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namespace OAI
section
section
noncomputable section
open scoped BigOperators Topology
open MeasureTheory ProbabilityTheory Filter
namespace SK
abbrev Config (n : ℕ) := Fin n → Bool
abbrev Edge (n : ℕ) := {p : Fin n × Fin n // p.1 < p.2}
abbrev Disorder (n : ℕ) := Edge n → ℝ
def spin (b : Bool) : ℝ := if b then 1 else -1
def hamiltonian {n : ℕ} (J : Disorder n) (x : Config n) : ℝ :=
(∑ e : Edge n, J e * spin (x e.val.1) * spin (x e.val.2)) / Real.sqrt n
def partition {n : ℕ} (β : ℝ) (J : Disorder n) : ℝ :=
∑ x : Config n, Real.exp (β * hamiltonian J x)
def gibbs {n : ℕ} (β : ℝ) (J : Disorder n) (x : Config n) : ℝ :=
Real.exp (β * hamiltonian J x) / partition β J
def coupling {n : ℕ} (J : Disorder n) (i j : Fin n) : ℝ :=
if h : i < j then J ⟨(i, j), h⟩ else
if h : j < i then J ⟨(j, i), h⟩ else 0
def localField {n : ℕ} (J : Disorder n) (x : Config n) (i : Fin n) : ℝ :=
(∑ j : Fin n, coupling J i j * spin (x j)) / Real.sqrt n
def heatBath {n : ℕ} (β : ℝ) (J : Disorder n) (x y : Config n) : ℝ :=
(∑ i : Fin n, if Function.update x i (y i) = y then
Real.exp (β * spin (y i) * localField J x i) /
(2 * Real.cosh (β * localField J x i)) else 0) / n
def discreteKernel {n : ℕ} (β : ℝ) (J : Disorder n) : ℕ → Config n → Config n → ℝ
| 0, x, y => if x = y then 1 else 0
| k + 1, x, y => ∑ z : Config n, heatBath β J x z * discreteKernel β J k z y
def continuousKernel {n : ℕ} (β : ℝ) (J : Disorder n) (t : ℝ)
(x y : Config n) : ℝ :=
∑' k : ℕ, (Real.exp (-(n : ℝ) * t) * ((n : ℝ) * t) ^ k /
(Nat.factorial k : ℝ)) * discreteKernel β J k x y
def discreteDistance {n : ℕ} (β : ℝ) (J : Disorder n)
(x : Config n) (k : ℕ) : ℝ :=
(1 / 2 : ℝ) * ∑ y : Config n, |discreteKernel β J k x y - gibbs β J y|
def continuousDistance {n : ℕ} (β : ℝ) (J : Disorder n)
(x : Config n) (t : ℝ) : ℝ :=
(1 / 2 : ℝ) * ∑ y : Config n, |continuousKernel β J t x y - gibbs β J y|
def disorderLaw (n : ℕ) : Measure (Disorder n) :=
Measure.pi (fun _ : Edge n => gaussianReal 0 1)
def kappa : ℝ := 1 / 10000
def timeScale (n : ℕ) : ℝ := Real.exp ((n : ℝ) ^ kappa)
def continuousBadMass (β : ℝ) (n : ℕ) : ℝ :=
∫ J : Disorder n, (∑ x : Config n, if 1 / 4 < continuousDistance β J x (timeScale n)
then gibbs β J x else 0) ∂disorderLaw n
def discreteBadMass (β : ℝ) (n : ℕ) : ℝ :=
∫ J : Disorder n, (∑ x : Config n, if 1 / 4 < discreteDistance β J x ⌊timeScale n⌋₊
then gibbs β J x else 0) ∂disorderLaw n
end SK
end
end
end
end OAI
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