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namespace OAI
noncomputable section
open scoped Matrix Matrix.Norms.L2Operator Kronecker
namespace DirectCrouzeix
def numericalRange {n : ℕ} (A : Matrix (Fin n) (Fin n) ℂ) : Set ℂ :=
{z | ∃ u : EuclideanSpace ℂ (Fin n), ‖u‖ = 1 ∧
inner ℂ u (Matrix.toEuclideanCLM (n := Fin n) (𝕜 := ℂ) A u) = z}
def polynomialValue {m d : ℕ} (B : Fin (d + 1) → Matrix (Fin m) (Fin m) ℂ)
(z : ℂ) : Matrix (Fin m) (Fin m) ℂ :=
∑ k : Fin (d + 1), z ^ (k : ℕ) • B k
def tensorEvaluation {n m d : ℕ} (A : Matrix (Fin n) (Fin n) ℂ)
(B : Fin (d + 1) → Matrix (Fin m) (Fin m) ℂ) :
Matrix (Fin n × Fin m) (Fin n × Fin m) ℂ :=
∑ k : Fin (d + 1), (A ^ (k : ℕ)) ⊗ₖ (B k)
def rangeMaximum {n m d : ℕ} (A : Matrix (Fin n) (Fin n) ℂ)
(B : Fin (d + 1) → Matrix (Fin m) (Fin m) ℂ) : ℝ :=
sSup ((fun z => ‖polynomialValue B z‖) '' numericalRange A)
def UniversalBound (c : ℝ) : Prop :=
∀ (n m d : ℕ), 0 < n → 0 < m →
∀ (A : Matrix (Fin n) (Fin n) ℂ)
(B : Fin (d + 1) → Matrix (Fin m) (Fin m) ℂ),
‖tensorEvaluation A B‖ ≤ c * rangeMaximum A B
end DirectCrouzeix
end
end OAI
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