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namespace OAI
noncomputable section
namespace CylinderCovering.RadialCaps
def G (r : ℝ) : ℝ := (1 + r ^ 2) / 2
def H (r : ℝ) : ℝ := (r ^ 2 + r ^ 4) / 2
def D0 (r : ℝ) : ℝ := G r ^ 2 + 2 * r ^ 2
def linearCap (β ε r : ℝ) : ℝ := 1 + ε ^ 2 * (H r + β)
def cubicCap (c ε r : ℝ) : ℝ := 1 + ε ^ 2 * H r + c * ε ^ 3
def fractionalCap (c ε r : ℝ) : ℝ := 1 + ε ^ 2 * H r + c * ε ^ (5 / 2 : ℝ)
def sqrtCap (β ε r : ℝ) : ℝ := Real.sqrt (1 + 2 * ε ^ 2 * (H r + β))
def Q (R : ℝ → ℝ) (ε : ℝ) : ℝ :=
∫ r in (-1 : ℝ)..1, R r ^ 2 / (2 * Real.sqrt (1 + ε ^ 2 * D0 r))
end CylinderCovering.RadialCaps
end
end OAI
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