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namespace OAI
noncomputable section
open Filter
open scoped Topology
namespace WeakPinned
abbrev Plane := EuclideanSpace ℝ (Fin 2)
def distanceFiber (P : Finset Plane) (x y : Plane) : Finset Plane :=
(P.erase x).filter (fun z => dist z x = dist y x)
def k (P : Finset Plane) (x y : Plane) : ℕ :=
(distanceFiber P x y).card
def richPairs (P : Finset Plane) (s : ℝ) : Finset (Plane × Plane) :=
(P ×ˢ P).filter (fun xy => xy.1 ≠ xy.2 ∧
(P.card : ℝ) ^ s ≤ (k P xy.1 xy.2 : ℝ))
def pairFraction (P : Finset Plane) (s : ℝ) : ℝ :=
(richPairs P s).card / ((P.card : ℝ) * ((P.card : ℝ) - 1))
def F (n : ℕ) (s : ℝ) : ℝ :=
if 2 ≤ n then sSup {a : ℝ | ∃ P : Finset Plane, P.card = n ∧ a = pairFraction P s}
else 0
def distances (P : Finset Plane) (x : Plane) : Finset ℝ :=
(P.erase x).image (fun y => dist y x)
def badPins (P : Finset Plane) (ε : ℝ) : Finset Plane :=
P.filter (fun x => ((distances P x).card : ℝ) < (P.card : ℝ) ^ (1 - ε))
def badPinFraction (P : Finset Plane) (ε : ℝ) : ℝ :=
(badPins P ε).card / (P.card : ℝ)
def B (n : ℕ) (ε : ℝ) : ℝ :=
if 0 < n then sSup {a : ℝ | ∃ P : Finset Plane, P.card = n ∧ a = badPinFraction P ε}
else 0
/- Uniform multiplicity and pinned-distance convergence statements. -/
def MainStatement : Prop :=
∀ s : ℝ, 0 < s → Tendsto (fun n : ℕ => F n s) atTop (nhds 0)
def PinsStatement : Prop :=
∀ ε : ℝ, 0 < ε → Tendsto (fun n : ℕ => B n ε) atTop (nhds 0)
end WeakPinned
end
end OAI
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