| import OAI.Analysis.IrrationalRotation.Model.Analytic |
| import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real |
| import Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic |
| import Mathlib.Topology.ContinuousMap.Basic |
| import Mathlib.Data.Int.Interval |
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| namespace OAI |
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| noncomputable section |
| open MeasureTheory |
| open scoped BigOperators ENNReal |
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| namespace Invariant233 |
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| structure CircleParameterData where |
| m : ℕ → ℕ |
| K : ℕ → ℕ |
| G : ℕ → ℕ |
| q : ℕ → ℕ |
| L : ℕ → ℝ |
| C : ℕ → ℝ |
| ε : ℕ → ℝ |
| height : ℕ → ℕ |
| partition : ℕ → ℕ → C(Circle, ℝ) |
| samples : ℕ → ℕ → Finset ℕ |
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| namespace CircleParameterData |
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| def rep (x : Circle) : ℝ := (AddCircle.equivIco (1 : ℝ) 0 x : ℝ) |
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| def delta (z : ℝ) : ℝ := min (Int.fract z) (1 - Int.fract z) |
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| def kernelWidth (m : ℕ) : ℝ := (m : ℝ) ^ (-(3 / 5 : ℝ)) |
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| def kernel (m : ℕ) (z v : ℝ) : ℝ := |
| if (1 / (m : ℝ) ^ 2 ≤ delta z) ∧ 0 < v ∧ v < kernelWidth m * delta z |
| then 1 / (kernelWidth m * delta z) else 0 |
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| def orientedKernel (endpoint : Bool) (m : ℕ) (z v : ℝ) : ℝ := |
| if endpoint then kernel m (z - v) v else kernel m z v |
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| def blockEnd (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : ℕ := |
| ∑ s ∈ Finset.Icc 1 j, p.m s |
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| def blockIndex (p : CircleParameterData) (i : ℕ) : ℕ := by |
| classical |
| exact if h : ∃ j, i ≤ p.blockEnd j then Nat.find h else 0 |
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| def flattenedFrequency (p : CircleParameterData) (n : ℕ) : ℤ := p.q (n + 1) |
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| def flattenedCost (p : CircleParameterData) (n : ℕ) : ℝ := |
| p.C (p.blockIndex (n + 1)) |
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| def block (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : Finset ℕ := |
| Finset.Icc (p.blockEnd (j - 1) + 1) (p.blockEnd j) |
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| def N (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : ℝ := (p.m j : ℝ) * p.K j |
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| def a (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : ℝ := (p.G j : ℝ) / p.m j |
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| def b (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : ℝ := (p.m j : ℝ) ^ (-(19 / 20 : ℝ)) |
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| def Q (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : ℝ := |
| (p.m j : ℝ) ^ ((7 / 10 : ℝ) * p.m j) |
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| def kappa (j : ℕ) : ℝ := 1 / (100 * (j : ℝ)) |
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| def alpha (p : CircleParameterData) (θ : ℝ) (i : ℕ) : ℝ := |
| Int.fract ((p.q i : ℝ) * θ) |
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| def coordinate (p : CircleParameterData) (i : ℕ) (x : Circle) : ℝ := |
| rep (p.q i • x) |
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|
| def ell (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : ℝ := |
| 1 / (((j + 1 : ℕ) : ℝ) ^ 2 * (1 + (p.blockEnd (j - 1) : ℝ)) * |
| (p.q (p.blockEnd (j - 1)) : ℝ)) |
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|
| def shift (p : CircleParameterData) (j r : ℕ) : ℝ := |
| (r : ℝ) / p.q (p.blockEnd (j - 1)) |
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|
| def coefficientBound (p : CircleParameterData) (j : ℕ) : ℝ := |
| Real.exp (((p.K j : ℝ) + 1) * |
| ∑ s ∈ Finset.Icc 1 (j - 1), p.C s * p.m s) |
|
|
| def convolutionCoefficient (K : ℕ) (A B : ℤ → ℂ) (n : ℤ) : ℂ := |
| ∑ t ∈ Finset.Icc (-(K : ℤ)) (K : ℤ), A t * B (n - t) |
|
|
| def samplingAverage (p : CircleParameterData) (θ : ℝ) (j r : ℕ) |
| (endpoint : Bool) (x : Circle) : ℝ := |
| (1 / ((p.samples j r).card : ℝ)) * |
| ∑ n ∈ p.samples j r, ∏ i ∈ p.block j, |
| orientedKernel endpoint (p.m j) (p.coordinate i x) |
| (Int.fract ((n : ℝ) * p.alpha θ i)) |
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|
| end CircleParameterData |
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| open CircleParameterData |
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| structure CircleParameterLaws (θ : ℝ) (p : CircleParameterData) : Prop where |
| m_pos : ∀ j, 1 ≤ j → 0 < p.m j |
| K_pos : ∀ j, 1 ≤ j → 0 < p.K j |
| G_pos : ∀ j, 1 ≤ j → 0 < p.G j |
| q_pos : ∀ i, 0 < p.q i |
| L_pos : ∀ j, 1 ≤ j → 0 < p.L j |
| C_pos : ∀ j, 1 ≤ j → 0 < p.C j |
| epsilon_pos : ∀ j, 1 ≤ j → 0 < p.ε j |
| partition_nonneg : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ n, n ≤ p.height j → |
| ∀ x, 0 ≤ p.partition j n x |
| partition_sum : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ x, |
| (∑ n ∈ Finset.range (p.height j + 1), p.partition j n x) = 1 |
| partition_support : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ n, n ≤ p.height j → |
| ∀ x ∈ tsupport (p.partition j n), |
| dist (x + (((n : ℝ) * θ : ℝ) : Circle)) 0 < 1 / (10 * (j : ℝ)) |
| frequency_zero : p.q 0 = 1 |
| frequency_increasing : StrictMono p.q |
| frequency_divisible : ∀ i, p.q i ∣ p.q (i + 1) |
| phase_bounds : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ i ∈ p.block j, |
| 1 / p.N j < p.alpha θ i ∧ p.alpha θ i < 2 / p.N j |
| frequency_ratios : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ i ∈ p.block j, |
| p.N j ≤ (p.q (i + 1) : ℝ) / p.q i |
| spread_high : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ k : ℤ, |
| p.N j / 4 ≤ |(k : ℝ)| → |
| |(k : ℝ)| ≤ (p.m j : ℝ) ^ ((4 / 5 : ℝ) * p.m j) → |
| (p.m j : ℝ) / 20 ≤ |
| ((p.block j).filter (fun i => |
| 1 - Int.fract ((k : ℝ) * p.alpha θ i) ∈ Set.Icc (p.b j) (1 - p.b j))).card |
| spread_low : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ k : ℤ, |
| (p.G j : ℝ) * p.K j ≤ |(k : ℝ)| → |(k : ℝ)| ≤ p.N j / 4 → |
| ∀ i ∈ p.block j, |
| 1 - Int.fract ((k : ℝ) * p.alpha θ i) ∈ Set.Icc (p.a j) (1 - p.a j) |
| initial_K : p.K 1 = 100 |
| initial_G : p.G 1 = 1 |
| L_ge_one : ∀ j, 1 ≤ j → 1 ≤ p.L j |
| L_monotone : ∀ j k, 1 ≤ j → j ≤ k → p.L j ≤ p.L k |
| C_eq : ∀ j, 1 ≤ j → p.C j = max (p.L j) ((p.K j : ℝ) ^ 2) |
| m_ge_K : ∀ j, 1 ≤ j → p.K j ≤ p.m j |
| m_ge_pow : ∀ j, 1 ≤ j → 2 ^ j ≤ p.m j |
| m_ge_G : ∀ j, 1 ≤ j → 4 * p.G j ≤ p.m j |
| m_ge_200 : ∀ j, 1 ≤ j → 200 ≤ p.m j |
| next_K : ∀ j, 1 ≤ j → |
| p.K (j + 1) = ⌈(p.m j : ℝ) ^ ((3 / 4 : ℝ) * p.m j)⌉₊ |
| K_double : ∀ j, 1 ≤ j → 2 * p.K j < p.K (j + 1) |
| next_G_gap : ∀ j, 1 ≤ j → |
| (p.G (j + 1) : ℝ) * p.K (j + 1) < |
| (p.m j : ℝ) ^ ((4 / 5 : ℝ) * p.m j) |
| attenuation_m : ∀ j, 1 ≤ j → |
| p.L j ≤ kappa j * (p.m j : ℝ) ^ (1 / 40 : ℝ) |
| attenuation_G : ∀ j, 1 ≤ j → |
| p.L j ≤ kappa (j + 1) * Real.sqrt (p.G (j + 1) : ℝ) |
| continuity_height : ∀ j, 1 ≤ j → |
| (p.height (j + 1) : ℝ) / p.K (j + 1) ≤ (1 / 2 : ℝ) ^ j |
| polynomial_lower : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ A B : ℤ → ℂ, |
| Function.support A ⊆ Set.Icc (-(p.K j : ℤ)) (p.K j : ℤ) → |
| Function.support B ⊆ Set.Icc (-(p.K j : ℤ)) (p.K j : ℤ) → |
| (∀ n, ‖A n‖ ≤ p.coefficientBound j) → |
| (∀ n, ‖B n‖ ≤ p.coefficientBound j) → |
| 1 / (j : ℝ) ≤ ‖A 0‖ → 1 / (j : ℝ) ≤ ‖B 0‖ → |
| ∃ n ∈ Finset.Icc 0 (2 * p.K j), |
| p.ε j ≤ ‖convolutionCoefficient (p.K j) A B (-(n : ℤ))‖ |
| polynomial_attenuation : ∀ j, 1 ≤ j → |
| ((2 * p.K j + 1 : ℕ) : ℝ) * 3 * Real.exp (-p.L j / 10000) ≤ p.ε j / j |
| samples_nonempty : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ r, |
| r < p.q (p.blockEnd (j - 1)) → (p.samples j r).Nonempty |
| samples_positive : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ r, |
| r < p.q (p.blockEnd (j - 1)) → ∀ n ∈ p.samples j r, 0 < n |
| samples_range : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ r, |
| r < p.q (p.blockEnd (j - 1)) → ∀ n ∈ p.samples j r, |
| p.Q j / 2 ≤ (n : ℝ) ∧ (n : ℝ) ≤ p.Q j |
| samples_phase : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ r, |
| r < p.q (p.blockEnd (j - 1)) → ∀ n ∈ p.samples j r, |
| Int.fract ((n : ℝ) * θ - p.shift j r) ∈ Set.Ioo 0 (p.ell j) |
| sampling_L2 : ∀ j, 1 ≤ j → ∀ r, |
| r < p.q (p.blockEnd (j - 1)) → ∀ endpoint : Bool, |
| eLpNorm (fun x => p.samplingAverage θ j r endpoint x - 1) 2 circleMeasure < |
| ENNReal.ofReal (1 / (j : ℝ)) |
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|
| end Invariant233 |
|
|
| end |
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| end OAI |
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