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namespace OAI
noncomputable section
namespace AngularCaps
def d (q : ℝ) : ℝ := (q ^ 2 + q ^ 4) / 16
def squaredRadius (τ η q : ℝ) : ℝ :=
Real.sqrt (1 / 4 + τ ^ 2 * (d q + η))
def radialParameterSet (l r : ℝ) (R : ℝ → ℝ) : Set (ℝ × ℝ) :=
{p | p.1 ∈ Set.Icc l r ∧ p.2 ∈ Set.Icc 0 (R p.1)}
def radialMap (p : ℝ × ℝ) : ℝ × ℝ := (p.1 * p.2, p.2)
def radialSector (l r : ℝ) (R : ℝ → ℝ) : Set (ℝ × ℝ) :=
radialMap '' radialParameterSet l r R
def radialBandParameters (l r ρ : ℝ) (R : ℝ → ℝ) : Set (ℝ × ℝ) :=
{p | p.1 ∈ Set.Icc l r ∧ p.2 ∈ Set.Icc ρ (R p.1)}
def radialBand (l r ρ : ℝ) (R : ℝ → ℝ) : Set (ℝ × ℝ) :=
radialMap '' radialBandParameters l r ρ R
def pairToPlane (p : ℝ × ℝ) : EuclideanSpace ℝ (Fin 2) := !₂[p.1, p.2]
def euclideanRadialSector (l r : ℝ) (R : ℝ → ℝ) : Set (EuclideanSpace ℝ (Fin 2)) :=
pairToPlane '' radialSector l r R
def euclideanRadialBand (l r ρ : ℝ) (R : ℝ → ℝ) : Set (EuclideanSpace ℝ (Fin 2)) :=
pairToPlane '' radialBand l r ρ R
end AngularCaps
end
end OAI
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