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namespace OAI
open MeasureTheory ProbabilityTheory
namespace CriticalZ3
abbrev Vertex := Fin 3 → ℤ
abbrev Bond := Vertex × Fin 3
abbrev BondConfig := Bond → Bool
abbrev SiteConfig := Vertex → Bool
def step (x : Vertex) (i : Fin 3) : Vertex := fun j => x j + if i = j then 1 else 0
def NearestNeighbor (x y : Vertex) : Prop :=
∃ i : Fin 3, y = step x i ∨ x = step y i
def BondOpen (ω : BondConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
(∃ i : Fin 3, y = step x i ∧ ω (x, i) = true) ∨
(∃ i : Fin 3, x = step y i ∧ ω (y, i) = true)
def SiteOpen (ω : SiteConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
NearestNeighbor x y ∧ ω x = true ∧ ω y = true
def BondConnected (ω : BondConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
Relation.ReflTransGen (BondOpen ω) x y
def SiteConnected (ω : SiteConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
ω x = true ∧ Relation.ReflTransGen (SiteOpen ω) x y
def bondCluster (ω : BondConfig) (x : Vertex) : Set Vertex :=
{y | BondConnected ω x y}
def siteCluster (ω : SiteConfig) (x : Vertex) : Set Vertex :=
{y | SiteConnected ω x y}
def bondInfiniteAt (x : Vertex) : Set BondConfig := {ω | (bondCluster ω x).Infinite}
def siteInfiniteAt (x : Vertex) : Set SiteConfig := {ω | (siteCluster ω x).Infinite}
noncomputable def parameter (p : ℝ) : Set.Icc (0 : ℝ) 1 :=
⟨max 0 (min 1 p), le_max_left _ _, max_le (by norm_num) (min_le_left _ _)⟩
noncomputable def bondLaw (p : ℝ) : Measure BondConfig :=
Measure.infinitePi (fun _ : Bond => bernoulliMeasure true false (parameter p))
noncomputable def siteLaw (p : ℝ) : Measure SiteConfig :=
Measure.infinitePi (fun _ : Vertex => bernoulliMeasure true false (parameter p))
noncomputable def bondCritical : ℝ :=
sInf {p : ℝ | p ∈ Set.Icc (0 : ℝ) 1 ∧ 0 < bondLaw p (bondInfiniteAt 0)}
noncomputable def siteCritical : ℝ :=
sInf {p : ℝ | p ∈ Set.Icc (0 : ℝ) 1 ∧ 0 < siteLaw p (siteInfiniteAt 0)}
end CriticalZ3
end OAI
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