Hugging Face's logo

Datasets:
roseking
/
openAI-math-dataset

Languages:
English
Chinese
Size:
100K<n<1M
Tags:
mathematics
mirror
lean
formal-proofs
License:
Dataset card Files
xet
 Community
openAI-math-dataset
File size: 6,471 Bytes
2f887db
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
import OAI.Computability.PerfectCompleteness.Decoding.DecoderFamilyLawLemmas
import OAI.Computability.PerfectCompleteness.Foundations.CanonicalDirections
import OAI.Computability.PerfectCompleteness.Foundations.GeometricPrefixSplit
import OAI.Computability.PerfectCompleteness.Repetition.StoppedCleanGeometry

namespace OAI

section

namespace PerfectCompleteness.FixedStoppedDecoderContext

noncomputable section

open scoped Classical
open RecursiveSpaces DescendantSpaces TreeSourceSpaces HierarchicalArrays
open UniqueGamesTheorem.Foundations.Games
open UniqueGamesTheorem.Appendix.RankLevelFilter (linearMapFintype)

attribute [local instance] linearMapFintype

variable {δ : ℚ} {hδ : 0 < δ} (parameters : FixedParameters.Parameters δ hδ)
  (i j : Fin parameters.plan.depth) (hij : i < j)

abbrev Prefixes :=
  GeometricCutSplit.Prefix (FixedParameters.branch parameters) parameters.plan.depth (j.val + 1) ×
    GeometricCutSplit.Prefix (FixedParameters.branch parameters) (j.val + 1) (i.val + 1)

def upperPath (pref : Prefixes parameters i j) :
    Path (FixedParameters.branch parameters) parameters.plan.depth (j.val + 1) :=
  GeometricCutSplit.prefixPath (Nat.succ_le_of_lt j.isLt) pref.1

def lowerPath (pref : Prefixes parameters i j) :
    Path (FixedParameters.branch parameters) (j.val + 1) (i.val + 1) :=
  GeometricCutSplit.prefixPath (Nat.succ_le_succ (Nat.le_of_lt hij)) pref.2

def upper (pref : Prefixes parameters i j) : Nodes (FixedParameters.branch parameters) parameters.plan.depth :=
  WholeArrayInteriorExterior.upperNode (upperPath parameters i j pref)

def lower (pref : Prefixes parameters i j) :
    HierarchicalFrozenTables.LowerNodes (upper parameters i j pref) (i.val + 1) :=
  StoppedCleanGeometry.descendant (upperPath parameters i j pref)
    (lowerPath parameters i j hij pref) hij

@[simp] theorem upper_height (pref : Prefixes parameters i j) :
    Nodes.height (upper parameters i j pref) = j.val + 1 :=
  WholeArrayInteriorExterior.upperNode_height _

def prefixLaw : FiniteDistribution (Prefixes parameters i j) :=
  (GeometricCutSplit.prefixLaw (Nat.succ_le_of_lt j.isLt)
    (fun k _ => FixedParameters.branch_pos parameters k)).product
      (GeometricCutSplit.prefixLaw (Nat.succ_le_succ (Nat.le_of_lt hij))
        (fun k _ => FixedParameters.branch_pos parameters k))

variable (input : List Bool)

abbrev OutsideQuestions (pref : Prefixes parameters i j) :=
  StoppedCleanGeometry.OutsideQuestions parameters input
    (upperPath parameters i j pref) (lowerPath parameters i j hij pref)

abbrev Exterior (pref : Prefixes parameters i j)
    (external : OutsideQuestions parameters i j hij input pref) :=
  StoppedCleanGeometry.Exterior parameters input
    (upperPath parameters i j pref) (lowerPath parameters i j hij pref) external

abbrev Advice (pref : Prefixes parameters i j) :=
  ManyGoodRows.RowMap (Block (FixedRows.rows parameters.plan) (upper parameters i j pref))
    parameters.plan.order

abbrev Directions := CanonicalDirections.Tuple (FixedRows.rows parameters.plan) parameters.plan.depth

abbrev Fiber (pref : Prefixes parameters i j)
    (external : OutsideQuestions parameters i j hij input pref) :=
  Advice parameters i j pref ×
    (Directions parameters × Exterior parameters i j hij input pref external)

abbrev Context :=
  (pref : Prefixes parameters i j) ×
    (external : OutsideQuestions parameters i j hij input pref) ×
      Fiber parameters i j hij input pref external

def directionLaw : FiniteDistribution (Directions parameters) :=
  CanonicalDirections.law (FixedRows.rows parameters.plan) parameters.plan.depth
    (fun k => parameters.plan.rows_pos (parameters.plan.depth - (k + 1)))

def fiberLaw (pref : Prefixes parameters i j)
    (external : OutsideQuestions parameters i j hij input pref) :
    FiniteDistribution (Fiber parameters i j hij input pref external) :=
  (FiniteDistribution.uniform (Advice parameters i j pref)).product
    ((directionLaw parameters).product
      (FiniteDistribution.uniform (Exterior parameters i j hij input pref external)))

def law : FiniteDistribution (Context parameters i j hij input) :=
  CompletionSoundness.sigmaLaw (prefixLaw parameters i j hij) (fun pref =>
    CompletionSoundness.sigmaLaw
      (FiniteDistribution.uniform (OutsideQuestions parameters i j hij input pref))
      (fiberLaw parameters i j hij input pref))

def upperNode (context : Context parameters i j hij input) := upper parameters i j context.1

def lowerIndex (context : Context parameters i j hij input) := lower parameters i j hij context.1

def geometry (context : Context parameters i j hij input) :
    FixedDecoderCleanRate.Geometry parameters parameters.plan.depth i.val
      (upperNode parameters i j hij input context) (lowerIndex parameters i j hij input context) :=
  StoppedCleanGeometry.geometry parameters input
    (upperPath parameters i j context.1) (lowerPath parameters i j hij context.1) hij
    context.2.1 context.2.2.2.2

def advice (context : Context parameters i j hij input) :
    ManyGoodRows.RowMap
      (Block (FixedRows.rows parameters.plan) (upperNode parameters i j hij input context))
      parameters.plan.order := context.2.2.1

def direction (context : Context parameters i j hij input) :
    OwnInputReference.LowerVector (FixedRows.rows parameters.plan)
      (HierarchicalLeftDecoder.LowerNode (upperNode parameters i j hij input context)
        (i.val + 1) (lowerIndex parameters i j hij input context)) :=
  (PrefixTests.nodeDirection (FixedRows.rows parameters.plan) i
    ⟨HierarchicalLeftDecoder.LowerNode (upperNode parameters i j hij input context)
      (i.val + 1) (lowerIndex parameters i j hij input context),
      CleanDecoderContext.lowerHeight (upperNode parameters i j hij input context)
        (lowerIndex parameters i j hij input context)⟩ (context.2.2.2.1 i)).val

theorem row_count (context : Context parameters i j hij input) :
    FixedRows.rows parameters.plan (Nodes.height (upperNode parameters i j hij input context)) =
      FixedRows.rows parameters.plan (j.val + 1) := by
  rw [upperNode, upper_height]

theorem advice_marginal (pref : Prefixes parameters i j)
    (external : OutsideQuestions parameters i j hij input pref) :
    (fiberLaw parameters i j hij input pref external).pushforward Prod.fst =
      FiniteDistribution.uniform (Advice parameters i j pref) :=
  HiddenBucketBias.product_fst _ _

end
end PerfectCompleteness.FixedStoppedDecoderContext

end

end OAI