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import OAI.Geometry.HeilbronnTriangle.RankOneMinors
import OAI.Geometry.HeilbronnTriangle.DigitUnits
namespace OAI
namespace Problem355.ConditionalMatrix
open scoped BigOperators
abbrev Header (X : Type*) (k : ℕ) :=
(Fin 3 → Fin k → X) × (Fin 2 → Fin k → X)
abbrev Draw (X : Type*) (k : ℕ) :=
Header X k × ((Fin 2 × Fin 2) → Fin k → X)
def picked {X : Type*} {k : ℕ} (z : Draw X k) (a c : Fin 3) (v : Fin k) : X :=
Fin.cases (z.1.1 c v)
(fun i => Fin.cases (z.1.2 i v) (fun l => z.2 (i, l) v) c) a
def drawEquiv {X : Type*} {k : ℕ} : Draw X k ≃ (Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X) where
toFun z := picked z
invFun f := ((fun c v => f 0 c v, fun i v => f i.succ 0 v),
fun i v => f i.1.succ i.2.succ v)
left_inv z := by
apply Prod.ext
· apply Prod.ext <;> rfl
· funext i v
rfl
right_inv f := by
funext a c v
refine Fin.cases ?_ (fun i => ?_) a
· rfl
· refine Fin.cases ?_ (fun l => ?_) c <;> rfl
def entryValue {X : Type*} {B k : ℕ}
(digit : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X → Fin B)
(z : Draw X k) (a c : Fin 3) : ℕ :=
∑ v : Fin k, (digit a c v (picked z a c v)).val * B ^ v.val
def residueMatrix {X : Type*} {B k : ℕ}
(digit : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X → Fin B)
(z : Draw X k) (j : ℕ) : Matrix (Fin 3) (Fin 3) (ZMod (B ^ j)) :=
fun a c => (entryValue digit z a c : ZMod (B ^ j))
def arrayMatrix {X : Type*} {B k : ℕ}
(digit : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X → Fin B)
(f : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X) (j : ℕ) :
Matrix (Fin 3) (Fin 3) (ZMod (B ^ j)) :=
fun a c => ((∑ v : Fin k, (digit a c v (f a c v)).val * B ^ v.val : ℕ) : ZMod (B ^ j))
lemma residueMatrix_eq_arrayMatrix {X : Type*} {B k : ℕ}
(digit : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X → Fin B) (z : Draw X k) (j : ℕ) :
residueMatrix digit z j = arrayMatrix digit (drawEquiv z) j := rfl
theorem encoded_isUnit {B k j : ℕ} (hB : B.Prime) (hk : 0 < k) (hj : 0 < j)
(d : Fin k → Fin B) (hpos : ∀ v, 0 < (d v).val) :
IsUnit (((∑ v : Fin k, (d v).val * B ^ v.val : ℕ)) : ZMod (B ^ j)) := by
apply (ZMod.isUnit_natCast_iff_not_dvd_pow hB hj).mpr
intro hdiv
have hm := Nat.mod_eq_zero_of_dvd hdiv
cases k with
| zero => omega
| succ k =>
rw [← Digits.ofDigits_ofFn_eq_sum, Nat.ofDigits_mod_eq_head!, List.ofFn_succ] at hm
have heq : (d 0).val % B = 0 := by simpa using hm
rw [Nat.mod_eq_of_lt (d 0).isLt] at heq
exact (Nat.ne_of_gt (hpos 0)) heq
theorem moment_le_two {X : Type*} [Fintype X] [Nonempty X]
{B k : ℕ} (hB : B.Prime) (hk : 0 < k)
(digit : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X → Fin B)
(hinj : ∀ a c v, Function.Injective (digit a c v))
(hpos : ∀ a c v x, 0 < (digit a c v x).val)
(b : Draw X k → ℕ) (hb : ∀ z, b z ≤ k)
(hminor : ∀ j, 1 ≤ j → j ≤ k → ∀ z, j ≤ b z →
UnitPivot.MinorsVanish (residueMatrix digit z j))
(hsmall : (B : ℝ) * (1 / (Fintype.card X : ℝ)) ^ 4 ≤ 1 / 2) :
(∑ z : Draw X k, (1 / (Fintype.card (Draw X k) : ℝ)) * (B : ℝ) ^ b z) ≤ 2 := by
classical
apply ConditionalDigits.conditional_divisor_moment_le_two hB.one_lt
(fun i v x => digit i.1.succ i.2.succ v x)
(fun i v => hinj i.1.succ i.2.succ v) b hb
· intro j hjpos hj
let row : Header X k → Fin 3 → ℕ :=
fun a c => ∑ v : Fin k, (digit 0 c v (a.1 c v)).val * B ^ v.val
let col : Header X k → Fin 2 → ℕ :=
fun a i => ∑ v : Fin k, (digit i.succ 0 v (a.2 i v)).val * B ^ v.val
have hunit (a : Header X k) : IsUnit ((row a 0 : ℕ) : ZMod (B ^ j)) :=
encoded_isUnit hB hk hjpos (fun v => digit 0 0 v (a.1 0 v))
(fun v => hpos 0 0 v (a.1 0 v))
let pivot : Header X k → (ZMod (B ^ j))ˣ := fun a => (hunit a).unit
refine ⟨pivot, fun a i =>
(col a i.1 : ZMod (B ^ j)) * (row a i.2.succ : ZMod (B ^ j)), ?_⟩
intro z hz i
have hpivot : (pivot z.1 : ZMod (B ^ j)) = (row z.1 0 : ZMod (B ^ j)) :=
(hunit z.1).unit_spec
rw [hpivot]
have h := hminor j hjpos hj z hz 0 i.1.succ 0 i.2.succ
change (row z.1 0 : ZMod (B ^ j)) *
((∑ v : Fin k, (digit i.1.succ i.2.succ v (z.2 i v)).val * B ^ v.val : ℕ) : ZMod (B ^ j)) =
(row z.1 i.2.succ : ZMod (B ^ j)) * (col z.1 i.1 : ZMod (B ^ j)) at h
exact h.trans (mul_comm _ _)
· simpa using hsmall
theorem array_moment_le_two {X : Type*} [Fintype X] [Nonempty X]
{B k : ℕ} (hB : B.Prime) (hk : 0 < k)
(digit : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X → Fin B)
(hinj : ∀ a c v, Function.Injective (digit a c v))
(hpos : ∀ a c v x, 0 < (digit a c v x).val)
(b : (Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X) → ℕ) (hb : ∀ f, b f ≤ k)
(hminor : ∀ j, 1 ≤ j → j ≤ k → ∀ f, j ≤ b f →
UnitPivot.MinorsVanish (arrayMatrix digit f j))
(hsmall : (B : ℝ) * (1 / (Fintype.card X : ℝ)) ^ 4 ≤ 1 / 2) :
(∑ f : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X,
(1 / (Fintype.card (Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X) : ℝ)) * (B : ℝ) ^ b f) ≤ 2 := by
have h := moment_le_two hB hk digit hinj hpos (fun z => b (drawEquiv z))
(fun z => hb (drawEquiv z))
(fun j hj hk z hz => hminor j hj hk (drawEquiv z) hz) hsmall
have hcard := Fintype.card_congr (drawEquiv (X := X) (k := k))
rw [hcard] at h
have hsum := (drawEquiv (X := X) (k := k)).sum_comp
(fun f => (1 / (Fintype.card (Fin 3 → Fin 3 → Fin k → X) : ℝ)) * (B : ℝ) ^ b f)
rw [← hsum]
exact h
noncomputable def prescribedDigit {r m B k : ℕ} [NeZero r] (hbound : r * m < B)
(residue : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → ZMod r)
(a c : Fin 3) (v : Fin k) (x : Fin m) : Fin B :=
⟨(DigitUnits.digitFiberEquiv (residue a c v) m x).val,
lt_of_le_of_lt (DigitUnits.digitFiberEquiv_bounds (residue a c v) m x).2.1 hbound⟩
lemma prescribedDigit_injective {r m B k : ℕ} [NeZero r] (hbound : r * m < B)
(residue : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → ZMod r) (a c : Fin 3) (v : Fin k) :
Function.Injective (prescribedDigit hbound residue a c v) := by
intro x y hxy
apply (DigitUnits.digitFiberEquiv (residue a c v) m).injective
apply Subtype.ext
exact congrArg Fin.val hxy
lemma prescribedDigit_positive {r m B k : ℕ} [NeZero r] (hbound : r * m < B)
(residue : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → ZMod r) (a c : Fin 3) (v : Fin k) (x : Fin m) :
0 < (prescribedDigit hbound residue a c v x).val :=
(DigitUnits.digitFiberEquiv_bounds (residue a c v) m x).1
lemma prescribedDigit_residue {r m B k : ℕ} [NeZero r] (hbound : r * m < B)
(residue : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → ZMod r) (a c : Fin 3) (v : Fin k) (x : Fin m) :
((prescribedDigit hbound residue a c v x).val : ZMod r) = residue a c v :=
(DigitUnits.digitFiberEquiv_bounds (residue a c v) m x).2.2
theorem prescribed_moment_le_two {r m B k : ℕ} [NeZero r] [NeZero m]
(hB : B.Prime) (hk : 0 < k) (hbound : r * m < B)
(residue : Fin 3 → Fin 3 → Fin k → ZMod r)
(b : Draw (Fin m) k → ℕ) (hb : ∀ z, b z ≤ k)
(hminor : ∀ j, 1 ≤ j → j ≤ k → ∀ z, j ≤ b z →
UnitPivot.MinorsVanish (residueMatrix (prescribedDigit hbound residue) z j))
(hsmall : (B : ℝ) * (1 / (m : ℝ)) ^ 4 ≤ 1 / 2) :
(∑ z : Draw (Fin m) k, (1 / (Fintype.card (Draw (Fin m) k) : ℝ)) *
(B : ℝ) ^ b z) ≤ 2 := by
exact moment_le_two hB hk (prescribedDigit hbound residue)
(prescribedDigit_injective hbound residue) (prescribedDigit_positive hbound residue)
b hb hminor (by simpa using hsmall)
end Problem355.ConditionalMatrix
end OAI
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