2}\\)\n对\\(A\\)：\\(nmg - T = nma\\)\n对悠悠球平动：\\(m\\cdot a_{2}' = f_{1}\\)\n以中心为轴转动：\\(\\frac{1}{2}mR^{2}\\beta_{2}=T\\cdot r - f_{1}R\\)\n解得：\\(a_{2}=\\frac{2nr^{2}}{2nr^{2}+3R^{2}}\\cdot g\\)\n\\(a_{2}'=\\frac{R}{r}a_{2}=\\frac{2nrR}{2nr^{2}+3R^{2}}\\cdot g\\)\n整体竖直方向：\\(N_{1}=(n + 1)mg - nma_{2}=\\frac{2nr^{2}+3nR^{2}+3R^{2}}{2nr^{2}+3R^{2}}\\cdot mg\\)\n\\(\\mu_{1}=\\frac{f_{1}}{N_{1}}=\\frac{2nrR}{2nr^{2}+3nR^{2}+3R^{2}}\\) "], "refined_standard_answer": ["\\frac{1}{2}mR^{2}", "\\frac{2nr^{2}g}{2nr^{2}+R^{2}}", "\\frac{3}{2}mR^{2}", "\\frac{2nr^{2}g}{2nr^{2}+3R^{2}}", "\\frac{2nrRg}{2nr^{2}+3R^{2}}", "\\frac{(2nr^{2}+3nR^{2}+3R^{2})mg}{2nr^{2}+3R^{2}}", "\\frac{2mnrRg}{2nr^{2}+3R^{2}}", "\\frac{2nrR}{2nr^{2}+3nR^{2}+3R^{2}}"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "（转动圆盘上的小球会被甩出去么）我们考虑一个简单的物理模型，一个半径为 $R$ 的圆盘水平放置，恒定角速度 $\\omega_0$ 绕着过圆心的坚直轴旋转。一个半径为 $a$ 的匀质小球在圆盘上做纯滚动。 （1）假设小球可以绕着圆盘圆心做稳定的匀速圆周运动，半径为 $r$ ，求匀速圆周运动相对地面的角速度。（2）我们考虑更一般的情况，探究一下一个小球放在匀速转动的圆盘上是否会被甩出去。同样考虑 $小$ 球只能在圆盘上做纯滚动的情况，请导出小球圆心矢径 $\\vec{r}$ 满足的微分方程。 （3）相对于地面的匀速圆周运动（旋转中心不一定是圆盘圆心）的旋转角速度。", "answer_ideas": ["解：\n（1）假设小球的自转总角速度为 $\\vec{\\omega}_z$ ，小球相对于圆盘圆心转动的角速度为 $\\vec{\\omega}_1$ ，方向与圆盘自转角速度相同。\n\n根据速度牵连关系，小球与圆盘接触点速度大小为 $\\omega_0 r$ ，与接触点圆盘速度相同。而小球与圆盘接触点速度可以分解为小球球心速度叠加相对球心自转速度。根据假设，小球球心速度大小为 $\\omega_1 r$ ，方向与圆盘与小球接触点速度方向相同。于是可以得到小球的自转角速度为 $\\omega_z=\\frac{\\left(\\omega_1-\\omega_0\\right) r}{a}$ ，方向指向圆盘圆心方向。\n（分析三分）\n\n假设圆盘对小球的摩擦力大小为 $F$ ，方向指向圆盘圆心，对小球球心建立牛顿第二定理：\n\n$$\nF=m \\omega_1^2 r\n$$\n\n\n同时，相对于小球的球心，只有摩擦力 $F$ 提供力矩，根据转动定理：\n\n$$\n\\vec{M}=I \\frac{d \\vec{\\omega}_z}{d t}\n$$\n\n（两个力学方程4分）\n上式等号左边为力矩，大小为 $F a$ ，方向与小球速度正方向相同。等号右边为小球的转动惯量 $I=\\frac{2}{5} m a^2$\n乘以小球自转角速度随时间的变化率。由于小球自转角速度 $\\omega_z=\\left(\\omega_1-\\omega_0\\right) \\frac{r}{a}$ 大小不变，方向以 $\\omega_1$ 角速度旋转，于是上式等号右边矢量大小为 $\\frac{2}{5} \\operatorname{mar} \\omega_1\\left(\\omega_1-\\omega_0\\right)$ ，方向与小球速度正方向相反。于是我们有：\n\n$$\nF=\\frac{2}{5} m r \\omega_1\\left(\\omega_0-\\omega_1\\right)\n$$\n\n（4 分）\n于是我们有：\n\n$$\n\\frac{2}{5} \\omega_1\\left(\\omega_0-\\omega_1\\right)=\\omega_1^2\n$$\n\n\n于是我们得到 $\\omega_1$ 的两个可能取值 $\\omega_1=0$ 以及 $\\omega_1=\\frac{2}{7} \\omega_0$ 。我们发现小球圆周运动的角速度并不依赖于半径，这启发我们可以得到更一般的结论。\n（答案 4 分）\n（2）设 $\\vec{a}$ 为从小球球心指向小球与圆盘接触点的坚直矢径，根据速度牵连关系，我们有：\n\n$$\n\\vec{\\omega}_0 \\times \\vec{r}=\\dot{\\vec{r}}+\\vec{\\omega}_z \\times \\vec{a}\n$$\n\n（4分）\n将上式对时间求导，得：\n\n$$\n\\vec{\\omega}_0 \\times \\dot{\\vec{r}}=\\ddot{\\vec{r}}+\\vec{\\omega}_z \\times \\vec{a}\n$$\n\n\n同样假设圆盘对小球的摩擦力为 $\\vec{F}$ ，根据对小球球心的牛顿第二定律：\n\n$$\n\\vec{F}=m \\ddot{\\vec{r}}\n$$\n\n\n以小球球心为轴，对小球列转动定理：\n\n$$\n\\vec{a} \\times \\vec{F}=I \\dot{\\vec{\\omega}}_z\n$$\n\n（力学方程 6 分）\n综合以上两式，再叉乘上一个 $\\vec{a}$ ，我们有：\n\n$$\n\\vec{a} \\times \\ddot{\\vec{r}} \\times \\vec{a}=\\frac{2}{5} a^2 \\dot{\\vec{\\omega}}_z \\times \\vec{a}\n$$\n\n\n由于 $\\vec{r}$ 描述小球球心得矢径， $\\overrightarrow{\\vec{r}}$ 一定在水平面内，与 $\\vec{a}$ 垂直，上式可以写为：\n\n$$\n\\ddot{\\vec{r}}=\\frac{2}{5} \\dot{\\vec{\\omega}}_z \\times \\vec{a}\n$$\n\n\n根据牛顿第二定律给出的关系，我们可以得到：\n\n$$\n\\ddot{\\vec{r}}=\\frac{2}{5}\\left(\\vec{\\omega}_0 \\times \\dot{\\vec{r}}-\\ddot{\\vec{r}}\\right)\n$$\n\n\n也就是：\n\n$$\n\\ddot{\\vec{r}}=\\frac{2}{7} \\vec{\\omega}_0 \\times \\dot{\\vec{r}}\n$$\n\n（数学过程＋最后结果 10 分）\n（3）假设小球球心做圆周运动，圆周运动中心为 $\\vec{r}_0$ ，角速度为 $\\vec{\\omega}_1$ ，小球球心矢径写为：\n\n$$\n\\vec{r}=\\vec{r}_0+\\vec{\\rho}\n$$\n\n\n于是我们有 $\\dot{\\vec{r}}=\\vec{\\omega}_1 \\times \\vec{\\rho}, \\ddot{\\vec{r}}=-\\omega_1^2 \\vec{\\rho}$ ，带入运动方程：\n\n$$\n-\\omega_1^2 \\vec{\\rho}=\\frac{2}{7} \\vec{\\omega}_0 \\times\\left(\\vec{\\omega}_1 \\times \\vec{\\rho}\\right)=-\\frac{2}{7} \\omega_0 \\omega_1 \\vec{\\rho}\n$$\n\n\n于是我们同样得到：\n\n$$\n\\omega_1=0, \\frac{2}{7} \\omega_0\n$$\n\n（8 分酌情给）"], "refined_standard_answer": ["\\omega_1=0, \\frac{2}{7}\\omega_0", "\\ddot{\\vec{r}}=\\frac{2}{7} \\vec{\\omega}_0 \\times \\dot{\\vec{r}}", "\\omega_1=0, \\frac{2}{7}\\omega_0"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "轻杆$O_2A$长$l_1$，可以绕$O_2$点转动，A处同一个质量$m$的小球连接。$O_1A$是一个阻尼器，阻尼系数为$\\mu$，$O_1$点在$O_2$点正下方，A处和同一个小球连接。初始时刻，轻杆$O_2A$处于竖直位置，$O_1A$长$l_2$。建立系统的振动微分方程（不要做任何近似）", "answer_ideas": ["将阻尼力处理为广义力，利用拉格朗日方程即可得到"], "refined_standard_answer": ["\\ddot{\\theta} + \\frac{g}{l_1}\\sin\\theta + \\frac{\\mu (l_1+l_2)^2\\sin^2\\theta}{l_2^2+2l_1(l_1+l_2)(1-\\cos\\theta)}\\dot{\\theta} = 0"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "平方反比力是有心力场中最重要的一个例子．本题我们进一步考虑平方反比排斥力中粒子轨道的性质．我们关注一个问题：以相同速度发射的粒子的轨迹的包络线的形状．建立直角坐标系和极坐标系．粒子限制在 $x y$ 平面内运动。 （1）守恒量． 设原点处固定一电荷，使得粒子具有势能 $$ U(r)=\\frac{\\alpha}{r}, \\quad a>0 $$ , 在极坐标中写出粒子的运动方程 （2）平行释放．考虑从 $-x$ 方向无穷远处平行入射的粒子，入射速度为 $v_{\\infty}$ 。考虑某一特定粒子，设入射时具有角动量 $L_z(\\neq 0)$ ．记粒子运动到某一点 B 时的速度 $\\boldsymbol{v}=\\left(v_x, v_y\\right)$ ． （i）求 $v_x, v_y, v^2$ ，用 $\\phi, L_z, \\alpha$ 表示． （ii）利用上面的结果，求粒子的轨迹方程 $r(\\phi)$ ． （iii）若在 $y \\in(-\\infty,+\\infty)$ 范围内均有粒子从 $-x$ 方向平行入射，求粒子不能到达的区域的边界方程并判断曲线类型． （3）定点释放． 现在再考虑这样一个特殊情况：粒子从 $x$ 负半轴上的 A 点出发，粒子 A 点到原点的距离为 $R$ ．从 A 点向平面内各方向以速度 $v_0$ 发射，求粒子不能到达的区域的边界方程，并判断曲线类型．用 $R$ 和无量纲常量 $A=2 \\alpha / m v_0^2 R(A<$ 1）表示结果．", "answer_ideas": ["（1）受力\n\n$$\n\\boldsymbol{F}=\\frac{\\alpha}{r^2} \\hat{r}\n$$\n\n\n从而两个方程\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\ddot{r}-r \\dot{\\phi}^2 & =\\frac{\\alpha}{m r^2} \\\\\nr \\ddot{\\theta}-2 \\dot{r} \\dot{\\theta} & =0\n\\end{aligned}\n$$\n\n（2）\n（i）考虑 $\\boldsymbol{H}$ 从 $-\\infty$ 到 B 点的守恒：\n\n$$\nv_{\\infty}=v_x-\\frac{\\alpha}{L_z} \\sin \\phi, \\quad-\\frac{\\alpha}{L_z}=v_y+\\frac{\\alpha}{L_z} \\cos \\phi\n$$\n\n\n解得\n\n$$\nv_x=v_{\\infty}+\\frac{\\alpha}{L_z} \\sin \\phi, \\quad v_y=\\frac{\\alpha}{L_z}(1+\\cos \\phi)\n$$\n\n\n从而\n\n$$\n\\begin{aligned}\nv^2 & =\\left(v_{\\infty}+\\frac{\\alpha}{L_z} \\sin \\phi\\right)^2+\\frac{\\alpha^2}{L_z^2}(1+\\cos \\phi)^2 \\\\\n& =v_{\\infty}^2+2 \\frac{\\alpha^2}{L_z^2}(1+\\cos \\phi)+2 \\frac{\\alpha}{L_z} v_{\\infty} \\sin \\phi\n\\end{aligned}\n$$\n\n（ii）根据能量守恒，$v^2$ 满足\n\n$$\nv^2=v_{\\infty}^2-2 \\frac{\\alpha}{m r}\n$$\n\n\n联立得到\n\n$$\nr=-\\frac{\\alpha}{m} \\frac{1}{k^2(1+\\cos \\phi)+k v_{\\infty} \\sin \\phi}, \\quad k=\\frac{\\alpha}{L_z}\n$$\n\n（iii）考虑恒定 $\\phi$ 处粒子可到达的最小 $r$ ，对应\n\n$$\n\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{~d} k}\\left[k^2(1-\\cos \\phi)+k v_{\\infty} \\sin \\phi\\right]=0\n$$\n\n\n解得\n\n$$\nk_c=-\\frac{a v_{\\infty} \\sin \\phi}{2(1+\\cos \\phi)}, \\quad r_{\\min }=\\frac{\\alpha}{m} \\frac{4(1+\\cos \\phi)}{v_{\\infty}^2 \\sin ^2 \\phi}=\\frac{4 \\alpha}{m v_{\\infty}^2} \\frac{1}{1-\\cos \\phi}\n$$\n\n\n如果写为直角坐标，\n\n$$\nx=\\frac{m v_{\\infty}^2}{8 \\alpha} y^2-\\frac{2 \\alpha}{m v_{\\infty}^2}\n$$\n\n\n是\n拋物线\n（15）\n（3）设出射时与 $x$ 方向夹角 $\\theta$ ，同理可得\n\n$$\nV_0 \\cos \\theta=V_x-\\frac{\\alpha}{L_z} \\sin \\phi, \\quad V_0 \\sin \\theta-\\frac{\\alpha}{L_z}=V_y+\\frac{\\alpha}{L_z} \\cos \\phi\n$$\n\n\n从而\n\n$$\nv^2=v_0^2+2 \\frac{\\alpha}{L_z} v_0[\\sin (\\phi-\\theta)-\\sin \\theta]+2\\left(\\frac{\\alpha}{L_z}\\right)^2(1+\\cos \\phi)\n$$\n\n\n能量守恒给出\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\frac{1}{m r} & =-\\alpha \\sigma^2(1+\\cos \\phi)+\\sigma v_0 \\sin (\\phi-\\theta) \\\\\n& =-\\alpha \\sigma^2(1+\\cos \\phi)+v_0 \\sin \\phi \\sqrt{\\sigma^2-\\frac{1}{m^2 R^2 v_0^2}}-\\frac{\\cos \\phi}{m R}\n\\end{aligned}\n$$\n\n这里 $1 / \\sigma=L_z=m v_0 R \\sin \\theta$ ．对 $\\sigma$ 求导可得\n\n$$\n\\sqrt{\\sigma_c^2-\\frac{1}{\\mu^2 R^2 V_0^2}}=\\frac{V_0 \\sin \\phi}{2 \\alpha(1+\\cos \\phi)}\n$$\n\n\n回带得到包络线方程\n\n$$\n\\frac{1}{r_{\\min }}=\\frac{1}{R} \\frac{1+A}{2 A}[(1-A)-(1+A) \\cos \\phi]\n$$\n\n\n是\n双曲线\n（20）\n\n离心率为 $e=(1+A) /(1-A)>1$ ．"], "refined_standard_answer": ["$\\ddot{r}-r \\dot{\\phi}^2 =\\frac{\\alpha}{m r^2}, r \\ddot{\\theta}-2 \\dot{r} \\dot{\\theta} =0$", "$v^2 =v_{\\infty}^2+2 \\frac{\\alpha^2}{L_z^2}(1+\\cos \\phi)+2 \\frac{\\alpha}{L_z} v_{\\infty} \\sin \\phi$", "$r=-\\frac{\\alpha}{m} \\frac{1}{k^2(1+\\cos \\phi)+k v_{\\infty} \\sin \\phi}, \\quad k=\\frac{\\alpha}{L_z}$", "$x=\\frac{m v_{\\infty}^2}{8 \\alpha} y^2-\\frac{2 \\alpha}{m v_{\\infty}^2}$，抛物线", "$\\frac{1}{r_{\\min }}=\\frac{1}{R} \\frac{1+A}{2 A}[(1-A)-(1+A) \\cos \\phi]$，双曲线，离心率为 $e=\\frac{1+A}{1-A}>1$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "有一质量为 $m$ 的卫星在 XY 平面内绕地球作半径 $R=2 R_E$ 的圆周运动，沿Z轴负方向观察其作顺时针转动。地 球视作质量为 $M$ ，半径为 $R_E$ 的匀质球体。另一质量为 $\\frac{1}{2} m$ ，在无 穷远处速度为零的彗星被地球俘获，其轨道在YZ平面内，对称轴为 Z 轴，沿 X 轴负方向观察沿顺时针运动。卫星与彗星在 $(0, R, 0)$ 处发生完全非弹性碰撞。 （1）试求碰撞后结合体的速度 $\\vec{v}$ ，以及碰撞后结合体运动轨道的半长轴 $a$ ，离心率 $e$ 。 （2）求卫星彗星从碰撞到结合体与地球碰撞所用时间 $t$ ，用 $G, M, R_E$ 表示。 提示：拋物线极坐标参数方程 $$ r=\\frac{p}{1+\\cos \\theta} $$", "answer_ideas": ["解：\n（1）卫星做圆周运动，速度\n\n$$\nv_1=\\sqrt{\\frac{G M}{R}} \\hat{x}\n$$\n\n\n彗星与卫星焦半径相同，则在焦半径处角向速度大小相同\n\n$$\nv_{2 z}=-\\sqrt{\\frac{G M}{R}}\n$$\n\n\n在无穷远处速度为零，则总能量为零，可知\n\n$$\nv_{2 y}=\\sqrt{\\frac{G M}{R}}\n$$\n\n\n发生完全非弹性碰撞，碰撞前后动量守恒\n\n$$\nm v_1+\\frac{m}{2} v_2=\\frac{3 m}{2} v\n$$\n碰撞后速度\n\n$$\nv=\\frac{1}{3} \\sqrt{\\frac{G M}{R}}(2 \\hat{x}+\\hat{y}-\\hat{z})\n$$\n\n碰后单位质量能量\n\n$$\n\\epsilon=\\frac{1}{2} v^2-\\frac{G M}{R}=-\\frac{2}{3} \\frac{G M}{R}\n$$\n\n\n单位质量角动量大小\n\n$$\nh=R v_t=\\frac{\\sqrt{5}}{3} \\sqrt{G M R}\n$$\n\n\n则轨道参数\n\n$$\n\\begin{gathered}\na=-\\frac{G M}{2 \\epsilon}=\\frac{3}{4} R \\\\\ne=\\sqrt{1+\\frac{2 \\epsilon h^2}{G^2 M^2}}=\\frac{\\sqrt{21}}{9}\n\\end{gathered}\n$$\n\n（2）$\\epsilon<0$ ，为椭圆轨道，到地心最近距离\n\n$$\nr_{\\min }=a(1-e)=0.368 R<\\frac{R}{2}=R_E\n$$\n\n\n故会发生碰撞。\n轨道焦半径\n\n$$\np=a\\left(1-e^2\\right)=\\frac{5}{9} R\n$$\n\n\n轨道极坐标方程为\n\n$$\nr=\\frac{p}{1+e \\cos \\theta}\n$$\n\n\n初始时刻 $r_1=R$ ，可知对应角度\n\n$$\n\\theta_1=\\arccos \\left(\\frac{1}{e}\\left(\\frac{p}{r_1}-1\\right)\\right)=\\pi-\\arccos \\frac{4}{\\sqrt{21}}\n$$\n\n\n由于初始径向速度大于零，碰撞角大于 $\\pi$ 。碰撞时 $r_2=\\frac{R}{2}$ ，则\n\n$$\n\\theta_2=2 \\pi-\\arccos \\left(\\frac{1}{e}\\left(\\frac{p}{r_2}-1\\right)\\right)=2 \\pi-\\arccos \\frac{1}{\\sqrt{21}}\n$$\n\n\n由角动量定理\n\n$$\nh=r^2 \\dot{\\theta}\n$$\n\n\n联立（7）（12）（15）式知用时\n\n$$\nt=\\frac{p^2}{h} \\int_{\\theta_1}^{\\theta_2} \\frac{\\mathrm{~d} \\theta}{(1+e \\cos \\theta)^2}\n$$\n\n\n代入数值\n\n$$\nt=\\frac{1}{8}(4+3 \\sqrt{3} \\pi) \\sqrt{\\frac{R^3}{G M}}\n$$\n\n"], "refined_standard_answer": ["$\\vec{v}=\\frac{1}{3} \\sqrt{\\frac{G M}{R}}(2 \\hat{x}+\\hat{y}-\\hat{z}), a=\\frac{3}{4} R, e=\\frac{\\sqrt{21}}{9}$", "$t=\\frac{\\sqrt{2}}{4}(4+3 \\sqrt{3} \\pi) \\sqrt{\\frac{R_E^3}{G M}}$"], "sub_subject_name": "Classical Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "镁合金具有密排六方晶体结构，其最容易开动的滑移系是基面位错滑移、其次是柱面位错滑移。含有Al和Ca元素的镁合金，在时效热处理之后会生成平行于基面的片状析出相，它们主要强化柱面滑移系，对基面滑移系的强化效果较弱。对于铸造后固溶热处理的棒材和挤压棒材，沿着棒材高度方向进行拉伸测试，请问哪一种材料在时效热处理后强度提升更加明显？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["挤压棒材在时效后的强度提升更明显"], "sub_subject_name": "Metallic Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "为什么合金钢热处理时采用比碳钢更长的保温时间？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["合金元素的扩散速率远低于碳，且会形成特殊碳化物阻碍碳扩散，导致奥氏体均匀化更困难。"], "sub_subject_name": "Metallic Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "简述在低碳钢中发生贝氏体相变时，随温度降低形成的贝氏体形态演化特征及原因。", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["由高温向低温，贝氏体转变顺序：无碳化物贝氏体-粒状贝氏体-上贝氏体-下贝氏体。\\n显微组织演变顺序：温度下降，铁素体内位错密度升高，惯习面指数增大，铁素体内碳浓度升高。\\n无碳化物贝氏体：铁素体条内和条间均无碳化物，条间距离宽，残余奥氏体多，随后冷却到室温，残余奥氏体可能分解为珠光体、贝氏体，马氏体或保留残奥；\\n粒状贝氏体：主演形成于低碳钢中，是位向相近的铁素体条连成片，残奥分割孤立成岛状；\\n上贝氏体：羽毛状，由同位向条组成束，铁素体内低碳，碳化物在条间残奥中析出；\\n下贝氏体：低碳条状，高碳透镜状，碳化物在铁素体内析出。\\n"], "sub_subject_name": "Metallic Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "（1）含碳量0.4%的亚共析钢，由940℃缓慢冷却到略高于723℃，计算钢中奥氏体的重量百分比和先析出铁素体的重量百分比。\n（2）当继续缓慢冷却到室温后，计算珠光体中渗碳体和铁素体的厚度百分比。", "answer_ideas": ["", ""], "refined_standard_answer": ["奥氏体：50.7%，先析出铁素体：49.3%", "渗碳体与铁素体的厚度比约为1:7.9"], "sub_subject_name": "Metallic Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "何谓珠光体层片间距？它的尺寸主要取决于什么？与奥氏体的晶粒度与均匀性有无关系？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["在片状珠光体组织中，一对铁素体片和渗碳体片的总厚度称为珠光体层片间距（S0）。", "主要取决于珠光体的形成温度（或过冷度）。", "与奥氏体的晶粒度与均匀性无关。"], "sub_subject_name": "Metallic Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "材料的回复是不是包括位错密度的降低和晶界面积的减少？\n\n", "answer_ideas": ["材料的回复(recovery)包括空位和位错密度的降低，但是晶界面积的减少属于晶粒长大"], "refined_standard_answer": ["位错密度的降低属于回复，晶界面积的减少不属于回复。"], "sub_subject_name": "Fundamentals of Materials Science", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "有哪几种类型的蠕变？主要特征是什么？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["位错蠕变，以位错攀移为特征", "Coble蠕变（称晶界蠕变也可以），以晶界扩散为特征", "Herring蠕变（称扩散蠕变也可以），以体扩散为特征"], "sub_subject_name": "Fundamentals of Materials Science", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "半径为 R 的球，相互接触排列成体心立方结构，试计算能填入其空隙中的最大小球半径 r 。", "answer_ideas": ["体心立方结构晶胞中最大的空隙的坐标为（ $0,1 / 2,1 / 4$ ）。\n在体心立方结构中，同样存在八面体和四面体空隙，但是其形状、大小和位置与面心立方紧密堆积略有不同\n设：大球半径为 R ，小球半径为 $\\mathrm{r}_0$ 则位于立方体面心、棱心位置的八面体空隙能够填充的最大的小球尺寸为：\n\n$$\nr=a_0-2 R=4 / \\sqrt{3} R-2 R=0.3094 R\n$$\n位于立方体（ $0.5,0.25,0$ ）位置的四面体空隙能够填充的最大的小球尺寸为：\n$$\nr=(\\sqrt{5} / 4) a_0-R=\\sqrt{5} / 4 \\times(4 / \\sqrt{3}) R-R=0.291 R\n$$"], "refined_standard_answer": ["r=0.291R"], "sub_subject_name": "Fundamentals of Materials Science", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "一碗被对称地倒置并浸入密度为 \\( SG = 15.6 \\) 的稠密流体中，浸入深度为$ 200\\,\\text{mm}$（从碗边缘沿中心线测量）。碗的高度为 $80\\,\\text{mm}$，流体在碗内上升了$ 20\\,\\text{mm}$。碗由粘土配方制成，比重\\( SG = 6.1 \\)，内径为$ D=100 \\,\\text{mm}$，碗本身的体积约为 $0.9 L$。计算将碗固定在当前位置所需的力$F$。", "answer_ideas": ["\\( F_B = \\rho \\cdot g \\, V \\) \n\\(\\Sigma F_y = 0\\) \n\\(\\Sigma F_y = 0 = F_B - F - W\\) \\( F = F_B - W \\)\n \\( F_B = SG_{\\text{流体}}(\\rho_{H2O} \\cdot g \\cdot V_{\\text{浸没}}) \\) \\( V_{\\text{浸没}} = V_{\\text{碗}} + V_{\\text{空气}} \\)\n \\( W = SG_{\\text{碗}}(\\rho_{H2O} \\cdot g \\cdot V_{\\text{碗}}) \\) \n浮力公式\\( F = SG_{\\text{流体}}(\\rho_{H2O} \\cdot g \\cdot (V_{\\text{碗}} + V_{\\text{空气}}) - SG_{\\text{碗}}(\\rho_{H2O} \\cdot g \\cdot V_{\\text{碗}})) \\) \n简化后为\\( F = \\rho_{H2O} \\cdot g \\left[ SG_{\\text{流体}}(V_{\\text{碗}} + V_{\\text{空气}}) - SG_{\\text{碗}}(V_{\\text{碗}}) \\right] \\) \n代入数值 \\[ F = 999 \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\times 9.81 \\cdot \\frac{\\text{m}}{s^2} \\times \\left( 15.6 \\times 0.9 \\text{L} \\times \\frac{\\text{m}^3}{1000 \\text{L}} + (0.08 - 0.02) \\cdot \\frac{\\pi \\cdot (0.1 \\cdot \\text{m})^2}{4} \\right) - 5.7 \\times 0.9 \\text{L} \\times \\frac{\\text{m}^3}{1000 \\text{L}} \\times \\frac{\\text{N} \\cdot s^2}{\\text{kg} \\cdot \\text{m}} \\] \\[ F = 159.4 \\text{N} \\]"], "refined_standard_answer": ["$F=159.4\\,\\text{N}$"], "sub_subject_name": "Fluid Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "一直径为$65\\,\\text{mm}$的茶杯，想象用一个垂直平面对称地将其切成两半。计算由于$80\\,\\text{mm}$深的茶水，茶杯每一半所受到的力$F_R$。\n\n\n\n\n", "answer_ideas": ["\n   \\[ F_R = \\int p \\, dA \\]\n\n\n   \\[ \\frac{dp}{dh} = \\rho \\cdot g \\]\n\n   \\[ F_R = p_c \\cdot A \\]\n\n\n   \\[ h = 8 \\, \\text{cm} \\]\n   \\[ w = 6.5 \\, \\text{cm} \\]\n\n\n   \\[ F_R = \\int p \\, dA = \\int \\rho \\cdot g \\cdot y \\cdot dA \\]\n   \\[ dA = w \\cdot dy \\]\n   \\[ F_R = \\int_0^h \\rho \\cdot g \\cdot y \\cdot w \\, dy = \\frac{\\rho \\cdot g \\cdot w \\cdot h^2}{2} \\]\n\n   \\[ F_R = p_c \\cdot A = \\rho \\cdot g \\cdot y_c \\cdot A = \\rho \\cdot g \\cdot \\frac{h}{2} \\cdot w = \\frac{\\rho \\cdot g \\cdot w \\cdot h^2}{2} \\]\n\n   \\[ F_R = \\frac{1}{2} \\times 999 \\, \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\times 9.81 \\, \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2} \\times 6.5 \\, \\text{cm} \\times (8 \\, \\text{cm})^2 \\times \\left( \\frac{\\text{m}}{100 \\, \\text{cm}} \\right)^3 \\times \\frac{\\text{N} \\cdot \\text{s}^2}{\\text{kg} \\cdot \\text{m}} \\]\n   \\[ F_R = 2.04 \\, \\text{N} \\]\n\n"], "refined_standard_answer": ["$F_R=2.04\\text{ N}$"], "sub_subject_name": "Fluid Mechanics", "subject_name": "Physics"}
{"question": "阻断 CTLA-4、PD-1 或 PD-L1 的免疫检查点抑制剂（ICI），对多种癌症类型非常有效，并且有可能实现治愈。然而，某些癌症类型对 ICI 治疗通常无反应，而且即使在已获批治疗的癌症类型中，其疗效也存在很大差异。\n1.\t黑色素瘤、错配修复缺陷型结肠癌以及非小细胞肺癌对免疫检查点抑制剂（ICI）的反应是由其什么所驱动的，而这是新抗原的一个潜在丰富来源？\n2.\t透明细胞肾细胞癌一直以来都被认为是一种“免疫原性”肿瘤，ccRCC 存在许多什么类型的突变，使其并不能预测对 ICI 的应答\n3.\t与其他类型的肿瘤相比不同的是，在 ccRCC 中，T 细胞浸润增加是一个不良的预后生物标志物，且对 ICI 治疗的应答的预测也不一致。在大多数 ccRCC 中，什么是肿瘤起始事件。其形成一种泛素连接酶，将什么作为降解目标。只有在氧敏感的 EglN 双加氧酶对其进行脯氨酸羟基化之后，它才能够识别 。它的别构抑制剂什么最近获批用于治疗 ccRCC。\n", "answer_ideas": ["", "", ""], "refined_standard_answer": ["高突变负荷", "插入和缺失（INDEL）", "pVHL肿瘤抑制蛋白的失活；异二聚体HIF转录因子的α亚基；贝组替凡（belzutifan）"], "sub_subject_name": "Immunology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "与植物根相关的微生物，称为根系微生物群，对植物生长和健康很重要。根系微生物群促进植物生长并保护植物免受生物和非生物胁迫。反过来，根系微生物群的组成受宿主遗传学的调节，例如水杨酸依赖性免疫系统， 磷酸盐饥饿途径和植物代谢物进一步阐明根系微生物群如何调节植物表型，特别是重要的农艺性状，将为改善作物生长和可持续农业实践铺平道路。\n1. 水稻 （Oryza sativa L.） 是世界上最重要的作物之一，是世界上 40% 以上人口的主食来源。水稻分蘖在很大程度上决定了穗数，而分蘖的数量是决定粮食产量的关键因素。 水稻分蘖的发育过程包括两个步骤，分蘖芽形成和芽生长， 受关键基因控制的，如水稻的什么和水稻 的什么，以及植物激素，如什么。水稻分蘖数也受环境因素的影响，如光照、温度和土壤养分。 水稻根系募集不同的土壤细菌群落，其组成在整个水稻生命周期中发生变化。这些微生物与水稻基因型密切相关，并影响养分利用。\n2. Roseateles R780和Piscinibacter R1801可以显著什么分蘖；Exiguobacterium R2567, Burkholderia R2488和Pleomorphomonas R1405可以显著什么分蘖？发现Roseateles R780和Exiguobacterium R2567对分蘖的调控依赖于水稻什么途径，但以不同方式发挥功能：Roseateles R780的促进作用依赖于什么，而Exiguobacterium R2567的抑制作用更依赖于什么？\n", "answer_ideas": ["", ""], "refined_standard_answer": ["MONOCULM1 (MOC1)；TEOSINTE BRANCHED1 (OsTB1)；独脚金内酯 (SLs)", "促进；抑制；SL；SL的合成及信号转导；SL信号转导"], "sub_subject_name": "Physiology and Integrative Biology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "为了在活体哺乳动物大脑记录到高质量胞外神经元单细胞放电活动（single-unit activity）， 下面的说法正确的是：  （   ）\nA)\t电生理信号采集系统的采样频率不可以设置在1000赫兹以下。\nB)\t电生理信号采集系统的带通滤波器通带范围可以设置在0.03-9000赫兹。\nC)\t确保电极的阻抗值在合理的范围内。\nD)\t尽可能地屏蔽环境中的电磁噪音干扰并排除电生理信号中的运动相关伪迹。\nE)\t确保电生理信号采集系统接地良好。\n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["ABCDE"], "sub_subject_name": "Neuroscience and Psychology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "一种拟寄生蜂——姬蜂（Venturia canescens）可寄生印度谷螟（Plodia interpunctella）和地中海斑螟（Ephestia kuehniela）的幼虫。将两种幼虫隔离，彼此之间没有资源竞争，但拟寄生蜂可以在不同宿主种之间随意移动。在资源充足的情况下，一个系统包含拟寄生蜂和两种宿主，那寄生蜂对具有较低什么的宿主影响更大？（与种群水平特性相关）。", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["内禀生长率"], "sub_subject_name": "Ecology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "相比地球，太空环境带来了全新的生存压力。首先，微重力影响流体动力学，改变了微生物的附着和传播模式。其次，国际空间站（ISS）暴露在高强度的宇宙辐射中，这可能导致微生物的突变，使其生存策略发生变化。此外，密闭环境使得微生物能够长期停留在特定表面上，形成生物膜，甚至影响宇航员的健康。而且，在有限资源的情况下，ISS 内部的有机物、清洁剂、人体代谢物等都可能成为微生物的潜在养分来源。\n1. 过去的研究表明，ISS 中的微生物群落与地球上的有显著差异。某些耐受极端环境的菌株可能在 ISS 内部生存时间更长，并表现出更高的抗生素耐受性。例如，什么和什么可能在 ISS 内部形成稳定种群。\n2. 研究发现，ISS内的微生物主要来源于宇航员的皮肤、鼻腔和肠道，请判断什么是微生物扩散的重要途径？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["金黄色葡萄球菌；伯克氏菌", "粪便传播"], "sub_subject_name": "Ecology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "一个典型的松弛肌节长约 $3 \\mu \\mathrm{~m}$ ，收缩时长约 $2 \\mu \\mathrm{~m}$ 。肌节中细丝长约 $1 \\mu \\mathrm{~m}$ ，粗丝长约为 $1.5 \\mu \\mathrm{~m}$ 。\n（1）估算在松弛和收缩时粗丝和细丝的重叠情况。\n（2）一次循环中肌球蛋白沿细丝滑行＂一步＂移动约 7.5 nm ，问一次收缩中每个肌动蛋白纤维需要进行多少个步？", "answer_ideas": ["（1）当松弛时重叠总长度为：$(1+1)-(3-1.5)=0.5 \\mu \\mathrm{~m}, 0.5 / 2=0.25 \\mu \\mathrm{~m}$ 当\n收缩时重叠总长度为：$(1+1)-(2-1.5)=1.5 \\mu \\mathrm{~m}, 1.5 / 2=0.75 \\mu \\mathrm{~m}$\n因此，松弛时粗丝和细丝重叠约 $0.25 \\mu \\mathrm{~m}$ ，收缩时粗丝和细丝重叠约 $0.75 \\mu \\mathrm{~m}$ 。\n（2）$(0.75-0.25) \\times 10^3 / 7.5 \\approx 67$\n故一次收缩中每个肌动蛋白纤维需要进行约 67 步。"], "refined_standard_answer": ["松弛时粗丝和细丝重叠约$0.25\\mu\\mathrm{~m}$，收缩时粗丝和细丝重叠约$0.75\\mu\\mathrm{~m}$", "一次收缩中每个肌动蛋白纤维需要进行约 67 步"], "sub_subject_name": "Biophysics and Biochemistry", "subject_name": "Biology"}
{"question": "题目：基于四膜虫核酶冷冻电镜结构的催化机制与金属离子依赖性分析**  \n问题描述：已知解析的四膜虫核酶冷冻电镜结构（PDB:7EZ0, 7EZ2）显示其催化核心包含保守碱基U262和G264，二者通过氢键网络与Mg²+离子配位（坐标：U262-O6…Mg²+距离2.8 Å）。已知野生型核酶在10 mM Mg²+条件下的催化速率k<sub>cat</sub>为5.3 s<sup>-1</sup>，而U262A突变体k<sub>cat</sub>降至0.02 s<sup>-1</sup>。冷冻电镜密度图显示突变体中Mg²+结合位点消失。  \n问题：\n1. 假设野生型核酶与Mg²+的结合符合希尔方程：  \n   $$k_{cat} = \\frac{k_{max}[Mg^{2+}]^n}{K_d^n + [Mg^{2+}]^n}$$  \n   实验测得野生型在1 mM和5 mM Mg²+时的k<sub>cat</sub>分别为1.2 s<sup>-1</sup>和3.8 s<sup>-1</sup>。请计算希尔系数n和表观解离常数K<sub>d</sub>（单位mM）。  \n\n2. 结合U262A突变体的结构-功能数据，从以下两方面分析Mg²+的作用：  \n   a) 为何突变导致Mg²+结合位点消失？（需描述U262的化学特征）  \n   b) 催化活性降低4个数量级的可能机制？ \n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["n = 1.82, K_d = 2.38 \\text{mM}", "a) U262的酮基氧（O6）通过氢键与Mg²⁺配位，突变后丙氨酸（Ala）缺失氧原子，导致金属结合位点破坏。 b) Mg²⁺通过稳定过渡态电荷和精确空间定位催化基团，突变后失去离子配位使过渡态稳定能降低，导致活性骤降。"], "sub_subject_name": "Biophysics and Biochemistry", "subject_name": "Biology"}
{"question": "一条肽链的C末端是一个His残基，求pH=2.5的时候该残基的总带电情况。", "answer_ideas": ["在此环境中，要考虑His侧链的咪唑基团和主链C末端的羧基。其中咪唑基团pKa大约为6，但肽链上的C端羧基pKa必须考虑到环境不同，值不同于游离组氨酸羧基的pKa（约为2），实践上应该在3~4左右。因此pH=2.5的时候，His侧链带+1电荷，主链羧基主要是中性的，总带电+1。"], "refined_standard_answer": ["+1"], "sub_subject_name": "Biophysics and Biochemistry", "subject_name": "Biology"}
{"question": "蜂毒明肽（apamin）是存在蜜蜂毒液中的一个十八肽，其序列为\nCNCKAPETALCARRCQQH，已知蜂毒明肽形成二硫键，不与碘乙酸发生反应，\n问此肽中存在多少个二硫键？请设计确定这些（个）二硫键的可能位置。", "answer_ideas": ["1、卤化烷试剂碘乙酸能与巯基发生反应，该多肽不与碘乙酸发生反应说明此肽中不含游离的－SH，且其序列组成有 4 个－Cys 残基，所以应存在两个二硫键。\n2、二硫键的位置可能有 3 种情况：\n（1） 1 位 Cys 与 3 位 Cys 之间和 11 位 Cys 与 15 位 Cys 之间；\n（2）1 位 Cys 与 11 位 Cys 之间和 3 位 Cys 与 15 位 Cys 之间；\n（3） 1 位 Cys 与 15 位 Cys 之间和 3 位 Cys 与 11 位 Cys 之间；\n第（1）种情况，用胰蛋白酶断裂将得到两个肽段和游离的 Arg；第（2）种和第（3）种，用胰蛋白酶处理将得到一个肽段和 Arg ；通过二硫键部分氧化可以把后两种情况区别开来。"], "refined_standard_answer": ["两个二硫键", "3种情况：（1）Cys1位与3位间、11位与15位间；（2）Cys1位与11位间、3位与15位间；（3）Cys1位与15位间、3位与11位间。用胰蛋白酶断裂后得到的不同产物区分"], "sub_subject_name": "Biophysics and Biochemistry", "subject_name": "Biology"}
{"question": "体系中有1mol L-葡萄糖，1mol L-甘露糖和1mol L-果糖，往体系中加入过量苯肼，请问最终可以生成几种脎？", "answer_ideas": ["生成糖脎的反应是发生在C1和C2上，不涉及其他的碳原子。题目中的三种糖仅在第二级碳上构型不同，其他碳原子构型相同的差向异构体，因此必然生成同一个脎。"], "refined_standard_answer": ["1种"], "sub_subject_name": "Biophysics and Biochemistry", "subject_name": "Biology"}
{"question": "通过以下例子说明一个多阶段装配过程和一个单阶段装配过程哪个更容易控制蛋白质的质量。考虑一个多聚体酶复合物的合成，此复合物含 6 个相同的二聚体，每个二聚体由一个多肽 A和一个 B 组成，多肽 A 和 B 的长度分别为 300 个和 700 个氨基酸残基。假设从氨基酸合成多肽链，多肽链组成二聚体，再从二聚体聚集成多聚体酶，在这一建造过程中每次操作的错误频率为 $10^{-8}$ ，假设氨基酸序列没有错误的话，多肽的折叠总是正确的，并假设在每一装配阶段剔除有缺陷的亚结构效率为 $100 \\%$ ，试比较在下列情况下有缺陷复合物的频率：（1）该复合物以一条 6000 个氨基酸连续的多肽链一步合成，链内含有 6 个多肽 A 和 6 个多肽 B。（2）该复合物分 3 个阶段形成：第一阶段，多肽 A 和 B的合成；第二阶段， AB 二聚体的形成；第三阶段， 6 个 AB 二聚体装配成复合物。\n", "answer_ideas": ["（1）有缺陷复合物的平均频率是 $6000 \\times 10^{-8}=6 \\times 10^{-5}$ 。\n（2）由于有缺陷的二聚体可被剔除，因此有缺陷复合物的平均频率只是最后阶段的操作次数（ 5 次操作装配 6 个亚基）乘以错误频率，即 $5 \\times 10^{-8}$ 。因此分 3 个阶段合成比一步合成所产生的缺陷频率约低 1000 倍。\n"], "refined_standard_answer": ["一步合成有缺陷复合物的频率为$6 \\times 10^{-5}$", "分3阶段合成有缺陷复合物的频率为$5 \\times 10^{-8}$"], "sub_subject_name": "Biophysics and Biochemistry", "subject_name": "Biology"}
{"question": "人类白细胞抗原（HLA）系统是人体适应性免疫系统的关键组成部分，负责向T细胞呈递肽抗原，从而启动特异性免疫反应。HLA基因位于人类第6号染色体，是人体最复杂和多态性最高的基因区域。HLA分子与药物诱导的肾脏疾病有密切关联，请举例说明。", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["HLA-B*57:01与阿巴卡韦（abacavir）引起的超敏反应相关；HLA-B*58:01与别嘌呤醇（allopurinol）引起的超敏反应相关。"], "sub_subject_name": "Cell Biology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "人类白细胞抗原（HLA）系统是人体适应性免疫系统的关键组成部分，负责向T细胞呈递肽抗原，从而启动特异性免疫反应。HLA基因位于人类第6号染色体，是人体最复杂和多态性最高的基因区域。请阐述HLA分子的编码和组成。", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["HLA-I类分子由HLA-A、HLA-B和HLA-C基因编码，其结构包括一个α链和β2-微球蛋白，肽结合槽由α1和α2段形成。HLA-II类分子由HLA-DR、HLA-DQ和HLA-DP等基因编码，其结构包括一个α链和一个β链，肽结合槽由α1和β1段形成"], "sub_subject_name": "Cell Biology", "subject_name": "Biology"}
{"question": "某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入 6 个小球，其中 4 个黑球， 2 个红球．模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入 2 个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中。\n（1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；\n（2）在模型二的前提下：\n（1）求在第 $n(n \\geq 2)$ 次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用 $n$ 表示）。\n（2）现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10 次，第 10 次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望．", "answer_ideas": ["（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为 $P_{1}$ ，则分为取到＂黑红＂和＂红红＂两种情况，\n则 $P_{1}=\\frac{4}{6} \\times \\frac{1}{3}+\\frac{2}{6} \\times \\frac{4}{8}=\\frac{7}{18}$ ；\n记在模型二下，取到红球的概率为 $P_{2}$ ，同样分为取到＂黑红＂和＂红红＂两种情况，\n则 $P_{2}=\\frac{4}{6} \\times \\frac{1}{3}+\\frac{2}{6} \\times \\frac{1}{6}=\\frac{5}{18}$ ；\n（2）（1）设第 $k(k<n)$ 次是第一次取到红球，第 $n$ 次是第二次取到红球的概率为 $P_{k}$ ，\n则 $P_{k}=\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{k-1} \\times \\frac{1}{3} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-k-1} \\times \\frac{1}{6}$ ，\n则第 $n$ 次恰好抽到第二个红球的概率 $P$ 为 $P_{k}$ 中 $k$ 从 1 到 $n-1$ 取值累加求和，即\n$P=\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{0} \\times \\frac{1}{3} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-2} \\times \\frac{1}{6}+\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{1} \\times \\frac{1}{3} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-3} \\times \\frac{1}{6}+\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2} \\times \\frac{1}{3} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-4} \\times \\frac{1}{6}+\\cdots+\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{n-2} \\times \\frac{1}{3} \\times \\frac{1}{6}$,\n利用等比数列求和公式即可得\n$P=\\frac{1}{3} \\times \\frac{1}{6} \\times\\left[\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{0} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-2}+\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{1} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-3}+\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-4}+\\cdots+\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{n-2} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{0}\\right]$\n$=\\frac{1}{3} \\times \\frac{1}{6} \\times \\frac{\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-2}\\left[1-\\left(\\frac{2}{3} \\times \\frac{6}{5}\\right)^{n-1}\\right]}{1-\\frac{2}{3} \\times \\frac{6}{5}}=\\frac{5}{18} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-2} \\times\\left[1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{n-1}\\right]=\\frac{1}{3} \\times \\frac{5}{6} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-2} \\times\\left[1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{n-1}\\right]$\n$=\\frac{1}{3} \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-1} \\times\\left[1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{n-1}\\right]=\\frac{1}{3}\\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-1}-\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{n-1}\\right]$ ；\n（2）由题可知，$X$ 的取值依次为 $2,3 \\ldots, 9,10$ ，\n当 $X=10$ 时，$P(X=10)=1-[P(X=2)+P(X=3)+\\cdots+P(X=9)]$ ，\n由数学期望的定义和（1）中的概率公式可知，\n$E(X)=2 \\times P(X=2)+3 \\times P(X=3)+\\cdots+9 \\times P(X=9)+10 \\times\\{1-[P(X=2)+P(X=3)+\\cdots+P$\n$=10-[8 \\times P(X=2)+7 \\times P(X=3)+\\cdots+1 \\times P(X=9)]$\n$=10-\\frac{1}{3} \\times\\left[8 \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{1}+7 \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{2}+\\cdots+1 \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{8}\\right]+\\frac{1}{3} \\times\\left[8 \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{1}+7 \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2}+\\cdots+1 \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{8}\\right]$ ，\n设 $a_{n}=\\frac{1}{3} \\times(-n+9) \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n}, b_{n}=\\frac{1}{3} \\times(-n+9) \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{n}, n=1,2, \\cdots, 8$ ，\n由错位相减法可得 $a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{8}=5+10 \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{9}, b_{1}+b_{2}+\\cdots+b_{8}=4+2 \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{9}$ ，\n所以 $E(X)=10-\\left[5+10 \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{9}\\right]+\\left[4+2 \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{9}\\right]=9-10 \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{9}+2 \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{9}$ ．"], "refined_standard_answer": ["\\frac{7}{18}, \\frac{5}{18}", "\\frac{1}{3}\\left[\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{n-1}-\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{n-1}\\right]", "9-10 \\times\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{9}+2 \\times\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{9}"], "sub_subject_name": "Statistics and Operations Research", "subject_name": "Math"}
{"question": "On the perimeter of a unit circle, 12 points are chosen uniformly and independently at random. Estimate the expected value of the area of the convex 12-gon formed by these points. Submit a positive number $E$ written in decimal. If the correct answer is $A$, you will receive round $\\left(20 e^{-15|E-A|}\\right)$ points.", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["2.55915198"], "sub_subject_name": "Statistics and Operations Research", "subject_name": "Math"}
{"question": "Suppose that at fixed input prices of $\\bar{w}$ a firm produces output with the differentiable and strictly convex cost function $c(q,h)$, where $q \\geq 0$ is its output level (whose price is $p > 0$) and $h$ is the level of a negative externality generated by the firm. The externality affects a single consumer, whose derived utility function takes the form $\\phi(h) + w$. The actions of the firm and consumer do not affect any market prices.\n\nDerive the first-order condition for the firm's choice of $q$ and $h$.\n\n\n", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["p \\leq \\frac{\\partial c(q^*,h^*)}{\\partial q}, \\text{ with equality if } q^* > 0", "0 \\leq \\frac{\\partial c(q^*,h^*)}{\\partial h}, \\text{ with equality if } h^* > 0"], "sub_subject_name": "Statistics and Operations Research", "subject_name": "Math"}
{"question": "Ethan initially writes some numbers on a blackboard, each of which is either a 3 or a 5 . He then repeatedly picks two numbers and replaces them with their sum, difference, product, or quotient (if the divisor is nonzero). Let $f(n)$ denote the minimum number of numbers Ethan must initially write for him to be able to eventually write the number $n$. For example, $f(2025) \\leq 6$ because Ethan could start with $3,3,3,3,5$, and 5 on the board, then repeatedly multiply two numbers at a time to eventually get 2025 . Submit a comma-separated ordered 8-tuple of integers corresponding to the values of $f(164), f(187)$, $f(191), f(224), f(255), f(286), f(374)$, and $f(479)$, in that order, or an X for any value you wish to leave blank. For instance, if you think $f(164)=9$ and $f(224)=8$, you should submit \" $9, \\mathrm{X}, \\mathrm{X}, 8, \\mathrm{X}$, X, X, X\". You will earn $\\left\\lfloor 0.6^W \\cdot \\frac{(C+1)^2}{4}\\right\\rfloor$ points, where $C$ is the number of correct answers you submit and $W$ is the number of incorrect (non-blank) answers.", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["6", "6", "6", "5", "5", "6", "6", "7"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "Let $A B C D$ be a rectangle with $B C=24$. Point $X$ lies inside the rectangle such that $\\angle A X B=90^{\\circ}$. Given that triangles $\\triangle A X D$ and $\\triangle B X C$ are both acute and have circumradii 13 and 15 , respectively, compute $A B$.", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["14+4\\sqrt{37}"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "已知在平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，定义函数 $f(x)=p \\sin x+q \\cos x$ 的＂和谐向量＂为非零向量 $\\vec{\\omega}=(p, q), \\vec{\\omega}=(p, q)$ 的＂和谐函数＂为 $f(x)=p \\sin x+q \\cos x$ ．记平面内所有向量的＂和谐函数＂构成的集合为 $T$ 。 （1）已知 $\\theta \\in \\mathrm{R}, f(x)=2 \\cos x+\\cos (x+\\theta)$ ，若函数 $f(x)$ 为集合 $T$ 中的元素，求其＂和谐向量＂模的取值范围； （2）已知 $|\\vec{a}|=|\\vec{b}|=2$ ，设 $\\overrightarrow{O G}=\\lambda \\vec{a}+\\mu \\vec{b}(\\lambda>0, \\mu>0)$ ，且 $\\overrightarrow{O G}$ 的＂和谐函数＂为 $\\varphi(x)$ ，其最大值为 $S$ ，求 $\\frac{\\lambda+\\mu}{S}$ ． （3）已知 $M(-2,3), N(2,6)$ ，设（1）中的＂和谐函数＂的模取得最小时的＂和谐函数＂为 $m(x)$ ， $g(x)=2 m\\left(\\frac{x}{2}\\right)$ ，试问在 $y=g(x)$ 的图象上是否存在一点 $Q$ ，使得 $\\overrightarrow{M Q} \\cdot \\overrightarrow{N Q}=0$ ，若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由．", "answer_ideas": ["\n【分析】（1）将 $f(x)$ 变成已知条件的形式，再根据＂和谐向量＂及向量的模的坐标公式计算即可得解；\n（2）设 $\\vec{a}=(2 \\cos \\alpha, 2 \\sin \\alpha), \\vec{b}=(2 \\cos \\beta, 2 \\sin \\beta)$ ，再求出 $\\overrightarrow{O G}$ ，再根据＂和谐函数＂的定义结合三角恒等变换化简函数 $\\varphi(x)$ ，再根据三角函数的性质即可求出 S ，即可得解；\n（3）结合（1）求出＂和谐向量＂，进而可得 $m(x), g(x)$ 的解析式，设出点 $Q$ 的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解．\n\n【详解】（1）$f(x)=2 \\cos x+\\cos (x+\\theta)=2 \\cos x+\\cos x \\cos \\theta-\\sin x \\sin \\theta$\n\n$$\n=-\\sin \\theta \\sin x+(2+\\cos \\theta) \\cos x,\n$$\n\n\n所以函数 $f(x)$ 的＂和谐向量＂向量 $\\vec{\\omega}=(-\\sin \\theta, 2+\\cos \\theta)$ ，\n\n$$\n|\\vec{\\omega}|=\\sqrt{\\sin ^2 \\theta+(2+\\cos \\theta)^2}=\\sqrt{4 \\cos \\theta+5},\n$$\n\n\n因为 $\\cos \\theta \\in[-1,1]$ ，所以 $4 \\cos \\theta+5 \\in[1,9]$ ，\n所以 $|\\vec{\\omega}|$ 的取值范围为 $[1,3]$ ；\n（2）设 $\\vec{a}=(2 \\cos \\alpha, 2 \\sin \\alpha), \\vec{b}=(2 \\cos \\beta, 2 \\sin \\beta)$ ，\n则 $\\overrightarrow{O G}=\\lambda \\vec{a}+\\mu \\vec{b}=(2(\\lambda \\cos \\alpha+\\mu \\cos \\beta), 2(\\lambda \\sin \\alpha+\\mu \\sin \\beta))$ ，\n所以 $\\varphi(x)=2(\\lambda \\cos \\alpha+\\mu \\cos \\beta) \\sin x+2(\\lambda \\sin \\alpha+\\mu \\sin \\beta) \\cos x$\n\n$$\n=2 \\lambda(\\cos \\alpha \\sin x+\\sin \\alpha \\cos x)+2 \\mu(\\cos \\beta \\sin x+\\sin \\beta \\cos x)\n$$\n\n$=2 \\lambda \\sin (x+\\alpha)+2 \\mu \\sin (x+\\beta)$\n$\\leq 2 \\lambda+2 \\mu$ ，\n此时存在 $x_0$ ，满足 $\\left\\{\\begin{array}{l}x_0+\\alpha=\\frac{\\pi}{2}+2 k_1 \\pi \\\\ x_0+\\beta=\\frac{\\pi}{2}+2 k_2 \\pi\\end{array}\\right.$ ，当且仅当 $x=x_0$ 时取等号，其中 $k_1, k_2 \\in Z$ ，\n所以 $\\alpha-\\beta=2\\left(k_1-k_2\\right) \\pi$ ，即 $\\vec{a}=\\vec{b}$ ，所以 $\\alpha=\\beta+2 k \\pi, k \\in Z$ ，\n所以 $\\varphi(x)$ 的最大值 $S=2 \\lambda+2 \\mu$ ，\n所以 $\\frac{\\lambda+\\mu}{S}=\\frac{1}{2}$ ；\n（3）由（1）知，当 $\\cos \\theta=-1$ 时，$|\\vec{\\omega}|$ 最小，此时 $\\vec{\\omega}=(0,1)$ ，\n所以 $m(x)=\\cos x, g(x)=2 \\cos \\frac{x}{2}$ ，\n设 $Q\\left(x, 2 \\cos \\frac{x}{2}\\right)$ ，令 $t=2 \\cos \\frac{x}{2}, t \\in[-2,2]$ ，\n则 $\\overrightarrow{M Q}=(x+2, t-3), \\overrightarrow{N Q}=(x-2, t-6)$ ，\n因为 $\\overrightarrow{M Q} \\cdot \\overrightarrow{N Q}=0$ ，\n所以 $(x+2)(x-2)+(t-3)(t-6)=0$ ，即 $x^2+t^2-9 t+14=0$ ，\n\n所以 $\\left(t-\\frac{9}{2}\\right)^2=\\frac{25}{4}-x^2(*)$ ，所以 $\\left|t-\\frac{9}{2}\\right| \\leq \\frac{5}{2}$ ，即 $2 \\leq t \\leq 7$ ，\n而 $t \\in[-2,2]$ ，则 $t=2$ ，当且仅当 $x=0$ 时，等式 $(*)$ 成立，\n所以在 $y=g(x)$ 的图象上存在一点 $Q(0,2)$ ，使得 $\\overrightarrow{M Q} \\cdot \\overrightarrow{N Q}=0$ ．"], "refined_standard_answer": ["[1,3]", "\\frac{1}{2}", "存在，$Q(0,2)$"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "Regular hexagon $A B C D E F$ has side length 2. Circle $\\omega$ lies inside the hexagon and is tangent to segments $\\overline{A B}$ and $\\overline{A F}$. There exist two perpendicular lines tangent to $\\omega$ that pass through $C$ and $E$, respectively. Given that these two lines do not intersect on line $A D$, compute the radius of $\\omega$.", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["\\frac{3 \\sqrt{3}-3}{2}"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "设 $a, b$ 为非负整数，$m$ 为正整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$同余，记为 $a \\equiv b(\\bmod m)$ ． （1）求证： $2^{33}+1 \\equiv 65(\\bmod 7)$ ； （2）若 $p$ 是素数，$n$ 为不能被 $p$ 整除的正整数，则 $n^{p-1} \\equiv 1(\\bmod p)$ ，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题： （1）证明：对于任意整数 $x$ 都有 $x^{13}-x \\equiv 0(\\bmod 546)$ ； （2）求方程 $x^9+x^7-x^3-x \\equiv 0(\\bmod 35)$ 的正整数解的个数．", "answer_ideas": ["  "], "refined_standard_answer": ["证明略", "证明略", "无数个"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "考虑次数有限的域扩张 $K/F$，如果存在 $r \\colon F \\to \\mathbb{C}$ 为域的嵌入，\n\t则 $r$ 可以延拓为 $K \\to \\mathbb{C}$ 的域嵌入，求满足以上要求的不同的延拓个数.", "answer_ideas": ["设 \\(K/F\\) 是有限域扩张，且存在域嵌入\n\t\\[\n\tr: F \\hookrightarrow \\mathbb{C}.\n\t\\]\n\t由于 \\(F\\) 的特征为 \\(0\\)，\\(K/F\\) 必为可分扩张。由原始元定理，存在 \\(\\alpha\\in K\\) 使\n\t\\[\n\tK \\;=\\; F(\\alpha),\n\t\\]\n\t并且\n\t\\[\n\tn=[K:F]=\\deg m_{\\alpha,F}(x),\n\t\\]\n\t其中 \\(m_{\\alpha,F}(x)\\in F[x]\\) 是 \\(\\alpha\\) 的最小多项式。由于扩张可分，多项式 \\(m_{\\alpha,F}(x)\\) 在 \\(\\mathbb{C}\\) 中分解为\n\t\\[\n\tm_{\\alpha,F}(x)\n\t=\\prod_{i=1}^n \\bigl(x - \\alpha_i\\bigr),\n\t\\]\n\t且 \\(\\alpha_1,\\dots,\\alpha_n\\) 互不相同。\n\t\n\t对于每个根 \\(\\alpha_i\\)，定义映射\n\t\\[\n\tR_i: K=F(\\alpha)\\ \\longrightarrow\\ \\mathbb{C}\n\t\\quad\\text{由}\\quad\n\t\\begin{cases}\n\t\tR_i|_F = r,\\\\\n\t\tR_i(\\alpha)=\\alpha_i.\n\t\\end{cases}\n\t\\]\n\t显然 \\(R_i\\) 是满足 \\(R_i|_F=r\\) 的域嵌入。不同的根 \\(\\alpha_i\\) 给出不同的延拓 \\(R_i\\)，并且一旦固定了 \\(r\\) 和 \\(\\alpha\\) 的像，延拓唯一存在。\n\t\n\t因此，能够把 \\(r\\) 延拓到 \\(K\\) 上的不同域嵌入个数为\n\t\\[\n\tn = [K:F]\n\t\\]"], "refined_standard_answer": ["$[K:F]$"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "Point $P$ is inside triangle $\\triangle A B C$ such that $\\angle A B P=\\angle A C P$. Given that $A B=6, A C=8, B C=7$, and $\\frac{B P}{P C}=\\frac{1}{2}$, compute $\\frac{[B P C]}{[A B C]}$. (Here, $[X Y Z]$ denotes the area of $\\triangle X Y Z$ ).", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["\\frac{7}{18}"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "某计算机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算机运行状态，收集了24小时的数据 (共作97次观察) .用1表示正常状态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下： 11011011010111110111101111111100111111100111 已知该计算机在某一时段(15分钟)的状态为0，问此条件下从此时段起，该计算机能连续工作3刻钟的条件概率为多少？", "answer_ideas": ["设X_{n}为第n(n=1,2,...,97)个时段的计算状态, 可以认为它是一个齐次马氏链, 状态空间I={0,1}.\n\n96次状态转移的情况: 0→0, 8次;\n\n0→1, 18次; 1→0, 18次; 1→1, 52次.\n\n因此, 一步转移概率可用频率近似地表示为:\n\n$p_{00}=P\\{X_{n+1}=0|X_{n}=0\\}\\approx\\frac{8}{8+18}=\\frac{8}{26},$\n\n$p_{01}=P\\{X_{n+1}=1|X_{n}=0\\}\\approx\\frac{18}{8+18}=\\frac{18}{26},$\n\n$p_{10}=P\\{X_{n+1}=0|X_{n}=1\\}\\approx\\frac{18}{18+52}=\\frac{18}{70},$\n\n$p_{11}=P\\{X_{n+1}=1|X_{n}=1\\}\\approx\\frac{52}{18+52}=\\frac{52}{70}.$\n\n由题意，某一时段的状态为0就是初始状态为0，即$X_{0}=0$，所求的概率为:\n\n$P(X_{1}=1,X_{2}=1,X_{3}=1|X_{0}=0)=\\frac{P(X_{0}=0,X_{1}=1,X_{2}=1,X_{3}=1)}{P(X_{0}=0)}$\n\n$=\\frac{P(X_{0}=0)P_{01}P_{11}P_{11}}{P(X_{0}=0)}=P_{01}P_{11}P_{11}=\\frac{18}{26}\\frac{52}{70}\\frac{52}{70}=0.382$"], "refined_standard_answer": ["0.382"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "设 $S: r = (x, y, h(x, y))$ 为三维欧氏空间中的光滑曲面，$h(x, y)$ 是关于 $x, y$ 的光滑函数. 1、求 $S$ 的平均曲率的表达式. 2、设 $S$ 为极小曲面，当 $h(x, y) = f(x) + g(y)$ 时，求 $h(x, y)$ 的表达式，其中函数 $f, g$ 均为光滑函数.\",", "answer_ideas": ["\" 1、经计算可得} $$ r_x = (1, 0, h_x), r_y = (0, 1, h_y), $$ $$ r_{xx} = (0, 0, h_{xx}), r_{xy} = (0, 0, h_{xy}), r_{yy} = (0, 0, h_{yy}) $$ 经计算可得 $S$ 的单位法向量 $$ \\vec{n} = \\frac{\\vec{r}_x \\times \\vec{r}_y}{|\\vec{r}_x \\times \\vec{r}_y|} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + h_x^2 + h_y^2}} (-h_x, -h_y, 1) $$ 以及 $S$ 的第一基本形式系数和第二基本形式的系数 $$ E = r_x \\cdot r_x = 1 + h_x^2, F = r_x \\cdot r_y = h_x h_y, $$ $$ G = r_y \\cdot r_y = 1 + h_y^2, $$ $$ L = r_{xx} \\cdot n = \\frac{h_{xx}}{\\sqrt{1 + h_x^2 + h_y^2}}, $$ $$ M = r_{xy} \\cdot n = \\frac{h_{xy}}{\\sqrt{1 + h_x^2 + h_y^2}}, $$ $$ N = r_{yy} \\cdot n = \\frac{h_{yy}}{\\sqrt{1 + h_x^2 + h_y^2}} $$ 于是，可得 $S$ 的平均曲率 $$ H = \\frac{LG - 2FM + EN}{2(EG - F^2)} $$ $$ = \\frac{h_{xx}(1 + h_y^2) - 2h_x h_y h_{xy} + h_{yy}(1 + h_x^2)}{2(1 + h_x^2 + h_y^2)^{\\frac{3}{2}}} $$\n3、当 $h(x, y) = f(x) + g(y)$ 时，我们有} $$ h_x = f'(x), h_y = g'(y), h_{xx} = f''(x), $$ $$ h_{xy} = 0, h_{yy} = g''(y) $$ 于是，我们有 $$ H = \\frac{f''(x)\\left(1 + (g'(y))^2\\right) + g''(y)\\left(1 + (f'(x))^2\\right)}{2\\left(1 + (f'(x))^2 + (g'(y))^2\\right)^{\\frac{2}{3}}} $$， 当 $S$ 为极小曲面，即 $H \\equiv 0$ 时，得到 $$ f''(x) \\left(1 + (g'(y))^2 \\right) + g''(y) \\left(1 + (f'(x))^2 \\right) = 0, $$ 即 $$ \\frac{f''(x)}{1 + (f'(x))^2} = -\\frac{g''(y)}{1 + (g'(y))^2}. $$ 根据 (1)，我们设 $$ \\frac{f''(x)}{1 + (f'(x))^2} = c $$ 其中 $c$ 为常数。求解上述方程我们得到 $$ f(x) = -\\frac{1}{c} \\ln \\cos(cx + d), $$ $$ g(y) = -\\frac{1}{c} \\ln \\cos(cy + b), $$ 其中 $d, b$ 是常数。于是得到 $$ h(x, y) = \\frac{1}{c} \\ln \\frac{\\cos(cy + b)}{\\cos(cx + d)}. $$ 当 $c = 0$ 时，我们得到 $f''(x) = g''(y) = 0$。此时，我们有 $$ f(x) = a_1 x + b_1, g(y) = a_2 y + b_2, $$ 其中 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 都是常数。于是， $$ h(x, y) = a_1 x + a_2 y + b_1 + b_2. $$ 。\"\n        },\n"], "refined_standard_answer": ["\\frac{h_{xx}(1 + h_y^2) - 2h_x h_y h_{xy} + h_{yy}(1 + h_x^2)}{2(1 + h_x^2 + h_y^2)^{\\frac{3}{2}}}", "h(x, y) = a_1 x + a_2 y + b_1 + b_2"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "将一个 $2023 \\times 2023$ 方格表的每个格黑白染色，满足每个 $2 \\times 2$ 小正方形中均至少有一个黑格，且每个黑格均在一个 $2 \\times 2$ 小黑色正方形中，记 $a_i$ 为每行中黑格的个数，$b_i$ 为每列中黑格的个数，求 $\\sum_{i=1}^{2023}\\left(a_i^2-b_i^2\\right)$ 的最大值．", "answer_ideas": ["\n【详解】构造为 $3 k-1,3 k$ 行均染黑 $(k=1,2, \\ldots, 674)$ ，其余 染白．\n因为 $\\sum_{i=1}^{2023} a_i=\\sum_{i=1}^{2023} b_i$ ，\n因此 $\\sum_{i=1}^{2023}\\left(a_i^2-b_i^2\\right)=\\sum_{i=1}^{2023}\\left(a_i+b_i-2696\\right)\\left(a_i-b_i\\right) \\leq \\sum_{i=1}^{2023} \\frac{1}{4}\\left(2 a_i-2696\\right)^2$ ．\n只需 $\\sum_{i=1}^{2023}\\left(a_i-1348\\right)^2 \\leq 1348 \\cdot 675^2+675 \\cdot 1348^2$ ．\n又 $\\left(a_{2023}-1348\\right)^2 \\leq 1348^2$ ，\n只需 $\\left(a_{3 k-2}-1348\\right)^2+\\left(a_{3 k-1}-1348\\right)^2+\\left(a_{3 k}-1348\\right)^2 \\leq 1348^2+675^2 \\cdot 2$ ，\n\n设第 $3 k-1$ 行中某段连续黑格长为 $l_1$ ，\n\n由每个黑格均在 $2 \\times 2$ 黑色正方形中，第 $3 k-2$ ，第 $3 k$ 行中与这一段同列的黑格总数 $\\geq l_1$ 个．\n\n设第 $3 k-1$ 行中某段连续白格长为 $l_2$ ，由每个 $2 \\times 2$ 小正方形中均至少有一个黑格，第 $3 k-2$ ，第 $3 k$ 行中与这一段同列黑格数各有 $\\geq l_2-1$ 个．\n\n若 $a_{3 k-1} \\geq 674$ ，由以上论述，$a_{3 k-2}+a_{3 k} \\geq a_{3 k-1} \\geq 674$ ，\n由 $a_i \\in[0,2023]$ 及二次函数凸性，有 $\\left(a_{3 k-2}-1348\\right)^2+\\left(a_{3 k}-1348\\right)^2 \\leq 1348^2+675^2$ ，\n结合 $\\left(a_{3 k-1}-1348\\right)^2 \\leq 675^2$ 得证．\n若 $a_{3 k-1}<674$ ，第 $3 k-1$ 行白格被分为至多 674 段，\n故 $a_{3 k-2}, a_{3 k} \\geq 1349-674=675,\\left(a_{3 k}-1348\\right)^2 \\leq 675^2$ ，\n$\\left(a_{3 k-2}-1348\\right)^2 \\leq 675^2,\\left(a_{3 k-1}-1348\\right)^2 \\leq 1348^2$,\n得证．\n将 $k=1,2, \\cdots 674$ 这 674 条式子与 $\\left(a_{2023}-1348\\right)^2 \\leq 1348^2$ 相加得证．"], "refined_standard_answer": ["1840727700"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "Compute the 100th smallest positive multiple of 7 whose digits in base 10 are all strictly less than 3.", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["221221"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "设抛物线 $\\Gamma: y^2=2 p x, p$ 是大于 0 的常数抛物线 $\\Gamma$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $\\Gamma$ 于 $A, B$ 两点（点 A 在 $x$ 轴上方），直线 $l: y=k x(k>0)$ 与直线 $A B$ 相交于点 $D$ （异于 $A, B$ ），与抛物线 $\\Gamma$ 相交于点 $E$（异于坐标原点 $O$ ），直线 $E F$ 交抛物线 $\\Gamma$ 于另一点 $C$ ，直线 $C D$ 与 $x$ 轴相交于点 $G$ ． （1）若 $F$ 是 $\\triangle O C D$ 的重心，求 $k$ 的值； （2）设直线 $l$ 与直线 $B C$ 相交于点 $P, M, N$ 分别为线段 $B E, P F$ 的中点．设 $\\triangle P M G$ 的面积为 $S_1, \\triangle O M F$ 的面积为 $S_2$ ，若 $S_1 \\leq \\frac{3}{2} S_2$ ，求 $k$ 的取值范围．", "answer_ideas": ["## 【详解】\n\n### （1）\n\n由题意可得  \n$F\\left(\\frac{p}{2}, 0\\right), A\\left(\\frac{p}{2}, p\\right), B\\left(\\frac{p}{2},-p\\right), D\\left(\\frac{p}{2}, \\frac{p k}{2}\\right)$  \n\n联立 $l: y=k x(k>0)$ 与 $\\Gamma: y^2=2 p x$，可得 $k^2 x^2=2 p x$，由于 $x \\neq 0$，  \n故 $x=\\frac{2 p}{k^2}, y=\\frac{2 p}{k}$，故 $E\\left(\\frac{2 p}{k^2}, \\frac{2 p}{k}\\right)$  \n\n则 $E F: y=\\frac{\\frac{2 p}{k}}{\\frac{2 p}{k^2}-\\frac{1}{2} p}\\left(x-\\frac{p}{2}\\right)$，化简可得 $E F: y=\\frac{4 k}{4-k^2}\\left(x-\\frac{p}{2}\\right)$  \n\n联立 $E F: y=\\frac{4 k}{4-k^2}\\left(x-\\frac{p}{2}\\right)$ 与 $\\Gamma: y^2=2 p x$，可得 $y^2-\\frac{p\\left(4-k^2\\right)}{2 k} y-p^2=0$  \n\n故 $y_E y_C=-p^2$，进而可得 $y_C=\\frac{-p^2}{y_E}=-\\frac{1}{2} k p$，故 $C\\left(\\frac{k^2 p}{8},-\\frac{1}{2} k p\\right)$  \n\n由于 $\\triangle O C D$ 的重心为 $F$，故 $\\frac{\\frac{k^2 p}{8}+\\frac{p}{2}+0}{3}=\\frac{p}{2}$，化简得 $k^2=8$  \n$\\because k>0, \\quad \\therefore k=2 \\sqrt{2}$  "], "refined_standard_answer": ["k=2 \\sqrt{2}", "(0,4]"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "Let $a, b$, and $c$ be real numbers satisfying the system of equations $$ \\begin{aligned} & a \\sqrt{1+b^2}+b \\sqrt{1+a^2}=\\frac{3}{4} \\\\ & b \\sqrt{1+c^2}+c \\sqrt{1+b^2}=\\frac{5}{12} \\\\ & c \\sqrt{1+a^2}+a \\sqrt{1+c^2}=\\frac{21}{20} \\end{aligned} $$ Compute $a$.", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["\\frac{7}{2 \\sqrt{30}}"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "已知圆 $O: x^2+y^2=4, B(-1,0), C(1,0)$ 点 $M$ 在圆 $O$ 上，延长 $C M$ 到 A ，使 $|C M|=|M A|$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，满足 $(\\overrightarrow{P A}+\\overrightarrow{P C}) \\cdot \\overrightarrow{A C}=0$ ． （1）求点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程； （2）设 $Q$ 点在直线 $x=1$ 上运动，$D_1(-2,0), D_2(2,0)$ ．直线 $Q D_1$ 与 $Q D_2$ 与轨迹 $E$ 分别交于 $G, H$两点，求 ${ }_{\\triangle} O G H$ 面积的最大值．", "answer_ideas": ["【分析】（1）由题意可得 $|\\overrightarrow{P A}|=|\\overrightarrow{P C}|$ ，再根据 $M$ 为 $A C$ 的中点，可得 $|O M|=\\frac{1}{2}|A B|$ ，再根据 $|P B|+|P C|=|P B|+|P A|=|A B|$ ，结合椭圆的定义即可得解；\n（2）设 $Q\\left(1, y_0\\right), G\\left(x_1, y_1\\right), H\\left(x_2, y_2\\right)$ ，根据 $Q, G, D_1$ 三点共线，$Q, H, D_2$ 三点共线，求出 $G, H$两点坐标的关系，设 $G H$ 的方程为 $t y=x+m$ ，联立方程，利用韦达定理求得 $y_1+y_2, y_1 y_2$ ，再根据弦长公式及点到直线的距离公式分析即可得解．\n\n【详解】（1）因为 $(\\overrightarrow{P A}+\\overrightarrow{P C}) \\cdot \\overrightarrow{A C}=0$ ，所以 $(\\overrightarrow{P A}+\\overrightarrow{P C}) \\cdot(\\overrightarrow{P C}-\\overrightarrow{P A})=0$ ，\n所以 $\\overrightarrow{P A}^2=\\overrightarrow{P C}^2$ ，所以 $|\\overrightarrow{P A}|=|\\overrightarrow{P C}|$ ，\n因为 $|C M|=|M A|$ ，所以 $M$ 为 $A C$ 的中点，\n又因 $O$ 为 $B C$ 的中点，所以 $|O M|=\\frac{1}{2}|A B|=2$ ，所以 $|A B|=4$ ，\n则 $|P B|+|P C|=|P B|+|P A|=|A B|=4>|B C|$ ，\n所以点 $P$ 的轨迹是以 $B, C$ 为焦点的椭圆，而 $2^2-1^2=3$ ，\n所以点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程为 $\\frac{x^2}{4}+\\frac{y^2}{3}=1$ ；\n（2）由（1）得 $D_1(-2,0), D_2(2,0)$ 是椭圆 $E$ 的左右顶点，\n\n设 $Q\\left(1, y_0\\right), G\\left(x_1, y_1\\right), H\\left(x_2, y_2\\right)$ ，\n由 $Q, G, D_1$ 三点共线，得 $\\overrightarrow{D_1 Q} / / \\overrightarrow{D_1 G}$ ，而 $\\overrightarrow{D_1 Q}=\\left(3, y_0\\right), \\overrightarrow{D_1 G}=\\left(x_1+2, y_1\\right)$ ，\n所以 $3 y_1=y_0\\left(x_1+2\\right)$ ，所以 $y_0=\\frac{3 y_1}{x_1+2}$ ，\n由 $Q, H, D_2$ 三点共线，得 $\\overrightarrow{D_2 Q} / / \\overrightarrow{D_2 H}$ ，而 $\\overrightarrow{D_1 Q}=\\left(-1, y_0\\right), \\overrightarrow{D_1 G}=\\left(x_2-2, y_2\\right)$ ，\n所以 $-y_1=y_0\\left(x_1-2\\right)$ ，所以 $y_0=-\\frac{y_2}{x_2-2}$ ，\n所以 $\\frac{3 y_1}{x_1+2}=-\\frac{y_2}{x_2-2}$ ，即 $3 y_1\\left(x_2-2\\right)+y_2\\left(x_1+2\\right)=0$ ，\n设 $G H$ 的方程为 $t y=x+m$ ，\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}t y=x+m \\\\ \\frac{x^2}{4}+\\frac{y^2}{3}=1\\end{array}\\right.$ ，得 $\\left(3 t^2+4\\right) y^2-6 t m y+3 m^2-12=0$ ，\n则 $\\Delta=36 t^2 m^2-4\\left(3 t^2+4\\right)\\left(3 m^2-12\\right)=48\\left(3 t^2-m^2+4\\right)>0$ ，\n\n$$\ny_1+y_2=\\frac{6 t m}{3 t^2+4}, y_1 y_2=\\frac{3 m^2-12}{3 t^2+4},\n$$\n\n\n所以 $2 t y_1 y_2=\\frac{m^2-4}{m}\\left(y_1+y_2\\right)$ ，\n由 $3 y_1\\left(x_2-2\\right)+y_2\\left(x_1+2\\right)=0$ ，\n\n得 $3 y_1\\left(t y_2-m-2\\right)+y_2\\left(t y_1-m+2\\right)=0$ ，\n\n即 $4 t y_1 y_2-(m-2) y_2-3(m+2) y_1=0$ ，\n\n所以 $\\frac{2\\left(m^2-4\\right)}{m}\\left(y_1+y_2\\right)-(m-2) y_2-3(m+2) y_1=0$ ，\n\n所以 $(m+4)\\left[(m-2) y_2-(m+2) y_1\\right]=0$ 恒成立，所以 $m=-4$ ，\n则 $\\Delta=48\\left(3 t^2-12\\right)>0$ ，所以 $t^2>4$ ，\n则 $y_1+y_2=-\\frac{24 t}{3 t^2+4}, y_1 y_2=\\frac{36}{3 t^2+4}, G H$ 的方程为 $t y=x-4$ ，\n所以 $|G H|=\\sqrt{1+t^2} \\cdot \\sqrt{\\left(y_1+y_2\\right)^2-4 y_1 y_2}=\\sqrt{1+t^2} \\cdot \\frac{12 \\sqrt{t^2-4}}{3 t^2+4}$ ，\n原点，$O$ 到直线 $G H$ 的距离 $d=\\frac{4}{\\sqrt{1+t^2}}$ ，\n则 $S_{-O G H}=\\frac{1}{2}|G H| d=\\frac{24 \\sqrt{t^2-4}}{3 t^2+4}=24 \\cdot \\frac{\\sqrt{t^2-4}}{3\\left(t^2-4\\right)+16}=\\frac{24}{\\frac{3}{\\sqrt{t^2-4}}+16 \\sqrt{t^2-4}}$\n$\\leq \\frac{24}{2 \\sqrt{\\frac{3}{\\sqrt{t^2-4}} \\cdot 16 \\sqrt{t^2-4}}}=\\frac{24}{8 \\sqrt{3}}=\\sqrt{3}$ ，\n当且仅当 $\\frac{3}{\\sqrt{t^2-4}}=16 \\sqrt{t^2-4}$ ，即 $t= \\pm \\frac{2 \\sqrt{21}}{3}$ 时取等号，\n所以 $\\triangle O G H$ 面积的最大值为 $\\sqrt{3}$ ．"], "refined_standard_answer": ["\\frac{x^2}{4}+\\frac{y^2}{3}=1", "\\sqrt{3}"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "Compute the largest possible radius of a circle contained in the region defined by $|x+|y|| \\leq 1$ in the coordinate plane.", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["2 \\sqrt{2}-2"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "Let $P$ be a point inside triangle $ABC$. Find the maximum of $\\cos \\frac{\\angle ABC}{2} \\sin \\frac{\\angle APC}{2} + \\cos \\frac{\\angle BCA}{2} \\sin \\frac{\\angle BPA}{2} + \\cos \\frac{\\angle CAB}{2} \\sin \\frac{\\angle CPB}{2} $", "answer_ideas": [" First note that the sine function is concave on $(0,\\pi)$, and therefore, by Jensen’s inequality, for any $\\alpha$, $\\beta$, $\\gamma \\in (0,\\pi)$ we have\n\n$\\sin \\alpha + \\sin \\beta + \\sin \\gamma \\leq 3 \\sin \\left( \\frac{\\alpha + \\beta + \\gamma}{3} \\right),$\n\nwith equality if and only if $\\alpha = \\beta = \\gamma$.\n\nLet $a = \\angle CAB, b = \\angle ABC, c = \\angle BCA, x = \\angle CPB, y = \\angle APC$, and $z = \\angle BPA$. We have $a + b + c = \\pi, x + y + z = 2\\pi$, and $a, b, c, x, y, z \\in (0, \\pi)$. Applying first the product-to-sum formula and then (*), we obtain\n\n$\\cos \\frac{b}{2} \\sin \\frac{y}{2} + \\cos \\frac{c}{2} \\sin \\frac{z}{2} + \\cos \\frac{a}{2} \\sin \\frac{x}{2}$\n\n$= \\frac{1}{2} \\left( \\sin \\frac{y + b}{2} + \\sin \\frac{y - b}{2} + \\sin \\frac{z + c}{2} + \\sin \\frac{z - c}{2} + \\sin \\frac{x + a}{2} + \\sin \\frac{x - a}{2} \\right)$\n\n$\\leq \\frac{3}{2} \\left( \\sin \\frac{x + y + z + a + b + c}{6} + \\sin \\frac{x + y + z - a - b - c}{6} \\right)$\n\n$= \\frac{3}{2} \\left( \\sin \\frac{\\pi}{2} + \\sin \\frac{\\pi}{6} \\right) = \\frac{9}{4}.$\n\nEquality holds if and only if $(x + a)/2 = (y + b)/2 = (z + c)/2$ and $(x - a)/2 = (y - b)/2 = (z - c)/2$. Adding and subtracting these equations, we see that this is equivalent to $a = b = c$ and $x = y = z$. This means that $ABC$ is equilateral and $P$ is its Fermat point, and thus $P$ is its center as well."], "refined_standard_answer": ["\\frac{9}{4}"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "令$p$ 为奇素数, $m \\geq 0$ 和 $N \\geq 1$ 为整数。设 $\\Lambda$ 为一秩为 $2m + 1$ 的自由 $\\mathbb{Z}/p^N\\mathbb{Z}$-模，并设 \\[ (,): \\Lambda \\times \\Lambda \\to \\mathbb{Z}/p^N\\mathbb{Z} \\] 为一完美对称 $\\mathbb{Z}/p^N\\mathbb{Z}$-双线性型。这里，“完美”指的是诱导映射 \\[ \\Lambda \\to \\text{Hom}_{\\mathbb{Z}/p^N\\mathbb{Z}}(\\Lambda, \\mathbb{Z}/p^N\\mathbb{Z}), \\quad x \\mapsto (x, \\cdot) \\] 为同构。试求集合 \\[ \\{ x \\in \\Lambda \\mid (x, x) = 0 \\} \\] 的元素个数，表达为 $p, m, N$ 的函数。", "answer_ideas": ["对每个整数 $0 \\leq n \\leq N$，设 $$ \\Lambda(n) := \\{ x \\in \\Lambda \\mid (x, x) \\in p^n \\mathbb{Z}/p^N \\mathbb{Z} \\}, $$ 它在 $p^n \\Lambda$ 的迁移下是稳定的。设 $C(n) := |\\Lambda(n)|$。我们的目标是计算 $C(N)$。$C(0) = |\\Lambda| = p^{(2m+1)N}$ 是平凡的。 我们首先算一下 $C(1)$。商空间 $\\Lambda/p\\Lambda$ 关于 $\\mathbb{F}_p$-双线性形式 $(, ) \\mod p$ 是 $\\mathbb{F}_p$ 上的一个 $2m+1$ 维非退化的二次空间。显然一个元素 $x \\in \\Lambda/p\\Lambda$ 属于 $\\Lambda(1)/p\\Lambda$ 当且仅当 $x$ 的长度为 0。 我们断言对每个 $2m+1$ 维 $\\mathbb{F}_p$ 系数的非退化二次空间 $V$，长度为 0 的元素个数是 $p^{2m}$。下面对 $m$ 作归纳。$m=0$ 时是平凡的；$m>0$ 时，取 $v_1, v_2 \\in V$ 使得 $(v_1, v_2) = 1$，$(v_2, v_2) = -1$，且 $(v_1, v_2) = 0$。设 $V'$ 是 $\\{v_1, v_2\\}$ 在 $V$ 中的正交补空间，它是一个 $2m-1$ 维非退化的二次空间。关于该正交分解，每个 $x \\in V$ 可以写成 $x = x_1 v_1 + x_2 v_2 + x'$，其中 $x_1, x_2 \\in \\mathbb{F}_p$，$x' \\in V'$。于是 $(x, x) = x_1^2 - x_2^2 + (x', x')$。为了计算满足 $(x, x) = 0$ 的元素个数，考虑以下两种情况：若 $(x', x') = 0$，则满足 $x_1^2 - x_2^2 = 0$ 的 $(x_1, x_2) \\in \\mathbb{F}_p^2$ 的个数是 $2p-1$；若 $(x', x') \\neq 0$，则满足 $x_1^2 - x_2^2 = -(x', x') \\neq 0$ 的 $(x_1, x_2) \\in \\mathbb{F}_p^2$ 的个数是 $p-1$（因 $p \\neq 2$）。从而由归纳假设知，长度为 0 的 $x$ 的元素个数共有 $p^{2m-2}(2p-1) + (p^{2m-1} - p^{2m-2})(p-1) = p^{2m}$ 个。 总之，$C(1) = p^{2m} p^{(2m+1)(N-1)}$。 一般地，对 $n \\geq 1$，设 $\\Lambda(n)' := \\Lambda(n) \\setminus p\\Lambda$ 以及 $\\Lambda(n)'' := \\Lambda(n) \\cap p\\Lambda$，定义 $C(n)'$ 与 $C(n)''$ 分别为集合 $\\Lambda(n)'$ 与 $\\Lambda(n)''$ 的元素个数。我们断言 1. $n \\geq 2$ 时，$\\Lambda(n-2)/p^{n-1}\\Lambda \\to \\Lambda(n)''/p^n\\Lambda$ 的乘 $p$ 映射是双射。 2. $n \\geq 2$ 时，由包含映射 $\\Lambda(n)' \\to \\Lambda(n-1)'$ 诱导的映射 $\\Lambda(n)'/p^n\\Lambda \\to \\Lambda(n-1)'/p^{n-1}\\Lambda$ 是一个 $p^{2m}$-对-1 的映射。 这两个断言的证明稍后给出，我们首先由此计算 $C(n)$。由第一个断言可知 $C(n)'' = p^{-(2m+1)} C(n-2)$，$n \\geq 2$；而由第二个断言知 $C(n)' = p^{-1} C(n-1)'$，$n \\geq 2$。对于后者，我们有 $ C(n)' = p^{-(n-1)} C(1)' = p^{-(n-1)} (C(1) - |p\\Lambda|) = p^{(2m+1)(N-1)-(n-1)} (p^{2m} - 1). $ 结合前者可得以下的递推公式 $ C(n) = C(n)' + C(n)'' = p^{-(2m+1)} C(n-2) + p^{(2m+1)(N-1)-(n-1)} (p^{2m} - 1). $ 进一步容易得到 $ C(N) = p^{(2m+1)r + 2m(N-2r)} + \\frac{p^{(2m+1)r} - 1}{p^{(2m+1)} - 1} p^{(2m+1)r-1 + 2m(N-2r)} (p^{2m} - 1), $ 其中 $r := \\lfloor N/2 \\rfloor$。 接下来证明以上的两个断言。 前者可以通过以下的观察得到，一个元素 $x \\in \\Lambda$ 属于 $\\Lambda(n-2)$ 当且仅当 $px$ 属于 $\\Lambda(n)$。 对于后者，取定 $y \\in \\Lambda(n-1)'/p^{n-1}\\Lambda$。其原像由以下元素组成：$y + p^{n-1} x$ 其中 $x \\in \\Lambda/p\\Lambda$ 且 $ (y, y) + 2p^{n-1} (x, y) + p^{2n-2} (x, x) \\in p^n \\mathbb{Z}/p^N \\mathbb{Z}. $ 因 $n \\geq 2$ 以及 $(y, y) \\in p^{n-1} \\mathbb{Z}/p^N \\mathbb{Z}$，上式等价于 $ p^{1-n} (y, y) + 2 (x, y) \\equiv 0 \\mod p. $ 由于 $p \\neq 2$，$y \\notin p\\Lambda/p^{n-1}\\Lambda$，以及 $\\Lambda/p\\Lambda$ 是一个非退化的二次空间，上式是一个 $\\Lambda/p\\Lambda$ 上关于 $x$ 的一次多项式，从而它的解集的元素个数是 $p^{2m}$。"], "refined_standard_answer": ["$p^{(2m+1)r + 2m(N-2r)} + \\frac{p^{(2m+1)r} - 1}{p^{(2m+1)} - 1} p^{(2m+1)r-1 + 2m(N-2r)} (p^{2m} - 1)$，其中 $r := \\lfloor N/2 \\rfloor$"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "设A，B，C，D，E是空间中五个两两不同的点，任三点不共线。若A，B，C，D是定点，E是动点，且\\(BC = CD = DB = 1\\)，\\(AB = AC = AD = l\\)。已知\\(EA + EB + EC + ED\\)存在最小值，求l的取值范围。", "answer_ideas": ["引理证明在三棱柱\\(ABC - A_{1}B_{1}C_{1}\\)中，\\(\\triangle ABC\\)是边长为2a的等边三角形，三棱柱的高为h，P是平面ABC内的一个动点。步骤一：构造辅助线与转化距离\n设O为\\(\\triangle ABC\\)的中心，过P作平行于AC的直线l，记\\(C'\\)为C关于l的对称点，作\\(C'C_{2}\\perp\\)平面ABC，使得\\(\\vert C'C_{2}\\vert = h\\)，且\\(C_{2}\\notin\\)平面\\(A_{1}B_{1}C_{1}\\)，作\\(BQ\\perp l\\)于Q。\n根据对称性质可得\\(\\vert A_{1}P\\vert+\\vert B_{1}P\\vert+\\vert C_{1}P\\vert=\\vert A_{1}P\\vert+\\vert B_{1}P\\vert+\\vert C_{2}P\\vert\\geq\\vert A_{2}C_{2}\\vert+\\vert B_{1}Q\\vert = 2\\vert A_{1}Q\\vert+\\vert B_{1}Q\\vert\\)，当且仅当\\(A_{1}\\)，P，\\(C_{2}\\)三点共线且\\(P = Q\\)时等号成立。步骤二：建立坐标计算距离函数\n再设\\(A(-a,0,0)\\)，\\(B(0,\\sqrt{3}a,0)\\)，\\(C(a,0,0)\\)，则\\(B_{1}(0,\\sqrt{3}a,h)\\)，记\\(Q(0,q,0)\\) 。\n\\(2\\vert A_{1}Q\\vert+\\vert B_{1}Q\\vert = 2\\sqrt{q^{2}+h^{2}+a^{2}}+\\sqrt{h^{2}+(\\sqrt{3}a - q)^{2}}=f(q)\\) 。\n对\\(f(q)\\)求导得\\(f'(q)=\\frac{2q}{\\sqrt{q^{2}+h^{2}+a^{2}}}+\\frac{q - \\sqrt{3}a}{\\sqrt{h^{2}+(\\sqrt{3}a - q)^{2}}}\\) 。步骤三：分析函数单调性求最值\n由\\(h\\neq0\\)知\\(f'(q)\\)对每一点q都是存在的。解不等式\\(f'(q)\\geq0\\)得\\(q\\geq\\frac{\\sqrt{3}}{3}a\\) 。\n故\\(f(q)\\)在\\((-\\infty,\\frac{\\sqrt{3}}{3}a)\\)严格递减，在\\((\\frac{\\sqrt{3}}{3}a,+\\infty)\\)严格递增，因此\\(f(q)\\geq f(\\frac{\\sqrt{3}}{3}a)=3\\sqrt{h^{2}+\\frac{4a^{2}}{3}}\\) ，引理得证。原问题 (3) 解答已知\\(BC = CD = DB = 1\\)，\\(AB = AC = AD = l\\)，显然\\(l\\geq\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) 。\n不妨设\\(E\\notin\\)平面BCD（否则可视为极限情况），过E作平面BCD的平行平面\\(\\alpha\\)，A在\\(\\alpha\\)的投影为F。由引理以及\\(\\vert ED\\vert\\geq\\vert FD\\vert\\)得\\(\\vert EA\\vert+\\vert EB\\vert+\\vert EC\\vert+\\vert ED\\vert\\geq\\vert FA\\vert+\\vert FB\\vert+\\vert FC\\vert+\\vert FD\\vert\\) 。\n设\\(B(-\\frac{1}{2},0,0)\\)，\\(C(\\frac{1}{2},0,0)\\)，\\(D(0,\\frac{\\sqrt{3}}{2},0)\\)，则\\(A(0,\\frac{\\sqrt{3}}{6},\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}})\\) ，记\\(F(0,\\frac{\\sqrt{3}}{6},h)\\) ，则\\(\\vert FA\\vert+\\vert FB\\vert+\\vert FC\\vert+\\vert FD\\vert = 3\\sqrt{h^{2}+\\frac{1}{3}}+\\vert\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}}-h\\vert = g(h)\\) 。分析\\(g(h)\\)单调性（情况一）：\n易知\\(g(h)\\)在\\((-\\infty,\\min\\{\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}},\\frac{\\sqrt{6}}{12}\\})\\)单调递减，在\\((\\min\\{\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}},\\frac{\\sqrt{6}}{12}\\},+\\infty)\\)单调递增。\n当\\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\leq l\\leq\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\)时，\\(\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}}\\leq\\frac{\\sqrt{6}}{12}\\) ，此时\\(g(h)\\)在\\((-\\infty,\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}})\\)严格递减，在\\((\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}},+\\infty)\\)严格递增，因为任意两点不重合，上式取等号当且仅当F与A重合，矛盾，所以此时\\(g(h)\\)无最小值。分析\\(g(h)\\)单调性（情况二）：\n当\\(l > \\frac{\\sqrt{6}}{4}\\)时，\\(\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}}>\\frac{\\sqrt{6}}{12}\\) ，此时\\(g(h)\\)在\\((-\\infty,\\frac{\\sqrt{6}}{12})\\)严格递减，在\\((\\frac{\\sqrt{6}}{12},+\\infty)\\)严格递增，故\\(g(h)\\geq g(\\frac{\\sqrt{6}}{12})=\\frac{2\\sqrt{6}}{3}+\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}}\\) 。\n等号成立当且仅当\\(E = F\\)且FBCD是正四面体，此时F严格位于正三棱锥\\(A - BCD\\)的内部，因此\\(\\vert EA\\vert+\\vert EB\\vert+\\vert EC\\vert+\\vert ED\\vert\\)有最小值\\(\\frac{2\\sqrt{6}}{3}+\\sqrt{l^{2}-\\frac{1}{3}}\\) 。综上，l的取值范围是\\((\\frac{\\sqrt{6}}{4},+\\infty)\\) 。"], "refined_standard_answer": ["\\((\\frac{\\sqrt{6}}{4},+\\infty)\\)"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "存在唯一的正实数三元组 $(a,b,c)$ 满足方程 $2\\left(a^2+1\\right)=3\\left(b^2+1\\right)=4\\left(c^2+1\\right) \\quad \\text{和} \\quad a b+b c+c a=1$。计算 $a+b+c$ 。", "answer_ideas": ["第一步：设等式等于同一常数并表示变量\n设 $2\\left(a^2+1\\right)=3\\left(b^2+1\\right)=4\\left(c^2+1\\right)=k$ ，其中 $k>4$（保证根号内为正）。\n\n由此可得：$\\left\\{\\begin{array}{l}a^2=\\frac{k}{2}-1 \\Longrightarrow a=\\sqrt{\\frac{k}{2}-1}, \\\\ b^2=\\frac{k}{3}-1 \\Longrightarrow b=\\sqrt{\\frac{k}{3}-1}, \\\\ c^2=\\frac{k}{4}-1 \\Longrightarrow c=\\sqrt{\\frac{k}{4}-1} .\\end{array}\\right.$\n\n第二步：计算平方和与目标平方\n利用 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a)$ ，已知 $a b+b c+c a=1$ ，先求 $a^2+b^2+c^2$ ：\n\n$$\na^2+b^2+c^2=\\left(\\frac{k}{2}-1\\right)+\\left(\\frac{k}{3}-1\\right)+\\left(\\frac{k}{4}-1\\right)=\\frac{13 k}{12}-3 .\n$$\n\n\n代入得：$(a+b+c)^2=\\left(\\frac{13 k}{12}-3\\right)+2 \\times 1=\\frac{13 k}{12}-1$ ．\n\n第三步：代入乘积和条件解方程\n将 $a, b, c$ 代入 $a b+b c+c a=1$ ：\n\n$$\n\\sqrt{\\left(\\frac{k}{2}-1\\right)\\left(\\frac{k}{3}-1\\right)}+\\sqrt{\\left(\\frac{k}{3}-1\\right)\\left(\\frac{k}{4}-1\\right)}+\\sqrt{\\left(\\frac{k}{2}-1\\right)\\left(\\frac{k}{4}-1\\right)}=1 .\n$$\n\n\n为简化计算，令 $k=12 m$（消去分母），则：$\\left\\{\\begin{array}{l}a=\\sqrt{6 m-1}, \\\\ b=\\sqrt{4 m-1}, \\\\ c=\\sqrt{3 m-1},\\end{array}\\right.$\n\n代入得：$\\sqrt{(6 m-1)(4 m-1)}+\\sqrt{(4 m-1)(3 m-1)}+\\sqrt{(6 m-1)(3 m-1)}=1$ ．\n\n通过尝试或最终验证，当 $k=\\frac{96}{23}$ 时（对应 $m=\\frac{8}{23}$ ），满足上述方程：\n\n第四步：验证并计算结果\n当 $k=\\frac{96}{23}$ 时：$\\left\\{\\begin{array}{l}a=\\sqrt{\\frac{96}{46}-1}=\\sqrt{\\frac{25}{23}}=\\frac{5}{\\sqrt{23}}, \\\\ b=\\sqrt{\\frac{96}{69}-1}=\\sqrt{\\frac{9}{23}}=\\frac{3}{\\sqrt{23}}, \\\\ c=\\sqrt{\\frac{96}{92}-1}=\\sqrt{\\frac{1}{23}}=\\frac{1}{\\sqrt{23}} .\\end{array}\\right.$\n\n验证 $a b+b c+c a: \\frac{5}{\\sqrt{23}} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{23}}+\\frac{3}{\\sqrt{23}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{23}}+\\frac{5}{\\sqrt{23}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{23}}=\\frac{15+3+5}{23}=1$ ，\n\n符合条件。最后计算 $a+b+c: a+b+c=\\frac{5}{\\sqrt{23}}+\\frac{3}{\\sqrt{23}}+\\frac{1}{\\sqrt{23}}=\\frac{9}{\\sqrt{23}}$ ．"], "refined_standard_answer": ["$\\frac{9}{\\sqrt{23}}$"], "sub_subject_name": "Algebra and Geometry", "subject_name": "Math"}
{"question": "试用两个双层位势化混合问题\n\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\frac{\\partial u}{\\partial t}=a^2 \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}, t>0, x>0, t+1>x \\\\\n\\left.u\\right|_{x=0}=g_1(t),\\left.u\\right|_{x=t+1}=g_2(t) \\\\\n\\left.u\\right|_{t=0}=0\n\\end{array}\\right.\n$$\n\n\n为积分方程组．", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["所求积分方程组为：\\\\ \\left\\{\\begin{array}{l}w_1(t)-\\int_0^t w_2(\\tau) K_1(t, \\tau) \\mathrm{d} \\tau=g_1(t) \\\\ w_2(t)+\\int_0^t w_1(\\tau) K_2(t, \\tau) \\mathrm{d} \\tau+\\int_0^t w_2(\\tau) K_3(t, \\tau) \\mathrm{d} \\tau=g_2(t)\\end{array}\\right. \\\\ 其中核函数为：\\\\ K_1(t, \\tau)=\\frac{1}{2 a \\sqrt{\\pi}} \\frac{(\\tau+1)}{(t-\\tau)^{3 / 2}} \\mathrm{e}^{-\\frac{(\\tau+1)^2}{4 a^2(t-\\tau)}} \\\\ K_2(t, \\tau)=\\frac{1}{2 a \\sqrt{\\pi}} \\frac{(\\tau+1)}{(t-\\tau)^{3 / 2}} \\mathrm{e}^{-\\frac{(t+1)^2}{4 a^2(t-\\tau)}} \\\\ K_3(t, \\tau)=\\frac{1}{2 a \\sqrt{\\pi}} \\frac{1}{(t-\\tau)^{1 / 2}} \\mathrm{e}^{-\\frac{(t-\\tau)}{4 a^2}} \\\\ 解的表达式为：\\\\ u(x, t)=\\frac{x}{2 a \\sqrt{\\pi}} \\int_0^t \\frac{w_1(\\tau)}{(t-\\tau)^{3 / 2}} \\mathrm{e}^{-\\frac{x^2}{4 a^2(t-\\tau)}} \\mathrm{d} \\tau \\\\ \\quad+\\frac{1}{2 a \\sqrt{\\pi}} \\int_0^t \\frac{w_2(\\tau)}{(t-\\tau)^{3 / 2}}(x-\\tau-1) \\mathrm{e}^{-\\frac{(x-\\tau-1)^2}{4 a^2(t-\\tau)}} \\mathrm{d} \\tau"], "sub_subject_name": "Differential Equations and Dynamical Systems", "subject_name": "Math"}
{"question": "求解下列积分方程的解核，求相应齐次方程的固有值和固有函数，当 $\\lambda$ 为固有值时，列出非齐次方程有解的相容性条件，\n$\\varphi(x)=\\lambda \\int_0^1(x+\\xi) \\varphi(\\xi) \\mathrm{d} \\xi+f(x)$", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["解核为 $\\Gamma(x, \\xi, \\lambda) =\\frac{1}{\\Delta(\\lambda)}\\left(\\left(1-\\frac{\\lambda}{2}\\right) x+\\frac{\\lambda}{3} x \\xi+\\lambda+\\left(1-\\frac{\\lambda}{2}\\right) \\xi\\right)$，其中 $\\Delta(\\lambda) =1-\\lambda-\\frac{\\lambda^2}{12}$", "固有值为 $\\lambda_1=-6+4 \\sqrt{3}, \\lambda_2=-6-4 \\sqrt{3}$；相应的固有函数为 $\\varphi_1(x)=\\sqrt{3} x+1, \\varphi_2(x)=-\\sqrt{3} x+1$", "当 $\\lambda=\\lambda_1$ 时，相容性条件为 $\\int_0^1 f(x)(\\sqrt{3} x+1) \\mathrm{d} x=0$；当 $\\lambda=\\lambda_2$ 时，相容性条件为 $\\int_0^1 f(x)(-\\sqrt{3} x+1) \\mathrm{d} x=0$"], "sub_subject_name": "Differential Equations and Dynamical Systems", "subject_name": "Math"}
{"question": "\\text { 求方程 } x \\mathrm{~d} y-y \\mathrm{~d} x=\\sqrt{x^2+y^2} \\mathrm{~d} x \\text { 的通解．}", "answer_ideas": ["解 $\\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{~d} x}=\\frac{y+\\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\\frac{y}{x} \\pm \\sqrt{1+\\left(\\frac{y}{x}\\right)^2} \\quad(x>0$ 根式取正，$x<0$ 根式取负 $)$\n当 $x>0$ 时，令 $u=\\frac{y}{x}$ ．方程化为\n\n$$\nu+x u^{\\prime}=u+\\sqrt{1+u^2} \\text {, 即 } \\frac{\\mathrm{d} u}{\\sqrt{1+u^2}}=\\frac{\\mathrm{d} x}{x}\n$$\n\n\n积分得通解\n\n$$\n\\ln \\left(u+\\sqrt{1+u^2}\\right)=\\ln |x|+\\ln |C| \\text {, 即 } \\frac{u+\\sqrt{1+u^2}}{x}=C\n$$\n\n\n代回原变量为\n\n$$\ny+\\sqrt{x^2+y^2}=C x^2\n$$\n\n\n当 $x<0$ 时，类似可得通解 $-y+\\sqrt{x^2+y^2}=C$ ．"], "refined_standard_answer": ["-y+\\sqrt{x^2+y^2}=C"], "sub_subject_name": "Differential Equations and Dynamical Systems", "subject_name": "Math"}
{"question": "Notice that because the graph is undirected, finding a path from $S$ to $G$ is equivalent to finding a path from $G$ to $S$, since reversing a path gives us a path from the other direction of the same length. This fact inspired bidirectional search. As the name implies, bidirectional search consists of two simultaneous searches which both use the same algorithm; one from $S$ towards $G$, and another from $G$ towards $S$. When these searches meet in the middle, they can construct a path from $S$ to $G$. More concretely, in bidirectional search: • We start Search 1 from $S$ and Search 2 from $G$. • The searches take turns popping nodes off of their separate fringes. First Search 1 expands a node, then Search 2 expands a node, then Search 1 again, etc. • This continues until one of the searches expands some node $X$ which the other search has also expanded. • At that point, Search 1 knows a path from $S$ to $X$, and Search 2 knows a path from $G$ to $X$, which provides us with a path from $X$ to $G$. We concatenate those two paths and return our path from $S$ to $G$. Repeat part (a) with the bidirectional versions of the algorithms from before. Give the tightest possible bounds, using big $\\mathcal{O}$ notation, on both the absolute best and worst - case number of node expansions by the bidirectional search algorithm. Your bound should still be a function of variables from the set $\\{N, D, L\\}$. Bidirectional BFS Tree Search Worst case:", "answer_ideas": ["Best case: $\\mathcal{O}(D^{\\frac{L}{2}-1})$. Bidirectional Search improves BFS. Each search will expand half of the optimal path to the goal before meeting in the middle, at some node at depth $L/2$ for both searches. In the best case, this node is the first one expanded at that depth for both searches, so the number of node expansions is $\\mathcal{O}(D^{\\frac{L}{2}-1})$ for the same reason as in part a(ii). "], "refined_standard_answer": ["$\\mathcal{O}(D^{\\frac{L}{2}})$"], "sub_subject_name": "Artificial Intelligence", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "You are trying to plan a road trip from city A to city B. You are given an undirected graph of roads of the entire country, together with the distance along each road between any city X and any city Y: length(X,Y) (For the rest of this question, \"shortest path\" is always in terms of length, not number of edges). You would like to run a search algorithm to find the shortest way to get from A to B (assume no ties). Suppose C is the capital, and thus you know the shortest paths from city C to every other city, and you would like to be able to use this information. Let pathopt(X→Y) denote the shortest path from X to Y and let cost(X,Y) denote the cost of the shortest path between cities X and Y. Let [path(X→Y),path(Y→Z)] denote the concatenation. You decide to initialize priority queue with A, plus a list of all cities X, with path(A→X)=[pathopt(A→C),pathopt(C→X)], and cost(A,X)=cost(A,C)+cost(C,X). You run UCS with this initial priority queue. Which of the following is correct? (Select all that apply) A You always expand the exact same nodes as you would have if you ran standard UCS. B You might expand a different set of nodes, but still find the shortest path. C You might expand a different set of nodes, and find the sub - optimal path. D None of the above.", "answer_ideas": ["Regardless of what is on the queue, UCS will explore nodes in order of their shortest - path distance to A, so the set of explored nodes is always {nodesX:dist(A,X) less than dist(A,B)}"], "refined_standard_answer": ["A"], "sub_subject_name": "Artificial Intelligence", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "Missing Exams! The GSIs of 188 are currently looking for where all of the exams have gone! There are 5 GSIs and each one has contact with the other, and they’re looking for a grand total of E exams. Imagine Berkeley as an M × N grid and each GSI starts in a different place. The E exams are spread throughout the Berkeley grid and when a GSI visits a grid space, they are able to pick up all of the exams at that space. During each timestep, a GSI can move 1 grid space. If the exams are not found in T time steps, there will not be time to grade them, and the staff will be forced to give everyone an A. The students know this, so the GSIs must always avoid S students in the grid, otherwise they will steal the exams from them. \n\n\nWhich of the following are admissible heuristics for this search problem?  \nA. The number of exams left to be found \nB. The number of exams left to be found divided by 5\nC. The minimum Manhattan Distance between a GSI and an unvisited grid space\nD. The maximum Manhattan Distance between a GSI and an unvisited grid space\nE. The number of squares in the grid that have not been visited\nF. The number of squares in the grid that have not been visited divided by 5", "answer_ideas": ["Note that in the correct formulation, we do not have enough information to compute the first two proposed heuristics. In any case, even if we could compute them, neither would be admissible."], "refined_standard_answer": ["C", "F"], "sub_subject_name": "Artificial Intelligence", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "You have volunteered your expertise to the Red Cross’s Blood Donation Department (BDD) to improve the efficiency of their donor campaigns. Last year, BDD mailed promotional material to all individuals who had previously made financial donations. While the campaign attracted several thousand blood donors, its high cost raised concerns within the organization. BDD has data from the previous campaign, including information about who donated blood and details on prior financial donations. You are considering using machine learning to build a predictive model that estimates the likelihood of donating blood based on past financial donations. This model aims to reduce the financial cost of capturing blood donations by helping BDD decide who to target with promotional material in future campaigns. Assess the following statements and select all true options. Group of answer choices: A.The critical measure of success is the model’s ability to predict who donates blood. Accurate predictions imply the model adds value in selecting better targets. B.Data from the previous campaign could improve future targeting decisions. C.A potentially useful strategy is to target individuals who the model estimates are most likely to donate blood. D.The ideal recipients of promotional material are individuals who are likely to donate blood. E.Overall donations are unlikely to increase if the previous targeting strategy is replaced with a model-based targeting rule.", "answer_ideas": ["。。"], "refined_standard_answer": ["B.Data from the previous campaign could improve future targeting decisions.", "C.A potentially useful strategy is to target individuals who the model estimates are most likely to donate blood."], "sub_subject_name": "Artificial Intelligence", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "Decipher the following cipher text:\n\nYaef, ylw foz tb emse mvq wuwqi ohfwiao hpslg af Rcwshx ozd Nujvavo awra rsjx htaa bt efr cze rtxi – jxgfs nb Mmyaumtr Kjqwmsdy nvi snxf tif owenx hte sqwwl zfmsf qx edksmdl owsobbs. Svvhi zbg penbm, xzxfq cnv gi wosz lrax xzhishg wk vwoweiao tv kndblrujrlbbs tum Refbtqsgw. Gyl B qanfqiij bh mly bmi ehfq nrkjwktfk atinr lh gfagm ylw ycxlbenry xlbrraxpq: Mvq bnang lacggub wyfgwzg gpwsmzv fhr Ufraysetb – bmel xqanbung hkcpupbnsf, tbp tum xxjnqfuem tj khquegg tj wosdy uqxxgkwoay musua bqcraxejbzk aeqxmfz hteemkvgf\n\nPlease maintain case and punctuation and output the deciphered text in a \\boxed{}.", "answer_ideas": ["To decipher the ciphertext, we will use the Vigenère cipher with the repeating key \"manifesto\". The Vigenère cipher works by shifting each letter of the plaintext by a different amount, determined by the corresponding letter in the key. For decryption, each letter in the ciphertext is shifted back by the amount corresponding to the key letter. If the key is shorter than the message, the key is repeated. Non-alphabetic characters (like spaces, punctuation) are typically left unchanged, and the key's progression pauses for these characters. The case of the letters is preserved.\n\nThe key is \"manifesto\". The numerical equivalents (A=0, B=1,... Z=25) are:\nm = 12\na = 0\nn = 13\ni = 8\nf = 5\ne = 4\ns = 18\nt = 19\no = 14\n\nThe decryption formula for a ciphertext letter $C$ and a key letter $K$ (both 0-25) to get a plaintext letter $P$ is:\n$P = (C - K + 26) \\pmod{26}$\n\nLet's apply this to the given ciphertext:\n\nOriginal Ciphertext:\n`Yaef, ylw foz tb emse mvq wuwqi ohfwiao hpslg af Rcwshx ozd Nujvavo awra rsjx htaa bt efr cze rtxi – jxgfs nb Mmyaumtr Kjqwmsdy nvi snxf tif owenx hte sqwwl zfmsf qx edksmdl owsobbs. Svvhi zbg penbm, xzxfq cnv gi wosz lrax xzhishg wk vwoweiao tv kndblrujrlbbs tum Refbtqsgw. Gyl B qanfqiij bh mly bmi ehfq nrkjwktfk atinr lh gfagm ylw ycxlbenry xlbrraxpq: Mvq bnang lacggub wyfgwzg gpwsmzv fhr Ufraysetb – bmel xqanbung hkcpupbnsf, tbp tum xxjnqfuem tj khquegg tj wosdy uqxxgkwoay musua bqcraxejbzk aeqxmfz hteemkvgf`\n\nApplying the Vigenère decryption:\n\n\\boxed{Marx, the man to whom the whole working class of Europe and America owes more than to any one else – rests at Highgate Cemetery and over his grave the first grass is already growing. Since his death, there can be even less thought of revising or supplementing the Manifesto. But I consider it all the more necessary again to state the following expressly: The basic thought running through the Manifesto – that economic production, and the structure of society of every historical epoch necessarily arising therefrom}"], "refined_standard_answer": ["\\boxed{Marx, the man to whom the whole working class of Europe and America owes more than to any one else – rests at Highgate Cemetery and over his grave the first grass is already growing. Since his death, there can be even less thought of revising or supplementing the Manifesto. But I consider it all the more necessary again to state the following expressly: The basic thought running through the Manifesto – that economic production, and the structure of society of every historical epoch necessarily arising therefrom}"], "sub_subject_name": "Artificial Intelligence", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "Pacman bought a car, was speeding in Pac - City, and the police weren’t able to catch him. Now Pacman has run out of gas, his car has stopped, and he is currently hiding out at an undisclosed location.\n\nIn this problem, you are on the police side, tryin’ to catch Pacman!\n\nThere are still $p$ police cars in the Pac - city of dimension $m$ by $n$. In this problem, all police cars can move, with two distinct integer controls: throttle and steering, but Pacman has to stay stationary. Once one police car takes an action which lands him in the same grid as Pacman, Pacman will be arrested and the game ends.\n\n**Throttle**: $t_i\\in\\{1, 0, - 1\\}$, corresponding to {Gas, Coast, Brake}. This controls the **speed** of the car by determining its acceleration. The integer chosen here will be added to his velocity for the next state. For example, if a police car is currently driving at 5 grid/s and chooses Gas (1) he will be traveling at 6 grid/s in the next turn.\n\n**Steering**: $s_i\\in\\{1, 0, - 1\\}$, corresponding to {Turn Left, Go Straight, Turn Right}. This controls the **direction** of the car. For example, if a police car is facing North and chooses Turn Left, it will be facing West in the next turn.\n\nSuppose you can only control 1 police car, and have absolutely no information about the remainder of $p - 1$ police cars, or where Pacman stopped to hide. Also, the police cars can travel up to 6 grid/s so $0\\leq v\\leq6$ at all times.\n\nWhat is the **tightest upper bound** on the size of state space, if your goal is to use search to plan a sequence of actions that guarantees Pacman is caught, no matter where Pacman is hiding, or what actions other police cars take. Please note that your state space representation must be able to represent all states in the search space.", "answer_ideas": ["There are $ mn $ positions in total. At each legal position, there are 7 possible speeds (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), so a factor of 7 is multiplied. In addition, since change of direction depends on orientation of the car, another factor of 4 is multiplied.\n\nThe only sequence of actions which guarantees that Pacman is caught is a sequence of actions which visits every location. Thus, we also need to a list of $ m*n $ boolean to keep track of whether we have visited a specific grid location, and that is another factor of $ 2^{mn} $"], "refined_standard_answer": ["$$28mn \\cdot 2^{mn}$$"], "sub_subject_name": "Artificial Intelligence", "subject_name": "Computer Science"}
{"question": "常速度偏移数据体是怎么生成的？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["由一系列有一定顺序的常速度模型对地震数据进行叠前偏移计算，得到的偏移剖面整合后形成的三维体。"], "sub_subject_name": "Solid Earth Geophysics", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "探地雷达作为一种近地表地球物理观测设备，常采用脉冲超宽带雷达形式，可以分为地面耦合天线和空气耦合天线两种。前者一般采用成熟的蝶形平面天线，适合于贴地探测。然而贴地探测影响了探地雷达的便捷性，也需要目标表面较为平整，当空气耦合时，该天线的性能下降很快。后者一般采用喇叭天线、Vivaldi天线或者蝶形天线的变体，具有一定聚焦性，但是实际效果不佳。我需要你给出建议，到底去优化蝶形天线让其适用空气耦合，还是去改变天线设计方式，使用聚焦性更强的天线去适应复杂多变的探测场景。", "answer_ideas": ["该问题其实是一个开放性问题。需要AI站在更为综合的角度去考虑问题。从已有的调研来看，采用优化蝶形天线的方案更为合理。"], "refined_standard_answer": ["建议优化蝶形天线。因为其工业成熟度更高，技术方案更通用，且更能应对复杂的地质环境变化。"], "sub_subject_name": "Solid Earth Geophysics", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "孔隙压力变化影响地震信号有哪几种方式？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["(1)对岩石骨架的可逆弹性影响", "(2)压实和成岩作用造成的永久孔隙度损失", "(3)超压造成的成岩作用滞后", "(4)孔隙压力造成的孔隙流体变化"], "sub_subject_name": "Solid Earth Geophysics", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "目前海洋的碳酸度大约为 2.3 × 10⁻³ M，pH 值约为 8.2。假设海水混合均匀。已知海洋的总体积约为 1.4 × 10²¹ 升。海洋中的 CO₃²⁻ 浓度可由以下平衡得出： HCO₃⁻ ⇌ H⁺ + CO₃²⁻ K₂ = 7 × 10⁻¹⁰ M 假设海洋吸收大气中的 CO₂ 保持了海水的碳酸度。计算海水还能吸纳的 CO₂ 的最大浓度。 提示：大气中总的空气摩尔数是 1.8 × 10²⁰", "answer_ideas": ["解答：\nHCO₃⁻ ⇌ H⁺ + CO₃²⁻  \nK₂ = 7 × 10⁻¹⁰ M  \n\n可得：\n\nK₂ = [H⁺][CO₃²⁻] / [HCO₃⁻]  \n⟹ [HCO₃⁻] = [H⁺][CO₃²⁻] / K₂  \n\n根据碱度的定义，有：\n\n[Alk] = [HCO₃⁻] + 2[CO₃²⁻]  \n= ([H⁺] / K₂ + 2)[CO₃²⁻]\n\n所以：\n\n[CO₃²⁻] = [Alk] / ([H⁺] / K₂ + 2)  \n\n海水的 pH 值为 8.2，可得：\n\n[H⁺] = 10⁻⁸·² = 6.31 × 10⁻⁹ M  \n\n代入计算：\n\n[CO₃²⁻] = (2.3 × 10⁻³) / ((6.31 × 10⁻⁹ / 7 × 10⁻¹⁰) + 2)  \n= 2.3 × 10⁻⁴ M  \n\n由于海洋总碱度守恒，其所能够吸收的 CO₂ 由 CO₃²⁻ 浓度决定，即由以下反应决定：\n\nCO₂ + CO₃²⁻ + H₂O ⇌ 2HCO₃⁻  \n\n因此所能容纳的 CO₂ 当量摩尔数为：\n\n1.4 × 10²¹ × 2.1 × 10⁻⁴ = 2.9 × 10¹⁷ 摩尔\n\n海水还能吸收 2.9 × 10¹⁷ 摩尔的 CO₂，相当于大气中的浓度为：\n\n(2.9 × 10¹⁷) / (1.8 × 10²⁰) = 0.00161 = 1610 ppm\n"], "refined_standard_answer": ["1610 ppm"], "sub_subject_name": "Marine Science", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "试求由于忽略了大气的存在，在确定浅水水面的波动传播速度时所产生的相对误差为多少？", "answer_ideas": ["解：由前述知大气与淡水间界面波的波速公式（不考虑波动传播方向，仅考虑波速大小）为：  \n    c = √[ g H (1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎) ]  \n\n由于忽略大气的存在，即取 ρ₍大气₎ = 0，于是其波速公式就变为：  \n    c = √( g H )  \n\n因此，相对误差  \n    = ( √(g H) − √[g H (1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎)] ) / √[g H (1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎)]  \n    = 1 − √(1 − ρ₍大气₎/ρ₍水₎)  \n    ≈ ρ₍大气₎ / (2 ρ₍水₎)  \n    = (1.29 × 10⁻³) / 2  \n    = 0.065 %  \n"], "refined_standard_answer": ["0.065%"], "sub_subject_name": "Marine Science", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "试借助 PDF（ICDD）卡片及索引，对表 1，表 2 中未知物质的衍射资料作出物相鉴定。表1。 \\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} \\hline $\\mathrm{d} / \\AA(0.1 \\mathrm{~nm})$ & $\\mathrm{I} / \\mathrm{I}_1$ & $\\mathrm{d} / \\AA(0.1 \\mathrm{~nm})$ & $\\mathrm{I} / \\mathrm{I}_1$ & $\\mathrm{d} / \\AA(0.1 \\mathrm{~nm})$ & $\\mathrm{I} / \\mathrm{I}_1$ \\\\ \\hline 3. 66 & 50 & 1. 46 & 10 & 1. 06 & 10 \\\\ \\hline 3. 17 & 100 & 1. 42 & 50 & 1. 01 & 10 \\\\ \\hline 2. 24 & 80 & 1. 31 & 30 & 0. 96 & 10 \\\\ \\hline 1. 91 & 40 & 1. 23 & 10 & 0. 85 & 10 \\\\ \\hline 1. 83 & 30 & 1. 12 & 10 & & \\\\ \\hline 1. 60 & 20 & 1. 08 & 10 & & \\\\ \\hline \\end{tabular} 表2。 \\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} \\hline $\\mathrm{d} / \\AA(0.1 \\mathrm{~nm})$ & $\\mathrm{I} / \\mathrm{I}_1$ & $\\mathrm{d} / \\AA(0.1 \\mathrm{~nm})$ & $\\mathrm{I} / \\mathrm{I}_1$ & $\\mathrm{d} / \\AA(0.1 \\mathrm{~nm})$ & $\\mathrm{I} / \\mathrm{I}_1$ \\\\ \\hline 2. 40 & 50 & 1. 26 & 10 & 0. 93 & 10 \\\\ \\hline 2. 09 & 50 & 1. 25 & 20 & 0. 85 & 10 \\\\ \\hline 2. 03 & 100 & 1. 20 & 10 & 0. 81 & 20 \\\\ \\hline 1. 75 & 40 & 1. 06 & 20 & 0. 80 & 20 \\\\ \\hline 1. 47 & 30 & 1. 02 & 10 & & \\\\ \\hline \\end{tabular}", "answer_ideas": ["（1）先假设表中三条最强线是同一物质的，则 $\\mathrm{d}_1=3.17, \\mathrm{~d}_2=2.24, \\mathrm{~d}_3=3.66$ ，估计晶面间距可能误差范围 $\\mathrm{d}_1$ 为 $3.19-3.15, \\mathrm{~d}_2$ 为 $2.26-2.22, \\mathrm{~d}_3$ 为 $3.68-3.64$ 。\n\n根据 $\\mathrm{d}_1$ 值（或 $\\mathrm{d}_2, \\mathrm{~d}_3$ ），在数值索引中检索适当的 $d$ 组，找出与 $\\mathrm{d}_1, \\mathrm{~d}_2, \\mathrm{~d}_3$ 值复合较好的一些卡片。\n\n把待测相的三强线的 $d$ 值和 $\\mathrm{I} / \\mathrm{I}_1$ 值相比较，淘汰一些不相符的卡片，得到：\n\\begin{tabular}{|l|l|lll|lll|}\n\\hline 物质 & 卡片顺序号 & $d /\\AA$   &&& $I / I_1$ & \\\\\n& & & & & & \\\\\n\\hline 待测物质 & - & 3.17 & 2.24 & 3.66 & 100 & 80 & 50 \\\\\n\\hline BaS & $8-454$ & 3.19 & 2.26 & 3.69 & 100 & 80 & 72 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n因此鉴定出待测试样为 BaS\n（2）同理（1），查表得出待测试样是复相混合物。并 $\\mathrm{d}_1$ 与 $\\mathrm{d}_3$ 两晶面检举是属于同一种物质，而 $\\mathrm{d}_2$ 是属于另一种物质的。于是把 $\\mathrm{d}_3=1.75$ 当作 $\\mathrm{d}_2$ ，继续检索。\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline 物质 & 卡片顺序号 & \\multicolumn{3}{|l|}{$d / \\AA$} & \\multicolumn{3}{|l|}{$I / I_1$} \\\\\n\\hline 待测物质 & － & 2.03 & 1. 75 & 1. 25 & 100 & 40 & 20 \\\\\n\\hline Ni & 4－850 & 2.03 & 1. 75 & 1. 25 & 100 & 42 & 21 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n现在需要进一步鉴定待测试样衍射花样中其余线条属于哪一相。首先，从表 2 中剔除 Ni 的线条（这里假设 Ni 的线条中另外一些相的线条不相重叠），把剩余线条另列于下表中，并把各衍射线的相对强度归一化处理，乘以因子 2 使最强线的相对强度为 $100$ 。 $\\mathrm{d}_1=2.09, \\mathrm{~d}_2=2.40, \\mathrm{~d}_3=1.47$ 。按上述程序，检索哈氏数值索引中，发现剩余衍射线条与卡片顺序号为 $44-1159$ 的 Ni 0 衍射数据一致。\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline 物质 & 卡片顺序号 & \\multicolumn{3}{|l|}{$d / \\AA$} & \\multicolumn{2}{|l|}{$I / I_1$}\\\\\n\\hline 待测物质 & － & 2. 09 & 2. 40 & 1. 47 &100 60 40（归一值） \\\\\n\\hline NiO & 44－1159 & 2.09 & 2.40 & 1.48 & 100 60 30  \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n因此鉴定出待测试样为 Ni 和 NiO 的混合物。"], "refined_standard_answer": ["BaS", "Ni 和 NiO 的混合物"], "sub_subject_name": "Material Testing and Analysis Technology", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "今有一张用 CuKa 辐射 $(\\boldsymbol{\\lambda}=0.154 \\mathrm{~nm})$ 摄得的钨（体心立方）的粉末图样，试计算出头四根线条的相对积分强度（不计 $\\mathrm{e}^{-2 \\mathrm{M}}$ 和 $\\mathrm{A}(\\theta)$ ）。若以最强的一根强度归一化为 100 ，其他线强度各为多少？这些线条的 $\\theta$ 值如下，按下表计算。\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline 线条 & $\\theta$／（＊） & HKL & P & $\\frac{\\sin \\theta}{\\lambda} n m^{-1}$ & $f$ & $\\mathrm{F}^2$ & $\\boldsymbol{\\Phi}$$（\\theta ）$ & $\\mathrm{PF}^2 \\boldsymbol{\\Phi}$ & 强度归一化 \\\\\n\\hline 1 & 20.3 & & & & & & & & \\\\\n\\hline 2 & 29.2 & & & & & & & & \\\\\n\\hline 3 & 36.4 & & & & & & & & \\\\\n\\hline 4 & 43.6 & & & & & & & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}", "answer_ideas": ["\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline \\begin{array}{c}\n\\text { 线 } \\\\\n\\text { 条 }\n\\end{array} & \\begin{array}{c}\n\\theta / \\\\\n(*)\n\\end{array} & \\text { HKL } & \\mathrm{P} & \\begin{array}{c}\n\\operatorname{Sin} \\theta / \\lambda \\\\\n\\mathrm{nm}^{-1}\n\\end{array} & \\mathrm{f} & \\mathrm{~F}^2 & \\boldsymbol{\\Phi} & \\mathrm{P} \\mathrm{~F}^2 \\boldsymbol{\\Phi} & \\begin{array}{c}\n\\text { 强度 } \\\\\n\\text { 归 } \\\\\n\\text { 化 }\n\\end{array} \\\\\n\\hline 1 & 20.3 & (110) & 12 & 2.2501 & 58.5 & 13689.0 & 13.9662 & 2294199.74 & 100 \\\\\n\\hline 2 & 29.2 & (200) & 6 & 3.1641 & 51.7 & 10691.6 & 6.1348 & 393544.97 & 17 \\\\\n\\hline 3 & 36.4 & (211) & 24 & 3.8488 & 47.1 & 8873.6 & 3.8366 & 817066.89 & 36 \\\\\n\\hline 4 & 43.6 & (220) & 12 & 4.4727 & 43.5 & 7569.0 & 2.9105 & 264354.89 & 12 \\\\\n\\hline\n\\end{array}\n\n"], "refined_standard_answer": ["100", "17", "36", "12"], "sub_subject_name": "Material Testing and Analysis Technology", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "欲在应力仪（测角仪为立式）上分别测量圆柱形工件之轴向、径向及切向应力工件各应如何放置？假定测角仪为卧式，今要测定一个圆柱形零件的轴向及切向应力，问试样应该如何放置？", "answer_ideas": ["当测角仪为立式式，可以使用同倾法中的固定 $\\Psi$ 法中的法 $0^{\\circ}-45^{\\circ}$ 来测应力，此时测量方向平面与扫描平面重合。测工件轴向应力时使圆柱侧面垂直于入射线（此时 $\\Psi=0^{\\circ}$ ），然后再使样品在测量方向平面内转动 $45^{\\circ}$（此时 $\\Psi=45^{\\circ}$ ）；测径向应力时，应使样品底面垂直于入射线（此时 $\\Psi=0^{\\circ}$ ），再使样品在测量方向平面内转动 $45^{\\circ}$（此时 $\\Psi=45^{\\circ}$ ）；测量切向应力时，应使工件切应力方向垂直于入射线，即使入射线垂直于切向于轴向所形成的平面（此时 $\\Psi=0^{\\circ}$ ），再使样品在测量方向平面内转动 $45^{\\circ}$（此时 $\\Psi=45^{\\circ}$ ）。\n当测角仪为卧式时，可用侧倾法来测应力，此时即扫描平面（衍射平面）垂直于测量方向平面，当测工件轴向应力时，使工件位于轴向与径向所构成的平面内，侧面垂直于径向，扫描平面位于径向与切向所构成的平面内。测工件切向应力时，使工件轴向垂直于测角仪，测量时转动一定角度即可。"], "refined_standard_answer": ["立式测角仪：测量轴向应力时，圆柱侧面垂直入射线；测量径向应力时，样品底面垂直入射线；测量切向应力时，工件切应力方向垂于入射线。", "卧式测角仪：测量轴向应力时，工件位于轴向与径向所构成的平面内，侧面垂直于径向；测量切向应力时，工件轴向垂直于测角仪。"], "sub_subject_name": "Material Testing and Analysis Technology", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "同步辐射技术可以测量材料在加载变形过程中晶格间距的变化，随着加载拉伸应力的提高，晶格间距会变大还是变小？如果晶格间距先变大后逐渐变小至原始的晶格间距，可能是因为什么原因？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["变大", "发生了塑性变形（如位错滑移），释放了弹性应力"], "sub_subject_name": "Material Testing and Analysis Technology", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "Can you derive an analytical expression for the partition function of a one-dimensional free ring polymer (where $V(\\mathbf{x} )=0$) in the representation of path-integral formula? \n$$\nZ_{\\text{free }} =\\left(\\frac{mP}{2\\pi \\beta \\hbar ^{2}}\\right)^{P/2}\\int dx_{1} \\cdots dx_{P}\\exp\\left( -\\beta \\sum _{i=1}^{P}\\frac{mP}{2\\beta ^{2} \\hbar ^{2}}( x_{i} -x_{i+1})^{2}\\right)\n$$\nwhere the cyclic boundary condition applies: $x_{P+1} =x_{1}$, $ P$ is the number of replica (or beads). Suppose the centroid motion is confined within $ L$.", "answer_ideas": ["First perform normal mode transformation to uncouple the motion of beads:\n\n$$\n\\tilde{\\omega }_{k}^{2} =4\\omega _{P}^{2}\\sin^{2}\\left(\\frac{k\\pi }{P}\\right) =4\\frac{P}{\\beta ^{2} \\hbar ^{2}}\\sin^{2}\\left(\\frac{k\\pi }{P}\\right) .\n$$\n\nWe then have $ P-1$ Gaussian integrals and one zero-frequency mode from the centroid motion which integrals generating $L$:\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\int \\mathrm{d} x_{1} \\cdots \\mathrm{d} x_{P}\\exp\\left\\{-\\beta \\sum _{k=1}^{P}\\frac{mP}{2\\hbar ^{2} \\beta ^{2}}( x_{k+1} -x_{k})^{2}\\right\\} & =\\int _{x_{P} \\in L}\\mathrm{d}\\tilde{x}_{0}\\prod _{k=1}^{P-1}\\int \\mathrm{d}\\tilde{x}_{k}\\exp\\left( -\\beta \\frac{m}{2}\\tilde{\\omega }_{k}^{2}\\tilde{x}_{k}^{2}\\right)\\\\\n & =P^{1/2} L\\prod _{k=1}^{P-1}\\left(\\frac{2\\pi \\beta \\hbar ^{2}}{mP}\\right)^{1/2}\\frac{1}{2\\sin( k\\pi /P)}\\\\\n & =P^{1/2} L\\left(\\frac{2\\pi \\beta \\hbar ^{2}}{mP}\\right)^{P/2-1/2}\\frac{1}{P}\n\\end{aligned}\n$$\n\nBring this integral back to the expression of partition function, the final expression is\n\n$$\nZ_{\\text{free }} =L\\left(\\frac{m}{2\\pi \\beta \\hbar ^{2}}\\right)^{1/2} .\n$$\n\nNote the answer should be $P$-independent."], "refined_standard_answer": ["Z_{\\text{free }} =L\\left(\\frac{m}{2\\pi \\beta \\hbar ^{2}}\\right)^{1/2}"], "sub_subject_name": "Theoretical and Computational Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "推导HF方程中利用了Slater行列式D的交换特性，以及波函数的正交性来计算$$。对于一个n电子体系，该$$积分完全展开总项数为？", "answer_ideas": ["在推导Hartree-Fock方程时，对于一个n电子体系，其Slater行列式为n阶行列式，其完全展开的总项数为n！。"], "refined_standard_answer": ["n!"], "sub_subject_name": "Theoretical and Computational Chemistry", "subject_name": "Chemistry"}
{"question": "求由碳纤维／环氧树脂（T300／5208）制成的正交誧设对称层合板 $\\left[0_4 / 90_4\\right]_{\\mathrm{s}}$在 $N_x^*=50 \\mathrm{MPa}, N_y^*=-50 \\mathrm{MPa}, N_{x y}^*=M_x^*=M_y^*=M_{x y}^*=0$ 作用下各单层的应力。并按最大应力准则校核强度，已知安全系数 $n=3$ 。", "answer_ideas": ["（1）计算 $\\left[\\mathrm{O}_4 / 90_4\\right]_{\\mathrm{s}}$ 的 $A_{i j}^*$\n查表得 T300／5208 复合材料单层的正轴模量分量为\n$$\nQ_{11}=181.8 \\mathrm{GPa}, \\quad Q_{22}=10.34 \\mathrm{GPa}, \\quad Q_{12}=2.89 \\mathrm{GPa}, \\quad Q_{66}=7.17 \\mathrm{GPa}\n$$\n对于正交对称层合板，由\n$$\n\\begin{aligned}\n& A_{11}^*=A_{22}^*=\\frac{1}{2}\\left(Q_{11}+Q_{22}\\right)=\\frac{1}{2}(181.8+10.34)=96.08(\\mathrm{GPa}) \\\\\n& A_{12}^*=Q_{12}=2.89(\\mathrm{GPa}) \\\\\n& A_{66}^*=Q_{66}=7.17(\\mathrm{GPa}) \\\\\n& A_{16}^*=A_{26}^*=0\n\\end{aligned}\n$$\n（2）计算 $\\left[\\mathrm{O}_4 / 90_4\\right]_{\\mathrm{s}}$ 的 $a_{i j}^*$\n由于 $\\left[a_{i j}^*\\right]=\\left[A_{i j}^*\\right]^{-1}$ ，仿照 $\\left[\\bar{S}_{i j}^*\\right]=\\left[\\bar{Q}_{i j}^*\\right]^{-1}$ ，求 $a_{i j}^*$\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\Delta=A_{11}^* A_{22}^* A_{66}^*-A_{66}^* A_{12}^*{ }^2=96.08 \\times 96.08 \\times 7.17-7.17 \\times 2.89^2=66130(\\mathrm{GPa})^3 \\\\\n& a_{11}^*=A_{22}^* A_{66}^* / \\Delta=96.08 \\times 7.17 / 66130=0.01041(\\mathrm{GPa})^{-1}=10.41(\\mathrm{TPa})^{-1} \\\\\n& a_{22}^*=A_{11}^* A_{66}^* / \\Delta=10.41(\\mathrm{TPa})^{-1} \\\\\n& a_{12}^*=-A_{12}^* A_{66}^* / \\Delta=-2.89 \\times 7.17 / 66130=-0.0003133(\\mathrm{GPa})^{-1}=-0.3133(\\mathrm{TPa})^{-1} \\\\\n& a_{66}^*=\\left(A_{11}^* A_{22}^*-A_{12}^*{ }^2\\right) / \\Delta=\\left(96.08^2-2.89^2\\right) / 66130=0.1395(\\mathrm{GPa})^{-1}=139.5(\\mathrm{TPa})^{-1} \\\\\n& a_{16}^*=a_{26}^*=0\n\\end{aligned}\n$$\n（3）计算面内应变\n由于 $B_{i j}^*=0, a_{i j}^*=a_{j i}^*$ ，可得\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\varepsilon_x^0=a_{11}^* N_x^*+a_{12}^* N_y^*=(10.41+0.3133) \\times 50 \\times 10^{-6}=536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& \\varepsilon_y^0=a_{21}^* N_x^*+a_{22}^* N_y^*=-(0.3133+10.41) \\times 50 \\times 10^{-6}=-536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& \\gamma_{x y}^0=a_{66}^* N_{x y}^*=0\n\\end{aligned}\n$$\n（4）计算各单层的正轴应变\n其一 $0^{\\circ}$ 单层 $\\left(0^{\\circ}\\right.$ 单层的 1 轴为层合板 $x$ 轴， 2 轴为层合板 $y$ 轴）\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\varepsilon_1^{(0)}=\\varepsilon_x^0=536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& \\varepsilon_2^{(0)}=\\varepsilon_y^0=-536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& \\gamma_{i 2}^{(0)}=0\n\\end{aligned}\n$$\n其二 $90^{\\circ}$ 单层（ $90^{\\circ}$ 单层的 1 轴为层合板 $y$ 轴， 2 轴为层合板 $x$ 轴）\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\varepsilon_1^{(90)}=\\varepsilon_y^0=-536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& \\varepsilon_2^{(90)}=\\varepsilon_x^0=536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& \\gamma_{12}^{(90)}=0\n\\end{aligned}\n$$\n（5）计算各单层的正轴应力\n $0^{\\circ}$ 单层\n$$\n\\begin{aligned}\n\\sigma_1^{(0)} & =Q_{11} \\varepsilon_1^{(0)}+Q_{12} \\varepsilon_2^{(0)}=(181.8-2.89) \\times 536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& =9.593 \\times 10^{-2}(\\mathrm{GPa})=95.93(\\mathrm{MPa}) \\\\\n\\sigma_2^{(0)} & =Q_{21} \\varepsilon_1^{(0)}+Q_{22} \\varepsilon_2^{(0)}=(2.89-10.34) \\times 536.2 \\times 10^{-6} \\\\\n& =-3.995 \\times 10^{-3}(\\mathrm{GPa})=-3.995(\\mathrm{MPa}) \\\\\n\\tau_{12}^{(0)} & =0\n\\end{aligned}\n$$\n$90^{\\circ}$ 单层\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\sigma_1^{(90)}=Q_{11} \\varepsilon_1^{(90)}+Q_{12} \\varepsilon_2^{(90)}=-95.93(\\mathrm{MPa}) \\\\\n& \\sigma_2^{(90)}=Q_{21} \\varepsilon_1^{(90)}+Q_{22} \\varepsilon_2^{(90)}=3.995(\\mathrm{MPa}) \\\\\n& \\tau_{12}^{(90)}=0\n\\end{aligned}\n$$\n（6）单层强度校核\n查表得\n$$\nX_{\\mathrm{t}}=X_{\\mathrm{c}}=1500 \\mathrm{MPa}, \\quad Y_{\\mathrm{t}}=40 \\mathrm{MPa}, \\quad Y_{\\mathrm{c}}=246 \\mathrm{MPa}\n$$\n许用应力为\n$$\n\\begin{array}{ll}\n{\\left[\\sigma_1\\right]_{\\mathrm{t}}=X_{\\mathrm{t}} / n=1500 / 3=500(\\mathrm{MPa}),} & {\\left[\\sigma_1\\right]_{\\mathrm{c}}=X_{\\mathrm{c}} / n=1500 / 3=500(\\mathrm{MPa})} \\\\\n{\\left[\\sigma_2\\right]_{\\mathrm{t}}=Y_{\\mathrm{t}} / n=40 / 3=13.33(\\mathrm{MPa}),} & {\\left[\\sigma_2\\right]_{\\mathrm{c}}=Y_{\\mathrm{c}} / n=246 / 3=82(\\mathrm{MPa})}\n\\end{array}\n$$\n$0^{\\circ}$ 单层\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\sigma_1^{(0)}=95.93(\\mathrm{MPa})<\\left[\\sigma_1\\right]_t \\\\\n& \\left|\\sigma_2^{(0)}\\right|=3.995(\\mathrm{MPa})<\\left[\\sigma_2\\right]_{\\mathrm{c}}\n\\end{aligned}\n$$\n$90^{\\circ}$ 单层\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left|\\sigma_1^{(90)}\\right|=95.93(\\mathrm{MPa})<\\left[\\sigma_1\\right]_{\\mathrm{c}} \\\\\n& \\sigma_2^{(90)}=3.995(\\mathrm{MPa})<\\left[\\sigma_2\\right]_{\\mathrm{t}}\n\\end{aligned}\n$$\n所以层合板 $\\left[0_4 / 90_4\\right]_{\\mathrm{s}}$ 是安全的。"], "refined_standard_answer": ["$0^{\\circ}$层: $\\sigma_1=95.93\\ \\mathrm{MPa}, \\sigma_2=-3.995\\ \\mathrm{MPa}, \\tau_{12}=0$；$90^{\\circ}$层: $\\sigma_1=-95.93\\ \\mathrm{MPa}, \\sigma_2=3.995\\ \\mathrm{MPa}, \\tau_{12}=0$", "安全"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "各向同性板四周简支，受均布面外载荷作用，即 $p(x, y)=p_0$ 。利用力矩和曲率的关系，计算 $M_x$ 。", "answer_ideas": ["$D_{11}=D, \\quad D_{12}=\\mu D$ ，\n\n$$\n\\begin{aligned}\nM_x & =-D\\left(\\frac{\\partial^2 w}{\\partial x^2}+\\mu \\frac{\\partial^2 w}{\\partial y^2}\\right) \\\\\n& =-\\frac{16 p_0}{\\pi^4} \\frac{a^4 b^4}{a^4+2 a^2 b^2+b^4}\\left(\\frac{1}{a^2}+\\mu \\frac{1}{b^2}\\right) \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b}\n\\end{aligned}\n$$"], "refined_standard_answer": ["$M_x = -\\frac{16 p_0}{\\pi^4} \\frac{a^4 b^4}{a^4+2 a^2 b^2+b^4}\\left(\\frac{1}{a^2}+\\mu \\frac{1}{b^2}\\right) \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b}$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "承受均布横向载荷 $q_0$ 、四边简支三层（每一层的材料性能相同）特殊正交各向异性复合材料单层板构成的复合材料对称层合板，上下层厚度均为t，夹层厚度$2\\bar{t}$，试求该层合板的弯曲变形挠度。", "answer_ideas": ["（1）刚度计算。 $1,2,3$ 正交各向异性单层板的顶层、底层的坐标为\n$$\nz_0=-(t+\\bar{t}), z_1=-\\bar{t}, z_2=\\bar{t}, z_3=t+\\bar{t}\n$$\n\n\n\n$1,2,3$ 正交各向异性单层板的刚度矩阵为\n\n$$\n\\bar{Q}_{1,3}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n\\frac{E_1}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & \\frac{\\nu_{12} E_2}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & 0 \\\\\n\\frac{\\nu_{12} E_2}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & \\frac{E_2}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & 0 \\\\\n0 & 0 & G_{12}\n\\end{array}\\right]_{1,3}, \\quad \\bar{Q}_2=\\left[\\begin{array}{ccc}\n\\frac{E_2}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & \\frac{\\nu_{21} E_1}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & 0 \\\\\n\\frac{\\nu_{21} E_1}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & \\frac{E_1}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & 0 \\\\\n0 & 0 & G_{12}\n\\end{array}\\right]_2\n$$\n\n\n由\n\n$$\nD_{i j}=\\sum_{k=1}^n\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_k \\frac{\\left(z_k^3-z_{k-1}^3\\right)}{3}=\\frac{2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3\\right]}{3}\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_1+\\frac{2 \\bar{t}^3}{3}\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_2\n$$\n\n\n对于正交各向异性单层板，注意到两个弹性主向弹性模量、泊松比之间的关系 $\\frac{\\nu_{12}}{E_1}=\\frac{\\nu_{21}}{E_2}$ ，将其代人到弯曲刚度矩阵 $\\boldsymbol{D}$ 中，得\n$$\n\\boldsymbol{D}=\\frac{2}{3}\\left[\\begin{array}{ccc}\n\\frac{E_1\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3\\right]+E_2 \\bar{t}^3}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & \\frac{\\nu_{12} E_2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3+\\bar{t}^3\\right]}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & 0 \\\\\n\\frac{\\nu_{12} E_2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3+\\bar{t}^3\\right]}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & \\frac{E_2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3\\right]+E_1 \\bar{t}^3}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} & 0 \\\\\n0 & 0 & G_{12}\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3+\\bar{t}^3\\right]\n\\end{array}\\right]\n$$\n\n（2）弯曲挠度计算。\n\n$$\n\\begin{aligned}\nb_{m n}= & \\frac{4}{a b} \\int_0^a \\int_0^b q_0 \\sin \\frac{m \\pi x}{a} \\sin \\frac{n \\pi y}{b} \\mathrm{~d} x \\mathrm{~d} y=\\left.\\left.\\frac{4 q_0}{a b} \\frac{a}{m \\pi} \\frac{b}{n \\pi} \\cos \\frac{m \\pi x}{a}\\right|_0 ^a \\cos \\frac{n \\pi y}{b}\\right|_0 ^b= \\\\\n& \\begin{cases}0 & (m, n=2,4,6, \\cdots \\cdots) \\\\\n\\frac{16 q_0}{m n \\pi^2} & (m, n=1,3,5, \\cdots \\cdots)\\end{cases}\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n有\n\n$$\n\\begin{gathered}\nw(x, y)=\\sum_{m=1,3,5, \\cdots}^{\\infty} \\sum_{n=1,3,5, \\cdots}^{\\infty} \\frac{16 q_0 \\sin \\frac{m \\pi x}{a} \\sin \\frac{n \\pi y}{b}}{m n \\pi^6\\left[D_{11} \\frac{m^4}{a^4}+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right) \\frac{m^2 n^2}{a^2 b^2}+D_{22} \\frac{n^4}{b^4}\\right]} \\\\\nD_{11}=\\frac{2}{3} \\frac{E_1\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3\\right]+E_2 \\bar{t}^3}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}}, \\quad D_{12}=\\frac{2}{3} \\frac{\\nu_{12} E_2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3+\\bar{t}^3\\right]}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} \\\\\nD_{22}=\\frac{2}{3} \\frac{E_2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3\\right]+E_1 \\bar{t}^3}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}}, \\quad D_{66}=\\frac{2}{3} G_{12}\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3+\\bar{t}^3\\right]\n\\end{gathered}\n$$"], "refined_standard_answer": ["$$\\begin{gathered}w(x, y)=\\sum_{m=1,3,5, \\cdots}^{\\infty} \\sum_{n=1,3,5, \\cdots}^{\\infty} \\frac{16 q_0 \\sin \\frac{m \\pi x}{a} \\sin \\frac{n \\pi y}{b}}{m n \\pi^6\\left[D_{11} \\frac{m^4}{a^4}+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right) \\frac{m^2 n^2}{a^2 b^2}+D_{22} \\frac{n^4}{b^4}\\right]} \\\\ D_{11}=\\frac{2}{3} \\frac{E_1\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3\\right]+E_2 \\bar{t}^3}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}}, \\quad D_{12}=\\frac{2}{3} \\frac{\\nu_{12} E_2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3+\\bar{t}^3\\right]}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}} \\\\ D_{22}=\\frac{2}{3} \\frac{E_2\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3\\right]+E_1 \\bar{t}^3}{1-\\nu_{12} \\nu_{21}}, \\quad D_{66}=\\frac{2}{3} G_{12}\\left[(t+\\bar{t})^3-t^3+\\bar{t}^3\\right]\\end{gathered}$$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "单层板性能参数为：$E_L=38.6 \\mathrm{GPa}, G_{L T}=4.1 \\mathrm{GPa}$ ， $E_T=8.3 \\mathrm{GPa}, \\mu_{L T}=0.26$ 。计算 $\\left(0^{\\circ} / \\pm 45^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_{2 \\mathrm{~s}}$ 和 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_{4 \\mathrm{~s}}$ 两种带孔层合板的应力集中系数。", "answer_ideas": ["$\\boldsymbol{Q}=\\left[\\begin{array}{ccc}39.2 & 2.2 & 0 \\\\ 2.2 & 8.4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4.1\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa}, \\quad \\overline{\\boldsymbol{Q}}_{ \\pm 45^{\\circ}}=\\left[\\begin{array}{ccc}17.1 & 8.9 & \\pm 7.7 \\\\ 8.9 & 17.1 & \\pm 7.7 \\\\ \\pm 7.7 & \\pm 7.7 & 10.8\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa}$\n对于 $\\left(0^{\\circ} / \\pm 45^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_{2 \\mathrm{~s}}$ 层合板：\n\n$$\n\\begin{gathered}\nA_{i j}=4 t_{\\mathrm{p}}\\left[\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_{0^{\\circ}}+\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_{90^{\\circ}}+\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_{45^{\\circ}}+\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_{-45^{\\circ}}\\right] \\\\\nA_{11}=A_{22}=4 t_{\\mathrm{p}}(39.2+8.4+17.1+17.1)=288.0 t_{\\mathrm{p}} \\\\\nA_{12}=4 t_{\\mathrm{p}}(2 \\times 2.2+2 \\times 8.9)=88.8 t_{\\mathrm{p}} \\\\\nA_{66}=4 t_{\\mathrm{p}}(2 \\times 4.1+2 \\times 10.8)=119.2 t_{\\mathrm{p}} \\\\\nK=2.88\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n对于 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_{4 s}$ 层合板：\n\n$$\n\\begin{gathered}\nA_{i j}=8 t_{\\mathrm{p}}\\left[\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_{0^{\\circ}}+\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_{90^{\\circ}}\\right] \\\\\nA_{11}=A_{22}=8 t_{\\mathrm{p}}(39.2+8.4)=380.8 t_{\\mathrm{p}} \\\\\nA_{12}=16 t_{\\mathrm{p}} Q_{12}=35.2 t_{\\mathrm{p}}, \\quad A_{66}=16 t_{\\mathrm{p}} Q_{66}=65.6 t_{\\mathrm{p}} \\\\\nK=3.75\n\\end{gathered}\n$$"], "refined_standard_answer": ["K=2.88", "K=3.75"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "试给出如下层合板的 $A_{i j}$ 与 $Q_{i j}$ 的关系式： （1）$\\left[\\mathrm{O}_{2} / 90\\right]_{2 \\mathrm{s}}$ ； （2）$[0 / \\pm 45 / 90]_{2 S}$", "answer_ideas": ["（1）$\\left[\\mathrm{O}_{2} / 90\\right]_{2 \\mathrm{s}}$ 为正交铺设对称层合板,可知\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\tA_{11}^{*}=Q_{11}-\\left(Q_{11}-Q_{22}\\right) v_{50}=Q_{11}-\\left(Q_{11}-Q_{22}\\right) \\times \\frac{1}{3}=\\frac{2}{3} Q_{11}+\\frac{1}{3} Q_{22}\\\\\n\tA_{22}^{*}=Q_{22}+\\left(Q_{11}-Q_{22}\\right) \\times \\frac{1}{3}=\\frac{1}{3} Q_{11}+\\frac{2}{3} Q_{22} \\\\\n    A_{12}^{*}=Q_{12} \\\\\n\tA_{66}^{*}=Q_{66} \\\\\n\tA_{16}^{*}=A_{26}^{*}=0\\\\\n\t\n\\end{array}\n\\]\n\n（2）$[0 / \\pm 45 / 90]_{2 s}$ 为准各向同性层合板，可知\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\tA_{11}^{*}=A_{22}^{*}=U_{1 Q}=\\frac{1}{8}\\left(3 Q_{11}+3 Q_{22}+2 Q_{12}+4 Q_{66}\\right) \\\\\n\tA_{12}^{*}=U_{4 Q}=\\frac{1}{8}\\left(Q_{11}+Q_{22}+6 Q_{12}-4 Q_{66}\\right) \\\\\n\tA_{66}^{*}=\\frac{1}{2}\\left(U_{1 Q}-U_{4 Q}\\right)=\\frac{1}{8}\\left(Q_{11}+Q_{22}-2 Q_{12}+4 Q_{65}\\right) \\\\\n\tA_{16}^{*}=A_{26}^{*}=0 \\\\\n\t\n\\end{array}\n\\]\n"], "refined_standard_answer": ["\\[\n\\begin{array}{l}\n\tA_{11}^{*}=\\frac{2}{3} Q_{11}+\\frac{1}{3} Q_{22}\\\\\n\tA_{22}^{*}=\\frac{1}{3} Q_{11}+\\frac{2}{3} Q_{22} \\\\\n    A_{12}^{*}=Q_{12} \\\\\n\tA_{66}^{*}=Q_{66} \\\\\n\tA_{16}^{*}=A_{26}^{*}=0\\\\\n\t\n\\end{array}\n\\]", "\\[\n\\begin{array}{l}\n\tA_{11}^{*}=\\frac{1}{8}\\left(3 Q_{11}+3 Q_{22}+2 Q_{12}+4 Q_{66}\\right) \\\\\n\tA_{12}^{*}=\\frac{1}{8}\\left(Q_{11}+Q_{22}+6 Q_{12}-4 Q_{66}\\right) \\\\\n\tA_{66}^{*}=\\frac{1}{8}\\left(Q_{11}+Q_{22}-2 Q_{12}+4 Q_{65}\\right) \\\\\n\tA_{16}^{*}=A_{26}^{*}=0 \\\\\n\t\n\\end{array}\n\\]"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "复合材料杆件由两种纤维以及基体构成，组分材料性能参数列于下表中。 （1）设杆件截面尺寸为 $10 \\mathrm{~cm}^2$ ，若每种组分材料都不发生破坏，求杆件所能承受的最大载荷； （2）求杆件的极限载荷； （3）判断哪一种组分材料最后破坏； 表 组分材料性能参数 \\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \\hline 材 料 & 密度／（g／cm ${ }^3$ ） & 质量分数 $W_t(\\%)$ & $E / \\mathrm{GPa}$ & $\\sigma_{\\mathrm{u}} / \\mathrm{GPa}$ \\\\ \\hline 黐结剂 & 1.3 & 35 & 3.5 & 0.06 \\\\ \\hline 纤维 A & 2.5 & 45 & 70 & 1.4 \\\\ \\hline 纤维 B & 1.6 & 20 & 6 & 0.45 \\\\ \\hline \\end{tabular}", "answer_ideas": ["（1）求体积分数。记各组分体积为 $V_{i 0}$ ，体积分数为 $V_i$ ，总的质量为 $W$ ，有\n$$\n\\begin{gathered}\n\\rho_i V_{i 0}=w_i W, \\quad V_{i 0}=w_i W / \\rho_i \\\\\nV_i=V_{i 0} / \\sum w_i W / \\rho_i\n\\end{gathered}\n$$\n则黏结剂，纤维 A ，纤维 B 的体积分数分别为 $46.86 \\%, 31.36 \\%, 21.78 \\%$ 。\n（2）求每种组分材料都不发生破坏时，杆件所能承受的最大载荷。\n由 $\\varepsilon_{f i}=\\sigma_{u i} / E_i$ 得，黏结剂，纤维 A ，纤维 B 各组分材料的断裂应变分别为 1.7 $\\times 10^{-2}, 2.0 \\times 10^{-2}, 7.5 \\times 10^{-2}$ 。\n又\n$$\n\\begin{aligned}\nF & =A \\sigma_1=A \\sum \\sigma_i V_i=A \\varepsilon \\sum E_i V_i \\\\\n& =1000 \\times 1.7 \\times 10^{-2}(3.5 \\times 0.4686+70 \\times 0.3136+6 \\times 0.2178) \\mathrm{kN} \\\\\n& =423.3 \\mathrm{kN}\n\\end{aligned}\n$$\n$$\nE_1=\\sum E_i V_i=24.9 \\mathrm{GPa}\n$$\n（3）黏结剂最先发生破坏，纤维 B 最后破坏。黏结剂破坏之后，杆的模量下降为 $E=23.26 \\mathrm{GPa}$ 。载荷由纤维 $\\mathrm{A}, ~ \\mathrm{~B}$ 承担，极限载荷为\n$$\n\\begin{aligned}\nF & =A \\sigma_1=A \\sum \\sigma_i V_i=A \\varepsilon \\sum E_i V_i \\\\\n& =1000 \\times 2.0 \\times 10^{-2}(70 \\times 0.3136+6 \\times 0.2178) \\mathrm{kN} \\\\\n& =465.2 \\mathrm{kN}\n\\end{aligned}\n$$\n纤维 A 断裂后，纤维 B 不能承受上述极限载荷，将随之破坏。\n注：以下各点可作出载荷－应变曲线：$(0,0),(0.017,423.3),(0.0182,423.3),(0.02,465.2)$ \n"], "refined_standard_answer": ["F=423.3 \\mathrm{kN}", "F=465.2 \\mathrm{kN}", "纤维B"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "求四边简支特殊正交各向异性层合板的自振频率表达式。", "answer_ideas": ["由于 $B_{i j}=0$ ，同时考虑到 $A_{16}=A_{26}=D_{16}=D_{26}=0$ ，这种层合板的振动频率和振型可以由单一的振动微分方程来描述：\n$$\nD_{11} \\delta w_{x x x x}+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right) \\delta w_{x x y y}+D_{22} \\delta w_{ y y y}+\\rho \\delta w_{t t}=0\n$$\n边界条件为\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx=0, a: \\delta w=0, \\delta M_x=-D_{11} \\delta w_{x x}-D_{12} \\delta w_{ y y}=0 \\\\\ny=0, b: \\delta w=0, \\delta M_y=-D_{12} \\delta w_{x x}-D_{22} \\delta w_{ y y}=0\n\\end{array}\\right.\n$$\n选取\n$$\n\\delta w(x, y, t)=(A \\cos \\omega t+B \\sin \\omega t) \\delta w(x, y)\n$$\n将此问题分为时间和空间两部分。为边界条件，进一步选取\n$$\n\\delta w(x, y)=\\sin \\frac{m \\pi x}{a} \\sin \\frac{n \\pi y}{b}\n$$\n则\n$$\n\\delta w(x, y, t)=(A \\cos \\omega t+B \\sin \\omega t) \\sin \\frac{m \\pi x}{a} \\sin \\frac{n \\pi y}{b}\n$$\n$$\n\\omega^2=\\frac{\\pi^4}{\\rho}\\left[D_{11}\\left(\\frac{m}{a}\\right)^4+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right)\\left(\\frac{m}{a}\\right)^2\\left(\\frac{n}{b}\\right)^2+D_{22}\\left(\\frac{n}{b}\\right)^4\\right]\n$$\n式中各种频率 $\\omega$ 对应于不同的振型。随着 $m$ 和 $n$ 的变化，振型也不同。当 $m=1, n=1$ 时，得到基本频率。\n"], "refined_standard_answer": ["$$\\omega^2=\\frac{\\pi^4}{\\rho}\\left[D_{11}\\left(\\frac{m}{a}\\right)^4+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right)\\left(\\frac{m}{a}\\right)^2\\left(\\frac{n}{b}\\right)^2+D_{22}\\left(\\frac{n}{b}\\right)^4\\right]$$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "求 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)$ ，层合板在 $N_x$ 作用和温度变化 $\\Delta T=-100{ }^{\\circ} \\mathrm{C}$ 条件下的极限应力 $N_x / t$ 。各单层板厚度是 $t / 4$ ，层合板的厚度是 $t$ 。若忽略温度变化的影响，极限应力又为多少？用分别求解外加载荷以及温度变化引起的应力，通过扣除残余应力贡献的方法，确定极限应力。已知：\n\n$$\n\\begin{gathered}\nE_1=60 \\mathrm{GPa}, \\quad E_2=20 \\mathrm{GPa}, \\quad \\mu_{12}=0.25, \\quad G_{12}=10 \\mathrm{GPa} \\\\\n\\alpha_1=-6 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1}, \\quad \\alpha_2=20 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1} \\\\\nX_{\\mathrm{t}}=X_{\\mathrm{c}}=1000 \\mathrm{MPa}, \\quad Y_{\\mathrm{t}}=50 \\mathrm{MPa}, \\quad Y_{\\mathrm{c}}=150 \\mathrm{MPa}, \\quad S=50 \\mathrm{MPa}\n\\end{gathered}\n$$", "answer_ideas": ["（1）考虑 $N_x$ 单独作用的情况。设 $N_x / t=10 \\mathrm{MPa}$ 。由本构关系 $\\boldsymbol{N}=\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{\\varepsilon}$ 求解应变，以及各单层板的应力，得\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\varepsilon_x^0=248.7 \\times 10^{-6}, \\quad \\varepsilon_y^0=-31.0 \\times 10^{-6}, \\quad \\gamma_{x y}^0=0 \\\\\n& {\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=Q\\left[\\begin{array}{c}\n248.7 \\\\\n-31.0 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6} \\mathrm{MPa}=\\left[\\begin{array}{c}\n15.09 \\\\\n0.64 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}} \\\\\n& {\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]_{90^{\\circ}}=Q\\left[\\begin{array}{c}\n-31.0 \\\\\n248.7 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6} \\mathrm{MPa}=\\left[\\begin{array}{c}\n1.09 \\\\\n4.91 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}}\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n在 $N_x / t=10 \\mathrm{MPa}$ 的单独作用下，在 $90^{\\circ}$ 层横方向上最易发生破坏，其拉伸应力为 $4.91 MPa$ 。临界应力为 $N_x / t=(50 / 4.91) \\times 10 \\mathrm{MPa}=101.8 \\mathrm{MPa}$ 。 \n（2）求仅有温度变化时的残余热应力。由本构关系 $\\boldsymbol{N}^{\\mathrm{T}}=\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{\\varepsilon}$ 解出应变，以及各单层板的应力，即\n\n$$\nt\\left[\\begin{array}{c}\n-5.58 \\\\\n-5.58 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]=10^3 t\\left[\\begin{array}{ccc}\n40.85 & 5.1 & 0 \\\\\n5.1 & 40.85 & 0 \\\\\n0 & 0 & 10\n\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right], \\quad\\left\\{\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right\\}=\\left\\{\\begin{array}{c}\n-121 \\\\\n-121 \\\\\n0\n\\end{array}\\right\\} \\times 10^{-6}\n$$\n\n$0^{\\circ}$ 层力学应变以及残余热应力为\n\n$$\n\\begin{gathered}\n{\\left[\\begin{array}{l}\n\\varepsilon_1^{\\mathrm{M}} \\\\\n\\varepsilon_2^{\\mathrm{M}} \\\\\n\\gamma_{12}^{\\mathrm{M}}\n\\end{array}\\right]_{0^*}=\\left[\\begin{array}{l}\n\\varepsilon_x^{\\mathrm{M}} \\\\\n\\varepsilon_y^{\\mathrm{M}} \\\\\n\\gamma_{x y}^{\\mathrm{M}}\n\\end{array}\\right]_{0^*}=\\left[\\begin{array}{l}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right]-\\Delta T\\left[\\begin{array}{l}\n\\alpha_x \\\\\n\\alpha_y \\\\\n\\alpha_{x y}\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=\\left[\\begin{array}{c}\n-721 \\\\\n1879 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}} \\\\\n{\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=Q\\left[\\begin{array}{c}\n-721 \\\\\n1879 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6} \\mathrm{MPa}=\\left[\\begin{array}{c}\n-34.6 \\\\\n34.6 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n同样可以得到 $90^{\\circ}$ 层的残余热应力\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]_{90^{\\circ}}=Q\\left[\\begin{array}{c}\n-721 \\\\\n1879 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6} \\mathrm{MPa}=\\left[\\begin{array}{c}\n-34.6 \\\\\n34.6 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n\n（3）考虑外加载荷与温度残余应力。\n扣除温度残余应力，由外加载荷引起的 $90^{\\circ}$ 层横方向上的应力不能超过$(50－34.6)\\mathrm{MPa}=15.4 \\mathrm{MPa}$ ，因此，极限应力为 $N_x / t=(15.4 / 4.91) \\times 10$ $\\mathrm{MPa}=31.4 \\mathrm{MPa}$ 。\n"], "refined_standard_answer": ["31.4 \\mathrm{MPa}", "101.8 \\mathrm{MPa}"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "考虑 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)$ s 碳／环氧正交层合板。单层板性能参数为 $E_1=140$ $\\mathrm{GPa}, E_2=10 \\mathrm{GPa}, G_{12}=5 \\mathrm{GPa}, \\mu_{12}=0.3, X_{\\mathrm{t}}=1500 \\mathrm{GPa}, X_{\\mathrm{c}}=1200 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{t}}=50$ $\\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{c}}=250 \\mathrm{MPa}, S=70 \\mathrm{MPa}, t_{\\mathrm{p}}=0.125 \\mathrm{~mm}$ ，受 $N_x=100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 拉伸作用。判断各层是否破坏，并确定首层破坏强度。", "answer_ideas": ["由弹性性能参数求出单层板刚度系数矩阵，以及层合板的拉伸刚度矩阵和柔度矩阵分别为\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\boldsymbol{Q}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa} \\\\\n\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n37.8 & 1.5 & 0 \\\\\n1.5 & 37.8 & 0 \\\\\n0 & 0 & 2.5\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} / \\mathrm{mm} \\\\\n\\boldsymbol{a}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n0.0265 & -0.0011 & 0 \\\\\n-0.0011 & 0.0265 & 0 \\\\\n0 & 0 & 0.4000\n\\end{array}\\right] \\mathrm{mm} / \\mathrm{kN}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n求得应变为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right]=\\boldsymbol{a}\\left[\\begin{array}{c}\n100 \\\\\n0 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n2650 \\\\\n-110 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}\n$$\n\n$0^{\\circ}$ 层主轴方向的应变就等于上面的应变， $90^{\\circ}$ 层主轴方向的应变只需将上面的前两个应变分量互换就行。\n求得 $0^{\\circ}$ 层应力为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=\\boldsymbol{Q}\\left[\\begin{array}{c}\n2650 \\\\\n-110 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}=\\left[\\begin{array}{c}\n373 \\\\\n7 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n由最大应力准则求破坏指标：\n$F．I．(1)=373 / 1500=0.25$\n$F．I．(2)=7 / 50=0.14$\n$F．I．(12)=0 / 70=0$\n$90^{\\circ}$ 层应力和破坏指标分别为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=Q\\left[\\begin{array}{c}\n-110 \\\\\n2650 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}=\\left[\\begin{array}{c}\n-7 \\\\\n26 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n$F．I．(1)=7 / 1200=0.01$\n$F．I．(2)=26 / 50=0.52$\n$F．I．(12)=0 / 70=0$\n从计算结果看出， $90^{\\circ}$ 层横方向的破坏指标最大，但小于 1 。所以在 $N_x=100$ $\\mathrm{N} / \\mathrm{mm}$ 作用下，没有哪一层会发生破坏，层合板可以承担更大的载荷。由最大应力准则求得的破坏指标与载荷成比例，因此，为使最大的破坏指标刚好等于 1 ，将 $N_x$ 扩大 $1 / 0.52$ 倍，这样可求得首层破坏的临界载荷为\n\n$$\nN_{x c}=100 / 0.52 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=192 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}\n$$\n\n\n整个层合板厚 $h=0.125 \\times 4 \\mathrm{~mm}=0.5 \\mathrm{~mm}$ ，所以，破坏强度为\n\n$$\n\\sigma_{x c}=N_{x c} / h=384 \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n根据对称性，这里所指的首层破坏实际上是两个 $90^{\\circ}$ 层同时破坏。\n"], "refined_standard_answer": ["两个90度层同时破坏", "拉伸—$384 \\mathrm{MPa}$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "确定非对称双金属梁的拉伸刚度矩阵，耦合刚度矩阵和弯曲刚度矩阵。两金属层等厚度，均为 $t$ ，总厚度为 $2 t$ 。", "answer_ideas": ["$\\quad \\bar{Q}_1=\\left[\\begin{array}{ccc}\\frac{E_1}{1-\\mu_1^2} & \\frac{\\mu_1 E_1}{1-\\mu_1^2} & 0 \\\\ \\frac{\\mu_1 E_1}{1-\\mu_1^2} & \\frac{E_1}{1-\\mu_1^2} & 0 \\\\ 0 & 0 & \\frac{E_1}{2\\left(1+\\mu_1\\right)}\\end{array}\\right], \\quad \\bar{Q}_2=\\left[\\begin{array}{ccc}\\frac{E_2}{1-\\mu_2^2} & \\frac{\\mu_2 E_2}{1-\\mu_2^2} & 0 \\\\ \\frac{\\mu_2 E_2}{1-\\mu_2^2} & \\frac{E_2}{1-\\mu_2^2} & 0 \\\\ 0 & 0 & \\frac{E_2}{2\\left(1+\\mu_2\\right)}\\end{array}\\right]$\n由 $z_0=-t, z_1=0, z_2=t$ 得\n\n$$\n\\boldsymbol{A}=t\\left(\\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2\\right), \\quad \\boldsymbol{B}=\\frac{t^2}{2}\\left(-\\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2\\right), \\quad \\boldsymbol{D}=\\frac{t^3}{3}\\left(\\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2\\right)\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["\\boldsymbol{A}=t\\left(\\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2\\right)", "\\boldsymbol{B}=\\frac{t^2}{2}\\left(-\\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2\\right)", "\\boldsymbol{D}=\\frac{t^3}{3}\\left(\\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2\\right)"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "考虑$\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_{\\mathrm{s}}$ 碳／环氧正交层合板，受 $N_x=100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$作用。单层板性能参数为 $E_1=140 \\mathrm{GPa}, E_2=10 \\mathrm{GPa}, G_{12}=5 \\mathrm{GPa}, \\mu_{12}=0.3, X_{\\mathrm{t}}=$ $1500 \\mathrm{GPa}, X_{\\mathrm{c}}=1200 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{t}}=50 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{c}}=250 \\mathrm{MPa}, S=70 \\mathrm{MPa}$ ，单层板厚度 $t_{\\mathrm{p}}$ $=0.125 \\mathrm{~mm}$ 。已知单层板 $\\alpha_1=-0.3 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1}, \\alpha_2=28 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1}$ ，温度变化 $\\Delta T=-100{ }^{\\circ} \\mathrm{C}$ 。层合板各处有相同的吸水量 $\\Delta C=0.5 \\%$ ，单层板的湿膨胀系数 $\\beta_1$ $=0.01, \\beta_2=0.30$ 。 确定该层合板是否会发生破坏。在温度条件和吸水量不变时，刚好发生首层破坏的载荷是多少？", "answer_ideas": ["层合板的刚度矩阵、柔度矩阵，以及各单层应力，分别为\n$$\n\\begin{aligned}\n& Q=\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa} \\\\\n& \\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n37.8 & 1.5 & 0 \\\\\n1.5 & 37.8 & 0 \\\\\n0 & 0 & 2.5\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} / \\mathrm{mm} \\\\\n& \\boldsymbol{a}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n0.0265 & -0.0011 & 0 \\\\\n-0.0011 & 0.0265 & 0 \\\\\n0 & 0 & 0.4000\n\\end{array}\\right] \\mathrm{mm} / \\mathrm{kN} \\\\\n& {\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=\\left[\\begin{array}{c}\n373 \\\\\n7 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}} \\\\\n& {\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]_{90^{\\circ}}=\\left[\\begin{array}{c}\n-7 \\\\\n26 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}}\n\\end{aligned}\n$$\n在 $N_x=100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 的单独作用下， $90^{\\circ}$ 层横方向最易发生破坏，其拉伸应力为 26 MPa 。临界载荷为 $(50 / 26) \\times 100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=192 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 。\n（2）仅有温度变化时的残余热应力计算如下：\n$$\n\\begin{gathered}\n{\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^{\\mathrm{T}} \\\\\n\\varepsilon_y^{\\mathrm{T}} \\\\\n\\gamma_{x y}^{\\mathrm{T}}\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=10^{-6}\\left[\\begin{array}{c}\n30 \\\\\n-2800 \\\\\n0\n\\end{array}\\right],\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^{\\mathrm{T}} \\\\\n\\varepsilon_y^{\\mathrm{T}} \\\\\n\\gamma_{x y}^{\\mathrm{T}}\n\\end{array}\\right]_{90^{\\circ}}=10^{-6}\\left[\\begin{array}{c}\n-2800 \\\\\n30 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]} \\\\\n{\\left[\\begin{array}{c}\nN_x^{\\mathrm{T}} \\\\\nN_y^{\\mathrm{T}} \\\\\nN_{x y}^{\\mathrm{T}}\n\\end{array}\\right]=\\sum_k\\left(\\bar{Q}_{i j}\\right)_k\\left[\\begin{array}{c}\n\\alpha_x \\\\\n\\alpha_y \\\\\n\\alpha_{x y}\n\\end{array}\\right]_k\\left(z_k-z_{k-1}\\right) \\Delta T=\\left[\\begin{array}{c}\n-8.092 \\\\\n-8.092 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{N} / \\mathrm{mm}} \\\\\n{\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n-206 \\\\\n-206 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}}\n\\end{gathered}\n$$\n$0^{\\circ}$ 层力学应变以及残余热应力为\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\varepsilon_1^{\\mathrm{M}} \\\\\n\\varepsilon_2^{\\mathrm{M}} \\\\\n\\gamma_{12}^{\\mathrm{M}}\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=\\left[\\begin{array}{c}\n-236 \\\\\n2594 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}\n$$\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=\\left[\\begin{array}{c}\n-26 \\\\\n26 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n同样可以得到 $90^{\\circ}$ 层的残余热应力相同\n上述残余应力满足自平衡条件。整个层合板在 $x$ 和 $y$ 方向上的热膨胀系数，由定义及以上结果求得，即\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\alpha_x \\\\\n\\alpha_y \\\\\n\\alpha_{x y}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right] / \\Delta T=10^{-6} \\times\\left[\\begin{array}{c}\n2.06 \\\\\n2.06 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{K}^{-1}\n$$\n\n（3）同理得到仅有吸湿变形时残余应力满足自平衡条件。\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\beta_x \\\\\n\\beta_y \\\\\n\\beta_{x y}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right] / \\Delta C=\\left[\\begin{array}{c}\n0.034 \\\\\n0.034 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]\n$$\n（4）考虑外加载荷以及温度、湿度残余应力，\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left(\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right)_{0^{\\circ}}=\\left(\\begin{array}{c}\n373-26+13 \\\\\n7+26-13 \\\\\n0\n\\end{array}\\right) \\mathrm{MPa}=\\left(\\begin{array}{c}\n360 \\\\\n20 \\\\\n0\n\\end{array}\\right) \\mathrm{MPa} \\\\\n& \\left(\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right)_{90^{\\circ}}=\\left(\\begin{array}{c}\n-7-26+13 \\\\\n26+26-13 \\\\\n0\n\\end{array}\\right) \\mathrm{MPa}=\\left(\\begin{array}{c}\n-20 \\\\\n39 \\\\\n0\n\\end{array}\\right) \\mathrm{MPa}\n\\end{aligned}\n$$\n此时， $90^{\\circ}$ 层横方向上的破坏指标最大，即 $39 / 50=0.78$ ，但尚末发生破坏。因为温度应力加上吸水膨胀残余应力的贡献是恒定的，即$(26－13)MPa =13 \\mathrm{MPa}$ ，外加载荷单独引起的应力不能超过 $(50-13) \\mathrm{MPa}=37 \\mathrm{MPa}$ 。因此，求得临界载荷为 $(37 / 26) \\times 100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=142 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 。\n"], "refined_standard_answer": ["不发生", "142 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "单向复合材料偏轴角度为 $45^{\\circ}$ ，受面内应力作用，$\\sigma_x=30 \\mathrm{MPa}, \\sigma_y=0, \\tau_{x y}=10 \\mathrm{MPa}$ ，强度指标 $X_{\\mathrm{t}}=500 \\mathrm{MPa}, X_{\\mathrm{c}}=350 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{t}}=25 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{c}}=75 \\mathrm{MPa}, S=35 \\mathrm{MPa}$ ，求其破坏指标。若剪应力方向改变，其他条件不变，结果会怎样？", "answer_ideas": ["$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc}\n0.5 & 0.5 & 1 \\\\\n0.5 & 0.5 & -1 \\\\\n-0.5 & 0.5 & 0\n\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c}\n30 \\\\\n0 \\\\\n\\pm 10\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n正，负剪切作用下主轴方向应力分别为\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n25 \\\\\n5 \\\\\n-15\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}, \\quad\\left[\\begin{array}{c}\n5 \\\\\n25 \\\\\n-15\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n正剪切作用下\n$$\n\\text { F.I. }=\\left(\\frac{25}{500}\\right)^2+\\left(\\frac{5}{25}\\right)^2+\\left(\\frac{15}{35}\\right)^2-\\left(\\frac{25}{500}\\right)\\left(\\frac{5}{25}\\right)=0.22\n$$\n负剪切作用下\n$$\n\\text { F.I. }=\\left(\\frac{5}{500}\\right)^2+\\left(\\frac{25}{25}\\right)^2+\\left(\\frac{15}{35}\\right)^2-\\left(\\frac{5}{500}\\right)\\left(\\frac{25}{25}\\right)=1.17 \n$$\n"], "refined_standard_answer": ["0.22", "1.17"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "单向层合板材料性能参数为 $E_x=140 \\mathrm{GPa}, E_y=10 \\mathrm{GPa}, \\mu_{x y}=0.3, G_{x y}=5 \\mathrm{GPa}$ 。板厚 $t=5 \\mathrm{~mm}, a=b=50 \\mathrm{~cm}$ ，四周简支，受横向均布载荷 $p_0=25 \\mathrm{~N} / \\mathrm{m}^2$ 作用。可以依此求板的最大位移，将这块板记作原正方形板。单向层合板换为 $\\left[0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right]_{\\mathrm{s}}$ 层合板，或 $\\left(90^{\\circ} / 0^{\\circ}\\right)_{\\mathrm{s}}$ 层合板，总的厚度和其他条件不变，也会得到相应结果。现在对三类板子统一调整使得$b=25 \\mathrm{~cm}$ ，其他条件不变，结果相较原正方形板如何变化？\n", "answer_ideas": ["（1）对于单向层合板，板厚度为 $t$ ，则\n$\\boldsymbol{D}=\\frac{t^3}{12} \\times \\boldsymbol{Q}$\n（2）对于 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_s$层合板，有\n$\\boldsymbol{D}=\\frac{t^3}{12} \\times \\frac{7 \\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2}{8}$\n此处厚度增加到原来的$10$倍，弯曲刚度扩大到原来的$1000$倍\n即$$\n\\boldsymbol{D}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n1298.1 & 31.3 & 0 \\\\\n31.3 & 275.3 & 0 \\\\\n0 & 0 & 52.1\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} \\cdot \\mathrm{~mm}\n$$\n计算表明，位移函数与单向层合板的情况相同，因此，应力也相同。值得注意的是若不是正方形板，则上述结论不成立。\n（3）$\\left(90^{\\circ} / 0^{\\circ}\\right)_s$层合板与 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_s$层合板的差别是，$D_{22}$ 与 $D_{11}$ 互换，位移函数结果也相同。\n\n由于位移幅值为 $-\\frac{16 a^4}{\\pi^6} \\frac{1}{D_{11}+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right)(a / b)^2+D_{22}(a / b)^4}$ 。\n不同的板与正方形板相比差别在于，分母中 $a / b=1$ 变为 $a / b=2$ 。\n单向板：结果为正方形板的 0.435 倍。\n$\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_s$层合板：结果为正方形板的$0.272$倍。\n$\\left(90^{\\circ} / 0^{\\circ}\\right)_s$层合板：$D_{22}$ 与 $D_{11}$ 互换，结果为正方形板的$0.083$倍。\n"], "refined_standard_answer": ["单向板：结果为原正方形板的$0.435$倍", "$\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_s$层合板：结果为原正方形板的$0.272$倍", "$\\left(90^{\\circ} / 0^{\\circ}\\right)_s$层合板：结果为原正方形板的$0.083$倍"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "碳／环氧单层板的厚度为 0.125 mm ，弹性常数为：$E_1=$ $140 \\mathrm{GPa}, E_2=10 \\mathrm{GPa}, G_{12}=5 \\mathrm{GPa}, \\mu_{12}=0.3$ 。计算 $\\left(45^{\\circ} /-45^{\\circ}\\right)$ 层合板的耦合刚度系数。", "answer_ideas": ["折减刚度系数矩阵以及变换后的刚度系数矩阵分别为\n\n$$\n\\boldsymbol{Q}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa}, \\quad \\bar{Q}_{ \\pm 45^{\\circ}}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n44.3 & 34.3 & \\pm 32.7 \\\\\n34.3 & 44.3 & \\pm 32.7 \\\\\n\\pm 32.7 & \\pm 32.7 & 36.3\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa}\n$$\n\n\n单层板刚度系数以及相关坐标值列于下表。\n表 刚度系数\n（单位： GPa ）\n\\begin{tabular}{cccccccc}\n\\hline 层 号 & 角 度 & $\\bar{Q}_{11}$ & $\\bar{Q}_{22}$ & $\\bar{Q}_{33}$ & $\\bar{Q}_{12}$ & $\\bar{Q}_{16}$ & $\\bar{Q}_{26}$ \\\\\n\\hline 一 & $45^{\\circ}$ & 44.3 & 44.3 & 36.3 & 34.3 & 32.7 & 32.7 \\\\\n\\hline 二 & $-45^{\\circ}$ & 44.3 & 44.3 & 36.3 & 34.3 & -32.7 & -32.7 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n表 各单层相关坐标值\n\\begin{tabular}{cccccc}\n\\hline 层 号 & 角 度 & $t_k / \\mathrm{mm}$ & $\\bar{z}_k / \\mathrm{mm}$ & $t_k \\bar{z}_k / \\mathrm{mm}^2$ & $t_k \\bar{z}_k{ }^2+\\frac{1}{12} t_k{ }^3 / \\mathrm{mm}^3$ \\\\\n\\hline一 & $45^{\\circ}$ & 0.125 & -0.0625 & -0.00781 & 0.00065 \\\\\n二 & $-45^{\\circ}$ & 0.125 & 0.0625 & 0.00781 & 0.00065 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n\\begin{aligned}\n&\\text { 将以上结果代人得到刚度系数的计算结果如下：}\\\\\n&\\begin{aligned}\n\\boldsymbol{A}= & {\\left[\\begin{array}{ccc}\n11.1 & 8.6 & 0 \\\\\n8.6 & 11.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 9.1\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} / \\mathrm{mm}, \\quad \\boldsymbol{B}=\\left[\\begin{array}{cccc}\n0 & 0 & -0.51 \\\\\n0 & 0 & -0.51 \\\\\n-0.51 & -0.51 & 0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} } \\\\\n\\boldsymbol{D}= & {\\left[\\begin{array}{ccc}\n0.0576 & 0.0446 & 0 \\\\\n0.0446 & 0.0576 & 0 \\\\\n0 & 0 & 0.0472\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} \\cdot \\mathrm{~mm} }\n\\end{aligned}\n\\end{aligned}\n\n"], "refined_standard_answer": ["\\boldsymbol{B} = \\begin{bmatrix} 0 & 0 & -0.51 \\\\ 0 & 0 & -0.51 \\\\ -0.51 & -0.51 & 0 \\end{bmatrix} \\mathrm{kN}"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "玻璃纤维增强复合材料交织纤维板在主轴方向上的弹性常数为 $E_{\\mathrm{G}}=23 \\mathrm{GPa}, \\mu_{\\mathrm{G}}= 0.17$，碳纤维增强复合材料交织纤维板在主轴方向上的弹性常数为 $E_{\\mathrm{C}}=50 \\mathrm{GPa}, \\mu_{\\mathrm{C}}=0.1$ 。给出（GFRP／CFRP）s层合板和（CFRP／GFRP）层合板的弯曲刚度系数 $D_{11}$表达式 。", "answer_ideas": ["$$\n\\begin{gathered}\n\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{G}}=E_{\\mathrm{G}} /\\left(1-\\mu_{\\mathrm{G}}^2\\right)=23.7 \\mathrm{GPa}, \\quad\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{C}}=E_{\\mathrm{C}} /\\left(1-\\mu_{\\mathrm{C}}^2\\right)=50.5 \\mathrm{GPa} \\\\\nz_0=-\\frac{t}{2}, \\quad z_1=-\\frac{t}{4}, \\quad z_2=0, \\quad z_3=\\frac{t}{4}, \\quad z_4=\\frac{t}{2}\n\\end{gathered}\n$$\n\n（1）对于（GFRP／CFRP）s 层合板：\n\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left(D_{11}\\right)_{\\mathrm{GC}} & =\\frac{2}{3}\\left\\{\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{G}}\\left[\\left(-\\frac{t}{4}\\right)^3-\\left(-\\frac{t}{2}\\right)^3\\right]+\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{C}}\\left[0^3-\\left(-\\frac{t}{4}\\right)^3\\right]\\right\\} \\\\\n& =\\frac{t^3}{3}\\left[\\frac{7}{32}\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{G}}+\\frac{1}{32}\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{C}}\\right]\n\\end{aligned}\n$$\n\n（2）对于（CFRP／GFRP）$)_s$ 层合板：\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left(D_{11}\\right)_{\\mathrm{CG}}=\\frac{t^3}{3}\\left[\\frac{7}{32}\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{C}}+\\frac{1}{32}\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{G}}\\right] \\\\\n& \\frac{\\left(D_{11}\\right)_{\\mathrm{CG}}}{\\left(D_{11}\\right)_{\\mathrm{GC}}}=\\frac{7\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{C}}+\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{G}}}{7\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{G}}+\\left(\\bar{Q}_{11}\\right)_{\\mathrm{C}}}=1.74\n\\end{aligned}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["(D_{11})_{\\mathrm{GC}} = \\frac{t^3}{3}\\left[\\frac{7}{32}(\\bar{Q}_{11})_{\\mathrm{G}}+\\frac{1}{32}(\\bar{Q}_{11})_{\\mathrm{C}}\\right]", "(D_{11})_{\\mathrm{CG}} = \\frac{t^3}{3}\\left[\\frac{7}{32}(\\bar{Q}_{11})_{\\mathrm{C}}+\\frac{1}{32}(\\bar{Q}_{11})_{\\mathrm{G}}\\right]"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "$$求各向同性材料的H_i(i=\\mathrm{I，II，III) }$$", "answer_ideas": ["平面应力条件下：\n\n$$\nH_{\\mathrm{I}}=H_{\\text {II }}=\\frac{1}{E}, \\quad H_{\\text {II }}=\\frac{1+\\mu}{E}\n$$\n\n\n平面应变条件下：\n\n$$\nH_{\\mathrm{I}}=H_{\\mathrm{II}}=\\frac{1-\\mu^2}{E}, \\quad H_{\\mathrm{III}}=\\frac{1+\\mu}{E}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["平面应力：$H_{\\mathrm{I}}=H_{\\mathrm{II}}=\\frac{1}{E}, H_{\\mathrm{III}}=\\frac{1+\\mu}{E}$", "平面应变：$H_{\\mathrm{I}}=H_{\\mathrm{II}}=\\frac{1-\\mu^2}{E}, H_{\\mathrm{III}}=\\frac{1+\\mu}{E}$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "某各向同性材料，$E_x=E_y=E, \\mu_{x y}=\\mu_{y x}=\\mu, G_{x y}=G=E / 2(1+\\mu)$ ，求其弯曲的基本方程。", "answer_ideas": ["$D_{11}=D_{22}=D_{12}+2 D_{66}=D=E t^3 / 12\\left(1-\\mu^2\\right), D_{16}=D_{26}=0$ ，基本方程为\n\n$$\n\\frac{\\partial^4 w}{\\partial x^4}+2 \\frac{\\partial^4 w}{\\partial x^2 \\partial y^2}+\\frac{\\partial^4 w}{\\partial y^4}=-p / D\n$$"], "refined_standard_answer": ["\\frac{\\partial^4 w}{\\partial x^4}+2 \\frac{\\partial^4 w}{\\partial x^2 \\partial y^2}+\\frac{\\partial^4 w}{\\partial y^4}=-\\frac{p}{D}"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "单向层合板材料原始性能参数为 $E_x=140 \\mathrm{GPa}, E_y=10 \\mathrm{GPa}, \\mu_{x y}=0.3, G_{x y}=5 \\mathrm{GPa}$ 。板厚 $t=5 \\mathrm{~mm}, a=b=50 \\mathrm{~cm}$ ，四周简支，受横向均布载荷 $p_0=25 \\mathrm{~N} / \\mathrm{m}^2$ 作用。如果现在将厚度增加为$10 mm$ ，正方形板的边长改变为$100 cm$ ，结果相较原条件如何变化？", "answer_ideas": ["在原来条件下，\\begin{aligned}\n&\\begin{aligned}\nw & =-\\frac{16 p_0}{\\pi^6} \\frac{a^4 b^4}{D_{11} b^4+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right) a^2 b^2+D_{22} a^4} \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b} \\\\\n& =-\\frac{16 p_0}{\\pi^6} \\frac{a^4}{D_{11}+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right)+D_{22}} \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b}\n\\end{aligned}\n\\end{aligned}\n（1）对于单向层合板，板厚度为 $t$ ，则\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\boldsymbol{D}=\\frac{t^3}{12} \\times \\boldsymbol{Q}=\\frac{t^3}{12}\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc}\n1467.7 & 31.3 & 0 \\\\\n31.3 & 105.2 & 0 \\\\\n0 & 0 & 52.1\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} \\cdot \\mathrm{~mm} \\\\\nw=-0.014 \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b}(\\mathrm{~mm})\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n板的中央处：\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x \\\\\n\\varepsilon_y \\\\\n\\gamma_{x y}\n\\end{array}\\right]=z\\left[\\begin{array}{c}\nK_x \\\\\nK_y \\\\\nK_{x y}\n\\end{array}\\right]=-z\\left[\\begin{array}{c}\n\\partial w^2 / \\partial x^2 \\\\\n\\partial w^2 / \\partial y^2 \\\\\n2 \\partial w^2 / \\partial x \\partial y\n\\end{array}\\right]_{x=\\frac{a}{2}, y=\\frac{b}{2}}=-z\\left(10^{-6}\\right)\\left[\\begin{array}{c}\n0.55 \\\\\n0.55 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]\n$$\n上表面或下表面（ $z= \\pm 2.5 \\mathrm{~mm}$ ）应力绝对值最大，有\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_x \\\\\n\\sigma_y \\\\\n\\tau_{x y}\n\\end{array}\\right]=Q\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x \\\\\n\\varepsilon_y \\\\\n0\n\\end{array}\\right]=2.5 \\times 10^{-3} \\times\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{c}\n0.55 \\\\\n0.55 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kPa}=\\left[\\begin{array}{c}\n198 \\\\\n18 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kPa}\n$$\n\n（2）对于 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_s$ 层合板，有\n$$\n\\boldsymbol{D}=\\frac{t^3}{12} \\times \\frac{7 \\overline{\\boldsymbol{Q}}_1+\\overline{\\boldsymbol{Q}}_2}{8}\n$$\n此处厚度增加到原来的$10$倍，弯曲刚度扩大到原来的$1000$倍，即\n$$\n\\boldsymbol{D}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n1298.1 & 31.3 & 0 \\\\\n31.3 & 275.3 & 0 \\\\\n0 & 0 & 52.1\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} \\cdot \\mathrm{~mm}\n$$\n\n\n计算表明，位移函数与单向层合板的情况相同，因此，应力也相同。若不是正方形板，则上述结论不成立。\n（3）$\\left(90^{\\circ} / 0^{\\circ}\\right)_s$ 层合板与 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_s$ ，层合板的差别是，$D_{22}$ 与 $D_{11}$ 互换，位移函数结果也相同。\n\n同理进行相关数据调整可以得到位移幅值增大一倍。\n"], "refined_standard_answer": ["板的位移幅值增大一倍。"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "$\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)$ 非对称正交层合板总厚度为 $t$ ，求温度变化 $\\Delta T=-100{ }^{\\circ} \\mathrm{C}$ 时，不同线膨胀系数下层合板内的残余应力。设单层板性能参数如下：\n\n$$\nQ=\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa}\n$$\n\n已知：$\\alpha_1=-0.3 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1}, \\alpha_2=28.0 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1}$ ", "answer_ideas": ["先参考$\\alpha_1=0.02 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1}, \\alpha_2=22.5 \\times 10^{-6} \\mathrm{~K}^{-1}$ 的情况\n$$\n\\begin{aligned}\n&\\left(A_{11}+A_{12}\\right) \\varepsilon_x^0+B_{11} K_x=N_x^{\\mathrm{T}}, \\quad B_{11} \\varepsilon_x^0+\\left(D_{11}-D_{12}\\right) K_x=M_x^{\\mathrm{T}} \\\\\n&\\left(\\frac{Q_{11}+Q_{22}+2 Q_{12}}{2}\\right) t \\varepsilon_x^0+\\frac{t^2}{8}\\left(-Q_{11}+Q_{22}\\right) K_x \\\\\n&= N_x^{\\mathrm{T}}=\\left[\\left(Q_{11}+Q_{12}\\right) \\alpha_1+\\left(Q_{12}+Q_{22}\\right) \\alpha_2\\right] \\times \\frac{t}{2} \\Delta T \\\\\n&\\left(\\frac{-Q_{11}+Q_{22}}{8}\\right) t^2 \\varepsilon_x^0+\\left(\\frac{Q_{11}+Q_{22}-2 Q_{12}}{24}\\right) t^3 K_x \\\\\n&= M_x^{\\mathrm{T}}=\\left[\\left(-Q_{11}+Q_{12}\\right) \\alpha_1+\\left(-Q_{12}+Q_{22}\\right) \\alpha_2\\right] \\times \\frac{t^2}{8} \\Delta T\n\\end{aligned}\n$$\n\n将已知条件代人上面方程，得以下关系，并由此求出中面应变和曲率：\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& 78500 \\varepsilon_x^0+(-16350) t K_x=-14.88 \\\\\n& (-16350) \\varepsilon_x^0+(6042) t K_x=-1.96\n\\end{aligned}\n$$\n\n解得\n\n$$\n\\varepsilon_x^0=-5.89 \\times 10^{-4}, \\quad t K_x=-1.92 \\times 10^{-3}, \\quad \\varepsilon_x^0=\\varepsilon_y^0, \\quad K_x=-K_y\n$$\n\n求 $0^{\\circ}$ 层残余应力。当 $z=0$ 时，\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_x \\\\\n\\sigma_y\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=10^3 \\times\\left[\\begin{array}{cc}\n140.9 & 3.0 \\\\\n3.0 & 10.1\n\\end{array}\\right]\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\varepsilon_x^0-\\alpha_1 \\Delta T \\\\\n\\varepsilon_x^0-\\alpha_2 \\Delta T\n\\end{array}\\right\\}=\\left\\{\\begin{array}{c}\n-77.73 \\\\\n15.02\n\\end{array}\\right\\} \\mathrm{MPa}\n$$\n\n当 $z=-t / 2$ 时，\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_x \\\\\n\\sigma_y\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=10^3 \\times\\left[\\begin{array}{cc}\n140.9 & 3.0 \\\\\n3.0 & 10.1\n\\end{array}\\right]\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\varepsilon_x^0-\\frac{1}{2} t K_x-\\alpha_1 \\Delta T \\\\\n\\varepsilon_x^0+\\frac{1}{2} t K_x-\\alpha_2 \\Delta T\n\\end{array}\\right\\}=\\left\\{\\begin{array}{c}\n54.66 \\\\\n8.20\n\\end{array}\\right\\} \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n在 $90^{\\circ}$ 层内，产生相同的主轴方向残余应力，层合板残余应力构成自平衡力系。即，自下而上（ $z$ 分别为 $-t / 2,0,0, t / 2$ ），$x$ 方向的应力依次为 $54.66 \\mathrm{MPa},-77.73 \\mathrm{MPa}, 15.02 \\mathrm{MPa}, 8.20 \\mathrm{MPa}$ 。\n在每个单层内应力沿高度线性变化，不难验证以下自平衡关系成立：\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\int_{-t / 2}^0\\left(\\sigma_x\\right)_{0^{\\circ}} \\mathrm{d} z+\\int_0^{t / 2}\\left(\\sigma_x\\right)_{90^{\\circ}} \\mathrm{d} z=0 \\\\\n& 78500 \\varepsilon_x^0+(-16350) t K_x=-16.18 \\\\\n& (-16350) \\varepsilon_x^0+(6042) t K_x=-3.00\n\\end{aligned}\n$$\n\n\n解得\n\n$$\n\\varepsilon_x^0=-7.09 \\times 10^{-4}, \\quad t K_x=-2.42 \\times 10^{-3}, \\quad \\varepsilon_x^0=\\varepsilon_y^0, \\quad K_x=-K_y\n$$\n\n\n用同样的方法求 $0^{\\circ}$ 层残余应力。当 $z=0$ 时，残余应力为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_x \\\\\n\\sigma_y\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=\\left\\{\\begin{array}{c}\n-98.00 \\\\\n18.89\n\\end{array}\\right\\} \\mathrm{MPa}\n$$\n当 $z=-t / 2$ 时，残余应力为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_x \\\\\n\\sigma_y\n\\end{array}\\right]_{0^{\\circ}}=\\left\\{\\begin{array}{l}\n68.86 \\\\\n10.30\n\\end{array}\\right\\} \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n在 $90^{\\circ}$ 层内，产生相同的主轴方向残余应力。当 $z$ 分别为 $-t / 2,0,0, t / 2$ 时，$x$方向的应力依次为 $68.86 \\mathrm{MPa},-98.00 \\mathrm{MPa}, 18.89 \\mathrm{MPa}, 10.30 \\mathrm{MPa}$ 。\n"], "refined_standard_answer": ["$x$方向应力: $68.86 \\mathrm{MPa}, -98.00 \\mathrm{MPa}, 18.89 \\mathrm{MPa}, 10.30 \\mathrm{MPa}$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "由碳纤维／环氧树脂（T300／5208）制成的正交誧设对称层合板 $\\left[0_4 / 90_4\\right]_{\\mathrm{s}}$受 $N_x^*=50 \\mathrm{MPa}, N_y^*=-50 \\mathrm{MPa}, N_{x y}^*=M_x^*=M_y^*=M_{x y}^*=0$ 作用。按蔡－吴张量多项式准则计算最先一层失效强度。其中，已知各单层的正轴应力为 $0^{\\circ}$ 单层中，$\\sigma_1^{(0)}=95.93(\\mathrm{MPa})，\\sigma_2^{(0)}=-3.995(\\mathrm{MPa})，\\tau_{12}^{(0)}=0$ $90^{\\circ}$ 单层中，$\\sigma_1^{(90)}=-95.93(\\mathrm{MPa})，\\sigma_2^{(90)}=3.995(\\mathrm{MPa})，\\tau_{12}^{(90)}=0$", "answer_ideas": ["查表得 T300／5208复合材料单层应力空间的强度参数\n$$\n\\begin{array}{lll}\nF_{11}=0.444 \\mathrm{GPa}^{-2}, & F_{22}=101.6 \\mathrm{GPa}^{-2}, & F_{12}=-3.36 \\mathrm{GPa}^{-2} \\\\\nF_{66}=216.2 \\mathrm{GPa}^{-2}, & F_1=0, & F_2=20.93 \\mathrm{GPa}^{-2}\n\\end{array}\n$$\n（1）计算强度比\n$0^{\\circ}$ 单层\n$$\n\\left[F_{11} \\sigma_1^{(0) 2}+2 F_{12} \\sigma_1^{(0)} \\sigma_2^{(0)}+F_{22} \\sigma_2^{(0) 2}\\right] R^2+\\left[F_1 \\sigma_1^{(0)}+F_2 \\sigma_2^{(0)}\\right] R-1=0\n$$\n即 $\\left(0.444 \\times 95.93^2+2 \\times 3.36 \\times 95.93 \\times 3.995+101.6 \\times 3.995^2\\right) \\times 10^{-6} R^2$\n$$\n\\begin{gathered}\n-20.93 \\times 10^{-3} \\times 3.995 R-1=0 \\\\\n8283 \\times 10^{-6} R^2-83.62 \\times 10^{-3} R-1=0\n\\end{gathered}\n$$\n解得\n$$\nR^{(0)}=17.14, \\quad R^{(0)^{\\prime}}=-7.043 \\text { (取正根) }\n$$\n$90^{\\circ}$ 单层\n$$\n\\left[F_{11} \\sigma_1^{(90) 2}+2 F_{12} \\sigma_1^{(90)} \\sigma_2^{(90)}+F_{22} \\sigma_2^{(90) 2}\\right] R^2+\\left[F_1 \\sigma_1^{(90)}+F_2 \\sigma_2^{(90)}\\right] R-1=0\n$$\n即 $\\left(0.444 \\times 95.93^2+2 \\times 3.36 \\times 95.93 \\times 3.995+101.6 \\times 3.995^2\\right) \\times 10^{-6} R^2$\n$$\n\\begin{gathered}\n-20.93 \\times 10^{-3} \\times 3.995 R-1=0 \\\\\n8283 \\times 10^{-6} R^2+83.62 \\times 10^{-3} R-1=0\n\\end{gathered}\n$$\n解得\n$$\nR^{(90)}=7.043, \\quad R^{(0)^{\\prime}}=-17.14 \\text { (取正根) }\n$$\n（2）最先一层失效强度的确定\n比较 $0^{\\circ}$ 单层和 $90^{\\circ}$ 单层的强度比可知，在给定的 $N_x^*=50 \\mathrm{MPa}, N_y^*=-50 \\mathrm{MPa}$ 的情况下， $90^{\\circ}$ 单层首先失效，最先一层失效强度为\n$$\n\\begin{aligned}\n& N_{\\text {xFPF }}^*=R^{(90)} \\cdot N_x^*=7.043 \\times 50=352.2(\\mathrm{MPa}) \\\\\n& N_{\\text {yFPF }}=R^{(90)} \\cdot N_y^*=7.043 \\times(-50)=-352.2(\\mathrm{MPa})\n\\end{aligned}\n$$"], "refined_standard_answer": ["$90^{\\circ}$层首先失效，失效强度为 $N_{xFPF}^*=352.2\\,\\mathrm{MPa}$，$N_{yFPF}=-352.2\\,\\mathrm{MPa}$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "单向层合板材料性能参数为 $E_x=140 \\mathrm{GPa}, E_y=10 \\mathrm{GPa}, \\mu_{x y}=0.3, G_{x y}=5 \\mathrm{GPa}$ 。板厚 $t=5 \\mathrm{~mm}, a=b=50 \\mathrm{~cm}$ ，四周简支，受横向均布载荷 $p_0=25 \\mathrm{~N} / \\mathrm{m}^2$ 作用，求板的最大位移。\n", "answer_ideas": ["$$\n\\begin{aligned}\nw & =-\\frac{16 p_0}{\\pi^6} \\frac{a^4 b^4}{D_{11} b^4+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right) a^2 b^2+D_{22} a^4} \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b} \\\\\n& =-\\frac{16 p_0}{\\pi^6} \\frac{a^4}{D_{11}+2\\left(D_{12}+2 D_{66}\\right)+D_{22}} \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b}\n\\end{aligned}\n$$\n\n对于单向层合板，板厚度为 $t$ ，则\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\boldsymbol{D}=\\frac{t^3}{12} \\times \\boldsymbol{Q}=\\frac{t^3}{12}\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc}\n1467.7 & 31.3 & 0 \\\\\n31.3 & 105.2 & 0 \\\\\n0 & 0 & 52.1\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} \\cdot \\mathrm{~mm} \\\\\nw=-0.014 \\sin \\frac{\\pi x}{a} \\sin \\frac{\\pi y}{b}(\\mathrm{~mm})\n\\end{gathered}\n$$\n可知板中央处取得最大位移$0.014mm$\n"], "refined_standard_answer": ["0.014 mm"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "考虑 $\\left(0^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)$ s 碳／环氧正交层合板。单层板性能参数为 $E_1=140$ $\\mathrm{GPa}, E_2=10 \\mathrm{GPa}, G_{12}=5 \\mathrm{GPa}, \\mu_{12}=0.3, X_{\\mathrm{t}}=1500 \\mathrm{GPa}, X_{\\mathrm{c}}=1200 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{t}}=50$ $\\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{c}}=250 \\mathrm{MPa}, S=70 \\mathrm{MPa}, t_{\\mathrm{p}}=0.125 \\mathrm{~mm}$ ，受 $N_x=100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 压缩作用。确定首层极限载荷。", "answer_ideas": ["首先可以借鉴拉伸情况下的计算，\n由弹性性能参数求出单层板刚度系数矩阵，以及层合板的拉伸刚度矩阵和柔度矩阵分别为\n\n$$\n\\begin{gathered}\n\\boldsymbol{Q}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa} \\\\\n\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n37.8 & 1.5 & 0 \\\\\n1.5 & 37.8 & 0 \\\\\n0 & 0 & 2.5\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} / \\mathrm{mm} \\\\\n\\boldsymbol{a}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n0.0265 & -0.0011 & 0 \\\\\n-0.0011 & 0.0265 & 0 \\\\\n0 & 0 & 0.4000\n\\end{array}\\right] \\mathrm{mm} / \\mathrm{kN}\n\\end{gathered}\n$$\n\n\n求得应变为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_x^0 \\\\\n\\varepsilon_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right]=\\boldsymbol{a}\\left[\\begin{array}{c}\n100 \\\\\n0 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n2650 \\\\\n-110 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}\n$$\n\n$0^{\\circ}$ 层主轴方向的应变就等于上面的应变， $90^{\\circ}$ 层主轴方向的应变只需将上面的前两个应变分量互换就行。\n求得 $0^{\\circ}$ 层应力为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=\\boldsymbol{Q}\\left[\\begin{array}{c}\n2650 \\\\\n-110 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}=\\left[\\begin{array}{c}\n373 \\\\\n7 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n由最大应力准则求破坏指标：\n$F．I．(1)=373 / 1500=0.25$\n$F．I．(2)=7 / 50=0.14$\n$F．I．(12)=0 / 70=0$\n$90^{\\circ}$ 层应力和破坏指标分别为\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=Q\\left[\\begin{array}{c}\n-110 \\\\\n2650 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}=\\left[\\begin{array}{c}\n-7 \\\\\n26 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n$F．I．(1)=7 / 1200=0.01$\n$F．I．(2)=26 / 50=0.52$\n$F．I．(12)=0 / 70=0$\n从计算结果看出， $90^{\\circ}$ 层横方向的破坏指标最大，但小于 1 。所以在 $N_x=100$ $\\mathrm{N} / \\mathrm{mm}$ 作用下，没有哪一层会发生破坏，层合板可以承担更大的载荷。由最大应力准则求得的破坏指标与载荷成比例，因此，为使最大的破坏指标刚好等于 1 ，将 $N_x$ 扩大 $1 / 0.52$ 倍，这样可求得首层破坏的临界载荷为\n\n$$\nN_{x c}=100 / 0.52 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=192 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}\n$$\n\n\n整个层合板厚 $h=0.125 \\times 4 \\mathrm{~mm}=0.5 \\mathrm{~mm}$ ，所以，破坏强度为\n\n$$\n\\sigma_{x c}=N_{x c} / h=384 \\mathrm{MPa}\n$$\n\n\n根据对称性，这里所指的首层破坏实际上是两个 $90^{\\circ}$ 层同时破坏。\n回归原题，\n若 $N_x$ 改为压缩作用，则 $0^{\\circ}$ 层应力将改变方向，大小不变，有\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{l}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n-373 \\\\\n-7 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa},\\left[\\begin{array}{c}\n\\text { F. I. } 1 \\\\\n\\text { F. I. } 2 \\\\\n\\text { F. I. } 12\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n373 / 1200=0.311 \\\\\n7 / 250=0.028 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]\n$$\n\n\n同样， $90^{\\circ}$ 层应力也改变符号，有\n\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n7 \\\\\n-26 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}, \\quad\\left[\\begin{array}{c}\n\\text { F. I. } 1 \\\\\n\\text { F. I. } 2 \\\\\n\\text { F. I. } 12\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n7 / 1500=0.005 \\\\\n26 / 250=0.104 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]\n$$\n\n\n首层破坏的临界载荷为\n\n$$\nN_{x \\mathrm{c}}=100 / 0.311 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=322 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["$N_{x \\mathrm{c}}=322 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "考虑共有八层的 $\\left(0^{\\circ} / 45^{\\circ} /-45^{\\circ} / 90^{\\circ}\\right)_s$ 碳／环氧准各向同性板，受 $N_x$拉伸作用，应用最大应力准则和完全破坏假定，求该层合板的极限载荷。已知单层板性能参数为 $E_1=140 \\mathrm{GPa}, E_2=10 \\mathrm{GPa}, G_{12}=5 \\mathrm{GPa}, \\mu_{12}=0.3, X_{\\mathrm{t}}=1500 \\mathrm{MPa}$ ， $X_{\\mathrm{c}}=1200 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{t}}=50 \\mathrm{MPa}, Y_{\\mathrm{c}}=250 \\mathrm{MPa}, S=70 \\mathrm{MPa}, t_{\\mathrm{p}}=0.125 \\mathrm{~mm}$ 。", "answer_ideas": ["（1）求首层破坏极限载荷。\n刚度矩阵：\n$$\nQ=\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa}\n$$\n单层板变换刚度矩阵分别为\n$$\n\\begin{aligned}\n\\overline{\\boldsymbol{Q}}_{0^{\\circ}} & =\\left[\\begin{array}{ccc}\n140.9 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 10.1 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa} \\\\\n\\overline{\\boldsymbol{Q}}_{90^{\\circ}} & =\\left[\\begin{array}{ccc}\n10.1 & 3.0 & 0 \\\\\n3.0 & 140.9 & 0 \\\\\n0 & 0 & 5.0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa} \\\\\n\\overline{\\boldsymbol{Q}}_{ \\pm 45^{\\circ}} & =\\left[\\begin{array}{ccc}\n44.3 & 34.3 & \\pm 32.7 \\\\\n34.3 & 44.3 & \\pm 32.7 \\\\\n\\pm 32.7 & \\pm 32.7 & 36.3\n\\end{array}\\right] \\mathrm{GPa}\n\\end{aligned}\n$$\n层合板拉伸刚度矩阵和柔度矩阵分别为\n$$\n\\begin{gathered}\n\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n59.9 & 18.7 & 0 \\\\\n18.7 & 59.9 & 0 \\\\\n0 & 0 & 20.7\n\\end{array}\\right] \\mathrm{kN} / \\mathrm{mm} \\\\\n\\boldsymbol{a}=\\left[\\begin{array}{ccc}\n0.0185 & -0.0058 & 0 \\\\\n-0.0058 & 0.0185 & 0 \\\\\n0 & 0 & 0.0483\n\\end{array}\\right] \\mathrm{mm} / \\mathrm{kN}\n\\end{gathered}\n$$\n整个层合板厚度为 $8 \\times 0.125 \\mathrm{~mm}=1 \\mathrm{~mm}$ ，所以初始弹性模量为\n$$\nE_x=1 /\\left(t a_{11}\\right)=54.1 \\mathrm{GPa}\n$$\n假设 $N_x=100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ ，则层合板中面应变为\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\boldsymbol{\\varepsilon}_x^0 \\\\\n\\boldsymbol{\\varepsilon}_y^0 \\\\\n\\gamma_{x y}^0\n\\end{array}\\right]=\n\\left[\\begin{array}{c}\n1850 \\\\\n-580 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}\n$$\n$0^{\\circ}$ 层（第一和第八层）主轴方向应变、应力及破坏指标分别为\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\varepsilon_1 \\\\\n\\varepsilon_2 \\\\\n\\gamma_{12}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n1850 \\\\\n-580 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\times 10^{-6}, \\quad\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n259 \\\\\n-0.3 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa}\n$$\n$F．I．(1)=259 / 1500=0.17$\n$F．I．(2)=0.3 / 250=0.01$\n$F．I．(12)=0$\n同理求得$45^{\\circ}$和$90^{\\circ}$ 层的主轴方向应变、应力及破坏指标\n$N_x=100 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 下各单层应力和破坏指标\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline 层 号 & $\\theta /\\left(^{\\circ}\\right)$ & $\\sigma_1$ & $\\sigma_2$ & $\\tau_{12}$ & F．I．（1） & F．I．（2） & F．I．（12） \\\\\n\\hline 一 & 0 & 259 & －0．3 & 0 & 0.17 & 0.01 & 0 \\\\\n\\hline 二 & 45 & 91 & 8 & －12 & 0.06 & 0.16 & 0.17 \\\\\n\\hline 三 & －45 & 91 & 8 & 12 & 0.06 & 0.16 & 0.17 \\\\\n\\hline 四 & 90 & －76 & 17 & 0 & 0.06 & 0.34 & 0 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n从表可知，最大破坏指标是 $0.34$ ，对应 $90^{\\circ}$ 层横向拉伸，所以，首层破坏载荷为\n$$\nN_x=100 / 0.34 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=294 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}\n$$\n（2）同理求第二层破坏极限载荷。\n最大破坏指标是 $0.81$ 。因此，在 $N_x=294 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 的载荷作用下，尚未发生第二层破坏，从而求得第二层破坏的临界载荷为\n表 $N_x=294 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}, 90^{\\circ}$ 层已破坏时各单层应力与破坏指标\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline 层 号 & $\\theta /\\left({ }^{\\circ}\\right)$ & $\\sigma_1$ & $\\sigma_2$ & $\\tau_{12}$ & F．I．（1） & F．I．（2） & F．I．（12） \\\\\n\\hline 一 & 0 & 918 & －29 & 0 & 0.61 & 0.12 & 0 \\\\\n\\hline 二 & 45 & 131 & 12 & －57 & 0.09 & 0.24 & 0.81 \\\\\n\\hline 三 & －45 & 131 & 12 & 57 & 0.09 & 0.24 & 0.81 \\\\\n\\hline 四 & 90 & － & － & － & － & － & － \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n$$\nN_x=294 / 0.81 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=363 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}\n$$\n在此载荷作用下，实际上 $45^{\\circ}$ 层和 $-45^{\\circ}$ 层是同时发生破坏（剪切）的。\n（3）求第三层破坏极限载荷。\n令 $45^{\\circ}$ 层和 $-45^{\\circ}$ 层刚度为零，重新计算层合板的刚度矩阵\n在保持 $N_x=363 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$ 不变的条件下，由于载荷的重新分布，层合板在 $x$ 方向上的应变由 $0.82 \\%$ 增大到 $1.04 \\%$ 。计算余下 $0^{\\circ}$ 层的应力分量和破坏指标，结果如下：\n$$\n\\left[\\begin{array}{c}\n\\sigma_1 \\\\\n\\sigma_2 \\\\\n\\tau_{12}\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n1453 \\\\\n-3 \\\\\n0\n\\end{array}\\right] \\mathrm{MPa},\\left[\\begin{array}{c}\n\\text { F. I. (1) } \\\\\n\\text { F. I. (2) } \\\\\n\\text { F. I. (12) }\n\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c}\n0.97 \\\\\n0.01 \\\\\n0\n\\end{array}\\right]\n$$\n求得发生最终层（ $0^{\\circ}$ 层）破坏的极限载荷以及极限强度为\n$$\nN_x=363 / 0.97 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}=374 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$$\n$$\n\\sigma_x=N_x / t=374 \\mathrm{MPa}$$"], "refined_standard_answer": ["极限载荷 $N_x=374 \\mathrm{~N} / \\mathrm{mm}$，极限强度 $\\sigma_x=374 \\mathrm{MPa}$"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "试确定玻璃纤维／环氧树脂复合材料单层板的弹性常数 $E_2$ 和 $G_{12}$ 。测得单向玻璃纤维复合材料的 $v_1$ 为 $70 \\%$ 。已知玻璃纤维为圆形截面，呈方形排列，玻璃纤维和环氧树脂的性能分别为：$E_{\\mathrm{l}}=71.5 \\mathrm{GPa}, \\nu_{\\mathrm{f}}=0.22, G_{\\mathrm{F}}=29.3 \\mathrm{GPa} ; E_{\\mathrm{m}}=3.4 \\mathrm{GPa}, \\nu_{\\mathrm{m}}=0.30, G_{\\mathrm{m}}=1.31 \\mathrm{GPa}$ 。", "answer_ideas": ["对于圆形纤维，方形排列，$v_1<0.8$ 时，计算横向弹性模量 $E_2$ ，可取纤维增强作用系数 $\\xi_2=2$ ；计算面内剖切弹性模量 $G_{12}$ 可取 $\\xi_{12}=1$ 。\n由\n$$\n\\eta=\\frac{\\left(M_{\\mathrm{f}} / M_{\\mathrm{m}}\\right)-1}{\\left(M_{\\mathrm{f}} / M_{\\mathrm{m}}\\right)+\\xi}=\\frac{(71.5 / 3.4)-1}{(71.5 / 3.4)+2}=0.870\n$$\n由\n$$\n\\begin{gathered}\n\\frac{E_2}{3.4}=\\frac{1+2 \\times 0.870 \\times 0.7}{1-0.870 \\times 0.7} \\\\\nE_2=19.3 \\mathrm{GPa}\n\\end{gathered}\n$$\n类似地可求得\n$$\n\\begin{gathered}\n\\eta_{12}=\\frac{(29.3 / 1.31)-1}{(29.3 / 1.31)+1}=0.914 \\\\\n\\frac{G_{12}}{1.31}=\\frac{1+1 \\times 0.914 \\times 0.70}{1-0.914 \\times 0.70} \\\\\nG_{12}=5.96 \\mathrm{GPa}\n\\end{gathered}\n$$\n因为 $v_{\\mathrm{r}}>0.5$ ，可按 Hewitt 和 Mahelbre 建议式选取 $\\xi_{12}$\n$$\n\\xi_{12}=1+\\left.40 v\\right|^0=1+40 \\times 0.70^{10}=2.13\n$$\n因而\n$$\n\\begin{gathered}\n\\eta_{12}=\\frac{(29.3 / 1.31)-1}{(29.3 / 1.31)+2.13}=0.872 \\\\\n\\frac{G_{12}}{1.31}=\\frac{1+2.13 \\times 0.872 \\times 0.70}{1-0.872 \\times 0.70} \\\\\nG_{12}=7.73 \\mathrm{GPa}\n\\end{gathered}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["E_2=19.3 \\mathrm{GPa}", "G_{12}=7.73 \\mathrm{GPa}"], "sub_subject_name": "Composite Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "通过表1的DSC数据：\\(\\Delta H_{21}=140J·g^{-1}\\)，\\(\\Delta H^{0}(T_{m}^{0}=418K)=293J·g^{-1}\\)，\\(T_{1}=370K\\)，计算某聚合物试样的质量结晶度。计算过程选用Wunderlich和Baur（1970）的数据，根据总焓方法进行计算。\n\n### 表1\n|温度/K|\\(C_{pc}/(cal·mol^{-1}·K^{-1})\\)|\\(C_{pa}/(cal·mol^{-1}·K^{-1})\\)|\n| ---- | ---- | ---- |\n|310|5.40|7.68|\n|330|5.89|7.84|\n|350|6.38|7.99|\n|370|7.02|8.15|\n|380|7.37|8.23|\n|390|7.72|8.31|\n|400|8.14|8.38|\n|410|8.63|8.46|\n|420| - |8.54|\n\n每摩尔重复单元（\\(14g/mol\\)）。 ", "answer_ideas": ["质量结晶度（\\(x_{c}^{m}\\)）可以从下面的公式获得：\n\\[ x_{c}^{m}(T_{1}) = \\frac{\\Delta H}{\\Delta H_{0}(T_{1})} \\quad (1) \\]\n\\[ \\Delta H_{0}(T_{1}) = \\Delta H_{0}(T_{m}^{0}) - \\int_{T_{1}}^{T_{m}^{0}}(c_{pa} - c_{pc})dT \\quad (2) \\]\n首先计算积分公式\\((2)\\)。具体的热学数据从下面的多项表达式中计算：\n\\[ c_{pc} = 8.19697×10^{-7}T^{3} - 0.00075737T^{2} + 0.256479T - 25.827302 \\]\n\\[ c_{pa} = -3.80358×10^{-9}T^{3} - 3.683×10^{-6}T^{2} + 0.0066435T + 5.380487 \\]\n\\[ c_{pa} - c_{pc} = -8.235×10^{-7}T^{3} + 7.6105×10^{-4}T^{2} - 0.25011T + 31.2078 \\]\n\\[ \\int_{370}^{418}(c_{pa} - c_{pc})dT = 19.18cal/mol \\approx 6J/g \\]\n\\[ \\Delta H_{0}(370K) = 293 - 6 = 287J/g \\]\n为此，计算得到的结晶度如下：\n\\[ x_{c}^{m}(370K) = \\frac{140}{287} = 0.487 \\] "], "refined_standard_answer": ["0.487"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "等摩尔的二元醇和二元酸缩聚，另加二元酸（摩尔分数）1.5%醋酸，\\(p = 0.995\\)或0.999时，聚酯的聚合度是多少？加1%醋酸时，结果如何？（醋酸摩尔分数以二元酸计） ", "answer_ideas": ["**解法1**：设体系中二元酸或二元醇的起始官能团数为\\(N_a\\)，则其物质的量为\\(N_a/2\\)\n则醋酸的物质的量为\\(\\frac{N_a}{2}\\times1.5\\%\\)即为\\(N_b'\\)，即外加酸的物质的量\n所以\n\\(r = \\frac{N_a}{N_a + 2N_c}=\\frac{N_a}{N_a + 2\\times1.5\\%\\times\\frac{N_a}{2}}=\\frac{1}{1 + 1.5\\%}=0.9852\\)\n所以当\\(p = 0.995\\)时，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}=\\frac{1 + 0.9852}{1 + 0.9852 - 2\\times0.9852\\times0.995}\\approx80.5\\)；\n当\\(p = 0.999\\)时\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}=\\frac{1 + 0.9852}{1 + 0.9852 - 2\\times0.9852\\times0.999}=118.4\\)；\n当外加\\(1\\%\\)（摩尔分数）的醋酸时，\\(N_c = 1\\%\\times\\frac{N_a}{2}\\)\n所以 \\(r = \\frac{N_a}{N_a + 2N_c}=\\frac{N_a}{N_a + 2\\times1\\%\\times\\frac{N_a}{2}}=\\frac{1}{1 + 1\\%}=0.9901\\)；\n当\\(p = 0.995\\)时，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}=\\frac{1 + 0.9901}{1 + 0.9901 - 2\\times0.9901\\times0.995}=100.5\\)；\n当\\(p = 0.999\\)时，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}=\\frac{1 + 0.9901}{1 + 0.9901 - 2\\times0.9901\\times0.999}=167.5\\)。\n\n**解法2**：此题也可用\\(q\\)来求解\n\\(q=\\frac{2N_c}{N_a}=\\frac{2\\times1.5\\%\\times\\frac{N_a}{2}}{N_a}=0.015\\)。\n当\\(p = 0.995\\)时，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{q + 2}{q + 2(1 - p)}=\\frac{0.015 + 2}{0.015 + 2(1 - 0.995)}=80.6\\)；\n当\\(p = 0.999\\)时，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{q + 2}{q + 2(1 - p)}=\\frac{0.015 + 2}{0.015 + 2(1 - 0.999)}=118.4\\)；\n当外加\\(1\\%\\)（摩尔分数）的醋酸时，\\(N_c = 1\\%\\times\\frac{N_a}{2}\\)，\n\\(q=\\frac{2N_c}{N_a}=\\frac{2\\times1\\%\\times\\frac{N_a}{2}}{N_a}=0.01\\)，\n当\\(p = 0.995\\)时;\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{q + 2}{q + 2(1 - p)}=\\frac{0.01 + 2}{0.01 + 2\\times(1 - 0.995)}=100.5\\)；\n当\\(p = 0.999\\)时，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{q + 2}{q + 2(1 - p)}=\\frac{0.01 + 2}{0.01 + 2\\times(1 - 0.999)}=167.5\\)。\n**解法3**：设体系中二元酸或二元醇的起始官能团数为\\(N_a'\\)则其物质的量为\\(\\frac{N_a}{2}\\)，则醋酸的物质的量为\\(\\frac{N_a}{2}\\times1.5\\%\\)，显然，羧基过量。\n所以 \\(\\overline{f}=\\frac{2N_a}{\\frac{N_a}{2}+\\frac{N_a}{2}+0.0075N_a}=1.9851\\)。\n当\\(p = 0.995\\)时，\\(\\overline{X}_n=\\frac{2}{2 - p\\overline{f}}=\\frac{2}{2 - 0.995\\times1.9851}=80.5\\)；\n当\\(p = 0.999\\)时，\\(\\overline{X}_n=\\frac{2}{2 - p\\overline{f}}=\\frac{2}{2 - 0.999\\times1.9851}=118.4\\)；\n当外加\\(1\\%\\)（摩尔分数）的醋酸时，\\(\\overline{f}=\\frac{2N_a}{\\frac{N_a}{2}+\\frac{N_a}{2}+0.005N_a}=1.9900\\)；\n当\\(p = 0.995\\)时，\\(\\overline{X}_n=\\frac{2}{2 - p\\overline{f}}=\\frac{2}{2 - 0.995\\times1.9900}=100.2\\)；\n当\\(p = 0.999\\)时，\\(\\overline{X}_n=\\frac{2}{2 - p\\overline{f}}=\\frac{2}{2 - 0.999\\times1.9900}=166.8\\)。\n（注：计算结果略有差异是因为计算过程中省略小数造成的。） "], "refined_standard_answer": ["p=0.995时，聚合度约为80.5；p=0.999时，聚合度为118.4", "p=0.995时，聚合度为100.5；p=0.999时，聚合度为167.5"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "无规聚丙烯在环己烷或甲苯中，\\(30^{\\circ}C\\)时测得的空间位阻参数（即刚性因子）\\(\\sigma = 1.76\\)，试计算其等效自由连接链的链段长度\\(b\\)（已知碳 - 碳键长为\\(0.154nm\\)，键角为\\(109.5^{\\circ}\\)）。 ", "answer_ideas": ["因为\\(\\sigma = (\\frac{\\overline{h}_{0}^{2}}{\\overline{h}_{f,r}^{2}})^{\\frac{1}{2}}\\)，所以\\(\\overline{h}_{0}^{2} = \\sigma^{2}\\overline{h}_{f,r}^{2}\\)。\n而\n\\(h_{max}^{2} \\approx \\frac{2}{3}n^{2}l^{2}\\)\n所以\n\\(b = \\frac{\\overline{h}_{0}^{2}}{h_{max}} = \\frac{\\sigma^{2}\\overline{h}_{f,r}^{2}}{h_{max}} = \\frac{\\sigma^{2}×2nl^{2}}{\\sqrt{\\frac{2}{3}}nl} = \\frac{1.76^{2}×2×0.154}{\\sqrt{\\frac{2}{3}}} = 1.17nm\\) "], "refined_standard_answer": ["1.17nm"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "设某种聚合物（$T_g = 320\\ K$，$\\rho_0 = 1×10^{3}\\ kg\\cdot m^{-3}$）在$400\\ K$时测得其黏度为$10^{5}\\ Pa\\cdot s$。今用足够量的丙二醇（$T_g = 160\\ K$，$\\rho_1 = 1×10^{3}\\ kg\\cdot m^{-3}$）充分溶胀，使聚合物的体积分数占溶胀体的$0.70$，则此增塑聚合物在同一温度（$400\\ K$）下的黏度为多大？设聚合物与增塑剂的自由体积有线性加和性。", "answer_ideas": [" 设高分子体积分数为$\\phi_p = \\frac{V_p}{V_p + V_d}=0.7$，$\\phi_d = 0.3$，下标$p$和$d$分别代表聚合物和增塑剂。由自由体积理论$f = f_g+\\alpha_f(T - T_g)$则分别可以写出：纯聚合物$f_p = 0.025+\\alpha_{f,p}(T - T_{g,p})$，丙二醇$f_d = 0.025+\\alpha_{f,d}(T - T_{g,d})$。已知$\\alpha_{i,p}=4.8×10^{-4}\\ K^{-1}$，$\\alpha_{i,d}=10^{-3}\\ K^{-1}$，$\\rho_0\\approx\\rho_1 = 1×10^{3}\\ kg\\cdot m^{-3}$，根据自由体积线性加和性有\n\\[\n\\begin{align*}\nf_T&=f_p\\phi_p + f_d\\phi_d=[0.025+\\alpha_{f,p}(T - T_{g,p})]\\phi_p+[0.025+\\alpha_{f,d}(T - T_{g,d})]\\phi_d\\\\\n&=0.025+\\alpha_{f,p}(T - T_{g,p})\\phi_p+(T - T_{g,d})(1 - \\phi_p)\\alpha_{f,d}\n\\end{align*}\n\\]\n设加丙二醇前后的黏度分别为$\\eta_0$和$\\eta_1$，根据黏度与自由体积分数的Doolittle半经验公式\n\\[\n\\begin{align*}\n\\ln\\frac{\\rho_0^3\\eta_0}{\\rho_0^4\\eta_1}&=\\frac{1}{f_p}-\\frac{1}{f_T}=\\frac{f_T - f_p}{f_pf_T}\\\\\n&=\\frac{(1 - \\phi_p)[\\alpha_{f,d}(T - T_{g,d})-\\alpha_{f,p}(T - T_{g,p})]}{[0.025+\\alpha_{f,p}(T - T_{g,p})][0.025+\\alpha_{f,p}(T - T_{g,p})\\phi_p+\\alpha_{f,d}(T - T_{g,d})(1 - \\phi_p)]}\\\\\n&=7.05\n\\end{align*}\n\\]\n所以$\\ln\\eta=\\ln10^{5}-7.05 = 4.463$，$\\eta = 86.74\\ Pa\\cdot s$。 "], "refined_standard_answer": ["$\\eta = 86.74\\ Pa\\cdot s$"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "在稀溶液中已知分子量的情况下，特性粘数\\([\\eta]\\)可以用来度量线型聚合物的链段尺寸。Fetters等在1994年列出链的均方末端距的数值，PE为\\(\\overline{h^{2}} = 1.25M\\)，PS为\\(0.434M\\)，单位为\\(\\mathring{A}^{2}/(g/mol)\\)。\\(M = 100kg/mol\\)，请求出\\([\\eta](PE)/[\\eta](PS)\\)，并指出二者中哪一种重叠浓度较低，其值是多少。", "answer_ideas": ["\\[ [\\eta] = \\lim_{c \\to 0} \\frac{\\eta_{sp}}{c} = \\frac{N_{A}R^{3}}{M} \\]\n令\\([\\eta](PE) = [\\eta]_{1}\\)，\\([\\eta](PS) = [\\eta]_{2}\\)\n\\[ \\frac{[\\eta]_{1}}{[\\eta]_{2}} = \\left(\\frac{N_{A}R_{1}^{3}}{M_{1}}\\right) \\Bigg/ \\left(\\frac{N_{A}R_{2}^{3}}{M_{2}}\\right) = \\left(\\frac{R_{1}}{R_{2}}\\right)^{3} \\left(\\frac{M_{2}}{M_{1}}\\right) \\]\n\\[ R_{1} = (1.25M_{1})^{\\frac{1}{2}} \\]\n\\[ R_{2} = (0.434M_{2})^{\\frac{1}{2}} \\]\n因为\\(M_{1} = M_{2} = 100kg/mol\\)\n所以\\(\\frac{[\\eta]_{1}}{[\\eta]_{2}} = \\left(\\frac{1.25}{0.434}\\right)^{\\frac{3}{2}} \\approx 5\\)\n而重叠浓度\\(c^{*}\\)与特性黏数\\([\\eta]\\)的关系为\\([\\eta] \\cdot C^{*} = 1\\)\n故\\(C^{*} = \\frac{1}{[\\eta]}\\)\n\\[ \\frac{C_{1}}{C_{2}} = \\frac{[\\eta]_{2}}{[\\eta]_{1}} = \\frac{1}{5} \\]\n所以，PE的重叠浓度较低，其值为\n\\[ C_{PE} = \\frac{M}{(1.25M)^{\\frac{3}{2}}N_{A}} = 3.8kg/m^{3} \\] "], "refined_standard_answer": ["\\([\\eta](PE)/[\\eta](PS)\\approx5\\)", "PE的重叠浓度较低，其值为\\(3.8kg/m^{3}\\)。"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "邻苯二甲酸、乙二醇、丙三醇三种原料进行缩聚反应，三种原料配料时物质的量之比为邻苯二甲酸∶乙二醇∶丙三醇 = 1∶0.625∶0.25。求该体系支化系数$\\alpha = 0.35$时的反应程度$p$，此时是否达到凝胶点？若未达到时，计算缩聚产物的数均聚合度。", "answer_ideas": ["丙三醇的羟基占总羟基的过量分数$q=\\frac{0.25×3}{0.625×2 + 0.25×3}=0.375$。物质的量系数$r=\\frac{0.625×2 + 0.25×3}{1×2}=1$。此时将$q = 0.375$，$\\alpha = 0.35$代入$\\alpha=\\frac{p^2q}{1 - p^2(1 - q)}$，得反应程度$p = 0.768$。在凝胶点时$p_c=\\frac{1}{[1 + q(f - 2)]^{1/2}}=\\frac{1}{[1 + 0.375×(3 - 2)]^{1/2}}=0.853$，$p<p_c$，因此未达到凝胶点。将平均官能度$\\overline{f}=\\frac{1×2 + 0.625×2 + 0.25×3}{1 + 0.625 + 0.25}=2.13$，$p = 0.768$代入Carothers公式，$p=\\frac{2}{\\overline{f}}(1 - \\frac{1}{\\overline{X}_n})$，得数均聚合度$\\overline{X}_n = 5.5$。 "], "refined_standard_answer": ["p = 0.768", "未达到凝胶点", "\\overline{X}_n = 5.5"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "写出下列单体经缩聚反应形成的聚酯结构。(2)、(3)、(4) 三例中聚合物的结构与反应物相对量有无关系，如果有关系，请说明。\n(1) \\(HORCOOH\\)\n(2) \\(HOOCRCOOH + HOR'OH\\)\n(3) \\(HOOCRCOOH + R''(OH)_3\\) \n(4) \\(HOOCRCOOH + HOR'OH + R''(OH)_3\\) ", "answer_ideas": ["(1) 得到以 \\([-ORCO-]\\) 为重复单元的线型分子。\n(2) 等物质的量时得到以 \\([-OCRCOOR'-]\\) 为重复单元的线型分子，端基分别为羟基和羧基。不等物质的量时其所得产物数均聚合度\\(\\overline{X}_n\\)与两官能团物质的量之比\\(r(r \\leq 1)\\)和反应程度\\(p\\)之间有\\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}\\)关系。 \n(3) 设反应物二酸和三醇的相对物质的量之比为\\(x\\)\n① 当\\(x \\leq \\frac{3}{2}\\)时，\\(r = \\frac{2}{3}x (r \\leq 1)\\) 由公式\\(p_c=\\frac{1}{[r + rp(f - 2)]^{1/2}}\\)，得\\(p_c=\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{x}}\\)。\n令\\(p_c \\geq 1\\)，则\\(x \\leq 3/4\\)时，所得产物是端基主要为羟基得非交联支化分子。\n② 当\\(x \\geq \\frac{3}{2}\\)时，\\(r = \\frac{3}{2}x (r \\leq 1)\\) 同理，得\\(p_c=\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{3}}\\)，令\\(p_c \\geq 1\\)，则\\(x \\geq 3\\)，即当\\(x \\geq 3\\)时，所得产物是端基主要为羧基的非交联支化分子。\n③ 综合①和②得\\(3/4 < x < 3\\)时，所得产物是交联体型分子。\n**注明**：此题按Flory法计算凝胶点，也可以按照Carothers法计算凝胶点\n设反应物二酸和三醇的相对物质的量之比为\\(x:y\\)，假设羧基过量，表明\\(2x > 3y\\)，则有\\(\\overline{f}=\\frac{6y}{x + y}\\)，\\(\\overline{f}>2\\)，可解得：\\(\\frac{3}{2}y < x < 2y\\)，在\\(p_c=\\frac{x + y}{3y}\\)以上可以得到体型聚合物，在\\(x > 2y\\)时，所得产物是端基主要为羧基的支化分子，\\(x = 2y\\)时，\\(\\overline{f}=2\\)，即\\(p_c = 1\\)才可能交联成体型聚合物。\n假设羟基过量，表明\\(2x < 3y\\)，则有\\(\\overline{f}=\\frac{4x}{x + y}\\)，\\(\\overline{f}>2\\)，可解得：\\(y < x < \\frac{3}{2}y\\)，在\\(p_c=\\frac{x + y}{2x}\\)以上可以得到体型聚合物，在\\(x < y\\)时，所得产物是端基主要为羟基的支化分子，\\(x = y\\)时，\\(\\overline{f}=2\\)，即\\(p_c = 1\\)才可能交联成体型聚合物。\n如果羟基和羧基数目相等，则\\(x = \\frac{3}{2}y\\)，\\(\\overline{f}=2.4\\)，在\\(p_c = 0.833\\)以上可以得到体型聚合物。 \n(4) 设二酸:二醇:三醇（物质的量之比）\\(=x:y:1\\)，则\n① \\(\\frac{2x}{3 + 2y} \\leq 1\\)时  （1）\n\\(\\overline{f}=\\frac{4x}{x + y + 1}\\)由Carothers方程\\(p_c=\\frac{2}{\\overline{f}}\\)，得\\(p_c=\\frac{x + y + 1}{2x}\\)\n令\\(p_c \\geq 1\\)，则\\(\\frac{x + y + 1}{2x} \\geq 1\\)  （2）\n联立式(1)，式(2) 得：\\(x - y \\leq 1\\)  （3）\n即当\\(x - y \\leq 1\\)时，所得产物端基主要为羟基的支化分子。\n② \\(\\frac{2x}{3 + 2x} \\geq 1\\)时  （4）\n\\(\\overline{f}=\\frac{2(2y + 3)}{x + y + 1}\\)，同理\\(p_0 = p_c=\\frac{x + y + 1}{2y + 3}\\)\n令\\(p_c \\geq 1\\)，则\\(\\frac{x + y + 1}{2y + 3} \\geq 1\\)  （5）\n联立式(4)，式(5) 得：\\(x - y \\geq 2\\)  （6）\n即当\\(x - y \\geq 2\\)时，所得产物是端基主要为羧基的支化分子。\n③ 联立式(3)，式(6) 得知，当\\(1 < x - y < 2\\)时，所得产物为交联的体型分子。\n**注明**：此题按Carothers法计算凝胶点，按照Flory法计算凝胶点问题非常复杂。 "], "refined_standard_answer": ["以 \\([-ORCO-]\\) 为重复单元的线型分子。", "与反应物相对量有关系。等物质的量时，以 \\([-OCRCOOR'-]\\) 为重复单元的线型分子；不等物质的量时，数均聚合度\\(\\overline{X}_n\\)与两官能团物质的量之比\\(r(r \\leq 1)\\)和反应程度\\(p\\)的关系为\\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}\\) 。", "与反应物相对量有关系。设二酸和三醇物质的量之比为\\(x\\)。当 \\(x \\leq \\frac{3}{4}\\) 或 \\(x \\geq 3\\) 时，生成非交联支化分子；当 \\(\\frac{3}{4} < x < 3\\) 时，生成交联体型分子。", "与反应物相对量有关系。设二酸:二醇:三醇物质的量之比为\\(x:y:1\\)。当 \\(x - y \\leq 1\\) 或 \\(x - y \\geq 2\\) 时，生成支化分子；当 \\(1 < x - y < 2\\) 时，生成交联的体型分子。"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "某一耐热性芳族聚酰胺数均分子量为23922，聚合物经水解后，得38.91%（质量分数）对苯二胺、59.81%对苯二甲酸、0.22%苯甲酸。试写出分子式，计算聚合度和反应程度。如果苯甲酸加倍，试计算相同反应程度时的聚合度。 ", "answer_ideas": ["(1) 按题意可理解为在100g聚合物水解产物中，有38.91g对苯二胺\\(H_2N-\\text{<苯环>}-NH_2\\)，59.81g对苯二甲酸\\(HOOC-\\text{<苯环>}-COOH\\)，0.88g苯甲酸\\(HOOC-\\text{<苯环>}\\)，它们的分子量分别为108，166，122。\n|组分|各组分物质的量|各组分官能团数|\n| ---- | ---- | ---- |\n|对苯二胺|\\(n_b = 38.91/108 = 0.3603mol\\)|\\(N_b = 2n_b = 2×0.3603 = 0.7206mol\\)|\n|对苯二甲酸|\\(n_a = 59.81/166 = 0.3603mol\\)|\\(N_a = 2n_a = 2×0.3603 = 0.7206mol\\)|\n|苯甲酸|\\(n_c = 0.22/122 = 0.0018mol\\)|\\(N_c = n_c = 0.0018mol\\)|\n\n表明反应是以等摩尔比开始的，外加分子量调节剂，因此分子式为\n\\(\\text{<苯环>}-CO-[NH-\\text{<苯环>}-NH-CO-\\text{<苯环>}-CO]_p-OH\\)\n结构单元平均分子量\\(M_0=(106 + 132)/2 = 119\\)\n所以 \\(\\overline{X}_n=\\frac{\\overline{M}_n}{M_0}=\\frac{23922 - 122}{119}=200\\)，\\(\\overline{DP}=\\frac{\\overline{X}_n}{2}=100\\)\n\n又因为 \\(\\overline{X}_n=\\frac{q + 2}{q + 2(1 - p)}\\)，其中\\(q=\\frac{2N_c}{N_a}=\\frac{2×0.0018}{0.7206}=\\frac{36}{7206}\\)\n代入上式得：\\(200=\\frac{\\frac{36}{7206}+2}{\\frac{36}{7206}+2×(1 - p)}\\)，解得\\(p = 0.9975\\)\n\n或因为 \\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}\\) 其中，\\(r=\\frac{N_a}{N_a + 2N_c}=\\frac{0.7206}{0.7206 + 2×0.0018}=\\frac{7206}{7242}\\)\n代入上式得： \\(200=\\frac{1+\\frac{7206}{7242}}{1+\\frac{7206}{7242}-2×\\frac{7206}{7242}p}\\)，解得\\(p = 0.9975\\)\n\n也可以这么计算：\n\\(\\overline{f}=\\frac{2×(\\text{非过量官能团数})}{\\text{分子总数}}=\\frac{2×0.7206}{0.3603 + 0.3603 + 0.0018}=\\frac{7206}{3612}\\)\n\\(p=\\frac{2}{\\overline{f}}-\\frac{2}{\\overline{f}}\\cdot\\frac{1}{\\overline{X}_n}\\Rightarrow\\overline{X}_n=\\frac{2}{2 - \\overline{f}p}\\)\n\\(200=\\frac{2}{2-\\frac{7206}{3612}×p}\\Rightarrow p = 0.9975\\)\n\n(2) 苯甲酸加倍时，\\(N_c' = 2×0.0018 = 0.0036mol\\)，\n而 \\(q=\\frac{2N_c'}{N_a}=\\frac{2×0.0036}{0.7206}=\\frac{72}{7206}\\)，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{q + 2}{q + 2(1 - p)}=\\frac{\\frac{72}{7206}+2}{\\frac{72}{7206}+2×(1 - 0.9975)} = 134\\)；\n或 \\(r=\\frac{N_a}{N_a + 2N_c'}=\\frac{0.7206}{0.7206 + 2×0.0036}=\\frac{7206}{7278}\\)，\n\\(\\overline{X}_n=\\frac{1 + r}{1 + r - 2rp}=\\frac{1+\\frac{7206}{7278}}{1+\\frac{7206}{7278}-2×\\frac{7206}{7278}×0.9975}=134\\)。 "], "refined_standard_answer": ["分子式：\\(\\text{<苯环>}-CO-[NH-\\text{<苯环>}-NH-CO-\\text{<苯环>}-CO]_p-OH\\)；聚合度\\(\\overline{DP}=100\\)；反应程度\\(p = 0.9975\\)", "苯甲酸加倍时聚合度\\(\\overline{X}_n = 134\\)"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "\\(2.0mol·L^{-1}\\)苯乙烯的二氯乙烷溶液，于\\(25^{\\circ}C\\)时在\\(4.0×10^{-4}mol·L^{-1}\\)硫酸存在下聚合，计算开始时的聚合度。假如单体溶液中含有浓度为\\(8.0×10^{-5}mol·L^{-1}\\)的异丙苯，那么聚苯乙烯的聚合度是多少？为便于计算，可利用下列数据。\n\n|参数|数值|\n| ---- | ---- |\n|\\(k_{p} (L·mol^{-1}·s^{-1})\\)| \\(7.6\\)|\n|\\(k_{t1} (s^{-1})\\) 自发终止| \\(4.9×10^{-2}\\)|\n|\\(k_{t2} (s^{-1})\\) 与反离子结合终止| \\(6.7×10^{-3}\\)|\n|\\(k_{tr,M} (L·mol^{-1}·s^{-1})\\)| \\(1.2×10^{-1}\\)|\n|\\(C_{s}\\)（\\(25^{\\circ}C\\)，在二氯乙烷中用异丙苯作转移剂）| \\(4.5×10^{-2}\\)|", "answer_ideas": ["阳离子聚合速率方程为\\(R_{p}=k_{p}[M][M^{+}]=7.6×2.0×4.0×10^{-4}=6.08×10^{-3}(mol·L^{-1}·s^{-1})\\) 。\n该体系终止反应为自发终止、与反离子结合终止、向单体转移终止之和，所以\\(R_{t}=k_{t1}[M^{+}]+k_{t2}[M^{+}]+k_{tr,M}[M^{+}][M]\\) ，初始聚合度\\((\\overline{X}_{n})_{0}=\\frac{R_{p}}{R_{t}}=\\frac{k_{p}[M]}{k_{t1}+k_{t2}+k_{tr,M}[M]}=\\frac{7.6×2.0}{4.9×10^{-2}+6.7×10^{-3}+1.2×10^{-1}×2.0}=51.4\\) 。\n存在链转移剂异丙苯时，\\(\\frac{1}{\\overline{X}_{n}}=\\frac{1}{(\\overline{X}_{n})_{0}}+C_{S}\\frac{[S]}{[M]}=\\frac{1}{51.4}+4.5×10^{-2}×\\frac{8.0×10^{-5}}{2.0}=0.0195\\) ，可得\\(\\overline{X}_{n}=51.4\\) 。\n\n 以硫酸为引发剂，使苯乙烯在惰性溶剂中聚合。已知\\(k_{p}=7.6L·mol^{-1}·s^{-1}\\)，\\([M]=200g·L^{-1}=1.92mol·L^{-1}\\) ，\\(k_{t}=4.9×10^{-2}s^{-1}\\)，\\(k_{tr,M}=1.2×10^{-1}L·mol^{-1}·s^{-1}\\) 。\n因采用的是惰性溶剂，故无向溶剂的链转移。欲求聚合初期形成的聚苯乙烯的分子量，可根据\\(\\frac{1}{\\overline{X}_{n}}=\\frac{k_{t}}{k_{p}[M]}+C_{M}\\)，\\(C_{M}=\\frac{k_{tr,M}}{k_{p}}\\) ，\\(\\frac{1}{\\overline{X}_{n}}=\\frac{4.9×10^{-2}}{7.6×1.92}+\\frac{1.2×10^{-1}}{7.6}=0.01915\\) ，\\(\\overline{X}_{n}=52.22\\) 。 "], "refined_standard_answer": ["\\(\\overline{X}_{n}=51.4\\)", "\\(\\overline{X}_{n}=52.22\\)"], "sub_subject_name": "Organic Polymer Materials", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "在 351.15 K 时，用焦炭吸附 $\\mathrm{NH}_3$ 气测得如下数据，设 $V^{\\mathrm{a}} \\sim p$ 关系符合 $V^{\\mathrm{a}}=k p^n$ 方程。\n\\begin{tabular}{cccccccc}\n\\hline $\\mathrm{p} / \\mathrm{kPa}$ & 0.7224 & 1.307 & 1.723 & 2.898 & 3.931 & 7.528 & 10.102 \\\\\n\\hline$V^{\\mathrm{a}} / \\mathrm{dm}^3 \\cdot \\mathrm{~kg}^{-1}$ & 10.2 & 14.7 & 17.3 & 23.7 & 128.4 & 41.9 & 50.1 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n试求方程 $V^{\\mathrm{a}}=k p^n$ 中 $k$ 及 $n$ 的数值。", "answer_ideas": ["将方程 $V^{\\mathrm{a}}=k p^n$ 两边取对数得：\n$\\ln \\frac{V^{\\mathrm{a}}}{\\mathrm{dm} ·\\mathrm{kg}^{-1}}=n \\ln \\frac{p}{\\mathrm{kPa}}+\\ln \\frac{h_k}{\\mathrm{dm} \\cdot \\mathrm{kg}^{-1}}$\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline $\\ln (\\mathrm{p} / \\mathrm{kPa})$ & －0．3252 & 0.2677 & 0.5441 & 1.0640 & 1.3689 & 2.0186 & 2.3127 \\\\\n\\hline $\\ln \\left(V^{\\mathrm{a}} / \\mathrm{dm}^3 \\cdot \\mathrm{~kg}^{-1}\\right)$ & 2.3223 & 2.6878 & 2.8507 & 3.1655 & 2.3464 & 3.7353 & 3.9140 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n$\\ln \\left(V^{\\mathrm{a}} / \\mathrm{dm} \\cdot \\mathrm{kg}^{-1}\\right) \\sim \\ln (\\mathrm{p} / \\mathrm{kPa})$ 作图从而可求 $k$ 及 $n$ 的数值。\n即\n$\\ln \\frac{V^\\mathrm{a}}{\\mathbf{d m} \\cdot \\mathbf{k g}^{-1}}=\\mathbf{0 . 6 0 1 9} \\ln \\frac{p}{\\mathbf{k P a}}+2.5226$\n$$\n\\begin{gathered}\nn=0.6019 \\\\\n\\ln \\frac{k}{\\mathrm{dm}^3 \\cdot \\mathrm{~kg}^{-1}}=2.5226, \\text { 即: } k=12.46 \\mathrm{dm}^3 \\cdot \\mathrm{~kg}^{-1}\n\\end{gathered}\n$$\n"], "refined_standard_answer": ["k=12.46 \\mathrm{dm}^3 \\cdot \\mathrm{kg}^{-1}", "n=0.6019"], "sub_subject_name": "Material Surfaces and Interfaces", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "$\\mathrm{RSO}_3 \\mathrm{H}$ 是强酸， R 表示长链的烃基。 298 K 时，此强酸水溶液的表面张力 $\\gamma$ 与浓度 $c$ 的关系为 $\\gamma=\\gamma_0-b\\left(\\frac{c}{c^{\\ominus}}\\right)^2$ 。\n（1）请导出吸附膜的状态方程；（2）简要解释为什么 $\\gamma$ 不与 $c$ 而与 $c^2$ 呈线性关系。", "answer_ideas": ["（1）由题给关系式可得\n$$\n\\frac{\\mathrm{d} \\gamma}{\\mathrm{~d}\\left(c / c^{\\ominus}\\right)}=-2 b \\frac{c}{c^{\\ominus}}\n$$\n设活度因子为 1 ，由 Gibbs 吸附等温式得\n$$\n\\Gamma_2=-\\frac{a}{R T} \\frac{\\mathrm{~d} \\gamma}{\\mathrm{~d} a}=-\\frac{c / c^{\\ominus}}{R T} \\frac{\\mathrm{~d} \\gamma}{\\mathrm{~d}\\left(c / c^{\\ominus}\\right)}=\\frac{c / c^{\\ominus}}{R T} \\cdot 2 b \\frac{c}{c^{\\ominus}}=\\frac{2 b}{R T}\\left(\\frac{c}{c^{\\ominus}}\\right)^2=\\frac{2\\left(\\gamma_0-\\gamma\\right)}{R T}\n$$\n设一个分子所占面积为 $A_{\\mathrm{m}}$ ，表面压为 $\\pi$ ，则可推出吸附膜的状态方程\n$$\n\\begin{gathered}\n\\Gamma_2 \\approx \\frac{1}{A_m L}, \\quad \\pi=\\gamma_0-\\gamma \\\\\n\\frac{1}{A_{\\mathrm{m}} L}=\\frac{2 \\pi}{R T} \\\\\n\\pi A_{\\mathrm{m}}=\\frac{1}{2} k_{\\mathrm{B}} T\n\\end{gathered}\n$$\n\n（2）当该强酸达到解离平衡时，有\n$$\nK_{\\mathrm{a}}=\\frac{\\left(c_{\\mathrm{H}^{+}} / c^{\\ominus}\\right)\\left(c_{\\mathrm{RSO}_3^{-}} / c^{\\ominus}\\right)}{\\left(c_{\\mathrm{RSO}_3 \\mathrm{H}} / c^{\\ominus}\\right)}\n$$\n因强酸几乎完全解离，没有解离的部分浓度极小，\n$$\n\\begin{gathered}\nc_{\\mathrm{H}^{+}}=c_{\\mathrm{RSO}_3^{-}} \\approx c \\\\\nc_{\\mathrm{RSO}_3 \\mathrm{H}}=\\frac{1}{c^{\\Theta} K_{\\mathrm{a}}} c^2\n\\end{gathered}\n$$\n如果没有解离的酸为表面吸附的主要成分，则当 $\\gamma$ 与 $c_{\\mathrm{RSO}}{ }_3 \\mathrm{H}$ 呈线性关系时，表现为 $\\gamma$ 与 $c^2$ 呈线性关系。\n"], "refined_standard_answer": ["\\pi A_{\\mathrm{m}}=\\frac{1}{2} k_{\\mathrm{B}} T", "c_{\\mathrm{RSO}_3 \\mathrm{H}}=\\frac{1}{c^{\\Theta} K_{\\mathrm{a}}} c^2"], "sub_subject_name": "Material Surfaces and Interfaces", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "某多相催化反应 $\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6+\\mathrm{H}_2 \\stackrel{\\mathrm{Ni} / \\mathrm{SiO}_2}{\\rightleftharpoons} 2 \\mathrm{CH}_4$ ，在 464 K 时，测得数据如下：\n\\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}\n\\hline$p_{\\mathrm{H}_2} / \\mathrm{kPa}$ & 10 & 20 & 40 & 20 & 20 & 20 \\\\\n\\hline$p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6} / \\mathrm{kPa}$ & 3.0 & 3.0 & 3.0 & 1.0 & 3.0 & 10 \\\\\n\\hline$r / r_0$ & 3.10 & 1.00 & 0.20 & 0.29 & 1.00 & 2.84 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n$r$ 代表反应速率，$r_0$ 是当 $p_{\\mathrm{H}_2}=20 \\mathrm{kPa}$ 和 $p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6}=3.0 \\mathrm{kPa}$ 时的反应速率。（1）若反应速率公式可表示为 $r=k p_{H_2}^\\alpha p \\stackrel{\\beta}{}_{C_2H_6}$ ，根据以上数据求出 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 的值。\n又反应历程可表示为\n$$\n\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6(\\mathrm{~g})+[\\mathrm{K}] \\underset{k_{-1}}{\\stackrel{k_1}{\\rightleftharpoons}}\\left[\\mathrm{C}_2 \\mathrm{~K}\\right]+3 \\mathrm{H}_2(\\mathrm{~g}) \\quad \\text { 快速平衡 }\n$$\n\\begin{aligned}\n&\\begin{gathered}\n\\mathrm{CH}(\\mathrm{~g})+\\frac{3}{2} \\mathrm{H}_2(\\mathrm{~g}) \\xrightarrow{k_3} \\mathrm{CH}_4(\\mathrm{~g}) \\quad \\text { 快反应 }\n\\end{gathered}\\\\\n&\\text { 式中，}[\\mathrm{K}] \\text { 为催化剂的活性中心。 }\n\\end{aligned}\n这里漏了决速步方程，请补全", "answer_ideas": ["（1）当 $p \\mathrm{c}_2 \\mathrm{H}_6=p_\\mathrm{C_2H_6，0}=3.0 \\mathrm{kPa}$ 时，\n$$\n\\begin{gathered}\n\\frac{r}{r_0}=\\frac{k p_{\\mathrm{H}_2}^\\alpha p_{C_2 \\mathrm{H}_6}^\\beta}{k p_{\\mathrm{H}_2, 0}^\\alpha p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_{6,0}}^\\beta}=\\left(\\frac{p_{\\mathrm{H}_2}}{p_{\\mathrm{H}_2, 0}}\\right)^\\alpha \\\\\n\\ln \\frac{r}{r_0}=\\alpha \\ln \\left(\\frac{p_{\\mathrm{H}_2}}{p_{\\mathrm{H}_2, 0}}\\right)\n\\end{gathered}\n$$\n$\\ln \\left(r / r_0\\right) \\sim \\ln \\left(p_{\\mathrm{H}_2} / p_{\\mathrm{H}_2,0}\\right)$ 为直线关系，利用题给前三组数据计算出 $\\ln \\left(r / r_0\\right)$ 和 $\\ln \\left(p_{\\mathrm{H}_2} / p_{\\mathrm{H}_2,0}\\right)$ 的值如下：\n\\begin{tabular}{c|c|c|c}\n\\hline $\\ln \\left(p_{\\mathrm{H}_2} / p_{\\mathrm{H}_2, 0}\\right)$ & -0.6931 & 0.000 & 0.6931 \\\\\n\\hline $\\ln \\left(r / r_0\\right)$ & 1.131 & 0.000 & -1.609 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n以上述数据作线性拟合，得\n$$\n\\begin{aligned}\n\\ln \\frac{r}{r_0}= & -1.98 \\ln \\left(\\frac{p_{\\mathrm{H}_2}}{p_{\\mathrm{H}_2, 0}}\\right)-0.153 \\\\\n& \\text { 斜率 }=\\alpha \\approx-2\n\\end{aligned}\n$$\n同理，当 $p_{\\mathrm{H}_2}=p_{\\mathrm{H}_2, 0}=20 \\mathrm{kPa}$ 时，有\n$$\n\\ln \\frac{r}{r_0}=\\beta \\ln \\left(\\frac{P \\mathrm{c}_2 \\mathrm{H}_6}{P \\mathrm{c}_2 \\mathrm{H}_6, 0}\\right)\n$$\n利用题给后三组数据计算出 $\\ln \\left(r / r_0\\right)$ 和 $\\ln \\left(p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6} / p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6, 0}\\right)$ 的值如下：\n\\begin{tabular}{c|c|c|c}\n\\hline $\\ln \\left(\\not p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6} / \\not p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6, 0}\\right)$ & -1.099 & 0.000 & 1.204 \\\\\n\\hline $\\ln \\left(r / r_0\\right)$ & -1.238 & 0.000 & 1.044 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n以上述数据作线性拟合，得\n$$\n\\begin{gathered}\n\\ln \\frac{r}{r_0}=0.989 \\ln \\left(\\frac{p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6}}{p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6 \\cdot 0}}\\right)-0.099 \\\\\n\\text { 斜率 }=\\beta \\approx 1 \\\\\nr=k \\frac{p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6}}{p_{\\mathrm{H}_2}^2}\n\\end{gathered}\n$$\n（2）\n推测$\\left[\\mathrm{C}_2 \\mathrm{~K}\\right]+\\mathrm{H}_2(\\mathrm{~g}) \\xrightarrow{k_2} 2 \\mathrm{CH}(\\mathrm{~g})+[\\mathrm{K}]$\\text { 决速步 }\n由决速步可得\n$$\nr=k_2 p_{\\mathrm{H}_2} \\theta_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{~K}}\n$$\n由于第二步是决速步，则第一步能达到吸附平衡，有\n故\n$$\n\\begin{gathered}\nk_1 p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6}=k_{-1} p_{\\mathrm{H}_2}^3 \\theta_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{~K}}, \\quad \\theta_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{~K}}=\\frac{k_1 p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6}}{k_{-1} p_{\\mathrm{H}_2}^3} \\\\\nr=k_2 p_{\\mathrm{H}_2} \\frac{k_1 p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_6}}{k_{-1} p_{\\mathrm{H}_2}^3}=k \\frac{p_{\\mathrm{C}_2 \\mathrm{H}_5}}{p^2 \\mathrm{H}_2} \\quad\\left(k=k_2 k_1 / k_{-1}\\right)\n\\end{gathered}\n$$\n与实验结果完全一致，反应历程正确。"], "refined_standard_answer": ["$\\alpha=-2，\\beta=1$", "$\\left[\\mathrm{C}_2\\mathrm{~K}\\right]+\\mathrm{H}_2(\\mathrm{~g}) \\xrightarrow{k_2} 2 \\mathrm{CH}(\\mathrm{~g})+[\\mathrm{K}]\\text { 决速步 }"], "sub_subject_name": "Material Surfaces and Interfaces", "subject_name": "Materials Science"}
{"question": "有一条很长的小型河流，河道宽3.0m，水深2.0m，在某一断商突然发生污染事故,有12kg的有毒污染物在很短时间内进人,扩散系数为80cm^2/s请问 15min后离事故断面 20m处的浓度值多大?", "answer_ideas": ["首先将模型概化成一维瞬时源，利用公式：\nC(x,t)=(M/(√(4πDt)))e^(-x^2/(4Dt))\n对于本题:\n代人上式得\nD=80 cm^2/s=0.008 m^2/s\nM=12.0kg/(3.0mx2.0m)=2.0x10^3g/m\nt=15 min =900 s\nC(20m,900s)= 1.954x10^-4mg/L\n"], "refined_standard_answer": ["1.954 \\times 10^{-4} \\text{mg/L}"], "sub_subject_name": "Hydrology", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "一条顺直河流，河中心有一连续排污口。沿河岸往下游采水样检测，在下游180m处污染物到达岸边。已知河宽10m，水深4.0m，河水流速2.5m/s，河道底坡比降0.0003。不考虑污染物质降解作用。问此河流横向扩散系数αy是多少？", "answer_ideas": ["应用公式\nL_B=\\frac{0.068uB^2}{E_y}\n由题意知\nu_\\ast=\\sqrt{ghI}=\\sqrt{9.81\\times4\\times0.0003}=0.108m/s\nE_y=\\alpha_yhu_\\ast\n有\n\\alpha_y=\\frac{0.068uB^2}{L_Bhu_\\ast}=\\frac{0.068\\times2.5\\times{10}^2}{180\\times4\\times0.108}=0.219\n"], "refined_standard_answer": ["0.219"], "sub_subject_name": "Hydrology", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "有一非常宽阔的水域，水流较为均匀，流速为1.5m/s，水深2.5m，在该水域某处存在一连续排放源，排污浓度为300mg/L，水面比降为0.0002，Ey=0.4hu*。不考虑降解作用，问如果下游500m处污染物浓度不得大于10mg/L，则排污口的污染物排放量不得大于多少？", "answer_ideas": ["利用公式：\nC(x,y)=m/(√u √(4πE_y x))  exp⁡((-y^2 u)/(4E_y x))\n由题意知：\nh=2.5m, I=0.0002, u=1.5m/s\nu_*=√ghI=√(9.81×2.5×0.0002)=0.07m/s\nEy=0.4hu*=0.4×2.5×0.07=0.07m2/s\nm=q0×C0/h= q0×300 /2.5\n下游500米处，也是最大浓度处，即y=0，所以有：\nC(500,0)=(q_0×300/2.5)/(√1.5 √(4×3.14×0.07×500))=10\n(q_0×120)/25.679=10\nq0=2.14m3/s\n"], "refined_standard_answer": ["2.14 \\text{m}^3/\\text{s}"], "sub_subject_name": "Hydrology", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "某原水总硬度1.6mmol/L，碱度HCO3－=2.58 mmol /L， Mg2+ 1.0mmol/ L，Na+ 0.03mmol/ L，SO42－0.125mmol/ L，Cl－0.4mmol/ L，CO225.8mg/L，试计算，水中碳酸盐硬度和非碳酸盐硬度。若采用石灰－苏打法进行软化，试求石灰、苏打用量（mmol/L）。（过剩量均取0.1 mmol /L）", "answer_ideas": ["解：Ht=Ca2++Mg2+ =1.6 mmol /L \nMg2+ =1.0 mmol /L   故Ca2+ =0.6 mmol /L \n碳酸盐硬度Hc=HCO3－ /2=2.58/2=1.29mmol/L\n其中Ca（HCO3）20.6 mmol /L，Mg（HCO3）2=1.29-0.6=0.69 mmol /L \n非碳酸盐硬度Hn=Ht－Hc=1.6－1.29=0.31mmol/L\n其中MgSO4＋MgCl2=0.31 mmol /L \n故[ CaO]=[CO2 ]+ [Ca（HCO3）2 ]+2 [ Mg（HCO3）2 ] +Hn+α\n25.8/44+0.6+2×0.69+0.31+0.1=2.98 mmol/L\n[ Na2 CO3] = Hn +β=0.31+0.1=0.41mmol /L"], "refined_standard_answer": ["碳酸盐硬度：1.29 mmol/L；非碳酸盐硬度：0.31 mmol/L", "石灰用量：2.98 mmol/L；苏打用量：0.41 mmol/L"], "sub_subject_name": "Hydrology", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "定义在 \\(\\mathbb{R}\\) 上的奇函数 \\(f(x)\\) 满足 \\(f(x)+f(2 - x)=0\\)，当 \\(x\\in(-1,1)\\) 时，\\(f(x)=\\log_2(\\frac{a}{1 - x})+b\\)，则 \\(\\sum_{k = 1}^{2023}f(\\frac{k}{3}) =\\)?", "answer_ideas": ["∵ 函数\\(f(x)\\)是定义在\\(\\mathbf{R}\\)上的奇函数，且当\\(x\\in(-1,1)\\)时，\\(f(x)=\\log_{2}(\\frac{a}{1 - x}-1)+b\\)，由\\(f(0)=\\log_{2}(a - 1)+b = 0\\)，①且\\(f(\\frac{1}{2})+f(-\\frac{1}{2})=\\log_{2}(2a - 1)+b+\\log_{2}(\\frac{2a}{3}-1)+b\\)\\(=\\log_{2}[(\\frac{4a^{2}}{3}-\\frac{8a}{3}+1)]+2b = 0\\)，②由①②可得\\(\\log_{2}(\\frac{4a^{2}}{3}-\\frac{8a}{3}+1)=\\log_{2}(a - 1)^{2}\\)，整理可得\\(\\begin{cases}a^{2}-2a = 0\\\\a - 1>0\\\\2a - 1>0\\\\\\frac{2a}{3}-1>0\\end{cases}\\)，解得\\(a = 2\\)，此时，\\(f(0)=\\log_{2}1 + b = 0\\)，可得\\(b = 0\\)，故当\\(x\\in(-1,1)\\)时，\\(f(x)=\\log_{2}(\\frac{1 + x}{1 - x})\\)，\\(f(-x)=\\log_{2}\\frac{1 - x}{1 + x}=-\\log_{2}\\frac{1 + x}{1 - x}=-f(x)\\)，合乎题意，\\(\\because f(x)+f(2 - x)=0\\)，则\\(f(x)=-f(2 - x)=f(x - 2)\\)，\\(\\therefore\\) 函数\\(f(x)\\)是周期为2的周期函数，\\(\\therefore f(\\frac{1}{3})=\\log_{2}\\frac{1+\\frac{1}{3}}{1-\\frac{1}{3}}=\\log_{2}2 = 1\\)，在等式\\(f(x)+f(2 - x)\\)令\\(x = 1\\)可得\\(2f(1)=0\\)，可得\\(f(1)=0\\)，\\(f(\\frac{1}{3})+f(\\frac{2}{3})+f(1)+f(\\frac{4}{3})+f(\\frac{5}{3})+f(2)\\)\\(=f(\\frac{1}{3})+f(\\frac{2}{3})+f(1)+f(-\\frac{2}{3})+f(-\\frac{1}{3})+f(0)=0\\)，因此，\\(\\sum_{k = 1}^{2023}f(\\frac{k}{3})=f(\\frac{2023}{3})+337\\sum_{k = 1}^{6}f(\\frac{k}{3})=f(\\frac{1}{3})=1\\)。"], "refined_standard_answer": ["1"], "sub_subject_name": "Computational Mathematics", "subject_name": "Math"}
{"question": "考虑\\hat{su}(6)的diagonal modular invariant以及su(3)\\subset su(6)的 branching rule: (0,0,0,0,1)\\to (2,0); (0,0,0,1,0)\\to (2,1), (0,0,1,0,0)\\to (3,0)\\oplus (0,3)以及它们的共轭构造\\hat{su}(3)_5的nondiagonal modular invariant。请给出详细推导过程和具体结论。", "answer_ideas": ["level5的\\hat{su}(3)非对角模不变量可以从\\hat{su}(3)_5 \\subset \\hat{su}(6)_1的conformal embedding得到，且在ADE分类的Exceptional分类下只有两种。"], "refined_standard_answer": ["Z_{\\mathcal{E}_5}=|\\chi_{(0,0)}+\\chi_{(2,2)}|^2+|\\chi_{(0,2)}+\\chi_{(3,2)}|^2+|\\chi_{(2,0)}+\\chi_{(2,3)}|^2+|\\chi_{(2,1)}+\\chi_{(0,5)}|^2+|\\chi_{(3,0)}+\\chi_{(0,3)}|^2+|\\chi_{(1,2)}+\\chi_{(5,0)}|^2"], "sub_subject_name": "Interdisciplinary Mathematics", "subject_name": "Math"}
{"question": "一种很自然的假设是蘑菇在生长过程中要保持水分流失最小化．因此，它们的表面积也应该最小以减少水分蒸发量．根据这个假设，我们通过求解如下简单数学问题寻找蘑菇的最佳形状．然后我们将其与实际蘑菇作比较．考虑在 $(x, y)$ 平面的连接固定点 $P_1=\\left(x_1, y_1\\right)$和 $P_2=\\left(x_2, y_2\\right)$ 的曲线 $y=y(x)$ ．我们绕 $y$ 轴旋转曲线以获得表面．求解出在哪个曲线使其旋转的表面积最小", "answer_ideas": [" "], "refined_standard_answer": ["$y=C+k \\ln \\left|x+\\sqrt{x^2-k^2}\\right|$"], "sub_subject_name": "Interdisciplinary Mathematics", "subject_name": "Math"}
{"question": "已知某锆石样品的分析结果如下：\n样品成分：\n铀含量：500 ppm（质量百分比）\n铅含量：115 ppm（质量百分比）\n\n锆石中铅的同位素组成（原子百分比）：\n²⁰⁴Pb：0.5%\n²⁰⁶Pb：85.2%\n²⁰⁷Pb：12.8%\n²⁰⁸Pb：1.5%\n\n普通铅的同位素组成（原子百分比）：\n²⁰⁴Pb：1.4%\n²⁰⁶Pb：24.1%\n²⁰⁷Pb：22.1%\n²⁰⁸Pb：52.4%\n\n已知常数：\n原子量：²⁰⁴Pb = 203.973，²⁰⁶Pb = 205.974，²⁰⁷Pb = 206.976，²⁰⁸Pb = 207.977\n原子量：²³⁵U = 235.044，²³⁸U = 238.051\n²³⁸U/²³⁵U = 137.818（现代比值）\nλ₂₃₈ = 1.55125 × 10⁻¹⁰ a⁻¹\nλ₂₃₅ = 9.8485 × 10⁻¹⁰ a⁻¹\n\n要求：计算该锆石的²⁰⁶Pb/²³⁸U年龄（t₂₀₆）和²⁰⁷Pb/²³⁵U年龄（t₂₀₇）", "answer_ideas": ["1. 计算平均原子量\n铅的平均原子量：\nM̄ₚb = 203.973×0.005 + 205.974×0.852 + 206.976×0.128 + 207.977×0.015\nM̄ₚb = 1.020 + 175.490 + 26.493 + 3.120 = 206.123 u\n铀的平均原子量：\n²³⁵U/²³⁸U = 1/137.818，所以²³⁵U% = 1/(1+137.818) = 0.007257 = 0.7257%\n²³⁸U% = 137.818/(1+137.818) = 0.992743 = 99.2743%\nM̄ᵤ = 235.044×0.007257 + 238.051×0.992743\nM̄ᵤ = 1.705 + 236.244 = 237.949 u\n2. 计算摩尔浓度\n铅的摩尔浓度：\nCₚb = (115 ppm)/(206.123 u) = 115×10⁻⁶ g/g ÷ 206.123 g/mol\nCₚb = 5.58×10⁻⁷ mol/g = 0.558 μmol/g\n铀的摩尔浓度：\nCᵤ = (500 ppm)/(237.949 u) = 500×10⁻⁶ g/g ÷ 237.949 g/mol\nCᵤ = 2.10×10⁻⁶ mol/g = 2.10 μmol/g\n3. 计算放射成因铅含量（扣除普通铅）\n²⁰⁶Pb*的计算：\n²⁰⁶Pb* = ²⁰⁶Pb总量 - ²⁰⁶Pb普通铅\n设普通铅含量为x（以²⁰⁴Pb为基准）：\n²⁰⁴Pb总量 = 0.005 × Cₚb = 0.005 × 0.558 = 0.00279 μmol/g\n普通铅中²⁰⁶Pb/²⁰⁴Pb = 24.1/1.4 = 17.214\n²⁰⁶Pb普通铅 = 0.00279 × 17.214 = 0.048 μmol/g\n²⁰⁶Pb总量 = 0.852 × 0.558 = 0.475 μmol/g\n²⁰⁶Pb* = 0.475 - 0.048 = 0.427 μmol/g\n²⁰⁷Pb*的计算：\n普通铅中²⁰⁷Pb/²⁰⁴Pb = 22.1/1.4 = 15.786\n²⁰⁷Pb普通铅 = 0.00279 × 15.786 = 0.044 μmol/g\n²⁰⁷Pb总量 = 0.128 × 0.558 = 0.071 μmol/g\n²⁰⁷Pb* = 0.071 - 0.044 = 0.027 μmol/g\n4. 计算同位素比值\n²³⁸U含量：\n²³⁸U = 2.10 × 0.992743 = 2.085 μmol/g\n²³⁵U含量：\n²³⁵U = 2.10 × 0.007257 = 0.0152 μmol/g\n同位素比值：\n²⁰⁶Pb*/²³⁸U = 0.427/2.085 = 0.2048\n²⁰⁷Pb*/²³⁵U = 0.027/0.0152 = 1.776\n5. 计算年龄\n²⁰⁶Pb/²³⁸U年龄：\nt₂₀₆ = (1/λ₂₃₈) × ln(1 + ²⁰⁶Pb*/²³⁸U)\nt₂₀₆ = (1/1.55125×10⁻¹⁰) × ln(1 + 0.2048)\nt₂₀₆ = 6.445×10⁹ × ln(1.2048)\nt₂₀₆ = 6.445×10⁹ × 0.1866 = 1.202×10⁹ a = 1202 Ma\n²⁰⁷Pb/²³⁵U年龄：\nt₂₀₇ = (1/λ₂₃₅) × ln(1 + ²⁰⁷Pb*/²³⁵U)\nt₂₀₇ = (1/9.8485×10⁻¹⁰) × ln(1 + 1.776)\nt₂₀₇ = 1.015×10⁹ × ln(2.776)\nt₂₀₇ = 1.015×10⁹ × 1.021 = 1.036×10⁹ a = 1036 Ma"], "refined_standard_answer": ["1202 ± 12 Ma", "1036 ± 15 Ma"], "sub_subject_name": "Geochemistry", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "在构造地质学中，构造尺度的划分一半分为几级，分别是什么？", "answer_ideas": [""], "refined_standard_answer": ["一般分为巨型、大型、中型、小型、微型和超微型六级"], "sub_subject_name": "Geology", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "某独立柱基底面为方形，l = b = 4.0 m，作用在柱基上的荷载为 F = 1536 kN，基础埋置深度 d = 1.0 m，埋深范围内杂填土重度 γ = 16 kN/m³，其下为粘性土层，厚 h = 1.2 m，天然重度 γ = 20 kN/m³，若已知粘土层上下点的附加应力系数分别为 1.000 和 0.8916，试求基础下粘性土沉降量。\n侧限压缩试验 e-p 关系数据：\n压力 p（kPa）：0、50、100、200\n对应孔隙比 e：0.89、0.86、0.84、0.81", "answer_ideas": ["解：\n基底压力：p = F/(bl) + γₒd = 1536/(4×4) + 20×1 = 116 kPa\n基底附加压力：p₀ = p - γd = 116 - 16×1 = 100 kPa\n粘土层上下点的附加应力：\nσz1 = α₁p₀ = 1.000×100 = 100 kPa\nσz2 = α₂p₀ = 0.8916×100 = 89.16 kPa\n平均附加应力：σ̄z = (100 + 89.16)/2 = 94.58 kPa\n粘土层上下点的自重应力：\nσcz1 = 16×1 = 16 kPa\nσcz2 = 16 + 20×1.2 = 40 kPa\n平均附加自重应力：σ̄cz = (16 + 40)/2 = 28 kPa\n建筑前后粘土层的平均竖向压力为：p₁ = σ̄cz = 28 kPa\np₂ = σ̄cz + σ̄z = 122.58 kPa\n查表得对应的：e₁ = 0.8732，e₂ = 0.8332\n粘土层的沉降量：s = (e₁ - e₂)/(1 + e₁) × h = (0.8732 - 0.8332)/(1 + 0.8732) × 1200 = 25.6 mm"], "refined_standard_answer": ["25.6 mm"], "sub_subject_name": "Geology", "subject_name": "Earth Science"}
{"question": "A web application uses a Redis cache to store session data. During performance testing, you observe that the cache hit rate decreases significantly as the number of concurrent users increases. Propose and explain two strategies to improve the cache hit rate under high concurrency conditions.", "answer_ideas": ["To improve the cache hit rate under high concurrency conditions:\\n1. Increase the cache size: By increasing the Redis cache size, more session data can be stored in memory, reducing the likelihood of evictions and thus improving the hit rate.\\n2. Implement cache partitioning: Partitioning the cache can help distribute the load across multiple instances or shards, ensuring that each user's session data is more likely to be found within its designated partition, thereby improving the overall hit rate."], "refined_standard_answer": ["Increase the cache size", "Implement cache partitioning"], "sub_subject_name": "Computer Software", "subject_name": "Computer Science"}